Probleme de zic a [626678]

Probleme de ¯zic¸ a
Emil Petrescu Viorel P¸ aun
October 5, 2004

Cuprins
1 OSCILAT »II 5
1

Capitolul 1
OSCILAT »II
PROBLEMA 1.1 Cunosc^ and vitezele v1» siv2ce corespund elonga-
t »iilor x1» six2ale unui oscilator armonic, s¸ a se determine amplitudinea » si
perioada oscilat »iilor acestuia.
SOLUT »IE
Din expresiile elongat »iei x1» si a vitezei v1
x1=Asin(!t1+')
v1=!Acos (!t1+')
rezult¸ ax1
A= sin ( !t1+') (1.1)
v1
!A= cos ( !t1+') (1.2)
Prin ^ ³nsumarea p¸ atratelor expresiilor 1.1 » si 1.2 rezult¸ a:
x2
1
A2+v2
1
!2A2= 1 (1.3)
^In mod analog, se obt »ine relat »ia dintre elongat »ia x2» si viteza v2:
x2
2
A2+v2
2
!2A2= 1 (1.4)
5

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 6
/G41 /G6D /G31 /G6B/G32 /G6B /G46/G72/G4F
Figura 1.1: Resoarte legate ^ ³n serie
Din sistemul format din relat »iile 1.3 » si 1.4 rezult¸ a pulsat »ia
!=s
v2
2¡v2
1
x2
1¡x2
2
» si amplitudinea
A=s
x2
1v2
2¡x2
2v2
1
v2
2¡v2
1
Perioada oscilat »iilor este
T=2¼
!= 2¼s
x2
1¡x2
2
v2
2¡v2
1
PROBLEMA 1.2 O mas¸ a meste legat¸ a de un punct fix Oprin
intermediul a dou¸ a resorturi cu constantele elastice k1» sik2montate ^ ³n
serie, apoi ^ ³n paralel. S¸ a se determine ^ ³n fiecare caz perioada micilor
oscilat »ii.
SOLUT »IE
a) Cazul resoartelor legate ^ ³n serie (Fig. 1.1)
Se noteaz¸ a cu x1» six2deplas¸ arile punctului A » si a masei mdin pozit »iile
lor de echilibru. Aceasta ^ ³nseamn¸ a c¸ a deformarea celui de-al doilea resort
este: x2¡x1.
Ecuat »ia de mi» scare a masei meste:
m::x2=¡k(x2¡x1) (1.5)
Deoarece tensiunea ^ ³n cele dou¸ a resoarte este egal¸ a:
k1x1=k2(x2¡x1) (1.6)

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 7
/G6D/G31 /G6B/G32 /G6B/G4F
Figura 1.2: Resoarte legate ^ ³n paralel
Se elimin¸ a x1din ecuat »iile 1.5 » si 1.6 » si se obt »ine
m::x2+k1k2
k1+k2x2= 0
Aceasta este ecuat »ia unui oscilator armonic cu pulsat »ia
!=s
k1k2
m(k1+k2)
^In acest caz perioada micilor oscilat »ii este:
T=2¼
!s
m(k1+k2)
k1k2
b) Cazul resoartelor legate ^ ³n paralel (Fig. 1.2)
^In acest caz deformarea celor dou¸ a resoarte este egal¸ a. Ecuat »ia de
mi» scare a corpului de mas¸ a meste
m::x=¡(k1+k2)x
iar perioada de oscilat »ie
T= 2¼rm
k1+k2
PROBLEMA 1.3 Un areometru (densimetru) de mas¸ a mcu di-
ametrul tubului cilindric defectueaz¸ a mici oscilat »ii verticale cu perioada
T^ ³ntr-un lichid cu densitatea ½. S¸ a se determine densitatea lichidului.

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 8
/G41 /G46/G72
/G41 /G46/G72
/G47/G72
/G47/G72/G78 /G78 /G2B/G30/G30 /G78
/G29 /G61/G29 /G62
Figura 1.3: Areometru care oscileaz¸ a ^ ³n lichid
SOLUT »IE
Asupra areometrului act »ioneaz¸ a fort »a gravitat »ional¸ a » si fort »a arhimedic¸ a.
^In Fig. 1.3 sunt prezentate dou¸ a situat »ii:
a) areometrul este ^ ³n echilibru
b) areometrul este scos put »in din pozit »ia de echilibru.
C^ and areometrul este ^ ³n pozit »ia de echilibru, FA=G, adic¸ a
¼d2
4×0½g=mg (1.7)
unde meste masa areometrului.
C^ and areometrul este scos din pozit »ia de echilibru » si este introdus mai
ad^ anc ^ ³n lichid fort »a arhimedic¸ a este mai mare dec^ at fort »a gravitat »ional¸ a.
Rezultanta celor dou¸ a fort »e este:
R=FA¡G=¼d2
4(x0+x)½g¡mg (1.8)
^In expresia de mai sus s-a notat cu xdeplasarea areometrului fat »¸ a de
pozit »ia de echilibru.
T »in^ and cont de relat »ia 1.7, din 1.8 rezult¸ a
R=¼d2
4½gx=kx (1.9)

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 9
/G6D
Figura 1.4: Piston care oscileaz¸ a ^ ³ntr-un tub
Deoarece rezultanta fort »elor este proport »ional¸ a cu deplasarea » si este
^ ³ndreptat¸ a ^ ³n sensul revenirii areometrului ^ ³n pozit »ia de echilibru, rezult¸ a
!=2¼
T=r
¼d2
4m½g
» si
½=16¼m
gd2T2
PROBLEMA 1.4 ^In cazul recipientului reprezentat ^ ³n Fig. 1.4 un
piston de mas¸ a mpoate culisa ^ ³n interiorul tubului cilindric de sect »iune
S.
C^ and pistonul este ^ ³n pozit »ia de echilibru, volumul aerului din recipi-
ent este V, iar presiunea sa este egal¸ a cu presiunea atmosferic¸ a p0. Dac¸ a
pistonul este scos din pozit »ia de echilibru el ^ ³ncepe s¸ a oscileze. Dac¸ a se
consider¸ a c¸ a interiorul cilindrului este izolat adiabatic, s¸ a se determine
perioada micilor oscilat »ii.
SOLUT »IE
Dac¸ a pistonul este deplasat din pozit »ia de echilibru cu distant »a ¢ x
volumul aerului din recipient cre» ste cu:
¢V= ¢xS
Din ecuat »ia transform¸ arii adiabatice
pV°= const

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 10
se obt »ine
V°¢p+°V°¡1p¢V= 0
Rezult¸ a astfel variat »ia presiunii gazului din interiorul recipientului:
¢p=¡°p0
V¢V
Se arat¸ a c¸ a dac¸ a volumul de gaz din recipient cre» ste presiunea acestuia
scade astfel c¸ a fort »a rezultant¸ a act »ioneaz¸ a din exterior ^ ³nspre interior, iar
dac¸ a volumul de gaz se mic» soreaz¸ a, rezultanta act »ioneaz¸ a spre exterior.
Rezult¸ a c¸ a fort »a are tendint »a de a readuce pistonul^ ³n pozit »ia de echilibru.
Expresia ei este:
F= ¢pS=¡°p0S
V¢V=¡°p0S2
V¢x
Aceast¸ a fort »a este de tip elastic astfel c¸ a pulsat »ia este:
!=r
°p0S2
V m
iar perioada micilor oscilat »ii
T=2¼
!= 2¼s
V m
°p0S2
PROBLEMA 1.5 Un punct material mse mi» sc¸ a f¸ ar¸ a frecare ^ ³n
interiorul unei cicloide plasate ^ ³n plan vertical. Ecuat »iile parametrice ale
cicloidei sunt:
x=R(µ+ sin µ) (1.10)
z=R(1¡cosµ) (1.11)
S¸ a se calculeze abscisa curbilinie s^ ³n funct »ie de parametrul µ.
S¸ a se arate c¸ a perioada oscilat »iilor ^ ³n jurul pozit »iei de echilibru x= 0
» siz= 0 este independent¸ a de amplitudinea acestor oscilat »ii.

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 11
/G4F/G78/G7A
Figura 1.5: Forma unei cicloide ^ ³n vecin¸ atatea originii
SOLUT »IE
^In Fig. 1.5 este ar¸ atat¸ a forma cicloidei. Punctul x= 0 » si z= 0
corespunde valorii µ= 0:
Deoarece:
ds=sµdx
dµ¶2
+µdz
dµ¶2
dµ (1.12)
Introduc^ and 1.10 » si 1.11 ^ ³n 1.12 rezult¸ a:
ds=Rq
(1 + cos µ)2+ sin2µ dµ= 2Rcosµ
2dµ
» si integr^ and
s= 4Rsinµ
2(1.13)
Energia cinetic¸ a a punctului material este:
Ec=1
2mµds
dt¶2
=1
2m:s2(1.14)
Energia potent »ial¸ a este de natur¸ a gravitat »ional¸ a » si este dat¸ a de ex-
presia:
Ep=mgz =mgR (1¡cosµ) = 2 mgR sin2µ
2=mgs2
8R(1.15)

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 12
/G30 /G6B /G6B
/G6D /G6D/G31 /G32
/G30 /G6B
Figura 1.6: Sistem de trei resoarte » si dou¸ a corpuri care oscileaz
Energia total¸ a este:
E=Ec+Ep=1
2m:s2+mg
8Rs2(1.16)
Deoarece ^ ³n sistem nu exist¸ a fort »e neconservative, energia mecanic¸ a
se conserv¸ a. Deriv^ and ^ ³n raport cu timpul relat »ia 1.16 se obt »ine:
::s+g
4Rs= 0 (1.17)
Relat »ia 1.17 este ecuat »ia unui oscilator armonic cu pulsat »ia
!=rg
4R
Perioada micilor oscilat »iilor este
T= 4¼s
R
g
PROBLEMA 1.6 Se consider¸ a un sistem compus din dou¸ a corpuri
de mase mlegate cu ajutorul a 3 resoarte cu constantele de elasticititate
k0» sik(vezi Fig. 1.6).
La momentul init »ial se aplic¸ a un impuls corpului 1 astfel ^ ³nc^ at viteza
acestuia s¸ a devin¸ a egal¸ a cu v0:
S¸ a se determine ecuat »iile de mi» scare ale celor dou¸ a corpuri.
SOLUT »IE

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 13
Pozit »iile celor dou¸ a corpuri vor fi date de deplas¸ arile acestora fat »¸ a de
pozit »iile de echilibru: x1pentru corpul 1 » si x2pentru corpul 2.
Ecuat »iile de mi» scare ale celor dou¸ a corpuri sunt:
m::x1=¡k0x1¡k(x1¡x2) (1.18)
m::x2=¡k0x2¡k(x2¡x1) (1.19)
Se adun¸ a cele dou¸ a relat »ii
m(::x1+::x2) =¡k0(x1+x2) (1.20)
» si se scad cele dou¸ a relat »ii
m(::x1¡::x2) =¡(k0+ 2k) (x1¡x2) (1.21)
Atunci se pot face schimb¸ arile de variabile:
q1=x1+x2 (1.22)
q2=x1¡x2 (1.23)
Ecuat »iile de mi» scare 1.20 » si 1.21 devin:
::q1+k0
mq1= 0 (1.24)
::q2+k0+ 2k
mq2= 0 (1.25)
Solut »iile generale ale acestor ecuat »ii sunt
q1=A1sin (!1t+'1) ; !1=r
k0
m(1.26)
q2=A2sin (!2t+'2) ; !2=r
k0+ 2k
m(1.27)
Condit »iile init »iale la momentul t0

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 14
x1= 0 ;:x1=v0
x2= 0 ;:x2= 0
devin pentru noile variabile:
q1= 0 ;:q1=v0
q2= 0 ;:q2=v0
Utiliz^ and condit »iile init »iale rezult¸ a
'1='2= 0
A1=v0
!1A2=v0
!2
Astfel relat »iile 1.26 » si 1.27 devin:
q1=v0
!1sin!1t (1.28)
q2=v0
!2sin!2t (1.29)
T »in^ and cont de modul de definire a variabilelor q1» siq2, rezult¸ a:
x1=v0
2·sin!1t
!1+sin!2t
!2¸
x2=v0
2·sin!1t
!1¡sin!2t
!2¸
PROBLEMA 1.7 Un punct material de mas¸ a m» si sarcin¸ a qse
afl¸ a ^ ³ntr-un plan xOy sub act »iunea unei fort »e ~F=¡k~ r, unde ~ reste raza
vectoare a punctului material. Dac¸ a ^ ³n aceast¸ a regiune exist¸ a un c^ amp
magnetic ~Bperpendicular pe planul xOy s¸ a se calculeze pulsat »ia mi» sc¸ arii
oscilatoarii. Se va considera cazul unui c^ amp magnetic slab.

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 15
SOLUT »IE
^In acest caz legea a doua a dinamicii este:
md2~ r
dt2=¡k~ r+q~ v£~B (1.30)
^In planul xOy se obt »ine:
::x+k
mx=qB
m:y (1.31)
::y+k
my=¡qB
m:x (1.32)
Se fac urm¸ atoarele notat »ii: !2
0=k=m » si!l=qB=2m:
Se ^ ³nmult »e» ste ecuat »ia 1.32 cu i» si se adun¸ a cu 1.31. Rezult¸ a:
³::x+i::y´
+!2
0(x+iy) =¡i2!l¡:x+iy¢
(1.33)
Introduc^ and o nou¸ a variabil¸ a:
u=x+iy
ecuat »ia 1.33 devine
::u+2i:u!l+!2
0u= 0 (1.34)
Relat »ia 1.34 este o ecuat »ie diferent »ial¸ a de ordinul al doilea cu coeficient »i
constant »i a c¸ arei ecuat »ie caracteristic¸ a este:
r2+ 2i!lr+!2
0= 0
» si are solut »iile
r1;2=¡i!l§iq
!2
l+!2
0
^In cazul c^ ampurilor magnetice slabe Beste mic astfel ^ ³nc^ at se poate
considera c¸ a
!l¿!0
Atunci solut »iile ecuat »iei caracteristice pot fi puse sub forma mai
simpl¸ a:
r1;2=¡i(!l§!0)

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 16
iar solut »ia ecuat »iei 1.34 este
u=e¡i!l£
Aei!0t+Ce¡i!0t¤
A » si C sunt constante care se determin¸ a din condit »iile init »iale.
Se constat¸ a c¸ a ^ ³n c^ amp magnetic pulsat »ia !0se schimb¸ a cu o valoare
!lastfel ^ ³nc^ at:
!=!0§!l
PROBLEMA 1.8 Asupra unei sfere de raz¸ a rcare se deplaseaz¸ a
cu o viteza v^ ³ntr-un fluid cu coeficientul de v^ ascozitate ´act »ioneaz¸ a o
fort »¸ a de frecare care are expresia:
~f=¡6¼´r~ v
O sfer¸ a de mas¸ a meste suspendat¸ a de un resort cu constanta elastic¸ a
k. Perioada de oscilat »ie ^ ³n aer, unde frecarea este neglijabil¸ a, este T0.
C^ and sfera este introdus¸ a ^ ³ntr-un fluid perioada oscilat »iilor devine T <
T0. S¸ a se determine coeficientul de v^ ascozitate ^ ³n funct »ie de T» siT0:
SOLUT »IE
Legea a doua a lui Newton pentru sfera care oscileaz¸ a ^ ³n fluid este
m::x=¡kx¡6¼´r:x (1.35)
Not^ and ¸= 3¼´r, ecuat »ia 1.35 devine:
m::x+2¸:x+kx= 0 (1.36)
Ecuat »ia caracteristic¸ a a ecuat »iei diferent »iale 1.36 este
mr2+ 2¸r+k= 0
» si are solut »iile
r1;2=¡¸
m§ir
k
m¡¸2
m2(1.37)

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 17
^In cazul ^ ³n care k=m·¸2=m2mi» scarea este aperiodic¸ a. Deoarece
se consider¸ a c¸ a sfera efectueaz¸ a oscilat »ii ^ ³n fluid se va considera cazul
k=m > ¸2=m2. Solut »ia ecuat »iei 1.36 este:
x=Ae¡¸t=mexpi(!t+Á) (1.38)
unde:
!=r
k
m¡¸2
m2(1.39)
^In cazul ^ ³n care sfera oscileaz¸ a ^ ³n aer, fort »a de frecare este neglijabil¸ a.
Atunci se poate considera ¸= 0 iar pulsat »ia oscilat »iilor este
!0=r
k
m(1.40)
Din 1.39 » si 1.40 rezult¸ a:
¸=mq
!2
0¡!2
Deoarece ¸= 3¼´r; ! 0= 2¼=T 0» si!= 2¼=T
´=2m
3rs
1
T2
0¡1
T2
PROBLEMA 1.9 O particul¸ a este legat¸ a de un resort cu constanta
elastic¸ a k. Ea poate executa oscilat »ii f¸ ar¸ a amortizare. La momen-
tul init »ial particula se afl¸ a ^ ³n pozit »ia de echilibru. Asupra particulei
act »ioneaz¸ a o fort »¸ a Fun timp egal cu ¿secunde. S¸ a se determine ampli-
tudinea oscilat »iilor dup¸ a ce fort »a ^ ³nceteaz¸ a.
SOLUT »IE
Ecuat »ia de mi» scare ^ ³n intervalul de timp [0 ; ¿] este
m::x=¡kx+F (1.41)

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 18
cu condit »iile init »iale
x(0) = 0 (1.42)
:x(0) = 0
Solut »ia ecuat »iei de mai sus este de forma
x=Acos (!t+') +F
k(1.43)
unde: !=p
k=m
Pentru determinarea constantelor A» si'se t »ine cont de condit »iile
init »iale. Rezult¸ a
x= (1¡cos!t)F
k(1.44)
Ecuat »ia de mi» scare pentru t > ¿ este
m::x=¡kx (1.45)
Solut »ia ecuat »iei 1.45 este:
x=A0cos [!(t¡¿) +®] (1.46)
Pentru determinarea amplitudinii A0se pune condit »ia de continuitate
pentru elongat »ie » si vitez¸ a ^ ³n momentul t=¿
Se obt »ine
(1¡cos!¿)F
k=A0cos®
F
ksin!¿=¡A0sin®
Cele dou¸ a relat »ii se ridic¸ a la p¸ atrat » si se adun¸ a. Rezult¸ a
A0=2F
msin!¿
2
PROBLEMA 1.10 O mas¸ a mlegat¸ a de un resort oscileaz¸ a , decre-
mentul logaritmic al amortiz¸ arii fiind ±. Dup¸ a timpul t1, energia os-
cilatorului scade de nori. S¸ a se determine constanta de elasticitate a
resortului.

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 19
SOLUT »IE
Deoarece energia unui oscilator este proport »ional¸ a cu p¸ atatrul am-
plitudinii oscilat »iei raportul energiilor oscilatorului corespunz¸ atoare mo-
mentelor t0» sit1este:
E1
E0=µA1
A0¶2
=1
n(1.47)
Not^ and cu °coeficientul de amortizare:
A1
A0= exp ( ¡°t1) (1.48)
Din relat »iile 1.47 » si 1.48 rezult¸ a:
lnpn=°t1
» si decrementul logaritmic este:
±=°T=lnpn
t1T (1.49)
Cum
!2=!2
0¡°2=k
m¡°2
k=m¡
!2+°2¢
=mµ4¼2
T2+°2¶
(1.50)
Dac¸ a se t »ine cont de relat »ia 1.49 din relat »ia 1.50 se obt »ine constanta de
elasticitate a resortului:
k="µ2¼lnpn
±t1¶2
+°2#
PROBLEMA 1.11 Un corp de mas¸ a meste suspendat de un resort
cu constanta de elasticitate k. Fort »a de atract »ie este proport »ional¸ a cu
viteza. Dupa soscilat »ii amplitudinea scade de nori. S¸ a se determine
perioada de oscilat »ie » si decrementul logaritmic ±.

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 20
SOLUT »IE
Mi» scarea corpului este o mi» scare amortizat¸ a. Ea are loc dup¸ a legea
x=A0e¡°tcos (!t+Á) (1.51)
unde:
!=2¼
T=q
!2
0¡°2 (1.52)
!0=r
k
m(1.53)
Amplitudinea ^ ³n timpul mi» sc¸ arii oscilatorii scade exponent »ial ^ ³n timp:
A=A0e¡°t
Conform datelor problemei:
A0
n=A0e¡°sT(1.54)
Rezult¸ a:
lnn=°sT (1.55)
Din relat »iile 1.52 » si din 1.55 se obt »ine:
°=!0lnnp
4¼2s2+ ln2n
T=lnn
°s=p
4¼2s2+ ln2n
s!0
Decrementul logaritmic este
±=°T=lnn
s
PROBLEMA 1.12 Un corp de mas¸ a m=5 kg este suspendat de
un resort care oscileaz¸ a. ^In absent »a fort »elor de rezistent »¸ a perioada de
oscilat »ie este T0= 0;4¼s. Atunci c^ and exist¸ a o fort »¸ a de rezistent »¸ a
proport »ional¸ a cu viteza, perioada de oscilat »ie devine T= 0;5¼s. S¸ a se
determine ecuat »ia de mi» scare a corpului presupun^ and c¸ a ^ ³n momentul
init »ial acesta se g¸ ase» ste la distant »a x0= 4 cm fat »¸ a de pozit »ia de echilibru
» si apoi este l¸ asat liber.

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 21
SOLUT »IE
Mi» scarea corpului este o mi» scare cvasiperiodic¸ a amortizat¸ a cu pulsat »ia
!» si perioada Tdate de relat »iile:
!2=!2
0¡°2
4¼2
T2=4¼2
T2
0¡°2
Rezult¸ a c¸ a:
°= 2¼s
T2¡T2
0
T2T2
0=2¼
T0Tq
T2¡T2
0= 3 s¡1
Deoarece ecuat »ia de mi» scare a corpului este de forma:
x=A0e¡°tsin (!t+Á) (1.56)
viteza sa este:
v=dx
dt=¡A0°e¡°tsin (!t+Á) +!A0e¡°tcos (!t+Á) (1.57)
Aplic^ and condit »iile init »iale
x(0) = x0 v(0) = 0
se obt »ine:
0 =¡A0°sinÁ+A0!cosÁ (1.58)
x0=A0sinÁ (1.59)
Din relat »iile 1.58 » si 1.59 rezult¸ a A0= 5 cm » si
Á= arcsinx0
A0= arcsin4
5
Ecuat »ia de mi» scare este:
x= 5e¡3tsin (4 t+ arcsin 4 =5) cm
PROBLEMA 1.13 S¸ a se scrie ecuat »ia de mi» scare a unui punct
material de mas¸ a mcare este supus act »iunii unei fort »e elastice kx» si unei
fort »e constante F0av^ and aceia» si direct »ie ca fort »a elastic¸ a. Se consider¸ a
c¸ a la momentul t= 0 ^ ³n punctul x= 0 viteza este nul¸ a.

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 22
SOLUT »IE
Legea a doua a mecanicii este:
mÄx+kx=F0 (1.60)
Solut »ia acestei ecuat »ii diferent »iale neomogene este suma dintre solut »ia
general¸ a a ecuat »iei diferent »iale omogene
x1=Asin (!t+Á0) cu !=r
k
m(1.61)
» si o solut »ie particular¸ a a ecuat »iei neomogene
x2=F0
k(1.62)
Atunci solut »ia ecuat »iei 1.60 este:
x=x1+x2=F0
k+Asin (!t+Á0) (1.63)
Viteza punctului material este
v=dx
dt=A!cos (!t+Á0) (1.64)
Din condit »iile init »iale
x(0) = 0 » si v(0) = 0
» si din ecuat »iile 1.63 » si 1.64 se obt »ine:
A=¡F0
k» si Á0=¼
2
iar ecuat »ia de mi» scare este:
x=¡F0
k(1¡cos!t)

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 23
PROBLEMA 1.14 S¸ a se scrie ecuat »ia de mi» scare unidimensional¸ a
a unui punct material de mas¸ a mcare este supus act »iunii unei fort »e
elastice ¡kx» si unei fort »e F=atcare are aceia» si direct »ie ca » si fort »a
elastic¸ a. La momentul t= 0 ^ ³n punctul x= 0 viteza este nul¸ a.
SOLUT »IE
Legea a doua a mecanicii se scrie:
mÄx+kx=at (1.65)
Solut »ia acestei ecuat »ii diferent »iale neomogene este suma dintre solut »ia
general¸ a a ecuat »iei diferent »iale omogene
x1=Asin (!t+') cu !=r
k
m(1.66)
» si o solut »ie particular¸ a a ecuat »iei neomogene
x2=at
k(1.67)
Atunci solut »ia ecuat »iei 1.65 este:
x=x1+x2=at
k+Asin (!t+') (1.68)
Viteza punctului material este
v=dx
dt=a
k+A!cos (!t+') (1.69)
Din condit »iile init »iale
x(0) = 0 » si v(0) = 0
» si din ecuat »iile 1.68 » si 1.69 se obt »ine:
Asin'= 0 (1.70)
a
k+A!cos'= 0 (1.71)

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 24
Din 1.70 » si din 1.71 rezult¸ a:
'= 0 A=¡a
k!
Ecuat »ia de mi» scare 1.68 devine:
x=a
kµ
t¡1
!sin!t¶
PROBLEMA 1.15 S¸ a se scrie ecuat »ia de mi» scare unidimesional¸ a a
unui punct material de mas¸ a mcare este supus act »iunii unei fort »e elastice
¡kx» si unei fort »e F=F0exp (¡®t). La momentul t= 0 ^ ³n punctul x= 0
viteza este nul¸ a.
SOLUT »IE
Legea a doua a mecanicii se scrie:
mÄx+kx=F0exp (¡®t) (1.72)
Solut »ia acestei ecuat »ii diferent »iale neomogene este suma dintre solut »ia
general¸ a a ecuat »iei diferent »iale omogene
x1=A1sin (!t+') cu !=r
k
m(1.73)
» si o solut »ie particular¸ a a ecuat »iei neomogene de forma:
x2=A2exp (¡®t) (1.74)
Pentru a determina valoarea constantei A2introducem 1.74 ^ ³n 1.72.
Se obt »ine:
m®2A2exp (¡®t) +kA2exp (¡®t) =F0exp (¡®t)
Rezult¸ a:
A2=F0
m®2+k(1.75)

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 25
Atunci solut »ia general¸ a a ecuat »iei 1.72 este:
x=x1+x2=F0
m®2+kexp (¡®t) +A1sin (!t+') (1.76)
Viteza punctului material este
v=dx
dt=¡®F0
m®2+kexp (¡®t) +A1!cos (!t+') (1.77)
Din condit »iile init »iale
x(0) = 0 » si v(0) = 0
» si din ecuat »iile 1.76 » si 1.77 se obt »ine:
F0
m®2+k+A1sin'= 0 (1.78)
¡®F0
m®2+k+A1!cos'= 0 (1.79)
Din 1.78 » si din 1.79 se obt »ine:
A1=F0
m®2+kr
1 +®2
!2
» si, prin ^ ³mp¸ art »irea acestora, unghiul ':
tg'=¡!
®
PROBLEMA 1.16 O surs¸ a aflat¸ a ^ ³ntr-un mediu elastic unidimen-
sional oscileaz¸ a dupa legea
y= 0;5 sin 100 ¼tmm
Lungimea de und¸ a a undelor longitudinale emise este ¸= 20 m.
a) Dup¸ a c^ at timp va ^ ³ncepe s¸ a oscileze un punct aflat la distant »a
x1= 8 m fat »¸ a de surs¸ a?
b) Ce defazaj exist¸ a ^ ³ntre oscilat »ia punctului aflat la distant »a x1de
surs¸ a » si oscilat »ia sursei?
c) La ce distant »¸ a se afl¸ a dou¸ a puncte ale c¸ aror oscilat »ii sunt defazate
cu¼=3?

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 26
SOLUT »IE
a) Din ecuat »ia de oscilat »ie a sursei rezult¸ a c¸ a != 100 ¼astfel c¸ a:
T=2¼
100¼= 2£10¡2s
Deoarece lungimea de und¸ a este ¸=vT, viteza de propagare a undei
este:
v=¸
T= 103m/s
Timpul dup¸ a care punctul aflat la distant »a x1^ ³ncepe s¸ a oscileze este:
t=x1
v=8
103= 8£10¡3s
b) Ecuat »ia undei este:
y1= 0;5 sin 100 ¼³
t¡x1
v´
mm
Defazajul dintre oscilat »ia sursei » si oscilat »ia punctului considerat este:
¢'='s¡'p= 100 ¼t¡100¼³
t¡x1
v´
= 100 ¼x1
v=8¼
10rad
c) Se consider¸ a defazajul dintre dou¸ a puncte aflate la distant »a ¢ x
unul de altul
¢'= 100 ¼³
t¡x2
v´
¡100¼³
t¡x1
v´
=100¼(x1¡x2)
v
Atunci:
¢x= (x1¡x2) =v¢'
100¼= 3;3 m
PROBLEMA 1.17 Un avion cu react »ie zboar¸ a cu viteza constant¸ a
v= 1000 m/s la ^ ³n¸ alt »imea h= 10;2 km. Care este forma frontului undei
de » soc produs¸ a de avion? La ce distant »¸ a de o cas¸ a se va afla avionul c^ and
geamurile acesteia ^ ³ncep s¸ a vibreze? Viteza sunetului este c= 340 m/s.

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 27
/G42 /G41
/G43/G63 /G74/G76 /G74
/G61
/G61 /G62/G44
Figura 1.7: Unda de » soc produs¸ a de un avion
SOLUT »IE
Dac¸ a un corp (glont », avion supersonic) se deplaseaz¸ a ^ ³ntr-un fluid cu
o vitez¸ a mai mare dec^ at a undelor sonore apare a» sa numita und¸ a de » soc.
Undele produse de avion se propag¸ a ^ ³n toate direct »iile sub form¸ a de unde
sferice. Deoarece viteza va avionului este mai mare dec^ at a sunetului,
frontul de und¸ a are forma unui con ^ ³n v^ arful c¸ aruia se afl¸ a avionul ^ ³n
fiecare moment (Fig. 1.7).
Dac¸ a la un moment dat avionul se afla ^ ³n punctul A dup¸ a trecerea
timpului t, el s-a deplasat ^ ³n punctul B iar AB= vt. Frontul undei emise
^ ³n A va avea raza AC = ct.^In punctul C se presupune c¸ a se afl¸ a casa
unde este simt »it¸ a unda de soc. Se observ¸ a ^ ³n Fig.1.7 c¸ a:
sin®=ct
vt=c
v
Distant »a BC fat »a de o cas¸ a aflat¸ a ^ ³n punctul C de pe sol este:
d=h
sin®=hv
c= 30 km
PROBLEMA 1.18 O surs¸ a punctiform¸ a emite unde sonore cu frec-
vent »a ș. S¸ a se g¸ aseasc¸ a frecvent »ele sunetului pe care-l recept »ioneaz¸ a un
observator care se apropie de surs¸ a cu viteza v. S¸ a se g¸ aseasc¸ a frecvent »a
sunetului pe care acela» si observator ^ ³l recept »ioneaza dac¸ a se dep¸ arteaz¸ a
de surs¸ a cu viteza v. Viteza sunetului ^ ³n aer este c.

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 28
SOLUT »IE
Sursa fiind punctiform¸ a undele emise de aceasta sunt sferice. Suprafe-
t »ele de und¸ a sunt sfere concentrice distant »ate una de alta cu lungimea de
und¸ a. Dac¸ a observatorul ar fi ^ ³n repaus el ar recept »iona ct=¸unde^ ³n tim-
pult. Dac¸ a observatorul se apropie de surs¸ a el va recept »iona ( c+v)t=¸
unde ^ ³n timpul t. Frecvent »a cu care observatorul recept »ioneaz¸ a undele
este
ș0=(c+v)t
¸t=c+v
¸=(c+v)
cT=ș³
1 +v
c´
Dac¸ a observatorul se dep¸ arteaz¸ a de surs¸ a cu viteza vel va recept »iona
(c¡v)t=¸unde ^ ³n timpul t. Frecvent »a receptionat¸ a de observator va fi:
ș0=(c¡v)t
¸t=c¡v
¸=(c¡v)
cT=ș³
1¡v
c´
Putem astfel s¸ a exprim¸ am frecvent »a receptionat¸ a de observatorul care
se apropie sau se dep¸ arteaz¸ a de surs¸ a astfel:
ș0=ș³
1§v
c´
unde semnul + corespunde cazului c^ and observatorul se apropie de surs¸ a
iar semnul ¡corespunde cazului c^ and observatorul se dep¸ arteaz¸ a de
surs¸ a. Acesta este efectul Doppler.
PROBLEMA 1.19 O surs¸ a punctiform¸ a emite unde sonore cu frec-
vent »a ș. S¸ a se g¸ aseasc¸ a frecvent »ele sunetului pe care-l recept »ioneaz¸ a un
observator ^ ³n cazul ^ ³n care sursa se apropie de observator cu viteza v. S¸ a
se g¸ aseasc¸ a frecvent »a sunetului pe care acela» si observator ^ ³l recept »ioneaz¸ a
dac¸ a surs¸ a se dep¸ arteaz¸ a de observator cu viteza v. Viteza sunetului ^ ³n
aer este c.
SOLUT »IE
Deoarece viteza de propagare a sunetului depinde numai de pro-
priet¸ at »ile mediului, ^ ³n timpul unei oscilat »ii unda se va propaga ^ ³nainte cu
distant »a ¸. Dar ^ ³n timpul unei perioade » si sursa se deplaseaz¸ a ^ ³n sensul

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 29
de deplasare al undei cu vT, unde Teste perioada. Atunci lungimea de
und¸ a va fi:
¸0=¸¡vT=cT¡vT= (c¡v)T
Frecvent »a perceput¸ a de observator va fi:
ș0=c
¸0=c
c¡vș
Dac¸ a sursa se dep¸ arteaz¸ a de observator cu viteza vlungimea de und¸ a
va fi:
¸0=¸+vT=cT+vT= (c+v)T
Frecvent »a perceput¸ a de observator va fi:
ș0=c
¸0=c
c+vș
Astfel^ ³n cazul^ ³n care sursa se apropie sau se dep¸ arteaz¸ a de observator
frecvent »a perceput¸ a de acesta este:
ș0=c
¸0=c
c§vș
unde semnul + corespunde cazului ^ ³n care sursa se apropie de observator
iar semnul ¡corespunde cazului ^ ³n care sursa se dep¸ arteaz¸ a de observa-
tor.
PROBLEMA 1.20 S¸ a se rezolve ecuat »ia undelor
@2u
@x2=1
v2@2u
@t2
pentru o coard¸ a de lungime l= 1 care init »ial este ^ ³n repaus » si prezint¸ a
propriet¸ at »ile:
u(x;0) =½x=5 dac¸ a 0 ·x·1=2
(1¡x)=5 dac¸ a 1 =2·x·1

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 30
SOLUT »IE
Solut »ia general¸ a a ecuat »iei undelor este o suprapunere de forma:
u(x; t) =1X
n=1(Ancosn¼vt +Bnsinn¼vt) sinn¼x (1.80)
deoarece l= 1. Av^ and ^ ³n vedere c¸ a
·@u
@t¸
t=0=1X
n=1n¼v(Ansinn¼vt¡Bncosn¼vt)t=0sinn¼x= 0
coeficient »ii Bnsunt nuli.
Atunci relat »ia 1.80 devine:
u(x; t) =1X
n=1Ancosn¼vt sinn¼x (1.81)
La momentul t= 0 din 1.81 se obt »ine:
u(x;0) =1X
n=1Ansinn¼x
Coeficient »ii Anse calculeaz¸ a cu formulele:
An= 2Z1
0u(x;0) sin n¼xdx (1.82)
T »in^ and seama de propriet¸ at »ile funct »iei u(x;0) 1.82 devine:
An=2
5Z1=2
0xsinn¼xdx +2
5Z1
1=2(1¡x) sinn¼xdx
Se efectueaz¸ a substitut »ia:
n¼x=» x =»
n¼dx=d»
n¼
Atunci:
An=2
5Zn¼=2
0»
n¼sin»d»
n¼+2
5Zn¼
n¼=2µ
1¡»
n¼¶
sin»d»
n¼

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 31
An=2
5 (n¼)2"Zn¼=2
0»sin»d»+n¼Zn¼
n¼=2sin»d»¡Zn¼
n¼=2»sin»d»#
Dar Z
»sin»d»= sin »¡»cos»
» si Z
sin»d»=¡cos»
Atunci:
An=2
5 (n¼)2h
(sin»¡»cos»)jn¼=2
0¡n¼cos»jn¼
n¼=2¡(sin»¡»cos»)jn¼
n¼=2i
» si
An=4
5 (n¼)2sinn¼
2(1.83)
Solut »ia ecuat »iei este:
u(x; t) =1X
n=14
5 (n¼)2sinn¼
2sinn¼xcosn¼vt
PROBLEMA 1.21 S¸ a se g¸ aseasc¸ a unda rezultant¸ a obt »inut¸ a prin
suprapunerea a dou¸ a unde care au aceia» si amplitudine dar a c¸ aror lungime
de und¸ a » si pulsat »ie difer¸ a put »in.
u1(x; t) =Asin2¼
¸1(x¡v1t)
u2(x; t) =Asin2¼
¸2(x¡v2t)
SOLUT »IE
Deoarece
k=2¼
¸» si != 2¼ș=2¼v
¸
u=u1+u2= 2Asink1x¡!1t+k2x¡!2t
2cosk1x¡!1t¡k2x+!2t
2

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 32
u= 2Asin·k1+k2
2x¡!1+!2
2t¸
cos·k1¡k2
2x¡!1¡!2
2t¸
^In relat »ia de mai sus vom introduce notat »iile:
k1=k+dk k 2=k¡dk
!1=!+d! ! 2=!¡d!
Atunci:
u= 2Acos (xdk¡td!) sin ( kx¡!t)
Termenul
2Acos (xdk¡td!)
reprezint¸ a amplitudinea undei progresive iar factorul de faz¸ a este:
sin (kx¡!t) = sin2¼
¸³
x¡!
kt´
PROBLEMA 1.22 S¸ a se g¸ aseasc¸ a leg¸ atura dintre viteza de faz¸ a » si
viteza de grup.
SOLUT »IE
vg=d!
dk=d(vfk)
dk=vf+kdvf
dk
Dar
kdvf
dk=2¼
¸µdvf
d¸d¸
dk¶
=2¼
¸µ
¡2¼
k2¶dvf
d¸
kdvf
dk=¡4¼2
¸¸2
4¼2dvf
d¸=¡¸dvf
d¸
Atunci:
vg=vf¡¸dvf
d¸
M¸ arimea dvf=d¸m¸ asoar¸ a dispersia cauzat¸ a de mediu. Dac¸ a nu exist¸ a
dispersie, energia va fi transportat¸ a cu viteza de faz¸ a iar vf=vg.

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 33
PROBLEMA 1.23 S¸ a se reduc¸ a ecuat »ia undelor neomogene
@2u
@x2=1
v2@2u
@t2+v(x)
la trei ecuat »ii diferent »iale.
SOLUT »IE
Dac¸ a se ^ ³ncearc¸ a substitut »ia
u=X(x)T(t)
se obt »ine:
Td2X
dx2=X
v2d2T
dt2+v
Se observ¸ a c¸ a variabilele nu pot fi separate.
Se alege urm¸ atoarea substitut »ie:
u=X(x)T(t) +°(x)
Atunci:@u
@x=TdX
dx+d°
dx
@2u
@x2=Td2X
dx2+d2°
dx2
» si
@2u
@t2=Xd2T
dt2
Atunci
Td2X
dx2+d2°
dx2=X
v2d2T
dt2+v(x) (1.84)
Se alege funct »ia °astfel:
d2°
dx2=v(x) (1.85)
Atunci 1.84 devine:
Td2X
dx2=X
v2d2T
dt2

CAPITOLUL 1. OSCILAT »II 34
Aceast¸ a ecuat »ie se mai poate scrie:
v2
Xd2X
dx2=1
Td2T
dt2
Admit »^ and solut »ii periodice se poate face o separare de variabile astfel
^ ³nc^ at:
d2X
dx2+³!
v´2
X= 0
d2T
dt2+!2T= 0
Se obt »in astfel dou¸ a ecuat »ii diferent »iale la care se mai poate ad¸ auga
» si ecuat »ia 1.85.

Bibliografie
[1]V. V. Batygin, I. N. Toptygin { Problems in Electrodynamics , Aca-
demic Press, London and New York, 1964
[2]Cornelia Motoc { Fizic¸ a , Editura All. Bucure» sti 1994
[3]Ion M. Popescu { Fizic¸ a , Editura didactic¸ a » si Pedagogic¸ a, Bu-
cure» sti, 1982
[4]Ion M. Popescu, Gabriela Cone, Gheorghe Stanciu { Probleme re-
zolvate de ¯zic¸ a , Editura didactic¸ a » si Pedagocgic¸ a, Bucure» sti, 1993
[5]H. Goldstein { Classical Mechanics , Addison – Wesley Publishing
Co. Mass. 1980
[6]G. L .Kotkin, V. G. Serbo { Collection of Problems in Classical
Mechanics , Pergamon Press, 1971
[7]L. D. Landau, E. M. Lifsitz { Fizic¸ a statistic¸ a , Editura Tehnic¸ a,
Bucure» sti 1998
[8]Ryogo Kubo { Thermodynamics , North Holland Publishing Com-
pany, Amsterdam, 1968
[9]Ryogo Kubo { Statistical Mechanics , North Holland Publising Com-
pany, Amsterdam, 1965
35