PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I COORDONATOR ȘTIINȚIFIC : Conf. univ. dr. Mocanu Marcelina CANDIDAT : Prof. Giurgilă (Bârlescu) M. Loredana… [630863]
LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ
PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I
COORDONATOR ȘTIINȚIFIC :
Conf. univ. dr. Mocanu Marcelina
CANDIDAT: [anonimizat]. Giurgilă (Bârlescu) M. Loredana
SPECIALIZAREA :
Matematică
BACĂU
2019
REZ OLVAREA DE PROBLEME CU AJUTORUL
ECUAȚIILOR PRIN METODE DIDACTICE
MODERNE
COORDONATOR ȘTIINȚIFIC :
Conf. univ. dr. Mocanu Marcelina
CANDIDAT: [anonimizat]. Giurgilă (Bârlescu) M. Loredana
BACĂU
2019
CUPRINS
INTRODUCERE ………………….. …………………………………………………………………………………..1
Capitolul 1. ROLUL ȘI IMPORTANȚA PROBLEMELOR ÎN MATEMATICĂ
1.1. Noțiunea de problemă în didactica matematicii ……………………………………………… …………4
1.1.1.Probleme simple ……………………………………………………………………………………….6
1.1.2. Probleme compuse …………………………………………………………………………………..8
1.1.3.Metode aritmetice speciale ……………………………………………………………………….10
1.2. Stadii în rezolvarea problemelor ……………………………………………………………………………18
1.3. Problemele de matematică în viziunea lui George P ólya…………………………………………..26
Capitolul 2. ECUATII ȘI SISTEME DE ECUAȚII – ASPECTE TEORETICE ȘI
METODICE
2.1. Expresii algebrice. Domeniul de definiție a unei expresii ………………………. …………………30
2.2. Relați a de egalitate ………………………………………………………………………………………………35
2.3. Aspecte generale despre ecuațiile algebrice cu o necunoscută …………………………. ……….37
2.4. Aspecte generale despre ecuațiile algebrice cu mai multe necunoscute ………………………43
2.5. Ecuația de gradul I
2.5.1. Ecuația de gradul I cu o singură necunoscută …………………………………………….44
2.5.2. Ecuația de gradul I cu două sau mai multe necunoscute ………………………………48
2.6. Ecuația de gradul al II -lea…………………………………………………………………………………….50
2.7. Sisteme de două ecuații cu două necunoscute
2.7.1. Noțiuni in troductive ……………………………………………………………………………….55
2.7.2. Metode de rezolvare a sistemelor ……………………………………………………………..56
Capitolul 3. REZOLVAREA DE PROBLEME CU AJUTORUL ECUAȚIILOR
3.1. Probleme din algebră ……………………………………………………………………………………………63
3.2. Probleme din geometrie …………………………………. ……………………………………………………74
3.3. Probleme din fizică …………………………………………………………………………………………….. .81
3.4. Probleme din viața cotidiană ……………………. …………………………………………………………..89
3.5. Probleme din chimie și biologie …………………………………………………………………………….97
Capitolul 4. ASPECTE METODICE ALE PREDĂRII PROBLEMELOR RE ZOLVATE
CU AJUTORUL ECUAȚIILOR ÎN GIMNAZIU
4.1. Considerații metodice privind învățarea activă ………………………………………………………101
4.2. Exemple de utilizare a strategiilor moderne în predarea –învățarea ecuațiilor și problemel or
rezolvate cu ajutorul ecuațiilor ……………………………………………………………………………………102
4.3. Proiectarea unor lecții de matematică. Aplicații ………………… …………………………………. 123
Capitolul 5. CERCETARE APLICATIVĂ PRIVIND APLICAREA METODELOR
MODERNE/TRADIȚIONALE DE PREDARE -ÎNVĂȚARE -EVALUARE ÎN STUDIUL
ECUAȚIILOR ȘI PROBLEMELOR REZOLVATE CU AJUTORUL LOR ÎN
GIMNAZIU
5.1. Ipoteza si obiective le cercetării ……………………………. ……………………………………………..128
5.2. Metodologia cercetării ………………………………………………………………………………………..130
5.2.1. Proiectarea t estelor utilizate în evaluare ……………… …………………………………..132
5.2.2. Matricea de specificații …………………………………………………………………………132
5.2.3. Tipologia itemilor ……………….. ……………………………………….. ……………………..133
5.3. Evaluarea inițială a elevilor …………………………………………………………………………………133
5.3.1. Proba de evaluare inițială ………….. ……………………………………….. ………………..134
5.3.2. Rezultatele obținute la proba de evaluare inițială ……………………………………..137
5.4. Evaluarea formativă a elevilor …………………………………………………………………………….141
5.4.1. Proba de evaluare formativă …………………………………………………………………..142
5.4.2. Rezultatele obținute la proba de evaluare formativă ………………………………….145
5.5. Evaluarea finală a elevilor …………………………………….. ……………………………………………149
5.5.1. Proba de evaluare finală ………………………………………………………………………..149
5.5.2. Rezultatele obținute la proba de eva luare finală ……………………………………….154
5.6. Analiza comparativă a rezultatelor …………………… ………………………………………………….158
5.7.
Concluzii ………………………………………………. ……………………………………………………………….160
ANEXE 162
BIBLIOGRAFIE ………………………. …………………………………………………………………………..171
1
INTRODUCERE
În literatura de specialitate termenul de problemă nu este suficient delimitat și precizat.
După P.P. Neveanu si alții problema reprezintă o “dificulta te teoretica sau practică”. “Problema
apare deci ca un obstacol cognitiv în relațiile dintre subiect și lumea sa, iar asumarea sarcinii
de a depăși obstacolul, ca și demersurile cognitive și tehnice întreprinse în acest scop
conturează domeniul rezolvării problemelor”. (Neveanu și alții 1990). În fața unei situații
problemă, rezolvitorul “trăiește simultan două realități: una de ordin cognitiv, referitor la
experiența pe care și -o reactualizează, și alta de ordin motivațional, ce rezultă pe baza
elementului surpriză noutate și necunoscut cu care se confruntă acesta” (Radu, 1969).
Așa cum remarca G. Pólya, a rezolva o problemă înseamnă a găsi o ieșire dintr -o
dificultate, înseamnă o cale de a ocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct
accesibil. Acest sens larg și practic, concret al rezolvării de probleme, presupune cunoaștere de
către p rofesor a comportamentului și a bagajului de cunoștințe a celui care rezolvă problema.
Prin noțiunea de problemă de matematică se înțelege o situație a cărei soluționare se poate
obține esențial prin procese de gândire și calcul. Valoarea formativă a rezol vării de probleme
care sporește odată cu participarea și mobilizarea intelectuală a elevilor la o altfel de activitate,
este superioară altor demersuri matematice, elevii fiind puși în situația de a descoperi ei înșiși
modalități de rezolvare și soluția, s ă formuleze ipoteze apoi să le verifice, să facă asociații de
idei și corelații inedite etc.
În fața unei probleme, copilul este în contact cu două categorii de date precise: ce se dă
(contextul problemei) și ce se cere (întrebarea problemei), între acest e două elemente existând
un „gol” care trebuie umplut cu ajutorul cunoștințelor și metodelor cunoscute (acestea
îndeplinesc rolul de operatori). Pentru a rezolva o problemă elevii trebuie să aplice unele
cunoștințe dobândite anterior la situația actuală pr intr-o operație de transfer. Transferul este
posibil prin analiză și sinteză.
În opinia lui Eugen Rusu , exis tă probleme care seamănă cu altele și nu facem decât să
imităm rezolvarea cunoscută, sau care se reduc la simpla aplicare a unor formule sau procede e
cunoscute. Acestea sunt mai curând exerciții de fixare și însușire completă a procedeelor.
Există și probleme propriu -zise, adică probleme la care găsirea soluției este problematică. Deși
cunoști tot ce trebuie pentru stabilirea soluției (constați aceast a când ți se dă soluția), nu e sigur
că o poți găsi, ea necesitând o anumită “sclipire”, o idee salvatoare , un efort de creație. Cu cât
această idee este mai ascunsă cu atât satisfacția de a o descoperi, când reușești este mai mare.
2
Este acest sentiment s uperior, specific uman care constituie mobilul principal al tuturor actelor
de creație, dar și dacă nu reușești, ești curios să afli cum ar fi tr ebuit gândit. Când ți se spune și
înțelegi ai de asemenea o satisfacție, însă acum umbrită de faptul că nu ai d escoperit singur.
Dintre aceste pro bleme unele rămân simple jocuri, utile ca antrenament, altele sunt importante
și prin conținut , prin faptul că deschid orizonturi spre probleme mari ale științei.
Matematica oferă strategii de rezolvare a problemelor pra ctice și a problemelor din
numeroase alte dom enii: fizică, chimie, economie ș i altele. Problemele care se rezolvă cu
ajutorul ecuațiilor nu sunt un scop în sine ci sunt un mijloc prin care se aplică matematica,
implicit algebra , la rezolvarea situațiilor cot idiene.
In prezenta lucrare îmi propun sa tratez rezolvarea de probleme cu ajutorul ecuațiilor
deoarece prin rezolvarea de probleme cunoștințele sunt asimilate la un nivel superior celui
reproductiv, dezvoltându -se și deprind erile elevilor de a face corel ații, de a gândi independent.
În rezolvarea de probleme cu ajutorul ecuațiilor elevii aplică tot ceea ce au învățat la algebră:
calculul algebric, rezolvarea de ecuații de gradul I, rezolvarea de ecuații de gradul al II -lea,
rezolvarea de sisteme de ecuați i, dar sunt și puși în situația de a formula ecuațiile asociate
problemelor, în contexte cât mai variate.
In capitolul I sunt argumentate rolul și impor tanța problemelor în matematică. Este
discutată noțiunea de prob lemă de matematică din perspectiva didacticii generale , apoi sunt
tratate din punct de vedere metodic problemele simple și problemele compuse, după care se
realizează o comparație între metoda aritmetică și cea algebrică , fiind sistematizate
principalele metodele aritmetice de rezolvare a problemelor. Urmând abordarea din cartea
Tipologia rezolvării problemelor a autorilor C. Voica și M. Singer, inspirată de opera lui
George Pólya, sunt prezentate și ilustrate cu exemple patru stadii parcurse in rezolvarea
problemelor: al imaginilor, al relațiilor, matematic, respectiv euristic. Modul de rezolvare a
problemele de matematică in viziunea lui George Pólya este aprofundat în partea finală a
primului capitol .
În capitolul al II -lea este tratată din pun ct de vedere metodic noțiunea de ecuație
algebrică, fiind ilustrate cu numeroase exemple modalități de introducere a expresiilor
algebrice și identităților în matematica gimnazială . Sunt discutate pe larg și aplicate în contexte
variate metode de rezolvare a unor ecuații care se reduc la ecuații algebrice de gradul I cu o
necunoscută . Apoi sunt abordate metodic și ecuațiile cu două sau mai multe necunoscute,
ecuațiile de gradul al II -lea și sisteme le de ecuații cu două necunoscute , fiind evidențiate
metodel e de rezolvare a acestora.
3
Capitolul al II I-lea conține o culegere structurată de probleme cu rezolvări complete,
conținân d ample comentarii metodice, probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor. Sunt
prezentate la început probleme tipice din algebr ă, și anume: probleme de aflare a două numere
când se cunoaște suma și diferența lor, suma și raportul lor, diferența și rapor tul lor, probleme
în care trebuie făcute unele operații suplimentare, probleme de eliminare a unei mărimi prin
reducere și aducere la același termen de comparație, probleme de eliminare a unei mărimi prin
înlocuire, probleme care se pot rezolva aritmetic prin metoda ipotezel or, respectiv prin metoda
mersului invers. Sunt apoi rezolvate cu ajutorul ecuațiilor unele probleme de geometrie , legate
în mare parte de tematica examenul ui de evaluare națională. Sunt abordate apoi probleme din
fizică care conduc la rezolvarea de ecuații (probleme de mișcare, probleme de mecanică -planul
înclinat -aplicarea legii a doua a dinamicii, probleme de electricitate ( care fac apel la legile lui
Kirchhoff). Un subcapitol se ocupă cu rezolvarea de probleme din v iața cotidian ă: probleme
de medii, amestec, concentrații, aliaj, echilibru caloric . În final, sunt rezolvate probleme din
chimie și biologie . Toate rezolvările sunt încadrate într -o schemă un itară, constând din 5 pași:
citirea și înțelegere a problemei, analizarea relațiilor între date, punerea problemei în ecuație,
rezolvarea ecuației, verificarea și interpretarea rezultatului.
În capitolul al IV-lea voi prezenta aspectele metodice ale predăr ii ecuațiilor și
problemelor cu ajutorul ecuațiil or în gimnaziu: considerații metodice privind învățarea activă,
aspecte privind utilizarea strategiilor didactice moderne în predarea învățarea ecuațiilor,
proiectarea unor lecții de matematică si aplicații.
Capitolul al V -lea prezintă o cercetare psihopedagogică întreprinsă la clasa a VIII -a,
privind aplicarea în gimnaziu a metodelor tradiționale și a celor moderne, de predare -învățare –
evaluare în lecții dedi cate studiul ecuațiilor și rezolvarea de probleme cu ajutorul ecuațiilor . În
cadrul experimentului psihopedagogic de tip formativ am realizat identificarea nivelului inițial
de cunoștințe, am vizat integrarea metodelor moderne în cadrul lecțiilor și am co nstatat
progresul nivelului de cunoștințe și depr inderi al elevilor, datorat în mare parte implică rii active
a elevilor în învățare .
Îmi exprim recunoștința coordonatorului științific al lucrării , conf. univ. dr. Mocanu
Marcelina de la Facultatea de Științe din cadrul Universității ,,Vasile Alecsandri” d in Bacău,
pentru îndrumarea acordată.
4
CAPITOLUL 1 .
ROLUL ȘI IMPOR TANȚA PROBLEMELOR ÎN MATEMATICĂ
1.1. NOȚIUNEA DE PROBLEMĂ ÎN DIDACTICA MATEMATICII
Vasile Bobancu î n „Enciclo pedia didactică de Matematica“ definește termenul de
problemă ca un enunț care conț ine anumite date sau ipoteze necesitând un rezultat (ce poate fi
o anumită mulțime de soluții). Soluț iile se obțin (dacă există) pe baza unor calc ule sau
raționamente . Denumirea se întâlnește inițial la Platon (sec. (5)4 î.Hr.).
Situația problemă conține elemente specifice concept ului de problemă întrucât
reprezintă o structură generativă de probleme (Ch omsky,1990); su biectul constată că
procedeele o bișnuite, uzuale, cunoscute nu sunt suficiente pentru a construi un raționament
rezolutiv care să conducă sp re rezolvare. Situația problematică se manifestă ca o neconcordanță
între mijloace și scopuri,
În rezolvarea unei probleme matematice – indiferent de nivel sau domeniu – intervin
doi factori:
1) aplicarea unor teoreme cunoscute sau a unor metode sau tipu ri de raționament
anterior experimen tate de către rezolvitor.
2) o activitate creatoare care constă în alegerea din tot materialul de teoreme și metode
cunoscute – foarte vast –a acestuia care are șanse să poată fi folosit în problema respectivă și
în îmb inarea potrivită a acestui material în raționamente care duc la soluție și în descoperirea
unor metode sau noțiuni noi.
Această activitate nu este complet determinată de datele soluției, natura problemei și
experiența rezolvitorului. Ea are și o latură al eatoare, care face că, găsirea soluț iei nu este
sigură, este problematică; ghicirea sau intuirea soluției sau a drumului ce duce la soluție se
numește și inspirație.
Noțiunea de problemă vizează efortul de gândire al elevului pentru a înlătura ceea ce îi
apare în față ca “o barieră, un obst acol” pentru că acolo unde nu există „o sarcină, o dificultate,
unde nimic nu trebuie căutat și re zolvat , acolo finalitatea gândirii lipsește.”
În activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape . Aces tea sunt:
1. Cunoașterea esen țialului problemei este etapa în care elevul ia cunoștință cu datele
problemei, care sunt relațiile dintre ele și care este cerința problemei.
2. Înțelegerea conținutului problemei este esențială în vederea construirii
raționamentulu i rezolvării.
5
Spre a reduce 3. Prin discuți ile care se fac cu elevii, profesorul trebuie să -i conducă spre întrebarea
problemei și formularea ipotezelor.
4. Se analiz ează problem a și se întocm ește planul logic
5. Efectuarea calculelor din planul logic prin conștientizarea semn ificației rezultatelor
parțiale și a rezultatului final.
6. Activități suplimentare și în completare după rezolvarea problemei. Această etapă
constă în verificarea soluției problemei și introducerea necunoscutei, prin găsirea
altei metode de rezolvare și comp ararea cu cea precedentă, stabilindu -se calea cea
mai bună.
Etapele procesului rezolutiv se pot sintetiza schematic în „paradigma problemelor”
manipulate direcționate
prin: de:
În orice problemă de matematică sunt evidențiate trei element e:
– datele, ceea ce este cunoscut și dat sub formă de valori numerice și relații;
– cerințele, care indică ce anume trebuie det erminat utilizând datele problem ei;
– condițiile, care arată în ce fel cerințele sunt legate de date.
În acest program de antrenament rezolutiv un rol important îl are însușirea unor
algoritmi de rezolvare a unor probleme tipice. Aceasta este o etapă de îm binare dintre
gândirea convergentă și cea divergentă . Algoritmul, ca procedeu de lucru, este constituit
dintr -un sistem de reguli ce se înlănțuie într -o ordine determinată și care, aplicat la orice
problemă dintr -o anumită categorie, conduce la rezolvarea acesteia.
Punerea problemei
Definirea cerințelor problemei și a datelor
Date
„Golul”
(demers)
Rezultat
Deprinderi si
algoritmi de
calcul
Raționamente
logice
Strategie
6
Problemele de ma tematică se pot clasific ă în funcție de:
a) numărul operațiilor:
– probleme simple,
– probleme compuse
b) conținut:
– probleme de geometrie;
– probleme de mișcare;
– probleme de aritmetică
c) finalitate și sfera de aplicabilitate:
– probleme teoreti ce;
– probleme practice;
d) tipul de raționament solicitat(după metoda folosită):
– probleme tipice care solicită un raționament de tip convergent( probleme
rezolvabile prin diferiți algoritmi: metoda figurativă, reducerii la unitate, falsei
ipoteze, comparației etc.);
– probleme netipice care solicită un raționament de tip divergent și metode euristice
de rezolvare.
1.1.1. REZOLVAREA PROBLEMELOR SIMPLE
Primele probleme simple sunt acelea în care copilul se confruntă zilnic în școală, la
cumpărături, în familie, în ti mpul jocului. De aceea primele probleme de matematică sunt
prezentate sub formă de joc și sunt probleme -acțiune pentru a căror rezolvare se folosește un
variat material didactic ilustrativ.
În toate tipurile de probleme simple, se folosesc procese ale gâ ndirii duc la operația de
adunare, scădere, înmulțire, împărțire, și se justific ă alegerea unei operații în mod original.
Tipuri de probleme simple:
1. Probleme rezolvate prin adunare:
a) Aflarea sumei a doi termeni (a două numere);
b) Aflarea unui număr mai mare cu… unități;
c) Probleme de genul „cu …mai mult.”
Exemplu 1.1.1.1 : Alin a împrumutat ieri de la biblioteca școlii 2 cărți și azi una. Câte
cărți a împrumutat Alin de la biblioteca școlii?
7
2. Probleme rezolvate prin scădere:
a) Aflarea diferenței a două numer e;
b) Aflarea unui număr care să aibă cu un număr de unități mai puțin d ecât un număr
dat;
c) Aflarea unui t ermen când se cunoaște suma și celălalt termen al sumei;
d) Probleme de genul „cu … mai pu țin”.
Exemplu 1.1.1.2 : Bogdan avea în penar 6 creioane. El pier de două dintre creioane.
Câte creioane îi rămân?
3. Probleme rezolvate prin înmulțire :
a) De adunare a unui număr dat de un număr de ori;
b) De aflare a produsului a două numere;
c) De aflare a unui număr care să fie de un număr de … ori mai mare decât un număr
dat.
4. Probleme rezolvate prin împărțire:
a) De împărțire a unui număr dat în părți egale;
b) De împărțire prin cuprindere a unui număr prin altul;
c) De aflare a unui număr care să fie de un număr de … ori mai mic decât un număr
dat;
d) De aflare a unei părți dintr -un în treg;
e) De aflare a raportului dintre două numere.
Uneori, în lipsa unei atente analize a enunțului problemei, această „traducere ”
automatizată, conduce la erori de rezolvare prin aplicarea mecanică a unui model de rezolvare.
Elevii trebuie învățați să ana lizeze, să judece întregul context, să stabilească corect relațiile
între părțile implicate în problemă.
Exemplu 1.1.1.3 :
8
False probleme de adunare : Dora a plantat 5 pomi, cu doi mai mulți decât Filip. Câți
pomi a plantat Filip?
1.1.2. REZOLVAREA PROBLEMEL OR COMPUSE
Rezolvarea unei probleme compuse nu înseamnă, în esență, doar rezolvarea unor
probleme simple. Problema compusă se poate descompune în probleme simple, dar dificultatea
constă în legătura dintre verigi, construirea raționamentului, succesiune a operațiilor.
In literatura de specialitate se vorbește despre „evenimentele” implicate in rezolvarea
problemelor.
1. Evenimentul inițial este constituit de prezentarea problemei .
2. În, înțelegerea problemei , elevul distinge carac teristicile esențiale ale si tuațiilor din
proble mă.
3. Formularea ipotezelor este făcută de elev, care distinge posibile soluții ce pot fi
aplicate ca modalități de rezolvare.
4. Verificarea ipotezelor, prin tatonare și încercare, până ce se găsește rezolvarea
căutată.
Analiza unei proble me se poate face pe cale analitică sau sintetică. Cele două metode
nu constituie metode de rezolvare, ci modalități de analiză a datelor și relațiilor din problemă.
Asemănare a celor două căi rezidă în faptul că ambele metode constau în
descompunerea proble mei compuse sub f orma unei înlănțuiri de probleme simple, care prin
rezolvarea lor succesivă conduc la găsirea răspunsului problemei.
Deosebirea constă în punctul de plecare al examinării:
a) prin metoda sintetică se pornește de la datele problemei spre determinarea solu ției
b) prin metoda analitic ă se pleac ă de la întrebarea problemei către datele ei ¸si
stabilirea rela țiilor dintre acestea . Acest tip de analiză este predominant deductiv .
Cele dou ă metode pot fi îmbinate, mersul gândirii nu este liniar (într-un singur sens), iar
întâmpinarea unei dif icultăți, a unui blocaj poate duce la schimbarea „ căii de atac".
Exemplu 1.1.2.1 (metoda sintetică /analitică) :
9
Într-o livadă sunt 12 rânduri cu meri ¸si pruni. Știind că pe fiecare rând sunt câte 10 meri
¸si cât e 8 pruni, aflați câți pomi sunt în livadă?
Metoda I. 1) Câți meri sunt în livad ă? 12 ∙10 = 120 (meri)
2) Câți pr uni sunt în livadă? 12 ∙ 8 = 96 (peri)
3) Câ ți pomi sunt în livad ă? 120 +96 = 216(pomi) R: 216 pomi
Formula numeric ă:12 ∙ 10 + 12 ∙8 = 120 + 96 = 216;
Formula literal ă: 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐 =
Metoda a II -a. 1) Câ ți meri ¸si p runi sunt pe un rând? 10 + 8 = 18(pomi)
2) Câ ți pomi sunt în livad ă? 12 ∙18 = 216 (pomi) R: 216 pomi
Formula numeric ă: (10 + 8) ∙12 = 18 ∙12 =216.
Formula literal ă:(𝑏 + 𝑐) ∙𝑎 =
Metoda analitică, deși pare mai dificilă, solicită mai mult gândirea elevilor și îi ajută să
privească problema în totalitatea ei. Pentru a realiza schema rezolv ării prin metoda analitic ă¸
și apoi planul logic și rezolvarea probleme i, procedăm astfel :
Pentru a a fla câți pomi sunt, a flăm câți meri sunt și câți pruni sunt. Apoi vom aduna num ărul
de meri cu num ărul de pruni. Cunoa ștem num ărul de rânduri ¸si num ărul de meri de pe fiecare
rând. Aflăm num ărul de meri, prin înmul țire. Proce dăm în mod asem ănător pentru a afla
numărul de pruni.
Numărul de meri
de pe un rând
Numărul de pruni
de pe un rând
Numărul total de
pomi de pe un r ând Numărul total de pomi din
livadă (de pe cele 12 rânduri)
Numărul total de pomi din
livadă (de pe cele 12 rânduri) Numărul total de
pomi de pe un r ând
Numărul de pruni
de pe un rând
Numărul de meri
de pe un rând
10
4E 4E 4E 4E
B B B B B 4E 1.1.3. METODE ARITMETICE SPECIALE
a) Metoda figurativă sau grafică este metoda care pentru reprezentarea mărimilor din
problemă și a relațiilor dintre ele utilizează elemente grafice sau desene ș i scheme.
Avantajele acestei metode:
– are caracter general, aplicându -se problemelor la care se pre tează figurarea.
– are caracter intuitiv, înțelegerea relațiilor dintre datele problemei făcându -se pe baza
imaginilor vizuale;
– prin dimensiunile elementelor fi gurative și prin proporțiile dintre ele se creează
variate modalități de stabilire a relațiilor ca ntitative dintre diferitele valori ale
mărimilor.
Problemele care se rezolvă cu metoda figurativă le putem împărți astfel:
– cu date sau mărimi numărabile c âte una care se pot pune în corespondență după
anumite criterii. În aces t caz le figurăm prin simbolur i;
– cu date sau mărimi continui, caz în care le figurăm prin segmente.
Problema 1: Maria are 5 flori. Ea prime ște de la fratele ei 3 flori și de la mama ei 4
flori. Câte flori are Maria în total?
5f+3f=8f
8f+4f=12f
Problema 2:. Dacă într-o clasă în fiecare bancă se aș ază c âte 4 elevi, atun ci 18 rămân
în picioare . Dacă se aș ază câte 5 elevi în fiecare bancă atunci rămân 4 b ănci libere. Câte bănci
sunt în clasă și câți elevi are clasa ?
Faza inițială: Pe fiecare bancă, simbolizată cu B, figurăm câte 4 elevi, simbolizați cu
4E, și 18 elevii fără un loc .
.. .,E, E, E, E,…E.
18 elevi
11
5E 5E 5E
B B B B B ; E, E, E,…, E
B B B
10 m
23 m
13m 13m
13m
I II Faza finală: Figurăm câte 5 elevi pe o bancă și 4 bănci libere.
… ;
Între cele două faze gândim o g ândim o fază intermediară (imaginară). Dacă am fi în
sală ar trebui să procedăm astfel: eliberăm 4 bănci de la faza inițială și, astfel alți 16 elevi se
alătură celor 18 care stau deja în picioare.
… ;
18+16=34 elevi
Cei 34 de elevi trebuie să se așeze în băncile în care deja se află câte 4 el evi. În fiecare
bancă se mai aș ază doar câte un elev și atunci deducem că în final, există 34 de bănci c u câte 5
elevi fi ecare și 4 bănci libere. Atunci numărul elevilor este 34∙5=170, iar cel al băncilor
34+4=38.
Problema 3 : Două bucăți de pânză au aceeași lungi me. Dacă din prima se v ând 10 m
iar din a doua se vând 23 m, în prima bucată a rămas de două ori mai multă pânză decât în a
doua. Câți metri de pânză au fost în fiecare bucată?
Pasul 1. I
II lungime inițială
Pasul 2. I
II
Prima bucată avea 13∙2+10=36 𝑚.
Verificăm pentru a doua bucată 13+23=36 𝑚.
Problema 4 ( de aflare a două numere cunoscând suma și diferența lor): Suma a două
este 43, iar diferența lor este 7. S ă se afle numerele.
Pasul 1. I
II
Pasul 2. S
D 5E
B B B B
B 4E 4E 4E 4E B B B B
12
I II
II
7 Pasul 3.
Pasul 4. 43−7=36→ două segmente egale cu al doilea număr.
Pasul 5. 36:2=18→ al doilea număr.
Pasul 6. 18 +7=25 ( sau 43−18=25)→ primul număr.
Problema 5 : Doi frați au împreună 22 ani . Unul este mai mare decât celălalt cu 4 ani.
Câți ani are fiecare?
După câteva aplicații se poate trage concluzia: a=𝑆 − 𝐷
2→numărul cel mic
b=S+D
2→ numărul cel mare
Problema 6 : Să se afle numerele știind că suma lor este 4 2 și unul este de 5 ori mai
mare decât celălalt.
Pasul 1. numărul cel mic
numărul cel mare
Pasul 2. Suma (este formata din 6
segmente egale cu numărul ce l mic)
Pasul 3. 42:6=7→ numărul cel mic;
Pasul 4. 7∙5=35 (sau 42−7=35)→ numărul cel mare.
Problema 7 : Să se afle două numere știind că diferența lor este 24, iar unul este de 4
ori mai mare decât celălalt.
Pasul 1. numărul cel mic
numărul cel mare
Pasul 2. diferența lor
Pasul 3. 24:3=8→ numărul cel mic;
Pasul 4. 8∙4=32(sau 24+8=32)→ numărul cel mare.
b) Metoda comparației constă în a compara două situații, în a elimina o ne cunoscută
și a o afla pe cealaltă. Algebric se formea ză un sistem de două ecuații liniare de gradul
I cu două necunoscute. După modul în care se elimină necunoscuta a vem mai multe
tipuri de abordări prin scădere sau adunare , aducând în prealabil la același termen de
comparație și prin înlocuire. 24
13
Problema 8 : La o fermă, o echipă formată din 5 muncitori și 12 elevi au recoltat
într-o zi 946 lăzi de roșii , iar o alt ă echipă formată din 6 muncitor și 15 elevi a recoltat 1164
lăzi de roșii. Productivitatea munc ii fiind aceeași, pentru fiecare, s ă se afle câte lăzi cu roșii a
recoltat un elev și câte un muncitor.
Avem următoarele relații:
5 muncitori……….12 elevi……….946 lăzi ∕∙6∕∙5
6 muncitori……….15 elevi……..1164 lăzi ∕⋅5∕⋅4
Întrucât nici valorile care reprezintă muncitorii nu sunt egale și nici cele care reprezintă
elevii, se aduce la același termen de compar ație.
30 muncitori……..72 elevii…….5676 lăzi
30 muncitori……..75 elevii…….5820 lăzi
Comparând cele dou ă relații obț inut, se dedu ce că diferența de 5820 lăzi –5676lăzi=144
lăzi corespunde diferenței de 75 elevi -72 elevi=3 elevi. Rezultă că 3 elevi au recoltat 144 lăzi
de roșii, iar un elev a recoltat 144:3=48 lăzi. Înlocuind într -una din relații, se află num ărul
lăzilor recoltate de un muncitor.
5 muncitori………12 ∙ 48 lăzi…….946 lăzi
5 muncitorii recoltează: 946 lăzi – 576lăzi =370 lăzi
1 muncitor recoltează: 370: 5=74 lăzi.
Observații:
– Toate valorile care intră în componența unei relații se pot înmul ți sau împărți cu
același număr pozitiv, întreg sau fracționar, obținându -se relații echivalente, apoi
relațiile respective se pot aduna sau scădea în scopul eliminării unei necunoscute.
– Pentru a se obține cele mai mici valori egale este indicat să se utilizeze m etoda celui
mai mic multiplu comun , adică relațiile să fie înmul țite cu numere astfel alese încât
să se obțină c.m.m.m.c. al valorilor respective.
– În cazul când, în problemă se urmăre ște eliminarea necunoscutei care reprezintă
elevii, atunci, ținând cont că [12,15]=60, prima relație se înmulțește 5, iar a doua cu
4 și avem:
25 muncitori……..60 elevi…….4730 lăzi
24 muncitori……..60 elevi……4656 lăzi
1 mu ncitor………. .4730 – 4656=74 lăzi și în același mod un elev recoltează 48 lăzi.
Algebri c, notând cu x numărul de lăzi recoltate de un muncitor și cu y numărul de lăzi
recoltate de un elev, putem scrie sistemul:
14
{5𝑥+12𝑦=946⋅5⁄
6𝑥+15𝑦=1164⋅⁄(−4)
Rezolv ând acest sistem prin metoda reducerii, obținem succesiv:
{ 25𝑥+60𝑦= 4730
−24𝑥−60𝑦=−4656
𝑥=74, iar prin substituție se obține y=48.
c) Metoda falsei ipoteze constă în presupunerea că ipoteza din problemă este falsă că
toate obiectele sunt de același fel și în urma unui raționament se dovedește că situația
reală nu corespunde c u ipoteza făcută. Din această cauză metoda se numește a falsei
ipoteze. Ea se utilizează în toate cazurile în care prin ipotezele care se fac se poate
ajunge la stabilirea relațiilor dintre datele problemei și deci la rezolvarea ei.
Problema 9: Într-un blo c nou se construiesc a partamente cu 2 camere și respectiv cu 4
camere, în total 58 de camere. Știind că în bloc sunt construite 18 apartamente, să se afle câte
apartamente sunt cu 2 camere și câte sunt cu 4 camere.
Presupunem că toate apartamentele au 4 c amere.
1. Câte camere sunt în bloc?
18∙4=72 camere
2. Aflăm câte camere sunt în plus pe baza presupunerii.
72 – 58 =14 camere
3. De unde provine plusul de camere? Din presupunerea că toate apartamentele au c âte 4
camere. Deci au existat și apartamente cu 2 camere. Cu cât am presupus mai mult la
apartamentele de 2 camer e?
4 – 2 =2 camere
4. Câte apartamente de 2 camere sunt?
14: 2=7 apartamente de 2 camere
5. Câte apartamente de 4 camere sunt?
18 – 7=11 apartamente de 4 camere.
Problema poate fi rezolvată prin mai multe metode și acest fapt este datorat
posibili tăților diferite de a face presupunerea inițială: presupunem că toate apartamentele au
fost de 2 camere.
1. Câte camere sunt în bloc?
18∙2=36 camere
2. Aflăm c âte camere sunt în minus pe baza presupunerii.
58 – 36 =22 c amere
15
3. De unde provine această diferență? Din presupunerea că toate apartamentele au câte
2 camere. Deci au existat și apartamente cu 4 camere. Cu cât am presupus mai puțin
la un apartament cu 2 camere?
4 – 2 =2 camere
4. Câte apartamente de 4 camere sunt?
22: 2=11 apartamente de 4 camere
5. Câte apartamente de 2 camere sunt in bloc?
18 – 11 =7 apartamente de 2 camere.
Verificare: 7+11=18 aparta mente
7∙2+11∙4=14+44=58 camere (Adevărat)
Problema 10: Cu prilejul unui spectacol, se con stată că dacă spectatorii s e așază câte 4
pe o bancă, rămân 18 persoane în picioare, iar dacă spectatorii se așază câte 5 pe o bancă, rămân
4 bănci libere. Câte b ănci sunt în sală și câți spectatori?
Ipoteza I: 30 bănci. Dacă în sală ar fi 30 de bănci, atunci cu câte 4 spectatori p e o bancă
ar fi 120 spectatori, plus cei 18 spectatori fără locuri , în total 138 s pectatori. Iar cu 5 spectatori
în 26 bănci (fiindcă în această situație 4 bănci rămân libere) ar fi 130 spectatori. Întrucât
numărul spectatorilor este diferit în cele două situații, diferența fiind de 8 spectatori, rezul tă că
ipoteza este falsă.
Ipoteza a II -a: 31 bănci. În această ipoteză avem: câte 4 sp ectatori pe o bancă ar fi 124
spectatori, plus cei 18 în picioare ar fi 142 spectatori. Iar cu 5 spectatori pe o bancă în 27 de
bănci ar fi 135 spectatori . Și a doua ipoteză este falsă, însă se constată că diferența este acum
de 7 spectatori (142 – 135 =7), adică dacă numărul băncilor s -a mărit cu 1, diferența s -a
micșorat cu o unitate, de unde urmează că numărul băncilor tr ebuie mărit cu 8 față de prima
ipoteză pentru ca di ferența de 8 spectatori să se anuleze. Într -adevăr, dacă numărul băncilor
este 38 , avem:
– în 38 bănci câte 4 spectatori 152 spectatori
– în picioare 18 spectatori
Total 170 spectatori
Sau: în 34 de bănci câte 5 spectatori… 170 spectatori
Prin urmare, în sală sunt 38 de bănci și 170 spectatori. Tipul acesta de probleme putea
fi rezolvat și prin metoda grafică, folosin d simbolurile.
d) Meto da mersului invers (metoda retograd ă). Prin metoda mersului invers se
rezolvă aritmetic anumite probleme în care elementul necu noscut apare la începutul
șirului de calcule ce rezultă din enunț. Exercițiile ce se pot obține din rezolvarea unora
16
dintre acest e probleme sunt denumite exerciții „cu x”, care de fapt sunt e cuații de
gradul I cu o necunoscută, dar care pentru elevii mici , se rezolvă cu prin calcul
algebric, ci prin raționament aritmetic.
Problema 11 : Un producător vinde pepeni la 3 cumpărători. P rimului îi vinde o
jumătate din cantitate, cel ui de -al doilea o treime din ce îi rămăsese, iar celui de -al treilea o
cincime din noul rest. Câți pepeni a avut inițial cumpărătorul dacă i -au mai rămas 16 pepeni?
Rezolvarea I: Așezarea datelor problemei:
I 1
2𝑆 rest R 1
II 1
3𝑅1 rest R 2
III 1
5𝑅2 rest R 3=16
Efectuarea calculelor:
III. Al treilea cumpărător i a 1
5 din R2 , unde R 2 reprezintă cantitate de pepeni pe care i –
a mai găsit, înseamnă că cantitate de pepeni rămasă adică R 3=16 re prezintă 𝑅2−
1
5𝑅2și deci4
5𝑅2=16⟹𝑅2=16∙5:4=20 pepeni.
II. Al doilea cump ărător ia 1
3 din R 1, unde R 1 reprezintă cantitate pe care o mai avea
vânzătorul, înseamnă că cantitatea de pepeni rămasă adică R 2=20 reprezintă 𝑅1−1
3𝑅1 și deci
avem: 2
3𝑅1=20⇒𝑅1=20∙3:2=30 pepeni.
I.Primul cumpărător a luat 1
2 din S, unde S reprezintă cantitatea întreagă de pepeni,
rămânând 30 pepeni, ceea ce înseamnă că 𝑆−1
2𝑆=30⟹1
2𝑆=30⟹𝑆=30∙2=
60 pepeni.
Rezolvarea 2. Pentru rez olvarea algebrică a problemei se pot scrie relațiile în modul
următor:
Cât vinde : Cât rămân e:
I. 1
2𝑆 1
2𝑆
II. 1
3∙1
2𝑆=1
6𝑆 1
2𝑆−1
6𝑆=2
6𝑆=1
3𝑆
III. 1
5∙1
3𝑆=1
15𝑆 1
3𝑆−1
15𝑆=4
15𝑆
Din enunț rezultă că 16 pepeni reprezintă 4
15𝑆.
4
15𝑆=16⟹𝑆=16∙15:4=60 pepeni.
17
1/3 1/2
2 1/2
2 1/3 1/3
1/5
4/5 Se mai poate utiliza și proces ul scrierii sub formă de ecuaț ie a expresiei care reprezintă
ansamblul operațiilor, adică:
𝑆−1
2𝑆−1
6𝑆−1
15𝑆=16 ecuație care devine după ce aducem la același n umitor: 30𝑆−
15𝑆−5𝑆−2𝑆=480⇔8𝑆=480⇔𝑆=480:8⇔𝑆=60 pepeni.
Rezolvarea 3. Mers invers pe baza metodei grafice.
Nr. ini țial
R1
R2
Se observă că 16 pepeni reprezintă 4
5 din restul al doilea. Câți pepeni reprezintă rest ul
al doilea? 16∙5:4=20. Tot 20 reprezintă 2
3 din restul 1. Câți pepeni reprezintă primul rest?
20∙3:2=30. Tot 30 reprezintă 1
2 din totalul initial. Câți pepeni erau inițial? 30∙2=60.
Problema 12 : Se conside ră un număr notat cu x, din care se scade 20, rezultatul se
înmulțește cu 5, din pro dusul obț inut se adună 40, rezultatul se împarte la 3, apoi se adună 20,
obținându -se 50. Care este numărul x?
Exercițiul se scrie astfel:
[(𝑥−20)∙5+40]:3+20=50
Pentru a afla numărul x se pornește de la ultima operație care ar urma să se efectueze
în sens dire ct, adică de la adunarea cu 20 . Expresia reprezintă o adunare în care primul termen
este necunoscut (conține necunoscuta x); un term en al adunării este egal cu suma minus celăla lt
termen, adică:
[(𝑥−20)∙5+40]:3=50−20
[(𝑥−20)∙5+40]:3=30
Acum exercițiul reprezintă o împărțire în care deîmpărțitul este necunoscut; el este egal
cu produsul dintre împărțitor și cât, adică:
(𝑥−20)∙5+40=30∙3
(𝑥−20)∙5+40=90
Exerci țiul repre zintă o sumă în care un termen es te necunoscut și se află din sumă
scăzând celălalt termen, adică:
(𝑥−20)∙5=90−40
(𝑥−20)∙5=50
18
36
625
625 Exercițiul reprezintă acum un produs în care un factor este necunos cut și el se află
împărțind prod usul la celălalt factor, adică:
𝑥−20=50:5
𝑥−20=10
𝑥=20+10
𝑥=30
Verificarea se face prin efectuar ea calculelor în sens direct: 30−20=10;
10∙5=50; 50+40=90;90:3=30; 30+20=50.
Algebric exercițiul se rezolvă considerând că egalitatea reprezintă o ecuație de gradul I
cu o singură necunoscută, care întâi se ad uce la forma generală, apoi se rezolvă:
[(𝑥−20)∙5+40]
3+20=50⇔(𝑥−20)∙5+40+60=150⇔(𝑥−20)∙5+100=150⇔
5𝑥−100+100=150⇔5𝑥=150⇔𝑥=150:5⇔𝑥=30.
În rezolvarea unei probleme putem aplica nu doar o metodă ci și o combinație de
metode. Alteori ne orientăm dup ă felul cum au fost r ezolvate problemele înrudite, p rocedând
similar.
1.2. STADII ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR
I. Stadiul imaginii. Importan ța figurilor și a reprezentărilor grafice
Imaginile au avantajul că transmit sintetic informa ție complexă. De aceea, recurgere a
la imagine este deosebit de importantă în în țelegerea no țiunilor matematice.
I.1. Sisteme simbolice utile
În algebră, folosim frecve nt sisteme nota ționale pentru a caracteriza și numi concepte
matematic e. Câteva dintre reprezentările fundamentale sunt ur mătoarele:
Exemplu I.1.1: Axa numerelor reale:
Mulțimile de numere: ℕ,ℤ,ℚ,ℝ
Conven ții de reprezentare și efectuare a opera țiilor:
√4225 65
125∙5=625
===
19
O serie de conven ții de reprezentare provenite din experien ța cotidian ă facilitează
înțelegerea unor proprietă ți abstracte.
Exemplu I.1.2: Proprietă țile egalită ții pot fi înțelese prin intermediul balan țelor:
Dacă a = b, atunci a + c = b + c.
Dacă a + c = b + c, atunci a = b.
Dacă 𝑎 = 𝑏, atunci 𝑎⋅𝑐 = 𝑏⋅𝑐.
Dacă 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐, atunci 𝑎 = 𝑏, unde a, b, c≠0
Imaginile următoare ilustrează aceste proprietă ți. Ele pot fi folosite cu succes pentru a
facilita în țelegerea de către elevi a proprietă ților egalită ții.
La geometrie, figurile ne ajută să construim ra ționamente. De asemenea, ele au rolul de
a concentra informa ția.
Exemplu I.1.3: Să se afle lungimea a din figura de mai jos:
În ∆𝐴𝐵𝐶,𝑚(∢𝐴)=90°,𝑚(∢𝐵)=30° conform
teoremei unghiului de 30o⟹𝐴𝐶=𝐵𝐶
2⟹𝐴𝐶=
𝑎
2.Conform teoremei lui Pitagora: 𝐵𝐶2=𝐴𝐶2+𝐴𝐵2⟹
𝑎2=(𝑎
2)2
+112 ceea ce reprezintă o ecuație de gradul al
II-lea echivalentă cu: 4𝑎2=𝑎2+484⟺3𝑎2=
484⟺𝑎2=484
3⟺𝑎=√484
3⟺𝑎=√484
√3 ⟺𝑎=22
√3⟺𝑎=22√3
3.
20
O reprezentare frecvent folosită este sistemu l de coordonate carte ziene. Reprezentarea
datelor în acest fel transmite în mod condensat foarte multe informa ții. Decodificarea
informa țiilor este una dintre dificultă țile posibile cu care se confruntă elevii.
Exemplu I.1.4: Fie funcția 𝑓:ℝ⟶ℝ,𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+6, unde a este un număr real nenul.
În sistemul de coordonate XOY se consideră punctele de intersecție ale graficului funcției f cu
axele OX și OY, determinați numerele reale a, știind că 𝑡𝑔(∡𝑂𝐴𝐵)=2.
𝐺𝑓∩𝑂𝑋={𝐴}⟹𝑓(𝑥)=0⟹𝑎𝑥+6=0⟺𝑥=−6
𝑎⟹𝐴(−6
𝑎,0)⟹𝑂𝐴=−6
𝑎
𝐺𝑓∩𝑂𝑌={𝐵}⟹𝑓(0)=𝑎∙0+6⟹𝑓(0)=6⟹𝐵(0,6)⟹𝑂𝐵=6
În ∆𝐴𝑂𝐵,𝑚(∡𝐴𝑂𝐵)=90°,
𝑡𝑔(∡𝑂𝐴𝐵)=𝑂𝐵
𝑂𝐴
𝑡𝑔(∡𝑂𝐴𝐵)=2} ⟹𝑂𝐵
𝑂𝐴=2⟺0𝐵=2𝑂𝐴⟺
6=2∙(−6
𝑎)⟺6𝑎=−12⟺𝑎=−2 număr
real nenul.
I.2. Lectura textului
Pentru elev, este o problemă chiar descifrarea textului. Aceasta este o activitate diferită
de cea de rezolvare a problemei, care solicită alte abilită ți cognitive. Ea nu se înva ță automat:
textul unei probleme, enun țul unei teoreme sunt ele însele ”figuri”, sisteme s imbolice, care
solicită o mobilizare cognitivă specială. Ca urmare, elevul trebuie învă țat să citească. Efortul
de aten ție și concentrare pe care îl face elevul atunci când profesorul transformă teorema în
problemă și jalonează pa șii spre rezolvarea ei est e diferit de acela al desc ifrării personale. Se
poate întâmpla ca a în țelege un text matematic, fără un antrenament special, să fie o problemă
mai grea decât o problemă propriu -zisă.
Așa cum sublinia Eugen Rusu, ”pentru a citi și înțelege un text matematic – sau o lec ție
expozitivă – cititorul trebuie să aibă o experien ță adâncă în rezolvări de probleme; mai mult:
21
să-și fi dat seama că descifrarea textului este în fond rezolvarea unei probleme, în care ni se
dau, din loc în loc, indica ții”.
II. Stadiul rela țiilor. Moduri de abordare a problemelor
Componentele unei probleme implică o serie de rela ții. Înțelegerea corectă a acestor
relații este adesea decisivă în rezolvarea problemei. De aceea, în continuare, analizăm modul
cum interac ționează componentele problem elor.
II.1. Date – rezultate; ipoteză – concluzie
Pentru a începe rezolvarea unei probleme, trebuie mai întâi să înțelegem con ținutul,
esența ei, scopul pe care și-l propune . După ce am în țeles problema în ansamblu, ne concentrăm
atenția asupra păr ților ei principale. Trebuie să pricepem foarte clar:
– ce anume trebuie să găsim și de ce natură e ste acel obiect (NECUNOSCUTA sau
necunoscutele);
– ce anume este „dat” în problemă, sau ce anume este cunoscut (DATELE);
– în ce fel, prin ce rela ții, sunt legate între el e necunoscutele și datele (CONDIȚIA).
II.2. Utilizarea conven țiilor de desen pentru a induce necesitatea ra ționamentului
geometric
Elevii întâmpină adesea ma ri dificultă ți în problemele de demonstrat. Aceste dificultă ți
apar încă de la început, în transpun erea textului din enun ț într-o formă grafică – simbolică ce
orientează c ătre soluție. În continuare, cerin ța redactării unei ”proze matematice” apare ca un
obstacol greu de trecut. O solu ție pentru a crea elevului interes și disponibilitate în abordarea
problemelor de demonstrat este prezentarea unor figuri -problemă în care ipoteza și concluzia
sunt direct formulate pe desen.
Exemplul II.2.1 : Să demo nstrăm inegalitatea mediilor pornind de la o construcție
geometrică. Dacă în t riunghiul 𝐴𝐵𝐶, avem 𝑚(∡𝐵𝐴𝐶)=90°,𝐴𝐷 este înălțime, 𝐴𝑀 mediană,
distamța de la D la AM este DF, 𝐵𝐷=𝑎 cm și 𝐷𝐶=𝑏 cm. Atunci 𝐴𝑀=𝑎+𝑏
2,𝐴𝐷=√𝑎𝑏 și
𝐴𝐹=2𝑎𝑏
𝑎+𝑏.
În triunghiul 𝐴𝐵𝐶 , 𝑚(∡𝐵𝐴𝐶)=90°,
𝐴𝑀 mediană, deci 𝐴𝑀=𝑎+𝑏
2.
În triunghiul 𝐴𝐵𝐶 , 𝑚(∡𝐵𝐴𝐶)=90°,
𝐴𝐷 înălțime⟹𝐴𝐷2=𝐵𝐷∙𝐷𝐶⟹
𝐴𝐷2=𝑎∙𝑏⟹𝐴𝐷=√𝑎𝑏.
22
În triunghiul 𝐴𝐷𝑀 , 𝑚(∡𝐴𝐷𝑀)=90°, conform teoremei catetei ⟹𝐴𝐹=𝐴𝐷2
𝐴𝑀⟹𝐴𝐹=
𝑎𝑏
𝑎+𝑏
2=2𝑎𝑏
𝑎+𝑏. Din observația 𝐴𝐹≤𝐴𝐷≤𝐴𝑀 obținem 2𝑎𝑏
𝑎+𝑏≤√𝑎𝑏≤𝑎+𝑏
2, egalitatea are loc
atunci când triunghiul 𝐴𝐵𝐶 este dreptunghic isoscel ( 𝐴𝐷=𝐴𝑀=𝐴𝐹).
II.3. Schema carteziană sau despre punerea în ecua ție
René Descartes (1596 -1650), filozof, matematician și fizician cu contribu ții
remarcabile la î ntemeierea fiecăreia dintre aceste domenii, a încercat să contureze o metodă
universală de rezolvare a problemelor. Într -una din lucrările sale, „Reguli utile și clare pentru
îndrumarea min ții în cercetarea adevărului ”, precum și cea mai binecunoscut ă, „Discours de la
Méthode ”, Descartes expune această metodă despre care credea că ar putea fi aplicată la toate
tipurile de probleme:
– Mai întâi, problema, de orice tip ar fi ea, trebuie redusă la o problemă de
matematică.
– După aceea, problema de matematică, ind iferent de tipul ei , trebuie redusă la o
problemă de algebră.
– În fine, orice problemă de algebră trebuie redusă la rezolvarea unei singure ecua ții.
Desigur, există numeroase cazuri în care această schemă nu poate fi aplicată, dar
suficie nt de multe situa ții pot fi modelate pe baza acestei structuri. În cele ce urmează, reluăm
regulile lui Descartes în varianta modernă, transpusă de P όlya:
(1) După ce a ți înțeles bine problema, reduce ți-o mai întâi la determinarea unui anumit
număr de cant ități necunoscute ( Regulile XIII – XVI). Aceasta înseamnă să delimităm:
– ce nu cunoa ștem (necunoscuta sau necunoscutele);
– ce știm (datele);
– în ce fel, prin ce rela ții, sunt legate între ele necunoscutele și datele (condi ția).
(2) Examina ți problema în modul cel mai fire sc, considerând -o gata-rezolvată și
reprezentându -vă într -o ordine potrivită toate rela țiile care, conform condi ției, trebuie să existe
între necunoscute și date(Regula XVII).
Ne imaginăm că toate mărimile (cantită țile) necuno scute au valori care satisfac perfect
condi ția problemei – aceasta se în țelege în esență, prin recomandarea „considera ți problema
gata rezolvată”. Considerăm, prin urmare, că sub un anumit aspect, putem să nu facem
deosebire între necunoscute și cantită țile date și că putem să le tratăm, pe unele și pe celelalte,
pe picior de egalitate: ni le reprezentăm, în concret, legate într e ele prin rela țiile pe care le
stipulează condi ția problemei
23
(3) Separa ți din condi ție o parte care vă permite să exprima ți o aceea și cantitate în două
moduri d istincte, și să ob țineți, în felul acesta, o ecua ție între necunoscut e. În cele din urmă,
trebuie să împăr țiși condi ția în exact atâtea păr ți – și în felul acesta să ob țineți un sistem de
exact atâtea ecua ții – câte necunoscute are problema (Regula XIX).
Pόlya analizează în continuare astfel regula (3): trebuie să ob ținem un sistem de n
ecuații cu n necunoscute. Sistemul trebuie astfel construit, încât rezolvarea lui și calculul
necunoscutelor să dea soluția problemei propuse. Prin urmare, sistemul de ecua ții trebuie să fie
echivalent cu con ținutul condi ției propuse. Dar dacă sistemul în ansamblu exprimă condi ția în
ansamb lu, înse amnă că fiecare ecua ție în parte a sistemului trebuie să exprime o anumită parte
a condi ției. Deci pentru a stabili cele n ecua ții trebuie să împăr țim condi ția în n părți.
(4) Reduce ți sistemul de ecua ții la o singură ecua ție (Regula XXI).
Așa cum sublini a Pόlya, ”profesorul care va face un efort conștiincios și insistent pentru
a adu ce recomandările lui Descartes, prezentate mai su s, la nivelul de în țelegere al elevilor, și
pentru a le introduce în practică, va evita multe din capcanele și dificultă țile frecvente în
predare.
Înainte de orice, elevul nu trebui e – în nici un caz – să înceapă să rezolve o problemă,
înainte de a o fi înțeles pe deplin. Se poate verifica, într -o oarecare măsură, dacă elevul a în țeles
realmente problema: el trebui e să fie în stare să repete enun țul problemei, să arate care sunt
necunoscutele și datele, să explice condi ția cu propriile lui cuvinte. Dacă poa te să facă toate
acestea su ficient de bine, el poate trece la rezolvarea propriu -zisă.
O ecua ție exprimă o part e a cond iției. Elevul trebuie să fie în stare să spună ce parte a
condi ției es te exprimată de ecua ția pe care o scrie – și ce parte nu este încă exprimată. O ecua ție
exprim ă o aceea și cantitate in două moduri dist incte. Elevul trebuie să fie în stare să spună care
anume can titate a fost astfel exprimată.
Exemplu II.3.1 :Aplicăm considera țiile de m ai sus în rezolvarea următoarei probleme:
Bunicul lui Petrică are două sortimente de nuci: pe unele le vinde cu 12 lei ki logramul,
pe celelalte – cu 8 lei kilogramul. El vrea să le amestece și să le vândă cu 9 lei și 50 bani
kilogramul. Câte kilograme dintr -un sortiment și câte din celălalt trebuie să ameste ce,
ca să aibă spre vânzare în total 50 kilograme?
Aceasta este o „problemă de amestec” tipică. Să presupunem că negustorul amestecă x
kilograme de nuci din primul sortiment cu y kilograme de nuci din al doilea; x și y s unt
necunoscutele.
24
Primul sortime nt Al doilea sortiment Amestecul
Prețul/ kilogram 12 8 9,50
Masa x y 50
Exprimăm în două moduri masa totală a amestecului de nuci:
𝑥 + 𝑦 = 50
După a ceasta , exprimăm în două moduri pre țul total al amestecului:
12𝑥 + 8𝑦 = 9,50∙50.
Am obținut un si stem d e două ecua ții pentru cele două necunoscute x și y.
{𝑥 + 𝑦 = 50
12𝑥 + 8𝑦 =475⟺{−12𝑥−12𝑦=−600
12𝑥+8𝑦=475⟺{𝑦=31,25
𝑥=50−31,25⟺{𝑥=18,75
𝑦=31,25
−4𝑦=−125⟺𝑦=31,25
III. Stadiul matematic. Probleme de utilizare a limbajului sp ecific
Matematica oferă strategii de rezo lvare a problemelor atât în viața de zi cu zi cât și în
numeroase alte domenii. Pentru aceasta matematica operează cu un limbaj specific care trebuie
însușit.
III.1. Transferul de limbaj.
Înainte de rezolvarea propr iu zisă de probleme sau de ecuații, sunt utile ex ercițiile de
transfer de limbaj grafic în limbaj algebric și invers.
Exemplu III.1.1 : a) jumătatea lui x: 1
2𝑥
b) dublul lui y: 2y
c) de trei ori mai mare decât z: 3z.
Sunt, de asemenea, utile ex ercițiile de transfer din limbaj cotidian în limbaj simbolic și
invers. Exemplul următor implică modelarea problemelor prin ecuații.
Exemplul III.1.2 :Ion și cei 3 prieteni ai lui au avansat aceea și sumă de bani pentru a -i
cumpăra lui Matei un cadou de 100 lei. Care este contribu ția fiecăruia?
x= su ma comună de bani
4∙𝑥=100⟺𝑥=25 lei contribuția fiecăruia
O modalitate de a reprezenta sugestiv un număr mare de date constă în utilizarea
diagramelor statistice: grafice cu bare sau diagrame circulare.
Exemplu l III.1.3 : În diagrama alăturată sunt reprezentate preferințele elevilor unei
școli pentru diferite activități. La sondaj au participat 600 elevi.
25
Folosind regula de trei simplă determinați numărul
elevilor care preferă lectura. Observăm că s-au marcat pe
cerc unghiurile la centru.
360°………………………600 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑖
90°………………….𝑥 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑖 𝑝𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟ă 𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑥=90∙600
360⟺𝑥=150 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑖 𝑝𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟ă 𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎
IV. Stadiul euristic. Scheme de rezolvare
Majoritatea problemelor nu se rezolvă imediat, aplicând un algoritm sau o metodă
infailibilă. De obicei, facem demersuri de tatonare, procedăm prin încercare eroare, căutăm
exemple sau contra exemple, care clarifică legăturile posibile între ipoteză și concluzie, între
date și necunoscute. Toa te acestea reprezintă nivelul euristic.
IV.1. Tatonări în găsirea soluției
Pentru a facilita procesul de tatonare, este utilă folosirea unor materiale auxiliare ce
modelează probleme. Astfel de materiale pot fi de exemplu, decupajele din carton folosite at ât
în geometria plană cât și în cea spațială.
Exemplu IV.1.1 : Se construiesc, din carton, u n triunghiul ABC echilateral și în afara
lui, pe laturi , luate ca diametre, semicercuri. Un cerc este tangent la toate aceste semicercuri.
Să se afle aria porțiunii neha șurate în funcție de a, latura triunghiului echilateral.
𝐴𝑛𝑒ℎ𝑎ș𝑢𝑟𝑎𝑡ă=𝐴𝑐𝑒𝑟𝑐 𝑚𝑎𝑟𝑒−𝐴∆𝐴𝐵𝐶−3𝐴𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐𝑒𝑟𝑐
𝐴∆𝐴𝐵𝐶=𝑎2√3
4
𝐴𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐𝑒𝑟𝑐=𝜋(𝑎
2)2
2=𝜋𝑎2
8
OE=R raza cercului mare 𝑂𝐸=𝑂𝑃+𝑃𝐸
𝑂𝑃=1
3𝑃𝐶,PC înălțime în Δ𝐴𝐵𝐶 echilateral ⟹
⟹𝑃𝐶=𝑎√3
2⟹𝑂𝑃=𝑎√3
6,
𝑃𝐸=𝑃𝐴=𝑎
2⟹𝑅=𝑂𝐸=𝑎√3
6+𝑎
2
𝐴𝑐𝑒𝑟𝑐 𝑚𝑎𝑟𝑒=𝜋𝑅2=𝜋(𝑎√3
6+𝑎
2)2
=𝜋(𝑎2
12+𝑎2√3
6+𝑎2
4)=𝜋(𝑎2
3+𝑎2√3
6)
26
𝐴𝑛𝑒ℎ𝑎ș𝑢𝑟𝑎𝑡ă=𝜋(𝑎2
3+𝑎2√3
6)−𝑎2√3
4−3𝜋𝑎2
8=8𝜋𝑎2+4𝜋√3𝑎2−6√3𝑎2−9𝜋𝑎2
24
𝐴𝑛𝑒ℎ𝑎ș𝑢𝑟𝑎𝑡ă=4𝜋√3𝑎2−𝜋𝑎2−6√3𝑎2
24=[(4√3−1)𝜋−6√3]𝑎2
24
Utilizarea ma terialelor permit aproximarea dimensiunilor, verificarea prin calcul și
măsurare.
IV.2. Schema de rezolvare
Fiecare etapă a rezolvării unei probleme se conturează pe mai multe nivele. Niv elul
inițial este cel al imaginii în care cel care rezolvă problema î și conturează în minte o anumită
reprezentare. Al doilea nivel este cel al relațiilor , al legăturilor între necunoscute și mai departe
nivelul matematic care constă în formule sau enunțur i formalizate.
Exemplu IV.2.1 : Dintr -o bucată de stofă s -a tăiat o da tă o treime, iar altă dată un sfert.
Măsurându -se restul s -a găsit de 10m. Ce lungime a avut bucata de stofă?
În vorbirea curentă În limbaj algebric
Dintr -o bucată de stofă x=lungimea bucății de stofă
s-a tăiat o dată 1
3 𝑥
3
iar altă dată 1
4 𝑥
4
Măsurându -se restul, s -a găsit 10m stofă 𝑥−𝑥
3−𝑥
4=10
Rezolvăm ecuația găsită
𝑥−𝑥
3−𝑥
4=10⟺12𝑥−4𝑥−3𝑥=120⟺5𝑥=120⟺𝑥=24𝑚 lungime bucata de
stofă.
V: 24−24
3−24
4=10⟺24−8−6=10 (𝐴)
1.3. PROBLEMELE DE MATEMATICĂ ÎN VIZIUNEA LUI
GEORGE PÓLYA
Rezolvarea de probleme presupune să avem anumite cunoștințe în domeniul din care
face parte problema și trebuie să selecționăm și să strângem datele relevante din cunoștințele
noastre existente, dar inițial depozitate în memorie. Dacă avem de rezol vat o problemă de
matematică trebuie să ne aducem aminte de probleme rezolvate anterior, de teoreme cunoscute,
de definiții. Această extragere a elementelor poate fi denum ită mobilizare.
27
Dar pentru a rezolva o problemă nu este suficient să ne reamintim fap te izolate, ci
trebuie să le combinăm, iar combinarea lor trebuie ada ptată la problema respectivă. Astfel când
rezolvăm o problemă de matematică trebuie să construim o arg umentare care să sintetizeze
materialele extrase din memorie într -un întreg bine adap tat scopului. Această activitate poate
fi denumită organizare .
Mobilizarea și organizarea nu sunt decât două aspecte ale aceluiași proces complex,
care are și multe alte aspecte. Un alt aspect al pro greselor pe care le facem constă în schimbarea
modului d e a concepe și înțelege problema. V oind să trecem de la înțelegerea inițială a
problemei la alta mai adecvată, mai bine adaptată încercăm diverse puncte de vedere și
considerăm problema sub diferite aspecte. Am putea cu greu să progresăm, dacă nu am proced a
la modificări ale problemei. Pe măsură ce analiza problemei înaintează, prevedem din ce in ce
mai clar ce trebuie să facem pentru a obține soluția și în ce fel anum e.
Rezolvând o problemă de matematică, putem prevedea, dacă suntem bine inspirați, că
vom recurge la o teoremă cunoscută, că ne va fi de folos considerarea unei probleme rezolvate
anterior, că se va impune să revenim la înțelesul câte unui termen tehnic. A ceste lucruri nu le
prevedem cu certitudine ci numai cu un anumit grad de plauzibilitate. Fără considerații care
sunt doar plauzibile și provizorii nu am putea să găsim niciodată soluția certă și definitivă.
Avem nevoie de raționamente euristice .
Putem pro gresa continuu, prin pași mici și imperceptibili, dar din când în când înaintăm
brusc în s alt. O înaintare subită în direcția soluției se numește idee revelatoare, idee bună, gând
fericit, străfungere, scânteie. Ce este ideea revelatoare? O schimbare brusc ă, instantanee a
viziunii noastre , o reorganizare subită a modului nostru de a concepe pro blema . Înțelegând
problema, ne pregătim în vederea ei, întocmim un plan căutăm s -o provocăm, o realizăm,
reluând problema retrospectiv în desfășurarea și cu rezultatu l ei, căutăm s -o expl oatăm mai
bine.
Punerea în ecuație este ca o traducere dint -o limbă î n alta. A pune în ecuație înseamnă
a exprima în simboluri matematice o condiție enunțată în cuvinte, este traducer ea din limba
curentă în limbajul formulelor matemati ce. Dificultățile de care ne lovim la punerea în ecuație
sunt dificultăți de traducere. În tâi, trebuie să înțelegem exact condiția, apoi să fim familiarizați
cu formulele de expresie matematice.
Punerea în ecuație prezintă multe aspecte similare. În cazurile ușoare, enunțul verbal
se descompune aproape automat în părți consecutive, care se pot transcrie imediat în simboluri
matematice. Într -o astfel de situație trebuie să acordăm mai puțină atenție enunțului verbal și
să ne concentrăm asupra înțelesului. Înainte de a scrie formule, s -ar putea să fie nevoie de o
28
restructurare a condiției, și în timp ce ne ocupăm de aceasta trebuie să avem mereu în vedere
resursele notațiilor matematice .
În toate cazurile, în cele u șoare și în cele dificile, trebuie să înțelegem condiția, să
separăm diversele părți ale condiției și să ne întrebăm: Pot fi ele tran scrise în limbaj matematic?
Exemplu 1.3.1 Să se afle două numere a căror sumă este 78 și al căror produs este
1296.
Enunțul problemei
În limba curentă În limbaj algebric
Să se afle două numere 𝑥,𝑦
al căror sumă este 78 𝑥+𝑦=78
al căror prod us este 1296. 𝑥∙𝑦=1296
În acest caz, enunțul verbal se descompune aproape automat în părți consecutive,
care se transcriu imediat în simboluri matematice.
Exemplu 1.3.2 Să se afle latura bazei și înălțimea unei prisme drepte cu baza pătrat,
fiind dat e volumul, 63 cm3, și aria totală, 102 cm2.
Care sunt necunoscutele? Latura bazei pe care o notăm cu x și înălțimea prismei notată cu y.
Care sunt datele? Volumul, 63 și suprafața totală, 102.
Care este condiția? Prisma cu baza pătrat de latura x și înăl țime y trebuie să aibă volumul 63
și aria totală 102.
Să separăm div ersele părți ale condiției. Avem aici două părți una referitoare la volum iar
cealaltă la arie.
Este puțin probabil să șovăim în împărțirea condiției tocmai în aceste două părți; dar nu
putem transcrie ”imediat” aceste părți. Trebuie să știm cum se calcu lează volumul și diferite
părți ale condiției, astfel încât traducerea să devină posibilă.
La o prismă dreaptă cu baza pătrat, să se afle latura bazei x
și înălțimea y
10 Volumu l este dat 63
Aria bazei este un pătrat de latură x x2
și înălțimea y
determină volumul care este produsul lor x2y=63
20 Aria totală este dată 102
Suprafața prismei constă d in două pătrate de latură x având aria 2×2
și din patru dreptunghiuri având fiecare baza x și înălțimea y 4xy
29
suma lor dând aria totală 2×2+4xy=102
{𝑥2𝑦=63
2𝑥2+4𝑥𝑦=102
Pόlya propune spre rezolvare următorii pași pentru rezolvarea u nei probleme:
1) Înțelegerea problemei . Care este necunoscuta? Care sunt datele? Care este condiția?
Poate fi satisfăcută condiția? Este condiția suficientă pentru a determina necunoscuta?
Sau este insuficientă? Să facem un desen. Să introducem notații coresp unzătoare. Să
separăm divers ele părți ale condiției. Le putem scrie în limbaj matematic?
2) Întocmirea unui plan . Să găsim legătura între date și necunoscută. Am mai întâlnit
această problemă? Sau poate am avut de -a face cu ea, într -o formă oarecum diferită?
Obținem un plan al soluției . Rezolvăm numai parțial problema. Satisfacem numai parțial
condiția. În ce măsură mai rămâne necunoscută nedeterminata? Generalizăm.
Examinăm cazuri particulare. Aplicăm analogii.
3) Realizarea planului . În cadrul realizării planul ui soluției, se verifică f iecare pas. Ne
putem da limpede seama că pasul este corect? Putem demonstra că este corect?
4) Privirea retrospectivă . Să analizăm rezultatul obținut. Se poate verifica rezultatul ?
Putem verifica argumentarea? Se poate obține rezulta tul și pe altă cale? Ne putem da
seam a de aceasta dintr -o privire? Se poate folosi rezultatul sau metoda și la altă
problemă?
Raționamentul euristic nu este considerat ca definitiv și riguros, ci doar ca provizoriu și
plauzibil, av ând scopul de a descoper ii soluția problemei pe care o avem în față. Suntem nevoiți
de multe ori să recurgem la raționament euristic atunci când construim o demonstrație
riguroasă.
Realizarea planului . A concepe un plan și a -l realiza sunt două lucruri diferite. într-un
anumit se ns, acesta este adevă rat și pentru problemele de matematică; există o anumită
deosebire de caracter al muncii între realizarea planului unei soluții si conceperea lui. Putem
folosi raționamente provizorii atunci c ând căutam deducția riguroasa și definitivă , dar când
soluția este destul de ava nsată, înlăturăm toate tipurile de raționamente provizorii și plauzibile,
iar rezultatul trebuie sus ținut numai de o argumentare riguroasa.
Cunoștințele noastre matematice nu pot fi bazate în întregime pe demonstrații formale.
Partea cea mai trainică a cunoștințelor noastre zilnice este verificată și întărită mereu prin
experiența noastră de toate zilele. Cele mai multe dintre ele datează din evul mediu sau sunt și
mai vechi.
30
CAPITOLUL 2
ECUA ȚII ȘI SISTEME DE ECUAȚII – ASPECTE TEORETICE ȘI
MET ODICE
2.1. EXPRESII ALGEBRICE.
DOMENIUL DE DEFINIȚIE A L UNEI EXPRESII
Expresiile algebrice s -au format prin faptul că s -au făcut operații cu necunoscute. La
început literele s -au folosit numai pentru a nota necunoscutele, nu și nu mere cunoscute. Deci
expresiile algebrice au apărut în cadrul ecuațiilor. Or înainte de a trece la rezolvarea unei
ecuații, era firesc să se efectueze întâi toate calculele, dându -se ecuației o formă cât mai simplă.
Cele mai simple ecuații sunt cele care c onțin necunoscuta la puterea întâi, deci care se poate
scrie sub forma 𝑎𝑥+𝑏=0; ecuația devine mai grea dacă pe lângă necunoscută, ea conține și
pătratul ei; ea devine și mai grea dacă conține puterea a treia a necunoscutei și așa mai departe.
Așa au apă rut expresii ca 2𝑥+5,2𝑥2+3𝑥−1, 𝑥3+4𝑥2−7𝑥+2.
Pentru a asigura înțelegerea completă a folo sirii literelor în algebră, este util ca in
același timp cu introducerea expresiilor algebrice să se trateze și valoarea numerică a unei
expresii algeb rice înseamnă a găsi soluția acelei probleme pentru cazul când literele iau valorile
corespunzătoare. Afl area valorii numerice a expresiei algebrice revine deci la particularizarea
problemei respective – operație inversă generalizării, care constă în trecer ea de la problema cu
date numerice la aceeași problemă, dar cu date literale. Dacă rezolvarea problemelor cu date în
litere reprezintă o trecere de la concret la abstract, aflarea valorii numerice reprezintă
întoarcerea la concret. Tratând valoarea numeric ă a unei expresii algebrice în același timp cu
introducerea expresiilor algebrice și în strânsă legătură cu problemele cu date în litere,
asigurăm legătura dus și întors de la aritmetică la algebră.
Tot calculul algebric se poate subordona ecuațiilor, ia r acestea problemelor. Pentru a
începe predarea diferite lor chestiuni de calcul algebric, se poate arăta că există ecuații sau chiar
probleme care necesită astfel de calcule. Ca punct de plecare pentru introducerea expresiilor
algebrice se pot folosi prob leme cu date literale sau formule pentru arii sau volume pe care
elevii le cunosc. În unele manuale se fo losesc exprimarea în litere a proprietăților operațiilor
(de exemplu 𝑎+𝑏=𝑏+𝑎). Considerăm că acest procedeu nu este fericit, pentru că nu dă
elevil or o imagine justă despre importanța expresiilor algebrice. Ele apar ai ci ca mijloc de
exprimare a unor l ucruri învățate, elevii nu le construiesc. Considerăm că lucrul cel mai indicat
este să se folosească probleme de aritmetică cu date în litere. Ele ofe ră avantajul că elevii sunt
31
puși în situația să alcătuiască formulele. Aici nu se dă numai o exprimare no uă a unui conținut
vechi; de data aceasta atât conținutul cât și forma de exprimare sunt noi. Elevii văd că
posibilitatea de a alcătui expresii algebri ce este practic nemărginită. În afară de aceasta,
problemele au un conținut concret, din viața de toate z ilele și datorită acestui fapt elevii văd de
la început legătura algebrei cu practica. Datele din probleme să nu fie numai literale; este util
să se pr opună și probleme în care unele date să fie exprimate prin litere altele prin numere
determinate. Acest s istem de probleme poate fi conceput astfel:
a) Probleme care duc la o expresie de forma 𝑎+𝑏.
Exemplu 2.1.1 : În clasa a VIII -a A sunt a elevi, iar în cla sa a VIII -a B sunt b elevi; câți
elevi sunt în ambele clase a VIII -a?
Exemplu 2.1.2 : Un elev are x lei ia r mama lui îi mai dă 4 lei; câți lei are acum?
b) Probleme care duc la expresii de forma 𝑎+𝑏+𝑐.
Exemplu 2.1.3 : Avem trei pungi de bomboane în prima pu ngă avem a bomboane, în a
doua b bomboane, iar în a treia b bomboane; câte bomboane avem în cele trei pun gi?
c) Probleme care duc la expresii de forma 𝑎−𝑏,𝑎+𝑏−𝑐,𝑎−𝑏−𝑐.
Exemplu 2.1.4 :
– Într-o clasă sunt a elevi și într -o zi lipsesc b elevi; câți elev i sunt prezenți?
– Într-un autobuz au fost a călători, la prima stație s -au urcat x călători și au coborât
3 călători; câți călători sunt acum în autobuz?
d) Probleme care duc la expresii de forma 𝑎∙𝑏;𝑎∙𝑏∙𝑐; 𝑎
𝑏,𝑎𝑏
𝑐,𝑎
𝑏𝑐.
Exemplu 2.1.5 :
– Într-o livadă sunt a rânduri a câte b pomi; câși pomi sunt în livadă? Dar dacă în
fiecare rând sunt câte 30 de pomi ?
– La o unitate de Aprozar s -au adus 10 lăzi cu mere, fiecare ladă conține (în medie)
câte x kg de mere, iar 1kg de mere costă y lei. Cât valor ează toată cantitatea de
mere?
– O sumă de a lei se împarte la 2 persoane; cât revine fiecăreia dintre ele? Dar dacă
sunt 5 persoane? Dar b persoane?
– O grădină de zarzavat are forma de dreptunghi cu dimensiunile de a metri și b metri;
pe acest teren se fac c straturi; ce arie are fiecare strat? (Locul dintre straturi se
neglijează.)
Valoarea numerică a unei expresii algebrice trebuie tratată în strânsă legătură cu
rezolvarea problemelor.
32
2
3 Exemplu 2.1.6 : O cisternă are capacitate de a litri. Ea este alimentată prin două țevi,
din care una dă m litri pe minut iar alta n litri pe minut. În câte minute se umple cisterna?
Se obține formula:
𝑡=𝑎
𝑚+𝑛
Apoi se pun întrebările: „În cât timp s -ar umple cisterna dacă capacitatea ei ar fi de
𝑎=5000𝑙 iar debitel e țevilor ar fi de 𝑚=12𝑙 pe minut și 𝑛=8𝑙 pe minut? Dar dacă
capacitatea cis ternei este de 𝑎=4000𝑙, iar debitele țevilor ar fi de 𝑚=15𝑙,𝑛=10𝑙 pe
minut?”
Aici apare uneori o greutate. Elevii dau răspunsul corect, dar nu pe baza formulei, ci
refecând judecata. Judecata pate fi descrisă cu ajutorul schemei următoare:
1
Răspunsul la formula generală este formula, iar răspunsul la problema particulară, cu
date numerice este un număr. Elevii manifestă uneori tend ința să meargă pe drumul indicat de
săgeata 3. Ei trebuie să ajungă la răspunsul numeric pe drumul indicat de săg ețile 1 și 2; drumul
1 a fost parcurs o dată pentru totdeauna și rămâne ca, de fiecare dată, să se parcurgă numai
drumul 2. De aceea este bine ca problema de la care se pornește să nu fie simplă, să nu fie
elevilor prea simplu să refacă raționamentul.
Formulele pentru perimetre, arii și volume pot fi luate ca punct de plecare pentru a
explica rostul expresiilor algebrice. Acest material p rezintă două avantaje: în primul rând,
elevii au învățat în clasele anterioare să calculeze aceste mărimi și au e xprimat regulile
corespunzătoare sub diferite forme: întâi în cuvinte, apoi printr -un amestec de cuvinte și semne
matematice (aria=baza x înălț imea), apoi prin formula ( 𝐴=𝑏∙î). Ei au parcurs oarecum
etapele prin care a trecut algebra însăși în dezvoltare a ei, de la algebra retorică, la cea sincopată,
iar de aici la algebra simbolică. În al doilea rând, de la concret la abstract, de la particula r la
general, se face mai ușor când litera reprezintă măsura unei mărimi vizibile .
Proprietățile operațiilor și regulile operațiilor cu fracții ordinare sunt un alt material
pentru folosirea expresiilor algebrice. Vin în considerație formulele: 𝑎+𝑏=𝑏+𝑎,𝑎𝑏=Probleme cu date
literale form ula
Probleme cu date
numerice Răspunsul
numeric
33
𝑏𝑎,(𝑎+𝑏)𝑐=𝑎𝑐+𝑏𝑐,(𝑎+𝑏):𝑐=𝑎:𝑐+𝑏:𝑐,𝑎
𝑛+𝑏
𝑛=𝑎+𝑏
𝑛,𝑎
𝑏∙𝑐
𝑑=𝑎𝑐
𝑏𝑑,𝑎
𝑏:𝑐
𝑑=𝑎𝑑
𝑏𝑐. și unele
proprietăți ale proporțiilor. Procedeul ar fi următorul: pentru formula (𝑎+𝑏)𝑐=𝑎𝑐+𝑏𝑐, de
exemplu, profesorul amintește cum se înmulțește o sumă cu un număr, folosind un exemplu
numeric cum ar fi:
Exemplu 2.1.7: (3+4)∙6={7∙6=42
3∙6+4∙6=18+24=42
și formulează regula în cuvinte; apoi cere elevilor să exprime acest lucru printr -o formulă în
care term enii sumei sunt a și b, iar al doilea factor este c.
Este util să se facă și unele exerciții ca următoarele: scrieți suma numerelor a și b,
diferența l or și așa mai departe. Pe lângă faptul că elevii învață să alcătuiască expresii algebrice,
aceste exerc iții sunt utile și prin aceea că ei ajung să cunoască bine sensul cuvintelor: sumă,
diferență, produs, cât, termen și factor. Exercițiile de alcătuire a unor expresii algebrice ne dau
posibilitatea să consolidăm cunoștințele elevilor despre ordinea operați ilor și folosirea
parantezelor. Din păcate, aceste chestiuni la aritmetică se învață în mod formal în s ensul că se
efectuează o serie de calcule indicate într-o expresie dată ca atare. Aici lucrurile se prezintă în
mod firesc, expresiile ce se obțin numai sunt arbitrare, ele exprimă soluția unei probleme. De
aceea sunt utile problemele care duc la expresii ca: (𝑎±𝑏)𝑐,(𝑎±𝑏):𝑐 și altele. Pentru a pune
în evidență rostul parantezelor este util următorul exemplu:
Exemplu 2.1.8: Avem a lăzi cu mere și b lăzi cu pere; fiecare lad ă cântărește c kg; câte
kg de fructe avem în total? Răspuns (𝑎+𝑏)𝑐. Avem o ladă mare care conține a kg mere și b
lăzi mai mici de c âte c kg; câte kg de fructe avem în total? Răspuns 𝑎+𝑏𝑐.
După ce elevii au înțeles care este semnificația valorii numerice a unei expresii
algebrice, se pot face și exerciții în care se cere să se afle valoarea numerică a unei expresii
date. Se dă ast fel elevilor o idee despre funcția definită printr -o formulă.
Exemplu 2.1.9: Numărul orelor ( di n 24 de ore) cât tre buie să doarmă un copil este dat
de formula:
𝑆=8+18−𝑉
2,
unde V reprezintă vârsta lui, exprimată în ani. Să se calculeze câte ore trebuie să doarmă un
copil de 1, 2, 3,… 18 ani și să se alcătuiască un tabel.
Apoi se poate trec e la exerciții formale, ca: să se afle valoarea numerică a unei expresii
algebrice date, ca:
Exemplu 2.1.10 : 2𝑥+3
5𝑥−1, pentru x=4.
34
În cazul acestor exerciții este cazul să le arătăm elevilor că unele expresii nu au sens
pentru toate valorile literel or. Este vorba de două excepții: într -o diferență, descăzutul trebuie
să fie cel puțin egal cu scăzătorul, iar într -o împărțire, împărțitorul trebuie să fie diferit de zero.
Este bine ca aceste reguli să nu fie date de la început sub formă de reguli, ci el evii să se izbească
de o imposibilitate. Se recomandă exerciții ca următoarele:
Exempl u 2.1.11:
a) Să se afle valoarea numerică a expresiei 3𝑥−15 pentru 𝑥=4,𝑥=5 ș𝑖 𝑥=6.
b) Să se afle valoarea expresiei𝑥
2𝑥−6 pentru 𝑥=2 ș𝑖 𝑥=3.
c) Care este cea mai mic ă valoare, număr natural, pe care o poate lua x pentru ca
expresia 6𝑥−30 să fie număr na tural,
d) Pentru ce valori ale lui x își pierde sensul expresia 10
𝑥−3.
Elevii întâlnesc aici pentru prima dată operații imposibile; în aritmetică aceste operații
nu apar, pentru că se pornește de la situații concrete. Se contribuie la înțelegerea algebrei d acă
se arată faptul următor: Cazul când expresia își pierde sensul corespunde unei situații
imposibile în problema respectivă.
Exemplu 2.1.12: Un copil primește î n fiecare zi x lei. E l strânge banii timp de 7 zile și
cheltuie 35 de lei. Câți bani îi rămâ n? Expresia 7𝑥−35 are sens numai pentru 𝑥≥5 copilul
poate cheltui 35 lei numai dacă primește în fiecare zi cel puțin 5 lei.
Exemplu 2.1.13: O cadă are o capacitat e de 100l. În cadă int ră câte x litri apă pe minut.
După cât timp se umple cada? Expresia 10
𝑥−3își pierde sensul pentru x=3; când x=3 se scurge
tot atâta apă cât intră, cada nu se umple niciodată.
Pentru a construi expresii algebrice putem folosi probl eme cu conținut geometric pe
baza unor planșe precum în următorul exemplu:
Exemplu 2.1.14: Expr imați perimetru și aria figurii de mai jos:
𝑃=4𝑎
𝐴=𝑎2−2𝑏2
a
a
Pe expresiile care reprezintă perimetrul sau aria unei figuri se vede f oarte clar sensul valorii
numerice a unei expresii algebrice. b b
b b
35
2.2. RELAȚIA DE EGALITATE
În legătură cu relația de egalitate dintre două numere reale reținem următoarele
proprietăți:
1) 𝑎=𝑎 (reflexivitatea)
2) 𝑎=𝑏⟹𝑏=𝑎 (simetria)
3) 𝑎=𝑏 ș𝑖 𝑏=𝑐⟹𝑎=𝑐 (tranzitivitatea)
De asemenea, există următoarele proprietăți de legătură dintre relația de egalitate a
numerelor reale si operațiile cu numere reale:
1) 𝑎=𝑏⟺𝑎+𝑐=𝑏+𝑐,∀ 𝑎,𝑏,𝑐∈ℝ
2) 𝑎=𝑏⟺𝑎−𝑐=𝑏−𝑐,∀ 𝑎,𝑏,𝑐∈ℝ
3) 𝑎=𝑏⟺𝑎∙𝑐=𝑏∙𝑐,∀ 𝑎,𝑏,𝑐∈ℝ ș𝑖 𝑐∈ℝ⋆
4) 𝑎=𝑏⟺𝑎:𝑐=𝑏:𝑐,∀ 𝑎,𝑏,𝑐∈ℝ ș𝑖 𝑐∈ℝ⋆
Are loc și implicația:
5) 𝑎=𝑏 ț𝑖 𝑐=𝑑⟹𝑎+𝑐=𝑏+𝑐,∀ 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑∈ℝ
Această proprietate se citește astfel: „Adunând membru cu membru două egalități se
obține tot o egalitate”.
Aceste proprietăți sunt aplicaț ii ale principiului identității, după care orice lucru este
egal cu el însuși , și a faptului că adunarea asociază la două numere date o singură sumă.
Exemplu 2.2.1 : Demonstrați că dacă 𝑎2+𝑏2=2𝑎𝑏, atunci 𝑎=𝑏,𝑎,𝑏∈ℝ.
Adunând în ambii membrii a i egalității numărul −2𝑎𝑏. Obținem:
𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏=2𝑎𝑏−2𝑎𝑏⟺(𝑎−𝑏)2=0. Cum pătra tul unui număr real este nul, rezultă
𝑎−𝑏=0. Adunând în ambii membrii ai egalității numărul b, obținem
𝑎−𝑏+𝑏=𝑏, deci 𝑎=𝑏. Tot astfel putem spune că număr ul -b „a trecut” în membrul drep t
cu semn schimbat. Se obișnuiește să se rețină următoarea regulă: „Într -o egalitate, un termen
poate fi trecut dintr -un membru în celălalt membru schimbându -i-se semnul”.
Să arătăm pe un alt exemplu aplicarea acestor propr ietăți:
Exemplu 2.2.2: Considerăm ecuația: 𝑥−1
4+5(𝑥+1)
2=16−𝑥−5
12.
O presupunem rezolvată, x fiind un număr care o satisface. Aceasta înseamnă că, dacă
înlocuim x cu acest număr și efectuăm calculele, obținem în ambele păr ți același rezultat, deci
cel două părți a le ecuației reprezintă două numere egale. Atunci înmulțind ambele părți cu 12
36
(cel mai mic multiplu comun al numitorilor), vom obține rezultate egale (proprietatea 3).
Calculul dă:
3(𝑥−1)+30(𝑥+1)=192−(𝑥−5)⟺33𝑥+27=197−𝑥.
Am obțin ut o altă ecuație . Dacă adunăm x în ambele părți, obținem tot numere egale
(proprietatea 1). Calculul dă:
34𝑥+27=197.
Repetăm raționamentul. Dacă din ambele părți ale ecuației scădem 27, obținem
rezultate egale (proprietatea 2). Calculul dă:
34𝑥=170.
În sfârșit, împărțind ambele părți prin 34 și scriem că rezultatele sunt egale (proprietatea
4).
𝑥=5.
Se ridică următoarea obiectivitate justificată. Acum raționamentul nu ne dă dreptul să
spunem că valoarea aflată pentru x reprezintă răd ăcina ecuației. În adevăr, am pornit de la
ipoteza că x satisface ecuația și am ajuns la concluzia că x este egal cu 5. Aceasta înseamnă că
nici un număr diferit de 5 nu satisface ecuația, dar valoarea x=5 poate să satisfacă ecuația sau
nu. În general, dac ă A implică B, nu înseamnă că și, invers, B implică A. ci numai non B
implică non A. Totuși, acest mod de a raționa poate fi admis într -o primă etapă, urmând ca el
să fie completat ulterior.
În ultimul timp a apărut tendința de a rezolva, într -o primă eta pă, ecuațiile d e gradul I
cu ajutorul proprietăților operațiilor:
Exemplu 2.2.3: Fie ecuația: 18−3𝑥
3=2.
Relația dintre deîmpărțit, împărțitor și cât (definiția împărțirii) dă:
18−3𝑥=6.
Dacă într -o împărțire cunoaștem descăzutul și diferența, scăzătorul se obține scăzând
diferența din descăzut, deci:
3𝑥=18−6;3𝑥=12.
Dacă cunoaștem produsul și unul din factori, celălalt factor se află printr -o împărțire,
deci:
𝑥=12:3; 𝑥=4.
Împotriva folosirii acestui procedeu se ridică două obiecțiuni, una cu caracter principia l
și a doua bazat pe o situație concretă, Prima: acest procedeu este cu totul deosebit de cel
obișnuit pentru rezolvarea ecuațiilor. El nu contribuie cu nimic la înțelegerea regulilor după
37
care se rezolvă ecuațiile. A doua: î n cadrul a ritmeticii nu se insi stă asupra definirii formale a
operațiilor inverse; predomină punctul de vedere concret. Elevii nici nu învață la aritmetică tot
ce este necesar pentru a explica acest procedeu. Din aceste motive este indicat ca acest procedeu
să nu se folosească.
2.3. ASP ECTE GENERALE DESPRE ECUAȚIILE ALGEBRICE
CU O NECUNOSCUTĂ
Ecuațiile joacă un rol central în algebră. Într -o anumită etapă de dezvoltare a algebrei,
această ramură a matematicii ce confundă cu studiul ecuațiilor.
După ce s -a pus în ecuație o problemă s implă pe tablă poate apărea de exemplu e cuația
50𝑥+17=967. Se poate spune că ceea ce vedeți este o ecuație. Ea exprimă că, dacă
numitorul x se înmulțește cu 50 și se adaugă 17, se obține 967. Rămâne să -l aflăm pe x adică
să rezolvăm ecuația. Deocamdată, v ă pot spune că x=19 și se face proba. Apoi se dă lui x o altă
valoare, de exemplu x=20 și se constată că ea „nu este bună”. Urmează alte câteva exemple de
ecuații. Abia după ce elevii și -au dat seama pe baza exemplelor, ce este o ecuație, se explică
origin ea cuvântului ecuație (din latinescul aequus – egal, care se regăsește în cuvintele
echilibru, echidistant), se arată că fiecare ecuație este formată din două părți sau doi membri și
se explică sensul cuvintelor rădăcină sau soluție, a satisface, a rezolva .
Se pot da mai multe exemple de ecuații și se arată că o ec uație poate avea o rădăcină
sau mai multe ca de exemplu ecuația (𝑥−1)(𝑥−2)=0 (unde se dau lui x valorile 1 și 2);
nici o rădăcină ca de exemplu 2(𝑥+1)=2𝑥−3 și se arată că dacă mărim pe 2x cu 2, obținem
un rezultat mai mare dec ât dacă -l micșorăm pe 2x cu 3; o infinitate de rădăcini, ca de exemplu
2𝑥+1=5(𝑥−1)−3𝑥+6 (ecuație care se poate sc rie sub forma 2𝑥+1=2𝑥+1 care se
vede că orice valoare al lui x o satis face). De asemenea se poate ca o ecuație să aibă o infinitate
de rădăcini, dar sa nu fie satisfăcută de orice valoare a necunoscutei. O asemenea ecuație este
|𝑥|=𝑥, ea este satisfăcu tă pentru orice număr pozitiv și de x=0, dar nu este satisfăcută de nici
o valoare negativă a lui x.
Înainte să rezolve ecuații propriu zis profesorul le spune elevilor că trebuie să învețe
patru reguli foarte importante și anume proprietățile egalităților prezentate în subcapitolul 2.2.
Aceste patru propoziții se pot rezuma l a una singură. Dacă două numere sunt egale și le adunăm
cu ace lași număr sau scădem din ele același număr, sau le înmulțim cu același număr, sau le
împărțim prin același număr (diferit de zero), obținem numere egale. Este foarte util să le
scriem si cu sem ne matematice. Se amintește ele vilor că cele patru operații se împart in două
38
grupe. Prima grupă este adunarea și scăderea iar a doua grupă este înmulțirea și împărțirea.
Scăderea este operația inversă adunării, iar adunarea este operația inversă scăderii. De exemplu
17+3−3=17; 25−4+4=25. În același sens, împărțirea este operația inversă a
înmulțirii, iar înmulțirea este operația inversă împărțirii. De exemplu, 5∙7
7=5; 5
7∙7=5.
Se arată procedeul folosit pentru rezolvarea ecuațiilor în exemplul de mai jos.
Exemplu 2.3.1:
𝑥+13=22.
Se poate da următoarea explicație. În partea dreaptă a acestei ecuații se găsește expresia 𝑥+
13. Ca ecuația să fie rezolvată trebuie ca termenul +13 să dispară și să rămână numai x. elevii
își dau seama că trebuie scăzut 13 d in ambele părți ale ecuaț iei pentru ca cele două p ărți să fie
în continuare egale.
𝑥+13−13=22−13.
Efectuând calculele obținem 𝑥=9 și ecuația este astfel rezolvată. Proba: 9+13=22.
La ecuațiile care se rezolvă prin două sau mai multe operații, se pune problema ordinii
operații lor:
Exemplu 2.3.2 :
3𝑥+8=20.
Trebuie să scăpăm de 3 și de 8, de care scăpăm întâi? Dacă am vrea să calculăm valoarea
numerică a acestei expresii cunoscând valoarea lui x, ar trebui întâi să înmulțim cu 3 și apoi să
adunăm cu 8. Aici procedăm invers scăp ăm întâi de 8 și apoi de 3. Se poate da regula condensat.
Se fac operațiile inverse în ordinea inversă.
3𝑥+8=20/−8⇔ 3𝑥+8−8=20−8⇔3𝑥=12:3⇔𝑥=12:3⇔𝑥=4
După ce se rezolvă o ecuație este bine să se facă și proba. Aceasta întărește în crederea elevilor
în metoda care se folosește și pe de altă parte se înlătură lipsa logică a acestui procedeu
semnalat mai sus.
3∙4+8=20⟺12+8=20⟺20=20
S-a obținut o propoziție adevărată ceea ce confirmă corectitudinea calculelor.
Exemplu 2.3.3:
4∙2𝑥−1
3+8=28/−8⇔ 4∙2𝑥−1
3=20/∙3⇔ 4(2𝑥−1)=60/:4⇔
⟺2𝑥−1=15/+1⇔ 2𝑥=16/:2⇔𝑥=8.
Proba 4∙2∙8−1
3+8=28⟺4∙15
3+8=28⟺4∙5+8=28⟺28=28.
39
Când apare pentru prima dată o ecuație în care necunoscuta figurează în ambele părți,
se simte nevoia de a aminti elevilor că tr ebuie să transfor măm ecuația în așa fel încât să avem
la stânga numai termeni care conțin necunoscute, iar la dreapta numai termeni cunoscuți.
Exemplu 2.3.4: Fie ecuația: 5x−3=8x+15.
Se iau pe rând toți termenii: 5x conține necunoscuta, locul lui este în pa rtea stângă a ecuației,
deci acest termen rămâne pe loc; -3 este un termen cunoscut locul lui este în partea dreaptă a
ecuației, nu în partea stângă și așa mai departe. După această analiză rămâne stabilit că termenii
8x și -3 trebuie să dispară.ca în sche ma de mai jos:
5𝑥−3=8𝑥+15/+3⇔ 5𝑥=8𝑥+18/−8𝑥⇔ −3𝑥=18/∙(−1)⇔ 3𝑥=−18/:3⇔𝑥=−6.
Proba: 5∙(−6)−3=8∙(−6)+15⟺−30−3=−48+15⟺−33=−33.
În sfârșit în ecuațiile în care intervin fracții cu numitorul numeric se înmulțește în
ambele părți cu c.m.m.m.c. al numitorilor. Elevii înțeleg ușor că după fiecare transformare
trebuie să desfacă parantezele, dacă există și să reducă termenii asemenea.
Exemplu 2.3.5: 3𝑥−1
4−𝑥+1
2=6+𝑥−1
3/∙12⇔ 3(3𝑥−1)−6(𝑥+1)=72+4(𝑥−1)
⇔9𝑥−3−6𝑥−6=72+4𝑥−4⇔3𝑥−9=4𝑥+68/−4𝑥+9⇔ −𝑥=77/∙(−1)⇔ 𝑥=−77.
Proba: 3∙(−77)−1
4—77+12=6+−77−1
3⇔−232
4—762=6+−78
3⇔−58+38=6−
26⇔−20=−20.
Procedeul folosit până acum în rezolvarea ecuațiilor nu este de stul de bine fundamentat
din punct de vedere logic. Mai convingător este un exemplu care duce la un rezultat greșit.
Exemplu 2.3.6:
1) Se ia ecuația 𝑥−1=2 care admite solu ția 𝑥=3 și se înmulțesc în ambele părți cu
𝑥+2 se obține ecuația 𝑥2+𝑥−2=2𝑥+4 și se constată prin verificare că ea
admite soluțiille 𝑥=3 și 𝑥=−2 dintre care doar una satisface ecuația inițială.
2) Fie ecuația 𝑥2=2𝑥 și se constată că are rădăcini le𝑥=0 ș𝑖 𝑥=2 apoi se împart
ambele părți prin x și se obține 𝑥=2. Rădăcina 𝑥=0 s-a pierdut.
Din aceste exemple se trage concluzia că nu totdeauna „ave m voie” să înmulțim sau să
împărțim ambele părți ale ecuați ei cu aceeași expresie. Procedeele folosite până acum pot duce
la expresii greșite. Exercițiile nu se rezolvă după procedeul fol osit până acum ci după o anumită
regulă pe care elevii o vor învăța.
Teoremele de echivalență ale ecuațiilor.
40
Definiția 2.3.1: Două ecuații se numesc echivalente dacă au aceeași soluție, adică orice
soluție a uneia dintre ele satisface și cealaltă. Dacă una din ecuații este imposibilă atunci și
cealaltă este imposibilă.
Noțiunea de ecuații echivalente joacă un rol important, fiindcă cele mai multe ecuații
se rezolvă după procedeul următor: ecuația dată (E) se transformă într -o ecuație (E/) echivalentă
cu ea, cu ecuația (E/) se procesează la fel și așa mai departe până se ajunge la o ecuație care se
poate rezolva ușor.
O ecuație 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) sau 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑔(𝑥,𝑦) trebuie totdeauna considerată pe o
anumită mulțime M, căci existența și numărul soluțiilor depind de acea mulțime.
Exemplu 2.3.7:
1) Ecuația 2𝑥−3=0 considera tă pe mulțimea numerelor întregi nu are nici o soluție,
dar pe mulțimea numerelor raționale are o singură soluție 𝑥=1,5.
2) Ecuația 2𝑥2−3𝑥+1=0 considerată pe mulțimea numerelor întregi, are o singură
soluție 𝑥=1 iar pe mulțimea numerelor raționale are d ouă soluții 𝑥=1 și 𝑥=0,5.
Teorema 2.3.1: Fie dată ecuația (E)𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥), considerată pe mul țimea M, și o
expresie ℎ(𝑥) care are sens pentru orice valoare a lui x din M, ecuația (E/) 𝑓(𝑥)+ℎ(𝑥)=
𝑔(𝑥)+ℎ(𝑥), considerată pe această mulțime M, este e chivalentă cu (E).
Într-adevăr, fie 𝑥=𝑎 o rădăcină a ecuației (E), adică 𝑓(𝑎)=𝑔(𝑎). Adunând la
numerele egale 𝑓(𝑎) și 𝑔(𝑎) numărulℎ(𝑎) care este bine determinat căci ℎ(𝑥) are sens pentru
orice x din M, obținem 𝑓(𝑎)+ℎ(𝑎)=𝑔(𝑎)+ℎ(𝑎), ceea ce înseamnă că 𝑥=𝑎 satisface
ecuația (E/). Reciproc, fie 𝑥=𝑏 o rădăcină a ecuației (E/) adică 𝑓(𝑏)+ℎ(𝑏)=𝑔(𝑏)+ℎ(𝑏)
adunând la ambii membrii −ℎ(𝑏 ) obținem 𝑓(𝑏)=𝑔(𝑏) deci 𝑥=𝑏 satisface ecuația (E).
Pe această teoremă se bazează trecerea unui termen dintr -o parte a ecuației în cealaltă
parte a ecuației. De exemplu în cazul ecuației de forma 𝐴(𝑥)+𝐵(𝑥)=𝐶(𝑥) luând ℎ(𝑥)=
−𝐵(𝑥) se obține 𝐴(𝑥)=𝐶(𝑥)−𝐵(𝑥).
Condiția ca ecuația (E/) să fie considerată pe aceeași mulțime ca ecuația (E) este
esențială.
Exemplu 2.3.8: Ecuația (8) 3𝑥−4+1
𝑥−2=4𝑥−6+1
𝑥−2 se consideră pe mulțimea
ℝ\{2} (pentru 𝑥=2 fracțiile 1
𝑥−2nu au sens). Luând ℎ(𝑥)=−1
𝑥−2 (se suprimă cele două
fracții), se obține ecuația (8′) 3𝑥−4=4𝑥−6 care este consid erată pe mulțimea 𝑀=
ℝ\{2}.
41
Pe această mulțime ea nu are nici o soluție (singura ei soluție 𝑥=2, a fost exclusă) rezultă că
nici ecua ția (1) nu are nici o soluție.
Teorema 2.3.2: Fie ecuația (𝐸) 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥), considerată pe mulțimea M și o
expresieℎ(𝑥) care are sens și este diferită de zero pentru orice valoare a lui x din M. Ecuația
(𝐸//) 𝑓(𝑥)ℎ(𝑥)=𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) considerată pe mulțimea M este echivalentă cu (E).
Într-adevăr, fie 𝑥=𝑎 o rădăcină a ecuației (E), adică 𝑓(𝑎)=𝑔(𝑎). Înmulțind
numerele egale 𝑓(𝑎) și 𝑔(𝑎) cu același număr ℎ(𝑎), obțin em 𝑓(𝑎)∙ℎ(𝑎)=𝑔(𝑎)∙ℎ(𝑎), ceea
ce înseamnă că 𝑥=𝑎 satisface ecua ția (E//). Reciproc, fie 𝑥=𝑏 o rădăcină a ecuației (E//)
adică 𝑓(𝑏)∙ℎ(𝑏)=𝑔(𝑏)∙ℎ(𝑏). Înmulțind ambii membrii cu 1
ℎ(𝑏) (acest număr există
deoarece ℎ(𝑏)≠0) obținem 𝑓(𝑏)=𝑔(𝑏) deci 𝑥=𝑏 satisface ecuația (E).
Această teoremă se aplică în special la ecuațiile care conțin fracții. Câtă vreme numitorii
nu conțin necunoscuta, ecuația (E) se consideră pe toată axa reală , expresia ℎ(𝑥) este o
constantă diferită de zero, ecuația (E//) se consid eră pe toată axa reală și nu apare nici o
complicație. Lucrurile stau altfel când ecuația conține necunoscuta la numitor sau se simplifică
printr -o expresie care conține necunoscuta .
Exemplu 2.3.9: Considerăm ecuația (9)𝑥
(𝑥−1)(𝑥−2)+𝑥−1
(𝑥−2)(𝑥−3=2
(𝑥−1)(𝑥−3). Această
ecuație se consideră pe mulțimea 𝑀=ℝ\{1,2,3}și se ia ℎ(𝑥)=(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥−3) ceea
ce este permis, căci acest produs are sens pentru orice valoare a lui x și se anulează numai
pentru valorile 𝑥=1,𝑥=2 ș𝑖 𝑥=3 care nu aparțin lui M. După toate simplific ările se obține
ecuația (9′) 𝑥(𝑥−3)+(𝑥+1)(𝑥−1)=2(𝑥−2) care trebuie considerată pe toată
mulțimea 𝑀=ℝ\{1,2,3}. Această ecuație se transformă în 2𝑥2−5𝑥+3=0 care pe
mulțimea M are o singură soluție, 𝑥=1,5; cealaltă, 𝑥=1, nu aparține lui M.
Exemplu 2.3.10: Fie ecuația (10) (𝑥−1)(2𝑥+1)=(𝑥−1)(3𝑥−4) care se
consideră pe ℝ. Luând ℎ(𝑥)=1
𝑥−1 adică împărțind ambele părți ale ecuației cu 𝑥−1 se obține
ecuația (10/) 2𝑥+1=3𝑥−4 care dă soluția 𝑥=5. Ecuația (10) admite pe lângă 𝑥=5 și
rădăcina 𝑥=1 care „s -a pierdut ”. Ecuația (10/) nu este echivalentă cu ecuația (10), fiindcă
ecuația (10) a fost considerată pe toată axa reală, dar ℎ(𝑥) nu ar e sens pentru 𝑥=1.
Pentru a rezolva o ecuație de tipul 𝐴(𝑥)𝐵(𝑥)=𝐴(𝑥)𝐶(𝑥), se scrie sub forma
𝐴(𝑥)(𝐵(𝑥)−𝐶(𝑥))=0 și se rezolvă ecuațiile 𝐴(𝑥)=0 și 𝐵(𝑥)−𝐶(𝑥)=0. Dar dar și aici
trebuie ținut seama de mulțimea pe care se consideră ecuați a.
Exemplu 2.3.11: Fie ecuația (11) (4𝑥−5)(√𝑥−3=(𝑥+1)√𝑥−3. Ea se c onsideră
pe intervalul (3,+∞). Ecuația se pune sub forma (3𝑥−6)√𝑥−3=0 și se descompune în
42
(11/) 3𝑥−6=0 ș𝑖 √𝑥−3=0. Ansamblul acestor ecuații este echivalent cu (11) numai p e
intervalul (3,+∞). În acest interval ecuația 3𝑥−6=0 nu are nici o soluție, iar a doua are
soluția 𝑥=3. Aceasta este și singura soluție a ecuației ( 11). Dacă se lucrează superficial, se
simplifică cu √𝑥−3 și în felul acesta se pierde singura rădăcină a ecuației (11) – în schimb se
obține 𝑥=2, care nu satisface ecuația.
Pentru școala generală trebuie reținut că:
1) La orice ecuație, în special la ecuați ile care conțin necunoscuta la numitor, trebuie
precizat pe ce mulțime M se consideră.
2) Ecuațiile care se obțin succes iv în cursul rezolvării trebuie considerate pe aceeași
mulțime.
Exemplu 2.3.12: Fie ecuația 1
𝑥+1
𝑥−1=3𝑥−2
𝑥(𝑥−1) . Valorile 𝑥=0 și 𝑥=1 nu pot fi
rădăcini ale ecuației căci pentru aceste valori ale lui x ecuația nu are sens. De aceea aceste
valori ale lui x se exclud adică 𝑥≠0 și 𝑥≠1. În aceste condi ții expresia 𝑥(𝑥−1) este sigur
diferită de zero deci avem dreptul să înmulțim cu ea. 𝑥−1+𝑥=3𝑥−2⇔2𝑥−1=3𝑥−2
−3𝑥+1⇔ −𝑥=−1/∙(−1)⇔ 𝑥=1 este o valoare exclusă deci ecuația nu are nici o rădăcină.
Observații:
1) La ecuațiile cu o necunoscută, elevii trebuie să rezolve foarte multe ecuații simple,
apoi să poată trece la ecuații mai complica te. Trebuie să lucreze gradat.
2) La exercițiile care conțin fracții se înmulțesc amb ii membrii cu c.m.m.m.c. al
numitorilor și în felul ace sta numitorii dispar. Această lucrare seamănă mult cu aducerea
fracțiilor la același numitor și din cauza aceasta s e face deseori confuzia 𝑥−1
6−3𝑥
4=2𝑥−2−
9𝑥=⋯ și spun că au „scăpat de numitori ”. În schimb când au de rezolvat d e exemplu ecuația
𝑥−1
6−3𝑥
4=2 scriu 2𝑥−2−9𝑥=2, omițând să -l înmulțească pe 2 cu numitorul comun 12.
Trebuie explicat care este deosebire în tre cele două transformări. În primul caz fracțiile se aduc
la acela și num itor care este 12. Prima fracție se amplifică cu 2 și devine 2𝑥−2
12, a doua fracție se
amplifică cu 3 și devine9𝑥
12, deci se obține 2𝑥−2−9𝑥
12. În cazul ecuației ea se aduce la a celași
numitor și toată ecuația se înmulțește cu 12. Prima fracți e se simplifică cu 6, a doua cu 3 și se
obține 2𝑥−2−9𝑥, iar partea dreaptă se înmulțește de asemen i cu 12.
3)Schema de rezolvare a ecuației de gradul I nu este universal valabilă. Dăm câte va
exemple:
Exemplu 2.3.13:
43
a) 2{2[2(2𝑥−1)−1]−1}−1=1 Se trece ul timul termen -1 în partea dreaptă și se
împarte ecuația prin 2. Se obține 2[2(2𝑥−1)−1]−1=1. Cu această ecuație se
procedează la fel și se obține soluția 𝑥=1.
b) În cazul ecuației 𝑥+1
2+1
2+1
2+1
2=1.Se poate proceda astfel: se înmulțește ecuația cu 2 și
se trece termenul +1 în partea dreaptă; se obține o ecuație de aceeași formă, cu care se
procedea ză la fel. În cele din urmă se obține x=1. În această ecuație numărul etajelor
poate fi oricât de mare.
2.4. ASPECTE GENERALE DESPRE ECUAȚIILE ALGEBRICE CU
MAI MULTE NECUNOSCUTE
O singură ecuație cu două necunoscute. În general, nu se dă în școală acestei teme
atenția cuvenită. Elevii știu că pentru a afla două necunoscute sunt necesare două ecuații, că
pentru a afla trei necunoscute sunt necesare trei e cuații și așa mai departe, dar nu știu ce rost
poate avea o ecuație cu două necunoscute. Or, cine nu știe că o singură ecuație cu două
necunoscute are, în general, o infinitate de soluții nu poate înțelege bine nici sistemele de
ecuații. De aceea consideră m că înainte de a trece la sisteme de ecuații trebuie să se insiste ceva
mai mult asupra unei sin gure ecuații cu două necunoscute.
Pentru aceasta este recomandabil să se pornească de la o problemă care duce la o ecuație
sub formă canonică.
Exemplu 2.4.1: Un kg de mere de calitatea I costă 5 lei, iar 1kg de mere de calitatea a
II-a costă 3 lei. Câte kilograme de mere putem cumpăra cu 100 de lei?
Acest mod de a porni are două avantaje: în primul rând, elevii văd că noțiunea nouă,
care se introduce acum, nu este artificială, iar în al doilea rând își dau seama imediat, înainte
de a scrie ecuația că ecu ația are mai multe soluții.
Se scrie ecuația 5𝑥+3𝑦=100
și se pune problema de a afla soluția ei. Elevii sunt, desigur, nedumeriți în primul moment; ei
nu îndrăznesc să dea uneia dintre necunoscute o valoare arbitrară. Este util să -i îndrumăm spre
situația concretă: Cerem mai întâi o cantitate de mere oarecare de calitatea I, de exemplu 8kg,
și pentru restul de bani mere de calitatea a II -a. Se face calcul ul 8∙5=40;
100−40=60; 60:3=20. Putem cumpăra 8 kg de mere de calitatea I și 20 kg de calitatea
a II-a. Profesorul continuă: „Aceasta înseamnă că dăm lui x valoarea 8 și se rezolvă ecuația în
44
raport cu y”. Se face efectiv lucrarea și se obține 𝑦=20. Acum se poate cere elevilor să
găsească alte posibilități.
Pe măsură ce apar rezultatele se trec într -un tablou de forma
x …………………….. 8 17 14 10 ………………………….
y …………………….. 20 5 10 162
3………………………….
În continuare se arată că putem alege după voie cantitatea de mere de calitatea a II -a,
adică putem da lui y o valoare arbitrară și să determinăm valoarea lui x. Tabelul se prelungește
dar se scrie de dat a aceasta numărul din rândul al doilea. În urma unei discuții cu clasa putem
trage concluzia: O ecuație cu două necunoscute are o infinitate de soluții. Pentru a le afla se dă
uneia dintre necunoscute o valoare oarecare și ecuația se rezolvă în raport cu c ealaltă
necunoscută.
Folosind limbajul din teoria mulțimilor : Mulțimea soluțiilor unei ecuați i liniare cu două
necunoscute este infinită. În cazul ecuației 5𝑥+3𝑦=100 această mulțime este
𝑆={…(8;20);(17;5);(14;10)….} .
În completare se arată că în c azul problemei nu se port lua v alori negative, de asemenea
nu putem lua x mai mare ca 20, căci dispunem numai de 100 lei. Se ia încă un exemplu de data
acesta o ecuație, nu o problemă, unde se pot da necunoscutelor valori oarecare.
Pentru ca elevii să înț eleagă bine ce este solu ția unei ecuații cu două necunoscute se pot
da următoarele exerciții:
Exerciț iul 2.4.1:
1) Se dă ecuația 7𝑥−8𝑦=15 și sistemele de valori 𝑥=2,𝑦=1;𝑥=3,𝑦=3
4;
𝑥=21
7,𝑦=0 să se spună care dintre ele reprezintă o soluție a ecuației și care nu.
2) Să se afle 6 soluții ale ecuației 2𝑥=5𝑦=18.
3) Se dă ecuația 4𝑥+3𝑦=60. Să se afle toate soluțiile ei în care x (sau y) este un număr
întreg cuprins între -8 și -2.
4) Să se afle toate numerele de două cifre de forma 𝑎𝑏̅̅̅, în care tri plul primei cifre adunat
cu cifra a doua dă suma 10. (Ecuația este 3𝑎+𝑏=10, iar a poate lua numai valorile
1, 2, 3).
2.5. ECUAȚIA DE GRADUL I
2.5.1. ECUAȚIA DE GRADUL I CU O SINGURĂ NECUNOSCUTĂ
Forma generală a ecuației de gradul I este:
45
𝑎∙𝑥+𝑏=0,unde 𝑥∈ℝ;a,b ℝ
În forma generală, 𝑥 este necunoscuta sau variabila; 𝑎 și 𝑏 sunt coeficienți reali,
𝑎𝑥 se numește termenul linear în x iar b se numește termen liber. Cazul când 𝑎=0 va
fi pus în discuție deși ecuația , 𝑎∙𝑥+𝑏=0,cu 𝑎=0 nu mai este p ropriu -zis liniară.
A rezolva o ecuație înseamnă a determina mulțimea soluții lor sale notată cu 𝑆=
{𝑥∈ℝ
𝑎∙𝑥+𝑏=0} într-un domeniu de variație cu ajutorul transformărilor echivalente.
La rezolvarea ecuației 𝑎∙𝑥+𝑏=0 distingem trei cazuri:
Cazul 1 ) 𝑎≠0,𝑏 arbitrar
Rezolvare: 𝑎∙𝑥+𝑏=0
−𝑏⇔𝑎∙𝑥=−𝑏⇔𝑥=−𝑏
𝑎.
Soluția ecuației este 𝑆={−𝑏
𝑎}fiind soluție unică.
Proba: 𝑎∙(−𝑏
𝑎)+𝑏=0⇔−𝑏+𝑏=0⇔0=0.
−𝑏
𝑎∈ℝ,pentru orice 𝑎,𝑏∈ℝ și 𝑎≠0.
Cazul 2) 𝑎=0;𝑏≠0
Rezolvare: 0∙𝑥+𝑏=0
−𝑏⇔𝑎=0∙𝑥=−𝑏,imposibil deoarece produsul unui
număr real cu zero nu este un număr rea l diferit de zero.
Mulțimea soluțiilor este vidă: 𝑆=∅. Ecuația nu are soluții.
Proba: Deoarece 0∙𝑥=0 pentru orice 𝑥∈ℝ, dar 𝑏≠0, nici un număr real nu satisface
ecuația.
Cazul 3) 𝑎=0; 𝑏=0.
Rezolvare: 0∙𝑥+0=0⇔0∙𝑥=0.
Mulțimea soluțiilor este 𝑆=ℝ. Ecuația are o infinitate de soluții.
Proba: Orice număr real înmulțit cu zero dă zero. Orice număr real este soluție.
Exemplu 2.5.1.1:
Ecuații în ℕ (întâlnite și în ciclul primar unde se numesc exerciții de aflarea a termenului
necunoscut, notat cu o literă sau/și căsuță. ): 5+ =8; −25=75; 4∙ =12;
∶20=5; 𝑥+24=60;𝑥−52=72;24∙𝑥=96;144:𝑥=36;5∙𝑥+3=13.
Ecuații în ℤ:𝑥−7=−10; −2𝑥+7=11; etc.
Ecuații în ℚ: 5
2𝑥+3=10,75; 𝑥+1
2+2𝑥+6
3=3𝑥+21
5; etc.
46
Gf
𝐴(−𝑏
𝑎,0)
x y
B(0,b)
Gf
𝐴(−𝑏
𝑎,0) x
B(0,b) y
x x y y O O
O O Gf
Gf C(b,0)
C(b,0) Ecuații în 3𝑥−2(𝑥−5)=12+3(𝑥−2); 6𝑥
2𝑥−1=3𝑥+1
𝑥; etc.
Interpretarea geometrică: Soluția −𝑏
𝑎este abscisa punctului de intersecție dintre
graficul funcției 𝑓:ℝ→ℝ,𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏 (𝑎≠0) și axa absciselor 𝑂𝑥(vezi figura 1 sau 2).
Intersecția cu axa 𝑂𝑦 se obține calculând 𝑓(0).
Cazul 1) 𝑎>0,𝑏<0. Cazul 2) 𝑎<0,𝑏>0.
Dacă 𝑎=0 și 𝑏≠0, atunci graficul funcției 𝑓:ℝ→ℝ,𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏 este o dreaptă
paralelă cu axa absciselor 𝑂𝑥.
Cazul 3) 𝑏>0. Cazul 4) 𝑏<0.
Dacă 𝑎=0 și 𝑏=0, atunci graficul funcției 𝑓:ℝ→ℝ,𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏 coincide cu
axa absciselor.
Ecuații reductibile la ecuații de gradul I cu o necunoscută.
Exemplu 2.5.1.2: Fie ecuația 2𝑥−2=3𝑥+1.
S-o rezolvăm, folosind regulile care duc la ecuații echivalente.
1) Scădem din a mbii membri ai ecuației pe 3𝑥 și adunăm pe 2 și obținem −𝑥=3.
2) Împărțim ambii membrii ai ecuației cu −1 și obținem 𝑥=−3.
În general, o ecuație cu necunoscuta x, de forma 𝑎𝑥+𝑏=𝑐𝑥+𝑑,
47
unde 𝑎,𝑏,𝑐 și 𝑑 sunt numere reale, se rezolvă astfel:
1) Se trec î n membru stâng toți termenii care conțin necunoscuta. Obținem ecuația
echivalentă cu prima: 𝑎𝑥−𝑐𝑥=𝑑−𝑏 sau (𝑎−𝑐)𝑥=𝑑−𝑏.
2) Dacă 𝑎≠𝑐,atunci 𝑎−𝑐≠0. Vom împărți ambii membrii ai ecuației cu 𝑎−𝑐;
obținem𝑥=𝑑−𝑏
𝑎−𝑐. Ecuație ce are ca soluție unică numărul real 𝑑−𝑏
𝑎−𝑐; aceasta este și
soluția primei ecuații.
Dacă 𝑎=𝑐 și 𝑏≠𝑑, atunci ecuația inițială nu ar e soluții; mulțimea soluțiilor sale este
∅.
Dacă 𝑎=𝑐 și 𝑏=𝑑, atunci orice număr real 𝑥 este soluție a primei ecuații (care este
deci o identitate). Mulțimea soluțiilor sale este deci ℝ.
Exemplu 2.5.1.3: Să rezolvăm ecuația: (x+2)(x−3)=x∙(x+1).
Rezolva re: Desfacem parantezele; ecuația devine: 𝑥2−3𝑠+2𝑥−6=𝑥2+𝑥.
Trece m în membrul stâng toți termenii în care apare necunoscuta 𝑥, iar în membrul
drept ceilalți termeni. Obținem ecuația: 𝑥2−3𝑠+2𝑥−6−𝑥2−𝑥=6.
Reducem termenii asemenea: −2𝑥=6.
Împărțim ambii membrii ai ecuației cu −2 și obținem soluția 𝑥=−3. Deci și prima
ecuație are ca soluție unică numărul −3
Verificare: Prin înlocuirea lui 𝑥 cu −3, membrul stâng al ecuației devine
(−3+2)(−3−3)=(−1)∙(−6)=+6,
iar membrul drept devine
(−3)(−3+1)=(−3)∙(−2)=+6.
am verificat astfel că −3 este soluție a ecuației inițiale.
Exemplu 2.5.1.4: Fie ecuația: 4
𝑥=5
𝑥+1.
Rezolvare; Observăm că 0 nu poate să fie soluție a ecuației, deoarece numitorul
membrului stâng. Nici −1 nu poate fi soluție.
Înmulțim ambii membrii cu 𝑥 apoi cu 𝑥+1 (care sunt diferiți d e zero); obținem ecuația
4(𝑥+1)=5𝑥⇔4𝑥+4=5𝑥/−5𝑥−4⇔ −𝑥=−4/∙(−1)⇔ 𝑥=4.Număr ul 4 este soluție și a
ecuației inițiale,
Verificare : : 4
4=5
4+1⇔4
4=5
5⇔1=1.
Exemplu 2.5.1.5: Rezolvați ecuația: 𝑚𝑥−2=𝑥−2𝑚, unde 𝑚 este un parametru
real.
48
Rezolvare: 𝑚𝑥−2=𝑥−2𝑚/−𝑥+2⇔ 𝑚𝑥−𝑥=2−2𝑚⇔(𝑚−1)𝑥=−2(𝑚−1).
Coeficientul necunoscutei 𝑥 poate fi și 0 (anume atunci când 𝑚=1). Se impune deci să facem
o analiză a cazurilor ce pot apărea.
Cazul 𝑚≠1. În acest caz împărțim ambii membrii ai ecuației cu numărul nenul 𝑚−
1 și obținem ecuația 𝑥=−2, care are soluția −2.
Cazul 𝑚=1. În acest caz ecuația inițială se scrie 𝑥−2=𝑥−2.
Este o identitate; mulțimea soluțiilor este ℝ. Cu alt e cuvinte orice număr real este soluție
a ecuației.
2.5.2. ECUAȚIA DE GRADUL I CU DOUĂ SAU MAI MULTE
NECUNOSCUTE
Forma generală a unei ecuații de gradul I cu două necunoscute este
𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0,
unde 𝑎,𝑏,𝑐 sunt numere reale, unde 𝑎≠0 sau 𝑏≠0.
Nume rele 𝑎 și 𝑏 se numesc coeficien ții ecuației, 𝑎 fiind coeficientul lui 𝑥 iar 𝑏
coeficientul lui 𝑦. Numărul 𝑐 este termenul liber al ecuației, nefiind asociat cu o necunoscută.
O ecuație de gradul I cu două necunoscute are mai multe soluții .
Fie (𝑥0,𝑦0)∈ℝ×ℝ o solu ție a ecuației; aceasta înseamnă că, înlocuind necunoscuta
𝑥 cu numărul 𝑥0, iar necunoscuta 𝑦 cu numărul 𝑦0 în ecuație, obținem propoziția adevărată:
𝑎∙𝑥0+𝑏∙𝑦0+𝑐=0.
Din această egalitate putem obține (ținând sea ma că 𝑏≠0)𝑦=−𝑐−𝑎𝑥
𝑏. Perechile de
forma (𝑥,−𝑐−𝑎𝑥
𝑏), unde 𝑥 este un număr real oarecare, sunt soluțiile ecuației, sau scoțându -l
pe x (ținând seama ca 𝑎≠0)𝑥=−𝑐−𝑏𝑦
𝑎, atunci și perechile de forma (−𝑐−𝑏𝑦
𝑎,𝑦)sunt soluții
ale e cuației. Punctele din plan având aceste coordonate formează o dreaptă numită dreapta
soluțiilor ecuației 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0.
Pentru a desena o dreaptă este suficient să cunoaștem două puncte ale ei. De obicei se
aleg punctele de i ntersecție cu axele de coordon ate. Mai precis, punctul 𝐵 are abscisa 0;
ordonata lui va fi −𝑐−𝑎∙0
𝑏=𝑐
𝑏;deci 𝐵(0,−𝑐
𝑏). Punctul 𝐴 are ordonata 0; din relația −𝑐−𝑎𝑥
𝑏=
0deducem că 𝑥=−𝑐
𝑎;deci 𝐴(−𝑐
𝑎,0) (vezi figura 1).
49
B
−𝑐−𝑎𝑥
𝑏
𝑥
x y y
O A x
Fig.1
Să considerăm ecuația 𝑎𝑥+𝑐=0, în care 𝑎≠0. Ea este ecuație de gradul I cu
necunoscuta x. Soluția ecuației este numărul −𝑐
𝑎.
Să scriem ecuația în forma 𝑎𝑥+0∙𝑦+𝑐=0. Scrisă sub această forma ea devine
asemănătoare cu o ecuație de gradul I cu două necunoscute. Care perechi de numere reale (𝑥,𝑦)
ar putea fi soluții ale ecuației? Este evident că 𝑦 poate fi orice număr, iar 𝑥=−𝑐
𝑎.Dreapta
soluțiilor este deci paralelă cu axa ordonatelor(vezi figura 2).
Și ecuația 𝑏𝑦+𝑐=0, în care 𝑏≠0, scrisă în forma 0∙𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0, devine
asemănătoare cu o ecuație de gradul I cu două necunoscute. |Soluțiile ei sunt în acest caz
perechile de numere (𝑥,𝑦), în care 𝑥 poate fi orice număr iar 𝑦=−𝑐
𝑏.
Dreapta soluțiilor este paralelă cu axa absciselor (vezi figura 3).
y y
−𝑐
𝑏
O −𝑐
𝑎 x O x
Exemplu 2.5.2.1: Desenați în plan, într -un sistem de axe de coordonate, mulțimea
soluțiilor ecuației 2𝑥+3𝑦−6=0.
Rezolvare: Să calculăm abscisa punctului 𝐴(𝑥,0), punctu l de intersecției al dreptei cu
axa absciselor. Înlocuind pe 𝑦 cu 0, obținem 2∙𝑥+3∙0−6=0, de unde 𝑥=3. Deci
𝐴(3,0). Fig.1 Fig.2
50
Fie 𝐵(0,𝑦) punctul de intersecție a dreptei soluțiilor cu axa ordonatelor. Înlocuind pe
𝑥 cu 0, 2∙0+3∙𝑦−6=0, de unde 𝑦=2. Deci 𝐵(0,2). Mulțimea soluțiilor ecuației se
identifică cu dreapta 𝐴𝐵 (vezi figura 4).
2.6. ECUAȚIA DE GRADUL AL II -LEA
Forma generală a ecuației de gradul al II -lea este:
𝑎∙𝑥2+𝑏∙𝑥+𝑐=0, unde 𝑥∈ℝ,𝑎,𝑏,𝑐∈ℝ,𝑎≠0.
Numerele 𝑎,𝑏,𝑐 se numesc coef icienții ecuației, iar 𝑥 este variabila sau necunoscuta
ecuației; 𝑎𝑥2 se numește termenul în 𝑥2 sau termenul pătratic; 𝑏𝑥 se numește termenul în x sau
termenul liniar; c este termenul liber. A rezolva o ecuație d e gradul al II -lea înseamnă a
determina mulțimea soluțiilor sale 𝑆={𝑥/𝑎∙𝑥2+𝑏∙𝑥+𝑐=0,𝑎≠0} într-un domeniu de
variație. Dacă 𝑏≠0 și 𝑐≠0 spunem că avem o formă completă, altfel avem o formă
incompletă.
1) Rezolvarea formei incomplete fără termen liber 𝑎∙𝑥2+𝑏∙𝑥=0,(𝑎,𝑏≠0) se
face astfel:
– se descompune membrul stâng în factori: 𝑥∙(𝑎∙𝑥+𝑏)=0;
– se rezolvă ecuațiile 𝑥=0 sau 𝑎∙𝑥+𝑏=0;
– dacă domeniul este ℝ, atunci𝑆={0,−𝑏
𝑎}.
51
2) Rezolvarea formei incomplete 𝑎𝑥2+𝑐=0,(𝑎≠0)se face astfel:
– Rezolvăm ecuația 𝑎𝑥2+𝑐=0⇔𝑎𝑥2=−𝑐⇔𝑥2=−𝑐
𝑎. Pentru 𝑥∈ℝ, avem
următoarele situa ții:
I. dacă 𝑎 și 𝑐 au același semn, atunci 𝑆=∅;
II. dacă 𝑐=0,atunci 𝑆={0};
III. dacă 𝑎 și 𝑐 sunt de semne diferite, atunci 𝑆={−√−𝑐
𝑎;√−𝑐
𝑎}.
Exemplu 2.6.1: Rezolvați în ℝ ecuațiil e
a) 𝑥2−5𝑥=0⇔𝑥(𝑥−5)=0⇔𝑥=0 sau 𝑥−5=0⇔𝑥=0 sau 𝑥=5.
Deci 𝑆={0,5}.
b) 𝑥2+𝑥√2=0⇔𝑥(𝑥+√2)=0⇔𝑥=0 sau 𝑥+√2=0⇔𝑥=0 sau 𝑥=−√2.
Deci 𝑆={0,√2}.
c) 4𝑥2−9=0 Folosind descompunerea în factori ecuația devine (2𝑥−3)(2𝑥+3)=0
2𝑥−3=0 sau 2𝑥+3=0⇔𝑥=3
2 sau 𝑥=−3
2. Ecuația are două soluții reale
numere opuse; 𝑆={−3
2,+3
2}.
Rezolvarea formei complete a ecuației de gradul al II -lea 𝑎∙𝑥2+𝑏∙𝑥+𝑐=
0,𝑎,𝑏,𝑐∈ℝ,𝑎≠0.(1) Ne propunem să vedem când ecuația (1) are soluții reale și în ace ste
cazuri să le determinăm. Transformăm echivalent ecuația (1)⇔𝑥2+𝑏
𝑎𝑥+𝑐
𝑎=
0,(2).Observăm că primii doi termeni din (2) fac parte din dezvoltarea binomului
(𝑥2+𝑏
2𝑎)2
=𝑥2+𝑏
𝑎𝑥+𝑏2
4𝑎2. Deci (2) se scrie echivalen t
(2)⇔𝑥2+𝑏
𝑎𝑥+𝑏2
4𝑎2+𝑐
𝑎−𝑏2
4𝑎2=0⇔(𝑥2+𝑏
2𝑎)2
=𝑏2
4𝑎2−𝑐
𝑎⇔
⇔(𝑥2+𝑏
2𝑎)2
=𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2 (3). În ecuația (3) membrul stâng este nenegativ și deci pentru
a avea posibilă egalitatea din (3) se impune ca și membrul drept să fie n enegativ.
În concluzie : Pentru rezolvarea ecuației de gradul al II -lea 𝑎∙𝑥2+𝑏∙𝑥+𝑐=
0,𝑎,𝑏,𝑐∈ℝ,𝑎≠,se calculează mai întâi discriminantul ∆=𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄.
Numărul de soluții în ℝ ale ecuației de gradu l al II -lea depinde de semnul lui ∆:
1) Dacă ∆<0, atunci ecuația nu are soluții în ℝ; rădăcinile ecuației 𝑥1,𝑥2∉ℝ. Dar are
rădăcini în mulțimea numerelor complexe ℂ, rădăcinile ei vor fi: 𝑥1,𝑥2=−𝑏±𝑖√−∆
2𝑎.
52
2) Dacă ∆=0, atunci ecuația a re o rădăcină reală dublă: 𝑥1=𝑥2=−𝑏
2𝑎.
3) Dacă ∆>0, atunci ecuația are două rădăcini reale distincte: 𝑥1,𝑥2=−𝑏±√∆
2𝑎.
Pentru exercițiile sau problemele de liceu se folosește următoarea propoziție (relațiile
lui Viète) care pune în ev idență legăturile între rădăcinile ecuației de gradul al II -lea 𝑎∙𝑥2+
𝑏∙𝑥+𝑐=0,𝑎,𝑏,𝑐∈ℝ,𝑎≠0 și coeficienții acesteia.
Teorema 2.6.1: Fie 𝑎∙𝑥2+𝑏∙𝑥+𝑐=0,𝑎,𝑏,𝑐∈ℝ,𝑎≠0, cu rădăcini reale 𝑥1,𝑥2
(distincte sau nu). Atunci au loc re lațiile lui Vi ète: 𝑥1+𝑥2=−𝑏
𝑎,𝑥1∙𝑥2=𝑐
𝑎.
La aceasta teorem ă mai putem adăuga ca aplicații: calculul sumei puterilor rădăcinilor unei
ecuații de gradul al doilea, formarea unei ecuați i de gradul al doilea ale cărei rădăcini se cunosc ,
descompunerea trinomului de gradul al doilea în factori liniari.
Exemplu 2.6.2: Rezolvați în ℝ ecuațiile:
a) 𝑥2−5𝑥+6=0.
În acest caz 𝑎=1,𝑏=−5,𝑐=6, iar ∆=𝑏2−4𝑎𝑐=(−5)2−4∙1∙6=25−24=
1>0. Ecuația are două rădăcini reale distincte 𝑥1=−𝑏+√∆
2𝑎=−(−5)+√1
2∙1=5+1
2=3 și
𝑥2=−𝑏−√∆
2𝑎=−(−5)−√1
2∙1=5−1
2=2. Deci 𝑆={2,3}.
b) 9𝑥2+12𝑥+4=0.
În acest caz 𝑎=9,𝑏=12,𝑐=4, iar ∆=𝑏2−4𝑎𝑐=122−4∙9∙4=144−144=
0. Ecuația are două rădăcini reale egale 𝑥1=𝑥2=−𝑏
2𝑎⇒𝑥1=𝑥2=−12
2∙9=−12
18=
−2
3;𝑆={−2
3}. Putem proceda și astfel (3𝑥+2)2=0⇔3𝑥+2=0⇔𝑥=−2
3; 𝑆=
{−2
3}.
c) −2𝑥2+𝑥√5−2
3=0.
În acest caz 𝑎=−2,𝑏=√5,𝑐=−2
3, iar ∆=𝑏2−4𝑎𝑐=√52−4∙(−2)∙(−2
3)⇒
∆=5−16
3=−1
3<0. Ecuația nu are rădăcini reale 𝑆=∅.
Interpretarea geometrică a rezolvării ecuației de gradul al II -lea
𝑎∙𝑥2+𝑏∙𝑥+𝑐=0,𝑎,𝑏,𝑐∈ℝ,𝑎≠0. Graficul funcției de gradul al II -lea este o parabolă
(parabola fii nd locul geometric al punctelor di n plan egal depărtate de o dreaptă fixă și un punct
fix) cu vârful 𝑉(−𝑏
2𝑎,−∆
4𝑎)iar dreapta verticală 𝑥=−𝑏
2𝑎(care conține vârful parabolei) este
axă de simetrie pentru graficul funcției 𝑓.
53
x y
A B
x1 X2 O
V C y y
x1 X2 A B
O x1 V
fig.1 fig.2
y y
O O V V
x x C
C fig.1 fig.2 Din monotonia funcției de g radul al II -lea dacă 𝑎>0, atunci 𝑥𝑚𝑖𝑛=−𝑏
2𝑎, este punctul
de minim al funcției iar 𝑓𝑚𝑖𝑛=−∆
4𝑎 valoarea minimă a funcției f iar dacă 𝑎<0, atunci
𝑥𝑚𝑎𝑥=−𝑏
2𝑎, este punctul de maxim al funcției iar 𝑓𝑚𝑎𝑥=−∆
4𝑎 valoarea maximă a funcției f.
Intersecția parabolei cu axa 𝑂𝑥(scriem 𝒫⋂𝑂𝑥), unde am notat cu 𝒫 parabola; se pune
𝑦=0 și se rezolvă ecuația 𝑎∙𝑥2+𝑏∙𝑥+𝑐=0.În funcție de semnul lui ∆=𝑏2−4𝑎𝑐 avem
cazurile
1) ∆=𝑏2−4𝑎𝑐>0 când ecua ția are două rădăcini reale disti ncte 𝑥1și 𝑥2. Punctele
𝐴(𝑥1,0)și 𝐵(𝑥2,0) reprezintă punctele de intersecție ale parabolei 𝒫 cu axa 𝑂𝑥 (altfel
spus rădăcinile reale ale ecua ției atașate funcției f sunt abscisele punctelor în care
parabola taie axa 𝑂𝑥. În acest caz s punem că parabola 𝒫 intersectează axa absciselor
𝑂𝑥. (vezi figura 1 și figura 2).
2) ∆=0, când ecuația are o rădăcină dublă 𝑥1=𝑥2=−𝑏
2𝑎.În acest caz parabola 𝒫 și axa
𝑂𝑥 au în comun punctul de coordonate (−𝑏
2𝑎,0)care este tocmai vârful
parabolei𝑉(−𝑏
2𝑎,0). Spunem că parabola 𝒫 este tangentă axei absciselor 𝑂𝑥 (vezi
figura 3 și/sau figura 4).
a<0 a>0
a>0 a<0
54
y y
x x V
V O
O C
C a>0
fig.3 fig.4 3) ∆<0, când ecua ția nu are rădăcini reale. În acest caz parabola 𝒫 și axa 𝑂𝑥 nu au puncte
în comun. Spunem că parabola 𝒫 nu intersectează axa absciselor 𝑂𝑥 (vezi figura 4
și/sau figura 5).
Intersecția parabolei cu axa ordonatelor 𝑂𝑦 (scriem 𝒫⋂𝑂𝑦): se face 𝑥=0 când avem 𝑓(0)=
𝑐. Deci punctul 𝐶(0,𝑐) este punctul în care parabola taie axa ordonatelor 𝑂𝑦. Se reține că
întotdeauna parabola tale axa ordonatelor 𝑂𝑦.
Exemple de ecuații reductibile la ecuația de gradul al II -lea
Exemplu 2.6.3: Rezolvați ecuația: (𝑥−2)2−3(𝑥−5)=7,𝑥∈ℤ;
Rezolvare : Se aplică formula pătratului unei diferențe (𝑎−𝑏)2=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2.
𝑥2−4𝑥+4−3𝑥+15=7⇔𝑥2−7𝑥+12=0. În acest caz 𝑎=1,𝑏=−7,𝑐=12, iar
∆=𝑏2−4𝑎𝑐=(−7)2−4∙1∙12=49−48=1>0. Ecuația are două rădăcini reale
distincte 𝑥1=−𝑏+√∆
2𝑎=−(−7)+√1
2∙1=7+1
2=4 și 𝑥2=−𝑏−√∆
2𝑎=−(−7)−√1
2∙1=7−1
2=3. Deci
𝑆={3,4}.
Exemplu 2.6.4: Fie ecuația: (𝑥2−𝑥)2−5(𝑥2−𝑥)−6=0,𝑥∈ℝ.
Rezolvare: Facem substituția 𝑥2−𝑥=𝑦. Obținem 𝑦2−5𝑦−6=0. În acest caz 𝑎=
1,𝑏=−5,𝑐=−6, iar ∆=𝑏2−4𝑎𝑐=25+24=49>0. Ecuația are două rădăcini reale
distincte 𝑦1=−𝑏+√∆
2𝑎=−(−5)+√49
2∙1=5+7
2=6 și 𝑦2=−𝑏−√∆
2𝑎=−(−5)−√49
2∙1=5−7
2=
−1.Revenim la substituția f ăcută și avem 𝑥2−𝑥=6 sau 𝑥2−𝑥=−1.
Ecuația 𝑥2−𝑥+1=0 nu are soluții reale deoarece ∆=−3<0.
Ecuația 𝑥2−𝑥−6=0⇔𝑥1,𝑥2=1±√25
2=1±5
2⇔𝑥1=−2 sau 𝑥2=3. Prin urmare
𝑆={−2,3}. a>0
55
Exemplu 2.6.5: 2𝑥−1
𝑥+7=3𝑥+4
𝑥−1,𝑥∈ℝ\{−7,1}.
Rezolvare: Se aplică pro prietatea fund amentală a proporțiilor și obținem:
(2𝑥−1)(𝑥−1)=(3𝑥+7)(𝑥+7)⇔2𝑥2−2𝑥−𝑥+1=3𝑥2+21𝑥+4𝑥+28⇔
−𝑥2−28𝑥−27=0/∙(−1)⇔ 𝑥2+28𝑥+27=0⇔(𝑥+1)(𝑥+27)=0⇔𝑥+1=0 sau
𝑥+27=0⇔𝑥=−1 sau 𝑥=−27.𝑆={−1,−27} (sau prin formulă).
2.7. SISTEM E DE DOUĂ ECUAȚI I CU DOUĂ NECUNOSCUTE
2.7.1. NOȚIUNI INTRODUCTIVE
În general un sistem de două ecuații de gradul I cu două necunoscute (𝑥 și 𝑦) este de
forma {𝑎∙𝑥+𝑏∙𝑦=𝑐
𝑎/∙𝑥+𝑏/∙𝑦=𝑐/,unde 𝑎,𝑏,𝑐,𝑎/,𝑏/𝑐/𝜖ℝ.
Numerele 𝑎 și 𝑎/ sunt coeficienții lui 𝑥,𝑏 și 𝑏/ sunt coeficienții lui y, și numerele 𝑐 și
𝑐/ sunt termenii liberi.
Spunem că perechea de numere reale (𝑥,𝑦) este soluție a sistemului dacă amândouă
propozițiile 𝑎∙𝑥+𝑏∙𝑦=𝑐 și 𝑎/∙𝑥+𝑏/∙𝑦=𝑐/ sunt adevărate. A rezolva un sistem de
ecuații înseamnă a -i găsi toate soluțiile. Rezultă că mulțimea soluțiilor sistemului 𝑆=
{(𝑥,𝑦)/𝑎∙𝑥+𝑏∙𝑦=𝑐 ș𝑖 𝑎/∙𝑥+𝑏/∙𝑦=𝑐/;𝑎,𝑏,𝑎/,𝑏/𝜖ℝ∗ ,𝑐,𝑐/∈ℝ .} va fi intersecția
mulțimilor soluțiilor f iecărei ecuații în parte 𝑆=𝑆1∩𝑆2, unde 𝑆1={(𝑥1,𝑦1) / 𝑎∙𝑥1+𝑏∙
𝑦1=𝑐;𝑎,𝑏𝜖ℝ∗ ,𝑐∈ℝ} mulțimea solu țiilor primei ecuații și 𝑆2={(𝑥2,𝑦2) / 𝑎/∙𝑥2+𝑏/∙
𝑦2=𝑐/;𝑎/,𝑏/𝜖ℝ∗ ,𝑐/∈ℝ} mulțimea soluțiilor celei de -a doua ecuații. Putem avea
următoarele cazuri:
1) 𝑆=𝑆1∩𝑆2={(𝑥,𝑦)/𝑥,𝑦∈ℝ} sistem ul are soluție unică,
2) 𝑆=𝑆1∩𝑆2=∅, sistemul este incompatibil,
3) 𝑆=𝑆1∩𝑆2=𝑆1 sau 𝑆2, sistemul are o inf initate de soluții, este compatibil
nedeterminat.
Principalele metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare sunt metoda grafică,
metoda substituției, metoda reducerii. Unii profesori predau și „metoda comparației”: se
rezolvă ambele ecuații în rapo rt cu una dintre necunoscute și se scrie că expresi ile obținute sunt
egale. Această metodă revine în fond la una precedentă. Într -adevăr, dacă cele două ecuații sunt
de forma 𝑦=𝑓(𝑥) și 𝑦=𝑔(𝑥) și scădem a doua din prima (aplicăm metoda reducerii),
56
obținem 𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)=0 sau 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) ca prin metoda c omparației; de asemenea, dacă
înlocuim, de exemplu, în prima ecuație 𝑦 prin 𝑔(𝑥) (aplicăm metoda substituției).
2.7.2. METODE DE REZOLVARE A SISTEMELOR.
1. Metoda grafică constă în:
– reprezentarea în a celași sistem ortogonal de axe de coordonate a dreptelor soluțiilor
celor două ecuații;
– determinarea coordonatelor punctului de intersecție a dreptelor soluțiilor celor două
ecuații care reprezintă soluția sistemului.
Dacă notăm cu 𝑑 dreapta soluțiilor p rimei ecuații 𝑎∙𝑥+𝑏∙𝑦=𝑐;𝑎,𝑏𝜖ℝ∗ ,𝑐∈ℝ și
cu 𝑑/ dreapta soluțiilor celei de -a doua ecuații 𝑎/∙𝑥+𝑏/∙𝑦=𝑐/;𝑎/,𝑏/𝜖ℝ∗,𝑐/∈ℝ putem
avea următoarele situații:
1) 𝑑 și 𝑑/ sunt concurente dacă și numai dacă 𝑎
𝑎/≠𝑏
𝑏/, atunci sistemul are soluție unică
este compatibil determinat. În acest caz co ordonatele punctului de intersecție a celor
două drepte reprezintă soluția sistemului.
2) 𝑑 = 𝑑/ dacă și numai dacă 𝑎
𝑎/=𝑏
𝑏/=𝑐
𝑐/, atunci siste mul are o infinitate de soluții
(este compatibil nedeterminat).
3) 𝑑∥ 𝑑/ dacă și numai dacă 𝑎
𝑎/=𝑏
𝑏/≠𝑐
𝑐/, atunci sistemul are nu are soluții (este
incompatibil).
Metoda grafică de rezolvare a sistemelor liniare de ecuații are unele dezavantaje:
inexactitatea desenului; aflarea coordonatelor punctulu i de intersecție a celo r două drepte se
face cu precizie redusă; în cazul în care punctul de intersecție l celor două drepte este foarte
îndepărtat de origine sau când cele două drepte su nt aproape paralele, reprezentarea este practic
imposibilă.
Exemplu 2.7.2.1: Să se rezolve s istemul de ecuații {𝑥−𝑦=0
𝑥+2𝑦=3,𝑥,𝑦∈ℝ.
Reprezentăm grafic mulțimea soluțiilor primei ecuații 𝑥−𝑦=0. Ea este prima
bisectoare 𝑑 din figura 1. În acelaș i sistem de coordonate, reprezentăm grafic mulțimea
soluțiilor celei de -a doua ecuații 𝑥+2𝑦=3⇔𝑥+2𝑦−3=0. Această
dreaptă𝑑/intersectează axele de coordonate în punctele 𝐴(3,0)și 𝐵(0,3
2). Observăm că
57
dreptele se intersectează în punctul 𝑃(1,1). Deci soluția sistemului este perechea (1,1). Se
obișnuiește să se scrie și că soluția sistemului este 𝑥=1,𝑦=1 (vezi figura 1).
Exemplu 2.7.2.2: {−𝑥+2𝑦=−4
2𝑥−4𝑦=−5,𝑥,𝑦∈ℝ
Reprezentăm într -un sistem de axe de coordonate prima dreaptă −𝑥+2𝑦=−4⇔
−𝑥+2𝑦+4=0 Această dreaptă 𝑑 intersecteaza axele de coordonate în punctele 𝐷(0,−2)și
𝐷(4,0). Reprezentăm cea de -a doua dreaptă 𝑑/:2𝑥−4𝑦=−5⇔2𝑥−4𝑦+5=0 în același
sistem de axe de coordonate. Ea intersectează axele de coordonate în punctele 𝐴(0,5
4) și
𝐵(5
2,0). Dreptele 𝑑 și 𝑑/ sunt p aralele, deoarece ∆𝑂𝐴𝐵~∆𝑂𝐶𝐷;𝑂𝐷
𝑂𝐴=2
5
4=8
5 și
𝑂𝐶
𝑂𝐵=4
5
2=8
5.Deci ∢𝑂𝐵𝐴≡∢𝑂𝐶𝐷, de unde 𝐴𝐵∥𝐶𝐷, atunci 𝑑∥𝑑/ și multimea soluțiilor
sistemului de ecuații este m ulțimea vidă (vezi figura 2).
Fig.1
58
Exemplu 2.7.2.3 Să rezolvăm sistemul: {2𝑥+𝑦=1
4𝑥+2𝑦=2,𝑥,𝑦∈ℝ prin metoda grafică.
Ambele drepte care reprezintă soluțiile ecuațiilor sistemului intersectează axele de
coordonate în 𝐴(0,1) și 𝐵(1
2,0) (vezi fig ura 3).
Cele două drepte coincid și atunci sistemul are o infinitate de soluții în ℝ×ℝ. Mulțimea
soluțiilor este {(𝑥,1−𝑦
2)} unde 𝑥∈ℝ.
Fig2.
59
2) Metoda substituției constă în:
– se rezolvă o ecuație în raport cu o necunoscută;
– înlocuind în cealaltă ecuație, se obține o ecuație cu o singur ă necunoscută;
– aceasta se rezolvă obținându -se o componentă a soluției;
– revenind la substituția făcută, se obține cealaltă componentă a soluției.
Fie sistemul de două ecuații cu două necunoscute {𝑎∙𝑥+𝑏∙𝑦=𝑐
𝑎/∙𝑥+𝑏/∙𝑦=𝑐/,unde
𝑎,𝑏,𝑎/,𝑏/𝜖ℝ∗,𝑐,𝑐/∈ℝ dacă îl scoatem pe 𝑦 din prima ecuație obținem sistemul
echivalent {𝑦=−𝑎∙𝑥+𝑐
𝑏
𝑎/∙𝑥+𝑏/∙−𝑎∙𝑥+𝑐
𝑏=𝑐/ ⇔ {𝑦=−𝑎∙𝑥+𝑐
𝑏
𝑎/∙𝑏∙𝑥+𝑏/∙(−𝑎∙𝑥+𝑐)=𝑐/∙𝑏Să
observăm că dacă 𝑎/∙𝑏−𝑏/∙𝑎≠0sistemul are soluția unică {𝑦=−𝑎∙𝑥+𝑐
𝑏
𝑥=𝑐/∙𝑏−𝑏/∙𝑐
𝑎/∙𝑏−𝑏/∙𝑎, ⇔
x Fig.3
60
{𝑥=𝑐/∙𝑏−𝑏/∙𝑐
𝑎/∙𝑏−𝑏/∙𝑎
𝑦=𝑎/∙𝑐−𝑎∙𝑐/
𝑎/∙𝑏−𝑏/∙𝑎, unde 𝑎,𝑏,𝑎/,𝑏/𝜖ℝ∗,𝑐,𝑐/∈ℝ. Pentru a efectua proba aceste soluții se
înlocuiesc î n sistemul dat și se constată că satisfac sistemul.
Exemplu 2.7.2.4: Să rezolvăm {𝑥+3𝑦=−5
3𝑥+2𝑦=4 unde 𝑥,𝑦∈ℝ prin metoda substituției.
Din prima ecuație îl scoatem pe 𝑥 în funcție de 𝑦:𝑥=−3𝑦−5. Înlocuim pe x în a doua
ecuație: 3∙(−3𝑦−5)+2𝑦=4. Rezolvăm această ecuație în 𝑦. Observăm că ea este
echivalentă cu 𝑦=−19
7. Înlocuim: 𝑥=−3∙(−19
7)−5⇔𝑥=57
7−5⇔𝑥=22
7. Am obținut
soluția (22
7,−19
7).
Verificare: {22
7+3∙(−19
7)=−5
3∙22
7+2∙(−19
7)=4⇔{22−57=−35
66−38=28.
Exemplu 2.7.2.5: Să rezolvăm sistemul de ecuații prin calcule simple:
{𝑦=3𝑥−2
𝑥+2𝑦=3⇔{𝑦=3𝑥−2
𝑥+2∙(3𝑥−2)=3⇔{𝑦=3𝑥−2
𝑥+6𝑥−4=3⇔
{𝑦=3𝑥−2
7𝑥=7⇔{𝑦=3𝑥−2
𝑥=1⇔{𝑥=1
𝑦=1. Verificare: {1=3∙1−2
1+2∙1=3⇔{1=1
3=3 adevărat.
Metoda substituției poate fi aplicată și sistemel or scrise în altă formă.
De exemplu:
Exemplu 2.7.2.6: Să rezolvăm sistemul {8−𝑥=2𝑦+1
6𝑥+5𝑦=3,folosind această metodă.
Scoțând din prima ecuație 𝑥=7−2𝑦, înlocuim în a doua: 6∙(7−2𝑦)+5𝑦=3 de unde
−7𝑦=−39. Deci 𝑦=39
7, apoi 𝑥=7−2∙39
7⇔𝑥=7−78
7⇔𝑥=−29
7. Soluția sistemului
este (−29
7,39
7).
Exemplu 2.7.2.7: {𝑦−√2𝑥=0
5𝑥+√8𝑦=9⇔{𝑦=√2𝑥
5𝑥+√8∙√2𝑥=9⇔{𝑦=√2𝑥
5𝑥+4𝑥=9⇔
{𝑦=√2𝑥
𝑥=1⇔{𝑥=1
𝑦=√2.Verificare: {√2−√2∙1=0
5∙1+√8∙√2=9⇔{0=0
5+√16=9⇔{0=0
5+4=9.
Metoda substituției este avantajoasă atunci când într -una dintre ecuațiile sistemului o
necunoscută are coe ficientu l1 sau −1; este de preferat ca această necunoscută să fie „scoasă”
în funcție de cealaltă.
3) Metoda reducerii. Aplicarea ei comportă următoarele etape:
61
– înmulțirea convenabilă a fiecărui termen dintr -o ecuație sau din a mândouă cu
același număr;
– prin adunarea sau scăderea membru cu membru a noilor ecuații, eliminarea unei
necunoscute;
– determinarea componentelor soluției.
Să rezolvăm prin metoda reducerii sistemul general {𝑎∙𝑥+𝑏∙𝑦=𝑐
𝑎/∙𝑥+𝑏/∙𝑦=𝑐/,unde
𝑎,𝑏,𝑎/,𝑏/𝜖ℝ∗,𝑐,𝑐/∈ℝ. Înmulțind ecuațiile, respectiv, cu 𝑏/ și −𝑏, în așa fel încât prin
adunare termenii în 𝑦 să se reducă, obținem 𝑎∙𝑏/∙𝑥−𝑏∙𝑎/∙𝑥=𝑐∙𝑏/−𝑏∙𝑐/ sau (𝑎∙𝑏/−
𝑏∙𝑎/)∙𝑥=𝑐∙𝑏/−𝑏∙𝑐/ . Înmul țind acum în mod convenabil pentru ca termenii în x să se
reducă, obținem (𝑎∙𝑏/−𝑏∙𝑎/)∙𝑦=𝑎∙𝑐/−𝑐∙𝑎/. Observăm că dacă 𝑎∙𝑏/−𝑏∙𝑎/≠0,
atunci sistemul are solu ția unică: {𝑥=𝑐∙𝑏/−𝑏∙𝑐/
𝑎∙𝑏/−𝑏∙𝑎/
𝑦=𝑎∙𝑐/−𝑐∙𝑎/
𝑎∙𝑏/−𝑏∙𝑎/.
Consideram ca metoda reducerii să se predea în trei etape: 1) când coeficienții uneia
dintre necunoscute au aceeași valoare absolută și sunt de semne contrare; 2) când una dintre
necunoscute are coeficientul 1; Când coeficienții sunt oarecare.
Exemplu 2.7. 2.8:
1) {5𝑥+2𝑦=34
7𝑥−2𝑦=14 2) {𝑥+3𝑦=11
5𝑥−2𝑦=21 3) {4𝑥−3𝑦=23
6𝑥+5𝑦=63.
Pasul cel mai important este adunarea ecuațiilor, căci în felul acesta se elimină una
dintre necunoscute. Această chestiune trebuie explicată bine pe primul ca z; cazurile următoare
se reduc la a ceasta. De aceea este indicat ca, înainte de a aborda această chestiune, să se reia
propoziția cu privire la dreptul de a aduna în ambele părți ale ecuației același număr. Elevii
trebuie să înțeleagă că, dacă 𝑎=𝑏 și 𝑐=𝑑, atunci 𝑎+𝑐=𝑏+𝑑.
După aceast ă pregătire se consideră primul caz, se scrie sistemul 1) și se pune problema
de-al transforma astfel încât una dintre necunoscute trebuie să dispară. Se atrage atenția asupra
termenilor 2𝑦 și −2𝑦 și, în urma pregătirii , elevii își dau seama că ajunge să adunăm ecuațiile
si să obținem o ecuație doar în 𝑥:12𝑥=48. Sistemul dat este echivalent cu sistemele:
{5𝑥+2𝑦=34
12𝑥=48⇔{5𝑥+2𝑦=34
𝑥=4⇔{𝑥=4
5∙4+2𝑦=34⇔{𝑥=4
2𝑦=14, care are soluția
{𝑥=4
𝑦=7. Ca p rima ecuație se putea lua și a doua ecuație 7𝑥−2𝑦=14 și în locul sistemului dat
vom rezolva acest sistem {7𝑥−2𝑦=14
12𝑥=48 care are aceeași solu ție.
62
−17𝑦=−34 Verificare: {5∙4+2∙7=34
7∙4−2∙7=14⇔{20+14=34
28−14=14
Când se trece la sistemul al doilea {𝑥+3𝑦=11
5𝑥−2𝑦=21 aici se face o mică discuție. Nu are
rost să adunăm ecuațiile, nici una dintre necunoscute nu se reduce
Elevii observă că dacă înmulțesc prima ecuație cu −5 putem să obținem o ecuație numai
în y, adică să -l reducem pe x. Obținem sis temul ec hivalent {−5𝑥−15𝑦=−55
5𝑥−2𝑦=21⇔
{𝑦=2
5𝑥−2𝑦=21⇔{𝑦=2
5𝑥−4=21
care are soluția {𝑥=5
𝑦=2.
Verificare: {5+3∙2=11
5∙5−2∙2=21⇔{5+6=11
25−4=21.
Considerăm sistemul de forma a treia {4𝑥−3𝑦=23
6𝑥+5𝑦=63. Din discuțiile cu clasa se ob ține
că, pentru a elimina x, se înmulțește prima ecuație cu −3 și a doua cu 2. Pentru a -l elimina pe
𝑦 se înmul țește prima ecua ție cu 5 și a doua cu 3. Se descoperă analogia cu aducerea fracțiilor
la același numitor („aducere a la același co eficient”) care poate fi c.m.m.m.c. al coeficienților
dați. Când una dintre ecuații trebuie înmulțită cu un număr negativ, semnul se alege astfel încât,
în ecuația cere se obține, coeficientul necunoscutei să fie pozitiv.
{4𝑥−3𝑦=23/∙(−3)
6𝑥+5𝑦=63/∙2⇔{−12𝑥+9𝑦=−69
12𝑥+10𝑦=126⇔{𝑦=3
6𝑥+5𝑦=63
⇔{𝑦=3
6𝑥+15=63⇔{𝑦=3
6𝑥=48⇔{𝑥=8
𝑦=3
{4𝑥−3𝑦=23/∙5
6𝑥+5𝑦=63/∙3⇔{20𝑥−15𝑦=115
18𝑥+15𝑦=189⇔{𝑥=8
6𝑥+5𝑦=63⇔
{𝑥=8
48+5𝑦=63⇔{𝑥=8
5𝑦=15⇔{𝑥=8
𝑦=3.
Acest proced eu este ceva mai lung, dar are avantajul că o eventuală greșeală făcută în
aflarea lui 𝑥 nu are repercursiuni asupra lui 𝑦
19𝑦=57
38𝑥=304
63
CAPITOLUL 3.
REZOLVAREA DE PROBLEME CU AJUTORUL ECUAȚIILOR
3.1. PROBLEME DIN ALGEBRĂ
Prin rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuațiilor, cunoștințele de algebră ale elevilor
se încheagă, în sensul că aici aplică aproape tot ceea ce au învățat la algebră; calcul algebric,
rezolvarea ecuațiilor și a sistemelor de ecuații și, mai ales, ei învață să aplice a ceste cunoștințe
la situ ații concrete tot mai va riate.
Trebuie, totuși, subliniat că, dacă este adevărat că aceste probleme au un conținut
concret, cele mai multe dintre ele nu sunt cu adevărat practice. Când parcurgi zecile de
probleme care se găsesc în manuale și în culegeri, vei găsi cu greu o probl emă care se găsesc
în manuale și în culegeri, vei găsi cu greu o problemă care să fi izvorât efectiv din activitatea
practică din zilele noastre. Cele mai multe dintre ele datează din evul mediu sau sunt și m ai
vechi. În lumea școla ră, temele vechi au fost reluate și amplificate, uneori li s -a schimbat haina,
așa că astăzi dispunem de un stoc imens de probleme, dintre care unele sunt foarte complicate.
Trebuie să ne ferim de exagerări. Să nu transformăm aceste probleme într -un scop î n sine. Ele
sunt un exemplu util al spiritului, dar numai atât. Pentru studiile viitoare, aceste probleme nu
sunt absolut necesare. În aplicații, ori de câte ori trebuie scrisă ecuația care descrie o anumită
situație, se dau toate e xplicațiile.
În lumea ș colară se f ace distincție între problemele de aritmetică, ce se pot rezolva pe
baza cunoștințelor care se dobândesc la matematică în clasele primare și probleme de algebră,
care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor, sau între soluția aritmetică și soluția alg ebrică a unei
probleme. În ultimă analiză, orice problemă care se poate rezolva cu ajutorul unei ecuații de
gradul I sau a unui sistem de două ecuați i de gradul I cu două necunoscute se poate rezolva și
pe cale aritmetică. Acest lucru este uneori foarte an evoios, dar este totdeauna posibil.
Metodele algebrice se caracterizează în mod deosebit prin simplitate și conciziune,
astfel încât aplicarea lor înlătură dificultățile care se întâmplă adeseori în utilizarea metodelor
aritmetice în a căror alegere nu s e pot stabili criterii precise. Apoi, rezolvarea algebrică a unei
probleme oferă posibilități noi de formul are a relațiilor dintre valori și stabileș te ansamblul
condițiilor pe care trebuie să le îndeplinească soluția problemei în raport cu elementele
cuno scute. Îmbinarea armonioasă a celor două categorii de metode creează avantajul evitării
eforturilor inutile . Sunt însă împrejurări în care metodele a lgebrice se împletesc atât de strâns
cu cele aritmetice încât nici nu se pot delimita, deoarece prin rațion amente specifice aritmeticii
64
4 se ajunge în mod inevitabil la egalități cu una sau mai multe necunoscute adic ă la ecuații și
sisteme de ecuații.
Mijlo cul cel mai bun de a clasifica problemele la care ne referim este de a examina ce
fel de relații între date și necunoscute intervin între ele. Acest lucru se vede cel mai bine pe
ecuațiile respective.
Orice problemă de aritmetică poate fi pusă în ecuați e. În multe manuale de algebră se spune
că nu se poate da nici o regulă după care se pun probleme în ecuați e. Acest lucru este adevărat.
Este și firesc să fie așa. Ecuațiile însele sunt un instrument de rezolvar e a problemelor. Un
instrument matematic, ca orice instrument, este util numai dacă știm să -l mânuim. În această
mânuire intervine totdeauna un element viu, gândirea omului, care nu poate fi eliminat – cel
puțin în învățământ. Punerea problemelor în ecuație c onstituie tocmai acest element viu, care
nu poate fi turnat în tipare. De aceea, ne vom mărgini în cele ce urmează la câteva indicații
sistematice, b ineînțeles cu caracter didactic. În multe manuale se dă un plan de rezolvare a
problemelor cu ajutorul ecua țiilor (alegerea necunoscutei, punerea pro blemei în ecuație,
rezolvarea ecuației, proba). Acest plan este de puțin de folos. El dă o imagine falsă a realității
prin faptul că pune punctul al doilea – formarea ecuației – pe același plan cu celelalte, când, de
fapt, acest punct conține aproape totul . Singura indicație care s -ar putea da în această privință
ar fi următoarea: se exprimă sub formă de ecuați e relațiile dintre datele problemei și
necunoscute. Dar această indicație este prea generală pentru a fi ut ilă.
Vom propune în continuare, probleme din algebră, rezolvate în detaliu, cu grade diferite
de dificultate scriind fiecare pas specific rezolvări i.
Problema 3.1.1: Într-o clasă sunt 28 de elevi. Num ărul fetelor este cu 4 mai mare decât
numărul băieților. Câte fete și câți băieți sunt în clasă ?
Soluția aritmetică (Metoda grafică)
Numărul băieților
Numărul fetelor
Fetele sunt cu 4 mai multe decât băieții ceea ce înseamnă că la numărul fetelor egal cu al
băieților se mai adaugă 4 și se exprimă prin calcule 28 – 4 = 24
Verificare a rezultatului obținut:
Numărul băieților este: 24 : 2 = 12
Numărul fetelor este: 12+ 4 = 16
Proba: 12+16=28 el evi în total.
65
Soluție algebrică:
Pasul 1. ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu? Câți elevi sunt în clasă; numărul fetelor
este cu 4 mai mare decât numărul băieților. Ce nu știu? Câte fete și câți băieți sunt în clasă.
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sa u ,,Analizez relațiile date mai sus , adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi funcție de ea”. Să notăm cu 𝑥numărul băieților din
clasă. Numărul fetelor fiind cu 4 mai mare decât al băieților îl not ăm cu 𝑥+4 .
Pasul 3. ,,Organizez și redactez” sa u ,,Pun problema în ecuație” – și că în total sunt 28
elevi rezultă ecuația: 𝑥+(𝑥+4)=28.
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”.
𝑥+(𝑥+4)=28⇔𝑥+𝑥+4=28⇔2𝑥+4=28⇔2𝑥=28−4⇔2𝑥=2
⇔𝑥=24:2⇔𝑥=12. Deci în clasă sunt 12 băieți și 12+4=16 fete.
Pasul 5. ,,Verific și dezvo lt; am răspuns corect” sau ,,Interpretez soluția, formulez
răspunsul și eventual, verific rezultatul/ele ”.
12+16=28. Deci soluția ecuației e ste și soluția problemei.
Comentariu: Rezolvarea problemei prin metoda algebrică este mai simplă. Metoda
aritmetică presupune o înțelegere mult mai adâncă a raporturilor existente între datele
problemei
Problema 3.1.2: Media aritmetică a două numere este 9. Dacă unul din numere este 12
să se afle care este celălalt număr:
Soluție aritmetică:
Dacă media arit metică a două n umere este 9, atunci s uma lor va fi 9∙2=18.
Dacă unul dintre numere este 12 și suma lor este 18 , atunci celălalt număr va fi
18−12=6.
Verificarea rezultatului (6+12):2=9, media aritmetică a celor două numere.
Soluția algebrică:
Pasul 1. ,,Citesc /observ și înțeleg” – Ce știu? Care este media aritmetică a două numere.
Cunosc unul din numere este 12.Ce cu știu? Care este al doile a număr.
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelal te mărimi funcție de ea”. Să notăm cu 𝑥 unul din numere. Media
aritmetică a celor două numere va fi (12+𝑥):2.
Pasul 3. ,,Organizez ș i redactez” sau ,,Pun problema în ecuație” – și media aritmetică a
celor două numere este 9 rezultă ecuația: (12+𝑥):2=9.
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”.
66
(12+𝑥):2=9⇔12+𝑥=9∙2⇔12+𝑥=18⇔𝑥=18−12⇔𝑥=6
celălalt număr.
Pasul 5. ,,Verific și dezvolt; am răspuns corect” sau ,,Interpretez soluția, formulez
răspunsul și eventual, verific rezultatul/ele ”.
(6+12):2=9. Deci soluția ecuație i este și soluția pro blemei.
Problema 3.1.3: Un elev are o sumă de bani. Aflați suma știind că după ce a cheltuit 1
4
din ea, apoi 1
6din rest, apoi 1
3 din noul rest și încă 0,12 lei, îi mai rămân 8,38 lei.
Soluția algebrică:
Pasul 1. ,,Citesc/o bserv și înțeleg” – Ce știu? Că în prima etapă a cheltuit 1
4din sumă, în
a doua etapă 1
6din rest, apoi 1
3 din noul rest și în că 0,12 lei și îi mai rămân 8,38 lei . Ce nu știu?
Care este suma totală de bani..
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau , ,Analizez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi funcție de ea”. Să notăm cu 𝑥 suma totală de bani.
În prima etapă a cheltuit 1
4𝑥 lei și au rămas 3
4𝑥 lei.
În a doua etapă a cheltuit 1
6 din rest adică 1
6∙(3
4𝑥)=1
8𝑥 lei și i i-a mai rămas 3
4𝑥 −1
8𝑥=5
8𝑥
lei
În a treia etapă a cheltuit 1
3 din rest adică 1
3∙(5
8𝑥)=5
24𝑥lei și încă 0,12 lei.
I-a rămas în final 8,38 lei
Pasul 3. ,,Organizez și redactez” sau ,,Pun problema în ecuație” –știind că x este suma
totală de bani rezultă ecuația: 1
4𝑥+1
8𝑥+5
24𝑥+0,12+8,38=𝑥
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”.
1
4𝑥+1
8𝑥+5
24𝑥+0,12+8,38=𝑥⇔𝑥 −1
4𝑥 −1
8𝑥 −5
24𝑥=8,5⇔
⇔24𝑥−6𝑥−3𝑥−5𝑥
24=85
10⇔10𝑥
24=85
10⇔100𝑥=2040⇔𝑥=2040:100⇔
⇔𝑥=20,04
Pasul 5. ,,Verific și dezvolt; am răspuns corect” sau ,,Interpretez soluția, formulez
răspunsul și eventual, verific rezultatul/ele ”.
În prima etapă a cheltuit 1
4∙20,4=5,1 𝑙𝑒𝑖
În doua etapă a cheltuit 1
6∙(20,4−5,1)=1
6∙15,3 𝑙𝑒𝑖=2,55lei
67
În treia etapă 1
3∙(20,4−5,1−2,55)+0,12𝑙𝑒𝑖=1
3∙12,75 𝑙𝑒𝑖+0,12 𝑙𝑒𝑖=4,25+
0,12=4,37 lei
Îi mai rămân 8,38 lei
5,5 𝑙𝑒𝑖 +2,55 𝑙𝑒𝑖+4.37 𝑙𝑒𝑖+8,38 𝑙𝑒𝑖=20,4 𝑙𝑒𝑖. Deci soluția ecuației este și soluția
problemei.
Soluția aritmetică (metoda mersului invers).
Așezarea datelor problemei :
I 1
4∙𝑆 rest 𝑅1
II 1
6𝑅1 rest 𝑅2
III 1
3𝑅2+0,12 rest 𝑅3=8,38.
În a treia etapă elevul ia 1
3din suma găsită în plic și încă 0,12 lei. Deci mai avea în plic
0,12+8,38=8,5 lei cea ce reprezintă 2
3𝑅2adică 2
3𝑅2=8,5lei de unde 𝑅2=8,5:2
3⇒𝑅2=
8,5∙3
2=51
4=12,75lei.
În a doua etapă elevul ia 1
6din suma găsită în plic, deci în plic mai erau 5
6𝑅1=12,75lei
de unde 𝑅1=12,75:5
6⇒𝑅1=12,75∙6
5=153
10=15,3lei.
În prima etapă ia 1
4din suma găsită în plic, deci în plic mai erau 3
4𝑆=15,3lei de unde
𝑆=15,3:3
4⇒𝑆=15,3∙4
3=612
30=20,4lei suma inițială de bani.
Comentariu: Alegerea necunoscutei presupune fixarea uneia sau a mai multor mărimi
necunoscute ale problemei, exprimarea celorlalte mărimi în funcție de aceasta, o bună
înțelegere și analiză a textului fără de care ecuația problemei este discutabilă .
Problema 3.1.4: Un buchet de flori este împ ărțit u nui gr up de elevi astfel: dacă fiecărui
elev din grup i se dau 3 flori, atunci 4 elevi nu mai primesc nimic, iar un elev primește o floare,
iar dacă fiecărui elev din grup i se oferă câte 7 flori, 12 elevi nu mai primesc nim ic, iar un elev
primește 5 flori . Câți elevi sunt în grup și cât e flori au fost în buchet?
Soluția algebrică:
Pasul 1. ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu? Că în prima etapă i se dau fiecărui elev
câte 3 flori, dar 4 elevi nu primesc nimic iar un elev primește doar o floare. În a dou a împărțire
dacă fiecare elev di n grup primește câte 7 flori, 12 elevi nu primesc nimic iar un elev primește
68
3F 3F
E 1F 3F
E E 3F
E E E E E 5 flori. Ce nu știu? Care este suma totală de bani.. Câți elevi sunt în grup și câte flori au fost în
buchet?
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relațiile date mai su s, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”. Să notăm cu 𝑥 numărul de elevi din
clasă și cu y numărul de flori. În prima împărțire dacă fiecare elev primește 3 flori și 4 elevi nu
primesc nimic și un elev doar o floare vom avea relația 3(𝑥−5)+1 =y numărul total fe flori.
Am scris 𝑥−5 deoarece 5 elevi nu primesc câte 3 flori deoarece 4elevi nu primesc nimic și
unul doar o floare.
În a doua împărțire dacă fiecare primește câte 7 flori nu -i folosim pe toții elevii deoarece
12 nu primesc nim ic și elev primește 5 flori. Vom avea relația 7(𝑥−13)+5=y număr ul total
de flori.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație” Cum numărul total de
flori este același în ambele cazuri, vom avea sistemul de ecuații: {3∙(𝑥−5)+1=𝑦
7∙(𝑥−13)+5=𝑦.
Pasul 4. ,,Rezolv sistemul de două ecuații și două necunoscute”.
{3∙(𝑥−5)+1=𝑦
7∙(𝑥−13)+5=𝑦 Cum ambii membrii din partea dreaptă sunt egali rezultă ecua ția
3(𝑥−5)+1=7(𝑥−13)+5⇔3𝑥 − 15 +1=7𝑥− 91+5⇔91−15+1−5=
7𝑥 − 3𝑥⇔72=4𝑥⇔𝑥=72:4⇔𝑥=18 elevi și numărul total de flori va fi
3∙(18−5)+1=39+1=40 flori.
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Dacă numărul total de elevi este 18 atunci
7∙(18−13)+5= 7∙5+5=35+5 =40 flori deci soluția sistemului de ecuații este și
soluția problemei.
Soluția aritmet ică (metoda figurati vă):
Faza inițială: Pentru fiecare elev, simbolizat cu E, figurăm câte 3 flori, simbolizați cu
3F, și 4 elevii fără nici o floare și un elev cu floare.
… ,
4 elevi
Faza final ă: Figurăm câte 7 flori, simbolizate cu 7F, pentru fiecar e elev, simbolizat cu
E și 12 elevi fără nici o floare și 1 elev cu 5 flori..
E E E
69
7F 7F 7F 5F
E
12 elevi
… ; …
Pentru a trece de la prima fază la cea de -a doua, vom avea 12−4= 8 elevi elevi fără
flori din pri ma fază dintre cei care au câte 3 flori. D eci, vom avea un total de 8∙3=24 flori
luate de la cei care aveau cate 3 flori.
7−3=4 flori primesc în plus elevii care aveau câte 3 flori.
24:4=6 elevi au câte 7 flori fiecare, dar ne mai trebuie un elev care să aibă 5 flori.
Deci mai rămân 6−1=5 elevi au câte 7 flori fiecare.
7−3=4 plus o floare de la ultimul elev din prima fază care avea doar o floare, rezultă 5 flori
pentru ultimu l elev din a doua fază.
În final vom avea:5 elevi cu câte 7 flori, 12 elevi cu nici o floare și un elev cu 5 flori.
Un total de 5+12+1=18 elevi și 5∙7+1∙5=40 flori.
Comentariu: Rezolvarea problemei prin metoda algebrică este mai simplă. Metoda
aritmetică î n special metoda figurat ivă presupune o înțelegere mult mai adâncă a raporturilor
existente între datele problemei.
Problema 3.1.5 Într-o cantină sunt 36 mese cu 3 sau 4 picioare, având în total 129 de
picioare. Câte mese de fiecare fel sunt în cantină?
Soluția algebrică:
Pasul 1. ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu? Că în cantină sunt 36 de mese. Unele au
câte 3 picioare, altele au câte 4 picioare. Ce nu știu? Numărul meselor cu câte 3 picioare și
numărul meselor cu câte 4 picioare.
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Anal izez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”. Să notăm cu 𝑥 numărul de mese cu 3
picioare și cu y numărul de mese cu 4 picioare.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”. Dacă în ca ntină sunt
36 mese atunci 𝑥+𝑦=36. Dacă în total sunt 129 picioare atunci vom avea ecuația 3𝑥+4𝑦=
129. Cu cele două ecuații se formează sistemul de ecuații: {𝑥+𝑦=36
3𝑥+4𝑦=129.
Pasul 4. ,,Rezolv sistemul de două ecuații și d ouă necunoscute”.
{𝑥+𝑦=36/∙(−3)
3𝑥+4𝑦=129⇔.{− 3𝑥 − 3𝑦=−108
3𝑥+4𝑦=129⇔{𝑦=21
𝑥+21=36⇔{𝑥=36−21
𝑦=21
𝑦=21 7F
E E E E E E E E
70
⇔{𝑥=15
𝑦=21
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez sol uția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Avem 15 mese cu 3 picioare și 21 mese cu 4 picioare , în total 26 de mese
și 3∙15+4∙21=45+84=129 picioare. Deci soluția sistemului de ecuații este și soluția
problemei.
Soluția aritmetică (Metoda falsei ipot eze)
Presupunem că toate mesele au 4 picioare.
1. Câte mese sunt în cantină?
36∙4=144 picioare.
2. Aflăm câte picioare sunt în plus pe baza presupunerii.
144 – 129 =15 picioare.
3. De unde provine plusul de picioare? Din presupunerea că toate mesele au câte 4
picioare. Deci au existat și mese cu 3 picioare. Cu cât am presupus mai mult la mesele
cu 3 picioare?
4 – 3 =1 picior.
4. Câte mese cu 3 picioare sunt?
15: 1=15 mese cu 3 picioare.
5. Câte mese cu 4 picioare sunt?
36 – 15=21 mese cu 4 picioare.
Comentariu: Problem a poate fi rez olvată prin mai multe metode și acest fapt este
datorat posibilităților diferite de a face presupunerea inițială: presupunem că toate mesele au
fost de câte 3 picioare..
Problema 3.1.6: La sfârșitul anului școlar fiecare elev a primit câte o fotografie de la
fiecare dintre colegii săi. În total au fost schimbate 380 fotografii. Câți elevi erau în clasă?
Pasul 1. ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu? Că în total au fost schimbate 380
fotografii. Ce nu știu? Câți elevi sunt în clasă ?
Pasul 2 . ,,Planific ș i calculez” sau ,,Analizez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”. Să notăm cu n numărul de elevi din
clasă, fiecare elev trimite 𝑛−1 fotografii (nu -și trimite sieși).
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”. Dacă sunt 𝑛 elevi și
fiecare a primit 𝑛−1 fotografii, înseamnă că s -au schim bat în total 𝑛∙(𝑛−1)=380
fotografii.
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”.
71
𝑛∙(𝑛−1)=380⇔𝑛2−𝑛−380=0, este o ecuația de gradul al doile a de unde
∆=𝑏2−4∙𝑎∙𝑐=(−1)2−4∙1∙(−380)=1+1520=1521>0
⇒𝑛1,2=−𝑏±√∆
2∙𝑎⇒𝑛1,2=−(−1)±√1521
2∙1=1±39
2⇒
𝑛1=1+39
2=20∈ℕ și 𝑛2=1− 39
2=−19∉ℕrezultă 𝑛=20.
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Soluția naturală a ecuației și anume, n=20, este și soluția problemei. 20∙
(20−1)=20∙19=380. Deci sunt 20 de elevi.
Problema 3.1.7: Determinați toate numerele naturale de două cifre 𝑎𝑏̅̅̅ pentru care 𝑎𝑏̅̅̅+
𝑏𝑎̅̅̅ este pătrat perfect.
Soluția algebrică:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu? Scrierea în baza 10 a unui număr de
forma𝑎𝑏̅̅̅ și când un număr este pătrat perfect.Ce nu știu? Care sunt aceste numere care să
verifice relația din problemă..
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”. Scriem în baza 10 numărul de forma
𝑎𝑏̅̅̅=10∙𝑎+𝑏 și răsturnatul său 𝑏𝑎̅̅̅=10∙𝑏+𝑎, unde 𝑎,𝑏∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},𝑎≠0 și
𝑏≠0 deoarece un număr de două cifre nu poate avea cifra zecilor zero.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuaț ie”. Atunci 𝑎𝑏̅̅̅+𝑏𝑎̅̅̅=10∙
𝑎+𝑏+10∙𝑏+𝑎=11∙𝑎+11∙𝑏=11∙(𝑎+𝑏) este pătrat perfect dacă 𝑎+𝑏=11,
Pasul 4. ,,Rezo lv ecuația”.
𝑎+𝑏=11, unde 𝑎,𝑏∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}, rezultă că 𝑎𝑏̅̅̅÷{29,38,47,56,65,
74,83,92}
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”:
2+9=11,3+8=11,4+7=11,5+6=11,6+5=11, deci soluțiile ecuației
sunt si soluțiile problemei.
Problema 3.1.8: Cu 8 ani în urmă vârsta fiului reprezintă 1
8 din vârsta tatălui. Peste 2
ani, vârsta fiului va fi cât 1
3 din vârsta tatălui. Câți ani are fiecare?
Soluția algebrică:
72
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu? Că în urmă cu 8 ani fiul are o optime din
vârsta tatălui. Și că peste 2 ani va avea o treime din vârsta tatălui. Ce nu știu? Care sunt vârstele
tatălui si ale fiului din prezent.
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,A nalizez relațiile date mai sus, adică al eg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”. Notăm cu 𝑓 vârsta fiului din prezent
și cu 𝑡 vârsta tatălui din prezent.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”. Știind că fiul în urmă
cu 8 ani avea 1
8 din vârsta tatălui vom avea ecuația: 𝑓−8=1
8(𝑡−8) și că vârsta fiului peste
2 ani va fi 1
3 din vârsta tatălui vom av ea ecuația: 𝑓+2=1
3(𝑡+2). Îndeplinind simultan cele
două condiții se formează sistemul de ecuații: {𝑓−8=1
8(𝑡−8)
𝑓+2=1
3(𝑡+2).
Pasul 4. ,,Rezolv sistemul de două ecuații și două necunoscute”.
{𝑓−8=1
8(𝑡−8)/∙8
𝑓+2=1
3(𝑡+2)/∙3⇔{8(𝑓−8)=𝑡−8
3(𝑓+2)=𝑡+2⇔{8𝑓−64=𝑡−8
3𝑓+6=𝑡+2⇔
⇔{8𝑓−𝑡=64−8
3𝑓−𝑡 =2 −6⇔{8𝑓−𝑡=56
3𝑓−𝑡=−4/∙(−1)⇔{ 8𝑓−𝑡=56
−3𝑓+𝑡=4⇔
⇔{𝑓=12
3∙12−𝑡=−4⇔{𝑓=12
36−𝑡=−4⇔{𝑓=12
−𝑡=−4−36⇔
⇔ {𝑓=12
−𝑡=−40/∙(−1)⇔{𝑓=12
𝑡=40.
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Vârsta fiului din prezent este de 12 ani iar vârsta tatălui din prezent este
de 40 de ani.
{8(12−8)=40−8
3(12+2)=40+2⇔{8∙4=32
3∙14=42.
Deci soluția sistemului de ecuații este și soluția problemei.
Soluția aritmetică (metoda grafică):
Notăm cu 𝑓 vârsta fiului în urmă cu 8 ani și cu 𝑡 vârsta tatălui în urmă cu 8 ani.
Raportul vârstelor cu 8 ani în urmă:
𝑓
t 5𝑓 / =60
73
Peste 2 ani:
𝑓+8+2
𝑡+8+2
3∙(𝑓+10)
Se observă că 5 părți, fiecare egală cu vârsta fiu lui în urmă cu 8 ani, constituie 20 de
ani: rezult ă că o parte , adică vârsta fiului de acum 8 ani, constituie 4 ani, pentru că 20:5=4.
Acum fiul are 12 ani, căci 4+8=12. Tatăl are acum 40 de ani, căci 4∙8+8=40.
Problema 3.1.9: La un concurs s -au dat conc urenților o listă cu 10 probleme. Se știe
că pentru fiecare problemă corect rezolvată se acordă câte 7 puncte iar pentru fiecare problemă
nerezolvată sau rezolvată greșit se scad câte 5 puncte . Andrei a obținut la acest concurs 34 de
puncte. Câte probleme a rezolvat corect Andrei?
Soluția algebrică:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu? Că. că pentru fiecare problemă corect
rezolvată se acordă câte 7 puncte iar pentru fiecare proble mă nerezolvată sau rezolvată greșit
se scad câte 5 puncte și că în tota l au fost 10 probleme propuse. Ce nu știu? Câte probleme a
rezolvat bine.
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celela lte mărimi în funcție de ea”. Notăm cu 𝑥 numărul de probleme
rezolvate corect deci 7𝑥 va fi pentru fiecare problemă rezolvată corect, iar −5(10−𝑥) pentru
fiecare problemă nerezolvată sau rezolvată greșit.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problem a în ecuație” Știind că Andrei a
obținut 34 de puncte rezultă ecuația: 7𝑥−5(10−𝑥)=34.
Pasul 4. „Rezolv ecuația”:
7𝑥−5(10−𝑥)=34⇔7𝑥−50+5𝑥=34⇔12𝑥−50=34⇔
12𝑥=34+50⇔12𝑥=84⇔𝑥=84:12⇔𝑥=7. Deci Andrei a rezolvat corect 7
probleme și nu a rezolvat sau a rezolvat greșit 3 probleme.
Pasul 5. „Verific și dezvolt; am răspuns corect ”sau „Interpretez soluția, formulez
răspunsul și eventual, verific rezultatul/ele”.
7∙7−5∙3=49−15=34 puncte. Deci soluția ecuației este și soluția problemei.
Soluția aritmetică (metoda falsei ipoteze) 8+2
8+2
3·10
3·f
74
Să presupunem că Andrei a rezolvat c orect 5 probleme. În acest caz, el a r obține
următorul punctaj: 7∙5−5∙5=35−25=10 puncte. Problema spune că el a obținut 34 de
puncte: facem diferența 34−10=24 puncte.
Această diferență provine d in faptul că Andrei a rezolvat corect mai multe probleme.
Dacă înlocuim o problemă nerezolvată cu una rezolvată corect, An drei primește în plus un
număr de puncte egal cu 7+5=12. Deci Andrei a rezolvat corect încă atâtea probleme de
cîte ori intră 12 în 24, adică 24:12=2. Așadar, Andrei a rezolvat corect încă 2 prob leme, deci
un total de 5+2=7 probleme rezolvate corect și 3 probleme greșit rezolvate sau nerezolvate.
3.2. PROBLEME DIN GEOMETRIE
Problema 3.2.1: Unghiurile ∢𝐴𝑂𝐵 și ∢𝐵𝑂𝐶 sunt adiacente suplementare, iar
semidreptele [𝑂𝑁 și respectiv [𝑂𝑀 sunt bisectoarele lor. Aflați măsura ∢𝐴𝑂𝐵 , știind că
𝑚(∢𝐴𝑂𝑁)=2
3∙𝑚(∢𝑀𝑂𝐶).
Soluția algebr ică:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu? Că unghiurile ∢𝐴𝑂𝐵 și ∢𝐵𝑂𝐶 sunt
adiacente suplementare, iar semidreptele [𝑂𝑁 și respectiv [𝑂𝑀 sunt bisectoarele lor și că
𝑚(∢𝐴𝑂𝑁)=2
3∙𝑚(∢𝑀𝑂𝐶). Ce nu știu?: măsura ∢𝐴𝑂𝐵.
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”. Știind că [𝑂𝑀 bisectoare a
Fig.3.2.1
75
unghiului∢𝐴𝑂𝐵⟹𝑥=𝑚(∢𝐴𝑂𝑀)=𝑚(∢𝑀𝑂𝐵)=𝑚(∢𝐴𝑂𝐵)
2 Știind că [𝑂𝑁 bisectoarea
unghiului∢𝐵𝑂𝐶⟹𝑦=𝑚(∢𝐵𝑂𝑁)=𝑚(∢𝑁𝑂𝐶)=𝑚(∢𝐵𝑂𝐶)
2.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”.
Deoarece știm că unghiurile ∢𝐴𝑂𝐵 și ∢𝐵𝑂𝐶 sunt adiacente suplementare rezultă că
𝑚(∢𝐴𝑂𝐵)+𝑚(∢𝐵𝑂𝐶)=180° . Deci 2𝑥+2𝑦=180°⇔𝑥+𝑦=90°⇔𝑦=90° −𝑥.
Știind că 𝑚(∢𝐴𝑂𝑁)=2
3∙𝑚(∢𝑀𝑂𝐶). Rezultă că 2𝑥+𝑦=2
3(2𝑦+𝑥). Înmulțind această
ecuație cu 3 obținem 3(2𝑥+𝑦)=2(2𝑦+𝑥). Înlocuindu -l pe y cu 90°−𝑥 obținem ecuația:
3(2𝑥+90°−𝑥)=4(90°−𝑥)+2𝑥⇔3(𝑥+90°)=4(90°−𝑥)+2𝑥.
Pasul 4. ,,Re zolv ecuația”.
3(𝑥+90°)=4(90°−𝑥)+2𝑥⇔3𝑥+270°=360°−4𝑥+2𝑥⇔5𝑥=360°−270°
⇔5𝑥=90°⇔𝑥=90°:5⇔𝑥=18°.
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Pentru 𝑥=18° rezultă că 𝑥=𝑚(∢𝐴𝑂𝑀)=𝑚(∢𝑀𝑂𝐵)=𝑚(∢𝐴𝑂𝐵)
2=
18° avem 𝑚(∢𝐴𝑂𝐵)=2∙18°=36°. Deci soluția ecuației este și soluția problemei
Comentariu: Cel mai greu lucru în rezolvarea unei probleme de geometrie printr -o
metodă algebrică este interpretarea rezultatului.
Problem a 3.2.2: Triunghiul isoscel 𝐴𝐵𝐶 are 𝐴𝐵=𝐴𝐶=12 cm și 𝐵𝐶=8 𝑐𝑚.
Dreapta𝑀𝑁 este paralelă cu 𝐵𝐶,𝑀∈(𝐴𝐵),𝑁∈(𝐴𝐶). Aflați 𝑀𝐵 și 𝑀𝑁astfel încât pe rimetrul
trapezului 𝐵𝑀𝑁𝐶 să fie egal cu 20 cm.
Fig.3.2.2
76
Soluția algebrică:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu? Că triunghiul 𝐴𝐵𝐶 isoscel are 𝐴𝐵=𝐴𝐶=
12 cm și 𝐵𝐶=8 𝑐𝑚,𝑖𝑎𝑟 Dreapta 𝑀𝑁∥𝐵𝐶,𝑀∈(𝐴𝐵),𝑁∈(𝐴𝐶) și că perimetrul trap ezului
𝐵𝑀𝑁𝐶 să fie egal cu 20 cm. Ce nu știu?. Lungimile segmentelor 𝑀𝐵 și 𝑀𝑁.
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”. Notăm 𝐴𝑀=𝐴𝑁=𝑥 atunci 𝑀𝐵=
𝑁𝐶=12−𝑥. Din 𝑀𝑁∥𝐵𝐶 ⇒∆𝐴𝑀𝑁~∆𝐴𝐵𝐶⇒𝐴𝑀
𝐴𝐵=𝐴𝑁
𝐴𝐶=𝑀𝑁
𝐵𝐶⇔𝑥
12=𝑀𝑁
8⇔𝑀𝑁=
8𝑥
12⇔𝑀𝑁=2𝑥
3.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”.
Știind că perimetrul lui BMNC este egal cu 20 cm atunci 𝐵𝑀+𝑀𝑁+𝑁𝐶+𝐵𝐶=
20 𝑐𝑚⇔12−𝑥+2𝑥
3+12−𝑥+8=20 ⇔32−2𝑥+2𝑥
3=20
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”.
32−2𝑥+2𝑥
3=20/∙3⇔96−6𝑥+2𝑥=60⇔96−4𝑥=60⇔
−4𝑥=60−96⇔−4𝑥=−36/∙(−1)⇔4𝑥=36⇔𝑥=36:4⇔𝑥=9 𝑐𝑚.
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluț ia, formulez răsp unsul și
verific rezultat ele”:
Pentru 𝑥=9 cm rezultă că 𝐴𝑀=9 cm și 𝑀𝐵=12−𝑥=12−9=3 cm iar
𝑀𝑁=2𝑥
3=2∙9
3=18
3=6 𝑐𝑚Deci soluția ecuației este și soluția problemei
Problema 3.2.3 (Evaluare națională 2010). În figura 3. 2.3 sunt reprezentate schematic
pardose ala unui salon 𝐴𝑀𝐺𝐷 (în formă de trapez dreptunghic) și pardoseala unei camere de zi
𝑀𝐵𝐶𝐺 (în formă de dreptunghi). Se știe că 𝐴𝐵=6 m, 𝐵𝐶=5 m, 𝐶𝐷=10 m, 𝐴𝑀=𝑥 metri,
cu 0<𝑥<6. Pentru ce valori ale lui x suprafața salonului este egală cu suprafața camerei de
zi?
Fig.3.2.3
77
Soluția algebrică:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu? Că 𝐴𝑀𝐺𝐷 este trapez dreptunghic și că
𝑀𝐵𝐶𝐺 este dreptunghi și că 𝐴𝐵=6 m, 𝐵𝐶=5 m, 𝐶𝐷=10 m, 𝐴𝑀=𝑥 metri, cu 0<𝑥<
6.Ce nu știu? Pentru ce valori ale lui x suprafața salonului 𝐴𝑀𝐺𝐷 este egală cu suprafața
camerei de zi 𝑀𝐵𝐶𝐺 ?
Pasul 2. ,,Planific ș i calculez” sau ,,Analizez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”. Știind că 𝐴𝑀=𝑥 metri, și că 𝑀𝐵=
𝐴𝐵−𝐴𝑀 atunci, notăm 𝑀𝐵=6−𝑥 metri.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”. Știind că 𝐴𝑀𝐺𝐷 este
trapez dreptunghic atunci aria sa este egală cu 𝐴𝐴𝑀𝐺𝐷=(𝐵+𝑏)∙î
2⇔𝐴𝐴𝑀𝐺𝐷=(𝐷𝐶+𝐴𝐵)∙𝐵𝐶
2⇔
𝐴𝐴𝑀𝐺𝐷=(4−𝑥+𝑥)∙5
2=20
2=10 m. iar 𝑀𝐵𝐶𝐺 este dreptunghi, care are ari a egală cu
𝐴𝑀𝐵𝐶𝐺=𝐿∙𝑙⇔𝐴𝑀𝐵𝐶𝐺=𝑀𝐵∙𝐵𝐶=(6−𝑥)∙5 metri și că cele două arii sunt egale
obținem ecuația (6−𝑥)∙5=10.
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”.
(6−𝑥)∙5=10,𝑐𝑢 0<𝑥<6 echivalentă cu 6−𝑥=2⇔−𝑥=2−6⇔
−𝑥=−4/∙(−1)⇔𝑥=4.
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”:
Deoarece 𝑥=4 m și se află cuprins în intervalul (0,6) rezultă că soluția ecuației este
și soluția problemei.
Problema 3.2.4: Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de 25 cm, iar suma dintre o
catetă și proiecția ei pe ipotenuză este 24 cm. Să se afle catetele.
Fig.3.2.4
78
Soluția algebrică:
Pasul 1 . ,,Citesc/ob serv și înțeleg” – Ce știu? Că un triunghi dreptunghic are ipotenuza
de 25 cm, iar suma dintre o catetă și proiecția ei pe ipotenuză este 24 cm. Ce nu știu? Catetele
triunghiului dreptunghic.
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relațiile date m ai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în fun cție de ea”. Notăm 𝐴𝐵=𝑥 cm o cateta a
triunghiului dreptunghic 𝐴𝐵𝐶 cu 𝑚(∢𝐴)=90°. Fie 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶,𝐷∈(𝐵𝐶) rezultă că proiecția
lui AB pe ipotenuza BC este BD. Știind că 𝐴𝐵+𝐵𝐷=24 cm atunci 𝑥+𝐵𝐷=24⇒
𝐵𝐷=24−𝑥.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”. Aplicând teorema
catetei în ∆𝐴𝐵𝐶 , 𝑚(∢𝐴)=90° avem 𝐴𝐵2=𝐵𝐶∙𝐵𝐷⇔𝑥2=25∙(24−𝑥).
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”.
𝑥2=25∙(24−𝑥)⇔𝑥2=600−25𝑥⇔𝑥2+25𝑥−600=0 este o ecuația de
gradul al doilea, unde ∆=𝑏2−4∙𝑎∙𝑐=252−4∙1∙(−600)=625+2400=3025>0.
⇒𝑥1,2=−𝑏±√∆
2∙𝑎⇒𝑥1,2=−25±√3025
2∙1=−25±55
2⇒
𝑥1=−25+55
2=15∈ℕ și 𝑥1=−25− 55
2=−40∉ℕrezultă 𝑥=20 este soluție.
Pasul 5. „Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Din cauză că lungimea unui segment nu poate avea o valoare negativă
rezultă că 𝐴𝐵=𝑥=20 cm este soluția ecuației deci și a problemei. Pentru a afla ceal altă
catetă aplicăm teorema lui Pitagora în ∆𝐴𝐵𝐶 , 𝑚(∢𝐴)=90° rezultă că
𝐴𝐶2=𝐵𝐶2−𝐴𝐵2⇔𝐴𝐶2=252−152⇔𝐴𝐶2=625−225⇔𝐴𝐶2=400⇔
𝐴𝐶=√400 ⇔𝐴𝐶=20 cm.
Problema 3.2.5: Lățimea unui dreptunghi reprezintă 75% din lungimea lui. S ă se afle
perimetrul acestui dreptunghi știind că aria lui este 48 𝑐𝑚2.
Fig.3.2.5
79
Soluția algebrică:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu? Că lățimea unui dreptunghi este 75% din
lungimea lui și că aria acestuia este 48 𝑐𝑚2. Ce nu știu?: dim ensiunile lungimi i și ale lățimii
și perimetrul dreptunghiului.
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”. Notăm lungimea dreptunghiului
AB=L și lățimea drept unghiului BC=l .
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”. Știm că 𝑙=75%∙𝐿⇒
𝑙=75
100∙𝐿⇔𝑙=3
4∙𝐿. Deoarece dreptunghiul ABCD are aria 𝐴=48 𝑐𝑚2 aceasta este
echivalentă cu ecuația 𝐿∙𝑙=48⇔3
4∙𝐿2=48 și am obținut ecu ația problemei.
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”.
3
4∙𝐿2=48/∙4⇔⇍3∙𝐿2=192/:3⇔𝐿2=64, alegând doar soluția pozitivă
deoarece lungimile nu pot fi negative rezultă că L=8cm și 𝑙=3
4∙8⇒𝑙=6 cm.
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Din cauză că lungimea unui segment nu po ate avea o valoare negativă
rezultă că 𝐿=8 cm și 𝑙=6 deci perimetrul dreptunghiului va fi
𝑃=2∙(𝐿+𝑙)⇒𝑃=2∙(8+6)=28 cm.
Problema 3.2.6: În figura 3.2.6. est e reprezentat un trunchi de con circular drept având
generatoarea de 10 cm, înălțimea de 6 cm și aria laterală egală cu 240 𝜋 𝑐𝑚2.
a) Demonstrați că bazei mari are lungimea de 16 cm și aflați volumul trunchiului de
con.
b) Dacă trapezul 𝐴𝐵𝐶𝐷 este o sec țiune axială a trunchiului, determinați sinusul
unghiului format de dreptele 𝐴𝐷 și 𝐵𝐶.
Fig. 3.2.6
80
Soluția algebrică:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu? Că un trunchi de con circular drept are
generatoarea de 10 cm, înălțimea de 6 cm și aria latera lă egală cu 240 𝜋 𝑐𝑚2. Ce nu știu? Ce
lungime au raza bazei mari, raza bazei mici, cu cât este volumul trunchiului de con, la punctul
a) și la punctul b) cu cât este egal sinusul unghiului format de dreptele 𝐴𝐷 și 𝐵𝐶.
Pentru punctul a)
Pasul 2. , ,Planific și calculez” sau ,,A nalizez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”. Notăm raza bazei mari OB=R și raza
bazei mici 𝑂𝐶= 𝑟. Fie 𝐶𝐸⊥𝑂𝐵,𝐸∈𝑂𝐵. Din 𝐸𝐵=𝑂𝐵−𝑂𝐸 rezultă că 𝐸𝐵=𝑅−𝑟
Pasu l 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”.
Deoarece cunoaștem aria laterală a trunchiului de con circular drept scriind formula
ariei laterale a trunchiului de con circular drept vom avea 𝐴𝑙=𝜋𝐺(𝑅+𝑟)=240𝜋⇒
10𝜋(𝑅+𝑟)=240𝜋/:10𝜋⇔𝑅+𝑟=24. Aplicând teorema lui Pitagora în
∆𝐶𝐸𝑀,𝑚(∢𝐸)=90°⇒𝐸𝐵2=𝐶𝐵2−𝐶𝐸2⇔(𝑅−𝑟)2=102−62⇔(𝑅−𝑟)2=64⇔
𝑅−𝑟=8, alegând doar valoarea pozitivă întrucât lungimile segmentelor sunt pozitive. Din
cele două relații se formează sistemul { 𝑅+𝑟=24
𝑅−𝑟=8,
Pasul 4. ,,Rezolv sistemul de două ecuații și două necunoscute”.
{ 𝑅+𝑟=24
𝑅−𝑟=8⇔{𝑅=16
16+𝑟=24⇔{𝑅=16
𝑟=8.
2𝑅 / =32
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Știind că 𝑅=16 cm și 𝑟=8 cm atunci calculăm volumul trunchiului de
con circular drept. 𝑉=î
3∙𝜋∙(𝑅2+𝑟2+𝑅∙𝑟)⇔𝑉=6
3∙𝜋∙(162+82+16∙8)=
2𝜋(256+64+128)⇔𝑉=896𝜋𝑐𝑚3.
Pentru punctul b)
Pasul 2. ,,Planific și calculez” s au ,,Analizez relațiile date mai s us, adică aleg
necunoscuta și ex prim celelalte mărimi în funcție de ea”. Fie V punctul de intersecție dintre
dreptele AD și BC. În triunghiul ∆𝑉𝑂𝐵,𝑂′𝐶∥𝑂𝐵, notând𝑉𝑂′=𝑥 atunci 𝑉𝑂=𝑉𝑂′+𝑂′𝑂=
𝑥+6 și notând 𝑉𝐶=𝑦 atunci 𝑉𝐵=𝑉𝐶+𝐶𝐵=𝑦+10.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”. În triunghiul
∆𝑉𝑂𝐵,𝑂′𝐶∥𝑂𝐵, rezultă conform teoremei fundamentale a asemănării că ∆𝑉𝑂′𝐶~∆𝑉𝑂𝐵⇒
81
𝑉𝑂′
𝑉𝑂=𝑉𝐶
𝑉𝐵=𝑂′𝐶
𝑂𝐵⇔𝑥
𝑥+6=𝑦
𝑦+10=8
16=1
2. Din primul și ultimul raport avem ecuația 2𝑥=𝑥+
6 și din al doilea și al treilea raport avem ecuația 2𝑦=𝑦+10.
Pasul 4. ,,Rezolv ecuațiile”.
2𝑥=𝑥+6⇔𝑥=6 și ecuația 2𝑦=𝑦+10⇔𝑦=10
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Dacă 𝑥=6 atunci 𝑉𝑂’=6 cm 𝑉𝑂=12 cm și 𝑦=10 cm atunci 𝑉𝐶=
10 𝑐𝑚 și 𝑉𝐵=20 𝑐𝑚. 𝑠𝑖𝑛(∢𝐴𝐷,𝐵𝐶)=𝑠𝑖𝑛(∢𝐴𝑉𝐵) pe care îl vom afla din echivalența
ariilor triunghiului isoscel 𝐴𝑉𝐵.
Din𝐴∆𝐴𝑉𝐵=𝑏∙ℎ
2=𝐴𝐵∙𝑉𝑂
2și 𝐴∆𝐴𝑉𝐵=𝑉𝐴∙𝑉𝐵∙sin (∢𝐴𝑉𝐵)
2
rezultă că
𝑉𝐴∙𝑉𝐵∙sin(∢𝐴𝑉𝐵)=𝐴𝐵∙𝑉𝑂⇒sin(∢𝐴𝑉𝐵)=𝐴𝐵∙𝑉𝑂
𝑉𝐴∙𝑉𝐵⇒
𝑠𝑖𝑛 (∢𝐴𝑉𝐵)=32∙12
20∙20=384
400=24
25.
3.3. PROBLEME DIN FIZICĂ
Problem e de mișcare.
Problemele de mișcare sunt acele probleme în care se cere să se afle una dintre
mărimile: spațiu (distanța), viteza sau timpul, când sunt date diferite relații între acestea. În
general în problemele de mișcare se va vorbi despre mișcarea un iformă a unui m obil , adică,
adică în intervale de timp egale mobilul parcurge distanțe egale.
Din cauză că viteza este o mărime derivată, în practică se observă că elevii întâmpină
dificultăți în descoperirea ei în probleme. Aceasta se întâmplă și datori tă faptului că folosesc
formulele (ecuațiile): 𝑑=𝑣∙𝑡 și 𝑣=𝑑
𝑡 și 𝑡=𝑑
𝑣 realizându -se generalizări și abstractizări pe
baza a prea puține exemple.
La matematică, în rezolvarea problemelor de mișcare se pot folosi atât metodele
aritmetice cât ș i cele algebrice.
Problema 3.3.1: Un biciclist străbate distanța de la A la B, având viteza de 9 km pe
oră, într -un timp cu 2 ore mai mare decât la întoarcere, când a avut viteza de 12 km/h. Care
este distanța dintre localitățile A și B.
Soluția algebrică 1:
82
Pasul 1 . ,,Citesc/ observ și înțeleg” – Ce știu? Că un biciclist a străbătut distanța de la A
la B, având viteza de 9 km pe oră la dus, într -un timp cu 2 ore mai mare decât la întoarcere,
când a avut viteza de 12 km/h. Ce nu știu? Care este distanța dint re localitățile A și B.
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relați ile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”. Notăm cu 𝑑 distanța dintre localitățile
A și B; cu 𝑡1 timpul parcurgerii distanței din tre localitățile A și B. la dus ș i cu 𝑡2 timpul
parcurgerii distanței dintre loc alitățile A și B. la întoarcere.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”. În general 𝑣=𝑑
𝑡⇒
𝑡=𝑑
𝑣și de aici 𝑡1=𝑑
9 și 𝑡2=𝑑
12. Știind că timpul la dus este cu două ore mai mare decât la
întoarcere rezultă ecuația 𝑡2−𝑡1=2⇔𝑑
9−𝑑
12=2.
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”.
𝑑
9−𝑑
12=2⇔4𝑑−3𝑑
36=2⇔𝑑
36=2⇔𝑑=2∙36=72 km
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Dacă distanta dintre cele două localități este de 72 km înseamnă că la dus
a străbătut distanța în 72:9=8 ore iar la întoarcere a străbătut distanța în 72:12=6 ore. Diferența
dintre ele fiind de 8-6=2 ore rezultă că soluția e cuației este și soluția prob lemei.
Soluția algebrică 2:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu? Că un biciclist a străbătut distanța de la A
la B, având viteza de 9 km pe oră la dus, într -un timp cu 2 ore mai mare decâ t la întoarcere,
când a avut viteza de 12 km/h. Ce nu știu? Care este distanța dintre localitățile A și B.
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relați ile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”. Notăm cu 𝑦 numărul de ore necesar
parcurgerii distanței dintre localitățile A și B. la întoarcere.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”. În g eneral 𝑣=𝑑
𝑡⇒
𝑑=𝑣∙𝑡. Fiind aceeași distanță rezultă ecuația: 9(𝑡+2)=12𝑡
Pasul 4. ,,Rez olv ecuația”.
9(𝑡+2)=12𝑡⇔9𝑡+18=12𝑡⇔18=3𝑡⇔𝑡=18:3⇔⇔𝑡=6 ore timpul
necesar parcurgerii distanței la întoarcere.
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Dacă la întoarcere a avut vit eza de 12 km/h și a străbătut -o în 6 ore rezultă
că distanț a dintre cele două localități este de 12∙2=72 km.
83
Soluția aritmetică:
Dacă la dus, într -o oră parcurge 9 km, iar la întoarcere 12 km, rezultă că într -o oră la
dus rămâne în urmă cu 3 km față de o oră la întors, căci 12−9=3 km. Cu câți km rămâne în
urmă la tot drumul spre B? Acești 18 km sunt acumulați câte 3 la fiecare oră d in cele necesare
parcurgerii distanței la întoarcere. În cât timp a parcurs distanța la întoarcere? 18:3=6 ore.
Care este dist anța dintre cele două localități? 8∙9=72 km sau (8−9)∙12=72 km.
Problema 3.3.2: Din două localități situate la 110 km una de alta, pleacă în același timp
unul spre celălalt, doi bicicliști. Primul are o viteză medie de 12 km/h, iar al doilea, 10 km/h.
După câte ore se întâlnesc cei doi bicicliști?
Soluția aritmetică:
Reprezentarea grafică poate fi:
Într-o oră cei doi bicicliști pa rcurg la un loc 22 km, căci 10+12=22. Deci distanța
dintre ei se micșorează în fiecare oră cu câte 22km. După câte ore se în tâlnesc? 110:22=5
ore. În exercițiu 110:(22+10)=110:22=5 ore
Generalizare: Notând cu d distanța dintre punctele de plecare, și cu 𝑣1 și 𝑣2 cele două
viteze, atunci timpul t după care se întâlnesc este: 𝑡=𝑑:(𝑣1+𝑣2);
În cazul dat 𝑡=110:(12+10)=5 ore.
Soluția algebrică:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu?: Că din două localități situate la 110 km
una de alta, pleacă în același timp unul spre celălalt, doi bicicliști. Primul are o viteză medie de
12 km/h, iar al doilea, 10 km/h. C e nu știu? După câte ore se întâlnesc cei doi bicicliști.
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relațiile date mai sus, adic ă aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”. Notăm cu 𝑡 numărul de ore după care
s-au întâlnit cei do i bicicliști.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”. Din 𝑑=𝑣∙𝑡. Rezultă
ecuația 10𝑡+12𝑡=110 km.
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”.
10𝑡+12𝑡=110⇔22𝑡=110⇔𝑡=110:22⇔𝑡=5 ore.
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Primul biciclist parcurge 12∙5=60 km până la punctul de întâlnire iar al
84
doilea biciclist parcurge 10∙5=50 km până când se întâlnesc. Dacă 50 𝑘𝑚+60 𝑘𝑚=
110 𝑘𝑚 distanța dintre cele două localități re zultă că soluția ecuației este și solu ția problemei.
Problema 3.3.3: Un motociclist pleacă din orașul A cu o viteză medie de 30 km/h.
După 4 ore, pleacă din același oraș și în același sens un autoturism, care are o viteză medie de
60 km/h. După cât timp au toturismul va ajunge pe motociclist?
Soluția aritmetică:
Reprezentarea grafică poate fi:
1) Câți km parcurge motociclistul în cele 4 ore? 4∙30=120 km. Deci când
autoturismul s -a pus în mișcare, avea un avans de 120 km (se afla în punctul B).
Pentru ca autot urismul să ajungă motociclistul, el trebuie să recupereze distanța de
120 km. Când autoturismul a plecat la dr um, motociclist ul își continuă deplasarea
spre punctul C. Este posibil ca autoturismul să ajungă motociclistul? Da, deoarece
viteza mașinii este m ai mare.
2) Cât recuperează într -o oră (care este diferența de viteze)? 60−30=30 km.
3) În cât timp autoturismul recuperează 120km (în cât timp autoturismul ajunge
motociclistul)? Dacă într -o oră autoturismul recuperează 30km, pentru a recupera
120 km are nevoie de un timp mai mare, adică într -un număr de ore de câte ori se
cuprinde 30 în 120. Deci: 120:30=4 ore. În exercițiu 4∙30:(60−30)=
120:30=4 ore.
Generalizare: Plecând de la exercițiul anterior și notând cu d distanța pe care trebuie să
o recupereze autotur ismul, cu 𝑣1 viteza motociclistului, cu 𝑣2 viteza autoturismului, în care
𝑣2>𝑣1, putem generaliza: 𝑡=𝑑:(𝑣2−𝑣1), dacă 𝑣2>𝑣1.
Aplicând această formulă obținem 𝑡=(4∙30):(60−30)=4 ore.
Soluția algebrică:
Pasul 1 . ,,Citesc/ob serv și înțeleg” – Ce știu?: Că u n motociclist pleacă din orașul A cu
o viteză medie de 30 km/h. După 4 ore, pleacă din același oraș și în același sens un autoturism,
care are o viteză medie de 60 km/h. Ce nu știu? După cât timp autoturismul va ajunge pe
motociclist.
85
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea” . Notăm cu 𝑡 numărul de ore după care
s-au întâlnit motociclistul și autoturismul
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun pr oblema în ecuație”. Se știe că 𝑑=𝑣∙𝑡.
𝐴𝐶=60𝑡, iar 𝐵𝐶=30𝑡. Atunci 𝐴𝐶−𝐵𝐶=60𝑡−30𝑡 rezultă că 60𝑡−30𝑡=4∙30
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”.
60𝑡−30𝑡=120⇔30𝑡=120⇔𝑡=120:30⇔𝑡=4 ore.
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Dacă 𝑡=4ore, atunci autoturismul va ajunge motociclistul în 4 ore.
Problema 3.3.4: Un vapor face 20 km în 2 ore, mergând în sensul apei, iar la
întoarcere, în contra apei, în 4 ore. Afl ați viteza de curgere a apei.
Soluția algebrică:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu?: Că un vapor face 20 km în 2 ore, mergând
în sensul apei, iar la întoarcere, în contra apei, în 4 ore. Ce nu știu? viteza de curgere a apei.
Pasul 2. ,,Planifi c și calculez” sau ,,Analizez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”. Notăm cu 𝑣1 viteza vaporului în apa
stătătoare și cu 𝑣2 viteza de curgere a apei. Când merge în sensul de curgere a apei, vit eza 𝑣 a
vaporului este compusă din 𝑣1+𝑣2. Când merge împotriva apei viteza de deplasare a vaporului
este 𝑣1−𝑣2, căci se împotrivește cursului apei.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”. În general 𝑑=𝑣∙𝑡.
Rezul tă că:
a) 20=(𝑣1+𝑣2)∙2⇔𝑣1+𝑣2=10(când se deplasează în sensul de curgere a
apei);
b) 20=(𝑣1−𝑣2)∙4⇔𝑣1−𝑣2=5 (când se deplasează contrar apei)
Pasul 4. ,,Rezolv sistemul de ecuații”.
{𝑣1+𝑣2=10
𝑣1−𝑣2=5⇔{𝑣1=15
2
𝑣1+𝑣2=10⇔{𝑣1=7,5𝑘𝑚/ℎ
7,5+𝑣2=10⇔{𝑣1=7,5𝑘𝑚/ℎ
𝑣2=10− 7,5
2𝑣1 =15
⇔{𝑣1=7,5 𝑘𝑚/ℎ
𝑣2=2,5 𝑘𝑚/ℎ
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: 7,5−2,5=5, deci viteza de curgere a apei este de 2,5 km/h, rezultă că
soluția ecuației este și soluția problemei.
86
Soluția algebrică 2:
Pasul 1 . ,,Citesc/ observ și înțeleg” – Ce știu?: Că un vapor face 20 km în 2 ore, mergând
în sensul de curgere a apei, iar la întoarcere, în sens contrar curgerii apei, face 4 ore. Ce nu
știu? viteza de curgere a apei.
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relații le date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcț ie de ea”. Când merge în sensul de curgere a
apei, viteza de deplasare a vaporului este compusă din 𝑣1+𝑣2, adică din viteza vaporului în
apa stătătoare și din viteza de curgere a apei. La întoarcere viteza de deplasare se obține prin
deducerea lui 𝑣2 din 𝑣1, adică 𝑣1−𝑣2. Într-o oră, la dus vaporul parcurge o distanță de 1∙
(𝑣1+𝑣2) iar la dus 1∙(𝑣1−𝑣2).
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”. Considerând drumul
d un întreg, dacă la dus vaporul î l parcurge în 2 ore, atunci într -o singură oră parcur ge 1
2𝑑, iar
la întoarcere, într -o oră, 1
4𝑑. Atunci 1
2𝑑−1
4𝑑=1∙(𝑣1+𝑣2)−1∙(𝑣1−𝑣2).
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”.
1
2𝑑−1
4𝑑=1∙(𝑣1+𝑣2)−1∙(𝑣1−𝑣2)⇔2−1
4𝑑=𝑣1+𝑣2−𝑣1+𝑣2⇔1
4𝑑=
2𝑣2; dar 𝑑=20 𝑘𝑚, atunci 2𝑣2=1
4∙20⇔2𝑣2=5⇔𝑣2=5:2⇔𝑣2=2,5 km/h.
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: 𝑣2=2,5 km/h. est e distanța străbătută la întoarcere, în sens contrar apei,
rezultă că soluția ecuației este și soluția problemei.
Problema 3.3.5 (Aplicație la l egile lui Kirchhoff): Fie rețeaua electrică din figură .În
care se dau E=5V, 𝑅1=2Ω, 𝑅2=4Ω,𝑅3=6Ω. Să se determine intensitatea curentului prin
fiecare ramură a rețelei.
Fig.3.3.5
87
Soluția algebrică:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu?: În rețeaua electrică din figură
cunoaștem tensiunea electromotoare a sursei, E=5V și cele trei rezistențe 𝑅1=2Ω, 𝑅2=
4Ω𝑅3=6Ω. Ce nu știu?: intensitatea curentului prin fiecare ramură a rețelei
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”. Notăm cu 𝐼1,𝐼2 ș𝑖 𝐼3 intensitățile
curenților prin ramurile rețelei electrice reprezentate în figură. Sensul de parcurgere a ochi ului
I și II este în sensul acelor de ceasornic prezentat și în figură.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”.
Aplicăm legea I a lui Kirchhoff pentru nodul A: 𝐼1=𝐼2+ 𝐼3 (Într-un nod de rețea
suma intensităților curenților care intră în nod este egală cu suma intensităților curenților care
ies din nod ); sensul ales al curenților este cel prezentat în f igură.
Aplicăm legea a doua a lui Kirchhoff ( Suma algebrică a tensiunilor de -a lungul unui
ochi de rețea este egal ă cu suma algebrică a tensiunilor electromotoare ale surselor montate
pe aceasta.) pentru:
• Ochiul I: 𝐸=𝐼1𝑅1+𝐼2𝑅2.
• Ochiul II: 0=−𝐼2𝑅2+𝐼3𝑅3.
Înlocuind valorile mărimilor cunoscute în cele trei ecuații obținem următorul sistem de
trei ecuații cu trei necunoscute : {𝐼1=𝐼2+ 𝐼3
𝐸=𝐼1𝑅1+𝐼2𝑅2
0=−𝐼2𝑅2+𝐼3𝑅3.⇔{𝐼1=𝐼2+ 𝐼3
5=2𝐼1+4𝐼2
0=−4𝐼2+6𝐼3.
Pasul 4. ,,Rezolv sistemul de ecuații”.
{𝐼1=𝐼2+ 𝐼3
2𝐼1+4𝐼2=5
−4𝐼2+6𝐼3=0⇔{𝐼1=𝐼2+ 𝐼3
2(𝐼2+𝐼3)+4𝐼2=5
−4𝐼2+6𝐼3=0⇔{𝐼1=𝐼2+ 𝐼3
6𝐼2+2𝐼3=5/∙(−3)⇔
−4𝐼2+6𝐼3=0
{𝐼1=𝐼2+ 𝐼3
−18𝐼2−6𝐼3=−15
−4𝐼2+6𝐼3=0⇔{𝐼1=𝐼2+ 𝐼3
𝐼2=15
22
6𝐼3=4𝐼2⇔
{ 𝐼1=𝐼2+ 𝐼3
𝐼2=15
22
𝐼3=4
6∙15
22⇔
{ 𝐼1=𝐼2+ 𝐼3
𝐼2=15
22
𝐼3=5
11⇔
−22𝐼2 / =−15
{ 𝐼1=15
22+ 5
11
𝐼2=15
22
𝐼3=5
11⇔
{ 𝐼1=25
22𝐴
𝐼2=15
22𝐴
𝐼3=5
11𝐴
88
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspu nsul și
verific rezultatele ”: Obținând 𝐼1=25
22𝐴,𝐼2=15
22𝐴 și 𝐼3=5
11𝐴 valori pozitive rezultă că sensul
ales coincide cu sensul real al curenților prin ramurile respective.
Problema 3.3.6: Un corp coboară liber pe un plan înclinat de unghi 𝛼=60°. Să se
determine accelerația corpului la coborâre, cunoscând coeficientul de frecare 𝜇=0,2 și
accelerația gravitațională 𝑔=10 m/s. (√3≈1,7).
Soluția algebrică:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu?: Că un corp coboară liber pe un plan
înclinat de unghi 𝛼=60°,𝑐𝑢 coeficientul de frecare 𝜇=0,2 și accelerația gravita țională 𝑔=
10 m/s. Ce nu știu?: accelerația corpului la coborâre
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relațiile date mai sus, ad ică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”. Notăm cu 𝐹𝑓⃗⃗⃗⃗⃗ forța de frecare la
alunecare a corpului, 𝑁⃗⃗ forța de apăsare normală, 𝐺 forța de greutate, care pe planul înclinat se
descompune în două componente 𝐺𝑥⃗⃗⃗⃗ și 𝐺𝑦⃗⃗⃗⃗ după cele două direcț ii convenabil alese ca în figura
3.3.6. Fie 𝑎 accelerația corpului la alunecare și 𝑚 masa corpului.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”. Aplicând principiul al
doilea al dinamicii
amF
= pentru corpul de masă 𝑚 pe cele două direcții 𝑥 și 𝑦 vom avea
sistemul de ecuații:
{𝐺𝑥−𝐹𝑓=𝑚∙𝑎
𝑁−𝐺𝑦=0,
dar 𝐹𝑓=𝜇∙𝑁=𝜇∙𝐺𝑦 și 𝐺𝑥=𝑚𝑔∙𝑠𝑖𝑛𝛼 și 𝐺𝑦=𝑚𝑔∙𝑐𝑜𝑠𝛼 și de aici rezultă
𝑚𝑔∙𝑠𝑖𝑛𝛼−𝜇∙𝑚𝑔∙𝑐𝑜𝑠𝛼=𝑚∙𝑎. Împărțind prin m r ezultă 𝑎=𝑔∙𝑠𝑖𝑛 𝛼−𝜇∙𝑔∙𝑐𝑜𝑠𝛼
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”.
Fig.3.3.6
89
𝑎=𝑔∙(𝑠𝑖𝑛 𝛼−𝜇∙𝑐𝑜𝑠𝛼)⇔𝑎=10∙(𝑠𝑖𝑛 60°−0,2∙𝑐𝑜𝑠60°)⇔
𝑎=10∙(√3
2−0,2∙1
2)⇔𝑎=10∙(1,7
2−0,1)⇔𝑎=10∙(0,85−0,1)⇔𝑎=10∙
0,75⇔𝑎=7,5 m/s2.
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Determinând 𝑎=7,5 m/s2 am aflat accelerația corpului de masă 𝑚 la
alunecare.
3.4. PROBLEME DIN VIAȚA COTIDIANĂ
Probleme cu cantități:
Problema 3.4.1: Două robinete pot umple împr eună un bazin în 12 ore. După ce au
curs împreună 3 ore, primul a fost închis iar al doilea a umplut bazinul după încă 15 ore. În cât
timp se va umple bazinul dacă este deschis un singur robinet?
Soluția algebric ă:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu?: Că două robinete pot umple împreună un
bazin în 12 ore și după ce au curs împreună 3 ore, primul a fost închis iar al doilea a umplut
bazinul după încă 15 ore. Ce nu știu? În cât timp se va umple bazinul dacă este deschis un
singur robinet.
Pasul 2 . ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”.
Pe baza relației 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒕𝒂𝒕𝒆 =𝒅𝒆𝒃𝒊𝒕∙𝒕𝒊𝒎𝒑 rezultă că 𝒅𝒆𝒃𝒊𝒕=𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒕𝒂𝒕𝒆
𝒕𝒊𝒎𝒑.
Conform da telor problemei, notăm cu 𝑥 numărul de ore în care primul robinet ar umple
bazinul și atunci primul robinet va avea un debit de 𝑐
𝑥 litri/oră.(𝑐=capacitatea totală a bazinului
exprimată în litri). Dacă notăm cu y numărul de ore în care al doilea robi net ar umple bazinul
atunci al doilea robinet va avea un debit de 𝑐
𝑦 litri/oră
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”.
Dacă amândouă robinete vor fi deschise 12 ore vor umple întreg bazinul și vom avea
relația: 12∙(𝑐
𝑥+𝑐
𝑦)=𝑐. Împărțind relația prin c vom avea ecuația 12∙(1
𝑥+1
𝑦)=1.
După ce au curs împreună 3 ore, ambele robinete vor umple 3∙(𝑐
𝑥+𝑐
𝑦)litri din bazin.
Pe urmă, primul a fost închis iar al doilea a umplut bazinul după încă 15 ore deci a adă ugat
90
15∙𝑐
𝑦 litri în bazin până ce s -a umplut; de aici rezulta rela ția 3∙(𝑐
𝑥+𝑐
𝑦)+15∙𝑐
𝑦=𝑐.
Împărțind prin c obținem ecuația: 3∙1
𝑥+18∙1
𝑦=1. Cu cele două ecuații formăm sistemul
de ecuații {12∙1
𝑥+12∙1
𝑦=1.
3∙1
𝑥+18∙1
𝑦=1.
Pasul 4. ,,Rezolv sistemul de ecuații”.
{12∙1
𝑥+12∙1
𝑦=1
3∙1
𝑥+18∙1
𝑦=1.Pentru a -l rezolva facem o nouă substituție: 𝑢=1
𝑥 și 𝑣=1
𝑦. Așadar
sistemul devine: {12∙𝑢+12∙𝑣=1
3∙𝑢+18∙𝑣=1/∙(−4)⇔{12∙𝑢+12∙𝑣=1
−12𝑢−72∙𝑣=−4⇔
−60∙𝑣=−3
{𝑣=1
20
12∙𝑢+12∙1
20=1⇔{𝑣=1
20
12∙𝑢=1−3
5⇔{𝑣=1
20
12∙𝑢=2
5⇔{𝑣=1
20
𝑢=1
30.Revenind la
substituție obținem {𝑢=1
𝑥=1
30
𝑣=1
𝑦=1
20⇔{𝑥=30
𝑦=20.
Pasul 5. „ Verific că am răspun s corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Deci primul robinet va umple singur bazinul în 30 ore, iar al doilea robinet
îl va umple singur în 20 ore r ezultă că soluția sistemului de ecuații este și soluția problemei.
Problema 3.4.2. Trei robinete, cu același debit, curgând împreună umplu cu apă un
bazin în 2 ore. Curgând împreună, primele două robinete umplu bazinul în 3 ore, iar ultimele
două, în 4 ore . În câte ore ar umple bazinul fiecare robinet?
Soluția algebrică:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu?: Că t rei robinete, cu același debit, curgând
împreună umplu cu apă un bazin în 2 ore și că curgând împreună, primele două robinete umplu
bazinul în 3 ore, iar ultimele două, în 4 ore Ce nu știu? În câte ore ar umple bazinul fiecare
robinet.
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”.
Pe baza relație i 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒕𝒂𝒕𝒆 =𝒅𝒆𝒃𝒊𝒕∙𝒕𝒊𝒎𝒑 rezultă că 𝒅𝒆𝒃𝒊𝒕=𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒕𝒂𝒕𝒆
𝒕𝒊𝒎𝒑.
91
Notăm cu 𝑥 numărul de ore în care primul robinet ar umple singur bazinul și atunci el
va avea un debit de 𝑐
𝑥 litri/oră. ( 𝑐=capacitatea totală a bazinului e xprimată în litri).
Notând cu y numărul de ore în care al doilea robinet ar umple singur bazinul atunci al
doilea robinet va avea un debit de 𝑐
𝑦 litri/oră.
Notând cu 𝑧 numărul de ore în care al doilea robinet ar umple s ingur bazinul atunci al
doile a robinet va avea un debit de 𝑐
𝑧 litri/oră.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”.
Dacă t rei robinete, cu același debit, curgând împreună umplu cu apă un bazin în 2 ore
atunci vom avea relația 2∙(𝑐
𝑥+𝑐
𝑦+𝑐
𝑧)=𝑐/:2𝑐⇒1
𝑥+1
𝑦+1
𝑧=1
2. Analog dacă primele 2
robinete ar umple bazinul în 3 ore vom avea relația 1
𝑥+1
𝑦=1
3, iar dacă ultimele două ar umple
bazinul în 4 ore vom avea relația 1
𝑦+1
𝑧=1
4.
Pasul 4. ,,Rezolv sistemul de ecuații”.
{ 1
𝑥+1
𝑦+1
𝑧=1
2
1
𝑥+1
𝑦=1
3
1
𝑦+1
𝑧=1
4.
Înlocuind a doua ecuație în prima ea devine: 1
3+1
𝑧=1
2⇔1
𝑧=1
2−1
3⇔1
𝑧=1
6⇔𝑧=6 ore.
Înlocuind a treia ecuație în prima ea devine: 1
𝑥+1
4=1
2⇔1
𝑥=1
2−1
4⇔1
𝑧=1
4⇔𝑥=4 ore.
Deci, din a doua ecuația vom avea 1
4+1
𝑦=1
3⇔1
𝑦=1
3−1
4⇔1
𝑦=1
12⇔𝑦=12 ore.
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Deci primul robinet va umple singur bazinul în 4 ore, al doilea îl va umple
singur în 12 ore iar al treilea în 6 ore. Deoarece 1
4+1
12+1
6=3+1+2
12=6
12=1
2 deci soluția
sistemului de ecuații este și soluția problemei.
Problema 3.4.3 : Trei muncitori execută o luc rare. Pentru terminarea ei primul are
nevoie de 2 ore, al doilea are nevoie de 4 ore iar al treilea de 6 ore. În cât timp execută î mpreună
lucrarea cei trei muncitori.
Soluția algebrică:
92
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu?: Că trei muncitori ex ecută o lucrare și
pentru terminarea ei primul are nevoie de 2 ore, al doilea are nevoie de 4 ore iar al treilea de 6
ore. Ce nu știu? În cât timp execută împreună lucrarea cei trei muncitori.
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”.
Folosind relația 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒕𝒂𝒕𝒆 =𝒅𝒆𝒃𝒊𝒕∙𝒕𝒊𝒎𝒑 o vom interpreta în cazul problemei
noastre vom avea 𝒆𝒙𝒆𝒄𝒖𝒕𝒂𝒓𝒆𝒂 𝒍𝒖𝒄𝒓ă𝒓𝒊𝒊 (𝒍)=𝒓𝒊𝒕𝒎𝒖𝒍 𝒅𝒆 𝒍𝒖𝒄𝒓𝒖 (𝒓)∙𝒕𝒊𝒎𝒑𝒖𝒍 (𝒕), deci
𝑙=𝑟∙𝑡. și de aici 𝑟=𝑙
𝑡. Primul muncitor are un ritm de lucru de 𝑙
2, al doilea are un ritm d e 𝑙
4,
iar al treilea are un ritm de lucru de 𝑙
6. Notăm cu 𝑡 timpul în care cei trei muncitori termină
împreună î ntreaga lucrare.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”.
Conform relației 𝑙=𝑟∙𝑡 vom avea 𝑙
2∙𝑡+𝑙
4∙𝑡+𝑙
6∙𝑡=𝑙. Împărțind prin 𝑙 și dând
factor comun pe 𝑡 vom avea 𝑡∙(𝑙
2+𝑙
4+𝑙
6)=1.
Pasul 4. ,,Rezolv ecua ția”.
𝑡∙(𝑙
2+𝑙
4+𝑙
6)=1⇔𝑡∙6+3+2
12=1⇔11∙𝑡=12⇔𝑡=12
11=1,09ore
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Deci timpul în care cei trei muncitori termină lucrarea este de 1,0 9 ore.
Problema 3.4.4: Un muncitor poate să termine o lucrare în 8 zile. Alt muncitor poate
să facă aceeași lucrare în 12 zile. Ei au lucrat împreună un anumit număr de zile, după care
primul muncitor a fost mutat la o altă lucrare, iar celălalt a terminat partea rămasă în 2 zile.
Câte zile a lucrat primul muncitor lângă al doilea.
Soluția algebrică:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu?: Că u n muncitor poate să termine o lucrare
în 8 zile. Alt muncitor poate să facă aceeași lucrare în 12 zile, că ei au lucrat împreună un
anumit număr de zile, după care primul muncitor a fost mutat la o altă lucrare, iar celălalt a
terminat partea rămasă în 2 zile . Ce nu știu? Câte zile au lucrat împreună cei doi muncitori?
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,An alizez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”. Putem avea următoarele relații:
1 muncitor………………. ……..8 zile…………………….o lucrare(L)
1 muncitor ……………………..1. zi. …………………….1
8∙𝐿
al doilea muncitor……………12 zile…………………L (aceeași lucrare)
93
al doilea muncitor…………….o zi……….. …………..1
12∙𝐿
al doilea muncitor în ………..2 zile…………………. 2∙1
12∙𝐿=1
6∙𝐿
Deci împreună cei doi muncitori au avut de efectuat 1−1
6∙𝐿=5
6∙𝐿.
Notăm cu 𝑡 timpul în care au lucrat împreună cei doi muncitori exprimat în zile.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”.
În 𝑡 zile cei doi mu ncitori au lucrat împreună 1
8∙𝐿∙𝑡+1
12∙𝐿∙𝑡=5
6∙𝐿. Împărțind prin
L vom avea 1
8∙𝑡+1
12∙𝑡=5
6
Pasu l 4. ,,Rezolv ecuația”.
1
8∙𝑡+1
12∙𝑡=5
6⇔5
24∙𝑡=5
6⇔𝑡=5
6:5
24⇔𝑡=5
6∙24
5⇔𝑡=4 zile
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Timpul în care au lucrat împreună cei doi muncitori este de 4 zile, după
care primul pleacă și cel de -al doilea mai lucrează 2 zile până termină lucrarea.
Problema 3.4.5: Pentru o lucrare 6 muncitori lucrează 13 ore. Aflați în câte ore a fost
terminată lucrarea, dacă 4 muncitori au efectuat mai mult cu o optime decât norma pe care o
aveau de realizat.
Soluția algebrică:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu?: Pentru o lu crare 6 muncitori lucrează 13
ore. Ce nu știu? În câte ore a fost terminată lucrarea, dacă 4 muncitori au efectuat mai mult cu
o optime decât norma pe care o aveau de realizat
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relațiile date mai sus, adică al eg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”. Putem avea următoarele relații:
6 muncitor………………………13 ore….. ………………..o lucrare(L)
1 muncitor ……………………..13 ore……………………..1
6∙𝐿
1 mu ncitor……………………….o oră…………………….1
6∙13∙𝐿=1
78∙𝐿
4 muncitori……………………..o oră…………………. 4∙1
78∙𝐿=2
39∙𝐿 (norma lor)
Notăm cu 𝑡 timpul în care au lucrat împreună cei doi muncitori exprima t în zile.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”. dar cei 4 muncitori
lucrează în plus o optime din norma lor adică 1
8∙2
39∙𝐿=1
156∙𝐿 deci în total 2
39∙𝐿+1
156∙𝐿
=9
156∙𝐿=3
52∙𝐿 au lucrat cei patru muncitori.
doi muncitori rămași……………..o oră 2∙1
78∙𝐿=1
39∙𝐿
94
În 𝑡 zile cei 6 muncitori au lu crat împreună 3
52∙𝐿∙𝑡+1
39∙𝐿∙𝑡=𝐿. Împărțind prin L
vom avea 3
52∙𝑡+1
39∙𝑡=1
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”.
3
52∙𝑡+1
39∙𝑡=1⇔9+4
156∙𝑡=1⇔𝑡=1:13
156⇔𝑡=1∙156
13⇔𝑡=12 zile
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Timpul în care au lucrat împreună cei 6 muncitori este de 12 zile.
Probleme de amest ec, concentrații, aliaj
Problema 3.4.6: Din cireșe de 3 lei kilogramul și de 2 lei kilogramul trebuie făcut un
amestec de 35 kg care să se vândă cu 2,60 lei kg. Ce cantitate de cireșe trebuie să se ia de
fiecare fel?
Soluția algebrică:
Pasul 1 . ,,Citesc/ob serv și înțeleg” – Ce știu?: Că din cireșe de 3 lei kilogramul și de 2
lei kilogramul trebuie făcut un amestec de 35 kg care să se vândă cu 2,60 lei kg . Ce nu știu?
Ce cantitate de cireșe trebuie să se ia de fiecare fel?
Pasul 2. ,,Planific și calculez” s au ,,Analizez relațiile date ma i sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”.
Notăm cu 𝑥 cantitate de cireșe care se vând cu 3 lei kg
35−𝑥 cantitatea de cireșe care se vând cu 2 lei kg
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „P un problema în ecuație”. Întruc ât, 2,60 lei prețul
unitar al amestecului, reprezintă media aritmetică ponderata ale sorturilor de cireșe care întră
în amestec, suma cantităților fiind de 35 kg putem scrie 3𝑥+2(35−𝑥)
35=2,60, ecuație echivalentă
cu 3𝑥+2(35−𝑥)=2,60∙35⇔3𝑥+2(35−𝑥)=91
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”.
3𝑥+2(35−𝑥)=91⇔3𝑥+70−2𝑥=91⇔𝑥+70=91⇔𝑥=91−70⇔
𝑥=21 kg cireșe cere se vindeau cu 3 lei kg.
35-21=14 kg cireșe care se vindeau cu 2 lei kg
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpret ez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: 3∙21+2∙14
35=63+28
35=91
35=2,6rezultă că soluția ecuației este și soluția
problemei.
95
Problema 3.4.7: Din două soluții de acid sulfuric prima cu concentrația de 60% și a
doua cu concentrația de 20%, s -a obținut o soluție de 40 litri de acid sulfuric cu concentrația
de 25%. Câți litri s -au luat din fiecare fel?
Soluția algebrică:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ ș i înțeleg” – Ce știu?: Că d in două soluții de acid sulfuric prima
cu concentrația de 60% și a doua de 20%, s -a obținut o soluție de 40 litri de acid sulfuric cu
concentrația de 25%. Ce nu știu? Câți litri s -au luat din fiecare fel?
Pasul 2. ,,Planific și c alculez” sau ,,Analizez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mă rimi în funcție de ea”. Notăm cu 𝑥 cantitatea de acid sulfuric
cu concentrația de 60% și cu 40−𝑥cantitatea de acid sulfuric cu concentrația de 20%
Pasul 3. „Orga nizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”. Întrucât aplicăm media
aritmetică ponderată al celor două soluții de concentrații diferite avem 60𝑥+20(40−𝑥)
40=25,
echivalentă cu ecuația 60𝑥+20(40−𝑥)=1000 .
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”. 60𝑥+20(40−𝑥)=1000⇔60𝑥+800−20𝑥=
1000⇔40𝑥+800=1000⇔40𝑥=200⇔𝑥=200:40⇔𝑥=5 litri de acid sulfuric
cu conc entrația de 60%
40−5=35 litri acid sulfuric cu concentrația de 20%
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Pentru a obține 40 l de acid sulfuric cu concentrația de 25% s -au folosit 5
litri acid cu concentrația de 60% și 35 litri acid cu concentrația de 20%. Deoarece 60∙5+20∙35
40=
300+700
40=1000
40=25 % concentrație amestec rezultă că soluția ecuați ei este și soluția
problemei.
Comentariu: În mod analog se rezolvă și problemele de echilibru termic.
În cazul problemelor de aliaj trebuie să se țină cont că titlul este raportul dintre masa
metalului prețios și masa totală a aliajului. Dacă notăm cu 𝑇 titlul aliajului și 𝑀 masa aliajului,
iar cu 𝑚 masa metalului prețios avem următoa rele relații:
𝑇=𝑚
𝑀 de unde rezultă 𝑚=𝑇∙𝑀 și 𝑀=𝑚
𝑇.
Problema 3.4.8 : Ce cantitate de aliaj cu titlul de 0,750 se obține din 35 kg argint.
Soluția algebrică:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu?: Că s -a realizat un aliaj cu titlul de 0,750
din folosindu -se 35 kg argint. Ce nu știu? Care este masa aliajului.
96
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”. Notăm cu 𝑇=0,70 titlul aliajului , cu
𝑀 masa aliajului și cu 𝑚=35 𝑘𝑔 masa argintului, deci a metalului prețios.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”.
Folosind relația 𝑇=𝑚
𝑀⇒𝑀=𝑚
𝑇.
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”. 𝑀=𝑚
𝑇⇔𝑀=35
0,70⇔𝑀=50 kg masa aliajul ui.
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Din 𝑇=35
50=0,7 titlul aliajului rezultă că soluția ecuației este și soluția
problemei.
Problema 3.4.9: Un aliaj de 2kg cu titlul 0,910 es te făcut dintr -o bucată de aur cu titlul
0.800 și o alta cu titlul 0.950. Ce cantitate a intrat în aliaj din fiecare fel de aur.
Soluția algebrică:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu?: Că u n aliaj de 2kg cu titlul 0,910 este
făcut dintr -o bucat ă de aur cu titlul 0.800 și o alta cu titlul 0.950. Ce nu știu? Ce cantitate a
intrat în aliaj din fiecare fel de aur.
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de e a”. Notăm cu 𝑀1 cantitatea care se ia din
primul aliaj și cu 𝑀2 cantitatea care se ia din cel de -al doilea aliaj.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”. Titlul aliajului ce se
obține este media aritmetică a titlurilor aliaj elor care intră în compoziție, deci vom avea
𝑀1+𝑀2=2⇔𝑀2=2−𝑀1
0,910=𝑀1∙0,800+𝑀2∙0,950
𝑀1+𝑀2⇔𝑀1∙0,800+(2−𝑀1)∙0,950=2∙0,910
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”.
𝑀1∙0,800+(2−𝑀1)∙0,950=1,82⇔0,800∙𝑀1+1,90−0.950∙𝑀1=1.82⇔
−0,150∙𝑀1=1,82−1,90⇔−0.150∙𝑀1=−0,08⇔𝑀1=0,08:0,150⇔𝑀1=0,533
kg .masa primului aliaj
𝑀2=2−0,533⇒𝑀2=1,467 kg masa celui de -a doilea aliaj
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Am obținut un aliaj de 2kg cu titlul 0,910 intrând în amestec o cantitate de
0,533 kg aur cu titlul de 0.800 și o cantitate de 1,467 kg aur cu titlul de 0,950.
Comentariu:
97
1)Pentru realizarea problemelor de aliaj de acest tip este ma i elegantă metoda care
folosește diferențele titlurilor aliajelor care intr ă în amestec față de titlul aliajului final. Pentru
a stabili relația respectivă ne folosim de media aritmetică ponderată a celor două titluri de aliaje
care intră în amestec.
𝑡=𝑡1∙𝑀1+𝑡2∙𝑀2
𝑀1+𝑀2⇔𝑡∙(𝑀1+𝑀2)=𝑡1∙𝑀1+𝑡2∙𝑀2. Separând termenii obține m
𝑡∙𝑀1−𝑡1𝑀1=𝑡2∙𝑀2−𝑡∙𝑀2⇔(𝑡−𝑡1)∙𝑀1=(𝑡2−𝑡)∙𝑀2⇔𝑀1
𝑀2=
𝑡2−𝑡
𝑡−𝑡1.În cuvinte relați a se citește astfel: raportul maselor a două aliaje care intră în amestec este
egal cu raportul invers a diferențelor titlurilor acelor aliaje față de titlul fina l.
Formula, așa cum se prezintă, este aplicabilă în cazul când 𝑡1<𝑡2, adică când
𝑡1<𝑡<𝑡2. Dacă însă 𝑡1>𝑡2, adică când 𝑡1>𝑡>𝑡2, formula se scrie 𝑀1
𝑀2=𝑡−𝑡2
𝑡1−𝑡.
Cu utilizarea relației de mai sus problema precedentă se putea rezolva astfel:
𝑀1
𝑀2=0,950−0,910
0,910−0,800⇒𝑀1
𝑀2=0,040
0,110⇒𝑀1
𝑀2=4
11⇔𝑀1
4=𝑀2
11=𝑀1+𝑀2
4+11=2
15. Și de aici
𝑀1=8
15=0,533 kg și 𝑀2=22
15=1,467 kg.
2)Pentru stabilirea diferențelor titlu rilor fașă de titlul mediu este indicat să se utilizeze
următoarea schemă, aceasta prezentând două avantaje: oferă o privire de ansamblu asupra
relațiilor dintre titluri, realizează inversarea raporturilor dintre diferențe:
pentru 𝑡1<𝑡<𝑡2.
Pentru rezolvarea problemei 3.4.9 schema se prezintă astfel:
Observație schema de mai sus se poate aplica și problemelor de amestec, concentrații
sau echilibru caloric.
3.5. PROBLEME DIN CHIMIE ȘI BIOLOGIE
Probleme din reacțiile de oxidoreduc ere
Pentru a caracteriza reacțiile de oxidoreducere, s -a introdus noțiunea de număr de
oxidare care este numărul de electroni proprii implicați în formarea legăturilor chimice.
Prob lema 3.5.1 : Calculați gradul de oxidare al clorului în cloratul de potasiu 𝐾𝐶𝑙𝑂3.
98
𝐾𝐶𝑙𝑂3 𝐾1𝐶𝑙𝑥𝑂3−2
Rezolvare Notăm cu x gradul de oxidare al Cl,
Sarcina potasiului este +1.
Gradul de oxidare al 3𝑂 este, 3𝑂=3∙(−2)=−6.
Electronii cedați d e un element trebuie să fie acceptați de un alt elemen t.
+1∙1+𝑥∙1+3∙(−2)=0⇔1+𝑥−6=0⇔𝑥=6−1⇔𝑥=+5
Prin urmare, gradul de oxidare al 𝐶𝑙 în 𝐾𝐶𝑙𝑂3este +5.
Problema 3.5.2: O persoană are frecvența respirației de 14/min; volumul inspirator de
rezervă 𝑉.𝐼.𝑅.=2000 ml; volumul expirator de rezervă 𝑉.𝐸.𝑅.=1600 ml și capacitatea
vitală 𝐶.𝑉.=4200 ml. Care este debitul său respirator pe minut.
Soluția algebrică:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu?: Că o persoană are frecvența respirației de
14/min; volumul inspirator de rezervă 𝑉.𝐼.𝑅.=2000 ml; volumul expirator de rezervă
𝑉.𝐸.𝑅.=1600 ml și capacitatea vitală 𝐶.𝑉.=4200 ml. Ce nu știu?: debitul său respirator pe
minut.
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte măr imi în funcție de ea”. Notăm volumul curent al persoanei
cu 𝑉.𝐶.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”. Știind că debitul
respirator reprezintă produsul dintre volumul curent și frecvența respiratorie a unei persoane,
trebuie să aflăm volumul curent 𝑉.𝐶. Volumul curent a unei persoane îl vom afla din relația:
𝑉.𝐶.+𝑉.𝐼.𝑅.+𝑉.𝐸.𝑅.=𝐶.𝑉.
Înlocuind în aceasta datele problemei vom avea ecuația:
𝑉.𝐶+2000+1600=4200
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”.
𝑉.𝐶+3600=4200⇔𝑉.𝐶=4200−3600⇔𝑉.𝐶=600 ml.
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Deoarece volumul curent al persoanei este de 600ml debitul său respirator
va fi de 600 𝑚𝑙∙14/min=8400𝑚𝑙/min.
Problema 3.5.3: Precizați cu cât la sută a fost redusă valoarea capacității pulmonare
totale 𝐶.𝑃.𝑇a unui bolnav de tube rculoză, știind că el are acum o valoare de 2500 ml și
volumele respiratorii ale unui om sănătos sunt: capacitatea vitală 𝐶.𝑉. egală cu 3500 ml, iar
volumul rezidual 𝑉.𝑅. este de trei ori mai mare decât volumul curent 𝑉.𝐶.
99
Soluția algebrică:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu?: Că valoarea capacității pulmonare totale
𝐶.𝑃.𝑇 a unui bolnav de tuberculoză, este de 2000 ml și că volumele respiratorii ale unui om
sănătos sunt: capacitatea vitală 𝐶.𝑉. egală cu 3500 ml, i ar volumul rezidual 𝑉.𝑅. este de trei
ori mai mare decât volumul curent 𝑉.𝐶. Ce nu știu? Cu cât la sută a fost redusă valoarea
capacității pulmonare totale 𝐶.𝑃.𝑇 a unui bolnav de tuberculoză față de cea a unui om sănătos.
Pasul 2. ,,Planific și calc ulez” sau ,,Analizez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte mărimi în funcție de ea”. Notăm cu 𝑝% procentul cu cât a fost
redusă valoarea capa cității pulmonare totale 𝐶.𝑃.𝑇 a unui bolnav de tuberculoză față de cea a
unui om sănătos.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”. Problema ne spune că
𝐶.𝑃.𝑇𝑏𝑜𝑙𝑛𝑎𝑣=𝑝%∙𝐶.𝑃.𝑇𝑠ă𝑛ă𝑡𝑜𝑠. Să aflăm capacitatea pul monară totală a unui om sănătos
𝐶.𝑃.𝑇𝑠ă𝑛ă𝑡𝑜𝑠=𝐶.𝑉.+𝑉.𝑅. unde capacitatea vitală 𝐶.𝑉.=3500 ml iar volumul rezidual
𝑉.𝑅.=3∙𝑉.𝐶., știind că volumul curent 𝑉.𝐶. a unui om sănătos este de 500 ml.
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”.
Calculez iniți al 𝐶.𝑃.𝑇𝑠ă𝑛ă𝑡𝑜𝑠=3500+3∙500⇒𝐶.𝑃.𝑇𝑠ă𝑛ă𝑡𝑜𝑠=5000 ml, apoi
ecuația𝐶.𝑃.𝑇𝑏𝑜𝑙𝑛𝑎𝑣=𝑝%∙𝐶.𝑃.𝑇𝑠ă𝑛ă𝑡𝑜𝑠⇔2000=𝑝%∙5000⇔2000=𝑝
100∙5000⇔
2000=𝑝∙50⇔𝑝=2000:50⇔𝑝=40%.
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: capacității pulmonare totale 𝐶.𝑃.𝑇 a unui bolnav de tuberculoză a fost
redusă cu 40% față de capacității pulmonare totale a unui om sănătos.
Problema 3.5.4 : Să se calculeze valoarea corporală a unei p ersoane care conține 6,5
litri de sânge. Știind că sâ ngele este format din plasmă și elemente figurate să se calculeze
cantitatea de plasmă din sânge, folosindu -se cea mai mare valoare a plasmei.
Soluția algebrică:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu?: Că o persoană conține 6,5 litri de sânge
și că sângele este format din plasmă și elemente figurate . Ce nu știu? Valoarea corporală a unei
persoane și cantitatea de plasmă din sângele său.
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relațiile da te mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalt e mărimi în funcție de ea”. Notăm cu x greutatea corporală a unei
persoane.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”. Știind că sângele
reprezintă 8% din greutatea sa corporală vom avea ecuația: 8%∙𝑥=6,5.
100
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”.
8%∙𝑥=6,5⇔8
100∙𝑥=6,5⇔8∙𝑥=6,5∙100⇔8∙𝑥=650⇔𝑥=650:8⇔
𝑥=81,25 𝑘𝑔 greutatea corporală a unei persoane.
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Deoarece plasma reprezintă 60% din cantitatea de sânge atunci cantitatea
de plasmă a persoanei va fi de 60%∙6,5=60
100∙6,5=390
100=3,9 ml.
Problema 3.5.5 : Un elev, tăindu -se într -un ciob de sticlă, a pierdut 0,5% din cantitatea
de sânge din corp. Știind că elevul are o greutate de 55 kg, să se afle cantitatea de sânge necesară
pentru refacerea volumului normal de sânge.
Soluția algebrică:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu?: Că u n elev, tăindu -se într -un ciob de
sticlă, a pier dut 0,5% din cantitatea de sânge din corp și că elevul are o greutate de 55 kg. Ce
nu știu? Care este cantitatea de sânge pe care a pierdut -o.
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez relațiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalt e mărimi în funcție de ea”. Notăm cu x cantitatea de sânge pe
care a pierdut -o.
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”. Știind că sângele
reprezintă 8% din greutatea sa, să aflăm cantitatea totală de sânge din corp
8%∙5,5=8
100∙5,5 =440
100=4,4 𝑙 sânge
Deoarece elevul a pierdut 0,5% din cantitatea totală de sân ge, atunci 𝑥=0,5%∙4,4.
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”.
𝑥=0,5%∙4,4⇒𝑥=0,5
100∙4,4⇒𝑥=2,2
100⇒𝑥=0,022 l sânge
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: 0,022l este cantitatea de sânge necesar ă pentru refacerea volumului normal
de sânge.
101
CAPITOLUL 4.
ASPECTE METODICE ALE PREDĂRII PROBLEMELOR
REZOLVATE CU AJUTORUL ECUAȚIILOR ÎN GIMNAZIU
4.1. CONS IDERAȚII METODICE PRIVIND ÎNVĂȚAREA ACTIVĂ
Învățământul modern promovează stilul activ, învățarea bazată pe însușirea experienței
conceptualizate a omenirii, dar și pe investigarea directă a realității și elaborarea cunoștințelor
prin efort propriu. A ins trui nu mai înseamnă acum a -l determina pe e lev să -și înmagazineze în
minte un anumit volum de cunoștințe, ci a -l învăța să ia parte activ la procesul de producere a
noilor cunoștințe. Strategiile expozitive se împacă greu cu actualele obiective ale educaț iei,
care pune accentul cu deosebire pe aspe ctul formativ. Este necesar să se urmărească în predare
atât însușirea conceptelor de bază, specifice respectivelor domenii, cât dezvoltarea capacităților
elevilor de a pune întrebări, cultivarea de priceperi, de prinderi și calități intelectuale, exersarea
gândirii și creativității elevilor prin antrenarea lor în activități care presupun operații mintale
de un nivel superior simplei cunoașteri, aplicarea conceptelor însușite în contexte noi, formarea
de opinii, at itudini, concepții, mentalități dezirabile. În acest sens, se impune plasarea elevilor
în centrul unor experiențe de învățare care să le solicite din plin energia și capacitățile
disponibile.
Devenind participanți activi în procesul predării și învățării, elevii nu mai reprezintă
doar un auditoriu g ata să recepteze pasiv ceea ce li se transmite sau li se demonstrează.
Activitatea proprie a elevului este fundamentală în procesul de construire a edificiului
cunoașterii, de învățare a comportamentelor, a rolur ilor sociale. Metodele activ -participative,
energiile sale sunt mobilizate pentru efectuarea unor sarcini, în acest fel fiind puse în joc
capacitatea de raționare, înțelegerea, imaginația, memoria puterea de anticipare, creativitatea
etc. O lecție activă s e sprijină pe metode și procedee active, fru ctificând nevoia de spontană de
activitate a copilului pe care îl eliberează de constrângere și îl asociază la propria lui formare.
Metodele activ -participative, subliniază Jean Piaget au drept rezultat educarea
autodisciplinei și a efortului voluntar, pr omovează interesul, activitatea spontană, munca
independentă etc. Însușirea adevărului se realizează mai bine prin acțiuni personale, dirijate de
profesor, decât prin procedee de simplă repetiție a ceea ce a prim it și înregistrat. Este acceptat
faptul că u n elev reține 10% din ceea ce citește, 20% din ceea ce aude, 30% din ceea ce vede
102
și aude, în același timp, 80% din ceea ce spune și 90% din ceea ce spune, făcând un lucru la
care reflectă și care îl interesează.
Prin acțiunile metodelor activ participati ve, elevii sunt într -o dependență parțială față
de profesor, elevii singurii, fiind aceea care i -au propria inițiativă, stimulându -și activitatea
intelectuală, adaptându -se la schimbările intervenite în societate , adaptându -și conduita,
inovând și cercetân d. Profesorul adaptându -se acestor noi schimbări, oferă elevilor situații de
învățare prin care să le stimuleze nevoia de informare, încurajându -i să se exprime singuri și să
colaboreze.
Metodele posibil de util izat în predarea problemelor cu ajutorul ecu ațiilor sunt
numeroase, marea lor diversitate răspunzând nevoii de a proceda la o diferențiere, nuanțare și
particularizare a activității didactice, ceea ce lărgește și îmbogățește considerabil experiența de
predare a profesorului și experiența de învățare a elevilor, oferind posibilitatea unor strategii
de acțiune cuprinzătoare, de o mare suplețe și adecvare la multitudinea sarcinilor și situațiilor
instructiv educative.
În cele ce urmează prezentăm câteva metod e de învățare activă utilizate în predarea
problemelor care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor.
4.2. EXEMPLE DE UTILIZARE A STRATEGIILOR MODERNE ÎN
PREDAREA – ÎNVĂȚAREA A ECUAȚIILOR ȘI PROBLEMELOR
REZOLVATE CU AJUTORUL ECUAȚIILOR
4.2.1. PROBLEMATIZAREA
Problematizarea reprezintă una din cele mai utile metode, prin potențialul ei euristic și
activizator. Prezintă două tipuri de concepte, unul de problemă și unul de situație problemă.
Primul vizează problema și rezolvarea acesteia din punctul de vedere al aplicării, verificării
unor reguli învățate , al unor algoritmi ce pot fi utilizați în rezolvare.
O situație problemă desemnează o situație contradictorie, între experiența anterioară de
ordin cognitiv emoțională și elementul de noutate, necunoscutul cu c are se confruntă subiectul.
Acest conflict d eschide calea spre căutare, spre descoperire, spre intuirea unor situații noi, a
unor relații aparent absente între vechi și nou. Esența acestei metode nu constă în rezolvarea
problemelor, ci în crearea situațiil or problemă.
103
Astfel se poate defini problem atizarea ca metoda care constă în conceperea,
propunerea, rezolvarea și valorificarea situațiilor problemă. Situațiile create de profesor prin
care elevul este determinat ca prin activitate proprie să găsească de finiția unei noțiuni, enunțul
unei propoziți i matematice (proprietate a noțiunii), un algoritm de calcul sau o nouă metodă
de demonstrație se numesc situații problemă.
În predarea problematizată profesorul, prin întrebări și prezentarea materialului de
învățare, dă posibilitatea elevului să asimileze prin exercițiu niște scheme fundamentale de
abstractizare, de conceptualizare, de raționament și interpretare. Aceste stări sunt situații
problemă. În pedagogie sunt descrise unele dintre situațiile problemă a stfel:
• Dezacord (conflict, contradicție) între cunoștințele anterioare ale elevului și condițiile
noi de rezolvare a unei probleme.
Exemplu 4.2.1.1: La clasa a VIII -a la finalul unității ecuații și inecuații, se cere elevilor
să se rezolve ecuația 2𝑥2+4𝑦2−4𝑥𝑦−2𝑥+1=0,∀ 𝑥,𝑦∈ℝ.
Elevii știu să rezolve ecuații de gradul I și ecuații de gradul al II -lea, dar nu cunosc
modul de rezolvare a acestei ecuații. Le vine ideea dea scrie primul membru al ecuației
ca o sumă de pătrate și de aici avem rezolvar ea.
2𝑥2+4𝑦2−4𝑥𝑦−2𝑥+1=0⇔𝑥2−4𝑥𝑦+4𝑦2+𝑥2−2𝑥+1=0⇔
(𝑥−2𝑦)2+(𝑥−1)2=0,∀ 𝑥,𝑦∈ℝ și de aici rezultă că o sumă de două numere
pozitive este zero dacă fiecare factor este zero: (𝑥−2𝑦)2=0 și (𝑥−1)2=0, deci
𝑥=1 și 𝑦=1
2.
• Selectarea din cunoștințele anterioare a acelora cu valoare operațională, adică elevul
este pus în fața unei contradicții între modul de rezolvare din punct de vedere teoretic
și imposibilitatea lui de aplicare în practică.
Exemplu 4.2.1.2: La clasa a VI II-a la lecția Sisteme de ecuații cu două necunoscute se
propu ne să se rezolve sistemul: {1
𝑥+1
𝑦=4
2
𝑥+3
𝑦=9,∀ 𝑥,𝑦∈ℝ∗. Elevii sunt puși în fața unei
situații -problemă, ei au învățat metodele de rezolvare a unei situații problemă dar ni ci
una nu se poate aplica aici. Elevii introduc alte două necunoscute 𝑢=1
𝑥 și 𝑣=1
𝑦. și de
aici sistemul devine {𝑢+𝑣=4
2𝑢+3𝑣=9, pe care îl rezolvă prin metoda reducerii și obțin
soluția {𝑢=3
𝑣=1 și de aici revenind la notație obținem {𝑥=1
3
𝑦=1.
104
• Încadrarea cunoștințelor anterioare într -un sistem, conștientizarea că acest sistem nu
este întotdeauna operațional și de aici necesitatea completării lui.
Exemplu 4.2.1.3: La clasa a VII -a la studiul poligoanelor regulate, se propune
problema: Să se determine formula ariei unui triunghi echilateral în funcție de latura sa.
Când se începe c alculul laturii, apoteme, ariei și perimetrului poligoanelor regulate,
aici a triunghiului echilateral, elevii pornesc de la noțiunea de arie a unui triunghi
oarecare pe care o vor completa ulterior cu formula ariei unui triunghi echilateral.
∆𝐴𝐵𝐶,echilateral de latură 𝑙. Elevii scriu formula ariei unui triunghi oarecare 𝐴=𝑏∙î
2 și
o aplică în cazul triunghiului 𝐴𝐵𝐶 . 𝐴=𝐵𝐶∙𝐴𝐷
2. Aflăm 𝐴𝐷 înălțimea unui triunghi echilateral cu
teorema lui Pitagora în triunghiul ∆𝐴𝐵𝐷,𝑚(∢𝐷)=90°.
𝐴𝐷2=𝐴𝐵2−𝐵𝐷2⇔𝐴𝐷2=𝑙2−(𝑙
2)2
⇔𝐴𝐷2=𝑙2−𝑙
42
⇔𝐴𝐷2=3𝑙
42
⇔𝐴𝐷=𝑙√3
2. Și de
aici rezultă formula ar iei unui triunghi echilateral 𝐴=𝑙∙𝑙√3
2∙
2⇔𝐴=𝑙2√3
4.
În pre darea – învățarea matematicii prin problematizare, profesorul are ca scop principal
să-i facă pe tineri să gândească și mijlocul îl reprezintă rezolvarea de către ei a problemelor
care cer un anumit grad de creație, de ieșire din rutină. Din punct de vedere pedagogic
problemele trebuie să îndeplinească următoarele condiții esențiale: sa aibă sens, să țină seama
de cunoștințele anterioare ale elevului; să fie adresate în cel mai opor tun moment din punct de
vedere al elevului; să trezească interesul și să soli cite efort din partea elevului.
Rezolvarea de probleme trebuie privită ca pe un proces prin care elevul descoperă că o
combinație de reguli învățate anterior, o poate aplica pentr u a ajunge la o soluție referitoare la
o nouă situație problematică. Din aces t punct de vedere etapele în rezolvarea unei situații
problematice ar fi:
Fig.4.2.1 .3
105
1) Prezentarea situației problemă de către profesor (verbal, scris, tabel, grafic, etc.);
2) Definirea probleme i de către elev , adică distingerea caracteristicilor esențiale ale
situației, însușirea enunțului, găsirea legăturii între date:
3) Formularea de ipoteze de către elev care pot fi aplicate în vederea unei soluții;
4) Realizarea verificării ipotezelor , sau a unei ipoteze succesive de către elev, până
găsește una care să -l conduc ă la situația căutată.
Prin aplicarea în predare a problematizării, rezultatul final este întotdeauna descoperirea
soluției de către elev a problemei propuse. În acest sens propunem următor ul exemplu:
Exemplu 4.2.1.4 (Problema furnicii):
1) Prezentarea situației problemă :
Se dă o piramidă patrulateră regulată 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷, în care 𝑉𝐴=𝑉𝐵=𝑉𝐶=𝑉𝐷=𝑎, și
unghiurile de la vârf ale fețelor laterale cu măsura de 30°. O furnică pornește din vârfu l A și
merge pe fețele laterale, în linie dreaptă până revine în punctul A. Să se determine drumul cel
mai scurt al furnicii și să, se afle lungimea lui.
2) Definirea problemei de către elevi .
Elevii emit ipoteze asupra modului de rezolvare a problemei
Distanța cea mai scurtă dintre două puncte este lungimea segmentului având capetele
cele două puncte, de unde ideea de a desfășura piramida.
3) Formularea de ipoteze de către elevi:
Desfășurând pi ramida pe un plan, drumul cel mai scurt va fi 𝐴𝐴′. Cum aflăm lungimea
segmentului 𝐴𝐴′. Segmentul 𝐴𝐴′ este baza unui triunghi isoscel cu laturile egale de lungime 𝑎
și cu măsura unghiului de la vârf de 120°.
Punctele 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷,𝐴′ aparțin cercul ui cu cercului cu centru în V și de rază 𝑉𝐴=𝑎.
Cum unghiul ∢𝐴𝑉𝐴′ este un unghi la centru și subîntinde un arc cu măsura egală cu 120° ,
Fig.4.2.1.4
106
coarda corespunzătoare arcului de 120° este latura triunghiului echilateral înscris în acel cerc.
Așadar, 𝐴𝐴′=𝑙3=𝑎√3.
4) Realizarea verificării ipotezelor
Elevii pot determina lungimea segmentului 𝐴𝐴′ și prin altă metodă. De exemplu
aplicând în triunghiul dreptunghic ∆𝐴𝑉𝐸,𝑚(∢𝐴𝑉𝐸)=90°, cosinusul unghiului (∢𝑉𝐴𝐸):
𝑐𝑜𝑠(∢𝑉𝐴𝐸)=𝐴𝐸
𝑉𝐴⇔𝐴𝐸=𝑉𝐴∙𝑐𝑜𝑠(∢𝑉𝐴𝐸)⇔𝐴𝐸=𝑎∙𝑐𝑜𝑠60°⇔𝐴𝐸=𝑎√3
2. De
unde 𝐴𝐴′=2𝐴𝐸=𝑎√3.
4.2.2. ÎNVĂȚAREA PRIN DESCOPERIRE
Referindu -se la descoperire în procesul cunoașterii, I. Brunner spune: „procesul
descoperirii constă în faptul că elevul generează el sin gur anumite informații pe care apoi le
poate controla sau e valua, recurgând la sursă și obținând astfel informații noi”, iar procesul
descoperirii ar consta în reorganizarea interioară a unor idei anterior cunoscute pentru a stabili
niște legături.
Contrib uția profesorului e necesară pentru că, spre deosebire de d escoperirea spontană,
comună, empirică, ce se limitează la conținuturi mai puțin importante, descoperirea realizată
de către elevi vizează găsirea acelor adevăruri științifice pe care, în mod stric t independent, nu
le pot găsi decât persoane specializate.
Aparent asemănătoare metodei problematizării, învățarea prin descoperire presupune
analiza unei situații -problemă la care elevii trebuie să descopere posibile soluții.
Învățarea prin descoperire se poate realiza independent, atunci când elevul desfășoară
întreaga activitate iar profesorul dar urmărește desfășurarea acesteia sau dirijat, când profesorul
coordonează întreaga activitate împărțind elevilor sarcini de lucru, dar ajutându -i pe aceștia să
le rezolve prin sugestii și indicații.
Metoda descoperirilo r dirijate este folosită destul de des în cadrul lecțiilor de
matematică cu precizarea că dirijarea de către profesor a activității elevului se realizează într –
o măsură mai mică, astfel că se lasă elevului mai mult timp de muncă individuală, în așa fel în
cât, prin efort personal de analiză, sinteză, inducție, generalizare, analogie să găsească o
teoremă, o demonstrație, un procedeu de calcul, un mod de rezolvare a unei probleme, etc.
Distingem urmă toarele tipuri de descoperire:
107
– descoperirea inductivă : este atunci când se pornește de cazuri particulare sau cunoscute și
se dă o regulă generală. De exemplu descoperirea formulei de calcul prescurtat (𝑎+𝑏)2=
𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2, pornind de la produsul unui binom cu el însuși;
descoperire deductivă: când se po rnește de la general spre particular. De exemplu toate
problemele de calcul la care regula generală o aplicăm pentru determinarea de proprietăți
particulare;
– descoperirea prin analogie : utilizează principiul cu același nume care se enunță astfel:
dacă un o biect are proprietățile 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 și un alt obiect are proprietățile 𝑎,𝑏,𝑐, atunci
obiectul al doilea este probabil să aibă și el proprietatea d. Un exemplu este descoperirea
regulilor cu fracții al gebrice cunoscând regulile cu fracții aritmetice ;
Avantajele instruirii prin descoperire sunt: 1) în cursul descoperirii se realizează o
cunoaștere și o înțelegere profundă și temeinică a noilor cunoștințe; 2) Cere din partea
elevilor un efort mental mare, iar depășirea obstacolelor duce la dezvoltarea lor intelectuală
și creșterea încrederii în sine; 3) Sunt angajate în procesul de învățare unele funcții de
creativitate: emoție, surpriză, îndoială, ceea ce favorizează dorința de rezolvare a
problemelo r propuse; 4) Dezvoltă la elevi capacitatea de a sesi za și rezolva probleme,
spiritul independent, științific, capacitatea de transfer, perseverența în urmărirea soluțiilor
spiritul de cooperare; 5) Posibilitate de autocunoaștere și autocontrol; 6) Stimula rea
interesului pentru cercetare și învățare.
Această metodă are și limite:
– Nivelul de conștientizare a activității e mai ridicat decât în cazul simplei receptări dar
conștientizarea este redusă la construirea fiecărui pas al procesului cognitiv;
– Zona de acțiune, de gândire este limitată la elementele ei și verigile cunoașterii sunt
considerate izolate;
– Cunoașterea e fragmentată, discontinuă, parcelară;
– Fiind dirijat și condus pas cu pas din exterior, elevul nu are posibilitatea să -și des
seama de ansamblu l operațiilor, nu poate privi panoramic sarcina pe ca re o are de
îndeplinit, nu poate percepe structura ei în ansamblu.
Descoperirea dirijată devine productivă și creativă atunci când este îmbinată cu celelalte
metode cu caracter activ și euristic (asaltul de idei, problematizarea, modelarea, algoritmizarea,
experimentul, studiul de caz).
Exemplu 4.2.2 : Elevul descoperă că în cazul următoarei probleme care se rezolvă cu
ajutorul ecuației, că ecuația gândește pentru noi, că este mai prevăzătoare decât noi:
108
Tatăl are 32 de ani, fiul, 5 ani. Peste câți ani tatăl va fi de 10 ori mai în vârstă decât fiul?
Soluția algebrică: Să notăm mărimea căutată cu 𝑥, peste 𝑥 ani tatăl va avea 32+𝑥 ani,
iar fiul 5 +𝑥. Deoarece, la data căutată, tatăl va fi de 10 ori mai în vârstă decât fiul avem
ecuația: 32+𝑥=10(5+𝑥)⇔32+𝑥=50+10𝑥⇔𝑥−10𝑥=50−32⇔−9𝑥=18
⇔𝑥=−2. Obținând soluția x= −2. Deci peste „minus doi ani”, înseamnă „cu doi ani în urmă”.
Când am format ecuația nu ne -am gândit la faptul că în viitor vârsta tatălui n u va întrece
niciodată vârsta fiului de 10 ori. Această s ituație a fost posibilă numai în trecut. Această ecuație
s-a dovedit mai chibzuită decât noi și a pus în evidență greșeala comisă.
4.2.3. MODELAREA MATEMATICĂ
Conceptul de modelare matematică are cel puțin două sensuri.
Pe de o parte, modelarea matemati că este o metodă de rezolvare de probleme din
diverse domenii de activitate umană, metodă ce ne permite să înțelegem mecanismul ce
guvernează aplicațiile matematicii. Rezolvarea unei probleme, prin a ceastă metodă, se face
printr -un proces numit proces de m odelare matematică, care are următoarele etape:
Etapa 1. Atașarea unei probleme matematice corespunzătoare, cât mai adecvată, cât mai
bogată în informații, dar cât mai simplă și optimală, problemă ce portă numele de modelul
matematic al problemei de stud iat. Aceasta este etapa construiri modelului matematic
corespunzător problemei de rezolvat.
Etapa 2. Rezolvarea problemei model matematic cu mijloace matematice.
Etapa 3. Interpretarea rezultatului matematic din punct de vedere al problemei de
rezolvat.
Pe de altă parte, modelarea matematică, poate fi privită ca o metodă de cercetare a unor
probleme, a unor situații concrete, cu ajutorul modelelor matematice , ce sunt ansamble de
noțiuni și relații care dau o reprezentare matematică a acelor situații. În ace st caz, procesul de
modelare matematică are următoarele etape: formularea problemei de cercetat, în interiorul
disciplinei căreia aparține problema; construirea modelului matematic core spunzător
problemei de cercetat; studiul modelului matematic, prin apli carea unor rezultate cunoscute
sau/și o cercetare matematică mai mult sau mai puțin complicată și interpretarea rezultatului
matematic din punctul de vedere al problemei de cercetat, pr intr-o cercetare interdisciplinară a
cărei complexitate ține atât de na tura problemei de bază, cât și de natura aparatului matematic
ce intervine în această cercetare.
109
De cele mai multe ori se revine asupra primei etape în scopul îmbunătățirii formulării
problemei, aspect care este strâns legată de perfecționarea modelului ma tematic, model ce
poate neglija anumite aspecte ale fenomenului studiat și poate accentua altele. De asemenea,
se fac anumite ipoteze privind dezvoltarea fenomenului studiat.
Ca metodă de cercetare, modelara matematică, adică elaborarea de modele are rol
esențial în elaborarea unor teorii matematice. În matematică, de cele mai multe ori, o teorie își
are punctul de plecare în încercările de a rezolva o problemă pusă de practică sau de m atematică
însăși. Studiul cu ajutorul modelelor matematice are valoare euristică, întrucât prin utilizarea
lor se dezvoltă spiritul de observație, capacitatea de analiză și sinteză, intuiția și imaginația,
creativitatea, flexibilitatea raționamentului și s e reactualizează experiența anterioară în vederea
propunerii de noi sol uții. La început, învățarea se poate face cu ajutorul modelelor matematice
construite de alții. Valorificarea formativă a învățării cu ajutorul modelelor matematice crește
dacă elevii î și construiesc singuri modele și, mai ales, dacă elevii sunt obișnuiți să lucreze cu
diferite modele ale aceleiași probleme.
Este foarte important să determinăm elevul să descopere singur modelul matematic.
Astfel, obișnuim elevul să matematizeze anumite situații, îi dezvoltăm raționamentul și
matematica nu mai pare o științ ă gata făcută, ci ajută elevul să o descopere.
Exemplu 4.2.3: Propunem un exemplu de model matematic asociat unei probleme care
de obicei se formează din ecuații, și pentru că multe pro bleme din practică pot fi rezolvate cu
ajutorul lor.
Dacă Denisa pune câte 5 flori în fiecare vază, rămâne cu trei flori în mână. Dacă pune
câte șapte flori în fiecare vază, în ultima vază vor fi doar două flori. Câte flori și câte vaze are
Denisa?
Soluția algebrică: Să notăm cu 𝑥 numărul de vaze ale Denisei și cu 𝑦 număru l de flori
ale sale. Dacă, în primul caz, pune câte câte 5 flori în fiecare vază vom avea 5x și dacă îi mai
rămân 3 flori vom avea ecuația 𝑦=5𝑥+3. În cel de -al doilea caz vom av ea ecuația
𝑦=7(𝑥−1)+3. Împreună cele două ecuații formează sistemul: {𝑦=5𝑥+3
𝑦=7(𝑥−1)+2⇔
{𝑦=5𝑥+3
7(𝑥−1)+2=5𝑥+3⇔{𝑦=5𝑥+3
7𝑥−7+2=5𝑥+3⇔{𝑦=5𝑥+3
7𝑥−5=5𝑥+3⇔
{𝑦=5𝑥+3
7𝑥−5𝑥=5+3⇔{𝑦=5𝑥+3
2𝑥=8/:2⇔{𝑦=5𝑥+3
𝑥=4⇔{𝑥=4
𝑦=5∙4+3⇔{𝑥=4
𝑦=23.
Deci vom avea 4 vaze ș i 23 de flori. Verificare: {23=5∙4+3
23=7∙3+2
110
Acest sistem de ecuații împreună cu condiția (𝑥,𝑦)∈ℕ×ℕ formează modelul
matematic al problemei.
4.2.4. ALGORITMIZAREA
Algoritmizarea este o metodă didactică care presupune unele scheme logice prin care
se rezo lvă diferite sarcini de luc ru și folositoare la o serie largă de probleme.
Strategiile de tip algoritmic sunt eficiente în rezolvare deoarece, cunoscând anumite
relații între ipoteză și concluzie, elevul este scutit de descoperiri repetate, fapt deosebit d e
important pentru economis irea timpului. Sunt însă și situații în care regulile concrete ale
rezolvării nu sunt cunoscute de elevi și atunci este necesară găsirea unui mod concret de a
rezolva o problemă, a unui plan care include momente de incertitudine, de încercare adică un
plan euristic, bazat pe metode și procedee euristice.
De fapt, o strategie de rezolvare a unei probleme este un ansamblu de reguli de selectare
și combinare a propozițiilor extrase din volumul de cunoștințe. Tot strategia stabilește
prioritatea folosirii cunoș tințelor și în egală măsură modificarea sau operarea în alt mod a lor.
Strategia algoritmică indică seriile de pași necesare rezolvării problemelor.
În majoritatea cazurilor, strategiile euristice se împletesc inevitabil cu cele algoritmice,
prin care pri mele sunt probate, selectate ajungându -se treptat la o strategie tot mai clară
conturată. Procedeele algoritmice au proprietatea determinării, adică proprietatea de a
direcționa univoc acțiunile individuale în rezolvarea probleme lor. Îndeplinind o prescrip ție
algoritmică elevul știe cu exactitate ce trebuie să facă pentru a rezolva problema și nu are nici
un dubiu la modul de a acționa. Mai mult rezolvitori diferiți, acționând după unul și același
algoritm, nu numai că rezolvă la fel problema, ci vor și rea cționa în același mod. Așadar,
algoritmul, determinând univoc acțiunile, îi ghidează activitatea. Prezentarea algoritmului de
către profesor echivalează cu interiorizarea lui într -o anumită manieră, astfel încât elevul să -l
poată exterioriza ori de câte or i se găsește în condițiile în care cer acest comportament. În
realitate, se observă că ar fi posibil să se descrie în termeni algoritmici comportamentul unui
elev foarte slab care lucrează pe bază de rutină. Evident nu acesta est e scopul final; acesta poat e
fi unul dintre echivocurile posibile în interpretarea folosirii algoritmilor în învățare sau în
interpretarea locuțiunii „algoritmizarea învățământului”, care este, de altfel, o variabilă
didactică a procesului de instruire, ac esta din urmă fiind complet specificat prin intermediul
următoarelor variabile didactice: sistem de învățare, sistem de predare, obiect de învățământ,
obiective, mediu, algoritmul învățământului.
111
Metoda algoritmică influențată de aceste variabile, prezint ă mari avantaje teoretice ș i
conceptuale, chiar în situații mai complexe și dificile, deoarece sugerează o construcție gradată,
într-un mod recursiv, cu procedee efective și repetabile care pot fi continuu supuse criticilor și
verificărilor bazate pe confr untarea cu realitatea. Folo sirea algoritmilor în învățarea de a
rezolva probleme mai este recomandată și pentru că: activitatea de a soluționa probleme este
considerată ca fiind situată la nivelul cel mai elevat între activitățile cognitive; practic,
demer surile de studiere sistemat ică și formală a acestei activități într -un context didactic –
educativ -instructiv sunt greu de realizat și nu la îndemâna oricui; există unele curente în
psihologie și în studiul inteligenței care au furnizat modele ce nu mai pot fi ignorate; pentru a
fi justificată, algoritmizarea trebuie să abordeze situații complexe.
Metoda algoritmului este inclusă în strategiile prescrise – bazate pe prescripții, norme,
pe dirijarea strictă a activității clasice. Algoritmul prefigurează o diri jare detaliată pas cu pas a
procesului de învățare, o părere personală: utilizarea acestor strategii timp îndelungat are darul
de a îndepărta elevii de acest obiect, ducând și la o încetinire a gândirii.
Exemplu 4.2.4: Algoritmul de rezolvare a unui siste m de două ecuații cu două
necunoscute de forma: {𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐
𝑑𝑥+𝑒𝑦=𝑓,𝑎,𝑏,𝑐,𝑒,𝑓∈ℝ, prin metoda reducerii:
Pasul 1. Înmulțim convenabil ecuațiile, respectiv prima cu e și a doua cu b pentru ca
termenul la care tindem să aducem coeficientul în y să fie c.m.m.m.c. a l coeficienților dați și
obținem: {𝑎𝑒𝑥+𝑏𝑒𝑦=𝑐𝑒
−𝑏𝑑𝑥−𝑏𝑒𝑦=−𝑏𝑓.
Pasul 2. Prin adunarea membru cu membru a noilor ecuații obținem:
𝑎𝑒𝑥−𝑏𝑑𝑥=𝑐𝑒−𝑏𝑓 sau (𝑎𝑒−𝑏𝑑)𝑥=𝑐𝑒−𝑏𝑓.
Pasul 3. Înmulțim în mod convenabil sistemul inițial pen tru ca termenii în x să se reducă
și obținem sistemul: {𝑎𝑑𝑥+𝑏𝑑𝑦=𝑐𝑑
−𝑎𝑑𝑥−𝑎𝑒𝑦=−𝑎𝑓.
Pasul 4. Adunând membru cu membru ecuațiile obținem: (𝑏𝑑−𝑎𝑒)𝑦=𝑐𝑑−𝑎𝑓⇔
(𝑎𝑒−𝑏𝑑)𝑦=𝑎𝑓−𝑐𝑑.
Pasul 5. Dacă 𝑎𝑒−𝑏𝑑≠0, sistemul are soluția unică : 𝑥=𝑐𝑒−𝑏𝑓
𝑎𝑒−𝑏𝑑 și 𝑦=𝑎𝑓−𝑐𝑑
𝑎𝑒−𝑏𝑑.
Alte algoritme întâlnite în cazul rezolvării ecuațiilor și problemelor cu ajutorul
ecuațiilor sunt: rezolvarea unei ecuații de gradul I, a unei ecuații de gradul al II -lea, metoda lui
Cramer pentru r ezolvarea unor sisteme de ecuații în liceu. schema lui Horner pentru diferite
subiecte în liceu.
112
4.2.5. INSTRUIREA ASISTATĂ DE CALCULATOR
Instruirea asistată de calculator este o formă de instruire individu alizată, prin care
informația este învățată fra gmentat, fie prin citirea unor texte programate, fie utilizând un
program de predare cu ajutorul computerului. Un răspuns corect la o întrebare sau o problemă,
permite elevilor să avanseze, în timp ce un răspu ns incorect repetiție sau reînvățare. Instruire a
asistată de calculator (I.A.C.) poate fi definită ca o aplicație a sistemelor de calcul în procesul
de instruire, în care cei ce învață comunică interactiv cu sistemul de calcul, pe baza unor
programe destin ate învățării și instruirii. Pe lângă faptul că I.A.C. este o metodă de învățare –
evaluare, aceasta este constituită și ca o disciplină de sine stătătoare, prin care cei interesați pot
asimila cunoștințe, pe care apoi pot să le evalueze pe baza unor sisteme de programare.
Folosirea I.A.C. ca metodă de cercetare va stimula elevii la receptarea noului, la
dezvoltarea imaginației și gândirii logice, la o învățare rapidă și eficientă, și la sporirea șanselor
de reușită în acțiunea de integrare socio -profesiona lă. Sistemul I.A.C. este un mediu integrat
hardware -software destinat asimilării active de cunoștințe, dar și la formarea de priceperi și
deprinderi practice. În acest scop calculatorul are nevoie și de un soft educațional. Utilizat în
procesul de instruir e al elevilor.
În realizarea instruirii asist ate de calculator la matematică, prin utilizarea programelor
specifice sunt implicați mai mulți factori: cadrul didactic care coordonează elevii în procesul
de instruire; elevul care își formează competențe d e utilizare și exploatare a calculatorului în
urma procesului de instruire; calculatorul și lecțiile ca forme de bază în organizarea instruirii.
I.A.C. reprezintă o metodă modernă de învățământ, care valorifică de deplin tehnicile
de modelare și analiză c ibernetică în contextul noilor tehnologii infor matice și de comunicații,
asigurând organizarea, gestionarea, documentarea și integrarea informațiilor în procesul de
cunoaștere. Ea are o serie de avantaje și dezavantaje, ușor complementare: avantajul unei m ari
economii de timp – creșterea costurilor în învățământ; realizarea obiectivelor de ordin cognitiv
în detrimentul celor de tip practic și psihomotor; facilități de simulare a procedurii și
manifestării unor fenomene sau procese – nu poate fi înlocuită cu experimentele de cercetare
și de laborator sau cu activitățile practice; realizarea unor relații calculator -utilizator de izolare
față de colegi, profesor.
Procesul acceptării și inserării T.I.C în demersul didactic necesită să fie experimentat
în perma nență pentru a reuși să atingă două scopuri bin e definite: la nivelul elevilor
performanța rezultatelor învățării, iar la nivelul profesorilor dobândirea abilităților de
folosire eficientă, așa încât formarea și educația să fie convertite în reușită în v iață.
113
Softurile educaționale A.E.L. și GeoGebra sunt două exemple de instrumente didactice
informatice care eficientizează considerabil instruirea matematică a elevilor de gimnaziu și
liceu. Softul GeoGebra poate fi folosit cu succes în predarea și învățar ea geometriei și algebrei
la orice nivel școlar , dar și pentru înțelegerea mai multor noțiuni complexe ale analizei
matematice de liceu.
Propunem în continuare un exemplu de utilizare a acestei aplicații în rezolvarea unor
probleme cu funcții, unde elevii își pot construi singuri strategii de învățare:
Exemplu 4.2.5: Să determine funcția de gradul I, 𝑓:ℝ→ℝ,𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏,𝑎,𝑏∈ℝ,
𝑎≠0, care trece prin punctele: 𝐴(2,10) și 𝐵(−3,5) și coordonatele punctului de intersecție
dintre această funcție și funcț ia 𝑔:ℝ→ℝ,𝑔(𝑥)=−𝑥+4.
{𝐴(2,10)∈𝐺𝑓
𝐵(−3,5)∈𝐺𝑓⇔{𝑓(2)=10
𝑓(−3)=5⇔{2𝑎+𝑏=10
−3𝑎+𝑏=5/∙(−1)⇔{2𝑎+𝑏=10
3𝑎−𝑏=−5
5a / = 5
{𝑎=1
2+𝑏=10⇔{𝑎=1
𝑏=8.
De aici obținem funcția 𝑓:ℝ→ℝ,𝑓(𝑥)=𝑥+8.
Fie {𝑃}=𝐺𝑓⋂𝐺𝑔. Pentru a determina abscisa punctului de intersecție dintre graficele
celor două funcții, rezolvăm ecuația 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔𝑥+8=−𝑥+4⇔2𝑥=−4/:2⇔
𝑥=−2. Cunoscând abscisa punctului de intersecție aflăm ordonata sa ca valoare a funcției în
acel punct. C alculând 𝑓(−2)=−2+8=6, obți nem 𝑃(−2,6).
114
Folosind programul GeoGebra pentru trasarea graficelor celor două funcții elevii
verifică și vizual pe monitor coordonatele punctului de intersecție dintre cele două funcții.
4.2.6. CIORCHINELE
Ciorchinele este o metodă de brainstorming mai simplă care stimulează găsirea un or
conexiuni logice între idei. Ciorch inele este o tehnică de predare -învățare care implică întreaga
clasă și care cere elevilor să fie activi, să gândească liber.
Modalitățile ei de realizare sunt:
1) elevii vor scrie un cuvânt sau o expresie în centrul unei foi sau a tablei;
2) elevii vor scrie cât mai multe idei expresii referitor la subiectul propus;
3) ideile sau cuvintele vor fi legate prin linii de ideea principală și
4) se va face la final o analiză la întreaga activit ate unde elevii au putut nota tot ce au
avut în minte în legătură cu subiectul propus.
Metoda ciorchinelui este o provocare care determină o întrecere în a descoperi
conexiuni legate de termenul propus inițial.
Exemplu 4.2.6: Utilizarea metodei ciorchinel ui la finalul unității de învățare „Ecuații
și inecuații” – clasa a VIII -a, în cazul ecuației de gradul al II lea.
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0,
𝑎,𝑏,𝑐∈ℝ,𝑎≠0.
𝑎𝑥2+𝑏𝑥=0,(𝑐=0)
𝑥1=0 𝑥2=−𝑏
𝑎 calculează
discriminantul
∆=𝑏2−4𝑎𝑐. 𝑎𝑥2+𝑐=0,(𝑏=0)
dacă 𝑎 și 𝑐 au
același semn,
𝑥1,𝑥2∉ℝ
dacă 𝑐=
0, 𝑥1=𝑥2=
0
dacă 𝑎 și 𝑐 sunt
de semne dife rite,
𝑥1,𝑥2=±√−𝑐
𝑎; ∆>0 ∆=0 ∆<0
𝑥1,𝑥2∉ℝ.,
nu avem
soluții reale 𝑥1,𝑥2∈ℝ., 𝑥1
=−𝑏+√∆
2𝑎 𝑥2
=−𝑏−√∆
2𝑎 𝑥1,𝑥2
∈ℝ., 𝑥1
=𝑥2=𝑥0𝑥0
=−𝑏
2𝑎
Descompunere trinomului în factori liniari
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑎(𝑥−𝑥0)2
115
4.2.7. CUBUL
Cubul este o metodă didactică care presupune explorarea unui obiect din multip le
perspective cognitive. Ea presupune următoarele etape:
– se confecționează un cub, fiecare față se colorează diferit și sunt scrise verbele: (1)
DESCRIE (culorile, formele, mărimile); (2) COMPARĂ (ce este asemănător, ce
este diferit); (3) ASOCIAZĂ (fiecar e exercițiu/subiect propus cu soluția
corespunzătoare) ; (4) ANALIZEAZĂ (din ce este alcătuit sau se compune ); (5)
ARGUMENTEAZĂ (pro și contra, înșiră câteva motive care vin în ajutorul
spuselor tale); și (6) APLICĂ . (ce poți face cu aceasta , la ce poate fi folosită).
– anunțarea temei, respectiv a subiectului pus în discuție.
– împărțirea clasei în 6 grupe, fiecare grupă lucrând pe foi de flipchart conform
cerinței primite asociate cu unul din verbele de pe fața cubului
– afișarea foilor de flipchart în locuri în locuri vizibile din clasă și analizarea lor.
Metoda cubului poate fi aplicată în diferite etape ale lecției, la diferit probe (în scris sau
în oral), folosind diverse forme de organizare (individuală, frontală, în perechi sau pe grupe),
substituind sarci nile propuse de autori prin altele în funcție de situație, folosind în caz de
necesitate doar unele din fețele cubului sau utilizând cuvintel e cheie în mod arbitrar sau într -o
anumită ordine.
Exemplu 4.2.7: Folosirea metodei cubului la recapitularea unită ții de învățare „Ecuații
și inecuații în ℤ”, clasa a VI -a.
Am împărțit clasa în 6 grupe și fiecare grupă a primit câte o fișă reprezentând câte un
verb. Elevii au rezolvat sarcina de lucru pe foi de flipchart timp de 20 -25 minute.
Fișa de lucru nr.1: ve rbul DESCRIE
1. Definiți noțiunea de ecuație în Z.
2. Rezolvați în Z ecuațiile.
a) 2x+5=7
b) |𝑥|=8
c) 2(𝑥+1)=8
3. Rezolvați in mulțimea numerelor întregi inecuația: 5𝑥−4=2𝑥+5
Fișa de lucru nr.2: verbul COMPARĂ
1. Maria și Ioana au efectuat același calcul, dar au obținut r ezultate diferite. Identificați
cui aparține greșeala. Justificați.
116
Maria Ioana
8x+1=6x−5
⟺8x−6x=−5−1
⟺2x=−6
⟺x=−6:2
⟺x=−3 8x+1=6x−5
⟺8x−6x=−5+1
⟺2x=−4
⟺x=−4:2
⟺x=−2
2. Să se determine elementele mulțimilor: 𝐴={𝑥/𝑥∈𝑍,|𝑥|≤2} și
𝐵={𝑥/𝑥∈𝑍,−5≤3𝑥+1≤7}. Ce observați?
Fișa de lucru nr.3; verbul ASOCIAZĂ
1. Asociază fiecare ecuație sau inecuație din Z din coloana A, cu mulțimea soluțiilor
corespunzătoare din coloana B.
A B
a) 4𝑥+3≤𝑥−6 a) 𝑥∈{ 2}
b) 3𝑥+5>20 b) 𝑥∈{6,7,8,9,10……}
c) 5𝑥+7=17 c) 𝑥∈{…−5,−4,−3}
2. Completează spațiile punctate: Dacă 𝑥=−2 este soluție a ecuației 𝑥+𝑚=
10 atunci m este………..
3, Completează tabelul:
x y x∙𝑦
2 6
-3 -5
-2 10
Fișa de lucru nr.4: verbul ANALIZEAZĂ
1. Suma a trei numere întregi consecutiv e este 63. Să se determine numerele.
2. Aflați un număr, știind că dacă îl înmulțim cu −3, obținem același rezultat ca atunci
când îl adunăm cu −24.
3. Dacă 𝑎∥𝑏 și c secantă . Determinați numărul întreg x.
a
2x-5
b x+10
c
Fișa de lucru nr.5: verbul ARGUMENTEAZĂ
1, Determinați numerele întregi x și y astfel încât (𝑥+3)(𝑦−1)=7.
117
2. Aflați suma valorilor întregi ale lui 𝑥 astfel încât 3
𝑥+1∈ℤ.
3. Determinați numărul întreg 𝑥 pentru care 3𝑥=6561𝑥.
Fișa de lucru nr.6: verbul APLICĂ
1. Pentru 6 kg de mălai, 6 l de ulei, și 10 kg de roșii s -au plătit 96 lei. Dacă un litru de
ulei costă 4 lei, un kg de roșii costă 5 lei, calculați prețul unui kg de mălai.
2. Dacă 𝑥=−1 este soluția ecuației −2𝑥−𝑎=5, atunci a este:
a. {−2} b, {−3} c, {3} d. {2}
3. Mama Alexandrei a scos de la bancă suma de 80 lei în bancnote de 10 lei și de 5 lei.
Alexandra a numărat bancnotele și a găsit 11. Calculați câte bancnote de 10 lei a
găsit Alexandra.
Pentru evaluarea activității grupelor, după expirarea timpului de lucru, am aplicat
metoda turului galeriei. Expunând materialele elevilor în locuri vizibile, elevii prezentându -și
materialele și primind observa ții și note de la celelalte grupe, ia r la final, profesorul să discute
cu ei obiectivitatea notelor și să corecteze eventualele erori. Ca premiu fiecare grupă primește
câte un material informativ despre m atematică.
4.2.8. ȘTIU / VREAU SĂ ȘTIU / AM ÎNVĂȚAT
Metoda Știu -vreau să știu -am învățat, metodă a gândirii critice, poate fi utilă și în cazul
audierii unor prelegeri. Prin această metodă elevii își reamintesc ceea ce știu deja despre tema
propusă și c e întrebări au în legătură cu ea și ceea ce învață î n lecție legat de aceasta. Etapele
acestei metode sunt
1) Împărțirea clasei pe grupe și oferirea unor materiale despre tema pusă în discuție;
2) profesorul desenează pe tablă sau pe o foaie de hârtie un tabe l având trei coloane ce
conțin verbele: știu -vreau s ă știu -am învățat.
3) În prima coloană vom trece tot ce știu despre subiectul propus;
4) în coloana din mijloc pot fi puse întrebări în legătură cu ceea ce vor să știe și pot apărea
și întrebări în urma dezacor dului privind unele detalii din materialele date sau pot fi
produse de curiozitatea elevilor;
5) Verificăm care dintre acestea întrebări din coloana „Vreau să știu” și -au găsit răspunsul
și notăm răspunsurile în coloana „Am învățat”. Mai pot fi trecute în ace astă coloană
alte informații din text în legătură cu care nu s -au pus întrebări la început.
118
6) Întorcându -ne apoi la întrebările care au rămas fără răspuns și discutându -le cu elevii,
stabilim unde ar putea căuta ei aceste informații.
Această metodă îi activ ează pe elevi, îi face conștienți de procesul învățării și le verifică
cunoștințele. Fiecare elev își conștientizează lacunele și profesorul îi motivează în acoperirea
acestora, le stimulează atenția și gândirea critică si le oferă o modalitate pragmatică de abordare
a textului. Ca dezavantaje ale acestei metode pot fi consumul mare de timp și faptul că nu se
pretează la toate lecțiile.
Exemplu 4.2.8: Aplicarea acestei metode la predare lecției „Probleme care se rezolvă
cu ajutorul ecuațiilor”, clasa a VII -a.
ȘTIU VREAU SĂ ȘTIU AM ÎNVĂȚAT
Ce numim ecuație de gradul I.
Numim ecuație de gradul I o
egalitate de forma 𝑎𝑥+𝑏=0,a,
bR.
Ce înseamnă a rezolva o ecuație
de gradul I.
A rezolva o ecuație înseamnă a
determina mulțimea soluțiilor
sale.
Când două ecu ații sunt
echivalente.
Două ecuații care au același
domeniu și aceiași mulțime de
soluții se numesc ecuații
echivalente. Cum rezolv o problemă
cu ajutorul ecuațiilor.
Care sunt etapele sale?
Cum rezolv probleme cu
conținut geometric cu
ajutorul ecuațiilor. Etapele d e rezolvare a unei probleme
cu ajutorul ecuațiilor sunt:
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” –
Ce știu? Ce nu știu?
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau
,,Analizez relațiile date mai sus, adică
aleg necunoscuta și exprim celelalte
mărimi în fun cție de ea ”. Notăm cu
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau
„Pun problema în ecuație”.
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”.
Pasul 5. „ Interpretez soluția,
formulez răspunsul și verific
rezultatele ”.
Pentru exemplificare voi rezolva cu ajutorul elevilor o problem ă cu conți nut
geometric:
Într-un triunghi dreptunghic, măsura unui unghi ascuțit este egală cu dublul măsurii
celuilalt unghi ascuțit. Aflați măsurile celor două unghiuri ascuțite.
Pasul 1 . ,,Citesc/observ și înțeleg” – Ce știu?: Că într-un triunghi drep tunghic, măsura
unui unghi ascuțit este egală cu dublul măsurii celuilalt unghi ascuțit. Ce nu știu? Măsurile
celor două unghiuri ascuțite.
Pasul 2. ,,Planific și calculez” sau ,,Analizez rela țiile date mai sus, adică aleg
necunoscuta și exprim celelalte m ărimi în funcție de ea”. Notăm cu x măsura unui unghi ascuțit
și cu 2x măsura celuilalt unghi ascuțit întrucât este dublul primului unghi.
119
Pasul 3. „Organizez și redactez” sau „Pun problema în ecuație”. Știind că, într -un
triunghi dreptunghic unghiurile as cuțite sunt complementare vom avea ecuația 𝑥+2𝑥=90°
Pasul 4. ,,Rezolv ecuația”. 𝑥+2𝑥=90°⇔3𝑥=90°⇔𝑥=90:3⇔𝑥=30°.
Pasul 5. „ Verific că am răspuns corect ” sau „ Interpretez soluția, formulez răspunsul și
verific rezultatele ”: Dacă măsura unui unghi ascuț it într -un triunghi dreptunghi este egală cu
30°, atunci măsura celuilalt unghi ascuțit va fi 2∙30°=60°. Întrucât 30°+60°=90° rezultă
că soluția ecua ției este și soluția problemei.
Pentru a învăța să aplice etapele rezolvării cu ajutorul ecuațiilor a prob lemelor
profesorul propune elevilor o fișă de lucru ce conține problemele:
1) Aflați numărul care adunat cu 3,5 dă 10,75.
2) Maria în a cheltuit o sumă de bani în două zile. În prima zi M ihai a cheltuit 20% din
sumă, iar în a doua zi restul de 50 de lei. Calcul ați suma de bani cheltuită de Mihai
în prima zi ?
3) Determinați catetele unui triunghi dreptunghic știind că ipotenuza are lungimea de
8 cm.
4) Aflați două numere, știind că suma lor este 67 și că, împărțind pe primul la al doilea,
obținem câtul 4 și restul 7.
5) Trei copii au împreună 216 timbre. Câte timbre ar fiecare dacă primul are de trei ori
mai multe decât ceilalți doi la un loc, iar al treilea cu 20 mai multe decât al doilea.
4.2.9. MOZAICUL (METODA JIGSAW)
Mozaicul este o metodă de învățare prin colabora re, în echipă, coordonată de un
profesor sau formator. El stabilește sarcinile la începutul lecției și își micșorează rolul pe
parcurs. Etapele metodei mozaicului sunt: Etapa 1) Se p regătește materialul de lucru. Se
împarte clasa în grupe eterogene. Se ofe ră fiecărei grupe câte un material împărțit în tot atâtea
părți câți elevi sunt în fiecare grupă. Profesorul explică că până la sfârșitul lecției fiecare elev
trebuie să înțeleagă te xtul din materialul propus. Elevii din fiecare grupă vor alege un număr
de la 1 la 4 și vor studia materialul ce le corespunde numărului lor. Etapa 2) Se organizează
grupul de experți. Elevii cu numărul 1 din fiecare grupă se unesc și formează grupa de exp erți
numărul 1, elevii cu numărul 2 vor forma grupa de experți numărul 2, etc. Ei vor dezbate
împreună ceea ce au avut de învățat individual și vor stabili un mod comun dea prezenta tema
și celorlalți elevi din grupa inițială. Etapa 3) Elevii, deveniți „ex perți”, se întorc în grupul inițial
și vor preda colegilor din grupă mater ialele referitoare la tema pregătită. Pot face scheme,
120
grafice, desene fiind profesor pentru o oră. Colegii lor pot cere lămuriri „expertului” în legătură
cu ceea ce nu au înțeles. L a final profesorul poate verifica oral sau print -o fișă de evaluare dacă
elevii au înțeles tot materialul prezentat, el mai poate verifica capacitatea lor de analiză și de
sinteză.
Prin această metodă se dezvoltă gândirea logică, critică și independentă, r ăspunderea
individuală și de grup, optimizarea învățării prin predarea ach izițiilor altora.
Exemplu 4.2.9 Vom folosi metoda mozaicului in cadrul lecției de recapitulare
„Metodele aritmetice de rezolvare a problemelor”, clasa a VI -a
După împărțirea clasei în 5 grupe de câte 5 membrii, fiecare elev dintr -o grupă alege un
număr de la 1 la 5 și primește un material cu una din metodele aritmetice de rezolvare a
problemelor corespunzător numărului (1 -metoda reducerii la unitate, 2 -metoda c omparației, 3 –
metoda figurativă, 4 -metoda mersului invers și 5 -metoda falsei ipoteze). După ce fie care citește
materialul primit, toți cei care au numărul 1 -metoda reducerii la unitate formează o grupă de
expert și tot așa se formează și celelalte grupe de expert. Fiecărui grup nou format i se distribuie
o fișă cu sarcini din tema respectivă.
Fișa 1. Metoda reducerii la unitate :
1) Opt kilograme de caise costa 24 de lei. Cât cost 5 kilograme de același fel?
8 kg caise……………………………… 24 lei
1kg caise ………………………………. 24:8=3 lei
5kg caise ………………………. ……….5∙3=15 lei
2) Cinci robinete care au același debit umplu un bazin în 18 ore. În cât timp se umple
bazinul cu apa care curge din trei robinete de acelaș i tip.
5 robinete…………………………….18 ore
1 robinet…………………………. …..18∙5=90 ore
3 robinete ……………………………. 90:3=30 ore.
Observație: În prima problemă avem o dependență directă: dacă scade de un număr de
ori numărul de kg de caise, atunci scade și costul lor la fel. Dependența din a doua problemă
este inversă dacă scad numărul de robinete care umplu un bazin de un număr de ori atunci și
timpul lor de curgere creste de același număr de ori.
3) 10 muncitori ter mină o lucrare în 6 zile. În câte zile termină lucrarea 12 muncitori.
Fișa 2. Metoda comparației
121
35
II 1) Maria intrând într -o librărie și -a cumpărat 6 pixuri și 8 caiete, pe care a plătit 58 lei,
Andrei a cumpărat de la același librărie 6 pixuri și 12 caiete pe ca re a plătit 78 lei. Cât
costă un pix și cât costă un caiet?
6 pixuri………………………… ..8 caiete………………………………..58 lei
6 pixuri…………………………..12 caiete………………………………78 lei
Scădem cele două relații și reducem termenii egali, cele 6 pixuri și vom avea:
12−8=4 caiete costă 78−58=20 lei. Așadar un caiet va costa 20:4=5 lei.
6 pixuri…………………………8 ∙5 lei………………………………….58 lei.
Ceea ce înseamnă că 6 pixuri costă 58−40=18 lei și un pix costă 18:6=3 lei
2) Pentru trei seturi de creioane și 2 seturi de geometrie s -au plătit 72 lei. Cât costă fiecare
set dacă un set de geometrie costă cu 6 lei mai mult decât un set de creioane.
3) 3 covrigi și 2 brioșe costă 14 lei, iar 7 covrigi și 2 brioșe costă 22 lei Cât costă un covrig
și cât costă o brioșă.
Observație : metoda comparație constă în scrierea datelor problemei unele sub a ltele,
egalarea a doi termeni prin multiplicare pentru eliminarea lor prin reducere sau înlocuire.
Fișa 3. Metoda figurativă:
1) Suma a două numere este 215 și diferența lor este 35. Află nu merele.
215−35=180 reprezintă cele două segmente egale
180:2=90 primul număr
90+35=125 reprezintă al II -lea număr.
2) Împărțind un număr la alt număr natural, Luca obține câtul 3 și restul 1. Știind că suma
lor este 37, aflați numerele.
3) Dacă se așază câte doi elevi în bancă, 4 elevi rămân în picioare. Dacă se așază câte 3
elevi în bancă, două bănci rămân libere. Câți elevi și câte bănci sunt în clasă?
4) Trei elevi au împreună 780 lei. Al doilea are cu 30 lei mai mult decât primul. Al treilea
elev are de trei ori mai mulți bani de cât primul. Află câți bani are fiecare elev.
Observație: În metoda figurativă reprezentarea datelor se face de regulă cu segmente de
dreaptă, care vor fi luate ca părți dintr -un întreg. Prin această metodă se pot afla două numere
când se cunosc suma și dif erența, suma și câtul, respectiv diferența și câtul lor.
Fișa 4. Metoda mersului invers:
1) Dacă la dublul unui număr adunăm 16, obținem 100. Află numărul. 215 I
122
100-16 =84 dublul numărului; 84:2=42 este numărul la care m -am gândit.
2) Dian a și Andrei își petrec vaca nța la bunici. Bunica îi anunță că le -a lăsat pe masă în
bucătărie câteva bomboane, pe care trebuie să le împartă în mod egal. Andrei vine
primul și ia jumătate din bomboane. După un timp vine și Diana și neștiind că fratele
ei și-a luat partea, ea și ea j umătate din bomboane și pleacă. Pe masă mai rămân 4
bomboane. Câte bomboane le -a lăsat bunica.
3) Mă gândesc la un număr, pe care îl măresc de 5 ori, apoi îl măresc cu 4. Împart numărul
2018 la rezultat și obțin câtul 2 la ce număr m-am gândit?
4) Aflați x din: [71−(3𝑥+5)]:6=10.
Observație: metoda mersului invers constă în refacerea traseului logic al problemei în
sens invers de la sfârșit spre început.
Fișa 5. Metoda falsei ipoteze:
1) La o fermă Ionuț a numărat 5 capete și 14 picioare de păsări și iepuri. Câte păsări și câți
iepuri sunt?
Presupunem că am avea doar păsări, deci am avea un număr de 5∙2=10 picioare.
Calculăm diferența de picioare 14−10=4 picioare în minus.
Distribuim cel 4 picioare câte 2 la două capete și vom avea 4:2=2 iepuri.
Calculăm numărul de păsări 5−2=3 păsări. Deci sunt 2 iepuri și 3 păsări.
2) Andrei are suma de 435 lei în bancnote de 5 lei și 10 lei. Dacă sunt în total 50 de
bancnote, să se afle câte bancnote de fi ecare fel are Andrei.
3) Se toarnă 89 l de apă în 7 va se, unele de 3l fiecare, altele de 20 l. Câte vase de fiecare
fel sunt necesare?
4) Într-o poieniță se jucau veverițe și vrăbiuțe, în total 15 capete și 50 picioare. Numărul
veverițelor este de…………… ……
În cadrul grupului pot apărea discuții, „cer turi” toate însă constructive. fiecare problema
in parte va fi analizata, se argumentează observațiile, criticile și metodele. După ce grupele de
experți și -au încheiat lucru, fiecare elev se întoarce în grupul său inițial și predă celorlalți
metoda aritme tică pregătită și răspunde la întrebările colegilor. Caută împreună conexiuni,
legături . Observațiile fiecărui grup sunt expuse de un membru al grupului. Sub îndrumarea
profesorului se sistem atizează cele cinci metode prin discuție frontală cu grupele de experți și
cu întreaga clasă.
În metoda mozaicului fiecare elev devine responsabil, atât pentru învățarea proprie cât
și pentru învățarea celorlalți.
123
4.3. PROIECTAREA UNOR LECȚII DE MATEMATICĂ . APLICAȚII
Noțiunea de proiectare didactică reflectă, la modul cel mai general activitatea de
prefigurare, anticipare, predeterminare sau prognozare atât a desfășurării de ansamblu a
procesului instructiv educativ cât, mai ales a componentelor sale, a mo dului în care acestea vor
relaționa și se vor determina reciproc , la toate nivelurile. M. Ionescu și I. Radu disting între un
sens tradițional al cuvântului proiectare, prin care se înțelege împărțirea timpului, evaluarea
materiei sub forma planului calen daristic, sistemul de lecții, planului tematic, proiectului de
lecții și un sens modern sinonim termenului de desing tradițional, înțeles ca act de anticipare,
prefigurare a demersului didactic în termeni care să -l facă traductibil în practică.
Proiectul de învățare a matematicii, ca și al oricărei alte discipline din planul cadru de
învățământ, cuprinde următoarele etape: proiectarea activității de instruire; desfășurarea
instruirii; activitatea de învățare de către elevi; evaluarea rezultatelor învățării raportate la
obiectivele instruirii. Ca primă etapă a procesulu i de învățământ, proiectarea se
intercondiționează cu toate celelalte etape, determinând conținutul lor. De aceea, aceeași temă
din programa școlară se poate desfășura în mai multe variante, p oate fi prezentată elevilor
utilizând metodologii didactice dife rite.
Proiectarea oricărei activități de instruire trebuie să pornească de la competențele
generale pe care le urmărește predarea disciplinei, de la stabilirea competențelor specifice temei
și care bineînțeles se subsumează competențelor generale, de la condițiile de instruire (numărul
de ore acordat prin programă temei, nivelul real de pregătire al elevilor cu care urmează să se
desfășoare instruirea, mijloace didactice de care dispunem, ins trumentele de evaluare). Deci,
înainte de a trece la realizarea unui proiect de tehnologie didactică profesorul trebuie să
cunoască temeinic competențele specifice predării matematicii la treapta respectivă de
învățământ, corelarea lor cu competențele pred ării ei la celelalte trepte, competențele specifice
disciplinei matematice respective (algebră, geometrie, trigonometrie sau analiză matematică).
O parte dintre aceste competențe generale le desprinde profesorul printr -o analiză atentă a
conținutului progr amelor și a modului de prezentare a temelor în manuale, a extind erilor date
acestor teme, iar o altă parte, sunt de regulă prezentate în notele explicative ale programelor
școlare. Un lucru este cert: activitatea didactică nu se poate desfășura la întâmpl are. Eficiența
ei este influențată, în mod semnificativ, de aște ptările și reperele (oficiale sau personale) pe
care profesorul le are în vedere.
124
Documentul central care jalonează desfășurarea activității didactice este programa
școlară, un act normativ, care stabilește competențele generale și competențele specifice,
precizează unitățile de conținut și propune activități de învățare. Astfel competențele predării
algebrei, geometriei în gimnaziu vor fi derivate din competențele generale ale matematicii la
acest ciclu de învățământ, și care se găsesc în nota explicativă a programei respective (vezi
valori și atitudini). Programa de matematică este structurată pe formarea de competențe, sunt
6 competențe generale și au în vedere să nu îngrădească libertatea p rofesorului în proiectarea
activității didactice. Aceasta trebui e să creeze condițiile realizării competențelor generale și
specifice și parcurge integral conținutul obligatoriu, chiar dacă schimbă ordinea parcurgerii
elementelor de conținut sau grupează î n diferite moduri aceste elemente. Atunci când întocmim
proiectu l unei teme sau a unei lecții, vom formula competențele predării ei prin derivare din
competențele generale ale predării matematicii. Pe lângă aceste competențe, care ne arată în ce
măsură tem a respectivă contribuie la realizarea competențelor predării, de exemplu, a algebrei
în gimnaziu, este necesar să ne formulăm și competențele specifice derivate, adică acele
competențe care ne ajută să precizăm ce anume capacități și deprinderi trebuie să posede elevii
la sfârșitul acelei secvențe de instruire. Aceste competențe specifice derivate trebuie termeni
(acțiuni care să poată fi măsurate, observate), prin utilizarea unor cerințe care exprimă în mod
precis acțiunea (a demonstra teorema, de exemplu ) pe care elevii să o poată realiza.
Deci, după ce ne -am contur at bine competențele generale ale predării, mai sunt necesari
următorii pași: 1) precizarea comportamentelor esențiale care duc la realizarea competenței
generale; 2) formularea unor competenț e specifice derivate, adică ce performanțe dorim să
obținem de l a elevi la sfârșitul unei lecții; 3) selecționarea acțiunilor specifice care pot duce la
realizarea fiecărei competențe specifice derivate. Nu este suficient să descriem numai
performanța fina lă a elevului, ci trebuie să specificăm, ce posibilități are la dispoziție elevul
pentru a demonstra că a realizat performanța propusă. Treptat elevii vor deprinde capacitatea
de a utiliza elementele teoretice ca suport logic al rezolvării problemelor. Ace st lucru se poate
realiza numai dacă profesorul, pe parcursul tu turor activităților stabilește un raport just între
elementele teoretice și cele practic -aplicative. Un astfel de raport bine realizat îl va feri pe elevi
de deprinderea greșită de a înlocui r ezolvarea logică, simplă a unor probleme cu aplicarea
mecanică a unor algoritmi de calcul.
O desfășurare optimă a procesului de învățare necesită anticiparea de către profesor a
activităților din clasă. Această anticipare se concretizează prin proiectarea demersului didactic.
Ea are în vedere: corelarea dintre competen țe și conținuturi, alocarea bugetului de timp,
detalierea activităților desfășurate de elevi și modul cum se face evaluarea. Tehnica
125
proiectărilor lecțiilor de matematică trebuie concepută ast fel încât fiecare activitate concretă a
elevilor să conducă spre realizarea unor competențe specifice clar formulate. Exercițiile ce se
rezolvă în clasă să fie structurate și eșalonate încât fiecare dintre ele să constituie un pas
indispensabil al formării la elevi a anumitor abilități, deprinderi și priceperi, al înțe legerii
rostului elementelor teoretice. Permanent, se va urmări valorificarea valențelor formativ –
educative ale lecțiilor de matematic; dezvoltarea la elevi a sârguinței, atenției, voinței, a
spiritului de ordine și exigență față de propriile judecăți.
Profesorul va urmări nu numai efectuarea la tablă a unor exerciții corecte sau redactarea
îngrijită a unor relații, ci si corectitudinea notițelor, modul în care elevii redactează corect
relațiile care se scriu pe tablă. Exercițiile și problemele nu vor fi eșalonate după ingeniozitatea
soluțiilor, a frecvenței lor în probele de examen, ci și după locul și rolul lor competențelor
specifice propuse.
Proiectarea unei activități didactice este un act creator din partea profesorului deoarece
el trebuie să aplic e anumite norme psihologice, pedagogice, ergonomice, de comunicare în
situații noi, în condițiile în care crede că va reuși să dobândească competențele specifice
derivate propuse. Chiar în condițiile în care profesorul predă aceeași temă, cu aceeași formul are
în programa școlară și cu aceeași extindere în manual, nu poate repeta aceeași formularea a
competențelor specifice derivate, deoarece „startul” de pornire a elevilor cu care urmează să
realizeze instruirea poate să nu fie același, deci nici resursele pentru fiecare competență nu mai
sunt aceleași. Atunci când nu se ține cont de aceste condiții, apare fenomenul de oboseală,
solicitările adresate elevilor nu sunt adaptate capacităților lor psihice și fizice. De asemenea,
apare dezinteresul sau convingere a elevului că oricât s -ar strădui tot nu poate răspunde
solicitărilor.
Pentru a urmări eficiența instruirii proiectate, este necesar să se prevadă realizarea
conexiunii inverse atât pentru procesul de învățare, cât și pentru reglarea unor etape ale
instru irii. Proiectul se va realiza astfel să asigure elevilor conexiune inversă. După realizarea
unor sarcini didactice, prin modalități cât mai simple, elevii trebuie să primească confirmarea
sau infirmarea răspunsurilor lor. Pentru aceasta, proiectul didactic este, în general, diferit de la
un colectiv de elevi la altul, realizarea unei etape de instruire este intercondiționată de realizarea
etapelor precedente, Prin adaptări corespunzătoare ale acțiunilor educative, are în vedere
tratarea individuală a elevil or, dezvoltarea capacităților lor intelectuale în raport cu aptitudinile
și înclinațiile personale. Proiectul se va întocmi astfel încât să lase loc profesorului pentru a
dirija acțiunea fiecărui elev. Este posibil ca la alte colective de elevi anumiți fac tori să constituie
126
restricții privind întocmirea proiectului didactic. Înainte de formularea unei competențe trebuie
să știm că elevii cunosc noțiunile teoretice necesare realizării acesteia.
Rezumând, principalele etape ale întocmirii unui proiect didact ic sunt:
1) Analiza tuturor informațiilor cu privire la nivelul de cunoștințe al elevilor cu care
urmează să se desfășoare instruirea; raportarea acestor informații la conținutul
programelor școlare; analiza dotării școlii cu material didactic și posibilitat ea de
autodotare.
2) Stabilirea competențelor specifice temei și celor ce derivă din cele ale predării unei
anumite discipline matematice (algebră, geometrie, etc.).
3) Stabilirea competențelor specifice derivate.
4) Realizarea proiectului didactic ținând seama de tipul de lecție.
În urma celor prezentate, am căutat în activitatea didactică la clasă să îmbin metodele
moderne cu cele clasice, am încercat să -i apropii pe elevi de matematică prin punerea
accentului pe spiritul de joc al matematicii, să proiectez activi tăți matematice atractive,
interesante, să cultiv pasiunea și interesul elevilor pentru rezolvarea de probleme cu ajutorul
ecuațiilor prin alegerea unor exemple de probleme practice. Am încercat, din perspectiva
disciplinei matematică, să creez un cadru ad ecvat de lucru care să conducă elevii la
manifestarea dorinței de cunoaștere, de perseverență în rezolvarea de probleme cu ajutorul
ecuațiilor și de dezvoltare a unei gândiri creative, să identific situațiile problematice în învățare
și să remediez dificul tățile pe care le -au avut elevii prin analiza sistematică a erorilor frecvente
și modificarea adecvată a progresului didactic, să creez un sistem de înregistrare a progresului
în învățare pentru a compara, evalua și prognoza evoluția fiecărui elev. În cadr ul fiecărei clase
de elevi am încercat să creez o ambianță comportamentală care să exprime un climat de învățare
participativ și creativ, în acest fel motivația pentru dobândirea cunoștințelor noi să antreneze
după sine o învățare eficientă, care include a titudini și automotivare.
Orele s -au desfășurat după o planificare sistematică a materiei pe unități de învățare, an
și calendaristică, pe întocmirea de proiecte didactice în cadrul cărora am urmărit atingerea
competențelor specifice (derivate). Dintre co mpetențele specifice urmărite în cadrul temei
rezolvarea de probleme cu ajutorul ecuațiilor în gimnaziu amintim; utilizarea operațiilor cu
numere reale și a proprietăților acestora în rezolvarea unor ecuații și inecuații; determinarea
soluțiilor unor ecua ții, inecuații sau sisteme de ecuații; identificarea unor probleme rezolvate
prin utilizarea ecuațiilor, inecuațiilor sau a sistemelor de ecuații, rezolvarea acestora și
interpretarea rezultatului obținut.
127
Pentru creșterea eficienței lecțiilor am încercat să lucrez diferențiat cu elevii, având în
vedere că am întâlnit elevi cu dificultăți de învățare la matematică, în unele clase mai puțini iar
în altele mai mulți. Am căutat, să utilizez învățarea în grupuri mici în care elevii mai puțin
dotați să fie ajuta ți, să responsabilizez fiecare elev din grup, să -i implic mai des la solicitarea
unor răspunsuri la întrebări mai simple, să -i apreciez verbal și să le încredințez sarcini mai
ușoare. Am urmărit ca tema pentru acasă să fie dată diferențiat (pentru nivel mi nimal, mediu și
maximal) și pe măsura posibilităților lor, fără a împărți elevii pe nivele și stimulându -i să
lucreze pentru a -și însuși cât mai bine cunoștințele, pentru a -și dezvolta gândirea logică, pentru
a ajunge la unele automatizări în aplicarea teo riei. Am făcut activități suplimentare, în afara
orelor de curs în scopul facilizării însușirii materiei curente și remedierii unor deficiențe. I -am
ajutat să învețe „cum să învețe”. Am încercat să le acopăr golurile în pregătirea anterioară, atât
pentru a le elimina cât și pentru a ști în ce măsură și -au însușit cunoștințele și dobândi
competențele dobândite anterior. Am implicat părinții, în sensul supravegherii mai apropiate a
elevului în timpul de studiu și de susținere a activităților elevilor. Am iden tificat și susținut
elevii cu talent deosebit la matematică, le -am acordat atenție, afecțiune, sprijin, pregătire, am
participat cu ei la olimpiada de matematică și la diverse alte concursuri.
Am încercat în cadrul lecțiilor să le creez interes și curiozi tate pentru conținuturi, să
accentuez rolul învățării în clasă, să stimulez activitățile diferențiate cu sarcini precise, în
funcție de nivelul de pregătire al elevilor, să combin activitățile frontale cu munca în echipă.
Pentru îndrumarea elevilor am ales exerciții și probleme care să le deschidă noi orizonturi, să
valorific conținutul culegerilor și fișelor de lucru, să recunosc meritul fiecărui ele, să
recompensez reușitele, chiar dacă sunt modeste, să le sporesc încrederea în sine, să evit critica
moral izatoare, să apreciez progresele, să le stimulez cooperarea la nivelul grupului și
competiția între grupe.
În urma parcurgerii programei privind ecuațiile, inecuațiile și rezolvarea de probleme
cu ajutorul ecuațiilor în gimnaziu, am constatat că majoritat ea elevilor și -au format deprinderile
de rezolvare a ecuațiilor, inecuațiilor și problemelor rezolvate cu ajutorul ecuațiilor. Elevii mai
întâmpină unele dificultăți la punerea problemei în ecuație și la regulile de calcul algebric, la
schimbarea semnelor dar, prin muncă asiduă și prin lucru diferențiat să rezolvăm aceste
dificultăți.
Pe baza celor spuse voi prezenta un exempl u de proiect didactic în Anexe.
128
CAPITOLUL 5.
CERCETARE APLICATIVĂ PRIVIND APLICAREA METODELOR
MODERNE / TRADIȚIONALE DE PREDARE -ÎNVĂ ȚARE -EVALUARE
ÎN STUDIUL ECUAȚIILOR ȘI PROBLEMELOR REZOLVATE CU
AJUTORUL LOR ÎN GIMNAZIU
5.1. IPOTEZA SI OBIECTIVELE CERCETĂRII
Experimentul este apreciat ca cea mai importantă cale de cercetare, deoarece furnizează
date precise și obiective concrete. Do uă ipostaze sunt esențiale pentru experiment: capacitatea
de a verifica ipotezele – cauzele și posibilitatea pe care o oferă pentru a controla situațiile
experimentale. Astfel, spre deosebire de observație, unde cercetătorul așteaptă apariția și
manifestar ea fenomenului studiat, principala caracteristică a experimentului pe de o parte
constă în provocarea intenționată a manifestării fenomenului și pe de altă parte în varierea
condițiilor de manifestarea a acestora.
Pe baza ipotezei ava nsate, în cadrul exper imentului se modifică în mod sistematic un
factor sau altul și se notează efectele acestei modificări asupra activității și a conduitei
subiectului sau grupului. Factorul cu care operează și pe care -l fluctuează experimentatorul
desem nează variabila indepe ndentă, iar schimbările produse și care urmează să fie murate și
explicate constituie variabila dependentă Relația dintre cele două variabile este una de tip
cauzală astfel că variabila independentă acționează, provoacă, conduce la va riabila dependentă.
Experimentul psihopedagogic în cadrul căruia subiecți sunt constituiți din clase de elevi este
un experiment natural; elevii nu și -au dat seama că fac parte dintr -un experiment, deoarece
activitățile s -au desfășurat în mediul lor obișnu it, în condiții normal e ale vieții și activității
acestora, în școală.
Etapele cercetării experimentale pot fi următoarele:
1. Delimitarea și formularea problemei ce urmează a fi elucidată.
2. Formularea ipotezelor.
3. Determinarea și stabilirea variabilelor (in)de pendentă în funcție de tema propusă.
4. Prestarea pentru a ne asigura că toți subiecții au înțeles sarcina experimentului că
variabila independentă acționează efectiv asupra lor.
129
5. Stabilirea situației experimentale opțiunea pentru experimentul de laborator sau cel
natural psihopeda gogic, aparatura necesară pentru producerea stimulilor, de
înregistrare a reacțiilor, condițiilor concrete în care se desfășoară experimentul.
6. Constituirea eșantionului experimental și de control.
7. Administrarea factorului experimental pe eșantionul experim ental. Manipularea
variabilelor constituie un act important, întâlnim patru regimuri speciale: 1) izolarea
esențialului de neesențial; 2) menținerea constantă a condițiilor; 3) măsurarea
condițiilor; 4) amplificarea parametrilor unor variabile pentru a ver ifica influența
lor în sistem.
8. Faza înregistrării, prelucrării, analiza și interpretarea rezultatelor și stabilirea
diferențelor între faza inițială și faza finală a eșantionului experimental.
9. Redactarea raportului de cercetare.
Rezol varea de probleme de c ătre elevi determină: o bună înțelegere și o bună operare
cu definiții și cu rezultatele teoretice predate; contribuie la identificarea aplicațiilor teoriei
învățate și la găsirea conexiunilor și la alte subiecte predate la matematică precum si la alte
discipline; asigură legătura cu practica, influențează dezvoltarea capacității de analiză și
sinteză, de ordonare logică a raționamentului, de generalizare, de particularizare; dezvoltă
abilități de calcul, contribuie la dezvoltarea spir itului de observație, intuiție și imaginație, a
capacității de investigare și creativitate, Pentru a da o formă problemei, care să facă posibilă
întotdeauna rezolvarea ei pe lângă metodele clasice, profesorul nevoit uneori va face apel și la
cele moderne, oferind elevului posib ilitatea să se implice activ în procesul de predare -învățare –
evaluare
Ținând cont de caracteristicile metodelor moderne, am înțeles că acestea guvernează
întregul proces de învățare, creând climatul psihologic adecvat pentru desfășu rarea activității,
deci folosirea în lecție a unor metode moderne poate contribui la sporirea eficienței învățării în
măsura în care utilizarea lor respectă o serie de cerințe concretizată prin îmbunătățirea
rezultatelor școlare ale elevilor la matematică. În urma studiului efe ctuat am dedus că trebuie
să introduc metode moderne și să realizez schimbări necesare atât în modul de dobândire a
cunoștințelor, de formare a priceperilor, deprinderilor de lucru a elevilor mei cât și în
comportamentul și atitudinil e acestora.
În cadrul cercetării am formulat următoarea ipoteză de lucru “Aplicarea strategiilor
moderne de predare -învățare în lecțiile dedicate ecuațiilor și problemelor care se rezolvă cu
ajutorul ecuațiilor conduce la creșterea randamentului școlar al elevilor .”
130
Principal ele obiective ale cercetării sunt:
– creșterea motivației învățării și, implicit a randamentului școlar, în ceea ce privește
rezolvarea problemelor matematice, ca urmare a integr ării strategiilor moderne de
predare/învățare în cadrul matematicii.
– Identificar ea nivelului inițial de cunoștințe.
– Conceperea, propunerea și rezolvarea unor situații problemă.
– Valorificarea în practică a situațiilor problemă și a modalităților de aplicare a
metodelor moderne centrate pe elev.
– Constatarea progresului elevilor precum ș i a gradului de participare activă la ore.
– Evidențierea unor metode de ameliorare pentru obținerea maximului de po tențial
atât în ceea ce privește metoda cât si în ceea ce privește adoptarea metodei la clasă.
– Prelucrarea și redactarea grafică și compararea rezultatelor pentru a evidenția
performanțele elevilor din perspectiva obiectivelor propuse.
– Interpretarea datelo r și concluzia cercetării.
– Tratarea copilului nu numai ca pe o ființă în plină dezvoltare, care are nevoie de
spațiu, o programă și un îndrumă tor spre a da forma, ci ca pe un univers aparte și
totodată unic.
5.2. METODOLOGIA CERCETĂRII
Am ales ca eșantio ane ale experimentului psihopedagogic două clase: clasa a VIII -a A
și clasa a VIII -a B de la Școala Gimnazială Comuna Tămășeni, Județul Neamț, fiind profesor
la ambele clase.
Pentru a putea arăta eficiența acestor metode moderne și plusul de valoare obținu t am
decis să folosesc predominant metode didactice moderne la clasa a VIII -a B (eșantion
experimental) , iar la clasa paralelă, a VIII -a A să folosesc cu precădere metode didactice
clasice, această clasă devenind eșantionul de control ( martor ).
În etapa premergătoare experimentului am pregătit sistematic diversele materiale
didactice, necesare desfășurării muncii la clasă în cele mai bune condi ții.
În cadrul experimentului realizat, variabila independentă este utilizarea metodelor
didactice moder ne, iar variabila dependentă este obținerea rezultatelor mai bune în procesul de
învățământ. De asemenea, încă de la început am remarcat o atitudine poz itivă, la elevii care s –
au implicat foarte mult în activitățile de grup, au colaborat între ei la rezolv area sarcinilor de
131
lucru, au renunțat la individualismul caracteristic unora, devenind conștienți și responsabili de
rolul fiecăruia în cadrul grupului.
Am monitorizat cu atenție activitatea grupelor, solicitându -i pe toți să lucreze și
implicându -i activ la activități, evitând astfel posibilitatea ca unii să se sustragă sarcinilor. La
clasa experimentală am folosit adesea metode specifice gândir ii critice și în vățării prin
cooperare, de exemplu : mozaicul, cubul, ciorchinele, t urul galeriei, a lături de met ode act ive
folosite frecvent în predarea -învățarea matematici i cum sunt problematizarea, experimentul,
modelarea, învățarea prin descoperire, studiul de caz, brainstorming -ul, conversația euristică.
La clasa martor am utilizat predominant metode didactice clasice centrate pe profesor
ca: demonstrația, explicația, prelegerea, conversația, comparația.
Cercetarea a cuprins 3 etape:
a) Etapa inițială (constatati vă). În această etapă am aplica t un test în vederea cunoașterii
volumului și calității cunoștințelor, deprinderilor și priceperilor elevilor ca punct de
plecare în desfășurarea demersului experimental.
b) Etapa formativă (ameliorativă) s-a realizat pe parcurs ul desfășurării procesului de
învățământ și a avut ca obiective verif icarea sistematică a progresului elevilor,
cunoașterea sistematică a rezultatelor determinând efecte reglatoare asupra activi tății și
ameliorarea ei continuă . In acest scop etapa formativ ă am desfășura t-o pe parcursul
semestrului al doilea la finalul unității de învățare “E cuații si ine cuații”. Evaluarea
formativă s-a realizat prin aplicarea unui test ce cuprinde rezolvarea ecuațiilor de
gradul I, a ecuațiilor de gradul al II -lea, a siste melor de două ecuații cu două
necunoscute și a problemelor care se rezolvă cu ajutorul acestora.
Aplicare a metodelor moderne (problematizarea, învățarea prin descoperire,
algoritmizarea, conversația euristică, metoda învățării pe grupe, metoda învățării p rin
cooperare, metoda cubului, ciorchinelui, t urul galeriei) ca metode activ -participative contribuie
la sp orirea eficienței învățării în măsura în care utilizarea lor respectă o serie de cerințe
concretizate prin îmbunătățirea rezultatelor școlare la mate matică.
Pe baza rezultatelor obținute la evaluarea inițială am adoptat decizii adecvate de
organizare a uno r activității diferențiate, atât cu elevii ce dovedesc un randament crescut la
învățătură cât și cu elevii ce manifestă goluri de cunoștințe. Pentru a asigura progresul elevilor
am folosi t informațiile oferite ca feedback, am reglat și optimizat procesul d e predare/ învățare
în așa fel încât să crească eficacitatea și eficiența demersului didactic.
132
c) Etapa finală. La recapitularea finală la clasele a VI II-a am aplica t un test de evaluare
sumativă pentru a diagnostica progresul sau regresul după aplicarea strategiilor
moderne de învățare de predare învățare. S -a urmărit în această perioadă evoluția
elevilor atât sub aspectul cunoștințelor cât și sub aspec tul formării deprinderilor cât ș i
sub aspectul capacității de apl icare a cunoștințelor însușite și al dezvoltării capacităților
cognitive.
Menționez că informațiile culese au fost corelate, prelucrate și interpretate și folosite în
organizarea și desfășura rea activităților didactice în vederea optimizării ei.
5.2.1. PR OIECTAREA TESTELOR UTILIZATE ÎN EVALUARE
A evalua rezultatele școlare înseamnă a determina măsura în care competențele
programului de instruire au fost atinse, precum și cum sunt folosite m etodele de predare –
învățare. Testele trebuie să prezinte anumite calități și anume: validitatea, fidelitatea,
obiectivitatea, aplicabilitatea.
Testele au caracter psihopedagogic, vizează măsurarea aprecierea unor situații specifice
procesului de învățămân t, relevante atât la nivelul dimensiunii sale structurale (plan, programe,
manuale) cât și la nivelul activității concrete de predare -învățare -evaluare. În ambele cazuri,
testele de cunoștințe asigură elaborarea unor decizii ameliorare -ajustare -restructura re a
procesului de învățământ, în general, a activității didactic e în mod special.
Obținerea informațiilor de evaluare cu ajutorul testelor necesită parcurgerea
următoarelor etape. 1) alegerea modelului de test. 2) întocmirea matricei de specificație.3)
stabilirea competențelor ce vor fi evaluate. 4) constituirea itemil or. 5) elaborarea baremului de
notare. 6) pilotarea și revizuirea testelor, precum și a baremului de notare. 7) administrarea
testelor.8) corectarea și analiza rezultatelor.
5.2.2. MATRICEA DE SPECIFICAȚII
După stabilirea tipului de test, se folosește ma tricea de specificații pentru a fi siguri că
testul măsoară competențele specifice definite anterior și are o bună validitate de conținut. Pe
liniile matricei sunt enunțate conținuturile test ate, iar coloanele conțin nivelurile cognitive la
care dorim să m ăsurăm aceste conținuturi (de exemplu: înțelegere, aplicare, analiză și sinteză).
Astfel, se găsește numărul de itemi indispensabili pentru fiecare conținut corelat cu nivelul
133
cognitiv. Pentr u aplicarea unei probe de evaluare, etapa succesoare matricei de specificației o
reprezintă scrierea efectivă a itemilor, elementele constituente de bază ale instrumentului de
evaluare, pe baza obiectivelor de evaluare rostite cât mai clar. Pentru a închei a procesul de
evaluare a testului, se folosește baremul de notare pe baza căruia vor fi corectate și punctate
lucrările elevilor.
Elaborarea testului de cunoștințe evidențiază importanța itemilor, care reprezintă cele
mai mici unități de conținut, alese în concordanță cu competențele specifice asumate conform
programei școlare. Pentru realizarea unei competențe specifice de evaluat pot fi propuși mai
mulți itemi sau poate fi propus un singur item. Această situație depinde de tehnica de testare
adoptată. Un test este bine pregătit dacă se adaptează nivelului de achiziție a clasei de elevi,
dacă răspunde competențelor de evaluat vizate pe perioada unității de învățare evaluată, are o
schemă de notare echilibrată.
5.2.3. TIPOLOGIA ITEMILOR
Probele de evaluare sunt constituite cu ajutorul diferitelor tipuri de itemi. Un item este
o întrebare adresată elevului sau un element din structura unui test. Un mod de clasificare a
itemilor în funcție de criteriul obiectivității sale în notare poate fi:
– Itemi obiectivi ( itemi cu alegere multiplă, cu alegere duală, itemi de tip pereche) în
care elevii nu elaborează răspunsurile ci doar aleg variante din cele propuse.
– Itemi semiobiectivi (itemi de completare, cu răspuns scurt, cu întrebări structurate)
presupune elaborarea completă de către elevi a răspunsului.
– Itemi subiectivi (r ezolvare de probleme, eseu) în care elevii își demonstrează
măiestria ți creativitatea lor.
5.3. EVALUAREA INIȚIALĂ A ELEVILOR
În etapa inițială , desfășurată în perioada 17 – 21 septembrie 2019 , am aplicat elevilor
de clasa a VIII –a testul de evaluar e inițială prin care am urmărit nivelul lor de cunoștințe,
priceperi și deprinderi matematice, dobândite anterior.
134
5.3.1. PROBA DE EVALUARE INIȚ IALĂ
Competențele de evaluat asociate testului de e valuare inițială
C1. Determinarea regulilor de calcul eficiente in efectuarea operațiilor cu numere raționale.
C2. Recunoașterea numerelor aparținând mulțimilor Q sau R/Q
C3. Aplicarea regulilor de calcul si f olosirea parantezelor in efectuarea operațiilo r cu numere
reale.
C4. Transpunerea unei situații problema in limbajul ecuațiilor, rezolvarea problemei obținute si
interpretarea rezultatului.
C5. Redactarea rezolvării ecuațiilor si a inecuațiilor studiate in mulțimea numerelor reale
C6. Alegere reprezen tări geometrice adecvate in vederea calculelor de lungimi de segmente de
masuri de unghiuri, de perimetre si de arii
După stabilirea modelului de test, este nevoie de un procedeu care să asigure fap tul că
testul măsoară competențele educaționale definite anterior și are o bună validitate de conținut.
În acest scop am construit matricea de specificații
Matricea de specificații – asociată testului de evaluare inițială pentru clasa a VIII -a
Competente
Conținuturi C1 C2 C3 C4 C5 C6 Total
Operații cu numere
raționale I1.
(5p) 5p
Exemple de numere iraționale
mulțimea numerelor reale I2.
(5p) 5p
Formule de calcul prescurtate I3.
(5p) 5p
Ecuații de forma 𝑎𝑥+𝑏=0,
𝑎,𝑏 ∈ 𝑅 I5.
(5 p) 5p
Probleme care se rezolvă
cu ajutorul ecuațiilor I4.
(5p) II 10
(15p) 20p
Relații metrice in triunghiul
dreptunghic, Rezolvarea
triunghiului dreptunghic. I9.(5p)
II12 B a(5p)
II12B b (3p)
II12B c (5p) 18p
Paralelograme partic ulare
proprietăți
I7.(2p)
II 12 A (5p) 7p
Arii (triunghiuri , patrulatere) I 7.(3p)
I 8.(5p)
II 12B b(2p) 10p
Asemănarea triunghiurilor,
linia mijlocie I 6.(5p) 5p
135
Proprietăți ale relației de
egalitate in R II11.a
(5p) 5p
Media geometrica a două
numere reale pozitive II 11.b
(5p) 5p
Total 5p 5p 15p 5p 20p 40p 90p
Testul de evaluare inițială propriu -zis pentru clasa a VIII -a
Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerințelor din partea I și partea a II -a se acordă 90
puncte. La acest test toate subiectele sunt obligatorii, și nu facultative. Se acordă din oficiu 10
puncte. Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.
PARTEA I (45 de puncte). La exercițiile 1 -6 scrieți numai rezultatele. La exercițiile
7-9 încercuiți litera cor espunzătoare singurului răspuns corect din cele patru propuse .
5 p 1. Rezultatul calculului (1−19
20)(−5)+13
4este:
5 p 2. Se considera mulțimea 𝑀={−5; √7; √16; 5,(3); }. Numarul irational din
multimea A este……:
5 p 3. Expresia
()()3 3+−x x este egala cu:
5 p 4. După ce a citit 65% din numărul total de pagini ale unei cărți, un elev mai are de
citit 21 de pagini. Cartea are……pagini.
5 p
5p 5. Soluția ecuației 2𝑥−5=7 este:…..
6. Pe laturile (AB) si (AC) ale unui triungh i ABC se considera punctele D, respe ctiv E
astfel încât
BCDE , D este mijlocul lui [AB], AB=20cm, BC=16 cm, AC=18cm.
Perimetrul triunghiului ADE este egal cu:….
5 p 7. Daca perimetrul unui pătrat este de 60cm, atunci aria acestuia este de:
A. 900 cm2 B. 30cm2 C. 225cm2 D. 15cm2
5 p 8. Daca lungimile laturilor unui dreptunghi sunt de 5cm respectiv 12 cm, atunci aria
dreptunghiului este de:
A. 34 cm2 B. 60 cm2 C. 117cm2 D. 240cm2
5 p 9. Daca ABC este un triunghi dreptunghic in A care are măsura unghiului B de 600 si
AB=4cm, atunci ipotenuza BC are lungimea de:
A.
54 cm B. 8 cm C. 2 cm D.
34 cm
136
PARTEA a II -a (45 de puncte). La următoarele probleme se cer rezolvări complete.
15 p 10. Rezolvați, in mulțimea numerelor reale, ecuația: 2𝑥−5
7=2−𝑥
3
11.Se considera numerele reale a= 5√2 si b=3√8 .
5 p a) Compara ți numerele a si b.
5 p b) Calculați media geometrică a numerelor a si b.
12.Într-un trapez dreptunghic ABCD, ABIICD, AB >CD, AC
BC ,
A≡∡D=90°,se
dau BC=18 cm si m(
B)=600.
5 p A. Faceți desenul corespunzător datelor problemei.
B. Aflați:
5 p
5 p
5 p a)Lungimea bazei mari a trapezului.
b)Aria trapezului.
c) Daca AD ∩BC={𝑀},calculati MB.
Barem de evaluare și/sau notare
PARTEA I (45 de puncte). Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns
se acordă fie punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte. Nu se acordă
punctaje intermediare.
Nr. item 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Rezultate 3 √5 X2-9 60 6 27. C. B. B
Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p
PARTEA a II -a (45 de puncte) Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de
cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. Nu se acordă fracțiuni de punct, dar
se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în
barem.
Nr.
item Rezolvare Punctaj
10. 3(2𝑥−5)=7(2 -x)
6x-15=14 -7x
6x=7x=14+15
13x=29
X=29
13 3p
3p
3p
3p
3p
11.a) 𝑎=√52∙2=√50
𝑏=√32∙8=√72
a<b 2p
2p
1p
11.b)
𝑚𝑔=√𝑎∙𝑏=√5√2∙3√8=√15∙4=2√15 5p
5p
137
12.A Desenul corespunzător împreună cu punctual M 5p
12.B
a) In⊿ABC dr, m (∢B)=600⇒m(∢BA𝐶)=300
⇒𝐴𝐵=2⋅𝐵𝐶=36 3p
2p
12.B
b) In
ABC dr, cf. TP ⇒𝐴𝐶+18√3𝑐𝑚
Constr. 𝐶𝐸⊥𝐴𝐵⇒𝐶𝐸=𝐴𝐶⋅𝐵𝐶
𝐴𝐵=9√3
⇒𝐴𝐷=𝐶𝐸=9√3
In
ADC dr, cf. TP ⇒𝐶𝐷=27𝑐𝑚
𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷=(𝐴𝐵+𝐶𝐷)∙𝐴𝐷
2=567√3
2𝑐𝑚2 1p
1p
1p
1p
1p
12.B
c)
ABM dr, m (∢B)=600⇒m(
AMB)=300
𝑀𝐵=2∙𝐴𝐵=72𝑐𝑚 3p
2p
Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea punctajului
obținut la 10.
5.3.2. RE ZULTATELE OBȚINUTE LA PROBA DE EVALUARE INIȚIALĂ
Clasa a VIII -a A (martor) Clasa a VIII -a B
Număr elevi înscriși 18 Număr elevi înscriși 18
Număr elevi prezenți 17 Număr elevi prezenți 17
Tabel analitic cu rezultatele obținute de elevii clasei a VIII –a A (martor) la testul inițial:
Nr
Crt. Inițiale
nume
Subiectul I
Subiectul II Ofi-
ciu To-
tal No-
ta
fi-
nală 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B
a b a b c
5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 15p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 10p 100p
1 A.E.M. 5 – 5 – 5 5 5 5 – 6 – – 5 – – – 10 51 5
2 A.D.P. 5 – – – 5 5 5 5 – 15 – – 5 – – – 10 55 6
3 A.D.S. 5 5 5 – 5 – 5 5 – – – – 5 – – – 10 45 5
4 A.M.I. 5 – – – 5 5 5 5 – 15 – – 5 – – – 10 60 6
5 B.P.A. 5 5 – – 5 – – – – – – – – – – – 10 25 3
6 C.A. I. 5 5 5 – – – – 5 – – – – 5 – – – 10 35 4
7 C.A.M. 5 5 5 – 5 – 5 5 – – – – 5 – – – 10 45 5
138
8 EMD – 5 – – 5 – – – 5 – – – – – – – 10 25 3
9 I.A.A. – 5 5 – 5 5 – – 5 6 5 – 5 – – – 10 51 5
10 1.A. 5 5 5 – – – – – – 5 – – 5 – – – 10 35 4
11 L.C.S. 5 5 – – 5 – 5 – – – – – 5 – – – 10 35 4
12 M.D.S. – 5 5 5 5 5 5 5 5 15 5 5 5 5 5 5 10 95 10
13 P.A.M. 5 – 5 5 5 – 5 5 5 15 5 3 5 5 10 78 8
14 P.M.L. – – – – 5 5 5 5 5 15 5 – 5 5 10 65 7
15 P.S.C. 5 5 5 – 5 – 5 5 – 15 5 – 5 – – – 10 65 7
16 T.L.M. – 5 5 – 5 5 – – 5 – 5 – 5 – – – 10 45 5
17 T.C.I. 5 5 – 5 – 5 5 – 5 10 – – 5 – – – 10 55 6
Tabel sintetic ce cuprinde frecvența notelor la testul inițial a clasei a VIII -a A
Nota 3 4 5 6 7 8 9 10 Media
Nr.
elevi 2 3 5 3 2 1 – 1 5,47
Pro-
cent 11,76% 17,64% 29,41% 17,64% 11,76% 5,88% 0% 5,88%
Diagrama radială privind rezultatele la testul de evaluare inițială clasa a VIII -a A
nota 3
12%
nota 4
17%
nota 5
29%nota 6
18%nota 7
12%nota 8
6%nota 10
6%0%Procentajul notelor clasei a VIII -a A la evaluare inițială
nota 3
nota 4
nota 5
nota 6
nota 7
nota 8
nota 10
139
Tabel analitic cu rezultatele obținute de elevii clasei a VIII –a B la testul inițial:
Nr
Crt. Inițiale
nume
Subiectul I
Subiectul II Ofi-
ciu To-
tal No-
ta
fi-
nală 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B
a b a b c
5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 15p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 10p 100p
1 A.C.O. 5 5 5 – 5 5 5 5 5 15 3 – 5 5 – – 10 78 8
2 A.F.M – – 5 – – 5 – – – 10 – – 5 – – – 10 35 4
3 B.I.D. – 5 5 – 5 5 5 – 5 – 5 5- 5 – – – 10 55 6
4 B.D.D. 5 5 5 – 5 5 5 5 5 15 5 5 5 5 5 – 10 90 9
5 C.C.R. – 5 5 – 5 – 5 – 5 15 – 5 5 5 – – 10 65 7
6 C.C.A. – – 5 – 5 5 5 5 – 15 – – 5 – – – 10 55 6
7 C.E. – 5 – – 5 – 5 5 – 10 5 5 5 – – – 10 55 6
8 D.D.M. – 5 5 – 5 – – – – – 3 – 5 – – – 10 33 3
9 F.E.I. – – – 5 5 5 5 5 5 3 3 – 5 – – – 10 51 5
10 G.A.A. – 5 5 – – 5 5 5 – – 5 – 5 – – – 10 45 5
11 G.M. – – 5 – 5 5 – – – 15 – – 5 – – – 10 45 5
12 M.C. 5 5 5 5 5 5 5 5 – 3 – – – – – – 10 53 5
13 M.D.I. – 5 5 – 5 5 5 5 5 – 5 5 5 5 10 65 7
14 T.E.S. 5 5 5 – 5 5 5 5 5 15 5 5 5 5 10 85 9
15 T.S.E – 5 5 – 5 – – – – 10 5 – 5 – – – 10 45 5
16 V.A – 5 5 – 5 – – – – – 3 – 5 – – – 10 33 3
17 V.R.A. – 5 5 – 5 – – – – – 5 – 5 – – – 10 35 4
Tabel sintetic ce cuprinde frecvența notelor la testul inițial a clasei a VIII -a B
Nota 3 4 5 6 7 8 9 10 Media
Nr.
elevi 2 2 5 3 2 1 2 – 5,70
Pro-
cent 11,76% 11,76% 29,41% 17,64% 11,76% 5,88% 0% 0%
140
Diagrama radială privind rezultatele la testul de evaluare inițială clasa a VIII -a B
Observații ce se desprind din aplicarea testului inițial la cele două clase de a VIII -a:
În raport cu competențele vizate s -au constatat o pondere redusă a răspunsurilor corecte
ce vizează competențele C 4 și C6, respectiv ponderile cele mai mari ale răspunsurilor corecte
s-au obținut la competențele C 1, C2, C3. Cele mai multe și/sau parțiale răspunsuri corecte s -au
obținut la itemii care corespund competenței C 1, și C 2 care s -au axat pe conținuturile referi toare
la: operații cu numere raționale; exemple de numere iraționale.
Cele mai multe și/sau parțiale răspunsuri greșite s -au obținut la itemii care corespund
competențelor C 4, și C 6 ce s -au axat pe conținuturile referitoare la: proprietățile
paralelograme lor particulare, arii (triunghiuri și patrulatere); media aritmetica si/sau
nota 3
12%
nota 4
12%
nota 5
29%nota 6
17%nota 7
12%nota 8
6%nota 9
12%0%Procentajul notelor clasei a VIII -a B la evaluare inițială
nota 3 nota 4 nota 5 nota 6 nota 7 nota 8 nota 9
0123456
N O T A 3 N A T A 4 N O T A 5 N O T A 6 N O T A 7 N O T A 8 N O T A 9 N O T A 1 0
clasa a VIII-a A (martor) clasa a VIII-a B (inclusă în experiment)
141
geometrică a două sau mai multor num ere reale (nenegative) și asemănarea triunghiurilor,
rezolvarea triunghiului dreptunghic, probleme cu procente.
Aspecte pozitive. Elevii respect ă ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor
dar se încurcă la calcule, recunosc numărul irațional dintr -o mulțime dată, rezolvă ecuații
simple.
Aspecte negative. Elevii au dificultăți în transpunerea unei situații problemă în limbaj
algebri c, nu cunosc caracteristicile figurilor geometrice, deducând de aici că nu învață partea
de teorie. Elevii nu cu nosc suficient formulele de calcul prescurtat, ariile patrulaterelor, nu știu
să rezolve probleme de geometrie.
Printre măsurile privind remedie rea rezultatelor la învățătură enumerăm: alocarea unor
resurse de timp la fiecare oră pentru aprofundarea unor n oțiuni ( se vor recapitula periodic
formulele de calcul prescurtat și formulele de aflare a ariilor figurilor geometrice studiate),
periodic la c lasă se analizează progresele făcute de elevii în cauză folosind autoevaluarea și
aprecierea clasei, lucru difer ențiat cu elevii, realizarea unui plan individual de muncă (acolo
unde este cazul), tema pentru acasă să fie dată diferențiat în funcție de nive lul de cunoștințe.
Se vor efectua ore de pregătire suplimentară diferențiată cu elevii, în funcție de situația
realizării competențelor ce nu pot fi atinse la orele de curs: rezolvarea problemelor de geometrie
insistând pe exprimarea caracteristicilor mate matice ale triunghiurilor si patrulaterelor.
5.4. EVALUAREA FORMATIVĂ A ELEVILOR
La finalul unității de învățare „Ecuații și inecuații”, în perioada 13 -17 mai 2019, după
parcurgerea primei părți a experimentului, în care am aplicat metode moderne la o c lasă și
metode clasice la cealaltă clasă, am a dat același test ambelor clase.
În cadrul acestui test s -au verificat toate temele unității de învățare amintite: rezolvarea
(in)ecuațiilor de gradul I, rezolvarea sistemelor de două ecuații liniare cu două n ecunoscute
prin metoda grafică, substituției și reducerii, identificarea problemelor care se rezolvă cu
ajutorul ecuațiilor, inecuațiilor și a sistemelor de ecuații, rezolvarea acestora și interpretarea
rezultatelor.
Testul aplicat a avut itemi de tip obi ectiv (item cu alegere multiplă, itemi cu alegere
duală), itemi semi -obiectivi (itemi cu răspuns scurt, de completare, itemi cu întrebări
structurate), itemi subiectivi de tip rezolvare de probleme.
142
Această etapă a experimentului a avut drept scop creșter ea randamentului școlar prin
folosirea metodelor activ – participative: metoda ciorchinelui, problematizare a, metoda
cubului, modelarea, algoritmizarea folosite în prealabil la clasa inclusă în experiment. Încă de
la acest test s -a constatat o ameliorare a situației, atât la nivelul cunoștințelor cât și la nivelul
achizițiilor.
5.4.1. PROBA DE EVALUARE FORMATI VĂ
Competențele de evaluat asociate testului de evaluare formativă:
C1 Utilizarea în exerciții a definiției intervalelor de numere reale și reprezen tarea acestora pe axa
numerelor.
C2 Determinarea soluțiilor unor ecuații, inecuații sau sisteme de ecuații.
C3 Identificarea unor probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor, inecuațiilor sau a
sistemelor de ecuații, rezolvarea acestora și interpretare a rezultatului obținut.
Matricea de specificații – asociată testului de evaluare formativă pentru clasa a VIII -a
Competente
Conținuturi C1 C2 C3 Total
Modulul unui număr real 3.a) (5p) 5p
Intervale de numere reale 2. d) (5p) ) 5p
Ecuații de forma 𝑎𝑥+𝑏=0,𝑢𝑛𝑑𝑒 𝑎,𝑏 ∈ 𝑅 1.a) (5p)
1.c) (5p)
2.c) (5p) 15p
Sisteme de două ecuații liniare cu două
necunoscute 2.b) (5p)
5p
Inecuații de forma ax + b > 0 (≥, <, ≥), unde
𝑎,𝑏 ∈ 𝑅 1.b) (5p)
3.c) (5p) 10p
▪ Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor,
inecuațiilor și a sistemelor de ecuații 1.d) (5p)
3.b) (5p)
4.a) (10p)
4.b) (10p)
5. (10p) 40p
▪ Ecuația de forma 𝑎𝑥
2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, unde
a, b, c sunt numere reale, a ≠ 0 2.a) (5p)
3.d) (5p) 10p
Total 10p 40p 40p 90p
143
Testul de evaluare formativă pentru clasa a VIII -a
Pentru rezolvarea corecta a tuturor cerințelor se acorda 90 puncte. Toate subiectele sunt
obligatorii, și nu facultative. Timp de lucru 50 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.
1) Completați spațiile libere pentru a obține propoziții adevărate:
(5p) a) Soluția reală a ecuației 7𝑥−15=6 este…..
(5p) b) Rezolvând inecuația −𝑥+2≥5 obțineți intervalul……
(5p) c) Dacă 2 este sol uție a ecuației 3𝑥+𝑚=7, atunci m este egal cu…….
(5p) d) Dacă într -o clasă sunt 32 de elevi, fete și băieți. Dacă băieții sunt de trei ori
mai mulți decât fetele din clasă. Atunci în clasă sunt……… fete.
2) Încercuiți /scrieți litera corespunzătoa re răspunsului corect la fiecare dintre următoare
exerciții:
(5p) a) soluțiile reale ale ecuației 𝑥2+5𝑥−14=0 sunt:
A. {2;7} B. {2;−7} C. {7;−7} D. {5;2}
(5p) b) Fie sistemul format de ecuațiile {𝑥−𝑦=4
𝑥+2𝑦=1,unde (𝑥;𝑦)∈ℝ2.
A. (3;1) B. (2;1) C. (3;−1) D. (−3;−1)
(5p) c) soluția ecuației 5𝑥−3=7+3𝑥 este:
A. 2 B. 3 C. 1 D.0
(5p) d) mulțimea soluțiilor inecuației 3𝑥−1>5 este intervalul:
A. (1;+∞) B. [1;+∞) C. (2;+∞) D. (−∞;2)
3) Alegeți „A” sau „F” în funcție de valoarea de adevăr a propozițiilor.
(5p) a) singura soluție reală a ecuației |𝑥+1|=3 este 2 A sau F
(5p) b) Dacă un obiect costă 10 lei după o scumpire cu 20% obiectul va costa 12 lei
A sau F
(5p) c) Intervalul (−∞;5] este soluție a inecuației 𝑥−5≤0 A sau F
(5p) d) Ecuația 𝑥2+𝑥+1=0 nu are soluții reale A sau F
4) Dacă într-o sală de teatru, spectatorii se așază câte 4 pe fiecare rând de scaune atunci
18 spectatori rămân în picioare. Dacă se așază câte 5 un rând de scaune atunci 4 rânduri
de scaune rămân goale.
(10p) a) Câte rânduri de scaune sunt?
(10p) b) Câți spectat ori sunt în sala de teatru?
144
5) (10p) Într -un bloc nou sunt construite 32 apartamente unele cu două camere și altele cu
trei camere. Știind că în total sunt 86 de camere aflați câte apartamente au fost const ruite
cu două camere și câte apartamente au fost con struite cu trei camere.
Barem de evaluare și/sau notare
Pentru exercițiile 1 -3 se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se
acordă fie punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerin țe, fie 0 puncte. Nu se acordă
punctaje intermediare .
Nr.
item 1. 2. 3.
a b c d a b c d a b c d
Rezul –
tate 3 (−∞;−3] 1 8 A B D B F F A A
Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p
Pentru exercițiile 4 și 5 se acordă 30 puncte. Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este
diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. Nu se acordă fracțiuni de
punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului
indicat în barem.
Nr. item Rezolvare Punctaj
4.a) x= numărul de rânduri de scaune
y= numărul de spectatori
{4𝑥+18=𝑦
5∙(𝑥−4)=𝑦
4𝑥+18=5∙(𝑥−4)⇔
4𝑥+18=5𝑥−20⇔
4𝑥−5𝑥=−20−18⇔
−𝑥=−38/∙(−1)⇔𝑥=38 rânduri de bănci
2p
3p
5p
4.b) 𝑦=4∙38+18
𝑦=152+18
𝑦=170 spectatori 5p
2p
3p
5. x= apartamente noi construite cu două camere
y= apartamente noi construite cu trei camere
{ 𝑥+𝑦=32/∙(−2)
2𝑥+3𝑦=86⇔
{−2𝑥−2𝑦=−64
2𝑥+3𝑦=86⇔
y=22
{𝑦=22
𝑥+22=32⇔{𝑦=22
𝑥=32−22⇔
{x=10 apartamente noi construite cu două camere
y=22 apartamente noi construite cu trei camere
2p
3p
2p
3p
Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea punctajului
obținut la 10.
145
5.4.2. REZULTATELE OBȚINUTE LA PROBA DE EVALUARE FORMATIVĂ
Clasa a VIII -a A (martor ) Clasa a VIII -a B
Număr elevi înscriși 18 Număr elevi înscriși 18
Număr elevi prezenți 18 Număr elevi prezenți 17
Tabel analitic cu rezultatele obținute de elevii clasei a VIII –a A (martor) la testul de evaluare
formativă:
Nr.
Crt. Iniți-
ale
nume 1. 2. 3. 4. 5. Pct.
ofi-
ciu Pct.
total No-
ta
fi-
nală a b c d a b c d a b c d a b
5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 10p 10p 10p 10p 100p
1 A.P.C . 5 – 5 – – 5 5 5 5 – – 5 – – – 10p 45p 5
2 A.E.M. 5 – 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 – – 3 10p 68p 7
3 A.D.P. 5 – 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 – – 10 10p 75p 8
4 A.D.S. 5 – – 5 5 5 5 5 5 5 5 5 – – – 10p 60p 6
5 A.M.I. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 – – – 10p 70p 7
6 B.P.A. 5 5 5 5 5 5 – – – – – – – – – 10p 40p 4
7 C.A.I. 5 – 5 5 – – 5 5 5 – – 5 – – – 10p 45p 5
8 C.A.M. 5 – – 5 5 5 5 5 – 5 5 – – – – 10p 50p 5
9 EMD 5 5 – – 5 – 5 5 – 5 5 5 – – – 10p 50p 5
10 I.A.A. 5 – 5 5 – – 5 5 5 5 5 5 – – 7 10p 62p 6
11 1.A. 5 – – 5 – – 5 – 5 5 5 – – – – 10p 40p 4
12 L.C.S. 5 5 – 5 5 – – – 5 5 – 5 – – – 10p 45p 5
13 M.D.S. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 10 10 10p 100p 10
14 P.A.M. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 10 10 10p 100p 10
15 P.M.L. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3 – – 10p 83p 8
16 P.S.C. 5 5 5 5 – 5 5 5 5 5 5 5 – – 10 10p 75p 8
17 T.L.M. 5 – 5 5 – 5 5 – – 5 – 5 – – – 10p 45p 5
18 T.C.I. 5 – 5 5 5 5 – 5 5 5 5 5 10 10 10 10p 90p 9
Tabel sintetic ce cuprinde frecvența notelor la testul de evaluare formativă a clasei a VIII -a
A- clasa martor
146
Nota 4 5 6 7 8 9 10 Media
Nr.
elevi 2 6 2 2 3 1 2 6,5
Pro-
cent 11,11% 33,33% 11,11% 11,11% 16,66% 5,55% 11,11%
Diagrama radială privind rezultatele la testul de evaluare formativă a clasei a VIII -a A, clasa
martor:
Tabel analitic cu rezultatele obținute de elevii clasei a VIII –a B -clasa experimentală la testul
de evaluare formativă.
Nr.
Crt. Iniți-
ale
nume 1. 2. 3. 4. 5. Pct.
ofi-
ciu Pct.
total No-
ta
fi-
nală a b c d a b c d a b c d a b
5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 10p 10p 10p 10p 100p
1 A.C.O. 5 – 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 – 10 10p 80p 8
2 A.F.M 5 – 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 – – – 10p 65 7
3 B.I.D. 5 – 5 5 5 5 – 5 – – 5 – – – – 10p 45p 5
4 B.D.D. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 10 10 10p 100p 10
5 C.C.R. 5 5 5 5 5 – 5 5 – 5 5 5 10 10 10 10p 90p 9
6 C.C.A. 5 5 5 5 5 5 5 – – 5 5 5 – – – 10p 60 6
7 C.E. 5 – 5 5 5 5 5 5 – 5 5 – 5 – – 10p 60p 6
8 D.D.M. 5 5 5 5 – 5 5 5 5 5 5 5 – – – 10p 65p 7
9 F.E.I. 5 5 5 5 5 5 5 – – – – – – – – 10p 45p 5
nota 4
11%
nota 5
33%nota 6
11%nota 7
11%nota 8
17%nota 9
6%nota 10
11%0%Procentajul notelor clasei a VIII -a A la evaluare formativă
nota 4 nota 5 nota 6 nota 7 nota 8 nota 9 nota 10
147
10 G.A.A. 5 5 5 – – 5 5 5 5 – 5 5 – – – 10p 55p 6
11 G.M. 5 – 5 5 5 – 5 5 5 5 – 5 5 – – 10p 60p 6
12 M.C. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 – 5 10p 80p 8
13 M.D.I. 5 5 5 5 – 5 – 5 5 5 5 5 – – – 10p 60p 6
14 T.E.S. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 10 10 10p 100p 10
15 T.S.E 5 – – 5 5 – – 5 5 – 5 5 10 10 – 10p 65p 7
16 V.A 5 5 – – 5 5 – 5 – 5 – 5 – – – 10p 45p 5
17 V.R.A. 5 5 – – – 5 5 5 5 5 5 5 – – – 10p 55p 6
Tabel sintetic ce cuprinde frecvența notelor la testul de evaluare formativă a clasei a VIII -a
B- clasa experimentală
Nota 5 6 7 8 9 10 Media
Nr.
elevi 3 6 3 2 1 2 6,88
Pro-
cent 17,64% 35,29% 17,64% 11,76% 5,88% 11,76%
Diagrama radială privind rezultate le la testul de evaluare formativă a clasei a VIII -a B, clasa
experimentală:
Graficul comparativ al celor două clase a VIII -a la testul de evaluare formativ
nota 4
5%
nota 5
39%nota 6
11%nota 7
11%nota 8
17%nota 9
6%nota 10
11%0%Procentajul notelor clasei a VIII -a B la evaluare formativă
nota 4 nota 5 nota 6 nota 7 nota 8 nota 9 nota 10
148
Observații ce se desprind din aplicarea testului de evaluare formativă la cele două clase
a VIII-a:
Conform rezultatelor obținute la testul de evaluare formativă, identificăm un progres
mai mare al randamentului școlar al clasei a VIII -a B, incluse în experiment în comparație cu
rezultatele obținute de clasa a VIII -a A, clasa martor: nu a fost nici o not ă de 4 la clasa a VIII –
a B și doar doi elevi au luat nota 4 la clasa VIII -a A, nu au mai fost note de 3 la nici o clasa și
s-au luat și câte două note de 10 la fiecare clasă. Elevii au întâmpinat dificultăți la transpunerea
unor probleme practice în limbaj algebric și rezolvarea modelului matematic corespunzător
problemei dar s -au încurcat și la înmulțirea unei inecuații cu un număr negativ.
În urma aplicării testului de evaluare formativă am constatat că ponderea itemilor
obiectivi face ca evaluarea să nu fie atât de corectă existând elevi care au rezolvat un exercițiu
până aproape de final dar au greșit la ultimul calcul și nu au primit nici un punct și elevi care
au ales în mod aleatoriu un răspuns, poate chiar corect și au primit punctaju l acordat itemului
respectiv. Remarcăm că itemii obiectivi nu trebuie să necesite atingerea mai multor standarde
în același timp, iar complexitatea și gradul lor de dificultate să fie cât mai mic.
Întrucât la ambele clase ponderea notelor de 5 și 6, ce co respunde calificativului de
suficient, este mai mare decât a notelor 8, 9 și 10 se impune o serie de măsuri ameliorative
pentru a muta balanța spre ponderea notelor mai mari.
Măsuri ameliorative. Am reactualizat și consolidat cu ajutorul activităților act iv –
participative cunoștințele legate de noțiunea de (in)ecuație, precum și rezolvarea unui număr
cât mai mare de exerciții și/sau probleme cu conținut practic care să asigure înțelegerea de către
elevii a sarcinilor cerute și să contribuie la creșterea î nvățării eficiente motivându -i pe cei mai
mulți să învețe. 01234567
N O T A 4 N A T A 5 N O T A 6 N O T A 7 N O T A 8 N O T A 9 N O T A 1 0
clasa a VIII-a A (martor) clasa a VIII-a B (inclusă în experiment)
149
Am acordat o mai mare atenție elevilor ce au obținut note mai mici sau egale cu 5 pentru
care am aplicat planuri remediale individuale, am făcut cu ei ore suplimentare în afara orelor
de curs, iar în timpul orelor am lucrat diferențiat sprijinindu -mă și și de ajutorul familiile lor.
Nu am neglijat nici elevii apți de performanță, pentru a -i motiva să studieze în
continuare am lucrat cu ei diferențiat le -am oferit fișe de lucru cu probleme extrase di n cele
propuse pentru olimpiadă care să conțină noțiunea de ecuație sau probleme rezolvate cu
ajutorul acestora.
5.5. EVALUAREA FINALĂ A ELEVILOR
În cadrul recapitulării finale, a clasei a VIII -a, am aplicat un test de evaluare sumativă
ambelor clase, pentru a stu dia progresul sau regresul înregistrate la nivelul celor două clase.
5.5.1. PROBA DE EVALUARE FINALĂ
Competențele de evaluat asociate testului de evaluare finală:
C1 Determinarea soluțiilor unor ecuații, inecuații sau sisteme de ecuații.
C2 Identificare a unor probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor, inecuațiilor sau a
sistemelor de ecuații, rezolvarea acestora și interpr etarea rezultatului obținut.
C3 Reprezentarea în diverse moduri a unor corespondențe și/sau a unor funcții în scopul
caracteriză rii acestora.
C4 Rezolvarea unor situații problemă utilizând rapoarte de numere reale reprezentate prin litere;
interpretarea re zultatului.
C5 Calcularea ariilor și volumelor corpurilor geometrice studiate.
C6 Analizarea și interpretarea condițiilor necesa re pentru ca o configurație geometrică să
verifice anumite cerințe.
C7 Transpunerea unor situații – problemă în limbaj geometric , rezolvarea problemei obținute
și interpretarea rezultatului
150
Matricea de specificații – asociată testului de evaluare finală pentru clasa a VIII -a
Competente
Conținuturi C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 Total
Ecuații de forma
𝑎𝑥+𝑏=0,𝑎,𝑏 ∈ 𝑅 I.1.a)
(5p) 5p
Inecuații de forma
ax + b > 0 (≥, <, ≥),
unde
𝑎,𝑏 ∈𝑅 I.1.b)
(5p) 5p
Ecuația de forma 𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, unde
a, b, c sunt numere
reale, a ≠ 0 I.1.c)
(5p)
II.1.
(5p) 10p
Sisteme de două
ecuații liniare cu două
necunoscute II.2.
(5p) 5p
Probleme care se
rezolvă
cu ajutorul ec uațiilor II.4.
(5p) 5p
Rapoarte de numere
reale reprezentate prin
litere II.5.
(5p) 5p
Funcții de tipul
𝑓:𝑅→𝑅,
𝑓(𝑥)
=𝑎𝑥+𝑏,𝑎,𝑏
𝑅, II.3.a)
(5p)
II.3.b)
(5p)
10p
Cubul I.2.b)(5p)
I.2.c)(5p) 10p
Piramida regulată I.2.a)(5p)
III.1.a)(5p)
III.1.c)(5p) III.1.b)
(5p) 20p
Cilindrul circular drept III.2.b)(5p) III.2.a)(5p) III.2.c)
(5p) 15p
Total 25p 5p 10p 5p 15p 20p 10p 90p
Testul de evaluare finală pentru clasa a VIII -a
Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerințelor din partea I și partea a II -a se acordă 90
puncte. La acest test toate subiectele sunt obligatorii, și nu facultative. Se acordă din oficiu 10
puncte. Timpul efectiv de lucru este de 2 ore.
SUBIECTUL I (30 puncte).
La exerciți ul 1 scrieți numai rezultatele. La exercițiul 2 încercuiți litera corespunzătoare
singurului răspuns corect din cele patru propuse .
1. Completați spațiile libere pentru a obține propoziții adevărate:
151
(5p) a) Dintre elementele mulțimii A=
5,0,1− soluția ecuației −3𝑥+2𝑥+5=0 este
numărul….
(5p) b) Scrisă sub formă de interval mulțimea 𝐵={𝑥∈ℝ|𝑥+1≤−3} este egală cu
………
(5p) c) Soluția naturală a ecuației 𝑥2−7𝑥−8=0 este…….
2. Încercuiți /scrieți litera corespunzătoare singurului răspunsu lui corect la fiecare
dintre următoare exerciții:
(5p). a) Măsura unghiului format de două muchii alăturate ale unui tetraedru regulat este:
A. 90° B.45° C.30° D. 60°
(5p) b) Daca un cub are muchia de 6 𝑐𝑚. Aria totală a cubului este:
𝐴. 36 cm2 B.216 cm2 C.144 cm2 D. 72 cm2
(5p) c) Volumul unui cub c u diagonala unei fețe de 3√2 este:
B. 18 cm3 B. 27cm3 C. 27√3 cm3 D. 9 cm3
SUBIECTUL II (30 puncte) La următoarele exerciții scrieți rezolvările complete :
(5p) 1.Rezolvați în mulțimea numerelor r eale ecuația 𝑥2−16=0.
(5p) 2. Rezolvați în mulțimea numerelor reale sistemul: {3𝑥−5𝑦=√2
4𝑥+2𝑦=10√2
3. Se consideră funcția 𝑓:ℝ→ℝ,𝑓(𝑥)=3𝑥−2.
(5p) a) Reprezentați grafic funcția.
(5p) b) Determinați aria triunghiului determinat de graficul funcției cu axele de coordonate.
(5p) 4. Suma a două numere este
614 , iar unul este mai mic decât celălalt cu 0,8(3). Aflați
numerele.
(5p) 5. Se consideră expresia : 𝐸(𝑥)=(1+2−𝑥
𝑥+1):𝑥−1
(2𝑥+1)2−(𝑥+2)2 , unde x este num ăr real,
𝑥≠1 ș𝑖 𝑥≠−1. Arătați că 𝐸(𝑥)=9 , oricare ar fi x este număr real. 𝑥≠1 ș𝑖 𝑥≠−1.
SUBIECTUL III (30 puncte). La următoarele exerciții scrieți rezolvările complete.
1. Un constructor a înălțat un corp sub formă de piramidă patrulateră regulată, prin
piramida 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷 . Înălțimea piramidei, 𝑉𝑂=
22𝑚, iar muchia laterală 𝑉𝐴=
4 𝑚, unde {𝑂}=𝐴𝐶∩𝐵𝐷.
(5p) a) Verificați dacă 𝐴𝐵=𝑉𝐴.
152
52𝑥 / = 104√2 (5p) b) Pentru realizarea fețelor laterale ale piramidei se
folosește sticlă. Câți metri pătrați de sticlă sunt necesari
pentru aceasta, neglijându -se pierderile.
(5p) c) Determinați distanța de la punctul O la o față
laterală a piramidei VABCD.
2. Secțiunea axială a unui cilindru circular drept este dreptunghiul ABB/A/ cu latura
AB=4 cm și diag onala AB/=5 cm.
(5p) a) Arătați că AA/=3 cm.
(5p) b) Calculați aria totală și volumul cilindrului.
(5p) c) O furnică merge pe suprafața cilindrului între punctele A și B/, pe drumul cel mai
scurt . Arătați că lungimea acestui drum este mai mică decât 7 c m.
Barem de evaluare și notare
Pentru exercițiile 1 -2 se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se
acordă fie punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte. Nu se acordă
punctaje intermediare.
Nr.
item 1. 2.
a b c a b c
Rezultate 5 (−∞;−4] 8 D B B
Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p 5p
Pentru SUBIECTUL II și III se acordă 60 puncte.
Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă
punctajul maxim corespunzător. Nu se acordă fracțiuni de p unct, dar se pot acorda punctaje
intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.
Nr. item Rezolvare Punct –
aj
II. 1. 𝑥2−16=0⇔𝑥2=16⇔
𝑥=±4⇔𝑆={−4;+4} 2p
3p
2.
{3𝑥−5𝑦=√2/∙4
4𝑥+2𝑦=10√2/∙10⇔{12𝑥−20𝑦=4√2
40𝑥+20𝑦=100√2
{𝑥=2√2
8√2+2𝑦=10√2⇔{𝑥=2√2
2𝑦=2√2⇔
3p
2p
153
{𝑥=2√2
𝑦=√2.
3.
a) Reprezentarea corectă a unui punct
Reprezentarea corectă a celui de -a doilea punct
Trasarea graficului funcției 2p
2p
2p
b) x 0 2
3
f(x) -2 0
𝑓(0)=3∙0−2=−2⇒𝐴(0,−2)=𝐺𝑓∩𝑂𝑦
3𝑥−2=0⇔3𝑥=2⇔𝑥=2
3
⇒𝐵(2
3;0)=𝐺𝑓∩𝑂𝑥
𝐴∆𝐴𝑂𝐵=𝑂𝐴∙𝑂𝐵
2
𝐴∆𝐴𝑂𝐵=2∙2
3
2=2
3𝑢2
2p
2p
1p
4 𝑎+𝑏=25
6
𝑎=𝑏−0.8(3)⇔𝑎=𝑏−75
90⇔𝑎=𝑏−5
6
𝑏−5
6+𝑏=25
6⇔2𝑏=30
6⇔2𝑏=5⇔𝑏=5
2.
𝑎=5
2−5
6⇔𝑎=10
6⇔𝑎=5
3
2p
2p
1p
5 𝐸(𝑥)=(𝑥+1
𝑥+1+2−𝑥
𝑥+1):𝑥−1
4𝑥2+4𝑥+1−(𝑥2+4𝑥+4)
𝐸(𝑥)=3
𝑥+1:𝑥−1
3𝑥2−3
𝐸(𝑥)=3
𝑥+1∙3(𝑥−1)(𝑥+1)
𝑥−1
𝐸(𝑥)=9. 2p
1p
1p
1p
III. 1. a) În ∆𝑉𝑂𝐴,𝑚(∢𝑂)=90°𝑇.𝑃:⇒ 𝐴𝑂2=𝑉𝐴2− 𝑉𝑂2
𝐴𝑂2=42− (2√2)2⇔𝐴𝑂2=16−8⇔𝐴𝑂=2√2 𝑐𝑚.
𝐴𝐶=2𝐴𝑂⇔𝐴𝐶=4√2⇔𝐴𝐶=𝐴𝐵√2⇔
𝐴𝐵=4 𝑐𝑚⇒𝑉𝐴=𝐴𝐵.
2p
2p
1p
b) 𝑉𝑀⊥𝐵𝐶
În ∆𝑉𝑀𝐵,𝑚(∢𝑀)=90°𝑇.𝑃:⇒ 𝑉𝑀2=𝑉𝐵2− 𝐵𝑀2
𝑉𝑀2=42− 22⇔𝑉𝑀2=12⇔𝑉𝑀=2√3 𝑐𝑚.
𝐴𝑠𝑡𝑖𝑐𝑙ă=𝐴𝑙=𝑃𝑏∙𝑎𝑝
2
𝐴𝑙=16∙2√3
2=16√3𝑐𝑚2 sticlă.
2p
1p
2p
154
c) Construim 𝑂𝑁⊥𝑉𝑀.
𝑉𝑀⊥𝐵𝐶 , O𝑀⊥𝐵𝐶⇒𝐵𝐶⊥(𝑉𝑂𝑀),𝑑𝑎𝑟𝑂𝑁⊂(𝑉𝑂𝑀)⇒
𝐵𝐶⊥𝑂𝑁.
𝑂𝑁⊥𝑉𝑀 și ON ⊥𝐵𝐶⇒𝑂𝑁⊥(𝑉𝐵𝐶)⇒𝑑(𝑂,(𝑉𝐵𝐶))=𝑂𝑁.
În ∆𝑉𝑂𝑀,𝑚(∢𝑂)=90°,
ON înălțime ( 𝑂𝑁⊥𝑉𝑀)⇒𝑂𝑁=𝑉𝑂∙𝑂𝑀
𝑉𝑀
𝑂𝑁=2√2∙2
2√3⇒𝑂𝑁=2√6
3 𝑐𝑚.
2p
2p
1p
2. a) În ∆𝐴′𝐴𝐵′,𝑚(∢𝐴′)=90°𝑇.𝑃:⇒
𝐴𝐴′2=𝐴𝐵′2− 𝐴′𝐵′2⇒
𝐴𝐴′2=52− 42⇒𝐴𝐴′=3 𝑐𝑚.
3p
2p
b) 𝐴𝑡=2𝜋𝑅(𝑅+𝐺)
𝐴𝑡=2𝜋∙2∙(2+3)⇒𝐴𝑡=20𝜋 𝑐𝑚2.
𝑉=𝜋𝑅2ℎ
𝑉=𝜋∙22∙3⇒𝑉=12𝜋 𝑐𝑚3.
3p
2p
c) 𝐴𝐴1=2𝜋𝑅
𝐴𝐵=𝐴𝐴1
2⇒𝐴𝐵=𝜋𝑅=2𝜋 cm
În ∆𝐴𝐵𝐵′,𝑚(∢𝐵)=90°𝑇.𝑃:⇒
𝐴𝐵′2=𝐴𝐵2+ 𝐵𝐵′2⇒
𝐴𝐵′2=(2𝜋)2+32⇒
𝐴𝐵′2=4𝜋2+9 ⇒
𝐴𝐵′2=4∙9,8+9⇒𝐴𝐵′=√48,2<√49=7 𝑐𝑚.
2p
2p
1p
Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea punctajului
obținut la 10.
5.5.2. REZULTATE LE OBȚINUTE LA PROBA DE EVALUARE FINALĂ
Clasa a VIII -a A (clasa martor) Clasa a VIII -a B( clasa experimentală)
Număr elevi înscriși 18 Număr elevi înscriși 18
Număr elevi prezenți 18 Număr elevi prezenți 17
155
Tabel analitic cu rezultatele obținute de elevii clasei a VIII –a A la testul de evaluare finală:
Nr.
Crt. Inițiale
nume I II III Ofi-
ciu To-
tal No-
ta fi-
na-
lă
1 2 1
2
3 4 5 1 2.
a b c a b c a b a b c a b c
5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 10p 100p
1 A.P.C. 5 5 5 5 5 5 5 – – – – – – – – – – – 10 45 5
2 A.E.M. 5 – 5 5 5 – 5 – 5 5 – – 2 – – 3 5 – 10 55 6
3 A.D.P. 5 – 5 5 5 – 5 5 5 – – 3 3 2 – 5 5 2 10 65 7
4 A.D.S. 5 5 5 – 5 5 5 5 5 5 – – – – – – – – 10 55 6
5 A.M.I. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 – 5 5 – – 5 5 – 10 80 8
6 B.P.A. 5 5 5 5 5 5 – 5 – – – – – – – – – – 10 45 5
7 C.A.I. 5 – – 5 – 5 5 5 5 – – – 5 5 – 5 – – 10 55 6
8 C.A.M. 5 5 5 5 5 – 5 5 – – – – – – – – – – 10 45 5
9 EMD 5 5 5 5 – 5 5 5 – – – – – – – – – – 10 45 5
10 I.A.A. 5 – 5 – 5 5 5 5 3 3 – – 5 5 – 5 5 – 10 66 7
11 1.A. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 – – – – – – – – – 10 55 6
12 L.C.S. 5 5 5 5 5 5 – 5 4 – 1 – 5 – – – – – 10 55 6
13 M.D.S. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 100 10
14 P.A.M. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3 10 96 10
15 P.M.L. 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 3 4 5 5 – 5 5 – 10 86 9
16 P.S.C. 5 5 5 – 5 – 5 5 5 4 5 5 2 5 – 5 5 – 10 76 8
17 T.L.M. 5 5 – 5 5 5 5 5 5 4 – 1 2 5 – 5 – – 10 67 7
18. T.C.I. 5 – – 5 5 – 5 5 5 – – 3 5 – – 5 3 5 10 61 6
Tabel sintetic ce cuprinde frecvența notelor la testul de evalu are finală a clasei a VIII -a A
Nota 5 6 7 8 9 10 Media
Nr. elevi 4 6 3 2 1 2 6,77
Procent 22,22% 33,33% 16,66% 11,11% 5,55% 11,11%
Diagrama radială privind rezultatele la testul de evaluare finală a clasei a VIII -a A, clasa martor:
156
Tabel analitic cu rezultatele obținute de elevii clasei a VIII –a B -clasa experimentală la testul
de evaluare finală.
Nr.
Crt. Iniți-
ale
nume I II III Ofi-
ciu To-
tal No-
ta
fi-
na-
lă
1 2 1
2
3 4 5 1 2.
a b c a b c a b a b c a b c
5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 10p 100p
1 A.C.O. 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 4 5 5 – 5 4 5 10 92 9
2 A.F.M 5 5 5 – 5 5 – 5 5 – – – – – – – – – 10 45 5
3 B.I.D. 5 5 5 5 – – 5 5 5 – – – – – – – – – 10 45 5
4 B.D.D. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 10 99 10
5 C.C.R. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3 5 5 5 3 5 5 4 10 95 10
6 C.C.A. 5 5 – 5 5 5 5 5 5 3 – 2 5 – – 5 – – 10 65 7
7 C.E. 5 – 5 5 5 5 5 5 5 4 – 5 4 4 5 5 10 77 8
8 D.D.M. 5 5 – 5 5 5 5 5 5 – – 5 – – – – – – 10 55 6
9 F.E.I. 5 5 – 5 5 5 5 – 5 3 – 5 2 – – – – – 10 55 6
10 G.A.A. – – 5 – 5 5 5 – 5 3 3 4 5 5 – 5 5 – 10 65 7
11 G.M. 5 5 – – 5 5 5 3 5 – 5 – 4 5 – 5 3 – 10 65 7
12 M.C. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3 5 5 – 5 5 – 10 88 9
13 M.D.I. 5 5 – 5 5 5 5 5 5 3 – 5 5 5 – 5 5 – 10 78 8
14 T.E.S. 5 – 5 5 5 5 5 3 4 5 5 5 5 5 3 5 5 – 10 85 9
15 T.S.E 5 5 – 5 5 5 5 3 5 5 3 2 5 – – 2 2 – 10 67 7
nota 5
25%
nota 6
38%nota 7
19%nota 8
12%nota 9
6%nota 10
0%0%Procentajul notelor clasei a VIII -a A la evaluare finală
nota 5 nota 6 nota 7 nota 8 nota 9 nota 10
157
16 V.A – – 5 5 5 5 5 – 5 5 – 3 5 – – 5 3 – 10 61 6
17 V.R.A. 5 – – 5 5 – 5 – 2 – – 3 5 – – 5 – – 10 45 5
Tabel sintetic ce cuprinde frecvența notelor la tes tul de evaluare finală a clasei a VIII -a B- clasa
experimentală
Nota 5 6 7 8 9 10 Media
Nr.
elevi 3 3 4 2 3 2 7,29
Pro-
cent 17,64% 17,64% 23,52% 11,76% 17,64% 11,76%
Diagrama radială privind rezultatele la testul de evaluare finală a clasei a VIII -a B, clasa
experimentală:
nota 5
17%
nota 6
18% nota 7
23%nota 8
12%nota 9
18%nota 10
12%0%Procentajul notelor clasei a VIII -a B la evaluare finală
nota 5 nota 6 nota 7 nota 8 nota 9 nota 10
158
Graficul comparativ al celor două clase a VIII -a la testul de evaluare finală
Observații ce se desprind din aplicarea testului de evaluare finală la cele două clase
a VIII -a:
Aspecte pozitive. În urma aplicării datelor de evaluare se observă pe deplin că au fost
atinse majoritatea competențelor: rezolvarea ecuațiilor de gradul I și al II -lea. Rezultate
mulțumitoare s -au obținut la rezolvarea sistemelor de ecuații și la aplicarea ecuațiilor în
rezolvarea de probleme ceea ce le-a dezvoltat o gândire aplicativă, fapt demonstrat și de faptul
că nu au mai fost note de 4 la nici o clasă și a crescut ponderea notelor de 6 și 7
Aspecte negative. Cele mai mari dificultăți le -au întâmpinat unii elevi la rezolvarea de
probleme din g eometrie, au aplicat formulele specifice dar trebuind să aibă o vedere în spațiu
s-au încurcat la determinarea unor distanțe și stabilirea unor perpendicularități.
În general elevii au răspuns bine la majoritatea i temilor pe care le -au primit la test dar
au existat elevi care nu și -au însușit în mod corespunzător noțiunile aferente sau nu le -au aplicat
corect. Ținând seama că gradul de dificultate al testelor a fost din ce în ce mai mare, cerințele
au fost di n ce în ce mai complexe, faptul că acești elevi a u obținut rezultate mai mici
demonstrează că la nivelul achizițiilor s -a înregistrat totuși un progres.
5.6. ANALIZA COMPARATIVĂ A REZULTATELOR
Rezultatele obținute la testul inițial, la testele de evaluare formati vă în cadrul
grupului experimental, dar și rezultatele înregistrate la testul final, ambelor eșantioane –
experimental și martor – au fost înregistrate în tabele analitice și sintetice. Pe baza acestor
rezultate s -a întocmit centralizatorul, histogramele c omparative și graficul comparativ al celor
două teste. 01234567
N A T A 5 N O T A 6 N O T A 7 N O T A 8 N O T A 9 N O T A 1 0
clasa a VIII-a A (martor) clasa a VIII-a B (inclusă în experiment)
159
Elevii grupului experimental au înregistrat la testul final un progres semnificativ,
fapt demonstrat de notele obținute. Acest lucru evidențiază faptul că elevii au reușit să
conștientizeze, să utiliz eze în diferite contexte, cu un grad din c e în ce mai sporit de dificultate,
noțiunile învățate cu ajutorul metodelor moderne aplicate la clasă.
Clasa a VIII -a A – clasa ma rtor, cu un efectiv de 18 elevi .
Nr.
crt. Tipul
evaluării Nota 3 4 5 6 7 8 9 10
1.
inițială Număr elevi
prezenți 2 3 5 3 2 1 – 1
% 11,76 17,64 29,41 17,64 11,76 5,88 – 5,88
Media 5,47
2.
formativă Număr elevi
prezenți – 2 6 2 2 3 1 2
% – 11,11 33,33 11,11 11,11 16,66 5,55 11,11
Media 6,50
3.
finală Număr elevi
prezenți – – 4 6 3 2 1 2
% – – 22,22 33,33 16,66 11,11 5,55 11,11
Media 6,77
Clasa a VIII -a B – clasa experimen tală, cu un efectiv de 17 elevi .
Nr.
crt. Tipul
evaluării Nota 3 4 5 6 7 8 9 10
1.
inițială Număr elevi
prezenți 2 2 5 3 2 1 2 –
% 11,76 11,76 29,41 17,64 11,76 5,88 11,76
Media 5,70
2.
formativă Număr elevi
prezenți – – 3 6 3 2 1 2
% – – 17,64 35,29 17,64 11,76 5,88 11,76
Media 6,88
3.
finală Număr elevi
prezenți – – 3 3 4 2 3 2
% – – 17,64 17,64 23,52 11,76 17,64 11,76
Media 7,29
Comparând rezultatele obținute în e tapa inițială și finală am constatat că, la nivel
teoretic și aplicativ, majoritatea elevilor clasei a VIII -a B (din eșantionul experimental ) au
înregistrat progrese mai mari comparativ cu elevii de la clasa a VIII -a A ( din eșantionul de
160
control – martor ) . De remarcat este faptul că la evaluările finale, niciun elev nu a mai obținut
note sub 5.
5.7. CONCLUZII
Făcând o evaluare a rezultatelor obținute de eșantionul experimental,
comparativ cu eșantionul martor se poate spune că strategiile interactive a u antrenat elevii într –
o activitate la clasă ce rupe barierele lecțiilor clasice, oferindu -le un cadru nou de m anifestare,
bazat pe cunoștințele anterioare, dorința de afirmare, libertatea exprimării, conducerea subtilă
a profesorului spre descoperirea un or adevăruri născând un real progres.
Am fost plăcut surprinsă să observ elevii implicându -se activ în desfășu rarea
lecțiilor, antrenându -i și pe cei mai timizi sau mai slabi, elevilor crescându -le astfel încrederea
în forțele proprii. Personal i -am încur ajat pe elevi, le -am apreciat eforturile și performanța
fiecăruia în parte.
5,476,56,77
5,76,887,29
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Analiza comparativă a mediilor celor două clase a VIII -a
clasa VIII -a B (eșantionul experimental)
clasa a VIII -a A (eșantionul de control -martor)
161
Iată un tabel comparativ a rezult atelor celor două clase a VIII -a la cele trei tipuri de
evaluări:
Nr.
crt. Clasa Media
Evaluarea
inițială Evaluarea
formativă Evaluarea
finală
1. a VIII -a B (eșantionul experimental) 5,70 6,88 7,29
2. a VIII -a A (eșantionul de control -martor) 5,47 6,50 6,77
Așa cum arată rezultatele statistice progresul elevilor este evident, se observă o reală
îmbunătățire a situației școlare și a nivelului de cunoștințe în ritm mai alert la eșantionul
experimental decât la cel de control -martor. De asemenea atitudinea elevilor fată de matematică
s-a schimbat, elevii demonstrând curiozitate, interes dar și capacitatea de a transfera
cunoștințele dobândite în rezolvarea unor situații noi. Pentru a ajunge la o mai bună cunoaștere
a elevilor profesorul trebuie să folosească strategii didactice cât mai variate și să le aleagă pe
cele care se potrivesc cel mai bine colectivului de elevi pe care îl îndrumă.
Prin ap licarea acestor strategii moderne în rezolvarea de probleme cu ajutorul
ecuațiilor s -a asigurat la elevi: formarea unor deprinderi de muncă individuală și de grup,
spiritul de ordine și cooperare, rezolvarea problemelor prin mai multe moduri, valorificarea la
maxim a timpului, manifestarea personalității sub toate aspectele sale, stimularea potențialului
individual, cunoașterea interpersonală.
După prezentarea și interpretarea rezultatelor, suntem în măsură să apreciem că
ipoteza de lucru conform căreia uti lizarea metodelor moderne în rezolvarea problemelor cu
ajutorul ecuațiilor ș i scopul studiului întreprins se confirmă.
În urma testului final se constată că performanțele au crescut la a VIII -a B, de la
Școala Gimnazială, comuna Tămășeni pentru că s -a luc rat organizat, sistematic și s -au utilizat
metodele moderne de învățare a ma tematicii, lucru pe grupe si individual, ca forme de
organizare a clasei, care au antrenat și mobilizat elevii. Experimentul a scos în evidență faptul
că toate exercițiile, jocuril e, problemele, sarcinile didactice au determinat o învățare eficientă
a noți unilor alese.
162
ANEXA 1
PROIECT DE LECȚIE
DATA :
CLASA : a VIII -a B
ȘCOALA : Școala Gimnazială, Comuna Tămășeni
PROFESOR : Bârlescu Loredana
OBIECTUL : Matematică algebră
UNITATE A DE ÎNVĂȚARE: Ecuații și inecuații în ℝ
SUBIECTUL: Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor și sistemelor de ecuații
TIP DE LECȚIE: Fixare și consolidare a cunoștințelor
SCOPUL LECȚIEI : Consolidarea cunoștințelor referitoare la rezolvarea problemel or cu ajutorul ecuațiilor și sistemelor de ecuații
COMPETENȚE GENERALE:
CG 4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, concluziilor și demersurilor de rezolvare pentru o situație da tă
CG 5. Analizarea caracteristicilor matematice ale une i situ ații date
CG 6. Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite domeni i
COMPETENȚE SPECIFICE:
CS4-2. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor noțiuni de geometrie plană
CS5-2. Determinarea soluțiilor unor ecuați i, inecuații sau sisteme de ecuații
CS6-2. Identificarea unor probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor, inecuațiilor sau a sistemelor de ecuații, rezolvarea ac estora și interpretarea
rezultatului obținut .
163
COMPETENȚE DERIVATE:
CD1 – definirea și r ecunoașterea unei ecuație de alte enunțuri apropiate ca formă;
CD2 – verificarea prin calcul dacă un număr este soluție a unei ecuații;
CD3 – rezolvarea ecuația de gradul I: 𝑎𝑥 +𝑏 = 0, cu 𝑎,𝑏 ℝ ;
CD 4 – reproducerea și aplicarea formulei discriminantu lui și formulei de rezolvare a ecuației de gradul al II -lea
CD 5 – rezolvarea ecuațiilor reductibile și/sau precizarea transformările făcute pentru obținerea echivalențelor;
CD 6 – rezolvarea sistemelor de două ecuații liniare cu două necunoscute;
CD 7– enunț area etapelor de rezolvare a problemelor cu ajutorul ecuațiil or;
CD 8 – transcrierea în limbaj matematic a diferitelor situații – problemă și/sau formularea problemelor după scheme date;
CD 9– discutarea în grup a metodelor de rezolvare în vederea optimiz ării acestora din punct de vedere al pașilor de parcurs și din punct de vedere al
volumului de calcule implicat
CD 10 – rezolvarea prin ecuații a unor probleme frecvent întâlnite în activitatea cotidiană;
STRATEGII DIDACTICE:
a) Metode și procedee: jocului didactic; metoda ciorchinelui; conversația; observația; exercițiul; problematizarea; Învățarea prin descoperire.
b) Mijloace de realizare: fișe de lucru; fișă de evaluare; prezentare în Power Point; foi de flipchart;
– manual clasa a VIII -a, Editura Te ora, Bucu rești 2012, Corneliu Savu, Gina Caba, Emil Teodorescu, Dan Popoiu;
– culegere: Matematica algebră, geometrie clasa a VIII -a, Editura Paralela 45, Pitești 2018, Anton Negrilă, Maria Negrilă;
– culegere: Mate 2000 standard, matematică algebră, geometrie clasa a VIII-a, Editura Paralela 45, Pitești 2016, Dorel Luchian, Gabriel
Popa, Adrian Zanoschi, Gheorghe Iurea;
– Programa școlară pentru gimnaziu aferentă studiului matematici.
c) Forme de organizare : frontală; individuală; lucrul în echipe.
164
Etapele
lecției
Com.
deri-
vate Conținut și sarcini de învățare Strategii didactice
Activitatea profesorului Activitatea elevului Metode
și
procedee Mijloace
de
realizare Forme
de
organi –
zare
1 2 3 4 5 6 7
Moment
organiza –
toric Verificarea prezenței și a condițiilor optime pentru
desfășurarea lecției Elevii se pregătesc cu cele necesare pentru
desfă șurarea lecției. Conversa –
ția frontală
Captarea
atenției și
verificare
a temei
CD 9 Voi verifica tema cantitativ și calificativ. Se vor
rezolva la tablă exercițiile mai dific ile.
Pentru captarea atenției voi utiliza un joc didactic
in care elevii vor avea de calculat un produs.
„Care este rezultatul produsului?
(𝑥−𝑎)∙(𝑥−𝑏)∙(𝑥−𝑐)∙…∙(𝑥−𝑧)=?
Dacă este necesar voi prezenta și rezolvarea
joculu i. Penultimul factor al înmulț irii este tocmai
(𝑥−𝑥) și atunci produsul este zero. Elevii urmăresc atenți tema și corectează acolo
unde au greșit.
El
evii care nu descoperă rezolvarea vor calcula
mult Conversa –
ția
Învățarea
prin
descope –
rire Caiete de
teme frontală
indivi –
duală
Anunțare
a temei și
a compe –
tențelor
specifice Astăzi la ora de matematică ne propunem să ne
formăm deprinderile și să ne consolidăm
cunoștințele referitoare la rezolvarea de probleme
cu ajutorul ecuațiilor și a sistemelor de ecuații Elevii sunt atenți și conștientizează tema și
competențele specifice lecției Conversa –
ția frontală
Reactuali –
zarea
cunoștințe –
lor
anterioare
CD 1
CD 3
Pentru reactualizarea cunoștințelor se folosește
jocul „Spune tu!“ și /sau metoda ciorchinelui prin
care se vizează următoarele întrebări:
1) Ce numim ecuație de gradul I?
2) Ce înseamnă a rezolva o ecuație?
3) Când un număr este soluție a unei ecuații? Elevii sunt atenți și răspund la întrebările
profesorului:
1)Numim ecuație în mulțimea numerelor reale o
propoziție matematică cu una sa u mai mu lte
necunoscute și care conține o singură dată
semnul egal.
2)A rezolva o ecuație înseamnă a determina
mulțimea soluțiilor sale.
3)Un număr este soluție dacă verifica ecuația.
Metoda
ciorchine –
lui
Jocul
„Spune
tu!”
Conversa –
ția foaia
flipchart
frontală
165
CD 4
CD 4
CD 7 4) Care este forma generală a unei ecua ții de gradul
al II-lea?
5) Care este discriminantul și formula de rezolvare
a ecuației de gradul al doilea?
6) De cine depinde numărul de soluții a unei ecuații
de gradul al doilea? și cum?
7) Care sunt etapele de r ezolvare corectă a
problemelor cu ajutorul ecuațiilor?
După reactualizarea cunoștințelor se va derula o
prezentare în Power Point de către profesor a celor
discutate 4) O ecuație de gradul al II -lea este de
forma , (𝑎,𝑏∈ℝ,𝑎≠0);
5) 𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐 este discriminantul ecuației de
gradul al II -lea.
6) Numărul de soluții în ℝ ale ecua ției de gradul
al II-lea depinde de semnul lui ∆:
a) ∆<0, atunci ecuația nu are soluții în ℝ;
𝑥1,𝑥2∉ℝ.
b)∆=0, atunci ecuația are o rădăcină reală
dublă:𝑥1=𝑥2−𝑏
2𝑎.
c) ∆>0, atun ci ecuația are două rădăcini reale
distincte: 𝑥1,𝑥2=−𝑏±√∆
2𝑎.
7)Etape de rezolvare a unei probleme prin
metoda algebrică sunt:
1) stabilirea datelor cunoscute și necunoscute
din problemă;
2) stabilir ea modelului matematic al problemei:
ecuații, inecuații, sisteme de ecuații etc;
3) rezolvarea modelului matematic;
4) interpretarea soluției și verificarea
rezultatului.
Elevii pot prezenta aceste noțiuni la tablă sau pe
o foaie de flipchart cu ajutorul m etodei
ciorchinelui
Elevii urmăresc prezentarea.
Conversa –
ția
Explicația
Conversa –
ția
Metoda
ciorchinel
ui
foaia
flipchart
Prezenta –
rea
Power
Point
frontală
frontal ă
Asigurare
a retenției
și a
transferul
ui
Profesorul propune spre rezolvare exercițiile și
problemele din fișa de lucru . Profesorul prezintă
elevilor sarcina de lucru. De exemplu la primul
exercițiu au avut de completat spațiile libere astfel
încât să obțină propoziții adevărate. La exercițiul
al doilea au avut de rezolv at un exercițiu de tip Elevii sunt atenți și la explica țiile date de
profesor . Elevii își însușesc sarcinile acordate
de profesor și rezolvă exercițiile din fișa de
lucru.
Conversa –
ția
Fișa de
lucru
frontală
02=++ c bx ax
166
CD 2
CD 3
CD 4
CD 5
CD 8
CD 9
CD 10
CD 5
CD 8
CD 9
CD 5
alegere duală dacă propoz iția era adevărată
trebuiau să încercuiască litera „ A”, iar dacă era
falsă încercuiau litera „ B”. La celelalte exerciții au
avut de făcut rezolvările complete.
Acolo unde este cazul profesorul numește câte un
elev să rezolve exercițiile la tablă.
Elevii au avut de rezolvat și probleme din viața
cotidiană de exemplu exercițiul 4 din fișa de lucru:
4)Bunica le zice nepoților dacă ar face câte 2
plăcinte pentru fiecare i -ar mai rămâne cocă
pentru 3 plăcinte și n u ar putea să facă câte 3
plăcinte pentru fiecar e deoarece i -ar mai trebui
cocă pentru încă 2 plăcinte. Câți nepoți are
bunica?
Profesorul le cere elevilor să rezolve în perechi
acest exercițiul și se punctează perechea care
rezolvă prima acest exercițiu.
La ultimul exercițiu au avut de rezolvat o
problemă de geometrie plană cu ajutorul
ecuațiilor:
7)În pătratul alăturat află
numărul natural x
știind că aria porțiunii
hașurate este egal cu 27 cm2.
Profesorul urmărește
rezolvarea și oferă indicații acolo unde este cazu l
Elevii rezolvă pe caiete și la tablă exercițiile de
pe fișa de lucru și unde nu știu cer explicații
profesorului.
Elevii rezolvă î n perechi:
Notăm cu x numărul de nepoți
Stabilesc ecuația problemei:
2𝑥+3=3𝑥−2
Unele perechi greșesc nu fac scădere acolo
unde scrie că ar mai trebui cocă pentru încă 2
plăcinte.
Elevii af lă aria porțiunii hașurat ca o diferență
dintre aria pătratului mare și suma ariilor
celorlalte porțiuni nehașurate (aria pătratului
mic și a clor două triunghiuri dreptunghice ce
se formează în figură).
𝐴ℎ𝑎ș𝑢𝑟𝑎𝑡=𝐴𝑝ă𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑚𝑎𝑟𝑒−(𝐴𝑝ă𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑚𝑖𝑐+2∙
𝐴∆ 𝑑𝑟𝑒𝑝𝑡)=27
Se formează ecuația
16𝑥2−(9𝑥2+4𝑥2)=27
Rezolvând -o elevii obțin 3𝑥2=27/:3⇔
𝑥2=9⇔𝑥=±3 și știind că distanțele sunt
numere pozitive alegem doar soluția naturală
𝑥=3 𝑐𝑚
Verificare: 16∙32−(9∙32+4∙32)=27
⇔144−(81+36)=27
Exercițiul
Observația
Problema –
tizarea
Exercițiul
Explicația Fișa de
lucru
Tabla
Fișa de
lucru
Fișa de
lucru
Fișa de
lucru frontală
Lucru
în
perechi
Frontală
Frontală
167
CD 2 ⇔144−117=27⇔27=27.(𝐴)
Deci sol uția ecuației este și soluția problemei.
Evaluarea
și tema
pentru
acasă
CD 3
CD 5
CD 6
CD 8
CD 10
CD 8 Profesorul dă un test de evaluare structurat
asemănător cu fișa de lucru.
I. Pe foaia de test scrieți numai rezultatele:
(1) Soluția ecuației 5𝑥+3(𝑥−6)=7𝑥+13
este…..
2) Soluția sistemului {5𝑥+3𝑦=4
4𝑥−3𝑦=14 este 𝑥=…..și
𝑦=….
3) Suma dintre dublul unui număr și jumătatea lui
este egală cu 25. Atunci numărul este……..
II. Pe foaia de test se trec rezolvăril e complete:
4). Un țăran are păsări de curte și oi. Ace ste animale
au la un loc 46 de capete și 114 picioare. Câte păsări
și câte oi are țăranul?
5) Ce sumă a avut un elev dacă după ce a cheltuit 3
7
din ea, a mai cheltuit 3
5din cât îi rămăsese, iar d upă
ce a mai cheltuit încă 12 lei constată că î -au mai
rămas 24 de lei.
Profesorul face aprecieri la modul cum elevii au
participat la oră și îi notează pe cei care au fost
activi.
Profesorul stabilește tema pentru acasă exercițiile
neterminate de pe fișa de lucru și/sau exercițiile
5,6,7 pag. 73 culegere Mate 2000+ Consolidare,
clasa a VIII -a. Elevii rezolvă testul de evaluare propus de
profesor
Elevii își însușesc laudele și observațiile făcute
de profesor și notează pe caiete maculatoar e
tema pentru acasă. Exercițiul
Conversa –
ția Fișa de
evaluare.
Macula –
tor Indivi –
duală
Frontal
168
Fișă de lucru
1. Completați spații libere astfel să obțineți propoziții adevărate:
a) Soluția reală a ecuației 𝑥+3=3𝑥−5 este………..
b) Dacă un sfert din lungimea unui drum reprezintă 10 km. Atunci lungimea drumului
are ………..km.
c) Soluția naturală a ecuației 𝑥2+4𝑥−21 este…….
d) Suma dintre un număr natural și jumătatea sa este cu 3 mai mică decât dublu l
numărului at unci numărul este……………..
2. Pentru fiecare din enunțurile următoare, dacă este adevărat încercuiți litera „ A” iar
dacă este adevărat încercuiți litera „ F”.
a) Dacă 2 este soluție a ecuației 𝑎𝑥2−3𝑥+𝑎−4=0 atunci
valoarea lui a este tot 2. A F
b) −4 este soluție a ecuației 𝑥+1
3=𝑥
4. A F
c) Ecuația 𝑥2−5𝑥+7 nu are soluții în mulțimea numerelor reale. A F
3. Mama este cu 18 de ani mai în vârstă decât fiul. Ce vârstă are fiecare, dacă peste 6 ani
vârsta mamei va fi de două o ri vârsta fiului?
4. Bunica le zice nepoților dacă ar face câte 2 plăcinte pentru fiecare i -ar mai rămâne
cocă pentru 3 plăcinte și nu ar putea să facă câte 3 plăcinte pentru fiecare deoarece i –
ar mai trebui cocă pentru încă 2 plăcinte. Câți nepoți are bunic a?
5. Să se determine dimensiunile unui dreptunghi știind că perimetrul său este de 26 cm și
aria sa este de 40 cm2.
6. Într-un test sunt 30 de întrebări. Un răspuns corect crește scorul cu 7 puncte, iar o
greșeală sau o întrebare fără răspuns îl scade cu 12 pu ncte. Scorul lui An drei este de
77 puncte. Câte greșeli a făcut?
7. În pătratul alăturat află numărul natural x știind că aria
porțiunii hașurate este egal cu 27 cm2.
169
Numele și prenumele…………….
Clasa a VIII -a
Fișă de evaluare
I. Pe foaia de test scrieți numai rezultatele:
(1p) 1) Soluția ecuației 5𝑥+3(𝑥−6)=7𝑥+13 este…………
(1p) 2) Soluția sistemului {5𝑥+3𝑦=4
4𝑥−3𝑦=14 este 𝑥=……. și 𝑦=………..
(1p) 3) Suma dintre dublul unui număr și jumătatea lui este egală cu 25. Atunci
numărul este……..
II. Pe foaia de test se trec rezolvările complete:
(3p) 4). Un țăran are păsări de curte și oi. Aceste animale au la un loc 46 de capete
și 114 picioare. Câte păsări și câte oi are țăranul?
(3p) 5) Ce sumă a avut un elev dacă după ce a ch eltuit 3
7 din ea, a mai cheltuit 3
5din
cât îi rămăsese, iar după ce a mai cheltuit încă 12 lei constată că î -au mai rămas 24 de lei.
Se acordă 1p din oficiu.
170
Barem de evaluare și notar e
I. Pentru exercițiile 1 -2 se punctează doar rezultatul, astf el: pentru fiecare răspuns
se acordă fie punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte.
Nu se acordă punctaje intermediare.
Nr.
item I.
1. 2. 3.
Rezultate 31 𝑥=2
𝑦=−2 10
Punctaj 1p 1p 1p
II. Pentru exercițiile 4 și 5 se acordă 6 pu ncte. Pentru orice soluție corectă, chiar
dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător.
Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru
rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în b arem.
Nr. item Rezolvare Punctaj
4. x= numărul de păsări de curte
y= numărul de oi
{𝑥+𝑦=46/∙(−2)
2𝑥+4𝑦=114
⇔{−2𝑥−2𝑦=−96
2𝑥+4𝑦=114
/ 2𝑦=22⇔𝑦=11
⇔{𝑥+11=46
𝑦=11⇔{𝑥=35
𝑦=11
1p
1p
1p
5. x= suma inițială
I. 3
7𝑥
II. 3
5∙4
7𝑥
III. 12 lei
IV. 24 lei
Se stabilește ecuația problemei 𝐼+𝐼𝐼+𝐼𝐼𝐼+𝐼𝑉+𝑉=𝑥
3
7𝑥+3
5∙4
7𝑥+12+24=𝑥
3
7𝑥+12
35𝑥+36⇔36=𝑥−3
7𝑥+12
35𝑥⇔
1260=35𝑥−15𝑥−12𝑥⇔
8𝑥=1260⇔𝑥=157,5 lei.
1p
1p
1p
Se acordă 10 puncte din ofi ciu.
171
BIBLIOGRAFIE
[1] Albulescu Ion, – Pragmatica predării, Activitatea profesorului între rutină și creativitate ,
Editura Parelela 45, Pitești 2008.
[2] Ardelean Liviu, Secelean Nicolae – Didactica matematicii managementul, proiectarea și
evaluarea activitățil or didactice , Editura Universității “L ucian Blaga” Sibiu, 2007.
[3] Ardelean Liviu, Secelean Nicolae – Didactica matematicii noțiuni generale, comunicarea
didactică specific matematicii , Editura Universității “Lucian Blaga” Sibiu, 2007.
[4] Arimescu Aurelia, Arime scu Viorel – Culegere de exerciții și p robleme de algebra și
geometrie pentru clasele VI -VIII. Editura Didactică și Pedagogică, București, 1971 .
[5] Aron Ion, Herescu I. Gheorghe, Aritmetica pentru învățători , Editura Didactică și
Pedagogică, București, 1977.
[6] Bălan Horia, – 555 de teste de biologie pentru examenul de admitere la medicină generală,
Stomatologie, Farmacie, Psihologie, Biologie, Medicină veterinară, Educație fizică și
sport , Editura Univers, București 1998.
[7] Bălăucă Artur, Țicalo Ioan – Algebră ge ometrie clasa a VIII -a, Editura Taida, Iași 2010.
[8] Bălăucă Artur, Țicalo Ioan Ciobănașu Mariana, Ciobănașu Ioan, – Algebră,geometrie clasa
a VII -a, Editura Taida, Iași 2011.
[9] Balica Ioan, Perianu Marius, Săvulescu Dumitru – Matematică clasa a 7 -a, Clubul
Matematicienilor , Editura Art, Bucu rești, 2016.
[10] Becheanu M., Dincă A, Ion I.D., Niță C., Purdea I., Radu N., Ștefănescu Mirela, Vraciu
C. – Algebră pentru perfecționarea profesorilor , Editura didactică și pedagogică,
București, 1983.
[11] Bobancu Vasile – Enciclop edie didactică matematică , Editu ra Fair Partners, București,
2007 .
[12] Cheșcă Ioan, Caba Gina, Matematică – Manual pentru clasa a 7 -a, Editura Teora, 2000.
[13] Chirilă Constantin, Cristescu Bogdan, Hardulea Anca, Neagu Mihaela, Petrovici
Adriana, Petrovici Constan tin, Romaniuc Liliana, Sava Ange la Stanciu Tudor,
ȘușuCistina, – Formarea continua a profesorilor de matematică în societatea cunoașterii
Modulul A Competențe curriculare -priorități ale reformei, Modulul B Dezvoltarea
profesională în societatea cunoașterii , Editorul materialului Inspecto ratul Școlar Județean
Iași, septembrie 2012 .
172
[14] Cojocariu Venera Mihaela – Teoria și metodologia instruirii , Editura Didactică și
Pedagogică, București, 2002.
[15] Crăciunel Ioan, Fianu Mircea, Gaiu Laurențiu, Ghiciu Nicolaie, Nicul esu Liliana,
Simon Petre, Spircu Tiberiu – Matematică algebră, Manual pentru clasa a VIII -a, Editura
Didactică și Pedagogică R.A,, București, 1995.
[16] Duca Gheorghe, Buga Alina Chimie, – Ghid pentru elevi și studenți , Editura Știința,
București 2002.
[17] Dumitriu Constanța – Metodologia cercetării psihopedagogice , Editura Alma Mater
Bacău 2011 .
[18] Dumitru Ana, Dumitru Logel, Maria Luiza Ana, Elena Stroiescu Logel – Metodica
predării matematicii pentru învățământul primar , Editura Carmis, Pitești 2017.
[19] Fianu Mirce a, Perianu Marius, Săvulescu Dumitru – Matematică pentru clasa a 8 -a,
Clubul Matematicienilor, Editura Art, București,, 2012.
[20] Ganga Mircea – Matematica -Manual pentru clasa a 10 -a, Trunchi comun +
Curriculum diferențiat , Editura Mathpress, Ploieș ti , 200 5.
[21] Ganga Mircea – Probleme rezolvate din manualele de matematică, Editura Mathpress,
Ploiești, 2004.
[22] Ganga Mircea, Matematică manual clasa a IX -a, Editura Mathpress, Ploiești 2001 .
[23] Gherbanovschi Cleopatra, Gherbanovschi Nicolaie, – Fizică, manual p entru cl asa a IX –
a, Editura Niculescu, București 2010 .
[24] Gologan Radu (coordonator), Neța Camelia Elena, Mîinescu Corina Mianda, Neța
Ciprian Constantin, Mîinescu Ion Cătălin – Matematica Manual pentru clasa V -a, Editura
Corint, București 2017 .
[25] Gusta Constan ța, Pert ea Ilie, Voinea Marian, Hanghic Titu – Metodica predări
matematici în liceu , Editura Fair Partners, București, 2011.
[26] Hollinger – Metodica predării algebrei în școala generală , Editura Didactică și
Pedagogică, București, 1965.
[27] Hollinger, E. Geor gescu Bu zău – Elemente de algebră superioară , Editura Didactică și
Pedagogică, București, 1972.
[28] Iurea Gheorghe, Luchian Dorel, Popa Gabriel, Zanoschi Adrian, – Evaluare națională
2019 , Editura paralela 45, Pitești 2018 .
[29] Iurea Gheorghe, Zanoschi Adrian – Matematică algebră, geometrie clasa VII -a, Editura
paralela 45, Pitești 2016 .
173
[30] Luchian Dorel, Popa Gabriel, Iurea Gheorghe, Zanoschi Adrian – Matematică algebră,
geometrie clasa VIII -a, Editura paralela 45, Pitești 2016 .
[31] Lupu Costică, Săvulescu Dumitru – Meto dica pre dării geometriei , Editura Paralela 45,
Pitești -Brașov -Cluj Napoca 2000 .
[32] N. Mihăileanu – Complemente de algebra elementară , Editura didactică și pedagogică,
București, 1968 .
[33] Nanu Ioan, Tutescu Lucian – Ecuații nestandard , Editura Apollo, Editura Oltenia,
Craiova, 1994 .
[34] Năstăsescu, Niță C. – Teoria calitativă a ecuațiilor algebrice , Editura Tehnică,
București, 1979.
[35] Neacșu Ioan si alții –Metodica predării matematicii la clasele I -IV, Manual pentru
liceele pedagogice clasele XI -XII, Editu ra Didactică și Ped agogică, București, 1988 .
[36] Neagu Gheorghe, Neagu Narcisa Maria – Teme alese de metodica predării matematicii,
Editura Plumb, Bacău, 2003.
[37] Neagu Mihaela, Mocanu Mioara –Metodica predării matematicii în ciclul primar ,
Editura Polirom, Iași 2007 .
[38] Negrilă Anton , Negrilă Maria – Matematică algebră, geometrie clasa VIII -a, Editura
paralela 45, Pitești 2018 .
[39] Panait Claudia, Gheorghe Cornelia, – Tipuri de reacții chimice în chimia neorganică ,
Editura didactică și pedagogică, București, 1973 .
[40] Panaitopol L, Drăghicesc u I.C. – Polinoame și ecuații algebrice , Editura Albatros 1980 .
[41] Pârâială Dumitru. Pârâială Viorica, – Aritmetica Vol. I și Vol. II Probleme tipice
rezolvate prin mai multe procedee, Culegere pentru elevii claselor a III -a – a V-a și a
Școlilor Normale , Edi tura Polirom, Iași 1996.
[42] Perelman I. – Algebra distractivă , Editura Științifică, București, 1961 .
[43] Petrianu Marius, Stănică Cătălin, Smărăndoiu Ștefan – Matematică clasa a V -a, Grup
editorial Art, București 2017 .
[44] Petrică Ion, Bălșea nu Victor, ChebiciIarosl av – Matematică -Manual pentru clasa a 6 –
a, Editura Petrion, București, 2004.
[45] Popa Valeriu -Carte pentru tinerii profesori de matematică (și nu numai…), Editura
Egal Bacău, 2004.
[46] Postolache Mihai – Metodica predării matematicii în liceu , Editura Fair Part eners
Junior, 2011.
[47] Pόlya G. – Cum rezolvăm o problemă? , Editura Științifică, București 1965 .
174
[48] Pόlya G. -Descoperirea în matematică , Ed. Științifică, București, 1971 .
[49] Rusu Eugen – Cum gîndim și rezolvăm 200 de probleme? , Editura Alba tros, București,
1972 .
[50] Sacară Liliana, Dumitriu Iulia Cristina – Psihopedagogie – Sinteze pentru examenele
de definitivare și gradul II , Editura EduSoft, Bacău, 2006.
[51] Savu Corneliu, Caba Gina, Teodorescu Emil, Popoiu Dan – Matematică -Manual pentru
clasa a 8 -a, Editura Teora, București , 2012.
[52] Smărăndoiu Ștefan, Perianu Marius, Săvulescu Dumitru, Lazăr Cristian – Matematică
pentru clasa a 6 -a, Clubul Matematicienilor , Editura Art, București, 2015.
[53] Spircu Tiberiu, Crăciunel Ioan, Chișiu Lucia – Matemat ică algebră, Manual pent ru
clasa a VII -a, Editura Didactică și Pedagogică R.A. București, 1995.
[54] Stănică Cătălin, Perianu Marius, Roșu Ion, Săvulescu Dumitru – Matematică pentru
clasa a 5 -a, Clubul Matematicienilor , Editura Art, București, 2015.
[55] Teodorescu Exarcu I, Ciuhat Ileana, Gherghescu Silvia, Șoigan Maria – Biologie
Anatomia și fiziologia omului, Manual pentru clasa a XI -a, Editura Didactică și
Pedagogică, R.A., București 1998.
[56] Voica Cristian, Singer Mihaela – Tipologia rezolvării problemelor , Editura Politehnica
Press, Bucu rești 2012 .
175
DECLARA ȚIE DE AUTENTICITATE
privind elaborarea lucrării metodico -științifice pentru gradul didactic I
Subsemnatul/subsemnata Giurgilă (Bârlescu) M. Loredana declar pe propria
răspundere că:
a) lucrarea a fost elaborată per sonal și îmi apar ține în întregime;
b) nu au fost folosite alte surse decât cele men ționate în bibliografie;
c) nu au fost preluate texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări sau din alte surse
fără a fi citate și fără a fi precizată sursa preluării, i nclusiv în cazul în care sursa o
reprezintă alte lucrări ale mele;
d) lucrarea nu a mai fost folosită în alte contexte de examen sau de concurs.
Data, Semnătura,
09.08.2019 ………………………
F 394.10/Ed. 01
176
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I COORDONATOR ȘTIINȚIFIC : Conf. univ. dr. Mocanu Marcelina CANDIDAT : Prof. Giurgilă (Bârlescu) M. Loredana… [630863] (ID: 630863)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.