Principii de Baza In Pozitia Si Aspectele Pozitionarii In Lucrarile Geodezice

Capitolul 1

Aspectele poziționării în lucrările geodezice

1.1. Generalități

Determinarea formei și dimensiunilor Pamântului constituie una dintre principalele preocupari ale geodeziei. Ca model geometric al figurii Pamântului se utilizează mai multe tipuri de suprafețe care sunt alese funție de mai multe criterii, un rol important avandu-l natura problemei studiate și cerințele de precizie.

Cea mai naturală suprafață este suprafața fizică a Pamântului, dar din păcate, aceasta este o suprafață complicată pe care nu se poate lucra cu relații matematice simple.

O alta suprafață cu care se poate aproxima suprafața terestră este geoidul, dar și acesta este complicat din punct de vedere matematic, pe suprafața lui neputându-se rezolva problemele geometrice cum ar fi poziționarea.

Elipsoidul este si el o suprafață cu care se poate aproxima figura Pamântului și pe suprafața caruia se pot rezolva multe din problemele geometrice ale geodeziei.

În afară de aceste corpuri se pot utiliza si altele care aproximează în mare masură sau in mai mică masură suprafața terestră, și pe care pot fi rezolvate unele din problemele existente in geodezie.

Orice tip de lucrare din domeniul geodeziei presupune existența unor puncte cunoscute pe care să se sprijine lucrarea respectiva, toate aceste puncte alcatuind o rețea geodezică definita astfel:

O rețea geodezică este formată din mulțimea punctelor situate pe suprafața pe care se desfășoară o lucrare a căror poziție este cunoscută într-un sistem unitar de referință.

Fie că este vorba de o rețea locala ( suprafața acoperită de punctele rețelei, fiind de regula mai mică) fie că este vorba de o rețea globală, poziționarea punctelor care alcatuiesc o rețea geodezică în raport cu o anumită suprafață de referință, ramâne o problemă de bază a geodeziei.

Conceptul de poziționare implică noțiunea de poziție care este reprezentată de obicei printr-un set de coordonate (rectangulare, sferice). Pozițiile pot fi determinate în diferite moduri și prin utilizarea unor diferite instrumente sau siteme de instrumente de măsurare.

Principalele modalități prin care se poate determina poziția, sunt următoarele:

Într-un sistem de coordonate “bine definit” (de obicei geocentric, adica un sistem a cărui origine coincide cu centrul de masă al Pamântului). Acest mod de poziționare este cunoscut sub denumirea de poziționare punctuala, poziția punctului sau de poziționare absolută. Prin poziționarea absolută se înțelege determinarea coordonatelor unui punct de pe suprafața terestră, apă sau din spațiu într-un sistem de coordonate.

În raport cu un alt punct sau mai multe puncte, considerând un punct ca fiind originea sistemului local de coordonate, această modalitate este cunoscută sub denumirea de poziționare relativă sau poziționare diferențială.

Din cele prezentate se pot deduce urmatoarele aspecte:

Prin poziționare se înțelege determinarea poziției obiectelor staționare sau aflate în mișcare (mobile) prin una din cele doua metode prezentate.

De asemenea se poate vorbi despre:

Poziționarea cinematica, utilizată în navigație daca obiectul respectiv se deplasează.

Determinarea poziției relative se face prin măsuratoi directe între cele două puncte, fie prin masuratori indirecte de la cele două puncte la obiecte din spațiu.

Aceasta inseamnă că, utilizând metode terestre, poziționarea relativă este jult mai simplă decât poziționarea absolută, mai ales când între cele două puncte există vizibilitate reciprocă.

La acest tip de poziționare poate fi utilizat in principiu orice sistem local de coordonate.

Funcție de natura măsurptorilor efectuate, de tipul acestora, de spațiul luat in considerare, de modelul matematic utilizat in poziționare se poate vorbi despre o poziționare unidimensională( altimetrică), bidimensională (planimetrică) sau tridimensională.

Introducerea coordonatei timp(foarte importantă având în vedere că în timp toate obiectele, inclusiv Pământul, suferă modificări) la oricare dintre cele trei tipuri de poziționare mărește cu 1 dimensiunea spațiului considerat.

1.2. Clasificarea rețelelor geodezice

Rețelele geodezice pot fi clasificate funcție de mai multe criterii, în continuare fiind prezentate numai clasificările dupa acele criterii care fac obiectul acestei lucrări. Reprezentarea intregii suprafețe fizice a Pamântului sau numai a unei părți din acesta, se face după cum este cunoscut , prin intermediul hărților de diverse tipuri și la diverse scări.

Pentru a descrie suprafața matematică a Pământului trebuie să se găsească un număr finit de puncte reprezentative pentru teren și poziția acestora într-un sistem de coordonate. Rețelele alcătuite din aceste puncte pot alcătui o posibilă reprezentare a suprafeței fizice terestre. Aceste seturi de puncte ce alcătuiesc rețelele geodezice pot fi împărțite in trei categorii, fncție de cum este definită poziția lor:

– rețelele de puncte definite numai print-o singură coordonată și anume altitudinea (de obicei înălțimea deasupra mării). Aceste rețele geodezice sunt cunoscute ca rețele altimetrice, de nivelment sau verticale. Rețelele altimetrice sunt materializate prin repere si mărci de nivelment prin care, în final se cunoaște și o precizie mai mare, altitudinea(notată de regula cu H), dar și poziția planimetrică cu o precizie mult mai mică.

– rețele de puncte pentru care se cunoaște poziția orizontală, cum ar fi latitudinea(B) si longitudinea(L), denumite rețele orizontale sau planimetrice. Aceste rețele sunt alcătuite din puncte pentru care se cunoaște poziția prin intermediul coordonatelor geodezice pe elipsoidul de referință. Această poziție orizontală sau planimetrică poate fi dată și în alt sistem bidimensional de coordonate (x, y), frecvent utilizat în practica geodezică, cum ar fi un sistem de proiecție, cu condiția să se cunoască relația de legătura între cele două sisteme de coordonate amintite. Aceste două tipuri de rețele geodezice au fost și sunt încă cele mai utilizate, prin intermediul lor putându-se exprima și o poziție în spațiul cu trei dimensiuni a unui punct, dar și sisteme de referință diferite, unul pentru planimetrie(B, L sau x, y) și altul pentru altimetrie(H).

– rețele de puncte poziționate prin trei coordonate numite rețele tridimensionale. Pentru a obține tripleta de valori care definesc poziția unui punct pot fi utilizate, fie coordonatele geodezice (latitudinea și longitudinea) la care se adaugă altitudinea sau potențialul, fie tripleta de coordonate rectangulare X, Y, Z.

Un alt criteriu important de clasificare a rețelelor geodezice este acela al numărului de elemente considerate fixe în procesul de prelucrare. Din acest punct de vedere se poate vorbi despre:

– rețele geodezice constrânse: atunci când numărul elementelor considerate fixe în procesul de prelucrare este mai mare decât strictul necesar și suficient pentru determinarea geometrică și poziționarea rețelei.

– rețele geodezice libere: când într-o rețea geodezică nu este considerat nici un element fix, deci o rețea în care intervin numai măsurătorile necesare determinării geometrice a rețelei, această rețea este cunoscută în literatura de specialitate ca rețea geodezică liberă.

Despre o altă clasificare a rețelelor geodezice s-a facut referire, fiind vorba despre o clasificare funcție de zona acoperită, din acest punct de vedere existând:

– rețele locale

– rețele globale.

În practica geodezică prin rețea locală nu se înțelege numai o rețea care acoperă o suprafață relativ mică, ci de o rețea în care se dorește obținerea unor precizii superioare celei în interiorul careia este construită și care de obicei se prelucrează ca în cazul rețelelor geodezice libere.

1.3. Modelul matematic

Ca și în alte domenii și în geodezie există o anumită metodologie ce trebuie respectată în procesele care conduc la obținerea rezultatelor finale. Metodologia geodezică reprezintă un set de proceduri adoptate în vederea evaluării unor parametrii care contribuie direct sau indirect la descrierea geometriei figurii Pamântului și a câmpului său gravific. În vederea evaluării acestor parametrii se fac experimente, se culeg date, procedurile respective incluzând și operații specifice de planificare și optimizare, pe lângă acelea de evaluare corectă a rezultatelor. Un element specific geodeziei este acela că, de regulă, se colectează mai multe date decât strictul necesar pentru a determina în mod unic cantitătile dorite.

Pentru studierea unui fenomen prin metode experimentale trebuie elaborat un model care să reprezinte cât mai bine, dar într-o formă simplificată, realitatea fizică. Prin model se înțelege o reprezentare simplificată a unui fenomen sau proces real.

Dintre toate tipurile de modele ce pot fi utilizate, geodezia lucrează cu modele simbolice ce utilizează litere, numere și simboluri pentru a putea reprezenta mărimile, propietățile lor, cât și relațiile dintre ele.

Cel mai adesea, modelele utilizate în geodezie sunt neliniare, acest lucru presupunând utilizarea anumitor tehnici matematice pentru a ajunge la soluțiile căutate.

În principiu, metodologia de bază ce trebuie urmată în vederea obținerii unor rezultate corecte constă în următoarele:

parametrii necunoscuți, valorile ce urmează a fi determinate, sunt cunoscuți, precum și precizia cu care vrem să îi determinăm în urma procesului de prelucrare;

în general acești parametrii necunoscuți nu pot fi măsurați direct, ceea ce înseamnă că trebuie găsite niște relații matematice care să facă legătura între aceștia și cantitățile care pot fi măsurate. Această etapă de formulare a funcțiilor respective, care constituie modelul matematic stă la baza procesului de determinare a parametrilor necunoscuți;

înainte de a efectua observațiile trebuie să se specifice acuratețea cu care să se facă, acuratețe ce este dictată de precizia cu care dorim să determinăm parametrii necunoscuți și modelul matematic formulat. Acest proces mai poartă denumirea și de preanaliză;

măsurătorile efectuate care nu se încadrează în precizia specificată anterior, trebuie eliminate, iar daca prin eliminarea unor măsurători individuale nu mai ramân suficiente observații pentru atingerea scopului propus, trebuie să se efectueze noi măsurători;

prelucrarea preliminară sau preprocesarea observațiilor trebuie inclusă în modelul matematic prin care se calculează parametrii necunoscuți și precizia lor de determinare;

evaluarea modelului matematic în vederea completării lui, atunci când este cazul, cu viitoare evaluări ale observațiilor corectate, constituie următoarea etapă ce trebuie parcursă;

ultima etapă constă în evaluarea parametrilor necunoscuți calculați, cât și examinarea compatibilității lor cu alte determinări independente ale acestora.

În geodezie, baza metodologiei o reprezintă modelul matematic constituit din formularea relației funcționale dintre parametrii necunoscuți și cantitățile observate.

În general, relația care reprezintă în geodezie modelul matematic este forma:

f(c,X,M)=0 (1.1)

f – reprezintă vectorul funcțiilor individuale fi , i = 1,2,…, m care leagă între ele cele n necunoscute cu observațiile efectuate;

c – este un vector al constantelor, în termeni statistici cantități fără erori, care intervin în model, acestea sunt cantități cunoscute care intervin în calcule, cum ar fi constanta gravitațională, suma unghiurilor într-un triunghi plan;

X – vectorul parametrilor necunoscuți xi, i = 1,2,…, n care, de obicei, sunt considerați cantități independente, în sensul că determinarea directă a oricărui parametru dintre aceștia este imposibilă, cu excepția cazului când rezultă explicit care sunt constrângerile impuse, exemple de astfel de necunoscute în geodezie pot fi coordonatele planimetrice ale unui punct, altitudinea, deviațiile verticalei, ondulațiile geoidului, variația în timp a coordonatelor.

M – reprezintă vectorul observațiilor, adică a observațiilor, adică a cantitățiilor fizice sau geometrice care au fost măsurate sau mai exact niște cantități cărora li se pot da niște valori. Procesul de atașare a unui număr unei observații se numește măsurătoare și este realizat prin intermediul unui instrument sau senzor.

Deoarece, în general, parametrii necunoscuți nu pot fi măsurați direct, ci indirectprin intermediul modelului matematic și al observațiilor care sunt în legătură directă cu cel puțin un parametru din modelul utilizat, ei mai poartă denumirea și de soluții.

1.4. Modelul funcțional-stohastic

Modelele utilizate în geodezie se împart în două categorii principale, în funcție de natura variabilelor care ontervin în model, și anume modelul funcțional și modelul stohastic. La prelucrarea observațiilor efectuate în rețelele geodezice se pot utiliza mai multe modele funcționale dintre care cel mai cunoscut model este modelul Gauss-Markov.

Prelucrarea observațiilor efectuate într-o rețea geodezică se desfășoară conform modelului funcțional-stohastic adoptat, reprezentat prin relațiile:

v = Ax+1 (1.2)

(1.3)

Relația (1.2) reprezintă modelul funcțional sau determinist, care nu conține elemente aleatoare și descrie o relație pură între mărimi, adică la o valoare dată a argumentului, corespunde o valoare unică a funcției.

Vectorul corecțiilor v, are ca și vectorul termenilor liberi l, dimensiunea m egală cu numărul observațiilor efectuate în rețea, matricea coeficienților A, are dimensiunile (m,n), iar vectorul parametrilor are dimensiunea n.

Relația (1.3) reprezintă modelul stohastic sau statistic, el conține variabile aleatoare ce corespund efectului posibil al unor factori necontrolabili ce influențează procesul modelat și descrie o relație complexă îmtre mărimi, adică la o valoare dată a argumentului va corespunde un ansamblu de valori posibile ale funcției.

În relația care reprezintă modelul stohastic, matricea de dimensiuni (n,m), reprezintă “matricea de varianță-covarianță” a masurătorilor, matricea , de aceleași dimensiuni, reprezintă matricea cofactorilor masuratorilor, iar este o constantă denumită “varianta unității de pondere” sau “factor de varianță” și este adimensională.

Elementele matricei cofactorilor se numesc cofactori sau coeficienți de pondere, iar condiția necesară și suficientă ca măsurătorile să fie independente este ca toți coeficienții de pondere dreptunghiulari sa fie nuli:

, (1.4)

Atât matricea de varianță-covarianță,cât și matricea cofactorilor sunt matrice pozitiv definite, deci admit inversă.

La formarea modelului funcțional-stohastic trebuie să se aibă în vedere următoarele aspecte:

prelucrarea riguroasă a măsurătorilor efectuate în rețele geodezice trebuie să se raporteze la un sistem unitar, din această cauză, înainte de a fi prelucrate, măsurătorile geodezice trebuie reduse la sistemul de referință ales (planul de proiecție, elipsoid de rotație, un sistem de coordonate tridimensional);

orice prelucrare a observațiilor efectuate într-o rețea geodezică este dirijată prin modelul funcțional-stohastic;

orice modificare în modelul funcțional-stohastic va modifica rezultatul compensării;

modelul funcțional-stohastic adoptat inițial poate fi imbunătățit pe baza unor rezultate obținute dintr-o primă prelucrare, din analiza ponderilor grupelor de măsurători, din examinarea semnificației statistice a unor necunoscute utilizate.

1.5. Metoda celor mai mici pătrate

Un sistem liniar de ecuații ale corecțiilor este supradeterminat atunci când numărul ecuațiilor este mai mare decât numărul necunoscutelor. Această supradeterminare indică faptul că în model au fost luate în considerare mai multe măsurători decât cele necesare pentru determinarea parametrilor necunoscuți și în consecință se pot determina mai multe valori pentru aceea necunoscută. De exemplu, dacă se consideră că sistemul este format din m ecuații și n necunoscute prin luarea în considerare a primelor n ecuații, rezultă niște valori pentru cei n parametri necunoscuți(X). Pentru geodezie este necesar să se găsească și valori unice ale parametrilor cunoscuți, iar pentru aceasta trebuie ca modelul să fie reformulat în sensul că, pentru a face ca sistemul să devină consistent, se introduce un vector al corecțiilor(v) care adăugat la vectorul măsurătorilor () să rezulte vectorul valorilor cele mai probabile ale observațiilor(M);

. (1.5)

Aceasta reformulare a modelului leagă între elesoluțiile sistemului într-un număr finit, pentru că acum atât X, cât și v sunt vectori cu valori necunoscute.

Soluția prin metoda celor mai mici pătrate se obține prin minimizarea sumei pătratelor corecților. În foarte multe cazuri, valorile efective ale varianțelor și covarianțelor nu se pot cunoaște, de aceea ele sunt înlocuite cu valori proporționale cu acestea, numiți coeficienți de pondere, factorul de proporționalitate fiind varianța unității de pondere. În legătură cu matricea coeficienților de pondere se definește și matricea ponderilor:

(1.6)

Pentru o populație dată, varianta, media și celelalte momente ale variabilei sunt unice și, în cele mai multe cazuri, nu pot fi cunoscute valorile lor, ci doar estimații ale acestora.

Prelucrarea observațiilor efectuate în rețelele geodezice se desfășoară sub condiția specifică metodei celor mai mici pătrate, componență principală a modelului stohastic:

minim. (1.7)

În relația (1.7), care reprezintă forma generală a condiției de minim, în matricea ponderilor măsurătorilor și matricea cofactorilor măsurătorilor sunt matrice pozitiv definite. Pentru o prelucrare cât mai corectă, aceste matrice ar trebui să fie matrice pline, însă determinarea elementelor dreptunghiulare(, și respectv, q cu ) nu este, deocamdată, întotdeauna posibilă.

Practic, pentru prelucrările observațiilor efectuateîn rețelele geodezice ce se efectuează în mod curent, se face o aproximație prin considerarea măsurătorilor ca fiind independente. Această aproximare face ca matricea ponderilor să devină o matrice diagonală(pentru ) ceea ce ușurează foarte mult calculele.

În aceste condiții, relația (1.7) se mai poate scrie sub forma:

minim. (1.8)

Când cerințele de precizie nu sunt ridicate, se mai poate face o aproximație prin considerarea măsurătorilor independente ca fiind de precizii egale, caz în care condiția de minim (1.8) se poate scrie astfel:

minim. (1.9)

Metoda celor mai mici pătrate de estimare a parametrilor necunoscuți, mai este cunoscută și sub denumirea de compensarea prin metoda celor mai mici pătrate.

Modelul funcțional-stohastic Gauss-Markov, utilizat la prelucrarea observațiilor geodezice este reprezentat de modelul funcțional, dat de relația (1.2) și de modelul stohastic reprezentat de relația (1.3).

Dacă se consideră că matricea coeficienților A are rangul n (rang(A)=n) și că matricea ponderilor este pozitiv definită, atunci modelul este denumit modelul Gauss-Markov fară defect de rang.

În acest moment se presupune că valorile medii ale observațiilor pot fi reprezentate de o combinație liniară a coeficienților dați, și parametri cunoscuți, deci avem de a face cu un model liniar. Relația liniară este cunoscută sub denumirea de regresie, iar estimația în modelul Gauss-Markov, o analiză de regresie. Totuși acest model diferă esențial de modelul regresiei deoarece parametri aleatori sunt estimați prin combinații liniare ale observațiilor.

Rangul unei matrice A de dimensiuni m x n este:

rang(A)minim(m,n) (1.10)

iar în cazul studiat mn. Întotdeauna se caută ca numărul observațiilor efectuate(m) să fie mult mai mare decât numărul parametrilor necunoscuților n, pentru a diminua efectul aleator al observațiilor în estimații, deci m > n. Modelul se numește fără defect de rang deoarece rang(A) = n.

Sistemul de ecuații

M = AX (1.11)

nu este un sistem consistent. Se obține un sistem consistent prin adăugarea unui vector aleator al erorilor lui M, adică

(1.12)

cu media

(1.13)

și dispersia

(1.14)

Ecuațiile sunt cunoscute sub denumirea de ecuații ale observațiilor, la prelucrarea prin metoda celor mai mici pătrate ca ecuații ale corecțiilor, iar modelul Gauss-Markov se mai numește și modelul compensarea observațiilor.

Matricea de covarianță a observațiilor M a fost presupusă cunoscută în relațiile de mai sus, exceptând factorul . Matricea ponderilor P a observațiilor M s-a presupus că este pozitiv definită, deci inversa există și este o matrice pozitiv definită.

Se consideră că vectorul

(1.15)

este aleator, și că matricea lui de covarianță este dată de relația (1.14), în acest caz matricea

(1.16)

se numește matricea ponderilor, c fiind o constantă. Elementele de pe diagonala acestei matrice () reprezintă ponderea variabilei aleatoare ,

Dacă C este o matrice diagonală

(1.17)

ponderea a variabilei aleatoare este dată de relația:

(1.18)

sau dacă atunci

(1.19)

deci dimensiunea ponderii este pătratul reciprocei dimensiunii variației.

Matricea ponderilor poate fi acceptată aproape întotdeauna ca fiind o matrice diagonală, componentele sale putând determinate cu formule. Componentele matricei ponderilor nu pot fi determinate și printr-o estimare, ci printr-o prelucrare prin metoda celor mai mici pătrate:

(1.20)

deoarece

(1.21)

Q reprezintă matricea cofactorilor sau matricea coeficienților de pondere.

Dacă P=I atunci:

(1.22)

iar factorul este denumit varianța unității de pondere.

Corespunzător relațiilor (1.12), (1.13) și (1.14) se poate scrie:

(1.23)

unde reprezintă funcții diferențiale real evaluate ale parametrilor , sunt observațiile realizate, iar sunt corecțiile ce trebuie aduse observațiilor.

Dacă:

(1.24)

unde sunt valorile exprimative ale parametrilor, iar corecțiile sunt necunoscute. Relațiile (1.24) se pot liniariza prin dezvoltarea în serie Taylor, în jurul valorilor aproximative:

(1.25)

Sistemul (1.25) se numește sistemul liniatizat al ecuațiilor de corecții și el se mai poate scrie și sub forma:

(1.26)

unde

(1.27)

reprezintă vectorul termenilor liberi și are aceleași dimensiuni ca și vectorul observațiilor.

Condiția sub care se efectuează prelucrarea este dată de relația:

minim (1.28)

Valorile cele mai probabile ale parametrilor necunoscuți se obțin, sub condiția de minim (1.27), cu relația cunoscută:

(1.29)

Dacă în modelul Gauss-Markov parametri necunoscuți X sunt subiectul unor condiții, atunci modelul

(1.30)

unde M reprezintă operatorul medie, cu ecuațiile de condiție între necunoscute

(1.31)

și

(1.32)

este denumit modelul Gauss-Markov cu constrângeri, sau compensarea masurătorilor indirecte cu ecuații de condiție între necunoscute.

Condiția sub care se efectuează compensarea este dată de relația (1.27).

Deoarece este o problemă de minim condiționată, funcția Lagrange este:

(1.33)

unde k este vectorul multiplicator Lagrange, B este matricea cunoscută a coeficienților necunoscutelor, iar w este vectorul termenilor liberi.

Soluțiile se determină cu relația:

(1.34)

unde

(1.35)

Rangul matricei coeficienților B se notează cu r (rang(B)=r), dacă rangul acestei matrice este mai mic decât numărul necunoscutelor(r<n), pot fi eliminați r parametri necunoscuți cu relația (1.30) din modelul (1.29), iar dacă rangul este egal cu numărul necunoscutelor (r = n) atunci parametri cunoscuți sunt unic determnați prin relația:

(1.36)

În cazul în care modelul funcțional Gauss-Markov reprezentat de relația (1.11) sau (1.12, rang(A) = r < n, atunci modelul se numește modelul Gauss-Markov cu defect de rang, si el se utilizează la prelucrarea observațiilor în rețelele libere.

În cazul rețelelor libere rangul matricei A și deci al matricei sistemului de ecuații normale (, rang(A) = rang(N) = r, este mai mic decât numărul parametrilor implicați în model (r< n), deci A și N sunt matrice singulare, având efect injectiv.

În lucrările geodezice numărul observațiilor efectuate este mai mare decât numărul parametrilor necunoscuți (m > n), deci matricea coeficienților sistemului de ecuații liniare A are un efect surjectiv care se elimină prin condiția sub care se face prelucrarea prin metoda celor mai mici pătrate.

În literatura de specialitate, se cunosc mai multe metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare, normale și singulare. În continuare vor fi analizate pe scurt, în mod deosebit acele procedee care se bazează pe următoarele două principii:

1)într-o primă etapă a algoritmului de calcul se procedează la alegerea arbitrară a unui număr strict necesar si suficient de “elemente fixe”, adică un set minim de constrângeri care să conducă la obținerea unui sistem nesingular, acesta poate fi rezolvat cu metode uzuale, iar soluțiile care rezultă sunt însă “deplasate”, fiind de fiecare dată dependente de modul în care au fost alese “elementele fixe”;

2)în continuare se efectuează transformarea soluțiilor deplasate, neunice, ale sistemului singular de ecuații normale, în estimații ale coordonatelor sau ale corecțiilor valorilor aproximative ale coordonatelor.

Dacă într-o rețea geodezică nu este considerat nici un element fix, deci o rețea în care intervin numai măsurătorile necesare determinării geometrice a rețelei, atunci această rețea este denumită în literatura de specialitate rețea geodezică libera.

Deaorece măsurătorile propriu-zise nu pot fixa rețeaua respectivă într-un sistem de coordonate, acesta primește un așa numit “defect” , reprezentat de numărul gradelor de libertate, specific și diferit de la o etapă la alta.

În cazul unor asemenea rețele, matricea sistemului de ecuații normale este singulară, având un defect de rang d , rangul acestei matrice este mai mic decât dimensiunea ei

(r < n) rezultând:

(1.37)

1.6 Observații și analize geodezice

În geodezie există o multitudine de mărimi fizice și geometrice care pot fi clasificate ca observații:

Observațiile terestre:

– direcții unghiulare orizontale, măsurate cu teodolitul;

– distanțe orizontale sau spațiale, măsurabile cu diverse echipamente

– diferențe de nivel, măsurabile cu nivele, teodeolite;

– direcții unghiulare verticale, masurabile cu teodolitul.

Observațiile terestre și satelitare:

– distanțe și direcții de la Pământ la sateliții săi naturali;

– distanțe la sateliții artificiali ai Pământului, măsurabile prin timpul de propagare a undelor electromagnetice emise de o sursa, cum ar fi laserul;

– direcții unghiulare verticale și orizontale obținute prin intermediul unor teodolite spațiale.

Observații care privesc câmpul gravific:

– gravitatea și diferențele de gravitate măsurabile cu pendulul sau cu gravimetrul;

– gradientul gravității măsurabil cu balanța de torsiune sau gradiometre.

Observații care urmăresc determinarea modificărilor în timp a geometriei Pământului:

– variația nivelului mării observabilă prin intermediul instrumentelor de măsurat mareele;

– măsurători ale timpului care sunt esențiale la determinarea epocilor observațiilor la obiecte extraterestre.

Trebuie cunoscut că noțiunile de timp și spațiu au o importanță deosebită pentru că observațiile se fac în timp și spațiu.

Prin procesul de măsurare se determină, prin intermediul unor instrumente sau aparate de măsură, valoarea unei mărimi fizice prin raportarea la altă mărime de aceea natură.

În geodezie toate aceste măsurători sunt efectuate cu scopul de a determina pozițidiferitelor obiecte și fenomene din spațiul terestru. Pentru ridicarea preciziei determinărilor, întotdeauna asupra unei mărimi sunt efectuate mai multe măsurători decât strictul necesar, numărul acestor măsurători suplimentare reprezentând gradul de libertate al determinării respective.

Orice proces de măsurători este afectat de erori, eroarea fiind diferența dintre valoarea măsurată și valoarea adevărată. Funcție de modul în care se produc, aceste erori pot fi:

erori „grosiere” sau greșeli. Acestea apar în urma efectuării necorespunzătoare a unei măsurători sau a înregistrării ei incorecte. Erorile de acest tip trebuie în primul rând depistate prin adoptarea unor metode de control și respectarea unei anumite metodologii de măsurare și apoi, dacă este cazul, eliminarea lor din prelucrările ulterioare;

erori întâmplătoare. Apar datorită unor factori imposibili de controlat și de evaluat, sau datorită neglijării influenței unor factori în procesul de măsurare prin neincluderea în modelul matematic;

erori sistematice. După cum le indică și numele acestor erori, se produc în mod sistematic, după legi cunoscute, deci influența lor poate și trebuie să fie eliminată.

La prelucrarea riguroasă a măsurătorilor se consideră că acestea sunt afectate numai de erorile întâmplătoare, deci greșelile și erorile sistematice care trebuie eliminate. Metoda celor mai mici pătrate de prelucrare a măsurătorilor presupune o distribuție normală a observațiilor. Această ipoteză trebuie însă verificată în cadrul unui test de concordanță. Metodele cele mai utilizate pentru verificarea normalității sunt testele

O altă etapă în analiza măsurătorilor constă în verificarea absenței erorilor sistematice, eliminarea acestora poate fi realizată prin:

– adoptarea unor metode adecvate de măsurare (citiri în ambele poziții ale lunetei);

– aplicarea unor corecții (de centrare, de reducere, de refracție, de elaborare) măsurătorilor, înainte de a fi introduse în prelucrare, pe baza unor măsurători complementare;

– includerea erorilor sistematice ca necunoscute în modelul funcțional(necunoscută pentru coeficientul de scară, pentru coeficientul de refracție).

Cu toate aceste măsuri este bine totuși ca absența erorilor sistematice să fie testată, testele des utilizate bazându-se pe criteriul Abbe conform căruia suma pătratelor diferențelor față de medie este comparată cu suma pătratelor diferențelor dintre două observații succesive.

O altă categorie de erori care pot apărea în procesul de măsurare o constituie greșelile, adică observațiile care nu reflectă în mod corespunzător nici posibilitățile instrumentului sau aparatului de măsură nici mărimea observată. Erorile grosiere care au valori net diferite față de a celorlalte observații pot fi depistate cu ușurință și eliminate. Problema care se pune este aceea de a analiza observațiile care sunt la limită și despre care nu se poate spune cu certitudine că sunt greșeli. Decizia privind păstrarea sau eliminarea acestor observații din calculele ulterioare nu poate fi luat decât în urma unei analize statistice.

Depistarea valorilor ei, adică a valorilor aflate în afara unei repartiții, este extrem de utilă, dar nu trebuie urmată de eliminarea ei fără a se efectua o analiză asupra cauzelor care au putut determina apariția valorii respective, fiind posibil ca acea valoare să includă informații pe care celelalte observații nu le pot da.

Depistarea acestor erori se face și în fază de preprocesare, când testele au un caracter “local”, cât și după efectuarea prelucrării. Cel mai utilizat test pentru depistarea valorilor extreme înainte de prelucrare este testul Grubss. După prelucrare sunt efectuate teste asupra corecților pentru a stabili daca o valoare este externă sau nu, dintre cele mai utilizate fiind testul F (aplicabil numai pentru o corecție) sau testul Tau(aplicabil unui grup de corecții).

Capitolul 2

Poziționarea altimetrică

2.1. Generalități

Rețelele de puncte definite numai printr-o singură coordonată, altitudinea sau, cum se spune de cele mai multe ori, înălțimea deasupra mării, sunt cunoscute ca rețele geodezice altimetrice. Punctele unei astfel de rețele sunt materializate prin repere și mărci de nivelment, pentru marea lor majoritate fiind cunoscute și coordonatele planimetrice dar nu cu precizia cerută de rețelele geodezice planimetrice.

Se poate vorbi despre o poziționare absolută, când poziția altimetrică a unui punct se referă la un sistem de referință, sau de o poziționare relativă, când poziția altimetrică a punctului se determină relativ la cota unui alt punct.

Atât procedeele de măsurare, cât și cele de prelucrare a observațiilor în rețelele altimetrice sunt, conceptual, mai simple decât în cazurile rețelelor planimetrice sau tridimensionale, dar și aici, pentru obținerea unor precizii ridicate, trebuie să se cunoască foarte bine fenomenele fizice care au o influență semnificativă în rezultatele finale.

În cadrul acestui tip de poziționare, câmpul gravității și refracția atmosferică joacă un rol mult mai important decât în cazul poziținării planimetrice, de aceea ele trebuie cunoscute pentru a se putea determina efectul lor asupra măsurătorilor.

Se cunosc mai multe metode de determinare a altitudinii(cotei) unui punct (metoda nivelmentului trigonometric, metoda nivelmentului geometric, metoda nivelmentului barometric, metoda nivelmentului hidrostatic), în prezenta lucrare făcându-se referiri doar la cele mai utilizate metode, și anume metoda nivelmentului geometric, una dintre cele mai precise metode, și metoda nivelmentului trigonometric.

Trebuie precizat în cadrul acestui capitol nu vor fi prezentate în amănunt metodele de determinare a diferențelor de nivel și metodologiile de efectuare a măsurătorilor, ci numai acele principii de bază care contribuie la înțelegerea unor fenomene și a modelelor de prelucrare utilizate.

2.2. Sisteme de altitudini

Pentru a defini un sistem de referință trebuie să se parcurgă, în principiu, două etape:

– să se aleagă o suprafață de referință;

– să se adopte o definiție, care trebuie să aibe fie o semnificație fizică, fie o semnificație geometrică prin care să se descrie poziția punctelor situate pe suprafața Pământului în raport cu suprafața de referință aleasă.

2.2.1. Sistemul de altitudini dinamice

2.2.1.1. Numărul geopotențial

Se consideră un punct situat la nivelul mării, adică pe geoid (a cărui potențial este ) și un alt punct P situat pe suprafața terestră (figura 2.1). Aceste două puncte sunt legate printr-o linie de nivelment în care s-au efectuat atât măsurători de nivelment geometric cât și determinări gravimetrice ale accelerației greutății. Diferența de potențial dintre cele două puncte se poate determina cu ajutorul următoarei integrale:

(2.1)

Figura 2.1. Sistemul de altitudini dinamice

Această diferență dintre potențialul geoidului și potențialul în punctul P se numește numărul geopotențial al puntului P, de multe ori fiind mai bine să se lucreze cu numere geopotențiale decât cu potențiale.

Numărul geopotențial al unui punct situat pe suprafața terestră este definit ca fiind diferența negativă dintre potențialul suprafeței de nivel care trece prin punctul considerat și potențialul geoidului.

(2.2)

După cum se poate observa, integrarea poate fi efectuată fie pe traseul urmat la execuția nivelmentului între cele două puncte considerate (dh), fie în lungul liniei date de firul cu plumb (dh’).

În practică, nici h, nici g nu sunt cunoscute ca funcții continue de poziție, ceea ce înseamnă că soluțiile ecuațiilor de mai sus nu pot fi evaluate analitic, fiind necesar să se recurgă la o discretizare a valorilor măsurate de g și dh în lungul traseului de nivelment. Diferența de numere geopotențiale este dată de relația:

(2.3)

unde , este diferența de nivel măsurată între două repere de nivelment consecutive, iar este valoarea măsurată a gravității până la reperul k. Practic nu este economic și nici necesar să se cunoască valoarea gravității în toate reperele de nivelment de pe traseul considerat, ci este necesar ca să se cunoască această valoare cu o suficientă precizie în câteva repere. La stabilirea acestor repere se are în vedere că între diferența de nivel și precizia valorii gravității există o legătură care este în funcție de natura terenului și variațiile în câmpul gravității.

Fiind determinat ca o diferență de potențial, numărul geopotențial C este independent de traseul urmat pentru legarea punctului de nivelul mării. Acest lucru este valabil pentru toate punctele de pe suprafața de nivel, adică, cu alte cuvinte, toate punctele situate pe aceeași suprafață de nivel au același număr geopotențial. O altă propietate este aceea că, pe un traseu închis numărul geopotențial este pozitiv deasupra geoidului, egal cu zero pe geoid, negativ sub geoid și constant pe aceeași suprafață de nivel (). Chiar dacă nu are dimensiunea unei altitudini(nu se măsoară în unități de lungime) numărul geopotențial poate fi considerat ca o măsurătoare naturală a altitudinii.

Numărul geopotențial C al unui punct se măsoară în unități geopotențiale, unde:

, deoarece g = 0.98Kgal va rezulta , adică numerele geopotențiale exprimate în gpu sunt aproximativ egale cu înălțimea deasupra mării exprimată în metri (acesta fiind și motivul principal pentru care a fost aleasă ca unitate de măsură pentru numărul geopotențial kilogal metru). Numerele geopotențiale au fost adoptate la o întrunire a unei subcomisii a AIG la Florența în anul 1955. Pentru sistemul geodezic de referință 1980 se recomandă (din 1883) să se utilizeze următoarea valoare pentru potențialul geoidului:

2.2.1.2. Altitudinea și corecția dinamică

Pentru a elimina deficiența numărului geopotențial, care se referă la faptul că el nu se măsoară în unități de lungime, a fost introdusă de către Helmert, noțiunea de altitudine dinamică.

Figura 2.2. Altitudini dinamice

Altitudinea dinamică este notată cu și ea se obține prin împărțirea numărului geopotențial cu o constantă () care reprezintă gravitatea normală pentru o latitudine de referință aleasă astfel încât ea să fie o valoare medie a gravității pentru zona de interes. Pentru țara noastră se consideră valoarea gravității normale la latitudinea de :

(2.4)

Împărțirea la o constantă aleasă nu face decât să transforme numărul geopotențial într-o altitudine pentru că altitudinea dinamică nu are o semnificație geometrică, adică ea nu poate fi reprezentată ca o distanță de la geoid, care reprezintă datumul vertical în cadrul acestui sistem, la punctul considerat. Această împărțire la o constantă arbitrară nu face decât să ascundă adevaratul sens fizic al unei diferențe de potențial, motiv pentru care, de cele mai multe ori este preferabil să se utilizeze numerele geopotențiale în locul altitudinilor dinamice.

Pentru un punct A de pe suprafața terestră, altitudinea dinamică se determină cu relația:

(2.5)

unde, drept constantă a fost aleasă gravitatea normală la latitudinea de , a cărei valoare recomandată de AIG(1980) este :

Deaorece numărul geopotențial este același pentru toate punctele situate pe aceeași suprafață de nivel și având în vedere relația de definiție a altitudinii dinamice, înseamnă că altitudinile dinamice au o propietate deosebită, si anume, toate punctele situate pe aceeași suprafață de nivel au aceeași altitudine dinamică.

În unele situații este necesar să se treacă de la diferențele de nivel măsurate () la diferențe de altitudini dinamice (), adică trebuie să se determine valoarea corecției care trebuie aplicată diferențelor de nivel măsurate pentru a ajunge în sistemul de altitudini dinamice.

Diferența de altitudini dinamice dintre două puncte este dată de relația :

,

iar dacă se ține cont de relația(2.5) și de ecuația fundamentală se obține:

sau

(2.6)

unde este corecția dinamică pentru diferența de nivel măsurată între punctele și , relația de calcul fiind următoarea:

(2.7)

Corecția dinamică poate fi, deasemenea, utilizată pentru calculul diferențelor de numere geopotențiale:

(2.8)

Sistemul de altitudini dinamice a fost utilizat la prelucrarea măsurătorilor în rețeaua de nivelment din Europa de Vest.

2.2.2. Sistemul de altitudini ortometrice

Din cele prezentate mai sus se poate deduce că:

– suprafața de referință pentru acest tip de altitudini este geoidul;

– valorile care se obțin sunt dependente de traseul urmat la efectuarea observațiilor de nivelment geometric și punctele situate pe aceeași suprafață de nivel, nu au aceeși altitudine ortometrică.

2.2.2.1. Reducerea gravității.

Pentru a trece de la rezultatele obținute în urma efectuării măsurătorilor de nivelment la altitudini ortometrice, este necesar să se cunoască gravitatea în interiorul Pământului. Este evident că această valoare a gravității nu poate fi obținută prin măsurători, deci trebuie să fie calculată plecând de la valoarea gravității la nivelul suprafeței terestre, valoare care este obținută prin măsurători.

Figura 2.3. Reducerea gravității

Presupunem că se dorește calcularea valorii în punctul Q situat în interiorul Pământului, astfel încât . Punctul P este corespondentul acestui punct pe suprafața terestră, iar punctul corespondentul pe geoid, cele trei puncte fiind situate pe aceeași linie a firului cu plumb(linie de forță).

Cea mai simplă cale de a calcula valoarea gravitățiiîn punctul Q este utilizarea relației:

(2.9)

unde este valoarea gravității în punctul P obținută din măsurători. Această relație poate fi aplicată numai dacă se cunoaște valoarea gradientului gravității în interiorul Pământului, această valoare poate fi obținută din formula Bruns cu condiția ca valoarea J a curburii medii a suprafeței geopotențiale și densitatea între cele două puncte P și O să fie cunoscute.

Dacă pentru calculele ce urmează a fi efectuate se consideră aproximația:

atunci se obține:

(2.10)

În condițiile în care:

– se neglijează variația gradientului vertical al gravității normale cu latitudinea;

– se consideră pentru densitate o valoare medie de și în unități c.g.s, numeric, se obține pentru gradientul vertical al gravității valoarea:

astfel încât relația (2.9) devine:

(2.11)

unde gravitatea g este exprimată în gal și altitudinea H în km.

Deși această relație este destul de aproximativă, ea este frecvent utilizată în practică. Valori corecte ale gravității în interiorul Pământului se obțin prin utilizarea relațiilor (2.9) și (2.10) care să referă la curbura medie reală a suprafeței geopotențiale, dar care implică cunoașterea detaliată a formei suprafețelor considerate, desigur există și alte metode de calcul a valorii gravității în interiorul Pământului, dar reducerea lui Poincare și Prey, cunoscută mai mult sub denumirea de reducerea lui Prey, este cea mai utilizată.

2.2.2.2. Altitudinea și corecția ortometrică

Figura 2.4. Altitudinea ortometrică

Se consideră figura 2.4 în care reprezintă intersecția liniei firului cu plumb cu geoidul. Notăm cu numărul geopotențial al punctului P,

,

și cu altitudinea ortometrică a punctului P, aceasta fiind lungimea segmentului de linie de forță (liniei firului cu plumb) dintre P și .

Se poate calcula integrala în lungul liniei de forță, acest lucru fiind posibil, după cum a mai fost precizat, datorită faptului că rezultatul nu depinde de traseul urmat:

(2.12)

Această ecuație conține și altitudinea ortometrică a punctului P dar intr-p formă implicită. O exprimare explicită este posibilă plecând de la diferențiala:

de unde rezultă , și în final:

(2.13)

relație în care integrarea se face tot în lungul liniei de forță.

Această ultimă relație este totuși puțin utilizată și, pentru obținerea uneia mai practice se procedează la transformarea relației (2.12) în următoarea formă:

astfel încât

(2.14)

unde cu s-a notat valoarea medie a gravității în lungul firului cu plumb ( în sensul unei valori medii ponderate) între proiecția punctului pe geoid și proiecția lui pe suprafață:

(2.15)

Din relația care exprimă legătura dintre altitudinea ortometrică și numărul geopotențial, se poate deduce altitudinea ortometrică a punctului P

(2.16)

care poate fi calculată dacă se cunoaște valoarea medie a gravității.

Altitudinea ortometrică este notată și ea se obține prin împărțirea numărului geopotențial la valoarea medie a gravității în lungul liniei de forță. Cea mai simplă aproximație este de a utiliza reducerea Prey simplificată:

(2.17)

unde reprezintă valoarea gravității măsurată la nivelul punctului P. Însă se poate calcula cu relația:

(2.18)

unde gravitatea g se exprimă în gal, iar altitudinea in km și factorul 0.0424 este calculat pentru o densitate normală de

Formula corespunzătoare unei densități constante arbitrare:

(2.19)

Dacă se utilizează gravitatea medie g, se obține așa numita altitudine Helmert:

(2.20)

O altă metodă practică și precisă a fost dată de Niethammer(1932), el ia în seamă topografia existentă asumându-și numai faptul că gradientul în aer liber este normal și că densitatea în interiorul geoidului este constantă. De asemenea, el consideră că pentru calculul gravității medii în interiorul Pământului este suficient să se utilizeze numai două valori și anume valoarea măsurată a gravității la nivelul punctului P și gravitatea calculată prin reducerea Prey în punctul care este corespondentul pe geoid a punctului P , adică:

(2.21)

Această aproximație presupune o variație liniară a gravității g în lungul liniei firului cu plumb, fapt ce poate fi asumat cu suficientă precizie excluzând câteva cazuri extreme.

Figura 2.5. Corecția ortometrică

Această corecție calculată urmează a fi adăugată diferențelor de nivel măsurate pentru a le transforma în diferențe de nivel în sistemul de altitudini ortometrice.

Pentru a determina relația de calcul a acestei corecții, se consideră o linie de nivelment geometric între două puncte A și B. Aplicând un artificiu de calcul, prin introducerea altitudinilor dinamice, se obține:

(2.22)

Folosind relațiile deduse anterior putem determina diferențele între altitudinea ortometrică și cea dinamică. Pentru aceasta mai trebuie să ne imaginăm o linie fictivă de nivelment care leagă punctul de pe geoid cu punctul A de la suprafața terenului în lungul liniei de forță.

În acest caz diferența de nivel măsurată va fi chiar :

(2.23)

unde

(2.24)

este corecția ortometrică.

În acest fel relația practică utilizată pentru calculul corecției ortometrice este:

(2.25)

unde este constantă arbitrară, de exemplu valoarea gravității normale la latitudinea de , iar pentru altitudinile punctelor A și B se pot considera niște valori aproximative.

2.2.3. Sistemul de altitudini ortometrice sferoidice

Pentru început trebuie precizat că acest sistem de altitudini a fost unul dintre cele mai utilizate sisteme. Dacă în relația (2.25), de calcul a corecției ortometrice, se consideră că gravitatea este egală cu gravitatea normală(g=y) atunci se obține o primă formă a expresiei de calcul a corecției ortometrice sferoidice:

(2.26)

Formula utilizată practic pentru calculul corecției ortometrice sferoidice se poate deduce ca o consecință a neparalelismului suprafețelor de nivel, în aproximația amintită mai sus.

Valoarea medie a gravității normale calculată în ipoteza unei variații liniare a gravității normale în lungul liniei de forță este .

În perioada 1930-1950, la noi în țară a fost utilizată pentru calculul gravității normale la nivelul elipsoidului funcție de latitudinea punctului, următoarea relație:

(2.27)

Valoarea corecției ortometrice sferoidice exprimată în milimetri, este dată de relația de calcul:

(2.28)

2.2.4. Sistemul de altitudini normale

Acesta este sistemul de altituduni utilizat oficial în țara noastră, el a fost propus plecând de la faptul că valoarea medie a gravității în lungul liniei de forță nu poate fi cunoscută și că, în consecință, ar trebui utilizat câmpul gravității normale.

2.2.4.1. Altitudinea și corecția normală

Pentru început presupunem că W = U (potențialul greutății este egal cu potențialul normal), adică câmpul gravității Pământului este normal, g = y (gravitatea este egală cu gravitatea normală) și T = 0 (potențialul perturbator este nul). Având în vedere aceste aproximări, se calculează „altitudinile ortometrice” care se vor chema altitudini normale și vor fi notate cu

În acest fel prelucrând relațiile anterioare va rezulta:

(2.29)

este gravitatea normală medie în lungul liniei de forță.

Ca și potențialul normal U este o funcție care poate fi ușor evaluată dar, deaorece Pământul nu este “normal”, se pune problema valorilor care intră în calculul gravității normale medii.

Considerăm un punct P situat pe suprafața fizcă a Pământului, acest punct are un potențial oarecare și, de asemenea, un potențial normal oarecare în general între cele două valori existând diferențe (). Totuși există un punct oarecare Q pe linia de forță care trece prin punctul P ( , în acest punct altitudinea normală a punctului P este zero, dar înălțimea geometrică a lui Q deasupra elipsoidului este diferită de zero ca și înălțimea față de geoid.

Relația de calcul a altitudinii normale este următoarea:

(2.30)

Altitudinea normală este notată cu și ea se obține prin împărțirea numărului geopotențial la o valoare medie a gravității normale. Gravitatea normală medie depinde de altitudinea normală a punctului considerat dar nu așa de mult încât să nu permită un calcul iterativ al acestei valori.

O altă posibilitate de a găsi o relație de calcul a altitudinii normaleîn funcție de numărul de geopotențial este:

(2.31)

unde este gravitatea normală la nivelul elipsoidului pentru aceeași latitudine B.

Formulele prezentate asigură o precizie suficientă pentru marea majoritate a calculelor care se efectuează în practică.

Ca și în cazul altitudinilor dinamice, ortometrice și în cazul altitudinilor normale pentru a trece de la diferențele de nivel măsurate trebuie gasită o corecție. În cazul altitudinilor normale relația de calcul a corecției se obține direct din relația (2.7) prin înlocuirea gravității medii cu gravitatea normală medie în lungul liniei de forță și a altitudinii cu altitudinea normală:

(2.32)

astfel încât reducerea diferențelor de nivel măsurate se realizează cu formula:

(2.33)

O altă relație de calcul se obține dacă în relația (2.32), în primul termen al ei, se adaugă și se scade gravitatea normală . Ultimii trei termeni ai relației nou obținute (considerând că altitudinile normale pot ține cu succes locul altitudinilor provizorii) reprezintă corecția ortometrică sferoidică, deci:

(2.34)

Această relație exprimă legătura dintre corecția normală și corecția ortometrică sferoidică, iar dacă se cunosc animoliile gravității pe traseul considerat, oferă posibilitatea trecerii de la un sistem de altitudini la altul. Trebuie precizat că de regulă, valoarea constantei se înlocuiește cu valoarea gravității normale la latitudinea de .

După cum se poate observa, relația de calcul a corecției normale este alcătuită din doi termeni:

– corecția ortometrică sferoidică, datorată neparalelismului suprafețelor de nivel (în concepția ortometrică sferoidică);

– corecția datorată anomaliilor gravității.

Figura 2.6 Altitudini normale și ortometrice

Introducerea noțiunii de sistem normal de altitudini a condus la necesitatea schimbării suprafeței de referință utilizate în sistemul ortometric la altitudini, adică geoidul.

Dacă se notează cu altitudinea elipsoidică a unui punct, adică înălțimea deasupra unui elipsoid de referință în punctul considerat, pentru cele două sisteme de altitudini se poate scrie sau , unde:

-adică este ondulația geoidului în punctul considerat, ondulațiile geoidului fiind specifice sistemului de altitudini ortometrice;

-adică este perturbația sau anomalia altitudinilor.

Suprafața de referință introdusă este cvasigeoidul, care reprezintă suprafața astfel construită încât segmentul de normală la elipsoid să fie egal cu anomalia altitudinii în orice punct în care se cunoaște această cantitate.

Pe suprafețe acvatice întinse cvasigeoidul coincide cu geoidul, sub continente existând diferențe datorate structurii interne a Pământului.

La noi în țară, formula recomandată de instrucțiunile în vigoare pentru trecerea de la diferențe de nivel măsurate la diferențe de altitudini normale este:

(2.35)

unde:

– este valoarea accelerației gravității normale la altitudinea medie calculată pentru latitudinea medie a celor două puncte între care s-au efectuat masurătorile de nivelment geometric;

– este valoarea medie a anomaliilor accelerației greutății corespunzătoare celor două puncte;

– reprezintă valorile normale ale accelerației gravității pentru proiecțiile pe elipsoid ale celor două puncte.

Și în această ultimă relație se pot observa cele două componente ale corecției normale.

2.2.5. Concluzii privind sistemele de altitudini

Plecând de la definiția numărului geopotențial

(2.36)

se pot scrie diferite tipuri de altitudini dacă se utilizează o relație simplă dar instructivă

unde sistemele de altitudini diferă funcție de cum se alege valoarea gravității, notată cu G, astfel dacă:

– constant, atunci sistem dinamic;

– constant, atunci sistem ortometric;

– constant, sistem normal.

În acest mod se poate considera o mulțime de sisteme de altitudini funcție de modul în care este considerat G.

Numărul geopotențial este, într-un fel, rezultatul cel mai direct al nivelmentului și el are o importanță stiințifică deosebită. Totuși el nu este o altitudine în adevaratul sens al cuvântului, nu are o semnificație geometrică. Altitudinea dinamică are dimeniunea unei altitudini, dar nu o măsură geometrică.

O propietate deosebită este aceea că punctele situate pe aceeași suprafață de nivel au aceeași altitudine dinamică ceea ce intuitiv ar însemna că dacă ne-am deplasa orizontal am rămâne la aceeași altitudine. Deoarece gravitatea variază de la ecuator la pol cu aproximativ 5000 mgal înseamnă că se pot obține valori foarte mari pentru corecțiile dinamice. Dacă considerăm o linie de nivelment geometric între două puncte situate la 1000 m diferență de nivel unul față de celălalt, la ecuator, unde g = 978.0 gal, pentru o constantă va rezulta următoarea valoare a corecției dinamice:

Din cauza acestor valori mari ale corecțiilor dinamice este preferabil, pentru probleme stiințifice, să se lucreze cu numere geopotențiale ci nu cu altitudini dinamice.

Altitudinile ortometrice sunt naturale reprezentând “înălțimile deasupra mării” sau mai corect spus “înălțimile deasupra geoidului” . Astfel, aceste altitudini au o inegalabilă semnificație geometrică și fizică, calculul lor este destul de laborios dacă se utilizează altă relație în afara celei propuse de Helmert, care, în mai multe cazuri, este suficientă. Valorile corecției ortometrice sunt mici, astfel în Alpi, pe o linie de nivelment ce pleacă de la altitudinea de 754 m până la 2505 m, corecția ortometrică este de aproximativ 15 cm pe 1 km diferență de nivel măsurată.

Semnificația fizică și geometrică a altitudinilor normale este mai puțin evidentă, ele depind de elipsoidul de referință utilizat și, cu toate că stau la baza noii teorii a geodeziei fizice, au un caracter oarecum artificial în comparație cu altitudinile ortometrice. Altitudinile normale sunt totuși ușor de calculat riguros, ordinul de mărime a corecțiilor normale fiind aproximativ același ca și al corecțiilor ortometrice. În țările din emisfera estică, ele sunt în practica curentă, înlocuite cu altitudinile ortometrice.

Toate sistemele de altitudini seamănă între ele prin faptul că sunt funcție de poziție și că ele au fost introduse astfel încât să se elimine neînchiderile date de diferențele de nivel măsurate (eroarea de principiu a nivelmentului geometric).

Un sistem de altitudini trebuie să satisfacă următoarele două cerințe:

– neînchiderile pe un traseu închis de nivelment să fie eliminate;

– corecțiile care trebuie calculate și aplicate diferențelor de nivel măsurate să fie, pe cât posibil, cât mai mici.

Nivelmentul este una din cele mai precise măsurători geodezice, putându-se obține o abatere standard de pe 1 km de nivelment, creșterea fiind proporțională cu rădăcina pătrată din distanță. Dacă erorile de măsurare interpolare ale gravității pot fi considerate neglijabile atunci diferențele în numărul geopotențial pot fi determinate cu o precizie de pentru o distanță de 1 km ceea ce ar însemna în altitudinea determinată. Pentru a obține aceste valori trebuie ca la șes să existe o distanță între punctele gravimetrice de 2-3 km și de 0.3 – 1.5 km în zonele montane. Pentru scopuri mai puțin precise aceste valori se pot modifica corespunzător până la ordinul a 15-25 km, 10-15 km, 5-10 km. Dintre altitudinile prezentate, cele dinamice și normale sunt cele mai clare și precise, ca și numerele geopotențiale, deoarece gravitatea normală este lipsită de erori, altitudinile ortometrice sunt mai puțin precise.

2.3. Prelucrarea măsurătorilor efectuate în rețelele de nivelment geometric geodezic

În legătură cu rețelele de nivelment, trebuie clarificate mai multe probleme, unele de natură pur fizică cum ar fi realizarea datum-ului vertical (pentru sistemul de altitudini dinamice datum-ul vertical îl constituie geoidul, în timp ce pentru sistemul de altitudini normale datum-ul vertical este cvasigeoidul). Altă problemă se referă la modelul matematic utilizat la prelucrarea rețelelor altimetrice, iar o alta se referă la natura erorilor sistematice și întâmplătoare în nivelment.

Din cele prezentate, se poate observa că valorile diferențelor de nivel măsurate pot fi transformate în unul din sistemele de altitudini prin aplicarea unor corecții. Modul cel mai simplu de a obține altitudinile, plecând de la diferențele de altitudini măsurate, este să se pornească de undeva de la nivelul mării unde geoidul și cvasigeoidul sunt accesibile, stiind că pe suprafața oceanelor geoidul și cvasigeoidul coincid. Pentru că teoretic nivelul mediu al oceanelor coincid cu geoidul, se va considera că diferența dintre cele două suprafețe este neglijabilă.

Problema localizării poziției verticale față de geoid a unui reper de referință situat pe țărmul mării se reduce la a determina poziția nivelului mediu al mării. Pentru aceasta trebuie să se înregistreze variația nivelului local instantaneu al mării , (față de o poziție zero a unui instrument de măsurare a mareelor. Nivelul local al mării poate fi determinat ca și altitudinea reperului de referință deasupra mării, dupa cum se poate observa și din figura 2.7.

Altitudinile celorlalte puncte care alcătuiesc rețeaua geodezică de nivelment se determină plecând de la altitudinea acestui reper de referință. Înălțimile deasupra nivelului mediu al mărilor sunt utilizate în întreaga lume deși se stie că aceasta este numai o aproximație a înălțimilor deasupra geoidului (cvasigeoidului) datorită suprafeței topografice a mării care variază cu câțiva decimetri.

Forțând altitudinea nivelului mării la zero, adică neglijând suprafața topografică a mării, toate altitudinile punctelor rețelei considerate vor fi afectate de acest fapt.

Figura 2.7. Stabilirea altitudinii unui reper de referință

Variațiile nivelului mării pe perioade lungi au mai multe cauze: variații ale presiunii atmosferice, efectele dinamice cauzate de schimbarea curenților marini, variații ale vânturilor din zonă, schimbări în temperatura și salinitatea apei mării, fluctuații în cantitățile de apă care provin din râurile care curg în mare, schimbări în configurația barimetrică.

Dintre principalele probleme care se pun în cazul poziționării altimetrice: suprafața topografică a mării, variația în timp a nivelului mediu al mării, variația în timp a geoidului, prima este cea mai importantă și nu poate fi încă rezolvată corespunzător cu actualele cunostinte. Există mai multe soluții de determinare a suprafeței topografice a mării dar, după cum s-a precizat, nici una satisfăcătoare. Toți specialiștii sunt de acord că pentru anumite perioade de timp nivelul mediu al mării și datum-ul vertical trebuie să fie considerate constante.

O altă posibilitate este aceea de a considera un punct undeva în mijlocul rețelei ca origine pentru altitudini, această situație fiind utilizată atunci când sunt variații foarte mari ale suprafeței topografice a mării. În acest caz se ține cont de nivelele medii locale ale mărilor determinate în toate locurile unde au fost instalate instrumente de măsură a mareelor. Altitudinile pentru toate punctele se obțin printr-o prelucrare care include toate reperele de referință utilizate.

După cum se poate observa, stabilirea și utilizarea punctului origine pentru altitudini sau a punctului fundamental sau a punctului zero fundamental, punct de care sunt legate rețelele de nivelment, implică dezvoltarea a două mari probleme:

– problema amplasamentului punctului zero fundamental;

– problema verificării stabilității punctului zero fundamental.

În România, sistemul de nivelment utilizat pentru rețeaua de nivelment de stat este denumit ’’Sistem Marea Neagră zero 1975’’ . Punctul zero fundamental a fost considerat reperul fundamental de tip I din Capela militară din Constanța, altitudinea lui fiind determinată prin intermediul lucrărilor de nivelment geometric repetat prin determinări gravimetrice.

Studiile care au fost efectuate după această perioadă au condus la ideea creării unui nou amplasament pentru punctul zero fundamental, într-o zonă stabilă din punct de vedere geologic. Locul a fost ales la circa 54 km de Constanța, între localitățile Tariverde și Cogealac.

Pe teritoriul țării noastre au fost utilizate mai multe puncte origine (punctul zero Sulina, punctul zero Marea Adriatică) dintre care cel mai des utilizat a fost punctul zero Marea Baltică. Trebuie precizat că există mai multe determinări între zero Marea Neagră și zero Marea Baltică care au condus la valori diferite, diferențele mari existente conducând la concluzia că nu poate fi acceptată o valoare constantă pentru diferența dintre cele două sisteme pe întreg teritoriul țării.

2.3.1. Forme ale ecuațiilor corecțiilor

Figura 2.8. Rețeaua de nivelment geometric

O rețea de nivelment geometric este alcătuită din repere de nivelment între care se efectuează măsurători în vederea determinării diferențelor de nivel și a lungimii traseelor pe care se efectuează observațiile.

Într-o astfel de rețea pentru a se efectua calculele de compensare, trebuie să se cunoască sau să se determine:

– diferențele de nivel măsurate () prin metoda nivelmentului geometric și reduse unitar la unul din sistemele de altitudini cunoscute. La calculele de prelucrare care urmează, se consideră ca fiind măsurători diferențele de nivel care au fost corectate (funcție de cerințele de precizie) cu corecțiile datorate erorilor sistematice, cum ar fi, de exemplu, corecția de etalonare. Pentru o prelucrare prin metoda observațiilor indirecte este necesar ca numărul acestor măsurători să fie mai mare decât numărul necunoscutelor implicate în model (dacă nu intervin alte necunoscute suplimentare, acest număr trebuie să fie mai mare decât numărul reperelor pentru care nu se cunoaște valoarea altitudinii);

– lungimile traseelor urmate pentru determinarea diferențelor de nivel. Acestea se determină concomitent cu efectuarea observațiilor și ele sunt necesare pentru determinarea ponderilor măsurătorilor. Pentru unele rețele poate fi considerat ca element de calcul al ponderii numărul stațiilor efectuate pentru determinarea diferenței de nivel dintre două repere;

– altitudinea () a unuia sau a mai multor repere de nivelment din rețeaua considerată;

– altitudinile provizorii () pentru toate reperele noi din rețeaua considerată. Acestea se determină cu ajutorul diferențelor de nivel măsurate, plecând de la altitudinea cunoscută a uneia sau mai multor repere din rețea;

– alte informații preliminarii utile la construirea modelului funcțional-stohastic, în mod deosebit cele care pot fi folosite pentru stabilirea unei matrice a ponderilor observațiilor .

Cu ajutorul acestor elemente se caută ca printr-o prelucrare riguroasă să se determine:

– valorile absolute (cele mai probabile) ale altitudinilor tuturor punctelor noi din rețea, funcție de elementele cunoscute inițial, în sistemul de altitudini adoptat;

– precizia cu care se determină aceste valori prin procesul de prelucrare;

– valorile cele mai probabile (compensare) ale diferențelor de nivel pe traseele pe care acestea au fost măsurate.

Prin prelucrarea observațiilor de nivelment geometric se determină corecții pentru mărimile a căror valori compensate nu sunt încă cunoscute. Se determină corecții atât pentru altitudinile provizorii ale reperelor

(2.37)

cât și pentru diferențele de nivel măsurate:

(2.38)

În cazul rețelelor de nivelment geometric pot fi întâlnite următoarele situații:

1) ambele repere de la capetele unui tronson de nivelment sunt vechi. În această situație (ambele repere cu altitudini cunoscute) nu se execută măsurători directe de diferențe de nivel dacă nu există cel puțin un reper intermediar nou;

2) unul din cele două repere de la capetele tronsonului de nivelment este vechi (fix). În această situație există două posibilități de considerare a sensului de măsurare a diferenței de nivel :

– între un reper vechi A și un reper nou i. În acest caz se poate scrie o relație, prin care se determină altitudinea punctului nou, de forma:

(2.39)

Din această relație se poate deduce că:

(2.40)

sau dacă se notează termenul liber cu

(2.41)

atunci va rezulta forma ecuației de corecție pentru o diferență de nivel măsurată de la un reper vechi (fix) la un reper nou

(2.42)

– între un reper nou i și un reper vechi A. În această situație între cele două repere se poate scrie o relație de forma:

. (2.43)

Din relația de mai sus se deduce forma ecuației de corecție pentru o diferență de nivel măsurată de la un reper nou la unul vechi

(2.44)

unde s-a facut notația

(2.45)

3) ambele repere de la capetele tronsonului de nivelment sunt noi. Între două repere noi relația care poate fi scrisă are următoarea formă:

(2.46)

De aici rezultă forma generală a unei ecuații de corecție pentru o diferență de nivel măsurată geometric:

(2.47)

sau

. (2.48)

2.3.2. Prelucrări în rețele neconstrânse și constrânse

În cazul rețelelor neconstrânse și constrânse există cel puțin un reper vechi (fix) de la care se pot determina altitudinile celorlalte repere și prin care rețeaua poate fi încadrată într-un sistem de altitudini. Aceasta înseamnă că sistemul liniar al ecuațiilor corecțiilor poate cuprinde toate cele trei tipuri de ecuații: (2.42), (2.44) și (2.48). În cazul prelucrării prin metoda observațiilor indirecte, fiecărei diferențe de nivel îi corespunde o ecuație de corecție. De asemenea, fiecărei valori măsurate este recomandat să i se ataseze o valoare numerică, numită pondere, proporțională cu încrederea atribuită acelei măsurători.

După scrierea sistemului liniar al ecuațiilor ecorecțiilor urmează normalizarea și rezolvarea sistemului normal, proces în urma căruia rezultă corecțiile pentru altitudinile punctelor noi și corecțiile pentru diferențele de nivel măsurate. Aceste valori adăugate elementelor provizorii, respectiv, măsurate vor conduce la obținerea valorilor cele mai probabile (compensate) pentru cele două tipuri de mărimi: relațiile (2.37), (2.38).

În situația unei prelucrări manuale trebuie să se facă și un control al prelucrării care constă în verificarea, pentru fiecare valoare măsurată a diferenței de nivel, a relației:

(2.49)

Ca la orice prelucrare, în final trebuie să se calculeze elementele de precizie.

Abaterea standard a unității de pondere se poate determina cu una din relațiile sau funcție de modelul de prelucrare ales, unde (fiind vorba de rețele contrânse sau nu) defectul de rang este 0. În aceste relații m reprezintă numărul diferențelor de nivel măsurate în rețea, iar n numărul reperelor noi din rețeaua considerată. În continuare se poate determina abaterea standard a unei diferențe de nivel individuale compensate cu relația și abaterea standard a necunoscutelor (a mărimilor determinate indirect) cu relația

În final se poate determina și o valoare medie pe rețea a abaterilor standard a necunoscutelor care prezintă o formație globală asupra preciziei de determinare a altitudinilor reperelor.

2.3.3. Prelucrări în rețele libere de nivelment geometric

Din ce în ce mai des se pune problema prelucrării măsurătorilor ca în cazul rețelelor geodezice libere. Există multe situații când rețeaua geodezică nu trebuie încadrată neapărat într-un sistem (în cazul de față intr-un sistem de altitudini) sau situații în care precizia impusă nu poate fi asigurată de punctele rețelei de stat. Aceste situații impun o prelucrare a diferențelor de nivel într-o rețea liberă urmând, dacă este cazul, să se realizeze încadrarea acestei rețele (de obicei locală) în rețeaua nivelmentului de stat.

Datorită dezvoltării tehnicii de calcul, problema prelucrărilor nu mai este o consumatoare de timp astfel că o prelucrare ca în cazul rețelelor libere se impune chiar dacă se cere ca rețeaua să fie în legătură cu alta.

O astfel de prelucrare ne poate furniza informații despre calitatea măsurătorilor efectuate în rețeaua considerată fără ca aceasta să fie influențată de erorile datelor inițiale (altitudinile punctelor considerate fixe).

Pentru rețelele libere de nivelment geometric, cea mai des utilizată metodă de prelucrare a diferențelor de nivel măsurate, datorită simplității ei, este metoda observațiilor cvasi-indirecte. Această metodă constă în introducerea unei ecuații de observații fictive, cu pondere mult mai mare decât a celorlalte ecuații, care corespund relațiilor de condiție între necunoscute.

Dacă se pune condiția totală de minim atunci ecuația fictivă introdusă are coeficientul egal cu unitatea pentru toate necunoscutele implicate în model. În cazul unei condiții parțiale de minim punctele care nu sunt incluse în condiția de minim au coeficientul egal cu 0. Indiferent de tipul condiției de minim (total sau parțial) termenul liber al acestei ecuații fictive este zero iar, de regulă, ponderea pentru această ecuație se determină cu o medie aritmetică a ponderilor celorlalte ecuații înmulțită cu o constantă (constanta de multiplicare poate fi considerată a fi egală cu 100).

Prin introducerea acestei ecuații fictive se ridică defectul de rang. În cazul rețelelor de nivelment defectul de rang este egal cu unitatea pentru că este suficient să se cunoască altitudinea unui singur reper în sistemul de altitudini adoptat pentru a fixa rețeaua în acest sistem. După adăugarea acestei ecuații calculele urmează să se efectueze ca în cazul rețelelor constrânse sau neconstrânse conform algoritmului prezentat.

2.4. Nivelmentul geometric

Principiul nivelmentului geometric (figura 2.9) constă schematic, în următoarele:

– pentru a determina diferența de nivel dintre punctele A și B se amplasează două mire în cele două puncte și un instrument de nivelment (nivelă) între acestea, la distanțe aproximativ egale ();

– după calarea instrumentului și punerea la punct a lunetei se efectuează citirile și, respectiv, pe cele două mire menținute într-o poziție verticală, citiri care reprezintă înălțimea de la punctul materializat până la axa de vizare, care ocupă o poziție orizontală în timpul efectuării lecturilor;

– diferența de nivel căutată se determină făcând diferența dintre cele două citiri:

(2.50)

Figura 2.9. Principiul nivelmentului geometric

Măsurătorile efectuate prin nivelment geometric nu sunt influențate de refracția atmosferică în aceeași măsură ca și în cazul distanțelor zenitale (nivelmentul trigonometric), dar câmpul gravității terestre are un efect important.

Dacă se măsoară în circuit, deci o linie închisă de nivelment geometric sau un poligon, atunci suma algebrică a tuturor diferențelor de nivel măsurate nu va fi, în general, riguros egală cu zero, chiar dacă se presupune că măsurătorile efectuate nu sunt afectate de erori, ceea ce, evident, practic nu este posibil. Se obține deci, în poligonul format, o neînchidere cunoscută sub denumirea de eroarea de principiu a nivelmentului geometric, care arată determinarea altitudinilor prin metoda nivelmentului geometric este mult mai complicată decât pare la prima vedere.

Pentru a urmări câteva dintre consecințele neparalelismului suprafețelor de nivel se consideră sistemul de altitudini ortometrice în care geoidul este suprafața de referință iar altitudinea ortometrică este definită ca fiind segmentul de linie de forță cuprins între poziția punctului pe suprafața terestră și pe geoid.

Se consideră două trasee posibile de nivelment geometric de la un punct A situat la nivelul mării la un punct P situat pe vârful unui munte, unul din trasee pe versantul din stânga și altul pe versantul din dreapta (figura 2.10), prin care se poate determina altitudinea punctului P.

Figura 2.10. Consecințe ale neparalelismului suprafețelor de nivel

Pentru început, se consideră traseul de nivelment AP de pe versantul din stânga, în care cu dh s-a notat diferența de nivel obținută prin procedeul prezentat mai sus (diferența citirilor). Înălțimea punctului P deasupra nivelului mării se obține prin însumarea tuturor diferențelor de nivel parțiale. Altitudinea aceluiași punct P se obține și prin însumarea diferențelor de nivel măsurate pe al doilea traseu. Chiar dacă se presupune că măsurătorile nu sunt afectate de erori, pentru puntul P considerat se obțin două valori diferite pentru altitudine. Acest lucru se datorează faptului că suprafețele de nivel nu sunt paralele, deci mărimile dh dintre două suprafețe de nivel, de o parte și de alta a muntelui, diferă. Problema care se pune în acest caz este referitoare la cele două valori și are dintre ele poate fi utilizată în calculele ulterioare. Există mai multe căi prin care se poate elimina această ambiguitate, adică de a gasi o modalitate prin care diferențele de nivel care depind de traseul urmat să fie transformate în niște diferențe de nivel independente de traseul pe care sunt acestea măsurate.

O altă posibilitate de a rezolva problema apărută este aceea de a utiliza potențialul gravității terestre. Diferența de potențial dintre cele două suprafețe echipotențiale (de nivel) infinit apropiate se poate determina cu relația:

(2.51)

unde g este gravitatea la nivelul stației (instrumentului de nivelment).

Având în vedere faptul că printr-un punct situat pe suprafața terestră trece o singură suprafață de nivel (altfel spus toate punctele situate pe aceeași suprafață de nivel au același potențial) rezultă că potențialul gravității reprezintă o posibilitate de a defini poziția verticală unică a unui punct.

Dacă depărtarea dintre două suprafețe de nivel dh poate fi măsurată prin metoda nivelmentului geometric și dacă gravitatea ar fi, de asemenea, măsurată atunci în orice punct se poate scrie o ecuație prin care se stabilește dependența dintre depărtarea dh și diferența de potențial dW existentă între două suprafețe de nivel infinit apropiate, denumită ecuația fundamentală (2.51).

Pe întreaga linie de nivelment (între punctele A și P) se paote scrie:

(2.52)

ceea ce înseamnă că nivelmentul combinat cu măsurători de gravitate furnizează diferențe de potențial care sunt cantități fizice.

Din punct de vedere teoretic, este mult mai riguros ca suma din relația de mai sus să fie înlocuită cu o integrală obținându-se:

(2.53)

De notat că această integrală este independentă de calea de integrare ceea ce înseamnă că indiferent de traseul urmat între punctele A și P se obțin aceleași rezultate, acest lucru este evident deoarece, după cum s-a demonstrat, potențialul W este funcție numai de poziție., fiecărui corespunzându-i o valoare unică a potențialului. Dacă linia de nivelment se întoarce în punctul de plecare A (indiferent de traseul urmat) sau, ca în cazul prezentat, se desfășoară între două puncte situate la nivelul mării, atunci integrala totală trebuie sa fie zero:

(2.54)

Pe de altă parte, diferența de nivel măsurată dintre cele două puncte(repere) este dată de suma diferențelor parțiale

(2.55)

integrala de mai sus depinzând de calea de integrare și, pe un circuit închis, este în general diferită de zero:

neînchidere (2.56)

Această neînchidere este cunoscută în geodezie sub denumirea de eroarea de principiu a nivelmentului geometric. În termeni matematici , dh nu este o diferențială perfectă (diferențiala unei funcții de poziție) cum este . Ea devine perfectă când este multiplicată cu un factor de integrare ().

Diferențele de potențial sunt, în acest fel, rezultatul măsurătorilor de nivelment combinate cu măsurătorile de gravitate. Acest fapt stă la baza întregii teorii a altitudinilor, chiar și altitudinile ortometrice trebuie să fie considerate ca fiind cantități derivate (provenite) din diferențe de potențial.

În rețelele de nivelment geometric geodezic de ordin superior, spre deosebire de cele de ordin inferior, pentru o prelucrare riguroasă trebuie să se ia în considerare atât măsurătorile de nivelment cât și cele gravimetrice, adică să se aibă în vedere o relație de tipul expresiei (2.53).

2.5. Nivelmentul trigonometric

O altă tehnică foarte cunoscută de determinare a diferențelor de nivel (poziționare relativă altimetrică) este cea a nivelmentului trigonometric. Determinarea diferențelor de nivel prin această metodă presupune cunoașterea distanțelor zenitale și , măsurabile cu ajutorul unui teodolit în punctele și a distanței dintre cele două puncte precum și proiecțiile deviațiilor verticalelor () în planul format de cele două puncte considerate (O). Aceste normale au lungimea și, respectiv, (figura 2.11).

Figura 2.11. Determinarea diferențelor de nivel prin nivelment trigonometric

Proiecția pe direcția de azimut a deviației verticalei (figura 2.12) se determină funcție de componentele acesteia în planul meridian () și a primului vertical ().

(2.57)

Figura 2.12. Componentele deviației verticalei

pe o direcție oarecare a azimutului

Distanțele zenitale măsurate, care se referă la zenitul astronomic (adică la linia firului cu plumb), trebuie “aduse” la zenitul elipsoidal care corespunde normalei la elipsoid. Aceste valori ale distanțelor zenitale elipsoidale se determină din distanțe zenitale măsurate și componenta deviației verticale pe direcția considerată:

iar dacă se ține cont de (2.57) atunci se obține:

(2.58)

cunoscând aceste valori, se poate determina acum diferența de nivel () dintre cele două puncte considerate, raportată la elipsoidul de referință.

Pentru distanțe de până la 10 km se poate aproxima, cu o precizie suficientă, arcul elipsoidal dintre cele două puncte cu un arc sferic de rază calculată ca medie aritmetică a razelor de curbură ale secțiunilor elipsoidice ce trec prin punctele și :

(2.59)

Valorile celor două raze de curbură se determină cu o relație de forma:

(2.60)

unde A reprezintă azimutul secțiunii normale considerate iar M și N razele principale de curbură ale elipsoidului de referință.

Din triunghiul plan , aplicând teorema tangentei, rezultă:

(2.61)

sau având în vedere faptul că:

(2.62)

atunci

(2.63)

Din figura 2.11. se poate scrie

(2.64)

deci

(2.65)

Prin introducerea unei valori medii pentru altitudinea elipsoidală

(2.66)

Dacă a fost măsurată o singură distanță zenitală () și dacă se are în vedere că în suma unghiurilor este de atunci:

deci

(2.67)

Problema principală la determinarea altitudinilor prin nivelment geometric o constituie efectul refracției atmosferice care influențează distanțele zenitale mult mai mult decât observațiile unghiulare orizontale. O precizie de în distanța zenitală nu se poate obține decât cu foarte mare greutate și în cazuri excepționale, mai ales în cazul zonelor montane, datorită fenomenului de refracție atmosferică, mai precis din cauza necunoașterii variațiilor refracției. Pentru a diminua efectul refracției atmosferice este indicat, pentru obținerea unor rezultate mai precise, să se măsoare ambele distanțe zenitale (observații reciproce) și dacă este posibil simultan (observații zenitale reciproce și simultane).

Pentru o distanță între cele două puncte de 10 km abaterea standard a diferenței de nivel, în cazul observațiilor reciproce, este de cm ceea ce indică faptul că această metodă de determinare a diferențelor de nivel este mai puțin precisă decât metoda nivelmentului geometric.

Figura 2.13. Influența refracției atmosferice verticale

Dacă se consideră aceleași două puncte și în care s-au efectuat observații unghiulare verticale și că aceste observații au fost corectate cu componentele deviației verticalei pe direcția celor două puncte și că erorile de măsurare ar fi nule, atunci, datorită fenomenului refracției atmosferice verticale, se măsoară distanțele zenitale și în locul valorilor și (figura 2.13).

(2.68)

În relațiile de mai sus și reprezintă unghiurile de refracție între cele două puncte, iar reprezintă refracția totală și ea poate fi determinată, teoretic, cu relația:

(2.69)

unde este curbura (variabilă) a razei de lumină iar ds este elementul de arc al arcului care are o rază de curbură mult mai mare decât a arcului Această relație este numai teoretic aplicabilă pentru că determinarea valorii refracției totale ar presupune măsurători din punct în punct în lungul razei de lumină ale temperaturii și presiunii care evident, pot fi efectuate numai teoretic. Aceste măsurători mici nu ar putea fi justificate pentru scopul propus și anume, determinarea diferențelor de nivel prin metoda nivelmentului trigonometric.

În practică se acceptă mai multe aproximări ale formulei (2.69) care pleacă de la condițiile efective de realizare a nivelmentului trigonometric: distanțe de până la 10 km. În aceste condiții se poate accepta o valoare constantă a curburii razei de lumină ceea ce înseamnă că arcul de curbă dintre cele două puncte poate fi aproximativ cu un arc de cerc. Dacă acceptă această ipoteză atunci:

(2.70)

iar relația de calcul a refracției totale se transformă în

(2.71)

O altă aproximație acceptată este aceea de a înlocui lungimea arcului din relația de mai sus cu distanța pe elipsoidul de referință În această situație

(2.72)

unde:

– este o valoare medie a rezelor de curbură în cele două puncte între care se determină diferența de nivel;

– este raza de curbură a razei de lumină (după care se fac observațiile zenitale);

– k este un coeficient de proporționalitate denumit coeficient de refracție.

Din relațiile (2.70) și (2.71) rezultă expresia de calcul a valorii unghiului de refracție:

(2.73)

Din (figura 2.13) se poate deduce că:

(2.74)

sau

(2.75)

Dacă se iau în considerare înălțimile instrumentelor din cele două puncte () și înălțimile semnalelor (), în cazul nivelmentului trigonometric reciproc și simultan (când se poate spune că influența necunoașterii unghiului de refracție este eliminată), relația utilizată pentru calculul diferenței de nivel este:

(2.77)

În practică, numai în situații deosebite se execută observații zenitale reciproce și simultane, de regulă se fac numai observații unghiulare verticale unilaterale, situație în care refracția atmosferică are o contribuție semnificativă. Dacă din relația (2.74) se extrage valoarea pentru distanța zenitală :

(2.78)

atunci, pentru calcul diferenței de nivel, va rezulta următoarea relație:

(2.79)

Prin dezvoltarea în serie a ultimului factor al primului termen din relația de mai sus se obține forma relației utilizate pentru calculul trigonometric al diferențelor de nivel în cazul observațiilor zenitale unilaterale:

(2.80)

Cel mai simplu model de prelucrare a observațiilor efectuate în rețelele de nivelment trigonometric prin metoda observațiilor indirecte este acela în care se cunosc:

– distanțele zenitale din măsurătorile unilaterale;

– altitudinile provizorii pentru toate punctele rețelei, din determinări preliminarii;

– altitudini definitive ale unor puncte dacă prelucrarea se efectuează ca în cazul rețelelor constrânse și neconstrânse;

– distanțe, reduse la elipsoidul de referință, dintre punctele între care s-au efectuat observații unghiulare verticale, din prelucrări preliminarii ale unor distanțe măsurate, din alte surse;

– înălțimile instrumentului I în fiecare punct staționat și ale semnalelor S din fiecare punct. Pentru acest model de prelucrare, se consideră că aceste valori sunt cunoscute din măsurători (directe sau indirecte) cu suficientă exactitate astfel încât să poată fi considerate ca fiind neafectate de erori;

– o valoare constantă pentru coeficientul de refracție ceea ce, evident, va mări gradul de aproximare a rezultatelor prelucrării;

– valorile pentru necunocutele modelului funcțional care adăugate la valorile provizorii vor da valorile cele mai probabile (compensare, estimare) ale altitudinilor punctelor noi ale rețelei de nivelment trigonometric

număr puncte noi (2.81)

– corecții ale măsurătorilor de distanțe zenitale cu ajutorul cărora se obțin valorile compensate ale acestora

(2.82)

– precizia cu care sunt determinate valorile menționate mai sus.

Prin dezvoltarea în serie Taylor a expresiei (2.80) se obțin relațiile de calcul a coeficienților necunoscutelor implicate în model, iar dacă după dezvoltare se notează:

(2.83)

sau

(2.84)

atunci coeficientul necunoscutelor dx se poate calcula cu relația:

(2.85)

iar forma generală a ecuației de corecție este:

. (2.86)

Termenul liber din relația (2.86) se poate calcula cu ajutorul expresiei:

(2.87)

iar în cazul acceptării unor aproximații mai mari se poate considera

(2.88)

Ecuația de corecție (2.86) este scrisă pentru situația în care ambele puncte între care s-au efectuat observații zenitale noi. Pentru cazul când punctul staționat este nou și cel vizat este vechi atunci forma ecuației este dată de relația:

(2.89)

iar pentru situația când punctul este staționat este vechi și cel vizat este nou:

(2.90)

Acestor ecuații li se poate atașa, în cazul măsurătorilor independente ponderate, câte o valoare care reprezintă încrederea în măsurătoarea căreia îi corespunde ecuația, valoarea respectivă poate fi determinată cu relațiile descrise mai sus.

Condiția sub care se desfășoară prelucrarea, este, de regulă cea dată de relația:

minim

După normalizarea și rezolvarea sistemului normal de ecuații vor rezulta ecuațiile dx pentru altitudinile punctelor noi din rețea, urmând să se determine, cu relațiile amintite și relațiile amintite și corecțiile pentru distanțele zenitale măsurate. În cazul unei prelucrări manuale, urmează apoi efectuarea unui control al compensării care constă în verificarea egalității dintre diferențele de nivel determinate prin diferența dintre altitudinile compensate și diferențele de nivel calculate cu distanțele zenitale compensate. Prelucrearea se încheie cu calculele de evaluare a preciziilor fără de care rezultatele oținute nu au nici o semnificație. O altă posibilitate de prelucrare, cu rezultate mai bune, este aceea în care se ține cont de faptul că, în cazul nivelmentului trigonometric unilateral, refracția atmosferică verticală are un rol important.

În această situație pot fi luate în considerare mai multe modele:

– un prim model care ar putea fi luat în discuție este acela în care se consideră un singur coeficient de refracție pentru toată rețeaua geodezică. Acest model trebuie aplicat atunci când în rețea nu se dispune de suficiente măsurători suplimentare () ca să permită introducerea unor necunoscute suplimentare fără teama de a induce erori în rezultatele finale. În cazul introducerii ipotezei enunțate apare o necunoscută suplimentară, notată dy, pentru coeficientul de refracție:

(2.91)

valoarea provizorie pentru coeficientul de refracție se consideră a fi .

Forma generală a ecuației de corecție este dată de expresia:

(2.92)

unde

(2.93)

De multe ori, ca și în cazul calculului coeficientului a, se poate aplica o variantă aproximativă de calcul:

(2.94)

Și aici pot fi luate în considerare în care unul din cele două puncte (de stație sau vizat) este vechi (cu altitudine cunoscută), rezultând următoarele forme ale ecuațiilor de corecții:

> punct de stație nou, punct vizat vechi:

(2.95)

> punct de stație vechi, punct vizat nou:

(2.96)

– un alt model ce ar putea fi aplicat este acela când se consideră că într-o stație coeficientul de refracție nu variază semnificativ pe timpul efectuării observațiilor unghiulare verticale, în astfel de situații se introduce în model câte o necunoscută pentru coeficientul de refracție în fiecare stație de teodolit, forma generală a ecuației de corecții fiind dată de expresia:

(2.97)

Evident că și în această situație pot apărea, funcție de tipul punctelor de la cele două capete, celelalte două forme ale ecuațiilor de corecții:

> punct de stație nou, punct vizat vechi:

(2.98)

> punct de stație vechi, punct vizat nou:

(2.99)

– un model, dar puțin probabil de a putea fi aplicat, este acela în care se consideră câte un coeficient de refracție pentru fiecare distanță zenitală măsurată, deci se mai introduce un număr de necunoscute egal cu cel al observațiilor efectuate. Această ipoteză ar conduce la mărirea numărului de necunoscute ale modelului fără ca să existe suficiente măsurători, datorită posibilităților de măsurare într-o rețea, care să anihileze acest exces de necunoscute.

Forma generală a ecuației de corecție este:

(2.100)

– un alt model de prelucrare care ar putea fi luat în considerare este acela când se introduc ca necunoscute ale modelului funcțional, unghiurile de refracție. Și aici poate fi luată în considerare ipoteza egalității dintre cele două unghiuri de refracție de la cele două capete ale distanței zenitale măsurate.

O altă situație ce ar putea fi luată în considerare este aceea în care înălțimile instrumentului și ale semnalului nu mai sunt considerate a fi fără erori. Această ipoteză introduce un număr foarte mare de necunoscute suplimentare care ar putea, în cazul unor măsurători insuficiente, să introducă erori în rezultatele finale. Valorile măsurate ale acestor mărimi vor fi considerate provizorii urmând să se determine, prin procesul de prelucrare, corecții pentru fiecare din aceste elemente.

Capitolul 3

Aplicație practică

3.1. Prelucrarea observațiilor executate într-o rețea de nivelment trigonometric geodezic

După cum s-a specificat în capitolele anterioare, nivelmentul trigonometric poate accepta o multitudine de aplicații, grupate in modul urmator:

– determinarea diferențelor de nivel;

– determinarea coeficienților de refracție;

– determinări ale deviației verticalei și ondulațiilor geoidului.

Îmbinarea simultană, într-o singură rețea și ulterior într-o singură prelucrare a tuturor celor trei categorii de determinări menționate, este dificil de realizat. Se recomandă o grupare, de cel mult două asemenea determinări, urmând ca prelucrarea să se desfășoare iterativ, în fiecare iterație urmărindu-se scopuri diferite, în raport cu ceea ce s-a obținut anterior. În acest mod se elimină posibilitatea “supraparametrizării” modelului funcțional, prin includerea unui număr excesiv de necunoscute.

Având în vedere destinația lucrării de față, în cele ce urmează ne vom ocupa de dezvoltarea primelor două categorii de determinări, urmând ca analiza să cuprindă mai multe metode de calcul, pentru a oferi o bază de comparație.

Pentru a ne apropia cât mai mult de realitatea situațiilor întâlnite curent în producție, se va dezvolta prelucrarea observațiilor efectuate în rețelele de nivelment trigonometric în următoarele ipoteze:

– se cunosc unghiurile zenitale din determinări efectuate într-un singur sens(nivelment trigonometric unilateral) astfel încât formula care se va avea în vedere este:

(3.1)

– se cunosc(din determinări preleminarii) altitudinile provizorii ale punctelor din rețea și pentru cel puțin un punct altitudinea definitivă H(punct vechi);

– sunt determinate(eventual dintr-o prelucrare de sine stătătoare) distanțele dintre puncte, reduse la nivelul mării;

– înălțimile I și S se cunosc cu suficientă exactitate, astfel încât pot fi considerate fără erori.

Prelucrarea se va desfășura prin aplicarea metodei observațiilor indirecte.

Modelul funcțional va cuprinde necunoscutele dx (pentru altitudini) și dy (pentru coeficienții de refracție)

(3.2)

(3.3)

Prin dezvoltarea în serie a formulei (3.1) și în ipoteza neglijării termenilor de ordinul II și superiori, va rezulta:

(3.4)

unde:

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Se vor utiliza două metode de prelucrare:

– se consideră necunoscuta dy pentru coeficientul de refracție k în fiecare punct de stație;

– se consideră unica necunoscută dy pentru coeficientul de refracție k pe toată rețeaua.

3.2. Exemplu numeric

Pentru exemplu numeric se consideră rețeaua de nivelment trigonometric geodezic din figura (3.1) pentru care se cunosc datele din tabelul de mai jos:

Figura 3.1. Rețea de nivelment trigonometric geodezic

Inventar de coordonate

Tabel 3.1

Tabel 3.2

Prin transcalculul de coordonate, se determină latitudinile geodezice B și apoi razele medii Gauss.

Tabel 3.3

32

Latitudinea punctului :

Tabel 3.4

Latitudinea punctului :

Tabel 3.5

Latitudinea punctului :

Tabel 3.6

Pentru rezolvare se urmăresc următoarele etape:

ETAPA I. Calculul razei de azimut A în funcție de latitudinile medii calculate

; M – raza de curbură a elipsei meridiane

N – raza de curbură a primului vertical

Tabel 3.7

ETAPA II. Calculul diferențelor de nivel provizorii

– coeficient de refracție provizoriu(k=0,13)

– înălțimea aparatului

– înălțimea semnalului

Tabel 3.8

ETAPA III. Calculul altitudinilor provizorii

Tabel 3.9

ETAPA IV. Calculul distanțelor reduse la cota medie

;

Tabel 3.10

ETAPA V. Întocmirea ecuațiilor de corecție

Modelul funcțional

Pentru orice măsurătoare se va scrie câte o ecuație de corecție de forma:

; ;

Varianta 1. Se consideră necunoscuta dy pentru coeficientul de refracție k pe toată rețeaua.

Calculul corecțiilor pentru unghiurile zenitale:

Tabel 3.11

Sistemul de ecuații

Tabel 3.12

Normalizarea sistemului de ecuații:

Tabel 3.13

Rezolvarea sistemului normal utilizând schema Gauss.

Tabel 3.14

Soluțiile sistemului normal sunt:

Verificarea soluțiilor sistemului

-744,5401856 = -744,540186

Calculul diferențelor de nivel definitive

Tabel 3.15

Calculul cotelor definitive

Tabel 3.16

Varianta 2. Se consideră unica necunoscuta pentru coeficientul de refracție pe toată rețeaua:

Calculul corecțiilor pentru unghiurile zenitale.

Tabel 3.17

Sistemul de ecuații

Tabel 3.18

Normalizarea sistemului de ecuații

Tabel 3.19

Rezolvarea sistemului normal utilizând schema Gauss.

Tabel 3.20

Soluțiile sistemului normal sunt:

Verificarea soluțiilor sistemului:

-744,54019 = -744,54019

Calculul diferețelor de nivel definitive

Tabel 3.21

Calculul cotelor definitive

Tabel 3.22