Probleme de maxim si minim n geometrie [609080]

Ministerul Educat iei Nat ionale
Universitatea \OVIDIUS" Constant a
Facultatea de Matematic a  si Informatic a
Specializarea Matematic a-Informatic a
LUCRARE DE LICENT  A
Probleme de maxim  si minim ^ n geometrie
Coordonator  stiint ic:
Lect. Univ. Dr. Homentcovschi Laurent iu
Absolvent: [anonimizat] I MINIM ^IN GEOMETRIE
CARABET MARIANA
Date : Astazi.
…
1

Abstract
Aceast a lucrare de licent a se intituleaz a \Probleme de maxim  si minim ^ n geome-
trie."
Motivul select ion arii temei provine din dorint a document arii ^ n leg atur a cu acest
subiect, deoarece maxima  si minima apar pe tot parcursul viet ii noastre zilnice. Le
putem g asi oriunde suntem interesat i de cea mai mare  si/ sau cea mai mic a valoare
a unui sistem dat. Ca un exemplu imediat, ne putem g^ andi la modelul care prezice
variat ia de temperatur a ^ n raport cu timpul. Valorile maxime  si minime absolute
ale acestei funct ii, ^ n orice perioad a de 24 de ore, sunt temeraturi sc azute  si ridicate,
dup a cum se raporteaz a, mai apoi, pe canalul meteo.
Lucrarea de fat  a este structurat a ^ n trei capitole.
Capitolul I, numit \Maxime  si minime geometrice" include un istoric al temei,
care, prin raportare la trecut, ne va da prilejul s a ^ nt elegem evolut ia domeniului.
De asemenea, capitolul acesta enumer a criterii pentru identicarea maximelor  si
minimelor ^ ntr-un mod practic.
Capitolul II, numit \Teoreme utile ^ n a
area maximelor  si minimelor" prezint a,
dup a cum spune  si denumirea, teoreme care ajut a la g asirea extremelor, teoreme
dintre cele mai cunoscute sau mai put in cunoscute, urmate de demonstrat ii.
^In cel de-al III-lea capitol sunt prezentate \Modalit at i de solut ionare ale pro-
blemelor de maxim  si minim". Acest capitol este rezervat rezolv arii problemelor
prin diferite metode.
Lucrarea de licent  a este nalizat a de c^ ateva concluzii cu privire la tema abordat a.
3

Cuprins
Abstract 3
Introducere 5
1. Maxime  si minime geometrice 6
1.1. Scurt istoric privind problemele de maxim  si de minim ^ n geometrie 6
1.2. Criterii ajut atoare pentru identicarea maximelor si minimelor 6
2. Teoreme utile ^ n a
area maximelor  si minimelor geometrice 9

Introducere
Mult i oameni sunt de p arere c a matematica  ai arta nu au leg atur a ^ ntre ele deo-
arece arta exprim a sentimente  si emot ii, pe c^ and matematica este rece  si rat ional a,
f ar a urm a de emot ie. Aceasta percept ie poate  gre sit a ^ ns a. ^In Rena stere1, mate-
matica  si arta nu numai c a erau practicate ^ mpreun a, ci ele au fost privite ca aspecte
complementare ale mint ii umane.
Subiectul geometriei, e c a ^ l consideram  stiint  a sau art a, are o istorie foarte
lung a.
^In istoria matematicii, problemele de maxim  si minim au jucat un rol semnicativ
^ n dezvoltarea domeniului.
Numeroase probleme fascinante  si importante au ap arut ^ ntr-o varietate de ramuri
ale matematicii  si zicii, dar  si ^ n alte domenii ale  stiint elor.
Euclid, Arhimede, Newton  si mult i alt i mari oameni de  stiint  a au pornit spre
c autarea unor solut ii concrete ale acestor probleme. Solut iile au stimulat dezvoltarea
teoriei, care au avut ca efect emiterea unor tehnici care au f acut realizabil a dezlegarea
unei mari variet at i de probleme doar printr-o singur a abordare.
Asemenea probleme le g asim ^ ntr-un num ar uria s ^ n domeniul economiei  si tehno-
logiei. ^In aceste cazuri este necesar a, de cele mai multe ori, apelarea la matematic a.
^In urm a cu dou azeci  si cinci de secole a^ nceput studiul problemelor de maxim  si de
minim ^ n matematic a, iar pentru o ^ ndelungat a vreme, nici nu au existat modalit at i
uniforme de abordare ale problemelor pentru g asirea extremei.
Primele metode generale de investigare  si solut ionare ale problemelor extreme au
fost create cu aproximativ 300 de ani ^ n urm a.
Problemele de maxim  si de minim sunt considerate a  unele dintre cele mai
atr ag atoare  si interesante probleme analizate ^ n matematic a. C^ ateva dintre acestea
se pot rezolva cu u surint  a, ^ ns a majoritatea impun preg atire consistent a ^ n teoria
optimiz arii funct iilor.
1Mi scare cultural a care s-a ^ ntins pe perioada secolelor XIV-XVI.
5

1.Maxime s i minime geometrice
1.1.Scurt istoric privind problemele de maxim  si de minim ^ n geometrie.
Problemele care privesc maximele  si minimele nu se reg asesc doar pe terenul  stiint ei,
ci  si ^ n viat a de zi cu zi, ^ ns a majoritatea dintre acestea sunt de natur a geometric a.
^Inc a din cele mai ^ ndep artate vremuri, oamenii s-au ^ nt^ alnit cu astfel de probleme.
C^ ateva dintre ele, care ^ n prezent sunt destul de faimoase, au fost rezolvate de vechii
greci, a c aror intuit ie le-a ^ ng aduit s a descopere solut ia problemelor respective, indi-
ferent c a nu aveau instrumentele matematice necesare furniz arii dovezilor riguroase
pentru multe dintre ele.
Putem aminti aici, ca exemplu, descoperirea lui Heron, care spune c a raza luminii
din spat iu care intr a dintr-un punct X si iese printr-un punct Ydup a o re
exie la
o oglind a x, c al atore ste calea cea mai scurt a de la XlaY, av^ and un punct comun
cux.
A sa-numita problem a izoperimetric a este tot o alt a problem a celebr a. Aceasta
a fost considerat a de Descartes (1596-1650), care enunt a c a dintre toate gurile
planului cu un perimetru dat, se g ase ste cel cu suprafat a cea mai mare. Cel care
poate rezolva aceast a problem a este cercul, cunoscut de Descartes, iar o dovad a
sigur a c a aceasta este solut ia a dat-o prima dat a Jacob Steiner, ^ n secolul al XIX-
lea.
U sor diferit a, dar tot o problem a izoperimetric a este cea a reginei legendare a
Cartaginei, Dido. Acesteia i s-a permis de c atre localnici s a cumpere o bucat a de
p am^ ant pe coasta Africii, ^ ns a nu mai mare dec^ at ceea ce poate ^ nconjura pielea
unei bovine. T aind pielea ^ n benzi ^ nguste, a f acut un  sir lung cu ajutorul c aruia ar
 trebuit s a ^ nconjoare o zon a c^ at mai mare pe malul m arii.
Realizarea acestui procedeu este str^ ans legat a de problema dat a anterior, iar o
solut ie se va g asi u sor dac a se cunoa ste proprietatea de maximizare a cercului.
1.2.Criterii ajut atoare pentru identicarea maximelor si minimelor. ^Inainte
de enunt area propriu-zis a a criteriilor, vom furniza c^ ateva denit ii ale unor not iuni
pe care le vom ^ nt^ alni pe parcursul lucr arii. Acestea ne vor ajuta s a ^ nt elegem mai
u sor cele ce urmeaz a.
Numim constant a m arimea care nu se modic a, av^ and doar o valoare x a  si numim
variabil a m arimea care poate avea diferite valori.
Variabila este opusul constantei.
Dac a o variabil a ^  si poate ^ nsu si o valoare aleatoare, dar ^ ntre anumite limite,
spunem c a este independent a .
Dac a se ^ nt^ ampl a contrariul, adic a dac a valorile variabilei nu sunt arbitrare  si sunt
str^ ans legate de cele care apart in altor m arimi, spunem c a este dependent a .
Funct iile pot depinde de una sau mai multe variabile, dar ^ n cel de-al doilea caz
este necesar ca variabilele s a e total independente ^ ntre ele.
Criteriile pentru rezolvarea problemelor de maxim  si de minim sunt mult prea
clare pentru a ne folosi de fel  si fel de demonstrat ii minut ioase sau de prea multe
6

explicat ii. A sadar, ne vom folosi de enunt area criteriilor ^ ntr-un mod c^ at mai simplu
de ^ nt eles.
Unul dintre criterii ne spune c a ^ n g asirea maximelor  si minimelor este necesar
s a observ am dac a funct ia analizat a cont ine maxim ori minim, iar acest lucru este
clar de remarcat, f ar a a mai  cazul de vreo examinare anticipat a c aut arii directe a
maximului ori minimului.
Uneori g asim  si situat ii c^ and cercet arile sunt mai dicile, c^ and este necesar s a
solut ion am problema ^ n mod nemijlocit, iar prin valori proprii s a putem hotar^  dac a
rezultatele descoperite coincid maximelor ori minimelor.
Un alt principiu enunt  a c a atunci c^ and o funct ie cre ste cu o m arime constant a, at^ at
maximele, c^ at  si minimele acesteia cresc cu aceea si m arime, ^ ns a valorile variabilei
maximelor  si minimelor r am^ an nemodicate.
La fel se ^ nt^ ampl a  si ^ n cazul funct iei care descre ste cu o m arime constant a, at^ at
maximele, c^ at  si minimele acesteia descresc cu aceeasi m arime, ^ ns a valorile variabilei
maximelor  si minimelor r am^ an nemodicate.
Principiul urm ator sust ine c a atunci c^ and avem o funct ie care cuprinde un maxim,
va rezulta c a inversa acesteia va cuprinde un minim.
Dac a se produce pe dos, adic a dac a funct ia cuprinde un minim, va rezulta c a
inversa acesteia va cuprinde un maxim.
Putem concluziona aici c a schimbarea unei funct ii cu inversa ei este, ^ n unele
situat ii, de o utilitate mai mare ^ n depistarea maximelor  si minimelor.
Ridicarea la puterea a doua a unei funct ii de valori pozitive, face ca rezultatul
acesteia s a e maxim ori minim pentru valorile neschimbate ale variabilei, unde  si
curenta funct ie este maxim a ori minim a.
Un alt criteriu ajut ator la identicarea maximelor  si minimelor noastre indic a
faptul c a atunci c^ and avem o funct ie pe care o ^ nmult im cu o constant a, vom avea
c a  si maximele  si minimele se ^ nmult esc cu aceasta, ^ ns a f ar a a modica valorile
variabilei care le denesc.
La fel se ^ nt^ ampl a  si c^ and ^ mp art im o funct ie la o constant a, maximele  si minimele
se vor ^ mp art i cu acea constant a, f ar a a modica valorile variabilei care le denesc.
Urm atorul principiu declar a c a pentru a
area maximului unei funct ii, putem s a
descompunem funct ia ^ n diferent  a de dou a funct ii, studiindu-i maximul desc azutului
 si, implicit, minimul sc az atorului, efectu^ and apoi diferent a dintre ele, dar f ac^ and  si
observat ia dac a acestea se potrivesc cu aceea si valoare a variabilei independente.
A
area minimului funct iei se face prin alegerea minimului desc azutului  si maximul
sc az atorului, efectu^ and diferent a dintre ele  si v az^ and dac a acestea se potrivesc cu
aceea si valoare a variabilei independente.
Putem desp art i funct ia  si ^ n c^ atul a dou a funct ii pentru g asirea maximului  si a
minimului. Pentru maxim vom lua minimul numitorului  si maximul num ar atorului,
vom efectua c^ atul dintre ele, apoi vedem dac a acestea se potrivesc cu aceea si valoare
a variabilei independente.
^In g asirea minimului vom proceda la fel, doar c a ^ n loc de minimul numitorului,
vom avea maximul numitorului, iar ^ n loc de maximul num ar atorului, avem minimul
num ar atorului.
7

Este foarte important ca maximele  si minimele s a se potriveasc a cu aceea si valoare
a variabilei independente, altfel, ceea ce am discutat mai sus, nu este practicabil.
Un alt principiu sust ine c a nu este de ajuns s a vedem doar dac a exist a vreun
maxim ori vreun minim, este necesar s a stabilim expresiile m arimilor concordante
pentru maxime  si minime.
Cel din urm a criteriu enunt  a c a o funct ie ce se a
 a ^ n subordinea mai multor
variabile independente, iar act iunile variat iilor acestora sunt deta sate ^ ntre ele, ne
va permite s a lu am spre analiz a, ^ n mod izolat, variabil a cu variabil a.
8

2.Teoreme utile ^n aflarea maximelor s i minimelor geometrice
^In cele ce urmeaz a, vom enunt a teoreme dintre cele mai consacrate, dar vom pre-
zenta  si demonstrat iile unor teoreme mai put in consacrate, ^ ns a la fel de importante
pentru obiectul lucr arii de fat  a.
Teorema 2.1. ^Intr-un triunghi oarecare, orice latur a a acestuia este mai mic a dec^ at
suma celorlalte dou a laturi.
Demonstrat ie. Fie triunghiul ABC , cu bisectoarea AD.
Figura 1
Avem c a unghiul DAB  si unghiul DAC sunt egale  si reiese c a unghiul ADC este
mai mare dec^ at unghiul CAD . Din teorema care spune c a unui unghi mai mare i se
opune o latur a mai mare, reiese c a ACeste mai mare dec^ at DC. Dar  si ABeste mai
mare dec^ at DB. Astfel c a, dup a ce adun am inegalit at ile, ne va da ( AC+AB)>BC.

Teorema 2.2. Dac a unui triunghi ^ i mut am v^ arful ^ n interiorul acestuia, ne va
rezulta c a perimetrul noului triunghi va  mai mic dec^ at cel init ial, iar unghiul din
v^ arful nou creat va  mai mare dec^ at primul.
Demonstrat ie. Consider am triunghiul DEF  si triunghiul D0EFrezultat f ac^ and mu-
tarea v^ arfului D^ nD0.
Astfel c a
DE+DF > D0E+D0F
 si
cD0>bD
Prin alungirea lui ED0p^ an a la t aierea laturii DF, vom obt ine demonstrat ia de care
9

avem nevoie.

Teorema 2.3. Dac a pe dou a paralele lu am dou a puncte, intervalul cel mai scurt
^ ntre puncte este lungimea unei perpendiculare ^ ntre acestea.
Demonstrat ie. Fig.3 ne arat a c a perpendiculara LL0luat a pe paralelele M siM0
este mai scurt a dec^ at PP0, dup a cum spune  si enunt ul teoremei.

Teorema 2.4. Cea mai mare distant  a a unui punct al arcului de cerc c atre coard a
este s ageata arcului.
Demonstrat ie. S ageata m asoar a intervalul dintre coarda DEpe care o vizualiz am
in g.4  si tangenta la cerc J0J.
F ar a a lua ^ n calcul punctul de contact al tangentei, vedem c a toate celelalte puncte
de pe arc se a
 a ^ ntre J0J siDE, ceea ce ne spune c a distant a acestora de coard a
este mai mic a dec^ at ar  s ageata.

Teorema 2.5. At^ at distant a cea mai mic a, c^ at  si distant a cea mai mare ale unui
punct dat c atre un punct a
at pe cerc, se a
 a pe dreapta ce leag a punctul dat cu
centrul cercului.
Demonstrat ie. Vom considera Oca ind cerc Mun punct dat. MO taie cercul ^ n
N siN0.
Se vede cu ochiul liber c a MN este distant  a minim a, iar MN0este distant  a maxim a
10

(g. 5).
Dac a Ms-ar  a
at pe cerc, distan aa minim a ar  fost nul a, iar cea maxim a era
totuna cu diametrul cercului.
Dac a punctul Ms-ar  a
at ^ n centrul cercului, nu am  avut maxim sau minim,
pentru c a distant ele de la punct la cerc sunt totuna cu raza gurii. C^ and se ^ nt^ ampl a
^ n acest fel, funct ia este constant a.

Teorema 2.6. Unghiul MNP ^ nscris cercului din g. 6, este de ecare dat a mai
mare dec^ at un unghi de tipul MP0N, care are v^ arful ^ n afara cercului, dar  si de e-
care dat a mai mic c^ and avem un unghi de tipul MP00N, care are v^ arful ^ n interiorul
cercului.
Demonstrat ie. Demonstrat ia reiese^ n urma comparat iei arcelor ce evalueaz a unghiu-
rile.

Urm atoarele teoreme fac referire la funct iile cu dou a ori mai multe variabile, cu
suma variabilelor constant a ori produsul.
Vom ^ nt^ alni teoreme care urm aresc g asirea doar a maximelor  si teoreme care caut a
doar g asirea minimelor, ^ ns a prin inversarea funct iilor, ne va  permis s a aplic am
teoremele maximelor  si la minime, la fel  si pe cele ale minimelor la maxime.
Teorema 2.7. Un produs de dou a variabile, care au suma constant a, este maxim
dac a elementele sunt egale, dar dac a nu sunt egale, este maxim atunci c^ and diferent a
factorilor este maxim a.
Demonstrat ie. Consider am segmentul de dreapt a MN, format din suma factorilor
MP  siNP. Pe segmentul MN ca diametru se expune un semicerc, iar din punctul
P^ n alt  am o perpendicular a PR, apoi unic am RcuM siN(g. 7).
Potrivit triunghiului format MRN , rezult a MPNP=PR2. Dac a PReste cel
11

mai mare posibil, ne va da c a MPNPeste maxim. Prin unirea lui Rcu centrul
cercului O, ne va rezulta c a PROR.
A sadar, ROeste maximul lui PR, adic a raza cercului, valoarea atins a unindu-l pe
PcuR siRcuS, pe perpendiculara ajuns a ^ n OpeMN.
Reiese
MO =NO=1
2MN
Deci, este necesar s a avem factori egali.
Prin urmare, produsul maxim va
OS2=OM2=1
4MN2
Vom avea
PO=OMMP
 si
PO=NPON
F ac^ and suma egalit at ilor  si av^ and c a OM =ONca raze, ne va rezulta c a
2OP=NPMP
A sadar, OPeste minim odat a cu efectuarea diferent ei factorilor NP siMP.
Astfel, problema admite o solut ie care ^ i corespunde simetricului lui Pfat  a de O,
P0.

Teorema 2.8. O sum a de doi factori ce au produsul constant, este minim a atunci
c^ and elementele sunt egale, iar dac a nu sunt egale, atunci c^ and diferent a lor este
minim a.
Demonstrat ie. Consider am Ocercul din g. 8.
FieQun punct x ^ n exteriorul cercului. Tras am din Qdreapta QOce desparte
cercul ^ n R siR0,  siQSS0secanta mobil a ce desparte cercul ^ n S siS0.
Este clar
QSQS0=QRQR0= (QOOR)(QO+OR0) =QO2OR2;
astfel ne rezult a QSQS0este constant.
Consider am Tproiect ia lui Ope mijlocul lui SS0, astfel
QT=QS+ST
12

 si
QT=QS0S0T;
rezult^ and din adunare
2QT=QS+QS0:
Pentru a g asi minimul sumei QS+QS0, este sucient s a g asim minim pe QT.
Prin ^ mbinarea lui OcuT, ne va rezulta un triunghi QTO dreptunghic. A sezarea
v^ arfului Teste semicercul descris pe QOca diametru. Coarda QTa cercului va
descre ste la momentul ^ ndep art arii lui TdeO, iarQVva  minimul acesteia, c^ and
S siS0se confund a ^ n punctul de contact Val tangentei duse din Qc atre cercul O.
Atunci, QS=QS0. Este clar QV2=QSQS0.
Dac a SS0nu se deplaseaz a p^ an a c^ and s a devin a tangent a la cercul O, este momentul
s a ne oprim c^ and dep artarea OTeste din ce ^ n ce mai mare, adic a atunci c^ and QS
se duce spre QS0, rezult^ and c a diferent a lor este cea mai mic a.

Teorema 2.9. Un produs a trei factori, a c aror sum a este constant a, este maxim
dac a factorii sunt egali.
Demonstrat ie. Vom ilustra suma pe un segment de dreapt a MN (g. 9).
Lu am punctele S siPpe segment, pentru care NS,SP siPM s a redea factorii al
c aror produs NSSPPM s a e maxim.
Presupunem c a primul factor c autat este NS. Alegem s a situ am PpeSM pentru
a ne rezulta produsul SPPM maxim, altfel, dac a am alege un alt punct P^ n
felul urm ator SP0P0M > SPPM, am avea, dup a ^ nmult irea acestor p art i ale
inegalit at ii cu NS, c a
NSNP0P0M > NSSPPM;
iar cel din urm a produs nu ar  maxim, potrivit prespunerii.
Trebuie SP=PM.
Repet^ and rat ionamentul lui NS si pentru MP, vom g asi SP=NS. Vom avea, din
cele dou a egalit at i c a
NS=SP=PM:
Deci, segmentul NM trebuie descompus ^ n trei sect iuni egale, iar dup a, teorema se
demonstreaz a pentru trei factori.
13

14 CARABET MARIANA

Reciproc a. Dac a produsul a trei cantit at i variabile este constant, suma acestora
este minim a dac a factorii sunt egali ^ ntre ei.
Teorema 2.10. C^ and suma p atratelor a dou a cantit at i variabile este constant a,
produsul acestor variabile este maxim atunci c^ and factorii sunt egali.
Demonstrat ie. Ilustr am prin intermediul coardelor MN  siMS, factorii din enunt .
MN  siMSreprezint a, de altfel,  si catelele unui triunghi dreptunghic MNP (g. 10).
Astfel, s=MNMS
2, unde seste aria triunghiului  si pentru c a MN2+MP2=MS2
potrivit teoremei lui Pitagora, vom avea c a ipotenuza triunghiului este constant a,
iar aria acesteia este maxim a, atunci c^ and ^ n alt imea lui MN este cea mai mare.
Locul geometric al lui Meste semicercul SRN .
Cea mai mare distant  a al unui punct al semicercului c atre diametrul s au NSeste
s ageata RO, care este egal a cu raza semicercului. ^Ins a atunci MS siMN vor deveni
RS siRN. Acestea sunt  si egale.

Reciproc a. C^ and produsul a dou a cantit at i variabile este constant, suma p atratelor
acestor variabile este minim a atunci c^ and factorii sunt egali.