Pornind de la locul ș i rolul matematicii în general și în special de la importanța deosebită [602555]
Introducere
Pornind de la locul ș i rolul matematicii în general și în special de la importanța deosebită
pe care o au activitățile matematice în dezvoltarea raționamentului și logicii copiilor, de la
necesitate a înțelegerii căt mai clare a cunoștințe lor matematice ce se predau în școală , precum și
a dificultăților ce le întâmpină în formarea anumitor noțiuni matemat ice la copiii cu CES, am
optat î n alegerea acestei teme.
Am ales această temă având în vedere ca, prin studiul efectuat pentru pregătirea ei și
colaborat cu experiența la clasă, să -mi îmbogățesc nivelul de pregãtire profesională, să găsesc
cele mai adecvate metode și procedee pentru a -i face pe elevii cu care lucrez să -și însușească
temeinic și conștie nt noțiuni de rezolvare si compunere de probleme matematic e.
Experienta demonstreaza ca activitatea gandirii este stimulata si aplicata in mare masura
de matematica, de aici tragand concluzia ca matematica inseamna gandirea organizata,
prelungita in ulti mul timp prin calculatoare.
Un rol deosebit în dezvoltarea flexibilității gândirii î l ocupă rezolvarea problemelor tip.
Prin problemă -tip înțelegem acea construcție matematică a cărei rezolvare se realizează pe baza
unui anumit algoritm specific fiecărui t ip. O asemenea problemă se consideră teoretic rezolvată
în momentul în care i -am stabilit tipul și suntem în posesia algoritmului de rezolvare.
Tema lucrarii ,,Dezvoltarea gandiri elevilor c u CES prin studiul matematicii ”, este
deosebit de actuală și pentr u faptul că activitatea de rezolvare si de compunere de probleme de
matematica scolara constituie un cadru optim pentru cultivarea gandirii logice.
Prin rezolvarea de probleme, formăm la elevi priceperi și deprinderi de a analiza situația
dată în probl emă, de a intui și de a descoperi calea prin care se obține răspunsul întrebării
problemei. În acest mod, rezolvarea problemelor contribuie la cultivarea și dezvoltarea
capacităților creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilității, la educarea perspicac ității și
spiritului de inițiativă la dezvoltarea încrederii în forțele proprii.
Notiunea de problema are un continut larg si cuprinde o gama larga de preocupari si actiuni
diferite. In general orice chestiune de natura practica sau teoretica ce reclama o solutie, o rezolvare,
poarta numele de problema. Referindu -ne la matematica, prin problema se poate intelege o situatie a
carei solutionare se poate obtine esential prin proces de gandire logica si calcul.
Rezolvarea de probleme simple este unul din primii pași orientați spre exersarea
flexibilității și fluenței gândirii. Prin rezolvare elevii ajung să opereze în mod real cu numere, să
facă operații de compunere și descompunere, să folosească strategii și modele mintale
anticipative.
Rezolvarea problemelor compuse nu înseamnă, în esență, rezolvarea succesivă a unor
probleme simple. Nu rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema compusă
constituie dificultatea principală într -o problemă cu mai multe operații, ci legătura dintre verigi,
constituir ea raționamentului. De aceea este necesară o perioadă de tranziție de la rezolvarea
problemelor simple ( cu o operație) la rezolvarea problemelor compuse ( cu două sau mai multe
operații).
Din punct de vedere instructiv, rezolvarea problemelor constituie a plicarea cunoștințelor
dobândite în legătură cu operațiile aritmetice și proprietățile lor, consolidarea și aprofundarea
acestor cunoștințe. Valoarea formativă a rezolvării problemelor sporește pentru că participarea și
mobilizarea intelectuală a elevilor la o astfel de activitate este superioară altor demersuri, elevii
fiind puși în situația de a descoperi ei înșiși modalitățile de rezolvare și soluția, să formuleze
ipoteze și apoi să le verifice, să facă asociații de idei și corelații inedite etc.
În școa lă trebuie să facem totul să stimulăm gândirea creatoare a elevilor, curiozitatea și
să cultivăm tendințele spre exprimarea originală.
Stimularea spre gândire trebuie să se facă și atunci când elevul dă un răspuns greșit, ajutându -l:
,,Cum mai putem socoti ?’’, ,,Nu se poate altfel?’’, ,,Cum mai putem spune?’’. În acest mod,
elevul va reuși și el să rezolve problema și nu se vor crea situații de punere în inf erioritate față de
alți colegi.
Profesorul trebuie să aibă atitudine de sfătuitor sau îndrumător pent ru noi investigații,
pentru a stimula dorința elevului de a lucra probleme variate . Pe lângă altele, această muncă
duce la formarea unei atitudini corecte și conștiente față de muncă și învățătură, la dezvoltarea
voinței și perseverenței, la răspunderea f ață de îndeplinirea sarcinilor.
Cu ajutorul metodelor interactive adoptate în această lucrare, voi încerca să -i stimulez și
pe copiii mai puțin dotați și să le stimulez gândirea creatoare a elevilor . Aceste metode
interactive ajută copiii să selecteze info rmațiile, să comunice între ei, să desprindă idei și
comportamente de învățare necesare în viața de școlar și adult. Metodele interactive acționează
asupra modului de gândire și de manifestare a copilului. Aplicarea lor trebuie făcută sub forma
unui joc c u reguli. Prezentat e astfel, ele atrag elevii în activitate, spre învățare activă, spre
cooperare, îi determină să se consulte în grup pentru luarea deciziilor și se previn sau aplanează
conflictele. Așadar, pentru fiecare elev va trebui să -mi pregătesc op tim: gestul, munca,
interjecția, întrebarea, sfatul, orientarea, lauda, reținerea, aprecierea, entuziasmul în raport cu
situația pentru ca să obțin cele propuse.
Tinând seama de aceasta am avut permanent în vedere îndemnul lui I. Jinga [24]:
„Profesorii sunt datori să -i învețe pe elevi să învețe, să -și pună întrebări, să formuleze probleme
și să le dea cât mai multe soluții.
Prin aceasta elevii să -și însușească ABC -ul acestei discipline aparent aride, dar înțeleg și
poezia matematicii, plăcerea de a des cifra și a reciti ca pe o poezie multiple (și uneori ascunse)
sensuri depre viață și despre Univers, constatând astfel că întreaga matematică este și
distractivă ”.
Capitolul I . Perspecti va psihologică asupra gâ ndirii
1.1. Conținutul informațional al gâ ndirii
Gandirea este un proces de cunoastere, alaturi de senzatii, perceptii, reprezentari,
memorie, imaginatie. Procesele de cunoastere au un punct comun in reflectarea realitatii – ele
reflecta aspecte, laturi, insusiri ale realitatii. Dar, in timp ce proce sele senzoriale reflecta insusiri
concret intuitive, accesibile simturilor, gandirea reflecta insusiri esentiale (invarianti cognitivi).
Un invariant cognitiv exprima ceea ce este comun, constant, invariabil si definitoriu pentru o
intreaga categorie de ob iecte sau fenomene.
Gândirea se bazează pe o serie de operații intelectuale ce -i sunt proprii: analiza și sinteza,
abstractizarea și generalizarea, clasificarea, compararea, concretizarea etc.; ea se dezvoltă stadial,
parcur gând o suită de etape ale maturi zării proceselor intelectuale, etape care, în binecunoscuta
concepție a lui Jean Piaget (1964) sunt: etapa inteligenței elementare senzorimotorie, etapa
preoperatorie, etapa operațiilor intelectuale concrete și eta pa operațiilor intelectuale for male;
gândirea accede, treptat, la raționamentul inductiv și la raționamentul deductiv, implică
reversibilitatea, sub diferitele sale aspecte, realizând operațiile de transfer și căutând soluții
pentru rezolvarea situațiilor -problemă; aceste soluții se bazează pe dou ă mari cate gorii de
formule: algoritmice propunând operații standardizate și rezolvări tip și euristice, propunând
sisteme operaționale plastice și deschise, rezolvări originale; gândirea are ca rezultat formarea
bagajului cognitiv, bazat pe noțiuni și con cepte, rezultate din prelucrarea și valorificarea
superioară a produsului cogniției primare, adică a reprezentărilor, în strânsă legătură cu
informația mediată prin limbaj. După cum se știe, formarea noțiunilor și a conceptelor face parte
din procesul comp lex al învățării cognitive.
Datorită tuturor acestor caracteristici, gândirea este principala pârghie psih ică, prin care
individul uman, deci și școlarii aflați în plin proces de maturizare intelectuală, inclusiv școlarii
handicapați mi ntal realizează, mai mult sau mai puțin eficient, adaptarea conștientă la condițiile
de mediu. Adaptarea se face într -un proces continuu, ciclic, în care, conform concepției
piagetiene, secvențele se desfășoară în doi timpi: asimilarea de noi informații, dar nu printr -o
simpl ă adițiune la vechiul bagaj cognitiv, ci printr -o interacțiune complexă cu acesta; între
vechile informații și achiziții cognitive (parțial depășite) și cele noi, mai complete și mai
veridice, apar nepotriviri și contradicții, se produce un anumit de zechil ibru, care face necesară:
acomodarea vechiului bagaj cognitiv la elementele de progres ale noii informații, obținându -se
astfel un nou echilibru cognitiv (desigur, relativ) ceea ce determină, implicit, o mai bună
adaptare (tem porară), ș i procesul continuă astfel prin noi secvențe cognitive.
Dar gândirea se dezvoltă nu numai prin lărgirea și precizarea bagajului informațional, pe
calea de scrisă, cale evident dinamică , ci și prin perfecționarea suportului operatoanl aceasta
accentuând și mai mult dinamismul p rocesului cognitiv. De exemplu, comparând între ele
diferite obiecte concrete, într -un proces de manipulare efectivă a obiectelor respective, apoi
folosind imagini ale acestora și apoi reflectându -le prin limbaj, copilul își formează, treptat,
capacitatea de a efectua comparația în plan mintal, fără suport extern, operând cu reprezentările
corespunzătoare, iar apoi cu noțiuni si concepte.
Prin caracteristicile și mecanismele sale, gândirea se profilează ca un proces psihic extrem de
complex, care, în stare de normalitate, focalizează și valorifică optim întreaga activitate cognitivă
a fiecărui individ, asigurându -i acestuia un echilibru stabil și adaptarea eficientă la condițiile de
mediu, la solicitările multiple ale acestuia.
1.2. Particularități ale proce selor cognitive superioare la copiilor cu dizabilități mintale
ușoare
1.2.1 . Caracteristicile gândirii
Prin caracteristicile și mecanismele sale, gândirea se profilează ca un proces psihic
extrem de complex, care, în stare de normalitate, focalizează și valorifică optim întreaga
activitate cognitivă a fiecărui individ, asigurându -i acestuia un echilibru stabil și adaptarea
eficientă la condițiile de mediu, la solicitările multiple ale acestuia. Dimpotrivă, în cazul
persoanelor cu deficiență mintală, gândi rea suferă o serie de afecțiuni și, interacționând cu
celelalte funcții și procese psihice, focalizează insuficiențele întregii activități cognitive,
determinând scăderea, uneori drastică (în cazurile accentuate de deficienț ă mintală) a eficien ței
intelect uale sub nivelul minim al adaptabilității.
Particularitățile g ândirii la deficienții mintal așa cum sunt el e descrise în diferite lucrări
practic nu se întâlnesc niciodată toate împreună și nici în constelații identice la mai mulți indivizi
cu deficiență m intală. Prezența, modul de îmbinare și ponderea lor depinde atât de etiologia
deficienței în cazul concret dat, cât și de condițiile ulterioare de mediu și educație în care se
desfășoară dezvoltarea.
Caracteristicile importante ale dinami cii dezvoltării ps ihice la deficienții mintali inclusiv
ale dina micii dezvoltării inteligenței o repre zintă «vâscozitatea genetică», fenomen pus în
evidență de G.Alois [ 16]. Bazându -se pe teoria piagetiană a dezvoltării stadiale a inteligenței,
autoarea citată a evidenți at faptul că, în timp ce adolen centul normal atinge cu ușurință stadiul
operațiilor inelectuale formale, inclusiv întreaga paletă a gândirii rever sibile, deficientul mintal
stagnează, adesea, în dezvoltarea sa intelectuală, rămâne la nivelul unor trepte inter mediare, fără
a putea atinge nivelul gândiri formale.
La rândul său, G.Alois[16] a demonstrat în studiile sale comparative că, în raport cu
dimensiunile largi ale proximei dezvoltări la copilul cu intelect normal, la copiii deficienți mintal
«zona proximei dezvoltări» a inteligenței este limitată, restrânsă, cu atât mai limitată cu cât
gravitatea deficitului intelectual este mai mare.
Ca expresie a acestui fapt, deficientul mintal face pași mărunți, lenți și nesiguri în
evoluția sa intelectuală, de fapt, în evoluția întregii sale vieți psihice.
Datorită particularităților enumerate ale dezvoltării inteligenței, datorită dificultăților
întâmpinate în gândire, elevii cu CES recurg adesea în activitatea lor școlară la soluții puerile în
rezolvarea sarcinilor co gnitive; ei nu simt nevoia de fe ed-back, pe care nu -l solicită după cum, de
regulă, nu solicită nici ajutorul adultului (cadru didactic, părinte sau alte persoane cu care
interacționează), iar dacă -l primesc și, eventual, îl folosesc în situația concretă d ată, nu -l
transferă și nu -l utilizează în alte situații similare.
O altă trăsătură a gândirii la copii cu dizabilitati mintal e poate cea mai frecvent observată
în activitatea de învăț are desfășurată cu acești copii o reprezintă i nerția proceselor gândirii. Cauza
acestui fenomen trebuie căutată în dereglarea accentuată a mobilității pr oceselor nervoase
fundamentale excitația și inhibiția pe care se bazează activitatea nervoasă superioară.La nivelul
gândirii, inerția patologică este în strânsă legătură cu «sim ptomul central al sindromului
oligofrenic», simptom care, după Oprea.A[33] , constă în dificultăți accentuate de abstractizare și
generalizare, la rândul lor acestea găsindu -și explicația în diminuarea capacității corticale de
analiză și sinteză.
Una dintre cele mai frecvente manifestări ale ‘simptomului central’, adică ale
dificultăților de ab stractizare și generalizare, constă în concretismul excesiv al gândirii, în
incapacitatea accentuată a școlarului cu handicap mintal de a se desprinde de concretul
nemijlocit, de situația trăită în momentul dat, de a face generalizări și de a verbaliza
(conștientiza) propria experiență.
De asemenea, acești elevi se caracterizează printr -un scăzut spirit de observație, prin
slaba manifestare a interesului cognitiv, deci, printr -o insuficientă curiozitate, ceea ce
influențează negativ procesul antrenării lor în activitatea cognitivă, inclusiv în activitatea de
învățare la clasă.
O altă caracteristică importantă o reprezin tă inconsecvența gândirii (sau lipsa de
coerență), m ai ales la acele forme etiologice ale deficienței mintale (de origine traumatică,
postencefalitică etc.) pentru care este proprie pierderea accelerată a capacității de concentrare și
efort. Școlarii cu asemenea deficiență pot începe corect o activitate, de exemplu, rezolvare a unei
probleme accesibile lor dar, la prima greșeală întâmplătoare, în virtutea inerției, se pot abate de la
rezolva rea corectă, alunecând pe o pistă fal să, datorită unei eventuale ase mănări de procedee cu
care au fost deprinși anteri or.
Ca urmare a caracteristicilor menționate, gândirea deficienților mintal își pierde, frecvent,
rolul de co ordonare asupra activității des fășurate de aceștia. Primind o sarcină (problemă) de
rezolvat, ei nu o analizează, nu -și stabilesc în preala bil mome ntele principale de par curs, ci trec
direct (impulsiv) la rezol vare, orientându -se după elemen te întâmplătoare, după asemănări de
formă cu alte situații etc. Prin urmare, școlarilor cu handicap minta l le lipsește momentul de
orien tare în sarcina primită, a dică de judecare, în prealabil, a condițiilor de rezolvare a sarcinii
respective.
În activitățile școlare cotidiene, întâlnim și alte frecvente mani festări ale inerției
patologice la handicapații mintal, atât în gândirea lor, cât și la nivelul altor proces e și funcții
psihice. Așa sunt lentoarea operațiilor mintale, dar și practice, pe care elevii le efectuează cu
inabilitate, numeroasele stereotipii prezente în comportament și în vorbire, repetarea fără
discernământ a unor șabloane însușite mecanic, sără cia exemplificărilor originale, dificultățile
accentuate de aplicare în practică și de transfer a achizițiilor realizate anterior, lipsa de inițiativă
manifestată în activitatea de învățare etc.
O manife stare a inerției la școlarii cu dizabilitati mintal e constă în dificultățile majore pe
care ei le întâmpină, mai ales în secvența acomodativă a procesului cognitiv. Ca urmare a acestui
fapt, se întâmplă ca, în ‘depozitul mnezic’ al școlaril or respectivi, să coexiste frag mente de
informații învechite și contrad ictorii cu elemente cognitive noi, având un grad mai mare de
autenticitate. Reprezentând, după părerea noa stră, una din principalele mani festări ale
«vâscozității mintale», falsul prog res la elevii cu dizabilitati mintale se concretizează în
restrângerea a ccentuată a ariei de apli cabilitate a unor cunoștințe, pe care ei le -au «asimilat» la
anumite lecții, dar întâmpină dificultăți majore sau nu sunt deloc capabili să Ie folosească
independent (adică din proprie inițiativă) la alte discipline sau pentru a r ezolva, cu ajutorul lor,
situații problematice cu care ei nu sunt familiarizați. Incapacitatea sau dificultățile accentuate în
realizarea transferului constituie un indiciu important al rigidității gândirii la copiii cu deficiență
mintală.
Trebuie să reami ntim, de asemene a, că rigiditatea, inerția pato logică la nivelul gândirii se
manifestă, mai ales, în timpul unor activități de învățare, bazate pe folosirea exces ivă a
mijloacelor verbale, insu ficient asociate cu mijloace intuitive și practice.
O condiție esențială pentru reușita influențării terapeutice a unor astfel de copii și pentru
aducerea lor cât mai aproape de parametrii normali ai dezvoltării, inclusiv ai dezvoltării gândirii,
o repr ezintă abordarea cât mai de tim puriu posibil și includerea în prog rame pers onalizate de
terapie complexă.
1.2.2 . Caracteristicile imaginației
Imaginația se află, după cum se știe, în strânsă legătură cu gândirea divergentă, a cărei
principală caracteristică o reprezintă mobilitatea. Implicând puternic funcția semiotică, specific
umană, ima ginația interacționează multiplu și cu reprezentarea, cu limbajul, cu procesele
mnezice și cu alte laturi ale personalității, contribuind din plin la imprimarea originalității
acesteia. De asemenea, există o puter nică legătură între im aginație și stările motivațional afective
ale individului.
Imaginația face apel la operațiile generale de analiză, sinteză, clasificare, comparație etc.
în același timp, ea dispune și de procedee proprii, prin care valorifică, într -un mod original,
operați ile mintale. Aceste procese sunt: anticiparea, substituirea, tipizarea, aglutinarea etc.,
eficiența lor depinzând, însă, hotărâtor de mobilitatea gândirii. Specificul procedeelor imaginației
rezultă din felul în care se reali zează rearanjarea, redistribui rea, combinarea elementelor
cognitive existente în bagajul mnezic, în experiența individului.
După J.Mihai [18] , este foarte important ca, în ac tivitatea de învățare cu elevii cu
dizabilitati mintal e, pentru a consolida cunoștințele și pentru a preveni uit area, să se organizeze
un număr suficient de repe tiții. Trebuie avut în vedere că eficiența memorării nu este direct
proporțională cu numărul repetițiilor efectuate. Ba mai mult, când repetițiile sunt prea numeroase
și monotone, când ele se bazează pe ace leași exemple și aceleași materiale intuitive, care au fost
utilizate și la lecțiile de predare, ele nu numai că nu vor aduce nimic pozitiv în plus, ci,
dimpotrivă, vor contribui la consolidarea unor greșeli comise de elevi, la accentuarea inerției lor
specifice. O cale esențială pentru a face ca repetițiile la care sunt antre nați școlarii cu dizabilitati
mintale să fie eficiente – adică să consolideze informația și să prevină uitarea -constă în
asigurarea varietăți i exercițiilor recapitulative.
1.3. Caracteristica psihologică a copiilor cu dizabilități mintale ușoare în procesul
educațional
O sinteză a caracteristicilor sferei cognitive, afective și comportamentale la copiii cu dizabilități
mintale ușoare este reprezentată de G.Alois [16] . Pentru acești c opii,sunt specifice o serie de
schimbări ale proceselor psihice.
Tabloul clinic și psihopatologic în dizabilitățile mintale ușoare
Cognitiv
Predomină funcțiile de achiziție comparativ cu funcțiile de elaborare;
Lipsa de flexibilitate a activității cogniti ve;
Gândire productivă,și nu creativă; concretă și practică, față de gândirea normală, abstractă;
Deficiențe în realizarea operațiilor de generalizare și abstractizare, dar și a operațiilor elementare,
analiză, sinteză, comparație;
Stabilește mai ușor asem ănările,decât deosebirile;
Limbajul se dezvoltă cu întârziere, sub toate aspectele sale;
Capacități mnezice reduse, în special cea voluntară;
Capacitate scăzută de organizare și coordonare a acțiunilor în conformitate cu o comandă
verbală.
Afectiv
Imaturit ate social -afectivă;
Manifestări emotive puternice;
Trăiri afective explozive și haotice cu efecte distructive;
Capacitatea redusă de control a expresiilor emoționale, adesea foarte
puternice,care îi afectează negativ relațiile sociale.
Comportamental
(interrelațional)
Capacități reduse de a stabili contacte sociale, de integrare în grupuri sociale;
Comportament euforic, apatic sau iritabil;
Manifestări emotive, exagerat de puternice, frici nejustificate,
mânie, reacții agresive față de cei din jur, dis trugerea obiectelor,lovirea propriului corp;
Anxietate în legătură cu acceptarea de către alți copii, dar și de către adulți;
După Oprea.A.[33], pe fondul diminuării sau suprimării,în unele cazuri, a activității
analizatorilor (în special auditiv și vizua l), calitatea senzațiilor este redusă, cu efect negativ
asupra dezvoltării cognitive, senzațiile reprezentând căi naturale de receptare a informației venite
din mediul ambiant. Afectarea sensibilității reprezintă una din trăsăturile care pot fi constatate de
timpuriu și care exercită o influență negativă asupra activității senzorial -perceptive și a
formăriiîn continuare, a capacităților cognitive. Percepțiile, în cazul copiilor cu dizabilități
mintale, au caracter fragmentar, incomplet, limitat, rigid, dez organizat; dificultățile de analiză și
sinteză determină confuzii și imposibilitatea delimitării clare a unor detalii din câmpul perceptiv
sau incapacitatea reconstruirii întreglui,pornind de la elementele componente.
Referindu -se la gândire, dar și la ce lelalte procese psihice la copiii cu dizabilități mintale uș oare,
Oprea.A.[33], folosește sintagma „inerție patologică”, termen utilizat și de A.R. Luria.
Autorul descrie inerția patologică drept stereotipii atât în gândirea lor, cât și la nivelul celorla lte
procese psihice. Sunt prezentate stereotipii în comportament și în vorbire, șablonisme, dificultăți
de aplicare în practică și de transfer a achizițiilor realizate anterior. Imaginația, ca și
gândirea,este puternic afectată. Imaginația face apel la ope rațiile gândirii (analiză, sinteză,
comparație etc.), având, în același timp,și procedee proprii,cum ar fi anticiparea, substituirea,
aglutinarea etc. Produsele imaginației depind de mobilitatea gândirii. Din cauza concretismului și
a inerției sale, gândir ea își pierde rolul de coordonare a activităților desfășurate (pus în fața unei
sarcini, copilul, de cele mai multe ori,nu o analizează în prealabil, ci trece direct, impulsiv la
rezolvarea ei, orientându -se după situații aleatorii și după asemănări de for mă).
În contextul activităților educative, una dintre sarcinile prioritare ale învățământului pentru elevii
cu dizabilități mintale constă în prevenirea și combaterea manifestărilor de inerție și în dirijarea
comportamentului lor. Lipsa de îndrumare și su port, în condițiile afectării nivelului de
discernământ,generate de caracteristicile evocate anterior, poate determina, pe lîngă dificultăți
majore în procesul didactic, creșterea alarmantă a frecvenței tulburărilor de conduită,cu efecte
directe asupra int egrării lor sociale.
Imaginația este puternic afectată din pricina sărăciei și structurii lacunare a bagajului de
reprezentări, a caracterului rudimentar funcției semiotice, subdezvoltării limbajului,cauzate de
capacitatea mnezică limitată, inerția și rig iditatea reacțiilor adaptive.
Capitolul II . Conceptul de problemă și rolul ei în învăț area matematicii
2.1. Conceptul de problemă
Notiunea de problema are un continut larg si cuprinde o gama larga de preocupari si actiuni
din domenii diferite. In sens ps ihologic “o problema” este orice situatie, dificultate , obstacol
intampinat de gandire in activitatea practica si teoretica pentru care nu exista un raspuns gata
formulat. In general, orice chestiune de natura practica sau teoretica (pentru care nu exista un
raspuns gata formulat ), care reclama o solutionare, o rezolva re, poarta numele de problema.
Referindu -ne la matematica, prin problema se intelege o situatie a carei solutionare se poate
obtine esential prin proces de gandire si calcul. Problema de mat ematica reprezinta transpunerea
unei situatii practice sau a unui complex de situatii practice in relatii cantitative si aflate intr -o
anumita dependenta unele fata de altele si fata de una sau mai multe valori numerice
necunoscute, se cere determinarea ac estor valori. O problema de gandire apare atunci cand nu
putem face fata unei situatii noi prin solutii existente in experienta dobandit a, prin mijloacele
invatate. Etimologic pro -ballein inseamna ceea ce ti se arunca in fata ca bariera, obstacol; prin
extensie, ceea ce constituie o dificultate teoretica sau practica a carei inlaturare este pusa sub
semnul intrebarii. Intrucat dificultatea se prezinta ca o lacuna a cunoasterii, ea consta intr -un
sistem de intrebari asupra unei necunoscute si nu consta intr -o singura intrebare. Activitatea de
rezolvare a problemelor de matematica scolara constituie un cadru optim pentru cultivarea
creativitatii in special pentru dezvoltarea gandirii logice. Procesul de gandire se declanseaza ori
de cate ori nu putem face fata unei situatii noi ,situatie -problema, numai prin mijloacele invatate.
Viata constituie un permanent furnizor de probleme intrucat in activitatea practica si teoretica a
omului se ivesc in mod frecvent probleme. De aceea gandirea este in continuu solicitat a si
confruntata cu probleme de cele mai variate ce se cer rezolvate. In cadrul complexului de
obiective pe care le implica predarea -invatarea matematicii, in invatamantul primar, rezolvarea
problemelor reprezinta o activitate de profunzime cu caracter de analiza si sinteza superioara. Ea
implica eforturi mintale de intelegere a celor invatate si aplicare a algoritmilor cu structurile
conduitei creative, inventive, totul pe fondul stapanirii unui repertoriu de cunostinte matematice
solide, notiuni, definiti i, reguli, tehnici de calcul, precum si dep rinderi de aplicare a acestora.
Rezolvarea problemelor pune la incercare in cel mai inalt grad capacitatile intelectuale ale
elevilor, le solicita acestora toate disponibilitatile psihice, in special inteligenta, motiv pentru
care in clasele I -IV programa de matematica acorda problemelor o mai mare atentie.
Mobilizarea elevilor in rezolvarea problemelor este superioara altor demersuri matematice
deoarece elevii sunt pusi in situatia de a descoperii ei insusi modal itati de rezolvare si solutia, sa
formuleze ipoteze si apoi sa le verifice, sa faca asociatii de idei si corelatii inedite.
2.2. Cum gândim și cum rezolvăm probleme de matematică
Conceptia in care a fost construita noua programa de matematica vizeaza schimbari in ceea ce se
asteapta de la elevi, schimbari in predare, invatare si in evaluare. In invatare se pune accent pe
explorare, investigare, deci nu pe memorare. Firesc, diversele activitati de invatare se realizeaza
in functie de nivelul si ritmul propriu de dezvoltarea al elevilor.
Fara a domina catusi de putin rolul determinant al eforturilor personale ale acestora, staruim as upra
activitatii invatatorului in calitate de persoana care faciliteaza invatarea si ii stimuleaza pe elevi
sa lucreze in echipa si mai putin pe rolul sau de transmitator de informatii adresate unui elev care
recepteaza in mod relativ pasiv si lucreaza sin gur.
Problemele de matematica reprezinta transpunerea unei situatii date sau a unui complex de
situatii aflate in relatii cantitative, numerice, unele fata de altele si fata de valoarea cunoscuta,
cerandu -se, pe baza unor reguli, valoarea numerica necunosc uta. Elevul trebuie invatat sa -si
cumpaneasca bine rationamentul, acesta fiind lucrul cel mai important in rezolvarea problemelor.
In asimilarea acestei discipline, sunt de ne evitat eforturile de invatare a regulilor matematice,
incepand chiar din clasele primare: nesfarsite ore si exercitii de insusire a numeratiei in concentrele 1 –
10; 1 -100; 1 -1000; exercitii de calcul oral si scris; exercitii de marire si micsorare a unui numar cu
cateva unitati sau de cateva ori; exercitii de comparare a numerelor, a s umelor, diferentelor,
produselor sau caturilor, de aflare a distantelor, pana a se ajunge la frumoasele probleme supuse
rezolvarilor. In aceasta perspectiva, este necesara cunoasterea etapelor care stau la baza tehnicii
de rezolvare a problemelor:
a) Intelegerea enuntului este premisa rezolvarii corecte a problemei enuntului si a rationamentului
corect.
b) Repetarea enuntului cu si fara ajutorul unor intrebari suplimentare, e necesara pentru a vedea
daca elevii si -au insusit enuntul si semnificatia fiecarei marimi. In aceasta etapa, se pun in evidenta partile
principale ale problemei: cunoscuta, datele, conditia si cerinta.
Conditiile reprezinta ansamblul datelor si a sintagmelor care sugereaza o anumita operatie
matematica, implicand rezolvarea unei problem e. La nivelul scolii primare, astfel de rezolvari presupun
operatii de adunare, scadere, inmultire si impartire.
Cerintele reprezinta ce anume trebuie cautat in conditiile date.
c) Rezolvarea propriu -zisa necesita metode ge nerale bine manuite de profesor . Dupa atenta
examinare, se identifica metoda de rezolvare sintetica sau analitica.
Esenta examinarii problemei consta in analiza datelor unor probleme compuse in vederea descoperirii
raporturilor dintre ele. Se formuleaza apoi intrebarea potrivita, prin car e se poate ajunge la rezolvarea
problemei prin analiza succesiva a fiecaruia dintre elementele componente ale enuntului; se realizeaza,
practic, o descompunere si recompunere a problemei prin elementele sale componente.
Pentru o mai buna intelegere, vom ap ela la exemple.
„Intr -un cosulet, Costel are 10 pere , in altul de doua ori ma i multe, iar in al treilea cu 6 per e mai
multe decat in al doilea. Ca te per e are Costel in cele trei cosuri ?”
Mersul rationamentului trece de la cunoscut la necunoscut. Elevul iti va pune, succesiv,
intrebarile: „Ce stim de la inceput?” , ,,Ce se poate afla apoi?” , ,,Ce se afla mai departe?” .
Metoda sintetica duce adeseori mai repede la obtinerea raspunsului la intrebarea
problemei decat metoda analitica.
Prin metoda analitica, prob lema prezentata anterior urmeaza a se rezolva conform
urmatoarei scheme:
Rezolvarea problemelor se poate face si pe o cale diferita, pornind de la intrebarea finala
catre cele subordonate acesteia.
Analiza si sinteza care repre zinta doua aspecte ale procesului gandirii, sunt legate intre ele
si se aplica in unitate si armonie, astfel organizarea problemei prin insasi esenta ei reprezinta un proces
analitico sintetic. Astfel spus, in procesul rezolvarii unei probleme se combina a naliza cu sinteza.
Dupa ce problema a fost analizata prin metodele discutate anterior se trece la realizarea planului.
Acest plan nu este altceva decat o linie generala de conduita, ce va fi urmata de rezolvarea problemei.
Dupa gasirea raspunsului se impun e acea privire retrospectiva (verificarea rezolvarii date), o faza
importanta si instructiva a muncii. Reexaminand rezolvarea, elevii pot sa -si aprofundeze cunostintele,
sa capete mai multa abilitate in rezolvarea problemelor, sa ajunga la generalizare.
Daca in rezolvarea problemelor se utilizeaza diagrame pentru a ilustra grafic datele unei anumite
probleme, atunci elevii descopera usor legaturile dintre datele problemei si se familiarizeaza usor cu
intelegerea sensului concret al operatiilor necesare. Pre zint modalitati diferite de folosire a acestor
diagrame in rezolvarea problemelor compuse pentru elevii primelor clase ale scolii primare.
“Vasilica are 14 nuci, iar Costel cu 9 nuci mai putine decat Ionel. Numar total de mere
Numar de mere
din al treilea cos
Num ar de mere
din al doilea cos
Numar de mere
din primul cos Cu 6 mai mult
De doua
ori mai
Cu cate nuci are mai mult Vasilica decat Ionel ?”
Schemele acestei probleme – sintetica si analitica – au urmatoarele infatisari:
Multi elevi rezolva cu relativa usurinta trei probleme simple, pe cand nu toti rezolva la fel de usor o
problema compusa din doua sau trei probleme simple. Problema compusa este un set de probleme
simple relationate functional. Dupa ce elevul rezolva un pas, el se afla in fata aceleiasi probleme, dar
cu mai putin necunoscut si cu mai mult cunoscut, care -l va ajuta in urmatorii pasi. Aceasta etapa se
considera realizata in mom entul in care elevul reuseste sa creeze un model grafic pentru o anumita
problema.
2.3. Noțiunea de problemă ș i componentele ei : enunț ul, datele și î ntrebarea
Activitatea de rezolvare si compunere a problemelor de matematica scolara constituie un cadru optim
pentru cultivarea gandirii logice.
Notiunea de problema are un continut larg si cupr inde o gama larga de preocupari si actiuni diferite. In
general orice chestiune de natura practica sau teoretica ce reclama o solutie, o rezolvare, poarta
numele de problema. Referindu -ne la matematica, prin problema se poate intelege o situatie a carei
solutionare se poate obtine esential prin proces de gandire logica si calcul.
Orice problema are doua componente: enuntul (datele) problemei si intrebarea (necunoscuta – una sau
mai multe) problemei – care satisface conditia problemei. Conditia legala necuno scuta de datele
problemei.
Prin rezolvarea problemelor de matematica elevii isi formeaza deprinderi eficiente de munca
intelectuala care se vor reflecta pozitiv si in studiul altor discipline de invatamant, isi cultiva si
educa calitatile moral – volutive. Rezolvarea unei probleme se trece prin mai multe etape care se
subimpart in alte doua faze si anume: familiarizarea, cu problema si munc a pentru o mai buna
intelegere. In acest sens in rezolvarea unei probleme se incepe cu enuntul problemei, cu
formularea acesteia in cuvinte urmarind ca elevul sa inteleaga enuntul verbal al problemei si sa -l
repete intr -un mod curgator.De asemenea pentru a asigura succesul rezolvarii se urmareste ca
elevul sa fie capabil sa puna in evidenta partile principale ale problemei : necunoscuta, datele,
conditia. Nu este posibil ca elevul sa formuleze sa formuleze ipoteza si sa construiasca
rationamentul rezolvarii problemei decat in masura in care cunoaste termenii in care pune
problema. Enuntul problemei contine un minim necesar d e informatii. Datele si conditia
problemei reprezinta termenii de orientare a ideilor, a analizei, a si ntezei precum si a
generalizarilor ce se fac treptat pe masura ce se inainteaza spre solutia problemei.
Intrebarea indica directia in care trebuie sa se orienteze formularea ipotezei.
Acest minim de informatii adica datele problemei, relatiile dintre ele, intrebarea
problemei le receptioneaza in mod obtional elevii prin citirea textului problemei, ilustrarea cu
imagini sau chiar cu actiuni cand este cazu l.
O alta etapa a rezolvarii problemelor este analiza problemei si intocmirea planului
logic.Aceasta este etapa in care se elimina aspectele ce au semnificatie matematica si se
eleboreaza prezentarea matematica a enuntului problemei.Acum elevii „construies c”
rationamentul prin care se rezolva problema adica gasesc drumul de legatura intre datele
problemei si necunoscuta.
Prin exercitii de analiza a datelor, a semnificatie lor a relatiilor dintre ele si a celor dintre
date si necunoscute se ajunge de la situ atii concrete la situatii abstracte adica la reprezentarea
matematica a problemei.In modul in care elevii au transpus problema in relatii matematice,
solutia este ca si gasita.Se va trece apoi la cea de -a treia etapa, adica la alegerea si efectuarea
operat iilor corespunzatoare succe siunii din planul logic.
Se va alege si se va efectua acum calculele din planul de rezolvare, se va constientiza
semnificatia rezultatelor partiale ce se obtin prin calculele respective si eviden t rezultatul final.
Dar cea mai im portanta etapa a rezolvarii unei probleme care duce implicit la dezvoltarea
creativitatii scolarilor este si va ramane etapa prin care se realizeaza si autocontrolul asupra
felului in care si -au insusit enuntul problemei asupra rationamentului realizat si a demersului de
rezolvare parcurs.Ea consta im verificarea solutiei problemei, in gasirea si a altor metode de
rezolvare si de alegere justificata a celei mai bune.Dupa fiecare rezolvare de probleme se scoate
in evidenta categoria din care face parte pro blema, fixarea algoritmului ei de rezolvare, scrierea
(transpunerea) datelor problemei si a relatiilor dintre ele intr -un exercitiu sau, dupa caz in
fragmente de exercitii.Avand in vedere toate ecestea, activitatea de rezolvare in ansamblul si in
fiecare e tapa in parte se desfasoara in maniere specifice, in functie de dificultatile pe care le
ridica rezolvarea problemei precum si a posibilitatilor pe care le ofera varsta scolara respectiva si
experienta elevilor in rezolvarea problemelor.
2.4. Clasificarea problemelor de matematică
a. Probleme cu operații relativ evidente în funcție de date și de relațiile dintre ele și necunoscută
(sunt problemele cele mai des întâlnite în manualele din clasa I -IV); acestea sunt:
A. Probleme simple
B. Probleme compuse
Ca m etode de rezolvare sunt, principal, două – metoda sintetică și metoda analitică.
b. Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă. În acestă categorie includem și probleme de
aflare a două numere cunoscând suma și diferența lor, precum și pe cele de afl are a două numere
cunoscând suma sau diferența și raportul lor.
c. Probleme de egalare a datelor (metoda reducerii la ac elași termen de comparație). d . Probleme
de presupunere (metoda falsei ipoteze).
e. Probleme gen rest din rest (metoda mersului invers) .
f. Probleme de amestec și aliaje cu două variante:
A. De categoria I.
B. De categoria a II -a.
g. Probleme de mișcare (bazate pe relația s= v x t ), cu două variante:
A. În același sens.
B. În sensuri contrare.
h. Probleme cu mărimi proporționale cu două variante:
A. Împărțirea unui număr în părți direct proporționale.
B. Împărțirea unui număr în părți invers proporționale.
i. Probleme care, depinzând de alcătuirea întrebării și de date, pot fi rezolvate și încadrate în
categoriile specificate mai sus, dar cu un conținut specific:
A. Probleme cu conținut geometric.
B. Probleme cu conținut de fizică.
C. Probleme asupra acțiunii și muncii în comun.
j. Probleme nestandard (recreative, rebusistice, de perspi cacitate, probleme – joc, etc.)
2.5. Folosirea scheme lor în rezolvarea și compunerea problemelor
In rezolvarea tipurilor de probleme se foloseste atat metoda analitica cat si cea sintetica
deoarece ambele duc la solutia finala. Deosebirea dintre ele consta in punctul de plecare al
rationamentului.
Prin meto da sintetica se pleaca de la datele problemei avand in vedere conditia problemei, pentru a
ajunge la raspunsul cerut.
Prin metoda analitica se procedeaza invers, pornindu -se de la intrebarea problemei spre datele ei.
Examinarea cunoscutei reprezinta o cale de acces. O intrebare antreneaza o alta intrebare.
Incercand sa clarificam problema, incercand sa gasim legaturi si asemanari cu problemele
cunoscute s -ar putea sa sesizam ca problemei respective i se poate aplica o anumita schema familiara
si atunci facem cativa pasi pe calea ce poate duce la solutie. Pentru scolarii cu CES este mai
accesibila metoda sintetica dar are inconvenientul ca nu solicita suficient gandirea iar generalizarea nu
este stimulata. Referitor la folosirea schemelor, la rezolvare a si compunerea problemelor, putem spune
ca parcurgand drumul rezolvarii unei probleme, elevii parcurgand drumul schematizarii ei, al
desprinderii esentialului care este de fapt structura logica a ei.
Dupa rezolvarea mai multor probleme cu ajutorul schemel or vom putea rezolva urmatoarea problema.
Am desenat pe tabla doua cosuri cu mere.
I-am intrebat p e elevi:
„Ce ar trebui sa stim pentru a afla cate mere sunt in total in cele doua cosuri?”
Raspunsul a fost :
„Cate mere sunt in fiecare cos!” , ,,Ce am face cu aceste numere?” (Le-am aduna t).
Un elev a completat problema alegand si datele :
„Intr-un cos sunt 15 mere iar in altul 40. Cate mere sunt in total in cele doua cosuri ? ”
Pornind de la intrebarea problemei am alcatuit schema:
Simplificata, schema ara ta astfel:
Am complicat apoi problema simpla, transformand -o intr -o problem a dezvoltata.
„Intr-un cos, sunt 15 mere iar in altul cu 25 mai multe. Cate mere sunt in total ? ”
Din analiza problemei, elevii au observat ca pentru a afla totalul merelor, tre buie sa cunoasca
numarul merelor din primul cos si din al doilea cos. Cum a doua marime este necunoscuta, ea va fi
aflata cu ajutorul relatiei date ,,mai mult cu 25 decat primul'. Raspunsul il introducem in problema si
raspundem la intrebarea finala.
Pentr u a constientiza tipul de probleme intalnite la clasela am pornit in rezolvare de la un model.
Acesta ofera elevului posibilitatea patrunderii in procesul de rezolvare, sa vada unitar structura
problemei sesizand organizarea interna a problemei (enuntul).
Exemplu:
„Dan a plantat 32 meri ia r Ion a plantat cu 3 mai putin.
Cati meri au plantat in total cei doi baieti ? „
Am realizat modelul in mai multe etape:
Etapa I Etapa a -II-a Etapa a -III-a
Rezolvarea problemelor cu ajutorul schemei grafice si redare a sintetica a problemei in formula
numerica, repunerea problemei in exercitiu au contribuit la educarea profunzimii si mobilitatii
gandirii.
In psihologia scolara s -a stabilit ca toate insusirile psihice inclusiv gandirea creativa se formeaza
in procesul v ietii si activitatii organizate in scoala.
Inainte de a trece la cultivarea creativitatii prin probleme la am incercat sa precizez obiectul
actiunii mele formative, adica am raspuns la intrebarea „Ce doresc sa cultiv la elevi?” Am cautat
sa creez cadrul sp ecific participarii efective la procesul de instruire si formare urmarind:
adecvarea metodologiei didactice la colectivul de elevi, la particularitatile de varsta si
individuale, crearea suportului afectiv necesar participarii efective si eficiente la proc esul
instructiv -educativ prin stimulari repetate, aprecieri pozitive in caz de reusita, jocuri didactice,
concursuri intre grupe de elevi, acordarea sprijinului necesar insusirii cunostintelor si
deprinderilor prevazute in programa ce urmeaza a fi parcursa in continuare.
Pe langa activitatile destinate in special acestui scop, in afara orelor de clasa, in cadrul fiecarei
secvente de activitate independenta din cadrul lectiilor desfasurate in conditii simultane, elevii au
primit sarcini de lucru individuale sau pe grupe mici rezolvate sub supravegherea invatatorului.In
procesul analizei, aprecierii si rezolvarii unor probleme de gandire am elaborat probleme de
aritmetica cu date numerice incomplete si probleme cu date numerice redactate cerand elevilor sa
le rezolve.
2.6. Dezvoltarea gandirii logice prin rezolvarea si compunerea problemelor de matematica
Ritmul alert al rezolvarii competitiei in toate domeniile de activitate ne impune sa gandim repede
si bine. Matematica contribuie, in foarte mare masura, la dezvoltarea gandirii logice, a spiritului
de receptivitate, al rationamentului etc.
In clasele primare se insusesc notiunile de baza ” Instrumentele” cu care elevul va “opera”pe tot
parcursul vietii si pe care se cladeste intregul sistem al invatamantului m atematic. Elevii
intampina greutati daca nu -si insusesc la timp aceste notiuni. Un elev care nu a invatat sa
calculeze corect, cheltuieste o cantitate de energie in plus si nu poate sa urmareasca firul
rationamentului unui exercitiu sau a unei probleme. Di ficultatea pe care le intampina nu -l
mobilizeaza pentru noi incercari si duc la scader ea increderii in puterile sale. Daca elevul simte ca
patrunderea in miezul notiunilor matematice, daca el traieste bucuria fiecarui succes, mare sau
mic, toate aceste trai ri cultiva interesul si dragostea pentru matematica.
Manualele alte rnative de matematica sunt carti bogat ilustrate, saturate in imagini
intuitive prelungind, prin majoritatea capitolelor lor procedura de redare a cantitatilor specifica si
accesibila vars tei prescolare. Este meritorie insa preocuparea manualelor de clasa I de a prezenta
datele primelor probleme pe care le rezolva elevii in imagini si de a -i invata sa rezolve problema
gandind pe aceste imagini.
Pornind de la aceste considerente inca din cla sa I se pot prezenta elevilor probleme
(datele, conditia, intrebarea) astfel incat ei sa inteleaga ce inseamna rezolvarea problemei, cum se
rezolva o problema simpla, iar mai tarziu una complexa.
Pentru ca activitatea de rezolvare de probleme sa -si materia lizeze valentele formative in
directia dezvoltarii gandirii logice este nevoie de un continut al problemelor si o orientare a
activitatii de rezolvare a lor adecvate acestui scop .
Astfel in clasa unde marimile sunt aratare intuitiv prin intermediul multim ilor de obiecte
concrete -copii, masini, avioane, fructe, veverite, pasari etc. care prilejuiesc perceptia senzoriala a
cantitatilor „se vor deschide ochii” scolarilor catre lumea raporturile matematice reducand
simtitor intuitivul mai ales in cazul problem elor cu text.
Pentru a formula la elevii cu CES o gandire logica ei vor fi invatati din ce si cum sa creeze. Se
formeaza la elevi capacitatea de a sesiza probleme, de a pune si constientiza problema.
La capitolul „ Numere mai mici decat zece ”, paralele cu predarea si invatarea fiecarui numar
natural, cu scrierea cifrelor respective, in fiecare lectie, se pot adauga informatii noi referitoare la
activitatea de rezolvare de probleme. Dupa manual elevii compu n si rezolva probleme.
Exemplu:
„Intr -un cos se afl au 7 mere. Maria a mai pus un mar. Cate mere se afla acum in cos ?”
Pentru a dezvolta gandirea creatoare la elevi trebuie sa fie incurajati in activitati, sa fie apreciat
efortul depus si sa fie stimulati chiar si atunci cand acestea vor da raspunsuri comp let eronate. Si
se vor adresa intrebari de tipul:
„Mai gandeste -te, cum mai putem s ocoti? Cum se mai poate judeca?
Nu se poate si altfel ?Cum mai putem spune?”
Au nevoie de astfel de intrebari indeosebi acei elevi care au gandire lenta, reusind in acest fe l sa
rezolve si ei probleme, fara a se crea situatii de punere in inferior itate fata de ceilalti colegi.
Dezvoltarea potentialului de gandire si creativitate se realizeaza prin activitati care solicita
independenta, inteligenta, orig inalitatea. De aceea pr ofesorul trebuie sa fie receptiv la ceea ce
intereseaza si le place copiilor la ceea ce vor si pot realiza valorificand in activitati toate fortele
lor si sa tisfacandu -le toate interesele.
La clasele primare la „Adunarea si scaderea numerelor naturale ” se poate orienta gandirea
elevilor spre situatii problema a caror solutie are un caracter inductiv, plecand de la ideea
posibilitatii gasirii optime de mai multe posibile, care au o valoare cognitiva constit uind un
mijloc de creativitate.
Plecand de la exerci tii de tipul „? + ? = 10” sau „? + ? = 4” in care elevii erau pusi in situatia
de a gandi mai multe variante de scriere a unui numar, au calculat problema de acest fel:
„Pe lac sunt 5 gaste, mai vin 5 gaste. Cate gaste sunt pe lac?”
Acelasi continut dar fo losind alte numere au avut si celelalte posibilitati de scri ere a numarului
10.
3 + 7 = 10 1 + 9 = 10
2 + 8 = 10 6 + 4 = 10
Exemplu :
„ Pe lac sunt 3 gaste, mai vin 7 gaste. Cate gaste sunt pe lac ?” etc.
Ulterior se cere elevilor sa gaseasca un alt enunt al problem ei, dar folosind aceleasi date.
Pentru 6 + 4 = 10 s e pot compune probleme de tipul :
1. Florin are 6 lei. Mama ii mai da 4 lei. Cati lei are el ?
2. Ileana are 6 batiste. Sora sa are 4 batiste .Cate batiste au impreuna?
3. Intr -un garaj sunt 6 aut ocamioane. Au mai venit 4 autocamioane. Cate autocamioane sunt in
total?
Compunand si rezolvand aceste probleme se realizeaza una dintre cele mai importante etape ale
cultivarii gandirii logice. Confruntarea elevilor cu probleme implica scopul rezolvarii, constiinta
dificultatilor de rezolvare si o an umita motivatie.
In sarcina profesorului nu mai ramane decat asigurarea concrete prin care sa -i puna pe elevi in
situatia de a intelege continutul problemei ca si insusirea de catre elevi a disciplinei activita tii de
rezolvare de probleme. Acest proces este uneori ingreunat , la inii elevi, din cauza slabelor
deprinderi de calcul, efortul lor concentrandu -se nu asupra liniei rationamentului problemei ci
asupra efectuarii calculelor.
Cateodata procesul de rezolva re al problemelor este ingreunat datorita unor termeni sau expresii
neintelese.
Exemplu:
„Un magazin de textile a vandut intr -o zi 24 camasi de copii si 15 camasi de barbat. Cate
camasi din cele doua sortimente a vandut ?”
Copiii au dovedit ca nu stiu ce i nseamna „sortimente”, fapt care a deplasat atentia lor de la
rationamentul problemei, aparent simplu catre acest termen. Numai dupa explicarea cuvantului
elevii si -au dat seama ca rezolvarea problemei nu este dificila si au rezolvat -o destul de usor.
Dintr e problemele simple ce se rezolva in cl asele primare se pot enumera cele bazate pe :
1.adunare: – de aflare a sumei a doi termeni;
– probleme de genul „cu atat mai mult „
2.scaderea: – de aflare a restului
– de aflare a unui termen cand se cunoaste suma si un termen al sumei
– probleme de genul „cu atat mai putin”
Rezolvand probleme de acest fel se observa ca elevii le considera simple si de multe ori
neglijeaza intrebarea, neglijeaza datele sau chiar confunda operatiile.
Rezolvarea problemelor simple pr ezente in manualele altern ative , este unul din urmatorii pasi
orientati spre exersarea flexibilitatii si fluentei gandirii. Dar nu numai gandirea este mobilizata in
rezolvarea unei probleme, ci intreaga personalitate a celui ce rezolva probleme in toate
coordonatele ei rationale, afective, volitiv .
Capitolul III. Valente formative ale activitatii de rezolvare de problem e
3.1. Tipuri de probleme și metode de rezolvare
Mulți învață matematică din necesități conjuncturale, în general, și mai ales în special pentru a
face față exigenței diferitelor examene. Puțini sunt aceia care o fac din plăcere, din pasiune.
Elevii își formează deprinderi de calcul oral sau scris, îsi însușesc anumite tehnici de calcul, dar
„poezia matematicii” – plăcerea de a descifra și de a „reciti” ca pe o poezie cu multiple și uneori
ascunse sensuri despre viață și univers, numai rezolvarea de probleme o re alizează deplin.
Primele probleme sunt acelea pe care și le pune zilnic copilul în școală, în familie, în timpul
jocului și care sunt ilustrate cu exemple familiare lui. Pentru a -i face să vadă încă din clasa I
utilitatea activității de rezolvare a proble melor, este necesar ca micii școlari să înțeleagă faptul că
în viața de toate zilele sunt situații când trebuie găsit un răspuns la diferite întrebări.
În această perioadă de început, activitatea de a rezolva și compune probleme se face numai pe
cale intu itivă. De aceea, primele probleme sunt necesar legate de introducerea lor sub formă de
joc și au un caracter de problema -acțiune și li se asociază un bogat material didactic ilustrativ.
Rezolvarea primelor probleme se realizează la un nivel concret, ca a cțiune de viață (au mai
venit…fetițe, s -au spart..baloane, au plecat…rățuște, i -a da t creioane colorate, au
mâncat…bomboane), ilustrate prin imagini sau chiar prin acțiuni executate de copii (elevul vine
la magazin, cumpără, plătește sau elevul este la școală și primește cărți sau creioane). În această
fază, activitatea de rezolvare a problemelor se află foarte aproape de aceea de calcul. Dificultatea
principală pe care o întâmpină copiii constă în transcrierea acțiunilor concrete în relații
matematic e. În enunțul unei probleme, formulat de învățător sau de copil, nu se spune „3 fetițe
plus 2 fetițe”, ci se spune că erau 3 fetițe și au mai venit 2 fetițe, nu se spune „4 baloane – 2
baloane”, ci că au fost 4 baloane și s -au spart 2 dintre ele.
Pe baza experienței pe care o au elevii încă din etapa preșcolară sau chiar din primele lecții de
matematică în efectuarea operațiilor cu mulțimi, ei reușesc, în general, cu ușurință să „traducă”
în operații matematice acțiunile cerute în enunțul unei probleme.
Acum elevii sunt familiarizați cu termenul de „problemă”, „întrebarea problemei”, „rezolvarea
problemei”, „rezultatul problemei”.
Introducerea în rezolvarea problemelor simple se face încă din perioada pregătitoare primelor
operații. Învățătorul se folosește de probleme „acțiune” care după ce au fost „puse în scenă” vor
fi ilustrate cu un desen schematic.
Deși rezolvările de probleme simple par ușoare, învățătorul trebuie să aducă în atenția copiilor
toate genurile de probleme care se rezolvă printr -o singură operație aritmetică. Care sunt în
esență acest tipuri?
1. Probleme s imple bazate pe adunare pot fi:
– de aflare a sumei a doi termeni;
– de aflare a unui număr mai mare cu un număr de unități decât un număr dat;
– probleme de genul „cu atât mai mult”.
2. Probleme bazate pe scădere pot fi:
– de aflare a restului;
– de aflare a unui număr care să aibă un număr de unități mai puține decât un număr dat;
– de aflare a unui termen atunci când se cunosc suma și un termen al sumei;
– probleme de genul „cu atât ma i puțin”
3. Probleme simple bazate pe înmulțire pot fi:
– de repetare de un număr de ori a unui număr dat;
– de aflare a produsului;
– de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât un număr dat;
4. Probleme simple bazate pe împărțire pot fi:
– de împărțire a unui număr dat în părți egale;
– de împărțire prin cuprindere a unui număr prin altul;
– de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mic decât un număr dat;
– de aflare a unei părți dintr -un întreg;
– de aflare a rap ortului dintre două numere.
În general, problemele simple sunt ușor înțelese și rezolvate de către elevi. Dificultăți există, cele
mai frecvente fiind de genul: neglijarea întrebării, includerea răspunsului în enunț, neglijarea
unei date, confundarea opera ției ce trebuie efectuate ș.a. Pentru depasirea lor am avut în vedere:
– rezolvarea unui număr mare de probleme;
– analiza temeinică în rezolvarea fiecărei probleme;
– abordarea unei mai mari varietăți de enunțuri;
– prezentarea unor probleme cu date incom plete pe care elevii sa le completeze și apoi să
le rezolve;
– prezentarea datelor unei probleme și elevii să pună întrebarea și invers;
– prezentarea unor „povestiri” care nu sunt altceva decât așa -zise probleme latente;
– completarea unui text dat cu va lori numerice conforme cu realitatea;
– rezolvarea unor probleme în care operația nu apare la prima vedere;
– compunerea de probleme după anumite date, după scheme date, folosind inversarea
datelor sau alte date;
– alcătuirea de către copii a unor probleme , în mod liber, fără a fi limitate de existența
datelor, de relația dintre ele sau de rezolvarea lor printr -o anumită operație.
De fapt, prin aceste procedee se urmărește propriu -zis nu o învățare a problemelor, ci formarea
capacităților de a domina variet atea lor care practic este infinită.
Rezolvarea de probleme simple este unul din primii pași orientați spre exersarea flexibilității și
fluenței gândirii. Prin rezolvare elevii ajung să opereze în mod real cu numere, să facă operații de
compunere și descom punere, să folosească strategii și modele mintale anticipative.
Rezolvarea problemelor compuse nu înseamnă, în esență, rezolvarea succesivă a unor probleme
simple. Nu rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema compusă constituie
dificultatea principală într -o problemă cu mai multe operații, ci legătura dintre verigi,
constituirea raționamentului. De aceea este necesară o perioadă de tranziție de la rezolvarea
problemelor s imple ( cu o operație) la rezolvarea problemelor compuse (cu două sau ma i multe
operații).
În prima perioadă se pornește de la rezolvarea unor probleme compuse alcătuite din succesiunea
a două probleme simple.
Un exemplu relevant poate fi următoarea problemă:
„Victor și Dănuț strâng împreună mere din livada. Victor a pus într -un cos 3 mere și Dănuț 2
mere. Ionică aduce și el 4 mere pe care le pune în același cos.
Câte mere au în total cei trei copii?”
3 mere ……. 2 mere ……. 4 mere ……. ? mere
Rezolvăm problema și pe secvențe (judecăți separate):
1. Câte mere au împreună Victor și Dănuț?
3 mere + 2 mere = 5 mere
2. Câte mere au în total cei trei copii?
5 mere + 4 mere = 9 mere
Rezolvăm problema și printr -o adunare a trei termeni (ceea ce în esență se exprimă prin relația
a+b+c.) :
3 mere + 2 mere + 4 mere = 9 mere
În cadrul acestei activități elevii sesizează mersul raționamentului și învață să elaboreze tactica și
strategia rezolvării prin elaborarea planului de rezolvare a problemei.
Examinarea unei probleme compuse se face, de regulă, prin metoda analitică sau sintetică. Cele
două metode se pot folosi simultan sau poate să predomine una sau alta, caz în care metoda care
predomină își impune specificul asupra căilor care duc la găsirea soluției. Atât o metodă cât și
cealaltă constau in descompunerea problemei date în probleme simpl e care, prin rezolvare
succesivă duc la găsirea soluției finale. Deosebirea dintre ele constă, practic, în punctul de
plecare al raționamentului. Prin metoda sintezei se pleacă de la datele problemei spre găsirea
soluției ei, iar prin metoda analizei se pl eacă de la întrebarea problemei spre datele ei și stabilirea
relațiilor matematice între ele.
În practică, s -a demonstrat că metoda sintezei este mai accesibilă, dar nu solicită prea mult
gândirea elevilor. Mai mult, se constată că unii elevi pierd din ved ere întrebarea problemei și
sunt tentați să calculeze valori de mărimi care nu sunt necesare în găsirea soluției problemei.
Metoda analizei pare mai dificilă, dar solicită mai mult gândirea elevilor și, folosind -o, îi ajută pe
elevi să privească problema î n totalitatea ei, să aibă mereu în atenție întrebarea problemei.
Odată cu analiza logică a problemei se formulează și planul de rezolvare. Planul trebuie scris de
profesor pe tablă și de elevi pe caietele lor, mai ales la rezolvarea primelor probleme, scop ul
fiind acela al formării deprinderilor de a formula întrebări și pentru alte rezolvări de probleme.
În clasa I, planul problemei se întocmește de la început oral ( elevii neavând suficiente cunoștințe
și deprinderi de scriere), manieră c are se continuă ș i în clasa a II-a, în unele situații. Se
recomandă ca la clasa a II -a planul de rezolvare să se facă oral sau în scris în egală măsură. În
clasele a III -a și a IV -a, după întocmirea planului oral, elevii sunt capabili datorită deprinderilor
de scriere dej a formate, să treacă la scrierea planului cu ușurință, îndată ce problema a fost
examinată. Forma în care poate fi scris planul este variată, dar cel mai eficient este sub forma
întrebărilor. Să luăm ca exemplu problema:
„O fermă a contr actat 300 de kilogr ame de grâu, secară cu 70 kil ograme mai puțin, iar ovăz de 3
de ori mai putin decât secară. Câte kilograme de cereale a contractat acea fermă?”
Planul rezolvării:
– câte kilograme de secară?
– câte kilograme de ovăz?
– câte kilograme de cereale s -au contrac tat în total?
Rezolvare:
300 kilograme – 70 kilograme = 230 kilograme(secară)
300 kilograme / 3 = 100 kilograme(ovăz)
300kilograme + 230 kilograme+ 100kilograme= 63 0 kilograme(cereale)
Răspuns: 63 0 kilograme ( cereale).
Rezolvarea se scrie, de regulă, prin intercalarea întrebărilor din plan cu calculul asigurându -se o
estetică în pagină și o strânsă legătură între ceea ce a gândit elevul și ceea ce se calculează.
Astfel vom avea:
1. Câte kilograme de secară s -au contractat?
300kilograme – 70 kilograme= 230k ilograme (secară)
2. Câte kilograme de ovăz s -au contractat?
300 kilograme / 3 = 100 kilograme(ovăz)
3. Câte kilograme de cereale s -au contractat?
300 kilograme + 230 kilograme + 10 0kilograme= 63 0 kilograme (cereale)
Răspuns: 63 0 kilograme (cereale)
Scriin d în felul de mai sus, elevii sunt solicitați să răspundă imediat, prin efectuarea operației
fiecărei întrebări din plan, evitându -se astfel posibilele greșeli și chiar confuzii de întrebări și
operații.
O atenție deosebită trebuie să acorde profesorul pro blemelor ce admit mai multe procedee de
rezolvare. Și aceasta pentru că prin rezolvarea lor se cultivă mobilitatea gândirii, creativitatea sa,
se formează simțul estetic al școlarilor (prin eleganță, economicitatea și organizarea modului de
rezolvare). For marea priceperilor de a găsi noi procedee de rezolvare constituie o adevărată
gimnastică de minții, educându -se astfel atenția, spiritul de investigație și perspicacitate al
elevilor. De multe ori elevii nu sesizează de la început existența mai multor căi de rezolvare.
Sarcina învățătorului este aceea ca prin măiestria lui pedagogică, prin analiza întreprinsă cu
clasa, prin întrebări ajutătoare, să -i determine pe elevi să gândească și alte modalități de
rezolvare. Să exemplificăm cu problema:
„Într-un bazin curge apa prin două robinete. Prin primul robinet curg câte 174 litri de apă pe
minut, iar prin al doilea robinet, cu 36 litri mai mult decât prin primul.
Câți litri de apă se află în bazin după 3 minute de la deschiderea celor două robinete?”
Unii elevi pot rezolva problema efectuând operațiile necesare în ordinea acțiunilor cuprinse în
enunț ( din variate motive: neputința de a cuprinde și de a prelucra întregul enunț, insuficiența
deprinderilor de rezolvare formate până la acest moment).
Modelul oferă elevului posibilitatea să vadă unitar structura unei probleme, sesizând organizarea
internă a conținutului ei. Elaborarea modelului în forme și modalități din cele mai variate – cu
cerculețe, cu pătrate, cu triunghiuri, cu litere, cu cuvinte, cu prescurtăr i, cu ilustrații etc, este un
instrument ajutător în rezolvarea problemei. Prin alcătuirea modelului, elevul parcurge o etapă de
gândire, pătrunde în procesul de rezolvare, probează că a înțeles structura logică a conținutului
problemei, își exersează gând irea divergentă, creatoare, precum și abilitățile de compunere de
probleme.
O categorie de probleme căreia profesorul trebuie să -i acorde o atenție deosebită este aceea în
care datele sunt în relații de „cu atât mai mare (mai mică)” sau ,,de atâtea ori mai mare (mai
mică)”.
În aceste cazuri,se recomandă descompunerea problemei compuse în probleme simple și apoi
recompunerea din acestea a problemei inițiale.
În analiza problemelor este bine să nu se folosească totdeauna datele concrete așa cum sunt ele
preze ntate , explicându -le copiilor c ă acestea pot fi altele într -o altă problemă sau situație –
problemă.
Rezolvarea problemelor după un plan de rezolvare necesită nu o dată și folosirea schemelor,
desenelor, graficelor etc, iar pentru formarea unei gândiri sin tetice, formule numerice sau literale.
Dacă atunci când se predau operațiile aritmetice se insistă asupra notării cu litere a termenilor și
factorilor, dacă operațiile aritmetice sunt scrise la modul general și se cere elevilor să rezolve și
să compună pro bleme simple de aflare a unui termen, a unui factor, a sumei, diferenței,
produsului, câtului, să mărească și să micșoreze o cantitate cu atât sau de atâtea ori etc – folosind
formule literale, elevii nu vor mai întâmpina greutăți mari în acțiunile de sche matizare și
generalizare a unei probleme compuse prin exercițiu numeric sau formulă literală.
La întrebarea: câte probleme de matematică să se rezolve într -o lecție, răspunsul tehnicienilor și
practicienilor este simplu. Într -o oră de matematică este posib il să se rezolve doar 2 -3 probleme
la care să se insiste asupra raționamentului, asupra diferitelor căi posibile de rezolvare, asupra
schemei, punerii în formula numerică și literală, compunerii unor formule analoage pornind de la
exercițiu și formulă, de cât să se rezolve, în mod superficial, mai multe probleme, fără repetarea
cerințelor sus – amintite.
Un rol deosebit în dezvoltarea flexibilității gândirii îl ocupă rezolvarea problemelor -tip. Prin
problemă -tip înțelegem acea construcție matematică a cărei rezolvare se realizează pe baza unui
anumit algoritm specific fiecărui tip. O asemenea problemă se consideră teoretic rezolvată în
momentul în care i -am stabilit tipul și suntem în posesia algoritmului de rezolvare.
Nu trebuie să fim adepții unor șabloane pentru că rezolvitorul s -ar putea transforma într -un robot,
posesor al unor cartele pe care sunt imprimați algoritmi și sarcina lui ar fi doar să stabilească
tipul, să „tragă” cartela corespunzătoare, și să o adapteze datelor problemei. Un rezolvitor de
probleme trebuie să fie, pe lângă un bun specialist al obiectului, și un tip creator, novator,
întreprinzător – calități disjuncte cu ale „robotului”, în sensul clasic al cuvântului.
3.2. Aspecte metodice privind rezolvarea de probleme
Rezolvarea de problem e este considerată ca un proces superior de învățare datorită valențelor
formative de care dispun acestea.
Se pledează în literatura de specialitate pentru amplificarea activității de rezolvare de probleme,
motivată prin aceea ca să câștigăm un mod de a gâ ndi, sa devenim capabili de a rezolva mult mai
mult. Elevul trebuie să învețe să matematizeze situații date, să transpună matematic o problemă
reală înainte de a recurge la procedeele intra matematice de rezolvare.
În activitatea de rezolvare a problemelor , un rol important revine gândirii cu operațiile și
calitățile ei. Diferitele ipoteze care ne vin în minte în legătură cu problema pusă nu ne vin la
întâmplare ci au la bază acumulări de ordin informatic, instrumental și formativ.
Putând folosi aceste meto de în rezolvarea de probleme elevul arată că și -a însușit un anumit
algoritm de lucru (algoritm de rezolvare a problemelor). După mult exercițiu elevul cunoaște
elementele esențiale după care problema poate fi încadrată într -o anumită categorie putându -i
aplica algoritmul corespunzător.
Pentru a ajunge la aceasta, elevii trebuie să dispună de o serie de competențe din domeniile:
informativ, instrumental, formativ. Ce se înțelege prin aceasta?
În primul rând să cunoască împrejurările care determină alegerea și întrebuințarea unor anumite
operații.
Pentru aceasta am considerat că este bine ca încă de la adunarea și scăderea numerelor până la 10
să se utilizeze în locul exercițiilor de forma: 3 + 2; 7 -5; 6 + 4 etc.; exerciții de forma:
– care este suma numerel or: 9 și 0, 5 și 4, 0 și 2;
– care este diferența numerelor: 56 și 7; 48 și 8; 20 și 4;
– care este produsul numerelor: 8 și 9; 4 și 5; 2 și 3;
– aflați termenul necunoscut când se cunoaște că suma este 45 și un termen 17; suma
este 59 și un termen 18;
– aflați descăzutul dacă restul este un număr par mai mic ca 4 și scăzătorul este un
număr impar cuprins între 6 și 9;
– aflați deîmpărțitul dacă câtul este 3 și împărțitorul este dublul său;
– aflați împărțitorul dacă deîmpărțitul este 409 iar câtul este 8;
– cu cât este mai mare suma numerelor 18 și 9 decât diferența lor;
– cu cât este mai mică diferența numerelor 9 și 3 decât produsul lor;
– la suma numerelor 20 și 4 adăugați câtul celor două numere; din
produsul numerelor 9 și 8 scădeți suma numerelor;
– micșorați cu câtul numerelor 16 și 8 produsul numerelor 4 și 4;
– măriți cu produsul numerelor 5 și 4 câtul numerelor 42 și 7;
– aflați numărul de trei ori mai mare decât următoarele diferențe: 19 și 17; 48 și 36;
93 și 87.
Elevii trebuie sa -și însușească foarte bine limbajul matematic, să -l folosească, să cunoască sensul
unor expresii și noțiuni matematice pentru a putea opera cu ele.
Exemplu: a micșora cu atât, a micșora de atâtea ori, a mări cu atât, a mări de atâtea ori,
jumătatea, sfertul, îndoitul, în treitul, înjumătățit, dublat, triplat, etc… Pentru ca elevii să
dobândească abilitatea de a rezolva probleme am considerat că este necesar să dispună de
informații bogate și foarte clar organizate. Este știut faptul că în cazul în care cunoștințele sunt
mai largi, mai vaste, mai profunde, șansele ca ipotezele care se nasc în mintea elevului să ducă
mai repede la soluții sunt mai mari.
Alegerea ipotezei este mai bună cu cât fondul din care este aleasă este mai bogat. Deci, ca orice
doemniu, capacitatea de a rezolva probleme compuse este condiționată de o solidă pregătire.
O altă condiție de care am ținut seama a fost aceea că absolut toți elevii trebuie să fie stăpâni pe
calcul în cadrul celor 4 operații. Numai astfel rezolvarea problemelor se concentrează asupra
conținutului problemei. Dacă elevul stăpânește bine tehnicile de calcul, cunoaște semnificația
operațiilor aritmetice poate, sub conducerea învățătorului, să -și formeze deprinderi de a aplica
aceste cunostințe în practică prin rezolvarea de problem e fiindcă există probleme care „seamănă”
cu altele anterior rezolvate și nu facem decât să „imităm” rezolvarea cunoscută cu care se reduc
la simpla aplicare a unor formule și procedee cunoscute.
De aceea în rezolvarea problemelor nu ne putem limita numai la „algoritmi de recunoaștere” care
au un rol deosebit dar nu sunt suficienți. Problemele sunt de o varietate infinită care nu pot fi
grupate după un anumit criteriu însă nu sunt „independente”, ci fiecare se încadrează într -o
anumită categorie. Trebuie să căutăm legătura cu ceea ce știm dinainte, să încercăm să ne
gândim la ce ne -a fost de folos în situații familiare din trecut, să încercăm să recunoaștem câte
ceva familiar în ceea ce examinăm acum, să căutăm să prindem ceva folositor în ceea ce am
recunos cut.
Aceasta arată că un rol deosebit în rezolvarea de probleme îl are experiența copilului, dar această
experiență o caută la școală prin multe exerciții fiindcă dacă până la venirea la școală
soluționarea unor probleme se bazează pe încercări sau imitați e, acum micul elev în viața căruia
dominantă devine învățătura, în detrimentul jocului, soluționează probleme făcând apel la
operațiile gândirii. Ori gândirea se dezvoltă în activitatea concretă de rezolvare de probleme.
Am considerat că este bine ca încă de la însușirea operațiilor aritmetice: adunări și scăderi de la 0
al 10 să folosesc lecții de rezolvare de probleme legate de viața practică.
Exemplu:
1. „Ionel are 5 mere. Fratele lui mai mic are 3 mere. Câte mere au împreună ce doi
frați?”
2. „Viorel are 3 creioane colorate, iar Laura are 2 creioane colorate. Câte creioane
colorate au împreună Laura și Viorel?”
3. „Pe o farfurie sunt 2 mere și 7 pere. Câte fructe sunt pe farfurie?”
4. „Într -o piesă de teatru sunt 6 personaje, copii și oa meni mari. Câți copii joacă în
piesă dacă oamenii mari sunt în număr de 4?”
Mulți profesori consideră că aceste lecții sunt mai simple, mai ușoare datorită faptului că nu ar fi
vorba decât de o simplă aplicare a cunoștințelor învățate anterior. Din cele co nstatate în
activitatea la clasă, aceste lecții, în realitate, sunt deosebit de dificile, fiindcă ele cer mai mult
efort din partea elevilor, dar mai ales a propunătorului. Aceasta datorită faptului că pot să apară
de fiecare dată lucruri noi, neprevăzute ,iar prin intermediul acestor lecții învățătorul cu măiestria
și tactul său pedagogic îi introduce pe elevii din clasa I in „probleme” despre care el nu știe
nimic, iar pe cei din clasele a II -a – a IV-a mai mult în „problema problemelor” la matematică.
În permanență am avut în atenție cunoașterea cu precizie a scopului și locului
lecțiilor special d estinate rezolvării de probleme ( Anexa 1) .
Exemplu:
„O sârmă lungă de 18 m se taie în două bucăți, a doua bucată fii nd
cu 4 m mai lungă decât prima. Câți met ri are fiecare bucată?”
– sa observe suma dintre lungimea prime i și celei de -a doua bucăți de sârmă;
– să observe diferența dintre lungimea primei și a celei de -a doua bucăți de sârmă;
– să reprezinte schematic și figurativ relațiile dintre cele două mărim i;
– să traducă semnificatia expresiilor ce conduc la compararea mărimilor, iar în funcție de
aceasta să stabilească operația corespunzătoare;
– să aplice algoritmul de rezolvare al problemelor din această categorie;
– să verifice corectitudinea soluțiilor găsite.
O deosebită importanță pentru însușirea acestui tip de probleme, în stabilirea algoritmului de
rezolvare, o are măiestria pedagogică cu care învățătorul conduce gândirea elevului prin întrebări
adecvate. De la început am considerat că este necesar să-i fac pe elevi să înțeleagă că în structura
unei probleme există trei elemente: datele, condiția, cerințele, iar între acestea există raporturi de
interdependență care trebuie bine înțelese.
De asemenea în activitatea de rezolvare a unei probleme am pa rcurs cu elevii mai multe etape.
Am căutat să -i fac să observe că în fiecare etapă are loc un proces de reorganizare a datelor și de
reformulare a problemei pe baza activității de orientare a rezolvitorului pe drumul și în direcția
soluției problemei.
Aces te aspecte sunt:
– cunoașterea enunțului problemei;
– înțelegerea enunțului problemei;
– analiza problemei și întocmirea planului logic;
– alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din planul
logic;
– activități suplimentar e care pot fi: verificarea rezultatului, scrierea sub formă de
exercițiu, găsirea altei căi sau metode de rezolvare, generalizare, compunere de probleme după o
schemă asemănătoare.
În fiecare din etapele mai sus enumerate are loc un permanent proces de an aliză și sinteză (prin
care elevul separă și reconstituie, desprinde și construiește raționamentul care conduce la soluția
problemei) de o îmbinare aparte a analizei cu sinteza caracterizată prin aceea că diferitele
elemente luate în considerare își dezvăl uie mereu noi aspecte (analiza) în funcți e de combinațiile
în care sunt plasate (sinteza)
Alte condiții de care trebuie să ținem seama în rezolvarea problemelor ar f i:
– legătura problemelor cu viața, cu realitatea. Datele problemelor, problemele însăși să fie
preluate din realitatea existentă în jurul copiilor, din experiența de viață, din mediul de viață al
acestora;
– în rezolvare să se facă apel la schiță, desen, lucru care ușurează înțelegerea enunțului, ce
favorizează găsirea soluției, căii de rezolva re;
– să nu neglijăm latura educativă a problemelor. Neglijandu -se aceasta am frustra elevii
de efectul afectiv pe care -l au problemele asupra personalităților;
– să domnească în clasă un „spirit de permisibilitate”, adică să li se permită elevilor să
pună întrebări, să fie apreciați dacă sunt întrebări interesante, pentru că pun întrebări, să fie
apreciate soluțiile care ies din comun, care denotă un spirit creator. În clasă să fie o atmosferă de
lucru, în care să domnească relațiile de întrajutorare, de c ultivare a încrederii în forțele proprii.
Elevii să nu fie apostrofați chiar dacă greșesc. De asemenea, este bine să se utilizeze toate
formele de lucru: colectiv, individual, in echipa, in perechi; tinând seama de aceste cerințe elevul
va reuși să știe să depisteze problematicul din probleme, să pună și să formuleze probleme noi și
apoi, să știe să caute drumul către soluții, să construiască ipoteze și apoi să le verifice.
3.3. Strategii didactice folosite în rezolvarea ș i compunerea problemelor
În vederea obținerii unor rezultate cât mai bune în procesul de educare a creativității prin
activitatea de rezolvare și compunere a problemelor, cadrele didactice trebuie să folosească
strategii didactice moderne și variate care să -l determine pe elev să participe conștient și activ la
întregul proces instructiv educativ. Dacă strategia de tip clasic potențează operațiile memoriei,
ale imaginației sau ale gândirii logice, strategia euristică declanșează procese cu care operează
gândirea creatoare la întregul proces instructiv – educativ.
Pus în situația de a descoperi adevărul, elevul își selecționează metode proprii de învățare,
dobândește curaj și perseverență, în urmărirea unor obiective, câștigă independență și
originalitate în acțiune.
Modalitățile didactice prin care elevul este pus în situația să descopere, să rezolve situații
noi neînvățate anterior, sunt denumite ,,metode euristice’’. N.I.Kulitkin definește metodele
euristice ca fiind acele metode cu ajutorul cărora omul descoperă noi mijloace de rezolvare,
construiește planuri și programe nestereotipe.
Maria Drăguț le numește ,,Modalități metodice de activizare a elev ilor în procesul instructiv –
educativ sau pr ocedee de activizare a elevilor ”.
Dintre metodele de tip euristic sunt: modelarea, problematizarea, în vățarea prin descoperire,
algoritmizarea,etc.
Problematizarea este o strategie instructivă prin care se recurge la cunoașterea realității,
stimulând elevul să participe conștient și intensiv la autodezvoltarea sa pe baza unei probleme,
capabile să producă un conflict între experiența dobândită și o nouă experiență care tinde să
restructureze această experiență.
,,Predarea problematizată presupune un ansamblu de activități desfășurate pentru formularea
de probleme propuse spre rezolvare elevilor, cu acordare a unui ajutor minim și coordonarea
procesului de găsire a soluției, de fixare, sistematizare și aplicare a noilor achiziții inclusiv în
rezolvarea altor probleme . ( D.M.Trană ,pag.47).
Stimularea spre gândire trebuie să se facă și atunci când elevul dă un răspuns greșit,
ajutându -l: ,,Cum mai putem socoti?’’, ,,Nu se poate altfel?’’, ,,Cum mai putem spune?’’.
În acest mod, elevul va reuși și el să rezolve problema și nu se vor crea situații de punere
în inferioritate față de alți colegi.
Prin problematizare trebuie sa vedem necesitatea orientării gândirii elevului spre
problema a cărei soluție are un caracter inductiv, pornind de la ideea găsirii soluției optime din
mai multe posibile.
În acest scop am folosit exerciții în care elevii sunt pu și de a găsi mai multe variante de scriere a
unor numere:
Exemplu : ? + ? = 10 ? – ? = 5
Pentru înmulțire și aprofundarea tablei înmulțirii și împărțirii, am folosit exerciții ca:
? x ? = 24 ? x ? = 36 ? x ? = 16
10 – 9 = ? : ? ? : ? = 5 ? : ? = 4
Situații problemat ice pot fi create și cu ajutorul problemelor, atunci când rezolvarea lor
nu se reduce la simpla aplicare a unui algoritm învățat.
Spre exemplificare am să dau o problemă în care se cunoaște suma și diferența a două
numere și se cere aflarea lor.
,, Ionel ș i Vasile au împreună 10 de bețișoare. Ionel are cu 2 de bețișoare
mai mult decât Vasile. Câte bețișoare au fiecare?’’
Am lăsat ca fiecare elev să calculeze oral și au dat răspunsul: unii s -au gândit numai ca suma
numerelor să fie 10, fără să se gândească c ă, Ionel are mai mult decât Vasile cu 2 de bețișoare.
Au dat răspunsurile 5 și 5, 7 și 3, 6 și 4, 2și 8. Am reprezentat datele problemei folosinf
segmente:
Vasile ( I ) ╟────╢
Ionel ( II ) ╟────╢+2╢ 10 bețișoare
I + II = 10
Am făcut astfel ca numerele să fie egale, lăsând la o parte cele 2 de bețișoare, deci 10 –
2= 8. Dacă sunt egale cele două părți, putem să aflăm o parte, deci bețișoarele lui Vasile,
împărțind suma la 2. Se continuă împreună rezolvarea problemei.
Prin reprezentarea grafică am trecut la rezolvare a problemelor de tipul următor:
“Într- un parc de mașini sunt 70 de mașin i, iar în altul cu 30 mai mult.
Câte mașini sunt în cele două parcuri?”
Rezolvarea mo delului în modalități variate ( reprezentarea grafică prin cerculețe, dreptunghiuri,
litere, segmente) este un instrument ajutător rezolvării problemei. Reușind să alcătuiască
modelul, elevul parcurge deja o etapă, pătrunde în procesul de rezolvare. Întocmirea modelului
nu este o activitate exterioară judecății problemei. Realizând modelul, el evul probează că a
înțeles structura logică a conținutului problemei, își exercită gândirea creatoare și iscusința
compunerii problemelor.
Metoda exercițiului – metodă mult folosită la matematică pentru formarea deprinderilor de
calcul, a tehnicii efectuăr ii operațiilor, a celor de scriere și citire a numerelor, de rezolvare a
problemelor, toate se realizează cu ajutorul unor exerciții variate, repetate cu perseverență și
reluate periodic. Am căutat să folosesc această metodă în toate categoriile de exerciț ii, atât în
calculul oral, mintal, cât și în scris.
Tot o modalitate de lucru în cadrul orelor de matematică o constituie folosirea fișelor de muncă
independentă, care reprezintă avantajul că acestea pot cuprinde o gamă variată de întrebări,
exerciții și p robleme, pot fi individualizate, adresându -se fiecărui elev în măsura în care el
trebuie ajutat.
Am să exemplific câteva fișe folosite în orele de matematică:
1) Fișe în predare
Care au ca scop stimularea gândirii elevilor pentru înțelegerea noilor cunoștințe predate. În acest
sens am propus exerciții cu mai multe rezultate și elevul să aleagă răspunsul corect. Din analiza
răspunsurilor am dedus regula că ceea ce cunosc nu este suficient pentru siguranța răspunsului,
de aceea este nevoie să învețe
Ex. Calculaț i cât mai rapid înmulțirile:
6 x 5; 2 x 5; 3 x 1 8 x 2.
2) Fișe pentru consolidarea și fixarea cunoștințelor ulterior asimilate.
Scopul fișei este acela de a consolida o anumită temă sau o unitate de învățare, de a descoperi
eventualele greșeli colective și individuale pe care le fac elevii precum și de a fixa mai bine
cazurile dificile.
I) 3 x 7 = II) 42 : 7 =
7 x 7 = 56 : 8 =
7 x 9 = 63 : 7 =
3) Fișe de verificare a cunoști nțelor și testare a greșelilor.
Prin acest tip de fișe am constatat dacă elevii au în țeles conținutul unui capitol, dacă și- au făcut
temele independent, dacă au înțeles toate cazurile învățate.
Exemple:
1) Găsiți numerele:
a. Cu 6 mai mari decât: 10, 6, 8, 9, 7.
b. Cu 6 mai mici decât: 8, 9, 6, 7, 10.
c. De 6 ori mai mari decât: 6, 8, 9, 7, 10.
2) Alina citește două povești pe zi. Câte povești va citi în 9 zile dacă păstrează același
ritm?
3) Aflați produsul numerelor: 2 și 6; 9 și 7; 4 și 8; 5 și 7; 6 și 9; 8 și 7.
4) Fișe pentru corectarea unor greșeli
Prin care am urmărit omogenizarea clasei. În aceste fișe am cuprins cazurile pe care elevul nu le-
a rezolvat bine cu altă ocazie. Uneori aceste fișe le-am dat numai unui grup de elevi, în timp ce
restul clasei rezolva exerciții asemănătoare, alteori le -am dat întregii clase, dar cu subiecte
individuale.
Jocurile didactice dau posibilitatea elevilor să -și dezvolte fantezia, modalitatea unor
substituții satisfăcătoare, emoțional pozitive. Starea de joc devine propice creației. Jocul
răspunde nevoii de libertate spirituală și de mișcare a copilului, permite angajarea sa pe măsură
în acțiune, participarea de bună voie. Poate fi folosit cu succesul scontat în captarea atenției “Pe poteca din pădure
Au plecat s -adune mure
Cinci băieți și trei fetițe
Cu găleți și coșulețe.
De un urs sau speriat,
Patru -n vale – au alergat.
Socotiți dacă veți ști
Câți la număr vor mai fi?”
elevilor pe tot parcursul activității didactice în înlăturarea plictiselii, dezinteresului.
Folosirea jocului dida ctic în procesul instructiv -educativ face ca elevul să învețe cu plăcere,
să devină interesat față de activitatea pe care o desfășoară, face ca cei timizi să devină mai
volubili, mai activi, mai curajoși, să capete mai multă încredere în capacitățile lor, mai multă
siguranță și tenacitate în răspunsuri și nu în ultimul rând să -și dezvolte creativitatea.
La sfârșitul clasei I și începutul clasei a II -a, problemele compuse sunt deja ,, o problemă’’
pentru elevi. Transpunându -le în versuri, plăcer ea este mai m are, iar planul de rezolvare nu li se
mai pare impus:
La capitolul Înmulțire , pentru verificarea cunoștințelor, flexibilitatea gândirii, atenției, se
poate orga niza jocul ,,Urmărește săgeata ”. Aceasta poate îmbrăca diverse variante ce pot fi
folosite la c lasă, la înmulțirea numerelor, rezolvându -se individual pe fișe.
În funcție de metodele și procedeele folosite de cadrul didactic în cadrul orelor de
matematică, rezultatele pe linia creativității vor fi mai bune sau mai puțin bune. Măi estria
didactică a profesorului va influența gradul la care va ajunge capacitatea creatoare a elevului.
Prin modalități specifice de formare și dezvoltare a gandirii, matematica își sporește eficiența
formativă. Procesul studierii matematice cultivă curiozitatea științifică , frământarea pentru
descifrarea necunoscutului și duce la formarea unor priceperi și capacități ( a gândi personal și
activ, a analiza o problemă și a descompune în elementele sale simple); învățământul matematic
conduce la formarea unor aptitudini pentru matematică ( capacitatea de a percepe selectiv, de a
trece de la aspectul diferențial la cel integral și invers, de a asigura pluralitatea gândirii),
formează capacitatea de a depune un efort concentrat indiferent de solicitările exterioare.
La matematică jocul are un rol bine definit. Jucându -se cu cifrele copilul cu CES
reacționează și participă vioi la cerințele spuse.
Exemple de jocuri matematice ( Anexa 2 ) . Alte jocuri de eval uare : „ Calculăm și
colorăm !“, „Cel mai bun matematician“, „Trăistuța ferm ecată“, etc.
Rebusul la clasele primare este un instrument de evaluare folosit pentru fixarea și etalarea
cunoștințelor; prin răspunsuri corecte date la afirmații simple, vor descoperi un cuvânt ,,cheie’’,
esența cunoștințelor lor. Rebusul poate fi folosit la majoritatea obiectelor.
Jocul în procesul de evaluare este o activitate prin care sunt colectate, asamblate și
interpretate informații despre starea , funcționarea sau evoluția viitoare a copilului cu CES.
Acordarea calificativelor la sfârșitul unui jo c , fie el în echipe sau individual, reprezintă
clasarea elevului cu CES pe o anumită ,,scară“. Calificativele acordate fac din elevul cu CES un
analizator , realizând singur treapta pe care o ocupă în „scara“ clasei.
Jocul ca modalitate de evaluare nu urm ărește în principal evidențierea deficienței și a
blocajelor copilului. O asemenea abordare exclude definitiv teza caracterului irecuperabil al
copilului cu CES. Elementele de joc încorporate în procesul de evaluare pot motiva și stimula
puternic acest pro ces în toate formele ei (Anexa 3) .
Evaluarea prin joc condiționează în așa manieră dinamica clasei , încât putem spune că nu
există învățare eficientă fără evaluare.
Scopul educației este acela de a forma anumite deprinderi , st rategii cognitive, atitudin i
șicomportamente.
3.4. Utilizarea metodelor de învățare active în orele de matematică
Metode de invatare activa u tilizate in orele de matematica
Învățarea activă înseamnă, conform dicționarului, procesul de învățare calibrat pe interesele /
nivelul de în țelegere / nivelul de dezvoltare al participanților la proces. În cadrul învățării active
se pun bazele unor comportamente, de altfel observabile:
-comportamente ce denotă participarea (elevul e activ, ia parte la activități);
-gândirea creativă (elevul ar e propriile sale sugestii, propune noi interpretări);
-învățarea aplicată (elevul devine capabil să aplice o strategie de învățare într -o anumită
situație de învățare);
-construirea cunoștințelor( în loc să fie pasiv, elevul îndeplinește sarcini care îl vor
conduce la înțelegere).
Competențele generale urmărite în învățarea activă sunt:
Dezvoltarea capacității de abordare sistemică a procesului de învățământ, prin
evidențierea interdependenței dintre funcțiile sale principale (predare, învățare,
evaluare);
Prezentarea principalelor teorii ale învățării, insistând asupra variabilelor care
argumentează ideea unei învățări active;
Dezvoltarea capacității de aplicare a strategiilor de învățare activă în procesul de
predare – învățare a diferitelor discipline de învățământ;
Dezvoltarea abilităților de comunicare și de lucru în echipă;
Însușirea unor metode și tehnici de cunoaștere a elevilor și de autocunoaștere.
Metodele de învățare activă fac lecțiile interesante, ajută elevii să realizeze judecăți de
substanță și fundamentate, sprijină elevii în înțelegerea conținuturilor pe care să fie capabili să le
aplice în viața reală.
Printre metodele care activizează predarea – învățarea sunt și cele prin care elevii lucrează
unii cu alții, își dezvoltă abilități de col aborare și ajutor reciproc. Ele pot avea un impact
extraordinar asupra elevilor datorită denumirilor, caracterului ludic și oferă alternative de
învățare cu priză la copii.
În vederea dezvoltării gândirii la elevi, trebuie să utilizăm, cu precădere unele s trategii activ
– participative, creative. Acestea nu trebuie rupte de cele tradiționale, ele marcând un nivel
superior în spirala modernizării strategiilor didactice.
Specific metodelor interactive de grup este faptul că ele promovează interacțiunea dintre
mințile participanților, dintre personalitățile lor, ducând la o învățare mai activă și cu rezultate
evidente. Acest tip de interactivitate determină „ident ificarea subiectului cu situați de învățare în
care acesta este antrenat” ceea ce duce la transforma rea elevului în stăpânul propriei formări.
Brainstorming
Brainstorming -ul este una dintre cele mai răspândite metode în stimularea creativității.
Etimologic, brainstorming provine din engleză, din cuvintele brain (creier) și storm (furtună),
plus desinența ing specifică limbii engleze, ceea ce înseamnă furtună în creier, efervescență,
aflux de idei, o stare de intensă activitate de imaginativă. Un principiu al brainstorming -ului este
cantitatea generează calitatea. Conform acestui principiu, pentru a ajunge la idei viabile și inedite
este necesară o productivitate creativă cât mai mare.
Brainstorming -ul este prezent chiar în activitatea de compunere de probleme. În momentul
când în fața elevului așezăm două numere și îi cerem să formuleze o problemă în care să le
integreze, în mintea acestuia apar o avalanșă de idei, de operații matematice cărora le -ar putea
asocia enunțul unei probleme. În scopul stimulării creativității, trebuie
apreciat efortul fiecărui elev și să nu se înlăture nici o variantă propusă de aceștia.
Exemplu:
Compuneți o problemă folosind numerele 10 și 4.
Prin folosirea acestei metode se provoacă și se solicită participarea activă a elevilor, se
dezvoltă capacitatea de a trăi anumite situații de a le analiza, de a lua decizii în ceea ce prive ște
alegerea soluțiilor optime și se exersează atitudinea creativă și exprimarea personalității.
descăzu scăzăt
term en sumă term
diferenț
ă
adunare scădere
Operații
matem atice
împărțire înmulțire
deîmpărți împărțitor
produ factor
cât rest
Cvintetul
Metoda se potrivește orelor de consolidare și recapitulare sau momentului asigurării retenției
și transferului în orele de predare. Un cvintet este o poezie cu 5 versuri prin care se exprimă și se
sintetizează conținutul unei lecții sau a unei unități de învățare într -o exprimare concisă ce
evidențiază reflecțiile elevului asupra subiectului în cauză.
Exemplu: Probleme noi, Probleme multe, Încercăm să rezolvăm Uneori noi mai greșim Dar
ne străduim.
Ciorchinele
Ciorchinele este o tehnică eficienta de predare și învățare care încurajează elevii să gândească
liber și deschis. Ciorchinele este un brainstorming necesar, prin care se stimulează evidențierea
legăturilor dintre idei; o modalitate de a construi sau realiza asociații noi de idei sau de a releva
noi sensuri ale ideilor. Este o tehnică de căutare a căilor de acces spre propriile cunoștințe
evidențiind modul de a înțelege o anumită tema, un anumit c onținut.
Metoda ciorchinelui dă rezultate deosebite și atunci când elevii lucrează în echipă.
Observând și aprobând variantele colegilor, copilul își dezvoltă imaginația și creativitatea.
Această metodă se poate folosi pentru a sistematiza noțiunile teoret ice matematice. Prin întrebări
dascălul dirijează gândirea elevilor, notează și schematizează cunoștințele teoretice matematice.
Exemplu:
Prin această tehnică se fixează mai bine ideile și se structurează informațiile facilizându -se
reținerea și înțeleg erea acestora. Tehnica ciorchinelui poate fi aplicată atât individual, cât și la
nivelul întregii clase pentru sistematizarea și consolidarea cunoștințelor. În etapa de reflecție
elevii pot fi ghidați prin intermediul unor întrebări, în gruparea informații lor în funcție de
anumite criterii.
Metoda Cadranelor
Metoda cadranelor urmărește implicarea elevilor în realizarea unei înțelegeri cât mai adecvate a
unui conținut informațional. Această metodă se poate folosi frontal și individual, în rezolvarea
probleme lor prin metoda grafică.
Prin trasarea a două axe perpendiculare, fișa de lucru este împărțită în patru cadrane, repartizate
în felul următor:
o textul problemei;
o reprezentarea grafică a problemei;
o rezolvarea problemei;
o răspunsul problemei
Exemplu:
I.
Pe două ramuri sunt 25 de păsărele. Pe
a doua ramură sunt cu 5 mai multe decât
pe prima.
Câte păsări sunt pe fiecare ramură? II.
+ 8 20
IV.
R: 10 păsări
15păsări
Verificare: 10 + 15 = 25 III.
Rezolvare
* suma segmentelor egale: 25 – 5 = 20
*prima ramură: 20: 2 = 1 0 (păsări)
*a doua ramură: 10 + 5 = 15 (păsări)
Metoda știu / vreau să știu / am învățat
Metoda se bazează pe cunoaștere și experiențele anterioare ale elevilor, pe care le vor
lega de noile informații ce trebuie învățate.
Etape:
Listarea cunoș tințelor anterioare despre tema propusă;
Construirea tabelului (învățător);
Completarea primei coloane;
Elaborarea întrebărilor și completarea coloanei a doua;
Citirea textului;
Completarea ultimei coloane cu răspunsuri la întrebările din a doua coloană, la care se
adaugă noile informații;
Compararea informațiilor noi cu cele anterioare;
Reflecții în perechi/ cu întreaga clasă.
ȘTIU VREAU SĂ ȘTIU AM ÎNVĂȚAT
-numărul puișorilor albi
(10)
– numărul puișorilor
negri (5)
– numărul puișorilor
care s-au rătăcit ( 2) Câți puișori i-au rămas
cloștei? Câți puișori are cloșca în
total?
10 + 5 = 15
Câți puișori i-au rămas
cloștei?
15 – 2 = 13
Răspuns: 13 puișori
Rezolvarea sub formă de
exercițiu:
( 10 + 5 ) – 2 = 13
Exemplu 1 :
„O cloșcă are 10 puișori albi și 5 puișor i negri. Dintre aceștia s -au rătăcit 2 puișori.
Câți puișori i -au rămas cloștei ?”
Exemplu2 : (Anexa 4)
Metoda instruirii programate
Metoda instruirii programate organizează acțiunea didactică, aplicând principiile ciberneticii la
nivelul activității de pre dare – învățare – evaluare, concepută ca un sistem dinamic complex,
constituit dintr -un ansamblu de elemente și interrelații..
Metoda instruirii programate dezvoltă propriile sale principii:
Principiul pașilor mici constă în divizarea materiei în unități d e conținut care asigură
elevului șansa reușitei și a continuității în activitatea de predare – învățare – evaluare; toate
aceste unități logice prezentate într-o succesiune univocă constituie programul activității;
Principiul comportamentului activ presupu ne dirijarea efortului elevului în direcția
selecționării, înțelegerii și aplicării informației necesare pentru elaborarea unui răspuns corect.
Elevul este obligat să răspundă fiecărei unități logice ce i se prezintă, altfel nu poate trece mai
departe. Înt rebările și răspunsurile sunt prezentate într -o ordine prestabilită.
Principiul evaluării imediate a răspunsului urmărește întărirea pozitivă dau negativă a
comportamentului elevului în funcție de reușita sau nereușita în îndeplinirea sarcinii de învățare
corespunzătoare fiecărui pas. Astfel, după parcurgerea fiecărei unități, elevul este informat dacă
a răspuns corect sau nu. Confirmarea răspunsului se face imediat și automat după ce a fost dat.
Din punct de vedere psihologic, această confirmare sau infirm are este o întărire. De altfel,
părintele modern al instruirii programate. B. F. Skinner, consideră că „a instrui înseamnă a
organiza relații de întărire ”, relații care se manifestă pe două planuri: intern, prin cunoașterea
imediată de către elev a perform anțelor obținute și extern, prin aprecierile cadrului didactic pe
baza mesajelor primite prin conexiune inversă. Se elimină totodată, pericolul fixării unor idei
eronate.
Principiul ritmului individual de învățare vizează respectarea și valorificarea
particularităților elevului, demonstrate prin modul și timpul de parcurgere a fiecărei secvențe.
Ca metodă, învățarea asistată de calculator, recurge la un ansamblu de mijloace care să -i permită
atingerea obiectivelor și formarea competențelor specifice. Mijloa cele didactice specifice
metodei sunt programele de învățare sau soft -urile didactice.
Exemplu de soft educațional pentru matematică:
Softul educațional „Naufragiați pe Insula Calculelor” a fost elaborat de o echipă de psihologi,
metodiști și programatori cu experiență de la Facultatea de Psihologie și Științe ale Educației a
Universității "Babeș -Bolyai" din Cluj -Napoca și de la Asociația de Științe Cognitive din
România. Acest soft se bazează pe cercetările actuale din psihologia dezvoltării, pe cele mai n oi
teorii despre învățare, pe facilitățile designului multimedia de înaltă calitate și pe consultări
repetate cu învățători de mare prestigiu. Softul realizează ceea ce un învățător expert face la
clasă, pentru a -și ajuta elevii să învețe matematica.
Progr amul elaborat accelerează învățarea și consolidarea operațiilor de adunare și de scădere la
elevii din clasele I și a II -a. Exercițiile propuse respectă prevederile actualului curriculum școlar,
au un conținut variat, atractiv și accesibil elevilor din cla sele primare. Softul poate fi util și
elevilor din clasele primare mai mari, îndeosebi celor din clasele a III -a, datorită complexității
unora dintre exerciții. Rezolvarea exercițiilor propuse în acest soft, bazate pe programa școlară,
contribuie la îmbună tățirea performanței școlare a elevilor care îl utilizează.
În urma parcurgerii programului, elevii vor ști:
o să utilizeze conceptele matematice învățate: termeni (numerele care se adună), descăzut și
scăzător (numerele care se scad), sumă (rezultatul adună rii) și diferență (rezultatul scăderii);
o să efectueze corect și rapid operații de adunare și de scădere în concentrele: 0 -10, 0 -20, 0 –
30, 0 -100, 0 -1000, cu și fără trecere peste ordin;
o să verifice valoarea de adevăr a egalităților date;
o să completeze semne le de relație (<, =, >), astfel încât egalitățile să fie adevărate;
o să afle un termen necunoscut dintr -o egalitate sau dintr -o inegalitate pe baza probei
adunării și a scăderii sau prin încercări;
o să stabilească semnele corespunzătoare (+ și -) unor operaț ii ai căror termeni și rezultat
sunt cunoscuți;
o să efectueze exerciții formate din mai multe operații (adunare -adunare, adunare –
scădere, scădere -scădere), respectând ordinea în care acestea sunt scrise.
Capitolul IV. Metodologia cercet ării
(Studiu experim ental )
Scopul cercetarii a fost acela de a gasi si evidentia cele mai eficiente strategii didactice de
valorificare a valentelor instructive -formative privind rezolvarea si compunere de problem
matematice, care contribuie la cultivarea și dezvoltarea capac ităților creatoare ale gândirii, la
sporirea flexibilității, la educarea perspicacității și spiritului de inițiativă la dezvoltarea încrederii
în forțele proprii.
4.1. Metoda experimentală și particularităț ile folosirii ei în învățămâ nt
Experimentul este o metodă de cercetare care presupune intervenția controlată și planificată
a cercetătorului asupra fenomenelor studiate în scopul evaluării consecințelor acestei intervenții.
În experiment se aduc modificări ale conținutului și metodelor didactice folosite pentru a
investiga modalitățile de lucru mai eficiente. Experimentul psiho -pedagogic este o formă a
experimentului natural, în sensul că presupune păstrarea condițiilor firești ale activităților
didactice și studierea fenomenului educațional în fluxul norm al al desfățurării lui. Este evident că
nu pot fi experimentate orice modalități de lucru, ci numai acelea care prezintă certitudinea că
vor produce rezultate mai bune decât cele anterioare. De aceea experimentul psiho -pedegogic
presupune studierea atentă a activită -ilor și modului de lucru ce vor fi experimentate și punerea
lor în acord cu obiectivele pedagogice ale procesului de învățământ. Față de alte metode,
experimentul prezintă avantajul că permite un control și o evaluare mault mai riguroasă ale
metodelor de cercetare cum sunt: observarea sistematică, convorbirea, probele de cunoștințe,
analiza produselor activității și altele.
Structura unui experiment cuprinde următoarele elemente:
1. Variabilele sunt acele aspecte ale procesului instructiv -educativ c are sunt studiate
în cadrul experimentului. Aceste variabile sunt, din punctul de vedere al funcției lor în
experibent, de două feluri:
2. Variabile independente – sunt acele aspecte ale procesului de învățământ pe care
cercetătorul le modifică, cu care el acț ionează, intervine în situația pe care o studiază în scopul
de a evalua aspectele (metode didactice, forme de organizare);
3. Variabile dependente – sunt acele aspecte care apar drept consecință a acțiunii
variabilelor independente. Din acest punct de vedere, experimentul implică o operație de
evaluare pe baza căreia se va putea aprecia eficiența modalităților de lucru experimentate.
În cazul experimentului prezentat în continuare, variabila independentă o constituie procedeele
de rezolvare și compunere a prob lemelor în mod creativ, mai precis valențele cognitiv -formative
ale acestora în procesul de învățare. Variabilele dependente sunt, în acest caz, nivelul
cunoș tințelor elevilor din clasa a IV -a.
4. Grupul pe care am realizat experimentul l-a constituit elevii clasei a IV-a.
5. Etapele experimentului . Un experiment are un caracter procesual, deci implică o
desfășurare în timp. Aceste etape sunt:
Etapa inițială – este etapa prin care se determină nivelul inițial al variabilei dependente.
În cazul acestui experiment, aceasta s -a făcut prin aplicarea unei probe de cunoștințe la
matematică.
Etapa experimentală – este acea etapă în care se utilizează noul mod de lucru, etapă în
care am desfășurat lecții experimentale, folosind diverse procedee de rezolvare și compunere a
problemelor de matematică în mod creativ și aplicând teste pentru a verifica periodic eficiența
acestora.
Etapa finală – post-experimentală sau post-test este etapa în care se măsoară nivelul final
al variabilelor dependente. În experimentul organizat am aplicat o probă de evaluare a
cunoștințelor elaborată pe baza acelorași tipuri de sarcini cu ale probei inițiale, fiind modificat
conținutul concret al probelor în funcție de ceea ce elevii au dobândit în etapa experimentală.
Experimentul s -a desfășurat pe parcursul unității de învățare : Operații cu numere în concentrul 0 –
1000 . Durata experimentului a fost de 30 ore, pe parcursul a zece săptămâni.
4.2. Ipoteza și obiectivele cercetării
4.2.1. Ipotezele cercetarii :
1) Daca in utilizarea metodelor, tehnicilor si procedeelor,a strategiilor de predare -invatare a
matematicii se tine cont de varsta cronologica si mental a copilului si se fac adaptarile de rigoare,
insusirea notiunilor matematice se va face mai rapid si mult mai efficient.
2) Daca se face apel la o di versitate de metode pentru a fixa si consolida cunostiintele
insusite si se mareste gradul de atractivitate al activitatilor matematice,elevul va ajunge sa
prefere activitatile de acest gen si va schimba teama de a nu putea invata.
4.2.2. Obiectivele cerc etarii :
O1-Evaluarea obiectiva a cunostintelor, capacitatilor cognitive, priceperilor, deprinderilor,
abilitatiilor de rezolvare si compunere de probleme de matematica.
O2 – Inregistrarea,compararea si interpretarea r ezultatelor obtinute la probele initiale , formative
si summative, urmarind realizarea progresului realizat de elevi.
4.3. Determinarea ni velului initial
Primul pas al cercetării în metoda experimentală este determinare nivelului de plecare în
realizarea experimentului. Pentru realizarea acestui pas pot fi folosite trei metode principale:
Observarea sistematică a comportamentului elevilor în lecțiile desfășurate;
Analiza produselor activității elevilor;
Probe de cunoștințe și deprinderi.
Pe baza obiectivelor și a ipotezei cercetării am conceput și aplicat următoarele probe de
evaluare. Prezint, de asemenea, și rezultatele înregistrate pentru fiecare probă în parte.
Proba 1 – Etapa inițială
Competen țe: Cunoașterea și utilizarea co nceptelor specifice matematicii (Explorare / investigare
și rezolvare de probleme ).
Subc ompeteț e: Adunarea, scăderea în concentrul 0 -1000
Obiective operaționale :
La sfârșitul lecției, elevii vor fi capabili:
O1. să efectueze corect adunari, scăderi în concentrul 0 -1000;
O2. să rezolve probleme ce presupun cunoașterea termino logiei matematice;
O3. să rezolve în două moduri probleme cu doua operații;
O4: să compună probleme care s ă se rezolve printr -o operații.
Itemii:
I1. Rezolvă exercițiul, aplicând regula învățată:
20 + (16 – 4) =
I2. Din suma numerelor 58 și 21 scadeti num arul 70 (Scrie rezolvarea sub formă de exercițiu).
I3. La un magazin sunt 18 mingi și 40 p ăpuși. S -au vândut 7 mingi și 10 păpuși. Câte jucării au
rămas nevândute?(Rezolvă problema în două moduri).
I4. Compune o problemă care s ă se rezolve printr -o scădere sau o adunare.
Pentru compunerea de probleme după formula literală a – b m-am folosit de
versurile:
Familiarizându -se cu calculul, cu simboluri literale, copiii sunt introduși în modul
de lucru cu aceste simboluri.Se solicită gândirea creatoare a elevilor atunci când li
se cere să alcătuiască probleme al căror principiu de rezolvare să fie relațiile
implicate prin s imbolurile literale din formula dată.
Tabel 4.3.1 Descriptorii de performanță
Calificativ
Itemi I1 I2 I3 I4
Sufic ient Efectuează o
operație Efectuează o operație Rezolvă cel
puțin o operație Compune
problema parțial
Bine Efectuează două
operații Rezolvă problema
cu mici erori Rezolvă
problema cel
puțin într-un
mod correct Compune
problema cu mici
erori
Foarte bine Rezolvă exercițiul
corect Rezolvă correct
problema, scriind
rezolvarea și sub
formă de exercițiu Rezolvă corect
problema în
două moduri Compune
problema corect „Pe-o rachetă zboară iuți
Trei viteji astronauți
Doi coboară pe-o planetă,
Mai rămân câți în rachetă?”
Tabel 4.3.2 Rezultate obținute în etapa inițială
Figura 4.3.1 . Rezultate obti nute la etapa initiala
La Nr.
Crt. Numele I1 I2 I3 I4 Calificativ
final
1 C.M. FB B FB FB FB
2 B.C. FB B B B B
3 V.S. FB FB FB FB FB
4 P.I. S S S I S
5 C.A. B S S S S
6 S.D. B B B B B
7 M.C. B B B B B
I S
CALIFICATIVE FB B 1
0 I S FB B 3
2 NUMAR
ELEVI 7
6
5
4 ETAPA INITIALA
FB
B
S
I
B
etapa initiala 2 elevi au obținut calificativul FB ,3 elevi au obținut calificativul B și 2 elevi au
obținut calificativul S
4.4. Etapa experimental ă
Procedee de stimulare a gandirii creatoare prin rezolvarea și compunerea de probleme
Proba 1 – Etapa experimentală
Competenț e: Cunoașterea și utilizarea conceptel or specifice matematicii Explorare/ investigare și
rezolvare de probleme
Subcompetenț e: Probleme care se rezolvă prin operații de adunare și scădere fără
trecere peste ordin ;
Terminologia specifică adunării și scăderii
Itemi:
I1. Rezolvă exercițiul, respec tând ordinea efectuării operațiilor:
120 + (657 – 127) =
I2. Cu cât este mai mare suma numerelo r 452 și 430 decât diferența numerelor 230 si120 ?
I3.La o fermă sunt 120 vaci, cu 305 mai multe oi, iar porci sunt 100. Câte animale sunt la fermă?
I4.Compune o problemă după expresia:
6 + 2 x 6 =
Proba 2 – Etapa experimentală
Competente : Cunoașterea și utilizarea co nceptelor specifice matematicii (Explorare / investigare
și rezolvare de probleme ).
Subc ompetente : Probleme care se rezolvă prin op erații de adunare ș i scădere cu trecere peste
ordin ;
Terminologia specifică adunării și scăderii
Itemi:
I1. Află numărul cu 22 mai mic decât rezultatul exercițiului:
463 +123 =
I2. Cu cât este ma i mare suma numerelor 294 și 312 decât diferența numerelor 449 și 218?
Scrie re zolvarea și sub formă de exercițiu.
I3. Într -o livadă s -au pl antat în prima zi 329 meri și 231 peri.A doua zi s -au plantat 251 meri și
169 peri. Câți pomi sau plantat in cele doua zile ? (Rezolvă proble ma în două moduri.)
I4. Compune o problemă după schema:
Tabel 4.4.1 . Rezultate obținute în etapa experimentală
CALIFICATIV PROBA 1 PROBA 2
FOARTE BINE 2 3
BINE 3 2
SUFICIENT 2 2
INSUFICIENT – –
Tabel 4.4.2 . Centralizator rezultate
CALIFICATIV ETAPA
INIȚIAL Ă ETAPA EXPERIMENTALĂ
P1 P2
FOARTE BINE 2 2 3
BINE 3 3 2
SUFICIENT 2 2 2
INSUFICIENT – – –
4.5. Prelucrarea datelor
Prelucrarea rezultatelor brute ale probelor de evaluare s -a făcut prin gruparea acestora în tabele
centralizatoare. Tabelele reunesc rezultatele din etapa inițială și finală pentru a face posibilă
comparația între cele două etape. La sfârșitul acestui capitol sunt prezentate tabelele cu
rezultatele înregistrate la probele de cunoștințe și grafice ce ilustrează ponderea calificativelor
obținute.
4.6. Evaluarea datelor finale
Respectând raționamentul metodei experimentale, evaluarea rezultatelor finale ale
experimentului s -a făcut prin aplicarea unei probe de evaluare finale asemănătoare cu cea
inițială, în scopul efectuării de comparații și desprinderii tendințelor de evoluție î ntre cele două
etape ale experimentului.
Consemnarea rezultatelor s -a realizat prin fișe care menționează inițialele numelui și prenumelui
elevilor și rezultatele grupate în calificative.
Sunt prezentate în continuare proba de evaluare finală, tabelele ana litice și cele centralizatoare pe
baza cărora am realizat evaluare rezultatelor finale.
Proba 1- Etapa finală
Competente : Cunoașterea și utilizarea co nceptelor specifice matematicii (Explorare / investigare
și rezolvare de probleme ).
Subc ompetente : Adunare a și scăderea în concentrul 0 -1000
Obiective operaționale :
La sfârșitul lecției, elevii vor fi capabili:
O1. să efectueze corect adunări și scăderi în concentrul 0 -1000;
O2. să rezolve probleme ce presupun cunoaș terea terminologiei matematice;
O3. să rezol ve în două moduri probleme cu doua operații;
O4: să compună probleme care să se rezolve prin două operații.
Proba 2 – Etapa finală
Itemii:
I1. Rezultatul exercițiului următor r eprezintă un număr cu 72 mai mare decât numărul căutat.
Află numărul cautat .
560 – 400 =
I2. Află suma dintre dublul numărului 10 și cel mai mare număr de două cifre. (Scrie rezolvarea
și sub formă de exercițiu).
I3. Un vânzător a așezat pe raft 25 pachete de făină și 14 pachete de mălai. Știind că pentru
fiecare fel de făină are câte două rafturi, aflați câte pachete sunt în total aranjate? (Rezolvă
problema în două moduri).
I4. Compune o probl emă care să se rezolve p rin doua operații:
5 + (6 – 2) =
Tabel 4.6.1 Descriptorii de performanță
Calificativ I1 I2 I3 I4
Suficient Efectuează o
operație Efectuează o operație Rezolvă cel puțin o
operație Compune partial
problema
Bine Efectuează
două operații Rezolvă problema cu
mici erori Rezolvă correct
problema cel puțin
într-un mod Compune
problema cu mici
erori
Foarte bine Rezolvă correct
exercițiul Rezolvă correct
problema, scr iind
rezolvarea și sub formă
de exercițiu Rezolvă corect
problema în două
moduri Compune corect
problema
Tabel 4.6.2 Rezultate obținute în etapa finală
Tabel 4.6.3 Rezultate obtinute in etapa initiala si finala
Nr.
crt. Numele și
prenumele I1 I2 I3 I4 Calificativ
i f i f i f I f i f
1. C.M. FB FB B FB FB FB FB FB FB FB
2. B.C FB FB B FB B FB B FB B FB
3. V.S. FB FB FB FB FB FB FB FB FB FB
4. P.I. S B S S S S I S S S
5. C.A. B B S B S B S B S B Nr.Crt. Numele I1 I2 I3 I4 Calificativ
final
1 C.M. FB FB FB FB FB
2 B.C FB FB FB FB FB
3 V.S. FB FB FB FB FB
4 P.I.. B S S S S
5 C.A. B B B B B
6 S.D. FB B B B B
7 M.C. FB FB FB FB FB
6. S.D. B FB B B S B B B B B
7. M.C. B FB B FB B FB B FB B FB
Tabel 4. 6.4 Centralizatorul rezultatelor obtinute in etapa initiala si finala
Calificativul I1 I2 I3 I4 Calificative
i f i f i f I f i f
Foarte bine 3 5 1 4 2 4 2 4 2 4
Bine 3 2 4 2 2 2 3 2 3 2
Suficient 1 – 2 1 3 1 1 1 2 1
Insuficient – – – – – – 1 – – –
Figura 4.6.1 Rezultate obtinute la etapa initiala si finala
Initial Final 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
Foarte bine Bine
Suficient
Insuficient Initial
Final
Figura 4.6.3
La etapa finala 5 elevi au obtinut calificativ FB,2 elevi au obtinut calificativ B si 1 elev a obtinut
calificativ S . I S
CALIFICATIVE FB
B 0 1 2 4 9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 NUMĂR
ELEVI ETAPA FINALĂ
F
B
B
S
I
B
Rezultate obtinute la probele date in etapa initiala si finala
Figura 4.6.4
In etapa initiala 29% din elevi au obtinut calificativ ul FB, 42% din elevi au obtinut calificativ ul
B si 29% calificativ ul S
Figura 4.6.5
42% F
B
B
S
I 29% 29% 0% ETAPA INIȚIALĂ
In etapa fina lă rezultatele au fost mult mai bune: 57% ( 4 elevi) au obținut FB, 29%(2 elevi )au
obținut calificativul B și doar14% (1 elev ) a obținut calificativul S.
F
B
B
S
I FB
57% B
29% I
0% S
14% ETAPA FINALĂ
Am supus analizei itemii 3 și 4 care aveau ca sarcină rezolvarea de probleme în două moduri,
respec tiv compunerea de probleme deoarece au vizat direct dezvo ltarea flexibilității gândirea
elevilor.
Figura 4.6.6. Rezultate obtinute
Itemul I 3. Rezolvarea de probleme în două moduri
In etapa initiala 29% din elevi au obtinut FB , 29% din elevi au obtinut B si 42% din elevi au
obtinut S.
29% 29% 42% 0% ETAPA INIȚIALĂ
FB
B
S
I
Figura 4.6.7 Rezultate obtinute in etapa finala
In etapa finală elevii obțin rezultate cu mult mai bune 57% rezolva corect problem e in doua
moduri iar 29% rezolva parțial corect problem ele in doua moduri.
Figura 4.6.8. Rezultate obtinute in etapa initiala
Itemul I4: Compunerea de probleme
29% F
B
B
S
I 57% 0; 0% 14% EVALUARE FINALĂ
La etapa inițială 29% dintre elevi reușesc să compună corect problema, 42% compun problema
parția l și 14% nu reușesc să compună problema .
Figura 4.6.9. Rezultate obtinute in etapa finala
42% 14% 29% 14% ETAPA INIȚIALĂ
F
B
B
S
I
29% 57% 0% 14% ETAPA FINALA
FB
B
S
I
In etapa finală elevii obțin rezultate cu mult mai bune 57% compun corect problema iar 29%
compun parțial corect problema.
4.7. Interpretarea rezultatelor
În realizarea cercetării am pornit de la ipoteza că diversele procedee utilizate în activitatea de
rezolvare și compunere de proble me contribuie la dezvoltarea gandirii elevilor . Dintre procedeele
utilizate, cea mai mare valoare formativă o au rezolvarea prob lemelor de matematică prin două
sau mai multe moduri și compunerea problemelor de matematică.
În lecțiile desfășurate de -a lungul întregii cercetări experimentale am urmărit rezolvarea și
compunerea problemelor de matematică în mod creativ.Din datele centr alizate în uram aplicării
probelor de cunoștințe, am realizat următoarele concluzii:
Activitatea de rezolvare și compunere de probleme contribuie la dezvoltarea gandirii
elevilor, fapt dovedit de rezultatele obținute de elevi în etapa finală la itemii 3 și 4.
Analizând pe ansamblu rezultatele testelor se poate observa eficiența procedeelor utilizate
în rezolvarea și compunere problemelor de matematică în mod creativ.
Dacă în etapa inițială 2 elevi (29%) au obținut calificativul foarte bine, 3 elevi (42%) au obținut
calificativul bine și 2 elevi (29%) au obținut calificativul suficient, în etapa finală rezultatele au
fost mult mai bune: 4 elevi (57%) au obținut foarte bine, 2 elevi (29%) au obținut calificativul
bine și doar 1 elev (14%) au obținut califica tivul suficient.
Am supus analizei itemii 3 și 4 care aveau ca sarcină rezolvarea de probleme în două moduri,
respectiv compunerea de probleme deoarece au vizat direct gândirea creatoare a elevilor.În ceea
ce privește itemul 3, elevii au avut de rezolvat o problemă în două moduri, rezultatele au fost mai
bune în etapa finală, elevii atingând un nivel de performanță mai ridicat. Dacă la început doar 2
elevi (29%) rezolvă corect problema în două moduri și 2 elevi (29%) rezolvă parțial corect
problema, 3 elevi ( 42%) nereușind să o rezolve, în etapa finală 4 elevi (57%) rezolvă corect
problema în două moduri și 2 elevi (29%) rezolvă parțial corect, doar un singur elev(14%)
nereușind să o rezolve.
Analizând rezultatele obținute la itemul 4 care avea ca sarcini c ompunerea unei probleme
respectând cerințele date, se observă că dacă în etapa inițială 29% dintre elevi reușesc să
compună corect problema, 42% compun problema parțial și 14% nu reușesc să compună
problema, în etapa finală elevii obțin rezultate cu mult m ai bune și progresul este evident: 57%
compun corect problema iar 29% compun parțial corect problema.
Analizând din punct de vedere calitativ munca desfășurată de elevi în perioada experimentală am
observat schimbări în atitudinea lor față de învățare.
Elevii au devenit mai activi, mai dornici să -și afirme și să -și susțină ideile, au avut mai multă
inițiativă și au fost mai dezinvolți. Pentru că în sarcinile de învățare s -a utilizat mult munca în
echipă am observat la elevi o mai bună colaborare, o mai mare implicare și mai mult sprijin din
partea tuturor în realizarea sarcinilor primite
Toate aceste analize duc la concluzia că datoria noastră, a celor ce -i îndrumăm pe elevi pe
drumul cunoașterii, este de a organiza activități de învățare atractive, varia te, care să solicite și să
implice fiecare elev pentru dezvolte capacităților intelectuale ale elevilor.
Analizând rezultatele testelor se poate concluziona că elevii clasei a IV -a au capacitatea de a
rezolva și de a compune probleme de matematică în mod c reativ, iar varietatea metodelor și
procedeelor utilizate contribuie la dezvoltarea mobilității gândirii elevilor.
Capitolul V. Concluzii
Consider că cele mai bogate valențe formative le are activitatea de rezolvare și compunere a
problemelor. În cadrul acestei activități se pot valorifica atât cunoștințele matematice de care
dispune elevul la un moment dat, cât și dezvoltarea intelectuală a acestuia. Tocmai în acest sens,
această activitate nu trebuie luată în considerare ca fiind o activitate auxiliară ci ea trebuie să
constituie o preocupare permanentă și o preocupare independentă.
În vederea formării și dezvoltării la elevi a capacităților necesare și utile activității de rezolvare a
problemelor, se impune ca și aici, ca și în întreaga activitate matem atică să gradăm efortul la
care supunem gândirea elevilor. Trebuie să avem grijă ca să nu predomine problemele cu rol de
exercițiu care nu solicită elevului decât un efort de calcul. De asemenea să ținem seama de
clasificarea problemelor în categorii după gradul de efort la care este supusă gândirea în procesul
rezolvării.
Am căutat să folosesc modalități de rezolvare a problemelor astfel sistematizate prin care elevi
au ajuns să cunoască principiul general de rezolvare valabil pentru întreaga categorie de
probleme în care se încadrează o multitudine de probleme.
Am rezolvat cu elevii nu numai probleme independente ci și categorii de probleme în care se
încadrau fiecare problemă rezolvată. În acest sens fiecare categorie a constituit obiect de studiu
în sen sul că în activitatea de rezolvare a problemelor cu elevii au fost ajutați să sesizeze structura
raționamentului și diversitatea problemelor care se pot constitui pe acea structură. I -am ajutat pe
elevi să generalizeze principiul de rezolvare pentru întrea ga categorie de probleme.
Acest mod de lucru nu a permis elevilor să rezolve fragmentar sau să încerce niște legături
întâmplătoare între datele cunoscute ale problemei, principiul de rezolvare, întregul șir de
judecăți și raționamente care duc la soluție ci să realizeze întâi formula numerică și apoi să
generalizeze într -o formulă literală.
Prin antrenarea gândirii elevilor la un efort gradat, prin însușirea matematicii prin efort propriu
putem spori eficiența formativă a învățământului matematic, contribu ind cu precădere la
dezvoltarea mobilității gândirii și la sporirea interesului elevilor pentru studiul matematicii.
Compunerea de probleme constituie o premisă reală și eficientă pentru viitoarea muncă în
domeniul cercetării și pentru activitatea viitoare de creație.Este datoria noastră, a cadrelor
didactice, să imprimăm elevilor dragoste față de muncă, să le formăm cunoștințe și deprinderi
practice, folositoare în pregătirea pentru viață.
Accentul în învățământul modern s -a pus pe latura sa formativă, pe realizarea acelor trăsături ale
personalității umane care să -i permită să se integreze activ în condițiile societății contemporane
și viitoare.În această direcție, noua programă de matematică și noile manuale pun accentul pe
introducerea unor elemente de m odernizare care vizează dezvoltarea gândirii logice a elevilor.
Un rol important îl au problemele de logică și cele de organizare a datelor în tabele. Un rol
deosebit îl are rezolvarea și compunerea de probleme deprinzând elevii cu munca organizată,
dezvol tându -le încrederea în fortele proprii, obișnuindu -i să lucreze disciplinat și să respecte
activitatea colectivului.
Pot afirma, pe baza rezultatelor obținute, că am reușit în mare măsură să le trezesc interesul
pentru matematică cât și perseverența, fermi tatea, tenacitatea pentru invingerea greutăților.
În cadrul acestui obiectiv am acordat o deosebită atenție cultivării flexibilității gândirii, în special
prin rezolvarea problemelor prin mai multe variante și compunerea de probleme.
Rezolvarea presupune î nsușirea conștientă a cunoștințelor teoretice, capacitatea de a le aplica în
mod independent și creator, înțelegerea enunțului problemei, sesizării relației dintre necunoscute
și datele problemei, formarea priceperii de a stabili planul de rezolvare, de a verifica soluția
găsită.
Pentru ca acțiunea de dezvoltare a mobilității gândirii să fie cât mai eficientă, am început -o (prin
metodele și procedeele prezentate) de timpuriu ( din clasele mici ) și am exersat -o în timp,
sistematic, modelând copiii prin între gul conținut și prin întreaga metodică de predare.
Pentru o bună înțelegere și însușire a tehnicii de rezolvare a problemelor, e mult mai important
ca elevii să rezolve aceeași problemă în două sau mai multe variante când acest lucru este
posibil, decât să rezolve mai multe probleme de același tip într -un singur fel.
Prin exerciții de rezolvare în mai multe variante am urmărit să formez mobilitatea mentală a
elevilor în rezolvarea problemelor, am urmărit ca procedeele de rezolvare învățate să nu se
transfo rme în șabloane, ci să poată fi mânuite cu suficientă suplețe.
Pentru generalizarea principiului de rezolvare a problemei, elevii au fost obișnuiți să cuprindă
problema în totalitatea ei și să redea în final soluția problemei printr -o formulă numerică, a poi în
formula literală.
Pe baza acestor formule (numerice sau literale) elevii au compus și rezolvat apoi numeroase
probleme.
Stimulând încrederea în fiecare elev, apreciind orice încercare de a crea, am lăsat câmp liber
curiozității și dorinței native a copiilor de a descoperi mereu ceva nou, uneori, și mai ales în
clasele mici, multe din activități au îmbrăcat forma jocului.
Deprinzând elevii cu rezolvarea și compunerea de probleme în mod independent, am evitat
șablonizarea, iar prin stimularea gândirii și angajarea ei în activitatea independentă fac posibilă
folosirea optimă a potențialului creator.
Pentru sporirea eficienței activității creatoare am avut în vedere îndeplinirea următoarelor
cerințe: – tema să fie accesibilă;
– să stimulez gândirea și im aginația creatoare;
– să corespundă cerințelor programei școlare;
– să se bazeze pe o motivație puternică;
– să se urmărească formele unui stil de muncă pentru elevi.
Am reușit să -i determin pe elevi să manifeste un interes tot mai mare pentru acest obiect , să
depună eforturi sporite plasând activitatea creatoare în diferite momente ale lecției. Am constatat
că activitatea de rezolvare de probleme cât și cea cu caracter creator are o puternică valoare
formativă de ordin afectiv, motivațional. Aceasta datori tă faptului că elevii nu se simt
suprasolicitați, ci dacă perseverez, ei le doresc, le așteaptă și de la un timp le solicită. Se observă
că, după îndeplinirea sarcinilor cu caracter creator sunt parcă mai pregătiți pentru alte activități,
par mai recreați și mai odihniți.
Ei sunt bucuroși când reușesc și nemulțumiți când rezolvările dau greș.
Chiar și elevii timizi sau care intâmpină greutăți doresc să încerce, să obțină rezultate bune.
Pentru reușita dezvoltării activității, a gândirii cu operațiile și cal itățile sale, un ro l important
revine profesorului . De aceea am manifestat receptivitate la tot ce este mai nou, la tot ce le place
copiilor, la tot ce pot ei rezolva.
Trebuie să răspundem permanent chemării să lărgească orizontul, să zdruncine stereotipur ile, să
creeze acea „disonanță” interna care să determine o „decentrare”, adică o ieșire din perimetrul
restrâns al unei experiențe canonizate de ani de vechime.
De aceea am căutat ca prin activitatea desfășurată să înfrumusețez acest obiect, astfel încât elevii
să o privească ca pe o activitate utilă, să o privească și să o aprecieze pentru frumusețea
structurii ei.
Ca elevii să iubească acest obiect depinde direct de cine îl predă, de nivelul de pregătire atât din
punct de vedere al domeniului (matematic ) cât și pedagogic.
Prin multitudinea procedeelor folosite în clasă, noutatea pe care i -o dăm copilului prin fiecare
exercițiu, problemă, modul cum reușim să -i activizăm în permanență gândirea, să -l atragem să
participe direct la dobândirea noilor cunoști nțe cu efect pozitiv asupra personalității omului.
Indiferent însă de metodele, modalitățile și mijloacele pe care timpul nostru le pune la dispoziția
școlii, rolul nostru ca profesori , constituie un factor hotărâtor în organizarea și desfășurarea
procesul ui de învățământ, pentru creșterea randamentului școlar.
Învătarea matematicii reprezintă un țel spre care se tinde și se ajunge prin pasiune și muncă.
Important e ca în eforturile sale de a îmbogăți co municarea didactică, profesorul să nu uite că așa
cum spunea L. Șoitu, nu tot ce spune se aude, nu tot ce se aude se înțelege și ceea ce se înțelege
nu depinde numai de noi.
În desfășurarea activităților cu conținut matematic am adoptat o strategie diferențiată, având în
vedere categoriile de copii cu care a m lucrat , nivelul lor de cunoștințe, acordând o mare atenție
activităților organizate cu grupuri mici de copii sau individual.
Pentru mărirea eficacității strategiilor de educație intelectuală am conferit un loc prioritar jocului,
ca formă fundamentală și specifică de activitate la copii cu CES.
Predarea matematicii într -o manieră modernă la elevi necesită o pregătire adecvată a
profesorului, atât în ceea ce privește conținutul cât și a modalităților de predare. Numai într -un
asemenea context scoala reușeș te să pregătească copilul pentru integrarea în activitatea școlară și
în viața socială.
Caracterul profund formativ și creativ al învățământului nu p oate fi dat decât de un profesor ale
cărui însușiri morale și spirituale, al cărui stil de muncă și aspiraț ii slujesc într -adevar, în chip
novator idealului educativ caruia își dedică priceper ea, energia și pasiunea sa. Aceasta, cu atât
mai mult cu cât trebuie ținut seama de faptul obiectiv al diferențierii și deversificării tot mai
accentuate a funcțiilor dida ctice , de modificarea profundă a rolului cadrului didactic, care este și
devine din ce în ce mai mult, de formator al personalității , creator de proiecte educative,
inovator , cercetator , proiectant și evaluator competent al propriei activități și, mai p resus de
toate, capabil el însuși de inovare continuă, apt să stimuleze și să valorifice cât mai deplin
potențialul aptitudinal și creator al elevilor săi, să realizez e, prin educație o nouă sinteză și
știință, tehnologie și cultură, ca premisă pentru dezv oltarea armonioasă multilaterală și c reatoare
a personalității umane , ca premisă a progresului social.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Pornind de la locul ș i rolul matematicii în general și în special de la importanța deosebită [602555] (ID: 602555)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.