. Principii de Functionare ale Vanatoarelor de Tensiune Alternativa

1.Memoriu Tehnic

1.1. Reglarea prin metoda

1.1.1. Scurt istoric.

Una dintre solicitările majore în control a fost analizarea și proiectarea sistemelor de control multivariabile (MIMO). Aceasta este o problemă dificilă pentru că funcția de transfer a sistemelor MIMO este o matrice. Reglarea conceptelor foarte fundamentale ca: ordinul sistemului, polii și zerourile, crează dificultăți în acest caz. Controlul clasic al locului rădăcinilor, diagrama Bode, Criteriul de stabilitate Nyquist, și câștigul și marginile de fază inițial conduc spre dificultate când sunt aplicate la sisteme multivariabile. Tehnicile sistemelor staționare au la bază domeniul de timp, scăpând de complexitatea matricelor funcției de transfer și au furnizat metode noi pentru analiza și proiectarea sistemelor MIMO. În cadrul spațiului stărilor, singura diferență între sistemele SISO și MIMO este numărul de coloane a matricei B (numărul de intrări în sistem) și numărul de linii în matricea C (numărul de ieșiri din sistem). LQR și LQG sunt metodele de proiectare a sistemelor MIMO.

Aproape în același timp în care majoritatea cercetătorilor dezvoltau, răspândeau și rafinau metodele optime de control a domeniului timpului, alți cercetători (majoritatea britanici: A.G.J. MACFARLANE și H.H. ROSENBROCK) au fost preocupați de dezvoltarea sistemelor de control clasice în cazul sistemelor multivariabile. Instrumentele clasice ca: locul rădăcinilor (renumit locul caracteristic), tehnica Nyquist (redenumită ordinea Nyquist) și planurile Bode (redenumite planurile valorilor singulare) au fost extinse la cazurile multivariabile; așa cum rapida apariție a metodelor LQG au devenit mai aparente în anii ’70 și a fost acordată mai multă atenție conceptelor de control clasic.

De-a lungul anilor ’80, o nouă paradigmă despre controlul a ieșit la iveală. Această problemă a controlului a fost mai întâi formulată de G. YAMES. A fost nevoie de o metodă de optimizare a domeniului de frecvență pentru proiectarea sistemelor cu control robust. Robustețea a devenit principala grijă în domeniul cercetării controlului și a tehnicilor de proiectare a sistemelor multivariabile; apoi a urmat problema controlului formulată de mai mulți cercetători.

Principala temă din această lucrare este prezentarea unei introduceri în marele domeniu a controlului .

Controlul s-a dezvoltat în propria terminologie, notație și paradigmă. De exemplu diagrama blocului clasic a fost modificată, și la fel și conducerea mai multor tipuri generale de probleme. De asemenea, datorită ecuațiilor rezultate care erau foarte lungi, unele notații de prescurtare au fost introduse pentru a simplifica prezentarea. Datorită acestora, notațiile au devenit standarde în literatura tehnică pentru a nu fi confundate de începători. Această notație de referindu- se la spațiul de stabilitate și la corespondența funcțiilor de transfer.

1.1.2. Metode moderne de sinteză

Știind că problema stabilizării robuste poate fi formulată ca o problemă de optimizare H și că o serie de performanțe impuse sistemului nominal pot fi reformulate ca problema de optimizare H, putem prezenta atât obiectivele de stabilitate robustă cât și cele de performanță într-un cadru standard, sub forma unei probleme de optimizare H. Specificația unei probleme H va combina nu număr de funcții de transfer în circuit închis ponderate după frecvență și va minimiza norma H a matricei de transfer compuse. Selectarea corespunzătore a ponderilor după frecvență și între obiective nu este directă și tinde să fie dezvoltată pentru fiecare exemplu specific.

Este posibil să se compună mai multe asemene obiective sub forma unei singure transformări liniar-funcționare I(P,K), care trebuie sa fie minimizată prin alegerea lui K.

Se consideră schema bloc standard din figura h1. semnificația semnalului fiind următoarea:

wRm1, este vectorul mărimilor exogene, constând din semnalele de referință, perturbații și zgomote senzoriale (de măsură);

Figura 1. Schema bloc standard.

uRm2, este vectorul mărimilor de comandă;

zRp1, reprezintă vectorul mărimilor reglate (mărimilor de calitate), componentele acestuia fiind erorii de urmărire, semnale de comandă filtrate etc;

yRp2, este vectorul mărimilor măsurate.

Matricele de transfer P (instalația generalizată ) și K (compensatorul) sunt, prin ipoteză, real-raționale și proprii.

Problema optimizării H (figura 1.). Să se determine un compensator K, propriu, real rațional, pentru a minimiza norma H a matricei de transfer de la w la z.

(1)

unde K se alege dintre toate compensatoarele care stabilizează intern P.

P reprezintă instalația generalizată asociată cu o combinație particulară de obiective (P include instalația nominală G, funcțiile de pondere și interconexiunile necesare modelării sistemului în circuit închis între w și z ).

Un exemplu de proiectare H uzuală este aceea a minimizării normei H a unei combinații a funcțiilor de transfer în circuit închis S și R (relația (2) și respectiv (3)), prin alegerea corespunzătoare a unui compensator stabilizator K

S=(I-GK)-1=(I+L)-1

(2)

R=K(I-GK)-1=K(I+L)-1

(3)

Matricea de sensibilitate, S, este legat de performanță, iar R de stabilitatea robusta în cazul incertitudinilor aditive. În general, cerințele de performanță sunt mai importante la frecvențe joase, iar cele de stabilitate robustă la frecvențe înalte. Pe această bază se aleg funcțiile de pondere stabile, cu fază minimă, W1 și W2 pentru ponderea corespunzătoare a lui S și respectiv, R și se combină obiectivele ponderate în următoarea problemă de optimizare H :

(4)

Această problemă poate fi rescrisă în forma standard (1) unde instalația generalizată este în acest caz dată prin:

(5)

În general, nu este posibil să se rezolve problema H exact pentru min (să se determine soluțiile optime). De aceea, se consideră o problemă H suboptimală, ceea de a determina un compensator stabilizator K, astfel în cât pentru min,

(6)

Această problemă mai este cunoscută și sub numele de – atenuare, iar prin rezolvarea ei succesivă se poate obține o aproximație oricât de bună e soluția problemei (1).

Printr-o scalare corespunzătoare, problema (6) se poate scrie sub forma:

(7)

În paragrafele următoare vom prezenta modul de rezolvare a problemei H utilizând atât abordarea operațională cât și abordarea în spațiul stărilor.

1.1.3. Sinteza H în frecvență

Inițial, soluția problemei H standard definită în paragraful anterior a fost obținută în cadrul operatorial, utilizând teoria factorizări (interior-exterioară, spectrală, J-spectrală), parametrizarea compensatoarelor stabilizatore, operatori Hankel, problema Nehari. Teoria este dezvoltată mai simplu ți mai elegant în cadrul operatorial, pe când calculele sunt mai ușor realizate utilizând metode din spațiul stărilor.

În acest paragraf se prezintă pe scurt etapele principale ale metodei de rezolvare a problemei H în cadrul operatorial.

Se partiționează matricea P din figura h1 astfel:

(8)

unde P22 se presupune strict proprie ceea ce asigură satisfacerea condiției de regularitate:

(9)

adică sistemul este bine definit.

1.1.3.1. Parametrizarea compensatoarelor stabilizatoare

Parametrizarea compensatoarelor stabilizatoare este datorată lui Youla, Jabr și Bongiorno (1976), Desoer (1980) și se bazează pe ideea factorizării coprime peste RH.

Se consideră schema bloc din figura 2. unde P(s)Rpxm(s) este strict proprie, iar K(s) Rmxp este proprie. Ipoteza P(s) strict proprie este o condiție suficientă pentru a asigura îndeplinirea condiției de reglare ne fiind însă și necesară.

În continuare vom presupune matricea P stabilizată.

Se consideră o factorizare dublu coprimă a matricei P, definită prin relațiile:

(10)

(11)

Figura 2. Schema bloc pentru parametrizarea compensatorului.

Pe baza factorizării dublu coprime se poate formula următoarea teoremă de parametrizare a tuturor compensatoarelor stabilizatore.

Teorema 1. Mulțime tuturor matricelor K (proprii, real-raționale) care stabilizează P, este parametrizată prin formulele:

QRH

(12)

Caz particular: Presupunem că P este deja stabilă, adică P RH Atunci putem alege:

rezultând:

(13)

1.1.3.2 Problema acordării modelului

Se consideră o realizare minimală a matricei P din figura h 1.(utilizată în problema H standard)

(14)

unde D22=0, întrucât s-a presupus P22 strict proprie.

Se face următoarea ipoteză:

I 1. Perechea (A,B2) este stabilizată, iar perechea (C2,A) este detectabilă (adică P22 este stabilizată).

În continuare vom presupune că P este stabilizată. Aceasta implică faptul că P și P22 conțin aceeași poli instabili (considerând și multiplicitățile), astfel încât pentru a stabiliza P este suficient să se stabilizeze P22.

Teorema h 2. K stabilizează P dacă și numai dacă stabilizează P22.

Considerând o factorizare dublu coprimă a lui P22:

(15)

și aplicând Teorema 1. se obține parametrizarea tuturor compensatoarelor care stabilizează P22 (deci și P, prin Teorema 2.):

(16)

Definind matricele

(17)

putem enunța următoarea teoremă:

Teorema 3. Matricele Ti (i=13) aparțin lui RH. Pentru K dat de relația (16), matricea de transfer de la w la z (figura 1.) este:

(18)

Realizările în spațiu stărilor pentru cele trei matrice definite în (17) se pot scrie sub forma:

(19)

unde:

(20)

iar

(21)

F și H fiind alese astfel încât AF și AH să fie stabile.

Ținând cont de relația (18) problema de optimizare în sens H se formează astfel:

(22)

urmând ca soluția Q obținută, să fixeze prin (16) compensatorul optimal K.

Criteriul (22) este echivalent cu următorul criteriu de acordare a modelului (figura 3.):

(22)

În figura 3. matricea T11 reprezintă un model care trebuie realizat prin cascada T12QT21,între matricele T11, T12, T21 din RH se consideră cunoscute.

Figura 3. Realizarea modelului.

1.1.3.3. Problema distanței generalizate

Pentru transformarea problemei acordării modelului într-o problemă generalizată de distanță în H se introduce o nouă ipoteză:

I 1.

(23)

Este armonică pentru s=j și -, iar:

I 2

(24)

este epică pentru s=j și -.

Observație: Consecința imediată este I 1 și I 2 adevărate, problema de optimizare în sens H se reduce la o problemă generalizată a distanței în H se reduce la o problemă generalizată a distanței în H exprimată prin:

(25)

Demonstrația teoremei este constructivă, conducând la o expresiile matricelor Lij, i,j=1,2. Astfel, inițial se realizează o factorizare interior-exterioară la stânga lui T12 și respectiv, la dreapta lui T21.

T12=Ti1Te1 ,

(26)

T21=Te2 Ti2 .

(27)

Utilizând relațiile (26) și (27) problema de optimizare în sens H (22) se scrie:

,

(28)

unde s-a notat:

( 29)

care definește un izomorfism deoarece Te1 ,Te2 sunt uni modulare în RH .

Efectuând completări interioare pe coloana (Ti1) pentru Ti1 și respectiv, pe linia (Ri2) pentru Ti2, din (h 28) se obține:

.

(30)

Datorită intervenției normei H la înmulțirea cu matrice de tip “trece –tot” relațiile (30) se reduce la problema generalizată a direcției în H definită prin (25), unde:

.

(31)

1.1.3.4 Problema Nehari

Pentru rezolvarea problemei generalizate a distanței (25) vom considera următoarele 3 cazuri:

Cazul „un bloc”

Se obține pentru L12=0, L21=0, L22=0 și rezultă în cazul în care P12 și P21 (deci și T12, respectiv T21) sunt matrice pătrate. Deci, problema (25)se reduce la:

(32)

adică la o problemă de tip Nehari.

Se poate demonstra că:

(33)

adică are numai poli instabili. Deci, cazul „un bloc” se reduce la o problemă de tip Nehari standard.

(34)

După determinarea soluției problemei (34), , din (29) se determină Q și se înlocuiește în (16) furnizând astfel soluția problemei de optimizare în H (1).

Cazul “două blocuri”

Se obține pentru L12=0, L22=0 sau L21=0, L22=0, generând problemele:

(35)

și respectiv

(36)

Teorema 3. Dacă și , atunci:

(37)

unde:

(38)

este o factorizare specială la stânga.

Observație: Un rezultat asemănăto factorizare specială la stânga.

Observație: Un rezultat asemănător se poate obține prin dualizarea Teoremei h3. pentru forma (36).

(39)

și că este adevărată inegalitatea:

(40)

Se consideră și se definește:

(41)

norma Hankel anticauzală, unde G (depinzând de ) este definit prin (38).

Corolarul 1. Cu notațiile anterioare au loc echivalențele:

(42)

(43)

Pe baza acestui corolar se deduce următoarea procedură iterativă (procedura -iterațiilor)pentru evaluarea lui 0:

Se calculează , se alege un și se calculează f() utilizând relațiile (41) și (38);

Dacă ()<1, rezultă >0 și deci se micșorează;

Dacă ()>1, rezultă <0 și deci se mărește;

Dacă ()=1, rezultă =0 și deci STOP.

Observație: Întrucât este puțin posibil ca să fie îndeplinită condiția 4 , procesul de iterarea se oprește atunci când este satisfăcută condiția 2 pentru suficient de mic.

Cu determinat prin procesul anterior se determină o soluție a problemei Nehari.

(44)

și apoi soluția problemei (35),

Deci, în acest caz, nu se mai poate obține o soluție exactă, ci se utilizează un procedeu iterativ, și anume cel al „ – iterațiilor”, care implică efectuarea unor factorizări spectrale și evaluarea normei Hankel, iar în final se rezolvă o problemă de tip Nehari. În acest fel se obține o soluție suboptimală a problemei H.

3. Cazul "patru blocuri".

Aplicând Teorema h 3. în cazul general formulat prin (25) obținem:

Corolarul 2. Dacă:

(45)

si Q e RH, atunci:

(46)

unde G este obținut din factorizarea spectrală la stânga:

(47)

Se introduce notația:

(48)

Teorema 4. Dacă:

(49)

și , atunci:

(50)

unde G1 și G3 sunt definiți prin factorizările spectrale la stânga și respectiv, la dreapta

I-(L-1L21)*(L-1L21)=G1*G1

(51)

I-(L12G2-1)(L12G2-1)*=G3G3*

(52)

iar L și G2 sunt factori spectrali la dreapta, respectiv la stânga pentru:

(53)

(54)

Presupunând că există 0 astfel încât:

(55)

(56)

se aplică. algoritmul -iterațiilor pentru:

(57)

iar în final se determină soluția Q a problemei Nehari:

(58)

soluția problemei din cazul" patru blocuri" fiind:

(59)

Deci, și în acest caz se obține doar o soluție suboptimală a problemei H ca și în cazul " două blocuri".

1.1.4. Sinteza H în spațiul stărilor.

1.1.4.1. Formularea problemei

Din abordarea operatorială a problemei de optimizare H în paragraful anterior, s-a constatat că aceasta nu are o soluție exactă în cazul general, necesitând o procedură iterativă pentru obținerea unei aproximații a soluției optimale. De aceea, vom considera o problemă H suboptimală, definită la început, și anume aceea a determinării familiei de compensatoare stabilizatoare K, astfel încât:

(60)

pentru o valoare dată a lui , dacă asemenea compensatoare există.

Soluția problemei (60) bazată pe rezolvarea a două ecuații matriceale algebrice Riccati a fost elaborată în anii 1988-1989 constituind un moment foarte important în dezvoltarea teoriei și creșterea numărului de aplicații practice ale optimizării H.

Matricele P și K din schema bloc standard (figura 1.) se presupun real-raționale și proprii. Compensatoarele real-raționale, proprii, stabilizabile și detectabile care sunt intern stabilizatoare se numesc admisibile.

Se consideră o realizare a matricei instalației generalizate P de forma:

(61)

unde matricele componente au dimensiunile: A(nxn); B1(nxm1); B2(nxm2); C1(p1xn); C2(p2xn); D1I(p1xm1 ); D12(p1xm2); D21(p2xm1); D22(p2xm2).

Introducem următoarele ipoteze:

I1: (A, B2) este stabilizabilă și (C2, A) este detectabilă;

I2’: rang(D12) = m2 ; rang(D2l) = p2;

I3: rang

I4 rang

Utilizând o serie de transformări nesingulare este posibil să se înlocuiască ipoteza I.2’ cu următoarea ipoteză (considerând că aceste transformări au fost deja efectuate):

I2” și D21=[0 I].

Se consideră D11 partiționată în conformitate cu partițiile matricelor D12 și D21 din I2”

(62)

Înainte de a prezenta soluția problemei H, vom prezenta o serie de proprietăți ale ecuației Riccati și operatorului Riccati care joacă un rol esențial în rezolvarea problemei H .

1.1.4.2. Ecuația Riccati

Se consideră ecuația Riccati:

AT X+XA+XRX-Q = 0,

(63)

unde X, R, Q sunt matrice n x n simetrice reale.

Matricea Hamiltoniană 2n x 2n asociată este:

(64)

Dacă presupunem că H nu are valori proprii imaginare (proprietatea de stabilitate) atunci aceasta va avea n valori proprii în semiplanul stâng și n în semiplanul drept. Se construiește o matrice cu coloanele formate din vectorii proprii corespunzători valorilor proprii din semiplanul stâng și se partiționează această matrice astfel,

unde X1, X2 Rnn . Daca X1 este nesingulară sau, echivalent, cele două subspații

și sunt complementare(proprietate de complementaritate)atunci:

X=X2X1-1

(65)

este o soluție a ecuației Riccati. în acest caz vom nota această soluție, determinată în mod unic de H (adică H X este o funcție), cu

X=Ric(H)

(66)

iar domeniul tuturor matricelor Hamiltoniene H satisfăcând cele două proprietăți de stabilitate și complementaritate cu dom(Ric).

Lema 1. Presupunem că Hdom(Ric) și X = Ric(H).

Atunci,

X este simetrică;

X satisface ecuația algebrică Riccati (63);

A + RX este stabilă.

Lema 2. Presupunem că H nu are valori proprii imaginare, R este fie pozitiv- semidefinită fie negativ-semidefinită și (A, R) este stabilizabilă. Atunci H e dom(Ric).

1.1.4.3. Algoritmul Glover – Doyle

Soluția problemei H suboptimale implică două matrice Hamiltoniene, H și J definite astfel:

(67)

(68)

unde:

(69)

(70)

iar

(71)

Dacă Hdom(Ric) și Jdom(Ric), notăm soluțiile stabilizatoare ale ecuațiilor Riccati corespunzătoare matricelor H și J, cu

X = Ric(H) , Y = Ric(J)

(72)

și definim matricele de reacție după stare și injecție după ieșire

(73)

și respectiv,

(74)

Se partiționează matricele F și L în conformitate cu partițiile matricelor Dij, i, j = l, 2 astfel:

(75)

Următoarea teoremă stabilește condițiile necesare si suficiente pentru existența unui compensator admisibil care să rezolve problema H, suboptimală și furnizează familia tuturor compensatoarelor admisibile care satisfac această problemă.

Teorema 5. Presupunem că P satisface ipotezele I1, I2’, I3 și I4.

a) Există un compensator admisibil K(s) astfel încât

(adică, )dacă și numai dacă:

i)

Hdom(Ric) cu X=Ric(H)0,

Jdom(Ric) cu Y=Ric(J)0,

(XY)2,

unde (.) definește raza spectrală a unei matrice (valoarea proprie cu modulul maxim).

b) Presupunând condițiile de la punctul a) satisfăcute, arunci familia tuturor compensatoarelor raționale intern stabilizatoare K(s) este dată prin:

(76)

unde:

(77)

(78)

și sunt matrice oarecare (de dimensiune m2 x m2 și, respectiv, p2 x p2) care satisfac:

(79)

(80)

acestea putând fi obținute, de exemplu, prin factorizare Cholesky.

Restul matricelor din (77) sunt definite astfel:

(81)

(82)

(83)

(84)

(85)

unde

(86)

Observație: Dacă D11 = 0, formulele care se obțin pentru compensator au o formă mult simplificată.

Un element al acestei familii de soluții se obține luând = 0, și este numit compensator central sau cu entropie maximă. Acesta are realizarea:

(87)

și astfel are aceeași dimensiune ca și realizarea utilizată pentru P.

Soluția prezentată a fost obținută în cazul D22 = 0. Daca D22, se aplică algoritmul anterior instalației:

(88)

și se obține un compensator . Atunci, compensatorul K este de forma

(89)

Observație. Un compensator pentru care , nu este admisibil.

Teorema 5. nu oferă o formulă explicită pentru calculul lui min, cea mai mică normă observabilă. Totuși, printr-o tehnică de căutare, se poate determina o valoare oricât de apropiată de min .

Astfel, întrucât X, Y și (XY ) sunt funcții descrescătoare de , la =min oricare din condițiile ii iv din Teorema 5. pot să nu se mai îndeplinească.

1.1.4.4. Evaluarea normei H

Fie G(s) real – rațională, strict proprie și stabilă (analitică în semiplanul drept închis); deci, GRH. În locul calculării directe a normei , se caută un test pentru inegalitatea .

Evident, prin testarea acestei inegalități pentru într-o mulțime finită corespunzătoare, putem estimacu orice precizie dorită.

Prin scalarea este suficient să se testeze inegalitatea l .

Fie (A, B, C) o realizare a lui G, adică

G(s) = C (sI-A)-1 B

(90)

cu A stabilă. Următoarea lemă furnizează un test în termenii solvabilității unei ecuații Riccati.

Lema 3. Presupunem (A, B, C) minimală. Atunci ||G|| < l dacă și numai dacă există X astfel încât

ATX + XA + XBBTX + CTC = 0

(91)

(A+BBTX){s:Res0} .

(92)

Acest rezultat poate fi exprimat în funcție de matricea Hamiltoniană:

(93)

În principiu este mai simplu să se testeze inegalitatea strictă (minimalitatea nu mai este necesară).

Lema 4. Următoarele condiții sunt echivalente:

a) l;

b) H nu are valori proprii pe axa imaginară;

c) Hdom(Ric);

Hdom(Ric) și Ric(H) 0 (Ric(H) > 0 dacă (C, A) este observabilă).

Observație: Matricea H este matricea A a lui (I – G~G)-1.

Lema 4. rămâne valabilă și în cazul în care G este proprie, adică

G(s) = C(sI-A)-1 B + D.

(94)

Matricea Hamiltoniană este în acest caz

(95)

unde R=I-DTD.

Lema 4. sugerează următorul algoritm pentru calculul normei H:

1) se selectează un număr pozitiv ;

2) se testează dacă ||G||< () prin calcularea valorilor proprii ale lui H pentru -1G ;

3) se mărește sau micșorează corespunzător și se repetă punctele 2) și 3) până obținerea preciziei dorite. •

Deci, calculul normei H, necesită un proces de căutare, fie după (dacă se utilizează formula de definiție a normei H), fie după (dacă se utilizează Lema 4).

1.1.5 Factori coprimi normalizați

Se consideră descrierea instalației nominale G prin factori coprimi la stânga, normalizați:

(96)

Figura 4. Incertitudine în factori coprimi.

În acest caz incertitudinea se reprezintă ca în figura 4, iar instalația standard corespunzătoare P este dată prin relația (97).

(97)

Lema 5. Marginea maximă de stabilitate este dată prin relația:

(98)

unde K este ales dintre toate compensatoarele care stabilizează S(P,0) (instalația nominală).

Astfel , problema stabilizării robuste este formulată ca o problemă de optimizare H, unde un compensator K este ales astfel încât să se minimizeze norma H a unei funcții de transfer în circuit închi, cu restricția că acesta trebuie, de asemenea, să stabilizeze instalația noastră.

Corolar 2. K stabilizează din figura 4. pentru orice , dacă și numai dacă:

K stabilizează G;

(99)

Aplicând Lema 5. în cazul problemei stabilizării robuste a instalației descrise prin factori coprimi la stânga (Corolarul 2) se deduce expresia marginii maxime de stabilitate:

(100)

Teorema 6.

a) Soluțiile optimale ale problemei stabilizării robuste în factori coprimi la stânga, normalizați, conduc la

(101)

unde minimumul este considerat peste toate compensatoarele stabilizatoare;

b) Marginea maximă de stabilitate este

(102)

Toate compensatoarele optimale sunt date prin K=UV-1, unde U,VRH satisfac

(103)

Observație: (U,V) reprezintă o factorizare coprimă la dreapta a lui K.

Conform acestei teoreme, toate compensatoarele optimale H, pentru problema dată pot fi obținute prin rezolvarea extensiei problemei Nehari, iar marginea maximă de stabilitate este dată

printr-o relație explicită (||||H reprezintă norma operatorului Hankel).

Utilizând factorizarea coprimă la dreapta se poate stabili un rezultat similar celui din Teorema 6.

Pentru >min (prestabilit) se obține o problemă H suboptimală și anume, aceea a determinării unui compensator stabilizator care să satisfacă inegalitatea:

(104)

În continuare vom prezenta doar structura compensatorului central.

Se consideră o realizare de stare minimală a instalației nominale, G = (A, B, C, D).

Teorema 7. Compensatorul central (de entropie maximă) satisfăcând (104) are următoarea formă în spațiul stărilor

,

(105)

unde:

(106)

(107)

(108)

iar X și Y reprezintă soluțiile ecuațiilor Riccati:

(109)

și respectiv,

(110)

cu

(111)

Următoarea propoziție furnizează o factorizare coprimă la stânga, normalizată, în funcție de soluția ecuației Riccati (110).

Propoziția 1. Fie (A, B, C, D ) o realizare de stare minimală a unei funcții de transfer G(s). Dacă și au o realizare în spațiul stărilor dată prin

(112)

unde

(113)

cu Y unica soluție pozitiv definită a ecuației Riccati (110) și R = I+ DDT, atunci ia () este o factorizare coprimă la stânga, normalizată a lui G.

De asemenea, expresia normei Hankel din relația (102) poate fi exprimată în funcție de soluțiile celor două ecuații Riccati

(114)

ceea ce conduce la expresia marginii maxime de stabilitate

(115)

Deci, pentru problema stabilizării robuste în cazul descrierii instalației prin factori coprimi, normalizați s-a obținut o soluție exactă evitându-se procedeul iterativ prezentat în algoritmul Glover-Doyle pentru determinarea valorii min. Totuși, se poate demonstra că în acest caz particular algoritmul Glover-Doyle conduce la aceeași soluție exactă. Acest lucru este posibil întrucât în acest caz soluțiile și Y = Ric(J) se pot scrie explicit în funcție de parametrul , deci condițiile de la punctul a) al Teoremei 5. pot fi explicitate în funcție de . Există și alte cazuri particulare de probleme de optimizare H care admit soluții exacte.

Observație: Dacă =min, atunci L = XY – max(XY) devine singulară și compensatorul (105) nu poate fi implementat. Această problemă poate fi rezolvată utilizând sistemul descriptor care poate fi convertit la un sistem în spațiul stărilor uzual prin decompoziția lui LT în valori singulare. În acest caz ordinul compensatorului optimal va fi n – r, n fiind ordinul instalației nominale, iar r l reprezintă ordinul de multiplicitate al valorii max(XY)

1.1.6. Metode "loop shaping"

Metodele de tip "loop shaping" se bazează pe transpunerea de către proiectant a obiectivelor de performanță specificate pentru sistemul în circuit închis, în cerințe asupra valorilor singulare în circuit deschis pentru sistemul compensat. Necesitatea asigurării stabilității sistemului în circuit închis implică luarea în considerare a proprietăților de fază ale instalației, ceea ce conduce la restricții asupra modelului buclei. Aceste cerințe sunt mai restrictive dacă instalația nominală are poli și zerouri în semiplanul drept ceea ce face ca metodele clasice de tip "loop shaping" să fie destul de dificil de aplicat. O abordare de tip "loop shaping" care este ceva mai simplă din punct de vedere al proiectantului este cea utilizată în metoda LTR (Loop Transfer Recovery) / LQG (Linear Quadratic Gaussian) deși, tratarea instalațiilor cu zerouri în semiplanul drept este destul de dificilă.

In acest paragraf vom prezenta o metodă combinată, care înglobează atât caracteristicile proiectării "loop shaping" cât si cele ale proiectării H..

Metoda stabilizării robuste utilizând descrierea instalației nominale în factori coprimi normalizați nu permite includerea unor obiective de performanță. Obiectivele de performanță și stabilitate robustă pot fi înglobate într-o singură problemă de optimizare HM, dar nu se mai obține o soluție exactă, iar cerințele de calcul sunt mult mai mari. De asemenea, alegerea funcțiilor de ponderare în frecvență nu este directă (implică un număr mare de încercări), fiind dependentă de exemplul specific.

In continuare se propune o metodă de îmbinare a cerințelor de performanță si robustețe, utilizând metoda stabilizării robuste în factori coprimi normalizați ca un mijloc de garantare a stabilității în circuit închis. Etapele procedeului sunt:

i) Utilizând pre-cmpensarea și/sau post-compensarea, valorile singulare ale instalației nominale sunt modelate utilizând o metodă loop shaping simplă, pentru a obține o formă dorită în buclă deschisă.

O instalație modelată se obține prin combinarea instalației nominale cu aceste compensatoare.

ii) Se sintetizează un compensator care stabilizează robust descrierea în factori coprimi normalizați a instalației modelate.

iii) Se combină compensatorul stabilizator cu compensatoarele de modelare pentru a obține compensatorul fina.

Avantajul metodei constă în posibilitatea includerii unor obiective de performanță, în timp ce se poate obține o soluție exactă a problemei de stabilizare robustă.

In paragrafele „Problema distantei generalizate” și „Problema Nehari” am arătat că, în cazul sistemelor multivariabile, multe obiective de performanță și stabilitate robustă pot fi exprimate prin cerințe asupra valorilor singulare maxime ale unor funcții de transfer în circuit închis particulare. Ideea principală în metoda hop shaping este aceea că valorile singulare maxime ale acestor funcții de transfer în circuit închis pot fi determinate (peste domenii corespunzătoare de frecvență) prin valorile singulare ale funcției de transfer în circuit deschis corespunzătoare.

Senzitivitatea

(116)

Robustețea în prezența incertitudinilor aditive

(117)

Senzitivitatea complementară

(118)

4. Rejecția perturbațiilor de la intrarea instalației la ieșirea acesteia.

(119)

Figura 5. Modelarea valorilor singulare în circuit deschis;

Întrucât, în general, cerințele de performanță sunt impuse la frecvențe joase, iar robustețea la frecvențe înalte, valorile singulare în circuit deschis trebuie modelate astfel încât să satisfacă restricțiile ilustrate în figura 5. Cerințe suplimentare trebuie satisfăcute de la frecvențe joase și la frecvențe înalte (conform obiectivelor 4 și respectiv, 2).

Algoritmul de proiectare

1. Modelarea buclei. Utilizând un pre-compensator W1 și/sau un post-compensator W2, valorile singulare ale instalației nominale sunt modelate pentru a obține o formă dorită în buclă deschisă. Instalația nominală G și funcțiile de modelare W1,W2 sunt combinate pentru a forma instalația modelată Gs, unde Gs=W2GW1 ( figura 6a.). Se presupune că W1 și W2 sunt astfel încât Gs nu conține moduri instabile ascunse.

2. Stabilizarea robustă, a) Se calculează max. Daca max l și revine la etapa l și se ajustează W1 și W2.

b) Se alege max , apoi se sintetizează un compensator K care stabilizează robust factorizarea coprimă normalizată a lui Gs , cu marginea de stabilitate e, utilizând abordarea din paragraful „Factori coprimi nominalizați ” (figura. 6.b.)

3. Compensatorul final K se construiește combinând compensatorul K cu funcțiile de modelare W1 și W2 (fig. 6.c)

K = W1KW2.

(120)

Instalația modelată

b) Compensarea H

Compensatorul final

Figura 6. Proiectarea compensatorului.

Observație: O valoare mică a lui max (max l) obținută în etapa a doua indică incompatibilitatea între forma specificată a buclei, faza instalației nominale și stabilitatea robustă în circuit închis. •

În algoritmul de proiectare, modelarea dorită a buclei s-a realizat prin W2GW2, dar bucla reală este în final dată prin GW1KW2, ceea ce va conduce la o deteriorare a formei buclei datorată includerii lui K.

Teorema 8. Orice compensator K satisfăcând

(121)

unde este o factorizare coprimă la stânga, normalizată a lui ( este presupusă pătrată ) satisface, de asemenea,

(122)

pentru orice , unde:

(123)

Teorema 9. Orice compensator K , satisfăcând:

(124)

unde este o factorizare coprimă la stânga, normalizată a lui GS, satisface, de asemenea,

(125)

pentru orice , unde:

(126)

Limitele asupra valorilor și împreună cu inegalitățile:

(127)

și respectiv,

(128)

unde definește numărul de condiționare, asigură o limitare a deteriorării buclei prin introducerea lui K.

() reprezintă un indicator de proiectare, astfel încât cu cât este rnai mare ( max < l) cu atât deteriorarea formei buclei dorite este mai mică.

De asemenea, se demonstrează că prin acest algoritm, similar cu metoda clasică loop skaping, se garantează limitarea unor obiective de proiectare în circuit închis standard.

Un compensator proiectat utilizând acest algoritm va fi, în general, de ordinul n + 2nW, unde n este ordinul instalației nominale, iar nw este ordinul combinat al funcțiilor W1 și W2. De aceea, dacă instalația nominală are un ordin mare, va rezulta un compensator de ordin ridicat, care poate să nu fie acceptabil din punct de vedere al implementării efective. Se poate obține un compensator de ordin redus, fie prin determinarea unui aproximant de ordin redus pentru GS, fie prin determinarea unui aproximant de ordin redus pentru K.

1.1.7. Optimizare parametrică

Multe specificații de proiectare a legii de conducere includ cerințe stricte de performanță pentru sistemul în circuit închis, care trebuie să fie satisfăcute în prezența incertitudinilor. Asemenea probleme pot fi rezolvate eficient prin combinarea metodei inegalităților, care asigură proiectarea pentru performanțe explicite ale sistemului în circuit închis, cu tehnici de optimizare analitică, care asigură satisfacerea cerințelor de robustețe. Aceasta se realizează prin utilizarea metodei inegalităților pentru proiectarea funcțiilor de ponderare necesare la implementarea practică a metodelor analitice de optimizare.

1.1.7.1. Metoda inegalităților

Dacă se observă operatorii reglând manual un proces, este evident că în multe cazuri obiectivul lor constă în păstrarea unui număr de variabile între limite prescrise și că aceștia sunt indiferenți la comportarea de detaliu a variabilelor, cu condiția că acestea să rămână în cadrul acestor limite.

Metoda inegalităților este o metodă de proiectare asistată de calculator, multiobiectiv, unde performanța dorită este reprezentată printr-un set de inegalități algebrice, iar scopul proiectării constă în satisfacerea simultană a acestor inegalități.

Problema de proiectare se exprimă astfel

(129)

unde: p P este un vector real (p1, p2,…,pq)T ales dintr-o mulțime dată P Rq, i sunt funcții reale de p, iar i, sunt numere reale. Funcțiile i, sunt indici de performanță, componentele lui p reprezintă parametri de proiectare, iar i sunt aleși de proiectant și reprezintă cele mai mari valori tolerabile pentru i.

Funcțiile i (p) pot fi funcționale definite pe răspunsul la intrare treaptă, de exemplu suprareglajul, timpul de creștere, integrala erorii absolute, sau funcționale definite pe răspunsul în frecvență, ca de exemplu banda de frecvență. De asemenea, acestea pot reprezenta măsuri ale stabilității sistemului, amplitudini și/sau viteze de variație ale semnalelor de comandă etc.

Notăm Si mulțimea vectorilor p pentru care inegalitatea funcțională i este satisfăcută

(130)

Marginea acestei mulțimi este definită prin i (p) =.i.

Atunci, mulțimea admisibilă a vectorilor parametru, pentru care toate inegalitățile sunt satisfăcute, este intersecția:

(131)

Obiectivul proiectării constă în determinarea unui punct p S, numit punct admisibil.

Soluția setului de inegalități (129) poate fi obținută cu ajutorul algoritmilor numerici de căutare, de exemplu algoritmul modificării limitelor (limitelor mișcătoare). Acest algoritm utilizează metoda de căutare Rosenbrock, care este considerată ca o metodă accelerată în direcție și distanță. Metoda Rosenbrock determină noi direcții de căutare ortogonale, direcțiile de deplasare fiind ajustate pentru a menține direcția celei mai rapide pante.

O alternativă la metoda de căutare Rosenbrock o constituie metoda simplex modificată (Nelder și Mead, 1965), Astfel, la iterația a k-a, se rezolvă următoarea problemă minimax:

(132)

unde:

,

(133)

(134)

iar este un număr pozitiv mic.

De asemenea, se poate înlocui problema minimax cu o problemă de minimizare a unei funcții obiectiv netede, cu restricții neliniare care poate fi rezolvată utilizând algoritmi de optimizare standard.

Observație: Procedeul de obținere a soluției este interactiv, acesta necesitând supervizarea și intervenția proiectantului. Proiectantul trebuie să aleagă dimensiunea vectorului parametru p precum și valorile inițiale ale acestuia. Algoritmul de căutare trebuie monitorizat și, dacă nu se găsește nici o soluție, proiectantul poate să schimbe punctul inițial, să mărească dimensiunea vectorului p, sau să relaxeze unele din limitele i. Dacă o soluție este obținută foarte ușor, pentru a îmbunătăți calitatea proiectului, se pot considera limite mai strânse sau pot fi incluse obiective de proiectare suplimentare în (129).

În majoritatea aplicațiilor metodei inegalităților, vectorul de proiectare p parametrizează un regulator fixat cu o structură particulară. Totuși, în aplicații foarte recente, se parametrizează funcțiile de ponderare necesare în problemele de optimizare H. În continuare se prezintă două exemple de aplicare a acestei metode.

1.1.7.2. Problema sensibilității mixte

Obiectivele de performanță și stabilitate robustă pentru sistemele cu reacție pot fi exprimate ca restricții ale normei H impuse matricelor de sensibilitate (S) și sensibilitate complementară (T). O metodă de obținere a obiectivelor multiple o constituie problema sensibilității mixte, care poate fi formulată astfel:

Să se determine un regulator K care stabilizează sistemul în circuit închis și satisface inegalitatea

(135)

Calitatea performanțelor sistemului în circuit închis obținut utilizând metoda sensibilității mixte depinde de alegerea funcțiilor de ponderare W1 și W2, care sunt selectate cu scopul de a determina soluția să satisfacă specificațiile de proiectare.

Selecția ponderilor dependente de frecvență în proiectarea H este o problemă specifică, fiind dificil să se furnizeze un set definitiv de reguli pentru construirea și modificarea acestora. Liniile generale de ghidare pot fi definite astfel:

Se utilizează numai ponderi diagonale și stabile;

Elementele diagonale să fie funcții real raționale, cu fază minimă.

În general, în problema sensibilității mixte, pentru ajustarea benzii de trecere, W1 este ales ca un filtru trece-jos cu amplificare mare, dat prin:

(136)

În scopul obținerii stabilității robuste în raport cu incertitudinile modelului în domeniul frecvențelor înalte,W2 se alege ca un filtru trece-sus, de forma:

(137)

Problema sensibilității mixte H combinată cu metoda inegalităților, pentru a furniza un mod mai eficient de selectare a parametrilor de ponderare în scopul satisfacerii unor inegalități de performanță în circuit închis, se formulează astfel:

Să se determine vectorul w astfel încât

(138)

și

(139)

unde (w) este valoarea optimă (cea mai mică valoare posibilă) a lui satisfăcând (135), i(w) sunt funcționale definite pentru sistemul în circuit închis, și i sunt numere reale reprezentând limite dorite asupra lui și, respectiv i.

Algoritm:

Se definește instalația G și funcționalelei, i = l,…,m;

Se definesc valorile lui și i, i=l,… ,m;

Se definește forma și ordinul funcțiilor de ponderare W1 și W2 (de exemplu, relațiile (136) și (137)). Trebuie introduse limite asupra valorilor parametrilor w pentru a asigura faptul că W1 și W2 sunt stabile și cu minim de fază. Forma funcțiilor de ponderare trebuie să fie inițial un filtru trece-jos pentru W1 și un filtru trece-sus pentru W2;

Se definesc valorile inițiale ale lui w;

Se utilizează metoda inegalităților pentru a găsi un w care satisface inegalitățile (138) si (139). Dacă nu se găsește nici o soluție, se crește ordinul funcțiilor de ponderare, se relaxează una sau mai multe limite i, sau se încearcă din nou cu alte valori inițiale ale lui w;

Cu funcțiile de ponderare satisfăcătoare W1 și W2 obținute la pasul 5, se determină regulatorul final ca soluție a problemei H.

1.1.7.3. Metoda "loop shaping"

În procedeul de proiectare "loop shaping" funcțiile de ponderare sunt alese ținând cont de răspunsul în bucă deschisă al instalației ponderate, astfel încât ponderile W1 și W2 (fig.6.) reprezintă parametri de proiectare. Aceasta înseamnă că problema de proiectare poate fi formulată ca în metoda inegalităților, utilizând parametrii funcțiilor de ponderare W1 și W2 ca parametri de proiectare în scopul satisfacerii unui anumit set de inegalități de performanță în circuit închis.

Problema de proiectare se poate formula astfel:

Pentru sistemul din fig. 6.cu instalația ponderată cu W = (W1,. W2), să se determine o pereche W astfel încât

(140)

și

(141)

unde

(142)

și i(W) sunt funcționale definite pentru sistemul în circuit închis,, i sunt numere reale reprezentând limite dorite pentru min și respectivi , iar W este o pereche de funcții de ponderare de ordin, dat având parametrii reali w = (w1, w2,… ,wq) .

Relația (142) definește valoarea optimă a lui din problema stabilizării robuste a sistemului ponderat gs = W2 GW1. Valoarea min(W) se determină direct din relația (115) aplicată pentru funcția de transfer ponderată Gs în locul funcției de transfer nominale G.

Algoritmul de proiectare urmărește etapele algoritmului prezentat în paragraful anterior, deosebirile fiind următoarele:

1. În etapele 3 și 4 forma, ordinul și parametrii inițiali ai funcțiilor de ponderare W1 și W2 se aleg pe baza răspunsului în frecvență dorit pentru bucla deschisă.

2. În etapa 5 metoda inegalităților se utilizează în conjuncție cu relațiile (115) și (105) (scrisă în forma descriptor), pentru sistemul ponderat Gs , în scopul determinării unui W care satisface inegalitățile (140) și (141).

3. În etapa 6, utilizând funcțiile de ponderare W1 și W2 determinate în etapa 5 se determină un compensator robust stabilizator K pentru Gs, utilizând relația (105). Compensatorul final K (fig.6.) este

K = W1KW2

(143)

1.1.8. Sinteza

1.1.8.1 Incertitudine structurată.

Utilizarea descrierii nestructurate a incertitudinilor conduce, în general, la compensatoare care sunt în mod inutil conservative, întrucât ele se comportă satisfăcător (într-un anumit sens) chiar și în fața unor perturbații care nu pot apărea niciodată. Regulatorul este astfel "dezacordat" tocmai pentru a corespunde unor evenimente inexistente.

În practică, adesea, este disponibilă atât informație structurată cât și nestructurată despre incertitudinile instalației. Anumiți parametri ai modelului în spațiul stărilor pot varia în domenii cunoscute (ceea ce reprezintă o informație puternic structurată) și, în același timp, întregul model poate deveni imprecis la frecvențe înalte din cauza întârzierilor nemodelate, histerezisului, fenomenelor de rezonanță, cuplurilor parazite etc. (ceea ce reprezintă informație nestructurată, întrucât nu este practic sau posibil să se descrie toate aceste fenomene în detaliu). Este posibil întotdeauna să se reprezinte cu precizie informația despre incertitudine printr-un bloc (fig. 7.) cu o structură bloc-diagonală

(s) = diag(1(s),…,n(s)),

(144)

unde fiecare bloc i(i = l,…,n) poate fi un scalar sau o matrice reprezentând o incertitudine particulară evidențiată în instalație.

Figura 7. Reprezentarea cu precizie a informației despre incertitudine printr-un bloc

cu o structură bloc-diagonală

Se pot insera funcții de scalare în instalație astfel încât toate incertitudinile să fie normalizate la

(145)

Observații: a) Incertitudinea asociată cu compensatorul se poate modela la fel ca și incertitudinea instalației, conducând la .adăugarea unui anumit număr de blocuri la .

Reprezentarea anterioară a incertitudinii poate, totuși, să nu fie foarte precisă. Limitele (145) permit blocurilor i să conțină elemente complexe, deși, în multe cazuri, acestea pot avea doar elemente reale.

•

1.1.8.2. Stabilitate robustă

Presupunem că fiecare bloc i; i = l, …, n este stabil. În acest caz presupunând condiția a) din Teorema 10. satisfăcută, o condiție suficientă pentru stabilitate este

(146)

Teorema 10. K stabilizează pentru orice D și pentru orice instalație standard P satisfăcând ipoteză daca și numai dacă

K stabilizează

(147)

Dar, condiția din relația (146), nu mai este și necesară, deoarece majoritatea incertitudinilor care satisfac nu mai sunt admisibile (singurele admisibile sunt cele care au structura bloc diagonală dată prin relația (144). Notăm mulțimea incertitudinilor admisibile cu

(148)

Notând

(149)

putem defini următoarea funcție de matrice, la o frecvență dată și pentru incertitudini cu o structură dată:

(150)

Funcția (h) se numește valoare singulară structurată a lui H și depinde atât de H cât și de structura lui . Cele mai importante proprietăți ale lui () sunt:

–

–

-;

–

– pentru n=1 (un singur bloc);

-DD(D definit prin (154));

(151)

Definim, de asemenea,

(152)

care este sugestivă, dar înșelătoare, întrucât |||| nu este o normă. Se poate formula acum teorema de stabilitate robustă (pentru incertitudini structurate).

Teorema 11. Sistemul din figura 8.a rămâne stabil pentru orice incertitudine dacă și numai dacă

(153)

Deși nu există o metodă exactă pentru calculul valorii singulare structurate, aceasta poate fi evaluată aproximativ. Definim mulțimea matricelor diagonale, reale, pozitive D astfel:

(154)

Fig. 11. Definirea stabilității și performanței robuste

O limită superioară a lui poate fi scrisă astfel:

(155)

Demonstrație: Pentru prescurtarea notației, renunțăm la explicitarea frecvenței . Întrucât DD-1 = , din (150) rezultă

(156)

de unde rezultă inegalitatea (155).

Observație: Dacă există cel mult trei blocuri în , fără repetiții (incertitudini necorelate), atunci s-a demonstrat că

(157)

Experimentele numerice au indicat că inf este o estimare utilă a lui (H). Pentru o serie de structuri particulare ale lui (BD) s-au dedus algoritmi simpli pentru estimarea valorii inf .

1.1.8.3. Performanță robustă

Se consideră structura din figura 11.b, în care specificarea performanței nominale (=0) se face prin

(158)

În prezența incertitudinii , criteriul de performanță robustă poate fi exprimat astfel

(159)

și

(160)

ultima relație provenind din teorema de stabilitate robustă. Suntem în măsură să enunțăm teorema de robustețe a performanței.

Teorema 12. Condiția (159) este îndeplinită pentru orice BD1, iar condiția (160) este satisfăcută dacă și numai dacă

(161)

unde

(162)

iar este calculată în raport cu structura lui diag(0,), cu condiția că H este stabilă (fig. 12).

Inegalitatea (156) sugerează că problema performanței robuste poate fi rezolvată prin rezolvarea problemei

(163)

iterativ pentru D și K. Cu D fixat, aceasta reprezintă problema H standard, iar cu K fixat minimizarea după D este convexă, astfel încât aceasta poate fi rezolvată, spre exemplu, prin tehnici de căutare. Pentru rezolvarea problemelor de stabilitate robustă sau performanță robustă se poate utiliza următorul algoritm (iterația D-K):

Fig. 12. Definirea performanței robuste

Calcularea lui Dk conduce la o matrice de puncte variabile cu frecvența (). Multiplicările pentru scalare cu Dk (în Pk) se realizează. înainte ca datele variabile cu frecvența să fie potrivite (interpolate) într-o funcție de transfer. Aceasta previne acumularea erorilor în Dk la fiecare pas al algoritmului. Întrucât norma H a sistemului scalar este necrescătoare, iterația D-K va converge într-un număr finit de iterații. Totuși, nu există nici o garanție că algoritmul va converge la un minim. global. Presupunem ca acesta converge în N iterații. Dacă atunci KN realizează performanța robustă. Dacă., atunci ponderile performanțelor și incertitudinilor trebuie ajustate astfel încât fie să se restrângă incertitudinea fie să se reducă nivelul de performanță și iterația D-K se încearcă din nou. Algoritmul D-K consumă mult timp.

1.2. Modelul dq

Primul pas in realizarea unui model în sistem dq a fost făcut în 1929 de R. H. Park, pe baza unei sugestii a lui A. Blondel, aplicată la mașina sincronă. Mai târziu, în 1942, au fost puse bazele teoriei unitare matriceale a mașinilor electrice de către G. Kron, care a utilizat calculul tensorial. La începutul anilor 60 a fost definit fazorul spațial sub aspect general, putând fi aplicat și la realizarea modelului dq al mașinii asincrone. Astfel, pe lângă suportul matematic al teoriei unitare a mașinilor s-a creat și suportul fizic, care va conduce mai târziu la ideea sistemelor de reglare generalizate. La începutul anilor 70 au apărut lucrări care au pus bazele acestor sisteme de reglare pe baza principiului orientări după câmp.

S-a realizat un model dq al mașinilor de curent alternativ, cu proprietăți asemănătore mașinilor de curent continuu, la care sunt separate buclele de reglare a curentului activ și reactiv.

De fapt, din interpretarea fizică a modelului bifazat s-au născut ideile, care valorifică din plin acest concept bifazat și anume teoria unitară a mașinilor electrice, respectiv principiul metodelor de reglare al mașinilor de curent alternativ, așa-numitul principiu „orientării după câmp”.

Deși mărimile dq par a fi numai matematice, totuși ele pot exista fizic. Curenții și tensiunile dq apar în buclele de reglare orientate după câmp, deci în afara mașinii, dar fluxurile dq apar fizic chiar în mașină în întrefier, unde pot fi măsurate direct.

Este cu totul întâmplător faptul că există o mașină electrică, cea de curent continuu, la care acest model matematic este realizat în mod particular și fizic.

Datorită analogiei dintre mașina de curent continuu și modelul bifazat al mașinilor de curent alternativ s-a putut concepe un procedeu de reglare standard în acționări electrice cu un caracter profund general.

1.3. Tranzistorul bipolar de tip (IGBT)

Tranzistorul de tip IGBT (Insulated Gate Bipolar Tranzistor) prezint o poartă izolată printr-un strat de oxid de siliciu și o structură celula fină, dar partea de colector se bazează pe o joncțiune p-n care injectează purtători minoritari în canal. astfel tranzistorul IGBT prezintă o combinație de proprietăți ale unui tranzistor cu efect de câmp cu izolație prin oxid de siliciu și respectiv ale unui tranzistor bipolar.

Tranzistorul bipolar prezintă: pierderi reduse în conducție, în special la dispozitive ce funcționează la tensiuni ridicate, tensiune mare de blocare, dar un timp de comutație mai lung (mai ales la blocare).

Tranzistorul de tip IGBT poate fi comutat rapid, dar pierderile în starea de saturație sunt mai mari, în special la dispozitivele ce funcționează la tensiuni ridicate.

Modul de funcționare al tranzistorului IGBT constă în modulația conductivității regiunii (n), rezultând o rezistență echivalentă mai mică între terminalele de putere.

Figura 2.8.1. Modelul tranzistorului IGBT a) și simbolul acestuia b)

În figura 2.8.1a este prezentat un model de circuit al tranzistorului IGBT, iar în figura 2.8.1.b, simbolul acestuia.

Tensiunea între grilă și emitor (vge) controlează starea dispozitivului. Dacă tensiunea (vge) este mai mică decât pragul (VGE-thr), dispozitivul este blocat și are loc doar o mică „scurgere” de curent. Dacă tensiunea grilă – emitor depășește acest prag (VGE-thr 2 3V), tranzistorul IGBT trece în starea de saturație. Tensiunea de saturație (VCE-sat) este mai mică decât tensiunea sursă-drenă pentru același curent de sarcină și aceeași tensiune.

Timpii de comutație sunt foarte mici, de cca. 1 sec, sau chiar mai puțin.

În starea de saturație, tensiunea de saturație depinde de curentul de colector, de tensiunea grilei si de temperatură.

1.4. Invertoare

Invertoarele pot fi clasificate în una dintre următoarele ca principale:

Invertoare surse de tensiune

Invertoare surse de curent

Invertoare cu curent controlat (de tip cu histerezis)

Invertoare controlate prin fază.

Invertorul cel mai des întâlnit este invertorul de tip „sursă de tensiune", care generează tensiunea de ieșire ca o funcție directă de tensiunea de intrare de c.c.; ea însăși o sursă ideală de tensiune (rămâne constantă la orice sarcină). Aceste invertoare se mai numesc invertoare alimentate în tensiune.

Invertoarele „surse de curent" se comportă la ieșire ca o sursă ideală de curent alternativ, întrucât și sursa de c.c. era o sursă ideală de curent, (cu rezistența internă foarte mare). Un exemplu de asemenea sursă îl poate constitui un redresor în punte cu tiristoare, cu comandă în fază, controlat în buclă închisă. Aceste convertoare se mai numesc invertoare cu alimentare în curent și constituie o altă variantă de circuite folosite la controlul vitezei motoarelor trifazate. În acest caz, motorul este „automat" protejat împotriva suprasarcinii.

Figura 7.2.1. Controlul „cu histerezis" al curentului

Invertoarele cu curent controlat (de tip histerezis) continue o a treia variantă folosită la controlul motoarelor de c.a. comutarea semiconductoarelor invertorului este controlată astfel în cât curentul generat la bobinele de ieșire ale invertorului să urmărească (prin segmente liniare, figura 7.2.1.) valoarea curentului de referință, care este o mărime sinusoidală. Cu cât lățimea zonei de histerezis este mai redusă, cu atât este mai mare frecvența de comutație a semiconductoarelor de putere folosite în invertor. De asemenea, este folosit un sunt pentru a sesiza valoarea reală a curentului, în scopul comparării sale cu curentul de referință sinusoidal.

Invertoarele controlate în fază (onduloarele)sunt de fapt redresoare controlate, la care puterea circulă de la sarcina activă de c.c. la sursa de c.a.. Un tip special de invertoare controlate în fază îl constitue ciclo –convertorul, care este un convertor direct de frecvență: la intrare primește, de obicei, tensiunea rețelei (50 Hz) și dă la ieșire o frecvență mult mai joasă.

1.5. Variatoare de tensiune

1.5.1. Principii de funcționare ale vânătoarelor de tensiune alternativă

Există mai multe strategii de control a dispozitivelor semiconductoare de putere, așa cum sunt prezentate în figura 4.2. l

Figura 4.2.1 – Strategii de control a variatorului de tensiune.

Comutarea cu număr întreg de perioade (numit și "control bipozițional", „amorsare în salvă", „selectarea macro-perioadei sau „cu control proporțional”), în care comanda de amorsare a dispozitivului este folosită pentru a conecta sursa de c.a. la sarcină pentru (n) perioade întregi (sau semiperioade) pentru a deconecta sursa pentru următoarele (m) perioade întregi (sau semiperioade), figura 4.2. l .a.

Controlul unghiului de amorsare: transferul de putere către sarcină este controlat prin întârzierea unghiului de amorsare al dispozitivelor de putere pe fiecare semiperioadă, figura 4.2.1.b.

Controlul unghiului de fază, cu comutație forțată: curentul de sarcină este modificat prin blocarea semiconductorului înainte ca tensiunea de alimentare de c.a. să se anuleze pe fiecare semiperioadă, figura 4.2.1.b*; o altă posibilitate constă în combinarea acestor două strategii și corespunde figurii 4.2.1.c;

Strategia modulării în durată cu frecvență ridicată (PWM): fiecare semialternanță a tensiuni relației este divizată în mai multe perioade mici și pe fiecare perioadă, se aplică principiul modulației în durată, așa cum se arată în figura 4.2.1.c;

Oricare dintre strategiile de control amintite poate fi aplicată în principiu atât variatoarelor monofazate cît și celor trifazate.

1.5.2 Principiul strategiei modulării în durată (PWM) cu frecvență ridicată

Semiperioada a tensiunii de alimentare este divizată în perioade mai mici:

Tensiunea de ieșire este dat de un semnal dublu modulat: modulat în amplitudine de sursa de alimentare va(t) și în durată (PWM). Cu factorul de umplere (). Fie . În timpul unei „mici” perioade , tensiunea de ieșire este aproximată de o formă de undă dreptunghiulară, iar pe intervalul , tensiunea de ieșire este zero. Valoarea efectivă a tensiunii de ieșire pe durata unui interval oarecare, notat cu (I) este dat de:

cu I=1, 2, 3,…. Pe durata unei semiperioade a tensiunii de alimentare, valoarea efectivă este . Puterea de ieșire este: . Controlul în strategia PWM generează o fundamentală de curent în fază cu tensiunea de alimentare iar puterea reactivă (Q) este în acest caz egală cu zero. Armonicile de ordin superior (atât pentru curenți cât și pentru tensiune) sunt mici și ușor de filtrat. Semiconductoarele de putere folosite sunt însă mai pretențioase, întrucât trebuie să funcționeze cu pierderi rezonabile la puteri și frecvențe ridicate (f>>50 Hz).

2. MEMORIU JUSTIFICATIV

2.1. Introducere

Din punct de vedere economic, tehnic și protecția mediului, în zilele noastre este o orientare către unitățile generatoare de putere mică, conectate la sisteme de distribuție de tensiune mică, în plus față de generatoarele de putere mare tradiționale conectate la sisteme de transmisie de putere mare. Nu numai acolo se schimbă scala dar de asemenea s-a schimbat și tehnologia. Marile generatoare sunt aproape exclusiv mașini sincroane de 50/60 Hz. Generatoarele de putere distributive au sursă de viteză variabilă (frecvență variabilă), surse de mare viteză (frecvență înaltă) și surse directe de conversie pentru c.c. De exemplu, turbina de vânt are cel mai mare efect dacă este lăsat să genereze frecvențe variabile care necesită conversie de la c.a (frecvență variabilă) la c.c. sau c.a. (50/60Hz); bateriile solare necesită conversie de c.c-c.a. În toate cazurile va fi folosit același invertor de bază (convertor c.c la c.a.) și este nevoie sa fie controlat pentru a produce o forme de undă pentru alimentarea de înalta calitate a consumator.

Există mai multe regimurii de operare posibile pentru generare distribuită. Unul ar fii micro-grilajul a cărei intenție este alimentarea în mare măsură a consumatorului local de la generatorul local, dar în situația în care apar surplusuri sau neajunsuri sunt schimbate printr-o conectare la un sistem public de alimentare electrică. Utilizarea micro-grilei ne deschide posibilitatea creerii generatoarelor de distribuție a energiei, responsabile pentru calitatea energiei locale într-un mod în care cu generatoare convenționale nu este posibil.

Mai multe sarcini conectate la sistemul de distribuție sau micro-grila sunt neliniare și crează curent armonic distorsionat. Cel mai comun exemplu este sarcina liniara în serie cu a diodei și cu a condensatoruliu c.c. Mai multe sarcini sunt de asemenea monofază si sunt considerate scvență-zero distorsionate si o componenta de curent secventa-negativa este așteptat sa fie acolo. Fiindcă grilajul are impedanță relativ mare la frecvență armonică, curentul distorsionat rezultă din distorsionarea tensiuni de alimentare a clienților adiacenți permițând convertorului să controleze în unitatea generatoare forma de undă a micro-grilajului pentru obținerea unei puteri mai bune. Fig. 1. prezintă sistemul care urmează să fie controlat. Sarcina micro-grilajului continue elemente liniare și distorsionate. În reprezentarea din Fig. 1. sarcinile au fost adunate într-o sarcină liniară și o scădere a curentului care generează componentele armonice ale curentului de sarcină. Convertorul constă din 4 fire, 3 invertore de fază (puntea IGBT), un filtru LC(să atenueze comutarea frecvenței tensiuni componentelor) și controlerul. Micro-grilajul poate fi alimentat prin generator local, sau prin grilaj, sau prin combinația lor, generatorul local făcând față alimentări micro-grilajul și consumatorilor externi. Doua întrerupăroare și au rolul de a facilita alimentarea și o interfață a grilei inductorulu are rolul de a permite separarea tensiuni sinusoidale a micro-grilajului de tensiunea (posibil distorsiomată) grilajului și deasemenea să faciliteze schimbul dintre puterea activă și reactivă dintre micro-grilaj și grilaj.

Există mai multe aspecte pentru controlul unui asemenea sistem:

Ajustarea, conectarea, deconectarea și sincronizarea micro-grilajului,

Controlul tensiuni micro-grilajului,

Controlul schimbului de putere (intre micro-grilaj și grilaj).

Această lucrare se bazează pe controlul tensiuni micro-grilajului. Se presupune că controlul buclei de ieșire va regla schimbul de putere între micro-grilaj și grilaj prin dezvoltarea tensiuni de referință potrivite în funcție de mărimea și unghiul fazei. Aceste tensiuni de referință pentru cele trei faze ale tensiuni micro-grilajului sunt sinusoidale. Este sarcina controlerului de tensiune să urmărească exact aceste tensiuni de referință. Acest controler va fi subiect al perturbațiilor care includ curenți nesinusoidali, componentele de curent neechilibrate, modificări în curentul sarcini , modificări și distorsiuni în tensiunea grilajului.

Există mai multe opțiuni de control, regulatoarele convenționale PI pot fi folosite și sunt larg prezentate în cadrul invertorului. Folosind descrierea dq aceste regulatoare vor încerca să păstreze tensiunile dq componente ale tensiuni la valorile de referință ale c.c. și să suprime distorsiunile care apar la frecvență mai înaltă.

Fig.1. Reprezentarea unei faze a sistemului care este controlat. Sarcinile locale sunt prezentate printr-o singură sarcină liniară în paralel cu o sursă de curent distorsionată armonic. Blocul PWM este proiectat în așa fel în cât (nesaturat) atunci media lui la o perioada de comutare este controlul intrări u.

Aceste controlere pot funcționa bine pe sisteme echilibrate dar nu sunt bune la corectarea curentului distorsionat neechilibrat, care sunt o trăsătură comună a sistemelor de distribuție. Asemenea contolere sunt des aplicate la echilibrarea sarcinilor motorului trifazat. Regulatoarele cu referință staționară pot opera pe o bază fazorială și vor avea succes rezonabil la menținerea tensiuni echilibrate. Dificultatea apare la proiectarea unui regulator cu câștigul corector în potriva caracteristici frecvenței, pentru a regla frecvența fundamentală și pentru a respinge zgomotele armonice mai mari. Regulatoarele PI cu polul (câștig infinit) la frecvență 0 nu sunt cele mai potrivite pentru aceasta soluție.

Unui contrler se impune să îndeplinească condițiile unui câștig mare și toate frecvențele armonice de interes. Controlul repetitiv este o astfel de tehnică de proiectare.

În această lucrare proiectăm un controler de tensiune bazat pe teoria controlului repetitiv , care duce la obținerea unei distorsiuni armonice foarte mici a tensiuni micro-grilajului chiar și în prezența sarcinilor neliniare.

2.2 Modelarea sistemului

Sistemul de putere trifazat constă într-un convertor (incluzând puntea IGBT si filtrul LC), consumatori locali, inductorul interfeței grilajului și puterea (externă) grilajului. Considerăm acest sistem fiind trei sisteme independente monofazate cum e prezentat în figura 1. Această presupunere poate fi incorectă la cuplarea între faze prezentă la uni consumatori dar zgomotele introduse pot fin respinse de controler. Filtrul inductor și alți inductori ai sistemului includ doua rezistențe de deparazitare, o rezistentă înseriată pentru a modela rezistența bobinei și un rezistor paralel pentru a modela pierderile de miez.

Tabelul 1. Parametri sistemului

Valorile rezistenței găsite din datele experimentale ale impedanței din curba de reglare sunt intre valorile 50 Hz pana la 2kHz.

Blocul (PWM) este proiectat astfel in cât pentru , media locala a tensiuni de ieșire din punte egal cu u. Acest lucru face posibilă modelarea blocului (PWM) și a invertorului cu o tensiune medie accesibilă PWM-ului și invertorul este astfel o unitate de câștig simplu saturată unde saturația moduleză limita tensiuni de c.c. care poate fi atinsă 125V.

Obiectivul nostru este controlul mențineri tensiuni micro-grilajului cât de aproape posibil de valoarea tensiuni de referință . Cele două întrerupătoare și din fig 1. sunt necesare în procedurile de închidere si deschidere a convertorului, care nu sunt tema acestei lucrări. În această lucrare întrerupătoarele sunt considerate închise. Parametri sistemului sunt prezentați în tabelul 1. frecvența de comutare a punți IGBT este 10 kHz.

Considerăm starea variabilelor fiind aceeași cu a celor trei inductori și cu tensiunea condensatorului cât timp este închis. Variabilele de intrare externe (zgomotele și referințele) sunt și și intrarea de control este u.

Ecuațiile de stare ale procesului.

(1)

unde

Semnalul de ieșire din proces sunt eroarea și curentului ic astfel în cât Ecuațiile de ieșire sunt:

unde:

Funcția de transfer corespunzătoare procesului este:

Unde am utilizat notația compactă standard în teoria controlerului.

2.3. Proiectarea controlerului

Vom urmări procedura de proiectare robustă H pentru controlerul repetitiv care folosește informații adiționale asupra măsurări din proces Diagrama bloc a sistemului de control este prezentată în Fig.2. Cele trei semnale externe (componentele lui ) sunt presupuse a fi periodice cu o frecvență fundamentală de 50Hz. Controlerul constă intr-un model intern și un compensator stabilizator. Modelul intern are o secvență infinită de perechi de poli conjugați unde aproximativ primi 30 sunt foarte aproape de axa imaginară în jurul mulțimilor întregi și ceilalți mai îndepărtați se află în partea stângă. Compensatorul stabilizator asigură stabilitatea exponențială a întregului sistem. Eroarea va converge la o valoare staționară mică.

Modelul intern este obținut dintr-un filtru trece jos cu funcție de transfer:

cu =10000rad/sec cascadată cu un element de întârziere cu o funcție de transfer unde este puțin mai mic decât perioada fundamentală

Figura 2. Sistemul de control repetitiv robust. este perturbația și e este eroarea. Procesul este modelul nominal al sistemului din figura 1.

După închiderea reacției pozitive unitare în jurul acestei conecsiuni cascadă obținem modelul intern cum poate fi observat in figura 2. Alegerea lui se bazează pe un compromis: pentru prea mic numai câțiva poli ai modelului intern vor fi apropiați de axa imaginară conducând la urmărire strictă și la zgomote respinse la frecvențe mari. Pentru prea mare sistemul este greu de stabilizat (un compensator de stabilizare poate să lipsească sau se poate avea nevoie de lungime de undă mai mare.

Sistemul închis din figura 2. este exponențial stabil dacă sistemul închis dimensional-finit din figura 3. este stabil și funcția de transfer de la a la b notat satisface relația >1. Explicația intuitivă pentru aceasta este că în sistemul de control din figura 2. este conectată o linie de întârzierea de la ieșirea b la intrarea a care apare în figura 3. Pentru a face stabil acest sistem interconectat prin teorema câștigurilor mici este suficient ca câștigul de la a la b să fie mai mic decât 1 pentru toate frecvențele.

Astfel vom proiecta C (funcția de transfer a compensatorului de stabilizare) încât cele doua condiții de mai sus să fie satisfăcute. Chiar mai mult dorim să minimizăm atât timp cât >1. unde:

,

Pentru o valoare mica pentru va rezulta o eroare staționară mică.

Formulăm o problemă standard pentru sistemul de control prezentat in figura 3. unde și ținând cont de transformata lui Laplace,

,

Aici, și sunt permanent diferiți de 0, a căror alegere ne oferă mai multă libertate la proiectare. Parametrul este introdus să satisfacă o serie de condiții necesară pentru a face rezonabilă problema și este o funcție de pondere a cărei valoare la infinit , este de asemenea necesară pentru o serie de condiții.

Figura 3. Formularea problemei de control. . Această diagramă bloc reprezintă o problemă auxiliară și nu este echivalentă cu cea prezentată în figura 2.

Faptul că este dependent de frecvență ne permite să-l alegem ca filtru trece sus. Acesta are ca efect reducerea câștigul regulatorului la frecvențe mari. Relațiile lui și W sunt:

și procesul generalizat , realizarea lui fiind o derivare a relației (2):

.

(2)

Folosind datele obținute în urma analize lui în MATLAB putem găsi un comtroler C care minimizează morma a matricei de transfer de la la , . Oricum acesta nu este obiectivul nostru final. Indicăm controlerului central suboptimal pentru morma dată prin :

specificând . După câteva simulări vom obține și după cum urmează:

(3)

Pentru realizarea lui Te

Presupunem v1=0 și v2 =0, atunci u=Cexe , unde xe satisface:

Substituim u= Cexe în (1), atunci:

și

Mai mult

Deci, matricea de transfer de la la e este:

Pentru reliarea lui Tab presupunem că =0 și v2 =0, atunci:

și u=Cexe, unde:

astfel in cât: e+a=C1x+D12 Cexe+a De aici, funcția de transfer de la a la b este:

(3)

Figura 4. Diagramele Bode pentru controlul optimal al parametrilor prezentați în figura 3. De reținut că are bandă largă care nu se încadrează în parametri reali cu frecvență de comutare dată de 10 kHz.

(4)

Nu se ține cont că ecuațiile 2, 3 și 4 sunt variabile pentru cazul general indiferent de tensiunea vectorului măsurat care aici este scalarul .

Utilizând parametri prezentați în tabelul 1. un controler aproape optim pentru care diagramele Bode sunt prezentate in figură 4. este obținut utilizând ,

și (ultimele două valori au fost determinate după o cercetare de a minimiza când >1). Diagramele Bode arată că acest control nu este real pentru că nu are o lățime de bandă reală. Pentru a micșora lărgimea de bandă nu minimizăm norma al lui doar găsim un control central C astfel în cât este mai mic decât un număr pozitiv dat (care este mai mare decât valoarea minimă). Diagramele Bode ale unui controler implementat sunt prezentate în figura 4.

Am folosit controlul optimal C ca fiind compensatorul stabilizator din figura 2. pentru simulări.

3. CAIET DE SARCINI

3.1.Testarea produsului

Testarea aplicației a constat în mai multe simulări pentru diferite valori ale lui gama. În cadrul acestei secțiuni se vor prezenta dintre acestea, trei teste: unul pentru Gama=1, pentru Gama=8,4 și pentru Gama=16,8.

Configurația sistemului în cadrul testării:

procesor AMD Athlon Barton 2500+

placă de bază: GigaByte V-KT600 –L

memorie: 256 DDRAM 400 Samsung

placă video: Ge-force 4 MMX 64

placă de rețea: Realtek RTL8139/810X

Sistemul de oprare: Windows XP

Matlab 6.1

3.2. Modul de testare al produsului

Pentru testarea produsului se va rula sub Matlab programul “Microgrilaj” . Apăsând tasta <Enter> pe ecran se va afișa graficul răspunsul în frecvență al controlului convertorului în buclă închisă, acționând încă o data tasta <Enter> se va afișa graficul pentru “Specificațiile sensibilități și Specificațiile robusteți ”. Acționând în continuare tasta <Enter> programul ne va cere să introducem o valoare pentru “Gama” pe care o vom valida cu <Enter> după care ne va afișa graficul: “Funcția de cost Ty1u1” corespunzătoare valori Gama introduse. În funcție de cât suntem de mulțumiți de rezultatul obținut, la pasul următor programul ne va solicita: “pentru a continua apăsați <enter>, pentru a ieși apăsați Q …” după care ne va afișa graficul pentru “Funcția de sensibilitate si Funcția de sensibilitate complementară” sau va relua calculele pentru o noua valoare a lui Gama.

Codul sursă al programului este prezentat în anexa lucrării.

3.3. Rezultatele simulării.

Rezultatele simulări sunt prezentate in graficele ce urmează:

4. DOCUMENTAȚIE ECONOMICĂ

DEVIZ ECONOMIC

BIBILIOGRAFIE

Clement Feștilă, Mihail Abrudean, Eva Dulf, "Electronică de putere în automatică" Editura Mediamira, Cluj-Napoca, 2004.

Dan Popescu, "Sisteme robuste", Reprografia Universități din Craiova , 1997.

árpád Kelemen, M. Imecs, Sisteme de reglare cu orientare după câmp ale mașinilor de curent alternativ, Editura Academiei, București, 1989.

N. Jenkins, R. Allan, P. Crossley, D. Kirschen, and G. Strbac, Embedded generation,

IEE Power and Energy Series. IEE Books, 2000.

Z. Chen and E. Spooner, “Grid power quality with variable speed wind turbines,”

IEEE Trans. on Energy Conversion, vol. 16, no. 2, pp. 148–154, 2001.

M. Etezadi-Amoli and K. Choma, “Electrical performance characteristics of a new

micro-turbine generator,” in IEEE Power Engineering SocietyWinter Meeting, 2001,

vol. 2, pp. 736–740.

J.H.R. Enslin, M.S. Wolf, D.B. Snyman, and W. Swiegers, “Integrated photovoltaic

maximum power point tracking converter,” IEEE Trans. Industrial Electronics, vol.

44, no. 6, pp. 769 –773, 1997.