Principiul de Maxim
Principiul de maxim
Cuprins
Introducere
Principiul de maxim unu-dimensional
Principiul de maxim
Principiul de maxim generalizat
Problema cu condi¸tii ini¸tiale
Probleme cu condi¸tii la frontier˘a .
Aproximarea ˆın problemele cu condi¸tii la frontier˘a
Aproximarea ˆın probleme cu condi¸tii ini¸tiale
Problema cu valori proprii
Ecua¸tii eliptice
Operatorul Laplace
Operatori eliptici de ordinul al doilea
Transform˘ari
Principiul de maxim al lui Eberhard Hopf
Teoreme de unicitate pentru probleme cu condi¸tii la frontier˘a
Principiul de maxim generalizat
Aproximarea ˆın probleme cu condi¸tii la frontier˘a
Identit˘a¸tile lui Green ¸si func¸tia lui Green
Valori proprii
Principiul Phragm`en – Lindel¨of
Teorema celor trei cercuri a lui Hadamard
Derivatele func¸tiilor armonice
Estim˘ari ale limitelor pentru derivate
Operatori parabolici
Ecua¸tia c˘aldurii .
Operatorul parabolic unu-dimensional
Operatorul parabolic general
Teoreme de unicitate pentru probleme cu condi¸tii la limit˘a
Principiul Phragm`en – Lindel¨of
Principiul de maxim
Preliminarii
Principiul de maxim parabolic ¸si disipativitate
Caracterizarea operatorului P verificˆand principiile de maxim
Principiul de maxim slab
Principiul compar˘arii
Principiul de maxim tare
Principiul de maxim parabolic tare
Bibliografie
Capitolul 1
Introducere
Unul dintre cele mai folositoare ¸si mai bine cunoscute instrumente folosite
ˆın studiul ecua¸tiilor cu derivate par¸tiale este principiul de maxim. Acest principiu este generalizarea faptului elementar al matematicii c˘a orice func¸tie f(x) care satisface inegalitatea f00 > 0 pe un interval [a,b]ˆı¸si atinge valoarea maxim˘a ˆıntr-unul din capetele intervalului. Spunem c˘a solu¸tiile inegalit˘a¸tii f00 > 0 satisfac un principiu de maxim. Mai general, func¸tiile care satisfac o inecua¸tie diferen¸tial˘a ˆıntr-un domeniu D ¸si, din aceast˘a cauz˘a, ˆı¸si ating maximul pe frontiera lui D se zice c˘a posed˘a un principiu de maxim.
Studiul ecua¸tiilor cu derivate par¸tiale ˆıncepe frecvent cu o clasificare a ecua¸tiilor ˆın diferite tipuri. Ecua¸tiile cel mai frecvent studiate sunt cele de tip eliptic, parabolic ¸si hiperbolic. Din cauz˘a c˘a ecua¸tiile din aceste trei clase apar ˆın mod natural ˆın multe probleme din fizic˘a, matematicienii interesa¸ti de ecua¸tiile cu derivate par¸tiale au avut tendin¸ta s˘a-¸si concentreze eforturile asupra celor care prezint˘a interes atˆat din punct de vedere al matematicii, cˆat ¸si al fizicii. De aceea,ˆın studiul problemelor orientate spre fizic˘a, se poate observa tendin¸ta de a studiaˆın detaliu anumite ecua¸tiiˆın timp ce altele sunt efectiv ignorate. Multe probleme asociate ecua¸tiilor de tip eliptic, parabolic ¸si hiperbolic expun principii de maxim, de aceea studiul se va axa asupra lor.
De obicei exist˘a o interpretare fizic˘a natural˘a a principiului de maxim
ˆın problemele de ecua¸tii diferen¸tiale care apar ˆın fizic˘a. ˆIn aceste situa¸tii, principiul de maxim ne ajut˘a s˘a aplic˘am intui¸tia fizic˘a modelelor matematice. Prin urmare, oricine ˆınva¸t˘a despre principiul de maxim face cuno¸stin¸t˘a cu ecua¸tiile cu derivate par¸tiale clasic importante ¸si, ˆın acela¸si timp, descoper˘a motivele importan¸tei lor.
Principiul de maxim ne permite ob¸tinerea de informa¸tii despre solu¸tii ale ecua¸tiilor diferen¸tiale f˘ar˘a cuno¸stin¸te explicite despre solu¸tii ˆınse¸si. ˆIn particular, principiul de maxim este o unealt˘a folositoare ˆın aproximarea solu¸tiilor, un subiect de mare interes pentru mul¸ti cercet˘atori.
Principiul de maxim pentru ecua¸tii cu derivate par¸tiale poate fi specializat pe func¸tii de o variabil˘a ¸si,ˆın acest caz, principiul de maxim unu-dimensional este mai legat de ecua¸tii diferen¸tiale ordinare de ordinul doi decˆat de ecua¸tii cu derivate par¸tiale.
De¸si principiul de maxim pentru ecua¸tia lui Laplace ¸si pentru alte cˆateva tipuri de ecua¸tii a fost cunoscut de aproximativ o sut˘a de ani, abia relativ recent Eberhard Hopf a stabilit principii de maxim puternice pentru operatori eliptici generali de ordinul al doilea. Spre deosebire de cazul operatorilor eliptici, principiul de maxim pentru operatori parabolici ˆımbrac˘a o form˘a diferit˘a. Lucrarea prezint˘a principiul de maxim tare al lui Nirenberg ¸si, ca ¸si ˆın cazul operatorilor eliptici, principiul poate fi folosit pentru a scoate ˆın eviden¸t˘a rezultate referitoare la aproxim˘ari ¸si unicitate.
Nota¸tii
Nota¸tiile folosite sunt ˆın mare masur˘a standard. Un domeniu D ˆın spa¸tiul Euclidian este o mul¸time deschis˘a ¸si conex˘a. Frontiera lui D este notat˘a de obicei cu ∂D. Simbolurile ∪ ¸si ∩ sunt folosite pentru reuniunea, respectiv, intersec¸tia mul¸timilor. Literele boldate reprezint˘a vectori ¸si nota¸tiile uxi ¸si ∂u/∂xi sunt folosite pentru derivatele par¸tiale.
Litera L urmat˘a de paranteze drepte denot˘a un operator liniar care ac¸tioneaz˘a asupra func¸tiilor. Adic˘a L aloc˘a fiecarei func¸tii u de o anumit˘a clas˘a o func¸tie L[u] de o alt˘a clas˘a. Spunem c˘a L este liniar dac˘a, oricum ar fi definite L[u1] ¸si L[u2], cantit˘a¸tile L[αu1 + βu2] ¸si αL[u1] + βL[u2] sunt de asemenea definite pentru orice constante α ¸si β ¸si ecua¸tia L[αu1 +βu2] = αL[u1] + βL[u2] are sens.
Capitolul 2
Principiul de maxim unu-dimensional
2.1 Principiul de maxim
O func¸tie u(x) care este con¸tinut˘aˆın intervalulˆınchis [a,b]ˆı¸si atinge maximul
ˆıntr-un punct din acest interval. Dac˘a u(x) are derivata a doua continu˘a ¸si dac˘a u are un punct de maxim local ˆıntr-un punct c ˆıntre a ¸si b, atunci ¸stim c˘a
u0(c) = 0, u00(c) ≤ 0. (2.1)
Presupunem c˘a pe un interval deschis de forma (a,b), u satisface o inegalitate diferen¸tial˘a de forma
L[u] ≡ u00 + g(x)u0 > 0, (2.2)
unde g(x) este o func¸tie oarecare m˘arginit˘a. Atunci este clar c˘a rela¸tiile (2.1) nu pot fi satisf˘acute ˆın niciun punct c din (a,b). ˆIn consecin¸t˘a, oricˆand (2.2) are loc, maximul lui u pe intervalul respectiv nu poate fi atinsˆın alt loc decˆat ˆın capetele a sau b. Acesta este cel mai simplu caz de principiu de maxim .
O tr˘as˘atur˘a esen¸tial˘a a argumentului de mai sus este cerin¸ta ca inegalitatea (2.2) s˘a fie strict˘a; adic˘a presupunem c˘a u00 + g(x)u0 nu este niciodat˘a zero. ˆIns˘a aceast˘a cerin¸t˘a este mult prea restic¸tv˘a ¸si e important s˘a fie eliminat˘a dac˘a acest lucru e posibil. Observ˘am c˘a pentru inegalitatea nestrict˘a
u00 + g(x)u0 ≥ 0,
solu¸tia u = constant˘a este admis˘a. Pentru o asemenea solu¸tie constant˘a, maximul este atins ˆın fiecare punct. Aceast˘a excep¸tie este singura posibil˘a.
TEOREMA 1. (Principiul 1-dimensional)
Presupunem c˘a u = u(x) satisface inegalitatea diferen¸tial˘a
L[u] ≡ u00 + g(x)u0 ≥ 0 pentru a < x < b, (2.3)
cu g(x) o func¸tie m˘arginit˘a. Dac˘a u(x) ≤ M ˆın (a,b) ¸si dac˘a maximul M al lui u este atinsˆıntr-un punct c interior lui (a,b), atunci u ≡ M.
Demonstra¸tie. Presupunem c˘a u(c) = M ¸si c˘a exist˘a un punct d ∈ (a,b) astfel ˆıncˆat u(d) < M. Vom ajunge astfel la o contradic¸tie. Convenim ca d > c. Definim func¸tia z(x) = eα(x−c) − 1
cu α o constant˘a pozitiv˘a ce va fi determinat˘a. Observ˘am c˘a z(x) < 0 pentru a < x < c, c˘a z(x) > 0 pentru c < x < b ¸si c˘a z(c) = 0.
Dintr-un calcul simplu rezult˘a c˘a
L[z] ≡ z00 + g(x)z0 = α[α + g(x)]eα(x−c).
Alegem α suficient de mare ˆıncˆat L[z] > 0 pentru a < x < d. Adic˘a alegem α astfel ˆıncˆat s˘a satisfac˘a inegalitatea
α > −g(x);
putem face ˆıntotdeauna acest lucru din moment ce g(x) este m˘arginit˘a.
Definim acum
w(x) = u(x) + εz(x),
unde ε e o constant˘a pozitiv˘a aleas˘a astfel ˆıncˆat s˘a satisfac˘a inegalitatea
.
Presupunerea c˘a u(d) < M ¸si faptul c˘a z(d) > 0 face posibil˘a g˘asirea unui astfel de ε. Apoi, din moment ce z este negativ pentru a < x < c, avem
w(x) < M pentru a < x < c;
din defini¸tia lui ε,
w(d) = u(d) + εz(d) < u(d) + M − u(d),
astfel c˘a
w(d) < M.
ˆIn punctul c, w(c) = u(c) + εz(c) = M.
De aici w are un maxim mai mare sau egal cu M care este atinsˆıntr-un punct interior al intervalului (a,d). Dar
L[w] = L[u] + εL[z] > 0,
ˆın a¸sa fel ˆıncˆat, avˆand ˆın vedere rezultatul anterior privind inegalitatea (2.2), w nu-¸si poate atinge maximul ˆın intervalul (a,d). Astfel ajungem la o contradic¸tie.
Dac˘a d < c, folosim func¸tia auxiliara
z = e−α(x−c) − 1
cu α > g(x) pentru a ajunge la aceea¸si concluzie.
Cheia demonstra¸tiei anterioare este construc¸tia func¸tiei z(x) cu propriet˘a¸tile:
L[z] > 0;
z(x) < 0 pentru x < c; (iii) z(x) > 0 pentru x > c;
(iv) z(c) = 0.
(dac˘a d < c, inegalit˘a¸tile (ii) ¸si (iii) sunt inversate.) Func¸tia z nu este ˆıns˘a unic˘a. De exemplu, func¸tia
z(x) = (x − a)α − (c − a)α
cu α suficient de mare are acelea¸si patru propriet˘a¸ti.
Aplicˆand teorema 1 lui (−u) ob¸tinem principiul de minim care afirm˘a c˘a o func¸tie neconstant˘a care satisface inegalitatea diferen¸tiala L[u] ≤ 0 nu ˆı¸si poate atinge minimul ˆıntr-un punct interior.
Condi¸tia de m˘arginire pentru g ˆın enuntul teoremei 1 poate fi relaxat˘a. Dac˘a g este m˘arginit˘a pe fiecare interval [a0,b0] complet interior lui [a,b], atunci concluzia teoremei 1 ˆınc˘a este valabil˘a. Aplic˘am pur ¸si simplu argumentul pe fiecare subinterval [a0,b0] care con¸tine punctele c ¸si d ˆın interiorul s˘au. Trebuie observat c˘a este posibil pentru g s˘a fie m˘arginit˘a pe fiecare subinterval ˆınchis al lui (a,b) ¸si totu¸si s˘a fie nem˘arginit˘a cˆand x tinde la a sau b. De exemplu, g(x) = 1/(1 − x2) este m˘arginit˘a pe fiecare subinterval ˆınchis al lui (−1,1). Acesta poate p˘area un punct minor, dar se dovedeste c˘a multe dintre ecua¸tiile diferen¸tiale din fizica matematic˘a au coeficien¸ti g care devin nem˘argini¸ti la capetele intervalului de defini¸tie.
Metoda folosit˘a ˆın demonstrarea teoremei 1 ne permite ob¸tinerea informatiilor suplimentare despre func¸tii care satisfac o inegalitate de tipul (3). Teorema urm˘atoare stabile¸ste un rezultat precis ˆın acest sens.
TEOREMA 2.
Presupunem c˘a u o func¸tie neconstant˘a care satisface inegalitatea u00 +g(x)u0 ≥ 0ˆın (a, b) ¸si are derivate lateraleˆın punctele a ¸si b ; mai presupunem c˘a g este m˘arginit˘a pe orice subinterval ˆınchis al lui (a,b). Dac˘a maximul lui u este atins pentru x = a ¸si g este m˘arginit˘a inferior pentru x = a, atunci u0(a) < 0. dac˘a maximul apare pentru x = b ¸si g este m˘arginit˘a superior pentru x = b, atunci u0(b) > 0.
Demonstra¸tie. Presupunem c˘a u(a) = M, c˘a u(x) ≤ M pentru a ≤ x ≤ b
¸si c˘a pentru un anumit punct d ∈ (a,b) avem u(d) < M. ˆInc˘a o dat˘a definim o func¸tie auxiliara
z(x) = eα(x−a) − 1 cu α > 0.
Alegem α > −g(x) pentru a ≤ x ≤ d astfel ˆıncˆat L[z] > 0. Apoi construim func¸tia
w(x) = u(x) + εz(x)
cu ε ales astfel ˆıncˆat
.
Din cauz˘a c˘a L[w] > 0, maximul lui w pe intervalul [a,d] trebuie s˘a fie atins la unul dintre capete. Avem
w(a) = M > w(d),
ˆın a¸sa fel ˆıncˆat maximul are loc ˆın a . A¸sadar, derivata lateral˘a a lui w ˆın a nu poate fi pozitiv˘a:
w0(a) = u0(a) + εz0(a) ≤ 0.
Totu¸si,
z0(a) = α > 0,
¸si astfel
u0(a) < 0,
care este rezultatul dorit.
Dac˘a maximul apare pentru x = b, argumentul este similar.
Observa¸tii.
Dac˘a o func¸tie u care satisface (3) are un punct de maxim relativ ˆıntr-un punct interior c, atunci exist˘a un interval (a1,b1) care con¸tine c in interiorul s˘au, pe care u(x) ≤ u(c). Atunci teorema 1 arat˘a c˘a u(x) = u(c) pe acest interval. Aplicˆand teorema 2 tuturor intervalelor care au unul dintre capete c, observ˘am c˘a valoarea u(c) la maximul relativ este de fapt valoarea minima a lui u pe intervalul (a,b).
Dac˘a o func¸tie u care satisface (3) are puncte de minim relative ˆın dou˘a puncte c1 ¸si c2 ale intervalului (a,b), atunci trebuie s˘a aiba un maxim relativ ˆıntr-un punct situat ˆıntre c1 ¸si c2. Rezult˘a apoi din observa¸tia (i) c˘a u(c1) = u(c2) ¸si c˘a u(x) este constant˘a pe intervalul (c1,c2).
O func¸tie care satisface (3) nu poate avea puncte de inflexiune orizontale (u are un punct orizontal de instruim func¸tia
w(x) = u(x) + εz(x)
cu ε ales astfel ˆıncˆat
.
Din cauz˘a c˘a L[w] > 0, maximul lui w pe intervalul [a,d] trebuie s˘a fie atins la unul dintre capete. Avem
w(a) = M > w(d),
ˆın a¸sa fel ˆıncˆat maximul are loc ˆın a . A¸sadar, derivata lateral˘a a lui w ˆın a nu poate fi pozitiv˘a:
w0(a) = u0(a) + εz0(a) ≤ 0.
Totu¸si,
z0(a) = α > 0,
¸si astfel
u0(a) < 0,
care este rezultatul dorit.
Dac˘a maximul apare pentru x = b, argumentul este similar.
Observa¸tii.
Dac˘a o func¸tie u care satisface (3) are un punct de maxim relativ ˆıntr-un punct interior c, atunci exist˘a un interval (a1,b1) care con¸tine c in interiorul s˘au, pe care u(x) ≤ u(c). Atunci teorema 1 arat˘a c˘a u(x) = u(c) pe acest interval. Aplicˆand teorema 2 tuturor intervalelor care au unul dintre capete c, observ˘am c˘a valoarea u(c) la maximul relativ este de fapt valoarea minima a lui u pe intervalul (a,b).
Dac˘a o func¸tie u care satisface (3) are puncte de minim relative ˆın dou˘a puncte c1 ¸si c2 ale intervalului (a,b), atunci trebuie s˘a aiba un maxim relativ ˆıntr-un punct situat ˆıntre c1 ¸si c2. Rezult˘a apoi din observa¸tia (i) c˘a u(c1) = u(c2) ¸si c˘a u(x) este constant˘a pe intervalul (c1,c2).
O func¸tie care satisface (3) nu poate avea puncte de inflexiune orizontale (u are un punct orizontal de inflexiune ˆın x = c dac˘a u0(c) = 0 ˆın timp ce u cre¸ste strict sau descre¸ste strict pe un interval ce-l con¸tine pe c.) dac˘a ar exista un astfel de punct, am putea alege un subinterval ˆın care acest punct s˘a fie capat (fie stˆang, fie drept, oricare este potrivit) pe care u s˘a ˆı¸si atinga maximul ˆın c. Atunci teorema 2 ar fi contrazis˘a.
Un rezultat analog teoremei 2 este valabil pentru solu¸tiile lui L[u] ≤ 0, producˆand un principiu de minim asociat. Ob¸tinem acest principiu aplicˆand teorema 2 func¸tiei (−u).
Putem demonstra teorema 2 ˆınaintea teoremei 1. Atunci urm˘atorulargument duce la teorema 1 imediat. Dac˘a u are un maxim ˆıntr-un punct interior c, atunci u0(c) = 0. Aplicˆand teorema 2 intervalelor (a,c) ¸si (c,b) concluzion˘am c˘a u e constant˘a.
M˘arginirea lui g este necesara pentru concluziile teoremelor 1 ¸si 2. Ecua¸tia u00 + g(x)u0 = 0
cu
pentru x 6= 0 g( ) =
0 pentru x = 0
are solu¸tia
u = 1 − x4.
Teorema 1 este ˆın mod evident ˆınc˘alcat˘a pe intervalul −1 ≤ x ≤ 1, deoarece u are un maxim ˆın x = 0. Teorema 2 este ˆınc˘alcat˘a pe [0,1] pentru c˘a u0(0) = 0. Rezultatele teoremelor 1 ¸si 2 nu sunt aplicabile pentru c˘a g nu este m˘arginit˘a inferior pe intervalul (0,1).
Consider˘am acum inegalitatea diferen¸tiala mai general˘a
(L + h)[u] ≡ u00 + g(x)u0 + h(x)u ≥ 0.(4)
Cele mai simple exemple arat˘a c˘a ˆın cel mai bun caz putem doar spera pentru o forma modificata a principiului de maxim; ecua¸tia
u00 + u = 0
are solu¸tia u = sinx care ˆı¸si atinge maximul ˆın x = π/2. Nici chiar condi¸tia h(x) ≤ 0 nu este suficienta pentru a produce un principiu de maxim nerestic¸tonat. Observ˘am c˘a ecua¸tia
u00 − u = 0
are solu¸tia
u = −ex − e−x,
careˆı¸si atinge valoarea maxim˘a (-2)ˆın punctul x = 0. Vom ar˘ata c˘a o solu¸tie neconstant˘a a lui (2.4) cu h ≤ 0 nu poate atinge un maxim nenegativˆıntr-un punct interior.
Este u¸sor de v˘azut c˘a dac˘a inegalitatea stict˘a
(L + h)[u] > 0, cu h ≤ 0,
are loc pe un interval deschis (a,b), atunci u nu poate avea un maxim nenegativ ˆın interiorul lui (a,b). De fapt, pentru fiecare astfel de maxim, avem u0 = 0, u00 ≤ 0, hu ≤ 0, contrazicˆand inegalitatea stict˘a anterioar˘a. Acest fapt ne permite s˘a extindem teoremele 1 ¸si 2 f˘ar˘a a altera argumentul ˆın niciun alt felˆın afar˘a de a alege α suficient de mare pentru ca (L+h)[z] > 0.
Constanta α din func¸tia eα(x−c) − 1 (sau func¸tia e−α(x−c) − 1, dac˘a d e la stˆanga lui c) trebuie doar s˘a satisfac˘a
α2 + αg(x) + h(x)[1 − e−α(x−c)] > 0
(sau α2 − αg(x) + h(x)[1 − eα(x−c)] > 0).
Din moment ce h(x) ≤ 0, e suficient ˆın oricare dintre cazuri s˘a alegem α astfel ˆıncˆat
α2 − α|g(x)| + h(x)
Aceasta se poate realiza cu siguranta dac˘a func¸tiile g(x) ¸si h(x) sunt m˘arginite. Din nou putem ar˘ata c˘a este suficient ca ele s˘a fie merginite pe fiecare subintervalˆınchis al lui (a,b). ˆın acest fel ob¸tinem urm˘atoarele dou˘a teoreme, care extind teoremele 1 ¸si 2.
TEOREMA 3.
Dac˘a u(x) satisface inegalitatea diferen¸tial˘a
(L + h)[u] ≡ u00 + g(x)u0 + h(x)u ≥ 0. (4)
ˆıntr-un interval (a,b) cu h(x) ≤ 0, dac˘a g ¸si h sunt m˘arginite pe fiecare subinterval ˆınchis ¸si dac˘a u atinge o valoare maxim˘a nenegativ˘a M ˆıntr-un punct c, atunci u(x) ≡ M.
Observ˘am c˘a dac˘a h nu este identic zero, atunci singura constant˘a nenegativ˘a M formeaz˘aand (4) este M = 0.
TEOREMA 4.
Presupunem c˘a u este o solu¸tie neconstant˘a a inegalit˘a¸tii diferen¸tiale (4) avˆand derivate laterale ˆın a ¸si b, c˘a h(x) ≤ 0 ¸si c˘a g ¸si h sunt m˘arginite pe fiecare subinterval ˆınchis al lui (a,b). Dac˘a u are un maxim nenegativˆın a ¸si dac˘a func¸tia g(x)+(x−a)h(x) este m˘arginit˘a inferior ˆın punctul x = a, atunci u0(a) < 0. Dca u are un maxim nenegativ ˆın b ¸si dac˘a g(x) − (b − x)h(x) este m˘arginit˘a superior ˆın x = b, atunci u0(b) > 0.
ˆIn a extinde demonstra¸tia teoremei 2 la teorema 4, trebuie doar s˘a observ˘am c˘a
(L + h)[eα(x−a) − 1] = eα(x−a)[α2 + αg + h(1 − e−α(x−a))] ≥ eα(x−a)[α2 + αg + α(x − a)h].
COROLAR. Dac˘a u satisface (4) ˆın (a,b) cu h(x) ≤ 0, dac˘a u e continu˘a pe [a,b] ¸si dac˘a u(a) ≤ 0, u(b) ≤ 0, atunci u(x) < 0 ˆın (a,b) ˆın afar˘a de cazul u ≡ 0.
2.2 Principiul de maxim generalizat
Studiem inegalitatea diferen¸tial˘a
(L + h)[u] ≡ u00 + g(x)u0 + h(x)u ≥ 0, a < x < b, (1)
f˘ar˘a condi¸tia ca h(x) s˘a fie nepozitiv˘a. Presupunem c˘a putem g˘asi o func¸tie w care are derivata a doua continu˘a pe [a,b] ¸si care satisface inegalit˘a¸tile
w > 0 pe [a,b] (2)
(L + h)[w] ≤ 0, pentru w ∈ (a,b). (3)
Definim noua variabil˘a dependent˘a
.
Un calcul simplu produce urm˘atorul fapt:
(L + h)[u] = (L + h)[vw] = wv00 + (2w0 + gw)v0 + (L + h)[w]v ≥ 0.
ˆImp˘ar¸tind cu w > 0, vedem c˘a v satisface inegalitatea diferen¸tiala
Inegalitatea (4), cˆand este luat˘aˆın considerare cu (2) ¸si (3), arat˘a c˘a v = u/w satisface teoremele 3 ¸si 4.
Argumentul anterior depinde de existenta unei func¸tii w care satisface (2)
¸si (3). Vom ar˘ata acum c˘a dac˘a h(x) este m˘arginit˘a, dac˘a g(x) este m˘arginit˘a inferior ¸si dac˘a intervalul [a,b] este suficient de scurt, atunci exist˘a o func¸tie w care ˆındepline¸ste inegalit˘a¸tile (2) ¸si (3). De fapt, o asemenea func¸tie este dat˘a de
w = 1 − β(x − a)2,(5)
dac˘a β care e o constant˘a este determinat˘a convenabil. Pentru a vedea acest lucru, evalu˘am
Din moment ce, prin presupunere, g ¸si h sunt m˘arginite inferior, exist˘a constantele G ¸si H astfel ˆıncˆat g ≥ G ¸si h ≥ H. Presupunem c˘a a ¸si b sunt suficient de apropiate una de cealalta pentru ca
0 pentru a ≤ x ≤ b.
Din moment ce h(x) este de asemenea m˘arginit˘a superior, putem alege β astfel ˆıncˆat
.
Astfel, datorita relatiei (6), avem (L+h)[w] ≤ 0 ˆın (a,b). Dac˘a lungimea lui (a,b) e de asemenea suficient de mica astfel ˆıncˆat
β(b − a)2 < 1,
atunci (5) arat˘a c˘a w > 0 pe [a,b]. ˆın acest fel, func¸tia w cu propriet˘a¸tile dorite poate fi construit˘a ˆıntotdeauna.
Discutia anterioar˘a conduce la urm˘atorul principiu de maxim generalizat.
TEOREMA 5.
Presupunem c˘a operatorul L + h este dat de relatia (1) cu h(x) m˘arginit˘a ¸si cu g(x) m˘arginit˘a inferior. Pentru orice interval [a,b] suficient de scurt, poate fi g˘asit˘a o func¸tie w care ˆındepline¸ste relatiile (2) ¸si (3). Atunci dac˘a u este o func¸tie oarecare care satisface relatia (1) ˆın (a,b), func¸tia u/w satisface principiile de maxim date ˆın teoremele 3 ¸si 4.
Observa¸tie. Teorema 5 arat˘a c˘a o func¸tie u care satisface (1) nu poate oscila prea rapid, pentru c˘a dac˘a u > 0 ˆıntre dou˘a zerouri ale sale x = a ¸si x = b, atunci u/w trebuie s˘a aiba un maxim pozitiv ˆıntre ele. De aici, teorema 5 numai dac˘a distanta b − a dintre aceste zerouri e atˆat de mare ˆıncˆat aceast˘a teorema nu este valabil˘a. Astfel g˘asim c˘a u poate avea cel mult dou˘a zerouri (intre care u e negativ˘a) ˆın orice interval (a,b) unde teorema 5 este valabil˘a.
Dac˘a u este o solu¸tie a ecua¸tiei u00 + g(x)u0 + h(x)u = 0, putem aplica acela¸si ra¸tionament atˆat pentru u cˆat ¸si pentru −u a descoperi c˘a u poate avea cel mult un zero ˆın orice interval (a,b) ˆın care teorema 5 e valabil˘a.
Fie r(x) o solu¸tie pentru ecua¸tia diferen¸tiala
r00 + g(x)r0 + h(x)r = 0, (7)
cu g ¸si h func¸tii m˘arginite. Presupunem c˘a u nu este identic zero ¸si ca
r(a) = 0.
Tinˆand cont de observa¸tia care urmeaza teorema 5, stim c˘a r nu se poate anula pe o anumit˘a distanta la dreapta lui a. Dac˘a r are vreun zero la dreapta lui a, ˆıl marcam pe primul cu a∗ ¸si ˆıl numim punctul conjugat al lui a. Astfel r nu ˆı¸si schimba semnul ˆın intervalul (a,a∗) ¸si, pentru avantaj, presupunem c˘a
r(x) > 0 pentru a < x < a∗.
dac˘a w > 0 pe [a,a∗], func¸tia r/w se anuleaz˘a ˆın a ¸si ˆın a∗ ¸si e pozitiv˘a pe (a,a∗). Rezult˘a c˘a are un maxim ˆın (a,a∗). De aceea, prin teorema 5, w nu poate satisface (3). Pe de alta parte, dac˘a b este un punct oarecare din (a,a∗), poate fi g˘asit˘a o func¸tie w astfel ˆıncˆat r/w satisface principiul de maxim din teorema 5. Pentru a vedea acest lucru, observ˘am ˆıntˆai c˘a r(x) este m˘arginit˘a inferior de un num˘ar pozitiv pe orice subinterval [c,b] inclus ˆın (a,a∗). Prin urmare, pentru un ε > 0 suficient de mic, func¸tia
w(x) = r(x) + ε[2 − eα(x−a)]
e pozitiv˘a pe [a,b]. Dac˘a α e ales astfelˆıncˆat (L+h)[2−eα(x−a)] ≤ 0ˆın (a,b), atunci w este o func¸tie pentru care teorema 5 este valabil˘a.
Concluzion˘am c˘a dac˘a a∗ este conjugatul punctului a, atunci exist˘a un punct w > 0 astfelˆıncˆat teorema 5 r˘amˆane valabil˘a pe intervalul [a,b] dac˘a ¸si numai dac˘a b < a∗. dac˘a r(x) (solu¸tia lui (7) care satisface r(a) = 0) nu are niciun zero la dreapta lui a, alegem a∗ = ∞ ¸si teorema 5 este valabil˘a pe fiecare interval [a,b].
Dac˘a h(x) este nem˘arginit˘a sau dac˘a g nu este m˘arginit˘a inferior, nu poate exista un interval [a,b] pentru care teorema 5 tine. De exemplu, func¸tia
satisface u00 + x−4u = 0.
Vedem c˘a u se anuleaz˘a pentru x = 1/nπ, n = 1,2,…, ¸si astfel nu pot exista func¸tii w > 0cu proprietatea c˘a u/w satisface un principiu de maxim ˆın oricare din intervalele [0,1/nπ], n = 1,2,….
2.3 Problema cu condi¸tii ini¸tiale
Ne va interesa o solu¸tie a ecua¸tiei diferen¸tiale
u00 + g(x)u0 + h(x)u = f(x) (1)
care satisface condi¸tiile ini¸tiale
u(a) = y1, u0(a) = y2. (2)
Func¸tiile f, g ¸si h sunt date ˆıntr-un interval (a,b), cu g ¸si h m˘arginite; y1 ¸si y2 sunt constante prescrise. Oricˆand o solu¸tie a lui (1)ˆın intervalul (a,b) este determinat˘a ˆındeplinind condi¸tiile (2), spunem c˘a o problema cu condi¸tii ini¸tiale a fost rezolvat˘a.
Existenta solu¸tiilor unei asemenea probleme cu condi¸tii ini¸tiale rezult˘a din teoria general˘a a ecua¸tiilor diferen¸tiale ordinare. Unicitatea unor asemenea solu¸tii, de¸si tot o consecin¸t˘a a teoriei generale, rezult˘a u¸sor din principiul de maxim generalizat. Urm˘atoarea teorema produce rezultatul principal.
TEOREMA 6.
Presupunem c˘a u1(x) ¸si u2(x) sunt solu¸tii ale problemei (1) ˆıntrun interval (a,b) ¸si c˘a u1 ¸si u2 satisfac acelea¸si condi¸tii ini¸tiale (2). Atunci u1 ≡ u2 ˆın (a,b).
Demonstra¸tie. Definim u(x) = u1(x) − u2(x). Atunci u satisface ecua¸tia
u00 + g(x)u0 + h(x)u = 0
care are condi¸tiile ini¸tiale
u(a) = u0(a) = 0.
Presupunem acum c˘a u nu este identic zero ˆın (a,b). Vom ob¸tine o contradictie.
Conform teoremei 5, exist˘a ε > 0 a c˘arui marime depinde numai de g ¸si h ¸si exist˘a o func¸tie w astfel ˆıncˆat maximul lui u/w pe intervalul (a,a + ε) trebuie s˘a fie atins la capete. Observ˘am de asemenea c˘a −u satisface aceea¸si ecua¸tie cu acelea¸si condi¸tii ini¸tiale. De aceea, din nou conform teoremei 5, maximul lui −u/w trebuie s˘a fie atins ˆıntr-unul dintre capete, a sau a + ε. De aici, oricare din maximul sau minimul lui u/w trebuie s˘a se atinga ˆın a.
Dar pentru x = a
.
Din moment ce u/w satisface teorema 4, concluzion˘am c˘a u/w e func¸tie constant˘a. Pentru c˘a u(a) = 0, aceast˘a constant˘a e zero. Asta ˆınseamn˘a c˘a u este identic zero pe intervalul [a,a + ε]. ˆIn particular,
u(a + ε) = 0, u0(a + ε) = 0.
Putem acum repeta argumentul ca s˘a concluzion˘am c˘a u ≡ 0 ˆın (a + ε,a+2ε), ε fiind neschimbat, din moment ce m˘arimea s˘a depinde numai de frontierele lui g ¸si h ˆın (a,b). Avem nevoie s˘a executam acest proces numai de un num˘ar finit de ori ca s˘a deducem c˘a u ≡ 0 ˆın (a,b).
2.4 Probleme cu condi¸tii la frontier˘a
Cea mai simpla problem˘a a condi¸tiilor la frontier˘a prive¸ste determinarea unei solu¸tii a ecua¸tiei
u00 + g(x)u0 + h(x)u = f(x) (1)
ˆıntr-un interval (a,b) supus condi¸tiilor la frontier˘a
u(a) = y1, u(b) = y2. (2)
ˆIntrebarilor despre unicitatea solu¸tiilor lui (1) care satisfac (2) li se poate raspunde folosind principiul de maxim. Totu¸si, situa¸tia de aici nu este la fel de deschis˘a ca ˆın cazul problemei cu valori ini¸tiale. Ecua¸tia simpla
u00 + u = 0
are solu¸tiile u1 = sinx ¸si u2 ≡ 0 pentru 0 ≤ x ≤ π ¸si amandou˘a solu¸tiile satisfac condi¸tiile la frontier˘a u(0) = u(π) = 0. Urm˘atorul rezultat da una dintre cele mai simple teoreme de unicitate pentru probleme cu condi¸tii la frontier˘a.
TEOREMA 7.
Presupunem c˘a u1(x) ¸si u2(x) sunt solu¸tii ale lui (1) careˆındeplinesc condi¸tiile la frontier˘a (2). Dac˘a h(x) ≤ 0 ˆın (a,b), atunci u1 ≡ u2.
Demonstra¸tie. Fie u(x) = u1(x) − u2(x). Atunci u satisface ecua¸tia
u00 + g(x)u0 + hu = 0 (3)
¸si condi¸tiile la frontier˘a
u(a) = u(b) = 0.
Conform teoremei 3, stim c˘a u(x) ≤ 0 ˆın (a,b). Din moment ce func¸tia
−u(x) satisface aceea¸si ecua¸tie cu acelea¸si condi¸tii la frontier˘a, putem aplica teorema 3 func¸tiei −u(x) ca s˘a concluzion˘am c˘a −u ≤ 0 ˆın (a,b). A¸sadar, u ≡ 0 in (a,b).
Acum ne indreptam aten¸tia asupra unei probleme cu condi¸tii la frontier˘a mai generale, una care contine condi¸tiile la frontier˘a ca un caz special. Consider˘am solu¸tii ale lui (1) care ˆındeplinesc urm˘atoarele condi¸tii la frontier˘a:
unde y1, y2, θ ¸si φ sunt constante prescrise cu 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ φ ≤ π/2. Observ˘am c˘a atunci cˆand θ = φ = π/2 condi¸tiile (4) se reduc la condi¸tiile (2).
TEOREMA 8.
Presupunem c˘a u1(x) ¸si u2(x) sunt cele dou˘a solu¸tii ale lui (1) care ˆındeplinesc condi¸tiile la frontier˘a (4). Dac˘a h(x) ≤ 0 ˆın (a,b), atunci u1 ≡ u2, afar˘a de situa¸tia h ≡ 0, θ = φ = 0, caz ˆın care u1 ¸si u2 pot diferi printr-o constant˘a.
Demonstra¸tie. Ca ¸si mai ˆınainte, definim u = u1 −u2. Atunci u satisface (3)
¸si condi¸tiile la frontier˘a
Func¸tia u ≡ M, o constant˘a nenula,ˆındepline¸ste aceste condi¸tii dac˘a ¸si numai dac˘a h ≡ 0, θ = 0 ¸si φ = 0. Dac˘a presupunem c˘a u este o solu¸tie neconstant˘a pozitiv˘a ˆıntr-un anumit punct, vom ajunge la e contradictie. Din teorema 3, u atinge maximul s˘au pozitiv ˆın a sau ˆın b. Presupunem c˘a maximul este atinsˆın a. Putem aplica teorema 4, care afirm˘a c˘a u0(a) < 0. Din moment ce 0 ≤ θ ≤ π/2 ¸si u(a) > 0, prima condi¸tie din (5) este ˆınc˘alcat˘a. Asem˘an˘ator, dac˘a maximul se atinge ˆın b, a doua condi¸tie din (5) este ˆınc˘alcat˘a. Concluzion˘am c˘a oricare ar fi o solu¸tie neconstant˘a, ea nu poate fi niciodat˘a pozitiv˘a. Acela¸si ra¸tionament aplicat lui −u arat˘a c˘a u nu poate niciodat˘a s˘a fie negativ˘a.
Astfel u ≡ 0 pe [a,b].
De¸si este posibila stabilirea teoremelor de unicitate pentru probleme cu valori la frontier˘a f˘ar˘a restic¸ta ca h(x) s˘a fie nepozitiv˘a, trebuie a avea grija ˆıntr-o discutie legata de condi¸tiile precise implicate. De exemplu, ecua¸tia simpla
u00 + u = 0
cu condi¸tiile la frontier˘a u(a) = u(b) = 0 are numai solu¸tia u ≡ 0 cˆat timp b − a < π. Pe de alta parte, stim c˘a rezultatul este fals dac˘a b − a = π.
Rezultatul precis ˆın aceste cazuri este ob¸tinut prin aplicarea principiului de maxim generalizat dat ˆın teorema 5.
TEOREMA 9.
Presupunem c˘a u1(x) ¸si u2(x) sunt solu¸tii ale lui (1) care satisfac acelea¸si condi¸tii la frontier˘a (2). Dac˘a b < a∗, unde a∗ este punctul conjugat al lui a, atunci u1 ≡ u2.
Demonstra¸tia teoremei 9 este aceea¸si cu cea de la teorema 7, exceptˆand faptul c˘a este folosit principiul de maxim dat de teorema 5. De remarcat c˘a din defini¸tia punctului conjugat, unicitatea e¸sueaz˘a cˆand b = a∗.
2.5 Aproximareaˆın problemele cu condi¸tii la frontier˘a
Presupunem c˘a vrem s˘a g˘asim o solu¸tie a ecua¸tiei
(L + h)[u] ≡ u00 + g(x)u0 + h(x)u = f(x) pentru a < x < b (2.4)
care satisface condi¸tiile la limit˘a
u(a) = y1, u(b) = y2. (2.5)
ˆIn majoritatea cazurilor, este imposibil˘a g˘asirea unei astfel de solu¸tii ˆın mod explicit. Este de dorit s˘a aproxim˘am o solu¸tie astfel ˆıncˆat s˘a cunoa¸stem o limit˘a explicit˘a pentru eroare. O asemenea aproximare este echivalenta cu determinarea linitelor inferioare ¸si superioare pentru valorile solu¸tiei.
Vom presupune c˘a func¸tiile f, g ¸si h sunt m˘arginite ¸si, maiˆıntˆai, c˘a h ≤ 0
ˆın (a,b). ˆIn aceste circumstante, este posibil s˘a folosim principiul de maxim din teorema 3 pentru a ob¸tine o limit˘a pentru o solu¸tie u f˘ar˘a a sti cine este u.
Presupunem c˘a putem g˘asi o func¸tie z1(x) cu propriet˘a¸tile:
Atunci func¸tia v1(x) ≡ u(x) − z1(x)
satisface (L + h)[v1] ≥ 0 ¸si v1(a) ≤ 0, v1(b) ≤ 0.
Principiul de maxim dat de teorema 3 din sec¸tiunea 1 poate fi aplicat lui v1 ¸si concluzion˘am c˘a v1 ≤ 0 pe [a,b]. Asta ˆınseamn˘a c˘a
u(x) ≤ z1(x) pentru a ≤ x ≤ b.
Func¸tia z1(x) este o limit˘a superioar˘a pentru u(x).
Asem˘an˘ator, o margine inferioar˘a pentru u poate fi ob¸tinut˘a g˘asind o func¸tie z2(x) cu propriet˘a¸tile:
(L + h)[z2] ≥ f(x)
¸si
z2(a) ≤ y1, z2(b) ≤ y2.
Principiul de maxim aplicat lui z2(x) − u(x) arat˘a c˘a
u(x) ≥ z2(x) pentru a ≤ x ≤ b.
Func¸tiile z1(x), z2(x) cu propriet˘a¸tile dorite sunt construite u¸sor: putem folosi func¸tii polinomiale, ra¸tionale, exponentiale, etc.
De exemplu, putem lua z1(x) = A{2 − e−α(x−α)} ¸si incerc˘am s˘a alegem A ¸si α astfel ˆıncˆat s˘a fie satisf˘acute relatiile (2.6) ¸si (2.7). Alegem α suficient de mare ca
(L + h)[e−α(x−a)] = (α2 − αg + h)e−α(x−a) > 0
pentru a ≤ x ≤ b.
Definim o constant˘a k prin relatia
¸si alegem A astfel ˆıncˆat
Adic˘a A este cel mai mare dintre cele patru numere dintre parantezele drepte.
Alegˆand A ¸si α ca mai sus, func¸tia z1(x) = A{2− e−α(x−a)} satisface (2.6) ¸si (2.7). Pentru a determin˘a o margine inferioar˘a, alegem
z2(x) = B{2 − e−α(x−a)},
unde α este ales ca la 0]. Atunci
B{2 − e−α(x−a)} ≤ u(x) ≤ A{2 − e−α(x−a)} pentru a ≤ x ≤ b.
ˆIn particular, avem
] (2.8)
pentru a ≤ x ≤ b.
Teorema de unicitate din sec¸tiunea 4 pentru probleme cu condi¸tii la frontier˘a cu h ≤ 0 rezult˘a din (2.8), din moment ce f ≡ 0, y1 = y2 = 0 implica u ≡ 0 pentru a ≤ x ≤ b.
Dac˘a u este o solu¸tie a lui (2.4), (2.5) ¸si u e o solu¸tie a problemei similare
,
atunci diferenta u − u satisface
.
Inegalitatea (2.8) arat˘a c˘a
Astfel, dac˘a toate cantit˘a¸tile
sunt mici, atunci |u(x) − u(x)| este mic, oricare ar fi x ∈ (a,b).
ˆIn aceste circumstante, spunem c˘a solu¸tia u a problemei (2.4), (2.5) depinde continuu de f(x) ¸si de valorile la limit˘a y1, y2.
Abordam acum problema aproxim˘arii solu¸tiilor problemei mai generale cu condi¸tii la limit˘a ˆın dou˘a puncte, despre care am discutat ˆın sec¸tiunea 4. Presupunem c˘a u e o solu¸tie a ecua¸tiei
(L + h)[u] ≡ u00 + g(x)u0 + h(x)u = f(x) pentru a < x < b (2.9)
care satisface condi¸tiile la limit˘a
(2.10)
Cantit˘a¸tile θ ¸si φ sunt constante prealocate. Presupunem c˘a
0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ φ ≤ π/2, h(x) ≤ 0.
Analog dezvoltarii problemei mai simple cu limit˘a ˆın dou˘a puncte, g˘asim o func¸tie z1(x) cu propriet˘a¸tile:
(2.11)
(2.12)
Atunci func¸tia v1 ≡ u − z1 ˆındepline¸ste:
(L + h)[v1] ≥ 0
−v10 (a)cosθ + v1(a)sinθ ≤ 0, v10 (b)cosφ + v1(b)sinφ ≤ 0.
Dac˘a v1 e vreodat˘a pozitiv˘a, teorema 3 afirm˘a c˘a maximul s˘au pozitiv este atinsˆın a sauˆın b. Dac˘a e atinsˆın a, avem 0. Din moment ce
,
acets lucru se poate ˆıntampla numai dac˘a ) = 0. Teorema 4 afirm˘a apoi c˘a v1(x) e o constant˘a pozitiv˘a, implicˆand astfel faptul c˘a h ≡ 0.
Asem˘an˘ator, v1 nu poate avea un maxim pozitiv ˆın b cu excep¸tia cazului cˆand φ = 0 ¸si h ≡ 0, din moment ce
.
Concluzion˘am c˘a v1(x) ≤ 0 cu excep¸tia cazului cˆand θ = φ = 0 ¸si h ≡ 0.
Asta ˆınseamn˘a c˘a u(x) ≤ z1(x).
Similar, dac˘a z2 satisface inegalit˘a¸tile
) (2.13)
(2.14)
¸si dac˘a h nu e identic zero sau θ ¸si φ nu sunt ambele zero, atunci u(x) ≥ z2(x). Astfel ob¸tinem urm˘atorul rezultat referitor la aproximare.
TEOREMA 10.
Presupunem c˘a u(x) e o solu¸tie a lui (2.9), careˆındepline¸ste condi¸tiile
la limit˘a (2.10), ¸si c˘a ¸si . Presupunem de asemenea c˘a nu au loc toate egalit˘a¸tile θ = 0, φ = 0, h ≡ 0. Dac˘a z1(x) ˆındepline¸ste condi¸tiile (2.11), (2.12) ¸si dac˘a z2(x) satisface condi¸tiile (2.13) (2.14), atunci
z2(x) ≤ u(x) ≤ z1(x).
Func¸tiile concrete z1 ¸si z2 ˆındeplinind condi¸tiile teoremei 10 sunt u¸sor de g˘asit ca func¸tii polinomiale, exponentiale ¸si a¸sa mai departe.
Renuntam acum la ipoteza h ≤ 0, 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ φ ≤ π/2. ˆInmul¸tind condi¸tiile la limit˘a (2.10) cu (−1) dac˘a e nevoie, putem face ˆıntotdeauna cosθ ≥ 0 ¸si cosφ ≥ 0. De aceea presupunem, f˘ar˘a a pierde din generalitate, c˘a −π/2 < θ ≤ π/2, −π/2 < φ ≤ π/2.
Pentru a putea folosi principiul de maxim generalizat din sec¸tiunea 2, presupunem c˘a putem g˘asi o func¸tie pozitiv˘a w(x) care satisface inegalit˘a¸tile
(L + h)[w] ≤ 0 ˆın (a,b), (2.15)
(2.16)
Alegem ¸si g˘asim c˘a v trebuie s˘a satisfac˘a
,
Putem scrie aceste ecua¸tii sub forma (2.9) ¸si (2.10),
, (2.17)
(2.18)
unde H = (L + h)[w]/w ≤ 0, G = (2w0/w) + g,
,
Din (2.16) putem alege θ ¸si φ astfel ˆıncˆat 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ φ ≤ π/2. (Dac˘a
θ = π/2, lu˘am θ = π/2 ¸si dac˘a φ = π/2 lu˘am φ = π/2.)
Presupunem c˘a exist˘a o func¸tie w(x) pozitiv˘a pe [a,b], care satisface condi¸tiile (2.15) ¸si (2.16). Dac˘a z1 ¸si z2 ˆındeplinesc condi¸tiile (2.11), (2.12) ¸si z1 z2
(2.13), (2.14), respectiv, atunci func¸tiile ¸si satisfac condi¸tiile analoage
w w
relativ la ecua¸tia (2.17) cu condi¸tiile la limit˘a (2.18). Rezulta, din teorema
10, c˘a avem inegalit˘a¸tile
cu excep¸tia cazului cˆand
Excep¸tia apare cˆand inegalit˘a¸tile (2.15) ¸si (2.16)sunt ecua¸tii. De aceea, dac˘a exist˘a o func¸tie pozitiv˘a w(x) care satisface (2.15) ¸si (2.16), dar astfel ˆıncˆat nu toate inegalit˘a¸tile sunt ecua¸tii, ob¸tinem limitele
z2(x) ≤ u(x) ≤ z1(x) (2.19)
ca mai ˆınainte.
Dac˘a w satisface (2.15) ¸si (2.16) cu semnul egalit˘a¸tii ¸si nu al inegalit˘a¸tii, putem adauga orice multiplu de w unei func¸tii u ca ˆın (2.9), (2.10) ca s˘a ob¸tinem o alta solu¸tie. Asta ˆınseamn˘a c˘a solu¸tia nu e unic˘a. Desigur, poate s˘a nu existe niciuna, dar dac˘a exist˘a macar una, atunci sunt mai multe. Cu siguranta nu toate vor satisface (2.19).
Dac˘a inegalitatea (2.19) are loc pentru solu¸tia lui (2.9), (2.10), atunci solu¸tia w a lui
(L + h)[w] = 0 ˆın (a,b) (2.20)
care ˆındepline¸ste condi¸tiile la limit˘a
(2.21)
trebuie s˘a fie nenegativ˘a. Acest lucru e u¸sor de v˘azut alegˆand z2 ≡ 0. Dac˘a w = 0 ˆıntr-un punct interior, avem de asemenea ¸si w0 = 0 in acel punct. Teorema de unicitate pentru problema cu condi¸tii ini¸tiale implica faptul c˘a w ≡ 0, care contrazice condi¸tiile la limit˘a (2.21). Asadar, w nu se poate anulaˆıntr-un punct interior. Dac˘a w se anuleaz˘a la unul din capete, s˘a zicem ˆın a, atunci prima condi¸tie din (2.21) devine w0(a)cosθ = −1; faptul c˘a w e nenegativ˘a implica w0(a) ≥ 0, o contradictie. De aceea, w(a) > 0 ¸si, similar, w(b) > 0. Rezult˘a c˘a w > 0 pe [a,b].
Am stabilit urm˘atorul rezultat, ˆın ipoteza c˘a problema (2.20), (2.21) are solu¸tie.
TEOREMA 11.
Fie u o solu¸tie a lui (2.9), (2.10) cu −π/2 < θ ≤ π/2, −π/2 < φ ≤ π/2. Fie z1 ¸si z2 ˆındeplinind inegalit˘a¸tile (2.11), (2.12) ¸si, respectiv, (2.13) ¸si (2.14). Atunci limitele
z2(x) ≤ u(x) ≤ z1(x) (2.22)
sunt valabileˆın (a,b) dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a o func¸tie w pozitiv˘a pe [a,b] care ˆındepline¸ste inegalit˘a¸tile (2.15) ¸si (2.16) astfel ˆıncˆat nu toate inegalit˘a¸tile din (2.15) ¸si (2.16) sunt egalit˘a¸ti.
Dac˘a h ≤ 0, 0 ≤ θ ≤ π/2 ¸si 0 ≤ φ ≤ π/2, atunci func¸tia w ≡ 1 satisface condi¸tiile (2.15), (2.16) ¸si teorema 10 rezulta imediat.
func¸tia w nu apare ˆın inegalit˘a¸tile (2.22). De aceea este de dorit s˘a ob¸tinem o teorema care elimin˘a complet w ¸si care ofera condi¸tii referitoare la z1 ¸si z2, garantˆand c˘a ele formeaz˘a limitele inferioare ¸si superioare. Urm˘atorul rezultat da condi¸tia necesara ¸si suficienta ˆın acest caz.
TEOREMA 12.
Presupunem c˘a z1(x) ¸si z2(x) ˆındeplinesc inegalit˘a¸tile (2.11), (2.12)
¸si, respectiv, (2.13), (2.14), astfelˆıncˆat egalitatea nu are loc simultan in toate condi¸tiile. Fie g(x) m˘arginit˘a inferior pe fiecare interval [a,c] ¸si m˘arginit˘a superior pe fiecare interval [c,b], cu a < c < b. Fie u(x) o solu¸tie a problemei (2.9), (2.10). Atunci limitele
z2(x) ≤ u(x) ≤ z1(x) (2.23)
sunt valabile dac˘a ¸si numai dac˘a z2(x) ≤ z1(x) pentru a ≤ x ≤ b.
Demonstra¸tie. Dac˘a (2.23) are loc, este evident c˘a z2(x) ≤ z1(x). Presupunem acum c˘a diferenta z1(x)−z2(x) este nenegativ˘a ¸si trebuie s˘a ar˘at˘am c˘a (2.23) are loc. Dac˘a q(x) ≡ z1(x) − z2(x)
e strict pozitiv˘a pe [a,b], putem alege q ca func¸tia w din teorema 11. Toate cerintele sunt ˆındeplinite ¸si (2.23) este valabil˘a. De aceea, este suficient s˘a studiem posibilitatea ca func¸tia q s˘a aiba un zero pe [a,b].
Conform cu (2.11), (2.12), (2.13) ¸si (2.14), q satisface inegalit˘a¸tile
(L + h)[q] ≤ 0, (2.24)
(2.25)
¸si, avˆand ˆın vedere ipoteza, egalitatea nu poate avea loc in toate condi¸tiile (2.24), (2.25).
Mai ˆıntˆai presupunem q(c) = 0 ˆıntr-un punct interior c. Atunci q are un minim local ˆın c ¸si astfel q0(c) = 0. Concluzion˘am din teorema 6 c˘a q ≡ 0. Atunci egalitatea are loc ˆın toate condi¸tiile din (2.24), (2.25), contrar ipotezei.
Singura posibilitate ramasa este ca q > 0 ˆın (a,b), dar q = 0 ˆıntr-un capat, s˘a zicem x = a. Atunci, conform teoremei 5, q0(a) > 0. Dar astfel prima inegalitate din (2.25) e ˆInc˘alcat˘a, cu excep¸tia cazului cˆand θ = π/2. Asem˘an˘ator, dac˘a q se anuleaz˘a ˆın b, φ trebuie s˘a fie egal cu π/2. Dac˘a q se anuleaz˘a ˆıntr-unul sau ˆın ambele capete, atunci nu satisface condi¸tiile cerute de w ˆın teorema 11. In aceste circumstante, vom ar˘ata fie c˘a toate egalit˘a¸tile din (2.24), (2.25) au loc, fie c˘a putem g˘asi o func¸tie w(x), pozitiv˘a pe [a,b], care poate fi folosit˘a ca func¸tie auxiliara ˆın teorema 11.
Consider˘am ˆıntˆai cazul q(b) = 0 ¸si q(a) > 0. A¸sa cum am v˘azut anterior, trebuie s˘a avem φ = π/2. Construim func¸tia r(x) astfel ˆıncat
(L + h)[r] = 0, r(a) = cosθ, r0(a) = sinθ.
Dac˘a θ < π/2, atunci r e pozitiv˘a ˆın a ¸si dac˘a θ = π/2 avem r(a) = 0 ¸si r > 0 langa x = a.
Definim acum func¸tia
¸si observ˘am c˘a v(a) ≥ 0 ¸si ca
.
Din moment ce (L+h)[r] = 0 ¸si (L+h)[q] ≤ 0, v verifica o ecua¸tie diferen¸tial˘a de ordinul al doilea cu coeficien¸tii lui v nepozitivi. Atunci, conform teoremelor 3 ¸si 4 aplicate oric˘arui subinterval de forma [a,c], ori v(c) > v(a) ¸si v0(c) > 0, ori v(x) ≡ v(a) pe ˆıntreg subintervalul [a,c]. ˆIn oricare din cazuri, r(x) > 0 pentru x ∈ (a,b). Vom ar˘ata c˘a ¸si r(b) > 0.
Dac˘a v(x) ≡ v(a) pe [a,b], q este proportionala cu r; rezult˘a c˘a (L + h)[q] = 0 ¸si −q0(a)cosθ+q(a)sinθ = 0. Din moment ce egalitatea nu are loc ˆın toate condi¸tiile din (2.24) ¸si (2.25), rezult˘a c˘a q(b) > 0, contrar ipotezei. Astfel, pentru un anumit num˘ar c ∈ (a,b), trebuie s˘a avem
v(c) > v(a) ≥ 0 ¸si v0(x) > 0 pentru x ≥ c.
Acum
.
Punand
ψ(x) ≡ r0q − q0r,
g˘asim din ecua¸tia diferen¸tial˘a pentru r ¸si inegalitatea diferen¸tial˘a pentru q c˘a
ψ0(x) + gψ(x) = −r(L + h)[q] ≥ 0. Atunci dac˘a g ≤ M pe intervalul [c,b], vedem c˘a
;
ˆın consecin¸t˘a,
ψ(x) ≥ ψ(c)e−M(x−c).
ˆIn particular ψ(b) ≥ ψ(c)e−M(b−c) > 0.
Din moment ce ψ = r0q − q0r ¸si q(b) = 0, q0(b) < 0, rezult˘a ca r(b) > 0. Am ar˘atat astfel c˘a r > 0 pe ˆıntreg intervalul (a,b]. Mai mult, (L + h)[r] = 0 ¸si
−r0(a)cosθ + r(a)sinθ = 0.
Din moment ce φ = π/2, avem r0(b)cosφ + r(b)sinφ = r(b > 0). Astfel func¸tia w(x) = q(x) + r(x) satisface cerintele teoremei 11.
Dac˘a q(a) = 0 ¸si q(b) > 0, ar˘at˘am ˆıntr-un mod asem˘an˘ator c˘a solu¸tia lui
(L + h)[s] = 0 s(b) = cosφ
s0(b) = −sinφ
e pozitiv˘a ˆın [a,b), astfel ˆıncˆat w = q + s ˆındepline¸ste condi¸tiile teoremei 11. ˆIn sfarsit, dac˘a θ = φ = π/2 ¸si q(a) = q(b) = 0, g˘asim c˘a r > 0, cu excep¸tia cˆand x = a, ¸si s > 0, exceptˆand x = b, astfel ˆıncˆat w = r + s ˆındepline¸ste condi¸tiile teoremei 11.
Observa¸tii.
Dac˘a egalitatea tine pentru toate condi¸tiile (2.11), (2.12) ¸si (2.13),(2.14), ambele z1 ¸si z2 satisfac toate condi¸tiile din (2.9), (2.10). Dac˘a sunt distincte, stim c˘a solu¸tia nu e unic˘a; dac˘a z1 ≡ z2 poate s˘a fie sau poate s˘a nu fie unic˘a.
Este u¸sor de v˘azut din demonstra¸tie c˘a m˘arginirea lui g la capete poate fi ˆınlocuit˘a cu g m˘arginit˘a pe fiecare subinterval ˆınchis al lui (a,b), m˘arginit˘a superior pentru m˘arginit˘a inferior
pentru x < c2, unde c1, c2 sunt numere din (a,b).
2.6 Aproximareaˆın probleme cu condi¸tii ini¸tiale
ˆIn sec¸tiunea 3 am discutat despre unicitatea solu¸tiei problemei cu condi¸tii ini¸tiale. Adic˘a am ar˘atat c˘a exist˘a cel mult o solu¸tie a ecua¸tiei
(L + h)[u] ≡ u00 + g(x)u0 + h(x)u = f(x) pentru x > a, (2.26)
care satisface condi¸tiile ini¸tiale
u(a) = y1, u0(a) = y2. (2.27)
Ca ¸siˆın cazul problemei cu condi¸tii la limit˘a, de obicei nu e posibil s˘a rezolvam explicit problema cu condi¸tii ini¸tiale. De aceea este important s˘a putem g˘asi o solu¸tie aproximat˘a ¸si s˘a m˘arginim eroarea ˆın aproximare. Vom face ascest lucru mai ˆıntˆai ˆın ipoteza c˘a
h(x) ≤ 0
de-a lungul intervalului [a,b]ˆın care soluitia lui (2.26), (2.27) va fi aproximat˘a. Presupunem c˘a putem g˘asi o func¸tie z1(x) cu propriet˘a¸tile
(L + h)[z1] ≥ f(x) pentru a ≤ x ≤ b, (2.28)
. (2.29)
Definind func¸tia v1(x) ≡ z1(x) − u(x),
avem
(L + h)[v1] ≥ 0 ¸si .
Din moment ce v1(a) ≥ 0, func¸tia v1 are un maxim nenegativ pe oricare subinterval [a,x0] al lui [a,b]. Aplicˆand principiul de maxim dat ˆın teorema 3, acest maxim trebuie s˘a fie atins fieˆın a, fieˆın x0. Din moment ce 0, concluzion˘am ˆın plus din teorema 4 c˘a maximul nu poate fi atins ˆın a doar dac˘a nu cumva v1 este constant˘a pe intervalul (a,x0). Astfel, teorema 3 arat˘a c˘a pentru orice x0 > a, avem
v1(x0) ≥ v1(a) (2.30)
¸si
. (2.31)
) pentru x ≥ a. (2.33)
Din moment ce z1(a) − y1 ≥ 0, inegalitatea (2.32) implica u(x) ≤ z1(x).
Observ˘am c˘a func¸tia z1(x)−[z1(a)−y1] de asemenea satisface condi¸tiile (2.28)
¸si (2.29), dar este egala cu u in punctul x = a. Inegalitatea u(x) ≤ z1(x) cu z1(x) ˆınlocuit de z1(x)−[z1(a)−y1] este din nou (2.32). Astfel, nu se pierde din generalitate ˆınlocuind (2.32) cu inegalitatea mai simpla u(x) ≤ z1(x).
Limitele inferioare pot fi ob¸tinute ˆıntr-un mod similar. Presupunem c˘a putem g˘asi o func¸tie z2 astfel ˆıncat inegalit˘a¸tile
(L + h)[z2] ≤ f(x) pentru a ≤ x ≤ b (2.34)
¸si
(2.35)
sunt adev˘arate. Atunci, prin teoremele 3 ¸si 4, g˘asim
u(x) ≥ y1 + z2(x) − z2(a)
¸si
.
F˘ar˘a pierderea generalitatii, putem ˆınlocui prima inegalitatea cu u(x) ≥ z2(x).
Am stabilit astfel urm˘atorul rezultat.
TEOREMA 13.
Dac˘a u(x) e o solu¸tie a problemei (2.26) care satisface condi¸tiile ini¸tiale (2.27) ¸si dac˘a z1(x) ¸si z2(x) ˆındeplinesc (2.28) ¸si (2.29) ¸si, respectiv, (2.34) ¸si (2.35), atunci
z2(x) ≤ u(x) ≤ z1(x) (2.36)
¸si
. (2.37)
De observat c˘a inegalit˘a¸tile (2.28) ¸si (2.34) sunt inversele celor necesare pentru limitele superioare ¸si inferioare din problemele cu condi¸tii la limit˘a. Dac˘a func¸tiile z1(x) ¸si z2(x) descrise ca mai sus pot fi g˘asite, atunci inegalit˘a¸tile (2.36) ¸si (2.37) arat˘a c˘a u(x) ¸si u0(x) sunt aproximate de aceste func¸tii. Aceast˘a aproximare poate fi f˘acut˘a f˘ar˘a a cunoa¸ste solu¸tia u. Acuratetea aproxim˘arii va depinde de cˆat de bine putem alege func¸tiile z1 ¸si z2.
Exemplu. S˘a g˘asim limite pentru valoarea u(1) a solu¸tiei problemei cu condi¸tii ini¸tiale
,
Aceast˘a solu¸tie u(x) e numita func¸tie Bessel de ordinul zero cu argument imaginar ¸si e notat˘a de obicei I0(x).
Este convenabil s˘a alegem func¸tii polinomiale pentru z1(x) ¸si z2(x). Lu˘am
z1(x) = c1x2 + 1.
Atunci (0) = 0. Alegem constanta c1 astfel ˆıncat
(L + h)[z1] = c1(4 − x2) − 1
este nenegativ˘a pentru 0 ≤ x ≤ 1. Valoarea este potrivita ¸si avem c˘a
+ 1 pentru 0 ≤ x ≤ 1.
ˆIn particular, . Asem˘an˘ator, dac˘a lu˘am z2(x) = c2x2 + 1 ¸si alegem
, atunci
(L + h)[z2] ≤ 0
¸si (0) = 0. Asadar + 1 pentru 0 ≤ x ≤ 1. Limitele inferioare ¸si superioare pentru u(1) sunt
1.250 ≤ u(1) ≤ 1.333 (2.38)
Pentruˆımbun˘at˘a¸tirea limitelor, folosim por¸tiunea din teorema 3 care da limitele pentru u0(x) ˆın func¸tie de
Pentru aˆımbun˘at˘a¸ti limita superioar˘a, consider˘am maiˆıntˆai un subinterval [0,t], unde t < 1. Alegˆand aceea¸si func¸tie
z1(x) = c1x2 + 1 pentru 0 ≤ x ≤ t,
ˆındeplinind inegalitatea
(L + h)[z1] = c1(4 − x2) − 1 ≥ 0 pentru 0 ≤ x ≤ t
luˆand .
ˆIn acest fel g˘asim
¸si
pentru 0 ≤ x ≤ t.
ˆIn particular,
.
Acum trebuie s˘a integram aceast˘a ultima inegalitate relativ la t ˆıntre limitele 0 ¸si 1. Avem c˘a
.
Astfel avem limita superioar˘a
u(1) ≤ u(0) + 0.288 = 1.288. (2.39)
Acest procedeu nu aduce nicio ˆımbun˘at˘a¸tire limitei inferioare a lui u(1) folosind o func¸tie de forma z2 = c2x2 + 1. Totu¸si, alta metoda, aceea a subdiviziunilor intervalului, poate fi folosit˘a pentru aˆımbun˘at˘a¸ti limita inferioar˘a.
ˆImp˘ar¸tim intervalul (0,1)ˆın dou˘a p˘ar¸ti ¸si definim z2(x) separat pe fiecare bucata. Pentru intervalul 0, alegem z2 ca mai ˆınainte:
.
ˆIn acest fel ob¸tinem limitele
,
.
Pentru intervalul 1, definim
.
Cu aceast˘a defini¸tie, sunt continue pe [0,1]. Vom alege c3 astfelˆıncat
pentru 1. Aceast˘a inegalitate va tine dac˘a
pentru .
Nu e greu de v˘azut c˘a membrul drept cre¸ste; astfel, alegerea
satisface condi¸tiile. ˆIn acest fel ob¸tinem
.
Combinˆand aceast˘a inegalitate cu (2.39), ob¸tinem
1.258 ≤ u(1) ≤ 1.288
sau u(1) = 1.273 ± 0.015 (de fapt, u(1) = 1.2661).
Alte ˆımbun˘at˘a¸tiri ale limitei inferioare pot fi f˘acute ˆımp˘ar¸tind intervalul (0,1) ˆın mai multe subintervale ¸si definind z2(x) separat pe fiecare subinterval. Limitele inferioare pentru u ¸si u0 la capatul fiec˘arui interval sunt pe post de valori ini¸tiale ale lui pe urm˘atorul interval. Aceast˘a alegere pentru valorile ini¸tiale are ca efect faptul c˘a func¸tia z2(x) are prima derivata continu˘a, dar nu neaparat o derivat˘a de ordinul al doilea continu˘a pe [0,1]. Limita superioar˘a poate fi ˆımbun˘at˘a¸tit˘a ˆın aceea¸si manier˘a.
Metoda subdiviziunilor din exemplul anterior sugereaza urm˘atoarea schema general˘a pentru a ob¸tine limite inferioare ¸si superioare. Presupunem c˘a ˆımp˘ar¸tim intervalul [a,b] ˆın N subintervale
a = x0 < x1 < … < xN−1 < xN = b.
Vom alege z1(x) polinom de gradul al doilea pe fiecare subinterval ¸si alegem coeficien¸tii polinomului astfel ˆıncat sunt continue de-a lungul intervalului [a,b]. De asemenea, z1 va fi aleasa astfel
ˆıncˆat inegalitatea (2.28) tine ˆın fiecare subinterval (xi−1,xi). Lu˘am
z1(x) = ci(x − xi)2 + di(x − xi) + ei
pentru xi ≤ x ≤ xi+1, i = 0,1,…,N − 1. Constantele ci, di, ei, i =
0,1,…,N − 1 ¸si num˘arul N de subintervale vor fi alese astfel ˆıncˆat toate condi¸tiile impuse s˘a fieˆındeplinite. Continu˘am pas cu pasˆıncepˆand cu intervalul (x0,x1). Condi¸tiile ini¸tiale
necesit˘a ca e0 = y1 ¸si d0 = y2. De aceea avem ˆın (x0,x1)
z1(x) = c0(x − x0)2 + y2(x − x0) + y1.
ˆIn acest interval, inegalitatea
(L + h)[z1] ≥ f(x)
devine
c0[2+2g(x)(x−x0)+h(x)(x−x0)2]+g(x)y2 +h(x)[y2(x−x0)+y1] ≥ f(x).
(2.41) Dac˘a g(x) ¸si h(x) sunt m˘arginite, atunci x1 poate fi ales suficient de aproape de x0 astfel ˆıncˆat coeficientul lui c0 ˆın (2.41) e pozitiv pentru x0 ≤ x ≤ x1. Dac˘a, in plus, f este m˘arginit˘a, atunci c0 poate fi ales suficient de mareˆıncˆat (2.41) tine pentru to¸ti x ∈ (x0,x1).
Ne ocupam acum de intervalul (x1,x2), cu z1(x) definit˘a astfel: z1(x) = c1(x − x1)2 + d1(x − x1) + e1 pentru x1 ≤ x ≤ x2.
Pentru a asigura continuitatea lui , alegem
(2.42)
ˆIn intervalul (x1,x2), inegalitatea corespunz˘atoare lui (2.41) devine
c1[2+2g(x)(x−x1)+h(x)(x−x1)2]+g(x)d1 +h(x)[d1(x−x1)+e1] ≥ f(x),
(2.43)
unde d1 ¸si e1 sunt constante determinate de (2.42). Alegem x2 suficient de aproape de x1 astfel ˆıncˆat coeficientul lui c1 ˆın (2.43) s˘a fie pozitiv. Atunci lu˘am c1 suficient de mare ˆıncˆat inegalitatea (2.43) tine ˆın ˆıntreg intervalul
(x1,x2).
Procedˆand ˆın aceast˘a maniera, determin˘am fiecare di, ei astfel ˆıncˆat z1 ¸si sunt continue peste tot ¸si lu˘am ˆıntotdeauna intervalul (xi,xi+1) suficient de mic ¸si constanta ci suficient de mareˆıncˆat (L+h)[z1] ≥ f(x) este valabil˘a peste tot. De fapt, cantit˘a¸tile ei, di sunt determinate de formulele recurente
ei = ci−1(xi − xi−1)2 + di−1(xi − xi−1) + ei−1, di = 2ci−1(xi − xi−1) + di−1.
ˆIntr-un calcul efectiv pentru a-l determina pe ci, este convenabil s˘a se ˆınlocuiasc˘a f cu maximul s˘auˆın al i-lea subinterval ¸si s˘a seˆınlocuiasc˘a g ¸si h fie prin maximul, fie prin minimul fiecareia, oricare ar fi mai potrivit pentru ca inegalitatea (L + h)[z1] ≥ f pe ˆıntreg domeniul de defini¸tie.
ˆIntr-un mod similar construim limite inferioare. Constantele di, ei sunt aleseˆın exact acela¸si mod ¸si cantit˘a¸tile −ci sunt luate suficient de mariˆıncˆat (L + h)[z2] ≤ f(x) oricare ar fi x.
Dac˘a f, g ¸si h sunt continue, se poate ar˘ata c˘a pe masur˘a ce lungimea maxim˘a a subintervalelor tinde la zero, limitele inferioare ¸si superioare tind ambele la solu¸tia u.
Pˆan˘a acum ˆın aceast˘a sec¸tiune am presupus c˘a h(x) ≤ 0. Studiem acum problema aproxim˘arii solu¸tiei ecua¸tiei
(L + h)[u] ≡ u00 + g(x)u0 + h(x)u = f(x)
avˆand condi¸tiile ini¸tiale
u(a) = y1, u0(a) = y2
cˆand func¸tia h(x) poate fi pozitiv˘a. ˆIn aceste circumstante, folosim principiul de maxim generalizat dat de teorema 5. Pentru a face acest lucru, presupunem c˘a exist˘a o func¸tie w care e pozitiv˘a pe [a,b] ¸si care are proprietatea ca
(L + h)[w] ≤ 0 pentru a < x < b.
De exemplu, func¸tia
w = 1 − β(1 − a)2
cu β suficient de mare (presupunˆand c˘a f(x) e m˘arginit˘a), are propriet˘a¸tile dorite dac˘a intervalul [a,b] e suficient de mic.
Am v˘azut ˆın sec¸tiunea 2 c˘a v ≡ u/w satisface o ecua¸tie de forma
,
cu G(x) ≡ (2w0/w) + g ¸si H(x) ≡ (L + h)[w]/w ≤ 0. Func¸tiile z1(x) ¸si z2(x) sunt acum definite astfel ˆıncat z1/w ¸si z2/w furnizeaza limite pentru u/w.
Facem z1 ¸si z2 s˘a satisfac˘a inegalit˘a¸tile
(L + h)[z1] ≥ f(x), z1(a) ≥ y1, z10 (a)w(a) − z1(a)w0(a) ≥ y2w(a) − y1w0(a),
¸si
(L + h)[z2] ≤ f(x), z2(a) ≤ y1, z20 (a)w(a) − z2(a)w0(a) ≤ y2w(a) − y1w0(a).
Atunci, pentru x = a,
.
Mai mult, e u¸sor de observat c˘a
.
Astfel g˘asim c˘a pentru a ≤ x ≤ b,
¸si
.
Primul set de inegalit˘a¸ti da limitele
z2(x ≤ u(x) ≤ z1(x)). (2.44)
Al doilea set produce inegalit˘a¸tile
Din moment ce w e pozitiv˘a pe [a,b], avem c˘a
Dac˘a w0(x) ≤ 0, putem introduce limita superioar˘a pentru u(x) dat˘a ca
ˆın (2.44) ˆın membrul stˆang din (2.45) ¸si putem insera marginea inferioar˘a ˆın membrul drept.
Dac˘a w0(x) ≥ 0, folosim limita inferioar˘a ˆın membrul stˆang ¸si limita superioar˘a ˆın membrul drept. Astfel, ob¸tinem
)] dac˘a w0(x) ≤ 0, (2.46)
) dac˘a w0(x) ≥ 0.
Inegalit˘a¸tile (2.44) ¸si (2.46) dau limite pentru u(x) ¸si u0(x), care sunt exacte cˆand) sunt mici.
De¸si este ˆıntotdeauna posibil s˘a g˘asim o func¸tie pozitiv˘a w care satisface (L + h)[w] ≤ 0 pe un interval suficient de mic, ˆın general nu exist˘a o astfel de func¸tie dac˘a intervalul este prea mare. ˆInc˘a o dat˘a recurgem la spargerea intervalului ¸si reunirea func¸tiilor definite pe subintervale. Fie w > 0 ¸si (L + h)[w] ≤ 0 pe un interval [a,x∗] ¸si fie w∗ o alta func¸tie pozitiv˘a care verific˘a (L + h)[w∗] ≤ 0 pe intervalul [x∗,b]. Vrem s˘a g˘asim limitele pentru solu¸tia u a problemei cu condi¸tii ini¸tiale (2.26), (2.27) pe ˆıntregul interval [a,b].
Fie z1(x) ¸si z2(x) astfel ˆıncˆat ele satisfac condi¸tiile
(L + h)[z2] ≤ f(x) ≤ (L + h)[z1]
pe intervalul [a,x∗] ¸si
z2(a) ≤ y1 ≤ z1(a), z20 (a)w(a) − z2(a)w0(a) ≤ y2w(a) − y1w0(a) ≤ z10 (a)w(a) − z1(a)w0(a). Atunci
pentru a ≤ x ≤ x∗.
Am dat astfel limite pentru u(x∗) ¸si u0(x∗) ¸si, ˆın plus, o func¸tie w∗ care satisface (L + h)[w∗] ≤ 0 pe [x∗,b]. Putem g˘asi limitele pentru u/w∗ ¸si (u/w∗)0, ca maiˆınainte. Fie func¸tiile definite pe [x∗,b] ¸si presupunem c˘a satisfac
,
pentru x = x∗.
Atunci g˘asim, ca mai ˆınainte, c˘a
pentru x∗ ≤ x ≤ b.
De¸si nu stim u(x∗) ¸si (u/w∗)0 ˆın x∗, avem limite pentru ele; de aceea, putem da condi¸tii explicite referitoare la ¸si (, care asigura c˘a inegalit˘a¸tile anterioare sunt respectate.
Dac˘a (w∗)0/w∗ ≥ w0/w (cum e cazul de obicei), aceste condi¸tii sunt
pentru x = x∗;
pentru x = x∗.
Dac˘a (w∗)0/w∗ ≤ w0/w,ˆınlocuim z2 cu z1 in coeficientul lui [(w∗)0/w∗−w0/w]
ˆın primul ¸sir de inegalit˘a¸ti ¸si z1 cu z2 ˆın al doilea. Dac˘a aceste condi¸tii sunt satisf˘acute, avem limitele
.
Consider˘am acum w∗ ca o prelungire a lui w pe intervalul ( ca o prelungire a lui ca o prelungire a lui z2. Atunci aceste func¸tii prelungite sunt,ˆın general, discontinueˆın x∗. Totu¸si, inegalit˘a¸tile de mai sus, care leaga, leaga de asemenea limitele din dreapta ¸si din stˆangaˆın punctele de discontinuitate. Poate fi, desigur, necesar sau de dorit s˘a ˆımp˘ar¸tim intervalul [a,b] ˆın mai mult de dou˘a subintervale. Observa¸tia de mai sus conduce la urm˘atoarea teorem˘a.
TEOREMA 14.
Fie z1(x), z2(x) ¸si w(x) func¸tii continue pe por¸tiuni cu prima ¸si a doua derivat˘a continue pe por¸tiuni pe intervalul [a,b] cu urm˘atoarele propriet˘a¸ti:
w > 0 pe [a,b].
z2(a) ≤ y1 ≤ z1(a).
z20 (a)w(a)−z2(a)w0(a) ≤ y2w(a)−y1w0(a) ≤ z10 (a)w(a)−z1(a)w0(a).
(L+h)[w] ≤ 0, (L+h)[z2] ≤ f(x) ≤ (L+h)[z1] in toate punctele unde derivatele care apar ˆın aceste formule sunt continue.
ˆIn fiecare punct de discontinuitate x∗, func¸tiile z1, −z2 ¸si w0/w au salturi nenegative, saltulˆın w(z1/w)0 este cel pu¸tin −z2(x∗ − 0) ˆınmul¸tit˘a cu saltul ˆın w0/w, iar saltul ˆın w(z2/w)0 este cel mult −z1(x∗ − 0) ˆınmul¸tit˘a cu saltul ˆın w0/w. Atunci
pe [a,b]
.
Observa¸tii.
Scazˆand un multiplu de w convenabil din z1 in fiecare interval unde z1 ¸si w sunt continue, putem face z1(a) = y1 ¸si z1 continu˘a pe [a,b]. Acest lucru ˆımbun˘at˘a¸te¸ste limita superioar˘a. Asem˘an˘ator, putem face z2(a) = y1 ¸si z2 continu˘a.
Rezultatul anterior pentru h ≤ 0 poate fi ob¸tinut alegˆand w ≡ 1.
Teorema 14 poate fi folosit˘a pentru a ar˘ata c˘a solu¸tia u a problemei cu condi¸tii condi¸tii ini¸tiale (2.26), (2.27) depinde continuu de datele y1, y2 ¸si f(x).
Lu˘am w = 1−β2[x−a−(k/2β)]2 pe intervalul [a+(k/2β),a+(k+1)/2β], k = 0,1,…,k∗, unde k∗ < 2β(b − a) ≤ k∗ + 1, cu β suficient de mare ˆıncat
pe acest interval. Acest lucru poate fi realizat facˆand
,
dat fiind c˘a maxh > 0. Dac˘a h ≤ 0, lasam β = 0 astfel ˆıncˆat w ≡ 1. Pe primul interval [a,a + (1/2β)], alegem
z1 = C0eα(x−a),
unde α e ales astfel ˆıncat
(L + h)[eα(x−a)] = (α2 + αg + h)eα(x−a) ≥ 1.
Putem lua, de exemplu,
α = max |g2 − 2(h − 1)|1/2. a≤x≤b
Alegem
.
Atunci z1 = C0eα(x−a) satisface condi¸tiile referitoare la z1 dateˆın teorema 14
¸si z2 = −C0eα(x−a) satisface condi¸tiile referitoare la z2 pe intervalul [a,a +
(a/2β)]. Ob¸tinem c˘a pentru x = a + (1/2β)
astfel ˆıncat
.
Lasam acum z1 = −z2 = C1 eα[x−a−(1/2β)] pe [a + (1/2β),a + (2/2β)] cu
ca s˘a ob¸tinem c˘a
.
Continuˆand ˆın acest fel, afl˘am c˘a pentru orice x ∈ [a,b]
,
unde ρ = α + 2β log[1 + (8β)/(3α)].
Dac˘a acum u1 ¸si u2 sunt solu¸tii ale problemei cu condi¸tii ini¸tiale pentru acela¸si operator diferen¸tial L ¸si datele alaturate, lu˘am u(x) = u1(x) − u2(x) ca s˘a ob¸tinem c˘a
,
unde α, β ¸si ρ depind numai de limitele lui g ¸si h ¸si unde
.
Astfel, dac˘a valorile ini¸tiale) sunt apropiate de ) ¸si dac˘a func¸tiile date (L + h)[u1] ¸si (L + h)[u2] sunt apropiate ˆıntre ele, atunci
C0 este mic; deci u1(x) este aproape de ) este aproape de
pe intervalul [a,b]. Cu alte cuvinte, solu¸tia u a problemei cu condi¸tii ini¸tiale (2.26), (2.27) depinde continuu de datele y1, y2 ¸si f(x).
2.7 Problema cu valori proprii
Presupunem c˘a u este o solu¸tie a ecua¸tiei
u00 + g(x)u0 + [h(x) + λk(x)]u = 0 pentru a < x < b (2.47)
care satisface condi¸tiile la limit˘a
(2.48)
Lu˘am θ ¸si φ astfel ˆıncˆat −π/2 < θ < π/2, −π/2 < φ < π/2. Este evident c˘a u ≡ 0 satisface (2.47), (2.48) pentru orice valoare a lui λ. Orice num˘ar λ pentru care exist˘a o solu¸tie a problemei (2.47), (2.48) care nu este identic nula se numeste valoare proprie a ecua¸tiei (2.47) cu condi¸tiile la limit˘a (2.48). solu¸tia corespunz˘atoare u se numeste func¸tie proprie¸si este determinat˘a pˆan˘a la ˆınmul¸tirea cu o constant˘a, din moment ce pentru orice num˘ar A, func¸tia Au satisface (2.47) ¸si (2.48) atunci cˆand ¸si u le satisface.
Vom presupune c˘a func¸tiile g, h ¸si k sunt m˘arginite ¸si c˘a exist˘a un num˘ar pozitiv η astfel ˆıncat
k(x) ≥ η > 0 pentru a ≤ x ≤ b.
Dac˘a λ e suficient de mic (posibil negativ), atunci
h + λk ≤ 0 pentru a ≤ x ≤ b;
dac˘a de asemenea θ ≥ 0, φ ≥ 0, rezult˘a din teorema 10, sec¸tiunea 5 c˘a un astfel de λ nu poate fi valoare proprie. Astaˆınseamn˘a c˘a toate valorile proprii ale lui (2.47), (2.48) sunt mai mari decˆat num˘arul
. (2.49)
(Infimul unei func¸tii f(x), notat inf f(x), este minimul dac˘a acesta e atins, sau, altfel, cea mai mare limit˘a inferioar˘a. Supremul, supf(x), este definit asem˘an˘ator, astfel ˆıncˆat supf(x) = −inf[−f(x)].)
Vom c˘auta o limit˘a inferioar˘a mai general˘a pentru valorile proprii ale lui (2.47), (2.48). Fie w(x) o func¸tie de dou˘a ori diferen¸tiabil˘a, cu derivata a doua continu˘a, pozitiv˘a pe [a,b], care satisface inegalit˘a¸tile
(2.50)
Dac˘a w verific˘a ¸si
w00 + g(x)w0 + [h(x) + λk(x)]w < 0, (2.51)
atunci rezult˘a din teorema 11, sec¸tiunea 5, cu z1 ≡ z2 ≡ 0, c˘a λ nu este valoare proprie. Astfel ne indreptam spre rezultatul urm˘ator.
TEOREMA 15.
Dac˘a w(x) e pozitiv˘a pe [a,b] ¸si satisface inegalitatea (2.50), atunci nicio valoare proprie a lui (2.47), (2.48) nu poate coborˆı sub cantitatea
. (2.52)
Observ˘am c˘a dac˘a θ ≥ 0, φ ≥ 0, atunci (2.52) este oˆımbun˘at˘a¸tire fata de (2.49), din moment ce func¸tia w ≡ 1 satisface toate ipotezele; ˆın acest caz, (2.52) se reduce la (2.49).
Vom ar˘ata acum c˘a principiul de maxim poate fi folosit pentru a stabili existenta celei mai mici valori proprii (numita prima valoare proprie). Asta ˆınseamn˘a c˘a vom arat˘a c˘a exist˘a un num˘ar λ1 care este valoare prprie ¸si care are proprietatea ca niciun alt num˘ar λ < λ1 nu este valoare proprie. In acest sens demonstram ˆıntˆai urm˘atoarea lem˘a.
LEMA 1. Pentru fiecare λ, fie r(x;λ) solu¸tia problemei cu condi¸tii
ini¸tiale
(2.53)
cu −π/2 < θ ≤ π/2. Presupunem c˘a g(x), h(x) ¸si k(x) sunt m˘arginite ¸si k(x) e pozitiv˘a ¸si m˘arginit˘a departe de zero pe [a,b]. Atunci exist˘a
un num˘ar λ astfelˆıncˆat pentru to¸ti λ > λ, solu¸tia r(x;λ) isi schimba semnul ˆın a < x < b.
Demonstra¸tie. Presupunem c˘a pentru valori arbitrare mari ale lui λ, exist˘a o func¸tie r care verific˘a (2.53) ¸si astfel ˆıncˆat r(x;λ) > 0 ˆın (a,b). Atunci func¸tia w(x) = r(x;λ) poate fi folosit˘a pentru a stabili teorema 11 pentru problema
(L + h + λk)[u] = 0 pentru c − ε < x < c + ε, u(c − ε) = u(c + ε) = 0,
ˆın condi¸tiile c − ε > a ¸si c + ε < b. Aceast˘a problem˘a are evident solu¸tia u(x) ≡ 0. Vom ob¸tine o contradictie construind o func¸tie z2 care poate fi folosit˘a ca limit˘a inferioar˘a dac˘a teorema 11 din sec¸tiunea 5 tine, dar care este evident mai mare decˆat u. Fie
z2(x) ≡ e−α(x−c)2 − e−αε2,
unde α e o constant˘a pozitiv˘a ce va fi determinat˘a. Vedem ca
z2(c − ε) = z2(c + ε) = 0,
+ (h + λk)[e−α(x−c)2 − e−αε2].
Acum alegem α suficient de mare ˆıncat
pe intervalul [c−ε,c+ε]. Atunci dac˘a λ e suficient de mareˆıncˆat h+λk ≥ 0, vedem c˘a (L+h+λk)[z2] ≥ 0 pentru |x−c| ≥ ε/2. Pentru a ajunge la aceea¸si concluzie pentru |x−c| < ε/2, trebuie doar s˘a lu˘am λ suficient de mare astfel
ˆıncat
(h + λk) ≥ 2α|1 + (x − c)g(x)|/[1 − e−3αε2/4]. (2.54)
Pentru astfel de valori suficient de mari ale lui λ, (L + h + λk)[z2] ≥ 0; de aceea, dac˘a teorema 11 tine, z2 ≤ 0. Dar prin defini¸tie, z2 > 0ˆın (c−ε,c+ε), astfel ˆıncˆat teorema 11 nu e respectata. Prin urmare, pentru λ suficient de mare ca h + λk ≥ 0 ¸si (2.54) s˘a fie satisf˘acute, r(x;λ) trebuie s˘a-¸si schimbe semnul pe intervalul [c − ε,c + ε]. Astfel, lema e demonstrat˘a cu
,
ˆın condi¸tiile a < c − ε ¸si c + ε < b.
Observa¸tie.
Pentru aceast˘a lem˘a e suficient s˘a presupunem c˘a g(x) e m˘arginit˘a, c˘a h(x) are limit˘a inferioar˘a ¸si k(x) are margine inferioar˘a pozitiv˘a pe un subinterval [c − ε,c + ε].
Stabilim acum o lem˘a ˆın sensul opus, care descrie situa¸tia pentru valori mici ale lui λ.
LEMA 2. Fie r(x;λ) solu¸tia problemei cu valori ini¸tiale (2.53).
Atunci exist˘a un num˘ar λ0 astfel ˆıncˆat cˆand λ < λ0 avem r(x;λ) > 0 ˆın cazul a < x ≤ b ¸si r0(b;λ)cosφ + r(b;λ)sinφ > 0.
Demonstra¸tie. Fie w(x) orice func¸tie diferen¸tiabil˘a de clas˘a C2 care e pozitiv˘a pe [a,b] ¸si care satisface
,
Fie
Atunci pentru λ < λ0 func¸tia w face ca teorema 11 din sec¸tiunea 5 s˘a fie valabil˘a pentru problema
(L + h + λk)[u] = 0 ˆın (a,c),
−u0(a)cosθ + u(a)sinθ = 0, u(c) = 0.
pentru orice c ∈ (a,b). Aceast˘a problem˘a are solu¸tia u ≡ 0. Prin urmare, dac˘a r(c;λ) = 0 pentru c ∈ (a,b), atunci rezult˘a din teorema 11 c˘a r(x;λ) ≤ 0 pentru x ∈ [a,c]. Dar acest lucru contrazice condi¸tia ini¸tial˘a pentru r, din moment ce fie r(a,λ) = cosθ > 0, fie r(a,λ) = 0, r0(a,λ) = 1. Rezult˘a c˘a pentru λ < λ0, func¸tia r(x;λ) nu se poate anula in (a,b].
Mai mult, teorema 11 aplicat˘a problemei
(L + h + λk)[u] = 0,−u0(a)cosθ + u(a)sinθ = 0, u0(b)cosφ + u(b)sinφ = 0
ar ar˘ata c˘a r(x;λ) ≤ 0 dac˘a r0(b;λ)cosφ + r(b;λ)sinφ ≤ 0. Astfel, pentru λ < λ0, avem r(x;λ) > 0 ˆın (a,b]si r0(b;λ)sinφ > 0.
Cu ajutorul lemelor anterioare putem stabili urm˘atorul rezultat raportat la problema cu valori proprii (2.47), (2.48).
TEOREMA 16.
Exist˘a o valoare proprie λ1 ¸si o func¸tie proprie corespunz˘atoare r(x;λ1) astfel ˆıncat:
(i) niciun alt num˘ar λ < λ1 nu este valoare proprie; (ii) r(x;λ1) nu-si schimba semnul ˆın (a,b).
Demonstra¸tie. Fie λ∗ cea mai mica limit˘a superioar˘a a valorilor lui λ pentru care r(x;λ) > 0 ˆın (a,b]. Vedem din cele dou˘a leme c˘a exist˘a un astfel de
num˘ar λ∗ ¸si c˘a λ0 ≤ λ∗ ≤ λ.
Observ˘am c˘a pentru orice numere λ ¸si µ, diferenta q(x) ≡ r(x;λ)−r(x;µ) satisface problema cu condi¸tii ini¸tiale
(L + h + λk)[q] = (µ − λ)k r(x;µ), q(a) = 0, q0(a) = 0.
Rezultatele din sec¸tiunea 6 implica faptul c˘a atunci cˆand |λ−µ| e mic, q(x) ¸si q0(x) sunt uniform mici. Adic˘a r(x;λ) ¸si r0(x;λ) sunt continueˆın λ, uniforme ˆın x. Atunci din moment ce r(x;λ) > 0 pentru to¸ti λ < λ∗, concluzion˘am c˘a r(x;λ∗) ≥ 0. Mai mult, dac˘a r(x;λ∗) ar fi strict pozitiv˘aˆın (a,b], acela¸si lucru ar fi valabil prin continuitate pentru unii λ > λ∗. Rezult˘a c˘a r(x;λ∗) trebuie s˘a se anuleze undeva ˆın (a,b]. Dac˘a s-ar fi anulat ˆıntr-un punct interior c, am fi avut r(c;λ∗) = r0(c;λ∗) = 0. Dar atunci, din teorema 6, r(x;λ∗) ≡ 0, care contrazice condi¸tiile ini¸tiale. Concluzion˘am c˘a r(x;λ∗) > 0 ˆın (a,b) ¸si c˘a r(b;λ∗) = 0. Atunci r0(b;λ∗) < 0 ¸si deci
r0(b;λ∗)cosφ + r(b;λ∗)sinφ ≤ 0.
Stim din concluzia lemei 2 ca
r0(b;λ)cosφ + r(b;λ)sinφ > 0 pentru λ < λ0.
Din moment ce r(b;λ) ¸si r0(b;λ) sunt func¸tii continue de λ, observ˘am c˘a trebuie s˘a existe o valoare λ1, λ0 ≤ λ1λ∗, astfel ˆıncat r0(b;λ)cosφ + r(b;λ)sinφ > 0 pentru λ < λ1 ¸si
r0(b;λ1)cosφ + r(b;λ1)sinφ = 0.
Atunci r(b;λ1) satisface problema cu valori proprii
(L + h + λ1k)[r] = 0,
−r0(a;λ1)cosθ + r(a;λ1)sinθ = 0, r0(b;λ1)cosφ + r(b;λ1)sinφ = 0.
Rezult˘a c˘a λ1 este valoare proprie pentru problema (2.47), (2.48), cu r(x;λ1) func¸tia proprie corespunz˘atoare. Observ˘am c˘a din moment ce λ1 ≤ λ∗, func¸tia proprie r(x;λ1) este pozitiv˘a ˆın (a,b). Ea se anuleaz˘a ˆın a dac˘a ¸si numai dac˘a θ = π/2 ¸si ˆın b dac˘a ¸si numai dac˘a φ = π/2.
Observa¸tii.
Pentru −π/2 < θ < π/2 ¸si pentru orice λ < λ1, func¸tia w = r(x;λ) satisface toate condi¸tiile teoremei 15. Din moment ce (L + h + λk)[w] = 0, limita inferioar˘a (2.52) este exact λ. Pentru θ = π/2 ¸si λ < λ1, alegem w(x) = r(x;λ) + s(x;λ), unde s(x;λ) este solu¸tia ˆın (a,b) a problemei cu valoare ini¸tial˘a analoage ˆın b. Limita inferioar˘a este din nou λ. De aceea, ˆın toate cazurile, limita inferioar˘a (2.52) poate fi f˘acut˘a arbitrar apropiata de λ1 de o alegere corespunz˘atoare a func¸tiei w. ˆIn particular, rezult˘a c˘a λ1 este cea mai mica valoare proprie a problemei.
ˆIn lumina observa¸tiei anterioare, dac˘a λ1 e pozitiv˘a, func¸tia w = r(x;0) (sau w = r(x;0) + s(x;0), dac˘a θ = π/2) satisface condi¸tiile teoremei 11 din sec¸tiunea 5.
Dac˘a λ1 ≤ 0 ¸si w e pozitiv˘a pe [a,b], atunci
(L + h + λ1k)[w] ≤ (L + h)[w].
Astfel, dac˘a w satisface ipotezele teoremei 11 pentru operatorul L + h, le
ˆındepline¸ste ¸si pentru L + h + λ1k. Alegˆand z1 ≡ z1 ≡ 0 ˆın teorema 11, vedem c˘a u ≡ 0 cˆand λ = λ1. Deci faptul c˘a λ1 e valoare proprie e contrazis. Concluzion˘am c˘a dac˘a λ1 ≤ 0, nu exist˘a o func¸tie w care s˘a ˆındeplineasca toate condi¸tiile cerute de teorema 11.
Observa¸tiile (ii) ¸si (iii) reprezint˘a con¸tinutul urm˘atorului rezultat.
TEOREMA 17.
Limita superioar˘a ¸si limita inferioar˘a ale problemei ce condi¸tii la frontier˘a enuntate ˆın teorema 11 sunt valabile dac˘a ¸si numai dac˘a cea mai mica valoare proprie λ1 a problemei (2.47), (2.48) este pozitiv˘a.
Observ˘am c˘a nicio func¸tie proprie corespunz˘atoare unei valori proprii mai mari decˆat λ1 nu poate avea doar un semn in (a,b). Dac˘a r(x;λk) ar fi pozitiv˘a cu λk > λ1, am ajunge la o contradictie aplicˆandu-i cantit˘a¸tii r(x;λ1)/r(x;λk) teoremele 3 ¸si 4.
Capitolul 3
Ecua¸tii eliptice
3.1 Operatorul Laplace
Fie u(x1,x2,…,xn) o func¸tie diferen¸tiabil˘a cu derivata a doua continu˘a definit˘a ˆıntr-un domeniu Dˆın spa¸tiul euclidian n-dimensional. Operatorul Laplace sau Laplacian ∆ este definit astfel:
.
Dac˘a ecua¸tia ∆ = 0 este satisf˘acut˘a ˆın fiecare punct al unui domeniu D, spunem c˘a u este armonic˘aˆın D sau, simplu, c˘a u este o func¸tie armonic˘a.
Presupunem c˘a u are un maxim localˆıntr-un punct interior lui D. Atunci stim din calcule c˘a ˆın acest punct
¸si
.
De aceea, ˆıntr-un maxim local, inegalitatea
∂u ≤ 0
trebuie s˘a r˘amˆan˘a valabil˘a. Ra¸tionamentul simplu de mai sus duce la afirma¸tia: Dac˘a u func¸tie u satisface inegalitatea stict˘a ∆u > 0 (1) ˆın fiecare punct al domeniului D, atunci u nu ˆı¸si poate atinge maximul ˆın niciun punct interior al lui D. Presupunem c˘a b1(x1,x2,…,xn), b2(x1,x2,
…,xn),…, bn(x1,x2,…,xn) sunt func¸tii m˘arginite oarecare definite ˆın D.
F˘ar˘a nicio schimbare ˆın argumentul anterior, concluzion˘am c˘a dac˘a u satisface inegalitatea stict˘a
ˆın D, atunci u nu ˆı¸si poate atinge maximul ˆıntr-un punct interior.
ˆIn capitolul 2, cˆand am considerat cazul unu-dimensional, am v˘azut c˘a este important s˘a stabilim un principiu de maxim pentru inegalit˘a¸ti diferen¸tiale care nu sunt stricte. Vom arat˘a c˘a principiul de maxim anterior este valid chiar ¸si cˆand egalitatea este permisa ˆın relatiile (1) ¸si (2). ˆIn particular, func¸tiile armonice satisfac un principiu de maxim.
Vom demonstra mai ˆıntˆai un principiu de maxim pentru func¸tii de dou˘a variabile care ˆındeplinesc inegalitatea
Pentru a face acest lucru, vom folosi un num˘ar de propriet˘a¸ti speciale ale operatorului Laplace. Mai tˆarziu, considerˆand operatori diferen¸tiali mai generali, vom vedea cum metodele folositeˆın capitolul 2 pot fi modificate pentru a ob¸tine un pricipiu de maxim.
Fie (x,y) un punct ˆın D ¸si fie Kr un disc situat ˆın D cu centrul ˆın (x,y) ¸si cu raza r. Not˘am frontiera lui K cu Cr.
Gradientul unei func¸tii scalare v este vectorul func¸tie definit de
,
unde i, j sunt vectorii unitari ortogonali obisnuiti ai planului.
Divergen¸ta unui vector func¸tie w = a(x,y)i + b(x,y)j este func¸tia scalara definit˘a prin formula
.
Astfel avem
∆u = div (gradu). (4)
Teorema de divergen¸t˘a. Dac˘a D este un domeniu m˘arginit cu frontiera
Z Z I
neted˘a ∂D, atunci div w dxdy = w ·nds, unde n este vectorul nor-
D ∂D
mal unitar exterior. Rezultatul analog este valabil ¸siˆın dimensiuni mai mari. Aplic˘am teorema de divergen¸t˘a Laplacianului lui u ˆın discul Kr ¸si ob¸tinem
unde s este lungimea arcului de pe Cr ¸si ∂u/∂r este derivata normal˘a luat˘a pe frontiera Cr. ˆIn coordonate polare, ds = r dθ ¸si
Rezult˘a c˘a dac˘a ∆u ≥ 0 ˆın D, atunci
Acum ii permitem lui r s˘a varieze ˆıntre 0 ¸si un num˘ar fixat R, fiecare Kr fiind un disc cu centrul in (x, y). num˘arul R este luat suficient de mic ˆıncˆat Kr este con¸tinut complet de D. Integrand inegalitatea (5) de la 0 la R ¸si interschimbˆand ordinea integrarii, ob¸tinem
sau
Membrul drept al lui (6) este valoarea medie a lui u luat˘a peste CR, cercul de raza R cu centrul ˆın (x, y). De aceea (6) afirm˘a c˘a valoarea lui u ˆın orice punct din D este m˘arginit˘a de valoarea sa medie peste orice cerc din D avˆand acel punct ca ¸si centru al s˘au. Dac˘a ∆u = 0, aceast˘a inegalitate este adev˘arat˘a atˆat pentru u cˆat ¸si pentru −u ¸si, ˆın consecin¸t˘a, ob¸tinem urm˘atorul rezultat:
TEOREMA 1. (Teorema valorii medii)
Dac˘a u este armonic˘a ˆın D, atunci u(x, y) este egal cu valoarea s˘a medie luat˘a peste orice cerc din D cu centrul in (x, y). Asta
ˆınseamn˘a
Pentru a ob¸tine un principiu de maxim presupunem c˘a u satisface inegalitatea (3) ˆın D ¸si c˘a ˆı¸si atinge maximul M ˆıntr-un punct (x0,y0) ∈ D. Din moment ce u ≤ M ¸si u(x0,y0) = M, concluzion˘am din (6) c˘a u trebuie s˘a fie identic egal cu M pe fiecare cerc centratˆın (x0,y0) ¸si situatˆın D. Acum presupunem c˘a exist˘a un punct (x1,y1) ∈ D ˆın care u < M; atunci ˆın acela¸si fel este adev˘aratˆıntr-o vecin˘atate a lui (x1,y1). Unim (x1,y1) ¸si (x0,y0) printr-o curba ˆın D ¸si fie (x2,y2) primul punct al acestei curbe, unde u = M. Atunci u nu este identic egal cu M pe orice cerc suficient de mic centrat ˆın (x2,y2). Astfel contrazicem inegalitatea (6) ¸si prin urmare stabilim urm˘atorul rezultat.
TEOREMA 2. (Principiul de maxim) Fie ∆u ≥ 0 ˆın D.
Dac˘a u ˆı¸si atinge maximul M ˆıntr-un punct din D, atunci u ≡ M ˆın D.
Nu am presupus c˘a domeniul D este m˘arginit. Notˆand frontiera lui D cu ∂D, observ˘am c˘a dac˘a u este continu˘a pe D ∪ ∂D ¸si nu este constant˘a, atunci valorile lui u ˆın D sunt mai mici decˆat maximul lui u pe ∂D dac˘a D este m˘arginit. Dac˘a D este nem˘arginit, aceste valori sunt fie sub maximul lui u pe ∂D, fie sub limit˘a superioar˘a a lui u cˆand (x2 + y2) → ∞.
Din moment ce un principiu de minim corespunz˘ator este valabil pentru func¸tii care ˆındeplinesc inegalitatea ∆u ≤ 0 (ob¸tinut aplicˆand teorema 2 func¸tiei −u), putem concluziona ca o func¸tie armonic˘a neconstant˘a nu-si poate atinge nici maximul, nici minimul ˆın niciun punct interior lui D.
DEFINIT¸IE.
O func¸tie u care satisface ∆u ≥ 0 ˆıntr-un domeniu D se zice c˘a este subarmonic˘aˆın D sau, simplu, o func¸tie subarmonic˘a. Dac˘a ∆u ≤ 0 astfelˆıncˆat −u este subarmonic˘a, spunem c˘a u este supraarmonic˘a.
Presupunem c˘a u este subarmonic˘a ¸si v este armonic˘a ˆıntr-un domeniu D cu frontiera ∂D. Func¸tia
w = u − v
va fi atunci subarmonic˘a ˆın D. Dac˘a u ¸si v coincid pe ∂D, atunci w se va anula pe ∂D ¸si, conform principiului de maxim, va fi nepozitiv˘a pe D. Astfel ob¸tinem inegalitatea
u ≤ v pe D.
Termenul subarmonic vine de la prorietatea tocmai descris˘a. Valorile unei func¸tii subarmonice u ˆıntr-un domeniu D sunt ˆıntotdeauna mai mici decˆat valorile func¸tiei armonice care coincide cu u pe frontiera lui D.
Teoremele 1 ¸si 2 au extinderi corespunz˘atoare ˆın orice num˘ar de dimensiuni. Fie u o func¸tie subarmonic˘a de n variabile; adic˘a presupunem ∆u ≥ 0.
Not˘am cu KR o bila n-dimensionala de raza R cu centrul ˆın (x1,x2,…,xn)
¸si not˘am frontiera acesteia cu CR. Aria suprafetei sferei CR, a carei ecua¸tie este
,
o not˘am cu SR. Este convenabil s˘a scriem
SR = ωnRn−1,
unde ωn este o constant˘a absoluta depinzˆand numai de n. De exemplu, ω2 = 2π ¸si ω3 = 4π. Inegalitatea valorii medii afirm˘a c˘a pentru func¸tiile subarmonice
unde dS este elementul (n−1)-dimensional al ariei suprafetei ¸si integrala din dreapta este o integrala ………(pag 55). Teorema valorii medii pentru func¸tii armonice ¸si principiul de maxim pentru func¸tii subarmonice n-dimensionale sunt consecinte directe ale relatiei (7).
3.2 Operatori eliptici de ordinul al doilea.
Transform˘ari
Ne vom indrepta aten¸tia asupra unor operatori diferen¸tiali de ordinul doi de forma
.
Din moment ce ∂2/∂xi∂xj ≡ ∂2/∂xj∂xi, putem defini
¸si s˘a scriem expresia diferen¸tial˘a anterioar˘a sub forma
Cu alte cuvinte, nu se pierde generalitatea dac˘a presupunem c˘a to¸ti coeficien¸tii operatorului de ordinul al doilea L sunt simetrici, presupunere pe care o vom face ˆıntotdeauna.
DEFINIT¸II.
Operatorul (1) este numit eliptic ˆıntr-un punct x = (x1,x2,…,xn) dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a o cantitate pozitiv˘a µ(x) astfel ˆıncat
pentru toate n-tuplurile de numere reale (ξ1,ξ2,…,ξn). Operatorul L se zice c˘a este eliptic ˆıntr-un domeniu D dac˘a este eliptic ˆın fiecare punct al lui D. Este uniform eliptic ˆın D dac˘a relatia (2) este valabil˘a pentru fiecare punct al lui D ¸si dac˘a exist˘a o constant˘a pozitiv˘a µ0 astfel ˆıncˆat µ(x) ≥ µ0, oricare ar fi x ∈ D.
ˆIn limbajul matriceal, condi¸tiile de elipticitate afirm˘a c˘a matricea simetrica
este pozitiv definit˘a ˆın fiecare punct x.
Suntem interesati s˘a studiem efectul diferitelor transformari de coordonate de forma lui L. O schimbare liniara de coordonate
n
yi = Xcijxj, i = 1,2,…,n (3)
j=1
poate fi pus˘a ˆın scriere matriceal˘a
y = Cx.
ˆIn aceast˘a ecua¸tie, x ¸si y sunt matrice n×1 ¸si C este matricea cij de tip n×n. Matricea C de tip n×n este ortogonala dac˘a ¸si numai dac˘a elementele sale satisfac relatiile:
1 dac˘a
dac˘a
Se poate ar˘ata u¸sor c˘a relatia
dac˘a
ik jk =
0 dac˘a
k=1
este echivalenta cu (4). De fapt, notˆand transpusa lui C cu CT ¸si inversa cu C−1, observ˘am c˘a ambele criterii de ortogonalitate (4) ¸si (5) sunt echivalente cu relatia
CT = C−1.
DEFINIT¸IE. Transformarea (3) este numita o rotatie sau o transformare ortogonala dac˘a ¸si numai dac˘a matricea C = (cij) este matrice ortogonala.
Urm˘atorul rezultat arat˘a c˘a elipticitatea unui operator r˘amˆane neafectata de transformarile ortogonale de coordonate.
TEOREMA 3.
Presupunem c˘a operatorul
este eliptic. Atunci prin transformarile (3) operatorul calL ia forma
, (6)
unde
Mai mult, operatorul (6) este eliptic.
Demonstra¸tie. Din moment ce ∂yi/∂xj = cij, aplic˘am regula lan¸tului pentru L ¸si ob¸tinem
.
Definind matricea B = (bkl) prin relatiile (7), ob¸tinem L ˆın forma (6).
Pentru a stabili elipticitatea lui (6), consider˘am orice n-tuplu (ξ1,ξ2,…,ξn) ¸si scriem
.
Definind
n
ηi = Xckiξk,
k=1
avem
.
De aceea, din condi¸tiile de elipticitate (2) ¸si (5),
.
Observa¸tii.
Observ˘am nu numai c˘a elipticitatea e p˘astrat˘a printr-o transformareortogonala de coordonate, dar de asemenea ca µ(x) este neschimbata.
Dac˘a un operator este eliptic uniform, atunci operatorul va r˘amˆanea¸sa dupa orice transformare ortogonala.
Pentru a aplica regula lan¸tului ˆın maniera descris˘a, este esen¸tial caelementele lui C s˘a fie constante.
Dac˘a un operator cu coeficien¸ti constanti este eliptic ˆıntr-un punct,atunci este uniform eliptic ˆın toate n-spatiile. ˆIn particular, operatorul Laplace este eliptic peste tot.
Se stie din algebra liniara ca, pentru orice matrice simetrica A = (aij), exist˘a o matrice ortogonala C = (cij) astfel ˆıncˆat matricea B = (bij), dat˘a de
sau echivalent prin
B = C · A · C−1
este o matrice diagonala. Adic˘a matricea B are proprietatea
bij = 0pentrui 6= j.
Elementele bkk de pe diagonala lui B se numesc valori proprii ale matricii originale (aij), iar liniile lui (cij) sunt vectorii proprii transformarii liniare corespunz˘atoare.
Dac˘a facem o asemenea diagonalizare pentru un anumit punct x, ob¸tinem
pentru toate n-tuplurile reale (η1,η2,…,ηn). Rezult˘a c˘a toate elementele diagonale bkk(x) sunt pozitive. De fapt, avem
bkk(x) ≥ µ(x).
Mai mult, dac˘a L nu este eliptic, o asemenea inegalitate nu poate fiˆındeplinita pentru orice num˘ar µ(x). Pentru ca, dac˘a ar fi asa, transformarea inversa ar duce la o inegalitate pentru operatorul original care este la fel ca elipticitatea. De aici, dac˘a L nu este eliptic, cel pu¸tin una dintre valorile proprii bkk(x) trebuie s˘a fie nepozitiv˘a.
Presupunem c˘a operatorul original L a fost adus la forma diagonalaˆıntrun anumit punct x. ˆIn acest moment putem scrie
.
Acum introducem o a doua transformare de coordonate, una care consta
ˆıntr-o ”extindere”. Alegem
ˆIn termenii {x}-coordonatelor originale, avem
Aceasta are ca efect trecerea operatorului L la forma
.
Transformarea (8) poate fi f˘acut˘a numai cˆand toate bkk(x) sunt pozitive. Am stabilit urm˘atorul rezultat.
TEOREMA 4.
Un operator de ordinul al doilea L este elipticˆıntr-un punct x dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a o transformare liniara
n
zk = Xdkjxj, k = 1,2,…,n
j=1
astfel ˆıncˆat ˆın x, L devine Laplacianul in coordonate {zk}.
Ar trebui accentuat c˘a am folosit peste tot ideea c˘a (dkj) este o matrice constant˘a, astfel ˆıncˆat aceast˘a reducere apare numai ˆıntr-un punct particular x mai degraba decˆat ˆın ˆıntreg domeniu, pentru c˘a nu este posibil, ˆın general, s˘a se reduc˘a un operator eliptic de ordinul doi la un operator Laplaceˆıntr-un ˆıntreg domeniu printr-o transformare de coordonate. Operatorul
este eliptic ˆın x dac˘a ¸si numai dac˘a
este eliptic ˆın acel punct. Este uniform eliptic ˆın D dac˘a L este uniform eliptic ˆın D. Operatorul L se numeste partea principala a lui L + h.
3.3 Principiul de maxim al lui Eberhard Hopf
Consider˘am inegalitatea diferen¸tial˘a stict˘a
ˆıntr-un domeniu D ¸si presupunem c˘a L este eliptic ˆın D. Dac˘a u are un maxim relativ ˆıntr-un punct x = (x1,x2,…xn), stim din calcului catorva variabile c˘a ˆın punctul x
pentru orice coordonate z1, z2,…,zn ob¸tinute din coordonatele x1, x2,…,xn printr-o transformare liniara. ˆIn particular, dac˘a L, partea principala a lui L, este operatorul Laplaceˆın z-coordonate, atunci (1) nu poate fi valabil˘aˆın punctul x. Oricˆand L este eliptic, putem g˘asi o transformare liniara de coordonate astfelˆıncˆat in x operatorul L devine operator Laplace. Concluzion˘am c˘a dac˘a L este eliptic, o func¸tie u satisf˘acˆand (1) ˆıntr-un domeniu
D nu poate avea un maxim in D.
Ca ¸si ˆın cazul unu-dimensional, vom extinde principiul de maxim astfel
ˆıncˆat s˘a includ˘a ¸si posibilitatea ca L[u] s˘a satisfac˘a o inegalitate care poate s˘a nu fie stict˘a.
TEOREMA 5.
Fie u(x1,x2,…,xn) care satisface inecua¸tia diferen¸tial˘a
ˆıntr-un domeniu D unde L este uniform eliptic. Presupunem coeficien¸tii aij ¸si bi uniform m˘argini¸ti. Dac˘a u isi atinge maximul M ˆıntr-un punct din D, atunci u ≡ M in D.
Demonstra¸tie. Presupunem c˘a u = M ˆıntr-un anumit punct P ∈ D ¸si c˘a u < M ˆın alt punct Q ∈ D. Vom ob¸tine o contradictie. Construim un arc y ˆın D care uneste punctele Q ¸si P. Not˘am cu R primul punct al lui y ˆın care u = M. Adic˘a u < M pe por¸tiunea din y cuprinsaˆıntre Q ¸si R ¸si u(R) = M. Fie d > 0 cea mai mare margine inferioar˘a a distantelor dintr orice punct al lui y ¸si orice punct de pe frontiera lui D. Consider˘am un punct P1 al por¸tiunii QR a lui y la distanta mai mica decˆat fata de R ¸si construim cea mai mare bila avˆand centrul ˆın P1 ˆın care u < M. Aceast˘a bila, pe care o not˘am K, va avea raza mai mica decˆat ¸si de aceea va fi inclusa complet ˆın D. Fie S un punct pe frontiera ∂K a lui K astfel ˆıncˆat u = M ˆın S. Prin continuitate trebuie s˘a existe cel pu¸tin un astfel de punct. Pot fi ¸si mai multe puncte. Construim bila K1 tangenta la ∂K ˆın S ¸si altfel inclusa complet ˆın K. Notˆand frontiera lui K1 cu ∂K1, observ˘am c˘a u < M ˆın K1 ¸si pe ∂K1 cu excep¸tia dintr-un singur punct S unde u = M. Raza lui K1 va fi notat˘a r1.
Mai construim o bila K2 cu frontiera ∂K2, cu raza ¸si care are centrulˆın S. Not˘am cu por¸tiunea din ∂K2 aflat˘aˆın interiorul lui K1 ¸si pe
∂K1. Adic˘a suprafa¸ta ˆı¸si include frontiera, care este intersectia lui ∂K2 ¸si ∂K1. Partea din ∂K2 din afara lui ∂K1 o not˘am.
Din moment ce u < M ˆın mul¸timea ˆınchis˘a, exist˘a o constant˘a ζ > 0
astfel ˆıncat
.
Aceasta rezult˘a din faptul c˘a o func¸tie continu˘a pe o mul¸time m˘arginit˘a,
ˆınchis˘a ˆı¸si atinge maximul. Pe de alta parte, din cauz˘a c˘a u ≤ M peste tot, stim c˘a
.
Fie x = (x1,x2,…,xn) centrul lui K1. Definim func¸tia auxiliara e e e e
unde α este o constant˘a pozitiv˘a ce va fi determinat˘a. Deci este clar ca
z > 0 ˆın K1
z = 0 pe ∂K1,
z < 0 ˆın afara lui K1
Evalu˘am
.
Din cauza propriet˘a¸tii de elipticitate uniforma a operatorului L, avem
.
Din moment ce, concluzion˘am c˘a pentru x ∈ K2,
.
Alegˆand α suficient de mare, facem cantitatea din paranteze s˘a fie pozitiv˘a ¸si astfel ob¸tinem
L[z] > 0 pentru z ∈ K2.
Ca ˆın demonstra¸tia teoremei 1 din capitolul 2, construim func¸tia
w = u + εz,
cu ε astfel ˆıncat
.
Func¸tia w are urm˘atoarele propriet˘a¸ti:
. Pentru a vedea acest lucru, observ˘am ˆıntˆai c˘a
.
. Adunand aceste inegalit˘a¸ti, ob¸tinem
w < M pe C20.
w < M pe C200. Aceasta rezult˘a din cauz˘a c˘a peste tot.
w = M ˆın punctul S, centrul lui K2. Aceast˘a declara¸tie este adev˘arat˘a pentru c˘a prin ipoteza u = M ˆın S ¸si prin construc¸tie z = 0 ˆın S.
Pe baza propriet˘a¸tilor (i), (ii) ¸si (iii), w are un maxim undevaˆın interiorul bilei K2. Pe de alta parte, L[w] = L[u] + εL[z] > 0 ˆın K2.
De aceea, niciun maxim nu poate aparea ˆın K2 dac˘a L este eliptic. Am ob¸tinut o contradictie ¸si teorema a fost demonstrat˘a.
Observa¸tii.
Elipticitatea uniforma a lui L ¸si m˘arginirea coeficien¸tilor nu sunt esen¸tiale. este suficient s˘a presupunem c˘a urm˘atoarele cantit˘a¸ti,
,
sunt m˘arginite pe fiecare bila ˆınchis˘a con¸tinut˘a ˆın interiorul lui D.
Domeniul D nu trebuie s˘a fie neaparat m˘arginit.
Un principiu de minim pentru func¸tii care satisfac L[u] ≤ 0 este ob¸tinut aplicˆand principiul de maxim func¸tiei −u. De aceea, o solu¸tie neconstant˘a a ecua¸tiei diferen¸tiale eliptice L[u] = 0 nu ˆı¸si poate atinge nici maximul, nici minimul ˆıntr-un punct interior lui D.
Pentru operatori de forma (L + h) avem un rezultat analog cazului unudimensional dat ˆın sec¸tiunea 1 a capitolului 2.
TEOREMA 6.
Fie u ˆındeplinind inegalitatea diferen¸tial˘a
(L + h)[u] ≥ 0
cu h ≤ 0, cu L uniform eliptic ˆın D ¸si cu coeficien¸tii lui L ¸si h m˘argini¸ti. Dac˘a u atinge un maxim nenegativ M ˆıntr-un punct interior lui D, atunci u ≡ M.
Demonstra¸tia teoremei 6 urmeaza exact acela¸si procedeu ca ¸si demonstra¸tia teoremei 5. Func¸tia auxiliara z ¸si cantitatea pozitiv˘a ε sunt definiteˆın aceea¸si maniera. Ca ¸si mai ˆınainte, contradictia este ob¸tinut˘a din observa¸tia c˘a o func¸tie w care satisface inegalitatea (L+h)[w] > 0ˆıntr-un domeniu nu poate avea un maxim nenegativ ˆın acel domeniu dac˘a h ≤ 0.
Observa¸tii.
Aceast˘a demonstra¸tie este valabil˘a chiar ¸si ˆın ipoteza mai slaba c˘a
ra¸tiile) sunt m˘arginiteˆın fiecare
i=1
bila ˆınchis˘a din D.
Restic¸ta h ≤ 0 este esen¸tial˘a, iar contraexemple sunt u¸sor de g˘asit dac˘a h > 0: func¸tia u = e−r2 are un maxim absolut pentru r = 0 ¸si este o sulutie a ecua¸tiei ∆u + (2n − 4r2)u = 0 ˆın n dimensiuni.
Fie u cu proprietatea L[u] ≥ 0 ˆıntr-un domeniu D cu o frontier˘a neted˘a ∂D. Stim c˘a dac˘a u ˆı¸si atinge un maxim, trebuie sa-l atinga ˆıntr-un punct al frontierei. Vom presupune c˘a u este continu˘a ¸si m˘arginit˘a pe D ∪ ∂D ¸si c˘a exist˘a un punct P ∈ ∂D ˆın care u ˆı¸si atinge valoarea maxim˘a. Dac˘a D este m˘arginit, un astfel de punct P va exista ˆıntotdeauna. ˆIn primul rand, observ˘am c˘a derivata direc¸tional˘a a lui uˆın P luat˘aˆın orice direc¸tie pe frontier˘a, care este orientata spre exteriorul lui D nu poate fi negativ˘a. Dac˘a ar fi, func¸tia u ar ˆıncepe s˘a creasca in momentul ˆın care am intra ˆın domeniul D prin P ¸si astfel maximul nu s-ar atinge ˆın P.
Fie n = (η1,η2,…,ηn) vectorul normal unitar pe o direc¸tie spre exterior, aplicat ˆıntr-un punct P aflat pe frontiera lui D. Spunem c˘a vectorul ν = (ν1,ν2,…,νn) este orientat spre exteriorul lui D ˆın punctul de pe frontier˘a P dac˘a
ν · n > 0.
Definim derivata direc¸tional˘a a lui u ˆın punctul de pe frontier˘a P ˆın direc¸tia ν ca fiind
,
dac˘a aceast˘a exist˘a. Derivata direc¸tional˘a se zice c˘a este exterioar˘a dac˘a ν este orientat spre exteriorul lui D. Atunci, dac˘a u are un maxim ˆın P, avem ∂u/∂ν ≥ 0 ˆın punctul P.
Vom arat˘a c˘a inegalitatea stict˘a ∂u/∂ν > 0 este valabil˘aˆın P cu excep¸tia cazului cˆand u e constant˘a. Acest rezultat este o exindere a teoremei 2 din capitolul 2.
TEOREMA 7.
Fie u o func¸tie cu proprietatea
ˆıntr-un domeniu D ˆın care L este uniform eliptic. Presupunem c˘a u ≤ M ˆın D ¸si c˘a u = M ˆıntr-un punct de pe frontier˘a, P. Presupunem c˘a P este pe frontiera unei bile K1 din D. Dac˘a u este continu˘a ˆın D ∪P ¸si o derivat˘a direc¸tional˘a exterioar˘a ∂u/∂ν exist˘a
ˆın P, atunci
cu excaptia cazului
Demonstra¸tie. Proced˘am c˘a ˆın demonstra¸tia teoremei 5. Micsorˆand pu¸tin K1 dac˘a e necesar, putem presupune c˘a ∂K1 este inclusa complet ˆın D ∪ P. Construim o bila K2 cu centrul ˆın P ¸si raza unde r1 este raza lui K1. Definim func¸tia z conform relatiei (2), alegˆand α suficient de mare ˆıncˆat L[z] > 0 ˆın K2. Func¸tia
w = u + εz
este acum formata. Conform teoremei 5, dac˘a u 6≡ M, atunci u < M ˆın K1 ¸si pe frontiera s˘a exceptˆand punctul P. Ne amintim c˘a z = 0 pe frontiera lui K1. Alegem ε > 0 suficient de mic astfelˆıncˆat w ≤ M pe por¸tiunea frontierei lui K2 inclusa ˆın K1. Atunci w ≤ M pe ˆıntreaga frontier˘a a lui K1 ∩ K2. Datorita faptului c˘a L[w] > 0 ˆın aceast˘a regiune, maximul lui w este atins pentru punctul P ¸si w(P) = M. De aceea, ˆın P
.
Vom arat˘a acum c˘a ∂z/∂ν < 0ˆın punctul P in a¸sa felˆıncˆat ∂u/∂ν > 0 acolo. Alegand x ca originea sistemului nostru de coordonate ¸si avˆand r distanta e
euclidiana de la x, rezulta e
.
Atunci
¸si
.
De aici,
.
De aceea ∂u/∂ν > 0, stabilind concluzia teoremei.
Demonstra¸tia teoremei 7 func¸tioneaza de asemenea ¸si pentru operatorul L + h cu h ≤ 0, presupunˆand c˘a M ≥ 0 ¸si α este ales suficient de mare ca (L + h)[z] > 0.
TEOREMA 8.
Fie u o func¸tie cu proprietatea
(L + h)[u] ≥ 0,
unde L este operatorul din teorema 7 ¸si h(x) ≤ 0ˆın D. Presupunem c˘a u ≤ M ˆın D, c˘a u = M ˆıntr-un punct P de pe frontier˘a ¸si c˘a M ≥ 0. Mai presupunem c˘a P se afl˘a pe frontiera unei bile din D.
Dac˘a u este continu˘aˆın D∪P, orice derivat˘a direc¸tional˘a exterioar˘a a lui u ˆın P este pozitiv˘a cu excep¸tia cazului u ≡ M ˆın D.
Observa¸tii.
Doua derivate direc¸tionale exterioare sunt derivata normal˘a ˆın care
ν = n ¸si derivata conormal˘a ˆın care.
Este posibil s˘a demonstram teorema 7 ˆınaintea teoremei 5 dac˘a presupunerea c˘a u < M ˆın interiorul lui D este ad˘augat˘a ipotezei teoremei 7. Atunci teorema 5 poate fi dedusa ca o consecin¸t˘a a teoremei 7. Pentru a vedea acest lucru, trebuie doar s˘a aplic˘am teorema 7 cu ipoteza adi¸tional˘a bilei K1 ¸si punctului s˘au S de pe frontier˘a unde u = M. Observa¸tia c˘a ˆıntr-un punct de maxim interior derivatele ˆın orice direc¸tie trebuie s˘a se anuleze contrazice concluzia teoremei 7. Deci u nu are maxim interior ¸si rezult˘a teorema 5.
Un maxim relativ al lui u este un maxim absolutˆın unele subdomenii ale lui D. De aici, teorema 5 arat˘a c˘a dac˘a L[u] ≥ 0 ˆın D ¸si u are un maxim relativ ˆıntr-un punct interior P, atunci u e constant˘a ˆıntr-o vecin˘atate a lui P. Prin teorema 6, dac˘a (L + h)[u] ≥ 0, dac˘a h ≤ 0 ¸si dac˘a u are un maxim relativ nenegativˆın P, atunci u e constant˘a. Dac˘a aceast˘a valoare constant˘a a lui u este pozitiv˘a, atunci h = 0 ˆın unele vecin˘at˘a¸ti ale lui P.
Dac˘a derivata ∂u/∂ν nu exist˘a ˆın P, demonstra¸tia teoremei 7 ˆınc˘a arat˘a c˘a
.
3.4 Teoreme de unicitate pentru probleme cu condi¸tii la frontier˘a
ˆIncepem cu un studiu al uneia dintre cele mai simple probleme cu condi¸tii la frontier˘a pentru ecua¸tii cu derivate par¸tiale de ordinul al doilea. Pe un domeniu D m˘arginit, bidimensional, cu frontier˘a ∂D punem problema determinarii unei func¸tii v(x,y) care este de dou˘a ori diferen¸tiabil˘a ˆın D, este continu˘a pe D ∪ ∂D ¸si satisface ecua¸tia
¸si condi¸tia la frontier˘a
v = g(s) pe ∂D. (2)
Ecua¸tia (1) se numeste ecua¸tie Poisson. Func¸tia f este definit˘a peste tot
ˆın D ¸si func¸tia g, dat˘aˆın termenii lungimii de arc s, este definit˘a de-a lungul lui ∂D.
Problema determin˘arii unei astfel de solu¸tii v este cunoscut˘a ca problema Dirichlet. Este de asemenea numita ¸si prima problem˘a cu condi¸tii la frontier˘a.
Nu vom studia condi¸tiile pe D ¸si pe func¸tiile f ¸si g, care sunt suficiente pentru a garanta existenta unei solu¸tii a problemei Dirichlet. Totu¸si, numai prin mijloace ale principiului de maxim, este posibil s˘a ar˘at˘am c˘a dac˘a o solu¸tie a primei valori a frontierei exist˘a, atunci trebuie s˘a fie unic˘a. Adic˘a demonstram c˘a poate exista cel mult o solu¸tie a problemei.
Pentru a stabili acest rezultat, presupunem c˘a v1 ¸si v2 sunt dou˘a func¸tii care satisfac (1) ¸si (2) cu acelea¸si func¸tii f ¸si g. Definind
u = v1 − v2,
vedem c˘a u satisface
∆u = 0 pe domeniul D, u = 0 pe ∂D.
Conform Principiului de maxim, u nu poate avea un maxim in interiorul lui D. Totu¸si, maximul unei func¸tii continue pe o mul¸time ˆınchis˘a ¸si m˘arginit˘a trebuie s˘a fie atins. Din moment ce u este continu˘a pe D∪∂D ¸si din moment ce u = 0 pe ∂D, concluzion˘am c˘a u ≤ 0 ˆın D. Aplicˆand acela¸si ra¸tionament lui −u, ob¸tinem u ≥ 0 ˆın D. Rezult˘a ca
= v1 − v2 ≡ 0 pe D.
Este esen¸tial s˘a presupunem c˘a domeniul D este m˘arginit. Altfel, a¸sa cum arat˘a exemplul urm˘ator, rezultatul este fals. Fie D o fˆa¸sie m˘arginit˘a dat˘a de
Func¸tia
= ex siny
satisface ecua¸tia Laplace ˆın D ¸si, a¸sa cum rezult˘a din relatiile
v(x,0) = v(x,π) = 0
v se anuleaz˘a pe frontiera lui D. De¸si func¸tia v ˆındepline¸ste principiul de maxim, nu ˆı¸si atinge maximul pe frontier˘a. Observ˘am c˘a
cˆand x → +∞.
Pentru a ob¸tine o teorema de unicitate pentru domenii nem˘arginite, o condi¸tie suplimentara a comportamentului lui v trebuie s˘a fie specificata. De exemplu, dac˘a limit˘a lui v cˆand x2 +y2 → ∞ este prescris˘a, atunci limit˘a lui u = v1 − v2 cˆand x2 + y2 → ∞ este zero ¸si putem deduce rezultatul legat de unicitate. Vom arat˘aˆın sec¸tiunea 9 c˘a niste condi¸tii mult mai slabe la infinit asigura rezultatul de unicitate.
Demonstra¸tia unicitatii solu¸tiei problemei Dirichlet pentru ecua¸tia lui Laplace ˆın orice num˘ar de variabile este la fel ca demonstra¸tia anterioar˘a dat˘a ˆın cazul doi-dimensional.
Pentru un domeniu D n-dimensional cu frontiera ∂D, consider˘am acum problema determin˘arii unei func¸tii v(x) = v(x1,x2,…,xn) care verific˘aˆın D ecua¸tia
¸si punem condi¸tiile la frontier˘a
unde ∂/∂ν este o derivat˘a direc¸tional˘a exterioar˘a ˆın fiecara punct pe Γ1. Presupunem c˘a operatorul L este eliptic ˆın D ¸si c˘a Γ1 ¸si Γ2 sunt mul¸timi disjuncte a caror reuniune contine ∂D, frontiera lui D. Mul¸timile Γ1 ¸si Γ2 pot consta dintr-un num˘ar de buc˘a¸ti separate ¸si nu excludem posibilitatea ca oricare din Γ1 sau Γ2 s˘a fie vide.
TEOREMA 9.
Presupunem c˘a v1 ¸si v2 satisfac (3) ¸si (4) ˆıntr-un domeniu m˘arginit D. Presupunem c˘a fiecare punct al lui Γ1 se afl˘a pe frontiera unei bile ˆın D. Dac˘a L este uniform eliptic, h(x) ≤ 0 este m˘arginit˘a ¸si α(x) ≥ 0, atunci v1 ≡ v2, exceptˆand cazul cˆand h ≡ α ≡ 0 ¸si Γ2 este vida, caz ˆın care v1 − v2 trebuie s˘a fie constant˘a.
Demonstra¸tie. Definim u = v1 − v2. Atunci u satisface
Dac˘a u ar fi pozitiv˘a, ar avea un punct de maxim pozitiv. Conform teoremei 6, acest maxim trebuie s˘a apara ˆıntr-un punct P al lui Γ1. Dac˘a u nu este constant˘a, ∂u/∂ν > 0 ˆın P conform teoremei 8, contrazicˆand prima condi¸tie din (6). Astfel ori u este constant˘a, ori u ≤ 0 in D. Aplicˆandu-i acela¸si argument lui (−u), vedem c˘a u trebuie s˘a fie constant˘a.
Dar nicio constant˘a ˆın afar˘a de 0 satisface (5) ¸si (6) doar dac˘a nu cumva h ≡ α ≡ 0 ¸si Γ2 este vida, caz ˆın care orice constant˘a le satisface.
Cˆand Γ1 este vida, teorema 9 stabile¸ste un rezultat de unicitate pentru problema Dirichlet. Dac˘a Γ2 e vida, α ≡ 0 ¸si ∂/∂ν este derivata conormal˘a, numim problema (3), (4) problema Neumann sau a doua problem˘a cu condi¸tii la frontier˘a. Teorema 9 stabile¸ste unicitatea solu¸tiei (pˆan˘a la adunarea cu o constant˘a dac˘a h ≡ 0) pentru aceast˘a problem˘a. Dac˘a α nu se anuleaz˘a identic, avem a treia problem˘a cu condi¸tii la frontier˘a. Dac˘a nici Γ1, nici Γ2 nu sunt vide, spunem de obicei c˘a problema este una cu condi¸tii mixte la frontier˘a.
Ca ˆın cazul ecua¸tiei lui Laplace, o teorema de unicitate pentru ecua¸tia (3) cˆand domeniul este nem˘arginit necesit˘a o ipoteza suplimentara a comportamentului solu¸tiilor cˆand tinde la infinit.
3.5 Principiul de maxim generalizat
Condi¸tia h(x) ≤ 0 din teorema 8 nu poate fi indepartata complet. De exemplu, func¸tia
u = sinxsiny
este solu¸tie a ecua¸tiei
ˆın p˘atratul S : 0 < x < π, 0 < y < π ¸si u satisface condi¸tia la frontier˘a
u = 0 pe ∂S.
Evident, u ˆı¸si atinge maximul ˆıntr-un punct interior.
Ca ˆın capitolul 2, metodele folosite ca s˘a demonstram un principiu de maxim cu h ≤ 0 pot fi extinse pentru a stabili un principiu de maxim generalizat. Teoreme de unicitate pentru probleme cu condi¸tii la frontier˘a sunt atunci o consecin¸t˘a direct˘a a acestui principiu. Presupunem c˘a u(x) satisface
ˆıntr-un domeniu D unde L este uniform eliptic. Nu presupunem c˘a h este nepozitiv˘a. Fie w(x) o func¸tie dat˘a, pozitiv˘a pe D ∪ ∂D ¸si definim
.
Calculul arat˘a c˘a
ˆın D. Atunci, dac˘a w satisface inegalitatea
(L + h)[w] ≤ 0
ˆın D, putem aplica principiul de maxim datˆın teoremele 6 ¸si 8 func¸tiei v(x), obtinˆand astfel urm˘atoarea teorema.
TEOREMA 10.
Fie u(x) care satisface inegalitatea diferen¸tial˘a (1)ˆıntr-un domeniu D unde L este uniform eliptic. Dac˘a exist˘a o func¸tie w(x) astfel
ˆıncat
w(x) > 0 pe D ∪ ∂D, (2)
(L + h)[w] ≤ 0 pe D, (3)
atunci u(x)/w(x) nu poate atinge un maxim nenegativ ˆın D cu excep¸tia cazului cˆand este o constant˘a. Dac˘a u(x)/w(x) isi atinge maximul nenegativ ˆıntr-un punct P pe ∂D care se afl˘a pe frontiera unei bile ˆın D ¸si dac˘a func¸tia u/w nu e constant˘a, atunci
unde ∂/∂ν este orice derivat˘a direc¸tional˘a exterioar˘a.
Dac˘a exist˘a o func¸tie w cu propriet˘a¸tile respective ¸si dac˘a u = 0 pe ∂D, atunci teorema 10 implica unicitatea solu¸tiilor primei probleme la frontier˘a. Afirm˘am aceast˘a concluzie ˆın teorema urm˘atoara.
TEOREMA 11.
Dac˘a exist˘a o func¸tie w(x) > 0 pe D ∪ ∂D astfel ˆıncat (L + h)[w] ≤ 0
ˆın D ¸si dac˘a D este m˘arginit, atunci problema
are cel mult o solu¸tie.
Bineinteles, nu este ˆıntotdeauna posibil s˘a g˘asim o func¸tie w satisf˘acˆand condi¸tiile din teoremele 10 ¸si 11. ˆIn exemplul dat laˆınceputul acestei sectiuni, vedem c˘a func¸tia u = csinxsiny, unde c este o constant˘a oarecare, este o solu¸tie a ecua¸tiei (∂2u/∂x2) + (∂2u/∂y2) + 2u = 0 ˆın p˘atratul 0 < x < π, 0 < y < π care satisface condi¸tia u = 0 pe frontier˘a. De aici rezult˘a c˘a solu¸tia nu e unic˘a ¸si de aceea nicio func¸tie w nu poate exista pentru aceast˘a problem˘a.
Dam acum o metoda specifica pentru determinarea unei func¸tii w(x) avˆand propriet˘a¸tile (2) ¸si (3) tinˆand cont de faptul ca domeniul D este con¸tinutˆıntr-o dala suficient de ingusta, m˘arginit˘a de dou˘a hiperplane paralele. Presupunem c˘a domeniul m˘arginit D este con¸tinut ˆıntr-o dala a < x1 < b, unde x1 este prima coordonata a lui x = (x1,x2,…,xn); stabilim
w(x) = 1 − βeα(x1−a). (4)
Numerele α ¸si β trebuie alese astfel ˆıncˆat s˘a respecte relatiile (2) ¸si (3). Evalu˘am
(L + h)[w] = −β[α2a11(x) + αb1(x) + h(x)]eα(x1−a) + h(x).
Tinˆand cont de ipoteza referitoare la elipticitatea uniforma, a11(x) ≥ µ0.
Presupunem c˘a h(x) este m˘arginit˘a ¸si c˘a b1(x) este m˘arginit˘a inferior; adic˘a
−m ≤ h(x) ≤ M,
−m ≤ b1(x),
unde m ¸si M sunt nenegativi. Alegem α suficient de mare ˆıncat
α2µ0 − (α + 1)m > 0.
Apoi alegem
Tinˆand cont de aceste lucruri,
(L + h)[w] ≤ 0 pe D ∪ ∂D.
Totu¸si, pentru a ne asigura c˘a w > 0 pe D ∪ ∂D, trebuie s˘a avem
βeα(b−a) < 1.
Adic˘a inegalitatea
M < [α2µ0 − (α + 1)m]e−alpha(b−a) (6)
trebuie s˘a fie ˆındeplinita. Suntem ˆınc˘a liberi s˘a cre¸stem valoarea lui α dac˘a dorim. Putem alege α astfel ˆıncˆat membrul drept al relatiei (6) este un maxim. Observ˘am c˘a membrul drept cre¸ste ˆın timp ce b − a scade. De asemenea, condi¸tia (6) devine mai pu¸tin restrictiv˘a pe m˘asur˘a ce M, maximul lui h(x) devine mai mic. Principiul de maxim din teorema 10 tine pentru w(x) dat de relatia (4) oricˆand α ¸si β satisfac (5) ¸si (6). Prin urmare, dˆanduse operatorul L + h, exist˘a ˆıntotdeauna un num˘ar b − a astfel ˆıncat dac˘a D ∪ ∂D se afl˘a ˆıntr-o fˆa¸sie cu latimea b − a, prima problem˘a la frontier˘a are o solu¸tie unic˘a. Alternativ, condi¸tia (6) afirm˘a c˘a, pentru orice domeniu m˘arginit D ∪ ∂D, dac˘a maximul pozitiv M al lui h(x) este suficient de mic, atunci solu¸tia primei probleme la frontier˘a este unic˘a. Evident, latimea b−a a fˆa¸siei poate fi ˆın orice direc¸tie, din moment ce o rotatie de coordonate face aceast˘a direc¸tie direc¸tia x1.
Unicitatea solu¸tiilor altor probleme cu valoare la frontier˘a poate de asemenea fi demonstrat˘a prin mijloace ale principiului de maxim generalizat. Fie u o solu¸tie a
ˆıntr-un domeniu D. Presupunem c˘a u satisface condi¸tiile la frontier˘a
,
unde frontiera ∂D este compusa din partile Γ1 ¸si Γ2 ¸si unde ∂u/∂ν este orice derivat˘a direc¸tional˘a exterioar˘a. Presupunem din nou c˘a fiecare punct al lui Γ1 se afl˘a pe frontiera unei bile din D. Fie w(x) pozitiv˘a pe D∪∂D ¸si definim
.
Atunci v satisface
ˆın D; de asemenea, v satisface condi¸tiile la frontier˘a
,
Prin teorema 9, descoperim c˘a , dac˘a (L + h)[w] ≤ 0 ˆın D ¸si (∂w/∂ν) + α(x)w ≥ 0 pe Γ1, atunci v ≡ 0 ˆın D doar dac˘a:
(L + h)([w] ≡ 0),
(∂w/∂ν + α(x)w ≡ 0) pe Γ1 ¸si
Γ2 e vida, caz ˆın care v poate fi orice constant˘a.
Argumentul anterior stabile¸ste urm˘atoarea teorem˘a general˘a de unicitate.
TEOREMA 12.
Presupunem c˘a exist˘a o func¸tie w(x) > 0 pe D ∪ ∂D astfel ˆıncat
(L + h)[w] ≤ 0 pe domeniul D
¸si
,
unde frontiera ∂D este compusa din dou˘a parti Γ1 ¸si Γ2. Presupunem c˘a fiecare punct al lui Γ1 se afl˘a pe frontiera unei bile incluse ˆın D ¸si ca D este m˘arginit. Atunci exist˘a cel mult o solu¸tie u(x) a problemei
,
cu excep¸tia cazului cˆand
(L + h)[w] ≡ 0,
(∂w/∂ν) + α(x)w ≡ 0 pe Γ1 ¸si
Γ2 este vida, caz ˆın care u este determinat in func¸tie de o constant˘a multiplu de w.
Teorema 12 rezult˘a din faptul ca, dac˘a z1 ¸si z2 sunt dou˘a solu¸tii, atunci (z1 − z2)/w satisface principiul de maxim. Observ˘am c˘a teorema 12 contine teorema 11 ca un caz special (cˆand Γ1 este vida).
Existenta lui w(x) satisf˘acˆand condi¸tiile ceruteˆınseamn˘a c˘a nu este nevoie de presupuneri speciale referitoare la h(x) ¸si α(x).
3.6 Aproximarea ˆın probleme cu condi¸tii la frontier˘a
Fie u(x) o solu¸tie a problemei
(L + h)[u] = f(x) pe D (1)
care satisface condi¸tiile la frontier˘a
Ca de obicei, presupunem c˘a L este uniform eliptic, c˘a Γ1 ∪ Γ2 contine frontiera ∂D ¸si c˘a ∂u/∂ν este o derivat˘a direc¸tional˘a exterioar˘a ˆın fiecare punct al lui Γ1. Mai mult, fiecare punct al lui Γ1 se afla pe frontiera unei bile con¸tinute ˆın D ¸si D este m˘arginit.
Principiul de maxim poate fi folosit pentru a ob¸tine margini pentru solu¸tiile problemelor (1) ¸si (2). Metoda pe care o folosim este o prelungire naturala a celei folosite ˆın sec¸tiunea 5 a capitolului 2 pentru solu¸tii ale ecua¸tiilor diferen¸tiale ordinare. Presupunem c˘a L, h ¸si D sunt astfel ˆıncˆat exist˘a o func¸tie w(x), pozitiv˘a pe D ∪ ∂D cu propriet˘a¸tile:
.
(Dac˘a h(x) ≤ 0 ¸si α(x) ≥ 0, atunci w(x) ≡ 1 are propriet˘a¸tile dorite.)
Acum presupunem c˘a o func¸tie z1(x) poate fi g˘asit˘a astfel ˆıncˆat s˘a satisfac˘a inegalit˘a¸tile:
ˆIn aceste circumstante, func¸tia
satisface cele trei inegalit˘a¸ti:
Conform teoremei 6, dac˘a v nu este identic constant˘a, aceast˘a poate avea numai un maxim nenegativ ˆıntr-un punct de pe frontier˘a. Din teorema 8, v nu poate avea un maxim nenegativ pe Γ1 decˆat dac˘a e constant˘a. Dac˘a Γ2 este vida, dac˘a (∂w/∂ν)+αw ≡ 0 pe Γ1 ¸si dac˘a (L+h)[w] ≡ 0 ˆın D, atunci v ≡ constant˘a satisface toate condi¸tiile necesare. ˆIn toate celelalte cazuri concluzion˘am c˘a v ≤ 0 astfel ˆıncat
u(x) ≤ z1(x) pe D.
Cu alte cuvinte, o func¸tie z1(x) satisf˘acˆand (3) ¸si (4) furnizeaza o margine superioar˘a pentru u.
Pentru a ob¸tine o margine inferioar˘a presupunem c˘a poate fi g˘asit˘a o func¸tie z2(x) care satisface inegalit˘a¸tile:
Definind v = (z2 − u)/w ¸si rationˆand ˆın acela¸si fel ca pentru z1, ob¸tinem
z2(x) ≤ u(x) pe D.
TEOREMA 13.
Presupunem c˘a exist˘a o func¸tie w > 0 pe D ∪ ∂D astfel ˆıncat
(L + h)[w] ≤ 0 ˆın D,
,
unde L este uniform eliptic ¸si (∂u/∂ν) este o derivat˘a direc¸tional˘a exterioar˘a. Presupunem c˘a cele trei condi¸tii:
(∂w/∂ν) + α(x)w ≡ 0 pe Γ1,
(L + h)[w] ≡ 0 ˆın D ¸si (iii) Γ2 e vida nu sunt toate valabile. Dac˘a z1(x) ¸si z2(x) satisfac (3), (4) ¸si (5), (6), respectiv, atunci solu¸tia u a problemei (1), (2) satisface inegalit˘a¸tile
z2(x) ≤ u(x) ≤ z1(x) pe domeniul D.
Observa¸tie. Teorema 12 este o consecin¸t˘a imediat˘a a teoremei 13. Dac˘a u ¸si u sunt amandou˘a solu¸tii ale problemei (1), (2), putem pune z1 = z2 = u ¸si aplica teorema 13 pentru a ob¸tine u ≤ u ≤ u, astfel ˆıncˆat u = u.
Ca ¸si ˆın cazul unu-dimensional, putem elimina func¸tia straina w din teorema 13. Dac˘a avem o func¸tie z1 care satisface (3), (4) ¸si o func¸tie z2 care satisface (5), (6) astfel ˆıncˆat nu toate inegalit˘a¸tile date de (3), (4), (5) ¸si (6) nu sunt identit˘a¸ti ¸si dac˘a z1 ≥ z2, atunci putem construi o func¸tie w astfel ˆıncˆat teorema 13 r˘amˆane valabil˘a.
Dac˘a z1 > z2, putem lua w = z1 − z2. Dac˘a q ≡ z1 − z2 ≥ 0, atunci q nu se poate anula ˆın puncte interioare sau pe Γ1. Dac˘a q = 0 pe o parte a lui Γ2, putem alege w = q + εr, unde r este solu¸tia problemei
(L + h)[r] = 0 ˆın D,
= 0 pe Γ1, r = 1 pe Γ2.
¸si ε este ales suficient de mic pentru ca w > 0 pe D ∪∂D. Existenta func¸tiei r rezult˘a dac˘a presupunem c˘a problema (1), (2) poate fi rezolvat˘a pentru valori la frontier˘a continue arbitrare g2(x).
TEOREMA 14.
Fie z1 ¸si z2 satisf˘acˆand condi¸tiile (3), (4) ¸si (5), (6), respectiv, astfel
ˆıncˆat identit˘a¸tile nu au loc pentru toate simultan. Dac˘a problema (1), (2) are solu¸tii pentru valori la frontier˘a continue arbitrare g2(x) ¸si dac˘a u este solu¸tia problemei particulare (1), (2), atunci marginile
z2 ≤ u ≤ z1
sunt justificate dac˘a ¸si numai dac˘a z1 ≥ z2.
Presupunem acum c˘a exist˘a o func¸tie pozitiv˘a w care satisface inegalit˘a¸tile
care sunt mai tari decˆat cele cerute de teorema 13. Dac˘a u este solu¸tia problemei (1), (2) ¸si dac˘a definim
atunci teorema 13 arat˘a c˘a
|u(x)| ≤ Aw(x).
Dac˘a u este solu¸tia problemei
argumentul anterior arat˘a c˘a
ˆın orice punt din D. ˆIn particular, dac˘a f − f, g1 − g1 ¸si g2 − g2 sunt mici uniform, atunci ¸si diferenta u−u este uniform mica. Cu alte cuvinte, solu¸tia problemei (1), (2) depinde continuu de date.
Dac˘a teorema 13 este valabil˘a ¸si dac˘a problema (1), (2) poate fi rezolvat˘a pentru date continue arbitrare, solu¸tia problemei
satisface inegalit˘a¸tile (7). Astfel vedem c˘a solu¸tia problemei (1), (2) depinde continuu de date, oricˆand problema poate fi rezolvat˘a pentru date arbitrare continue ¸si teorema 13 r˘amˆane valabil˘a.
Pentru a folosi inegalitatea (8) la m˘arginirea erorii f˘acute aproximˆand u cu u este necesar s˘a g˘asim o func¸tie explicit˘a w care satisface inegalit˘a¸tile (7).
3.7 Identit˘a¸tile lui Green ¸si func¸tia lui Green
DEFINIT¸IE. Spunem c˘a o suprafa¸t˘a frontier˘a ∂D este neted˘a pe por¸tiuni dac˘a este formata dintr-un num˘ar finit de buc˘a¸ti unde una dintre coordonate reprezentˆand o parte din suprafa¸t˘a poate fi exprimat˘a ca o func¸tie continu˘a diferen¸tiabil˘a de celelalte dou˘a coordonate. O asemenea suprafa¸t˘a poate avea un num˘ar finit de muchii ¸si vˆarfuri care conecteaza piesele netede.
Fie D un domeniu m˘arginitˆın spa¸tiul tridimensional cu frontiera ∂D neted˘a pe por¸tiuni. Presupunem c˘a w este un camp de vectori neted definit ˆıntro mul¸time deschis˘a continˆand d ∪ ∂D ¸si c˘a n este vectorul unitar exterior normal la suprafa¸ta-frontiera¸ ∂D. Teorema de divergen¸t˘a spune c˘a
(3.1)
unde dV este elementul volum ˆın D ¸si dS este un element al suprafetei lui ∂D. Fie u ¸si v func¸tii scalare definite pe D ∪ ∂D, suficient de netede
ˆıncat operatorul de diferentiere ¸si integrare s˘a fie aplicat ¸siˆıntotdeauna valid. Alegem w = v gradu. Atunci formula (3.1) devine
Z Z
[v div gradu + gradv · gradu]dV = v gradu · ndS. (3.2)
D ∂D
Folosim identitatea
∆u = div gradu
¸si nota¸tia ∂u/∂n = gradu · n pentru a scrie (3.2) sub forma
(3.3)
Ecua¸tia (3.3) e cunoscuta ca prima identitate a lui Green. Interschimbˆand u ¸si v ˆın (3.3), ob¸tinem
Scazˆand aceast˘a ecua¸tie din (3.3), ob¸tinem a doua identitate a lui Green:
(3.4)
Cu ajutorul celor dou˘a identit˘a¸ti ale lui Green, deducem imediat cˆateva lucruri interesante.
TEOREMA 15.
Dac˘a u e armonic˘a ˆıntr-un domeniu m˘arginit D ¸si diferen¸tiabil˘a continu˘a pe inchiderea D ∪ ∂D, atunci
, (3.5)
unde ∂/∂n este derivata ˆın direc¸tia normal˘a la ∂D.
Demonstra¸tie. Luˆand v ≡ 1 ˆın (3.3), observ˘am c˘a gradv ≡ 0 ¸si deci (3.5) rezulta direct.
Dac˘a u este func¸tie armonic˘a, atunci prima identitate a lui Green produce teoreme de unicitate similare celor ob¸tinute in sec¸tiunea 4. De exemplu, dac˘a alegem v ≡ u, atunci (3.3) devine (cu u armonic˘a)
Dac˘a, ˆın plus, u se anuleaz˘a pe ∂D, atunci membrul drept e zero. Din moment ce |gradu|2 esteˆıntotdeauna nenegativ, acesta trebuie s˘a se anuleze ˆın D. Deci u ≡ 0 ˆın D. Acela¸si ra¸tionament arat˘a c˘a dac˘a ∂u/∂n ≡ 0 pe ∂D, atunci u trebuie s˘a fie constant˘a ˆın D. ˆIn timp ce identit˘a¸tile lui Green produc teoreme de unicitate simplu ¸si rapid, rezultatele comparabile ob¸tinute folosind principiul de maxim impun ipoteze mai pu¸tin restrictive asupra func¸tiei ¸si domeniului.
Prin intermediul formulei (3.4), vom ob¸tine o formula importanta de reprezentare pentru func¸tii de clas˘a C2 definite ˆıntr-un domeniu D ˆın spa¸tiul euclidian tridimensional. Consider˘am daoua puncte P(x,y,z) ¸si Q(ξ,η,ζ) ¸si not˘am distanta euclidiana dintre ele cu rPQ; adic˘a
rPQ2 = (x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2.
Un calcul simplu arat˘a c˘a
= 0 oricˆand P 6= Q.
Calculˆand Laplacianul lui rPQ−1 , presupunem Q fixat ¸si c˘a diferentierea este f˘acut˘a relativ la x, y ¸si z.
Fie Q un punct fixat ˆıntr-un domeniu m˘arginit D ¸si presupunem c˘a ψ(x,y,z) este armonic˘a ˆın D. Definim func¸tia
,
care este armonic˘a ˆın D exceptˆand P = Q. Am vrea s˘a aplic˘am a dou˘a identitate a lui Green func¸tiei W. Din moment ce W este ¸singulara ˆın Q, excludem acest punct construind domeniul D−Dρ, unde Dρ este bila de raza ρ centrata ˆın Q. Folosind (3.4) ˆın domeniul D − Dρ cu v = W ¸si u o func¸tie dat˘a de clas˘a C2, ob¸tinem
Frontiera lui Dρ este sfera de raza ρ ¸si centru Q. Prin urmare derivata normal˘a la Dρ orientata spre exteriorul lui D − Dρ este derivata radial˘a interioara. Ob¸tinem
74
Consider˘amˆıntˆai integrala peste ∂Dρ din (3.6). Introducˆand valoarea pentru W ¸si folosind coordonate sferice centrate ˆın Q, ob¸tinem
(3.7)
Ultima integrala din drapta lui (3.7) poate fi transformata prin a doua identitate a lui Green aplicat˘a bilei Dρ. Din moment ce ψ este armonic˘a, ob¸tinem (3.8)
ˆIn toate integralele anterioare, suntem interesati de comportamentul lor cˆand raza ρ a bilei Dρ tinde la zero. Datorita faptului c˘a ψ ¸si ∆u sunt m˘arginite in Dρ, concluzion˘am din (3.8) ca
. (3.9)
Consider˘am separat cele dou˘a p˘ar¸tiale primei integrale din membrul drept al lui (3.7). Din moment ce |gradu| e m˘arginit s˘a zicem de M, avem
Deci
. (3.10)
Din moment ce punctul Q e fixat, putem scrie
¸si, pentru c˘a u e continu˘a ˆın Q,
.
Conchidem c˘a
(3.11)
Cˆand ρ → 0 ˆın (3.6), folosind (3.7), (3.9), (3.10) ¸si (3.11) ob¸tinem formula de reprezentare cunoscuta c˘a a treia identitate a lui Green:
(3.12)
Observ˘am c˘a aceast˘a formula este destul de arbitrara din moment ce func¸tia armonic˘a ψ eˆınc˘a la dispozitia noastra. De obicei, a treia formula a lui Green apare cu ψ ≡ 0, caz ˆın care W = 1/4πrPQ.
Formula (3.12) de reprezentare poate fi folosit˘a la rezolvarea primei probleme cu condi¸tii la limit˘a pentru operatorul Laplace. Fie u solu¸tia problemei
Atunci formula (3.12) devine
(3.15)
Membrul drept al lui (3.15) e cunoscut, exeptand termenul care contine ∂u/∂n. Pentru a elimina acest termen, folosim func¸tia armonic˘a ψ ˆın expresia lui W, func¸tie care este ˆınc˘a la dispozitia noastra. Alegem ψ astfel ˆıncˆat W se anuleaz˘a pe ∂D; adic˘a rezolvam problema
∆ψ = 0 ˆın D
1(3.16) pe
Cu aceast˘a alegera a lui ψ (care, observ˘am, depinde de Q ca parametru) ajungem la defini¸tia urm˘atoare.
DEFINIT¸IE. Fie D un domeniu m˘arginit ¸si Q un punct fixat ˆın D. Func¸tia (1/4πrPQ) + ψ(P) cu propriet˘a¸tile: (i) ψ este armonic˘a pe D,
(ii) (a/4πrPQ) + ψ se anuleaz˘a pe ∂D se numeste func¸tia lui Green pe D relativ la ecua¸tia lui Laplace.
Not˘am func¸tia lui Green cu G(x,y,z;ξ,η,ζ) sau G(P;Q). Cˆand func¸tia lui Green e folosit˘a pentru W in (3.15), ob¸tinem
.
Indicele P de mai sus arat˘a c˘a diferentierea ¸si integrarea sunt f˘acute relativ la punctul P(x,y,z).
E natural s˘a apar˘a ˆıntrebarea dac˘a o func¸tie a lui Green exist˘a pentru toate domeniile ¸si, dac˘a e asa, dac˘a poate fi determinat˘a ˆın mod explicit. Existenta unei func¸tii a lui Green e echivalenta cu solvabilitatea problemei (3.16). De¸si se poate ar˘ata c˘a func¸tia lui Green exist˘a pentru o clas˘a larg˘a de domenii, sunt numai cˆateva domenii speciale ˆın care formula explicit˘a a func¸tiei este cunoscuta. Interesul de baz˘a ˆın func¸tia lui Green rezult˘a din informatia pe care o produce despre propriet˘a¸ti ale solu¸tiilor primei probleme cu condi¸tii la limit˘a.
Din defini¸tia func¸tiei lui Green stim c˘a
G(P;Q) → +∞ cˆand P → Q.
De aceea, dac˘a Dρ este o bila suficient de mica centrat˘a ˆın Q, func¸tia lui Green pentru un domeniu D care contine bila Dρ va fi pozitiv˘a pe ∂Dρ. Din moment ce G este armonic˘a ˆın D − Dρ, pozitiv˘a pe ∂Dρ ¸si egala cu zero pe
∂D, rezult˘a din principiul de maxim c˘a G e pozitiv˘a ˆın D − Dρ. Deci G > 0 ˆın D cu excep¸tia lui Q, unde nu este definit˘a. Minimul lui G e zero ¸si este atins ˆın fiecare punct din ∂D. Din teorema 7 ob¸tinem c˘a derivata normal˘a exterioar˘a a lui G este negativ˘a ˆın fiecare punct P de pe frontier˘a, care se afl˘a pe frontiera unei bile in D. Astfel, ca o consecin¸t˘a direct˘a a principiului de maxim, concluzion˘am c˘a , pentru orice domeniu m˘arginit ˆın care func¸tia lui Green e definit˘a,
Abordam acum problema cu condi¸tii la limit˘a mai general˘a
∆u = f(x,y,z) ˆın D, (3.17)
)
∂n ) pe Γ1, (3.18)
u = g2(x,y,z) pe Γ2,
unde α ≥ 0 ¸si Γ1 ∪ Γ2 = ∂D.
Observa¸tie. Func¸tia lui Green depinde nu numai de domeniul D ¸si de operatorul diferen¸tial, ci ¸si de condi¸tiile la limit˘a impuse. Pˆan˘a acum am considerat numai condi¸tia G = 0 pe ∂D, corespunz˘atoare primei probleme cu condi¸tii la limit˘a. Totu¸si, fiecare tip de condi¸tii la limit˘a produce o func¸tie a lui Green. Pentru tipuri speciale de condi¸tii la limit˘a, func¸tiile corespunz˘atoare sunt frecvent asociate cu numele lui Neumann ¸si Robin.
Caˆın cazul problemei cu condi¸tii la limit˘a (3.13), (3.14), putem defini func¸tia lui Green pentru problema cu condi¸tii la limit˘a (3.17), (3.18). Facem acest lucru rezolvˆand o problem˘a de tipul (3.17), (3.18) pentru o func¸tie ψ. Determin˘am ψ(x,y,z) astfel ˆıncat
pe Γ1,
pe Γ2.
Dac˘a putem g˘asi o func¸tie ψ care ˆındepline¸ste condi¸tiile anterioare, definim
ca fiind func¸tia lui Green pentru problema (3.17), (3.18). Alegˆand aceast˘a func¸tie a lui Green pentru W ˆın a treia identitate a lui Green (3.12), ob¸tinem formula solu¸tiei pentru (3.17), (3.18):
.
Aici putem folosi din nou principiul de maxim pentru a ar˘ata c˘a problema
(3.17), (3.18) satisface
G >
(3.20)
Reciproc, propriet˘a¸tile de mai sus ale func¸tiei lui Green ne permit s˘a trecem cu vederea propriet˘a¸ti ale solu¸tiei u a problemei (3.17), (3.18) din formula (3.19). De exemplu, dac˘a f ≤ 0 ˆın D, g1 ≥ 0 pe Γ1 ¸si g2 ≥ 0 pe Γ2, atunci (3.19) ¸si (3.20) arat˘a c˘a u ≤ 0ˆın D. Mai mult, dac˘a f, g1 ¸si g2 nu sunt toate identic egale cu zero, atunci u > 0 ˆın D.
Rezultatele precedente pentru func¸tii armonice pot fi extinse la solu¸tii ale ecua¸tiilor eliptice generale de ordinul al doilea in orice num˘ar de variabile independente. Consider˘am problema g˘asirii unei func¸tii u care satisface
) (3.21) ˆIntr-un domeniu m˘arginit D ¸si care ˆındepline¸ste condi¸tiile la frontier˘a
)
∂ν ) pe Γ1, (3.22) u = g2(x) pe Γ2.
Presupunem c˘a Γ1 ∪ Γ2 = D ¸si c˘a fiecare punct din Γ1 e pe frontiera unei bile din D. Derivata ∂/∂ν este derivata conormal˘a, definit˘a de
.
Dac˘a, ˆın particular, L = ∆ ¸si h(x) ≡ 0, atunci extinderea rezultatului din aceast˘a sec¸tiune la n variabile independente, n > 2, este imediat˘a. Din cauza invarian¸tei derivarii lor, observ˘am c˘a prima ¸si a doua identitate ale lui Green sunt valabile f˘ar˘a schimbare ˆın orice num˘ar de dimensiuni. Pentru a ob¸tine func¸tia lui Green pentru operatorul Laplace in n dimensiuni, n > 3, ˆınlocuim (1/4πrPQ) folosit˘a cˆand n = 3 cu func¸tia (1 ), unde ωn este suprafa¸ta sferei unitate ˆın n dimensiuni ¸si rPQ e distanta euclidiana de la P la Q ˆın spa¸tiul n-dimensional. Un calcul arat˘a c˘a ∆(a/rPQn−2) = 0 pentru P 6= Q ¸si ce r˘amˆane din derivarea celei de-a treia identit˘a¸ti a lui Green se trateaz˘a caˆın cazul n = 3. ˆIn cazul doi-dimensional e necesara o considera¸tie special˘a ¸si folosim func¸tia (a/2π)log(a/rPQ) ˆın loc de (1
Pentru un operator general L, definim func¸tia lui Green G pentru problema (3.21), (3.22) cu propriet˘a¸tile:
e o func¸tie de Q m˘arginit˘a ¸si are o limit˘a inferioar˘a poz-
itiv˘a pentru Q aproape de P.
(LQ +h(Q))[G(P;Q)] = 0 ˆın D pentru Q 6= P. Nota¸tia LQ ˆınseamn˘a c˘a aplic˘am operatorul L coordonatelor (ξ1,ξ2,…,ξn) ale lui Q ˆın G(P;Q) ¸si p˘astr˘am P(x1,x2,…,xn) fixat.
∂G/∂νQ + α(Q)G(P;Q) = 0 pentru fiecare Q ∈ Γ1 ¸si pentru fiecare punct P fixat ˆın D. Diferentierea se face relativ la ξ.
G(P;Q) = 0 pentru Q ∈ Γ2 ¸si pentru fiecare P ∈ D.
Se poate ar˘ata c˘a func¸tia lui Green cu propriet˘a¸tile (i)-(iv) exist˘a pentru un operator L ˆıntr-un domeniu D dac˘a to¸ti coeficien¸tii lui L ¸si frontiera lui D sunt suficient de netezi ¸si dac˘a problema (3.21), (3.22) are o solu¸tie unic˘a pentru date arbitrare. ˆIn aceste circumstante, identit˘a¸tile lui Green pot fi derivate ¸si o solu¸tie u(ξ) a problemei (3.21), (3.22) este dat˘a de formula
.
Tinˆand cont de condi¸tia (i) pentru func¸tia lui Green, vedem c˘a G este pozitiv˘a pe o sfera suficient de mica Dρ de raza ρˆın jurul punctului P. Atunci pentru Q ∈ D −Dρ avem (L+h)[G] = 0, (∂G/∂ν)+αG = 0 pe Γ1 ¸si G ≥ 0 pe Γ2 ∪ ∂Drho. Acum presupunem c˘a exist˘a o func¸tie w > 0 definit˘a pe D ∪ ∂D care satisface ipotezele teoremei 13. Atunci putem aplica principiul de maxim pentru G/w ˆın D − Dρ ¸si s˘a concluzion˘am c˘a G > 0 ˆın D − Dρ. Lasˆand ρ → 0, ob¸tinem G > 0 ˆın D. Mai mult, g˘asim c˘a G = 0 pentru P pe Γ2 ¸si deci c˘a ∂G/∂νP ≤ 0 pe Γ2. Reciproc, dac˘a func¸tia lui Green are aceste propriet˘a¸ti, vedem din formula solu¸tiei (3.23) c˘a problema
(L + h)[w] = −1 ˆın D,
= 1 pe Γ1, w = 1 pe Γ2,
are o solu¸tie care satisface ipoteza teoremei 13. Am ar˘atat astfel urm˘atoarea teorema.
TEOREMA 16.
Limitele din teorema 13 aplicate unei solu¸tii u a lui (3.21), (3.22) sunt valabile dac˘a ¸si numai dac˘a func¸tia lui Green pentru problema este pozitiv˘a ˆın D.
3.8 Valori proprii
Consider˘am problema determin˘arii unei solu¸tii u a ecua¸tiei
ˆıntr-un domeniu D cu u satisf˘acˆand condi¸tiile
Presupunem c˘a Γ1 ∪ Γ2 = ∂D, c˘a k(x) ≥ η > 0 pe D ∪ ∂D, c˘a ∂/∂ν este derivata direc¸tional˘a ˆıntr-o direc¸tie spre exteriorul lui D ¸si c˘a λ este o constant˘a. Ca de obicei, presupunem c˘a fiecare punct al lui Γ1 se afl˘a pe frontiera unei bile ˆın D. Din moment ce u ≡ 0 este ˆıntotdeauna o solu¸tie a problemei (1), (2), ne indreptam aten¸tia asupra solu¸tiilor care nu se anuleaz˘a identic. Numim aceste solu¸tii netriviale.
DEFINIT¸IE. Dac˘a pentru un anumit num˘ar λ exist˘a o solu¸tie netriviala u(x) pentru problema (1), (2), numim aceast˘a valoare a lui λ o valoare proprie; solu¸tia u corespunz˘atoare se numeste func¸tie proprie.
Se poate ˆıntampla ca solu¸tiile lui (1), (2) s˘a existe cˆand valorile proprii sunt numere complexe. Din moment ce coeficien¸tii lui L sunt reali, este evident c˘a func¸tia proprie corespunz˘atoare unei valori proprii complexe va fi o func¸tie de x cu valoare complex˘a.
Vom ar˘ata cum principiul de maxim poate fi folosit pentru a ob¸tine o limit˘a inferioar˘a pentru partea real˘a a oric˘arei valori proprii a lui (1), (2). Folosim nota¸tiile: Re(µ) ¸si Im(µ) reprezint˘a partea real˘a, respectiv, partea imaginar˘a a num˘arului complex µ; µ ≡ Re(µ) − iIm(µ) este conjugatul complex al lui µ; |µ|2 = µµ.
Presupunem c˘a putem g˘asi o func¸tie cu valori reale w(x) care satisface
condi¸tiile
unde β este o constant˘a real˘a. Vom arat˘a c˘a dac˘a λ este o valoare proprie a lui (1), (2), atunci
Re(λ) ≥ β (5)
Asta ˆınseamn˘a c˘a β este o limit˘a inferioar˘a pentru partile reale ale tuturor valorilor proprii ale problemei (1), (2).
Pentru a fundamenta (5), lu˘am u(x) func¸tie proprie a lui (1), (2) corespunz˘atoare lui λ ¸si definim
,
unde w ˆındepline¸ste condi¸tiile (3), (4). Din moment ce u satisface (1), avem
.
Scriem
astfel ˆıncˆat v satisface ecua¸tia
.
Lu˘am conjugatul complex ˆın (6) ¸si vedem c˘a v satisface ecua¸tia
Acum evalu˘am cantitatea L1(|v|2):
.
Din moment ce aij sunt simetrice, avem
.
De asemenea, datorita faptului c˘a L este eliptic, ultima expresie este
ˆıntotdeauna nenegativ˘a. Astfel,
L1[|v|2] ≥ vL1[v] + vL1[v].
ˆInlocuind ˆın aceast˘a expresie din (6) ¸si (7), ob¸tinem
,
sau
.
Dac˘a λ este astfel ˆıncˆat Re(λ) ≤ β, vedem din (3) ¸si (4) ca
L1[|v|2] ≥ 0 pe domeniul D.
Astfel |v|2 satisface un principiu de maxim ˆın D. Din moment ce v = u/w, stim din (2) c˘a v = 0 pe Γ2. De aceea dac˘a |v|2 nu este identic zero, maximul s˘au trebuie s˘a fie atins pe Γ1. Totu¸si, pe Γ1 avem
Cu alte cuvinte, |v|2 satisface pe Γ1 condi¸tia la frontier˘a
Dac˘a w satisface (4) pe Γ1, atunci (8) ¸si principiul de maxim dat ca ˆın teorema 7 din sec¸tiunea 3 arat˘a c˘a |v|2 nu poate avea un maxim pozitiv pe Γ1. De aici v ≡ 0 oricˆand Re(λ) < β. De aceea, o astfel de valoare a lui λ nu poate fi valoare proprie a lui (1), (2). Am ar˘atat c˘a β este o limit˘a inferioar˘a pentru partea real˘a a oric˘arei valori proprii λ.
Pentru o func¸tie pozitiv˘a w care este de dou˘a ori diferen¸tiabil˘a cu diferen¸tial˘a continu˘a ˆın D, cea mai mare valoare a lui β care satisface (3) este
Am stabilit urm˘atorul rezultat:
TEOREMA 17.
Fie λ o valoare proprie a lui (1), (2). Fie w(x) o func¸tie pozitiv˘a pe
D ∪ ∂D care satisface
.
Atunci
Observa¸tii.
Dac˘a figuram toate valorile proprii ale lui (1), (2) in planul complexz = x+iy, atunci teorema 17 arat˘a c˘a toate se afl˘aˆın semiplanul x ≥ β unde β este dat de (9).
Pentru operatorii eliptici de tipul ce care l-am considerat poate fiar˘atat c˘a exist˘a ˆıntotdeauna cel pu¸tin o valoare proprie real˘a care este cea mai micaˆın sensul c˘a nicio alta valoare proprie nu are partea real˘a mai mica.
3.9 Principiul Phragm`en – Lindel¨of
Teoremele de unicitate ¸si de aproximare pe care le-am demonstrat cu ajutorul principiului de maxim se splica domeniilor m˘arginite, dar nu ¸si celor nem˘arginite. De exemplu, func¸tia
u(x,y) = ex siny
satisface ecua¸tia lui Laplace pe fasia |y| < π ¸si se anuleaz˘a pe frontiera y = ±π. Totu¸si, u ia atˆat valori pozitive, cˆat ¸si negative ˆın fasie, astfel ˆıncˆat nici maximul, nici minimul nu sunt atinse pe frontiera. Din moment ce func¸tia u ≡ 0 satisface de asemenea ∆u = 0 ˆın fasia |y| < π, u = 0 pe frontier˘a, teorema de unicitate nu este respectata nici pe acest domeniu nem˘arginit.
ˆIn aceast˘a sec¸tiune vom stabili o clas˘a de principii de maxim pe domenii nem˘arginite impunˆand anumite restic¸ti asupra cre¸sterii func¸tiei la infinit. ˆIn acela¸si timp, vom stabili principii de maxim pentru solu¸tii ˆın domenii m˘arginite unde sunt goluri in prescriptia datelor despre frontier˘a. Astfel de goluri apar adesea cˆand condi¸tia la frontier˘a specificata difera dintr-o parte a frontierei ˆın alta. De exemplu, func¸tia frontierei, u, poate fi specificata pe o por¸tiune Γ2 a lui ∂D, ˆın timp ce combinatia (∂u/∂ν) + αu este specificata peste alta por¸tiune Γ1 a lui ∂D. De¸si avem nevoie ca reuniunea inchiderilor lui Γ1 ¸si Γ2 s˘a contina ∂D, se prea poate ca datele referitoare la frontier˘a s˘a nu fie prescrise de-a lungul frontierei comune lui Γ1 ¸si Γ2. Caˆın Sectiunile 4 ¸si 6, aceste principii de maxim conduc la teoreme de unicitate ¸si de aproximare.
Pentru a ilustra principiul Phragm`en – Lindel¨of, stabilimˆıntˆai un rezultat clasic privind cre¸sterea func¸tiilor subarmonice ˆıntr-un sector nem˘arginit al planului.
Fie D sectorul definit de inegalit˘a¸tile −cx < y < cx, x > 0. Este convenabil s˘a introducem coordonatele polare (r,θ) ¸si s˘a scriem ecua¸tiile frontierei lui D sub forma θ = ±π/2α, unde c = tan(π/2α). Func¸tia
w = rα cosαθ
e armonic˘aˆın sectorul D ¸si se anuleaz˘a pe frontiera lui D. Scriind operatorul
Laplace ˆın coordonate polare,
,
verific˘am cu u¸surin¸t˘a c˘a w este o func¸tie armonic˘a. Astfel avem un exemplu de func¸tie armonic˘a nem˘arginit˘a care se anuleaz˘a peste ˆıntreaga frontier˘a a sectorului ˆın care este definit˘a. Aceast˘a func¸tie tinde la infinit ca rα cˆand r → ∞ pe fiecare raza θ = constant. Teorema Phragm`en – Lindel¨of afirm˘a lucrul urm˘ator: cre¸sterea func¸tiei w cˆand r → ∞ este caracteristica func¸tiilor armonice care sunt nem˘arginite ˆıntr-un sector. Adic˘a orice func¸tie armonic˘a ce se anuleaz˘a pe frontier˘a ¸si nu este identic nula trebuie sa creasca la fel de repede ca rα. Mai mult, dac˘a o func¸tie armonic˘a (sau subarmonic˘a) este m˘arginit˘a de-a lungul ˆıntregii frontiere a unui sector D cu deschiderea de unghi π/α ¸si dac˘a aceast˘a cre¸ste mai lent decˆat rα cˆand r → ∞, atunci nu cre¸ste deloc.
Defini¸tii. Limita inferioar˘a, liminf F(R) este cel mai mic num˘ar a (posibil
R→A
±∞) astfel ˆıncˆat exist˘a o secvent˘a Rn → A pentru care F(Rn) → a.
Limita superioar˘a e definit˘a asemenator, astfelˆıncat limsupF(R) = −liminf[−F(R)].
R→A R→A
TEOREMA 18. (Phragm`en – Lindel¨of). Fie u care satisface inegalitatea
∆u ≥ 0
ˆıntr-un sector D cu deschiderea de unghi π/α. Presupunem c˘a u ≤ M pe frontiera θ = ±π/2α ¸si presupunem c˘a
.
Atunci u ≤ M ˆın D.
Demonstra¸tie. Pentru un num˘ar fixat R, consider˘am domeniul DR m˘arginit de razele θ = π/2α, θ = −π/2α ¸si un arc al cercului r = R. Por¸tiunea DR este con¸tinut˘a ˆın D.
Principalul instrumentˆın demonstra¸tie constaˆın determinarea unei func¸tii armonice ˆın DR care r˘amˆane m˘arginit˘a pe m˘asur˘a ce se departeaza de zero ¸si are o cre¸stere corespunz˘atoare cˆand R → ∞. Aceast˘a func¸tie este folosit˘a ca o func¸tie de comparare ˆın principiul de maxim. O func¸tie avˆand aceste prprietati este
.
Se verific˘a u¸sor c˘a aceast˘a func¸tie e armonic˘a ˆın DR (partea real˘a ¸si cea imaginar˘a ale unei func¸tii analitice de variabila complex˘a z = reiθ sunt armonice; func¸tia wR e partea imaginar˘a a func¸tiei analitice f(z) = i +
); are valoarea 1 pentru θ = ±π/2α, 0 ≤ r < R ¸si are
valoarea 1 + Rα pentru r = R, −(π/2α) < θ < (π/2α). Func¸tia
satisface inegalitatea diferen¸tial˘a
¸si astfel, conform teoremei 5 din sec¸tiunea 3, v satisface un principiu de maxim ˆın DR. Prin ipoteza, v ≤ 0 pe razele θ = ±π/2α, 0 ≤ r < R. De asemenea, pe arcul {r = R,−(π/2α) < θ < (π/2α)}, avem
.
Teorema 5 arat˘a c˘a oricare ar fi (r,θ) ∈ DR,
,
sau
. (3.24)
Fixam (r,θ) ¸si lasam R → ∞. E u¸sor de verificat c˘a wR(r,θ) r˘amˆane m˘arginit˘a. De fapt, regula lui l’Hˆopital duce la
Din ipoteza, exist˘a o secvent˘a de raze Rn, n = 1,2,… tinzˆand la infinit, cu proprietatea c˘a oricare ar fi ε > 0 exist˘a un ˆıntreg N astfel ˆıncˆat (1 +
pentru n ≥ N. Din (3.24) concluzion˘am c˘a u(r,θ) < M + εwRn(r,θ)
ˆın DRn. Din moment ce fiecare punct (r,θ) ∈ D este ˆın DRn, cˆand n este suficient de mare, validam teorema lasˆand ε s˘a tinda la zero ¸si n la infinit.
Observa¸tii.
Putem concluziona acum cu teorema 2 din sec¸tiunea 1 c˘a u < M ˆın D doar dac˘a nu cumva u ≡ M.
Dac˘a D∗ este orice domeniu con¸tinut ˆıntr-un sector cu deschiderea de unghi π/α ¸si dac˘a u este m˘arginit˘a de M pe frontiera lui D∗, atunci demonstra¸tia anterioar˘a produce aceea¸si teorema Phragm`en – Lindel¨of cu acela¸si exponent α, din moment ce 1 ≤ wR ≤ 1 + Rα in ˆıntregul DR.
Acela¸si argument produce rezultatul pentru func¸tii definite ˆıntr-unsemiplan. Lu˘am pur ¸si simplu α = 1; demonstra¸tia e se asemenea valabil˘a ¸si pentru α < 1.
Rezultatul teoremei 18 arat˘a c˘a dac˘a o func¸tie subarmonic˘a definit˘aˆıntr-un sector sau semiplan este nem˘arginit˘a superior, atunci func¸tia trebuie s˘a tinda la infinit cel pu¸tin la fel de rapid ca rα pe o anumit˘a secvent˘a de puncte tinzˆand la infinit.
Argumentul de baz˘a datˆın teorema 18 se aplic˘aˆın mult mai multe situa¸tii generale. Extindem teorema pentru a include nu doar mai multi operatori eliptici generali, ci ¸si domenii m˘arginite, dar ¸si nem˘arginite.
Fie L un operator uniform eliptic de ordinul al doilea definitˆıntr-un domeniu D n-dimensional. Presupunem c˘a u satisface
(L + h(x))[u] ≥ 0 ˆın D, (3.25)
unde h(x) poate fi pozitiv˘a. Domeniul D poate fi m˘arginit sau nem˘arginit. Fie Γ o submul¸time a lui ∂D care poate fi ˆın totalitate ∂D. Presupunem c˘a avem
u ≤ 0 pe Γ.
Vrem s˘a impunem suficiente ipoteze adi¸tionale pentru a concluziona c˘a
u ≤ 0 ˆın D. (3.26)
De exemplu, dac˘a D este sectorul ˆın teorema 18 ¸si Γ = ∂D, atunci condi¸tia de cre¸stere R−α maxu(R,θ) → 0 produce (3.26) pentru cazul L = ∆ ¸si h ≡ 0. Dac˘a Γ = ∂D ¸si D e m˘arginit, atunci (3.26) este rezultatul dat de teorema 10 ˆın sec¸tiunea 5. Astfel, cazurile interesante sunt cele ˆın care ori Γ este o submul¸time adecvata a lui D, ori cˆand D este nem˘arginit˘a.
Avˆand domeniul D ¸si por¸tiunea Γ din ∂D, presupunem c˘a poate fi g˘asit un ¸sir crescator de regiuni m˘arginite D1 ⊂ D2 ⊂ … ⊂ Dk … cu propriet˘a¸tile:
Fiecare Dk e con¸tinut ˆın D; pentru fiecare punct x ∈ D, exist˘a un ˆıntreg N astfel ˆıncˆat x ∈ DN (si deci x ∈ Dk pentru to¸ti k ≥ N).
Frontiera fiecarei regiuni Dk consta ˆın dou˘a parti Γk ¸si Γ0k, unde Γk este o submul¸time a lui Γ ¸si Γ0k este o submul¸time a lui D.
Presupunem c˘a pe fiecare domeniu Dk exist˘a o func¸tie wk(x) cu propriet˘a¸tile
(3.27)
TEOREMA 19. (Principiul Phragm`en – Lindel¨of).
Fie D un domeniu m˘arginit sau nem˘arginit ¸si u care satisface
(L + h)[u] ≥ 0 ˆın D, u ≤ 0 pe Γ,
unde Γ este o submul¸time a lui ∂D. Presupunem c˘a exist˘a un ¸sir crescator de domenii {Dk} avˆand propriet˘a¸tile (i) ¸si (ii) anterioare ¸si c˘a exist˘a un ¸sir {wk} satisf˘acˆand (3.27). Presupunem c˘a exist˘a o func¸tie w(x) cu proprietatea c˘a ˆın fiecare punct x ∈ D, inegalitatea
wk(x) ≤ w(x)
tine pentru toate valorile k mai mari decˆat un anumit ˆıntreg Nx. Dac˘a u(x) satisface condi¸tia de cre¸stere
, (3.28)
atunci
u ≤ 0 ˆın D.
Demonstra¸tie. Construim func¸tie ¸si observ˘am c˘a , aplicˆand teorema 10, vk satisface un principiu de maxim ˆın Dk. Din moment ce Γk ⊂ Γ ¸si, din ipoteza, u ≤ 0 pe Γ, avem
vk ≤ 0 pe Γk.
PeΓ0k avem
.
Astfel, pentru x ∈ Dk, avem
¸si, din cauz˘a c˘a wk(x) ≤ w(x),
.
Inegalitatea (3.28) afirm˘a c˘a exist˘a un ¸sir kn → ∞ cu proprietatea c˘a oricare ar fi ε > 0, exist˘a un ˆıntreg N astfel ˆıncat supΓkn[u/wkn] < ε pentru n ≥ N. Rezult˘a c˘a u(x) ≤ εw(x) ˆın Dk. Lasˆand ε sa tinda la zero ¸si n la infinit, concluzion˘am c˘a u(x) ≤ 0 ˆın D.
Observa¸tii.
Dac˘a h ≡ 0, putem ˆınlocui u cu u − M, unde M este o constant˘a oarecare. Atunci afirma¸tia u ≤ 0 poate fiˆınlocuit˘a cu u ≤ M atˆatˆın ipoteza, cˆat ¸siˆın concluzia teoremei 19. Dac˘a h(x) ≤ 0, aceea¸si afirma¸tie este valabil˘a pentru M nenegativ.
Utilitatea principiului Phragm`en – Lindel¨of se invarte ˆın jurul determin˘arii domeniilor {Dk} ¸si func¸tiilor {wk} cu propriet˘a¸tile corespunz˘atoare. ˆIn teorema 18, {Dk} sunt sectoarele cercurilor de raze Rk ¸si {wk sunt date prin formule explicite.
Exemplu. Fie u astfel ˆıncˆat ∆u ≥ 0 ˆıntr-un domeniu plan D constˆand din exteriorul uneia sau mai multor curbe ˆınchise Γ. Alegem un sistem de coordonate polare cu originea ˆın interiorul lui Γ ¸si alegem un ¸sir de discuri {Kn} de raze Rn astfel ˆıncˆat Rn → ∞ ¸si fiecare ∂Kn e ˆın D. Definim
Dn = D ∩ Kn
¸si
pentru r0 < r < Rn,
unde cercul r = r0 e suficient de micˆıncˆat este inclus completˆın complementara lui D ∪ Γ. Presupunem c˘a u ≤ M pe Γ ¸si ca
.
Observ˘am c˘a dac˘a ¸sirul {Rn} este ales convenabil, {Dn} ¸si {wn} satisfac toate ipotezele teoremei cu Γn = Γ, Γ e armonic˘a ¸si pozitiv˘a ˆın Dn. Concluzion˘am c˘a
u ≤ M ˆın D.
Cu alte cuvinte, dac˘a u este subarmonic˘a ˆın exteriorul lui Γ, este m˘arginit˘a pe Γ ¸si dac˘a u(R,θ) nu cre¸ste la fel de rapid ca logR cˆand R → ∞, atunci u trebuie s˘a fie m˘arginit˘a peste tot.
Aplica¸tia anterioar˘a la principiul Phragm`en-Lindel¨of produce o teorema de unicitate pentru o problem˘a cu condi¸tii la frontiera exterioar˘a. Presupunem c˘a exist˘a dou˘a solu¸tii u1 ¸si u2 ale problemei
∆u = f ˆın D,
u = g pe ∂D,
¸si presupunem c˘a nici u1, nici u2 nu cre¸ste la fel de rapid ca logr cˆand r → ∞; adic˘a presupunem c˘a
. (3.29)
Atunci ambele u1 − u2 ¸si u2 − u1 sunt armonice ˆın D ¸si se anuleaz˘a pe ∂D.
Principiul Phragm`en-Lindel¨of (teorema 19) se aplic˘a astfel ˆıncˆat u1 −u2 ≤ 0
¸si u2 − u2 ≤ 0 in D. Concluzion˘am c˘a u1 ≡ u2. Tinem cont de faptul ca ipoteza (3.29) este esen¸tial˘a din moment ce func¸tia logr, care se anuleaz˘a cˆand r = 1, poate fi ad˘augat˘a oric˘arei solu¸tii definite ˆın domeniul particular D1 : {r > 1,0 ≤ θ ≤ 2π}. Nu exist˘a unicitate a solu¸tiilor dac˘a este permisa cre¸sterea la fel de rapida ca logr.
ˆIn exemplul anterior, am ales wn = log(r/r0) pentru r0 < r < Rn ¸si vedem c˘a wn este doar restic¸ta func¸tiei w = log(r/r0) la spa¸tiul inelar r0 < r < Rn. Func¸tia w are toate propriet˘a¸tile cerute de teorema 19 ¸si, oricˆand o astfel de func¸tie este disponibila, ob¸tinem concluzia teoremei f˘ar˘a pasi intermediari. Acest caz special este dat sub forma unui corolar.
COROLAR. Presupunem c˘a u, D ¸si Γ sunt ca ˆın teorema 19 ¸si
c˘a exist˘a o func¸tie w(x) cu propriet˘a¸tile
w > 0 pe D ∪ ∂D,
(L + h)[w] ≤ 0 ˆın D,
lim w(x) = ∞, (3.30)
x→∂D−Γ
|x|→∞ lim w(x) = ∞ dac˘a D e nem˘arginit.
Dac˘a u ≤ 0 pe ∂D ¸si
,
atunci
u ≤ 0 ˆın D.
Ilustram acum aplicarea corolarului unei problemeˆıntr-un domeniu m˘arginit. Exemplu. Fie D un domeniu plan m˘arginit ¸si presupunem c˘a u satisface
∆u ≥ 0 ˆın D,
(3.31)
u ≤ 0 pe ∂D cu excep¸tia unui punct P.
Consider˘am P originea coordonatelor ¸si not˘am cu d diametrul lui D. Vom folosi func¸tia armonic˘a
ˆın corolar. Evident w > 0 pe D ∪ ∂D. Corolarul afirm˘a c˘a dac˘a
, (3.32)
atunci u ≤ 0.
Pentru domenii plane m˘arginite, ar putea parea c˘a doar condi¸tia (3.31) implica u ≤ 0 peste tot din moment ce exist˘a doar un punct excep¸tie pe frontier˘a. Totu¸si, func¸tia
(3.33)
este armonic˘a ˆın discul unitate D : {x2 + y2 < 1}, este zero pe ˆıntreaga frontier˘a exceptˆand un punct P(−1,0), dar este pozitiv˘a peste tot ˆın D. De aceea, o condi¸tie ca (3.32) e necesara pentru a putea concluziona c˘a u ≤ 0ˆın interior.
Dac˘a u ≤ 0 pe frontiera unui domeniu plan m˘arginit D exceptˆand o mul¸time finit˘a de puncte de pe frontiera, P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pk(xk,yk), atunci lu˘am
. (3.34)
ˆIn cazul ˆın care condi¸tia de cre¸stere (3.32) este satisf˘acut˘a ˆın fiecare Pi, concluzion˘am din corolar c˘a u ≤ 0 pe ˆıntreg D.
ˆInc˘a o dat˘a putem deduce o teorema de unicitate pentru prima problem˘a cu condi¸tii la limit˘a. Presupunem date dou˘a solu¸tii u1 ¸si u2 ale problemei cu condi¸tii la frontier˘a
∆u = f ˆın D (3.35)
u = g pe ∂D (3.36)
unde g este continu˘a pe frontier˘a, cu excep¸tia unui num˘ar finit de puncte P1,P2,…,Pk. ˆIn aceste puncte, g nu este definit˘a. Vom determina condi¸tiile ˆın care u1 ¸si u2 coincid. Presupunem c˘a u1 ¸si u2 satisfac (3.36) ˆın toate punctele lui ∂D, exceptˆand punctele P1,P2,…,Pk. Presupunem de asemenea c˘a ui/w, i = 1,2 cu w dat˘a de (3.34) tinde la zero cˆand w → ∞ˆın fiecare din punctele P1,P2,…,Pk. ˆIn particular, este suficient s˘a presupunem c˘a u1 ¸si u2 sunt m˘arginite. Concluzion˘am c˘a u1 −u2 ≤ 0 ˆın D ¸si u2 −u1 ≤ 0 ˆın D.
Deci u1 ≡ u2.
Exemplul func¸tiei (3.33) arat˘a c˘a e necesara o condi¸tie de cre¸stere pentru teoreme de unicitate. Func¸tia (3.33) cre¸ste ca [(x+1)2 +y2]−1/2, care desigur cre¸ste mai rapid decˆat log[(x+1)2+y2]. De fapt, dac˘a punctul exceptie de pe frontier˘a e luat ca origine ¸si dac˘a frontiera e atˆat de neted˘a ˆıncˆat domeniul D se afl˘aˆın afara unui cerc (x−x¯)2 +(y−y¯)2 = ¯x2 + ¯y2, putem folosi func¸tia armonic˘a
ˆın corolar pentru a ˆınlocui log(1/r) cu (1/r) ˆın condi¸tia de cre¸stere (3.32). Dac˘a exist˘a mai multe astfel de puncte exceptionale, putem utiliza o suma de astfel de func¸tii w.
Condi¸tiile de cre¸stere ¸si teoremele de unicitate pentru func¸tii subarmonice
ˆın spa¸tiul n-dimensional, n ≥ 3, pot fi ob¸tinute ˆın acela¸si fel. Presupunem c˘a u satisface
∆u ≥ 0 ˆın D, u ≤ 0 pe ∂D,
cu excep¸tia unui punct). Pentru D domeniu m˘arginit, func¸tia armonic˘a
(3.37)
satisface toate condi¸tiile corolarului. De aceea, dac˘a
liminf[Rn−1 sup u(x)] ≤ 0,
R→0 |x−x0|=R
atunci u ≤ 0 ˆın D. Dac˘a exist˘a un num˘ar finit de puncte exceptie de pe frontier˘a, alegem pentru w o suma de func¸tii de tipul (3.37). Ca maiˆınainte, putem ˆınlocui Rn−2 cu Rn−1 ˆın condi¸tia de cre¸stere dac˘a frontiera e suficient de neted˘a ˆın punctele exceptie.
O teorema de unicitate pentru problema cu condi¸tii la limit˘a
∆u = f ˆın D,
(3.38)
u = g pe ∂D cu excep¸tia punctelor este stabilita exact ca ˆın cazul doi-dimensional. ˆIn general, valorile la frontier˘a sunt prescrise pe o suprafa¸t˘a (n − 1)dimensionala ¸si discontinuitatile vor aparea de-a lungul suprafetelor (n−2)dimensionale. ˆIn particular, dac˘a n = 3, discontinuitatile valorilor de pe frontier˘a vor aparea de-a lungul unei curbe unu-dimensionale C sau a unei colectii de astfel de curbe pe ∂D. Presupunem c˘a C este o curba neted˘a unu-dimensionala pe ∂D dat˘a parametric din punctul de vedere al lungimii arcului
C : x = ξ(s), y = η(s), z = ζ(s), 0 ≤ s ≤ l.
Este u¸sor de verificat c˘a func¸tia
(3.39)
este armonic˘a pentru (x,y,z) ˆın afara lui C. De asemenea w → ∞ cˆand (x,y,z) se apropie de un punct de pe C. Asadar putem folosi aceast˘a func¸tie w ˆın corolar. Conchidem c˘aˆın clasa solu¸tiilor m˘arginite ale problemei (3.38), oricare dou˘a solu¸tii care au acelea¸si valori la limit˘a, exceptie facˆand o curba C, de fapt coincid peste tot in D. Mai general, ajungem la aceea¸si concluzie pentru solu¸tii care satisfac o condi¸tie de cre¸stere corespunz˘atoare.
Presupunem acum c˘a mul¸timea D ∪ (∂D − Γ) este ea ˆıns˘a¸si un domeniu m˘arginit de Γ. Adic˘a presupunem c˘a punctele frontierei exceptionale ∂D−Γ, pe care o not˘am cu Σ, sunt puncte interioare ale inchiderii lui D. Presupunem c˘a exist˘a un subdomeniu m˘arginit D0 al lui D ∪ Σ care contine mul¸timea frontierei exceptionale Σˆın interiorul s˘au ¸si care are proprietatea c˘a problema cu condi¸tii la limit˘a
,
poate fi rezolvat˘a pentru valori la limit˘a ϕ continue, diferentiabile arbitrare.
ˆIn plus, presupunem c˘a exist˘a o func¸tie w cu propriet˘a¸tile (L + h)[w] ≤ 0 ˆın
.
Fie u o solu¸tie a lui (L + h)[u] = 0 ˆın D pentru care u/w → 0 cˆand w → ∞. Fie v solu¸tia problemei (L + h)[v] = 0 ˆın D0, v = u pe ∂D0. Atunci: (L + h)[u − v] = 0 ˆın D0 − Σ, (u − v)/w → 0 cˆand w → ∞ ¸si u − v = 0 pe ∂D0. De aici, aplicˆand corolarul, u − v ≡ 0. Astfel u este egal cu func¸tia v de clas˘a C2 langa mul¸timea Σ. Cu alte cuvinte, u poate fi extinsa ca solu¸tie a problemei (L + h)[u] = 0 ˆın ˆıntregul domeniu D ∪ Σ definind-o convenabil (anume, u ≡ v) pe mul¸timea Σ. Spunem c˘a u are o singularitate inlaturabila pe Σ.
Am ar˘atat c˘a dac˘a problema cu condi¸tii la limit˘aˆın D0 poate fi rezolvat˘a, orice solu¸tie u a lui (L + h)[u] = 0 ˆın D pentru care u/w → 0 cˆand w → ∞ are o singularitate inlaturabila pe Σ.
De exemplu, dac˘a ∆u = 0 pentru 0 < x2+y2 < R2, lasam w = −log(x2+
. Din moment ce problema cu condi¸tii la frontier˘a
pentru ecua¸tia lui Laplace ˆıntr-un disc poate fi rezolvat˘a, concluzion˘am c˘a orice func¸tie u care este armonic˘a ˆıntr-un disc 0 < x2 + y2 < R2 care are goluri ¸si pentru care u/log(x2 + y2) → 0 cˆand x2 + y2 → 0 are o limit˘a cˆand x2 + y2 → 0, ¸si func¸tia care rezult˘a definind u(0,0) ca fiind aceast˘a limit˘a, este armonic˘a ˆın ˆıntregul disc 0 ≤ x2 + y2 < R2.
Pentru a putea s˘a aplic˘am corolarul ¸si observa¸tiile anterioare unui operator general L+h ˆın n variabile independente, trebuie s˘a construim o func¸tie corespunz˘atoare w(x). Ar˘at˘am acum cum poate fi f˘acut acest lucru pentru un domeniu m˘arginit Dcu un singur punct exceptional O pe ∂D. Vom lua O originea coordonatelor ¸si ne concentram aten¸tia asupra cazului
h ≤ 0 ˆın D.
Amintindu-ne c˘a to¸ti coeficien¸tii termenilor de ordinul al doilea din L formeaz˘a elementele unei matrice simetrice (aij(x)), lu˘am matricea constant˘a (Aij) ca invers˘a a coeficientului matricei (aij(0)). Definind cantitatea
.
Vom arat˘a c˘a dac˘a n ≥ 3, func¸tia
w = ρ2−n + cρ2−n+ε + K[eαd − eαx1],
unde ε este o constant˘a fixat˘aˆıntre zero ¸si unu, ¸si c, d, α ¸si K sunt constante corespunz˘atoare, are propriet˘a¸tile dorite oricˆand coeficien¸tii lui L sunt suficient de netezi.
Observa¸tie. Dac˘a (aij) este o matrice constant˘a, atunci L1[ρ2−n] = 0 cu exceptie pentru ρ = 0, unde L1 este partea principala a lui L. Un calcul duce la
(L + h) [ρ2−n + cρ2−n+ε] = ρ−n−2[n(n − 2) + c(n − ε)(n − 2 − ε)ρε] X akl(x)AikAjlxixj
i,j,k,l
−ρ−n[n − 2 + c(n − 2 − ε)ρε]Xakl(x)Akl
k,l
−ρ−n[n − 2 + c(n − 2 − ε)ρε]XAijbixj + hρ2−n[1 + cρε].
i,j
Scriem acum
aij(x) = aij(O) + [aij(x) − aij(O)] ¸si folosim identitatea
cˆand q = r
pq( ) pr = qr
0, cˆand q 6= r.
p=1
ˆIn acest fel, ob¸tinem
Dac˘a aij(x) este suficient de neted˘a langa O astfelˆıncat cantit˘a¸tile ρ−ε[aij(x)− aij(O)] sunt m˘arginite, atunci putem alege c suficient de mare ˆıncat (L + h)[ρ2−n +cρ2−n+ε] → −∞ cˆand ρ → 0. Condi¸tia de netezime este respectata dac˘a, de exemplu, elementele lui (akl) sunt diferentiabile. Dupa un alt calcul, g˘asim c˘a
L[eαd − eαx1] = −(α2a11 + αb1)eαx1
este pozitiv˘a pe D ∪ ∂D. Alegem d astfel ˆıncˆat d ≥ x ¸si K astfel ˆıncat
−KL[eαd − eαx1] ≥ max(L + h)[ρ2−n + cp2−n+ε].
D
Din moment ce h ≤ 0, conchidem c˘a dac˘a w are propriet˘a¸tile
(L + h)[w] ≤ 0 ˆın D,
w > 0 pe D ∪ ∂D.
Aplic˘am corolarul ¸si ob¸tinem
(L + h)[u] ≥ 0 ˆın D, dac˘a u ≤ 0 pe ∂D exceptie facˆand punctul O,
¸si dac˘a u cre¸ste mai lent decˆat 1/ρn−2 cˆand x → O, atunci u ≤ 0 ˆın D.
Prin adaugarea unor func¸tii w de acela¸si tip, acela¸si rezultat poate fi ob¸tinut dac˘a exist˘a un num˘ar finit de puncte exceptie pe frontier˘a. De asemenea, func¸tia w poate fi integrata peste o hipersuprafa¸ta limit˘a (n−2)dimensionala pentru a ar˘ata c˘a asemenea mul¸timi exceptionale pot fi neglijate cˆand se prescriu datele referitoare la m˘arginire.
ˆIn particular, vedem c˘a ˆın cazul ˆın care coeficien¸tii aij sunt suficient de netezi ˆıntr-un punct O, o solu¸tie m˘arginit˘a u a lui (L + h)[u] ≥ 0 ˆıntr-o vecin˘atate ¸stears˘a a lui O nu poate atinge un maxim ˆın O. Dac˘a prima problem˘a cu condi¸tii la frontier˘a poate fi rezolvat˘a ˆıntr-o vecin˘atate a lui O, ob¸tinem o teorema despre singularitati inlaturabile. Din moment ce construc¸tia noastra cu K = 0 duce la (L + h)[w] < 0 ˆın unele vecin˘at˘a¸ti ale originii indiferent de semnul lui h, aceste rezultate sunt valabile chiar ¸si cˆand h e uneori pozitiv˘a.
Cazul doi-dimensional poate fi tratatˆın acela¸si mod, dupa ce seˆınlocuiesc primii doi termeni din defini¸tia lui w cu log(1/ρ) − c1ρ2 + c2.
Consider˘am problema cu condi¸tii mixte la frontier˘a. Presupunem c˘a u este o solu¸tie a problemei
(L + h)[u] = f ˆın D,
pe Γa, u = g2 pe Γb,
unde Γa ¸si Γb sunt disjuncte, dar Γa∪Γb nu reprezint˘a neaparatˆıntreaga frontier˘a ∂D. ˆIn acest caz, principiul Phragm`en-Lindel¨of are urm˘atoarea forma.
TEOREMA 20.
Presupunem c˘a u satisface
(L + h)[u] ≥ 0 ˆın D,
pe Γa, u ≤ 0 pe Γb,
¸si presupunem c˘a poate fi g˘asit c˘a ˆın teorema 19 un ¸sir de regiuni m˘arginite {Dk} cu Γ = Γa ∪ Γb. Presupunem c˘a poate fi g˘asit c˘a ˆın teorema 19 un ¸sir de func¸tii {wk(x)} satisf˘acˆand, pe langa condi¸tiile (3.27), ¸si condi¸tia
pe Γk ∩ Γa.
Atunci u ≤ 0 ˆın D.
3.10 Teorema celor trei cercuri a lui Hadamard
Consider˘am un domeniu plan D sub forma de inel delimit˘at de dou˘a cercuri concentrice cu razele R1 ¸si R2 (R2 > R1). Fie u o func¸tie subarmonic˘a definit˘a ˆın D, adic˘a
∆u ≥ 0 ˆın D.
Stabilind r2 = x2 + y2 ¸si luˆand centrul comun al cercurilor ca origine a coordonatelor, definim
M(r) = max u(x,y).
x2+y2=r2
Cu alte cuvinte, func¸tia M(r) este maximul lui u pe cercul concentric de raza r.
Observ˘am c˘a orice func¸tie de forma
ϕ(r) = a + b · logr, (3.40)
cu a ¸si b constante, este armonic˘a pentru r 6= 0. Dac˘a r1 ¸si r2 sunt dou˘a numere oarecare ˆıntre R1 ¸si R2, putem alege a ¸si b astfel ˆıncat
ϕ(r1) = M(r1), ϕ(r2) = M(r2).
Un calcul simplu arat˘a c˘a
. (3.41)
Definind v(x,y) = u(x,y) − ϕ(px2 + y2), avem
∆v ≥ 0, v ≤ 0 pe r = r1 ¸si r = r2.
Deci, din principiul de maxim ,
v ≤ 0 pentru r1 < r < r2,
cu egalitate dac˘a ¸si numai dac˘a u ≡ φ(r). Astfel ob¸tinem c˘a atunci cˆand x2 + y2 = r2,
u ≤ ϕ(r), r1 < r < r2
¸si prin urmare ca
M(r) ≤ ϕ(r), r1 < r < r2.
Acest argument stabile¸ste urm˘atorul rezultat.
TEOREMA 28. (Teorema celor trei cercuri a lui Hadamard).
Fie u(x,y) o func¸tie subarmonic˘a ˆıntr-un domeniu D care contine cercurile concentrice cu razele r1 ¸si r2 ¸si regiunea dintre ele. Dac˘a M(r) reprezint˘a maximul lui u pe orice cerc concentric cu celelalte de raza r, atunci pentru r1 < r < r2
. (3.42)
Egalitatea are loc dac˘a ¸si numai dac˘a u ≡ ϕ, unde ϕ e dat de (3.41).
Defini¸tie. O func¸tie f(x) este o func¸tie convexa de x dac˘a pentru orice dou˘a numere x1 ¸si x2 avem
pentru x1 ≤ x ≤ x2.
Adic˘a graficul lui f se afl˘a sub linia dreapta care uneste punctele (x1,f(x1))
¸si (x2,f(x2)). Teorema celor trei cercuri a lui Hadamard spune c˘a M(r) este o func¸tie convexa de logr.
Presupunem c˘a u este subarmonic˘aˆınˆıntregul plan (xOy), exceptie posibila fiind originea, ¸si c˘a este m˘arginit˘a superior de o constant˘a M. Dac˘a r2 → ∞ ˆın inegalitatea (3.42), ob¸tinem
.
Din moment ce M(r2) ≤ M, a doua limit˘a din dreapta este zero; aplicarea regulii lui l’Hˆopital arat˘a c˘a prima limit˘a e 1. Astfel, ob¸tinem
M(r) ≤ M(r1) pentru r ≥ r1.
Asem˘an˘ator, cˆand r1 → 0 ˆın inegalitatea (3.42), ob¸tinem c˘a
M(r) ≤ M(r2) pentru r ≤ r2.
Din moment ce r1 ¸si r2 sunt arbitrare, conchidem c˘a M(r) este constant˘a. Astfel, conform principiului de maxim, u trebuie s˘a fie o constant˘a. Am demonstrat urm˘atoarea teorema.
TEOREMA 19 (Teorema lui Liouville).
Dac˘a u este subarmonic˘a ˆın ˆıntreg planul (xOy), exceptie posibila fiind originea, ¸si dac˘a u este uniform m˘arginit˘a superior, atunci u este constant˘a.
Observa¸tii.
Din demonstra¸tie este clar c˘a ipoteza de m˘arginire a lui u poate fi slabita. Luˆand limite peste ¸siruri de valori ale lui r1si r2, putem ar˘ata c˘a u este constant˘a dac˘a
cˆand r → 0 ¸si cˆand r → ∞.
Observa¸tia precedent˘a arat˘a c˘a pentru o func¸tie subarmonic˘a neconstant˘a definit˘aˆınˆıntregul plan exceptˆand originea, M(r) trebuie s˘a se apropie de infinit cel pu¸tin la fel de rapid ca |logr|, fie cˆand r → 0, fie cˆand r → ∞.
Cele dou˘a func¸tii subarmonice
, pentru r ≤ 1,
=
logr, pentru r ≥ 1,
¸si
, pentru r ≤ 1, =
0, pentru r ≥ 1,
cresc logaritmic, una la infinit, cealalta la origine. Prin urmare, am ob¸tinut cel mai bun rezultat posibil privind cre¸sterea unei func¸tii subarmonice.
Este clar c˘a analogul teoremei lui Liouville este adev˘arat pentrufunc¸tii supraarmonice care sunt m˘arginite inferior. In particular, o func¸tie armonic˘aˆın tot planul (xOy), exceptand posibil un punct, ¸si care este m˘arginit˘a fie superior, fie inferior, trebuie s˘a fie constant˘a.
Teorema celor trei cercuri depinde de comportamentul special al solu¸tiei fundamentale logr. Extinzˆand teorema la func¸tii de n variabile, n ≥ 3, folosim solu¸tia fundamentala r−(n−2). Fie D domeniul dintre dou˘a sfere concentrice n-dimensionale de raze R1 ¸si R2 cu R2 > R1. Presupunem c˘a u satisface
∆u ≥ 0 ˆın D.
Definim
¸si observ˘am c˘a
ϕ(r) ≡ a + br−(n−2)
este o func¸tie armonic˘a pentru r 6= 0. Stabilind
ϕ(r1) = M(r1), ϕ(r2) = M(r2),
unde R1 < r1 < r2 < R2, ob¸tinem teorema celor trei sfere printr-un argument similar celui folosit pentru teorema celor trei cercuri.
TEOREMA 30. (Teorema celor trei sfere).
Presupunem ∆u ≥ 0 ˆıntr-un domeniu D care contine dou˘a sfere concentrice de raze r1 ¸si r2 ¸si regiunea dintre ele. Dac˘a r1 < r < r2, atunci
.
Egalitatea are loc dac˘a ¸si numai dac˘a u = a + br−(n−2).
Observa¸tii.
Inegalitatea din aceast˘a teorema spune c˘a M(r) este o func¸tie convexa de r2−n.
Cˆand r1 → 0, vedem c˘a dac˘a
,
atunci M(r) este o func¸tie de r nedescrescatoare. Rezult˘a ca u este m˘arginit˘a superior langa origine. Cu alte cuvinte, dac˘a o func¸tie subarmonic˘a nu este m˘arginit˘a superior ˆıntr-un punct O, trebuie s˘a se duca la +∞ la fel de rapid ca r2−n pe un ¸sir de puncte tinzˆand la O. (iii) Cˆand r2 → ∞, vedem c˘a dac˘a
liminf M(r2) ≤ 0,
r2→∞
atunci rn−2M(r) este o func¸tie de r necrescatoare. De aceea, dac˘a limsupr→∞ u ≤ 0, atunci rn−2u este m˘arginit˘a superior.
(iv) Teorema 30 nu duce la o teorema a lui Liouville. De fapt, func¸tiile subarmonice ˆın trei sau mai multe variabile, care sunt m˘arginite superior ˆın ˆıntreg spa¸tiul nu sunt neaparat constante. De exemplu, func¸tia
, pentru r ≤ 1,
−1/r, pentru r ≥ 1,
este subarmonic˘a ˆın tot spa¸tiul euclidian tridimensional ¸si este m˘arginit˘a peste tot. Aceea¸si func¸tie u(r) considerat˘aˆın spa¸tiul euclidian doi-dimensional satisface inegalitatea ∆u+min(1,r−2)(xux +yuy) ≥ 0, care arat˘a c˘a teorema lui Liouville referitoare la solu¸tia u a unei ecua¸tii uniform eliptice nu poate fi extinsa la func¸tii care satisfac o inegalitate diferen¸tial˘a eliptic˘a ˆın locul unei ecua¸tii diferen¸tiale.
3.11 Derivatele func¸tiilor armonice
Dac˘a u(x,y) este o func¸tie armonic˘a ˆın D, atunci fiecare din derivatele sale este de asemenea armonic˘a ¸si prin urmare satisface principiul de maxim.
Dac˘a Cr este cercul centrat ˆın (x0,y0) de raza r, am v˘azut ˆın sec¸tiunea 1 ca, pentru orice func¸tie armonic˘a, teorema valorii medii este valabil˘a:
ˆInmul¸tim ambele p˘ar¸ticu r ¸si integram ˆın func¸tie de r de la 0 la un num˘ar R fixat:
sau
(3.43)
unde K este interiorul cercului de raza R centrat in (x0,y0) ¸si inclus ˆın D. Ecua¸tia (3.43) este o afirma¸tie a ”teoremei zonei valorii medii”, care spune c˘a valoarea unei func¸tii armoniceˆın orice punct P este media valorilor sale luate peste zona oric˘arui disc K (ˆın D) ˆın care P este centrul.
Din moment ce ecua¸tia (3.43) tine pentru orice func¸tie armonic˘a ¸si din moment ce ∂u/∂x este din nou armonic˘a, avem
Aplicˆand teorema de divergen¸t˘a membrului drept, ob¸tinem
(3.44)
Acum dac˘a u satisface inegalit˘a¸tile
m ≤ u ≤ M (3.45)
pe ∂D, frontiera lui D, atunci conform principiului de maxim acelea¸si inegalit˘a¸ti sunt valabile ˆın ˆıntregul D. Dac˘a c este o constant˘a oarecare, u + c este armonic˘a oricˆand u este armonic˘a. Aplic˘am (3.44) func¸tiei), obtinand
Astfel avem evaluarea
ˆIn acest fel ob¸tinem o limit˘a pentru ∂u/∂x ˆın func¸tie de R ¸si de valorile maxime ¸si minime pentru u. Din moment ce putem roti coordonatele pentru a face orice direc¸tie s˘a corespunda direc¸tiei x, ob¸tinem o estimare pentru derivata direc¸tional˘a ˆın orice direc¸tie.
ˆIn particular, putem lua direc¸tia s˘a coincida cu gradientul lui u. Astfel, dac˘a u satisface (3.45) pe frontiera lui D, atunci
, (3.46)
unde d este distanta minima de la (x,y) la orice punct de pe frontier˘a. Adic˘a d este raza celui mai mare disc avˆand centrul ˆın (x,y) ¸si fiind inclus complet ˆın D. Inegalitatea (3.46) este cea mai buna inegalitate posibila de acest tip, din moment ce sunt func¸tii armonice pentru care in (3.46) are loc egalitatea. Acest fapt este expus de func¸tia
(3.47)
care este armonic˘a ˆın discul unitate K : x2 + y2 < 1. ˆIn origine avem
.
Pe de alta parte, u → π/2 cˆand (x,y) tinde la jum˘atatea inferioar˘a a frontierei lui K, ˆın timp ce u → −π/2 cˆand (x,y)tinde la jum˘atatea inferioar˘a a frontierei lui K. Astfel M − m = π ¸si membrul drept al lui (3.46) are valoarea 2.
Estimarea lui (3.46) se deterioreaz˘a pe m˘asur˘a ce (x,y) se apropie de ∂D, din moment ce cantitatea d tinde la zero. Gradientul func¸tiei armonice (3.47) se comporta ca 1/d cˆand (x,y) se apropie de ∂K ¸si astfel numitorulˆın (3.46) nu poate fi ˆınlocuit cu o cantitate care se duce la zero mai lent decˆat d, distanta punctului de la frontier˘a.
Func¸tia armonic˘a (3.47) are valori la limit˘a discontinue ¸si poate fi discutat dac˘a aceste discontinuitati produc cre¸sterea lui |gradu| cˆand (x,y) se apropie de frontier˘a. Totu¸si, func¸tia
este armonic˘a ˆın discul unitate K ¸si are valori la limit˘a continue. Cu toate acestea, gradu nu este m˘arginit ˆın K. Un calcul simplu arat˘a c˘a |gradu| se comporta ca
|log[(x − 1)2 + y2]| cˆand (x,y) → (1,0).
Metoda anterioar˘a de ob¸tinere a limitelor pentru derivatele func¸tiilor armonice poate fi folosit˘a ˆın orice num˘ar de dimensiuni. Fie ωn−1 ¸si ωn care marcheaza zona de pe suprafa¸ta sferei unitate ˆın (n − 1) ¸si, respectiv, ˆın n dimensiuni. Putem deriva inegalitatea
) (3.48)
pentru derivatele oric˘arei func¸tii armonice u definiteˆıntr-un domeniu D unde
m ≤ u ≤ M pe ∂D,
¸si unde d este distanta minima de la (x1,x2,…,xn) la ∂D. Inegalit˘a¸tile (3.46) ¸si (3.48) sunt adev˘arate pentru func¸tii armonice, dar false pentru func¸tii subarmonice ¸si supraarmonice.
Exemple.
(i) Func¸tia subarmonic˘a u = (x2 +y2)−1 se anuleaz˘a identic pe frontiera discului unitate; asadar gradientul lui u in discul unitate nu poate fi m˘arginit de valorile la frontier˘a ale lui u pe ∂K. (ii) Func¸tia supraarmonic˘a
pentru r ≤ 1,
)
pentru r ≥ ε
satisface 0 < u ≤ 1 + (3/4log2) cˆand 0 < ε ≤ 1/2 ¸si 0 ≤ r ≤ 1. Totu¸si, |gradu| = 1/[εlog(1/ε)] pentru r = ε, ¸si deci este mare arbitrar pentru ε suficient de mic, de¸si distanta pˆan˘a la frontier˘a este 1−ε. De aceea, o func¸tie m˘arginit˘a supraarmonic˘a poate avea un gradient mare arbitrar, departat arbitrar de frontier˘a. Func¸tia 2 − u duce la aceea¸si concluzie pentru func¸tii subarmonice.
Evalu˘arile de forma (3.48) au multe aplica¸tii. Ca exemplu, ob¸tinem o forma slaba a teoremei lui Liouville pentru func¸tii armonice.
Dac˘a u este armonic˘a pentru toate valorile lui x = (x1,x2,…,xn) ¸si este m˘arginit˘a superior ¸si inferior, atunci u este constant˘a.
Pentru a demonstra acest rezultat lasam ca d → ∞ˆın (3.48) ca s˘a conchidem c˘a gradientul trebuie s˘a fie zero. A¸sa cum am v˘azutˆın sec¸tiunea 10, este suficient ca ˆın cazul doi-dimensional s˘a presupunem c˘a u este doar subarmonic˘a ¸si m˘arginit˘a superior pentru a concluziona c˘a u este constant˘a. Totu¸si, exemplul datˆın observa¸tia (iv) (dupa teorema celor trei sfere) arat˘a c˘a o astfel de teorema pentru func¸tii subarmonice nu poate fi adev˘arat˘aˆın trei dimensiuni. Exemple similare pot fi construite ˆın dimensiuni mai mari.
Primele derivate ale solu¸tiilor ecua¸tiilor eliptice generale de ordinul al doilea satisfac inegalit˘a¸ti cu acela¸si caracter ca (3.48). Tehnicile necesare stabilirii acestor estim˘ari sunt mai pu¸tin elementare, din moment ce teorema valorii medii nu este disponibila ¸si, mai mult, derivatele solu¸tiilor ecua¸tiilor eliptice ˆın general nu sunt ele insele solu¸tii ale aceleiasi ecua¸tii.
Metoda de a ob¸tine limite pentru primele derivate poate fi adaptata ca s˘a ob¸tinem limite pentru derivate de orice ordin. Ilustram tehnica pentru derivatele de ordinul al doilea ale func¸tiilor armonice ˆın plan.
Din moment ce ∂u/∂y este armonic˘a atunci cˆand ¸si u este, formula (3.44) de reprezentare d˘a
ˆInmul¸tim aceast˘a ecua¸tie cu πr3 ¸si integram ˆın raport cu rde la 0 la R.
Notˆand x = r cosθ, ob¸tinem
Aplicˆand teorema de divergen¸t˘a ultimei integrale, ob¸tinem
Asem˘an˘ator, g˘asim la centrul (x0,y0) al unui cerc de raza R,
Dac˘a u este armonic˘a ˆıntr-o regiune S ¸si u satisface m ≤ u ≤ M pe ∂S, ob¸tinem, pentru orice derivat˘a de ordinul al doilea a lui u ˆın (x0,y0), notat˘a D2u, estimarea
,
unde d este distanta minima de la (x0,y0) la orice punct de pe frontiera mul¸timii, ∂S. Vedem c˘a limitele pentru derivatele de ordinul al doilea ale func¸tiilor armonice tind la infinit la fel ca d−2 cˆand (x0,y0) se apropie de frontier˘a. Mai general, evaluarea pentru o derivat˘a par¸tial˘a de ordinul k a unei func¸tii armonice are limit˘a punctuala
,
unde A este o constant˘a depinzˆand numai de k ¸si de num˘arul de variabile independente, n.
3.12 Estim˘ari ale limitelor pentru derivate
ˆIn sec¸tiunea precedent˘a am ob¸tinut limite pentru gradientul unei func¸tii armonice ˆıntr-un punct dintr-un domeniu D ˆın func¸tie de valorile maxime ¸si minime ale unei func¸tii pe frontiera ∂D ¸siˆın func¸tie de distanta de la punctul ˆın discutie la frontier˘a. ˆIn aceast˘a seectiune vom deriva estim˘ari uniforme pentru gradientul unei func¸tii armonice ˆın func¸tie de derivatele valorilor de pe freontiera. Urm˘atoarea lem˘a va fi folositoare.
LEMA. Dac˘a˘ v este armonic˘a, atunci v2 este subarmonic˘a.
Demonstra¸tie. Un calcul direct duce la rezultatul:
Dac˘a u este armonic˘a, la fel sunt ¸si fiecare3 din derivatele sale ∂u/∂xi, i = 1,2,…,n. Din lema anterioar˘a, conchidem c˘a (∂u/∂xi)2 este subarmonic˘a. Din moment ce suma func¸tiilor subarmonice este subarmonic˘a, avem c˘a
este de asemenea subarmonic˘a. Vom aplica principiul de maxim pentru |gradu|2 pentru a ob¸tine limite pentru derivatele unei func¸tii armonice.
Consider˘am maiˆıntˆai problema estim˘arii primelor derivate ale unei func¸tii armonice de dou˘a variabile. Presupunem c˘a u(x,y) este o solu¸tie pentru
∆u = 0
ˆıntr-un domeniu plan D m˘arginit ¸si ca
u = g(x,y) pe ∂D.
Dorim s˘a ob¸tinem o limit˘a pentru ∂u/∂n ˆıntr-un punct P de pe frontier˘a. Totu¸si, ˆın sec¸tiunea precedent˘a am dat exemple de func¸tii armonice cu valori la limit˘a continue al caror gradient tinde la infinit pe frontier˘a. Astfel stim c˘a cel pu¸tin func¸tia g poate fi extinsa ca o func¸tie g(x,y) de dou˘a ori diferen¸tiabil˘a cu diferen¸tialele continue pe D ∪∂D. Atunci Laplacianul lui g este m˘arginit pe D ∪ ∂D ¸si exist˘a un num˘ar A astfel ˆıncat
|∆g| ≤ A ˆın D.
ˆIn plus, facem presupuneri despre netezimea frontierei lui D. Vom presupune c˘a exist˘a un num˘ar ρ astfelˆıncˆat pentru fiecare punct P ∈ ∂D, poate fi desenat un cerc de raza ρ care trece prin P ¸si al c˘arui interior se afl˘a complet ˆın exteriorul lui D.
Fixam un punct P(x0,y0) pe ∂D ¸si construim un cerc de raza ρ care trece prin P ¸si al c˘arui interior Kρ este ˆın afara lui D. Presupunem c˘a D este m˘arginit astfel ˆıncˆat e inclus ˆıntr-un disc KR de raza R ¸si concentric cu Kρ. Alegem ca originea unui sistem de coordonate polare s˘a fie centrul lui Kρ ¸si definim func¸tiile
,
Un calcul simplu arat˘a c˘a
∆z1 ≥ 0 ˆın D z1 ≤ g pe ∂D
¸si
∆z2 ≤ 0 ˆın D z2 ≥ g pe ∂D.
Mai mult, z1(x0,y0) = z2(x0,y0) = g(x0,y0).
Astfel principiul de maxim datˆın teorema 7 aplicat func¸tiilor z1 −u ¸si u−z2 d˘a limitele ˆın P(x0,y0): sau
Din ipoteza, putem alege acelea¸si constante ρ ¸si R pentru fiecare punct al lui ∂D. Astfel, inegalit˘a¸tile (3.49) sunt adev˘arate pentru toate punctele frontierei.
Observ˘am c˘a din moment ce u = g pe ∂D, derivatele tangentiale ale lui u ¸si g coincid ˆın fiecare punct de pe frontier˘a. De aceea |grad(u − g)| este exact |(∂/∂n)(u − g)| ˆın fiecare punct P ∈ ∂D. Concluzion˘am din (3.49) ca
Din moment ce am ar˘atat ˆın lema de la ˆınceputul sec¸tiunii c˘a |gradu|2 este subarmonic˘a, maximul lui |gradu| pe D∪∂D trebuie s˘a fie atins pe frontier˘a.
De aceea, oricare ar fi (x,y) ∈ D, avem
.
O limit˘a asem˘an˘atoare este u¸sor ob¸tinut˘a pentru func¸tii armonice cu trei sau mai multe variabile. Dac˘a D este m˘arginit ¸si ∂D e atˆat de neted˘a ˆıncˆat ˆın orice punct al lui ∂D poate fi construit˘a o sfera de raza ρ care s˘a treaca prin P ¸si al c˘arui interior s˘a fie ˆın afara lui D, atunci poate fi folosit acela¸si argument ca ˆın cazul doi-dimensional.
ˆIn cazul n-dimensional, func¸tiile de comparare z1 ¸si z2 sunt
.
limit˘a lui |gradu| ˆın orice punct din D este
Diametrul unui domeniu D este limita superioar˘a cea mai mica a distantelor dintre oricare dou˘a puncte ale lui D. Dac˘a d reprezint˘a diametrul lui D, atunci putem alege R = d+ρ, luˆandˆın considerare faptul c˘a prin orice punct de pe frontier˘a poate trece o sfera de raza ρ de tipul corespunz˘ator. In particular, dac˘a D este convex, cˆand ρ → ∞ avem estimarea
,
adev˘arat˘a ˆın orice num˘ar de dimensiuni.
Pentru solu¸tii ale ecua¸tiilor eliptice mai generale este ˆıns˘a posibil s˘a se obtina limite similare cu (3.50). De fapt, dac˘a teorema 13 de aproximare se aplic˘a, ob¸tinem limitele z2(x) ≤ u(x) ≤ z1(x) pentru o solu¸tie a problemei cu condi¸tii mixte la limit˘a. Dac˘a pe langa inegalit˘a¸tile necesare pentru teorema
13 avem z2(x0) = u(x0) = z1(x0), unde x0 este un punct de pe por¸tiunea Γ2 a frontierei ∂D unde u ˆıns˘a¸si e prescris˘a, atunci evident
.
Datorita faptului c˘a derivatele tangentiale sunt cunoscute in x0, ob¸tinem o limit˘a pentru |gradu| ˆın acest punct.
Din moment ce gradientul unei solu¸tii a unei ecua¸tii eliptice generale nu satisface,ˆın general, o inegalitate diferen¸tial˘a eliptic˘a, nu putem ob¸tine limite pentru gradient ˆın puncte interioare printr-o simpla aplicare a principiului de maxim. O exceptie a acestei ultime afirma¸tii apare ˆın cazul unei ecua¸tii eliptice doi-dimensionale de forma
.
Dac˘a a, b ¸si c au primele derivate continue, este u¸sor de v˘azut c˘a ∂u/∂x satisface o ecua¸tie eliptic˘a. Scriind v = ∂u/∂x, diferentiem ecua¸tia anterioar˘a, obtinand
.
Facem ˆınlocuiri pentru ∂2u/∂y2 din ecua¸tia L[u] = 0 ¸si avem
.
ˆIn consecin¸t˘a, v = ∂u/∂x satisface principiul de maxim. Asem˘an˘ator, putem ar˘ata c˘a ∂u/∂y satisface principiul de maxim. Fiecare din aceste func¸tii este, prin urmare, m˘arginit˘a de valoarea maxim˘a a lui |gradu| pe frontier˘a.
Capitolul 4
Operatori parabolici
4.1 Ecua¸tia c˘aldurii
Presupunem c˘a un fir lung, subtire, de lungime l este situat in intervalul (0,l) de-a lungul axei Ox. Vom presupune c˘a materialul firului este omogen. C˘aldura poate fi ad˘augat˘a sau eliminat˘a de pe fir ¸si presupunem c˘a temperatura uˆın orice punct al firului este o func¸tie numai de x, locatia unei sectiuni transversale, ¸si de t, timpul. Scriem u = u(x,t). Tinˆand cont de anumite presupuneri legate de propriet˘a¸tile fizice ale firului, ecua¸tia diferen¸tial˘a care guverneaza ”curgerea” c˘aldurii (in unitatile corespunz˘atoare) in fir este dat˘a de
.
Func¸tia f este rata elimin˘arii c˘aldurii ˆın fir. Func¸tia temperaturii u(x,t) satisface un principiu de maxim oarecum diferit de cel care a fost stabilit pentru ecua¸tii ¸si inegalit˘a¸ti eliptice.
Presupunem c˘a u(x,t) satisface inegalitatea stict˘a
2
L [
ˆıntr-o por¸tiune E a planului (xOt). Este clar c˘a u nu poate avea un maxim (local) ˆın niciun punct interior, pentru c˘a ˆıntr-un astfel de punct
,
ˆınc˘alcˆand astfel L[u] > 0. Nu numai c˘a vom extinde aceast˘a afirma¸tie la solu¸tii u ale inecua¸tiei L[u] ≥ 0, dar vom arat˘a de asemenea c˘a pentru operatori de acest tip principiul de maxim ia o forma mai puternica.
Pentru a ilustra o problem˘a tipica vom presupune c˘a firul descris anterior are temperatura prescris˘a ini¸tial (adic˘a la timpul t = 0) ¸si c˘a temperaturile de la capetele firului sunt func¸tii cunoscute ˆın timp. Principiul cauzalit˘a¸tii spune c˘a distribu¸tia temperaturii la orice moment fixat T nu este afectata de nicio schimbare din fir care apare ˆıntr-un moment t > T. Prin urmare este natural s˘a consider˘am regiunea dreptunghiulara
E : {0 < x < l,0 < t ≤ T} (4.1)
ˆın planul (xOt). Presupunem c˘a temperatura u(x,t) este cunoscuta ˆın trei p˘ar¸tiale lui E:
S1 : {x = 0,0 ≤ t ≤ T}, S2 : {0 ≤ x ≤ l,t = 0},
S3 : {x = l,0 ≤ t ≤ T}.
Pe principii fizice ne a¸stept˘am c˘a aceste informatii ¸si faptul ca temperatura u satisface ecua¸tia
ˆın E sunt satisf˘acute pentru a determina ˆın mod unic temperatura ˆın E. Unicitatea solu¸tiei este u¸sor de stabilit ca un corolar al urm˘atorului principiu de maxim.
TEOREMA 1.
Presupunem c˘a u(x,t) satisface inegalitatea
0 (4.2)
ˆıntr-o regiune dreptunghiulara E dat˘a de (4.1). Atunci maximul lui u pe inchiderea E ∪ ∂E trebuie s˘a fie atins pe una din cele trei p˘ar¸tiS1, S2 sau S3.
Demonstra¸tie. Presupunem c˘a M este maximul valorilor lui u care sunt atinse pe S1, S2 ¸si S3. Vom presupune c˘a exist˘a un punct P(x0,t0) ˆın E unde u are o valoare M1 > M ¸si ob¸tinem astfel o contradictie. Definim func¸tia auxiliara
.
Atunci, din moment ce u ≤ M pe S1, S2 ¸si S3 avem
(4.3)
pentru toate punctele din S1, S2 ¸si S3. Mai mult
v(x0,t0) = u(x0,t0) = M1, (4.4)
¸si
0 (4.5)
ˆınˆıntreaga regiune E. Condi¸tiile (4.3) ¸si (4.4) arat˘a c˘a v trebuie s˘a-¸si atinga maximul fie ˆıntr-un punct din interiorul lui E, fie pe intervalul deschis
S4 : {0 < x < l,t = T}
Inegalitatea (4.5) arat˘a c˘a v nu poate avea un maxim ˆın interior. La un maxim pe S4 avem ∂2v/∂x2 ≤ 0, implicˆand c˘a ∂v/∂t este strict negativ. Atunci v trebuie s˘a fie mai mare mai devreme astfel ˆıncˆat maximul ˆın E nu poate fi pe S4. Vedem ˆın acest mod c˘a presupunerea u(x0,t0) > M duce la o contradictie.
Observa¸tii.
Teorema spune nu numai c˘a maximul nu poate fi atins ˆıntr-un punctinterior lui E, ci ¸si c˘a nu poate fi atins in momentul ”cel mai tˆarziu”, exceptˆand posibil capetele firului doar dac˘a nu avem u =constant˘a.
Principiul de maxim din teorema 1 nu are o forma puternica, dinmoment ce aceast˘a tehnica permite ca maximul lui u s˘a fie atins ¸si pe frontier˘a
¸si ˆın puncte interioare. Mai tˆarziu vom vedea c˘a dac˘a maximul este atins ˆın E atunci solu¸tia trebuie s˘a fie constant˘aˆıntr-o anumit˘a regiune, rezultat care include teorema 1 ca pe un caz special.
Pentru solu¸tii ale lui L[u] = 0 ob¸tinem un principiu de minim asociat cˆand ˆınlocuim u cu −u. Teorema de unicitate referita mai devreme rezult˘a atunci cu u¸surin¸t˘a.
Pentru inegalit˘a¸ti diferen¸tiale eliptice, maximul unei solu¸tii poateaparea oriunde pe frontier˘a. ˆIn cazul ecua¸tiei c˘aldurii avem un rezultat mai puternic ¸si anume: maximul poate s˘a apara numaiˆıntr-o anumit˘a por¸tiune a frontierei (dac˘a nu cumva u = constant˘a). Acest fapt este adev˘arat ¸si pentru ecua¸tii mai generale bazate pe prototipul ecua¸tiei c˘aldurii ¸si pentru domenii mai generale.
Ecua¸tia propagarii c˘aldurii ˆıntr-un obiect D omogen tridimensional este
,
unde u = u(x,y,z,t) este temperaturaˆıntr-un punct P(x,y,z) ∈ D la timpul t ¸si f este rata pierderii c˘aldurii. Ca ˆın cazul unu-dimensional, func¸tia u considerat˘a ca func¸tie de patru variabile nu poate avea un maxim local ˆıntrun punct unde
.
Acest fapt rezult˘a cˆand ne amintim c˘a la un maxim Deltau ≤ 0 ¸si ∂u/∂t = 0. Dorim s˘a extindem principiul de maxim la func¸tii u care satisfac inegalitatea nestict˘a
L[u] ≥ 0.
Cea mai simpla problem˘a tridimensionala din punctul de vedere al fizicii este aceea a unui solid fixat, m˘arginit, omogen care umple un domeniu D. Presupunem c˘a problema ˆıncepe la momentul t = 0 ¸si c˘a ini¸tial temperatura u(x,y,z,0) este o func¸tie de (x,y,z) prestabilita. Mai departe temperatura pe frontiera ∂D a lui D este prestabilita pentru toate momentele t ≥ 0. Problema curgerii c˘aldurii prive¸ste determinarea func¸tiei temperaturii u(x,y,z,t) pentru toate punctele P(x,y,z) ∈ D ¸si pentru toate momentele t > 0.
Domeniul de interesˆın spa¸tiu-timp patru-dimensional constaˆıntr-un cilindru infinit D × (0,∞). Totu¸si principiul cauzalit˘a¸tii, expus ˆın cazul unudimensional, ne permite sa restrangem domeniul considerat. Distribuirea temperaturiiˆın D in unele momente de timp T > 0 este determinat˘a de ceea ce se ˆıntampl˘a pe intervalul 0 ≤ t ≤ T. Astfel regiunea patru-dimensionala naturala de considerat este cilindrul finit D ×(0,T]. Temperatura u in acest cilindru va fi determinat˘a de L[u], de valorile lui u in D la momentul t = 0 ¸si de valorile lui u pe peretele cilindrului ∂D × (0,T].
Notˆand cilindrul D ×(0,T] cu E, ne a¸stept˘am c˘a principiul de maxim s˘a spuna c˘a u ˆı¸si atinge valoarea maxim˘a pe por¸tiunea din frontiera lui E care este fie la baza lui E, fie de-a lungul partilor ∂D × [0,T]. ˆIntr-adev˘ar, dac˘a
,
atunci deja am v˘azut c˘a maximul nu poate aparea ˆıntr-un punct interior lui E. Dac˘a maximul lui u este atins la momentul t = T ˆıntr-un punct interior lui D ajungem la o contradictie. Pentru a vedea acest lucru observ˘am c˘a ∆u ≤ 0 ˆın acest punct de maxim, astfel inegalitatea L[u] > 0 implica
ˆın acela¸si punct. Atunci u este mai mare mai devreme ¸si astfel maximul trebuie s˘a fie atins fie de-a lungul marginilor, fie la baza lui E.
Vom extinde acest principiu de maxim nu numai pentru cazul L[u] ≥ 0, ci ¸si pentru ecua¸tii ¸si domenii mai generale.
4.2 Operatorul parabolic unu-dimensional
Operatorul diferen¸tial
(4.6)
se numeste parabolic ˆıntr-un punct (x,t) dac˘a a(x,t) > 0.
Operatorul L se numeste uniform parabolic ˆıntr-un domeniu D din planul (xOt) dac˘a exist˘a o constant˘a pozitiv˘a µ astfel ˆıncat
a(x,t) ≥ µ oricare ar fi (x,t) ∈ D.
Operatorul unu-dimensional al c˘aldurii discutat ˆın sec¸tiunea 1 este uniform parabolic ˆın ˆıntreg planul (xOt), din moment ce este ob¸tinut din (4.6) luˆand a(x,t) ≡ 1 ¸si b(x,t) ≡ 0.
Fie E regiunea dreptunghiulara
E : {0 < x < A,0 < t ≤ T}
Este clar c˘a dac˘a u satisface inegalitatea stict˘a
L[u] > 0 ˆın E, (4.7)
atunci u nu poate avea un maxim local ˆın niciun punct interior, pentru c˘a ˆıntr-un punct de maxim interior ∂2u/∂x2 ≤ 0 ¸si ∂u/∂x = ∂u/∂t = 0, contrazicˆand (4.7). Mai mult, maximul lui u nu poate fi atins de-a lungul segmentului deschis formˆand limita superioar˘a a lui E – adic˘a de-a lungul lui 0 < x < A, t = T. Pentru a vedea acest lucru, observ˘am c˘a ˆıntr-un astfel de punct de maxim, ∂u/∂x = 0, ∂u/∂t ≥ 0 ¸si ∂2u/∂x2 ≤ 0.
Principiul de maxim pentru operatorul L va fi acum extins la solu¸tii ale inegalit˘a¸tii diferen¸tiale L[u] ≥ 0. Demonstra¸tia ii apartine lui Nirenberg ¸si foloseste o variatie corespunz˘atoare a metodei folosite de Hopf pentru operatori eliptici. A¸sa cum vom vedea ˆın sec¸tiunea urm˘atoare, aceast˘a demonstra¸tie este u¸sor modificata pentru a include ecua¸tii ¸si domenii mai generale. Rezultatul de baz˘a depinde de urm˘atoarele trei leme.
LEMA 1. Fie u care satisface inegalitatea diferen¸tial˘a
0 (4.8)
ˆıntr-un domeniu E al planului (xOt), unde a ¸si b sunt m˘arginite ¸si L este uniform parabolic. Fie K un disc astfel ˆıncˆat acesta ¸si frontiera s˘a ∂K sunt con¸tinute ˆın E. Presupunem c˘a maximul ˆın E al lui u este M, c˘a u < M ˆın interiorul lui K ¸si ca u = M ˆıntr-un punct Dˆın ∂K. Atunci tangenta prin D la K este paralela cu axa Ox (adic˘a P este fie punctul din vˆarf, fie punctul de la baza discului K).
Demonstra¸tie. Fie (¯x,t¯) centrul discului K ¸si fie R raza lui K. Vom presupune c˘a punctul P din ∂K nu este nici vˆarful, nici baza lui K ¸si vom ajunge la o contradictie. Putem presupune f˘ar˘a a pierde din generalitate c˘a P este singurul punct de pe frontier˘a unde u = M. Dac˘a nu, putem ˆınlocui discul K cu un disc mai mic K0 a c˘arui frontier˘a este ˆın interiorul lui K exceptˆand punctul P ˆın care frontierele celor dou˘a discuri sunt tangente. Atunci K0 are exact un punct P pe frontier˘a unde u = M, iar argumentul poate continu˘a cu K0 dac˘a este necesar.
Presupunem c˘a P are coordonatele (x1,t1) cu x1 6= ¯x. Construim un disc
K1 cu centrul ˆın P ¸si de raza R1 suficient de mic astfel ˆıncat
R1 < |x1 − x¯|,
¸si astfel ˆıncˆat K1 este inclus complet ˆın E. frontier˘a ∂K1 consta din dou˘a arce: C0 (care ˆı¸si include capetele) este intersectia lui ∂K1 cu discul ˆınchis K ∪ ∂K1 ¸si C00 este complementarul lui C0 relativ la ∂K. Din moment ce u este mai mic decˆat M pe arculˆınchis C0, poate fi g˘asit˘a o constant˘a pozitiv˘a η astfel ˆıncat
u ≤ M − η pe C0.
Mai mult, din moment ce u ≤ M ˆın E, avem c˘a
u ≤ M pe C00.
Definim func¸tia auxiliara
v(x,t) = e−α[(x−x¯)2+(t−t¯)2] − e−αR2.
Atunci, pentru valori pozitive ale lui α, v este pozitiv˘a ˆın K, zero pe ∂K ¸si negativ˘a ˆın exteriorul lui K. Calculam
L[v] = 2αe−α[(x−x¯)2+(t−t¯)2][2αa(x − x¯)2 − a − b(x − x¯) + (t − t¯)].
ˆIn discul K1 ¸si pe frontiera s˘a avem |x − x¯| ≥ |x1 − x¯| − R1 > 0 ¸si astfel e posibil s˘a alegem α suficient de mare astfel ˆıncat
L[v] > 0 pentru (x,t) ∈ K1 ∪ ∂K1.
Construim acum func¸tia
w(x,t) = u(x,t) + εv(x,t)
unde ε este o constant˘a pozitiv˘a aleasa. Observ˘am c˘a
L[w] = L[u] + εL[v] > 0 ˆın K1. (4.9)
Din moment ce u ≤ M − η pe C0, putem alege ε suficient de mic ˆıncat
w = u + εv < M pe C0.
Mai mult, din moment ce v este negativ˘a pe C00 ¸si u ≤ M, avem c˘a
w = u + εv < M pe C00.
Astfel w < M pe ˆıntreaga frontier˘a ∂K1 = C0 ∪ C00. Pe de alta parte, din moment ce v se anuleaz˘a pe ∂K, avem c˘a
w(x1,t1) = u(x1,t1) + εv(x1,t1) = u(x1,t1) = M.
Rezult˘a c˘a maximul lui wˆın K1 trebuie s˘a fie atinsˆıntr-un punct interior. Acest fapt contrazice (4.9) ¸si lema e demonstrat˘a. Observ˘am c˘a argumentul e¸sueaz˘a dac˘a P este ˆın vˆarful sau la baza lui K, pentru c˘a dac˘a x1 = ¯x nu putem alege R1 < |x1 − x¯|.
Observa¸tie. Este esen¸tial ca inegalitatea u ≤ M s˘a fie adev˘arat˘a ˆıntr-un domeniu E care contine K ∪ ∂K astfel ˆıncˆat este valida pe discul K1 ∪ ∂K1, care este partial ˆın afara lui ∂K. De exemplu func¸tia u = x2 +(t−2)2 satisface inegalitatea uxx −ut ≥ 0 pentru t ≤ 4 ¸si u < 1ˆın discul x2 +(t−2)2 < 1, dar ˆı¸si atinge valoarea maxim˘a 1 pe toata frontiera x2 + (t − 2)2 = 1. Lema 1 nu se aplic˘a din cauz˘a c˘a u > 1 ˆın afara acestui cerc. Teorema 3 arat˘a c˘a inegalitatea (4.8) trebuie doar s˘a fie valabil˘a ˆın K.
LEMA 2. Presupunem c˘a ˆıntr-un domeniu E inclus ˆın (xOt), u satisface inegalitatea L[u] ≥ 0 cu L ca ˆın lema 1. Presupunem c˘a u < M ˆıntr-un punct interior (x0,t0) ˆın E ¸si c˘a u ≤ M ˆın E. Dac˘a l este un segment orizontal oarecare ˆın interiorul lui E care contine (x0,t0) atunci u < M pe l.
Demonstra¸tie. Presupunem c˘a u = M ˆıntr-un punct interior (x1,t0) pe l
¸si c˘a u < M ˆın (x0,t0). Vom ajunge la o contradictie. Convenabil, presupunem c˘a x1 < x0 ¸si mutam x1 spre dreapta, dac˘a este necesar, astfel ˆıncˆat u < M pentru x1 < x ≤ x0. Fie d0 care ia fie valoarea x0 − x1, fie minimul distantelor de la orice punct de pe segmentul x1 ≤ x ≤ x0,t = t0 la ∂E , oricare este mai mica.
Pentru x1 < x < x1 + d0 definim d(x) ca distanta de la (x,t0) la cel mai apropiat punct ˆın E unde u = M. Din moment ce u(x1,t0) = M, d(x) ≤ x − x1. Din lema 1, cel mai apropiat punct este direct deasupra sau dedesubtul lui (x,t0). Adic˘a fie u(x,t0 +d(x)) = M, fie u(x,t0 −d(x)) = M. Din moment ce distanta de la un punct (x + δ,t0) la (x,t0 ± d(x)) este
pd(x)2 + δ2, se vede ca
. (4.10)
Presupunem acum c˘a d(x) > 0 ¸si alegem 0 < δ < d(x). ˆImp˘ar¸tim intervalul (x,x + δ) ˆın n p˘ar¸tiegale ¸si aplic˘am inegalit˘a¸tile (4.10) ¸si (4.11) ca s˘a g˘asim
.
Sumˆand de la j = 0 la n − 1 ob¸tinem
pentru orice n ˆıntreg. Cˆand n → ∞, vedem c˘a
d(x + δ) ≤ d(x)
pentru δ > 0. Cu alte cuvinte, d(x) este o func¸tie de x necrescatoare. Din moment ce d(x) ≤ x − x1, care este arbitrar de mica pentru x suficient de aproape de x1, vedem c˘a d(x) ≡ 0 pentru x1 < x < x1 + d0. Altfel spus, u(x,t0) ≡ M pe acest interval, contrar ipotezei noastre ca u < M pentru x1 < x ≤ x0. Asadar am ajuns la o contradictie legata de faptul c˘a u(x0,t0) < M, u(x1,t0) = M.
Observa¸tie. Lema 2 spune c˘a dac˘a exist˘a un singur punct interior unde u = M, atunci u ≡ M de-a lungul celui mai mare segment orizontal care contine acest punct, al c˘arui interior e inclus ˆın E.
ˆIn ceea ce urmeaza vom avea ocazia s˘a consider˘am inegalitatea diferen¸tial˘a L[u] ≥ 0 ˆıntr-o regiune de forma ET : {(x,t) ∈ E : t ≤ T} unde E este un domeniu. Vom presupune c˘a u este diferen¸tiabil˘a continu˘aˆın x ¸si t ¸si de dou˘a ori diferen¸tiabil˘a ˆın x pe ET cu ∂u(x,t)/∂T definit˘a ca o derivat˘a la stˆanga sau la dreapta.
LEMA 3. Presupunem c˘a ˆın jum˘atatea inferioar˘a Kt1 = {(x,t) : (x − x1)2 + (t − t1)2 < R2,t ≤ t1} a discului K centrat ˆın P(x1,t1) u satisface inegalitatea L[u] ≥ 0, cu L ca ˆın lema 1. Presupunem c˘a u < M ˆın por¸tiunea din K ˆın care t < t1. Atunci u(P) < M.
Demonstra¸tie. Definim func¸tia
v(x,t) = e−[(x−x1)2+α(t−t1)] − 1.
Un calcul simplu arat˘a c˘a
L[v] = e−[(x−x1)2+α(t−t1)][4a(x − x1)2 − 2a − 2b(x − x1) + α].
Alegem α pozitiv ¸si suficient de mare ca
L[v] > 0 ˆın K pentru t ≤ t1.
Parabola
(x − x1)2 + α(t − t1) = 0 (4.12)
este tangenta la linia t = t1 ˆın punctul P. Not˘am cu C0 por¸tiunea (inclusiv capetele) lui ∂K care este sub parabola (4.12) ¸si not˘am cu C00 por¸tiunea parabolei aflat˘a ˆın discul K. Regiunea ˆınchis˘a de C0 ¸si C00 o not˘am cu D. Prin ipoteza u < M pe arcul ˆınchis C0 ¸si astfel exist˘a un η > 0 astfel ˆıncat
u ≤ M − η pe C0.
Construim func¸tia w(x,t) = u(x,t) + εv(x,t),
unde ε este o constant˘a pozitiv˘a aleasa. Observ˘am c˘a v = 0 pe C00. Asadar putem alege ε suficient de mic ˆıncˆat w are propriet˘a¸tile:
L[w] = L[u] + εL[v] > 0 ˆın D,
w = u + εv < M pe C0 (iii) w = u + εv ≤ M pe C00.
Condi¸tia (i) arat˘a c˘a w nu-si poate atinge maximulˆın D. Astfel maximul lui w este M ¸si este atins in punctul P. Concluzion˘am c˘a
(4.13)
Un calcul simplu arat˘a c˘a ˆın P
0) (4.14)
Deci rezult˘a din (4.13) ¸si (4.14) ca
(4.15)
Pe de alta parte, din moment ce maximul lui u cˆand t = t1 este atins ˆın P,
Aceste inegalit˘a¸ti contrazic ipoteza c˘a L[u] ≥ 0 ¸si lema este demonstrat˘a. Pe baza lemelor precedente putem stabili urm˘atorul rezultat.
TEOREMA 2.
Fie E un domeniu ¸si presupunem c˘a in Et1 = {(x,t) ∈ E : t ≤ t1}
inegalitatea
este adev˘arat˘a, c˘a a ¸si b sunt m˘arginite ¸si c˘a L este uniform parabolic ˆın Et1. Dac˘a u ≤ M ˆın Et1 ¸si u(x1,t1) = M, atunci u = M in fiecare punct (x,t) ∈ Et1 care poate fi legat cu (x1,t0) printr-un segment orizontal ¸si unul vertical, ambele incluse in Et1.
Demonstra¸tie. Presupunem c˘a u(x1,t0) < M ¸si c˘a segmentul de dreapta l = {(x,t) : x = t1,t0 ≤ t ≤ t1} este inclus ˆın E. Fie τ cea mai mica limit˘a superioar˘a a valorilor lui u pe l astfel ˆıncˆat u(x1,t) < M. Prin continuitate, u(x,τ) = M ˆın timp ce lema 2 arat˘a c˘a exist˘a un R > 0 astfel ˆıncˆat u < M pentru |x − x1| < R, t0 ≤ t < τ. Aceasta duce la o contrazicere a lemei 3.
Observa¸tii.
Este posibil pentru o solu¸tie u a lui (4.8) s˘a-¸si atinga maximul ˆıntro regiune E f˘ar˘a s˘a fie identic o constant˘a. De exemplu, aceast˘a se va ˆıntampla ˆıntr-o problem˘a a curgerii c˘aldurii de-a lungul unui fir, dac˘a firul este ini¸tial la o temperatura uniforma M ¸si dac˘a aceast˘a aceea¸si temperatura este men¸tinut˘a la capete pˆan˘a la un moment t = t1. Atunci, dac˘a temperatura la capete este micsorata, rezult˘a c˘a solu¸tia nu mai este constant˘a. Observ˘am c˘a rezultatul teoremei 2 nu este ˆınc˘alcat. In acest context, principiul de maxim are o forma destul de diferita de cea pentru ecua¸tii eliptice.
Teorema 2 poate fi combinata cu lema 2 pentru a identifica ˆıntreagaregiuneˆın care o solu¸tie care atinge un maxim interior trebuie s˘a fie constant˘a.
O dat˘a ce ob¸tinem un punct Q ˆın care u = M, maximul s˘au, stim c˘a u = M pe cel mai mare segment orizontal din E careˆıl contine pe Q. Atunci teorema 2 arat˘a c˘a toate punctele din E de sub acest segment trebuie s˘a aiba u = M. Lema 2 arat˘a c˘a u = M pe fiecare segment orizontal continˆand un astfel de punct. Dac˘a P este un punct din E care poate fi unit cu Q printr-o cale ˆın E care consta numai din segmente orizontale ¸si verticale orientate ”in sus”, atunci u(P) = M.
(iii) Din moment ce toate lemele iauˆın calcul numai vecin˘at˘a¸ti ale punctelor interioare, este suficient s˘a presupunem c˘a a ¸si b sunt m˘arginite ¸si L este uniform parabolic ˆın fiecare submul¸time ˆınchis˘a a lui E.
Tocmai am v˘azut c˘a o solu¸tie neconstant˘a u a inegalit˘a¸tii parabolice L[u] ≥ 0 ˆı¸si poate atinge maximul numai pe anumite por¸tiuni ale frontierei.
ˆIn studiul inegalit˘a¸tilor eliptice am aflat c˘a derivatele normale la frontier˘a nu se pot anula niciodat˘aˆıntr-un punct de maxim (teorema 7, capitolul 3). Acest fapt important a fost folosit ˆın cˆateva aplica¸tii, ˆın special ˆın demonstra¸tiile teoremelor de unicitate ale solu¸tiilor ecua¸tiilor eliptice.
ˆIn anumite condi¸tii solu¸tia u a unei inegalit˘a¸ti parabolice are proprietatea c˘a derivata s˘a normal˘a la frontier˘a nu se poate anulaˆıntr-un punct de maxim.
TEOREMA 3.
Fie E o regiune ¸si Et0 = {(x,t) ∈ E : t ≤ t0}. Presupunem c˘a u
satisface ˆın E inegalitatea uniform parabolic˘a
unde a ¸si b sunt m˘arginite. Presupunem c˘a u este continu˘a diferen¸tiabil˘a ˆın punctul de pe frontier˘a P(x0,t0), c˘a u(P) = M, ca u(x,t) < M pentru (x,t) ∈ Et0, c˘a P se afl˘a pe frontier˘a unui disc K tangent la ∂E, centrat ˆın (x1,t1) cu x1 6= x0 ¸si ca por¸tiunea din K de sub t = t0, notat˘a Kt0, se afl˘aˆın Et0. Dac˘a ∂/∂ν reprezint˘a orice derivat˘a direc¸tional˘a exterioar˘a de la Et0 la P, atunci
Demonstra¸tie. Construim un disc K1 centrat ˆın P ¸si cu raza mai mica decˆat |x1−x0|. Not˘am C0 por¸tiunea din ∂K1 con¸tinut˘aˆın Kt0 incluzand ¸si capetele. Not˘am cu C00 arcul lui ∂K care este in K1 ∩Et0, observ˘am c˘a arcele C0, C00 ¸si segmentul de dreapta t = t0 formeaz˘a frontiera unei regiuni pe care o not˘am D. Alegˆand un disc mai mic decˆat K, dac˘a e necesar, putem face u < M pe C00 exceptˆand punctul P. Din moment ce u < M pe C0, putem afirma c˘a:
u < M pe C00 − {P}.
u = M ˆın P.
Exist˘a η > 0 suficient de mic astfel ˆıncˆat
u ≤ M − η pe C0.
Introducem func¸tia auxiliara
v(x,t) = e−α[(x−x1)2+(t−t1)2] − e−αR2
¸si observ˘am c˘a
L[v] = 2αe−α[(x−x1)2+(t−t1)2][2αa(x − x1)2 − a − b(x − x1) + (t − t1)].
Prin urmare, pentru α suficient de mare, avem
L[v] > 0 pentru (x,t) ∈ D ∪ ∂D.
Construim func¸tia
w = u + εv
¸si observ˘am c˘a pentru fiecare ε pozitiv, L[w] = L[u] + εL[v] > 0 ˆın D. Datorita observa¸tiei (iii) anterioare, putem alege ε suficient de mic ˆıncˆat w < M pe C0. Din moment ce v = 0 pe ∂K avem datorita lui (i)
w < M pe C00 \ P ¸si w(P) = M.
Concentrandu-ne aten¸tia asupra regiunii D, aplic˘am principiul de maxim ¸si concluzion˘am c˘a maximul lui w pe D ∪ ∂D este atins numai ˆın punctul P. De aceea, ˆın P
.
Totu¸si un calcul arat˘a c˘a
.
Conchidem c˘a ∂u/∂ν > 0 ˆın P ¸si demonstra¸tia e completa.
Observa¸tie. Rezultatul teoremei 3 poate s˘a nu fie valabil dac˘a normal˘a la ∂E este paralela cu axa Ot ˆıntr-un punct de maxim. solu¸tiile u ale inegalit˘a¸tilor parabolice pot avea regiuni ˆın care u este constant˘a. Frontiera unei astfel de regiuni este perpendiculara pe direc¸tia t ¸si, din moment ce u este continu˘a diferen¸tial˘a, va avea o derivat˘a normal˘a care se anuleaz˘a de-a lungul ˆıntregii frontiere a domeniului ˆın care u = constant˘a.
Consider˘am acum principiul de maxim pentru inegalit˘a¸ti de forma (L + h)[u] ≥ 0, unde L este uniform parabolic ¸si h este o func¸tie prescris˘a de x ¸si
t. Urm˘atorul rezultat este analog teoremelor 6 ¸si 8 din capitolul 3.
TEOREMA 4.
Presupunem c˘a ipoteza teoremei 2 este adev˘arat˘a ˆıntr-o regiune E ¸si c˘a h ≤ 0 ˆın E. Dac˘a maximul M al lui u este atins ˆıntr-un punct interior (x1,t1) ¸si dac˘a M ≥ 0 atunci u = M pe toate segmentele de dreapta t = constant ale lui E care se afl˘a direct sub segmentul orizontal din E care contine (x1,t1). Dac˘a un maxim nenegativ M apare ˆıntr-un punct P de pe frontier˘a, concluzia teoremei 3 este valabil˘a ˆın P.
Demonstra¸tie. Urmam exact acela¸si drum ca ¸si ˆın demonstra¸tia teoremelor
2 ¸si 3. ˆIn leme am ales parametrul α ˆın func¸tia auxiliara v suficient de mare ˆıncat (L + h)[v] > 0. Din cauz˘a c˘a h ≤ 0, vedem c˘a (L + h) ≤ 0 ˆıntr-un maxim nenegativ al lui w. Restul argumentului este acela¸si ca ˆın teorema 2 ¸si teorema 3.
Pentru solu¸tii ale lui (L + h)[u] ≤ 0 exist˘a un principiu de minim asociat dac˘a minimul nu este nepozitiv. Rezultatul iese aplicˆand teorema 4 lui (−u).
4.3 Operatorul parabolic general
Operatorul
este parabolic ˆın (x,t) ≡ (x1,x2,…,xn,t) dac˘a pentru t fixat operatorul constˆand din prima suma este eliptic in (x,t). Adic˘a L este parabolic dac˘a exist˘a un num˘ar µ > 0 astfel ˆıncat
(4.16)
pentru toate n-tuplurile de numere reale (ξ1,ξ2,…,ξn). Operatorul L este uniform parabolic ˆıntr-o regiune ET dac˘a (4.16) este adev˘arat˘a pentru acela¸si num˘ar mu > 0 pentru to¸ti (x,t) ∈ ET .
TEOREMA 5.
Fie u satisf˘acˆand inegalitatea diferen¸tial˘a uniform parabolic˘a:
0 (4.17)
ˆıntr-o regiune ET = {(x1,x2,…,xn,t) ∈ E : t ≤ t¯} unde E este un domeniu ¸si presupunem coeficien¸tii lui L m˘argini¸ti. Presupunem c˘a maximul lui u ˆın Et¯ este M ¸si c˘a este atins ˆıntr-un punct P(x,t) din Et¯. Astfel, dac˘a Q este un punct ˆın E care poate fi unit cu P printr-o cale ˆın E constˆand numai din segmente orizontale ¸si segmente verticale ˆın sus, atunci u(Q) = M.
Demonstra¸tie. Acest rezultat deriva ˆın acela¸si mod ca ˆın teorema 2. Din moment ce primul termen al operatorului L este operator eliptic in spa¸tiul n-dimensional, o transformare de coordonate reduce aceast˘a parte a operatorului la operatorul lui Laplace ˆıntr-un singur punct (teorema 4, capitolul 3). Rezult˘a c˘a solu¸tia lui L[u] > 0 nu poate avea un maxim ˆın Et¯. Pentru a extinde acest rezultat la solu¸tii ale lui L[u] ≥ 0, stabilim analoagele lemelor 1, 2 ¸si 3 din sec¸tiunea 2. ˆInlocuim func¸tia auxiliara v din demonstra¸tia lemei 1 cu
.
Func¸tia auxiliara corespunz˘atoare celei din lema 3 este
.
ˆInlocuim discurile cu bile (n+1)-dimensionale ¸si parabola (4.12) din sec¸tiunea 2 cu hiperparaboloidul
.
Observa¸tie. Teorema 5 e adev˘arat˘a dac˘a punctul P(¯x,t¯) e pe o componenta orizontala E(t¯) a frontierei ∂E a lui E, tinˆand cont de faptul c˘a u ¸si derivatele ∂u/∂xi, ∂2u/(∂xi∂xj) ¸si ∂u/∂t sunt toate continue pe E ∪ E(t¯).
Urm˘atoarea teorema este o extensie direct˘a la (n + 1) dimensiuni a teoremei 3.
TEOREMA 6. Fie u care satisface inegalitatea uniform parabolic˘a (4.17) cu coeficien¸ti m˘argini¸ti ˆıntr-un domeniu E ¸si definim Et¯ = {(x,t) ∈ E : t ≤ t¯}. Presupunem c˘a maximul M al lui u este atins ˆıntr-un punct P(x,t¯) de pe frontiera ∂E. Presupunem c˘a poate fi construit˘a o sfera care contine P ¸si este tangenta la ∂E ˆın P astfel ˆıncat partea din interiorul s˘au unde t ≤ t¯se afl˘aˆın Et¯, ¸si ca u < M ˆın Et¯. De asemenea presupunem c˘a direc¸tia radiala din centrul sferei la P nu este paralela cu axa Ot. Atunci dac˘a ∂/∂ν reprezint˘a orice derivat˘a direc¸tional˘a ˆıntr-o direc¸tie spre exteriorul lui Et¯ avem
Caˆın teorema 4 putem aplica demonstra¸tiile teoremelor 5 ¸si 6 unor solu¸tii ale inegalit˘a¸tii diferen¸tiale (L + h)[u] ≥ 0 cu h ≤ 0 cˆand M ≥ 0. Ob¸tinem atunci urm˘atoarea teorema.
TEOREMA 7.
Concluziile teoremelor 5 ¸si 6 sunt adev˘arate dac˘a u este solu¸tie a inegalit˘a¸tii (L + h)[u] ≥ 0 ˆın condi¸tiile ˆın care h ≤ 0 ¸si M ≥ 0.
Observa¸tii.
Dac˘a u(x) satisface inegalitatea eliptic˘a
ˆıntr-un domeniu D din spa¸tiul Ox, ˆın mod evident satisface inegalitatea parabolic˘a
ˆın mul¸timea D × (0,T] din spa¸tiul (xOt). Dac˘a u ˆı¸si atinge un maxim M
ˆıntr-un punct interior x0 ˆın D sau pe ∂D, ˆı¸si atinge acest maxim ˆın punctul (x0,T/2) ∈ D × (0,T] sau pe ∂D × (0,T]. Astfel teoremele 5, 6 ¸si 7 implica principii de maxim corespunz˘atoare pentru inegalit˘a¸ti eliptice.
Schimbarea de variabil˘a v = ue−λt ˆınlocuie¸ste inegalitatea (L+h)[u] ≥ 0 cu (L+h−λ)[v] ≥ 0. Dac˘a h e m˘arginit˘a superior putem alege λ suficient de mare pentru ca h − λ ≤ 0, astfel ˆıncˆat lui v i se aplic˘a un principiu de maxim. ˆIn particular rezult˘a ca teorema 7 cu M = 0 este adev˘arat˘a f˘ar˘a restic¸ta h ≤ 0.
4.4 Teoreme de unicitate pentru probleme cu condi¸tii la limit˘a
Fie E un domeniu dreptunghiularˆın planul (xOt) determinat de inegalit˘a¸tile
c < x < d, ¸si 0 < t < T.
Punem problema determin˘arii unei func¸tii v(x,t) care satisface ecua¸tia uniform parabolic˘a
(4.18) ¸si condi¸tiile la limit˘a
v(x,0) = g1(x) pentru c ≤ x ≤ d,
v(c,t) = g2(t) pentru 0 ≤ t < T, (4.19)
v(d,t) = g3(t) pentru 0 ≤ t < T.
Func¸tia f este prescris˘aˆın E cu func¸tiile gi, i = 1,2,3 date pe domeniile lor de defini¸tie respective.
Ca ˆın cazul ecua¸tiilor eliptice nu vom cerceta condi¸tiile referitoare la coeficien¸tii din ecua¸tia (4.18) ¸si la condi¸tiile la limit˘a (4.19) care garanteaza existenta unei solu¸tii v(x,t), ci vom ar˘ata c˘a este posibil s˘a stabilim unicitatea unei solu¸tii numai cu ajutorul principiului de maxim. Adic˘a vom demonstra c˘a poate exista cel mult o solu¸tie a ecua¸tiei (4.18) care satisface condi¸tiile la limit˘a (4.19).
Pentru a stabili acest rezultat presupunem c˘a v1 ¸si v2 sunt dou˘a func¸tii care satisfac (4.18) ¸si (4.19) cu acelea¸si func¸tii f ¸si gi, i = 1,2,3. Definim
u = v1 − v2
¸si observ˘am c˘a
¸si
u(x,0) = 0 pentru c ≤ x ≤ d, u(c,t) = u(d,t) = 0 pentru 0 ≤ t < T.
Conform principiului de maxim din teorema 2, u nu poate avea un maxim pozitiv ˆın E ¸si astfel u ≤ 0 peste tot. Aplicˆand acela¸si ra¸tionament pentru (−u) ob¸tinem u ≥ 0 ˆın E. Asadar
u = v1 − v2 ≡ 0 ˆın E.
Rezultatul pe care l-am stabilitˆın cazul unu-dimensional va fi acum extins la solu¸tii ale ecua¸tiilor parabolice generale cu condi¸tii la limit˘a mai pu¸tin restrictive.
Consider˘am un domeniu m˘arginit D ˆın spa¸tiul euclidian n-dimensional
¸si un interval [0,T] pe axa Ot. Fie ET reprezentand regiunea (n + 1)dimensionala D×(0,T]. Por¸tiunea frontierei lui E constˆand din ∂D×(0,T) o not˘am cu Γ.
TEOREMA 8.
Fie u o solu¸tie a ecua¸tiei uniform parabolice
ˆın E ¸si fie coeficien¸tii lui L m˘argini¸ti. Presupunem c˘a u(x,t) ≡ u(x1,x2,…,xn,t) satisface condi¸tiile la limit˘a
) (4.22)
pentru to¸ti (x,t) pe Γ unde ∂/∂ν este o derivat˘a direc¸tional˘a oarecare, orientata spre exteriorul lui Γ. Presupunem c˘a α ≥ 0, β ≥ 0 pe Γ, ca α2 + β2 > 0 ˆın fiecare punct ¸si c˘a h(x,t) este m˘arginit˘a superior. Dac˘a v este alta solu¸tie a lui (4.20) care satisface acelea¸si condi¸tii la limit˘a (4.21) ¸si (4.22), atunci v ≡ u ˆın E.
Demonstra¸tie. Rezultatul este o simpla aplica¸tie a principiului de maxim. Definim
w = u − v.
Atunci w satisface
(L + h)[w] = 0,
¸si condi¸tiile ini¸tiale ¸si cele la limit˘a
= 0 pe Γ. (4.23)
Din observa¸tia (ii) de la sfarsitul sectiunii 3 putem presupune f˘ar˘a a pierde din generalitate c˘a h(x,t) ≤ 0. Conform teoremei 7 maximul lui u trebuie s˘a fie atins fie cˆand t = 0, fie pe Γ. Dac˘a maximul lui w este pozitiv atunci trebuie s˘a fie atins pe Γ. Totu¸si teorema 7 afirm˘a c˘a ˆıntr-un astfel de punct de maxim ∂w/∂ν > 0. Din moment ce α ¸si β nu se pot anula simultan,
condi¸tia
este ˆInc˘alcat˘a ˆıntr-un maxim pozitiv. Astfel w ≤ 0 ˆın E. Aplicˆand acela¸si ra¸tionament pentru (−w) g˘asim w ≥ 0. Prin urmare w = u − v ≡ 0 in E.
Observa¸tii.
Observ˘am c˘a dac˘a α ≡ 1, β ≡ 0 atunci problema (4.20), (4.21), (4.22) este o generalizare a problemei cu condi¸tii la limit˘a unu-dimensionale pentru un dreptunghi.
Teorema 8 este adev˘arat˘a pentru domenii E mai generale. ˆIn particular domeniul D se poate muta cu timpul ˆın condi¸tiile ˆın care punctele de pe frontiera s˘a se misca avˆand o viteza finit˘a. (iii) Faptul c˘a unicitatea solu¸tiilor este adev˘arat indiferent de semnul lui h este ˆın contrast cu problemele cu condi¸tii la limit˘a pentru ecua¸tii eliptice, unde pot aparea valori proprii.
4.5 Principiul Phragm`en – Lindel¨of
ˆIn sec¸tiunea 9, capitolul 3 am discutat despre solu¸tii ale ecua¸tiilor eliptice ˆın domenii nem˘arginite. Am v˘azut c˘a problemele cu condi¸tii la limit˘a sunt rezolvabile ˆın mod unic numai cˆand solu¸tiile trebuie s˘a satisfac˘a anumite condi¸tii la infinit. O situa¸tie similara apare pentru solu¸tiile ecua¸tiilor parabolice. In aceast˘a sec¸tiune stabilim un principiu de maxim pentru func¸tii care satisfac o inegalitate parabolic˘a ˆıntr-un domeniu nem˘arginit.
Fie D un domeniu nem˘arginit ˆın spa¸tiul euclidian n-dimensional. Consider˘am func¸tia u(x,t) ≡ u(x1,x2,…,xn,t) definit˘a ˆın regiunea E = D × (0,T). Presupunem c˘a ˆın E func¸tia u satisface inegalitatea diferen¸tial˘a
(4.25)
Principiul de maxim dat de teorema 7 este aplicabil func¸tiei u. Totu¸si, din moment ce E este nem˘arginit, nu putem concluziona ˆıntotdeauna c˘a maximul lui u este atins fie la t = 0, fie pe ∂D × (0,T), ca ˆın cazul domeniilor m˘arginite. Desigur, dac˘a u → 0 cˆand uniform ˆın t pentru 0 ≤ t ≤ T ¸si dac˘a u ≤ 0 pentru t = 0 ¸si pe ∂D×(0,T), atunci rezult˘a cu teorema 7 c˘a u ≤ 0 ˆın E. Astfel putem localiza valoarea maxim˘a pentru aceste func¸tii care tind la o limit˘a cˆand x → ∞.
TEOREMA 10.
Fie D un domeniu nem˘arginit ˆın spa¸tiul n-dimensional ¸si fie E domeniul D × (0,T). Presupunem c˘a u satisface (L + h)[u] ≥ 0 ˆın E cu L operator uniform parabolic de forma (4.25) cu coeficien¸ti m˘argini¸ti ¸si cu h(x,t) m˘arginit˘a ˆın E. Presupunem c˘a u satisface condi¸tia de cre¸stere
0 (4.26)
pentru o constant˘a pozitiv˘a c. Dac˘a u ≤ 0 pentru t = 0 ¸si u ≤ 0 pe ∂D × (0,T), atunci u ≤ 0 ˆın E.
Demonstra¸tie. Fie¸si definim func¸tia
v(x,t) = u(x,t)e−cyr2/(y−ct)−βt,
unde c este constant˘a din (4.26) ¸si β, y sunt constante de determinat. g˘asim printr-un calcul ca
,
unde
.
Din moment ce coeficien¸tii din operatorul parabolic L sunt margini¸ti, exist˘a o constant˘a M astfel ˆıncat
n
X 2
aijxixj ≤ Mr .
i,j=1
Prin urmare
.
Definim acum constantele
Atunci, cˆat timp (y − ct) > 0, func¸tia H(x,t) satisface inegalitatea
Acum alegem y suficient de mic ˆıncˆat expresia dintre primele paranteze din dreapta de deasupra este ˆıntotdeauna pozitiv˘a pentru t ∈ [0,y/2c]. Mai departe alegem β suficient de mare ca expresia din al doilea set de paranteze s˘a fie ˆıntotdeauna pozitiv˘a. Deci pentru aceste alegeri ale lui β ¸si y avem c˘a H(x,t) ≤ 0 ˆın D × [0,y/2c].
Not˘am cu DR por¸tiunea lui D din interiorul bilei.
Din teorema 7 func¸tia v(x,t) nu poate avea un maxim pozitiv ˆıntr-un punct interior lui DR × [0,y/2c]. Oricare ar fi ε > 0 condi¸tia (4.26) arat˘a c˘a v < ε pe ∂DR × [0,y/2c] pentru R arbitrar de mare; de asemenea v ≤ 0 pentru t = 0. Asadar v < ε ˆın DR × [0,y/2c]. Lasand R → infty ¸si ε → 0, g˘asim c˘a v ≤ 0 ˆın D × [0,y/2c]. ˆIn particular, v(x,y/2c) ≤ 0 pentru x ∈ D. Acum ˆıntregul argument de deasupra poate fi repetat cu t = y/2c ca suprafa¸t˘a ini¸tial˘a ˆın loc de t = 0. Astfel ob¸tinem v ≤ 0 ˆın D × [y/2c,2(y/2c)]. ˆIntr-un num˘ar finit de pasi ob¸tinem c˘a v ≤ 0 ˆın E ¸si deci c˘a u ≤ 0 ˆın E.
Observa¸tii.
Din detaliile demonstra¸tiei vedem c˘a e suficient s˘a presupunem c˘a
¸si h sunt m˘arginite superior. Mai mult, dac˘a h satisface h < K(1+r2δ) unde K este o constant˘a ¸si 0 < δ < 1 este u¸sor de v˘azut c˘a
h ≤ K[1 + (y/δ)−δ/(1−δ)(1 − δ) + yr2],
¸si demonstra¸tia ˆınc˘a poate fi dusa mai departe.
Dac˘a h(x,t) ≡ 0 atunci putem s˘a sc˘adem orice constant˘a din u ¸si s˘a aplic˘am teorema 10 pentru a concluziona c˘a u trebuie s˘a ˆı¸si atinga maximul pozitiv sau negativ fie cˆand t = 0, fie pe ∂D×[0,T]. Dac˘a h(x,t) ≤ 0, acela¸si lucru poate fi f˘acut pentru un maxim negativ.
Pentru func¸tii care satisfac (L + h)[u] ≤ 0 avem un principiu de minim corespunz˘ator. Analog cu rezultatul pentru operatori eliptici, numim teorema 10 principiul Phragm`en-Lindel¨of.
O consecin¸t˘a imediat˘a a T10 este urm˘atorul rezultat de unicitate.
bf TEOREMA 11.
Fie u(x,t), v(x,t) solu¸tiile lui
(L + h)[u] = f(x,t) ˆın D × (0,T)
(D nem˘arginit) ¸si presupunem c˘a u ¸si v sunt continue pe (D ∪ ∂D) × [0,T].
Presupunem c˘a u(x,0) = v(x,0) = g1(x) ˆın D
u(x,t) = v(x,t) = g2(x,t) pe ∂D × [0,T]
¸si mai departe c˘a ambele |u| ¸si |v| satisfac relatia (4.26) pentru o constant˘a c > 0. Atunci u ≡ v ˆın D × [0,T].
Demonstra¸tie. Definim w = u − v ¸si observ˘am c˘a teorema 10 i se poate aplica lui w. Astfel w ≤ 0 ˆın D × [0,T]. Acela¸si argument se aplica pentru (−w) ¸si astfel w ≡ 0.
Observa¸tii.
Am presupus aici ¸si ˆın teorema 8 c˘a valorile ini¸tiale ¸si la frontier˘asunt luate ˆın cazul continuu. Nu este suficient s˘a presupunem, de exemplu, c˘a u este continu˘a ˆın t pentru fiecare x. Adic˘a rezultatul este fals dac˘a presupunem doar ca
) pentru fiecare x fixat ˆın D.
Pentru a vedea acest lucru lasam L = ∂2/∂x2 − ∂/∂t ¸si alegem
u = xt−3/2e−x2/4t.
Atunci u satisface L[u] = 0 pentru to¸ti t > 0 ¸si −∞ < x < ∞. De asemenea vedem c˘a limt→0 u(x,t) = 0 pentru fiecare num˘ar real x fixat. Totu¸si u nu este identic zero. Func¸tia de mai sus este de fapt nem˘arginit˘a ˆın fiecare vecin˘atate a lui (0,0).
Principiul Phragm`en-Lindel¨of (teorema 10) ¸si rezultatul de unicitate(teorema 11) pot fi extinse la solu¸tii ale inegalit˘a¸tilor ¸si ecua¸tiilor parabolice care satisfac condi¸tiile la limit˘a mai generale
.
Rezultatul anterior ¸si demonstra¸tiile sunt analoage celor folosite ˆındemonstrarea principiului Phragm`en-Lindel”of pentru operatori eliptici. De fapt putem continu˘a peste ˆıntreaga teorie eliptic˘a f˘ar˘a schimbari ¸si s˘a g˘asim acele mul¸timi exceptionale unde datele despre limit˘a pot fi, ˆın condi¸tii corespunz˘atoare, neprescrise. Este interesant de v˘azut c˘a dac˘a o func¸tie u(x) satisface o inegalitate eliptic˘a (L+h)[u] ≥ 0 atunci, din moment ce u e independent˘a de t, evident satisface inegalitatea parabolic˘a (L+h−∂/∂t)[u] ≥ 0. Presupunem c˘a avem o teorema Phragm`en-Lindel”of care spune c˘a o solu¸tie neconstant˘a v a lui (L+h−∂/∂t)[v] ≥ 0ˆın D×(0,T) este,ˆın aceast˘a mul¸time, mai mica decˆat maximul s˘au fieˆın D cˆand t = 0, fie pe submul¸timea S×(0,T) a frontierei laterale ∂D × (0,T). Atunci e clar c˘a u(x) e mai mic in D decˆat maximul s˘au pe S. Astfel, dac˘a (∂D −S)×(0,T) este o mul¸time exceptionala pentru operatorul parabolic L+h−∂/∂t, atunci ∂D −S este o mul¸time exceptionala pentru operatorul eliptic L.
Pe de alta parte, dac˘a avem o secvent˘a de func¸tii pozitive wk care poate fi folosit˘a pentru a stabili un principiu Phragm`en-Lindel¨of (teorema 10, capitolul 3) pentru operatorul eliptic L + h cu mul¸timea exceptionala ∂D − S, acelea¸si func¸tii stabilesc un principiu Phragm`en-Lindel¨of pentru L+h−∂/∂t ˆın mul¸timea exceptionala (∂D − S) × (0,T).
O teorema a singularitatii inlaturabile poate fi ob¸tinut˘a pentru ecua¸tiiparabolice ˆın acela¸si fel ca pentru ecua¸tii eliptice in capitolul 3 sec¸tiunea 9, ˆın condi¸tiile ˆın care e cunoscuta o teorema de tip Phragm`en-Lindel¨of ¸si o problem˘a ˆın condi¸tii la limit˘a potrivita poate fi rezolvat˘a.
Capitolul 5
Principiul de maxim
5.1 Preliminarii
Fie o mul¸time deschis˘a Ω ˆın Rn.
(5.1.1) Forma cea mai clasic˘a a principiului de maxim este urm˘atoarea:
presupunem c˘a Ω este conexa ¸si fie u o func¸tie armonic˘a pe Ω, atunci fie u este constant˘a pe Ω, fie
inf u < u(x) < supu,∀x ∈ Ω
(altfel spus ea nu-¸si atinge maximul (nici minimul) ˆın niciun punct din Ω).
(5.1.2) Inegalitatea lui Harnack. Fie u(x,y) o func¸tie armonic˘a nenegativ˘a definit˘a ˆıntr-un domeniu D ¸si fie S o mul¸time ˆınchis˘a m˘arginit˘a inclusa ˆın D. Atunci exist˘a o constant˘a pozitiv˘a A depinzˆand de S ¸si D, dar nu ¸si de u astfelˆıncˆat pentru fiecare pereche de puncte P ¸si Q din S avem
Au(P) ≤ u(Q) ≤ A−1u(P).
Putem exprima aceast˘a inegalitate sub forma urm˘atoare:
presupunem Ω conexa ¸si fie K o submul¸time compacta a lui Ω; exist˘a o constant˘a C astfel ˆıncˆat pentru u armonic˘a ¸si pozitiv˘a pe Ω, are loc inegalitatea
maxu ≤ C minu.
K K
De vreme ce dac˘a u este armonic˘a, la fel este ¸si λu + µ ¸si (5.1.1) respecta proprietatea:
presupunem c˘a Ω e conexa ¸si definim o func¸tie u armonic˘a ¸si pozitiv˘a pe Ω, atunci dac˘a exist˘a x ∈ Ω astfel ˆıncat u(x) = 0 atunci u ≡ 0, prprietate implicata trivial de (5.1.2).
O consecin¸t˘a imediat˘a a principiului de maxim (5.1.1) este unicitatea problemei Dirichlet pentru Laplacian.
(5.1.3) Presupunem c˘a Ω este m˘arginit˘a ¸si fie o func¸tie u armonic˘a pe Ω ¸si continu˘a pe Ω¯, atunci
u = 0 pe ∂Ω implica u = 0 pe Ω.
O func¸tie subarmonic˘a pe Ω este o aplica¸tie u : Ω → [−∞,∞] care verific˘a: pentru orice mul¸time deschis˘a Ω0 relativ compacta ˆın Ω ¸si orice func¸tie u0 ∈ C(Ω)¯ armonic˘a pe Ω0,
u ≤ u0 pe ∂Ω0 implica u ≤ u0 pe Ω0.
(5.1.4) Principiul de maxim tare. Presupunem Ω conexa ¸si fie o func¸tie u subarmonic˘a pe Ω. Atunci fie u e constant˘a pe Ω, fie
u(x) < supΩ, oricare ar fi x ∈ Ω.
Acesta implica trivial principiul de maxim slab.
(5.1.5) Presupunem Ω m˘arginit˘a ¸si fie o func¸tie u subarmonic˘a
(respectiv armonic˘a)pe Ω ¸si s.c.s (respectiv continu˘a) pe Ω¯, atunci
(respectiv ¸si .
Dac˘a u ∈ C2(Ω), atunci u este subarmonic˘a pe Ω dac˘a ¸si numai dac˘a ∆u(x) ≥ 0, oricare ar fi x ∈ Ω. O alta forma mai slaba a lui (5.1.4) este deci proprietatea locala care rezult˘a imediat:
(5.1.6) Fie u ∈ C2(Ω) ¸si x ∈ Ω, atunci
u(x) = maxu implica ∆u(x) ≤ 0.
Vom vedea c˘a aceast˘a proprietate este ˆın relatie direct˘a cu principiul de maxim pentru operatorul c˘aldurii (∂/∂t − ∆) ¸si cu disipativitatea Laplacianului pentru norma uniforma.
5.2 Principiul de maxim parabolic ¸si disipativitate
Fie 0 < T < ∞ ¸si not˘am Q = Ω × [0,T]. Numim frontiera parabolic˘a a lui Q cantitatea
∂pQ = Ω × {0} ∪ ∂Ω × [0,T].
Ne-am propus ca Cm,1(Q) = C1([0,T];C(Ω)) ∩ C([0,T];Cm(Ω)). Fiind dat un spa¸tiu local compact X (X = Ω,Ω¯,Q,etc…, nu neaparat m˘arginite), definim
C0(X) = {u ∈ C(X);∀ε > 0,{x ∈ X;|u(x)| ≥ ε} e compacta ˆın X},
e un subspa¸tiu ˆınchis al lui
Cb(X) = {u ∈ C(X);u m˘arginit˘a pe X}
Observa¸tie. Dac˘a X = Ω deschis˘a ¸si m˘arginit˘a (respectiv nem˘arginit˘a) pe Rn, C0 este de fapt mul¸timea
{u ∈ C(Ω)¯ ;u = 0 pe ∂Ω (respectiv ¸si lim u(x) = 0)}.
|x|→∞ Dac˘a X = Ω, atunci
C0(X) = C(Ω) (¯ respectiv {u ∈ C(¯(Ω)); lim u(x) = 0}).
|x|→∞
Cˆand Ω este m˘arginit˘a, {u ∈ C()Ω;¯ u = 0 pe ∂pQ} se identifica cu C0(X) cu X = Ω × [0,T]; dac˘a Ω este nem˘arginit˘a, pentru X = Ω × [0,T],
C0(X) = {u ∈ C(Ω)¯ ;u = 0 pe ∂pQ ¸si lim u(x,t) = 0 uniform raportat la t}
|x|→∞
Observ˘am de asemenea c˘a C0(X) este aderenta in Cb(X) ˆın spa¸tiul func¸tiilor continue cu suport compact ˆın X.
TEOREMA 1.
Fie P un operator diferen¸tial de ordin m cu coeficien¸ti reali continui pe Ω ¸si c ∈ R. Urm˘atoarele afirma¸tii sunt echivalente: (i) P e de ordin m ≤ 2, adic˘a
¸si verific˘a
XX
ajk(x)ξjξk ≥ 0 (5.1) j k
¸si
a0(c) ≤ c,∀x ∈ Ω,∀ξ ∈ Rn;
pentru to¸ti u ∈ Cm(Ω) ¸si x ∈ Ω
u(x) = maxu ≥ 0 ⇒ Pu(x) ≤ cu(x);
pentru to¸ti u ∈ Cm(Ω) ∩ C0(Ω) ¸si λ > 0 cu λc < 1,
kukL∞ ≤ (1 − λc)−1ku − λPukL∞;
pentru to¸ti u ∈ Cm,1(Q) ∩ C([0,T];C0(Ω)),
;
coeficientul a0 = P verific˘a a0(x) ≤ c pentru orice x ∈ Ω ¸si pentru to¸ti u ∈ Cm,1(Q), pe Q ¸si u+ ∈ C0(Q¯ \ ∂pQ) ⇒ u ≤ 0 pe Q (u+ = max{u,0});
pentru orice mul¸time deschis˘a ¸si m˘arginit˘a Ω0 ⊂ Ω ¸si u ∈
Cm,1(Q0) ∩ C(Q¯0), unde Q0 = Ω0 × [0,T],
pe .
Demonstra¸tia va urmari schema urm˘atoare:
(v) ⇒ (iv) ⇒ (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i) ⇒ (ii) ⇒ (v) ¸si (vi)
⇑
(vi)
Demonstra¸tie.
Demonstra¸tia (v)⇒(iv).
Fiind dat u ∈ Cm,1(Q) ∩ C([0,T];C0(Ω)), consider˘am
.
Avem ¯u ∈ Cm,1(Q), ¯u+ ∈ C0(Q¯ \ ∂pQ),
.
Utilizˆand a0 ≤ c pe Ω, avem . Astfel, utilizˆand (v), ¯u ≤ 0 pe
Q. Prin continuitate,
ˆInlocuind u cu −u, ob¸tinem astfel relatia (iv).
Demonstra¸tia (iv)⇒(iii).
Fiind date u0 ∈ Cm(Ω) ∩ C0(Ω) ¸si λ > 0, consider˘am
u(x,t) = et/λu0(x).
Avem u ∈ Cm,1(Q) ∩ C([0,T];C0(Ω)) ¸si
.
Utilizˆand (iv)
.
Presupunem λc < 1, deci
(eT/λ − ecT )ku0kL∞ ≤ (1 − λc)−1(eT/λ − ecT )ku0 − λPu0kL∞ de unde rezult˘a (iii) ˆımp˘ar¸tind cu eT/λ − ecT > 0.
Demonstra¸tia (iii) sau (vi)⇒(ii).
Fie u ∈ Cm(Ω) ¸si x0 ∈ Ω cu u(x0) = maxu ≥ 0. Vedem dac˘a v(x) = ρ(x)[u(x) + ε], unde ε > 0 ¸si ρ ∈ D(Ω)
verific˘a
suppρ ⊂ {x ∈ Ω;u(x) ≥ −ε},
0 ≤ ρ(x) < ρ(x0) = 1 pentru to¸ti x ∈ Ω \ {x0} ¸si
Dαρ(x0) = 0 pentru to¸ti α ∈ Nn cu 0 < |α| ≤ m.
Avem v ∈ Cm(Ω) ∩ C0(Ω),
0 ≤ v(x) < v(x0) = u(x0) + ε pentru to¸ti x ∈ Ω \ {x0} ¸si
Pv ∈ C0(Ω), Pv(x0) = Pu(x0) + εa0(x0).
Presupunem c˘a are loc (iii). Fiind dat λ > 0 cu λc < 1, consider˘am
xλ ∈ Ω, |v(xλ) − λPv(xλ)| = kv − λPvkL∞.
Avem kvkL∞ = v(x0) ≥ v(xλ) = |v(xλ)| ≥ kvkL∞ − 2λkPvkL∞.
Astfel v(xλ) → v(x0) cˆand λ → 0. Utilizˆand faptul c˘a v(x0) este un maxim strict al lui v, xλ → x0 cˆand λ → 0. Acum avem
v(xλ) − λPv(xλ) → v(x0) > 0 cˆand λ → 0
¸si deci pentru λ suficient de mic,
v(xλ) − λPv(xλ) = kv − λPvkL∞.
Avem acum din (iii):
.
Trecˆand la limit˘a, Pv(x0) ≤ cv(x0), adic˘a
Pu(x0) ≤ cu(x0) + ε[c − a0(x0)].
Facˆand ε → 0, ob¸tinem (ii).
Presupunem acum c˘a este adev˘arat˘a (vi). Presupunem prin absurd ca
Pu(x0) > cu(x0). Pentru ε > 0 suficient de mic, vom avea de asemenea Pv(x0) > cv(x0); prin continuitate, exist˘a 0 < r0 < dist(x0,∂Ω) ¸si c0 > c astfel ˆıncat
Pv ≥ c0v pe Ω0 = {|x − x0| < r0}. Punem problema dac˘a w(x,t) = ec0tv(x); avem
,
ceea ce contrazice (vi).
Demonstra¸tia (ii)⇒(i).
Presupunem c˘a este adev˘arat˘a (ii). Ar˘at˘am c˘a P = PaαDα este de ordin m ≤ 2. Fiind dat x0 ∈ Ω ¸si α ∈ Nn cu |α| > 2, alegem λ ∈ R ¸si ρ ∈ D(Ω)
care verific˘a
0 ≤ ρ ≤ 1,ρ = 1 ˆıntr-o vecin˘atate a lui
astfel ˆıncˆat func¸tia
verific˘a u ∈ D(Ω), u(x0) = 1 = maxu ¸si
pentru |β| > 2.
Folosind (ii), avem Pu(x0) = c(x0) + λaα(x0) ≤ c, unde c(x0) = X aβ(x0)Dβu(x0) este independent˘a de λ.
|β|≤2
Facˆand λ ∈ R variabil, deducem c˘a aα(x0) = 0.
Ar˘at˘am acum c˘a P verific˘a (5.1). Fiind dat x0 ∈ Ω, consider˘am pentru λ ≥ 0 ¸si ξ ∈ R func¸tia
;
avem u(x0) = maxu = λ,
.
Folosind (ii), avem
Pu(x0) = λa0(x0) − XXajk(x0)ξjξk ≤ λc,
j k
adic˘a (5.1).
Presupunem acum c˘a (i) e adev˘arat˘a ¸si alegem u ∈ C2(Ω) ¸si x0 ∈ Ω cu u(x0) = maxu ≥ 0. Valorile proprii λ1,λ2,…,λn ale matricei reale simetrice (ajk(x0)) sunt reale pozitive sau nule. Consider˘am ( o baz˘a ortonormat˘a de vectori proprii asociati; ˆın raport cu coordonatele ) ˆın aceast˘a baz˘a, P se scrie
unde . ˆIntrucˆat u ˆı¸si atinge un maxim ˆın x0,
0; astfel
.
Demonstra¸tia (ii)⇒(v) ¸si (vi).
Presupunem c˘a este adev˘arat˘a relatia (ii) ¸si ar˘at˘am astfel (v). Alegem
u ∈ Cm,1(Q) cu .
Presupunem prin absurd c˘a exist˘a (x0,t0) ∈ Q astfel ˆıncat u(x0,t0) > 0. Fiind dat c0 > c, consider˘am v(x,t) = e−c0ty(x,t); ob¸tinem
v+ ∈ C0(Q¯ \ ∂pQ) ¸si v(x0,t0) > 0;
astfel exist˘a (¯x,t¯) ∈ Ω × [0,t0] astfel ˆıncˆat v(¯x,t¯) = maxΩ×[0,t0] v.
Avem atunci ∂v/∂t(¯x,t¯) ≥ 0 ¸si folosind (ii), Pv(¯x,t¯) ≤ cv(¯x,t¯); dar
deci (c0 − c)v(¯x,t¯) < 0, ceea ce contrazice c0 > c ¸si v(¯x,t¯) ≥ v(x0,t0 > 0).
Ar˘at˘am acum (vi). Ipoteza (ii) este locala, deci putem aplica rezultatul
(v) pe toata mul¸timea deschis˘a Ω0 ⊂ Ω. Presupunem c˘a Ω0 este m˘arginit˘a
¸si alegem
u ∈ Cm,1(Q0) ∩ C(Q¯0) cu .
Dac˘a m = max∂pQ0 e−ctu(x,t) ¸si v(x,t) = u(x,t)−mect, avem v ∈ Cm,1(Q0)∩
C(Q¯0),v ≤ 0 pe ∂pQ0,
0;
aplicˆand rezultatul precedent, v ≤ 0 pe Q0.
Observa¸tia 1. Proprietatea (v) este un principiu de comparare parabolic. Observ˘am c˘a atunci cˆand Ω este m˘arginit˘a, condi¸tia u+ ∈ C0(Q¯\∂pQ) este implicata de u ∈ C(Q¯) ¸si u ≤ pe ∂pQ; acest lucru nu seˆıntampl˘a cˆand Ω nu este m˘arginit˘a, aceast˘a ipoteza incluzˆand de asemenea o condi¸tie la infinit.
Propozitia 1. (Principiul de comparare parabolic general).
Fie Q o mul¸time deschis˘a din Rn × [0,T],
!
un operator diferen¸tial cu coeficien¸ti reali continui pe Q, ¸si u,v ∈ C2,1(Q) ∩ C(Q¯). Presupunem
XX n ajk(x,t)ξkξk ≥ 0 ¸si a0(x,t) ≤ c,∀(x,t) ∈ Q,∀ξ ∈ R .
j k
Cˆand Q nu este m˘arginit˘a, presupunem ˆın plus ca
X X ajj, |aj|, u − v majorate pe Q.
j j
Atunci
Lu ≤ Lv pe Q ¸si u ≤ v pe ∂pQ ⇒ u ≤ v pe Q.
Cˆand Q este o mul¸time deschis˘a oarecare din Rn ×[0,T], frontiera parabolic˘a
∂pQ a lui Q este caomplementara ˆın Q¯ a mul¸timii
{(x0,t0) ∈ Q¯;∃r > 0,{|x − x0| < r} × [t0 − r,t0] ⊂ Q}
¸si Cm,1(Q) este spa¸tiul func¸tiilor u ∈ C(Q) astfel ˆıncˆat sunt continue pe Q pentru to¸ti α ∈ Nn cu |α| ≤ m.
Demonstra¸tia propozictiei 1. Prin liniaritate ne putem intoarce la v = 0.
ˆIn cazul Q m˘arginit˘a, demonstra¸tia este la fel ca aceea a implicatiei (i)⇒(v) din teorema 1; Q nu este neaparat de forma Ω×[0,T], este suficient s˘a remarcam c˘a exist˘a un ¸sir (Qn) de mul¸timi deschise relativa compacte ˆın Q ∪ ∂pQ acoperind Q. Consider˘am acum cazul Q nem˘arginit˘a. ˆInlocuind u cu e−ctu, putem presupune c = 0. Alegem (x0,t0) ∈ Q ¸si fiind dat R > 0, consider˘am
QR = Q ∩ {|x − x0| < R} × [0,T]
¸si
unde
QR este o mul¸time deschis˘a m˘arginit˘a din Rn × [0,T], uR ∈ C2,1(QR) ∩ C(Q¯R),
,
Aplic˘am rezultatul ˆın cazul m˘arginit uR ≤ 0 pe QR ¸si deci ˆın particular
.
Cˆand R → ∞, avem deci u(x0,t0) ≤ 0.
5.3 Caracterizarea operatorului P verificˆand principiile de maxim
5.3.1 Principiul de maxim slab
Alegem P un operator diferen¸tial de ordin m cu coeficien¸ti reali continui pe un deschis Ω al lui Rn. Cˆand Ω e m˘arginit˘a, spunem c˘a P verific˘a principiul de maxim slab pe Ω dac˘a pentru to¸ti u ∈ Cm(Ω) ∩ C(Ω)¯ cu Pu ≥ 0 pe Ω
Propozitia 2.
Presupunem c˘a pentru orice deschis Ω0 relativ compact ˆın Ω P verific˘a principiul de maxim slab pe Ω0, apoi P este de ordin m ≤ 2 f˘ar˘a termeni de ordin 0:
(5.2)
¸si verific˘a
XX n
ajk(x)ξjξk ≥ 0,∀x ∈ Ω,∀ξ ∈ R . (5.3)
j k
Fie P dat de (5.2) verificˆand (5.3); presupunem c˘a Ω este m˘arginit˘a ¸si
∃ϕ ∈ C2(Ω) astfel ˆıncˆat Pϕ(x) > 0,∀x ∈ Ω. (5.4)
Atunci P verific˘a principiul de maxim slab pe Ω.
Demonstra¸tie. Sub ipoteza din a), ar˘at˘am c˘a pentru u ∈ Cm(Ω) ¸si x0 ∈ Ω
u(x0) = maxu ⇒ Pu(x0) ≤ 0.
Concluzia lui a) va fi atunci o consecin¸t˘a a implicatiei (ii)⇒(i) din teorema 1. A¸sa cum am v˘azut ˆın demonstra¸tia implicatiei (iii) sau (iv)⇒(ii), putem presupune ˆıntotdeauna c˘a u(x) < u(x0) = maxu pentru to¸ti x 6= x0. Fiind dat 0 < r < dist(x0,∂Ω), aplic˘am principiul de maxim slab pe Ωr = {|x − x0| < r}; ˆıntrucˆat max∂Ω0 u < u(x0), exist˘a xr ∈ Ω astfel ˆıncˆat Pu(xr) < 0; cˆand r → 0 ob¸tinem Pu(x0) ≤ 0.
Demonstram acum b). Presupunem c˘a exist˘a u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω)¯ astfel
ˆıncˆat Pu ≥ 0 pe Ω ¸si m = maxu > max∂Ω u. ˆInlocuind u cu u − max∂Ω u, putem presupune ˆıntotdeauna c˘a max∂Ω u = 0. Consider˘am Ω0 = {x;u(x) > m/2} este un deschis relativ compact in Ω; exist˘a deci ε > 0 astfel ˆıncat maxΩ0 ϕ < m/4ε. Avem atunci maxΩ0 u+εϕ > 3m/4 > max∂Ω0 u+εϕ, ceea ce contrazice, pe baza teoremei 1, faptul c˘a P(u + εϕ) > 0 pe Ω0.
5.3.2 Principiul compar˘arii
DEFINIT¸IE. Spunem c˘a un operator diferen¸tial P verific˘a principiul compar˘arii pe Ω dac˘a pentru to¸ti u ∈ Cm(Ω) cu Pu ≤ 0 pe Ω, u+ ∈ C0(Ω) ⇒ u ≤ 0 pe Ω.
Rezult˘a imediat c˘a atunci cˆand Ω este m˘arginit˘a, dac˘a P verific˘a principiul de maxim slab pe Ω, atunci verific˘a principiul compar˘arii pe Ω; reciproca este adev˘arat˘a cˆand coeficientul de ordin 0 este nul pe Ω.
Propozitia 3.
a) Presupunem c˘a pentru orice deschis Ω0 relativ compact ˆın Ω, P verific˘a principiul compar˘arii pe Ω0, apoi P este de ordin m ≤ 2:
(5.5)
Atunci P verific˘a principiul compar˘arii pe Ω.
Demonstra¸tie. Pentru a demonstra a), ar˘at˘am c˘a ˆın propozitia 2 c˘a pentru u ∈ Cm(Ω) ¸si x0 ∈ Ω,
u(x0) = maxu ⇒ Pu(x0) ≤ a0(x0)u(x0)
¸si finalizam cu ajutorul teoremei 1.
Pentru a demonstra b), presupunem c˘a exist˘a u ∈ C2(Ω) cu Pu ≥ 0 pe Ω, u+ ∈ C0(Ω) ¸si maxu > 0. Considerˆand v = u/ϕ, avem v ∈ C2(Ω), v+ ∈ C0(Ω), maxv > 0 ¸si Qv ≥ 0 pe Ω, unde
cu.
Considerˆand x0 ∈ Ω astfel ˆıncˆat v(x0) = maxv, rezulta din teorema 1 ca
Qv(x0) ≤ b0(x0)v(x0) < 0
de unde contradictia.
Observa¸tie. Putem dezvolta pentru principiul compar˘arii observa¸tiile de loca¸tie ¸si globalitate f˘acute anterior ¸si ˆın cazul principiului de maxim slab. Studiem condi¸tia (5.6) ˆın cazul coeficien¸tilor constanti: fie P dat de (5.5) verificˆand (5.3) unde ajk, aj sunt constante pe Ω. Distingem dou˘a cazuri.
Cazul parabolic slab: adic˘a atunci cˆand P verific˘a,
∃ξ ∈ Rn astfel ˆıncˆat XXajkξjξk ¸si Xajξj 6= 0
j k j
atunci oricare ar fi a0 ∈ R, P verific˘a (5.6) ¸si deci principiul compar˘arii. Este suficient s˘a lu˘am
ϕ(x) = ecξx cu c ∈ R astfel ˆıncˆat cXajξj < a0.
j
ˆIn acest caz, avem un principiu de comparare parabolic (conform propozitiei
1).
Cazul eliptic slab: adic˘a atunci cˆand P verific˘a
∀ξ ∈ Rn,XXajkξjξk = 0 ⇒ Xajξj = 0.
j k j
Consider˘am subspa¸tiul H0 al lui Rn ortogonal cu
( )
ξ ∈ Rn;XXajkξjξk = 0 ,
j k
¸si pentru to¸ti x ∈ Ω, deschis˘a lui H0, Ωx = x0 ∈ H0;x + x0 ∈ Ω r˘amˆane ˆın cazul (puternic) eliptic:
XX n
ajkξjξk > 0,∀ξ ∈ R \ {0},
j k
ceea ce presupunem acum
Consider˘am operatorul Q definit de Qv = e−ϕ0P(e−ϕ0v), unde
ϕ0(x) = eξ0x cu 2Xajkξk0 + aj = 0 pentru j=1,2…, n,
k
astfel ˆıncat
.
Presupunem Ω m˘arginit˘a. Atunci P verific˘a principiul compar˘arii pe Ω (respectiv (5.6)) dac˘a ¸si numai dac˘a este acela¸si pentru Q. La o schimbare afina de coordonate, putem considera cazul P = ∆ + a0. Atunci
.
Se spune c˘a este prima valoare proprie a lui −∆ pe Ω cu condi¸tiile Dirichlet. Putem concluziona:
Dac˘a a0 ≥ λ(Ω). Considerˆand u ∈ C0(Ω), u 6≡ 0 astfel ˆıncˆat −∆u = λ(Ω)u, spunem c˘a u are semnul constant pe Ω. Putem presupuneˆıntotdeauna c˘a u < 0 pe Ω. Avem atunci
Pu = [a0 − λ(Ω)]u ≤ 0 pe Ω.
Deci P nu verific˘a principiul compar˘arii pe Ω.
Dac˘a a0 < λ(Ω). Prin continuitate, exist˘a Ω0 o vecin˘atate deschis˘a a lui Ω astfel ˆıncat¯ a0 < λ(Ω0). Considerˆand u ∈ C0(Ω0), u 6≡ 0 astfel ˆıncˆat −∆u = λ(Ω0)u pe Ω0, putem presupune c˘a u > 0 pe Ω0. Atunci restic¸ta ϕ a lui u la Ω verific˘a inf ϕ > 0 ¸si supPϕ < 0. Adic˘a P verific˘a (5.6) pe Ω.
ˆIn cazul Ω e nem˘arginit˘a, vedem c˘a atunci cˆand a0 ≤ 0, P verific˘a principiul compar˘arii pe Ωˆıntrucˆat verific˘a principiul de comparare tare, a¸sa cum vom vedea mai departe.
5.3.3 Principiul de maxim tare
Studiem acum principiul de maxim tare. Propozitia 4.
Presupunem P dat de (5.1) verificˆand
XX n
ajk(x)ξjξk > 0,∀x ∈ Ω,∀ξ ∈ R \ {0} (5.7)
j k
¸si Ω conexa. Atunci P verific˘a principiul de maxim tare pe Ω:
∀u ∈ C2(Ω) cu Pu ≥ 0 pe Ω ¸si u neconstant˘a pe Ω
u(x) < supu,∀x ∈ Ω.
Demonstra¸tie. Presupunem c˘a u ∈ C2(Ω) neconstant˘a cu Pu ≥ 0, atingandusi maximul m pe Ω. Atunci Ω0 = {x ∈ Ω;u(x) < m} este un deschis al lui Ω ¸si ∂Ω0 ∩ Ω e nevida. Fie x0 ∈ Ω0 astfel ˆıncˆat dist(x0,∂Ω0) = r0 < dist(x0,∂Ω)
¸si y0 ∈ ∂Ω0, cu |y0 − x0| = r0; avem y0 ∈ Ω, u(y0) = m ¸si inelul deschis B = {r0/2 < |x − x0| < r0} este relativ compact in Ω.
Consider˘am func¸tia
unde ε > 0 ¸si α > 0 sunt determinate astfel ˆıncat
v ≤ 0 pe ∂B ¸si Pv ≥ 0 pe B
adic˘a ˆıntrucˆat v = u − m ≤ 0 pe |x − x0| = r0, dac˘a
¸si
Pv ≥ εPe−α|x−x0|2 = 2αεe−α|x−x0|2{2αXXajk(xj − x0j) (xk − x0k)
j k
−X[ajj + aj(xj − x0j)]}
j
dac˘a
unde
si .
Aplicˆand principiul de maxim slab pe B, v ≤ 0 pe B, adic˘a ˆın particular pentru orice 1/2 < t < 1,
.
Cˆand u ˆı¸si atinge maximul ˆın y0, Du(y0) = 0. Impartind inegalitatea anterioar˘a cu (1 − t) ¸si facˆand t → 1, ob¸tinem
,
de unde contradictia.
Observa¸tie. Presupunem c˘a P e dat de (5.5) verificˆand (5.7) ¸si a0 ≤ 0 pe Ω. Atunci P verific˘a principiul de comparare tare pe Ω: pentru to¸ti u ∈ C2(Ω) cu Pu ≥ 0 pe Ω, dac˘a u atinge un maxim pozitiv pe Ω, atunci u este constant˘a pe Ω. Dac˘a u(x0) = maxu > 0, atunci avem pe Ω0 = {x;u(x)/geq0}: (P − a0)u ≥ 0 ¸si u(x0) = maxΩ0 u, ceea ce contrazice propozitia 4. Se poate ar˘ata c˘a u nu poate atinge un maxim nenegativ repetˆand demonstra¸tia propozitiei 4.
Propozitia 5.
Fie P un operator diferen¸tial pe Rn invariant de izometriile lui Rn. Urm˘atoarele afirma¸tii sunt echivalente:
P = c∆ cu c > 0;
P nu se anuleaz˘a ¸si exist˘a un deschis Ω ⊂ Rn astfel ˆıncˆat pentru to¸ti u ∈ E(Ω) ¸si to¸ti x ∈ Ω
u(x) = maxu ⇒ Pu(x) ≤ 0;
Pentru orice deschis Ω m˘arginit ˆın Rn, P verific˘a principiul de maxim slab pe Ω;
Pentru orice deschis Ω conex ˆın Rn, P verific˘a principiul de maxim puternic pe Ω.
5.3.4 Principiul de maxim parabolic tare
Putem caracteriza ˆın aceea¸si maniera operatorul c˘aldurii pe care ˆıl not˘am acum ∂/∂t−∆ pe Rn+1. Demonstram un principiu de maxim parabolic tare.
Propozitia 6.
Fie P un operator diferen¸tial pe Rnx,t+1 invariant de izometrii relativ la variabila spa¸tiului ¸si de translatii relativ la variabila de timp.
Atunci urm˘atoarele afirma¸tii sunt echivalente:
P = c0∂/∂t − c∆ cu c0 > 0,c > 0;
P nu este independent de ∂/∂x ¸si pentru toate mul¸timile Ω deschise ¸si m˘arginite din Rn ¸si 0 < T < ∞, P verific˘a principiul de maxim parabolic slab pe Q = Ω × (0,T), adic˘a
∀u ∈ E(Q) ∩ C(Ω¯ × [0,T)) cu Pu ≤ 0 pe Q,
supu = supu;
Q ∂pQ
pentru toate mul¸timile Ω deschise ¸si conexe din Rn ¸si 0 <
T < ∞, P verific˘a principiul de maxim parabolic tare: Q = Ω×(0,T)
∀u ∈ E(Q) ∩ C(Ω × (0,T]) cu Pu ≤ 0 pe Q,
¸si u neconstant˘a pe Q,
u(x,T) < supu,∀x ∈ Ω.
Q
Demonstra¸tie. Rezult˘a imediat c˘a (iii)⇒(ii).
Acum principiul de maxim parabolic slab implica principiul de maxim (eliptic) slab: din propozitia 2, cˆand verific˘a (ii), P este de ordin mai mic sau egal cu doi f˘ar˘a termeni de ordin zero. Folosind invarian¸tele,
.
E u¸sor de v˘azut c˘a c0 > 0si k = 0: fiind dat˘a Ω deschis˘a ¸si m˘arginit˘a din Rn, consider˘am λ0 = λ(Ω) prima valoare proprie a lui −∆ ˆın Ω cu condi¸tiile lui Dirichlet (caˆın observa¸tia precedent˘a) ¸si u0 ∈ C(Ω) astfelˆıncat −∆u0 = λ0u0 pe Ω; pentru to¸ti ϕ ∈ E((0,T)) avem
P(ϕ(t)u0(x)) = (kϕ00(t) + c0ϕ0(t) + λ0cϕ(t))u0(x);
putem presupune c˘a u0 > 0 pe Ω, deci P(ϕ(t)u0(x)) ≤ 0 pe Q dac˘a ¸si numai dac˘a
kϕ00 + c0ϕ0 + λ0cϕ ≤ 0 pe (0,T).
Ipoteza (ii) implica astfel
pentru to¸ti ϕ ∈ E((0,T)) ∩ C([0,T]), kϕ00 + c0ϕ0 + λ0cϕ ≤ 0 pe (0,T) ¸si ϕ(0) > 0 ⇒ ϕ(T) ≤ ϕ(0),
care nu se verific˘a atunci cˆand k = 0, c0 > 0 ¸si λ0c ≥ 0. De unde implicatia
(ii)⇒(i).
Implicatia (i)⇒(iii) este o consecin¸t˘a simpla a lemei urm˘atoare.
LEMA. Fie B = {|x − x0| < r}, Q = B × (0,T) cu x0 ∈ Rn, 0 < ; fie u ∈ C2,1(Q) ∩ C1,0(Q¯) cu u ≥ 0 ¸si ∂u/∂t ≥ ∆u pe Q. Atunci
) (5.8)
unde
E(r,t) = (4πt)−n/2e−r2/4t. (5.9)
Demonstra¸tia lemei. Putem presupune ˆıntotdeauna c˘a x0 = 0. Consider˘am
ρ(x,t) = E(|x|,T − t) − E(r,T − t).
Avem ρ > 0 pe Q, ρ = 0 ¸si ∂ρ/∂n < 0 pe ∂B × (0,T),
¸si ρ(.,t) → δ cˆand t → T (E(|x|,t) este solu¸tie elementara a operatorului c˘aldurii). Ob¸tinem astfel
.
Finalizam remarcˆand c˘a
.
Finalul demonstra¸tiei propozitiei 6.
Considerˆand u ∈ C2,1(Ω × (0,T)) ∩ C(Ω × (0,T]) cu ∂u/∂t ≤ ∆u ¸si aplicˆand lema pentru supu − u, vedem c˘a dac˘a u(x0,t0) = supu ˆın x0,t0 ∈ Ω × (0,T), atunci
u(x,t) = supu pentru (x,t) ∈ Ω × (0,T) astfel ˆıncˆat
0 < t < t0,B¯(x0,|x − x0|) ⊂ Ω ¸si (.
Din conexitate, se deduce c˘a dac˘a u(x0,T) = supu in x0 ∈ Ω, atunci u ≡ supu pe Ω × (0,T).
Observa¸tie. Lema are o legatura sigura cu formula lui Harnack. Observ˘am cu toate acestea c˘a e imposibil s˘a ob¸tinem pentru solu¸tiile pozitive ale lui ∂u/∂t = ∆u pe Q o estimare de tipul Harnack,
maxu ≤ C minu
K K
unde K este un compact al lui Q, C nu depinde decˆat de Q ¸si K. Ca urmare, dac˘a acel lucru ar fi adev˘arat, aplicˆandu-l ˆıntr-o vecin˘atate Q a lui K = ¯b(0,1) × {1} ¸si func¸tiilor u(x,t) = E(|x + x0|,t), ar exista o constant˘a C astfel ˆıncat
,
lucru evident fals.
Remarcam c˘a dac˘a principiul de maxim parabolic slab implica principiul de maxim slab, principiul de maxim parabolic tare nu implica principiul de maxim tare care nu este verificat de operatorul c˘aldurii.
Capitolul 6
Bibliografie
Murray H. PROTTER, Hans F. WEINBERGER – Maximum Principles ˆın
Differential Equations.
Robert DAUTRAY, Jacques-Louis LIONS – Analyse math´ematique et calcul num´erique pour les sciences et les techniques 3
Bibliografie
Murray H. PROTTER, Hans F. WEINBERGER – Maximum Principles ˆın
Differential Equations.
Robert DAUTRAY, Jacques-Louis LIONS – Analyse math´ematique et calcul num´erique pour les sciences et les techniques 3
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Principiul de Maxim (ID: 123145)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.