Poligoane și proprietățile lor [307244]

[anonimizat] (gr.: polys = multe și gonos = unghi) este o [anonimizat], [anonimizat], numite laturi. Suma lungimilor tuturor laturilor unui poligon se numește perimetru.

Un moment crucial în dezvoltarea geometriei a [anonimizat] s-a construit pe baza axiomaticii sale poartă numele de geometrie euclidiană și a influențat evoluția a secole întregi de știință. [anonimizat] a calculului diferențial și integral și a [anonimizat], mult diferențiate de formele din trecut. [anonimizat], [anonimizat].

[anonimizat]. [anonimizat]: paralelogramele iar ca și cazuri particulare ale acestora: pătratul, dreptunghiul, rombul, trapezul. [anonimizat]. [anonimizat].

[anonimizat] 1 [anonimizat]. [anonimizat] a poligoanelor regulate și conțin deasemenea multe aplicații.

Pe viitor îmi propun să continui cercetarea acestei teme deosebit de importante, a cărui studiu l-am început în această lucrare de licență.

Capitolul 1

Introducere . Noțiuni de bază.

Teoremele, [anonimizat] [1], [2] și [3] aflate în bibliografie.

Definiția 1.1 Un poligon este o [anonimizat], [anonimizat], numite laturi .

[anonimizat]. Unghiurile formate de laturi vecine se numesc unghiurile poligonului. [anonimizat], se numesc diagonale poligonului. Suma lungimilor tuturor laturilor poligonului este perimetrul poligonului.

[anonimizat] . ( figura 1.1.1)

(figura 1.1.1))

Definiția 1.3 Se numește suprafață poligonală o [anonimizat], acestea având două câte două interioarele disjuncte.

Din definiție rezultă că orice suprafață poligonală se descompune în suprafețe poligonale convexe .

În continuare vom arăta că orice suprafață poligonală convexă se descompune in suprafețe triunghiulare.

Teoremă 1.4 ([1]) O suprafață poligonală convexă cu n laturi ( n >3) se descompune în n-2 suprafețe triunghiulare .

Demonstrație:

Se va arata întâi că o suprafață poligonală convexă cu n-1 laturi se poate descompune în suprafețe triunghiulare. Se consideră poligonului L- și dreapta (figura 1.1.2)

Pn

(Fgura 1.1.2)

(figura 1.1.3)

O dreaptă care nu este suportul unei laturi a lui L are cel mult două puncte comune cu L, prin urmare dreapta intersectează poligonul L numai în și . Rezultă ca punctele formează un poligon convex. Deoarece se află în interiorul unghiului () rezultă că și se află de o parte și de alta a dreptei . Deci punctele și , …, se află în semiplane opuse față de , adică interiorul triunghiului si interiorul poligonului … se află in semiplane opuse, având astfel intersecția vidă. Pe de altă parte este evident [L]= [] [].

Din demonstrație rezultă că suprafața poligonală convexă [L] = [] se descompune în suprafețele triunghiulare [T2] [T3], …[Tn-1] (figura 1.1.3) unde se notează cu Ti triunghiurile P1 Pi Pi+1, i= 2, 3,..n-1.

Este evident că pentru o suprafață poligonală convexă există mai multe descompuneri în suprafețe triunghiulare.

Teoremă 1.5 ([1]) Suma măsurilor unghiurilor unui poligon convex cu n laturi este :

(n-2) 180°.

Definiția 1.6 Poligonul concav este poligonul la care dreptele determinate de unele laturi ale sale îl traversează .

Un poligon concav este opusul unui poligon convex.

G

( Figura 1.1.4)

Patrulaterul

Patrulaterul este poligonul cu patru laturi .

Definiția 1.7 Numim patrulater ABCD figura geometrică formată din reuniunea [AB][BC][CD][DA], dacă aceste patru segmente nu au alte puncte comune decât capetele lor.

Punctele A, B, C, D se numesc vârfurile patrulaterului ABCD, iar segmentele [AB], [BC], [CD], [DA] se numesc laturi . Unghiurile , , , se numesc unghiurile patrulaterului.

Clasificarea Patrulaterelor : convexe

concave

Observația 1.9 În limba latină „convexus” înseamnă „bombat , umflat”, iar „concavus” înseamnă „scobit” .

(figura 1.1.5)

Având dat un patrulater convex ABCD, vom spune despre două laturi care au un vârf comun, cum ar fi [AB] și [BC] , că sunt consecutive (adică sunt „una după alta”) .

Despre două laturi care nu au un vârf comun, cum ar fi [AD] si [BC] , vom spune că sunt laturi opuse.

O pereche de unghiuri cum sunt si , deci care au o latură comună, se numesc unghiri alăturate (laturii [AD] în acest caz).

Unghiuri cum ar fi de exemplu și se numesc unghiuri opuse.

Pentru patrulaterul ABCD vom înțelege suma lungimilor laturilor

=AB+BC+CD+AD

Teoremă 1.10 ([1]) Unghiurile unui patrulater convex au suma măsurilor 360.

Demonstrați e

Vom trasa o diagonală , de exemplu AC .

Suma măsurilor unghiurilor patrulaterului ABCD

este egală cu suma măsurilor unghiurilor celor două triunghiuri formate si Dar deoarece suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180

suma măsurilor unghiurilor patrulaterului ABCD este 180 + 180= 360

( figura 1.1.6)

Definiția 1.11 Segmentul care unește două puncte interioare ale patrulaterului concav intersectează laturile acestuia.

Paralelogramul

Definiția 1.11 Paralelogramul este patrulaterul convex cu laturile opuse paralele două cate două.

Teorema 1.12. Paralelogramul are laturile opuse congruente .

Demonstrație : Fie paralelogramul ABCD

(Figura 1.1.7)

Conform definiției paralelogramului , putem scrie :

AB ǁ DC ⇒ ≡ (1)

BC ‖ AD ⇒ ≡ (2)

Ținând cont de (1) și (2) ⇒ că BAC ≡ DCA (U.L.U) , de unde obținem [AB] ≡ [DC] ≡ [AD] (ceea ce trebuia demonstrat).

Teorema 1.13 (reciproca teoremei 1.12) Dacă un patrulater convex are laturile opuse congruente, atunci el este paralelogram.

Demonstrație:

Fie patrulaterul convex ABCD

( Figura 1.1.8)

Știm că [AB] ≡ [DC] și [BC] ≡ [AD] , care implică BAC ≡ DCA (L.L.L) ⇒ ≡ ⇒ AB ǁ DC ⇒ ≡ ⇒ BC ǁ AD.

Deci ABCD este paralelogram.

Teorema 1.14 ([2])Într-un paralelogram oricare două unghiuri alăturate sunt suplemenare.

Teorema 1.15 ([2])Diagonalele paralelogramului se înjumătățesc ( au același mijloc).

Demonstrație

Fie paralelogramul ABCD și puncul {O} = AC BD

(Figura 1.1.9)

Din definiția paralelogramului avem :

AB ǁ DC ⇒ ≡ și ≡

Din teorema 1.12 avem [AB] ≡ [DC] at.AOB ≡COD (U.L.U) ⇒

[AO] ≡ [CO] și [BO] ≡ [DO]

Perimetrul si Aria Paralelogramului

Prin decuparea și reașezarea părților sale componente, un paralelogram se poate transforma într-un dreptunghi .

(Figura 1.1.10)

Paralelogramul dat și dreptunghiul obținut au arii egale, iar bazele și înălțimile lor sunt respectiv congruente.

Definiția 1.16 Aria unui paralelogram este egală cu produsul dintre lungimea unei laturi b și înălțimea corespunăoare ei, notată h.

Perimetrul paralelogramului este suma tuturor laturilor paralelogramului.

Notăm lungimea paralelogramului cu” L„ și lățimea o notăm cu” l„

P = 2 (L + l).

Paralelograme particulare

1 Dreptunghiul

Definiția 1.14 Se numește dreptunghi un paralelogram care are un unghi drept .

ABCD – dreptunghi paralelogram cu m() = 90

Figura (1.1.11)

Diagonala dreptunghiului:

Se calculeaza cu teorema lui Pitagora, deoarece diagonala, lungimea si lățimea dreptunghiului formeaza un triunghi dreptunghic .

= + AC =

Perimetrul dreptunghiului

PABCD = AB + BC + CD + DA = 2 *AB + 2 * BC

Notăm AB = DC = L și AD = BC = l

PABCD = 2 *(L + l)

Aria dreptunghiului

Definiția 1.15 Aria dreptunghiului este egală cu produsul dintre lungimea și lățimea sa.

= AB *BC = L l

Proprietate 1.16 Suma măsurilor unghiurilor unui dreptunghi este 360°.

Proprietățile ale dreptunghiului care sunt comune cu ale paralelogramului.

a ) Într-un dreptunghi laturile opuse sunt congruente.

ABCD – dreptunghi [AB] [CD] și [BC] [AD]

b ) Intr-un dreptunghi unghiurile opuse sunt congruente .

ABCD – dreptunghi m ( ) m (), m( ) m ( )

c ) Într-un dreptunghi două unghiuri consecutive sunt suplementare .

ABCD – dreptunghi m ( ) + m () = m () + m () = m () + m () =

m () +m () = 180°

d ) Într-un dreptunghi diagonalele au același mijloc .

ABCD – dreptunghi AC și BD diagonale și {O} = [AC] [BD] [AO] [OC] și [BO] [OD].

Teoremă 1.19 ([3]) Dreptunghiul are toate unghiurile congruente, deci toate sunt unghiuri drepte ABCD – dreptunghi m () m () m () m () și m () =m()

= m () = m () = 90°.

Teorema reciprocă 1.20 ([3]) Dacă un patrulater convex are toate unghiurile congruente deci sunt drepte , atunci patrulaterul este dreptunghi .

ABCD – patrulater convex

m() m () m () m () și m () = m () = m () = m () = 90 ABCD dreptunghi .

Teoremă 1.21 ([3]) Diagonalele unui dreptunghi sunt congruente .

ABCD – dreptunghi cu AC și BD diagonale [AC] [ BD]

Teorema reciprocă 1.22 Dacă într-un paralelogram diagonalele sunt congruente, atunci paralelogramul este dreptunghi .

ABCD – paralelogramul cu AC și BD diagonale [AC] [BD] ABCD – dreptunghi .

2 . Pătratul

Definiția 1.22 Pătratul este paralelogramul cu toate laturile congruente și unghiurile de 90°

Figura (1.1.12)

Diagonala pătratului

AC = BD = AB

D = l

Perimetrul pătratului

PABCD = AB + BC + CD + DA = 4*AB

Aria pătratului

Aria pătratului este egală cu pătratul lungimii laurii sale” l„

AABCD =

Proprietatea 1.22 Suma măsurilor unghiurilor unui pătrat este de 360°

Proprietăți 1.23

1)Într-un pătrat toate laturile sunt congruente .

ABCD – pătrat [AB] [BC] [CD] [ AD]

2)Într-un pătrat toate unghiurile sunt congruente și deci sunt unghiuri drepte .

ABCD – pătrat m ( ) = m ( ) = m ( ) = m ( ) = 90.

3)Într-un pătrat diagonalele au același mijloc.

ABCD – pătrat cu AC și BC diagonale și {0} = [AC] [BC] [AO] [OC] și [BO] [OD].

4)Într-un pătrat diagonalele sunt congruente .

ABCD – pătrat cu AC și BC diagonale [AC] [BC]

5)Într-un pătrat diagonalele sunt perpendiculare între ele .

ABCD – pătrat cu AC și BD diagonale [AC] [BD]

6)Într-un pătrat diagonalele sunt bisectoarele unghirilor lui.

ABCD – pătrat AC și BD diagonale ⇒ , ,

, .

3. Rombul

Definiția 1.24 Se numește romb un paralelogram care are două laturi consecutive congruente.

Perimetrul rombului

PABCD = AB + BC + CD + DA = 4 *AB

Notăm una dinre laturi cu ”l „

P = 4 l

Aria rombului

Aria rombului este egală cu jumătate din produsul diagonalelor sale .

= sau A =

unde și sunt diagonalele rombului

Proprietate 1.25. Suma măsurilor unghiurilor unui romb este de 360°.

Rombul are proprietăți comune cu paralelogramul.

Figura (1.1.13)

Teorema 1.26 ([1]) Rombul are toate laturile congruente.

ABCD – romb ⇒ [AB] [BC] [CD] [AD].

Teorema reciprocă 1. 27 ([1]) Dacă un patrulater convex are toate laturile congruente , atunci patrulaterul este romb.

ABCD – patrulater convex cu [AB][BC][CD][AD] ⇒ ABCD – romb

Teorema 1.28 ([1]) Într-un romb diagonalele sunt perpendiculare între ele și sunt bisectoarele unghiurilor lui.

ABCD – romb cu AC și BD diagonale și O punctul lor de intersecție ⇒ [AC]⊥[BD] și .

TRAPEZUL

Definiția 1.29 Trapezul este patrulaterul convex cu două laturi opuse paralele și celelalte două laturi opuse neparalele . Laturile neparalele se numesc baze, iar distanța dintre bazele trapezului se numește înălțime a trapezului ABCD- trapez cu AB ⃦ DC

Baza mică este [AB] , baza mare este [DC] iar [ BE] este o înălțime .

Figura (1.1.14)

Linia mijlocie a trapezului este segmentul care unește mijloacele laturilor neparalele (în cazul nostru [MN]).

Semisuma bazelor

MN =

Aria trapezului

A =

Definiția 1.30 Trapezul cu un unghi drept se numește trapez dreptunghic

ABCD –trapez dreptunghic cu AB ⃦ DC , m() = 90°.

Figura (1.1.15)

Observație 1.30 Trapezul dreptunghic are două unghiuri drepte.

Definiția 1.31 Trapezul cu laturile neparalele congruente se numește trapez isoscel.

ABCD- trapez isoscel cu AB ⃦ DC și [AD] [BC].

Observație 1.33

Dacă un trapezul este isoscel, atunci unghiurile alăturate bazei mari sunt unghiuri ascuțite și în cosecință unghiurile alăturate bazei mici sunt unghiuri obtuze.

Figura (1.1.16)

Proprietăți 1.34

1.Trapezul isoscel are diagonalele congruente și formează cu bazele triunghiuri isoscele asemenea .

2.Trapezul isoscel are unghiurile alăturate aceleiași baze congruente.

3.Trapezul isoscel are o singură axă de simetrie(mediatoarea bazelor).

CAPITOLUL 2

Geometrie și realitate.

Multe pararafe din acest capitol le-am preluat din [8], [9], [10], [11] aflate în bibliografie.

În natură întâlnim modele și structuri de la cele mai mici particule până la forme de viață vizibile ochiului uman și până la cosmosul infinit . Toate acestea sunt guvernate în mod inevitabil de arhetipuri geometrice, care ne arată natura fiecărei forme și rezonanțele sale de vibrație. Tocmai acest principiu al unității stă la baza întregii geomertii, care pătrunde în arhitectura tuturor formulelor în diversitatea lor nesfârșită.

1.1 Numărul de aur. Poligoane de aur.

Numărul de aur este notat cu litera grecească φ (phi mic) care se citește fi, este primul număr irațional descoperit și definit în istorie .

Noțiuni atât de tentante ca număr de aur, secțiunea de aur, dreptunghiul de aur, proporția divină, au fost folosite de veacuri. Însăși Euclid definește raportul ca fiind ” relația calitativă în ceea ce privește dimensiunea dintre două mărimi omogene , iar proporția reprezintă echivalența a două rapoarte .

Ceea ce, algebric înseamnă : =

Dacă b = c , proporția se numește ”continuă ,, sau b este medie proporțională (geometrică) între a și d , iar dacă, c = a + b obținem : =

Secțiunea de Aur a segmentului a + b din desen este realizată atunci când raportul dintre a + b și a este egal cu raportul dintre a și b . În această ilustrație a este numit ,,rație extremă ” iar b este ,, medie” .

Raportul de aur este un număr irațional care poate fi calculat din ecuația :

= = ⇒= ab +∣∶

Notăm = ⇒= + 1

⇒= + 1

⇒ – – 1 = 0

Această ecuație algebrică de gradul al doilea are două soluții :

= 1.6180339887…

= – 0. 6180339887…

este o fracție cu numitor pozitiv ⇒ că va fi întodeauna pozitiv .

Dreptunghiul de aur este dreptunghiul ale cărui laturi se află în același raport.

Se consideră un segment de lungime AB = a , în B construim o perpendiculară pe segmentul dat pe care luăm BC de lungime egală cu jumătatea lui AB . Construim arcul de cerc cu centrul în C și de rază AC care va tăia perpendiculara în D .

Atunci :

BD = + = a

Iar dreptunghiul cu laturile AB și BD , este dreptunghiul de aur.

Fig. 2.1

Rombul de aur este rombul ale carei diagonale se află în acest raport.

Pentagonul de aur este pentagonul regulat care are raportul dintre diagonală și latură în raportul de aur .

Fig. 2.2

Un pătrat de arie maxima înscris într-un semicerc determină pe diametru aceeași secțiune de aur .

Mai întâi se poate afla că pătratul de arie maxima înscris intr-un semicerc de rază R , are latura

a =

și în aceste condiții avem :

= =

Fig. 2.3.

Aplicațiile numărului de aur , de fapt ale raportului ca atare, se regăsesc la punerea în proporție a lucrărilor în arhitectură, picturi, sculptură, estetică și artă în general, ceea ce confirmă interesu manifestat de-a lungul timpului pentru acest număr. Proporția divină a condus la construirea Dreptunghiului de aur. Acest tip de dreptunghi este considerat ca fiind deosebit de estetic și ca urmare a fost și este intens utilizat în arhitectură și artă.

Proporția de aur în arte :

Fig.2.4

Proporția de aur se poate indentifica cu ușurință în creația celebră a lui Leonardo DaVinci ,,Mona Lisa ”. În crearea capodoperei, DaVinci a folosit acest raport în mod intenționat, creând una dintre cele mai renumite tablouri din lume.

Dacă desenați un dreptunghi în jurul chipului Mona Lisei, acel dreptunghi se va dovedi a fi de aur . Dimensiunile picturii în sine formează un dreptunghi de aur . De asemenea , proporțiile corpului Mona Lisei, dezvăluie mai multe raporturi de aur, dacă vă uitați atent la imagine. De exemplu, un dreptunghi de aur se poate desena de la gât până deasupra mâinilor.

Având în vedere atracția omului spre frumusețe putem zice că folosirea ,,raportului de aur” a dus numai la crearea unor capodopere ale căror nume va răsuna întodeauna în istorie și în memoria oamenilor. Așa cum ,,proporția de aur ” se regăsește în lumea perfectă a Domnului, așa se regăsește și în creațiile perfecte ale artiștilor renumiți.

Fig. 2.5

Numărul de aur în antichitate

Un alt exemplu grăitor pentru utilizarea, în spectru larg, a proporției de aur sunt Piramidele din Gizeh din antichitate, construite în Egiptul antic, între 2600 – 2500 . Jumătatea laturii patrulaterului care formează baza piramidei Kheops și înălțimea unei suprafeței triangulare, reprezentând peretele piramidei, se raportează la regulile ,,proporției de aur ”.

Fig.2.6

Despe secretul piramidelor s-a scris enorm, observându-se că axul culoarului este centrat pe steaua polară din epoca respectivă cu mare exacitate : 4 minute a unghiului făcut în raport cu steaua ,,Alfa” a Dragonului reprezentând nordul geografic , iar cele patru unghiuri ale bazei sunt îndreptate spre nord, est, sud și vest cu aceași corectitudine Înălțimea piramidei înmulțită cu un miliard reprezintă distanța Pământ – Soare ( 150 milioane km).

Fig. 2.7

Stilul Mughal

Pe clădirea Taj Mahal, considerată cea mai frumoasă din lume, regăsim ,,proporția de aur” în mai multe locuri. Mogulul indian a construit această capodoperă în amintirea celei de-a treia soții, clădirea devenind astfel simbolul fidelității și al dragostei, fiind și o operă fără pereche în arhitectura universală.

Fig. 2.8

Ușa de la intrare – un dreptunghi cu laturile în tăietură de aur. În care diferite elemente constitutive sunt părți ale acestuia, arcele bolților se încadrează perfect în tăietura de aur, cenotafele cu laturi în aceeași secțiune de aur – , totul a fost bazat pe secțiunea de aur, iar elementele care par a nu avea nici o legătură aceasta , sunt de fapt dependente de ea.

Fig.2.9

Secțiunea verticală prin vârful O1 al palatului și punctele A și D , picioarele minaretelor , este un triunghi isoscel cu unghiul de la bază sensibil egal cu unghiul Marii Piramide din Egipt. Punctele G și J, care marchează picioarele coloanelor imediat laterale intrării, împart baza AD în raportul . Proiecțiile mijlocului bazei pe laturile egale ale triunghiului isoscel O1 , AD , prelungite ajung în vîrfurile minaretelor. Medianele relative laturilor egale ale acestui triunghi se taie în O (centrul de greutate al triunghiului), vârful pentagonului regulat care desemnează intrarea. Pătratul G G2J2J reprezintă fațada principală. Punctul S împarte înălțimea O1 O2 în raportul .

Baza pătrată a clădirii, îmbogățită cu arabescuri elaborate, este și ea o capodoperă a numărului de aur.

Fig. 2.10

● Latura AB a pătratului mare este tăiată de punctele C și D în tăietură de aur

● Același lucru despre T și S

● J , H , G , E sunt mijloacele laturilor

● Laturile AB și PK ale pătratelor sunt în raportul

● Triunghiul OMN este triunghi de aur

● Punctul K împarte jumătatea diagonalei pătratului mare în raportul

1.2 Tehnica ” secțio aurea”

Ați participat vreodată la momentele în care un pictor își începe lucrul la un tablou? După ce își alege tema, materialele, spațiul de lucru , primul lucru pe care îl face este să stabilească dimensiunea tabloului. Dacă este un traditionalist , el stabilește dimensiunile după armoniile musicale , despre care am vorbit , sau cel mai adesea , după dimensiunile dreptunghiului de aur. Apoi când se găsește în sfîrsit în fața șevaletului , pânza fiind fixată , el începe să traseze ”din ochi”. Frecvent între laturile dreptunghiului se folosește un raport foarte apropiat de numărul de aur, laturile având ca dimensiuni două numere consecutive din șirul lui Fibonacci , sau multiplii acestora (3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34….).

Structura geometrică a tabloului presupune împărțirea dreptunghiului în 16 părți după principiul raportului de aur, aplicat fiecărei laturi.

Cum se împarte un segment în medie și extremă rație?

Fig. 2.11

Se pornește de la segmentul AB = 1 , se ridică în A o perpendiculară pe care se ia AC = AB = 1 și se construiește arcul de cerc cu centrul în D (mijlocul segmentului AB) și rază DC. Găsim punctul E și atunci raportul înre AB și EB este căutatul număr de aur (printr-o elementară aplicare a teoremei lui Pitagora). Se repetă acest raționament în fiecare vîrf al triunghiului, în aceeași ordine, și obținem schema de mai jos.

Fig. 2.12

Astfel punctul A împarte segmentul de aur, analog C împarte în același raport, M împarte BK în raport de aur etc.

= = , = = …

Secțiunea de aur a fost folosită extensiv de Leonardo da Vinci. Observați cum toate dimensiunile cheie ale camerei și ale mesei în tabloul lui da Vinci, ” Cina cea de Taină” se bazau pe secțiunea de aur, care era cunoscută în perioada renanscentistă ca ” Proporția Divină”.

Tabloul urmează o schemă simplă : diapasonul dublu pătrat. Întrucât compoziția este centrată pe Iisus, traseul comportă un pătrat central între două jumătăți de pătrat. În pătratul central se află un mic pătrat, a cărui latură corespunde înălțimii panourilor laterale. În dreapta și în stânga pătratului este mărginit de ferestre , iar jos de suprafața mesei. Dacă se trasează cercul ce se crează deasupra deschiderii centrale , el va forma o mare aureolă în jurul capului lui Iisus. Diagonalele dreptunghiului dau perspectiva panourilor laterale , perspectivă care ne conduce privirea spre Iisus .

Fig. 2.13

1.3 Spirala lui Fibonacci

În matematică există o infinitate de șiruri de numere care au la bază o formulă pe baza căreia se generează elementele șirului. De exemplu șirul de numere prime : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,…2n +1 …+ este format din numere care se impart exact doar la 1 și la ele înșele. Sau șirul de numere pare natural : 2 ,4, 6, 8, 10, 12, 14, … a cărui elemente se impart exact la doi . Sau șirul de numere formate din puteri ale lui 3 : 3, 9, 27, 81, … .Printre infinitatea de șiruri existente în lumea matematicii , italianul Leonardo di Pisa , cunoscut și sub numele de Fibonacci, a descoperit un șir de numere extraordinar de interesant : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, … .Formula pe baza căreia se obține acest șir este una foarte simplă :

Primele două elemente ale șirului sunt 0 și 1 , iar al treilea element se obține adunându-le pe primele două ( 0 + 1= 1). Al patrulea se obține adunându-le pe al treilea cu al doilea ( 2 + 1= 3). Al cincilea se obține adunându-le pe al patrulea cu al treilea ( 3 + 2= 5) , și tot așa până la infinit . În figura de mai jos puteți observa mai bine cum se obțin elementele șirului, prin adunarea celor două care le preced.

Primul lucru interesant care se observă în acest șir este că dacă împărțim un element al șirului Fibonacci la precedentul său obținem rezultatul 1.61803. Acest lucru este valabil de la al-14-lea element în sus ( 233 : 144 = 1.61803, etc.), indifferent cât de mare a fi acel număr din șir . În figura de mai sus puteți observa mai bine cum se obține acest rezultat de 1.61803 .

Șirul lui Fibonacci poate fi reprezentat și geometric într-o multitudine de feluri. Mai jos puteți vedea o reprezentare geometrică simplă ușor de înteles chiar și pentru cei mai puțin familiari cu legile matematicii.

Fig. 2.14

Am desenat un dreptunghi cu lungimea de 55 cm și lățimea de 34 cm. În interiorul acestuia desenăm un pătrat care să aibe latura exact cât lățimea ( de 34 cm ). În acest moment sau format două figuri mai mici un pătrat cu latura de 34 cm și un dreptunghi cu lungimea de 34 de cm și lățimea de 21 cm ( 55 – 34 ). Repetăm procedeul și desenăm iarăși un pătrat în dreptunghiul mic abea format. De data aceasta pătratul va avea ca latură 21 de cm. În acest moment pe lângă acest nou pătrat a apărut și un alt dreptunghi și mai mic cu lungimea de 21 cm și lățimea de 13 cm ( 34 – 21 ). Repetăm procedeul și vom obține alt pătrat cu latura de 13 cm și un dreptunghi și mai mic cu lungimea de 13 cm și lățimea de 8 cm. Și tot așa până când ajungem să desenăm ultimul pătrat care va avea latura exact de 1 cm și care va format în cealaltă parte tot un pătrat de 1 cm.

După cum observați dimensiunile geometrice ale acestui dreptunghi sunt exact elementele șirului lui Fibonacci.

Fibonacci, s-a dovedit a fi o cheie care ar fi asemănată cu un trandafir cu cinci petale. Pentagrama trandafirului cu cinci petale este un simbol sacru extraordinar, acest concept a fost inițiat prin punerea laolaltă a celor cinci elemente de bază:Pământ , Apă , Foc , Aer și Eterul Ceresc. Cifra cinci simbolizeaza centrul , armonia și echilibrul.

Fig. 2.15

De exemplu însuși Universul, sau poziția fătului în uter, diferite conexiuni între dimensiuni ale lanțului ADN, plantele sau animale, valurile mării, tornadele au mare legatură cu spirala lui Fibonacci.

Universul este în mare parte Open-Source, adică codul sursă e liber,poate fi citit și modificat.

Cât de smerit este Dumnezeu care nu se laudă cu nimic din ce a făcut ci așteaptă răbdător să le descoperim singuri ! Și chiar de nu le vom descoperi El niciodată nu se va lăuda înaintea noastră cu Măreția Sa, și nici nu ne va impune sa-l acceptăm.

Capitolul 3

Probleme cu patrulatere

În acest capitol ne propunem să prezentăm câteva aplicații referitoare la teoria patrulaterelor dezvoltată în capitolele anterioare.

Exercițiile următoare le-am preluat din punctele [4] și [5] aflate în bibliografie.

1* . Andrei construiește în jurul locuintei un gard în formă de patrulater ABCD. Pentru aceasta pune 20 de stâlpi pe [AB] și 15 stâlpi pe[ BC] din 2 in 2 metri ; 10 stâlpi pe [CD] și 12 stâlpi pe [DA] din 3 în 3 metri ( în fiecare vârf al patrulaterului este pus cate un stâlp).

Care este lungimea gardului construit de Andrei?

Soluție :

Pe latura AB sunt puși 20 de stâlpi , deci sunt 19 distanțe de câte 2 m între doi stâlpi ⇒ că AB = 19 2m = 38 m . Analog pentru BC = 14 2m = 28 m

Pe latura CD sunt 10 stâlpi , deci sunt 9 distanțe de cate 3m doi stâlpi ⇒ că CD = 9 3m = 27m și DA = 11 3m = 33m.

Lungimea gardului este egală cu 126m.

2 . În patrulaterul ABCD , notăm cu E și F mijloacele laturilor [AB] și respectiv [BC]. Dreptele DE și DF intersectează diagonala AC în M și respectiv N. Dacă [AM] ≡ [MN] ≡ [NC] , demonstrați că ABCD este paralelogram.

Soluție :

Fig. 3.1

Din ipoteză, EM este linie mijlocie triunghiul ABN ⇒ EM ‖ BN și DM ‖ BN.

Analog BM ‖ DN, deci MBND este paralelogram . Atunci diagonalele MN și BD se înjumătățesc. Dar mijlocul lui [MN] coincide cu mijlocul lui [AC], deci diagonalele AC și BD se înjumătățesc ⇒ ABCD este paralelogram.

3* . Pe un perete de 5 m și înalt de 3m punem plăci de faianță în formă de pătrat cu latura de 20 cm . Plăcile sunt albe sau negre .Arătați că , oricum am pune plăcile , numărul de plăci albe nu este egal cu numărul de plăci negre.

Soluție :

Punem , pe lungime, 15 rânduri de câte 25 de plăci .În total vor fi puse 375 de plăci . Cum 375 nu se divide cu 2 , concluzia se impune.

4 . În figura de mai jos , a ‖ b și (AM, (BM, (AN, (BN sunt bisectoarele unghiurilor respective. Arătați că AMBN este dreptunghi.

Soluție :

Fig. 3.2

Cum ≮MAB ≡ ≮NBA ( jumătăți de unghiuri congruente) ⇒ că AM ‖ BN (1) Analog arătăm că AN ‖ BM (2) ⇒ Din (1) și (2) că AMBN este paralelogram și, cum m (≮ MAN) = 90〫, înseamnă că AMBN este dreptunghi.

5 . Fie M și N mijloacele laturilor [AD] , respectiv [DC] ale rombului ABCD și BM AC = {P}, iar BN AC = {T}.

a ) Arătați că MNTP este trapez isoscel.

B ) Dacă AN BD = {G} și GP ⊥ AB, demonstrați că ABCD este pătrat.

Soluție :

Fig. 3.3

a ) MN este linie mijlocie în DAC, deci MN ‖ TP.

MP NT = {B}, deci MP ∦ NT.

BM = BN.

Din teorema lui Thales în BMN, obținem PM = TN, deci MNTP trapez isoscel.

b ) P este centrul de greutate al ABD și G este centrul de greutate al DAC.

În OAD din reciproca teoremei lui Thales, PG ‖ AD.

Dar PG ⊥ AB, deci AD ⊥ AB și ABCD este pătrat.

6 . Un bazin în formă de pătrat are plantate la colțuri sălcii. Putem dubla suprafața bazinului fară să distrugem sălciile?

Soluție :

Construim pe fiecare latură a bazinului câte un triunghi dreptunghic isoscel, ca în figura alăturată .

Fig. 3.4

Dacă O este centrul pătratului ABCD și, cum triunghiurile MAB, QAD, PDC, NBC,OAB, OBC, ODC, și OAD sunt congruente ⇒ că = 2 .

7 . În figura de mai jos sunt ilustrate schematic pardoseala unui salon AMGD și pardoseala unei camere de zi MBCG; AB = 6m , BC = 5m , CD = 10m , M este un punct situat pe segmentul AB, AM = x ( x este distanța măsurată în metri; 0 x 6).

a ) Exprimați , în funcție de x , aria pardoselii camerei de zi MBCG.

b ) Arătați că aria pardoselii salonului AMGD este egală cu 5(x + 2) .

c ) Pentru ce valoare reală a lui x aria pardoselii salonului AMGD este egală cu aria camerei de zi MBCG?

d ) Se consideră AM = 2m . O persoană cumpără gresie pentru salonul AMGD. Un metru pătrat de gresie costă 80 de lei. Pentru fiecare metru pătrat de gresie se acordă o reducere de 5% oricărei persoane care cumpără mai mult de 10. Toată gresia cumpărată pentru salon are suprafața mai mare cu un metru pătrat decât suprafața salonului. Cât a costat în total gresia pentru salonul AMGD?

Fig. 3.5

Soluție :

a ) = MB BC = 5 ( 6 – x )

b ) Deoarece DG = DC – GC = 10 – (6 – x ) = 4 + x

= = = 5 (x + 2)

c ) Din 5 ( 6 – x ) = 5 ( x + 2 ) ⇒ x = 2

d ) Pentru x = 2 , = 20 m ⇒ că se obține reducerea de 5% pentru fiecare ⇒ 1 va costa ( 80 – 5% 80) lei = 76 lei. Se cumpără 21 , toată gresia costă 76 21 lei = 1596 lei.

8 . ABCD este un dreptunghi , iar dimensiunile sale AB = a ,BC = b, verifică relația : + 10. Calculați perimetrul și aria dreptunghiului.

Soluție :

+ = + + = 10. Relația din enumț impune egalitatea ⇒ = 6 și

= 4

Rezultă că = 0 și = 0 ⇒ a = 5 și b = 3

= a b = 15 ; = 2 (a + b) = 16.

9 . Fie ABCD un trapez cu baza mare AB. Notăm cu O intersecția diagonalelor sale. Demnstrați că = .

Soluție :

Din AB ‖ CD obținem = ⇒ + = + ⇒

⇒ = .

10 . Fie ABCD un dreptunghi .

a ) Dacă AB = 4 cm și AD = 7 cm , calculați perimetrul și aria dreptunghiului.

b ) Dacă AB = 8 cm și aria dreptunghiului este egală cu 24 , calculați AD și perimetrul dreptunghiului.

Soluție :

a ) = L l = 4 7 = 28

= AB + BC + CD + AD = 4 + 4 +7 +7 = 8 + 14 = 22 cm.

b ) = L l ⇒ 24 = 8 l ⇒ l = 3 cm

= AB + BC + CD + AD = 3 + 3 + 8 +8 = 22 cm.

11 . O sală de clasă are aria 120 . Dacă lungimea sălii de clasă este de 15 m , aflați lățimea sălii.

Soluție :

A = 120 , L = 15 m ⇒ 120 = 15 m l ⇒ l = 8 m .

12 . Perimetrul unei curți în formă de pătrat este 160 m . Aflați aria curții.

Soluție :

P = 160 ⇒ 160 : 4 = 40 m ⇒ l = 40 m

A = = 40 40 = 1.600 .

13. Calculați aria unui romb cu diagonala mică de 8 cm, iar diagonala mare triplul acesteia.

Soluție :

= = = 96

14 . Un teren are formă de pătrat și aria egală cu 360 . Care este lungimea gardului care imprejmuiește terenul?

Soluție :

= = 360 ⇒ l = 60 m .

Bibliografie

[1].http://www.matematicaonline.ro/GEOMETRIE/PARALELOGRAMUL.ASPX

[2]. http://www.mathopenref.com/polygonconvex.html

[3].Poligoni e proprieta, http://www.iismursia.gov.it/joomla/attachments/158_poligoni%20e%20proprieta.pdf

[4].http://www.matestn.ro/mate/Gimnaziu/Geom%20VII/Geometrie%20VII-1.pdf

[5]. George Turcitu, Matematică manual pentru clasa a –VII-a, Editura Radical, București, 2012

[6] Gheorghe Iurea, Adrian Zanoschi, Matematică manual pentru clasa a –VII-a Ed. Paralela 45, 2000

[7]. Lint Maranda, clasa a-VII-a. Matematică de excelență pentru concursuri , olimpiade și centre de excelență, Ed. Paralela 45, colecția mate 2000+ excelență, 2013.

[8].http://ccdmures.ro/cmsmadesimple/uploads/file/rev8sp/igbr/igbr6.pdf

[9].https://graficvorbind.wordpress.com/category/elemente-de-grafica/raportul-de-aur/

[10]. http://simina-harmonie.blogspot.ro/2012_02_01_archive.html

[11]. Mario Livio, secțiunea de aur , Edit. Cărturești, București, 2012.

DECLARAȚIE PE PROPRIE RĂSPUNDERE

PRIVIND AUTENTICITATEA LUCRĂRII DE DIPLOMĂ / DISERTAȚIE

Subsemnatul_________________________________________________________________, legitimat cu _______ seria ______nr. _________, CNP ________________________________,

absolvent al Universității Tehnice din Cluj-Napoca, Centrul Universitar din Baia Mare, Facultatea de Științe, programul de studii _____________________________, promoția ______________, în calitate de autor, declar pe propria răspundere că proiectul de diplomă / lucrarea de disertație, cu titlul __________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________ este rezultatul propriei activități intelectuale, pe baza cercetărilor mele și pe baza informațiilor obținute din surse care au fost citate în textul lucrării și în bibliografie.

Declar că această lucrare nu conține porțiuni plagiate, iar sursele bibliografice au fost folosite cu respectarea legislației române și a convențiilor internaționale privind drepturile de autor.

Declar, de asemenea, că această lucrare nu a mai fost prezentată în fața unei alte comisii de examen de licență/diplomă/disertație.

În cazul constatării ulterioare a unor declarații false, voi suporta sancțiunile administrative, respective anularea examenului de licență/diplomă/disertație.

Baia Mare Autor, (Prenume,Nume) Semnătura

Data: ________ _____________________ __________