Probleme cu Matrice Si Determinanti In Algebra Scolara

Probleme cu matrice și determinanți în algebra școlară

CUPRINS

MATRICE

Matrice

Operații cu matrice

Transpusa unei matrice

Spațiul vectorial al matricelor

Transformări liniare și matricea asociată

DETERMINANȚI

Definiția determinantului de ordin n4

Definiția determinantului de ordin n

Proprietățile determinanților

Matrice inversabilă. Inversa unei matrice

Ecuații matriceale

REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAȚII LINIARE CU AJUTORUL MATRICELOR

Sisteme de ecuații liniare. Generalități.

Metoda matriceală

Metoda lui Gauss

DETERMINANȚII ÎN GEOMETRIA ANALITICĂ

Dreapta în plan

Planul și dreapta în spațiu

Aplicații (aria unui triunghi, coliniaritatea a trei puncte, volumul, puncte coplanare și conciclice)

ASPECTE METODICE

Strategii și metode didactice specifice predării – învățării matematicii

Metode tradiționale (explicația, demonstrația, conversația, observația, exercițiul, lucru cu manualul, modelarea, algoritmizarea, jocul)

Metode moderne (”Ciorchinele”, ”Știu/Vreau să știu/Am învățat”, ”Cubul”, ”Mozaicul”, ”Diagrama Venn” , ”Cadranele” ).

Evaluarea (inițială, formativă, sumativă). Autoevaluarea

Proiecte de lecții. Test de evaluare

. INTRODUCERE

Noțiunile care constituie obiectul acestei lucrări sunt fundamentale în diferite ramuri ale matematicii (algebră, geometrie, probabilitați), cu multiple aplicații acoperind o mare arie de probleme teoretice. Noțiunea de matrice stă la baza algebrei liniare. La conceptul matematic de matrice s-a ajuns printr-un proces de abstractizare, pornind de la tabelele de tip matriceal.

Prin tabel de tip matriceal înțelegem un tabel dreptunghiular de numere reale sau complexe. Noțiunea de determinant este strâns legată de cea de matrice. Familia determinanților este atașată familiei matricelor pătratice, fiecarei astfel de matrice i se asociază un determinant. Dacă A este o matrice pătratică, determinantul atașat ei, notat detA este un element unic determinat, corespondența fiind de forma A det A. În sens invers, nu se poate vorbi de o astfel de corespondența existând mai multe matrice pătratice, chiar de ordine diferite, care să aibă același determinant.

Începuturile matricelor și determinanților se întâlnesc în secolul 2 î.e.n., deși primele idei apar încă din secolul 4 î.e.n.. Cu toate acestea, fundamentare clară nu a existat până spre sfârșitul secolului 17 când ideea reapare și se dezvoltă. Nu surprinde pe nimeni că începuturile matricelor și determinanților apar datorită studiului sistemelor de ecuații liniare. Babilonienii au studiat probleme care anticipează sistemele de ecuații liniare și câteva dintre acestea sunt păstrate până azi pe tăblițe de lut. Un tabel de tip matriceal apare în lucrarea unui matematician chinez, cu două secole înaintea erei noastre (în legătură cu rezolvarea unei probleme ce conducea la un sistem liniar). Abia în “Ars Magna” (1545), Cardan dă o regulă pentru rezolvarea unui sistem de două ecuații cu două necunoscute.

Ideea de determinant a apărut în Japonia și Europa cam în același timp. Seki (matematician japonez care a trăit între 1642-1708) a publicat, în 1683, “Metode de rezolvare a problemelor disimulate” care conțin metode matriceale scrise în tabele în același mod ca și metodele chinezești descrise mai înainte. Fără a avea un cuvânt care să corespundă “determinantului”, Seki a introdus determinanții și a dat metode generale pentru calcularea lor bazate pe exemple. Seki a găsit determinanți de ordin 2,3,4,5 și i-a aplicat în rezolvarea ecuațiilor, dar nu a sistemelor de ecuații liniare. În același an, 1683, au apărut determinanții și în Europa. Pe lângă studierea coeficienților sistemelor de ecuații care l-au condus la determinanți, Leibniz (matematician german care a trăit între 1646-1716), a studiat coeficienții sistemelor de ecuații de gradul al II-lea (sau forme pătratice) care îl conduc la teoria matricelor.

Termenul “determinant” a fost introdus pentru prima oară în “Discuții aritmetice”, de către Gauss (matematician german care a trăit între 1777 – 1855) în timp ce se studia formele pătratice. Totuși acest concept nu este același cu determinantul pe care îl știm noi astăzi. În aceeași lucrare, Gauss a aranjat coeficienții formelor pătratice într-un sistem de axe rectangulare. El a descris înmulțirea matricelor și a descris și construcția inversei unei matrice. În 1812, Cauchy (matematician francez care a trăit între 1789 – 1875) a utilizat determinanții în sensul modern. La el găsim primele însemnări mai complete despre determinanți și minori.

Noțiunea de matrice este introdusă de matematicianul James Joseph Sylvester (1814 – 1897) în 1850, iar în 1858 acesteia i se atribuie sensul actual în lucrarea „A memoir on the Theory of Matrices” scrisă de matematicianul Cayley. Până în secolul al XIX-lea mai mulți matematiceni celebri au reflectat și și-au aprofundat studiile pe acest subiect. Așadar deși folosite din Antichitate, matricele sunt rezultatul studiilor matematicienilor secolelor XVII-XIX, asupra sistemelor de ecuații liniare.

Aplicațiile teoretice ale matricelor sunt legate de sistemele liniare și de transformările geometrice. În același timp, matricele au aplicații în domenii variate cum sunt: teoria comunicării, analiza vibrațiilor corpurilor în mișcare, grafica pe calculator etc. Numeroase aplicații practice prezentate vin să sublinieze importanța cunoașterii operațiilor cu matrice în rezolvarea multor probleme din viața cotidiană. În primul capitol al lucrării de față, denumit „MATRICE”, sunt prezentate noțiunea de matrice și operațiile algebrice cu matrice împreună cu proprietățile lor.

Capitolul al doilea, „DETERMINANȚI” prezintă tipurile de determinanți, proprietățile acestora și metodele de calcul. Cu ajutorul inversei unei matrice se obține o nouă metodă de rezolvare a ecuațiilor matriceale.

În cadrul capitolului „REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAȚII LINIARE CU AJUTORUL MATRICELOR”, se face legătura între matrice, determinant și sistem de ecuații liniare.

Sistemele de ecuații liniare au numeroase aplicații în practică și se pot identifica situații concrete care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic.

Capitolul „DETERMINANȚII ÎN GEOMETRIA ANALITICĂ” prezintă metode noi de obținere a ecuațiilor în geometria analitică și formule de calcul pentru arie și volum.

Deoarece dorim să dezvoltăm competențele necesare elevilor în secolul XXI (responsabilitate, adaptabilitate, abilități de comunicare, creativitate și curiozitate intelectuală, abilități de informare și educare media, abilități interpersonale și de colaborare), în ultimii ani se dorește înlocuirea momentelor de predare centrate pe profesor cu cele de învațare autentică centrate pe elev. Accentul se comută pe selectarea și aplicarea strategiilor didactice care pot asigura reușita la învățătură, dezvoltarea capacităților de investigare, a inițiativei creatoare, a capacităților de muncă independentă, care valorifică posibilitățile creatoare ale elevilor prin angajarea efectivă a elevului în activitatea de învățare și formare.

Se urmărește activizarea elevilor capabili de performanțe superioare, dar și a celor timizi, retrași, neîncrezători, cu dificultăți de adaptare la cerințele învățării școlare. Promovarea învățării active presupune și încurajarea parteneriatelor în învățare. Altfel spus, dacă elevii își construiesc cunoașterea proprie, nu înseamnă însă că fac acest lucru singuri, izolați. Adevărata învățare, aceea care permite transferul achizițiilor în contexte noi, este nu doar simplu activă (individual activă), ci interactivă.

Didactica modernă aduce în fața dascălilor o multitudine de metode interactive: mozaicul, metoda piramidei, învățarea dramatizată, brainstorming-ul, cadranele, diagrame, metoda ciorchinelui, cubul, proiectul, portofoliul. O parte din aceste aspecte sunt tratate în capitolul „ASPECTE METODICE”.

De exemplu:

Folosind metoda brainstorming și pornind de la întrebarea „Este folositor în viață să cunoaștem matricele și operațiile cu acestea?” se vor analiza câteva exemple din viața cotidiană care au dus la noțiunea de tabel de tip matriceal.

Folosind metoda mozaic, elevii sunt împărțiți în grupe de experți care vor calcula determinanții prin una din cele patru metode : regula triunghiului, regula lui Sarrus sau descompunerea după o linie sau o coloană.

În cadrul reformei educaționale actuale a învățământului românesc, un accent deosebit se pune pe utilizarea unor metode și tehnici de evaluare eficientă a elevilor, aceasta presupunând și o serie de metode alternative. Experiența de la catedră a demonstrat că nu se poate renunța definitiv la metodele tradiționale de evaluare, în favoarea celor alternative, dar se impune îmbinarea acestora în scopul optimizării actului didactic.

1. MATRICE

1.1. Noțiunea de matrice

Noțiunea care constituie obiectul acestui capitol este fundamentală în diferite ramuri ale matematicii (algebră, analiză, geometrie), cu multiple aplicații practice și teoretice.

Considerăm urmatorul sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute

, (1)

unde si sunt numere complexe. Numerele poartă denumirea de coeficienți ai necunoscutelor, iar se numesc termeni liberi.

A rezolva sistemul (1) înseamnă a determina toate sistemele ordonate de numere astfel încât înlocuind în sistem necunoscutele respectiv cu numerele fiecare dintre ecuațiile sistemului este verificată. Pentru cazul m = n = 2, sistemul se rezolvă folosind metoda reducerii sau substituției.

Cum practica impune rezolvarea unor sisteme care au un număr mare de ecuații și necunoscute, sunt necesare noi metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare.

Coeficienții care apar în scrierea ecuațiilor din sistem sunt importanți atât ca valoare, cât și ca poziție. Prin schimbarea unui coeficient se obține un nou sistem de ecuații cu alte soluții. Fiecărui sistemul i se atașează două tabele de numere

numite matricea sistemului, respectiv matricea extinsă a sistemului.

Studierea acestor matrice oferă metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare.

Un alt motiv care a impus introducerea noțiunii de matrice și a calculului cu matrice a fost algebrizarea noțiunii de transformare geometrică. Mai precis, unei transformări geometrice i se asociază o matrice, reducând astfel studiul transformărilor geometrice la studiul unor matrice de un anumit tip.

Fie mulțimea numerelor complexe. Vom nota cu si mulțimea primelor m, respectiv n numere naturale nenule.

Definitie. Se numește matrice de tipul (m,n) cu elemente numere complexe o funcție . Dacă notăm , îl putem reprezenta pe A sub forma

(2)

adică printr-un tablou cu m linii și n coloane ce cuprinde valorile funcției A. Datorită notației (2), în loc de matrice de tipul (m,n) se mai spune matrice cu m linii și n coloane. Numerele se numesc elementele matricei A.

Această matrice se notează . Pentru elementul , indicele i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice , j, indică pe ce coloană este situat. Se observă ca o matrice de tipul (m,n) are mn elemente.

Mulțimea matricelor de tipul (m,n) cu elemente numere complexe se notează prin . Aceleași semnificații au și mulțimile , care reprezintă mulțimile matricelor de tipul (m,n) cu elemente numere reale, raționale și întregi.

Cazuri particulare

1) Dacă m = 1, o matrice de tipul (1,n) (cu o linie și n coloane) se numește matrice linie și are forma

.

2) Daca n = 1, o matrice de tipul (m,1) (cu m linii și o coloană) se numește matrice coloană și are forma

.

3) O matrice de tipul (m,n) se numește matricea zero dacă toate elementele ei sunt egale cu zero. Se notează cu

.

4) Dacă m = n, o matrice de tipul (n,n) (numărul de linii este egal cu numărul de coloane) se numește matrice patratică de ordinul n.

.

Sistemul ordonat de elemente se numește diagonala principală a matricei A, iar suma acestor elemente se numește urma matricei A notată Tr(A). Sistemulesc elementele matricei A.

Această matrice se notează . Pentru elementul , indicele i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice , j, indică pe ce coloană este situat. Se observă ca o matrice de tipul (m,n) are mn elemente.

Mulțimea matricelor de tipul (m,n) cu elemente numere complexe se notează prin . Aceleași semnificații au și mulțimile , care reprezintă mulțimile matricelor de tipul (m,n) cu elemente numere reale, raționale și întregi.

Cazuri particulare

1) Dacă m = 1, o matrice de tipul (1,n) (cu o linie și n coloane) se numește matrice linie și are forma

.

2) Daca n = 1, o matrice de tipul (m,1) (cu m linii și o coloană) se numește matrice coloană și are forma

.

3) O matrice de tipul (m,n) se numește matricea zero dacă toate elementele ei sunt egale cu zero. Se notează cu

.

4) Dacă m = n, o matrice de tipul (n,n) (numărul de linii este egal cu numărul de coloane) se numește matrice patratică de ordinul n.

.

Sistemul ordonat de elemente se numește diagonala principală a matricei A, iar suma acestor elemente se numește urma matricei A notată Tr(A). Sistemul ordonat de elemente reprezintă diagonala secundară a matricei A. Mulțimea acestor matrice se notează . Matricea pătratică de ordinul n

care are pe diagonala principala numerele 1, iar restul elementelor sunt egale cu 0 se numește matrice unitate.

5) O matrice patratică în care toate elementele situate sub diagonala principală sau deasupra ei sunt nule, se numește matrice triunghiulară. Ea poate avea formele

6) O matrice patratică în care toate elementele situate sub diagonala principală și deasupra ei sunt nule, se numește o matrice diagonală.

1.2. Operații cu matrice

Egalitatea a două matrice

Definiție. Fie,. Spunem că matricele A, B sunt egale și scriem A = B dacă =, ,.

Exemplu: Să se determine numerele reale x, y astfel încăt să avem egalitatea de matrice

.

R. Matricele sunt egale dacă elementele corespunzătoare sunt egale, adică:

Rezolvând acest sistem găsim soluția: x = 1, y = 27.

Adunarea matricelor

Se pot aduna doar matrice de același tip.

Definiție. Fie,, . Matricea C se numește suma matricelor A, B dacă

=+, ,.

Folosind notatia (2), adunarea matricelor A si B se transcrie astfel:

+=.

Exemplu: Să se calculeze suma de matrice , unde si n este multiplu de trei.

Din , obținem . Avem .

Proprietățile adunării matricelor

Adunarea matricelor este asociativă, adică:

, A, B, C .

Adunarea matricelor este comutativă, adică:

, A, B.

Adunarea matricelor admite matricea zero ca element neutru, adică astfel încât A += A, A.

Orice matrice A are un opus, notat, astfel încât .

Matricea se numește opusa matricei A.

Dacă A, B suma A+(-B) se noteaza simplu A – B și se numeste diferența dintre cele două matrice. Operația prin care oricăror doua matrice li se asociaza diferența lor se numește scădere.

Înmulțirea cu scalari a matricelor

Definiție. Fie și A =. Se numește produsul dintre scalarul și matricea A, matricea notată definită prin =. Operația prin care se obtine produsul se numește inmulțirea cu scalari la stanga, deoarece se scrie la stânga.

A înmulți o matrice cu un scalar înseamna a înmulți toate elementele matricei cu acest scalar.

Deci =.

Exemplu Fie . Atunci 6A = .

Proprietățile înmulțirii cu scalari a matricelor

,1, A;

, , A;

, , A;

, , A,B;

, , A, B.

Înmulțirea matricelor

Definiție. Fie A =, B =. Produsul dintre matricele A și B (în această ordine), notat AB este matricea C = definită prin

, ,.

Produsul a două matrice A si B se poate efectua doar dacă A, B, adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B și se obține o matrice C = AB. Înmulțirea matricelor nu este o operație definită pe mulțimea tuturor matricelor, ea este asemănătoare compunerii funcțiilor. Dacă matricele sunt pătratice A, B atunci are sens întotdeauna atât AB cât și BA. În general, ABBA adică înmulțirea matricelor nu este, în general, comutativă.

Exemplu: Calculați produsele de matrice , unde și

Proprietățile înmulțirii matricelor

Înmulțirea matricelor este asociativă, adică

,A,B,C.

Înmulțirea matricelor este distributivă în raport cu adunarea matricelor, adică

A, B, C matrice pentru care au sens operațiile de adunare și înmulțire.

În mulțimea există un element neutru față de înmulțire, care se noteaza și se numește matricea unitate. Existența matricei unitate este conditionată de faptul că matricea A să fie pătratică de același ordin cu .

A.

Puterile unei matrice

Fie A o matrice și vrem să definim diferitele sale puteri naturale. Dacă A este o matrice de tipul (m,n), atunci existența puterii atrage condiția ca n = m, deci matricea trebuie să fie pătratică.

Definiție. Fie A. Dacă și , atunci,…, , n. Prin recurența , k.

Convenim .

Exemplu: Fie . Să se calculeze , .

Inducție matematică

(A)

Deci .

Fie A și B matrice pătratice de același ordin. Deoarece produsul celor doua matrice nu este întotdeauna comutativ, nu se poate aplica formula pătratului binomului și . De aceea nici puterea nu se poate dezvolta după regula binomială Newton, decât dacă matricele comută AB=BA.

În cazul unei puteri de forma , unde I este matricea unitate de același ordin cu A. vom avea

Exemplu: Fie matricea A; , . Să se calculeze și și apoi să se determine, în funcție de n.

Soluție.

Inducție matematică

(A)

Deci .

Teorema Cayley – Hamilton. Orice matrice A își verifică polinomul caracteristic .

Pentru n = 2.

.

polinom caracteristic

Generalizat

Exemplu: Dacă , să se arate că .

Solutie. Fie polinomul caracteristic al matricei A . Fie rădăcina de ordinul trei a unității. Are loc relația . Din ea se obtine

Ținând cont că obținem funcție de gradul II cu o necunoscuta a care are minim ( coeficientul lui a2 este pozitiv).

minim care are valoarea

Se obține astfel

, unde b=detA deci .

1.3. Transpusa unei matrice

Fie o matrice de tipul (m,n). Matricea care se obține schimbând între ele liniile cu coloanele matricei A se numește transpusa matricei lui A. Se observă că este o matrice de tipul (n,m). Dacă A este o matrice pătratică de ordinul n, atunci transpusa sa este tot o matrice pătratică de ordinul n.

Au loc urmatoarele proprietăți:

Dacă A, B , atunci .

Dacă A si B, atunci .

Dacă A si , atunci

Exemple:

Fie . Arătați ca

Soluție. .

Din relația lui Cayley Hamilton obținem pentru A: . Dar .Obținem . De aici rezultă .

Dacă Dacă .

Analog se obține pentru .Cum calculăm .

Fie astfel încât Să se arate că Tr(A)=Tr(B)=0.

Soluție.

Se obține

.

Aplicând relația lui Cayley Hamilton rezultă .

Ținând cont de relațiile de mai sus avem

Înlocuim în și obținem .

Dacă TrA=0 și din rezultă că TrB=0 deci TrA=TrB=0.

Soluție. Din relația lui Cayley Hamilton rezultă . Atunci . Aplicând si TrI=2 obținem . De aici . Folosim relația anterioară pentru A+xI și obținem .

1.4. Spațiul vectorial al matricelor

Considerăm mulțimea matricelor de tipul (m,n) cu elemente numere complexe cu operațiile adunarea matricelor și înmulțirea cu scalari. Din proprietățile acestor două operații reținem urmatoarele opt proprietăți:

Oricare ar fi A, B, avem.

Oricare ar fi A, B, C , avem.

Există , care are proprietatea A += A, A.

Orice matrice A are un opus, notat, astfel încât .

Dacă A,B si, atunci .

Dacă A si , atunci .

Dacă A si , atunci .

Dacă A, atunci ,1.

Multimea cu operațiile de adunare a matricelor și înmulțirea cu scalari și având proprietățile 1-8 se numește spatiul vectorial al matricelor de tipul (m,n) cu scalari numere complexe.

Dacă n = 1 sau m = 1 obținem spațiile vectoriale , respectiv ale matricelor coloana, respectiv linie. Cum , ca mulțime, este constituita din matricele de forma este clar ca se identifică cu produsul cartezian . Un element este un sistem ordonat de n numere complexe, adică unde . În acest caz, adunarea și înmulțirea cu scalari se scriu astfel: dacă , sunt două elemente din si , atunci și .

Similar se obțin , respectiv spațiile vectoriale al matricelor de tipul (m,n) cu elemente numere reale, respectiv raționale.

Fie si . Matricea se va numi o combinație liniară de matricele . Vom spune că sunt liniar independente dacă oricare ar fi cu proprietatea că să implice .

Sistemul este un sistem de generatori pentru spațiul vectorial dacă oricare ar fi , există astfel încât . Altfel spus orice este o combinație liniară de .

Un sistem de elemente din care este în același timp liniar independent și sistem de generatori se numește baza a spațiului vectorial .

Să considerăm în matricele unde , definite astfel: la intersecția liniei „i” cu coloana „j” este numărul 1, iar restul elementelor sunt zero. Sistemul care are mn elemente este o baza, numită baza canonică a spațiului vectorial . Dacă m =1, devine spațiul vectorial al matricelor linie. Baza canonică are n elemente și este formată din elementele .

1.5. Transformări liniare și matricea asociată

Fie spațiul vectorial , cu scalari în mulțimea numerelor reale . Acest spațiu vectorial are baza canonică , unde .

Definiție. O funcție se numește transformare liniară dacă oricare ar fi si avem ca .

Proprietățile transformărilor liniare:

1. pentru orice ;

2. pentru orice si .

În plus , unde

Dacă sunt două transformări liniare si , atunci , af si sunt transformări liniare. Transformarea liniara se numește suma transformărilor liniare f si g, af se numește produsul transformării f cu scalarul si este compunerea funcțiilor.

Fie o transformare liniara și un element oarecare din . Folosind baza canonică avem că și ceea ce ne arată că transformarea liniară f este perfect determinată dacă se cunosc valorile . Cum , putem scrie

unde oricare ar fi .

Vom nota cu matricea .

se numește matricea asociată transformării liniare . Transformarea f este perfect determinată de matricea asociată .

Teorema. Următoarele afirmații sunt echivalente:

Corespondența între mulțimea transformărilor liniare ale lui și mulțimea matricelor pătratice de ordinul n, este bijectivă.

Dacă sunt două transformări liniare și, atunci au loc egalitățile:

.

Exemple de transformări liniare. Fie planul în care am fixat un reper cartezian xOy, adică un sistem de două axe perpendiculare orientate care au originea comună – punctul O. În acest caz, orice punct M din planul este perfect determinat de coordonatele sale x, y care sunt două numere reale: x se numește abscisa punctului M și y se numește ordonata punctului M. În acest caz , punctul M se va nota M(x,y).

Simetria în raport cu originea

Vom nota cu transformarea planului care asociază punctului M punctul , astfel încât vectorul este opus vectorului . Dacă trecem la scrierea în coordonate, avem că . este o transformare liniară. Cum , rezultă că matricea asociată lui în baza este .

Exemplu

Omotetia în raport cu originea

Fie un număr real nenul. Omotetia H în raport cu originea O este o transformare geometrică care asociaza punctului M punctul astfel încât . Dacă trecem la scrierea în coordonate avem că . H este o transformare liniara. Cum și , rezultă că matricea asociată în baza în este . Observăm că dacă k = -1, omotetia este simetria în raport cu originea.

Exemplu.

.

Simetria în raport cu o dreaptă care trece prin origine

Fie o dreaptă d care trece prin origine. Notăm cu transformarea planului P care asociază fiecărui punct M un punct astfel încât dacă ; dacă este un punct din planul P astfel încât d este mediatoarea segmentului .

Să presupunem că dreapta d face cu axa Ox unghiul ; atunci la scrierea în coordonate avem că unde și . este o transformare liniară. Cum și , atunci matricea asociată este .

Dacă , atunci d este axa Ox și deci simetria în raport cu axa Ox este funcția . Dacă , obținem simetria în raport cu axa Oy, definită prin .

Exemplu:

Rotația în jurul originii de un unghi dat

Fie un număr din intervalul (-2, 2). Rotația de centru O (originea axelor) și măsura orientată este acea transformare care asociază punctului O pe el însuși și oricărui punct , punctul astfel încât și măsura orientată a unghiului orientat este egală cu radiani.

Dacă trecem la scrierea în coordonate avem că , , unde și . este o transformare liniară. Deoarece și , atunci matricea asociată transformării este .

Exemplu.

.

2. DETERMINANȚI

2.1. Definiția determinantului de ordin n4

Noțiunea de determinant este strâns legată de cea de matrice, ambele fiind concepte fundamentale în algebră.

Familia determinanților este atașată familiei matricelor pătratice, fiecărei astfel de matrice îi corespunde un determinant. Dacă A este o matrice patratică, determinantul atașat ei, notat det A sau d, este un element unic determinat, corespondența fiind de forma AdetA. În sens invers, nu putem vorbi despre o astfel de corespondența existând posibilitatea ca mai multe matrice pătratice, chiar de ordine diferite, să aibă acelasi determinant.

Dacă A este matrice pătratică de ordin oarecare determinantul său se scrie și sub forma din care obținem prin calcul numarul detA.

Definiție. Determinantul matricei este numărul

și se numește determinant de ordinul doi. Termenii , se numesc termenii determinantului de ordinul doi.

Definiție. Determinantul matricei este numărul

și se numește determinant de ordin trei. Termenii care apar în formulă se numesc termenii dezvoltării determinantului.

Pentru calcularea determinantului de ordin trei se utilizează urmatoarele metode.

Regula lui Sarrus

Fie determinantul de ordin 3, Pentru a calcula un astfel de determinant se scriu sub liniile determinantului primele două linii

Se face produsul elementelor de pe diagonale. Produsele se adună, iar produsele se scad. Suma algebrică a celor șase produse dă valoarea determinantului de ordin 3. Acest procedeu de calcul se numește regula lui Sarrus.

Regula triunghiului

Am văzut că determinantul de ordin trei are în dezvoltarea sa șase termeni, trei cu semnul plus și alți trei cu semnul minus.

Primul termen cu plus se găsește înmulțind elementele de pe diagonala principală, iar ceilalți doi, înmulțind elementele situate în vârfurile celor două triunghiuri care au o latură paralelă cu diagonala principală. După aceeași regulă, referitoare la diagonala secundară, se obțin termenii cu minus.

Regula lui Sarrus și regula triunghiului se aplică numai determinanților de ordin trei.

Exemplu: Calculați:

Dezvoltare după o linie sau o coloană( recurență)

Calcularea determinantul de ordin 3 se poate face cu ajutorul unor determinanti de ordinul doi. Grupând termenii avem

detA=, adică

Determinanții de ordinul doi se obțin din cel inițial de ordinul trei. Acești determinanți se numesc minori și se noteaza cu , iar metoda de calcul se numește dezvoltare după prima linie. Dezvoltarea se poate face după orice linie sau coloană, iar rezultatul, detA, se poate obține dacă fiecare termen al sumei este luat sub forma . Se obțin următoarele dezvoltări:

, (1)

. (2)

Egalitatea (1) se mai numește dezvoltarea determinantului după elementele liniei întâi, iar egalitatea (2) se numește dezvoltarea determinantului după elementele coloanei întâi. Formulele (1) și (2) sunt relații de recurență, deoarece determinantul de ordin trei se exprimă cu ajutorul unor deteminanți de ordin inferior (doi).

Calcularea determinantului unei matrice de ordinul patru se face prin procedeul dezvoltarii după o linie sau coloană. Prin dezvoltare se obțin patru determinanți de ordinul trei, problema transferându-se la calcularea unor determinanți de ordin inferior.

Exemplu: Să se rezolve ecuația:

Definiția determinantului de ordin n

Termenii determinanților de ordinul doi si trei sunt produse de elemente aparținând la linii si coloane distincte. Orice astfel de produs este termen în formula determinantului.

Fie o matrice pătratică de ordinul n, . Vom forma toate produsele posibile de n elemente aparținand la linii și coloane distincte. Un astfel de produs este de forma , unde sunt toate elementele mulțimii , eventual în altă ordine. Putem considera permutarea de gradul n, și produsul anterior se scrie .

Numărul total al produselor este egal cu numărul tuturor permutarilor de grad n, deci n! . În definiția determinantului de ordinul n , produsul trebuie să aibă semnul + sau – după cum permutarea are semnul (signatura) + sau -.

Definiție. Numărul unde Sn este mulțimea tuturor permutărilor de gradul n și se notează de obicei astfel :

Produsul se numește termen al determinantului de ordinul n.

Calculul unui determinant de ordin n se poate face prin recurență cu ajutorul determinanților de ordin n – 1.

Fie A=.

Definiție. Se numește minor asociat elementului determinantul matricei pătratice de ordin n – 1 obținut prin suprimarea liniei i și coloanei j din matricea A. Se notează acest minor prin sau .

Definiție. Se numește complement algebric al elementului numărul . Exponentul al lui (–1) este suma dintre numărul liniei i și coloanei j pe care se află .

Unui determinant de ordinul n i se pot asocia n2 minori de ordinul n-1 si respectiv n2 complemenți algebrici.

Teoremă. Fie determinantul de ordinul n, . Atunci pentru orice are loc egalitatea Egalitatea poarta denumirea de dezvoltarea determinantului d dupa linia i, iar pentru orice se numește dezvoltarea determinantului d dupa coloana j.

Consecință. Fie determinantul de ordinul n, . Atunci pentru orice au loc egalitățile și unde .

Pentru a obține prima relație înlocuim în linia j cu linia i. Determinantul obținut este nul, deoarece are două linii identice. Făcând dezvoltarea noului determinant după linia j obținem egalitatea cerută. La fel se procedează pentru a obține cea de a doua relație.

Pentru a simplifica calculele vom face dezvoltarea unui determinant după linia sau coloana care are cel mai mare număr de elemente egale cu zero.

Proprietățile determinanților

Determinanții au o serie de proprietăți deosebit de utile în aplicații.

Proprietatea 1. Determinantul unei matrice coincide cu determinantul matricei transpuse. Adică dacă A, atunci .

Proprietatea 2. Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricei este nul.

Proprietatea 3. Dacă într-o matrice schimbăm două linii (sau două coloane) între ele obținem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei inițiale.

Proprietatea 4. Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice, atunci determinantul său este nul.

Proprietatea 5. Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrice sunt înmulțite cu un număr obținem o matrice al cărei determinant este egal cu înmulțit cu determinantul matricei inițiale.

Proprietatea 6. Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrice sunt proporționale, atunci determinantul matricei este nul.

Proprietatea 7. Dacă linia i a unei matrice A este suma a doi vectori, atunci determinantul ei este egal cu suma a doi determinanți corespunzători matricelor care au aceleași linii ca A, cu excepția liniei i unde au câte unul din cei doi vectori.

.

Proprietatea 8. Dacă o linie (sau o coloană) a unei matrice pătratice este o combinație liniară de celelalte linii (sau coloane), atunci determinantul matricei este zero.

Proprietatea 9. Dacă la o linie (o coloană) a matricei A adunăm elementele altei linii (sau coloane) înmulțite cu același număr, atunci această matrice are același determinant ca și matricea A.

Proprietatea 10.

Proprietatea 11. A.

Proprietatea 12. Dacă A= este o matrice triunghiulară (sau diagonală), atunci . (Valoarea determinantului este egală cu produsul elementelor de pe diagonala principală).

Proprietatea 13. Dacă A, B, atunci (Determinantul produsului a două matrice pătratice este egal cu produsul determinanților acelor matrice).

În particular n.

Exemple:

Dacă sunt rădăcinile ecuației să se calculeze determinantul

.

Soluție.

Să se rezolve ecuația:

Soluție.

2.4. Matricea inversabila. Inversa unei matrice

Ne propunem să stabilim în ce condiții există inversa unei matrice, adică o matrice care înmulțită cu cea dată să dea matricea unitate. Fiind dată , vom nota cu inversa ei și cum înmulțirea matricelor nu este comutativă, această matrice trebuie să satisfacă egalitațile: In fiind matricea unitate.

Considerăm matricea A pe care o presupunem de tipul (m,n), iar inversa va fi de tipul (n,m) pentru a putea defini produsele de matrice. Matricele si sunt de tipul (m,m), respectiv (n,n), dar din cauza egalității rezultă că m=n. Așadar nu pot avea inverse decât matricele pătratice.

Definiție. Se spune că matricea A pătratică de ordinul n este inversabila dacă exista o matrice pătratică notată A-1 de ordinul n astfel încât . În acest caz se numește inversa matricei A.

Aplicând proprietățile determinanților obținem relația , ceea ce ne arată că . Nu poate admite inversa decât o matrice al carei determinant este nenul. O astfel de matrice se numește nesingulară.

Aflarea efectivă a inversei unei matrice se realizează parcurgând trei etape.

Construcția matricei transpuse

Dacă atunci transpusa lui A este

Construcția adjunctei

Matricea , obținută din , înlocuind fiecare element cu complementul său algebric se numește adjuncta matricei A.

Construcția inversei

Se ține cont de teorema precedentă și se găsește că:

iar de aici

Inversa este matricea .

2.5. Ecuații matriceale

Multe probleme pot conduce la ecuații sau sisteme de ecuații în care necunoscuta sau necunoscutele pot fi matrice. Vom prezenta în continuare o tehnică de rezolvare a unor ecuații de forma , , , unde A, B, C sunt matrice pătratice inversabile cunoscute, iar X este matricea căutata. Astfel de ecuații se numesc ecuații matriceale.

Pentru rezolvarea ecuației înmulțim la stânga egalitatea cu și avem .

Deci soluția ecuației date este .

Pentru determinarea soluției ecuației vom înmulți la dreapta cu și analog vom găsi . Pentru găsirea soluției ecuației înmulțim egalitatea la stanga cu și la dreapta cu și obținem .

3. REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAȚII LINIARE CU AJUTORUL MATRICELOR

3.1. Sisteme de ecuații liniare. Generalități

Fie un sistem de m ecuații cu n necunoscute. Notăm necunoscutele prin

.

Numerele poartă denumirea de coeficienți ai necunoscutelor, iar se numesc termeni liberi. Sistemul poate fi condensat sub forma:

.

Coeficienții necunoscutelor formează o matrice cu m linii si n coloane numită matricea coeficienților sistemului sau matricea sistemului, iar matricea cu m linii și n+1 coloane care se obține adaugând la coloanele matricei A coloana termenilor liberi se numește matricea extinsă a sistemului.

Un sistem de numere se numește soluție a sistemului dacă înlocuind necunoscutele respectiv prin aceste numere, toate ecuațiile acestui sistem sunt verificate, adică . Un sistem de ecuații care nu are soluții se numește incompatibil. Un sistem de ecuații liniare care are cel puțin o soluție se numește compatibil. Un sistem compatibil se numește determinat dacă are o singura soluție și se numește nedeterminat dacă are mai mult de o soluție.

În legătură cu sistemele de ecuații liniare ne punem problema stabilirii unor metode care să permită să decidem dacă un sistem de ecuații dat este compatibil sau nu, iar in cazul în care este compatibil, să dăm procedee de găsire a soluțiilor sale.

Regula lui Cramer

Fie sistemul cu n ecuații cu n necunoscute

unde si , sunt numere complexe. Să presupunem că determinantul sistemului este nenul. Făcând notațiile următoare: A matricea sistemului, X coloana necunoscutelor și B coloana termenilor liberi

sistemul se poate rescrie sub forma unei ecuații matriceală: AX=B. Fie d = detA determinantul sistemului și , , determinatul care se obține din d prin înlocuirea coloanei j prin coloana B. De exemplu

Teorema ( Regula lui Cramer). Cu notațiile de mai inainte , dacă d = detA este nenul, atunci sistemul are o solutie unică, anume: .

În concluzie, un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute, al cărui determinant este nenul, este compatibil determinat, iar soluția sa este dată de formulele lui Cramer.

Rangul unei matrice

Noțiunea introdusa în acest paragraf joacă un rol esențial în studiul compatibilității unui sistem. O introducem folosind o matrice oarecare

și presupunem că se considera un număr r, de linii si coloane din ea. Atunci elementele situate la intersecțiile acestora formează o matrice patratică de ordinul r căreia îi putem atașa un determinan. Dacă se pot obține mai mulți astfel de determinanți pe care îi numim minori de ordinul r. Să presupunem că unul dintre minorii de ordinul r, ai matricei A este nenul, iar toți minorii de ordin mai mare sunt nuli. În această situație spunem că ordinul r reprezintă rangul matricei A (matricea are rangul r).

Definiție. Fie o matrice nenulă. Spunem că matricea A are ordinul r dacă exista un minor nenul de ordin r, cu și toți minorii lui A de ordin mai mare decât r (dacă există ) sunt nuli. Scriem rang A = r .

Observație. Dacă A este matricea nulă, convenim să spunem că matricea are rangul 0, adică rang.

Observație. Rangul produsului a două matrice este mai mic sau egal cu rangul fiecarei matrice.

Observație. Rangul unei matrice nu se schimbă dacă:

Se transpune matricea;

Se inmulțesc elementele unei linii sau unei coloane cu un număr nenul;

Se permută între ele două linii(coloane);

Se adaugă la elementele unei linii (coloane) elementele corespunzătoare ale altei linii (coloane) înmulțită cu un număr oarecare.

Pentru a calcula rangul unei matrice, trebuie să trecem în mod iterativ de la un minor la cei de ordin mai mare, obtinuți prin bordarea cu linii si coloane dintre cele rămase în afara minorului considerat. Rangul unei matrice se poate calcula în modul următor :

Fiind dată o matrice nenulă aceasta are neapărat un minor de ordinul întâi nenul (putem lua orice element nenul al matricei).

Dacă am găsit un minor de ordinul k nenul, îl bordăm pe rand cu elementele corespunzatoare ale uneia dintre liniile și uneia dintre coloanele rămase, obținand astfel toți minorii de ordinul k+1 care îl conțin. Dacă toți acești minori sunt nuli, rangul matricei este r=k.

Dacă cel puțin unul dintre aceștia (de ordinul k+1) este nenul, atunci reținem unul dintre ei și continuăm procedeul.

Exemplu: Sǎ se calculeze rangul matricei .

Soluție. Calculǎm minorii de ordinul trei ai matricei

Se observǎ cǎ toți minorii de ordin trei sunt nuli dacǎ și existǎ un minor de ordin doi nenul pentru orice real (de exemplu ).

Deci , dacǎ matricea consideratǎ are rangul doi, iar pentru matricea are rangul trei.

Sisteme de ecuații liniare

Ne vom ocupa în acest paragraf de studiul unui sistem oarecare de ecuații liniare, fără a impune ca numărul necunoscutelor să fie egal cu numărul ecuațiilor. Rezultatele obținute vor fi valabile și în cazul în care numărul ecuațiilor este egal cu numărul necunoscutelor sau determinantul este nul.

Fie un sistem de ecuații liniare cu m ecuații și n necunoscute:

.

Pentru a stabili compatibilitatea sistemului analizăm matricea A a coeficienților și matricea extinsă , care se obține din A completând coloanele sale cu coloanele termenilor liberi ai sistemului

Este evident că , deoarece minorii matricei A se găsesc printre minorii matricei extinse .

Teorema lui Kronecker-Capelli. Un sistem de ecuații liniare este compatibil dacă și numai dacă rangul matricei sistemului A este egal cu rangul matricei extinse .

Utilizarea acestei teoreme necesită calculul rangului matricei A. Pentru aceasta trebuie să găsim un minor nenul al lui A, fie acesta d , astfel încat toți minorii care conțin pe d să fie nuli. Orice astfel de minor îl vom numi minor principal. Apoi verificăm dacă orice minor al matricei , care îl conține pe d și care nu este minor al lui A, este de asemenea nul. Orice astfel de minor de ordinul r+1, obținut prin bordarea unui minor principal cu elementele corespunzătoare ale coloanei termenilor liberi, precum și cu cele ale uneia dintre liniile rămase, se numește minor caracteristic.

Teorema lui Kronecker-Capelli se poate enunța și sub forma următoare:

Teorema lui Rouche. Un sistem de ecuații este compatibil dacă și numai dacă toți minorii caracteristici sunt nuli.

Teorema Kronecker-Capelli ne permite să decidem dacă sistemul este compatibil sau nu, dar nu ne da un mijloc practic de aflare a tuturor soluțiilor sistemului dat. Să presupunem acum că sistemul este compatibil și rangA = rang = r, unde . Distingem două cazuri:

Dacă r = n, sistemul are același număr de ecuații și de necunoscute, iar determinantul său este nenul. În acest caz, sistemul are o soluție unică, pe care o putem determina cu formulele lui Cramer.

Fie . Pentru a fixa ideile, vom presupune că minorul format din coeficienții primelor r necunoscute este nenul, adică principal. Necunoscutele se numesc principale, iar secundare. Trecem în membrul drept toți termenii care conțin necunoscute secundare și le atribuim valori arbitrare . Obținem un sistem de r ecuații cu r necunoscute . Se rezolvă acest sistem cu formulele lui Cramer; el are o soluție unică . Numerele formează o soluție a sistemului de ecuații liniare cu m ecuații si n necunoscute. Cum valorile sunt alese arbitrar, obținem o infinitate de soluții distincte ale sistemului, care constituie multimea soluțiilor sistemului.

Pentru rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosim algoritmul următor:

Studiem dacă sistemul este compatibil. Pentru aceasta găsim un minor principal al matricei A a sistemului, apoi calculăm minorii caracteristici.

Dacă există cel puțin un minor caracteristic nenul, atunci sistemul este incompatibil.

Dacă toți minorii caracteristici sunt nuli, atunci sistemul este compatibil.

Pentru găsirea soluțiilor unui sistem compatibil, procedăm astfel: păstram din sistem ecuațiile care corespund liniilor minorului principal. În aceste ecuații, trecem în membrul drept termenii care conțin necunoscutele secundare, în membrul stâng păstrând numai termenii care conțin necunoscutele principale. Atribuim necunoscutelor secundare valori arbitrare, apoi calculăm cu ajutorul formulelor lui Cramer valorile necunoscutelor principale, obținând astfel toate soluțiile sistemului.

Exemplu: Fie sistemul

Scrieți matricea sistemului A.

Determinați rangul matricei A

Pentru ce valori ale lui sistemul este compatibil?

Soluție.

a) A=

b) rangA=2 deoarece

c) Sistemul are un singur minor caracteristic și este compatibil dacă acesta este nul:

Sisteme de ecuații liniare omogene

Un sistem de ecuații liniare se numește omogen dacă termenul liber al fiecarei ecuații este nul( adică fiecare ecuație este omogenă). Așadar, forma generală a unui sistem omogen de ecuații liniare este

Un sistem omogen este întotdeauna compatibil. Termenii liberi fiind nuli, rezultă că adăugând la coloanele matricei sistemului coloana nulă a termenilor liberi rangul nu se schimbă. Deci conform teoremei Kroneker-Capelli, sistemul este compatibil.. Aceasta se vede direct, întrucât un astfel de sistem admite soluția nulă :0, 0, …, 0.

Să presupunem că matricea A a coeficienților este de rang r.

Dacă r = n (numărul necunoscutelor), atunci soluția nulă este singura soluție a sistemului.

Dacă r<n, atunci sistemul omogen are și soluții nenule. Pentru a găsi soluțiile, se utilizează același procedeu ca în cazul sistemelor arbitrare.

Metoda matriceală

Scrise sub forma matriceală, sistemele liniare ale căror matrice sunt pătratice, nesingulare pot fi rezolvate și în alt mod prezentat în continuare.

Fie sistemul liniar AX=B în care matricea A este nesingulară. În aceste condiții, există matricea inversa A-1 și dacă înmulțim la stânga ecuația dată, în ambii membri, cu această matrice, obținem X = A-1B. Rezultatul acestei operații este o egalitate de forma

De aici rezultă că , deci este soluția sistemului. Avem, în felul acesta, o metoda matriceala de rezolvare a unui sistem liniar.

Metoda lui Gauss

Această metodă presupune rezolvarea în pași a unui sistem liniar oarecare, indiferent dacă numărul necunoscutelor coincide sau nu cu numărul ecuațiilor și este prezentată în cazul unui sistem liniar de patru ecuații cu patru necunoscute.

Fie sistemul

Pasul 1. Presupunem și numim acest coeficient pivot. Dacă = 0, folosim alta ecuație în care coeficientul lui x1 este nenul.

Înmulțim prima ecuație în ambii membri cu , iar apoi între această ecuație și celelalte ecuații din sistem eliminăm necunoscuta x1 .

În felul acesta sistemul capătă forma

Dacă una dintre ecuațiile sistemului are coeficientul lui x1 egal cu unu, atunci aceasta intra în rol de prima ecuație și pasul continuă după cum am arătat.

Pasul 2. Procedăm analog cu a doua ecuatie , iar apoi între ea și ecuațiile a treia și a patra eliminăm x2. În felul acesta sistemul devine

Pasul 3. Se procedează precum la pasul anterior și astfel sistemul devine

după care rezolvarea decurge luând ecuațiile în ordine inversă.

Exemplu: Să se rezolve sistemul folosind metoda lui Gauss:

Soluție.

Alegem pivotul 1 din prima linie. Prima linie se inmulțește cu 2,1,2 și se scade pe rând din celelalte linii.

4. DETERMINANȚII ÎN GEOMETRIA ANALITICĂ

4.1. Dreapta în plan

Într-un plan se consideră un reper cartezian Oxy. Fiecărui punct i se asociază cuplul de numere (x,y) numite coordonatele punctului M. Aceste numere determină în mod unic punctul M în planul cartezian.

În funcție de același reper cartezian considerăm punctele .

Dreapta determinată de două puncte

Ecuația dreptei determinată de cele două puncte se poate scrie cu ajutorul unui determinant sub forma:

.

Exemplu: Să se determine ecuația dreptei care conține punctele și B(-3,-2).

Coliniaritatea a trei puncte

Dacă punctul aparține dreptei determinată de punctele , atunci condiția de coliniaritate a celor trei puncte este:

.

Pozițiile relative a două drepte în plan

Pentru a determina pozițiile relative a două drepte în plan studiem sistemul de ecuații asociat dreptelor .

Dacă , sistemul are solutie unică și dreptele sunt concurente.

Dacă , aceasta înseamnă că , adică și obținem următoarele rezultate :

Dacă , atunci dreptele sunt paralele.

Dacă , atunci dreptele sunt confundate.

Concurența dreptelor în plan

Un sistem liniar de forma , , reprezintă o familie de drepte . Problema existenței unor puncte comune tuturor acestor drepte revine la studiul compatibilității acestui sistem, iar pentru aceasta considerăm matricea sa și matricea extinsă

; .

Pentru cele două matrice și . Conform teoremei Kronecker-Capelli, dacă rangA= rang, sistemul are soluție unică și există un punct comun tuturor dreptelor Există urmatoarele cazuri:

1. . Sistemul nu are soluție, astfel de puncte nu există.

2. . Sistemul are o soluție unic determinată ; toate dreptele sunt concurente în punctul.

3. . Sistemul are o infinitate de soluții, deci dreptele sunt confundate.

Fiind date trei drepte de ecuații condiția ca cele trei drepte să fie concurente este , iar cel puțin unul dintre minorii săi de ordinul doi să fie nenul.

4.2. Planul și dreapta în spațiu

În spațiu se consideră un reper cartezian Oxyz. Fiecărui punct M i se asociază tripletul de numere (x,y,z) numite coordonatele punctului M. Aceste numere determină în mod unic punctul M .

Plan determinat de trei puncte

În funcție de același reper cartezian considerăm punctele . Ecuația planului determinat de cele trei puncte se poate scrie cu ajutorul unui determinant sub forma :

.

Dacă cele trei puncte reprezintă intersecțiile planului cu axele de coordonate, atunci ecuația planului va fi

.

Dreapta în spatiu

Drepta în spațiu se definește ca intersecția a două plane diferite care nu sunt paralele. Dacă cele două plane au ecuațiile sunt și , atunci dreapta lor de intersectie este . Parametrii directori (l,m,n) ai vectorului său director se deduc din matricea astfel .

Intersecția unei drepte cu un plan

Studierea punctelor comune ale unei drepte cu un plan revine la studierea compatibilității sistemului . Dacă , sistemul are soluția unică , deci dreapta intersectează planul într-un punct cu aceste coordonate.

Plan determinat de un punct și o dreapta

Dreapta (d) ce trece prin punctul și are direcția și un punct , care nu îi aparține, determină un plan a cărui ecuație este:

.

Plan determinat de două drepte paralele

Considerând dreptele paralele de ecuații:

ecuația planului determinat de cele două drepte este:

.

Plan determinat de două drepte concurente

Două drepte concurente

în punctul determină un plan unic, de ecuație

.

Concurența planelor

Un sistem liniar de forma , , reprezintă o familie de plane . Problema existenței unor puncte comune tuturor acestor plane revine la studiul compatibilității acestui sistem. Considerăm matricea sistemului și matricea sa extinsă

; .

Pentru cele două matrice si . Conform teoremei Kronecker-Capelli, dacă rangA= rang, sistemul are soluție unică și există un punct comun tuturor planelor. Există următoarele cazuri:

1. . Sistemul nu are soluție, astfel de puncte nu există.

2. . Sistemul are o soluție unic determinată ; toate planele sunt concurente în punctul.

3. . Sistemul are o infinitate de soluții, planele se intersectează după o dreaptă.

4. . Sistemul are o infinitate de soluții, planele sunt confundate.

Fiind date patru plane de ecuații, condiția ca cele patru plane să fie concurente este și cel puțin unul dintre minorii săi de ordinul trei este nenul.

4.3. Aplicații

Aria unui triunghi

Fie în raport cu un reper cartezian plan triunghiul cu vârfurile . Aria triunghiului folosind coordonatele vârfurilor este

.

Dacă triunghiul este raportat la un reper cartezian în spațiu și are vârfurile aria triunghiului se calculează cu formula

.

Exemplu: Fiind date punctele să se găsească pe dreapta y=3x-5 un punct M astfel încât ariile triunghiurilor MAB și MCD să fie egale.

Solutie. Dacă .

Coliniaritatea a trei puncte

Dacă punctele sunt , regăsim condiția de coliniaritate a trei puncte în plan . În spațiu, dacă punctele sunt condițiile ca trei puncte să fie coliniare sunt:

, , .

Exemplu: Să se determine pentru care punctele , B(3,3) și C(m,5) sunt coliniare.

Calcul de volume

Fie punctele necoplanare. Volumul tetraedrului se calculează cu formula .

Puncte coplanare

Fie punctele . Ele sunt coplanare dacă și numai dacă volumul tetraedrului pe care îl formează este nul. Condiția de coplanaritate a celor patru puncte este .

Puncte conciclice

Fie puncte . Condiția de conciclicitate a celor patru puncte este .

Produsul vectorial a doi vectori

Fiind dați vectorii se definește produsul vectorial ca fiind vectorul cu proprietățile:

este perpendicular pe planul determinat de vectorii ;

sensul vectorului este dat de regula burghiului;

modulul vectorului este egal cu , unde este unghiul format de vectorii .

Din definiție rezultă că dacă , atunci

, adica aria paralelogramului construit pe vectorii

Considerăm vectorii și scriși cu ajutorul proiecțiilor pe axele reperului cartezian rectangular Oxyz:

, ,atunci produsul vectorial se poate scrie:

=

Aceasta scriere se concentrează sub forma unui determinant:

Dacă se schimbă liniile a două și a treia între ele, se schimbă semnul determinantului ceea ce este în concordanță cu proprietatea de anticomutativitate a produsului vectorial: .

Produsul mixt a trei vectori

Fie trei vectori liberi. Numărul se numește produsul mixt al vectorilor .

Produsul mixt a trei vectori se obține efectuând următoarele operații:

înmulțind doi dintre ei vectorial ;

produsul vectorial al celor doi vectori îl înmulțim scalar cu .

Produsul mixt a trei vectori este o mărime scalară.

Considerăm vectorii, și scriși cu ajutorul proiecțiilor pe axele reperului cartezian rectangular Oxyz:

,, , atunci produsul vectorial se poate scrie:

==. Atunci produsul scalar va fi

==

Permutând circular liniile determinantului, valoarea lui rămâne aceeași. Schimbând două linii ale unui determinant între ele, i se schimbă semnul. Produsul mixt în care se repeta doi factori este nul, deoarece determinantul care îl definește are doua linii egale.

Pe vectorii si cu originea comună în O, construim paralelipipedul oblic care are acești vectori drept muchii. Produsul vectorial este un vector . Se știe că , adica aria paralelogramului construit cu vectorii

=, unde AA’ este distanța de la A la planul (OBC). Dacă se construiește paralelipipedul OBDCAB’D’C’ care are vectorii dați ca muchii, se observă că OBDC este baza iar AA’ este înalțimea . Deci produsul mixt reprezintă volumul acestui paraleipiped.

Permutarea circulară a factorilor produsului mixt corespunde cu permutarea circulara a liniilor determinantului și această operație nu schimbă valoarea sa . Deci și produsul mixt se păstrează. Schimbarea a doi factori între ei corespunde cu schimbarea între ele a doua linii ale determinantului în care caz el își schimbă semnul.

5. ASPECTE METODICE

5.1. STRATEGII ȘI MEE DE SPECIFICE PREDĂRII-ÎNVĂȚĂRII MATEMATICII

Conceptul de strategie se referă la un set de acțiuni desfășurate și orientate controlat către atingerea unui scop bine precizat și a unor finalități specifice. În sens educațional, conceptul de strategie semnifică ansamblul de decizii și acțiuni care vizează buna desfășurare și optimizarea fenomenelor educaționale întreprinse într-o organizație (clasa, scoala) pentru atingerea obiectivelor stabilite pe termen lung, mediu sau scurt. Pentru a face posibilă stăpânirea cu succes a diverselor situații de instruire, procesul de învățământ trebuie să aibă loc în baza unei abordări strategice.

Strategia didactica este modalitatea prin care profesorul alege, combină și organizează ansamblul de metode pedagogice, materiale didactice și mijloace de învățământ, precum și forme de organizare a spațiului de învățare și a grupului de elevi, într-o succesiune optimă pentru atingerea obiectivelor stabilite. Din perspectiva proiectării pe unități de învățare, strategia poate fi înțeleasă ca o modalitate de concepere, organizare și evaluare a unei succesiuni de activități de învățare. Întrucât activitățile de învățare sunt asociate unor obiective de referință/ competențe specifice, alegerea unor metode și mijloace, combinarea și organizarea optimă a situațiilor de învățare este realizată în scopul dobândirii competențelor prevăzute în curriculum, prin plasarea elevului în centrul acțiunii didactice.

Strategiile didactice sunt demersuri acționale și operaționale flexibile (ce se pot modifica, reforma, schimba), coordonate și racordate la obiective și situații prin care se creeaza condițiile predării și generării învățării, a schimbărilor de atitudini și de conduite în contexte didactice diverse, particulare.

Strategia cuprinde delimitări de structură și actiune care, identificate, facilitează proiectarea unui traseu procedural, conducând la eficientizarea procesului de transmitere a conținuturilor curriculare și de formare a competențelor.

Strategia didactica poate fi structurata pe niveluri astfel:

metode de instruire

mijloace de instruire

forme de organizare a instruirii

interacțiuni și relații instrucționale

decizia instrucționala focalizată pe obiective (ca rezultat al sintezei și interacțiunii elementelor enumerate anterior)

Operaționalizarea unei strategii didactice necesită o pregatire care debutează cu selectarea celor mai potrivite metode centrate pe elev pentru abordarea procesului instructiv educativ.

Metodologia didactică este definită ca fiind sistemul de metode și procedee didactice care asigură obiectivele informative și formative ale învățământului și constituie una dintre componentele esențiale ale curriculumului școlar.

Metoda didactica este ansamblul de principii, reguli, tehnici, procedee și operații constituite ca instrument al cunoașterii, cu menirea de a facilita și spori eficiența acesteia.

Procedeul didactic este o componenta a metodei cu acțiune tehnica limitată, un element de sprijin al metodei sau un mod concret de valorificare a metodei.

Mijloacele de învățământ reprezintă baza materială a unitații scolare, ca suport material al activităților cu elevii, asigură aplicarea principiului intuiției în procesul învățării.

Metodele didactice ca demersuri de acțiune desemnează modalități de execuție ale succesiunii operațiilor care conduc la realizarea sarcinilor de predare și învățare. Din acest punct de vedere, ca demersuri de acțiune, există metode care îl solicită mai mult pe profesor: prelegerea, expunerea; altele, mai mult pe elev: exercițiul, lectura individuală sau colectivă, rezolvarea de probleme, dar și metode care, în ponderi relativ egale, solicită acțiuni didactice atât profesorului, cât și elevilor: problematizarea, abordarea euristică.

Strategia didactică este deci un scenariu didactic complex, care plecând de la obiectivele și competențele educaționale vizate, implică actorii instruirii, condițiile realizării, metodele, mijloacele utilizate și prefigurează traseul metodic cel mai potrivit, cel mai logic și mai eficient pentru abordarea unei situații concrete de predare și învățare, astfel încât să se poate preveni erorile, riscurile și evenimente nedorite din activitatea didactică.

Curriculum național accentuează importanța demersurilor educaționale ce favorizează personalizarea predarii și formarea autonomiei de acțiune a elevului în procesul de învățare.

Strategii didactice utile învățării matematicii sunt acelea care vizeaza sprijinirea înțelegerii, a identificării semnificațiilor, dezvoltarea capacităților rezolutive, stimularea capacităților creative, formarea și dezvoltarea capacităților de conceptualizare prin învățare spontană, dar mai ales dirijată. Priceperile și deprinderile de muncă intelectuală presupun formarea și dezvoltarea acelor competențe pe care trebuie să le dobândească elevii pentru a fi capabili să înțeleagă singuri noțiunile, conceptele, fenomenele sau experiențele pe care le învață, studiază sau cercetează. Cunoștințele au valoare numai când sunt utile și înțelese conceptual, iar succesul integrării sociale este al celor care analizează critic informația și își construiesc propriile realități.

Activitățile instructive cu cea mai bună rată de memorare și asimilare sunt cele în care elevii:

Aplică în mod activ ceea ce au învățat;

Sunt solicitați să își formeze construcții mentale.

Sunt implicați în sarcini de lucru

Sunt antrenați să proceseze informația și să exerseze mai multe stiluri de învățare.

Cele mai folosite tipuri de strategii specifice activităților de învățare a matematicii sunt:

Strategii euristice de predare-învățare.

Strategii pentru dezvoltarea capacităților rezolutive.

Strategii de inițiere a elevilor în operații specifice procesului rezolutiv

Strategii de formare a unor deprinderi de lucru utile în rezolvarea de probleme

Strategii de progres a contribuției personale a elevilor în rezolvarea problemelor

Strategii de antrenare a elevilor în rezolvarea problemelor dificile.

Strategii de stimulare a creativității.

Strategiile euristice de predare-învățare au ca efect asupra elevilor stimularea operațiilor gândirii, judecăților, raționamentelor logice, conexiunilor mentale de explorare și conduc la descoperirea informației prin învățare activa, constientă. Utilizarea constantă de către profesor a strategiilor euristice în proiectarea procesului didactic asigură în mod natural transferul de la învățământul tradițional, centrat pe activitatea cadrului didactic și transmiterea informației, la învățământul modern, centrat pe implicarea activă a elevului în demersul de predare-învățare.

Utilizarea eficientă a strategiilor euristice de predare-învățare presupune mai mult decât cunoașterea simplei metode a conversației euristice. Aplicarea în clasă a strategiilor euristice de predare-învățare necesită dezvoltarea abilităților de abordare în colaborarea cu elevii, a unei serii bogate de metode cu ajutorul cărora să se realizeze simbioza celor două componente strategii de predare-invatare și contextul optim în care elevii să dobândească cunoasterea, informația.

Strategiile de predare gândite și alese de profesor pentru derularea demersului didactic trebuie să genereze în sala de clasa condițiile, starea, atmosfera în care toți elevii să beneficieze de strategii de învățare, sau, mai mult să reușească să își construiască propriile strategii de cunoaștere.

Pentru ca strategiile de predare să conducă cu certitudine la realizarea situațiilor optime în care elevii să ajungă la cunoaștere și să își dezvolte competentele este esențial să fie alese cele mai potrivite metode și procedee euristice. Ideal este ca proiectarea instruirii să vizeze realizarea acelor situații de învățare în care: dirijat, elevul învață; semidirjat, elevul își formează strategii de învățare a noului material; independent, își elaborează strategii rezolutive sau chiar strategii de autodirijare și control a propriei gândiri.

Metoda euristica este definită ca fiind calea specifică de rezolvare a unei probleme cu caracter general. Structura metodei euristice include mai multe procedee care practic sunt detalieri ale metodei, cu aplicabilitate restrânsă la diversele secvențe de învațare.

Procedele euristice sunt mecanisme ale gândirii care sugerează și stimuleaza generarea de conexiuni între cunoștințe însușite și experiențe trăite, conexiuni necesare rezolvării și care permit identificarea căii optime de rezolvare a problemei.

În procesul de învățare a matematicii centrate pe elev, strategiile didactice interactive oferă soluții structural-procesuale, dar și metodologice, prin modul particular de combinare a diferitelor metode, procedee, mijloace didactice și forme de organizare specifice.

Strategiile inductive sunt bazate pe un proces de abordare a conceptelor matematice de la particular la general. Prin observare dirijată și acțiune, elevii dobândesc treptat capacitatea de a generaliza. Acest tip de învățare constituie premisa pentru raționamentele de tip deductiv de mai târziu. Îmbinarea învățării inductive cu cea deductiva realizează fundamentul logic al instrucției, întrucât ambele forme de raționament sunt prezente în activitatea cognitiva a elevului, în toate situațiile de învățare. În procesul de învățare a matematicii, învățarea deductiva și cea inductiva se sprijină pe metodele verbale și intuitive.

Strategiile analogice se sprijină pe calitatea gândirii de a crea anologii, ca formă de manifestare a procesuluui de abstractizare în învățarea matematicii. Odată stabilite obiectivele de referința/competențele specifice și conținutul învățării din cadrul unei unități de învățare, cadrul didactic alege activitățile de învățare adecvate pentru realizarea obiectivelor de referința, identifica strategiile și modalitățile de evaluare a învățării.

În învățarea matematicii, strategia didactică trebuie să incorporeze o suită de metode, procedee și tehnici ordonate logic și selectate pe criteriul eficienței pedagogice. Eficiența unei metode este dată de calitatea acesteia de a declanșa un act de învățare și de gândire prin acțiune, de măsura în care metoda determină și favorizează reprezentări specifice etapelor de formare a conceptelor matematice într-un demers adaptat elevilor. Din acest motiv, învățarea matematicii impune reconsiderarea metodelor și folosirea strategiilor care pun accentul pe formarea de deprinderi și dobândirea de abilități prin acțiune.

Metode utilizate în învățare evaluare

O metoda de învățământ reprezintă o cale de organizare și dirijare a învățării în vederea atingerii obiectivelor specifice disciplinei, un ansamblu organizat de procedee. Metoda constituie modalitatea prin care se obtine transmiterea și insușirea conținutului noțional al activitatilor matematice. Specificitatea și aspectul logic al cunoștințelor matematice impun un caracter obiectiv metodelor de învățământ.

Metoda influențează și determină modul de receptare a conținutului, gradul de accesibilitate al cunoștințelor și valoarea informativa și formativ-educativa a actului didactic. Astfel între scop și continut, metoda apare ca un instrument în vederea atingerii finalităților urmărite. Metoda adecvată acțiunii propuse incorporeaza o suită de procedee ordonate logic. Fiecare procedeu reprezinta o tehnica de acțiune și rămâne o componenta particulară a metodei, un instrument de aplicare efectivă a metodei.

Metoda se constituie dintr-o varitate de procedee ce concură la atingerea scopului propus, iar eficiența metodei este asigurată de calitatea și varietatea procedeelor alese de câtre profesor. Ca elemente structurale ce caracterizează metoda, procedeele sunt subordonate finalităților urmărite, determinantă fiind relația dinamică între procedeu și metoda. De exemlu, metoda explicației devine procedeu în cadrul jocului, iar jocul poate constitui procedeu în cadrul metodei exercițiului.

Eficiența unei metode depinde de modul în care declanșeaza la elev actele de învățare și de gândire prin acțiune, de măsura în care determina și favorizează reprezentările specifice unei anumite etape de formare a noțiunii. Metodele constituie elementul esențial al strategiei didactice, ele reprezentând latura executorie, de punere în acțiune a întregului ansamblu ce caracterizează un curriculum dat.

Metoda poate fi considerată ca instrumentul de realizare cât mai deplină a obiectivelor prestabilite ale activității instructive. De aici și o mare grija pentru adoptarea unor metode variate, eficiente și adecvate nu numai specificului disciplinelor, profilului școlii, ci scopului general al învățământului și cerințelor de educație ale societății contemporane.

Opțiunea pentru o metoda sau alta este în strânsa relație și cu personalitatea profesorului și gradul de pregătire, predispozitie și stilurile de învățare a grupului cu care se lucrează. Metodele au calități ce exersează și elaborează funcții psihice și fizice ale elevului și conduc la formarea unor deprinderi noi intelectuale, aptitudini, atitudini, capacități și comportamente.

Exista diverse clasificări ale metodelor de învățământ. O sinteza este prezentată în continuare:

Metode de învățare prin comunicare orală:

Metode de învățare expozitive: descrierea, explicatia, povestirea didactică, prelegerea

Metode de învățare interogative: conversația, problematizarea

Metode de învățare prin comunicare scrisă:

Metode de învățare prin lecturare: lectura explicativă, lectura independentă

Metode de învățare prin explorare a realității:

Metode de învățare prin explorarea directă a realității: observarea sistemică, experimentul

Metode de învățare prin explorarea indirectă a realității: demonstrația, modelarea

Metode de învățare bazate pe acțiune:

Metode de învățare bazate pe acțiune reală: exercițiul, studiul de caz; proiectul, lucrările practice de atelier și de laborator

Metode de învățare bazate pe acțiunea fictivă: învățarea cu simulatoare, jocul de rol

Metode de raționalizare a învățării:

Metoda activității cu fișele

Metode algoritmice de instruire

Instruirea programată

Instruirea asistată de calculator

5.2. METODE TRADIȚIONALE

Explicația este o metodă verbală de asimilare a cunostințelor prin care se progresează în cunoaștere, oferindu-se un model descriptiv la nivelul relațiilor. Dacă explicația , ca metoda , este corect aplicată, ea își pune în valoare caracteristicile, iar elevii găsesc în explicație un model de raționament matematic, de vorbire, un model de abordare a unei situații-problemă; astfel aceștia înteleg mai bine ideile ce li se comunică.

La nivelul activităților matematice, explicația este folosită atât de cadrul didactic, cât și de elevi. Profesorul explică procedeul de lucru; explică termenii matematici prin care se verbalizează actiunea; explică modul de utilizare a mijloacelor didactice; explică reguli de joc și sarcini de lucru. Elevul explică modul în care a acționat; explică soluțiile găsite în rezolvarea sarcinii didactice, folosind limbajul matematic.

Explicația însoțește întotdeauna demonstrația și o susține. În cursul explicației se pot face întruruperi, cu scopul de a formula și adresa intrebări elevilor, prin care să se testeze gradul de receptare și înțelegere a celor explicate; întreruperile trebuie să fie de scurtă durată, pentru a nu rupe firul logic al demersului susținut. Metoda explicației se regasește în secvențele didactice ale diverselor tipuri de activități.

Demonstrația este metoda învățării pe baza contactului cu materialul intuitiv, contact prin care se obține reflectarea obiectului învățării la nivelul percepției și reprezentării. Demonstrația este una din metodele de bază în activitățile matematice și valorifică noutatea cunoștințelor și a situațiilor de învățare. Ca metodă intuitivă, este dominantă în activitățile de dobândire de cunoștințe și valorifică caracterul activ, concret senzorial al percepției copilului. O situație matematică nouă, un procedeu nou de lucru vor fi demonstrate și explicate de învățător.

Demonstrația, ca metoda specifică învățării matematicii, valorifică funcțiile pedagogice ale materialului didactic. Astfel, demonstația se face cu:

Material concret intuitiv(obiecte) – specific pentru începutul clasei I, folosindu-se în activitățile de dobândire de cunoștinte, dar și în activități de consolidare și verificare. La acest nivel de vârsta, demonstrația cu acest tip de material didactic contribuie la formarea reprezentărilor concrete despre mulțimi, submulțimi, corespondența, număr.

Material didactic structurat – materialul confecționat va fi demonstrativ (al profesorului) și distributiv (al elevilor), favorizând transferul de la acțiunea obiectuala la reflectarea în plan mental a reprezentării.

Contactul senzorial cu materialul didactic structurat favorizează atât latura formativă, cât și pe cea informativă a învățării perceptive. Acest material didactic trebuie să respecte cerințe pedagigice ca:

adaptarea la scop și obiective;

să asigure perceperea prin cât mai mulți analizatori: forma stilizată, culoarea corectă, dimensiune adaptată necesităților cerute de demonstrație;

funcționalitate( ușor de manipulat).

Conversația este o metoda de instruire cu ajutorul întrebarilor și răspunsurilor în scopul realizării unor sarcini și situații de învățare.

Cadrul didactic trebuie să creeze cât mai multe situații generatoare de întrebări și căutări, să dea posibilitatea elevului de a face o selectie a posibilităților de lucru, să recurgă la întrebări-problemă, să-i încurajeze pentru a formula ei înșiși întrebări, să pună probleme. Întrebările de tipul: ”Ce ai aici?”, “Ce ai de facut?”, “De ce?” pun elevii în situația de a motiva acțiunea și astfel limbajul relevă conținutul matematic al acțiunii obiectuale și se realizează schimbul de idei.

Observația constă în urmărirea sistematica de câtre elev a obiectelor și fenomenelor ce constituie conținutul învățării, în scopul surprinderii însușirilor semnificative ale acestora. Explicația, ca prcedeu, are rol un rol deosebit în cadrul observației, datorită faptului că prin intermediul cuvântului: se stabilește scopul observației; sunt actualizate cunoștințe și sunt integrate în cadrul observativ; se explorează câmpul perceptiv, sublinindu-se elementele semnificative; se fixează și se valorifică rezultatele observației în activitatea ce asigură integrarea percepției; se introduc simbolurile verbale specifice limbajului matematic, cu asigurarea unui raport corect între rigoare științifica și accesibilitate. În funcție de vârsta și de tipul de activitate, observația dirijată se regăsește în diferite secvențe ale demersului didactic.

Exercițiul este o metoda ce are la baza acțiuni motrice și intelectuale, efectuate în mod conștient și repetat, în scopul formării de priceperi și deprinderi, al automatizării și interiorizării unor modalităti de lucru de natură motrice sau mentală.

Prin acțiune exersată repetat, conștient și sistematic, copilul dobândeste o îndemânare, o deprindere, iar folosirea ei în condiții variate transformă deprinderea în pricepere. Ansamblul deprinderilor și priceperilor, dobândite și exersate prin exerciții în cadrul activităților matematice, conduce la automatizarea și interiorizarea lor, transformându-le treptat în abilități.

O acțiune poate fi considerată exercițiu numai în condițiile în care păstreaza un caracter algoritmic. Ea se finalizează cu formarea unor competențe automatizate, a unor abilități deci , ce vor fi aplicate în rezolvarea unor noi sarcini cu alt grad de complexitate.

În cadrul activităților matematice, sistemul de exerciții vizează, pentru inceput, capacitatea de reproducere a achizițiilor. Odată dobândite, abilitățile asigură prin exersare caracterul reversibil si asociativ a operaț, iar exercițiul devine astfel operațional.

Lucrul cu manualul este o metodă didactică în cadrul căreia învățarea are ca sursa esențiala și ca instrument de formare a elevului cartea școlara sau alte surse similare. Finalitatea ei este dublă: dobândirea de câtre elevi a fondului perceptiv necesar înțelegerii, dar și capacitatea deprinderii de a utiliza manualul.

Lucrările de didactică o prezinta ca pe o metoda de baza de învățare în clasele mici. Totusi, apariția manualelor alternative a dus la diminuarea lucrului cu manualul și utilizarea mai frecventă a surselor similare. Lucrul cu cartea capătă valențe active mai ales în etapa dobândirii cunoștințelor, în inițierea în studiul independent, țn documentatie, ca punct de plecare țn viitoarea cercetare. La matematica, lucrul cu manualul dă rezultate bune în aprofundarea, repetarea și sistematizarea cunostințelor.

Modelarea se bazează pe valorificarea caracterului euristic al analogiei, care permite ca pe baza asemănării unor elemente a două sisteme să se presupună asemănărea probabilă a acestor sisteme. Utilizarea acestei metode are și o mare valoare formativa, pe lângă faptul că-i obinuiește pe elevi cu un procedeu de investigație științifică. Exersarea în trecerea de la un model la altul, pentru a exprima același conținut informativ, dezvoltă la elevi mobilitatea și flexibilitatea gândirii. Caracterul reflectiv al modelelor, valoarea cognitiva, atribuie acestora însemnate virtuți operaționale, în sensul că ele oferă examinării elevilor un material mai maleabil, elementele incluse în structura unui model se pot manevra cu ușurință și sunt supuse controlului. Un model îndeplinește o funcție euristică(explorativ-explicită) întrucât incită elevii la un efort de căutare și investigare.

Algoritmizarea este metoda care utilizeaza algoritmi în învățare. Algoritmul este un sistem de raționamente și operații care se desfășoară într-o anumită succesiune finită care, fiind respectată riguros, conduce în mod sigur la recunoasterea și rezolvarea problemelor de același tip.

Algoritmii oferă elevilor cheia sistemului de operații mentale pe care trebuie să le efectueze pentru a recunoaște într-un context nou, noțiunea sau teorema învățată anterior și pentru a putea opera cu ea. În plan didactic aceste operații mintale se exteriorizeaza prin rezolvarea unor exerciții și probleme de același tip. Pentru ca algoritmii să devina instrumente ale gândirii elevilor, este necesar ca aceștia să nu fie prezentati , ci este mai bine să îi punem pe elevi în situatia de a parcurge toate etapele elaborării lor, pentru a putea conștientiza fiecare element. Folosirea metodei algoritmizării ne ajută să înzestrăm elevii cu modalități economice de gândire și acțiune.

În cazul rezolvării unui anumit tip de probleme, elevul își însușeste o suită de operații pe care le aplică în rezolvarea problemelor ce se încadrează în acest tip. Încă din clasa I vom obișnui elevii să rezolve și să alcătuiască probleme după formule numerice sau literale.

Jocul, ca metoda, accentuează rolul formativ al activităților matematice prin: exersarea operațiilor gândirii (analiză, sinteză, comparație, clasificare, ordonare, abstractizare, generalizare, concretizare); dezvoltă spiritul de inițiativă, de independență, dar și de echipă; formează deprinderi de lucru corect și rapid; favorizează însușirea conștientă, temeinică, într-o formă accesibila, placută și rapidă, a cunoștințelor matematice.

Structura jocului didactic se referă la: scopul didactic, sarcina didactică, elementele de joc, conținutul matematic, materialul didactic, regulile jocului.

Desfășurarea jocului didactic matematic cuprinde următoarele etape: introducerea în joc, prezentarea materialului, anunțarea titlului jocului și prezentarea acestuia, explicarea și demonstrarea regulilor jocului, fixarea regulilor, executarea jocului explicativ( cu o parte din elevi), executarea jocului de proba (cu toată clasa), executarea jocului de către elevi, complicarea jocului, introducerea de noi variante, încheierea jocului, evaluarea conduitei de grup sau individuale.

Orice exercițiu sau problemă matematică poate deveni joc didactic dacă: realizează un scop și o sarcina didactică din punct de vedere matematic; foloseste elemente de joc în vederea realizării sarcinii; folosește un conținut matematic accesibil și atractiv, utilizează reguli de joc cunoscute anticipat și respectate de elevi.

Prelegerea este o formă de expunere verbală prin care cadrul didactic transmite un volum mare de cunostințe, selectate, sistematizate și organizate în jurul unei teme sau a unui plan de idei. Prelegerea poate fi introductivă- atunci când profesorul comunică cu anticipație conținutul ce va fi predat la clasa- sau poate fi prelegere de sinteza , când profesorul face o sinteza asupra unui material ce a fost deja transmis.

5.3. METODE MODERNE

Școala nu trebuie înțeleasă ca fiind locul unde profesorul predă și elevii ascultă. Învățarea devine eficienta doar atunci când elevii participă în mod activ la procesul de învățare. De aceea profesorul trebuie să creeze un climat instituțional favorabil folosind diverse metode moderne care să-l determine pe elev să se implice activ în procesul instructiv – educativ. Toate situațiile și nu numai metodele active propriu-zise în care elevii sunt puși și care îi scot pe aceștia din ipostaza de obiect al formării și-i transformă în subiecți activi, coparticipanți la propria formare, reprezintă forme de învățare activă.

Învățarea activă înseamnă, conform dicționarului, procesul de învățare calibrat pe interesele /nivelul de înțelegere /nivelul de dezvoltare al participanților la proces. Cercetări efectuate în ultimii 25 de ani arată că pasivitatea din clasă (înțeleasă ca rezultat al predării tradiționale, în care profesorul ține o prelegere, eventual face o demonstrație, iar elevii îl urmăresc) nu produce învățare decât în foarte mică măsură. Atenția elevilor descrește cu fiecare minut care trece pe parcursul prelegerii. Prelegerea presupune că toți elevii au nevoie de aceleași informații în același ritm, iar elevilor nu le place să fie supuși unei prelegeri.

Acela care învață trebuie să-și construiască cunoașterea prin intermediul propriei înțelegeri și nimeni nu poate face acest lucru în locul său. Această construcție personală este favorizată de interacțiunea cu alții care, la rândul lor, învață. Altfel spus, dacă elevii își construiesc cunoașterea proprie, nu înseamnă însă că fac acest lucru singuri, izolați. Promovarea învățării active presupune și încurajarea parteneriatelor în învățare. Adevărata învățare, aceea care permite transferul achizițiilor în contexte noi, este nu doar simplu activă (individual activă) ci interactiva .

Nu numai cercetarea, dar și experiențele cadrelor didactice cu metodele colaborative evidențiază efectul benefic al interacțiunii elevilor. Gruparea și sarcinile în care membrii grupului depind unul de celălalt pentru realizarea rezultatului urmărit arată că:

elevii se implică mai mult în învățare decât în abordările frontale sau individuale;

odată implicați, elevii își manifestă dorința de a împărtăși celorlalți ceea ce experimentează, iar aceasta conduce la noi conexiuni în sprijinul înțelegerii;

elevii acced la înțelegerea profundă atunci când au oportunități de a explica și chiar preda celorlalți colegi ceea ce au învățat.

Didactica modernă aduce în fața dascălilor o multitudine de metode interactive: metoda predării-învățării reciproce, mozaicul, cascada, metoda piramidei, învățarea dramatizată, pânza de păianjen, brainstorming-ul, starbursting-ul, mozaicul, metoda pălăriilor gânditoare, metoda ciorchinelui, caruselul, proiectul, portofoliul ș.a. 

Alegerea unei metode, care să conducă la învățare interactivă, este în strânsă relație cu :

personalitatea profesorului;

gradul-nivelul de pregătire al clasei ;

disponibilitatea clasei-gradul de motivare al clasei;

stilurile de învățare ale grupului.

Avantajele metodelor active

transformă elevul din obiect în subiect al învățării;

elevul este coparticipant la propria formare;

angajează intens toate forțele psihice de cunoaștere;

asigură elevului condiții optime de a se afirma individual și în echipă;

dezvoltă gândirea critică;

dezvoltă motivația pentru învățare;

permite evaluarea propriei activități.

Este bine ca un profesor să cunoască și să aplice un număr cât mai mare de metode didactice pentru a evita devalorizarea metodei prin repetiție. Elemente de creativitate trebuie să fie mereu prezente.

Metodele participative sunt mult mai obositoare pentru actorii actului didactic, spre deosebire de cele clasice care sunt mai pasive și mai relaxante. Elevii, care au un număr destul de mare de ore pe zi și pe săptămână, au ca reacție de răspuns lipsa participării. Chiar și în activitățile participative, în situația lucrului în echipe, aceștia se relaxează imediat după raportarea sarcinilor, ca reacție de răspuns la efortul depus  și nu mai receptează informațiile celorlalte echipe.

Metodele participative reclamă un număr mare de ore de pregătire a lecțiilor din partea profesorului, eforturi de proiectare, eforturi de timp și materiale mari, măsuri speciale de diminuare a riscului de a apărea situații neprevăzute, care ar distruge întreaga activitate.

Spre deosebire de predarea participativă, evaluarea este oricum clasică, pentru că se ierarhizează și se sancționează în continuare, are valoare socială și solicită vehiculare de conținuturi și nu aptitudini de joc și / sau de integrare participativă.Transpunerea conținuturilor în jocuri și abordări interactive poate accentua informații care nu sunt foarte importante, în schimb se pot pierde informații din cauza imposibilității de a le integra în lecție. Timpul de gândire impus de profesori în cazul lucrului în echipe este redus la 3 – 4 minute pentru fiecare sarcină, timp ce nu va fi niciodată respectat de elevi și va duce la obținerea aproape întotdeauna a unor rezultate incomplete sau a unor evaluări superficiale.

Așadar, metodele activ – participative trebuie utilizate cu prudență. Însă metodele nu trebuie ignorate pentru ca dinamizează procesul de învățare și motivează elevii.

Exemple de metode moderne in predarea matematicii

Matricea conceptuală. Se împarte tabla în 4 părți egale; se propune o temă în primul cadran; se cere definiția noțiunii din primul cadran, în al doilea cadran; se cere o proprietate a noțiunii din primul cadran, în cadranul al treilea; se cere să se clasifice tema din primul cadran , în cadranul al patrulea; se evaluează rezultatele.

EXEMPLU:

Avantaje: stimulează atenția și gândirea, scoate în evidență modul propriu de înțelegere, conduce la sintetizare/esențializare.

Eseul de cinci minute. Acesta se folosește la sfârșitul orei, pentru a-i ajuta pe elevi să-și adune ideile legate de tema lecției și pentru a-i da profesorului o idee mai clară despre ceea ce s-a întamplat, în plan intelectual, în acea oră. Acest eseu le cere elevilor două lucruri: să scrie un lucru pe care l-au învățat din lecția respectivă și să formuleze o întrebare pe care o mai au în legătură cu aceasta.

Profesorul strânge eseurile de îndată ce elevii le-au terminat de scris și le folosește pentru a-și planifica la aceeași clasă lecția urmatoare.

„Dacă aș fi o proprietate a determinantului, mi-ar plăcea să fiu…….deoarece………….”

Ciorchinele. Se scrie un cuvânt/tema în mijlocul tablei sau pe o foaie. Se cere elevilor să noteze toate ideile /sintagmele care le vin în minte legate de cuvânt/tema și se trasează linii între acestea și cuvântul/tema inițială.

EXEMPLU: Matricea – clasa a XI-a.

Avantaje: nu se critică ideile propuse; poate fi utilizată ca metodă liberă sau cu indicare prealabilă a categoriilor de informații așteptate de la elevi.

Metoda “Schimba perechea”. Se împarte clasa în două grupe egale ca număr de participanți. Se formează două cercuri concentrice, copiii fiind față în față pe perechi. Învățătorul dă o sarcină de lucru. Fiecare pereche discută și apoi comunică ideile. Cercul din exterior se rotește în sensul acelor de ceasornic, realizându-se astfel schimbarea partenerilor în pereche.

EXEMPLU: Tema: Calcularea determinanților prin dezvoltare după linie sau coloană, clasa a XI-a.

Etapele activității

Se organizează colectivul în două grupe egale. Fiecare copil ocupă un scaun, fie în cercul din interior, fie în cercul exterior. Stând față în față, fiecare copil are un partener.

Profesorul comunică cerința: ,,Calculați determinanții dezvoltând după linie sau coloană!”.

Lucru în perechi. Copiii lucrează doi câte doi pentru câteva minute.

Copilul aflat în cercul interior spune soluția de rezolvare, iar celălalt aduce completări încercând să rezolve cerința. Apoi copiii din cercul exterior se mută un loc mai la dreapta pentru a schimba partenerii, realizând astfel o nouă pereche. Jocul se continuă până când se ajunge la partenerii inițiali sau se termină timpul alocat activității.

Analiza ideilor și a elaborării concluziilor. În acest moment, copiii se regrupează și se vor analiza pe rând rezolvările problemelor.

Avantaje: copiii au posibilitatea de a lucra cu fiecare membru al grupei, fiecare se implică în activitate și își aduce contribuția la rezolvarea sarcinii, stimulează cooperarea în echipă, ajutorul reciproc, întelegerea și toleranța fața de opinia celuilalt.

Metoda cubului. Este o metodă folosită în cazul în care se dorește explorarea unui subiect, a unei situații din mai multe perspective. Se realizează un cub pe ale cărei fețe se notează: descrie, compară, analizează, asociază, aplică, argumentează. Se anunță tema / subiectul pus în discuție. Se împarte grupul în șase subgrupuri, fiecare subgrup rezolvând una dintre cerințele înscrise pe fețele cubului. Se comunică forma finală a scrierii, întregului grup (se pot afișa/ nota pe caiet).

EXEMPLU: Tema: Sisteme de ecuații liniare,clasa a XI-a.

Descrierea activității elevilor:

Elevii care primesc fișa cu verbul descrie vor avea

de definit sistemul de ecuații liniare;

de enumerat tipurile de sisteme studiate;

de identificat elementele acestora.

Elevii care primesc fișa cu verbul compară vor stabili asemănări și deosebiri între tipurile de sisteme.

Elevii care vor avea fișa cu verbul asociază vor asocia fiecărui sistem de ecuații studiat matricele asociate.

Pentru grupa care va avea de analizat, sarcina de lucru va cere ca elevii să analizeze diferite tipuri de sisteme de ecuații liniare studiate ( număr de necunoscute, număr de ecuații, compatibilitate).

Elevii ce vor primi o fișă cu verbul argumentează vor avea de analizat și justificat în scris valoarea de adevăr a unor propoziții, ce vor conține și chestiuni „capcană”. Li se poate cere să realizeze și scurte demonstrații sau să descopere greșeala dintr-o redactare a unei rezolvări.

Elevii din grupa verbului aplică vor avea un set de exerciții în care vor aplica metodele de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare.

După expirarea timpului de lucru (20-25 min) se vor evalua răspunsurile din fișe.

Avantaje: permite diferențierea sarcinilor de învățare, stimulează gândirea logică, sporește eficiența învățării(elevii învață unii de la alții).

Metoda “Turul galeriei”. Materialele realizate, posterele, vor fi expuse în clasă în 6 locuri vizibile. Elevii din fiecare grup își vor prezenta mai întâi sarcina de lucru și modul de realizare a ei, apoi, la semnalul dat de profesor, vor trece, pe rând pe la fiecare poster al colegilor de la altă grupă și vor acorda acestora o notă. După ce fiecare grup a vizitat „galeria” și a notat corespunzător productiile colegilor, se vor discuta notele primite și obiectivitatea acestora, se vor face aprecieri și se vor corecta eventualele erori.

Avantaje: elevii oferă și primesc feed-back referitor la munca lor,șansa de a compara produsul muncii cu al altor echipe și de a lucra în mod organizat și productiv.

Metoda “Stiu/Vreau sa stiu/Am invatat”. Metoda se bazează pe cunoașterea și experiențele anterioare ale elevilor, pe care le vor lega de noile informații ce trebuie învățate.

Listarea cunoștințelor anterioare despre tema propusă;

Construirea tabelului (Profesor);

Completarea primei coloane;

Elaborarea întrebărilor și completarea coloanei a doua;

Citirea textului;

Completarea ultimei coloane cu răspunsuri la întrebările din a doua coloană, la care se adaugă noile informații;

Compararea informațiilor noi cu cele anterioare;

Reflecții în perechi / cu întreaga clasă.

EXEMPLU: Tema: Sisteme de ecuații liniare , clasa a XI-a.

Avantaje: schimb de idei,stimularea gândirii critice,dezvoltarea vocabularului / capacității de exprimare,elevii caută căi de acces spre propriile cunoștințe / convingeri.

Metoda mozaicul. Metoda mozaicul presupune învățarea prin cooperare la nivelul unui grup și predarea achizițiilor dobândite de către fiecare membru al grupului unui alt grup. Are avantajul că implică toți elevii în activitate și că fiecare dintre ei devine responsabil atât pentru propria învățare, cât și pentru învățarea celorlalți. De aceea, metoda este foarte utila în motivarea elevilor cu rămâneri în urmă: faptul că se transformă pentru scurt timp, în ‚, profesori” le conferă un ascendent moral asupra colegilor.

Se împarte clasa în grupe de 4 elevi, fiecare primind câte o fișă numerotate de la 1 la 4, ce conține părti ale unui material ce urmează a fi înțeles și discutat de către elevi. Elevii sunt regrupați în funcție de numărul fișei primite și încearcă să înțeleagă conținutul informativ de pe fișe și stabilesc modul în care pot preda ceea ce au înțeles colegilor din grupul lor original. Se revine în gruparea inițială și are loc predarea secțiunii pregătite celorlalți membri. Și în final are loc trecerea în revistă a materialului dat prin predarea orală cu toată clasa/ cu toți participanții.

EXEMPLU: Tema: Calcularea determinanților, clasa a XI-a. Elevii sunt împărțiți în grupe de experți care vor calcula determinanții de ordinul 3 prin una din cele trei metode : regula triunghiului, regula lui Sarrus, descompunerea după o linie sau o coloană.

Avantaje: anihilarea “efectului Ringelmann”(lenea socială,când individul îsi imagineaza că propria contribuție la sarcina de grup nu poate fi stabilită cu precizie), dezvoltă interdependența dintre membrii grupului, ameliorează comunicarea.

Metoda brainstorming. Metoda Brainstorming înseamnă formularea a cât mai multe idei – oricât de fanteziste ar părea- ca răspuns la o situație enunțată, după principiul cantitatea generează calitatea. Obiectivul fundamental constă în exprimarea liberă a opiniilor elevilor așa cum vin ele în mintea lor ,indiferent dacă acestea conduc sau nu la rezolvarea problemei.

Alegerea sarcinii de lucru. Solicitarea exprimării într-un mod cât mai rapid a tuturor ideilor legate de rezolvarea problemei. Înregistrarea pe tablă si regruparea lor pe categorii, simboluri, cuvinte cheie, etc. Selectarea și ordonarea ideilor care conduc la rezolvarea problemei.

EXEMPLU: Pornind de la întrebarea „Este folositor în viața reală să cunoaștem matricele și operațiile cu acestea? „ se vor analiza câteva exemple din viața cotidiană care au dus la noțiunea de tabel de tip matriceal.

Povestiri cu subiect dat . Se alege un concept matematic: matricea și se cere elevilor să creeze o povestire în care personajul principal este conceptul ales, iar alte personaje sunt ,,rudele” acestuia-cum ar fi determinantul și sistemul de ecuații liniare. În acest fel elevii ajung în mod natural la caracterizarea unei noțiuni sesizând asemănările și deosebirile dintre noțiunea nouă și alte noțiuni studiate anterior.

EXEMPLU: “ Salut! Sunt o matrice și am un prieten cu care mă înțeleg foarte bine un determinant de ordinul 2. El mai are un frate de ordinul 3 si un verișor de ordinul n. Intr-o zi, ne-am dus să ne înscriem într-un club de matematică. Ca să fim acceptați trebuia să ne prezentăm. El a reușit, eu nu! Așa că vreau să mă ajutați voi.

Joc de rol. Jocul de rol se realizează prin simularea unei situații, care pune participanții în ipostaze care nu le sunt familiare, pentru a-i ajuta să înțeleagă situația respectivă și să înțeleagă alte persoane care au puncte de vedere.

EXEMPLU: Un joc de rol poate fi : Matricele și determinanții discută – ce îsi spun?

După desfășurarea jocului sunt utile următoarele întrebări:

A fost o interpretare conformă cu realitatea?

Ce ar fi putut fi diferit în interpretare?

Ce alt final ar fi fost posibil?

Ce ați învățat din această experiență?

Diagrama Venn. O “diagramă Venn” este formată din două cercuri secante mari. Ea poate fi folosită pentru a arăta asemănările și diferențele între două idei sau concepte.

EXEMPLU: Tema-Determinanți, clasa a XI-a.

5.4. Evaluarea( inițială, formativă, sumativă). Autoevaluarea

Procesul educațional are trei componente: predarea – învatarea – evaluarea, primele două depinzând , în mare măsură , de modul cum este proiectată evaluarea. Evaluarea în procesul de învățământ este o activitate de colectare , organizare și interpretare a datelor privind efectele directe ale relației profesor-elev cu scopul de a eficientiza funcționarea întregului sistem educațional.

Evaluarea are în primul rand un rol de feed-back pentru elevi profesori, părinți și factorii de decizie. Rezultatele evaluării constitue și elemente de sprijin în luarea de decizii privind modificările curriculumului, efectuării de prognoze și anticipării costurilor economice ale educației. Deci scopul major al evaluării este să ofere datele necesare care să permita luarea celor mai bune decizii educaționale.

Proiectarea activității de evaluare se realizează concomitent cu proiectarea demersului de predare-învățare și în deplină concordanță cu aceasta. Câteva întrebari utile în proiectarea instrumentelor de evaluare sunt următoarele :

Care sunt obiectivele-cadru și obiectivele de referință ale programei scolare, pe care trebuie să le realizeze elevii?

Care sunt performanțele minime, medii și superioare pe care le pot atinge elevii, pentru a demonstra că au atins aceste obiective?

Care este specificul colectivului de elevi pentru care îmi propun evaluarea?

Când și în ce scop evaluez?

Pentru ce tipuri de evaluare optez ?

Cu ce instrumente voi realiza evaluarea ?

Cum voi proceda pentru ca fiecare elev să fie evaluat prin tipuri de probe cât mai variate, astfel incât evaluarea să fie cât mai obiectivă ?

Cum voi folosi datele oferite de instrumentele de evaluare administrate , pentru a elimina eventualele blocaje constatate în formarea elevilor și pentru a asigura progresul școlar al fiecăruia dintre ei?

Evaluarea trebuie să asigure evidențierea progresului înregistrat de elev în raport cu sine însuși pe drumul atingerii obiectivelor prevăzute în programă. Este important să fie evaluată nu numai cantitatea de informație de care dispune elevul , ci , mai ales , ceea ce poate el să facă utilizând ceea ce știe sau ceea ce intuiește.

În acest sens , câteva aspecte pot fi avute in vedere:

Deplasarea accentului dinspre evaluarea sumativa , care inventariază, selectează și ierarhizează prin calificativ/notă , spre evaluarea formativă, ce are drept scop valorificarea potențialului de care dispun elevii și conduce la perfecționarea continuă a stilului și a metodelor proprii de învățare.

Realizarea unui echilibru dinamic între evaluarea scrisa și evaluarea orala: aceasta din urmă, deși presupune un volum mare de timp pentru aprecierea tuturor elevilor și blocaje datorate emoției sau timidității, prezintă avantaje deosebite: realizarea interacțiunii elev-învatator/profesor, demonstrarea stadiului de formare a unor competențe prin intervenția cu întrebări ajutatoare, demonstrarea comportamentului comunicativ și de inter-relaționare al elevului.

Folosirea cu o mai mare frecvența a metodelor de autoevaluare și de evaluare prin consultare, în grupuri mici, vizând verificarea modului în care elevii își exprima liber opinii proprii sau accepta cu toleranța opiniile celorlalți, capacitatea de a-și sustine și motiva propunerile etc.

În raport cu momentele realizării evaluării, în planificarea unității de învățare, în cuprinsul spatiului delimitat pentru oră apar specificații de evaluare inițială, formativă sau sumativă, iar finalul unității de învățare este prevazută o ora de evaluare sumativă.

Fiecare activitate de evaluare a rezultatelor școlare trebuie însoțită, în mod sistematic, de o autoevaluare a procesului pe care învățătorul/profesorul l-a desfășurat cu toți elevii și cu fiecare elev. Numai astfel poate fi descris nivelul de formare a competențelor fiecarui elev și pot fi stabilite modalități prin care poate fi reglată, de la o etapă la alta, activitatea de învățare-formare a elevilor în mod diferențiat, pentru ca toți elevii să poată atinge, în final, standardele curriculare de performață.

Pentru a-și atinge scopul, evaluarea trebuie să se realizeze printr-o gama cât mai largă de forme, metode și tehnici care conduc la stabilirea unor strategii de evaluare.

Strategia de evaluare reprezintă maniera operațională de stabilire a:

Formelor și tipurilor de evaluare.

Metodelor, tehnicilor și probelor de evaluare a randamentului scolar.

Modalităților de îmbinare a acestora și a momentului în care se aplica, în conformitate cu obiectivele educaționale urmărite și cu conținuturile selectate.

Descriptorilor de performanța, baremelor, sistemelor de notare.

Metodele de evaluare sunt căi, instrumente, modalități de acțiune prin care evaluatorul obține informații în legatură cu randamentul școlar al elevilor, cu performanțele lor, cu nivelul de stăpânire a cunoștintțlor, de formare a abilităților prin raportarea la obiectivele propuse.

Tehnicile de evaluare reprezintă formele concrete pe care le îmbracă metodele, modalități concrete prin care se declanșează obținerea de răspunsuri în itemii formulați. Exemple: tehnica elaborării răspunsului, tehnica răspunsului la alegere/ cu alegere multiplă, tehnica textului lacunar. Tehnicile presupun utilizarea de probe de evaluare, instrumente pentru a putea fi puse în practică.

Probele de evaluare sunt proiectate, administrate, comunicate și corectate de către cadrul didactic și sunt stabilite în funcție de conținuturile de învățat și de obiectivele propuse. Exemple: probe orale, scrise, practice.

Planificarea probelor de evaluare trebuie să țină cont de regimul rațional de efort , să evite supraîncarcarea elevilor, să asigure timpul necesar de pregatire și de elaborare a răspunsului, să îi influențeze formativ, să le ofere posibilitatea de a se realiza pe măsura capacităților proprii. Este indicat să nu se ceară simpla reproducere a conținuturilor predate, ci să se solicite o selectie și o prelucrare a materialului învățat, să se stimuleze spontaneitatea și creativitatea elevilor.

Itemul pedagogic reprezintă elementul component de baza al instrumentelor de evaluare. Itemul este o intrebare, o întrebare-problemă, ori o sarcina de lucru cu caracter teoretic sau practic, un set de sarcini care alcătuiește o parte independentă a unei probe de evaluare.

În cadrul realizării sistemului de instruire putem clasifica evaluarea școlara în funcție de rolul pe care îl are și de momentul când se aplică: evaluarea sumativă, care are ca obiectiv determinarea eficacității și evaluarea formativă, care vizeaza ameliorea instruirii sau a materialului didactic.

Evaluarea formativă se realizează continuu și dinamic pe tot parcursul instruirii. Are rol diagnostic, de a descoperii punctele tari, dar și lacunele/dificultățile în învățare. Evaluarea formativa are scop de reglare, stabilind măsuri de intervenție. Evaluarea formativă este analitică, determină desfăsurarea unei instruiri diferențiale, reconsidera prioritățile în învățare, informeaza prompt elevii și profesorii (dar și parintii) asupra performanței atinse, determină schimbări în comportamentul ambilor actori ai educației-elevul și profesorul. Evaluarea formativă trebuie proiectată și condusă în așa fel încât elevul să fie scos din starea sa obișnuită de învățare, să-i prezinte lucrurile diferit, să-l stimuleze și să-i provoace o “furtuna” în gândire. Numai așa se poate obține o învățare de calitate. Numai datorită acestor argumente evaluării formative îi putem asocia caracterul “ activ”.

Evaluarea sumativă analizează rezultatele școlare la șfârșitul unei perioade de instruire. Dacă acestea sunt prea lungi (an școlar, ciclu de învățământ ), atunci măsurile ameliorative ce trebuie întreprinse au un efect mic sau nici unul asupra elevilor deja evaluați. Deoarece evaluarea sumativă vizează rezultatele învățării și, doar în mică măsura, procesul de instruire, modul de rezolvare a dificultăților în învățare nu este pus în evidență. Evaluarea sumativă este o evaluare de bilanț, de inventar, de ierarhizare și de sancționare prin notă. Toate acestea îi conferă acel caracter “pasiv”, dar nu în sens negativ, așa cum se poate interpreta la prima vedere. Aceasta deoarece cele două tipuri de evaluări, formativă și sumativă, nu sunt opuse. Nici măcar total disjunctive. În toate cărtile despre evaluare se face și o analiza a avantajelor și a dezavantajelor lor. Ar trebui înlocuită aceasta analiza cu cea a avantajelor. În acest mod am realiza că ele sunt complementare și induc necesitatea de alternanță.

Evaluarea de proces (a rezultatelor școlare) presupune o anumita metodologie în stabilirea căreia trebuie date răspunsuri la următoarele întrebări.

Pe cine evaluam?

Elevi luați individual ;

Elevi luați în raport cu grupul din care fac parte;

Un grup, o clasa sau un lot de indivizi grupați după un criteriu anume, de exemplu o grupă de vârstă;

Un eșantion.

Cand evaluăm?

La începutul unui proces (evaluarea inițiala);

În timpul procesului ( evaluarea continuă sau formativă );

La sfârșitul unui proces sau al unei etape ( evaluarea sumativă sau finală).

Cu ce instrumente evaluăm ?

Teste scrise / orale / practice

Observația directa în clasă

Teme pentru acasă

Referate / proiecte

Portofoliu

Tehnici autoevaluative

Factori perturbatori și erori în evaluarea școlară

Un fenomen care apare în evaluarea rezultatelor este variabilitatea rezultatelor școlare. Aprecierea este influențată de mai mulți factori și de numeroase circumstanțe în care se realizează actul evaluator. Datorită acestui fapt, în mod obișnuit, compararea notelor atribuite de mai mulți examinatori acelorași rezultate prezintă variații, uneori destul de mari, după cum notele atribuite unor lucrări de către același corector, în momente și situații diferite, sunt deseori diferite.

“Efectul halo” constă în supraaprecierea rezultatelor unor elevi sub influența impresiei generale bune despre acesșia. În jurul elevului cu reputație bună apare acest fenomen psihologic de “ halo” datorită căruia sunt trecute cu vedere unele greșeli.

“Efectul de anticipație” exprimă faptul că aprecierea rezultatelor unor elevi este puternic influențată de părerea nefavorabilă pe care educatorul și-a format-o despre inteligența, capacitățile acestora.

“Efectul de contrast”/”de ordine” constă în accentuarea diferențelor dintre performanțele unor elevi. Adesea, un răspuns oral sau o lucrare sunt supraapreciate și invers dacă cele dinainte au fost mai slabe și invers; produsul elevului poate primi o nota mediocră dacă urmează imediat după un candidat cu răspunsuri foarte bune.

Eroarea logică exprimă acțiunea de substituire a obiectivelor relevante și a parametrilor importanți ai evaluării prin obiective secundare ca: forma și acuratețea paginii, sistematica expunerii, gradul de conștiinciozitate și perseverența elevului.

Ecuația personala a examinatorului exprimă faptul că unii profesori sunt mai generoși, utilizând notele mari, alții sunt mai exigenți. Unii folosesc nota pentru încurajarea elevilor, motivarea lor pentru învățare, alții pentru a-i constrânge de a depune eforturi suplimentare. De asemenea unii apreciează originalitatea, creativitatea, alții dimpotrivă – reproducerea, rutina, recunoașterea exactă.

Activitatea de învățare desfășurată de elevi se materializează deseori în produse, în lucrări, în obiecte fizice care pot constitui un bun reper pentru verificarea și evaluarea cunoștințelor, capacităților și deprinderilor dobândite în procesul de învățământ. Produsul activității are avantajul că sintetizează foarte bine un complex de caracteristici incluzând domeniul cognitiv (cunoștințe, capacități), domeniul motivațional – atitudinal (motivații, interese, atitudini) și domeniul psiho-motor, de aplicare și execuție (deprinderi, abilități). Într-o anumită măsură, se poate afirma că în fiecare produs se reflectă întreaga personalitate a elevului.

În sens larg, prin produs se înțelege orice rezultat fizic al activității elevilor realizat de ei în cadrul sau în legătură cu procesul de învățământ. În acest sens, sunt produse ale activității: lucrările scrise, referatele, desenele, obiectele de lucru manual, lucrările de atelier etc. În practica evaluării, analiza produselor activității elevilor apare în două ipostaze:

a) ca metodă specifică de evaluare, în cazul tipurilor de activitate didactică (ateliere, lucrări practice, laboratoare) ce presupun, prin obiectivele și conținutul lor, realizarea de produse. În acest caz, realizarea produsului reprezintă principala modalitate de învățare, iar caracteristicile produsului principalul criteriu de evaluare.

b) ca metodă complementară de evaluare, în cazul activităților didactice care nu presupun realizarea unor produse de către elevi. În acest caz, o serie de lucrări realizate de elevi, cu scop de învățare sau de evaluare, sunt tratate și ca produse. De exemplu, o compunere, un referat sau, în general, o lucrare scrisă poate fi abordată și ca produs al activității și analizată și sub alte aspecte decât cele privind conținutul ei: aspectul estetic, plasarea în pagină, acuratețea, lizibilitatea.

Pentru a oferi o evaluare semnificativă, analiza produselor activității elevilor trebuie să se întemeieze pe repere/ criterii clare și pertinente. Desigur, acestea sunt în bună măsură dependente de natura produsului și a activității didactice în care produsul a fost realizat. Dintre criteriile de evaluare cu o aplicabilitate mai generală se pot menționa:

gradul de corespondență cu obiectivele sau cu parametrii proiectați, în baza cărora produsul a fost realizat;

aspectele tehnice sau procedurale ale realizării produsului: aplicarea tehnicilor și procedeelor recomandate, calitatea operațiilor efectuate;

aspectele estetice ale produsului;

aspectele relevante pentru atitudinea elevului în procesul executării produsului, cu referire la acuratețea execuției, atenția acordată detaliilor aparente, temeinicia realizării, exigența în autocontrolul calității.

În cadrul reformei educaționale actuale a învățământului românesc, un accent deosebit se pune pe utilizarea unor metode și tehnici de evaluare eficientă a elevilor, aceasta presupunând și o serie de metode alternative. Experiența de la catedră ne-a demonstrat că nu se poate renunța definitiv la metodele tradiționale de evaluare, în favoarea celor alternative, dar se impune îmbinarea acestora în scopul optimizării actului didactic.

Spre deosebire de metodele tradiționale, care realizează evaluarea rezultatelor școlare obținute pe un timp limitat și de regulă cu o arie mai mare sau mai mică de conținut, dar oricum definită, metodele alternative de evaluare prezintă cel puțin două caracteristici:

pe de o parte, realizează evaluarea rezultatelor în strânsă legătură cu instruirea/ învățarea, de multe ori concomitent cu aceasta;

pe de altă parte, ele privesc rezultatele școlare obținute pe o perioadă mai îndelungată, care vizează formarea unor capacități, dobândirea de competențe și mai ales schimbări în planul intereselor, atitudinilor, corelate cu activitatea de învățare.

Principalele metode alternative de evaluare, al căror potențial formativ susține individualizarea actului educațional prin sprijinul acordat elevului sunt:

observarea sistematică a activității și a comportamentului elevului;

investigația;

portofoliul;

proiectul;

studiul de caz;

interviul;

referatul;

autoevaluarea;

hărțile conceptuale.

Prin consecințele ei, evaluarea depășește granițele sălii de clasă, ale școlii și depășește cadrul strict al procesului de învățământ; nu evaluăm doar elevii, ci, în același timp, direct sau indirect, evaluăm cadrele didactice, calitatea actului de predare, a procesului de învățământ, a instituției școlare și, nu în ultimul rând, evaluarea sistemului educativ cu componentele sale.

Portofoliul reprezintă „cartea de vizită” a elevului, prin care cadrul didactic poate să-i urmărească progresul – în plan cognitiv, atitudinal și comportamental – la o anumită disciplină, de-a lungul unui interval mai lung de timp (o etapă dintr-un semestru, un semestru, un an școlar sau chiar un ciclu de învățământ).

Teoretic, un portofoliu poate cuprinde:

lista conținutului acestuia (sumarul, care include titlul fiecărei lucrări/ fișe);

lucrările pe care le face elevul individual sau în grup;

rezumate;

eseuri;

articole, referate, comunicări;

fișe individuale de studiu;

experimente;

înregistrări, fotografii care reflectă activitatea desfășurată de elev individual sau împreună cu colegii săi;

reflecțiile proprii ale elevului asupra a ceea ce lucrează;

autoevaluări scrise de elev sau de membrii grupului;

hărți cognitive;

comentarii suplimentare și evaluări ale cadrului didactic, ale altor grupuri de elevi sau chiar părinți.

Așa cum afirmă Ioan Cerghit, portofoliul cuprinde „o selecție dintre cele mai bune lucrări sau realizări personale ale elevului, cele care îl reprezintă și care pun în evidență progresele sale; care permit aprecierea aptitudinilor, talentelor, pasiunilor, contribuțiilor personale. Alcătuirea portofoliului este o ocazie unică pentru elev de a se autoevalua, de a-și descoperi valoarea competențelor și eventualele greșeli. În alți termeni, portofoliul este un instrument care îmbină învățarea cu evaluarea continuă, progresivă și multilaterală a procesului de activitate și a produsului final. Acesta sporește motivația învățării.” Această metodă alternativă de evaluare oferă fiecărui elev posibilitatea de a lucra în ritm propriu, stimulând implicarea activă în sarcinile de lucru și dezvoltând capacitatea de autoevaluare. „Raportul de evaluare” – cum îl numește I. T. Radu – are în vedere toate produsele elevilor și, în același timp, progresul înregistrat de la o etapă la alta. El se substituie tot mai mult modului tradițional de realizare a bilanțului rezultatelor elevului/ elevilor prin media aritmetică „săracă în semnificații privind evoluția școlară a acestuia”.

Avantajele folosirii portofoliului:

este un instrument flexibil, ușor adaptabil la specificul disciplinei, clasei și condițiilor concrete ale activității;

permite aprecierea și includerea în actul evaluării a unor produse ale activității elevului care, în mod obișnuit, nu sunt avute în vedere; acest fapt încurajează exprimarea personală a elevului, angajarea lui în activități de învățare mai complexe și mai creative, diversificarea cunoștințelor, deprinderilor și abilităților exersate;

evaluarea portofoliului este eliberată în mare parte de tensiunile și tonusul afectiv negativ care însoțesc formele tradiționale de evaluare; evaluarea devine astfel motivantă și nu stresantă pentru elev;

dezvoltă capacitatea de autoevaluare a elevilor, care devin auto-reflexivi asupra propriei munci și asupra progreselor înregistrate;

implică mai activ elevul în propria evaluare și în realizarea unor materiale care să-l reprezinte cel mai bine.

Portofoliul este o metodă de evaluare ce implică și alte metode alternative ca investigația și autoevaluarea, prin care elevii își asumă responsabilitatea asupra activității desfășurate, își regândesc propriul proces de învățare, de gândire și de evaluare.

Ca metodă alternativă de evaluare, portofoliul solicită mai mult o apreciere calitativă decât cantitativă și este mai ușor de aplicat pe grupuri mai mici. Cadrul didactic îl poate folosi pentru a evalua performanțele elevilor, iar elevii îl pot folosi pentru autoevaluare și ca modalitate de reflecție asupra învățării. De asemenea, portofoliul este compatibil cu instruirea individualizată ca strategie centrată pe stilurile diferite de învățare. Poate fi considerat în același timp un instrument complementar folosit în aplicarea strategiilor de instruire centrate pe lucrul în echipă, pe elaborarea de proiecte ample de cercetare și învățare. Portofoliul este o metodă de evaluare mai veche, folosită, îndeosebi, în învățământul primar, unde învățătorii le cereau elevilor să realizeze o seamă de lucrări, pe parcursul instruirii, care constituiau un fel de carte de vizită a lor. Aceste lucrări, (compuneri, rezolvări de probleme, diverse produse executate la lucrul manual, ierbare, insectare, colecții minerale și altele asemenea) erau apreciate și notate, iar cele mai reușite erau prezentate în cadrul unor expoziții organizate la sfârșitul anului școlar. „Descoperită” după anul 1989 și numită „portofoliu”, metoda s-a extins și la celelalte trepte de învățământ, dându-i-se un conținut mai precis. Adrian Stoica o include între metodele „complementare” de evaluare, alături de observare, de investigație și de proiect, nici ele noi, dar mai bine definite, cărora li se evidențiază valențele formative și apartenența la ceea ce autorul numește „evaluare autentică”, adică „un concept relativ nou” ce „se referă la evaluarea performanțelor elevilor prin sarcini de lucru complexe” . În această perspectivă, Adrian Stoica include în portofoliu diverse rezultate ale activității desfășurate de elevi pe parcursul instruirii, înregistrate fie cu ajutorul metodelor considerate „tradiționale” (orale, scrise și practice), fie cu ajutorul celor numite „complementare” (observarea, proiectul, investigația). Fără a minimaliza valoarea portofoliului și a celorlalte metode „complementare”, suntem de părere că oricare dintre metodele de evaluare (mai vechi sau mai noi, „tradiționale” sau „moderne”) trebuie utilizate de profesori și apreciate în raport cu „fidelitatea” lor, adică cu gradul în care ele reușesc să măsoare cât mai riguros ceea ce vrem să măsurăm, măsurarea fiind o caracteristică importantă a oricărei evaluări. Ideea pentru care pledăm este aceea de a nu absolutiza nici o metodă de evaluare ci, de a utiliza un sistem de metode, amplificându-le astfel avantajele și diminuându-le dezavantajele. Să nu uităm că elementele portofoliului sunt lucrări executate de elev, de regulă, în cadrul activității independente din afara școlii, el putând beneficia de îndrumarea altor persoane sau prelua de la acestea lucrări gata făcute. Așadar, și portofoliul va putea fi folosit ca o alternativă, alături de alte metode, conținutul său fiind precizat de evaluator, în funcție de specificul disciplinei de studiu, la începutul semestrului sau al anului de învățământ.

Disertația este folosită sub această denumire sau sub denumirea de lucrare de absolvire, de licență sau de diplomă, la încheierea unei școli sau a unei facultăți. Disertația este o lucrare științifică mai amplă, susținută public, în fața unei comisii de examen. Pe parcursul realizării, autorul (elev sau student) beneficiază de îndrumarea unui profesor, specialist în domeniul din care a fost aleasă tema lucrării. Ea se folosește și ca probă finală în obținerea titlului de doctor în științe sau, sub formă de discurs, la primirea în Academia Română.

Hărțile conceptuale (conceptual maps) sau hărțile cognitive (cognitive maps) se definesc ca fiind o imagine a modului de gândire, simțire și înțelegere ale celui sau celor care le elaborează. Elevul, după multe experiențe în acest sens, realizează o hartă conceptuală – simpla la început, apoi din ce în mai completă, devenind o modalitate, o procedură de lucru la diferitele discipline, dar și inter – și transdisciplinar.

Aceasta procedură poate fi folosită în predare, în învățare, în evaluare la toate nivelurile și la toate disciplinele.

Hărțile conceptuale care cuprind noțiuni largi și complete se pot construi pe baza unor rețele cognitive și emoționale formate în cursul vieții, în cadrul cărora sunt reînnodate rețele cognitive, sunt incluse idei noi într-o structură cognitivă, sunt rearanjate cunoștințe deja acumulate astfel încât idei noi dau roade pe terenul modelelor cognitive existente.

Conceperea acestora se bazează pe temeiul: „învățarea temeinică a noilor concepte depinde de conceptele deja existente în mintea elevului și de relațiile care se stabilesc între acestea”. (Teoria lui Ausubel).

Esența cunoașterii constă în modul cum se structurează cunoștințele. Important este nu cât cunoști, ci relațiile care se stabilesc între cunoștințele asimilate.

În procesul de instruire constructivistă, hărțile conceptuale sunt mai des folosite ca instrumente de instruire decât ca procedeu de estimare.

Avantaje ale hărților conceptuale:

organizează cunoștințele existente în mintea elevului;

pregătește noile asimilări;

ajuta la organizarea planificării sau proiectării unei activități;

elimină memorizarea și simpla reproducere a unor definiții sau algoritmi de rezolvare a unei probleme;

învățarea devine activă și constantă;

se pretează foarte bine la teoria constructivista a învățării conform căreia noua cunoaștere trebuie integrată în structura existentă de cunoștințe;

permit vizualizarea relațiilor dintre cunoștințele elevului;

evaluarea pune în evidenta modul cum gândește elevul și cum folosește ceea ce a învățat.

Ar fi și câteva dezavantaje:

solicită mult timp, deci un alt mod de organizare a învățării;

nivelul standardelor este ridicat, deci evaluarea se face pe finalități ale curriculumului;

elevul trebuie să respecte o rigoare și o ordine deosebite.

Hărțile conceptuale pot avea diverse aplicații, ținând cont de faptul că ele pot fi completate, dezvoltate de la un an de studii la altul. De exemplu harta conceptuala a Apei va arăta intr-un fel în clasele primare și mult mai completată in gimnaziu.

Dintre avantajele utilizării hărților conceptuale, menționăm:

stimulează explozia de idei;

creează soluții alternative ale aceleiași probleme date;

ușurează înțelegerea;

fac accesibilă cunoașterea;

integrează noile cunoștințe în sistemul celor vechi;

micșorează stresul școlarilor mici;

atrag elevii în acțiuni de căutare, cunoaștere, învățare;

permit desfășurarea activităților de grup care plac mult elevilor mici.

Este foarte important ca elevii sa fie inițiați cât mai de timpuriu în aceste proceduri de lucru, parcurgându-se pașii corespunzători în raport cu raportați la particularitățile de vârstă și individuale ale acestora:

pregătirea, formarea grupurilor;

stabilirea temei de lucru;

generarea idelor, definirea conceptelor;

structurarea ideilor, selectarea lor;

reprezentarea grafică, elaborarea hărților conceptuale;

interpretarea: verificarea listei de concepte, analiza utilității pentru scopurile propuse, analiza relațiilor dintre concepte;

utilizarea hărților conceptuale: prezentarea unor proiecte, realizarea unor produse, întocmirea unor portofolii.

Autoevaluarea este un demers care îndeplinește o funcție de reglare/ autoreglare a oricărui sistem, iar experiența ne demonstrează faptul că atunci când demersurile evaluatoare și/ sau autoevaluatoare nu se produc, activitatea în cauză se dereglează până la starea în care ea încetează de a mai fi utilă.

Cultivarea capacității autoevaluative devine necesară din considerente care privesc organizarea activității școlare.

Pentru a forma capacități autoevaluative se pot folosi mai multe proceduri :

”notarea reciprocă”, în sens de consultare a colegilor elevului evaluat;

”autonotarea controlată”, prin intermediul căreia cel evaluat și-a autoevaluat rezultatele, motivând.

,,Autoevaluarea este posibilă și necesară întrucât servește cunoașterii (perceperii) de sine (autocunoașterii) și dezvoltării conștiinței de sine (autoconștiinței), aspecte esențiale ce vor da posibilitatea, cu timpul, fiecăruia să descopere sensul propriei valori, premisă necesară oricărei depășiri; o disponibilitate privită în perspectiva educației permanente, care presupune angajarea individului nu numai în procesul propriei formări, ci și în acțiunea de evaluare a propriei formări pentru a deveni capabili de autoperfecționare”. (Ioan Cerghit).

Abordarea integrată a învățării și utilizarea metodelor alternative de evaluare stimulează crearea unei relații de colaborare, de încredere și respect reciproc atât între profesor și elevi, cât și între elevi. Elevul nu se simte "controlat", ci sprijinit. Profesorul trebuie să fie mai mult un organizator al situațiilor de învățare și un element de legătură între elev și societate, care mediază și facilitează accesul la informație. Implicarea elevilor în procesul didactic trebuie realizată în toate laturile acestuia: predare-învățare-evaluare.

Investigația, atât ca modalitate de învățare, cât și ca modalitate de evaluare, oferă posibilitatea elevului de a aplica în mod creativ cunoștințele însușite, în situații noi și variate, pe parcursul unui interval mai lung sau mai scurt de timp. Ea „constă în solicitarea de a rezolva o problemă teoretică sau de a realiza o activitate practică pentru care elevul este nevoit să întreprindă o investigație (documentare, observarea unor fenomene, experimentarea etc.) pe un interval de timp stabilit”. Îndeplinește mai multe funcții:

acumularea de cunoștințe;

exersarea unor abilități de investigare a fenomenelor (de proiectare a acțiunii, alegerea metodelor, emiterea unor ipoteze, culegerea și prelucrarea datelor, desprinderea concluziilor);

exersarea abilităților de evaluare a capacității de a întreprinde asemenea demersuri.

Activitatea didactică desfășurată prin intermediul acestei practici evaluative poate să fie organizată individual sau pe grupuri de lucru, iar aprecierea modului de realizare a investigației este de obicei, de tip holistic.

Cu ajutorul acestei metode profesorul poate să aprecieze:

gradul în care elevii își definesc și înțeleg problema investigată;

capacitatea de a identifica și de a selecta procedeele de obținere a informațiilor, de colectare și organizare a datelor;

abilitatea de a formula și testa ipotezele;

felul în care elevul prezintă metodele de investigație folosite;

conciziunea și validitatea raportului-analiză a rezultatelor obținute.

Toate acestea, corelate cu gradul de complexitate al sarcinii de lucru și cu natura disciplinei de studiu fac din metoda investigației un veritabil instrument de analiză și apreciere a cunoștințelor, capacităților și a personalității elevului.

Concluzii

Este recunoscut faptul că aceste metode de evaluare constituie o alternativă la formulele tradiționale a căror prezență domină. Alternativele oferite constituie opțiuni metodologice și instrumentale care îmbogățesc practica evaluativă evitând rutina și monotonia. Valențele formative le recomandă susținut în acest sens. Este cazul, în special, al portofoliului, al proiectului, al hărților conceptuale, al investigației care, în afara faptului că reprezintă importante instrumente de evaluare, constituie în primul rând sarcini de lucru a căror rezolvare stimulează învățarea de tip euristic.

Valențele formative care susțin aceste metode alternative ca practici de succes atât pentru evaluare cât și pentru realizarea obiectivului central al învățământului și anume învățarea, sunt următoarele:

stimulează implicarea activă în sarcină a elevilor, aceștia fiind mai conștienți de responsabilitatea ce și-o asumă;

asigură o mai bună punere în practică a cunoștințelor, exersarea priceperilor și capacităților în variate contexte și situații;

unele dintre ele, cum ar fi portofoliul, oferă o perspectivă de ansamblu asupra activității elevului pe o perioadă mai lungă de timp, depășind neajunsurile altor metode tradiționale de evaluare cu caracter de sondaj în materie și între elevi;

asigură un demers interactiv al actelor de predare-evaluare, adaptat nevoilor de individualizare a sarcinilor de lucru pentru fiecare elev, valorificând și stimulând potențialul creativ și originalitatea acestuia;

descurajează practicile de speculare sau de învățare doar pentru notă;

reduce factorul stres în măsura în care profesorul este un consilier, iar evaluarea are ca scop în primul rând îmbunătățirea activității și stimularea elevului, și nu sancționarea cu orice preț, activitățile de evaluare cuprinzând materiale elaborate de-a lungul unui interval mai mare de timp.

Utilizarea metodelor alternative de evaluare încurajează crearea unui climat de învățare plăcut, relaxat, elevii fiind evaluați în mediul obișnuit de învățare, prin sarcini contextualizate; realizează experimente, elaborează proiecte, alcătuiesc portofolii, acestea fiind în același timp sarcini de instruire și probe de evaluare. Este important ca elevii să înțeleagă criteriile de evaluare, procesul evaluativ, pentru a putea reflecta asupra performanțelor obținute, a le explica și a găsi modalități de progres.

Proiect de lecție

Clasa a XI-a

Obiectul : Matematică
Unitatea de învățare : Determinanți

Titlul lecției : Determinanții de ordinul 3

Tipul lecției : Lecție de recapitulare și sistematizare a cunoștințelor.

Scopul lecției : Elevii trebuie să aplice proprietățile determinanților și diverse metode pentru calcularea determinanților de ordinul 3
Durata lecției : 50 minute

Locul de desfășurare : Sala de clasă

Competențe generale:

Folosirea terminologiei specifice matematicii în contexte variate de aplicare.

Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse în enunțuri matematice.

Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice în rezolvarea de probleme.

Exprimarea și redactarea în limbaj formal sau în limbaj cotidian, a rezolvării sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme.

Analiza de situații – problemă în scopul descoperirii de strategii pentru optimizarea soluțiilor.

Generalizarea unor proprietăți prin modificarea contextului inițial de definire sau prin generalizarea algoritmilor.

Competente specifice:

Identificarea unor situații practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic

Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces

Aplicarea algoritmilor de calcul în situații practice

Rezolvarea unor ecuații și sisteme utilizând algoritmi specifici

Stabilirea unor condiții de existență și/sau compatibilitate a unor sisteme și identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora

Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii și metode adecvate

Competente psihomotorii:

Așezarea corect în pagină.

Scrierea lizibil în caiete și la tablă.

Obiective operationale:

Să aplice proprietățile determinanților în calcul.

Să selecteze metoda de rezolvare adecvată fiecărui determinant.

Să aplice regulile de calcul cu numere reale sau cu numere reale exprimate prin litere.

Să identifice informațiile esențiale dintr-un enunt matematic prezentat în diverse forme.

Să lucreze frontal, individual sau în echipe pentru realizarea sarcinilor.

Metoda si procedee:

– conversația , explicația, mozaic, organizator grafic, exercițiul.

Mijloace de învățământ :

– fișa de lucru; manualul.

Bibliografie :

Brânzei Dan, Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești, 2008.

Cucoș Constantin, Pedagogie, Editura Polirom, , 2006.

Ganga Mircea, Matematică – Manual pentru clasa a XI-a, Volumul II, Elemente de algebră liniară și geometrie analitică, Editura Mathpress, Ploiești, 2004.

Curriculum Național. Programe școlare pentru ciclul superior al liceului :Matematică

DESFĂȘURAREA LECȚIEI

FIȘĂ DE LU

Determinanții de ordinul 3

Precizați ce proprietate poate fi aplicată în calcularea următorilor determinanți:

, , , , , .

Să se calculeze determinantul (folosind una dintre metode) .

Să se calculeze următorii determinanți, punând rezultatul sub formă de produs:

a) ; b) ; c) .

Să se verifice egalitățile:

a) ;

b) .

Proiect de lecție

Clasa a XI-a

Obiectul : Matematică
Unitatea de învățare : Sisteme de ecuații liniare

Titlul lecției : Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare. Metoda lui Cramer.

Tipul lecției : Lecție de transmitere de noi cunoștințe

Scopul lecției: Elevii trebuie să rezolve sisteme de ecuații folosind metoda lui Cramer
Durata lecției : 50 minute

Locul de desfășurare : Sala de clasă

Competențe generale:

Folosirea terminologiei specifice matematicii în contexte variate de aplicare.

Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse în enunțuri matematice.

Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice în rezolvarea de probleme.

Exprimarea și redactarea în limbaj formal sau în limbaj cotidian, a rezolvării sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme.

Analiza de situații – problemă în scopul descoperirii de strategii pentru optimizarea soluțiilor.

Generalizarea unor proprietăți prin modificarea contextului inițial de definire sau prin generalizarea algoritmilor.

Competențe specifice:

Identificarea unor situații practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic.

Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces.

Aplicarea algoritmilor de calcul în situații practice.

Rezolvarea unor ecuații și sisteme utilizând algoritmi specifici.

Stabilirea unor condiții de existență și/sau compatibilitate a unor sisteme și identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora.

Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii și metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic).

Competențe psihomotorii:

Așezarea corect în pagină.

Scrierea lizibil în caiete și la tablă.

Obiective operaționale:

Să definească noțiunea de sistem Cramer.

Să stabilească dacă un sistem este de tip Cramer.

Să folosească proprietățile operațiilor cu numere reale pentru simplificarea calculelor.

Să rezolve sisteme de ecuații prin metoda lui Cramer pentru n=2,3.

Să identifice informațiile esențiale dintr-un enunț matematic prezentat în diverse forme.

Să lucreze frontal și individual pentru realizarea sarcinilor.

Metoda si procedee:

– conversația, explicația, învățarea prin descoperire, demonstrația, exercițiul.

Mijloace de învățământ :

– fișa de lucru; manualul, caiete; tablă.

Bibliografie :

Brânzei Dan, Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești, 2008.

Cucoș Constantin, Pedagogie, Editura Polirom, , 2006.

Ganga Mircea, Matematică – Manual pentru clasa a XI-a, Volumul II, Elemente de algebră liniară și geometrie analitică, Editura Mathpress, Ploiești, 2004.

Curriculum Național. Programe școlare pentru ciclul superior al liceului :Matematică

DESFĂȘURAREA LECȚIEI

Fișă de lucru

Să se rezolve următoarele sisteme:

Să se rezolve următoarele sisteme:

Proiect de lecție

Clasa a XI-a

Obiectul : Matematică
Unitatea de învățare : Sisteme de ecuații liniare

Titlul lecției : Calculul inversei unei matrice

Tipul lecției : Lecție de verificare și apreciere a cunoștințelor. Test sumativ.
Scopul lecției: Verificarea și aprecierea deprinderilor de calcul a inverselor unor matrice date.
Durata lecției : 50 minute

Locul de desfășurare : Sala de clasă

Competențe generale:

Folosirea terminologiei specifice matematicii în contexte variate de aplicare.

Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse în enunțuri matematice.

Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice în rezolvarea de probleme.

Exprimarea și redactarea în limbaj formal sau în limbaj cotidian, a rezolvării sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme.

Analiza de situații – problemă în scopul descoperirii de strategii pentru optimizarea soluțiilor

Generalizarea unor proprietăți prin modificarea contextului inițial de definire sau prin generalizarea algoritmilor.

Competente specifice:

Identificarea unor situații practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic.

Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces.

Aplicarea algoritmilor de calcul în situații practice.

Rezolvarea unor ecuații și sisteme utilizând algoritmi specifici.

Stabilirea unor condiții de existență și/sau compatibilitate a unor sisteme și identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora.

Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii și metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic).

Competente psihomotorii:

Așezarea corect în pagină.

Scrierea lizibil în caiete și la tablă.

Obiective operationale:

Să determine condițiile în care o matrice este inversabilă.

Să aplice regulile de calcul cu numere reale exprimate prin litere.

Să folosească proprietățile operațiilor cu numere reale pentru simplificarea calculelor.

Să determine inversa unei matrice date.

Să identifice informațiile esențiale dintr-un enunț matematic prezentat în diverse forme.

Să lucreze individual pentru realizarea sarcinilor.

Metoda si procedee:

– conversația, explicația.

Mijloace de invatamant :

– test, caiete, manual.

Bibliografie :

Brânzei Dan, Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești, 2008.

Cucoș Constantin, Pedagogie, Editura Polirom, , 2006.

Ganga Mircea, Matematică – Manual pentru clasa a XI-a, Volumul II, Elemente de algebră liniară și geometrie analitică, Editura Mathpress, Ploiești, 2004.

Curriculum Național. Programe școlare pentru ciclul superior al liceului :Matematică

DESFĂȘURAREA LECȚIEI

TEST

INVERSA UNEI MATRICE

Clasa a XI-a

(2p) Să se determine astfel încât matricele următoare să fie inversabile:

a) ; b) .

(2p) Să se calculeze inversele matricelor:

a) ; b) .

(1p) Știind că să se determine astfel încât .

(4p) Să se rezolve ecuațiile matriceale:

a) ; b)

Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 50 min. Se acordă 1 punct din oficiu.

INVERSA UNEI MATRICE

Clasa a XI-a

BAREM DE EVARE ȘI DE NOTARE

INVERSA UNEI MATRICE

Clasa a XI-a

Elevi absenți : 1 Media pe clasă : 7

BIBLIOGRAFIE

Banea Horea, Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești, 1998.

Brânzei Dan, Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești, 2008.

Cucoș Constantin, Pedagogie, Editura Polirom, Iași, 2006.

Curriculum Național. Programe școlare pentru ciclul superior al liceului :Matematică

Frunză Virgil, Elemente de metodologie a instruirii, Editura Muntenia, 2004.

Ganga Mircea, Matematică – Manual pentru clasa a XI-a, Volumul II, Elemente de algebră liniară și geometrie analitică, Editura Mathpress, Ploiești, 2004.

Ion D., Radu I., Algebră, E.D.P, București, 1981.

Mihăileanu N., Istoria matematicii. Secolul al 18-lea. Prima jumatate a secolului al 19-lea. Dezvoltarea ulterioară a matematicii., Volumul 2, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1981.

Mirică S., Drăghicescu I., Aplicații de algebră și geometrie analitică, Editura Aramis, București, 2002.

Mirică S., Drăghicescu I., Matematică – Manual pentru clasa a XI-a, Editura Aramis, București, 2002.

Năstasescu C., Niță C., Stănescu I., Matematică – Manual pentru clasa a XI-a, E.D.P., București, 1980.

Năstasescu C., Niță C., Vraciu C., Aritmetică și algebră, E.D.P., București, 1993.

Păcurari O., Învățare activă. Ghid pentru formatori, MEC-CNPP,2001.

Singer M., Voica C., Învățarea matematicii. Ghidul profesorului. Elemente de didactica aplicată, Editura Sigma, București, 2000.

BIBLIOGRAFIE

Banea Horea, Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești, 1998.

Brânzei Dan, Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești, 2008.

Cucoș Constantin, Pedagogie, Editura Polirom, Iași, 2006.

Curriculum Național. Programe școlare pentru ciclul superior al liceului :Matematică

Frunză Virgil, Elemente de metodologie a instruirii, Editura Muntenia, 2004.

Ganga Mircea, Matematică – Manual pentru clasa a XI-a, Volumul II, Elemente de algebră liniară și geometrie analitică, Editura Mathpress, Ploiești, 2004.

Ion D., Radu I., Algebră, E.D.P, București, 1981.

Mihăileanu N., Istoria matematicii. Secolul al 18-lea. Prima jumatate a secolului al 19-lea. Dezvoltarea ulterioară a matematicii., Volumul 2, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1981.

Mirică S., Drăghicescu I., Aplicații de algebră și geometrie analitică, Editura Aramis, București, 2002.

Mirică S., Drăghicescu I., Matematică – Manual pentru clasa a XI-a, Editura Aramis, București, 2002.

Năstasescu C., Niță C., Stănescu I., Matematică – Manual pentru clasa a XI-a, E.D.P., București, 1980.

Năstasescu C., Niță C., Vraciu C., Aritmetică și algebră, E.D.P., București, 1993.

Păcurari O., Învățare activă. Ghid pentru formatori, MEC-CNPP,2001.

Singer M., Voica C., Învățarea matematicii. Ghidul profesorului. Elemente de didactica aplicată, Editura Sigma, București, 2000.