Prf. Dr. D ascalescu Sorin [624486]

UNIVERSITATEA DIN BUCURES ,TI
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S ,I INFORMATIC ˘A
LUCRARE DE LICENT ,˘A
Coordonator s ,tiint ,ific:
Prf. Dr. D ˘asc˘alescu Sorin
Absolvent: [anonimizat] 2019

UNIVERSITATEA DIN BUCURES ,TI
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S ,I INFORMATIC ˘A
Titlul lucr˘ arii de licent ,˘ a
GRUPURI SIMPLE
Coordonator s ,tiint ,ific:
Prof.univ.dr. D˘ asc˘ alescu Sorin
Absolvent: [anonimizat] 2019
4

Cuprins
1.Introducere …………………………………………………………………………… 5
2.Capitolul I: Preliminarii ………………………………………………………. 6
(a) Subgrup
(b) Subgrup normal
(c) Grup factor
(d) Teorema fundamental ˘a de izomorfism
(e) Prima teorem ˘a de izomorfism pentru grupuri
(f) A doua teorem ˘a de izomorfism pentru grupuri
(g) Grup simplu. Teorema Jordan-Holder
3.Capitolul II: Act ,iuni ale grupurilor pe mult ,imi s ,i aplicat ,ii la
grupuri de permut˘ ari ……………………………………………………………10
4.Capitolul III: Teoremele lui Sylow ………………………………………….
5

Introducere
Lucrarea cont ,ine 4 capitole ˆın care sunt prezentate sintetic not ,iuni importante din teoria
grupurilor: teoreme, definit ,ii, formule, exemple.
Primul capitol cont ,ine not ,iuni preliminare din teoria grupurilor. Astfel sunt prezentate c ˆateva
concepte s ,i teoreme utilizate ˆın mod curent ˆın matematic ˘a: subgrup, subgrup normal, grup
factor, Teorema fundamental ˘a de izomorfism, Prima teorem ˘a de izomorfism pentru grupuri, A
doua teorem ˘a de izomorfism pentru grupuri, grup simplu, Teorema Jordan-Holder. De
asemenea am amintit c ˆateva definit ,ii ajut ˘atoare ˆınˆınt ,elegerea conceptelor ment ,ionate mai sus s ,i
anume: lege de compozit ,ie binar ˘a, monoid, grup, lege de compozit ,ie indus ˘a, serie.
Capitolul II trateaz ˘a act ,iunile grupurilor pe mult ,imi s ,i aplicat ,ii la grupuri de permut ˘ari.
(TREBUIE TERMINAT)
6

CAPITOLUL I
Preliminarii
1.1 Definit ,ie:
Pentru o mult ,ime nevid ˘a M numesc lege de compozit ,ie binar˘ a definit ˘a peMo aplicat ,ie:
': MM!M
(x,y)7!'(x,y)8x, y2M
Vom nota: '(x;y) =x
y.
1.2 Definit ,ie:
Se numes ,temonoid perechea (M;' )ce satisface condit ,iile:
i)'asociativ ˘a:x
(y
z) = (x
y)
z;8x;y;z2M
ii)'are element neutru: x
e=e
x=x;8x;y2M.
1.3 Definit ,ie:
Monoidul (M;' )se numes ,tegrup dac˘a orice element este simetrizabil: 9x02Mastfel ˆıncˆat
8x2Mavemx0
x=x
x0=x.
Dac˘aˆın plus'este comutativ ˘a, adic ˘a:8x;y2M x
y=y
x, monoidul se numes ,tegrup
abelian .
Exemple de grupuri:
1.(Z, +)grupul aditiv al numerelor ˆıntregi
2.(Q, +)grupul aditiv al numerelor rat ,ionale
3.(Q,
)grupul multiplictaiv al numerelor rat ,ionale
1.4 Definit ,ie:
O submult ,ime nevid ˘aNa luiMse numes ,te parte stabil ˘aˆın raport cu legea de compozit ,ie'
dac˘a pentru orice x;y2Navem'(x;y)2N.
ˆIn acest caz numesc lege de compozit ,ie indus˘ a de'peN, o lege de compozit ,ie'0definit ˘a pe
NNcu valori ˆınNdat˘a de'0(x;y) ='(x;y)8x;y2NundeMeste o mult ,ime nevid ˘a,No
submult ,ime nevid ˘a a luiMs,i':MM!Meste o lege de compozit ,ie binar ˘a.
Am amintit not ,iunile de lege de compozit ,ie binar ˘a, monoid, grup s ,i lege de compozit ,ie indus ˘a
pentru a ˆınt ,elege ˆın continuare ce este un subgrup.
7

SUBGRUP
1.5 Definit ,ie:
FieGun grup. O submult ,ime nevid ˘aHa luiGse numes ,te subgrup dac ˘a e parte stabil ˘a s ,i e
grup ˆın raport cu operat ,ia indus ˘a. Aceasta este echivalent cu faptul c ˘a pentru orice x;y2Havem
x
y2Hs,i pentru orice x2Havemx12H
Not˘am:H6G
SUBGRUP NORMAL
1.6 Definit ,ie:FieGun grup s ,iHun subgrup al s ˘au. Atunci Heste un subgrup normal dac˘a
pentru orice element x2Gs,ih2Heste satisf ˘acut ˘a condit ,iax
h
x12H.
Not˘am:HEG
OBSERV AT ,IE
FieHEGs,i fiex2G. Atunci notez G=H=f^xjx2Gg, unde ^x=xH=Hxclasa luixmodulo
H.
Pe mult ,imeaG=H se poate defini o structur ˘a de grup cu operat ,ia^x
^y=dx
ypentru orice
x;y2G. Grupul astfel obt ,inut se numes ,tegrupul factor al luiGˆın raport cu subgrupul normal
H, iar aplicat ,iaq:G!G=H , definit ˘a prinq(x) = ^x, este morfism surjectiv de grupuri s ,i se
numes ,teproiect ,ia canonic˘ a .
PROPOZIT ,IA 1 (Teorema fundamental˘ a de izomorfism)
Fiep:G!Hun morfism de grupuri. Atunci grupul factor G=Ker(p)este izomorf cu Im(p).
Mai exact avem izomorfismul de grupuri p:G=Ker(p)!Im(p)definit ˘a prin p(^x) =p(x)pentru
oricex2G.
PROPOZIT ,IA 2 (Prima teorem˘ a de izomorfism pentru grupuri
FieHun subgrup normal al lui Gs,ip:G!Kun morfism surjectiv de grupuri. Atunci p(H)
este un subgrup normal al lui K, iarG=H'K=p(H)
PROPOZIT ,IA 3 (A doua teorem˘ a de izomorfism pentru grupuri)
FieGun grup s ,iH;K dou˘a subgrupuri ale grupului G.
Dac˘aKeste subgrup normal, atunci HK este un subgrup al lui G,H\Keste subgrup normal
al luiHs,iHK= Heste izomorf cu K=H\K.
1.8 Definit ,ie:
Numim grup simplu un grupKdiferit de 1 cu proprietatea c ˘a 1 s ,iKsunt singurele subgru-
puri normale ale lui K.
1.9 Definit ,ie:
FieKun subgrup s ,i mult ,imeafG0;G1;:::;G ngnotat ˘aG, format ˘a din subgrupuri ale lui K.
8

Atunci numim serie a luiKmult ,imeaGcu propriet ˘at,ile c˘a1 =GnGn1:::G1G0=
Ks,i oricare ar fi l=1;n,GlEGl1.
OBSERV AT ,IE
i)G0;G1;G2;:::;G nse numesc termenii seriei G.
ii) Grupurile factor G0=G1;G1=G2;:::G n1=Gnse numesc factorii seriei.
iii) Lungimea seriei Geste n.
iv)Dac ˘a tot ,i factorii seriei G sunt grupuri simple atunci aceasta se numes ,te serie de compozit ,ie.
1.10 Definit ,ie
FieF=fF0;F1;:::;F ngs,ifG0;G1;:::;G mgdou˘a serii cu lungimile n s ,i respectiv m.
Spunem c ˘aFeste echivalent cu Gdac˘a au aceeas ,i lungime s ,i dac ˘a exist ˘a
f:fF0=F1;:::;F n1=Fng!fG0=G1;:::;G n1=Gngaplicat ,ie bijectiv ˘a astfel ˆıncˆat pentru orice l=1;n
avemFl1=Fl'f(Fl1=Fl).
Aceast ˘a leg ˘atur ˘a dintre seriile de compozit ,ie ale unui grup este dat ˘a de teorema Jordan-Holder
astfel:
”Orice dou ˘a serii de compozit ,ieH=fH0;H1;:::;H ngs,iK=fK0;K1;:::;K ngale unui grup G
sunt echivalente.”
Demonstrat ,ia teoremei Jordan-Holder:
Pentru demonstarea teoremei Jordan-Holder vom aplica urm ˘atoarea lem ˘a pentru seria Hs,i
subgrupul normal maximal K1.
LEM ˘A:FieGun grup,K1un subgrup normal maximal al lui Gs,iH=fH0;H1;:::;H ngo serie
de compozit ,ie de lungime na luiK.
Atunci, exist ˘a o serie de compozit ,ie a grupului Gde formafK0;K1;:::;K mg, iar orice astfel de
serie este echivalent ˘a cuH.
Pentru demonstrarea lemei vom face induct ,ie dup ˘a n.
Astfel pentru n= 1,Geste un grup simplu deci afirmat ,ia din enunt ,este evident ˘a.
Presupunem c ˘a afirmat ,ia lemei este adev ˘arat˘a pentru grupurile care au o serie de compozit ,ie
de lungime j,j <n .
Dac˘aK1=H1, atunci seriafH1;H2;:::;H ngeste o serie de compozit ,ie a luiH1de lungime
n1. Deci afirmat ,ia lemei este rezultat ˘a din aplicarea ipotezei de induct ,ie.
Dac˘a presupunem c ˘aK16=H1atunci:
H1<H 1K1EG
.
9

DeciH1K1=GdeoareceH1este subgrup normal maximal.
FieF2=H1\K1. Atunci avem:
H1=F2=H1=H1\K1'H1K1=K1=G=K1
K1=F2=K1=H1\K1'H1K1=H1=G=H1
ˆIntruc ˆatG=K1s,iG=H1sunt grupuri simple, avem c ˘aH1=F2s,iK1=F2sunt grupuri simple. ˆIn
particularF2este subgrup normal maximal al lui H1.
Conform ipotezei de induct ,ie exist ˘a o serie de compozit ,ie de formafH1;F1;:::;F pga luiH1, iar
orice astfel de serie de compozit ,ie este echivalent ˘a cufH1;H2;:::H ng.
ˆIn particular avem n=p, de unde rezult ˘a c˘afH0;H1;F2;:::;F ngeste o serie de compozit ,ie a
luiGechivalent ˘a cuH.
De asemeneafK1;F2;:::;F ngeste serie de compozit ,ie a luiK1, de undefK0;K1;F2;:::;F ngeste
o serie de compozit ,ie a luiG.
Deoarece:
H1=F2'G=K1
K1=F2'G=H1
avem c ˘a seriafH0;H1;F2;:::;F ngs,i seriafK0;K1;F2;:::;F ngale luiGsunt echivalente.
Ipoteza de induct ,ie aplicat ˘a luiK1cu seria de compozit ,iefK1;F2;:::;F ngde lungime n1<n,
arat˘a c˘afK1;:::;K mgs,ifK1;F2;:::;F ngsunt serii ale lui K1echivalente.
10

CAPITOLUL II
Act,iuni ale grupurilor pe mult ,imi s ,i aplicat ,ii
la grupuri de permut ˘ari
2.1 Definit ,ie:
Fie mult ,imeaX6=Ø s ,i grupulG. O act ,iune la st ˆanga a luiGpeXeste o funct ,ie:
GX!Xpentru care not ˘am(g;x) =g
xsau chiar(g;x) =gxcu urm ˘atoarele propriet ˘at,i:
i)(1;x) =xpentru8x2X,
ii)(gh;x ) =(g;(h;x))pentru8x2X;8g;h2G.
Altfel spus:
i) 1
x = x,8x2X,
ii)(gh)x=g(hx)8x2X;8g;h2G.
EXEMPLE:
FieX=2M 2;1(R)s,iG=GL 2(R). AtunciGact ,ioneaz ˘a asupra lui Xprin ˆınmult ,irea la st ˆanga.
1. Fiep2R2s,iI2=0
@1 0
0 11
Amatricea identitate.
AtunciI2
p=p.
2. Fie A, B2M 2;2(R)inversabile s ,ip2R2.
Atunci (AB)p=A(Bp)ˆıntruc ˆatˆınmult ,irea matricelor este asociativ ˘a.
Pentru definit ,ia ce urmeaz ˘a a fi redat ˘a voi aminti ce este un grup de permut ˘ari. Astfel, pe baza
definit ,iei (notat ˘a~) de mai jos obt ,inem grupul de permut ˘ari.
~Dac˘aQeste un monoid, atunci mult ,imea tuturor elementelor inversabile ale monoidului
notat ˘a cuU(Q)este un subgrup al lui Q.
2.2 Definit ,ie: (GRUP DE PERMUT ˘ARI)
Pentru o mult ,imeMnot˘am cuE(M)mult ,imea tuturor aplicat ,iilor:M!M. Astfel prin
compunerea acestor aplicat ,ii putem defini o lege de compozit ,ie':
11

':E(M)E(M)!E(M)
'(;) = unde;2E(M)
Permut ˘arile mult ,imiiMsunt chiar elementele inversabile ale monoidului E(M), adic ˘a aplicat ,iile
bijective:M!Mde mai sus.
As,adar putem spune c ˘a grupul permut ˘arilor lui M este grupul elementelor inversabile ale lui
E(M).
Not˘am grupul permut ˘arilor cuS(M)sauS.
Revenind la act ,iunile grupului pe mult ,imi, fieGun grup s ,iXo mult ,ime. Numesc reprezen-
tarea grupului Gprin permut ˘ari ale mult ,imiiXun morfism de grupuri ':G!S(X).
PROPOZIT ,IA 4
FieGun grup,Xo mult ,ime s ,io act ,iune a grupului Gpe mult ,imeaXnotat ˘a multiplicativ.
Pentru fiecare element g2G vom nota 'g:X!Xcu'g(x) =g
x,x2X. Aceast ˘a aplicat ,ie'g
este o permutare a mult ,imiiX, iar':G!S(x)cu'(g) ='
geste un morfism de grupuri.
Demonstrat ,ie:Lu˘am dou ˘a elemente gs,ig0dinG. Folosind propriet ˘at,ile
act ,iunilor avem c ˘a pentru orice x2X:'gg0(x) = (gg0)x.
Dar(gg0)x=g(g0x) ='g('g0(x)) ='g'g0. As ,adar'gg0='g'g0().
Pe de alt ˘a parte'1(x) = 1
x=x, adic ˘a'1=1xeste aplicat ,ia identic ˘a a luix.
ˆIn continuare vom demonstra c ˘a'geste o aplicat ,ie bijectiv ˘a cu inversa '1
g. Astfel8g2Gdin
relat ,ia () avem :
'g'g1 ='gg1='1=1x
s,i
'g1 ='gg1='1:
ˆIn particular pentru 8g2G,'g2S(x)astfel ˆıncˆat vom putea considera aplicat ,ia':G!S(x)
din enunt ,definit ˘a astfel'(g) ='g.
Deci'(gg0) ='gg0='g'g08g;g02Gde unde putem concluziona faptul c ˘a'este un
morfism de grupuri.
2
Altfel spus 'se numes ,tereprezentarea lui G prin permut˘ ari ale mult ,imiiXasociat ˘a act ,iunii
.ˆIn continuare vom defini act ,iunea luiGpeXasociat ˘a reprezent ˘arii prin permut ˘ari'.
PROPOZIT ,IA 5
Dac˘a'este o reprezentare a grupului Gprin permut ˘ari ale mult ,imiiXunde':G!S(x),
atunci pentru fiecare '2Gnotez cu'g='(g)s,i(g;x) ='g(x)unde:GX!X.
12

Vom spune deci c ˘aeste o act ,iune a luiGpeX.
Demonstrat ,ie:Lu˘amg;g02Gs,ix2X.
Avem deci: (gg0;x) ='gg0(x) = ('g'g0)(x) ='g('g0(x)) =(g;(g0;x)). Iar'(1;x) =
'1(x) =x. De unde g ˘asim c ˘aeste o act ,iune a luiGpeX.
2
2.3 Definit ,ie:
FieGun grup,Xo mult ,ime s ,io act ,iune prin care act ,ioneaz ˘aGpeX.
Consider ˘am':G!S(x)reprezentarea prin permut ˘ari asociat ˘a lui. Cum'este un morfism
de grupuri atunci vom nota cu Ker(')nucleul s ˘au. Fiind un subgrup normal al lui G, nucleul se
va numi s ,i nucleul act ,iunii.
Not˘am:Ker() =fg2Gjg
x=x8x2Xg
Consider ˆand notat ,iile de mai sus vom defini stabilizatorul lui x 2XˆınGastfel:
Stab G(x)=fg2Gjg
x=xgG.
Observ ˘am c ˘a pentru dou ˘a elemente g1;g22Stab G(x)avem (g1g2)x=g1(g2x) =g1(x) =x=>
g1g22Stab G(x).
Avem 1
x = x, deci s ,i 12Stab g(x). Dac ˘ag2Stab G(x)atunci avem: g1
x=g1(g
x) =
(g1
g)x= 1
x=x.
De undeg12Stab G(x).
g2Ker()<=>g
x=x8x2G (1)
g2Stab G(x)8x2G<=>g2\Stab G(x) (2)
Din (1) si (2) g ˘asim:Ker() =\Stab G(x)8x2X
ˆIn continuare vom defini relat ,ia de echivalent ,˘a pe o mult ,imeXa act ,iunilor unui grup G.
Astfel dac ˘aGact ,ioneaz ˘a pe mult ,imeaXs,i avem dou ˘a elemente x;y2X atunci spunem c ˘ax
este echivalent cu ydac˘a9g2Gastfel ˆıncˆatg
x=y.
Vom nota astfel: xy
PROPOZIT ,IA 6
Dac˘aXeste o mult ,ime s ,iGun grup, atunci exist ˘a o relat ,ie de echivalent ,˘a""pe mult ,ime.
Demonstrat ,ie:Relat ,ia este reflexiv ˘a pentru c ˘a1
x=x, de unde avem c ˘axx. Presupunem
c˘axypentrux;y2X. Atunci exist ˘a g2G astfel ˆıncˆatg
x=y.ˆIn acest caz g1
y=xs,iyx.
Ca s ˘a ar˘at˘am c ˘a relat ,ia este tranzitiv ˘a vom presupune c ˘axys,iyzpentrux;y;z2X.
Atunci9g;h2Gastfel ˆıncˆatg
x=ys,ih
y=z=>z=h
y=h
g
x. Decixz.
2
13

Clasa de echivalent ,˘a a luix2Glase numes ,teorbita elementului xrelativ la act ,iunea.
Vom nota cu Gxs,i definim astfel:
Gx=fy2Xjxyg=fy2Xj9g2Gastfel ˆıncˆat g
x=yg
Pe scurt avem:
Gx=fg
xjg2Gg
EXEMPLU:
FieG=f(1), (1 2 3), (1 3 2), (4 5), (1 2 3)(4 5), (1 3 2)(4 5) gun grup de permut ˘ari s ,iX=f1, 2, 3,
4, 5go mult ,ime.
Atunci orbitele sunt:
G1=G2=G3=f1;2;3gG4=G5= 4;5
PROPOZIT ,IA 7
jGxj=jG:Stab G(x)j 8x2X
Demonstrat ,ie:
g1
Stab G(x) =g2
Stab G(x)8g1;g22G
<=>g1
1
g22Stab G(x)i.e.g1
1
g2
x=x=>g 2
x=g1
x.
Astfel vom putea defini o aplicat ,ie bijectiv ˘a:

: (G=Stab G(x))S!Gx

(g=Stab G(x)) =gx.
2
OBSERV AT ,IE
Numim lungimea orbitei num ˘arul cardinaljGxj;8x2X.
Dac˘ajGxj= 1atunci orbita se numes ,teorbita trivial˘ a . Spunem c ˘aGxeste trivial ˘a<=>Gx =
fxg<=> gx =x8g2G;x2X. Elementul x2Xva fi elementul fixat de act ,iunea. Astfel
mult ,imea tuturor acestor elemente o vom nota:
Fix G(X) =fx2XjGx=fxgg.
2.4 Definit ,ie:
FieGun grup,Hun subgrup al s ˘au s ,iXo mult ,ime. Consider ˆand c ˘aGact ,ioneaz ˘a peXcu
act ,iunea, atunciva induce o alt ˘a act ,iunea luiHpeXastfel:
:HX!X
(h;x) =(h;x)pentru orice x2Xs,ih2H
14

2.5 Definit ,ie:
FieGun grup s ,io act ,iune pe mult ,imeaX. Consider ˆand submult ,imeaX0a luiXo vom
numi-stabil˘ a dac˘a pentru orice element g2Gs,ix2X0atuncig
x =(g;x)2X0.
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ DE TERMINAT PUS ELE-
MENTELE INTRE
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Cu toate acestea putem defini o act ,iune a grupului G pe mult ,imea X’ astfel:
:GX0!X
(g;x) =(g;x)8x2X0;8g2G.
EXEMPLU:
Orbita O = Gx relativ ˘a la act ,iuneaeste- stabil ˘a.
Argumentare: Pentru'2Gs,i v2O avemv='
x. Atunci pentru8g2G,g
v=g('x) =
(g')x2Gx=O
2.6 Definit ,ie:
Numesc act ,iune tranzitiv˘ a o act ,iunea unui grup G pe o mult ,ime X care ˆındeplines ,te urm ˘atoarea
condit ,ie:
8x;y2X9g2Gastfel ˆıncˆat y = g
x =(g, x).
2.7 Definit ,ie:
Fie G un grup s ,i dou ˘a mult ,imi X s ,i X’. Atunci spunem c ˘a dou ˘a act ,iuni; ale grupului pe
mult ,imi sunt echivalente dac ˘a9f:X!X0o aplicat ,ie bijectiv ˘aˆıntruc ˆat:
(g;f(x)) =f((g;x))8x2X;8g2G.
Vom nota mai general: gf(x) =f(gx).
Bazˆandu-ne pe definit ,ia de mai sus, dac ˘a cele dou ˘a act ,iunis,isunt echivalente, atunci
pentru orice element x din G Stab G(x) =Stab G(f(x))(ˆın particular Ker =Ker ), Gf(x) = f(Gx).
Putem spune c ˘a,ˆın general, dac ˘a dou ˘a act ,iuni sunt echivalente atunci ele au aceleasi pro-
priet ˘at,i. Astfel, dac ˘aeste tranzitiv ˘a, atunci s ,ieste tranzitiv ˘a.
Act ,iuni prin multiplicarea la dreapta
Fie G un grup. Vom defini ca fiind legea de compozit ,ie binar ˘a a lui G o act ,iunea grupului
G pe mult ,imea G a elementelor lui G :GG!G.
Cele dou ˘a condit ,ii din Definit ,ia 2.1 a unei act ,iuni sunt verificate ˆıntruc ˆat legea de compozit ,ie a
grupului este asociativ ˘a s,i are element neutru.
Vom spune astfel c ˘aeste act ,iunea lui G pe el ˆınsus ,i prin multiplicarea la dreapta.
15

Structura elementelor din Sn
S,tim c ˘a un element al luiSnse g˘ases ,te de multe ori sub forma:
=0
@1 2


n
(1)(2)


(n)1
A; n2N.
Fie X o mult ,ime s ,i G un grup de permut ˘ari pe X.
O act ,iune a grupului G pe mult ,imea X este o aplicat ,iedefinit ˘a pe GX cu valori ˆın X.
(;x) =(x)8x2X;2G.
Evident avem:
()(x) =((x)),
1(x) =x;8;2G; x2X.
Act ,iunease va numi act ,iunea canonic ˘a a lui G pe X.
Notat ,ie:x=(x)8x2X;2G.
Vom considera ˆın particular mult ,imeaX=f1;2;:::;ng, n2Ns,i act ,iunea canonic ˘a a grupului
Snpe X.
Pentrun2avem:
Stab Sn(n) =f2Snjn=ng'Sn1
Cumeste tranzitiv ˘a:
jxj=n=jSn:Stab Sn(n)j=Sn
Sn1=>jSnj=n
jSn1j
Pentrun= 1 =>jS1j= 1.
Prin induct ,ie dup ˘a n g ˘asimjSnj=n!.
PROPOZIT ,IA 8
Fie2Sn8n2Ns,i G subgrupul lui Sngenerat de notat:G=<  > . Orbitele act ,iunii
canonice ale grupului pe o mult ,ime X =f1, 2, … , ngsunt-orbite.
Astfel dac ˘a toate-orbitele sunt triviale permutarea = 1, i.e este permutare identic ˘a.
Permutarea este ciclu dac ˘a va exista o singur ˘a-orbit ˘a.
Vom nota un ciclu de lungime k astfel:
= (i1;i2;:::;i k)
cu(i1) =i2;(i2) =i3;:::; (ik1) =ik;(ik) = 1;(i) =iundefi1;i2;:::;i kg2X s ,i i=2fi1;i2;:::;i kg.
Orbita unui astfel de ciclu este fi1;:::;i kg
OBSERV AT ,IE
Dou ˘a cicluri sunt disjuncte dac ˘a orbitele lor sunt submult ,imi disjuncte ale mult ,imii X.
16

PROPOZIT ,IA 9
Dac˘a avem dou ˘a cicluri disjuncte notate cu 1s,i2, atunci1
2=2
1.
Demomstrat ,ie:
Pentru fiecare ciclu 1s,i2vom considera orbitele lor de definit ,ieO1;O2. Cum1;2disjuncte
rezult ˘a c˘a dac ˘a i2O1, atunci i=2O2.
As,adar (1
2)
i=1
(2
i) =1
i.
Dar1
i2O1, de unde rezult ˘a c˘a2
i2O2, iar2(1
i) =1
i.
Analog dac ˘a i2O2rezult ˘a c˘a(1
2)
i= (2
1)
i.
ˆIn concluzie dac ˘ai =2O1[O2atunci1
i=2
i=i=>(1
2)
i= (2
1)
i=i.
2
2.8 Definit ,ie:
Fie o permutare 2Sns,i not ˘am cuO1;O2;:::;O ktoate-orbitele triviale s ,i netriviale.
Definim ciclul m= (i;
i;:::;lm1)undelmeste lungimea orbitei Om=fi;
i;:::;lm1)g;8m2
f1;:::;kg.
Atunci ciclurile 1;2;:::; ksunt disjuncte dou ˘a cˆate dou ˘a, iar=1
2
:::
k. Spunem astfel
case scrie ca produs de cicluri disjuncte.
Pentruj=f1;2;:::;ng; m jeste num ˘arul ciclurilor de lungime j din descompunerea lui , iar
m1+ 2
m2+ 3
m3+:::+n
mn=n.
EXEMPLU:
=0
@1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 5 6 4 1 3 9 8 71
A2S9
Descompunerea lui ˆın produs de cicluri disjuncte este
= (4)(8)(3 6)(7 9)(1 2 5) = (3 6)(7 9)(1 2 5)
Vom neglija cicluri de lungime 1 s ,i g˘asim tipul de descompunere al permut ˘ariieste (2, 2, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 0).
Signatura unei permut˘ ari. Grupul altern An
Consider ˆand permutarea 2Sn;8n2Nnumim inversiunea lui perechea ordonat ˘a (i, j),
unde 1i<jns,i(j)<(i).
Dac˘a g˘asim un num ˘ar par de inversiuni vom spune c ˘aeste o permutare par ˘a, iar dac ˘a
num ˘arul de inversiuni este un num ˘ar impar atunci este impar ˘a.
Vom nota cu sgn()signatura permut ˘ariis,i o vom defini astfel:
sgn() =Q(j)(i)
ji
17

Altfel spus: sgn()=8
<
:1 dac˘aimpar ˘a
1 dac˘apar˘a
PROPOZIT ,IA 10
Oricare ar fi dou ˘a permut ˘ari;dinSn: sgn(
) =sgn()
sgn()
Demonstrat ,ie:Pentru 1i<jnavem:
sgn(
)=Q()(j)()(i)
ji=Q((j))((i))
(j)(i)
Q(j)(i)
ji.
Din definit ,ia signaturii avem c ˘aQ(j)(i)
ji=sgn().
Dar((j))((i))
(j)(i)=((i))((j))
(j)(i), deciQ((j))((i))
(j)(i)=Q(j)(i)
ji=sgn().
As,adar g ˘asim sgn(
) =sgn()
sgn()
2
2.9 Definit ,ie:
Conform Propozit ,iei 11 signatura unei permut ˘ari definit ˘a astfelsgn:Sn!C2=f1;1geste
un morfism de grupuri.
Vom defini grupul altern pe n elemente (notat: An) ca fiind nucleul morfismului de grupuri de
mai sus.
Vom nota astfel: An=Ker(sgn)=f2Snjeste permutare par ˘ag
Act ,iuni prin conjugare
Consider ˘am G un grup. Pentru dou ˘a elemente g, x2G avem:
(g;x) =g
x
g1,
adic ˘aeste act ,iunea grupului G pe mult ,imea G a elementelor sale.
Spunem astfel c ˘a act ,iuneaeste act ,iunea grupului G pe el ˆınsus ,i prn conjugare.
Notat ,ie exponent ,ial˘a:(g)x=g
x
g1unde g, x2G.
Centrul grupului G se noteaz ˘a cu Z(G) s ,i reprezint ˘a nucleul act ,iuniiprin conjugare.
Adic ˘a Z(G) = Ker( ) =fg2Gj(g)x=x8x2Gg=fg2Gjg
x
g1=x8x2Gg
=fg2Gjg
x=x
g8x2Gg
18

Clasele de conjugare ale grupurilor Sns,iAn
PROPOZIT ,IA 11
Spunem c ˘a dou ˘a permut ˘ari dinSnsunt conjugate dac ˘a s ,i numai dac ˘a ele au acelas ,i tip de
descompunere.
Demonstrat ,ie
Fie,’ dou ˘a permut ˘ari dinSn.
"<= "Presupunem c ˘as,i’ au acelas ,i tip de descompunere s ,i scriem descompunerile lor ca
produse de cicluri disjuncte astfel:
= (a11;:::;a 1p1)(a21;:::;a 2p2):::(an1;:::;a npn) (1)
0= (b11;:::;b 1p1)(b21;:::;b 2p2):::(bn1;:::;b npn) (2)
undep1;p2;p3;:::;p n2Z+cup2+:::+pn=p.
Consider ˘am permutarea ca mai jos s ,i verific ˘am relat ,ia

1=0prin calcul direct.
Ar˘at˘am astfel c ˘as,i’ sunt conjugate.
=0
@a11::: a 1p1a21::: a 2p2::: a n1::: a npn
b11::: b 1p1b21::: b 2p2::: b n1::: b npn1
A (3)
" =>"Presupunem c ˘a cele dou ˘a permut ˘aris,i’ sunt conjugate. Prin definit ,ie trebuie s ˘a
existe o permutare 2Snastfel ˆıncˆat

1=0.
Consider ˆand c ˘a descompunerea ˆın cicluri disjuncte a lui este cea din relat ,ia notat ˘a (1), atunci
permutarea se poate scrie sub forma:
=0
@a11::: a 1p1a21::: a 2p2::: a n1::: a npn
b11::: b 1p1b21::: b 2p2::: b n1::: b npn1
A
Atunci:0(bij) = (

1)(bij) = (
)(aij+1) =(aij+1) =bij+181ins,i1jpi
Analog g ˘asim:0(bipi) =(ai1) =bi1, de unde avem c ˘a descompunerea ˆın cicluri disjuncte a
lui0este cea din relat ,ia (2). As ,adar cele dou ˘a permut ˘aris,i0au acelas ,i tip de descompuneri.
2
19

Partit ,iile unui num˘ ar natural
Num˘ arul claselor de conjugare
Num ˘arul claselor de conjugare ale grupului simetric Sneste egal cu num ˘arul tipurilor de des-
compunere posibile ale permut ˘arilor dinSn.
Ceea ce am spus mai sus ˆınseamn ˘a c˘a pentru a afla num ˘arul claselor de conjugare trebuie s ˘a
afl˘am num ˘arul solut ,iilor naturale (k1;k2;:::;k n)ale ecuat ,ieik1+ 2
k2+:::+n
Kn=n.
Pentru fiecare solut ,ie natural ˘a(k1;k2;:::;k n)vom asocia un sistem ordonat (p1;p2;:::;p n)definit
astfel:
p1=kn,
p2=kn+kn1,
p3=kn+kn1+kn2,
. . .
pn=kn+:::+k2+k1.
Avem c ˘ap1;p2;:::;p n2Ns,ip1p2:::pn,p1+p2+:::+pn=n.
Un astfel de sistem ordonat (p1;p2;:::;p n)cu condit ,iile de mai sus este o partit ,ie a lui n.
Reciproc, dac ˘a(p1;p2;:::;p n)este o partit ,ie a lui n, atunci (k1;k2;:::;k n)este o solut ,ie de numere
naturale ale ecuat ,iei de mai sus. As ,adar g ˘asim c ˘a num ˘arul claselor de conjugare ale grupului Sn
este egal cu num ˘arul partit ,iilor lui n.
EXEMPLE DE PARTIT ,II:
Not˘am num ˘arul partit ,iilor cu(n).
Astfel:
(1) = 1
(2) = 2
(3) = 3 deoarece partit ,iile lui 3 sunt (3), (1,2), (1,1,1)
(4) = 5 deoarece partit ,iile lui 4 sunt (4), (1,3), (2,2), (1,1,2), (1,1,1,1)
(5) = 7 deoarece partit ,iile lui 5 sunt (5), (1,4), (2,3), (1,1,3), (1,2,2), (1,1,1,2), (1,1,1,1,1)
EXEMPLU CLASE DE CONJUGARE:
PentruS3vom avea 3 clase de conjugare corespunz ˘atoare celor 3 partit ,ii s ,i 3 tipuri de descom-
punere.
Partit ,iile sunt: (3), (2,1), (1,1,1)
Tipuri de descompunere: (0,0,1), (1,1,0), (3,0,0)
Clase de conjugare:
C1=f1gformat ˘a din permutarea identic ˘a
C2=f(12);(13);(23)gformat ˘a din toate transpozit ,iile disjuncte
20

C3=f(123);(132)gformat ˘a din toate ciclurile de lungime 3
Num ˘arul permut ˘arilor care au tipul (k1;k2;:::;k n)este:
n!
k1!
k2!
:::
kn!
1k1
2k2
:::
nkn
PentruS5corespunz ˘ator partit ,iilor (5), (1,4), (2,3), (1,1,3), (1,2,2), (1,1,1,2), (1,1,1,1,1) ale lui 5
tipurile de descompunere sunt: (5,0,0,0,0), (3,1,0,0,0), (1,2,0,0,0), (2,0,1,0,0), (0,1,1,0,0), (1,0,0,1,0),
(0,0,0,0,1).
Clasele de conjugare sunt:
C1format ˘a din permutarea identic ˘a
jC1j= 1
C2format ˘a din toate produsele de dou ˘a transpozit ,ii disjuncte
jC2j=5!
2!
22= 15
C3format ˘a din toate transpozit ,iile
jC3j=5!
3!
2= 10
C4format ˘a din produsele de dou ˘a cicluri disjuncte
jC4j=5!
2
3= 20
C5format ˘a din toate ciclurile de lungime 3
jC5j=5!
2!
3= 20
C6format ˘a din toate ciclurile de lungime 4
jC6j=5!
4= 30
C7format ˘a din toate ciclurile de lungime 5
jC7j=5!
5= 24
Avem deci ecuat ,ia claselor:
120 = 1 + 15 + 10 + 20 + 20 + 30 + 24
Simplicitatea grupului altern An
PROPOZIT ,IA 12
Pentru orice n5 grupul altern Aneste simplu.
Demonstrat ,ie(prin induct ,ie dup ˘a n)
Vom demonstra c ˘a pentru n = 5 afirmat ,ia este adev ˘arat˘a.
Clasele de conjugare ale lui S5incluse ˆınA5sunt:
C1cujC1j= 1 (clasele de conjugare corespunz ˘atoare tipului (5,0,0,0,0) )
C2cujC2j= 15 (clasele de conjugare corespunz ˘atoare tipului (1,2,0,0,0) )
21

C5cujC5j= 20 (clasele de conjugare corespunz ˘atoare tipului (2,0,1,0,0) )
C7cujC7j= 24 (clasele de conjugare corespunz ˘atoare tipului (0,0,0,0,1) )
OBSERV AT ,IE:
Dac˘a C este o clas ˘a de conjugare corespunz ˘atoare tipului de descompunere (k1;:::;k n)a gru-
puluiSnatunci:
i) CAnsau CSnAndac˘aP(i-1)
ki; i=1;neste par respectiv impar.
ii)Dac ˘a presupunem c ˘a CAn, atunci C nu este o clas ˘a de conjugare a grupului Andac˘a s ,i
numai dac ˘aki18i2f1;:::;ngs,iki= 0pentru8ipar din mult ,imeaf1, … ,ng.
ˆIn acest caz C = C1[C2undeC1s,iC2sunt dou ˘a clase de conjugare ale lui Ancu proprietatea
c˘ajC1j=jC2j=1
2
jCj.
Conform observat ,iei avem c ˘aC1;C2s,iC5sunt clase de conjugare ˆın grupulA5, darC7este
reuniunea a dou ˘a clase de conjugare.
C7=C(1)
7[C(2)
7cu proprietateajC(1)
7j=jC(2)
7j=1
2
jC7j=1
2
24 = 12
Deci ecuat ,ia claselor este:
1 + 15 + 20 + 12 + 12 = 60
Cardinalele reuniunilor de clase de conjugare ce cont ,in elementul unitate sunt:
1j60
1 + 15 = 166j60
1 + 20 = 216j60
1 + 12 = 136j60
1 + 15 + 20 = 346j60
1 + 15 + 12 = 286j60
1 + 20 + 12 = 336j60
1 + 12 + 12 = 256j60
1 + 15 + 20 + 12 = 48 6j60
1 + 15 + 12 + 12 = 40 6j60
1 + 20 + 12 + 12 = 55 6j60
1 + 15 + 20 + 12 + 12 = 60 j60
Observ ˘am deci c ˘a doar numerele 1 s ,i 60 divid 60, unde 60 = jA5j. As ,adarA5nu are niciun
subgrup normal propriu s ,i netrivial, de unde rezult ˘a c˘aA5este simplu.
Presupunem ˆın continuare c ˘an5, iarAn1este grup simplu.
Pentru orice i din mult ,imeaf1, … , ngconsider ˘am act ,iunea canonic ˘a a luiAnpe aceeas ,i
mult ,ime s ,iHi=Stab An(i). Pentru i s ,i j din mult ,imeaf1, … , ngcu i6=j, alegem o permutare 
dinAnastfel ˆıncˆat(i) =j.
22

Vom avea astfel c ˘a
Hi
1=Hj. Pentru orice i din mult ,imeaf1;:::;ngavem c ˘aHiHn,
de unde evident vom avea c ˘aHnAn1. DeciHieste grup simplu.
Presupunem prin reducere la absurd c ˘a avem un subgrup normal K propriu s ,i netrivial al lui
An. AtunciK\HiEHi, de undeK\Hi= 1sauK\Hi=Hipentru8i2f1;:::;ng.
Presupunem c ˘a exist ˘a j2f1;:::;ngˆıntruc ˆatK\Hj, de undeHjK. Mai sus am vazut c ˘a9o
permutare cu proprietatea 
Hj
1=Hide unde g ˘asimHi=
Hj
1
K
1=K.
Pentru o permutare dinAn, dac ˘a(1) = 1 atunci2H1K. Vom presupune c ˘a(1) =
j6= 1. Astfel pentru i2f1;:::;ngcu proprietatea 1 6=i6=j, avem (j1i)2An, ((j1i))(1) = 1 . As ,adar
(j1i)2H1K.
Din presupunerea init ,ial˘a n ¿ 5. Atunci912f1;:::;ngcu proprietatea (j1i)1= (1ji)2K1K
=> = (j1i)1(1ji)2K. As ,adar dac ˘a exist ˘a j dinf1, … , ngˆıntruc ˆatHjeste un subgrup al lui
K, atunci pentru orice i din f1, … , ngHieste subgrup al lui K =>A n=K(contradict ,ie).
Deci pentru orice i 2f1;:::;ngHi\K= 1. Aleg ˆand permutarea cu proprietatea 2K;6= 1
s,i avˆand =2Hi\Katunci(i)6=i.
Fie x2f1;:::;ngs,i
x=ycu x6=y. Alegem z2f1;:::;ngastfel ˆıncˆatx6=y6=zs,iz6=1
x.
Not˘am
z=t, de unde t =2fx;y;zg.ˆIntruc ˆat n6, lu ˘am u,v2f1;:::;ngcu propriet ˘at,ile u6=
v s ,i u,v=2fx;y;z;tg.
Fie permutarea = (xy)(ztuv)astfel ˆıncˆat:
(

1)
y=x
(

1)
t=u
cu

12Kdeoarece K este normal.
ˆIn consecint ,˘a(

1)
2K,(

1)

u= (

1)
t=u. Deci (

1)
6= 1
s,i(

1)
x= (

1)
y=x(contradict ,ie)
ˆIn concluzie Annu are subgrupuri normale proprii s ,i netriviale, de unde rezult ˘a c˘aAneste
grup simplu.
2
23