Permutari Circulare

Prin permutarea circulară a n elemente (obiecte ) () scrise în această ordine, înțelegem trecerea unui element în următorul, închizând astfel un cerc imaginar, adică

și scrise numai în această ordine.

A.1.Sumă circulară de trei obiecte a,b,c

În cadrul exercițiilor cu sumă circulară se vor face trecerile: Astfel pot să apară diverse situații, ca de exemplu:

1) ;

2) ;

3) , m fiind o constantă reală dată;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) , unde m și n sunt constante reale date.

A.2.Sumă circulară de patru obiecte a,b,c,d

În cadrul exercițiilor se vor face trecerile: Astfel pot să apară diverse situații, ca de exemplu:

1) ;

2) ;

3) , m fiind o constantă reală dată;

4) ;

5) ;

6) .

Analog ca în cazul A.1 se vor întâlni și celelalte situații.

A.3.Sumă circulară de n- obiecte

În cadrul exercițiilor se vor face trecerile: Astfel pot să apară diverse situații, ca de exemplu:

1) ;

2) , și analog cazului A.1 celelalte situații.

B.1.Produs circular de trei obiecte a,b,c

În cadrul exercițiilor cu produs circular se vor face trecerile: Astfel pot să apară diverse situații, ca de exemplu:

1)

2)

3) m fiind o constantă reală dată;

4)

5)

6)

7)

8) unde m și n sunt constante reale date.

B.2.Produs circular de patru obiecte a,b,c,d

În cadrul exercițiilor se vor face trecerile: Astfel pot să apară diverse situații, ca de exemplu:

1)

2) și analog cazului precedent, celelalte 6 situații , dar având în vedere că există patru elemente.

B.3.Produs circular de n- obiecte

În cadrul exercițiilor se vor face trecerile: Astfel pot să apară diverse situații, ca de exemplu pentru n obiecte și k o constantă reală nenulă .

C.Moduri de abordare a unei probleme care conține permutări circulare:

1) se aduce expresia la forma ireductibilă, adică efectuând toate calculele de sub simbolul sau simbolul , apoi se aplică permutarea circulară;

2)dacă expresia este dată sub formă ireductibilă se poate aplica permutarea circulară, apoi se vor efectua toate calculele algebrice, geometrice sau trigonometrice.

Observație. Dacă exercițiul cu permutare circulară este condiționat de o relație, atunci în cadrul fiecărui pas al rezolvării se va ține seama de condiția dată în ipoteză.

Exemplul 1. Să se verifice următoarele egalități:

1)

Rezolvare. Se aduce expresia de sub sumă la o formă convenabilă, apoi apoi se aplică permutarea circulară, adică

=

2)

Rezolvare. Suma poate fi scrisă

+

Se aduc fracțiile la același numitor apoi se efectuează calcule algebrice elementare.

3)

Rezolvare. Aducem fracția la forma ireductibilă:

4)

Rezolvare.

Exemplul 2. Să se verifice următoarele egalități condiționate:

1) știind că

Rezolvare. unde în calcule am ținut seama de relația

2) știind că

Rezolvare.

3) , știind că

Rezolvare. Aplicând formula algebrică

cu și efectuând notația cu

obținem că adică tocmai relația cerută.