Predarea Si Invatarea Operatiilor Aritmetice Invatamantul Primar

CUPRINS

PREANBUL…………………………………………………………………………………………4

CAPITOLUL I. CARACTERISTICI PSIHO-PEDAGOGICE ALE COPIILOR DE VÂRSTĂ ȘCOLARĂ MICĂ , CU IMPLICAȚII ÎN ÎNVĂȚAREA MATEMATICII……………………………………………………………………………………8

CAPITOLUL II NOȚIUNI FUNDAMENTALE ÎN ARITMETICĂ ………….54

CAPITOLUL III PREDAREA-ÎNVĂȚAREA OPERAȚIILOR ARITMETICE ÎN ÎNVĂȚĂMÂNTUL PRIMAR –APLICAȚII PRACTICE………………………….71

CAPITOLUL IV CERCETAREA PEDAGOGICĂ………………………………..126

CONCLUZII……………………………………………………………………………………..154

BIBLIOGRAFIE……………………………………………………………………………….157

PROIECT DIDACTIC ……………………………………………………………………….159

FIȘA DE LUCRU………………………………………………………………………………163

INTRODUCERE

În contextul actualei reforme curriculare a învățământului românesc , este firesc ca în centrul preocupărilor actuale ale școlii românești să se situeze cultivarea accentuată a gândirii logice a micilor școlari . Și cum am putea mai bine rezolva problema decât prin evidențierea relațiilor matematice prin fundamentarea științifică a conceptelor , prin introducerea progresivă a limbajului matematic modern. De aceea se impune ca școala să ofere elevului mijloacele necesare progresului său continuu în cunoaștere și adaptare . Acest progres trebuie să se axeze pe însușirea capacităților esențiale , pe cultivarea unei gândiri suple , dialectice , să-i asigure însușirea de sisteme logice , de metode și instrumente de învățare prin activitate proprie. Obiectivele învățământului matematic , în etapa actuală , derivă din sarcinile generale ale școlii ca subsisteme social unic , precum și din locul matematicii ca disciplină tehnico-științifică . Însă , fiecare lecție în parte , considerată o unealtă din ansamblul întregului sistem de cunoștințe matematice prevăzute de programă , necesită o evaluare continuă a randamentului școlar , privită îndeosebi sub aspectul nivelului real de cunoștințe și deprinderi operaționele ale elevului .

Preocuparea pentru constituirea treptat[ a unui câmp motivațional adecvat oricărei forme de muncă pe care o desfășoară elevul constituie o cerință pedagogică a organizării muncii în școală . Orice cercetare pedagogică este întreprinsă pentru dezvoltarea și perfecționarea continuă a procesului de învățământ , ea poate să urmărească generalizarea experienței pozitive sau crearea unei experiențe noi . Cercetarea de creare a experienței noi corespunde mai mult cu tendințele actuale de dezvoltarea științei, cu creșterea în general a gradului de participare conștientă a omului la progresele în toate domeniile . Matematica este disciplina al cărui studiu contribuie în mod esențial la formarea gândirii logice , a unei judecăți riguroase și a ordinii în viață și în muncă .

Capacitatea omului de a se adapta este foarte mare și greutatea pe care o întâmpină uneori este o greutate de moment caracteristică fiecărei persoane în parte.

Învățarea matematicii exersează gândirea , antrenează capacitatea de organizare logică a ideilor , întărește atenția și mărește puterea de concentrare în intensitate și durată , antrenează memoria logică , dezvoltă un ascuțit simț critic constructiv și gustul pentru obiectivitate și precizie .

Importanța și actualitatea temei

Modernizarea învățământului matematic înseamnă în primul rând includerea în conținutul acestei discipline a cuceririlor acumulate și tratarea ei ca știință a structurilor precum și asimilarea lor într-o manieră modernă .

Învățământul din clasele I-IV are bogate valențe formative . Acum se pun bazele sistemului de noțiuni care se dezvoltă și se aprofundează pe tot parcursul școlarității , acum se formează deprinderile elementare de muncă intelectuală.

Înoirea învățământului matematic înseamnă aducerea la zi a conținutului acestui

învățământ , a metodologiei lui , a relațiilor și structurilor , în jos până la grădiniță . La clasele I-IV când se formează noțiunea de operație nu se face un studiu teoretic al problemei. Învățătorul trebuie să cunoască cu claritate definiția ficărei operații cu numere naturale și proprietățile acestora . Aceste cunoștințe vor facilita formarea noțiunii de operație adunare-scădere , înmulțire-împărțire , la nivelul de înțelegere al elevulilor .Astfel învățătorul va urmări conștientizarea de către elevi a procesului de cunoaștere a semnificație operașiilor , cât și a principiilor ce stau la baza aplicării lor în calcul .

Pe treapta învățământul primar , respectiv clasele I-IV , copiii trebuie să vină în contact cu numeroase situații problematice , care să-i stimuleze la o gândire matematică .

Primul contact al copilului cu matematica constă în acțiunea de a număra obiactele din jurul său . Intrat în școală , noțiunea fundamentală ce se însușeșete este noțiunea de număr natural și operațiile cu acestea. Aceste noțiuni vor sta la baza însușirii noțiunilor matematice în ciclul gimnazial . Putem afirma fără a greși că cerințele majore ale învățării matematicii la ciclul primar o reprezintă și asigurarea continuității cu instruirea din învățământul gimnazial .

Motivarea alegerii temei.

Pornind de la ideea că matematica a devenit în zilele noastre un instrument esențial de lucru pentru totalitatea științelor și domeniilor tehnice , este firesc ca în centru preocupărilor actuale ale școlii românești să se situeze cultivare accentuată a gândirii micilor școlari , prin evidența relațiilor matematice , prin fundamentarea științifică a conceptelor , prin introducerea progresivă , gradată a limbajului matematic modern .

Alegerea acestei teme este motivată de importanța deosebită a înțelegerii noțiuni de operație aritmetică bazată pe conceptul de număr natural .

Activitatea la clasă mi-a oferit posibilitatea să constat că uneori elevii din ciclul primar întâmpină greutăți în însușirea noțiunilor despre operațiile aritmetice . Am constatat că pentru a oferi posibilitatea de însușire de către toți elevi a unui minim de cunoștințe și tehnici utile de lucru este necesar să se țină seama de următoarele aspecte:

–         în toate formele de predare să se respecte etapele dezvoltării psihopedagogice ale copilului ;

–         trezirea interesului pentru aplicarea în practică a cunoștințelor dobândite .

Pentru a-i învăța pe elevi să înveț 858c27i e, pentru realizarea unui învățământ activ formativ al matematicii , stilul de lucru, metodele și procedeele au o importanță deosebită .

Scopul activității matematice este de a-i exersa copilului intelectul , procesele de cunoaștere , de a-l face apt să descopere relații abstracte pe baza situațiilor întâlnite în activitatea obișnuită .

Alegerea temei a fost determinată și de întrebarea : Ce metode putem folosi pentru a ușura înțelegerea noțiunilor privind predarea-învățarea operațiilor aritmetice în învățământul primar . Am constatat că jocul didactic este o formă eficientă de lucru cu elevii din clasele I-IV .

În cadrul obiectului matematică , jocul didactic aduce varietate în exercițiul matematic , înviorează lecția și ca urmare drumul spre deprinderi este mai sigur și mai plăcut .

Ipoteza de lucru și obiectivele cercetării .

,,Cercetarea psihopedagogică” este diferită de mai multe funcții : explicația praxiologică , predicativă , sistematizarea , referențială , informațională etc .

Cercetarea poate lua forme variate , de la simpla observare dirijată la experimantarea de tip formativ și orice cercetare pedagogică este întreprinsă pentru dezvoltarea și perfecționarea continuă a procesului de învățământ . În inițierea cercetării am pornit de la convingerea că există o discrepanță uneori între eforturile ce se fac pentru realizarea unei calități superioare de învățământ și rezultatele care se obțin .

Întreaga activitate de documentare , convorbirile , dezbaterile și clarificările rezultate contribuie la definitivarea problematicii cercetării , adică a perspectivei teoretice pe care cercetătorul se decide să o adopte pentru tratarea și aprofundarea problemei abordate . Astfel pe baza informării bibliografice , a schemelor , modelelor explicative , a paradigmelor furnizate de lucrările de referință , cercetătorul adoptă un cadru teoretic ce corespunde temei respective și explicitează propria problematică , redefinește cât mai bine obiectul cercetării sale, perspectiva de abordare .

Practica pedagogică oferă nenumărate posibilități de cercetare , deoarece ea presupune confruntarea cu o gamă largă de probleme la care trebuie găsite sugestii , soluții pentru a fi rezolvate .

Porcesul formării conceptului de număr natural se bazează pe noțiunea de mulțime și introducerea operațiilor cu numere naturale și are la bază operașiile cu mulțimi de obiecte . Acestea constituie baza intuitiv-corectă pentru înțelegerea de către elevi a operațiilor cu numere naturale , cât și pentru sesizarea principiilor de baza după care se efectuează calculul și proprietățile operațiilor .

În cercetarea efectuată s-a elaborat ipoteza că jocul didactic , prin utilizarea și intregarea adecvată în lecțiile de matematică , poate duce la creșterea eficienței învățării noțiunilor matematice și prin aceasta la un progres școlar al elevilor din ciclul primar .

În vederea demonstrării acestei ipoteze mi-am propus declanșarea unei cercetări psihopedagogice în care am folosit o serie de metode de cercetare : experimentul , observarea , testarea cunoștințelor .

În cadrul cercetării s-au urmărit următoarele obiective :

1)     Cunoașterea trăsăturilor psihice ale copiilor și stabilirea acestora ;

2)     Integrarea optimă a proceselor evaluative în activitățile matematice prin folosirea metodelor specifice ;

3)     Analiza comparativă a datelor inițiale și finale ;

4)     Folosirea metodelor și descriptorilor drept criterii unice de măsurare obiectivă a rezultatelor școlare la matematică ;

5)     Evaluarea inițială a cunoștințelor privind operațiile de adunare și scădere a numerelor naturale ;

6)     Evaluarea finală a cunoștințelor despre adunarea și scăderea numerelor naturale ;

7)     Desprinderea unor concluzii.

CAPITOLUL I

CARACTERISTICI PSIHO-PEDAGOGICE ALE COPIILOR DE VÂRSTĂ ȘCOLARĂ MICĂ , CU IMPLICAȚII ÎN ÎNVĂȚAREA MATEMATICII

I.1. Particularități psihologice ale copilului de vârstă școlară mică : semnificația psihologică a contactului cu matematica .

Pavelcu V. sublinia : ,, Fiecare om , în același timp seamănă cu toți , seamănă cu unii și nu seamănă cu nimeni .”

Doi copii pot fi asemănători, chiar tipici în ceea ce privește caracteristicile generale de vârstă , dar extrem de diferiți în manifestarea concretă a acestora.

Deci, pe fondul general al particularităților de vârstă, își spun cuvântul particularitățile psiho-individuale . Dezvoltarea psihică nu are numai un caracter studial, ci un caracter individual, specific fiecărui individ .

De la naștere și până la maturitate , omul străbate un drum lung de dezvoltare . În decursul anilor , în viața copilului se produc transformări fizice și psihice însemnate . Acestea nu constau doar în adaosul de înălțime și greutate sau în simpla sporire a cunoștințelor și deprinderilor copilului . Dezvoltarea copilului nu poate fi privită doar ca un proces de schimbări cantitative . Faptele arată că în dezvoltarea psihică se produc și schimbări calitative importante .

Așadar prin dezvoltare trebuie să înțelegem în primul rând transformările calitative, de natură fizică și psihică ce se produc în viața copilului . Dezvoltarea psihică a copilului constă , în primul rând, complcarea și adâncirea activității sale de cunoaștere . Ea se caracterizează prin modificarea relațiilor sale cu cei din jur , prin schimbarea atitudinii sale față de medndul general al particularităților de vârstă, își spun cuvântul particularitățile psiho-individuale . Dezvoltarea psihică nu are numai un caracter studial, ci un caracter individual, specific fiecărui individ .

De la naștere și până la maturitate , omul străbate un drum lung de dezvoltare . În decursul anilor , în viața copilului se produc transformări fizice și psihice însemnate . Acestea nu constau doar în adaosul de înălțime și greutate sau în simpla sporire a cunoștințelor și deprinderilor copilului . Dezvoltarea copilului nu poate fi privită doar ca un proces de schimbări cantitative . Faptele arată că în dezvoltarea psihică se produc și schimbări calitative importante .

Așadar prin dezvoltare trebuie să înțelegem în primul rând transformările calitative, de natură fizică și psihică ce se produc în viața copilului . Dezvoltarea psihică a copilului constă , în primul rând, complcarea și adâncirea activității sale de cunoaștere . Ea se caracterizează prin modificarea relațiilor sale cu cei din jur , prin schimbarea atitudinii sale față de mediul înconjurător .

În stânsă legătură cu relațiile pe care le are copilul cu cei din jur , se dezvoltă treptat viața sa afectivă, cu dezvoltare sentimentelor și atitudinilor față de obiectele și fenomenele realității . Pornindu-se de la această bază , se conturează treptat trăsăturile de caracter ale copilului, perfecționându-se și activitatea acestuia . La început, mișcările sale sunt răspunsuri simple , directe la stimulări externe și interne . Aceste acte se complică treptat , câștigând în precizie și coordonare .Putem spune că direcțiile principale ale dezvoltării psihice a copilului sunt : complcarea și adâncirea activității sale de cunoaștere, transformarea vieții sale afective, a relațiilor sale față de mediul înconjurător și perfecționarea activității în sensul dezvoltării conduitei voluntare .

Copilul se dezvoltă sub influența educației și a condițiilor de viață . Acțiunea mediului social și a educației, nu se desfășoară însă pe ,,teren ’’ gol . El se naște cu anumite dispoziții naturale, care reprezintă premizele dezvoltării sale psihice . Aceste dispoziții moștenite nu conțin însușiri psihice și aptitudini gata formate . Ele se formează și se dezvoltă, pe baza dispozițiilor înnăscute, în procesul activității, educației și instruirii .

Intrarea în școală constituie un moment important în educația și dezvoltarea copilului . El intră într-un cerc de relații noi : cu învățătorul, cu elevii din clasă și sporadic cu colectivul școlii . Apar cerințe noi, copilul învață sistematic , cu sentimentul tot mai clar că desfășoară o activitate serioasă , de importanță socială . Modul cum își îndeplinește obligațiile de elev, definește poziția sa în școală , în colectivul de clasă și în familie .

Cunoașterea profilului psihologic al școlarilor mici este de o mare importanță în abordarea strategiilor didactico-educative, în stilul de muncă al cadrului didactic și în relațiile cu copiii.

Fiecare disciplină care se studiază în școală are menirea de a ,, construi’’ și ,,reconstrui ’’ logic și progresiv în structurile mentale ale elevului un sistem de cunoștințe științifice care să se aproprie de logica științe respective .

Matematice este știința conceptelor celor mai abstracte, de o extremă generalitate . Ca ,,abstracțiuni ale abstracțiunilor’’ ele se construiesc la diferite ,,etaje’’ prin inducție , deducție , transducție .

Specificul gândirii copilului de vârstă școlară mică (mai ales în primele clase) se manifestă printr-o proprietate esențială, anume aceea de a fi concret intuitiv . Așa cum arată J. Piaget, ne găsim în stadiul operațiilor concrete . Copilul gândește mai mult operând cu mulțimi concrete .

În acest cadru teoretic se înscrie și cerința ca proiectarea ofertei de cunoștințe matematice la clasele mici să ia în considerare formele și operațiile specifice gândirii copilului .

Gândirea este dominată de concret fiind specifică vârstelor între 6/7- 10/11 ani. Percepția lucrurilor rămâne încă globală ,, văzul lor se oprește asupra întregului încă nedescompus “, lipsește dubla mișcare rapidă de disociere recompunere (H . Wallon) comparația reușește pe contraste mari , nu sunt sesizate stările intermediare . Domină operațiile concrete, legate de acțiuni obiectuale, apare ideea de invariație , de conservare (a cantității, volumului , masei etc.) . Se poate vorbi de puterea de deducție imediată ; copiii pot efectua anumite raționamente de tipul ,,dacă ….., atunci , cu sprijin pe obiecte concrete sau exemple . De asemenea se remarcă prezența raționamentului progresiv, de la cauză la efect, de la condiții la consecință .

Spre clasa a IV a (vârsta 10/11 ani ) putem întâlni , evident diferențiat și individualizat, ,,manifestări ale stadiului preformal, simultan cu menținerea unor manifestări intelectuale situate la nivelul operațiilor concrete .(Aron I.1)

Caracteristicile acestui stadiu generează și unele opțiuni metodologice bazate pe strategii destinate formării și învățării conceptelor matematice .

În acest sens , prioritate va avea nu atât stadiul strict delimitat în care se găsesc elevii din punct de vedere al vârstei, cât, mai ales , zona proximei dezvoltări a capacităților intelectuale ale acestora . Aceasta nu înseamnă, cum afirmă specialiștii (Dottrens R. , Miliaret G. , D.P. Asubel 13) o situare exactă în stadiu și nici a ,,sări “ în predare-învățare cu mult peste posibilitățile copiilor .

Esențial este ca legalitățile construcției psiho-genetice să fie cunoscute, iar formarea noțiuni și operații mintale să pornească de la modele concrete .Lectura perceptivă este o realitate pentru construirea conceptelor și pentru formarea operativității matematicii, așa cum nevoia de exteriorizare sub forma unor acțiuni șateriale sau materializate, fie cu obiecte, fie cu substitute ale acestora (modele, scheme grafice, bile, jetoane etc) reprezintă baza reală a materializării actului mintal .

Toate acestea ne conduc la ideea că gândirea logică la clasele mici nu se poate dispensa de intuiție, de operațiile concrete cu mulțimi de obiecte.

Înainte de a se aplica propozițiile, enunțurile verbale, logica nițională se organizează în planul acțiunilor obiectuale, ale operațiilor concrete. De aceea, procesul de predare-învățare a matematicii în clasele I-IV trebuie să însemne mai întâi efectuarea unor acțiuni concrete, adică operații cu obiecte, care se structurează și se interiorizeză, devenind progresiv, operații logice abstracte .

Formarea noțiunilor matematice se realizează prin ridicarea treptată către general și abstract, unde relația între concret și logic se modifică în direcția esențializării realității .În acest proces trebuie valorificate diverse surse intuitive : experiența empirică a copiilor, matematizarea realității înconjurătoare, operațiuni cu mulțimi concrete de obiecte, limbaj grafic . Astfel, se pot ilustra noțiunile de mulțime, apartenență, incluziune, intersecție, reuniune ș.a. cu obiecte reale (bănci, caiete, cărți ) și cu obiecte cunoscute de către copii, (păsări, copaci ,flori e.t.c.). Însușirea caracteristică a obiectelor ce aparțin mulțimii respective este intuită de copii, sesizată prin experiența lor spontană și nu determinată în mod precis. Au loc însă operații de clasificare a obiectelor care au însușirea ce caracterizeză mulțimea respectivă și aparțin acesteia.

În compararea mulțimilor prin procedeul formări perechilor (unu la unu) se poate face apel la cărți, caiete , scaune (bănci), elevi; pentru mulțimile cu,, tot atâtea elemente” se pot compara mulțimi ca : elevi-paltoane, ghiozdane-elevi ș.a..Putem efectua cu elevii clasificări de genul : băieți-fetițe = copii ,câine –pisică= animale domestice, vrăbiuțe-rândunele =păsărele ș.a.

Noțiunile de relații între mulțimi pot fi cunoscute de copii și în cadrul diferitelor ilustrații (tablouri, ilustrații de carte) prin care ei sunt conduși să sesizeze noțiunea sau relați respectivă în imaginile care reprezintă aspecte din viață (copii care se joacă cu mașinuțe, cu mingi, cu iepurași, cățeluși).Referitor la această problemă J.Piaget afirmă că nu obiectele în sine poartă principiile matematice , operațiile cu mulțimi concrete .

Operațiile logice trebuie, de aceea cunoscute mai întâi în acțiunile concrete cu obiectele și apoi interiorizate ca structuri operatorii ale gândirii .Elevul este pus să efectueze operații logice cu mulțimi de obiecte care poartă în ele legități matematice (bețișoare ,bile, riglete ș.a.). Acest lucru se poate face la nivelul claselor I-IV, fără a recurge la terminologia utilizată în studiul structurilor matematice .Introducerea mai târziu a noțiunilor de teoria mulțimilor (care se face începând cu clasa a V a)nu împiedică exersarea la clasele I-IV a structurilor logice necesare în conformitate cu intenția dezvoltării lor ulterioare .

Materialul didactic cel mai potrivit pentru a demonstra cu multă exactitate și precizie mulțimile, relațiile dintre mulțimi ca bază a formări noțiunii de numă natural și operațiile cu mulțimi, ca bază a operațiilor cu numere naturale, este constituit din truse. Datorită faptului că atributul (caracteristica) după care se constituie mulțimile ca figuri geometrice sau piesele trusei ,,Logi II”este precis determinat (formă, culoare, mărime, grosime), structurile logice se pot demonstra cu acesta în mod riguros matematic .De aceea, putem aprecia că aceasta reprezintă materialul didactic concret cu cea mai bogată încărcătură logică, cu valențele cele mai mari în a-i ajuta pe copii să înțeleagă cu precizie și siguranță, relațiile dintre mulțimi, operațiile cu mulțimi. În operarea cu piesele jocurilor logice, copii se găsesc foarte aproape de operarea cu structuri logice .De aceea ,,comenzile “ (instrucțiunile) învățătorului trebuie să lase mai mult loc pentru independența, inițiativa și inventivitatea copilului (de exemplu, formați o mulțime din piese de aceeași culoare, sau de aceeași formă, sau de aceeași formă și aceeași culoare etc.) .

Reprezentările grafice și limbajul grafic sunt foarte aproape de noțiuni . Ele fac legătura între concret și logic, între reprezentare și concept care este o reflectare a proprietăților relațiilor esențiale ale unei categorii de obiecte sau fenomene, între cele două niveluri, interacțiune este logică și continuă .Ea este mijlocită de formațiuni mixte de tipul conceptelor figurative, al imaginilor esențializate sau schematizate care beneficiază, prin generalitatea semnificațiilor purtate de apartenența lor la rețeaua conceptuală și prin impregnarea lor senzorială, de aportul inepuizabil al concretului .

Imaginile mintale, ca modele parțial generalizate și reținute în gândire într-o formă figurativă, de simbol sau abstractă, îl aproprie pe copil de logica operației intelectuale cu obiectele, procesele și evenimentele realității, devenind astfel sursa principală a activității gândirii și imaginației . Generate în mod continuu de interacțiunea noastră cu lumea înconjurătoare, imaginile mintale se interpun între noile stimulări (cunoștințe, operații) și răspunsurile elevilor, mediind, în sensul cel mai larg al cuvântului, cunoașterea realității matematice .

Operația de generalizare la care trebuie să ajungem are loc atunci când elevul este capabil să exprime prin semne grafice simple (puncte, linii, cerculețe, figuri geometrice) ideea generală care se desprinde în urma operațiilor efectuate cu mulțimi concrete de obiecte . Semnul grafic evocă obiectele pe care le reprezintă ca element al mulțimii .Criteriul de apartenență la o mulțime sau alta (culoare , formă , mărime) a rămas doar în mintea elevului ca o structură logică .El exprimă grafic fenomenul matematic pe baza înțelegerii lui, a sesizării esențialului, ceea ce înseamnă de fapt pe baza definiției lui .

Nivelurile de construcție prezentate mai sus nu se succed linear în formarea conceptelor matematice .Lafiecare nivel, pe măsură ce ne apropiem de concept, există o înbinare complexă între concretul ,, cel mai concret” și imagine, între senzorial și logic . De aceeea nu este vorba de o parcurgere rigidă și strict liniară a acestor etape ci de organizare și dirijare rațională, metodică a relației intuitiv-logic adecvate conceptului respectiv, în strânsă conexiune cu ciondițiile concrete în care se desfășoară activitatea didactică . Important este ca activitatea elevilor să fie dirijată pe linia atingerii progresive a esenței conceptului respectiv. Reiese astfel mai clare conceptele :formarea mulțimilor , pe linia însușirii proprietății caracteristice pe care trebuie s-o aibă elementele respective pentru aparține unei mulțimi, formarea noțiunii de număr , pe linia clasei de echivalență a mulțimilor echivalente, operația de adunare, pe linia reuniunii mulțimilor disjuncte, care trebuie nu numai constatată pe un desen din manual, ci operată prin manevrarea obiectelor la niveluri diferite de concretul logic etc.

Mulțimile ne apar deci ca fiind produsul unor operații mintale, în timp ce obiectele (elementele) din care sunt formate ele sunt obiecte fizice . De aceea, pe întreg parcursul formării conceptelor de număr natural, de operații cu numere naturale pe baza mulțimilor trebuie să se realizeze îmbinarea între concret și logic, cu negarea dialectică, treptată, a concretului și asimilarea (interiorizarea) modelului (abstracțiunii) respectiv .

I.2. Relația de continuitate între grădiniță și învățământul primar.

Formare limbajului matematic.

Învățământul preșcolar, prima verigă a sistemului nostru de învățământ, are menirea de a asigura pregătirea copiilor pentru activitatea școlară .Având un rol preponderent formativ, învățământul preșcolar dezvoltă gândirea, inteligența, spiritul de observație ale copiilor, exersând operațiile de analiză, sinteză, comparație, abstractizare și generalizare în cadrul jocurilor logico-matematice .

În grădiniță copilul învață, așa cum se precizeză și în programă, să formeze colecții-mulțimi de obiecte ; descoperă proprietățile lor caracteristice, stabilește relații între ele, efectuează operații cu ele . În cadrul jocurilor logico-matematice, copii sunt familiarizați cu unele noțiuni elementare despre mulțimi și relații .Făcând exerciții de gândire logică pe mulțimi concrete ei dobândesc pregătirea necesară pentru înțelegerea numărului natural și a aoperațiilor cu numere naturale pe baza mulțimilor (conjuncția, disjuncția, negația , implicația, echivalența, ca fundamentând intersecția, reuniunea, complementara, incluziunea și egalitatea mulțimilor). În principal, acestea constau în exerciții de clasificare , comparare și ordonare a mulțimilor de obiecte .

Exercițiile de formare a mulțimilor după o însușire, apoi treptat, după două sau mai multe însușiri (culoare, formă , mărime, grosime) reprezintă adevărate exerciții de clasificare a obiectelor după un criteriu dat .

Compararea mulțimilor de obiecte îi ajută pe elevi să stabilească , fără a utiliza numere, relațiile dintre mulțimi, care pot avea mai multe elemente decât mulțimea cu care se compară, mai puține sau tot atâtea elemente .

Exercițiile de ordonare e elementelor unei mulțimi , mai întâi după un model dat (grupă mică ), apoi după criteriile stabilite (formă, mărime, culoare-grupă mijlocie) și , în final , după mai multe criterii (grupa mare), conduc la pregătirea copiilor pentru compararea numerelor și pentru înțelegerea șirului numerelor naturale .

Prin activitățile cu conținut matematic (grupare, ordonare, comparare, punere în corespondență), copiii sunt antrenați în acțiuni operatorii cu diferite materiale (obiecte, imagini schematice ale acestora și simboluri, cerc, linie, punct etc.).Acestea constituie o bază reală prin care se realizează dezvoltarea intelectuală a copiilor de natură să optimizeze integrarea în clasa I, să asigure pregătirea lor pentru învățarea matematicii.

Învățarea unei științe începe de fapt cu asimilarea limbajului ei noțional .Studiul matematicii în manieră modernă, încă de la clasa I, urmărește să ofere elevilor, la nivelul lor de înțelegere, posibilitatea explicării științifice a conceptului de număr natural și a operațiilor cu numere naturale. Dacă înțelegerea acestor noțiuni se realizeză la nivelul rigorii științifice a matematicii, atunci și limbajul în care se exprimă acest sistem de noțiuni trebuie să întrunească rigoarea științifică .

Există o strânsă legătură între conținutul și forma (denumirea) noțiunilor care trebuierespectată cu precădere în formarea noțiunilor matematice. Orice termen (denumire) trebuie să aibă acoperire în ceea ce privește înțelegerea conținitului noțional ; astfel, asemenea termeni apar cu totul străini de limbajul actic al copilului și , fie că-i pronunță incorect, fie că sub aspect sonor îi pronunță corect, dar îi lipsec din minte reprezentările corespunzătoare, realizându-se astfel o învățare formală .

Toate științele operează cu un aparat noțional care se învață o dată cu „descifrarea” noțiunilor respective . Limbajul matematic, fiind limbajul conceptelor celor mai abstracte și mai generale, se introduce la început cu unele dificultăți . De aceea , trebuie asigurată mai întâi înțelegerea noțiunii respective, sesizarea esenței, de multe ori într-un limbaj cunoscut de copii, accesibil lor, făcând unele concesii din partea limbajului matematic . Pe măsură ce se asigură înțelegerea noțiunilor respective, trebuie reprezentată și denumirea lor științifică .

Deci, pe măsură ce elevul avansează în interpretatrea corectă a noțiunilor matematice se introduce și limbajul riguros științific .

Atenția care se impune este deci ca în introducerea unei noțiuni să se dea numai acele elemente pentru care există posibilitatea reală a înțelegerii de către elevi . Esențială este alegerea metodelor celor mai potrivite pentru atingerea acestui scop .La nivelul claselor I-IV descrierea bazată pe unele exemple și operații concrete , urmată de o atentă abstractizare până la nivelul accesibil sunt cele mai indicate . Important este ca tot ceea ce se face să fie în limitele care permit dezvoltarea ulterioară corectă a noțiunilor și operațiilor matematice .

Logica didactică a matematicii se construiește ținând seama de particualritățile psihice ale celor care învață matematica .

În evoluția mentală a școlarului de calsa I, o contribuție esențială la statornicia planului simbolic abstract o are contactul cu unele noțiuni matematice, cu condiția ca prin programul de instruire să se întrețină învățarea mecanică .

Pe fondul unor structuri de baza, pot fi proiectate o infinitate de construcții operaționale particulare :

–         mișcarea în ordine crescătoare și descrescătoare a șirului de numere naturale;

–         tehnica primelor două operații fundamentale în concentrul 0-10 și apoi în limitele concentre până la 100;

–         înbogățire nomenclatorului noțional .

Astfel , află că unele numere sunt termeni, fac cunoștință cu proprietățile : asociativitatea și comutativitatea .

Exerciții de tipul : a-3=4, 7-a=2 cultivă flexibilitatea, ajută la automatizarea și creșterea vitezei de lucru și stimulează descoperirea, înțelegerea, judecata, raționamentul matematic .

Pentru evitarea învățării mecanice, cunoștințele matematice trebuie introduse ca acte asociate, fondate una pe alta și ilustrate una din alta, cu realizarea unei legături interne de continuitate între acțiunea practică și cea teoretică .

Dacă la clasa I modelul de învățare este cu precădere intuitiv, empiric, la clasa a II a se reduce intuitiv până la eliminare . Învățarea conține nu numai informație mai multă, ci și multă metodă . Preocuparea pentru metodă, ca factor principal al creării accesului elevului la gândirea matematică, este doar un început, pentru că ponderea mare revine tot exercițiului, aplicației, ceea ce duce la un efect de consolidare a deprinderii de calcul , înaintea judecății matematice .

Unul din momentele esențiale ale învățării matematicii în clasa a III aîl constituie familiarizarea elevilor cu ordinele și clasele numerelor . Operațiile matematice fundamentale, însușite în clasa a II a , sunt solicitate să fie lucrate în condițiile compartimentării ordinale a numerelor . Acum sunt introduși termeni fizici de bază : întinderea ,volumul , greutatea, durata, iar noțiunile de geometrie întregesc setul sarcinilor care compun matematica la clasa a III a .

În clasa a IV a temele care îi introduc pe elevi în învățarea noțiunilor de fracție, ca mod de redare a relației parte-întreg , ca și problemele tipice oferă bune ocazii de educare a gândirii matematice. Crește competența cognitivă a elevului pentru sarcini din ce în ce mai complexe .Una din notele specifice ale învățării o poate constitui călăuzirea elevului spre reflexivitatea matematică bazată pe implementarea noului în unitate, cu reconsiderarea „știutului” .

Învățarea matematicii este o activitate anevoioasă și uneori ,am întâlnit cazuri când elevul avea reacții negative, de respingere față de acest obiect.

Motivația învățării în studierea aceste discipline de învățământ am susținut-o prin stimularea și menținerea într-o stare activă a curiozității cognitive ale copiilor .

Am fructificat această „dechidere” a personalității școlarilor mici spre nevoia de a afla, de a cunoaște, pentru a cultiva atașamentul tață de școală și de învățătură și interesul pentru matematică .

I.3. Elemente de curriculum.

Termenul de curriculum este folosit din abundență în literatura pedagogică, în textele de politică a educației, în mass-media, în limbajul comun. Semnificațiile induse întrețin însă opinii aflate uneori în contradicție cu esența curriculumului.

Fundamentele istorice ale curriculumului susțin clarificarea conceptului din perspectiva evoluțiilor sale pedagogice și sociale, realizate în trei etape semnificative : premodernă, modernă, postmodernă.

În etapa premodernă (secolul XVII sfârșitul secolului XIX), curriculumul este înțeles în sens tradițional , doar ca document oficial care programează conținutul studiilor în cadrul sistemului de învățământ .

În etapa modernă, curriculumul, în accepția de conținut, este raportat la experiența de învățare a elevului . Astfel poate fi depășită pedagogia tradițională în cadrul căreia manualul și profesorul se întrec să prezinte copilului obiectul de studiu așa cum apare acesta specialistului .

În etapa postmodernă sunt afirmate principiile de bază ale curriculumului, exprimate prin întrebări-problemă cu valoare metodologică superioară :

–         Ce scopuri și obiective trebuie să realizeze instituția școlară ;

–         Ce experiențe de educație/instruire pot fi oferite pentru atingerea acestor scopuri și obiective ;

–         Cum pot fi organizate aceste experiențe pentru atingerea scopurilor și a obiectivelor propuse ;

–         Cum poate fi determinat nivelul de realizare a scopurilor și a obiectivelor propuse.

Aceste principii vor marca evoluția curriculumului ca model rațional de proiectare (obiective-experiențe de învățare/conținuturi și metodologie-evaluare /cu funcție de reglare –autoreglare continuă a activității de educație/instruire).

După 1970, curriculumul , noțiune pedagogică de mare generalitate , are o extindere „ valabilă într-un sens cât mai larg posibil”, la toate nivelurile sistemului și ale procesului de învățământ . El reprezintă „un proiect educativ care definește .a) țelurile , scopurile și obiectivele unei acțiuni educative ; b) căile, mijloacele și activitățile folosite pentru a atinge aceste scopuri; c)metodele și instrumentele pentru a evolua în ce măsură acțiunea a dat roade „ Crețu Carmen (8).

Conceptul de curriculum cunoaște definiții care acoperă o realitate pedagogică extrem de extinsă sau de restrânsă în raport de sistemul de referință și de evoluția științelor educației într-un timp și un spațiu determinat din punct de vedere istoric.

Depășirea limitelor care apar în definirea curriculumului, presupune regândirea acestui concept pedagogic fundamental, aplicabil la scara întregului sistem și proces de învățământ. Ccurriculumul este ansamblul complex și evolutiv de reguli de desfășurare pedagogică a unei acțiuni de educație sau de formare realizată la diferite niveluri de operaționalizare .Acest ansamblu este definit , în mod esențial prin :

– finalități, obiectivele generale ale acțiunii și / sau efectele așteptate pe terenul traversat de acesta;

– conținuturile-materii, obiectivele, capacitățile și / sau competențele de dezvoltat la cei care învață ,

– metodele pedagogice ;

– modurile de gestiune aprocesului , inclusiv modul de relaționare între actorii educației/instruirii,

– articularea cu contextul organizațional sau al mediului înconjurător ,

– modalități de evaluare a performanțelor celor care învață .”

Literatura pedagogică de ultimă generație vorbește despre o știință a curriculumului, cu o viziune globală care trebuie construită special pentru realizarea deplină a obiectivelor la nivelul clasei de elevi” .

„Noua știință” confirmă principiile de bază ale curriculumului lansate la jumătatea secolului XX, la nivelul modelului rațional . Dintre principiile dezvoltate de „noua știință a curriculumului ” putem enumera :

a)     explicarea clară a scopurilor cu valoare motivațională (teoretică și practică) pentru toți elevii ;

b)    construirea clară și simplă a curricumului (accent pe structura cunoașterii, pe identificarea elementelor esențiale) în raport cu scopurile propuse;

c)     prezentarea cunoașterii științifice dintr-o perspectivă istorică și actuală, teoretică și practică (prin studii de caz relevante pedagogic și social );

d)    integrarea tehnologiilor și a aplicațiilor în structura științei;

e)     înțelegerea științei prin rezolvarea de probleme și situații problemă bazate pe aplicarea cunoștințelor solide (conceptelor fundamentale cu valoare metodologică superioară );

f)      stimularea profesorului (și implicit a elevului în direcția promovării unei game variate de metode și tehnici de instruire (respectiv de învățare);

g)     promovarea strategiilor , metodelor și tehnicilor (procedeelor) de evaluare care asigură concentrarea profesorului asupra aptitudinilor elevilor .

În ultimă instanță , esențială este cunoașterea și valorificarea deplină a capacității/aptitudinii elevului de învățare a științei la nivel profund, în termeni de explicare și de înțelegere, de fixare normativă și de interpretare metodologică de dezbatare convergentă și divergentă (de abordare a controverselor, soluțiilor discutabile, inovațiilor posibile etc.) .

Cele șapte principii identificate sunt raportabile la structura modelului rațional bazat pe definirea finalităților și selectarea optimă , în consecință , a componentelor care vizează conținuturile-metodologia-evaluarea . Ceea ce pare distinct ține de „punctul de vedere constructivist” care trebuie adoptat (și adaptat ) într-un (la un) context global .

Dechiderea curricumului față de valorile culturii globale și locale , universale și naționale, față de tradițiile și inovațiile pedagogice, generează chiar „ o știință radicală a curricumului „ care vizează în mod explicit .

a)     transmiterea culturii științifice , la nivelul unor ( sau prin intermediul unor) circuite de comunicare pedagogică , construite (perfecționate) permanent prin diferite mijloace de retroacțiune (conexiune inversă) externă și internă;

b)    dezvoltarea la elevi a capacității cognitive necesare pentru înțelegerea , aplicarea, analiza-sinteza, evaluarea critică a informațiilor în contexte situaționale deschise ,

c)     formarea-dezvoltarea la elevi a capacităților de evaluare și de auto-evaluare obiectivă pe criterii de maximă rigurozitate ,

d)    formarea-dezvoltarea aptitudinilor elevilor de participare la (re) construcția socială prin valorizarea cunoștințelor științifice și a tehnologiilor dobândite , în perspectiva modelului cultural al societății postmoderne informaționale .

(Re)construcția curriculumului va avea în vedere personalitatea elevului în ansamblul său : „un entuziasm pentru studiul științei și încrederea în folosirea acesteia” . Este miza unei pedagogii a succesului , propriei paradigme curriculumului, în orice variantă dezvoltată mai veche sau mai nouă .

Programa școlară de matematică stabilește conținutul obiectului . Conținuturile sunt mijloace prin care se urmărește atingerea obiectivelor cadru și a obiectivelor de referință propuse . Unitățile de conținut sunt organizate fie tematic, fie în conformitate cu domeniile constituitive ale diverselor obiecte de studiu .

Realizarea programei este obligatorie pentru învățători . În parcurgerea ei trebuie păstrat un ritm reflectat de planul calendaristic ,pentru fiecare clasă și disciplină .

Rolul învățătorului care predă nemijlocit la clasă este foarte, deoarece succesiunea unei teme date după planificarea proprie sau în catedră , procedeele didactice cele mai rodnice, mai stimulative se crează și se verifică în procesul predării.

Manualele școlare vor fi construite curricular în măsura în care programa școlară este construită curricular . Manualele alternative de matematică sunt utile în măsura în care au o bază stabilă a obiectivelor și a conținuturilor fundamentale . Aceasta va permite alegerea unor căi diferite de organizare a învățării, evaluare alternativă, autoînvățare .

Manualul școlar reprezintă mijlocul de bază folosit în procesul de învățământ activ cât și în afara acestuia, fiind principalul material bibliografic al elevului . El reprezintă detaliat conținutul programelor școlare .Funcția principală a manualului este aceea de informare a elevului, este mijloc de bază al studiului său, care îi dă posibilitatea de a învăța în continuare . De aceea autorii de manuale trebuie să țină seama că acestea ar trebui nu numai să-l ajute pe elev să țnvețe matematica, dar să-l obișnuiască în același timp cu munca individuală cu cartea de matematică .

Unele teme sunt organizate a se preda în „spirală” care constă în reântoarcerea la același conținut, de fiecare dată pe o treaptă superioară . Acest mod de prezentare corespunde sistemului concentric propri-zis sau concentric calitativ și sistemului concentric cantitativ sau concentric liniar .

Sistemul concentric cantitatic „desemnează modul de organizare a cunoștințelor în programe de învățământ, manuale și lecții astfel încât noțiunile se însușesc în etape prin reluări, restructurări și reinterpretări până la formarea lor completă și corectă . În acest mod sunt planificate noțiunile despre arii și volume care se predau și învață în clasele primare cât și în gimnaziu și liceu .

Sistemul concentric cantitativ este modul de organizare a cunoștințelor în programe școlare, manuale și lecții care constau în reluarea adăugită și detaliată a materiei parcurse anterior, reluare reclamată nu atât de dificultatea înțelegerii noțiunilor, ci mai ales de nevoia lărgirii cunoștințelor ăn succesiunea claselor și treptelor școlare ”.Programele școlare trec printr-un proces complex de elaborare și revizuire ăn viziunea curriculară, care presupune o proiectare în interacțiunea lor a obiectivelor, activităților de învățare și a principiilor și metodelor de învățare . Noile planuri cadru de învățământ stimulează de astfel prin existența curricumului le decizia școlii, inovația curriculară locală la nivelul fiecărui cadru didactic și la nivelul fiecărei catedre .

Noul curriculum școlar , prin conceperea lui ca echilibru între curriculum nucleu și curriculumul la decizia școlii, contribuie în mod specific la descentralizarea și flexibilizarea deciziilor curriculare la nivelul unităților școlare .Programele școlare favorizează o nouă viziune dideactică în elaborarea manualelor școlare, care prin rolul lor de instrument curricular și didactic orientează într-o mare măsură demersul de predare-învățare la clasă, inclusiv evaluarea elevilor și stimularea unei motivații susținute pentru învățare .

Actualele programe școlare subliniază importanța rolului reglator al obiectivelor pe cele două niveluri de generalitate : obiective cadru și obiective de referință.

Proiectarea Curricumuluio de matematică a fost ordonată de principiile :

–         asigurarea continuității la nivelul claselor și ciclurilor ;

–         actualitatea informațiilor predate și adaptarea lor la nivelul de vârstă al elevilor ;

–         diferențierea și individualizarea predării-învățării ;

–         centrarea pe aspectul formativ ;

–         corelația transdisciplinară și interdisciplinară ;

–         delimitarea unui nivel obligatoriu de pregătire matematică a tuturor elevilor și profilarea posibilităților de avensare în învățare și de obținerea de noi performanțe .

Pentru realizarea scopului studierii matematicii în școală , curricumul conține „Oobiective generale ale predării-învățării matematicii” .Ele derivă din obiectele pe arie curriculară „Matematica și științele” , servesc drept finalități ale învățăturii la sfârșitul ciclului școlar și au un grad foarte înalt de generalitate și de complexitate . Obiectivele generale sunt clasificate în categorii de cunoștințe, capacități și atitudini care se structurează prin disciplina școlară Matematica . Aceste obiective servesc drept surse de elaborare a obiectivelor cadru , a obiectivelor de referință . Totodată ele orientează educatorul în elaborarea obiectivelor operaționale și a celor de evaluare .

Scopul studierii matematicii în școală este înțelegerea mai aprofundată a conceptelor , a procedurilor de calcul, a terminologiei . În cadrul studierii matematicii vor fi dezvoltate capacitățile de explorare-investigare, interesul și motivația pentru studiul și aplicarea matematicii în contexte variate . Învățarea matematicii în școală urmărește conștientizarea naturii matematicii, pe de o parte, ca o activitatede rezolvare a problemelor, bazată pe un sistem de capacități , cunoștințe ,procedee, iar pe de altă parte, ca disciplină dinamică , strâns legată de viața cotidiană, de rolul ei în științele naturii, în tehnologii și în științele sociale .

Cadrul conceptual al curricumului este determinat de modelul de învățare structural cognitiv ce propune o nouă paradigmă pentru învățarea matematicii .Ea vizează formarea de structuri ale gândirii specifice matematicii. Aceasta prevede predarea de concepte , adică entități structurate care cuprind definiții, teoreme , reguli , dar mai ales un mod de gândire propriu .Operațiile mentale și informaționale de studiu sunt proiectate în obiectivele cadrul și cele de referință. O astfel de aplicare se realizează pe nivele de abstractizare , adică se organizează activități în plan obiectual (cu obiecte), în plan simbolic (cu simboluri neconvenționale), apoi cu simboluri convenționale , în plan verbal și în plan mental interiorizat . Se fac permanent treceri de la o treaptă de abstractizare la alta .

Studiul matematicii în învățământul primar are ca scop să contribuie la formarea și dezvoltarea capacităților de a reflecte asupra lumii, de a formula și rezolva probleme pe bazarelaționarii cunoștințelor din diferite domenii, precum și la înzestrarea cu un set de competențe , valori și aptitudini menite să asigure o cultură generală optimă .

Trecerea sistematică de la învățământul instructiv la cel de modelare a capacităților intelectului, ca și noua viziune asupra didacticii discipline Matematica, au impus necesitatea elaborării unui curriculum de matematică pentru învățământul primar ca o continuare a curriculumului pentru învățământul preșcolar și ca o bază aînvățământului gimnazial .Învățământul matematic va scoate ăn relief valorificarea potențialului creativ al elevului .

Proictarea Curricumului de matematică a fost ordonată de principiile :

–         asigurarea continuității la nivelul claselor și ciclurilor ;

–         actualitatea informațiilor predate și adaptarea lor la nivelul de vârstă al elevilor ;

–         diferențierea și individualizarea predării-învățării ;

–         centrare pe aspectul formativ ;

–         corelația transdisciplinară-interdisciplinară (eșalonarea optimă a conținuturilor matematice corelate cu disciplinele reale pe arii curriculare asigurându-se coerența pe verticală și orizontală) .

În ciclul primar, matematica a rămas și va rămâne una din disciplinelle de bază . Elevii își însușesc noțiuni elementare cu care operează pe tot parcursul vieții . Școlarilor li se formează unele aptitudini și abilități ale gândirii, pe lângă deprinderile de calcul și de rezolvare a preblemelor .

În planul de învățământ, la clasele I-IVV, studiului matematicii îi sunt afectate 4 ore săptămânal pentru fiecare clasă avându-se în vedere că, în ciclul primar se formează noțiunile matematice elementare cu care copilul va opera pe tot parcursul vieții și pe care se clădește ăntregul sistem al învățământului matematic, că acum se formează „ instrumentele” mentale și abilități ale gândirii.

Studiul matematicii în școala primară își propune să asigure pentru toți elevii formarea competențelor de bază vizând :calculul aritmetic, noțiuni intuitive de geometrie, măsurare și măsuri .

În ansamblul său, concepția în care a fost construită noua programă de matematică vizează următoarele:

–         schimbări în abordarea conținuturilor ;

● trecerea de la o aritmetică teoretică la o varietate de contexte problematice care generează aritmetică ;

– schimbări în ceea ce se așteaptă de la elev ;

● trecerea de la aplicarea unor algoritmi la folosirea de strategii în rezolvarea de probleme ;

– schimbări de învățare ;

● trecerea de la memorizare și repetare la exploatare-investigare ;

– schimbări de predare ,

● trecarea de la ipostaza de transmițător de informații a învățătorului la cea de organizator al unor activități variate de învățare pentru toți copiii, în funcție de nivelul și ritmu propriu de dezvoltare al fiecăruia ,

– schimbări de evaluare ;

● trecerea de la subiectivismul și rigiditatea notei la transformarea evaluării într-un mijloc de autoapreciere și stimulare a copilului ;

Acestea impun ca învățătorul să-și schimbe în mod fundamental orientarea în activitatea la clasă. (Lupu Costică 21)

Capătă mai puțină importanță :

● memorarea de reguli și socotitul ,

● problemele / exercițiile cu soluții sau răspunsuri unice ;

● matematica făcută cu „creionul și hârtia”, respectiv „creta și tabla „;

● activitatea profesorului și învățătorului ca transmițător de cunoștințe adresate unui elev care receptează pasiv și lucrează singur ;

● evaluarea cu scopul catalogării copilului .

Devine mult mai importantă :

● activitatea de rezolvare de probleme prin tatonări, încercări, implicarea activă în situații practice, căutarea de soluții dincolo de cadrul strict al celor învățate ;

● formularea de întrebări , analiza pașilor de rezolvare a unei probleme, argumentarea deciziilor luate în rezolvare ;

● utilizarea unei varietăți de obiecte care trebuie manipulate în procesul învățării ;

● activitatea profesorului și a învățătorului în calitate de persoană care facilitează învățarea și îi stimulează pe copii să lucreze în echipă ;

● evaluarea ca parte integrantă a instrucției, cu rol stimulator-dinamizator în activitatea didactică .

Programa de matematică pentru învățământul primar își propune să transforme toate aceste idei în realități ale practicii școlare prin intermediul componentelor sale : obiective cadru, obiective de referință, activități de învățare cu conținuturi și standarde de performanță .

Obiectivele cadru au un grad ridicat de generalitate și complexitate și marchează evoluția copilului de-a lungul întregului ciclu primar așa cum reiese din actuala programă școlară :

1.     Cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii ;

2.     Dezvoltarea capacităților de explorare/investigare și rezolvare de probleme ;

3.     Formarea și dezvoltarea capacității de a comunica utilizând limbajul matematic ;

4.     Dezvoltarea interesului și a motivației pentru studiul și aplicarea matematicii în contexte variate .

Obiectivele cadru exprimă faptul că scopul perdării/învățării matematicii în școala primară nu se mai limitează la însușirea noțiunilor specifice și la cunoașterea procedurilor de calcul .Se urmărește în egală măsură stimularea capacității copilului de a explora noțiuni și concepte necunoscute , de a experimenta , de a-și dezvolta posibilitățile de comunicare, se urmărește formarea unor atitudini și calități personale în raport cu acest domeniu de studiu .

Obiectivele de referință măsoară progresia în cahiziția de cunoștințe și capacități . Ele au un nivel de generalitatecare permite percepția sinetică a întregului demers didactic aferent unui an de studiu.

Aceste obiective cadru și de referință se regăsesc în programele școlare ale fiecărei clase . Astfel , la clasa I elevii vor învăța să scrie, să citească, să compare și să ordoneze numerele naturale de la 0 la 100, vor efectua operații de adunare și de scădere în concentrul 0-30 fără trecere peste ordin învățând totodată să rezolve probleme care presupun o singură operație din cele învățate, să formuleze oral exerciții și probleme cu numere de la 0 la 30 . În clasa a II a se vor relua cunoștințele despre numerele naturale și operații cu acestea lărgindu-se concentrul de lucru cu numere naturale până la 1000. În această clasă elevii se vor familiariza cu noțiuni : termen, sumă, „cu atât mai mult”, „cu atât mai puțin” , cu unele dintre proprietățile adunării (comutativitatea, asociativitatea, element neutru ) fără terminologie . Deasemeni elevii își vor însuși noțiunile despre aflarea unui număr necunoscut în cadrul unei relații de tipul ? + a = b ; ? – a = b sau a + ? = b; a – ? = b .

În clasa a III a adunarea și scăderea numerelor naturale se va realiza în intervalul de la 0 la 10 000 . Elevii vor opera cu termeni : descăzut, scăzător , sumă, termen „ cu atât mai mult”, „cu atât mai puțin”, vor evidenția unele proprietăți ale adunării (comutativitatea, asociativitatea, element neutru ) cu ajutorul obiectelor și al reprezentărilor, făăr a folosi terminologia . Ca o noutate în clasa a III a se introduc alte două operații cu numere naturale mai mici ca 100 : înmulțirea și împărțirea .

În cadrul acestui capitol se propu următoarele teme :

● Înmulțirea numerelor naturale folosind adunarea repetată de termeni egali ;

● Înmulțirea numerelor scrise cu o singură cifră ;

● Terminologia specifică : factor, produs , „de atâtea ori maimult”, dublu , triplu ;

● Tabla înmulțirii ;

● Evidențierea unor proprietăți ale înmulțirii (comutativitatea, asociativitatea, element neutru, distribuitivitatea față de adunare sau scădere) cu ajutorul obiectelor și al reprezentărilor, fără a folosi terminologia ;

● Ordinea efectuării operațiilor ;

● Împărțirea numerelor neturale folosind scăderea repetată și relația cu înmulțirea ;

● Terminologia specifică : deâmpărțit, împărțitor, „de atâta ori mai puțin”, jumătate, treime, sfert ;

● Tabla împărțirii dedusă din tabla înmulțirii ;

● Diviziunea ale unui întreg : jumătate, sfert, a treia parte, a zecea parte, reprezentări prin desene ;

● Aflarea unui număr necunoscut în cadrul unei relații de tipul : ? x c = d , ? : c = d , unde c ≠ 0 , d este multiplu al lui c , cuprins în intervalul numerelor naturale 0-100 ;

● Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor rotunde .

După ce elevii își însușesc înmulțirea în cocentrul 0-100 aceasta se va extinde și în intervalul 0-1000 . În cadrul acestui capitol se propun următoarele teme .

● Înmulțirea cu o sumă sau diferență ;

● Înmulțirea cu 10 sau 100 ;

● Înmulțirea unui număr natural de două cifre și de trei cifre cu un număr de o cifră, folosind adunarea repetată, grupări de termeni, reprezentări ;

● Împărțirea unei sume sau diferențe la un număr de o cifră ;

● Împărțirea la 10 sau 100 ;

● Împărțirea unui număr natural mai mic decât 100 sau 1000 la un număr de o cifră, folosind scăderea repetată, grupări de termeni, reprezentări .

În clasa a IV a se reiau cunoștințele despre numerele naturale și despre operațiile cu acestea ( adunare, scădere, înmulțire, împărțire) .Ca elemente noi sunt introduse : înmulțirea cu mai mulți factori, împărțirea cu rest; relația dintre deîmpărțit, împărțitor ,cât, condiția restului; împărțirea la un număr de două cifre diferut de zero; ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezei .

Tot în clasa a IV a elevii se familiarizează cu noțiunea de fracție . În cadrul acestui capitol elevii sunt familiarizați cu noțiunile de : fracții, fracții egale, reprezentări prin desene, fracții echiunitare, subunitare, supraunitare, compararea fracțiilor, adunarea și scăderea fracțiilor cu același numitor, aflarea unei fracții dintr-un întreg .

Pe lângă toate aceste cunoștințe referitoare la operațiile aritmetice, elevii sunt „învățați” să opereze cu aceste cunoștințe, să le folosească în rezolvarea problemelor de diverse tipuri . În același timp cunoștințele referitoare la operațiile aritmetice sunt folosite și în predarea cunoștințelor de geometrie sau despre unitățile de măsură (unități de măsurat lungimea : metrul, multipli, submultipli, transformări ; unități de măsurat capacitatea : litrul, multipli, submultipli, transformări ; unități de măsurat masa :kilogramul, multipli, submultipli, transformări ; unități de măsură pentru timp : minutul, ora, ziua, săptămâna, luna, anul, deceniul, secolul, mileniul ; monede și bancnote .

Standardele curriculare de performanță oferă criterii generale de evaluare, din perspectiva programei, la finalul școlii primare.

Întrucât activitățile de învățare sunt numai orientative și țin într-o măsură mai mare de metoda didactică folosită, ele lasă libertatea creativității cadrului didactic .

Clasele I și a II a fac parte din ciclul achizițiilor fundamentale . Acesta acoperă grupa pregătitoare a grădiniței urmată de clasele I și a II a, având ca obiective majore acomodarea copilului la cerințele sistemului școlar și alfabetizarea inițială . Acest ciclu curricular vizează :

● asimilarea elementelor de bază ale principalelor limbaje convenționale (scris, citit, calcul aritmetic) ;

● stimularea copilului în vederea perceperii , cunoașterii și stăpânirii mediului apropiat ;

● stimularea potențialului creativ al copilului , a intuiției și a imaginației ;

● formarea motivării pentru învățare, înțeleasă ca o activitate socială .

Clasele a III a și a IV a fac parte din ciclul curricular de dezvoltare . Aceasta acoperă clasele a III a-IV a și are ca obiectiv major formarea capacităților de bază necesare pentru continuarea studiilor . Ciclul de dezvoltare vizează :

● dezvoltarea achizițiilor lingvistice și încurajarea folosirii limbi române, a limbii materne și a limbilor străine pentru exprimarea în situații variate de comunicare;

● dezvoltarea unei gândiri structurate și a competenței de a aplica în practică rezolvarea de probleme ;

● familiarizarea cu o abordare pluridisciplinară a domeniilor cunoașterii ;

● constuirea unui set de valori consonante cu o societate democratică și pluralistă ;

● încurajarea talentului, a experienței și a expresiei în diferite forme de artă,

● formarea responsabilităților pentru propria dezvoltare și sănătate ;

● formarea unei atitudini responsabile față de mediu .

Aceste obiective se transformă în recomandări și pot modela activitatea învățătorului la clasă, inclusiv prin prisma programei de matematică .

Spre deosebire de etapa anterioară , centrată pe explorare, intuire, verificarea calculelor cu ajutorul obiectelor, în ciclul curricular de dezvoltare se urmărește ca învățătorul să-i ajute pe elevi să înțeleagă procedura de calcul și mecanismul din spatele ie, mergând până la a-i permite elevului să folosească propiile metode de calcul ce conduc la obținerea rezultatului corect . Pe măsură ce copilul exersează , ajunge să interiorizeze procedeul de calcul optim, care este cel algoritmizat , permițând copilului să meargă în ritmul său propiu și să renunțe la utilizarea obiectelor sau a reprezentărilor nu mai devreme decât în momentul când el însuși le consideră un balast greoi și nefolositor, se câștigă enorm pentru elev în plan formativ, iar acesta va deveni capabil de salturi spectaculoase în achiziția de cunoștințe și capacități .

Începând din anul școlar 1998 în România , Curriculumul Național cuprinde :

●Curriculumul Național pentru învățământul obligatoriu .Cadrul de referință

(document reglator care asigură coerența componentelor sistemului curricular, în termeni de procese și de produse );

● Planurile cadru de învățământ pentru clasele I-XII , document care stabilește: ariile curriculare, obiectele de studiu și resursele de timp necesare abordării acestora;

● Programele școlare, care stabilesc obiectivele cadru, obiectivele de referință, exemple de activități de învățare, conținuturile învățării, precum și standardele de performanță prevăzute pentru fiecare disciplină existente în planurile cadru de învățământ ;

● Ghidurile, normele metodologice și materiale suport care descriu condițiile de aplicare și de monitorizare ale procesului curricular ;

● Manuale alternative .

În elaborarea Planului-cadru de învățământ au fost avute în vedere următoarele principii didactice :

1.       Principiul selecției și al ierarhizării culturale în vederea stabilirii disciplinelor școlare, precum și gruparea și ierarhizarea acestora pe arii curriculare pentru întregul învățământ preuniversitar ;

2.       Principiul funcționalității care, coroborat cu o serie de strategii de organizare internă a curriculumului a condus la structurarea procesului de învățământ în ciclurile primare ;

3.       Principiul coerenței care vizează caracterul omogen al parcursului școlar . Acest principiu are în vedere gradul de integrare orizontală și verticală a ariilor curriculare în interiorul sistemului iar în cadrul acestora, a obiectelor de studiu . Principiul coerenței vizează în esență raporturile procentuale atât pe orizontală cât și pe verticală între ariile curriculare, iar în cadrul ariilor pe discilpine ;

4.       Principiul egalității șanselor are în vedere asigurarea unui sistem care dă dreptul fiecărui elev în parte de a-și valorifica la maximum potențialul de care dispune . Aplicarea acestui principiu impune : obligativitatea învățământului general și existența trunchiului comun, în măsură să asiguure elevilor accesul la „nucleul” fiecărei componente a parcursulșui școlar . Respectarea principiului egalității șanselor impune garantarea pentru fiecare elev, un număr de ore ale trunchiului comun, a unui nivel optim acceptabil de cunoștințe și capacități ;

5.       Principiul descentralizării și al flexibilității vizează trecerea de la învățământul pentru toți la învățământul pentru fiecare . Acest lucru poate fi realizat prin descentralizare curriculară . Numărul total de ore alocat prin planurile-cadru vizează între un minim și un maxim . Planurile-cadru prevăde de asemenea pentru majoritatea obiectelor de studiu o plajă orară ce presupune un număr de ore minim și unul maxim ;

6.       Principiu racordării la social având drept consecință asigurarea unei legături optime între școală și comunitate, între școală și cerințele sociale ;

7.       Principiul descongestionării programului școlar al elevilor, dă posibilitatea de a concepe programele școlare în raport cu numărul minim de ore pe discipline (trunchiul comun ).

Curriculum Național cuprinde două segmente :

○ Curriculum nucleu cuprinde numărul minim de ore la fiecare disciplină obligatorie prevăzută în planul-cadru . El este general obligatoriu pentru toți elevii , asigurând totodată egalitatea șanselor pentru toți elevii den țară . Reprezintă unicul sistem de referință pentru diferitele tipuri de evaluări naționale .

○ Curriculum la decizia școlii (C.D.S.) acoperă diferența de ore dintre curriculum nucleu și numărul maxim de ore pe săpțămână pe discilpine și ani de studiu .

Standardele curriculare asigură conexiunea dintre curriculum și evaluare. Pe baza lor se vor elabora nivelurile de performanță ale elevilor, precum și testele de evaluare. Standardele constituie o categorie curriculară de bază, situându-se alături de finalitățile pe sistem și pe ciclurile de școlaritate, dar și alături de curriculumul de bază.

Pe parcursul școlii primare , planul-cadru prevede la matematică un trunchi comun de 3 ore pe săptămână .Acesta poate fi extins prin consensul agenților educaționali implcați . învățători, părinți, elevi, conducerea școlii, la 4 ore pe săptămână.

Repartizarea materiei in cadrul trunchiului comun are în vedere asigurarea pentru toți elevii a unui nivel optim acceptabil de competențe și capacități. În cele 3 ore ale trunchiului comun se poate opta, în funcție de particularitățile clasei de elevi, fie pentru curriculum nucleu (ce include partea obligatorie a programei) , fie pentru curriculum extins (ce include, alături de partea obligatorie secvențe facultative, marcate cu litere cursive în programă). De asemenea, în cazul alegerii a 4 ore pe săptămână , se poate opta pentru curriculum nucleu sau pentru curriculum extins.

În acest context, învățătorul are un grad mai mare de libertate de decizie, dar în același timp și de răspundere, în alcătuirea schemei orare, în funcție de resursele umane și materiale de care dispune.

I.4. Strategia didactică și dimensiunea formativă a predării-învățării matematicii.

Orientarea proiectării didacticii pe evidențierea strategiilor de predare-învățare este binevenită mai ales în contextul actual al modificărilor de ordin cantitativ și calitativ din programele școlare prevăzute de Noul Curriculum Național la toate nivelurile de școlaritate . Acesta pune accent pe formarea modurilor de a gândi, pe elaborarea strategiilor proprii de învățare și rezolvare de probleme, pe dezvoltarea capacităților intelectuale la elevi . De aceea cadrului didactic trebuie să-i fie foarte clar ce strategie optimă de predare trebuie să adopte pentru a sprijini elevul în realizarea obiectivelor și pentru a căpăte în timp deprinderi intelectuale superioare organizate (strategii cognitive).

Esențial în instruirea elevului este crearea situațiilor de învățare direcționate de un obiectiv, în cadrul cărora elevul își elaborează strategiile de abordare a problemelor.

Termenul de strategie a apărut inițial în teoria și practica militară, unde se întâlnea sub denumirea de plan strategic; din punct de vedere tehnic noțiunea se asociază proceselor care prezintă un anumit grad de nedeterminare, situațiilor de natură competitivă sau conflictuală în cadrul cărora apar factori ce se opun realizării scopurilor intenționate . Ulterior termenul a căpătat o semnificație mai largă ce nu implcă în mod necesar „opnentul”, ci producerea eficientă a obiectului .

După Neacșu Ioan (23), noțiunea vizează „un sistem de operații cu o finalitate bine determinată însoțit de specificarea condițiilor de desfășurare și acțiune . Ea reprezintă în esență o acțiune decompozabilă într-o suită de decizii-operații , fiecare decizie asigurând trecerea la secvența următoare pe baza verificări informațiilor dobândite în etapa anterioară ” .În altă accepțiune semantică, în sens general, strategia se poate defini ca un ansamblu de procese și operații sau procedee și metode orientate spre producerea unuia sau mai multor obiecte determinate . Acțiunile implcate trebuie să satisfacă anumite condiții de coerență internă, compatibilitate și complementaritate a efectelor.

La nivelul macro (pedagogia sistemelor) acționează strategia pedagogică formată din ansamblul deciziilor privind desfășurarea cercetării pedagogice, a politicii învățământului și a procesului de învățământ . Strategia procesului de învățământ vizează operația de proiectare-învățare prin parcurgerea căreia elevul asimilează conținutul ideatic sistematizat în obiectele de studiu , își formează sistemul de abilități prevăzute de programele școlare.

Diverși specialiști români s-au ocupat de acest concept de strategie educațională ,aducând contribuții la definirea sa . Astfel la Cerghit Ioan (4) alegerea strategiei didactice se face sub triplul înțeles al cuvântului .

a)      ca adaptare a unui mod de abordare a învățării (prin problematizare, conversație euristică, algoritmizare etc.);

b)     ca opțiune pentru un anumit mod de combinare a metodelor, procedeelor, mijloacelor de învățământ, formelor de organizare a elevilor ;

c)     ca mod de programare (selectare , ordonare și ierarhizare) într-o succesiune optimă a fazelor și etapelor (evenimentelor) proprii procesului de desfășurare a lecției, cu specificația timpului și respectarea unor „principii didactice” .

Cerghit corelează strategia cu definirea experienței optime de învățare și demonstrează implicațiile ei asupra structurii lecției .

Ținând seama de capacitatea strategiei de a structura și a modela o situație de învățare, aceasta se constituie într-o formă specifică și superioară a normativității pedagogice .

Din punct de vedere normativ, strategia este mai puternică decât o simplă regulp a unei secvențe de învățare ,deci implică un sistem de reguli, pe de altă parte se diferențiază de rigiditatea unor reguli, algoritm prin flexibilitatea proprie internă .

Acțiunile de predare-învățare în cadrul disciplinei matematice la clasele I-IV au determinări concrete, în sensul că se desfășoară într-un câmp pedagogic definit de o multitudine de variabile a căror interdependență este logică . Nu se poate vorbi de metode universale, eficiente sau ineficiente, bune sau rele .Fiecare situație de predare-învășare acceptă una sau mai multe variante metodice.

Învățătorul ,cunoscând varietatea metodelor disponibile în câmpul didacticii moderne, cunoscând particularitățile elevilor cu care lucrează, valențele conținutului pe care trebuie să le atingă prin predare-învățare, trebuie să acționeze pentru a-și valorifica pe deplin personalitatea, el însuși devenind un autentic subiect în materie de articulare a strategiilor, metodelor și procedeelor didactice.

Conținutul matematicii școlare și obiectivele predării ei centrează tehnologia didactică pe metoda, componentă cu rol predominant în triada : metodă, mijloace, tehnici .

Prin metodă se înțelege acea „ cale urmată de învățător împreună cu elevul, în procesul de învățământ, în scopul însușirii informației de către elev și a formării priceperilor și deprinderilor”, precizăndu-se că metoda este în principiu proiectată și controlată de învățător .

METODE DE PREDARE- ÎNVĂȚARE

A.De transmitere a cunoștințelor .

*expozitive: povestirea, descrierea, explicația, instructajul ;

○ orale

*conversația :conversația, discuția colectivă, problematizarea;

*după text: lectura, instruirea programată, fișa ,planul de idei, studiul după manual ;

○ scrise

*după scheme sau alte forme de prezentare .

B.De explorare a realității.

○ directe : observația dirijată, semidirijată și independentă , studiul de caz, experimentul, de descoperire, rezolvare de probleme, exercițiul, jocul explorativ etc.

○ indirecte : descoperirea explorativă, demonstrația experimentală sau substituite, jocurile cu construcția, modelarea .

C.De acțiune (mentală sau materială).

○ reale : exercițiul, algoritmizarea, lucrarea pracică, metode și tehnici creative;

○ simultane : jocul didactic, proiectul didactic, învățarea dramatizată, exercițiul simulat etc.

Specifice predării-învățării matematicii la clasele I-IV sunt strategia inductivă și strategia analogică . Ca tip special de abordare a realității matematice , în maniera inductivă învățătorul și elevii întreprind experimente asupra situației date sau în cadrul ei, efectuând acțiuni reale cu obiecte fizice sau cu obiecte create de gândire (concepte). Pe baza observațiilor făcute , elevii sunt conduși progresiv la conceptualizări (de exemplu în rezolvări de probleme, prin metoda sinectică, pornind de la datele și relațiile problemei către întrebarea, elevul gândește inductiv, dar prin metoda analitică se produce o gândire deductivă, pornindu-se de la întrebarea finală către datele și relațiile unei probleme ).

Strategia analogică are ca temei o primă și esențială caracteristică a gândirii matematicii, anume relevanța ei logic-analitică . Vom întâlni analogii între noțiuni, între idei, între teoreme, între demonstrații, între domenii . Punctul de plecare îl constituie însuși faptul că analogia reprezintă forma principală sub care se manifestă procesele de abstracție . Ideea pedagogului canadian Z.P.Dienes care a propus trusa lui devenită celebră în învățământul matematic, formată din 48 de piese de carton, variabile ca mărime (unele mari, altele mici) ca formă (cerc, pătrat, dreptunghi, triunghi), ca dimensiune (groase sau subțiri) și culoare (roșu, galben , albastru), reprezintă un model de gândire analogică aritmetico-combinatorie, rezultat al punerii laolaltă a obiectelor cu anumite proprietăți .

Analiza sintetică a procesului de învățământ scoate în evidență legătura logică ce există între componentele sale : obiective, conținut, metode , mijloace, forme de organizare a activității, relații educator-educat, toate văzute în lumina conexiunilor necesare, proiectate și evaluate la parametrii de eficiență ridicată . Orice modificări propuse întruna din aceste componente afectează în mod firesc, direct sau indirect, funcționalitatea însăși a tuturor celorlalte componente .

În predarea-învățarea matematicii se folosesc următoarele metode :

A.1. Metode didactice în care predomină acțiunea de comunicare orală expozitivă .

Expunerea asigură prezentarea orală , directă și rapidă a cunoștințelornoi, într-o organizare logică, fluentă, clară .

Expunerea este înțeleasă ca „activitatea învățătorului de a comunica elevilor cunoștințe noi, sistematic ,în forma unei prezentări orale închegată și susținută”, are o pondere relativ redusă în predarea matematicii . Expunerea sub formă de povestire apare când se prezintă unele fapte și date din istoria matematicii fiee că este vorba de istoria unei probleme a unei descoperiri, fie că se prezintă viața și opera unui mare matematician . Asemenea povestiri trebuie să fie scurte, să facă referiri nimai la aspecte matematice cunoscute elevilor, să fie metaforice să inducă elevilor o stare emoțională plăcută și instructivă .

Explicația este folosită pentru formarea noțiunilor, lămurirea și clasificarea lor, dar și a unor principii, de legi, apelând la diverse procedee : inducție, deducție, comparație, analogie, analiza cauzală etc.

Explicațiile survin când se introduc termeni matematici noi, când se prezintă o acțiune, când se elaborează și fixează o schemă generală de rezolvare a unei probleme .

A.2. Metode didactice în care predomină acțiunea de comunicare orală interogativă .

Conversația se bazează pe întrebări și răspunsuri pe verticală, între învățător și elevi, și pe orizontală între elevi . Prepoziția interogativă se află la granița dintre cunoaștere și necunoaștere, dintre certitudine și incertitudine . De aceea ,aceasta funcționează activ în orice situașie de învățare, îmbrăcând, din acest punct de vedere mai multe forme : conversația introductivă, folosită ca mijloc de pregătire a elevilor pentru începerea unei activități didactice, conversația folosită ca mijloc de aprofundare a cunoștințelor, toate acestea având caracteristicile conversației catehice .

Conversația catehică (examinatoare) vizează simpla reproducere a cunoștințelor asimilate în etapele anterioare, rolul ei de bază fiind cel de examinare a elevilor . Întrebările și răspunsurile nu se mai constituie în lanțuri de serii, ci fiecare întrebare constituie un întreg de sine stătător, care poate avea sau nu legătură cu întrebarea care urmează .Conversația examinatoare nu se limitează doar la „ constatarea nivelului la care se află cunoștințele elevului la un moment dat” . Întrebări specifice conversației catehice apar și în reactualizarea conținuturilor (Cum se numesc numerele care se adună ? Dar rezultatul adunării ?), în etapa discuțiilor pregătitoare, pe parcursul transmiterii noilor conținuturi, în momentul ce vizează intensificarea retenției și transferului (Ce înseamnă faptul că adunarea este asociativă ?) , pentru fixare, consolidare și aplicare (Ce proprietăți are adunarea? ) .

Pentru redescoperirea unor cunoștințe se folosește conversația euristică , care sporește caracterul formativ al învățării , dezvoltând spiritul de observare , capacitatea de analiză și de sinteză, interesul cognitiv și motivația intrinsecă, mobilizând energiile creatoare pentru rezolvarea de probleme și situații problematice . E vorba despre un șir de întrebări care orientează, în mod unidirecțional, spre un răspuns pe care învățătorul îl presupune și îl așteaptă în toate detaliile lui . Întrebările acestuia dirijează în permanență gândirea elevilor prin felul și ordinea în care sunt formulate, astfel ca „din aproape în aproape” să ajungă la finalitatea preconizată . Seria de întrebări este compactă, fiecare nouă întrebare depinzândde răspunsul obținut la întrebare precedentă .

În matematica școlară, aplicarea teoriei în rpactică, trecerea de la general la particular au o importanță mult mai mare decât la alte obiecte de învățământ .

Conversația euristică (socratică) constă într-o înlănțuire de întrebări și răspunsuri prin intermediul căruia elevii sunt dirijați să valorifice experiența cognitivă de care dispun și să facă asociații care să faciliteze dezvăluirea de aspecte noi . Printr-un demers inductiv, elevii sunt orientați/dirijați către relații cauzale , formularea unor concluzii, desprinderea unor reguli, elaborarea unei definiții etc.

Este folosită mai ales în analiza sau în explicarea metodei de lucru în rezolvarea unei probleme matematice. De exemplu, la tema „Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-30”, analza problemei : „Într-un autobuz erau 29 călători. La prima stație au coborât 7 .La a doua stație au urcat 14. Câți călători sunt acum în autobuz ?” se realizează astfel :

Î1 : Câți călători erau la început în autobuz ?

R1 : ….29 călători .

Î2 : ce sa întîmplat la prima stație ?

R2 . ….au coborât 7 călători .

Î3 : Asta înseamnă că în autobuz vor rămâne mai mulți sau mai puțini călători ?

R3 : ….mai puțini .

Î 4 . Prin ce operație vom afla câți călători rămân în autobuz după ce au coborât 7 ?

R 4 : prin scădere .

Î 5 : Cun ?

R 5 : Din numărul călătorilor care erau la început scădem numărul călătorilor care au coborât : 29 – 7 = 22.

Î 6 : Ce sa întâmplat la a doua stație ?

R 6 : … au urcat 14 călători .

Î 7 : Asta înseamnă că în autobuz vor fi mai mulți sau mai puțini călători ?

R 7 : …mai mulți .

Î 8 Prin ce operație vom afla câți călători sunt după ce au urca 14 ?

R 8 : … prin adunare : numărul călătorilor care erau în autobuz îl adunăm cu numărul călătorilor care s-au urcat , 22 + 14 = 36 .

Conversația poate fi folosită în predarea noilor cunoștințe, în verificarea cunoștințelor asimilate, în pregătire lecției noi, în sistematizarea lecției și fixarea cunoștințelor predate, în activitatea de rezolvare a problemelore. Aceasta poate avea caracter individual , îndeosebi când se folosește în verificare , sau frontal, atunci când se antrenează toată clasa la elaborarea răspunsurilor .

Instrumentul de lucru al metodei-întrebare trebuie stăpânit și perfecționat continuu de fiecare învățător . Întrebările adresate memoriei, dacă nu pot fi evitate , trebuie completate de întrebări care solicită gândirea și care pot lămuri calitatea răspunsului respectiv .La matematică trebuie să predomine întrebările care încep prin „de ce ? ”cu rol de incitare la gândirea productivă .

Întrebările trebuie să fie exprimate concis, simplu și clar .

Conversația constă din „ valorificarea didactică a întrebărilor și răspunsurilor” prin care se stimulează și dirijează activitatea de învățare a elevilor .

În literatura de specialitate sunt prezentate mai multe tipuri de conversație :

● conversația de fixare și consolidare , utilizată pe parcursul transmiterii noilor conținuturi, în etapa ce vizează intensificarea retenției și transferului de cunoștințe ; (Dacă un număr este de 4 ori mai mare decât 5 , prin ce operație îl vom afla ? Dar dacă este cu 4 mai mare decât 5 , cum îl vom calcula?) ;

● conversația de reactualizare și sistemizare , folosită în special îl lecțiile de recapitulare și sistematizare sau în momentele de reactualizare a cunoștințelor-ancoră pentru a-i pregăti pe elevi în asimilarea noilor informații ( Ce proprietăți are operația de înmulțire ?);

● conversația de verificare (convergentă-divergentă), utilizată pe parcursul transmiterii noilor informații , în momentele de verificare a gradului de înțelegere a cunoștințelor de către elevi (De ce spunem că înmulțirea este comutativă ) ;

● conversația introductivă, folosită în etapa discuțiilor pregătitoare pentru a capta atenția și amplifica interesul și motivația elevilor (Ce este un patrulater ?Ce patrulatere cunoașteți ? ) ;

● conversația finală , la sfârșitul unei secvențe de învățare cu scopul realizării feedback-ului sau verificării nivelului de însușire a conținuturilor (Într-un exercițiu cu adunări, scăderi, înmulțiri și împărțiri în ce ordine rezolvăm operațiile ? ) ;

● conversația de comunicare, utilă în partea de încheiere a unei experiențe de rezolvare a unei probleme sau în pararel cu aceasta, în comentarea exemplelor concrete ori complementarea materialului didactic, pentru dirijarea observației elevilor și sublinirea aspectelor esențiale etc.

Eficiența utilizării oricărei forme de conversație didactică este condiționată de alegerea momentului de utilizare a metodei în lecție, de ponderea folosirii sale, dar și de calitățile întrebărilor, pe de o parte , și a răspunsurilor pe de altă parte .

Metoda conversației are o mare valoare formativă și datorită introducerii și exersării limbajului specializat al matematicii , contribuie la dezvoltarea personalității elevilor .

Brainstormingul (metoda asaltului de idei) presupune o organizare specifică a timpului, desfășurat pe două etape distincte : etapa producerii individuale a ideilor, pe baza problemei lansate de cadrul didactic și de etapa aprecierii finale a ideilor , susținută critic de cadrul didactic aflat în ipostaza de conducător al activității . Are loc așadar, o „evaluare amânată” strategic, pentru activizarea tuturor elevilor, emiterea și consemnarea a cât mai multor idei .

Problematizarea urmărește realizarea activității de predare-învățare-evaluare prin lansarea și rezolvarea unei situații-problemă , care „ desemnează o situație contradictorie, conflictuală, ce rezultă din trăirea simultană a două realități ( de ordin cognitiv și motivațional ) incompatibile între ele pe de o parte experiența trecută, iar pe de altă parte elementul de noutate și de surpriză , necunoscutul, cu care este confruntat ” elevul .

Metoda problematizării se mai numește și predarea prin rezolvarea productivă de probleme . Problematizarea se mai definește și ca o metodă didactică ce constă în punerea în fața elevului a unor dificultăți create în mod obiectiv, prin depășirea cărora, prin efort propriu, elevul învață ceva nou . Dificultățile vizate de metodă pot fi într-o gamă variată , dar esența lor constă în „crearea unor situații conflictuale în mintea elevului ” numite și situații problematice .

Specificul metodei este dat de noțiunea de situație-problemă care reprezintă o stare „vagă” conflictuală care se recrează în mintea elevului din trăirea simultană a două realități : experiența anterioară (cognitivă-emoțională) și elementul de noutate și de surpriză cu care se confruntă subiectul .

Principalele situații-problemă pot fi :

1. când există un dezacord între vechile cunoștințe ale elevului și cerințele impuse de rezolvarea unei probleme ;

2. când elevul trebuie să aleagă dintr-un lanț sau sistem de cunoștințe, chiar incomplete, numai pe cele necesare în rezolvarea situației date ;

3. cînd elevul este pus în fața unei contradicții între modul de rezolvare posibil din punct teoretic și imposibilitatea aplicării lui în practică ;

4. când elevul este solicitat să sesizeze dinamica mișcării chiar într-o schemă aparent statică ;

5. cînd elevului i se cere să aplice în condiții noi cunoștințele asimilate anterior .

Aplicarea acestei metode presupune o serie de condiții care nu pot fi ignorate :

● toți elevii să fie obișnuiți a fi activi la lecțiile de matematică ;

● elevii să fie obișnuiți a lucra individual în timpul orei sau în colaborare în grupe mici ;

● să fie folosită metoda descoperiri de mai multe ori ;

● majoritatea elevilor să fie buni rezolvatori de probleme , să manifeste și să fie lăsați să-și manifeste creativitatea ;

● elevii să fie obișnuiți cu atitudinea de colaborator apropiat pe care învățătorul trebuie să o aibă în folosirea aceste metode ;

● să existe în colectivul de elevi un spirit de întrecere și cei talentați să fie apreciați corespunzător de colegi ;

● să fie obișnuiți a gândi nota ca reconpensă pe plan secund, satisfacția principală fiind înțelegerea, descoperirea, creația .

În cazul problematizării, cunoștințele nu mai sunt prezentate în forma lor inițială . Ele sunt interpretate, reașezate , chiar răsturnate epistemic, pentru a putea genera o nouă soluție. Propunerea problematizării ca și cale de învățare în cadrul didacticii matematicii presupune respectarea a două condiții .

1. exersarea și stăpânirea deplină a cunoștințelor pentru că astfel răsturnarea lor poate genera eșec școlar ;

2. stimularea creativității superioare, nu orice creativitate .

Neacșu Ioan (24) ordonează situațiile problematice pe cinci categorii :

1. când există un dezacord între vechile cunoștințe ale elevului și cerințele impuse de rezolvarea unei probleme ;

2. când elevul trebuie să aleagă dintr-un lanț sau sistem de cunoștințe, chiar incomplete, numai pe cele necesare în rezolvarea situației date ;

3. cînd elevul este pus în fața unei contradicții între modul de rezolvare posibil din punct teoretic și imposibilitatea aplicării lui în practică ;

4. când elevul este solicitat să sesizeze dinamica mișcării chiar într-o schemă aparent statică ;

5. cînd elevului i se cere să aplice în condiții noi cunoștințele asimilate anterior .

Un exemplu de situație-problemă îl putem întâlni în predarea ordinii operațiilor .Anterior acestei lecții elevii au rezolvat exerciții în care apar doar operații de ordinul I, adunări și scăderi . Putem crea următoarea situație-problemă :

Care este rezultatul corect ?

2 + 3 x 5 – 7 = 18 sau 10

Pe baza experienței și a cunoștințelor pe care le au , elevii vor rezolva operațiile în mod incorect, în ordinea în care apar :

2 + 3 x 5 – 7 = 25 – 7 = 18

Pentru a ieși din această dilemă propunem elevilor spre rezolvare următoarea problemă : Ionuț are 2 caramele , primește de la fiecare din cie 3 prieteni ai săi câte 5 caramele și-i dă fratelui său 7. Câte caramele are acum Ionuț ?

Scrierea rezolvării acestei probleme sub formă de exercițiu îi conduce către rezultatul corect .Se observă din planul de rezolvare al problemei că operația de înmulțire se efectuează înaintea adunării . Se generalizează acest lucru și se extrage regula ordinii efectuării operațiilor .

În problemele în care întâlnim distributivitatea înmulțirii față de adunare, obținem două rezolvări .

Exemplu : Într-o livadă sunt 6 rânduri a câte 10 meri și 3 rânduri a câte 10 pruni . Câți pomi sunt în livadă ?

Astfel putem calcula pe rând numărul merilor și numărul prunilor, iar în final adunăm produsele obținute ; sau calculăm câte rânduri de pomi sunt în livadă și suma o înmulțim cu 10 .

Se constată că : 6 x 10 + 3 x 10 = ( 6 + 3) x 10

Antrenând toate componentele personalității (intelectuale, afective, volitive) problematitarea contribuie la stimularea interesului, curiozității, spiritului de exploatare al elevilor .Elevii își formează treptat un stil individual de muncă, își dezvoltă independența în gândire, autonomia, curajul în argumentarea și susținerea soluțiilor proprii de rezolvare .

Descoperirea poate fi definită „ca o tehnică de lucru, la care elevul este antrenat și se angajează în activitatea didactică, cu scopul aflării acevărului ”. Prin această metodă elevii, redescoperă relații, formule, algoritmi de calcul.

Această atitudine a elevului nu poate subzista decât pe o pregătire anterioară solidă, o exersare ce a creat deprinderi corespunzătoare. Mai mult, întreaga activitate de (re)descoperire este dirijată de profesor, astfel că problema centrală ridicată de metodă este unde și cât să-l ajute învățătorul pe elev .

Eficiența metodei depinde esențial de răspunsul corect la această întrebare . Aceasta cere învățătorului tact pedagogic și o cunoaștere a problemei în toate articulațiile ei, inclusiv în locul în care elevii pot întâmpina greutăți . Tactica folosită de învățător este aceea de a plasa sugestii „ușoare” în momentele de dezorientare ale elevilor, momente ce pot fi citite pe fețele lor .

În descoperirea de tip deductiv elevii pot obține rezultate noi (pentru ei) aplicând rațioanmente asupra cunoștințelor anterioare, combinându-le între ele sau cu noi informații. Acest tip de descoperire apare frecvent la : de exemplu cunoscând aria pătratului descoperim aria triunghiului, apoi aria paralelogramului, a triunghiului, a rombului ,a trapezului.

Formulele de calcul prescurtat pot fi descoperite cu mare ușurință în acest mod . Algoritmii de calcul mintal prin aplicarea proprietăților operațiilor cu numere naturale pot fi descoperiți deductiv .

Descoperirea prin analogie constă în transpunerea unor relații, algoritmi etc., la contexte diferite, dar analoage într-un sens bine precizat . Algoritmii de rezolvare a problemelor de un anumit tip pot fi un exemplu de descoperire prin analogie . Analogiile în matematică pot fi de conținut sau de raționament . Ele pot fi de anvergură mai mare sau cu efect local .Analogii mari folosite în matematică sunt cele din aritmetică și algebră , geometrie plană și geometrie în spațiu .

Analogia de raționament poate fi folosită în rezolvarea problemelor, în predarea multiplilor și submultiplilor unităților de măsură , în demonstrarea formulelor pentr perimetru sau arii .

A.3.Metode didactice în care predomină acțiunea de comunicare scrisă , valorifică lectura în accepția acesteia de „tehnică fundamentală de muncă intelectuală ”.

Activitatea cu manualul și alte cărți (culegeri de matematică) constituie o formă a lucrului independent . Această metodă se aplică atât în timpul orelor de matematică, cât și acasă, pentru rezolvarea temelor. Descifrarea sensului matematic este primordial pentru rezolvarea cerințelor, care pot fi mai puțin explicite și atunci elevul trebuie să complteze detaliile lipsă .

Această metodă este strâns împletită cu metoda descoperirii și a problematizării încât deseori ne apare ca un procedeu . Manualele , culegerile de probleme și alte cărți noi , cunoștințe, să le sistematizeze și fixeze să-și formeze priceperi și deprinderi și de aceea în matematică ea se poate impune ca o metodă .

Elevii trebuie să învețe cum să folosească manualele și alte cărți pentru a ști cum să le utilizeze ulterior pentru perfecționarea continuă . Manualul trebuie folosit atât pentru exerciții cât și pentru aplicații, pentru documentare, pentru evaluare, pentru munca independentă .

Lucrând cu manualul, elevul este activ, obținând cunoștințele printr-un efort propriu astfel încât această metodă devine „o cale de instruire prin decoperire ”.

Nu este bine să facem abuz de această metodă și nici să o folosim limitându-ne la indicația „citiți lecția din carte” fără a finaliza ofixare a cunoștințelor și o verificare a modului de însușire a lor.

În folosirea metodei aspectul formativ cel mai important este formarea deprinderilor de a studia după manual, mai general după cărți . Acest aspect trebuie urmărit și prin mijloace directe .Astfel învățătorul va explica elevului cum se citește un text de matematică .Etapele obișnuite în descrierea unui text matematic sunt :

● citirea lui în întregime pentru asesiza ideea sau ideile generale și împărțire lui în unități logice ;

● analiza textului începând cu definițiile și continuând cu enunțurile exercițiilor și problemelor .

O sistematizare a temei se poate face prin .

● studiul rezolvărilor unor exerciții și probleme;

● efectuarea de exerciții apicative cu rol de fixare precum și aprofundare a unor aspecte ;

● consemnarea schemei sintetizatoare în caietu elevilor lângă exercițiile efectuate .

Este foarte important de amintit elevilor că studiul unui text se face cu creionul în mână și că rezolvările și demonstrațiile se refac în toate detaliile .

B.1.Metode didactice în care predomină acțiunea de cercetare directă a realității .

Observația este o activitate perceptivă, intenționată, orientată spre un scop, reglată prin cunoștințe, organizată și condusă sistematic, conștient și voluntar . Această metodă asigură baza intuitivă a cunoașterii, permite o percepție polimodală , asigură formarea de reprezentări clare despre obiecte devenite material didactic și însușirilecaracteristice ale acestora, asigură investigarea directă a unor relații , corelații . Ca metodă , observația este însoțită de explicație-elementul de dirijare a observației . Trebuie permanent avut în vedere utilizarea unui limbaj care însoțește observația . Perfecționarea metodei vizează asigurarea saltului de la observația sistematică dirijată, la observația sistematică realizată independent de elev .

B.2.Metode didactice în care domină acțiunea de cercetare indirectă a realității .

Demonstrația presupune prezentarea unor obiecte , procese, fenomene reale sau substituite, cotact prin care se obține reflectarea obiectului învățării la nivelul percepției și reprezentării . La baza demonstrației se află întotdeauna un mijloc de învățământ, de aici și tendința definirii acestei metode drept „metodă intuitivă” .

Este utilizată în mai multe forme :demonstrație observațională numită și „demonstrație vie” bazată pe prezentarea unor obiecte reale, în stare naturală (folosirea „metrului de tâmplărie” pentru a demonstra că 1m = 100 cm etc.) ; demonstrația cu acțiuni (demonstrarea la tablă a modului de utilizare a instrumentelor pentru a trasa 2 drepte paralele ) ; demonstrația figurativă , cu ajutorul materialului confecționat (compunarea de probleme la clasa I) ;demonstrația grafică, pe bază de tabele, scheme grafice (rezolvarea problemelor prin metoda grafică ) ; demonstrația logică de stabilire a adevărurilor prin raționament (distributivitatea înmulțirii față de adunare ) ; demonstrația prin exemple, rezolvând exerciții și probleme asemănătoare, prin același procedeu ; demonstrația cu ajutorul modelelor ideale (formule, scheme grafice ) .

Metoda demonstrație intuitive este intens folosită în clasele învățământului primar, iar la clasele mai mari, demonstrația matematică se bazează pe modele, structuri, scheme matematice. Se pot aminti următoarele condiții necesare pentru eficientizarea demonstrației :

● conștientizarea scopului urmărit ;

● reactualizarea cunoștințelor esențiale ;

● prezentarea sarcinii într-o formă dinamică cu sprijinul mijloacelor de învățământ ;

● asigurarea unui ritm corespunzător al demonstrației pentru a da posibilitatea elevilor să realizeze însușirea corectă a structurilor propuse ;

● activizarea întregii clase în timpul demonstrației și ulterior acesteia în etapa prelucrării datelor obținute pe această cale .

Metoda prezentării materialului didactic este expresia demonstrației intuitive și a respectării principiului intuiției în procesul de predare-învățare a matematicii . Această metodă se folosește cu preponderență la preșcolarii și școlarii din ciclul primar, când intuiția predomină .

Demonstrația ca metodă intuitivă, este dominată în activitățile de dobândire de noi cunoștințe .Metoda , fără a fi folosită exagerat, are efect favorabil asupra înțelegerii și reținerii cunoștințelor și dezvoltă capacitatea de a observa ordonat, sistematic și de a exprima coerent datele problemei .

Modelare este o „construcție substanțială sau mintală a unor modele materiale sa mintale analogice ale realității, folosite ca instrumente în organizarea învățării” . Modelul „este un rezultat al acestei construcții artificiale bazate pe raționamente de analogie , pe un efort de gândire deductivă ”.

Matematica valorifică modelarea și modelul în sensul simplificării, schematizării, esențializării, aproximării realității . De aceea trebuie cunoscute oferte de diferite tipuri de modele și modelare :

● modelare prin similitudini :

● modelare prin analogie ;

● modelare simbolică (tipic matematică) ; acest model este o „abstracție „ care pune în evidență fenomenul sau procesul sub o formă pură ; exprimă un raport, o legitate, printr-o simplă formulă : P = (L –l) ; A = L x l etc. Cu posibilitatea de aplicare în calcule , în practică, în rezolvarea de probleme .

Modelarea reprezintă forma cea mai riguroasă analogiei prin transcriere simbolică matematică a unui mod de desfășurare a unei structuri, alcătuirea unui sistem .

C.1. Metode în care predomină acțiunea didactică practică operațională reală .

Exercițiul este o metodă ce are la bază acțiuni motrice și intelectuale, efectuate în mod conștient și repetat, în scopul formării de priceperi și deprinderi, automatizării și interiorizării unor modalități sau tehnici de lucru, de natură motrică sau mintală . Ansamblul deprinderilor și priceperilor dobăndite și exersate prin exerciții în cadrul orelor de matematică conduc la automatizarea și interiorizarea lor, transformându-se treptat în abilități . Fiecare abilitate se dobândește prin conceperea , organizarea, rezolvarea unui sistem de exerciții .

În cadrul orelor de matematică se pot rezolva mai multe tipuri de exerciții :

● după funcția îndeplinită : introductive, de bază, operatorii ;

● după modul de rezolvare: de calcul oral, de calcul mintal, scrise, de calcul în scris ;

● după gradul de intervenție al învățătorului : dirijate. semidirijate, libere;

● după subiecții care le rezolvă : individuale (rezolvate prin muncă independentă), în echipă, frontale ;

● după obiectivul urmărit : de calcul, de completare, de ordonare ,de comparare, de comunicare, de rezolvare a problemelor, de formare a deprinderilor intelectuale , de creativitate, de autocontrol etc.

Exercițiul face parte din categoria metodelor algoritmice deoarece presupune respectarea riguroasă a unor prescripții și conduce spre o finalitate stabilită .Nu orice acțiune pe care o execută elevii constituie un exercițiu , ci numai aceea care se repetă relativ identic și se încheie cu formarea unor componente automatizate ale activității .

Exercițiile constituie un instrument extrem de util în fixarea și reținerea cunoștințelor, de aceea, metoda exercițiului se combină cu metode active de predare . După introducerea unor noțiuni noi, a unor procedee noi, primele exerciții ce se propun sunt exerciții descrise de învățător, fie (re)descoperite de ei cu ajutorul învățătorului .

De exemplu : când dorim să efectuăm proba împărțirii cu rest se explică regula a = bx c + r , se repetă cu elevii regula prin exemple concrete.

După înțelegerea regulii, a operațiilor, elevii o repetă de câteva ori pentru formarea deprinderii de a o folosi . Aceste exerciții se numesc exerciții de bază .

După introducerea unei noi noțiuni și derularea exercițiilor de antrenament și a celor de bază sunt necesare exerciții în care să se urmărească și întărirea deprinderilor anterioare odată cu deprinderile noi, integrarea acestor două categorii de deprinderi . Asemenea exerciții se numesc exerciții paralele sau analoage .

Cantitatea și durata exercițiilor trebuie să asigure formarea de priceperi și deprinderi ferme . Pentru predarea noțiunii de fracție se trece de la exerciții practice de antrenament, la exerciții de bază de scriere și recunoaștere a fracției și prin exerciții paralele de comparare a fracțiilor și de recunoaștere a apartenenței într-o clasă echivalentă .

Rolul învățătorului este de a propune exercițiile, de a urmări corectitudinea rezolvării, de a analiza cu elevii eventualele greșeli și cauzele lor, de a interpreta rezultatele exercițiilor și de a aprecia calitatea deprinderilor de rezolvare ale elevilor .

Metoda exercițiului, este necesară în diirjarea cel puțin în faza de început , dar și pe parcurs, când sunt necesare corectări, restructurări . De altfel, exercițiul este o metodă necesară ori de câte ori avem ca obiectiv formare, dezvoltarea unei deprinderi a matematicii (intelectuale, psihomotorii) . În același timp , exercițiul în diferite forme, variate, trebuie să fie un procedeu subordonat metodei demonstrației, descoperirii, modelării sau problematizării . El este un punct de sprijin intuitiv și formativ, dar și o soluție alternativă aplicată atunci când metoda dă roade . Exercițiul preconizat ca procedeu pe o anumită perioadă de timp a lecției devine metodă , cale de învățare, valabilă pe tot parcursul lecției .

Literatura de specialitate propune diverse clasificări ale exercițiilor, în funcție de criteriile adoptate .

După forma lor exercițiile pot fi :

● orale ( numărați din 3 în 3 începând cu 0 ; citește numerele: 724321, 543076, 890098; care sunt vecinii numerelor );

● scrise ( calculați, apoi faceți proba prin operația inversă : 344+543; 765-654; descompuneți numerele în sute, zeci și unități : 543, 657 , 666 ; efectuați calculele și compltați tabelul ….; aflați termenul necunoscut : x+543 = , = 876 ,y-240=375);

●practice ( măsurați lungimea băncii cu palma ; câte pahare pot umple cu apă din acest bidon ? ; construiește pătrate, dreptunghiuri și triunghiuri din bețișoare, creioane sau bețe de chibrit …) .

După funcția îndeplinită ,exercițiile se clasifică în :

● exerciții introductive (exerciții de calcul mintal de la începutul orei de matematică; exerciții de adunare repetată care pregătesc înțelegerea operației de înmulțire ) ;

● exerciții de bază ( de însușire a modelului dat );

Exemple : 1) Scăderea cu trecere peste ordin ( efectuați prin calcul scris) :

453 – 276 = ; 517 – 269 = ,804 – 617 =

2) Împărțirea cu rest ( calculați câtul și restul 26 : 4 = , 38 : 5 =)

3) Ordinea efectuării operațiilor (calculați 2 x 7 x 3 – 8 : 2 – 10 = )

● exerciții paralele de legare acunoștințelor și deprinderilor mai vechi cu cele mai noi ;

Exemple : 1) Împărțirea numerelor naturale de trei cifre la un număr scris cu o cifră ( calculați apoi faceți proba : 324 :3 = , 728 : 4 = ) ;

2) Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezei ( efectuați : 30 – = ; aflati valoarea lui X : 2 x = ) ;

● exerciții de creație ( euristice)

Exemple : 1) compune exerciții de adunare și de scădere cu trecere peste ordin, folosind numere mai mici de 50 ;

2) compune câte o problemă care să se rezolve prin : două adunări , o adunare și o scădere, o înmulțire și o adunare ;

După conținutul lor , pot fi două categorii :

● exerciții motrice , care conduc spre formarea de deprinderi în care predominantă este componenta motrică ( exemplu : scrieți 3 rânduri cu cifra 8)

● exerciții operaționale care contribuie la formare operațiilor intelectuale, principale lor trăsături fiind reversibilitatea și asociativitatea .

Exemple : 1) Perimetru pătratului ( calculează perimetrul unui pătrat cu latura de 5 cm ; calculează latura unui pătrat cu perimetrul de 20 cm ) ;

2) Perimetrul dreptunghiului (calculează perimetrul unui dreptunghi cu lungimea de 6 cm și lățimea de 7 cm ) .

După numărul de participanți pot fi :

● exerciții individuale ;

● exerciții de echipă ;

● exerciții colective ;

● exerciții mixte.

După gradul de complexitatea se diferențiază :

● exerciții simple 3 + 5 =

● exerciții complexe X : 3 = 7 rest 4

● exerciții super-complexe (tip olimpiadă ) 257 : = 8 rest 1

Algoritmizarea angajează un lanț de exerciții, operații dirijate, executate într-o anumită ordine, aproximativ constantă, integrate la nivelul unei scheme de acțiune didactică standardizată ajungându-se în acestfel la o înlănțuire logică de conținuturi, în vederea îndeplinirii sarcinilor de instruire .

Activitatea de învățare este efiencietizată prin calitatea corespunzătoare a algoritmilor aleși de a interveni ca modele operaționale . Metoda oferă elevului un instrument simplu și operativ, scutindu-l de căutări . Prin structura precisă a algoritmilor, prin mânuirea lor repetată, elevul reușește să-și „disciplineze propria gândire ”.

Algoritmizarea este cunoscută ca „metodă de predare-învățare constând din utilizarea și valorificarea algoritmilor” .

Algoritmii se prezintă sub diferite forme : reguli de calcul, scheme de rezolvare a unei probleme, scheme operaționale etc. Algoritmizarea reprezintă o metodă care ține de dimensiunea „mecanică” a învățării, așa cum precizează C. Cucoș (11) , eficiența ei constând în faptul că oferă elevului un instrument de lucru operativ, economicos, scutindu-l de căutări, iar prin mânuirea repetată a algoritmilor, elevul reușește să-și „disciplineze” propria gândire .

Jocul didactic, cametodă , cunoaște o largă aplicabilitate regăsindu-se în cadrul tuturor orelor de matematică . Metoda jocului didactic reprezintă o acțiune care „valorifică nivelul instrucției , finalitățile adaptive de tip recreativ proprii activității umane, în general, în anumite momente ale evoluției sale ontogenice, în mod special” .

Restabilind un echilibru în activitatea școlarului, jocul fortifică energiile intelectuale și fizice ale acestuia, generând o motivație secundară, dar stimulatoare, constituind o prezență indispensabilă în ritmul accentuat al muncii școlare .

Prin intermediul motivațiilor ludice care sunt subordonate scopului activității de predare-învățare-evaluare învățătorul dinamizează acțiunea didactică într-o perspectivă pronunțat formativă . Astfel , prin utilizarea jocului ca metodă , se accentuează rolul formativ al activităților matematice:

● exersarea operațiilor gândirii (analiza, sinteza, comparația, generalizarea, abstractizarea ) ;

● dezvoltarea spiritului de observație ;

● dezvoltarea imaginației și creativității elevilor ;

● dezvoltarea spiritului de inițiativă, de independență dar și de echipă ;

● formarea unor deprinderi de lucru corect și rapid, deprinderi de muncă independentă ;

● însușirea conștientă într-o formă accesibilă, temeinică,plăcută și rapidă a cunoștințelor matematice ;

● activizarea copiilor din punct de vedere cognitiv, acțional și afectiv, sporind gradul de înțelegere și participare activă a copilului în actul de învățare;

● ofrmarea autocontrolului eficient al conduitei și achizițiilor.

În cadrul orelor de matematică se pot folosi ( după Ioan Cerghit și Ioan Necșu (5) ):

● după forma de exprimare : jocurile simbolice, jocurile conceptuale, jocurile ghicitori ;

● după resursele folosite : jocurile materiale, jocurile orale , jocurile pe bază de întrebări, jocurile pe bază de fișe individuale, jocuri pe calculator ;

● după regulile instituite : jocuri cu reguli transmise prin tradiție, jocuri cu reguli inventate, jocuri spontane ;

● după competențele psihologice stimulate : jocuri de observație, jocuri de atenție, jocuri de memorie, jocuri de gândire, jocuri de imaginație .

În general, un exercițiu sau o problemă matematică poate deveni joc didactic dacă îndelpinește următoarele condiții :

● realizează un obiectiv sau o sarcină din punct de vedere matematic ;

● folosește elemente de joc-întrecere individuală sau pe grupe de elevi, cooperarea între participanți, reconpensarea rezultatelor bune sau penalizarea greșelilor comise, aplauze, surpriza, așteptarea, cuvântul stimulator etc. În vederea sarcinilor propuse ;

● folosește un conținut matematic accesibil, atractiv și recreativ prin forma de desfășurare, prin materialul didactic ilustrativ utilizat, prin volumul de cunoștințe la care se apelează ;

● folosește reguli de joc cunoscute anticipat de elevi, respectate de aceștia , în vederea realizării sarcinii propuse și a stabilirii rezultatelor .

D. Metode didactice în care predomină acțiunea de programare specială a instruirii .

Metoda instruirii programate

Metoda instruirii programate organizează acțiunea didactică, aplicând principiile ciberneticii la nivelul activității de predare-învățare-evaluare, concepută ca „un sistem dinamic, complex, constituit dintr-un ansamblu de elemente și de interrelații”.

După modul în care se asigură algoritmul de instruire se delimitează mai multe tipuri de programare :

Programarea liniară – are următoarea structură de proiectare a secvențelor de instruire : informarea elevului, prezentarea sarcinii didactice (întrebare, exercițiu, problemă) ,rexolvarea spațiului și a timpului necesar pentru îndeplinirea sarcinii și oferirea variantei corecte de răspuns .

Programarea ramificată – solicită un efort intelectual mai mare din partea elevului pentru recunoașterea răspunsului corect din mai multe răspunsuri date (trei, patru). Dacă nu reușește de la prima încercare, primește o informație suplimentară, după care trebuie din nuo să aleagă răspunsul corect, astfel încât să poată trece la pasul următor . Structura de organizare a instruirii ramificate se prezintă astfel : informarea elevului, prezentarea sarcinii didactice, rezervarea spațiului și a timpului pentru alegerea răspunsului, întărirea pozitivă în cazul răspunsului corect și trecerea la secvența următoare sau întărirea negativă în cazul unui răspuns incorect, care orientează elevul spre a informa, care orientează elevul spre a informații suplimentare, obligatorie pentru corectarea răspunsului . Greșeala este folosită în acest caz ca mijloc de stimulare a elevului în vederea autocorectării.

Programarea combinată – realizează îmbinarea celor două tipuri principale , folosind concomitent atât secvențe cu răspunsuri construite , cât și secvențe cu răspunsuri la alegere .

Programarea elaborată se pune la dispoziția fiecărui elev, utilizând : manuale programate sau fișe programate (cu un conținut mai redus, al lecției sau al unui moment al lecției) și mașini de instruire, cu ajutorul cărora se administrează programul elaborat . Calculatorul asigură realizarea instruirii programate în condiții optime . Această metodă poate fi folosită în cadrul orelor de matematică cu mai multă ușurință decât în altele, ca urmare a organizării logice stricte a conținutului . Atfel , programul creat trebuie să prevadă toate punctele în acre elevul ar putea să găsească și apoi să prevadă continuări, care să-l ajute să elimine eroarea, în acest fel elevul își autoreglează conștient procesul de asimilare .

Îmbinarea instruirii programate cu alte metode și mijloace curente și forme de organizare constituie o modalitate eficientă de însușire și consolidare a cunoștințelor. Învățătorul, cunoscând varietatea metodelor disponibile în câmpul didacticii moderne, cunoscând particularitățile elevilor cu care lucrează, valențele conținutului pe care trebui să le atingă prin predare-învățare, să acționeze pentru a valorifica pe deplin personalitatea, el însuși devenind un autentic subiect creator în materie de articulare a strategiilor, metodelor și procedeelor didactice .

Instruirea programată numită și „ învățământ prin stimulare”, reprezintă „o tehnică modernă de instruire, care propune o soluție nouă la problema învățării”. Prin această metodă instruirea se dirijează printr-un program pregătit dinainte pe care elevul îl parcurge independent . Programul creat este astfel alcătuit încât elevul să-și autoregleze conștient procesul de asimilare . Așadar, o primă condiție ce trebuie să o satisfacă un program bun este de a prevedea toate punctele în acre elevul ar putea să găsească și apoi să prevadă continuări care să-l ajute pe elev ăs elemine eroarea.

Această condiție este mai lesne de îndeplinit la matematică datorită organizării logice stricte a conținutului .Ea poate fi de asemenea satisfăcută de programele construite din „ pași mici”, unități logice mici ușor de asimilat, atât de mici încât elimină posibilile erori . Aceste modele de alcătuire a programului de instruire propus , asigură condiții de succes pentru elev, succes care-l mobilizează să continuie parcurgerea programei . Metoda instruirii programate este o metodă activă pentru că programa îi cere să rezolve diferit sarcinile didactice . Din punct de vedere al metodologiei, instruirea programată ridică probleme legate de mijloacele instruirii programate și de organizarea lecțiilor .Programele pot fi liniare, ramificate sau combinate . Îmbinarea instruirii programate cu alte metode și mijloace didactice curente și forme de organizare contituie o modalitateeficientă de însușire și consolidare a cunoștințelor .

Baza psihologică a utilizării mijloacelor de învățământ . Corelația dintre intuitiv și logic .

Conținutul științific al conceptelor matematice moderne nu exclude ci dimpotrivă, presupune utilizarea unor metode și procedee bazate pe intuiție .

Copilul de vârstă școlară mică are o gândire care operează la nivelul operațiilor concrete . Numai în măsura în care elevul va fi pus de către învățător în situația de a gândi va putea pătrunde în înțelesul real al conceptalor matematice, își va însuși logica acestora. Manifestând inițiativă în crearea și folosirea unor metode didactice care să sprijine înțelegerea noțiunilor matematice, învățătorul va ține seama de câteva cerințe pentru a oferi posibilitatea elevilor de a învăța matematica gândind mai întâi la nivelul concret și pentru a se ridica treptat la înțelegerea și operarea cu abstracțiunile matematice .

În primul rând, se impune drept cerință analiza și utilizarea materialelor didactice în funcție de gradul lor de intuitivitate, ținând seama de faptul că interacțiunea dintre analogie și inducție, pe de o parte, și temeiul lor intuitiv pe de alta, asigură progresiv evoluția spre abstract .

Materialul didactic principal îl constituie mulțimile de obiecte cu putere de simbolizare a relațiilor matematice, ale căror elemente dispun de însușiri precise de constituire a mulțimilor cum sunt : piesele jocurilor logico-matematice , riglete și alte truse din această categorie . Aceste materiale oferă posibilitatea efectuării unor operații concrete în care se evidențiază proprietatea, principiul, relație ce constituie esența matematică a conceptelor pe care le învață elevii . Esențializarea se accentuează cu ajutorul reprezentărilor grafice .

Suportul intuitiv al noțiunilor matematice se asigură și prin imagine ale obiectelor constituite în mulțimi . Acestea însă nu oferă posibilitatea operării cu ele , de unde și caracterul lor static, constatativ. Folosirea cu precădere și în mod abuziv a unor asemenea mijloace intuitive ascunde esența matematică, aspectele concrete nedozate îngreunând procesul de esențializare .

Se impune selecționarea atentă a materialelor intuitive în raport de obiectivele urmărite în lecție, în funcție de etapa de formare a noțiunilor respective, de experiența de care dispun elevii, de măsura în care materialul respectiv servește la înțelegerea principiului, a relației, a proprietății etc. Ce urmează a fi asimilate , aplicate și apoi transferate .

Se impune dozarea judicioasă a intuiției , ca suport materia, până la nivelul necesar producerii saltului în abstrac, cu reținerea pe plan logic „interiorizare” a adevărului matematic respectiv în limbaj matematic (noțiuni) .

Moduri de organizare a activităților de matematică .

Organizarea îmvățământului pe clase și lecții experiența tradițională în vigoare , a instituit un mod apreciat și astăzi ca fiind pertinent și eficient în multe situații, anume modul frontal de lucru cu elevii .

Practica educațională a cunoscut și cunoaște și alte moduri de organizare a procesului instructiv-educativ privit din punctul de vedere al agenților educaționali.

Se are în vedere activitatea de grup (grupuri omogene, grupuri eterogene, grupuri competitive, grupuri cooperante etc. ) precum și forma de organizare individuală, care capătă în unele situații, o semnificație aparte în logica desfășurării învățământului matematic .

În condițiile unui învățământ modern , optimul organizatoric nu poate fi dictat printr-o normă didactică, ci el este rezultatul deciziei învățătorului pentru fiecare situație didactică în parte. Nivelul cel mai înalt de activitate matematică îl reprezintă activitățile în care se lasă elevilor independența deplină în compunerea și rezolvarea pe căi diferite a exercițiilor și problemelor .

La toate aceste niveluri, activitatea matematică a elevilor trebuie stimulată și susținută de către învățător , prin repartizarea unor fișe cu sarcini diferențiate, prin control și evaluare sistematică a rezultatelor .Deci putem spune că ,în realizarea unui învățământ activ, formativ al matematicii un rol important îl are munca independentă a elevilor. Construirea unui sistem de exerciții și probleme judicios gradate sub aspectul efortului mintal pe care îl solicită elevi și rațional programate atât în suita de lecții ,cât și în cadrul secvențelor fiecărei lecții, conduce la formarea și consolidarea deprinderilor de calcul și de rezolvare de probleme, concomitent cu dezvoltarea psihică a elevilor.

Îmbinarea formelor de activitate-frontală, pe microgrupuri și individuală, creează posibilități largi pentru mobilizări multiple și variate ale elevilor în procesul învățării matematicii.

Nu se poate vorbi de activizarea elevilor, fără a se avea în vedere individualizarea procesului de predare-învățare și evaluare .Este vorba de o activizare diferențiată pe fondul unei individualizări corect practicate. Individualizarea și tratarea diferențiată a elevilor constituie două dintre strategiile principale de ameliorare a randamentului școlar și de înlăturarea eșecurilor .

Individualizarea și abordarea diferențiată a procesului de instruire la matematică presupune , pe de o parte, cunoașterea elevilor, investigarea lor permanentă și urmărirea evoluției lor ( mai ales pe plan intelectual) , pentru a le pute adresa în orice moment sarcini corespunzătoare nivelului lor real de dezvoltare . Pe de altă parte, individualizarea și tratareadiferențiată presupune o bună cunoaștere a conținutului de predat și respectarea cerințelor unitare pe care le exprimă programele școlare .

Strategia individualizării și diferențierii învățământului matematic conduce la o gamă foarte variată de forme de lucru și modalități de organizare a activității de învățare . Se impune ca învățătorul să gândească asupra modalităților de îmbinare a celor trei forme de activitate (frontală, în grup și individuală ), iar în cadrul fiecăreia dintre acestea asupra unor sarcini unitare, gradate însă prin conținut și mod de realizare .În raport de capacitățile fiecărui elev, de cerințele unice ale programei școlare se pot formula implicit niveluri de efort diferite (recunoaștere, reproducere, integrare ,transfer, creativitate) .Important este ca în toate formele de activitate matematică pe care le desfășoară elevii ( la tablă, pe caiete, pe fișe individuale), învățătorul să urmărească aplicarea întregului sistem diferențiat al variabilelor acestor activități : obiective , conținuturi, moduri de realizare a sarcinilor, forme de evaluare etc.

Instruirea și educarea matematică, activitate cu obiective precis determinate, necesită organizarea și coordonarea componentelor care concură la atingerea obiectivelor .

Forma principală de organizare a procesului instructiv-educativ la matematică este lecția „în cadrul căreia elevii desfășoară o activitate comună de învățare sub conducerea educatorului, într-o anumită unitate de timp-oră școlară

Lecția trebuie privită ca activitate , ca proces, care îmbină didactic metodă, mijloace și tehnici de învățământ cu respectarea principiilor didactice .

Tipul lecției corespunde scopului lecției .Variantele lecțiilor de matematică se realizează după obiectivele operaționale .Ioan Nicola (28) prezintă următoarele tipuri de lecție :

A.   Tipul lecției mixte sau operaționale;

B.    Tipul lecției de comunicare (cu următoarele variante .descoperirea pe cale inductivă, descoperirea pe cale deductivă, introductive, prelegere, seminar, problematizate, dezbatere, de asimilare a noilor cunoștințe, bazate pe instruirea programată ) ;

C.   Tipul lecției de formare a priceperilor și deprinderilor ;

D.   Tipul lecției de recapitulare și sistematizare (de fixarea sau consolidare ).

Lecția de predare-învățare-evaluare, varianta de comunicare prin dobândire de cunoștințe.

Această lecție are sarcină didactică principală , însușirea unor cunoștințe noi și fixarea lor.

Captarea atenției este deseori neglijată sau formal rezolvată, considerându-se că prin anunțarea obiectivelor lecției sau prin restabilirea liniștii, atenția elevilor a fost captată . Ea ve putea fi realizată prin întrebuințarea unei forme care să stârnească interesul sau chiar să-i șocheze pe elvii clasei respective. Datorită caracterului abstract al matematicii nu se pot găsi la orice lecție legături cu o preocupare familiară lor, dar trebuie găsită o frază , o întâmplare , o povestire, un exercițiu, un joc prin care să se stârnească interesul asupra activității care se va realiza în lecție .

Enunțarea obiectivelor urmărite trebuie prevăzute și ea ca etapă, pentru ca elevii să fie conștienți despre ce se urmărește în lecția respectivă .

Reactualizarea celor învățate anterior are rolul de a împrospăta acele cunoștințe anterior studiate necesare înțelegerii noilor conținuturi . Se pot rezolva diverse problem care să facă elevul să intuiască existența faptului matematic nou, care reprezintă noile cunoștințe .

Prezentarea noului conținut și dirijarea învățării sunt etape care se produc concomitent și ocupă cea mai mare parte a lecției .

Asigurarea feedback-lui arată elevului nivelul la care a ajuns și se poate realiza fie prin reproducerea celor învățate fie printr-o fișă de lucru . Pentru învățător este o etapă de mare importanță, căci permita analiza rezultatelor lecției prin prisma atingerii obiectivelor stabilite.

Intensificarea retenției, asigurării transferului se realizează prin probleme variate sau prin descoperirea cunoștințelor studiate, aplicate.

Lecția prin instruire programată are cu totul altă formă . În acest sens toate sarcinile sunt preluate de un program ,noile cunoștințe sunt transmise cu ajutorul acestuia, având dificultăți descompuse în așa fel încât să poată fi înțelese de către toți elevii . Exercițiile din program și secvențele de recapitulare asigură retenția și transferul, iar unele exerciții date fără răspuns și fără puncte de sprijin .

Învățarea prin descoperire utilizată pentru însușirea unor cunoștințe determină și ea o variantă a acestei lecții. Frecvența acestor lecțții de predare-învățare-evaluare, variantă a formării priceperilor și deprinderilor , în predarea matematicii este foatre mare și de numărul și atenția acordată lor de propunător depinde în mare măsură succesul muncii la catedră , al educatorului . Aceste lecții urmăresc reținerea materialului însușit și aplicarea lui în exerciții și probleme cât mai variate .

Învățământul matematic și dezvoltarea raționamentului nu se poate realiza

fără cunoștințe sistematice și bine consolidate. Recapitularea materiei se face cu scopul reținerii materialului studiat, asigurării transferului și a eliminării lipsurilor. Se impune deci recapitulării să respecte anumite condiții :

● Să nu se repete materia în același fel în care sa predat, ci să se facă o sinteză a temelor principale și dacă se poate să se stabilească noi legături între acestea. Elementul de noutate este de mare importanță pentru trezire interesului , căci o reluare în aceeași ordine nu ar putea fi decât plictisitoare.

● Lecțiile de recapitulare trebuie anunțate din timp și antrenați toți elevii într-o muncă de recapitulare. Pentru a nu inhiba cu nimic activitatea elevilor este preferabil să nu fie notați . Planul de recapitulare poate fi dat elevilor fie cu o oră înainte , pentru a putea revedea independent materia pe baza lui, fie să se elaboreze la începutul lecției. Exercițiul are pentru elevi un caracter de creație și prin aceasta produce o mai mare satisfacție .

● Varianta lecției de evaluare care urmează în mod firesc lecției de recapitulare și care ca sarcină dominantă verificarea și aprecierea cunoștințelor elevilor prin prisma obiectivelor operaționale anterior fixate .Ea vizează atât îndeplinirea obiectivelor informative, adică a cuantumului de cunoștințe teoretice, cât și a celor formative, adică a modului în care elevul poate opera cu aceste cunoștințe teoretice prin rezolvarea de probleme complexe.

● Lecția de verificare se realizează în două moduri .

1) lecția de verificare orală;

2) lecția de verificare scrisă, care are două etape: efectuarea lucrării și analiza ei .

Lecția de verificare orală se aseamănă ca structură cu lecția de recapitulare . Deosebirea constă în faptul că dacă în lecția de recapitulare atenția este focalizată spre sistematizarea materiei, în lecția de verificare ne interesează modul în care elevii și-au însușit materia, limbajul matematic, precum și aplicarea acestor cunoștințe în rezolvarea problemelor. În lecția de verificare orală este bine să se stabilească înainte ce se va asculta și materia care va face obiectul interogării fiecărui elev în parte .

Lecția de verificare scrisă are următoarea srtuctură : organizarea clasei pentru desfășurarea lucrării scrise ; anunțarea temei; desfășurarea lucrării scrise .

Organizarea clasei trebuie făcută în așa fel încât să se asigure posibilitatea fiecărui elev de a lucra independent pentru a se putea aprecia cunoștințelor reale ale fiecăruia. Este bine ca itemii să se dea diferențiat pe numere. Subiectele trebuie astfel alese încât să cuprindă părțile mai importante ale materiei parcurse .Gradul de dificultate să fie potrivit dar, să permită verificarea obiectivelor propuse atât în ceea ce privește dezvoltarea raționamentului matematic cât și gradul de formare a deprinderilor de calcul.

A doua etapă a acestei lecții o constituie analiza lucrărilor scrise, analiză ce trebuie să asigure că pe viitor elevii să poată efectua corect o temă asemănătoare cu cea propusă. Structura unei astfel de lecții este . aprecierea generală a lucrărilor, stabilirea greșelilor și explicarea cauzelor care le-au determinat, analiza câtorva lucrări mai reprezentative, distribuirea lucrărilor și corectarea individuală .

CAPITOLUL II

Noțiuni fundamentale în aritmetică

II.1. Elemente de logică matematică.

Propoziții adevărate sau false.

Un text matematic este alcătuit din propoziții redactate în cuvinte sau cu ajutorul simbolurilor matematice .

Definiție : Se numește propoziție un enunț despre care putem spune că este adevărat sau fals însă nu amândouă simultan .

Propozițiile simple se notează , de obicei cu p, q , r, … sau indexate .

Negația unei propoziții p este o altă propoziție „non p „ care este adevărată când p este falsă și falsă când p este adevărată .

Implicația logică

Se numește că „propoziția p implică propoziția q (sau că din p rezultă q) și se scrie „p =>q”, dacă ori de câte ori este adevărată propoziția p, este adevărată și propoziția q .

Semnul „=>”se citește „implică” sau „rezultă”.

Echivalență logică

Se spune că „propoziția p este echivelentă cu propoziția q „ și se scrie „pq”, dacă p=>q și q=>p, adică dacă propozițiile p și q sunt simultan adevărate (sau false).

Semnul se citește „echivalent” sau „dacă și numai dacă” .

Disjuncția

Legînd două propoziții date p, q prin „sau” obținem o nouă propoziție „p sau q”, numită disjuncția lor .

„p sau q” este adevărată atunci când cel puțin una din cele două propoziții este adevărată (neexcluzându-se cazul când ambele propoziții sunt adevărate ).

Conjuncția

Legând două propoziții date p, q prin „și” obținem o nouă propoziție „p și q „ numită conjuncția lor.

„p și q „ este adevărată , atunci ambele propoziții sunt adevărate .

II.2.Mulțimi. Operații cu mulțimi.

În limbajul matematic , noțiunea de mulțime se referă la o colecție de obiecte distincte și precis specificate. După matematicianul german Georg Cantor, părintele teoriei mulțimilor, „o mulțime este o ansamblare de anumite obiecte , distincte, ale intuiției sau gândirii noastre într-un singur tot”.

Mulțimile se notează în general cu litere mari din alfabetul latin : A.M.X. etc, iar obiectele componente ale acestora se numesc elemente ale mulțimii și se notează cu litere mici: a , m , x etc.

O mulțime poate fi dată în două moduri :

a) Prin specificarea unei proprietăți pe care o au toate elementele mulțimii respective și pe care nu o au alte obiecte (elemente)-analitic :

A = mulțimea elevilor din clasă;

B = mulțimea muncitorilor din România ;

C = mulțimea literelor din alfabetul latin ș.a.m.d.

b) Prin enumerarea elementelor componente (simbolurile lor fiind scrise într-o acoladă) –sintetic:

D =, mulțimea cifrelor arabe;

E = , mulțimea formată din numărul natural 5 e.t.c.

Mulțimea care nu conține nici un element se numește mulțime vidă și se notează cu „ø”.

Dacă elementul a aparține mulțimii A, acesta se scrie „a A”.

Dacă elementul a nu aparține mulțimii a, acesta se scrie : „a A ”.

Dintre mulțimile de numere fac parte :

►Mulțime numerelor naturale :

N =

►Mulțimea numerelor naturale fără 0 :

N * =

►Mulțimea numerelor naturale pare :

N2k =

►Mulțimea numerelor impare :

N2k+1 =

►Mulțimea numerelor întregi :

Z =

►Mulțimea numerelor raționale:

Q =

►Mulțimea numerelor iraționale (I) un număr irațional (pozitiv sau negativ) este un număr care poate fi reprezentat cu ajutorul unui număr zecimal cu un număr infinit de zecimale, care se succed periodic ;

►Mulțimea numerelor reale (R) un număr real este un număr care aparține fie mulțimii numerelor raționale ,fie mulțimii numerelor iraționale .

Despre două mulțimi A și B se poate spune că sunt egale, dacă orice element a lui A aparține lui B și orice element a lui B aparține lui A.

Trebuie făcută distincția între mulțimi egale (care au același element) și mulțimi cu același număr de elemente, care se numesc echipotente .

Relația de egalitate a mulțimilor are următoarele proprietăți :

a)     este reflexivă , adică A=A, pentru orice mulțimeA;

b)    este simetrică : dacă A=B, atunci B = A;

c)     este tranzitivă : dacă A = B și B = C, atunci A = C .

Spunem că o mulțime A este inclusă într.o altă mulțime B, dacă orice element al mulțimii A aparține mulțimii B. În acest caz scriem A B, iar mulțimea A se mai numește și submulțime a mulțimii B.

Dintre submulțimile unei mulțimi A, mulțimea A și mulțime vidă se numesc submulțimi improprii ale mulțimii A, iar celelalte se numesc submulțimi proprii ale mulțimii A.

Mulțimea tuturor submulțimilor unei mulțimi date A se numește mulțimea părților lui A și se notează P (A).

Relația de incluziune are următoarele proprietăți :

a)     este reflexivă ,adică A A, pentru orice mulțime A ;

b)    este asimetrică , adică AșiA atunci A = B;

c)     este tranzitivă,adică A B și B C =>A C.

Uneori este nevoie să se folosească o mulțime notată E și numită mulțime de referință sau mulțime totală . În anumite cazuri , se dă explicit , în altele se subânțelege (în mulțimea A =,mulțimea de referință este mulțimea numerelor naturale ).

Operații cu mulțimi :

a)     Reuniunea a două mulțimi A și B este mulțimea tuturor elementelor care aparțin cel puțin uneia din mulțimile A sau B . Se notează A U B și se citește “A reunite cu B” .

Folosind scrierii cu simboluri , avem : .

b)Intersecția a două mulțimi A și B nu au elemente comune, daci A ∩ B și se citește “A intersectat cu B”.

Scriind cu simboluri , avem :.

Dacă două mulțimi A și B nu au elemente commune, deci A ∩ B = ø ,aceste mulțimi se numesc disjuncte .

c)Fiind dată o mulțime E și o submulțime a sa A, numim complementara lui A în raport cu E ( și notăm C ε A) mulțimea elementelor din E care nu aparțin lui A. În limbaj formalizat scriem : C ε A=.

d) Diferența mulțimilor A și B este mulțimea elementelor care aparțin mulțimii A, dar nu aparțin mulțimii B . Deci A/B =

e) Produsul cartezian al mulțimilor A și B (notată A/B sau A-B) este mulțimea ale căror elemente sunt toate perechile ordonate (a,b), în care a A și b B și se notează AxB.Deci AxB=

Operațiile cu mulțimi au următoarele proprietăți :

a)     asociativitatea reuniunii cu intersecția :

(A U B )U C = A U(B U C ) A∩ B ∩ C = A ∩ (B ∩ C )

b) comutativitatea reuniunii și a intersecției :

A U B = B U A A ∩ B = B ∩ A

c) idempotența reuniunii și a intersecției :

A U A = A A ∩ A = A

d) distributivitatea reuniunii față de intersecție și a intersecției față de reuniune : A U ( B ∩ C ) = (A U B ) ∩ ( A U C )

A ∩ (B U C) = ( A ∩ B) U (A∩ C).

e) element neutru

A E A U = A A E A ∩ E = A

f ) legile lui Morgan : dacă A și B sunt submulțimi ale unei mulțimi E, atunci : C ε (A U B ) = C ε A∩ C ε B C ε ( A∩ B ) = C ε A U C ε B

g) distributivitatea produsului cartezian față de reuniune și intersecție:

A x ( B U C ) = ( A x B ) U ( A x C )

A x ( B∩ C ) = ( A x B ) ∩ ( A x C )

În ceea ce privește mulțimile echipotente, mulțimile A și B sunt echipotente dacă există o aplicație bijectivă între A și B. Se scrie A ~B și se citește „A este echipotent cu B”.

Proprietățile echipotenție mulțimilor :

a)     este reflexivă, mulțimea A este echipotentă cu ea însăși , deoarece avem aplicația identică f:A→A, care este bijectivă a A, f(a) = a, A ~A;

b)    este simetrică dacă f:A→B este bijectivă, atunci există aplicația inversă f-1 :B→A ; deci A ~B, B ~A

este tranzitivă dacă f: f:A→B și g : B→C A ~B și B~C Și A C

Având aceste proprietăți, relația de echipotență este o relație de echivalență și împarte mulțimile în clase .

O clasă de echivalență , definită de relația de echipotență, se notează printr-un symbol, care se numește număr cardinal sau “puterea” fiecărei mulțimi din clasa respectivă .

Dacă mulțimile A și B sunt echipotente, ele au aceeași putere și li se asociază același număr cardinal. Notăm cardinalul mulțimii A cu A .

II.2. Relații. Funcții .Proprietăți.

A.Relații.

Fiind date două mulțimi A și B se numește relație binară între elementele mulțimii A și elementele mulțimii B , o propritate R a perechii ordonate (x,y=), unde x A și y B.

Dacă perechea (x, z), x A și y B are proprietatea R , atunci se spune ca x este in relatie R cu y și se scrie x R y (elementul x A îi corespunde elementului y B).

Mulțimea tuturor cuplurilor care au proprietatea R determina o parte a produsului cartezian AxB, numit graphic (cu graf) al relației R.

O relatie se poate pune în evidența printr-o diagramă.

Daca două mulțimi A și B sunt egale (A=B) atunci R este o mulțime binara între elementele mulțimii A sau relației binare pe A.

O relație binară R între elementele unei mulțimi A se numește relație reflexivă, dacă propoziția xRx este adevărată pentru orice x

O relație binară R între elementele unei mulțimi A se numește relație simetrică , dacă fiind adevărată propoziția xRy, este adevărată și propoziția yRx, pentru x,yscriem xRy yRx, unde x,y

O relație binară R între elementele unei mulțimi A se numește relație tranzitivă, dacă ori de căte ori sunt adevărate xRy și yRx, este adevărată și relația xRz.

O relație care este reflexivă, simetrică și tranzitivă se numește relație de echivalență.

Mulțimea tuturor elementelor y A care satisfac proprietatea xRy poartă numele de clasă a elementului x.

O relație binară R între elementele unei mulțimi A se numește relație de ordine, dacă este reflexivă, asimetrică (adică xRy și yRx x=y) și tranzitivă.

B. Funcții.

Fiind date două mulțimi A și B și un procedeu prin care se asociază oricărui element x A și un element y B, numai unul singur, spunem că am definit o funcție pe A cu valori in B. Scriem f:A B.

Mulțimea A se numește domeniu de definiție al funcției, iar B mulțimea in care funcția ia valori sau codomeniu.

Dacă elementul x A îi asociem elementul y B, spunem că y este imaginea lui x prin funcția f și scriem y=f(x).

Relația binară y=f(x) între elementele mulțimii A și elementele mulțimii B se mai numește lege de corespondență.

Deci, o lege este definită de trei elemente:

►domeniu de definiție

►codomeniul

►lege de corespondență.

Legea de corespondență poate fi dată în două moduri:

►sintetic (tablou, diagramă)

►analitic (una sau mai multe expresii).

Dacă mulțimile A și B sunt mulțimi de numere reale, atunci funcțiile definite pe A cu valori în B se numesc funcții numerice.

Pentru aceste funcții graficul format din acea parte a produsului cartezian care conține perechile (x, f(x)), se poate reprezenta geometric în plan.

O funcție f:AB este injectivă, dacă pentru orice x1, x2 cu x1≠ x2 avem f(x1) ≠ f(x2).

O funcție f:AB este surjectivă dacă pentru orice yB există cel puțin un xA astfel încât y=f(x). Cu alte cuvinte, orice element din B reprezintă o valoare a funcției , o imagine a unui element din A , deci B=f(A).

Funcțiile care sunt injective și surjective se numesc bijective.

Fie f:A B și f:B C. Funcția h:A C pentru care h(x)=g(f(x)), oricare ar fi x A, se numește funcție compusă a funcțiilor g și f și se notează f=g0f.

Compunerea funcțiilor nu este comutativă (g0f≠f0g).

Funcția 1A:AA dată prin 1A:(A)=x oricare ar fi xA , se numește funcție identică. Această funcție are proprietățile 1A 0f=f și f01A=f pentru orice funcție f.

O funcție f:AB se numește ireversibilă dacă există o funcție notată f-1, astfel încât f-1 :BA, f-10f=1A și f0f-1 =1B.

O funcție este ireversibilă dacă și numai dacă este bijectivă.

II.3. Numere naturale. Operații cu numere naturale. Proprietăți.

A.Număr cardinal.

O clasă de echivalență , definită de relația de echipotență, se notează printr-un simbol care se numește număr cardinal.

Dacă mulțimile A și B sunt echipotente , ele au aceeași putere și li se asociază același număr cardinal. Notăm cardinalul mulțimii A cu A.

Adunarea numerelor cardinale

Oricare ar fi mulțimile A și B disjuncte , prin definiție card (A B)=A+B.

Proprietățile adunării cardinale:

a). Este comutativă AB=BA+B=B+A(a+b=b+a);

b). Este asociativă considerând mulțimile A,B,C disjuncte două câte două, avem (AB)C=A(BC)(AB)CA(BC) (A+B)+C=A+(B+C) ((a+b)+c=a+(b+c))

c). Are element neutru: cardinalul 0(al mulțimii vide)

AØ=ØA=A A Ø ~ØA 0+A=A+0=A (o+a=a+0=a)

Înmulțirea numerelor cardinale

Oricare ar fi mulțimile A și B avem prin definiție : card (AxB=A●B)

Proprietățile înmulțirii cardinalilor :

a).este comutativă AxB ~ BxA AxB =BxA A●B=B●A (a●b=b●a);

b)este asociativă (AxB)xC~Ax(BxC) xxC=Ax(BxC) (A●B) ●C=A●(B●C) ((a●b) ●c=a●(b●c));

c) cardinalul 1 este elemental neutru fie N=.

AxN ~ NxA ~A AxN=NxA=A Ax1=1xA=A

d)înmulțirea oricărui cardinal cu 0 dă rezultatul 0 Ax Ø= ØxA Ax Ø ~ Ø x Ø = Ø Ax0=0

e) este distributivă față de adunare Ax(BC)= (AxB)(AxC)Ax(BC) ~ (AxB) (AxC) x(B+C) =AxB+AxC

B.Număr natural.

Cardinalul a este finit dacă a ≠ a+1 . Dacă un cardinal nu este finit sau transfinite.

Mulțimea simbolurilor care reprezintă cardinalele finite se numește mulțimea numerelor naturale și se notează cu N.

N = , N*=.

Teoremă : dacă a+1=b+1, atunci a=b.

Fie mulțimea M , care are cardinalul a+1=b+1.

Există mulțimile A și B , care îndeplinesc condiția M=A=B.

Putem contrui aplicația bijectivă f:A B , în care avem f(u)=v. Facem o restricțe a aplicației f excluzând din domeniul de definiție pe u și din codomeniu pe v .

Rămâne funcția bijectivă f:A B. Deci A~B și A=B . Atunci card (AU )=a+1 aa=b; card (BU)=b+1 b.

Teoremă : dacă numărul natural a este finit, atunci și a+1 este finit .

Presupunem că a+1 nu este finit. Atunci avem : a+1=(a+1)+1, iar din teorema anterioară rezultă că a =a+1, adică a nu ar fi finit , ceea ce contrazice ipoteza.

Schematic, inducția matematică se prezintă astfel : P(a) este adevărată .

Ipoteza :P(n) se presupune adevărată .

Concluzia P(n+1) sedemonstrează că este adevărată .

Folosind inducția, se demonstrează că numerele naturale sunt și regulate față de adunare (adică , dacă a+n=b+n , atunci a =b) și numerele mulțimii N* sunt regulate față de înmulțire (adică, dacă axn=bxn, atunci a=b).

Adunarea și înmulțirea numerelor naturale verifică aceleași proprietăți ca și adunarea și înmulțirea cardinalilor .

B.1. Relația de ordine totală

Spunem că a este cel mult egal cu b și sciem a ≤b , dacă există un număr natural c astfel încât să avem b=a+c .

Proprietăți :

a)     a ≤ a, deoarece a = a+0( reflexivitatea );

b)    a ≤ b, deoarece b = a+e; b ≤ c , deoarece c =b + d .

Adunând ultimele două egalități , avem b+c=a+b+d+ec=a+(d+e) c=a+fa≤ c.

Adunând ultimele două egalități , avem a+b=a+b+c+d cd.

Numerele c și d fiind naturale , ultima egalitate este valabilă numai dacă c=d=0.Deci , a=b (antisimetria).

c)     a ≤ b , deoarece b=a+c ; b ≤ a , deoarece a=b + d

Deci relația ≤ este una de ordine pe N. Ea este de ordine totală , deoarece , oricare ar fi o pereche (a,b) de numere naturale, avem a ≤ b sau b ≤ a .

Proprietăți ale relației de ordine totală față de adunare și înmulțire :

a)     dacă a +c ≤ b + c , atunci a ≤ b și reciproc ;

b)    dacă a ≤ b și c≤ d , avem a + c ≤ b + d ;

c)     dacă a≤ b și c ≤ d avem a x c ≤ b x d ;

d)    dacă a ≤ b atunci a x c ≤ b x c ( diferit de 0 ) și reciproc.

B. 2. Operații cu numere naturale

B.2.1. Adunare

Numerele care se adună se numesc termeni , iar rezultatul sumă .

Adunarea numerelor naturale are aceleași proprietăți cu cea a cardinalelor :

a)     adunarea a două numere naturale este tot un număr natural ( se spune că în N adunarea este parte stabilă) , deci a, ba+b ;

b)    comutativitatea a, ba + b) b + a ;

c)     asociativitatea – a ,b , c avem (a + b ) +c = a +( b + c) ;

d)    0 este element neutru la adunare ,căci aavem a + 0 = 0 + a = a.

Asociativitatea poate fi folosită cu succes în calculele mintale .

Exemplu : 1+2+3+…+ 97+98+99+100 = 100+(1+99)+(2+98)+(3+97) +…=(100×99) : 2+100= (100 x 101) : 2.

B.2.2.Scăderea

A scădea două numere a și b , primul numit descăzut, al doilea scăzător, înseamnă a găsi un număr , numit rest sau diferență, care adunat cu scăzătorul să ne dea descăzutul. Operația se notează cu semnul “-“ . În felul acesta , se mai spune că

scăderea este operația inversă adunării. Avem deci a – b = x , dacă b + x = a . În mulțimea numerelor naturale operația de scădere este posibilă numai dacă a ≥ b .

Proprietăți și reguli de calcul .

a)     a,b avem a +b – b = a ;

b)    Pentru a scădea un număr dintr-o sumă este suficient să-l scădem dintr-un termen al sumei : a + b+ c + d – m = a+ b+ (c – m) + d ,c > m

c)     Dacă mărim și descăzutul și scăzătorul cu același număr , diferența nu se schimbă : (a + c) – (b + c)= a – b ;

d)    Dacă micșorăm și descăzutul și scăzătorul cu același număr , diferența nu se schimbă : (a – c) – (b – c) = a – b ;

e)     Dacă scăzătorul crește sau scade cu un număr , atunci și diferența crește sau scade cu același număr : a – (b + c ) = a-b-c ; a – (b –c ) = a – b +c ;

f)      Dacă descăzutul crește sau scade cu un număr , atunci și diferența crește sau scade cu același număr : (a + c) – b = (a – b) + c ; (a – c) – b = (a – b ) –c ;

B .2.3. Înmulțirea

A înmulți două numere a și b , primul numit deînmulțit, al doilea înmulțitor, înseamnă a afla suma a “b” termenilor egali cu a : a x b = a +a + a + …+ a , b termini

Tot prin definiție a x1 = a și a x 0= 0

Numerele care se înmulțesc se numesc factori , iar rezultatul se numește produs .

Proprietăți :

a)     comutativitatea a x b = b x a , a,b

b)    asociativitatea a x (b x c) = ( a x b) x c , a,b,c

c)     distributivitatea față de adunare a x (b +c) = a x b+a x c , a,b,c numărul 1 este element neutru ax 1 = 1 x a , a,

Reguli de calcul

a)     într-un produs de mai mulți factori putem schimba oricum ordinea lor , fără ca produsul să se schimbe ;

b)    într-un produs de mai mulți factori putem înlocui doi sau mai mulți factori prin produsul lor;

c)     produsul aceluiași factor se numește putere : a x a x a x….x a = aN; n factori ;

d)    înmulțirea este distributivă față de scădere : a x(b – c ) = a x b – a x c , a,b,c b>c) ;

e)     dacă un factor al produsului se înmulțește de n ori , produsul se mărește tot de n ori .

B.2.4. Împărțirea

A împărți două numere a și b , primul numit deîmpărțit , al doile numit împărțitor , înseamnă a găsi un număr numit cât , care împărțit cu împărțitorul să rezulte deîmpărțitul .

Împărțirea lui a la b se scrie a:b sau a /b .

Împărțirea este operația inversă înmulțirii . Ea nu este întotdeauna posibilă . Când împărțirea este posibilă câtul este unic . Împărțirea la 0 nu este posibilă .

Această operație poate fi văzută ca și o scădere repetată . Cu ajutorul mulțimilor, ea se pune în evidență astfel : fiind dată o mulțime A cu elemente , formăm submulțimi disjuncte , fiecare având același număr de elemente .

Se pun în evidență două procedee de împărțire :

►împărțirea prin cuprindere este procedeul prin care, cunoscând numărul de elemente al submulțimii B , trebuie să aflăm numărul de submulțimi ;

► împărțirea în părți egale este procedeul prin care , cunoscând numărul de elemente al mulțimii A și numărul de submulțimi B , trebuie să aflăm numărul de elemnte dintr-o submuțime .

Teorema împărțirii cu rest :

a,b b ≠ 0), există două numere naturale q și r numit respectiv cât și rest , astfel încât :a = b x q + r , r < b ( D = Î x Q +R ) . Numerele q și r determinate de aceste condiții sunt unice .

Când restul este 0 , spunem că avem o împărțire exactă .

Proprietăți și reguli de calcul

a)    (a : b ) x b = a ;

b)    a x b x c : m = a x ( b : m ) x c ;

c)     dacă înmulțim deîmpărțitul și împărțitorul cu același număr , câtul nu se schimbă : a x c: b x c = a : b ;

d)    dacă împărțim și deîmpărțitul și împărțitorul la același număr, câtul nu se schimbă : (a :c) : ( b : c )= a : b;

e)     pentru a împărți un număr la un produs, împărțim pe rând la fiecare factor al produsului ;

f)      pentru a împărți un număr la alt produs , se efectuează mai întâi simplificările ;

g)    pentru a împărți o sumă sau o diferență la un număr , putem împărți fiecare termen la acel număr : ( a + b –c ) : m = a: m + b : m – c : m ;

Împărțirea cu rest are următoarele reguli :

a)     dacă înmulțim și deîmpărțitul și împărțitorul cu același număr , câtul împărțirii rămâne același , dar restul se înmulțește și el cu acel număr ;

b)    dacă înmulțim și deîmpărțitul și împărțitorul cu același număr , câtul împărțirii rămâne același , dar restul se împarte și el la același număr .

Mulțimea numerelor raționale positive

Scurt istoric

Termenul de fracție se găsește în manualele europene medievale ca o traducere din arabă , unde înseamnă rupere .

Cele mai importante operații cu fracții din manualele medievale și ale Renașterii sunt înmulțirea, împărțirea și adunarea la același numitor. De-abia în secolul al-XVI lea apare această tehnică pe care o impunem elevilor astăzi.

Întorcăndu-ne în timp constatăm că teoria fracțiilor a dat naștere la multe dificultăți de înțelegere, deoarece unele din operațiile lor nu se aseamană cu analoagele din mulțimea numerelor naturale, fără a mai vorbi de operațiile cu numere raționale negative.

Dacă adunarea și înmulțirea nu dau loc la probleme de existență a rezultatelor, care sunt totdeauna tot numere naturaele, scăderea și împărțirea pun astfel de probleme, care au necesitat eforturi de înțelegere.

Scăderea a adus la introducera numerelor negative și a lui 0, întâi ca simbol și apoi ca număr, îmbogațind prin aceste extinderi mulțimea numerelor naturale , prin aceste noi numere, ca sa devină mulțimea numerelor întregi pozitive, negative și completată cu 0 ca număr.

Împărțirea este cunocută ca o operație născută din practica împărțirii unei pâini în părți egale sau a unui teren între mai mulți moștenitori. În primul rând împărțirea în mai multe părți egale necesită înțelegerea noțiunii de parte: o jumătate, un sfert, o treime, dintr-un întreg și un număr fracționar, ca numere care exprimă împărțirea a două numere cănd acestea nu se fac exact.

Deși relația dintre înmulțire și împărțire era cunosctă încă din antichitate, că prima este inversa celei de-a doua, împărțirea cu o fracție se explică independent , folosindu-se ca justificare , analogia.

Fracții ordinare

La mulțimea numerelor raționale se poate ajunge pe două căi care pot fi reprezentate schematic prin :

1). Numere naturale , fracții pozitive, fracții negative , numere raționale (N, Q+,Q-,Q) :

2). Numere naturale,numere întregi, numere raționale (N, Z, Q).

În școală se pornește de la noțiunea de unitate fracționară.

Definiția 1 : numim unitate fracționară o parte dintr-un întreg împărțit în părți egale (ceia ce se notează ).

Definiția 2 : (A fracției ordinare). Un număr natural m de unități fracționare din întregul u se numește fracția din u.

Numărul m de unități se numește numărătorul fracției.

Numărul n ce ne arată în câte părți egale a fost împărțit întregul se numește numitorul fracției.

Mulțimea tuturor fracțiilor definite anterior poartă denumirea de nultimea numerelor rationale pozitive.

Definitia 3 : fiind date doua numere intregi a si b , b≠0 , ele determina un numar x care satisface conditia bx=0. Numarul x se noteaza prin simbolul si se numeste numar rational .

Definiția egalității : fiind date două numere întregi a și b≠0 există un număr x definit prin simbolul ,astfel încât bx=a.

Definiția 4 : două fracții sunt egale atunci și numai atunci când ele provin din amplificarea aceleiași fracții ireductibile.

Operații : adunarea: fie x1 si y1 soluții unice ale ecuațiilor b x1=a și d y1 =c. Prin înmulțirea cu d și respectiv b a celor două ecuații, avem bdx1=ad, bdy1=bc iar prin adunare obținem bd(x1+y1)=ad+bc, de unde x1+y1=.

Scăderea: se definește ca operație inversă adunării.

Ecuația are soluția x =

Înmulțirea dintre

Împărțirea se definește ca operație inversă inmultirii.

Reprezentarea pe axă a numerelor raționale pozitive

Pentru a reprezenta un număr rațional pe axă procedăm astfel : împărțim segmental 0-1 în părți egale. Considerăm punctul A pe axă astfel încăt segmentul [ 0A ] să cuprindă a segmente egale (cu a n-a parte din o-1), punctual A fiind de aceeași parte cu 1.

Numărul se reprezintă prin simetricul punctului A față de O . Fiecărui număr rațional îi corespunde pe axă un punct bine determinat și totodată un vector care unește punctual O cu acest punct.

La două fracții raționale egale între ele , corespunde același punct pe axă. Fie numerele pozitive

Compararea numerelor raționale pozitive

a)    Compararea numerelor raționale cu unitatea

Dacă >1a>b,fracția este supraunitară.

Dacă =1a=b , fracția este echiunitară .

Dacă <1a<b, fracți este subunitară .

b)    Compararea numerelor raționale pozitive

-Dintre două fracții diferite care au același numitor este mai mare aceea care are numărătorul mai mare (>> dacă a >b);

-Dintre două fracții diferite care au același numărător, este mai mare aceea care are numitorul mai mic (> dacă a <);

-Dintre două fracții care au numărători și numitori diferiți se pot compara după metoda proporțiilr și anume : dacă produsul mezilor este mai mare decât produsul extremilor , atunci prima fracție este mai mare decât a doua și invers:

Dacă ad >bc atunci >;

Amplificarea și simplificarea numerelor naturale

Operația prin care se măresc ambii termini ai fracției de același număr de ori se numește amplificare iar operația prin care se micșorează ambii termini de același număr de ori se numește simplificare .

Observații : Prin operațiile de amplficare și simplificare se obțin fracții echivalente. (a,b=1) , se numesc fracții ireductibile .În operații se lucrează pe cât posibil cu fracții ireductibile . De asemenea , rezultatele operațiilor se duc la forma ireductibilă.

Operații pe mulțimea numerelor raționale

Pe mulțimea Q sunt definite următoarele operații :

a)Adunarea .Pentru a aduna două numere raționale, ele trebuie să prezinte unități fracționare de același fel, deci să aibă același numitor. Deci pentru a aduna două sau mai multe numere raționale , întâi se aduc la același numitor se adună numitorii, numitorul sumei fiind numitor comun .

Numitorul comun a două sau mai multe fracții este c.m.m.m.c. al numitorilor. Rezultă că aducerea fracțiilor la același numitor propune următoarele operații :

–         descompunerea numitorilor în factori primi ;

–         stabilirea c.m.m.m.c. al numitorilor;

–         amplificarea fiecărei fracții cu câtul dintre numitorul comun și numitorul fracției respective .

b)Scăderea numerelor raționale . Oricărui cuplu de numere raționale , , i se poate asocia numărul rațional -= numit diferența celor două numere raționale .Întrucât numărul – este opusul numărului rațional se poate spune că difereața a două numere raționale este egală cu suma dintre descăzut și opusul scăzătorului , adică -= + (-)=.

c) Înmulțirea . Oricărui cuplu de numere raționale , i se asociază numărul rațional .=, numit produsul celor două numere . Prin urmare , înmulțire a două numere raționale se face înmulțind numărătorii între ei și numitorii întrer ei .

Observație .Ori de câte ori este posibil , în efectuarea produsului a două sau mai multe fracții , întâi se operează toate simplificările posibile și numai după aceea se trece la înmulțirea între ei a numitorilor, apoi a numitorilor . Mulțimea numerelor raționale împreună cu înmulțirea determină un grup comutativ. Înmulțirea numerelor raționale este distributivă față de adunare . Toate acestea arată că mulțimea numerelor raționale determină față de adunare și înmulțire un corp comutativ .

c)     Împărțirea numerelor raționale se definește analog cu împărțirea numerelor întregi și anume ca operație inversă înmulțirii. Dar în mulțimea numerelor raționale fiecărui element îi corespunde elementul invers .În cazul particular b = 1, inversul elementului este elementul . Ținând cont de aceste proprietăți considerăm că orice număr întreg se poate scrie sub forma numărului rațional cu numitorul 1, împărțirea a două numere întregi a,b se poate scrie a : b = a . .

d)    Prin urmare , câtul a două numere întregi egale cu produsul dintre deîmpărțit și inversul împărțitorului . Existând această regulă asupra numerelor raționale avem : :=.= .=.

CAPITOLUL III

PREDAREA-ÎNVĂȚAREA OPERAȚIILOR ARITMETICE ÎN ÎNVĂȚĂMÂNTUL PRIMAR –APLICAȚII PRACTICE

La clasele I-IV nu se face studiu teoretic al problemei , în sensul definirii operațiilor . Învățătorul va urmări conștientizarea de către elevi a procesului de cunoaștere a semnificației operațiilor , cât și a principiilor ce sta la baza aplicării lor ăn calcul . Pentru aputea îndruma elevii care au înclinații spre matematică , învățătorul trebuie să cunoască cu claritate definiția fiecărei operații cu numere naturale și proprietășile acestora. Aceste cunoștințe teoretice vor facilita formarea noțiunii de operație adunare-scădere, înmulțirea și împărțirea , la nivelul posibilităților de înțelegere a elevilor .

III.1.Probleme specifice predării-învățării adunării și scăderii numerelor naturale din cocentrul 0-20

Studiul organizat al operațiilor de adunare și scădere în cocentrul 0-10 se face după ce elevii și-au însușit conceptul de număr natural , numerația și relația de ordine definită pe mulțimea numerelor naturale . Se începe cu aceste două operații (adunarea și scăderea ) pentru că ele sunt mai accesibile elevului de vârstă școlară mică, cu un caracter intuitiv pronunțat și corespunde particularităților lui de vârstă .

Introducerea operațiilor de adunare și scădere se poate face fie folosind reuniunea a două mulțimi disjuncte și diferența a două mulțimi, fie folosind rigletele . Activitățile pe care le desfășoară elevii cu mulțimi de obiecte și cu riglete (încă de la grădiniță )îi pregătesc pentru înțelegerea esenței acestor două operații . Gândirea copilului va opera prin abstractizare , prin generalizare și prin analogie .

Elevii trebuie să înțeleagă , folosind exemple variate de mulțimi, că rezultatul adunării a două mulțimi este cardinalul reuniunii a două mulțimi disjuncte finite, iar pe planul operațiilor cu numere (reprezentanții mulțimilor ce se reunesc) avem o adunare .

Pentru formarea și însușirea noțiunii de adunare se pornește de la operații cu mulțimi de obiecte concrete uzuale –etapa perceptivă, după care se trece la efectuarea de operații cu reprezentări ce au tendința de a se generaliza- etapa repezentărilor și în final , se face saltul la conceptul matematic de adunar.

Prima fază-faza concretă este acțuinea concretă și nemijlocită cu obiectul cunoașterii .

De exemplu : elevii formează o mulțime cu flori roșii cu trei elemente și o mulțime cu flori galbene cu 4 elemente. Reunindu-se cele două mulțimi cu flori se formează o mulțime care are 7 flori roșii și galbene . Asemănător , reunindu-se o mulțime formată din 3 mingi (jetoane) cu o mulțime formată din 4 mingi (jetoane) se formează o mulțime care are 7 mingi (jetoane). Se continuă procedeul până ce se conștientizează , la fiecare elev , faptul că reunind o mulțime formată din 3 obiecte cu o altă mulțime formată din 4 obiecte de același fel se obține o mulțime formată din 7 obiecte . Se poate continua cu mulțimi de creioane , flori, brăduleți e.t.c.

LUCRARE METODICO-STIINTIFICA PENTRU OBTINEREA GRADULUI DIDACTIC I – FORMAREA CONCEPTULUI DE OPERATIE ARITMETICA PREDAREA SI INVATAREA OPERATIILOR ARITMETICE IN INVATAMANTUL PRIMAR

profesor scoala

UNIVERSITATEA BACĂU

DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC

LUCRARE METODICO-ȘTIINȚIFICĂ PENTRU OBȚINEREA

GRADULUI DIDACTIC I

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC :

Conf. univ. dr.

CANDIDAT:

Învățător

BACĂU

2008

UNIVERSITATEA BACĂU

DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC

FORMAREA CONCEPTULUI DE OPERAȚIE ARITMETICĂ

PREDAREA ȘI ÎNVĂȚAREA OPERAȚIILOR ARITMETICE ÎN ÎNVĂȚĂMÂNTUL PRIMAR

BACĂU

2008

CUPRINS

PREANBUL…………………………………………………………………………………………4

CAPITOLUL I. CARACTERISTICI PSIHO-PEDAGOGICE ALE COPIILOR DE VÂRSTĂ ȘCOLARĂ MICĂ , CU IMPLICAȚII ÎN ÎNVĂȚAREA MATEMATICII……………………………………………………………………………………8

CAPITOLUL II NOȚIUNI FUNDAMENTALE ÎN ARITMETICĂ ………….54

CAPITOLUL III PREDAREA-ÎNVĂȚAREA OPERAȚIILOR ARITMETICE ÎN ÎNVĂȚĂMÂNTUL PRIMAR –APLICAȚII PRACTICE………………………….71

CAPITOLUL IV CERCETAREA PEDAGOGICĂ………………………………..126

CONCLUZII……………………………………………………………………………………..154

BIBLIOGRAFIE……………………………………………………………………………….157

PROIECT DIDACTIC ……………………………………………………………………….159

FIȘA DE LUCRU………………………………………………………………………………163

INTRODUCERE

În contextul actualei reforme curriculare a învățământului românesc , este firesc ca în centrul preocupărilor actuale ale școlii românești să se situeze cultivarea accentuată a gândirii logice a micilor școlari . Și cum am putea mai bine rezolva problema decât prin evidențierea relațiilor matematice prin fundamentarea științifică a conceptelor , prin introducerea progresivă a limbajului matematic modern. De aceea se impune ca școala să ofere elevului mijloacele necesare progresului său continuu în cunoaștere și adaptare . Acest progres trebuie să se axeze pe însușirea capacităților esențiale , pe cultivarea unei gândiri suple , dialectice , să-i asigure însușirea de sisteme logice , de metode și instrumente de învățare prin activitate proprie. Obiectivele învățământului matematic , în etapa actuală , derivă din sarcinile generale ale școlii ca subsisteme social unic , precum și din locul matematicii ca disciplină tehnico-științifică . Însă , fiecare lecție în parte , considerată o unealtă din ansamblul întregului sistem de cunoștințe matematice prevăzute de programă , necesită o evaluare continuă a randamentului școlar , privită îndeosebi sub aspectul nivelului real de cunoștințe și deprinderi operaționele ale elevului .

Preocuparea pentru constituirea treptat[ a unui câmp motivațional adecvat oricărei forme de muncă pe care o desfășoară elevul constituie o cerință pedagogică a organizării muncii în școală . Orice cercetare pedagogică este întreprinsă pentru dezvoltarea și perfecționarea continuă a procesului de învățământ , ea poate să urmărească generalizarea experienței pozitive sau crearea unei experiențe noi . Cercetarea de creare a experienței noi corespunde mai mult cu tendințele actuale de dezvoltarea științei, cu creșterea în general a gradului de participare conștientă a omului la progresele în toate domeniile . Matematica este disciplina al cărui studiu contribuie în mod esențial la formarea gândirii logice , a unei judecăți riguroase și a ordinii în viață și în muncă .

Capacitatea omului de a se adapta este foarte mare și greutatea pe care o întâmpină uneori este o greutate de moment caracteristică fiecărei persoane în parte.

Învățarea matematicii exersează gândirea , antrenează capacitatea de organizare logică a ideilor , întărește atenția și mărește puterea de concentrare în intensitate și durată , antrenează memoria logică , dezvoltă un ascuțit simț critic constructiv și gustul pentru obiectivitate și precizie .

Importanța și actualitatea temei

Modernizarea învățământului matematic înseamnă în primul rând includerea în conținutul acestei discipline a cuceririlor acumulate și tratarea ei ca știință a structurilor precum și asimilarea lor într-o manieră modernă .

Învățământul din clasele I-IV are bogate valențe formative . Acum se pun bazele sistemului de noțiuni care se dezvoltă și se aprofundează pe tot parcursul școlarității , acum se formează deprinderile elementare de muncă intelectuală.

Înoirea învățământului matematic înseamnă aducerea la zi a conținutului acestui

învățământ , a metodologiei lui , a relațiilor și structurilor , în jos până la grădiniță . La clasele I-IV când se formează noțiunea de operație nu se face un studiu teoretic al problemei. Învățătorul trebuie să cunoască cu claritate definiția ficărei operații cu numere naturale și proprietățile acestora . Aceste cunoștințe vor facilita formarea noțiunii de operație adunare-scădere , înmulțire-împărțire , la nivelul de înțelegere al elevulilor .Astfel învățătorul va urmări conștientizarea de către elevi a procesului de cunoaștere a semnificație operașiilor , cât și a principiilor ce stau la baza aplicării lor în calcul .

Pe treapta învățământul primar , respectiv clasele I-IV , copiii trebuie să vină în contact cu numeroase situații problematice , care să-i stimuleze la o gândire matematică .

Primul contact al copilului cu matematica constă în acțiunea de a număra obiactele din jurul său . Intrat în școală , noțiunea fundamentală ce se însușeșete este noțiunea de număr natural și operațiile cu acestea. Aceste noțiuni vor sta la baza însușirii noțiunilor matematice în ciclul gimnazial . Putem afirma fără a greși că cerințele majore ale învățării matematicii la ciclul primar o reprezintă și asigurarea continuității cu instruirea din învățământul gimnazial .

Motivarea alegerii temei.

Pornind de la ideea că matematica a devenit în zilele noastre un instrument esențial de lucru pentru totalitatea științelor și domeniilor tehnice , este firesc ca în centru preocupărilor actuale ale școlii românești să se situeze cultivare accentuată a gândirii micilor școlari , prin evidența relațiilor matematice , prin fundamentarea științifică a conceptelor , prin introducerea progresivă , gradată a limbajului matematic modern .

Alegerea acestei teme este motivată de importanța deosebită a înțelegerii noțiuni de operație aritmetică bazată pe conceptul de număr natural .

Activitatea la clasă mi-a oferit posibilitatea să constat că uneori elevii din ciclul primar întâmpină greutăți în însușirea noțiunilor despre operațiile aritmetice . Am constatat că pentru a oferi posibilitatea de însușire de către toți elevi a unui minim de cunoștințe și tehnici utile de lucru este necesar să se țină seama de următoarele aspecte:

–         în toate formele de predare să se respecte etapele dezvoltării psihopedagogice ale copilului ;

–         trezirea interesului pentru aplicarea în practică a cunoștințelor dobândite .

Pentru a-i învăța pe elevi să înveț 858c27i e, pentru realizarea unui învățământ activ formativ al matematicii , stilul de lucru, metodele și procedeele au o importanță deosebită .

Scopul activității matematice este de a-i exersa copilului intelectul , procesele de cunoaștere , de a-l face apt să descopere relații abstracte pe baza situațiilor întâlnite în activitatea obișnuită .

Alegerea temei a fost determinată și de întrebarea : Ce metode putem folosi pentru a ușura înțelegerea noțiunilor privind predarea-învățarea operațiilor aritmetice în învățământul primar . Am constatat că jocul didactic este o formă eficientă de lucru cu elevii din clasele I-IV .

În cadrul obiectului matematică , jocul didactic aduce varietate în exercițiul matematic , înviorează lecția și ca urmare drumul spre deprinderi este mai sigur și mai plăcut .

Ipoteza de lucru și obiectivele cercetării .

,,Cercetarea psihopedagogică” este diferită de mai multe funcții : explicația praxiologică , predicativă , sistematizarea , referențială , informațională etc .

Cercetarea poate lua forme variate , de la simpla observare dirijată la experimantarea de tip formativ și orice cercetare pedagogică este întreprinsă pentru dezvoltarea și perfecționarea continuă a procesului de învățământ . În inițierea cercetării am pornit de la convingerea că există o discrepanță uneori între eforturile ce se fac pentru realizarea unei calități superioare de învățământ și rezultatele care se obțin .

Întreaga activitate de documentare , convorbirile , dezbaterile și clarificările rezultate contribuie la definitivarea problematicii cercetării , adică a perspectivei teoretice pe care cercetătorul se decide să o adopte pentru tratarea și aprofundarea problemei abordate . Astfel pe baza informării bibliografice , a schemelor , modelelor explicative , a paradigmelor furnizate de lucrările de referință , cercetătorul adoptă un cadru teoretic ce corespunde temei respective și explicitează propria problematică , redefinește cât mai bine obiectul cercetării sale, perspectiva de abordare .

Practica pedagogică oferă nenumărate posibilități de cercetare , deoarece ea presupune confruntarea cu o gamă largă de probleme la care trebuie găsite sugestii , soluții pentru a fi rezolvate .

Porcesul formării conceptului de număr natural se bazează pe noțiunea de mulțime și introducerea operațiilor cu numere naturale și are la bază operașiile cu mulțimi de obiecte . Acestea constituie baza intuitiv-corectă pentru înțelegerea de către elevi a operațiilor cu numere naturale , cât și pentru sesizarea principiilor de baza după care se efectuează calculul și proprietățile operațiilor .

În cercetarea efectuată s-a elaborat ipoteza că jocul didactic , prin utilizarea și intregarea adecvată în lecțiile de matematică , poate duce la creșterea eficienței învățării noțiunilor matematice și prin aceasta la un progres școlar al elevilor din ciclul primar .

În vederea demonstrării acestei ipoteze mi-am propus declanșarea unei cercetări psihopedagogice în care am folosit o serie de metode de cercetare : experimentul , observarea , testarea cunoștințelor .

În cadrul cercetării s-au urmărit următoarele obiective :

1)     Cunoașterea trăsăturilor psihice ale copiilor și stabilirea acestora ;

2)     Integrarea optimă a proceselor evaluative în activitățile matematice prin folosirea metodelor specifice ;

3)     Analiza comparativă a datelor inițiale și finale ;

4)     Folosirea metodelor și descriptorilor drept criterii unice de măsurare obiectivă a rezultatelor școlare la matematică ;

5)     Evaluarea inițială a cunoștințelor privind operațiile de adunare și scădere a numerelor naturale ;

6)     Evaluarea finală a cunoștințelor despre adunarea și scăderea numerelor naturale ;

7)     Desprinderea unor concluzii.

CAPITOLUL I

CARACTERISTICI PSIHO-PEDAGOGICE ALE COPIILOR DE VÂRSTĂ ȘCOLARĂ MICĂ , CU IMPLICAȚII ÎN ÎNVĂȚAREA MATEMATICII

I.1. Particularități psihologice ale copilului de vârstă școlară mică : semnificația psihologică a contactului cu matematica .

Pavelcu V. sublinia : ,, Fiecare om , în același timp seamănă cu toți , seamănă cu unii și nu seamănă cu nimeni .”

Doi copii pot fi asemănători, chiar tipici în ceea ce privește caracteristicile generale de vârstă , dar extrem de diferiți în manifestarea concretă a acestora.

Deci, pe fondul general al particularităților de vârstă, își spun cuvântul particularitățile psiho-individuale . Dezvoltarea psihică nu are numai un caracter studial, ci un caracter individual, specific fiecărui individ .

De la naștere și până la maturitate , omul străbate un drum lung de dezvoltare . În decursul anilor , în viața copilului se produc transformări fizice și psihice însemnate . Acestea nu constau doar în adaosul de înălțime și greutate sau în simpla sporire a cunoștințelor și deprinderilor copilului . Dezvoltarea copilului nu poate fi privită doar ca un proces de schimbări cantitative . Faptele arată că în dezvoltarea psihică se produc și schimbări calitative importante .

Așadar prin dezvoltare trebuie să înțelegem în primul rând transformările calitative, de natură fizică și psihică ce se produc în viața copilului . Dezvoltarea psihică a copilului constă , în primul rând, complcarea și adâncirea activității sale de cunoaștere . Ea se caracterizează prin modificarea relațiilor sale cu cei din jur , prin schimbarea atitudinii sale față de mediul înconjurător .

În stânsă legătură cu relațiile pe care le are copilul cu cei din jur , se dezvoltă treptat viața sa afectivă, cu dezvoltare sentimentelor și atitudinilor față de obiectele și fenomenele realității . Pornindu-se de la această bază , se conturează treptat trăsăturile de caracter ale copilului, perfecționându-se și activitatea acestuia . La început, mișcările sale sunt răspunsuri simple , directe la stimulări externe și interne . Aceste acte se complică treptat , câștigând în precizie și coordonare .Putem spune că direcțiile principale ale dezvoltării psihice a copilului sunt : complcarea și adâncirea activității sale de cunoaștere, transformarea vieții sale afective, a relațiilor sale față de mediul înconjurător și perfecționarea activității în sensul dezvoltării conduitei voluntare .

Copilul se dezvoltă sub influența educației și a condițiilor de viață . Acțiunea mediului social și a educației, nu se desfășoară însă pe ,,teren ’’ gol . El se naște cu anumite dispoziții naturale, care reprezintă premizele dezvoltării sale psihice . Aceste dispoziții moștenite nu conțin însușiri psihice și aptitudini gata formate . Ele se formează și se dezvoltă, pe baza dispozițiilor înnăscute, în procesul activității, educației și instruirii .

Intrarea în școală constituie un moment important în educația și dezvoltarea copilului . El intră într-un cerc de relații noi : cu învățătorul, cu elevii din clasă și sporadic cu colectivul școlii . Apar cerințe noi, copilul învață sistematic , cu sentimentul tot mai clar că desfășoară o activitate serioasă , de importanță socială . Modul cum își îndeplinește obligațiile de elev, definește poziția sa în școală , în colectivul de clasă și în familie .

Cunoașterea profilului psihologic al școlarilor mici este de o mare importanță în abordarea strategiilor didactico-educative, în stilul de muncă al cadrului didactic și în relațiile cu copiii.

Fiecare disciplină care se studiază în școală are menirea de a ,, construi’’ și ,,reconstrui ’’ logic și progresiv în structurile mentale ale elevului un sistem de cunoștințe științifice care să se aproprie de logica științe respective .

Matematice este știința conceptelor celor mai abstracte, de o extremă generalitate . Ca ,,abstracțiuni ale abstracțiunilor’’ ele se construiesc la diferite ,,etaje’’ prin inducție , deducție , transducție .

Specificul gândirii copilului de vârstă școlară mică (mai ales în primele clase) se manifestă printr-o proprietate esențială, anume aceea de a fi concret intuitiv . Așa cum arată J. Piaget, ne găsim în stadiul operațiilor concrete . Copilul gândește mai mult operând cu mulțimi concrete .

În acest cadru teoretic se înscrie și cerința ca proiectarea ofertei de cunoștințe matematice la clasele mici să ia în considerare formele și operațiile specifice gândirii copilului .

Gândirea este dominată de concret fiind specifică vârstelor între 6/7- 10/11 ani. Percepția lucrurilor rămâne încă globală ,, văzul lor se oprește asupra întregului încă nedescompus “, lipsește dubla mișcare rapidă de disociere recompunere (H . Wallon) comparația reușește pe contraste mari , nu sunt sesizate stările intermediare . Domină operațiile concrete, legate de acțiuni obiectuale, apare ideea de invariație , de conservare (a cantității, volumului , masei etc.) . Se poate vorbi de puterea de deducție imediată ; copiii pot efectua anumite raționamente de tipul ,,dacă ….., atunci , cu sprijin pe obiecte concrete sau exemple . De asemenea se remarcă prezența raționamentului progresiv, de la cauză la efect, de la condiții la consecință .

Spre clasa a IV a (vârsta 10/11 ani ) putem întâlni , evident diferențiat și individualizat, ,,manifestări ale stadiului preformal, simultan cu menținerea unor manifestări intelectuale situate la nivelul operațiilor concrete .(Aron I.1)

Caracteristicile acestui stadiu generează și unele opțiuni metodologice bazate pe strategii destinate formării și învățării conceptelor matematice .

În acest sens , prioritate va avea nu atât stadiul strict delimitat în care se găsesc elevii din punct de vedere al vârstei, cât, mai ales , zona proximei dezvoltări a capacităților intelectuale ale acestora . Aceasta nu înseamnă, cum afirmă specialiștii (Dottrens R. , Miliaret G. , D.P. Asubel 13) o situare exactă în stadiu și nici a ,,sări “ în predare-învățare cu mult peste posibilitățile copiilor .

Esențial este ca legalitățile construcției psiho-genetice să fie cunoscute, iar formarea noțiuni și operații mintale să pornească de la modele concrete .Lectura perceptivă este o realitate pentru construirea conceptelor și pentru formarea operativității matematicii, așa cum nevoia de exteriorizare sub forma unor acțiuni șateriale sau materializate, fie cu obiecte, fie cu substitute ale acestora (modele, scheme grafice, bile, jetoane etc) reprezintă baza reală a materializării actului mintal .

Toate acestea ne conduc la ideea că gândirea logică la clasele mici nu se poate dispensa de intuiție, de operațiile concrete cu mulțimi de obiecte.

Înainte de a se aplica propozițiile, enunțurile verbale, logica nițională se organizează în planul acțiunilor obiectuale, ale operațiilor concrete. De aceea, procesul de predare-învățare a matematicii în clasele I-IV trebuie să însemne mai întâi efectuarea unor acțiuni concrete, adică operații cu obiecte, care se structurează și se interiorizeză, devenind progresiv, operații logice abstracte .

Formarea noțiunilor matematice se realizează prin ridicarea treptată către general și abstract, unde relația între concret și logic se modifică în direcția esențializării realității .În acest proces trebuie valorificate diverse surse intuitive : experiența empirică a copiilor, matematizarea realității înconjurătoare, operațiuni cu mulțimi concrete de obiecte, limbaj grafic . Astfel, se pot ilustra noțiunile de mulțime, apartenență, incluziune, intersecție, reuniune ș.a. cu obiecte reale (bănci, caiete, cărți ) și cu obiecte cunoscute de către copii, (păsări, copaci ,flori e.t.c.). Însușirea caracteristică a obiectelor ce aparțin mulțimii respective este intuită de copii, sesizată prin experiența lor spontană și nu determinată în mod precis. Au loc însă operații de clasificare a obiectelor care au însușirea ce caracterizeză mulțimea respectivă și aparțin acesteia.

În compararea mulțimilor prin procedeul formări perechilor (unu la unu) se poate face apel la cărți, caiete , scaune (bănci), elevi; pentru mulțimile cu,, tot atâtea elemente” se pot compara mulțimi ca : elevi-paltoane, ghiozdane-elevi ș.a..Putem efectua cu elevii clasificări de genul : băieți-fetițe = copii ,câine –pisică= animale domestice, vrăbiuțe-rândunele =păsărele ș.a.

Noțiunile de relații între mulțimi pot fi cunoscute de copii și în cadrul diferitelor ilustrații (tablouri, ilustrații de carte) prin care ei sunt conduși să sesizeze noțiunea sau relați respectivă în imaginile care reprezintă aspecte din viață (copii care se joacă cu mașinuțe, cu mingi, cu iepurași, cățeluși).Referitor la această problemă J.Piaget afirmă că nu obiectele în sine poartă principiile matematice , operațiile cu mulțimi concrete .

Operațiile logice trebuie, de aceea cunoscute mai întâi în acțiunile concrete cu obiectele și apoi interiorizate ca structuri operatorii ale gândirii .Elevul este pus să efectueze operații logice cu mulțimi de obiecte care poartă în ele legități matematice (bețișoare ,bile, riglete ș.a.). Acest lucru se poate face la nivelul claselor I-IV, fără a recurge la terminologia utilizată în studiul structurilor matematice .Introducerea mai târziu a noțiunilor de teoria mulțimilor (care se face începând cu clasa a V a)nu împiedică exersarea la clasele I-IV a structurilor logice necesare în conformitate cu intenția dezvoltării lor ulterioare .

Materialul didactic cel mai potrivit pentru a demonstra cu multă exactitate și precizie mulțimile, relațiile dintre mulțimi ca bază a formări noțiunii de numă natural și operațiile cu mulțimi, ca bază a operațiilor cu numere naturale, este constituit din truse. Datorită faptului că atributul (caracteristica) după care se constituie mulțimile ca figuri geometrice sau piesele trusei ,,Logi II”este precis determinat (formă, culoare, mărime, grosime), structurile logice se pot demonstra cu acesta în mod riguros matematic .De aceea, putem aprecia că aceasta reprezintă materialul didactic concret cu cea mai bogată încărcătură logică, cu valențele cele mai mari în a-i ajuta pe copii să înțeleagă cu precizie și siguranță, relațiile dintre mulțimi, operațiile cu mulțimi. În operarea cu piesele jocurilor logice, copii se găsesc foarte aproape de operarea cu structuri logice .De aceea ,,comenzile “ (instrucțiunile) învățătorului trebuie să lase mai mult loc pentru independența, inițiativa și inventivitatea copilului (de exemplu, formați o mulțime din piese de aceeași culoare, sau de aceeași formă, sau de aceeași formă și aceeași culoare etc.) .

Reprezentările grafice și limbajul grafic sunt foarte aproape de noțiuni . Ele fac legătura între concret și logic, între reprezentare și concept care este o reflectare a proprietăților relațiilor esențiale ale unei categorii de obiecte sau fenomene, între cele două niveluri, interacțiune este logică și continuă .Ea este mijlocită de formațiuni mixte de tipul conceptelor figurative, al imaginilor esențializate sau schematizate care beneficiază, prin generalitatea semnificațiilor purtate de apartenența lor la rețeaua conceptuală și prin impregnarea lor senzorială, de aportul inepuizabil al concretului .

Imaginile mintale, ca modele parțial generalizate și reținute în gândire într-o formă figurativă, de simbol sau abstractă, îl aproprie pe copil de logica operației intelectuale cu obiectele, procesele și evenimentele realității, devenind astfel sursa principală a activității gândirii și imaginației . Generate în mod continuu de interacțiunea noastră cu lumea înconjurătoare, imaginile mintale se interpun între noile stimulări (cunoștințe, operații) și răspunsurile elevilor, mediind, în sensul cel mai larg al cuvântului, cunoașterea realității matematice .

Operația de generalizare la care trebuie să ajungem are loc atunci când elevul este capabil să exprime prin semne grafice simple (puncte, linii, cerculețe, figuri geometrice) ideea generală care se desprinde în urma operațiilor efectuate cu mulțimi concrete de obiecte . Semnul grafic evocă obiectele pe care le reprezintă ca element al mulțimii .Criteriul de apartenență la o mulțime sau alta (culoare , formă , mărime) a rămas doar în mintea elevului ca o structură logică .El exprimă grafic fenomenul matematic pe baza înțelegerii lui, a sesizării esențialului, ceea ce înseamnă de fapt pe baza definiției lui .

Nivelurile de construcție prezentate mai sus nu se succed linear în formarea conceptelor matematice .Lafiecare nivel, pe măsură ce ne apropiem de concept, există o înbinare complexă între concretul ,, cel mai concret” și imagine, între senzorial și logic . De aceeea nu este vorba de o parcurgere rigidă și strict liniară a acestor etape ci de organizare și dirijare rațională, metodică a relației intuitiv-logic adecvate conceptului respectiv, în strânsă conexiune cu ciondițiile concrete în care se desfășoară activitatea didactică . Important este ca activitatea elevilor să fie dirijată pe linia atingerii progresive a esenței conceptului respectiv. Reiese astfel mai clare conceptele :formarea mulțimilor , pe linia însușirii proprietății caracteristice pe care trebuie s-o aibă elementele respective pentru aparține unei mulțimi, formarea noțiunii de număr , pe linia clasei de echivalență a mulțimilor echivalente, operația de adunare, pe linia reuniunii mulțimilor disjuncte, care trebuie nu numai constatată pe un desen din manual, ci operată prin manevrarea obiectelor la niveluri diferite de concretul logic etc.

Mulțimile ne apar deci ca fiind produsul unor operații mintale, în timp ce obiectele (elementele) din care sunt formate ele sunt obiecte fizice . De aceea, pe întreg parcursul formării conceptelor de număr natural, de operații cu numere naturale pe baza mulțimilor trebuie să se realizeze îmbinarea între concret și logic, cu negarea dialectică, treptată, a concretului și asimilarea (interiorizarea) modelului (abstracțiunii) respectiv .

I.2. Relația de continuitate între grădiniță și învățământul primar.

Formare limbajului matematic.

Învățământul preșcolar, prima verigă a sistemului nostru de învățământ, are menirea de a asigura pregătirea copiilor pentru activitatea școlară .Având un rol preponderent formativ, învățământul preșcolar dezvoltă gândirea, inteligența, spiritul de observație ale copiilor, exersând operațiile de analiză, sinteză, comparație, abstractizare și generalizare în cadrul jocurilor logico-matematice .

În grădiniță copilul învață, așa cum se precizeză și în programă, să formeze colecții-mulțimi de obiecte ; descoperă proprietățile lor caracteristice, stabilește relații între ele, efectuează operații cu ele . În cadrul jocurilor logico-matematice, copii sunt familiarizați cu unele noțiuni elementare despre mulțimi și relații .Făcând exerciții de gândire logică pe mulțimi concrete ei dobândesc pregătirea necesară pentru înțelegerea numărului natural și a aoperațiilor cu numere naturale pe baza mulțimilor (conjuncția, disjuncția, negația , implicația, echivalența, ca fundamentând intersecția, reuniunea, complementara, incluziunea și egalitatea mulțimilor). În principal, acestea constau în exerciții de clasificare , comparare și ordonare a mulțimilor de obiecte .

Exercițiile de formare a mulțimilor după o însușire, apoi treptat, după două sau mai multe însușiri (culoare, formă , mărime, grosime) reprezintă adevărate exerciții de clasificare a obiectelor după un criteriu dat .

Compararea mulțimilor de obiecte îi ajută pe elevi să stabilească , fără a utiliza numere, relațiile dintre mulțimi, care pot avea mai multe elemente decât mulțimea cu care se compară, mai puține sau tot atâtea elemente .

Exercițiile de ordonare e elementelor unei mulțimi , mai întâi după un model dat (grupă mică ), apoi după criteriile stabilite (formă, mărime, culoare-grupă mijlocie) și , în final , după mai multe criterii (grupa mare), conduc la pregătirea copiilor pentru compararea numerelor și pentru înțelegerea șirului numerelor naturale .

Prin activitățile cu conținut matematic (grupare, ordonare, comparare, punere în corespondență), copiii sunt antrenați în acțiuni operatorii cu diferite materiale (obiecte, imagini schematice ale acestora și simboluri, cerc, linie, punct etc.).Acestea constituie o bază reală prin care se realizează dezvoltarea intelectuală a copiilor de natură să optimizeze integrarea în clasa I, să asigure pregătirea lor pentru învățarea matematicii.

Învățarea unei științe începe de fapt cu asimilarea limbajului ei noțional .Studiul matematicii în manieră modernă, încă de la clasa I, urmărește să ofere elevilor, la nivelul lor de înțelegere, posibilitatea explicării științifice a conceptului de număr natural și a operațiilor cu numere naturale. Dacă înțelegerea acestor noțiuni se realizeză la nivelul rigorii științifice a matematicii, atunci și limbajul în care se exprimă acest sistem de noțiuni trebuie să întrunească rigoarea științifică .

Există o strânsă legătură între conținutul și forma (denumirea) noțiunilor care trebuierespectată cu precădere în formarea noțiunilor matematice. Orice termen (denumire) trebuie să aibă acoperire în ceea ce privește înțelegerea conținitului noțional ; astfel, asemenea termeni apar cu totul străini de limbajul actic al copilului și , fie că-i pronunță incorect, fie că sub aspect sonor îi pronunță corect, dar îi lipsec din minte reprezentările corespunzătoare, realizându-se astfel o învățare formală .

Toate științele operează cu un aparat noțional care se învață o dată cu „descifrarea” noțiunilor respective . Limbajul matematic, fiind limbajul conceptelor celor mai abstracte și mai generale, se introduce la început cu unele dificultăți . De aceea , trebuie asigurată mai întâi înțelegerea noțiunii respective, sesizarea esenței, de multe ori într-un limbaj cunoscut de copii, accesibil lor, făcând unele concesii din partea limbajului matematic . Pe măsură ce se asigură înțelegerea noțiunilor respective, trebuie reprezentată și denumirea lor științifică .

Deci, pe măsură ce elevul avansează în interpretatrea corectă a noțiunilor matematice se introduce și limbajul riguros științific .

Atenția care se impune este deci ca în introducerea unei noțiuni să se dea numai acele elemente pentru care există posibilitatea reală a înțelegerii de către elevi . Esențială este alegerea metodelor celor mai potrivite pentru atingerea acestui scop .La nivelul claselor I-IV descrierea bazată pe unele exemple și operații concrete , urmată de o atentă abstractizare până la nivelul accesibil sunt cele mai indicate . Important este ca tot ceea ce se face să fie în limitele care permit dezvoltarea ulterioară corectă a noțiunilor și operațiilor matematice .

Logica didactică a matematicii se construiește ținând seama de particualritățile psihice ale celor care învață matematica .

În evoluția mentală a școlarului de calsa I, o contribuție esențială la statornicia planului simbolic abstract o are contactul cu unele noțiuni matematice, cu condiția ca prin programul de instruire să se întrețină învățarea mecanică .

Pe fondul unor structuri de baza, pot fi proiectate o infinitate de construcții operaționale particulare :

–         mișcarea în ordine crescătoare și descrescătoare a șirului de numere naturale;

–         tehnica primelor două operații fundamentale în concentrul 0-10 și apoi în limitele concentre până la 100;

–         înbogățire nomenclatorului noțional .

Astfel , află că unele numere sunt termeni, fac cunoștință cu proprietățile : asociativitatea și comutativitatea .

Exerciții de tipul : a-3=4, 7-a=2 cultivă flexibilitatea, ajută la automatizarea și creșterea vitezei de lucru și stimulează descoperirea, înțelegerea, judecata, raționamentul matematic .

Pentru evitarea învățării mecanice, cunoștințele matematice trebuie introduse ca acte asociate, fondate una pe alta și ilustrate una din alta, cu realizarea unei legături interne de continuitate între acțiunea practică și cea teoretică .

Dacă la clasa I modelul de învățare este cu precădere intuitiv, empiric, la clasa a II a se reduce intuitiv până la eliminare . Învățarea conține nu numai informație mai multă, ci și multă metodă . Preocuparea pentru metodă, ca factor principal al creării accesului elevului la gândirea matematică, este doar un început, pentru că ponderea mare revine tot exercițiului, aplicației, ceea ce duce la un efect de consolidare a deprinderii de calcul , înaintea judecății matematice .

Unul din momentele esențiale ale învățării matematicii în clasa a III aîl constituie familiarizarea elevilor cu ordinele și clasele numerelor . Operațiile matematice fundamentale, însușite în clasa a II a , sunt solicitate să fie lucrate în condițiile compartimentării ordinale a numerelor . Acum sunt introduși termeni fizici de bază : întinderea ,volumul , greutatea, durata, iar noțiunile de geometrie întregesc setul sarcinilor care compun matematica la clasa a III a .

În clasa a IV a temele care îi introduc pe elevi în învățarea noțiunilor de fracție, ca mod de redare a relației parte-întreg , ca și problemele tipice oferă bune ocazii de educare a gândirii matematice. Crește competența cognitivă a elevului pentru sarcini din ce în ce mai complexe .Una din notele specifice ale învățării o poate constitui călăuzirea elevului spre reflexivitatea matematică bazată pe implementarea noului în unitate, cu reconsiderarea „știutului” .

Învățarea matematicii este o activitate anevoioasă și uneori ,am întâlnit cazuri când elevul avea reacții negative, de respingere față de acest obiect.

Motivația învățării în studierea aceste discipline de învățământ am susținut-o prin stimularea și menținerea într-o stare activă a curiozității cognitive ale copiilor .

Am fructificat această „dechidere” a personalității școlarilor mici spre nevoia de a afla, de a cunoaște, pentru a cultiva atașamentul tață de școală și de învățătură și interesul pentru matematică .

I.3. Elemente de curriculum.

Termenul de curriculum este folosit din abundență în literatura pedagogică, în textele de politică a educației, în mass-media, în limbajul comun. Semnificațiile induse întrețin însă opinii aflate uneori în contradicție cu esența curriculumului.

Fundamentele istorice ale curriculumului susțin clarificarea conceptului din perspectiva evoluțiilor sale pedagogice și sociale, realizate în trei etape semnificative : premodernă, modernă, postmodernă.

În etapa premodernă (secolul XVII sfârșitul secolului XIX), curriculumul este înțeles în sens tradițional , doar ca document oficial care programează conținutul studiilor în cadrul sistemului de învățământ .

În etapa modernă, curriculumul, în accepția de conținut, este raportat la experiența de învățare a elevului . Astfel poate fi depășită pedagogia tradițională în cadrul căreia manualul și profesorul se întrec să prezinte copilului obiectul de studiu așa cum apare acesta specialistului .

În etapa postmodernă sunt afirmate principiile de bază ale curriculumului, exprimate prin întrebări-problemă cu valoare metodologică superioară :

–         Ce scopuri și obiective trebuie să realizeze instituția școlară ;

–         Ce experiențe de educație/instruire pot fi oferite pentru atingerea acestor scopuri și obiective ;

–         Cum pot fi organizate aceste experiențe pentru atingerea scopurilor și a obiectivelor propuse ;

–         Cum poate fi determinat nivelul de realizare a scopurilor și a obiectivelor propuse.

Aceste principii vor marca evoluția curriculumului ca model rațional de proiectare (obiective-experiențe de învățare/conținuturi și metodologie-evaluare /cu funcție de reglare –autoreglare continuă a activității de educație/instruire).

După 1970, curriculumul , noțiune pedagogică de mare generalitate , are o extindere „ valabilă într-un sens cât mai larg posibil”, la toate nivelurile sistemului și ale procesului de învățământ . El reprezintă „un proiect educativ care definește .a) țelurile , scopurile și obiectivele unei acțiuni educative ; b) căile, mijloacele și activitățile folosite pentru a atinge aceste scopuri; c)metodele și instrumentele pentru a evolua în ce măsură acțiunea a dat roade „ Crețu Carmen (8).

Conceptul de curriculum cunoaște definiții care acoperă o realitate pedagogică extrem de extinsă sau de restrânsă în raport de sistemul de referință și de evoluția științelor educației într-un timp și un spațiu determinat din punct de vedere istoric.

Depășirea limitelor care apar în definirea curriculumului, presupune regândirea acestui concept pedagogic fundamental, aplicabil la scara întregului sistem și proces de învățământ. Ccurriculumul este ansamblul complex și evolutiv de reguli de desfășurare pedagogică a unei acțiuni de educație sau de formare realizată la diferite niveluri de operaționalizare .Acest ansamblu este definit , în mod esențial prin :

– finalități, obiectivele generale ale acțiunii și / sau efectele așteptate pe terenul traversat de acesta;

– conținuturile-materii, obiectivele, capacitățile și / sau competențele de dezvoltat la cei care învață ,

– metodele pedagogice ;

– modurile de gestiune aprocesului , inclusiv modul de relaționare între actorii educației/instruirii,

– articularea cu contextul organizațional sau al mediului înconjurător ,

– modalități de evaluare a performanțelor celor care învață .”

Literatura pedagogică de ultimă generație vorbește despre o știință a curriculumului, cu o viziune globală care trebuie construită special pentru realizarea deplină a obiectivelor la nivelul clasei de elevi” .

„Noua știință” confirmă principiile de bază ale curriculumului lansate la jumătatea secolului XX, la nivelul modelului rațional . Dintre principiile dezvoltate de „noua știință a curriculumului ” putem enumera :

a)     explicarea clară a scopurilor cu valoare motivațională (teoretică și practică) pentru toți elevii ;

b)    construirea clară și simplă a curricumului (accent pe structura cunoașterii, pe identificarea elementelor esențiale) în raport cu scopurile propuse;

c)     prezentarea cunoașterii științifice dintr-o perspectivă istorică și actuală, teoretică și practică (prin studii de caz relevante pedagogic și social );

d)    integrarea tehnologiilor și a aplicațiilor în structura științei;

e)     înțelegerea științei prin rezolvarea de probleme și situații problemă bazate pe aplicarea cunoștințelor solide (conceptelor fundamentale cu valoare metodologică superioară );

f)      stimularea profesorului (și implicit a elevului în direcția promovării unei game variate de metode și tehnici de instruire (respectiv de învățare);

g)     promovarea strategiilor , metodelor și tehnicilor (procedeelor) de evaluare care asigură concentrarea profesorului asupra aptitudinilor elevilor .

În ultimă instanță , esențială este cunoașterea și valorificarea deplină a capacității/aptitudinii elevului de învățare a științei la nivel profund, în termeni de explicare și de înțelegere, de fixare normativă și de interpretare metodologică de dezbatare convergentă și divergentă (de abordare a controverselor, soluțiilor discutabile, inovațiilor posibile etc.) .

Cele șapte principii identificate sunt raportabile la structura modelului rațional bazat pe definirea finalităților și selectarea optimă , în consecință , a componentelor care vizează conținuturile-metodologia-evaluarea . Ceea ce pare distinct ține de „punctul de vedere constructivist” care trebuie adoptat (și adaptat ) într-un (la un) context global .

Dechiderea curricumului față de valorile culturii globale și locale , universale și naționale, față de tradițiile și inovațiile pedagogice, generează chiar „ o știință radicală a curricumului „ care vizează în mod explicit .

a)     transmiterea culturii științifice , la nivelul unor ( sau prin intermediul unor) circuite de comunicare pedagogică , construite (perfecționate) permanent prin diferite mijloace de retroacțiune (conexiune inversă) externă și internă;

b)    dezvoltarea la elevi a capacității cognitive necesare pentru înțelegerea , aplicarea, analiza-sinteza, evaluarea critică a informațiilor în contexte situaționale deschise ,

c)     formarea-dezvoltarea la elevi a capacităților de evaluare și de auto-evaluare obiectivă pe criterii de maximă rigurozitate ,

d)    formarea-dezvoltarea aptitudinilor elevilor de participare la (re) construcția socială prin valorizarea cunoștințelor științifice și a tehnologiilor dobândite , în perspectiva modelului cultural al societății postmoderne informaționale .

(Re)construcția curriculumului va avea în vedere personalitatea elevului în ansamblul său : „un entuziasm pentru studiul științei și încrederea în folosirea acesteia” . Este miza unei pedagogii a succesului , propriei paradigme curriculumului, în orice variantă dezvoltată mai veche sau mai nouă .

Programa școlară de matematică stabilește conținutul obiectului . Conținuturile sunt mijloace prin care se urmărește atingerea obiectivelor cadru și a obiectivelor de referință propuse . Unitățile de conținut sunt organizate fie tematic, fie în conformitate cu domeniile constituitive ale diverselor obiecte de studiu .

Realizarea programei este obligatorie pentru învățători . În parcurgerea ei trebuie păstrat un ritm reflectat de planul calendaristic ,pentru fiecare clasă și disciplină .

Rolul învățătorului care predă nemijlocit la clasă este foarte, deoarece succesiunea unei teme date după planificarea proprie sau în catedră , procedeele didactice cele mai rodnice, mai stimulative se crează și se verifică în procesul predării.

Manualele școlare vor fi construite curricular în măsura în care programa școlară este construită curricular . Manualele alternative de matematică sunt utile în măsura în care au o bază stabilă a obiectivelor și a conținuturilor fundamentale . Aceasta va permite alegerea unor căi diferite de organizare a învățării, evaluare alternativă, autoînvățare .

Manualul școlar reprezintă mijlocul de bază folosit în procesul de învățământ activ cât și în afara acestuia, fiind principalul material bibliografic al elevului . El reprezintă detaliat conținutul programelor școlare .Funcția principală a manualului este aceea de informare a elevului, este mijloc de bază al studiului său, care îi dă posibilitatea de a învăța în continuare . De aceea autorii de manuale trebuie să țină seama că acestea ar trebui nu numai să-l ajute pe elev să țnvețe matematica, dar să-l obișnuiască în același timp cu munca individuală cu cartea de matematică .

Unele teme sunt organizate a se preda în „spirală” care constă în reântoarcerea la același conținut, de fiecare dată pe o treaptă superioară . Acest mod de prezentare corespunde sistemului concentric propri-zis sau concentric calitativ și sistemului concentric cantitativ sau concentric liniar .

Sistemul concentric cantitatic „desemnează modul de organizare a cunoștințelor în programe de învățământ, manuale și lecții astfel încât noțiunile se însușesc în etape prin reluări, restructurări și reinterpretări până la formarea lor completă și corectă . În acest mod sunt planificate noțiunile despre arii și volume care se predau și învață în clasele primare cât și în gimnaziu și liceu .

Sistemul concentric cantitativ este modul de organizare a cunoștințelor în programe școlare, manuale și lecții care constau în reluarea adăugită și detaliată a materiei parcurse anterior, reluare reclamată nu atât de dificultatea înțelegerii noțiunilor, ci mai ales de nevoia lărgirii cunoștințelor ăn succesiunea claselor și treptelor școlare ”.Programele școlare trec printr-un proces complex de elaborare și revizuire ăn viziunea curriculară, care presupune o proiectare în interacțiunea lor a obiectivelor, activităților de învățare și a principiilor și metodelor de învățare . Noile planuri cadru de învățământ stimulează de astfel prin existența curricumului le decizia școlii, inovația curriculară locală la nivelul fiecărui cadru didactic și la nivelul fiecărei catedre .

Noul curriculum școlar , prin conceperea lui ca echilibru între curriculum nucleu și curriculumul la decizia școlii, contribuie în mod specific la descentralizarea și flexibilizarea deciziilor curriculare la nivelul unităților școlare .Programele școlare favorizează o nouă viziune dideactică în elaborarea manualelor școlare, care prin rolul lor de instrument curricular și didactic orientează într-o mare măsură demersul de predare-învățare la clasă, inclusiv evaluarea elevilor și stimularea unei motivații susținute pentru învățare .

Actualele programe școlare subliniază importanța rolului reglator al obiectivelor pe cele două niveluri de generalitate : obiective cadru și obiective de referință.

Proiectarea Curricumuluio de matematică a fost ordonată de principiile :

–         asigurarea continuității la nivelul claselor și ciclurilor ;

–         actualitatea informațiilor predate și adaptarea lor la nivelul de vârstă al elevilor ;

–         diferențierea și individualizarea predării-învățării ;

–         centrarea pe aspectul formativ ;

–         corelația transdisciplinară și interdisciplinară ;

–         delimitarea unui nivel obligatoriu de pregătire matematică a tuturor elevilor și profilarea posibilităților de avensare în învățare și de obținerea de noi performanțe .

Pentru realizarea scopului studierii matematicii în școală , curricumul conține „Oobiective generale ale predării-învățării matematicii” .Ele derivă din obiectele pe arie curriculară „Matematica și științele” , servesc drept finalități ale învățăturii la sfârșitul ciclului școlar și au un grad foarte înalt de generalitate și de complexitate . Obiectivele generale sunt clasificate în categorii de cunoștințe, capacități și atitudini care se structurează prin disciplina școlară Matematica . Aceste obiective servesc drept surse de elaborare a obiectivelor cadru , a obiectivelor de referință . Totodată ele orientează educatorul în elaborarea obiectivelor operaționale și a celor de evaluare .

Scopul studierii matematicii în școală este înțelegerea mai aprofundată a conceptelor , a procedurilor de calcul, a terminologiei . În cadrul studierii matematicii vor fi dezvoltate capacitățile de explorare-investigare, interesul și motivația pentru studiul și aplicarea matematicii în contexte variate . Învățarea matematicii în școală urmărește conștientizarea naturii matematicii, pe de o parte, ca o activitatede rezolvare a problemelor, bazată pe un sistem de capacități , cunoștințe ,procedee, iar pe de altă parte, ca disciplină dinamică , strâns legată de viața cotidiană, de rolul ei în științele naturii, în tehnologii și în științele sociale .

Cadrul conceptual al curricumului este determinat de modelul de învățare structural cognitiv ce propune o nouă paradigmă pentru învățarea matematicii .Ea vizează formarea de structuri ale gândirii specifice matematicii. Aceasta prevede predarea de concepte , adică entități structurate care cuprind definiții, teoreme , reguli , dar mai ales un mod de gândire propriu .Operațiile mentale și informaționale de studiu sunt proiectate în obiectivele cadrul și cele de referință. O astfel de aplicare se realizează pe nivele de abstractizare , adică se organizează activități în plan obiectual (cu obiecte), în plan simbolic (cu simboluri neconvenționale), apoi cu simboluri convenționale , în plan verbal și în plan mental interiorizat . Se fac permanent treceri de la o treaptă de abstractizare la alta .

Studiul matematicii în învățământul primar are ca scop să contribuie la formarea și dezvoltarea capacităților de a reflecte asupra lumii, de a formula și rezolva probleme pe bazarelaționarii cunoștințelor din diferite domenii, precum și la înzestrarea cu un set de competențe , valori și aptitudini menite să asigure o cultură generală optimă .

Trecerea sistematică de la învățământul instructiv la cel de modelare a capacităților intelectului, ca și noua viziune asupra didacticii discipline Matematica, au impus necesitatea elaborării unui curriculum de matematică pentru învățământul primar ca o continuare a curriculumului pentru învățământul preșcolar și ca o bază aînvățământului gimnazial .Învățământul matematic va scoate ăn relief valorificarea potențialului creativ al elevului .

Proictarea Curricumului de matematică a fost ordonată de principiile :

–         asigurarea continuității la nivelul claselor și ciclurilor ;

–         actualitatea informațiilor predate și adaptarea lor la nivelul de vârstă al elevilor ;

–         diferențierea și individualizarea predării-învățării ;

–         centrare pe aspectul formativ ;

–         corelația transdisciplinară-interdisciplinară (eșalonarea optimă a conținuturilor matematice corelate cu disciplinele reale pe arii curriculare asigurându-se coerența pe verticală și orizontală) .

În ciclul primar, matematica a rămas și va rămâne una din disciplinelle de bază . Elevii își însușesc noțiuni elementare cu care operează pe tot parcursul vieții . Școlarilor li se formează unele aptitudini și abilități ale gândirii, pe lângă deprinderile de calcul și de rezolvare a preblemelor .

În planul de învățământ, la clasele I-IVV, studiului matematicii îi sunt afectate 4 ore săptămânal pentru fiecare clasă avându-se în vedere că, în ciclul primar se formează noțiunile matematice elementare cu care copilul va opera pe tot parcursul vieții și pe care se clădește ăntregul sistem al învățământului matematic, că acum se formează „ instrumentele” mentale și abilități ale gândirii.

Studiul matematicii în școala primară își propune să asigure pentru toți elevii formarea competențelor de bază vizând :calculul aritmetic, noțiuni intuitive de geometrie, măsurare și măsuri .

În ansamblul său, concepția în care a fost construită noua programă de matematică vizează următoarele:

–         schimbări în abordarea conținuturilor ;

● trecerea de la o aritmetică teoretică la o varietate de contexte problematice care generează aritmetică ;

– schimbări în ceea ce se așteaptă de la elev ;

● trecerea de la aplicarea unor algoritmi la folosirea de strategii în rezolvarea de probleme ;

– schimbări de învățare ;

● trecerea de la memorizare și repetare la exploatare-investigare ;

– schimbări de predare ,

● trecarea de la ipostaza de transmițător de informații a învățătorului la cea de organizator al unor activități variate de învățare pentru toți copiii, în funcție de nivelul și ritmu propriu de dezvoltare al fiecăruia ,

– schimbări de evaluare ;

● trecerea de la subiectivismul și rigiditatea notei la transformarea evaluării într-un mijloc de autoapreciere și stimulare a copilului ;

Acestea impun ca învățătorul să-și schimbe în mod fundamental orientarea în activitatea la clasă. (Lupu Costică 21)

Capătă mai puțină importanță :

● memorarea de reguli și socotitul ,

● problemele / exercițiile cu soluții sau răspunsuri unice ;

● matematica făcută cu „creionul și hârtia”, respectiv „creta și tabla „;

● activitatea profesorului și învățătorului ca transmițător de cunoștințe adresate unui elev care receptează pasiv și lucrează singur ;

● evaluarea cu scopul catalogării copilului .

Devine mult mai importantă :

● activitatea de rezolvare de probleme prin tatonări, încercări, implicarea activă în situații practice, căutarea de soluții dincolo de cadrul strict al celor învățate ;

● formularea de întrebări , analiza pașilor de rezolvare a unei probleme, argumentarea deciziilor luate în rezolvare ;

● utilizarea unei varietăți de obiecte care trebuie manipulate în procesul învățării ;

● activitatea profesorului și a învățătorului în calitate de persoană care facilitează învățarea și îi stimulează pe copii să lucreze în echipă ;

● evaluarea ca parte integrantă a instrucției, cu rol stimulator-dinamizator în activitatea didactică .

Programa de matematică pentru învățământul primar își propune să transforme toate aceste idei în realități ale practicii școlare prin intermediul componentelor sale : obiective cadru, obiective de referință, activități de învățare cu conținuturi și standarde de performanță .

Obiectivele cadru au un grad ridicat de generalitate și complexitate și marchează evoluția copilului de-a lungul întregului ciclu primar așa cum reiese din actuala programă școlară :

1.     Cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii ;

2.     Dezvoltarea capacităților de explorare/investigare și rezolvare de probleme ;

3.     Formarea și dezvoltarea capacității de a comunica utilizând limbajul matematic ;

4.     Dezvoltarea interesului și a motivației pentru studiul și aplicarea matematicii în contexte variate .

Obiectivele cadru exprimă faptul că scopul perdării/învățării matematicii în școala primară nu se mai limitează la însușirea noțiunilor specifice și la cunoașterea procedurilor de calcul .Se urmărește în egală măsură stimularea capacității copilului de a explora noțiuni și concepte necunoscute , de a experimenta , de a-și dezvolta posibilitățile de comunicare, se urmărește formarea unor atitudini și calități personale în raport cu acest domeniu de studiu .

Obiectivele de referință măsoară progresia în cahiziția de cunoștințe și capacități . Ele au un nivel de generalitatecare permite percepția sinetică a întregului demers didactic aferent unui an de studiu.

Aceste obiective cadru și de referință se regăsesc în programele școlare ale fiecărei clase . Astfel , la clasa I elevii vor învăța să scrie, să citească, să compare și să ordoneze numerele naturale de la 0 la 100, vor efectua operații de adunare și de scădere în concentrul 0-30 fără trecere peste ordin învățând totodată să rezolve probleme care presupun o singură operație din cele învățate, să formuleze oral exerciții și probleme cu numere de la 0 la 30 . În clasa a II a se vor relua cunoștințele despre numerele naturale și operații cu acestea lărgindu-se concentrul de lucru cu numere naturale până la 1000. În această clasă elevii se vor familiariza cu noțiuni : termen, sumă, „cu atât mai mult”, „cu atât mai puțin” , cu unele dintre proprietățile adunării (comutativitatea, asociativitatea, element neutru ) fără terminologie . Deasemeni elevii își vor însuși noțiunile despre aflarea unui număr necunoscut în cadrul unei relații de tipul ? + a = b ; ? – a = b sau a + ? = b; a – ? = b .

În clasa a III a adunarea și scăderea numerelor naturale se va realiza în intervalul de la 0 la 10 000 . Elevii vor opera cu termeni : descăzut, scăzător , sumă, termen „ cu atât mai mult”, „cu atât mai puțin”, vor evidenția unele proprietăți ale adunării (comutativitatea, asociativitatea, element neutru ) cu ajutorul obiectelor și al reprezentărilor, făăr a folosi terminologia . Ca o noutate în clasa a III a se introduc alte două operații cu numere naturale mai mici ca 100 : înmulțirea și împărțirea .

În cadrul acestui capitol se propu următoarele teme :

● Înmulțirea numerelor naturale folosind adunarea repetată de termeni egali ;

● Înmulțirea numerelor scrise cu o singură cifră ;

● Terminologia specifică : factor, produs , „de atâtea ori maimult”, dublu , triplu ;

● Tabla înmulțirii ;

● Evidențierea unor proprietăți ale înmulțirii (comutativitatea, asociativitatea, element neutru, distribuitivitatea față de adunare sau scădere) cu ajutorul obiectelor și al reprezentărilor, fără a folosi terminologia ;

● Ordinea efectuării operațiilor ;

● Împărțirea numerelor neturale folosind scăderea repetată și relația cu înmulțirea ;

● Terminologia specifică : deâmpărțit, împărțitor, „de atâta ori mai puțin”, jumătate, treime, sfert ;

● Tabla împărțirii dedusă din tabla înmulțirii ;

● Diviziunea ale unui întreg : jumătate, sfert, a treia parte, a zecea parte, reprezentări prin desene ;

● Aflarea unui număr necunoscut în cadrul unei relații de tipul : ? x c = d , ? : c = d , unde c ≠ 0 , d este multiplu al lui c , cuprins în intervalul numerelor naturale 0-100 ;

● Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor rotunde .

După ce elevii își însușesc înmulțirea în cocentrul 0-100 aceasta se va extinde și în intervalul 0-1000 . În cadrul acestui capitol se propun următoarele teme .

● Înmulțirea cu o sumă sau diferență ;

● Înmulțirea cu 10 sau 100 ;

● Înmulțirea unui număr natural de două cifre și de trei cifre cu un număr de o cifră, folosind adunarea repetată, grupări de termeni, reprezentări ;

● Împărțirea unei sume sau diferențe la un număr de o cifră ;

● Împărțirea la 10 sau 100 ;

● Împărțirea unui număr natural mai mic decât 100 sau 1000 la un număr de o cifră, folosind scăderea repetată, grupări de termeni, reprezentări .

În clasa a IV a se reiau cunoștințele despre numerele naturale și despre operațiile cu acestea ( adunare, scădere, înmulțire, împărțire) .Ca elemente noi sunt introduse : înmulțirea cu mai mulți factori, împărțirea cu rest; relația dintre deîmpărțit, împărțitor ,cât, condiția restului; împărțirea la un număr de două cifre diferut de zero; ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezei .

Tot în clasa a IV a elevii se familiarizează cu noțiunea de fracție . În cadrul acestui capitol elevii sunt familiarizați cu noțiunile de : fracții, fracții egale, reprezentări prin desene, fracții echiunitare, subunitare, supraunitare, compararea fracțiilor, adunarea și scăderea fracțiilor cu același numitor, aflarea unei fracții dintr-un întreg .

Pe lângă toate aceste cunoștințe referitoare la operațiile aritmetice, elevii sunt „învățați” să opereze cu aceste cunoștințe, să le folosească în rezolvarea problemelor de diverse tipuri . În același timp cunoștințele referitoare la operațiile aritmetice sunt folosite și în predarea cunoștințelor de geometrie sau despre unitățile de măsură (unități de măsurat lungimea : metrul, multipli, submultipli, transformări ; unități de măsurat capacitatea : litrul, multipli, submultipli, transformări ; unități de măsurat masa :kilogramul, multipli, submultipli, transformări ; unități de măsură pentru timp : minutul, ora, ziua, săptămâna, luna, anul, deceniul, secolul, mileniul ; monede și bancnote .

Standardele curriculare de performanță oferă criterii generale de evaluare, din perspectiva programei, la finalul școlii primare.

Întrucât activitățile de învățare sunt numai orientative și țin într-o măsură mai mare de metoda didactică folosită, ele lasă libertatea creativității cadrului didactic .

Clasele I și a II a fac parte din ciclul achizițiilor fundamentale . Acesta acoperă grupa pregătitoare a grădiniței urmată de clasele I și a II a, având ca obiective majore acomodarea copilului la cerințele sistemului școlar și alfabetizarea inițială . Acest ciclu curricular vizează :

● asimilarea elementelor de bază ale principalelor limbaje convenționale (scris, citit, calcul aritmetic) ;

● stimularea copilului în vederea perceperii , cunoașterii și stăpânirii mediului apropiat ;

● stimularea potențialului creativ al copilului , a intuiției și a imaginației ;

● formarea motivării pentru învățare, înțeleasă ca o activitate socială .

Clasele a III a și a IV a fac parte din ciclul curricular de dezvoltare . Aceasta acoperă clasele a III a-IV a și are ca obiectiv major formarea capacităților de bază necesare pentru continuarea studiilor . Ciclul de dezvoltare vizează :

● dezvoltarea achizițiilor lingvistice și încurajarea folosirii limbi române, a limbii materne și a limbilor străine pentru exprimarea în situații variate de comunicare;

● dezvoltarea unei gândiri structurate și a competenței de a aplica în practică rezolvarea de probleme ;

● familiarizarea cu o abordare pluridisciplinară a domeniilor cunoașterii ;

● constuirea unui set de valori consonante cu o societate democratică și pluralistă ;

● încurajarea talentului, a experienței și a expresiei în diferite forme de artă,

● formarea responsabilităților pentru propria dezvoltare și sănătate ;

● formarea unei atitudini responsabile față de mediu .

Aceste obiective se transformă în recomandări și pot modela activitatea învățătorului la clasă, inclusiv prin prisma programei de matematică .

Spre deosebire de etapa anterioară , centrată pe explorare, intuire, verificarea calculelor cu ajutorul obiectelor, în ciclul curricular de dezvoltare se urmărește ca învățătorul să-i ajute pe elevi să înțeleagă procedura de calcul și mecanismul din spatele ie, mergând până la a-i permite elevului să folosească propiile metode de calcul ce conduc la obținerea rezultatului corect . Pe măsură ce copilul exersează , ajunge să interiorizeze procedeul de calcul optim, care este cel algoritmizat , permițând copilului să meargă în ritmul său propiu și să renunțe la utilizarea obiectelor sau a reprezentărilor nu mai devreme decât în momentul când el însuși le consideră un balast greoi și nefolositor, se câștigă enorm pentru elev în plan formativ, iar acesta va deveni capabil de salturi spectaculoase în achiziția de cunoștințe și capacități .

Începând din anul școlar 1998 în România , Curriculumul Național cuprinde :

●Curriculumul Național pentru învățământul obligatoriu .Cadrul de referință

(document reglator care asigură coerența componentelor sistemului curricular, în termeni de procese și de produse );

● Planurile cadru de învățământ pentru clasele I-XII , document care stabilește: ariile curriculare, obiectele de studiu și resursele de timp necesare abordării acestora;

● Programele școlare, care stabilesc obiectivele cadru, obiectivele de referință, exemple de activități de învățare, conținuturile învățării, precum și standardele de performanță prevăzute pentru fiecare disciplină existente în planurile cadru de învățământ ;

● Ghidurile, normele metodologice și materiale suport care descriu condițiile de aplicare și de monitorizare ale procesului curricular ;

● Manuale alternative .

În elaborarea Planului-cadru de învățământ au fost avute în vedere următoarele principii didactice :

1.       Principiul selecției și al ierarhizării culturale în vederea stabilirii disciplinelor școlare, precum și gruparea și ierarhizarea acestora pe arii curriculare pentru întregul învățământ preuniversitar ;

2.       Principiul funcționalității care, coroborat cu o serie de strategii de organizare internă a curriculumului a condus la structurarea procesului de învățământ în ciclurile primare ;

3.       Principiul coerenței care vizează caracterul omogen al parcursului școlar . Acest principiu are în vedere gradul de integrare orizontală și verticală a ariilor curriculare în interiorul sistemului iar în cadrul acestora, a obiectelor de studiu . Principiul coerenței vizează în esență raporturile procentuale atât pe orizontală cât și pe verticală între ariile curriculare, iar în cadrul ariilor pe discilpine ;

4.       Principiul egalității șanselor are în vedere asigurarea unui sistem care dă dreptul fiecărui elev în parte de a-și valorifica la maximum potențialul de care dispune . Aplicarea acestui principiu impune : obligativitatea învățământului general și existența trunchiului comun, în măsură să asiguure elevilor accesul la „nucleul” fiecărei componente a parcursulșui școlar . Respectarea principiului egalității șanselor impune garantarea pentru fiecare elev, un număr de ore ale trunchiului comun, a unui nivel optim acceptabil de cunoștințe și capacități ;

5.       Principiul descentralizării și al flexibilității vizează trecerea de la învățământul pentru toți la învățământul pentru fiecare . Acest lucru poate fi realizat prin descentralizare curriculară . Numărul total de ore alocat prin planurile-cadru vizează între un minim și un maxim . Planurile-cadru prevăde de asemenea pentru majoritatea obiectelor de studiu o plajă orară ce presupune un număr de ore minim și unul maxim ;

6.       Principiu racordării la social având drept consecință asigurarea unei legături optime între școală și comunitate, între școală și cerințele sociale ;

7.       Principiul descongestionării programului școlar al elevilor, dă posibilitatea de a concepe programele școlare în raport cu numărul minim de ore pe discipline (trunchiul comun ).

Curriculum Național cuprinde două segmente :

○ Curriculum nucleu cuprinde numărul minim de ore la fiecare disciplină obligatorie prevăzută în planul-cadru . El este general obligatoriu pentru toți elevii , asigurând totodată egalitatea șanselor pentru toți elevii den țară . Reprezintă unicul sistem de referință pentru diferitele tipuri de evaluări naționale .

○ Curriculum la decizia școlii (C.D.S.) acoperă diferența de ore dintre curriculum nucleu și numărul maxim de ore pe săpțămână pe discilpine și ani de studiu .

Standardele curriculare asigură conexiunea dintre curriculum și evaluare. Pe baza lor se vor elabora nivelurile de performanță ale elevilor, precum și testele de evaluare. Standardele constituie o categorie curriculară de bază, situându-se alături de finalitățile pe sistem și pe ciclurile de școlaritate, dar și alături de curriculumul de bază.

Pe parcursul școlii primare , planul-cadru prevede la matematică un trunchi comun de 3 ore pe săptămână .Acesta poate fi extins prin consensul agenților educaționali implcați . învățători, părinți, elevi, conducerea școlii, la 4 ore pe săptămână.

Repartizarea materiei in cadrul trunchiului comun are în vedere asigurarea pentru toți elevii a unui nivel optim acceptabil de competențe și capacități. În cele 3 ore ale trunchiului comun se poate opta, în funcție de particularitățile clasei de elevi, fie pentru curriculum nucleu (ce include partea obligatorie a programei) , fie pentru curriculum extins (ce include, alături de partea obligatorie secvențe facultative, marcate cu litere cursive în programă). De asemenea, în cazul alegerii a 4 ore pe săptămână , se poate opta pentru curriculum nucleu sau pentru curriculum extins.

În acest context, învățătorul are un grad mai mare de libertate de decizie, dar în același timp și de răspundere, în alcătuirea schemei orare, în funcție de resursele umane și materiale de care dispune.

I.4. Strategia didactică și dimensiunea formativă a predării-învățării matematicii.

Orientarea proiectării didacticii pe evidențierea strategiilor de predare-învățare este binevenită mai ales în contextul actual al modificărilor de ordin cantitativ și calitativ din programele școlare prevăzute de Noul Curriculum Național la toate nivelurile de școlaritate . Acesta pune accent pe formarea modurilor de a gândi, pe elaborarea strategiilor proprii de învățare și rezolvare de probleme, pe dezvoltarea capacităților intelectuale la elevi . De aceea cadrului didactic trebuie să-i fie foarte clar ce strategie optimă de predare trebuie să adopte pentru a sprijini elevul în realizarea obiectivelor și pentru a căpăte în timp deprinderi intelectuale superioare organizate (strategii cognitive).

Esențial în instruirea elevului este crearea situațiilor de învățare direcționate de un obiectiv, în cadrul cărora elevul își elaborează strategiile de abordare a problemelor.

Termenul de strategie a apărut inițial în teoria și practica militară, unde se întâlnea sub denumirea de plan strategic; din punct de vedere tehnic noțiunea se asociază proceselor care prezintă un anumit grad de nedeterminare, situațiilor de natură competitivă sau conflictuală în cadrul cărora apar factori ce se opun realizării scopurilor intenționate . Ulterior termenul a căpătat o semnificație mai largă ce nu implcă în mod necesar „opnentul”, ci producerea eficientă a obiectului .

După Neacșu Ioan (23), noțiunea vizează „un sistem de operații cu o finalitate bine determinată însoțit de specificarea condițiilor de desfășurare și acțiune . Ea reprezintă în esență o acțiune decompozabilă într-o suită de decizii-operații , fiecare decizie asigurând trecerea la secvența următoare pe baza verificări informațiilor dobândite în etapa anterioară ” .În altă accepțiune semantică, în sens general, strategia se poate defini ca un ansamblu de procese și operații sau procedee și metode orientate spre producerea unuia sau mai multor obiecte determinate . Acțiunile implcate trebuie să satisfacă anumite condiții de coerență internă, compatibilitate și complementaritate a efectelor.

La nivelul macro (pedagogia sistemelor) acționează strategia pedagogică formată din ansamblul deciziilor privind desfășurarea cercetării pedagogice, a politicii învățământului și a procesului de învățământ . Strategia procesului de învățământ vizează operația de proiectare-învățare prin parcurgerea căreia elevul asimilează conținutul ideatic sistematizat în obiectele de studiu , își formează sistemul de abilități prevăzute de programele școlare.

Diverși specialiști români s-au ocupat de acest concept de strategie educațională ,aducând contribuții la definirea sa . Astfel la Cerghit Ioan (4) alegerea strategiei didactice se face sub triplul înțeles al cuvântului .

a)      ca adaptare a unui mod de abordare a învățării (prin problematizare, conversație euristică, algoritmizare etc.);

b)     ca opțiune pentru un anumit mod de combinare a metodelor, procedeelor, mijloacelor de învățământ, formelor de organizare a elevilor ;

c)     ca mod de programare (selectare , ordonare și ierarhizare) într-o succesiune optimă a fazelor și etapelor (evenimentelor) proprii procesului de desfășurare a lecției, cu specificația timpului și respectarea unor „principii didactice” .

Cerghit corelează strategia cu definirea experienței optime de învățare și demonstrează implicațiile ei asupra structurii lecției .

Ținând seama de capacitatea strategiei de a structura și a modela o situație de învățare, aceasta se constituie într-o formă specifică și superioară a normativității pedagogice .

Din punct de vedere normativ, strategia este mai puternică decât o simplă regulp a unei secvențe de învățare ,deci implică un sistem de reguli, pe de altă parte se diferențiază de rigiditatea unor reguli, algoritm prin flexibilitatea proprie internă .

Acțiunile de predare-învățare în cadrul disciplinei matematice la clasele I-IV au determinări concrete, în sensul că se desfășoară într-un câmp pedagogic definit de o multitudine de variabile a căror interdependență este logică . Nu se poate vorbi de metode universale, eficiente sau ineficiente, bune sau rele .Fiecare situație de predare-învășare acceptă una sau mai multe variante metodice.

Învățătorul ,cunoscând varietatea metodelor disponibile în câmpul didacticii moderne, cunoscând particularitățile elevilor cu care lucrează, valențele conținutului pe care trebuie să le atingă prin predare-învățare, trebuie să acționeze pentru a-și valorifica pe deplin personalitatea, el însuși devenind un autentic subiect în materie de articulare a strategiilor, metodelor și procedeelor didactice.

Conținutul matematicii școlare și obiectivele predării ei centrează tehnologia didactică pe metoda, componentă cu rol predominant în triada : metodă, mijloace, tehnici .

Prin metodă se înțelege acea „ cale urmată de învățător împreună cu elevul, în procesul de învățământ, în scopul însușirii informației de către elev și a formării priceperilor și deprinderilor”, precizăndu-se că metoda este în principiu proiectată și controlată de învățător .

METODE DE PREDARE- ÎNVĂȚARE

A.De transmitere a cunoștințelor .

*expozitive: povestirea, descrierea, explicația, instructajul ;

○ orale

*conversația :conversația, discuția colectivă, problematizarea;

*după text: lectura, instruirea programată, fișa ,planul de idei, studiul după manual ;

○ scrise

*după scheme sau alte forme de prezentare .

B.De explorare a realității.

○ directe : observația dirijată, semidirijată și independentă , studiul de caz, experimentul, de descoperire, rezolvare de probleme, exercițiul, jocul explorativ etc.

○ indirecte : descoperirea explorativă, demonstrația experimentală sau substituite, jocurile cu construcția, modelarea .

C.De acțiune (mentală sau materială).

○ reale : exercițiul, algoritmizarea, lucrarea pracică, metode și tehnici creative;

○ simultane : jocul didactic, proiectul didactic, învățarea dramatizată, exercițiul simulat etc.

Specifice predării-învățării matematicii la clasele I-IV sunt strategia inductivă și strategia analogică . Ca tip special de abordare a realității matematice , în maniera inductivă învățătorul și elevii întreprind experimente asupra situației date sau în cadrul ei, efectuând acțiuni reale cu obiecte fizice sau cu obiecte create de gândire (concepte). Pe baza observațiilor făcute , elevii sunt conduși progresiv la conceptualizări (de exemplu în rezolvări de probleme, prin metoda sinectică, pornind de la datele și relațiile problemei către întrebarea, elevul gândește inductiv, dar prin metoda analitică se produce o gândire deductivă, pornindu-se de la întrebarea finală către datele și relațiile unei probleme ).

Strategia analogică are ca temei o primă și esențială caracteristică a gândirii matematicii, anume relevanța ei logic-analitică . Vom întâlni analogii între noțiuni, între idei, între teoreme, între demonstrații, între domenii . Punctul de plecare îl constituie însuși faptul că analogia reprezintă forma principală sub care se manifestă procesele de abstracție . Ideea pedagogului canadian Z.P.Dienes care a propus trusa lui devenită celebră în învățământul matematic, formată din 48 de piese de carton, variabile ca mărime (unele mari, altele mici) ca formă (cerc, pătrat, dreptunghi, triunghi), ca dimensiune (groase sau subțiri) și culoare (roșu, galben , albastru), reprezintă un model de gândire analogică aritmetico-combinatorie, rezultat al punerii laolaltă a obiectelor cu anumite proprietăți .

Analiza sintetică a procesului de învățământ scoate în evidență legătura logică ce există între componentele sale : obiective, conținut, metode , mijloace, forme de organizare a activității, relații educator-educat, toate văzute în lumina conexiunilor necesare, proiectate și evaluate la parametrii de eficiență ridicată . Orice modificări propuse întruna din aceste componente afectează în mod firesc, direct sau indirect, funcționalitatea însăși a tuturor celorlalte componente .

În predarea-învățarea matematicii se folosesc următoarele metode :

A.1. Metode didactice în care predomină acțiunea de comunicare orală expozitivă .

Expunerea asigură prezentarea orală , directă și rapidă a cunoștințelornoi, într-o organizare logică, fluentă, clară .

Expunerea este înțeleasă ca „activitatea învățătorului de a comunica elevilor cunoștințe noi, sistematic ,în forma unei prezentări orale închegată și susținută”, are o pondere relativ redusă în predarea matematicii . Expunerea sub formă de povestire apare când se prezintă unele fapte și date din istoria matematicii fiee că este vorba de istoria unei probleme a unei descoperiri, fie că se prezintă viața și opera unui mare matematician . Asemenea povestiri trebuie să fie scurte, să facă referiri nimai la aspecte matematice cunoscute elevilor, să fie metaforice să inducă elevilor o stare emoțională plăcută și instructivă .

Explicația este folosită pentru formarea noțiunilor, lămurirea și clasificarea lor, dar și a unor principii, de legi, apelând la diverse procedee : inducție, deducție, comparație, analogie, analiza cauzală etc.

Explicațiile survin când se introduc termeni matematici noi, când se prezintă o acțiune, când se elaborează și fixează o schemă generală de rezolvare a unei probleme .

A.2. Metode didactice în care predomină acțiunea de comunicare orală interogativă .

Conversația se bazează pe întrebări și răspunsuri pe verticală, între învățător și elevi, și pe orizontală între elevi . Prepoziția interogativă se află la granița dintre cunoaștere și necunoaștere, dintre certitudine și incertitudine . De aceea ,aceasta funcționează activ în orice situașie de învățare, îmbrăcând, din acest punct de vedere mai multe forme : conversația introductivă, folosită ca mijloc de pregătire a elevilor pentru începerea unei activități didactice, conversația folosită ca mijloc de aprofundare a cunoștințelor, toate acestea având caracteristicile conversației catehice .

Conversația catehică (examinatoare) vizează simpla reproducere a cunoștințelor asimilate în etapele anterioare, rolul ei de bază fiind cel de examinare a elevilor . Întrebările și răspunsurile nu se mai constituie în lanțuri de serii, ci fiecare întrebare constituie un întreg de sine stătător, care poate avea sau nu legătură cu întrebarea care urmează .Conversația examinatoare nu se limitează doar la „ constatarea nivelului la care se află cunoștințele elevului la un moment dat” . Întrebări specifice conversației catehice apar și în reactualizarea conținuturilor (Cum se numesc numerele care se adună ? Dar rezultatul adunării ?), în etapa discuțiilor pregătitoare, pe parcursul transmiterii noilor conținuturi, în momentul ce vizează intensificarea retenției și transferului (Ce înseamnă faptul că adunarea este asociativă ?) , pentru fixare, consolidare și aplicare (Ce proprietăți are adunarea? ) .

Pentru redescoperirea unor cunoștințe se folosește conversația euristică , care sporește caracterul formativ al învățării , dezvoltând spiritul de observare , capacitatea de analiză și de sinteză, interesul cognitiv și motivația intrinsecă, mobilizând energiile creatoare pentru rezolvarea de probleme și situații problematice . E vorba despre un șir de întrebări care orientează, în mod unidirecțional, spre un răspuns pe care învățătorul îl presupune și îl așteaptă în toate detaliile lui . Întrebările acestuia dirijează în permanență gândirea elevilor prin felul și ordinea în care sunt formulate, astfel ca „din aproape în aproape” să ajungă la finalitatea preconizată . Seria de întrebări este compactă, fiecare nouă întrebare depinzândde răspunsul obținut la întrebare precedentă .

În matematica școlară, aplicarea teoriei în rpactică, trecerea de la general la particular au o importanță mult mai mare decât la alte obiecte de învățământ .

Conversația euristică (socratică) constă într-o înlănțuire de întrebări și răspunsuri prin intermediul căruia elevii sunt dirijați să valorifice experiența cognitivă de care dispun și să facă asociații care să faciliteze dezvăluirea de aspecte noi . Printr-un demers inductiv, elevii sunt orientați/dirijați către relații cauzale , formularea unor concluzii, desprinderea unor reguli, elaborarea unei definiții etc.

Este folosită mai ales în analiza sau în explicarea metodei de lucru în rezolvarea unei probleme matematice. De exemplu, la tema „Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-30”, analza problemei : „Într-un autobuz erau 29 călători. La prima stație au coborât 7 .La a doua stație au urcat 14. Câți călători sunt acum în autobuz ?” se realizează astfel :

Î1 : Câți călători erau la început în autobuz ?

R1 : ….29 călători .

Î2 : ce sa întîmplat la prima stație ?

R2 . ….au coborât 7 călători .

Î3 : Asta înseamnă că în autobuz vor rămâne mai mulți sau mai puțini călători ?

R3 : ….mai puțini .

Î 4 . Prin ce operație vom afla câți călători rămân în autobuz după ce au coborât 7 ?

R 4 : prin scădere .

Î 5 : Cun ?

R 5 : Din numărul călătorilor care erau la început scădem numărul călătorilor care au coborât : 29 – 7 = 22.

Î 6 : Ce sa întâmplat la a doua stație ?

R 6 : … au urcat 14 călători .

Î 7 : Asta înseamnă că în autobuz vor fi mai mulți sau mai puțini călători ?

R 7 : …mai mulți .

Î 8 Prin ce operație vom afla câți călători sunt după ce au urca 14 ?

R 8 : … prin adunare : numărul călătorilor care erau în autobuz îl adunăm cu numărul călătorilor care s-au urcat , 22 + 14 = 36 .

Conversația poate fi folosită în predarea noilor cunoștințe, în verificarea cunoștințelor asimilate, în pregătire lecției noi, în sistematizarea lecției și fixarea cunoștințelor predate, în activitatea de rezolvare a problemelore. Aceasta poate avea caracter individual , îndeosebi când se folosește în verificare , sau frontal, atunci când se antrenează toată clasa la elaborarea răspunsurilor .

Instrumentul de lucru al metodei-întrebare trebuie stăpânit și perfecționat continuu de fiecare învățător . Întrebările adresate memoriei, dacă nu pot fi evitate , trebuie completate de întrebări care solicită gândirea și care pot lămuri calitatea răspunsului respectiv .La matematică trebuie să predomine întrebările care încep prin „de ce ? ”cu rol de incitare la gândirea productivă .

Întrebările trebuie să fie exprimate concis, simplu și clar .

Conversația constă din „ valorificarea didactică a întrebărilor și răspunsurilor” prin care se stimulează și dirijează activitatea de învățare a elevilor .

În literatura de specialitate sunt prezentate mai multe tipuri de conversație :

● conversația de fixare și consolidare , utilizată pe parcursul transmiterii noilor conținuturi, în etapa ce vizează intensificarea retenției și transferului de cunoștințe ; (Dacă un număr este de 4 ori mai mare decât 5 , prin ce operație îl vom afla ? Dar dacă este cu 4 mai mare decât 5 , cum îl vom calcula?) ;

● conversația de reactualizare și sistemizare , folosită în special îl lecțiile de recapitulare și sistematizare sau în momentele de reactualizare a cunoștințelor-ancoră pentru a-i pregăti pe elevi în asimilarea noilor informații ( Ce proprietăți are operația de înmulțire ?);

● conversația de verificare (convergentă-divergentă), utilizată pe parcursul transmiterii noilor informații , în momentele de verificare a gradului de înțelegere a cunoștințelor de către elevi (De ce spunem că înmulțirea este comutativă ) ;

● conversația introductivă, folosită în etapa discuțiilor pregătitoare pentru a capta atenția și amplifica interesul și motivația elevilor (Ce este un patrulater ?Ce patrulatere cunoașteți ? ) ;

● conversația finală , la sfârșitul unei secvențe de învățare cu scopul realizării feedback-ului sau verificării nivelului de însușire a conținuturilor (Într-un exercițiu cu adunări, scăderi, înmulțiri și împărțiri în ce ordine rezolvăm operațiile ? ) ;

● conversația de comunicare, utilă în partea de încheiere a unei experiențe de rezolvare a unei probleme sau în pararel cu aceasta, în comentarea exemplelor concrete ori complementarea materialului didactic, pentru dirijarea observației elevilor și sublinirea aspectelor esențiale etc.

Eficiența utilizării oricărei forme de conversație didactică este condiționată de alegerea momentului de utilizare a metodei în lecție, de ponderea folosirii sale, dar și de calitățile întrebărilor, pe de o parte , și a răspunsurilor pe de altă parte .

Metoda conversației are o mare valoare formativă și datorită introducerii și exersării limbajului specializat al matematicii , contribuie la dezvoltarea personalității elevilor .

Brainstormingul (metoda asaltului de idei) presupune o organizare specifică a timpului, desfășurat pe două etape distincte : etapa producerii individuale a ideilor, pe baza problemei lansate de cadrul didactic și de etapa aprecierii finale a ideilor , susținută critic de cadrul didactic aflat în ipostaza de conducător al activității . Are loc așadar, o „evaluare amânată” strategic, pentru activizarea tuturor elevilor, emiterea și consemnarea a cât mai multor idei .

Problematizarea urmărește realizarea activității de predare-învățare-evaluare prin lansarea și rezolvarea unei situații-problemă , care „ desemnează o situație contradictorie, conflictuală, ce rezultă din trăirea simultană a două realități ( de ordin cognitiv și motivațional ) incompatibile între ele pe de o parte experiența trecută, iar pe de altă parte elementul de noutate și de surpriză , necunoscutul, cu care este confruntat ” elevul .

Metoda problematizării se mai numește și predarea prin rezolvarea productivă de probleme . Problematizarea se mai definește și ca o metodă didactică ce constă în punerea în fața elevului a unor dificultăți create în mod obiectiv, prin depășirea cărora, prin efort propriu, elevul învață ceva nou . Dificultățile vizate de metodă pot fi într-o gamă variată , dar esența lor constă în „crearea unor situații conflictuale în mintea elevului ” numite și situații problematice .

Specificul metodei este dat de noțiunea de situație-problemă care reprezintă o stare „vagă” conflictuală care se recrează în mintea elevului din trăirea simultană a două realități : experiența anterioară (cognitivă-emoțională) și elementul de noutate și de surpriză cu care se confruntă subiectul .

Principalele situații-problemă pot fi :

1. când există un dezacord între vechile cunoștințe ale elevului și cerințele impuse de rezolvarea unei probleme ;

2. când elevul trebuie să aleagă dintr-un lanț sau sistem de cunoștințe, chiar incomplete, numai pe cele necesare în rezolvarea situației date ;

3. cînd elevul este pus în fața unei contradicții între modul de rezolvare posibil din punct teoretic și imposibilitatea aplicării lui în practică ;

4. când elevul este solicitat să sesizeze dinamica mișcării chiar într-o schemă aparent statică ;

5. cînd elevului i se cere să aplice în condiții noi cunoștințele asimilate anterior .

Aplicarea acestei metode presupune o serie de condiții care nu pot fi ignorate :

● toți elevii să fie obișnuiți a fi activi la lecțiile de matematică ;

● elevii să fie obișnuiți a lucra individual în timpul orei sau în colaborare în grupe mici ;

● să fie folosită metoda descoperiri de mai multe ori ;

● majoritatea elevilor să fie buni rezolvatori de probleme , să manifeste și să fie lăsați să-și manifeste creativitatea ;

● elevii să fie obișnuiți cu atitudinea de colaborator apropiat pe care învățătorul trebuie să o aibă în folosirea aceste metode ;

● să existe în colectivul de elevi un spirit de întrecere și cei talentați să fie apreciați corespunzător de colegi ;

● să fie obișnuiți a gândi nota ca reconpensă pe plan secund, satisfacția principală fiind înțelegerea, descoperirea, creația .

În cazul problematizării, cunoștințele nu mai sunt prezentate în forma lor inițială . Ele sunt interpretate, reașezate , chiar răsturnate epistemic, pentru a putea genera o nouă soluție. Propunerea problematizării ca și cale de învățare în cadrul didacticii matematicii presupune respectarea a două condiții .

1. exersarea și stăpânirea deplină a cunoștințelor pentru că astfel răsturnarea lor poate genera eșec școlar ;

2. stimularea creativității superioare, nu orice creativitate .

Neacșu Ioan (24) ordonează situațiile problematice pe cinci categorii :

1. când există un dezacord între vechile cunoștințe ale elevului și cerințele impuse de rezolvarea unei probleme ;

2. când elevul trebuie să aleagă dintr-un lanț sau sistem de cunoștințe, chiar incomplete, numai pe cele necesare în rezolvarea situației date ;

3. cînd elevul este pus în fața unei contradicții între modul de rezolvare posibil din punct teoretic și imposibilitatea aplicării lui în practică ;

4. când elevul este solicitat să sesizeze dinamica mișcării chiar într-o schemă aparent statică ;

5. cînd elevului i se cere să aplice în condiții noi cunoștințele asimilate anterior .

Un exemplu de situație-problemă îl putem întâlni în predarea ordinii operațiilor .Anterior acestei lecții elevii au rezolvat exerciții în care apar doar operații de ordinul I, adunări și scăderi . Putem crea următoarea situație-problemă :

Care este rezultatul corect ?

2 + 3 x 5 – 7 = 18 sau 10

Pe baza experienței și a cunoștințelor pe care le au , elevii vor rezolva operațiile în mod incorect, în ordinea în care apar :

2 + 3 x 5 – 7 = 25 – 7 = 18

Pentru a ieși din această dilemă propunem elevilor spre rezolvare următoarea problemă : Ionuț are 2 caramele , primește de la fiecare din cie 3 prieteni ai săi câte 5 caramele și-i dă fratelui său 7. Câte caramele are acum Ionuț ?

Scrierea rezolvării acestei probleme sub formă de exercițiu îi conduce către rezultatul corect .Se observă din planul de rezolvare al problemei că operația de înmulțire se efectuează înaintea adunării . Se generalizează acest lucru și se extrage regula ordinii efectuării operațiilor .

În problemele în care întâlnim distributivitatea înmulțirii față de adunare, obținem două rezolvări .

Exemplu : Într-o livadă sunt 6 rânduri a câte 10 meri și 3 rânduri a câte 10 pruni . Câți pomi sunt în livadă ?

Astfel putem calcula pe rând numărul merilor și numărul prunilor, iar în final adunăm produsele obținute ; sau calculăm câte rânduri de pomi sunt în livadă și suma o înmulțim cu 10 .

Se constată că : 6 x 10 + 3 x 10 = ( 6 + 3) x 10

Antrenând toate componentele personalității (intelectuale, afective, volitive) problematitarea contribuie la stimularea interesului, curiozității, spiritului de exploatare al elevilor .Elevii își formează treptat un stil individual de muncă, își dezvoltă independența în gândire, autonomia, curajul în argumentarea și susținerea soluțiilor proprii de rezolvare .

Descoperirea poate fi definită „ca o tehnică de lucru, la care elevul este antrenat și se angajează în activitatea didactică, cu scopul aflării acevărului ”. Prin această metodă elevii, redescoperă relații, formule, algoritmi de calcul.

Această atitudine a elevului nu poate subzista decât pe o pregătire anterioară solidă, o exersare ce a creat deprinderi corespunzătoare. Mai mult, întreaga activitate de (re)descoperire este dirijată de profesor, astfel că problema centrală ridicată de metodă este unde și cât să-l ajute învățătorul pe elev .

Eficiența metodei depinde esențial de răspunsul corect la această întrebare . Aceasta cere învățătorului tact pedagogic și o cunoaștere a problemei în toate articulațiile ei, inclusiv în locul în care elevii pot întâmpina greutăți . Tactica folosită de învățător este aceea de a plasa sugestii „ușoare” în momentele de dezorientare ale elevilor, momente ce pot fi citite pe fețele lor .

În descoperirea de tip deductiv elevii pot obține rezultate noi (pentru ei) aplicând rațioanmente asupra cunoștințelor anterioare, combinându-le între ele sau cu noi informații. Acest tip de descoperire apare frecvent la : de exemplu cunoscând aria pătratului descoperim aria triunghiului, apoi aria paralelogramului, a triunghiului, a rombului ,a trapezului.

Formulele de calcul prescurtat pot fi descoperite cu mare ușurință în acest mod . Algoritmii de calcul mintal prin aplicarea proprietăților operațiilor cu numere naturale pot fi descoperiți deductiv .

Descoperirea prin analogie constă în transpunerea unor relații, algoritmi etc., la contexte diferite, dar analoage într-un sens bine precizat . Algoritmii de rezolvare a problemelor de un anumit tip pot fi un exemplu de descoperire prin analogie . Analogiile în matematică pot fi de conținut sau de raționament . Ele pot fi de anvergură mai mare sau cu efect local .Analogii mari folosite în matematică sunt cele din aritmetică și algebră , geometrie plană și geometrie în spațiu .

Analogia de raționament poate fi folosită în rezolvarea problemelor, în predarea multiplilor și submultiplilor unităților de măsură , în demonstrarea formulelor pentr perimetru sau arii .

A.3.Metode didactice în care predomină acțiunea de comunicare scrisă , valorifică lectura în accepția acesteia de „tehnică fundamentală de muncă intelectuală ”.

Activitatea cu manualul și alte cărți (culegeri de matematică) constituie o formă a lucrului independent . Această metodă se aplică atât în timpul orelor de matematică, cât și acasă, pentru rezolvarea temelor. Descifrarea sensului matematic este primordial pentru rezolvarea cerințelor, care pot fi mai puțin explicite și atunci elevul trebuie să complteze detaliile lipsă .

Această metodă este strâns împletită cu metoda descoperirii și a problematizării încât deseori ne apare ca un procedeu . Manualele , culegerile de probleme și alte cărți noi , cunoștințe, să le sistematizeze și fixeze să-și formeze priceperi și deprinderi și de aceea în matematică ea se poate impune ca o metodă .

Elevii trebuie să învețe cum să folosească manualele și alte cărți pentru a ști cum să le utilizeze ulterior pentru perfecționarea continuă . Manualul trebuie folosit atât pentru exerciții cât și pentru aplicații, pentru documentare, pentru evaluare, pentru munca independentă .

Lucrând cu manualul, elevul este activ, obținând cunoștințele printr-un efort propriu astfel încât această metodă devine „o cale de instruire prin decoperire ”.

Nu este bine să facem abuz de această metodă și nici să o folosim limitându-ne la indicația „citiți lecția din carte” fără a finaliza ofixare a cunoștințelor și o verificare a modului de însușire a lor.

În folosirea metodei aspectul formativ cel mai important este formarea deprinderilor de a studia după manual, mai general după cărți . Acest aspect trebuie urmărit și prin mijloace directe .Astfel învățătorul va explica elevului cum se citește un text de matematică .Etapele obișnuite în descrierea unui text matematic sunt :

● citirea lui în întregime pentru asesiza ideea sau ideile generale și împărțire lui în unități logice ;

● analiza textului începând cu definițiile și continuând cu enunțurile exercițiilor și problemelor .

O sistematizare a temei se poate face prin .

● studiul rezolvărilor unor exerciții și probleme;

● efectuarea de exerciții apicative cu rol de fixare precum și aprofundare a unor aspecte ;

● consemnarea schemei sintetizatoare în caietu elevilor lângă exercițiile efectuate .

Este foarte important de amintit elevilor că studiul unui text se face cu creionul în mână și că rezolvările și demonstrațiile se refac în toate detaliile .

B.1.Metode didactice în care predomină acțiunea de cercetare directă a realității .

Observația este o activitate perceptivă, intenționată, orientată spre un scop, reglată prin cunoștințe, organizată și condusă sistematic, conștient și voluntar . Această metodă asigură baza intuitivă a cunoașterii, permite o percepție polimodală , asigură formarea de reprezentări clare despre obiecte devenite material didactic și însușirilecaracteristice ale acestora, asigură investigarea directă a unor relații , corelații . Ca metodă , observația este însoțită de explicație-elementul de dirijare a observației . Trebuie permanent avut în vedere utilizarea unui limbaj care însoțește observația . Perfecționarea metodei vizează asigurarea saltului de la observația sistematică dirijată, la observația sistematică realizată independent de elev .

B.2.Metode didactice în care domină acțiunea de cercetare indirectă a realității .

Demonstrația presupune prezentarea unor obiecte , procese, fenomene reale sau substituite, cotact prin care se obține reflectarea obiectului învățării la nivelul percepției și reprezentării . La baza demonstrației se află întotdeauna un mijloc de învățământ, de aici și tendința definirii acestei metode drept „metodă intuitivă” .

Este utilizată în mai multe forme :demonstrație observațională numită și „demonstrație vie” bazată pe prezentarea unor obiecte reale, în stare naturală (folosirea „metrului de tâmplărie” pentru a demonstra că 1m = 100 cm etc.) ; demonstrația cu acțiuni (demonstrarea la tablă a modului de utilizare a instrumentelor pentru a trasa 2 drepte paralele ) ; demonstrația figurativă , cu ajutorul materialului confecționat (compunarea de probleme la clasa I) ;demonstrația grafică, pe bază de tabele, scheme grafice (rezolvarea problemelor prin metoda grafică ) ; demonstrația logică de stabilire a adevărurilor prin raționament (distributivitatea înmulțirii față de adunare ) ; demonstrația prin exemple, rezolvând exerciții și probleme asemănătoare, prin același procedeu ; demonstrația cu ajutorul modelelor ideale (formule, scheme grafice ) .

Metoda demonstrație intuitive este intens folosită în clasele învățământului primar, iar la clasele mai mari, demonstrația matematică se bazează pe modele, structuri, scheme matematice. Se pot aminti următoarele condiții necesare pentru eficientizarea demonstrației :

● conștientizarea scopului urmărit ;

● reactualizarea cunoștințelor esențiale ;

● prezentarea sarcinii într-o formă dinamică cu sprijinul mijloacelor de învățământ ;

● asigurarea unui ritm corespunzător al demonstrației pentru a da posibilitatea elevilor să realizeze însușirea corectă a structurilor propuse ;

● activizarea întregii clase în timpul demonstrației și ulterior acesteia în etapa prelucrării datelor obținute pe această cale .

Metoda prezentării materialului didactic este expresia demonstrației intuitive și a respectării principiului intuiției în procesul de predare-învățare a matematicii . Această metodă se folosește cu preponderență la preșcolarii și școlarii din ciclul primar, când intuiția predomină .

Demonstrația ca metodă intuitivă, este dominată în activitățile de dobândire de noi cunoștințe .Metoda , fără a fi folosită exagerat, are efect favorabil asupra înțelegerii și reținerii cunoștințelor și dezvoltă capacitatea de a observa ordonat, sistematic și de a exprima coerent datele problemei .

Modelare este o „construcție substanțială sau mintală a unor modele materiale sa mintale analogice ale realității, folosite ca instrumente în organizarea învățării” . Modelul „este un rezultat al acestei construcții artificiale bazate pe raționamente de analogie , pe un efort de gândire deductivă ”.

Matematica valorifică modelarea și modelul în sensul simplificării, schematizării, esențializării, aproximării realității . De aceea trebuie cunoscute oferte de diferite tipuri de modele și modelare :

● modelare prin similitudini :

● modelare prin analogie ;

● modelare simbolică (tipic matematică) ; acest model este o „abstracție „ care pune în evidență fenomenul sau procesul sub o formă pură ; exprimă un raport, o legitate, printr-o simplă formulă : P = (L –l) ; A = L x l etc. Cu posibilitatea de aplicare în calcule , în practică, în rezolvarea de probleme .

Modelarea reprezintă forma cea mai riguroasă analogiei prin transcriere simbolică matematică a unui mod de desfășurare a unei structuri, alcătuirea unui sistem .

C.1. Metode în care predomină acțiunea didactică practică operațională reală .

Exercițiul este o metodă ce are la bază acțiuni motrice și intelectuale, efectuate în mod conștient și repetat, în scopul formării de priceperi și deprinderi, automatizării și interiorizării unor modalități sau tehnici de lucru, de natură motrică sau mintală . Ansamblul deprinderilor și priceperilor dobăndite și exersate prin exerciții în cadrul orelor de matematică conduc la automatizarea și interiorizarea lor, transformându-se treptat în abilități . Fiecare abilitate se dobândește prin conceperea , organizarea, rezolvarea unui sistem de exerciții .

În cadrul orelor de matematică se pot rezolva mai multe tipuri de exerciții :

● după funcția îndeplinită : introductive, de bază, operatorii ;

● după modul de rezolvare: de calcul oral, de calcul mintal, scrise, de calcul în scris ;

● după gradul de intervenție al învățătorului : dirijate. semidirijate, libere;

● după subiecții care le rezolvă : individuale (rezolvate prin muncă independentă), în echipă, frontale ;

● după obiectivul urmărit : de calcul, de completare, de ordonare ,de comparare, de comunicare, de rezolvare a problemelor, de formare a deprinderilor intelectuale , de creativitate, de autocontrol etc.

Exercițiul face parte din categoria metodelor algoritmice deoarece presupune respectarea riguroasă a unor prescripții și conduce spre o finalitate stabilită .Nu orice acțiune pe care o execută elevii constituie un exercițiu , ci numai aceea care se repetă relativ identic și se încheie cu formarea unor componente automatizate ale activității .

Exercițiile constituie un instrument extrem de util în fixarea și reținerea cunoștințelor, de aceea, metoda exercițiului se combină cu metode active de predare . După introducerea unor noțiuni noi, a unor procedee noi, primele exerciții ce se propun sunt exerciții descrise de învățător, fie (re)descoperite de ei cu ajutorul învățătorului .

De exemplu : când dorim să efectuăm proba împărțirii cu rest se explică regula a = bx c + r , se repetă cu elevii regula prin exemple concrete.

După înțelegerea regulii, a operațiilor, elevii o repetă de câteva ori pentru formarea deprinderii de a o folosi . Aceste exerciții se numesc exerciții de bază .

După introducerea unei noi noțiuni și derularea exercițiilor de antrenament și a celor de bază sunt necesare exerciții în care să se urmărească și întărirea deprinderilor anterioare odată cu deprinderile noi, integrarea acestor două categorii de deprinderi . Asemenea exerciții se numesc exerciții paralele sau analoage .

Cantitatea și durata exercițiilor trebuie să asigure formarea de priceperi și deprinderi ferme . Pentru predarea noțiunii de fracție se trece de la exerciții practice de antrenament, la exerciții de bază de scriere și recunoaștere a fracției și prin exerciții paralele de comparare a fracțiilor și de recunoaștere a apartenenței într-o clasă echivalentă .

Rolul învățătorului este de a propune exercițiile, de a urmări corectitudinea rezolvării, de a analiza cu elevii eventualele greșeli și cauzele lor, de a interpreta rezultatele exercițiilor și de a aprecia calitatea deprinderilor de rezolvare ale elevilor .

Metoda exercițiului, este necesară în diirjarea cel puțin în faza de început , dar și pe parcurs, când sunt necesare corectări, restructurări . De altfel, exercițiul este o metodă necesară ori de câte ori avem ca obiectiv formare, dezvoltarea unei deprinderi a matematicii (intelectuale, psihomotorii) . În același timp , exercițiul în diferite forme, variate, trebuie să fie un procedeu subordonat metodei demonstrației, descoperirii, modelării sau problematizării . El este un punct de sprijin intuitiv și formativ, dar și o soluție alternativă aplicată atunci când metoda dă roade . Exercițiul preconizat ca procedeu pe o anumită perioadă de timp a lecției devine metodă , cale de învățare, valabilă pe tot parcursul lecției .

Literatura de specialitate propune diverse clasificări ale exercițiilor, în funcție de criteriile adoptate .

După forma lor exercițiile pot fi :

● orale ( numărați din 3 în 3 începând cu 0 ; citește numerele: 724321, 543076, 890098; care sunt vecinii numerelor );

● scrise ( calculați, apoi faceți proba prin operația inversă : 344+543; 765-654; descompuneți numerele în sute, zeci și unități : 543, 657 , 666 ; efectuați calculele și compltați tabelul ….; aflați termenul necunoscut : x+543 = , = 876 ,y-240=375);

●practice ( măsurați lungimea băncii cu palma ; câte pahare pot umple cu apă din acest bidon ? ; construiește pătrate, dreptunghiuri și triunghiuri din bețișoare, creioane sau bețe de chibrit …) .

După funcția îndeplinită ,exercițiile se clasifică în :

● exerciții introductive (exerciții de calcul mintal de la începutul orei de matematică; exerciții de adunare repetată care pregătesc înțelegerea operației de înmulțire ) ;

● exerciții de bază ( de însușire a modelului dat );

Exemple : 1) Scăderea cu trecere peste ordin ( efectuați prin calcul scris) :

453 – 276 = ; 517 – 269 = ,804 – 617 =

2) Împărțirea cu rest ( calculați câtul și restul 26 : 4 = , 38 : 5 =)

3) Ordinea efectuării operațiilor (calculați 2 x 7 x 3 – 8 : 2 – 10 = )

● exerciții paralele de legare acunoștințelor și deprinderilor mai vechi cu cele mai noi ;

Exemple : 1) Împărțirea numerelor naturale de trei cifre la un număr scris cu o cifră ( calculați apoi faceți proba : 324 :3 = , 728 : 4 = ) ;

2) Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezei ( efectuați : 30 – = ; aflati valoarea lui X : 2 x = ) ;

● exerciții de creație ( euristice)

Exemple : 1) compune exerciții de adunare și de scădere cu trecere peste ordin, folosind numere mai mici de 50 ;

2) compune câte o problemă care să se rezolve prin : două adunări , o adunare și o scădere, o înmulțire și o adunare ;

După conținutul lor , pot fi două categorii :

● exerciții motrice , care conduc spre formarea de deprinderi în care predominantă este componenta motrică ( exemplu : scrieți 3 rânduri cu cifra 8)

● exerciții operaționale care contribuie la formare operațiilor intelectuale, principale lor trăsături fiind reversibilitatea și asociativitatea .

Exemple : 1) Perimetru pătratului ( calculează perimetrul unui pătrat cu latura de 5 cm ; calculează latura unui pătrat cu perimetrul de 20 cm ) ;

2) Perimetrul dreptunghiului (calculează perimetrul unui dreptunghi cu lungimea de 6 cm și lățimea de 7 cm ) .

După numărul de participanți pot fi :

● exerciții individuale ;

● exerciții de echipă ;

● exerciții colective ;

● exerciții mixte.

După gradul de complexitatea se diferențiază :

● exerciții simple 3 + 5 =

● exerciții complexe X : 3 = 7 rest 4

● exerciții super-complexe (tip olimpiadă ) 257 : = 8 rest 1

Algoritmizarea angajează un lanț de exerciții, operații dirijate, executate într-o anumită ordine, aproximativ constantă, integrate la nivelul unei scheme de acțiune didactică standardizată ajungându-se în acestfel la o înlănțuire logică de conținuturi, în vederea îndeplinirii sarcinilor de instruire .

Activitatea de învățare este efiencietizată prin calitatea corespunzătoare a algoritmilor aleși de a interveni ca modele operaționale . Metoda oferă elevului un instrument simplu și operativ, scutindu-l de căutări . Prin structura precisă a algoritmilor, prin mânuirea lor repetată, elevul reușește să-și „disciplineze propria gândire ”.

Algoritmizarea este cunoscută ca „metodă de predare-învățare constând din utilizarea și valorificarea algoritmilor” .

Algoritmii se prezintă sub diferite forme : reguli de calcul, scheme de rezolvare a unei probleme, scheme operaționale etc. Algoritmizarea reprezintă o metodă care ține de dimensiunea „mecanică” a învățării, așa cum precizează C. Cucoș (11) , eficiența ei constând în faptul că oferă elevului un instrument de lucru operativ, economicos, scutindu-l de căutări, iar prin mânuirea repetată a algoritmilor, elevul reușește să-și „disciplineze” propria gândire .

Jocul didactic, cametodă , cunoaște o largă aplicabilitate regăsindu-se în cadrul tuturor orelor de matematică . Metoda jocului didactic reprezintă o acțiune care „valorifică nivelul instrucției , finalitățile adaptive de tip recreativ proprii activității umane, în general, în anumite momente ale evoluției sale ontogenice, în mod special” .

Restabilind un echilibru în activitatea școlarului, jocul fortifică energiile intelectuale și fizice ale acestuia, generând o motivație secundară, dar stimulatoare, constituind o prezență indispensabilă în ritmul accentuat al muncii școlare .

Prin intermediul motivațiilor ludice care sunt subordonate scopului activității de predare-învățare-evaluare învățătorul dinamizează acțiunea didactică într-o perspectivă pronunțat formativă . Astfel , prin utilizarea jocului ca metodă , se accentuează rolul formativ al activităților matematice:

● exersarea operațiilor gândirii (analiza, sinteza, comparația, generalizarea, abstractizarea ) ;

● dezvoltarea spiritului de observație ;

● dezvoltarea imaginației și creativității elevilor ;

● dezvoltarea spiritului de inițiativă, de independență dar și de echipă ;

● formarea unor deprinderi de lucru corect și rapid, deprinderi de muncă independentă ;

● însușirea conștientă într-o formă accesibilă, temeinică,plăcută și rapidă a cunoștințelor matematice ;

● activizarea copiilor din punct de vedere cognitiv, acțional și afectiv, sporind gradul de înțelegere și participare activă a copilului în actul de învățare;

● ofrmarea autocontrolului eficient al conduitei și achizițiilor.

În cadrul orelor de matematică se pot folosi ( după Ioan Cerghit și Ioan Necșu (5) ):

● după forma de exprimare : jocurile simbolice, jocurile conceptuale, jocurile ghicitori ;

● după resursele folosite : jocurile materiale, jocurile orale , jocurile pe bază de întrebări, jocurile pe bază de fișe individuale, jocuri pe calculator ;

● după regulile instituite : jocuri cu reguli transmise prin tradiție, jocuri cu reguli inventate, jocuri spontane ;

● după competențele psihologice stimulate : jocuri de observație, jocuri de atenție, jocuri de memorie, jocuri de gândire, jocuri de imaginație .

În general, un exercițiu sau o problemă matematică poate deveni joc didactic dacă îndelpinește următoarele condiții :

● realizează un obiectiv sau o sarcină din punct de vedere matematic ;

● folosește elemente de joc-întrecere individuală sau pe grupe de elevi, cooperarea între participanți, reconpensarea rezultatelor bune sau penalizarea greșelilor comise, aplauze, surpriza, așteptarea, cuvântul stimulator etc. În vederea sarcinilor propuse ;

● folosește un conținut matematic accesibil, atractiv și recreativ prin forma de desfășurare, prin materialul didactic ilustrativ utilizat, prin volumul de cunoștințe la care se apelează ;

● folosește reguli de joc cunoscute anticipat de elevi, respectate de aceștia , în vederea realizării sarcinii propuse și a stabilirii rezultatelor .

D. Metode didactice în care predomină acțiunea de programare specială a instruirii .

Metoda instruirii programate

Metoda instruirii programate organizează acțiunea didactică, aplicând principiile ciberneticii la nivelul activității de predare-învățare-evaluare, concepută ca „un sistem dinamic, complex, constituit dintr-un ansamblu de elemente și de interrelații”.

După modul în care se asigură algoritmul de instruire se delimitează mai multe tipuri de programare :

Programarea liniară – are următoarea structură de proiectare a secvențelor de instruire : informarea elevului, prezentarea sarcinii didactice (întrebare, exercițiu, problemă) ,rexolvarea spațiului și a timpului necesar pentru îndeplinirea sarcinii și oferirea variantei corecte de răspuns .

Programarea ramificată – solicită un efort intelectual mai mare din partea elevului pentru recunoașterea răspunsului corect din mai multe răspunsuri date (trei, patru). Dacă nu reușește de la prima încercare, primește o informație suplimentară, după care trebuie din nuo să aleagă răspunsul corect, astfel încât să poată trece la pasul următor . Structura de organizare a instruirii ramificate se prezintă astfel : informarea elevului, prezentarea sarcinii didactice, rezervarea spațiului și a timpului pentru alegerea răspunsului, întărirea pozitivă în cazul răspunsului corect și trecerea la secvența următoare sau întărirea negativă în cazul unui răspuns incorect, care orientează elevul spre a informa, care orientează elevul spre a informații suplimentare, obligatorie pentru corectarea răspunsului . Greșeala este folosită în acest caz ca mijloc de stimulare a elevului în vederea autocorectării.

Programarea combinată – realizează îmbinarea celor două tipuri principale , folosind concomitent atât secvențe cu răspunsuri construite , cât și secvențe cu răspunsuri la alegere .

Programarea elaborată se pune la dispoziția fiecărui elev, utilizând : manuale programate sau fișe programate (cu un conținut mai redus, al lecției sau al unui moment al lecției) și mașini de instruire, cu ajutorul cărora se administrează programul elaborat . Calculatorul asigură realizarea instruirii programate în condiții optime . Această metodă poate fi folosită în cadrul orelor de matematică cu mai multă ușurință decât în altele, ca urmare a organizării logice stricte a conținutului . Atfel , programul creat trebuie să prevadă toate punctele în acre elevul ar putea să găsească și apoi să prevadă continuări, care să-l ajute să elimine eroarea, în acest fel elevul își autoreglează conștient procesul de asimilare .

Îmbinarea instruirii programate cu alte metode și mijloace curente și forme de organizare constituie o modalitate eficientă de însușire și consolidare a cunoștințelor. Învățătorul, cunoscând varietatea metodelor disponibile în câmpul didacticii moderne, cunoscând particularitățile elevilor cu care lucrează, valențele conținutului pe care trebui să le atingă prin predare-învățare, să acționeze pentru a valorifica pe deplin personalitatea, el însuși devenind un autentic subiect creator în materie de articulare a strategiilor, metodelor și procedeelor didactice .

Instruirea programată numită și „ învățământ prin stimulare”, reprezintă „o tehnică modernă de instruire, care propune o soluție nouă la problema învățării”. Prin această metodă instruirea se dirijează printr-un program pregătit dinainte pe care elevul îl parcurge independent . Programul creat este astfel alcătuit încât elevul să-și autoregleze conștient procesul de asimilare . Așadar, o primă condiție ce trebuie să o satisfacă un program bun este de a prevedea toate punctele în acre elevul ar putea să găsească și apoi să prevadă continuări care să-l ajute pe elev ăs elemine eroarea.

Această condiție este mai lesne de îndeplinit la matematică datorită organizării logice stricte a conținutului .Ea poate fi de asemenea satisfăcută de programele construite din „ pași mici”, unități logice mici ușor de asimilat, atât de mici încât elimină posibilile erori . Aceste modele de alcătuire a programului de instruire propus , asigură condiții de succes pentru elev, succes care-l mobilizează să continuie parcurgerea programei . Metoda instruirii programate este o metodă activă pentru că programa îi cere să rezolve diferit sarcinile didactice . Din punct de vedere al metodologiei, instruirea programată ridică probleme legate de mijloacele instruirii programate și de organizarea lecțiilor .Programele pot fi liniare, ramificate sau combinate . Îmbinarea instruirii programate cu alte metode și mijloace didactice curente și forme de organizare contituie o modalitateeficientă de însușire și consolidare a cunoștințelor .

Baza psihologică a utilizării mijloacelor de învățământ . Corelația dintre intuitiv și logic .

Conținutul științific al conceptelor matematice moderne nu exclude ci dimpotrivă, presupune utilizarea unor metode și procedee bazate pe intuiție .

Copilul de vârstă școlară mică are o gândire care operează la nivelul operațiilor concrete . Numai în măsura în care elevul va fi pus de către învățător în situația de a gândi va putea pătrunde în înțelesul real al conceptalor matematice, își va însuși logica acestora. Manifestând inițiativă în crearea și folosirea unor metode didactice care să sprijine înțelegerea noțiunilor matematice, învățătorul va ține seama de câteva cerințe pentru a oferi posibilitatea elevilor de a învăța matematica gândind mai întâi la nivelul concret și pentru a se ridica treptat la înțelegerea și operarea cu abstracțiunile matematice .

În primul rând, se impune drept cerință analiza și utilizarea materialelor didactice în funcție de gradul lor de intuitivitate, ținând seama de faptul că interacțiunea dintre analogie și inducție, pe de o parte, și temeiul lor intuitiv pe de alta, asigură progresiv evoluția spre abstract .

Materialul didactic principal îl constituie mulțimile de obiecte cu putere de simbolizare a relațiilor matematice, ale căror elemente dispun de însușiri precise de constituire a mulțimilor cum sunt : piesele jocurilor logico-matematice , riglete și alte truse din această categorie . Aceste materiale oferă posibilitatea efectuării unor operații concrete în care se evidențiază proprietatea, principiul, relație ce constituie esența matematică a conceptelor pe care le învață elevii . Esențializarea se accentuează cu ajutorul reprezentărilor grafice .

Suportul intuitiv al noțiunilor matematice se asigură și prin imagine ale obiectelor constituite în mulțimi . Acestea însă nu oferă posibilitatea operării cu ele , de unde și caracterul lor static, constatativ. Folosirea cu precădere și în mod abuziv a unor asemenea mijloace intuitive ascunde esența matematică, aspectele concrete nedozate îngreunând procesul de esențializare .

Se impune selecționarea atentă a materialelor intuitive în raport de obiectivele urmărite în lecție, în funcție de etapa de formare a noțiunilor respective, de experiența de care dispun elevii, de măsura în care materialul respectiv servește la înțelegerea principiului, a relației, a proprietății etc. Ce urmează a fi asimilate , aplicate și apoi transferate .

Se impune dozarea judicioasă a intuiției , ca suport materia, până la nivelul necesar producerii saltului în abstrac, cu reținerea pe plan logic „interiorizare” a adevărului matematic respectiv în limbaj matematic (noțiuni) .

Moduri de organizare a activităților de matematică .

Organizarea îmvățământului pe clase și lecții experiența tradițională în vigoare , a instituit un mod apreciat și astăzi ca fiind pertinent și eficient în multe situații, anume modul frontal de lucru cu elevii .

Practica educațională a cunoscut și cunoaște și alte moduri de organizare a procesului instructiv-educativ privit din punctul de vedere al agenților educaționali.

Se are în vedere activitatea de grup (grupuri omogene, grupuri eterogene, grupuri competitive, grupuri cooperante etc. ) precum și forma de organizare individuală, care capătă în unele situații, o semnificație aparte în logica desfășurării învățământului matematic .

În condițiile unui învățământ modern , optimul organizatoric nu poate fi dictat printr-o normă didactică, ci el este rezultatul deciziei învățătorului pentru fiecare situație didactică în parte. Nivelul cel mai înalt de activitate matematică îl reprezintă activitățile în care se lasă elevilor independența deplină în compunerea și rezolvarea pe căi diferite a exercițiilor și problemelor .

La toate aceste niveluri, activitatea matematică a elevilor trebuie stimulată și susținută de către învățător , prin repartizarea unor fișe cu sarcini diferențiate, prin control și evaluare sistematică a rezultatelor .Deci putem spune că ,în realizarea unui învățământ activ, formativ al matematicii un rol important îl are munca independentă a elevilor. Construirea unui sistem de exerciții și probleme judicios gradate sub aspectul efortului mintal pe care îl solicită elevi și rațional programate atât în suita de lecții ,cât și în cadrul secvențelor fiecărei lecții, conduce la formarea și consolidarea deprinderilor de calcul și de rezolvare de probleme, concomitent cu dezvoltarea psihică a elevilor.

Îmbinarea formelor de activitate-frontală, pe microgrupuri și individuală, creează posibilități largi pentru mobilizări multiple și variate ale elevilor în procesul învățării matematicii.

Nu se poate vorbi de activizarea elevilor, fără a se avea în vedere individualizarea procesului de predare-învățare și evaluare .Este vorba de o activizare diferențiată pe fondul unei individualizări corect practicate. Individualizarea și tratarea diferențiată a elevilor constituie două dintre strategiile principale de ameliorare a randamentului școlar și de înlăturarea eșecurilor .

Individualizarea și abordarea diferențiată a procesului de instruire la matematică presupune , pe de o parte, cunoașterea elevilor, investigarea lor permanentă și urmărirea evoluției lor ( mai ales pe plan intelectual) , pentru a le pute adresa în orice moment sarcini corespunzătoare nivelului lor real de dezvoltare . Pe de altă parte, individualizarea și tratareadiferențiată presupune o bună cunoaștere a conținutului de predat și respectarea cerințelor unitare pe care le exprimă programele școlare .

Strategia individualizării și diferențierii învățământului matematic conduce la o gamă foarte variată de forme de lucru și modalități de organizare a activității de învățare . Se impune ca învățătorul să gândească asupra modalităților de îmbinare a celor trei forme de activitate (frontală, în grup și individuală ), iar în cadrul fiecăreia dintre acestea asupra unor sarcini unitare, gradate însă prin conținut și mod de realizare .În raport de capacitățile fiecărui elev, de cerințele unice ale programei școlare se pot formula implicit niveluri de efort diferite (recunoaștere, reproducere, integrare ,transfer, creativitate) .Important este ca în toate formele de activitate matematică pe care le desfășoară elevii ( la tablă, pe caiete, pe fișe individuale), învățătorul să urmărească aplicarea întregului sistem diferențiat al variabilelor acestor activități : obiective , conținuturi, moduri de realizare a sarcinilor, forme de evaluare etc.

Instruirea și educarea matematică, activitate cu obiective precis determinate, necesită organizarea și coordonarea componentelor care concură la atingerea obiectivelor .

Forma principală de organizare a procesului instructiv-educativ la matematică este lecția „în cadrul căreia elevii desfășoară o activitate comună de învățare sub conducerea educatorului, într-o anumită unitate de timp-oră școlară

Lecția trebuie privită ca activitate , ca proces, care îmbină didactic metodă, mijloace și tehnici de învățământ cu respectarea principiilor didactice .

Tipul lecției corespunde scopului lecției .Variantele lecțiilor de matematică se realizează după obiectivele operaționale .Ioan Nicola (28) prezintă următoarele tipuri de lecție :

A.   Tipul lecției mixte sau operaționale;

B.    Tipul lecției de comunicare (cu următoarele variante .descoperirea pe cale inductivă, descoperirea pe cale deductivă, introductive, prelegere, seminar, problematizate, dezbatere, de asimilare a noilor cunoștințe, bazate pe instruirea programată ) ;

C.   Tipul lecției de formare a priceperilor și deprinderilor ;

D.   Tipul lecției de recapitulare și sistematizare (de fixarea sau consolidare ).

Lecția de predare-învățare-evaluare, varianta de comunicare prin dobândire de cunoștințe.

Această lecție are sarcină didactică principală , însușirea unor cunoștințe noi și fixarea lor.

Captarea atenției este deseori neglijată sau formal rezolvată, considerându-se că prin anunțarea obiectivelor lecției sau prin restabilirea liniștii, atenția elevilor a fost captată . Ea ve putea fi realizată prin întrebuințarea unei forme care să stârnească interesul sau chiar să-i șocheze pe elvii clasei respective. Datorită caracterului abstract al matematicii nu se pot găsi la orice lecție legături cu o preocupare familiară lor, dar trebuie găsită o frază , o întâmplare , o povestire, un exercițiu, un joc prin care să se stârnească interesul asupra activității care se va realiza în lecție .

Enunțarea obiectivelor urmărite trebuie prevăzute și ea ca etapă, pentru ca elevii să fie conștienți despre ce se urmărește în lecția respectivă .

Reactualizarea celor învățate anterior are rolul de a împrospăta acele cunoștințe anterior studiate necesare înțelegerii noilor conținuturi . Se pot rezolva diverse problem care să facă elevul să intuiască existența faptului matematic nou, care reprezintă noile cunoștințe .

Prezentarea noului conținut și dirijarea învățării sunt etape care se produc concomitent și ocupă cea mai mare parte a lecției .

Asigurarea feedback-lui arată elevului nivelul la care a ajuns și se poate realiza fie prin reproducerea celor învățate fie printr-o fișă de lucru . Pentru învățător este o etapă de mare importanță, căci permita analiza rezultatelor lecției prin prisma atingerii obiectivelor stabilite.

Intensificarea retenției, asigurării transferului se realizează prin probleme variate sau prin descoperirea cunoștințelor studiate, aplicate.

Lecția prin instruire programată are cu totul altă formă . În acest sens toate sarcinile sunt preluate de un program ,noile cunoștințe sunt transmise cu ajutorul acestuia, având dificultăți descompuse în așa fel încât să poată fi înțelese de către toți elevii . Exercițiile din program și secvențele de recapitulare asigură retenția și transferul, iar unele exerciții date fără răspuns și fără puncte de sprijin .

Învățarea prin descoperire utilizată pentru însușirea unor cunoștințe determină și ea o variantă a acestei lecții. Frecvența acestor lecțții de predare-învățare-evaluare, variantă a formării priceperilor și deprinderilor , în predarea matematicii este foatre mare și de numărul și atenția acordată lor de propunător depinde în mare măsură succesul muncii la catedră , al educatorului . Aceste lecții urmăresc reținerea materialului însușit și aplicarea lui în exerciții și probleme cât mai variate .

Învățământul matematic și dezvoltarea raționamentului nu se poate realiza

fără cunoștințe sistematice și bine consolidate. Recapitularea materiei se face cu scopul reținerii materialului studiat, asigurării transferului și a eliminării lipsurilor. Se impune deci recapitulării să respecte anumite condiții :

● Să nu se repete materia în același fel în care sa predat, ci să se facă o sinteză a temelor principale și dacă se poate să se stabilească noi legături între acestea. Elementul de noutate este de mare importanță pentru trezire interesului , căci o reluare în aceeași ordine nu ar putea fi decât plictisitoare.

● Lecțiile de recapitulare trebuie anunțate din timp și antrenați toți elevii într-o muncă de recapitulare. Pentru a nu inhiba cu nimic activitatea elevilor este preferabil să nu fie notați . Planul de recapitulare poate fi dat elevilor fie cu o oră înainte , pentru a putea revedea independent materia pe baza lui, fie să se elaboreze la începutul lecției. Exercițiul are pentru elevi un caracter de creație și prin aceasta produce o mai mare satisfacție .

● Varianta lecției de evaluare care urmează în mod firesc lecției de recapitulare și care ca sarcină dominantă verificarea și aprecierea cunoștințelor elevilor prin prisma obiectivelor operaționale anterior fixate .Ea vizează atât îndeplinirea obiectivelor informative, adică a cuantumului de cunoștințe teoretice, cât și a celor formative, adică a modului în care elevul poate opera cu aceste cunoștințe teoretice prin rezolvarea de probleme complexe.

● Lecția de verificare se realizează în două moduri .

1) lecția de verificare orală;

2) lecția de verificare scrisă, care are două etape: efectuarea lucrării și analiza ei .

Lecția de verificare orală se aseamănă ca structură cu lecția de recapitulare . Deosebirea constă în faptul că dacă în lecția de recapitulare atenția este focalizată spre sistematizarea materiei, în lecția de verificare ne interesează modul în care elevii și-au însușit materia, limbajul matematic, precum și aplicarea acestor cunoștințe în rezolvarea problemelor. În lecția de verificare orală este bine să se stabilească înainte ce se va asculta și materia care va face obiectul interogării fiecărui elev în parte .

Lecția de verificare scrisă are următoarea srtuctură : organizarea clasei pentru desfășurarea lucrării scrise ; anunțarea temei; desfășurarea lucrării scrise .

Organizarea clasei trebuie făcută în așa fel încât să se asigure posibilitatea fiecărui elev de a lucra independent pentru a se putea aprecia cunoștințelor reale ale fiecăruia. Este bine ca itemii să se dea diferențiat pe numere. Subiectele trebuie astfel alese încât să cuprindă părțile mai importante ale materiei parcurse .Gradul de dificultate să fie potrivit dar, să permită verificarea obiectivelor propuse atât în ceea ce privește dezvoltarea raționamentului matematic cât și gradul de formare a deprinderilor de calcul.

A doua etapă a acestei lecții o constituie analiza lucrărilor scrise, analiză ce trebuie să asigure că pe viitor elevii să poată efectua corect o temă asemănătoare cu cea propusă. Structura unei astfel de lecții este . aprecierea generală a lucrărilor, stabilirea greșelilor și explicarea cauzelor care le-au determinat, analiza câtorva lucrări mai reprezentative, distribuirea lucrărilor și corectarea individuală .

CAPITOLUL II

Noțiuni fundamentale în aritmetică

II.1. Elemente de logică matematică.

Propoziții adevărate sau false.

Un text matematic este alcătuit din propoziții redactate în cuvinte sau cu ajutorul simbolurilor matematice .

Definiție : Se numește propoziție un enunț despre care putem spune că este adevărat sau fals însă nu amândouă simultan .

Propozițiile simple se notează , de obicei cu p, q , r, … sau indexate .

Negația unei propoziții p este o altă propoziție „non p „ care este adevărată când p este falsă și falsă când p este adevărată .

Implicația logică

Se numește că „propoziția p implică propoziția q (sau că din p rezultă q) și se scrie „p =>q”, dacă ori de câte ori este adevărată propoziția p, este adevărată și propoziția q .

Semnul „=>”se citește „implică” sau „rezultă”.

Echivalență logică

Se spune că „propoziția p este echivelentă cu propoziția q „ și se scrie „pq”, dacă p=>q și q=>p, adică dacă propozițiile p și q sunt simultan adevărate (sau false).

Semnul se citește „echivalent” sau „dacă și numai dacă” .

Disjuncția

Legînd două propoziții date p, q prin „sau” obținem o nouă propoziție „p sau q”, numită disjuncția lor .

„p sau q” este adevărată atunci când cel puțin una din cele două propoziții este adevărată (neexcluzându-se cazul când ambele propoziții sunt adevărate ).

Conjuncția

Legând două propoziții date p, q prin „și” obținem o nouă propoziție „p și q „ numită conjuncția lor.

„p și q „ este adevărată , atunci ambele propoziții sunt adevărate .

II.2.Mulțimi. Operații cu mulțimi.

În limbajul matematic , noțiunea de mulțime se referă la o colecție de obiecte distincte și precis specificate. După matematicianul german Georg Cantor, părintele teoriei mulțimilor, „o mulțime este o ansamblare de anumite obiecte , distincte, ale intuiției sau gândirii noastre într-un singur tot”.

Mulțimile se notează în general cu litere mari din alfabetul latin : A.M.X. etc, iar obiectele componente ale acestora se numesc elemente ale mulțimii și se notează cu litere mici: a , m , x etc.

O mulțime poate fi dată în două moduri :

a) Prin specificarea unei proprietăți pe care o au toate elementele mulțimii respective și pe care nu o au alte obiecte (elemente)-analitic :

A = mulțimea elevilor din clasă;

B = mulțimea muncitorilor din România ;

C = mulțimea literelor din alfabetul latin ș.a.m.d.

b) Prin enumerarea elementelor componente (simbolurile lor fiind scrise într-o acoladă) –sintetic:

D =, mulțimea cifrelor arabe;

E = , mulțimea formată din numărul natural 5 e.t.c.

Mulțimea care nu conține nici un element se numește mulțime vidă și se notează cu „ø”.

Dacă elementul a aparține mulțimii A, acesta se scrie „a A”.

Dacă elementul a nu aparține mulțimii a, acesta se scrie : „a A ”.

Dintre mulțimile de numere fac parte :

►Mulțime numerelor naturale :

N =

►Mulțimea numerelor naturale fără 0 :

N * =

►Mulțimea numerelor naturale pare :

N2k =

►Mulțimea numerelor impare :

N2k+1 =

►Mulțimea numerelor întregi :

Z =

►Mulțimea numerelor raționale:

Q =

►Mulțimea numerelor iraționale (I) un număr irațional (pozitiv sau negativ) este un număr care poate fi reprezentat cu ajutorul unui număr zecimal cu un număr infinit de zecimale, care se succed periodic ;

►Mulțimea numerelor reale (R) un număr real este un număr care aparține fie mulțimii numerelor raționale ,fie mulțimii numerelor iraționale .

Despre două mulțimi A și B se poate spune că sunt egale, dacă orice element a lui A aparține lui B și orice element a lui B aparține lui A.

Trebuie făcută distincția între mulțimi egale (care au același element) și mulțimi cu același număr de elemente, care se numesc echipotente .

Relația de egalitate a mulțimilor are următoarele proprietăți :

a)     este reflexivă , adică A=A, pentru orice mulțimeA;

b)    este simetrică : dacă A=B, atunci B = A;

c)     este tranzitivă : dacă A = B și B = C, atunci A = C .

Spunem că o mulțime A este inclusă într.o altă mulțime B, dacă orice element al mulțimii A aparține mulțimii B. În acest caz scriem A B, iar mulțimea A se mai numește și submulțime a mulțimii B.

Dintre submulțimile unei mulțimi A, mulțimea A și mulțime vidă se numesc submulțimi improprii ale mulțimii A, iar celelalte se numesc submulțimi proprii ale mulțimii A.

Mulțimea tuturor submulțimilor unei mulțimi date A se numește mulțimea părților lui A și se notează P (A).

Relația de incluziune are următoarele proprietăți :

a)     este reflexivă ,adică A A, pentru orice mulțime A ;

b)    este asimetrică , adică AșiA atunci A = B;

c)     este tranzitivă,adică A B și B C =>A C.

Uneori este nevoie să se folosească o mulțime notată E și numită mulțime de referință sau mulțime totală . În anumite cazuri , se dă explicit , în altele se subânțelege (în mulțimea A =,mulțimea de referință este mulțimea numerelor naturale ).

Operații cu mulțimi :

a)     Reuniunea a două mulțimi A și B este mulțimea tuturor elementelor care aparțin cel puțin uneia din mulțimile A sau B . Se notează A U B și se citește “A reunite cu B” .

Folosind scrierii cu simboluri , avem : .

b)Intersecția a două mulțimi A și B nu au elemente comune, daci A ∩ B și se citește “A intersectat cu B”.

Scriind cu simboluri , avem :.

Dacă două mulțimi A și B nu au elemente commune, deci A ∩ B = ø ,aceste mulțimi se numesc disjuncte .

c)Fiind dată o mulțime E și o submulțime a sa A, numim complementara lui A în raport cu E ( și notăm C ε A) mulțimea elementelor din E care nu aparțin lui A. În limbaj formalizat scriem : C ε A=.

d) Diferența mulțimilor A și B este mulțimea elementelor care aparțin mulțimii A, dar nu aparțin mulțimii B . Deci A/B =

e) Produsul cartezian al mulțimilor A și B (notată A/B sau A-B) este mulțimea ale căror elemente sunt toate perechile ordonate (a,b), în care a A și b B și se notează AxB.Deci AxB=

Operațiile cu mulțimi au următoarele proprietăți :

a)     asociativitatea reuniunii cu intersecția :

(A U B )U C = A U(B U C ) A∩ B ∩ C = A ∩ (B ∩ C )

b) comutativitatea reuniunii și a intersecției :

A U B = B U A A ∩ B = B ∩ A

c) idempotența reuniunii și a intersecției :

A U A = A A ∩ A = A

d) distributivitatea reuniunii față de intersecție și a intersecției față de reuniune : A U ( B ∩ C ) = (A U B ) ∩ ( A U C )

A ∩ (B U C) = ( A ∩ B) U (A∩ C).

e) element neutru

A E A U = A A E A ∩ E = A

f ) legile lui Morgan : dacă A și B sunt submulțimi ale unei mulțimi E, atunci : C ε (A U B ) = C ε A∩ C ε B C ε ( A∩ B ) = C ε A U C ε B

g) distributivitatea produsului cartezian față de reuniune și intersecție:

A x ( B U C ) = ( A x B ) U ( A x C )

A x ( B∩ C ) = ( A x B ) ∩ ( A x C )

În ceea ce privește mulțimile echipotente, mulțimile A și B sunt echipotente dacă există o aplicație bijectivă între A și B. Se scrie A ~B și se citește „A este echipotent cu B”.

Proprietățile echipotenție mulțimilor :

a)     este reflexivă, mulțimea A este echipotentă cu ea însăși , deoarece avem aplicația identică f:A→A, care este bijectivă a A, f(a) = a, A ~A;

b)    este simetrică dacă f:A→B este bijectivă, atunci există aplicația inversă f-1 :B→A ; deci A ~B, B ~A

este tranzitivă dacă f: f:A→B și g : B→C A ~B și B~C Și A C

Având aceste proprietăți, relația de echipotență este o relație de echivalență și împarte mulțimile în clase .

O clasă de echivalență , definită de relația de echipotență, se notează printr-un symbol, care se numește număr cardinal sau “puterea” fiecărei mulțimi din clasa respectivă .

Dacă mulțimile A și B sunt echipotente, ele au aceeași putere și li se asociază același număr cardinal. Notăm cardinalul mulțimii A cu A .

II.2. Relații. Funcții .Proprietăți.

A.Relații.

Fiind date două mulțimi A și B se numește relație binară între elementele mulțimii A și elementele mulțimii B , o propritate R a perechii ordonate (x,y=), unde x A și y B.

Dacă perechea (x, z), x A și y B are proprietatea R , atunci se spune ca x este in relatie R cu y și se scrie x R y (elementul x A îi corespunde elementului y B).

Mulțimea tuturor cuplurilor care au proprietatea R determina o parte a produsului cartezian AxB, numit graphic (cu graf) al relației R.

O relatie se poate pune în evidența printr-o diagramă.

Daca două mulțimi A și B sunt egale (A=B) atunci R este o mulțime binara între elementele mulțimii A sau relației binare pe A.

O relație binară R între elementele unei mulțimi A se numește relație reflexivă, dacă propoziția xRx este adevărată pentru orice x

O relație binară R între elementele unei mulțimi A se numește relație simetrică , dacă fiind adevărată propoziția xRy, este adevărată și propoziția yRx, pentru x,yscriem xRy yRx, unde x,y

O relație binară R între elementele unei mulțimi A se numește relație tranzitivă, dacă ori de căte ori sunt adevărate xRy și yRx, este adevărată și relația xRz.

O relație care este reflexivă, simetrică și tranzitivă se numește relație de echivalență.

Mulțimea tuturor elementelor y A care satisfac proprietatea xRy poartă numele de clasă a elementului x.

O relație binară R între elementele unei mulțimi A se numește relație de ordine, dacă este reflexivă, asimetrică (adică xRy și yRx x=y) și tranzitivă.

B. Funcții.

Fiind date două mulțimi A și B și un procedeu prin care se asociază oricărui element x A și un element y B, numai unul singur, spunem că am definit o funcție pe A cu valori in B. Scriem f:A B.

Mulțimea A se numește domeniu de definiție al funcției, iar B mulțimea in care funcția ia valori sau codomeniu.

Dacă elementul x A îi asociem elementul y B, spunem că y este imaginea lui x prin funcția f și scriem y=f(x).

Relația binară y=f(x) între elementele mulțimii A și elementele mulțimii B se mai numește lege de corespondență.

Deci, o lege este definită de trei elemente:

►domeniu de definiție

►codomeniul

►lege de corespondență.

Legea de corespondență poate fi dată în două moduri:

►sintetic (tablou, diagramă)

►analitic (una sau mai multe expresii).

Dacă mulțimile A și B sunt mulțimi de numere reale, atunci funcțiile definite pe A cu valori în B se numesc funcții numerice.

Pentru aceste funcții graficul format din acea parte a produsului cartezian care conține perechile (x, f(x)), se poate reprezenta geometric în plan.

O funcție f:AB este injectivă, dacă pentru orice x1, x2 cu x1≠ x2 avem f(x1) ≠ f(x2).

O funcție f:AB este surjectivă dacă pentru orice yB există cel puțin un xA astfel încât y=f(x). Cu alte cuvinte, orice element din B reprezintă o valoare a funcției , o imagine a unui element din A , deci B=f(A).

Funcțiile care sunt injective și surjective se numesc bijective.

Fie f:A B și f:B C. Funcția h:A C pentru care h(x)=g(f(x)), oricare ar fi x A, se numește funcție compusă a funcțiilor g și f și se notează f=g0f.

Compunerea funcțiilor nu este comutativă (g0f≠f0g).

Funcția 1A:AA dată prin 1A:(A)=x oricare ar fi xA , se numește funcție identică. Această funcție are proprietățile 1A 0f=f și f01A=f pentru orice funcție f.

O funcție f:AB se numește ireversibilă dacă există o funcție notată f-1, astfel încât f-1 :BA, f-10f=1A și f0f-1 =1B.

O funcție este ireversibilă dacă și numai dacă este bijectivă.

II.3. Numere naturale. Operații cu numere naturale. Proprietăți.

A.Număr cardinal.

O clasă de echivalență , definită de relația de echipotență, se notează printr-un simbol care se numește număr cardinal.

Dacă mulțimile A și B sunt echipotente , ele au aceeași putere și li se asociază același număr cardinal. Notăm cardinalul mulțimii A cu A.

Adunarea numerelor cardinale

Oricare ar fi mulțimile A și B disjuncte , prin definiție card (A B)=A+B.

Proprietățile adunării cardinale:

a). Este comutativă AB=BA+B=B+A(a+b=b+a);

b). Este asociativă considerând mulțimile A,B,C disjuncte două câte două, avem (AB)C=A(BC)(AB)CA(BC) (A+B)+C=A+(B+C) ((a+b)+c=a+(b+c))

c). Are element neutru: cardinalul 0(al mulțimii vide)

AØ=ØA=A A Ø ~ØA 0+A=A+0=A (o+a=a+0=a)

Înmulțirea numerelor cardinale

Oricare ar fi mulțimile A și B avem prin definiție : card (AxB=A●B)

Proprietățile înmulțirii cardinalilor :

a).este comutativă AxB ~ BxA AxB =BxA A●B=B●A (a●b=b●a);

b)este asociativă (AxB)xC~Ax(BxC) xxC=Ax(BxC) (A●B) ●C=A●(B●C) ((a●b) ●c=a●(b●c));

c) cardinalul 1 este elemental neutru fie N=.

AxN ~ NxA ~A AxN=NxA=A Ax1=1xA=A

d)înmulțirea oricărui cardinal cu 0 dă rezultatul 0 Ax Ø= ØxA Ax Ø ~ Ø x Ø = Ø Ax0=0

e) este distributivă față de adunare Ax(BC)= (AxB)(AxC)Ax(BC) ~ (AxB) (AxC) x(B+C) =AxB+AxC

B.Număr natural.

Cardinalul a este finit dacă a ≠ a+1 . Dacă un cardinal nu este finit sau transfinite.

Mulțimea simbolurilor care reprezintă cardinalele finite se numește mulțimea numerelor naturale și se notează cu N.

N = , N*=.

Teoremă : dacă a+1=b+1, atunci a=b.

Fie mulțimea M , care are cardinalul a+1=b+1.

Există mulțimile A și B , care îndeplinesc condiția M=A=B.

Putem contrui aplicația bijectivă f:A B , în care avem f(u)=v. Facem o restricțe a aplicației f excluzând din domeniul de definiție pe u și din codomeniu pe v .

Rămâne funcția bijectivă f:A B. Deci A~B și A=B . Atunci card (AU )=a+1 aa=b; card (BU)=b+1 b.

Teoremă : dacă numărul natural a este finit, atunci și a+1 este finit .

Presupunem că a+1 nu este finit. Atunci avem : a+1=(a+1)+1, iar din teorema anterioară rezultă că a =a+1, adică a nu ar fi finit , ceea ce contrazice ipoteza.

Schematic, inducția matematică se prezintă astfel : P(a) este adevărată .

Ipoteza :P(n) se presupune adevărată .

Concluzia P(n+1) sedemonstrează că este adevărată .

Folosind inducția, se demonstrează că numerele naturale sunt și regulate față de adunare (adică , dacă a+n=b+n , atunci a =b) și numerele mulțimii N* sunt regulate față de înmulțire (adică, dacă axn=bxn, atunci a=b).

Adunarea și înmulțirea numerelor naturale verifică aceleași proprietăți ca și adunarea și înmulțirea cardinalilor .

B.1. Relația de ordine totală

Spunem că a este cel mult egal cu b și sciem a ≤b , dacă există un număr natural c astfel încât să avem b=a+c .

Proprietăți :

a)     a ≤ a, deoarece a = a+0( reflexivitatea );

b)    a ≤ b, deoarece b = a+e; b ≤ c , deoarece c =b + d .

Adunând ultimele două egalități , avem b+c=a+b+d+ec=a+(d+e) c=a+fa≤ c.

Adunând ultimele două egalități , avem a+b=a+b+c+d cd.

Numerele c și d fiind naturale , ultima egalitate este valabilă numai dacă c=d=0.Deci , a=b (antisimetria).

c)     a ≤ b , deoarece b=a+c ; b ≤ a , deoarece a=b + d

Deci relația ≤ este una de ordine pe N. Ea este de ordine totală , deoarece , oricare ar fi o pereche (a,b) de numere naturale, avem a ≤ b sau b ≤ a .

Proprietăți ale relației de ordine totală față de adunare și înmulțire :

a)     dacă a +c ≤ b + c , atunci a ≤ b și reciproc ;

b)    dacă a ≤ b și c≤ d , avem a + c ≤ b + d ;

c)     dacă a≤ b și c ≤ d avem a x c ≤ b x d ;

d)    dacă a ≤ b atunci a x c ≤ b x c ( diferit de 0 ) și reciproc.

B. 2. Operații cu numere naturale

B.2.1. Adunare

Numerele care se adună se numesc termeni , iar rezultatul sumă .

Adunarea numerelor naturale are aceleași proprietăți cu cea a cardinalelor :

a)     adunarea a două numere naturale este tot un număr natural ( se spune că în N adunarea este parte stabilă) , deci a, ba+b ;

b)    comutativitatea a, ba + b) b + a ;

c)     asociativitatea – a ,b , c avem (a + b ) +c = a +( b + c) ;

d)    0 este element neutru la adunare ,căci aavem a + 0 = 0 + a = a.

Asociativitatea poate fi folosită cu succes în calculele mintale .

Exemplu : 1+2+3+…+ 97+98+99+100 = 100+(1+99)+(2+98)+(3+97) +…=(100×99) : 2+100= (100 x 101) : 2.

B.2.2.Scăderea

A scădea două numere a și b , primul numit descăzut, al doilea scăzător, înseamnă a găsi un număr , numit rest sau diferență, care adunat cu scăzătorul să ne dea descăzutul. Operația se notează cu semnul “-“ . În felul acesta , se mai spune că

scăderea este operația inversă adunării. Avem deci a – b = x , dacă b + x = a . În mulțimea numerelor naturale operația de scădere este posibilă numai dacă a ≥ b .

Proprietăți și reguli de calcul .

a)     a,b avem a +b – b = a ;

b)    Pentru a scădea un număr dintr-o sumă este suficient să-l scădem dintr-un termen al sumei : a + b+ c + d – m = a+ b+ (c – m) + d ,c > m

c)     Dacă mărim și descăzutul și scăzătorul cu același număr , diferența nu se schimbă : (a + c) – (b + c)= a – b ;

d)    Dacă micșorăm și descăzutul și scăzătorul cu același număr , diferența nu se schimbă : (a – c) – (b – c) = a – b ;

e)     Dacă scăzătorul crește sau scade cu un număr , atunci și diferența crește sau scade cu același număr : a – (b + c ) = a-b-c ; a – (b –c ) = a – b +c ;

f)      Dacă descăzutul crește sau scade cu un număr , atunci și diferența crește sau scade cu același număr : (a + c) – b = (a – b) + c ; (a – c) – b = (a – b ) –c ;

B .2.3. Înmulțirea

A înmulți două numere a și b , primul numit deînmulțit, al doilea înmulțitor, înseamnă a afla suma a “b” termenilor egali cu a : a x b = a +a + a + …+ a , b termini

Tot prin definiție a x1 = a și a x 0= 0

Numerele care se înmulțesc se numesc factori , iar rezultatul se numește produs .

Proprietăți :

a)     comutativitatea a x b = b x a , a,b

b)    asociativitatea a x (b x c) = ( a x b) x c , a,b,c

c)     distributivitatea față de adunare a x (b +c) = a x b+a x c , a,b,c numărul 1 este element neutru ax 1 = 1 x a , a,

Reguli de calcul

a)     într-un produs de mai mulți factori putem schimba oricum ordinea lor , fără ca produsul să se schimbe ;

b)    într-un produs de mai mulți factori putem înlocui doi sau mai mulți factori prin produsul lor;

c)     produsul aceluiași factor se numește putere : a x a x a x….x a = aN; n factori ;

d)    înmulțirea este distributivă față de scădere : a x(b – c ) = a x b – a x c , a,b,c b>c) ;

e)     dacă un factor al produsului se înmulțește de n ori , produsul se mărește tot de n ori .

B.2.4. Împărțirea

A împărți două numere a și b , primul numit deîmpărțit , al doile numit împărțitor , înseamnă a găsi un număr numit cât , care împărțit cu împărțitorul să rezulte deîmpărțitul .

Împărțirea lui a la b se scrie a:b sau a /b .

Împărțirea este operația inversă înmulțirii . Ea nu este întotdeauna posibilă . Când împărțirea este posibilă câtul este unic . Împărțirea la 0 nu este posibilă .

Această operație poate fi văzută ca și o scădere repetată . Cu ajutorul mulțimilor, ea se pune în evidență astfel : fiind dată o mulțime A cu elemente , formăm submulțimi disjuncte , fiecare având același număr de elemente .

Se pun în evidență două procedee de împărțire :

►împărțirea prin cuprindere este procedeul prin care, cunoscând numărul de elemente al submulțimii B , trebuie să aflăm numărul de submulțimi ;

► împărțirea în părți egale este procedeul prin care , cunoscând numărul de elemente al mulțimii A și numărul de submulțimi B , trebuie să aflăm numărul de elemnte dintr-o submuțime .

Teorema împărțirii cu rest :

a,b b ≠ 0), există două numere naturale q și r numit respectiv cât și rest , astfel încât :a = b x q + r , r < b ( D = Î x Q +R ) . Numerele q și r determinate de aceste condiții sunt unice .

Când restul este 0 , spunem că avem o împărțire exactă .

Proprietăți și reguli de calcul

a)    (a : b ) x b = a ;

b)    a x b x c : m = a x ( b : m ) x c ;

c)     dacă înmulțim deîmpărțitul și împărțitorul cu același număr , câtul nu se schimbă : a x c: b x c = a : b ;

d)    dacă împărțim și deîmpărțitul și împărțitorul la același număr, câtul nu se schimbă : (a :c) : ( b : c )= a : b;

e)     pentru a împărți un număr la un produs, împărțim pe rând la fiecare factor al produsului ;

f)      pentru a împărți un număr la alt produs , se efectuează mai întâi simplificările ;

g)    pentru a împărți o sumă sau o diferență la un număr , putem împărți fiecare termen la acel număr : ( a + b –c ) : m = a: m + b : m – c : m ;

Împărțirea cu rest are următoarele reguli :

a)     dacă înmulțim și deîmpărțitul și împărțitorul cu același număr , câtul împărțirii rămâne același , dar restul se înmulțește și el cu acel număr ;

b)    dacă înmulțim și deîmpărțitul și împărțitorul cu același număr , câtul împărțirii rămâne același , dar restul se împarte și el la același număr .

Mulțimea numerelor raționale positive

Scurt istoric

Termenul de fracție se găsește în manualele europene medievale ca o traducere din arabă , unde înseamnă rupere .

Cele mai importante operații cu fracții din manualele medievale și ale Renașterii sunt înmulțirea, împărțirea și adunarea la același numitor. De-abia în secolul al-XVI lea apare această tehnică pe care o impunem elevilor astăzi.

Întorcăndu-ne în timp constatăm că teoria fracțiilor a dat naștere la multe dificultăți de înțelegere, deoarece unele din operațiile lor nu se aseamană cu analoagele din mulțimea numerelor naturale, fără a mai vorbi de operațiile cu numere raționale negative.

Dacă adunarea și înmulțirea nu dau loc la probleme de existență a rezultatelor, care sunt totdeauna tot numere naturaele, scăderea și împărțirea pun astfel de probleme, care au necesitat eforturi de înțelegere.

Scăderea a adus la introducera numerelor negative și a lui 0, întâi ca simbol și apoi ca număr, îmbogațind prin aceste extinderi mulțimea numerelor naturale , prin aceste noi numere, ca sa devină mulțimea numerelor întregi pozitive, negative și completată cu 0 ca număr.

Împărțirea este cunocută ca o operație născută din practica împărțirii unei pâini în părți egale sau a unui teren între mai mulți moștenitori. În primul rând împărțirea în mai multe părți egale necesită înțelegerea noțiunii de parte: o jumătate, un sfert, o treime, dintr-un întreg și un număr fracționar, ca numere care exprimă împărțirea a două numere cănd acestea nu se fac exact.

Deși relația dintre înmulțire și împărțire era cunosctă încă din antichitate, că prima este inversa celei de-a doua, împărțirea cu o fracție se explică independent , folosindu-se ca justificare , analogia.

Fracții ordinare

La mulțimea numerelor raționale se poate ajunge pe două căi care pot fi reprezentate schematic prin :

1). Numere naturale , fracții pozitive, fracții negative , numere raționale (N, Q+,Q-,Q) :

2). Numere naturale,numere întregi, numere raționale (N, Z, Q).

În școală se pornește de la noțiunea de unitate fracționară.

Definiția 1 : numim unitate fracționară o parte dintr-un întreg împărțit în părți egale (ceia ce se notează ).

Definiția 2 : (A fracției ordinare). Un număr natural m de unități fracționare din întregul u se numește fracția din u.

Numărul m de unități se numește numărătorul fracției.

Numărul n ce ne arată în câte părți egale a fost împărțit întregul se numește numitorul fracției.

Mulțimea tuturor fracțiilor definite anterior poartă denumirea de nultimea numerelor rationale pozitive.

Definitia 3 : fiind date doua numere intregi a si b , b≠0 , ele determina un numar x care satisface conditia bx=0. Numarul x se noteaza prin simbolul si se numeste numar rational .

Definiția egalității : fiind date două numere întregi a și b≠0 există un număr x definit prin simbolul ,astfel încât bx=a.

Definiția 4 : două fracții sunt egale atunci și numai atunci când ele provin din amplificarea aceleiași fracții ireductibile.

Operații : adunarea: fie x1 si y1 soluții unice ale ecuațiilor b x1=a și d y1 =c. Prin înmulțirea cu d și respectiv b a celor două ecuații, avem bdx1=ad, bdy1=bc iar prin adunare obținem bd(x1+y1)=ad+bc, de unde x1+y1=.

Scăderea: se definește ca operație inversă adunării.

Ecuația are soluția x =

Înmulțirea dintre

Împărțirea se definește ca operație inversă inmultirii.

Reprezentarea pe axă a numerelor raționale pozitive

Pentru a reprezenta un număr rațional pe axă procedăm astfel : împărțim segmental 0-1 în părți egale. Considerăm punctul A pe axă astfel încăt segmentul [ 0A ] să cuprindă a segmente egale (cu a n-a parte din o-1), punctual A fiind de aceeași parte cu 1.

Numărul se reprezintă prin simetricul punctului A față de O . Fiecărui număr rațional îi corespunde pe axă un punct bine determinat și totodată un vector care unește punctual O cu acest punct.

La două fracții raționale egale între ele , corespunde același punct pe axă. Fie numerele pozitive

Compararea numerelor raționale pozitive

a)    Compararea numerelor raționale cu unitatea

Dacă >1a>b,fracția este supraunitară.

Dacă =1a=b , fracția este echiunitară .

Dacă <1a<b, fracți este subunitară .

b)    Compararea numerelor raționale pozitive

-Dintre două fracții diferite care au același numitor este mai mare aceea care are numărătorul mai mare (>> dacă a >b);

-Dintre două fracții diferite care au același numărător, este mai mare aceea care are numitorul mai mic (> dacă a <);

-Dintre două fracții care au numărători și numitori diferiți se pot compara după metoda proporțiilr și anume : dacă produsul mezilor este mai mare decât produsul extremilor , atunci prima fracție este mai mare decât a doua și invers:

Dacă ad >bc atunci >;

Amplificarea și simplificarea numerelor naturale

Operația prin care se măresc ambii termini ai fracției de același număr de ori se numește amplificare iar operația prin care se micșorează ambii termini de același număr de ori se numește simplificare .

Observații : Prin operațiile de amplficare și simplificare se obțin fracții echivalente. (a,b=1) , se numesc fracții ireductibile .În operații se lucrează pe cât posibil cu fracții ireductibile . De asemenea , rezultatele operațiilor se duc la forma ireductibilă.

Operații pe mulțimea numerelor raționale

Pe mulțimea Q sunt definite următoarele operații :

a)Adunarea .Pentru a aduna două numere raționale, ele trebuie să prezinte unități fracționare de același fel, deci să aibă același numitor. Deci pentru a aduna două sau mai multe numere raționale , întâi se aduc la același numitor se adună numitorii, numitorul sumei fiind numitor comun .

Numitorul comun a două sau mai multe fracții este c.m.m.m.c. al numitorilor. Rezultă că aducerea fracțiilor la același numitor propune următoarele operații :

–         descompunerea numitorilor în factori primi ;

–         stabilirea c.m.m.m.c. al numitorilor;

–         amplificarea fiecărei fracții cu câtul dintre numitorul comun și numitorul fracției respective .

b)Scăderea numerelor raționale . Oricărui cuplu de numere raționale , , i se poate asocia numărul rațional -= numit diferența celor două numere raționale .Întrucât numărul – este opusul numărului rațional se poate spune că difereața a două numere raționale este egală cu suma dintre descăzut și opusul scăzătorului , adică -= + (-)=.

c) Înmulțirea . Oricărui cuplu de numere raționale , i se asociază numărul rațional .=, numit produsul celor două numere . Prin urmare , înmulțire a două numere raționale se face înmulțind numărătorii între ei și numitorii întrer ei .

Observație .Ori de câte ori este posibil , în efectuarea produsului a două sau mai multe fracții , întâi se operează toate simplificările posibile și numai după aceea se trece la înmulțirea între ei a numitorilor, apoi a numitorilor . Mulțimea numerelor raționale împreună cu înmulțirea determină un grup comutativ. Înmulțirea numerelor raționale este distributivă față de adunare . Toate acestea arată că mulțimea numerelor raționale determină față de adunare și înmulțire un corp comutativ .

c)     Împărțirea numerelor raționale se definește analog cu împărțirea numerelor întregi și anume ca operație inversă înmulțirii. Dar în mulțimea numerelor raționale fiecărui element îi corespunde elementul invers .În cazul particular b = 1, inversul elementului este elementul . Ținând cont de aceste proprietăți considerăm că orice număr întreg se poate scrie sub forma numărului rațional cu numitorul 1, împărțirea a două numere întregi a,b se poate scrie a : b = a . .

d)    Prin urmare , câtul a două numere întregi egale cu produsul dintre deîmpărțit și inversul împărțitorului . Existând această regulă asupra numerelor raționale avem : :=.= .=.

CAPITOLUL III

PREDAREA-ÎNVĂȚAREA OPERAȚIILOR ARITMETICE ÎN ÎNVĂȚĂMÂNTUL PRIMAR –APLICAȚII PRACTICE

La clasele I-IV nu se face studiu teoretic al problemei , în sensul definirii operațiilor . Învățătorul va urmări conștientizarea de către elevi a procesului de cunoaștere a semnificației operațiilor , cât și a principiilor ce sta la baza aplicării lor ăn calcul . Pentru aputea îndruma elevii care au înclinații spre matematică , învățătorul trebuie să cunoască cu claritate definiția fiecărei operații cu numere naturale și proprietășile acestora. Aceste cunoștințe teoretice vor facilita formarea noțiunii de operație adunare-scădere, înmulțirea și împărțirea , la nivelul posibilităților de înțelegere a elevilor .

III.1.Probleme specifice predării-învățării adunării și scăderii numerelor naturale din cocentrul 0-20

Studiul organizat al operațiilor de adunare și scădere în cocentrul 0-10 se face după ce elevii și-au însușit conceptul de număr natural , numerația și relația de ordine definită pe mulțimea numerelor naturale . Se începe cu aceste două operații (adunarea și scăderea ) pentru că ele sunt mai accesibile elevului de vârstă școlară mică, cu un caracter intuitiv pronunțat și corespunde particularităților lui de vârstă .

Introducerea operațiilor de adunare și scădere se poate face fie folosind reuniunea a două mulțimi disjuncte și diferența a două mulțimi, fie folosind rigletele . Activitățile pe care le desfășoară elevii cu mulțimi de obiecte și cu riglete (încă de la grădiniță )îi pregătesc pentru înțelegerea esenței acestor două operații . Gândirea copilului va opera prin abstractizare , prin generalizare și prin analogie .

Elevii trebuie să înțeleagă , folosind exemple variate de mulțimi, că rezultatul adunării a două mulțimi este cardinalul reuniunii a două mulțimi disjuncte finite, iar pe planul operațiilor cu numere (reprezentanții mulțimilor ce se reunesc) avem o adunare .

Pentru formarea și însușirea noțiunii de adunare se pornește de la operații cu mulțimi de obiecte concrete uzuale –etapa perceptivă, după care se trece la efectuarea de operații cu reprezentări ce au tendința de a se generaliza- etapa repezentărilor și în final , se face saltul la conceptul matematic de adunar.

Prima fază-faza concretă este acțuinea concretă și nemijlocită cu obiectul cunoașterii .

De exemplu : elevii formează o mulțime cu flori roșii cu trei elemente și o mulțime cu flori galbene cu 4 elemente. Reunindu-se cele două mulțimi cu flori se formează o mulțime care are 7 flori roșii și galbene . Asemănător , reunindu-se o mulțime formată din 3 mingi (jetoane) cu o mulțime formată din 4 mingi (jetoane) se formează o mulțime care are 7 mingi (jetoane). Se continuă procedeul până ce se conștientizează , la fiecare elev , faptul că reunind o mulțime formată din 3 obiecte cu o altă mulțime formată din 4 obiecte de același fel se obține o mulțime formată din 7 obiecte . Se poate continua cu mulțimi de creioane , flori, brăduleți e.t.c.

Faza a II-a-semiabstractă , a formării reprezentărilor imaginativ-concrete

Este etapa reprezentărilor prin simboluri practice , abstractizat-intuitive. Elevii desenează pe caietele lor mulțimi cu simboluri practice.

Pe lîngă mulțimile cu simboluri , elevii pot folosi și riglete , ( materiale foarte utile pentru conștientizarea simbolurilor numerice). Această etapă este foarte importantă în procesul cunoașterii și are mari valențe în înțelegerea proprietăților de comutativitatea a adunării și de simetrie a relației de egalitate .

Se va explica elevilor că pentru a arăta faptul că am reunit două mulțimi ,una cu 3 elemente și alta cu 4 elemente se folosește semnul (simbolul) „+” , numit plus și care se scrie între numerele ce reprezintă numorul de elemente ale fiecăreia dintre cele două mulțimi care se reunesc (3+4 și 4+3). Acesta este semnul grafic prin care exprimăm în scris operația de adunare, Deoarece simbolurile grafice 3 +4 și 7 arată , scris sub formă diferită, numărul de elemente ale aceleași mulțimi se folosește între ele simbolul „=” , numit egal și se scrie :3+4=7 , analog și 4+3=7.

În felul acesta elevii îmvață că 3+4 și 4+3 sunt două forme de scriere a numărului 7 . Se definesc cele două numere care se adună ca fiind termenii operației de adunare (primul și respectiv al doilea termen ) și că rezultatul adunării îl numim sumă .

Deoarece 3+4 și 4+3 reprezintă același număr, deci sumele dintre 3 și 4 și respectiv 4 și 3 sunt egale , spunem că operația de adunare are proprietatea de comutativitate . (dacă adunăm primul termen cu al doilea sau al doilea cu primul rezultatul este același).

Este necesar să se facă în continuare o serie de exerciții, plecând de la operații efective cu mulțimi, trecând prin cele trei etape de acțiune, pentru a deduce proprietatea de simetrie a unei egalități (3+4=7 și 4+3=7 sau 4+3=7 și 7=4+3) , ceea ce exprimă faptul că un număr se poate descompune în suma a două numere .

Această proprietate se va folosi mult mai târziu în transcrierea simbolică sau exprimarea în scris sau oral a diverselor tehnici de calcul cu numere .

Pentru a motiva elevilor neceistatea efectuării operației de adunare este necesar să se folosească „compunerea” și „rezolvarea” de probleme simple , cu obiecte concrete, uzuale . Exemple:

Ioana are 3 culori galbene și 4 culori roșii . Câte culori are Ioana ?

Dan are 4 mere iar sora lu are 3 mere. Câte mere au cei doi frați?

Costel a cumpărat 2 cărți . Pe o carte a dat 3 lei iar pe cealaltă 4 lei . Câți lei a dat Costel pe cele 2 cărți ?

Procedând astfel nu se vor pune probleme de înțelegere a operației de adunare când introducem în locul unui termen un simbol literal ( a+3=7 ; 3+a=7) deoarece fiecare elev are în planul conștiinței un micro-model algoritmic bine fixat prin cele 3 etape succesive (acțional -concretă; imaginativ-concretă și simbolică ).

Experiența didactică a demonstrat că, deși poate micromodulul nu este fixat algoritmic, elevul rezolvă cerința exercițiului prin încercare- eroare sau pe cale probabilistică până ajunge la soluție . Aceasta este posibilă deoarece acțiunea mintală , metoda este formată .

Este necesar să se îmbogățească continuu și treptat și limbajul matematic legat de operația de adunare prin traducere simbolică cu ajutorul adunării unor operații concrete exprimate verbal prin „măresc” , „cu” , „adaug”, „strâng la un loc”, „împreună cu”, „cât trebuie pentru ca”, „cât și cu cât” e.t.c.Operații care se exprimă tot prin reuniunea de mulțimi disjuncte .

Consolidându-se operația de adunare în concentrul 0-10 a douâ numere ,elevii vor reuși să adune în același concentru și trei numere . Cu acest prilej se poate introduce și propietatea de asociativitate a adunării. Acest lucru se realizează tot pe baza mulțimilor. Se va insista asupra faptului că indiferent în ce ordine se vor aduna trei numere suma lor este aceeași.

Scăderea numerelor naturale în concentrul 0-10

Se introduce în strănsă legătură cu operația de diferență dintre o mulțime și o submulțime a sa. Putem spune că la baza operației de scădere stă conceptul de mulțimi complementare.

Dintr-o mulțime de obiecte ce au un atribut comun se izolează (se îndepărtează) o submulțime de obiecte, rămânând o mulțime de obiecte cu un număr mai mic decăt cel al mulțimii inițiale. Și în predarea-scăderii are o foarte mare importanță respectarea celor trei etape: etapa acțională, etapa semiabstractă, etapa formării conceptelor matematice.

Exemplu:

Se formează o mulțime compusă din 7 figuri geometrice (un dreptunghi, două pătrate și patru triunghiuri).

Se grupează într-o submulțime cele 4 triunghiuri si se îndepărtează din mulțimea inițial formată. Rămâne astfel o mulțime nou formată din trei piese
(un dreptunghi și două pătrate).

Se procedează la fel cu mulțimile formate din alte obiecte, flori roșii și galbene, creioane ascuțite și neascuțite etc.

Se trece apoi la etapa imaginativ-concretă. Dacă dintr-o mulțime formată din 7 obiecte se îndepărtează o submulțime a sa formată din patru obiecte rămâne o mulțime formată din 3 obiecte. Pentru conștientizarea acestei operații intuitiv-simbolice se poate continua si desena mulțimi cu diferite simboluri.

Trecându-se la etapa reprezentărilor simbolice, se precizează că simbolul operației de scădere este semnul grafic „-” și se citește minus, că numărul din care se face scăderea se numește „descăzut” și numărul care se scade este „scăzător” și că rezultatul scăderii se numește „rest” sau „diferență” și se scrie 7-4=3.

Prin exemple e scoate în evidență faptul că descăzutul trebuie să fie mai mare sau cel puțin egal cu scăzătorul pentru a se putea efectua scăderea.

Ca și la adunare se pot (chiar este necesar) „compune” și „rezolva” probleme simple atât pentru motivarea introducerii operației de scădere, cât și pentru consolidarea acestuia.

În același timp este necesar să-i obișnuim pe copii să-și insușească formulări de genul „mai puțin cu”, „dăm la o parte”, „mai tânăr cu”, „mai ușor cu”, „scoatem atât”, care se traduc simbolic cu operația de scădere și cu proba scăderii dacă unitățile care au fost luate le reducem la unitățile rămase, reconstituind numărul inițial. Adică, adunând restul cu scăzătorul obținem descăzutul. Se realizează în acest fel și legătura dintre operațiile de scădere și de adunare. Deci : 7-4=3 fiincă 3+4=7.

Predarea și învățarea operațiilor de adunare și de scădere în concentrul 0-20 se realizează pe baza cunoștințelor însușite și a deprinderilor dobândite anterior de către elevi, folosind materiale didactice intuitiv-concrete în temeiul unor particularități specifice numerelor și operațiilor cu aceste numere din concentrul 0-20.

Pentru adunarea uni număr format dintr-o zece și din unități cu un număr format din unități și adună unitățile între ele, apoi rezultatul se adună cu zecea primului număr.

Având de efectuat adunarea 12+5 procedăm astfel: 12 este format dintr-o zece și două unități, adică 12=10+2. deci 12+5=10+2+5=10+(2+5)=10+7=17.

Pentru 15+4

15+4=10+5+4=10+(5+4)=10+9=19

Dacă din adunarea unităților se obține o zece se explică trecerea peste zece.

De exemplu: 14+6=10+4+6=10+(4+6)-10+10=20 în care zecea obținută prin adunarea unităților se adună la prima zece.

Asupra exercițiilor de acest tip trebuie insistat mai mult deoarece adunarea cu trecere peste ordin este o tehnică ce se însușește destul de greu de către mulți elevi.

Pentru adunarea 7+5 se poate proceda (până la însușirea algoritmului prin care se poate spune direct rezultatul 7+5=12) prin completarea primului număr până se obșine zece, scop în care se descompune corespunzător al doilea termen al sumei în două numere care adunate să dea acest al doilea termen.

Deci pentru adunarea 7+5 se poate proceda astfel: 7+5=7+(3+2)=(7+3)+2=10+2=12. se folosește în acest fel modalitatea de adunare dintre un număr format dintr-o zece și un număr format numai din unități.

Pentru adunarea 7+8 se procedează la fel (dscompunând de data aceasta primul termen în două numere a căror sumă să fie 7, în așa fel în cât unul dintre ele adunat cu 8 să dea o zece) 7+8=(5+2)+8=5+(2+8)=5+10=15

Descompunerea unui termen în sumă a două numere se aplică de obicei numărul mai mic. Este bine ca această descompunere să se facă pe rând, pentru diferite adunări, atât pentru primul termen cât și pentru al doilea și să se accentueze de fiecare dată că se folosește proprietatea de asociativitate a adunării.

7 + 5=(7+3)+2

=10+2

=12

Explicarea adunării numerelor de tipul 14+7 se poate face și cu ajutorul axei numerelor:

Pentru a consolida aceste cunoștințe se pot efectua cu elevii exerciții de tipul:

1 „ Scrie opeațiile de adunare corespunzătoare fiecărui desen, apoi rezolvă:”

2.Cmpletează tabelul :

Dintre materialele didactice folosite cu succes în predarea adunării și scăderii numerelor naturale (cu sau fără trecere peste ordin) se pot folosi pe lângă materialul didactic intuitiv și trusa cu tablă și piese magnetice .

Tabla magnetică trebuie să aibă dimensiuni convenabile pentru a fi văzută de către toți elevii clasei . Formele geometrice folosite trebuie să fie colorate diferit care, prin convenție , să simbolizeze unități de un anumit ordin (ex.cercuri negre care să simbolizeze unitățile, triunghiuri albastre care să simbolizeze zecile, pătrate roșii care să simbolizeze sutele).

Această trusă cu piese magnetice se poate utiliza: la demonstrarea modului în care se compune și descompune un număr , precum și în operațiile de adunare și de scădere. Ea poate fi folosită sub îndrumare învățătorului, în consolidarea cunoștințelor sau atunci când se constată că nu s-a înțeles algoritmul de adunare respectiv scădere .

În predarea-învățarea operației de adunare sau scădere este recomandată mai mult scrierea numerelor unul sub altul pentru că este mai ușor înțeleasă de către elevi și ușurează calculele . Învățătorul trebuie să explice elevilor modul de scriere a termenilor unul sub altul în ordinea: unități sub unități , zeci sub zeci, sute sub sute .

Trebuie folosită însă și scrierea în linie sau srierea pe orizontală. Obișnuind elevii cu calcul și folosind ambele modalități de scriere s-ar putea înlătura dificultățile ce pot să apară ca urmare a felului în care dunt așezate numerele care se adună (pe orizontală sau pe verticală).

Pentru predarea-învățarea operațiilor de adunare și de scădere mai ales în cls. I (dar și în clasele următoare) se poate folosi cu rezultate foarte bune TRUSA CU RIGLETE (după modelul elaborat de V. Stefănescu și V. Popa în 1980).

Trusa este confecționată din carton, din piese de aceeași culoare pe care se desenează un disc, un triunghi sau un pătrar. Rigletele pot fi confecționate din carton colorat de către elevi sub supravegherea învățătorului. O astfel de trusă, de dimensiuni mai mici, poate fi folosită de fiecare elev, iar de învățător pentru demonstrații frontale, se realizează o trusă de dimensiuni ,mai mari (atât riglete cât și panoul cu liniatură).

Astfel unitățile vor fi reprezentate prin discuri, zecile prin triunghiuri și sutele prin pătrate. Panoul pe care vor fi puse rigletele va avea următoarea liniatură:

Pentru clasa I, cartonul suport cu liniatură poate fi marcat numai cu clasa unităților, la clasa a II-a cu clasele unităților și a miilor, iar la celelalte clase III-IV cu clasele milioanelor și miliardelor.

Folosirea acestei truse este foarte eficientă. Cu ajutorul ei se poate forma orice număr natural. De ex. Pentru numărul 57 panoul va arăta în felul următor

Pentru adunarea numerelor naturale, ex. 14+23, se formează pe cartonul suport cele două numere, pentru 14 se așează rigleta cu 14 discuri pe coloana unităților și rigleta cu un triunghi pe coloana zecilor. Lor li se adaugă pe coloana unităților o rigletă cu trei discuri , iar pe coloana zecilor o rigletă cu două triunghiuri (de la numărul 23). Numărul obținut, adică rezultatul adunării lui 14 cu 23 este 37.

Pentru înțelegerea și însușirea scăderii numerelor mai mici decât 20trebuie să se consolideze cunoștințele anterioare ale elevilor cu privire la:

-numerele naturale de la 0 la 20 (formare, numărare, citire, scriere, relație de ordine)

-adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-10

-compunerea și descompunerea numerelor naturale mai mici decât 10 în două sau mai multe numere naturale

-zecea ca nouă unități de numărare

-adunarea a două sau mai multe numere naturale fără și cu trecere peste ordin

-reamintirea și utilizarea expresiilor „mărind cu”, „micșorând cu”, „mai mult cu”, „mai puțin cu”.

La scăderea dintr-un număr format din zeci și unități, a unui număr format numai din unități se deosebesc două cazuri:

-unitățile scăzătorului sunt mai puține decât unitățile descăzutului – scădere care nu prezintă dificultăți nici în predare, nici în înțelegerea și însușirea de către elevi. Se poate începe cu adăugarea și scăderea dintr-un număr de două cifre a unei unități, a două unități etc.

10+1=11 11-1=10 10+2=12 12-2=10

11+1=12 12-1=11 10+3=13 13-3=10

……………………………………………………………………………………..

La scăderea de tipul 15-3 și 16-4, se arată că întrucât numărul unităților descăzutului este mai mare cel al unităților scăzătorului se scad unitățile scăzătorului din cele ale descăzutului.

Se folosește descompunerea unui număr într-o zece și numărul unităților și proprietatea de asociere.

15-3=10+5-3=10+2=12

16-4=10+6-4=10+2=12

-unitățile scăzătorului sunt mai multe decât cele ale descăzutului. De ex. :12-4, 15-7, 14-8 etc.

Avînd în vedere dificultățile pe care le prezintă înțelegerea acestui caz în predare, trebuie să se procedeze cu foarte mare grijă, mai ales că de conștientizarea modului în care se raționează în această situație depinde înțelegerea cazurilor de trecere peste ordin cu numere mai mari în clasele a II+a și a III-a. Acest caz de scădere se poate explica prin mai multe procedee. De ex. La scăderea 12-5 se poate proceda în felul următor:

a). Numărăm descrescător începând de la 12, cinci numere

b). Calculăm observând desenul

c). Descompunem descăzutul sau scăzătorul:

12-5=(10-5)+2

=5+2

=7

d). Așezarea numerelor unele sub altele:

Z U

10

1 2 –

________5

7

Este foarte important ca operația de scădere să se însușească folosindu-se cunoștințele despre adunare. Deasemeni este important să se utilizeze terminologia specifică (termen, suma, descăzut, scăzător, rest sau diferență) și utilizarea legăturii dintre adunare și scădere. Pentru aceasta este foarte important ca elevii să fie obișnuiți să verifice, să facă proba unei adunări sau scăderi prin adunare sau scădere.

III.1.2. Probleme specifice predării-învățării adunării și scăderii numerelor naturale până la 100 cu și fără trece peste ordin

Predarea adunării și scăderii numerelor formate dintr-un număr întreg de zeci se realizează insistând asupra faptului că zecea este o unitate de numărare și că operațiile de adunare și scădere se realizează după modelul efectuărilor cu unutăți.

De la 1+1=2 se trece la 10+10=20; de la 2+3=5 se trece la 20+30=50; de la 4-2=20la 40-20=20; de la 5-3=2 la 50-20=30.

Realizarea operațiilor se face prin demonstrații frontale și cu ajutorul materialului didactic . Materialul didactic care se folosește în acest caz poate fi :

–         bețișoare legate în mănunchiuri de câte zece;

–         riglete de câte zece unități ;

–         tabla cu piese magnetice pe care se va opera cu simbolul zeci ; triunghiul , iar pentru 10 zeci (o sută ) se va folosi simbolul sutei un pătrat ;

–         trusa cu riglete ;

Cunoașterea primei sute – formarea, citirea și scrierea numerelor , relația de ordine pe această mulțime de numere a operațiilor de adunare , scădere ca și de înmulțire și de împărțire, – constituie baza pentru învățarea întregului curs al aritmeticii și de aceea trebuie ca învățătorul și elevii să-i acorde o atenție deosebită.

Pentru a se preda adunarea numerelor formate din zeci se pot folosi diverse procedee .

De exemplu operația 20+10 se poate rezolva în mai multe moduri

● se pot folosi bețișoarele astfel

20 + 10 =30

● folosirea tablei magnetice :

A

C

B

D

● folosirea trusei cu riglete:

●așezarea unele sub altele a celor două numere :

Y U

2 0+

1 0

3 0

Predare-învățarea adunării numerelor naturale mai mici decât 100, fără trecere peste ordin, se realizează în mai multe etape:

–         adunarea unui număr format din 4 zeci și unitățicu un număr format numai din unități ;

–         adunarea unui număr format din zeci și unități cu un număr format numai din zeci ;

–         adunarea a două numere formate din zeci și unități

Pentru adunarea unui număr format din zeci și unități cu un număr format numai din unități , fără trecere peste ordin , se folosește descompunerea numărului în zeci și unități și proprietățile de comutativitate și asociativitate a adunării.

52

4

+

50

+

Exemplu : 52 +40= (50+2)+4

= 50+(2+4)

=50+6

=56

Pentru a aduna un număr format din zeci și unități cu unul format numai din zeci se procedează astfel :

Exemplu 46+30

46 30 76

46 + 30

76

70

6

  Z U

+ 4 6 +

3 0

7 6

Pentru a se aduna două numere naturale formate din zeci și unități se poate proceda astfel :

–         se descompun fiecare din cele două numere în zeci și unități ;

–         folosind proprietățile de comutativitate și de asociativitate ale adunării, se grupează numerele formate numai din zeci și se adună asemănător și cele formate numai din unități ;

–         se adună sumele parțiale :

exemplu 35+42=(30+5)+(40+2)

=(30+40)+(5+2)

=70+2

=72

35 + 42 = 77

30 5 40 2

70

+ 7 Z U

3 5

77

  4 2

7 7

Ca și la adunarea numerelor mai mici decât 10 fără trecere peste ordin , algoritmul de scădere a unui număr format din zeci și unități dintr-un număr format tot din zeci și unități se conștientizează și se însușește trecând prin mai multe etape:

–         scăderea dintr-un număr format din zeci și unități a unui număr format numai din unități;

–         scăderea dintr-un număr format din zeci și unități a unui număr format numai din zeci;

–         scăderea dintr-un număr format din zeci și unități a unui număr format deasemenea din zeci și unități :

Procedeele întrebuințate în efectuarea acestor tipuri de exerciții constituie particularități ale procedeului general . Procedeul general se bazează pe componența zecimală a numerelor potrivit căreia se scad unitățile din unități și zecile din zeci . Procedeul se bazează și pe proprietățile de comutativitate și asociativitate .

În predarea-învățarea scăderii se vor folosi materiale didactice, pocedee și metode folosite ca și la predarea adunării (bețișoare, riglete, trusa magnetică etc)

Exemplu :

78 – 13 = 65

70

8

10

3

  Z U

7 8

1 3

65

  60 5 6 5

Pentru a se conștientiza de către elevi legătura dintre adunare și scădere și pentru a-i obișnui să se verifice singuri se va insista asupra efectuării probei .

Verificarea (proba) (78-13=65)

● prin adunare 65 +

13

78

● prin scădere 78-

65

13

Practica a dovedit că elevii calculează mai ușor așezând numerele unele sub altele.

Folosirea unui procedeu sau a celuilalt trebuie să rămână la latitudinea elevilor , învățătorul având responsabilitatea de a-i prezenta procedee diferite și de a-l ajuta să aleagă procedeul pe care acesta î-l înțelege cel mai bine .

Adunarea și scăderea numerelor naturale mai mici decât 100 cu trecere peste ordin se bazează pe scrierea zecimală a numerelor naturale, pe compunerea și descompunerea acestor numere din și în mai multe numere naturale, pe proprietățile adunării numerelor naturale, pe cunoștințele însușite, pe priceperile și deprinderile formate de elevi până la această etapă pe buna însușire a cazurilor particulare analizate anterior.

În continuare voi prezenta trei modalități de însușire a operației de adunare cu trecere peste ordin a două numere formate din zeci și unități.

1.     calculează folosond desenul (axa numerelor)

37+9=46

2. calculează prin descompunerea numerelor în zeci și unități

72

12

60

4

20

8

40

  48 + 24 = 72

Z U

1

4 8

2 4

7 2

48+24=72

3. calculez completând zecea

36+15=51

36 + 15 36+15=36+4+11=

36 4 11 4 11=40+11

=51

40 11

51

La scăderea cu trecere peste ordin se poate proceda astfel:

32-9=23

32 9 Z U

10

32 2 7 3 2-

30 7 9

2 3

23

La predarea-învățarea scăderii și adunării cu trecere peste ordin se pot folosi diverse nateriale didactice. Este important ca fiecare învățător să găsească metoda potrivită perntru a-i putea face pe elevi să înțeleagă, să conștientizeze algorimul de calcul temeinic, pentru ca acestea să-i folosească elevului în însușirea celorlalte cunoștințe- operații cu numere mai mari decăt 100.

III.1.3. Probleme specifice predării-învățării adunării și scăderii numerelor naturale mai mari decât 100 (format din sute, zeci și unități) cu și fără trecere peste ordin

Predarea învățarea adunării și scăderii cu numere mai mari decât 100, cu și fără trecere peste ordin se face în mai multe etape:

-adunarea și scăderea numerelor naturale mai mari decât 100 și mai mici decât 1000, fără trecere peste ordin:

– adunarea și scăderea numerelor naturale mai mari decât 100 și mai mici decât 1000, cu trecere peste ordin:

– adunarea și scăderea numerelor naturale mai mari decât 1000:

Adunarea numerelor naturale fără trecere peste ordin are la bază următoarele caracteristici:

-sutele reprezintă unități de ordinul al III-lea și adunarea lor se realizează ca și adunarea unităților sau zecilor:

-se adună între ele numerele unităților de acelasi ordin și constituirea numărului rezultat din adunarea între ele a sutelor cu sutele, a zecilor cu zecile și a unităților cu unitățile.

Exemplu : 346+213=559

346 + 213

300 40 6 200 10 3

500 50 9

559

346 + 213 = 300 + 200 + 40 + 10 + 3 + 6

= 500 + 50 + 9

=559

Adunarea numerelor naturale cu trecere peste ordin se învață trecând prin mai multe etape. Toate procedeele se bazează pe formarea și scrierea zecimală a numerelor naturale și faptul că zece unități de ordinul I formează o unitate de ordinul II, zece unități de ordin II formează o unitate de ordin III ș.a.m.d. pentru numerele mai mari decât 1000.

Este foarte important ca la aceste exerciții paralel cu calculul oral să se efectueze și calculul în scris.

Exemplu :

a). Adunarea cu trecere peste ordinul unităților

S Z U

126 + 35 =161

100 20 6 30 5

100 50 11

150 11

161

b) adunarea cu trecere peste ordinul zecilor;

S Z U

126 + 92 =218

100 20 6 90 2

100 110 8

210 8

218

Operația de scădere este mai dificilă decât cea de adunare . Dificultatea constă în faptul că scăderea presupune un efort de gândire mai mare din partea elevilor.

În cazul în care numărul de unități de un anumit ordin al descăzutului este mai mic decât numărul de unități de același ordin al scăzătorului trebuie să se transforme o unutate de acest ordin în 10 unități de ordinul imediat inferior , să se scadă această unitate din cele corespunzătoare ale descăzutului și să se adune cele 10 unități obținute la cele de același fel existente .Deci se fac simultan mai multe descompuneri și compuneri de numere de ordine diferite .

Exemple :

1. scăderea numerelor naturale formate din sute zeci și unități

345 + 214

300 40 5 200 10 4

100 + 30 + 1

131

În paralel trebuie să se insiste asupra legăturii dintre adunare și scădere:

321 + 213 = 534 534 – 213 = 321

213 + 321 = 534 534 – 321 = 213

2.     scăderea cu trecere peste ordin a numerelor naturale de la 0 la 1000.

543 – 126 = ?

Transformăm o zece în zeceunități

5 sute – 1 sută=4sute

3 zeci și 2 zeci = 1zeci

13-6=7

543 – 126 = 417

Verificăm!

417 + 126 = 543

543 – 417 = 126

În funcție de nivelele de pregătire ale elevilor , de posibilitățile intelectuale și de experiența lor și a învățătorului se pot aplica aceste procedee sau altele.

O situație aparte o reprezintă scăderile în care cifrele de un anumit ordin fie ale descăzutului, fie ale scăzătorului, sunt 0 .Înțelegerea și însușirea de către elevi a acestui tip de scădere se va face prin multe exerciții și cu exemple cât mai variate .

La scăderile în care la descăzut atât la cifra unităților cât și la cea a zecilor sunt 0 , elevii sesizează mai greu câ se ia o sută de la sutele descăzutului și se transformă în 10 zeci și că din acestea se ia o zece și se transformă în unități .

La început la calculul înscris pe verticală este bine să se evidențieze și să consemneze aceste lucruri .

III.1.4. Probleme specifice predării-învățării adunării și scăderii numerelor naturale mai mari decât 1000.

Operațiile de adunare și de scădere a numerelor naturale mai mari decât 1000 se efectuează oral și în scris în etape similare și prin peocede asemănătoare cu cele învățate la adunarea și scăderea numerelor naturale mai mici decăt 1000.

Pentru adunarea cât și pentru scăderea numerelor naturale mai mari decât 1000 este necesar să fie cunoscute temeinic de către elevi clasele și ordinele în scrierea zecimală a acestor numere, ordinea claselor și ordinea ordinilor în fiecare clasă, scrierea și citirea corectă a numerelor de orice mărime, operații de adunare și de scădere însușite anterior. Prin exerciții repetate, trecându-se prin etape similare cu cele prin care s-a trecut la efectuarea acestor operații cu numere mai mici, comparativ se va ajunge la concluzia că tehnica de calcul este aceeași.

Exemple :

1). 1243+2135=?

1000+200+40+3+2000+100+30+5

=3000+300+70+8

=3378

M S Z U

1 2 4 3

2 1 3 5

3 3 7 8 1.se adună unitățile 3+5=8

2.se adună zecile 4+3=7

3.se adună sutele 2+1=3

4.se adună miile 1+2=3

Verificarea rezultatului

1243+2135=3378 proba 2135+

1243

3378

2.4785-4671=?

M S Z U

Se descompun numerele: (4000+700+80+5)- 4785

(4000+600+70+1) 4671

100+10+4 114

Verificarea rezulttului:

-prin scădere -prin adunare

4785- 114+

114 4671

4671 4785

3. 2530+3653=?

1000

2000+500+30+ 2530+ 3653 +

3000+600+50+3 3653 2580

6000+100+80+3 6183 6183

Se aplică regula învățată: transferăm 10 unități de un anumit ordin într-o unitate de ordin superior.

4. 3050-1940=?

10

2 3050 –

1940

1110

Verificări

-prin scădere -prin adunare

10 1

2 3050 – 1110+

1110 1940

1940 3050

III.2. Modalități de preare –învățare a operațiilor de înmulțire și împărțire a numerelor naturale.

III.2.1. Înmulțirea și împărțirea numerelor naturale de la 1 la 10

Operațiile de înmulțire și împărțire se introduc la clasa a III-a, după ce elevii au dobândit cunoștințe și au format priceperi și deprinderi de calcul privitoare la operațiile de adunare și scădere a numerelor naturale.

Conform programei școlare în vigoare, aceste operații se predau separat. În predarea înmulțirii este esențială evidențierea legăturii cu adunarea (repetată), iar în predarea împărțirii este importamtă evidențierea scăderii repetate.

După ce a fost introdusă operația de împărțire (în părți egale și prin cuprindere). În stabilirea tablei împărțirii este bine să se folosească tabla înmulțirii, legătură ce există între împărțire și înmulțire.

Îm predarea și învățarea operației de înmulțire, intuiția nu mai are un rol predominant, (ca la adunare) deoarece elevii au dobândit cunoștințe și și-au format priceperi și deprinderi în legătură cu operația de adunare.

La început, se vor reactualiza cunoștiințele despre adunare, insistându-se pe adunarea repetată, (adunarea mai multor termeni egali), proprietățile de comutativitate și asociativitate ale adunării, modul de formare, scriere și citirea numerelor naturale.

Exemplu :

2+2+2+2=4+2+2=6+2=8

De 4 ori câte două baloane se pot scrie :

4×2=2+2+2+2=8

4 este numărul care arată de câte ori se repetă 2

2 este numărul care se repetă

X este semnul operației de înmilțire

4×2=8 se citește

4 înmulțit cu 2 este egal cu 8 sau

4 ori 2 este egal cu 8

4 x 2 = 8

Se spune copiilor că pentru adunările repetate se mai folosește și o altă scriere.

Deși rolul mijloacelor intuitive în introducerea înmulțirii nu mai este preponderent, pentru ca elevii să înțeleagă înmulțirea ca adunare repetată, învățătorul nu trebuie să renunțe complet la ele.

De 3 ori câte 4

3 x 4 =4+4+4=12

De 4 ori câte 5 4 x 5 = 5+5+5+5=20

După eectuarea unui număr suficient de exerciții elevii vor sesiza semnificația operației de înmulțire, legătura dintre adunare și înmulțire.

De la primele lecții de predare a înmulțirii numerelor naturale se urmărește scoaterea în evidență a proprietății de comutativitate a înmulțirii numerelor naturale. Proprietatea este folosită în stabilirea rezultatelor înmulțirii când se trece la alcătuirea tablei înmulțirii.

Determinare produsului a două numere cu ajutorul adunării repetate devine greoaie dacă numerele sunt mai mari. De aceea se urmărește aflarea acestor rezultate prin anumite procedee ca: gruparea factorilor și folosirea comutativității înmulțirii. După ce elevii au înțeles semnificația înmulțirii se trece la învățarea conștientă a înmulțirii cu fiecare număr în parte: 0.1, 2, 3, …. s.a.m.d. Obținera rezultatelor înmulțirii trebuie să se bazeze pe o participare activă elevilor. O lecție în care se predă înmulțirea când avem pe unul din factori un număr dat, (deci se formează tabla înmulțirii cu acel număr), trebuie să parcurgă următoarele etape:

-repetarea tablei înmulțirii cu numărul precedent sau cu numerele precedente, calculul oral precede însușirea noilor cunoștiințe;

-stabilirea înmulțirilor cunoscute care au ca factor numărul respectiv (prin folosirea proprietăților de comutativitate a înmulțirii);

-obținerea rezultatelor celorlalte înmulțiri cu acest număr prin folosirea rezultatelor înmulțirilor cunoscute;

-scrierea completă a tablei înmulțirii cu acel număr;

-folosirea unor procedee variate pentru ca toți elevii să înveț 858c27i e tabla înmulțirii cu acel număr;

-rezolvarea de exerciții și probleme în care se aplică înmulțirile învățate.

Împărțirea numerelor naturale

După conținutul problemelor de împărțire desprinse din studiile practice de viață, împărțirea numerelor naturale se efectuează prin două procedee:

-împărțirea în părți egale

-împărțirea prin cuprindere.

Împărțirea în părți egale este cea mai accesibilă înțelegerii copilului, exprimarea întrebuințată este în concordanță cu procesul de gândire care are loc, iar justificarea operațiilor se face fără dificultăți. Această împărțire are la bază separarea unei mulțimi în submulțimi disjuncte două câte două fiecare având același număr de elemente. Se știe că submulțimile se formează, iar prin împărțire se află câte elemente are fiecare submulțime.

Metoda principală de împărțire în părți egale este următoarea:

-se stabilește numărul de obiecte ce trebuie împărțit și numărul părților.

Se poate porni de la următoarea problemă:

Cum împărțim 12 mere în mod egal în trei farfurii?

Dacă avem 12 mere și vrem să le împărțim în mod egal în trei farfurii, câte mere vor fi în fiecare farfurie?

Punem câte unul în fiecare farfurie și mai rămân 12-3=9

Mai pune câte unul în fiecare farfurie și mai rămân 9-3=6

Mai pune câte unul în fiecare farfurie și mai rămân 6-3=3

Mai pune câte unul în fiecare farfurie și mai rămân 3-3=0

Se concluzionează că 12 împărțit în mod egal la 3 sau 12 împărțit la 3 este egal cu 4.

Acest lucru se scrie 12 : 3 = 4. simbolul operației de împărțire este “ : “ și se citește împărțit. Numărul care se împarte se numește deîmpărțit, iar cel la care se împarte se numește împărțitor.

La început este bine ca învățătorul să folosească material didactic variat și apropiat experiențelor de viață (creioane, bile, bețișoare, nuci, mere, caiete, e.t.c.).

Analizând modul în care se face împărțirea, vedem că se efectuează scăderea părților egale, prin scăderi repetate din numărul inițial, apoi din primul rest, în continuare din al II.lea rest s.a.m.d. . De exemplu pentru a împărți 12 la 3 efectuăm 4 scăderi: 12-3=9, 9-3=6, 6-3=3, 3-3=0. numărul de scăderi efectuate este câtul împărțirii.

Scăderea repetată se folosește numai la început când se introduce operația de împărțire , când se pune în evidență , cu ajutorul materialului intuitive, semnificația acestei operații .Pe măsură ce se formează noțiunea de împărțire ca scădere repetată, se va folosi legătura ei cu înmulțirea , scoțându-se în evidență faptul că rezultatele ei se găsesc repede folosind tabla înmulțirii.

De exemplu : 12 x 3 = 4 deoarece 4 x 3 = 12 sau 15:3=5 deoarece 3 x 5 = 15

Împărțirea prin cuprindere se bazează pe separarea unei mulțimi în submulțimi disjuncte două câte două, cu același număr de elmente (echivalente). Cunoscându-se câte elemente are fiecare submulțime , prin operația de înpărțire se află câte submulțimi se formează .Acest mod de împărțire reprezintă un grad mai mare de dificultate , întrucât nu se poate ilustra în mod concret și atât de ușor ca la împărțirea în părți egale .

La problemele la care se impune folosirea procedeului de împărțire prin cuprindere se stabilește numărul de obiecte ce trebuie împărțit. De exemplu: 12 creioane , câte 3 la fiecare elev, câți elevi primesc creioane? Se scad 3 creioane , apoi altele 3 până nu mai rămâne nici un creion .Se numără câte scăderi sau efectuat : 12 – 3 = 9, 9 – 3 = 6, 6 – 3 = 3, 3- 3 = 0. Numărul scăderilor efectuate este câtul împărțirii la 12 . Deci 12 : 3 = 4, adică 4 elevi primesc creioane .

Atât la împărțirea în părți egale cât și la înpărțirea prin cuprindere, pentru a efectua împărțiri se fac scăderi repetate .

Pentru cunoașterea , fixarea și aplicarea tablelor înmulțirii și împărțirii trebuie efectuat un număr mare de exerciții și probleme, a căror rezolvare se face aplicând aceste table în diferite situații.În felul acesta elevii vor reuși să recunoască situațiile matematice și practice în care se impune efectuarea înmulțirilor și împărțirilor .

Pentru cunoașterea , fixarea și aplicarea tablelor înmulțirii și împărțirii trebuie efectuat un număr mare de exerciții și probleme, a căror rezolvare se face aplicând aceste table în diferite situații. În acest fel elevii vor reuși să recunoască situațiile matematice și practice în care se impune efectuarea înmulțirii și împărțirii.

Prin exerciții și rezolvări de problemese vor scoate în evidență și se vor însuși procedeele de realizare a probei împărțirilor, prin înmulțirea câtului cu împărțitorul se vor obține deîmpărțitul sau prin împărțirea deîmpărțitului la cât pentru a se obține împărțitorul .

Predarea-învățarea înmulțirii și a împărțirii cu numere formate din mai multe cifre

Înmulțirea și împărțirea dintre numerele formate din mai multe cifre se bazează pe proprietățile de scriere în baza zece a numerelor naturale, pe proprietățile operațiilor de adunare și înmulțire a numerelor naturale (asociativitate, comutativitate, distributivitatea înmulțirii față de adunare și scădere), simetria relației de egalitate, pe procedeele de calcul învățate, pe folosirea probelor operațiilor .

III.2.Înmulțirea numerelor formate din mai multe cifre

După ce prin exerciții și rezolvări de probleme se introduc și se însușesc de către elevi proprietăți de asociativitate, comutativitate ale operației de înmulțire și distributivitatea înmulțirii față de adunare, se trece la predarea înmulțirii cu 10 și cu 100 a numerelor pănăla 10 , apoi la înmulțirea cu 10 a numerelor formate din zeci și unități . Aceste reguli de calcul se vor utiliza și mai târziu la înmulțirea numerelor de mai multe cifre.

Exercițiile din această actegorie se grupează după gradul de dificultate:

a)Înmulțirea unui număr natural de două cifre cu un număr natural de o cifră,

calculul se bazează atât pe descompunerea numărului format din două cifre în zeci și unități cât și pe aplicarea proprietății de distributivitate a înmulțirii față de adunare .

Exemplu :2 x 34 = 2 x (30 +4) = 2 x 30 + 2 x 4 = 60 + 8 = 68

Deducerea regulii de calcul scris se bazează pe faptul că înmulțirea este o adunare repetată și pe posibilitatea de înlocuire a adunării repetate prin înmulțire .

34 + 34 x

34 2

68 68

Se înmulțește cifra untăților cu 2:2×4=8

Se înmulțește cifra zecilor cu 2 : 2 x 3 =6

Înmulțirea cu trecere peste ordin se bazează pe procedeele (regulile) învățate anterior și aplicarea reguli ca zece unități de un anumit ordin , formează, o unitate de ordin imediat următor.

Exemplu :

3 x 29 = ?

3 x 29 = 3 x ( 20 + 9 ) = 3 x 20 + 3 x 9 = 60 + 27 = 87

29 x

3

87

Se înmulțește cu 3 cifra unităților și se obține 3 x 9 = 27 de unități sau 2 zeci și 7 unități .Se scrie 7 pe locul unităților, iar zecile se vor aduna cu produsul obținut de înmulțirea zecilor.

Se înmulțește 3 cu cifra zecilor 3 x 2 = 6 ; 6 + 2 = 8

Înmulțirea cu trecere peste ordinul unităților și al zecilor .

254 x 3 = (200+50+4) x 3

= 200×3 +50×3 + 4 x3

=600 + 150 + 12

=762

254 x

3

762

Se înmulțește 3 cu cifra unităților 3 x 4 = 12 Să o zece și două unități , zecea se va aduna cu produsul obținut după înmulțirea zecilor.

Se înmulțește 3 cu cifra zecilor 3 x 5 = 15 15 + 1 = 16 , 16 zeci o sută șase zeci. Suta se va aduna cu produsul obținut după înmulțirea sutelor.

b) Înmulțirea cu numere formate din două , trei sau mai multe cifre

printre elementele de tehnică a acestor înmulțiri se numără și acela de așezare a factorilor, în mod special a celor care se termină în zerouri.

Aceste zerouri nu se înmulțesc, dar se adaugă la produsul total. Fiecare unitate a numărului cu care înmulțim se înmulțește succesiv, cu toate unitățile de orice ordin a numărului pe care îl înmulțim. Din înmulțirea fiecărei unități de ordin se obține un produs parțial. Scrierea produselor parțiale este esențială , ea începând de la dreapte la stânga și cu ordinul pe care se înmulțește, înmulțirea începe cu cifra unităților , numărul cu care înmulțim. Prin adunare produselor parțiale se obține produsul celor două numere pe care le înmulțim .

Exemple : 1) 24 x 20 = ?

24 x 20 = 24 x(2 x 10)

=(24 x 2) x 10

= 48 x 10

= 480

24 x

20

480

Nu se înmulțește cu 0 pentru că se obține produsul, dar se coboară la 0 la produs.

24 x 35 = 24 x ( 30 + 5 )

=42 x 30 + 24 x 5

= 720 + 120

= 840

2)     24 x

35

120 primul produs parțial Se înmulțește cifra unităților

72 de la al II-lea factor cu primul factor.

840

al doilea produs parțial Se înmulțește cifra zecilor de al al doilea factor cu primul factor.

Produsul se scrie din dreptul zecilor de la primul produs parțial.

Cazuri aparte le reprezintă înmulțirile cu 10, 100, 1000 etc.

Prin efectuarea de mai multe înmulțiri, în care înmulțitorul este un astfel de număr, învățătorul va trebui să tragă împreună cu elevii concluzia că astfel de înmulțirisunt cazuri particulare ale procedeului general de înmulțire , în care anumite produse parțiale sunt zero și ca atare, la adunarea tuturor produselor parțiale pentru produsului celor două numer care se înmulțesc ele nu influențează rezultatul. Așadar, înmulțind un număr cu 10 se obține un număr de 10 ori mai mare decât cel care se înmulțește. Deci pentru a-l afla, adăugăm la sfârșitul numărului pe care î-l înmulțim cifra 0, iar toate cifrele inițiale ale acestui număr vor reprezenta la produs cifra de ordinul imediat superior.

La înmulțirea cu 100, se constată că primele două produse parțiale sunt 0 deci adunarea lor la produsul parțial obținut prin înmulțirea numărului1 cu ele nu influențează rezultatul. Așadar pentru a înmulți un număr cu 100, se adaugă la sfârșitul numărului care se înmulțește două zerouri (reprezentând cifrele unităților și respectiv al zecilor) iar cifrele inițiale reprezintă numărul unităților de ordin superior cu doi fată de ordinele pe care le reprezentau inițial .

Asemănător se fac înmulțirile cu orice număr în care prima cifră semnificantă este 1, iar toate celelalte cifre sunt zero. Înmulțirea unui număr cu altul format din 1 urmat decu mai multe zerouri se face adăugând la numărul care se înmulțește atâtea zerouri câte are numărul cu care înmulțim, reprezentând ordine superioare pentru rezultat cu atâtea zerouri câte are primul factor.

III.2.3. Împărțirea numerelor de mai multe cifre

La început se predă împărțirea nuemrelor formate din mai multe cifre la numerele care sunt mai mici decât 10. Această categorie de exerciții se pot grupa , după accesibilitatea și algoritmul de calcul folosit, în mai multe categorii. În efectuarea lor se folosesc parantezele pentru a se pune în evidență raționamentele și operațiile ajutătoare care se folosesc. La clasa a III-a, aceste tipuri de exerciții se pot grupa , după accesibilitate și algoritmul de calcul folosit , în mai multe categorii.

O categorie aparte este împărțirea cu restul diferit de 0 .

Primele exerciții de împărțire cu rest trebuie să se bazeze pe probleme cu date intuitiv-concrete. Se extind aceste constatări la alte cazuri cu date concrete , apar la altele cu date semiconcrete și abstracte.

Se poate porni de la următoarea problemă :

Irina a cules 17 flori . Ea face buchete cu câte 5 flori . Câte buchete face ? câte flori îi rămân ? Se prezintă numărul florilor.

Grupează câte 5 flori .

A obținut trei grupe și au rămas două flori .

Se scrie 17 : 5 câtul 3 și restul 2

Unde 17 – deîmpărțit 2<5

5 – împărțitor 17 = 5 x 3 + 2

La împărțirea cu rest trebuie ca elevii să înțeleagă că dacă se dau numer naturale D și Î , cu Î diferit de 0 , există două numere naturale C și R cu R <1 , astfel încât D = C x Î + R

De fapt aceasta conduce la proba împărțirii cu rest , modalitate de a arăta că împărțirea s-a făcut corect .

Împărțirea unui număr natural mai mic decât 1000 la un număr de o cifră

a). Deîmpărțitul este scris cu două cifre. Ca punct de plecare se poate folosi următoarea problemă:

La un magazin s-au adus 64 kg de zahăr și 56 kg de făină. Pentru a le pune în vânzare se ambalează în pungi de 2 kg. Câte pungi cu zahăr s-au ambalat? Dar cu făină?

64:2=? 56:2=?

64:2=(60+4):2

=60:2+4:2

=30+2

=32

64 : 2 = 32

6 se împarte cifra zecilor

= 4 6:2=3

4

= se împarte cifra unităților

4:2=2

56:2=(40+16):2

=40:2+16:2

=20+8

=28

56 : 2 = 28

4 se împarte cifra zecilor 5:2

16 câtul 2 restul 1, 5=2×2+1

16

== se împart unitățile rămase o zece=10 unități

10+6=16 16:2=8

b). Deîmpărțitul este scris cu trei cifre

Pentru serbare s-au cumpărat 369 de baloane. Pentru câți copii ajung baloanele dacă fiecare a primit câte 3 baloane?

369:3=?

369:3=(300+60+9):3

=300+3+60:3+9:3

=100+20+3

=123

369:3=123

3                                            se împart sutele

=6 3:3=1

6                                        se împart zecile

=9 6:3=2

9 se împart unitățile

= 9:3=3

c). Alte cazuri de împărțire: 406:2=?

406:2=(400+6):2

=400:2+6:2

=200+3

=203 406:2=203

Pentru simplificarea calculului se scrie : 406:2=203

4

=06

6

=

354:6=?

Observăm că numărul sutelor este mai micdecât împărțitorul: 3:6 dă câtul 0 și restul 6. se consideră primele două cifre și se efectuează împărțirea, respectând regulile învățate.

Cum calculăm?

354:6=59

30 6 se cuprinde în 35 de 5 ori

54 5 x 6 =30

54 zecile rămase se transformă în unități 6 se cuprinde în 54 de 9 ori 9×6=54

Elevii vor înțelege că sutele se transformă în zeci și se adună cu zecile apoi se efectuează împărțirea.

IV. Aspecte metodice privind predarea-învățarea numerelor raționale și a operațiilor aritmetice cu ele.

Programa de matematică privind clasa a III-a prevede însușirea noțiunilor de jumătate și sfert, paralel cu învățarea împărțirii prin 2 și respectiv 4.

În prima lecție elevii învață împărțirea prin 2 și înțeleg semnificația acestei operații (de micșorare de 2 ori) iar în a II-a lecție își însușesc noțiunea de jumătate (fără a folosi obligatoriu termenul de doime și fără a introduce , scrie și citi fracția . Este important să înșelegem și să știm cum va proceda învățătorul ăn clasă :

-Învățătorul și elevii vor avea asupra lor materialul didactic intuitivconcret necesar, cum ar fi : bețișoare riglete figuri geometrice decupate (dreptunghi, cerc), creioane colorate ș.a.m.d. Folosind strategii didactice de genul explicației, demonstrației, conversației euristice, descoperirii, problematizării și lucrând frontal sau independent, lecția(în secvențe esențiale) decurge astfel:

– Se taie de câtre învățător un măr în jumătate . (Ce am făcut? Câte părți am obținut? Cum sunt ele? Dacă înlăturăm cele două părți ce obținem ? Ca să obținem o jumătate de măr ce putem face ? Voi ați putea realiza?Cine încearcă?)

– Se continuă cu împărțirea (prin îndoire și tăiere) în două părți egale a imaginii unui cerc, decupate din hârtie. Se pot folosi întrebări constatative, de demonstrare și descoperire analoage cu cele de mai înainte. Din aceste secvențe, elevii vor începe să înțeleagă că pentru a obține o jumătate dintr-un întreg (obiect) trebuie să-l împărțim în două părți egale .

– Învățătorul poate continua : Dacă avem un cerc desenat cum putem obține o jumătate din el ? (se va face apel la experiența de îndoire). Se va trasa pe imaginea cercului o linie care să-l împartă în două părți egale și se va hașura (coloana) una dintre ele pentru a se scoate în evidență jumătatea. Activitate similară vor efectua apoi și elevii. Se va accentua încă o dată că pentru a obține o jumătate dintr-un cerc se împarte cercul în două părți egale. Asemănător se va proceda cu un dreptunghi.

• În continuare elevii vor fi solicitați să despartă mulțimea de bețișoare pe care o au (formată din 6-8 bețișoare în două submuțimi care să aibă fiecare același număr de bețișoare); analog cu mulțimile de jetoane. Se va scoate în evidență că pentru a obține dintr-o mulțime o submulțimecare să aibă jumătate din numărul de elemente date se împarte numărul de elemente ale mulțimii date la 2.

• se poate continua cu rezolvarea unei probleme simple (Ionel are 10 garoafe. Jumătate din numărul lor le oferă doamnei învățătoare, iar restul le va da mamei sale. Câte garoafe va oferi Ionel mamei sale?). se vor compune și rezolva încă 1-2 probleme asemănătoare.

Explicându-se și reamintindu-se că ceea ce s-a obținut prin tăierea sau secționarea unui număr sau cerc în două părți egale, prin formarea din elementele unei submulțimi a două submuțimi cu atâtea elemente fiecare cât se obțin prin împărțirea numărului elementelor cu jumătate din numărul elementelor unei mulțimi date, învățătorul generalizează: pentru a obține jumătatea unui măr se împarte acest număr la 2.

Pentru însușirea sfertului sau a pătrimii, după însușirea împărțirii cu 4 , se poate proceda asemănător.

În clasa a IV-a studiul numerelor raționale va începe cu repetarea noțiunilor de jumătate-doime și sfert-pătrime.

Programa școlară prevede introducerea noțiunilor de unitate fracționară, de doime și de pătrime și simbolurile grafice corespunzătoare. Se va continua apoi cu introducerea unității fracționare treimea, șeșimea, optimea. Și simbolurile grafice respective etc.

Se va scoate în evidență de fiecare dată că:

a)     o unitate fracționară este o parte din numărul de părți egale în care s-a împărțit un obiect, un număr;

b)    o unitate fracționară este egală sau nu cu o altă unitate fracționară dacă numărul de părți egale în care am împărțit întregul este același sau nu. Se vor face aplicații constând în exerciții de compunere a întregilor din mai multe unități fracționare, se vor rezolva și compune probleme cu acestea.

Și în clasa a IV-a la predarea –îvățarea unității fracționare se va folosi un bogat și sugestiv material intuitive, se vor utilize metode și procedee didactice de naturăsă-I incite pe elevi, să activizeze conduita intelectuală a acestora. Totodată, se vor folosi procedee de evaluare care să surprindă progresele făcute în planul operaționalității specifice gândirii matematice.

Concomitant cu introducerea unității fracționare și a simbolului său graphic format din două numere suprapuse despărțite printr-o linie, se va explica și defini elevilor că: numărul de sub linie poartă denumirea de numitor și arată în câte părți egale am împărțit întregul, linia dintre numere se numește linie de fracție și că numărul de deasupra liniei de fracție se numește numărător și arată că din numărul de părți egale în care am împărțit întregul s-a luat doar o singură parte.

După însușirea corectă a noțiunii de unitate fracționară, trecând prin aceleași etape, se introduce numerele raționale. Cum vom proceda? Tăind un măr în patru părți egale se obțin 4 sferturi sau 4 pătrimi de măr. Dacă alăturăm două din ele obținem 2 pătrimi de măr și exprimăm acest lucru în scris prin simbolul 2/4. urmează un set de întrebări: dacă mai alăturăm încă un sfert de măr căte sferturi de măr vom avea? Prin ce fracție vom exprima 3 pătrimi? Cât este numitorul acestei fracții ș ice reprezintă el? Cât este numărătorul ș ice semnifică? Cum putem să citim pe ¾ (3 pe 4, 3 supra 4, 3 pătrimi din 4 părți egale, 3 sferturi, 3 pătrimi)/

Dacă alăturăm 2 sferturi la alte 2 sferturi ce obținem? La trei sferturi câte sferturi putem adăuga ca să obținem întregul? O jumătate din câte sferturi este formată? Dar 2 jumătăți? Răspunsurile se pot da oral, fie printr-o aplicație practică, fie prin desen sau prin toate procedeele la un loc.

În continuare se vor face exerciții de citire și scriere de unități fracționare și de fracții, se va realiza reprezentare lor pe desen folosind creioane colorate. Intuitive, prin secționare de obiecte sau figurative, spre exemplu cu ajutorul segmentelor (fig.1), se poate preda-învăța compararea fracțiilor față de un întreg sau între ele și se va defini egalitatea dintre fracții. Prin definție spunem că două sau mai multe fracții sunt egale dacă fiecare reprezintă aceeași parte dintr-un întreg.

În desenul următor (fig.2) se observă că din segment reprezintă cât din același segment sau cât din el. Deci .

Fig.1

Fig.2

Se iau trei cercuri egale: unul se împarte în jumătate, altul în 4 părți și al treilea în 8 părți egale. Se face observația că o jumătate ( din cerc), sau 2 sferturi ( din cerc) reprezintă fiecare aceeași parte din cerc, deci toate sunt fracții egale. Prin aplicații practice, prin observații și comparații se poate descoperii și însăși că și alte fracții sunt echivalente: .

Avantajul care îl prezintă acest mod intuitive de introducere a egalităților ditre fracții se datorează faptului că el derivă dintr-0 identitate de mărimi fizice.

Dacă elevii își însușesc bine notiunea de egalitate a fracțiilor, li poate sugera modalitatea de a obține dintr-o fracție dată prin înmulțirea atât a numitorului, cât și a numărătorului (amplificarea fracției), sau împărțirea celor 2 factori (simplificarea fracțiilor) cu același număr (în cazul în care se poate face), un număr diferit de 0.

IV.1. Compararea fracțiilor

Aceasta se realizează în două sensuri:

1)     compararea unei fracții cu un întreg;

2)     compararea a două sau mai multe fracții (dacă au același numitor sau același numărător) între ele.

Se revine asupra faptului că un întreg poate fi exprimat printr-o fracție în care numărătorul și numitorul sunt numere egale.

Se definesc fracția echiunitară –ca fiind orice fracție care este egală cu un întreg- și fracția subunitară-ca fiind o fracție în care numărul părților luate , numărătorul este mai mic decât numărul părților în care am împărțit, numitorul. Se demonstrează prin aplicații practice existența fracțiilor în care numărătorul este un număr mai mare decât cel de la numitor (fracții supraunitare). Acest lucru se poate realize prin împărțirea a doi sau mai mulți întregi- fiecare în același număr de părți egale- și luarea unui număr mai mare de părți decât a fost împărțit fiecare întreg (în fig.3 s-au colorat 5/4).

Se poate apela la experiența de viață a copiilor . Spre exemplu, dacă elevul se duce la magazin și solicită o pâine și jumătate , vânzătoarea îi dă o pâine (2 jumătăți) și încă o jumătate din altă păine. Deci, în total, trei jumătăți.

Fig. 3

Fig. 4

Comparând fracțiile cu întregul, se poate concluziona:

–         orice fracție subunitară este mai mică decât un întreg;

–         orice fracție supraunitară este mai mare decât un întreg;

–         orice fracție echiunitară este egală cu un întreg;

–         orice fracție subunitară este mai mică decât orice fracție supraunitară.

Compararea fracțiilor care au același numitor sau același numărător este o temă relative dificilă pentru elevii de clasa a IV-a. Greutatea constă în aceea că ordonarea se face de la mai mic la mai mare, dacă fracțiile au numărătorii în aceeași relație de ordine și numitorii egali; ordonarea se realizează invers, adică de la mic la mare dacă fracțiile au aceeași numărători iar numitorii de la mic la mare.

Pentru a micșora greutaea de înțelegere și însușire de către elevi a comparării fracțiilor se recomandă ca învățătorul să înceapă cu compararea unităților fracționare: (vezi fig. 4). Se poate concluziona că doimea este cea mai mare unitate fracționară, că urmează treimea, că între două unități fracționare mai mare este aceea care are numitorul mai mic: fiindcă 5>8 sau 8>5.

Fig. 5

Fig. 6

Se trece în același mod de reprezentare sau concret la compararea fracțiilor care au același numitor. Dacă împărțim un singur cerc în 8 părți de aceeași mărime și colorăm 5 dintre ele se poate observa: partea din cerc colorată (5/8 din suprafața cercului) este mai mare decât partea din cerc necolorată (3/8 din suprafața cercului) și vom scrie .

Se generalizează: dintre două fracții care au același numitor,mai mare este fracția care are numărătorul maim arte. De exemplu: fiindcă 5>1.

În sfârșit, folosind același procedeu figurative se trece la compararea fracțiilor care au același numărător, dar numitori diferiți.

Prin observație, comparație și analiză se poate generalize: fracția fiindcă prima fracție reprezintă mai mult dintr-un întreg decât cea de-a doua fracție. După mai multe exerciții se generalizează: dintre două fracții care au același numărător este mai mare fracția care are numitorul mai mic.

IV.2. Operații cu fracții care au același numitor

În clasa a IV-a programa școlară prevede numai efectuarea operațiilor de adunare și scădere a numerelor fracționare care au același numitor.

Dificultățîle în însușirea acestor operații vor fi relative mici, dacă elevii au conștientizat noțiunile de unitate fracționară și de număr rațional.

Introducerea operației de adunare se poate face prin mai multe modalități, fiecare având însă un suport intuitive. Elevii trebuie să înțeleagă că pentru adunarea fracțiilor care au același numitor se procedează ca și la adunarea numerelor concrete (2 mere + 4 mere = 6 mere), că se adună un număr de unități fracționare cu același numitor , sau 2 șeptimi adunate cu 3 șeptimi dau rezultatul a 6 șeptimi.

Dacă se împarte un cerc (prin ducerea a 4 diametre) în 8 părți de aceeași mărime (fig. 7) și se colorează cu albastru 2 din cele 8 părți și cu roz alte 4 părți se observă, împreună cu elevii, că partea colorată din figură este formată din 6 părți din cele 8 în care am împărțit cercul. Deci vom scrie: .

Vom spune că numărul fracționar este suma dintre numerele fracționare și . Se va accentua idea că numărătorul 6 al sumei este obținut prin adunarea numărătorilor fracțiilor care se adună. Sau, folosind un desen asemănător (fig. 8), dacă din 6 părți colortate scădem 2 părți colorate obținem 4 părți colorate. Cu ajutorul simbolurilor vom scrie: .

Fig. 7 Fig. 8

Vom numi și aici termenii scăderii descăzut și respectiv scăzător, iar rezultatul scăderii rest.

Se va insista asupra faptului că pentru a se putea efectua scăderea trebuie nu numai descăzutul și scăzătorul să aibe același numitor, dar și numărătorul descăzutului să fie un număr natural mai mare sau egal cu cel de la numărătorul scăzătorului.

În cazul în care învățătorul consideră că nivelul clasei nu permite să se introducă aceste operații pe bază de imagini se poate apela la un material concret-intuitiv: împărțirea în părți egale a unui măr, portocală etc.. Și operarea sub formă de adunare sau scădere cu o parte dintre ele. Tot pe astfel de material, prin observație și analiză, pot fi orientați elevii să intuiască proprietățile adunării: asociativitatea, comutativitatea, după care se trece la generalizarea lor în cazul numerelor raționale.

Asemănător cu adunarea în mulțimea numerelor naturale, fără trecere și cu trecere peste ordin, trebuie să se înceapă cu adunarea a două sau mai multe numere raționale cu același numitor al cărui rezultat să aibă numărătorul mai mic decât numitorul (se va obține o fracție subunitară); și după un număr necesar de exerciții și după însușirea corectă și deplină a algoritmului de adunare a acestor numere, se va trece la adunări de numere raționale cu același numitor, ale căror rezultate să fie fracții echiunitare sau supraunitare.

Fig. 9

Procedeul va fi unul figurat aducând cele 6 părți colorate din cele 8 în care am împărțit, în părți egale suprafața unui cerc cu 4 părți colorate din cele 8 părți egale în care am împărțit suprafața altui cerc, la fel de mare ca primul, se obțin 10 părți egale. Fiecare parte reprezintă o optime din suprafața fiecărui cerc. Cum un cerc are doar 8 părți, rezultă că suprafața celor 10 părți colorate obținute prin adunare reprezintă mai mult decât suprafața unui singur cerc, decât a întregului.

Deci rezultatul în acest caz este o fracție supraunitară: .

Se pot folosi în acest caz materiale intuitive concrete: dacă se adaugă la 3 sferturi de măr încă 2 sferturi de măr, rezultatul va fi mult mai mult decât un măr întreg, va fi un măr întreg și încă un sfert de măr.

Se va insist ape faptul că în adunarea sau scăderea fracțiilor cu același numitor, numitorii fracțiilor nu intervin în calcul, adică rămân neschimbați, adunarea sau scăderea făcându-se între numărători.

Atât adunarea cât și scăderea fracțiilor cu același numitor se pot introduce și prin utilizarea unor probleme-acțiuni simple și semnificative din viața practică a elevilor.

După cunoașterea modului de efectuare a operațiilor de adunare și scădere, se fac și exerciții în care să apară și ambele operații: .

Învățătorul trebuie să insiste asupra procesului de formare a deprinderii de scriere corectă a fracțiilor în succesiunea lor în cadrul exercițiilor: scrierea semnului operației (+ sau -) în dreptul liniei de fracție a primului termen, iar după semn, pe aceeași linie se va trasa mai întâi linia de fracție a următorului termen și apoi se va scrie numitorul și numărătorul său.

Totodată, în funcție de nivelul cunoștințelor elevilor, de ritmul parcurgerii programei și în accord cu necesitățile de individualizare și diferențiere a activităților didactice, se realizează și sarcini de genul:

a)     scrierea fracțiilor supraunitare sub formă de fracții mixte;

b)    transformarea unei fracții supraunitare în fracție mixtă și invers;

c)     efectuarea de adunări și scăderi între numerele raționale și întregi

d)    ordonarea pe axa numerică a numerelor raționale; raportarea lor față de numerele naturale;

e)     rezolvarea unui număr însemnat de probleme în care datele și soluția să fie numere raționale.

IV.3. Aflarea unei fracții dintr-un întreg

Unul dintre obiectivele urmărite prin predarea fracțiilor în clasa a IV-a constituie aflarea unei fracții dintr-un număr.

Procesul de calculare al liniei de fracție dintr-un întreg parcurge 2 etape distincte:

a)                           calcularea unei singure unități fracționare dintr-un întreg (un număr natural), adică aflarea unei părți dintr-un întreg;

b)                          calcularea unei fracții oarecare dintr-un întreg, adică aflarea mai multor părți la fel de mari dintr-un întreg.

Pentru prima categorie de exerciții se procedează intuitiv, folosind mai întâi figure geometrice decupate, figure geometrice desenate, apoi cantități, lungimi, mase, volume, etc., ajungându-se la numere. De exemplu:

-să se afle ¼ din aria unei suprafețe dreptunghiulare;

-să se afle 1/3 din 18 kg., 60 kg., 84 kg…;

-să se afle ½ din 22L, 40L, 52L,….;

-să se afle ¼ din numerele 8, 24, 32, 40,…..;

Operațiile se vor scrie astfel:

-din 18kg. reprezintă 18:3=6;

-din 22L reprezintă 22:2=11;

-din 8 reprezintă 8:4=2.

Utilizănd mai multe exemple asemănătoare și făcănd analiza lor, vom stabili atât operația, cât și procedeul de aflare a unei singure unități fracționare dintr-o mărime sau număr.

Pentru a II-a categorie de exerciții sunt necesare 2 operații:

-împărțirea pentru aflarea unei singure unități fracționare de felul celei pe care îl arată numitorul;

– înmulțirea pentru aflarea numărului de unități fracționare pe care îl arată numărătorul.

V. Jocul didactic si activitățile matematice

Jocul reprezintă un ansamblu de acțiuni și operații care, paralele cu destinderea, buna dispoziție și bucuria, urmărește obiective de pregătire intelectuală, tehnică, morală, fizică a copilului.

Încorporat în activitatea didactică, elemental de joc imprimă acesteia un caracter mai viu și mai atrăgător, aduce varietate și o stare bună de dispoziție funcțională, de veselie și de bucurie, de divertisment și de destindere, ceea ce previne apariția monotoniei și a plictiselii, a oboselii. Restabilind un echilibru în activitatea școlarilor, jocul fortifică energiile intelectuale și fizice ale elevilor, generând o motivație secundară, dar stimulatory, constituind o prezență indispensabilă în ritmul accentuat al muncii școlare.

Jocul didactic este un tip specific de activitate prin care învățătorul consolidează, precizează și chiar verifică cunoștiințele elevilor, le îmbogățește sfera lor de cunoștiințe, pune în valoare și le antrenează capacitățile creatoare ale acestora.

Așadar, atunci când jocul este utilizat în procesul de învățământ, el dobăndește funcții psihopedagogice semnificative, asigurând participarea activă a elevului la lecție, sporind interesul de cunoaștere față de conținutul lecției.

O dată cu împlinirea vârstei de 6 ani, în viața copilului începe procesul de integrare în viața școlară, ca o necessitate obiectivă determinată de cerințele instruirii și dezvoltării sale multilaterale. De la această vârstă, o bună parte din timp este rezervată școlii și activității de învățare care devine o preocupare majoră. În programul zilnic al elevului intervin schimbări impuse de ponderea pe care o are acum școala, schimbări care nu diminuează însă dorința lui de joc, jocul rămânând o problemă majoră în timpul întregii copilării.

În aceste condiții, se impune o exigență sporită în ceea ce privește dozarea ritmică a volumului de cunoștiințe matematice ce trebuie assimilate de elev și în mod deosebitnecesitatea ca lecția de matematică să fie completată sau intercalată cu jocuri didactice cu conținut mathematic.

Un exercițiu sau o problemă de matematică poate deveni joc didactic mathematic dacă:

-realizează un scop și o sarcină didactică din punct de vedere matematic;

-folosește elemente de joc în vederea realizării sarcinii propuse;

-folosește un conținut matematic accesibil și atractiv;

-utilizează reguli de joc, cunoscute anticipat și respectate de elevi.

a) scopul didactic se formulează în legătură cu cerințele programei școlare pentru clasa respectivă, convertite în finalități funcționale de joc. Formularea trebuie să fie clară și să oglindească problemele specifice impuse de realizarea jocului respectiv. O formulare corespunzătoare a scopului determină o bună orientare, organizare și desfășurare a activității respective.

b) sarcina didactică

Sarcina jocului didactic matematic este legată de conținutul acestuia, de structura lui, referindu-se la ceea ce trebuie să facă în mod concret elevii în cursul jocului, pentru a se realiza scopul propus. Sarcina didactică reprezintă esența activității respective, antrenănd intens operațiile gândirii: analiza, sinteza, comparația, dar și ale imaginației. Jocul didactic matematic cuprinde și rezolvă cu success, de regulă, o singură sarcină didactică, în concluzie, sarcina didactică constituie elementul de bază prin care se transpune , la nivelul elevilor, scopul urmărit în activitatea respectivă. Spre exemplu, în jocul didactic “Caută vecinii” scopul didactic este consolidarea deprinderilor de comparare a unor numere, iar sarcina didactică să găsească numărul mai mare sau mai mic cu o unitate decăt numărul dat; în jocul “Cine urcă scara mai repede” scopul este consolidarea deprinderilor de calcul cu cele 4 operații, iar sarcina didactică este efectuarea unor exerciții de adunare ,scădere, înmulțire și împărțire.

c) elemente de joc

În jocurile didactice matematice se pot alege cele mai variate elemente de joc: întrecere (emulație/competiție) individuală sau pe grupe de elevi, cooperarea între participanți, recompensarea rezultatelor bune sau penalizarea greșelilor comise de către cei antrenați în jocurile de rezolvare a exercițiilor sau a problemelor, bazate pe surpriză, așteptare, aplauze, cuvăntul stimulator etc.. O parte din aceste elemente se utilizează în majoritatea jocurilor didactice , altele, în funcție de conținutul jocului. Important este că elementele de joc să se împletească străns cu sarcina didactică, să mijlocească realizarea ei în cele mai bune condiții.

d) conținutul matematic al jocului didactic trebuie să fie accesibil, recreativ și atractiv prin forma în care se desfășoară, pri mijloacele de învățământ utilizate, prin volumul de cunoștiințe la care se apelează.

e) materialul didactic:

reușita jocului didactic matematic depinde în mare măsură de materialul didactic folosit, de alegera corespunzătoare și de calitatea acestuia.

Materialul didactic trebuie să fie variat, cât mai adecvat conținutului jocului , să slujească cât mai bine scopul urmărit. Astfel se pot folosi: planșe, folii, fișe individuale, cartonașe, jetoane, trusă cu figure geometrice.

f) regulile jocului.

Pentru realizarea sarcinii propuse și pentru stabilirea rezultatelor întrecerii se folosesc reguli de joc propuse de învățător sau cunoscute în general de elevi. Aceste reguli concretizează sarcina didactică și realizează, în același timp, sudura între aceasta și acțiunea jocului. Regulile de joc transformă defapt exercițiul sau problema de joc, activizând întregul colectiv de elevi la rezolvarea sarcinilor primate. Există și jocuri în care elevii sunt antrenați pe rând la rezolvarea sarcinilor didactice. În aceste jocuri este recomandabil ca propunătorul să introducă o completare la regulă, în sensul de a cere grupei să-l urmărească pe cel întrebat și să răspundă în locul lui, dacă este cazul.

În cazul “Cine urcă scara mai repede?” regula cere elevilor să completeze pe planșe\pe tablă, rezultatul , ieșind căștigătoare echipa care va reuși să resolve correct și rapid exercițiile, adică cea care va ajunge mai repede în vărf.

Așadar, jocurile didactice matematice cuprind unele reguli care precizează cine poate deveni câștigătorul jocului. În același timp ele cuprind și unele restricții: elevii care nu reușesc, vor fi scoși din joc sau vor fi penalizați, depunctați.

Prin folosirea jocurilor didactice în predarea matematicii la clasele mici se realizează importante sarcini formative ale procesului de învățământ. Astfel jocurile didactice matematice :

–         antrenează operațiile găndirii: analiza, sinteza, comparația, clasificarea, ordonarea, abstractizarea, generalizarea, concretizarea.

–         Dezvoltă spiritual de inițiativă și independență în muncă, precum și spiritual de echipă;

–         Dezvoltă spiritual imaginativ-creator și de observație;

–         Dezvoltă atenția , disciplina și spiritual de ordine în desfășurarea unei activități;

–         Formează deprinderi de lucru correct și rapid;

– Asigură însușirea mai rapidă , mai temeinică, mai accesibilă și mai plăcută a unor cunoștiințe relative aride pentru acestă vârstă (numerația, operațiile aritmetice etc.).

Reușita jocului didiactic este condiționată de proiectarea, oragnizarea și desfășurarea lui metodică, de modul în care învățătorul știe să asigure o concordanță deplină întra toate elementelece-l definesc.

Pentru aceasta, învățătorul va avea în vedere următoarele cerințe de bază:

–         pregătirea jocului didactic;

–         organizarea judicioasă a acestuia;

–         respectarea momentelor jocului didactic;

–         ritmul și strategia conducerii lui;

–         stimularea elevilor în vederea participării active la joc;

–         asigurarea unei atmosphere prielnice de joc;

–         varietatea elementelor de joc (complicarea jocului, introducerea altor variante);

pregătirea jocului didiactic presupune, în general, următoarele:

–         studierea atentă a conținutului acestuia,a astructurii sale;

–         pregătirea materialului (confecționarea sau procurarea lui);

–         elaborarea proiectului (planului) jocului didactic/

o altă problemă organizatorică este cea a distribuirii materialului necesar desfășurării jocului. În general, materialul se distribuie la începutul activității de joc și aceasta pentru următorul motiv: elevii, cunoscând în prealabil materialele didactice necesare jocului respective, vor înțelege mai ușor explicația învățătorului referitoare la desfășurarea jocului.

Acest procedeu nu trebuie aplicat în mod mechanic. Există jocuri didactice matematice în care materialul poate fi împărțit elevilor după explicarea jocului.

Organizarea judicioasă a jocului didactic are influență favorabilă asupra ritmului de desfășurare a acestuia, asupra realizării cu success a sopului propus.

Desfășurarea jocului didactic cuprinde, de regulă, următoarele momente (faze):

• introducerea în joc (discuții pregătitoare);

• anunțarea titlului jocului și a scopului acestuia;

• prezentarea materialului;

• explicarea și demonstrarea regulilor jocului;

• fixarea regulilor;

• executarea jocului de către elevi;

• complicarea jocului;

• închiderea jocului (evaluarea conduitei de grup sau individuală).

Introducerea în joc , ca etapă, îmbracă forme variate în funcție de tema jocului.

Uneori, atunci cănd este necesar să familiarizăm elevii cu conținutul jocului, activitatea poate să înceapă printr-o simplă discuție cu effect motivator. Alteori, introducerea în joc se poate face ptintr-o scurtă expunere care să stârnească interesul și atenția elevilor. În alte jocuri, introducerea se poate face prin prezentarea materialului, mai ales atunci când de logica materialului este legată întreaga acțiune a elevilor. Introducerea în jocul matematic nu este un moment totdeauna obligatoriu. Propunătorul poate începe jocul anuntând direct titlul acestuia.

Anunțarea jocului trebuie făcută sintetic, în termini preciși, fără cuvinte de prisos, spre a nu lungi inutil începutul acestei activități. De exemplu: “Astăzi vrem să vedem care dintre voi știe să calculeze fără să greșească; de aceea vom organizza împreună jocul….”.

Învățătorul poate folosi și formula clasică: “Copii, astăzi vor organiza un joc nou. Jocul se numește…. El constă în….”.

Alteori, se poate începe anunțarea printr-o frază interogativă: “Știți ce o să ne jucăm astăzi? Vreți să vă spun?”. Învățătorul poate găsi formulele cele mai variate de anunțare a jocului, astfel ca, de la o lecție la alta, ele să fie cât mai adecvate conținutului acestuia.

Un moment hotărâtor pentru succesul jocului didactic matematic este demonstrarea și explicarea acestuia.

Învățătorului îi revin următoarele sarcini:

–         să facă pe elevi să înțeleagă sarcinile ce le revin;

–         să precizeze regulile jocului, asigurând îsușirea lor rapidă și corectă de către elevi;

–         să precizeze conținutul jocului și principalele lui etape, în funcție de regulile jocul;ui;

–         să dea explicații cu privire la modul de folosire a materialului didactic;

–         să scoată în evidență sarcinile conducătorului de joc și cerințele pentru a deveni câștigător.

Fixarea regulilor:

Uneori, în timpul explicației sau după explicație, se obișnuiește să se fixeze, regulile transmise.

Acest lucru se recomandă, de regulă, atunci când jocul are o acțiune mai complicată, impunându-se astfel, o subliniere specială a acestor reguli. De multe ori fixarea regulilor nu se justifică, deoarece se împlinește formal, elevii reproducându-le în mod mechanic.

Executarea jocului:

Jocul începe la semnalul conducătorului de joc. La început acesta intervine mai des în joc, reamintind regulile, dând unele informații organizatorice.

Pe măsură ce se înaintează în joc sau elevii capătă experiența jocurilor matematice, propunătorul acordă independență elevilor, îi lasă să acționeze liber.

Se desprind, în general două moduri de a conduce jocul elevilor:

–         conducerea directă (învățătorul conduce jocul);

–         conducerea indirectă (învățătorul ia perte la joc fără să-l conducă);

–         pe durata unui joc didactic matematic învățătorul poate trece de la conducerea directă la cea indirectă sau le poate alterna.

Totuși, chiar dacă învățătorul nu participă direct la joc, sarcinile ce revin sunt deosebite. Astfel, în ambele cazuri, învățătorul trebuie:

–         să imprime un anumit ritm jocului (timpul este limitat);

–         să mențină atmosfera de joc;

–         să urmărească evoluția jocului, evitând momentele de monotonie;

–         să controleze modul în care elevii rezolvă sarcina didactică, respectându-se regulile stabilite;

–         să creeze condiții necesare pentru ca fiecare elev să resolve sarcina didactică în mod independent sau în cooperare;

–         să urmărească comportarea elevilor, relațiile dintre ei;

–         să activizeze toți elevii la joc, găsind mijloace potrivite pentru a-I antrena și pe cei timizi;

–         să urmărescă felul în care se respectă, cu strictețe, regulile jocului.

Sunt situații când pe parcursul jocului pot intervene elemente noi: auto conducerea jocului (elevii devin conducătorii jocului, îl organizează în

mod independent), schimbarea materialului între elevi (pentru a le da posibilitatea să resolve probleme căt mai diferite în cadrul aaceluiași joc), complicarea sarcinilor jocului, introducerea unui element de joc nou, introducerea unui material nou.

Încheierea jocului

În îcheiere învățătorul formulează concluzii și aprecieri asupra felului în care s-a desfășurat jocul, asupra modului în care s-au respectat regulile de joc și s-au executat sarcinile primate, asupra comportării elevilor, făcând recomandări și evaluări cu caracter individual și general.

Jocul didactic matematic poate fi organizat cu success la orice tip de lecție și în orice clasă a ciclului primar.

Exemple de jocuri didactice

“Hai să socotim”

Scopul – consolidarea deprinderilor de calcul oral.

Sarcina didactică – să rezolve exerciții de adunare și scădere, în limitele 0-100.

Materialul didactic – trei săculețe de pănză unul galben, unul negru și unul alb;

– cartonașe pe care vor fi scrise exerciții de adunare sau scădere în limita 0-100 și apoi introduce în săculețul galben;

– buline albe și negre din carton ce vor fi introduse în săculețele corespunzătoare.

Se stabilesc 2 echipe. Prima pereche, formată din câte un reprezentant al fiecărei echipe, vine în fața clasei și fiecare elev scoate căte un cartonaș din săculețul galben. Se rezolvă exercițiile, clasa apreciînd dacă răspunsurile sunt corecte sau nu. Elevulcare a răspuns bine scoate o bulină din săculețul alb, iar cel care a dat un răspuns greșit scoate o bulină din săculețul negru. Identic se procedează și cu celelalte perechi. În final fiecare elev ridică bulina obținută, iar conducătorul de joc totalizează, pe echipe, numărul și culoarea bulinelor obținute. Echipa care a obținut cele mai multe buline albe va fi declarată câștigătoare.

“Cine știe , scrie”

Scopul – dezvoltarea deprinderii de calcul oral și scris.

Sarcina didactică – formularea și rezolvarea unor exerciții de compunere a numerelor naturale în limitele 1-10, citirea și scrierea lor.

Deșfășurarea jocului – se înmparte clasa în două echipe, apoi se formează grupe de câte 2 care vor veni la joc pe rând. Reprezentanții echipei A vor lucra în jumătatea stângă a tablei, iar cei din echipa B în jumătatea din dreapta. Prima pereche de elevi, formată din câte un reprezentant din fiecare echiplă. Conducătorul jocului indică un număr și cere elevilor de la tablă să formuleze în scris diferite exerciții de adunare și de scădere al căror rezultat să fie egal cu numărul dat. După scurgerea a 3-4 minute, se dă semnalul de încetare si se face aprecierea rezultatelor. Pentru a menține trează atenția elevilor, aprecierea va fi făcută de elevii din bancă a echipei adverse. Acesta va primi câte un punct pentru fiecare greșeală descoperită. Însumându-se apoi punctele obținute pentru rezultate bune și pentru depistarea greșelilor se declară echipa câștigătoare.

Exemple: conducătorul jocului spune cifra 6.

Exerciții ce se pot scrie:

1+5=6 1+4+1=6 2+2+2=6

2+4=6 1+2+3=6 4+2+0=6

3+3=6 5+1+0=6 3+2+1=6

Acest joc se poate organiza și la celelalte clase, dar trebuie ca numărul indicat să fie mai mare și să se folosească cele 4 operații.

Exemplul 1:

Dacă se păstrează un număr mai mic decât 10, dar se cere să se foloseacă cele 4 operații.

Numărul 6:

(24+32-20):6×1=6 sau 24:3×5-38+4=6

Exemplul 2:

Numărul indicat să fie mai mare decăt 10, iar exercițiile prin care să se compună acest număr să cuprindă cele 4 tipuri de operații sau numai două.

Numărul 90:

80+40-30=90 sau 8×9-6:3+20=90

Capitolul IV. CERCETAREA PEDAGOGICÃ

Verbul “ a cerceta” are mai multe înțelesuri: a observa, a examina cu atenție, a întreba, a căuta etc.

Obiectul unei cercetări psihopedagogice îl constituie o problemă „un fapt” pe care cercetătorul îl identifică și delimitează din ansamblul structural din care face perte, cu intenția de a-i da o explicație plauzibilă și de a obține date certe privind funcționalitatea sa.

Unul dintre faptele pedagogice ce pot constitui obiectul unei cercetări pedagogice poate fi:” Metodele de predare-învățare a operațiilor aritmetice în învățământul primar”.

Succesul în dobândirea cunoștințelor privind operațiile aritmetice depinde în mod semnificativde învățător , de felul în care acesta reușește să conducă procesul precării – învățării și evaluării, după modul cum sunt orientați copii să poată conștientiza descoperii și aplica prin transfer cunoștiințele, priceperile și deprinderile.

În procesul de învățare la clasele I-IV trebuie să se folosească metode care creează posibilitatea elevului de a transforma cunoștiințele pasive în cunoștiințe active și de a favoriza descoperirea unor noi cunoștiințe cât și aplicarea lor în activitaea practică.

IV.1. Precizarea obiectivelor și formularea ipotezei

În cadrul cercetării întreprinse am pornit de la următoarea ipoteză: jocul didactic prin utilizarea și integrarea adecvată în lecțiile de matematică poate duce la creșterea eficienței învățării noțiunilor matematice și prin aceasta creșterea randamentului școlar al elevilor din ciclul primar.

Din ipoteza formulată se desprind 2 variabile a cercetării:

– variabila independentă-utilizarea jocului didactic în cadrul lecțiilor de matematică;

– variabila dependentă- creșterea eficienței însușirii operațiilor aritmetice și implicit a procesului școlar al elevilor.

În vederea demonstrării acestei ipoteze mi-am propus declanșarea unei cercetări psihopedagogice care are ca obiectiv dovedirea eficienței jocului didactic în orele de matematică.

IV.2 Metodica cercetării

Cercetarea a fost organizată în anul școlar 2007-2008 pe eșantioane de elevi de vârstă școlară mică (8-9 ani). Am avut în vedere două clase a II-a respectiv a II-a de la școala cu clasele I-IV Vâlcele, clasă experimentală (eșantionul de progres) și clasa a II-a de la școala I-IV Marvila- clasă martor (eșantionul de control).

Deoarece mi-am propus să declanșez o acțiune educațională rezultatele acesteia fiind înregistrate și prelucrate pentru a demonstra eficiența folosirii jocului didacti , prin metodologia adoptată se va ajunge la descoperirea unor relații cauzale, am organizat o cercetare experimentală. Experimentarea presupune determinarea cantitativă prin măsurare a fenomenelor investigate. Pe această bază ea oferă posibilitatea evidențierii obiective a eficienței noii tehnologii didactice.

Experimentul a reprezentat principala metodă de investigație. Experimentul pedagogic presupune crearea unor situații noi , prin introducerea unor modificări în desfăsurarea acțiunii educaționale cu scopul verificării ipotezei care a declanșat aceste inovații.

Observația a fost utilizată în perioada premergătoare și în timpul deșfășurării experimentării. Ea s-a realizat cu scopul de a compara și surprinde comportamentul, reacțiile elevilor și mai ales, condițiile psihopedagogice în care jocul didactic asigură învățământului o deosebită valoare fornativă. Am urmărit , de asemenea, modul în care se adaptează și este acceptată această metodă de către elevii cu grade diferite de pregătire.

Probele de evaluare au fost folosite pentru a măsura cât mai exact volumul și cunoștiințele înainte , în timpul și după efectuarea experimentării.

Testul final a avut un caracter mixt de cunoștiințe și aptitudini, verificând atât capacitatea de reproducere a unor cunoștiințe cât și nivelul de dezvoltare a capacităților de analiză și sinteză de aplicare a cunoștiințelor în noi situații. Punctajul s-a acordat în funcție de gradul de dificultate al întrebării sau problemei și după calitatea sau numărul soluțiilor găsite sau propuse.

În ceea ce privește eșantionarea am ales două eșantioane: eșantion experimental (cls. A II-a de la școala Vâlcele, 18 elevi) pe care-l voi nota cu Ee și eșantionul de control (cls. A II-a școlala Marvila, 16 elevi) pe care-l voi nota cu Ec. Caracteristic pentru eșantionul experimental este faptul că asupra lui se acționează cu ajutorul factorului experimental (f.e.) în conformitate cu cele propuse în ipoteză în vederea producerii unor modificări în desfășurarea acțiunii educaționale. Cel de al II-lea eșantion de control este folosit ca martor pentru ca la încheierea cercetării să se poată compara rezultatele obținute pe ambele eșantioane și să se poată conchide pe această bază, că diferențele se datorează factorului experimental.

IV.3. Desfășurarea cercetării și interpretarea datelor

Primele teste au fost cele de evaluare inițială , în consens cu remarca lui D. Ausubel: Dacă aș vrea să reduc toată psihologia la un singur principiu, eu spun: ceea ce contează cel mai mult în învățare sunt consecințele pe care le posedă elevul la plecare. Asigurați-vă de ceea ce știe și instruiți-l în consecință.

Metoda de bază utilizată a fost experimentul psihopedagogic de tip experimental- ameliorativ.

Cercetarea a cuprins trei etape:

A. Etapa inițială care a avut un caracter constatativ.

B. Etapa intervenției ameliorative cu valoare formativă în stimularea proceselor psihice și a personalității elevilor.

C. Etapa evaluării ce a avut un caracter comparativ , cu privire la rezultatele obținute în urma demersului experimental formativ.

Etapa evaluării a constat în aplicarea unui test de evaluare inițială. Scopul a fost acela de a stabili punctul de plecare în desfășurarea demersului experimental. Testul a fost conceput pentru capitolul „Operații cu numere naturale în concentrul 0-100” în funcție de programa școlară de la clasa a II-a și a obiectivelor operaționale vizate în lecție.

Având un caracter constatativ, testul de evaluare inițială reflectă volumul și calitatea cunoștiințelor, deprinderilor și priceperilor de calcul aritmetic al elevilor , constituind un punct de pornire în demersul formativ.

Testul a fost aplicat ambelor eșantioane.

Unitate de învățare: Operații cu numere naturale în concentrul 0-100

Conținut: Adunarea și scăderea numerelor naturale de la 0 la 100 cu și fără trecere peste ordin.

Descriptori de performanță

Tabel analitic cu rezultatele obținute în urma aplicării testului inițial la eșantionul experimental

Tabel analitic cu rezultatele testului inițial pe eșantionul reprezentativ experimental

Procentul de realizare a obiectivelor la testului inițial pe eșantionul reprezentativ experimental

Frecvența de rezultatelor testului inițial pe eșantionul experimental

Procentul mediu de realizare

Analizând rezultatele înregistrate în tabele s-a constatat că 78% din elevi stăpânesc operațiile de ordin I și terminologia matematică, iar 22% întâmpină greutăți la realizarea sarcinilor de la itemii 3, 4 , 6. Un număr de 4 elevi ( cu rezultate foarte slabe) întâmpină dificultăți la rezolvarea exercițiilor cu necunoscute ( I3-22% ) , iar alți 3 elevi nu reușesc să transforme un enunț mathematic în exercițiu(I4-16%) . În ceea ce privește rezolvarea și compunerea de probleme , elevii folosesc în general operațiile gândirii, doar 14 din ei ajungând la rezultatul corect.

Tabel analitic cu rezultatele obținute în urma aplicării testului inițial pe eșantionul de control.

Tabel analitic cu rezultatele testului inițial pe eșantionul de control.

Procentajul de realizare a obiectivelor la testului inițial pe eșantionul de control .

Frecvența rezultatelor la testului inițial pe eșantionul de control.

Procentul mediu de realizare

Analizând rezultatele graficelor de mai sus s-a constatat că81% din numărul elevilor stăpânesc operațiile de ordinal I și limbajul mathematic, iar19% întâmpină dificultăți la realizarea sarcinilor de la itemii 3,6 .Un număr de 3 elevi nu reușesc să determine o necunoscută dintr-un exercițiu (I3-81%). La rezolvarea și compunerea de probleme după exercițiul dat , doar 12 elevi au finalizat cerința.

Comparând rezultatele celor două eșantioane la testul inițial , situația se prezintă astfel :

Eșantionul experimental și eșantionul de control după testul inițial în procente.

Din alaliza comparativăa rezultatelor obținute de cele două eșantioane la testul inițial s-a constatat că rezultatele pe clase sunt apropiate (78% eșantionul experimental și 81 % eșantionul de control). Din punct de vedere a rezultatelor pe calificetive ,s-a constatat că eșantionulexperimental a obținut un procentaj mai mare la “Forte bine” (4 elevi), decât eșantionul de control (3 elevi), la “Bine” eșantioanele au obținut la “Suficient” la eșantionul experimental (7elevi) a obținut un procentaj mai mic(3 elevi), iar la eșantionul de control (5 elevi) s-a obținut un procentaj mai mare .

Primul pas în reorganizarea instruirii l-a constituit aplicarea unor metode active, folosirea unor exerciții-joc și jocuri cu un grad mai mare de complexitate în comunicarea și reactualizarea noțiunilor matematice, precum și efectuarea unui număr sporit de exerciții și probleme care să asigure înțelegerea de către fiecare elev a sarcinilor cerute și posibilitatea rezolvării cu ușurință a acestora.

B.Etapa intervenției ameliorative a avut un pronunțat caracter formativ , constând în aplicarea jocului didactic în orice tip/variantă de lecție. Am aplicat ambelor clase un test de ameliorare:

– la eșantionul experimental (Ee) s-au utilizat atât metode clasice , cât mai ales metoda jocului didactic pentru atingerea obiectivelor propuse;

– la eșantionul de control/martor (Ec) lecțiile de matematică s-au desfășurat folosindu-se cu precădere de metodele tradiționale.

Unitatea de învățare : „Operații cu numere naturale în concentrul 0-100”

Conținut . „Adunarea și scăderea numerelor naturale , cu și fără trecere peste ordin în concentru 0-100”

Descriptori de performanță

Tabel analitic cu rezultatele obținute în urma aplicării testului de ameliorare pe eșantionul experimental

Tabel analitic cu rezultatele testului de ameliorare pe eșantionul experimental

Procentul de realizare la testul de ameliorare pe eșantionul experimental .

Frecvența rezultatelor la testul de ameliorare pe eșantionul experimental

Din datele înregistrate mai sus , se costată o creștere atât a procentului de realizare a itemilor propuși , cât și a procentului pe clasă de la 78% latestul inițial , la 88% la testul de ameliorare. A scăzut numărul elevilor cu rezultate nesatisfăcătoare (de la 4 la 2) și a crescut numărul elevilor cu rezultate satisfăcătoare bune.

Aceasta înseamnă nu numai un progress în cunoștințele elevilor , ci și în capacitățile lor intelectuale, dat fiind și aportul jocurilor didactice aplicate.

Tabel analitic cu rezultatele obținute în urma aplicării testului inițial pe eșantionul de control.

Tabel analitic cu rezultatele testului de ameliorare pe eșantionul de experimental

Procentul de realizare a obiectivelor la testul de ameliorare pe eșantionul de control .

Frecvența rezultatelor la testul inițial pe eșantionul de control

Din datele înregistrate mai sus se constată o stagnare a procentajului pe clasă (81%) a sarcinilor propuse spre rezolvare. A crescut totuși numărul elevilor care au obținut calificativul “Bine” (de la testul inițial, la 7) și a scăzut numărul elevilor care au obținut calificativul “Suficient” (de la 4 la testul inițial la 3 ). În acest moment se pot compara rezultatele obținute de cele două eșantioane la testul de ameliorare. Astfel , promovabilitatea eșantionului experimental este de 88% iar al celui de control de 81%.

Pentru a putea interpreta mai bine datele obținute la testul de control, voi prezenta grafic , în paralel rezultatele pe calificative a celor două eșantioane.

Eșantionul experimental Eșantionul de control

Eșantionul experimental și eșantionul de control după testul de amelioare

Observând graficele ce reprezintă comparative cele două eșantioane , după testul de ameliorare , se constată că rezultatele obținute de eșantionul experimental sunt situate deasupra celor obținute de eșantionul de control cu 7%. Aceste constatări îmi întăresc convingerea că măsurile aplicate în etapa ameliorativă au fost eficiente, iar continuarea activității pe această direcție va avea rezultate îmbucurătoare.

Comparând și rezultatele obținute de cele două eșantioane, la testul inițial și la testul de control, situația se prezintă astfel :

Rezultatele eșantionulul experimental la testul inițial și testul ameliorative

Rezultatele eșantionulul de control la testul inițial și testul ameliorativ

Eșantionul experimental și-a îmbunătățit rezultatele cu 10 % “Bine”(45% față de 30%), iar ce este încurajator este scăderea rezultatelor “nesatisfăcătoare” cu jumătate din procentajul inițial (10% față de 22%).

Eșantionul de control și-a modificat procentajul doar la calificativele “Bine“ (45% față de 30%),și “Suficient” (15% față de 25%), ponderea numărului calificativelor “Insuficient”rămânând neschimbată.

C. Etapa evaluării constă în aplicarea unor teste de evaluare finală în scopul comparării rezultatelor obținute după proiectarea și desfășurarea lecțiilor cu ajutorul metodei jocului didactic, cu rezultate de la testele inițiale.

În lecțiile pregătitoare testului final s-a acordat o atenție deosebită eliminării lacunelor existente în pregătirea elevilor la matematică prin :

– eșantionul experimental – continuarea utilizării jocului didactic; crearea suportului afectiv și motivațional necesar participării active la lecții; aplicarea unui curriculum diferențiat; stimulări și aprecieri pozitive în caz de reușită; jocuri diverse , concursuri pe echipe cu sarcini antrenante;

– eșantionul de control(martor)- repetarea cu elevii a noțiunilor matematice pe care le rețin mai greu, folosindu-se mai des în exerciții și probleme la clasă și acasă în condiții școlare obișnuite.

Testul de evaluare finală și-a propus să îndeplinească obiective asemănătoare testului inițial, însă cuprinzând sarcini de mai mare dificultate.

Unitatea de învățare: Operații cu numere naturale în cocentrul 0-100.

Conținut :”Efectuarea operațiilor de adunare și de scădere cu trecere peste ordin și aflarea termenului necunoscut”.

Descriptori de performanță

Tabel analitic cu rezultatele obținute în urma aplicării testului final pe eșantionul experimental

Tabel analitic cu rezultatele testului de ameliorare pe eșantionul experimental

Procentul de realizare a obiectivelor la testul final pe eșantionul experimental

Frecvența rezultatelor la testul final pe eșantionul experimental

Analizând rezultatele înregistrate de mai sus e ușor de remarcat că numărul elevilor care au obținut rezultate bune(50%) și foarte bune(33,33%) a crescut semnificativ,(9,respective 6 elevi). De asemenea absența rezultatelor nesatisfăcătoare dovedesc că elevii și-au însușit bine cunoștințele de la acest capitol , calculează cu ușurință suma, diferența, numerele naturale. Află numărul necunoscut dintr-o expresie dată, cunosc terminologia specifică matematicii și rezolvă cu ușurință problemele cu mai multe operații. Cei 9 elevi care au obținut calificativul “Bine” (50%) dovedesc același lucru, ei negreșind la tehnica de lucru , ci la unele calcule effectuate în grabă. Unele lacune le prezintăcei 3 elevi care au obținut calificativul “Suficient”(16,66%). Ei dovedesc nesiguranță la rezolvarea exercițiilor și nu stăpânesc bine limbajul mathematic.

Tabel analitic cu rezultatele obținute în urma aplicării testului final pe eșantionul de control.

Tabel analitic cu rezultatele testului final pe eșantionul experimental

Procentul de realizare a obiectivelor la testul final pe eșantionul de control

Frecvența rezultatelor la testul final pe eșantionul de control

Din rezultatele transpuse în graficele de mai sus s-a constatat că 87% din numărul total al elevilor au obținut calificativede trecere a testului (25%-F.B. 4 elevi, 44% B. 7 elevi, 18% S 13 elevi, iar restul de 12% 12 elevi întâmpină încă dificultăți de calcul și de tehnică în rezolvarea exercițiilor și problemelor. Nu stăpânesc limbajul mathematic și de aceea transpunerea în exercițiu a unui enunț este o greutate pentru ei. Astfel , promovabilitatea primului eșantion este de 100% iar celui de-al doile de 87%.

Pentru a putea interpreta mai bine datele obținute la testul final, voi reprezenta grafic, în parallel, rezultatele obținute de cele două eșantioane.

Eșantionul experimental

Eșantionul de control

Eșantionul experimental și eșantionul de control după testul final

Observând graficele ce reprezintă comparative cele două eșantioane, după testul final, se constată că rezultatele obținute de primul eșantion sunt deasupra celor obținute de al doilea cu 12,5%. Calculul mathematic și transpunerea limbajului din exerciții și probleme au fost bine însușite acolo unde tehnica de învățare a fost sprijinită de folosirea jocului didactic.

Comparând și rezultatele obținute de cele două eșantioane , la testul inișial și la testul final, situația se prezintă astfel :

Rezultatele obținute la testul inițial și testul final de eșantionul experimental

Rezultatele obținute la testul inițial și testul final de eșantionul experimental

Eșantionul experimental și-a îmbunătățit cota de rezultate “Bune” (de la 39% la 50%)și “Forte bune”(de la 22% la 32%), iar ceea ce este de remarcat este absența calificativelor “Insuficient” la testarea finală.

Eșantionul de control și-a îmbunătățit cu puțin rezultatele , fără salturi majore la un anume calificativ. Rezultate “Foarte bune”(de la 18% la 25%), “Bune”(de la 39% la 44%) și “Insuficiente” (de la 18% la 13 %).

Comparând rezultatele obținute la cele 3 teste aplicate , s-a constatat că progresul este semnificativ la eșantionul experimental.

Prezentarea comparativă a rezultatelor obținute la cele trei teste evidențiază evoluția elevilor. Se observă că dincei 4 elevi care au obținut calificativul “Insuficient” la testul inițial, niciunul nu a rămas la acest calificativ la testul final,: 3 elevi au obținut “Suficient” , iar unul “Bine”. Creșterea numărului de elevi care au obținut calificativul “Foarte bine” este iarăși semnificativ. Dacă la primul test doar 4 elevi primiseră acest calificativ, la ultimul test numărul acestora s-a ridicat la 6(o creștere de 10 %) . Procentajul calificativelor “Foarte bine” de la 22% la 33% indică faptul că metoda jocului didactic aplicată în lecțiile de învățare, de consolidare și de evaluare au avut o mare eficiență.

Prezentarea comparativă a rezultatelor obținute de eșantionul experimental la testul inițial și testul final

Concluzii

Evaluarea a asigurat o modalitate distinctă de analiză cantitativă și calitativă a rezultatelor învățării pe parcursul întregii etape experrimentale .

Jocul a constituit pentru elevi o modalitate stimulativă, de antrenare la lucru, de motivare a învățării.

În urma experimentului efectuat putea spune că utilizarea jocului didactic satisface cerințele unui învățământ formative, deoarece antrenează majoritatea elevilor , sporește gradul de motivație a învățăturii prin satisfacțiile pe care elevii le obțin prin rezultatele pozitive ale muncii lor.

Progresul elevilor este evidențiat de creșterea gradului de realizare a obiectivelor instruirii, creșterii materializată în mărimea valorii notelor pentru nivelul de cunoștințe și deprinderii atins. În acest sens ilustrarea grafică este convingătoare.

La orele de matematică am realizat lecții la care elevii să participle cu plăcere și să-și însușească cunoștințele în funcție de posibilitățile lor intelectuale.

Prin multitudinea de jocuri didactice pe care le-am folosit am reușit să realizez sarcina învățării:

– însușirea de cunoștințe matematice atât de necesare etapelor următoare ale învățării matematicii.

Prin testele aplicate am căutat să ilustrez importanța jocului didactic la orele de matematică, faptul că elevii rezolvă cu mai mult interes și plăcere jocurile care nu sunt altceva decât exerciții și probleme prezentate sub altă formă.

Lecțiile organizate cu introducerea uni joc didactic matematic au asigurat participarea activă a elevilor la dobândirea cunoștințelor, la formarea unui stil de muncă intellectual, lecția devenind o modalitate de organizare a activității de învățare.

Creșterea nivelului de pregătire a elevilor prin folosirea jocurilor didactice demonstrează utilitatea lor , atât la matematică cât și la alte discipline.

Combinând metodele clasice cu cele moderne , adoptând cele mai eficiente strategii didactice, se poate insufla elevilor dragostea pentru matematică , să-și formeze deprinderi de rezolvare a problemelor de aritmetică, să-și dezvolte gândirea , logica , imaginația.

Din experiența didactică din experimental realizat și din bibliografia studiată , pot afirma că predarea-îmvățarea operațiilor aritmetice are următoarele valențe:

-dezvoltă gândirea, antrenândoperațiile logice de analiză și sinteză, de comparație, de abstractizare și generalizare;

-dezvoltă voința, perseverența, spiritual de răspundere, încrederea în forțele proprii;

– stimulează inițiativa, încrederea în sine, curajul;

– stimulează și formează priceperi și deprinderi practice.

În urma documentării pe baza bibliografiei consultate , a experienței didactice și aprobelor de evaluare aplicate, s-a ajuns la următoarele concluzii:

– predarea-învățarea operațiilor aritmetice trebuie privită ca un fenomen complex, dar unitar, care angajează plenar întreaga personalitate umană;

– compunerea și rezolvarea de problem dezvoltă creativitatea ca dimensiune psihologică ce este universal existentă, distribuindu-se în rândul tuturor copiilor dezvoltați normal.

În cadrul matematicii , predarea-învățarea operațiilor aritmetice cu numere naturale are bogate valențe formative, fiind o modalitate princioală de a dezvolta gândirea independentă a copiilor.

În scopul stimulării potențialului creative al elevilor, învățătorul trebuie să fie cel puțin neutru față de evoluția acestuia, în sensul de a nu-iînăbuși manifestările și dezvoltarea , să intervină conștient ș iactiv pentru îndepărtarea blocajelor obiective și subiective ale creativității elevilor, să preia și să dezvolte în mod organizat potențialul creativ al fiecărui copil.

E absolute necesar ca învățătorul să cunoască pe cât posibil situația potențialului psihologic al fiecărui elev în parte, se impune astfel măsurarea prin diferite probe și modalități a potențialului creativ al copiilor, aceste probe să aibă două faze: inițială și finală-în intervalul de timp dintre ele lucrându-se intens cu elevii; rezultatele finale vor reda progresul obținut de elevi în ceea ce privește însușirea cunoștințelor, dar și în ceea ce privește dezvoltarea capacităților creatoare (astfel de probe se pot aplica la început și la sfârșit de capitol, semestru sau an școlar).

Rezultatele obținute oferă informații detaliate care pot fi luate în calcul la elaborarea măsurilor ameliorative pentru elevi astfel: elevii cu capacități reduse de înțelegere și asimilare vor primi spre rezolvare sarcini de nivel reproductive și de cunoaștere pentru a-i ajuta să realizeze obiectivele programei ; iar celor cu potențial creative, li se vor crea condiții propice , în care să li se poată dezvolta nestânjenit capacitățile creative.

Prin aceste probleme de evaluare se realizează o eficientă conexiune inversă ; învățătorul cunoaște despre fiecare elev ce știe și ce nu știe din capitolul respectiv, iar elevii devin conștienți de ceea ce au realizat.

Modul de prezentare al unor itemi în probele aplicate (alegerea răspunsului corect din mai multe posibilități, stabilirea adevărului sau falsității unei propoziții matematice, completarea problemei cu date și întrebări noi, compunerea de probleme) au trezit interesulcopiilor și dorința exprimată de a mai primi astfel de sarcini.

În însușirea cunoștințelor de către elevi un rol important îl are munca independentă, în ora de matematică elevii trebuie să lucreze , să facă efort nu numai aplicativ, cât mai ales mintal creator. În cadrul activității independente din clasă , trebuie să realizăm și învățarea în ritm propriu, deoarece într-o clasă de elevi există mai multe nivele de gândire și ritmuri de lucru variate , specifice fiecărui copil.

Este necesar ca elevii să fie obișnuiți ca singuri să caute de lucru, să creeze probleme și exerciții pe care să le resolve și în felul acesta ora de matematică să fie o oră densă , în care elevii să lucreze mai mult, învățătorul lucrând cu clasa cât și cu fiecare elev în parte, astfel elevii înțeleg că matematica este o știință a realității înconjurătoare , indispensabilă diverselor activități umane practice, nu e doar o activitate abstractă pură.

Principiul participării conștiente și active a elevilor în procesul de învățământ este unul din cele mai importante principii ale didacticii, exprimând esența procesului învățării în accepție modernă și având cea mai mare participare la realizarea eficienței formative a învățământului. Însușire conștientă a cunoștințelor asigură temeinicia lor, iar însușirea activă prin efort propriu , duce la dezvoltarea inteletuală în primul rând a gândirii, precum și la dezvoltarea spiritului de independență, de investigație, de creativitate. A-i învăța pe elevi cum să învețe a devenit o problemă majoră a școlii. Iată de ce un loc important în formarea și dezvoltarea la elevi a capacităților de creație îl ocupă învățarea prin descoperire și redescoperire.

Toate aceste achiziții ale elevilor sunt permise minime pentru orice act de creație , bază a oricăror creații viitoare și a comportamentului creativ.

Lucrarea de față face simțită armonia interioară a matematicii, capabilă să trezească conștiința că există probleme matematice atrăgătoare , pentru înțelegerea cărora nu este nevoie de un talent special și nici o pregătire care să depășească nivelul claselor elementare.

Consider că scopul propus a fost confirmat și că predarea-învățarea operațiilor aritmetice se datorează în mare parte atât capacităților intelectuale ale elevilor cât și însușirii corecte a metodelor diverse de predare a acestor cunoștințe.

BIBLIOGRAFIE

1.Aron, Ioan- „Metodicxa predării matematicii la clasele I-IV, manual pentru liceele pedagogice” , Editura Didactică și Pedagogică București 1972.

2.Ausubel, D.P. ; Robinson , F.G. – „Învățarea școlară , o introducere în psihologia pedagogică”, Editura Didactică și Pedagogică București 1981.

3. Bărbieru Nadia, Pițuru Ecaterina, Cărbunaru Viorica- „Matematica. Ghidul învățătorului, clasa I”, Editura Teora, București 2000.

4. Cerghit Ioan- „Metode de învățământ”, Editura Didactică și Pedagogică București 1980, ediția a II-a , revăzută și adăugită.

5.Cerghit Ioan „ Perfecționarea lecției în școala modernă” Editura Didactică și Pedagogică București 1983.

6. Cojocariu Venera- Mihaela- „ Teoria și metodologia instruirii”, Editura Didactică și Pedagogică București 2004.

7. Cosmovici Andrei –„Psihologia generală” , Editura Polirom Iași 1996

8. Crețu Carmen , „Curriculum diferențiat și personalizat” Metode didactice, Editura Polirom Iași

9.Cristea Sorin „ Dicționar de pedagogie” Editura Litera Educațional , Chișinău 2002

10.Cristea Sorin „Pedagogie pentru pregătire examenelor de definitivare, grade didactice, reciclare” , Eduâitura Hardiscom 1997

11. Cucoș Constantin (coord)-„Psihopedagogie pentru examenele de definitivare și grade didactice „ Editura Polirom ,Iași, 1998

12. Debesse M. „ Etapele educației”, traducerea de MAgdalena Chelsoi, Editura Didactică și Pedagogică București 1981

13. Dottrens R, Miliaret G., Rast E., Rai M.,-„ A educa și a instrui” , Editura Didactică 1970

14. Drăgan I., Nicola I., „Cercetare psihopedagogică” Editura Tipomur , Târgu Mureș 1993

15. Dumitriu Constanța , „Introducere în cercetarea psihopedagogică”. Editura Didactică și Pedagogică București 2004

16. Golu Pantelimon , Zlate Mielu, Verza Emil – „ Psihologia Copilului „ Manual pentru clasa XI-a , școli normale , Editura Didactică și Pedagogică București ,1993

17.Gugiuman A. și colaboratorii – „Introducere în cercetarea pedagogică”, Editura Tehnică , Chișinău 1993

18. Herescu Gh., Dumitru A., Aron I., – „Matematica pentru învățători”, Editura Didactică și Pedagogică București 1996

19. Joița Elena- „Didactica aplicată. Învățământul primar.partea I”, Editura Gheorghe Alexandrescu , Craiova 1994

20.Lupu Costică, Săvulescu Dumitru- „Metodica predării matematicii. Manual pentru clasa a IX-a licee pedagogice „ , Editura Paralela 45 , Pitești 1998

21. Lupu Costică , „Metodica predării matematicii. Manual pentru clasa a XII-a licee pedagogice „Editura Paralela 45 , Pitești 1998

22. Lupu Costică- „ Didactica matematici” Editura Coba , București 2006

23. Lupu Costică, Săvulescu Dumitru, Lupu Ioan , „Aritmetică: teorie , probleme, metode de rezolvare” Editura Egal, Bacău 2002

24.Neacșu Ion –„ Metode și tehnice de învățare eficientă” Editura militară București 1990

25.Necșu Ion și colaboratorii- „Metodica predării matematicii la clasele I-IV. Manual pentru liceele pedagogice clasele XI-XII” Editura Didactică și Pedagogică București ,1998

26. Neveanu P.P., (coord), Zlate Mielu, Crețu Tinca- „Psihologie. Manual pentru clasa a XI-a , școli normale și licee”, Editura Didactică și Pedagogică București ,1997

27.Neveanu P.P. –„Dicționar de psihologie”, Editura Albatros București 1978

28. Nicola Iona –„Tratat de Pedagogie școlară” Editura Didactică și Pedagogică București ,1996

29. Radu I.T.- „Teorie și practică în evaluarea eficienței învățământului”,

Editura Didactică și Pedagogică București ,1981

30.Radu Nicolaie, Singer Mihaela- „Matematică , clasaI.Ghid pentru ănvățători și părinți”, Editura Sigma București 2004

31.Singer Mihaela- „Matematică , manual pentru clasa I”, Editura Sigma București 2004

32. Singer Mihaela –„Învățarea matematici în școala primară-perspectiva noilor programe”, Revista de pedagogie , nr.4 1998

33.Șchiopu Ursula- „Psihologia Generală a Copilului” ,Editura Didactică și Pedagogică București ,2001

34.Telinou P., „Culegere de exerciții și probleme de aritmetică”, Editura Porto-Franco, Galați 1991

35. XXX Serviciul Național de evaluare și examinare, Consiliul Național pentru Curriculum-Descriptori de performanță pentru învățământul primar”, Editura pro-Gnosis, București 2001.