Pentru Test Disertatie Master 1 [622096]

UNIVERSITATEA POLITEHNICĂ din BUCUREȘTI
FACULTATEA DE INGINERIA ȘI MANAGE MENTUL
SISTEMELOR TEHNOLOGICE
MODELAREA ȘI SIMULAREA SISTEMELOR
MECANICE MOBILE

LUCRARE DE DISERTAȚIE

MODELE ALE COMUNICĂRII –
FRACTALI, NATURA
FRACTALĂ A WEB -ULUI,
COMUNICAREA BAN CARĂ CU
AJUTORUL FRACTALILOR

Conducător științific ,
Prof. dr. ing. Adriana COMĂNESCU

Masterand: [anonimizat]
2017 – 2018

CUPRINS

Introducere ……………………………………………………… ………………….. ….. pag. 1

Capitolul 1. Modelele comunicării …………………………………………….. pag. 2
1.1 Ce este un model de comunicare? ………………… ………………………… pag. 2
1.2 Modele de comunicare clasică ….. …………………. ……………………….. pag. 4
1.3 Primele modele liniare ale comunicării …………. ………………………. pag. 5
1.4 Modele neliniare ……………………………………………………………….. … pag. 7

Capitolul 2. Un model fractal ………………………….. ……………………….. . pag. 12
2.1 Construirea unui fulg de zăpadă ………………….. …………………………. pag. 12
2.2 Teoria Haosului ………………………………. …………. ………………………… pag. 14
2.3 Efectul fluture ……………………………………………. ………………………… pag. 14
2.4 Aplicarea fractalilor în comunicare ……………… …………………………. pag. 15

Capitolul 3. Caracteristica „ scale – free” a web -ului ……………………. pag. 16
3.1 Studiu de caz – O societate ba zată pe Web fără frontiere ………. ….. pag. 16

Capitolul 4. Identificarea fractalilor î n rețele complexe, precum w.w.w.
………………………………………………………………………………………….. ……… pag. 21
4.1 Fra ctalitatea și auto -similaritatea rețelelor complexe ……………….. pag. 25
4.2. Modele de rețele fractale …………………………… …………………………. pag. 39

Capitolul 5. Comunicarea în domeniul bancar prin intermediul fracta lilor
………………………………………………………………………………………………….. . pag. 41
5.1 Exemple de comunicare, prin intermediul articolelor de presă ……. pag. 42

Concluzii și propuneri ………………… …………………………………………… … pag. 47

Bibliografie ………………………………………………………………………………… pag. 48

~ 1 ~
INTRODUCERE

„Viața este un fractal în spațiul Hilbert ”
Rudy Ruck er – „Mind Tools: The fivel
levels of mathematical reality”, 1987

Spațiul Hilbert este un spațiu teoretic multidimensional. Rucker spune că
viața este o entitate infinit de variată, care există în mai multe dimensiuni.
Extrapolând putem spune că și comuni carea este un fractal în spațiul Hilbert.
Comunicarea umană este similară cu cea a mașinilor. Se transmit semnale în
sistemele de telefonie, televiziune, calculator și radar. Știința întotdeauna
simplifică, observa și Abraham Kaplan în „ The conduct of inqu iry: methodology
for behavioral science ”, în 1964.
Prin lucrarea de față oferim câteva variante despre cum simplifică fractalii
comunicarea în rețelele complexe și cum reușesc aceștia să facă posibilă și
benefică comunicarea în domeniul bancar prin interm ediul tehnologiei. Benoit
MandelBrot, cel care a inventat termenul fractal pentru a descrie forme geometrice
complexe care, atunci când sunt mărite, continuă să semene cu structura din care
provin, a dezvoltat forma fractală, simplă, repetată, care poate f i creată repetând
aceeași formulă. Iar fractalii au o multitudine de modele vizuale, multe cu aplicații
științifice practice, cum ar fi web -ul sau comunicarea bancară, asupra cărora ne
vom opri atenția.
Formă fractală a comunicării ne permite să conceptual izăm densitatea
aproape infinită a unui eveniment de comunicare, precum Helix -ul lui Dance. Iar
tiparele complexității în sistemele naturale, din care ființele umane fac parte, sunt
profund complexe și nu sunt ușor de capturat în nici o formulă. Deși este clar că
societatea trebuie să fie fractală, nu cunoaștem o justificare matematică pentru ea,
dar Jon Kleinberg ne oferă un rezultat grozav de web în „The small -world
phenomenon: An algorithmic perspective ”, 1999. Rețele complexe, precum web –
ul, descriu foarte bine o gamă largă de disci pline și sisteme și sunt omniprezente în
viața de zi cu zi, dar și în știință. Caracteristicile fundamentale ale rețelelor
complexe: „small world ”, „scale free ”, auto -similaritatea și fractalitatea sunt
motivul pentru care dorim să descoperim dacă întreaga reț ea pare o subsecțiune a
ei însăși. În ultimii ani studierea rețelelor a devenit o nouă disciplină. Teoria
rețelelor fractale reprezintă un segment al științei rețelei.
În această lucrare pe lângă concepte precum fractalitate și auto -simil aritate,
vom reved ea câteva noțiuni de dimensiune fractală și conexiunile dintre ele. Vom
aborda inclusiv lipsa unor noțiuni riguros matematice ale literaturii actuale și vom
face mai multe concepte și dovezi mai precise. De asemenea, vom studi a originea
și influența fracta lității, observând câteva exemple din lumea reală, prezentând
câteva modele matematice, dar și modele de rețele fractale precum Modelul Song –
Havlin -Makse.
Și toate acestea, pentru că u nele aspecte ale web -ului s -au dovedit a fi deja
fractale.

~ 2 ~
CAPITOLUL 1.
MODELELE COMUNICĂRII

1.1 CE ESTE UN MODEL DE COMUNICARE?

C. David Mortensen1 spunea despre modelele comunicării că sunt
reprezentări sistematice, matematice, ale unui obiect sau eveniment, în formă
idealizată și abstractă, fiind oarecum arbitrare după natura lor. Abstractizarea în
sine elimină anumite detalii pentru a se putea focaliza pe factori esențiali. Cheia
pentru utilita tea unui model este gradul în care se conformează cu determinanții
care stau la baza comportamentului comunicativ.
Modelele de comunicare sunt pur și simplu imagini, dar imagini
distorsionate, care captează un proces interactiv sau tranzacțional, în esență,
dinamic, într -o imagine statică. Modelele comunicării sunt metafore pentru că ne
permit să vedem un lucru prin prisma altuia.

1.1.1 Avantajele modelelor
1. Permit întrebări.
Mortensen2 spunea că un model de comunicare bun este util atunci când oferă
atât perspectivă generală, cât și puncte de vedere particulare care ne permit să
punem întrebări și să interpretăm baza de observație . Cu cât este mai complex
subiectul cu atât limitele naturale sunt mai amorfe și mai evazive, iar recompensele
potențiale ale construcției de modele sunt cu atât mai mari.
2. Clarifică complexitatea.
Modelele comunicării clarifică, de asemenea, structura even imentelor
complexe. După cum a observat Chapanis3, ele reduc complexitatea la termeni mai
simpli și mai familiari. Astfel, scopul unui model nu este să ignore complexitatea
sau s -o explice, ci mai degrabă s -o ordoneze și să -i dea coerență.
3. Noi descoperiri.
La un alt nivel, modelele au valoare euristică, adică oferă noi modalități de
a concepe idei și relații ipotetice. Aceasta ar putea fi cea mai importantă funcție a
acestora. Cu ajutorul unui model bun, suntem distrași de la modurile convenționale
de gândi re.

1.1.2 Limitări ale modelelor
1. Simplificări excesive.

1 C. David Mortensen, Communication: The Study of Human Communication (New York:
McGraw -Hill Book Co., 1972), Chapter 2, “Communication Models.”
2 Ibidem
3 Chapanis, A. Men, Machines, and Models , American Psychologist, 1961

~ 3 ~
Nu există nici o îndoială că o mare parte a muncii în proiectarea modelelor
de comunicare ilustrează sarcina repetată de multe ori. Ca orice lucru uman poate
fi modelat fiind, prin definiție, prea supe rficial.
Unii, precum Duhem4, cred că nu există nici o valoare în modele
comunicării. Ne putem proteja împotriva riscurilor de simplificare excesivă prin
recunoașterea distincției fundamentale dintre simplificare și simplificare excesivă.
Prin definiție, ș i din necesitate, modelele se simplifică. La fel și comparațiile.
După cum a observat Kaplan5, știința întotdeauna simplifică. Scopul său nu
este de a reproduce realitatea în toată complexitatea ei, ci numai de a formula ceea
ce este esențial pentru înțel egere, predicție sau control. Adevărata întrebare este ce
se simplifică? În măsura în care un model ignoră variabilele cruciale și relațiile
recurente, el este pasibil de simplificare excesivă. Simplificarea, la urma urmei,
este inerentă actului de abstrac tizare. De exemplu, un portocaliu obișnuit are un
număr mare de atribute potențiale; este necesar să se ia în considerare doar câteva
atunci când cineva decide să mănânce o portocală, dar multe altele trebuie luate în
considerare atunci când cineva vrea să surprindă esența nuanței într -o fotografie
premiată.
2. Confuzie.
Potrivit lui Mortensen criticii cer ca modelele să fie ușor confundate cu
realitatea. Problema începe de obicei cu o explorare inițială a unui teritoriu
necunoscut. Atunci modelul începe să funcționeze ca un înlocuitor al
evenimentului: pe scurt, harta este luată literal. Și ceea ce este mai rău, o altă formă
de ambiguitate este înlocuită de incertitudinea pe care harta a fost proiectată să o
minimalizeze. Cei care se ocupă de partea de sema ntică atrag atenția că „ harta nu
reprezintă teritoriul ”. Spania nu este roz deoarece așa apare pe hartă, iar
Minnesota nu este sus pentru că se află aproape de partea de sus a hărții SUA.
„Antidotul potrivit constă în dobândirea de pricepere în arta citiri i
hărților ”, spunea tot Mortensen , în capitolul al 2 -lea al „ Modelelor Comunicării ”,
1972 .
3. Închidere prematură .
Creatorul modelului comunicării poate să scape de riscurile de simplificare
excesivă și citire a hărții și să cadă în continuare în pericol ul inerent al
abstractizării.
Kaplan6 crede că pericolul este că modelul ne limitează la conștientizarea
posibilităților neexplorate de conceptualizare. Ne jucăm cu modelul atunci când
mai bine ne -am ocupa cu subiectul în sine. În multe domenii ale compo rtamentului
uman, cunoștințele noastre se află la nivelul înțelepciunii populare, dar
încorporarea ei într -un model nu duce automat la cunoștințe științifice.
Se poate reduce riscul numai prin recunoașterea faptului că realitatea fizică
poate fi reprezent ată în multe modalități .

4 Duhem, Pierre (1954). The Aim and Structure of Phy sical Theory . Princeton: Princeton University
Press. 2nd. Ed., 1991
5 Kaplan, A. The Conduct of Inquiry: Methodology for Behavioral Science . San Francisco:
Chandler, 1964
6 Ibidem

~ 4 ~
1.2 MODELE DE COMUNICARE CLASICĂ

1. Definiția retoricii lui Aristotel. Ehninger, Gronbeck și Monroe sunt de
părere că una dintre cele mai vechi definiții ale comunicării a venit de la filosoful
grec Aristotel7: „Retorica este c apacitatea de a observa în orice situație mijloacele
de persuasiune disponibile ”.
Modelul lui Aristotel, centrat pe vorbitor, a fost completat de educatorul roman
Quintilian (aprox. 35 – 95 de ani), în Institutio Oratoria cu sfaturi de pregătire a
unui „ bun” orator de stat.

Fig. 1.1 Modelul comunicării lui Aristotel , dup ă Ehninger și ceilalți

Fig. 1.2 Modelul – dovadă al lui Aristotel. Kinnevay a văzut un model de comunicare în
descrierea dovezii lui Aristotel

7 Aristotel, (384 -322 B.C.), Rhetoric 1335b.

~ 5 ~
2. Retorica lui Bitzer8. Lloyd Bitzer a descris „ Situația retorică ” care, deși
nu este un model, identifică unele dintre componentele clasice ale unei situații de
comunicare. Bitzer definește situația retorică drept un complex de persoane,
evenimente, obiecte și relații care prezintă o exigență actuală sau potențială care
poate fi complet sau parțial eliminată dacă discursul introdus în situație poate
constrânge decizia sau acțiunea umană, pentru a aduce modificări semnificative ale
exigenței.

1.3. PRIMELE MODELE LINIARE ALE COMUNICĂRII

1.3.1 M odelul matematic Shannon -Weaver9
Claude Shannon, inginer pentru Bell Telephone Company, a proiectat cel
mai influent model dintre toate modelele de comunicare timpurie. Scopul său a fost
de a formula o teorie care să ghideze eforturile inginerilor de a găs i modul cel mai
eficient de a transmite semnale electrice de la o locație la alta.
Mai târziu, Shannon a introdus un mecanism în receptor care a corectat
diferențele dintre semnalul transmis și recepționat; acest mecanism de monitorizare
sau corectare a f ost predecesorul conceptului de feed -back utilizat acum
(informația pe care un comunicator o câștigă de la ceilalți ca răspuns la
comportamentul său verbal).

Fig. 1.3 Modelul matematic al comunicării lui Shannon – Weaver

1.3.2 Modelul comunicării lui B erlo10
Ehninger, Gronbeck și Monroe consideră că cel mai simplu și influent
model centrat pe mesaj a venit de la David Berlo. În esență, aceasta este o adaptare
a modelului Shannon -Weaver. Modelul a cunoscut faima după Al Doilea Război
Mondial. Ideea de „ sursă” a fost suficient de flexibilă pentru a include mesaje de
tip simbolic, oral, scris, electronic sau de orice alt tip. Mesajul a devenit elementul
central, subliniind transmiterea ideilor.

8 Lloyd Bitzer, Filosofia și retorica , Winter, 1968, p . 1-15.
9 Claude Shannon și Warren Weaver, Teoria matematică a comunicării , Urbana: University of
Illinois Press, 1949
10 Simplificat de David K. Berlo, Procesul comunicării : New York: Holt, Rinehart și Winston, 1960

~ 6 ~
Modelul a recunoscut că receptoarele erau importante pentru com unicare,
deoarece acestea erau țintele. Noțiunile de „ codificare ” și „ decodificare ” au
subliniat problemele pe care le avem cu toții (psiho -lingvistic) în traducerea
propriilor noastre gânduri în cuvinte sau în alte simboluri și în descifrarea
cuvintelor s au simbolurilor altora în termeni pe care noi înșine să putem să -i
înțelegem.

Fig. 1.4. Modelul comunicării lui Berlo

Modelul subliniază manipularea mesajului – prin procesele de codare și
decodare. Comunicarea umană este similară cu cea a mașinilor, pr in transmiterea
de semnale în sistemele de telefonie, televiziune, calculator și radar.
Chiar și cu simbolurile „ corecte ”, oamenii se înțeleg greșit între ei.
Problemele legate de sens sau semnificație – nu sunt adesea o chestiune de
înțelegere, ci de rea cție, de acord , de concepte, credințe, atitudini, valori comune.
Pentru o bună comunicare, avem nevoie de o teorie a comunicării centrate pe sens.

1.3.3 Modelul interactiv al lui Schramm11
Wilbur Schramm a fost printre primii care a modificat modelul mate matic
al lui Shannon și Weaver. El a conceput decodificarea și codificarea ca activități
menținute simultan de expeditor și receptor. De asemenea, a prevăzut schimbul
reciproc de mesaje, inclusiv prin includerea unui „ interpret ” ca reprezentare
abstractă a problemei sensului.

Fig. 1.5 Modelul interactiv al comunicării lui Schramm

11 Wilbur Schr amm, Cum funcționează comunicarea , în Procesul și efectele comunicării, ed. Wilbur
Schramm (Urbana: Univer sity of Illinois Press, 1954), p. 3-26

~ 7 ~
Modelul lui Schramm este mai puțin liniar, dar reprezintă totuși o
comunicare bilaterală între două părți. Nivelele complexe, multiple, de
comunicare, între surse diverse, depășe sc acest model.

1.4. MODELE NELINIARE

1.4.1 Spirala elicoidală a dansului
Descrie comunicarea ca un proces dinamic. Mortensen susține că spirala
reprezintă modul în care comunicarea evoluează într -un individ, de la naștere până
la momentul prezent.
În ceea ce privește dansul: în orice moment, helixul dă mărturie geometrică
conceptului că în timp ce comunicarea avansează, efectul se întoarce asupra ei
înșiși și îi modifică comportamentul trecut. Curba viitoare a helixului este
fundamental afectată de Cur ba de ieșire. Cu toate acestea, elicea se poate elibera
treptat de la distorsiunile de nivel inferior. Procesul de comunicare, ca și helixul,
continuă în mod constant și totuși este întotdeauna într -o oarecare măsură
dependent de trecutul care informează p rezentul și viitorul. Modelul de comunicare
elicoidală oferă un proces de comunicare flexibil12.

Fig. 1.6 Modelul comunicării sub forma spiralei elicoidale a dansului

Mortensen: „ Ca dispozitiv euristic, helixul este interesant nu atât pentru
ceea ce spune , cât și pentru ceea ce permite să fie spus. Prin urmare, exemplifică
un punct făcut mai devreme: Este important să abordăm modelele într -un spirit de
speculație și joc intelectual ”13.
Chapanis14 l-a numit drept „ jocul sofisticat ” explicând că spirala implic ă o
comunicare continuă, irepetabilă, aditivă și acumula tivă. Pe scurt, helixul

12 C. David Mortensen, Communication: The Study of Human Communication (New York:
McGraw -Hill Book Co., 1972), p. 196
13 Ibidem
14 Chapanis, A., Men, Machines, and Models , American Psychologist, p. 16, 1961

~ 8 ~
subliniază aspectele integrate ale tuturor comunicărilor umane, ca pe un proces în
evoluție care este mereu transformat spre interior în moduri care permit învățarea,
creșterea și descoperirea.

1.4.2. Modelul conceptual al lui Westley și MacLean15
Westley și MacLean au realizat că nu când o persoană începe să vorbească
pornește comunicarea, ci mai degrabă atunci când o persoană răspunde selectiv.
Fiecare persoană care interacțio nează răspunde experienței sale senzoriale
(𝑥1 …) prin abstractizarea anumitor obiecte de orientare ( 𝑥1 … 𝑥3𝑚). Unele
elemente sunt selectate pentru interpretare sau codare ulterioară ( 𝑥') și apoi sunt
transmise unei alte persoane, care p oate sau nu să răspundă la aceleași obiecte de
orientare ( 𝑥, 𝑏).

Fig. 1.7 Modelul conceptual al comunicării lui Westley și MacLean

1.4.3 Un model conceptual de comunicare
Obiectele de orientare ( 𝑥1 … 𝑥) în câmpul senzorial al receptorului (B) sunt
transmise direct în formă abstractizată ( 𝑥𝑧 … 𝑥3) după un proces de selecție 𝑥𝑠,
fiind bazate cel puțin parțial pe nevoile și problemele lui B. Unele sau toate
mesajele sunt transmise în mai mult de un sens (de exemplu 𝑥3𝑚). Aceleaș i 𝑥𝑠 sunt
selectate și extrase de către comunicatorul A și transmise ca un mesaj ( 𝑥') către B,
care poate sau nu poate avea un rol important în propriul câmp senzorial ( 𝑥1𝑏).
Indiferent dacă este sau nu intenționat, B transmite feedback către A. X-urile pe
care le primește B pot rezulta din abstractele selectate care sunt transmise fără scop
de către codorul/codificatorul C, care acționează pentru B și astfel extinde mediul
lui B. Selecțiile lui C sunt în mod necesar bazate în parte pe feedback -ul (𝑓𝐵𝐶) de la
B.
Mesajele pe care C le transmite lui B ( 𝑥") reprezintă selecțiile lui C atât din
mesajele pe care le primește de la A ( 𝑥'), cât și din abstracțiile din propriul câmp
senzorial ( 𝑥3c, 𝑥4). În câmpul A, feedbackul se mișcă nu numai de la B la A ( 𝑓𝐵𝐴)
și de la B la C ( 𝑓𝐵𝐶), dar și de la C la A ( 𝑓𝐶𝐴). În comunicarea de masă, un număr
mare de 𝐶𝑠 primește dintr -un număr foarte mare de 𝐴𝑠 și transmite către un număr
mult mai mare de 𝐵𝑠, care primesc simultan mesaje de la ceilalți 𝐶𝑠.

15 A conceptual model of communication , Reprinted wi th permission from Westley and MacLean,
Jr., 1957

~ 9 ~

1.4.4. Modelul mozaic al lui Becker16
Becker presupune că majoritatea actelor de comunicare leagă elementele
mesajului de mai multe situații sociale. În trasarea diferitelor elemente ale unui
mesaj, este clar că ele mentele pot rezulta în parte dintr -o discuție cu un asociat,
dintr -un citat obscur vechi, dintr -o reclamă recentă TV și din numeroase alte
situații diferite – momente de introspecție, dezbatere publică, la o cafea și așa mai
departe. Pe scurt, elementele c are alcătuiesc un mesaj apar în mod obișnuit în
bucăți. Unele elemente sunt separate prin decalaje în timp, altele prin lacune în
modurile de prezentare, în situații sociale sau în numărul de persoane prezente.
Becker simulează evenimente complexe de comun icare cu activitatea unui
receptor care se mișcă printr -un cub în continuă schimbare sau un mozaic de
informații. Straturile cubul ui corespund straturilor de informații. Fiecare secțiune a
cubului reprezintă o sursă potențială de informații. Unii rămân bl ocați când, în
orice moment dat, unele fragmente de informații nu sunt disponibile pentru
utilizare. Alte straturi corespund unor seturi de informații potențial relevante.

Fig. 1.8 Modelul mozaic al lui Becker

Acest model descrie complexitatea incredibi lă a comunicării, influențată de
un mediu în continuă schimbare. De asemenea, contabilizează variații ale expunerii
la mesaje. Diferitele tipuri de relații între oameni și mesaje au fost eliminate prin
numeroasele niveluri de expunere. Unele relații se lim itează la situații izolate,
altele la evenimente recurente. Mai mult, unele relații se centrează pe un anumit
mesaj, în timp ce altele se concentrează pe mai multe unități difuze; adică implică
un set complex de relații între un mesaj dat și informații gen erale. Poate fi util să
concepi o interacțiune între două mozaicuri. Una cuprinde informația într -un mediu
social dat, așa cum este prezentat în model; cealaltă include mozaicul privat de
informații care este intern pentru receptor. Mozaicul intern este la fel de complex
ca cel prezentat în model, dar o persoană îl construiește pentru sine.
Chiar dacă acest model adaugă o a treia dimensiune, acesta nu răspunde cu
ușurință la toate dimensiunile posibile implicate într -un eveniment de comunicare.

16 Becker, Samuel L., The prospect of rhetoric , 1968

~ 10 ~

1.4.5 Ruesc h și Bateson, model funcțional
Ruesch și Bateson au conceput comunicarea ca funcționând simultan la
patru nivele de analiză. Unul este procesul de bază intrapersonal (nivelul 1).
Următorul (nivelul 2) este interpersonal și se concentrează pe domeniile de
suprapunere ale experiențelor celor două persoane care reacționează. Interacțiunea
în grup (nivelul 3) cuprinde mai mulți oameni. Și în final un nivel cultural (nivelul
4) leagă grupuri mari de oameni. În plus, fiecare nivel de activitate constă în patru
funcții de comunicare: evaluarea, trimiterea, primirea și canalizarea. Se observă
modul în care modelul se concentrează mai puțin asupra atributelor structurale ale
sursei de comunicare, mesajului, receptorului etc. – și mai mult asupra
determinanților reali ai procesului.

Fig. 1.9 Modelu l funcțional al lui Ruesch și Bateson

Mortensen spunea că o preocupare similară cu funcțiile de comunicare
poate fi identificată în modelele Carroll (1955), Fearing (1953), Mysak (1970),
Osgood (1954) și Peterson ( 1958). M odelul lui Peterson, spre exemplu, este unul
dintre puținele care integrează funcțiile fiziologice și psihologice la locul de muncă
în toate evenimentele interpersonale.

1.4.6 Modelul tranzacțional al lui Barnlund17
Acesta este de departe cel mai sistema tic dintre modelele funcționale –
abordarea tranzacțională adoptată de Barnlund, unul dintre puținii oameni care a
făcut explicite ipotezele cheie pe care se bazează modelul său.
Mortensen susțin e că trăsătura sa cea mai izbitoare este lipsa oricărei
orientă ri simple sau liniare în interacțiunea dintre sine și lumea fizică. Liniile
spirale conectează funcțiile de codificare și decodare și dau o reprezentare grafică
ipotezelor continue, irepetabile și ireversibile. Mai mult decât atât, direcționalitatea
săgeți lor pare să sugereze în mod deliberat că sensul este atribuit în mod activ sau
atribuit mai degrabă decât pur și simplu primit pasiv.

17 Barnlund, D. C. Interpersonal Communication: Survey and Studies . Boston: Houghton Mifflin,
1968, p . 83-102

~ 11 ~

Fig. 1.10 și 1.11 Modelul comunicării tranzacționale a lui Barnlund

De la Mortensen, aflăm care sunt punctele forte, d ar și cele slabe. El
pomenește faptul că ipotezele reprezintă o perspectivă a comunicării ca tranzacție
în care comunicatorii atribuie înțelesul evenimentelor în moduri care sunt
dinamice, continue, circulare, irepetabile, ireversibile și complexe.
Mortens en susținea că excepția este presupunerea că o comunicare descrie
evoluția sensului. De fapt, modelul presupune că termenii comunicare și
semnificație sunt sinonimi și interschimbabili. Totuși, nicăieri modelul nu
confruntă, chiar și într-o manieră rudimen tară, cu problema dificilă de sens.
Includerea decodificării și a codificării poate fi considerată o aproximare brută a
„evoluției sensului ”, dar astfel de categorii dualiste nu sunt deosebit de utile în
explicarea contingențelor semnificației .

~ 12 ~
CAPITOLUL 2.
UN MODEL FRACTAL

Polonezul matematician Benoit MandelBrot, în timp ce lucra pentru IBM în
anii 1960 și 1970, a devenit interesat de posibilitatea de a obține forme aparent
neregulate, cu o formulă matematică. „ Norii nu sunt sfere ”, a s pus el, „ munții nu
sunt conuri, coastele nu sunt cercuri, scoarța nu este netedă și nici călătoria
fulgerelor nu este în linie dreaptă ”. Deci, dacă aceste forme geometrice regulate nu
ar putea să țină seama de modelele naturale, ce anume ar putea? Pentru a rezolva
problema, MandelBrot a dezvoltat forma fractală, simplă, repetată, care poate fi
creată repetând aceeași formulă. „ Am inventat fractalul din latinescul „fractus”,
care înseamnă „a rupe”: pentru a crea fragmente neregulate. Prin urmare, este
adecv at nevoilor noastre. Pe lângă „fragmentat” ar trebui să însemne și
„neregulat”, ambele sensuri fiind păstrate în fragment ”, spunea MandelBrot.

2.1 CONSTRUIREA UNUI FULG DE ZĂPADĂ

Fig. 2.1 Fulgul de zăpadă și curba lui Koch

Un fulg de zăpadă Koch est e construit prin adăugarea progresivă a unui
triunghi simplu. Adăugările se fac prin împărțirea laturilor triunghiului echilateral
în treimi, apoi crearea unui nou triunghi pe fiecare treime mijlocie. Astfel, fiecare
cadru prezintă o complexitate mai mare, dar fiecare triunghi nou în design arată
exact ca cel inițial. Această reflectare a designului mai larg în detaliile sale mai
mici este caracteristică tuturor fractalilor.
Formele fractale apar peste tot în natură: un cap de broccoli, o frunză, o
fulg de zăpadă – aproape orice formă naturală.
Descoperirea lui MandelBrot a schimbat grafica computerizată – prin
utilizarea formulelor fractale, motoarele grafice ar putea creea peisaje virtuale cu

~ 13 ~
aspect natural. Mai important, formulele fractale pot explica v ariațiile altor modele
naturale, cum ar fi piețele economice și modelele meteorologice.
Matematicianul MandelBrot spuneam că a inventat termenul „ fractal ”
pentru a descrie forme geometrice complexe care, atunci când sunt mărite,
continuă să semene cu struc tura din care provin. Această proprietate, în care
modelul întregului se repetă pe scări mai mici și mai mici, se numește similitudine.
Fractalul prezentat aici, numit setul MandelBrot, este reprezentarea grafică a unei
funcții matematice.

Fig. 2.2. Ma ndelBrot Set

Fractalii permit o densitate aproape infinită. De exemplu, MandelBrot a
considerat întrebarea următoare înșelător de simplă: „ Cât este linia de coastă a
Marii Britanii ?”18 Un răspuns tipic va ignora golfurile și golfulețele mai mici de o
anumi tă dimensiune. Dar dacă luăm în considerare aceste mici caracteristici ale
liniei de coastă și apoi pe cele și mai mici, vom găsi în curând o linie de lungime
potențial infinită și în continuă schimbare. O ecuație fractală ar putea explica o
astfel de lini e.
Geometria fractală este, în unele privințe, legată de Teoria Haosului – știința
de a găsi modele în secvențe aparent aleatoare, cum ar fi modelele de vreme.
Teoria Haosului a fost aplicată peisajelor generate de calculator, structurilor
organizaționale19 și chiar mașinilor de spălat. Desigur, aceasta a fost aplicată și în
economie și pieței bursiere, în special. Se spune că piețele de acțiuni sunt sisteme
neliniare, dinamice. Teoria Haosului este studiul matematic al unor astfel de
sisteme dinamice. Acest lucru înseamnă că specialiștii pot să prevadă când
stocurile vor crește și vor cădea? Nu chiar. Cu toate acestea, ei au stabilit că
prețurile de pe piață sunt foarte aleatoare, dar cu o tendință. Piața bursieră este
acceptată ca un sistem similar, în sens ul că părțile individuale sunt legate de întreg.
Un alt sistem similar în domeniul matematicii sunt fractalii. Ar putea fi asociată
bursa de valori cu un fractal? De ce nu? În acțiunea privind prețul pieței, dacă se
uită la diagramele lunare, săptămânale, zilnice, structura are un aspect similar. Cu
toate acestea, la fel ca un fractal, piața bursieră are dependență sensibilă de

18 Benoit B Mandelbrot. How long is the coa st of britain . Science, p. 636 –638, 1967
19 http://www.cio.com/archive/enterprise/04159 8_qanda_ content.html

~ 14 ~
condițiile inițiale. Acest factor este ceea ce face ca sistemele dinamice ale pieței să
fie atât de greu de prevăzut. Deoarece nu p utem descrie cu exactitate situația
actuală cu detaliile necesare, nu putem prezice cu exactitate starea sistemului în
viitor. Succesul pieței bursiere poate fi anticipat de specialiștii în Teoria Haosului.
Investițiile pe termen scurt, cum ar fi schimburi le dintr -o zi, sunt o pierdere de
timp. Comercianții, pe termen scurt nu vor reuși în timp, din cauza costurilor de
tranzacționare. Cu toate acestea, în timp, acțiunea pe termen lung a prețurilor nu
este aleatorie. Comercianții pot reuși să tranzacționeze de graficele zilnice sau
săptămânale dacă urmăresc tendințele. Un sistem poate fi aleator pe termen scurt și
determinist pe termen lung.20.

2.2 TEORIA HAOSULUI

O premisă -cheie în Teoria Haosului și a fractalilor este legată de
„dependența sensibilă de c ondițiile inițiale ”. Unul din primii teoreticieni ai
haosului, care studiază modelele meteorologice, a descoperit acest lucru când a
folosit un program simplu de calculator pentru a completa cursul a 12 variabile
meteo. Hârtia a ieșit din imprimantă, așa c ă a notat starea variabilelor într -un punct
anterior, a oprit procesul, a înlocuit hârtia și a reluat procesul la punctul anterior.
Chiar dacă variabilele au început în același punct, modelele s -au diversificat rapid,
demonstrând că condițiile inițiale sim ilare sau chiar identice pot conduce la
rezultate radicale diferite21.

2.3 „EFECTUL FLUTURE”

Acest fenomen a determinat cercetătorii să vorbească despre „ efectul
fluture ” pentru a ilustra modul în care o schimbare foarte mică poate produce
schimbări semni ficative într -un sistem. Efectul fluture se referă la faptul că un
fluture care își aruncă aripile peste Beijing poate avea ca rezultat o schimbare a
tiparelor meteorologice din New York, două luni mai târziu.

Fig. 2.3 Efectul fluture

20 http://www.duke.edu/~mjd/chaos/chaos.html
21 James Gleick, Chaos: Making a new science, Viking Press, 1987

~ 15 ~
2.4 APLICAREA FRAC TALILOR ÎN COMUNICARE

La fel ca Helix -ul lui Dance, văzând că comunicarea ca formă fractală ne
permite să conceptualizăm densitatea aproape infinită a unui eveniment de
comunicare, Margaret J. Wheatley a încercat să aplice teoria fractală și știința
haosu lui managementului22.
Semnificația acestui lucru pentru acest subiect este următoarea: în primul
rând, tiparele complexității în sistemele naturale, din care ființele umane fac parte,
sunt profund complexe și nu sunt ușor de capturat în nici o formulă. Prin urmare,
orice predicții despre rezultatul acestor sisteme sunt în mod necesar limitate din
cauza dificultății de a fi sensibile la condițiile inițiale. Un model de comunicare
extras din teoria fracturilor și a haosului ar trebui să reflecte această comple xitate și
să răspundă la variațiile condițiilor inițiale.
În plus, dacă ne combinăm fractalul cu alte construcții matematice, putem
dezvolta o euristică și mai bogată.
Matematicianul Rudy Rucker a spus ceva memorabil, într -un mod în care
numai un matematic ian o poate face: „Viața este un fractal în spațiul Hilbert”23
Spațiul Hilbert este un spațiu teoretic multidimensional. Rucker spune că
viața este o entitate infinit de variată, care există în mai multe dimensiuni.
Deci, putem împrumuta expresia lui Rucke r pentru a spune că și
comunicarea este un fractal în spațiul Hilbert.

22 Leadership și Noua Știință: Învățarea despre organizarea dintr -un univers ordonat, San
Francisco, CA: Edituri Berrett -Kohler, 1992.
23 Mind Tools: Cinci niveluri ale realității matematice (Boston: Houghton Mifflin, 1987) , p. 248

~ 16 ~
CAPITOLUL 3. CARACTERISTICA „SCALE FREE ” – FĂRĂ
SCARĂ LARGĂ – A WEB -ULUI

3.1 STUDIU DE CAZ. PUTEM FACE O SOCIETATE BAZATĂ PE
WEB CARE IGNORĂ FRONTIERELE GEOGRAFICE?

Porni m în emiterea unor păreri de la un articol intitulat „ Natura fractală a
web-ului” / Caracteristica fără scară largă a web -ului”24. Fractalii pentru a se
referi la o distribuție Zipf (1 / f), ar trebui să fie folosiți doar în spații de dimensiuni
finite, cum ar fi planurile bidimensionale ale seturilor MandelBrot. Termenul
corect pentru Web, atunci, este „ fără scară largă /fără scalare” – „scale free ”.
Compromisul dintre stabilitate și diversitate este servit de aceeași structură,
la toate nivelurile. Nu există o teorie ma tematică care să demonstreze că aceasta
este o optimi zare a unor valori pentru rezistența societății și eficacitatea acesteia ca
organism. Setul de egalități și substructura nu trebuie să implice un număr mare de
implicări, deoarece grupurile nu pot măsura , adică lucra efectiv cu un număr foarte
mare de grupuri de egalități sau când sunt compuse ca un set foarte mare de
părți. În acest caz, prin inducție trebuie să existe un continuum de dimensiuni de
grup de la cel mai mare la cel mai mic. Alte lucruri int eresante ale modelului care
trec printr -un sistem fractal includ trăsăturile ADN în cazul căsătoriilor între etnii
diferite, spre exemplu. Călătoriile la nivel mondial ar putea duce la reducerea
diversității.

3.1.1 Zipf se întâmplă
Măsurătorile timpur ii ale traficului web de către firewall -ul DEC WRL au
arătat că site -urile cu o distr ibuție Zipf (1 /n) sunt mai populare printre
angajați25. Analizele recente sugerează că Web -ul devine mai mic în comparație cu
dimensiunile pe care pare să le folosească .
Cum putem folosi informațiile despre caracterul fractal al Web -ului? Prin
planificarea lățimii de bandă a rețelei între comunicațiile cu rază lungă de acțiune
și cu rază scurtă de acțiune, planificarea utilizării cache -ului etc. Rețeaua fizică
poate avea o varietate de scalare geografică, cum ar fi sistemul rutier. Cu toate
acestea, structura web -ului este interesant diferită din cauza lipsei constrângerii
bidimensionale. Provocarea este de a folosi această flexibilitate pentru construirea
unei societăți e ficiente în fruntea web -ului.

3.1.2 Căutarea unei valor i
Ce înțelegem prin „ eficient ”? Am dori să combinăm capacitatea și
cunoștințele creatoare ale omului de știință pentru a găsi un tratament pentru
SIDA. Am dori să păstrăm pacea mondială, permițând xe nofobiei să se disperseze
într-o rețea de înțelegere, păstrând, în același timp, diversitatea culturii care dă

24 T. Berners -Lee and L.Kagal, The Fractal Nature of the Semantic Web , AI Magazine, 2007
25 Jacob Nielsen , Zipf Curves and Website Popularity , 1997

~ 17 ~
rasei umane bogăția ei. Acestea sunt, desigur, aceleași probleme clasice ale
managem entului unei mari organizații, ale combinării creativității i ndividuale cu
viziunea corporativă.
Dacă web -ul societății are un dezechilibru, plătim pentru el. Plătim pentru
înțelegerea globală insuficientă privind războiul. Plătim pentru o comunicare
familială deficitară cu familiile dezbinate și persoanele neajutora te. La orice nivel,
lipsa unei structuri sociale va împiedica rezolvarea problemelor și utilizarea
resurselor specifice. Prin urmare, ar fi grozav ca pentru o anumită rețea să existe o
modalitate de măsurare a gradului în care aceasta are un model fractal echilibrat și,
dacă nu, depistarea punctelor sale slabe.
Cei care caută efectul „ lumii mici ” – „small world ” au ales valori de genul
valoarea maximă sau semnificativă a celei mai scurte căi dintre cele două
puncte. Acest lucru oferă un etalon pentru eficac itate la scară globală, dar nu și
pentru înțelegere.
Folosind algoritmul lui Jon Kleinberg26 (care pentru o matrice de legături A
conectează conceptele cu vectorii proprii ai A*A), puterea grupului reprezintă
aprecierea propriei valori (în timp ce acest luc ru nu indică în mod direct mărimea)
și un test interesant ar fi pentru valorile absolute relative ale propriilor valori
succesive.
Privind din punctul de vedere al unui individ (un nod de graf), o întrebare
interesantă este legată de proporția de trafic ca re este la nodurile locale sau mai
îndepărtate. În modelul Marchiori27 fluxurile de trafic între două noduri sunt invers
proporționale cu rezistența celei mai scurte căi. Se consideră că „ eficiența ” totală
este debitul total între toate perechile de noduri. Putem măsura acea condi ție de
„rumegare ” care măsoară apropierea sistemului de o distribuție fractală a
comunicațiilor pe lungimi mari și scurte? Dacă modelul Marchiori ar fi modificat
pentru a utiliza conductanța paralelă (mai mult ca un sistem real de flux de
semnal), atunci a r fi mai simplu?

3.1.3 Societatea trebuie să fie fractală
Deși este clar clar că societatea trebuie să fie fractală, nu cunoaștem o
justificare matematică pentru ea, dar ce oferă Jon Kleinberg28 este un rezultat
grozav de web.
Lucrarea pleacă de la o rețea bidimensională. Se imaginează fiecare celulă
având o anumită distribuție de legături de diferite lungimi. Aceasta demonstrează
că, pentru a realiza conectivitatea de tipul 6 grade de separare care se măsoară cu
autentificatorul sistemului, atunci distribuția densității legăturii ca o funcție a
distanței trebuie să fie tocmai o lege inverso -pătrată. Adică, fiecare celulă trebuie
să aibă același număr de linkuri (în medie) cu celulele de la 1 la 10 pătrate, la fel ca
la celulele 10 -100 distanță, etc. Orice este mai local sau mai global p oate conduce
la un fenomen mai mic: este singura soluție extensibilă.

26 Jon Kleinberg , The small -world phenomenon: An algorithmic perspective . Cornell Computer
Science Technical Report 99 -1776, October 1999
27 Marchiori M & Latora V, Harmony in the sm all world . Private communication 1999. Later
published in Physica A, vol. 285 (p. 539 – 546), 2000.
28 Jon Kleinberg, The small -world phenomenon: An algorithmic perspective . Cornell Computer
Science Technical Report 99 -1776, October 1999

~ 18 ~
Adevărat, acest lucru este valabil pentru o rețea geografică și una pătrată,
destul de uniformă. Se generează la mai multe dimensiuni. În plus, se poate vedea
logic cum funcționează sist emul. Pentru a obține o carte poștală la o persoană
necunoscută din București printr -o rețea de prieteni, trebuie să există suficienți
prieteni locali pentru a putea găsi pe cineva care va cunoaște pe altcineva din
București. Persoana din București trebuie să fie capabilă să transmită informația
oamenilor aflați din ce în ce mai aproape de țintă. Acest lucru funcționează numai
dacă există conectivitate la fiecare scară. Este adevărat că nimeni nu a derivat
măsura numărului de salturi pe care un mesaj îl ia ca fiind o măsură esențială
pentru sisteme, dar pe de altă parte există o analogie clară cu numărul de salturi
dintre o problemă și o soluție într -o organizație mare.

Tabel 3.1 Datele de la Swoogle din aprilie 2005

Se văd curbe în formă de Zipf29. Notele Swoogle:
 Toate aceste serii urmează distribuției lui Zipf, cu excepția cozii
 Reducerea accentuată a cozilor în clasa „ populată ” arată că cele mai
populare clase sunt foarte corelate, astfel încât acestea sunt populate de aproape
aceeași cantitate de SWD. Situația s imilară poate fi observată și în alte serii.
 Scăderea drastică a „clasei populate” și a „ proprietății de populare ” este
cauzată de coexistența anumitor clase și anumitor proprietăți.

3.1.4 Exercițiu
Există o mulțime de moduri în care cerința fractală poat e fi folosită în
designul web. Poate fi utilizată și pentru a afla potrivirile din societate în

29 Jacob Nielsen , Zipf Curves and Website Popularity

~ 19 ~
general. Interacțiunile personale se răspândesc pe scări? Iată o diagramă de auto –
ajutor.
Tabel 3.2. Diagramă pentru a se observa cum se răspândesc interacțiuni le
personale

Alt mod de a face acest lucru este să găsești 11 borcane și să etichetezi pe
fiecare cu scală în puteri de 10.

Fig. 3.1 Cum se răspândesc interacțiunile personale, exercțiu cu ajutorul
borcanelor

Se pun bile în fiecare borcan pentru fie care perioadă de timp pe care o
cheltuim pentru chestiuni la o anumită importanță, cum ar fi o întâlnire
internațională sau un teren sportiv școlar sau cu familia. Cât de bine echilibrate
sunt borcanele?
Ca persoană socială, petrecem timp suficient cu grup uri de fiecare
dimensiune? Dacă nu, există un singur clic prin care putem face parte din aceste
grupuri? Una dintre preocupări este că ultima coloană – coloana globală – tinde,
potrivit autorului, să obțină cea mai mică sumă de bani, cum se întâmplă cu
impozitele federale, statale și orășenești care sunt răspândite peste tot, dar ajutorul
internațional este mult mai mic.
Oamenii care țin doar de o scară toată viața lor se simt foarte
incomod. Pentru că preferințele noastre au evoluat pentru a forma în mod natural o
societate fractală.

Unele aspecte ale web -ului s -au dovedit a fi deja fractale.
Iată câteva proprietăți ale interconexiunilor:

~ 20 ~
 Legăturile dintre ontologii pot fi făcute după crearea lor, fără a implica
neapărat designerii originali de ontologie.
 Există costuri de conectare a ontologiilor pe care oamenii le vor plăti doar
atunci când vor avea nevoie de beneficiile unei interoperabilități suplimentare.
 Câteodată când conectăm ontologii, există presiune pentru a schimba
termenii pe care îi folosește o comunitate pentru a se potrivi mai bine cu cealaltă
comunitate. Rezultă un cost finit pentru a face schimbarea, în pofida unui beneficiu
sau a unei interoperabilități.
Dacă bazarea pe web înseamnă un set suprapus de multe ontologii într -o
distribuție fr actală, în încurcătura sa vor fi mai multe modele recurente la scări
diferite. Un model este o integrare locală în interiorul unei întreprinderi (de
exemplu), care pornește dintr -un punct de referință și apoi se schimbă la un hub și –
o spiță, cum s -ar spune , iar în final hub -ul se conectează într -o magistrală externă,
la ontologii comune.
Prin urmare, într -un singur mesaj, unii termeni vor fi de ontologie globală,
alții din subdomenii. Cantitatea de date care poate fi refolosită de un alt agent va
depinde de câte comunități au în comun și câte ontologii împărtășesc.
Cu alte cuvinte, o ontologie globală nu este o soluție la problemă, cum nici
un subdomeniu local nu este o soluție. Dar dacă fiecare agent folosește o
combinație de câteva ontologii de o scară dif erită, aceasta poate fi o soluție globală
a problemei.

3.1.5 Supoziție
Există un model care a descris în mod rezonabil aceste sisteme și, având în
vedere acest model, se poate demonstra că distribuția „ fără scară largă /fără
scalare” a comunităților este optimă.
Există multe alte întrebări. Desigur, sistemele existente de pe pământ pot fi
influențate în mare măsură de realitatea geografică a unei suprafețe
bidimensionale. Grupurile istorice au fost influențate geografic. Deci, deși ar putea
exista aspecte în care mărime a comunității este nescalată, poate că este o problemă
de optimizare complet diferită de cea pe care o avem atunci când pe Internet
oricine se poate conecta cu sau la oricine.
Dacă s -ar putea crea un algoritm pentru a conecta oamenii în grupuri și
pentru a participa fiecare în comunități de diferite mărimi într -un mod „ fără scară
largă /fără scalare”, atunci cât de eficientă (la rezolvarea problemelor etc.) poate fi
o societate bazată pe web care ignoră frontierele geografice? În ce măsură
omenirea, așa cum este conecta tă în prezent prin web, se abate de fapt de cuiburile
geografice?

~ 21 ~

CAPITOLUL 4.
IDENTIFICAREA FRACTALILOR ÎN REȚELELE
COMPLEXE, PRECUM W.W.W.

Pentru că descriu foarte bine o gamă largă de discipline și sisteme, de la
biologie (exemplu, rețelele de int eracțiune a proteinelor) până la tehnologia
informației (www, internet) ori științe sociale (rețele de comunicații) a fost
necesară studierea în profunzime a rețelelor complexe.
Așa s -a aflat că rețelele sunt omniprezente în viața de zi cu zi, dar și în
știință.
Descrierea topologiei rețelelor este foarte importantă pentru o gamă largă
de elemente statice și proprietăți dinamice. De exemplu, topologia rețelelor sociale
influențează răspândirea informațiilor și a bolilor.
În ciuda diversității rețelelor, c ele mai multe rețele reale împărtășesc
proprietăți specifice care diferă în mai multe moduri de rețelele aleatoare, cum ar fi
graful aleatoriu Erdős -Rényi30.
Două caracteristici fundamentale ale rețelelor complexe au atras atenția în
ultima vreme: proprieta tea de „ lume mică ” (small – world ) și cea de „ fără
scară”/fără scară largă /fără scalare sau „ scale -free”.
Comportamentul de „lume mică” înseamnă că distanța medie dintre noduri
se scindează logaritmic cu numărul de noduri31; în timp ce proprietatea „ fără
scară ”/fără sc ară largă /fără scalare se referă la faptul că distribuția gradului
respectă o lege privind puterea32.
Alte proprietăți fundamentale sunt auto -similaritatea și fractalitatea .
Acesta este motivul pentru care vrem să aflăm dacă întreaga rețea pare la fel ca o
subsecțiune a ei însăși.
Deși pare să nu există nici o distincție între fractalitate și auto -similaritate
cu privire la un obiect fractal obișnuit, în teoria rețelei distingem ambii termeni:
fractalitatea reprezintă raportul putere -lege între numărul minim de cutii (b oxes)
necesare pentru a acoperi întreaga rețea și dimensiunea cutiilor, în timp ce o rețea
auto-similară este definită ca o rețea a cărei distribuție de grade este constantă în
restandardizare33.

30 Paul Erd ὅs and A Rényi. On the evolution of random graphs . Publ. Math. Inst. Hungar. Acad.
Sci, p. 17 –61, 1960
31 Duncan J Watts and Steven H Strogatz. Collective dynamics of smallworldnetworks . Nature, p.
440–442, 1998
32 Albert -László Barabási and Réka Albert. Emergence of scaling in random networks . Science, p.
509–512, 1999
33 Chaoming Song, Shlomo Havlin, and Hernan A Makse. Self-similarity of complex networks .
Nature, p. 392 –395, 2005

~ 22 ~

A. Știința și matematica rețelelor

În ultimii ani studiere a rețelelor a devenit o nouă disciplină. În 2005,
Consiliul Național al Cercetării Naționale al Statelor Unite a definit știința rețelelor
ca un nou domeniu de cercetare de bază34 .
Cele mai distinse edituri academice au lansat o serie de reviste dedicate
rețelelor complexe: Journal of Complex Network de la Oxford University Press35
sau Network Science de la Cambridge University Press36, iar universități de
renume au deschis centre importante de studiere a rețelelor.
Savanții interpretează știința rețelelor ca o nouă schimbare de paradigmă37 ,
cu toate acestea, rețelele complexe nu numai că au influențat comunitatea de
cercetare, dar au apărut și în literatura populară38,39 , și mass -media.
Rețelele complexe sunt cercetate de mai multe discipline disparate.
Matem aticienii (în primul cei care studiază teoria grafurilor și teoria
probabilităților) se confruntă uneori cu dificultăți în abordarea științei rețelei, fiind
cercetată în principal dintr -o perspectivă empirică, cu noțiuni bazate pe simulări.
Unele articole pun la îndoială omniprezența proprietății „fără scară” și
combat ipoteza rețelelor biologice sau a internetului „ fără scară largă ”40,41,42
motivând datele insuficiente, teste statistice incorecte, dar și că nu se face o
separare între datele utilizate pentru selectarea și validarea modelului43 .
Nici unul dintre critici nu pune la îndoială importanța studiului
complexității rețelelor, ci doar cu privire la anumite metode și declarații.
Pentru a rezolva ambiguitatea existentă în formularea matematică a
domeniu lui, o mulțime de matematicieni distinși au pus pe o bază solidă din punct
de vedere matematic: dezvoltarea teoriei grafurilor libere „ fără scară ”44,45

34 National Research Council Committ ee on Network Science for Future Army Applications .
Network Science. The National Academies Press, 2005
35 http://comnet.oxfordjournals.org/
36 http://journals.cambridge.org/NWS
37 Ljupco Kocarev and Visarath In . Network science: A new paradigm shift . IEEE Network: The
Magazine of Global Internetworking, 24(6):6 –9, 2010
38 Albert -László Barabási and Jennifer Frangos. Linked: the new science of networks . Basic Books,
2014
39 Duncan J Watts. Six degrees , 2003
40 Gipsi Lima -Mendez and Jacques van Helden. The powerful law of the power law and other myths
in network biology . Molecular BioSystems, p. 1482 –1493, 2009
41 Reiko Tanaka. Scale -rich metabolic networks. Physical review letters , p. 94, 2005
42 Walter Will inger, David Alderson, and John C Doyle. Mathematics and the internet: A source of
enormous confusion and great potential . Defense Technical Information Center, 2009
43 Michael PH Stumpf and Mason A Porter. Critical truths about power laws . Science, p. 665–666,
2012
44 Béla Bollobás and Oliver M Riordan. Mathematical results on scale -free random graphs.
Handbook of graphs and networks: from the genome to the internet , p. 1 –34, 2003
45 Béla Bollobás and Oliver Riordan. The diameter of a scale -free random graph . Combinatorica, p.
5–34, 2004

~ 23 ~
stabilirea unei teorii a secvențelor de graf și a limitelor grafului46,47 elaborând
concepte precise în teor ia grafurilor „ fără scară largă ”48 sau stabilirea
fundamentelor matematice ale modelelor de rețea aleatorii49 .
Teoriile riguroase din punct de vedere matematic, însă, nu corespund
întotdeauna cu interesul real al savanților. De exemplu, majoritatea teoriil or sunt
dezvoltate pentru grafurile care tind spre infinit, dar oamenii de știință sunt mai
preocupați de rețelele din lumea reală (care sunt de noduri finite). De asemenea,
este important de menționat că, în majoritatea cazurilor, „ rețea ” și „ graf” sunt
concepte compatibile. Folosim termenul de „rețea” dacă dorim să subliniem natura
sa reală și de „ graf” dacă proprietățile sale matematice sunt luate în considerare.
Teoria rețelelor fractale reprezintă un segment al științei rețelei.

B. Definiții și notați i

O rețea reprezintă un sistem care poate fi modelat printr -un graf (un graf
unic nedirecționat în majoritatea cazurilor), noțiunile de teorie a rețelei își au sursa
în teoria grafurilor.
Subiectul este cercetat în principal empiric dintr -un punct de vede re mai
practic de către oamenii de știință din mai multe discipline, prin urmare definițiile
nu sunt întotdeauna precise într -un sens matematic și uneori terminologia nu
rezultă din hârtii.
• Un graf este o pereche ordonată de mulțimi notată 𝐺 = 𝑉,𝐸 , unde 𝑉
este este o mulțime finită și nevidă de elemente numite noduri sau vârfuri, iar 𝐸
este o mulțime de perechi (ordonate sau neordonate) de elemente din 𝑉 numite
muchii (dacă sunt perechi neordonate) sau arce (dacă sunt perechi ordonate). În
primu l caz, graful se numește neorientat, altfel acesta este orientat. Observăm aici
că mulțimea de vârfuri (noduri) este notată cu N.
• Numim drum într -un graf o succesiune de muchii adiacente și distincte
care conectează două vârfuri din graf (numite capetele drumului). Un drum se
numește simplu dacă muchiile care îl compun sunt distincte. Numim ciclu un drum
care are drept capete același vârf.
• O cale este geodezică dacă punctele sale de capăt nu pot fi conectate
printr -un drum scurt.

46 László Lovász. Large networks and graph limits , volume 60. American Mathematical Soc., 2012
47 Christian Borgs, Jennifer Chayes, László Lovász, Vera T Sós, Balázs Szegedy, and Katalin
Vesztergombi. Graph limits and parameter t esting . In Proceedings of the thirty -eighth annual ACM
symposium on Theory of computing, p. 261 –270. ACM, 2006
48 Lun Li, David Alderson, John C Doyle, and Walter Willinger. Towards a theory of scale -free
graphs: Definition, properties, and implications . Internet Mathematics, p. 431–523, 2005
49 Remco Van Der Hofstad. Random graphs and complex networks . Available on http://www. win.
tue. nl/rhofstad/NotesRGCN. pdf, 2009

~ 24 ~
• Lungimea unui geodezi c între vârfurile u și y este distanța d (u,y) a
acestor vârfuri.
• Se scrie diam ( 𝐺) (diametru) pentru distanța maximă a graficului în
graficul în componentele 𝐺. Nu este greu de observat că Diam ( 𝐺) ≤ | V | – 1.
• Lungimea caracteristică a drumului „ este definită ca număr de muchii pe
drumul cel mai scurt dintre două vârfuri, media tuturor perechilor de vârfuri (media
lungimii geodezice)”:
𝑙 = 1
𝑉 𝑉 − 1 𝑑 𝑢,𝑦 𝑢,𝑦∈𝑉,𝑖≠𝑗
(4.1.)
Definiția de mai sus are se ns numai pentru grafurile conectate. Dacă există
componente deconectate, atunci „ 𝑙” se diferențiază. Acest lucru poate fi adaptat
doar prin medierea componentelor conectate sau limitarea însumării numai la
perechile de vârfuri aparținând celei mai mari di ntre componente conectate50.
• Având în vedere două variabile 𝑥 ș𝑖 𝑧, z este direct proporțional cu x dacă
există o constantă non -zero C astfel încât 𝑧 = C 𝑥. În această lucrare uneori
menționăm această relație prin 𝑥 α 𝑧 sau prin 𝑥 ≈ 𝑧.
• O rețea este numită „ lume mică ” – „small – world ” dacă lungimea
caracteristică drumului crește proporțional cu logaritmul numărului de noduri din
rețea, adică: 𝑙 α log 𝑉 .
• Distribuția gradului P 𝑘 este probabilitatea ca gradul unui vârf ales
aleatoriu (un iform) să fie egal cu 𝑘.
• O rețea este „ fără scară ” dacă distribuția gradului respectă o lege de
putere, adică P 𝑘 este proporțională cu o putere de 𝑘, pentru un anumit număr γ ≥
1:
P 𝑘 𝛼 𝑘−𝛾 (4.2)
Chiar dacă de multe ori nu s -a speci ficat în mod explicit, în majoritatea
cazurilor, comportamentul legii de putere este necesar numai în coada distribuției,
adică pentru 𝑘 ≥ 𝑘0. Pentru rețelele reale exponentul gradului γ satisface de obicei
2 <γ <3.
Definiția de mai sus a proprietății „fără scară ” este larg răspândită în
rândul rețelei oamenilor de știință, chiar dacă nu are un fundament din punct de
vedere matematic. Introducem noțiunea de succesiune de graf. Mai multe rețele din
lumea reală, precum W.W.W., cresc în mărime pe măsură c e timpul trece, prin
urmare, este rezonabil să se ia în considerare grafurile în creștere, și anume
succesiuni de graf, notate cu 𝐺𝑛 𝑛∊ℕ.

50 Duncan J Watts and Steven H Strogatz. Collective dynamics of smallworldnetworks . Nature , p.
440–442, 1998

~ 25 ~
4.1 FRACTALITATEA ȘI AUTO -SIMILARITATEA REȚELELOR
COMPLEXE, PRECUM W EB-ul

Modelul de auto -similaritate a l structurilor fractale, un concept introdus de
MandelBrot51 , este unul dintre cele mai influente rezultate ale matematicii
secolului 2052. Importanța geometriei fractale se datorează faptului că s -a
transformat într -un instrument valoros care poate descrie în mod adecvat
numeroase sisteme complexe, precum: linia de coastă / litoralul53 , fulgii de
zăpadă54 sau chiar mișcările pieței bursiere55 . În atare condiții, fractalitatea și
auto-similaritatea caracterizează rețelele complexe?
În conformitate cu studiil e empirice, rețelele din lumea reală împărtășesc
câteva proprietăți comune fundamentale: caracterul de „ lume mică ” și „ fără scară
largă ” („small -world ” și „ scale free ”). Proprietatea de „lume mică” presupune că
numărul de noduri crește exponențial cu diame trul rețelei. Aceasta pare să
contrazică o proprietate de bază a fractalității – similaritatea pe diferite scări de
lungime: creșterea rapidă a diametrului cu dimensiunea sistemului.
La prima vedere, pare că proprietățile „ fără sca lare” și „ lumea mică ”
contrazic fractalitatea și aceste caracteristici nu pot coexista în aceeași rețea.
Există, însă, o serie de lucrări publicate în ultimii ani – Song, Havlin, Makse
și Gallos56,57,58,59. Acestea au arătat că mai multe rețele din lumea reală sunt rețele
de fract ali, cum ar fi W.W.W.. Savanți precum Goh, Slavi, Kim și Kahng au
prezentat, de asemenea, abordări pentru analizarea rețelelor care dezvăluie auto –
similaritatea de fond60.

4.1.1 Cutia de acoperire (box -covering) și fractalitatea
Tehnica de identificare a p rezenței fractalității în rețele complexe este
analogă cu cea a fractalilor obișnuiți (a se vedea Figura 4.1).

51 Benoit B Mandelbrot, Dann E Passoja, and Alvin J Paullay. Fractal character of fracture
surfaces of metals . 1984
52 Tamás Vicsek. Fractal growth phenomena , volume 2. World Scientific, 1992
53 Benoit B Mandelbrot. How long is the coast of britain . Science, p. 636 –638, 1967
54 Yves Meyer and Sylvie Roques. Progress in wavelet analysis and applications . 1993
55 Benoit B Mandelbrot. How fractals can explain what’s wrong with wall street . The Scientific
American, 2008
56 Chaoming Song, Shlomo Hav lin, and Hernan A Makse. Self-similarity of complex networks.
Nature , p. 392 –395, 2005
57 Chaoming Song, Lazaros K Gallos, Shlomo Havlin, and Hernán A Makse. How to calculate the
fractal dimension of a complex network: the box covering algorithm . Journal of Statistical
Mechanics: Theory and Experiment, 2007
58 Chaoming Song, Shlomo Havlin, and Hernán A Makse. Origins of fractality in the growth of
complex networks . Nature Physics, p. 275 –281, 2006
59 Lazaros K Gallos, Chaoming Song, and Hernán A Makse. A revie w of fractality and self –
similarity in complex networks . Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, p. 686 –691,
2007
60 K-I Goh, Giovanni Salvi, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Skeleton and fractal scaling in
complex networks . Physical review l etters, p. 96, 2006

~ 26 ~
În cazul obiectelor fractale convenționale înglobate în spațiul euclidian, un
instrument de bază este metoda de numărare a cutiilor (box -counting )61,62 care se
dovedește a fi practică și în ceea ce privește rețelele63 .
Deși metrica euclidiană nu este relevantă pentru rețele, există o măsură mai
naturală, și anume distanța cea mai scurtă (sau geodezică) dintre două noduri (a se
vedea Secțiunea B).
Metoda funcționează după cum urmează64: Pentru o anumită rețea 𝐺,
împărțim vârfurile în cutii cu mărimea 𝑙𝐵𝐶. O cutie este un set de noduri în care
toate distanțele 𝑑𝑖,𝑗 între oricare două noduri 𝑖 ș𝑖 𝑗 din cutie sunt mai mici decât 𝑙𝐵𝐶
(este ilustrat în Figura 4.1).
Numărul minim de casete necesare pentru a acoperi întreaga rețea 𝐺 este
notat cu 𝑁𝐵𝐶(𝑙𝐵𝐶).
Atât timp cât 𝑙𝐵𝐶 = 1, 𝑁𝐵𝐶(𝑙𝐵𝐶) este în mod clar egal cu dimensiunea rețelei
| N |, cu condiția ca 𝑙𝐵𝐶 > Diam (𝐺), apoi evident 𝑁𝐵𝐶 = 1.
Pentru a identifica numărul minim de casete 𝑁𝐵𝐶 (𝑙𝐵𝐶) pentru orice 𝑙𝐵𝐶 dat,
ce aparține unei familii de probleme dificile de 𝑁𝑃 65 , Secțiunea 4.1.2 este dedicată
acestei lămuriri.
În conformitate cu fractalii obișnuiți, dimensiunea sau dimensiunea fractală
a cutiei – box (𝑑𝐵𝐶) poate fi definită prin:
𝑁𝐵𝐶 (𝑙𝐵𝐶) ≈ 𝑙𝐵𝐶−𝑑𝐵𝐶 , (4.3)
adică numărul necesar de cutii se calculează ca o lege de putere cu di mensiunea
cutiei.
Pentru a determina numeric dimensiunea fractalului, trasăm logaritmul lui
𝑁𝐵𝐶 (𝑙𝐵𝐶) față de logaritmul lui 𝑙𝐵𝐶, dacă relația dintre cele două este liniară (adică
implică scalarea legii de putere), atunci rețeaua are o d imensiune finită fractală,
adică inversul sumator al celui mai bun coeficient unghiular pe graficul nostru (a se
vedea Figura 4.1)

61 Kenneth Falconer. Fractal geometry: mathematical foundations and applications , John Wiley &
Sons, 2004
62 Armin Bunde and Shlomo Havlin. Fractals in science . Springer -Verlag New York, Inc., 1995
63 Danling Wang. Multifractal c haracterisation and analysis of complex networks . Queensland
University of Technology, 2011
64 Chaoming Song, Lazaros K Gallos, Shlomo Havlin, and Hernán A Makse. How to calculate the
fractal dimension of a complex network: the box covering algorithm . Journ al of Statistical
Mechanics: Theory and Experiment, 2007
65 Ibidem

~ 27 ~

Figura 4.166: Algoritmul de acoperire a cutiilor (box -covering) utilizat în (a) este un
obiect fractal obișnuit și (b) – o rețea complexă de opt noduri. Dimensiunea fractală este
determinată prin scalarea numărului de cutii 𝑵𝑩𝑪 față de dimensiunea casetei 𝒍𝑩𝑪.

S-ar putea stabili dimensiunea fractală cu descrierea de mai sus, dar nu este
precisă, pentru că nici un a dintre lucrări nu oferă o definiție matematică exactă.
Având în vedere obiectul fractal obișnuit, dimensiunea cutiei (sau
dimensiunea Minkowski) este definită ca limita opusului raportului dintre
logaritmul numărului de cutii și logaritmul dimensiunii cu tiei, deoarece mărimea
cutiei tinde la 0.
Această definiție nu ar avea niciun sens în ceea ce privește rețelele,
deoarece durata cea mai scurtă a traseului nu poate fi mai mică de 1. Pe de altă
parte, tendința către infinit poate fi o soluție dacă rețeaua în sine crește.
Din acest motiv, lucrăm cu conceptul de succesiune de graf 𝐺𝑛 𝑛∈ℕ, așa
cum l -am introdus în Secțiunea B.
Acum, putem defini dimensiunea cutiei dintr -o succesiune de graf în felul
următor:
Definiție 4.1. Dimensiunea cutiei 𝑑𝐵 a unei secvențe de graf 𝐺𝑛 𝑛∈ℕ, este definită
prin:
𝑑𝐵𝐶≔ lim
𝑙𝐵𝐶→∞lim
𝑛→∞𝑙𝑜𝑔𝑁𝑛
𝐵𝐶(𝑙𝐵𝐶)
−𝑙𝑜𝑔𝑙𝐵𝐶 (4.4)

66 Lazaros K Gallos, Chaoming Song, and Hernán A Makse. A review of fractality and self –
similarity in complex networks . Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, p. 386, 686–
691, 2007

~ 28 ~
unde 𝑁𝑛
𝐵𝐶(𝑙𝐵𝐶) denotă numărul minim de cutii 𝑙𝑏 necesare pent ru a acoperi 𝐺𝑛.
Deși ordinea limitelor este destul de naturală în definiția precedentă, se
pune întrebarea dacă operațiunile de limitare pot fi schimbate.
Având în vedere faptul că numărul de cutii necesare pentru a acoperi 𝐺𝑛
este clar 𝑁𝑛
𝐵𝐶(𝑙𝐵𝐶) = 1 𝑙𝐵𝐶> Diam ( 𝐺𝑛), deci nu are sens să schimbăm ordinea
limitelor.
Observăm aici că în cea din urmă definiție formulată pentru secvențele de
grafuri 𝐺𝑛 𝑛∈ℕ luăm întotdeauna limita în 𝑛, în primul rând în funcție de
considerația similară.
Definiția de mai sus este o abordare a unui concept matematic mai precis de
dimensionare a cutiei. Pe de altă parte, această definiție se referă la limitele
grafurilor și nu explică dimensiunea cutiei de rețea pe vârfuri finite, cu toa te
acestea, savanții sunt mai interesați de aceasta din urmă.
În majoritatea cazurilor, dimensiunea cutiei este determinată pentru rețelele
din lumea reală cu următoarea strategie: una descrie numărul de casete 𝑙𝐵𝐶
necesare pentru a acoperi rețeaua î n raport cu dimensiunea casetei 𝑙𝐵𝐶 pe scara log –
log.
După cum urmează, vedem un graf de log 𝑙𝐵𝐶 → log 𝑁𝐵𝐶 (𝑙𝐵𝐶).
Deci, dacă Ecuația 4.1 este satisfăcută de către rețeaua examinată, apoi
log 𝑁𝐵𝐶(𝑙𝐵𝐶) ≈ −𝑑𝐵𝐶 log 𝑙𝑏,
astfel panta graficului este o linie dreaptă, iar negativul pantei liniei drepte este
dimensiunea cutiei (după cum se poate vedea în Figura 4.2).
Desigur, pentru a face această procedură mai exactă, ar trebui urmat un
cadru statistic bazat pe princ ipii67 , inclusiv estimarea limitei inferioare (și
superioare) a regiunii de scalare
𝑙𝐵𝐶,𝑚𝑖𝑛 < 𝑙𝐵𝐶 < 𝑙𝐵𝐶,𝑚𝑎𝑥, (cu metoda marginală a probabilității),
estimând parametrul de scalare 𝑑𝐵𝐶 (folosind metoda probabilității maxime) și
testarea ipotezei (adică calculul corectitudinii potrivirii dintre date și modelul
montat).
Acesta este un cadru general de distribuire a legilor de putere, o descriere
mai detaliată poate fi găsită în68 . Este strategia din spatele legilor de putere
corecte, altfel spus orice afirmație similară cu f ( 𝑥) ≈ 𝑥−𝛼.
Forma legii de putere din Ec. 4.1 (cu un 𝑑𝐵𝐶 finit) poate fi verificată prin
marcarea și ajustarea într -o serie de rețele din lumea reală, cum ar fi W.W.W.,
rețeaua de colaborare a acta nților (ilustrată în Figura 4.2). Totuși, o altă familie de
rețele complexe numite rețele non -fractale se caracterizează printr -o descompunere

67 Aaron Clauset, Cosma Rohilla Shalizi, and Mark EJ Newman. Powerlaw distributions in
empirical data . SIAM review, p. 661 –703, 2009
68 Ibidem

~ 29 ~
accentuată a 𝑁𝐵𝐶 cu 𝑙𝐵𝐶 – adică are o dimensiune infinită a fractalului -, o astfel de
rețea este In ternetul la nivel de router69 . Această distincție necesită introducerea
conceptului de fractalitate70:
Definiția 4.2. Fractalitatea unei rețele (denumită și scalare fractală sau topologie
fractală) reprezintă relația legii de putere între minimul numărului de cutii necesar
pentru a acoperi întreaga rețea și mărimea cutiilor.
Strict vorbind, o succesiune de graf este fractală dacă dimensiunea cutiei finite
𝑑𝐵𝐶 există în sensul din 4.1.

Figura 4.2: Măsurarea dimensiunii cutiei 𝒅𝑩𝑪 în rețelele din lumea reală printr –
un graf log -log al lui 𝑵𝑩𝑪 versus 𝒍𝑩𝑪. Cercurile albe arată măsurătorile în cazul
W.W.W., în timp ce triunghiurile roșii se referă la rețeaua de co -apariție de
actanți de la Hollywood. Figura este de la71 .

4.1.2 Algoritmul cutiei de acoperire (box -covering)
Am văzut că acoperirea rețelei cu cutii are o importanță centrală în
studierea fractal ității rețelelor complexe.
În această secțiune investigăm problema optimă de acoperire a cutiei și
analizăm niște algoritmi.
Acoperirea optimă a unui graf cu cutii de dimensiune dată și determinarea
numărului minim de casete necesare pentru a plasa graful aparține familiei de
probleme grele NP72 .

69 Lazaros K Gallos, Chaoming Song, and Hernán A Makse. A review of fractality and self –
similarity in complex n etworks . Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, p. 686 –691,
2007
70 Chaoming Song, Shlomo Havlin, and Hernan A Makse. Self-similarity of complex networks.
Nature , p. 392 –395, 2005
71 Ibidem
72 Chaoming Song, Lazaros K Gallos, Shlomo Havlin, an d Hernán A Makse. How to calculate the
fractal dimension of a complex network: the box covering algorithm . Journal of Statistical
Mechanics: Theory a nd Experiment, 2007

~ 30 ~
Concepte standard de teorie de complexitate computațională pot fi găsite de
ex. în „Handbook of theoretical computer science ”73 sau în „Introduction to the
Theory of Computation ”74 .
Problema cutiei de acoperire : S-a dat un graf 𝐺 și un număr natural 𝑙𝐵𝐶 ∈ ℕ,
2 ≤ 𝑙𝐵𝐶 ≤ Diam (𝐺).
„Cutia de acoperire” din 𝐺 cu cutii 𝑙𝐵𝐶 este o partiție a vârfurilor lui 𝐺 în
cutii (subgrafurile lui 𝐺, adică mulțimi de noduri și legături între ele), astfel încât
toate distanțele 𝑑𝑖,𝑗 între oricare două noduri i și j din cutie sunt mai mici de 𝑙𝐵𝐶;
cu alte cuvinte, diametrul unei cutii este cel mult 𝑙𝑏- 1.
Aceasta poate fi declarată fie ca o problemă de optimizare, fie ca o
problemă de decizie. În v arianta problemă de decizie, intrarea este o pereche ( 𝐺,
𝑙𝐵𝐶) și un număr întreg 𝑚; întrebarea este dacă există o cutie de acoperire a lui 𝐺
cu 𝑚 sau mai puține cutii 𝑙𝐵𝐶. În problema de optimizare a căsuței, intrarea este o
pereche ( 𝐺, 𝑙𝐵𝐶), iar sarcina este să se găsească o cutie de acoperire care să
folosească cele mai puține cutii.

Teoremă. Versiunea de decizie a cutiei de acoperire este NP – completă și
versiunea de optimizare este NP – hard.
Dovada teoremei . Drept dovadă, folo sim reducerea timpului polinomial, în
special, vom arăta că o anumită problemă NP – completă nu este mai dificilă decât
problema cutiei de acoperire, deoarece ori de câte ori există un algoritm eficient
pentru problema cutiei de acoperire, există și pentru prima problemă.
Fie 𝐺𝑘 un graf construit din 𝐺, mulțimea vârfurilor 𝐺𝑘 fiind aceeași ca în
cazul lui 𝐺, două vârfuri ale lui 𝐺𝑘 sunt unite cu o margine dacă și numai dacă în
𝐺 acestea pot fi atinse pe o cale de lungime de cel mult 𝑘 una de cealaltă.
Construcția lui 𝐺𝑘 din 𝐺 poate fi realizată în timp polinomial din moment
ce o căutare modificată la prima lățime (MPL sau BFS) găsește cele mai scurte căi
între fiecare pereche de vârfuri din O (| 𝑉 2 + 𝑉 𝐸 )75 .
Este ușor de ob servat faptul că acoperirea 𝐺 cu cutii cu dimensiunea 𝑙𝐵𝐶 = i
este transformată în acoperirea 𝐺𝑖−1cu cutii cu dimensiunea 𝑙𝐵𝐶 = 2.
Pe de altă parte, acoperind un graf cu cutii de dimensiunea 𝑙𝐵𝐶 = 2 (adică
diametrul cutiei este 1) e ste aceeași cu problema clasică de acoperire a clichelor
(uneori numită și partiție în cliche) una dintre cele 21 de probleme originale ale lui
Richard Karp arătată NP -completă în lucrarea sa din 197276 .

73 Jan Leeuwen. Handbook of theoretical computer science: algorithms and complexity , volume 1.
Elsevier, 1990
74 Michael Sipser. Introduction to the Theory of Computation . Cengage Learning, 2012
75 Jan Leeuwen. Handbook of theoretical computer science: algorithms and complexity , volume 1.
Elsevier, 1990
76 Richard M Karp. Reducibility among comb inatorial problems . Springer, 1972

~ 31 ~
Rămâne să arătăm că problema deciziei este în NP. Gă sirea unui martor
eficient este trivială (partiția însăși) și este de asemenea clar că verificatorul
execută în timp polinomial. Acum putem concluziona că problema de decizie a
cutiei de acoperire este NP – completă și este binecunoscut faptul că dacă o
problemă de optimizare are o versiune de decizie NP -completă atunci ea este NP –
hard.
Song și colab.77 dau un alt argument pentru faptul că problema cutiei de
acoperire este NP – hard, și anume arată că poate fi cartografiată pe o problemă de
colorare a vârfurilor.
Aici vom schița următorul raționament: Pentru un graf 𝐺 obținem un graf
auxiliar G′ prin eliminarea tuturor marginilor din 𝐺 și a nodurilor de legătură care
sunt separate cu o distanță mai mare sau egală cu 𝑙𝐵𝐶 în 𝐺.
Procedura de col orare a vârfurilor este de a colora nodurile lui 𝐺′ folosind
un număr minim posibil de culori, astfel încât nici o muchie nu conectează două
vârfuri colorate identic. Se observă că această schemă dă naștere unei cutii naturale
de acoperire în graful origi nal 𝐺, în sensul că nodurile de aceleeași culoare vor
forma neapărat o cutie, din moment ce sunt separate de o distanță mai mică de 𝑙𝐵𝐶
în 𝐺. Prin urmare, numărul minim de cutii pentru a acoperi 𝐺 este egal cu numărul
cromatic al grafului auxiliar 𝐺'. Procedura este vizualizată în Figura 4.3.

Figura 4.3: Ilustrația soluției problemei cutiilor de acoperire, prin cartografierea
problemei de colorare a vârfurilor (aici 𝒍𝑩𝑪 = 3). Figura este de la78 .
În consecință, nu există un algoritm eficie nt care să calculeze soluția optimă
a cutiei de acoperire pentru rețele mari, o abordare a forței brute poate fi găsită în79.
Cu toate acestea, pentru a investiga fractalitatea rețelelor mari, ar trebui
luați în considerare algoritmii aproximativi. Un mod p e scară largă adoptat este

77 Chaoming Song, Lazaros K Gallos, Shlomo Havlin, and Hernán A Makse. How to calculate the
fractal dimension of a complex network: the box covering algorithm . Journal of Statistical
Mechanics: Theory a nd Experiment, 2007
78 Chaoming Song, Lazaros K Gallos, Shlomo Havlin, and Hernán A Makse. How to calculate the
fractal dimension of a complex network: the box covering algorithm. Journal of Statistical
Mechanics: Theory and Experime nt, 2007
79 Christian M Schneider, Tobias A K esselring, José S Andrade Jr, and Hans J Herrmann. Box-
covering algorithm for fractal dimension of complex networks. Physical Review E, p. 86, 2012

~ 32 ~
reprezentat de cartografierea cutiei de acoperire pentru a descrie problema de
colorare a grafului, deoarece culoarea vârfului este un subiect extensiv cercetat și
există mai mulți algoritmi în literatură80,81.
Cel mai comun – și care furnizează o mare cantitate de analiză – se bazează
pe faptul că (de exemplu82,83) este algoritmul de colorare lacom „ greedy ”84
datorită eficienței sale ridicate și preciziei semnificative.
Rezultatele algoritmului lacom – „greedy ” pot depinde de ordonar ea
nodurilor, există strategii euristice de ordonare85.
Există și câțiva alți algoritmi pentru cutia de acoperire (box -covering)86 ,
cum ar fi algoritmul de ardere compactă (ACC sau CBB – compact box
burning.)87, sau algoritmul de ardere în masă prin exclude rea maximă88 sau
algoritmul secvențial aleatoriu al cutiei de acoperire (box -covering).
Prezentăm algoritmul de ardere compactă ACC, care aparține familiei de
algoritmi de ardere, o abordare geometrică tradițională, bazată pe amploarea primei
căutări. Idee a de bază este crearea unei cutii, prin evoluția sa de la un nod aleatoriu
până când cutia este compactă, adică nu există alte noduri care ar putea fi incluse
în cutie. Algoritmul de ardere a cutiei compacte (ACC) funcționează după cum
urmează89 :
(1) Se co nstruiește setul de candidați C al tuturor vârfurilor încă
descoperite.
(2) Se alege un nod aleatoriu u din setul C și apoi se șterge din C.
(3) Se șterg toate nodurile y din C ale căror distanțe de la u sunt mai mari
sau egale cu 𝑙𝐶 (adică 𝑑 𝑢,𝑦 ≥ 𝑙𝐶), deoarece aceste noduri nu pot face parte din
aceeași cutie prin definiție.

80 László Lovász. Three short proofs in graph theory . Journal of Combinatorial Theory, Series B, p.
269–271, 1975
81 Walter Klotz. Graph coloring algorithms . Mathematics Report, p. 1 –9, 2002
82 Mario Locci, Giulio Concas, and Ivana Turnu. Computing the fractal dimension of software
networks . In Proceedings of the 9th WSEAS international conference on Applied comput er science,
p. 146 –151. World Scientific and Engineering Academy and Society (WSEAS), 2009
83 Vishesh Gupta, Cayman Simpson, and Bharad Raghavan. An investigation of network fractality .
2014
84 Chaoming Song, Lazaros K Gallos, Shlomo Havlin, and Hernán A Mak se. How to calculate the
fractal dimension of a complex network: the box covering algorithm . Journal of Statistical
Mechanics: Theory and Experiment, 2007
85 William Hasenplaugh, Tim Kaler, Tao B Schardl, and Charles E Leiserson. Ordering heuristics
for pa rallel graph coloring . In Proceedings of the 26th ACM symposium on Parallelism in
algorithms and architectures, p. 166 –177. ACM, 2014
86 Danling Wang. Multifractal characterisation and analysis of complex networks . PhD thesis,
Queensland University of Techn ology, 2011
87 Chaoming Song, Lazaros K Gallos, Shlomo Havlin, and Hernán A Makse. How to calculate the
fractal dimension of a complex network: the box covering algorithm . Journal of Statistical
Mechanics: Theory and Experiment, 2007
88 Ibidem
89 Chaoming Son g, Lazaros K Gallos, Shlomo Havlin, and Hernán A Makse. How to calculate the
fractal dimension of a complex network: the box covering algorithm . Journal of Statistical
Mechanics: Theory and Experiment, 2007

~ 33 ~
(4) Se repetă pașii (2) și (3) până când etapa candidatului este goală.
(5) Setul nodurilor u alese formează o cutie compactă. Se repetă procedura
de la (1) până la acop erirea întregii rețele.
Este important de menționat că pentru unii dintre algoritmii de mai sus (ca
de exemplu, ACC) nu este garantată conectivitatea cutiilor. Cu alte cuvinte, pentru
unele cutii este posibil să nu existe o cale, un drum în cutie care cone ctează două
vârfuri care locuiesc în aceeași cutie sau în mod echivalent cutiile se pot
suprapune.
Cu toate acestea, în conformitate cu definiția cutiei de acoperire (box –
covering), deconectarea nu este permisă. Song și colab. au constatat că toți
algoritm ii prezentați dau aproximativ aceeași valoare pentru dimensiunea fractală
𝑑𝐶 90.

4.1.3 Renormalizarea și auto -similaritatea
După finalizarea sistemului cu cutii 𝑙𝐵𝐶, putem aplica o procedură de
renormalizare, care este o tehnică esențială în f izica statistică modernă91,92. Scopul
acestei abordări este de a crea replici mai mici ale unui obiect dat, păstrând
principalele caracteristici structurale și așteaptând ca exemplarele obținute cu
durată mare să fie mai docile pentru analiză.
Ideea din spat ele renormalizării rețelelor complexe apare de la conceptul de
auto-similaritate, atunci când rețeaua pare aproximativ aceeași la diferite scări de
lungime. În această secțiune (după Song și alții93) scările diferite se vor baza pe
principiile renormalizăr ii și invarianța caracteristicilor structurale esențiale va fi
exprimată prin distribuția gradului.
Metoda funcționează după cum urmează94: după acoperirea optimă a
întregii rețele cu cutii cu dimensiunea dată 𝑙𝐵𝐶, fiecare cutie este înlocuită de un
singur nod și două noduri sunt conectate dacă și numai dacă există cel puțin o
legătură între cele două cutii corespunzătoare din rețeaua originală. Prin urmare, se
poate crea o rețea în cazul în care structura la scară mică este neclară și scara de
lungime este acum diferită.
Putem aplica același proces rețelei renormalizate pentru a obține a doua
rețea de renormalizare, și continua până când se va rămâne cu un singur nod, cu
condiția ca graful să fie conectat (procedura este ilustrată în Figura 4.4).
Inves tigarea mai multor rețele din lumea reală fără scară largă – „scale free” (în

90 Chaoming Son g, Lazaros K Gallos, Shlomo Havlin, and Hernán A Makse. How to calculate the
fractal dimension of a complex network: the box covering algorithm . Journal of Statistical
Mechanics: Theory and Experiment, 2007
91 John Cardy. Scaling and renormalizatio n in statistical physics , volume 5. Cambridge University
Press, 1996
92 Manfred Salmhofer. Renormalization . Springer Science & Business Media, 1999
93 Chaoming Song, Shlomo Havlin, and Hernan A Makse. Self-similarity of complex networks.
Nature , p. 392 –395, 2005
94 Chaoming Song, Shlomo Havlin, and Hernan A Makse. Self-similarity of complex networks.
Nature , p. 392 –395, 2005

~ 34 ~
sensul Ec. 4.2), dovedește că în multe cazuri principalele proprietăți, cum ar fi
distribuția gradelor, ră mân constante în etapele renormalizării95 .
Astfel, noua distribuție a p robabilității urmează și o lege de putere cu
aceleași exponent γ:
P′ (𝑘) ≈ 𝑘−ᵞ (4.5)
unde P′ (𝑘) reprezintă probabilitatea ca un nod ales aleatoriu în graficul
renormalizat să aibă gradul 𝑘.
Proprietatea de mai sus este clară în cazul secvențelo r grafice, deoarece
(pentru o anumită cutie de dimensiuni 𝑙𝐵𝐶) etapele de renormalizare ale unei
secvențe grafice 𝐺𝑛 𝑛∊ℕ sunt, de asemenea, secvențe grafice bine definite
𝐺′𝑛 𝑛∊ℕ, 𝐺″𝑛 𝑛∊ℕ,. . . , 𝐺𝑛(𝑘)
𝑛∊ℕ…
Prin urmare, este rezonabil să se solicite ca aceste secvențe de grafuri să
aibă distribuții de grade cu același exponent de grad γ.
Un exemplu de astfel de succesiune de graf este modelul secvenței de graf
ierarhic96 , o versiune generalizată a modelul ui BRV97, care este constant în
renormalizare cu alegerea naturală a lui 𝑙𝐵𝐶 = N (unde N este dimensiunea graf de
bază) .

Figura 4.4: Procedura de renormalizare pentru rețele complexe. În (a) metoda este
demonstrată pentru diferite dimensiuni de cuti e 𝒍𝑩 într-o demonstrație de rețea. În (b )
schema de renormalizare este aplicată întregului WWW (cu 𝒍𝑩𝑪 = 3). Figura este de la98.
Schema de renormalizare este aplicată întregului WWW (cu 𝒍𝑩𝑪 = 3). Figura este de la99
.

95 Hernán D Rozenfeld, Lazaros K Gallos, Chaoming Song, and Hernán A Makse. Fractal and
transfractal scale -free networks . In Encyclopedia of Complexity and Systems Science, p. 3924 –
3943. Springer, 2009
96 Júlia Komjáthy and Károly Simon. Generating hierarchial scale -free graphs from fractals .
Chaos, Solitons & Fractals, p. 651 –666, 2011
97 Albert -László Barabási, Erzsebet Ravasz, and Tamas Vic sek. Deterministic scale -free networks .
Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, p. 559 –564, 2001
98 Chaoming Song, Shlomo Havlin, and Hernan A Makse. Self-similarity of complex networks.
Nature , p. 392 –395, 2005
99 Ibidem

~ 35 ~
4.1.4 Dimensiunile su plimentare ale rețelei
Dimensiunea unui sistem este una dintre cele mai esențiale valori pentru a
caracteriza structura și caracteristicile sale de bază. În teoria rețelelor complexe,
conceptul de dimensiune este foarte discutat și au fost introduse în lit eratură mai
multe definiții distincte, în funcție de natura problemei studiate.
Reamintim câteva din cele mai importante definiții, chiar dacă ele nu sunt
cuprinzătoare.
De exemplu, dimensiunea valorilor este definită ca numărul minim de
vârfuri dintr -un s ubset 𝑆 al rețelei, astfel încât toate celelalte noduri sunt
determinate în mod unic de distanțele lor față de vârfurile din 𝑆100.
Există și definiții bazate pe proprietatea de scalare a volumului (sau a
masei) cu rază101, o abordare similară conducând la aș a numita dimensiune a
fractalului cluster102 sau bazată pe funcția zeta a rețelei complexe103.
Pentru rețelele încorporate în spațiul euclidian, se poate defini o dimensiune
care descrie numărul de vârfuri la care se poate ajunge cu o distanță medie
euclidian ă104.
De asemenea, există un nou concept (dimensiunea cutiei modificate)105
pentru a investiga fractalitatea modelului de succesiune ierarhică a grafului.
Dimensiunea fractală a clusterului este utilă pentru o mai bună înțelegere a
coexistenței proprietăților de „lume mică ” – „small world ” și fractală. Dimensiunea
este definită cu ajutorul metodei de creștere a clusterului care funcționează după
cum urmează106 : alegem un nod de sămânță 𝑦 la întâmplare și luăm în considerare
vecinătatea lui 𝛤𝑦𝑙 (definită în Secțiunea B), poate fi numit și cluster.
𝑀𝑦𝑙 indică numărul de noduri din clusterul 𝐺𝑦𝑙, adică 𝑀𝑦 𝑙 = 𝛤𝑦𝑙 . Se repetă
procedura prin alegerea mai multor noduri de semințe la întâmplare și se ia în
considerare media „mase i” clusterelor rezultate, în mod strict scriem 𝑀 𝑙 = 𝔼𝑦
𝑀𝑦 𝑙 iar dimensiunea clusterului 𝑑𝑓 este dată de scalarea următoare:
𝑀 𝑙 ≈ 𝑙𝑑𝑓. (4.6)

100 Frank Harary and RA Melter. On the metric dimension of a graph . Ars Combin, p. 191 -195,
1976
101 O Shanker. Defining dimension of a complex network . Modern Physics Letters B, p. 321 –326,
2007
102 Chaoming Song, Shlomo Havlin, and Hernan A Makse. Self-similarity of complex networ ks.
Nature, p. 392 –395, 2005
103 O Shanker. Graph zeta function and dimension of complex network . Modern Physics Letters B,
p. 639 –644, 2007
104 Li Daqing, Kosmas Kosmidis, Armin Bunde, and Shlomo Havlin. Dimension of spatially
embedded networks. Nature Physic s, p. 481 –484, 2011.
105 Roland Molontay. Networks and fractals , Budapest University of Technology and Economics,
2013
106 Chaoming Song, Shlomo Havlin, and Hernan A Makse. Self-similarity of complex networks.
Nature , p. 392 –395, 2005

~ 36 ~
Similar Definiției 4.1, se poate defini dimensiunea clusterului unei
succesiuni de graf în felul următor:
Definiție 4.3. Dimensiunea clusterului 𝑑𝑓 a unei succesiuni de graf 𝐺𝑛 𝑛𝜖ℕ este
definită de:
𝑑𝑓 ꞉꞊ lim𝑛→∞lim𝑛→∞log 𝑀𝑛 𝑙
log𝑙. (4.7)
Unde 𝑀𝑛 𝑙 denotă dimensiunea așteptată a unei vecinăți 𝑙 în 𝐺𝑛.
Pentru o rețea complexă cu proprietăți de „lume mică” – „small world” (a
se vedea Secțiunea 4.B).
𝑑𝑓 = ∞ abordări.
Din moment ce lumina redusă implică cu ușurință faptul că pentru dest ui 𝑙
mari și pentru o medie 𝑦 avem 𝑀𝑦 𝑙 = 𝛤𝑦𝑙 ≈ 𝑒𝑙, astfel încât 𝑀 𝑙 ≈ 𝑒𝑙. Prin
urmare,
𝑑𝑓 ≈ log 𝑀 𝑙
log𝑙 ≈ 𝑙
log𝑙 → ∞. (4.8)
Prin urmare, dacă încercăm să măsurăm dimensiunea fractală a unei r ețele
de dimensiunea „lumii mici” folosind metoda clusterului de creștere, atunci ea
indică că aceste rețele nu pot fi caracterizate printr -o dimensiune finită, chiar dacă
dimensiunea cutiei (a se vedea Definiția 4.1) poate fi finalizată.
Motivul acestei d iscrepanțe poate fi mai bine clarificat în studierea masei
medii (numărul de vârfuri) dintr -o cutie în cazul unei rețele caracterizată printr -o
dimensiune a cutiei finite 𝑑𝐵𝐶107. Pentru o anumită dimensiune 𝑙𝐵𝐶 și o anumită
rețea cu vârfurile N, masa medie a unei cutii 𝐵 𝑙𝐵𝐶 este:
𝐵 𝑙𝐵𝐶 = 𝑁
𝑁𝐵𝐶 𝑙𝐵𝐶 ≈ 𝑙𝐵𝐶𝑑𝐵𝐶 (4.9)
Spre deosebire de scalarea exponențială a masei medii a unui cluster
𝑀 𝑙 ≈ 𝑒𝑙.
Această diferență se datorează topolog iei rețelelor „ fără scară largă ” din
lumea reală, în mod expres prezența mai multor hub -uri conectate la nivel înalt
înseamnă că majoritatea nodurilor poate fi atinsă din hub -uri prin câteva etape.
Prin urmare, hub -urile sunt suprareprezentate în clusterel e 𝛤𝑦𝑙, există o
probabilitate foarte mare de a include aceleași hub -uri în aproape toate grupările.
Pe de altă parte, metoda de acoperire cu cutii este o placare globală și odată
ce un hub (sau orice alt vârf) este acoperit, nu poate fi acoperit din nou.

107 Hernán D Rozenfeld, Laz aros K Gallos, Chaoming Song, and Hernán A Makse. Fractal and
transfractal scale -free networks. In Encyclopedia of Complexity and Systems Science, p. 3924 –
3943. Springer, 2009

~ 37 ~
Această distincție între dimensiunile casetei și ale clusterului nu apare
pentru o rețea omogenă caracterizată printr -o distribuție îngustă a gradului, dar
metodele de creștere a cluster -ului și de numărare a cutiilor produc același
exponent, adică 𝑑𝐵𝐶 = 𝑑𝑓, deoarece în acest caz fiecare nod are în mod obișnuit
același număr de vecini108 .

4.1.5 Autoritatea și originea fractalității
Modelele standard pentru generarea de rețele fără scară largă – cum ar fi
modelul de atașament preferențial109 sau modelul configurării110,111 – nu produc
rețelelor auto -similaritate sau fractalitate112.
Există cel puțin două abordări posibile pentru a înțelege originea
proprietății de fractalitate a rețelelor complexe: principiul „ repulsiei dintre huburi ”
ce aparține lu i Song și colaboratorilor113 și studiul scheletului (spanning tree)
grafului lui Kim și al colaboratorilor114. Subliniem importanța și influența
fractalității rețelelor în lumea reală.

4.1.5.1 Principiul „repulsiei dintre hub -uri”
Principala caracteristică care pare să distingă rețelele fractale este o
„repulsie ” – disfuncționalitate între nodurile cu un grad ridicat (hub -uri), o idee
sugerată pentru prima dată de Yook și colaboratori pe baza dovezilor empirice115
și dezvoltate de Song și colaboratori, cu con statări analitice116.
Cele mai multe noduri conectate tind să nu fie legate direct unul cu altul,
dar preferă să se lege cu noduri mai puțin conectate. În schimb, în cazul rețelelor
non-fractale, hub -urile sunt conectate în primul rând la hub -uri.

108 Chaoming Song, Shlomo Havlin, and Hernan A Makse. Self-similarity of complex n etworks.
Nature , p. 392 –395, 2005
109 Albert -László Barabási and Réka Albert. Emergence of scaling in random networks . Science, p.
509–512, 1999
110 Béla Bollobás. A probabilistic proof of an asymptotic formula for the number of labelled regular
graphs . Europe an Journal of Combinatorics, p. 311 –316, 1980
111 Michael Molloy and Bruce Reed. A critical point for random graphs with a given degree
sEcuence . Random structures & algorithms, p. 161 –180, 1995
112 Chaoming Song, Shlomo Havlin, and Hernán A Makse. Origins of fractality in the growth of
complex networks . Nature Physics, p. 275 –281, 2006
113 Ibidem
114 K-I Goh, Giovanni Salvi, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Skeleton and fractal scaling in
complex networks . Physical review letters, p. 96, 2006
115 Soon -Hyung Y ook, Filippo Radicchi, and Hildegard Meyer -Ortmanns. Self-similar scale -free
networks and disassortativity . Physical Review E, 72(4):045105, 2005
116 Chaoming Song, Shlomo Havlin, and Hernán A Makse. Origins of fractality in the growth of
complex networks . Nature Physics, p. 275 –281, 2006

~ 38 ~

Figura 4 .5: Moduri diferite de creștere117

Modelul evoluează prin legarea nodurilor noi la cele deja existente, cele din
urmă formând hub -urile din rețea.
Modul I părăsește marginile directe dintre hub -urile care conduc la atracția
hub-ului.
Modul II conduce la repulsia dintre hub -uri.

Figura 4.6: Topologia rezultantă de combinația îmtâmplătoare dintre Modul I și Modul
II.. Culorile diferite reprezintă cutiile rețelei.

4.1.5.2 Scheletul rețelelor complexe
O altă modalitate de a înțelege originea fractalității este de a examina așa –
numitele schelete ale rețelelor complexe propuse de Kim și colaboratori118,119.

117 Chaoming Song, Shlomo Havlin, and Hernán A Makse. Origins of fractality in the growth of
complex networks . Nature Physics, p. 275 –281, 2006

~ 39 ~
Metoda este motivată de o intenție similară cu renormalizarea (așa cum este
prezentată în Secțiunea 4.1.3): simplificarea complexității, dar păstrarea
princi palelor caracteristici structurale. Această structură mai simplă este „copacul
care se întinde”.
„Copacul care se întinde ” (spanning tree) al unui graf cu 𝑛 vârfuri este un
subset de 𝑛 -1 margini care formează un copac.
Un anumit copac – numit schelet – poate fi considerat ca „nucleu de
comunicare” al rețelei, în sensul că se ocupă de cea mai mare parte a traficului sau
a fluxului de informații. În termeni matematici, scheletul se referă la „copacul care
se întinde” – „spanning tree” că maximizează margin ea centralizării intermediere.
În teoria grafurilor, centralizarea intermediară este o măsură a centralizării
într-un graf bazat pe cele mai scurte căi. Pentru fiecare pereche de noduri dintr -un
graf conectat, există cel puțin o cale, cea mai scurtă, între vârfuri, astfel încât fie
numărul de margini pe care trece calea (pentru grafurile neimpozitate), fie suma
greutăților marginilor (pentru grafurile ponderate ) este minimizat/ă. Centralizarea
de intermediere pentru fiecare vârf este numărul acestor căi ma i scurte care trec
prin vârf.
Marginile (sau nodurile) cu centralizare intermedieră ridicată au o influență
mare asupra transferului de elemente (de exemplu, informații) prin rețea, sub
presupunerea probabilă că transferul de elemente urmează cele mai scur te căi. O
descoperire importantă este că distribuția marginii centralizării intermediare este
foarte neomogenă în rețele fără scară largă, ceea ce indică existența unor muchii cu
o centralizare intermediară extrem de ridicată, utilizată astfel foarte frecv ent pentru
comunicare. Această afirmație face mai interesantă investigarea „ copacului care se
extinde ”, care maximizează suma marginii centralizării intermediare, și anume
scheletul.

4.2 MODELE DE REȚELE FRACTALE

Am remarcat deja că, în ciuda prezenței f ractalității în mai multe rețele din
lumea reală, modelele comune de rețele „ fără sca lare” nu prezintă scalare fractală.
Am prezentat și examinat un model de rețea fractală (ilustrat în Figura 4.6),
pentru a demonstra și investiga alte modele determini ste și aleatoare ale rețelelor
fractale.
Modelarea rețelelor fractale din lumea reală (adică producerea unui obiect artificial
similar celui real) prezintă un mare interes din două motive principale: oferă o
perspectivă asupra originilor care dau naștere la proprietatea fractală; iar modelele
matematice tractabile permit o analiză riguroasă.

118 Dong -Hee Kim, Jae Dong Noh, and Hawoong Jeong. Scale -free trees: The skeletons of complex
networks. Physical Review E, p. 70, 2004
119 K-I Goh, Giovanni Salvi, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Skeleton and fractal scaling in
complex networks . Physical review letters, p. 96, 2006

~ 40 ~

4.2.1 Modelul Song -Havlin -Makse
Acest model este motivat de principiul „ repulsiei între huburi ” prezent în
rețelele fractale și arată că corelațiile dintre gradele de vârfuri sunt un factor
determinant pentru fractalitate120 . Modelul începe cu două vârfuri conectate printr –
o margine în generația 𝑛 = 0 121 . Apoi următoarea generație este obținută recursiv
prin adăugarea noilor vârfuri 𝑚 · 𝑑𝑒𝑔𝑛 𝑡 la fiecare vâr f 𝑡 care este deja prezent
în rețea, unde 𝑑𝑒𝑔𝑛 𝑡 este gradul de vârf 𝑡 la generarea 𝑛. Altfel spus, aceasta
conectează noile vârfuri 𝑡 la punctele finale ale fiecărei margini 𝑢,𝑦 de generație
𝑛. În plus, marginea 𝑢,𝑦 este eliminată cu probabilitatea ⅇ și înlocuită prin
𝑥 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑖 𝑢 𝑖 ,𝑦 𝑖 𝑖=1,…,𝑥, unde 𝑢 𝑖 și 𝑦 𝑖 sunt noii vecini ai lui 𝑢 și 𝑦.
(Figura 4.7 )
Pe de altă parte, această descriere nu explică cum să procedăm dacă 𝑥> 𝑚
și de asemenea nu este clar dacă este posibil să alegem un vârf de mai multe ori sau
este necesar ca 𝑢 𝑖 ≠ 𝑢 𝑗 și 𝑦 𝑖 ≠ 𝑦 𝑗 dacă 𝑖 ≠ 𝑗.

Figura 4.7: Ilustrarea procesului de creștere în modelul Song -Havlin -Makse

120 Hernán D Rozenfeld, Lazaros K Gallos, Chaoming Song, and Hernán A Makse. Fractal and
transfractal scale -free networks . In Encyclopedia of Complexity and Systems Science, p. 3924 –
3943. Springer, 2009
121 Ibidem

~ 41 ~
CAPITOLUL 5.
COMUNICARE A BANCARĂ PRIN INTERMEDIUL
FRACTALILOR

Comunicarea eficientă a riscurilor: o abordare bazată pe mesaj

În mod fundamental, fractalii sunt unități de măsură care ne permit să
identificăm modele de organizare. Astfel, orice efort de a anticipa și controla
nivelurile de risc se bazează în principal pe observarea fractalilor. Pe măsură ce
căutăm să observăm modele, modelele pe care le identificăm sunt profund
influențate de gradul de sofisticare în observarea fractalilor. Murphy122 susține că
„concentrarea asup ra unităților individuale poate produce informații
nesemnificative sau înșelătoare ”. Realizează astfel că observarea fractală ar trebui
să includă interacțiuni multiple. De exemplu, MandelBrot a observat că costurile
de vizualizare la 100 de kilometri față de cele 10 mile au oferit un set complet
diferit de concluzii. Pe scurt, fractalii furnizează dovezile asupra cărora
organizațiile își bazează deciziile.

Îmbunătățirea relațiilor cu clienții băncilor

Prin intermediul fractalilor, băncile își pot ajuta c lienții de afaceri și clienții
comerciali, oferind o vizualizare în timp real a valorilor de numerar și de afaceri.
Prin programele la care sunt folosiți, se împuternicesc clienții, permițându -le să
împărtășească accesul la date specifice de afaceri, facil itând astfel suportul relevant
și la timp din partea băncii.

Fig. 5.1 Accesul prin sistemele mecanice mobile la programe în care sunt folosiți
fractali

Tot cu ajutorul programelor în care au fost folosiți fractali s -a redus riscul
financiar prin asigura rea unui acces mai bun la date. Practic, au ajutat la atenuarea

122 Murphy P . (1996), Chaos theory as a model for managing issues and crises , Public Relations
Review, p. 9 9

~ 42 ~
constrângerilor de reglementare, determinând băncile să demonstreze
gestionarea/administrarea afacerilor prin procese automatizate și trasabile.

Fig. 5.2 Adiministrarea de către bănci prin p rocese automatizate și trasabile a afacerilor

5.1 EXEMPLE DE COMUNICARE BANCARĂ CU AJUTORUL
FRACTALILOR, ILUSTRATE ÎN ARTICOLE DE PRESĂ

5.1.1 Modul în care managementul cunoștințelor digitale va ajuta băncile să
îmbunătățească reputația și centricitatea clienț ilor
În ultimii ani, Autoritatea pentru concurență și piețe a început să
investigheze sectorul bancar de retail din Marea Britanie pentru a încerca să ofere
oportunități și băncilor mai noi și mai mici, care întâmpină dificultăți în a intra pe
piața în cre ștere.
Pentru o lungă perioadă de timp, băncile mai mari au avut avantaje
competitive, așa că au existat puține perturbări și inovații tehnologice în domeniul
bancar și doar o mână de noi -jucători, în comparație cu distrugerile majore din alte
sectoare, cu m ar fi Airbnb și Uber.
Concurența a suferit, deoarece băncile nu au trebuit să încerce foarte mult
să lupte pentru clienți. Așa s -a concluzionat că oamenii plătesc mai mult decât ar
trebui pentru serviciile și produsele actuale și nu beneficiază de servic ii noi sau de
impactul noilor tehnologii.
Prin urmare, noile reglementări bancare ale CMA au fost concepute pentru
a schimba acest status quo, ceea ce ar trebui să însemne beneficii pentru clienți.
Nivelul de activitate online va crește, iar lupta „ pentru clienții de pe stradă ” va fi
acerbă.
Dar pentru a câștiga, băncile online vor trebui să aibă o strategie sofisticată
și „activă ” de gestionare a cunoștințelor digitale. Băncile se vor confrunta imediat
cu o concurență sporită, care va conduce la o mai mare comparare a produselor și a
serviciilor, la o schimbare majoră, ceea ce va duce la căutarea clienților online
pentru mai multe informații despre bănci decât oricând. Băncile vor trebui să
acorde mai multă atenție informației digitale, datelor publice desp re afacerile lor
care apar online.
Acestea vor trebui să se asigure că informațiile referitoare la produse,
servicii și locuri sunt accesibile, detaliate și exacte în întregul ecosistem digital
până la nivelul locației. Acest lucru poate părea simplu, dar cum poate o bancă să
se asigure că aceasta este sursa unică și centrală a adevărului privind informațiile

~ 43 ~
publice despre afacerea sa atunci când există atât de multe locuri în care un brand
poate să apară online?
De asemenea, va stimula importanța sprijini rii clienților, recomandările vor
deveni un factor de bază al alegerii clienților. Astfel, pentru prima dată, băncile vor
avea nevoie de o strategie cuprinzătoare și activă de revizuire în întregul ecosistem
digital. Iată trei aspecte cheie pe care le pot face băncile pentru a crea și
implementa o strategie eficientă de gestionare a cunoștințelor digitale:
1. Preluarea controlului asupra mărcii.
Ecosistemul digital este o rețea complexă de informații și, adesea,
întreprinderile afirmă că există informații d espre ele în locuri unde nu știau că
există.
Preluarea controlului asupra datelor publice și a informațiilor despre
afacere. Căutarea și înțelegerea evenimentelor și faptelor, asigurarea faptului că se
știe unde și ce văd consumatorii despre afacere pe fie care dispozitiv și platformă.
Este necesară o prezență vibrantă și activă. Acest lucru nu este valabil doar pentru
Google și Facebook, trebuie să se includă și Snapchat, Instagram, Uber, Bing,
sisteme GPS auto, hărți, aplicații, Apple, Yelp etc.
2. Menține rea și gestionarea datelor de afaceri exacte și implementarea unui
conținut bogat localizat.
O bancă trebuie să fie capabilă să gestioneze și să mențină date și
caracteristici , inclusiv locații, ore de funcționare, produse și servicii și să se asigure
că aceste date sunt corecte și reprezentate pe paginile web pe locații individuale.
Cu cât informațiile despre afaceri sunt mai bogate, cu atât mai mult includ
fotografii și videoclipuri, descrieri de afaceri, produse, oferte de servicii, promoții
și eveniment e locale și geofiltre Snapchat. Este necesar un sistem intern solid
pentru a centraliza aceste date sau pentru a găsi parteneri pentru a automatiza acest
lucru. Gestionarea manuală a acestor date este extrem de laborioasă și necesită
timp, mai ales dacă a veți sute de locații.
3. Înțelegerea ecosistemului de revizuire digitală.
Trebuie să se înțeleagă unde apar recenziile online, de exemplu dacă
rezultatele căutării și ale hărților pe mobil și pe desktop includ evaluări de stele ale
locațiilor clienților.
Este necesară și acordarea de timp pentru a face față politicilor de revizuire
a fiecărei platforme, de exemplu, Google trebuie să tragă numai recenzii pe site -ul
propriu al companiei, dacă acestea sunt primele părți și Google preferă site -uri
precum Yelp ș i Facebook și le acordă o importanță deosebită datorită conținutului
actualizat.

Strategia de răspuns
Indiferent cât de bine este condusă o afacere, recenzii negative sunt
inevitabile. Modul în care se gestionează aceste recenzii este crucial pentru
reput ație.
Răspunsul la recenzii negative permite rezolvarea problemelor pe măsură
ce apar cu scopul de a câștiga noi clienți. Întreprinderile care răspund la recenziile

~ 44 ~
online au o probabilitate de 68% mai mare de a -și ridica ratingul cu o jumătate de
stea în 6 luni. Este un semnal clar pentru potențialii clienți despre interesult privind
experiența clienților.

Promovarea fanilor
A nu promova în mod activ feedback -ul online înseamnă o joacă cu
reputația, de fiecare dată când un client revizuiește afacerea. Maj oritatea oamenilor
tind să revadă o afacere atunci când au avut o experiență proastă, mai degrabă
decât una bună.

5.1.2 Fractal Labs asistent financiar automat pentru IMM -uri
Fractal Labs este un asistent financiar automat pentru IMM -uri. Fractalul
formea ză, în esență, creierul CFO -urilor într -o aplicație, ceea ce duce la decizii
inteligente. Se lucrează la inteligența artificială finală pentru luarea deciziilor
financiare. În acest scop, se folosește tehnologia pentru a oferi oamenilor acces la
analize fi nanciare sofisticate.
Cum s -a obținut ideea pentru Fractal Labs și cum s -a ajuns împreună ca o
echipă fondatoare?
S-a constatat că una dintre cele mai mari provocări pentru întreprinderile
mici este de a lua decizii strategice, în ciuda lipsei de finanțare pentru un specialist
financiar. Din acest motiv, multe decizii sunt luate în grabă și fără o înțelegere mai
profundă a impactului asupra afacerii. Astfel a apărut Fractal Labs în 2014.
Scalingul a fost una dintre cele mai mari provocări. În Europa, barier a
lingvistică și caracteristicile culturale ale fiecărei țări necesită o localizare atentă,
de la traducerea aplicației în limba țării respective, la adaptarea produsului la
mediul juridic al fiecărei țări.
Clienții țintă sunt IMM -urile care nu au experți financiari în echipă. Numai
în Regatul Unit, aceștia sunt în jur de 5,2 milioane de întreprinderi mici.
Până acum, clienții au venit în principal din companiile cu creștere rapidă
care câștigă 500.000 de lire sterline pe an și mai mult.

5.1.2.1 Cum funcț ionează Fractal Labs?
Fractal Labs este o platformă pentru gestionarea datelor privitoare la
întreprinderi private. Este pentru antreprenori, investitori și consultanți și ajută la
agregarea, analiza și prezicerea rezultatelor financiare.
Platforma permite utilizatorilor să compare diferite înregistrări într -o
perioadă de timp. Fractal pregătește datele pentru a furniza utilizatorului informații
relevante.
Modelul de vânzări este bazat pe abonament și oferă o gamă variată pentru
a ajuta companiile în orice etapă. Taxa lunară începe de la £ 50,00 pentru o afacere
mică.

~ 45 ~
Fractalul este domeniul de joc pentru IMM -urile care nu dispun de experți
financiari pentru analiza datelor lor. În ultimii doi ani, s -a semnat cu peste 300 de
clienți de pe patru piețe – Marea Britanie, SUA, Australia și Canada.

5.1.2.2 Fractal Labs, încotro?
Obiectivele sunt ambițioase în ceea ce privește creșterea economică. Se
lucrează la dezvoltarea de noi funcții și funcționalități pentru a oferi clienților
simulări de afaceri mai simple . Scopul este, de asemenea, extinderea la nivel
internațional a piețelor noi și orientarea mai multor IMM -uri către furnizorii de
servicii financiare.
Care sunt cele trei sfaturi pentru start -up-uri?
• O imagine clară asupra viziunii: misiunea și obiectivu l trebuie să fie foarte
clare încă de la început. Mulți antreprenori nu au decât o idee rudimentară și o pot
conduce fără să verifice elementele de bază: care este cererea și cine este grupul
țintă? Cât de mare este piața? Cât de important este punctul de durere pe care îl
fixez, care este valoarea pe care o dau? Cine sunt concurenții și cum diferă
acestea?
Implementarea unui plan clar de acțiune pentru a realiza acest lucru:
implementarea unei idei în acțiune necesită o gândire strategică. Întrebări, cum a r
fi: „De ce nu a făcut nimeni înainte, există rezerve evidente și obstacole? Cât de
viabilă este ideea mea? ” reprezintă cheia pentru a merge de la un concept la o
implementare.
• Încadrarea flexibilă pe drum: creșterea unei afaceri nu este o linie dreaptă .
Menținerea flexibilității, ascultarea pieței și reacția la aceasta sau adaptarea
acesteia sunt esențiale. Un bun antreprenor ascultă piața, primește feedback, ia
decizii rapide și face ajustări. La Fractal Labs s -a colaborat cu utilizatorii timpurii
și cu partenerii de canal pentru a înțelege mai bine modul în care se pot aduce
îmbunătățiri și ce caracteristici sunt cele mai importante. Scopul final a fost de a
rezolva problemele la o scară de 10 ori mai mare.

5.1.3. „Startup Fractal Labs lucrează pentru a rezolva problema lipsei de experți
financiari reali prin utilizarea inteligenței artificiale”123

Fig. 5.2 „Fractal Labs – asistentul financiar automat pentru IMM -uri

123 https://gruenderfreunde.de/2016/12/19/fractal -labs

~ 46 ~

Majoritatea întreprinderilor mici și mijlocii nu au experți financiari reali în
echipă . Un punct slab care poate fi cu adevărat costisitor. Lansat la Londra în 2016,
Startup Fractal Labs lucrează acum pentru a rezolva această problemă prin
utilizarea inteligenței artificiale (…) Fractal este o platformă pentru gestionarea
datelor companie i. Este în principal destinat antreprenorilor, investitorilor și
consultanților acestora și ajută la agregarea, analiza și prezicerea rezultatelor
financiare. Fractal stochează datele unei companii în mod sigur în „ cloud ”. (…)
Întreprinderile generează o mulțime de date și totuși foarte rar știu cum să
interpreteze aceste cantități mari de date. În special, companiile mici văd adesea
cea mai mare provocare și oportunitate aici. Numai în Regatul Unit, Trezoreria
Regatului Unit estimează că companiile pierd mai mult de 3 miliarde de lire
sterline pe an din cauza unor greșeli.
În ceea ce privește Outlook Finch Industries din Call -Levels, există 3
destinații principale fin -tech: SUA, Israel și Marea Britanie. Cu toate acestea,
există mai multe țări care se ad augă la listă. Asia investește puternic în startup -uri
de tehnologie și încurajează fintech -urile. Deci, Europa are câteva surprize. (…) Un
startup care promite energia verde pentru exploatarea bitcoin -ului Knarker și o
Klarna mai plină (plăți on -line) s unt ambele cu sediul în Stockholm, Suedia.
Un alt plus bun scandinav este compania numită Holvi din Helsinki,
Finlanda, susținută de autoritățile finlandeze, care reprezintă o platformă online
bancară end -to-end. Fractal Labs s -a aflat într -o lansare elve țiană interesantă pe
lista „ Under the Radar ”, oferind analiza automată a IMM -urilor pentru
împrumuturi pentru afaceri.124

Fig. 5.3 The 12 Paris Fintech Forum Awards

124 https://gruenderfreunde.de/2016/12/19/fractal -labs

~ 47 ~
CONCLUZII ȘI PROPUNERI

Scopul acestei lucrări a fost de a explora și de a înțelege fractalii ca și
modele ale comunicării, natura fractală a web -ului, dar și cum se realizează
comunicarea bancară cu ajutorul fractalilor. Așa am ajuns la teoria rețelelor
fractale cu precizie matematică. Nu am realizat doar o analiză cuprinzătoare a
literaturii, ci am tratat parțial și deficiența rigurozității matematice a documentelor
conexe și abordările diferite propuse pentru a face ca respectivele concepte să fie
mai precise.
După ce am făcut o introducere generală a științei rețelelor și am trecut prin
cele mai importante noțiuni ale subiectului, am obținut o înțelegere amplă a
fractalității rețelelor complexe, precum web -ul, spre exemplu, dar și a comunicării
fractale în general. Am prezentat metode adoptate de teoria fractală și de fizica
statisti că pentru a dezvolta structura fractală și auto -similaritatea rețelelor din
lumea reală. Apoi, am investigat problema cutiilor de acoperire (box -covering) și
am demonstrat că aceasta este NP -hard. Am demonstrat noțiuni despre
dimensiunea fractală și am aru ncat o lumină asupra legăturilor dintre ele. Am
descoperit originea fractalității rețelelor cu ajutorul unor principii matematice
diferite și am analizat importanța și influența rețelelor fractale.
În final, am prezentat un model de rețea fractală stochas tică și deterministă:
modelul Song -Havlin -Mak.
Există mai multe direcții viitoare posibile pentru studierea în continuare a
fractalității rețelelor complexe . În consecință, un subiect de cercetare promițător
este acela privind comunica rea fractal ă în dome nii cât mai diverse .

~ 48 ~
Bibliografie
1. Albert -László Barabási and Réka Albert. Emergence of scaling in random networks . Science, p.
509–512, 1999.
2. Albert -László Barabási and Jennifer Frangos. Linked: the new science of networks. Basic Books,
2014 .
3. Albert -László Barabási, Erzsebet Ravasz, and Tamas Vicsek. Deterministic scale -free networks.
Physica A: Statistical Mechanics and its Applications , p. 559 –564, 2001.
4. Béla Bollobás. A probabilistic proof of an asymptotic formula for the number of labelled regular
graphs . European Journal of Combinatorics, p. 311 –316, 1980.
5. Béla Bollobás and Oliver Riordan. The diameter of a scale -free random graph. ombinatorica , p.
5–34, 2004.
6. Béla Bollobás and Oliver M Riordan. Mathematical results on scale -free random graphs.
Handbook of graphs and networks: from the genome to the internet, p. 1 –34, 2003.
7. Christian Borgs, Jennifer Chayes, László Lovász, Vera T Sós, Balázs Szegedy, and Katalin
Vesztergombi. Graph limits and parameter testing. In Proceedin gs of the thirty -eighth annual ACM
symposium on Theory of computing , p. 261 –270. ACM, 2006.
8. Armin Bunde and Shlomo Havlin. Fractals in science. Springer -Verlag New York, Inc., 1995.
9. John Cardy. Scaling and renormalization in statistical physics , volu me 5. Cambridge University
Press, 1996.
10. Aaron Clauset, Cosma Rohilla Shalizi, and Mark EJ Newman. Powerlaw distributions in
empirical data . SIAM review, p. 661 –703, 2009.
11. National Research Council Committee on Network Science for Future Army Applic ations.
Network Science . The National Academies Press, 2005.
12. Li Daqing, Kosmas Kosmidis, Armin Bunde, and Shlomo Havlin. Dimension of spatially
embedded networks. Nature Physics , p. 481 –484, 2011.
13. Paul Erd ὅs and A Rényi. On the evolution of random graphs . Publ. Math. Inst. Hungar. Acad.
Sci, p. 17 –61, 1960.
14. Kenneth Falconer. Fractal geometry: mathematical foundations and applications , John Wiley
& Sons, 2004.
15. Lazaros K Gallos, Chaoming Song, and Hernán A Makse. A review of fractality and sel f-
similarity in complex networks . Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, p. 686 –691,
2007.
16. K -I Goh, Giovanni Salvi, Byungnam Kahng, and Doochul Kim. Skeleton and fractal scaling in
complex networks . Physical review letters, 96(1):018701 , 2006.
17. Vishesh Gupta, Cayman Simpson, and Bharad Raghavan. An investigation of network fractality .
2014.
18. Frank Harary and RA Melter. On the metric dimension of a graph. Ars Combin, p. 191 -195,
1976.
19. William Hasenplaugh, Tim Kaler, Tao B Schard l, and Charles E Leiserson. Ordering heuristics
for parallel graph coloring . In Proceedings of the 26th ACM symposium on Parallelism in
algorithms and architectures, p. 166 –177. ACM, 2014.
20. Richard M Karp. Reducibility among combinatorial problems. Spri nger, 1972.

~ 49 ~
21. Dong -Hee Kim, Jae Dong Noh, and Hawoong Jeong. Scale -free trees: The skeletons of complex
networks . Physical Review E, 70(4):046126, 2004.
22. Walter Klotz. Graph coloring algorithms. Mathematics Report, p. 1 –9, 2002.
23. Ljupco Kocarev and Visarath In. Network science: A new paradigm shift. IEEE Network: The
Magazine of Global Internetworking, p. 6 –9, 2010.
24. Júlia Komjáthy and Károly Simon. Generating hierarchial scale -free graphs from fractals.
Chaos, Solitons & Fractals, p. 651 –666, 20 11.
25. Jan Leeuwen. Handbook of theoretical computer science: algorithms and complexity, volume 1.
Elsevier, 1990.
26. Lun Li, David Alderson, John C Doyle, and Walter Willinger. Towards a theory of scale -free
graphs: Definition, properties, and implicati ons. Internet Mathematics, p. 431 –523, 2005.
27. Gipsi Lima -Mendez and Jacques van Helden. The powerful law of the power law and other
myths in network biology. Molecular BioSystems , p. 1482 –1493, 2009.
28. Mario Locci, Giulio Concas, and Ivana Turnu. Comp uting the fractal dimension of software
networks . In Proceedings of the 9th WSEAS international conference on Applied computer science,
p. 146 –151. World Scientific and Engineering Academy and Society (WSEAS), 2009
29. László Lovász. Three short proofs in graph theory . Journal of Combinatorial Theory, Series B,
p. 269 –271, 1975.
30. László Lovász. Large networks and graph limits , volume 60. American Mathematical Soc.,
2012.
31. Benoit B MandelBrot. How long is the coast of britain . Science, p. 636 –638, 1967 .
32. Benoit B MandelBrot. How fractals can explain what’s wrong with Wall Street . The Scientific
American, 2008.
33. Benoit B MandelBrot, Dann E Passoja, and Alvin J Paullay. Fractal character of fracture
surfaces of metals . 1984.
34. Yves Meyer and Sylvi e Roques. Progress in wavelet analysis and applications . 1993.
35. Michael Molloy and Bruce Reed. A critical point for random graphs with a given degree
sEcuence. Random structures & algorithms , p. 161 –180, 1995.
36. Roland Molontay. Networks and fractals . Department of Stochastics, Budapest University of
Technology and Economics, 2013.
37. Hernán D Rozenfeld and Daniel Ben -Avraham. Percolation in hierarchical scale -free nets .
Physical Review E, 75(6):061102, 2007.
38. Hernán D Rozenfeld, Lazaros K Gallos , Chaoming Song, and Hernán A Makse. Fractal and
transfractal scale -free networks. In Encyclopedia of Complexity and Systems Science, p. 3924 –
3943. Springer, 2009.
39. Manfred Salmhofer. Renormalization . Springer Science & Business Media, 1999.
40. Christi an M Schneider, Tobias A Kesselring, José S Andrade Jr, and Hans J Herrmann. Box-
covering algorithm for fractal dimension of complex networks . Physical Review E, 86(1):016707,
2012.
41. O Shanker. Defining dimension of a complex network . Modern Physics Let ters B, p. 321 –326,
2007.

~ 50 ~
42. O Shanker. Graph zeta function and dimension of complex network . Modern Physics Letters B,
p. 639 –644, 2007.
43. Michael Sipser. Introduction to the Theory of Computation . Cengage Learning, 2012.
44. Chaoming Song, Lazaros K G allos, Shlomo Havlin, and Hernán A Makse. How to calculate the
fractal dimension of a complex network: the box covering algorithm . Journal of Statistical
Mechanics: Theory and Experiment, P03006, 2007.
45. Chaoming Song, Shlomo Havlin, and Hernan A Makse. Self-similarity of complex networks.
Nature, 433(7024):392 –395, 2005.
46. Chaoming Song, Shlomo Havlin, and Hernán A Makse. Origins of fractality in the growth of
complex networks . Nature Physics, p. 275 –281, 2006.
47. Michael PH Stumpf and Mason A Porter. Critical truths about power laws . Science, p. 665 –
666, 2012.
48. Reiko Tanaka. Scale -rich metabolic networks. Physical review letters , 94(16):168101, 2005.
49. Remco Van Der Hofstad. Random graphs and complex networks . Disponibil pe http://www.
win. tue. nl/rhofstad/NotesRGCN. pdf, 2009.
50. Tamás Vicsek. Fractal growth phenomena , volume 2. World Scientific, 1992.
51. Danling Wang. Multifractal characterisation and analysis of complex networks. PhD thesis,
Queensland University of Technology, 2011.
52. Dun can J Watts. Six degrees , 2003.
53. Duncan J Watts and Steven H Strogatz. Collective dynamics of smallworldnetworks. Nature, p.
440–442, 1998.
54. Walter Willinger, David Alderson, and John C Doyle. Mathematics and the internet: A source
of enormous confu sion and great potential . Defense Technical Information Center, 2009.
55. Soon -Hyung Yook, Filippo Radicchi, and Hildegard Meyer -Ortmanns. Self-similar scale -free
networks and disassortativity . Physical Review E, 72(4):045105, 2005.