Probleme Didactice Rezolvate In Matlab

PROBLEME DIDACTICE REZOLVATE ÎN MATLAB

Cuprins

1. Introducere

1.1 Tema lucrării

1.2 Structura lucrării

2. Noțiuni teoretice

2.1 Sisteme de reglare automate

2.3 Modele matematice

3. Mediul de lucru MATLAB

3.1 Lansarea în execuție a aplicației MATLAB

3.2 Descrierea aplicației

3.3 Comenzi MATLAB

4. Utilitarul SIMULINK

5. Studii de caz

5.1 Sisteme de operare în timp real

5.2 Aplicație de calcul pentru curenți și tensiuni

6. Concluzii

Bibliografie

Introducere

În cadrul acestei lucrări se vor prezenta principalele facilități pe care mediul de lucru MATLAB împreună cu utilitarul SIMULINK le pune la dispoziția utilizatorilor. Se vor prezenta pe parcursul acestei lucrări exemple de procese din mediul industrial și se va vor arată modul în care aceste procese existente în mediul industrial pot să fie fie simulate utilizând acest mediu de lucru. De asemenea se vor prezenta noțiuni principale din domeniul teorie sistemelor care sunt utile pentru înțelegerea modului în care un proces din mediul înconjurător poate să fie modelat și simulat utilizând mediul de lucru MATLAB împreună cu utilitarul SIMULINK.

Această lucrare este împărțită în mai multe capitole, fiecare capitol având la rândul său alte subcapitole. Ordinea în care sunt aranjate informațiile prezentate în cadrul acestor subcapitole este aleasă în așa fel încât cititorul să poată să își facă o idee despre modul în care un proces existent în mediul înconjurător poate să fie modelat obținânduse astfel o reprezentare matematică pentru acel proces. Pe baza acestei reprezentări matematice, folosind mediul de lucru MATLAB împreună cu utilitarul SIMULINK se vor putea realiza simulări care să ofere date despre modul în care procesul studiat se răspunde la anumiți stimuli.

Tema lucrării

Tema acestei lucrări este reprezentată de prezentarea unei modalități prin care se pot studia procese industriale din mediul înconjurător. Prin studiul uneui proces industrial din mediul înconjurător se înțelege simularea acestui proces utilizând un calculator. Pentru a face legătura între procesul real și calculatorul pe care acesta va fi studiat este necesar să se creeze un model matematic pentru procesul studiat. Acest model matematic poate să fie folosit și implementat pe un calculator unde pe baza unuor anumite semnale de intrare tipizate aplicate la intrarea acestui model matematic se vor putea obține un set de date de ieșire, date care reprezintă modul în care sistemul studiat s-ar comporta în realitate.

Pentru a se putea realiza un model matematic pentru un anumit proces din tehnică care este studiat, este nevoie de diverse cunoștiinte din mai multe domenii cum ar fi domeniul automaticii, domeniul informaticii, domeniul matematicii, domeniul de filtrări de semnale, prelucrare și interpretarea a datelor precum și multe alte domenii anexe. În cadrul acestei lucrări de licență se vor prezenta care sunt etapele care trebuiesc să fie implementate pentru a se putea realiza un proces de simulare al unui proces industrial dintr-un anumit mediu de lucru.

În prima parte a acestei lucrări de licență se vor prezenta noțiuni referitoare la domeniu automaticii, noțiuni referitoare la sisteme automate și noțiuni referitoare la la modele matematice. Acest lucru este necesar pentru a se putea înțelege modul în care un proces din mediul industrial poate să fie simulat utilizând un calculator. Fără a avea cunoștiințe despre acest domeniu, este aproape imposibil să se realizeze o identificare și o modelare corectă a unui proces din mediul industrial. Fără a se dispune de un model valid al procesului studiat, nu se v-a putea să se obțină un set de date de simulare valide.

În cea de a doua parte a acestei lucrări se vor prezenta noțiuni referitoare la modul în care se poate folosi mediul de lucru MATLAB împreună cu utilitarul SIMULINK. Se vor prezenta principalele funcționalități pe care mediul de lucru MATLAB le oferă utilizatorilor, se vor prezenta cum se pot realiza simulări utilizând acest program și se v-a prezenta modul în care se poate folosi mediul de lucru SIMULINK pentru a putea să se implementeze o simulare a unui proces industrial din mediul înconjurător.

În cea de a treia parte a lucrării se vor prezenta câteva exemple de procese care au fost alese pentru a fi simulate utilizând mediul de lucru MATLAB împreună cu utilitarul SIMULINK. Aceste procese vor fi descrise de modelul lor matematic, care va fi identificat și după aceea va fi implementat în mediul de lucru MATLAB sau folosind utilitarul SIMULINK. Se vor prezenta datele de simulare obținute pentru procesele care au fost studiate și se vor prezenta câteva cazuri de simulare pentru a se putea evidenția utilitatea procesului de simulare. Se vor efectua anumite simulări care vor fi efectuate prin schimbarea parametrilor modelului matematic identificat, obținânduse astfel diverse răspunsuri ale sistemului studiat.

În finalul acestei lucrări se vor prezenta principalele concluzii care au fost identificate și principalele direcții de dezvoltare care au fost identificate pe baza acestei lucrări de licență.

Structura lucrării

În cadrul acestui subcapitol se va prezenta modul în care este structurată această lucrare de licență. Se va prezenta în cadrul acestui subcapitol ceea ce se dorește să se implementeze în cadrul fiecărui capitol împreună cu subcapitolele existente. Se dorește astfel să se facă o prezentare de ansamblu asupra scopului principal care este urmărit în cadrul acestei lucrări de licență și a principalelor obiective urmărite.

În cadrul capitolului 2 Noțiuni teoretice se dorește prezentarea a câtorva noțiuni de bază din domeniul automaticii.Se vor prezenta în principal noțiuni referitoare la conceptul de sistem. Se va definii noțiunea de sistem și se v-or prezenta câteva exemple din acest domeniu. De asemenea se va prezenta noțiunea de model matematic, se va explica ceea ce reprezintă modelul matematic și modul în care se poate identifica un model matematic pentru un anumit sistem dat. Tot în cadrul acestui capitol se vor prezenta noțiuni referitoare la sisteme de reglare automate. Acest lucru este foarte util deoarece mediul de lucru MATLAB împreună cu utilitarul SIMULINK permite studiul regulatoarelor pentru a identifica parametrii optimi folosiți pentru acordarea acestora.

În cadrul capitolului 3 Mediul de lucru MATLAB se vor prezenta principalele facilități pe care mediul de lucru MATLAB le oferă. Se vor prezenta funcțiile pe care acest program le oferă utilizatorilor și se vor prezenta exemple practice care pot să fie implementate utilizând acest program.

În cadrul capitolului 4 Utilitarul SIMULINK se vor prezenta principalele facilități pe care acest utilitar le oferă utilizatorilor precum și modul de lucru care trebuie folosit pentru a puta utiliza acest utilitar. Se vor prezenta de asemena exeple practice care pot să fie implemetate folosind aces utilitar.

În cadrul capitolului 5 Studii de caz se vor prezenta câteva exemple din mediul tehnic, exemple de procese care pot să fie simulate din punct de vedere funcțional utilizând mediul de lucru MATLAB împreună cu utilitarul SIMULINK. Pentru aceste procese se va oferi o descriere din punct de vedere tehnic, după care se va identifica modelul matematic al acestor procese, model care va fi utilizat în simulare. Primul exemplu semnificativ care a fost implementat este reprezentat de suspensia unui automobil. Se va construi un model matematic plecând de la modul de funcționare a suspensiei unui automobil, după care se va folosi acest model matematic pentru a se putea simula modul de funcționare a suspensiei unui automobil utilizând mediul de lucru MATLAB. Cel de al doilea exemplu semnificativ se refera la calcularea valorilor pentru curenți și pentru tensiuni din secundarul unui transformator.

În cadrul capitolului 6 Concluzii se vor prezenta principalele concluzii care au fost identificate pe parcursul acestei lucrări de licență. Se vor recapitula care sunt principalele etape care sunt necesare pentru realizarea unei simulări a unui proces din mediul industrial și se vor prezenta principalele direcții de dezvoltare ale acestei lucrări de licență.

Noțiuni teoretice

În cadrul acestui capitol se dorește prezentarea a două noțiuni principale considerate representative pentru acest proiect de licență și anume conceptual de sistem de reglare automata și conceptual de model mathematic al unui proces. Acest concept fundamentale sunt vitale pentru a putea să se folosească mediul de lucru MATLAB împreună cu utilitarul SIMULINK la adevărata lor valoare.

Sisteme de reglare

Pentru început vom defini noțiunea de sistem. Un sistem reprezintă un ansamblu de elemente interconectate între ele, care are ca și scop prelucrarea informației. Această definitie generală înglobează orice proces din mediul înconjurător și sugerează faptul că orice proces din mediul înconjurător poate să fie modelat sub forma unui sistem informațional.

Plecând de la această definiție generală, în continuare o vom dezvolta. Pentru o mai bună înțelegere să considerăm situația din figura 2.1. Observăm că un sistem la modul cât mai general posibil poate fi privit ca și un „black-box” adică ca și o cutie neagră despre care nu se cunosc informașii la început, care admite una sau mai multe mărimi de intrare și una sau mai multe mărimi de ieșire la intrările respective la ieșirile sale. Mărimile de intrare în sistem sunt notate în general cu U (acesta poate fi un scalar sau un vector), iar mărimile de ieșire din sistem sunt notate în general cu Y (care poate fi și el un scalar sau un vector). Sistemele care admit o singură mărime de intrare și o singură mărime de ieșire le denumim în continuare SISO (Single Input Single Output). Sistemele care admit mai multe intrări, fie ele de ieșire sau de intrare le vom denumi MIMO (Multiple Input Multiple Output).

Sistemul actionează asupra mărimilor de intrare, efectuând o prelucrare informațională asupra acestora după o anumită lege (ecuație matematică care descrie o porțiune de realitate). Această prelucrare informațională a mărimi de intrare U duce la generarea unui răspuns, răspuns notat cu Y. Se observă faptul că legea după care se realizează prelucrarea informațională este ,adică asupra mărimii de intrare se aplică un operator matematic și se generează mărimea de ieșire.

Fig 2.1.1. – sistem

Se admite în continuare faptul că notațiile U și Y din figura 2.1.1 definesc două funcții de timp . Dacă mulțimea în care cele două funcții U și Y pot lua valori este infinită, spunem că avem de a face cu un sistem în timp continu, iar dacă mulțimea în care cele două funcții U și Y pot lua valori este o mulțime numărabilă, atunci spunem că avem de a face cu un sistem în timp discret. Astfel că putem formula o primă modalitate de clasificare a sistemelor și anume: sisteme cu timp continu și sisteme cu timp discret. În cadrul proceselor de simulare se folosesc atât procese în timp continu cât și procese în timp discret depinde de aplicația studiată.

În continuare vom defini noțiunea de funcție original care este folosită foarte des în domeniul teoriei sistemelor. Se numește funcție original o funcție care satisfice următoarele condiții:

este derivabilă pe porțiuni.

.

Se admite faptul că cele două funcții U și Y adică funcția de intrare respective funcția de ieșire a sistemului sunt funcții original. Pentru a descrie funcția care efectuează o prelucrare matematică asupra mărimii de intrare, în domeniul automaticii se folosește noțiunea de funcție de transfer care reprezintă practice o descriere a modului în care sistemul prelucrează mărimea de intrare în sistem.

Cele două funcții (U și Y) pot să fie definite în timp continu sau în timp discret. Pentru aceste două cazuri se pot opera diferiți operatori matematici care să aducă expresia acestor două funcții matematice la o formă în care se poate lucre mai ușor cu acestea. Daca U și Y sunt funcții original definite în timp coa de funcție de transfer care reprezintă practice o descriere a modului în care sistemul prelucrează mărimea de intrare în sistem.

Cele două funcții (U și Y) pot să fie definite în timp continu sau în timp discret. Pentru aceste două cazuri se pot opera diferiți operatori matematici care să aducă expresia acestor două funcții matematice la o formă în care se poate lucre mai ușor cu acestea. Daca U și Y sunt funcții original definite în timp continu atunci asupra lor se poate aplica transformata Laplace ( ), iar dacă cele două funcții sunt definite în timp discret asupra lor se poate aplica transformata Z (transformata Laplace discretă).

Fie și imaginile operaționale ale lui U și Y obținute prin aplicarea tranformatei Laplace pentru sistemele cu timp continu sau a tranformatei pentru sistemele în timp discret, unde pentru sisteme în timp continu și pentru sisteme cu timp discret. Acestă variabilă reprezită o variabilă unificată pentru cele două tipuri de sisteme.

Dacă in plus se consideră că sistmul din figura 2.1 este de tip SISO atunci putem spune că funcția de transfer a sistemului din figura 2.1 se definește ca și raportul dintre imaginea operațională a mărimii de ieșire și imaginea operațională a mărimii de intrare [Dra1] .

.

Pentru sistemele de tip MIMO, este o matrice care arată modul în care fiecare mărime de intrare influențează fiecare mărime de ieșire. În cadrul acestei lucrări se va prezenta doar partea teoretică referitoare la sistemele de tip SISO.

Pentru a exemplifica în mod practic noțiunea de sistem și funcție de transfer să considerăm cazul unei mașini. Se presupune că mașina poate să se deplaseze cu o viteză între 0 și 100 km/oră. Pedala de accelerația a mașinii se consideră ca poate să deplaseze cablus de accelerație pe o distanță de 0,1 m. Deplasarea cablului este direct proportional cu viteza de deplasare a mașinii. Aceste date nu sunt reale, se presupune aceasta doar pentru a exemplifica conceptul de sistem. De asemenea se consideră ca și ipoteză faptul că motorul mașinii re o caracteristică statică de funcționare liniară.

Considerăm mașina ca și un black-box, ne interesează viteza sa de deplasare. Modul în care se mașina se deplasează este dictat de modul în care cablul de accelerație se deplasează. Cu cât această deplasare este mai mare,mai apropiată de 10 cm , cu atât mai tare se va deplasa mașina. De asemenea considerăm ca modelul mașina este un model ideal, asupra căruia nu acționează nicio perturbație.

Având în vedere considerentele de mai sus, considerăm ca și mărime de intrare în acest sistemdeplasarea cablului, iar ca mărime de ieșire viteza curentă. Existând o dependență lineară între deplasarea cablului de accelerație șiviteză, considerăm faptul că mărimea de intrare și cea de ieșire sunt de tip semnal treaptă: respectiv . Transformatele acestor semnale de intrare în domeniul operațional sunt: iar . De aici deducem faptul că funcția de transfer a sistemului este: . Pentru valori cunoscute ale celor doi coeficienți (spre exemplu valorile din capătul intervalului de variație și obținem , adică . În cazul de față funcția de transfer a sistemului studiat este o constantă.

Cunoscând această funcție de transfer se poate calcula ieșirea sistemului pentru o valoare dată a semnalului de intrare. Spre exemplu considerăm un semnal de intrare de urmatoarea formă: . Dacă se dorește să se determine mărimea de ieșire pentru această valoare a mărimii de intrare ne folosim de formula: . Pentru cazul de față : , efectuând simplificarea obținem pentru mărimea de ieșire în domeniul operațional valoarea . Dacă efectuam o transformare Laplace inversă, obținem viteza cu care se va deplasa mașina și anume 50 km/h.

Cazul de mai sus este un caz ideal, în care există multe ipoteze simplificatoare, în care perturbațile nu influențeaza deloc viteza de deplasare a mașinii. În practică acest lucru nu se poate întâmpla deorece există neliniarități, modelul matematic nu este identificat cum trebuie sau există perturbații care acționează asupra mașinii.

Pentru a rezolva această problemă se folosește un sistem de conducere automat în circuit închis care se mai numește în literatura de specialitate și sistem de reglare automat. Acest sistem de conducere în circuit închis are rolul de a elimina efectul perturbaților asupra sistemului. Schema bloc a unui sistem de conducere în circuit închis este prezentată în figura 2.1.2.

Fig 2.2.-sistem de reglare automat

În figura 2.1.2 este prezentat un sistem de reglare automat. Acesta este compus din regulator notat cu R (denumit în alte lucrări dispozitiv de conducere) care are rolul de a genera pe baza unei legi de reglare o mărime de comandă pentru procesul condus, procesul condus care este notat cu P care este reprezentat prn modelul matematic al procesului real, elementul de execuție EE care amplifică și adaptează comanda provenită de la regulator la cerințele procesului condus, elementul de măsură notat cu EM care este folosit pentru a măsura ieșirea sistemului (este reprezentat în realitate de traductoare) și mărimea perturbatoare. Acest sistem de reglare automat are un mod de funcționare bine determinat.Se dorește să se impună valoarea mărimii de ieșire Y. Pentru aceasta trebuie să impunem la intrarea sistemului o mărime de comandă U care va genera la ieșirea Y valoarea dorită. Se poate întâmpla ca valoarea ieșirii Y să difere de valoarea care se dorește a fi impusă dar sistemul de reglare automat corectează mărimea de ieșire a sistemului în permanență.

Sistemul de reglare automat, măsoară în permanență valoarea mărimii de ieșire Y prin intermediul elementului de măsura (EM) obținîndu-se astfel valoarea măsurată notată cu Ym. Elementul de măsură este de obicei un element de tip proporțional și are caracteristică liniară. Se poate întâmpla uneori să se utilizeze în mod voit un element de măsură cu caracteristică neliniară. Această valoare notată cu Ym este folosită pentru a se urmării evoluția procesului de către regulator, care pe baza ei calculează eroarea de reglare e, definită ca și diferența dintre mărimea de comandă U și valoarea ieșirii măsurate. Această eroare de reglare (e) este introdusă la intrarea regulatorului și pe baza ei se calculează mărimea Ur. Mărimea de ieșire din regulator se aplică la intrarea elementului de execuție .Elementul de execuție va adapta și scala mărimea de comandă Ur la valoarea cerută de proces. El poate fi văzut ca și un bloc amplificator care face legătura între regulator și proces. La ieșirea sa este generată mărimea Up care comandă evoluția procesului.

Perturbația notată in cazul de fată cu V acționează de regulă asupra procesului condus. Perturbațiile pot afecta întregul proces sau doar anumite părți ale procesului condus. De asemenea ele pot afecta și elementul de măsură. Există două tipuri principale de perturbații: perturbații de tip sarcină și perturbații parazite. Perturbațiile nu acționează într-un mod cunoscut asupra procesului, ele pot fi modelate sub forma unor semnale dar care nu sunt cunoscute în totalitate. Perturbațiile pot să acționeze și asupra regulatorului, în funcție de tehnologia în care acesta este realizat. De asemenea apariția perturbaților poate fi dependentă și de regimul în care funcționează sistemul.

Sistemul de reglare automat din figura 2.1.2 are proprietatea că elimină efectul acestor perturbații necunoscute. Perturbația V modifică valoarea ieșirii sistemului și anume Y. Această modificare a ieșirii este măsurată de către elementul de măsură generându-se astfel mărimea măsurată Ym care include în componența sa și efectul perturbației asupra sistemului. Pe baza lui Ym se calculează eroarea de reglare e. În acest mod perturbația ajunge să fie resimțită la intrarea regulatorului, care încearcă să crească sau să scadă mărimea de comandă de la ieșirea sa, compensând astfel mărimea perturbatoare.

Sistemul de reglare automat, reușește să mențină ieșirea sistemului la valoarea dorită datorită reacției negative. Reacția negativă (diferența dintre valoarea de referință și ieșirea măsurată) are rolul de a se opune tendinței de modificare a ieșirii de la valoarea impusă prin mărimea de comandă U sub acțiunea perturbației. Cu cât se va abate ieșirea Y mai mult față de valoarea impusă sub acțiunea perturbației V, cu atât mai tare regulatorul (R) va compensa mai tare efectul perturbației V menținând ieșirea Y a sistemului la valoarea dorită.

Modele matematice

În cadru acestui subcapitol se vor prezenta câteva noțiuni referitoare la conceptual de model mathematic al unui proces. Se va prezenta modurile în care se pot definii modele matematice și se va prezenta principalul mod de clasificare a modelelor matematice folosit în domeniul teoriei sistemelor.

Un model matematic este reprezentat de un set de ecuații diferentiale care au ca și scop descrierea unui process din mediul înconjurător. Aceste ecuații diferențiale definesc modul în care un sistem prelucrează informația de intrare și o transformă în informație de ieșire pe baza unei funcții pe care sistemul studiat o implementează. Modelul matematic al sistemului are ca și scop final descrierea modului în care un sistem fizic real reacționează la un semnal de comandă U(t) generând la ieșirea sa mărimea Y(t). Acest lucru este util pentru a se putea studia modul în care un sistem reacționează la un semnal de intrare.

Există doua mari tipuri de modele matematice folosite în domeniul automaticii și a teoriei sistemelor pentru a descrie această relație de interdependență intrare-ieșire și anume: modele matematice intrare – ieșire și modele matematice intrare – stare – ieșire. În continuare se vor prezenta pe scurt aceste două modele matematice pentru a se clarifica care este diferența dintre ele și pentru a se înțelege modul în care fiecare dintre modele descrie realitatea.

Modelul matematic intrare – ieșire redă dependența dintre o ieșire și totalitatea semnalelor de intrare (în cazul în care sitemul are mai multe intrări, adică este de tip MIMO) care contribuie la generarea acestei mărimi de ieșire. La un moment dat de timp notat cu t, se poate calcula valoarea unei mărimi de ieșire pe baza unei ecuații diferențiale care depinde de evoluția curentă a mărimii de intrare și de evoluțile de la momente de timp anterioare ale intrării. Modelul matematic intrare – ieșire poate fi caracterizat în timp continu sau în timp discret. Ecuația matematică pentru cazul timpului continu este descrisă de relația de mai jos:

-condiții inițiale

În această ecuație parametrul m reprezintă ordinul de derivare al mărimii de intrare și reprezintă ordinul de anticipare a sistemului. Parametrul n reprezintă ordinul de derivare al mărimii de ieșire și reprezintă ordinul sistemului. Parametrul n este o măsura care ne indică detalii despre inerția sistemului. În practică se întâlnesc doar situați în care n > m. Pentru situația în care n > m spunem că sistemul este strict cauzal. În calculele matematice se mai folosește situația când n=m, situație în care se spune despre sistem că este la limita de cauzalitate. Nu există sisteme reale care să pentru care m>n caz în care se spune despre sistem că are caracter anticipativ. Acest lucru este usor de înțeles deoarece nici un sistem fizic nu poate reacționa inaintea aplicării la intrarea acestuia a unui semnal de comandă.

Un model matematic intrare – stare – ieșire descrie dependența dintre intrări și ieșiri prin intermediul unor mărimi intermediare prezente în sistem denumite mărimi de stare. Intrările de la un anumit moment de timp t, acționează asupra mărimilor de stare ale sistemului, acestea modificându-și valoarea. Odată cu această modificare a valorilor pentru mărimile de stare a sistemului studiat, are loc și o modificare a mărimilor de ieșire, mărimi caredepind în mod direct de mărimile de stare ale sistemului. Variabile de stare sunt mărimi care au proprietatea că variază continu în timp și descriu procese de acumulare de energie.

Modelele matematice intrare – stare – ieșire pot fi caracterizate în timp continu și în timp discret. Forma generală a unui model matematic intrare – stare – ieșire de tip MIMO în timp continu cu m intrări, n stări și p ieșiri este prezentată mai jos:

În acest sistem avem ecuații matematice care determină starea și ecuații matematice care determină ieșirea sistemului. Ecuațile de stare sunt însoțite și de condiții inițiale notate cu . Notațile A,B,C,D semnifică matrici: A(n,n) – matricea sistemului, rangul său determină ordinul sistemului, B(n,m) – matricea de intrare, C(p,n) – matrice de ieșire, D(p,m) – matrice de interconexiune între intrări și ieșiri. Sistemul de față este unul aflat la limita de cauzalitate deoarece există matricea D, care face ca o variație a mărimii de intrare să se transmită direct asupra ieșirii.

Mediul de lucru MATLAB

În cadrul acestui capitol se vor prezenta principalele facilități pe care mediul de lucru MATLAB le pune la dispoziția utilizatorilor. Se vor prezenta câteva dintre aceste facilități și se vor exeplifica unele dintre aceste facilități pentru o mai bună înțelegerea a funcționalităților pe care acest program le oferă.

Programul MATLAB este o aplicație care permite utilizatorilor realizarea de simulari numerice, printarea de grafice, posibilitatea de prelucrare a semnalelor numerice sau posibilitatea implementării și simulării algoritmilor de conducere pentru un anumit proces din mediu înconjurător. Aces proces de prelucrare a semnalelor numerice și de simulare a algoritmilor și a strategiilor de comandă este utilizat pentru diverse domenii de la domenii industriale, prelucrarea de mașini, domeniul didactic, continuând cu domeniul telecomunicațiilor și al procesării de semnal și încheind cu simulări complexe din domeniul medicinei. De asemenea pentru a putea prezenta datele de simulare într-o variantă care să poată să fie ușor înțeleasă de către utilizatori, programul MATLAB pune la dispoziția utilizatorilor unelte care permit crearea de grafice și de reprezentări grafice.

Programul MATLAB vine în pachet cu o serie de alte utilitare care pot fi folosite pentru diverse aplicații. Aceste utilitare se mai numesc și Toolboxuri, adică sunt niște unelte care permit efectuarea de operații. Dintre aceste utilizate se amintesc ca și exemplu utilitarul SIMULINK care este utilizat pentru simularea sistemelor infomaționale sau utilitarul care permite simularea rețelelor Petri.

Aceste utilitare au fost construite pentru a extinde domeniul de aplicabilitate al acestui program, pentru a putea să se rezolve probleme variate care există în domeniul tehnic, în domeniu didactic sau în oricare alt domeniu existent din natură. În cadrul acestei lucrări se va face o scurtă prezentare a utilitarului SIMULINK care este folosit în studiul sistemelor informaționale și a strategiilor de conducere. Se vor prezenta în cadrul acestei lucrări principalele facilități pe care utilitarul SIMULINK le oferă utilizatorului și se vor prezenta câteva exemple semnificative și considerate exemple de bază care vor pune în evidență modul în care utilitarul SIMULINK poate să fie folosit.

Lansarea în execuție a programului MATLAB

Lansarea în execuție a programului MATLAB se face fie accesând icoana programului care este situată în bara de start a sistemului de operare Windows, fie prin accesarea scurtăturii plasate pe desktop. După lansarea în execuție, programul MATLAB, se va deschide o fereastră principală a programului. Această fereastră reprezintă defapt terminalul de comandă al aplicației MATLAB( se mai folosește termenul de linie de comandă).

Linia de comandă a aplicației MATLAB are ca și prompter simbolul >>. După acest simbol se pot scrie anumite comenzi care vor fi executate de către aplicația MATLAB. Se pot deschide utilitare din lina de comandă, se pot rula comenzi, se pot crea anumite variabile și vectori, se pot face chiar și anumite inițializări pentru anumite variabile din linia de comandă a aplicației MATLAB.

Spre exemplu se consideră comanda următoare: >> vector = 0 : 5 care va avea ca și rezultat crearea unei variabile denumită vector, afișând cele 6 elemente ale vectorului denumit vector, de la v[1]=0 la v[6]=6. Acest vector definit este un vector de tip linie, adica are o singură linie și mai multe coloane. În cadrul aplicașiei MATLAB se pot defini atât vector de tip linie, cât și vectori de tip coloană și vectori multidimensionali adică vectori care au mai multe linii și mai multe coloane.

Cu toate că linia de comandă a acestui program permite realizarea de programe complexe, o altă facilitate pe care programul MATLAB o oferă utilizatorului este reprezentată de fișierele pe care acesta le poate crea. Aceste fisiere reprezintă niște fișiere speciale care îndeplinesc anumite funcționalități, care pot să stocheze date folosite pentru anumite inițializări sau care pot să conțină definiții de funcții. Pentru acest tip de fisiere se folosește denumirea de fisiere M și se deosebesc foarte simplu de celelalte fișiere existente într-un calculator prin faptul că au extensia .m .

Cel mai des vom întâlnii în acest tip de fișiere definiții de funcții.O astfel de funcție poate să fie definită, poate să aibă un set de parametrii de intrare ai ei și poate să returneze un set de date de ieșire. Funcțiile sunt defapt blocuri de comenzi grupate împreună și care au ca și scop preucrarea infomațională a unui set de variabile de intrare returnând un rezultat sub forma unui set de varibile de ieșire. Prima linie a unui fișier de tip funcție conține cuvântul “function" fapt care ne indică informația că acel fișier poate să lucrere cu argumente. La terminarea execuției unei funcții, în memoria calculatorului nu rămân decât variabilele de ieșire ale acesteia.

Descrierea aplicației

În cadrul acestui subcapitol se vor prezenta principalele ferestre pe care utilizatorul le va folosi atunci când va lucra cu aplicația MATLAB. Acest lucru este foarte util deoarece va aduce o trecere în vedere a noțiunilor esentiale pe care utilizatorul trebuie să le aibă pentru a putea să lucreze cu această aplicație.

La lansarea în execuție a programului MATLAB se va deschide fereastra de lucru prezentată mai jos în figura 3.2.1. În cadrul acestei figuri se prezintă principalele zone ale ferestrei aplicaiei MATLAB. Aici se pot observa cele trei zone principale existente și anume zona care conține bara de meniuri, zona care conține bara de comenzi și zona care conține terminalul de comandă al aplicației MATLAB:

Fig 3.2.1 – Fereastra de comenzi a MATLAB-ului

Selecția unei comenzi din bara de meniuri sau din bara de comenzi se poate face cu mouse-ul sau cu ajutorul săgeților, prin deplasarea zonelor active sau prin tastarea literei(care reprezintă defapt o scurtătură) marcate în fiecare subcomandă. În momentul în care se efectuează un proces de selecție a unei opțiuni din bara de meniuri se deschide fereastra ilustrată în figura 3.2.2.

Fig 3.2.2 – Selectarea unei opțiuni

După cum s-a arătat în cadrul subcapitolului anterio în cadrul acplicației MATLAB se poate opera cu fișiere de tip .m. Deschiderea sau crearea unui astfel de fisier se poate face di bara de meniuri. Acest lucru este ilustrat mai jos in figurile 3.2.3 unse se prezintă modul în care se poate crea un nou fișier respectiv în figura 3.2.4 unde se prezintă modul în care se poate deschide un astfel de fișier care deja este creat.

Fig 3.2.3 – Crearea unui fișier cu extensia .m

Fig 3.2.4 – Deschiderea unui fișier cu extensia .m

Tot din bara de comenzi se pot seta anumite comenzi referitoare la formatul de afisare, fonturi și alte opțiuni printre care se numără și operașia de selectare și operație de copiere. Acesta opținue de selectare a preferințelor dorite de către utilizator este ilustrat mai jos în figura 3.2.5 .

Fig 3.2.5 – Fereastră selectare preferințe utilizator

Pentru prezentarea datelor într-o formă grafică se poate folosi în matlab o fereastră care permite acest lucru. În cazul în care se dorește vizualizarea mai multor date simultan, se pot deschide mai multe instanțe ale acestei ferestre, fiecare fereastră prezentând doar un anumit set de date în cadrul său. Deschiderea acestei ferestre se face în din bara de meniuri, din meniul File se selectează New apoi Figure. Această fereastră este prezentată mai jos în figura 3.2.6. Se poate observa faptul că și această fereastră permite anumite setări.

Figura 3.2.6 Fereastra reprezentări grafice împreună cu opțiunile sale

Comenzi MATLAB

Anumite sisteme de operare sau anumite program sunt case sentive, adică se face diferența între instrucțiunile și cmenzile scrise cu litere mari sau cu litere mici. Matlab este o aplicație care este case sensitive in mod implicit dar se poate seta ca să se suprime acest mod de funcionare.

Din punct de vedere ale creării fișierelor de tip script, se recomandă să se utilizeze pentru denumirea funcțiilor nume care încep cu literă mică. Aceasta este singura restricție majoră de care trebuie să ținem cont în momentul în care scriem un fișier de ti script.

În continuare se vor prezenta câteva comenzi principale existente în cadrul liniei de comandă și care pot să fie folosite în cadrul fișierelor de tip funcție. De asemenea sunt prezentate și principalele comenzi care sunt folosite pentru a realiza reprezentări grafice pentru un anumit set de date. Comenzile cela mai importante sunt:

cd folosită pentru a specifica directorul curent de lucru.

dir furnizează conținutul directorului curent de lucru.

dir cale afișează conținutul directorului specificat prin parametrul cale

who afișează variabilele din memorie;

whos afișează variabilele, dimensiunile lor, precum si tipul de date ale acestor (reale sau complexe).

what listeaza doar fișierele M, MAT si MEX din directorul curent de lucru, lucru foarte util atunci când se dorește să se vizualizeze doar fișierele de cu care se lucrează în MATLAB.

Pentru ajutor se folosește comanda help,sau help urmat de denumirea funcției despre care se doresc a fi aflate informații.

Comentariile se fac prin utilizarea simbolului %.

zeros(n,m) este comanda folosită pentru a creea o matrice cu n linii și m coloane ale cărei elemente vor fi inițializate cu 0. De asemenea se pot crea și matrice de tip linie respectiv matrice de tip coloană utilizând această comandă.

ones(n,m) este comanda folosită pentru a creea o matrice cu n linii și m coloane ale cărei elemente vor fi inițializate cu 1. De asemenea se pot crea și matrice de tip linie respectiv matrice de tip coloană utilizând această comandă.

eye(n) comandă folosită pentru a crea o matrice patratică cu n linii și n coloane ale cărei elemente de pe diagonala principală sunt inițializate cu 1.

plot comandă folosită pentru afisarea de grafice. Această comandă poate să primească anumiți paramtri de intrare.

plot (y) comandă folosită pentru a printa pe ecran datele conținute în vectorul primit ca și parametru și anume vectorul y.

plot (x,y) reprezintă vectorul y funcție de vectorul x. În funcție de tipul variabilelor de intrare x și y adică în funcție de dimensiunea acestor doi vectori pot exista mai multe situații practice. Dacă x este vector, iar y este matrice, atunci coloanele lui y sunt trasate în funcție de vectorul x, rezultatul fiind reprezentarea mai multor grafice în aceeași fereastră grafică. Dacă x și y sunt matrice de aceeași dimensiune, atunci se reprezintă coloanele lui y în funcție de coloanele lui x.

plot (x,y,’l’) ’l’ fiind un set de caractere care descriu modul în care va arăta graficul trasat.

plot (x1,y1,x2,y2,…) reprezintă simultan mai multe grafice, în același sistem de coordonate. Aceste grafice vor apărea suprapuse și vor avea altă culoare pentru fiecare pereche x,y.

loglog comandă folosită pentru a face repreznetări de grafice utilizând axe care au coordonate logaritmice

semilogx comandă utilizată pentru a face reprezentări de grafice care au doar pe axa x valori în scară logaritmică

semilogy comandă utilizată pentru a face reprezentări de grafice care au doar pe axa y valori în scară logaritmică

Pentru reprezentarea graficelor în coordonate liniare se utilizează funcția plot.

Funcția plot se apelează cu una din sintaxele:

stem(y) trasează un grafic în timp discret pentru valorile vectorului y

stem(x,y) trasează un grafic în timp discret cu linii terminate cu cerculeț, cu locațiile specificate de vectorul x.

stem(x,y‚’l’) este exact același lucru ca și în cazul funcției plot, doar că această funcție se folosește pentru trasarea graficelor în timp discret.

title(‘descriere’) comandă folosită pentru a specifica care este titlul unui anumit grafic generat spre exemplu tuilizând funcția plot.

xlabel(‘descriere’) este folosită pentru a adăuga o etichetă pe un grafic generat pe axa specificată în numele comenzi. În acest fel se pot adăuga anumite unități de măsură pe axa respectivă

ylabel(‘text’)

grid on generează o rețea de tip matrice pe reprezentarea grafică. Acest lucru este util pentru o mai bună apreciere a valorilo grafice

grid off dezactivează rețeaua de tip matrice generată de comanda grid on

abs funcția modul

sin funcția trigonometrică sinus

cos funcția trigonometrică cosinus

tan funcția trigonometrică tangentă

atan funcția trigonometrică cotangentă

Din punct de vedere al operațiilor care pot să fie effectuate, în continuarea acestei lucrări se vor prezenta principalele operații care pot să fie efectuate și se vor prezenta câteva exemple care ilustrează aceste operații. De asemenea se va face și o scurtă prezentare referitoare la variabilele care pot să fie definite în cadrul mediului de lucru MATLAB.

În cadrul aplicației MATLAB variabilele se crează și li se atribuiesc valori numerice prin simpla lor declarare la momentul folosirii. Astfel că o expresie de forma x=2+7 are ca și rezultat initializara unei variabile denumită x si care va avea valoarea inițială egală cu 9. În MATLAB se pot efectua asupra variabilelor operații de adunare, scădere,înmulțire, împărțire și ridicare la putere. De asemene ase pot efectua și operații referitoate la transpunere, dar acest lucru este valabil doar în cadrul matricelor de elemente. În cadrul mediulului de lucru există si numite variabile de sistem care au valori predefinite, cum ar fi spre exemplu variabila pi.

Aplicația MATLAB este capabilă să opereze și cu vectori să efectueze operații de adunare, scădere, înmulțire și respectiv împărțire a acestora atunci când dimensiunea matricelor care sunt implicate în aceste operații permite. De asemena o variabilăde tip scalar este considerată în MATLAB ca și un vector cu o linie și o coloană.

Utilitarul SIMULINK

În cadrul acestui capitol se vor prezenta câteva noțiuni introductive referitoare la utilitarul SIMULINK care vine în pachet cu aplicația MATLAB. Acest utilitar este utilizat în principal pentru simularea unui proces din mediul înconjurător. Se pleacă de la un proces existent în mediu, se identifică un model matematic care să redea comportarea sistemului studiat, iar pe baza acestui model matematic se va putea crea utilizând mediul de lucru SIMULINK o copie a procesului studiat. Asupra acestei copii a procesului studiat se vor putea realiza un set de simulări care să redea cu exactitate modul în care sistemul real se comportă atunci când la intrarea sa sunt aplicate o serie de semnale tipizate.

De asemenea utilitarul SIMULINK este utilizat pentru realizarea de simulări referitoare la modul în care funcționează un regulator care se ocupă cu conducerea unui proces. Se pot simula astfel procese de reglare complexe din mediul tehnic, reușind astfel să se studieze soluția de conducere și eventual să se furnizeze îmbunătățiri pentru această soluție de conducere.

Lansarea în execuție a mediului de lucru SIMULInk se poate face în două moduri. Se poate porni utilitarul SIMULINK din linia de comandă a programului MATLAB, tastând comanda simulink sau se poate lansa în execuție utilitarul SIMULINK prin apăsarea pe pictograma corespunzătoare acestui utilitar care este amplasată în bara de meniuri a aplicație MATLAB. După ce s-a efectuat această operațiune, se va deschide fereastra utilitarului SIMULINK care este ilustrată in mod grafic mai jos în figura 4.1.

Fig 4.1. Utilitarul SIMULINK

În figura 4.1 se obseva faptul că zona de lucru a acestei ferestre este împărțită în două. În partea stângă a acestei ferestre se pot observa toate funcționalitățile pe care utilitarul SIMULINK le pune la dispoziția utilizatorului. Aceste funcționalități sunt grupate pe categorii, în momentul când utilizatorul selectează o categorie, în partea dreaptă se vor detalia toate elementele, respectiv blocurile care alcătuiesc categoria respectivă. Această grupare a elementelor este foarte utilă deoarece are rolul de a facilita accesul utilizatorului și de a ușura procesul de căutare. Se poate observa conceptul ilustrat mai sus în figura 4.2. Se poate observa de asemenea grupurile de unelte existente, care nu vor fi detaliate în cadrul acestei lucrări de licență considerânduse faptul că utilizatorul va descoperi aceste grupuri de unelte utilizând documentația oficială pusă la dispoziție de aplicația MATLAB. În cadrul acestei ferestre se pot efectua procese de căutare după numele anumito blocuri pentru a găsi mult mai rapid blocul de care este nevoie.

Fig 4.2. Utilitarul SIMULINK- zonele ferestrei

Ca și în cazul MATLAB-ului, pentru acest utilitar se pot crea tipuri speciale de fișiere care pot să conțină scheme bloc care simulează un proces din mediul industrial. Crearea unui astfel de nou fișier se face din bara meniuri a acestei ferestre după cum se poate vedea mai jos în figura 4.3.

Fig 4.3 Crearea unui nou fișier SIMULINK

În momentul în care se crează un nou fișier SIMULINK, se deschide fereastra de editare prezentată mai jos în figura 4.4. În această fereastră se pot adăuga blocuri existente în cadrul utilitarului simulink rezultând în final o schemă funcțională. Se pot combina tot felul de blocuri, din diferite grupe pentru a obține modelul de simulare dorit.

Fig 4.4 Fereastră editare model

În figura 4.5 este ilustrat un model de sistem care a fost obținut utilizând modul de lucru SIMUNLINK. Acest model simulează comportamentul unui quadrocopter în raport cu unul dintre gradele sale de libertate(Roll, unghiul de inclinare față de planul orizontal pe una din axele sale ). Acest model redă cu exactitate modul în care acel dispozitiv de zbor se comportă. El a fost implementat pe baza modelului matematic al unui quadrocopter.

Fig 4.5 Exemplu de model SIMULINK

În cadrul acestui model de simulare, se pot seta anumiți parametrii în funcție de ceea ce se dorește să se simuleze. Acest lucru se face prin intermediul ferestrei prezentate în figura 4.6. În cadrul acestei ferestre se pot seta anumiți parametrii în funcție de simularea care se realizează, se pot seta valori pentru pasul de eșantionare folosit sau se pot seta metodele numerice folosite de simularea curentă precum și mulți alți parametrii. Această fereastră se deschide din meniul Simulation, accesând submeniul Configurations Parameters.

Fig 4.6 Fereastra de configurare

Toate cele prezentate până acum reprezintă doar o mică parte din facilitățile pe care mediul de lucru SIMULINK le pune la dispoziția utilizatorilor. Se recomandă consultarea documentației pentru a se putea folosi mediul de simulare SIMULINK în funcție de problema care se dorește a fi implementată.

Studii de caz

În cadrul acestui capitol se vor prezenta principalele studii de caz care au fost alese pentru a se prezenta modul în care un process din lumea reală poate să fie modelat utilizând aplicația MATLAB împreună cu utilitarul SIMULINK. Se va pleca de la un process real, se va construe modelul matematic pentru acel process și se vor prezenta principalele date de simularea care au fost obținute.

Suspensia unui vehicol

Sistemul de suspensie este un mecanism ce face legătura intre roti și caroseria mașinii. Sistemul de suspensie transmite uniform fortele (greutatea) ce acționează asupra vehiculului către suprafața de rulare și, în același timp, îl izolează de fortele ce apar dinspre calea de rulare, îmbunătățind astfel comfortul și manevrabilitatea acestuia.

Suspensia automobilului este destinata sa atenueze sarcinile dinamice ce se transmit de la drum, sa imprime oscilatiilor caracterul dorit si sa transmita fortele care actioneaza asupra rotilot si cadrului, precum si rolul de a asigura confortabilitatea pasagerilor si de a proteja incarcatura si organelle componentele impotriva socurilor, trepidatiilor si oscilatiilor daunatoare, cauzate de neregularitatile drumului.

Oscilatiile ce apar la trecerea automobilului peste neregularitatile drumului influenteaza calitatile tehnice de exploatare ale acestuia, in primul rand caracterul de mers lin al acestuia, calitatile de tractiune, stabilitatea, maniabilitatea si durabilitatea.

Condițiile principale pe care trebuie să le indeplinească suspensia unui automobil sunt următoarele :

Să aibă o caracteristică care asigură un comfort corespunzător , cu înclinări transversale reduse fără lovituri în tampoanele limitatoare și cu o stabilitate bună .

Caracteristica amortizorului să corespundă cu cea cerută de comfortabilitate.

Să asigure transmiterea forțelor orizontale și a momentelor reactive de la roată la caroserie .

Să aibe o durabilitate elementele elastice , care fac parte din elementele cele mai solicitate ale automobilului.

Să aibe o greutate minimă .

Pentru asigurarea unui comfort corespunzător , parametrii suspensiei trebuie să fie aleși ținănduse seama de anumite condiții și anume:Frecvența oscilațiilor proprii pentru autoturisme să fie de 50-70 oscilații pe minut.

Rigiditatea elementelor elastice a suspensiei să fie pe cât posibil mai reduse pentru a rezulta frecvențe proprii mici.

Amortizarea oscilațiilor terbuie să fie suficientă astfel încât după o perioadă amplitudinile să se micșoreze de 3 până la 8 ori.

După tipul dispozitivului de ghidare suspensiile pot fi dependente și independente dupa cum se vede in figura de mai jos:

Suspensie dependenta Suspensie independenta

Fig 5.1.1 – Tipuri de suspensii

Suspensia dependentă este caracterizată printr-o legatura rigidă intre roțile din dreapta și din stânga , iar ridicarea sau coborârea unei roți , produsă de denivelările căii , provoacă schimbarea poziției și pentru cealaltă roată. La suspensia independentă lipsește legătura directa dintre roțile automobilului iar schimbarea poziției unei roți nu influențează și cealalta roată .

Suspensia independentă prezintă față de suspensia dependentă avantajele : inbunătațirea confortului prin reducerea masei nesuspendate ; ținuta de drum mai bună deoarece deplasările roților nu se influențează reciproc ; micșorarea oscilațiilor de ruliu ale caroseriei și mărirea stabilitații automobilului .

După tipul caracteristicii elastice suspensiile pot fi : suspensii cu caracteristică liniară ( fig. A) și suspensii cu caracteristică în trepte (fig. B) sau progresivă(fig. C).

Fig 5.1.2 – Caracteristica suspensilor

Suspensia automobilelor ca si constructie este foarte variata, existand diverse tipuri de suspensie cum ar fi cele cu arcuri si elemente hidraulice, cele pe perna de aer,iar in prezent cele mai noi dintre acestea sunt suspensile electromagnetice, dar care sunt si printre cele mai scumpe.

Vom considera in continuare o suspensie formata dintr-un ansamblu arc-amortizor. Componentele acestui ansamblu au urmatorul rol: Arcul absoarbe și stochează energia rezultata din mișcarea caroseriei fata de calea de rulare(drum). Odată ce energia rezultata din mișcare este stocata în arc, prin comprimare, acesta va încerca sa elibereze energia stocata prin extensie. Acest fenomen ar produce mișcări ale caroseriei ce ar destabiliza vehiculul, făcând condusul extrem de nesigur și inconfortabil. Pentru a preveni aceste efecte, un amortizor este instalat în sistem. Principiul de functionare a amortizorului hidraulic se bazeaza pe transformarea energiei mecanice a oscilatiei in energie termica. Majoritatea amortizoarelor sunt cu dubla actiune, lucrand in ambele sensuri, si anume la apropierea rotilor de caroserie opun rezistenta mica, la departarea rotilor de caroserie opun rezistenta mai mare.

In continuare in cele doua imagini de mai jos ilustram modul in care arata un ansamblu arc-amortizor (Fig 5.1.3 ) si modul in care functioneza un amortizor cu dubla actiune (Fig 5.1.4) atunci cand se relizeaza compresia respectiv destinderea acestuia. Aceasta ilustratie ne va ajuta sa intelegem mai bine modul in care trebuie sa functioneze o suspensie.

Fig 5.1.3 – Ansamblu arc – amortizor

Fig 5.1.4 – Amortizor cu dublă acțiune

Avand in vedere toate aceste considerații facute mai sus vom incerca in cele ce urmeaza ca sa cream o reprezentare simplificata a modului de functionare a suspensiei. Pe baza acestei reprezentari folosindu-ne de legile fizicii vom incerca ca sa cream un model matematic de tipul intrare-stare-iesire(MM-ISI).

In continuare vom prezenta lucrurile intr-o maniera simplificata, luand in calcul doar principalele elemente necesarii determinarii unui model matematic simplist.

Fie sistemul din figura de mai jos (Fig 5.1.5), în care se reprezintă vehiculul de masă m1, sistemul de suspensie de masă m2 împreună cu elementele care realizează suspensia:

k1 coeficientul de elasticitate al suspensiei

k2 coeficientul de elasticitate al roții

b1 coeficientul de amortizare al sistemului de suspensie

b2 coeficientul de amortizare al roții

w perturbația cu care drumul acționează asupra suspensiei

u forța externă .

Fig 5.1.5 – Model suspensie

O suspensie de calitate trebuie să realizeze o comportare bună a vehiculului și un confort în ceea ce privește interacțiunea cu denivelările drumului. Când vehiculul este solicitat de denivelările drumului, atunci acesta nu trebuie să aibă oscilații prea mari, și în cazul apariției lor acestea trebuie să se stingă repede.

Deoarece distanța −w este greu de măsurat și deformarea cauciucurilor roților -w este neglijabilă, rezultă că vom simplifica problema utilizand distanța − ca mărime de ieșire în raport cu care vom face analiza comportării suspensiei.

În continuare scriem ecuatiile de mișcare corespunzatoare:

Pentru a obține o reprezentare în spațiul stărilor trebuie să selectăm variabilele de stare. Pe moment nu cunoaștem care este cea mai bună alegere ale acestor variabile. De aceea, vom începe prin a scrie:

In continuare vom incerca sa obtinem o reprezentare în spațiul stărilor,iar pentru aceasta trebuie să alegem variabilele de stare.

Alegem prima variabilă de stare ca fiind poziția . Deoarece derivata intrării nu apare în ecuația lui vom alege a doua variabilă de stare ca fiind A treia variabilă de stare o alegem ca fiind .

Scăzând a doua ecuație de mai sus din prima, obținem:

Integrând obținem:

Observăm că în această ecuație nu apare derivata intrării. Mai mult, deoarece .,rezultă că este exprimat numai în funcție de stările selectate până acum și de intrare. Ca atare, integrala din relația de mai sus o notăm cu .

In continuare, folosindu-ne de aceate relatie putem sa scriem:

Substituind această relație în ecuația lui :

Acum putem sa reprezentam un model matematic MM-ISI al sistemului care va avea urmatoarea forma:

Acesta reprezinta modelul matematic final de tipul MM-ISI cu ajutorul carora se vor efectua simularile. In continuare vom transpune acest model matematic intr-un program Matlab dupa cum se va vedea mai jos.Codul sursa al programului cu ajutorul caruia se va simula comportarea modelului este urmatorul cel descris mai jos.

m1=input('Dati m1=');

m2=input('Dati m2=');

b1=input('Dati b1=');

b2=input('Dati b2=');

k1=input('Dati k1=');

k2=input('Dati k2=');

A=[ 0 1 0 0;

-(b1*b2/m1*m2) 0 (b1/m1*(b1/m1+b1/m2+b2/m2)-k1/m1) -b1/m1;

b2/m2 0 -(b1/m1+b1/m2+b2/m2) 1;

k2/m2 0 -(k1/m1+k1/m2+k2/m2) 0];

B=[0 0;

1/m1 (b1*b2)/(m1*m2);

0 -b2/m2;

(1/m1+1/m2) -k2/m2];

C=[0 0 1 0];

D=[0,0];

step(A,B,C,D,1);

In continuare vom considera cateva cazuri de simulare in anumite conditii. Ne imaginam un automobile de 1200 de kg, a carui greutate este perfect distribuita pe cele patru roti ale sale. Aceasta inseamna ca fiecarei roti ii revine o grutate de 300 de kg. De asemenea consideram ca masa unei roti este de 30 de kg. Avand aceste date vom ilustra diferite simulari pentru diferiti coeficienti de elasticitate si amortizare.Pentru simularile de mai jos, vom considera ca si rezultat raspunsul la un semnal de tip treapta.

Cazul 1. Consideram ca si ipoteza simplificatoare faptul ca roata nu se deformeaza , nu este elastica si nu are astfel nici coeficient de amortizare, deci roata este perfect plastica.

In acest caz pentru m1=300 m2=30 b1=1 b2=0 k1=3 k2=0 se va obtine graficul din figura de ai jos. Se observa ca aceasta rezultatul graficului corespunde unei subamortizari, adica pentru a se stabiliza sistemul are nevoie de un interval mai mare de timp.

Fig 5.1.6 – Rezultate simulare

Cazul 2. Consideram aceeasi ipoteza simplificatoare si anume faptul ca roate este perfect plastica. In acest caz pentru m1=300 m2=30 b1=1 b2=0 k1=1 k2=0 se obtine graficul din figura de mai jos. Se observa ca in acest caz amortizarea sistemului este mai buna datorita faptului ca s-a modificat raportul coeficientiilor de elasticitate si amortizare.

Fig 5.1.7 – Rezultate simulare

Cazul 3. Consideram aceeasi ipoteza simplificatoare si anume faptul ca roate este perfect plastica. In acest caz pentru m1=300 m2=30 b1=3 b2=0 k1=1 k2=0 se obtine graficul din figura de mai jos. Se observa ca in acest caz amortizarea sistemului este si mai buna mai buna datorita faptului ca s-a modificat raportul coeficientiilor de elasticitate si amortizare, coeficientul de amortizare devenind mai mare decat cel de elasticitate.Acest caz putem sa il consideram ca fiind o “supra  amortizare’’ a sistemului.

Fig 5.1.8 – Rezultate simulare

Cazul 4. Consideram acum si coeficientul de amortizare al rotii. In acest caz pentru valorile m1=300 m2=30 b1=1.5 b2=2 k1=1 k2=1 se obtine graficul din figura de mai jos. Se observa ca in acest caz sistemul are in timp o usoara tendinta de instabilitate, existand oscilatii a caror amplitudine creste in timp.

Fig 5.1.9 – Rezultate simulare

In modelul considerat pana acum a fost considerata activa doar una din cele doua intrari ale sistemului. Daca am considera amandoua intrarile active sper exemplu pentru o valoare a parametrilor de intrare din cazul 2 adica m1=300 m2=30 b1=1 b2=0 k1=1 k2=0 s-ar obtine un grafic asemanator cu cel de mai jos.

Fig 5.1.10 – Rezultate simulare

Daca laum in considerare acum si coeficientii de elasticitate si de amortizare a rotii pentru valoarea urmatoare a parametrilor de intrare si anume m1=300 m2=30 b1=1 b2=2 k1=1 k2=1 se obtine graficul din figura de mai jos. Se observa ca in acesta caz cele doua raspunsuri ale sistemului sunt complementare putem spune, lucru observat din modelul matematic unde marimile de intrare u si w sunt in stransa legatura. 

Fig 5.1.11 – Rezultate simulare

In concluzie atunci cand se doreste proiectarea unei suspensii trebuie avut in vedere ca aceasta sa nu fie nici prea rigida, caz in care toate socurile vor fi transmise automobilului , de asemenea suspensia nu trebuie sa fie nici prea ‘’elastica’’ deoarece aceste oscilatii vor crea balans autoturismului facandu-l sa fie instabil. De asemenea trebuie tinut cont si de oscilatiile pe care corpul uman le suporta, daca nu este tinut cont de acest lucru, automobilul ar putea produce un disconfort pasagerilor.

Toate aceste date de simulare au fost obținute folosindu-se noțiunile prezentate în cadrul capitolelor introductive. S-au folosit atât concepte variate din domeniul automaticii, cât și cunoștiințe mecanice sau cunoștiințe de MATLAB. Acest exemplu arată cât de util este mediul de simulare MATLAB pentru rezolvarea acestor probleme din mediul înconjurător.

Aplicație de calcul pentru curenți și tensiuni

În cadrul acestui subcapitol se dorește generarea unui program MATLAB care să calculeze curenții și tensiunile din secundarul unui transformator de tensiune. Considerând pentru transfomatorul studiat un regim nesimetric, s-a realizat un program care calculează curenții și tensiunile existente în cadrul secundarului transformatorului. Pentru a ilustra modul de funcționare al unui transformator se consideră figura 5.2.1 de mai jos. Programul MATLAB este structurat în două părți, o parte care realizează introducerea de date, iar cea de a două parte care se ocupă de calculul tensiunii respectiv a curențiolor existenți în secundarul transformatorului.

Fig 5.2.1 – Transformator trifazat.

close all;

clear all;

Zs=0;

Zo=j*4;

Ys=[1/(j*1.258) 0 0; 0 0 0; 0 0 0];

a=exp(j*2*pi/3);

A1=[1 a a*a; 1 a*a a; 1 1 1]/3;

A2=[1 1 1; a*a a 1; a a*a 1];

I=[1 0 0;0 1 0; 0 0 1];

Ztr=[Zs 0 0; 0 Zs 0; 0 0 Zo];

A3=I+A2*Ztr*A1*Ys;

U2edio=[220; 0; 0];

U2=inv(A3)*A2*U2edio;

I2=Ys*U2;

U2=abs(U2);

I2=abs(I2);

În primele două linii se scriu instrucțiunile care șterg datele anterioare existente înaintea rulării programului. Liniile 3, 4 cuprind impedanța de scurtcircuit Zs pentru componentele directă și inversă și impedanța Zo pentru componenta homopolară. Programul calculează curenții și tensiunile în secundarul transformatorului.

Programul afișează valorile tensiunilor în secundar

U2 =

106.8022

293.4575

293.4575

și curenții:

I2 =

84.8984

0

0

Pentru modificarea datelor de intrare se vor obține alte date de ieșire.

Concluzii

În cadrul acestei lucrări s-a încercat să se facă o prezentare a generală asupra facilităților pe care mediul de lucru MATLAB împreună cu utilitarul SIMULINK le pune la dispoziția utilizatorului. Acest mediu de lucru este un tool foarte puternic pentru efectuarea de calcule complexe, simulări ale proceselor din mediul înconjurător și chiar un mediu care poate să fie folosit pentru conducerea unor procese.

Acest mediu de lucru este utilizat într-o gamă vastă de domenii care pleacă de la domeniul inginerie, continuă cu domeniu didactic, domeniul informaticii aplicate și care poate merge până la domeniul medical. Aplicația MATLAB oferă o gamă variată de facilități care pot să fie folosite pentru rezolvarea acestor probleme.

Pentru a putea să se folosească la maxim acest program, este nevoie să se dețină anumite cunoștiințe din diverse domenii. În cadrul lucrării de față s-au prezentat un set de cunoștiințe din domeniu automaticii, din domeniul teoriei sistemelor și din domeniu modelării sistemelor care sunt foarte utile pentru a putea face legătura dintre un proces fizici prezent în natură și mediul de lucru MATLAB. Pentru a putea să se simuleze acest proces utilizând mediul de lucru MATLAB, este nevoie să se identifice un model matematic pentru procesul studiat. Odată ce a fost identificat un model matematic pentru acest proces care se dorește a fi studiat se poate folosi acest model matematic în simulări pentru a se recreea comportamentul sistemului real prin intermediul unei simulări.

Procesul simulat care a prezentat un interes major este reprezentat de modelarea suspensiei unui autovehicol. S-a plecat de la un caz real existent în viața de zi cu zi și s-au parcurs toate etapele necesare pentru a putea să se obțină o simulare în MATLAB care este în concordanță cu realitatea. De asemenea s-a facut și un studiu de caz asupra rezultatelor care s-au obținut, făcându-se o comparare între acestea.

Mediul de lucru MATLAB împreună cu utilitarul SIMULINK pot să fie folosite cu succes pentru a modela realitatea care ne înconjoară, pentru a realiza calcule complexe și pentru a afișa anumite date de simulare într-o variantă grafică în care utilizatorul poate să le înțeleagă mult mai ușor.

Bibliografie

[1] The MathWorks Inc., (2011). Matlab – The Language of Tehnical Computing – Geting Started With Matlab;

[2] The MathWorks Inc., (2011). Matlab – The Language of Tehnical Computing – Using Matlab Graphics;

[3] The MathWorks Inc., (2011). Automotive Advisor Board;

[4] I. Novac, și alți, (2004). „Mașini și Acționări electrice”;

[5] Ashish Tewari, (2006). Modern Control Design with Matlab and Simulink;

[6] The MathWorks Inc., (2011). Modeling Guidelines for Code Generation;

[7] The MathWorks Inc., (2011). Simulink – Developing S-Functions;

[8] The MathWorks Inc., (2011). Simulink – Getting Started Guide;

[9] The MathWorks Inc., (2011). Simulink – Graphical User Interface;

[10] The MathWorks Inc., (2011). Simulink – References;

[11] The MathWorks Inc., (2011). Simulink – User’s Guide;

[12] Ion Boldea, (2006). „Transformatoare și Mașini electrice”;

[13] Toma Leonida Dragomir. Teoria sistemelor I. Timișoara, 2012-2013.

[14] Toma Leonida Dragomir. Teoria sistemelor II.Timișoara 2012-2013.

Bibliografie

[1] The MathWorks Inc., (2011). Matlab – The Language of Tehnical Computing – Geting Started With Matlab;

[2] The MathWorks Inc., (2011). Matlab – The Language of Tehnical Computing – Using Matlab Graphics;

[3] The MathWorks Inc., (2011). Automotive Advisor Board;

[4] I. Novac, și alți, (2004). „Mașini și Acționări electrice”;

[5] Ashish Tewari, (2006). Modern Control Design with Matlab and Simulink;

[6] The MathWorks Inc., (2011). Modeling Guidelines for Code Generation;

[7] The MathWorks Inc., (2011). Simulink – Developing S-Functions;

[8] The MathWorks Inc., (2011). Simulink – Getting Started Guide;

[9] The MathWorks Inc., (2011). Simulink – Graphical User Interface;

[10] The MathWorks Inc., (2011). Simulink – References;

[11] The MathWorks Inc., (2011). Simulink – User’s Guide;

[12] Ion Boldea, (2006). „Transformatoare și Mașini electrice”;

[13] Toma Leonida Dragomir. Teoria sistemelor I. Timișoara, 2012-2013.

[14] Toma Leonida Dragomir. Teoria sistemelor II.Timișoara 2012-2013.