Probleme de Loc Geometric In Plan Si In Spatiu
PROBLEME DE LOC GEOMETRIC
ÎN PLAN ȘI ÎN SPAȚIU
LUCRARE METODICO–ȘTIINȚIFICĂ PENTRU
OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I
– MATEMATICĂ –
STRUCTURA LUCRĂRII
CUVÂNT INTRODUCTIV
Capitolul 1. LOCURI GEOMETRICE ÎN PLAN ȘI SPAȚIU
1.1 Definirea noțiunii de loc geometric
1.2 Locuri geometrice elementare
1.3 Utilizarea transformărilor geometrice în rezolvarea problemelor de loc geometric
Capitolul 2. LOCURI GEOMETRICE ÎN PLAN ȘI SPAȚIU.
CONSIDERAȚII METODICE
2.1 Locul și rolul problemelor de loc geometric în gimnaziu și liceu
2.2 Demersul metodic al proiectării unui opțional
2.3 Probleme de loc geometric în geometria plană și în spațiu
Capitolul III. METODE TRADIȚIONALE VERSUS METODE MODERNE UTILIZATE ÎN PROIECTAREA TEMELOR DE LOC GEOMETRIC
3.1 Metode utilizate în procesul de predare–învățare–evaluare
3.2 Cercetare pedagogică privind eficiența metodelor activ-participative în dezvoltarea creativității și a gândirii critice
ANEXE
BIBLIOGRAFIE
CU P R I N S
CUVÂNT INTRODUCTIV
Capitolul 1. LOCURI GEOMETRICE ÎN PLAN ȘI SPAȚIU
1.1 Definirea noțiunii de loc geometric
1.2 Locuri geometrice elementare
1.2.1. După forma (imaginea) locului geometric
1.2.2. După modul de definire a locului geometric
1.2.3. După elementele fixe și elementele mobile care caracterizează locul
geometric
1.3 Utilizarea transformărilor geometrice în rezolvarea problemelor de loc geometric
1.3.1. Translația
1.3.2. Rotația
1.3.3. Simetria
1.3.4. Omotetia 1.3.5. Inversiunea
Capitolul 2. LOCURI GEOMETRICE ÎN PLAN ȘI SPAȚIU.
CONSIDERAȚII METODICE
2.1 Locul și rolul problemelor de loc geometric în gimnaziu și liceu
2.1.1 Poziția matematicii în gimnaziu și liceu
2.1.2 Aspecte metodice privind predarea problemelor de loc geometric în plan și spațiu
2.2 Demersul metodic al proiectării unui opțional
2.2.1 Principii privind proiectarea unui CDȘ
2.2.2 Demersul metodic privind proiectarea opționalului „Probleme de loc geometric în plan și în spațiu”
2.3 Probleme de loc geometric în geometria plană și în spațiu
2.3.1 Locuri geometrice elementare
2.3.2 Probleme de loc geometric rezolvabile prin transformări geometrice
2.3.2.1 Translația
2.3.2.2 Rotația
2.3.2.3 Simetria
2.3.2.4 Omotetia
2.3.2.5 Inversiunea
Capitolul 3. METODE TRADIȚIONALE VERSUS METODE MODERNE UTILIZATE ÎN PROIECTAREA TEMELOR DE LOC GEOMETRIC
3.1. Metode utilizate în procesul de predare – învățare – evaluare
3.2. Cercetare pedagogică privind eficiența metodelor activ – participative în dezvoltarea creativității și a gândirii critice
3.2.1. Metodologia cercetării
3.2.2. Concluzii și propuneri
BIBLIOGRAFIE
ANEXE
C A P I T O L U L 1
LOCURI GEOMETRICE IN PLAN ȘI SPAȚIU
1.1. DEFINIREA NOȚIUNII DE LOC GEOMETRIC
In lucrările de specialitate consultate întâlnim diferite formulări ale definiției noțiunii de loc geometric. Vom prezenta câteva dintre aceste definiții:
“Locul geometric al unor puncte se numește totalitatea punctelor care au anumite proprietați, ce le aparțin lor în mod exclusiv” [1].
“Figura formată din mulțimea tuturor punctelor care au aceeași proprietate se numește loc geometric” [6].
“Se numește loc geometric al unui punct care poate ocupa o infinitate de poziții, figura (în general linie sau suprafață) formată din mulțimea acestor poziții” [10].
“Se numește loc geometric mulțimea tuturor punctelor care au o anumită proprietate” [9].
“Se numește loc geometric mulțimea punctelor din plan sau din spațiu care au o aceeași proprietate” [12].
“Locurile geometrice în plan sunt mulțimi de puncte care îndeplinesc o anumită condiție geometrică” [14].
“Se numește loc geometric mulțimea tuturor punctelor care au o proprietate caracteristică comună” [17].
“O mulțime de puncte din plan sau din spațiu definită prin specificarea unor proprietăți geometrice se numește loc geometric” [20].
In [16] găsim precizarea: “Definiția: loc geometric este o mulțime de puncte – pe care unii o consideră modernă – nu este completă. Pe baza ei aceștia cer să eliminăm denumirea loc geometric și să păstrăm numai denumirea mulțime. Definiția corectă (si completă) este cea clasică: locul geometric al punctelor cu proprietatea P este figura geometrică F pe care o formează mulțimea punctelor cu proprietatea P.”
Enunțul de tipul: “Să se determine mulțimea M a punctelor din plan aflate la egală distanță de două puncte date A și B” nu este complet chiar daca mulțimea M este bine determinată prin darea proprietății P (punctele se află la egală distanță de două puncte fixe A și B). O mulțime este bine determinată când pentru orice element putem afirma: aparține mulțimii, sau nu aparține mulțimii. In acest caz enunțul dat are altă intenție: să găsim unde se află punctele mulțimii, ce figură geometrică formează ele, să vizualizăm locul geometric. Formularea corectă ar fi: “Sa se afle locul geometric F al punctelor M din plan, aflate la egală distanță de doua puncte fixe A și B.” Un punct M arbitrar ales, al planului, verifică una din relațiile: MA = MB (și atunci el aparține locului geometric F), sau MA ≠ MB (și atunci el nu aparține locului geometric F). Răspunsul: locul geometric cerut este mediatoarea F a segmentului [AB] se justifică prin două teoreme, ca în orice problemă în care se demonstrează egalitatea a două mulțimi.
“Preocuparea de a găsi locuri geometrice, reprezintă efortul spre vizualizarea unei proprietăți geometrice referitoare la un punct, într-un context dat. A spune că punctul M este la o distanță r de un alt punct fix O este mai puțin sugesiv decât imaginea unui cerc de centru O si rază r, îsoțită de condiția MC(O,r). Specificul geometriei este și acela de a asocia o figură unei proprietăți abstracte, de a alterna gândirea concretă cu cea abstractă și de a renunța în final la figură pentru a o înlocui din nou cu o propoziție abstractă. În consecință capacitatea de a folosi cu eficiență locurile geometrice este un bun certificat de înțelegere a geometriei. A înțelege noțiunea de loc geometric nu înseamnă încă posibilitatea de a asocia oricărei propoziții mulțimea punctelor ce o satisfac. In cadrul acestei treceri pot exista numeroase obstacole cu caracter tehnic ce se înlătură treptat prin aprofundarea unor noi capitole ale geometriei elementare sau superioare. Probabil că acesta este motivul principal pentru care suficiente persoane din diferite generații se autosugestioneaza negativ susținând că nu înțeleg noțiunea de loc geometric. Precizăm că noțiunea de loc geometric este foarte simplă, dar există numeroase probleme dificile de loc geometric” [3].
1. 2. LOCURI GEOMETRICE ELEMENTARE
Folosind diferite criterii putem desprinde următoarele categorii de locuri geometrice:
1. 2. 1. După forma (imaginea) locului geometric
Luând în considerare figura geometrică (imaginea) formată de punctele locului geometric, ditingem trei clase mai importante:
Locuri geometrice de tip linie (L);
Locuri geometrice de tip suprafața (S);
Locuri geometrice de tip spațiu (V).
Din clasa locurilor geometrice de tip (L) putem extrage câteva categorii mai des întâlnite în învățământul matematic preuniversitar:
locuri geometrice: linii dreapte (d);
locuri geometrice: cercuri (c);
locuri geometrice: conice (diferite de cerc) (e).
Locurile geometrice de tip (d) sunt locurile geometrice care reprezintă drepte sau părți ale dreptei: semidrepte, segmente (închise sau deschise) sau reuniuni ale acestora situate pe aceeași dreaptă sau pe drepte diferite, poligoane.
Locurile geometrice de tip (c) au ca imagine cercuri de centre și raze egale sau diferite, arce de cerc sau reuniuni ale acestora.
Locurile geometrice de tip (e) sunt acele locuri geometrice care reprezintă elipse, parabole, hiperbole sau părți ale acestora reunite între ele.
Se pot întâlni și locuri geometrice de tip mixt: (d,c); (d,e); (c,e) sau (d,c,e) formate din reuniuni de locuri geometrice de tipurile amintite.
Din clasa locurilor geometrice de tip (S) distingem:
locuri geometrice: suprafațe plane (Sp);
locuri geometrice: suprafațe sferice (Ss);
locuri geometrice: suprafațe circulare (Sr);
locuri geometrice: cuadrice (Sq).
În categoria locurilor geometrice de tip (Sp) intră locurile geometrice care reprezintă plane, semiplane, benzi din plan, părți ale planului cuprinse între laturile unui unghi, părți ale planului mărginite de drepte (poligoane) sau de curbe (cercuri, elipse, parabole, hiperbole,…), reuniuni sau intersecții de locuri geometrice de arie nenulă.
Dintre locurile geometrice de tip (Ss) enumerăm: sfera, zona și calota sferică, părți de suprafață sferică sau reuniuni ale acestora.
În categoria locurilor geometrice de tip (Sr) includem: suprafața cilindrică circulară, suprafața conică circulară, suprafețele obținute prin rotirea unui cerc (arc de cerc) în jurul unei drepte din planul cercului și care nu trece prin centrul cercului, reuniuni ale acestora.
Locurile geometrice din clasa (Sq) sunt cuadricele singulare: suprafața cilindrică hiperbolică, suprafața cilindrică eliptică, suprafața cilindrică parabolică, suprafața conică de gradul II si cuadricele nesingulare: elipsoidul, paraboloidul eliptic, paraboloidul hiperbolic, hiperboloidul cu o pânză, hiperboloidul cu două pânze sau reuniuni ale acestora.
Putem întâlni și locuri geometrice mixte de tip (S) formate din reuniuni de locuri geometrice de tip (Sp), (Ss), (Sr) sau (Sq).
Din clasa locurilor geometrice de tip spațiu (V) distingem:
locuri geometrice: spații mărginite de suprafețe plane (Vp);
locuri geometrice: spații mărginite de suprafețe sferice (Vs);
locuri geometrice: spații mărginite de suprafețe circulare (Vr);
locuri geometrice: spații mărginite de cuadrice (Vq).
În categoria locurilor geometrice (Vp) putem cuprinde: semispațiul, subspațiile marginite de suprafețe prismatice și piramidale, poliedrele, reuniuni și intersecții ale acestora.
Dintre locurile geometrice de tip (Vs) amintim bila (sfera cu punctele ei interioare), corpurile mărginite de reuniuni sau intersecții de sfere.
Locurile geometrice de tip (Vr) cuprind acele spații marginite de suprafețe cilindrice circulare, de pânze conice circulare, de reuniuni și intersecții ale acestora, cilindrul circular, conul circular și alte corpuri marginite de suprafețe de tip (Sr).
Locurile geometrice de tip (Vq) sunt acele corpuri mărginite de suprafețe de tip (Sq), de reuniuni și intersecții ale acestor suprafețe.
Se pot întâlni și locuri geometrice de tip (V) mărginite de reuniuni de suprafețe de tipurile: (Sp), (Ss), (Sr), (Sq).
Sunt desigur și alte tipuri de locuri geometrice formate din puncte izolate, din curbe, din suprafețe descrise de curbe în mișcare, din intersecțiile altor locuri geometrice dar acestea sunt mai puțin întâlnite în matematica învățământului preuniversitar.
1. 2. 2. După modul de definire a locului geometric
Un alt criteriu de clasificare a locurilor geometrice este cel fundamentat pe modul de descriere (definire) a locului geometric. Din acest punct de vedere distingem două clase [21]:
Locuri geometrice de tip imagine (I);
Locuri geometrice de tip preimagine (P).
Definiție: Fie f : X Y o funcție. Spunem că un loc geomertic L este de tip imagine dacă L este locul geometric al punctelor M = f(x), când x parcurge o submulțime D din domeniul de definiție X, al funcției f. In acest caz L Y. (fig. 1)
x f(x) * M
D L
X Y
fig. 1
Definiție: Un loc geometric L este de tip preimagine dacă el este format din mulțimea punctelor M pentru care f(M) = y, unde y parcurge o submulțime dată C inclusă in Y. In acest ccirculare, de reuniuni și intersecții ale acestora, cilindrul circular, conul circular și alte corpuri marginite de suprafețe de tip (Sr).
Locurile geometrice de tip (Vq) sunt acele corpuri mărginite de suprafețe de tip (Sq), de reuniuni și intersecții ale acestor suprafețe.
Se pot întâlni și locuri geometrice de tip (V) mărginite de reuniuni de suprafețe de tipurile: (Sp), (Ss), (Sr), (Sq).
Sunt desigur și alte tipuri de locuri geometrice formate din puncte izolate, din curbe, din suprafețe descrise de curbe în mișcare, din intersecțiile altor locuri geometrice dar acestea sunt mai puțin întâlnite în matematica învățământului preuniversitar.
1. 2. 2. După modul de definire a locului geometric
Un alt criteriu de clasificare a locurilor geometrice este cel fundamentat pe modul de descriere (definire) a locului geometric. Din acest punct de vedere distingem două clase [21]:
Locuri geometrice de tip imagine (I);
Locuri geometrice de tip preimagine (P).
Definiție: Fie f : X Y o funcție. Spunem că un loc geomertic L este de tip imagine dacă L este locul geometric al punctelor M = f(x), când x parcurge o submulțime D din domeniul de definiție X, al funcției f. In acest caz L Y. (fig. 1)
x f(x) * M
D L
X Y
fig. 1
Definiție: Un loc geometric L este de tip preimagine dacă el este format din mulțimea punctelor M pentru care f(M) = y, unde y parcurge o submulțime dată C inclusă in Y. In acest caz L X (fig. 2)
f
M * *f(M)
L C
X Y
fig. 2
Observații:
Dacă funcția f este bijectivă atunci locul geometric L poate fi considerat atât de tip imagine (I) cât și de tip preimagine (P).
De regulă locurile geometrice de tip (I) sunt cele descrise prin construcții geometrice sau prin transformări geometrice. Mai precis fiecărui punct arbitrar x, care parcurge o figură dată D, i se asociază un punct mobil M = f(x), precizat în anumite condiții geometrice date.
În general locurile geometrice de tip (P) sunt cele în care punctul M este supus unor relații metrice (între distanțe, unghiuri, arii) care depind de poziția punctului M.
Exemple:
Problema 1.
În interiorul cercului de centru O și rază R se ia un punct fix A. Fie P un punct mobil pe cerc. Să se afle locul geometric al punctului M, mijlocul segmentului [AP].
Soluție:
fig. 3
Punctele A și O sunt fixe. Fie B mijlocul segmentului [AO], rezultă că B este fix. [BM] este linie mijlocie în triunghiul AOP. Deci BM = (constant). Deci punctul M descrie cercul de centru B și rază .
Se demonstrează ușor că orice punct al acestui cerc îndeplinește ipoteza. (fig. 3)
Locul geometric din problema 1 este de tip (I). Într-adevăr în problema 1 putem considera funcția f : X Y, unde X este mulțimea punctelor planului, Y este mulțimea punctelor interioare cercului de centru O, iar D = C(O;R). Daca P = x f(x) = M, xD, iar M descrie L = C(B;R’), unde R’ = și L Y. Deci L este locul geometric căutat.
Problema 2.
Să se afle locul geometric al punctelor M din plan pentru care suma pătratelor distanțelor la două puncte fixe A și B este constantă.
Soluție:
M
A O B
fig. 4
MA2 + MB2 = k, k R+
Fie O mijlocul segmentului [AB] și AB = 2a. În triunghiul MAB exprimăm lungimea medianei MO:
MO2 = MO = = .
Deci MO este constantă.
Punctul O este fix, iar OM este constantă deci M descrie cercul de centru O și rază OM. Condiția de existență a locului geometric este 2k – 4a2 0, sau k2a2. Pentru k = 2a2 avem MO = 0 deci M = O și locul geometric este punctul O – mijlocul segmentului [AB].
Pentru MO = a, locul geometric al punctului M este cercul de diametru [AB].
Se verifică ușor că pentru orice punct M’ al cercului găsit avem: M’A2 + M’B2 = =2M’O2 + 2a2 = 2MO2 + 2a2 = k – 2a2 + 2a2 = k.
Locul geometric din problema 2 este de tip (P). Fie funcția f : X Y, unde X este mulțimea punctelor planului, Y = R+ (mulțimea numerelor reale nenegative), iar f(M) = MA2 + + MB2 = k. Locul geometric L este generat de mulțimea punctelor M pentru care f(M) = k, LX, iar C = f(M) = k, CY.
Pe lângă avantajele tipice care decurg din orice clasificare, categoriile: (I); (P) prezentate în paragraful 1. 2. 2, ne conduc la obținerea dintr-o problemă dată, a unui mare număr de probleme prin două procedee:
păstrând legea de corespondență putem considera în loc de D o altă submulțime D1 D, din domeniul X;
putem încerca să extindem (să prelungim) legea de corespondență la o altă submulțime D’ a lui X, DD’ X. De exemplu dacă D a fost o submulțime a planului, să extindem f la întregul plan sau la întregul spațiu.
Se pot obține probleme de loc geometric și prin compunerea a două funcții care definesc locuri geometrice.
1.2.3. După elementele fixe și elementele mobile care caracterizează locul geometric
În această clasificare elementul mobil este punctul, iar elementele fixe sunt:
puncte, drepte și cercuri – pentru geometria plană;
puncte, drepte și plane – pentru geometria în spațiu.
Proprietatea caracteristică este distanța constantă a elementului mobil fața de elementele fixe (sau: suma distanțelor, diferența distanțelor, suma pătratelor distanțelor, diferența pătratelor distanțelor, raportul distanțelor la două / trei elemente fixe date).
A. Locuri geometrice în plan:
Un element fix și un punct mobil aflat la distanță constantă de elementul fix.
un punct fix și un punct mobil;
o dreaptă fixă și un punct mobil;
un cerc fix și un punct mobil.
I. 1. Locul geometric generat de un punct mobil M din plan, aflat la o distanță constantă r față de un punct fix O, este un cerc de centru O și rază r. (fig. 5)
I. 2. Locul geometric generat de un punct mobil M din plan, aflat la o distanță constantă d față de o dreaptă fixă a, este format din două drepte a’ și a”, paralele cu a, situate în semiplane opuse față de dreapta a. (fig. 6)
I. 3. Locul geometric generat de un punct mobil M, aflat la o distanță constantă q față de cercul de centru O și rază r, este format din două cercuri concentrice cu cercul dat și de raze: r – q, respectiv r + q. (fig.7)
Două elemente fixe (punct, dreaptă, cerc) și un punct mobil.
Două puncte fixe și un punct mobil pentru care:
distanțele la cele două puncte fixe sunt egale;
suma distanțelor la punctele fixe este constantă;
diferența distanțelor la punctele fixe este constantă;
raportul distanțelor la punctele fixe este constant;
suma pătratelor distantelor la punctele fixe este constantă;
diferența pătratelor distantelor la punctele fixe este constantă;
aria triunghiului format de punctul mobil și punctele fixe este constantă;
unghiul sub care se vede din punctul mobil segmentul determinat de punctele fixe este constant.
II. 1. a) Locul geometric al punctelor M, egal distanțate de două puncte fixe A și B, este mediatoarea segmentului [AB]. (fig. 8)
II. 1. b) Locul geometric al punctelor M, care au suma distanțelor la două puncte fixe A și B constantă, este o elipsă. (fig. 9)
II. 1. c) Locul geometric al punctelor M, care au diferența distanțelor la două puncte fixe A și B constantă, este o hiperbolă. (fig. 10)
II. 1. d) Locul geometric al punctelor M, care au raportul distanțelor la două puncte fixe A și B egal cu o constantă k, k ≠1, este un cerc. Cercurile obținute pentru diferite valori ale lui k se numesc cercurile lui Appollonius (fig. 11). Pentru k = 1 obținem MA = MB și locul geometric este mediatoarea segmentului [AB] (II. 1.a), (fig. 8).
II. 1. e) Locul geometric al punctelor M, care au suma pătratelor distanțelor la două puncte fixe A și B constantă, este cercul de centru O – mijlocul segmentului [AB], sau punctul O. (vezi Pb.2, fig. 4).
II. 1. f) Locul geometric al punctelor M, care au diferența pătratelor distanțelor la două puncte fixe A și B egală cu o constantă k, este o dreaptă perpendiculară pe AB. (fig. 12). Pentru k = 0 obținem MA2 = MB2, deci MA = MB și locul geometric devine mediatoarea segmentului [AB].
II. 1. g) Locul geometric al punctelor M, pentru care aria triunghiului MAB este constantă, A și B fiind fixe, este reuniunea a două drepte paralele cu AB, situate la aceeași distanță de AB, în semiplane opuse. Dacă notăm: AB = 2a, înălțimea triunghiului = h și aria triunghiului MAB = k, avem ah = k de unde h = (constantă). Deci punctul M descrie locul geometric I. 2. (fig. 6).
II. 1. h) Locul geometric al punctelor M, din care segmentul determinat de punctele fixe A și B se vede sub un unghi de măsură constantă u0, este reuniunea a două arce congruente, cu capetele în A și B, situate în semiplane opuse față de AB. Arcul astfel obținut se numește arc capabil de unghiul dat u0. (fig. 13). Dacă u = 900, locul geometric este cercul de diametru AB.
Două drepte fixe și un punct mobil pentru care raportul distanțelor la dreptele date este constant.
dreptele fixe sunt paralele;
dreptele fixe sunt concurente.
II. 2. a) Locul geometric al punctelor M, pentru care raportul distanțelor la două drepte paralele date a și b este constant, este reuniunea a două dreapte paralele cu dreptele date. Dacă raportul distanțelor de la M respectiv la dreptele a și b este subunitar, dreptele care formează locul geometric sunt situate de o parte și de alta a dreptei a (fig.14), iar dacă este supraunitar, dreptele sunt situate de o parte și de alta a dreptei b. Dacă raportul este echiunitar problema se reduce la cazul particular:
Locul geometric al punctelor M, aflate la distanțe egale față de două drepte paralele date a și b, este o dreaptă c paralelă cu dreptele date, dusă prin mijlocul segmentului care reprezintă distanța dintre drepte. (fig. 16).
II. 2. b) Locul geometric al punctelor M pentru care raportul distanțelor, la două drepte concurente în O XX’ și YY’, este o constantă diferită de zero, este reuniunea a patru semidrepte deschise cu originea in O, două câte două opuse (fig. 15). Dacă raportul k al distanțelor este egal cu 1, problema se reduce la cazul particular:
Locul geometric al punctelor M, aflate la distanțe egale față de două drepte concurente date XX’ și YY’, este reuniunea bisectoarelor deschise ale unghiurilor formate de cele două drepte (fig. 17).
Un punct fix, o dreaptă fixă și un punct mobil pentru care raportul distanțelor la punctul fix și la dreapta dată are o valoare constantă.
punctul fix aparține dreptei;
punctul fix nu aparține dreptei.
II. 3. a) Locul geometric al punctelor M pentru care raportul distanțelor la un punct fix P (care aparține dreptei d) și la dreapta dată d are o valoare constantă, este o dreaptă care trece prin punctul P (fig. 18). Dacă valoarea raportului este egală cu 1, dreapta este perpendiculară pe d (fig. 19).
II. 3. b) Locul geometric al punctelor M pentru care raportul distanțelor la un punct fix F, numit focar (care nu aparține dreptei d) și la o dreapta fixă d, numită directoare, are o valoare constantă e (numită excentricitate), este:
o elipsă, dacă e < 1 (fig. 20);
o parabolă, dacă e = 1 (fig. 21);
o hiperbolă, dacă e > 1 (fig. 22).
Un punct fix, un cerc fix și un punct mobil aflat la distanțe egale față de punctul fix și de cerc.
punctul fix aparține cercului;
punctul fix este interior cercului;
punctul fix este exterior cercului.
Definiție: Distanța de la un punct P la un cerc de centru O este distanța de la punctul dat P la punctul cercului aflat pe semidreapta [OP.
II. 4. a) Locul geometric al punctelor M egal distanțate de un cerc de centru O și de un punct fix P, care aparține cercului, este semidreapta [OP. (fig. 23)
II. 4. b) Locul geometric al punctelor M egal distanțate de un cerc de centru O și de un punct fix P, care este interior cercului, este o elipsă cu focarele în O și P. (fig. 24)
II. 4. c) Locul geometric al punctelor M egal distanțate de un cerc de centru O și de un punct fix P, care este exterior cercului, este o hiperbolă. (fig. 25)
O dreaptă fixă, un cerc fix și un punct mobil aflat la distanțe egale de dreaptă și de cerc.
dreapta este exterioară cercului;
dreapta este tangentă la cerc;
dreapta este secantă la cerc.
II. 5. a) Locul geometric al punctelor M egal distanțate de un cerc fix și de o dreaptă fixă exterioară cercului este o parabolă (fig. 26).
II. 5. b) Locul geometric al punctelor M egal distanțate de un cerc fix de centru O și de o dreaptă fixă tangentă la cerc în punctul T, este reuniunea semidreptei [OT cu o parabolă cu vârful în T (fig. 27).
II. 5. c) Locul geometric al punctelor M egal distanțate de un cerc fix și de o dreaptă fixă secantă la cerc, este reuniunea a două parabole (fig. 28).
Două cercuri fixe și un punct mobil aflat la distanțe egale față de cercuri.
cercuri exterioare;
cercuri tangente exterioare;
cercuri secante;
cercuri tangente interioare;
cercuri interioare;
cercuri concentrice.
II. 6. a) Locul geometric al punctelor M egal distanțate de două cercuri exterioare este o hiperbolă (fig. 29).
II. 6. b) Locul geometric al punctelor M egal distanțate de două cercuri tangente exterioare este reuniunea dintre o hiperbolă și segmentul determinat de centrele celor două cercuri (fig. 30).
II. 6. c) Locul geometric al punctelor M egal distanțate de două cercuri secante este reuniunea dintre o hiperbolă, care „trece” prin punctele de intersecție ale cercurilor, și o elipsă cu focarele în centrele cercurilor (fig. 31).
II. 6. d) Locul geometric al punctelor M egal distanțate de două cercuri tangente interioare în punctul T, este reuniunea dintre o elipsă, cu focarele în centrele celor două cercuri, și semidreapta determinată de centrul cercului mai mic și punctul de tangență (fig. 32).
II. 6. e) Locul geometric al punctelor M egal distanțate de două cercuri interioare este o elipsă cu focarele in centrele celor două cercuri (fig. 33).
II. 6. f) Locul geometric al punctelor M egal distanțate de două cercuri concentrice este un cerc concentric cu cercurile date și de rază egală cu semisuma razelor cercurilor date (fig. 34).
Două cercuri fixe și un punct mobil care are aceeași putere față de cele două cercuri.
cercuri exterioare;
cercuri tangente exterioare;
cercuri secante;
cercuri tangente interioare;
cercuri interioare.
II. 7. a), b), c), d), e). Locul geometric al punctelor M, care au aceeași putere față de două cercuri fixe date, este o dreaptă perpendiculară pe linia centrelor, numită axa radicală a celor două cercuri (fig: 35, 36, 37, 38, 39). În cazul cercurilor tangente axa radicală este tangenta comună celor două cercuri. Dacă cercurile sunt secante axa radicală este dreapta determinată de punctele de intersecție ale celor două cercuri. Dacă cercurile sunt exterioare sau interioare axa radicală se determină astfel: se construiește un cerc ajutător care să fie secant cu cele două cercuri, trasăm axele radicale ale perechilor de cercuri secante, apoi din intersecția lor ducem perpendiculara pe linia centrelor cercurilor date.
Clasificarea poate continua cu trei elemente fixe (puncte, drepte, cercuri) și un punct M mobil:
Notând elementele fixe astfel: punctul (p), dreapta (d), cercul (c), se pot analiza, pentru elementele fixe, situațiile: (p,p,p); (p,p,d); (p,p,c); (d,d,d); (d,d,p); (d,d,c); (c,c,c); (c,c,p); (c,c,d); (p,d,c).
În majoritatea cazurilor locul geometric al punctului mobil M, este un punct obținut ca intersecție a locurilor geometrice prezentate anterior.
Dacă în clasificarea prezentată mai sus înlocuim punctul mobil M cu o dreaptă mobilă sau cu un cerc mobil și reluăm toate situațiile obținem, în geometria plană, locuri geometrice de tip suprafață (semiplane, coroane circulare, părți din plan, etc.), iar în spațiu, locuri geometrice de tip spațiu (tor, suprafață cilindrică, sferă, suprafață conică, etc.).
B. Locuri geometrice în spațiu.
I. Un element fix (punct, dreaptă, plan) și un punct mobil
un punct fix și un punct mobil;
o dreaptă fixă și un punct mobil;
un plan fix și un punct mobil.
I. 1. Locul geometric generat de un punct mobil M din spațiu, aflat la o distanță constantă r față de un punct fix O, este o sferă de centru O și rază r. (fig. 40)
I. 2. Locul geometric generat de un punct mobil M din spațiu, aflat la o distanță constantă d față de o dreaptă fixă a, este o suprafață cilindrică. (fig. 41)
I. 3. Locul geometric generat de un punct mobil M, aflat la o distanță constantă q față de un plan dat , este format din două plane π1 și π2 paralele cu planul dat, situate în semispații opuse față de planul dat. (fig. 42)
II. Două elemente fixe (punct, dreaptă, plan) și un punct mobil:
Două puncte fixe și un punct mobil pentru care:
distanțele la cele două puncte fixe sunt egale;
raportul distanțelor la punctele fixe este constant;
suma pătratelor distanțelor la punctele fixe este constantă;
diferența pătratelor distanțelor la punctele fixe este constantă;
aria triunghiului format de punctul mobil și punctele fixe este constantă;
unghiul sub care se vede din punctul mobil segmentul determinat de punctele fixe este constant.
II. 1. a) Locul geometric al punctelor M din spațiu egal distanțate de două puncte fixe A și B, este planul mediator al segmentului [AB] (fig. 43).
II. 1. b) Locul geometric al punctelor M din spațiu care au raportul distanțelor la două puncte fixe A și B egal cu o constantă k, k ≠1, este o sferă (fig. 44). Pentru k = 1 obținem:
MA = MB și locul geometric este planul mediator al segmentului [AB] ( fig. 43).
II. 1. c) Locul geometric al punctelor M din spațiu care au suma pătratelor distanțelor la două puncte fixe A și B constantă, este sfera de centru O – mijlocul segmentului [AB] – sau punctul O (fig. 45).
II. 1. d) Locul geometric al punctelor M din spațiu care au diferența pătratelor distanțelor la două puncte fixe A și B egală cu o constantă k, este un plan perpendicular pe AB (fig. 46). Pentru k = 0 obținem MA2 = MB2, deci MA = MB și locul geometric devine planul mediator al segmentului [AB].
II. 1. e) Locul geometric al punctelor M din spațiu pentru care aria triunghiului MAB este constantă, A și B fiind fixe, este o suprafață cilindrică circulară de axă dreapta AB și rază egală cu înălțimea h, din M, a triunghiului AMB (fig. 48).
II. 1. f) Locul geometric al punctelor M din spațiu, din care segmentul determinat de punctele fixe A și B se vede sub un unghi de măsură constantă u0, este corpul obținut prin rotația arcului capabil de unghiul u0 în jurul dreptei AB. Dacă u = 900, locul geometric este sfera de diametru AB. (fig. 47)
Două drepte fixe și un punct mobil egal distanțat de drepte:
dreptele fixe sunt paralele;
dreptele fixe sunt concurente.
II. 2. a) Locul geometric al punctelor M din spațiu aflate la distanțe egale față de două drepte paralele date a și b, este planul mediator al segmentului [AB], unde AB reprezintă distanța dintre drepte (fig. 49).
II. 2. b) Locul geometric al punctelor M din spațiu aflate la distanțe egale față de două drepte date XX’ și YY’ concurente în O, este reuniunea planelor perpendiculare pe planul dreptelor duse prin bisectoarele unghiurilor formate de cele două drepte, mai puțin punctul O (fig. 50).
Două plane fixe și un punct mobil egal distanțat de cele două plane:
planele fixe sunt paralele;
planele fixe sunt secante.
II. 3. a) Locul geometric al punctelor M din spațiu egal distanțate de două plane paralele α și β, este un plan paralel cu planele date și echidistant față de ele (fig. 51).
II. 3. b) Locul geometric al punctelor M din spațiu egal distanțate de două plane α și β care se intersectează după dreapta d, este reuniunea planelor bisectoare ale diedrelor determinate de cele două plane (fig. 52).
O dreaptă fixă, un punct fix și un punct mobil egal distanțat de dreaptă și punct:
punctul fix aparține dreptei;
punctul fix nu aparține dreptei.
II. 4. a) Locul geometric al punctelor M din spațiu egal distanțate de dreapta d și de punctul P care aparține dreptei, este un plan perpendicular pe dreapta d, care trece prin P (fig. 53).
II. 4. b) Locul geometric al punctelor M din spațiu egal distanțate de dreapta d și de punctul P care nu aparține dreptei, este reuniunea curbelor obținute prin intersecția dintre sfera de centru P și rază r cu suprafața cilindrică circulară de axă d și rază r (r ≥ , PA d, Ad).
Un plan fix, un punct fix și un punct mobil egal distanțat de punct și plan:
punctul fix aparține planului;
punctul fix nu aparține planului.
II. 5. a) Locul geometric al punctelor M din spațiu egal distanțate de planul α și de punctul P care aparține planului, este o dreaptă perpendiculară pe planul α, care trece prin P (fig. 54).
II. 5. b) Locul geometric al punctelor M din spațiu egal distanțate de planul α și de punctul P care nu aparține planului, este o suprafață parabolică obținută prin rotația parabolei din fig. 21, în jurul axei proprii.
Un plan fix, o dreaptă fixă și un punct mobil egal distanțat de dreaptă și plan:
dreapta este inclusă în plan;
dreapta este paralelă cu planul;
dreapta este perpendiculară pe plan;
dreapta intersectează planul, dar nu este perpendiculară pe plan.
II. 6. a) Locul geometric al punctelor M din spațiu egal distanțate de un plan α și de o dreaptă d, care este inclusă în planul α, este reuniunea a două drepte paralele cu d, situate in planul perpendicular pe planul α și echidistante față de d (fig. 55).
II. 6. b) Locul geometric al punctelor M din spațiu egal distanțate de un plan α și de o dreaptă d, care este paralelă cu planul α, este suprafața obținută prin translația de-a lungul dreptei d a unei parabole (fig. 21) cu focarul pe dreapta d și situată în plan perpendicular pe d (fig. 56).
II. 6. c) Locul geometric al punctelor M din spațiu egal distanțate de un plan α și de o dreaptă d, care este perpendiculară pe planul α în punctul P, este o suprafață conică cu două pânze, de axă dreapta d, cu vârful în P și cu generatoarele perpendiculare (fig. 57).
II. 6. d) Locul geometric al punctelor M din spațiu egal distanțate de un plan α și de o dreaptă d, care intersectează planul α și nu este perpendiculară pe α, este reuniunea a două drepte perpendiculare, acestea fiind bisectoarele unghiurilor formate de dreaptă cu proiecția ei pe plan (fig. 58).
În spațiu obținem locuri geometrice interesante dacă înlocuim punctul, ca element mobil, cu dreapta, elementele fixe fiind: punctul, dreapta, planul, cercul, poligoane, etc.
III. Un element fix (punct, dreaptă, plan) și o dreaptă mobilă aflată la distanță constantă nenulă, față de elementul fix:
Un punct fix și o dreaptă mobilă;
O dreaptă fixă și o dreaptă mobilă:
dreptele sunt paralele;
dreptele sunt necoplanare;
Un plan fix și o dreaptă mobilă.
III. 1. Locul geometric generat de o dreaptă a din spațiu, care se deplasează rămânând la distanța r (r ≠ 0) față de un punct fix O, este spațiul euclidian din care lipsește bila de centru O și rază r (fig. 59).
III. 2. a) Locul geometric generat de o dreaptă a din spațiu, care se deplasează rămânând paralelă cu o dreaptă fixă b și la distanța constantă r (r ≠ 0) față de dreapta fixă, este o suprafață cilindrică circulară (fig. 60).
III. 2. b) Locul geometric generat de o dreaptă a din spațiu, necoplanară cu o dreaptă fixă b, care se deplasează rămânând la distanța constantă r (r ≠ 0) față de dreapta fixă, este spațiul euclidian din care lipsește spațiul marginit de suprafața cilindrică circulară de axă b și rază r (fig. 61).
III. 3. Locul geometric generat de o dreaptă a din spațiu, care se deplasează rămânând paralelă cu un plan fix α și la distanța constantă r (r ≠ 0) față de planul fix, este reuniunea a două plane paralele cu planul dat și echidistante față de acesta (fig. 62).
IV. Două elemente fixe (punct, dreaptă, plan) și o dreaptă mobilă.
Două puncte A și B fixe și o dreaptă mobilă a, egal distanțată de punctele fixe, astfel încât:
dreapta a este paralelă cu AB;
dreapta a este perpendiculară pe AB;
dreptele a și AB sunt concurente și nu sunt perpendiculare.
IV. 1) a) Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, egal distanțată de două puncte fixe A și B, paralelă cu dreapta AB, este o suprafață cilindrică circulară (fig. 63).
IV. 1) b) Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, egal distanțată de două puncte fixe A și B, perpendiculară pe dreapta AB, este planul mediator al segmentului [AB] (fig. 64).
IV. 1) c) Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, egal distanțată de două puncte fixe A și B, care intersectează dreapta AB și nu este perpendiculară pe AB, este o suprafață conică circulară cu două pânze al cărei vârf este mijlocul segmentului [AB] (fig. 65).
Un punct fix A, o dreaptă fixă b și o dreaptă mobilă a, egal distanțată de dreaptă și punct:
Punctul fix A aparține dreptei fixe b:
dreapta mobilă a este paralelă cu b;
dreapta mobilă a este perpendiculară pe b;
dreptele a și b nu sunt concurente.
Punctul fix A nu aparține dreptei b dar aparține dreptei a:
dreptele a și b sunt concurente (d(a,A) = d(a,b) = 0).
Punctul fix A nu aparține dreptei fixe și nici dreptei mobile:
dreapta mobilă a trece prin mijlocul perpendicularei [AB], dusă din A pe b (B aparține dreptei b) și a este perpendiculară pe AB;
dreapta mobilă a este perpendiculară pe dreapta fixă b.
IV. 2) a) 1. Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, care se află la distanța r de o dreaptă fixă b cu care este paralelă, și de un punct fix A care aparține dreptei b, este suprafața cilindrică circulară de axă b și rază r (fig. 66).
IV. 2) a) 2. Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, aflată la distanța r de o dreaptă fixă b pe care este perpendiculară, și de un punct fix A care aparține dreptei b, este un plan din care lipsește discul de centru A și rază r (fig. 67). Dacă r = 0, locul geometric este planul, perpendicular pe dreapta b, care trece prin punctul A.
IV. 2) a) 3. Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, aflată la distanța r de o dreaptă fixă b și de un punct fix A care aparține dreptei b, dreptele a și b fiind neconcurente, este spațiul euclidian din care lipsește spațiul interior suprafeței cilindrice de axă b și rază r (fig. 68).
IV. 2) b) 1. Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, care trece printr-un punct fix A și se sprijină pe dreapta fixă b, este un plan din care lipsește dreapta a’, paralela dusă prin A la dreapta b (fig. 69).
IV. 2) c) 1. Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, egal distanțată de o dreaptă fixă b și de un punct fix A, și care trece prin mijlocul segmentului [AB], ce reprezintă distanța de la punctul A la dreapta b (B b), este planul mediator al segmentului [AB] (fig. 70).
IV. 2) c) 2. Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a egal distanțată de o dreaptă fixă b, față de care este perpendiculară, și de un punct fix A, este o suprafață parabolică (fig. 71).
Un punct fix A, un plan fix α, și o dreaptă mobilă a astfel încât:
dreapta mobilă a este egal distanțată de punctul A și de planul α:
dreapta mobilă a trece prin punctul A și intersectează planul α;
dreapta mobilă a este paralelă cu planul α și trece prin mijlocul segmentului [AB], care reprezintă distanța de la punctul A la plan;
dreapta mobilă a este paralelă cu planul α și se află la distanța constantă r față de punctul A și de planul α.
dreapta mobilă a este paralelă cu planul α și este egal distanțată față de punctul A și de planul α.
dreapta mobilă a este perpendiculară pe α, și se află la distanța constantă r față de punctul A;
măsura unghiului dintre a și α este constantă:
punctul fix A aparține dreptei a și planului α;
punctul fix A aparține dreptei a și nu aparține planului α.
IV. 3) a) 1. Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, aflată la distanță egală cu zero față de planul α și de punctul fix A care nu aparține planului, este spațiul euclidian R3 mai puțin planul β, care trece prin A și este paralel cu planul α (fig. 72).
IV. 3) a) 2. Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a paralelă cu planul α și egal distanțată de punctul A și planul α, este planul mediator al segmentului [AB], unde B este piciorul perpendicularei dusă din A pe planul α (fig. 73).
IV. 3) a) 3. Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, paralelă cu planul α, aflată la distanța constantă r față de punctul A și de planul α, este un plan β paralel cu planul α, care trece prin A și din care lipsește discul de centru A și rază r (fig. 74).
IV. 3) a) 4. Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, paralelă cu planul α și egal distanțată față de punctul A și de planul α, este semispațiul care conține punctul A, mărginit de planul β care trece prin mijlocul segmentului ce reprezintă distanța de la punctul A la plan, din care lipsește spațiul interior paraboloidului de focar A (fig. 75).
IV. 3) b) Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, perpendiculară pe planul α și aflată la distanța r față de punctul fix A, este o suprafață cilindrică circulară de rază r și axă perpendiculară pe plan dusă prin A (fig. 76).
IV. 3) c) 1. Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, care trece prin punctul fix A (A α) și formează cu planul α un unghi de masură constantă u0 (00 < u0 < 900), este o suprafață conică circulară cu vârful în A (fig. 77). Dacă u0 = 00 locul geometric este planul α, iar dacă u0 = 900 locul geometric este dreapta a, a α.
IV. 3) c) 2. Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, care trece prin punctul fix A (A α) și formează cu planul α un unghi de masură constantă u0 (00 < u0 < 900), este o suprafață conică circulară cu vârful in A (fig. 78). Dacă u0 = 00 locul geometric este un plan β, (β || α), iar dacă u0 = 900 locul geometric este dreapta a, aα.
Dacă la această categorie înlocuim planul fix α cu un poligon convex sau cu un cerc păstrînd dreapta mobilă care trece prin punctul fix A obținem:
IV. 3’) a) Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, ce se sprijină pe un poligon convex și trece printr-un punct fix A care nu aparține planului poligonului, este o suprafață piramidală cu vârful în A (fig. 79);
IV. 3’) b) Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, ce se sprijină pe un cerc și trece printr-un punct fix A care nu aparține planului cercului, este o suprafață conică cu vârful în A (fig. 80);
Două drepte fixe b și c și o dreaptă mobilă a, egal distanțată de b și c:
dreptele b și c sunt paralele:
distanțele de la dreapta mobilă a la dreptele fixe b și c sunt egale cu zero;
distanțele de la dreapta mobilă a la dreptele fixe b și c sunt egale și diferite de zero.
dreptele b și c sunt concurente;
dreptele b și c sunt necoplanare.
IV. 4) a) 1. Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, aflată la distanța zero de două drepte paralele fixe b și c, este planul determinat de dreptele b și c (fig. 81).
IV. 4) a) 2. Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, egal distanțată de două drepte paralele fixe b și c, este un plan paralel cu dreptele b și c, care trece prin mijlocul distanței dintre ele (fig. 82).
IV. 4) b) Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, egal distanțată de două drepte concurente fixe b și c, este reuniunea planelor perpendiculare pe planul dreptelor b și c, care includ respectiv bisectoarele unghiurilor formate de cele două drepte (fig. 83).
IV. 4) c) Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, egal distanțată de două drepte necoplanare fixe b și c, este un plan paralel cu dreptele b și c, care trece prin mijlocul segmentului ce reprezintă distanța dintre ele (fig. 84).
O dreaptă fixă b, un plan fix α și o dreaptă mobilă a, astfel încât:
dreapta fixă b este perpendiculară pe planul α, dreapta mobilă a este paralelă cu dreapta b, iar distanța de la a la b este constantă;
dreapta fixă b este perpendiculară pe planul α, dreapta mobilă a nu este paralelă cu dreapta b, iar distanța de la a la b este constantă;
dreapta fixă b este perpendiculară pe planul α, dreapta mobilă a trece prin punctul de intersecție al dreptei b cu planul α (abα = {O}), iar măsura unghiului dintre a și α este constantă;
dreapta fixă b este perpendiculară pe planul α, dreapta mobilă a este paralelă cu planul α și este egal distanțată de dreapta b și de planul α;
dreapta fixă b este perpendiculară pe planul α, dreapta mobilă a este paralelă cu planul α, iar distanța de la dreapta a la planul α este constantă;
dreapta b este paralelă cu planul α, dreapta a este perpendiculară pe planul α și este la distanță constantă față de dreapta b;
dreapta b este paralelă cu planul α, dreapta a este paralelă cu dreapta b și este egal distanțată de dreapta b și de planul α;
dreapta b este paralelă cu planul α, dreapta a este paralelă cu planul α dar nu este paralelă cu dreapta b și este egal distanțată de dreapta b și de planul α;
Dacă înlocuim planul fix cu un cerc sau cu un poligon convex, iar dreapta mobilă a se deplasează sprijinindu-se pe cerc, respectiv pe poligon, rămânând paralelă cu dreapta fixă b (care nu este paralelă cu planul cercului, respectiv poligonului), obținem ca locuri geometrice suprafața cilindrică, respectiv suprafața prismatică.
IV. 5) a) Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, aflată la o distanță constantă r de o dreaptă fixă b și paralelă cu dreapta fixă b, care este perpendiculară pe un plan fix α, este o suprafață cilindrică circulară de axă b și rază r (fig. 85).
IV. 5) b) Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, aflată la o distanță constantă r de o dreaptă fixă b și neparalelă cu dreapta fixă b, care este perpendiculară pe un plan fix α, este spațiul euclidian R3 din care lipsește spațiul interior suprafeței cilindrice circulare de axă b și rază r (fig. 86).
IV. 5) c) Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, care formează un unghi de măsură constantă cu un plan fix α și care trece prin punctul de intersecție O, cu planul α, al unei drepte fixe b perpendiculară pe planul α , este o suprafață conică circulară de axă b cu vârful în O (fig. 87).
IV. 5) d) Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, care este paralelă cu un plan fix α și este egal distanțată de plan și de o dreaptă fixă b care este perpendiculară pe planul α, este spațiul euclidian R3 din care lipsește spațiul mărginit de o suprafață conică circulară (fig. 88).
IV. 5) e) Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, care este paralelă cu un plan fix α, este egal distanțată de plan și intersectează o dreaptă fixă b care este perpendiculară pe planul α, este reuniunea a două plane paralele cu planul α și echidistante față de α (fig. 89).
IV. 5) f) Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, perpendiculară pe un plan fix α și aflată la o distanță constantă față de o dreaptă fixă b care este paralelă cu planul α, este reuniunea a două plane paralele cu b și perpendiculare pe α (fig. 90).
IV. 5) g) Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, paralelă cu o dreaptă fixă b și egal distanțată de un plan fix α și de dreapta fixă b care este paralelă cu planul α, este o suprafață parabolică (fig. 91).
IV. 5) h) Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, neparalelă cu o dreaptă fixă b și egal distanțată de un plan fix α și de dreapta b care este paralelă cu planul α, este un plan paralel cu planul α și echidistant față de planul α și de dreapta b (fig. 92).
Dacă la această categorie înlocuim planul fix cu un poligon convex sau cu un cerc, iar dreapta mobilă a rămâne paralelă cu dreapta fixă b obținem:
IV. 5’) a) Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, care se deplasează sprijinindu-se pe un poligon convex, rămânând paralelă cu o dreaptă fixă b care nu este paralelă cu planul poligonului, este o suprafață prismatică (fig. 93).
IV. 5’) b) Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, care se deplasează sprijinindu-se pe un cerc, rămânând paralelă cu o dreaptă fixă b care nu este paralelă cu planul cercului, este o suprafață cilindrică circulară (fig. 94).
Două plane fixe α și β și o dreaptă mobilă a, egal distanțată de planele fixe:
planele sunt paralele;
planele sunt concurente.
IV. 6) a) Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, egal distanțată de două plane paralele fixe α și β, este un plan paralel cu planele date (fig. 95).
IV. 6) b) Locul geometric generat de o dreaptă mobilă a, egal distanțată de două plane concurente fixe α și β, este reuniunea planelor bisectoare ale diedrelor formate de planele date (fig. 96).
În literatura de specialitate sunt considerate locuri geometrice elementare (fundamentale) acele locuri geometrice care sunt definiții ale unor noțiuni geometrice, cele mai simple locuri geometrice și acelea care stau la baza rezolvării altor probleme mai dificile de loc geometric. Atât în geometria plană cât și în geometria în spațiu aceste locuri geometrice fundamentale sunt considerate „alfabetul” locurilor geometrice.
Dintre locurile geometrice prezentate în paragraful 1.2.3 pot fi considerate locuri geometrice elementare următoarele:
A. În geometria plană:
Locul geometric al punctelor din plan egal distanțate de o dreapta dată d, aflate în același semiplan fața de dreapta d, este o dreaptă paralelă cu dreapta dată d. Acest loc geometric este un caz particular al locului geometric din paragraful 1.2.3. A. I.2.
Mediatoarea unui segment (1.2.3. A. II. 1. a));
Bisectoarea unui unghi nealungit este locul geometric al punctelor din plan egal distanțate de laturile unghiului. Acesta este un caz particular al locului geometric prezentat la II. 2. b), unde k = 1 și dreptele concurente sunt înlocuite cu semidrepte care au aceeași origine.
Cercul (1.2.3. A. I. 1.);
Arcul capabil de unghi dat (1.2.3. A. II. 1. h));
Elipsa (1.2.3. A. II. 1. b));
Hiperbola (1.2.3. A. II. 1. c));
Parabola este locul geometric al punctelor din plan egal distanțate de un punct fix F numit focar și de o dreaptă fixă d numită directoare. Acest loc geometric este un caz particular al locului geometric prezentat la II. 3. b), unde pentru e = 1 avem deci MF = MA, MAd și Ad.
Axa radicală a două cercuri (1.2.3. A. II. 7. a), b),…e)).
Alte locuri geometrice simple, prezentate în paragraful 1.2.3, care pot fi cuprinse în categoria locurilor geometrice elementare din geometria plană (A) sunt: I. 2; I. 3; II. 1. d); II. 1. f); II. 2. a); II. 2. b); II. 3. a).
Unele locuri geometrice elementare prezentate mai sus apar ca și cazuri particulare ale unor locuri geometrice cuprinse în paragraful 1.2.3. A. De exemplu:
mediatoarea unui segment este un caz particular al locului geometric prezentat la II. 1. d), pentru k = 1, sau al locului geometric prezentat la II. 1. f), pentru k = 0;
bisectoarea unui unghi este un caz particular al locului geometric prezentat la II. 2. b), pentru k = 1;
cercul este un caz particular al locului geometric prezentat la II. 1. h), pentru u0 = 900;
elipsa este un caz particular al locului geometric prezentat la II. 3. b), pentru e < 1;
hiperbola este un caz particular al locului geometric prezentat la II. 3. b), pentru e > 1.
B. În geometria în spațiu:
Locul geometric al punctelor din spațiu egal distanțate de un plan dat α, aflate în același semispațiu fața de planul α, este un plan β paralel cu planul dat α. Acest loc geometric este un caz particular al locului geometric din paragraful: 1.2.3. B. I.3.
Planul mediator al segmentului [AB] (1.2.3. B. II. 1. a));
Planul bisector al unui diedru nealungit este locul geometric al punctelor din spațiu egal distanțate de fețele diedrului. Acesta poate fi considerat un caz particular al locului geometric prezentat în: 1.2.3. B. la II. 3. b).
Sfera (1.2.3. B. I.1.);
Suprafața prismatică (1.2.3. B. IV. 5’) a));
Suprafața cilindrică circulară (1.2.3. B. IV. 5’) b)). Acest loc geometric mai poate fi definit ca la: I.2; II.1.e); III.2)a); IV.1)a); IV.2)a)1; IV.3)b); IV.5)a), din paragraful 1.2.3. B.
Suprafața piramidală (1.2.3. B. IV. 3’) a));
Suprafața conică circulară (1.2.3. B. IV. 3’) b)). Acest loc geometric mai poate fi definit ca la: II.6.c); IV.1)c); IV.3)c)1.; IV.3)c)2.; IV.5)c), din paragraful 1.2.3. B.
Planul radical a două sfere este locul geometric al punctelor din spațiu care au aceeași putere față de cele două sfere. Planul radical este perpendicular pe linia centrelor celor două sfere.
Alte locuri geometrice simple, din paragraful 1.2.3, care pot fi cuprinse în categoria locurilor geometrice elementare din geometria în spațiu (B) sunt: I.3.; II.1.b); II.1.c); II.1.d); II.1.f); II.3.a); II.6.b); III.3. Această listă poate fi completată cu alte locuri geometrice care definesc noțiuni, din geometria în spațiu, cum ar fi: suprafața eliptică, suprafața parabolică, suprafața hiperbolică, elipsoidul, paraboloidul, hiperboloidul, ș.a.
1.3 UTILIZAREA TRANSFORMĂRILOR GEOMETRICE ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DE LOC GEOMETRIC
In continuarea lucrarii de față ne propunem doar definirea noțiunilor și a acelor proprietăți care se pot folosi la rezolvarea problemelor de loc geometric, precum și modul în care transformările geometrice pot ajuta la înțelegerea, descoperirea unor proprietăți, intuirea locului geometric cerut de problemă și la rezolvarea efectivă a acesteia. Amintim că mai frecvent utilizate sunt izometriile planului și spațiului: simetriile (față de un punct și față de o dreaptă), translația, rotația, dar și transformările care nu sunt izometrii: omotetia și inversiunea în plan și spațiu.
Utilizarea eficientă a transformărilor geometrice, în studierea proprietăților geometrice ale unei figuri și la rezolvarea unor probleme, presupune cunoașterea proprietăților acestora.
1.3.1. Translația
Definiție. Numim vector o pereche ordonată (A, B) de puncte din planul euclidian E2.
Notăm: , unde: A se numește originea vectorului, B – extremitatea vectorului, iar se numește lungimea (modulul, norma) vectorului.
Definiție. Fie un vector arbitrar în planul euclidian E2. Se numește translație de vector transformarea : E2 E2 care asociază fiecărui punct M din E2 un punct M’ din E2 definit prin și .
M’ se numește transformatul lui M prin translația de vector
Dacă A = B vectorul se numește vector nul și , M fiind punct fix al translației de vector nul, iar este aplicația identică a planului E2.
Proprietăți:
1) Locul geometric al transformatelor punctelor unei drepte d prin translația de vector este tot dreapta d, sau este o dreaptă d’ paralelă cu d.
Dacă este vectorul nul, atunci fiecare punct al dreptei d se transformă în el însuși, deci
Dacă este paralel cu d, atunci dreapta d se transformă în ea însăși, punct cu punct, translația fiind o funcție bijectivă, deci
Dacă nu este paralel cu d, atunci dreapta d se transformă în dreapta d’ și d’||d.
Fie A și B două puncte diferite ale dreptei d.
AA’ = și AA’|| (1) BB’ = și BB’ || (2).
Din (1) și (2) rezultă că AA’B’B este paralelogram și deci A’B’ || AB. Notăm A’B’ = d’. Rezultă că d || d’. Afirmăm că d’ este transformata dreptei d prin translația de vector . Pentru aceasta trebuie să demonstrăm că transformatul oricărui alt punct al dreptei d, prin translația de vector , aparține dreptei d’ și că oricare punct al dreptei d’ este transformatul unui punct al dreptei d, prin translația de vector .
Fie C d și . Dacă C’d’, avem C’B’ || d și deci prin B’ se pot duce două paralele (d’ și d”) la dreapta d. Contrazice axioma paralelelor. Deci C’ d’.
Fie N un punct, arbitrar ales, al dreptei d’. Să demonstrăm că N este transformatul unui punct al dreptei d prin translația de vector . Ducem NM || , M d.
Avem MN || AA’ și MA || NA’. Deci MNA’A este paralelogram, de unde MN = AA’ și cum , avem , adică N este transformatul punctului M prin translația de vector . Deci locul geometric este dreapta d’.
2) Locul geometric al transformatelor punctelor unui plan α, prin translația de vector , este tot planul α, sau este un plan α’ paralel cu α. (Demonstrația este similară cu cea precedentă).
Observație: Translația de vector nenul nu are puncte fixe și invariază dreptele paralele cu și planele paralele cu .
3) Translația de vector nenul transformă un segment [AB] într-un segment [A’B’] paralel și congruent cu segmentul dat.
Fie AA’ = și AA’|| (1) BB’ = și BB’ || (2).
Din (1) și (2) rezultă că AA’B’B este paralelogram și deci A’B’ || AB și [A’B’] ≡ [AB].
4) Translația de vector nenul transformă un unghi XOY într-un unghi X’O’Y’ congruent cu unghiul dat.
Fie și . Avem [O’X’ || [OX și [O’Y’ || [OY (conform proprietății 1)). Deci ca unghiuri cu laturile respectiv paralele.
Observație: O translație de vector nenul este o transformare conformă (conservă masura unghiurilor). În particular transformă drepte paralele în drepte paralele și drepte perpendiculare în drepte perpendiculare.
1.3.2. Rotația
Fie O E2, O – fix și un unghi orientat de măsură u, u R, u [0, π]
Definiție. Numim rotație de centru O și unghi u transformarea, R(o, u) : E2 → E2, care asociază oricărui punct M din E2 un punct M’, caracterizat prin:
a) [OM] ≡ [OM’];
b) m (.
Spunem că M’ este imaginea punctului M prin rotația de centru O și unghi u. Notăm: Ro,u(M) = M’, sau R(M) = M’.
Dacă M = O, avem M’ = O, deci R(M) = M – punct invariant al rotației.
Dacă u = 0, avem RO,0 (M) = M – transformarea identică.
Dacă u = π , avem RO, π (M) = M’ – simetricul față de O al lui M.
Pentru u ≠ 0 și u ≠ π, rotația de centru O și unghi u se numește rotație proprie.
Pentru u ≠ 0, punctul O este singurul punct fix al rotației.
Proprietăți:
1) Locul geometric al transformatelor punctelor unei drepte d, prin rotația de centru O și unghi u, este tot dreapta d, sau este o dreaptă d’ care formează cu d un unghi de măsură u.
Demonstrație:
Fie RO,u(d) rotație proprie. Avem două cazuri: a) O d și b) O d.
Dacă O d, luăm A d și Ro,u(A) = A’. Notăm OA’ = d’. Afirmăm că Ro,u(d) = d’.
Fie B ≠ A, B d și Ro,u(B) = B’. Avem , deci B’ d’ și
Dacă O d luăm OMd, M d, aplicăm punctului M rotația de centru O și unghi u: Ro,u(M) = M’ și trasăm d’OM’. Afirmăm că d’ este locul geometric al transformatelor punctelor dreptei d, prin rotația de centru O și unghi u.
Fie A d, A ≠ M și Ro,u(A) = A’. Triunghiurile OMA și OM’A’ sunt congruente (LUL), de unde rezultă că A’M’OM’, deci A’ d’. La fel se arată că orice punct al dreptei d’ este imaginea unui punct al dreptei d prin rotația de centru O și unghi u. Deci locul geometric căutat este dreapta d’.
Dacă u = 0, orice punct al dreptei d este invariant, deci RO,0(d) = d, indiferent dacă d trece sau nu prin centrul de rotație;
Dacă u = π și d trece prin centrul de rotație, d se transformă în ea însăși, punct cu punct, deci RO, π (d) = d;
Dacă u = π și d nu trece prin centrul de rotație, atunci d se transformă într-o dreaptă d’ paralelă cu d.
2) Transformatul unui segment [AB], printr-o rotație proprie de centru O și unghi u, este un segment [A’B’] congruent cu segmentul dat.
Demonstrație:
Fie Ro,u([AB]) = [A’B’]. Avem două cazuri: a) O [AB] și b) O [AB].
În primul caz ∆AOA’ este isoscel, de unde [OA’] ≡ [OA] și ∆BOB’ este isoscel, de unde [OB’] ≡ [OB]. Punctele A’,O și B’ sunt coliniare. Deci A’B’ = A’O + OB’= AO + OB = AB. De unde [A’B’] ≡ [AB].
În al doilea caz ∆AOB ≡ ∆A’OB’ (LUL), de unde [A’B’] ≡ [AB].
3) Transformatul unui unghi XPY, printr-o rotație proprie de centru O și unghi u, este un segment X’P’Y’ congruent cu unghiul dat.
Demonstrație:
Fie APX, BPY și Ro,u(A) = A’, Ro,u(B) = B’, Ro,u(P) = P’. ∆APB ≡ ∆A’P’B’ (LLL), de unde , deci .
Observație: O rotație de centru O și unghi u este o transformare conformă (conservă măsura unghiurilor). În particular rotația de centru O și unghi u transformă drepte paralele în drepte paralele și drepte perpendiculare în drepte perpendiculare.
1.3.3 Simetria
a) Simetria față de o dreaptă (simetria axială)
Definiție: Fie E2 și d E2. Numim simetrie față de dreapta d transformarea Sd : E2→E2 care asociază oricărui punct M din E2 un punct M’ astfel încât dreapta d este mediatoarea segmentului [MM’].
Spunem că M’ este imaginea punctului M prin simetria față de axa d și notăm: Sd(M) = M’; d se numește axă de simetrie.
Dacă M d, atunci Sd(M) = M. Punctele axei de simetrie d sunt invariante prin simetria față de dreapta d .
Proprietăți:
1) Locul geometric al transformatelor punctelor unei drepte a prin simetria față de o axă d este o dreaptă a’.
Demonstrație:
Fie A și B două puncte diferite ale dreptei a și Sd(A) = A’; Sd(B) = B’.
Afirmăm că a’ = A’B’ este locul geometric căutat. Fie Ca, C ≠ A, C ≠ B și Sd(C) = C’.
Să arătăm că C’a’. Presupunem că C’a’ și fie CC’a’ = C’’.
Trapezul ABB’A’ este isoscel, deci B ≡ B’. La fel trapezul ACC’A’ este isoscel, de unde C ≡ A’C’C fig.2.3.2.a). Dar B ≡ ACC’ (corespondente), de unde A’C’C ≡ B’. Unghiurile A’C’’C și B’ sunt corespondente, deci A’C’’C ≡ B’. Din ultimele două congruențe rezultă A’C’’C ≡ A’C’C, adică în triunghiul A’C’C’’un unghi exterior este congruent cu un unghi interior. Contradicție. Deci presupunerea că C’a’ este falsă. Deci C’a’. La fel arătăm că orice punct al dreptei a’ este simetricul față de dreapta d al unui punct al dreptei a. Deci locul geometric al transformatelor punctelor dreptei a prin simetria față de o axă d este a’.
Dacă a || d atunci a’ || d, unde Sd(a) = a’. (fig. 2.3.2.b))
Dacă ad atunci Sd(a) = a. Dreapta a se transformă în ea însăși punct cu punct prin simetria față de dreapta d. Deci o dreaptă a este invariantă prin simetria față de o dreaptă d dacă ad sau dacă a = d. (fig. 2.3.2.c))
2) Simetricul unui segment [AB] față de o dreaptă d este tot un segment [A’B’] congruent cu segmentul dat.
Demonstrație:
Fie [AB], Sd(A) = A’; Sd(B) = B’. Din proprietatea 1) orice punct al segmentului [AB] se transformă într-un punct al segmentului [A’B’] prin simetria față de dreapta d. ∆ANA’ este isoscel ([MN] este mediană și înălțime), rezultă [AN] ≡ [A’N]; ANM ≡ A’NM (= u0).
În triunghiurile ∆ABN și ∆A’B’N avem: [AN] ≡ [A’N]; [BN] ≡ [B’N] și ANB ≡ A’NB’(900- u0), deci ∆ABN ≡ ∆A’B’N (LUL), de unde [AB] ≡ [A’B’].
3) Simetricul unui unghi XOY față de dreapta d este un unghi X’O’Y’ congruent cu unghiul dat.
Demonstrație:
Fie XOY, A[OX, B[OY și Sd(A) = A’; Sd(B) = B’; Sd(O) = O’. Din proprietatea 1) orice punct al semidreptelor [OX și [OY se transformă, prin simetria față de dreapta d, în puncte ale semidreptelor [O’X’ respectiv [O’Y’. Din proprietatea 2) rezultă: [OA] ≡ [O’A’] ; [OB] ≡ [O’B’] și [AB] ≡ [A’B’] deci ∆AOB ≡ ∆A’O’B’. De unde rezultă că A’O’B’≡AOB , deci X’O’Y’ ≡XOY.
Observație: Simetria față de o dreaptă este o transformare conformă (conservă măsura unghiurilor). În particular simetria față de o dreaptă transformă drepte paralele în drepte paralele și drepte perpendiculare în drepte perpendiculare.
b) Simetria față de un punct (simetria centrală)
Definiție: Fie E2 și A, O E2. Numim simetrie față de punctul O transformarea SO : E2→E2 prin care se asociază unui punct A din E2 un punct A’ astfel încât O este mijlocul segmentului [AA’].
Spunem că A’ este imaginea punctului A prin simetria față de punctul O și notăm: SO(A) = A’; O se numește centru de simetrie.
Dacă A = O, atunci SO(A) = A (transformarea identică).
Proprietăți:
1) Locul geometric al transformatelor punctelor unei drepte d prin simetria centrală față de O este o dreaptă d’ paralelă cu dreapta d.
Demonstrație:
Fie A,Bd, Od, SO(A) = A’, SO(B) = B’ și d’ = A’B’. Afirmăm că d’ este locul geometric căutat.
Să arătăm că simetricul oricărui punct al dreptei d față de O aparține dreptei d’. Fie C ≠ A, C ≠ B și SO(C) = C’. Presupunem că C’ nu aparține dreptei d’. ∆OBC ≡ ∆OB’C’ (LUL), de unde OB’C’≡OBC; OB’C’, OBC sunt alterne interne. Rezultă B’C’ || d. (1).
Din ∆AOB ≡ ∆A’OB’ (LUL) avem OB’A’≡OBA, iar OB’A’, OBA sunt alterne interne. Rezultă B’A’ || d (2). Din (1) și (2) rezultă că prin B’ se pot duce două paralele la dreapta d. Contrazice axioma paralelelor. Deci presupunerea că C’ d’ este falsă. Rezultă că C’ d’. La fel se arată că orice punct al dreptei d’ este simetricul unui punct al dreptei d față de O. Deci locul geometric este dreapta d’.
Dacă O d, atunci dreapta d se transformă în ea însăși punct cu punct, este invariantă față de simetria în raport cu un punct al dreptei.
2) Simetria față de un punct O transformă un segment [AB] într-un segment [A’B’] congruent cu segmentul dat.
Demonstrație:
Fie [AB] și OAB, SO(A) = A’, SO(B) = B’. Din proprietatea 1) orice punct al segmentului [AB] se transformă într-un punct al segmentului [A’B’] prin simetria față de punctul O. Avem ∆AOB ≡ ∆A’OB’ (LUL). Rezultă că [AB] ≡ [A’B’]. Dacă OAB, avem [AB] ≡ [A’B’] ca diferență de segmente congruente.
3) Simetria față de un punct O transformă un unghi XQY într-un unghi X’Q’Y’ congruent cu unghiul dat.
Demonstrație:
Fie XQY, A[OX, B[OY și SO(A) = A’; SO(B) = B’; SO(Q) = Q’. Notăm A’Q’B’=X’Q’Y’. Din proprietatea 1) orice punct al semidreptelor [QX și [QY se transformă, prin simetria față de punctul O, în puncte ale semidreptelor [Q’X’ respectiv [Q’Y’. Din proprietatea 2) rezultă că ∆AQB ≡ ∆A’Q’B’ (LLL), de unde AQB≡A’Q’B’. Deci X’Q’Y’ ≡XQY.
Observație: Simetria față de un punct este o transformare conformă (conservă măsura unghiurilor). În particular simetria față de un punct transformă drepte paralele în drepte paralele și drepte perpendiculare în drepte perpendiculare.
1.3.4 Omotetia
Definiție: Fie E2, un punct C și un număr real k nenul. Se numește omotetie de centru C și raport k transformarea H : E2→E2 care asociază oricărui punct M din E2 un punct M’ definit de relația ().
Punctul M’ se numește omoteticul punctului M prin omotetia de centru C și raport k. Notăm: HC,k(M) = M’.
Pentru k = 1 avem HC,1(M) = M (transformarea identică). Din CM’ = CM M’ = M.
Din relația deducem:
a) HC,k(C) = C;
b) Dacă M C aunci punctele C, M, M’ sunt coliniare;
c) Pentru k > 0 atunci M’ (CM și omotetia se numește directă iar pentru k < 0 atunci C [MM’] și omotetia se numește indirectă;
d) OM’ = OM.
Observații:
Pentru k ≠ 1, C este singurul punct fix al omotetiei HC,k, deci HC,k(C) = C;
Pentru k = -1, M’ este simetricul lui M față de C deci HC,-1(M) = SC(M) = M’;
Dreptele care trec prin centrul C al omotetiei sunt invariante prin omotetia de centru C și raport k (se transformă în ele însele punct cu punct). Deci dacă Cd atunci HC,k(d) = d;
Proprietăți:
1) Prin omotetia de centru C și raport k, locul geometric al transformatelor punctelor unei drepte d care nu trece prin centrul de omotetie este o dreaptă d’ paralelă cu dreapta d.
Demonstrație:
Fie d și Cd. Luăm M, Nd și HC,k(M) = M’, HC,k(N) = N’. Afirmăm că M’N’ = d’ este locul geometric cerut. În triunghiul CM’N’ avem și , deci , rezultă din reciproca teoremei lui Thales că MN || M’N’, deci d’|| d.
Să arătăm că transformatul oricărui punct al dreptei d, prin omotetia de centru C și raport k, este un punct care aparține dreptei d’.
Fie Pd, P ≠ M, P ≠ N și HC,k(P) = P’. Presupunem că P’d’. Avem: și , de unde , în triunghiul CM’P’. Conform reciprocei teoremei lui Thales rezultă M’P’|| MP. Deci prin punctul M’ se pot duce două paralele la dreapta d. (contrazice axioma paralelelor). Rezultă că presupunerea făcută este falsă. Deci P’d. La fel se arată că orice punct al dreptei d’ este omoteticul unui punct al dreptei d. Deci locul geometric cerut este dreapta d’.
2) Omotetia de centru C și raport k transformă un segment [AB] într-un segment [A’B’] cu A’B’ = k AB și A’B’ || AB.
Demonstrație:
Din HC,k(A) = A’ , iar din HC,k(B) = B’ , de unde ; ACB≡A’CB’, astfel rezultă că ∆ABC ~ ∆A’B’C , de unde , adică A’B’ = k AB, iar din proprietatea 1) avem A’B’ || AB.
3) Omotetia de centru C și raport k transformă un unghi XOY într-un unghi X’O’Y’ congruent cu unghiul dat.
Demonstrație:
Fie XQY, A[OX, B[OY și HC,k(O) = O’, HC,k(A) = A’, HC,k(B) = B’. Din proprietatea 1) rezultă O’X’ || OX și O’Y’ || OY, de unde X’O’Y’≡XOY (unghiuri cu laturile respectiv paralele).
Omotetia reprezintă un mijloc deosebit de eficient pentru rezolvarea unor probleme de geometrie sau pentru demonstrarea unor teoreme. Este necesar să se stabilească centrul de omotetie și raportul de omotetie în așa fel încât să se simplifice pe cât posibil demonstrația. Construim apoi figura omotetică cu cea căutată, după care, pe baza anumitor teoreme sau proprietăți ale omotetiei determinăm un element al noii figuri care se află în relație cu omoteticul său din problema ce trebuie rezolvată.
1.3.5 Inversiunea
Definiție: Fie E2, un punct P și un număr real k nenul. Se numește inversiune de pol P și putere k transformarea I : E2 \{P} →E2\{P} care asociază oricărui punct M din E2, M≠P un punct M’ situat pe dreapta PM definit de relația .
Punctul M’ se numește transformatul punctului M prin inversiunea de pol P și putere k. Notăm: IP,k(M) = M’.
Proprietăți:
1) Punctele P, M, M’ sunt coliniare (M’ este inversul lui M).
2) Pentru k > 0, M’ aparține semidreptei (PM, asfel încât P – M – M’ sau P – M’ – M, iar pentru k < 0, P este un punct interior al segmentului [MM’].
3) Din relația rezultă PM · PM’ = |k|.
4) Pentru k > 0, cercul de centru O și rază este locul geomeric al punctelor fixe ale inversiunii IP,k și se numește cerc de inversiune, (fiecare punct se transformă in el însuși).
5) Pentru k < 0, cercul de centru O și rază se transformă în el însuși, (fiecare punct al său se transformă în punctul diametral opus).
6) Inversiunea este o funcție bijectivă.
Un interes special, în rezolvarea problemelor de loc geometric, îl prezintă inversiunea care permite transformarea unei probleme de tip dreaptă într-o problemă de tip cerc sau invers, în funcție de preferințele rezolvitorului sau de simplificarea rezolvării. La aplicarea metodei inversiunii o importanță deosebită are stabilirea polului de inversiune și a puterii inversiunii.
CAPITOLUL 2
LOCURI GEOMETRICE IN PLAN ȘI SPAȚIU.
CONSIDERAȚII METODICE
2.1 LOCUL ȘI ROLUL PROBLEMELOR DE LOC GEOMETRIC ÎN GIMNAZIU ȘI LICEU
2.1.1 Poziția matematicii în gimnaziu și liceu
Programa școlară este parte componentă a curricumului național. Aceasta reprezintă documentul școlar de tip reglator – instrument de lucru al profesorului – care stabilește, pentru fiecare disciplină, oferta educațională care urmează să fie realizată în perioada de timp alocată pentru un parcurs școlar determinat.
Studiul matematicii în învățământul gimnazial își propune să asigure pentru toți elevii formarea unor competențe legate de folosirea calculelor, algoritmilor sau a raționamentelor matematice.
Totodată, se urmărește conștientizarea faptului că matematica este o activitate de descriere și de rezolvare a problemelor, folosind un limbaj unitar, aceasta făcând ca ea să fie o disciplină dinamică, strâns legată de societate prin relevanța sa în cotidian și prin rolul său în științele naturii, în științele economice, în tehnologii, în științele sociale etc.
Noul curriculum de matematică propune organizarea activității didactice pe baza corelării domeniilor de studiu, precum și utilizarea în practică în contexte variate a competențelor dobândite prin învățare.
În mod concret, s-a urmărit: esențializarea conținuturilor în scopul accentuării laturii formative; compatibilizarea cunoștințelor cu vârsta elevului și cu experiența anterioară a acestuia; continuitatea și coerența intradisciplinară; realizarea legăturilor interdisciplinare prin crearea de modele matematice ale unor fenomene abordate în cadrul altor discipline; prezentarea conținuturilor într-o formă accesibilă, în scopul stimulării motivației pentru studiul matematicii și, nu în ultimul rând, asigurarea unei continuități la nivelul experienței didactice acumulate în predarea matematicii în sistemul nostru de învățământ.
Programa de matematică este structurată pe formarea de competențe. Competențele sunt ansambluri structurate de cunoștințe și deprinderi dobândite prin învățare; ele permit identificarea și rezolvarea unor probleme specifice domeniilor de studiu, în contexte variate. Acest tip de proiectare curriculară își propune: focalizarea pe achizițiile finale ale învățării, accentuarea dimensiunii acționale în formarea personalității elevului, corelarea cu așteptările societății.
Programele școlare pentru învățământul gimnazial au următoarele componente:
• notă de prezentare
• competențe generale
• valori și atitudini
• competențe specifice și conținuturi
• sugestii metodologice.
Nota de prezentare a programei școlare argumentează structura didactică adoptată și sintetizează o serie de recomandări considerate semnificative din punct de vedere al finalităților studierii disciplinei respective.
Competențele generale reprezintă un ansamblu structurat de cunoștințe și deprinderi pe care și-l propune să-l creeze și să-l dezvolte fiecare disciplină de studiu, pe întreaga perioadă de școlarizare.
COMPETENȚE GENERALE
1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite.
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice .
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete.
4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora.
5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă.
6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii .
Valorile și atitudinile orientează dimensiunile axiologică și afectiv-atitudinală aferente formării personalității elevului din perspectiva fiecărei discipline. Realizarea lor concretă derivă din activitatea didactică permanentă a profesorului, constituind un element implicit al acesteia.
VALORI ȘI ATITUDINI
Dezvoltarea unei gândiri deschise și creative; dezvoltarea inițiativei, independenței în gândire și în acțiune pentru a avea disponibilitate de a aborda sarcini variate
Manifestarea tenacității, perseverenței, capacității de concentrare și a atenției distributive
Dezvoltarea spiritului de observație
Dezvoltarea simțului estetic și critic, a capacității de a aprecia rigoarea, ordinea și eleganța în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii
Formarea obișnuinței de a recurge la concepte și metode matematice în abordarea unor situații cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice
Formarea motivației pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viața socială și profesională
Competențele specifice se formează pe parcursul unui an de studiu, sunt deduse din competențele generale și sunt etape în formarea acestora. Conținuturile învățării sunt mijloace prin care se urmărește formarea competențelor specifice și, implicit, a competențelor generale propuse. Ele sunt organizate tematic, în unități de conținut.
Sugestiile metodologice propun modalități de organizare a procesului de predare-învățare-evaluare. Exemplele de activități de învățare sugerează demersuri pe care le poate întreprinde profesorul pentru formarea competențelor specifice.
Astfel, este util ca în procesul didactic să avem în vedere:
construirea unei varietăți de contexte problematice, în măsură să genereze deschideri către diferite domenii ale matematicii;
folosirea unor strategii diferite în rezolvarea aceleiași probleme, atunci când este cazul;
organizarea unor activități variate de învățare pentru elevi, în echipă și/ sau individual, în funcție de nivelul și de ritmul propriu de dezvoltare al fiecăruia;
construirea unor secvențe de învățare care să permită activități de
explorare/investigare la nivelul noțiunilor de bază studiate.
În perspectiva unui demers educațional centrat pe competențe, se recomandă utilizarea cu preponderență a evaluării continue, formative. Procesul de evaluare va îmbina formele tradiționale cu cele alternative (proiectul, portofoliul, autoevaluarea, evaluarea în perechi, observarea sistematică a activității și a comportamentului elevului) și va pune accent pe:
corelarea directă a rezultatelor evaluate cu competențele specifice vizate
de programa școlară;
valorizarea rezultatelor învățării prin raportarea la progresul școlar al fiecărui elev,
utilizarea unor metode variate de comunicare a rezultatelor școlare;
recunoașterea, la nivelul evaluării, a experiențelor de învățare și a competențelor
dobândite în contexte non-formale sau informale
Criteriul de asigurare a calității actului de predare-învățare-evaluare este reprezentat de formarea competențelor specifice la sfârșitul fiecărui an de studiu, precum și de formarea competențelor generale la sfârșitul învățământului obligatoriu și/ sau liceal.
Ca răspuns al imperativelor sociale, învățământul românesc se află într-o permanentă optimizare, iar perfecționările aduse programelor și manualelor scolare necesită schimbări în tehnologia didactică.
Matematica, așa cum se predă ea în școală, este din păcate prea puțin atractivă. Manualele au sărăcit în ultimii ani din cauza restructurării programelor școlare. Si așa, din manualele vechi și noi se pot învăța în primul rând șabloane de rezolvare a unor exerciții mai mult sau mai putin răspândite. Și, de altfel, prea mulți învață matematica (dacă o fac), doar de frica examenelor. Oare să nu aibă aceasta materie nimic care să merite timpul pierdut cu studiul ?
Se poate spune că actualul conținut al programelor și manualelor este destul de bogat în informații, noțiuni, dar trebuie să se pună accent pe formarea raționamentului logico-deductiv, pe gândirea algoritmică, în esență pe valoarea formativă a matematicii.
Pentru a transmite acest conținut prin prisma obiectivelor învățământului modern, profesorii au o misiune importantă de care nu se pot achita decât numai prin folosirea unei metodologii adecvate prin aplicarea consecventă a metodelor și procedeelor activ-participative prin stimularea curiozității și interesului elevilor.
Activitatea matematică propriu-zisă are următoarele componente:
învățarea activă (studiul teoriilor clasice și moderne realizând comentarii, divagații, reformulări);
euristică (a pune și a rezolva probleme; a imagina teoreme și a le demonstra);
expozitivă (a participa la circulația informației matematice redactând manuale, realizând monografii, prezentând comunicări la seminariile și conferințele stiințifice, desfășurând activități didactice);
aplicativă (adaptând și aplicând metodele abstracte în rezolvarea problemelor concrete );
In ceea ce privește activitatea didactică remarcăm, alături de prezentarea în desfășurare constructivă de noțiuni și rezultate, și necesitatea propunerii de enunțuri care să deschidă investigații, de probleme deschise pentru care să se lucreze și asupra enunțurilor precum și necesitatea dezvoltării aptitudinilor de a pune (și rezolva) noi probleme.
In același context se înscriu:
discutarea definițiilor cu ajutorul auditoriului (discutând incorectitudinile ce pot apărea);
schimbarea viziunii asupra obiectelor matematice;
In orice prezentare profesorul trebuie să fie capabil să schimbe itinerarul pe care și-l propusese în funcție de ideile apărute în cadrul dialogului cu auditoriul, să promoveze “emoția pozitivă“ dată de “iluminarea subită” ce ar trebui să încheie măcar unele din procesele de căutare (cercetare) desfășurate de cei ce învață matematica.
Euristica generală trebuie completată cu metodologii specifice consacrate unor tipuri speciale de probleme sau domenii ce trebuie să aibă nu doar rol ilustrativ. Mai mult, accentul nu trebuie pus pe exerciții construite în mod special pentru a ilustra o regulă sau o teoremă, ci pe exerciții ce au un interes propriu și se rezolvă prin adoptarea de metode generale.
Varianta optimală ar fi aceea care presupune interferențe între aspectul executiv și cel de reflecție în abordarea și rezolvarea unei probleme. Trebuie avute în vedere atât imperativul (enunțat de Dirichlet) de a nu substitui ideile, cu calculul, dar si cel al dezvoltării “artei calculului”.
Activitatea metodologică a profesorului trebuie să se desfășoare pe multiple planuri:
antrenament pentru organizarea și valorizarea unor automatisme de calcul;
relevarea tehnicilor și importantei verificărilor (particularizări, verificarea omogenității, a ordinului de mărime, etc.);
stimularea reflecției asupra metodelor, drumului parcurs, rezultatelor;
Inainte de toate rolul profesorului este și acela de a-i învăța pe elevi să învete, iar în matematică a învăța înseamnă, în primul rând a înțelege.
In cadrul studiului individual (receptarea unui text matematic) se indică metoda apropierilor succesive, anume pentru relevarea unui text matematic:
se conștientizează întâi problemele și rezultatele fundamentale;
se fac legături ale acestei noi informații cu cunoștintele anterioare;
se disting ideile de demonstrare;
se fac verificările de rutină.
Nu este lipsită de interes lectura comparată a mai multor materiale ce tratează o aceeași temă.
Prin învățământ se înțelege un proces de asimilare, de acomodare – formare continuă, de creare a unui sistem de cunoștințe (succesiune ordonată de concepte care implică și interconexiuni între concepte în care roluri importante au și acțiunea, concretul, intuiția), etc.
“A învăța matematica” – nu înseamnă doar a învăța să rezolvi ecuații, să calculezi arii, volume, etc., dar și: să “citești” (interpretezi) realul în mod rațional, să te apropii de modelele ce reprezintă exemple de rigoare; să dezvolți capacitățile de analiză, sinteză și critică (constructivă).
2.1.2. Aspecte metodice privind predarea problemelor de loc geometric în plan și spațiu
În geometria elementară nu există o metodă generală de rezolvare a problemelor de loc geometric. Dacă notăm cu L mulțimea punctelor M din plan sau din spațiu, care au proprietatea P și cu F figura geometrică definită prin proprietatea Q, indicată de autor sau intuită de rezolvitor ca imagine geometrică a punctelor M, problemele de loc geometric se pot formula în două moduri:
(1) Se formulează o proprietate P a punctelor M din plan sau spațiu, adică se definește mulțimea L, și se cere să arătăm că aceste puncte formează figura geometrică F caracterizată de proprietatea Q. Problemele astfel formulate pot fi încadrate în exprimarea: „punctele mulțimii F au proprietatea P dacă și numai dacă au proprietatea Q”.
(2) Se formulează o proprietate P a punctelor M din plan sau din spațiu, adică se definește mulțimea L, și se cere să se găsească figura geometrică pe care o formează aceste puncte, adică să se determine mulțimea F și proprietatea Q ce o caracterizează. Problemele astfel formulate se pot încadra în exprimarea: „să se găsească locul geometric al punctelor M care au proprietatea P”.
În general în problemele de tipul (2) proprietatea P este astfel formulată încât nu este evident ce figură geometrică va fi imaginea locului geometric, iar proprietatea Q nu este specificată. Proprietatea Q poate fi aleasă de rezolvitor din mulțimea proprietăților echivalente cu proprietatea P astfel încât să poată spune cu ce figură geometrică F, este echivalentă multimea L dată inițial. Această operație de descoperire a proprietății Q și a figurii geometrice F poartă denumirea de intuirea locului geometric.
În esență problemele de locuri geometrice sunt probleme de găsire a unor proprietăți echivalente cu cele prin care este dată o anumită mulțime, sau altfel spus, probleme de egalitate a două mulțimi definite în moduri diferite.
Pentru rezolvarea problemelor de tipul (2) este necesară parcurgerea unei etape preliminare prin care problema se aduce la o problemă de tipul (1). În această etapă trebuie să intuim o figură geometrică F, presupusă a fi locul geometric, și o proprietate Q care caracterizează figura F. Această etapă de căutare are un pronunțat caracter geometric.
În tentativa de conturare a locului geometric, pentru a evita eroarea și pentru desfășurarea unei activități conștiente, dirijate, este recomandabil să respectăm următoarele principii:
Înțelegerea completă și profundă a enunțului, determinarea elementelor fixe, a valorilor constante și a elementelor variabile;
Verificarea existenței unui punct care are proprietatea dată, adică stabilirea faptului că multimea L dată prin proprietatea P nu este vidă;
Desenarea cu precizie a unui număr suficient de puncte ale mulțimii L caracterizată de proprietatea dată P, pentru a putea surprinde forma figurii F, presupusă de rezolvitor a fi locul geometric, și pentru a caracteriza poziția sa în raport cu elementele fixe;
Determinarea pozițiilor particulare, remarcabile ale punctelor locului geometric, eventual determinarea pozițiilor particulare ale elementului variabil și prin aceasta a unor poziții remarcabile ale punctului M, ce descrie locul geometric;
Caracterizarea cât mai succintă a poziției punctului mobil M în raport cu punctele fixe date sau cu altele nou determinate;
Considerarea interdependenței între pozițiile punctului M, ce descrie locul geometric, și pozițiile elementelor variabile de pe figură, eventual împărțirea în regiuni a mulțimii în care variază diversele puncte;
Reactualizarea cunoștințelor de geometrie în legătură cu noțiunile din enunțul problemei și cu modul de formulare a proprietății P;
Considerarea unui anumit principiu „al continuității” dacă punctul mobil M parcurge doar o submulțime S a unei figuri F. Această submulțime trebuie să fie mărginită de puncte critice pentru satisfacerea proprietății P. În afara mulțimii S va exista o proproprietate P’ care trebuie pusă în evidență;
Când enunțul problemei poate fi simplificat prin particularizarea unui element, studiul prealabil al problemei particulare poate oferi soluții pentru cazul general.
Ca urmare a acestei activități determinăm o mulțime de puncte, din plan sau spațiu, F și trebuie să demonstrăm că aceasta este egală cu mulțimea L, descrisă de proprietatea P. Deci problema de tipul (2) a devenit o problemă de tipul (1).
Pentru rezolvarea unei probleme de tipul (1) trebuie să demonstrăm egalitatea L = F, unde:
L este mulțimea elementelor caracterizate de proprietatea P, iar
F este locul geometric indicat de problemă sau intuit (presupus) de rezolvitor.
Pentru ca o figură F să reprezinte locul geometric L al punctelor M care au proprietatea P, trebuie să demonstrăm că L = F. Pentru aceasta se demonstrează următoarele două propoziții:
Orice punct M care are proprietatea P aparține figurii F, adică incluziunea: L F;
Orice punct al figurii F are proprietatea P, deci aparține mulțimii L, adică: F L.
În general elevii stabilesc riguros numai incluziunea L F, marea majoritate a acestora nici nu-și pun întrebarea dacă F L, fapt ce poate favoriza indicarea unor soluții incomplete sau eronate.
Dacă am demonstra numai prima propoziție am ajunge la concluzia că toate punctele locului geometric căutat L, aparțin mulțimii F, dar n-am putea preciza că pe figura F nu se găsesc și puncte care să nu aibă proprietatea P.
Dacă am demonstra numai a doua propoziție am ajunge la concluzia că toate punctele figurii F aparțin locului geometric căutat L, dar n-am putea preciza că există sau că nu există și alte puncte, în afara figurii F, care să aibă proprietatea P și deci să aparțină mulțimii L.
Uneori este mai convenabil ca în locul uneia din propozițiile de mai sus să demonstrăm o propoziție echivalentă cu ea.
Orice punct care nu are proprietatea P nu aparține figurii F, deci CL CF;
Orice punct care nu aparține figurii F nu are proprietatea P, adică CF CL.
Propozițiile 1) și 4) sunt echivalente între ele, la fel propozițiile 2) și 3) sunt echivalente între ele.
Pentru a rezolva complet și corect o problemă de loc geometric trebuie să demonstrăm două propoziții distincte, dintre cele patru, care să nu fie echivalente.
Folosind următoarea schemă:
observăm că pentru rezolvarea unei probleme de loc geometric trebuie să demonstrăm una din următoarele perechi de propoziții: 1) și 2); 1) și 3); 2) și 4) sau 3) și 4).
Folosind relațiile între mulțimi, pentru a rezolva o problemă de loc geometric, trebuie să demonstrăm una din perechile de incluziuni:
I. II.
III. IV.
În urma demonstrării uneia din propozițiile echivalente 2) sau 3) constatăm, nu de puține ori, că nu toate punctele figurii F aparțin locului geometric. Eliminând mulțimea punctelor care nu au proprietatea dată P, deci nu aparțin mulțimii L, obținem o figură geometrică F’ care va fi locul geometric căutat. Deci L = F’.
În funcție de modul de formulare a problemei (vezi 1.2.2.) demonstrarea incluziunii reciproce FL, conduce la două situații:
Pentru problemele de tip imagine (I), demonstrarea incluziunii reciproce FL revine la rezolvarea unei probleme de existență: trebuie arătat că pentru orice punct M din F , există un punct x din domeniul D, astfel încât f(x) = M (fig. 1). În general această problemă se rezolvă prin construcție.
În cazul problemelor de tip preimagine (P), pentru a demonstra incluziunea reciprocă FL trebuie să arătăm că pentru orice punct M aparținând figurii F este satisfăcută relația f(M) C (fig. 2). În general aceasta se demonstrează prin reducere la absurd.
De la un anumit nivel nu se mai parcurg toate etapele prezentate mai sus, pentru rezolvarea unei probleme de loc geometric, ci se reduce problema la un loc geometric elementar sau cunoscut.
Exemplificăm prin rezolvarea următoarelor probleme:
Problema 1.
Locul geometric al punctelor din plan aflate la distanța r de un punct fix O, este cercul de centru O și rază r.
Soluție:
Problema este formulată în modul (1), adică din text se știe forma locului geometric.
Existența unor puncte care să îndeplinească ipoteza este asigurată de definiția distanței dintre două puncte. Deci locul geometric nu este mulțimea vidă.
Fie L mulțimea punctelor din plan care au proprietatea că se află la distanța r de punctul fix O și F cercul de centru O și rază r: (C(O,r)). Avem de arătat că L = F. Pentru aceasta trebuie să demonstrăm:
a) L F, adică orice element al mulțimii L, aparține și mulțimii F (sau: orice punct aflat la distanța r de O, aparține cercului F).
Fie ML, adică OM = r. Presupunem că M nu aparține cercului F. Avem două situații: M aparține interiorului cercului F, sau M aparține exteriorului cercului F.
Dacă M aparține interiorului cercului F, semidreapta [OM intersectează cercul F în B și avem: OM < OB, OB = r, deci OM < r. Contradicție, pentru că OM = r. Deci presupunerea că M aparține interiorului cercului F, este falsă. Adică M nu aparține interiorului cercului F. (1)
Dacă M aparține exteriorului cercului F, semidreapta [OM intersectează cercul F în C și avem: OM > OC, OC = r, deci OM > r. Contradicție, pentru că OM = r. Deci presupunerea că M aparține exteriorului cercului F, este falsă. Adică M nu aparține exteriorului cercului F. (2)
Din (1) și (2) rezultă că M aparține cercului F. Am demonstrat că L F.
b) F L, adică orice punct al mulțimii F, aparține și mulțimii L (sau orice punct al cercului F se află la distanța r de O).
Fie A un punct arbitrar ales, al cercului F. Avem OA = r, deci A aparține mulțimii L. La fel putem demonstra despre oricare alt punct al cercului F. Deci am demonstrat că F L.
Din a) și b) rezultă că L = F. Deci locul geometric este C(O,r)
Problema 2.
Să se afle locul geometric al punctelor M din același semiplan, determinat de dreapta e, aflate la o distanță dată a, față de dreapta e.
Soluție:
Problema este formulată în modul (2), adică locul geometric nu este precizat. Conform principiilor enunțate mai sus avem ca elemente fixe dreapta e și unul din semiplanele determinate de dreapta e, ca elemente variabile avem punctul M din semiplanul stabilit, iar ca valori constante avem distanța a, de la punctele M la dreapta e.
Constatăm că există cel puțin un punct, în semiplanul considerat, aflat la distanța a față de dreapta e, deci locul geometric căutat nu este mulțimea vidă. Acest fapt este asigurat de definiția distanței de la un punct la o dreaptă.
Luăm două puncte M1 și M2, din același semiplan determinat de dreapta e, care îndeplinesc ipoteza, adică sunt la distanța a față de dreapta e. Deci d(M1,e) = d(M2,e) = a. Fie f dreapta determinată de M1M2. Arătăm că f este locul geometric căutat (fig. 2.1.2.)
Fie M1A1 e și M2A2 e M1A1 || M2A2. Deoarece M2A2 = M1A1 = a rezultă că M1A1A2 M2 este dreptunghi, deci M1M2 || A1A2, adică f || e. Cum distanța dintre două drepte paralele este constantă orice punct M (arbitrar ales) al dreptei f, îndeplinește ipoteza.
Să arătăm că orice punct care îndeplinește ipoteza aparține dreptei f. Fie P un punct al semiplanului, astfel încât PA e, A e și PA = a. Presupunem că P f. Cum M2A2AP este dreptunghi avem M2P || e. Dar și f || e. Rezultă că prin M2 se pot duce la dreapta e două paralele. Contrazice axioma paralelelor. Deci presupunerea că P f este falsă. Rezultă că P f. Am demonstrat că f este locul geometric căutat.
2.2 DEMERSUL METODIC AL PROIECTĂRII UNUI OPȚIONAL
2.2.1. Principii privind proiectarea unui CDȘ
„Nu îndrăznim, nu pentru că problemele
sunt dificile, ci, fiindcă nu îndrăznim
ele sunt dificile”
Seneca
Curriculumul la decizia școlii (CDȘ) devine, prin dreptul de a lua decizii conferit școlii emblema puterii reale a acestuia.
Derivată din libertatea – oferită de planurile cadru de învățământ – de a decide asupra unui segment al Curriculumului Național, această putere dă posibilitatea definirii unor trasee particulare de învățare ale elevilor.
Libertatea de decizie la nivelul școlii este consonantă cu democratizarea societății și reprezintă o șansă de adecvare la un sistem deschis, cu opțiuni multiple.
Din punctul de vedere al implementării însă, CDȘ este un segment de mare noutate care a introdus o serie de disfuncții.
Dincolo de aceste disfuncții, CDȘ rămâne o realitate a școlii de azi, realitate care și-a câștigat o serie de adepți (și majoritatea elevilor) și care presupune starea de normalitate prin acceptarea diferenței.
În alegerea curriculumului la decizia școlii trebuie propuse cursuri opționale care să răspundă realmente nevoilor educaționale ale elevilor, să ia în calcul preferințele părinților și ale comunității pe care școala o deservește.
Soluții posibile
Chestionarea elevilor
Consultarea părinților
Consultarea comunității
Discutarea cursurilor opționale în consiliile profesorale
Consultarea reprezentanților grupurilor formale și informale (consiliul local, ONG, asociații).
Tipurile de opțional pot fi:
Opționalul de aprofundare – este acel tip de CDȘ derivat dintr-o disciplină studiată în trunchiul comun, care urmărește aprofundarea obiectivelor, competențelor din curriculumul – nucleu prin noi unități de conținut.
Opționalul de extindere – este acel tip de CDȘ derivat dintr-o disciplină studiată în trunchiul comun, care urmărește extinderea obiectivelor cadru/competențelor generale din curriculum – nucleu prin noi obiective/competențe specifice și noi conținuturi.
Opționalul ca disciplină nouă – introduce noi obiective de studiu la un anumit profil, specializare, sau teme noi, care nu se regăsesc în programele naționale.
Opționalul integrat – introduce ca obiective de studiu noi discipline structurate în jurul unei teme integratoare pentru o anumită arie curriculară sau pentru mai multe arii curriculare.
2.2.2. Demersul metodic privind proiectarea opționalului „PROBLEME DE LOC GEOMETRIC ÎN PLAN ȘI SPAȚIU”
Disciplina: MATEMATICĂ
Aria curriculară: MATEMATICĂ ȘI ȘTIINȚE ALE NATURII
Tipul: Opțional de aprofundare la nivelul disciplinei
Durata: 1 an
Clasele: a VII-a și a VIII-a
Nr. de ore pe săptămână: 1 oră
Profesor propunător: CĂRUȚAȘU DĂNUȚ FLORENTIN
ARGUMENT
Apariția acestui opțional rezidă din nevoia elevilor de a-și apropia disciplina numită matematică pe căi mult mai plăcute și mai accesibile lor. Studiind diferite adevăruri matematice, dar prezentate sub forma unor aplicații directe din viața cotidiană, putem să atingem mult mai ușor obiectivele cadru ale acestei discipline.
Spre deosebire de alte discipline predate în gimnaziu și liceu, pentru care este posibil să se aducă la cunostința elevilor în mod elementar realizările importante ale științei și culturii contemporane, între matematica predată în școala gimnazială și liceu și matematica modernă există o distanță mare care, pentru mulți elevi, pare de neparcurs, datorită caracterului deductiv al cercetării matematice și mulțimii de noțiuni și relații noi pe care ea o implică.
Acesta este și motivul pentru care matematica reprezintă un șoc pentru mulți dintre elevii din gimnaziu. Încercarea de a-l preîntâmpina și de a-l atenua este idealul oricărui dascăl dedicat profesiei alese. Din păcate rigiditatea „canoanelor” pe care le implică respectarea programei și pregătirea elevilor pentru examene, nu prea oferă timpul necesar aplicării strategiei de recuperare și atragere a elevilor către această mirifică disciplină.
Condiția esențială pentru parcurerea integrală a conținutului va trebui să fie pasiunea pentru „frumosul științific”, pentru exersarea gândirii și, nu în ultimul rând, pentru creativitate.
Matematica, „regina științelor”, considerată pentru unii abstractă și accesibilă unui număr restrâns de persoane, poate fi înțeleasă de oricine se va apropia cu interes de ea.
Elementul de joc, care face ca matematica să fie recreativă, poate lua diverse forme: o enigmă, un truc, un paradox, o eroare logică sau pur și simplu matematică, cu unele trăsături curioase între joc și matematică.
Matematica distractivă are scopul de a delecta și, în același timp, de a învăța lucruri noi introducând informații și probleme care să-i atragă pe tineri în mod plăcut la lucru.
Matematica distractivă deschide porți spre matematica „serioasă”, majoritatea marilor matematicieni au elogiat rolul jocurilor în antrenarea gândirii, în formarea plăcerii și priceperii de a raționa riguros, de a gândi matematic.
Am ales să elaborez acest opțional pentru copiii care îndrăgesc matematica, cât și pentru cei care văd în matematică un domeniu arid, de nepătruns și care nu au știut până acum că se pot amuza prin intermediul matematicii. Consider că încercând să arăt cum se poate „juca” cu ajutorul matematicii nu fac altceva decât să pun în valoare potențialul ascuns al multor copii. Opționalul îi pregătește pe elevi pentru rezolvarea unor situații problematice din viața de zi cu zi cultivându-le perseverența, încrederea în sine, voința de a duce la bun sfârșit un lucru început.
Haideți, dar, să ne jucăm cu ajutorul matematicii!
NOTĂ DE PREZENTARE A CURSULUI
Prezentul opțional de matematică răspunde necesităților elevilor de extindere și aprofundare a unor teme de matematică, fiind în conformitate cu solicitările parinților, având la bază necesitatea aplicării matematicii în cele mai variate domenii. Prin acest curs opțional se urmărește adaptarea unor cunoștințe dobândite prin studiul curriculumului nucleu pentru rezolvarea de situații problemă nonstandard, ca și dezvoltarea unor activități și dobândirea pe cale intuitivă a unor noțiuni complementare curriculumului nucleu. S-a urmărit îndeaproape programa actuală și de perspectivă, inclusiv noile achiziții și deschideri.
Prin tematica acestui curs s-au pus la dispoziția elevilor scurte istorioare ale drumului marilor înaintași, ale contribuției popoarelor la tezaurul cunoașterii matematicii. S-au selecționat probleme care vizează interes și inventivitate, care să stimuleze imaginația, creativitatea, dorința de cunoaștere. Acest curs vizează și importanța ca elevul să gândască nu numai strict matematic, ci și asupra procesului de gândire; să se întrebe dacă o problemă dată este de simplă aplicare sau de gândire creatoare, dacă ea este frumoasă sau urâtă și de ce; dacă felul cum a gândit era natural, dacă ideea rezolvării era într-adevăr ascunsă, din ce cauză a eșuat găsirea soluției și invers, prin ce complex de împrejurări a avut succes.
Conținutul cursului opțional va fi util pentru formarea elevului deoarece unele probleme propuse la diferite teme sunt simple jocuri utile ca antrenament, însă altele sunt importante și prin conținut, prin faptul că îi determină pe elevi să pună întrebări, să caute, să observe, să deducă, să calculeze.
Tematica cursului opțional propus vizează atingerea unor scopuri generale:
diferențierea parcursurilor individuale de învățare a elevilor, ținând cont de – interesele și motivațiile lor și permițând o mai bună orientare școlară și profesioală.
formarea și dezvoltarea capacității elevului de a reflecta asupra lumii, de a formula și rezolva probleme pe baza cunoștințelor acumulate din diferite domenii.
Prin conținutul acestui curs opțional mi-am propus:
revigorarea și menținerea interesului pentru matematică a elevului;
reconsiderarea locului și rolului jocului în învățarea matematicii;
prezentarea matematicii într-o continuitate și întrepătrundere cu celelalte discipline;
abordarea matematicii de gimnaziu ca o componentă a culturii generale.
COMPETENȚE GENERALE
1. Identificarea unor date și relați matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite.
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice.
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete.
4.Exprimarea caracteristicilor matematice ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora.
5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă.
6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii.
COMPETENȚE SPECIFICE
1.Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite.
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice.
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete.
4. Exprimarea caracteristicilor matematice ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora.
5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă.
6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii.
MODALITĂȚI DE EVALUARE
Integrată în procesul didactic ca o necesitate obiectivă a acesteia, evaluarea poate fi concludentă, riguroasă și în același timp personalizată. Ea se impune ca o etapă a proiectării didactice căreia îi este necesar să i se acorde o atenție deosebită.
Ca modalități de evaluare mi-am propus:
evaluarea prin joc colectiv, pe grupe sau individual
portofoliul cu:
probleme rezolvate;
probleme culese pe o temă dată
probleme propuse
referate din istoria matematicii
teste tip grilă;
evaluarea lucrărilor practice;
observarea sistematică de catre profesor și intocmirea fișelor personale pentru fiecare elev;
teste sistem clasic
CONȚINUTURI
Clasa a VII-a
Istoria matematicii. Figuri reprezentative ale geometriei
Loc geometric. Definirea noțiunii. Locuri geometrice în plan
Rezolvarea problemelor de loc geometric
Magia locurilor geometrice în plan
Probleme diverse de loc geometric în plan
Clasa a VIII-a
Istoria matematicii. Figuri reprezentative ale geometriei
Loc geometric. Definirea noțiunii. Locuri geometrice în plan și spațiu
Rezolvarea problemelor de loc geometric
Magia locurilor geometrice în plan
Probleme diverse de loc geometric în plan și spațiu
BIBLIOGRAFIE
M. Șt. Botez, Probleme de geometrie, Editura Tehnică,București, 1976
D. Brânzei, S. Anița, E. Onofraș, Ghe.Isvoranu, Bazele raționamentului, Editura Academiei RSR, 1983
Gh. D. Simionescu, Probleme de sinteză de geometrie plană și în spațiu, Editura Tehnica, București, 1978
Olimpia Popescu, Valeriu Radu, Metodica predării geometriei în gimnaziu, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983
2.3 PROBLEME DE LOC GEOMETRIC ÎN
GEOMETRIA PLANA ȘI ÎN SPAȚIU
2.3.1 Locuri geometrice elementare
Problema 1.
În interiorul cercului de centru O și rază R se ia un punct fix A. Fie P un punct mobil pe cerc. Să se afle locul geometric al punctului M, mijlocul segmentului [AP].
Soluție:
fig. 2.3.1.1
Punctele A și O sunt fixe. Fie B mijlocul segmentului [AO], rezultă că B este fix. [BM] este linie mijlocie în triunghiul AOP. Deci BM = (constant). Deci punctul M descrie cercul de centru B și rază .
Se demonstrează ușor că orice punct al acestui cerc îndeplinește ipoteza.
Problema 2.
Să se afle locul geometric al punctelor M din plan pentru care suma pătratelor distanțelor la două puncte fixe A și B este constantă.
Soluție:
M
A O B
fig. 2.3.1.2
MA2 + MB2 = k, k R+
Fie O mijlocul segmentului [AB] și AB = 2a. În triunghiul MAB exprimăm lungimea medianei MO:
MO2 = MO = = .
Deci MO este constantă.
Punctul O este fix, iar OM este constantă deci M descrie cercul de centru O și rază OM. Condiția de existență a locului geometric este 2k – 4a2 0, sau k2a2. Pentru k = 2a2 avem MO = 0 deci M = O și locul geometric este punctul O – mijlocul segmentului [AB].
Pentru MO = a, locul geometric al punctului M este cercul de diametru [AB].
Se verifică ușor că pentru orice punct M’ al cercului găsit avem: M’A2 + M’B2 = =2M’O2 + 2a2 = 2MO2 + 2a2 = k – 2a2 + 2a2 = k.
Problema 3.
Locul geometric al punctelor din plan aflate la distanța r de un punct fix O, este cercul de centru O și rază r.
Soluție:
Problema este formulată astfel încât din text se știe forma locului geometric.
Existența unor puncte care să îndeplinească ipoteza este asigurată de definiția distanței dintre două puncte. Deci locul geometric nu este mulțimea vidă.
Fie L mulțimea punctelor din plan care au proprietatea că se află la distanța r de punctul fix O și F cercul de centru O și rază r: (C(O,r)). Avem de arătat că L = F. Pentru aceasta trebuie să demonstrăm:
a) L F, adică orice element al mulțimii L, aparține și mulțimii F (sau: orice punct aflat la distanța r de O, aparține cercului F).
Fie ML, adică OM = r. Presupunem că M nu aparține cercului F. Avem două situații: M aparține interiorului cercului F, sau M aparține exteriorului cercului F.
Dacă M aparține interiorului cercului F, semidreapta [OM intersectează cercul F în B și avem: OM < OB, OB = r, deci OM < r. Contradicție, pentru că OM = r. Deci presupunerea că M aparține interiorului cercului F, este falsă. Adică M nu aparține interiorului cercului F. (1)
Dacă M aparține exteriorului cercului F, semidreapta [OM intersectează cercul F în C și avem: OM > OC, OC = r, deci OM > r. Contradicție, pentru că OM = r. Deci presupunerea că M aparține exteriorului cercului F, este falsă. Adică M nu aparține exteriorului cercului F. (2)
Din (1) și (2) rezultă că M aparține cercului F. Am demonstrat că L F.
b) F L, adică orice punct al mulțimii F, aparține și mulțimii L (sau orice punct al cercului F se află la distanța r de O).
Fie A un punct arbitrar ales, al cercului F. Avem OA = r, deci A aparține mulțimii L. La fel putem demonstra despre oricare alt punct al cercului F. Deci am demonstrat că F L.
Din a) și b) rezultă că L = F. Deci locul geometric este C(O,r)
Problema 4.
Să se afle locul geometric al punctelor M din același semiplan, determinat de dreapta e, aflate la o distanță dată a, față de dreapta e.
Soluție:
Problema este formulată astfel încât locul geometric nu este precizat. Avem ca elemente fixe dreapta e și unul din semiplanele determinate de dreapta e, ca elemente variabile avem punctul M din semiplanul stabilit, iar ca valori constante avem distanța a, de la punctele M la dreapta e.
Constatăm că există cel puțin un punct, în semiplanul considerat, aflat la distanța a față de dreapta e, deci locul geometric căutat nu este mulțimea vidă. Acest fapt este asigurat de definiția distanței de la un punct la o dreaptă.
Luăm două puncte M1 și M2, din același semiplan determinat de dreapta e, care îndeplinesc ipoteza, adică sunt la distanța a față de dreapta e. Deci d(M1,e) = d(M2,e) = a. Fie f dreapta determinată de M1M2. Arătăm că f este locul geometric căutat (fig. 2.1.2.)
Fie M1A1 e și M2A2 e M1A1 || M2A2. Deoarece M2A2 = M1A1 = a rezultă că M1A1A2 M2 este dreptunghi, deci M1M2 || A1A2, adică f || e. Cum distanța dintre două drepte paralele este constantă orice punct M (arbitrar ales) al dreptei f, îndeplinește ipoteza.
Să arătăm că orice punct care îndeplinește ipoteza aparține dreptei f. Fie P un punct al semiplanului, astfel încât PA e, A e și PA = a. Presupunem că P f. Cum M2A2AP este dreptunghi avem M2P || e. Dar și f || e. Rezultă că prin M2 se pot duce la dreapta e două paralele. Contrazice axioma paralelelor. Deci presupunerea că P f este falsă. Rezultă că P f. Am demonstrat că f este locul geometric căutat.
2.3.2 Probleme de loc geometric rezolvabile prin transformări geometrice
2.3.2.1 Translația
Problema 1.
Locul geometric al transformatelor punctelor unui triunghi ABC, prin translația de vector nenul , este un triunghi A’B’C’ congruent cu triunghiul dat.
Soluție:
Prin translația de vector segmentele [AB], [BC] și [AC] se transformă în segmentele respectiv congruente [A’B’], [B’C’] și [A’C’] (conform proprietății 3)). Deci conform cazului LLL avem .
Consecință: Transformatul unui poligon, printr-o translație de vector nenul , este un poligon congruent cu poligonul dat.
Problema 2.
Locul geometric al transformatelor punctelor unui cerc de centru O, prin translația de vector nenul , este un cerc de centru O’ congruent cu cercul dat.
Soluție:
Fie A C(O,R), și . Din proprietatea 3) avem [O’A’] ≡ [OA]. Cum O’ este fix, iar O’A’= R (constantă) punctul A’ descrie cercul de centru O’, când punctul A descrie cercul de centru O. Deci C(O’,R’) ≡ C(O,R).
Observație: Translația de vector nenul transformă o figură geometrică într-o figură geometrică congruentă cu cea dată.
Demonstrația este imediată folosind proprietățile 3) și 4) și problemele 1. și 2.
Problema 3.
Să se afle locul geometric al mijloacelor segmentelor cu un capăt pe o dreaptă dată d și cu celălalt capăt într-un punct fix A, care nu aparține dreptei d.
Soluție:
Ducem AC d, C d, și luăm D – mijlocul segmentului [AC]. Punctul A fiind fix avem AC – constant și CD = – constant. Aplicând dreptei d o translație de vector obținem dreapta d’ care trece prin D și este paralelă cu d. Afirmăm că d’ este locul geometric căutat.
Fie M un punct arbitrar ales al dreptei d și AMd = {B}. Din reciproca teoremei liniei mijlocii în triunghi rezultă că M este mijlocul lui [AB]. Deci orice punct al dreptei d îndeplinește ipoteza.
Fie punctul N care îndeplinește ipoteza (este mijlocul unui segment [AE] cu un capăt în A și cu celălalt pe d). Dacă presupunem că N nu aparține dreptei d’, atunci prin D se pot duce două paralele la dreapta d, pentru că DN || d (linie mijlocie în triunghiul AEC). Contrazice axioma paralelelor. Deci presupunerea că Nd’ este falsă. Rezultă că Nd’. Am demonstrat că orice punct care îndeplinește ipoteza, aparține dreptei d’. Locul geometric cerut este dreapta d’.
Problema 4.
Pe laturile [AB] și [AC] ale unui triunghi ABC se iau respectiv punctele mobile P și Q astfel încât [BP] ≡[CQ]. Să se afle locul geometric al mijlocului M al segmentului [PQ].
Soluție:
Aplicăm segmentului [BP] o translație de vector și segmentului [CQ] o translație de vector . Cum translația conservă distanțele și BP = CQ rezultă că B’M = C’M, deci triunghiul MB’C’ este isoscel. Din BB’ || PQ și CC’ || PQ rezultă că BB’ || CC’, iar din BB’ = PM = MQ = CC’ rezultă că [BB’] ≡ [CC’], deci BC’CB’ este paralelogram, iar O este mijlocul lui [B’C’]. Așadar [MO] fiind mediană in triunghiul isoscel MB’C’, ea este și bisectoare a unghiului B’MC’. Cum unghiurile B’MC’ și BAC sunt congruente (ca unghiuri cu laturile respectiv paralele), rezultă că și bisectoarele lor sunt paralele. Deci MO || AD, unde [AD este bisectoarea unghiului BAC. Să determinăm acum punctele limită ale locului geometric. Dacă P = B rezultă că Q = C și M = O (mijlocul segmentului [BC]). Fie AC < AB. Dacă Q = A, există P’ punct interior segmentului [AB], astfel încât BP’ = AC și M = E mijlocul segmentului [AP’]. Deci locul geometric căutat este segmentul [OE], paralel cu bisectoarea [AD a triunghiului ABC.
Problema 5.
Se dă o dreaptă e și o direcție d, neparalelă cu e. Unui punct M din plan i se asociază un punct M’ al dreptei e astfel încât MM’ să aibă direcția d și MM’ să aibă lungimea constantă, egală cu k. Să se găsească locul geometric al punctelor M.
Soluție:
Cum pe direcția d nu s-a precizat sensul, considerăm vectorul de direcție d, modul k și sensul ca în desen. Prin translația dreptei e după vectorul , dreapta e se transformă în dreapta e’. Punctele dreptei e’ verifică cerința din ipoteză. Dacă luăm sensul opus al vectorului obținem dreapta e”. Dreapta e” se obține și ca simetrică a dreptei e’ față de dreapta e. Așadar locul geometric al punctelor M este reuniunea dreptelor e’ și e”.
Problema 6.
Pe laturile unghiului nealungit XOY se dau punctele fixe A, B [OX și C, D [OY. Să se afle locul geometric al mijlocului P al segmentului [MN], unde M [AB] și N [CD].
Soluție:
Considerând N = C, fix și M mobil pe segmentul [AB] , mijlocul P al segmentului [MC] descrie segmentul [EH].
Fixând acum M = A și considerând N mobil pe segmentul [CD], mijlocul P al segmentului [AN] descrie segmentul [EF], unde EF || CD și EF = . Dacă aplicăm segmentului [EH] o translație de vector , punctul H descrie segmentul [HG], iar segmentul [EH] devine [FG]. Obținem deci paralelogramul EFGH. Se arată ușor că orice punct interior paralelogramului EFGH este un punct al locului geometric. Deci locul geometric căutat este paralelogramul EFGH împreună cu punctele lui interioare.
Problema 7
O dreaptă d intersectează laturile [AB] și [AC] ale triunghiului ABC în M respectiv N. Printr-un punct variabil O, al segmentului [MN], ducem OP || AC, P (AB) și OQ || AB, Q (AC). Să se afle locul geometric al punctului O pentru care aria paralelogramului APOQ este maximă, atunci când d se deplasează rămânând paralelă cu ea însăși. ( M. Rotaru) .
Soluție:
Fie d cu direcția fixată , d[AB] ={M}; d[AC] ={N} și O [MN], O – variabil.
Notăm: OM = a, ON = b și ducem h1 – înălțimea din O a triunghiului OQN și h2 – înălțimea din O a triunghiului OPM.
În . Notăm: SAPOQ = 2s, SMOP = x și SNOQ = y. Rezultă SAOP = s. Deci avem: La fel De unde . Aria triunghiului AMN este constantă pentru d fixată. Rezultă că aria paralelogramului APOQ este maximă dacă și numai dacă SMOP + SNOQ = x +y este minimă, adică x+y = este minimă.
Cum , suma x + y este minimă dacă , adică (a – b)2 = 0, de unde a = b, deci O este mijlocul segmentului [MN].
Cazul 1. Dacă d || BC. Fie A d. Atunci M = A = N. Aplicăm dreptei d o translație de vector . Punctul O, mijlocul segmentului [MN], descrie mediana [AD] a triunghiului ABC, D (BC). Când M = B, N = C și O = D. Deci locul geometric căutat este segmentul [AD].
Cazul 2. Dacă . Aplicăm dreptei d o translație de vector . Fie d’ imaginea derptei d prin această translație. Avem B d’, d’ (AC) = {N’} și O’ mijlocul segmentului [BN’]. În acest caz punctul O, mijlocul segmentului [MN], descrie mediana [AO’] a triunghiului ABN’. Deci locul geometric este segmentul [AO’].
Cazul 3. Dacă Aplicăm dreptei d o translație de vector . Fie d’’ imaginea dreptei d prin această translație. Avem C d’’, d’’ (AB) = {M’’} și O’’ mijlocul segmentului [CM’’]. În acest caz punctul O, mijlocul segmentului [MN], descrie mediana [AO’’] a triunghiului ACM’’. Deci locul geometric este segmentul [AO’’].
2.3.2.2 Rotația
Problema 1.
Locul geometric al transformatelor punctelor unui triunghi, printr-o rotație de centru O și unghi u, u [0,π], este un triunghi congruent cu triunghiul dat.
Soluție:
Dacă Ro,u(A) = A’, Ro,u(B) = B’și Ro,u(C) = C’, avem conform proprietății 2) [AB]≡[A’B’], [BC]≡[B’C’], [AC]≡[A’C’] și deci ∆ABC ≡ ∆A’B’C’ (LLL).
Consecință: Transformatul unui poligon, printr-o rotație de centru O și unghi u, este un poligon congruent cu poligonul dat.
Problema 2.
Locul geometric al transformatelor punctelor unui cerc, printr-o rotație de centru O și unghi u, u [0,π], este un cerc congruent cu cercul dat.
Soluție:
Fie cercul de centru Q și rază r. Luăm A C(Q,r) și fie: Ro,u(A) = A’, Ro,u(Q) = Q’. Punctul Q’ este fix, iar segmentul [Q’A’] ≡ [QA] (= r), deci punctul A’ descrie cercul de centru Q’ și rază Q’A’, care este congruent cu cercul de centru Q și rază r. Deci locul geometric este C(Q’,r).
Problema 3.
Se dă triunghiul isoscel ABC cu măsura unghiului BAC de 300 și o dreaptă d care trece prin B. Se rotește triunghiul în jurul punctului A astfel ca vârful B să se deplaseze pe dreapta d. Să se afle locul geometric al vârfului C.
Soluție:
Aplicăm dreptei d o rotație cu un unghi de 300 în jurul punctului A, în sens invers acelor ceasornicului. Prin această rotație punctul B devine punctul C pentru că AB = AC și măsura unghiului BAC este de 300, iar dreapta d devine dreapta d’.
Când triunghiul se rotește în jurul punctului A și B se deplasează pe d, punctul C descrie dreapta d’. Într-adevăr dacă luăm pe d un punct B’ diferit de B și îl rotim în jurul punctului A cu un unghi de 300, transformatul lui prin această rotație C’ va aparține dreptei d’, iar triunghiul AB’C’ este isoscel cu măsura unghiului B’AC’ de 300. Deci locul geometric al punctului C este dreapta d’.
Problema 4.
Laturile AB și AC ale unui unghi drept, ce se rotește în jurul vârfului său fix A, intersectează laturile unghiului drept XOY în B și C. Știind că A este un punct interior unghiului XOY, să se afle locul geometric al punctului M, mijlocul segmentului BC.
Soluție:
Triunghiurile BAC și BOC sunt dreptunghice, iar [AM] și [OM] sunt mediane în aceste triunghiuri. Avem AM = și OM = , deci OM = AM, iar A și O sunt fixe. Conform unui loc geometric elementar, M descrie mediatoarea segmentului [OA].
2.3.2.3 Simetria
Problema 1.
Locul geometric al transformatelor punctelor unui triunghi, printr-o simetrie față de o dreaptă d este un triunghi congruent cu triunghiul dat.
Soluție:
Fie ∆ABC; Sd(A) = A’; Sd(B) = B’; Sd(C) = C’. Din proprietatea 2) rezultă:
[AB] ≡ [A’B’] ; [AC] ≡ [A’C’] și [BC] ≡ [B’C’] deci ∆ABC ≡ ∆A’B’C’.
Consecință: Transformatul unui poligon, prin simetria față de o dreaptă d este un poligon congruent cu poligonul dat.
Problema 2.
Locul geometric al transformatelor punctelor unui cerc, prin simetria față de o dreaptă d este un cerc congruent cu cercul dat.
Soluție:
Fie d, C(O,r), Od; AC(O,r) și Sd(O) = O’; Sd(A) = A’. Din proprietatea 2) rezultă că [OA] ≡ [O’A’] (= r). Punctul O’ este fix iar O’A’ = r (constantă). Când A descrie C(O,r), A’ descrie C(O’,r). Deci locul geometric căutat este C(O’,r).
Dacă Od, cercul se transformă în el însuși punct cu punct (este invariant în raport cu simetria față de dreapta d).
Observație: Orice figură geometrică pentru care d este axă de simetrie se transformă în ea însăși punct cu punct prin simetria față de dreapta d (este invariantă în raport cu simetria față de dreapta d).
Problema 3.
Locul geometric al transformatelor punctelor unui triunghi ABC, printr-o simetrie față de un punct O este un triunghi A’B’C’ congruent cu triunghiul dat.
Soluție:
Fie ∆ABC și O. SO(A) = A’, SO(B) = B’ SO(C) = C’. Din proprietatea 2) rezultă că ∆ABC ≡ ∆A’B’C’ (LLL).
Consecință: Transformatul unui poligon, prin simetria față de un punct O este un poligon congruent cu poligonul dat.
Problema 4.
Locul geometric al transformatelor punctelor unui cerc, prin simetria față de un punct O este un cerc congruent cu cercul dat.
Soluție:
Fie C(Q,r), AC(Q,r) și SO(Q) = Q’; SO(A) = A’. Din proprietatea 2) rezultă că [QA] ≡ [Q’A’] (= r). Punctul O’ este fix iar Q’A’ = r (constantă). Când A descrie C(Q,r), A’ descrie C(Q’,r). Deci locul geometric căutat este C(Q’,r).
Dacă O = Q, cercul se transformă în el însuși punct cu punct (este invariant în raport cu simetria față de centrul cercului).
Observații:
Orice figură geometrică pentru care O este centru de simetrie se transformă în ea însăși punct cu punct prin simetria față de punctul O (este invariantă în raport cu simetria centrală).
Simetriile sunt transformări involutive. Simetricul simetricului unui punct A este tot punctul A.
Rezolvarea problemelor de geometrie prin metoda simetriei constă în construirea simetricelor unor elemente date pentru a reduce problema la una cunoscută care implică rezolvarea problemei inițiale. După ce s-a constatat că problema se rezolvă prin metoda simetriei este necesar să se stabilească axa, planul, centrul de simetrie față de care se vor determina simetricele elementelor din problema dată cu care se creează o nouă problemă mai simplă sau chiar una cunoscută ce atrage după sine rezolvarea problemei inițiale.
Problema 5.
Fie A și B două puncte diferite situate de aceeași parte a dreptei d. Să se determine locul geometric al punctelor drumului minim de la A la B și care trece printr-un punct al dreptei d.
Soluție:
Fie A’ simetricul lui A față de dreapta d. Dreapta A’B intersectează dreapta d în M. Afirmăm că AM + MB este drumul minim. Fie M’ pe dreapta d, M’ diferit de M.
Avem: AM’ + M’B = A’M’ + M’B > A’B = AM + MB. Deci AM’ + M’B > AM + MB. Locul geometric al punctelor drumului minim este reuniunea segmentelor [AM] și [MB].
Problema 6.
Se dă unghiul ascuțit XOY și C un punct fix, interior unghiului XOY.
Determinați poziția punctelor A pe [OX și B pe [OY astfel încât perimetrul triunghiului ABC să fie minim;
Găsiți locul geometric al punctelor A și B atunci când [OY se rotește în jurul punctului O, în condițiile precizate mai sus. (M. Rotaru) .
Soluție:
a) Fie C’ simetricul față de OX al punctului C și C” simetricul față de OY al lui C. Dacă C’C’’ OX = {A} și C’C’’ OY = {B}, avem AC = AC’ și BC = BC’’ deci perimetrul minim al triunghiului ABC este: AB + BC + AC = AB + BC’’ + AC’ = C’C’’.
Într-adevăr dacă A’ OX, A’ ≠ A și B’ OY, B’ ≠ B avem:
A’C + CB’ + A’B’ = A’B’ + A’C’ + B’C’’ > C’C’’ = C’A + AB + BC’’ = AC + AB + BC. Deci PA’B’C > PABC.
b) Fie CC’ OX = {P} și CC’’ OY = {Q}. În triunghiul CC’C’’ segmentul [PQ] este linie mijlocie, deci PQ || C’C’’. Notăm măsura unghiului COX = u0. Patrulaterul OPCQ este inscriptibil, având două unghiuri opuse suplementare, deci m( PQC) = m( POC) = u0. Dar m( PQC) = m( BC’’C) = m( BCQ) = u0 (triunghiul CBC’’ este isoscel). Rezultă că m( OBC) = m( BQC) + m( BCQ) = 900 + u0. Deci m( OBC) = 900 + u0.
Să studiem pozițiile limită ale semidreptei [OY. Punctul C fiind un punct interior unghiului XOY semidreapta [OY tinde spre [OC fără să fie identice. Dacă B = C triunghiul ABC nu există. Cum unghiul XOY este ascuțit [OY tinde spre [OZ fără să fie identice, [OZ [OX.
Așadar [OY se rotește în jurul punctului O în interiorul unghiului ZOC. Cum O și C sunt fixe , iar măsura unghiului OBC este constantă (900 + u0) rezultă că punctul B descrie arcul capabil de 900 + u0 cu capetele în O și C. Punctele O și C nu aparțin locului geometric descris de B. Să găsim acum locul geometric al punctului A.
Când [OY tinde către [OC punctul B tinde către C, iar A tinde către P, fără să fie identice. Dacă [OY tinde către [OZ simetricul lui C față de OY tinde către C1, iar A tinde către O fără să fie identice. Deci locul geometric al punctului A este segmentul deschis (OP).
2.2.2.4 Omotetia
Problema 1.
Locul geometric al transformatelor punctelor unui triunghi MNP, prin omotetia de centru C și raport k este un triunghi M’N’P’ asemenea cu triunghiul dat.
Soluție:
Din proprietatea 1) HC,k(MN) = M’N’, HC,k(NP) = N’P’ și HC,k(MP) = M’P’ iar din proprietatea 3) rezultă M’N’P’≡MNP și M’P’N’≡MPN, de unde ∆M’N’P’ ~ ∆MNP (UU). Deci locul geometric al transformatelor punctelor unui triunghi MNP, prin omotetia de centru C și raport k este triunghiul M’N’P’.
Observație: Omotetia transformă un poligon într-un poligon asemenea cu poligonul dat, raportul de asemănare fiind k.
Problema 2.
Locul geometric al transformatelor punctelor unui cerc de centru O și rază r, prin omotetia de centru C și raport k, este un cerc de centru O’ și rază r’, unde O’CO și r’=kr.
Soluție:
Fie ACO,r și HC,k(O) = O’, HC,k(A) = A’. Avem A’O’ = k AO și C’O’ = k CO, deci O’este fix, iar O’A’= r’ = kr (constantă). Deci când A descrie CO,r, A’ descrie CO’,r’ – locul geometric căutat.
Problema 3.
Vârfurile B și C ale triunghiului ABC sunt fixe, iar A este mobil. Să se afle locul geometric al centrului de greutate G al triunghiului ABC când:
punctul A descrie o dreaptă d;
punctul A descrie un cerc de centru O și rază r.
Soluție:
a) Fie M mijlocul segmentului [BC]. Avem G (AM) și . Considerăm omotetia de centru M și raport prin care punctul A, mobil, se transformă în centrul de greutate G, al triunghiului ABC. Dacă dreapta d trece prin M, centrul omotetiei, atunci locul geometric al punctului G este chiar dreapta d din care lipsește punctul M. Dacă A = M, punctele A, B, C sunt coliniare și triunghiul ABC nu există. Dacă dreapta d nu trece prin M , atunci locul geometric al punctului G este o dreaptă d’, paralelă cu d, transformata prin omotetie a dreptei d.
b) Prin omotetia de centru M și raport cercul de centru O și rază r se transformă în cercul de centru O’ și rază , unde O’ (OM) și O’M = . Deci locul geometric al punctului G este cercul de centru O’ și rază O’M.
Problema 4.
În triunghiul dreptunghic ABC, ipotenuza BC este fixă iar vârful A este variabil. Se prelungește [BA] cu [AD] ≡ [BA], se unește mijlocul E al lui [BC] cu D și se notează cu M punctul de intersecție dintre dreptele ED și AC. Se cere locul geometric al punctului M.
Soluție:
Deoarece triunghiul ABC este dreptunghic în A, punctul A descrie cercul de diametru BC cu centru E, mijlocul lui BC. Prin omotetia de centru B și raport cercul de centru E și rază EC se transformă în cercul de centru C și rază BC. Deci D descrie acest cerc. Punctul M este centrul de greutate al triunghiului BCD pentru că [CA] și [DE] sunt mediane în acest triunghi. Punctul E fiind fix, iar prin omotetia de centru E și raport , cercul de centru C și rază CB se transformă în cercul de centru F și rază FC, unde F (EC) astfel încât EF = . Raza FC = . Deci locul geometric al punctului M este cercul de centru F și rază FC, din care lipsesc punctele P și C, de intersecție cu BN.
2.2.2.5 Inversiunea
Problema 1.
Prin inversiunea de pol P și putere k, locul geometric al transformatelor punctelor unei drepte d, care nu trece prin pol, este un cerc care trece prin polul de inversiune din care lipsește polul P.
Soluție:
Ducem [PA d, Aa și luăm un punct arbitrar M al dreptei d. Obținem triunghiul dreptunghic PAM (m (PAM) = 900). Fie IP,k(A) = A’ și IP,k(M) = M’.
Avem: ~, deci triunghiul PM’A’ este dreptunghic (m (PM’A’) = 900). Cum P și A’ sunt fixe, iar m(PM’A’) = 900, M’descrie cercul (C) de diametru PA’atunci când M descrie dreapta d. Deci locul geometric este cercul (C) care trece prin polul P, din care lipsește polul P.
Observație: Inversiunea fiind o funcție bijectivă, dreptele care trec prin polul inversiunii sunt drepte invariante, (se transformă în ele însele), deci IP,k(d) = d, unde P d.
Problema 2.
Prin inversiunea de pol P și putere k, locul geometric al transformatelor punctelor unui cerc care trece prin polul de inversiune, mai puțin polul P, este o dreaptă d perpendiculară pe diametrul care trece prin pol.
Soluție:
Fie (C), P(C) și M un punct variabil pe cerc. Ducem PA, diametrul care trece prin pol. Notăm IP,k(A) = A’ și IP,k(M) = M’.
Avem: ~ deci triunghiul PM’A’ este dreptunghic (m (PA’M’) = 900), deci M’A’ PA.
Notăm M’A’ = d. Când M descrie cercul (C), M’descrie dreapta d. Deci locul geometric câutat este dreapta d perpendiculară pe diametrul care trece prin pol.
Observații:
Inversiunea conservă unghiurile dintre drepte sau cercuri.
Inversiunea nu păstrează orientarea figurilor și nu păstrează distanța dintre puncte.
Problema 3.
Prin inversiunea de pol P și putere k, locul geometric al transformatelor punctelor unui cerc care nu trece prin polul de inversiune este un cerc care nu trece prin pol.
Soluție:
a) Pentru k = ρ:
Fie C(O,r), M C(O,r) și IP,k, unde k = ρ = PQ2 – puterea punctului P față de cercul C(O,r).
IP,k(M) = M’ . rezultă că M’ C(O,r). Când M descrie C(O,r), M’ descrie tot cercul C(O,r).
b) Pentru k ≠ ρ:
Fie C(O,r), M C(O,r), PMC(O,r) = {N}, IP,k(M) = M’ și M’O’ || ON, O’PO. Rezultă . Din cazul a) – puterea punctului P față de cercul C(O,r).
(constant). Prin omotetia de centru P și raport cercul C(O,r) se transformă în C(O’,r’) unde O’ este omoteticul punctului O.
Avem: , rezultă iar unde q = PO (constant).
Deci prin inversiunea de pol P și putere k, cercul C(O,r) se transformă in cercul C(O’,r’), locul geometric căutat.
Problema 4.
Pe cateta [AC] a triunghiului dreptunghic ABC (m se ia punctul variabil N. Cercul de diametru AN intersectează segmentul (BN) în M. Să se afle locul geometric al punctului M.
Soluție:
Triunghiul AMB este asemenea cu trunghiul NAB (U.U.), deci putem scrie: , de unde BM · BN = AB2 = k (constant).
Cum punctul N aparține dreptei AC, transformata dreptei AC, prin inversiunea de pol B și putere k, va fi cercul de diametru AB, care trece prin pol. Dacă N tinde către A ( N ≠ A, pentru că dacă N = A cercul de diametru AN nu există), atunci și M tinde către A. Dacă N = C, atunci M = M’, unde M’ este al doilea punct de intersecție a cercurilor de diametre [AB] și [AC]. Deci locul geometric al punctului M este arcul de cerc (AM’], inclus în cercul de diametru AB.
Problema 5.
Se dă cercul (C) de diametru [AB]. O tangentă variabilă dusă la un cerc (C’) de centru A și rază [AD], D [AB], intersectează cercul (C) în punctele M și N astfel ca AM < AN. Pe [AN] se ia un punct P astfel încât [AP] ≡ [AM]. Se cere locul geometric al punctului P.
Soluție:
Fie (C) (C’) = {E; F}. Dacă ducem în E tangenta la cercul (C’) rezultă că AE EN’, deci AN’ este diametru, adică B = N’, iar M = E. Cum P AN’ și AP = AM =AE = AD, rezultă că P = D, deci D este un punct al locului geometric.
Dacă P este un alt punct al locului geometric avem AP · AN = AM · AN = AD · AB = k – constant. În inversiunea de pol A și putere k cercul (C) care trece prin pol se transformă în dreapta d, perpendiculară pe AB în D.
Dacă t este tangenta comună exterioară rezultă că M = N = P = G, unde d (C) = {G; H}.
Cum AM < AN, punctul N parcurge arcul GBH, iar P parcurge segmentul [GH]. Deci locul geometric al punctului P este segmentul [GH].
Problema 6.
În cercul de centru O și rază r ducem un diametru [AB] și notăm cu C simetricul lui O față de A. Semidreapta variabilă [CX intersectează cercul în P și Q, iar paralela prin B la AP se intersectează cu [CX în M. Să se afle locul geometric al punctului M.
Soluție:
Patrulaterul APQB (sau AQPB) este înscris în cercul de centru O și rază r, rezultă că m(AQP) = m(ABP) = u0. Din BM || AP, iar AP PB rezultă că BM PB.
m(CQB) = m(CBM) = 900 + u0. Deci triunghiurile CQB și CBM sunt asemenea (U.U.).
Avem: , de unde CQ · CM = CB2 = (3r)2 = 9r2 = k. Deci prin inversiunea de pol C și putere k = 9r2, cercul de centru O se transformă într-un cerc cu centru pe AB, care nu trece prin pol, descris de M. Fie MO’ || PO, O’ AB. Avem: , de unde MO’ = 3PO = 3r. Cum O este fix, rezultă că O’ este fix. Dacă CX = CB obținem P = A, Q = B și M = B, deci B este un punct al locului geometric. Atunci când Q parcurge întregul cerc, M descrie cercul de centru O’ și rază 3r, tangent în B cercului dat. Locul geometric al punctului M este deci cercul de centru O’ și rază R = 3r.
Problema 7.
Pe cercul de centru O și rază r se ia un punct variabil M. Fie P un punct fix, interior cercului dat. Să se afle locul geometric al punctelor N, unde N PM, astfel încât unghiul NOP ≡OMP.
Soluție:
NOP ≡OMP (ipoteză) și NPO ≡OPM (comun). Rezultă
∆NOP ~ ∆OMP (UU), de unde rezultă (P – fix PO – constant. Din problema 3. rezultă că cercul C(O,r) , care nu trece prin polul P se transformă prin inversiunea de pol P și putere k = OP2 într-un cerc care nu trece prin pol.
Fie NO’|| MO, O’ PO. Din teorema lui Thales ∆PO’N ~ ∆POM, de unde . Deci locul geometric căutat este cercul de centru O’ și rază r’.
C A P I T O L U L 3
METODE TRADIȚIONALE VERSUS METODE MODERNE UTILIZATE ÎN PROIECTAREA TEMELOR DE LOC GEOMETRIC
3.1. METODE UTILIZARE ÎN PROCESUL DE
PREDARE – ÎNVĂȚARE – EVALUARE
Spre deosebire de programele școlare bazate pe conținuturi, programele organizate pe competențe prezintă avantajul scopului formativ al învățării. Acestui tip de învățare trebuie să i se asocieze o evaluare a cărei funcție este să îl ajute pe elev să învețe: Ce învață?, Cum învață?, Cum poate reuși? Dacă acceptăm că a evalua înseamnă a da un sens, atunci învățarea capătă sens dacă evaluarea se raportează la o competență a cărei dobândire de către elev este verificată prin control.
Educatorii trebuie să se preocupe de găsirea unor metode și procedee variate adaptate diferitelor situații de instruire în care elevii vor fi puși. Pe baza metodelor pe care le stăpânește, educatorul va încerca noi metode de predare. Este loc în acest domeniu pentru manifestarea imaginației și creativității didactice, cu efecte pozitive nu numai asupra elevilor, ci și asupra dascălului.
O metodă de învățământ reprezintă o cale de organizare și dirijare a învățării în vederea atingerii competențelor specifice disciplinei; un ansamblu organizat de procedee.
Metoda constituie modalitatea prin care se obține transmiterea și însușirea conținutului activităților matematice.
Specificitatea conținutului, aspectul logic al cunoștințelor matematice, impune un caracter obiectiv metodelor de învățământ.
Metoda influențează și determină modul de receptare a conținutului, gradul de accesibilitate al cunoștințelor și valoarea informativă și formativ-educativă a actului didactic. Astfel, între scop și conținut, metoda apare ca un instrument în vederea atingerii finalităților urmărite.
Similar suitei de operații ce constituie acțiunea didactică, metoda adecvată acțiunii propuse încorporează o suită de procedee ordonate logic. Fiecare procedeu reprezintă o tehnică de acțiune și rămâne o componentă particulară a metodei, un instrument de aplicare efectivă a metodei.
Deci, metoda se constituie dintr-o varietate de procedee ce concură la atingerea scopului propus, iar eficiența metodei este asigurată de calitatea și varietatea procedeelor alese de către profesor.
Eficiența unei metode depinde de modul în care declanșează la copil actele de învățare și de gândire prin acțiune, de măsura în care determină și favorizează reprezentările specifice unei anumite etape de formare a noțiunii.
Metoda este un fapt (fenomen) obiectiv care condiționează progresul la învățătură; prin intermediul ei profesorul stăpânește acțiunea instructivă, o dirijează, o corectează și o reglează continuu în direcția impusă de finalitățile actului instrucțional.
Fiind direct implicată în actul instruirii, prin intervenția ei activă, metoda poate să modifice mersul proceselor de predare și învățare; ea poate să imprime un curs sau altul derulării acestora. Si, făcând acest lucru, metoda devine o variabilă care , în mod potențial, influențează efectele învățării, devenind o variabilă cauzală, răspunzătoare, în bună parte, de rezultatele obținute, de nivelul acestora și eficiența învățământului. Nu numai rezultatele imediate și directe sunt influențate de metodă, ci și cele îndepărtate.
A. METODE TRADIȚIONALE UTILIZATE ÎN PREDAREA MATEMATICII
Explicația – metodă verbală de asimilare a cunoștințelor prin care se progresează în cunoaștere, oferind un model descriptiv la nivelul relațiilor.
Pentru a fi eficientă, explicația, ca metodă de învățământ specifică în cadrul activităților matematice, trebuie să aibă următoarele caracteristici:
• să favorizeze înțelegerea unui aspect din realitate;
• să justifice o idee pe bază de argumente, adresându-se direct rațiunii, antrenând operațiile gândirii (analiza, clasificarea, discriminarea);
• să înlesnească dobândirea de cunoștințe, a unor tehnici de acțiune;
• să respecte rigurozitatea logică a cunoștințelor adaptate pe nivel de vârstă;
• să aibă un rol concluziv, dar și anticipativ;
• să influențeze pozitiv resursele afectiv-emoționale ale copiilor.
În utilizarea eficientă a acestei metode se cer respectate următoarele cerințe:
• să fie precisă, concentrând atenția copiilor asupra unui anume aspect;
• să fie corectă din punct de vedere matematic;
• să fie accesibilă, adică adaptată nivelului experienței lingvistice și cognitive a copiilor;
• să fie concisă.
Dacă explicația, ca metodă, este corect aplicată, ea își pune în valoare caracteristicile, iar copiii găsesc în explicație un model de raționament matematic, de vorbire, un model de abordare a unei situații-problemă, și astfel ei înțeleg mai bine ideile ce li se comunică.
La nivelul activităților matematice, explicația este folosită atât de profesor, cât și de copii. Profesorul: explică procedeul de lucru; explică termenii matematici prin care se verbalizează acțiunea; explică modul de utilizare a mijloacelor didactice; explică reguli de joc și sarcini de lucru. Elevul: explică modul în care a acționat (motivează); explică soluțiile găsite în rezolvarea sarcinii didactice, folosind limbajul matematic.
Explicația însoțește întotdeauna demonstrația și o susține. În cursul explicației se pot face întreruperi, cu scopul de a formula și adresa întrebări copiilor, prin care să se testeze gradul de receptare și înțelegere a celor explicate, dar întreruperile trebuie să fie de scurtă durată, pentru a nu rupe firul logic al demersului susținut.
Metoda explicației se regăsește în secvențele didactice ale diverselor tipuri de activități.
Demonstrația – este metoda învățării pe baza contactului cu materialul intuitiv, contact prin care se obține reflectarea obiectului învățării la nivelul percepției și reprezentării.
Demonstrația este una din metodele de bază în activitățile matematice și valorifică noutatea cunoștințelor și a situațiilor de învățare. Ca metodă intuitivă, ea este dominantă în activitățile de dobândire de cunoștințe și valorifică caracterul activ, concret senzorial al percepției copilului. O situație matematică nouă, un procedeu nou de lucru vor fi demonstrate și explicate de profesor. Nivelul de cunoștințe al copiilor și vârsta acestora determină raportul optim dintre demonstrație și explicație. Eficiența demonstrației, ca metodă, este sporită dacă sunt respectate anumite cerințe de ordin psihopedagogic: demonstrația trebuie să se sprijine pe diferite materiale didactice demonstrative ca substitute ale realității, în măsură să reprezinte o susținere figurativă, indispensabilă gândirii concrete a copilului, noțiunile fiind prezentate în mod intuitiv prin experiențe concret-senzoriale; demonstrația trebuie să respecte succesiunea logică a etapelor de învățare a unei noțiuni sau acțiuni; demonstrația trebuie să păstreze proporția corectă în raport cu explicația, funcție de scopul urmărit; demonstrația trebuie să favorizeze învățarea prin crearea motivației specifice (trezirea interesului).
Conversația – metodă de instruire cu ajutorul întrebărilor și răspunsurilor în scopul realizării unor sarcini și situații de învățare.
În raport cu obiectivele urmărite și cu tipul de activitate în care este integrată, conversația, ca metodă, are următoarele funcții:
euristică, de valorificare a cunoștințelor anterioare ale copiilor pe o nouă treaptă de cunoaștere (conversație de tip euristic);
de clarificare, de aprofundare a cunoștințelor (conversația de aprofundare);
de consolidare și sistematizare (conversația de consolidare);
de verificare sau control (conversația de verificare).
Ținând cont de funcția didactică pe care o poate îndeplini conversația, aceasta poate avea mai multe variante:
• conversația introductivă;
• conversația de comunicare;
• conversația de repetare și sistematizare;
• conversația de fixare și consolidare;
• conversația de verificare și apreciere;
• conversația finală.
Conversația introductivă se folosește pentru pregătirea psihologică a elevilor, în vederea predării de noi cunoștințe. În acest scop, pregătirea face referire la mobilizarea atenției, la stimularea interesului și a curiozității, la reactualizarea cunoștințelor.
Conversația de comunicare se utilizează în scopul transmiterii de noi cunoștințe. Acest tip de conversație poate fi folosit și în situații diverse cum ar fi: pregătirea materialului didactic, efectuarea de experimente, comentarea diverselor exemple sau situații etc.
Conversația de repetare și sistematizare se utilizează în cazul reluării și repetării noțiunilor, în cazul desprinderii unor concluzii parțiale sau finale, precum și în cazul integrării noțiunilor anterioare în structurile logice noi și concretizarea acestora în diverse situații.
Conversația de fixare și consolidare se aplică în mod curent la lecție, în vederea fixării ideilor importante ce rezultă din noțiunile predate.
Conversația de verificare și apreciere vizează gradul de înțelegere a noțiunilor predate, precum și capacitatea de reproducere, de explicare și aplicare a cunoștințelor dobândite la lecție.
Profesorul trebuie să creeze cât mai multe situații generatoare de întrebări și căutări, să dea posibilitatea copilului de a face o selecție a posibilităților de lucru, să recurgă la întrebări-problemă, să-i încurajeze pentru a formula ei înșiși întrebări, să pună probleme. Întrebările de tipul: „Ce ai aici?, „Ce ai făcut?”, „De ce?” pun copiii în situația de a motiva acțiunea și astfel limbajul relevă conținutul matematic al acțiunii obiectuale și se realizează schimbul de idei.
Metoda observării (observația) – constă din urmărirea sistematică de către elev a obiectelor și fenomenelor ce constituie conținutul învățării, în scopul surprinderii însușirilor semnificative ale acestora.
Ion Cerghit apreciază observarea ca una dintre metodele de învățare prin cercetare și descoperire. Este practicată de elevi în forme mai simple sau complexe, în raport cu vârsta.
Funcția metodei nu este în primul rând una informativă, ci mai accentuată apare cea formativă, adică de introducere a elevului în cercetarea științifică pe o cale simplă.
Dacă întâi elevul doar recunoaște, descrie, analizează, progresiv, el trebuie învățat să explice cauzele, să interpreteze datele observate, să reprezinte grafic rezultatele, să arate dacă corespund sau nu cu unele idei, să le aplice și în alte situații, create prin analogie. Elevul trebuie să-și noteze, să-și formuleze întrebări, deci să aibă un caiet de observație, putând face ușor transferul la caietul de studiu.
Observația științifică însoțită de experiment atinge cote maxime în învățarea matematicii.
Observația este o activitate perceptivă, intenționată, orientată spre un scop, reglată prin cunoștințe, organizată și condusă sistematic, conștient și voluntar.
Formularea unui scop în observație impune sarcina de a dirija atenția copilului spre sesizarea unor elemente esențiale, astfel încât, treptat, reprezentările să se structureze, să se clarifice și să se fixeze. Prin scop este concentrată atenția copilului spre observarea unor anumite elemente și sunt activizate mecanisme discriminative.
Observația, ca metodă, asigură baza intuitivă a cunoașterii, asigură formarea de reprezentări clare despre obiecte și însușirile caracteristice ale acestora. Îmbogățirea bazei senzoriale a copilului se realizează în mare măsură prin observație dirijată, copilul învață prin explorare perceptivă, ce depinde în mare măsură de calitatea observației.
Calitatea observației poate fi sporită prin respectarea următoarelor condiții: organizarea unor condiții materiale propice observației; acordarea timpului necesar pentru observație; dirijarea prin cuvânt (explicație, conversație); acordarea libertății de a pune întrebări în timpul observației; valorificarea cunoștințelor obținute prin observație; reluarea observării însoțite de explicații, de câte ori se impune.
Observația, ca metodă, apare însoțită de explicație, ultima fiind elementul de dirijare a observației spre scopul propus.
Explicația, ca procedeu, are un rol deosebit în cadrul observației, datorită faptului că prin intermediul cuvântului: se stabilește scopul observației; sunt actualizate cunoștințe și integrate în cadrul observativ; se explorează câmpul perceptiv, scoțându-se în evidență elementele semnificative; se fixează și se valorifică rezultatele observației în activitatea (acțiunea) ce asigură integrarea percepției; se introduc simbolurile verbale specifice limbajului matematic, cu asigurarea unui raport corect între rigoare științifică și accesibilitate.
Funcție de nivelul de vârstă și de tipul de activitate, observația dirijată se regăsește în diferite secvențe ale demersului didactic.
Exercițiul – este o metodă ce are la bază acțiuni motrice și intelectuale, efectuate în mod conștient și repetat, în scopul formării de priceperi și deprinderi, al automatizării și interiorizării unor modalități de lucru de natură motrice sau mentală.
Prin acțiune exersată repetat, conștient și sistematic, copilul dobândește o îndemânare, o deprindere, iar folosirea ei în condiții variate transformă deprinderea în pricepere. Ansamblul deprinderilor și priceperilor, dobândite și exersate prin exerciții în cadrul activităților matematice, conduce la automatizarea și interiorizarea lor, transformându-le treptat în abilități.
La nivelul activităților matematice din grădiniță, abilitățile se dobândesc prin acțiunea directă cu obiecte și exersează potențialul senzorial și perceptiv al copilului.
O acțiune poate fi considerată exercițiu numai în condițiile în care păstrează un caracter algoritmic. Ea se finalizează cu formarea unor componente automatizate, a unor abilități deci, ce vor putea fi aplicate în rezolvarea unor noi sarcini cu alt grad de complexitate.
Pentru ca un ansamblu de exerciții să conducă la formarea unor abilități, acesta trebuie să asigure copilului parcurgerea următoarelor etape: familiarizarea cu acțiunea în ansamblul ei, prin demonstrație și aplicații inițiale; familiarizarea cu elementele componente ale deprinderii (prin descompunerea și efectuarea pe părți a acțiunii); unificarea acestor elemente într-un tot, asigurând organizarea sistemului; reglarea și autocontrolul efectuării operațiilor; automatizarea și perfectarea acțiunii, dobândirea abilității.
Cunoașterea și respectarea acestor etape de către profesor favorizează: consolidarea cunoștințelor și deprinderilor anterioare; amplificarea capacităților operatorii ale achizițiilor prin aplicarea în situații noi; realizarea obiectivelor formative asociate (psihomotrice, afective).
Pentru a asigura formarea de abilități matematice, ca finalități ale disciplinei, exercițiul trebuie să fie integrat într-un sistem, atât la nivelul unei abilități, dar și la nivel de unitate didactică.
Conceperea, organizarea și proiectarea unui sistem de exerciții în scopul dobândirii unei abilități trebuie să asigure valorificarea funcțiilor exercițiului6: formarea deprinderilor prin acțiuni corect elaborate și consolidate; adâncirea înțelegerii noțiunilor prin exersare în situații noi; dezvoltarea operațiilor mentale și constituirea lor în structuri operaționale; sporirea capacității operatorii a cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor și transformarea lor în abilități (operaționalizarea achizițiilor).
În cadrul activităților matematice, sistemul de exerciții vizează, pentru început, capacitatea de reproducere a achizițiilor. Odată dobândite, abilitățile asigură prin exersare caracterele reversibil și asociativ ale operației, iar exercițiul devine astfel operațional.
În conceperea unui sistem eficient de exerciții, profesorul trebuie să țină cont de următoarele condiții psiho-pedagogice, subordonate etapelor de formare a abilităților: asigurarea succesiunii sistemice a exercițiilor, respectând etapele de formare a unei noțiuni; succesiunea progresivă prin eșalonarea lor după gradul de dificultate; aplicarea diferențiată a exercițiilor, funcție de particularitățile capacităților de învățare; varietatea exercițiilor prin schimbarea formei, a modului de execuție sau a materialului didactic; creșterea treptată a gradului de independență a copiilor în executarea exercițiilor (de la exercițiul de imitație dirijat, la exercițiul de exemplificare semidirijat și independent); repartizarea în timp a exercițiilor, în scopul sporirii eficienței învățării; asigurarea unei alternanțe raționale între exercițiile motrice și cele mentale, funcție de nivelul de vârstă și scopul urmărit.
Sistemul de exerciții nu-și poate atinge scopul formativ fără a acorda atenția cuvenită desfășurării exercițiilor ce formează ansamblul. Din acest motiv, este util pentru cadrul didactic să rețină câteva aspecte pentru organizarea situațiilor și sarcinilor de învățare.
El trebuie: să cunoască bine structura, valoarea și limitele exercițiului de executat; să motiveze corect efectuarea repetată a unor exerciții, precum și performanțele de atins; să explice și să demonstreze modelul acțiunii; să creeze situații cât mai variate de exersare; să aibă în vedere o ordonare a exercițiilor, după complexitate și grad de dificultate; să îmbine procedeul execuției globale cu cel al fragmentării; să impună (precizeze) un ritm optim de acțiune, cu unele verificări imediate, ca și crearea unor posibilități de autocontrol.
Lucrul cu manualul – este o metodă didactică în cadrul căreia învățarea are ca sursă esențială și ca instrument de formare a elevului cartea școlară sau alte surse similare. Finalitatea ei este dublă: dobândirea de către elevi a fondului perceptiv necesar înțelegerii; capacitatea deprinderii de a utiliza cartea;
Apariția manualelor alternative a dus la diminuarea lucrului cu manualul și utilizarea mai frecventă a surselor similare.
Lucrul cu cartea capătă valențe active mai ales în etapa dobândirii cunoștințelor, în inițierea în studiu independent, în documentație, ca punct de plecare în viitoarea cercetare. La matematică lucrul cu cartea dă rezultate bune în aprofundarea, repetarea și sistematizarea cunoștințelor.
Modelarea se bazează pe valorificarea caracterului euristic al analogiei, care permite ca pe baza asemănării unor elemente a două sisteme să se presupună asemănarea probabilă a acestor sisteme.
Utilizarea acestei metode în învățământul gimnazial, pe lângă faptul că-i obișnuiește pe elevi cu un procedeu de investigație științifică, are și o mare valoare formativă.
Totodată, exersarea elevilor în trecerea de la un model la altul, pentru a exprima același conținut informativ, dezvoltă mobilitatea și flexibilitatea gândirii.
Caracterul reflectiv al modelelor, valoarea lor cognitivă, atribuie acestora însemnate virtuți operaționale, în sensul că ele oferă examinării elevilor un material mai maleabil, elemente incluse în structura unui model se pot manevra cu ușurință și sunt supuse controlului.
Algoritmizarea este metoda care utilizează algoritmi în învățare. Algoritmul este un sistem de raționamente și operații care se desfășoară într-o anumită succesiune finită care, fiind respectată riguros, conduce în mod sigur la recunoașterea și rezolvarea problemelor de același tip.
Algoritmii oferă elevilor cheia sistemului de operații mintale pe care trebuie să le efectueze pentru a recunoaște într-un context nou, noțiunea sau teorema învățată anterior și a putea opera cu ea. În plan didactic aceste operații mintale se exteriorizează prin rezolvarea unor exerciții și probleme de același tip. Pentru ca algoritmii să devină instrumente ale gândirii elevilor, este necesar să nu fie dați ci să-i punem pe elevi în situația de a parcurge toate etapele elaborării lor, pentru a putea conștientiza fiecare element. Folosirea metodei algoritmizării ne ajută să înzestrăm elevii cu modalități economice de gândire și acțiune.
În cazul rezolvării unui anumit tip de probleme, elevul își însușește o suită de operații pe care le aplică în rezolvarea problemelor ce se încadrează în acest tip.
Un algoritm este o suită, un șir finit sau un sistem de operații structurate și efectuate, într-o anumită succesiune univocă, de secvențe care conduc întotdeauna spre același rezultat.
Algoritmii se prezintă sub diferite forme: algoritmi pentru descrierea obiectivelor; algoritmi de conținut; algoritmi de identificare; algoritmi de rezolvare; algoritmi de execuție; algoritmi de instruire sau didactici; algoritmi de predare; algoritmi de învățare;
algoritmi de control sau evaluare etc.
Metoda algoritmizării constă în elaborarea și aplicarea unor scheme constituite dintr-o succesiune univocă de secvențe sau operații, în vederea rezolvării unor probleme tipice și a asimilării pe această bază a cunoștințelor, concomitent cu formarea capacităților operaționale corespunzătoare. În acest sens, această metodă prevede două nivele complementare:
1. elaborarea algoritmilor;
2. aplicarea algoritmilor în vederea rezolvării de situații tipice.
Dacă se ia în considerare predarea și învățarea, algoritmii pot fi de două categorii: -algoritmi didactici; algoritmi ai învățării.
Algoritmii didactici caracterizează activitatea profesorului la ore putând fi realizați dintr-o succesiune de etape, parcurgerea acestora având loc ori de câte ori urmează să se desfășoare diverse sarcini de lucru.
Algoritmii învățării sunt secvențe ale înlănțuirii și ordonării cunoștințelor după criterii logice.
Prelegerea este o formă de expunere verbală, prin care cadrul didactic transmite un volum mare de cunoștințe, selectate, sistematizate și organizate în jurul unei teme sau a unui plan de idei.
Prelegerea poate fi introductivă, atunci când profesorul comunică cu anticipație conținutul ce va fi predat la clasă, sau poate fi prelegere de sinteză, când profesorul face o sintetiză asupra unui material ce a fost deja transmis.
Prelegerea poate fi însoțită de prezentarea de ilustrații (planșe, albume, fotografii), aplicații practice (machete, mostre) și poate fi facilitată de utilizarea unor manipulatori educaționali sau materiale ajutătoare (aparatură audio-video, video-conferințe, satelit), care transmit mesajul verbal, demonstrația intuitivă și experiențele didactice, folosind și mijloace de învățământ.
Prelegerea poate fi combinată cu dezbaterea, obținându-se varianta de “prelegere-dezbatere”. Un anumit volum de cunoștințe expus în prealabil de profesor constituie punctul de plecare al unor dezbateri, acestea axându-se pe comentarea și interpretarea celor transmise.
Utilizarea prelegerii oferă cadrului didactic posibilitatea de a prezenta o anumită temă din conținutul unei discipline într-un mod sistematic, rațional și fără abateri de la proiectul didactic stabilit, influențând atitudinile, convingerile, sentimentele și opiniile elevilor. Cu toate acestea, la un moment dat, prelegerea poate deveni monotonă, ineficientă, îndepărtându-se de un contact direct cu realitatea. Pentru a evita aceste aspecte este indicat ca profesorul să introducă în timpul prelegerii următoarele elemente caracteristice: pregătirea de materiale ajutătoare; explicarea; dinamismul / entuziasmul; folosirea mijloacelor audiovizuale; diversificarea activităților; compararea, folosirea studiilor de caz, exemplificarea;concluzionarea.
Centrarea activității didactice doar pe activitatea profesorului poate duce la o pasivitate din partea elevilor, precum și o inhibiție intelectuală a acestora. Din acest motiv, prelegerea este folosită în transmiterea unui conținut științific important cu precădere în ultimele clase de liceu, în învățământul superior și în formarea continuă.
B. METODE PENTRU O ÎNVĂȚARE ACTIVĂ
Învățarea activă presupune utilizarea unor strategii care maximizează conținuturile și se bazează pe strategii de învățare prin colaborare.
Caracteristicile lecției de matematică bazate prin învățare prin cooperare:
Interdependența pozitivă a membrilor grupului;
Răspunderea individuală pentru obținerea unui produs de grup care să răspundă cerințelor sarcinii;
Caracterul eterogen al grupului;
Conducerea în comun a activității de lucru în grup;
Formarea deprinderilor sociale rezultate din munca în grup și prin asumarea răspunderii individuale pentru realizarea unui produs colectiv;
Rolul de observator al profesorului care poate interveni la nevoie;
Eficiența sporită datorită posibilității de a anliza rezultate diferite pentru aceeași sarcină și evaluarea modului de realizare a sarcinilor;
Multiplicarea efectelor învățării
Din aceasta perspectivă, metodele pentru o învățare activă se pot clasifica în:
I. Metode care favorizează înțelegerea conceptelor și ideilor, valorifică experiența proprie a elevilor, dezvoltă competențe de comunicare și relaționare, de deliberare pe plan mental și vizează formarea unei atitudini active: discuția, dezbaterea, jocul de rol etc.
II. Metode care stimulează gândirea și creativitatea, îi determină pe elevi să caute și să dezvolte soluții pentru diferite probleme, să facă reflecții critice și judecăți de valoare, să compare și să analizeze situații date: studiul de caz, rezolvarea de probleme, jocul didactic, exercițiul etc.
III. Metode prin care elevii sunt învățați să lucreze productiv cu alții și să-și dezvolte abilități de colaborare și ajutor reciproc: mozaicul, proiectul în grupuri mici etc.
Exemple de Metode cu Valențe Activizatoare
1. BRAINSTORMINGUL
Este o metodă care ajută la crearea unor idei și concepte creative și inovatoare. Pentru un brainstorming eficient, inhibițiile și criticile suspendate vor fi puse de-o parte. Astfel exprimarea va deveni liberă și participanții la un proces de brainstorming își vor spune ideile și părerile fără teama de a fi respinși sau criticați. Un brainstorming durează în jur de o jumătate de oră și participă în medie 10 elevi sau grupuri de minim 10 elevi. Se expune un concept, o idee sau o problemă și fiecare își spune părerea despre cele expuse și absolut tot ceea ce le trece prin minte, inclusiv idei comice sau inaplicabile. O variantă a brainstormingului este brainwritingul.
O sesiune de brainstorming bine dirijată dă fiecăruia ocazia de a participa la dezbateri și se poate dovedi o acțiune foarte constructivă.
Etapele unui brainstorming eficient sunt următoarele: deschiderea sesiunii de brainstorming, o perioadă de acomodare de 5-10 minute, partea creativă a brainstormingului, prelucrarea ideilor și stabilirea unui acord.
În deschiderea sesiunii de brainstorming se prezintă scopul acesteia și se discută tehnicile și regulile de bază care vor fi utilizate.
Perioada de acomodare durează 5-10 minute și are ca obiectiv introducerea grupului în atmosfera brainstormingului. Este o mini-sesiune de brainstorming unde participanții sunt stimulați să discute idei generale pentru a putea trece la un nivel superior.
Partea creativă a brainstormingului are o durată de 25-30 de minute. Este recomandabil ca în timpul derulării acestei etape, coordonatorul (profesorul) să amintească timpul care a trecut și cât timp a mai rămas. Să “preseze” participanții și în finalul părții creative să mai acorde câte 3-4 minute în plus. În acest interval de timp grupul participant trebuie să fie stimulați să-și spună părerile fără ocolișuri.
La sfârșitul părții creative coordonatorul brainstormingului clarifică ideile care au fost notate și puse în discuție și verifică dacă toată lumea a înțeles punctele dezbătute. Este momentul în care se vor elimina sugestiile prea îndrăznețe și care nu sunt îndeajuns de pertinente. Se face și o evaluare a sesiunii de brainstorming și a contribuției fiecărui participant la derularea sesiunii. Pot fi luate în considerare pentru evaluare: talentele și aptitudinile grupului, repartiția timpului și punctele care au reușit să fie atinse.
Pentru a stabili un acord obiectiv cei care au participat la brainstorming își vor spune părerea și vor vota cele mai bune idei. Grupul supus la acțiunea de brainstorming trebuie să stabilească singuri care au fost ideile care s-au pliat cel mai bine pe conceptul dezbătut.
Pe timpul desfășurării brainstormingului participanților nu li se vor cere explicații pentru ideile lor. Aceasta este o greșeală care poate aduce o evaluare prematură a ideilor și o îngreunare a procesului în sine.
Metoda creativă denumită brainstorming are o lungă istorie, dar ea a fost reactivată de profesorul Alex Osborne, prorector la Universitatea Buffalo și fondator al Institutului de Creație Tehnică, USA.
Fiecare dintre noi este o persoană creativă sau are anumite laturi creative. De multe ori ideea este “omorâtă” chiar de către creatorul ei de frica înfruntării criticilor colegilor săi, de teama de a nu se face de râs. Autocritica distruge momentul în care o idee creativă este irosită înainte de a prinde viață. Brainstormingul funcționează după principiul: asigurarea calității prin cantitate și își propune să elimine exact acest neajuns generat de autocritică.
Vă recomand 7 reguli pe care elevii le vor respecta în scopul unei ședințe reușite de brainstorming:
1. Nu judecați ideile celorlalți – cea mai importantă regulă.
2. Încurajați ideile nebunești sau exagerate.
3. Căutați cantitate, nu calitate în acest punct.
4. Notați tot.
5. Fiecare elev este la fel de important.
6. Nașteți idei din idei.
7. Nu vă fie frică de exprimare.
Este important de reținut că obiectivul fundamental al metodei brainstorming constă în exprimarea liberă a opiniilor prin eliberarea de orice prejudecăți. De aceea, acceptați toate ideile, chiar trăznite, neobișnuite, absurde, fanteziste, așa cum vin ele în mintea elevilor, indiferent dacă acestea conduc sau nu la rezolvarea problemei. Pentru a determina progresul în învățare al elevilor este necesar să îi antrenați în schimbul de idei; faceți asta astfel încât toți elevii să își exprime opiniile!
2. CUBUL
Metoda este folosită în cazul în care se dorește explorarea unui subiect, a unei situații etc. din mai multe perspective. Se oferă astfel elevilor posibilitatea de a-și dezvolta competențele necesare unor abordări complexe și integratoare.
Etapele metodei:
1. Realizați un cub pe ale cărui fețe notați: descrie, compară, analizează,asociază, aplică, argumentează.
2. Anunțați tema/subiectul pus în dicuție.
3. Impărțiți grupul în șase subgrupuri, fiecare subgrup urmând să examineze topica aleasă din perspectiva unei “fețe“a cubului, astfel:
a) Descrie: culorile, formele, marimile etc.
b) Compară: ce este asemănător și ce este diferit?
c) Asociază: la ce te iîndeamnă să te gândești?
d) Analizează: spune din ce este făcut, din ce se compune etc?
e) Aplică: ce poți face cu el? Cum poate fi folosit?
f) Argumentează pro sau contra. Ia atitudine și listează o serie de motive care vin în sprijinul afirmației tale.
Prin brainstorming, participanții identifică idei novatoare pe care le includ într-un paragraf sau două referitoare la tema respectivă.
4. Forma finală a scrierii este împărtășită întregului grup
5. Lucrarea în forma finală poate fi afișată pe tablă sau pe pereții clasei.
3. Metoda TURUL GALERIEI
“Turul Galeriei” este o metodă de învățare prin cooperare ce îi încurajează pe elevi să-și exprime opiniile proprii. Produsele realizate de elevi sunt expuse ca într-o galerie, prezentate și susținute de secretarul grupului, urmând să fie evaluate și discutate de către toți elevii, indiferent de grupul din care fac parte. Turul galeriei presupune evaluarea interactivă și profund formativă a produselor realizate de grupuri de elevi.
Pașii metodei:
• elevii sunt împărțiți pe grupuri de câte 4-5 membri, în funcție de numărul elevilor din clasă;
• cadrul didactic prezintă elevilor tema și sarcina de lucru;
• fiecare grup va realiza un produs pe tema stabilită în prealabil
• produsele sunt expuse pe pereții clasei;
• secretarul grupului prezintă în fața tuturor elevilor produsul realizat;
• analizarea tuturor lucrărilor.
După turul galeriei, grupurile își reexaminează propriile produse prin comparație cu celelalte. ,,Turul Galeriei” urmărește exprimarea unor puncte de vedere personale referitoare la tema pusă în discuție. Elevii trebuie învățați să asculte, să înțeleagă și să accepte sau să respingă ideile celorlalți prin demonstrarea valabilității celor susținute. Prin utilizarea ei se stimulează creativitatea participanților, gândirea colectivă și individuală, se dezvoltă capacitățile sociale ale participanților, de intercomunicare și toleranță reciprocă, de respect pentru opinia celuilalt.
Avantaje:
atrage și stârnește interesul elevilor, realizându-se interacțiuni între elevi;
promovează interacțiunea dintre mințile participanților, dintre personalitățile lor, ducând la o învățare mai activă și cu rezultate evidente;
stimulează efortul și productivitatea individului și este importantă pentru autodescoperirea propriilor capacități și limite, pentru autoevaluare;
există o dinamică intergrupală cu influențe favorabile în planul personalității, iar subiecții care lucrează în echipă sunt capabili să aplice și să sintetizeze cunoștințele în moduri variate și complexe;
dezvoltă și diversifică priceperile, capacitățile și deprinderile sociale ale elevilor; se reduce la minim fenomenul blocajului emoțional al creativității.
4. METODA MOZAIC (JIGAW)
Jigsaw (în engleză jigsaw puzzle înseamnă mozaic) sau „metoda grupurilor
interdependente” este o strategie bazată pe învățarea în echipă (team-learning). Fiecare elev are o sarcină de studiu în care trebuie să devină expert. El are în același timp și responsabilitatea transmiterii informațiilor asimilate, celorlalți colegi.
În cadrul acestei metode rolul profesorului este mult diminuat, el intervine semnificativ la începutul lecției când împarte elevii în grupurile de lucru și trasează sarcinile și la sfârșitul activității când va prezenta concluziile activității.
Există mai multe variante ale metodei mozaic. Varianta standard a acestei metode care se realizează în cinci etape.
1. Pregătirea materialului de studiu
– Profesorul stabilește tema de studiu și o împarte în 4 sau 5 sub-teme. Opțional,
poate stabili pentru fiecare sub-temă, elementele principale pe care trebuie să pună accentul elevul, atunci când studiază materialul în mod independent. Acestea pot fi formulate fie sub formă de întrebări, fie afirmativ, fie un text eliptic care va putea fi completat numai atunci când elevul studiază materialul.
– Realizează o fișă-expert în care trece cele 4 sau 5 sub-teme propuse și care va
fi oferită fiecărui grup.
2. Organizarea colectivului în echipe de învățare de câte 4-5 elevi (în funcție de numărul lor în clasă)
Fiecare elev din echipă, primește un număr de la 1 la 4-5 și are ca sarcină să studieze în mod independent, sub-tema corespunzătoare numărului său.
El trebuie să devină expert în problema dată. De exemplu, elevii cu numărul 1
din toate echipele de învățare formate vor aprofunda sub-tema cu numărul 1. Cei cu numărul 2 vor studia sub-tema cu numărul 2, și așa mai departe.
Faza independentă: fiecare elev studiază sub-tema lui, citește textul corespunzător. Acest studiu independent poate fi făcut în clasă sau poate constitui o temă de casă, realizată înaintea organizării mozaicului.
3. Constituirea grupului de experți
După ce au parcurs faza de lucru independent, experții cu acelați număr se
reunesc, constituind grupe de experți pentru a dezbate problema împreună. Astfel, elevii cu numărul 1, părăsesc echipele de învățare inițiale și se adună la o masă pentru a aprofunda sub-tema cu numărul 1. La fel procedează și ceilalți elevi cu numerele 2, 3, 4 sau 5. Dacă grupul de experți are mai mult de 6 membri, acesta se divizează în două grupe mai mici.
Faza discuțiilor în grupul de experți: elevii prezintă un raport individual
asupra a ceea ce au studiat independent. Au loc discuții pe baza datelor și a materialelor avute la dispoziție, se adaugă elemente noi și se stabilește modalitatea în care noile cunoștințe vor fi transmise și celorlați membrii din echipa inițială.
Fiecare elev este membru într-un grup de experți și face parte dintr-o echipă
de învățare. Din punct de vedere al aranjamentului fizic, mesele de lucru ale grupurilor de experți trebuie plasate în diferite locuri ale sălii de clasă, pentru a nu se deranja reciproc.
Scopul comun al fiecărui grup de experți este să se instruiască cât mai bine,
având responsabilitatea propriei învățări și a predării și învățării colegilor din echipa inițială.
4. Reîntoarcerea în echipa inițială de învățare
Faza raportului de echipă: experții transmit cunoștințele asimilate, reținând la
rândul lor cunoștințele pe care le transmit colegii lor, experți în alte sub-teme. Modalitatea de transmitere trebuie să fie scurtă, concisă, atractivă, putând fi însoțită de suporturi audio-vizuale, diverse materiale.
Specialiștii într-o sub-temă pot demonstra o idee, citi un raport, folosi
computerul, pot ilustra ideile cu ajutorul diagramelor, desenelor, fotografiilor. Membrii sunt stimulați să discute, să pună întrebări și să-și noteze, fiecare realizându-și propriul plan de idei.
5. Evaluarea
Faza demonstrației: grupele prezintă rezultatele întregii clase. În acest moment
elevii sunt gata să demonstreze ce au învățat. Profesorul poate pune întrebări, poate cere un raport sau un eseu ori poate da spre rezolvare fiecărui elev o fișă de evaluare. Dacă se recurge la evaluarea orală, atunci fiecărui elev i se va adresa o întrebare la care trebuie să răspundă fără ajutorul echipei.
Ca toate celelalte metode de învățare prin cooperare și aceasta presupune următoarele avantaje:
– stimularea încrederii în sine a elevilor;
– dezvoltarea abilităților de comunicare argumentativă și de relaționare în cadrul grupului;
– dezvoltarea gândirii logice, critice și independente;
– dezvoltarea răspunderii individuale și de grup;
– optimizarea învățării prin predarea achizițiilor altcuiva.
„Trebuie să remarcăm calitatea metodei grupurilor interdependente de a anihila manifestarea efectului Ringelmann. Lenea socială, cum se mai numește acest efect, apare cu deosebire atunci când individul își imaginează că propria contribuție la sarcina de grup nu poate fi stabilită cu precizie. Interdependența dintre membri și individualizarea aportului fac din metoda Jigsaw un remediu sigur împotriva acestui efect”.
5. Știu /Vreau să Știu /Am Învățat
Cercetarile în domeniu au arătat că învățarea este optimizată atunci când se bazează pe cunoaștere și experiențe anterioare ale elevilor, care le permit acestora să lege ceea ce știu deja de noile informații care trebuie învățate. (Roth 1990)
Prin metoda “Știu/vreau să știu/am învățat” se trece în revistă ceea ce elevii știu deja despre o anume temă și apoi se formulează întrebări la care se așteaptă găsirea răspunsurilor în lecție.
Etapele metodei:
1. Colectivul clasei se organizează în perechi și fiecare pereche primește ca sarcină să facă o listă cu tot ce știu despre tema abordată.
2. În timp ce elevii realizează lista, profesorul construiește pe tablă un tabel cu următoarele coloane: Știu/Vreau să știu/Am învățat – S/VS/I, ca cel de mai jos.
3. Perechile vor spune ce au scris și se notează în coloana din stânga informațiile cu care tot grupul este de acord.
4. Folosind aceeasi metodă, elevii vor elabora o listă de întrebări.
Elevii vor identifica intrebările pe care ei le au despre subiectul abordat, iar profesorul le va lista în a doua coloana a tabelului. Aceste intrebări vor evidenția nevoile de învățare ale elevilor în legatură cu tema abordată.
5. Elevii citesc textul individual, sau cu un coleg, sau profesorul îl citește elevilor.
6. După lectura textului, se revine asupra întrebărilor formulate în prima coloană, constatați la care s-au gasit raspunsurile în text și se trec în coloana “Am învățat”
7. Elevii vor face comparație între ceea ce ei deja cunoșteau despre tema abordată, tipul și conținutul întrebărilor pe care le-au formulat și ceea ce ei au învățat prin lecturarea
textelor.
Elevii compară ceea ce cunoșteau înainte de lecturare (informațiile din prima coloană a tabelului) cu ceea ce ei au învățat (informațiile din a treia coloană a tabelului). De asemenea ei vor discuta care din întrebările lor au găsit răspuns prin informațiile furnizate de text, și care dintre ele încă necesită un răspuns. Se discută cu elevii unde ar putea căuta respectivele informații. Unele dintre întrebările lor s-ar putea să rămână fără răspuns și s-ar putea să apară întrebări noi. În acest caz, întrebările pot fi folosite ca punct de plecare pentru investigații ulterioare.
Informația cuprinsă în coloana a treia “Am învățat” poate fi organizată în diferite categorii.
6. CIORCHINELE
Deși este o variantă mai simplă a brainstorming-ului, ciorchinele este o metodă care presupune identificarea unor conexiuni logice între idei, poate fi folosită cu succes atât la începutul unei lecții pentru reactualizarea cunoștințelor predate anterior, cât și în cazul lecțiilor de sinteză, de recapitulare, de sistematizare a cunoștințelor.
Ciorchinele este o tehnică de căutare a căilor de acces spre propriile cunoștințe evidențiind modul de a înțelege o anumită temă, un anumit conținut.
Ciorchinele reprezintă o tehnică eficientă de predare și învățare care încurajează elevii să gândească liber și deschis.
Metoda ciorchinelui funcționează după următoarele etape:
1. Se scrie un cuvânt / temă (care urmează a fi cercetat) în mijlocul tablei sau a
unei foi de hârtie.
2. Elevii vor fi solicitați să-și noteze toate ideile, sintagmele sau cunoștințele pe care le au în minte în legătură cu tema respectivă, în jurul cuvântului din centru, trăgându-se linii între acestea și cuvântul inițial.
3. În timp ce le vin în minte idei noi și le notează prin cuvintele respective, elevii vor trage linii între toate ideile care par a fi conectate.
4. Activitatea se oprește când se epuizează toate ideile sau când s-a atins limita
de timp acordată.
Există câteva reguli ce trebuie respectate în utilizarea tehnicii ciorchinelui:
Scrieți tot ce vă trece prin minte referitor la tema / problema pusă în discuție.
Nu judecați / evaluați ideile produse, ci doar notațiile.
Nu vă opriți până nu epuizați toate ideile care vă vin în minte sau până nu expiră timpul alocat; dacă ideile refuză să vină insistați și zăboviți asupra temei până ce vor apărea unele idei.
Lăsați să apară cât mai multe și mai variate conexiuni între idei; nu limitați nici numărul ideilor, nici fluxul legăturilor dintre acestea.
7. Întrebările socratice
Richard Paul (1993) afirmă că întrebările socratice se adresează pentru clarificarea ideilor, examinarea demonstrațiilor sau rezolvărilor, formularea presupunerilor. Întrebările socratice contribuie la înțelegerea conceptelor și a demonstrațiilor matematice. Ele pot fi adresate de profesor întregii clase sau pot fi adresate de un elev celorlalți elevi din clasă.
Exemple de întrebări socratice:
a) Întrebări de clarificare:
Ce înțelegi prin …?
Unde vrei să ajungi când spui …?
Ce exemple poți oferi?
De ce spui că …?
Care este relația dintre ce ai spus și …?
b) Întrebări pentru formularea presupunerilor:
Care este presupunerea pe care o faci?
De ce faci această presupunere?
Presupui că…?
c)Întrebări pentru explicarea raționamentelor:
De ce are loc implicația …?
Pe ce te bazezi când afirmi că …?
De ce putem aplica aici …?
Ce ai puta afirma dacă am presupune că …?
Ce s-ar întâmpla dacă am presupune că …? (reducere la absurd)
Ce rezultă din …? De ce?
8. METODA JOCURILOR (metoda ludică sau învățarea prin joc)
Încorporate în activitatea didactică, elementele de joc imprimă acesteia un caracter mai viu și mai atrăgător, aduc o varietate și o stare de bună dispoziție, de veselie și de bucurie, de divertisment și de destindere, ceea ce previne apariția monotoniei și a plictiselii, a oboselii.
S-au dezvoltat diferite tipuri de jocuri didactice sau jocuri educative care asigură îmbinarea și toate tranzițiile spontane posibile între elementele distractive și cele de muncă de învățare, în ideea că, treptat, vor avea câștig de cauză cele din urmă, efortul de studiu realizat cu seriozitate și dus la bun sfârșit.
Uneori, jocul se poate desfășura în condiții de competiție, în sensul cooperării cu alții și nu numai de conflict, așa cum este înțeleasă de cele mai multe ori competiția. În felul acesta, termenul de joc se apropie de semnificația englezescului game, în înțelesul de a lua parte la o partidă (acțiune) care se leagă de o miză, care se sancționează prin reușită, prin câștiguri și pierderi, deci, care este mai mult decât un joc propriu-zis. A câștiga are aici semnificația de a te bucura de recunoașterea superiorității, de considerație, de cinstire, de prețuire, ceea ce se răsfrânge asupra întregului grup căruia-i aparțin câștigătorii.
Principala condiție a „jocului” este aceea de a face ca participanții să-și dea seama că ei se află într-o situație de învățare, că primează aspectul cognitiv și, ca atare, este necesar să se desfășoare cu toată seriozitatea; altfel, prea puțini obișnuiți cu o asemenea modalitate de lucru, ei sunt înclinați să vadă în acesta un moment de divertisment, de amuzament, ceea ce pejudiciază atingerea sarcinilor prestabilite.
La început, după ce se face prezentarea situației, a obiectivelor și a regulilor, se trece la distribuția rolurilor și gruparea elevilor (după nevoile jocului, afinitățile elevilor etc.) și la stabilirea conducătorului fiecărei echipe; se hotărăște cine ce roluri va avea de interpretat; se definesc răspunderile (sarcinile); se indică materialele de care vor avea nevoie, se precizează perioadele de joc.
Profesorului i se cere să dea dovadă de multă abilitate în dirijarea activității. El joacă aici rolul de coordonator: alege subiectul care devine pretextul jocului, delimitează aria de probleme în cadrul cărora se va desfășura jocul, problemele specifice de rezolvat, fixează obiectivele didactice și educative. În timpul derulării jocului, el va veghea ca acțiunea dramatică să nu se îndepărteze de tema dată; va da indicații, atunci când se simte nevoia; va stimula și ajuta la rezolvarea problemelor, atrăgând atenția înspre „punctele de concentrare” ale acțiunii, îndrumând din când în când conduita subiecților etc.
C. DISTINCȚII ALE TRECERII DE LA METODELE CLASICE LA METODELE MODERNE
În rezumat, folosind procedeul contrapunerii, vom încerca să reținem:
a) principalele neajunsuri și critici aduse metodelor practicate până acum, în contrast cu b) caractersticile și principalele direcții de înnoire a metodologiilor pe care le încearcă învățământul de astăzi:
În cele din urmă, caracteristicile și diferențele esențiale dintre o metodologie și alta rezultă din faptul că metodele tradiționale, mult mai rigide, se raportează la un model învechit de învățământ, în timp ce metodele moderne, mult mai flexibile, mai suple, exprimă cerințele unui nou model de educație, extrem de dinamic, reflectare a unor noi realități și nevoi socioculturale specifice epocii moderne.
Ca parte integrantă a ansamblului educațional-școlar, metodologia didactică nu poate evolua într-un dezacord cu obiectivele și conținutul învățământului, cu exigențele de ansamblu ale sistemului de educație contemporan.
III.2. CERCETARE PEDAGOGICĂ PRIVIND EFICIENȚA METODELOR ACTIV-PARTICIPATIVE ÎN DEZVOLTAREA CREATIVITĂȚII ȘI A GÂNDIRII CRITICE
III.2.1. Metodologia cercetării
Mulți profesori încearcă să își schimbe modalitatea de predare pentru a sprijini mai eficient dezvoltarea abilităților specifice matematicii, precum și a celor de gândire critică. Aceste cadre didactice se așteaptă ca elevii lor nu doar să memoreze, ci să își pună întrebări, să analizeze, să interpreteze, să dezbată și să câștige o înțelegere profundă a conținuturilor învățării. Această modalitate de predare este larg recunoscută ca „bună practică”.
Mi-am propus această cercetare deoarece este important să dezvoltăm gândirea critică a elevilor prin intermediul matematcii deoarece principalul nostru obiectiv este ca elevii să gândească pentru a aborda și rezolva probleme și nu doar să reproducă etapele unor algoritmi de cele mai multe ori neînțeleși.
ETAPELE CERCETĂRII:
1. Scopul cercetării
2. Obiectivele cercetării
3. Ipoteza cercetării
4. Variabilele cercetării
5. Eșantionul de participanți
6. Desfășurarea cercetării
7. Rezultatele obținute și interpretarea lor
SCOPUL CERCETĂRII
Pornind de la premiza că explorarea universului matematic reprezintă o modalitate esențială pentru dezvoltarea creativității și a gândirii critice, ne-am pus problema dacă lecțiile care implică activ elevii, care urmăresc obiective clare și sunt bine organizate sunt cele care asigură învățarea cea mai profundă și de durată.
Obiectivul general al cercetării este identificarea modului în care aplicarea învățării prin stimularea creativității și a gândirii critice este benefică pentru faptul că asigură formarea unei gândiri flexibile, divergente și fluente, iar metodele utilizate stimulează participarea activă și deplină, psihică și fizică, individuală și colectivă a elevilor în procesul instructiv-educativ.
Obiectivele cercetării
Pornind de la acest obiectiv general, au fost identificate următoarele obiective specifice:
1. Influența modului în care implementarea unor metode și tehnici interactive contribuie la dezvoltarea gândirii critice și a creativității elevilor;
2. Determinarea nivelului general de pregătire la disciplina Matematică a elevilor implicați în cercetare;
3. Utilizarea unor tehnici și metode de determinare obiectivă a nivelului de pregătire a elevilor;
4. Determinarea rolului metodelor alternative și a impactului acestora asupra performanțelor școlare ale elevilor din învățământul gimnazial;
IPOTEZA CERCETĂRII
Ipoteza generală a acestei cercetări a fost enunțată astfel: dacă voi utiliza metode și tehnici moderne/alternative în cadrul lecțiilor de matematică, atunci acestea vor determina creșterea motivației elevilor pentru învățare, sporirea calității și eficienței procesului instructiv-educativ, revigorarea și menținerea interesului pentru matematică a elevului.
Acest lucru va fi benefic și pentru celelalte discipline de studiu, pentru dezvoltarea unor trăsături pozitive de caracter și formarea personalității copilului.
Ipoteze specifice
Prima ipoteză științifică ce derivă din ipoteza generală este:
Învățarea care se dovedește utilă și care este de durată este o investiție mult mai bună a timpului profesorului și a fondurilor comunității decât învățarea care nu necesită implicarea activă a elevilor, care obosește profesorul prin instaurarea rutinei și care se uită repede pentru că cele învățate nu se aplică sau nu se exploatează în niciun fel.
Ipoteza operațională (de lucru): Această ipoteză va fi verificată dacă voi obține o corelație între valorile variabilelor aplicate.
Cea de-a doua ipoteză este enunțată astfel:
Centrarea activității didactice doar pe activitatea rigidă a profesorului, încrederea acordată prioritar cunoștințelor livrești, teoretice, abstracte poate duce la o pasivitate din partea elevilor, precum și o inhibiție intelectuală a acestora. În schimb, schimbarea climatului din timpul învățării poate elimina blocajele culturale și emotive, puternice în școala din trecut. Se cer relații distinse, democratice, între elevi și profesori, ceea ce nu înseamnă a coborî statutul social al celor din urmă.
Ipoteza operațională (de lucru): Această ipoteză va fi verificată dacă atmosfera din sala de clasă poate influența pozitiv sau negativ performanțele elevilor.
VARIABILELE CERCETĂRII
Variabila independentă: Folosirea sistematică a metodelor interactive pentru stimularea creativității: brainstormingul, ciorchinele, cubul, jocul, eseul matematic, știu-vreau să știu-am învățat, mozaicul.
Variabile dependente: dobândirea unor deprinderi pentru dezvoltarea creativității; performanțe școlare și comportamentale; deprinderi sociale; gradul de implicare a elevilor în timpul lecțiilor; deprinderi de utilizare a metodelor interactive ca instrumente pentru o predare-învățare-evaluare /autoevaluare eficiente;
DESCRIEREA EȘANTIONULUI DE PARTICIPANȚI CERCETAT
În desfășurarea cercetării au fost implicate două clase ale Școlii Gimnaziale de Arte „N.N.Tonitza” Bârlad.
Esantionul experimental: clasa a VII-a A, formată din 26 de elevi, 9 băieți și 17 fete.
Eșantionul de control: clasa a VIII-a B, formată din 24 de elevi, 15 băieți și 9 fete.
Elevii claselor implicate provin în majoritate din diferite tipuri de clase sociale. Multe familii ale elevilor sunt în șomaj, ajutor de șomaj, au servicii temporare. Clădirea în care învață este o clădire frumoasă, modernă, dispunând de 16 săli de clasă, laboratoare de chimie, biologie, fizică, o sală de sport, o sală pentru desfășurarea orelor de informatică, bibliotecă.
Eșantionul de conținut: capitolul „Linii importante in triunghi. Mediatoarea. Bisectoarea interioară”, din programa de studiu a clasei a VII-a.
DESFĂȘURAREA CERCETĂRII
Studiul de cercetare a fost desfășurat în perioada 23.09.2013 – 15.11.2013 în cadrul
Școlii Gimnaziale de Arte „N.N.Tonitza” Bârlad.
Metodologia cercetării
Metodele didactice pe care le-am aplicat au fost selectate astfel încât să răspundă principalelor cerințe ale unei investigații și să preîntâmpine eventualele erori de investigare și prelucrare a materialului faptic. Astfel pentru confirmarea sau infirmarea ipotezei de la care am plecat am folosit un sistem metodologic compus din:
metoda anchetei;
metoda autoobservației;
metoda observației sistematice;
metoda analizei produselor activității;
metoda experimentului psihopedagogic / didactic, colectiv, de durată medie, desfășurat în trei etape: preexperimentală, experimentală, postexperimentală.
Instrumente de cercetare:
Pentru a obține informații în legătură cu personalitatea elevilor, cu nivelul de cunoștințe și competențe ale acestora, cu comportamentele și gradul de implicare al lor în
procesul educativ, am folosit ca instrumente de cercetare:
testele pedagogice de cunoștințe;
fișele de lucru;
chestionarul
proiecte
portofolii
Aceste instrumente, în marea lor majoritate, au fost preluate și adaptate conținuturilor vehiculate, particularităților elevilor și obiectivelor vizate.
Etapele investigației
Etapa experimentală – constatativă
Are rolul de a stabili nivelul existent în momentul inițierii experimentului psihopedagogic, atât la eșantionul experimental, cât și la cel de control.
Am aplicat un test inițial care a avut în vedere atât nivelul de cunoștițe, cât calitatea gândirii elevilor.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Probleme de Loc Geometric In Plan Si In Spatiu (ID: 163020)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.