Probleme de Concurenta, Coloniaritate Si Coplanaritate

Probleme de concurență, coliniaritate și coplanaritate

(Problemele de concurență, coliniaritate și coplanaritate sunt prezente în programa școlară începând cu clasa a VI-a (concurența medianelor) , clasa a VII ( concurența mediatoarelor) și înălțimilor , Teorema lui Ceva pentru concurență și Teorema lui Menelauss pentru coliniaritate , clasa a VIII-a (Teorema lui Oesanques, concurența unor linii importante în tetraedru, generalizări ale teoremei lui Menelauss), clasa a IX-a și clasa a X-a (folosirea calculului vectorial și cel analitic în rezolvarea unor astfel de probleme).

Cuprins

Cap.1.Noțiuni generale

1.1.Sistemul axiomatic Hilbert

1.2.Transformări geometrice (translație, simetrie, rotație)

1.3.Elemente de calcul vectorial și geometrie analitică.

Cap.2.Probleme de concurență

2.1.Procedee specifice pentru rezolvarea problemelor de concurență

2.2.Teoreme celebre de concurență. Puncte remarcabile

2.3.Probleme

Cap.3.Probleme de coliniaritate și coplanaritate

3.1.Procedee specifice pentru rezolvarea problemelor de coliniaritate și coplanaritate

3.2.Teoreme celebre de coliniaritate și coplanaritate. Drepte remarcabile

3.3.Probleme

Cap.4. Metode folosite în geometrie pentru rezolvarea problemelor

4.1.Metoda sintezei

4.2.Metoda analizei

4.3.Metoda reducerii la absurd

4.4.Metoda construcțiilor geometrice

4.5.Metoda analitică-sintetică

Axiomatica Hilbert

Sistemul axiomatic al lui Hilbert, constituie o teorie semiformalizată. Noțiunile primare sunt: punct dreaptă, plan iar relațiile primare sunt: incidența, ,,a fi între", congruența.

Punctele vor fi notate cu A,B,C,…, dreptele cu a,b,c,…. , iar planele cu α,β,γ ,… incidența va fi semnalată prin simbolul ,,de apartenență" Є, relația ,,a fi între" prin succesiunea de liniuțe _ _, iar congruența prin semnul .

Axiomele în număr de 20 sunt grupate în 5 grupe. Primele 3 grupe sunt consacrate succesiv celor 3 relații fundamentale , iar ultimele 2 grupe impun condiții suplimentare prin intermediul unor noțiuni derivate.

Axiomele sistemului axiomatic Hilbert sunt împărțite în 5 grupe:

Axiomele de incidență , se referă la Є

Axiomele de ordine se referă la -, -.

Axiomele de continuitate

Axioma paralelelor.

1.Grupa I de axiome.

Prezentăm în continuare cele 8 (opt) axiome,, de incidență" sau ,,de apartenență" .

I1.Fiind dată două puncte există cel puțin o dreaptă la care ele aparțin.

A,B cu A≠ B de astfel încât A,B Є d.

I2.Pentru orice două puncte distincte există cel mult o dreaptă incidentă lor.

. d, A, BЄ d cu A≠B

I3.Fiecărei drepte îi aparțin cel puțin 2 puncte. Există 3 puncte încât nici o dreaptă nu poate fi incidentă tuturor acestor puncte.

A,B,C,- necoliniare

I4. Fiind date 3 puncte există cel puțin un plan incident lor. Pentru orice plan există măcar un punct care îi aparține.

A,B,C, necoliniare ! Un plan Π astfel încât A,B,C, Є Π. Notăm Π=(ABC).

I5.Fiind date 3 puncte , care nu aparțin unei drepte, există cel mult un plan incident lor.

Π , . A Є Π

I6. Dacă două puncte distincte ale unei drepte aparțin unui plan, atunci orice punct al dreptei aparține acelui plan.

Fie d și Π. Dacă A,B Є d astfel încât A,B Є Π, atunci d c Π

I7.Dacă două plane au un punct care aparține simultan, atunci ele au cel puțin încă un punct cu această proprietate.

Fie α, β și A astfel încât A Є α și A Є β atunci B≠ A astfel încât B Є α și B Є β.

I8. Există patru puncte încât nici un plan nu este incident tuturor acestor puncte.

A,B,C, D necoplanare

Iată câteva consecințe imediate ale acestor axiome:

Propoziția 1.1. Pentru orice dreaptă a , există măcar un punct A neincident ei.

Propoziția 1.2. Pentru orice plan α , există măcar un punct astfel încât A Є α.

Propoziția 1.3. Oricare ar fi punctele distincte A și B, există o sigură dreaptă d, astfel încât A Є d, B Є d.

Propoziția 1.4. Oricare ar fi punctele A, B, C necoliniare, există un singur plan α incident lor.

Propoziția 1.5. Două puncte distincte au cel mult un punct comun.

Propoziția 1.6. Două plane distincte care au punct comun, au o dreaptă și numai una în comun.

Propoziția 1.7.Două plane distincte au cel mult o dreaptă în comun.

Propoziția 1.8.O dreaptă d și un plan α pot avea următoarele poziții relative: d c α ; d și α au un singur punct comun; d și α nu au nici un punct comun.

Propoziția 1.9.Date fiind o dreaptă d și un punct A care nu-i aparține, există un singur plan α cu proprietățile d c α; A Є α.

Propoziția 1.10. Pentru orice plan există măcar 3 puncte necoliniare care îi aparțin.

2.Grupa a II-a de axiome.

Această grupă este intitulată grupa axiomelor de ordonare și cuprinde 4 axiome. Se consideră aici o nouă relație primară care se referă la calitatea unui punct de ,,a fi între" alte două puncte , cele trei puncte fiind distincte două câte două.

Grupa a II-a de axiome conține următoarele axiome:

II.1. Dacă punctul B este între punctele A și C atunci punctele A, B, C sunt coliniare distincte și punctul B este între punctele C și A.

II.2. Pentru orice 2 puncte distincte A și B există măcar un punct C coliniar cu A și B încât B este între punctele A și C.

II.3. Dintre trei puncte, distincte două câte două, cel mult unul este între celelalte două.

II.4.Pentru orice trei puncte necoliniare A,B,C și orice dreaptă d din planul lor , la care nu aparține nici unul dintre punctele A, B, C, dacă pe d există un punct care se află între două dintre punctele A,B,C, atunci pe dreapta d există cel puțin încă un punct care se află între alte două dintre punctele A,B,C.

3.Grupa a III-a de axiome.

Această grupă conține cinci grupe de axiome și se referă la relația primară de congruență. Notația preconizată de Hilbert pentru această relație , , a fost acceptată pe plan mondial și apare inutil și dificil de înlocuit.

Prezentăm în continuare cele 5 axiome:

III.1. Pentru orice segment nenul AB și orice semidreaptă h cu originea un punct oarecare A' există cel puțin un punct B' pe h astfel încât ABA'B'.

III.2. Dacă ABCD, A'B'C'D' , atunci ABA'B'.

III.3.Dacă A-B-C, A'-B'-C', ABA'B' , BC B'C' atunci ACA'C'.

III.4.Pentru orice unghi nealungit, orice semiplan … determinat de o dreapta a într-un plan și orice semidreaptă h' a dreptei a există o singură semidreaptă k' în ….. (cu aceeași origine ca h' așa încât . Orice unghi este congruent cu el însuși.

III.5. Dacă ABC, A'B'C' sunt două triunghiuri pe care ABA'B' ACA'C' , = , atunci =

4.Grupa a IV-a de axiome.

Grupa a IV-a de axiome cuprinde două axiome numite axiomele de continuitate.

IV.1. (a lui ARHIMEDE) Oricare ar fi segmentul nenul AB și segmentul CD, există nЄN* și pentru C0, C1, C2,…. Cnpe semidreapta [CD așa încât C0= C1, Ci-1-Ci- Ci+1 ……………….

Pe scurt, axioma mai poate fi formulată astfel: ,,Date segmentul nenul AB și segmentul CD , există nЄN*, așa încât n AB> CD”.

IV.2. (a lui CANTOR). Pentru orice șir infinit de segmente {An Bn}nЄN ale unei drepte a , cu proprietatea că Ai Bi este inclus în interiorul segmentelor Ai-1Bi-1, pentru toți i= 1,2,3,….. și nu există un segment care să se găsească în interiorul tuturor segmentelor din șirul considerat, există pe a , un punct M care aparține interiorului fiecărui segment din șir.

5.Grupa a V-a de axiome

Această grupă conține o singură axiomă numită axioma paralelelor.

V. Printr-un punct A, exterior unei drepte a (în planul determinat de A, a) există cel mult o paralelă la dreapta a.

Def. Două drepte a și b se numesc paralele dacă ele aparțin aceluiași plan și nu au nici un punct comun sau coincid. Se notează a || b paralelismul dreptelor a și b și cu a b negația sa.

T1. În planul determinat de o dreaptă a și un punct A care nu-i aparține , există o paralelă prin A la dreapta a.

Dem. Fie α planul determinat de a și A. În α , perpendiculara din A pe a taie a în punctul B. Avem A B . Perpendicular b în A pe dreapta AB, aflată în planul α este paralelă cu dreapta a. În caz contrar, fie D intersecția dreptelor a și b. În triunghiul AB , unghiul DBA este congruent cu unghiul exterior a lui A.

Dreapta b obținută prin construcție din demonstrația precedentă se numește paralela canonică prin punctul A la dreapta a. Dacă prin A nu mai există alte paralele la A , atunci paralela canonică se numește pe scurt paralela prin A la a.

T2. Există drepte paralele distincte.

Fie a și b două drepte distincte dintr-un plan α și c o dreaptă care intersectează a și b în puncte distincte. Adoptăm atunci denumirile uzuale pentru unghiurile determinate de c cu dreptele a și b ,,alterne interne", ,,alterne externe" , ,,corespondente".

T3. Dacă două drepte dintr-un plan tăiată de secantă formează cu acestea unghiuri alterne interne congruente , atunci acele 2 drepte sunt paralele .

T4. Fie A un punct oarecare și a o dreaptă oarecare în care punctul A nu aparține. Atunci ( în planul determinat de A, a) există o singură dreaptă b prin punctul A paralelă cu dreapta a.

Def. Se numește geometrie euclidiană, teoria axiomatică semiformalizată a sistemului axiomatic al lui Hilbert, expus în prezentul capitol.

Din conținutul geometriei euclidiene remarcăm câteva rezultate importante.

T5. Dacă a||b și c este secantă la a și b, atunci unghiurile alterne interne determinate sunt congruente .

Dem. Fie a b și c secantă la a în A și secantă la b în B.Presupunând prin absurd că unghiurile alterne interne definite de c cu a și b nu sunt congruente , considerăm prin B dreapta b' din plan, care face cu c, împreună cu a , unghiuri alterne interne egale. Din T3 avem b'|| a. Deoarece și b||a, iar b, b' trece prin B și b b' ar urma că prin punctul B se pot duce planul considerat două paralele distincte la dreapta a . Absurd, conform teoremei T4.

T6.În orice triunghi ABC suma unghiurilor Ȃ++Ĉ este egală cu 2 unghiuri drepte.

Dem. Fie (AD) paralela prin A la BC, D fiind în alt semiplan delimitat de (AB) decât C. Fie punctul E așa încât D-A-E. Din th. T5 deducem că și , încât + = + + = 2 • 90º= 180º.

De-a lungul anilor au existat numeroase tentative de a dovedi, în cadrul geometriei absolute, aserțiunea cuprinsă în axioma a V-a. Ele s-au soldat cu eșecuri, deoarece așa cum se va vedea , sistemul de axiome considerat este minimal. Au avut totuși o calitate , aceea de a stabili propoziții echivalente cu postulatul paralelelor dat de axioma V.

Enumerăm aici pe cele mai importante:

1.Dacă două drepte dintr-un plan tăiate de o secantă formează cu aceasta unghiuri alterne interne congruente, atunci cele 2 drepte sunt paralele.

2. (Postulatul lui Euclid). Dacă două drepte distincte dintr-un plan tăiate de o secantă formează cu aceasta unghiuri alterne interne și de aceeași parte a secantei cu suma mai mică decât 2 unghiuri drepte, atunci cele 2 drepte se intersectează de acea parte a secantei, unde proprietatea menționată are loc.

3.Toate triunghiurile au aceeași sumă a unghiurilor.

4.Suma unghiurilor în orice triunghi este egală cu 180º.

5.Fiind dat un unghi ascuțit AOB, perpendiculara ridicată pe (OA) în orice punct M al semidreptei (OA taie (OB).

6.Există un patrulater în plan cu toate unghiurile drepte .

7.Există un patrulater ABCD cu unghiurile A și B drepte pentru care unghiurile C și D sunt de asemenea drepte. ( Patrulaterele plane ABCD cu unghiurile A și B drepte ce satisfac BCAD se numesc ,,patrulatere Sacheri").

8.Prin fiecare punct din interiorul unui anumit unghi se poate duce o dreaptă care taie ambele laturi ale unghiului, fără a trece prin vârful său.

9. (Proprietatea lui Farkaș Bolyai) . Prin orice trei puncte necoliniare trece un cerc.

10.Există triunghiuri asemenea incongruente.

11.Linia mijlocie a unui triunghi este congruentă cu jumătatea bazei.

12.Teorema lui Pitagora.

13.Două drepte paralele cu o a treia sunt paralele între ele.

14.În plan, locul geometric al punctelor egal depărtate de o dreaptă a și aflate în unul din semiplanele determinate de a este o dreaptă.

Vectori în plan.

Direcția unei drepte în plan.

Fie d o dreaptă în planul . Vom spune că dreapta d c are aceeași direcție cu dreapta d, dacă d1 d sau d1=d.

Prin fiecare punct A al planului se poate duce o dreaptă d' paralelă cu dreapta d. Astfel rezultă că există o infinitate de drepte în planul care au aceeași direcție cu dreapta d.

Def. Mulțimea tuturor dreptelor din plan care au aceeași direcție cu dreapta d formează direcția dreptei d. Direcția dreptei d se notează cu dir (d).

Deci, dir (d)= { d1 C }.

Observații.

1.Două drepte concurente din planul au direcții diferite.

2. Printr-un punct A se pot duce o infinitate de drepte concurente. Rezultă că în plan există o infinitate de direcții diferite.

3.Relația ,,aceeași direcție" pe mulțimea dreptelor are proprietatea de simetrie: dacă d și d' au aceeași direcție atunci d și d' au aceeași direcție.

4.Relația ,,aceeași direcție" pe mulțimea dreptelor are proprietatea de tranzitivitate: dacă d1 și d2 au aceeași direcție și dacă d2 și d3 au aceeași direcție, atunci d1 și d3 au aceeași direcție.

Sens pe o dreaptă.

Fie d o dreaptă în plan. Orice punct O Є d determină pe dreapta d exact două semidrepte s1 și s2. Dacă AЄs1 și BЄs2, deplasarea de la O spre A sau de la O spre B se face în sensuri diferite.

Astfel cele două semidrepte s1= [OA și s2 =[OB determină pe dreapta d, două sensuri diferite, opuse.

Două semidrepte s și s' pe dreapta d au acelai sens dacă s s' sau s' s și au sensuri diferite dacă ss' și s's.

Semidreptele s și s' au același sens:

Semidreptele s și s' au sensuri diferite:

Sensul a două semidreptecare au aceeași direcție.

Fie d , d' două drepte paralele în planul , iar sd , sd' două semidrepte: s=(OA, s'=(O'A').

Semidreptele s și s' au același sens dacă sunt incluse în același semiplan determinat de dreapta OO' în planul .

Semidreptele s și s' au sensuri opuse dacă sunt în semiplane diferite determinate de dreapta OO' în planul .

Segmente orientate

Fie A, B două puncte diferite în planul . Cele două puncte determină pe dreapta d=AB două semidrepte diferite: s1=(AB și s2=(BA.

Cele două semidrepte s1 și s2 au sensuri diferite. O pereche ordonată (A, B) de puncte ale planului determinat în mod unic:

-un segment [AB] cu lungimea l=d(A,B)

-o direcție în plan , direcție dată de dreapta AB

-un sens dat de semidreapta s1 =(AB.

Perechea ordonată (B,A) determină același segment [AB], aceeași direcție ca și perechea (A,B) iar sensul determinat de ea este sensul opus sensului determinat de perechea (A,B).

Def. O pereche ordonată de puncte (A,B) din plan se numește segment orientat sau vector legat.

Pentru desemnarea segmentului orientat (A,B) se folosește notația .

Definiții.

Punctul A se numește originea (punctul de aplicație), iar B extremitatea (vârful) segmentului orientat .

Lungimea segmentului [AB] se numește modulul segmentului orientat și se notează [].

Dreapta AB se numește suportul segmentului orientat , iar dreapta ei se numește direcția segmentului orientat .

Două segmente orientate se numesc egale dacă și numai dacă A=C și B=D.

Două segmente orientate au aceeași direcție dacă dreptele AB și CD au aceeași direcție. Două segmente care au aceeași direcție se numesc coliniare.

Două segmente orientate au același sens dacă semidreptele (AB și (CD au același sens.

Segmentul orientat pentru care originea coincide cu extremitatea se numește segment nul (vector nul )i se notează cu .

Fie un plan și mulțimea segmentelor orientate din .

Def. Segmentele orientate , Є se numesc echipolente dacă au același modul, aceeași direcție și același sens.

Dacă segmentele orientate Є sunt echipolente atunci se va folosi notația . Relația de echipolență pe multțimea are următoarele proprietăți:

1.Proprietatea de reflexivitate, Є

2.Proprietatea de simetrie .

3.Proprietatea de tranzitivitate , , .

Def. Se numește vector liber mulțimea tuturor segmentelor orientate echipolente cu un segment orientat dat.

Vectorii liberi se vor nota fie cu litere mici , fie specificând un reprezentant al acestuia dat de un segment orientat (vector legat) , .

În desen un vector liber se va reprezenta tot printr-un segment orientat, dar se va subînțelege că acestuia îi putem schimba originea într-un punct arbitrar cu condiția de păstrare a direcției, a sensului și a modulului.

Doi vectori care au aceeași direcție se numesc coliniari.

Operații cu vectori.

Adunarea vectorilor în plan.

Fie și două segmente orientate. Suma celor două segmente orientate este segmentul orientat = .

Pentru oricare punctele A, B, C din plan are loc egalitatea :

= (Relația lui Chasles)

În cazul segmentelor orientate , suma lor o vom obține astfel: se consideră punctul E din plan astfel încât segmentele orientate și să fie echipolente. Suma segmentelor orientate și este dată de relația lui Chasles:

+ =

Adunarea vectorilor în plan.

Fie , vectori în plan și , reprezentanți ai acestora. Punctele A și C determină segmentul orientat care este suma segmentelor orientat .

Alergând alți reprezentanți și al vectorilor și se obține + = . Dar și sunt segmente orientate echipolente, deci ele nu sunt reprezentanți al aceluiași vector liber . Deci obținut nu depinde de alegerea reprezentanților vectorilor și . Vom spune că vectorul reprezintă suma vectorilor și și vom scrie = +.

Vectorii și se numesc componente , iar vectorul sumă sau vectorul rezultant.

Regula de adunare descrisă anterior este regula triunghiului.

Regula paralelogramului.

Fie vectorii și dați prin reprezentanții lor și . Considerăm punctul D astfel încât , se observă că patrulaterul ABCD este un paralelogram în care , reprezentant al vectorului este diagonala pentru paralelogram.

Fiind dați vectorii necoliniari și în plan, pentru determinarea sumei lor = +vom proceda astfel: alegem doi reprezentanți , ai acestora cu originea comună. Vectorul sumă este vectorul al cărui reprezentant este segmentul orientat , diagonala paralelogramului ABDC. Această regulă de determinare a sumei =+ se numește regula paralelogramului.

Proprietăți ale adunărilor vectorilor:

1.Proprietatea de comutativitate.

+ = + , , .

2.Proprietatea de asociativitate.

+ )+ = + + ), , ,.

3.Proprietatea elementului neutru.

Vectorul nul este element neutru în raport cu adunarea vectorilor în plan:

= + ,

4.Proprietatea vectorului opus.

Oricare ar fi vectorul există un vector cu proprietatea că = + =.

Regula poligonului.

Considerăm un punct O în plan și reprezentanții 1, , , ai vectorilor 1, 2, 3, 4.

Observăm că:

1=1 + 2

2= 1+ 3 =1 + 2) + 3

= 2 + 4 =1 + 2) + 3) + 4

Deci = 1 + 2 + 3 + 4

Această modalitate de adunare a vectorilor se numește regula poligonului.

Descompunerea unui vector după două direcții date.

Fie (D1) , (D2) două direcții date pe dreapta d1, respectiv d2 și vectorul dat prin reprezentantul său .

Am arătat anterior că pentru orice punct M din plan avem = + . Această relație arată că vectorul poate fi descompus ca sumă de doi vectori. Dacă punctul C din plan este ales astfel încât , obținem = + . Această relație arată că vectorul poate fi scris ca sumă a doi vectori și cu același punct de aplicație M. Se pune problema dacă vectorul = poate fi descompus ca sumă de doi vectori care să aibă direcțiile date (D1) și (D2) iar răspunsul este afirmativ. Prin A și B se duc paralelele la d1 și d2 . Se obține astfel paralelogramul ABCD . Folosind regula paralelogramului se obține relația = + .

Înmulțirea cu scalari a vectorilor.

Fie un vector în plan. Pentru sumele de vectori cu termeni egali s-au folosit notațiile:

2= + , 3= + , … , n + , n fiind numărul termenilor egali.

A înmulți un vector cu un număr natural nN*, revine la a construi vectorul +….suma având n termeni.

Se poate formula că:

n= +…., nN*

n

, n0

-( +….), n Z , n 0.

de n ori

T] Fie mulțimea vectorilor din plan. Atunci

a) (= ( ), , Є , Є

b .(= , , Є , Є

c. = , Є , Є .

Condiții de coliniaritate.

1.Doi vectori din plan sunt coliniari dacă și numai dacă există mЄ astfel încât =m

2.Doi vectori sunt coliniari dacă și numai dacă există , Є astfel încât + = .

Dacă vectorii sunt necoliniari, atunci din orice relație de forma += rezultă .

Coliniaritatea vectorilor este utilă pentru demonstrarea paralelismului a două drepte.

Astfel, două drepte sunt paralele dacă ele sunt suporturile a 2 vectori coliniari.

Descompunerea unui vector într-un reper cartezian.

Reper cartezian pe dreaptă.

Fie d o dreaptă în plan. Se numește reper cartezian pe dreapta d o pereche (0, ) format dintr-un punct O și un versor al direcției acestei drepte.

Def. Se numește versor sau vector unitate al unui vector nenul , un vector care are aceeași direcție și același sens cu și modulul egal cu o unitate.

Un reper cartezian pe o dreaptă se va nota Ox sau (O, ). Dreapta pe care s-a definit un reper se numește axă (axă de coordonate) . Punctul O se numește originea , iar versoul reperului.

Vectorul determină sensul pozitiv pe dreapta d, iar opusul lui determină sensul negativ pe dreapta d.

Dacă M aparține lui d, un punct oarecare, atunci vectorii și sunt coliniari. Atunci există x Є cu proprietatea că = x (1).

Numărul real x cu proprietatea (1) se numește abscisa punctului M și se folosește notația M (x).

Fie M(x), N(y) puncte pe dreapta d și = .

Atunci =-= y – x = (y-x)

=(y-x)

Dacă P(z) este mijlocul segmentului [MN], atunci +=. Vom obține (x-z)+ (y-z)=. Obținem astfel că abscisa P este z= .

Reper cartezian în plan.

Un reper cartezian ortogonal în plan este definit de o pereche ordonată de axe perpendiculare , având aceeași origine O. Punctul O se numește originea reperului. Prima axă notată Ox se numește axa absciselor, iar a doua axă notată Oy se numește axa ordonatelor. Notația uzuală pentru un reper cartezian ortogonal în plan este xOy sau (O, , ) , unde , sunt versorii (vectorii unitate) pentru cele 2 axe.

Dacă M este un punct în plan rezultă că vectorul se descompune în mod unic după vectorii și .

Fie M1ЄOx , M2ЄOy proiecțiile planului M pe axe. Rezultă că =1+2 . Din coliniaritatea vectorilor 1 și , respectiv 2 și , rezultă că există numerele reale x,y unice cu proprietea că 1=x2=y și se obține egalitatea =x+y (1)

Numerele reale x,yЄ care verifică relația (1) se numesc coordonatele punctului M în raport cu reperul xOy. Numărul real x se numește abscisa, iar numărul real y se numește ordonata punctului M și se folosește notația M(x, y).

Fie un vector oarecare în plan cu A(x1, y1), B(x2, y2)

Deoarece = și

=x1+ y1, =x2+y2, se obține relația = (x2-x1)+(y2-y1).

Dacă A(x1, y1), B(x2, y2) atunci = (x2-x1)+(y2-y1).

Numerele x2-x1 și y2-y1 reprezintă coordonatele vectorului în reperul cartezian (O, ) și se folosește scrierea (x2-x1, y2-y1) .

Condiții de coliniaritate.

Fie (O, , ) un reper cartezian ortogonal și vectorii =a1+a2, =b1+b2.

Vectorii și sunt coliniari dacă există astfel încât =. Rezultă că a1+a2=b1+ b2, de unde se obțin egalitățile a1=b1 și a2=b2 care se pot scrie sub forma = (1).

Relația (1) reprezintă condiția necesară și suficientă ca vectorii și să fie coliniari. Se face convenția că dacă numitorul unei fracții este nul, atunci și numărătorul acelei fracții este nul.

Doi vectori și sunt coliniari dacă și numai dacă coordonatele lor în reperul cartezian ortogonal (O, , ) sunt proporționale.

1.Vectorul de poziție al unui punct în plan.

Folosind calculul vectorial, poziția unui punct A în plan este bine determinată dacă se alege un punct O al planului și se cunoaște vectorul , care are originea O. Vectorul care determină poziția punctului A în plan se numește vector de poziție al punctului A și se notează A.

În acest fel, sistemul de referință se reduce la un singur punct, iar punctele planului sunt determinate de vectorii lor de poziție.

Un vector oarecare = din plan este bine determinat de vectorii de poziție ai punctelor M și N. Folosind regula lui Chasles , avem = – =N -M,

Vectorul de poziție al mijlocului unui segment .

Fie A și B , 2 puncte în plan și M mijlocul segmentului [AB]

Folosind regula triunghiului avem:

= = + și

=+.

Prin adunare , obținem = sau =.

Vectorul de poziție al punctului care împarte un segment într-un punct dat.

Considerăm punctele A și B în plan și punctul M Є AB care împarte segmentul [AB] în raportul k, adică =k.

= +

=+

Înmulțim a doua relație cu k și obținem:

k=k + k

= +

(k+1)= + +k+k= +k=A +kB

(k+1)=A +kB

=

Așadar vectorul de poziție al punctului M este r=.

Pentru cazul particular = avem = , care este vectorul de poziție al mijlocului segmentului [AB].

2.Teorema lui Thales.

Fie ABC un triunghi și punctele MAB , NAC , atunci dreapta MN este paralelă cu BC dacă și numai dacă punctele M, N împart segmentele [AB] și [AC] în același raport.

Dem. Mai întâi arătăm că, dacă M,N împarte segmentele [AB] și [AC] în același raport, atunci MN și BC sunt paralele.

Folosind regula poligonului, avem:

= +

=+ + /k

(2) k=k+ k+ k

Adunând relațiile 1 cu 2 obținem: (1+k)= + + k+ k+ k=( + k) + () + k = k .

(1+k)= k = sunt coliniari, deci

MN.

Reciproc, fie și coliniari și astfel MN.

Oarecare și sunt coliniari , există k astfel încât .

Avem:=+

=k –

Dar,

=

=

Cum = k –

(1+) k = k – +

[(1+ -k ]= (-)

Dar și nu sunt coliniari, atunci =, deci .

Deci punctele M și N împart segmentele [AB] și [AC] în același raport.

Vectorul de poziție al centrului de greutate al unui triunghi.

Fie A1, A2,….An, nЄ , puncte în plan.

Def. Se numește centru de greutate al sistemului de puncte A1, A2,….An, un

punct G din plan cu proprietatea că 1 + 2 +….+ n=

T] (de unicitate și existență)

Un sistem A1, A2,….An, nЄ de puncte din plan admite un singur cenru de greutate.

Dem. Unicitatea centrului de greutate.

Presupunem că G1 și G2 sunt centre de greutate pentru sistemul de puncte A1, A2,….An.

Atunci avem + +…..+ =

+ +…..+ = . Prin scăderea celor două relații vom obține n = G1=G2. Dacă există, centrul de greutate este unic.

Existența centrului de greutate.

Fie M un punct oarecare din plan. Notăm = + +…+ Arătăm că există un punct M din plan unde =.

Luăm un punct fix O în plan și folosim vectorii de poziție ai punctului M și a punctelor A1, A2,….An . Vom avea i = i- , i{1,2,…n}.

Vom obține = 1 + 2+ ….+ n – n.

Este suficient să luăm M astfel încât:

=, pentru că =.

Deci există un centru de greutate al sistemului de puncte A1, A2,….An, n. Ultima relație obținută ne arată că vectorul de poziție al centrului de greutate al sistemului de puncte A1, A2,….An, este = ,

Observații.

1.Pentru orice punct M din plan are loc egalitatea + +…+=n

( Relația lui Leibniz).

2.Vectorul de poziție al centrului de greutate al unui triunghi ABC este G= .

Cap. 2 Probleme de concurență.

Procedee specifice pentru rezolvarea problemelor de concurenta

Def 1. Două drepte coplanare d1 și d2 se numesc drepte concurente dacă au un singur punct comun.

Notăm d1d2 ={M} sau d1d2

Obs. Dacă cele două drepte coplanare nu sunt concurente, atunci ele fie coincid (au o infinitate de puncte comune) , fie sunt paralele (nu au nici un punct comun).

Def. Trei sau mai multe drepte coplanare sau nu, care au un singur punct comun se numesc drepte concurente.

d1d2 d3d4 = {O}

În continuare vom enumera o serie de procedee specifice pentru rezolvarea problemelor de concurență.

1.Fie trei drepte d1, d2, d3 și punctele {A}= d1d2, Bd3, Cd3, Dreptele d1,d2, d3 sunt concurente A,B,C, sunt coliniare.

Folosind acest procedeu, rezultă că o problemă de concurență a dreptelor poate fi reformulată ca o problemă de coliniaritate și că o problemă de coliniaritate poate fi redusă la o problemă de concurență.

2.Fie d1, d2, d3 trei drepte și punctele {M}= d1d2, {N}= d1d3. Dreptele d1, d2 ,d3 sunt concurente M și N coinicid.

Obs. Procedeul se utilizează de obicei la rezolvarea problemelor de concurență a dreptelor prin reducere la absurd.

3.Dreptele d1, d2 ,d3 sunt : mediane, bisectoare, înălțimi, mediatoare pentru un anumit triunghi. Atunci dreptele d1, d2 ,d3 sunt concurente.

4.Fie un ABC și punctele A' (BC) , B'(AC) , C'(AB) astfel încât =1. (1)

Dreptele AA', BB', CC' sunt concurente (figura 1).

Dacă A' [BC], B' [AC-[AC], C' [AB-[AB] verifică condiția BB' nu este paralel cu CC' și dacă are loc relația (1) at AA', BB', CC' sunt concurente (reciproca Teoremei lui Ceva) (fig 2).

5.Dreptele A1B1, A2B2, A3B3 sunt concurente dacă și numai dacă există x1, x2, x3 cu proprietatea că (1-x1) 1 + x1 1 =(1-x2)2 + x2 2=(1- x3) 3 +x3 3.

6.Dacă planul euclidian este raportat la un sistem de coordonate carteziene ortogonale și

d1: a1x + b1y +c1=0

d2: a2x + b2y +c2=0

d3: a3x + b3y +c3=0, dreptele d1,d2,d3 sunt concurente dacă și numai dacă

= 0

2.2 Aplicatii celebre. Puncte remarcabile celebre.

Reciproca teoremei lui Ceva.

Def. Într-un triunghi, dreapta care unește un vârf al triunghiului cu un punct de pe latura opusă se numește ceviană.

Teoremă. Fie un triunghi ABC și punctele A'(BC) ,B' (CA) , C' (AB) diferite de vârfurile triunghiului .

Dacă =1, atunci dreptele AA', BB', CC' sunt concurente.

Dem. Demonstrația se face prin reducerea la absurd.

Presupunem că dreptele AA', BB', CC' nu sunt concurente. Atunci {P}=BB'CC', {A"}= PABC.

Se aplică teorema lui Ceva pentru dreptele concurente AA", BB', CC',.

Avem:.

Din ultima egalitate și relația dată din enunț obținem .

Cum A' și A" sunt puncte interioare segmentului (BC) , vom obține A'=A". Atunci AA', BB', CC' sunt concurente.

Observație.

Reciproca teoremei lui Ceva este adevărată și în cazul în care unul dintre punctele A', B', C' se găsește pe o latură a triunghiului , de exemplu A'Є(BC), iar celelalte 2 puncte B' (aparține dreptei AC) , C'(aparține dreptei AB) verifică condiția BB' nu este paralel cu CC'.

Concurența izogonalelor.

Într-un triunghi ABC , o dreaptă AM, unde M( BC) se numește ceviană. Dreptele AA' și AA" cu A',A" (BC), având satisfăcută condiția m(A'AB) =m(A"AC) se numesc ceviene izogonale , pe scurt izogonale.

Teorema lui Steiner.

Dacă dreptele AA' și AA" sunt izogonale, avem

.

Teoremă. Izogonalele a trei ceviene concurente sunt concurente.

Dem. Fie AA', BB', CC'- trei ceviene concurente cu A'[BC], B' [AC], C' [AB].

Atunci satisfac relația.

= 1 (1).

Fie AA", BB", CC" cu A"[BC] , B"[AC] , C"[AB] – izogonalele celor 3 ceviene concurente date. Aplicând teorema Steiner, rezultă:

(2)

(3)

(4)

Înmulțind relațiile (2), (3), (4) membru cu membru și ținând cont de relația (1) vom obține

= 1

Folosind reciproca teoremei lui Ceva, vom obține că dreptele AA", BB" CC" sunt concurente.

1.Punctul lui Nagel.

Dacă A', B', C' sunt punctele de contact ale cercurilor exînscrise cu laturile triunghiului ABC, A'BC), B'(CA), C'(AB), atunci dreptele AA', BB' și CC' sunt concurente. Punctul N de concurență a celor 3 drepte se numește punctul lui Nagel.

Dem. Fie a, b,c lungimile laturilor ABC cu a=BC, b=AC, c=AB, iar p- semiperimetrul ABC, adică p= .

Notăm cu x* = BA' , y=A'C , atunci x+y=a și x+c=y+b.

Atunci 2x+c = a+b, adică x = p-c iar y=p-b.

= (1)

Analog = (2)

= (3)

Înmulțind relațiile (1), (2), (3), membru cu membru obținem că

și folosind reciproca teoremei lui Ceva , rezultă că dreptele AA', BB', CC' sunt concurente.

2.Punctul lui Lemoine.

Fie ABC un triunghi . Se numesc simediane simetricele medianelor față de bisectoare. Deoarece medianele într-un triunghi sunt concurente, rezultă că simedianele unui triunghi sunt concurente. Punctul de intersecție a simedianelor se numește punctul lui Lemoine al triunghiului.

Observație. Este un caz particular demonstrat la concurența izogonalelor.

Figura

3.Punctul lui Gergonne.

Într-un triunghi ABC , dreptele care unesc vârfurile triunghiului cu punctele de contact ale cercului înscris cu laturile opuse sunt concurente.

Dem. Fie E,F,G, punctele de contact ale cercului înscris în ABC cu laturile triunghiului. Vom folosi reciprocitatea teoremei lui Ceva, deci vom demonstra că:

Dar BE=BG, CE=CF, AF=AG (tangentele duse dintr-un punct exterior la care sunt egale).Deci, dreptele sunt concurente.

Observație. Punctul de concurență al acelor drepte se numește punctul lui Gergonne și se notează cu . Dacă el se află în afara triunghiului, atunci se notează cu 0 și se numește punct adjunct al lui Gergonne. Considerând cele 3 cercuri exînscrise triunghiului obținem 3 puncte de concurență, toate fiind punctele adjuncte ale lui Gergonne.

2.3 Probleme.

1.Medianele unui triunghi sunt concurente în punctul G numit centrul de greutate al triunghiului.

Demonstrații în 2 variante.

Var I

Dem.

Fie A' ,B', C' mijloacele laturilor [BC], [AC], [AB] ale triunghiului ABC. Considerăm că punctul de intersecție a 2 mediane [AA'] și [CC'] este G. Vom arăta că G aparține și medianei [BB']. Vom nota mijloacele segmentelor [AG] și [CG] cu A" și C".

AA"=A"G , CC"=C'G

Obținem că [A"C"] este linie mijlocie în GAC, deci A"C" AC și A"C"= (1).

De asemenea [A'C"] este linie mijlocie în BAC, atunci A'C' AC și A'C'= (2).

Din (1) și (2) rezultă că A"C"A'C' și A'C'=A"C".

Deci patrulaterul A'C'A"C" este paralelogram cu G punctul de intersecție a diagonalelor, ceea ce implică A'G= GA", C'G=GC".

Cum AA"=A"G și CC"= C"G , rezultă că:

AA"=A"G=GA'= AA' și

CC"=C"G=GC'= CC'.

Am obținut că punctul G de intersecție al medianelor [AA'] și [CC'] se află pe fiecare din cele 2 mediane la două treimi de vârf și o treime de mijlocul laturii opuse.

Un rezultat asemănător se poate demonstra și pentru medianele [AA'] și [BB'].

Cum pe [AA'] există un singur punct care se află la 2 treimi de vârf și o treime de mijlocul laturii opuse rezultă că acesta este G , deci mediana [BB'] trece și ea prin punctul G.

Deci AA'BB'CC' = {G}.

Var II.

Fie AA' ,BB', CC' medianele triunghiului ABC . Atunci A', B',C' sunt mijloacele talurilor [BC], [CA], [AB].

A'B=A'C

B'C=B'A

C'A=C'B

Aplicând teorema lui Ceva se obține .

Var. III

Dem. Fie A1, A2, A3 necoliniare. Fie M mijlocul segmentului. [A2A3]și G centrul de greutate al ABC.

2+3 = 2

1+2+3=1 + 21 = – 21 = 2.

Rezultă că și coliniare și A1G = 2GM

Analog, se arată că G aparține fiecărei mediane a triunghiului A1 A2 A3 pe care o va împărți în același raport.

2.Bisectoarele interioare ale unghiurilor unui triunghi sunt concurente în I (cercul cercului înscris triunghiului).

Dem. 2 var.

Var. I

Dem. Fie [AA'- bisectoarea BAC și [BB'- bisectoarea ABC și AA' BB'={I}. Aceste bisectoare sunt concurente, altfel ar fi paralele, ceea ce însemnă că BAA' și ABB' ar fi unghiuri interne și de aceeași parte a secantei AB, iar suma măsurilor lor ar fi de 180°, ceea ce este imposibil, deoarece suma măsurilor unghiurilor triunghiului ABC este 180°.

Se știe că orice punct de pe o bisectoare este egal depărtat de laturile unghiului.

Atunci IM= IN și IM=IP , M(AB), N (BC), P (AC), IM AB, IN BC, IP AC.

Folosind proprietatea de tranzitivitate a egalității numerelor reale rezultă că IN= IP. Deci I se află și pe bisectoarea .

Deci AA'BB'CC'={I}.

Var II. Folosind teorema bisectoarei:

(1)

(2)

(3)

Prin înmulțirea relațiilor (1), (2), (3) membru cu membru obținem:

= rezultă

Conform reciprocei teoremei lui Ceva, obținem că bisectoarele interioare ale unghiurilor unui triunghi sunt concurente.

3.Bisectoarele exterioare a 2 unghiuri a unui triunghi sunt concurente cu bisectoarea interioară a celui de-al treilea unghi într-un punct (numit centrul cercului exânscris triunghiului.

Dem. Folosind teorema bisectoarei interioare pentru AA' avem

(1).

Folosind teorema bisectoarei exterioare pentru BB' și CC' avem

(2)

(3)

Înmulțind relațiile (1), (2) , (3) membru cu membru, obținem

= rezultă

Conform reciprocei teoremei lui Ceva rezultă că cele 2 bisectoare exterioare și bisectoarea interioară sunt concurente.

4.Înălțimile unui triunghi sunt concurente în punctul H numit ortocentrul triunghiului.

Var. I

Dem. Fie AC, CC'.

Construim paralele prin vârfurile triunghiului la laturile opuse. Acestea se intersectează în punctele A1,B1,C1. Vom obține AC1BC paralelogram. Atunci AC1=BC și BC1=AC.

Analog AB1= BC și B1C=AB.

Din AC1=BC și AB1=BC AC1 = AB1 A mijlocul laturii [B1C1].

Analog B este mijlocul laturii [A1C1 ] , iar C este mijlocul laturii [A1B1 ].

Din AA'BC și C1B1 BC rezultă că AA'C1B1.

Analog vom găsi că înălțimile triunghiurilor ABC sunt mediatoarele

A1B1C1 . Concurența mediatoarelor a fost demonstrată, așa că și concurența înălțimilor este demonstrată.

Var.II.

Figura

A'ABC'CB (cazul U-U) atunci = (1)

BB'CAA'C= (2)

CC'ABB'A= (3)

Prin înmulțirea relațiilor (1), (2), (3) membru cu membru obținem

=1, adică și conform reciprocei teoremei lui Ceva, înălțimile AA', BB', CC' sunt concurente.

Într-un triunghi mediatoarele laturilor sunt concurente.

Dem. Fie M și N mijloacele laturilor [BC] și [AB] ale triunghiului ABC. Punctul de intersecție al perpendicularelor în M și N pe laturile respective (mediatoarele acestor laturi) vor fi notate cu O. Cele 2 mediatoare sunt concurente, astfel punctele A,B,C, ar fi coliniare ceea ce ar fi imposibil.

Folosind proprietatea punctelor de pe mediatoare de a fi egal distanțat de capetele segmentului vom scrie:

OA=OB, ON fiind mediatoarea laturii [AB]

OB=OC, OM fiind mediatoarea laturii [BC]

Folosind proprietatea de tranzitivitate , avem OA=OC, dacă punctul O se află și pe mediatoarea laturii [AC].

5.Fie ABCD un trapez cu ABCD. Se construiește în exterior triunghiurile echilaterale ABM și CDN. Să se arate că dreptele AC, BD și MN sunt concurente.

Dem. ACBD = {O}

OABOCD rezultă , dar AB=AM , DC=NC, atunci .

Dar m(MAO)=m(MAB)+m(BAO)=60°+m(BAO)=60°+ m(OCD) = m(NCD) + m(OCD) = m(NCO).

Cum m(MAO)= m(NCO) și rezultă că MAONCO. Deci m(MOA)= m(NOC).

Din punctele M,N,O sunt coliniare , atunci dreptele AC, BD , MN sunt concurente.

6.Tangentele în A, B,C la cercul circumscris ABC se intersectează în A', B', C' . Fie A1, B1, C1 centrele cercurilor înscrise în triunghiurile A'BC, B'AC, C'AB. Să se arate că dreptele AA1, BB1, CC1, sunt concurente.

Dem. A'B=A'C deci m(BAC1)=m(BCA') = m(BA1C)= m(BAC).

m(CA1B)=180° -2 m(BCA1)=180°- m(BAC).

Deci patrulaterul ABA1C este inscriptibil și A1 este mijlocul arcului BC. Rezultă că AA1 este bisectoarea unghiului BAC.

Analog se arată că BB1 și CC1 sunt bisectoarele unghiurilor ABC, respectiv BCA.

Deci, dreptele AA1, BB1, CC1 sunt concurente.

7.Se consideră triunghiul ABC și punctele A'(BC) , B' (CA), C'(AB),astfel încât AA'BB'CC'= {M}. Dacă A1,B1,C1 sunt mijloacele segmentelor [BC], [CA], [AB] , iar A2 , B2 , C2 suntmijloacele segmentelor [AM], [BM], [CM], să se arate că dreptele A1A2 , B1B2 , C1C2 sunt concurente.

Dem. Fie {P}=A1A2B1B2 și { P'}=A1A2C1C2.

Cum A2B1 este linie mijlocie în triunghiul AMC, atunci A2B1MC și B2A1MC. Deci A2B1B2A1

A2B2 este linie mijlocie în triunghiul AMB și B1A1 este linia mijlocie triunghiului ABC, A2B2AB și B1A1 AB. Deci A2B2 B1A1.

Din A2B1 B2A1 și A2B2B1A1 , rezultă că A2B1A1B2 este paralelogram.

Într-un paralelogram , diagonalele se înjumătățesc, atunci P este mijlocul lui [A1A2].

Analog se arată că patrulaterul C2A1C1A2 este paralelogram atunci P' este mijlocul segmentului [A1A2].

Deci, punctele P și P' coincid, ceea ce însemnă că dreptele A1A2, B1B2, C1C2 sunt concurente.

8.Fie ABC un triunghi și A'= , B'= , C'= . Dacă A1 , B1 , C1sunt mijloacele segmentelor [BC], [CA], [AB] și A2 , B2 , C2 sunt mijloacele segmentelor [B'C'], [C'A'], [A'B'] atunci dreptele A1A2, B1B2, C1C2 sunt concurente.

Dem. În triunghiul dreptunghic BB'C , [B'A1] este mediană.

În triunghiul dreptunghic CC'B, avem [C'A1] mediană.

Atunci B'A1= C'A1= .

Deci A1B'C' este triunghi isoscel. Deci mediana A1A2 este mediatoarea lui [B'C'].

Analog se arată că B1B2 este mediatoarea segmentului [A'C'] și C1C2 este mediatoarea segmentului [A'B'].

Atunci dreptele A1A2, B1B2, C1C2 sunt mediatoarele triunghiului A'B'C'. Cum mediatoarele într-un triunghi sunt concurente, atunci A1A2 , B1B2 și C1C2 sunt concurente. Punctul lor de concurență reprezintă centrul cercului circumscris A'B'C'.

9.Fie O un punct al planului unui triunghi ABC. Notăm cu A', B', C' simetricele lui O față de mijloacele laturilor triunghiului. Să se demonstreze că dreptele AA' , BB' și CC' sunt concurente.

Figură!

Dem. [OA1][A1A'] (1)

[BA1] [A1C] (2)

Din (1) și (2) avem BOCA'= paralelogram.

Analog COAB' și AOBC'- sunt paralelograme.

Rezultă că OB A'C , [OB]

OB AC' , [OB]

Deci ACA'C'- paralelogram și diagonala AA' trece prin mijlocul segmentului CC'.

Se demonstrează analog că BCB'C' este paralelogram, BB' trece prin mijlocul lui CC'.

Dreptele AA', BB', CC' sunt concurente.

10.Fie AC diagonala mare a rombului ABCD și A1A2, C1C2 proiecțiile punctelor A și C pe laturile opuse. Să se demonstreze că dreptele (A1C1 ),(A2C2 ) ,(AC) și (BD) sunt concurente.

Figura

Dem. AA1CC1 și AC2CA2 sunt dreptunghiuri și cum diagonalele au același mijloc, A1C1 și A2C2 prin AC au același mijloc.

A1C1 și A2C2 trec prin mijlocul lui AC. Deci (A1C1),( A2C2) , (AC) și (BD) sunt concurente.

11.Se consideră trapezul ABCD și cercul tangent laturilor AB, AD, BC în punctele H,F,E. Dacă {I}= AD BC, să se arate că dreptele (AE), (FB) și (IH) sunt concurente.

Figură!

Dem. Tangentele duse dintr-un punct exterior la un cerc sunt componente. În cazul nostru :

AH=AF (1)

BH=BE (2)

IE=IF (3)

Atunci HA*EB*FI=FA*HB*IE și efectuând împărțirea avem

=1

Conform reciprocei teoremei lui Ceva, dreptele (AE), (FB), (IH) sunt concurente.

12.Se consideră triunghiul oarecare ABC, înălțimea [AD] cu DЄ (BC) și punctele MЄ (AB) , NЄ (AE). Să se arate că DA este bisectoarea unghiului MDN dacă și numai dacă dreptele AD, BN, CM sunt concurente.

Figură!

Dem. Ducem prin A o paralelă la BC care intersectează dreptele DM și DN în punctele R și S.

Rezultă că = (1)

= (2)

Din (1) obținem că (3) AR= , iar din (2) obținem că (4) AS= .

Dar AD- este înălțime în triunghiul ABC , cum RSBC, atunci AD este înălțime și în DRS .

Astfel (DA este bisectoarea RDS dacă și numai dacă RDS este isoscel sau dacă și numai dacă este mediană, atunci AR=AS (5).

Din (3), (4) și (5) avem =

Această relație mai poate fi scrisă și astfel

13.Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC, D piciorul înălțimii din A și punctul M(AC) , N (AB) astfel încât m( MDA) = m( NDA). Să se arate că BM, CN și AD sunt concurente.

Figură!

Dem.

Știm că m( MDA) = m( NDA)

ABC triunghi ascuțitunghic, atunci AD (BC) , cu DЄ (BC)

Notăm m(MDA) = a , atunci m( NDA)=a

Aplicăm teorema sinusurilor în MDC

Aplicăm teorema sinusurilor în MDA

Din (1) avem MC= MD MC= MD (3)

Din (2) avem MA= MD MA= MD (4)

Din (3) și (4) avem =

Atunci =

=ctg a ctg C (5)

Analog prin aplicarea teoremei sinusurilor în triunghiurile NDA și NDB obținem =ctg a ctg B (6)

Dar =

Deci = (7)

Din relațiile (5) , (6) , (7) avem

Dar (BC) , M (CA), N (AB) , atunci din reciproca teoremei lui Ceva rezultă că dreptele AD, BM și CN sunt concurente.

14.Se consideră dreptele d1, d2, d3 de ecuație 2x-y+3=0 , x+2y-4=0 respectiv 10x+5y-7=0.

Stabiliți dacă cele 3 drepte sunt concurente.

Dem.

d1 2x-y+3=0

d2 x+2y-4=0

d3 10x+5y-7=0

d1, d2, d3 sunt concurente dacă

-28 +15+40-60+40-7=0 0=0.

Deci dreptele d1, d2, d3 sunt concurente.

Cap.III. Probleme de coliniaritate și coplanaritate.

Enumerăm o serie de procedee specifice pentru rezolvarea problemelor de coliniaritate și coplanaritate.

Punctele A,B,C, sunt coliniare dacă și numai dacă m(

Observație. În general m( se obține dintr-o relație de tipul:

m( unde BX Int (, iar BY Int(.

Punctele A,B,C, sunt coliniare dacă și numai dacă m (BAC)=0.

Observație. Se consideră semidreptele (AX, (AB, (AC și se arată că m(.

Fie dreapta xy și punctele A,B,C, astfel încât AЄ xy , iar punctele B și C se află în semiplane diferite determinate de dreapta xy.

Dacă m(, atunci punctele A,B,C, sunt coliniare.

Se utilizează reciproca teoremei unghiurilor opuse la vârf.

Figură!

Fie punctele A, B, C și o dreaptă xy. Dacă ABxy atunci punctele A, B,C sunt coliniare.

Figură!

În acest caz se utilizează teorema referitoare la unicitatea paralelelor dusă dintr-un punct la o dreaptă.

Se consideră punctele A,B,C și o dreaptă XY. Dacă AB și AC, atunci punctele A,B,C sunt coliniare.

În acest caz se utilizează teorema referitoare la unicitatea perpendicularei dusă dintr-un punct pe o dreaptă.

6.Reciproca teoremei lui Menelaus.

Considerăm un triunghi ABC și trei puncte A'BC, B'CA , C'AB diferite de vârfurile triunghiului. Se presupune că dacă dintre punctele A', B', C' sunt situate pe două laturi ale triunghiului, iar al III-lea punct este situat pe prelungirea celei de a treia latură, sau că toate punctele A', B', C' sunt pe prelungirile laturilor triunghiului.

Dacă are loc egalitatea 1, atunci punctele A', B', C' sunt coliniare.

Figură!

Punctele A,B,C, sunt coliniare dacă și numai dacă T [ABC] =0, unde T[ABC] – aria triunghiului ABC.

Relația T [ABC] =0 este echivalentă cu T [AOB] = T [AOC] + T [COB] , unde CЄ Int (.

Punctele A,B,C, sunt coliniare dacă și numai dacă AB+BC=AC , unde BЄ (AC).

Fie A( , ), B( , ),C( , ), trei puncte și o dreaptă (d) de execuție ax+by+c=0.

Dacă

a (1)

a (2)

a (3)

atunci A,B,C d , adică punctele A,B,C, sunt coliniare.

Punctele A,B,C, sunt coliniare dacă și numai dacă

Punctele A,B,C, sunt coliniare dacă vectorii și sunt coliniari , deci există .

În reperul cartezian (O , , ) avem punctele A( , ), B( , ),

C( , ).

Punctele A,B,C, sunt coliniare dacă și numai dacă există kЄ astfel încât = K + (1- k) .

În reperul cartezian (O , , ) avem punctele A( , ), B( , ),C( , ).

Punctele A,B,C, sunt coliniare dacă și numai dacă și sunt coliniari, deci

, unde

+ ()

+ ()