Predarea Invatarii Numeratiei In Invatamant

LUCRARE DE LICENȚĂ

PREDAREA-ÎNVĂȚAREA NUMERAȚIEI

ÎN ÎNVĂȚĂMÂNTUL PRIMAR

INTRODUCERE

Învățarea matematicii necesită un stil de muncă adecvat, deoarece obținerea rezultatelor depinde atât de cantitatea de efort depusă, cat si de calitatea rezultatului. Este important să se sporească atât randamentul muncii și al lecțiilor cât și a muncii personale a elevului. În același timp cu aceeași cheltuială de energie, elevul trebuie să asimileze mai mult, mai temeinic, mai organizat. Predarea, ca activitate a profesorului și cea de învățare, a elevului, obiectivează mereu în interfață conturată de rezultatele obținute.

Înțelegerea conceptului de număr natural are un caracter concret. Aceasta este o consecință a muncii elevilor, a dorinței lor de a obține rezultate bune, dar și a strădaniilor cadrului didactic de a educa elevii cât mai inteligenți să se descurce în orice situație.

Procesul de predare – învățare a matematicii în ciclul primar trebuie efectuat prin operații cu obiecte care se structurează și se interiorizează, transformându-se din operații logice în operații abstracte.

Formarea reprezentărilor matematice se realizează prin ridicarea treptată către general, la niveluri succesive, unde relația între concret și logic se modifică în direcția esențializării realității. Pe măsură ce elevii își însușesc noțiunea de număr, aceștia încep, chiar în cadrul însușirii acestei noțiuni, să opereze cu numere.

Un rol important în dezvoltarea capacitaților de investigare și de înțelegere a
noțiunii de număr natural, la elevi, îl are profesorul de la ciclul primar. De acesta depinde în cea mai mare măsură dezvoltarea capacitații de înțelegere a conceptului de număr natural.

Un rol important îl are și experiența sa didactică, acumulată de-a lungul carierei sale. El trebuie să-i ajute pe elevi, nici prea mult nici prea puțin, astfel ca elevului să-i revină o parte rațională din muncă, să se bazeze pe propriile forțe, să conștientizeze ceea ce trebuie să facă. Elevii trebuie obișnuiți să înlăture obstacolele care intervin în rezolvarea de exerciții și probleme, să treacă de la concret la abstract, de la simplu la complex.

Am ales această temă întrucât consider că este foarte important ca asimilarea de către elevi a noțiunii de număr natural să se facă într-un mod corect și bazat pe interiorizarea conceptului și nu doar prin simpla memorare.

De aceea sunt foarte importante în ciclul primar metodele de predare-învățare, cunoașterea și aplicarea adaptată a acestora în funcție de conceptele abordate fiind elemente esențiale pe care cadrul didactic trebuie să le cunoască.

Folosirea permanentă a unei terminologii corecte, punerea copiilor în situații variate de comunicare prin exprimarea soluțiilor sau a datelor unei probleme de limbaj matematic, justificarea soluțiilor și expunerii argumentative a demersului rezolutiv, utilizarea unui ansamblu de coduri și convenții exprimate în limbaj matematic ca parte a unui sistem universal de comunicare sunt modalități de exersare a comunicării, specifice disciplinei.

Privind dincolo de interesul matematic al cuvântului problemă, elevul se va deprinde să aleagă dintr-o varietate de căi de rezolvare pe cea convenabilă prin felul în care se organizează activitățile de învățare și tematica aleasă pentru situațiile ce necesită a fi rezolvate, folosind diverse strategii de investigare și rezolvare a problemelor, prin tatonare, prin încercare/eroare , prin reprezentare grafică, prin modelare. Datorită  dezvoltării gândirii matematice a elevilor cresc șansele ca ei să se adapteze optim situațiilor în schimbare, asigurându-se trecerea cu succes la treapta superioară de școlarizare.

Procesul de predare – învățare a matematicii în ciclul primar trebuie efectuat prin operații cu obiecte care se structurează și se interiorizează, devenind progresiv operații logice abstracte.

În cadrul acestei lucrări voi demonstra că îndemnul lui Plutarh de acum mai bine de 2000 de ani, nu este o parabolă ci este un fapt concret: “Capul copilului nu este un vas pe care să-l umpli, ci o făclie pe care s-o aprinzi, astfel încât, mai târziu să lumineze cu lumină proprie”.

CAPITOLUL 1. PREDAREA-ÎNVĂȚAREA NUMERAȚIEI ÎN ÎNVĂȚĂMÂNTUL PRIMAR

1.1. Conceptul de număr natural

Numărul este proprietatea numerică a mulțimii. Numărul natural este definit de cardinalul unei clase de echivalență de mulțimi finite de aceeași. Numărul natural poate avea atât aspect cardinal, cât și ordinal. Operațiile simple de reuniune sau de diferență a două mulțimi vor constitui baza pentru introducerea operației de adunare și scădere cu numere.

„Cea mai cunoscută și utilizată entitate matematică pe care copilul o întâlnește încă din perioada preșcolară o reprezintă numărul natural. Pentru introducerea acesteia, învățătorul trebuie să cunoască noțiunile generale asupra numărului natural și modul în care acesta poate fi introdus.” (Mihail Roșu, Didactica matematicii în învățământul primar, editura Proiectul pentru Învățământul Rural, 2007)

Copiii de vârstă mică se găsesc în stadiul operațiilor concrete. Ei învață îndeseobi prin intuiție și manipulare directă de obiecte concrete, iar activitatea matematică reproduce, între anumite limite, spațiul fizic în care aceștia se dezvoltă. De aceea, cunoașterea și modelarea lor prezintă pentru învațarea matematicii un interes esențial.

Cercetările de psihologie genetică și a învațării au arătat că în jurul vârstei de 3-4 ani copiii devin capabili să localizeze un set de obiecte într-un sistem de relatii spatiale.

Mai apoi, la vârsta de 4-5 ani, copilul este capabil să copieze un pătrat și să-l reproducă sub forma unei figuri oarecare închise se formează astfel, treptat, intuitiv noțiunile figurative de interior și exterior, de închis și deschis. După vârstă de 5 ani, copiii devin capabili să reproducă o anumită ordine spațiala simplă.

La începutul școlarității, posibilitățile copiilor de a înțelege spațiul geometric se lărgesc în mod considerabil începând cu vârsta de 6-7 ani copiii pot să organizeze în mod concret spațiul fizic. Ei înțeleg și pot să explice anumite proprietăți ale figurilor geometrice, să noteze grafic deplasările unui corp, să contruiască mulțimi de obiecte după anumite proprietăți ale elementelor sale. Apar primele semne ale formării noțiunii de măsură.

Deci, la această vârstă, prin activități atent dirijate, elevii pot fi conduși la sesizarea poziției unui obiect față de alt obiect și la aprecierea distanței între ele, folosind cuvintele „mai aproape”, „mai departe”, „cel mai depărtat”, „cel mai apropiat” etc.

Perceperea relațiilor spațiale va fi completată cu activități de observare a obiectelor din clasă, a poziției unui obiect față de altul etc., pentru a deprinde noțiunile de: înapoi, la dreapta, la stânga, jos, sus, la mijloc și să reprezinte grafic distanța dintre doua obiecte.

Copiii vor fi conduși, tot prin activități concrete, la cunoașterea și denumirea figurilor geometrice, triunghi, dreptunghi, cerc: prin manipulare, observare, și recunoaștere copiii ajung să denumeasca corpuri geometrice cu ajutorul cărora apoi vor deprinde noțiunile de cerc (de la sfera), de pătrat (de la cub), de dreptunghi (de la prisma).

Cercetările psihologice arată că la începutul vârstei scolare mici apar și se dezvoltă primele operații logice elementare: conjuncția, disjuncția logică și negația.

Formarea mulțimilor după una sau mai multe proprietăți ale elementelor lor cultivă și dezvoltă la elevi capacitatea de a lega între ele proprietățile obiectelor care alcătuiesc o mulțime, cu ajutorul elementelor de relație sau- corespunzator disjuncției (pătrat sau triunghi) și – corespunzător conjuncției a două proprietăți (pătrat si roșu) și nu –pentru negația unei proprietăți (nu este pătrat). În același timp, tot prin activități practice și folosind disjuncția, conjuncția și negația, se introduc operațiile cu mulțimi: reuniunea, intersecția și diferența a doua mulțimi.

Pentru înțelegerea si însușirea operațiilor cu mulțimi, este necesar ca învațătorul să reia unele jocuri logico-matematice din învățământul prescolar: jocul disjuncției, al conjuncției, al negației, al perechilor, jocuri de formare de mulțimi, de ordonare a elementelor unor mulțimi etc.

În activitățile cu mulțimi de obiecte, învațătorul va folosi întotdeauna un limbaj matematic clar, precis, pe înțelesul și la nivelul de pregătire al copiilor. Când afirmațiile elevilor conțin idei concrete, dar formulate într-un limbaj nesigur, aprecierea învațătorului trebuie să fie pozitivă, subliniindu-se partea corectă a răspunsului dat de elevi și ajutându-i să-și corecteze modul de a se exprima matematic.

Una dintre premisele psiho-pedagogice esențiale ale formării conceptului de număr natural la copil este apariția, la această vârstă (6-7 ani), a primelor reprezentări asupra invățării cantității. Copiii sunt capabili să stabilească corespondența între elementele a două mulțimi și să exprime rezultatul acestei activități prin cuvintele: „mai mult”, „mai puțin” sau „tot atât”.

Plecând de la activități logice de comparare a mulțimilor, elevii vor deveni conștienți de modul în care se stabilește corespondența (element cu element) a doua mulțimi-suportul constituindu-l numeroase situații de viață. Introducerea conceptului de număr natural impune, ca o etapă premergătoare, familiarizarea elevilor cu noțiunea de relație echivalentă a mulțimilor, de clasă de echivalență, de funcție bijectivă, folosindu-se expresiile de „tot atât”, „mai puțin”.

La început e bine să se folosească o serie de jocuri sau scurte istorioare, care să-l plaseze pe copil în universul lui pentru a-i utiliza propria sa experiență de viață.

Activitățile de punere în corespondență a elementelor a doua mulțimi se pot desfășura în două direcții principale:

-stabilirea echivalenței a două mulțimi de obiecte prin realizarea corespondenței element cu element;

-construirea unei mulțimi echivalente cu o mulțime data.

O atenție deosebită trebuie să acorde învațătorul mijloacelor materiale și de comunicare utilizate, formulării concluziilor, manipulării obiectelor prin care se formează sau se pun în corespondență mulțimile, folosirii unui limbaj adecvat. De exemplu, în loc de expresia „funcție bijectiva” se poate folosi „corespondența element cu element”, iar în loc de mulțimi echivalente se pot folosi „mulțimi cu tot atâtea elemente”.

Corespondența element cu element a doua mulțimi se poate indica grafic prin unirea cu o linie a unui element din prima mulțime cu un element din a doua mulțime.

Folosirea rigletelor oferă învațătorului posibilitatea să efectueze cu elevii corespodențe între elementele unei mulțimi oarecare, iar o mulțime formată din „riglete unități” dispune în linie, dă posibilitate micilor școlari să găseasca riglete cu același număr de unități cât este numărul elementelor unei mulțimi.

Familiarizarea elevilor cu rigletele se realizează, la început, sub atenta supraveghere a învațătorului. Se recomandă ca ei să fie încurajați „să se joace” efectuând exerciții de folosire a culorilor și de egalizare a lungimilor. Comparând două riglete copiii vor deduce dacă au aceeași lungime sau nu, vor așeza în prelungire două sau mai multe riglete pentru a egala o rigletă cu o lungime mai mare.

1.2. Introducerea numărului natural cu ajutorul claselor de echivalență

Cea mai cunoscută și utilizată entitate matematică pe care copilul o întâlnește încă din perioada preșcolară o reprezintă numărul natural.

Pentru introducerea acesteia, învățătorul trebuie să cunoască noțiunile generale asupra numărului natural și modul în care acesta poate fi introdus. Pentru aceasta am considerat necesară prezentarea a două puncte de vedere referitoare la introducerea noțiunii de număr natural și anume:

a)introducerea numerelor naturale pornind de la mulțimile echivalente;

Pentru introducerea numerelor naturale trebuie definită mulțimea finită pornind de la mulțimile echivalente. Considerăm cunoscute noțiunile de mulțime și relație.

Fie A și B doua mulțimi.

Definiție. Spunem că mulțimile A și B sunt echipotente și notăm A ~ B, dacă există o funcție bijectivă f:A —> B

Relația de echipotență are următoarele proprietăți:

1.Reflexivitatea. Orice mulțime A este cardinal echivalentă cu ea : A~A

2.Simetria. Dacă mulțimile A și B sunt cardinal echivalente, atunci și mulțimile B și A sunt cardinal echivalente, adică A~B=>B~A

3.Tranzitivitatea. Dacă mulțimile A și B sunt cardinal echivalente, iar mulțimile B și C sunt și ele cardinal echivalente, atunci și mulțimile B și C sunt cardinal echivalente, adică :A~B si B~C=>A~C

Având cele trei proprietăți, relația de echipotență este relație de echivalență. Aceasta relație T împarte mulțimile în clase disjuncte pe care le vom numi clase de echivalență A care are pătrate și cu mulțimea care are două steluțe.

Definție. Numerelele cardinale sunt clasele de echipotentă determinate de relația „ ~ " (de echipotență).

Vom nota A sau card A cardinalul mulțimii A . Se observă că : A=B<=>A~B.

Fiind o noțiune abstractă, noțiunea de număr cardinal nu poate fi prezentată copilului sub acest aspect. Pentru aceasta se impune referirea la mulțimi finite echipotente, care vor fi suficiente pentru definirea numărului natural.

Definiție. Numărul natural este cardinalul unei mulțimi finite.

Mulțimea numerelor naturale se notează cu N și este formată din următoarele elemente N= {0,1,2,3,4,}.

b) Introducerea numerelor naturale folosind axiomatizarea lui Peano.

Această introducere bazată pe noțiunea de succesor este necesară mai ales pentru evidențierea proprietăților numerelor naturale.

Giuseppe Peano (1858 – 1932) a arătat, în 1891, că toate proprietățile numerelor naturale rezultă din cinci axiome:

Al : 0 este număr natural.

A2 : Orice număr natural are un singur succesor.

A3 : 0 nu este succesorul nici unui număr natural.

A4 : Două numere naturale distincte au succesori distincți.

A5 : Mulțimea numerelor naturale este cea mai „mică" mulțime cu proprietățile :

Un număr natural a poate reprezenta cardinalul unei mulțimi A dacă puterea acelei mulțimi este egală cu a, adică dacă mulțimea respectivă conține a elemente. În acest caz se scrie : a = card. A. Numărul natural care reprezintă cardinalul unei mulțimi se numește număr cardinal.

Dacă însă un număr natural indică rangul unui element din mulțimea considerată , adică arată locul pe care îl ocupă acel element în succesiunea ordonată a elementelor mulțimii, atunci el se numește număr cardinal.

Exemplu : Elevii din clasă sunt înscriși în catalog într-o anumită ordine și anume după alfabet. Numărul pe care îl are fiecare elev în ordinea înscrierii în catalog reprezintă numărul ordinal. Numărul pe care îl are ultimul elev este și el număr ordinal, deoarece arată al câtelea elev în ordine alfabetică este acesta, dar în același timp este și număr cardinal, deoarece indică numărul total al elevilor din clasă.

Pentru a stabili numărul cardinal, numărarea se poate face într-o ordine oarecare arbitrar aleasă. Astfel, numărul elevilor din clasă poate fi stabilit prin numărarea în ordine alfabetică, în ordinea în care sunt așezați în bănci, în ordinea în care se prezintă dimineața la școală, în ordinea mediilor obținute la finalul anului școlar sau după oricare alte criterii, obținându-se de fiecare dată același rezultat.

c) Aspectul cardinal al numărului natural

Încă din cele mai vechi timpuri omul a trebui să compare diferite mulțimi de obiecte pentru a vedea care mulțime conține mai multe obiecte. Astăzi acest lucru se face prin numărarea și compararea numerelor obținute ca rezultate ale numărării. Aceasta presupune că se cunosc deja numerele și că se știe a se număra. Cum procedează micul școlar în fața unei asemenea necesități el realizează o ordonare în perechi a elementelor mulțimilor ce se compara, adică realizează ceea ce numim corespondență unu la unu. Daca această ordonare se poate realiza, atunci cele două mulțimi au tot atâtea elemente sau cele două mulțimi prin natura elementelor lor, sunt echipotente, adică au aceeași putere.

Dacă, însă, toate elementele primei mulțimi sunt puse în corepondență numai cu o parte a elementelor celei de a doua mulțimi, atunci se spune că prima mulțime are mai pține elemente decât a doua sau că a doua mulțime are mai puține elemente decât prima sau că a doua mulțime are mai multe elemente decât prima.

Toate mulțimile care pot fi ordonate complet în acest fel au o proprietate comună, anume aceea că au același număr de elemente. Astfel se fromează noțiunea de număr cardinal.

d) Aspectul ordinal al numărului natural

Necesitate de a stabili o ordine în interiorul unei mulțimi a condus la aspectul ordinal al numărului natural. După un anumit criteriu, de exemplu rezultatele la învățătură exprimate prin mediile obținute, se poate alcătui o ierarhie a elevilor într-o clasă stabilind cine este primul la învățătură, cine este al doilea ș.a.m.d.

Numărul de ordine atașat într-o asemenea oridine se numește număr ordinal.

Aspectele cardinale și ordinale s-au dezvoltat într-o legătură permanentă unele cu altele și formează cele două aspecte ale numerelor naturale, la care se adaugă numărul zero.

e) Ordonarea numerelor naturale

Axioma 2 a lui Peano spune că orice număr natural dat are un succesor. Aceasta înseamnă că în șirul numerelor naturale nu există un număr despre care să spunem că este ultimul. Înseamna că acest șir este infinit. Axioma 3 spune că 0 este succesorul nici unui număr natural. Cum oricare alt număr are un succesor, înseamnă că 0 este primul număr al acestui șir.

Pentru oricare două numere naturale n și m există una dintre cele trei relații

N este mai mic decât m

N este egal cu m

N este mai mare decât m

Mai bine spus, prin relația de succesiune s-a introdus o relație între două elemente vecine, relație notată cu „>” și anume n>m.

Pentru două numere naturale oarecare a x și y se introduce o relație notată tot cu “>” în felul următor : dacă există un număr z=0 astfel încât x=y=z, atunci se spune că x este mai mare decât y, sau z este mai mic decât x.

Se verifică astfel faptul că această relație este o relație de ordine totală, adică N este total ordonată. Pe lângă proprietățile obișnuite ale unei relații de ordine ea se mai bucură de proprietăți speciale ale relației de ordine dintre numerele naturale și anume proprietatea de trichotomie doua numere naturale x și y sunt neapărat în una dintre relațiile x>y, x=y sau x<y.

1.3. Modalități de abordare a conceptului de număr natural

La baza gândirii și operativității matematice a elevilor se află însușirea și înțelegerea conceptului de număr natural și mai ales introducerea primelor nouă numere naturale. Pentru aceasta elevii trebuie familiarizați cu noțiunea de mulțimi echivalente și cu noțiunea de clasă de echivalență. Atunci învățătorul trebuie să reia o serie de jocuri logico-matematice din învățământul preșcolar, jocuri de formare a unei mulțimi și de ordonare a elementelor unei mulțimi.

O atenție deosebită trebuie acordată utilizării limbajului matematic adecvat posibilității de înțelegere a copiilor.

La început se va pleca de la activitatea logică de comparare a mulțimilor , de stabilire a corespondenței element cu element a două mulțimi, după care se va trece la abstractizări și generalizări. Realizarea acestor activitatăți va avea la bază folosirea reprezentărilor mulțimilor prin diagrame Euler- Venn, marcarea corespondenței elementelor prin săgeți sau utilizarea rigletelor care dau elevului posibilitatea să compare utilizând termeni ca : „ mai mare " , „ mai mic" sau „egal".

Pentru predarea – învățarea numerelor naturale deosebim patru etape :

Predarea – învățarea numerelor 0-10;

Predarea – învățarea numerelor până la 20;

Predarea – învățarea numerelor pana la 100, pana la 1000, mai mari decât 1000;

Predarea – învățarea numerelor mai mari decât 1000.

1.3.1.Specificul procesului de predare-învățare a numerelor din concentrul 0-10

Formarea reprezentărilor privind numerația 0 – 10 trebuie să aibă în vedere atât aspectele de ordin teoretic, cât și pe cele de psihopedagogie.

Primele zece numere constituie fundamentul pe care se dezvoltă ulterior întregul edificiu al gândirii matematice a copilului și, de aceea, trebuie să i se acorde o atenție deosebită. Acesta este primul contact al copiilor cu matematica, este perioada când aceștia încep să folosească cuvintele pentru denumirea numerelor și a cifrelor, pentru scrierea lor.

La conceptul de număr elevul ajunge progresiv și după o anumită perioadă pregătitoare. În această perioadă este inițiat în activități de compunere și punere în corespondență a mulțimilor pentru a desprinde ideea de mulțimi echivalente sau mulțimi care au același număr de elemente, de constituire, după anumite criterii de submulțimi date, de numărare a elementelor unei mulțimi, de transpunere prin simboluri a unei mulțimi.

Înregistrarea în scris a numărului, introducerea simbolului sau a semnului grafic a numărului, reprezintă o etapă superioară a procesului de abstractizare. Copilul dobândește astfel o noțiune care are un grad mai mare de generalizare și devine astfel capabil să cunoască mai profund relațiile dintre obiectele și fenomenele lumii înconjurătoare.

Activitățile de stabilire a corespondenței element cu element a mulțimilor, urmăresc să dezvolte la copil înțelegerea conținutului esențial al noțiunii de număr, ca o clasă de echivalență a mulțimilor finite echipotente cu o mulțime dată.

Elevii construiesc mulțimi echivalente cu o mulțime dată și, în acest proces activ de comparare, înțeleg mai bine proprietățile numerice ale mulțimilor care au același număr de elemente. Folosind denumirea de mulțimi cu „tot atâtea elemente” se detașează, progresiv, noțiunea de număr ca o clasă de echivalență.

Clasa tuturor mulțimilor finite de echivalente cu mulțimea cu un singur element este număr natural 1. Clasa mulțimilor echivalente cu o mulțime dată se aleg 2-3 mulțimi model, ca reprezentanți ai clasei. Esențial este ca elevii să înțeleagă faptul că există un număr nesfârșit de mulțimi echivalente cu mulțimea model, precum și distincția dintre număr natural.

Însușirea conștientă a noțiunii de număr se fundamentează pe:

a) înțelegerea de către copil a numărului ca proprietate a mulțimilor cu același număr de elemente;

b) înțelegerea locului fiecărui număr în șirul numerelor de la 0 la 10;

c) înțelegerea semnificației reale a relației de ordine pe mulțimea numerelor naturale și a denumirilor corespunzătoare;

d) cunoașterea cifrelor corespunzătoare numărului;

e) citirea cifrelor de tipar și scrierea cifrelor de mână;

Elevii trebuie să înțeleagă că relația de ordine pe mulțimea numerelor naturale nu este dată de denumirea lor, care de multe ori se învață mecanic, ci de relațiile “mai mic”, “mai mare” care se stabilesc între numere și care corespund relațiilor: “mai puțin” sau “mai mult” între mulțimile ce reprezintă numerele date.

Coborând ideea caracterului stadial al dezvoltării intelectuale cu modalitățile principale de reprezentare a realității în învățare-acțional, iconic și simbolic putem, încă din clasa a I, pe baza teoriei mulțimilor, a compunerii și descompunerii numerelor, să trecem într-un mod rațional și eficient de la imaginație reproductivă la cea probabilistică, de formele operatorii mentale concrete la cele abstracte chiar dacă la acestă vârstă simbolurile nu se desprind de suporturile lor obiective.

O atenție specială trebuie acordată procesului de înțelegere a semnificației cifrei 0 (zero), deoarece aceasta reprezintă pentru copil o dublă abstracție cifra zero nu mai exprimă ceva concret, ea este simbolul clasei de mulțimi care nu au nici un element, adică a mulțimilor vide.

Pentru a-i deprinde pe elevi cu succesiunea numerelor este necesar ca, în același timp cu introducerea numărului nou, să se predea și relația de ordine a acestuia cu numărul și numerele predate anterior.

Programa de matematică prevede pentru predarea fiecărui număr natural în concentrul 0-10 câte două lecții. În prima lecție se introduce conceptul de număr, iar în a doua se introduce relația sa de ordine cu numărul și numerele predate anterior.

Principalele obiective care stau la baza predării-învățării numerației 0-9:

a)Familiarizarea și cunoașterea mulțimilor de către elevi având la bază obiecte concrete si material didactic. Pentru aceasta se impune :

folosirea de către elevi a mulțimilor cu obiecte cunoscute și cu
specificarea proprietăților caracteristice ale acestor obiecte ;

separarea unor submulțimi dintr-o mulțime dată și reuniunea submulțimilor formate

folosirea terminologiei apropiate nivelului de înțelegere ;

utilizarea unor materiale didactice.

b) Formarea unor mulțimi de obiecte după formă, mărime , culoare etc.

c)Reprezentarea mulțimilor prin desene sau forme grafice. Aceasta etapă pregătește introducerea simbolurilor matematice.

d) Compararea mulțimilor prin corespondente bijective pentru intuirea relației de echipotență a mulțimilor.

e) Conștientizarea noțiunii de număr natural , ca fiind cardinalul mulțimilor
finite echipotent. În această etapă elevul trebuie să conștientizeze dacă două mulțimi
sunt echipotente sau nu.

f) Să denumească și să identifice corect numerele 0-10.

g) Să scrie corect numerele 0-10.

Pentru aceasta se parcurg următoarele etape:

• prezentarea cifrei de tipar și de mână și compararea lor ;

• descompunerea cifrei de mână în elementele componente care se denumesc ;

• se recompune cifra de mână din elementele corespunzătoare ;

• se parcurge conturul cifrei cu degetul sau cu un obiect la indicațiile învățătorului ;

• scrierea cifrei de către elevi după care se face corectarea și se va scrie, în final, un rând.

h) Compunerea și descompunerea numerelor naturale. Această etapă este foartă importantă pentru asigurarea conștientizării valorii numărului natural.

i) Folosirea relației de ordine în compararea numerelor. Pentru realizarea acesteia se parcurg etapele :

– se compară numărul studiat cu cele învățate;

-se ordonează numerele în șir crescător și descrescător.

1.3.2. Specificul de predare-învățare a numerelor din concentrul 10-20

Așa cum am arătat în partea introductivă a capitolului, datorită greutăților de scriere, a necesității folosirii unei terminologii specifice fiecărui număr format într-un sistem nepozițional, practica socială și educațională a impus introducerea și folosirea sistemului zecimal pozițional.

Fără să reluăm în detaliu aspectele teoretice anterioare, vom expune în continuare câteva considerații metodice privitoare la introducerea, scrierea și citirea numerelor naturale formate din zeci și unități.

Acestea au la bază, de altfel ca și introducerea oricărui număr natural mai mare decât 10, formarea de submulțimi din câte zece elemente fiecare și numărarea lor.

Numărul corespunzător mulțimii formate din doua submulțimi de câte zece elemente este 20.

Aceasta se scrie 20 și se citește douăzeci. Se explică apoi că numărul este obținut ca o sumă formată din zeci (20=10+10) și se arată legătura acestui mod de a scrie numărul 20 cu cel corespunzător cu al unităților în concentrul 0-10.

Se vor face în continuare exerciții de formare, recunoaștere și citire de numere formate din zeci; ca sarcini recomandăm:

-așezati pe bancă doua riglete de câte zece unități și spuneți cărui număr corespund

-arătați care sunt rigletele ce corespund numărului 50

Relația de ordine în mulțimea numereleor formate din zeci se poate introduce prin mai multe modalități. Una ar fi reprezentarea acestor numere pe o axă. O a doua ar consta în compararea numărului de unități de ordinul al doilea din fiecare număr. Cea de-a treia constă în utilizarea procedeului prin analogie cu numerele din concentrul 0-10.

Ca material didactic se pot folosi, numărătorul cu bile, trusa magnetică, trusa cu riglete, planșe, jetoane etc.

Pentru numerele de la 10 la 20 se vor folosi aceleași procedee și materiale didactice ca și pentru concentrul 0-10.

Exemplu . Pentru numărul natural 14 se vor parcurge următorii pași :

se formează o mulțime de zece elemente ;

se formează o mulțime cu patru diferite de cele din prima mulțime ;

se reunesc cele două mulțimi obținându-se o mulțime formată cu 10 elemente și încă 4 elemente ;

se explică elevilor că o astfel de mulțime are paisprezece elemente și semnul grafic al numărului este ‘14’. Datorită scrierii numerelor mai mici decât 20, elevii au contact cu ideea de bază a sistemului zecimal de scriere a numerelor naturale. Pentru numărul 20 se consideră două grupe de câte 10 și se citește douăzeci. În această etapă este foarte folositoare utilizarea rigletelor. Materialul didactic folosit poate fi cât mai variat. Introducerea numerelor din concentrul 10-20 are la bază urmatoarele etape:

• din 10 obiecte grupate formăm o zece ;

• unitățile rămase după gruparea zecii, împreună cu zecea un număr cuprins între l0 si 20.

Predarea-învățarea numerelor naturale pâna la 20 formate din zeci și unități, se face prin procedee similare cu cele utilizate în concentrul 0-10, folosindu-se aceleași materiale didactice: trusa cu riglete, trusa cu figuri geometrice, tablă magnetică, jetoane, calculatoare cu bile etc.

Studiul numerelor mai mici decât 20 îi ajută pe elevi să-și lărgească și îmbogățească în mod continuu gândirea cu metode, tehnici și procedee noi, să-și reactualizeze și să transfere cunoștințele mai vechi.

Trecerea la nr. 10 la numărul 11 se poate face în mod analog cu trecerea de la numărul 4 la numărul 5. Procedura metodică este următoarea:

se formează o mulțime de 10 elemente

se formează o mulțime cu un element

se reunesc cele doua mulțimi și se obține o mulțime formată din 10 elemente și încă un element

se explică elevilor că despre o astfel de mulțime spunem că are 11 elemente și că semnul grafic sau simbolul numărului 11 este “11”.

În mod asemănător se procedează și în continuare, considerând o mulțime cu 10 elemente și o mulțime cu două elemente, care se reunesc și se obține o mulțime de 12 elemente. Clasa mulțimilor cu douăsprezece elemente este numărul natural doisprezece, care se scrie 12.

Prin scrierea numerelor formate din zeci și unități elevii iau contact cu ideea de bază a sistemului zecimal de scriere și notație a numerelor. Pentru prima dată elevul întâlnește în scrierea numerelor o nouă semnificație a cifrelor: după locul pe care-l ocupă în scrierea numerelor.

Anumite dificultăți ce apar legate de pronunțarea, scrierea cifrelor și înțelegerea semnificației unei anumite cifre, care depinde de locul pe care îl ocupă în scrierea pozițională a numărului, se pot înlătura îndeseobi printr-un exercițiu sistematic și îndelungat.

Există și o altă modalitate de formare a unui număr cuprins între 10 și 20. Baza o constituie axiomatica lui Peano, iar metodologia are ca nucleu formarea fiecărui număr nou din numărul precedent prin adăugarea unei unități.

1.3.3. Specificul de predare-învățare a numerelor până la 100, până la 1000

Înțelegerea procesului de formare a numerelor mai mari decât 10 și mai mici decât 20 este esențială pentru extinderea procesului de formare a numerelor mai mici decât 100 și a scrierii lor poziționale.

Dacă vom reuni o mulțime formată din 20 de elemente cu o mulțime formată din 5 elemnte se obține o mulțime care are 25 de elemente.

Activitățile de reuniune a mulțimilor formate dîntr-un număr de submulțimi de câte 10 elemnte cu o mulțime formată dîntr-un număr de elemente mai mic decât 10 elemnte, ne conduc în mod progresiv la construcția mulțimii numerelor naturale mai mici decât 100.

Trecerea de la concentrul primelor 10 numere naturale la numerele mai mici decât 100 prin depășirea primei zeci, constituie esența înțelegerii de caître copil a structurii zecimale a sistemului de numerație și o bază necesară pentru extinderea treptată a concentrelor numerice.

Pentru a ilustra formarea succesivă a șirului numerelor naturale se poate folosi un material didactic bogat și variat existent, material confecționat de învățător în perioada de pregătire a lecțiilor sau procurat de elevi.

1.3.4. Specificul de predare-învățare a numerelor mai mari decât 1000

Predarea-învățarea numerelor de mai multe cifre (a numerelor de orice mărime) se face în clasa a treia conform sistemului concentric de repartiție a materiei, după ce elevii și-au însușit numerația orală și scrisă până la 1000, precum și operațiile aritmetice în cadrul acestui concentru.

Această nouă etapă prezintă următoarele caracteristici:

Se extinde considerabil sistemul zecimal de numerație cu noi unități de calcul;

Se introduc noțiunile de ordin și clasă;

Se completează și se consolidează înțelegerea conceptului de sistem pozițional de numerație, având la dispoziție mult mai multe exemple decât până în prezent;

Se studiază sistematic operațiile în scris, proprietățile acestora, ordinea operațiilor precum și folosirea parantezelor;

Va fi îmbunătățit limbajul matematic;

Apelul la intuiție se va diminua, se va trece progresiv în mod hotărât la abstractizări, un rol preponderent având procesul gândirii.

Elevii vor învăța, studiind numerele până la 1000, următoarele unități: unitatea simplă-zecea-suta-mia.

Elevii cunosc baza zecimală a acestor unități, respectiv zece unități simple ei știu că formează o zece, zece unități formeză o sută, iar zece sute formează o mie astfel încât vor înțelege că zece unități oarecare formează o unitate de ordin imediat superior.

Atât scrierea și citirea numerelor de mai multe cifre, cât și noțiunile de ordin și clasă sunt chestiuni care cer mult exercițiu, pentru ca în cele din urmă elevii să-și formeze deprinderile și automatismele necesare.

Neînțelegerea lor face practic imposibilă etapa însușirii operațiunilor cu numere de mai multe cifre.

1.4. Sisteme de numerație

1.4.1. Sistemul de numerație Sumerian

Civilizația Sumeriană a înflorit cu 4.000 ani î.C. în fertila câmpie dintre Tigru și Eufrat. Era o civilizație avansată care construia orașe și sisteme de irigație, care a realizat un sistem legislativ, care avea un sistem administrativ performant și chiar un serviciu poștal.

„Cu peste 3.500 ani î.C., sumerienii scriau pe tăblițe de lut. Obiecte diferite erau reprezentate prin simboluri diferite, iar numărul acestora era prezentat prin repetiție.

În jurul anului 3.200 î.C. Sumerul este cucerit de akkadieni. Cele două civilizații își unesc cunoștințele în toate domeniile. „ (www.referat.ro-sisteme de numeratie)

Acest sistem avea două inconveniente. În primul rând, pentru fiecare obiect trebuia să existe un simbol caracteristic, simboluri care necesitau memorare. Al doilea inconvenient era legat de reprezentarea cantității, acesta necesitând crearea unui alt sistem de reprezentare.

Prima inovație după inventarea scrisului a fost abstractizarea numărului de obiecte de același fel. În așa fel încât, trei butoaie cu ulei erau reprezentate prin simbolul pentru trei urmat de simbolul pentru butoi cu ulei. La fel se puteau reprezenta 3 oi, 3 vaci, în general 3 obiecte de același fel. Astfel, simbolul pentru "trei" nu este în totalitate abstract, dar a reprezentat un salt uriaș în dezvoltarea reprezentării numerelor și a calculului.

Sumerienii foloseau 60 de simboluri numerice, dar nu pentru orice fel de numere. In acest fel, aveau un set de simboluri (o tablă) pentru numărarea obiectelor discrete (cum ar fi oi, butoaie etc.) și o altă tablă pentru calcularea ariilor sau volumelor.

Pentru a număra obiectele (de ex. oi, capre, pești) simbolul pentru un singur obiect era un mic con. Zece conuri erau înlocuite printr-un cerc mic. Șase cercuri mici se înlocuiau printr-un con mare. Zece conuri mari erau reprezentate printr-un con mare cu un cerc mic în interior. Șase conuri mari se înlocuiau printr-un cerc mare. În fine, 10 cercuri mari erau reprezentate printr-un cerc mare în interiorul căruia era plasat un cerc mic.

Scrierea pe tăblițele de lut se putea face foarte ușor: cercul era creat prin apăsarea verticală a unui cui, conul prin aplicarea oblică a cuiului pe tăbliță.

Un alt sistem era folosit pentru măsurarea grânelor. În acest sistem, factorii de multiplicare erau 5, 10, 3, și 10, astfel încât unitatea cea mai mare (un con mare cu un cerc mic în interior) avea valoarea de 10 • 3 • 10 • 5 = 1.500 unități de bază.

Treptat, în decursul mileniului 3 î.C., aceste semne au fost înlocuite de echivalentul lor cuneiform.

La sfârșitul mileniului 3 î.C. a fost introdus sistemul de numerație sexagesimal pozițional. Numărul de simboluri a fost redus la două: , derivat din conul mic, și derivat din cercul mic, care avea valoarea de 10 unități de bază.

1.4.2. Sistemul de numerație Babilonian

Civilizația babiloniană a înlocuit-o pe cea sumeriană începând cu 2.000 î.C.. Babilonienii au moștenit cunoștințele de la sumerienii și akadienii. In ciuda faptului ca au împrumutat scrierea numerelor și baza de numerație de la aceștia, sistemul de numerație a evoluat devenind pozițional.

Babilonienii au stabilit unități de măsură pentru lungime, masă și volum, timp, au creat un calendar si foloseau chiar si împărțirea cercului în 360 de grade. Aceștia aveau cunoștințe astronomice avansate, putând să prevadă eclipsele de soare și de lună. Foloseau fracțiile, pătratul unui număr, rădăcina pătrată.

Au inventat un sistem de scriere pozițional cu baza 60. Aveau un semn pentru unu , care repetat dădea doi, trei și așa mai departe, până la zece, pentru care exista un alt semn . Combinând semnele reprezentând pe unu și pe zece se obțin 11, 12, …, 59. Pentru șaizeci se folosea același semn ca pentru unu, dar valoarea sa era dată de coloana în care se găsea. Se putea continua având posibilitatea reprezentării oricărui număr.

Sistemul avea un inconvenient: deoarece nu exista reprezentare pentru cifra 0, mesopotamienii în locul acesteia lăsau un loc liber. Însă nu totdeauna!. Astfel, nu este clar dacă înseamnă 2, 61, 3601 sau 3660. Totuși, în practică cifra 0 în sexagesimal apare destul de rar.

Fiind pozițional, sistemul este ușor de folosit deoarece utilizează același semn pe diferite locuri, valoarea sa intrinsecă rămânând aceeași, dar valoarea efectivă depinzând de poziția pe care o ocupă.

1.4.3. Sistemul de numerație Egiptean

„Egiptul a fost probabil prima civilizație în care interesul pentru științe a fost major. Au excelat în medicină și matematici aplicate, dar și în astronomie, mecanică, chimie, fizică, administrație. Chiar numele de chimie provine de la alchimie, vechiul nume al Egiptului. Civilizația Egiptului Antic a atins un înalt nivel încă din cele mai vechi timpuri. Datorită Nilului și climei, Egiptul avea tot ce-i necesar dezvoltării unei civilizații înfloritoare. Egiptul era și ușor de apărat având o lungă graniță cu deșertul Sahara, așa că s beneficiat de perioade lungi de pace, perioade în care societatea s-a dezvoltat rapid.”( www.biblioteca.regielive.ro-cursuri-matematica)

Cu 3.000 de ani î.C., în Egipt era dezvoltată puternic agricultura pe baza inundațiilor bianuale ale Nilului. Teritoriul pe care se întindea Egiptul fiind vast, era nevoie de un sistem administrativ eficient. Pentru calcularea taxelor și repartizarea sumelor colectate pentru construcții, armată ș.a. era nevoie de cunoștințe de aritmetică.

În acea perioadă, Egiptenii aveau pus la punct sistemul de scriere hieroglific. Sistemul de numerație folosit nu era foarte bun pentru realizarea calculelor aritmetice. Operațiile aritmetice, așa cum le cunoaștem azi, erau foarte greu de realizat: adunarea și scăderea se puteau efectua relativ ușor; înmulțirea și împărțirea erau de-a dreptul imposibile. Totuși, egiptenii au dezvoltat metode remarcabile pentru a trece peste acest neajuns.

La început, numerele erau sculptate în piatră pentru a comunica diferite mărimi. Deoarece nu era nevoie să se opereze mult cu ele, pentru cifre nu existau hieroglife speciale. Din momentul în care s-a trecut la utilizarea papirusului pentru scriere, a apărut necesitatea dezvoltării unor mijloace mai rapide de scriere, a apărut necesitatea creării unor hieroglife pentru scrierea numerelor.

Papirusurile descoperite arată că egiptenii, spre deosebire de greci care s-au preocupat de studiul matematicii abstracte, erau legați de rezolvarea unor probleme de aritmetică legate exclusiv de practică.

Sistemul de numerație folosit de ei era zecimal și pozițional, dar nu în accepția actuală. "Cifrele" folosite se obțineau prin compunerea a șapte simboluri de bază:

Deoarece se foloseau semne diferite pentru unități, zeci, sute, mii, …, nu are importanță ordinea scrierii. Nu era nevoie nici de simbol pentru zero.

După inventarea scrierii pe papirus, egiptenii au creat "cifrele" hieratice. Cu ajutorul lor, numerele puteau fi scrise într-o manieră mult mai compactă. În noua scriere existau simboluri pentru 1,.., 9; 10, …, 90; 100, …, 900; 1.000, …, 9.000.

Cele două sisteme de scriere au coexistat mai bine de 2.000 de ani. Cel hieratic era folosit pentru scrierea pe papirus, cel obișnuit continuând să se utilizeze pentru inscripții cioplite în piatră.

1.4.4. Sistemul de numerație Grecesc

Până prin secolul 3 î.C., aproape fiecare republică grecească folosea un alt sistem de notare a numerelor. În timp, schimburile comerciale tot mai intense au dus la adoptarea unui sistem de notare preluat de la fenicieni. Totuși, diferențele între sistemele de numerație nu erau majore, principalul lor rol fiind legat de tranzacțiile economice.

Primul de care ne vom ocupa este sistemul acrofonic folosit în mileniul 1 î.C. (Acrofonic înseamnă că notația unui număr se face prin prima literă a numelui său). Sistemul mai este cunoscut și sub numele de Attica, după regiunea din jurul Atenei în care a fost folosit.

În afară de caracterul I – care este o abreviere – simbol întâlnit în aproape toate sistemele pentru notarea numărului (cifrei) unu, celelalte simboluri derivă din fonograme. De exemplu, simbol G este o versiune mai veche a lui P (pi), prima literă a cuvântului Penta (penta), care înseamnă cinci. La fel, simbolul D este delta, prima literă a cuvântului Deka (deca), ce înseamnă zece; simbolul H este eta, prima literă a cuvântului Hekaton (hecaton), ce înseamnă o sută.

Principalele simboluri folosite erau:

Ca și cel egiptean sau cel roman, primul sistem de numerație grecesc este unul aditiv. De exemplu, pentru a afla numărul:DDGIII-se adună valorile individuale:

DDGIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 28 (nu are importanță ordinea în care sunt scrise simboluri din alcătuirea numărului. Totuși, era preferată scrierea simbolurilor în ordine descrescătoare a valorii acestora.

Pentru reprezentarea unor numere este nevoie de foarte multe simboluri. De ex., pentru a scrie 9.999 se folosesc 32 de simboluri:

CCCCCCCCCHHHHHHHHHDDDDDDDDDGIIII

Nu este surprinzător că apare un simbol pentru 5 de vreme ce baza de numerație folosită este 10, provenind de la cele 10 degete, căci la o mână avem 5 degete. Este însă interesant că vechii greci aveau simboluri pentru 50, 500, 5.000 și 50.000, simboluri care proveneau din combinația simbolului pentru 5 cu simbolurile pentru 10, 100, 1.000, 10.000:

“Așa cum am spus și mai înainte, existau diferențe între reprezentările caracterelor în diferite state. Iată câteva pentru 50:

Pentru vechii greci numărul nu era o noțiune abstractă, era legat de obiectele pe care le număra. Astfel, pentru a preciza o sumă de 5.678 de drahme ei scriau:

în care se observă că simbolul unităților este caracteristic pentru drahmă. ”(www.biblioteca.regielive.ro-cursuri/matematica/sisteme-de-numeratie)

Cel de-al doilea sistem de care ne ocupăm, folosit de vechii greci, este sistemul  alfabetic. În acest sistem numerele sunt reprezentate prin literele alfabetului. Acest mod de reprezentare a fost copiat de la fenicieni. De fapt, și alfabetul pentru scrierea cuvintelor fusese copiat de la ei.

Grecii aveau 24 de litere în alfabet. Au mai adăugat 3 litere scoase din uz (simbolurile pentru 6, 90 și 900: digamma, koppa și sampi):

Cu aceste simboluri puteau fi reprezentate doar numere mai mici ca 1.000. Pentru numerele cuprinse între 1,000 și 9,999 au fost create simboluri compuse din simbolurile de bază cărora li se atașa litera i (iota) fie în stânga-sus, fie în stânga-jos.

 Pentru numere mai mari se scria deasupra literei M (de la Miriad) un număr cuprins între 1 și 9.999, valoarea acestuia multiplicându-se cu 10.000:

Acest sistem le permitea grecilor să scrie toate numerele apărute în viața de zi cu zi. Numere ca 71.755.875 erau, evident, o raritate, iar numere mai mari nu aveau de unde să apară.

1.4.5. Sistemul de numerație Roman

Înaintea romanilor, cea mai dezvoltată civilizație din peninsula Italică a fost cea a etruscilor. Etruscii au copiat sistemul grecesc de numerație acrofonic. Romanii au copiat sistemul de la etrusci și l-au adaptat alfabetului lor.

Sistemul de numerație roman nu este un simplu sistem aditiv, ci unul aditiv-subtractiv. La început, cifrele V, L și D lipseau.

Pentru 1.000, romanii foloseau inițial o altă notație: . Pe 10.000 îl notau , iar pe 100.000 cu .

Regulile de scriere (preluate tot de la etrusci) erau:

Orice semn pus la dreapta altuia de valoare mai mare sau egală decât a lui, se adună.

Exemplu:

XX = 10 + 10 = 20

XII = 10 + 1 + 1 = 12

Orice semn pus la stânga altuia de valoare mai mare decât a lui, se scade.

Exemplu:

IX = 10 – 1 = 9

IXC = 100 – (10 – 1) = 100 – 9 = 91

XCII = 100 – 10 + 1 + 1 = 100 – 10 + 1 + 1 = 92

Celelalte cifre romane cunoscute au apărut din nevoia de simplificare a scrierii. Interesant este că, spre deosebire de sistemul grecesc, noile simboluri sunt și din punct de vedere grafic jumătăți ale unităților din care provin.

Simbolul X = 10, dacă este tăiat în două pe linia mediană orizontală generează două litere V (din care una răsturnată) având fiecare valoarea 5;

Simbolul C = 100-să nu uităm că forma sa cioplită nu era rotunjită, arătând astfel daca este tăiat în două se obțin două litere L, fiecare cu valoarea 50;

Sistemul de numerație roman este foarte greu de folosit, în special la scrierea numerelor mari. În cazul numerelor mici scrierea poate fi destul de complicată. De exemplu, numărul 879:

879 = 800 + 70 + 9 – DCCCLXXIX

O altă lacună a acestui sistem de numerație este ambiguitatea regulilor de scriere. Astfel, numărul 8 poate fi scris fie ca VIII, fie ca IIX.

 În vechiul sistem de numerație roman (1.200 î.C.), când au fost introduse formele substractive (ca IV = 4 sau IX = 9), era posibil să se reprezinte orice număr mai mic decât 5.000 cu ajutorul unei serii de simboluri în care oricare nu apărea mai mult de 4 ori. De exemplu, 2.976 = MMDCCCCLXXVI.

1.5. Baze de numerație

1.5.1. Baza 2 (sistem binar)

În sistemul binar, pozițiile reprezintă puterile numărului 2.

Numărul 111011 în baza 2 se va scrie: 111011(2) =25+24+23+2+1

Deci, un număr intr-o oarecare bază se scrie astfel prima cifră înmulțită cu baza care figurează la un exponent egal cu numărul cifrelor care urmează, plus a doua cifră înmulțită cu baza la exponent egal cu numărul cifrelor care urmează ș.a.m.d.

1.5.2. Baza 10 (sistem zecimal)

Acesta este sistemul în care o cifră, prin locul pe care îl ocupă în cadrul numărului, arată ce fel de grupe numără.

Numărul cifrelor distincte care sunt folosite într-un sistem pozițional se numește baza sistemului de numerație. Sistemul de numerație cel mai folosit este sistemul zecimal (cu baza 10) care folosește pentru scriere zece cifre diferite : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 zece unități formează o grupă nouă căreia îi spunem zece și pe care o scriem cu două cifre, 10. Zece grupe de câte zece formează o grupă nouă căreia îi zicem o sută și pe care o scriem cu trei cifre, 100, zece sute formează o grupă de ordin superior, căreia îi zicem o mie și pe care o scriem cu patru cifre 1000 ș.a.m.d.. Deci, pentru fiecare grupă nou formată nu se va folosi ca la sistemul roman un nou semn, un nou simbol, ci ele se vor deosebi datorită poziției.

În sistemele de numerație poziționale fiecare cifră are două semnificații:

prin locul unde este scrisă arată ce fel de grupe numără;

prin valoarea ei arată câte grupe de acest fel sunt.

Daca gruparea unităților se face câte 10, ,a zecilor tot câte 10, ș.a.m.d, se spune că sistemul de numerație are baza 10 (sistem zecimal).

Există și sisteme de numerație în diverse alte baze 2, 8, 12, 16, 60, atunci când obiectele ce se numără se grupează câte 2, câte 8, câte 12, câte 16, câte 60.

O importanță deosebită în tehnică o are sistemul în baza 2 numit sistem binar sau dual. Acest sistem folosește numai două cifre 0 și 1 și este folosit la calculatoarele numerice.

Toate calculele pe care le facem în viața de zi cu zi sunt efectuate în baza sistemului de enumerație zecimal, sau baza 10. Ne-am obișnuit cu acest sistem încă de la naștere, natura fiind cea care a avut roul decisiv în această alegere.

În acest sistem valorile de poziție reprezintă puteri ale lui 10.

De exemplu, numărul 3 477 se va scrie:

3 477=3×103+4×102+7×10+7

1.5.3.Trecerea unui număr dintr-o bază oarecare în baza 10

Se scrie numărul în baza respectivă și se efectuează calculele în baza 10.

2 343(5)=2×53+3×52+4×5+1

=2×125+3×25+4×5+1

=250+75+20+1

=346

11110101(2)= 27+26+25+24+22+1

=128+64+32+16+4+1

=245

1.5.4.Trecerea unui număr din baza 10 într-o baza oarecare

În procesul numărării unei mulțimi într-o bază oarecare parcurge următoarele etape. Presupunem că vrem să realizăm numărarea în baza 6.

Formăm grupe de 6 elemente pe care le legăm în mănunchiuri, dacă acestea ar fi, de exemplu, bețișoare. Dacă rămân mai puțin de 6 bețișoare, cu care nu mai putem forma încă un mănunchi, numărul lor va reprezenta unitățile simple ale numărului. Grupele de 6 bețișoare le numărăm câte unul facând mănunchiuri de câte 62 bețișoare. Mănunchiurile rămase reprezintă unitățile de ordinul 2. Analogul zecilor din sistemul zecimal și numărul lor reprezintă cifra care va

ocupa poziția a doua în cadrul numărului. Continuăm procedeul adică mănunchiurile de 62 bețișoare le găsim în mănunchi de câte 6, deci obținem grupe de 63 bețișoare ș.a.m.d.

Mănunchiurile de 62 care nu mai pot fi grupate reprezintă unitățile de ordinul 3, analogul sutelor din sitemul zecimal și cifra cu care notăm numărul lor va ocupa poziția a treia în cadrul numărului. Procedăm astfel până când terminăm bețișoarele. Ce am făcut de fapt procedând astfel am împărțit numărul la 6. Câtul obținut din nou la 6 ș.a.m.d.

În mod necesar, după un număr finit de pași ajungem la o ultimă împărțire. Numărul căutat va avea drept primă cifră, ultimul cât din șirul împărțirilor succesive, toate celelalte cifre ale sale fiind resturile împărțirilor succesive până la primul. Aceasta este regula transformării unui număr din baza 10 într-o bază oarecare.

CAPITOLUL 2. PROGRAME ȘCOLARE DE MATEMATICĂ

“Ciclul achizițiilor fundamentale este considerat o perioadă pregătitoare pentru studiul matematicii. Deoarece există diferențe între competențele matematice ale copiilor, chiar dacă au frecventat sau nu gradinița, programa ofera o mai mare flexibilitate și posibilitatea de a se lucra diferențiat.” (www.edu.ro- curriculum)

Studiul matematicii în școala primară își propune să asigure pentru toti elevii formarea competențelor de bază, acestea fiind: calculul aritmetic, noțiuni intuitive de geometrie și măsuri.

În ansamblul său, conceptia în care a fost construită noua program de matematică vizează urmatoarele aspecte:

– schimbări în abordarea continuturilor – înlocuirea conținuturilor teoretice cu o varietate de contexte problematice care să dezvolte capacitățile matematice ale elevilor;

– schimbări în ceea ce se așteaptă de la elev – aplicarea mecanică a unor algoritmi se va înlocui cu elaborarea și folosirea de strategii în rezolvarea de probleme;

– schimbări în învățare – schimbarea accentului de la activități de memorare și repetare la activități de explorare investigare și stimularea atitudinii de cooperare;

– schimbări în predare – schimbarea rolului învațătorului de la "transmițător de informatii" la cea de organizator de activități variate de învățare pentru toti copiii, indiferent de nivelul si ritmul propriu de dezvoltare al fiecaruia;

“Aceste schimbări impun ca învățătorul să-și modifice în mod fundamental orientarea în activitatea la clasă. Nu se mai pune accent pe: memorarea mecanică de reguli, matematica făcută cu “creionul si hârtia”, respectiv “creta si tabla”, problemele/exercitiile cu soluții sau raspunsuri unice. activitatea frontală, evaluarea cu scopul catalogării copilului,însă devin mult mai importante rmătoarele:

activitatea de rezolvare de probleme prin încercări;

implicare activă în situații practice;

căutare de solutii din experiența de viață a elevilor;

crearea de situații de învățare diferite prin utilizarea unei varietăți de obiecte;

analiza pașilor de rezolvare a unei probleme;

formularea de întrebări;

argumentarea deciziilor luate în rezolvare;

activitatea învățătorului în calitate de persoană care facilitează învățarea și îi stimuleaza pe copii să lucreze în echipă;

evaluarea are ca scop surprinderea progresului competențelor matematice individuale ale elevului.” (www.edu.ro-Programe școlare de Matematică, clasa a I și a IIa)

2.1. Strategii didactice

Strategia didactică reprezintă un sistem complex și coerent de mijloace, metode, materiale și alte resurse educaționale care vizează atingerea unor obiective. Aceasta ocupă un loc central în cadrul activității didactice, deoarece proiectarea și organizarea lecției se realizează în funcție de decizia strategică a profesorului.

Strategia didactică este concepută ca un scenariu didactic complex, în care sunt implicați actorii predării – învățării, condițiile realizării, obiectivele și metodele vizate. Ea prefigurează traseul metodic cel mai potrivit, cel mai logic si mai eficient pentru abordarea unei situații concrete de predare si învățare.

Componente ale strategiei didactice:

sistemul formelor de organizare si desfășurare a activității educaționale;

sistemul metodologic, respectiv sistemul metodelor si procedeelor didactice;

sistemul mijloacelor de învatamânt, respectiv a resurselor utilizate;

sistemul obiectivelor operaționale.

Caracteristici ale strategiei didactice:

implica pe cel care învață în situații specifice de învățare;

raționalizează și aduce conținutul instruirii la nivelul particularităților psihoindividuale;

creează premise pentru manifestarea optimă a interacțiunilor dintre celelalte componente ale procesului de instruire;

presupune combinarea contextuală, originală, unică, a elementelor procesului instructiv-educativ.

Tipuri de strategii didactice:

strategii inductive, al căror demers didactic este de la particular la general;

strategii deductive ( invers față de cele inductive) : general spre particular, legi sau

principii către concretizarea lor în exemple;

strategii analogice – predarea și învățarea se desfășoară cu ajutorul modelelor;

4. strategii transductive cum sunt explicațiile prin metafore;

5. strategii mixte: inductiv-deductive și deductiv-inductive;

6. strategii algoritmice: explicativ-demonstrative, intuitive, expozitive, imitative, programate și algoritmice propriu-zise;

7. strategii euristice – de elaborare a cunoștințelor prin efort propriu de gândire, folosind problematizarea, descoperirea, modelarea, formularea de ipoteze, dialogul euristic, experimentul de investigare, asaltul de idei, având ca efect stimularea creativității.

Strategiile didactice sunt realizate cu ajutorul metodelor de predare și învățare. Strategia nu se confundă cu metoda sau cu metodologia didactică. Metoda vizează o activitate de predare-învatare-evaluare. Strategia vizează procesul de instruire în ansamblu si nu o secvență de instruire.

2.2. Metode de învățământ

Metodele de învățământ sunt acele căi prin care elevii ajung, în procesul de învățământ ,sub coordonarea educatorilor, la dobândirea de cunoștințe, deprinderi, la dezvoltarea capacităților intelectuale și la valorificarea aptitudinilor specifice.

Metoda este un plan de acțiune, o succesiune de operații realizate în vederea atingerii unui scop, este un instrument de lucru în activitatea de cunoaștere și de formare a abilităților, totodată este o tehnică de care profesorul și elevii se folosesc pentru efectuarea acțiunii de predare-învățare. Metoda asigură realizarea în practică a unei activități proiectate mintal, conform unei strategii didactice.

Metodele de învățământ sunt un element de bază al strategiilor didactice, în strânsă relație cu mijloacele de învățământ și cu modalitățile de grupare a elevilor. De aceea, opțiunea pentru o anumită strategie didactică condiționează utilizarea unor metode de învățământ specifice.

Functiile metodelor de învățământ:

cognitivă – de dirijare a cunoasterii in scopul insusirii unor cunostinte;

normativă – aspecte metodologice, respectiv, modul cum sa predea profesorul si cum sa invete elevul;

motivațională – de stimulare a interesului cognitiv, de sustinere a procesului de invatare;

formativ-educativ-compensatorie- de exersare, antrenare si dezvoltare a proceselor psihice.

Caracteristicile metodelor didactice sunt:

1. sunt demersuri teoretico-acționale executive de predare-învățare care asigură derularea si finalizarea eficientă a procesului instructiv- educativ;

2. sunt în același timp demersuri investigative (de cunoaștere științifică), de documentare si experimental-aplicative contribuind la dezvoltarea teoriei și practicii pedagogice;

3. cuprind și dinamizează elemente pedagogice teoretice;

4. se elaboreaza si implementeaza corelat cu:

gradul si profilul învatamântului

cu specificul disciplinei de învatamânt

cu natura si specificul activitatilor didactice

cu nivelul de pregatire al celor care învata

5. se elaborează și se aplica în strânsa legatură cu celelalte componente ale procesului de învatamânt;

6. se elaborează și se aplică în funcție de particularitățile de vârstă și individuale ale agenților actului pedagogic;

7. contribuie la realizarea obiectivelor didactice

8. au caracter dinamic (elimina "uzurile morale" si adopta noul, sunt deschise perfectionarilor);

9. contribuie la realizarea eficientă a predării-învățării (unele servesc în mai mare măsură muncii profesorului, în predare; altele servesc mai ales elevului, învatarii);

10. sunt eficiente daca profesorul le combină și folosește adecvat și creator.

Elevii prezintă particularități psihoindividuale, astfel încât se impune utilizarea unei game cât mai ample de metode de predare care să le valorifice potențialul. Semnificația metodelor depinde, în cea mai mare măsură, de utilizator și de contextul în care este folosită.

Sistemul metodelor de învățământ conține:

– metode tradiționale, cu un lung istoric în instituția școlară și care pot fi păstrate cu condiția reconsiderării și adaptării lor la exigențele învățământului modern. Acestea pot fi expozitive ori frontale și lasă impresia că nu ar mai fi în conformitate cu noile principii ale participării active și conștiente a elevului. Acestea pot însă dobândi o valoare deosebită în condițiile unui auditoriu numeros, având un nivel cultural care să-i asigure accesul la mesajul informațional transmis raportat la unitatea de timp.

– metode moderne, determinate de progresele înregistrate în știință și tehnică, unele dintre acestea de exemplu, se apropie de metodele de cercetare științifică, punându-l pe elev în situația de a dobândi cunoștințele printr-un efort propriu de investigație experimentală; altele valorifică tehnica de vârf (simulatoarele, calculatorul).

2.2.1. Metode didactice tradiționale

Metodele tradiționale au următoarele caracteristici:

•pun accentul pe însușirea conținutului, vizând, în principal, latura informativă a educației;

•sunt centrate pe activitatea de predare a profesorului, elevul fiind văzut ca un obiect al instruirii, asadar comunicarea este unidirectionala;

•sunt predominant comunicative,;

•sunt orientate, în principal, spre produsul final, evaluarea fiind de fapt o reproducere a cunostintelor;

•au un caracter formal și stimulează competiția;

•stimulează motivația extrinsecă pentru învățare;

•relația profesor-elev este autocratică, disciplina școlară fiind impusă. Aceste metode generează pasivitatea în rândul elevilor.

Din categoria metodelor tradiționale fac parte: expunerea didactică, conversația didactică, demonstrația, lucrul cu manualul, exercițiul;

1.Expunerea didactică – constă în prezentarea verbală monologată a unui volum de informație, de către educator catre elevi, in concordanta cu prevederile programei si cu cerintele didactice ale comunicării. Este o metodă de predare tradițională, verbală, expozitivă, care poate îmbrăca mai multe variante (în funcție de vârsta elevilor și de experiența lor de viață):

-povestirea – prezentarea informației sub formă descriptivă sau narativă, respectând ordonarea în timp sau în spațiu a obiectelor, fenomenelor, evenimentelor.

-explicația – forma de expunere în care predomină argumentarea rațională, făcându-și loc deja problemele de lămurit, teoremele, regulile, legile științifice.

-prelegerea scolară – forma de expunere în cadrul căreia informația este prezentată ca o succesiune de idei, teorii, interpretări de fapte separate, în scopul unificării lor într-un tot.

Aceasta are un rol important deoarece pe de o parte, scurtează timpul însușirii de către elevi a culturii multimilenare a omenirii, ceea ce prin metode bazate pe descoperire ar fi mult mai dificil; pe de altă parte, ea constituie o ocazie permanentă pentru educator de a oferi educatului un model de ordonare, închegare, argumentare, sistematizare a informației din diverse domenii.

Această metodă trebuie să respecte un minimum de cerințe:

-conținuturile prezentate – autentice și convingătoare, ceea ce implica pregătirea anticipată, temeinică a expunerii

-să fie respectate limitele și obiectivele programei: nici prezentarea simplistă a conținuturilor, nici încarcarea excesivă cu elemente care nu au legatură cu lecția, nu sunt procedee normale.

-volumul de informație să fie rezonabil, în raport cu vârsta și cu experiența de învățare a copiilor.

-stringenta logica și succesiune logica : expunerea să aibă o idee centrală, din care decurg câteva idei principale; la rândul lor, acestea trebuie să fie explicate și susținute prin idei de amănunt și exemple, respectiv ideile să decurgă unele din altele.

-exemplele ilustrative să fie doar în cantitate suficientă

-în cazul povestirii, o cerința aparte – caracterul plastic, emoțional, sugestiv al expunerii, aceasta fiind sprijinită chiar pe elemente dramatice, mimica, gestica.

-exprimarea : limbaj și stilul adecvat nivelului auditoriului ; claritate logică și corectitudine gramaticală.

-menținerea unui ritm optim (aproximativ 60-70 cuvinte pe minut)

2. Conversația didactică constă în valorificarea didactică a întrebărilor și răspunsurilor (metoda verbală, ca și expunerea, dar mai activă decît aceasta)

A. Conversafia euristica

concepută astfel încât să conducă la “descoperirea" a ceva nou pentru elev;

constă în serii legate de întrebări și răspunsuri, la finele cărora să rezulte, ca o concluzie, adevărul sau noutatea pentru elevul antrenat în procesul învățării;

întrebările și răspunsurile se încheagă în serii compacte, fiecare nouă întrebare avându-și germenele sau punctul de plecare în răspunsul anterior;

condiționată de experiența de cunoaștere de până atunci a elevului, care să-i permită să dea raspuns la întrebările ce i se pun;

B. Conversația examinatoare (catehetica)

are ca funcție principală constatarea nivelului la care se află cunoștintele elevului la un moment dat;

se deosebește de cea euristică – nu mai este obligatorie constituirea în sisteme sau serii ale întrebărilor și răspunsurilor (fiecare întrebare împreună cu răspunsul sau alcătuiesc un microunivers de sine-stătător în raport cu celelalte întrebări și răspunsuri);

trebuie să țină cont de câteva cerințe privind calitățile întrebărilor, pe de o parte, și ale răspunsurilor, pe de alta;

C. Conversatia in actualitate.

În cadrul acestei metode elevii pot fi antrenați în dezbatere numai când dispun: de informația implicată în problemă, de metoda necesară investigării în sfera dezbaterii, de capacitatea de a înțelege punctele de vedere ale celorlalti. Pentru toate acestea profesori sunt nevoiți să asigure anumite condiții:

să fi creat climatul socio-afectiv necesar, bazat cu prioritate pe coeziunea grupului;

să organizeze grupul de dezbatere în număr rezonabil (15-20), pentru a da fiecăruia posibilitatea să-și exprime părerea;

să se îngrijească de cea mai buna dispunere în spațiu a grupului;

să evite pe cât posibil să-și impună propria parere, asumându-și doar rolul de moderator;

să se îngrijească de o repartizare aproximativă a timpului, pentru tratarea fiecarei probleme cuprinse în dezbatere.

3. Metoda demonstrației are ca fundament un cadru concret, fie el natural, simbolic sau artificial. Pe baza acestuia, se deduc constatări și interpretări. Demonstrația, este un suport al cunoașterii pe cale deductivă: prin concretizare și materealizare și inductivă: prin concepții și deprinderi.

Există diverse tipuri de demonstrații, în dependență de materialul avut la dispoziție:

– pe viu: experimente de laborator, demonstrația unor comportamente;

– figurativă: prin intermediul reprezentărilor grafice;

– cu ajutorul desenului;

– cu ajutorul modelelor: fizice, grafice;

– cu ajutorul imaginilor audiovizuale: proiecții statice sau dinamice;

– prin exemple.

Demonstrația are un caracter ilustrativ, iar ca finalitate – reproducerea unor acțiuni, sau învățarea unor cunoștințe noi pe bază de suport intuitiv.

4. Lucrul cu manualul – metoda de învățământ bazată pe citirea din manual și explicarea, în clasă, sub îndrumarea strictă a educatorului. Aceasta are o desfășurare specifică, pornind de la lectura integrala, continuând cu analiza pe părți sau aspecte și încheind cu încercarea de redare a întregului și aplicațiile aferente.

5. Metoda exercitiului – constă în executarea repetată și conștientă a unei acțiuni în vederea însușirii practice a unui model dat de acțiune sau a îmbunătățirii unei performanțe. Aceasta nu se limitează doar la formarea deprinderilor, vizează în același timp consolidarea unor cunoștințe. Exercitiile pot fi grupate în funcție de cel putin două criterii:

dupa forma – exercitii orale

– exercitii scrise

– exercitii practice

b. dupa scopul si complexitatea lor

-exercitii de introducere intr-un model dat sau exercitii introductive ->elevilor li se explica pentru prima oara o activitate, pe care ei o aplica in paralel cu explicatiile profesorului

-exercitii de insusire sau consolidare a modelului dat, denumite si exercitii de baza -> elevul reia in intregime si in chip repetat, actiunea ce i s-a explicat

-exercitii de legare a cunostintelor si deprinderilor mai vechi cu cele noi, numite si exercitii paralele, avand scopul de a integra deprinderile in sisteme din ce in ce mai largi

-exercitii de creatie sau euristice

2.2.2. Metode didactice moderne

După funcția didactică principală putem clasifica metodele și tehnicile interactive de grup astfel:

– Metode de predare-învățare interactivă în grup:

Metoda predării/învățării reciproce (Reciprocal teaching – Palinscar);

Metoda Jigsaw (Mozaicul);

Citirea cuprinzătoare;

Cascada (Cascade);

STAD ([anonimizat] Division) – Metoda învățării pe grupe mici;

TGT (Teams/Games/Tournaments) – Metoda turnirurilor între echipe;

Metoda schimbării perechii (Share-Pair Circles);

Metoda piramidei;

Învățarea dramatizată;

– Metode de fixare și sistematizare a cunoștințelor și de verificare:

Harta cognitivă sau harta conceptuală

Matricele;

Lanțurile cognitive;

Fishbone maps (scheletul de pește);

Diagrama cauzelor și a efectului;

Pânza de păianjăn;

Tehnica florii de nufăr

Metoda R.A.I. ;

Cartonașele luminoase;

– Metode de rezolvare de probleme prin stimularea creativității:

Brainstorming;

Starbursting (Explozia stelară);

Metoda Pălăriilor gânditoare;

Caruselul;

Multi-voting;

Masa rotundă;

Interviul de grup;

Studiul de caz;

Incidentul critic;

Phillips 6/6;

Tehnica 6/3/5;

Controversa creativă;

Fishbowl (tehnica acvariului);

Tehnica focus grup;

Patru colțuri (Four corners);

Metoda Frisco;

Sinectica;

Metoda Delphi;

– Metode de cercetare în grup:

Tema sau proiectul de cercetare în grup;

Experimentul pe echipe;

Portofoliul de grup;

În cadrul cercetării aplicative am utilizat următoarele metode moderne: cvintetul, explozia stelară, mozaicul, ciorchinele, brainstorming-ul, copacul ideilor ș.a.

Cvintetul este o metodă de reflecție rapidă și eficientă prin care se rezumă și se sintetizează informațiile și cunoștințele despre o problemă, o temă.

Explozia stelară-scopul urmărit este de a obține cât mai multe întrebări,și astfel,cât mai multe conexiuni între concepte. Organizată în grup, facilitează participarea întregului colectiv, stimulează crearea de întrebări la întrebări.

Brainstorming-ul, în traducere directă "furtună în creier" sau "asalt de idei", este o metodă utilizată pentru a-i ajuta pe copii să emită cât mai repede, cât mai multe idei, fără a se lua inițial în considerație valoarea acestor idei. Reprezintă un mod simplu și eficient de a genera idei noi. Este o metodă de stimulare a creativității în cadrul activității în grup. Se poate practica oral și se folosește pentru a găsi cât mai multe soluții pentru o problemă.

Ciorchinele reprezintă o metodă de predare–învățare care-i încurajează pe elevi să gândească liber și deschis. Prin această metodă se stimulează evidențierea conexiunilor între ideile unei teme luate în discuție. De asemenea, ciorchinele este și o tehnică de căutare a căilor de acces spre propriile cunoștințe, evidențiind modul propriu de a înțelege o anumită temă, un anumit conținut. Ajută cadrul didactic să înțeleagă maniera în care fiecare elev înțelege noțiunile și îi oferă posibilitatea de a interveni diferențiat.

Mozaicul presupune învățarea prin cooperare la nivelul unui grup și predarea achizițiilor dobândite de către fiecare membru al grupului unui alt grup.

CAPITOLUL 3. O CERCETARE APLICATIVĂ

Sudiu privind rolul metodelor de predare-învățare în obținerea performanțelor școlare la disciplina matematică

3.1. Ipoteza cercetării

Presupunem că folosirea metodelor moderne la orele de matematică favorizează obținerea performanțelor școlare în comparație cu metodele tradiționale.

3.2. Obiectivele cercetării

1.Obiectivele teoretice:

Evidențierea metodelor tradiționale folosite în predarea matematicii la clasa a II-a și rolul benefic al celor moderne.

Rolul strategiilor didactice folosite în predarea-învățarea matematicii la ciclul primar.

2.Obiectivele practice:

Eficiența folosirii metodelor tradiționale vs. metodelor moderne în performanța școlară in predarea-învățarea matematicii la clasa a II-a.

Modalitatea prin care se pot obține creșteri ale performanțelor școlare.

3.3. Descrierea eșantioanelor

În vederea urmăririi obiectivelor și a verificării ipotezei formulate, am cuprins în cercetare două clase și anume clasa a II-a A și clasa a II-a B situate în aceeași școală, clase care au următoarea compoziție:

Clasa a II-a A cu un total de 26 de elevi, dintre care 14 băieți și 12 fete cu vârste cuprinse între 9-11 ani.

Clasa a II-a B cu un total de 25 de elevi, dintre care 13 fete și 12 băieți cu vârste cuprinse între 9 și 11 ani.

3.4. Desfășurarea cercetării

Metoda utilizată în realizarea acestei cercetări a fost experimentul.

Experimentul reprezintă metoda principală de investigație pedagogică directă, fiind definită ca o ,,observație’’ provocată. Experimentul presupune modificarea fenomenului pedagogic, pe care-l investigăm.

Verificarea valorii și eficienței datelor pedagogice obținute prin experiment necesită comparare. Astfel cercetarea se desfășoară pe două grupe paralele cu subiecții : o grupă experiențială și o grupă de control. Rezultatele experimentului trebuie verificate pe noi subiecți. Numai dacă se confirmă ipotezele, atunci se trece la generalizarea rezultatelor obținute.

Nivelul de pregătire a celor două grupuri la care am aplicat experimentul este omogen din punct de vedere al posibilităților intelectuale, elevii provenind din familii care le ofera condiții necesare desfășurării actului învățării. Pentru a putea stabili nivelul de pregătire al elevilor, am realizat o evaluare cu ajutorul aceleași fișe la ambele clase, din cadrul lecției „Numerele naturale de la 0 la 20” (Anexa 1).

Obiectivele evaluării:

-Să înțeleagă sistemul zecimal de formare a numerelor din zeci și unități ;

-Să numere corect în ordine crecătoare și descrescătoare în concentrul 0-20;

-Să scrie corect vecinii numerele din concentrul 0-20;

-Să compare numerele în concentul 0-20;

-Să descopere și să continue regula;

-Să descompună numerele în concentul 0-20;

Descriptori de performanță

În urma evaluării, rezultatele au fost următoarele:

Rezultatele obținute la clasa a II-a A:

Rezultatele obținute la clasa a II-a B:

Odată stabilit nivelul intelecutal al fiecărei clase am trecut la aplicarea propriu-zisă a experimentului. În cadrul acestuia, am predat aceeași lecție, “Numerele naturale în concentrl 0-100”, dar prin metode didactice diferite:

la clasa a II-a A(grupul de control), în predarea învățarea unității ,, Numerele naturale de la 0 la 100’’ s-au folosit metode interactive moderne.

Metodele moderne utilizate în predarea conținutului au fost următoarele: mozaicul, ciorchinele, brainstorming-ul, cvintetul, explozia stelară.

la clasa a II-a B (grupul experimental), în predarea-învățarea aceleiași unități de învățare ,, Numerele naturale de la 0 la 100’’ s-au utilizat metode tradiționale.

Metodele tradiționale utilizate în predarea conținutului au fost următoarele : explicatia, conversatia, exercițiul, lucrul cu manualul.

În urma predării conținutului informațional, la cele două clase, am aplicat evaluarea prin intermediul fișei de evaluare (anexa 2) –“Numere naturale în concentrul 0-100”

OBIECTIVELE EVALUĂRII:

-Să scrie corect numerele, cu ajutorul cifrelor sau a literelor;

-Să compare numerele în concentul 0-100;

-Să compună numerele în concentul 0-100;

-Să descopere și să continue regula;

-Să numere corect în ordine crecătoare și descrescătoare în concentrul 0-100;

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ:

3.5. Prelucrarea și analiza rezultatelor

Am folosit aceleași fișe de evaluare atat pentru elevii clasei a II-a A cât și pentru elevii clasei a II-a B. Rezultatele obținute în urma primei serii de fișe de evaluare au fost următoarele :

La clasa a II-a A ( grupul de control) au fost obținute următoarele rezultate :

La clasa a II-a B ( grupul experimental) au fost obținute următoarele calificative :

După cum se observă din notele obținute de elevi , clasa a II –a B, unde s-au folosit în predare – învățare metodele tradiționale, este mai slab pregatită decât clasa a II-a A, acolo unde s-au utilizat în predare–învățare metodele moderne de învățare.

La clasa a II-a A au fost următoarele rezultate :

La clasa a II-a B au fost următoarele rezultate :

CONCLUZII

Numărul natural reprezintă cea mai cunoscută și utilizată entitate matematică. Aceasta este însuțită de către copil încă din perioada preșcolarității.

Cunoștințele particulare, dobândite la această vârstă, se vor lărgi treptat, în sensul formării conceptului de număr natural, în clasele I-IV. Introducerea numărului natural se realizează pe baza corespondenței între mulțimi finite.

Metodologia formării conceptului de număr natural se bazează pe faptul că elevii de vârstă școlară mică se află în stadiul operațiilor concrete, învățând îndeosebi prin intuire și manipulare directă a obiectelor. Pe măsură ce ne deplasăm către clasa a IV-a, are loc ridicarea treptată către general și abstract, în direcția esențializării realității.

Pentru alegerea unor strategii didactice eficiente și organizarea unor situații de învățare cu randament sporit, la clasele I –IV trebuie să se aibă în vedere următoarele sugestii metodice:

1.necesitatea ca fiecare elev să opereze direct cu un material didactic bogat, variat și atractiv;

2.gradarea solicitărilor, cu orientare spre abstractizare (de la operare cu obiecte concrete, la folosirea jetoanelor cu imagini, a figurilor simbolice și a schemelor);

3.antrenarea mai multor analizatori (vizual, auditiv, tactil) în învățarea și fixarea unui număr;

4.matematizarea realității înconjurătoare, ce oferă multiple posibilități de exersare a număratului;

5.realizarea frecventă de corelații interdisciplinare (ex.: solicitarea de a găsi, într-un text dat, toate cuvintele ce au un anumit număr de litere sau de câte ori apare o literă dată);

6.utilizarea frecventă a jocului didactic matematic sau introducerea unor elemente de joc.

În lucrarea de mai sus, am abordat conceptul de număr natural prin prezentarea exemplificată a unor activițăți de ordin practic prin care am făcut mai ușoară transmiterea către elevi a acestor noțiuni.

În ce privește numerația, se poate spune că cea scrisă constituie o limbă și dispune de posibilitatea reprezentării oricărui număr. Ea folosește semne specifice rezervate scrierii numerelor, cifrelor. Cifrele sunt mai mult decât niște semne grafice cu care reprezentăm numerele. Cifrele sunt numere particulare cărora le-a fost încredințată sarcina de a reprezenta numere – fie că sunt arabe, romane sau sumeriene.

Principiile de reprezentare utilizând cifre ale fiecărui număr, “de descifrare” a oricărei scrieri numerice, trebuie să nu permită ambiguități. Numerația scrisă constituie o limbă aparte, care dispune de lexical său, de sintaxă proprie, deci de procedee de constituire a ansamblurilor de cifre care reprezintă numere.

La lecția cu cifrele romane, elevii au fost fascinați că există și o altă posibilitate de a scrie numerele, chiar dacă această scriere este nepozițională. Mai mult decât atât le-am povestit elevilor mei de numerația egipteană. Au fost foarte interesați de faptul că aceștia foloseau hieroglifele pentru a face calcule.

Rămâne astfel de maximă actualitate îndemnul de acum mai bine de 2000 de ani, făcut de Plutarh: “Capul copilului nu este un vas pe care să-l umpli, ci o făclie pe care s-o aprinzi, astfel încât, mai târziu să lumineze cu lumină proprie”.

BIBLIOGRAFIE

Aron Ioan, „Metodica predării aritmeticii la clasele I-IV”, Editura didactică și pedagogică, București, anul 1974; Cristea S. „Dicționar de termeni pedagogici”, E.D.P.RA, București, 1998;

Duminică Marcela, „Jocul didactic matematic”, Editura Pitești, anul 2011;

Gaston Mialaret, „Introducere în pedagogie”, E. D. P., București, 19981;

Ionescu M., Radu I., Didactica modernă, Editura Dacia, Cluj-Napoca, 2001

Jinga L, Negruț, I.,Învățarea eficientă, Editura Editis, București, 1994

Neacsu, I., Instruire si învatare. Teorii, modele, strategii, Bucuresti, Editura stiintifica, 1991 ;

Manolescu Marin, Teoria și metodologia evaluării Editura Universitară 2010 ;

Neacsu, I., Pânisoara, O. I., Negret-Dobridor, I., Prelegeri pedagogice, Iasi, Editura Polirom, 2001 ;

Nicola, I., Tratat de pedagogie scolara, Editura Aramis, 2002 ;

Oprea Crenguța-Lăcrămioara, Strategii didactice interactive, Editura Didactica Publishing House, 2010 ;

Piaget Jean, Psihologia copilului, Cartier, 2011;

Petrovici, C., Neagu, M., Elemente de didactica matematicii în grădiniță și învățământul primar, Editura Pim, Iași, 2006;

Plăcintă Mihaela Carmen, “Jocuri didactice pentru predarea-învățarea numerației 0-10” Editura LIDANA, anul 2006;

Roșu Mihail, „Didactica matematicii în învătământul primar”, Proiectul pentru învățământul primar și preșcolar, anul 2007;

Roșu Mihail, Gheorghe Dascălu, Horia Radu, Virgil Tăgîrță, Magdalena Roman, Gheorghe Zafiu, „Metodica predării matematicii la clasele I-IV”, Editura Didactică și Pedagogică București, anul 1988;

Trancă Maria „Jocul Didactic matematic”, Editura Contrafort;

Vlaicu Aurel, „Didactica matematicii pentru învățământul preprimar și primar, Editura Universității Arad, anul 2004;

V. Marcu, Filimon L., Psihopedagogie pentru formarea profesorilor, Editura Universității din

Oradea, 2003

www.biblioteca.regielive.ro-cursuri/matematica/sisteme-de-numeratie;

www.wikipedia.com- numarul natural;

www.didactic.ro-metode-moderne-de-predare-învățare

www.educatori-metode-predare

www.edu.ro-Curriculum

http://www.researchgate.net/profile/Catalin_Ioan/publication/Matematica_babiloniana

http://www.scientia.ro/stiinta-la-minut/sisteme-de-numeratie-egiptul-antic.html

http://www.scritub.com/stiinta/matematica/Numerologia-la-civilizatia-greaca

http://www.scoala.seitin.ro/grad1/numeratia-romana

www.edu.ro-programe scolare

ANEXA 1

FIȘĂ DE EVALUARE

Numere naturale în concentrul 0-20

Clasa aII-a

1.Încercuiește cu albastru zecile și cu verde unitățile:

14 17 11 18 19 20 10

2.Ordonați crescător numerele : 20 , 15, 13, 16 , 11, 12, 18.

………………………………………………………………………………………………………………………………

3.Ordonați descrescător numerele date: 17, 10, 16, 14, 11, 9, 1.

………………………………………………………………………………………………………………………………

4.Scrie vecinii numerelor:

14 ……… ……. ……. 18 …….. ……. ……. 20

9 …….. …….. ……. 12 ……. ……. ……. 15

13 …….. …….. …….. 17 ……. …….. ……. 14

5.Compară perechile de numere folosind semnele <, >, =:

14 …… 16 15 …….. 11 20 ….. 20 19 …… 18

12 …… 11 10 ………17 13 …… 10 16 …… 17

6.Descoperă regula și completează spațiile libere cu numerele corespunzătoare:

10 12 14 …….. ………. ………….. ………….. .

0 5 …… …….. ……… .

7.Descompune numerele date în zeci și unități :

18 19 15 17 13 11 12

ANEXA 2

FIȘĂ DE EVALUARE

Numerele naturale în concentrul 0-100

Clasa aII-a

1.Scrieți cu cifre sau cu litere numerele:

șaptezeci și doi =

treizeci și cinci =

nouăzeci și șase =

43 =

19 =

17 =

2. Comparați numerele de mai jos folosind unul din semnele: <, =, >.

99 ….. 15 36 …. 63 86 …. 56

28 …. 82 19 …. 19 47 …. 17

15 …. 16 93 …. 33 68 …. 86

3. Găsiți vecinii numerelor date:

24 ………. 26; ………. 79 ………..; 38 ……… 40.

4. Compuneți numere, din zecile și unitățile date:

50 6 70 4 80 5 10 9 60 0

5. Scrieți toate numerele de două cifre, care se pot forma cu cifrele: 3, 0, 6

6. Găsește regula și completează:

35 , 40, 45, ___ , ___ , ___ ; 35 , 33, 31, ___, ___ , ___ ;

23, 25, 27, ___ , ___ , ___ .

7. Ordonați descrescător numerele de mai jos:

22, 16, 46, 13, 43, 97, 5, 42.

BIBLIOGRAFIE

Aron Ioan, „Metodica predării aritmeticii la clasele I-IV”, Editura didactică și pedagogică, București, anul 1974; Cristea S. „Dicționar de termeni pedagogici”, E.D.P.RA, București, 1998;

Duminică Marcela, „Jocul didactic matematic”, Editura Pitești, anul 2011;

Gaston Mialaret, „Introducere în pedagogie”, E. D. P., București, 19981;

Ionescu M., Radu I., Didactica modernă, Editura Dacia, Cluj-Napoca, 2001

Jinga L, Negruț, I.,Învățarea eficientă, Editura Editis, București, 1994

Neacsu, I., Instruire si învatare. Teorii, modele, strategii, Bucuresti, Editura stiintifica, 1991 ;

Manolescu Marin, Teoria și metodologia evaluării Editura Universitară 2010 ;

Neacsu, I., Pânisoara, O. I., Negret-Dobridor, I., Prelegeri pedagogice, Iasi, Editura Polirom, 2001 ;

Nicola, I., Tratat de pedagogie scolara, Editura Aramis, 2002 ;

Oprea Crenguța-Lăcrămioara, Strategii didactice interactive, Editura Didactica Publishing House, 2010 ;

Piaget Jean, Psihologia copilului, Cartier, 2011;

Petrovici, C., Neagu, M., Elemente de didactica matematicii în grădiniță și învățământul primar, Editura Pim, Iași, 2006;

Plăcintă Mihaela Carmen, “Jocuri didactice pentru predarea-învățarea numerației 0-10” Editura LIDANA, anul 2006;

Roșu Mihail, „Didactica matematicii în învătământul primar”, Proiectul pentru învățământul primar și preșcolar, anul 2007;

Roșu Mihail, Gheorghe Dascălu, Horia Radu, Virgil Tăgîrță, Magdalena Roman, Gheorghe Zafiu, „Metodica predării matematicii la clasele I-IV”, Editura Didactică și Pedagogică București, anul 1988;

Trancă Maria „Jocul Didactic matematic”, Editura Contrafort;

Vlaicu Aurel, „Didactica matematicii pentru învățământul preprimar și primar, Editura Universității Arad, anul 2004;

V. Marcu, Filimon L., Psihopedagogie pentru formarea profesorilor, Editura Universității din

Oradea, 2003

www.biblioteca.regielive.ro-cursuri/matematica/sisteme-de-numeratie;

www.wikipedia.com- numarul natural;

www.didactic.ro-metode-moderne-de-predare-învățare

www.educatori-metode-predare

www.edu.ro-Curriculum

http://www.researchgate.net/profile/Catalin_Ioan/publication/Matematica_babiloniana

http://www.scientia.ro/stiinta-la-minut/sisteme-de-numeratie-egiptul-antic.html

http://www.scritub.com/stiinta/matematica/Numerologia-la-civilizatia-greaca

http://www.scoala.seitin.ro/grad1/numeratia-romana

www.edu.ro-programe scolare

ANEXA 1

FIȘĂ DE EVALUARE

Numere naturale în concentrul 0-20

Clasa aII-a

1.Încercuiește cu albastru zecile și cu verde unitățile:

14 17 11 18 19 20 10

2.Ordonați crescător numerele : 20 , 15, 13, 16 , 11, 12, 18.

………………………………………………………………………………………………………………………………

3.Ordonați descrescător numerele date: 17, 10, 16, 14, 11, 9, 1.

………………………………………………………………………………………………………………………………

4.Scrie vecinii numerelor:

14 ……… ……. ……. 18 …….. ……. ……. 20

9 …….. …….. ……. 12 ……. ……. ……. 15

13 …….. …….. …….. 17 ……. …….. ……. 14

5.Compară perechile de numere folosind semnele <, >, =:

14 …… 16 15 …….. 11 20 ….. 20 19 …… 18

12 …… 11 10 ………17 13 …… 10 16 …… 17

6.Descoperă regula și completează spațiile libere cu numerele corespunzătoare:

10 12 14 …….. ………. ………….. ………….. .

0 5 …… …….. ……… .

7.Descompune numerele date în zeci și unități :

18 19 15 17 13 11 12

ANEXA 2

FIȘĂ DE EVALUARE

Numerele naturale în concentrul 0-100

Clasa aII-a

1.Scrieți cu cifre sau cu litere numerele:

șaptezeci și doi =

treizeci și cinci =

nouăzeci și șase =

43 =

19 =

17 =

2. Comparați numerele de mai jos folosind unul din semnele: <, =, >.

99 ….. 15 36 …. 63 86 …. 56

28 …. 82 19 …. 19 47 …. 17

15 …. 16 93 …. 33 68 …. 86

3. Găsiți vecinii numerelor date:

24 ………. 26; ………. 79 ………..; 38 ……… 40.

4. Compuneți numere, din zecile și unitățile date:

50 6 70 4 80 5 10 9 60 0

5. Scrieți toate numerele de două cifre, care se pot forma cu cifrele: 3, 0, 6

6. Găsește regula și completează:

35 , 40, 45, ___ , ___ , ___ ; 35 , 33, 31, ___, ___ , ___ ;

23, 25, 27, ___ , ___ , ___ .

7. Ordonați descrescător numerele de mai jos:

22, 16, 46, 13, 43, 97, 5, 42.