Prin lucrarea de fat , a ncerc am s a ar at am utilit atile studierii s ,i pred arii teore- [628014]

Introducere
Prin lucrarea de fat , a ^ ncerc am s a ar at am utilit atile studierii s ,i pred arii teore-
melor de medie din calculul diferent ,ial s ,i integral pe dreapta real a.
Teoremele de medie ^ i pun pe elevi ^ n contact cu noi tipuri de rat ,ionament
s,i noi tehnici de calcul, ajut^ andu-i s a-s ,i ^ nsus ,easc a acele not ,iuni, la cel mai ^ nalt
nivel, cre^ and posibilitatea rezolv arii multor probleme s ,i ^ n alte domenii, cum ar :
economie, mecanic a, zic a, tehnologie.
Lucrarea cont ,ine prezentarea teoremelor de medie remarcabile, at^ at din calcu-
lul diferent ,ial precum s ,i din calculul integral, cu enunt ,uri, demonstrat ,ii s,i inter-
pret ari geometrice, pun^ and ^ n evident , afaptul ca scopul esent ,ial al analizei mate-
matice const a din atribuirea de valori aproximative pentru obiectele matematice,
Jean Dieudonne spunea c a: ,,Nimeni nu se poate l auda c a a int ,eles sensul analizei
dac a nu a^ nt ,eles c a ea se bazeaz a pe calcul aproximativ: inegalit at ,i s,i aproximat ,ii."
Aceast a lucrare este structurat a ^ n trei capitole:
CAPITOLUL 1 : Teoreme de medie ^ n calculul diferent ,ial
CAPITOLUL 2 : Teoreme de medie ^ n calculul integral
CAPITOLUL 3 : Aspecte metodice privind predarea teoremelor de medie
^In primul capitol ne propunem s a trat am aspectele teoretice legate de funct ,iile
derivabile, Teorema lui Fermat, Teorema lui Rolle, Teorema lui Lagrange, Te-
orema lui Cauchy, Teorema lui Darboux, Teorema lui l'Hospital , cu enunt ,uri,
demonstrat ,ii, interpret ari geometrice s ,i teoreme generalizate.
^In al doilea capitol ne propunem s a trat am, funct ,iile integrabile, prima teorem a
de medie, a doua teorem a de medie , cu enunt ,uri, demonstrat ,ii, diverse variante
pentru cele dou a teoreme de medie, denit ,ii pentru suma Reimann, suma Darboux,
integrala Reimann, integrala Darboux .
^In al treilea capitol ne propunem s a trat am, aspecte metodologice, aspecte meto-
dice, aspecte metodice privind predarea teoremelor de medie ^ n calculul diferent ,ial
s,i anume: studiul funct ,iilor cu ajutorul derivatelor, rezolvarea unor ecuat ,ii cu
2

ajutorul teoremelor de medie, aplicat ,ii ale teoremelor de medie la demonstrarea
unor inegalit at ,i s,i demonstrarea unor identit at ,i cu ajutorul teoremelor de medie;
aspecte metodice privind predarea teoremelor de medie ^ n calcul integral s,i anume:
inegalit at ,i s,i teoreme de medie s ,i identit ati s ,i teoreme de medie.
Cu stim a s ,i deosebit respect s ,i considerat ,ie, mult ,umesc domnului Lect. Univ.
Dr. Aurelian Cr aciunescu, pentru ^ ndrum arile s ,i observaiile f acute pe parcursul
elabor arii acestei lucr ari.
3

Cuprins
Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
CAPITOLUL 1: Teoreme de medie ^ n calculul diferent ial 5
x1.1 Funct ii derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
x1.2 Teorema lui Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
x1.3 Teorema lui Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
x1.4 Teorema lui Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
x1.5 Teorema lui Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
x1.6 Teorema lui Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
x1.7 Teoremele lui l' Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
CAPITOLUL 2: Teoreme de medie ^ n calculul integral 42
x2.1 Funct ,ii integrabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
x2.2 Prima teorem a de medie ^ n calculul integral . . . . . . . . . . . . 47
x2.3 A doua teorem a de medie ^ n calculul integral . . . . . . . . . . . . 49
CAPITOLUL 3: Aspecte metodice privind predarea teoremelor
de medie 53
x3.1 Aspecte metodologice s ,i aspecte metodice . . . . . . . . . . . . . . 53
x3.2 Aspecte metodice privind predarea teoremelor de medie^ n calculul
diferent ,ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
x3.3 Aspecte metodice privind predarea teoremelor de medie^ n calculul
integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Bibliograe 83
4

Capitolul 1
Teoreme de medie ^ n calculul
diferent ial
x1.1 Funct ii derivabile
1.1.1 Funct ii derivabile ^ ntr-un punct  si pe o mult ime
FieIR;t02I\I0undeI0este mult imea punctelor de acumulare a lui I  si
f:I!Ro funct ie.
Denit ia 1.1.1.
Se spune c a feste derivabil a ^ n t0, dac a:
lim
t!t0f(t)f(t0)
tt0(1.1)
exist a  si este nit a.
Not am aceast a limit a cu f0(t0)  si o numim derivata lui f^ n punctul t0
Observat ia 1.1.1 .
Uneorif0(t0) exist a  si poate  + 1sau1.
Observat ia 1.1.2 .
^In punctele izolate ale mult imii Inu se pune problema derivabilit atii.
5

Denit ia 1.1.2.
Spunem c a f:I!Reste derivabil a pe mult imea AIdac a este derivabil a
^ n orice punct a2A.
^In acest caz, funct ia f0:A!Rdenit a prin ( f0)(x) =f0(x) se nume ste
derivata lui f pe mult imea A .
Operat ia prin care f0se obt ine din fse nume ste operat ia de derivare a luif.
Remarca 1.1.1 .
Orice funct ie derivabil a ^ ntr-un punct este continu a ^ n acel punct.
Demonstrat ,ie :
Vezi [Manual clasa a XI-a, Mircea Ganga, Editura Mathpress, 2003, pag. 223]
Observat ia 1.1.3 .
Reciproca acestei remarci este ^ n general fals. Putem da ca exemplu funct ia
modul ^ n punctul t0= 0.
1.1.2 Derivate laterale
Dac aAR sit02Acu proprietatea c a t0este punct de acumulare pentru
mult imeaAs=ft2A:tt0g(respectiv pentru Ad=ft2A:tt0g), atunci
spunem c a t0este punct de acumulare la st^ anga pentruA(respectiv punct de
acumulare la dreapta pentruA)  si not amt02A0
s(respectivt02A0
d).
6

Denit ia 1.1.3.
Spunem c a funct ia f:AR!Rarederivat a la st^ anga (respectiv derivat a
la dreapta ) ^ nt02A\A0
s(respectivt02A\A0
d), dac a exist a (^ n R)
lim
t!t0t<t 0f(t)f(t0)
tt0not:=f0
s(t0)
respectiv lim
t!t0t>t 0f(t)f(t0)
tt0not:=f0
d(t0)!
numite  si derivata la st^ anga (respectiv derivata la dreapta ) a funct iei f^ nt0.
^In cazul particular ^ n care f0
s(t0) este nit a (respectiv f0
d(t0) este nit a), atunci
spunem c a feste derivabil a la st^ anga (respectiv derivabil a la dreapta ) ^ nt0.
Are loc:
Teorema 1.1.1.
O funct ief:A!Reste derivabil a ^ n t02A\A0
s\A0
ddac a  si numai dac a f
este derivabil a la st^ anga  si la dreapta ^ n t0cu
f0
s(t0) =f0
d(t0)2R
.
Demonstrat ,ie :
Vezi [Manual clasa a XI-a, Elemente de analiz a matematic a, Mircea Ganga,
Editura Mathpress, pag. 216]
1.1.3 Operat ii cu funct ii derivabile
Teorema 1.1.2.
Fief;g:A!Rdou a funct ii derivabile ^ n t02A\A0. Atunci
1.f+geste derivabil a ^ n t0 si
(f+g)0(t0) =f0(t0) +g0(t0)
7

2.f
geste derivabil a ^ n t0 si
(f
g)0(t0) =f0(t0)
g(t0) +f(t0)
g0(t0)
3. ^ n ipoteza suplimentar a c a g(t0)6= 0 avem c af
geste derivabil a ^ n t0 si
f
g0
(t0) =f0(t0)
g(t0)f(t0)
g0(t0)
g2(t0)
.
Demonstrat ,ie :
Vezi [Manual clasa a XI-a, Elemente de analiz a matematic a, Mircea Ganga,
Editura Mathpress 2003.]
Teorema 1.1.3.
(derivarea funct iilor compuse)
FieI;JRdou a intervale  si f sigdou a funct ii astfel ^ nc^ at f:I!J si
g:J!R:Dac afeste derivabil a ^ n t0 sigderivabil a ^ n y0=f(t0);atuncigf
este derivabil a ^ n t0 si
(gf)0(t0) =g0(f(t0))
f0(t0):
Demonstrat ,ie :
Vezi [Manual clasa a XI-a, Elemente de analiz a matematic a, Mircea Ganga,
Editura Mathpress 2003.]
Teorema 1.1.4.
(derivabilitatea inversei unei funct ii)
FieI;JRdou a intervale  si f:I!Ro funct ie bijectiv a. Dac a
1.feste derivabil a ^ n t0;
2.f0(t0)6= 0;
8

3.f1este continu a ^ n y0=f(t0);
atuncif1este derivabil a ^ n y0=f(t0) si
(f1)0(y0) =1
f0(t0):
Demonstrat ,ie :
Vezi [Manual clasa a XI-a, Elemente de analiz a matematic a, Mircea Ganga,
Editura Mathpress 2003, pag.241]
Semnicat ia geometric a a derivatei
FieARun interval, f:A!Ro funct ie  si Gfgracul lui f. Dac at2A
consider am punctul Qt(t;f(t)). Vom spune c a Gfare tangent a geometric a ^ n
punctulQt02Gf, dac a secanta QtQt0cut2Atinde c atre o dreapt a c^ and t!t0.
Acea dreapt a o numim tangenta geometric a la grac ^ n punctul Qt0:Decif0(t0)
reprezint a panta tangentei geometrice la gracul funct iei f^ n punctul ( t0;f(t0)),
iarecuat ia tangentei ^ n punctul Qt0la gracul funct iei feste :
yf(t0) =f0(t0)(tt0):
O XY
t0Qt0f(t0)
tQtf(t)

9

x1.2 Teorema lui Fermat
1.2.1 Puncte de extrem
Consider am f:A!R sit02R(AR).
Denit ia 1.2.1.
Spunem c a punctul t0este punct de maxim local al funct ieif, dac a exist a o
vecin atateVa luit0astfel ^ nc^ at
f(t)f(t0) pentru oricare t2V\A:
Denit ia 1.2.2.
Spunem c a t0este punct de minim local al funct ieif, dac a exist a o vecin atate
Va luit0, astfel ^ nc^ at
f(t0)f(t) pentru oricare t2V\A:
Denit ia 1.2.3.
Punctele de maxim  si de minim local ale funct iei fse numesc puncte de extrem
local ale luif.
Denit ia 1.2.4.
Dac at0este un punct de maxim local al funct iei f, num arulf(t0) se nume ste
maxim local al funct ieif, iar punctul P(t0;f(t0)) de pe grac se nume ste punctul
de maxim local al gracului.
Denit ia 1.2.5.
Dac at0este un punct de minim local al funct iei f, num arulf(t0) se nume ste
minim local al funct ieif, iar punctul P(t0;f(t0)) de pe grac se nume ste punct
de minim local al gracului.
10

Denit ia 1.2.6.
Maximele  si minimele funct iei fse numesc extreme ale funct iei , iar punctele
de maxim sau de minim ale gracului se numesc puncte de extrem ale gracului.
Observat ia 1.2.1 .
Un punct de maxim local nu este ^ n mod obligatoriu  si punctul ^ n care funct ia
are cea mai mare valoare pe ^ ntreg intervalul A(adic a punct de maxim global).
Observat ia 1.2.2 .
Un punct de minim local nu este ^ n mod obligatoriu  si punctul ^ n care funct ia
are cea mai mic a valoare pe ^ ntreg intervalul A(adic a punct de minim global).
Observat ia 1.2.3 .
Uneori este posibil ca un minim local al funct iei s a e mai mare dec^ at un
maxim local al s au.
1.2.2 Teorema lui Fermat. Enunt , demonstrat ie, inter-
pretare geometric a
Teorema 1.2.1.
Fief:A!R,Aun interval, iar t0un punct de extrem din interiorul lui A.
Dac a funct ia feste derivabil a ^ n t0, atuncif0(t0) = 0 .
Demonstrat ,ie :
Fiet0un punct de maxim local al funct iei f. Dac a exist a o vecin atate Va lui
t0cuVAastfel ^ nc^ at f(t)f(t0);(8)t2V:
Cumfeste derivabil a ^ n t0, avem
f0(t0) =f0
d(t0) = lim
t!t0t>t 0f(t)f(t0)
tt0
11

f0(t0) =f0
s(t0) = lim
t!t0t<t 0f(t)f(t0)
tt0
Deoarecef(t)f(t0), raportulf(t)f(t0)
tt00 (8)t2V;t>t 0;deci
f0(t0)0 (1.2)
Deoarecef(t)f(t0) raportulf(t)f(t0)
tt00 (8)t2V;t>t 0;deci
f0(t0)0 (1.3)
Din relat iile 1.2  si 1.3 rezult a f0(t0) = 0, q.e.d.
Analog putem demonstra  si pentru un punct de minim.
Interpretarea geometric a a teoremei lui Fermat
Dac a gracul funct iei admite tangent a ^ ntr-un punct extrem ce nu coincide cu
extremit at ile gracului, atunci tangenta ^ n acel punct este paralel a cu axa Ox.
O XY
P(t0;f(t0))
Observat ia 1.2.4 .
Pentru cafs a admit a ^ n t0punct de extrem, anularea derivatei nu este nici
necesar a nici sucient a.
Funct iaf:R!Rf(x) =x5nu are extrem ^ n 0 cu toate c a derivata sa se
anuleaz a ^ n acest punct, iar funct ia g:R!Rg(x) =jxjare ^ n 0 un minim,
chiar dac afnu este derivabil a ^ n 0.
12

Observat ia 1.2.5 .
Condit ia ca punctul t0de extrem local s a se a
e ^ n interiorul intervalului ( x;y)
este esent ial a.
^Intr-adev ar,
Fief: [0;1]!Rf(x) =x:Punctele 0  si 1 din intervalul [0 ;1] sunt puncte
de extrem local pentru f, dar totu si f0(0) =f0(1) = 16= 0
Dac af:A!Reste o funct ie derivabil a pe un interval deschis A, atunci
zerourilef0peAsunt puncte critice ale lui fpeA. A sadar, punctele de extrem
local se reg a sesc printre punctele critice.
Observat ia 1.2.6 .
Exist a funct ie derivabil a care are un punct de minim dar care nu este cresc atoare
pe niciun interval situat la dreapta punctului  si nici descresc atoare pe niciun in-
terval din st^ anga punctului.
1.2.3 Teorema lui Fermat generalizat a
Teorema 1.2.2.
Dac af:A!Rare un punct de extrem t0interior intervalului A si ^ n acest
punct funct ia nu e derivabil a, dar are derivate laterale nite nenule sau innite,
atunci acestea sunt de semne contrare.
Demonstrat ,ie :
Fief:A!R sit0un punct de maxim local. Atunci exist a V2Vt0astfel
^ nc^ atf(t)f(t0);(8)t2V.
Deoarece exist a f0
d(t0)  sif0
s(t0)2R;atunci rezult a
f0
s(t0) = lim
t!t0t<t 0f(t)f(t0)
tt0>0
13

 si
f0
d(t0) = lim
t!t0t>t 0f(t)f(t0)
tt0<0
decif0
s(t0)
f0
d(t0)<0:
Analog decurge demonstrat ia  si ^ n cazul ^ n care t0este punct de minim local.
Teorema 1.2.3.
Dac af:A!Rare derivate laterale nite nenule sau innite ^ n punctul t0
din interiorul intervalului A, de semne contrare, atunci t0este un punct de extrem
 si anumef0
d(t0)<0, atuncit0este un punct de maxim, iar dac a f0
s(t0)<0, atunci
t0este un punct de minim.
Demonstrat ,ie :
Consider am t02Apentru care exist a o vecin atate V2Vt0astfel ^ nc^ at f0
s(t0)

f0
d(t0)<0:
Deci avem:
a)lim
t!t0t<t 0f(t)f(t0)
tt0>0  si lim
t!t0t>t 0f(t)f(t0)
tt0<0 decif0
s(t0)
f0
d(t0)<0:
b)lim
t!t0t<t 0f(t)f(t0)
tt0<0  si lim
t!t0t>t 0f(t)f(t0)
tt0<0 decif0
s(t0)
f0
d(t0)>0:
adic at0este punct de maxim local sau punct de minim local.
Pentru c a:
a)implic af(t)<f(t0);(8)t2V;t<t 0 sif(t)<f(t0);(8)t2V;t>t 0
=)t0- punct de maxim local.
b)implic af(t)>f(t0);(8)t2V;t<t 0 sif(t)>f(t0);(8)t2V;t>t 0
=)t0- punct de minim local.
14

x1.3 Teorema lui Rolle
1.3.1 Enunt , demonstrat ie  si interpretare geometric a
Teorema 1.3.1.
Fiea;b2R;a<b  sif: [a;b]!Ro funct ie cu propriet at ile:
a)fcontinu a pe [a;b]
b)fderivabil a pe (a;b)
c)f(a) =f(b)
Atunci exist a cel put in un punct t02(a;b)pentru care f0(t0) = 0:
Demonstrat ,ie :
Folosind Teorema lui Weierstrass, find continu a pe intervalul compact [ a;b]
rezult a c afeste m arginit a  si ^  si atinge marginile.
Consider am
m= inf
t2[a;b]f(t)  siM= sup
t2[a;b]f(t);
m;M2R; mM si c a exist a tm sitM2[a;b] a. ^ .f(tm) =m sif(tM) =M.
Dac am=Matuncif(t) =m; (8)t2[a;b];a sadarf0(t) = 0;(8)t2(a;b)
 si teorema este demonstrat a.
Dac am < M; pentrutm=asautm=b=)f(a) =f(b) =m < M; a sadar
tM2(a;b)  si conform teoremei lui Fermat  si f0(tm) = 0;avem demonstrat ia
nalizat a lu^ and t0=tm.
Interpretarea geometric a a Teoremei lui Rolle
Consider am punctele P(a;f(a))  siQ(b;f(b)). Cumf(a) =f(b) =)PQk
OX.
15

O XY
f(a) =f(b)
aP
bQ
Dac a gracul funct iei admite tangent a ^ n orice punct cu except ial, eventual a
extremit at ilor P siQ si dreapta ce une ste extremit at ile P;Q este paralel a cu OX,
atunci exist a cel put in un punct al gracului ^ n care orice tangent a este paralel a
cu axaOX.
Observat ia 1.3.1 .
Numim funct ia Rolle o funct ie f: [a;b]!Ra<b; a;b2Rcare este continu a
pe intervalul ^ nchis [ a;b]  si derivabil a pe intervalul deschis ( a;b).
Observat ia 1.3.2 .
^Intre dou a zerouri ale funct iei se a
 a cel put in un zero al derivatei  si anume:
consider am f: [a;b]!Rcontinu a  si derivabil a pe ( a;b)  sif(a) =f(b) = 0;
atunci (9)t02(a;b) a.^ .f(t0) = 0.
Observat ia 1.3.3 .
^Intre dou a zerouri consecutive ale derivatei se a
 a cel mult un zero al funct iei.
Observat ia 1.3.4 .
Cele trei condit ii din Teorema lui Rolle sunt esent iale, deoarece renunt ^ and
la una din ele nu mai poate  dovedit a concluzia. Ca atare prezent am c^ ateva
exemple:
16

Exemplul 1.3.1 .
f: [0;1]!R; f(x) = 2x
-fcontinu a pe [0 ;1]
-fderivabil a pe (0 ;1)
-f(0) = 06=f(1) = 2
=)f0(x)6= 0;(8)x2(0;1)
Exemplul 1.3.2 .
f: [0;1]!R; f(x) =8
><
>:2×2; x2[0;1)
0; x = 1
-fderivabil a pe (0 ;1)
-f(0) =f(1) = 0
-fnu este continu a ^ n x= 1
=)f0(x)6= 0;(8)x2(0;1)
Exemplul 1.3.3 .
f: [1;1]!R; f(x) =j2xj
-fcontinu a pe [1;1]
-f(1) =f(1) = 2
-fnu e derivabil a ^ n x= 0
=)f0(x)6= 0;(8)x2[1;1]nf0g:
Observat ia 1.3.5 .
Datele din ipoteza Teoremei lui Rolle nu sunt necesare pentru ca derivata s a
aib a cel put in o r ad acin a, sunt doar suciente, pentru c a exist a funct ii care de si
nu satisfac nicuna din cele trei condit ii, derivata se anuleaz a.
De exemplu,
f(x) =8
><
>:x2; x2Q\[1;1]
0; x2[1;1]nQ
17

-fnu e continu a pe [ 1;1]
-fnu e derivabil a pe ( 1;1)
-f(1) =f(1) = 1
darf0(0) = 0.
1.3.2 S irul lui Rolle
S irul lui Rolle ne ajut a s a determin am num arul r ad a cinilor reale ale unei
ecuat ii  si intervalele ^ n care acestea sunt situate.
Teorema 1.3.2.
Fief:IR!Ro funct ie derivabil a pe intervalul I.^Intre dou a zerouri
consecutive ale derivatei funct iei fse a
 a cel mult o r ad acin a a ecuat iei f(x) = 0
 si anume r ad acinile derivatei separ a r ad acinile funct iei.
Demonstrat ,ie :
Fiex0
1;x0
22Icux0
1<x0
2r ad acini consecutive ale derivatei. Presupunem prin
reducere la absurd c a ^ n intervalul ( x0
1;x0
2) exist a dou a r ad acini t1;t2ale funct iei
f,f(t1) =f(t2) = 0.
Pe intervalul [ t1;t2] aplic am teorema lui Rolle  si rezult a c a exist a cel put in un
punctt02(t1;t2) pentru care f0(t0) = 0;adic a derivata f0se mai anuleaz a ^ n cel
put in un punct t02(x0
1;x0
2);ceea ce contrazice alegerea f acut a asupra punctelor
x0
1 six0
2.
Pentru formarea  sirului lui Rolle se parcurg urm atoarele etape:
1. Se alege funct ia f:IR!R si se precizeaz a intervalul de studiu Ial
ecuat ieif(x) = 0.
2. Se rezolv a ecuat ia f0(x) = 0  si apoi se aranjeaz a ^ n ordine cresc atoare
r ad acinile reale din intervalul Iale acestei ecuat ii
x0
m<:::<x0
1<x0
2<:::<x0
M;
18

3. Se calculeaz a valorile funct iei ^ n aceste puncte  si limitele la capetele inter-
valuluiI, limite pe care le not am cu  si, astfeleste limit a la st^ anga  si
este limit a la dreapta ale intervalului I. Astfel obt inem urm atorul  sir de
valori:
;f(x0
m);:::;f (x0
1);f(x0
2);:::;f (x0
M);:
4. S irul lui Rolle ind  sirul semnelor acestor valori (poate s a apar a  si valoarea
0).
5. Aceast a etap a se refer a la concluziile legate de num arul r ad acinilor reale ale
ecuat iei  si intervalele ^ n care acestea sunt situate.
^Int^ alnim urm atoarele situat ii:
1) Dac a ^ n  sirul lui Rolle format la etapa a IV-a apar dou a semne al aturate iden-
tice, adic a dac a pentru x0
1<x0
2avem ef(x0
1);f(x0
2)<0 ef(x0
1);f(x0
2)>0;
atunci ^ n intervalul ( x0
1;x0
2) nu exist a r ad acini reale ale ecuat iei f(x) = 0.
2) Dac a ^ n  sirul lui Rolle apar dou a semne al aturate diferite, de exemplu, f(x0
1)<
0,f(x0
2)>0;atunci conform teoremei de mai sus  si propriet at ii lui Darboux,
exist a cel mult  si respectiv cel put in o r ad acin a ^ n intervalul ( x0
1;x0
2), adic a
ecuat iaf(x) = 0 are exact o r ad acin a ^ n intervalul ( x0
1;x0
2).
3) Dac a^ n  sirul lui Rolle apeare zero, de exemplu f(x0
t) = 0 atunci x0
teste r ad acin a
multipl a a ecuat iei f(x) = 0;iar ^ n intervalul ( x0
t1;x0
t);(x0
t;x0
t+1) ecuat ia nu
mai are r ad acini.
Iar concluzia nal a este urm atoarea:
Dac a num ar am schimb arile de semn  si zerourile, determin am num arul de r ad acini
reale ale ecuat iei considerate  si intervalele ^ n care sunt situate aceste r ad acini, f ar a
^ ns a a determina ordinele de multiplicitate ale acestora.
19

1.3.3 Teorema lui Rolle generalizat a
Teorema 1.3.3.
Dac af: [a;b]!Reste o funct ie continu a pe [a;b], derivabil a bilateral pe (a;b)
 sif(a) =f(b);atunci exist a t02(a;b)a.^ . are loc:
02[minff0
(t0);f0
+(t0)g;maxff0
(t0);f0
+(t0)g]
Demonstrat ,ie :
Din teorema lui Weierstrass, avem c a funct ia feste m arginit a  si ^  si atinge
marginile, adic a
(9)t1;t22[a;b] a.^ .f(t1)f(t)f(t2);(8)t2[a;b]:
Dac aft1;t2gfa;bg, atuncifeste funct ie constant a  si are loc
02[minff0
(t0);f0
+(t0)g;maxff0
(t0);f0
+(t0)g];(8)t02(a;b):
Dac aft1;t2gnu este inclus a ^ n fa;bg si consider am t02ft1;t2gnfa;bgrezult a
din Teorema lui Fermat generalizat a c a are loc
02[minff0
(t0);f0
+(t0)g;maxff0
(t0);f0
+(t0)g]
.
20

x1.4 Teorema lui Lagrange
1.4.1 Enunt ul, demonstrat ia  si interpretarea geometric a
Teorema 1.4.1.
Fiea;b2Rcua<b  sif: [a;b]!Ro funct ie care veric a propriet at ile:
1)fcontinu a pe [a;b]
2)fderivabil a pe (a;b)
Atunci exist a t02(a;b)astfel ^ nc^ at
f(b)f(a)
ba=f0(t0):
Demonstrat ,ie :
Fie funct ia g: [a;b]!R; g(x) =f(x)kx; k2R. Aceast a funct ie gveric a
cele trei condit ii din ipoteza teoremei lui Rolle  si anume:
1)gcontinu a pe [ a;b]
2)gderivabil a pe ( a;b)
3)g(a) =g(b)
Din condit ia 3, determin am constanta k.
g(a) =g(b)()f(a)ka=f(b)kb=)k=f(b)f(a)
ba:
A sadar, din teorema lui Rolle avem c a:
(9)t02(a;b) a.^ .g0(t0) = 0 adic a f0(t0)k= 0 =)f0(t0) =f(b)f(a)
ba
21

Observat ia 1.4.1 .
Formulaf0(t0) =f(b)f(a)
base nume ste formula lui Lagrange sau prima for-
mul a a mediei.
Interpretarea geometric a a Teoremei lui Lagrange
Dac a gracul funct iei fadmite tangent a ^ n ecare punct cu except ia eventual a
extremit at ilor, exist a cel put in un punct de pe grac ^ n care tangenta este paralel a
cu coarda [MN] ce une ste extremit at ile.
O XY
aMf(a)
bN f(b)
Observat ia 1.4.2 .
Putem spune c a teorema lui Lagrange generalizeaz a teorema lui Rolle, deoarece
dac a ^ n plus
f(a) =f(b) =)f0(t0) = 0:
Observat ia 1.4.3 .
Teorema lui Lagrange se nume ste prima teorem a de medie sau prima teorem a
a cre sterilor nite.
22

1.4.2 Consecint ele teoremei lui Lagrange
Corolarul 1.4.1.
Consider am ARun interval  si f:A!Ro funct ie. Dac a feste continu a
peA si derivabil a pe A, atunci (8)x1;x22Aexist at02(x1;x2)a.^ .
f(x1)f(x2) = (x1x2)
f0(t0):
Demonstrat ,ie :
Este imediat a, aplic^ and teorema lui Lagrange pentru funct ia fpe intervalul
[x1;x2].
Corolarul 1.4.2.
Consider am ARun interval  si f:A!Ro funct ie. Dac a feste derivabil a
peA, atuncifeste o funct ie constant a dac a  si numai dac a f0(x) = 0 .
Demonstrat ,ie :
" =)"f- funct ie constant a = )f0(x) = 0:
"(= " Consider am x1;x22A; x 1<x 21:4:1=)(9)t02(x1;x2) a.^ .
f(x1)f(x2) = (x1x2)f0(t0)
Pentru c af0(t0) = 0 =)f(x1)f(x2) = 0 adic a f(x1) =f(x2) =)f-
constant a.
Corolarul 1.4.3.
Consider am dou a funct ii f sig,f;g:A!R. Cele dou a funct ii au accea si
derivat a pe Adac a  si numai dac a (9)t02Ra.^ .
g(x) =f(x) +t0;(8)x2A:
23

Demonstrat ,ie :
Demonstrat ia este imediat a din Corolarul 1.4.2 aplicat funct iei
h(x) =f(x)g(x):
Corolarul 1.4.4.
Consider am ARun interval  si f:A!Ro funct ie.
a) Dac afeste derivabil a pe Aatuncifeste monoton cresc atoare dac a  si numai
dac af0(x)0;(8)x2A:
b) Dac afeste derivabil a pe Aatuncifeste monoton descresc atoare dac a  si numai
dac af0(x)0;(8)x2A:
Demonstrat ,ie :
" =)" Fiet02Axat. Presupunem t0<supA.
Dinfmonoton cresc atoare, avem:
f(x)f(t0)
xt00;(8)x2A\(t0;+1)
=)f0(t0) =f0
d(t0) = lim
x!t0x>t 0f(x)f(t0)
xt00:
A sadar,f0(x)0:
Fiet02Axat, presupunem c a t0>infA:
Dinfmonoton cresc atoare, avem:
f(x)f(t0)
xt00;(8)x2A\(1;t0)
=)f0(t0) =f0
s(t0) = lim
x!t0x<t 0f(x)f(t0)
xt00:
A sadar,f0(x)0:
24

"(= " Presupunem c a f0(x)0;(8)x2A six1;x22Acux1< x 2. Din
teorema lui Lagrange rezult a c a ( 9)t02(x1;x2) a. ^ .
f(x1)f(x2) = (x1x2)
f0(t0)
dar cumx1x2<0  sif0(t0)0 rezult a
f(x1)f(x2)0 =)f(x1)f(x2) =)fmonoton cresc atoare :
Presupunem c a f0(x)0;(8)x2A six1;x22Acux1<x 2. Din teorema lui
Lagrange rezult a c a ( 9)t02(x1;x2) a.^ .
f(x1)f(x2) = (x1x2)
f0(t0)
dar cumx1x2<0  sif0(t0)0 rezult a
f(x1)f(x2)0 =)f(x1)f(x2) =)fmonoton descresc atoare :
Corolarul 1.4.5.
Consider am ARun interval  si f:A!Ro funct ie. Dac a feste derivabil a
peAatunci:
1) Dac af0(x)>0;(8)x2A(respectivf0(x)<0;(8)x2A) rezult a c a feste
strict cresc atoare( respectiv descresc atoare).
2) Dac a mult imea I=fx2A:f0(x)6= 0geste dens a ^ n A, rezult a c a feste strict
cresc atoare (respectiv descresc atoare) ()f0(x)0;(8)x2A(f0(x)0;
(8)x2A).
Demonstrat ,ie :
1) Proced am ca la Corolarul 1.4.3.
2) "(= " Dac af0(x)0;(8)x2A1:4:3=)feste monoton cresc atoare. Fie
x1;x22A; x 1<x 2:
25

Presupunem c a f(x1) =f(x2)  si folosind  si faptul c a f(x1)f(x)f(x2);
(8)x2[x1;x2] =)feste constant a pe [ x1;x2];decifse anuleaz a pe [ x1;x2]  si
I\(x1;x2) =;:
Ceea ce contrazice c a Ieste dens a ^ n A.
A sadar avem f(x1)6=f(x2);decif(x1)<f(x2)  sifeste strict cresc atoare.
" =)"Demonstr am analog c a f0(x)0;(8)x2A.
Observat ia 1.4.4 .
Pentru a marca monotonia unei funct ii ^ n funct ie de semnul derivatei ^ nt^ ai,
folosim urm atoarele tabele:
x
f0(x)+ + + + + + + + +
%%%%%%%%f(x)x
f0(x)
&&&&&&&&f(x)
Observat ia 1.4.5 .
Pentru a determina intervalele de monotonie ale unei funct ii derivabile f:A
R!Rse procedeaz a astfel:
a) Se calculeaz a derivata funct iei f.
b) Se rezolv a ecuat ia f0(x) = 0;(8)x2Aunde solut iile acestei ecuat ii se numesc
puncte critice.
c) Se stabile ste semnul derivatei.
d) Se folosesc Corolarele 1.4.4  si 1.4.5  si se stabilesc intervalele de monotonie.
Observat ia 1.4.6 .
Folosind monotonia unei funct ii, stabilim  si punctele de minim sau de maxim
relativ.
Un punctt0din interiorul domeniului de denit ie Aspunem c a este punct de
minim relativ dac a avem situat ia din urm atorul tabel:
26

x
f0(x)t0
0 + + + +
&&&f(t0)%%%
(m)f(x)
Un punctt0din interiorul domeniului de denit ie Aspunem c a este punct de
maxim relativ dac a avem situat ia din urm atorul tabel:
x
f0(x)t0
+ + + + 0
%%%f(t0)&&&
(M)f(x)
Corolarul 1.4.6.
Consider am ARun interval cu exremit at ile a;b2R sif:A!Ro funct ie
derivabil a pe A.
1) Dac af0(x)0;(8)x2A sif(a+)0(respectiv>0) atuncif(x)0
(respectiv>0),(8)x2A.
2) Dac af0(x)0;(8)x2A sif(b)0(respectiv<0) atuncif(x)0
(respectiv<0),(8)x2A.
3) Dac af0(x)0;(8)x2A sif(a+)0(respectiv<0) atuncif(x)0
(respectiv<0),(8)x2A.
4) Dac af0(x)0;(8)x2A sif(b)0(respectiv>0) atuncif(x)0
(respectiv>0),(8)x2A.
Demonstrat ,ie :
1) Dinf0(x)0;(8)x2A=)fstrict monoton a pe A, ca atare  si f(a+)  si
f(b) exist a.
Dac a exist a t02Acuf(t0)<0 =)f(x)f(t0);(8)x2(a;t0), adic a
f(a+) = inf
x2(a;x0)f(x)f(t0)<0 ceea ce contrazice faptul c a f(a+)0:
27

Prin urmare f(x)0;(8)x2A:
Celelalte trei cazuri se demonstreaz a analog.
Reprezentare grac a a celor patru cazuri este:
O XY
a1)
O XY
b4)
O XY
b2)
O XY
a3)
Corolarul 1.4.7.
Consider am A= [a;b)cua2R; b2R sia<b . Dac a funct iile f;g:A!R
sunt continue  si au urm atoarele propriet at i:
a)f sigsunt derivabile pe (a;b) sif0(x)g0(x);(8)x2(a;b)
b)f(a)g(a)
atunci:f(x)g(x);(8)x2A:
28

Demonstrat ,ie :
Consider am funct ia hdenit a astfel:
h:A!Rh(x) =g(x)f(x);(8)x2A;
funct ia pentru care aplic am Corolarele 1.4.5  si 1.4.6  si ca atare acest corolar este
demonstrat.
Corolarul 1.4.8.
Consider am A= [a;b]cua;b2R,a<b  sif sigdou a funct ii f;g:A!R:
Dac a:
a)f;gcontinue pe [a;b]
b)f;gderivabile pe (a;b)
c)jf0(t0)jg0(t);(8)t02(a;b)
atunci,
jf(b)f(a)jg(b)g(a):
Demonstrat ,ie :
Folosim propriet at ile modulului  si Corolarele 1.4.5  si 1.4.6
Corolarul 1.4.9.
Consider am ARun interval  si f:A!Ro funct ie. Dac a feste derivabil a
peA sif0este m arginit a atunci feste lipschitzian a pe A.
Demonstrat ,ie :
Fie= sup
x2Ajf0(a)j:Atunci (8)x;y2A; x<y (9)2(x;y) a.^ .
f(x)f(y) = (xy)
f0()
29

deci
jf(x)f(y)jjxyj;(8)x;y2A;
adic afeste lipschitzian a pe A.
1.4.3 Teorema lui Lagrange generalizat a
Teorema 1.4.2.
Dac af: [a;b]!Reste o funct ie continu a pe [a;b] si derivabil a bilateral pe
(a;b), atunci exist a un punct t02(a;b)astfel ^ nc^ at:
f(b)f(a)
ba2
minff0
(t0);f0
+(t0)g;maxff0
(t0);f0
+(t0)g
:
Demonstrat ,ie :
Consider am funct ia g: [a;b]!Rdenit a prin
g(x) =f(x)f(b)f(a)
ba
x;(8)x2[a;b]
 si aplic am teorema lui Rolle generalizat a.
x1.5 Teorema lui Cauchy
1.5.1 Enunt ul, demonstrat ia  si interpretarea geometric a
Teorema 1.5.1. (a doua teorem a de medie sau a cre sterilor nite)
Fief sigdou a funct ii denite pe un interval A sia < b dou a puncte din A.
Dac a:
1)f sigsunt dou a funct ii continue pe [a;b];
2)f sigsunt dou a funct ii derivabile pe (a;b);
3)g0(x)6= 0;(8)x2(a;b),
30

atuncig(a)6=g(b) si exist a un punct t02[a;b],a<t 0<ba.^ . s a avem
f(b)f(a)
g(b)g(a)=f0(t0)
g0(t0):
Demonstrat ,ie :
Presupunem prin reducere la absurd c a g(a) =g(b).^In aceast a presupunere
funct iagveric a ipotezele teoremei lui Rolle  si ca atare exist a un punct t0a.^ .
g0(t0) = 0, ceea ce contrazice g0(x)6= 0;(8)x2(a;b) =)presupunerea f acut a
este fals a, adic a g(a)6=g(b).
Consider am urm atoarea funct ie ajut atoare:
h:A!R; h(x) =f(x)kg(x);(8)x2A;
undekeste un num ar pe care ^ l determin am din
h(a) =h(b) (1.4)
bine^ nt eles aplic^ and funct iei hteorema lui Rolle.
h(a) =f(a)kg(a)h(b) =f(b)kg(b)
Din relat ia 1.4 =)f(a)kg(a) =f(b)kg(b)
=)k=f(b)f(a)
g(b)g(a)(1.5)
Funct iahind diferent a funct iilor f sikgcare sunt continue pe [ a;b]  si deri-
vabile pe (a;b), este  si ea la r^ andul ei continu a pe [ a;b]  si derivabil a pe ( a;b)  si
^ n plush(a) =h(b) =)(9) cel put in un punct t02(a;b) a.^ .h0(t0) = 0, dar
h0(x) =f0(x)kg0(x) =)f0(t0)kg0(t0) = 0
=)k=f0(t0)
g0(t0): (1.6)
Din relat iile 1.5  si 1.6
=)f(b)f(a)
g(b)g(a)=f0(t0)
g0(t0): (1.7)
31

Observat ia 1.5.1 .
Egalitatea 1.7 poart a numele de a doua formul a a mediei sau a doua formul a
a cre sterilor nite.
Observat ia 1.5.2 .
Formula lui Lagrange este caz particular al formulei lui Cauchy pentru g(x) =
x(g0(x) = 1):
Observat ia 1.5.3 .
Teorema lui Cauchy r am^ ane adev arat a dac a se presupune c a funct iile f sig
au derivat a nit a sau innit a pe intervalul deschis ( a;b)  si dac a ^ n ecare punct
x02(a;b) cel put in una din derivatele f0(x)  sig0(x) este nit a.
Observat ia 1.5.4 .
Punctul intermediar t0, din a doua formul a a mediei, depinde at^ at de funct iile
f sigc^ at  si de punctele a sib.
Observat ia 1.5.5 .
Formula a doua a mediei este adev arat a  si ^ n cazul ^ n care a>b (se constat a
acest lucru amplic^ and cu 1 membrul st^ ang al acestei formule).
Observat ia 1.5.6 .
Dac a ^ n formula lui Cauchy ^ nlocuim pe f(a) = 0; g(a) = 0  si pe bcux
obt inem c a pentru ( 8)x2(a;b) exist at02(a;x) a.^ .
f(x)
g(x)=f0(t0)
g0(t0):
Interpretarea geometric a a teoremei lui Cauchy
Folosim urm atoarele notat ii  si anume consider am curba ( C) dat a de ecuat iile
32

parametrice:
(C) :8
><
>:x='(t)
y= (t);t2[;]
Aplic^ and teorema lui Cauchy funct iilor ' si obt inem:
() ()
'()'()= 0(
)
'0(
);unde
2(;)
() ()
'()'()- reprezint a coecientul unghiular al coardei ce une ste capetele
curbei.
'0(
)
'0(
)- reprezint a coecinetul unghiular al tangentei ^ ntr-un punct interior co-
respunz ator lui t=
.
A sadar, coarda ce une ste captele curbei este paralel a cu o tangent a la curba
dus a ^ ntr-un punct interior.
O XY
B('(); ())
A('(); ())C

1.5.2 Teorema lui Cauchy generalizat a
Teorema 1.5.2.
Dac af;g: [a;b]!Rsunt dou a funct ii continue pe [a;b];derivabile bilateral
pe(a;b) si
0=2[minfg0
(x);g0
+(x)g;maxfg0
(x);g0
+(x)g] (1.8)
33

(8)x2(a;b);atuncig(a)6=g(b) si exist a un punct t02(a;b)a.^ .
f(b)f(a)
g(b)g(a)2
minff0
(t0)
g0
(t0);f0
+(t0)
g0
+(t0)g; maxff0
(t0)
g0
(t0);f0
+(t0)
g0
+(t0)g
(1.9)
Demonstrat ,ie :
Presupunem prin reducere la absurd c a g(a) =g(b). Conform teoremei lui Rolle
generalizat a exist a un punct t02(a;b) a.^ . 02[minfg0
(t0);g0
+(t0)g;maxfg0
(t0);g0
+(t0)g]
fapt ce contrazice ipoteza = )presupunerea f acut a este fals a, ca atare g(a)6=g(b):
Consider am funct ia ajut atoare h: [a;b]!Rdenit a astfel:
h: [a;b]!Rh(x) =f(x)f(b)f(a)
g(b)g(a)
g(x);(8)x2(a;b)
Cumh(x) este continu a pe [ a;b]  si derivabil a bilateral pe ( a;b) avem
h(a) =f(a)
g(b)f(b)
g(a)
g(b)g(a)=h(b)
Din teorema lui Rolle generalizat a exist a t02(a;b) astfel ^ nc^ at
02[minfh0
(x);h0
+(x)g;maxfh0
(x);h0
+(x)g]
=)f0
(t0)f(b)f(a)
g(b)g(a)
g0
(t0)0f0
+(t0)f(b)f(a)
g(b)g(a)
g0
+(t0) (1.10)
sau
f0
+(t0)f(b)f(a)
g(b)g(a)
g0
+(t0)0f0
(t0)f(b)f(a)
g(b)g(a)
g0
(t0) (1.11)
Din relat ,iile 1.10  si 1.8 putem scrie:
minfg0
(t0);g0
+(t0)g>0 (1.12)
Din relat ,iile 1.11  si 1.8 putem scrie:
maxfg0
(t0);g0
+(t0)g<0 (1.13)
Folosind relat ,ia 1.12, relat ia 1.10 poate  scris a astfel:
f0
(t0)
g0
(t0)f(b)f(a)
g(b)g(a)f0
+(t0)
g0
+(t0)
34

 si ca atare relat ia 1.9 este adev arat a.
Folosind 1.13, relat ia 1.10 poate  scris a astfel:
f0
+(t0)
g0
+(t0)f(b)f(a)
g(b)g(a)f0
(t0)
g0
(t0)
 si ca atare relat ia 1.9 este adev arat a  si ^ n acest caz.
x1.6 Teorema lui Darboux
1.6.1 Proprietatea lui Darboux
Propozit ia 1.6.1. (proprietatea valorilor intermediabile)
Funct iile continue au proprietatea de a transforma un interval oarecare tot
^ ntr-un interval. Aceast a proprietate este cunoscut a sub numele de proprietatea
lui Darboux.
Denit ia 1.6.1.
FieIun interval. Spunem c a funct ia f:I!Rare proprietatea lui Darboux
pe intervalul I, dac a pentru orice puncte a<b dinI si oricare num ar real situat
^ ntref(a)  sif(b), exist a cel put in un punct t0din intervalul ( a;b) astfel ^ nc^ at
f(t0) =.
Denit ia 1.6.2.
FieIun interval. Spunem c a funct ia f:I!Rare proprietatea lui Darboux
pe intervalul Idac a pentru valoarea intermediar a ^ ntre f(a)  sif(b), ecuat ia
f(x) =are cel put in o solut ie x^ n intervalul ( a;b).
Teorema 1.6.2.
Dac af:I!Reste continu a pe Iatuncifare proprietatea lui Darboux.
35

Demonstrat ,ie :
Vezi [Manual clasa a XI-a, Elemente de analiz a matematic a, Mircea Ganga,
Editura Mathpress, pag. 182]
Remarca 1.6.1 .
Dac aInu este interval, proprietatea nu r am^ ane adev arat a.
1.6.2 Teorema lui Darboux
Teorema 1.6.3.
Fief:IR!R, o funct ie derivabil a pe I. Atunci funct ia f0are proprietatea
lui Darboux pe I, adic a (8)a;b2I; a < b  si(8)2(f0(a);f0(b))sau(8)2
(f0(b);f0(a));exist a,t02(a;b)astfel ^ nc^ at f0(t0) =.
Demonstrat ,ie :
Fiea;b2I; a<b  si2Rcuf0(a)<<f0(b):
Alegem funct ia ajut atoare
f(x)xnot=F(x)
F0(a) =f0(a)<0  siF0(b) =f0(b)>0
Deci, exist a U2Va siV2Vbastfel ^ nc^ at
F(x)F(a)
xa<0;(8)x2U\(a;b)
 si
F(x)F(a)
xa>0;(8)x2V\(a;b):
Din aceste inegalit at i deducem c a F(x)< F(a);(8)x2U\(a;b)  siF(x)<
F(b);(8)x2V\(a;b):Cum funct ia Feste continu a pe [ a;b] rezult a c a exist a
inf
x2[a;b]F(x) =F(t0); t02(a;b);iar din teorema lui Fermat deducem c a F0(t0) =
0 =f0(t0):
Deci, exist a t02(a;b), astfel ca f0(t0) =. q.e.d.
36

1.6.3 Consecint ele teoremei lui Darboux
Corolarul 1.6.1.
Fief:I!Ro funct ie derivabil a. Dac a f0ia valori de semne contrare ^ n dou a
punctea;bdinI, atunci derivata f0se anuleaz a cel put in ^ ntr-un punct cuprins
^ ntrea sib.
Corolarul 1.6.2.
Dac a derivata f0a funct ieifnu se anuleaz a pe un interval AI;atunci
derivataf0p astreaz a acela si semn pe I.
x1.7 Teoremele lui l' Hospital
1.7.1 Teorema ^ nt^ ai a lui l'Hospital
Teorema 1.7.1.

Nedeterminarea0
0
Fief;g: (a;b)!Rdou a funct ii cu propriet at ile:
1)f;gderivabile pe (a;b)
2)lim
x&af(x) = lim
x&ag(x) = 0
3)g0(x)6= 0;(8)x2(a;b)
4) exist a lim
x&af0(x)
g0(x)2R
Atunci exist a limita lim
x&af(x)
g(x) si mai mult
lim
x&af(x)
g(x)= lim
x&af0(x)
g0(x):
37

Demonstrat ,ie :
Construim prelungirile ~f;~gale luif sigpe (a;b), astfel:
~f(x) =8
><
>:f(x); x2(a;b)
0; x = 0~g(x) =8
><
>:g(x); x2(a;b)
0; x = 0
Fiex2(a;b). Funct iile ~f;~gsunt continue pe [ a;x], derivabile pe ( a;x)  si
g0(x)6= 0 pe (a;x) ceea ce permite aplicarea teoremei lui Cauchy.
Deci exist a cel put in un punct t02(a;x) a.^ .
~f(x)~f(a)
~g(x)~g(a)=~f0(t0)
~g0(t0)sauf(x)
g(x)=f0(t0)
g0(t0)
Dac ax&a, atuncic&a si folosind ipoteza avem
lim
x&af(x)
g(x)= lim
x&af0(t0)
g0(t0)= lim
x&af0(x)
g0(x):
Observat ia 1.7.1 .
Teorema r am^ ane adev arat a  si dac a x%asaux!a.
Observat ia 1.7.2 .
Teorema demonstrat a are loc pentru cazul c^ and aeste punct de acumulare
nit, dar rezultatul r am^ ane valabil  si dac a punctul de acumulare este innit.
Observat ia 1.7.3 .
Dac a raportulf0(x)
g0(x)este din nou o nedeterminare0
0
 si dac a funct iile f0;g0
satisfac condit iile teoremei precedente, atunci
lim
x!af(x)
g(x)= lim
x!af0(x)
g0(x)= lim
x!af00(x)
g00(x):
38

1.7.2 Teorema a doua a lui l'Hospital
Teorema 1.7.2.

Nedeterminarea1
1
Fief;g: (a;b)!Rdou a funct ii cu propriet at ile:
1)f;gsunt derivabile pe (a;b);
2)lim
x&af(x) = lim
x&ag(x) =1;
3)g(x)6= 0; g0(x)6= 0;(8)x2(a;b);
4) exist a lim
x&af0(x)
g0(x)2R.
Atunci exist a lim
x&af(x)
g(x) si mai mult are loc egalitatea
lim
x&af(x)
g(x)= lim
x&af0(x)
g0(x):
Demonstrat ,ie :
Fiex six0astfel ^ nc^ at a < x < x 0< b. Funct iile f;gveric a cerint ele din
teorema lui Cauchy, teorem a aplicat a pe intervalul [ x;x 0). Deci, exist a cel put in
un punctt02(x;x 0) astfel ^ nc^ at
f(x)f(x0)
g(x)g(x0)=f0(t0)
g0(t0)
=)f(x)
g(x)=f0(t0)
g0(t0)+f(x0)
g(x)g(x0)
g(x)
f0(t0)
g0(t0)(1.14)
Fie dat un " >0. Din ipoteza 4 rezult a c a exist a 1=1(")>0 a.^ . (8)xcu
0<xa< 1(") are loc egalitatea
f0(x)
g0(x)l<"
3;undel= lim
x&af0(x)
g0(x):
Alegemx0a.^ . 0<x 0a< 1("). Atunci 0 <t0a< 1(")  si
f0(t0)
g0(t0)l<"
3: (1.15)
39

Exist a2=2(")>0 a.^ . 0< xa <  2(")  si folosind ipoteza lim
x&a1
g(x)= 0,
avemf(x0)
g(x)<"
3;
g(x0)
g(x)<"
3l+": (1.16)
Din relat iile 1.14, 1.15, 1.16 = )
f(x)
g(x)lf0(t0)
g0(t0)l+f(x0)
g(x)+g(x0)
g(x)
f0(t0)
g0(t0)<"
3+"
3+"
3l+"(l+"
3) =";
pentru 0<xa< (") =jinf(2(");(x0a))j:
A sadar, lim
x&af(x)
g(x)=l:
Observat ia 1.7.4 .
Teorema demonstrat a r am^ ane valabil a  si pentru x%asaux!a, la fel  si
pentrux!1 .
Observat ia 1.7.5 .
Dac af0;g0satisfac ipotezele din Teorema 1.7.2, regula lui l'Hospital se poate
aplica pentru a doua oar a:
lim
x!af(x)
g(x)= lim
x!af0(x)
g0(x)= lim
x!af00(x)
g00(x):
Observat ia 1.7.6 .
Regula lui l'Hospital permite calculul unor limite de funct ii ^ n care apar at^ at
nedetermin arile0
0 si1
1 si alte nedetermin ari cum ar  0
1, 11, 00.
Observat ia 1.7.7 .
Cazul 0
1se poate reduce la cazul0
0sau1
1scriindf
g=f
1
gsauf
g=g
1
g:
Analog rezult a  si cazul 0
(1).
40

Observat ia 1.7.8 .
Cazurile 11,10, 00se reduc la cazul din Observat ia 1.7.7 prin scrierea lui
fg=eg
lnf:
41

Capitolul 2
Teoreme de medie ^ n calculul
integral
x2.1 Funct ,ii integrabile
2.1.1 Suma Reimann. Integrala Reimann.
Denit ia 2.1.1.
Fiea;b2R;a < b . Se numes ,tediviziune a intervalului [ a;b] o mult ,ime nit a
fx0;x1;:::;xngde elemente din [ a;b], astfel ^ nc^ at a=x0< x 1< ::: < x n=b,
notat a cu
s ,i care se scrie
= fa=x0<x 1<:::<x n=bg.
Denit ia 2.1.2.
Elementele xi(i=0;n) se numesc punctele diviziunii
, astfel ^ nc^ at
JI= [xi1;xi], (i=1;n) se numesc intervale part ,ialedenite pe
.
Denit ia 2.1.3.
Num arulmax
i=1;n(xixi1) se numes ,t,enorma lui
s ,i se noteaz aV(
).
42

Denit ia 2.1.4.
Diviziunea
se numes ,teechidistant a dac axixi1=ba
n, oricare ar  i=1;n,
deci dac axi=a+i
n(ba).
Vom notaT[a;b]sauTmult ,imea tuturor diviziunilor lui [a,b]. Fix am o diviziune

2T [a;b]
=fa=x0<x 1<:::<x n=bg
Denit ia 2.1.5.
Se numes ,tefamilie de puncte intermediare asociat a lui
s ,i se noteaz a cu 
,
o familie (i)i=1;nde elemente din [ a;b] cui2Ti, (8)i=1;n. Vom nota cu
E
=f
j
= (i)i=1;n,i2Jigfamilia mult ,imilor de puncte intermediare
asociat a lui
. Dac a
1,
22T [a;b]s,i
1
2vom spune c a
1este mai put ,in
n a ca
2sau
2este mai n a ca
1.
Denit ia 2.1.6.
Fief: [a;b]!Ro funct ,ie, oricare ar

=fa=x0< x 1< ::: < x n=bg2T [a;b]s,i oricare ar  
2E
num arul
Pn
i=1f(i)(xixi1) se numes ,t,esuma Reimann denit a de funct ,iaf, diviziunea

s ,i mult ,imea
de puncte intermediare asociat a lui
s ,i se noteaz a cu f(
;
).
Denit ia 2.1.7.
Vom spune c a feste integrabila Riemann pe [a;b], dac a exist a L2Rcu
proprietatea: (8)" >0, exist a > 0 astfel ^ nc^ at pentru orice diviziune
a lui
[a;b] s,i pentru orice mult ,ime
de puncte intermediare asociat a lui
, avem
jLf(
;
)j<", altfel spus:
(8)">0;(9)>0 a.^ .jLf(
;
)j<";(8)
2T;V(
)<;(8)
2E
.
Acest fapt se scrie concentrat astfel:
lim
V(
)!0f(
;
) =L;(8)
2E

43

Observat ia 2.1.1 .
Num arulLse numes ,teintegral a (denit a) Reimann pe [a;b] s,i se noteaz a cu
Rb
af(x)dxsauRb
afdxsauRb
af.
Observat ia 2.1.2 .
As,adarfeste integrabil a Reimann , dac a (9) lim
V(
)!0f(
;
) =L2R, in-
dependent de mult ,imea de puncte intermediare 
asociat a lui
. Prin denit ,ie:
Rb
af=Rb
af.
Observat ia 2.1.3 .
Dac aRb
afexist a, ea este unic determinat a de f.
Teorema 2.1.1.
Fief: [a;b]!Ro funct ,ie. Atuncifeste integrabil a Reimann dac a s ,i numai
dac a exist a L2Rcu proprietatea c a oricare ar  (
n)n>1un s ,ir de diviziuni
ale lui [a;b]cuV(
n)!0c^ andn!1 s,i oricare ar  (
n)n>1un sir de
mult ,imi de puncte intermediare cu 
nasociat a lui
n(n>1), rezult a c a s ,irul
sumelor Riemann ((
n;
n))este convergent la L.
Demonstrat ,ie :
Necesitatea. Presupunem f- integrabil a Reimann s ,i eL=Rb
af(x)dx. Con-
sider am" > 0,
n2T =T[a;b]cuf(
n)!0 s,i
n2E
n(n>1), xat ,i.
Conform ipotezei exist a >0 astfel ^ nc^ at:
jLf(
;
)j<";(8)
2T;V(
)<;(8)
2E
: (2.1)
DeoareceV(
)!0;(9)N>1 cuV(
n)< ; (8)n>N, deci din relat ,ia 2.1
)jLf(
;
)j<";(8)n>Ns,i decif(
n;
n!L(n!1 ):
Sucient ,a.FieL2Rcu proprietatea din enunt ,s,i s a ar at am c a
lim
V(
)!0(f(
;
)) =L;(8)
2E
. Presupunem contrariul; atunci ( 9)" >0 cu
44

proprietatea:
(8)>0;(9)
2T cuV(
)<s,i (9)
2E
astfel ^ nc^ atjLf(
;
)j>".
Lu^ and succesiv =1
1;1
2;1
3;:::)(9) s,irul (
n)n>1T cu(
n)<1
n;(9) s,irul
(
n)n>1cu
n2E
nastfel ^ nc^ at:
jLf(
n;
n)j>";(8)n>1 (2.2)
EvidentV(
n)!0, deci conform ipotezei f(
n;
n)!Lpentrun!1 ceea
ce contrazice relat ,ia 2.2.
Decifeste integrabil a Reimann s ,iRb
af(x)dx=L.
Corolarul 2.1.1.
Fief: [a;b]!Ro funct ,ie integrabil a Reimann. Atunci (8)(
n)n>1un s ,ir
de diviziuni ale lui [a;b]cuV(
n)!0c^ andn!1 s,i(8)(
n)n>1un s ,ir de
mult ,imi de puncte intermediare, cu 
nasociat a lui
n, rezult a c a s ,irul sumelor
Reimann ((
n;
n))n>1este convergent laRb
af(x)dx`
Corolarul 2.1.2.
Fief: [a;b]2Ro funct ,ie integrabil a Reimann. Atunci
lim
n!11
nnX
k=1f
a+k
n(ba)
=1
baZb
af:
^In particular pentru a= 0 s,ib= 1 avem
lim
n!11
nnX
k=1f1
n
=Z1
0f:
45

2.1.2 Suma Darboux. Integrale Darboux.
Denit ia 2.1.8.
Fief: [a;b]!Ro funct ,ie m arginit a s ,iD=fa=x0<x 1<:::<x n=bgo
diviziune a lui [ a;b].
Num arulinf f ([xx1;xi]) (respectiv sup f[xi1;xi]) se noteaz a cu mi(f) (respec-
tivMi(f)).
Num arulsf(
) =Pn
i=1mi(xixi1) se numes ,tesuma Darboux inferioar a aso-
ciat a funct ,ieifs,i diviziunii
.
Num arulSf(
) =Pn
i=1Mi(xixi1) se numes ,tesuma Darboux superioar a aso-
ciat a funct ,ieifs,i diviziunii
.
Denit ia 2.1.9.
Num arul sup

2Tsf(
) se numes ,teintegral a Darboux inferioar a a funct ,ieifs,i se
noteaz aRb
afsauRb
af(x)dx.
Num arul inf
2TSf(
) se numes ,teintegral a Darboux superioar a a funct ,ieifs,i se
noteaz aRb
afsauRb
af(x)dx.
Denit ia 2.1.10.
Funct ,iafse numes ,teintegrabil a Darboux dac aRb
af=Rb
af. Num arul astfel
obt ,inut se numes ,teintegrala Darboux a funct ,ieifpe [a;b].
46

x2.2 Prima teorem a de medie^ n calculul integral
2.2.1 Prima formul a de medie s ,i consecint ,ele ei
Teorema 2.2.1.
Fief;g: [a;b]!Rdou a funct ,ii integrabile cu g(x)>0,(8)x2[a;b]. Atunci
exist a2[m;M ], undem= inff([a;b])s,iM= supf([a;b])astfel ^ nc^ at:
Zb
af(x)g(x)dx=Zb
ag(x)dx:
^In cazul particular c^ and g(x) = 1 avem:
Zb
af(x)dx=(ba)
Demonstrat ,ie :
Evident avem m6f6Mdecimg6fg6Mgs,i deci:
mZb
ag(x)dx6Zb
af(x)
g(x)dx6MZb
ag(x)dx
(1) Dac aRb
ag(x)dx= 0, atunciRb
af(x)
g(x)dx= 0 deci putem lua orice num ar
din [m;M ].
(2) Dac aRb
ag(x)dx> 0 atunci=Rb
af(x)
g(x)dxRb
ag(x)dx2[m;M ] s,i avem relat ,ia din enunt ,.
Corolarul 2.2.1.
Fief: [a;b]!Ro funct ,ie continu a s ,ig: [a;b]!Ro funct ,ie integrabil a
nenegativ a. Atunci exist a c2[a;b]astfel ^ nc at:
Zb
af(x)g(x)dx=f(c)
Zb
ag(x)dx
^In caz particular c^ and g(x) = 1 avem
Zb
af(x)dx= (ba)
f(c)
47

Demonstrat ,ie :
Din Teorema 2.2.1 exist a 2[m;M ] a.^ . s a avem
Zb
af(x)g(x)dx=Zb
ag(x)dx:
Din faptul c a feste continu a)(9)x0;x12[a;b] a.^ .f([a;b]) = [f(x0);f(x1)] =
[m;M ], deci2f([a;b]) s ,i deci exist a c2[a;b] a.^ .f(c) =
Observat ia 2.2.1 .
Fief: [a;b]!Ro funct ,ie integrabil a. Atunci num arul
=1
baRb
af(x)dxse numes ,te valoare medie a lui fpe [a;b].
2.2.2 Variante pentru prima teorem a de medie
Teorema 2.2.2.
Fief: [a;b]!Ro funct ,ie integrabil a cu proprietatea lui Darboux. Atunci
exist ac2(a;b)astfel ^ nc^ at:
Zb
af(x)dx= (ba)
f(c)
Demonstrat ,ie :
Fie=1
baRb
af(x)dx. Evident avemRb
a(f) = 0. Deoarece fare propri-
etatea lui Darboux, rezult a c a fare proprietatea lui Darboux. Atunci dac a
f(x)6= 0, (8)x2(a;b), avemf(x) > 0, (8)x2(a;b) sauf(x) < 0,
(8)x2(a;b):
Presupunem cazul f(x)>0, (8)x2(a;b) s,i consider amef: [a;b]2Ro funct ,ie
denit a astfel: ef(a) =ef(b) =s,if() =f(x), (8)x2(a;b).
Evidentefintegrabil a,ef>0 s,ief > 0, (8)x2[c;d](a;b), deci
Rb
a(ef)>0 s,i deciRb
a(f) =Rb
a(ef)>0, absurd.
R am^ ane c a exist a c2(a;b) cuf(c) =()Rb
af(x)dx= (ba)
f(c):
48

Teorema 2.2.3.
Fief: [a;b]!R, o funct ,ie continu a. Atunci exist a c2(a;b)a.^ .:
Zb
af(x)dx= (ba)
f(c)
.
Demonstrat ,ie :
Rezult a imediat din teorema precedent a, t ,in^ and seama c a orice funct ,ie continu a
este integrabil a s ,i are proprietatea lui Darboux.
Teorema 2.2.4.
Fief: [a;b]!R, o funct ,ie integrabil a s ,im= inf
x2[a;b]f(x)s,iM= sup
x2[a;b]f(x).
Atunci exist a 2[m;M ]a.^ .:
Zb
af(x)dx=(ba)
Demonstrat ,ie :
Rezult a din Teorema 2.2.1 pentru g(x) = 1.
x2.3 A doua teorem a de medie ^ n calculul inte-
gral
2.3.1 A doua formul a de medie s ,i consecint ,ele ei
Teorema 2.3.1.
Fief;g: [a;b]!R, dou a funct ,ii integrabile cu gmonoton a. Atunci exist a
c2[a;b]astfel ^ nc^ at:
Zb
af(x)g(x)dx=g(a)Zc
af(x)dx+g(b)Zb
cf(x)dx:
49

Demonstrat ,ie :
Presupunem g>0,gmonoton descresc atoare s ,i en2Ns,i

n= (a=x0;x1;:::;xn=b) cuxk=a+k
n
(ba):Not am
i=1
xixi1Zxi
xi1f(x)dx;i =1;n: (2.3)
Din prima teorem a de medie avem mi(f)6i6Mi(f) unde
mi(f) = inf
x2[xi1;xi]f(x),Mi(f) = sup
x2[xi1;xi]f(x) s,i deci conform teoremei de mai
susZb
af(x)g(x) = lim
n!1nX
i=1ig(xi1)(xixi1)
FieF(x) =Rx
af(t)dt,x2[a;b]. Atunci avem:
i(xixx1) =Zxi
xi1f(t)dt=Zxi
af(t)dtZxi1
af(t)dt=F(xi)F(xi1)
Ln=nX
i=1ig(xi1)(xixi1) =nX
i=1g(xi1)(F(xi)F(xi1)) =
=nX
i=1g(xi1)F(xi)nX
i=1g(xi1)F(xi1) =nX
i=1g(xi1)F(xi)n1X
i=1g(xi)F(xi) =
=nX
i=1g(xi1)
F(xi)nX
i=1g(xi1)
F(xi1) =nX
i=1g(xi1)F(xi)n1X
i=1g(xi)F(xi) =
=g(xn1)F(xn) +n1X
i=1(g(xi1)g(xi))F(xi):
Not am:M= supF([a;b]),m= infF([a;b]) s ,i t,in^ and cont c a g(xn1)>0 s,i
g(xi1)g(xi)>0, (8)i=1;n
=)Ln6g(xn1)
M+Pn1
i=1(g(xi1)g(xi))
M=M
g(a) s,i analogLn>m
g(a),
deci
m61
g(a)
Ln6M (2.4)
Cum lim
n!1Ln=Rb
af(x)g(x)dxdin relat ,ia 2.4 =)m61
g(a)Rb
af(x)g(x)6M
Funct ,iaFind continu a, avem F([a;b]) = [m;M ], deci exist a c2[a;b] a.^ .
F(c) =1
g(a)
Rb
af(x)
g(x)dx, deci:
Zb
af(x)
g(x)dx=g(a)Zc
af(x)dx
50

Revenind la cazul general, presupunem gmonoton descresc atoare arbitrar a s ,i e
h=gg(b). Atuncih>0 s,ihmonoton descresc atoare, deci din rat ,ionamentul
f acut rezult a c a exist a c2[a;b] a.^ .:
Zb
af(x)
h(x)dx=h(a)
Zc
af(x)dx
s,i deci:
Zb
af(x)g(x)dxZb
af(x)
g(b)dx= (g(a)g(b))
Zc
af(x)dx;
de unde:Zb
af(x)g(x)dx=g(a)
Zc
af(x)dx+g(b)
Zb
cf(x)dx:
Analog prced am s ,i dac ageste cresc atoare.
Corolarul 2.3.1.
Fief;g: [a;b]!Rdoua funct ,ii integrabile astfel ^ nc^ at geste monoton des-
cresc atoare s ,i nenegativ a. Atunci exist a c2[a;b]astfel ^ nc^ at:
Zb
af(x)g(x) =g(a)
Zc
af(x)dx:
Corolarul 2.3.2.
Fief;g : [a;b]!Rdoua funct ,ii integrabile astfel ^ nc^ at geste monoton
cresc atoare s ,i nenegativ a. Atunci exist a c2[a;b]astfel ^ nc^ at:
Zb
af(x)g(x)dx=g(b)
Zb
cf(x)dx:
Observat ia 2.3.1 .
A doua formul a de medie se numes ,te teorema lui Bonnet-Weierstrass.
51

2.3.2 Variante pentru a doua teorem a de medie
Teorema 2.3.2.
Fief;g: [a;b]!Rdou a funct ,ii integrabile pe [a;b]astfel ^ nc at gare semn
constant pe [a;b], atunci exist a c2[m;M ]astfel ^ nc^ at
Zb
af(x)g(x)dx=c
Zb
ag(x)dx
undem= inf
x2[a;b]f(x),M= sup
x2[a;b]f(x)
Teorema 2.3.3.
Fief;g: [a;b]!Rdou a funct ,ii integrabile pe [a;b]astfel ^ nc^ at gare semn
constant pe [a;b], iarfare proprietatea lui Darboux. Atunci exist a c2(a;b)astfel
^ nc^ atZb
af(x)
g(x)dx=f(c)
Zb
ag(x)dx
Teorema 2.3.4.
Fief;g: [a;b]!Rdou a funct ,ii continue pe [a;b]astfel ^ nc^ at gare semn
constant pe [a;b]. Atunci exist a c2(a;b)astfel ^ nc^ at
Zb
af(x)
g(x)dx=f(cx)
Zb
af(x)dx:
52

Capitolul 3
Aspecte metodice privind
predarea teoremelor de medie
x3.1 Aspecte metodologice s ,i aspecte metodice
3.1.1 Aspecte metodologice.
Asigurarea reus ,itei depline a elevilor ^ n procesul de ^ nv at ,are se realizeaz a fo-
losind obiective specice matematicii s ,i diverse strategii didactice. Strategia di-
dactic a trebuie s a asigure traiectoria pe care elevii o urmeaza pentru a  pus ,i
^ n contact cu materialul nou studiat, ^ n efortul lor de ^ nv at ,are. Din perspectiva
strategiei trebuie aleas a metodologia.
Rezolvarea corect a a problemelor metodologice ale lect ,iei ^ n ansamblul ei, c^ at
mai ales al etapei lect ,iei, astfel ca suita de procedee s ,i mijloace s a acopere ^ ntreaga
succesiune a acestor evenimente.
Realizarea obiectivelor ec arei etape a lect ,iei este condit ,ionat a de folosirea unor
metode, procedee s ,i mijloace care s a asigure operat ,iile specice^ nsus ,irii ec arui tip
de cunos ,tint ,e de deprinderi avute ^ n vedere s ,i contribuie la exersarea operat ,iilor
intelectuale care asigur a producerea ^ nv at , arii.
O strategie ecient a trebuie s a e simpl a s ,i dinamic a, reglabil a ^ n funct ,ei de
situat ,ii concrete ce pot sa apar a, s a lase loc intervent ,iei creatoare a profesorului.
M aiestria pedagogic a a acestuia reiese din priceperea de a ^ mbina metodele, de
53

a g asi ^ n cadrul ec arei metode, procedee, forme de activitate variate, care s a
conduc a la obt ,inerea unui randament maxim.
Prin metode de^ nv at , am^ ant^ nt ,elegem instrumentele de lucru cu ajutorul c arora
elevii dob^ andesc cunos ,tint ,e, priceperi, deprinderi, e sub ^ ndrumarea profesorului,
e ^ n mod independent.
Tipuri de metode :
1)Metode de comunicare oral a :
a) expozitive – explicat ,ia,demonstrat ,ia;
b) metode interogative – conversat ,ia;
c) problematizarea;
2)Metode de comunicare scris a – munca cu manualul s ,i cu culegerile;
3)Metode de exploatare – observat ,ia independent a sau dirijat a;
4)Metode bazate pe act ,iune – exercit ,iul, jocul didactic.
Metodele de ^ nv at , am^ ant au o serie de funct ,ii: cognitiv a, instrumental a s ,i for-
mativ a.
Funct ,ia cognitiv a se refer a la faptul c a ea ^ ns as ,i este obiect de cunoas ,tere. ^In
procesul de dob^ andire a cunos ,tint ,elor, priceperilor s ,i deprinderilor, oper^ and cu ele
devin bunuri personale ale elevului. Ele se ^ nmagazineaz a ^ n bagajul ^ ntelectual
al acestuia, ca s ,i celelalte cunos ,tint ,e.
Funct ,ia instrumental a este privit a ca o unealt a indispensabil a pentru oricine
^ n procesul dob^ andirii cunos ,tint ,elor.
Funct ,ia formativ a const a^ n faptul c a odat a cu dob^ andirea cunos ,tint ,elor, oper^ and
cu metodele, se dezvolt a s ,i capacit at ,ile intelectuale ale elevului: spiritul de observat ,ie,
analiza, sinteza, diferite tipuri de rat ,ionamente.
Cercet atorii din domeniul psihologiei ^ nv at , arii au abandonat ideea c a tot ,i elevii
unei clase pot s a ^ nvet ,e la acelas ,i nivel s ,i ^ n acelas ,i timp un volum de cunos ,tint ,e
determinat. De asemena, profesorul nu poate s a deruleze toate verigile unei lect ,ii.
54

Noua tehnologie ^ i d a libertatea s a realizeze sarcinile didactice ^ n mod simultan
sau succesiv pe parcursul mai multor ore.
Materia poate  grupat a ^ n as ,a fel ^ nc^ at ^ ntr-o or a sau mai multe s a obt ,in a
dob^ andirea de cunos ,tint ,e iar ^ n altele s a efectueze recapitularea pe probleme, eva-
luare sau exercit ,ii recapitulative.
Aceste forme simple de organizare permit profesorului ca, al aturi de munca ^ n
colectiv cu clasa, s a foloseasc a munca ^ ndependent a cu teme diferent ,iate s ,i munca
pe echipe. Este bine ca aceast a ^ mp art ,ire s a e f acut a cu tact, astfel ^ nc^ at elevul
s a ^ nt ,eleag a c a este nevoie s a se porneasc a de la exercit ,ii mai simple.
Metodele tradit ,ionale adaptate la noua concept ,ie de ^ nv at ,are, metodele noi,
asigur a permanent conexiunea invers a. Elevii s ,i profesorul cunosc astfel rezultatul
^ nv at , arii.
^Inv at ,area prin descoperire, ^ nv at ,area programat a, confrunt arile s ,i evalu arile
prin intermediul testelor, sunt c ai eciente pentru asigurarea conexiunii inverse.
Elevul nu se m argines ,te s a cunoasc a, este cons ,tient de ceea ce cunoas ,te s ,i prin
aceasta se consider a recompensat. Satisfact ,ia succesului dezvolt a ^ ncredere ^ n
propriile posibilit at ,i s,i are act ,iune fortiant a ^ n activitatea urm atoare de ^ nv at ,are.
Confruntarea cu practica constituie nu numai un criteriu de evaluare a
operat ,ionalit at ,ii cunos ,tint ,elor, ci s ,i un mijloc de eliminare a erorilor.
Din punct de vedere psihologic, reus ,ita ^ n practic a genereaz a satisfact ,ii, puter-
nice motivat ,ii ^ n procesul de ^ nv at ,are, conferind cunos ,tint ,elor durabilitate.
Metodele active folosite, cel mai mult ^ n predarea-^ nv at ,area matematicii sunt:
– inv at ,area prin descoperire;
– inv at ,area prin problematizare;
– ^ nv at ,area prin ^ ntreb ari-r aspuns s ,i r aspuns-^ ntreb ari.
^Inv at ,area prin descoperire a ap arut ca o react ,ie^ mpotriva excesului de folosire a
metodelor verbale, aceste metode angaj^ and elevii ^ n refacerea pe scurt a drumului
parcurs la elaborarea not ,iunilor sau conceptelor. De altfel, nu este vorba de o
descoperire ^ n sensul general al cuv^ antului. Cunos ,tint ,ele sunt deja descoperite,
dar profesorul trebuie s a procedeze ^ n as ,a fel ^ nc^ at elevul s a le descopere.
55

Astfel cunos ,tint ,ele nu-i mai apar elevului ca ceva dat o dat a pentru totdea-
una, s ,tiint ,a este ^ nsus ,it a ca proces. ^Inv at ,area prin descoperire este o ^ nv atare cu
ajutorul g^ andirii.
Problema pe care ne-o punem este cum contribuie metode descoperirii la
dezvoltarea intelectual a a elevului.
Metoda descoperirii presupune:
– selectarea not ,iunilor ce vor  descoperite de c atre elevi;
– presupunerea la dispozit ,ie elevilor a materialului faptic necesar descoperirii;
– ^ ndrum ari privind procedeele de ^ nv at ,are;
– munca independent a sub ^ ndrumarea profesorului;
– controlul s ,i elaborarea cunos ,tint ,elor.
^Inv at ,area prin problematizare are la baz a una dintre cele mai evidente tr as aturi
ale copilului: dorint ,a pentru exploatare activ a a mediuli ^ nconjur ator.
Punerea unor probleme ^ n timpul ^ nv at , arii atrage de la sine o gimnastic a a
g^ andirii s ,i a celorlalte procese psihice. Exist a situat ,ii problematice care stimuleaz a
la diferite grade g^ andirea:
– situat ,ii problem a care iau nas ,tere c^ and ^ ntre cunos ,tint ,ele elevului s ,i problema
nou a exist a dezacord. Elevul ^ s ,i d a seama de insucient ,a cunos ,tint ,elor sale
pentru rezolvarea problemei;
– situat ,ii ^ n care elevul este pus s a aplice ^ n condit ,ii noi cunos ,tint ,ele asimilate.
Aceste situat ,ii problem a graviteaz a ^ n jurul ideii pedagogice potrivit c areia
copilul trebuie s a participe activ la dob^ andirea cunos ,tint ,elor, angaj^ andu-s ,i toate
posibilit atile intelectuale.
^In orice situat ,ie problematic a se disting dou a elemente principale:
– o scurt a informare care ^ l pune pe elev in tem a;
– ^ ntrebarea care provoac a dicultatea de rezolvare.
56

^Inv at ,area pe baz a de probleme presupune ca profesorul s a le selecteze s ,i s a
le foloseasc a e ca punct de plecare ^ n trezirea interesului pentru dob^ andirea
cunos ,tint ,elor, e ca mod de punere ^ n valoare a informat ,iei elevilor prin noi com-
bin ari sau restructur ari ^ n vederea elabor arii de noi concepte.
3.1.2 Aspecte metodice
Problemele de analiz a matematic a au un rol important ^ n dezvoltarea g^ andirii
elevilor.
Pentru a dezvolta elevilor ^ ncrederea ^ n cunos ,tint ,ele dob^ andite s ,i dorint ,a de
a se perfect ,iona, de a s ,ti s ,i studia mai mult, respect^ and principiul accesibilit at ,ii,
rezolv am probleme care solicita aplicarea cunos ,tint ,elor s ,i deprinderilor ^ n situat ,ii
noi, oferind un bun prilej de vericare a lor, de stimulare a g^ andirii active.
Predarea matematicii ^ n liceu pune cele mai delicate probleme de matematic a.
Avem ^ n vedere c a nu trebuie s a rezolv am o problem a p^ an a nu am creat acea
curiozitate, acel interes deosebit pentru dezvoltarea problemei. Este necesar ca
noi , profesorii s ,i examinatorii, s a m atent ,i asupra specicului ec arei probleme,
nu numai ce aparat matematic intr a ^ n joc ci mai ales care sunt tr airile psihice ale
elevului ^ n act ,iunea de c autare a solutiei.
Cum descoperirea^ n matematic a este un proces asociat efortului de simplicare
a lucrurilor, esent ,ial este modul cum se face aceast a simplicare.
Iat a de ce dup a rezolvarea ec arei probleme analiz am rezolvarea ei etap a cu
etap a, c aut am s a desprindem ce cunos ,tint ,e sunt necesare pentru a trece la o etap a
nou a, de ce am lucrat as ,a s,i nu altfel, cum se mai putea rezolva, care cale este mai
us,oar a, care este mai riguroas a din punct de vedere matematic.
Mai citim o dat a problema. Veric am dac a am folosit toate condit ,iile din enunt ,
pentru c a de multe ori, elevii, neglij^ and unele condit ,ii consider^ andu-le inutile, prin
rat,ionamente corecte au ajuns la concluzii false. Este necesar s a avem ^ n vede s ,i
probleme care s a cuprind a at^ at not ,iunea de care avem nevoie c^ at s ,i negarea ei,
probleme care s a cear a a se demonstra c a ceva este fals exercit ,ii care s a foloseasc a
la xarea denit ,iilor fundamentale s ,i a esent ,ei teoremelor importante ^ n cadrul
teoriei. La rezolvarea ec arei probleme, echilibr am dou a laturi: ^ ntinderea s ,i pro-
57

funzimea cunos ,tint ,elor de care avem nevoie ^ n rezolvarea ei s ,i de obicei opt^ and nu
pentru ^ ntinderea cunos ,tint ,elor ci pentru profunzimea lor.
Trebuie s a urm arim dac a problemele propuse creeaz a elevului un sentiment
de bucurie s ,i dac a ^ n ofer a darul unei c alatorii care o dep as ,es,te ^ n sensul c a ^ n
cont ,inutul ei se a
 a o baz a de generalizare. ^Int^ alnim ^ n matematic a pe l^ ang a
denit ,ii, propozit ,ii s,i demonstrat ,ii sau contraexemple. ^In leg atur a cu problemele
de primul tip, ne-am g^ adti la faptul c a ^ n rezolvarea problemelor pot exista c ai de
acces diferite. Exist a probleme cu multe solut ,ii, am spune c a oricum am rat ,ionat
corect, vom reus ,i. Exist a probleme care nu au dec^ at o solutie s ,i aceasta se g ases ,te
cu greu, prin ^ ncerc ari. ^In ciuda faptului c a o problem a poate  "simpl a" pentru
profesor, elevul ^ s ,i d a seama c a nu ^ ntodeauna drumul gres ,it e natural s ,i simplu,
pe c^ and ^ n unele probleme mai multe drumuri sunt naturale s ,i simple.
^In ecre^ ntrebare din matematic a deci s ,i^ n ecare problem a^ nt^ alnim propozit ,ii
de forma: orice membru al clasei A(armat ,ie ce constituie ipoteza) este membru
al claseiB(concluzia)? Sau altfel, avem adev arat a incluziunea AB?
A demonstra c a o armat ,ie este fals a este a g asi un element a lui Acare nu
este un element a lui B, cu alte cuvinte a g asi un contraexemplu.
Iat a de ce c^ and avem o problem a ^ n fat , a trebuie s a avem clar drumul pe care
^ l vom parcurge:
a) Dac a demonstr am c a implicat ,ia este adev arat a atucni c aut am solut ,ia cea mai
simpl a, elegant a, us ,oar a, lupt^ and pentru profunzime c^ and sunt permise gene-
raliz ari, ^ n special, dar nu neglij am nici aspectul ^ ntinderii prin cautarea mai
multor solut ,ii la ecare problem a propus a.
b) dac a armat ,ia nu este adevrat a, aceasta o demonstr am prin alc atuirea unui
contraexemplu, partea cea mai dicil a ^ n activitatea matematic a cu elevii.
Pentru profesori este necesar s a e o preocupare permanent a c^ ateva aspecte
esent ,iale:
1) Ce fel de probleme alegem pentru a  rezolvate ^ n clas a?
2) Cum s ,i c^ at ^ i ajut am pe elevi? Ce fel de intreb ari punem?
58

3) Cum rezolv am problema?
4) Ce teme d am pentru acas a?
1. Ce fel de probleme select am pentru a  rezolvate ^ n clas a la orele de analiz a
matematic a?
^In general vom face distinct ,ie intre exercit ,ii s ,i probleme av^ and in vedere c a
exercit ,iile de regul a xeaz a unele cunos ,tint ,e teoretice, precizeaz a ^ nt ,elesul unei
teorii prin prezentarea unor aspecte particulare, concrete ale ei.[E. Rumi, Mate-
matica ^ n liceu, probleme de metodic a, E.D.P.B., 1970]
^In rezolvarea problemelor, pe l^ ang a aplicarea teoriei, este necesar a o activi-
tate de creat ,ie. Alegerea problemelor pentru a  rezolvate ^ n clas a constituie o
important a problem a metodic a a profesorilor. Trebuie evitat a metoda de a face
"c^ at mai multe probleme" care nu este rat ,ional a mai ales ast azi dac a alegerea
este ^ nt^ ampl atoare. Avem foarte multe lucruri de ^ nv at ,at: orat ,ionalizare a tim-
pului, a capacit atii de lucru , care a devenit o necesitate, de aceea trebuie s a ne
concentr am atent ,ia ^ n a-i ^ nv at ,a pe elevi cum s a rezolve probleme folosind timp
minim cu maxim a efcient , a.
Rezult a c a at^ at pentru lucr ari c^ at s ,i pentru tema de cas a nu numai cont ,inutul
s,i natura cunos ,tint ,elor sunt importante c^ at s ,i cantitatea de probleme pe care o
^ nt^ alnes ,te elevul.
Num arul problemelor posibile este foarte mare dar trebuie s a t ,inem seama c a
timpul este limitat s ,i nu trebuie s a orient am activitatea elevilor nos ,trii ^ n direct ,ii
lipsite de^ nsemn atate. Este necesar a o alegere a problemelor reprezentative e prin
cont ,inut, e prin valent ,e adecvate s ,i gradate ^ n ordinea cresc^ and a a dicult at ,ilor.
Mai trebuie s a tinem seama c a noile programe s ,colare nu am inclus printre
chestiunile teoriei unele not ,iuni teoretice care erau destul de simple, care gurau
^ n programa veche, tocmai pentru faptul ca ele s a poat a  tratate de elevi prin
munca personal a sub form a de probleme.
Este foarte bine din punct de vedere educativ ca unele chestiuni pe care elevul
59

le poate lua singur s a nu e expuse la lect ,ii. Vom da la clas a pe l^ ang a cunos ,tint ,e
s,i acel su
u mobilizator de care au nevoie tot ,i elevii.
2. Cum s ,i c^ at ^ i ajut am pe elevi? Ce fel de intreb ari punem?
Sunt^ ntreb ari puse de G. Polya^ n cartea "Cum rezolv am o problem a?" Editura
S,tiint ,ic a B. 1965. Sunt ^ ntreb ari pe care trebuie sa ni le punem ecare ^ nainte
de preg atirea unei lect ,ii. R aspunsurile sunt simple si vin ^ n ajutorul nostru.
Una din sarcinile cele mai importante ale profesorului este deci s a-s ,i ajute
elevii. Este o misiune grea care cere timp, pasiune, experient , a, preg atire.
Scopul nal este s a-l ajut am pe elev s a dob^ andeasc a o experient , a de munc a
independent a c^ at mai mare. De multe ori elevul nu poate progresa deloc dac a este
l asat singur, neajutorat sau foarte put ,in ajutat. Pe de alta parte, dac a ^ l ajut am
prea mult, el nu mai are nimic de f acut. De aceea trebuie sa-l ajutam pe elev nici
prea mult, nici prea put ,in, d^ andu-i iluzia c a lucreaz a independent. Ne vom pune
de ecare dat a ^ n locul elevului ^ ncerc^ and s a a
 am ce se int^ ampl a ^ n mintea lui s ,i
cu ce ^ ntreb ari s a incepem acest ajutor. Vom avea ^ n vedere s a dezvolt am apti-
tudinile elvului astfel^ nc^ at el s a e capabil de a rezolva pe viitor singur problemele.
3. Cum rezolv am problema?
^Int^ ai trebuie s a e bine ^ nt ,eleas a s ,i s a existe s ,i interesul din partea elevului.
^Int,elegerea problemei este asigurat a c^ and elevul poate pune ^ n evident , a necunos-
cutele, datele etc. Apoi se va stabili un plan dac a se cunosc ^ n linii mari aspectele
ce vor  urm arite. Evident, drumul de la ^ nt ,elegerea problemei, p^ an a la ^ ntocmirea
unui plan este foarte important. De regul a, folosind acest plan la problemele de
sintez a cu multe puncte.
Dup a redactarea solut ,iei care trebuie s a e clar a, elegant a, concis a, trebuie s a-i
obis ,nuim pe elevii de liceu s a fac a privirea retrospectiv a: cele mai multe surprize
apar elevilor chiar foarte buni c^ and consider a c a au rezolvat problema perfect s ,i
nu au fost acceptat ,i cu nota maxim a.
60

Aceasta, pentru c a dup a ce au obt ,inut solut ,ia problemei s ,i au transcris-o pe cu-
rat, au terminat trec^ and peste o faz a important a a muncii lor. Erorile sunt oric^ and
posibile mai ales c^ and deduct ,ia este lung a s ,i complicat a de aceea veric arile sunt
de dorit.
Pe de alta parte nici o problem a nu poate  epuizat a. Mai r am^ ane mereu
de f acut c^ ate ceva. Cu munca s ,i r abdare putem ^ mbun at at ,ii orice solut ,ie sau cel
put ,in, s a o ^ nt ,elegem mai bine.
4. Ce tem a d am pentru acas a?
Manualele ^ n forma actual a, revizuite, c^ at s ,i culegerile de care dispunem ne
ofer a posibilitatea select arii problemelor pentru tema de cas a cu condit ,ia ca aceasta
s a r aspund a unor cerint ,e:
a) problemele s a e gradate din punct de vedere al dicult at ,ilor;
b) s a se foloseasc a c^ at mai multe cunos ,tint ,e din lect ,ia respectiv a;
c) s a creeze imaginea unei c alatorii intelectuale pl acute, atr ag^ andu-l pe elev s ,i nu
^ ntreb^ andu-l;
d) s a-i rapeasc a doar at^ ata timp elevului c^ at este necesar pentru ca acesta s a
lucreze cu pl acere deci s a nu-l supra^ ncarc am;
e) sa e o continuitate reasc a a ceea ce ce s-a lucrat ^ n clas a evit^ andu-se re-
zolv arile de probleme identice ^ n care contribut ,ia elevului este ne^ nsemnat a,
pun^ andu-se accent pe activitatea creatoare a elevului.
Totus ,i r am^ ane o chestiune important a de rezolvat: cum ajung elevii s a s ,tie s a
rezolve o problem a?
Sarcina este tot a profesoruli. El trebuie s a g aseasc a timpul s ,i modalitatea de
a-i l amuri asupra etapelor pe care le urmeaz a ^ n rezolvarea unei probleme. Ele
nu difer a acas a fat , a de cele din clas a. Deci insist^ and ^ n clas a nu numai asupra
solut ,iei, vom ajuta pe elevi s a ^ nvet ,e cum s a rezolve problemele. Vom g^ andi al aturi
de elevi, ^ n clas a, cu voce tare.
61

Eevii ajung foarte repede la concluzia "nu s ,tiu sa rezolv problema" datorit a,
^ n principal, unor cauze care t ,in tocmai de ei. ^In primul r^ and trec foarte us ,or
peste familiarizarea cu problema "De unde ^ ncep?". S a porneasc a cu enunt ,ul
problemei. O va citi ^ nca o dat a. Apoi consider a problema ^ n ^ ntregul ei, izoleaz a
p art ,ile principale(ipoteza s ,i concluzia). Nu putem rezolva niciodat a probleme
ignor^ and teoremele, axiomele etc.; deci mare atent ,ie la cunos ,tint ,ele legate de
datele acestora.
Se vor descoperi ^ nt ,elesuri noi din ecare detaliu s ,i apoi acestea apropiate "de
concluzie vor face s a apar a ideile" salvatoare care s a arate drumul ^ n ^ ntregime.
Redactarea se va face justic^ and ecare armat ,ie s ,i apoi se face privirea retros-
pectiv a.
Se va c^ auta sintetizarea pe scurt a rezolv arii, printr-o redactare elegant a, s ,i
apoi vericarea rezultatului unde este posibil. Sunt lucruri simple. Tocmai de
aceea sunt adeseori neglijate.
x3.2 Aspecte metodice privind predarea teore-
melor de medie ^ n calculul diferent ,ial
3.2.1 Studiul funct ,iilor cu ajutorul derivatelor
^In prezentarea propriet at ,ilor funct ,iilor derivabile exprimate prin teorema lui
Fermat, teorema lui Rolle, teorema lui Lagrange, teorema lui Cauchy, teorema lui
Darboux, teorema lui l'Hospital este foarte important a interpretarea geometric a a
derivatei ^ ntr-un punct. Teoremele de baz a asupra funct ,iilor derivabile trebuie mai
^ nt^ ai "ilustrate pe desen" – prin discut ,ii euristice cu elevii. Ele exprim a fapte cali-
tative, propriet at ,i geometrice observate ^ n cursul tras arii gracelor unor funct ,ii iar
demonstratiile pot  omise pentru ^ nceput. Analizarea s ,i int ,elegerea enunt ,urilor
este esent ,ial a, vericarea necesit at ,ii ec arei condit ,ii din enunt ,ul teoremelor res-
pective s ,i aplicarea efectiv a.
62

a)Particularit at ,i pentru predarea not ,iunii de punct de extrem – Teorema lui
Fermat
Not ,iunea de punct de extrem a fost introdus a din clasa a IX-a ^ n leg atur a cu
studiul funct ,iilor de gradul al II-lea. Pentru funct ,iaf:R!R,f(x) =ax2+bx+c
a;b;c2R,a6= 0 se s ,tie c a:
1) Dac aa>0, atunci (8)x2R,f(x)>

4as,i pentrux0=b
2aavemf
b
2a

=


4a
2) Dac aa < 0, atunci pentru ( 8)x2R,f(x)6

4as,i pentrux0=b
2aavem
f
b
2a

=

4a
Deci pentru a > 0,×0=b
2aeste un punct de minim absolut pentru f, iar
pentrua<0,×0=b
2aeste un punct de maxim absolut pentru f.
^Impreuna cu elevii se va urmarii deducerea funct ,iei generale a not ,iunii de punct
de extrem local ca s ,i cea de extrem absolut. Pentru acest lucru vom propune spre
rezolvare urm atoarele exercit ,ii:
1)f1:R!Rf1(x) =x+ 2
2)f2:R!Rf2(x) =jx2j+x
3)f3:R!Rf3(x) =x23x
4)f4:R!Rf4(x) =4×2+ 8x4
Observat ia 3.2.1 .
O funct ,ie poate avea mai multe puncte de extrem.
Exemplul 3.2.1 .
f:R!Rf(x) =jx21j
x=1 s,ix= 1 sunt puncte de minim global, iar x= 0 este punct de maxim
local.
63

Observat ia 3.2.2 .
O funct ,ie poate avea puncte de maxim f ar a a avea puncte de minim sau poate
avea puncte de minim f ar a a avea puncte de maxim.
Exemplul 3.2.2 .
f:R!Rf(x) =e(xp)2,p2R
Punctulx=peste un punct de maxim.
Observat ia 3.2.3 .
Exist a funct ,ii care nu admit extreme locale.
Exemplul 3.2.3 .
f1: (0;1)!Rf1(x) = 3x
f1:Rnf0g!Rf2(x) =1
x2
Observat ia 3.2.4 .
Extremele globale pot  ^ ntotdeauna calculate ^ n R, dar extremele locale sunt
nite.
Exemplul 3.2.4 .
f: (0;+1)!Rf(x) = 3x
0 s,i +1sunt extreme globale, funct ,ia nu admite extreme locale.
Observat ia 3.2.5 .
Extremele globale nu sunt neap arat atinse, dar cele locale sunt atinse conform
denit ,iei, iar valoarea unui maxim local poate  mai mic a dec^ at valoarea unui
minim local.
Exemplul 3.2.5 .
64

f:R!Rf(x) =8
><
>:x2; dac ax61
2
x22x+ 2;dac ax>1
2
x= 0 este punct de maxim local
x= 1 este punct de minim local si f(0)<f(1)
O
XY
1
Observat ia 3.2.6 .
Teorema lui Fermat ofer a un criteriu necesar de extrem. De obicei ea este
enunt ,at a pe intervale deschise s ,i se extinde la funct ,ii denite pe reuniuni de in-
tervale deschise sau la funct ,ii date pe intervale oarecare av^ and extreme locale ^ n
interior. Astfel de extinderi se pot obt ,ine cu ajutorul elevilor, dup a ce au fost
prezentate demonstrat ,iile s ,i interpretarea geometric a s ,i anume c a tangenta la gra-
cul unei funct ,ii ^ ntr-un punct de extrem local situat ^ n interiorul intervalului de
denit ,ie este paralel a cu axa OX. Dac at0este extremitatea intervalului pe care
este denit a funct ,iaf, atunci teorema lui Fermat nu mai este adev arat a.
65

Exemplul 3.2.6 .
f: [1;2]!Rf(x) =x2
t0= 1 este punct de minim, dar f0(1)6= 0, deci teorema lui Fermat nu este
adev arat a pe intervale ^ nchise.
b)Particularit at ,i pentru predarea Teoremei lui Rolle
Teorema lui Rolle este o teorem a de existent a s ,i o dat a cu enunt ,area ei trebuie
subliniat acest aspect. Este de asemenea util s a discut am cu elevii c^ at de necesare
sunt toate condit ,iile care asigur a valabilitatea teoremei lui Role.
Exemplul 3.2.7 .
f: [1;2]!Rf(x) =x2
Deoarecef(1)6=f(2), avemf0(x)6= 0, (8)x2[1;2]
Exemplul 3.2.8 .
f: [1;1]!Rf(x) =p
jxjnu este derivabil a pe ( 1;1) s ,i ca atare teorema
lui Rolle nu poate  aplicat a.
Exemplul 3.2.9 .
f(x) =8
><
>:x; dac ax2[0;1)
0;dac ax= 1
nu satisface concluzia teoremei lui Rolle pe intervalul [0 ;1] deoarece fnu este
continu a ^ n x= 1.
Observat ia 3.2.7 .
Condit ,ia cafs a e denit a pe un interval compact din Reste de asemena
esent ,ial a.
66

Exemplul 3.2.10 .
f(x) =8
><
>:x; dac ax2[0;1)
2x; dac ax2(1;2]
Deoarece [0 ;2]nf1gnu este un interval compact, funct ,iafnu satisface concluzia
teoremei lui Rolle.
c)Particularit at ,i pentru predarea teoremelor cres ,terilor nite. Teorema lui La-
grange. Teorema lui Cauchy
Observat ia 3.2.8 .
^In teorema lui Lagrange condit ,ia de continuitate a funct ,iei pe intervalul [ a;b]
se poate ^ nlocui cu una mai slab a: " fare proprietatea lui Darboux pe [ a;b]". Fapt
din care rezult a c a feste continu a pe [ a;b].
Observat ia 3.2.9 .
Ca s ,i ^ n teorema lui Rolle condit ,ia de derivabilitate se poate ^ nlocui cu: "are
derivat a", deoarece ^ n demonstrat ,ie nu intervine nititudinea derivatei.
Observat ia 3.2.10 .
Punctult0a c arui existent , a este asigurat a de concluzia teoremei, depinde efec-
tiv de interval, ceea ce se uit a uneori, indic^ and astfel s ,i punctele din afara acestuia.
Exemplul 3.2.11 .
f: [2;1]!Rf(x) =x3+x
Pentru aceast a funct ,ie concluzia teoremei lui Lagrange are loc pentru t0=1 s,i
pentrut0= 1, teorema f ac^ and referire ^ ns a doar la existent ,a luit0=1, neind
bine^ nt ,eles exclus a posibilitatea ca^ n afara intervalului deschis s a mai existe puncte
care satisfac concluzia teoremei, sau chiar mai multe ^ n interiorul intervalului.
67

Exclus a este doar posibilitatea inexistent ,ei punctului din interior, acesta put^ and
 uneori unicul din interval sau chiar unicul din tot domeniul de denit ,ie.
Observat ia 3.2.11 .
Dac afeste o funct ,ie derivabil a pe intervalul Is,if0(I) =I0atunci lu^ and
2I0, nu rezult a existent ,a punctelor a;b2I,a>b astfel ^ nc^ at
f(b)f(a)
ba=
Exemplul 3.2.12 .
f:R!Rf(x) =x3
Avemf0(R) = [0;+1) s,i lu^ and= 0, nu exist a coard a a gracului paralel a cu
axaOX(f(a)6=f(b), (8)a;b2R,a<b ,find injectiv a).
^Inseamn a c a sub aceast a formulare reciproca teoremei lui Lagrange este fals a.
Are totus ,i loc urm atoarea reciproc a a teoremei lui Lagrange:
Dac af:I!R,I= [a;b] este derivabil a cu derivata strict monoton a(sau f00(x)6=
0) atunci (8)2I, (9)t02Iastfel ^ nc^ at
f0() =f(b)f(a)
ba
Observat ia 3.2.12 .
Dac af0= 0 atunci f= constant a, cu condit ,ia cafs a e deni a pe un
interval(nu s ,i pe reuniuni de intervale).
Exemplul 3.2.13 .
f(x) =8
><
>:3
4;dac ax2(1;1)

4; dac ax2(1;+1)f:Rnf1g!R
Observat ia 3.2.13 .
Proprietatea ,, f0= 0 implic a fconstant a" este adev arat a doar pe intervale
dinR.
68

Exemplul 3.2.14 .
f: [0;2]\Q!Rf(x) =8
><
>:0;dac ax2[0;p
2)\Q
1;dac ax2[p
2;2]\Q
feste derivabil a pe intervalul ^ nchis [0 ;2](dinQ) cu derivata identic nul a pe acest
interval s ,i totus ,i neconstant a.
Observat ia 3.2.14 .
Pentru studiul derivabilit at ,ii unei funct ,ii ^ ntr-un punct este util urm atorul
corolar al teoremei lui Lagrange: ,,Dac a feste o funct ,ie denit a pe o vecin atate
Va luit0, continu a ^ n t0s,i derivabil a pe Vnft0gs,i dac a exist a limita = lim
x!t0f0(t)
atunci exist a f0(t0) s,i aceasta este egal a cu .
De obicei ^ n manualele s ,colare este exemplicat s ,i analizat ^ n detaliu acest
rezultat chiar s ,i ^ n cazul derivatelor laterale. Vom pune ^ n evident , a c a dac at02R
xat s ,ifeste o funct ,ie denit a pe o vecin atate Va luit0, atunci pot s a apar a
urm atoarele situat ,ii:
a) s a e vericate condit ,iile corolarului precedent
f:R!Rf(x) =8
><
>:x2+ 2x; dac ax61
x3+x+ 1;dac ax>1t0= 1,V=R
b) s a e derivabil a ^ n Vnft0g, s a existe lim
x!t0f0(x) darf0(t0) s a nu existe
f:R!Rf(x) =8
><
>:x1;dac ax61
x+ 1;dac ax>1t0= 1,V=R
As,adar aici avem f0(x) = 1, (8)x6= 1 s ,i lim
x!1f0(x) exist a, dar f0(1) nu exist a.
fnu este continu a ^ n t0= 1, deci corolarul nu poate  aplicat.
69

3.2.2 Rezolvarea unor ecuat ,ii cu ajutorul teoremelor de
medie
Aplicat ,ia 1
S a se demonstreze c a ecuat ,iaxn+xn1+:::+x= 1 admite o singur a r ad acin a
pozitiv a. Not^ and aceast a r ad acin a cu xn, s a se arate c a ( xn)n>2este strict des-
cresc ator s ,i lim
x!1xn=1
2.
Rezolvare:
Fie funct ,iaf: [0;+1)!R,f(x) =xn+xn1+:::+x. Funct ,iafeste strict
cresc atoare s ,i continu a pe [0 ;+1) deci ecuat ,iaf(x) = 1 va avea cel mult o solut ,ie.
Dar,f(0) = 0<1 s,if(1)>1 s,i pentru c a feste continu a, exist a x=xn2(0;1)
a.^ .f(x) = 1.
Dac ax6= 1, atunci f(x) =x(1 +x+:::+xn1) =x
1xn
1x=)f(x) = 1()
xxn1= 1x()xn+1= 2x1 ceea ce ne arat , a c a exist a xn>1
2deoarece
xx+1
n>0 s,ixn=n+1p
1 + 2(xn1).
Acum vom ar ata c a xneste strict cresc ator. Dac a x=xn+1avem 1 =xn+xn1+
:::+x=x+f(xn+1) decif(xn+1)< f(xn), adic axn+1< xn. Fiind descresc ator
s,irulxneste convergent.
Fie lim
x!1xn=x. Cumxn>1
2, este clar c a x>1
2
Presupunem prin reducere la absurd c a x>1
2.
Atunci 1 + 2( xn1)!n!1 1 + 2x2 = 2x1>0 de unde se observ a imediat c a
xn!(2x1)0, adic axn!1, contradict ,ie cu faptul c a ( xn) este descresc ator s ,i
subunitar.
Aplicat ,ia 2
S a se rezolve ^ n mult ,imea numerelor ^ ntregi ecuat ,ia:
3j1xj
1 +jxj=j1x3j
1 +jxj3;x2Z
70

Rezolvare:
Pentrux60 =)x>0 =)j1xj= 1 +jxjs,ij1x3j= 1 +jxj3, deci
ecuat ,ia nu are solut ,ie ^ n mult ,imea numerelor ^ ntregi negative.
Se observ a c a x= 1 este solut ,ia pentru ecuat ,ia noastr a. ^In continuare vom ar ata
c a aceasta este unica solut ,ie s ,i anume pentru x>2,x2Ravem
3(x1)
x+ 1>x31
x3+ 1
Consider am funct ,iaf: [2;+1)!R
f(x) = 3(x3+ 1)(x1)(x31)(x+ 1)
f(x) = 2×44×3+ 4x2
f0(x) = 8×312×2+ 4
f00(x) = 24×224x= 24x(x1)>0, (8)x2[2;+1)
=)f0(x)> f0(2) = 20>0, (8)x2[2;+1) =)f(x)>f(2) = 6>0, (8)x2
[2;+1) =)q:e:d:
Aplicat ,ia 3
S a se arate c a ecuat ,ia1
2cosx1
(x+1)2= 0 are ^ n intervalul (2 ;3) cel put ,in o
solut ,ie.
Rezolvare:
Fie funct ,iaf: (0;+1),f(x) = sinxx1
(x+1)2,f(2)<0,f(5
2)>0 s ,i
f(3)<0, deci (9)x12(2;5
2) s,ix22(5
2;3) astfel ^ nc^ at f(x1) =f(x2) = 0.
Din teorema lui Rolle = )
(9)t02(x1;x2) cuf0(t0) = 0 (3.1)
Cum
f0(x) = cosx2
(x+ 1)2(8)x2(0;+1) (3.2)
Din relat ,iile 3.1 s ,i 3.2 =)1
2cosx1
(x+1)2= 0.
71

Aplicat ,ia 4
S a se arate ca ecuat ,ia (x+ 1)
2x+1= 1 are ^ n intervalul [ 1;0] o singur a
solut ,ie.
Rezolvare:
Fie funct ,iaf: [1;0]!R,f(x) = (x+ 1)
2x+11. Atunci funct ,ia este
derivabil a s ,if0(x) = 2x+1[1 + (x+ 1) ln 2]>0, (8)x2[1;0]. Decifeste
cresc atoare. Observ am apoi c a f(1)
f(0)<0.
Aplicat ,ia 5
S a se rezolve ^ n Recuat ,ia: 3x+ 4x= 2x+ 5x.
Rezolvare:
Ecuat ,ia este echivalent a cu 3x2x= 5x4x. Consider am funct ,iilef: [2;3]!
R,f(y) =yxs,ig: [4;5]!R,g(y) =yx. Aplic am Teorema lui Lagrange funct ,iilor
fs,igpe [2;3] respectiv [4 ;5]. As ,adar (9)12(2;3) s ,i22(4;5) astfel ^ nc^ at
3x2x=x
x1
1, 5x4x=x
x1
2astfel egalitatea 3x2x= 5x4xeste
echivalent a cu x
x1
1=x
x1
2()x
[x1
1x1
2] = 0 =)x= 0 saux= 1,
care veric a ecuat ,ia.
3.2.3 Aplicat ,ii ale teoeremelor de medie la demonstrarea
unei inegalit at ,i
Aplicat ,ia 1
S a se arate c a dac a as,ibsunt numere pozitive, a<b , iarn2N, atunci avem
inegalit atile:
n
(ba)an1<bnan<n(ba)bn1(Cauchy)
72

Rezolvare:
Fief: [a;b]!R,f(x) =xn. Conform teoremei lui Lagrange exist a t02(a;b)
astfel ^ nc^ at:
f(b)f(a)
ba=f0(t0)()bnan
ba=n
tn1
0
Dina<t 0<b=)n
an1<n
tn1
0<n
bn1, de unde obt ,inem
n
an1<bnan
ba<n
bn1j
(ba) =)n(ba)
an1<bnan<n(ba)
bn1
Aplicat ,ia 2
S a se arate c a punctul t0din teorema lui Lagrange aplicat a funct ,ieif(x) = lnx,
(8)x2R
+s,i intervalului [ a;b] cu 0<a<b satisface condit ,ia
p
ab<t 0<1
2(a+b)
Rezolvare:
Aplic am teorema lui Lagrange funct ,iefpe intervalul [ a;b]. Se obt ,inelnblna
ba=
1
t0cua<t 0<bdecit0=ba
lnblna
Deci trebuie s a ar at am c a:
p
ab<ba
lnb
a<1
2(a+b)()r
b
a<b
a1
lnb
a<1
2
1 +b
a
Prin urmare este sucient s a ar at am ca:
p
t<t1
lnt<1
2(1 +t), (8)t>1 (3.3)
S a ar at am:
lnt<t1
t, (8)t>1 (3.4)
s,i
t1
t+ 1<1
2lnt, (8)t>1 (3.5)
73

Fief1(t) = lntt1
t,t>1 =)f0
1(t) =1
t11
t2,f0
1(t) =1
t
11
t

1<0
pentrut >1 adic af1(t) este descresc atoare pentru t >1 s,i cumf1(1) = 1 avem
f1(t)<0, (8)t>1 =)relat ,ia 3.4.
Analog ar at am c a are loc s ,i relat ,ia 3.5
Fief2(t) =t1
t+11
2lnt, (8)t>1,f0
2(t) =(t1)2
2t(1+t)2<0, (8)t>1 =)f2(t) strict
descresc atoare s ,i cumf2(1) = 0 avem c a f2(t)<0, (8)t>1 =)relat ,ia 3.5.
Demonstrate ind relatiile 3.4 s ,i 3.5 avem s ,i relat ,ia 3.3
Aplicat ,ia 3
Aplic^ and teorema cres ,terilor nite funct ,ieif:R!R,f(x) = sinxpe inter-
valul
4;5
18
demonstrat ,i inegalitatea:
p
2
2<sin 50<p
2
2+
36
Rezolvare:
Consider am funct ,iaf:
4;5
18
!R,f(x) = sinx. Funct ,iafeste continu a pe

4;5
18
s,i derivabil a pe
4;5
18

s,i t,in^ and seama c a 50()5
18s,i 45()
4, putem
aplica teorema lui Lagrange funct ,ieifpe intervalul
4;5
18
.
Adic a exist a cel put ,in un punc t02
4;5
18
astfel ^ nc^ at
f5
18

f
4

5
18
4=f0(t0) =)sin5
18sin
4=5
18
4

cost0:
Cum
0<cost0<1 =)sin
4<sin5
18<sin
4+ sin
36=)
p
2
2<sin 50<p
2
2+
36:
Aplicat ,ia 4
Aplic^ and teorema cres ,terilor nite funct ,ieif:R!R,f(x) = sinxpe inter-
valul
4;5
18
demonstrat ,i inegalitatea:
tg5
18>1 +
18
74

Rezolvare:
Consider am funct ,iaf:
4;5
18
!R,f(x) = tgx. Funct ,iafeste continu a
pe
4;5
18
s,i derivabil a pe
4;5
18

.^In aceste condit ,ii putem aplica teorema lui
Lagrange funct ,ieifpe intervalul
4;5
18
. Adic a exist a cel put ,in un punct t02

4;5
18
astfel ^ nc^ at
f5
18

f
4

5
18
4=f0(t0) =)tg5
18tg
4=5
18
4

1
cos2t0=)
=)tg5
18= 1 +5
18
4

1
cos2t0:
Cum 0<cost0<1 =)tg5
18>1 +
18
Aplicat ,ia 5
Ar atat ,i c ap
10410<0;2
Rezolvare:
Se consider a funct ,iaf: [100;104]!R,f(x) =px. Observ am c a sunt
^ ndeplinite condit ,iile aplic arii teoremei lui Lagrange, deci exist a cel put ,in un punc
t02(100;104) astfel ^ nc^ at
f(104)f(100)
104100=f0(t0)()p
10410
104100=1
2pt0()p
10410 =2pt0
s,i cum
t0>100 =)2pt0<2
10=)p
10410<0;2:
Aplicat ,ia 6 – Inegalitatea lui Bernoulli
Fiex>1 s,i>1, atunci (1 + x)>1 +x
Rezolvare:
Fief: (1;+1)!R,f(x) = (1+x)1x, s,i cumf0(x) =(1+x)1
s,if0(x) = 0()x= 0, deducem c a 0 este punct de minim absolut a lui fdeci
f(x)>f(0), (8)x>1, adic a inegalitatea din enunt ,.
75

Aplicat ,ia 7
S a se determine a2Rastfel ^ nc^ at:
2x+ax>3x+ 4x, (8)x2R
Rezolvare:
Fief:R!R,f(x) = 2x+ax3x4x. Darf(0) = 0 s ,if(x)>f(0),
(8)x2R=)0 este punct de minim, deci f0(0) = 0. Cum f0(x) = 2xln 2 +
axlna3xln 34xln 4 =)ln 2 + lnaln 3ln 4 = 0 =)a= 6:
3.2.4 Demonstrarea unor identit at ,i cu ajutorul teoremelor
de medie
Aplicat ,ia 1
Utiliz^ and consecint ,a teoremei lui Lagrange s a se arate c a :
cos2x+ sin2x= 1
Rezolvare:
Fie funct ,iaf:R!R,f(x) = sin2x+ cos2x. Evident feste derivabil a.
f0(x) = 2 sinxcosx2 sinxcosx= 0 =)f(x) este constant a. Cum f(0) = 1,
atuncif(x) = 1 =)sin2x+ cos2x= 1:
Aplicat ,ia 2
S a se arate c a (8)x2[1;1] avem:
arcsinx+ arccosx=
2
76

Rezolvare:
Fief: (1;1)!R,f(x) = arcsinx+ arccosx. Funct ,ia este derivabil a pe
acest interval s ,if0(x) =1p
1x2+1p
1x2= 0, (8)x2(1;1), decifeste constant a.
Cumf(0) =
2avemf(x) =
2, (8)x2(1;1) s ,i ^ n1 s,i ^ n 1 este adev arat a
egalitatea.
Rezult a c a arcsin x+ arccosx=
2, (8)x2[1;1]
Aplicat ,ia 3
S a se arate c a (8)x>1
arctgx+ arctg1x
1 +x=
4
Rezolvare:
Fief: (1;+1)!R,f(x) = arctgx+ arctg1x
1+x. Funct ,iafeste derivabil a
s,i
f0(x) =1
1 +x2+1x1 +x
(1 +x)2
1
2(1+x2)
(1+x)2=1
1 +x21
1 +x2= 0
Atuncifeste constant a pe ( 1;+1). Cumf(0) =
4, deducem c a f(x) =
4,
(8)x>1.
Aplicat ,ia 4
S a se arate c a pentru orice x2(1;1][[1;+1) are loc identitatea:
arcsin2x
1 +x2+ 2 arctgx=sgnx
Rezolvare:
Fief1: (1;1][[1;+1)!R,f1(x) = arcsin2x
1+x2,f0
1(x) =2
1+x2,jxj>1.
Fief2: (1;1][[1;+1)!R,f2(x) = 2 arctgx,f0
2(x) =2
1+x2.
Fief: (1;1][[1;+1)!R.
f(x) =f1(x) +f2(x) = arcsin2x
1 +x2+ 2 arctgx
77

Pentrux2(1;1][[1;+1),f0(x) = 0 =)f(x) =k,k2R
Pentrux2(1;1] lu am o valoare convenabil a din acest interval.
f(1) = arcsin(1) + 2 arctg(1) =
22

4==sgnx:
Pentrux2[1;+1) proced am analog.
f(1) = arcsin(1) + 2 arctg(1) =
2+ 2

4=sgnx==
sgnx
Decif(x) = arcsin2x
1 +x2+ 2 arctgx=sgnx, (8)x2(1;1][[1;+1)
x3.3 Aspecte metodice privind predarea teore-
melor de medie ^ n calculul integral
3.3.1 Inegalit at ,i s ,i teoreme de medie
Aplicat ,ia 1 – (Inegalitatea lui Ceb^ as ,ev)
Fief;g: [a;b]!Rdou a funct ,ii monotone s ,i de monotonii diferite. Atunci
Zb
af(x)g(x)dx61
baZb
af(x)dx
Zb
ag(x)dx (3.6)
Rezolvare:
^Inlocuind eventual fs,igcufs,igrespectiv, putem presupune c a feste
monoton cresc atoare s ,igmonoton descresc atoare. Punem =1
baRb
af(x)dx.
Avemf(a)66f(b) conform primei teoreme de medie.
Fiec= supfx2[a;b];f(x)6g. Atunci (8)x2[a;c] avem>f(x) s,i
g(x)>g(c), deci:
(f(x))
g(x)>(f(x))
g(c) (3.7)
Analog (8)x2[c;b] avem6f(x) s,ig(x)6g(c), deci are loc s ,i ^ n acest caz
inegalitatea 3.7.
78

As,adar
Zb
a(f(x))
g(x)dx=Zc
a(f(x))
g(x)dx+Zb
c(f(x))
g(x)dx>
>Zc
a(f(x))g(c)dx+Zb
c(f(x))
g(c)dx=g(c)

(ab)Zb
af(x)dx
= 0
De aiciRb
a(f(x))
g(x)dx>0 de unde
Zb
af(x)dxdx61
baZb
af(x)dx
Zb
ag(x)dx:
Aplicat ,ia 2
Fief: [0;1]!Ro funct ,ie continu a cu proprietatea c aR1
0f(x)dx=
4. Atunci
exist ax2(0;1) astfel inc^ at1
1+x0<f(x0)<1
2
x0.
Rezolvare:
Din relat ,ia din enunt ,rezult aR1
0
f(x)1
1+x2

dx= 0 s ,i folosind prima formul a
de medie =)c a exist ax02(0;1) astfel ^ nc^ at f(x0) =1
1+x2
0. Cum1
1+x0<1
1+x2
0<
1
2x0q:e:d:
Aplicat ,ia 3
S a se arate c a :
0<Z1
0p
1x2arctgxdx<
4lnp
2
Rezolvare:
Aplic^ and teorema de medie se obt ,ine: 0<R1
0p
1x2arctgxdx=p
12R1
0arctgxdx,
2[0;1].R1
0arctgxdx =
4p
ln 2 s ,i deoarece 0 6p
1261 pentru
2(0;1) =)integrala cerut a.
3.3.2 Identit at ,i s ,i teoreme de medie
Aplicat ,ia 1
79

F ar a a calcula integrala, s a se arate c a:
lim
n!1Z1
0xndx
1 +x= 0
Rezolvare:
Not^ andf(x) =xns,ig(x) =1
1+xs,i folosind a doua formul a de medie se obt ,ine:
Z1
0xn
1 +xdx=1
1 +
Z1
0xndx, 0661
lim
n!1Z1
0xn
1 +xdx= lim
n!11
1 +
1
n+ 1= 0:
Aplicat ,ia 2
Dac af: [0;1]!Reste o funct ,ie continu a s ,i 2R1
0f(x)dx= 1, atunci exist a
x02(0;1) astfel ^ nc^ at f(x0) =x0.
[N. Mateescu, etapa pe t ,ar a, 1977]
Rezolvare:
Fieh: [0;1]!R,h(x) =f(x)x. Din condit ,ia problemei se obt ,ine:
Z1
0[f(x)x]dx= 0 sauZ1
0h(x)dx= 0:
Conform primei formule de medie exist a x02(0;1) astfel c aR1
0h(x)dx=h(x0).
Decih(x0) = 0 =)f(x0) =x0.
Aplicat ,ia 3
Fief: [0;1]!Ro funct ,ie de dou a ori derivabil a, cu f00continu a pe [0 ;1]. S a
se arate c a exist a c2[0;1] astfel c a
Z1
0f(x)dx=f(0) +1
2f0(0) +1
6f00(c)
80

Rezolvare:
Integr^ and de dou a ori prin p art ,i s,i aplic^ and teorema de medie avem:
Z1
0f(x)dx= (x1)f(x)1
0Z1
0(x1)
f0(x)dx=
=f(0)(x1)2
2
f0(x)1
0+Z1
0(x1)2
2
f00(x)dx=
=f(0) +f0(0)
2+1
6f00(c), undec2(0;1):
Aplicat ,ia 4
Demonstrat ,i c a dac af: [0;1]!Reste o funct ,ie continu a cu proprietatea
R1
0f(x)dx=2
, atunci exist a x02(0;1) astfel c a f(x0) = sinx0
[D.M. B atinet ,u, R. M. T.]
Rezolvare:
fcontinu a pe [0 ;1] =)g: [0;1]!R,g(x) =f(x)sinxeste continu a pe
[0;1]:AvemR1
0g(x)dx= 0. Conform primei formule de medie exist a x02(0;1)
astfel ^ nc^ atZ1
0g(x)dx=g(x0), adic af(x0) = sinx0:
Aplicat ,ia 5
Se d af: [0;1]!Rderivabil a s ,i cu derivata continu a pe [0 ;1]. S a se arate c a
exist ac2(0;1) astfel ca
Z1
0f(x)dx=f(0) +1
2f0(c):
Rezolvare:
Se observ a c a avem egalitatea
Z1
0f(x)dx= (x1)
f(x)1
0Z1
0(x1)
f0(x)dx:
81

Aplic^ and prima formul a de medie obt ,inem c a exist a c2(0;1) astfel ^ nc^ at
Z1
0(x1)
f0(x)dx=f0(c)
Z1
0(x1)dx=1
2f0(c):
82

Bibliograe
[1] L. ARAM A, T. MOROZAN Culegere de probleme de Analiz a Matematic a , Ed.
Universal Pan, 1996.
[2] A. C ATAN A, O. ST ANAS,ILAMetodica pred arii Analizei Matematice , Ed.
Didactic a s ,i Pedagogic a, Bucures ,ti, 1993.
[3] A. C ATAN A, A. C ATAN AProbleme de Analiz a Matematic a s ,i observat ,ii me-
todologice , Ed. Didactic a s ,i Pedagogic a, Bucures ,ti, 1993.
[4] M. GANGA Elemente de Analiz a Matematic a pentru clasa a XI -a , Ed. Ma-
thpress, Ploies ,ti, 2003.
[5] M. MEGAN Aspecte calitative din Analiz a Matematic a , Tipograa Univer-
sit at ,ii, Timis ,oara, 1984.
[6] M. MEGAN Bazele Analizei Matematice , Ed. Eurobit, Timis ,oara, 1996.
[7] M. MEGAN, B. SASU, M. NEAMT ,U, A. CR ACIUNESCU Bazele Analizei
Matematice prin exercit ,ii s ,i probleme , Ed. Helocon, Timis ,oara, 1996.
[8] M.MEGAN, A.L. SASU, B. SASU Calcul diferent ,ial ^ n Rprin exercit ,ii s ,i
probleme , Ed. Universit at ,ii de Vest, Timis ,oara, 2001.
[9] M. MEGAN Analiz a Matematic a , Ed. Mirton, Timis ,oara, 1999.
[10] M. MEGAN, A.L. SASU, B. SASU Calcul integral ^ n Rprin exercit ,ii s ,i pro-
bleme , Ed. Universit at ,ii de Vest, Timis ,oara, 2003.
[11] C. POPA, V. HIRIS ,, M. MEGAN Introducere ^ n analiz a matematic a prin
exercit ,ii s ,i probleme , Ed. Facla, Timis ,oara, 1976.
83

[12] P. PREDA Analiz a Matematic a, Partea I , Tipograa UVT, Timis ,oara, 1991.
[13] P. PREDA, P. TOPUZU Analiz a Matematic a , Timis ,oara, 1996.
[14] P. PREDA, A. CR ACIUNESCU, C. PREDA Diferent ,iabilitate – Probleme de
Analiza Matematic a , Ed. Mirton, Timis ,oara, 2005.
[15] GH. SIRET ,CHI Calcul difernt ,ial s ,i integral, vol. I, II , Ed. S ,tiint ,ic a s ,i En-
ciclopedic a, Bucures ,ti, 1985.
[16] Colect ,ia de manuale alternative pentru clasele a XI-a s ,i a XII-a.
[17] Colect ,ia revistei gazeta matematic a.
84