Probleme de coliniaritate s i concurent a [607440]

Probleme de coliniaritate s ¸i concurent ¸ ˘a
Nimic nu este ˆıntˆampl ˘ator, totul exist ˘aˆın cadrul unei structuri/combinat ¸ii mai
mult sau mai put ¸in cunoscute ˆın ansamblul ei. Geometria nu face except ¸ie din
acest punct de vedere.
ˆInc˘a din clasa a VI-a, programa de geometrie ne ofer ˘a acele ”p ˆarghii” care
ne ajut ˘a s˘a demonstr ˘am sau s ˘a verific ˘am o anumit ˘a relat ¸ie a unor elemente sau
figuri geometrice. Un unghi alungit determinat de semidreptele [OA s ¸i[OB ne
asigur ˘a coliniaritatea punctelor A;O s ¸iB. Apoi, reciproca teoremei unghiurilor
opuse la v ˆarf s ¸i axioma paralelelor sunt, de asemenea, ”arme” pe care le primim
pentru ”lupta” cu problemele de coliniaritate. ˆIn clasa a VII-a ”arsenalul” nostru
seˆımbog ˘at ¸es ¸te cu teorema lui Menelaos s ¸i reciproca acesteia. Liniile importante
ˆın triunghi (medianele, bisectoarele, ˆın˘alt ¸imile s ¸i mediatoarele) sunt concurente.
Iar dac ˘a dreptele din problem ˘a nu sunt dintre ”liniile importante”, dar produsul
rapoartelor cu lungimile segmentelor determinate de ele pe laturile unui triunghi
(structurat ˆıntr-o anumit ˘a ordine – conform relat ¸iei din teorema lui Ceva) are val-
oarea 1, ne ofer ˘a informat ¸ia c ˘a acestea sunt concurente. Sunt s ¸i alte enunt ¸uri utile
ˆın rezolvarea problemelor de concurent ¸ ˘a, teoreme care pot fi studiate ˆıncep ˆand
cu clasa a VII-a f ˘ar˘a dificultate (de exemplu, teorema lui Van Aubel sau lema lui
Carnot).
S˘a reamintim c ˆateva not ¸iuni utile pentru a rezolva problemele ce urmeaz ˘a.
•Punctele A,Os ¸iBsunt coliniare dac ˘a s ¸i numai dac ˘am(^AOB ) = 180o.
•Reciproca teoremei unghiurilor opuse la v ˆarf. Dac˘a semidreptele OAs ¸i
OB sunt opuse, iar semidreptele OCs ¸iOD sunt situate de o parte s ¸i de alta
a dreptei AB astfel ˆıncˆatm(^AOC ) =m(^BOD ), atunci punctele C;O
s ¸iDsunt coliniare.
•Axioma paralelelor. Printr-un punct exterior unei drepte se poate construi
o dreapt ˘a s ¸i numai una care s ˘a fie paralel ˘a cu dreapta init ¸ial ˘a.
•Teorema lui Menelaos. Fie un triunghi ABC s ¸i punctele A′;B′;C′pe
dreptele BC;CA;AB – astfel ˆıncˆat fie dou ˘a dintre ele sunt situate pe laturi
iar cel ˘alalt punct pe prelungirea celei de-a treia laturi, fie toate trei sunt
situate pe prelungirile laturilor. Punctele A′;B′;C′sunt coliniare dac ˘a s ¸i
numai dac ˘a are loc relat ¸iaA′B
A′C·B′C
B′A·C′A
C′B= 1.
1

•ˆIntr-un triunghi medianele (respectiv bisectoarele, ˆın˘alt ¸imile s ¸i mediatoarele)
sunt concurente.
•Teorema lui Ceva. Fie un triunghi ABC s ¸i punctele A′;B′;C′, diferite
de vˆarfurile triunghiului, pe laturile BC;CA , respectiv AB. Dreptele AA′;
BB′;CC ”sunt concurente dac ˘a s ¸i numai dac ˘a are loc relat ¸iaA′B
A′C·B′C
B′A·
·C′A
C′B= 1.
Probleme rezolvate
1.Fie triunghiul ABC iarDs ¸iEpuncte pe AB, respectiv pe AC, astfel ˆıncˆat
DA
DB=EC
EA. FieDF∥BC;F ∈AC. Ar˘atat ¸i c ˘a:
a. segmentele [AC]s ¸i[EF]au acelas ¸i mijloc;
b. mijloacele segmentelor [AB];[AC]s ¸i[DE]sunt coliniare.
Solut ¸ie. a. Fie punctul Nmijlocul segmentului [AC]. Avem, din ipotez ˘a, c˘a
DA
DB=EC
EAiarDF∥BC implic ˘aDA
DB=AF
FC. Din cele dou ˘a relat ¸ii obt ¸inem
c˘aEC
EA=AF
FC, de unde (prin proport ¸ii derivate)EC
EA+EC=AF
AF+FC, adic ˘a
EC
AC=AF
AC, ceea ce implic ˘aEC=AF. Atunci FN =AN−A=CN−CE=
EN, ceea ce conduce la faptul c ˘a punctul Neste mijlocul lui [EF].
b. Fie punctul Mmijlocul segmentului AB. Atunci MN ∥BC∥DF. (1)
Dac˘aPeste mijlocul lui [DE], atunci [PN]este linie mijlocie ˆın∆EDF , adic ˘a
PN∥DF. (2) T ¸ in ˆand cont de relat ¸iile (1), (2) s ¸i de axioma paralelelor, deducem
c˘a dreptele PN s ¸iMN coincid, adic ˘a punctele M;N s ¸iPsunt coliniare.
Fig.□1 Fig.□2
2

2.ˆIn trapezul ABCD, cu AD∥BC, bisectoarele interioare din As ¸i dinBse
taieˆın punctul E, bisectoarele interioare din Cs ¸i dinDse taie ˆın punctul F. Fie
punctul Gmijlocul diagonalei [AC]. Ar˘atat ¸i c ˘a punctele E;F;G sunt coliniare.
Solut ¸ie. Unghiurile ^As ¸i^Bfiind suplementare, ∆AEB este dreptunghic
ˆın E. Consider ˘amMmijlocul segmentului [AB]. Atunci [EM]este median ˘aˆın
∆AEB s ¸i∆MEA este isoscel cu MA =ME s ¸im(^MEA ) =m(^MAE ).
Cum (AEeste bisectoarea unghiului ^BAD obt ¸inem c ˘am(^MEA ) =m(^EAD ),
adic˘aME∥AD, ceea ce ne spune c ˘a punctul Ese afl ˘a pe linia mijlocie a trapezu-
lui. Analog, pentru punctul F. Iar punctul G, fiind mijlocul diagonalei AC, se
afl˘a s ¸i el pe linia mijlocie, prin urmare avem coliniaritatea punctelor E;F s ¸iG.
3.Se dau cercurile de centre Os ¸iO′, tangente exterior ˆın punctul T. FieAun
punct oarecare ˆın planul cercurilor, situat ˆın exteriorul lor. Tangenta comun ˘a exte-
rioar ˘a a cercurilor intersecteaz ˘a segmentele [AO];[AO′]ˆın punctele M, respectiv
N. S˘a se arate c ˘a dreptele AT;ON s ¸iO′Msunt concurente.
Solut ¸ie. Fie punctele Rs ¸iR′, proiect ¸iile punctelor O, respectiv O′pe tangenta
exterioar ˘a comun ˘a celor dou ˘a cercuri, iar punctul Pintersect ¸ia dreptei OO′cu
aceast ˘a tangent ˘a. Atunci ∆PO′R′∼∆POR s ¸i de aici avemPO
PO′=OR
O′R′=
OT
O′T. Consider ˆand∆AOO′cu transversala M−N−P, conform teoremei lui
Menelaos, avem c ˘aPO
PO′·NO′
NA·MA
MO= 1. Prin urmare,OT
O′T·NO′
NA·MA
MO= 1
s ¸i, conform teoremei lui Ceva, dreptele AT;ON s ¸iO′Msunt concurente.
4.Fie un triunghi ABC ,[AA 1];[BB 1];[CC 1]sunt ˆın˘alt ¸imile sale, punctele
A′;B′;C′sunt mijloacele laturilor s ¸i A′′;B′′;C′′sunt mijloacele ˆın˘alt ¸imilor sale.
S˘a se demonstreze c ˘a dreptele A′A′′;B′B′′s ¸iC′C′′sunt concurente.
Solut ¸ie. ˆIn∆A′B′C′este evident c ˘aA′′∈B′C′;B′′∈A′C′;C′′∈A′B′. Se
arat˘a us ¸or c ˘aA′′C′
A′′B′=A1B
A1Cs ¸i analoagele. Cum ˆın˘alt ¸imile [AA 1];[BB 1];[CC 1]
sunt concurente, avem, conform teoremei lui Ceva, c ˘aA1B
A1C·B1C
B1A·C1A
C1B= 1,
ce implic ˘aA′′C′
A′′B′·B′′A′
B′′C′·C′′B′
C′′A′= 1, adic ˘a dreptele A′A′′;B′B′′s ¸iC′C′′sunt
concurente.
Propunem spre rezolvare urm ˘atoarele probleme:
5.Fie un triunghi oarecare ABC ,ˆın care punctul Heste ortocentrul s ˘au,
punctul Oeste centrul cercului circumscris iar puncrtul Geste centrul de greutate.
3

Ar˘atat ¸i c ˘a punctele O;G s ¸iHsunt situate pe aceeas ¸i dreapt ˘a (numit ˘adreapta lui
Euler ) s ¸iHG = 2GO.
6.FieABC un triunghi s ¸i Mun punct arbitrar pe cercul circumscris aces-
tuia. S ˘a se arate c ˘a picioarele perpendicularelor duse din punctul Mpe laturile
triunghiului sunt situate pe aceeas ¸i dreapt ˘a (numit ˘adreapta lui Simson ).
7. Teorema lui Salmon. Pe un cerc se consider ˘a punctele A;B;C s ¸iP.
Ar˘atat ¸i c ˘a cercurile de diametre PA;PB;PC , seˆıntˆalnesc dou ˘a cˆate dou ˘aˆın trei
puncte coliniare.
8.ˆIn triunghiul ABC consider ˘am punctul Mmijlocul laturii [BC],[MP
bisectoarea unghiului ^AMB iar[MN bisectoarea unghiului ^AMC , cuP∈
ABs ¸iN∈AC. Ar˘atat ¸i c ˘a dreptele AM;BN s ¸iCPsunt concurente.
9.FieABC un triunghi oarecare s ¸i C(O;R)un cerc care intersecteaz ˘a laturile
BC;CA s ¸iAB ˆın punctele A1;A2;B1;B2;C1;C2. S˘a se demonstreze c ˘a dac ˘a
dreptele AA 1;BB 1;CC 1sunt concurente, atunci s ¸i dreptele AA 2;BB 2;CC 2sunt
concurente.
Bibliografie
[1]. Dorin Andrica, Csaba Varga, Daniel V ˘ac˘aret ¸u, Teme de geometrie , Editura
Promedia Plus, Cluj-Napoca, 1997;
[2]. Dan Br ˆanzei, Eugen Onofras ¸, Sebastian Anit ¸a, Gheorghe Isvoranu, Bazele
rat ¸ionamentului geometric , Editura Academiei, Bucures ¸ti, 1983.
Maria Monica Sas
4