Probleme de Coliniaritate Si Concurenta Strategii Didactice In Invatamantul Gimnazial
Probleme de coliniaritate și concurență- strategii didactice în învățământul gimnazial
Cuprins
INTRODUCERE
Cap I. ASPECTE PSIHOPEDAGOGICE ALE ÎNVĂȚĂRII MATEMATICII ÎN CICLUL GIMNAZIAL
I. 1. PROFILUL PSIHOPEDAGOGIC AL ELEVULUI DE GIMNAZIU
I.1.1. Substadiile dezvoltării psihice a preadolescentului. Aspecte generale
I.1.2. NEVOILE PUBERULUI
I.2. CORELAȚII ÎNTRE OPERAȚIILE MATEMATICII ȘI OPERAȚIILE GÂNDIRII
I.3. APTITUDINEA MATEMATICĂ LA ELEVI
CAP. II – METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE GEOMETRIE ÎN GIMNAZIU
2.1. Metoda sintezei
2.1.1 Metoda sintezei în rezolvarea problemelor de calcul
2.1.2 Metoda sintezei în rezolvarea problemelor de demonstrație
2.2. Metoda analizei
2.2.1 Metoda analizei în rezolvarea problemelor de calcul
2.2.2 Metoda analizei în rezolvarea problemelor de demonstrație
2.3. Metoda analitico-sintetică
2.3.1 Metoda analitico-sintetică în rezolvarea problemelor de calcul.
M
2. 3.2 Metoda analitico-sintetică în rezolvarea problemelor de demonstrație.
2.4. Demonstrarea prin metoda reducerii la absurd
Cap.III – PROBLEME DE COLINIARITATE ȘI CONCURENȚĂ
III. 1 PROBLEME DE COLINIARITATE – DREPTE CELEBRE
CAP.III. 2 – REZOLVAREA PROBLEMELOR DE CONCURENȚĂ. PUNCTE CELEBRE
III.3 ECHIVALENTA INTRE COLINIARITATE SI CONCURENTA IN CADRUL UNOR PROBLEME DE MATEMATICA
CAP IV. CERCETAREA APLICATIVĂ
IV.1 CONSIDERAȚII METODICE
IV.1.1 STRATEGII DE PREDARE-ÎNVĂȚARE-EVALUARE
IV.1.2 CERCETAREA PEDAGOGICĂ- RELAȚIE DINTRE TEORIE ȘI PRACTICA EDUCAȚIONALĂ
IV.2 OBIECTIVELE CERCETĂRII ȘI IPOTEZA DE LUCRU
IV.3 Evaluarea rezultatelor
IV.3.1 Metode de cercetare folosite
IV.3.2 Test de evaluare inițială
IV.3.3 Test de evaluare formativ-ameliorativă
IV.3.4 Test de evaluare finală
IV.3.5 CHESTIONAR PENTRU ELEVI DE ANALIZA A PROCESULUI DE PREDARE-INVATARE-EVALUARE
IV. 4 STATISTICA EVALUARII
IV.4.1 Statistica evaluării inițiale
IV.4.2 Statistica evaluarii formative
IV.4.3 STATISTICA EVALUĂRII FINALE
IV.4.4 STATISTICA EVALUĂRII COMPARATIV TEST INIȚIAL- FORMATIV- FINAL
IV.5 CONCLUZII
Bibliografie
Anexe
INTRODUCERE
O problemă primordială a școlii contemporane este de a realiza un învățământ formativ, de a ajunge la o nouă calitate prin creșterea eficienței educării și instruirii, astfel încât din fiecare elev să se formeze un om util societății.
Matematica, alături de celelalte discipline de învățământ, contribuie la formarea elevului pentru o activitate socială și profesională utilă.
Etapa actuală de dezvoltare socio-politică a țării se caracterizează printr-un progres deosebit al științei și tehnicii, ceea ce conduce la o înnoire continuă a programelor școlare, în general, și a celor de matematică, în special, matematica reprezentând astăzi metoda și instrumentul de lucru pentru toate domeniile științei și tehnicii.
În învățământul matematic, un pas important îl constituie inocularea convingerii că aceasta este una a realității, că ea are aplicabilitate practică directă sau indirectă. Fapt cu atât mai necesar, cu cât, datorită gradului său de abstractizare, elevii au tendința să considere că matematica nu are nimic comun cu realitatea, ci constituie o lume a abstracțiilor greu accesibile, dacă nu și utile.
În ultimul timp se vrea modernizarea învățământului matematic, acest lucru implicând sporirea rolului formativ al acestei discipline accentul fiind pus pe îmbunătățirea procesului instructiv-educativ, prin folosirea de strategii matematice variate. Acest lucru are în vedere înlocuirea momentelor de predare centrate pe profesor cu cele de învățare centrate pe elev, activizând astfel elevii angajându-i în procesul asimilării cunoștințelor și a formării de capacități intelectuale. Accentul se mută asupra elevilor, punând astfel în evidență capacitatea cadrului didactic de a selecta și aplica strategii didactice incluzive, care fac din spațiul clasei școlare un mediu sigur, nu doar pentru elevii cei mai buni, ci și pentru cei neîncrezători, timizi, retrași, cu dificultăți de adaptare la cerințele învățării școlare.
Strategiile didactice reprezinta o parte din factorii responsabili de siâuccesul elevilor; acestea implicândatât alegerea și combinarea de către cadrul didactic a celor mai bune metode, procedee și mijloace de învățământ, forme de organizare a elevilor, cât și selectarea și structurarea conținutului științific în funcție de obiectivele propuse.
În cadrul matematicii ca disciplină în învățământul gimnazial un rol deosebit îl are geometria.
Geometria ca obiect de studiu îmbină gândirea concretă cu cea abstractă, având astfel un rol primordial în formarea și dezvoltarea capacităților deductive, unele noțiuni de geometrie încep a fi studiate înca din învățământul preșcolar, altele în clasele primare și mai multe în gimnaziu și liceu. Se pornește de la studiul unor figuri concrete ce exprimă trăsături esențiale ale realității obiective și se ajunge la eleborarea propozițiilor abstracte.
Formarea unui concept geometric nu se face spontan, ci se formează în decursul unui proces psihic, unde își pune amprenta creativitatea, imaginația, puterea de generalizare și abstractizare.
Rezolvarea problemelor de geometrie reprezintă un antrenament al însușirii disciplinei în gândire, astfel că raționamentul geometric presupune o analiză amănunțită a tuturor concluziilor ce derivă din datele problemei.
Este de știut faptul că prin rezolvarea problemelor de geometrie se consolidează priceperile și deprinderile elevilor, ceea ce reprezintă o formă de bază a însușirii noțiunilor matematice de către elevi, favorizeazăaplicarea și consolidarea cunoștințelor teoretice, anticiparea și introducerea diferitelor noțiuni noi; ceea ce dezvoltă puterea de gândire a elevilor, asigură caracterul interdisciplinar, înarmează elevii cu o serie de deprinderi și cunoștințe care pot fi folosite în viața profesională și socială.
Există probleme care pot fi rezolvate asemănător cu altele rezolvate anterior, caz în care trebuie doar imitată rezolvarea cunoscută sau care se reduc la aplicarea unor formule și/sau procedee cunoscute; și există probleme pentru care găsirea soluției implică o anumită idee salvatoare, un efort de creație, o anumită inspirație.
Rezolvarea problemelor de geometrie îl face pe elev să distingă adevărul științific de neadevăr și să-l demonstreze, îl antrenează în ordonarea ideilor, organizarea logică a gândirii, în recunoașterea ipotezelor și a consecințelor; îi formează capacitățile atenției, îi antrenează memoria logică,îi favorizează imaginația creatoare, îi dezvoltă simțul critic și constructiv, îi formează spiritul științific prin precizie, obiectivitate, gustul cercetării.
În lucrarea de față îmi propun să abordez aspecte ale strategiilor didactice în cadrul învățământului gimnazial, să abordez aspecte ale metodicii predării în cadrul lecțiilor de geometrie a problemelor de demonstrare a coliniarității a cel puțin trei puncte și concurenței a cel puțin trei drepte.
Aceste probleme ocupă un loc de seamă în dezvoltarea gândirii creatoare a elevilor întru-cât pentru rezolvarea lor este necesar să se utilizeze cunoștințe dobândite anterior și să se deducă noi proprietăți ale figurilor geometrice.
Îmi propun să studiez cu interes problema metodelor de rezolvare a problemelor de coliniaritate și concurență, atât ca procedeu metodic, ca mijloc de instruire, ca formă de organizare a activității, cât și ca lecție independentă sau ca moment al lecției.
În această lucrare pornesc de la ipoteza specifică:
Dacă vom utiliza metode adecvate în rezolarea problemelor de coliniaritate și concurență, în cadrul procesului instructiv-educativ vom spori eficiența acestor activități și vom crește randamentul elevvilor prin angajarea motivației intrinseci.
Pe baza experienței practice acumulate și a bibliografiei de specialitate parcurse îmi propun să demonstrez prin această lucrare, că prin aplicarea metodelor corespunzătoare în rezolvarea problemelor de coliniaritate și concurență se stimulează interesul și receptivitateaelevului la nou, ceea ce contribuie la optimizarea formării priceperilor și deprinderilor și a însuțirii de noi cunoștințe.
Pentru realizarea unei lucrări științifice corespunzătoare temei alese mi-am propus următoarele:
alcătuirea unui plan clar și așezarea datelor într-o ordine firească;
respectarea normelor întocmirii unei lucrări științifice;
folosirea unor exprimări clare și la obiect;
folosirea datelor obținute în urma analizării testelor date elevilor;
utilizarea experienței obținutela catedră în scopul realizării conținutului practic;
selectarea corectă a informațiilor obținute din studierea unei bibliografii conforme cerințelor actuale ale învățământului.
Lucrarea cuprinde o introducere, patru capitole și anexe.
Primul capitol- ,,Aspecte psihopedagogice ale învățării matematicii în ciclul gimnazial” cuprinde o tratare din punct de vedere psihipedagogic a situației studiate, cu referiri la profilul psihopedagogic al elevului de gimnaziu ca bază a stabilirii strategiilor didactice, la corelațiile între operașiile matematice și operațiile gândirii.
Al doilea capitol ,,Metode de rezolvare a problemelor de geometrie în gimnaziu” evidențiază modul în care se aplică analiza și sinteza în rezolvarea problemelor de geometrie, precum și metoda reducerii la absurd, metoda aflării unor locuri geometrice.
În capitolul III ,,Probleme de coliniaritate și concurență” sunt prezentate principalele metode pentru demonstrarea coliniarității mai multor puncte și câteva drepte celebre (dreapta lui Simpson, dreapta lui Euler, dreapta lui Gauss); și metode cu ajutorul cărora se demonstrează concurența unor drepre precum și câteva puncte celebre (punctul lui Lemoine, punctul lui Gergone, punctul lui Nagel).
Capitolul IV ,,Cercetarea aplicativă” debutează cu un paragraf în care sunt evidențiate câteva strategii de predare învățare, după care sunt precizate obiectivele de cercetare și ipoteza de lucru, precum și concluziile.
Lucrarea se finalizează cu prezentarea unor anexe și a bibliografiei studiate pentru realizarea prezentei lucrări.
Cap I. ASPECTE PSIHOPEDAGOGICE ALE ÎNVĂȚĂRII MATEMATICII ÎN CICLUL GIMNAZIAL
I. 1. PROFILUL PSIHOPEDAGOGIC AL ELEVULUI DE GIMNAZIU
I.1.1. Substadiile dezvoltării psihice a preadolescentului. Aspecte generale
Pubertatea, dominată de procesul de creștere și maturizare sexuală intensă, cuprinde substadii care, deși foarte diferite de la caz la caz că moment de declanșare și durată, au aceeași linie de succesiune și sunt în linii mari următoarele:
a) Etapa prepuberală (de la 10 la 12 ani) ce se exprimă printr-o accelerare și intensificare din ce în ce mai mare a creșterii (staturale mai ales), concomitent cu dezvoltarea pregnantă a caracteristicilor sexuale secundare. Tinerele fete trec în această fază printr-o creștere accentuată și câștigă 22cm în înălțime. La băieți creșterea poate începe ceva mai târziu, între 12 și 16 ani și este mai evidentă. Creșterea este uneori impetuoasă și se însoțește de momente de oboseală, dureri de cap, iritabilitate. Conduita generală capătă caracteristici de alternanța între momente de vioiciune, de conduite copilăroase exuberante și momente de oboseală, apatie, lene.
În școală, copilul se află în fața unor noi cerințe, mai diversificate cantitativ și calitativ, a unor modele de profesori și de lecții variate care impun un cadru al învățării mai deosebite. Se modifică și statutul de elev, prin antrenarea acestuia în activități responsabile și competiționale, cum ar fi cele din cercuri tehnice, din concursurile la diferite obiecte, din jocurile competiționale, care îl fac să-și dea seama de valoarea și potențialul de care dispune. Copilul nu mai este atât de frecvent stăpânit de agitația motorie și de labilitatea din primele clase. Conștiința de sine se încarcă cu ideea statutului de elev, bun, slab sau mediocru, ceea ce îl face să manifeste atitudini de un anumit fel fără de activitate.
Și în familie încep să se m concluziile.
Lucrarea se finalizează cu prezentarea unor anexe și a bibliografiei studiate pentru realizarea prezentei lucrări.
Cap I. ASPECTE PSIHOPEDAGOGICE ALE ÎNVĂȚĂRII MATEMATICII ÎN CICLUL GIMNAZIAL
I. 1. PROFILUL PSIHOPEDAGOGIC AL ELEVULUI DE GIMNAZIU
I.1.1. Substadiile dezvoltării psihice a preadolescentului. Aspecte generale
Pubertatea, dominată de procesul de creștere și maturizare sexuală intensă, cuprinde substadii care, deși foarte diferite de la caz la caz că moment de declanșare și durată, au aceeași linie de succesiune și sunt în linii mari următoarele:
a) Etapa prepuberală (de la 10 la 12 ani) ce se exprimă printr-o accelerare și intensificare din ce în ce mai mare a creșterii (staturale mai ales), concomitent cu dezvoltarea pregnantă a caracteristicilor sexuale secundare. Tinerele fete trec în această fază printr-o creștere accentuată și câștigă 22cm în înălțime. La băieți creșterea poate începe ceva mai târziu, între 12 și 16 ani și este mai evidentă. Creșterea este uneori impetuoasă și se însoțește de momente de oboseală, dureri de cap, iritabilitate. Conduita generală capătă caracteristici de alternanța între momente de vioiciune, de conduite copilăroase exuberante și momente de oboseală, apatie, lene.
În școală, copilul se află în fața unor noi cerințe, mai diversificate cantitativ și calitativ, a unor modele de profesori și de lecții variate care impun un cadru al învățării mai deosebite. Se modifică și statutul de elev, prin antrenarea acestuia în activități responsabile și competiționale, cum ar fi cele din cercuri tehnice, din concursurile la diferite obiecte, din jocurile competiționale, care îl fac să-și dea seama de valoarea și potențialul de care dispune. Copilul nu mai este atât de frecvent stăpânit de agitația motorie și de labilitatea din primele clase. Conștiința de sine se încarcă cu ideea statutului de elev, bun, slab sau mediocru, ceea ce îl face să manifeste atitudini de un anumit fel fără de activitate.
Și în familie încep să se manifeste modificări de cerințe față de puber. De obicei acestea sunt mai incerte. Uneori tânărul este considerat copil, alteori i se solicită comportamente asemănătoare celor mai mari, fapt ce îl face să trăiască momente contradictorii și o ușoară opoziție față de statutul și rolul incert ce i se acordă. În genere, puberul se simte din ce în ce mai confortabil în grupul care-l securizează și acceptă stilul său gălăgios, exuberant și uneori agresiv.
b) Pubertatea propriu-zisă de la 12 la 14 ani este dominată de puseul de creștere. Această intensificare este mai evidentă între 11 și 13 ani la fetițe și între 13 și 14 ani la băieți. Creșterea este mai evidentă în înălțime (nu are loc în mod proporțional și concomitent în toate segmentele corpului). Întâi se lungesc membrele inferioare și superioare, cresc și se măresc articulațiile, apoi crește trunchiul. O dată cu creșterea trunchiului are loc creșterea umerilor și prelungirea taliei. La băieți este intensă și creșterea masei musculare, creșterea mai intensă și prelungită (până la 16 ani) fără să se mărească mai mult și organele interne aflate în torace (inima și plămânii). În perioada puseului de creștere dispare grăsimea – crește forța, puterea fizică. Din acest motiv pe când în pubertate fețele și băieții sunt egali ca forță, după puseul de creștere forța este asimetric marcantă mai mare la băieți. În schimb fetițele, mai puțin musculoase, posedă un strat de țesut adipos subțire subcutanat, repartizat relativ egal, fapt ce dă pielii un aspect marmorean. Între 12 și 14 ani se dezvoltă partea facială a craniului, dantura permanentă și oasele mici ale mâinii.
Din punct de vedere psihologic, creșterea și maturizarea sunt legate de numeroase stări de disconfort. Creșterea inegală a diferitelor părți ale corpului creează aspecte caricaturale ale taliei și înfățișării. Hainele devenite scurte, strâmbe, măresc aspectul relativ ciudat al puberului, ceea ce crează disconfort psihic. La acestea se adaugă și apariția neplăcută de acnee, transpirații abundente și mirositoare, o sensibilitate "emoțională" a pielii (eritemul de pudoare și paloarea în diferite momente emoționale). Toate acestea crează neliniște privind aspectul general, dar și cu privire la aceste mecanisme active de dezvăluire a unor simțiri ce puberul le vrea mai degrabă camuflate.
c) Momentul postpuberal (14-15 ani) face trecerea spre Preadolescență. La băieți se manifestă o schimbare în conduite prin extinderea lor exagerată, adeseori o impertinență cu substrat sexual și cu agresivitate în vocabular. Fetele trec prin două faze: de femeie-copil, în care domină conduite timide și exuberanțe, de afecțiune și idealizare de eroi și personaje inaccesibile. Sunt de asemenea, prezente trăiri complexe și ambigui de inferioritate, de culpabilitate și de pudoare. Dar odată cu evoluția de ansamblu și mai cu seamă de descoperirea efectelor feminității asupra sexului masculin se intră în cea de-a doua fază, numită femeie-Preadolescent. Tânăra devine mai stăpână pe sine, dispare complexul de inferioritate și manifestă deschidere sentimentală cu note pronunțate de curiozitate.
I.1.2. NEVOILE PUBERULUI
I.1.2.1 Nevoia de cunoaștere
Puberul manifestă o imensă curiozitate față de tot ceea ce îl înconjoară, o puternică nevoie de a ști, de a cunoaște și înțelege îl animă în toate acțiunile pe care le întreprinde. Solicitările ce vin spre el de la realitate sunt numeroase și de intensități diferite. Încercând să le facă față, puberul își perfecționează instrumentele cunoașterii, își dezvoltă diversele componente ale activității sale psihice (percepția, reprezentarea, memoria, limbajul, imaginația) producând astfel importante modificări în structură și funcționalitatea de ansamblu a cunoașterii. Pe puber îl interesează nu atât cunoștințele în sine, ci raportarea lor la altele, integrarea lor în ansambluri tot mai complexe și variate. La această vârstă, copilul "își pune ordine" în cunoștințe și le ordonează și structurează după o serie de criterii ajungând la formarea unor rețele, piramide sau sisteme de noțiuni. Ceea care îl ajută cel mai mult în finalizarea unui asemenea proces este gândirea. Printre principalele caracteristici ale gândirii puberului enumerăm: gândirea puberului este nu doar acumulatoare, ci și ordonatoare, sistematizatoare; copilul raționează nu doar asupra obiectelor, ci și asupra relațiilor dintre ele; apar operațiile combinatorii care dau posibilitatea de a raționa după două sisteme de referință folosite concomitent; se răstoarnă relația dintre real și posibil; dacă până acum posibilul nu era decât o prelungire îndoielnică a realului, acum este un caz particular al posibilului.
Memoria care până la această vârstă dispunea de o fidelitate foarte mare, mergând până la reproducerea identică a informațiilor din manuale, deci având un pronunțat caracter mecanic, devine tot mai pregnant o memorie logică, bazată pe selecția elementelor esențiale pe scheme logice și pe înțelegerea celor memorate. Modificări importante suportă procesele de întipărire și reactualizare.
Sub influența gândirii se dezvoltă și limbajul, atât sub raport cantitativ (în debutul verbal al puberului apar 60-120 de cuvinte pe minut, spre deosebire de 60-90 câte apar la școlarul mic), cât și sub raport calitativ (apar asociații bogate și semnificații, se amplifică limbajul activ). Creșterea potențialului asociativ al limbajului, stabilitatea planului de idei, problematizarea ideilor, creația unor cuvinte noi, se datorează tocmai dezvoltării gândirii. Puberul devine tot mai conștient de posibilitățile sale intelectuale, pe care încearcă să și le stăpânească, să și le dezvolte și cizeleze pentru a-și spori sfera cunoașterii. El simte nevoia de a-și exprima, exteriorizează propriile sale trăiri psihice prin imagini și idei artistice.
I.1.2.2 Nevoia de afecțiune
Puberul, deși se detașează oarecum de cadrul familial în care trăiește, angrenându-se mai direct și în alte tipuri de grupuri și mecanisme sociale, simte încă nevoia de afecțiune, de ocrotire din partea părinților. Dacă, însă, în mica școlaritate cercul celor capabili de a-i satisface această nevoie era relativ îngust (familia și învățătorul), de data aceasta el se lărgește mai mult prin apariția mai multor profesori și mai ales datorită orientării puberului spre colegii săi în care vede nu numai simpli parteneri de joacă, ci și parteneri de confidențe, capabili de a aduce un plus de afecțiune față de el. Dacă până acum copilul era obiectul afecțiunii altora, de data aceasta el însuși devine capabil de a manifesta afecțiune față de altcineva, transformându-se din obiect al afecțiunii în subiect al ei. Chiar expresiile emoționale încep să fie controlate conștient, manifestate sau reținute în raport cu particularitățile esențiale ale situației.
Apar manifestări de tact și pudoare care dezvăluie prezența unei sensibilități afective pregnante, intră în funcțiune temeri și anxietăți noi (teama de înfrângere, de a fi pus în inferioritate, anxientate în raport cu evenimentele vieții de grup, cu relațiile dintre copii). Uneori el manifestă reacții violente, alteori el trăiește calm, firesc, fapt care demonstrează că afectivitatea sa este încă într-o continuă prefacere și structurare.
În relațiile cu sexul opus se manifestă sentimente și emoții noi inedite, că simpatia și sentimentele de dragoste. Simpatia este o stare afectivă pozitivă, în care subiectul simte o stare de atenționare ușor exaltată în a crea condiții de reușită și stare de confort psihic pentru persoana simpatizată, ajutând-o, protejând-o și făcându-i bucurii. Dragostea, sentiment de mare intensitate, se conturează în perioada pubertății ca trăire tainică neliniștitoare, mai puternică decât simpatia, uneori cu manifestări de conduită bizară.
Dacă în mica școlaritate afecțiunea copilului era determinată și dirijată oarecum din afară de către alții, copilul simțind nevoia ca aceștia să se poarte afectuos cu el, acum afectivitatea puberului devine într-un fel interioară, adică determinată mai ales de resorturile psihologice proprii, copilul simțind nevoia de a fi afectuos cu alții.
I.1.2.3 Nevoia de relații și de grup
Integrărea socială constă în atașamentul conștient și activ la grupul căruia aparține și a cărui sferă se extinde de la clasă, școală, până la marele organism social. Copiii se împrietenesc în urma cunoașterii reciproce, a aprecierii unor însușiri de personalitate, a asemănării gusturilor, lecturilor, opiniilor. Relațiile de colegialitate care până acum erau restrânse, limitate la colegul de bancă și poate la încă 2-3 colegi din apropierea locuinței, căpăta în noile condiții o extensie mai mare, generalizându-se la nivelul întregii clase. În schimb, relațiile de prietenie se centrează asupra a cel mult două-trei persoane. Bazate pe cunoaștere și apreciere, acestea devin mult mai trainice și intense.
Ne aflăm, de asemenea, în perioada în care copiilor le place să se asocieze în grupuri mixte, deoarece grupul le dă posibilitatea să-și satisfacă unele trebuințe, cum ar fi cele de integrare socială, de apartenența la grup, de supunere sau dominare, iar pe de altă parte le dă posibilitatea să se afle mai direct în fața sexului opus. Pubertatea este "vârsta de grație socială" în care copilul trăiește în simbioză cu grupul mai profund decât în orice perioadă a vieții sale. Aceasta este vârsta la care apare "banda", "clica", formate spontan, după criterii preferențiale. Relația dintre individ și grup generează o multitudine de efecte negative. Banda, de exemplu, are un pronunțat caracter antiadult, ea "vasalizează" pe unii membri, le anihilează conștiința, îi marginalizează pe alții, educă tupeul, tendința spre comportamente asociale. Nu trebuie să pierdem însă din vedere și unele efecte pozitive ale grupului: el apare ca mijloc și teren de socializare și solidaritate a membrilor, le creează sentimentul de "noi", dă posibilitatea copiilor să facă experiența primei societăți, îi dezvoltă sub raport intelectual și moral.
Nevoia de relații a școlarului mic, evoluează la puber spre nevoia de grupare, de integrare într-un grup bine organizat, structurat și mai ales de durată.
Grupul satisface mai direct unele nevoi ale copiilor apărute în acest stadiu de dezvoltare și mai ales, pe cea de a fi afectuos cu alții, de a se împrietenii cu ei.
I.1.2.4 Nevoia de distracție și culturalizare
Puberul începe să fie interesat de acel tip de mișcări care îl eliberează de preocupările cotidiene, care joacă în raport cu acestea rol de distracții. Sporturile, citirea cărților, a ziarelor, revistelor, vizionarea unor spectacole de teatru sau film, excursiile și expedițiile sunt tot atâtea tipuri de distracții practicate cu deosebită plăcere de puber. Nevoia de distracție are, în raport cu propria formare a puberului, îndeosebi a personalității sale, o triplă semnificație.
În primul rând, activitatea tip joc (sporturile) contribuie mult la formarea spiritului de echipă, de întrajutorare, de solidaritate, de organizare, aducând prin aceasta aportul la socializarea conduitei puberului.
În al doilea rând, prin intermediul activităților de tip intelectual, puberul participă la viața culturală. Întâmplările din cărți, filme, personajele din ele exercită o mare atracție asupra puberilor, multe dintre ele putând sugera modalități viitoare de acțiune. Puberul devine un adevărat consumator de cultură. Școala oferă însă puberului prilejul nu numai de a fi un simplu spectator, receptor, ci un adevărat participant la elaborarea valorilor culturale, la popularizarea lor. Echipele artistice (de teatru, dans) permit puberilor să devină participanți activi la actul de cultură, adevărați actori.
În al treilea rând, ca urmare a participării la viața culturală, prin consumul produselor sale se dezvoltă gusturile pentru anumite genuri de spectacole, genuri literare – în final – gustul și simțul estetic.
I.1.2.5 Nevoia de independență și de autodeterminare
Puberului nu-i mai place tutela, uneori exagerată a părinților, de aceea evită să-i însoțească preferând, mai ales, societatea copiilor de aceeași vârstă. El manifestă o pronunțată independență comportamentală dar și spirituală. În plan comportamental ea se concretizează în inițiative personale, lăudabile sau mai puțin lăudabile; la această vârstă este întâlnită fuga de la școală, de acasă; preluarea de la adulți a unor însușiri de conduită, unele firești, altele nefirești pentru el. În plan spiritual, independența își găsește expresia mai ales în domeniul creativ. Satisfacerea nevoii de independență are efecte pozitive asupra personalității puberului, mărindu-i spiritul de răspundere, activizându-l pe direcția îndeplinirii unor îndatoriri. Uneori însă, independența excesivă duce la apariția unor conflicte între părinți și copii, între școală și copii, mai ales atunci când între această nevoie exacerbată și exigențele de subordonare și de conformare a cerințelor există un prea mare decalaj.
Concomitent cu nevoia de independență se manifestă și nevoia de auto-determinare a puberului. El își stabilește singur scopurile, ia singur hotărâri, își organizează acțiunile în funcție de ele. În vederea satisfacerii acestei nevoi puberul este instrumentat din punct de vedere psihic, la această vârstă apărând voința ca principal mijloc de autoreglare a comportamentului. Prin voința puberul se autocontrolează, se autostăpânește, își pune frâne. Voința este însă insuficient formată și de aceea el acționează uneori necontrolat, năvalnic, nestăpânit.
Maturizarea generală se exprimă și în planul capacităților de cunoaștere: se amplifică și devin și mai fine sensibilitatea tactilă, cromatică, auditivă, se dezvoltă percepțiile și spiritul de observație. Referitor la dezvoltarea reprezentărilor, specialiștii apreciază că în perioada 10/11 și 14/15 ani are loc aproape o ,,convertire explozivă a cunoașterii în scheme, simboluriși reprezentări”. Se dezvoltă operativitatea specifică a gândirii, fenomen pus în evidență de utilizarea a numeroși algoritmi în domeniile tuturor disciplinelor.
Cea mai importantă construcție intelectuală a acestui stadiu este raționamentul ipăotetico-deductiv, care facilitează trecerea de la operarea asupra realului la operarea asupra posibilului, școlarul mijlociu fiind capabil să opereze cu concepte, judecăți, raționamente.
Saltul de la operațiile concrete la cele formale nu se realizează brusc, ci treptat, astfel că în adolescență gândirea formală și reflexivă va funcționa deplin. Achizițiile și transformările semnificative din domeniul gândirii determină, totodată, creșterea atribuțiilor acesteia privind orientarea, conducerea și valorificarea celorlalte procese psihice: senzorial-perceptive, memorie, imaginație, limbaj etc.
Cunoaștera optimă a profilului psihologic al puberului de către educatori, cooperarea cu familia acestuia și adoptarea unor strategii educaționale adecvate atât sub raport individual, cât și psihosocial, favorizează traversarea normală a acestei perioade.
I.2. CORELAȚII ÎNTRE OPERAȚIILE MATEMATICII ȘI OPERAȚIILE GÂNDIRII
Gândirea, stăpana și servitoarea noastră, atât la îndemană și atât de misterioasă. Ce este gândirea ?
Sunt sute de definiții mai mult sau mai puțin empirice care nu reușesc să satisfacă , să acopere rosturile sale. Probabil este greu să cuprinzi într-o definiție tot angrenajul de procese psihice ce o formează și multitudinea de rezultate ale gândirii. De aceea cred că toți elevii se încurcă la întrebarea « cum ai gândit ? ».
Omul se definește prin gândire ca fiind elementul cel mai edificator în superioritatea acestuia vis-a-vis de animal. Gândirea , văzută de psihologi , « este procesul cognitiv de însemnatate centrală în reflectarea realului care, prin intermediul abstractizării și generalizării coordonate în acțiuni mentale , extrage și prelucrează informații despre relațiile categoriale și determinative în forma conceptelor, judecăților și raționamentelor. »
În analiza și studiul gândirii se impun luate în considerație sistemele operaționale de nivel intelectual, natura conceptului ca unitate de bază a gândirii și formarea conceptului print-un proces de învațare , latura funcțională a gândirii – înțelegerea ca decodificare semantică și rezolvarea de probleme ca domeniu de realizare a performanțelor proceselor gândirii.
Operațiile gândirii sunt :
• Analiza și sinteza superioară ;
• Comparația (ca determinare a asemănărilor și deosebirilor, ținând seama de un anumit criteriu);
• Abstractizarea (ca analiză selectivă ce ignoră unele componenete sau însușiri);
• Generalizarea (sintetizează relațiile abstracte și le reunește într-o definiție a clasei);
• Concretizarea (opusă abstractizării și generalizării).
În realitate , operațiile prezentate apar în cupluri sau blocuri interacționiste (analitico-sintetice, abstractiv–concretizatoare, generalizant-particularizatoare, comparative, inductiv-deductive) astfel încât gândirea “ se mișcă” simultan în toate direcțiile, proprietatea de a opera simultan în sensuri opuse fiind specifică omului.
Noțiunea sau conceptul de bază al gândirii constă într-o condensare selectivă sau integrare de informații despre însușirile generale și esențiale ale anumitor clase de obiective, fenomene sau relații. Fiind un integrator categorial , noțiunea este întotdeauna generală, dar se și situează la diverse niveluri de generalitate. Conceptele sunt empirice și științifice. Școala are rostul de a se servi de noțiunile empirice în formarea celor științifice.
Acestea se realizează prin învățare cognitivă ce asigură o asimilare a cunoștințelor și operațiilor intelectuale corespunzatoare, constituirea unor sisteme cognitive și structuri operaționale conforme cu obiectele de studiu. Cea mai activa fecundă strategie a învățării cognitive este problematizarea și, în genere rezolvarea de probleme.
Drumul de la probleme bine definite ce pot fi rezolvate prin aplicarea unui algoritm și până la problemele slab definite pe care se pune iar accent este greu în sensul că matematica cere mai mult decât orice altă disciplină o gândire mereu vie și nu permite evoluția concentrică a asimilării, existența lacunelor.
Cunoscând toate aceste aspecte concrete ale gândirii omenești, profesorul îi poate face pe copii să priceapă și să folosească operații matematice, va trebui să exploreze toate aceste date adaptate la nivelul de vârstă al elevilor. Cadrul didactic este obligat să știe , înainte de toate , că în stadiul operațiilor concrete apar grupări operaționale ce permit conceptualizări și coordonări de concepte. Grupările se constituie , se complică și se perfecționează. Din generalizarea unor date rezultă situații concrete, intuitive și ele prefigurează grupul operațiilor formale.
Structurile operatorii,luate în sine sunt abstracte și definesc o logică calitativă( a ordinii și claselor) , dar conținutul lor rămâne în bună măsură concret, deoarece poartă imaginea asupra realității concrete sau asupra reprezentărilor și formeaza progresiv conservări trecând de la o categorie la alta prin decalaje între domenii de doi –trei ani. Surprinderea invariației, a ceea ce este constant și identic în lucruri, se bazează pe capacitatea de a coordona între ele operațiile gândirii, de a le grupa în sisteme unitare, în cadrul cărora devine posibilă reversibilitatea, capacitatea de a efectua în sens invers drumul de la o operație la alta. Reversibilitatea prin inversiune se produce simultan , fără desfășurări fizice. Este un fenomen caracteristic minții omenești care, poate , după cum se vede , să se miște în sensuri opuse și astfel să « conserve invariantul » în conceptul care este întotdeauna general. Există și o reversibilitate prin reciprocitate care apare mai târziu. La finalul stadiului operațiilor concrete se produce o reorganizare a structurilor operatorii și o ierarhizare a lor, astfel încât se constituie la un nivel de integrare mai înalt, supraordonat, mecanismele de coordonare logică și matematică . Prin această operare supraordonată ce se exercită asupra altor șiruri operaționale( cele concrete) controlând corectitudinea lor ca atare, intelectul trece treptat între 12-17 ani, în stadiul superior al operațiilor formale.
Cunoscând aceste particularități ale gândirii elevului , profesorul va trebui aleagă metoda cea mai potrivită în parcurgerea demersului didactic. În afară metodelor obișnuite, valabile la orice disciplină de învățământ, se conturează două strategii specifice matematicii : strategia inductivă și analogică.
Ca tip special de abordare a realității matematice , în maniera inductivă profesorul și elevii intreprind experimente asupra situației date în cadrul ei, efectuând operații reale cu obiecte fizice sau concepte. Pe baza obsevațiilor făcute, provocate de concretizările întreprinse, elevii sunt conduși progresiv la conceptualizări (de exemplu, în rezolvările de probleme care folosesc abordările inductive , elevul gândește analitic prin probe și treptat ajunge la o concluzie .
Strategia analogică are ca temei o prima și esențială caracteristică a gândirii matematice, anume relevanța ei logic-analogică. Vom întâlni analogii între noțiuni, între idei , între teoreme, între demonstrații , între domenii și chiar între analogii , punctul lor de plecare îl constituie însuși faptul că analogia reprezintă forma principală sub care se manifestă procesele de abstractizare.
Modernizarea pedagogiei învățământului matematic în special din perspectiva apropierii gândirii logice a elevilor încă din primele clase de logica științei propriu-zise, impune organizarea și desfășurarea acesteia într-o manieră nouă : conștientizarea complexitătii actului de predare-învățare , metode activ-participative, diferențierea învățământului, cultivarea interesului pentru studiu ș.a.
« Scopul principal al învățământului matematic –afirmase H. Poincare, este de a dezvolta anumite facultăți psihice și printre ele , intuiția, nu e cea mai puțin prețioasă. Prin ea lumea matematică rămâne în contact cu lumea reală și chiar dacă matematica pură ar putea să se lipsească de ea, tot de la ea ar trebui să recurgem pentru a umple prăpastia care separă simbolul de realitate. Practicianul va avea întotdeauna nevoie de ea și la fiecare matematician bun trebuie să existe 100 de practicieni. »
Conținutul matematic al conceptelor matematice moderne nu exclude ci, dimpotrivă, presupune utilizarea unor metode și procese bazate pe intuiție. Elevul are o gândire care operează la nivelul concret și numai în măsura în care va fi îndrumat să gândească după acțiunea cu obiectele va putea pătrunde în înțelesul real al conceptelor matematice, iși va insuși logica acestora.
Profesorul va veghea la asigurarea unui echilibru între metodele de tip intuitiv –observativ, cele acționale și cele problematizatoare, dar nici una la un învățământ formal, fără suport modelator și în care multe noțiuni matematice rămân fără acoperire intuitivă.
Manifestând initiațivă în crearea și folosirea unor metode și materiale didactice care să sprijine înțelegerea noțiunilor matematice se ține seama de câteva cerințe pentru a oferi posibilitatea elevilor de a învața matematica mai întâi la nivelul concret și pentru a se ridica treptat la ințelegerea și operarea cu abstracțiunile matematice. În primul rând , se impune analiza și utilizarea materialelor didactice în funcție de gradul lor de intuitivitate, ținând seama de faptul că interacțiunea dintre analogie și inducție pe de o parte și temeiul lor intuitiv pe de altă parte, asigură progresiv evoluția spre abstract. Se impune selecționarea atentă a materialelor intuitive în raport de obiectivele urmărite în lecție, în funcție și de etapa de formare a noțiunilor respective, de experiența de care dispun copii, de măsura în
care materialul respectiv servește la înțelegerea principiului, a relației, a proprietății, etc., ce urmează a fi asimilate, aplicate și apoi transferate.
Se impune de asemenea dozarea judicioasă a intuiției , ca suport material , până la nivelul necesar producerii saltului în abstract, cu reținerea pe plan logic(interiorizarea) a adevărului matematic, respectiv în limbajul matematic.
Revenind la domeniul strict al temei subcapitolului , se pune întrebarea dacă operațiile matematice influențează operațiile gândirii sau operațiile gândirii asigură succesul elevilor în învățarea operațiilor matematice.
Din cele prezentate mai sus se observă că cele două tipuri de operații se ajută reciproc, chiar dacă nu simultan. Toți profesorii au observat că elevii buni la matematică au o gândire « bine organizată » folosită cu eficiență și la celelalte obiecte. În felul acesta se remarcă dimensiunea formativă a învățării matematice și puterea acestei științe de a « servi » celelalte discipline.
Pentru a nu rămâne tributari valențelor formative ale matematicii, trebuie precizat că prin operațiile de baza ale matematicii se pun bazele unui instrument de lucru care va sluji elevul toată viața , dar și în actul învățării, fără ca elevul să știe , este afectat de matematică asupra întregii personalități și nu doar la nivel intelectual. Trebuie voința pentru a rezolva problema , trebuie atenție pentru a depista greșeala , trebuie perseverență pentru a ajunge la rezultat, se exersează încrederea în sine, plăcerea reușitei , ambiția de a trece peste eșec, curajul de a se întoarce la început, interesul pentru mai bine și mai mult. Sunt doar câteva amprente pozitive pe care această disciplină le lasă în personalitatea în formare a elevului. Există și un secret care explică de ce este un obiect iubit de elevi: aici performanțele se pot măsura imediat și ușor chiar de către elev. El este recompensat imediat prin obținerea rezultatului și se realizează cea mai obiectiva formă de autoevaluare.
Ce are de facut profesorul pentru a spori eficiența formativa a învățământului matematic, trebuie tradus după precizarea lor cât mai riguroasă, în înfăptuirea obiectivelor matematice.
Acestea sunt in esența intenționalitații ale acțiunii procesului instructiv –educativ, concretizate în tipuri de schimbări urmărite la diferite niveluri ale personalitătii produse prin achizitii in sistemul de cunoștințe, deprinderi , priceperi , capacități și atitudini ale subiecților supuși instruirii după un anumit program. În funcție de obiective se definește, anticipează, organizează, evoluează și reglează întreaga structură a activității pedagogice: conținuturi, metode, mijloace, forme de organizare, relația educator-educat, sistemul de evaluare. Acesta trebuie să fie în permanent acord cu noua calitate a învățământului.
I.3. APTITUDINEA MATEMATICĂ LA ELEVI
“ În psihologia modernă s-a validat ideea posibilității de dezvoltare a aptitudinilor. Aptitudinile matematice sunt printre cele mai solicitate în viața de zi cu zi a omului modern. Rămâne deschisă problema interrelațiilor dintre aptitudini si abilități, interese, personalitate și mai ales aceea a tehnicilor prin care se pot mai bine dezvolta setul de aptitudini de randament înalt’’, afirma profesor doctor Ursula Șchiopu prefațând lucrarea lui Ion Berar despre aptitudinea matematică la școlari.
Teoria și practica psihologică actuală au demonstrat cu suficientă forța de convingere că fiecare om este mai apt pentru un anumit tip de activitate și mai puțin pentru un altul. Alături de interese și preferințe , adesea conjuncturale , aptitudinile joacă un rol hotărâtor atât în determinarea specificului , cât și a nivelului performanțelor la unul și același elev.
Am observat ca există elevi care din primele etape ale învățării matematicii dau dovadă de multă usurință și rapiditate în privința înțelegerii și operării cu numere și relații cantitative , în timp ce alții se descurcă mai greu. Asta nu înseamnă că cei din a doua categorie nu au minim de aptitudini pentru înțelegerea cunoștințelor cuprinse în programă. Metodele și măiestria pedagogică joacă un rol hotărâtor în reușita matematică , însă aceasta nu explică totul. Trebuie avută în vedere această aptitudine matematică în munca diferențiată cu elevii. Deja manualele pun la dispoziție teste de nivel mediu și teste cu grad sporit de dificultate. A. Binet considera , pe baza cercetărilor intreprinse , că există o aptitudine pentru calcul mintal (ceea ce în concurența cu întrebuințarea calculatorului nu prezintă mare importanță) și inteligența matematică, facultate cu totul specială , întemeiată pe calități ale gândirii greu de explicat deocamdată. Sigur este că în testele de inteligență și cele de matematică se obțin rezultate compatibile. În țara noastră , M. Bejat și A. Perju, supunând analizei factoriale rezultatele unor loturi de elevi detașează trei factori semnificativi : de gândire abstractă implicat în rezolvare de probleme de perspicacitate și desprinderea de reguli pentru un șir de numere, factorul gândirii în imagini și un factor de creativitate prezent în probele cu soluții multiple.Pentru profesor se conturează tipurile de sarcini prin care va depista elevul cu aptitudine matematică pentru a o va dezvolta . Se mai impune de reținut că elevul poate gândi abstract numai după mai multe operații în plan concret și va desprinde esențialul abia când uită de «datele » problemei, reținând doar relațiile dintre acestea.
Ca să urmărim această aptitudine la elev, să o putem exploata și dezvolta, trebuie să știm foarte clar ce căutăm. Deci, aptitudinea matematică este o componentă specifică personalității, o substructură a acesteia relativ independentă, formată din componente cognitive, afectiv –motivaționale și volitive elaborată în adaptări succesive la modele matematice externe ce facilitează obținerea de performanțe școlare superioare mediei.
In discuțiile lor, copiii afirmă despre un anumit elev că « vede » matematică. Poate chiar elevii au găsit cea mai sugestivă definiție a aptitudinii matematice. Cel în cauză “vede” imediat datele esențiale ale problemei , sesizează insuficiența informației sau o dată greșită fără a calcula, “vede” și alte căi de rezolvare sau calea cea mai scurtă și este capabil de a « traduce » în limbaj matematic cum a judecat.
Am observat însă două trăsături ale elevilor cu astfel de aptitudini : nu trebuie să fie ajutați de o memorie foarte bună și pot foarte ușor să se transforme în mediatori pentru colegii lor mai puțin buni.
Profesorul are obligația nu numai de a transmite cantitatea de cunoștințe prevăzute în curriculum, ci să valorifice potențialul fiecărui elev la nivelul cel mai înalt posibil. De aceea se impune munca diferențiată , oricât ar fi de greu în condițiile claselor cu număr mare de elevi , în speranța că se vor institui și în țara noastră grupele de nivel pe discipline.
CAP. II – METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE GEOMETRIE ÎN GIMNAZIU
În matematică prin metodă înțelegem calea rațională care trebuie urmată pentru a rezolva o problemă sau a demonstra o teoremă. Cunoașterea celor mai întâlnite metode pentru rezolvarea problemelor de geometrie este necesară tuturor celor care studiază această știință, deoarece pe de o parte îi ferește de marcări făcute la întâmplare, pe de altă parte le dezvoltă capacitatea de a generaliza, fapt ce le oferă posibilitatea să lege între ele problemele ce se rezolvă după o animită schemă de raționament care se reține ușor și aplică fără greutate.
Metodele pentru rezolvarea problemelor de geometrie se împart în două grupe principale și anume: generale și particulare.
Sinteza și analiza sunt singurele metode generale care se aplică în demonstrarea unui număr mare de teoreme și probleme. Aceasta nu înseamnă că putem găsi și folosi și folosi metode particulare care să ne conducă la rezultate sub o formă mai ușoară și elegantă în cazul unui grup de probleme. Problemele de geometrie se împart în două grupe mari: probleme de calcul și probleme de demonstrație.
Prin probleme de calcul înțelegem acele probleme care cer găsirea unei valori numerice cunoscându-se anumite date. Când mărimile din problemă nu sunt exprimate prin numere ci prin litere, atunci rezultatul obținut se exprimă în mod general printr-o formulă.
Într-o problemă de calcul intervin câteva mărimi legate între ele prin relații. De obicei relațiile sunt exprimate prin propoziții gramaticale. Prin enunțul problemei se dau valorile unor mărimi numite datele cunoscute ale problemei, și se cer valorile altor măsuri, acestea numindu-se necunoscutele problemei.
Problemele de demonstrație sunt problemele prin rezolvarea cărora se urmărește stabilirea sau verificarea unor relații, găsirea unor proprietăți noi ale figurilor date sau în general să se justifice dacă o afirmație formulată mai înainte referitoare la o proprietate a unei figuri geometrice este adevărată sau nu.
Rezolvarea problemelor de calcul au o importanță deosebită pentru studiul geometriei, deoarece pe de o parte ale contribuie la formarea priceperilor și deprinderilor pentru aplicarea cunoștințelor teoretice în rezolvarea problemelor, pe de altă parte formează încrederea rezolvitorului în forțele proprii.
Rezolvarea problemelor de demonstrație ajută la însușirea temeinică a cunoștințelor de geometrie, la dezvoltarea gândirii logice, constituind în același timp pași spre o muncă de cercetare în acest domeniu.
II.1. Metoda sintezei
II.1.1 Metoda sintezei în rezolvarea problemelor de calcul
Prin sinteză, o problemă de calcul se rezolvă astfel: se iau două date cunoscute ale problemei, între care există o legătură și cu ajutorul lor se formulează o problemă care ne dă posibilitatea să calculăm valoarea unei a treia mărimi, care devine astfel cunoscută. Se iau apoi alte două cunoscute (fie date prin enunțul problemei, fie calculate anterior) și cu ajutorul lor se formulează o problemă, care rezolvată ne dă valoarea unei noi mărimi. Se procedează în acest mod până la găsirea valorilor mărimilor ce se cer în problemă.
În cazul rezolvării avem grujă ca din două date cunoscute să calculăm valorile acelor mărimi care la rândul lor să fie legate de mărimile cunoscute din problemă și să ne ajute, din aproape în aproape, la găsirea valorilor cerute.
II.1.2 Metoda sintezei în rezolvarea problemelor de demonstrație
Într-o problemă de demonstrație la geometrie se consideră o figură F, despre care se spune că posedă proprietățile și se cere să se demonstreze că în acest caz mai posedă și proprietățile .
Propoziția care afirmă că figura F posedă proprietățile , pe care o notăm cu A, poartă numele de ipoteză, iar propoziția care afirmă că figura F posedă proprietățile și pe carele notăm cu B, poartă denumirea de concluzie. Cu alte cuvinte, într-o problemă de demonstrație se cere să arătăm că dacă pentru o figură F este adevărată proprietatea A (ipoteza), este adevărată și B (concluzia).
La rezolvarea unei probleme de demonstrație se procedează astfel: se pornește de la propoziția A și se caută o altă propoziție C, pe care o implică propoziția A. Cu alte cuvinte ținând seama că figura F are proprietățile , căutăm să descoperim și alte proprietăți , iar propoziția care afirmă că figura F are proprietățile , o notăm cu C. Căutăm mai departe o propoziție P, pe care s-o implice propoziția A și C și așa mai departe până când propozițiile astfel găsite implică propoziția B (concluzia).
Exemplu (teorema lui Menelaus). Fie ABC un triunghi și fie A, B, C trei puncte coliniare distincte astfel că ABC, BAC, CAB. Să se arate că:
(1)
Demonstrație. Fie triunghiul ABC și A, B, C punctele unede o transversală intersectează laturile lui (fig II.1). Trebuie să arătăm că este adevărată relația (1).
Dacă analizâm figura, se observă că ipoteza nu ne oferă suficiente date pentru a pune în evidență relația cerută. Cum este vorba despre rapoarte și legăturile ce trebuiesc stabilite între ele, acestea constituie o indicație că trebuie să plecăm de la cunoștințe referitoare la asemănarea treiunghiurilor. Pe figură nu sunt triunghiuri asemenea, aceasta înseamnă că trebuie să le construim. Ducem din C paralela (CD) la latura (AB) și observăm că s-au format mai multe triunghiuri asemenea.
Triunghiurile ACD și BAC fiind asemenea, potrivit teoremei fundamentale a asemănării, putem scrie:
(2)
Din asemănarea triunghiurilor CBD și CBA putem scrie:
(3)
Înmulțind egalitățile (1), (2) și (3) membru cu membru obținem:
Înmulțind egalitățile (4) cu raportul obținem:
Folosind tranzitivitatea relației de egalitate obținem relația (1) și teorema este demonstrată.
II.2. Metoda analizei
II.2.1 Metoda analizei în rezolvarea problemelor de calcul
Analiza în rezolvarea unei probleme de calcul se aplică astfel: se pleacă de la întrebarea problemei, deci de la necunoscut spre cunoscut. Se formulează o problemă în așa fel încât răspunsul ei să fie același ca și la problema propusă. Datele problemei formulate pot i cunoscute, iar altele necunoscute. Cu alte cuvinte se formulează o a doua problemă, a cărei întrebare trebuie să fie așa fel pusă încât prin rezolvarea ei să fie așa fel pusă încât prin rezolvarea ei să ducă la găsirea valorilor mărimilor necunoscute din problema formulată.
Se poate întâmpla ca și în a doua problemă formulată unele date să nu fie cunoscute; atunci se formulează o a treia problemă a cărei întrebare trebuie să ducă la găsirea datelor necunoscute din problema a II-a, și așa mai departe.
Acest proces se repetă până când se ajunge la o problemă ale cărei date sunt cunoscute. Din acest moment operațiile se desfășoară pe calea sintezei.
Exemplu. Se dau două cercuri tangente exterioare, unul cu raza de 15 cm și celălalt cu raza de 5 cm. Se cere să se afle aria suprafeței cuprinsă între cele două cercuri și tangentele exteriare comune celor două cercuri, știind că ele formează un unghi de măsură 60o.
Rezolvare. Fie O și O1 centrele celor două cercuri tangente exterioare. AC și AC1 cele două tangente exterioare comune, duse din punctul A, unghiul CAC1 având măsura de 60o
Aplicăm metoda analizei. În rezolvarea acestei probleme, pornim de la ceea ce se cere și anume, găsirea ariei cuprinse între cele două cercuri și tangentele comune exterioare (fig II.2). Examinând figura, observăm că jumătatea ariei care se cere este egală cu aria trapezului OCBO1 din care se scade aria sectorului circular COE și a sectorului circular EO1B. Deci:
= 2[[OCBO1] – ([ [COE] + [EO1B])]
Din analiza acestei egalități observăm că nu putem calcula direct pe pentru că nu se cunoaște aria trapezului și ariile sectoarelor de cerc, deci atenția noastră trebuie să se îndrepte spre calculul acestor mărimi. Am redus problema dată la găsirea ariei trapezului și a sectoarelor de cerc.
Pentru calculul ariei trapezului OCBO1 sunt necesare lungimile bazelor și a înălțimii. Având lungimile bazelor || OC || = 15 și || O1B || = 5 , este necesar să calculăm înălțimea trapezului. Rezultă că aflarea ariei trapezului se reduce la aflarea înălțimii acestuia.
Ducând din O, o paralelă la tangenta comună BC, se formează triunghiul dreptunghic OFO, din care calculăm lungimea segmentului O1F, care este și înălțimea trapezului OCBO1. Avem:
|| O1F || 2 = || O1O || 2 – || OF || 2
|| O1F || 2 = 202 – 102 = 300
|| O1F || = =10
În concluzie, bazele și înălțimea trapezului fiind cunoscute putem calcula aria trapezului.
[OCBO1] = .
Calculăm aria sectorului circular COE, aplicând formula care ne dă aria și obținem:
[sect OCE] =
Din cele două mărimi care se repetă să calculăm aria sectorului; una este cunoscută
R = 15, însă nu cunoaștem pe n. Rezultă că problema care se referă la calculul ariei sectorului circular COE se reduce la calculul măsurii unghiului la centru COE.
Ținând seama că unghiul CAC1 are măsura de 60o, rezultă că m(CAO1) = 30o și deci m(CAO) = 60o, adică n = 60o. deci:
[sect OCE] = .
Pentru a calcula aria sectorului O1EB, procedăm în mod asemănător și se avem:
[sect O1EB] = .
Pentru a putea continua calculele sunt necesare r și n1. Pe r îl cunoaștem din enunțul problemei date fiind egală cu 5, însă nu cunoaștem pe n1; măsura unghiului BO1E. Deci problema calculului ariei sectorului O1EB se reduce la calculul măsurii unghiului BO1E.
Avem: COA BO1A ca unghiuri corespondente, deci m(BO1A) = 60o. Unghiul EO1B este suplementul unghiului BO1A, de unde m(EO1B) = 120o. Cu acest rezultat putem calcula aria sectorului circular EO1B.
[sect O1EB] =.
Înlocuind în egalitatea (1) mărimile necunoscute din membrul al doilea prin valorile lor aflate pe parcurs și făcând calculele indicate obținem aria cerută de problema dată:
=
II.2.2 METODA ANALIZEI ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DE DEMONSTRAȚIE
La rezolvarea unei probleme de demonstrație prin analiză se pornește de la concluzia B și se caută o propoziție C care s-o implice pe B. Căutăm o altă propoziție D prin care s-o deducem pe C, apoi o propoziție E din care s-o deducem pe D și așa mai departe, până când reușim să găsim o propoziție A prin care să putem deduce propoziția precedentă.
Practic se procedează astfel:
se presupune că propoziția de demonstrat este adevărată;
se pune următoarea întrebare: de unde reiese imediat concluzia teoremei?
Răspunsul la această întrebare duce la formularea unei propoziții mai puțin necunoscută decât cea dată de teoremă. Să numim această propoziție, de exemplu C.
O întrebare asemănătoare se pune și pentru propoziția C. De unde reiese imediat concluzia propoziției C. Răspunsul la această întrebare duce la formularea unei noi prpoziții mai puțin necunoscută decât C. Să numim această propoziție, de exemplu D.
Acest procedeu se repetă până când se obține o propoziție cunoscută, stabilită mai înainte.O dată ajuns la acest adevăr, raționamentul decurge mai departe după metoda sintezei.După felul cum se aplică metoda analizei, se poate vedea clar că fiecare etapă nu se desfășoară prin încercări, ci este o legătură între propozițiile precedente, așadar raționamentele sunt motivate.
Exemplu. Produsul lungimilor a două laturi ale unui triunghi este egal cu produsul lungimilor diametrului cercului circumscris prin lungimea înălțimii corespunzătoare laturii a treia.
Demonstrație. Fie ABC triunghiul înscris în cercul C(O, r). (BD) înălțimea dusă din vârful B pe latura (AC) și (BE) diametrul dus prin vârful B. Trebuie să arătăm că:
|| AB || || BC || = || BE || || BD ||.
Presupunem că cele afirmate de teoremă în concluzie sunt adevărate. Să vedem ce consecințe decurg din acestea. Din relația:
|| AB || || BC || = || BE || || BD || (1)
rezultă imediat egalitatea de rapoarte:
(2)
Examinând proporția de la punctul precedent, observăm că segmentele care o formează sunt laturi ale triunghiurilor ABE și BDC. Pentru a avea proporția de mai sus ar fi suficient ca triunghiurile ABE și BDC să fie asemenea, adică:
ΔABE ~ ΔBCD (3)
Propoziția pe care o exprimă (3) este un adevăr pe care îl putem pune imediat în evidență, triunghurile menționate fiind triunghiuri dreptunghice având câte un unghi ascuțit congruent.
DCB AEB ambele având ca măsură jumătate din măsura aceluiași arc AMB.
Pentru a stabili relația din concluzie, se face un raționament pe cale inversă (4), (3), (2), (1) și teorema este demonstrată.
II.3. METODA ANALITICO-SINTETICĂ
II.3.1 Metoda analitico-sintetică în rezolvarea problemelor de calcul.
În practică rar se întâmplă ca o problemă să se poată rezolva numai prin metoda sintezei sau numai prin metoda analizei. În realitate se aplică ambele metode pentru rezolvarea unei probleme. În acest caz se pune întrebarea: cum procedăm? De obicei se încearcă rezolvarea problemei prin sinteză și folosim această cale cât reușim, după care se recurge la analiză. Dacă nu putem începe cu metoda sintezei, atunci apelăm la metoda analizei până când găsim două date care pot determina o mărime, iar pentru a doua necunoscută mai departe, calculele decurg în ordine sintetică.
Exemplu. Laturile unui triunghi ABC sunt || AB || = c, || AC || = b, || BC || = a. O paralelă la latura || BC || a triunghiului intersectează laturile (AB) și (AC), respectiv în M și N. Se cere:
Să se afle lungimea segmentului (MN) în așa fel încât perimetrul triunghiului AMN să fie egal cu perimetrul trapezului BMNC;
Să se afle aria triunghiului AMN.
Rezolvare. 1) La început aplicăm metoda analizei. Plecăm de la ceea ce se cere. Presupunem că (MN) este segmentul paralel cu (BC), care determină triunghiul AMN și trapezul BMNC, ce au perimetrele egale.
Să vedem ce consecință se poate deduce din acestă presupunere:
|| AM || + || MN || + || AN || = || BM || + || BC || + || CN || + || MN ||. (1)
Observăm că lungimea segmentului (MN) este comună celor doi membri ai egalității (1), deci se poate deduce:
|| AM || + || AN || = || BM || + || BC || + || CN || (2)
Analizând egalitatea (2) se poate vedea că membrul al doilea, dacă s-ar mai adăuga cantitatea || AM || + || AN ||, atunci s-ar obține perimetrul triunghiului dat. Ca să nu se schimbe egalitatea (2) va trebui ca aceeași sumă să fie adunată și în membrul stâng, deci:
2(|| AM || + || AN ||) = || AB || + || BC || + || CA || (3)
de unde prin înlocuirea lungimilor laturilor triunghiului ABC, avem:
|| AM || + || AN || = (4)
Dacă ținem seama că a + b + c = 2p, atunci egalitatea (4) devine:
|| AM || + || AN || = p (5)
În urma presupunerii făcute am găsit un adevăr indiscutabil (care ne poate duce direct) dacă ținem seama că lungimea segmentului (MN) intră în componența celor două perimetre.
De aici mai departe aplicăm metoda sintezei. Plecăm de la ceea ce se cunoaște în problemă. (MN) fiind paralel cu (BC), înseamnă că triunghiurile AMN și ABC sunt asemenea, adică ΔAMN ~ ΔABC (6)
Din asemănarea lor rezultă proporționalitatea laturilor:
(7)
Alegem proporția făcută de ultimele două rapoarte și avem:
(8)
Înlocuind în egalitatea (8) segmentele cunoscute obținem:
(9)
de unde
(10)
Pentru rezolvarea punctului (2) al problemei începem cu metoda analizei. Aplicăm formula cunoscută pentru aria triunghiului, obținem pentru cazul nostru:
(11)
În membrul al doilea observăm că || MN || este cunoscut, dar nu cunoaștem pe ||AF||. De aici se vede că am redus problema aflării ariei triunghiului AMN la aflarea lungimii segmentului (AF) care este înălțimea în acest triunghi. Mai departe rezolvarea se desfășoară pe calea sintezei. Cunoscând laturile triunghiului ABC, lungimea înălțimii AE este dată de formula:
(12)
Pentru simplificare notăm || AE || = h.
Din triunghiurile asemenea AMN și ABC găsim:
(13)
Din asemănarea triunghiurilor AMF și ABE:
(14)
Comparând șirurile de rapoarte egale de la (14) și (15) deducem că toate aceste rapoarte sunt egale. Din egalitatea:
calculăm
și apoi .
II.3.2 METODA ANALITICO-SINTETICĂ ÎN REZOLVAREA
PROBLEMELOR DE DEMONSTRAȚIE
În paragraful 2.1 am văzut în ce constă metoda sintezei și cum se aplică ea în rezolvarea problemelor de demonstrație, apoi în paragraful 2.2 am urmărit același lucru pentru metoda analizei, cu scopul de a le înțelege mai bine.
În realitate, aceste două metode de raționament nu sunt separate între ele, existând o strânsă legatură, după cum am văzut și la rezolvarea problemelor de calcul.
Într-adevăr, atunci când rezolvă, o problemă prin sinteză, plecăm de la anumite date sau de la unele cunoștințe învățate mai înainte, însă avem mereu întrebarea problemei la care trebuie să răspundem.
Când rezolvăm o problemă prin analiză, plecăm de la întrebarea problemei, însă trebuie să ținem seama de ceea ce cunoaștem în problemă și de multe ori aceasta ne sugerează întrebarea pe care trebuie să o punem noii probleme, pe care o formulăm.
Practic se procedează astfel: folosind calea sintezei atât cât reușim, după care mai departe, folosim metoda de raționament a analizei.
În unele probleme sau teoreme putem începe demonstrarea lor prin metoda analizei până găsim elementele de care trebuie să ne folosim în demonstrație, după care se aplică calea sintezei.
Se pot ivi și cazuri când în demonstrația unei probleme suntem nevoiți să trecem de mai multe ori când la aplicarea sintezei, când la cea a analizei.
Exemplu. Să se demonstreze că două tangente duse la un cerc și coarda lor de contact formează două segmente congruente pe perpendiculara dusă dintr-un punct al coardei pe segmentul care unește centrul cercului cu acest punct.
Rezolvare. Fie cercul C(O, r) și CA, CB tangentele din C la cerc, A și B fiind punctele lor de tangență. Fie D un punct al segmentului AB. Perpendiculara pe dreapta OD în punctul D intersectează tangentele în E și F.
Se cere să se demonstreze că || ED || = || DF ||.
În demonstrația acestei probleme, la început se va folosi metoda analizei. Problema cere să punem în evidență că segmentele (ED) și (DF) sunt congruente. Unim pe O cu E și F și examinând figura observăm că pentru a arăta că segmentele (ED) și (DF) sunt congruente este necesar să dovedim că triunghiul OEF este isoscel.
Ca să dovedim că triunghiul OEF este isoscel, trebuie să arătăm că segmentele (OF) și (OE) sunt congruente, sau că unghiurile OED și OFD sunt congruente. Ținând seama de datele problemei, singura posibilitate este aceea de a dovedi că unghiurile OFD și OED sunt congruente.
În felul acesta am înlocuit problema de la punctul a) care cere să se demonstreze că un triunghi este isoscel cu o altă problemă prin care se cere să punem în evidență congruența a două unghiuri.
Mai departe, în demonstrație ne vom folosi de metoda sintezei. Unim C cu B, observăm că patrulaterul ODFB este inscriptibil pentru că:
m(OBF) + m(ODF) = 180o (1)
Patrulaterul ODFB fiind inscriptibil, deducem că:
OBD OFD sau OBA OFE (2)
Triunghiul OBA fiind isoscel, rezultă că:
OBA OAB (3)
Pe de altă parte patrulaterul ODAE este inscriptibil pentru că unghiurile OAE și ODE sunt congruente, ambele fiind drepte, adică:
OAE ODE (4)
Din faptul că patrulaterul ODAF este inscriptibil rezultă că:
OED OAD (5)
OEF OAB (6)
Comparând egalitățile (3), (4), (6) deducem că:
OEF OFE (7)
Din relația (7) rezultă că triunghiul OEF este isoscel. Cum înălțimea OD dusă în triunghiul OEF din vârful unghiului opus bazei este și mediană, rezultă că (DE)(DF) și problema este demonstrată.
II.4. DEMONSTRAREA PRIN METODA REDUCERII LA ABSURD
Metoda reducerii la absurd este o metodă veche folosită în geometrie încă din antichitate pentru demonstrarea unor probleme care au un caracter teoretic. La baza acestei metode stă legea terțiului exclus, una din legile fundamentale ale logicii clasice, și care se enunță astfel:
“Din două propoziții contradictorii una este adevărată, cealaltă este falsă, iar a treia posibilitate nu există”.
De aici se vede că legea terțiului exclus ne spune că două propoziții contradictorii, una este adevărată, dar nu ne precizează care dintre ele.
Când aplicăm legea terțiului exclus este suficient să arătăm care din propoziții este adevărată, cealaltă fiind deci falsă și reciproc.
În geometrie, întâlnim deseori probleme și teoreme la care nu dispunem de suficiente elemente pentru a putea pune în evidență, în mod direct, adevărul enunțat la fiecare în parte. În asemena cazuri se caută dovezi care să arate că propoziția contradictorie a unei teoreme este falsă. Dacă acest lucru este demonstrat, atunci pe baza legii terțiului exclus, urmează că propoziția dată este adevărată și cu aceasta problema este demonstrată.
Acest procedeu de demonstrație se numește metoda reducerii la absurd, și ea constă în a admite provizoriu ca adevărată propoziția contradictorie a teoremei, apoi în baza unei asemenea propuneri se deduc o serie de consecințe care conduc la un rezultat absurd, deoarece ele contrazic fie ipoteza problemei date, fie un adevăr stabilit anterior.
Practic această metodă se aplică astfel: se presupune că ceea ce trebuie demonstrat este fals (se neagă concluzia). Pe baza presupunerii făcute se fac o serie de deducții logice care scot în evidență faptul că presupunerea făcută duce la o absurditate.
Metoda reducerii la absurd se întrebuințează de multe ori în demonstrarea teoremelor reciproce.
Exemplu. Teorema reciprocă a bisectoarei. Fie triunghiul ABC și dBC. Dacă:
,
atunci (AD este bisectoarea unghiului BAC.
Demonstrație. Presupunem că (AD nu este bisectoarea unghiului BAC și fie DBC astfel încât (AD este bisectoarea unghiului BAC. Din teorema directă, rezultă:
(1)
Din ipoteză și din relația (1) rezultă că:
(2)
adică punctul D împarte segmentul (BC) în același raport ca punctul D, ceea ce reprezintă o contradicție, deoarece unicitatea punctului D care aparține unui segment și-l împarte într-un raport dat a fost demonstrată anterior. Deci D = D și (AD este bisectoarea unghiului BAC.
Observație. În folosirea metodei reducerii la absurd este obligatoriu să se menționeze în ce constă contradicția. Uneori cel care demonstrează se oprește la pasul “contradicție” fără să explice în ce constă aceasta și ce rezultă în urma contradicției.
Cap.III – PROBLEME DE COLINIARITATE ȘI CONCURENȚĂ
Începând cu clasa a VI-a, programa de geometrie ne oferă acele noțiuni necesare să demonstrăm sau să verificăm o anumită relație între unele elemente sau figure geometrice.Un unghi alungit determinat de semidreptele [OA și [OB ne asigură coliniaritatea punctelor A, O și B. Apoi, reciproca teoremei unghiurilor opuse la vaˆrf s¸i axioma paralelelor sunt, de asemenea, ”arme” pe care le primim pentru ”lupta” cu problemele de coliniaritate. In clasa a VII-a ”arsenalul” nostru se ˆımboga˘¸tes¸te cu teorema lui Menelaos s¸i reciproca acesteia. Liniile importante ˆın triunghi (medianele, bisectoarele, ˆına˘l¸timile s¸i mediatoarele) sunt concurente. Iar daca˘ dreptele din problema˘ nu sunt dintre ,,liniile importante în triunghi”, se verifică dacă produsul rapoartelor cu lungimile segmentelor determinate de ele pe laturile unui triunghi (structurat ˆıntr-o anumita˘ ordine – conform rela¸tiei din teorema lui Ceva) are valoarea 1, ne ofera˘ informa¸tia ca˘ acestea sunt concurente. Mai sunt s¸i alte enun¸turi utile ˆın rezolvarea problemelor de concuren¸ta˘, teoreme care pot fi studiate ˆıncepaˆnd cu clasa a VII-a fa˘ra˘ dificultate (de exemplu, teorema lui Van Aubel sau lema lui Carnot).
III. 1 PROBLEME DE COLINIARITATE – DREPTE CELEBRE
Problemele de coliniaritate sunt acele probleme în care trebuie să demonstrăm că trei puncte sau mai multe se găsesc pe aceeași dreaptă.
Una din metodele folosite pentru a demonstra că punctele A, B, C în această ordine, sunt coliniare, constă în a arăta că semidreptele (BA și (BC formează un unghi alungit (sunt în prelungire).
Exemplul 1. Două cercuri se intersectează în punctele M și N. Fie P și R punctele diametral opuse lui M în cele două cercuri. Să se arate că punctele P, N, R sunt puncte coliniare.
Demonstrație. Fie C(O1, r1) și C(O2, r2) două cercuri secante. Pentru a demonstra că punctele P, N, R sunt coliniare (figIII.1.1) calculăm măsura unghiului PNR. Observăm că cele două unghiuri adiacente MNP și MNR sunt înscrise în câte un semicerc, deci sunt unghiuri drepte. Într-adevăr, avem:
m(MNP) = m(MP) = 180 o = 90 o
m(MNR) = m(MR) = 180 o = 90 o.
Calculăm apoi măsura unghiului PNR conform teoremei de adunare a unghiurilor și obținem:
m(PNR)= m(PNM) + m(MNR) = 900 + 900 = 1800.
Deci unghiul PNR este unghi alungit, ceea ce demonstrează că punctele P, N, R sunt coliniare.
Exemplul 2. Se dă triunghiul dreptunghic ABC (A = 90 o) și înălțimea (AA1). Dacă A1 și A2 sunt simetricele punctului A în raport cu catetele (BA) și (AC), să se arate că punctele A1, A2 și A sunt coliniare.
Demonstrație. Considerăm triunghiul dreptunghic ABC și punctele A1, A, A2 (fig III.1.2). Pentru a demonstra că punctele A1, A, A2 sunt coliniare ne îndreptăm atenția asupra unghiurilor formate în jurul punctului A. Cum A1 este simetricul lui A în raport cu AB, rezultă că AAB BAA1; în mod analog avem A2AC CAA.
Cum m(BA A) + m(A AC) = 90 o, rezultă că avem și relația:
m(A1AB) + m(A2AC) = 90 o, și deci suma unghiurilor formate în punctul A de aceeași parte a dreptei A1A2 este de 180 o. Rezultă că unghiul A1AA2 este unghi cu laturile în prelungire și deci punctele A1, A, A2 sunt coliniare.
O altă metodă folosită pentru a demonstra coliniaritatea a trei puncte A, B, C constă în a arăta că drepte BA și BC sunt paralele cu o dreaptă dată și conform axiomei paralelelor rezultă că dreptele BA și BC coincid, adică punctele A, B, C sunt coliniare.
Exemplul 3. Fie triunghiul ABC cu medianele (BB) și (CC) care se prelungesc cu segmentele (BB1) (BB) și (CC1) (CC). Să se demonstreze că punctele C1, A, B1 sunt coliniare.
Demonstrație. Fie ABC un triunghi oarecare și (BB), (CC) două mediane astfel încât satisfac condițiile impuse de ipoteză. Trebuie să arătăm că punctele C1, A, B1 sunt coliniare (fig III.1.3). Triunghiurile ABB1 și BCB sunt congruente (L.U.L.). Deducem că AB1 || BC pentru că formează cu secanta BB1 unghiuri alterne interne congruente. Din congruența triunghiurilor ACC și BCC rezultă că dreptele C1A și BC sunt paralele pentru că formează cu secanta CC1 unghiuri alterne interne congruente. Prin punctul A conform axiomei paralelelor se poate duce o unică paralelă la dreapta BC. Deci dreptele AB1 și AC1 coincid. Prin urmare punctele B1, A, C1 sunt coliniare.
Coliniaritatea a trei puncte mai pate fi demonstrată folosind reciproca teoremei unghiurilor opuse la vârf.
Exemplul 4. Fie paralelogramul ABCD. Dacă punctul M este mijlocul laturii AB și Neste mijlocul laturii DC, iar O= AC BD .Să se demonstreze că punctele M, O, N sunt coliniare.
Demonstrație. Fie paralelogramul ABCD și O punctul de intersecție al diagonalelor. Fie M și N, respectiv mijloacele laturilor opuse (AB) și (CD). Trebuie să arătăm că punctele M, O, N sunt puncte coliniare (fig III.1.4).
Arătăm că triunghiurile BOM și DON sunt congruente deoarece au câte două laturi respectiv congruente (OB OD și MB DN) și unghiurile cuprise între ele congruente . Din congruența celor două triunghiuri rezultă: m(MOB) m(NOD). Folosind reciproca teoremei unghiurilor opuse la vârf, rezultă că punctele M, O, N sunt coliniare.
O altă metodă folosită pentru a demonstra că trei puncte sunt coliniare, constă în a dovedi că dreapta determinată de două puncte trece sigur prin cel de-al treilea punct.
Exemplul 5. Pe cercul circumscris unui triunghi echilateral ABC se ia un punct mobil M pe arcul mic BC. Bisectoarea unghiului BMC taie coarda (BC) în T. Să se demonstreze că punctele M, T, A sunt coliniare.
Demonstrație. Fie triunghiul echilateral ABC și cercul C(O, r) circumscris triunghiului. Construim bisectoarea [MT a unghiului BMC (fig III.1.5). Trebuie să demonstrăm că punctele M, T, A sunt coliniare.
Observăm că arcele AB și AC sunt congruente, deci bisectoarea unghiului mobil BMC trece prin mijlocul fix al arcului mare BAC, adică prin punctul A. Rezultă că punctele M, T, A sunt coliniare.
Coliniaritatea a trei sau mai multor puncte se poate demonstra și folosind asemănarea triunghiurilor, precum și proprietățile proporțiilor.
Exemplul 6. Să se arate că dreapta determinată de punctul de intersecție al laturilor neparalele ale unui trapez și punctul de intersecție al diagonalelor sale trece prin mijlocul bazelor trapezului.
Demonstrație. Fie trapezul ABCD, AB || CD și {P} = (AD) (BC),{O} = (AC) (BD).
Fie M și N mijloacele bazelor (AB) și (CD). Prin O ducem paralela la bazele trapezului care intersectează laturile neparalele în punctele E și F. Din asemănarea triunghiurilor EOD și ABD, respectiv FOC și ABC, rezultă că:
Din egalitatea primului și ultimului dintre rapoartele acestui șir, rezultă că || EO || = || OF ||.
de unde rezultă că dreapta PO trece prin mijlocul bazei (AB).
La fel: de unde rezultă că dreapta PO trece prin mijlocul bazei (CD). De unde deducem că punctele M, N, P, O sunt coliniare.
Exemplul 7. Dreapta lui Simpson. Fie C(O, r) cercul circumscris triunghiului ABC și M un punct de pe cerc. Să se demonstreze că proiecțiile ortogonale ale punctului M pe laturile triunghiului ABC sunt puncte coliniare.
Demonstrație. Fie C(O, r) cercul circumscris triunghiului ABC și M un punct de pe cerc. Punctele D, E, F sunt picioarele perpendicularelor duse din M pe laturile triunghiului ABC.
Trebuie să demonstrăm că punctele D, F, E sunt coliniare. Ne folosim de metoda analizei:
Presupunem că punctele D, E, F sunt coliniare; să vedem ce consecințe decurg din această presupunere. Dacă punctele D, E, F sunt coliniare, de aici se poate deduce că unghiurile
AFD și EFC sunt congruente ca opuse la vârf, adică: AFD EFC (1)
Pe de altă parte, patrulaterul ADMF fiind inscriptibil, deoarece unghiurile ADM și
AFM sunt suplementare, urmează că: ADM AFM (2)
De asemenea și patrulaterul MFEC este inscriptibil, de aici rezultând că:
EFC EMC (3)
Comparând relațiile (1), (2), (3) deducem căn AMD EMC (4)
Se observă că în triunghiul dreptunghic ADM, unghiul AMB este complementul unghiului BCM. Ținând seama de faptul că dacă două unghiuri sunt congruente, atunci și complementele lor sunt congruente, urmează că: MAD BCM (5)
Relația (5) ne spune că am dat peste un adevăr care se poate pune în evidență direct. Într-adevăr, unghiul MAD are ca suplement unghiul BAM. Pe de altă parte, din patrulaterul inscriptibil ABCM, unghiul BCM are ca suplement tot unghiul BAM, prin urmare: MAD BCM.
Plecând de la relația (5) și făcând un raționament pe cale sintetică, putem pune în evidență că punctele D, F, E sunt coliniare.
Demonstrația decurge astfel: MAD BCM (6)
pentru că au același suplement MAB
AMD EMC (7) fiind complementele unghiurilor din relația (6)
AMD AFD (8) din patrulaterul inscriptibil ADMF.
EMC EFC (9) din patrulaterul inscriptibil MFEC.
AFD EFC (10) din compararea relațiilor (7), (8), (9).
Potrivit teoremei care spune că dacă două semidrepte (FD și (FE formează cu aceeași dreaptă AC, de o parte și de alta a ei, unghiuri congruente, atunci aceste semidrepte sunt în prelungire. Urmează că punctele D, E, F sunt puncte coliniare. Dreapta lor este dreapta lui Simpson.
Exemplul 8. Dreapta lui Euler. Într-un triunghi, centrul cercului circumscris, ortocentrul și centrul de greutate sunt coliniare.
Demonstrație. Simetricele ortocentrului unui triunghi față de laturi sunt situate pe cercul circumscris. Într-adevăr, fie H ortocentrul triunghiului ABC, A piciorul înălțimii și A simetricul lui H față de A. Din triunghiurile congruente BAH și BAA, ținând seama că
BH AC, rezultă că: ABC HBC AAC, deci A este situat pe cercul circumscris triunghiului. Simetricele ortocentrului unui triunghi față de mijloacele laturilor sunt situate pe cercul circumscris. Ele sunt diametralele vârfurilor.
Într-adevăr, fie A1 mijlocul laturii (BC) și A2 simetricul lui H față de A1. Din paralelogramul BHCA2 format, rezultă că CA2, paralelă cu BH, BH perpendiculară pe latura (AC) și BA2 perpendiculară pe (AB), deci A2 este diametralul lui A.
Fie O centrul cercului circumscris triunghiului. Avem: || AH || = 2||OA1||.
Deci distanța de la vârf la ortocentru este dublul distanței de la centrul cercului la latura opusă.
Fie G intersecția dreptelor AA1 și OH. Din cauza paralelelor AH și OA și relația
|| AH || = 2||OA1||, rezultă că || AG || = 2|| GA1||, deci G este centrul de greutate al triunghiului.
Deci într-un triunghi centrul cercului circumscris, ortocentrul și centrul de greutate sunt puncte coliniare și || HO || =2||GO||.
Dreapta pe care sunt situate cele trei puncte se numește dreapta lui Euler.
Exemplul 9. Reciproca teoremei lui Menelaus. Dacă trei puncte A, B, C sunt situate respectiv pe dreptele suport ale laturilor triunghiului ABC și are loc relația:
(1)
atunci cele trei puncte sunt coliniare.
Demonstrație. Fie triunghiul ABC și C, B, A trei puncte situate respectiv pe dreptele AB, AC, BC (fig III.1.9).
Știm că două puncte determină întotdeauna o dreaptă, însă trei puncte nu se află totdeauna pe aceeași dreaptă.
Despre cele trei puncte date în teoremă știm că ele determină pe cele trei drepte șase segmente care la rândul lor satisfac relația (1).
Pentru a pune în evidență faptul că cele trei puncte A, B, C sunt coliniare ne folosim de teorema lui Menelaus. Dreapta BC intersectează suportul laturii BC în punctul A și avem:
(2)
Comparând relațiile (1) și (2), după simplificare obținem:
(3)
Însă această egalitate nu poate avea loc decât numai în cazul în care punctul A se confundă cu punctul A, deoarece există un singur punct care împarte un segment într-un raport dat.
Deci punctul A aparține dreptei BC, cu alte cuvinte, punctele A, B, C sunt puncte coliniare.
Observație. Reciproca teoremei lui Menelaus constituie un mijloc pentru a demonstra că trei puncte sunt coliniare.
Exemplul 10. Dreapta lui Gauss. Mijloacele celor trei diagonale ale unui patrulater complet sunt coliniare.
Definiție: Se numește patrulater complet ABCDEF un patrulater ABCD, unde {E}= AB∩CD și {F}=BC∩AD. Segmentele [AC], [BD], [EF] se numesc diagonale ale patrulaterului complet.
Demonstrație. Fie ABCDEF patrulaterul complet și G, H, L mijloacele diagonalelor (AC), (BD), (EF). Se cere să se demonstreze că punctele G, H, L sunt coliniare.
Faptul că G, H, L sunt mijloacele unor segmente ne sugerează ideea să folosim cunoștințele referitoare la proprietatea liniei mijlocii într-un triunghi, iar concluzia teoremei ne poate conduce spre utilizarea teoremei lui Menelaus și a reciprocei sale.
Din ipoteză știm că punctul G este mijlocul segmentului (AC). Ducând prin G o paralelă la AF, aceasta va intersecta pe (CD) în M, mijlocul lui (CD), și pe (CF) în N, mijlocul lui (CF). De aici deducem că:
(1)
Ducând prin H, mijlocul lui (BD), o paralelă la latura (BF) din triunghiul BDF, acesta va intersecta pe (CD) în punctul M, mijlocul lui (CD), iar pe (DF) în punctul R, mijlocul segmentului (DF).
De aici deducem că:
(2)
Deoarece în triunghiul DEF punctul R este mijlocul laturii (DF) și punctul L este mijlocul laturii (EF), urmează că dreapta RL este paralelă cu DE și în același timp va intersecta segmentul (CF) în N, mijlocul segmentului (CF). De aici deducem:
(3)
Pe de altă parte, observăm că punctele G, H, L sunt pe prelungirile laturilor triunghiului MNR. Acest fapt conduce la concluzia că putem folosi reciproca teoremei lui Menelaus pentru a dovedi că punctele G, H, L sunt coliniare. În acest sens va trebui să demonstrăm că este adevărată relația:
(4)
Pentru aceasta trebuie să calculăm în funcție de valorile găsite mai sus rapoartele din expresia (4). Făcând operațiile indicate găsim:
(5)
Înmulțind membru cu membru relațiile (5) obținem
(6)
În felul acesta am redus problema de la a dovedi existența relației (4) la a arăta că membrul drept al relației (6) este egal cu 1. Aceasta se poate arăta ușor prelungind laturile triunghiului DCF până intersectează transversala AB care potrivit teoremei lui Menelaus ne dă:
(7)
Egalitatea (7), ținând seama de egalitatea (6) ne dă posibilitatea să deducem că relația:
(8)
este adevărată.
Deci potrivit reciprocei teoremei lui Menelaus, punctele G, H, L sunt coliniare.
Dreapta determinată de aceste trei puncte se numește dreapta Newton-Gauss a patrulaterului complet ABCDEF.
CAP.III. 2 – REZOLVAREA PROBLEMELOR DE CONCURENȚĂ.
PUNCTE CELEBRE
Problemele privind concurența unor drepte, la fel ca problemele de coliniaritate a unor puncte, prezintă adevăruri care sunt, în general, adevăruri ușor de intuit, însă a căror demonstrație riguroasă cere raționamente precise și o gamă variată de tehnici specifice. În acest gen de probleme avem de stabilit, pe baza unor judecăți logice că, dacă două drepte a și b au un punct comun X, atunci Y și Z fiind puncte aparținând unei drepte c, pentru a arăta că dreptele a, b și c sunt concurente trebuie demonstrată coliniaritatea punctelor X, Y și Z.
Astfel de drepte le întâlnim în triunghiuri ca mediane, mediatoare, înălțimi, bisectoare, de asemenea, în paralelograme sau trapeze ca diagonale, precum și în probleme „combinate". Rezolvarea se bazează, în prima fază, pe găsirea punctului de intersecție, X, a două drepte a și b, apoi în raport cu datele problemei, se va demonstra că, o a treia dreaptă, c, trece prin același punct. Punctul respectiv, găsit, va fi punctul de concurență al dreptelor date.
În continuare, sunt prezentate unele metode, mai des utilizate, atât în gimnaziu, cât și în liceu, prioritar la rezolvarea acestui tip de probleme de geometrie plană.
Problemele de concurență sunt acele probleme în care trebuie să demonstrăm că trei sau mai multe drepte trec prin același punct. Cele mai cunoscute probleme de concurență sunt cele referitoare la concurența unor drepte importante în triunghi.
Exemplul 1. Concurenta bisectoarelor. Bisectoarele interioare ale unghiurilor unui triungi sunt concurente. Punctul lor de intersecție este centrul cercului înscris în triunghi.
Demonstrație. Din teorema transversalei rezultă că bisectoarele unghiurilor A și B intersectează pe (BC) și (AC) în câte un punct D, respectiv E. Din aceeași teoremă rezultă că există punctul I, {I} = (AD) (BE).
Așadar, IIntACB (fig III.2.1). Din proprietatea punctelor bisectoarei unui unghi, rezultă că: d(I, AB) = d(I, AC) iar d(I, BC) = d(I, AB) și deci d(I, BC) = d(I, AC) și pentru că IIntACB, rezultă că (CI este bisectoarea unghiului C. Deci cele trei bisectoare sunt concurente în punctul I. Punctul I se află la aceeași distanță de laturile triunghiului, deci el este centrul cercului înscris în triunghiul ABC, raza acestui cerc este r = d(I, AB).
Exemplul 2. Concurența mediatoarelor. Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente. Punctul de intersecție al mediatoarelor este centrul cercului circumscris triunghiului.
Demonstrație. Fie triunghiul ABC, d1, d2 mediatoarele segmentelor (AB) și (BC). Este suficient să demonstrăm concurența a două mediatoare.
Presupunând că mediatoarele d1 și d2 nu sunt concurente rezultă că d1 || d2.
Pentru că d2 BC și d1 BC. Dar d1 BA. Așadar prin B trec două perpendiculare distincte pe dreapta d1 și anume: BA d1, BC d2 ceea ce nu este posibil. Prin urmare d1 și d2 sunt concurente.
Fie {O} = d1 d2. Din proprietatea punctelor mediatoarelor, rezultă că
|| OA || = || OB || și || OB || = || OC || deci || OA || = || OC ||
ceea ce înseamnă că O aparține mediatoarei segmentului (AC).
Deci mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente. Punctul O de concurență al mediatoarelor se află la distanță egală de vârfurile triunghiului ABC, deci el este centrul cercului circumscris triunghiului.
Exemplul 3. Concurența înălțimilor. Înălțimile unui triunghi sunt concurente. Punctul lor de intersecție se numește ortocentrul triunghiului.
Demonstrație. Fie triunghiul ABC, A, B, C picioarele perpendicularelor din A, B, C respectiv BC, AC, AB și DEF triunghiul format de paralelele duse la laturile triunghiului ABC prin vârfurile acestuia.
Din construcție, ABCD și BCAF sunt paralelograme, deci (BC) (AF) (AD). Pentru că BC || DF și AA BC, rezultă că AA DF. Deci AA este mediatoarea segmentului (DF). În mod analog se arată că BB și CC sunt mediatoarele segmentelor (DE) și (EF). Prin urmare, înălțimile triunghiului ABC sunt mediatoarele triunghiului DEF și cum acestea sunt concurente, teorema este demonstrată.
Ortocentrul triunghiului este un punct important al triunghiului și el ajută la rezolvarea unor probleme.
Exemplul 4. Concurența medianelor. Medianele unui triunghi sunt concurente. Punctul de intersecție al lor determină cu mijlocul fiecărei laturi un segment a cărui lungime este din lungimea segmentului pe care îl determină cu vârful opus laturii.
Demonstrație. Fie triunghiul ABC, D și E mijloacele laturilor (BC) respectiv (AC). Deoarece în triunghiul BAD, BE IntABC, A(BA, D(BC, rezultă că (BE și (AD au un punct comun G. Deoarece (AD IntBAE, rezultă că {G}=(AD) (BE).
Fie M și N mijloacele segmentelor (AC) respectiv (BG). În triunghiul ABG, (MN) este linie mijlocie, deci MN || AB și .
În triunghiul ABC, (DE) este linie mijlocie, deci DE || AB și .
Rezultă că || DE || = || MN ||. MNDE este deci paralelogram. Rezultă că || GD || = || MG ||
și .
Deoarece G și G(AD) din teorema de construcție al unui segment rezultă că G = G. Deci medianele unui triunghi sunt concurente. Punctul de intersecție al medianelor unui triunghi poartă denumirea de centru de greutate al triunghiului.
În unele probleme de geometrie plană, demonstrarea concurenței unor drepte se reduce la a găsi un triunghi în care acele drepte sunt înălțimi sau mediane sau mediatoare sau bisectoare.
Exemplul 5. În planul unui triunghi oarecare ABC, având lungimile laturilor a, b, respectiv c, se construiesc în exteriorul triunghiului, triunghiurile BCD, ACE și ABF astfel încât AE = FA = a, BD = FB = b și DC = CE = c. Să se demonstreze că perpendicularele duse din D, E și F respectiv pe BC, AC și AB sunt concurente într-un punct H.
Fig.III.2.5
Rezolvare.
Cum patrulaterele FBCA și ABCE sunt paralelograme, rezultă că punctele F, A și E sunt coliniare.
Analog, punctele F, B și E, respectiv D, C și E sunt coliniare.
Prin urmare, FDE este un triunghi în care FE este paralelă cu BC, FD paralelă cu AC și DE paralelă cu AB.
Perpendicularele duse din D, E și F respectiv pe BC, AC și AB sunt perpendiculare și pe FE, FD și DE. Prin urmare, ele sunt înălțimile triunghiului FDE, care, este știut, sunt concurente în H.
Exemplul 6. Fie I punctul de intersecție al diagonalelor trapezului ABCD, E și F mijloacele bazelor AB și CD ale trapezului, iar G și H mijloacele diagonalelor AC și BD. Se iau punctele I' și I”, simetricele punctului I în raport cu G, respectiv H. Să se arate că dreptele EF, HI' și GI” sunt concurente, iar 2GK = K”I, unde K este punctul de intersecție al dreptelor GI” și HI'.
fig. III.2.6
Rezolvare. Cum I' este simetricul lui I față de G, iar I” este simetricul lui I față de H, rezultă că IG = GI' și HI = HI”. Prin urmare, GI" și HI' sunt mediane în triunghiul II'I”. IK este a treia mediană a triunghiului II'I” și, deci, EF, HI' și GI” sunt concurente, iar 2GK = KI”
Exemplul 7. Teorema lui Ceva. Se consideră un triunghi ABC și trei drepte concurente AM, BM, CM care mai intersectează suporturile laturilor triunghiului în punctele A, B, C. Să se demonstreze relația:
Demonstrație. Fie triunghiul ABC și dreptele concurente AM, BM, CM care intersectează suporturile laturilor triunghiului în punctele A, B, C.
Relația din concluzia teoremei ne conduce la ideea folosirii teoremei lui Menelaus.
În triunghiul BBC, pentru punctele coliniare C, M, C avem:
(2)
În triunghiul ABB, pentru punctele coliniare C, M, C avem:
(3)
Înmulțind relațiile (2) și (3) membru cu membru și făcând simplificările posibile, obținem relația (1) și teorema este demonstrată.
Exemplul 8. Reciproca teoremei lui Ceva. Fie A, B, C trei puncte situate pe laturile BC, AB, CA ale triunghiului ABC. Să se demonstreze că dacă:
(1) atunci dreptele AA, BB, CC sunt concurente.
Demonstrație. Fie A, B, C trei puncte situate pe laturile triunghiului ABC, astfel încât să avem relația (1). Pentru a demonstra că AA, BB, CC sunt drepte concurente, folosim metoda reducerii la absurd.
Presupunem că dreapta AA nu trece prin punctul de intersecție al dreptelor BB, CC (A(BC), A A). Din teorema lui Ceva, rezultă că:
(2)
Din relația (1) și (2), obținem:
(3)
ceea ce este în contradicție cu unicitatea punctului care împarte un segment într-un raport dat.
Deoarece ABC și ABC rezultă că A = A și dreptele AA, BB, CC sunt concurente.
Observație. Reciproca teoremei lui Ceva constituie un mijloc de a demonstra că trei drepte sunt concurente.
Exemplul 9. Se dă trapezul ABCD, cu AB baza mică, și cercul de centru O tangent laturilor BC, AD și AB, respectiv în punctele E, F și H. Dacă I este punctul de intersecție al laturilor AD și BC, să se demonstreze că dreptele AE, BF și IH sunt concurente
Rezolvare. Din ipoteză rezultă că
HA = FA, EB = HB, EI = FI. Înmulțind între ele aceste egalități obținem:
Împărțind această egalitate prin membrul drept obținem
și deci, dreptele AE, BF și IH sunt concurente.
Fig. III.2.9
Exemplul 10. Într-un triunghi oarecare, două bisectoare exterioare și o bisectoare interioară sunt concurente.
Demonstrație. Fie ABC un triunghi oarecare și [BB, [CC, două bisectoare exterioare, iar [AA o bisectoare interioară. Vom demonstra concurența celor trei bisectoare folosind teorema bisectoarei și reciproca teoremei lui Ceva. Conform teoremei bisectoarei avem relațiile:
unde a, b, c sunt lungimile laturilor triunghiului ABC.
Înmulțind membru cu membru cele trei relații de mai sus obținem:
, de unde conform reciprocei teoremei lui Ceva rezultă că bisectoarele [AA, [BB, [CC sunt concurente într-un punct I. I este centrul cercului tritangent exânscris.
Exemplul 11. Se dă triunghiul dreptunghic ABC; pe cateta AC se ridică în C perpendiculara CC și se ia || CC ||= || AC ||, iar pe cateta AB se ridică perpendiculara BB și se ia || BB || = || AB || și AA BC. Să se arate că dreptele BC, CB, AA sunt concurente
Demonstrație. Se notează cu
{D} = (BC) (AB) și
{E} = [CB] [AC].
În triunghiul dreptunghic ABC aplicând teorema catetei rezultă relațiile:
|| AB || 2 = || BA || 2 || BC ||
|| AC || 2 = || CA || 2 || BC ||.
Din aceste relații obținem:
(1)
Din asemănarea triunghiurilor BAE și BCC rezultă:
(2)
Din asemănarea triunghurilor DBB și ADC rezultă:
(3)
Multiplicând membru cu membru relațiile (1), (2) și (3) obținem:
(4)
Relația (4) ne arată că dreptele BC, CB, AA sunt concurente, conform reciprocei teoremei lui Ceva.
Exemplul 12. Bisectoarele tuturor unghiurilor înscrise în același arc de cerc sunt concurente.
Demonstrație. Fie AB un arc de cerc și unghiurile AM1B, AM2B, AM3B înscrise în același cerc. Trebuie să demonstrăm că bisectoarele acestor unghiuri sunt concurente. Ne folosim de măsura unghiului înscris în cerc și de definiția bisectoarei.
Bisectoarele unghiului AM1B împart arcul AB în două arce congruente. Fie C mijlocul arcului AB; [M1C este bisectoarea unghiului AM1B. În mod asemănător, bisectoarele unghiurilor AM2B și AM3B împart arcul AB în două părți congruente, deci ele trc prin același punct care este mijlocul arcului AB.
Exemplul 13. Să se arate că există triunghiuri astfel încât, înălțimea dintr-un vârf, mediana celui de-al doilea și bisectoarea celui de-al treilea vârf sunt congruente.
Demonstrație. Fie d o dreaptă și A un punct care nu aparține dreptei d. Din punctul A coborâm perpendiculara pe dreapta d. Fie D piciorul acestei perpendiculare; Dd. Fie Bd, B D. Unim pe A cu B. Construim bisectoarea unghiului ABD.
Acesta întâlnește (AB) în I. Fie M mijlocul segmentului [AB]. Dreapta MI intersectează dreapta BD într-un punct C. Unim punctul C cu punctul A. Triunghiul ABC astfel bținut îndeplinește condițiile problemei date.
Înălțimea [AD], bisectoarea [BI și mediana [CM] sunt concurente în punctul I.
Exemplul 14. Trei cercuri cu centrele necoliniare sunt secante două câte două. Să se demonsteze că cele trei coarde comune sunt concurente
Demonstrație. Fie C1(O1, r1), C2(O2, r2), C3(O3, r3) cele trei cercuri cu centrele O1, O2, O3 necoliniare și secantele AB, CD, EF. Pentru a demonstra că aceste secante sunt concurente, folosim metoda intersecției locurilor geometrice.
Locul geometric al punctelor ce au puteri egale față de arcuri secante este dreapta care trece prin punctele lor de intersecție, adică secanta comună.
Dreapta AB este locul geometric al punctelor care au puteri egale față de cercurile C1 și C2, iar dreapta CD este locul geometric al punctelor care au puteri egale față de cercurile C2 și C3. Fie:
{P} = [AB] [CD].
Punctul P are puteri egale față de cercurile C1, C2, C3 deci el se găsește și pe secanta EP. Rezultă că cele trei secante sunt concurente.
Exemplul 15 Într-un tetraedru oarecare cele trei drepte care unesc mijloacele muchiilor opuse sunt concurente.
Demonstrație. Fie ABCD un tetraedru oarecare, iar E, F, G, H, L, M mijloacele, respectiv ale muchiilor (AB), (CD), (BC), (AC), (BD). Pentru a demonstra concurența dreptelor HF, EG, LM folosim metoda sintezei.
Unim punctele E cu F și se obține linia mijlocie (EF) a triunghiului ABD. De aici rezultă că EF || BD (1)
În mod analog (HG) este linie mijlocie în triunghiul BCD și avem HG || BD (2)
Din relațiile (1) și (2) deducem: EF || HG (3)
În mod asemănător, considerând punctele F, G și E, H putem deduce: FG || EH (4)
Ținând seama de rezultatele găsite la punctele 3) și 4) putem deduce că patrulaterul EFGH este paralelogram, deoarece are laturile opuse paralele.
Observăm că în paralelogramul EFGH diagonalele (EG) și (HF) sunt chiar dreptele care unesc mijloacele muchiilor opuse din tetraedrul ABCD și cum într-un paralelogram diagonalele se intersectează în părți congruente, urmează că dreptele EC și FH trec prin punctul O de concurență a acestor diagonale.
Avem relațiile:|| OH || = || OF || și || OE || = || OG || (5)
Considerând dreapta LM care unește mijloacele muchiilor (AC) și (BD), împreună cu dreapta HF obținem paralelogramul HMFL în care (HE) este o diagonală, iar cealaltă diagonală este segmentul de dreaptă (LM). Cum într-un paralelogram diagonalele se intersectează în părți congruente, urmează că dreapta LM trece prin punctul O, mijlocul diagonalei (HF). Deci dreptele EG, HF, LM sunt concurente în punctul O. Pe de altă parte, punctul O fiind punctul de intersecție al diagonalelor atât în paralelogramul HEFG, cât și în paralelogramul HLFN, care au diagonala HF comună, urmează că punctul O este mijlocul segmentelor || EG ||, || HF || și || LM ||.
Exemplul 16. Într-un tetraedru oarecare, cele patru segmente de dreaptă ce unesc fiecare vârf cu centrul de greutate al feței opuse sunt congruente.
Demonstrație. Fie tetraedrul ABCD. Ducem medianele (BE) și (DF) în triunghiul BCD. Ele se intersectează în punctul G, care este centrul de greutate al triunghiului BCD. În triunghiul ABC ducem medianele (AF) și (BM) care se intersecteză în punctul H.
În același fel se construiesc și centrele de greutate ale triunghiurilor ACD și ABD; fie R și T aceste puncte. Se cere să demonstrăm că segmentele (AC), (DH), (BR), (CT) sunt concurente. În demonstrația problemei plecăm de la faptul că două segmente oarecare din cele menționate în concluzie sunt concurente. De exemplu (AG) și (DH). Într-adevăr, planul determinat de dreptele FA și FD conține segmentul (AG) pentru că are cu acesta două puncte comune pe A și G.
Deasemenea, același plan conține și dreapta DH pentru că el conține punctele D și H, deci dreptele neparalele AG și DH găsindu-se în același plan sunt concurente în P.
Folosind concurența medianelor, putem deduce că HG || AD.
Într-adevăr: și
Sau și (1)
Comparând egalitățile de mai sus obținem: (2)
Conform reciprocei teoremei lui Thales avem: GH || AD (3)
Faptul că GH este paralelă cu AD ne dă posibilitatea să aplicăm teorema fundamentală a asemănării în triunghiul AFD:
(4)
de unde rezultă:
(5)
Paralelele GH și AD ne dau posibilitatea să punem în evidență faptul că triunghiurile GHP și APD sunt asemenea.
Într-adevăr,GHP HAD și HGP PAD (ca unghiuri alterne interne), deci ne găsim în cazul doi de asemănare.
Putem scrie:
(6)
Din relația (6) se deduce:
deci
și sau
(7)
sau:
și (8)
Ultimele două egalități ne dau posibilitatea să deducem că cele patru segmente de dreaptă (GA), (DH), (BR), (CT) sunt concurente.
Într-adevăr, segmentele (AG) și (DH) s-au intersectat în punctul P. Segmentul (BR) va trebui să intersecteze de exemplu segmentul (AC) la de vârful A, urmează că el va trebui să treacă prin punctul P. Același raționament îl putem folosi și pentru segmentul (CT) și segmentele (AC) și (DH) care sunt concurente în punctul P și acest punct se găsește pe fiecare din ele la de vârf și aparține de centrul de greutate al celei opuse vârfului.
Exemplu 17. Punctul lui Nagel. Fie triunghiul ABC, unde A1, B1 și C1 sunt punctele de tangență ale cercurilor exînscrise cu laturile triunghiului ABC (A1(BC), B1 (AC), C1(AB) ) atunci dreptele AA1 ,BB1 și CC1 sunt concurente într-un punct N (numit punctul lui Nagel)
Fig. III.2.17
Demonstrație. Fie a, b, c lungimile laturilor triunghiului (AC=b, BC= a, AB= b) și p semiperimetrul triunghiului.
Notăm cu x = BA1 și cu y = A1C și obținem x+y = a și x+c=y+b
Rezultă: 2x+c=a+b, adică x=p+c și y=p+b
Se obține: .
În mod analog se obțin relațiile: ;
Rezultă: și din reciproca teoremei lui Ceva rezultă că dreptele AA', BB', CC' sunt concurente.
Exemplu 18. Punctul lui Gergonne. Se consideră triunghiul ABC, cercul tritangent și punctele D, E, F de contact ale acestui cerc cu dreptele BC, AC, AB. Să se demonstreze că dreptele AD, BE, CF sunt concurente. (Punctul de concurență a celor trei drepte se numește punctul lui Gergonne).
Demonstrație. Vom considera pentru început expresia:
(1)
Dacă valoarea acestei expresii este 1, atunci cevienele AD, BE, CF sunt concurente, conform reciprocei teoremei lui Ceva. Având în vedere proprietatea tangentelor duse dintr-un punct la un cerc obținem:
|| AF || = || AE ||, || BF || = || BD ||, || CD || = || CE || (2)
Ținând seama de relațiile (2), valoarea expresiei (1) este 1 și deci AD, BE, CF sunt concurente.
Punctul de concurență al acestor drepte se numește punctul lui Gergone și se notează cu . Dacă el se află în afara triunghiului atunci el se notează cu 0 și se numește punct adjunct al lui Gergone.
Considerând toate cele trei cercuri exânscrise triunghiului, obținem trei puncte de concurență, toate fiind puncte adjuncte ale lui Gergone.
Exemplu.19 Punctul lui Newton. Fie ABCD un patrulater circumscriptibil și fie A', B', C', D', punctele de tangență ale cercului înscris cu laturile patrulaterului. Atunci dreptele AC, BD, A'C' și B'D' trec printr-un același punct N (punctul N se numește punctul lui Newton).
Fig.III.2.19
Demonstrație:
Notăm: , , .
Observăm că:
Aplicăm teorema sinusurilor în triunghiurile ΔNAD' și ΔNB'C.
Rezultă: ;
Din aceste două egalități se deduce: (1)
Fie punctul N' astfel încât . Procedând ca în cazul anterior se obține:
(2)
Deoarece AA' = AD', CC' = CB', din (1) și (2) rezultă , ceea ce dovedește că
N = N', adică AC trece prin intersecția [A'C'] și [B'D']. Analog se obține că .
Exemplul 20. Fie un paralelogram ABCD și fie E, F astfel încât . Se notează , , , . Să se arate că dreptele AC, EF, LH sunt concurente.
Fig. III.2.20
Demonstrație:
Triunghiurile ΔADE și ΔBCF sunt congruente (AD=BC, , ) rezultă relația (1)
Triunghiurile ΔADF și ΔBCE sunt congruente (AD = BC, , ) rezultă relația (2)
Din (1) și (2) rezultă că patrulaterul AECF este paralelogram.
Deci dreptele AC și EF trec prin punctul O (mijlocul segmentului și al segmentului ).
Rezultă că dreptele AC, EF și LH sunt concurente.
III.3 ECHIVALENTA INTRE COLINIARITATE SI CONCURENTA IN CADRUL UNOR PROBLEME DE MATEMATICA
Între problemele de coliniaritate și problemele de concurență există o strânsă legătură; o problemă de concurență, poate fi transformată într-o problemă de coliniaritate după următoarea schemă: pentru a dovedi că dreptele a, b și c sunt concurente vom considera punctul A comun dreptelor a și b, și luăm punctele B și C pe dreapta c. În aceste fel, problema revine la a arăta coliniaritatea punctelor A, B și C.
In geometria plana exista un numar mare de propozitii matematice foarte frumoase, care pun in evidenta unele proprietati de coliniaritate a unor puncte, respectiv de concurenta a unor drepte. O astfel de propozitie matematica este teorema lui Desargues si reciproca.
Definitie: Triunghiurile ABC si A’B’C’ se numesc omologice, daca dreptele AA’, BB’, CC’ sunt concurente. Punctul de concurenta al acestor drepte, se numeste centru de omologie al triunghiurilor ABC si A’B’C’.
Fig. III.3.1
TEOREMA LUI DESARGUES
Daca doua triunghiuri ABC si A’B’C’ sunt astfel situate incat dreptele AA’,BB’, CC’ concurente, atunci laturile corespunzatoare BC si B’C’, CA si C’A’, AB si A’B’ se intersecteaza in puncte coliniare.
Fig. III.3.2
DEMONSTRATIE:
Aplicand teorema lui Menelaus in triunghiurile OBC si transversala B’C’, OCA si transversala A’C’ si OAB cu transversala A’B’ se obtin pe rand:
Comentariu:
1. Dreapta care contine punctele M, N, P se numeste axa de omologie a celor doua triunghiuri.
2. Daca dreptele AA’, BB’, CC’ sunt necoplanare si toate trei se intalnesc intr-un punct O, astfel incat laturile triunghiurilor ABC si A’B’C’ sa nu fie respectiv paralele, atunci dreptele BC si B’C’, CA si C’A’, AB si A’B’ se intersecteaza in puncte coliniare.
DEMONSTRATIE:
Punctele A,C,A’,C’ sunt situate pe dreptele concurente AA’ si CC’, deci sunt coplanare
Dreptele AC si A’C’ nu sunt paralele deci sunt concurente. Fie punctul lor de intersectie M. Analog AB si A’B’ se intalnesc in N si BC si B’C’ sunt concurente in P. Dar punctele M,N,P apartin pe de o parte planului ABC dar si planului A’B’C’, deci sunt situate pe dreapta de intersectie a celor doua plane. Rezulta coliniaritatea punctelor M,N,P
Fig. III.3.3
OBSERVATIA 1: Daca doua din laturile triunghiurilor sunt paralele de exemplu BC si B’C’, restul enuntului remanand acelasi, se dovedeste usor ca BC || NM|| B’C’
OBSERVATIA 2: Daca laturile triunghiurilor ABC si A’B’C’ sunt respectiv paralele, deci (ABC) || (A’B’C’) si convenind ca doua drepte paralele au un punct comun la infinit, respectiv doua plane paralele au o dreapta comuna la infinit, in enuntul teoremei lui Desargues nu mai este nevoie de specificatia ca laturile triunghiurilor ABC si A’B’C’ nu sunt respectiv paralele. Enuntul se simplifica, car in acelasi timp capata un plus de incarcatura prin generalizare.
3. Teorema lui Desargues in plan mai poate fi demonstrata si prin metoda proiectiei. Aceasta metoda permite rezolvarea unor probleme de geometrie plana cu ajutorul geometriei in spatiu.
Fig. III.3.4
DEMONSTRATIE:
Fie a,b,c trei drepte in plan, concurente in O si triunghiurile ABC si A’B’C’au varfurile respectiv pe aceste drepte, laturile corespunzatoare nefiind paralele. Notand cu planul dreptelor a,b,c si planul perpendicular pe care trece prin O si printr-o dreapta a’, care se proiecteaza pe planul dupa dreapta a. Fie pr A1 =A si pr A’1 =A’. Laturile triunghiurilor A1BC si A’1B’C’ care indeplinesc conditia teoremei lui Desargues in spatiu, se intersecteaza in punctele coliniare M1, N1, P1 care se vor proiecta in M,N,P pe planul . Cum proiectia unei drepte pe un plan este o dreapta, sau un punct- insa in acest caz cum M1N1 nu este perpendiculara pe , proiectia nu poate fi un punct atunci ea este o dreapta, deci M,N,P colineare.
RECIPROCA TEOREMEI LUI DESARGUES:
Fie triunghiurile ABC si A’B’C’. Daca laturile corespunzatoare BC si B’C’, AC si A’C’, AB si A’B’ se intersecteaza in puncte colineare, atunci triunghiurile ABC si A’B’C’ sunt omologice.
DEMONSTRATIE:
Presupunand ca M,N,P coliniare, atunci M este centru de omologie al triunghiurilor NCC’ si PBB’, deci aceste triunghiuri au o axa de omologie care contine punctele O, A si A’ definite astfel: CC’BB’={O}, CNBP={A}, NC’PB’={A’}, deci dreptele BB’ si CC’ se intersecteaza in O situat pe AA’ sau triunghiurile ABC si A’B’C’ sunt omologice.
CAP IV. CERCETAREA APLICATIVĂ
IV.1 CONSIDERAȚII METODICE
IV.1.1 STRATEGII DE PREDARE-ÎNVĂȚARE-EVALUARE
Uneori , un profesor este comparat cu un negustor : el trebuie « vândă » elevilor săi un pic de matematică, un pic de cunoaștere științifică, un pic de tehnologie. Dar, pentru a-și vinde cu succes produsele, comercianții adoptă diverse strategii : campanii de publicitate, prezentări ale produselor, ieftiniri periodice, etc. Cum ar putea oare să procedeze un profesor pentru a-și motiva elevii ? Cum poate proceda pentru a construi în mod real valori și atitudini dezirabile la elevii săi ? Pentru ca elevul să poată manifesta gândire critică, este nevoie ca în clasă să se creeze un climat cooperativ, în care părerile tuturor sunt ascultate, discutate și, eventual acceptate. Un astfel de climat este cu atât mai necesar elevilor timizi, care altfel renunță să se manifeste.
Odată creat un astfel de climat de încredere reciprocă se ajunge la un cod tacit de comportament , acceptat prin consens atât de către profesor cât și de către elevi. Acesta limitează riscurile transformării manifestărilor spontane în acte de indisciplină.
O intrebare se impune în acest moment : ce metode putem folosi pentru a facilita crearea unui astfel de cadru la clasă ?
O primă sugestie ar fi utilizarea, cât de des este posibil, a activităților în grup. Nu este vorba doar de activitățile desfășurate în clasă, prevăzute, de altfel, de programa școlară. Este indicat să organizați activități de grup și în afara clasei, propunând , de exemplu, teme tip proiect. Lucrând în grupe, elevii iși asumă responsabilități față de coechipierii lor și nu se mai simt singuri în fața dificultăților temei. În plus , grupul de 4-5 elevi este un cadru optim în care elevii timizi iși pot susține mai ușor ideile, fără teama de reacția negativă a unora dintre colegii lor.
În cadrul unui grup de lucru, componenții acestuia iși asumă tacit anumite roluri : șeful de echipă, reformatorul, ambasadorul, judecătorul, expertul, analistul, sunt tipologii care se pot dezvolta în cadrul unui grup.
Răspunsul la chestionarul de evaluare a unei activitați de grup la matematică, reprodus mai jos, arată că , în general, elevilor le place să lucreze în grup. Reticența pentru acest tip de activitate vine, mai ales, din partea profesorilor !
CHESTIONAR PENTRU ACTIVITATEA ÎN GRUP
lucrezi mai bine individual , sau în grup ?
ce te deranjează la grup ?
a) ce cunoștințe ai aflat azi de la colegi ?
b) cu ce ai contribuit tu la activitate ?
ce note dai colegilor ?
cât de des ai vrea să lucrezi în grup ?
RĂSPUNS:
1.când lucrăm în grup, deoarece fiind mai mulți, sunt mai multe idei din care putem alege.
2.faptul că unii nu cooperează.Dar parcă e mai bine așa. Prea multe guri = mai multe certuri.
3.a) le știam , dar erau câteva desene pe care nu mi le aminteam.
b) anul trecut am scris, și așa nu prea făceam nimic. Dar acum să scrie altcineva, ideile mele pot fi auzite.
4. pentru toată lumea nota 10 . Toți au cooperat și problema a ieșit bine.
5.în fiecare zi dacă e posibil.
O altă metodă indicată pentru crearea la clasă a unui climat favorabil formării de valori și atitudini este încurajarea elevilor în formularea de întrebări. Unii pedagogi afirmă că putem evalua gradul de înțelegere de către elevi a unui concept din întrebările pe care aceștia le formulează : o întrebare conține nu numai o nelămurire, ci și un anumit grad de înțelegere a temei. Dacă scopul este decelerarea de către elevi a ceea ce știu de ceea ce nu știu, întrebarea devine chiar mai importantă decât răspunsul !
Pentru a preîntâmpina atitudinea elevilor , de desconsiderare a colegilor care pun întrebări (se mai consideră, din păcate, că elevii care întreabă sunt slab pregătiți), este necesar ca profesorul să adopte el insuși o strategie de încurajare a exprimării nedumeririlor elevilor. Formulările dubitative (este oare adevărat că…. ?) , asumarea propriilor erori (mă tem că argumentul de data trecută nu a fost corect…), asumarea contextului în care nu știe să răspundă la o întrebare ( nu știu răspunsul, dar am să mă mai gândesc la întrebarea ta…) și solicitudinea față de întrebările exprimate ( aveam de gând să facem o altă activitate, dar întrebarea excelentă a colegului vostru mi-a dat o altă idee…), sunt metode folosite de regulă de orice profesor experimentat.
Există însă și alte activități recomandate pentru atingerea aceluiași scop.
Una dintre acestea este organizarea unei sesiuni de întrebări.
La o dată fixată anterior, elevii adresează profesorului sau colegilor câte o întrebare din tema convenită, de fiecare dată alta față de cele deja formulate. Pentru a găsi întrebări « inteligente », elevii se vor strădui să înțeleagă o cât mai mare parte a temei alese și să separe ceea ce este evident de lucrurile cu adevărat dificile.
O altă posibilitate este dată de utilizarea metodei RAI ( răspunde –aruncă –interoghează). Utilizată de regulă ca metodă de evaluare a achizițiilor elevilor la sfârșitul unei lecții, metoda RAI este un prilej de formulare de către elevi a unor întrebări, la care ei știu răspunsul. Metoda constă într-un joc de aruncare a unei mingi , de la un elev la altul, cel care a aruncat mingea pune o întrebare, la care trebuie să răspundă elevul care a primit mingea, apoi acesta generează o nouă întrebare. Elevul care nu cunoaște răspunsul ( fie că a primit , fie că a formulat întrebarea), iese din joc. Intrebările nu se repetă. Dincolo de caracterul distractiv, metoda RAI stimulează elevii în formularea de întrebări.
In fiecare lecție, de orice tip, trebuie avut în vedere cele trei sarcini ale matematicii:
cunoașterea faptelor specifice matematicii și a convențiilor matematice ce reprezintă primul nivel al operațiilor gândirii matematice și se bazează pe reproducerea regulilor , definițiilor și tehnicilor algoritmice cele mai simple ;
înțelegerea conceptelor numerice , a operațiilor și a proprietăților operațiilor ce vizează pătrunderea în esența conceptelor matematice și a tehnicilor de calcul;
aplicarea ce reprezintă categoria de obiective ce vizează formarea capacității elevului de a da funcționalitate, de a utiliza în învățarea matematicii cât și în situații concrete de viața.
Elevul intrat în clasa a V a are deja un antrenament în acțiuni operatorii (grupare, ordonare, comparare, punere in corespondență, adunare, scădere, înmulțire și împărțire) cu diferite materiale (obiecte, cifre și simboluri). Gândirea elevului este dominată de concret, respectiv percepția este globală, domină operațiile concrete, apare ideea de invariantă, apare reversibilitatea, are putere de deducție imediată pe suport concret –obiectual, raționamentul apare progresiv.
De aici se stabilește că formarea noțiunilor matematice se realizează treptat prin ridicarea spre general și abstract la niveluri succesive, unde relația între concret și logic se modifică în direcția esențializării realității. Operațiile logice trebuie mai intâi cunoscute ca operații concrete cu obiecte și apoi interiorizate ca structuri operatorii ale gândirii.
Reprezentările grafice și limbajul grafic sunt foarte apropiate de noțiuni. Ele fac legătura între concret și logic, între reprezentare și concept. Între cele două niveluri interacțiunea este logică și continuă și este mijlocită de formațiuni mixte de tipul conceptelor figurale ale imaginilor esențializate sau schematizate.
Imaginile mintale îl apropie pe copil de logica operației intelectuale cu obiectele, procesele și evenimentele realității, devenind , sursa principală a activității gândirii și imaginației ce reprezintă ultimul pas spre generalizare și abstractizare.
Exista o legătura strânsă între conținutul și forma (denumirea) noțiunilor care trebuie respectată cu precădere în formarea noțiunilor matematice. Orice termen trebuie să aibă acoperire în ceea ce privește întelegerea conținutului noțional, astfel realizându-se o învățare formală.
Limbajul matematic, fiind limbajul conceptelor celor mai abstracte și mai generale, se introduce la început cu unele dificultăți. De aceea trebuie asigurată mai întâi sesizarea esenței într-un limbaj cunoscut de elev și pe măsură ce acesta avansează în interpretarea corectă a noțiunilor se introduce și limbajul riguros științific. Important este ca tot ceea ce se face să fie în limite ce permit dezvoltarea ulterioară concretă a noțiunilor și operațiilor matematice.
Cunoscând ceea ce are de realizat și potențialul elevilor , profesorul trebuie să aleagă în funcție de conținutul de predat , de particularitățile elevilor, de propria personalitate cele mai potrivite metode și procedee didactice.
În concordanță cu conținutul matematicii în general și cu predarea operațiilor matematice în special se impun din multitudinea de metode cele ce asigură o participare activă a elevului, cele ce presupun dirijare din partea profesorului. Astfel, dintre metodele de transmitere a cunoștințelor orale expozitive se apeleaza frecvent la aplicație, iar dintre cele conversative la conversație si problematizare. Metodele de explorare a realităților directe : observarea dirijată, rezolvarea de probleme, exercițiul – sunt indispensabile în ora de matematică, având avantajul că stimulează elevul, îi crează o motivație puternică.
Metodele de acțiune reală (exercițiul, algoritmizarea) sau simulate (jocul didactic) conduc spre formarea abilităților matematice anterior amintite.
Specifice predării–învățării operațiilor matematice și a proprietăților acestora sunt strategia inductivă și strategia analogică.
Ca tip special de abordare a realitații matematice în maniera inductivă profesorul și elevii intreprind experimente asupra situației date sau în cadrul ei , efectuând operații reale cu obiecte fizice sau obiecte create de gândire (concepte) . Pe baza observațiilor făcute, provocate de concretizări intreprinse, elevii sunt conduși spre conceptualizări progresiv.
Strategia analogică are ca temei o primă și esențială caracteristică a gândirii matematice, anume relevanței logic –analogică . vom întâlni analogii între noțiuni , idei , teoreme, demonstrații și chiar între analogii. Punctul de plecare îl constituie însuși faptul că analogia reprezintă forma principală sub care se manifestă procesele de abstractizare.
Analiza sistemică a procesului de învățământ scoate în evidență legătura logică ce se stabilește între obiective, conținut, metode, mijloace, forme de organizare a activității, relații educator –educat, toate proiectate la parametri de eficiență ridicată și evaluate în aceeași manieră, sporindu-se valența formativă a învățării matematicii.
O altă premisă a inițierii învățării operațiilor matematice o constituie dimensiunea activ formativă a acestui demers. Calitatea actului educațional la matematică impune :
o intuiție activă în care elevul nu urmărește demonstrații, ci participă la acestea, la orice nivel se desfășoară –ceea ce face ineficientă metoda expozitivă pe durată mare ;
imbinarea modalităților de învățare reproductivă cu cele de învățare euristică ;
In procesul învățării elevul întâlnește atât situații stereotipice pe care le rezolvă printr-o modalitate identică cât și situații noi pe care le rezolvă prin căutarea și descoperirea soluției pe baza datelor cunoscute, deci într-o manieră euristică ce presupune efort propriu și timp mai mare acordat acestei strategii. În învățarea operațiilor matematice sunt implicați algoritmi învățați de elevi sub forma unor noțiuni, definiții, reguli, formule, tabele și pe care le aplică în mod creativ în rezolvarea unor situații mai complexe.
Orice nouă achiziție matematică are la bază achizițiile precedente, trecerea de la un stadiu la altul superior făcându-se printr-o reconstrucție a sistemului noțional și operativ. Are loc deci o restructurare a achizițiilor noi, pe fondul celor deja asimilate, actele de învățare prin reproducere având rol de fixare, consolidare, fiind completate cu cele de învățare productivă, de creație. În alte situații elevul trebuie să continue construcția sistemului sau structurii după modelul dat.
Mai mult solicităm gândirea elevului când trebuie să extindă și să transfere algoritmii învățați și consolidați. Exercițiile de calcul și problemele cu variabilă angajează nivelurile superioare ale gândirii, accentul căzând pe creativitate. În fața actului didactic educativ profesorul trebuie să-și pună o întrebare importantă « sub ce formă voi organiza activitatea pentru eficiența maximă ?».
Se cunosc deja cele trei forme de organizare : frontală, individuală și pe grupe. Condițiile de timp și sistemul de învățământ organizat pe clase presupun frecvența activității frontale. Profesorul trebuie să găsească « factorul comun » al unui număr destul de mare de elevi pentru a acționa eficient. Pentru că sunt elevi care cer multe explicații concrete până la abstractizarea lor, dar și elevi care nu au nevoie de acestea , profesorul trebuie să caute calea de mijloc , să realizeze permanent conexiunea inversă pentru ca activitatea frontala fără o temeinică evaluare permanentă poate genera lacune greu de reabilitat mai târziu.
Deși învățarea este un proces individual, se face în condițiile colectivului. Această dilemă se rezolvă într-o mare măsură în activitatea diferențiată pe grupe sau individual. Aceste forme de activitate solicită mai mult profesorul, fiind cele mai potrivite mijloace de realizare a învățării diferențiate.
Fișele de muncă independentă , după scopul realizat , sunt de dezvoltare, de recuperare, de exersare și de autoinstruire. Sunt situații când se dau elevilor sarcini diferențiate prin gradul de dificultate precum și exerciții care angajează creativitatea gândirii. În alte situații elevul poate alege exercițiile dintr-o multitudine presupunând diverse grade de dificultate.
Fișele de lucru pot fi diferite și prin cantitatea de sarcini când dorim dezvoltarea rapidității de calcul.
Toate aceste probleme puse de profesor și stabilite într-un angrenaj funcțional în învățarea operațiilor matematice ar rămâne fără rezultatul scontat dacă nu se crează o motivație susținută pentru învățare. Aceasta presupune cultivarea interesului pentru problematic, pentru realizarea corecta a sarcinilor. Dat fiind faptul ca motivația este de natură extrinsecă , elevul trebuie lăudat pentru orice progres, trebuie evaluat permanent și format să se evalueze, iar activitatea pe grupe îl poate stimula în formarea spiritului competitiv.
O bună motivație o constituie anunțarea obiectivelor la începutul lecției și funcționalitatea celor învățate. Privind concret operațiile matematice , elevul trebuie să știe de ce trebuie să învețe, la ce îi folosesc și foarte eficient este să fie dotat cu tehnici de autocontrol (proba operației).
Structura logică a etapelor de parcurs în învățarea operațiilor matematice este :
organizarea elevilor pentru activitatea matematică, motivarea elevilor și
captarea atenției pentru specificul temei și stimulări variate, apel la experiența elevilor, demonstrație audio-vizuală, prezentarea unor evenimente din istoria științei, jocuri cu caracter umoristic matematic, etc;
informarea elevilor cu privire la natura obiectivelor, stabilindu-se, unde este
posibil , natura performanțelor ce vor trebui atinse în final;
reactualizarea cunoștințelor, pornind de la ideea creării în sistem cognitiv a unor
noțiuni și capacități de sprijin (pivot) care să permită construirea progresivă a unor sisteme de cunoștințe, se cere cunoașterea lacunelor, elementelor științifice și a deprinderilor greșite pentru eliminarea și corectarea lor;
dirijarea învățării și acțiunilor elevilor prin variante , strategii, metode și tehnici
de orientare în sarcinile didactice precum și de realizare parțială a învățării încă din clasă. Dirijarea învățării este un proces complex ce constă în primul rând în punerea elevilor în situații de învățare, dar nu numai atât, educatorul trebuie să supravegheze activitatea de învățare a fiecărui grup , acordând prioritar atenție grupului de elevi cu ritm lent de învățare sau de elevi cu lacune mari. Procesul de dirijare nu trebuie să ia forma unui tip de dirijare îngust și autoritar, responsabilitatea esențială a învățământului constă în a-i ajuta pe elevi să ajungă, pe cât posibil singuri, la performanțe standard. Acest eveniment central al activitatii didactice nu trebuie transformat intr-o continua dădăceală, esențial e ca sarcinile și atribuțiile de învățare să fie prezente cât mai clar. Odată sarcinile și atribuțiile de învățare date, elevii sunt puși în situația de a învăța făcând, iar intervențiile ulterioare ale profesorului trebuie să rămână minimale : doar sugestii și nu imperative care să răpească elevilor satisfacția deosebită pe care o resimt cu prilejul obținerii performanțelor așteptate. Acest eveniment are un puternic efect motivator și contribuie la accelerarea generală a ritmurilor de învățare. Este de dorit ca obținerea performanțelor să se desfășoare ca un proces de învățare prin descoperire ;
proiectarea modalităților efective de conexiune inversă sub forma unor
performanțe observabile, concomitent ce precizarea parametrilor cantitativi și calitativi, obiectivi și subiectivi, insistându-se pe aspectele cognitiv –afective, atitudinal-motivatorii și estetice ;
evaluarea performanțelor însoțită de intensificarea proceselor de aplicare,
fixare, transfer, sistematizare si rezolvare de probleme sau situații tipice ;
informarea elevilor cu privire la activitățile ce urmeaza a fi desfașurate de ei
individual, acasa sau in alte activitati.
Aceste etape nu au o înlănțuire fixă , reordonarea lor rămâne la aprecierea profesorului, dar ținând seama de formarea noțiunii de operație și etapele prezentate, acestea pot rămâne în această formulă, mai ales că elevii ar ști la un moment dat « ce urmează ».
Obiectivele operaționale se traduc în sarcini cu realizare măsurabilă ce pot constitui itemi în evaluare.
Am amintit despre descriptorii de performanța care asigură rigoarea evaluării, siguranța celui de la catedra , « stăpânirea direcției » activității spre eficiență maximă.
Iată întrebările pe care le-am pus in pregătirea învățării operațiilor matematice:
obiectivul descrie un rezultat scontat al programului de instruire ?
obiectivul descrie un comportament concret, observabil și verificabil ?
obiectivele cognitive sunt in corelație cu cele afective și psihomotorii?
obiectivul permite verificarea realizării printr-o probă-test de control?
Referiror la testele de control inițial:
este controlabilă îndeplinirea însușirii operațiilor matematice ?
întrebările testului se referă la situații și sarcini anterioare ?
întrebările verifică progresul de competențe cognitive, metodologice și acționale ale elevului ?
soluțiile date la probele de control inițial vor permite un control obiectiv și diferențierea progreselor, eventual lacunelor ?
permit rezultatele testului o comparare semnificativă între capacitățile asimilate de elevi ?
Referitor la criteriile de organizare a conținutului lecției :
sunt satisfăcute legile și principiile derivate din logica și epistemologia matematicii ?
conținutul manualului este în întregime necesar sau necesită o acoperire mai mare obiectivelor propuse ?
divizarea și organizarea conținutului sunt bazate pe criterii valide și consistente cu cele ale stabilirii obiectivelor ?
sunt verificate cunoștințele și deprinderile asimilate anterior ?
este precizat locul și rolul fiecarei lecții și configurația de ansamblu a temei, astfel incât logica structurii operationale să aibă consistență, continuitate și coerență ?
Întrebări referitoare la criterii pentru ordonarea și articularea conceptelor de bază :
este ordonarea materialului concentrată și divizată pe arii conceptuale cu câmpuri bine definite ?
conceptele nou introduse țin seama de nivelul înțelegerii elevilor, de disponibilitățile și maturitatea lor intelectuală ?
secvențele de învățare țin seama de raportul cunoștintelor noi/ informația redundantă pentru a asigura inteligibilitatea și apoi asimilarea cunoștințelor ?
se asigură o ierarhie reală a conceptelor în interiorul unei teme , li se determină posibilitațile de a fi corelate cu cunoștințe din alte domenii ?
Referitor la criteriile pentru stabilirea metodelor și procedeelor didactice :
metodele satisfac obiectivele proiectate ?
metoda este axata prioritar pe activitatea elevilor, pe procesul cunoașterii, pe angajarea cât mai directă ?
este stimulată munca independentă, creativă, de cooperare si de competiție ?
se asigură un echilibru între orientările de tip algoritmic, semialgoritmic și creativ ?
metodele permit elevilor exercitarea autocontrolului ?
se asigură complementaritatea metode-mijloace de învățământ ?
se asigură o raționalizare a eforturilor și timpului alocate studiului ?
Referitor la criteriile de elaborare și alegere a resurselor materiale :
materialul ales asigură cel mai mare aport intuitiv, activizator de comunicare și formare în raport cu caracteristicile elevilor ?
sporește sensibil, pe termen lung, calitatea și randamentul muncii intelectuale ?
se crează o stare de confort psihic, de înviorare, bună dispoziție și efecte cognitive pozitive ?
este asigurat un număr suficient de mijloace pentru toate formele de activitate ?
se asigură momente optime pentru realizarea conexiunii inverse între predare, învățare, evaluare, dirijare, profesor-elev, obiectiv-conținuturi-metode-rezultate ?
Dacă profesorul trece prin acest filtru de întrebări demersul didactic planificat, se asigură calea netedă de la « lucrul bine gândit spre lucrul bine făcut » regula de aur a oricărei activități.
Pentru a evalua rezultatele școlare, profesorul trebuie să determine măsura în care au fost atinse obiectivele programului de instruire precum și eficiența acelor metode de predare-învățare folosite.
Astfel că putem defini evaluarea școlară ca fiind procesul prin care se obțin și se furnizează informații care ulterior permit luarea unor decizii. Actul evaluării presupune două momente distincte: măsurarea rezultatelor școlare și aprecierea școlară.
Randamentul școlar este dat de nivelul de pregătire teoretică și practică a elevilor, în concordanță cu programele școlare.
IV.1.2 CERCETAREA PEDAGOGICĂ- RELAȚIE DINTRE TEORIE ȘI PRACTICA EDUCAȚIONALĂ
Prin cercetare pedagogică înțelegem o acțiune de observare și investigare, pe baza căreia cunoaștem, ameliorăm sau inovăm fenomenul educațional.
Practica educativă constituie, pentru cercetător, o sursă de cunoaștere, un mijloc de experimentare, de verificare a ipotezelor și de generalizare a experienței pozitive. În același timp, cercetarea pedagogică, prin concluziile ei, contribuie la inovarea și perfecționarea procesului de învățământ și de educație.
Rolul cercetării pedagogice constă în: explicarea, interpretarea, generalizarea și inovarea fenomenului educațional prin schimbări de structură, sau prin introducerea de noi metodologii mai eficiente.
Proiectul de cercetare este o sinteză a organizării cercetării pe etape și poate să aibă următoarea structură:
tema (problema) de cercetat: importanță și actualitate;
motivarea alegerii temei: scopul și modul de evaluare;
istoricul cercetării problemei; stadiul actual;
ipoteza generală, ipoteze parțiale și obiectivele cercetării;
metodologia cercetării: durata cercetării, locul, echipa de cercetare, etape, variabile dependente și independente, eșantion, metode, tehnici și mijloace de învățământ, instrumente de cercetare (teste, proiecte didactice);
verificarea ipotezei de cercetare prin teste finale sau alte modalități;
finalizarea cercetării și valorificarea ei (elaborarea unei lucrări științifice, implementarea concluziilor etc.).
Metodele de cercetare ale pedagogiei pot fi clasificate în funcție de obiectivele fundamentale urmărite. Din acest punct de vedere, putem vorbi despre :
metode de culegere a datelor (observația, experimentul, interviul, chestionarul, metoda cazului, testul etc.) ;
metode de prelucrare a datelor (metoda statistică, metoda matematică, reprezentarea grafică) ;
metode de interpretare a concluziilor (metoda istorică, metoda hermeneutică, metoda psihanalitică etc.).
Cele mai importante metode folosite în cercetarea pedagogică:
1.Metoda observației. Este una dintre cele mai utilizate metode ale pedagogiei și constă în urmarirea intenționată, după un plan, a fenomenelor specifice educației în condițiile derulării lor normale, naturale. Chiar dacă în fazele inițiale observația este neintenționată, difuză, fragmentată, în timp, ea se specializează devenind sistematică, organizată, continuă. Eficiența observației sistematice este dată de respectarea unor condiții : subiecții studiați nu trebuie să afle că asupra lor se exercită observarea (astfel conduita lor se schimbă), faptele observate se vor consemna imediat și complet – pentru a nu interfera cu alte fapte sau cu opiniile observatorilor.
Observația de calitate se face după un anumit plan. Cadrul didactic care dorește să afle mai multe lucruri despre elevii săi utilizând această metodă trebuie să parcurgă următorii pași :
evidențierea unui fapt demn de observat sau stabilirea unui domeniu de urmărit;
informarea de ordin teoretic asupra specificității domeniului observat;
observarea propriu-zisă a faptelor și consemnarea rezultatelor;
interpretarea rezultatelor și integrarea acestora în câmpul practicii educaționale.
Această metodă are avantajul că nu cere condiții speciale de cercetare (aparatură sofisticată, laboratoare etc.) și nici alocarea unui timp special pentru cercetare. Ea poate fi efectuată în orice moment al activității educatorului cu elevii.
Metoda în discuție prezintă și unele limitări: observatorul este dependent de fenomenele observate, rezultatele observației sunt mai mult abordări calitative ce nu suportă prelucrări de înalt nivel, prin observație sunt surprinse consecințele, nu și cauzele care generează anumite fenomene.
Metoda observației trebuie corelată și complementată cu alte metode de cercetare.
2. Metoda experimentului pedagogic. Experimentul pedagogic este o „observație provocată” și constă în producerea sau modificarea intenționată a fenomenelor cu scopul de a le urmări în condiții favorabile.
Această metodă are următoarele caracteristici : fenomenul ce urmează a fi cercetat se produce „sintetic”, în condiții determinate ; se repetă producerea fenomenului respectiv în anumite condiții ; condițiile de producere se supun unor variații sistematice ce pot fi controlate. Experimentul pedagogic se poate clasifica astfel :
După obiectul cercetat : individual si colectiv.
După scopul urmărit : constatativ,constructiv,de verificare.
După condițiile de desfășurare : de laborator ,natural.
După problematica cercetării : educativ, didactic, organizatoric.
După numărul variabilelor independente : univariat,multivariat.
După nivelul investigației : transversal ,longitudinal.
3. Interviul. Interviul sau ancheta își propune să descopere adevăruri pedagogice prin intermediul discuțiilor directe cu actorii implicați în educație : elevi, profesori, parinți. Interviul trebuie dinainte pregătit, în funcție de obiectivul de cercetat și de natura proiectului de cercetare. Pentru a ajunge la rezultate relevante ancheta pedagogică trebuie să respecte o serie de reguli procedurale : subiectul va fi convins de necesitatea cunoașterii realității, se va crea o atmosferă de încredere și convivialitate, se vor asigura discreția și anonimatul în legătură cu răspunsurile date, interviatorul va manifesta o atitudine de neutralitate științifică, nu se va utiliza un limbaj tehnicist, subiecții nu vor fi forțați să spună altceva decât doresc, se va evita atitudinea autoritară, nu se vor ironiza subiecții. Cercetătorul pedagog trebuie să tragă concluzii numai din ceea ce spun efectiv subiecții, și nu din ceea ce crede el despre fenomenul investigat.
4. Chestionarul. Acest instrument reprezintă o succesiune de întrebări adresate subiecților într-o formă scrisă, într-o ordine de natură logică și psihologică. În elaborarea unui chestionar sunt parcurse mai multe etape :
– elaborarea setului de întrebări în raport cu scopul cercetării ;
– aplicarea inițială la un grup restrâns în scopul perfecționării setului de întrebări ;
– aplicarea chestionarului la eșantionul supus cercetării ;
– deschiderea chestionarului și interpretarea lui.
Un chestionar presupune două părți : a) o parte introductivă, în care se argumentează necesitatea aplicării acestuia, se scot în evidență scopul și obiectivele aplicării acestui instrument, se dau o serie de indicații de completare corectă a răspunsurilor, și b) o parte în care sunt evocate întrebările punctuale, într-o anumită succesiune și gradație.
Pornind de la natura întrebărilor, chestionarele sunt de mai multe feluri :
cu răspunsuri închise, ce permit alegeri din mai multe variante fixate
cu răspunsuri deschise, la care subiectul își construiește răspunsul în totalitate ;
cu răspunsuri mixte, care îmbină atribute ale variantelor de mai sus.
Formularea întrebărilor se face respectând anumite condiții : întrebările trebuie să fie în corcondanță cu natura cercetării, ele trebuia să fie formulate corect și să aibă sens, să vizeze un singur aspect, să nu inducă sau să nu sugereze răspunsurile celor anchetați, să fie explicite și redactate într-un limbaj cunoscut de elev.
5. Metoda cercetării produselor activității. Produsele activității sunt materializări ale cunoștințelor, abilităților valorilor incorporate de elevi și ele pot da seama de calitatea și profunzimea activității instructiv-educative. În gama produselor realizate de elevi pot intra caietele de teme sau notițe, tezele, lucrările trimestriale sau semestriale, referatele, portofoliile, compozițiile, alte lucrări personale (desene, albume). Aceste lucrări reflectă în mod fidel calitatea instrucției, înclinațiile, dispozițiile naturale, interesele și aspirațiile elevilor. Se poate constata cu acest prilej nivelul pregătirii elevilor în raport cu cerințele politicilor școlare, dar și atenția acordată de cadrele didactice unor aspecte importante ale pregătirii elevilor.
6. Metoda cazului. Constă în studierea unor situații reprezentative pentru a ajunge la anumite concluzii cu caracter teoretic sau practic. Punerea în aplicare a acestei metode presupune parcurgerea următoarelor etape :
selectarea subiecților ce vor fi supuși studiului ;
adunarea unor date despre subiecți prin aplicarea mai multor metode ;
realizarea unor sinteze în legătură cu datele adunate sub formă de diagnostic ;
concretizarea în timp a măsurilor adoptate.
În situație de insecces, se reia studiul de caz, se identifică un alt diagnostic și se prescrie un alt tratament.
7.Testul. Acest instrument reprezintă o probă standardizată, de obicei scrisă, care se administrează subiecților și prin care se urmărește măsurarea cât mai obiectivă a unui fenomen psihic, comportamental, aptitudinal, achizițional. Implicarea testelor în cercetarea pedagogică presupune parcurgerea mai multor etape : elaborarea propriu-zisă a testului, aplicarea testului, interpretarea datelor. Cel mai utilizat test este testul de cunoștințe (sau decimologic). Rezultatele obținute în urma recurgerii la testare nu sunt întotdeauna concludente, fapt ce impune necesitatea recurgerii la instrumente complementare de cunoaștere a realității educaționale.
IV.2 OBIECTIVELE CERCETĂRII ȘI IPOTEZA DE LUCRU
În perspectiva postmodernă, cercetarea pedagogică reprezintă o activitate de conducere managerială a sistemului și a procesului de învățământ proiectată și realizatî în mod special pentru reglarea, autoreglarea acțiunii educaționale, respectiv a actului didactic (Sorin Cristea, 1998, pag 45).
Prin această lucrare metodico-științifică mi-am propus să scot în evidență importanța strategiilor didactice folosite în procesul instructiv-educativ în vederea optimizării acestuia, în cadrul orelor de geometrie.
Așa cum am amintit și în partea introductivă a lucrării, ipoteza specifică de la care pornesc este:
Dacă vom utiliza metode adecvate în rezolarea problemelor de geometrie în general, implicit a problemelor de coliniaritate și concurență,în special, în cadrul procesului instructiv-educativ vom spori eficiența acestor activități și vom crește randamentul elevvilor prin angajarea motivației intrinseci.
În vederea demonstrării ipotezei propuse mai sus și pentru ca rezultatul să corespundă cerinței actuale de pregătire a cadrelor didactice, am parcurs, pas cu pas etapele specifice metodologiei întocmirii unei lucrări științifice.
Obiectivele propuse în acest sens sunt :
O1 : – observarea unui grup reprezentativ de elevi și cunoașterea nivelului (inițial) al pregătirii elevilor ca punct de plecare pentru organizarea experimentului;
O2 : – abordarea unei probleme ridicată de practica școlara și prezentarea conceptelor de la simplu la complex ;
O3 : – : evaluarea contribuției metodelor de rezolvare a problemelor de geometrie la creșterea randamentului școlar;
O4: – folosirea metodelor, tehnicilor si procedeelor cunoscute într-un mod personal, creator;
O5: – observarea și înregistrarea datelor obținute din testele inițiale și finale.
Pentru atingerea obiectivelor am aplicat un set de probe (teste și chestionare) cuprinzând diferite metode de rezolvare a problemelor de geometrie integrate în diferite momente ale lecției, fie în predarea noilor cunoștințe, fie în consolidarea sau verificarea lor.
Din ipoteza formulate se desprind două variabile ale cercetării:
variabila independent – metodele de rezolvare a problemelor de coliniaritate și concurență;
variabila dependent – creșterea motivației însuțirii noțiunilor geometrice și implicit a progresului școlar al elevilor de gimnaziu.
Metodele de cercetare folosite în prezenta lucrare sunt:
Observația
Experimentul
Ancheta (convorbirea și chestionarul)
Analiza produselor activității și a cercetării documentelor
IV.3 Evaluarea rezultatelor
IV.3.1 Metode de cercetare folosite
În general, într-o cercetare pedagogică sunt utilizate mai multe metode prin care se strâng informații, astfel încât limitele unei metode pot fi înlăturate de o alta.
Încă de la începutul carierei mele didactice, am pornit de la ideea că o bună cunoaștere a elevilor în ceea ce privește aspectul lor cognitiv, afectiv, al potențialului creativ, îmi va arăta care sunt metodele de predare-învățare-evaluare pe care trebuie să le aplic, astfel încăt rezultatul să fie un succes.
Plecând de la dorința de a contribui la clarificarea unor aspecte ale pregătirii matematice a tinerei generații, am efectuat o cercetare sistematică asupra unui element esențial în activitatea matematică, și anume rezolvarea problemelor de geometrie în general și rezolvarea problemelor de coliniaritate și concurență în special. Motivul unei asemenea alegeri se leagă de rolul hotărâtor pe care îl au problemele de geometrie.
Rezolvarea problemelor de geometrie, implicit a problemelor de coliniaritate și concurență, implică un complex de procese care-l fac pe elev să prindă un gust pentru problematic, să –l stimuleze, să îi formeze deprinderea de a folosi informații, să îi incurajeze gândirea creatoare.
Aptitudinea matematică de a rezolva probleme de geometrie se referă la ușurința, rapiditatea și eleganța de a găsi soluția, la stabilirea relațiilor logice între datele cunoscute și cele necunoscute.
Am putut determina care elevi au dezvoltată această aptitudine după urmatoarele criterii :
tempo –ul rapid sau lent de percepere a datelor esențiale ;
capacitatea de organizare și concentrare a activitații și atitudinea emoționala pozitivă / negativă față de găsirea soluției ;
ușurința în rezolvarea problemelor de coliniaritate și concurență folosind noțiuni anterioare.
Metoda de investigare este un instrument dar și un rezultat al cercetării. Am folosit atât metode relativ obiective care să observe, să înregistreze și să măsoare reacțiile subiecților la diverși stimuli externi, precum și un sistem complementar de metode care să permită investigarea fenomenului atât sub aspectul manifestarilor sale generale ( în cadrul colectivului de elevi ) cât și specific ( în cazuri individuale).
Cele mai frecvent folosite au fost :
testele psihologice și pedagogice ( aplicate colectiv) ;
probele formative (aplicate individual)
chestionarul (aplicat individual)
Pe lângă aceste metode de cercetare, pentru experimentarea ipotezei formulate, am recurs și la alte mijloace de informare : observarea elevilor în timpul activității de rezolvare a problemelor de coliniaritate și concurență, analiza unor probe de evaluare, sondaje privind preferințele și interesul elevilor pentru anumite tipuri de ecuații.
TESTUL , ca metodă de cercetare, reușește să reliefeze diferențele individuale dintre subiecți, să ofere informații, să fie variate ca structură, formă de prezentare.
Pentru a avea o valoare satisfăcătoare sub aspectul fidelității, validității și sensibilității, am conceput probe de investigare care, prin conținut și mod de aplicare, să vizeze o gamă cât mai largă de probleme reprezentative.
Testele au fost elaborate cu scopul de a reliefa aspectele esențiale ale gândirii matematice : analiza și sinteza, generalizarea și abstractizarea, caracterul logic al judecății în condițiile rezolvării unor probleme.
Competențele specifice urmărite în abordarea problemelor de coliniaritate și concurență, urmărite atît în testul de evaluare inițială, cît îi cel formativ ți cel final, sunt următoarele:
Stabilirea coliniarității unor puncte.
Verificarea faptului că mai multe drepte sunt sau nu concurente.
Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării calculului de lungimi de laturi sau măsuri de unghiuri ce intervin.
Interpretarea informațiilor conținute în reprezentări geometrice în corelație cu determinarea unor lungimi de segmente și a unor măsuri de unghiuri.
Etapele cercetării
În cercetarea realizată, am urmărit derularea următoarelor etape:
Etapa inițială, care a avut un caracter constatativ și s-a desfășurat în perioada 1 octombrie 2013 – 30 octombrie 2013. În această etapă am măsurat și apreciat randamentul școlar al elevilor din clasa a VII-a, în cadrul orelor de geometrie, pe baza rezultatelor probelor aplicate. Concluziile la care am ajuns au reprezentat premiza necesară proiectării activităților activităților instructiv-educative ce urmau, prin integrarea și valorificarea valențelor formative a metodelor activ-participative.
Etapa formativ-ameliorativă s-a desfășurat în perioada 1 niembrie 2013 – 30 aprilie 2014. Pe baza rezultatelor și centralizarii informațiilor obținute în etapa anterioară, în etapa de față am pus accentul pe proiectarea activităților didactice, cu ajutorul metodelor adecvate, astfel încât să ajung la formarea obiectivelor vizate.
Au fost aplicate diverse metode active în timpul lecțiilor de geometrie, iar la sfârșitul perioadei a fost aplicat un test pentrumăsurarea și aprecierea randamentului școlar al elevilor în ănsușirea corectă a noțiunilor de coliniaritate și concurență.
Etapa finală a avut un caracter comparativcu privire la rezultatele obținute și s-a desfășurat în perioada 2 – 31 mai 2014. Toate rezultatele obținute au fost înregistrate în tabele centralizatoare analitice și sintetice, care au permis analiza și interpretarea rezultatelor obținute în urma cercetării.
IV.3.2 Test de evaluare inițială
Test de evaluare inițială
Clasa a VII-a
Anul școlar 2013-2014
Timp de lucru: 45 minute
Subiecte:
Fie punctele A, B, C astfel încât AB=3,5 cm, BC= 8 cm și AC=4,5cm. Demonstrați că punctele A, B, C sunt coliniare.
Fie segmentul [AB] și punctele C, D, E distincte, ce nu aparțin dreptei AB. Știind că [CA] [CB], și E aparține mediatoarei segmentului AB, să se demonstreze că punctele C, D și E sunt coliniare.
Fie ABCD un pătrat, știind că pe laturile consecutive AB și BC ale pătratului, se construiesc triunghiurile echilaterale AEB și BFC, primul interior și al doilea exterior pătratului, să se demonstreze că punctele D, E, F sunt coliniare.
Punctaj :
I1 = 30 puncte
I2 = 30 puncte
I3 = 30 puncte
Oficiu = 10 puncte
Total = 100 puncte.
Nota se obține împărțind punctajul obținut la test la 10.
IV.3.3 Test de evaluare formativ-ameliorativă
Test de evaluare formativa
Clasa a VII-a
Anul școlar 2013-2014
Subiecte:
Oricare 3 puncte din plan sunt coliniare.
Fie ∆ ABC, dreptele AD, BE, CF sunt concurente, unde D(BC), E(AC), F(AB) și AB = BC = 20, AF = FB, CD = 12, CE = 10, atunci AC = 50.
Înălțimile unui triunghi sunt concurente.
Fie trapezul ABCD cu bazele AB și CD, construim în exterior triunghiurile echilaterale ABM și CDN. Atunci dreptele AC, BD, MN sunt concurente.
Într-un triunghi ortocentrul, centrul de greutate și centrul cercului înscris sunt coliniare.
Teorema lui Ceva este utilizată în demonstrarea concurenței unor drepte în triunghi.
Într-un patrulater insciptibil ABCD cu BC = AB + CD, bisectoarele unghiurilor A și D și cu BC sunt concurente.
Mediatoarele unui triunghi nu sunt concurente.
Dacă AB = 10, AC = 4 și BC = 6, atunci punctele A, B, C nu sunt coliniare.
Într-un triunnghi dreptele determinate de vârfurile triunghiului și punctele de contact ale cercului înscris cu laturile opuse sunt concurente.
Barem de corectare; 1; 9 – 0,5p
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 – 1p; 1p din oficiu
IV.3.4 Test de evaluare finală
TEST DE EVALUARE FINALĂ
CLASA A VII-A
2013-2014
Fie punctul E interior pătratului ABCD și punctul F exterior pătratului, astfel încât triunghiurile ΔABE si ΔBCF să fie echilaterale. Să se arate că punctele D, E și F sunt coliniare.
Intersecția diagonalelor AC și BD ale rombului ABCD este punctul O, iar mijlocul segmentului AB este M. Să se decidă dacă M, O și mijlocul segmentului CD sunt trei puncte coliniare.
Fie ΔABC înscris în cercul de centru O, cu . Să se demonstreze că mijlocul M al laturii [AC], centrul O al cercului și proiecția D a lui A pe latura [BC] sunt coliniare.
Punctaj :
I1 = 30 puncte
I2 = 30 puncte
I3 = 30 puncte
Oficiu = 10 puncte
Total = 100 puncte.
Nota se obține împărțind punctajul obținut la test la 10.
IV.3.5 CHESTIONAR PENTRU ELEVI DE ANALIZA A PROCESULUI DE PREDARE-INVATARE-EVALUARE
Matematica este un subiect necesar și care merită toată osteneala?
Da
Nu
Matematica ajută la dezvoltarea minții și te învață să gândești?
Da
Nu
La oră ești?
a) activ
b) pasiv;
c)indifferent.
4) Numărul de ore este prea mare?
a) da;
b) nu.
5) În cazul în care majoritatea elevilor sunt nemulțumiți de felul în care se desfășoară anumite ore, considerați că profesorul ar trebui să aplice alte metode de predare și evaluare?
a) da;
b) nu.
6) Ce metodă de evaluare vi se pare mai potrivită?
a) ascultatul;
b) lucrări;
c) referate;
d) portofoliul;
e) activitatea la clasă;
f) aducerea de argumente la o lecție nouă;
7) Care metode de predare vi se par mai potrivite?
a) dictatul;
b) conspectul;
c) jocurile didactice;
d) lectiile in laborator;
e) audiții;
f) fișe de documentare;
g) lucrările practice.
8) În ce mod înțelegi mai ușor o lecție nouă?
a) la clasă, cu profesorul;
b) acasă, citind lecția predată;
c) în grup, cu alți colegi.
9) Pentru a obține rezultate cât mai bune, este nevoie de:
a) o pregătire în plus cu un alt profesor;
b) învățarea la timp a fiecărei lecții, singur, acasă;
c) înțelegerea lecțiilor din clasă.
10) Care dintre următoarele variante crezi că ar îmbunătăți modul de predare-învățare:
a) relația profesor-elev;
b) aducerea unor materiale didactice;
c) disciplina la oră.
11) Exprimați-vă orice alte păreri, idei, cu privire la activitatea voastră și a profesorului din timpul orelor.
IV. 4 STATISTICA EVALUARII
IV.4.1 STATISTICA EVALUĂRII INIȚIALE
Evaluarea inițială a constat în aplicarea unui test de cunoștințe inițial. Scopul a fost acela de a stabili punctul de plecare în prezenta cercetare. Testul a fost conceput pentru a cunoaște nivelul pregătirii elevilor din punct de vedere al noțiunilor de geometrie necesarepentru rezolvarea problemelor de coliniaritate și concurență, dobândite de elevi în urma predării acestor noțiuni în clasa a VI-a.
Cum testul inițial are un caracter constatativ, acesta reflectă volumul și cantitatea cunoștințelor elevilor, fiind un punct de plecare în demersul formativ.
În urma evaluării inițiale s-au obținut următoarele rezultate:
Media pe clasa este = 5,04
După înregistrarea datelor obținute din rezultatele testului inițial, am constatat următoarele:
36% din elevi nu cunosc noțiunile elementare, necesare rezolvării de probleme de coliniaritate și concurență
52% din elevi cunosc noțiunile elementare rezolvării problemelor de coliniaritate și concurență, dar nu reușesc să rezolve probleme care necesită mai multe cunoștințe
Doar 12 % din elevi au reușit să rezolve aproape integral testul.
După analiza acestor rezultate se impune ca în etapa imediat următoare și anume etapa formativ-ameliorativă, să pun accent pe lucrul suplimentar cu elevii care întâmpină dificultăți de învățare și nu numai, pentru a obține rezultate mai bune pe viitor.
IV.4.2 Statistica evaluarii formative
În urma evaluării formative s-au obținut următoarele rezultate:
Media pe clasa este = 6,08
În urma analizei rezultatelor din etapa formativ- ameliorativă se constată o creștere a performanței școlare, cei drept cam mică, ceea ce îmi confirmă alegerile făcute.
În etapa formativ-ameliorativă, pe baza rezultatelor obținute în etapa anterioară am pus în practică măsurile ameliorative.
Dupî predarea cunăștințelor teoretice, am trecut la rezolvarea de probleme cât mai variate și mai reprezentative. În vederea ameliorării rezultateloram recurs la diferențierea activității și introducerea, într-un mod cât mai dens, a metodelor activ-participative.
Măsuri privind îmbunătățirea rezultatelor învățării:
– alocarea unor resurse de timp la fiecare oră pentru aprofundarea unor noțiuni;
– tema pentru acasă sa fie data diferentiat elevilor in functie de nivelul de cunostinte
– realizarea unor teme specifice la portofoliul elevului
– testatea oral/scris a nivelului competențelor la final de semestru/an (fără notare în catalog)
– realizarea unui program individual (pe elev) de recuperare (unde este cazul)
– familiarizarea elevilor clasei cu teste concepute pe itemi;
– realizarea de cat mai multe teste, fise de lucru care sa fie bazate pe itemi;
– lucrul la clasă pe grupe
– predarea și explicarea noțiunilor care la evaluare au fost însușite în proporție de sub 50%
– meditații și consultații în vederea recuperării materiei, în afara programului clasei;
În urma analizei rezultatelor se constată o creștere față de etapa inițială, ceea ce-mi confirmă că alegerile făcute în ceea ce privește procesul instructiv-educativ, sunt eficiente.
IV.4.3 STATISTICA EVALUĂRII FINALE
În urma evaluării finale s-au obținut următoarele rezultate:
Media pe clasa este: 6,8 .
În ceea ce privește statistica rezultatelor obținute la testul final, acestea sunt evidențiate în tabelul următor:
Se constată o creștere față de etapa anterioară:
16% din elevi au luat note sub cinci comparativ cu 24% în etapa formativă, ceea ce indică un progres;
52% au reușit să-și însușească noțiunile de bază;
32% au reușit să rezolve aproape integral testul (doar doi elevi au obținut punctajul maxim).
IV.4.4 STATISTICA EVALUĂRII COMPARATIV TEST INIȚIAL- FORMATIV- FINAL
Observația a fost utilizată în perioada premergătoare și în timpul desfășurării evenimentului, ea s-a realizat cu scopul de a compara și surprinde comportamentul, reacțiile elevilor și mai ales condițiile psihopedagogice în care efectuarea rezolvării a problemelor de coliniaritate și concurență, asigură o valoare formativă dar și informativă. Am urmărit modul în care elevii cu niveluri diferite de pregătire și-au manifestat dorința de a rezolva probleme, s-au angajat în activitatea de descoperire a rezultatelor, de verificare a soluțiilor prin folosirea altor metode de rezolvare.
În diferite etape ale cercetării au fost folosite și celelalte metode și tehnici de investigație: dialogul, chestionarul, analiza documentelor și a produselor activității elevilor (catalogul, rezultatele obținute la probele de evaluare, temele efectuate acasă, lucrările efectuate independent in clasă).
În anul școlar 2013-2014 am organizat cercetarea folosind un complex de metode de investigație, căutând indicii cu privire la capacitatea de concentrare a elevilor, volumul și precizia cunoștințelor matematice însușite, capacitatea de aplicare a acestora probleme, aptitudinea matematică, atitudinea creativă și interesele elevilor.
Daca analizăm rezultatele obținute la toate testele date, observăm din graficele ce urmează, progresul notelor obținute de la un test la altul.
Din analizele făcute se observă un progres semnificativ al competențelor de comunicare și al acbilităților, deprinderilor de calcul și de utilizare corectă a noțiunilor geometrice.
Din ultimul grafic al frcvențelor comparativîntre testul inițial și cel final, se observă că numărul notelor sub cinci s-a micșorat semnificativ și a crescut numărul elevilor care au obținut note peste 7, având la testul final și două note de 10.
Elevii manifestă inițiativa și interes pentru observarea matematică, nu se vor lăsa copleșiți de specificul și volumul datelor, fie ele concrete sau abstracte, puține sau numeroase, lacunare sau „de prisos” și nici de forma de prezentare, ori de caracterul neobișnuit al problemei. Ei își fixează atenția asupra întrebării finale, își reprezintă cu exactitate, pas cu pas, algoritmul de rezolvare, precizând operațiile aritmetice utilizate, surprind cu rapiditate și precizie caracteristicile esențiale încadrării exercițiului sau problemei într-un anumit tip.
IV.5 CONCLUZII
Rezultatele înregistrate la teste, precum și răspunsurile la chestionar, au confirmat ipoteza cercetării, evidențiind faptul că progresul școlar, poate fi influențat decisiv prin utilizarea strategiilor didactice, ceea ce implică și folosirea de metode adecvate.
Pornind de la evaluarea inițială, completată pe tot parcursul anului cu date furnizate de observația directă, convorbiri, analiza produselor activităților, mă conduc la concluzia privind omogenizarea grupului de elevi, în sensul diminuării/eliminării, la elevii mai puțin dotați, timiditatea, teama, neîncrederea în sine.
Aceste teste m –au ajutat să evaluez capacitățile elevilor, să constitui grupe valorice pentru lucrul diferențiat cu scopul de a remedia lipsurile prin exerciții numeroase.
Rezolvarea de probleme variate urmărește concomitent :
• dezvoltarea unei gândiri creative și flexibile;
• dezvoltarea spiritului de obiectivitate și toleranță;
• stimularea curiozității, imaginației , tenacității, încrederii in forțele proprii;
• încurajarea inițiativei și a disponibilității de a aborda sarcini variate.
Am rezolvat cu elevii probleme care necesită efort de gândire, care trezesc interesul, provoacă o anumită încordare intelectuală. Acestea le-au provocat curiozitatea , nedumerirea, incertitudinea și dorința de a depăși obstacolele. Elevii au găsit soluții proprii , apelând la cunoștințele și tehnicile de lucru dobândite anterior.
Rezolvarea de probleme de coliniaritate și concurență nu constituie doar un exercițiu de aplicare a unor achiziții însușite anterior, ele trebuiesc privite ca o „ rezolvare productivă de probleme”. De aceea , le-am îndrumat permanent activitatea elevilor , am oferit sugestii de ordin metodologic , i-am ajutat să înțeleagă și să descopere soluțiile problemelor.
Faptul că pot rezolva singuri o problemă printr-o judecată personală decât să asiste la demonstrarea soluționării ei de către profesor, generează și întreține pasiunea pentru matematică, pentru că numai descoperind prin mijloace proprii va încerca tensiunea și bucuria triumfului descoperirii. Numai când se află în impas intervin cu câte o sugestie, dirijez activitatea ,astfel încât elevii să soluționeze problemele; pentru a nu se descuraja , laud efortul făcut de fiecare elev, chiar și atunci când apar greșeli. Îl stimulez să descopere singur erorile , iar dacă nu reușește îi corectez.
Având tact pedagogic și o personalitate deosebită, dirijându-i cu iscusință, apropiindu-ne de ei cu iubire, ascultându-i cu bunăvoință , glumind și jucându-ne cu ei vom crea în jurul elevilor un climat adecvat dezvoltării lor ulterioare.
Rezultatele îmbucurătoare pe care le-am avut la clasă , la testele naționale s-au datorat potențialului elevilor dar și faptului că am reușit să-i fac să iubească matematica , să nu li se mai pară a fi „grea”. Cu toate acestea timpul și programa școlară nu ne permite studiul mai în profunzime a acestei teme ,,Coliniaritate și concurență,, , ea putând fi studiată totuși în cadrul unor cercuri de matematică sau ca studiul ca disciplină la decizia școlii (opțional).
BIBLIOGRAFIE
Vladimirescu S. – ”Probleme de coliniaritate și concurență în plan”, Editura Sitech, Craiova, 2002
Nicolescu L., Boskoff V. – ”Probleme practice de geometrie”, Editura Tehnică, București, 1990
Albu I.D. – “Geometrie. Concepte și metode de studiu. Partea I: Construcția axiomatică a geometriei euclidiene”, Editura Mitron, Timișoara 1998
Chirilă C. și alții – ”Formarea continuă a profesorilor de matematică în societatea cunoașterii”, Editorul materialului ISJ Iași, Iași 2012
Brânzei D. , Brânzei R. – ”Metodica predării matematicii”, Editura Paralela 45, Pitești 2010
Brânzei D. și alții – ”Bazele raționamentului geometric”, Editura Academiei, București, 1983
Dumitriu C. , Dumitriu, Gh., ș.a., Primii pași în cariera didactică, Editura Alma Mater, Bacău, 2010
Cucoș C.- ”Teoria și metodologia evaluării”, Editura Polirom, Iași, 2008
Cojocariu V. M. – ” Teoria și metodologia instruirii”, E.D.P., București, 2002
T. Lalescu, ”Geometria triunghiului”, Editura Apolo, Craiova, 1993
A. Stoica și alții, ”Ghid practic de elaborare a itemilor pentru examene”, I. S. E. , București, 1996
Dumitriu. Gh., Dumitriu. C, – ”Psihopedagogie – curriculum suport pentru examenele de definitivare și gradul II în învățământ”, ediția a II-a, E.D.P., R.A., 2004
J. Hadamard, ”Lecții de geometrie elementară”, Editura Tehnică, București, 1960
Dumitru Săvulescu –“Matematica pentru testarea națională” –Grup Editorial ART –București 2004;
Artur Bălăucă –“Algebra , geometrie- auxiliar la manualele alternative”, Editura Taida –Iași 2003;
Dumitriu Gh. (coord.), Simionescu Gh., ș.a.,- ” Ghid de practică pedagogică” , Editura Alma Mater, Bacău,1999
Radu N. –“Algebra pentru perfecționarea profesorilor ”;EDP- București 1983
Emil, Paiu- „Educația și rolul ei în dezvoltarea social- economică”, E.D.P., București, 1974;
Golu, Pantelimon- „Învățare și dezvoltare”, Ed. Științifică și Enciclopedică, București, 1985;.
Piaget ,Jean – “Psihologia copilului” EDP București, 1969 ;
Salade, Dumitru – “Metodologia activităților matematice în pedagogie”, EDP Cluj Napoca, 1975;
Șchiopu, Ursula-„ Repere psihodiagnostice, Stadiile dezvoltării psihice, în Psihologia educației și dezvoltării”, Ed. Academiei, București, 1983;
Șchiopu, Ursula- Verza, Emil,- „Psihologia vârstelor”, E.D.P., București, 1981.
Curriculum național. Ghid metodologic pentru aplicarea programelor de matematică; Consiliul Național pentru Curriculum, Editura Aramis –București 2001;
Manuale alternative de Matematică pentru clasele a VI – a, a VII – a, a IX – a, a X – a, a XI – a, Editurile Didactică și Pedagogică, Teora, All, Petrion, Mathpress, 1995 – 2012
Internet : www.Wikipedia ; www.MathWorld; www.Didactic.ro; www. Edu.ro
Anexa 1- Opțional
CURRICULUM OPTIONAL
ARIA CURRICULARA
MATEMATICA SI STIINTE ALE NATURII
COLINIARITATE SI CONCURENTA
IN PLAN SI SPATIU
Clasa a VII-a
Proiect de programa școlara
OBIECTIVE CADRU
Formarea unei gandiri concrete, clare prin intermediul rationamentului abstract si al imaginii concrete;
Dezvoltarea capacitatii de investigare in rezolvarea problemelor si formarea abilitatilor grafice;
Utilizarea enunturilor teoretice si formarea deprinderii de a le selecta in situatii concrete;
Sporirea interesului si motivatiei pentru studiul geometriei.
Formarea unei gandiri concrete, clare prin intermediul raționamentului abstract si al imaginii concrete;
Dezvoltarea capacitatii de investigare in rezolvarea problemelor si formarea abilitatilor grafice;
Utilizarea enunturilor teoretice si formarea deprinderii de a le selecta in situatii concrete;
Sporirea interesului si motivatiei pentru studiul geometriei.
CONTINUTURI
Notiuni introductive
1.1.Inceputurile geometriei plane
1.2Evolutia geometriei
1.3 Mari matematicieni care au contribuit la descoperirea unor teoreme importante
Probleme de constructii geometrice
2.1. Constructii cu rigla si compasul; constructia a trei puncte coliniare cu rigla si compasul
2.2 Probleme celebre din antichitate;constructii care nu se pot realiza numai cu rigla si compasul: (duplicarea cubului; trisectia unghiului; cuadratura cercului)
2.3Triunghiuri celebre: triunghiul de aur, triunghiul ortic, triunghiul lui Napoleon
Teoreme si probleme clasice in geometria plana
3.1.Teorema bisectoarei interioare si exterioare
3.2 Teorema transversalei
3.4. Teorema lui Menelaos
3.5 Teorema lui Pascal
3.6 Teorema lui Carnot
3.7 Teorema lui Gauss
3.8 Teorema lui Simson
3.9.Dreapta lui Euler
3.10 Teorema lui Ceva
3.11 Teorema lui Gergonne
3.12 Teorema lui Nagel
3.13 Teorema lui Miguel
Concurenta si coliniaritate- metode de rezolvare
Probleme de concurenta – metode de rezolvare
Probleme de coliniaritate- metode de rezolvare
Echivalenta dintre coliniaritatea unor puncte si concurenta unor drepte.
Bibliografie:
T. Lalescu, Geometria triunghiului, Craiova 1992
V. Voda, Triunghiul, ringul cu trei colturi, Bucuresti,1979
D. Chitei, Metode de rezolvare a problemelor de geometrie, Ed Tehnica, Bucuresti 1969
Anexa 2 -Proiect de activitate pentru elevi capabili de performanță
DATA:
CLASA: a VII-a
PROPUNĂTOR:
SUBIECTUL:Teoreme de concurență și coliniaritate(Menelaus,Ceva)
TIPUL: formare de priceperi de rezolvări de probleme
OBIECTIVE OPERAȚIONALE:
O1 : să construiască figurile geometrice astfel încât concurența să fie realizată
O2: să aplice Teorema lui Ceva și Teorema lui Menelaus
O3: să traducă în limbaj vectorial cele două teoreme și rezolvărea de probleme
FORME DE ORGANIZARE
a conținuturilor:gradual
a activităților:pe grupe și individual
TIPURI DE INTERACȚIUNI:conversația
TIPURI ,FORME,STRATEGII ȘI INSTRUMENTE DE EVALUARE:proiect, portofoliu
RESURSE:
pedagogice(metode și procedee):expicația
materiale:culegeri de probleme,softuri educaționale
bibliografice:cărți din domeniu
temporale:după orele de curs,( în centrele de excelență),3 ore
Desfășurarea activității
BIBLIOGRAFIE
Vladimirescu S. – ”Probleme de coliniaritate și concurență în plan”, Editura Sitech, Craiova, 2002
Nicolescu L., Boskoff V. – ”Probleme practice de geometrie”, Editura Tehnică, București, 1990
Albu I.D. – “Geometrie. Concepte și metode de studiu. Partea I: Construcția axiomatică a geometriei euclidiene”, Editura Mitron, Timișoara 1998
Chirilă C. și alții – ”Formarea continuă a profesorilor de matematică în societatea cunoașterii”, Editorul materialului ISJ Iași, Iași 2012
Brânzei D. , Brânzei R. – ”Metodica predării matematicii”, Editura Paralela 45, Pitești 2010
Brânzei D. și alții – ”Bazele raționamentului geometric”, Editura Academiei, București, 1983
Dumitriu C. , Dumitriu, Gh., ș.a., Primii pași în cariera didactică, Editura Alma Mater, Bacău, 2010
Cucoș C.- ”Teoria și metodologia evaluării”, Editura Polirom, Iași, 2008
Cojocariu V. M. – ” Teoria și metodologia instruirii”, E.D.P., București, 2002
T. Lalescu, ”Geometria triunghiului”, Editura Apolo, Craiova, 1993
A. Stoica și alții, ”Ghid practic de elaborare a itemilor pentru examene”, I. S. E. , București, 1996
Dumitriu. Gh., Dumitriu. C, – ”Psihopedagogie – curriculum suport pentru examenele de definitivare și gradul II în învățământ”, ediția a II-a, E.D.P., R.A., 2004
J. Hadamard, ”Lecții de geometrie elementară”, Editura Tehnică, București, 1960
Dumitru Săvulescu –“Matematica pentru testarea națională” –Grup Editorial ART –București 2004;
Artur Bălăucă –“Algebra , geometrie- auxiliar la manualele alternative”, Editura Taida –Iași 2003;
Dumitriu Gh. (coord.), Simionescu Gh., ș.a.,- ” Ghid de practică pedagogică” , Editura Alma Mater, Bacău,1999
Radu N. –“Algebra pentru perfecționarea profesorilor ”;EDP- București 1983
Emil, Paiu- „Educația și rolul ei în dezvoltarea social- economică”, E.D.P., București, 1974;
Golu, Pantelimon- „Învățare și dezvoltare”, Ed. Științifică și Enciclopedică, București, 1985;.
Piaget ,Jean – “Psihologia copilului” EDP București, 1969 ;
Salade, Dumitru – “Metodologia activităților matematice în pedagogie”, EDP Cluj Napoca, 1975;
Șchiopu, Ursula-„ Repere psihodiagnostice, Stadiile dezvoltării psihice, în Psihologia educației și dezvoltării”, Ed. Academiei, București, 1983;
Șchiopu, Ursula- Verza, Emil,- „Psihologia vârstelor”, E.D.P., București, 1981.
Curriculum național. Ghid metodologic pentru aplicarea programelor de matematică; Consiliul Național pentru Curriculum, Editura Aramis –București 2001;
Manuale alternative de Matematică pentru clasele a VI – a, a VII – a, a IX – a, a X – a, a XI – a, Editurile Didactică și Pedagogică, Teora, All, Petrion, Mathpress, 1995 – 2012
Internet : www.Wikipedia ; www.MathWorld; www.Didactic.ro; www. Edu.ro
Anexa 1- Opțional
CURRICULUM OPTIONAL
ARIA CURRICULARA
MATEMATICA SI STIINTE ALE NATURII
COLINIARITATE SI CONCURENTA
IN PLAN SI SPATIU
Clasa a VII-a
Proiect de programa școlara
OBIECTIVE CADRU
Formarea unei gandiri concrete, clare prin intermediul rationamentului abstract si al imaginii concrete;
Dezvoltarea capacitatii de investigare in rezolvarea problemelor si formarea abilitatilor grafice;
Utilizarea enunturilor teoretice si formarea deprinderii de a le selecta in situatii concrete;
Sporirea interesului si motivatiei pentru studiul geometriei.
Formarea unei gandiri concrete, clare prin intermediul raționamentului abstract si al imaginii concrete;
Dezvoltarea capacitatii de investigare in rezolvarea problemelor si formarea abilitatilor grafice;
Utilizarea enunturilor teoretice si formarea deprinderii de a le selecta in situatii concrete;
Sporirea interesului si motivatiei pentru studiul geometriei.
CONTINUTURI
Notiuni introductive
1.1.Inceputurile geometriei plane
1.2Evolutia geometriei
1.3 Mari matematicieni care au contribuit la descoperirea unor teoreme importante
Probleme de constructii geometrice
2.1. Constructii cu rigla si compasul; constructia a trei puncte coliniare cu rigla si compasul
2.2 Probleme celebre din antichitate;constructii care nu se pot realiza numai cu rigla si compasul: (duplicarea cubului; trisectia unghiului; cuadratura cercului)
2.3Triunghiuri celebre: triunghiul de aur, triunghiul ortic, triunghiul lui Napoleon
Teoreme si probleme clasice in geometria plana
3.1.Teorema bisectoarei interioare si exterioare
3.2 Teorema transversalei
3.4. Teorema lui Menelaos
3.5 Teorema lui Pascal
3.6 Teorema lui Carnot
3.7 Teorema lui Gauss
3.8 Teorema lui Simson
3.9.Dreapta lui Euler
3.10 Teorema lui Ceva
3.11 Teorema lui Gergonne
3.12 Teorema lui Nagel
3.13 Teorema lui Miguel
Concurenta si coliniaritate- metode de rezolvare
Probleme de concurenta – metode de rezolvare
Probleme de coliniaritate- metode de rezolvare
Echivalenta dintre coliniaritatea unor puncte si concurenta unor drepte.
Bibliografie:
T. Lalescu, Geometria triunghiului, Craiova 1992
V. Voda, Triunghiul, ringul cu trei colturi, Bucuresti,1979
D. Chitei, Metode de rezolvare a problemelor de geometrie, Ed Tehnica, Bucuresti 1969
Anexa 2 -Proiect de activitate pentru elevi capabili de performanță
DATA:
CLASA: a VII-a
PROPUNĂTOR:
SUBIECTUL:Teoreme de concurență și coliniaritate(Menelaus,Ceva)
TIPUL: formare de priceperi de rezolvări de probleme
OBIECTIVE OPERAȚIONALE:
O1 : să construiască figurile geometrice astfel încât concurența să fie realizată
O2: să aplice Teorema lui Ceva și Teorema lui Menelaus
O3: să traducă în limbaj vectorial cele două teoreme și rezolvărea de probleme
FORME DE ORGANIZARE
a conținuturilor:gradual
a activităților:pe grupe și individual
TIPURI DE INTERACȚIUNI:conversația
TIPURI ,FORME,STRATEGII ȘI INSTRUMENTE DE EVALUARE:proiect, portofoliu
RESURSE:
pedagogice(metode și procedee):expicația
materiale:culegeri de probleme,softuri educaționale
bibliografice:cărți din domeniu
temporale:după orele de curs,( în centrele de excelență),3 ore
Desfășurarea activității
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Probleme de Coliniaritate Si Concurenta Strategii Didactice In Invatamantul Gimnazial (ID: 160326)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.