Permutari. Aranjamente. Combinari. Probabilitati [608886]

PERMUT €RI. ARANJAMENTE. COMBIN€RI.
PR OBABILIT € •I.
ION CICU
Abstra ct. Materialul î³i propune o ab ordare strict la niv elul cerinµelor necesare rezolv  rii problemelor care
apar în subiectul I al examen ului de bacalaureat M2.
P e parcursul materialului, comen tariile autorului v or  scrise folosind culoarea albastru, în timp ce
asp ectele teoretice esenµiale v or  prezen tate folosind culoarea ro³u.
În general, problemele care apar în Subiectul I al v arian telor de bacalaureat se reduc pur ³i simplu la
cunoa³terea form ulelor de calcul p en tru p erm ut ri, aranjamen te ³i com bin ri, dar ³i calculelor cu factoriale.
Din acest motiv v om încep e direct cu form ulele ³i abia mai târziu v om ab orda ³i deniµiile p en tru p erm ut ri,
aranjamen te, com bin ri.
Prezen t m mai jos câtev a exemple luate din v arian tele propuse de c tre Cen trul Naµional p en tru
Curriculum ³i Ev aluare în În v  µ mân tul Preuniv ersitar p en tru bacalaureatul din 2009.
1. S  se determine n um rul natural n; n5 , ³tiind c (n3)!
(n5)!= 6 .
2. S  se calculeze C2
3+ 3! .
3. S  se efectueze A2
62C4
6 .
4. S  se calculeze C0
4C1
4+C2
4C3
4+C4
4 .
5. S  se rezolv e ecuaµia C2
n= 28; n2N; n2 .
P en tru a rezolv a prima problem  prezen tat  mai sus, s  purcedem la înµelegerea noµiunii de factorial.
Deniµie. Prin " n factorial" (notat n! ) înµelegem pro dusul tuturor n umerelor naturale de la 1 pân 
lan .
n! = 1
2
3


(n1)
n
Observ aµie. De³i ma joritatea c rµilor de sp ecialitate prezin t  deniµia factorialului ca mai sus, eu
prefer s  o spun astfel:
Deniµie. Prin " n factorial" (notat n! ) înµelegem pro dusul tuturor n umerelor naturale de la n pân 
la1 .
n! =n
(n1)
(n2)


2
1
Prefer aceast  scriere deoarece în m ulte situaµii n u este necesar s  scriem toµi factorii; este p osibil s 
e necesar s  scriem n umai primii trei sau patru factori.
Exemplu. În lo c de
10! = 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
e p osibil s  scriem
10! = 10
9
8
7!
A tenµie. Prin con v enµie 0! = 1
1

2 MA TERIAL BA C
Cunoscând n umai deniµia factorialului, putem rezolv a prim ul din tre exerciµiile de mai sus.
Ex.1. S  se determine n um rul natural n; n5 , ³tiind c (n3)!
(n5)!= 6 .
Soluµie. Fiind v orba de o fracµie, ne punem problema unei ev en tuale simplic ri. P en tru aceasta
putem scrie ca pro duse de factori am b ele factoriale, sau dezv olt m factorialul n um rului mai mare ( n3 )
pân  a jungem la factorialul n um rului mai mic ( n5 ).
Ecuaµia se p oate scrie
(n3)(n4)(n5)!
(n5)!= 6;
iar în urma simplic rii prin (n5)! obµinem
(n3)(n4) = 6 :
Desfacem paran tezele, trecem p e 6 în mem brul stâng, reducem termenii asemenea ³i obµinem
n27n+ 6 = 0
cu soluµiile n1= 1 ³in2= 6 (v ezi rezolv area ecuaµiei de gradul al doilea). A v ând în v edere condiµiile impuse
în en unµul problemei, deducem c  soluµia problemei este n= 6 (de altfel v aloarea 1 n u con vine ³i p en tru
c  factorialele n u ar  atunci bine denite).
P en tru a rezolv a celelalte exerciµii este necesar s  cunoa³tem semnicaµia notaµiilor Pn; Ak
n; Ck
n .
Deniµie D1. Pn reprezin t  n um rul p erm ut rilor unei m ulµimi cu n elemen te, ³i se calculeaz  cu
form ula:
Pn=n!
Deniµie D2. Ak
n reprezin t  n um rul aranjamen telor unei m ulµimi cu n elemen te din care alegem k
elemen te ( kn ). Num rul aranjamen telor se calculeaz  cu form ula:
Ak
n=n!
(nk)!
Deniµie D3. Ck
n reprezin t  n um rul com bin rilor unei m ulµimi cu n elemen te din care alegem k
elemen te ( kn ). Num rul com bin rilor se calculeaz  cu form ula:
Ck
n=n!
k!(nk)!
Observ aµie. În toate cazurile de mai sus se v orb e³te despre n ca ind n um rul de elemen te al unei
m ulµimi. Din acest motiv a v em în totdeauna n n um r natural.
Cunoa³terea acestor form ule este sucien t  p en tru a rezolv a toate problemele propuse mai sus. V om
trece acum la rezolv area lor.
Ex.2. S  se calculeze C2
3+ 3! .
Soluµie. În conformitate cu D3 a v em
C2
3=3!
2!(32)!=3!
2!
1!=3
2!
2!
1= 3:
Am simplicat prin 2! .
P e de alt  parte
3! = 3
2
1 = 6 :
Cu acestea a v em
C2
3+ 3! = 3 + 6 = 9 :

MA TERIAL BA C 3
Ex.3. S  se efectueze A2
62C4
6 .
Soluµie. Din D2 a v em
A2
6=6!
(62)!=6!
4!=6
5
4!
4!= 30;
iar din D3 a v em
C4
6=6!
4!(64)!=6!
4!
2!=6
5
4!
4!
2
1= 15:
Cu acestea a v em
A2
62C4
6= 302
15 = 0 :
Ex.4. S  se calculeze C0
4C1
4+C2
4C3
4+C4
4 .
Soluµie. Din D3 a v em
C0
4=4!
0!(40)!=4!
4!= 1:
(S  n u uit m! 0! = 1 )
C1
4=4!
1!(41)!=4!
3!=4
3!
3!= 4:
C2
4=4!
2!(42)!=4!
2!
2!=4
3
2!
2!
2
1= 6:
C3
4=4!
3!(43)!=4!
3!
1!=4
3!
3!= 4:
Dac  se cunoa³te form ula com bin rilor complemen tare ( Ck
n=Cnk
n ), atunci C3
4=C1
4= 4 .
C4
4=4!
4!(44)!=4!
4!
0!=4!
4!= 1:
F olosind aceea³i form ul  a a com bin rilor complemen tare ( Ck
n=Cnk
n ) a v em C4
4=C0
4= 1 .
Cu acestea a v em
C0
4C1
4+C2
4C3
4+C4
4= 14 + 64 + 1 = 0 :
Exist  ³i o soluµie m ult mai elegan t , dar aceasta presupune cunoa³terea form ulei binom ului lui Newton
0 = (11)4=C0
4C1
4+C2
4C3
4+C4
4:
Ex.5. S  se rezolv e ecuaµia C2
n= 28; n2N; n2 .
Soluµie. Din D3 a v em
C2
n=n!
2!(n2)!=n
(n1)
(n2)!
2
1
(n2)!=n(n1)
2:
Cu aceasta ecuaµia devine
n(n1)
2= 28;
sau
n2n56 = 0 ;
cu soluµiile n1=7 ³in2= 8 . A v ând în v edere condiµiile impuse în en unµul problemei a v em ca
soluµie a ecuaµiei iniµiale v aloarea n= 8 (de altfel v aloarea 7 n u con vine ³i p en tru c  n u ar  atunci bine
denite com bin rile).
De regul  condiµiile de existenµ  p en tru p erm ut ri, aranjamen te, com bin ri, trebuie impuse de c tre
noi, în conformitate cu D1, D2, resp ectiv D3. În cazul ecuaµiei de mai sus trebuie s  a v em n2N ³in2 ,
adic  exact ceea ce s-a dat în en unµ.

4 MA TERIAL BA C
Num rul p erm ut rilor, al aranjamen telor sau al com bin rilor, p oate s  apar  ³i în alte tipuri de
probleme, n u n umai în cele de simpl  înlo cuire cu form ula, cum am v  zut mai sus. În fond, n um rul
p erm ut rilor, al aranjamen telor sau al com bin rilor este gândit p en tru a n um ra o situaµie concret .
Cu toµii ³tiµi de clasamen tul de la fotbal. V-aµi pus vreo dat  în trebarea câte clasamen te se p ot forma,
cu acelea³i ec hip e, dar p e p oziµii diferite?
O alt  situaµie ar  dac  dorim s  acord m trei premii (I, I I, I I I) la trei elevi din tr-o clas . Cu totul
altcev a este dac  din tr-o clas  de elevi dorim s  form m o ec hip  de trei elevi. În câte feluri am putea,
teoretic, forma o astfel de ec hip ?
P en tru a da r spuns la aceste în treb ri trebuie s  l m urim ce înµelegem prin p erm utare, aranjamen t
sau com binare.
Deniµie. FieA o m ulµime nit . V om considera c  m ulµimea A este ordonat  dac  elemen tele ei
au lo curi bine stabilite în scriere.
Ca m ulµimi pur ³i simplu, fa; b; cg ³ifb; a; cg sun t egale. Ca m ulµimi ordonate, ele sun t diferite,
p en tru c  în prima m ulµime a o cup  prim ul lo c, iar în cea de a doua o cup  lo cul doi. La fel, b , în prima
m ulµime o cup  lo cul doi, iar în cea de a doua m ulµime o cup  prim ul lo c.
Deniµie. Dac  A este o m ulµime nit , atunci orice m ulµime ordonat  format  cu toate elemen tele
m ulµimii A se n ume³te p erm utare.
Ca mai sus, n um rul p erm ut rilor unei m ulµimi cu n elemen te este Pn=n! .
Deniµie. Dac  A este o m ulµime nit  cu n elemen te, atunci orice subm ulµime ordonat  format 
dink elemen te ( kn ) luate din m ulµimea A se n ume³te aranjamen t.
Ca mai sus, n um rul aranjamen telor unei m ulµimi cu n elemen te luate câte k esteAk
n=n!
(nk)!.
Deniµie. Dac  A este o m ulµime nit  cu n elemen te, atunci orice subm ulµime format  din k
elemen te ( kn ) luate din m ulµimea A se n ume³te com binare.
Ca mai sus, n um rul com bin rilor unei m ulµimi cu n elemen te luate câte k esteCk
n=n!
k!(nk)!.
A tenµie! În tre aranjamen te ³i com bin ri, diferenµa p oate p rea foarte mic . P en tru aranjamen te,
ordinea elemen telor în subm ulµime este imp ortan t , în vreme ce p en tru com bin ri n u con teaz  ordinea
elemen telor din subm ulµime.
Putem acum r spunde la în trebarea "câte clasamen te se p ot forma, cu acelea³i ec hip e, dar p e p oziµii
diferite?" Clasamen tul este o m ulµime cu 18 elemen te (cele 18 ec hip e) în care ordinea ec hip elor este foarte
imp ortan t  (mai ales dac  Steaua e p e prim ul lo c , ). V orbim astfel despre p erm ut ri. A³adar, n um rul
de p osibile clasamen te este P18= 18! (calculaµi v oi cât înseamn  asta  este un n um r de 16 cifre …).
R spundem acum ³i la celelalte dou  în treb ri.
Dorim s  acord m trei premii (I, I I, I I I) la trei elevi din tr-o clas  cu 25 de elevi. În câte mo duri putem
face acest lucru? A v em o m ulµime cu 25 de elemen te (elevii din clas ) din care trebuie s  alegem trei, iar
ordinea lor este foarte imp ortan t  (una este s  ia Gigel premiul în tâi, altcev a este s  ia M rioara premiul
în tâi). A³adar, v orbim despre aranjamen te de 25 luate câte 3 . A v em A3
25=25!
(253)!= 25
24
23 = : : :
Din tr-o clas  cu 25 de elevi dorim s  form m o ec hip  de trei elevi. În câte feluri am putea forma o
astfel de ec hip ? De aceast  dat  trebuie s  alegem trei elevi din cei 25 , iar ordinea lor n u mai con teaz 
(imp ortan t este ca Gigel ³i M rioara s  fac  parte din aceea³i ec hip , n u con teaz  în ce ordine îi c hem m la
ec hip ). V orbim, a³adar, despre com bin ri de 25 luate câte 3 . A v em C3
25=25!
3!(253)!=25
24
23
3
2
1=: : :

MA TERIAL BA C 5
V  propun acum s  rezolv  m împreun  câtev a exemple luate din v arian tele propuse de c tre Cen trul
Naµional p en tru Curriculum ³i Ev aluare în În v  µ mân tul Preuniv ersitar p en tru bacalaureatul din 2009.
Ex.6. S  se determine câte n umere de trei cifre distincte se p ot forma cu cifrele din m ulµimea f1;2;3g .
Soluµie. Deoarece se folosesc toate elemen tele din m ulµime (form m n umere de câte trei cifre) ³i
ordinea lor este imp ortan t , rezult  c  n um rarea se face cu a jutorul p erm ut rilor. A v em
P3= 3! = 3
2
1 = 6 :
A³adar, se p ot forma 6 n umere.
Ex.7. S  se determine n um rul subm ulµimilor cu dou  elemen te ale m ulµimii A=f1;2;3;4;5g .
Soluµie. Din cele cinci elemen te ale m ulµimii trebuie s  alegem dou , iar ordinea acestor elemen te
n u are imp ortanµ . Num rarea se face cu com bin ri. A v em
C2
5=5!
2!(52)!=5
4
3!
2
1
3!= 10:
Ex.8. S  se determine n um rul natural nen ul n astfel încât n um rul subm ulµimilor cu dou  elemen te
ale unei m ulµimi cu n elemen te s  e egal cu 6.
Soluµie. Ca mai sus, n um rarea se face cu com bin ri. T rebuie s  a v em
C2
n= 6;
saun!
2!(n2)!= 6;
de unde obµinem
n(n1)
2= 6;
sau
n2n12 = 0 ;
cu soluµiile n1= 4 ³in2=3 .
Fiind v orba de n um rul de elemen te ale unei m ulµimi, con vine n umai soluµia n= 4 .
Nu n umai cu a jutorul p erm ut rilor, aranjamen telor sau com bin rilor putem n um ra diferite situaµii
concrete. Exist  ³i alte mo dalit µi de n um rare, totul depinde de con textul problemei …
Una din tre mo dalit µile de n um rare, p e care o în tâlnim în exerciµii din subiectul I, este a³a n umita
regul  a pro dusului.
Dac  a v em de efectuat mai m ulte op eraµii succesiv e ( O1; O2; : : : ; O p ) ³i ecare din tre op eraµii p oate
 efectuat  în tr-un n um r de mo duri ( O1 înm1 mo duri, O2 înm2 mo duri, …, Op înmp mo duri), atunci
succesiunea tuturor op eraµiilor p oate  efectuat  în m1m2


 mp mo duri.
P en tru a înµelege mai bine, s  rezolv  m împreun 
Ex.9. S  se determine câte n umere de trei cifre se p ot scrie folosind doar cifre din m ulµimea f1;2g .
Soluµie. Op eraµiile succesiv e sun t date de O1 : înlo cuirea cifrei sutelor, O2 : înlo cuirea cifrei zecilor,
³iO3 : înlo cuirea cifrei unit µilor, iar n um rul mo durilor de efectuare este, în ecare din tre cazuri, 2 .
A v ând în v edere cele de mai sus, înseamn  c  se p ot forma
2
2
2 = 8 n umere :

6 MA TERIAL BA C
Necesitatea n um r rii unor situaµii apare ³i în problemele cu probabilit µi.
Noµiunea de probabilitate o în tâlnim, mai ales, în teoria jo curilor, atunci când trebuie s  stabilim
"³ansa" de a se realiza o an umit  situaµie. De exemplu, la aruncarea un ui zar, ne propunem s  obµinem
faµa cu 4 puncte. Obµinerea feµei cu 4 puncte reprezin t  un ev enimen t.
Probabilitatea realiz rii un ui ev enimen t E se calculeaz  cu form ula
p(E) =NF
NP;
unde cu p(E) am notat probabilitatea, cu NF n um rul cazurilor fa v orabile (cele care duc la realizarea
ev enimen tului), ³i cu NP n um rul cazurilor p osibile.
S  rezolv  m împreun 
Ex.10. Se consider  m ulµimea A=f1;2;3g . S  se determine probabilitatea ca, alegând un n um r
de dou  cifre format cu cifre din m ulµimea A , acesta s  aib  cifrele egale.
Soluµie. Ev enimen tul E este "s  aleg un n um r de dou  cifre, cu cifre egale".
T rebuie s  stabilim NP , n um rul cazurilor p osibile, ³i NF , n um rul cazurilor fa v orabile.
P en tru NP trebuie stabilit câte n umere de dou  cifre se p ot forma cu cifre din m ulµimea f1;2;3g .
(Problema este asem n toare cu cea de la Ex.9. )
Num rul cazurilor p osibile este
NP = 3
3 = 9
Num rul cazurilor fa v orabile înseamn  n um rul de n umere cu cifre egale, eviden t trei ( 11;22;33 ).
A³adar
NF = 3:
Cu acestea
p(E) =3
9=1
3:
Dac  tot am v orbit despre probabilit µi, s  mai rezolv  m împreun  dou  probleme.
Ex.11. Determinaµi probabilitatea ca, alegând un n um r din m ulµimea A=p
2;p
3;p
4; : : : ;p
10
,
acesta s  e raµional.
Soluµie. Ev enimen tul E este "s  aleg un n um r raµional".
NP = 9 (în m ulµimea A sun t 9 elemen te).
NF = 2 (în m ulµimea A , n umerele raµionale sun tp
4 = 2 ³ip
9 = 3 ).
A tunci
p(E) =2
9:
Ex.12. Determinaµi probabilitatea ca, alegând un elemen t n din m ulµimeaf2;3;4;5g , acesta s 
v erice egalitatea 2n=n2.
Soluµie. Ev enimen tul E este "s  e adev  rat  relaµia 2n=n2, când n se înlo cuie³te cu un n um r
din m ulµimeaf2;3;4;5g ".
NP = 4 (n um rul n se p oate înlo cui cu patru v alori).
NF = 2 (relaµia devine adev  rat  la înlo cuirea lui n cu2 , resp ectiv cu 4 ;22= 22³i24= 42).
A tunci
p(E) =2
4=1
2:

MA TERIAL BA C 7
Încercaµi s  rezolv aµi singuri
1. S  se calculeze C0
5+C1
52A1
5 .
2. S  se rezolv e ecuaµian!
6= (n2)!; n2N; n2 .
3. S  se determine câte n umere de trei cifre distincte se p ot forma cu a jutorul cifrelor din m ulµimea
f1;2;3;4;5;6;7;8;9g .
4. S  se determine n um rul subm ulµimilor cu dou  elemen te ale m ulµimii A=f1;2;3;4;5;6g .
5. S  se calculeze probabilitatea ca, alegând un n um r din m ulµimea A=f1;2;3; : : : ; 91g , acesta s 
e divizibil cu 13 .
6. S  se calculeze probabilitatea ca, alegând un n um r din m ulµimea n umerelor naturale de dou 
cifre, acesta s  e cubul un ui n um r natural.
Succes!
C utaµi cu Go ogle D_matematica_MT2 ³i rezolv aµi, de acolo, exerciµii asem n toare.