.piata de Capital Si Optimizare Structurii Portofoliului Investit

CUPRINS

INTRODUCERE

CAPITOLUL 1: PIAȚA DE CAPITAL-COMPONENTĂ A ECONOMIEI MONETARE

1.1.Noțiuni de teorie a piețelor (cadrul general) 1

1.1.1.Tipologia piețelor 3

1.1.2.Sistemul cibernetic al pieței de capital și interdependențele

cu celelalte subsisteme ale economiei reale 14

1.2.Componentele pieței de capital 18

1.2.1.Piața primară 18

1.2.2.Piața secundară 20

1.3.Instrumentele pieței de capital 22

1.3.1.Instrumente primare 23

1.3.2.Instrumente derivate 32

1.3.3.Instrumente sintetice 34

1.3.4.Drepturi derivate 35

1.4.Instituțiile pieței de capital 36

1.4.1.Comisia Națională a Valorilor Mobiliare 36

1.4.2.Bursa de Valori 37

1.4.3.Piața extrabursieră 41

1.4.4.Societăți de valori mobiliare 43

1.4.5.Alte entități ale pieței de capital 44

CAPITOLUL 2: TEORIA PORTOFOLIULUI

2.1.Rentabilitatea și riscul valorilor mobiliare. Componentele riscului 50

2.2.Rentabilitatea și riscul portofoliilor 56

2.3.Riscul și atitudinea în asumarea riscului 59

2.4.Alocarea capitalului între investiția certă și

investiția în titluri riscante 66

2.5.Portofolii riscante optime 72

2.5.1.Portofoliul cu două active riscante 72

2.5.2.Portofoliu cu n active riscante.Modelul lui Markowitz

de selecție a portofoliilor eficiente 77

2.5.3.Diversificarea portofoliului 83

CAPITOLUL 3: MODELE ALE TEORIEI PORTOFOLIULUI

3.1.Modelul de piață 86

3.2.Modelul diagonal de selecție a portofoliilor 93

3.3.Modele multiindiciale 94

3.4.Modelul de evaluare a activelor financiare CAPM 98

3.4.1.CAPM – abordare simplă 99

3.4.2.CAPM – abordare riguroasă 103

3.4.3.Comparație între CAPM și modelul de piață 106

3.5.Alte modele de selecție a portofoliilor 106

3.5.1.Maximizarea venitului medie geometrică 107

3.5.2.Criterii “precaute” 109

CAPITOLUL 4: UITLIZAREA TEHNICILOR DE

DETERMINARE A FRONTIEREI EFICIENTE 115

CONCLUZII 126

BIBLIOGRAFIE

=== ASE ===

Calcularea limitei de oportunitate C*

Toate activele al căror venit în exces per unitate de volatilitate (yI) este mai mare decât C * sunt selectate, iar activele cu yI<C* sunt respinse.

Pentru a calcula valoarea lui C*, este necesar să se calculeze valori succesive CI ca și când în portofoliul optim ar fi numere diferite de active.

Presupunând că portofoliul optim este format din I active, atunci:

(4.8)

unde:

Dacă i = I, atunci portofoliul optim conține primul activ (cel cu cea mai mare valoare a lui yI , presupunând că activele sunt ordonate descrescător în funcție de yI).

Pentru i = 2, atunci primul și al doilea activ fac parte din portofoliul optim.

Pentru i = 3, primele trei active, clasate în ordinea descrescătoare a lui yI, fac parte din portofoliul optim, etc.

Mărimile Ci , astfel calculate pentru i = 1, i = 2, etc, sunt candidate pentru limita de oportunitate C*.

Vom ști că am găsit Ci optim (=C*) atunci când pentru toate activele utilizate la calculul lui Ci avem , iar pentru activele neutilizate la calculul lui Ci avem că .

Expresia (4.8) pentru calculul mărimii Ci mai poate fi scrisă în felul următor, scriere care clarifică semnificația lui Ci :

(4.9)

unde: βip = variația așteptată a ratei rentabilității activului i, corespunzătore unei variații de 1% a venit portofoliul optim.

Rp = venitul așteptat al portofoliului optim.

Mărimile βip și Rp sunt, binențeles, necunoscute până când portofoliul optim este determinat. De aceea, ecuația (4.9) nu poate fi folosită pentru calculul portofoliului optim, ci doar pentru interpretarea semnificației economice.

Vom încerca în continuare să construim un portofoliu pe baza tehnicii descrise anterior, considerând că avem la dispoziție următoarele opt acțiuni tranzacționale la B.V.B. (categoria I):

Alro Slatina (ALR), cu valoarea nominală VN = 5000 lei

Terapia Cluj-Napoca (TER), cu VN = 10000 lei

Antibiotice Iasi (ATB), cu VN = 1000 lei

Otelinox Targoviste (INX), VN = 25000 lei

Oltchim Ramnicu-Valcea (OLT), cu VN = 1000 lei

Azo Targu Mures (AZO), cu VN = 1000 lei

Banca Transilvania Cluj(TLV),VN = 1000 lei

Dinamica pe 10 perioade a prețului mediu al celor opt acțiuni, precum și dinamica BET-C (ROL) pe aceleași 10 perioade, sunt surprinse în tabelul 4.1

Tabelul 4.1

În tabelul 4.2 prețurile acțiunilor sunt transformate în rentabilități, pe baza relației:

unde P este prețul acțiunii, iar VN este valoarea nominală.

Tabelul 4.2

Rentabilitatea activului liber de risc (rata dobânzii la obligatiunile guvernamentale) este Rf = 70%. Pe baza rentabilităților din tabelul 4.2 și a ipotezei că variația acestora este descrisă cel mai bine de modelul de piață (ipoteze care, de altfel, se poate verifica relativ ușor) rezultă datele din tabelul 4.3, obținute în urma analizei de regresie a rentabilităților fiecărui titlu.

Dispersia indicelui agregat al pieței (BET-C) este .

Tabelul 4.3

Aranjând acțiunile în ordinea descrescătoare a venitului în exces per unitate de volatilitate obținem tabelul 4.4, în continuarea căruia am calculat elementele necesare determinării limitei de oportunitate Ci cu relația (4.8).

Tabelul 4.4

Limita de oportunitate C* se obține din coloana lui Ci pentru care , adică C* este egal cu 21.355 = C4. Prin urmare, vor intra în portofoliul optim primele 4 acțiuni: INX, TER, TLV, ATB, iar celelate vor fi respinse.

Structura optimă a portofoliului

Având acțiunile care sunt conținute în portofoliul optim, rămân de stabilit procentele care vor fi investite în fiecare acțiune. Procentul care va fi investit în fiecare acțiune este:

(4.10)

unde zi este dat de relația (4.6):

Aplicând formula în exemplul nostru, rezultă:

Împărțind fiecare zi la , obținem:

x1 = 1.167 / (1.167+0.092+2.133+0.028) = 1.167 / 3.42 = 0.341

x2 = 0.092 / 3.24 = 0.027

x3 = 2.133 / 3.42 = 0.624

x4 = 0.028 / 3.42 = 0.008

Prin urmare, am obținut că trebuie să investim:

34.1% din fondurile noastre în acțiuni Otelinox Targoviste (INX)

2.7% din fonduri în acțiuni Terapia Cluj – Napoca (TER)

62.4% din fonduri in actiuni Banca Transilvania (TLV)

0.8% din fonduri în acțiuni Antibiotice Iasi (ATB)

CONCLUZII

Ca urmare a reînfințării Bursei de Valori București și aparitiei pieței extrabursiere – piața O.T.C. – a devenit aproape o necesitate studiul instrumentelor și al mijloacelor financiare cu care se operează pe aceste piețe. Literatura de specialitate a luat un avânt puternic în ultima vreme, atât ca urmare a apariției unor noi meserii, cum ar fi aceea de broker sau analist financiar, cât și datorită interesului crescând care se manifestă în rândul profesorilor și al studenților.

În această lucrare am încercat o prezentare cât mai cuprinzătoare a problematicilor legate de piața de capital și portofoliul investițional, plecând de la cadrul general și ajungând, prin abstractizare, la probleme concrete legate de fundamentarea deciziei de portofoliu.

În acest sens, am prezentat în primul capitol aspecte generale referitoare la piața de capital ca o componentă a economiei simbolice, prezentând în același timp și interdependențele cu celelalte subsisteme ale economiei reale. De asemenea, în acest capitol sunt prezentate principalele instrumente și instituții ale pieței de capital.

Capitolul al doilea este centrat în jurul a două concepte fundamentale: rentabilitatea și riscul. Aceste două noțiuni reprezintă punctul central al analizei de portofoliu. Rentabilitatea așteptată și riscul sunt analizate din perspectiva criteriului “medie-dispersie” al managementului de portofoliu. Capitolul al doilea introduce, de asemenea, conceptul de management top-down al portofoliului, care presupune două etape principale:

alocarea capitalului între investiția certă și investiția riscantă

determinarea portofoliului riscant optim.

În ambele etape minimizarea riscului este urmată de maximizarea utilității investitorului. Generalizarea de la două active la n active a etapei a doua reprezintă un model celebru de selecție a portofoliilor, model introdus de Markowitz în 1952.

În capitolul trei am prezentat o serie de modele utilizate în teoria portofoliului. Primul este modelul de piață, care pune în legătură rentabilitatea unui titlu financiar cu renabilitatea pieței prin ecuația de regresie: Ri = αI+βi Rm+mi.

În acest model o mare importanță o are coeficientul “beta” care măsoară senzitivitatea titlului la schimbările în rentabilitatea pieții: βI = . Dacă βI < 1 atunci titlurile sunt mai puțin volatile iar, dacă βI > 1 atunci titlurile sunt foarte volatile la mișcările pieței. Plecând de la rentabilitatea unui titlu individual, se pot determina rentabilitatea așteptată a portofoliului și dispersia acestuia:

unde primul termen reprezintă riscul sistematic al pieței, iar cea de-a doua componentă este riscul specific. Acesta din urmă poate fi ellminat prin diversificarea portofoliului cu cât mai multe titluri.

Al doilea model este cel al lui Sharpe. Aceasta urmărește minimizarea riscului portofoliului descris de relația de mai sus, în condițiile în care se recunoaște rentabilitatea separată a portofoliului.

A treia categorie de modele este categoria modelelor multiindiciale. Acestea reprezintă generalizarea modelului de piață, descriind evoluția rentabilității activelor prin ecuații de regresie cu mai mulți factori (regresie multiplă).

Următorul model este CAPM-ul. Relația fundamentală a acestui model este:

RI = Rf + βI (Rm – Rf)

Ea spune că venitul de echilibru al unui titlu financiar este dată de suma dintre rentabilitatea fără risc (rata dobânzii, de exemplu) și prima de risc, ultima fiind ponderată cu coeficientul de volatilitate βI.

Ultima categorie de modele prezentate reprezintă modele care aduc ceva nou în problema selecției portofoliului. Aceste modele vin să înlocuiască fie criteriul medie-dispersie (criteriul venitul medie geometrică), fie pe cel al utilității așteptate maxime (criterii “precaute”).

În capitolul patru am descris în detaliu, însoțită de un studiu de caz, o metodă de selecție a portofoliilor optime. Metoda pleacă de la ipoteza că rentabilitatea activelor este descrisă de modelul de piață. În acest sens, am ales opt acțiuni tranzacționate la B.V.B. care să evolueze aproximativ liniar în raport cu indicele pieței (BET-C). calculele ne indică, în final, patru acțiuni care compun portofoliul optim, precum și proporția fiecărei acțiuni în totalul portofoliului.

BIBLIOGRAFIE

1.Adams A., Bloomfield D., Booth P, England P (1991-“Investment mathematics and statistics”, Schols Publishing Company, London.

2.Anghelache G, Dardac N, Stancu I (1992)-“Piețe de capital și burse de valori”, Editura economică, București.

3.Bodie Z, Kane A, Marcus J.A. (1992)-“Investments”, Irwin Series, Chicago.

4.Brigham E (1986)-“Fundamentals of financial management”, The Dryden Press, UK.

5.Chiriță Nora, Scarlat E (1998)- “Dinamică economică”, Editura etape, Sibiu.

6.Dobrotă N (1997)- “Economie politică”, Editura Economică, București.

7.Mao C.T. James (1979)-“Quantitative analysis of financial decision”, The Macmillian Company, London.

8.Oprescu G, Spircu I, Zaharia M (1997)-“Bazele ciberneticii economice”, Editura Inforec, București.

9.Periodice economice: “Capital”, “Bursa”, perioada octombrie 2000-aprilie 2001.

10.Popescu O (coordonator) (1997)- “Matematici aplicate în economie”, Editura Didactică și Pedagogică, București.

11.Scarlat E, Chiriță Nora (1997)-“Sisteme cibernetice ale economiei de piață”, Editura Economică, București.

12.Stancu I (1997)- “Finanțe”, Editura Economică, București.

13.Stevenson J. (1979)-“Fundamental of investments”, The Dryden Press, UK.

CUPRINS

INTRODUCERE

CAPITOLUL 1: PIAȚA DE CAPITAL-COMPONENTĂ A ECONOMIEI MONETARE

1.1.Noțiuni de teorie a piețelor (cadrul general) 1

1.1.1.Tipologia piețelor 3

1.1.2.Sistemul cibernetic al pieței de capital și interdependențele

cu celelalte subsisteme ale economiei reale 14

1.2.Componentele pieței de capital 18

1.2.1.Piața primară 18

1.2.2.Piața secundară 20

1.3.Instrumentele pieței de capital 22

1.3.1.Instrumente primare 23

1.3.2.Instrumente derivate 32

1.3.3.Instrumente sintetice 34

1.3.4.Drepturi derivate 35

1.4.Instituțiile pieței de capital 36

1.4.1.Comisia Națională a Valorilor Mobiliare 36

1.4.2.Bursa de Valori 37

1.4.3.Piața extrabursieră 41

1.4.4.Societăți de valori mobiliare 43

1.4.5.Alte entități ale pieței de capital 44

CAPITOLUL 2: TEORIA PORTOFOLIULUI

2.1.Rentabilitatea și riscul valorilor mobiliare. Componentele riscului 46

2.2.Rentabilitatea și riscul portofoliilor 52

2.3.Riscul și atitudinea în asumarea riscului 55

2.4.Alocarea capitalului între investiția certă și

investiția în titluri riscante 62

2.5.Portofolii riscante optime 68

2.5.1.Portofoliul cu dou active riscante 68

2.5.2.Portofoliu cu n active riscante.Modelul lui Markowitz

de selecție a portofoliilor eficiente 73

2.5.3.Diversificarea portofoliului 79

CAPITOLUL 3: MODELE ALE TEORIEI PORTOFOLIULUI

3.1.Modelul de piață 86

3.2.Modelul diagonal de selecție a portofoliilor 93

3.3.Modele multiindiciale 94

3.4.Modelul de evaluare a activelor financiare CAPM 98

3.4.1.CAPM – abordare simplă 99

3.4.2.CAPM – abordare riguroasă 103

3.4.3.Comparație între CAPM și modelul de piață 106

3.5.Alte modele de selecție a portofoliilor 106

3.5.1.Maximizarea venitului medie geometrică 107

3.5.2.Criterii “precaute” 109

CAPITOLUL 4: UITLIZAREA TEHNICILOR DE

DETERMINARE A FRONTIEREI EFICIENTE 117

CONCLUZII 121

BIBLIOGRAFIE 123

=== CAPITOL3 ===

CAPITOLUL 3. MODELE ALE TEORIEI PORTOFOLIULUI

3.1.Modelul de piață

Relația dintre rentabilitatea individuală a titlurilor și rentabilitatea generală a pieței este atât de evidentă statistic, încât este preluată ca un postulat de bază al teoriei financiare. Pornind de la această evidență, cercetătorii financiari au fost preocupați de măsurarea acestei relații și testarea generalizării ei.

Modelul de piață a fost elaborat de economistul William Sharp în 1963. Acest model presupune că prețul fiecărui titlu depinde de prețul portofoliului de piață. Modelul de piață a apărut ca o necesitate, datorită creșterii numărului de informații privind portofoliul de titluri individuale. Venitul unui titlu poate fi scris ca:

Ri=ai+βiRm (3.1)

unde : ai este o componentă a activului i independentă de performanța pieței-o variabilă aleatoare;

Rm= rata rentabilității pe piață, măsurată prin indicele general al bursei (venitul adus de indicele pieței)-o variabilă aleatoare;

βi=coeficient de regresie, de volatilitate sau de senzitivitate al titlului i la indicele de piață;

Ri=venitul adus de titlul i.

Este utilă separarea lui ai în două elemente. Fie αi valoarea așteptată a lui ai și ei elementul aleator, nesigur, din componența lui ai. Atunci: ai=αi+ei, unde ei au valoarea așteptată zero (E(ei)=0).

Ecuația venitului titlului i (3.1) poate fi scrisă în felul următor:

Ri=αi+βiRm+ei (3.2)

Prin urmare, funcția care aproximează corelația dintre variabilitatea rentabilităților individuale ale unei acțiuni și variabilitatea rentabilității generale a pieței este o dreaptă, numită și dreaptă de regresie. Panta acestei drepte sau coeficientul ei unghiular (βi) semnifică volabilitatea acțiunii, respectiv sensibilitatea rentabilității ei la modificările rentabilității generale a pieței.

Ecuația (3.2) poate fi ilustrată grafic în figura (III.1)

Fig.(III.1)

Prin construcție, vom presupune că următoarele ipoteze ale modelului de piață sunt satisfăcute:

cov(ei, Rm)=E(ei-0)(Rm-)=0, () i=1,…,n

ei este independentă de ej, adică E(ei, ej)=0, () i,j=1,…,n ij

Prin definiție avem că:

dispersia lui ei =σei2=E(ei)2

dispersia lui Rm=E(Rm-)2=σm2 (3.3)

Cunoscând rentabilitatea individuală a titlului i putem calcula valoarea așteptată a rentabilității pe care o va avea individul în viitor:

=E(Ri)=E(αi+βIRm+ei).

Valoarea așteptată a unei sume de variabile aleatoare este suma valorilor așteptate alevariabilelor respective, prin urmare:

=E(αi)+E(βiRm)+E(ei)

αi și βi sunt constante și prin construcție valoarea așteptată a lui ei este zero. Atunci:

=αi+βi (3.4).

Dispersia acestor rentabilități este:

σi2=E(Ri-)=E(αi+βIRm+ei)-(αi+βI)=Eβi(Rm-)+ei2=βi2E(Rm-)2+2βiEei(Rm-)+E(ei)2.

Întucât prin constucție (ipoteza 1) avem Eei(Rm-)=0, rezultă că:

σi2=βi2ERm-2+E(ei)2σi2=βi2σm2+σei2 (3.5).

În relația (3.5) termenul βi2σm2 reprezintă riscul sistematic (de piață), iar termenul σei2 reprezintă riscul specific titlului i (eliminabil prin diversificare).

Putem determina și covarianța dintre două titluri i și j, cunoscând legătura lor indicele de piață:

σij=E(Ri-)(Rj-)=Eαi+βiRm+ei)-(αi+βi)(αj+βjRm+ej)-(αj+βj)=E(βi(Rm-)+ei)(βj(Rm-)+ej)=βiβjE(Rm-)2+βjEei(Rm-)+pIE(ej(Rm-)+E(eiej).

Ultimii trei termeni fiind zero, rezultă:

σij=βiβjσm2 (3.6)

Acum putem să exprimăm venitul în funcție așteptat și dispersia oricărui portofoliu, știind venitul așteptat al fiecărui titlu din portofoliu. Venitul așteptat al unui portofoliu este dat de:

(3.7).

Dispersia oricărui portofoliu este:

Înlocuind mai sus rezultatele pentru σi și σij obținute din relațiile (3.5) respectiv (3.6), obținem:

(3.8)

Estimarea parametrilor

În relașia (3.2) am stabilit că venitul unui titlu este dat de

Ri=αi+βIRm+ei

care este ecuașia unei drepte. Dacă σei2 ar fi egale cu zero, am putea calcula αi și βi cu doar două observașii referitoare la Ri și Rm. Prezența variabilei aleatoare ei exprimă faptul că veniturile titlului i la diferite momente de timp t vor forma un nor de puncte în jurul unei drepte. Figura (III.2) ilustrează acest lucru.

Fig.(III.2)

Cu cât este mai mare σei2, cu atăt va fi mai mare împrăștierea punctelor în jurul dreptei și cum dreapta nu poate fi observată efectiv, cu atât mai nesigură va fi localizarea ei. De obicei, dreapta este localizată cu ajutorul analizei de regresie.

Coeficienții αi și βi se determină pe baza valorilor observate la momente de timp succesive t=1,…,T, ale rentabilităților privind titlul i și portofoliul pe piață (indicele bursier). Ținând seama că variabilele Ri și Rm se înregistrează la diferite momente (t=1,2,…,T), ecuația de regresie va fi:

Rit=αi+βIRmt+eit

Cea mai utilizată metodă pentru estimarea parametrilor unei funcții de regresie este MCMMP – Metoda celor mai mici pătrate, care constă în minimizarea sumei pătratelor reziduurilor ei, adică:

S= (3.9)

unde Rit sunt valorile de observație, iar sunt valorile estimate.

Din (3.9) rezultă:

S=

Expresia S se estimează calculând estimatorii și prin rezolvarea sistemului de ecuații normale:

<=>

sistem care se rezolvă prin una din metodele cunoscute, cum ar fi metoda deternimanților, care conduce la următorii estimatori:

(3.10)

respectiv:

(3.11)

Cu cât coeficientul βi este mai ridicat cu atât riscul sistematic de piață al titlului i va fi mai mare. În raport cu βi, titlurile se clasifică în:

titluri volatile (foarte volatile) cu βi>1, care semnifică faptul că o variație de 1% a indicelui general al pieței bursiere (Rm1-Rm0=1%) determină o variație mai mare de 1% a rentabilității titlului i (Ri1-Ri0>1%).

O astfel de volatilitate se înregistrează, de regulă, la titlurile emise de întreprinderi de produse chimice, de sticlărie, de echipamente electrice și electronice, de aparate casnice, de automobile, etc. Sunt deci ramuri industriale producătoare de bunuri de consum, cu o sensibilitate mai mare în raport cu comportamentul cumpărătorilor din rândul populației.

Fig.(III.3):Titluri foarte volatile.

titluri puțin volatile cu βi<1, care exprimă o variabilitate mai mică a rentabilității titlului i determinată de variația rentabilității pe piață, deci pentru Rm=1%; Ri<1%. Această volabilitate scăzută poate fi întâlnită, de regulă, la titlurile întreprinderilor producătoare de material rulant, de locuințe, la societăți de asigurări.

Fig.(III.4):Titluri puțin volatile.

titluri cu β=1, pentru care o variație a rentabilității generale antrenează aceeași variație a rentabilității titlului i. Astfel de volatilități direct proporționale pot fi întâlnite la societăți de tip holding, întreprinderi de construcții industriale, de textile-încălțăminte, în bănci și societăți de credit, etc.

În general coeficientul β are valori pozitive βi>0. Pentru societățile de asigurări și minele de aur se poate înregistra un βi<0, semnificând o influență inversă a rentabilității titlurilor acestor societăți asupra rentabilității generale a titlurilor financiare pe piața bursieră.

Cunoașterea coeficientului beta are mare importanță, fiind practic cel mai important parametru al titlurilor pentru gestiunea eficientă a portofoliului. Cea mai frecventă utilizare a coeficientului beta se întâlnește în reacția de fiecare zi a oricărui gestionar de titluri, în funcție de evoluția pieței bursiere. Dacă se estimează o creștere a indicelui general al pieței, atunci gestionarul va achiziționa și va crește ponderea titlurilor cu volatilitate mare și foarte mare pentru că acestea vor înregistra creșteri de rentabilitate superioare creșterii rentabilității generale a pieței. Dimpotrivă, dacă se estimează o scădere a indicelui general al pieței, gestionarul își va consolida portofoliul prin achiziționarea și creșterea ponderii titlurilor cu volatilitate scăzută, care au cele mai mici scăderi în rentabilitate în raport cu scăderea celei de piață.

Coeficientul βi mai poate fi calculat plecând de la relația (3.6):

σij=βiβjσm2

Dacă i=j=m, rezultă:σm2=βm2σm2βm=1 (3.12), adică coeficientul β al pieței bursiere este egal cu 1.

Dacă j=m, rezultă: σim=βiβmσm2=βiσm2

(3.13)

Pentru i folosim relația:

αi =it-βimt, t=1,…,T (3.13)

Formulele (3.12) și (3.13) duc la ecelași rezultat care se obține utilizând formulele (3.11) și (3.10).

Caracteristicele modelului de piață

Coeficientul beta al portofoliului (βp) se definește drept media ponderată a coeficienților beta pentru fiecare titlu i care intră în portofoliu (i=1,…,n), unde ponderi sunt fracțiuni de portofoliu investite în fiecare titlu i. Atunci vom scrie:

βp= (3.14)

În mod similar, coeficientul α al portofoliului (αp) este:

αp= (3.15)

Prin urmare, dacă se cunosc coeficienții αi și βi, i=1,…,n, pentru fiecare titlu din portofiliu, se pot calcula coeficienții αp și βp pentru întrg portofoliu; αp și βp se pot interpreta la fel ca în cazul coeficienților αi și βi, βp exprimând volatilitatea întregului portofoliu.

Relația (3.7) mai poate fi scrisă, utilizând (3.14) și (3.15):

p=αp+βpm (3.16)

Ecuația (3.8) se mai scrie:

σp2=xixjβiβjσm2+xi2σei2

Prin rearanjarea termenilor, obținem:

σp2=(xIβi)(xjβj)σm2+xi2σei2.

Astfel, riscul portofoliului unui investitor poate fi scris ca:

σp2=xi2σei2 (3.17)

Dacă presupunem că portofolui este echiponderat, atunci:

σp2=βp2σm2+ (3.18)

Al doilea termen din dreapta relației (3.18) poate fi exprimat drept înmulțit cu riscul rezidual mediu al portofoliului: Cu cât numărul de titluri din portofoliu crește, mărimea riscului rezidual mediu scade drastic, adică riscul rezidual mediu este diversificabil. Putem scrie că:

Riscul care nu poate fi eliminat oricât de mare ar fi portofoliul, este riscul asociat primului membru din dreapta relației (3.18). Dacă presupunem că riscul rezidual se apropie de zero, riscul portofoliului este:

(3.19)

relația (3.19) reprezintă riscul nediversificabil al portofoliului P.

Pentru utilizarea modelului de piață este necesară calcularea (estimarea) mărimilor ai, bi și σei2 pentru fiecare titlu, cu i=1,…,n, adică 3N informații, eliminâncu-se un volum important de calcule necesare pentru calculul covarianțelor σij dintre titluri.

3.2. Modelul diagonal de selecție a portofoliilor

Acest model presupune că sunt satisfăcute în prealabil următoarele ipoteze:

Criteriul de selecție a combinațiilor eficiente din cele n titluri financiare este cunoscut drept “speranța-dispersie”.

Toate titlurile financiare sunt riscante, caracterizate de o rentabilitate așteptată i și de o dispersie σi2.

Rentabilitatea scontată a portofoliului (p) este o variabilă exogenă modelului, fiind formată de către investitori.

Cunoscând că portofoliul P este format din n titluri individuale, fiecare caracterizat de i și σi2, se pune problema determinării proporției alocate portofoliului pentru fiecare din aceste titluri. Funcția obiectiv va fi dispersia portofoliului, care se minimizează. Deci problema de rezolvat în modelul diagonal este următoarea, ținând cont de relațiile (3.7), (3.8), (3.16), (3.17):

minσp2=βp2σm2+xiσei2 (3.20),

în condițiile:

Βp=xiβi

=xI=p+βp (3.21)

xi=1

Funcția Lagrange asociată modelului este:

L(x1,x2,…,xn;1,2,3)=βp2σm2+xiσei2+1(βp-xIβi)+2(-p-βp)+3(xi-1).

Derivăm funcția în raport cu xi și j, i=1,…,n, j=1,2,3 și egalăm cu zero:

(3.22)

Din (3.22) se obține:

2×1σ2e1 + 21pσ2m + λ1(1-1) + λ2(-1-1) + λ3 = 0

2xnσ2en + 2npσ2m + λ1(n-n) + λ2(-n-m) + λ3 = 0

1×1 +2×2 + … + nxn – p = 0

1×1 +2×2 + … + nxn + p =

x1 + …+ xn = 1 (3.23).

Relațiile (3.23) pot fi scrise sub formă matriceală astfel:

(3.24).

Dacă notăm cu A prima matrice, cu X matricea necunoscută și cu B matricea termenilor liberi, relația (3.24) se mai scrie:

AX=B

Compoziția portofoliilor eficiente cu risc minim, la o speranță de rentabilitate dată, p, va fi soluția sistemului matriceal:

X=A-1B (3.25)

Numărul total de informații necesare pentru rezolvarea acestui sistem este 3n+2, deoarece avem i, βi și σei2 pentru fiecare titlu i, cu i=1,…,n și, în plus σm2 și Rm. Coeficienții i și βi ai titlurilor individuale se calculează prin MCMMP, ca la secșiunea 3.1. Acest model simplifică mult calculele, nefiind nevoie să se calculeze toate covarianțele dintre titluri (σij), adică informații.

3.3 Modele multiindiciale

Ipoteza care stă la baza modelului de piață este aceea că veniturile titlurilor sunt corelate între ele doar în măsura în care acestea variază împreună cu piața. Relația liniară dintre rentabilitatea individuală Ri a titlului (sau a portofoliului de titluri și rentabilitatea generală a pieței măsurată prin indicele general al pieței bursiere este:

Ri=i+βiRm+ei (3.2)

Există însă și alte influențe în afara pieței care determină o covariație a titlurilor și merită să fie introduse ca factori în ecuația de regresie a veniturilor unui titlu. Se impune deci o extindere a ecuației de regresie (3.2) în felul următor:

Ri=ai*+bi1*I1*+…+biL*IL*+ci (3.26).

În ecuația (3.26) Ij* reprezintă nivelul actual al indicatorului j; bij* este o măsură a senzitivității venitului titlului i la schimbările în indicele j; bij* are aceași semnificație ca și coeficientul βi din modelul de piață. De exemplu, dacă bij*=2, înseamnă că o variație a nivelului indicelui j cu 1% determină o variație a venitului titlului cu 2%.

La fel ca la modelul de piață, venitul titlului i independent de influența indicilor este separat în două componente: ai* și ci , unde ai* este valoarea așteptată a venitului amintit mai sus, iar ci este componenta aleatoare, reziduală a acestui venit; prin construcție ci are media 0 și dispersia σci2.

Un model multiindicial ca în relația (3.26) este mult mai ușor de realizat, având totodată proprietăți matematice deosebite dacă indicii sunt necorelați între ei (sunt ortogonali). Acest lucru ar permite simplificarea calcului riscului și, implicit, ușurarea selecției portofoliului optim.

Ortogonalizarea indicilor

Fie următorul model cu doi indici neortogonali:

Ri = ai* + b*i1I1* + b*i2I2* + ci (3.27)

De exemplu, I1* poate fi un indice al pieței, iar I2* un indice sectorial (al unei ramuri economice). Cu alte cuvinte I1* este venitul titlului care se datorează in fluenței pieței, iar I2* este venitul titlului datorat influenței sectorului economic din care face parte firma emițătoare a titlului.

Cei doi indici nefiind ortogonali, putem scrie că:

I2*=0+1I1*+di,

unde 0 și 1 sunt coeficienți de regresie, iar di este eroarea reziduală.

Fie I1=I1*. Rezultă că:

I2*=0+1I1+di (3.28)

Prin construcția oricărui model de regresie, variabila reziduală este necorelată cu toate variabileleindependente (variabilele “cauză”). Rezultă că di este necorelat cu I1.

Fie I2=di=I2*-0-1I1 (3.29)

I2 va fi prin construcție, necorelat cu I1. Am obținut astfel un indice sectorial necorelat cu indicele pieței.

Din (3.9) îl exprimăm pe I2* și îl înlocuim în (3.27):

I2*=I2+0+1I1

Ri=ai*+bi1*I1+bi2*I2+bi2*0+bi2*1I1+ci

Ri=(ai*+bi2*0)+(bi1*+bi2*1)I1+bi2*I2+ci (3.30)

Primul termen din dreapta este o constantă și îl notăm cu ai, coeficientul celui de-al doilea termen este de asemenea constant și îl notăm cu cu bi1 și fie bi1=bi1*. Atunci ecuația (3.30) devine:

Ri=ai+bi1I1+bi2I2+ci (3.31)

unde I1 și I2 sunt ortogonali.

Dacă modelul are trei factori:

Ri=ai*+bi1*I1*+bi2*I2*+bi3*I3*+ci (3.32)

Cei trei indici sunt neortogonali, adică putem scrie:

I3*=1+2I1*+3I2*+ei.

Luăm I1=I1* și I2=I2* și rezultă:

I3*=1+2I1+3I1+ei.

Fie I3=I3*-(1+2I1+3I2) (3.33)

Din (3.33) scoatem I3* și îl înlocuim în (3.31):

Ri=ai*+bi1*I1+bi2*I2+bi3*I3+bi3*0+bi3*2I1+bi3*3I2+ci.

Regrupând termenii:

Ri=(ai*+bi3*0)+(bi1*+bi3*2)I1+(bi2*+bi3*3)I2+bi3*I3+ci.

Vom defini: ai=ai*+b13*0

bi1=bi1*+bi3*2

bi2=bi2*+bi3*3

bi3=bi3*

Rezultă că ecuația de regresie cu trei factori ortogonali este:

Ri=ai+bi1I1+bi2I2+bi3I3+ci (3.34)

Utilizând aceeași metodologie ecuația (3.26) devine:

Ri=ai+bi1I1+bi2I2+…+biLIL+ci

unde toți indicii Ij sunt necorelați între ei.

Noii indici Ij au o interpretare economică interesantă. Dacă presupunem că I1* era un indice al pieței financiare și I2* un indice al ratei dobânzii. I2 este un indice al diferenței între rata actuală a dobânzii și nivelul așteptat al ratei dobânzii; bi2 devine o măsură a senzitivității venitului titlului i la această diferență.

În concluzie, forma standard a modelului multiindiceal poate fi scrisă după cum urmează:

Ecuația de bază:

Ri=ai+bi1I1+bi2I2+…+biLIL+ci (3.35), pentru orice titlu i=1,…N;

Prin definiție:

Dispersia reziduală a titlului i este ei, () i=1,…N;

Dispersia indicelui j este Ij2, j=1,…L;

Prin construcție:

Media lui ci este E(ci)=0, () i=1,…,N;

Covarianța între indicii j și k este E(Ij-)(Ik-)=0, () j=1,…,L și k=1,…L, jk. (indicii au fost ortogonalizați);

Covarianța între componenta reziduală ci și indicele j este E(ci-)(Ij-)=0Eci(Ij-)=0, () i=1,…N, j=1,…N.

Prin ipoteză:E(ci,cj)=0, ()i=1,…,N, j=1,…,N, ij.

În continuare vom exorima venitul mediu (așteptat), dispersia și covarianța între titluri, atunci când venitul unui titlu este dat de modelul multiindiceal prezentat anterior.

Venitul așteptat al unui titlu este:

E(Ri)=E(ai+bi1I1+…+biLIL+ci)=E(ai)+E(bi1I1)+…+E(biLIL)+E(ci).

Dar ai și bij sunt constante, iar E(ci)=0. Rezultă:

E(Ri)=ai+bi1+…+biL (3.36).

Dispersia venitului unui titlu i este:

i2=E(Ri)2=E(ai+bi1I1+…+biLIL)(ai+bi1+…+bIl)=Ebi1(I1)+bi2(I2)+…+ biL(IL-)+ci2.

Deoarece prin construcție avem că:

E(Ij-)(Ik-)=0 și E(Ij-)ci=0 (3.37), rezultă că singurii termeni nenuli din expresia lui i2 sunt:

bij2E(Ij-)2, j=1,…,L.

Deci putem scrie că:

i2=bi12I12+…+biL2iL2+ci2 (3.38)

Covarianța dintre venitul titlului i și venitul titlului j este:

ij=E(Ri-i)(Rj-j)=E(ai+bi1I1+…+biLIL+ci)-(ai+bi11+…+bILL)(aj+bj1I1+…+bjLIL)-(aj+bj11+…+bJlL)=Ebi1(I1-1)+bi2(I2-2)+…+biL(IL-L)+cibj1(I1-1)+bj2(I2-2)+…+bjL(IL-L)+cj.

Desfăcând parantezele și ținând cont de relațiile (3.37), rezultă:

ij=bi1bj1E(I1-1)2+bi2bj2E(I2-2)+…+biLbjLE(IL-L)+E(ci,cj).

Dar E(ci,cj)=0 prin ipoteză și deci:

ij=bi1bj1I12+…+biLbjLIL2 (3.39)

Din relațiile (3.36), (3.38) și (3.39) observăm că venitul așteptat și riscul pot fi calculate pentru orice portofoliu, dacă avem estimările mărimilor ai, bik, ci2, FORMULĂ și Ij2, i=1,…,N; j=1,…L. Avem în total 2N+2L+NL estimări ce trebuie efectuate. De exemplu, pentru un portofoliu care cuprinde între 150 și 250 de titluri și folosind un model cu 10 indici, este nevoie să se calculeze între 1820 și 3020 de mărimi.

3.4.Modelul de evaluare a activelor financiare CAPM

Modelul CAPM este obiectul central al teoriei moderne a portofoliului. Dacă Harry Markovitz a pus bazele managementului modern al portofoliului în 1952, CAPM-ul a fost elaborat 12 ani mai târziu de către William Sharpe, John Lintuer și Jan Hossin în mod independent unul față de altul.

CAPM-ul arată că, în condiții de echilibru al pieței financiare eficiente, rentabilitatea unui titlu financiar este determinată de rentabilitatea generală a pieței și de componenta sistematică a riscului.

Modelul CAPM standard funcționează în următoarele ipoteze cu scop simplificator:

Nu există costuri de tranzacționare și nici impozite și taxe care să acționeze ca “forțe de frecare” pe piața financiară;

Bunurile sunt divizibile la infinit; investitorii pot lua orice decizie referitoare la mărimea investiției lor;

Nu există o formă de venit personală, adică individul este indiferent față de modul în care va primi venitul (dividende sau câștig de capital);

Un investitor individual nu poate influența de unul singur prețul financiar;

Investitorii sunt, în general, adverși față de risc, ei preferând un risc minim și nu venit așteptat cât mai mare;

Investitorul poate vinde orice cantitate de active și din orice tip în scopul de a cumpăra altele, considerate mai atrăgătoare;

Investitorii pot să investească în active fără risc de tipul obligațiunilor sau bonurile de tezaur, sau pot beneficia de credite la o rată a dobânzii egală cu rata rentabilității în absența riscului Rf;

Investitorii au așteptări omogene privind venitul diferitelor active, dispersiile și corelațiile dintre venituri;

Toate bunurile sunt de vânzare, inclusiv capitalul uman.

Este evident faptul că, în realitatea economică, nici una din aceste ipoteze nu este îndeplinită.

3.4.1 CAPM – abordare simplă

Atunci când investitorii pot vinde orice cantitate de active dar nu pot investi în active libere de risc (cum ar fi obligațiunile și bonurile de tezaur) și nici nu pot lua cu împrumut credit ne confruntăm cu frontiera eficientă de portofolii, descrisă în figura (III.5.).

Figura (III.5.): Frontiera eficientă, fără posibilitatea de împrumut șicredit

Segmentul BC reprezintă mulțimea portofoliilor eficiente, în timp ce ABC reprezintă mulțimea portofoliilor de dispersie minimă. În raport cu atitudinea în asumarea riscului investitorul se va plasa pe frontiera eficientă și va investi în portofoliul care-I va aduce rentabilitatea așteptată maximă.

William Sharpe a demonstrat existența unei noi frontiere, diferită de cea eficientă (introdusă de Markovitz). Prin introducerea în portofoliu a unui activ fără risc cu rentabilitatea Rf și σf = 0, mulțimea portofoliilor eficiente se modifică. Va rezulta o nouă frontieră eficientă, unică pentru toți investitorii, care ia forma dreptei d1, numită dreapta pieței de capital – CML (“Capital Market Line”), prezentată în figura (III.6.).

Fig(III.6.): Frontieră eficientă cu împrumut și credit.

Dreapta CML este tangentă la mulțimea portofoliilor de activ riscante în punctul M, care este portofoliul pieței, punct de coordonateși σm. portofoliul de piață este un portofoliu din toate titlurile riscante. Fiecare titlu este deținut într-o anumită proporție determinată de raportul dintre valoarea titlului și valoarea tuturor acțiunilor riscante de pe piață. Dacă de exemplu, acțiunile ROMCIM reprezintă 10% din totalulo titlurilor riscante, atunci portofoliul M va conține 10% acțiuni ROMCIM.

William Sharpe a demonstrat că CML este noua frontieră eficientă pe baza “teoremei celor două portofolii eficiente” a lui Tobin. Conform acestei teoreme, pe piața de capital există doar două portofolii eficiente: portofoliul M și titlul sigur Rf. astfel, orice investitor rațional își va plasa fondurile pe baza acestor două tipuri de portofolii adică va investi în active fără risc Rf și în active riscante din M.

În continuare vom determina ecuația dreptei CML. Sharpe combina un portofoliu eficient de active riscante M cu titlul fără risc Rf pentru a putea obține un portofoliu nou. Presupunem că se alocă:

pentru activul sigur Rf, x>0 sau x<0 din avuția sa ;

pentru portofoliul eficient M, (1-x)>1 sau (1-x)<1 din avuția sa. Restricția bugetară este:

x+(1-x) = 1

Rentabilitatea noului portofoliu va fi:

= xRf + (1-x) (3.40)

iar dispersia va fi:

σp2 = xσf2 + (1-x)σm2 + 2x(1-x)σfσmρfm, unde ρfm =

Cunoscând că σf = 0, atunci:

σp2 = (1-x)2σm2 => σp = (1-x)σm (3.41)

Expresia (3.41) arată că riscul portofoliului depinde numai de riscul pieței. Din relația (3.40) obținem:

p=xRf+m-xm=m+(Rf-m)

Iar din (3.41) rezultă: σp=σm-xσmσm-σp=xσm. Cuplând ultimele două relații avem

p=m+ =>

p=

Relația (3.42) mai este cunoscută ca ecuația dreptei CML. Termenul reprezintă prețul de piață al riscului pentru toate portofoliile eficiente. El reprezintă venitul adițional unitar ce se poate obține atunci când riscul σp crește cu o unitate.

Termenul σp reprezintă riscul portofoliului. Primul termen, Rf, reprezintă rata dobânzii fără risc, constantă și exogenă piței financiare.

Relația (3.42) mai poate fi scrisă și astfel:

Venitul așteptat=Prețul timpului+(Prețul riscului)(Cantitatea de risc) (3.41)

Deși această ecuație stabilește venitul unui portofoliu eficient, ea nu descrie echilibrul veniturilor pentru portofoliile neeficiente sau pentru cele ale titlurilor individuale.

Pentru a determina ecuația rentabilității sperate (așteptate) a unui titlu considerăm un portofoliu S, constituit din titlul riscant i și din portofoliul de piață M. Presupunem că se alocă proporția x pentru titlul i și (1-x) pentru portofoliul M. Rentabilitatea portofoliului S va fi:

(3.43)

iar dispersia:

σS2=x2σi2+(1-x)2σm2+2x(1-x)σiσmρim (3.44)

Rata marginală de rentabilitate (RMR) a portofoliului S este:

Numărătorul este:

(3.45)

Numitorul este:

=

= (3.46)

Dacă fixăm x=0, atunci portofoliul S este chiar portofoliul de piață M, aceasta situându-se în punctul M din figura (III.6). Ecuațiile (3.45) și (3.46) devin:

= și = (3.47)

Rezultă că RMR este:

Dar, în același timp, RMR este panta dreptei CML după cum se poate observa din relația (3.42); prin numere:

(3.48)

Dacă notăm cu βi=, atunci relația (3.48) devine:

i=Rf+βi(m-Rf) (3.49)

Relația (3.49) mai este cunoscută ca ecuația dreptei SML, sau ecuația titlurilor financiare. Deci rentabilitatea de echilibru a unui activ este dată de relația (3.49), adică de suma dintre rentabilitatea fără risc și prima de risc de piață, ultimul termen fiind ponderat cu βi, care reprezintă indicatorul de volatilitate a titlului i. Există, deci, o relație liniară între rentabilitatea titlului i și riscul său sistematic adus de piață. Când βi=0, venitul așteptat al titlului este egal cu Rf. În cazul investițiilor riscante, când βi>0, venitul i depășește Rf printr-o sumă proporțională cu sezitivitatea pieței la investiție.

Grafic relația (3.49) arată astfel:

Fig.(III.7): Dreapta titlurilor financiare (SML).

Rescriem relația (3.49) în felul următor:

i-Rf=βi(m-Rf) (3.50)

Reprezentând grafic obținem figura (III.8)

Fig.(III.8): Dreapta titlurilor financiare. Forma premiului de risc.

Cunoscând că portofoliul de piață M este etalonul pentru măsurarea volatilității titlurilor, se pot distinge două mari categorii de active:

active mai volatile decât portofoliul de piață; se numesc active agresive, având βi=>1 și o primă de risc mare;

active mai puțin volatile decât portofoliul de piață; se numesc active defensive, având βi=<1 și o primă de risc mai mică.

3.4.2.CAPM-abordare riguroasă

presupunem că investitorul are un portofoliu P din n titluri riscante și unul fără risc. Adică investitorul poate investi în obligațiuni sau bonuri de tezaur sau poate lua credit la o rată a rentabilității fără risc r. Atunci venitul așteptat al portofoliului este:

Iar riscul este dat de abaterea medie pătratică:

Problema investitorului este să minimizeze riscul pentru o rentabilitate așteptată a portofoliului dată aprioric:

minσp

p-dată

Lagranjeanul problemei este

(xi,)=σp+

Condițiile de ordin întâi:

…………………………………. (3.50)

Înmulțim prima ecuație cu x1, a doua cu x2, … , a n-a cu xn și apoi le însumăm. Obținem:

(3.51)

Presupunem că portofoliul P este chiar portofoliul de piață M, doar cu n active riscante (fără activul liber de risc). Relația (3.51) devine:

σM=(M-r) (3.52)

Relația (3.52) este chiar prețul de piață al riscului, sau cât venit așteptat revine la o unitate de risc.

Din a i-a ecuație a sistemului (3.50) extragem:

Înlocuind din relația (3.52), obținem:

(3.53)

Vom arăta că paranteza din membrul drept al relației anterioare este chiar σiM:

=

M

=,qed.

Revenind la relația (3.52):

Notăm cu și înlocuim. Va rezulta că:

(3.54)

Am obținut astfel relația fundamentală a CAPM-ului (3.54)

Coeficientul exprimă volatilitatea veniturilor așteptate ale activelor individuale, adicăviteza cu care își modifică venitul curent în raport cu venitul portofoliului de piață.

Dacă i = 0, atunci = r. titlul va fi deținut atât timp cât are un venit așteptat egal cu rata liberă de risc r.

Dacă i>0, putem spune ca venitul așteptat este mare. Se așteaptă ca activul i să aducă un venit care să modifice mai mult decât venitul așteptat al portofoliului de piață (active agresive).

Dacă i<0, activul i va fi deținut doar dacă venitul său așteptat () este mai mic decât r; activul i va aduce un venit care se modifică mai puțin decât venitul așteptat al portofoliului de piață (active defensive).

Dacă i=0 rezultă că activul are un venit așteptat care se deplasează cu aceeași valoare ca și portofoliul de piață:

= (active neutre).

3.4.3 Comparație între CAPM și modelul de piață

Având în vedere relațiile (3.2), (3.14), și (3.15) și că Rp=, atunci vom avea:

Rp==

Ultima relație poate fi aranjată astfel:

Rp=p+pRM+eP+r-r+pr-prRp=p-r(1-p)+r+p(RM-r)+ep (3.55)

Unde: Rp este venitul portofoliului la un anumit moment t, RM este venitul indicelui de piață la momentul t, r este rata rentabilității fără risc la momentul t, p și p sunt coeficienți, iar ep este variabila reziduală.

Aplicând așteptările asupra relației (3.55), vom obține:

(3.56)

Punând alături ecuația fundamentală a CAPM-ului scrisă pentru un portofoliu:

(3.57)

Termenul p – p(1-p) reprezintă premiul de risc așteptat al portofoliului (sau venitul așteptat obținut în plus peste rata rentabilității fără risc r), atunci când rentabilitatea pieței este egală cu cea a ratei fără risc, sau când premiul de risc este zero.

Avem două cazuri:

dacă p – p(1-p)>0 => venitul obținut este mai mare decât în cazul CAPM-ului. Un investitor care deține un astfel de portofoliu “bate” piața.

Dacă p – p(1-p)<0, atunci venitul este mai mic decât cel care s-ar obține prim CAPM. Portofoliul este neperformant față de piață.

Oricum, într-o piață eficient de capital, toate titlurile sunt evaluate astfel încât venitul adițional care s-ar obține ca urmare a ajustării riscului să fie zero și deci termenul p – p(1-p) este nul pentru orice portofoliu. Modelul de piață se reduce la CAPM în cazul unei piețe eficiente.

3.5 Alte metode de selecție a portofoliilor

În această lucrare abordarea centrală referitoare la managementul portofoliului este cea tradițională, universal acceptată și anume abordarea medie-dispersie. Ar fi o neglijență dacă nu am menționa și alte puncte de vedere care, în fapt, fac obiectul studiului a numeroase lucrări de specialitate.

Mai întâi se impun o serie de observații și anume că abordarea medie-dispersie are o serie de premize:

investitorii sunt maximizatori ai utilității așteptate

sunt adverși față de risc

veniturile activelor sunt normal distribuite

Alte puncte de vedere asupra problemei portofoliului pleacă de la premize mai puțin stringente referitoare la forma funcției de utilitate și/sau forma distribuției rentabilităților activelor. În această secțiune vom analiza trei criterii alternativela criteriul medie-dispersie:

venitul medie geometrică

modele “precaute”

3.5.1. Maximizarea venitului medie geometrică

Criteriul maximizării venitului calculat ca medie geometrică este o alternativă la criteriul medie-dispersie care propune selectarea portofoliului optim fără a mai fi nevoie să ținem seama de forma funcției de utilitate a investitorului sau de distribuția veniturilor activelor.

Utilizarea acestui citeriu constă în selectarea acelui portofoliu care are cel mai mare venit așteptat calculat sub forma unei medii geometrice. Acest criteriu poate fi privit cao maximizare a bunăstării finale a investitorului. Acest criteriu poate duce la selectarea unui alt portofoliu decât în cazul criteriului medie-dispersie, dar care aparține, în anumite circumstanțe, setului eficient. Astfel, adepții criteriului venit medie geometrică vor găsi folositoare majoritatea analizei din secțiunile precedente.

Să considerăm un investitor care economisește pentru un scop viitor, de exemplu, pensionarea peste 20 de ani. Un criteriu rezonabil de selectare a portofoliului pentru un astfel de investitor ar fi selectarea acelui portofoliu care are cea mai mare valoare așteptată a bunăstării finale. Henry Latané, într-un articol din “Journal of Political Economics”(aprilie 1959) a arătat că acesta este portofoliul cu cel mai mare venit medie geometrică. Contestatarii criteriului atrag imediat atenția că, în general, maximizarea valorii așteptate a bunăstării finale nu este același lucru cu maximizarea utilității bunăstării finale (se poate arăta că portofoliul maximizator al valorii așteptate a unei utilități logaritmice este același portofoliu care maximizează venitul medie geometrică; acest lucru nu este , în general, valabil pntru alte funcții de utilitate).

Pe scurt, unii cercetători găsesc caracteristicile venitului medie geometrică drept remarcabile, meritând să fie aplicate în practică, iar alții consideră că orice criteriu care este inconsistent cu toria maximizării utilității așteptate este inacceptabil.

După ce am discutat argumentele pro și contra utlizării mediei geometrice drept criteriu de selecție a portofoliilor, să examinăm definiția mediei geometrice și câteva proprietăți ale portofoliilor care maximizează venitul medie geometrică.

Dacă Rij este venitul activului i care aparține portofoliului j, atunci venitul medie geometrică a portofoliului j (Gj), când veniturile Rij (i = 1..N) ale activelor sunt egal probabile este:

(3.58)

Dacă Pij este probabilitatea venitului activului i de a se realiza atunci venitul medie geometrică este:

\ (3.59)

Sau

(3.60)

Un portofoliu care maximizează venitul medie geometrică nu este eficient în sensul medie-dispersie (decât în anumite circumstanțe). Mai mult, portofoliile care sunt eficiente în sensul medie-dispersie pot avea un venit medie geometrică foarte mic. Cu toate acestea, sunt două situații în care analiza medie-dispersie este semnificativă pentru localizarea portofoliului cu cel mai mare profit medie geometrică:

În primul rând, maximizând venitul medie geometrică este echivalent cu a maximiza valoarea așteptată a unei utilități logaritmice (relația 3.62), dacă veniturile activelor sunt normal distribuite. Știm că analiza medie-dispersie este cea mai potrivită pentru investitorii interesați în maximizarea utilității așteptate. Astfel, investitorii cu utilități logaritmice interesați în maximizarea venitului medie geometrică pot utiliza analiza medie-dispersie dacă veniturile activelor sunt normal distribuite.

Prin urmare maximizarea utilității așteptate logaritmice se scrie:

max E(ln W1) (3.61)

unde W1 este bunăstarea la sfârșitul perioadei și este o variabilă aleatoare. Dacă considerăm că W0 reprezintă fondurile pe care investitorul le-a investit, atunci problema investitorului se poate scrie:

maxE(lnW1-lnW0)=maxE=maxEln(1+Ri)=

=max

= (3.62)

Deci portofoliul cu cel mai mare venit medie geometrică este și portofoliul preferat (care maximizează utilitatea așteptată), dacă investitorul are o utilitate logaritmică.

În al doilea rând, se poate demonstra că portofoliul care maximizează venitul medie geometrică este eficient din punct de vedere medie-dispersie, dacă veniturile activelor au o distribuție log-normală.

Cu excepția celor două cazuri de mai sus, portofoliul cu venitul medie geometrică maxim nu este neapărat eficient în sens medie-dispersie. Când veniturile activelor nu sunt distribuite normal sau log-normal, sunt necesare proceduri mult mai complexe pentru a determina portofoliul optim, situație pe care nu o vom detalia în lucrarea noastră.

Criteriul mediei geometrice este cel mai des invocat dintre toate alternativele la criteriul medie-dispersie. Este de reținut faptul că, veniturile activelor sunt distribuite normal sau log-normal atunci analiza medie-dispersie poate ajuta la găsirea portofoliului cu cel mai mare venit medie geometrică.

3.5.3 Criterii “precaute”

O a doua alternativă la teoria clasică a utilității așteptate este reprezentată de un set de criterii numite modele precaute. Originea acestor modele rezidă în convingerea că decidenții sunt de multe ori incapabili sau refractari la ideea parcurgerii aparatului matematic al teoriei utilității așteptate și folosesc un modeldecizional mai simplu, care se concentrează doar asupra efectelor negative.

Denumirea de criterii “precaute” vine de la realitatea că fiecare criteriu de acest tip pune în centrul atenției micșorarea riscului efectelor negative care se pot produce. În continuare vom prezenta trei criterii precaute: Roy, Kataoka și Telsen.

Criteriul lui Roy afirmă că cel mai bun portofoliu este acela care are cea mai mică probabilitate de a produce un venit sub un nivel minim, acceptat aprioric de către investitor. Fie Rp venitul portofoliului și RL nivelul sub care investitorul nu dorește ca veniturile să scadă. Criteriul lui Roy constă în minimizarea probabilității ca Rp să scadă sub RL, adică:

minP(Rp<RL) (3.63)

Pentru a putea dezvolta raționamentul am realizat o reprezentare grafică intuitivă a situației de mai sus în figura (III.9). pe o axă am reprezentat valorile minimă și maximă ale venitului portofoliului Rp, valoarea medie p și nivelul RL minim acceptat de investitor; abaterea standard este reprezentată prin segmentul σp.

Fig.(III.9)

Minimizarea probabilității P(Rp<RL) înseamnă intuitiv, a deplasa cât mai mult spre stânga (către Rpmin) pe RL. Altfel spus se urmărește ca în segmentul (RL,p) să se includă cât mai multe segmente σp. Prin urmare putem spune că dacă veniturile activelor sunt normal distribuite, atunci portofoliul optim este acela pentru care în segmentul (RL,p)se cuprinde un număr maxim de segmente σp. Rezultă că problema (3.63) devine:

min

Care este echivalent cu:

max (3.64)

Dacă în (3.64) înlocuim RL cu rentabilitatea activului fără risc (Rf), obținem maximizarea raportului , adică maximizarea prețului piscului portofoliului P (venit așteptat pe unitatea de risc).

Toate portofoliile care, conform criteriului lui Roy sunt la fel de bune, au aceeași valoare a raportului adică:

= K (3.65)

unde k este o constantă.

Rezultă că:

p=Ri+kσp (3.66)

Aceasta este ecuația unei drepte care intersectează ordonata în punctul RL și are panta k. portofoliile egal dezirabile (k=constant) se situează pe aceeași dreaptă. Cele mai bune portofolii se află pe dreapta cu cea mai mare pantă k. Acest lucru este ilustrat în figura (III.10), unde k4>k3>k2>k1.

Fig.(III.10): Drepte de aceeași preferință.

Portofoliul optim este portofoliul eficient care se află pe dreapta de egală preferință cu cea mai mare pantă fig.(III.11).

Fig.(III.11): Criteriul lui Roy-portofoliu optim.

Să considerăm un exemplu; fie trei portofoliica în tabelul următor (portofoliile A, B și C aparțin frontierei eficiente):

Presupunem că RL este 5%. Investitorul dorește să minimizeze șansele de a obține un venit sub 5%. Pentru portofoliul A nivelul de 5% este cu 1σp sub medie, pentru B cu 2,25σp sub medie, iar pentru C este cu 1,5σp sub medie. Deoarece probabilitatea obținerii unui venit cu 2,25σp sub medie este mai mică decât probabilitatea unui venit cu doar 1,5σp sau cu 1σp sub medie, portofoliul B este optim. Cu alte cuvinte, au minimizat raportul FORMULĂ.

Un rezultat similar se obține pentru orice distribuție a veniturilor, plecând de la inegalitatea lui Cebâșev:

P(>K) (3.67)

unde p este venitul mediu al portofoliului, σp abaterea standard, k o constantă, Rp venitul variabil al portofoliului. Deoarece veniturile care ne interesează sunt acelea sub media p, fracția din interiorul modulului este negativă. Rezultă că inegalitatea (3.67) devine:

P(< – K) (3.68)

Înlocuind în (3.68) pe k din(3.65), obținem:

P(<) => P(Rp < RL) (3.69)

Întrucât dorim maximizarea lui economică, din (3.69) rezultă că trebuie maximizată probabilitatea din membrul stâng, care este chiar criteriul lui Roy introdus de relația (3.63).

Astfel, analiza medie-dispersie este urmată de aplicarea criteriului lui Roy.

Criteriul Kataoka este cel de-al doilea criteriu precaut pe care îl vom prezenta. Kataoka propune maximizarea nivelului inferior de rentabilitate (Rl), dat de restricția ca probabilitatea unui venit Rp mai mic sau egal cu RL să nu depășească o anumită valoare furnizată aprioric. Aceste lucruri se pot scrie:

max RL

P(Rp < RL) (3.70)

Dacă veniturile sunt normal distribuite, putem analiza acest criteriu în planul medie-abatere standard. Fie, de exemplu, =0,05. Din tabelul repartiției normale observăm că limita minimă RL poate fi cel puțin egală cu 1,65 abateri standard sub medie, adică:

RL<=p-1,65σp

Întrucât vrem ca RL să fie cât mai mare posibil, putem trece de la inegalitate la egalitate:

p=RL+1,65σp (3.71)

Aceasta este ecuația unei drepte. Intersecția cu ordonata este RL, care este variabil, panta fiind constantă: 1,65. În figura (III.12) este reprezentată această dreaptă pentru diferite valori ale lui RL, atunci deplasarea dreptei cât mai sus posibil, pe direcția săgeții.

Fig.III.12: Criteriul Kataoka-portofoliul optim.

Dacă nu există posibilitatea de împrumut și credit, atunci există un maxim mic, acesta fiind cel mai înalt punct de tangență a dreptei (3.71) cu frontiera eficientă (punctul P aici situat pe dreapta corespunzătoare nivelului RL3). La fel ca la criteriul lui Roy, portofoliul optim trebuie să se afle pe frontiera eficientă, în planul medie-abatere standard. Aceeași analiză poate fi efectuată și cu ajutorul inegalității Cebâșev, utilă mai ales dacă repartiția veniturilor nu este specificată.

Ultimul criteriu este criteriul Telser. Acesta constă în maximizarea venitului așteptat al portofoliului:

maxp (3.72)

cu restricția ca probabilitatea unui venit mai mic sau egal cu un nivel minim așteptat să nu fie mai mare decât un număr aprionic stabilit.

P(Rp<=RL)<=. (3.73)

Dacă veniturile sunt normal distribuite, restricția devine:

RL<=p- (constantă) σ

sau:

p>=RL+(constantă)σ (3.74)

La egalitate relația (3.74) este ecuația unei drepte:

p=RL+(constantă)σ (3.75).

Fig.III.13: Criteriul Telser-alegerea portofoliului optim.

În figura (III.13) am reprezentat frontiera eficientă și dreapta (3.75). punctele de deasupra dreptei satisfac relația (3.73); zona hașurată reprezintă mulțimea portofoliilor fezabile; portofoliul optim are cel mai mare venit așteptat din mulțimea portofoliilor fezabile (aici portofoliul optim edte A). Este posibil ca mulțimea portofoliilorfezabile să fie vidă, ca în figura III.14, caz în care dreapta (3.75) este deasupra frontierei eficiente. În acest caz criteriul telser nu va selecta nici un portofoliu.

Fig.III.14: Criteriul Telser-nici un portofoliu fezabil.

În concluzie, folosind criteriul Telser, portofoliul optim fie este pe frontiera eficientă, fie nu există.

=== Capitol4 ===

CAPITOLUL 4

UTILIZAREA TEHNICILOR DE DETERMINARE

A FRONTIEREI EFICIENTE

În acest capitol vom descrie și demonstra o procedură de selectare a portofoliilor optime pentru cazul în care modelul de piață este acceptat ca fiind cel mai potrivit pentru a descrie structura covarianțelor veniturilor activelor. Mai întâi vom prezenta criteriul de ordonare ce poate fi folosit pentru ordonarea activelor în vederea selectării lor pentru portofoliul optim. Apoi vom prezenta tehnica de utilizare a acestui criteriu de ordonare pentru a forma un portofoliu optim, însoțită de explicațiile și justificările logice de rigoare. După prezentarea criteriilor pentru formarea unui portofoliu optim, le vom demonstra aplicabilitatea pe baza unui exemplu.

Ipoteza de bază cu care vom lucra este aceea că există posibilități nelimitate de împrumut și credit la o rată liberă de risc.

Formularea portofoliului optim

Determinarea portofoliului optim ar fi cu mult ușurată și abilitatea managerilor de portofoliu mult îmbunătățită dacă ar exista o mărime care să măsoare oportunitatea includerii unui titlu în portofoliul optim. Dacă acceptăm ipoteza că modelul de piață descrie cel mai bine evoluția venitului așteptat al titlurilor, o astfel de mărime există: oportunitatea includerii unui portofoliu optim depinde de venitul în exces per unitate de volatilitate:

i = venitul așteptat al activului i

, R unde: Rf = rata activului liber de risc

= coeficientul de volatilitate

Venitul în exces per unitate de volatilitate măsoară venitul suplimentar conferit de activul i față de activul liber de risc, per unitate de risc nediversificabil. Numărătorul reprezintă câștigul potențial al investitorului care deține activul i în locul activului liber de risc. Numitorul reprezintă riscul care nu poate fi eliminat prin diversificare (riscul sistematic).

Pentru ușurință vom nota:

Dacă ordonăm activele în ordinea crescătoare a venitului în exces per unitate de volatilitate (y), aceasta este chiar ordinea în care este oportun să se introducă în portofoliu acele active. Cu alte cuvinte, dacă un activ oarecare este introdus în portofoliul optim, toate titlurile cu yi mai mare vor fi de asemenea incluse. Pe de altă parte, dacă un activ oarecare este exclus din portofoliul optim, toate titlurile cu yi mai mic vor fi și ele excluse.

Numărul titlurilor incluse în portofoliul optim depinde de o mărime numită limită de oportunitate: toate titlurile cu yi mai mare decât această limită vor fi incluse, iar acelea cu yi sub limita de oportunitate vor fi excluse. Notăm limita de oportunitate cu C* (formula de calcul a lui C* va fi introdusă puțin mai târziu).

Sintetizând, regulile de determinarea activelor care ă fie incluse în portofoliul optim sunt următoarele:

Se determină venitul în exces per unitate de volatilitate pentru fiecare activ supus atenției și se ordonează descrescător;

Portofoliul optim se obține investind în activele pentru care este mai mare decât o limită de oportunitate C*.

În continuare vom defini și interpreta mărimea C* introdusă anterior. Plecăm de la problema de programare R pătratică:

(4.1)

Soluția acestei probleme reprezintă frontiera eficientă în situația în care investitorul are posibilitatea de împrumut și credit, fără a putea însă să vândă „în scurt”.

B

A

Rf

σ

Prin urmare, problema (4.1) devine:

(4.1)

Condițiile Kuhn-Tucker sunt:

(4.2)

Rezultă:

unde:

Fie zk = xk. Rezultă că (4.2) devine:

Folosim în continuu are relațiile (3.5) și (3.6):

si

Înlocuind în prima condiție Kuhn-Tucker, obținem:

Dacă un activ nu face parte din setul eficient, atunci zj=0. Astfel, însumarea se va face doar pentru activele portofoliului optim. Vom simboliza acest lucru prin simbolul: , unde: t este setul optim de active.

Rezultă că relația (4.3) devine:

Din condițiile Kuhn-Tucker 2 și 3 observăm că:

din a treia condiție, mărimile zi și Mi sunt fiecare sau 0 sau pozitive;

a doua condiție spune că produsul lor este 0.

Deci dacă zi e pozitivă, Mi este 0. Pentru orice activ inclus în setul optim, zi e pozitiv. Deci (4.4) devine:

Putem elimina înmulțind (4.5) cu βj și însumând pentru jЄt:

Relația (4.5) poate fi scrisă:

unde:

Deoarece pentru activele din portofoliul optim zi ≥ 0, din relația (4.6) rezultă că:

. De aici și explicația celor două reguli enunțate la începutul secțiunii prezente.