Polinoame Si Ecuatii Algebrice Polinomiale

=== 1812ed48701b3cc144c013f0aeb1c6396fdffbc0_710860_1 ===

Cuprins

Introducere

Capitolul I. Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp

1.1. Inelul polinoamelor în nedeterminata X

1.2. Forma algebrică a unui polinom

1.3. Funcția polinomială. Rădăcina a unui polinom

1.4. Adunarea și înmulțirea polinoamelor. Proprietăți

1.5. Împărțirea polinoamelor

1.6. Divzibilitatea polinoamelor

1.6.1. Relația de divizibilitate. Proprietăți

1.6.2. Polinoame ireductibile

1.6.3. Cel mai mare divizor comun. Algoritmul lui Euclid

1.6.4. Cel mai mic multiplu comun

Capitolul II. Rădăcinile polinoamelor

2.1. Rădăcini complexe ale polinoamelor

2.2.1. Polinoame cu coeficienți reali

2.1.2. Polinoame cu coeficienți raționali

2.1.3. Polinoame cu coeficienți întregi

2.2. Relațiile lui Viete

2.3. Rezolvarea unor ecuații algebrice de grad superior

2.3.1. Ecuații binome

2.3.2. Ecuații bipătrate

2.3.3. Ecuații reciproce

Capitolul III. Probleme rezolvate

3.1. Tipuri de probleme

3.2. Tipuri de teste

Capitolul IV. Probleme pentru concursuri și olimpiade

Capitolul V. Analiza rezultatelor obținute de către elevi în urma aplicării la clasă

Bibliografie

INTRODUCERE

Polinoamele constituie un domeniu foarte important și bine studiat al matematicii tradiționale.

Primul contact cu noțiunea de polinom se face fie prin intermediul operațiilor cu monoame, fie în legătură cu rezolvarea unor ecuații, deși elevul actual nu știe că lucrează cu un astfel de obiect matematic. La Analiza matematică, elevul învață să determine primitivele unei funcții polinomiale, dar nu este familiarizat cu denumirea. Cuvântul „polinom” se introduce în limbajul matematic al elevilor abia în clasa a XII-a, după studiul structurilor algebrice „inel” și „corp”. Li se introduce noțiunea ca Inel comutativ de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ.

Cu anumite tipuri de ecuații polinomiale (de grad 1, 2, uneori 3, bipătrate etc.) elevul face cunoștință mult mai devreme, fără însă să știe că se numesc așa.

Prezenta lucrare se adresează elevilor de clasa a XII-a, în vederea pregătirii examenului de Bacalaureat. Scopul lucrării fiind acela de a se putea aplica la clasă, cea mai mare parte a lucrării va respecta Programele de BAC M1 și M2.

Lucrarea este structurată pe cinci capitole. Primele două capitole cuprind noțiuni teoretice referitoare la polinoame: forma algebrică, operații cu polinoame, divizibilitatea polinoamelor, rădăcini ale polinoamelor, relațiile lui Viete și rezolvarea unor ecuații algebrice de grad superior.

Capitolul trei este un capitol cu probleme rezolvate prin care se fixează noțiunile din primele două capitole și seturi de teste formative care vor fi aplicate direct la clasă.

Capitolul patru va fi un capitol cu câteva probleme pentru performanță, în vederea pregătirii concursurilor și olimpiadelor școlare.

Ultimul capitol va fi un capitol în care vor fi analizate rezultatele testelor aplicate la clasă.

Polinoamele constituie o etapă fundamentală în formarea capacităților de abstractizare a elevilor. Calculul cu polinoame stă la baza celor mai multe tehnici matematice.

Capitolul I. Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp

1.1. Inelul polinoamelor în nedeterminata X

„Dacă A este un inel unitar comutativ, atunci mulțimea A' (a șirurilor de elemente din A, care au numai un număr finit de termeni nenuli) împreună cu operațiile de adunare și înmulțire definite mai sus este un inel comutativ și unitar. Elementele acestui inel se numesc polinoame peste A sau polinoame cu coeficienți din A”. (Andronache, 2011, p. 64)

Dacă f=(a0,a1,.) este un polinom nenul (adică nu toți termenii ai sunt nuli) și daca n este cel mai mare număr natural cu proprietatea ca an¹0, atunci n se numește gradul polinomului f. Pentru polinomul nul nu se  definește gradul. Convenim să considerăm gradul său ca fiind -.  Dacă gradul (f)=n, atunci  a0, a1,.,an se numesc coeficienții polinomului f.

            Fie aplicația u: „A® A' definită prin u(a)=(a,0,0,.). Aplicația u este injectivă, căci, dacă u(a)=u(b), atunci (a,0,.)=(b,0,.) Û a=b. De asemenea , u(a+b)=u(a)+u(b) și u(ab)=u(a)u(b), " a,bÎA, deoarece, după definiție, este evident că (a,0,.)+(b,0,.)=(a+b,0,. ) si(a,0,.)·(b,0,.)=(ab,0,.)”.

            Deci u este omomorfism injectiv. Acest fapt permite să se identifice elementul „aÎA cu imaginea sa prin u, adică polinomul (a,0,.) din A'. Astfel,  A se poate considera că un subinel al lui A'. Notăm prin X polinomul (0,1,0,.), care se numește nedeterminata X”. Obținem:

Pentru orice aÎA, avem ax=(0,0,.,0,a,0,.). Fie acum un polinom de gradul n, f=(a0,a1,a2,.,an,0,.)=(a0, 0, 0,.)+(0,a1,0,.)+.

.+(0,0,.an,0,.)=a0(1,0,.)+a1(0,1,0,.)+.+an(0,0,.,1,0,.)=

=       

Dacă an=1, spunem că polinomul este unitar. Inelul A' obținut se numește inelul polinoamelor în nedeterminata X cu coeficienți în inelul A (sau peste inelul A) și se notează cu A[X]. Observăm că f are gradul 0 sau –    dacă și numai dacă  f aparține inelului A.

Pe mulțimea P definim două operații algebrice:

Adunarea. „+: P PP, care asociază fiecărui cuplu (f, g) P P elementul notat f + g P, numit suma lui f cu g, unde dacă f = (a0,a1,…,an), iar g = (b0,b1,…,bn) atunci f+g = (a0+b0,a1+b1,…) (spunem că adunarea șirurilor din P se face pe componente). Este clar că f +g P, deoarece ak+bk = 0,( ∀) k > max(n,m)”.

Înmulțirea · : P PP, care asociază fiecărui cuplu (f,g) PP elementul notat f · g P, numit produsul lui f cu g, unde dacă f = ( a0,a1,…,an), g = (b0,b1,…,bn) atunci f · g = (c0,c1,c2,…,ck,…), unde c0 = a0b0, c1 = a0b1+a1b0, …,

ck = a0bk+a1bk-1+…..+ak-1b1+akb0, …

Să observăm că și aici „f · gP deoarece ck = 0,() k > n+m (pentru k = n + m, ck = anbm)”.

De exemplu, șirurile: „f =(0,-1,2,0,0…), g = (-1,i,2,0,0…) , h = (1+2i,7,-100,2 ,0 , …)” sunt șiruri infinite care au un număr finit de termeni nenuli. Șirul g are 3 termeni nenuli, iar h are 4 termeni nenuli. Deci aceste șiruri sunt elemente din mulțimea C[X].

1.2. Forma algebrică a unui polinom

„Notația introdusă pentru polinoame nu este prea comodă în operațiile cu polinoame. De aceea vom folosi altă scriere”. (Andronache, 2011, p. 68)

Dacă considerăm , atunci se va scrie sub forma: . Au loc notațiile:

Exemplu:

Atunci:

Singurii factori ireductibili(primi) în C[X] sunt polinoamele de gradul I.

1.3. Funcția polinomială. Rădăcina a unui polinom

Fie „fC[X], f = a0+ a1X + a2X2 + … + an Xn și A,B C”.

Definiție

Funcția „ : A B, (x) = f(x), () x C” se numește funcție polinomială.

„Numărul f(x), xC se numește valoarea polinomului f în x, iar funcția definită se numește funcția asociată polinomului f sau simplu funcție polinomială”. (Bocoș, 2007, p. 52)

„Gradul polinomului dă gradul funcției polinomiale.

Coeficienții polinomului sunt coeficienții funcției polinomiale.

A determina funcția polinomială înseamnă a-i preciza coeficienții.

Să observăm că un polinom f și funcția polinomială asociată sunt noțiuni distincte. Ele nu se confundă”. (Andronache, 2011, p. 70)

Definiție:

„Fie , este rădăcină de ordin de multiplicitate m, dacă și nu divide pe f”.

Exemple:

1.

nu divide f este rădăcină de ordin de multiplicitate 1 (rădăcină simplă)

2.. Descompunând în factori ireductibili vom obține:

, unde:

1= rădăcină de ordin de multiplicitate 3

i,- i,-1= rădăcini de ordin de multiplicitate 1

1.4. Adunarea și înmulțirea polinoamelor. Proprietăți

„Definim pe mulțimea P două operații algebrice: adunarea și înmulțirea

Adunarea polinoamelor”: (Bocoș, 2007, p. 61)

Fie , „două elemente din mulțimea P, atunci definim”:

,

PROPRIETĂȚILE ADUNĂRII POLINOAMELOR

„(P,+) se numește grup abelian

A1) Adunarea este asociativă :

(f + g) + h = f + (g + h), () f,g,hP”

Într-adevăr, dacă ,și atunci avem și deci

Analog, obținem că

Cum adunarea numerelor este asociativă, avem , pentru orice .

Rezultă imediat din definiția adunării și a egalității a două elemente din P precum și din asociativitatea adunării pe C.

A2) Adunarea este comutativă:

, () f , g P

Într-adevăr, dacă și avem,

Cum adunarea numerelor complexe este comutativă, avem pentru orice Deci

„Rezultă imediat din definiția adunării și a egalității a două elemente din P precum și din comutativitatea adunării pe C”.

A3) Elementul neutru pentru adunare este polinomul constant : 0=(0,0,0,…,0,…) P și are proprietatea:

 f + 0 = 0 + f, () fP

A4) Elemente inversabile

„Orice polinom f P admite un element notat (-f ) și numit opusul lui f pentru care

f + (- f) = (- f) + f = 0, () fP

Dacă f = ( a0,a1,…,an), atunci –f = (-a0,-a1,…,-an)

De exemplu, dacă este un polinom, atunci opusul său este

„Spunem ca P împreună cu operația de adunare și proprietățile A1-A4 formează un grup comutativ”. (Burtea, 2009, p. 39)

Înmulțirea polinoamelor

Fie ,

Atunci definim:

PROPRIETĂȚILE ÎNMULȚIRII POLINOAMELOR

Asociativitatea

Oricare ar fi P, avem:

(f . g) . h = f . (g . h)

Comutativitatea

Oricare ar fi P , avem:

f . g = g . f

Într-adevăr, dacă , atunci notând și , avem :

și

Cum adunarea și înmulțirea numerelor complexe sunt comutative și asociative

avem cr=dr, pentru orice .

Deci

Element neutru

Polinomul „1= (1,0,0,…) este element neutru pentru înmulțirea polinoamelor, adică oricare ar fi P, avem:

f . 1 = 1 . f = f”

Elemente inversabile

„ P este inversabil dacă există , astfel încât:

f . = . f = 1”

Singurele polinoame inversabile sunt cele constante nenule: f = (a,0,0,0…), a 0

Distributivitatea

Oricare ar fi polinoamele f , g , h P, are loc relația:

„Cele două operații introduse mai sus, adunarea și înmulțirea, sunt legate între ele prin proprietatea de distributivitate. Se spune că P împreună cu operația de înmulțire și proprietăți este un monoid comutativ”. (Burtea, 2009, p. 49)

f · (g + h) = f · g + f · h, () f,g,hP

„În concluzie mulțimea P înzestrată cu cele două operații având proprietățile A1-A4, I1-I3 și distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea se spune că formează un inel comutativ unitar. Să observăm că elementele de forma (a,0), a,bC se adună și se înmulțesc în același mod ca și elementele lui C”, (Andronache, 2011, p. 75)

(a,0) + (b,0) = (a+b,0)

(a,0) · (b,0) = (a · b,0)

„Acestea ne permit să identificăm astfel de șiruri din P cu elementele corespunzătoare din C adică (a,0) = a, () aC

Desemnăm elementul (0,1,0) = X și numim X nedeterminată pe C.

Utilizând operația de înmulțire din P rezultă

X = (0,1,0), X2 = (0,0,1,0,0), X3 = (0,0,0,1,0), Xn = (0,0,…,0,1,0)

De asemenea avem pentru aC: (0,0,…,0,a,0) = aXn = Xna” (Andronache, 2011, p. 76)

 Cu aceste observații, un element f = (a0, a1, …, an,0∞) din P se scrie:

f = a0 + a1X2 + …+ an Xn = , unde am pus X0 = 1

„Mulțimea P pe care am definit operațiile de adunare și înmulțire se numește mulțimea polinoamelor cu coeficienți complecși, iar un element f scris sub forma:

f = a0 + a1X2 + …+ an Xn = , unde am pus X0 = 1

reprezintă forma algebrică a polinomului f de nedeterminată X”. (Andronache, 2011, p. 79)

Numerele a0, a1, …, an C se numesc coeficienții polinomului, iar termenii akXk, k = îi vom numi monoame ale polinomului f.

„Am văzut mai sus că mulțimea P a polinoamelor cu coeficienți complecși împreună cu adunarea și înmulțirea are o structură de inel comutativ unitar, numit inelul polinoamelor cu coeficienți complecși de nedeterminată X”. (Burtea, 2009, p. 51)

Observație: „Se impune să avem grijă în a considera litera X ca reprezentând un element variabil din C; litera X desemnează un polinom particular. Ideea că X reprezintă un element variabil din C provine din confuzia ce se face între polinom cu coeficienții în C și funcția polinomială definită pe C cu valori în C, atașată polinomului respectiv”. (Burtea, 2009, p. 54)

Notație. Vom nota mulțimea P a polinoamelor cu coeficienți complecși de nedeterminată X prin C[X]. Alte submulțimi ale acestei mulțimi sunt:

Z[X] = submulțimea polinoamelor peste Z de nedeterminată X (sau având coeficienți întregi)

Q[X] = submulțimea polinoamelor peste Q de nedeterminată X (sau având coeficienți raționali)

R[X] = submulțimea polinoamelor peste R de nedeterminată X (sau având coeficienți reali)

Să reformulăm acum egalitatea, suma și produsul a două polinoame din C[X] scrise sub forma algebrică.

1. Egalitatea a două polinoame Dacă f, gC[X]

f = a0+ a1X + a2X2 + … + an Xn , g = b0+ b1X + b2X2 + … + bm Xm

atunci polinomul f este egal cu g și scriem:

f = g ai = bi , () i 0

2.  Suma a două polinoame Suma polinomului f cu polinomul g este polinomul notat cu f + g și egal cu:

f + g = (a + b) + (a 1 + b1)X + (a2 + b2)X2 + …

3.   Produsul a două polinoame Produsul polinomului f cu polinomul g este polinomul notat cu

f g, egal cu

f g = a0b0 + (a0b1 + a1b0)X + (a0b2 +a1b1 + a2b0)X2 + …

Deci:

1) Două polinoame sunt egale dacă coeficienții termenilor care conțin pe X la aceleași puteri sunt egali. În particular, un polinom este identic nul dacă toți coeficienții săi sunt nuli

2) Adunarea polinoamelor se face adunând între ei termenii asemenea (cu puteri egale ale lui X)

3) Înmulțirea a două polinoame se face înmulțind fiecare termen din primul polinom cu fiecare din al doilea polinom, după care se reduc termenii asemenea.

1.5. Împărțirea polinoamelor

Teoremă (Teorema împărțirii cu rest a polinoamelor):

Fie f,g C[X], g ≠ 0. Atunci există și sunt unice două polinoame q,r C[X] astfel încât

f = g · q + r, unde grad(r) < grad(g) „Polinomul f se numește de împărțit, polinomul g este împărțitorul, polinomul q este câtul, iar polinomul r se numește restul împărțirii. Dacă r = 0, adică f = gq, atunci spunem că polinomul f se divide prin polinomul g (sau că f este multiplu de polinomul g sau că g este un divizor al polinomului f) sau că g divide polinomul f. Dacă f se divide prin g, atunci scriem f g (citim: f se divide prin g) sau g | f (citim:g divide pe f)”. (Burtea, 2009, p. 89)

Teorema împărțirii cu rest este valabilă și în R[x], Q[x] dar nu rămâne adevărată în Z[X].

Vom efectua împărțirea polinomului la polinomul .

/

//////

/

//

//

/

/

/

…………………………………………………………………………………

/

/

Acest tabel ne redă regula(algoritmul) de împărțire a polinoamelor, pe care o vom aplica în practică pentru obținerea câtului și restului împărțirii.

Exemple:

„1. Să se efectueze împărțirea polinomului f=6X5 – 17 X3 – X2 + 3 la polinomul g=3X2 – 6X + 2 Pentru a face aceasta dispunem ca mai jos polinoamele”:

„6X5 + 0X4 – 17X3 – X2 + 0X + 3 (Deîmpărțitul)| 3X2 – 6X +2 (Împărțitor)

-6X5 + 12X4 – 4X3 | 2X3 + 4X2 + X –1 (Câtul)

/ 12X4 – 21X3 – X2

– 12X4 + 24X3 – 8X2

/ 3X3 – 9X2 + 0X

– 3X3 + 6X2 – 2X

/ – 3X2 – 2X + 3

3X2 – 6X + 2

/ – 8X + 5 (Restul)”

Procedeul utilizat:

„1) Se ordonează polinoamele f și g după puterile descrescătoare ale nedeterminatei X

2) Se face împărțirea polinomului de grad mai mare (aici f) la polinomul de grad mai mic

3) Se împarte primul termen al lui f la primul termen al lui g; se obține astfel primul termen al câtului ( în exemplu avem: 6X5 : 3X2 = 2X3)

4) Se înmulțește rezultatul astfel obținut (in exemplu 2X3) cu împărțitorul g și se scade acest produs din deîmpărțitul f (adică se adună acest produs cu semn schimbat la f). Acest calcul ne dă primul rest al deîmpărțirii (în exemplu, primul rest este polinomul 12X4 – 21X3 – X2 +3)”

5)  Se repetă procedeul luând primul rest ca deîmpărțit

6) Algoritmul se termină când gradul restului este strict mai mic decât gradul împărțitorului (în exemplu, câtul este q = 2X3 + 4X2 + X – 1 și restul este r = -8X + 5)

2. Fie polinoamele și . Să determinăm câtul și restul împărțirii lui f la g.

/

///

/

q

/

/

/

///

r

Deci câtul este , iar restul . Formula împărțirii cu rest se scrie, în acest caz astfel: f = g q + r

1.6. Divizibilitatea polinoamelor

1.6.1. Relația de divizibilitate. Proprietăți

DIVIZIBILITATEA UNUI POLINOM PRIN X–a

„Spunem că f se divide prin g sau f este divizibil prin g sau g divide polinomul f, dacă , sau, altfel spus, dacă există un polinom h C[X]”. (Predescu, 2017, p. 214)

Din teorema împărțirii cu rest: () f , g C[X] , g 0 , astfel încât

f = g . q + r , cu grad(r) < grad(g)

Spunem că f se divide la g sau g divide pe f, dacă

Teoremă: „Restul împărțirii unui polinom f C[X], f ≠ 0, prin polinomul g = X–a

g C[X] este egal cu valoarea numerică a polinomului f pentru x = a, adică r = f(a)

Demonstrație: Conform teoremei împărțirii cu rest a polinomului f prin polinomul g putem scrie f = (X–a)q + r, unde grad(r)<1. De aici grad(r)=0, adică r este polinom constant sau r = 0

Prin urmare,

f (x) = (x – a)q(x) + r , () xC. Dacă aici punem x = a rezultă că f(a) = r” (Andronache, 2011, p. 101)

PROPRIETAȚI ALE RELAȚIEI DE DIVIZIBILITATE A UNUI POLINOM

„Am văzut că dacă  f,g C[X], atunci g se divide prin f dacă există un polinom qC[X], astfel încât g = f q. Faptul că g se divide prin f îl notăm g /f (g se divide prin f) sau f | g (f divide g). Polinomul f se spune că este un divizor al lui g sau că g este un multiplu al lui f”. (Predescu, 2017, p. 219)

P1. Relația de divizibilitate este:

1) reflexivă ( adică f | f )

     2) tranzitivă ( adică dacă f | g și g | h, atunci f | h ), () f,g,hC [X]

Demonstrație:

1) Într-adevăr din f = 1f rezultă că f | f

2) Dacă f | g, atunci există q1 C[X] astfel încât g = f q1 , iar din g | h, există q2 C[X] pentru care h = gq2. Acum din g = f q1, h=g q2 se obține h = f (q1 q2), ceea ce arată că f | h

P2. Fie f, gC[X], f | g și g ≠ 0. Atunci f ≠ 0 și grad(f) ≤ grad(g)

Demonstrație:

„Această proprietate afirmă că un divizor (f) al unui polinom nenul (g) este un polinom nenul de grad cel mult egal cu al polinomului.

Din f | g rezultă că există q / C[X] astfel încât g = f q

Cum g ≠ 0 /se deduce f ≠ 0 și luând gradul în ultima egalitate de polinoame” (Andronache, 2011, p. 104)

avem:

grad(g) = grad(f) + grad(q)

Cum q ≠ 0 avem grad(q) 0

Deci grad(g) grad(f)

 P3. Fie f, gC[X], f ≠ 0 astfel încât f | g, g | f. Atunci există aC* (constantă complexă nenulă) pentru care f = ag

Demonstrație:

Din f ≠ 0 și g | f rezultă g ≠ 0 și există g1C[X] astfel încât f = g g1

Din f | g rezultă că există f1K[X] astfel încât g = f f1

Din f = g g1 și g = f f1 se obține f = f f1 g1 sau (f ≠ 0) g1f1=1

Trecând în această relație la grad rezultă 0 = grad(1) = grad(f1) + grad(g1)

Cum f1g1 ≠ 0 avem grad(f1), grad(g1) 0, iar în ultima egalitate deducem

grad(f1) = grad(g1) = 0, adică f1, g1C*

Așadar f = a g, aC*

Observații:

1) Această proprietate afirmă că dacă două polinoame se divid reciproc, atunci ele „diferă” printr-o constantă nenulă a (f = ag), sau coincid, abstracție făcând de o constantă nenulă a

2) Dacă f și g au același coeficient dominant și dacă f | g și g | f, atunci f = g

P4. Fie f,gC[X].Atunci f | g, dacă orice rădăcină a polinomului f (cu ordinul de multiplicitate respectiv) este rădăcină și pentru polinomul g (cu același ordin de multiplicitate, cel puțin)

Această proprietate este deosebit de utilă problemele de divizibilitate a polinoamelor.

Definiție: „Spunem că polinoamele f, gC[X] sunt asociate în divizibilitate dacă f | g și g | f (deci dacă se divid reciproc) și scriem f ~ g

Conform proprietății P3, dacă f ≠ 0, atunci f este asociat cu g în divizibilitate dacă și numai dacă există a/C – {0} astfel încât f = ag; dacă f = 0 atunci f ~ g dacă și numai dacă g = 0, caz în care f = a g, este verificată”. (Andronache, 2011, p. 112)

Definiție: Divizorii în forma a și af, aC – {0} se numesc divizori improprii ai lui fC[X] ceilalți divizori ai lui f, dacă există, se numesc divizori proprii.

TEOREMA LUI BEZOUT

„Polinomul f C(X), un polinom nenul , (cu coeficienți complecși și nedeterminată X) și a un număr complex f ≠ 0, se divide prin g = X–aC(X) dacă și numai dacă f (a) = 0” (Andronache, 2011, p. 117)

Definiție:Fie un polinom. Atunci numărul este rădăcină a polinomului f dacă și numai dacă divide f

Atunci a este o rădăcină a polinomului f dacă și numai dacă (X-a)|f

Demonstrația este imediată din teorema precedentă.

Deci polinomul f este divizibil prin g = X–a /f (a) = 0 /a este rădăcină a polinomului f. (Predescu, 2017, p. 229)

Definiție: Dacă polinomul fC(X), f ≠ 0 se divide prin (X–a)p, p / N, p 2, dar f nu se divide prin (X–a)p+1, atunci se spune că a este rădăcină multiplă de ordinul p , pentru polinomul f.

Rădăcina a este de ordinul 2 (sau încă dublă) pentru f dacă f se divide prin (X-a)2, dar nu se divide prin (X-a)3

Rădăcină a este de ordinul 3 (sau încă triplă) pentru f dacă f se divide prin (X-a)3, dar nu se divide prin (X-a)4

Exerciții:

1) Polinomul f = X2 – 9 se divide prin polinomul g = X + 3 ? De ce?

Rezolvare: Vom pune condiția ca restul împărțirii polinomului f la g să fie 0. Cum polinomul g este de tipul X – a , cu a = – 3, avem f(-3)=0

Observație: În probleme, este util să folosim că valoarea a este de fapt rădăcina (soluția) polinomului g

2) Să se gasească parametrul real m, astfel încât polinomul 4X2 +m  să se dividă cu polinomul X + 2.

Rezolvare: „Se pune condiția ca r, restul împărțirii polinomului f la g să fie 0. Cum polinomul g este de tipul X – a, cu a = – 2, vom calcula restul pe baza Teoremei restului, adică

r = f (-2) = 16 + m . Din ecuația 16 + m = 0 rezultă m = – 16”

Teorema lui Bézout : Dacă f(a)=0 atunci polinomul f este divizibil prin X-a

3) Să se arate că polinomul /se divide prin X – 1 .

(Indicație: calculez restul împărțirii la X – 1)

4) Să se demonstreze că polinomul 2X4+4X2+4x-2  se divide prin X + 1.

ÎMPĂRȚIREA PRIN X-a . SCHEMA LUI HORNER

Fie . În cele ce urmează ne vom folosi de schema lui Horner pentru a împărți polinomul f la polinomul

În rândul de sus al tabelului se scriu coeficienții polinomului f, iar în rândul de jos coeficienții ai câtului și restul r

Exemplu:

Utilizând schema lui Horner, să se determine câtul și restul împărțirii polinomului și binomul

Deci câtul și restul împărțirii sunt și

prin binomul

Teorema restului: Restul împărțirii unui polinom f 0 prin binomul X – a este egal cu valoarea f(a) (Predescu, 2017, p. 252)

Exerciții propuse:

Folosind schema lui Horner, să se determine câtul și restul împărțirii polinomului f la g dacă:

1) f = 2X4+4X2+X  și  g = X – 1

2) f = X4+X2+x-3  și  g = X –2

3) f = X4+4X2+3x-3 și g = X + 1

Aplicație:

„Să se determine câtul și restul împărțirii polinomului f = 3X5 – 2X3 + 3X2 – 5 prin polinomul (folosind schema lui Horner)

Pentru a efectua împărțirea unui polinom f prin X-a se utilizează uneori schema lui Horner” (William George, 1786 – 1837)

Fie f = 3X5 – 2X3 + 3X2 – 5 și g = X – 2

Vom efectua împărțirea obișnuită a celor două polinoame

3X5 + 0X4 – 2X3 + 3X2 + 0X – 5 | X – 2

-3X5 + 6X4 | 3X4 + 6X3+ 10X2 + 23X + 46

/ 6X4 – 2X3

-6X4 + 12X3

/ 10X3 + 3X2

-10X3 + 20X2

/ 23X2 + 0X

-23X2 + 46X

/ 46X – 5

-46X + 92

/ 87

Se obține câtul q = 3X4 + 6X3 + 10X2 + 23X + 46 și restul r = 87

Succesiunea calculelor de mai sus sugerează dispunerea următoare, în care se văd reapărând coeficienții încadrați din împărțire

Să observăm că în schema lui Horner am trecut puterile lui X, de la deîmpărțit în ordine descrescătoare (inclusiv puterile care lipsesc – acestea au coeficienții egali cu zero)

Am construit acest tabel efectuând operațiile următoare:

–  Primul coeficient al câtului este egal cu acel al deîmpărțitului

– Calculul celui de-al doilea coeficient al câtului: 2 · 3 = 6 și apoi 0 + 6 = 6

–  Calculul celui de-al treilea coeficient al câtului: 2 · 6 = 12 și apoi -2 + 12 = 10

–  Calculul celui de-al patrulea coeficient al câtului: 2 · 10 = 20 și apoi 3 + 20 = 23

–   Calculul celui de-al cincilea coeficient al câtului: 2 · 23 = 46 și apoi 0 + 46 = 46

–  Calculul restului: 2 · 46 = 92 și apoi – 5 + 92 = 87 = r

Să observăm că schema lui Horner furnizează atât coeficienții câtului, cât și restul. De obicei, în schema lui Horner a două linie numerică se elimină, rămânând doar ultima linie care dă direct coeficienții câtului și ai restului, evident după algoritmul descris mai sus. Gradul câtului este cu o unitate mai mic decât gradul deîmpărțitului. În final, schema se prezintă astfel:

1.6.2. Polinoame ireductibile

Definiție: „Un polinom f C[X] se numește ireductibil peste C (sau încă ireductibil în C[X]) dacă are gradul cel puțin unu și dacă nu are divizori proprii”. (Predescu, 2017, p. 261)

În caz contrar, el se numește reductibil peste C (sau încă reductibil în C[X]).

Așadar, un polinom fC[X] este reductibil peste C dacă există două polinoame (cel puțin) g, hC[X], g, h ≠ 0 de grad cel puțin unu pentru care f = g h

Analog, un polinom fR[X] este reductibil peste R dacă există două polinoame (cel puțin) g,hR[X], g, h ≠ 0 de grad cel puțin unu pentru care f = g h

De asemenea, un polinom fQ[X] (Z[X]) este reductibil peste Q(Z) dacă există două polinoame (cel puțin) g,hQ[X] (Z[X]), de grad cel puțin unu pentru care f = g h

O clasă importantă de polinoame ireductibile din C[X] este dată de următoarea propoziție:

Propoziție: Orice polinom de gradul întâi din C[X] (sau R[X] sau Q[X]) este un polinom ireductibil. 

TEOREMA DE DESCOMPUNERE ÎN FACTORI IREDUCTIBILI (PRIMI)

Teoremă

1) Un polinom f C[X] este ireductibil, dacă și numai dacă f = aX + b, a,bC, a≠0

2) Un polinom f R[X] este ireductibil, dacă și numai dacă f = aX + b, a,bR, a≠0 sau f = aX2 + bX + c, a,b,cR, a ≠ 0, b2 – 4ac<0

Următorul rezultat este important deoarece precizează exprimarea unui polinom cu ajutorul polinoamelor ireductibile.

1) Orice polinom fC[X], de grad n 1 are n rădăcini (nu neapărat distincte; o rădăcină se repetă de un număr de ori egal cu ordinul sau de multiplicitate)

2) Dacă f = a0 + a1X + … + anXn, an ≠ 0, n1, iar x1, x2, …, xn sunt rădăcini ale lui f, atunci f = an(X – x1)(X – x2) … (X – xn)

3) Dacă un polinom de gradul n se anulează pentru n + 1 valori distincte, atunci f= 0

Fie fC[X] (R[X]). Atunci f se poate scrie (unic – mai puțin ordinea factorilor) ca un produs finit de polinoame ireductibile din C[X] (R[X])

În R[X]:

Singurele polinoame prime din R[X] sunt:

polinoamele de gradul I

polinoamele de gradul II cu .

TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ALGEBREI (D'Alembert-Gauss) CONSECINȚE

Teorema lui d’Alembert-Gauss

„Orice polinom cu coeficienți complecși de grad mai mare sau egal cu unu admite, cel puțin o rădăcina în C, altfel orice ecuație algebrică de grad mai mare sau egal cu 1 și cu coeficienți complecși are cel puțin o rădăcină complexă”. (Predescu, 2017, p. 273)

Consecințe:

O ecuație algebrică de gradul n admite exact n rădăcini complexe

Polinomul f are gradul n, mai mare sau egal cu 1, dacă și numai dacă 

„f = an(x – x1)(x – x2) … (x – xn), unde xk, k = 1, 2, … , n”

Teoremă:

1) Un polinom fC[X] este ireductibil, dacă și numai dacă f = aX + b, a,bC, a≠0

2) Un polinom fR[X] este ireductibil, dacă și numai dacă f = aX + b, a,bR, a≠0 sau

f = aX2 + bX + c, a,b,cR, a ≠ 0, b2 – 4ac<0

1.6.3. Cel mai mare divizor comun. Algoritmul lui Euclid

„Definiție: Fie f, gC[X]. Spunem că polinomul d C[X] este cel mai mare divizor comun al polinoamelor f,g dacă:

1) d este un divizor comun pentru f,g, adică d | f și d | g

2) orice alt divizor comun pentru f și g îl divide pe d, adică () d’C[X] d’ | f, d” | g /d’|d” (Andronache, 2011, p. 121)

= C.m.m.d.c

Cel mai mare divizor comun al polinoamelor (c.m.m.d.c.) f, g va fi notat cu (f,g)

1.6.4. Cel mai mic multiplu comun

Fie f și g două polinoame. Un polinom m se numește cel mai mic multiplu comun al polinoamelor f și g dacă verifică următoarele condiții:

1. și

2. , și

Dacă d este c.m.m.d.c al lui f și g, atunci

Fie C corpul numerelor complexe.

Arătăm că oricare ar fi două polinoame f,gC[X], există (f,g), și-l vom construi efectiv prin așa-numitul algoritm al lui Euclid

Cel mai mare divizor comun a două polinoame este unic până la înmulțirea cu o constantă(asociere).

Dacă , atunci f și g sunt prime între ele.

Exemplu: Să se găsească cel mai mare divizor comun al polinoamelor:

și .

Vom aplica algoritmul lui Euclid. Împărțim pe f la g

//

/

Pentru a evita coeficienții fracționari, vom înmulți în prealabil pe g cu 3 și restul împărțirii cu –1. împărțim acum împărțitorul la rest:

//

/

Acum, pentru a evita din nou coeficienții fracționari, vom înmulți pe cu 2 și continuăm operația

///

3

Am obținut restul . Pentru a evita din nou coeficienții fracționari, vom împărți restul cu –19 și împărțim împărțitorul la rest

///

/

– –

Ultimul rest nenul este polinomul și deci

Teoremă : Dacă f,g,q,rC[X] astfel încât f = gq + r și dacă există (g,r), atunci există (f,g) și mai mult (f,g) = (g,r).

Demonstrație:

Fie d + (g,r). Deci d | g, d | r și d | gq + r (combinație de g și r). Prin urmare d | f, adică d este un divizor pentru f și g. Dacă d’ este un alt divizor comun pentru f și g, atunci avem d’ | f – gq, adică d’ | r. Deci d’ este un divizor comun pentru g și r și cum d = (g,r) rezultă d’|d. în final d = (f,g)

Teoremă : Oricare două polinoame din C[X] au un c.m.m.d.c.

Demonstrație: Fie f,gC[X]. Dacă f = 0, atunci (0,g) = g, deoarece g | 0, g | g, iar dacă d’ | 0 și

d’ | g, atunci d’ | g și deci (0,g) = g.

Analog se tratează cazul în care f ≠ 0, g=0 când (f,0) = f

Presupunem acum că f ≠ 0 și g ≠ 0. Se împarte polinomul de grad mai mare la cel de grad mai mic. Presupunem că grad(f) grad(g) și considerăm următorul lanț de împărțiri cu rest:

g = r1 q2 + r2, grad(r2) < grad(r1)

f = gq1 + r1, grad(r1) < grad(g)

r1 = r2 q3 + r3, grad(r3) < grad(r2)

…………………………………..

rn-3 = rn-2qn-1 + rn-1, grad(rn-1) < grad(rn-2)

rn-2 = rn-1qn + 0

Resturile obținute la împărțirile de mai sus au proprietatea grad(r1) > grad(r2) > …

Gradele sunt distincte două câte două și aparțin mulțimii {0,1,2,…,grad(r1)}. Deci în inegalitățile de mai sus ( cu grade) întâlnim de exemplu restul rn-1 ≠ 0 și rn = 0

Să arătăm că ultimul rest nenul rn-1 reprezintă cel mai mare divizor comun al polinoamelor f, g.

Aplicăm lema în mod repetat (de jos în sus în lanțul de relații) și avem:

rn-1 = (rn-1,0) = (rn-2,rn-1) = (rn-3,rn-2) = … = (r1,r2) = (g,r1) = (f,g)

„Deci, date fiind două polinoame f,gC[X], f,g ≠ 0 (cazul interesant) pentru a determina (f,g) se realizează lanțul de împărțiri cu rest de mai sus dacă grad(f) grad(g)

Dacă grad(g)grad(f), atunci se inversează rolul lui f cu g. Modul de a obține c.m.m.d.c. a două polinoame se numește algoritmul lui Euclid”. (Predescu, 2017, p. 297)

Observații:

1) Să remarcăm că c.m.m.d.c a două polinoame este unic până la o asociere în divizibilitate, în sensul că dacă d = (f,g), d’ = (f,g), atunci d ~ d’, adică există aC – {0}, astfel încât d = ad’

Într-adevăr din d = (f,g) și d’ | f, d’ | g -> d’ | d. Analog din d’ = (f,g) și d | f, d | g / d | d’

Acum din d’ | d și d | d’ rezultă d ~ d’

2) Dacă f, g sunt descompuse în factori ireductibili, atunci (f,g) se obține luând factorii comuni la puterea cea mai mică

3) Dacă în lanțul de împărțiri, o egalitate se înmulțește cu aC – {0}, atunci, în final, c.m.m.d.c. nu se modifică, acesta fiind unic până la asocierea cu o constantă nenulă din C, adică

(f,g) = (af, bg), () a,bC*.

Teoremă : Fie f, gC[X], d = (f,g). Atunci există u,vC[X] astfel încât d = uf + vg. 

Demonstrație: Este imediată mergând de jos în sus cu exprimarea ultimului rest nenul rn-1

 Această consecință a teoremei afirmă că c.m.m.d.c. pentru polinoamele f, g se exprimă ca o combinație de ele.

Definiție: Fie f,gC[X]. Spunem că polinoamele f și g sunt prime între ele dacă (f,g) = 1

Ținând seama de relația precedentă, dacă două polinoame f,gC[X] sunt prime între ele, atunci există u,v astfel încât

1 = uf + vg

Pentru acest caz are loc și reciproca. O propoziție utilă în rezolvarea unor probleme cu polinoame este următoarea:

Teoremă: Fie f,gC[X] astfel încât f | gh și (f,g) = 1. Atunci f | h

Demonstrație: Din (f,g) = 1 se deduce existența polinoamelor u,vC[X] astfel încât 1 = uf + vg. Se înmulțește relația cu h și avem h = ufh + vgh. Cum f | gh, rezultă că există f1C[X] astfel încât gh = f f1, iar egalitatea ultimă devine h = ufh + vff1 sau h = f(uf + vf1). (Crânganu, 2016, p.57)

De aici f | h

Dacă f,g Z[X], atunci (f,g) Z[X]; dacă f,gQ[X], atunci înmulțirea lor cu numere naturale convenabile permite să le aducem în Z[X]; dacă f,gR[X], atunci (f,g)R[X] etc.