PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I Coordonator: Prof.univ.dr . Ovidiu Popescu Candidat, Prof. Adriana Arzoiu Liceul Tehnologic Râșnov 2016 – 2018 2… [607098]

UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAȘOV
FACULTATEA DE PSIHOLOGIE ȘI ȘTIINȚELE EDUCAȚIEI
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC

LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ
PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I

Coordonator:
Prof.univ.dr . Ovidiu Popescu
Candidat: [anonimizat]. Adriana Arzoiu
Liceul Tehnologic Râșnov

2016 – 2018

2

UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAȘOV
FACULTATEA DE PSIHOLOGIE ȘI ȘTIINȚELE EDUCAȚIEI
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC

MODELE MATEMATICE APLICATE ÎN ECONOMIE –
FORME ȘI MODALITĂȚI DE MOTIVARE A ELEVILOR PENTRU
STUDIUL MATEMATICII

Coordonator:
Prof.univ.dr. Ovidiu Popescu
Candidat: [anonimizat]. Adriana Arzoiu
Liceul Tehnologic Râșnov

2016 – 2018

3

Avizul conducătorului științific,
(gradul didactic, numele și prenumele)

Domnule Director,

Subsemnatul/(a) ____________________________________________
vă rog să -mi aprobați susținerea lucrării metodico -științifice cu titlul
________________________________ ____________________ ______
__________________________________________________________
__________________________________________________________

Data, Semnătura,

4
CUPRINS

INTRODUCERE. ………………………………………………………………………………… …….. ………. ..6
CAPITOLUL I.Noțiuni de matematici financiare …………………………………… ………………7
I.1.Procent.Raport procentual………………………………………………….. ……………………. .8
I.2.Dobânda…………………………………….. …………… ………………….. …………………………9
I.3.Credit,anuitate,amortisment…………………………. ………………… ……………………….15
I.4.Amortizări……………………………………………….. ………………….. ……………………….18
I.5.Impozite,taxe,T.V.A………………………………….. …………………. ………………………..19
I.6.Costul de producție. Preț de cost al unui produs ………………………… ……………….21
I.7.Profit………………………………………………………………… …………. ……………………….24
I.8.Bugetul de venituri și cheltuieli……………………. ………………… ……………….. ……..25
I.9.Valori medii și reprezentări grafice…………………. ……………… ………………………..26
CAPITOLUL II.Aplicații ale matematicii în probleme de economie …………………….. ..30
II.1.Sisteme de două ecuații cu două n ecunoscute.. ………………… ……………………….30
II.2.Progresii aritmetice și geometrice………………… ………………… ……………………….33
II.3.Funcția de gradul II………………………………….. ………………….. ……………………….36
II.4.Funcția exponențială………………………………… …………………. ……………………….39
II.5.Funcții derivabile……………………………………… ………….. …….. ……………………….42
II.6.Elemente de geometrie analitică………………….. ………………… ……………………….46
CAPITOLUL III.Modelarea matematică …………………. …………………. ……………………… .51
III.1.Problema de transport……………………………………… …………. ………………………..52
III.2.Optimizarea producției unei întreprinderi……. ……………………….. ………………..59
III.3.Probleme dietei (nut riției)………………………….. ………………… ……………………….62
III.4.Problema de zonare în agricultură……………… ………………… ………………………..64
CAPITOLUL IV.Proiectarea și desfășurarea învățării mat ematice ………………………..67
IV.1.Rolul matematicii în formarea personalități i elevului………. ……………………….67

5
IV.2.Finalitățile și obiectivele specifice matematicii ………………. ……………………….69
IV.3.Metode de învățare centrate pe elev utilizate în orele de
matematică………………………………………………………………. ………………….. ……………………….70
IV.4.Creșterea motivației pentru învățat……………… …….. …………. ……………………….81
IV.5.Procedee de stimulare a participării elevilor la lecție……….. ……………………….85
IV.6.Evaluarea elevilor -metodă de motivare a a cestora…………… ……………………….89
CAPITOLUL V.Proiectul unității de învățare ………….. …………………. ……………………….94
V.1.Proiect didactic……………………………………….. ………………….. ……………………….94
V.2.Curriculum la decizia școlii. ……………………… ………………….. ……………………..102
CAPITOLUL VI.Studiu privind motivația de învățare la elevi la disciplina
matematică ………………………………………………………….. …………………….. ……………………..109
BIBLIOGRAFIE ………………………………………………………………. ……….. ……………………..115

6
INTRODUCERE
Necesitatea utilizării matematicii în științele economice
Este clar pentru oricine că observarea fenomen elor econo mice actuale impune
necesitatea unui studiu matematic și statistic aprofundat .
Folosirea metodelor și modelelor matematice în p ractica economică,reprezintă o
preocupare majoră care are efecte benefice în rezolvarea problemelor economice actuale.
Tratarea, abordarea și modelarea fenomenelor economice cu ajutorul mijloacelor moderne
ale matematicii a permis introducerea rigorității și preciziei matematice ,dim inuând astfel
riscul și incertitudinea .
Studierea în ansamblu a aspectelor cantitative și calitative a unui fenomen
economic presupune un anumit volum de noțiuni, concepte ș i metode matematice , care
,considerate ca un tot unitar ,dau un așa numit model m atematic atașat fenomenului
studiat.
Utilizarea mate maticii în problemele economice n u este deloc simplă, chiar dacă se
utilizează modele matema tice. De mult timp se încearcă acest lucru, dar rezolvarea
problemelor impuse de studiul unui fenomen economic , numărul mare de date cu care se
lucrează și volumul mare de calcule necesare , necesita o tehnică de calcul avansată
Dezvoltarea informaticii și apariția calculatoarelor performante au făcut să a pară capitole
noi în matematică preocupate de modelarea proceselor economice.
Un alt motiv pentru care se impune utilizarea matematicii în studiul proceselor
economice este și problema alegerii dintr -o mulțime de rezultate posibile pe cel optim.
Noțiunea de optim,deși este destul de veche în gândirea economic ă, apare într -o nouă
lumină prin posibilitățile pe care le oferă matematica actuală. Dacă în trecut conținutul
optimului economic funcționa, cel mai adesea, după principiul ”cu cât mai mult, cu atât
mai bine” , în prezent optimul economic lucrează după pr incipiul ”profit maxim în
condiții date” .
Fără să greșim putem spune că există o colaborarea benefică, atât pentru
matematicieni, cât și pentru economiști în abordarea problemelor economice prin prisma
matematicii.
Legătura concretă dintre economie și ma tematică se stabilește printr -o transcriere
în limbaj matematic a noțiunilor și a relațiilor ce intervin în fenomenele economice.Orice
teorie economică fără suport matematic nu are valoare

7
CAPITOLUL I
Noțiuni de matematici financiare

Finanțele se concretizează în transferuri bănești între părți,cu prilejul formării sau
utilizării diverselor fonduri. Părțile implicate sunt:bugetul de stat, agenții economici,
instituții, persoane fizice.
Relațiile financiare reprezintă transferuri definitive de fond uri,fără contraprestație
directă și imediată.Așa sunt finanțările de la bugetul de stat, finanțăr ile din fonduri
proprii,taxele plătite către bugetul de stat.
Relațiile de credit sunt transferuri de fonduri pe o perioadă determinată, totdeauna
rambursabil e la scadență și purtătoare de dobândă.Creditul bancar este forma cea mai
extinsă de credit.El este acordat de bancă pentru a acoperi un scop al debitorului,în
condiții stabilite de bancă.În activitatea de creditare,băncile folosesc nu numai fondurile lo r
proprii,ci și un însemnat volum de fonduri de la terți cum sunt depunerile (sau
plasamentele bancare).
Voi prezenta în continuare câțiva indicatori financiari care sunt utilizați pentru
definirea și caracterizarea unor noțiuni cum sunt:
-procent,rapo rt procentual
-plasamentele bancare purtătoare de dobândă
-creditele bancare și rambursarea lor
-taxele pe care le plătește un agent economic
-întocmirea unui buget
-amortizări
-noțiuni de statistică

8
I.1.Procent.Raport procentual

Definiție: Se numește raport procentual un raport de forma 𝑝
100 ,𝑝≥0.
Numărul p se numește procent și se notează p%.
A afla p% dintr -un număr x înseamnă a calcula 𝑝
100∙𝑥.
Exemple de utilizarea a procentelor
1.Comisionul din vânzări – este suma plătită de angajator reprezentanților care lucrează
în vânzări directe pentru a -i stimula să vândă cât mai mult.Comisionul reprezintă un
anumit procent din vânzări în general, în jur de 10% .
De exemplu,dacă un age nt de vânzări,are încasări de 18 0 lei într -o zi, atunci el va primi
18 lei comision.
2.Discount -ul –reprezintă o reducere de preț pe care m agazinele le oferă deseori la
anumite produse.
De exemplu,dacă un produs costă 4 00 lei și i se aplică un discount de 25 % atunci el va fi
vândut cu 400 -400∙25%=30 0 (lei).
3.Adaosul comercial –reprezintă diferența dintre prețul de v ânzare și prețul de
achiziționare al unui anumit produs .
De exemplu:un produs a fost achiziționat de la furnizor cu 6 00 lei. Prețu l de vânzare din
magazin ( presupunând că acesta practică un a daos comercial de 15% ) este de 600+
15%∙600=690 (lei).

9
I.2.Dobânda
Noțiunea de dobândă a apărut prim a dată în Evul Mediu ,când termenul de dobândă
l-a înlocuit pe cel de camătă (o dobândă exorbitantă). Ea apare datorită existenței unui risc
referitor la rambursarea împrumuturilor sau referitor la încheierea operațiunilor financiare.
Dobânda este astfel o renum erație pentru un împrumut de bani ,este plata de care
beneficiază creditorul pentru o sumă de bani pe care o împrumu tă.
Rolul pozitiv al dobânzii apare odată cu trecerea la capitalism,când împrumuturile
pentru investiții devin necesare. Există multe controverse în ceea ce pri vește modul de
formare , rolul ș i calcularea dobânzilor unita re, ceea ce demonstr ează faptul că stabilirea
dobânzilor nu este deloc ușor.
Dobânda este influență de mai mulți factori cum ar fi :factori politici, inflația, riscul
 Dobânda simplă
Se calculează asupra unei sume,pe toată perioada contractului de plasament. Dacă
notăm cu S0 – suma depusă exprimată în unități bancare (lei,euro,dolari) , cu t- durata
contractului exprimată în unități de timp (ani sau luni), cu 𝑝
100 – dobânda care se plătește
pentru o unitate bancară pe unitatea de timp ,atunci dobânda simplă se calculează după
formula :
𝐷=𝑆0∙𝑝
100∙𝑡
Notând dobânda unitară cu r , 𝑟=𝑝
100 expresia lui D devine:
𝐷=𝑆0∙𝑟∙𝑡
Suma sau valoarea finală ridicată de c lient este:
𝑆𝑡=𝑆0+𝐷=𝑆0(1+𝑟𝑡).
Fie m un număr de părți (d iviziuni ) egale ale anului ( m=1 înseamnă un an ; m=2
înseamnă două semestre etc.).Atunci dobânda pentru suma S0 pentru un plasament de tm
diviziuni ale anului este :
𝐷𝑡=𝑆0∙𝑟∙𝑡𝑚
𝑚=𝑆0∙𝑝
100∙𝑡𝑚
𝑚

10
Dacă considerăm un caz p articular al dobândei pentru un anumit număr de zile
(ex:dobânda pentru S0 plasat ă simplu cu rata anuală r pentru 120 zile ,în cazul în care anul
este considerat de 366 zile este dată de 𝐷𝑡=20
61𝑆0∙𝑟 ).
Dacă dobânda pentru suma S0 , plasată pe o perioadă t, nu se face cu același procent
pe toată perioada (adică apar diverse procente de -a lungul perioadei t),să zicem 𝑟𝑘=
𝑝𝑘
100(𝑘=1,𝑛)̅̅̅̅̅̅ atunci dobânda Dt va fi (presupunem că 𝑡=∑𝑡𝑘):
𝐷𝑡=∑𝐷𝑡𝑘=𝑆0𝑛
𝑘=1∑𝑟𝑘∙𝑡𝑘𝑛
𝑘=1=𝑆0∑𝑝𝑘
100𝑛
𝑘=1∙𝑡𝑘
Suma finală la momentul 𝑡≥0 va fi :
𝑆𝑡=𝑆0(1+∑𝑟𝑘∙𝑡𝑘𝑛
𝑘=1).
Definiție :Vom spune că două operațiuni sunt echivalente în regim de dobândă simplă
dacă generează aceeași dobândă( sau vom spune că cele două operațiuni sunt substituibile).
 Dobânda compusă
Spunem că o sumă este plasată cu dobândă compusă când, la sfârșitul primei
unități de timp,dobânda simplă a ferentă acestei perioade este adăugată la suma plasată
pentru a produce la rândul ei dobândă în perioada următoare și așa mai departe.
Presupunem că momentul final este 𝑡=∑𝑡𝑘𝑛
𝑘=1,iar în perioada de lungime tk
se aplică dobânda unitară rk (𝑘=1,𝑛 ̅̅̅̅̅). La fina lul perioadei tk avem:
𝑆𝑡=𝑆0∙∏(1+𝑟𝑘∙𝑡𝑘)𝑛
𝑘=1
Demonstrația se face prin inducție matematică:
pentru k=1 avem 𝑆𝑡1=𝑆0+𝐷𝑡1=𝑆0(1+𝑟1𝑡1),
pentru k=2 avem 𝑆𝑡2=𝑆𝑡1+𝐷𝑡2=𝑆𝑡1+𝑆𝑡1∙𝑟2∙𝑡2=𝑆𝑡1(1+𝑟2𝑡2)
=𝑆0(1+𝑟1𝑡1)∙(1+𝑟2𝑡2) etc.
Observație: Dobânda compusă este 𝐷𝑡=𝑆0∙(∏(1+𝑟𝑘𝑡𝑘)−1𝑛
𝑘=1 ).

11
Cazuri particulare:
(𝑖) 𝑡𝑘=1 (un an)
𝑟𝑘=𝑟,(∀)𝑘 atunci 𝑆𝑡=𝑆0(1+𝑟)𝑛 (suma acumulată după n ani).

(ii) 𝑡=𝑛+𝑡𝑚
𝑚 ( n ani și o fracțiune dintr -un an )
𝑡𝑘=1,𝑘=1,𝑛̅̅̅̅̅
𝑡𝑘+1=𝑡𝑚
𝑚
atunci 𝑆𝑡=𝑆0(∏(1+𝑟𝑘)𝑛
𝑘=1 )(1+𝑟𝑘+1∙𝑡𝑚
𝑚).

(iii) Dacă în plus față de (ii) 𝑟𝑘=𝑟,(∀)𝑘 atunci avem :
𝑆𝑡=(1+𝑟)𝑛(1+𝑟∙𝑡𝑚
𝑚)
Dacă ținem cont de faptul că ,în general 𝑟<1,putem aproxima
(1+𝑟∙𝑡𝑚
𝑚)≈(1+𝑟)𝑡𝑚
𝑚
Deci 𝑆𝑡=𝑆0(1+𝑟)𝑛+𝑡𝑚
𝑚=𝑆0(1+𝑟)𝑡.
Prin urmare suma finală rezultată în urma unui plasament al sumei S0 în regim de
dobândă compusă , cu rata unitară r ,pe o perioadă de t ani, poate fi calculată folosind
următoarea formulă (numită și formula practică de calcul în cazul dobânz ii compuse ):
𝑆𝑡=𝑆0(1+𝑟)𝑡
Propoziție: Suma finală după t ani,rezultată în urma unui plasament al sumei S0 în regim
de dobândă compusă de n ori pe an,cu rata unitară r pentru o singură perioadă de
compunere este:
𝑆𝑡=𝑆0(1+𝑟
𝑛)𝑛𝑡

12
 Dobânda compusă continuu
Plecăm de la formula sumei finale pentru dobânda compusă
𝑆𝑡=𝑆0∙∏(1+𝑟𝑘∙𝑡𝑘)𝑛
𝑘=1
și presupunem 𝑟𝑘=𝑟 ,𝑡𝑘=𝑡
𝑛 (∀)𝑘.
Atunci:
𝑆𝑡=𝑆0(1+𝑟∙𝑡
𝑛)𝑛
Dacă dobânda se calculează foarte des în perioada de t ani (aproape în fiecare
moment),atunci,trecând la limită în relația anterioară obținem (caz 1∞):
𝑆𝑡=𝑆0∙𝑒𝑟𝑡

Exemple:
1.La o anumită bancă,un deponent depune suma de 100000u.m . cu un procent al
dobânzii simple de 15%.Care va fi dobânda o bținută după un an? Dar după 3 ani?
Soluție :
𝑡=1⟹𝐷=𝑆0∙𝑝
100=100000∙15
100=15000 𝑢.𝑚.
𝑡=3⟹𝐷=𝑆0∙𝑝
100∙3=100000∙15
100∙3=45000 𝑢.𝑚.
2.Să se afle procentul dobânzii simple, dacă o sumă de 12000 u.m. aduce în 6 ani o
dobândă de 2880 u.m.
Soluție: 𝑆0=12000
𝐷=2880
𝑡=6
𝐷=𝑆0∙𝑝
100∙𝑡⟹𝑝=100∙𝐷
𝑆0∙𝑡=100∙2880
12000∙6=288
72=4

13
ceea ce înseamnă că procentul anual al dobânzii este 4%.
3.Pe ce perioadă de timp a depus o persoană suma de 3000 lei cu o rată a dobânzii
simple de 12% dacă la sfârșitul perioadei are în cont suma de 4080 lei?(pentru ușurarea
calculelor considerăm 1 an=360 zile).
Soluție:
𝑆𝑡=𝑆0+𝐷 ⟹𝐷=𝑆𝑡−𝑆0 ⟹𝐷=4080−3000=1080 𝑙𝑒𝑖
𝐷=𝑆0∙𝑟∙𝑡𝑚
𝑚⟹1080=3000∙12
100∙𝑡
360 ⟹𝑡=1080(𝑧𝑖𝑙𝑒),
adică t=3ani .
4.Ce sumă a fost plasată 72 zile cu procentul anual de 5% pentru a obține suma de
10100 u.m? (1 an =360 zile)
Soluție: 𝑆𝑡=𝑆0(1+𝑟∙𝑡𝑚
𝑚)
10100=𝑆0(1+5
100∙72
360)
10100=𝑆0(1+1
100)⟹𝑆0=10100∙100
101=10000𝑢.𝑚.
5.O bancă acordă clienților sub formă de credite anuale clienților săi o sumă totală
de 100 milioane lei.Banca percepe o rată a dobânzii simple de 30% și plătește pentru cele
80 milioane lei existente în depozitele clienților, rata de 15%.Care este câștigul anual al
băncii?
Soluție:
𝐷1=𝑆0∙𝑝
100∙𝑡=100∙106∙30
100∙1=106∙30
𝐷2=𝑆0∙𝑝
100∙𝑡=80∙106∙15
100∙1=106∙12
Deci câștigul băncii va fi 106∙30−106∙12=28∙106 (⟹28 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑜𝑎𝑛𝑒 𝑙𝑒𝑖)
6.Să se determine valoarea capitalul ui obținut după 7 an i ca urmare a depunerii
într-o bancă a sumei de 3000 u.m. cu o dobândă compusă de 4%?

14
Soluție: 𝑆7=3000∙(1+4
100)7
⟹3000(1+0,04)7=3947,8 𝑢.𝑚.
7.Într-o bancă se depune o sumă cu dobânda de 3%.Care este timpul după care
capitalul este dublul sumei depuse?
Soluție:𝑆𝑛=2𝑆0⟹𝑆0(1+0,03)𝑛=2𝑆0 ⟹1,03𝑛=2 ⟹
𝑛=𝑙𝑔2
𝑙𝑔1,03≈23,45
Deci durata după care se producerea sumei inițiale este de aprox. 23,5 ani.
8.Un client vine la bancă având intenția de a face un plasament de 1000 u.m.Banca
oferă o dobândă unitară de 1 % pentru „depozitele la ve dere” și de 3% pentru „depozitele
la termen”.Să se calculeze ce sumă ar ridica deponentul în cazul unui depozit la termen și
ce sumă ar ridica după o perioadă de 3 ani și 50 zile în cazul unui depozit la vedere.
Soluție:
Dacă dobânda se face la termen cu:
-dobândă simplă: 𝑆3=1000(1+0,03∙3)=1090
-dobândă compusă: 𝑆3=1000(1+0,03)3=1092,7
Pentru 𝑟=0,01 pentru 3 ani și 50 zile avem:
𝑆𝑡=3000∙(1+0,01)3∙(1+0,01∙50
365)=1031,3𝑢.𝑚.
9.Se constituie două depozite în valoare totală de 8200 lei,în regim de dobândă
compusă,cu rata de 20%,respectiv 50%.Sumele din cele două depozite devin egale după 2
ani.Găsiți valorile inițiale ale celor două depozite.
Soluție:
Fie 𝑥 și 𝑦 valorile celor două depozite.Avem relațiile:
{𝑥+𝑦=8200
𝑥(1+0,2)2=𝑦(1+0,5)2⟺{𝑥+𝑦=8200
𝑥∙1,44=𝑦∙2,25⟺{𝑥+𝑦=8200
1,44𝑥−2,25𝑦=0
De aici obținem 𝑥=5000 𝑙𝑒𝑖 și 𝑦=3200 𝑙𝑒𝑖.

15
I.3.Credit,anuitate,amortisment
În cazul creditelor bancare pe care le ia un client,acesta este cel care plătește o
dobândă băncii creditoare,simultan cu rambursarea sumei împrumutate. Restituirea
creditului se numește rambursare,iar termenul până la care trebuie rambursat creditul se
numește scadență.Rambursarea unui credit se poate face într -o singură tranșă sau eșalonat.
 Rambursarea creditului într -o singură tranșă
Să presupunem că un client ia un credit de T0 unități bancare cu o scadență de z zile
(𝑧≤365),iar banca percepe o dobândă unitară r.Suma totală datorată la scadență este:
𝑇=𝑇0+𝐷=𝑇0+𝑇0∙𝑟∙𝑧
365=𝑇0(1+𝑟𝑧
365)
 Rambursarea creditului în mai multe tranșe
Să presupunem că un client ia un credit de T0 unități bancare pentru un termen t
unități de timp.Prin contractul de creditare,banca percepe o dobândă anuală pentru suma
împrumutată.Împrumutul plus dobânda vor fi rambursate prin plăți anuale numite
anuităț i.O parte din suma pe care o plătește efectiv clientul în fiecare an va acoperi
împrumutul inițial.Această fracțiune a anuității se numește amortisment.
Presupunem că anuitățile sunt constante și se plătesc la sfârșitul fiecărui an.Mecanismul de
rambursare a unui credit T0 luat pentru t ani,la care banca percepe o dobândă anuală r este
următorul:

An Suma
datorată
la
începu –
tul anului Dobânda datorată
la începutul
anului Anuități
(constante) Amortisment Suma datorată la
sfârșitul anului
1 T0 𝐷0=𝑇0∙𝑟 𝐴=𝑇0(1+𝑟)
𝑡 𝑄1=𝐴−𝐷0 𝑇1=𝑇0−𝑄1
2 T1 𝐷1=𝑇1∙𝑟 𝐴=𝑇0(1+𝑟)
𝑡 𝑄2=𝐴−𝐷1 𝑇2=𝑇1−𝑄2
… … … … … …
t Tt-1 𝐷𝑡−1=𝑇𝑡−1∙𝑟 𝐴=𝑇0(1+𝑟)
𝑡 𝑄𝑡=𝐴−𝐷𝑡−1 𝑇𝑡=𝑇𝑡−1−𝑄𝑡

16
O observație se impune imediat :termenul de rambursare a creditului t,nu poate fi oricât de
mare .Impunând condiția 𝑄𝑡>0 obținem :
𝑇0(1+𝑟−𝑟𝑡)
𝑡>0 ⟹𝑡<1+1
𝑟.
Ultima sumă datorată este Tt și ea se plătește integral,având proprietatea 𝑇𝑡<𝐴.
De asemenea au loc următoarele proprietăți:
 Suma totală datorată de client este egală cu suma anuităților plătite:
𝑇0(1+𝑟)=𝐴∙𝑡
 Suma plătită de client este: 𝐴∙𝑡+𝑇𝑡
 Dacă anuitățile sunt egale,amortismentele succesive formează o progresie
geometrică crescătoare cu 𝑏1=𝑄 și 𝑞=1+𝑟
Demonstrație: Făcând diferența dintre două anuități consecutive la momentele k și k+1
obținem:
0=𝐴−𝐴=(𝑄𝑘+1+𝑇𝑘∙𝑟)−(𝑄𝑘+𝑇𝑘−1∙𝑟)
⟹𝑄𝑘+1+(𝑇𝑘−1−𝑄𝑘)∙𝑟−𝑄𝑘−𝑇𝑘−1∙𝑟=0
⟹𝑄𝑘+1−𝑄𝑘(𝑟+1)=0
⟹𝑄𝑘+1=𝑄𝑘(𝑟+1),𝑘=1,2,…,𝑡−1
Deci 𝑄𝑘+1=𝑄1(1+𝑟)𝑘.
 Dacă a nuitățile sunt constante,atunci diferențele dobânzilor pentru ani consecutivi
formează o progresie geometrică crescătoare cu 𝑏1=𝑄∙𝑟 și 𝑞=1+𝑟.
Demonstrație :Făcând diferența între dobânzile pentru doi ani consecutivi obținem: 𝑑𝑘=
𝐷𝑘−1−𝐷𝑘
=(𝐴−𝑄𝑘)−(𝐴−𝑄𝑘+1)
=𝑄1(1+𝑟)𝑘−𝑄1(1+𝑟)𝑘−1
=𝑄1𝑟(1+𝑟)𝑘−1, k=1,2,…,t -1.
Exemple:
1.O persoană ia de la bancă un credit de 1000 u.m. pe un termen de 5 ani cu
dobândă de 5%.Să se alcătuiască tabelul de amortizare corespunzător.

17
Soluție:
𝑇0=1000
𝑡=5
𝑟=0,05}⟹𝐴=1000(1+0,05)
5=210 𝑢.𝑚.
An Suma datorată la
începutul anului Dobânda datorată la
începutul anului Anuități
(constante) Amortisment Suma datorată la
sfârșitul anului
1 1000 D0 = 50 210 Q1 = 160 T1=840
2 840 D1 = 42 210 Q2= 168 T2=672
3 672 D2 =33,6 210 Q3 =176,4 T3=495,6
4 495,6 D3 =24,78 210 Q4 =185,22 T4=310,38
5 310,38 D4 =15,519 210 Q5 =194,48 T5=115,9
Suma totală plătită de client este de (5210+115,9)=1165,9 u.m.
Diferențe dintre suma returnată de client și creditul luat este 1165,9 -1000=165,9 u.m ,ceea
ce reprezintă profitul băncii.
2.Să presupunem că banca acordă unui client un credit de 1000 u.m. pentru 2 ani cu
dobânda unitară de 6%.Simultan banca prime ște un plasament de 1000 u.m. to t pentru 2
ani,pentru care acordă o dobâ ndă unitară de 4%,în regim de dobândă compusă.
Să evaluăm profitul băncii în urma acestor două operațiuni.
Soluție:
Tabelul de amortizare pentru creditul acordat este următorul:
𝐴=1000(1+0,06)
2=530
An Suma datorată la
începutul anului Dobânda datorată la
începutul anului Anuități
(constante) Amortisment Suma datorată la
sfârșitul anului
1 1000 D0 = 60 530 Q1 = 470 T1=530
2 530 D1 = 31,8 530 Q2= 498,2 T2=31,8

Așadar,banca încasează suma de 530+530+31,8=1091,8 și câștigă 91,8 u.m.
Pe de altă parte,suma finală pe care o încaseză deponentul este

18
𝑆2=1000(1+0,04)2=1081,6
Așadar banca plătește o dobâ ndă de 81,6 u.m.
Câștigul băncii este 91,8 -81,6=10,2 u.m.

I.4.Amortizări

Auzim adesea spunându -se că mașina ( utilajul ) X și-a amortizat investiția,ceea ce
însemnă că după un anumit timp de funcționare respectiva mașină a realizat suficiente
produse a căror valoare vor acoperi costul mașinii.
Timpul în care s -a realizat recuperarea integrală a valorii investiției se numește
termen de amortizare .Dacă această perioadă se referă la un an o numim amortizare
anuală.
Dacă V este valoarea investiției , T este termenul de amortizare, atunci amortizarea
anuală este: 𝐴=𝑉
𝑇.
Rata anuală de amortizare este : 𝑎=𝐴
𝑉∙100 (%).
Exemple:
1.Valoarea unui obiect este 600 lei, iar amorti zarea anuală de 150 lei.Afl ați
termenul de amortizare și rata anuală a amortizării.
Soluție: 𝑇=𝑉
𝐴=600
150=4 𝑎𝑛𝑖 și 𝑎=𝐴
𝑉=1
4=25%.
2.Valoarea unui anumit utilaj este 10000 lei , iar durata de viață este de 5 ani.Să se
determine amortizarea anuală ,rata de amortizare și dinamica amortizării în 5 ani, dacă
amortizarea se face în rate egale.
Soluție:
𝐴=𝑉
𝑇=10000
5=2000

19
𝑎=𝐴
𝑉∙100 (%)=2000
10000∙100=20 (%)
Pentru a urmări dinamica amortizării analizăm următorul tabel:

Anul
Amortizarea
anuală
Rata
amortizării
Valoarea
amortizării Valoarea
rămasă de
amortizat
1 2∙103 20 % 2∙103 8∙103
2 2∙103 20 % 4∙103 6∙103
3 2∙103 20 % 6∙103 4∙103
4 2∙103 20 % 8∙103 2∙103
5 2∙103 20 % 104 0

I.5.Impozite,taxe,T.V.A.

Orice agent economic are o serie de obligații fiscale față de bugetul de stat.Acestea
sunt:
-impozitul pe profit
-impozitul pe salarii
-taxe vamale
-taxa pe valoarea adăugată ,etc.
Taxa pe valoare adăugată (T.V.A.) reprezintă un venit la bugetul de stat care este
plătit de consumatorii de bunuri și servicii. Ea este un impozit care se aplică asupra
operațiilor d e vânzare -cumpărare, respectiv numai valorii adăugate de fiecare agent
economic, adică se aplică doar asupra diferențelor dintre prețul de vânzare și cel de
cumpărare, ori de câte ori se întâmplă acest lucru. După exercitarea dreptului de deducere,a
genții economici impozabili care au participat la ciclul econo mic virează soldul T.V.A. la
bugetul de stat.

20
În România sunt în vigoare două cote T.V.A:
a)cota standard :19%
b)cote reduse :9% și 5%.
Pentru calcularea și decontarea T.V.A. se disting două categorii de operații:
1)T.V.A. deductibilă( sau în amonte) -aplicată la cumpărarea bunurilor și serviciilor
2)T.V.A. colectată ( sau în aval) – aplicată la vânzarea bunurilor și serviciilor
Dacă T.V.A. dedeuctibilă >T.V.A. colectată(adică încasările T.V.A.sunt mai mari
decât plățile T.V.A.) atunci avem de -a face cu o dat orie la bugetul de stat,adică T.V.A. de
plată.În caz contrar spunem că este vorba de o recuperare de la bugetul de stat, adică
T.V.A. de recuperat.
Despre această analiză se spune că am făcut regularizarea T.V.A. la sfârșitul perioadei
analizate.
Exemple:
1.Prețul unui monitor la unitatea producătoare este de 700 lei.Care este prețul de
vânzare dacă procentul T.V.A. este 19%?
Soluție: 700+19
100∙700=833 𝑙𝑒𝑖.
2.Care este prețul de producție al unui telefon mobil dacă,după aplicarea T.V.A.
prețul de vânzar e a ajuns 595 lei?
Soluție: 𝑥+19
100∙𝑥=595⟹119𝑥=59500⟹𝑥=500 𝑙𝑒𝑖.
3.Un obiect costă 1200 lei,iar T.V.A. este de 190 lei.Să se determine procentul
T.V.A.
Soluție: 1200…………………….100%
190…………………… 𝑥% ⟹𝑥=190∙100
1200=15,83 %.
4.Să presupunem că o fabri că produce obiectul X cu prețul n1.
Produsul se vinde unui „en gros” cu prețul 𝑛2>𝑛1 pentru care se plătește T.V.A. egală cu
(𝑛2−𝑛1)∙19
100 .

21
Din „en gros” produsul este cumpărat de un detailist cu prețul 𝑛3>𝑛2 pentru care plătește
T.V.A. egală cu (𝑛3−𝑛2)∙19
100 .
Detailistul vinde produsul cu prețul 𝑛4>𝑛3.Pentru diferenșa de preț avem T.V.A. egală cu
(𝑛4−𝑛3)∙19
100 .
În final, totalul T.V.A. suportată de cumpărător este:
(𝑛2−𝑛1)∙19
100+(𝑛3−𝑛2)∙19
100+(𝑛4−𝑛3)∙19
100=(𝑛4−𝑛1)∙19
100
ceea ce arată că T.V.A. finală se determină direct aplicând procentul de 19% diferenței
dintre ultimul preț de vânzare și primul preț de vânzare.

I.6.Costul de producție.Preț de cost al unui produs

Prin co st de producție înțelegem totalitatea cheltuielile realizate de un anumit
agent economic pentru a produce și comerci aliza bunuri și servicii.
Cheltuielile pot fi:
-fixe
-variabile
Cheltuielile pot fi raportate la unitatea de produs,când îl numim cost unitar (sau cost total
mediu -CTM) și este dat de relația :
𝐶𝑇𝑀=𝐶𝑇
𝑄
unde CT=cheltuieli totale(fixe și variabile) și Q=număr de produse .
Astfel putem defini:
1)costul fix mediu: 𝐶𝐹𝑀=𝐶𝐹
𝑄
2)costul variabil mediu : 𝐶𝑉𝑀=𝐶𝑉
𝑄 .

22
Exemple:
1.Un produs se vinde cu 750 lei, costul materiilor prime,materialelor și
combustibilului este de 420 lei, iar cota T.V.A. este 19%. Taxa pe valoare adăugată se
calculează de întreprindere astfel:
T.V.A. aferentă vânzării: 750∙19
100=142,5
T.V.A. aferentă consumului : 420∙19
100=79,8
T.V.A. aferentă fabricației și vânzării: 142,5−79,8=62,7
Se observă că T.V.A. aferentă fabricației și vânzării reprezintă aplicarea taxei de 19 %
asupra valorii adăugate.Astfel,prin sistemul T.V.A. se evită dubla impozitare.
2.O întreprindere consumă 200 l ei pentru fabricarea unui produs.Prin procesul de
producție se obține un produs care valorează 300 lei.Produsul este vândut unei societăți
angrosiste care,la rândul ei,ambalează produsul și îl livrează unei societăți comerciale cu
amănuntul la prețul de 35 0 lei.Societatea cu amănuntul practică un adaos comercial de 10
%,iar cota T.V.A. este 19%.Aflați prețul final al produsului.
Soluție:
Valoarea adăugată de producător: 300−200=100
T.V.A. datorată de producător : 100∙19
100=19
Valoarea adăugată de societatea a ngrosistă: 350−300=50
T.V.A. datorată de societatea angrosistă : 50∙19
100=9,5
Valoarea adăugată de societatea cu amănuntul:10
100∙350=35
T.V.A. datorată de societatea cu amănuntul : 35∙19
100=7,41
Valoarea adăugată totală : 100+50+35=185
T.V.A. total de plată : 19+9,5+7,41=35,91
Prețul produsului cu T.V.A. inclus va fi: 200+185+35,91 =420,91 lei.

23
3.Pentru producerea a 500 jucării ,o fabrică face următoarele cheltuieli:
-materii prime și materiale :300 ϵ
-combustibil și energie :500 ϵ
-chiria :200 ϵ
-salarii :6000 ϵ
-amortizarea capitalului fix: 1000 ϵ
-iluminat :500 ϵ
-încălzire :400 ϵ
-desfacerea produselor: 1000 ϵ
Să se determine CF,CV,CT,CFM,CVM,CTM.
Soluție:
CF=chirie+amortizare+iluminat+încălzire = 200+1000+500+400=2100 ϵ
CV=materii prime și materiale+ salarii+combustibil și energie =3000+500+6000=9500 ϵ
CT=CF+CV+costuri de desfacere==2100+9500+1000=12500 ϵ
𝐶𝐹𝑀=𝐶𝐹
𝑄=2100
500=4,2
𝐶𝑉𝑀=𝐶𝑉
𝑄=9500
500=29
𝐶𝑇𝑀=𝐶𝑇
𝑄=12500
500=25

24
I.7.Profit
Putem aprecia eficiența activității un ui agent economic prin ceea ce obține în plus
(bănesc) față de ceea ce s -a cheltuit pentru a produce de bunuri sa u servicii în activitatea
sa.
Definiție: Profitul reprezintă diferența dintre venituri (notate cu V) și cheltuieli (costul total
CT).
Deci P=V – CT.
Totodată profitul se poate calcula și ca diferență între valoarea producției și costul total.
Prin urmare vom avea P=p∙Q -CT, unde p reprezintă prețul unitar și Q reprezintă producția
(dată prin numărul de bucăți).
Dacă P se calculează pentru fiecare unitate de produs, atunci este vorba de profit
unitar,iar dacă P se calculează pe toată producția atunci spunem că este vorba de profitul
total.Profitul astfel calculat îl numim profit brut.Dacă din acest profit se scade impozit ul pe
profit se obține prof itul net:
𝑃𝑛𝑒𝑡=𝑃𝑏𝑟𝑢𝑡−𝑖𝑚𝑝𝑜𝑧𝑖𝑡 𝑝𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑖𝑡
Orice agent economic trebuie să își administreze corespunzător cheltuielile și
veniturile.O activitate este eficientă atunci când se obține un excedent (deci P >0).Dacă
P<0 spunem că agentul eco nomic lucreză în pierdere, această situaț ie fiind anormală
,având ca urmare consumarea capitalului și imposibilitatea de a -l mai reface.
Definiție: Numim rata profitului,notată 𝑟𝑝 ,raportul dintre profit și costurile totale:
𝑟𝑝=𝑃
𝐶𝑇∙100 (%)
Pentru ra ta profitului putem folosi și 𝑟𝑝=𝑃
𝐶𝐴∙100 % ,unde CA este cifra de afaceri:
𝐶𝐴=𝑝∙𝑄 ,unde p=prețul de vânzare al unui produs și Q=producția (nr. de produse).
Exemplu: Un agent economic a comercializat produse de 15000 lei. Rata profitului este 25
%.Determinați profitul.
Soluție: 𝑟𝑝=𝑃
𝐶𝑇=25
100 ⟹𝑃
𝑃+𝐶𝑇=25
125 ⟹𝑃
15000=25
125 ⟹𝑃=3000 (𝑙𝑒𝑖)

25
I.8.Bugetul de venituri și cheltuieli

 Bugetul familial este format din veniturile pe care le realizează membrii
unei familii pe un timp determinat. Din acești bani familia trebuie să î și acopere toate
cheltuielile și ,eventual,să -și depună restul de bani într -un cont la bancă.Veniturile unei
familii pot proveni din salarii, dividende, dobânzi etc. Cheltuielile se referă la
întreținere,alimentație,îmbrăcă minte,transport,educație etc.
 Bugetul agenților economici este întocmit anual ca și instrument
de conducere a întregii activități economico -financiare.Astfel sunt cunoscute și ținute și
sub control toate intrările și ieșirile de fonduri bănești, se asigură capacitatea de plată.

Exemplu: Casierul clasei a X -a A a întocmit un proiect de buget pentru clasa sa pe anul
școlar 2016 -2017.

Venituri Cheltuieli
Contribuții părinți:3000 Excursie:2400
Sponsorizări:500 Cărți premii:500
Maculatură:100 Flori 8 Martie:100
Spectacol 1 iunie:250
Fotografii:100

Dacă în clasă sunt 30 elevi,la sfârșitul anului școlar pot oare merge cu toții la un spectacol
la care biletul costă 8 lei?
Soluție: Venituri=3000+500+100=3600 lei
Cheltuieli=2400+500+100+250+100=3350 lei
Au rămas:3600 -3350=250 lei
Preț spectacol: 30∙8=240 lei
Cum 250> 240⟹pot merge la spectacol.

26
I.9.Valori medii și reprezentări grafice

La încheierea unui an financiar ,orice agent economic dispune de o informație
completă asupra operațiunilor financiare pe care le -a realizat.Aceste date statistice pot fi
mai ușor valorificate și interpretate dacă se utilizează indicatori sintetici și reprezentări
grafice.Cei mai utilizați indicatori sintetici sunt valorile medii, care evidențiază
caracteristici generale ale unităților de la care provine informația.
Să considerăm că se urmărește o anumită componentă a finanțelor întreprinderii pe
parcursul întregului an financiar sau pe parcursul unui alt interval format din n perioade de
timp.Notăm cu 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 valorile numerice înregistrate.
 Media aritmetică a valorilor 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 se definește prin relația:
𝑥̅=1
𝑛∑𝑥𝑖𝑛
𝑖=1
Ea este un indicator intern ,în sensul că min1≤𝑖≤𝑛𝑥𝑖≤𝑥̅≤max1≤𝑖≤𝑛𝑥𝑖 este puternic
influențat de apariția unor valori aberante (foarte mici sau foarte mari),iar suma abaterilor
valorilor 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 de la media aritmetică este nulă:
∑(𝑥𝑖−𝑥̅)=0𝑛
𝑖=1
Exemplu: Un agent economic realizează profit în trimestrele 1,2,4 și are o pierdere în
trimestrul 3 al anului conform tabelului:

Interval Trim. 1 Trim. 2 Trim. 3 Trim. 4
Profitul 80 50 -10 40

Profitul mediu anual este : 𝑝̅=1
4(80+50−10+40)=45.
 Media geometrică a valorilor 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛se definește prin relația:
𝑥𝑔̅̅̅=(𝑥1∙𝑥2∙…∙𝑥𝑛)1
𝑛
Ea se aplică la determinarea intensității creșterii unor valori în timp.
Exemplu: Un agent economic își începe activitatea în ianuarie ,cu o investiție de 1000
unități bancare.La sfârșitul primului trimestru realizează un venit de 1200 unități b ancare,la

27
sfârșitul celui de -al doilea are un venit de 1450 unități bancare , la sfârșitul celui de -al
treilea trimestru are 1600 unități bancare,iar la sfârșitul anului constată că are un venit de
2000 unități bancare.Astf el,creșterile realizate ș i coeficienții de creștere expri mați în raport
cu cele 1000 unități bancare inițiale sunt:

Intervalul Creștere Coef. De creștere
Trim I 200 1,20
Trim II 250 1,25
Trim III 150 1,15
Trim IV 400 1,40

Ritmul mediu trimestrial de creștere a venitului se exprimă prin media geometrică:
𝑥𝑔̅̅̅=(1,20∙1,25∙1,15∙1,40)1/4=1,2466

 Media armonică a valorilor 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 se definește prin relația:
𝑥ℎ̅̅̅=1
𝑛∑1
𝑥𝑖𝑛
𝑖=1 , de unde deducem expresia 𝑥ℎ̅̅̅=𝑛
∑(𝑥𝑖)−1 𝑛
𝑖=1.
Media armonică se utilizează în acel tip de probleme în care valorile 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 intervin
în relații invers proporțional e cu anumiți indicatori financiari.
Exemplu: Trei agenți economici fac fiecare câte o investiție de capital de o unitate
bancară.Primul își amortizează investiția în 3 ani,al doi lea în 4 ani,iar al treilea în 5 ani.Să
se calculeze amortizarea medie pentru cei trei agenți și termenul mediu de amortizare.
Soluție:
Agent Termen de amortizare Amortizare
anuală
1 3 1/3=0,33
2 4 1/4=0,25
3 5 1/5=0,20

Calculând media aritmetică a amortizărilor anuale obținem:

28
𝑎̅=1
3(1
3+1
4+1
5)=0,26111
De unde rezultă că termenul mediu de amortizare este 1
0,26111=3,8298 .
Observăm că această valoare coincide cu media armonică a termenelor de amortizare:
𝑥ℎ̅̅̅=3
1
3+1
4+1
5=3,8298 .

 Informația completă de care dispune un agent economic la sfârșit de an
poate fi reprezentată grafic ,utilizând diferite tipuri de diagrame.Programele de calculator
oferă foarte multe facilități pentru asemenea reprezentări grafice , cel mai utilizat fiind
EXCEL.Cel mai des sunt utilizate diagramele cu bare,diagramele cu coloane și diagramele
circulare.

Exemplu: Un agent a comerializat într -un an 5 tipuri de cafea. Cantitățile vândute în cele 4
trimestre apar în tabelul următor:

Tipul de
cafea A B C D E Total
Trim I 1000kg 250kg 750kg 1500kg 500kg 4000kg
Trim II 850kg 450kg 950kg 1400kg 700kg 4350kg
Trim III 1000kg 400kg 1000kg 1350kg 650kg 4400kg
Trim IV 1100kg 500kg 800kg 1600kg 800kg 4800kg

Informația conținută în acest tabel poate fi reprezentată prin diagrame ,în două moduri:pe
trimestre (în funcție de tipurile de cafea comercializate) sau pe tipuri de produs (în funcție
de vânzările trimestriale).

29

Trimestrul I Trimestrul II

Trimestrul III Trimestrul IV

1000
250 750 1500 500
850
450
950 1400 700
1000
400 1000 1350 650
1100
500
800 1600 800
020040060080010001200140016001800
1 2 3 4 5

30
CAPITOLUL II
Aplicații ale matematicii în probleme de economie

Matematica este componentă de bază a economiei, aceste două științe fiind
împletite.Luarea unor decizii în econom ie este substanțial facilitată de utilizarea unor logici
adecvate,corecte.
Raționamentul și calculele matematice pot constitui un suport hotărâtor pentru baza
unei asemenea logici.Teoria economică s -a bazat întotdeauna pe cunoștințe matematice
necesare modelării informaților și a previziunilor asupra fenomenelor economice.
Aplicarea matematicii necesită atât noțiuni teoretice fundamentale, cât și aplicații
imediate ale acestora care ușurează conturarea unei gândiri economice riguroase.
În continuare vo i prezenta câteva exemple economice concrete ,rezolvate cu
ajutorul noțiunilor matematice studiate în învățământul preuniversitar.

II.1.Sisteme de două ecuații cu două necunoscute (cl.a VIII -a)

Fie sistemul de ecuații {𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0
𝑎1𝑥+𝑏1𝑦+𝑐1=0 ,unde 𝑎,𝑏,𝑐,𝑎1,𝑏1,𝑐1∈ℝ.
 Dacă 𝑎
𝑎1≠𝑏
𝑏1 ,atunci sistemul se numește compatibil determinat și are soluție unică.
 Dacă 𝑎
𝑎1=𝑏
𝑏1≠𝑐
𝑐1 ,atunci sistemul se numește incompatibil și nu are soluție.
 Dacă 𝑎
𝑎1=𝑏
𝑏1=𝑐
𝑐1 ,atunci sistemul se numește compat ibil nedeterminat și are o
infinitate de soluții.
Sistemele de două ecuații cu două necunoscute pot fi rezolvate prin metoda
reducerii,metoda substituției sau metoda grafică.

31
Aplicații:
1.Suma a două capitaluri este 12000 u.m.Cel mai mic a fost plasat 9 luni cu
procentul anual de 4 %, iar cel mare a fost plasat 8 luni cu procentul anual de 6
%,conducând la o dobândă simplă totală de 440 u.m.Care sunt cele două capitaluri?
Soluție:
Fie x și y cele două capitaluri depuse în regim de dobândă simplă,deoarece perioada de
plasare este sub 1 an , 𝑥<𝑦. Având în vedere formula dobânzii,obținem sistemul:
{𝑥+𝑦=12000
𝑥∙4
100∙9
12+𝑦∙6
100∙8
12=440 ⟺ {𝑥+𝑦=12000
3𝑥+4𝑦=44000
De aici aflăm 𝑥=4000 𝑢.𝑚.
𝑦=8000 𝑢.𝑚.
2.Diferența dintre două capitaluri este de 3000 u.m.Știind că primul a fost plasat 8
luni cu procentul anual de 10 % ,iar al doilea a fost plasat 9 luni cu procentul de 12 % și a
produs o dobândă cu 10 u.m. mai mare, să se afle cele două capitaluri.
Soluție:
Fie x și y cele două capitaluri depuse în regim de dobândă simplă deoarece perioada de
plasare este sub 1 an, 𝑥>𝑦.Vom obține sistemul:
{𝑥−𝑦=3000
𝑥∙10
100∙8
12+10=𝑦∙12
100∙9
12 ⟺ {𝑥−𝑦=3000
𝑥
15+10=9𝑦
100 ⟺{𝑥−𝑦=3000
20𝑥−27𝑦=−3000
De aici obținem soluția: 𝑥=12000 𝑢.𝑚.
𝑦=9000 𝑢.𝑚.
3.O familie depune la bancă suma S0 =30000 u.m.Ea dorește să împartă acest fond
între cei doi copii,băiatul de 10 ani și fata de 8 ani ,astfel încât la împlinirea vârstei de 18
ani fiecare să primească aceeași sumă.Știind că depunerea s -a făcut cu procentul anual p=
10% să se determ ine cât va primi fiecare copil la 18 ani.
Soluție:

32
Fie x –suma depusă pentru băiat și y – suma depusă pentru fată.
Băiatul va avea după 8 ani suma de 𝑥(1+0,1)8 ,iar fata va avea,după 10 ani ,suma de
𝑦(1+0,1)10.
Confo rm datelor problemei obținem sistemul:
{𝑥+𝑦=30000
𝑥(1,1)8=𝑦(1,1)10
Prin împărțirea celei de -a doua relații la (1,1)8 vom obține sistemul echivalent:
{𝑥+𝑦=30000
𝑥=1,21𝑦 ⟹1,21𝑦+𝑦=30000 ⟹𝑦=13574,66⟹𝑥=16425,34
La împlinirea vârstei de 18 ani fiecare c opil va primi 35207,46 u.m.
4. Suma a două credite contractate de o firmă este de 22000 lei.Primul are o durată
de 180 zile cu o rată a dobânzii de 15%,iar al doilea de 90 zile cu o rată a dobânzii de
18%.Dobânda plătită pentru primul credit este de 6 ori mai mică decât pentru cel de -al
doilea.Să se afle mărimile celor două credite și dobânzile aferente.

Soluție:
Notăm cu x și y cele două credite.Obținem sistemul:
{𝑥+𝑦=22000
𝑥∙15
100∙180
360∙6=𝑦∙18
100∙90
360 ⟺ {𝑥+𝑦=22000
9𝑥
20=9𝑦
200 ⟺ {𝑥+𝑦=20000
𝑥=𝑦
10
Vom obține soluția: 𝑥=2000 𝑙𝑒𝑖 și 𝑦=20000 𝑙𝑒𝑖 .
Dobânzile aferente sunt : 𝐷1=2000∙15
100∙180
360=150 𝑙𝑒𝑖
𝐷2=6∙𝐷1=900 𝑙𝑒𝑖.
5. Trei capitaluri sunt proporționale cu numerele 2,3 și 5.Primul a fost plasat 72 zile
cu 5%, al doilea 4 luni cu 6%,iar al treilea 108 zile cu 4%.Dobânda simplă totală realizată a
fost 140 u.m.Să se afle cele trei capitaluri.
Soluție:

33
{𝑥
2=𝑦
3=𝑧
5=𝑘
𝑥∙5
100∙72
360+𝑦∙6
100∙120
360+𝑧∙4
100∙108
360=140
⟺ {𝑥=2𝑘 ; 𝑦=3𝑘 ; 𝑧=5𝑘
𝑥
100+2𝑦
100+6𝑧
500=140 ∕∙500
⟹ 10𝑘+30𝑘+30𝑘=70000 ⟹ 𝑘=1000
Deci 𝑥=2000 𝑢.𝑚. ; 𝑦=3000 𝑢.𝑚 ; 𝑧=5000 𝑢.𝑚.

II.2. Progresii aritmetice și geometrice( cl. a IX -a)

Definiție: Un șir (𝑎𝑛)𝑛≥1 este o progresie aritmetică ,dacă orice termen începând cu al
doilea se obține din p recedentul adăugând rația r.
Proprietăți:
1) 𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=𝑟 constant , (∀)𝑛≥1
2) 𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑟 ,(∀)𝑛≥1
3) 𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+𝑎𝑛+2
2 ,(∀)𝑛≥1
4) 𝑎1+𝑎𝑛=𝑎𝑘+𝑎𝑛−𝑘+1 ,(∀)𝑛≥1 ,𝑘=1,𝑛̅̅̅̅̅
5) 𝑆𝑛=(𝑎1+𝑎𝑛)∙𝑛
2=[2𝑎1+(𝑛−1)𝑟]∙𝑛
2 ,(∀)𝑛≥1
Definiție: Un șir (𝑏𝑛)𝑛≥1este o progresie geometrică ,dacă orice termen începând cu al
doilea se obține din precedentul prin înmulțire cu rația q.
Proprietăți:
1) 𝑏𝑛+1
𝑏𝑛=𝑞 ,(∀)𝑛≥1
2) 𝑏𝑛=𝑏1∙𝑞𝑛−1 ,(∀)𝑛≥1
3) 𝑏𝑛+1=√𝑏𝑛∙𝑏𝑛+2 ,(∀) 𝑛≥1
4) 𝑏1∙𝑏𝑛=𝑏𝑘∙𝑏𝑛−𝑘+1 ,(∀)𝑛≥1 ,𝑘=1,𝑛̅̅̅̅̅

34
5) 𝑆𝑛=𝑏1(𝑞𝑛−1)
𝑞−1 ,(∀)𝑛≥1
Aplicații
1.Trei capitaluri în progresie aritmetică cu rația 3000 u.m. au fost plasate pe un an
de zile cu procentele aflate în progresie geometrică cu rația 3/2.Știind că dobânda realizată
este 1100 u.m. și că cel mai mare capit al a produs o dobândă de 9 ori mai mare decât cel
mic, să se determine capitalurile ,procentele și dobânzile aferente fiecărui capital.
Soluție:
Fie x,y,z cele trei capitaluri depuse cu procentele p,q,r. Avem următoarele relații:
{𝑥=𝑦−3000
𝑧=𝑦+3000 și {𝑝=2
3𝑞
𝑟=3
2𝑞
Cum exprimarea lor se face în funcție de două necunoscute y și q ,pentru a le determina
avem nevoie de două relații care rezultă din enunțul problemei, și anume:
1) Dobânda totală este:
𝐷=𝑥∙𝑝
100+𝑦∙𝑞
100+𝑧∙𝑟
100=1100
Prin înlocuire ob ținem:
(𝑦−3000)∙2
3𝑞+𝑦𝑞+(𝑦+3000)∙3
2𝑞=110000
⟹19
6𝑦𝑞+2500𝑞=110000
2) Relația dintre dobânzi este: 𝐷𝑧=9∙𝐷𝑥
𝑧∙𝑟
100=9𝑥∙𝑝
100
⟹(𝑦+3000)∙3
2𝑞=9(𝑦−3000)∙2
3𝑞
Prin împărțirea relației la q obținem :
3𝑦+9000
2=18𝑦−5400
3
Soluția ecuației este 𝑦=5000 𝑢.𝑚.

35
Înlocuind pe y în ecuația dobânzii totale obținem 𝑞=6%,
Capitalurile plasate sunt: 𝑥=2000 𝑢.𝑚.,𝑦=5000 𝑢.𝑚.,𝑧=8000 𝑢.𝑚.
Procentele sunt: 𝑝=4% ,𝑞=6% ,𝑟=9% .
Dobânzile aferente sunt: 𝐷𝑥=80 𝑢.𝑚.,𝐷 𝑦=300 𝑢.𝑚.,𝐷𝑧=7200 𝑢.𝑚.
2.Se plasează la o bancă suma 𝑆0=10000 𝑢.𝑚. timp de un an.La această sumă se
calculează o dobândă simplă de 4 % lunar, și la dobânda obținută , o dobândă simplă de 1 %
lunar.
Să se calculeze suma finală obținută după un an.
Soluție:
Dobânda obținută în penulti ma lună este: 400∙1
100∙1=4 u.m.
În total avem: 4+8+12+…+40+44 ceea ce reprezintă suma primilor 11 termeni ai unei
progresii aritmetice cu 𝑎1=4 și 𝑟=4 .
Deci 𝑆11=(4+44)∙11
2=264 𝑢.𝑚.
Suma obținută după un an este: 𝑆=10000+4800+264=15064 𝑢.𝑚.
3.Un autoturism costă 15000euro.Se știe că anual valoarea sa scade cu 10%.După 5
ani proprietarul dorește să vândă mașina cu 9000 euro.Oare va reuș i?
Soluție:
Fie 𝑉(𝑛) valoarea mașinii după n ani.
Avem 𝑉(0)=15000 (condiția inițială) și 𝑉(1)=𝑉(0)−0,1∙𝑉(0).
Deci 𝑉(1)=0,9∙𝑉(0).
În general 𝑉(𝑛)=valoarea mașinii după ( n-1)ani –pierderea anuală de 10% din valoarea
mașinii în cel de -al n-lea an.
⟹ 𝑉(𝑛)=𝑉(𝑛−1)−0,1∙𝑉(𝑛−1)
⟹ 𝑉(𝑛)=0,9∙𝑉(𝑛−1)

36
Șirul (𝑉𝑛)𝑛≥0 definit mai sus reprezintă o progresie geometrică având primul termen V(0)
și rația 0,9.
𝑉(5)=𝑉(0)∙𝑞4=8857 𝑒𝑢𝑟𝑜 (valorează mașina după 5 ani).
Mașina nu se va vinde cu 9000 euro.

II.3.Funcția de gradul II (cl. a IX -a)

Fie ecuația 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 ,𝑎≠0 și ∆=𝑏2−4𝑎𝑐 (discriminantul ecuației).
-Dacă ∆>0 atunci ecuația are două soluții reale distincte: 𝑥1,2=−𝑏√∆−+
2𝑎 .
-Dacă ∆=0 atunci ecuația are o singură soluție reală: 𝑥1=𝑥2=−𝑏
2𝑎.
-Dacă ∆<0 atunci ecuația nu are soluții reale.
Funcția 𝑓:ℝ→ℝ 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 reprezintă funcția de gradul al II –
lea.Reprezentarea grafică a acestei funcții este o parabolă al cărei vârf este punctul
𝑉(−𝑏
2𝑎;−∆
4𝑎).Acesta este punctul de minim absolut al funcției dacă 𝑎>0, respectiv punctul
de maxim absolut al funcției dacă 𝑎<0.

Aplicații:
1.Pe ce durată ar trebui plasată suma S0 cu procentul anual 𝑝=4% în regim de
dobândă compusă pentru a obține o dobândă de șase ori mai mică decât cea realizată în
cazul plasării unei sume duble pe o durată de două ori mai mare?
Soluție:
Folosind formula dobânzii compuse obținem:
6∙𝑆0[(1+0,04)𝑡−1]=2𝑆0[(1+0,04)2𝑡−1]
Notăm (1,04)𝑡=𝑥 și împărțind relația de mai sus prin 𝑆0 obținem:

37
6(𝑥−1)=2(𝑥2−1)
De aici obținem ecuația de gradul II: 2𝑥2−6𝑥+4=0 cu soluțiile 𝑥1=1;𝑥2=2.
Ținând cont de semnificația lui x,soluția 𝑥1=1 nu convine,deci vom avea :
(1,04)𝑡=2 ⟹𝑡=log21,04=𝑙𝑔1,04
𝑙𝑔2≈17,6729
Prin urmare vom obține 17 ani și 243 zile.
2.O persoană depune la bancă suma de 12000 u.m. cu dobândă simplă.După un an
de zile retrage 4000 u.m. ,iar după încă un an tot capitalul plus dobânda.Știind că în al
doilea an procentul dob ânzii a fost cu 2% mai mare decât în primul an și că a retras la
sfârșitul celui de -al doilea an suma de 10304 u.m. să se determine cele două procente cu
care s -a operat.
Soluție:
După primul an ,suma finală este:
𝑆=12000(1+𝑝
100)=12000+120𝑝
Retrăgând 4000 u.m. mai rămân 8000+120 p astfel că suma finală la sfârșitul celui de -al
doilea an este:
𝑆2=(8000+120𝑝)(1+𝑝+2
100)
Cum 𝑆2=10304 rezultă ecuația:
10(800+12𝑝)(𝑝+102
100)=10304
12𝑝2+2024𝑝−21440=0 /:4
⟹3𝑝2+506𝑝−5360=0
cu soluțiile 𝑝1=10 și 𝑝2=−178,6.
Cum 𝑝2 nu convine ⟹ procentele cu care s -a operat au fost de 10 %,respectiv 12%.

38
3.O persoană depune 12000 u.m. la o bancă.După doi ani retrage 4000 u.m. și după
alți doi ani retrage întreaga sumă 12000 u.m.Care a fost rata procentuală?
Soluție:
După doi ani suma rămasă în cont era:
𝑆2=12000(1+𝑟)2−4000
După 4 ani suma este:
𝑆4=𝑆2(1+𝑟)2=12000
Prin înlocuire obținem:
[12000(1+𝑟)2−4000](1+𝑟)2=12000
Notăm 1+𝑟=𝑥 și obținem ecuația 12000𝑥2−4000𝑥−12000=0 /:4000
⟹3𝑥2−𝑥−3=0
cu soluțiile 𝑥1=1−√37
2<0 (nu convine) și 𝑥2=1+√37
2≈1,1805.
Cum ( 1+𝑟)2=1,1805 și 𝑟>0 avem 1+𝑟=√1,1805 ⟹𝑟=0,0865
𝑟=𝑝
100 ⟹ 𝑝=8,65% .
4.O persoană depune la banca A suma de 1000 u.m. ,în data de 1 ianuarie ,cu
dobânda simplă având rata procentuală 𝑟=0,15. Dacă persoana va închide contul ea va
primi dobânda aferentă până în acel moment.Persoana respectivă se interesează la banca B
și află că dacă își deschide un cont în orice perioadă a anului va primi o dobândă simplă cu
rata procentuală 𝑟=0,145 plătită de la data depozitului până în 31 decembrie.
În ce zi ar trebui ca persoana să -și închidă contul la banca A și să -și deschidă un nou cont
la banca B pentru a -și maximiza profitul?
Soluție:
Suma obținută de la banca A după n zile este:
𝑆𝐴=1000(1+15
100∙𝑛
365)

39
Suma obținută la sfârșitul anului va fi:
𝑆=𝑆𝐴(1+14,5
100∙365−𝑛
365)
=1000(1+0,15∙𝑛
365)(1+0,145∙365−𝑛
365)
=(1000+150𝑛
365)[1+0,145(1−𝑛
365)]
=1000+150𝑛
365+145(1−𝑛
365)+21,75∙𝑛
365∙(1−𝑛
365)
=100+150𝑛
365+145−145𝑛
365+21,75𝑛
365−21,75𝑛2
3652
=−21,75
3652𝑛2+(150−145+21,75
365)𝑛+1145
=𝑎𝑛2+𝑏𝑛+𝑐
Cum 𝑎<0 ⟹ valoarea maximă a funcției 𝑓(𝑛)=𝑎𝑛2+𝑏𝑛+𝑐 se obține în punctul
𝑛𝑉=−𝑏
2𝑎 ⟹ 𝑛𝑉=26,75
365:43,50
3652=26,75
365∙3652
43,50=224,45
Deci persoana ar trebui să își închidă contul la banca A și să deschidă un nou cont
la banca B în data de 12 August.

II.4.Funcția exponențială (cl. a X -a)

Funcția 𝑓:ℝ→(0,∞) ,𝑓(𝑥)=𝑎𝑥 ,𝑎>0 ,𝑎≠1 se numește funcție
exponențială de bază a.
Observații!
 Dacă 𝑎>1 atunci funcția exponențială f este strict crescătoare pe ℝ.
 Dacă 𝑎<1 atunci funcția exponențială f este strict descrescătoare pe ℝ.
 Pentru orice 𝑎∈ℝ∖{1} funcț ia exponențială este bijectivă

40
Aplicații:
1.O sumă a fost plasată cu dobândă compusă cu procentul semestrial de 5%. După
câțiva ani,procentul real a scăzut la 10 %,dobânda calculându -se tot semestrial.După 8 ani
dobânzile reprezentau de 1,173 ori suma inițială.
După câți ani s -a modif icat procentul?
Soluție:
După n ani de la depunerea în regim de dobândă compusă ,cu procentul semestrial de
5%,valoarea finală a sumei este:
𝑆=𝑆0(1+0,05)2𝑛=𝑆0(1,05)2𝑛
În următorii 8−𝑛 ani suma devine:
𝑆8=𝑆⋅(1,1)8−𝑛=𝑆0(1,05)2𝑛⋅(1,1)8−𝑛
În cei 8 ani știm că dobânda obținută este 𝐷=1,173⋅𝑆0 adică:
𝑆0[(1,05)𝑛∙(1,1)8−𝑛−1]=1,173𝑆0 /:𝑆0
(1,05)𝑛⋅(1,1)8−𝑛=2,173
(1,05
1,1)𝑛
=2,173
(1,1)8
Soluția este: 𝑛=𝑙𝑔(2,173
(1,1)8)
𝑙𝑔(1,05
1,1)=lg2,173−8lg1,1
𝑙𝑔1,05−lg1,1=6
Procentul s -a modificat după 6 ani.
2.Cu ce procent suma 𝑆0=3450 𝑢.𝑚.,depusă pe timp de 10 ani ,devine
5324,45 u.m.?
Soluție:
𝑆=𝑆0(1+𝑟)10 ⟹ 5324,45=3450(1+𝑟)10
Deci (1+𝑟)10=5324,45
34550=1,54331888
Folos ind logaritmarea în baza 10 obținem valoarea lui 𝑟=0,43 %.

41
3.Un capital de 20000 u.m.plasat cu dobândă compusă un număr de ani cu
procentul anual de 4% a raportat o dobândă de 8466,24u.m . Același capital plasat cu o
dobândă simplă pe aceeași durată de timp dă o dobândă de 5400u.m .
Calculați durata celor plasamente și procentul plasamen tului cu dobândă simplă.
Soluție:
Avem 𝑆0=20000 𝑢.𝑚.plasați pe n ani cu dobânda compusă având 𝑝=4
100 .Dobânda
compusă obținută o notăm cu 𝐷=8466,24.
Vom avea 8466,24=𝑆0(1+𝑟)𝑛−𝑆0
=𝑆0[(1+𝑟)𝑛−1]
=20000[(1,04)𝑛−1]
Deci (1,04)𝑛−1=8466,24
20000 ⟹ (1,04)𝑛−1=0,423312 ⟹
(1,04)𝑛=1,423312 /𝑙𝑛
⟹𝑛=𝑙𝑛1,423312
𝑙𝑛1,04=9,000003391
Deci durata celor două plasamente este de aproximativ 9ani.
Cum dobânda simplă este 5400 u.m. avem:
𝑆0∙𝑝1
100∙𝑛=5400 ⟹20000∙𝑝1
100∙9=5400
De aici 𝑝1=3% (procentul plasamentului cu dobândă simpă)

42
II.5.Funcții derivabile (cl. a XI -a)

Definiție: Fie 𝑓:𝐷→ℝ ,𝐷⊂ℝ și 𝑥0∈𝐷.Funcția f are derivată în 𝑥0 dacă există 𝑓′(𝑥0)=
lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)
𝑥−𝑥0∈ℝ̅.
Derivatele funcțiilor elementare:
Nr.
crt. Funcția Derivata Domeniul de
derivabilitate
1 Constanta c
0c R
2 x
1x R
3 xn , (n N*)
1n nnx x R
4 x, (R)
1 x x (0,)
5
x

xx
21 (0, )
6
nx

n nn
xnx
11
 (0, ) pentru n par
R* pentru n impar
7 ax , a > 0, a1
 a a ax xln R
8 ex
x xe e
R
9 ln x
xx1ln (0, )
10
)( log xa
axxaln1log (0, )
11 sin x
 x x cos sin R
12 cos x
 x x sin cos R
13 tg x

xtgx2cos1

 Zkk R
2\
14 ctg x

xctgx2sin1
ZkkR\

43
15 arcsin(x)

211) arcsin(
xx
 (-1, 1)
16 arccos(x)

211) arccos(
xx
 (-1, 1)
17 arctcg(x)
211)(xx arctg R
18 arcctg(x)
211)(xx arcctg R

Teoremă Fie
, , :, RDR Dgf  două funcții derivabile în punctul
Dx0 . Atunci sunt
derivabile funcțiile:
a)
gf și
);(' )(' )()' (0 0 0 xg xf xgf 
b) cf,
,Rc
);(' )()'(0 0 xcf xcf
c) fg și
 );(')( )()(' )(0 0 0 0 0'xgxf xgxf xfg 
d) f/g și
,
)()( )( )()()(
020'
0 0 0'
0'
xgxgxf xgxfxgf 



.0)(0xg
Aplicații:
1.Două orașe A și B sunt situate la 10 km ,respectiv 15 km. De un râu rectiliniu, iar
proiecția lungimii AB pe direcția râului este de 20 km.Cele două orașe trebuie alimentate
cu apă de la o uzină aflată pe marginea râului.
Se cere poziția uzinei pentru care lungimea conductelor ce leagă cele două orașe să fie
minimă.
Soluția 1:
Dacă A” este simetricul lui A față de direcția râului,iar M este poziția uzinei, evident că
[𝐴𝑀]=[𝐴"𝑀] ,deci AM+MB=A”M+MB. Această din urmă sumă este minimă când
A”,M, B sunt coliniare;punctul M de amplasare a uzinei se caracterizează prin cong ruența
unghiurilor 𝛼 și 𝛽 făcute de MA și MB cu normala la direcția râului (vezi fig.)

44

A

α β
A’ M B’
Notăm 𝑥=𝐴′𝑀 și folosind △𝑀𝐴𝐴′∼△𝑀𝐵𝐵′ obtinem ca:
𝐴𝐴′
𝐵𝐵′=𝐴′𝑀
𝑀𝐵′⟺10
5=𝑥
20−𝑥⟹𝑥=8 (km).
Soluția 2: Cu notațiile de la soluția 1 avem:
𝐴𝑀=√100+𝑥2 și 𝑀𝐵=√225+(20−𝑥)2
Problema este de a determina minimul funcției :
𝑓(𝑥)=√100+𝑥2+√225+(20−𝑥)2 ,𝑥∈[0,20]
Cum 𝑓′(𝑥)=𝑥
√100+𝑥2−20−𝑥
√225+(20−𝑥)2 ,din 𝑓′(𝑥)=0 obtinem ecuația
𝑥2+32𝑥−320=0
cu soluțiile 𝑥1=8 și 𝑥2=−40.
Cum 𝑥∈[0,20] ⟹𝑥=8 (km).

2.Dacă funcția de cost total pentru realizarea a x unități dintr -un produs este
𝑐(𝑥)=𝑥2
9+𝑥+100 ,𝑥≥1
stabiliți câte unități trebui e realizate pentru a avea cel mai i scăzut preț mediu pe unitate de
produs.

45
Soluție:
Trebuie să studiem variația funcției preț mediu dată de relația
𝑐(𝑥)̅̅̅̅̅̅=𝑐(𝑥)
𝑥=𝑥
9+100
𝑥,𝑥≥1
Din 𝑐(𝑥)′̅̅̅̅̅̅̅=(𝑥
9+100
𝑥)′
=1
9−100
𝑥2 avem 1
9−100
𝑥2=0 de unde 𝑥=±30.
Cum 𝑥>1 ⟹𝑥=30.
Din ta belul de variație:

x 1 30 +∞
f’(x) – – – – – – – – – – 0+ + + + + + +
f(x) 910
9 23
3 +∞
Prin urmare vom avea cel mai scăzut preț mediu da că se produc 30 unități de produs.
3.O firmă realizează trei sortimente de produse în cantitățile x,y și z.Dacă funcția
profitului este dată de
𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=170𝑥+110𝑦+120𝑧−3𝑥2−2𝑦2−3
2𝑧2−2𝑥𝑦−𝑥𝑧−𝑦𝑧−50 ,𝑥
≥0 ,𝑦≥0 ,𝑧≥0
atunci să se determine volumele celor trei produse astfel încât profitul să fie maxim.
Soluție:
Aflăm punctele staționare ale lui f prin rezolvarea sistemului de ecuații:
{𝑓′
𝑥(𝑥,𝑦,𝑧)=170−6𝑥−2𝑦−𝑧=0
𝑓′
𝑦(𝑥,𝑦,𝑧)=110−4𝑦−2𝑥−𝑧=0
𝑓′
𝑧(𝑥,𝑦,𝑧)=120−3𝑧−𝑥−𝑦=0
Soluția acestui sistem este dată de valorile 𝑥=20 ,𝑦=10 ,𝑧=30 .
Așadar funcția are un singur punct staționar 𝐴(20,10,30).
Pentru a stabili natura punctului A calculăm derivatele de ordinul II ale lui f :

46
𝑓"𝑥2=−6 𝑓"𝑥𝑦=𝑓"𝑦𝑥=−2
𝑓"𝑦2=−4 𝑓"𝑥𝑧=𝑓"𝑧𝑥=−1
𝑓"𝑧2=−3 𝑓"𝑦𝑧=𝑓"𝑧𝑦=−1
și scriem hessiana 𝐻=(ℎ𝑖𝑗)𝑖,𝑗=1,3̅̅̅̅ unde ℎ𝑖𝑗=𝑓"𝑥𝑖𝑥𝑗:
𝐻=(−6−2−1
−2−4−1
−1−1−3)
Minorii p rincipali ai lui H au valorile:
∆1=−6<0
∆2=|−6−2
−2−4|=20>0
∆3=det𝐻=−54<0
Deci punctul A este un punct de maxim ,iar v aloarea maximă a profitului este
𝑓𝑚𝑎𝑥(20,10,30)=4000.

II.6.Elemente de geometrie analitică (cl. a X -a)

 Ecuația dreptei determinată de două puncte 𝐴(𝑥𝐴,𝑦𝐴) și 𝐵(𝑥𝐵,𝑦𝐵) este:
𝑦−𝑦𝐴=𝑦𝐵−𝑦𝐴
𝑥𝐵−𝑥𝐴(𝑥−𝑥𝐴)
unde 𝑚=𝑦𝐵−𝑦𝐴
𝑥𝐵−𝑥𝐴 reprezintă panta dreptei AB.

 Ecuația dreptei determinată de un punct 𝐴(𝑥𝐴,𝑦𝐴) și o pantă m este:
𝑦−𝑦𝐴=𝑚(𝑥−𝑥𝐴)

 Ecuația explicită a dreptei este:

47
𝑦=𝑚𝑥+𝑛

 Ecuația generală a dreptei este:
𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0
Observație !
Două drepte 𝑑1=𝑚1𝑥+𝑛1 sunt:
𝑑2=𝑚2𝑥+𝑛2
i. paralele dacă: 𝑚1=𝑚2 ,𝑛1≠𝑛2
ii. coincid dacă: 𝑚1=𝑚2 ,𝑛1=𝑛2
iii. concurente dacă : 𝑚1≠𝑚2
iv. perpendiculare dacă: 𝑚1∙𝑚2 =−1

Punctul de intersecție a două drepte se găsește rezolvând sistemul format din ecuațiile lor.

Aplicații:
1.Deprecierea liniară a unei averi :
O mașină nouă costă 100000 euro.Valoarea ei se depreciază liniar astfel că, după 5 ani ea
valorează 30000 euro.Determinați valoarea mașinii în funcție de timpul t (ani).Care va fi
valoarea mașinii după doi ani?Cu cât se depreciază, valoric, pe an,mașina?
Soluție:
Fie 𝑣(𝑡) –valoarea mașinii după t ani.Cum valoarea se depreciază liniar ,pentru a
determina ecuația avem nevoie de două puncte sau de un punct și o pantă.
Din ipoteză avem pentru 𝑡=0 ⟹𝑣(0)=100000 , iar pentru 𝑡=5 ⟹𝑣(5)=30000.
Panta dreptei este 𝑚=𝑣(5)−𝑣(0)
5−0=−14000 ,iar ecuația dreptei care trece prin (0,100000)
și are panta -14000 este:
𝑣(𝑡)=−14000𝑡+100000
Valoarea mașinii după doi ani este:

48
𝑣(2)=−14000∙2+100000=72000 (euro)
Deprecierea fiind liniară, pe an ea este egală cu 100000−30000
5=14000 (euro) și este opusul
pantei.

v(t)
t (ani)

2.Funcția cerere,preț -număr de bucăți:
Cantitatea solicitată de ceasuri este de 48000 bucăți la un preț de 8
euro/bucată.Dacă prețul este de 12 euro/bucată atunci solicitarea este de 32000 bucăți.
Determinați ecuația cererii de ceasuri,dacă ea este liniară.
Care este prețul pe bucată pentru o cerere de 40000 bucăți?
Care este cererea dacă prețul pe bucată este 14 euro?
Soluție:
Notăm p=prețul pe bucată și x =numărul de bucăți(în unități de 1000).
Dacă 𝑝=8 atunci 𝑥=48 și,deci, punctul (48;8) aparține dreptei.
Analog, dacă 𝑝=12 atunci 𝑥=32 adică punctul (32;12) se află pe aceeași dreaptă. 020000400006000080000100000120000
0 1 2 3 4 5 6

49
Deoarece cererea este liniară ,graficul său este o dreaptă de pantă:
𝑚=12−8
32−48=−1
4
Ecuația dreptei va fi : 𝑝−8=−1
4(𝑥−48) de unde 𝑝=−1
4𝑥+20.
Dacă 𝑥=40 ⟹𝑝=−1
4∙40+20=10 (adică dacă avem o cerere de ceasuri 𝑥=
40000 bucăți atunci prețul unitar este de 10 euro)
Dacă 𝑝=14⟹14=−1
4𝑥+20 ⟹ 𝑥=24 (adică avem o cerere de 24000 bucăți).
x(mii)

3.Echilibrul pieței (cantitatea cerută=cantitatea produsă)
Cantitatea cerută de telefoane este de 8000 bucăți la un preț de 260 euro/bucată.La un preț
de 200 euro/bucată,cantitatea cerută crește la 10000 bucăți.Dacă prețul este de 100 euro
sau mai mic, nu se va vinde nici un aparat.Totuși,pentru fiecare adăugare de 50 euro la
prețul unitar de 100 euro se vor vinde în plus 1000 bucăți.Presupunând că atât cererea cât
și producția sunt liniare,determinați:
a)ecuația care dă cererea
b)ecuația care dă oferta
c)echilibrul pieței 0510152025
0 20 40 60 80 100p(euro )

50
Soluție: Fie p=prețul (în sute de euro) pe bucată și x –numărul de telefoane(în mii).
a)Din enunț cererea reprezintă o dreaptă care trece prin punctele(8;2,6) și (10;2). Ecuația
dreptei este 𝑝=−0,3𝑥+5.
b)Ecuația care dă oferta este ecua ția dreptei care trece prin punctele (0;1) și (1;1,5).Ecuația
dreptei este 𝑝=0,5𝑥+1.
c)Pentru a găsi echilibrul pieței se rezolvă sistemul:
{𝑝=−0,3𝑥+5
𝑝=0,5𝑥+1
Obținem punctul (5;3,5) care se traduce prin numărul de bucăți cerute pe piață este egal cu
numărul de bucăți produse și aceasta este de 5000 bucăți la un preț de 350 euro/bucată.

0123456
0 2 4 6 8 10f(x)
g(x)

51
CAPITOLUL III
Modelarea matematico -economică

Pentru a plicarea matematicii în economie se au în vedere două direcții principale.
Prima ,care folosește metodele matematicii pentru a sprijini studiul calitativ al fenomenelor
economice și a doua, în care matematica folosește la an aliza aspectelor cantitative cum ar
fi planificare a și prognoza fenomenelor economice .
Traducând o situație economică într -o problemă matematică îi putem verifica
consistența. Această de metodă de l ucru presupune precizarea conceptului de model.
Termenul de model pro vine de la diminutivul „modus”( însemnând măsură în
limba latină), și anume „modulus”. Studii le au arătat că primul care a folosit noțiunea de
model a fost matematicianul italian Beltrami ,în anul 1868, când a construit un model
euclidian pentru o geometrie neeuclidiană.
Astăzi, metoda modelării a devenit o metodă generală de cercetare și studi ere a
unor procese reale cu ajutorul cercetării și stu dierii altor procese,care sunt mai apropiate
sau mai depărtate de cele inițiale.
În elaborarea unui model matematic atașat unui proces trebuiesc respectate etapele:
1. Obținerea modelului descriptiv al pr ocesului
1.1.formularea problemei propuse
1.2.analiza structurii informaționale a fenomenului abordat
1.3.discutarea criteriilor posibile care reflectă obiectivele urmărite
1.4.stabilirea factorilor esențiali și a factorilor secundari.
2.Formularea în limb aj matematic a modelului descriptiv, adică elaborarea modelul ui
matematic.
3.Studierea ( și cercetarea) modelului -etapă care presupune rezolvar ea practică a problemei
Modelul realizat și testat trebuie să reflecte originalul cu destulă precizie. Sunt situa ții în
care, deși modelul este bine construit el nu ne nu dă rezultate satisfăcătoare.
După modelul matematic utilizat se poate da următoarea clasificare a modelelor:

52
1) Modele aritmetice -utilizate până in sec. XVIII
2) Modele bazate pe analiza matematică -folosesc concepte de analiză matematică
3) Modele liniare -utilizează concepte de algebră liniară( de ex. Programarea liniară)
4) Modele de joc -care iau în considerare și variabile necontrolabile
5) Modele de optimizare -urmăresc optimizarea unei funcții
6) Modele neliniare -utilizează restricții de optim
7) Modele diferențiale -care descriu fenomenul prin ecuații diferențiale
8) Modele de tip catastrofic -utilizate în studiul fenomenelor cu variații bruște
9) Modele deterministe -mărimile care intervin sunt perfect determ inate
10)Modele stohastice -mărimile care intervin sunt aleatorii
11) Modele statistico -matematice -mărimile car e intervin sunt date statistice
12) Modele discrete -mărimile variază discret
13) Modele continue -mărimile variază cont inuu
Cu toată diversitatea modelelor și conceptelor matematice, există fenomene economice
pentru care nu s -au găsit modele pe deplin satisfăcătoare.
În cele ce urmează voi prezente câteva modele matematice dintre cele mai
cunoscute.

III.1.Problema de tra nsport
Presupunem că de la m centre de producție trebuie distribuit un anumit produs la n
centre de consum; disponibilul centrului de producție i este 𝑎𝑖(𝑖=1,𝑚̅̅̅̅̅̅), necesarul
centrului de consum j este 𝑏𝑗(𝑗=1,𝑛̅̅̅̅̅),iar costul unei unități de produs de la centrul de
producție i la centrul de consum j este 𝑐𝑖𝑗.
Se cere determinarea unui plan optim de transport;adică 𝑥𝑖𝑗(necunoscute) de cantități de
produs ce se transportă de la centrul de producție i la centrul de consum j astfel încât
cheltuielile de transport să fie minime.
Planul optim de transport este soluția problemei de programare liniară ce se
modelează astfel:

53
𝑚𝑖𝑛∑∑𝑐𝑖𝑗∙𝑥𝑖𝑗𝑛
𝑗=1𝑚
𝑖=1
unde
∑xij=ai ,(𝑖=1,𝑚̅̅̅̅̅̅)n
j=1; ∑𝑥𝑖𝑗=𝑏𝑗𝑚
𝑖=1 ,(𝑗=1,𝑛̅̅̅̅̅) ; 𝑥𝑖𝑗≥0
În condițiile în care sunt adevărate relațiile:
𝑎𝑖≥0 ,𝑏𝑗≥0 ,𝑐𝑖𝑗≥0 ,∑𝑎𝑖=∑𝑏𝑗𝑛
𝑗=1𝑚
𝑖=1.
Aplicație:
Două centre de distribuție 𝐴𝑖(𝑖=1,2) dispun de 1000 tone ,respectiv 2000 tone de
materie primă pentru realizarea unui produs și acesta urmează să fie trimis la 3 firme
𝐹𝑗 (𝑗=1,2,3) care pot să primească 600t ,700t ,respectiv 900t. Costul transportului unei
tone de materie primă de la 𝐴1 la 𝐹𝑗 este 12,15,respectiv 8 u.m., iar de la 𝐴2 de
10,14,respectiv 5 u.m.Produsul finit trebuie să fie livrat la două centre de consum 𝐵𝑖 în
cantitățile de 800t ,1400t și costul transportului de la 𝐹𝑗 la 𝐵1 este de 15,20 ,respectiv 10
u.m.,iar de la 𝐹𝑗 la 𝐵2 este de 12,11, respectiv 10 u.m.
Să se determine un plan de transport care să realizeze un total minim de cheltuieli.
Soluție: (metoda grafică)
Notăm 𝑥𝑖𝑗 (𝑖=1,2 ;𝑗=1,2,3) cantitatea de materie primă care trebuie transportată de la
𝐴𝑖 la 𝐹𝑗.Avem relațiile:
{ 𝑥11+𝑥12+𝑥13=1000
𝑥21+𝑥22+𝑥23=1200
𝑥11+𝑥21=600
𝑥12+𝑥22=700
𝑥13+𝑥23=900
𝑥𝑖𝑗≥0
Notăm cu 𝑓1 costul total al acestor transporturi.
𝑓1=12𝑥11+15𝑥12+8𝑥13+10𝑥21+14𝑥22+5𝑥23

54
Exprimăm restricțiile în funcție de 𝑥11 și 𝑥22:
𝑥21=600−𝑥11
𝑥12=700−𝑥22
𝑥13=1000−(700−𝑥22)−𝑥11=300+𝑥22−𝑥11
𝑥23=1200−𝑥22−(600−𝑥11)=600+𝑥11−𝑥22
⟹ 𝑓1=12𝑥11+15(700−𝑥22)+8(300+𝑥22−𝑥11)+10(600−𝑥11)+14𝑥22
+5(600+𝑥11−𝑥22)
⟹𝑓1=21900−𝑥11+2𝑥22
Notăm 𝑥11=𝑥 și 𝑥22=𝑦 și avem:
𝑥21=600−𝑥
𝑥12=700−𝑦
𝑥13=300+𝑦−𝑥
𝑥23=600+𝑥−𝑦
Cum 𝑥𝑖𝑗≥0 putem scrie:
600−𝑥≥0
700−𝑦≥0
300+𝑦−𝑥≥0
600+𝑥−𝑦≥0 și 𝑓1=21900−𝑥+2𝑦
Folosim metoda grafică și reprezentăm dreptele:
𝑑1: 𝑥=600
𝑑2: 𝑦=700
𝑑3: −𝑥+𝑦+300=0 sau 𝑥
300+𝑦
−300−1=0
𝑑4: 𝑥−𝑦+600=0 sau 𝑥
−600+𝑦
600−1=0

55
Scriem funcția eficiență sub forma : 𝑦=1
2𝑥+𝑡 unde 𝑡=𝑓−21900
2.
Reprezentăm grafic și dreapta : 𝑑0: 𝑦=1
2𝑥

y
D C (d2)
E
(d4 ) (d3)
B
(d0)

O A x

(d1)
Coordonatele punctului A corespund valorii minime:
A:{𝑦=0
−𝑥+𝑦+300=0 ⟹ 𝐴(300;0)

Avem :𝑥11=300𝑡
𝑥22=0
𝑥13=0
𝑥21=300𝑡
𝑥13=700𝑡
𝑥23=900𝑡

56
Planul optim de transport va fi:

Orice alt plan de transport va duce la un cost mai mare.
Pentru partea a doua a problemei notăm cu 𝑦𝑖𝑗 cantitatea de produs finit care trebuie
transportată de la fabricile 𝐹𝑗 la centrele de consum 𝐵𝑖. Avem relațiile:
{ 𝑦11+𝑦21+𝑦31=800
𝑦12+𝑦22+𝑦32=1400
𝑦11+𝑦12=600
𝑦21+𝑦22=700
𝑦31+𝑦32=900
𝑦𝑖𝑗≥0 (𝑖=1,2 ; 𝑗=1,2,3 )
Notăm cu 𝑓2 costul total al transportului de la 𝐹𝑗 la 𝐵𝑖 și avem:
𝑓2=15𝑦11+12𝑦12+20𝑦21+16𝑦22+10𝑦32
Exprimăm restricțiile problemei prin 𝑦11 și 𝑦22 și avem:
𝑦12=600−𝑦11
𝑦12=700−𝑦22
𝑦31=800−𝑦11−(700−𝑦22)=100−𝑦11+𝑦22
𝑦32=1400−𝑦22−(600−𝑦11)=800+𝑦11−𝑦22
Dacă notăm 𝑦11=𝑥 și 𝑦22=𝑦 putem scrie:
𝑦12=600−𝑥
𝑦121=700−𝑦
𝑦31=100−𝑥+𝑦 Centre F1 F2 F3 Disponibil
A1 300 t 700 t – 1000 t
A2 300 t – 900 t 1200 t
Necesar 600 t 700 t 900 t –

57
𝑦32=800+𝑥−𝑦

Cum 𝑦𝑖𝑗≥0 puem scrie:
600−𝑥≥0
700−𝑦≥0
100−𝑥+𝑦≥0
800+𝑥−𝑦≥0
Exprimăm 𝑓2 cu x și y:
𝑓2=15𝑦11+12(600−𝑦11)+20(700−𝑦22)+10(100−𝑦11+𝑦22+16𝑦22
+10(800+𝑦11−𝑦22)
⟹ 𝑓2=30200+3𝑦11−4𝑦22
⟹ 𝑓2=30200+3𝑥−4𝑦
Reprezentăm grafic dreptele:
𝑑1: 𝑥=600
𝑑2: 𝑦=700
𝑑3: −𝑥+𝑦+100=0 sau 𝑥
100+𝑦
−100−1=0
𝑑4: 𝑥−𝑦+800=0 sau 𝑥
−800+𝑦
800−1=0
Func ția eficiență este de forma : 𝑦=3
4𝑥+𝑡 unde 𝑡=30200−𝑓2
4.
Reprezentăm și dreapta 𝑑0: 𝑦=3
4𝑥 și se observă că punctul D corespunde problemei
(vezi fig.)
Se obține D(0,700) și obținem rezultatele:

58
𝑦11=0
𝑦22=700
𝑦12=600
𝑦21=0
𝑦31=800
𝑦32=100 și 𝑓2=27400 𝑢.𝑚.
y
(d4)
(d2) C
D (d3)
B
(d0)

O A x
(d1)

Planul optim de transport este următorul:
Fabrici B1 B2 Disponibil
F1 – 600 t 600 t
F2 – 700 t 700 t
F3 800 t 100 t 900 t
Necesar 800 t 1400 t –

59
Schema planului general de transport este redat mai jos:

Costul minim al transportului va fi :
min𝑓=𝑚𝑖𝑛𝑓1+𝑚𝑖𝑛𝑓2=49000 𝑢.𝑚.

III.2.Optimizarea producției unei intreprinderi

Să considerăm o întreprindere care își desfășoară activitatea de producție în
următoarele condiții:
i) în întreprindere se desfășoară n activități 𝐴𝑖 ,𝑖=1,𝑛̅̅̅̅̅
ii) există m factori disponibili 𝐹𝑗 ,𝑗=1,𝑚̅̅̅̅̅̅
iii) se cunosc coeficienții tehnici de utilizare a celor m factori în cele n
activități.
Pentru realizarea modelării acestui program de producție notăm cu 𝑥𝑖 nivelul activității 𝐴𝑖,
cu 𝑏𝑖 volumul(cantitatea) disponibil de factorul 𝐹𝑗 și 𝑎𝑖𝑗 factorul de proporționalitate al
consumului 𝐹𝑖 pentru activitatea 𝐴𝑗.
Acum putem scrie restricțiile: A1
A2 B2 B1 F1
F2
F3

60
{ 𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+⋯+𝑎1𝑛𝑥𝑛≤𝑏1
𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥2+⋯+𝑎2𝑛𝑥𝑛≤𝑏2
.
.
.
𝑎𝑚1𝑥1+𝑎𝑚2𝑥2+⋯+𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛≤𝑏𝑚
Aceste restricții reprezintă condițiile în care întreprinderea poate să își desfășoare
activitatea. Ele se pot scrie în formă matriceală. În acest scop notăm:
𝐴=(𝑎𝑖𝑗) –matricea coeficienților tehnici
𝑥=(𝑥1𝑥2…
𝑥𝑛) –vectorul coloană al nivelului producției
𝑐1,𝑐2,…,𝑐𝑛 -vectorii coloană din matricea A
𝑐0 –vectorul coloană al volumelor disponibile

Restrictiile de mai sus se vor scrie:
𝑐1𝑥1+𝑐2𝑥2+⋯+𝑐𝑛𝑥𝑛≤𝑐0
𝐴𝑥≤𝑐0
Până aici am urmărit descrierea tehnolog iei producției.Dar orice proces de producție mai
urmărește și o motivație economică,de exemplu să realizeze eficiență
maximă.Practic,finalul acestui proces este optimizarea unei anumite funcții,care ,de
fapt,realizează optimizarea funcționării unui proces economic.
Aplicație:
O firmă de mobilă dispune de 61 m3 de scândură de nuc și 74 m3 scândură de
fag,iar restul de materiale sunt în cantități nelimitate.În atelier trebuie să se producă două
tipuri de garnituri de mobilă A și B.Pentru tipul A sunt nece sare 1,2 m3 nuc și 0,8 m3 fag,
iar pentru tipul B sunt necesare 0,5 m3 nuc și 1 m3 fag.Cele două tipuri de garnituri A și B
aduc câte un beneficiu de 400 lei, respectiv 700 lei.

61
Să se determine cantitățile de garnituri ce trebuie făcute din fiecare tip pentru a
realiza un beneficiu maxim.
Soluție:
Notăm cu x- cantitățile de garnituri de tipul A și cu y cantitățile de garnituri de tipul B.Din
condițiile problemei rezultă 𝑥≥0;𝑦≥0.
Beneficiul ce se poate realiza va fi dat de funcția: 𝑓=400𝑥+700𝑦
Relați ile de condiție sunt: {1,2𝑥+0,5𝑦≤61
0,8𝑥+𝑦≤74
𝑥≥0 ;𝑦≥0
Reprezentăm grafic dreptele:

𝑑1: 1,2𝑥+0,5𝑦−61=0 /∙10 ⟹12𝑥+5𝑦−610=0
𝑑2∶ 0,8𝑥+𝑦−74=0 /∙10⟹8𝑥+10𝑦−740=0
Avem ,de asemenea , 𝑦=−4
7𝑥+𝑡 unde 𝑡=−4
7𝑥.
(d1 ) y (d2)
50 A
(d0)

O 30 x

Se observă că punctul de intersecție al dreptelor 𝑑1 și 𝑑2 conduce la soluția optimă.Se
obține 𝑥=30 și 𝑦=50 sau A(30,50).
Rezultă că trebuie să se producă 30 garnituri de tip A și 50 garnituri de tip B. Beneficiul
maxim va fi de 47000 lei.

62
III.3.Problema dietei (nutriției)

Una din problemele celebre de gospodărire este problema alimentării cât mai ieftine
și realizarea unor cerințe de alimentație conform unui scop propus.
O alimentație este considerată bună dacă oferă anumite substanțe în cant ități
minimale pr ecizate.Bineînț eles că aceste substanțe se găsesc în diferite alimente cu prețuri
pe care le c unoaștem. Problema este de a se stabili o dietă (rație) care să fie
corespunzătoare și, totodată,cât m ai ieftină.
Vom obține mo delul matematico -economic corespunzător problem ei dietei.
Fie 𝑆1,𝑆2,…,𝑆𝑛-substanțele nutritive care trebuie să intre în compunerea dietei în
cantitățile minimale 𝑏1,𝑏2,…𝑏𝑚 și 𝐴1,𝐴2,…𝐴𝑛 –alimentele de care dispunem cu prețul
corespunzător pe unitate 𝑐1,𝑐2,…𝑐𝑛.
Notăm cu 𝑎𝑖𝑗-numărul de unități din substanța 𝑆𝑖 ,𝑖=1,𝑚̅̅̅̅̅̅ ce se găsesc într -o unitate din
alimentul 𝐴𝑗 ,𝑗=1,𝑛̅̅̅̅̅.
Se cere să se afle 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 –numărul de unități din alimentele 𝐴1,𝐴2,…𝐴𝑛 astfel încât
să se obțină o rată acceptabilă la un preț cât mai mic.
Putem prezenta datele problemei într-un tabel de forma:
Alimente

Substanța 𝑨𝟏 𝑨𝟐 … 𝑨𝒋 … 𝑨𝒏 Minim
necesar
din 𝑺𝒊
𝑺𝟏 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑗 … 𝑎1𝑛 𝑏1
… … … … … … … …
𝑺𝒊 𝑎𝑖1 𝑎𝑖1 … 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑛 𝑏𝑖
… … … … … … … …
𝑺𝒎 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑗 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚
Preț alimente 𝑐1 𝑐2 … 𝑐𝑗 … 𝑐𝑛
Unit. de consum 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑗 … 𝑥𝑛

63
Cantitatea din substanța 𝑆𝑖 care se realizează este: 𝑎𝑖1𝑥1+𝑎𝑖2𝑥2+⋯+𝑎𝑖𝑛𝑥𝑛,care ,din
cerința problemei trebuie să fie ≥𝑏𝑖 ,𝑖=1,𝑚̅̅̅̅̅̅.ajungem astfel la condițiile (restricțiile):
{ 𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+⋯+𝑎1𝑛𝑥𝑛≥𝑏1
𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥2+⋯+𝑎2𝑛𝑥𝑛≥𝑏2
.
.
.
𝑎𝑚1𝑥1+𝑎𝑚2𝑥2+⋯+𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛≥𝑏𝑚
Natura datelor cu care lucrăm impun și condiții de nenegativitate:
𝑥1≥0 ; 𝑥2≥0 ;…; 𝑥𝑛≥0
Funcția obiectiv care exprimă costul unei rații este dată de:
𝑓=𝑐1𝑥1+𝑐2𝑥2+⋯+𝑐𝑛𝑥𝑛
Problema dietei cere să determinăm 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 astfel încât f să fie minimă.
Modelul dietei poate fi folosit și în alte exemple: problema furajării raționale,problema
amestecului optim etc.
Aplicație:
Determinați o rație alimentară de cost minim știind că sunt necesare 3000
calorii,100 g proteine și se folosesc două feluri de alimente 𝐴𝑖 (𝑖=1,2). Primul aliment
𝐴1 de 500 g conține 1000 calorii și 25 g proteine, iar al doilea aliment 𝐴2 tot de 500 g
conține 2000 calorii și 100 g proteine.Prețul pe unitate (500g ) este de 1,8 lei pentru 𝐴1 și 8
lei pentru 𝐴2.
Soluție:
Notăm cu x și y cantitățile din cele două alimente ce urmează a fi consumate și obținem
următoarele relații:
{𝑥+2𝑦≥3
𝑥+4𝑦≥4
𝑥≥0 ,𝑦≥0
𝑓=1,8𝑥+8𝑦

64
Cum 𝑑1:𝑥+2𝑦−3=0 și 𝑑2: 𝑥+4𝑦−4=0 obținem punctul de întersecție al celor
două drepte A(2;1/2)
500∙2=1000
0,5∙500=250
min𝑓=7,60 lei

III.4.Problemă de zonare în agricultură

Presupunem că m ferme (𝑖=1,𝑚̅̅̅̅̅̅) au planificat să însămânțeze suprafețele arabile
de care dispun cu n tipuri de culturi ( 𝑗=1,𝑚̅̅̅̅̅̅ ). Suprefețele disponibile ale fermei sunt
𝑆𝑖 (𝑖=1,𝑚̅̅̅̅̅̅),iar cele prevăzute a fi cultivate pe ansamblul celor n ferme sunt 𝑐𝑗 (𝑗=1,𝑛̅̅̅̅̅)
,respectiv pentru fiecare dintre cele m culturi.Timpii de muncă (în om/zi) calculați pentru
fiecare fermă și cultură în parte sunt 𝑡𝑖𝑗 (𝑖=1,𝑚̅̅̅̅̅̅ ;𝑗=1,𝑛̅̅̅̅̅) cunoscuți.
Se cere să se repartizeze terenul arabil fiecărei ferme în cele n culturi astfel ca, realizând
planul fi xat pe ansamblu, să se preste ze un timp de muncă minim.
Notând cu 𝑥𝑖𝑗 –aria suprafeței aparținând fermei i destinată culturii j problema se
modelează matematic astfel:
𝑚𝑖𝑛∑∑𝑡𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗𝑛
𝑗=1𝑚
𝑖=1
∑𝑥𝑖𝑗=𝑆𝑖 (𝑖=1,𝑚̅̅̅̅̅̅)𝑚
𝑗=1
∑𝑥𝑖𝑗=𝑐𝑖 (𝑗=1,𝑚̅̅̅̅̅̅)𝑛
𝑖=1
𝑥𝑖𝑗≥0

65
Aplicație:
În cadrul unei ferme sunt 8 ha teren pentru a se cultiva două feluri de plante A și
B.Investițiile necesare pe hectar sunt respectiv 200 lei și 500 lei, iar câștigul net pe hectar
este 3000 lei ,respectiv 6000 lei. Ferma dorește să investească 2500 lei în cultura acestor
două feluri de plante.
Pe câte hectare ar trebui cultivate fiecare fel de plante pentru a se obține un beneficiu cât
mai mare?
Soluție:
Din condițiile problemei se obține sistemul:
{𝑥+𝑦=8
200𝑥+500𝑦≤2500
𝑥≥0 ;𝑦≥0
Notăm cu f câștigul ce se obține și avem 𝑓=3000𝑥+6000𝑦
Reprezentăm grafic dreptele :
𝑑1: 𝑥+𝑦−8=0
𝑑2: 2𝑥+5𝑦−25=0
Funcți a obiectiv este 𝑦=−1
2𝑥+𝑡 unde 𝑡=𝑓
6000
Vom reprezenta grafic dreapta 𝑑0:𝑦=−1
2𝑥 și trasăm drepte parale le cu ea.Paralela cu
ordonata la origine cea mai mare trece prin punctul A.
Din rezolvarea sistemului format din ecuațiile celor două drepte se obține A(5;3)
Avem 𝑥=5 ℎ𝑎 și 𝑦=3 ℎ𝑎 deci 𝑓𝑚𝑎𝑥=33000 𝑙𝑒𝑖.

66

y

A
(d2)

O (d1) x
(d0)

67
CAPITOLUL IV
PROIECTAREA ȘI DESFĂȘURAREA ÎNVĂȚĂRII
MATEMATICE

IV.1.Rolul matematicii în formarea personalității elevului

Matematica modernă urmărește disciplinarea gândirii elevilor , antrenarea sistemică
și gradată a gândirii elevilor în rezolvarea exercițiilor și prob lemelor și formarea capacității
acestora de a gândii susținut și gradat.

Matematica este o disciplina care, prin însăși e sențe ei, are rolul de a forma o
gândire cercetătoare . Este,prin excelență știința care ar e cele mai multe și mai variate
legături de v iață. Din acest motiv este necesară o permanentă preocupare în vederea
perfecționarii continue a metodelor și mijloacelor de învățământ pentru a putea realiza nu
doar o simplă instruire matematică, ci totodată o edu cație matematică pentru dezvoltarea
tineretului și formarea acestuia ca om util societății în care trăiește .

Școala are menirea să facă din studiul matem aticii un instrument eficient
constructiv și modelator asupra personalității elevului.

Matematica are o mare putere educativă deoarece „prin logica de la baza fiecărui
raționament,matematica ne obișnuiește cu precizie și obiectivitate și ne imprimă în
suflete,în ordinea morală și intelectuală,rectinilitatea în toate împrejurările vieții.În
matematici nu există compromis între adevăr și eroare;și de aceea instruiește mai bine sau
cel puțin tot atât de bine ca toate preceptele morale din lume.Ea dă celor ce o urmăresc,prin
precizia formulelor și a expresiilor, disciplina intelectuală,măsură în toate,îți imprimă în
suflet tendința către perfecțiune.

Matematica este un mijloc și nu un scop:este un mijloc de a prinde cantitativ sau
structural toate fenomenele naturale în formule precise și elegante.De aceea mate matica
este cheia de aur a tuturor științelor experimentale” (Ce este matematica? –
R.Courant,H.Robbins)

68

Matematica este una dintre științele cu cea mai largă răspândire în toate domeniile
de activitate. Este știința care poate fi aplicată în m ulte alte științe cum ar fi fizică, chimie,
informatica, economie, în concluzie, în toate științele reale, care fără ajutorul matematicii
nu ar putea fi deslușite.

În economie ,matematica este componenta de bază, aceste doua științe fiind
împletite.Luare a unor decizii in economie este substanțial facilitată de utilizarea unor logici
adecvate, corecte.Raționamentul si calculele matematice pot constitui un suport hotărâtor
pentru baza unei asemenea logici.

Teoria economica s -a bazat întotdeauna pe cunoștin te matematice necesare
modelarii informațiilor și a previziunilor asupra fenomenelor economice. Abordarea
,tratarea și modelarea fenomenelor economice cu ajutorul mijloacelor moderne ale
matematicii a permis introducrerea rigurozității și preciziei matemat ice în analiza unor
situații concrete și în luarea unor decizii optime economice,diminuînd astfel riscurile.Orice
teorie economică are în spatele ei un suport matematic solid.

Capitolul de „Matematici financiare” studiat în clasa a X -a introduce elevii î n
lumea matematicii aplicate în economie,contribuind semnific ativ la dezvoltarea formativă
a elevului,stimulându -l să participe la :observație, comparare ,clasificare ,experiență ,
inducție , deducție ,analogie, simț al realității, capacitatea de modelare,s pirit de analiză,
obișnuința de a gândi orice fragment ca parte a unui întreg.

Faptul că matematica se folosește astăzi pretudindeni cred că a devenit de
necontestat.
H.R. Patapievici spunea foarte frumos: "cultura matematică este solul fertil de
existență al unei culturi de specialitate" .

69
IV.2.Finalitățile și obiectivele specifice matematicii

Conform Programei scolare la matematica , competențele generale vizate1 sunt:
1.Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care
au fost definite
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri
matematice
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau
globală a unei situații concrete
4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații
concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora
5. Analiza și interpreta rea caracteristicilor matematice ale unei situații -problemă
6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea
cunoștințelor din diferite domenii .

Aceste competențe se introduc printr -un sistem de competențe specifice fiecărei
unități de învățare și care urmăresc finalizarea instruirii la matematică.

Noul curriculum pentru matematică își propune să formeze următoarele valori si atitudini1:

1.Dezvoltarea unei gândiri deschise, creative, a independenței în gândire și acțiune
2. Manifestarea inițiativei, a disponibilității de a aborda sarcini variate, a tenacității, a
perseverenței și a capacității de concentrare
3. Dezvoltarea simțului estetic și critic, a capacității de a aprecia rigoarea, ordinea și
eleganța în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii
4. Formarea obișnuinței de a recurge la concepte și metode matematice în abordarea un or
situații cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice
5. Formarea motivației pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viața
socială și profesională.

1.Anexa nr. 2 la ordinul ministrului educației și cercetării nr 4598/31.08.20 04,pag.4

70

Obiectivele urmă rite în studiul matematicii vizează:
-citirea corectă și conștientă a enunțului unei probleme
-interpretarea parametrilor unei probleme
-exprimarea prin simboluri specifice a relațiilor matematice dintr -o problemă
-analiza secv ențelor logice în etapele rezolvării unei probleme
-formarea obișnuinței de a verifica dacă o problemă este sau nu determinată
-analiza rezolvării unei probleme din punct de vedere al simplității,al corectitudinii
-reformularea unei probleme echivalentă cu cea dată sau înrudită
-transferul și extrapolarea soluțiilor unor probleme pentru rezolvarea altora
-folosirea unor criterii de clasificare și comparare pentru descoperirea unor reguli
-construirea și interpretarea unor diagrame,tabele
-folosirea unor met ode matematice în abordarea problemelor practice
-folosirea unor reprezentări variate pentru ilustrarea ,justificarea unor idei sau a unor căi de
rezolvarea a unei probleme

IV.3Metode de învățare centrate pe elev
utilizate in orele de matematică

Învățarea centrată pe elev exprimă o abordare care presupune adaptarea unui stil de
învățare activ și ,totodată, integrarea programelor de învățare adaptată la ritmul propriu de
învățare al fiecărui elevului .Acesta trebuie să fie responsabil și implicat în progresele pe
care le face pentru propria lui educa ție.
Pentru ca elevul să fie cu adevărat în centrul activității educative, profesorul
trebuie să îndeplinească roluri cu mult mai complexe decât în școala tradițională. Această
abordarea centrată pe elev va avea succesul dorit dacă cadrul didactic are competența de a
crea oportunitățile potrivite de în vățare pentru fiecare elev. Î n funcție de context,
profesorul trebuie să acționeaze adecvat și adaptat nevoilor grupulu i.
Avantajele învățării centrate pe elev sunt:

71
 Creșterea motiva ției elevilor, pentru că aceștia sunt con știenți că vor pute a
influen ța optim procesul de învățare;
 O eficacitate mai mare a învățării și,totodată , a aplic ării celor învățate, pentru că
aceste abordări folosesc o învățare activ ă;
 Învățarea capătă sens , deoarece a st ăpâni materia înseamn ă a o înțelege;
 Există o p osibilitate mai mare de includere ,deorece învățarea poate fi adaptat ă în
funcție de capacitatea fiecărui elev de învățare și de contexte le de învățare
specifice .
Metodele de învățare centrat ă pe elev fac lec țiile atractive , sprijin ă elevii pentru a
înțelege conținuturile și astfel ei vor fi capabili să aplice noțiunile învățate în via ța real ă.
Printre metodele active –participative utilizate în procesul de predare -învățare sunt
și cele prin care elevii lucreaz ă eficace unii cu al ții și astfel își dezvolt ă abilit ăți de a
colabora și de a se ajuta reciproc. Ele pot avea un impact imens asupra elevilor ,având
„priză” la aceștia.
Pentru a dezvolt a gândirea critică la elevi, trebu ie să utiliz ăm, îndeosebi anumite
strategii activ -participative și creative. Acestea nu trebu ie separate de cele tradi ționale, ele
fiind doar un nivel superior în vederea moderniz ării strategiilor didactice.
Dintre metodele moderne active -participative care pot fi aplicate cu mult succes și
în cadrul orelor de matematică fac parte: brainstormingul, metoda mozaicului, metoda
cubului, turul galeriei, ciorchinele,stiu,vreau să știu,am învățat,R.A.I,I.A.C.

1. Brainstormingul

Brainstormingul este prin excelență o metodă care ne ajută să creem idei și
concepte unice, cretive și inovatoare. Pentru a avea un brainstorming eficient va trebui să
înlăturăm toate inhibițiil e și c riticile. Prin urmare exprimarea va deveni liberă și astfel
participanții la proces ul de br ainstorming își vor spune părerile și ideile fără a se teme de
o eventuală critică . Se expune un concept, o problemă sau idee și fiecare participant își
spune p ărerea proprie despre cele expuse și tot ceea ce le vine prin minte, chiar dacă sunt
idei comice sau fără aplicabilitate .
O ședință de brainstorming bine condusă dă ocazia fiecărui participant de a lua
parte la dezbateri și astfel poate deveni o acțiune foarte constructivă.

72
Etapele pentru un brainstorming eficient sunt următoarele:
 deschiderea sesiunii de brainstorming – etapă în care se prezintă scopul și durata
acesteia și se discută regulile de bază care vor fi respectate ;
 perioada de acomodare –care durează 5 -10 minute și care ca scop introducerea
grupului în atmosfera brainstormingului, iar participanții sunt încurajați să discute
idei generale pentru a le putea trece la un nivel superior;
 partea creativă a brainstormingului –care durează cam 25-30 de minute. Î n timpul
derulării aceste i etape este recomandat ca coordonatorul (profesorul) să specifice
timpul care a trecut și câ t timp a mai rămas, gr ăbind astfel participanții ca la finalul
părții creative să mai câștige câte 3 -4 min ute în plus. În acest timp grupul de
participant trebuie să fie încurajați să-și spună părerile fără teamă .
 la sfârșitul părții creative profesorul va clarifica ideile care au fost notate și
discutate și, dea semenea, verifică dacă toți elevii au înțeles punctele dezbătute.
Acesta e ste momentul în care se vor exclude sugestiile prea îndrăznețe și care nu
sunt aplicabile .
Se va face și o evaluare a acestei sesiunii de brainstorming și a modului în
care fiecare participant a contribuit la derula rea sesiunii. De asemenea, p ot fi luate
în considerare în vederea evaluarii și talentele și aptitudinile grup ului, gestionare a
timpului și punctele care au fost atinse.
 pentru a decide un acord obiectiv toți cei care au participat la ședința de
brainsto rming își vor expune părerea și vor n ota cele mai bune idei. Elevii din
grupul supus la brainstorming vor stabili singuri care au fost ideile cele mai bune
care s -au potrivit cel mai bine pe problema dezbătut ă.
În timpul desfășurării brainstormingului nu se vor cere explicații participanților
pentru ideile lor. Aceasta ar fi o greșeală care poate duce o evaluare prematură și greșită a
ideilor și ar provoca o îngreunare a procesului .
Brainstormingul funcționează după principiul1: asigurarea calității prin cantitate și
își propune să elimine exact acest neajuns generat de autocritică .
Reguli pe care elevii le vor respecta în scopul unei ședințe reușite de brainstorming:
1. Nu judecați ideile celorlalți – cea mai im portantă regulă.
2. Încurajați ideile nebunești sau exagerate.

73
3. Căutați cantitate, nu calitate în acest punct.
4. Notați tot.
5. Fiecare elev este la fel de important.
6. Nașteți idei din idei.
7. Nu vă fie frică de exprimare.
Este important de re marcat că obiectivul fundamental al acestei metode constă în
exprimarea liberă și necenzurată a opiniilor . Din acest motiv se vor accepta toate ideile,
chiar dacă sunt neobișnuite, absurde, fanteziste, trăznite așa cum le vin în mintea elevilor,
chiar dacă acestea vor condu ce sau nu la rezolvarea corectă a problemei. Pentru a
determina progresul în învățare al elevi lor este necesar să îi antrenăm în schimbul de
idei;astfel încât toți elevii să își exprime opiniile .

2. Mozaicul
Mozaicul se mai numește „metoda grupurilor interdependente” și reprezintă o
strategie bazată pe învățarea în echipă. Scopul este ca f iecare elev să aibă o sarcină de
studiu în care va trebui să devină expert . De asemenea el are și responsabilitatea de a
transmite informațiile asimilate și celorlalți colegi.
În cadrul acestei metode profesorul are un rol diminuat.E l va intervini semnificativ
doar la începutul lecției când are sarcina de a împarți elevii în grupurile de lucru și de a
trasa sarcinil e, și la final ul activității când va trage concluziile asupra activității
desfășurate .
Există mai multe moduri ale metodei mozaic ,dar aici voi prezenta varianta
standard realizeazată în următoarele cinci etape .
1. Pregătirea materialului de studiu
 Profesorul stabilește tema de studiu și o împarte în 4 sau 5 sub-teme . Opțional,
poate stabili pentru fiecare sub -temă, elementele principale pe care trebuie să pună
accentul elevul, atunci când studiază materialul în mod independent. Acestea pot fi
formul ate fie sub formă de întrebări, fie afirmativ, fie un text eliptic care va putea fi
completat numai atunci când elevul studiază materialul.
 Realizează o fișă-expert în care trece cele 4 sau 5 sub -teme propuse și care va fi
oferită fiecărui grup.
1.Ardelen Liviu,Secelen Nicolae -Didactica matematicii -noțiunigenerale,comunicare,pag72

74
2. Organizarea colectivului în echipe de învățare de câte 4 -5 elevi (în funcție de
numărul elevilor din n clasă)
 Fiecare elev din echipă va primi o literă (A, B, C, D) și are ca sarc ină să studieze în
mod independent, sub -tema corespunzătoare literei sale.
 El trebuie să devină expert în problema dată. De exemplu, elevii cu litera A vor
aprofunda sub –
tema din Fișa „A”. Cei cu litera B vor studia sub -tema din Fișa „B”, etc.
 Faza independentă: fiecare elev studiază sub -tema lui, citește textul corespunzător.
Acest studiu
independent poate fi făcut în clasă sau poate constitui o temă de casă, realizată înaintea
organizării mozaicului.
3. Constituirea grupului de experți
 După ce au parcurs faza de lucru independent, experții cu aceași literă se reunesc,
constituind grupe de experți pentru a dezbate problema împreună. Astfel, elevii cu
litera A, părăsesc echipele de învățare inițiale și se adună la o masă pentru a
aprofunda sub-tema din Fișa „A”. La fel procedează și ceilalți elevi cu literele B, C,
și D. Dacă grupul de experți are mai mult de 6 membri, acesta se divizează în două
grupe mai mici.
 Faza discuțiilor în grupul de experți: elevii prezintă un raport individual asupra a
ceea ce au studiat independent. Au loc discuții pe baza datelor și a materialelor
avute la dispoziție, se adaugă elemente noi și se stabilește modalitatea în care noile
cunoștințe vor fi transmise și celorlați membrii din echipa inițială.
 Fiecare ele v este membru într -un grup de experți și face parte dintr -o echipă de
învățare. Din punct d e vedere al aranjamentului , mesele de lucru ale grupurilor de
experți trebuie plasate în diferite locuri ale sălii de clasă, pentru a nu se deranja
reciproc.
 Scopul comun al fiecărui grup de experți este să se instruiască cât mai bine, având
responsabilitatea propriei învățări și a predării și învățării colegilor din echipa inițială.

75
4. Reîntoarcerea în echipa inițială de învățare
 Faza raportului de echipă: experții t ransmit cunoștințele pe care le -au asimilat ,
reținând la rândul lor cunoștințele pe care le transmit colegii lor, experți în alte sub –
teme. Modalitatea de transmitere trebuie să fie concisă, scurtă și atractivă, putând fi
însoțită de diverse materiale sau suporturi audio -vizuale, .
 Experții într-o sub -temă pot demonstra o idee, pot citi un raport, pot folosi
computerul sau pot prezenta ideile cu ajutorul diagramelor sau desenelor. Membrii
grupului sunt încurajați să discute, să pună întrebări și să -și rea lizeze propriul
plan de idei.
5. Evaluarea
 Faza demonstrației: grupele prezi ntă rezultatele întregii clase, moment în care elevii
sunt gata să arate ce au învățat. Profe sorul poate pune întrebări sau poate da spre
rezolvare fiecărui elev o mică fișă de evaluare. Dacă se preferă evaluarea orală,
atunci fiecăre elev va răspunde la o întrebare fără ajutorul echipei.
Ca și toate celelalte meto de de învățare prin cooperare metoda MOZAICULUI
presupune următoarele avantaje :
– stimularea încrederii în sine a elevilor;
– dezvoltarea abilităților de comunicare argumentativă și de relaționare în cadrul
grupului;
– dezvoltarea gândirii logice, critice și independente;
– dezvoltarea răspunderii individuale și de grup;
– optimizarea învățării prin predarea ac hizițiilor altcuiva.

3. Metoda cubului

Metoda cubului presupune abordarea unui subiect s au unei si tuații din mai multe
perspective , și astfel vom avea o abordarea complexă a unei teme.
Metoda presupune parcurgerea următoarelor etape:
 Realizarea unui c ub cu fețe colorate pe care sunt scrise verbele : descrie, compară,
analizează, asociază, aplică, argumentează.

76
 Anunțarea temei sau a subiectului ce urmează a fi discutat .
 Împărțirea clasei în 6 grupe omogene , fiecare dintre ele examinând o anumită temă
corespunzătoare cerinței de pe una din fețele cubului.
 Descrie : noțiuni, culori ,mărimi, forme etc.
 Compară : Ce este la fel ? Ce este diferit?
 Analizează : spune din ce se comune, cum s -a realizat .
 Asociază : la ce te duce cu gândul,cu ce putem face analogie ?
 Aplică : La ce poate fi folosită?
 Argumentează : o serie de motive care vin în sprijinul afirmației tale.
 Redactarea finală și prezentarea ei celorlalte grupe.
 Stabilirea formei finale pe tablă sau pe flipchart .

4. Turul galeriei

Turul galeriei este o metodă interactivă de învățare bazată pe colaborarea între
elevi, care sunt puși în ipostaza de a găsi soluții de rezolvare a unor probleme.
Această metodă presupune evaluarea interactivă și profund formativă a produselor
realizate de grupuri de el evi.
Astfel, turul galeriei constă în următoarele:
1. Elevii, grupați câte de trei sau patru, rezolvă o anumită problemă ( sarcină de
învățare) care ar putea avea mai multe soluții ( sau mai multe variante de
abordare).
2. Rezultatele muncii grupului se vor ma terializează într -o schemă sau diagramă
notate pe o hârtie (un poster).
3. Posterele se vor expun e pe pereții clasei care vor deveni o veritabilă galerie.

77
4. La semnalul profesorului, fiecare grup va trece pe rând, pe la fiecare poster și va
examina soluțiile propuse de ceilalți colegi. Comentari ile și observațiile lor vor fi
scrise pe posterul analizat.
5. După ce se încheie acest tur al galeriei și grupurile revin la poziț ia inițială,
fiecare cechipă își va reexaminează produsul muncii lor comparativ cu ale celorlalți
și vor discută observațiile și comentariile pe care le -au notate coleg ii pe propriul
poster.

5. Ciorchinele

Deși este o variantă mai simplă a brainstorming -ului, ciorchinele este o metodă
care presupune identificarea unor conexiuni logice între idei, poate fi folosită cu succes atât
la începutul unei lecții pentru reactualizarea cunoștințelor predate anterior, cât și în cazul
lecțiilor de sinteză, de recapitulare, de sistemat izare a cunoștințelor.
Ciorchinele este o tehnică de căutare a căilor de acces spre propriile cunoștințe
evidențiind modul de a înțelege o anumită temă, un anumit conținut.
Ciorchinele reprezintă o tehnică eficientă de predare și învățare care încurajează
elevii să gândească liber și deschis.
Metoda ciorchinelui funcționează după următoarele etape :
1. Se va scrie un cuvânt sau temă, care urmează a fi cercetat ă ,în mijlocul tablei sau a
unei foi de hârtie.
2. Elevii vor trebui să-și noteze toate ideile, noțiunile sau cunoștințele care le vin în
minte în legătură cu tema respectivă, legate de cuvântul cheie din centru.
3. În timp ce le vin în minte idei noi și le notează prin cuvintele respective, elevii vor
trage linii între toate id eile care par a fi conectate.
4. Activitatea se termină când se epuizează toate ideile sau a expiurat timpul .
Reguli le care trebuie respectate în utilizarea metodei ciorchinelui sunt :
 Scrieți tot ce vă trece prin minte referitor la tema / problema pusă în discuție.
 Nu judecați / evaluați ideile produse, ci doar notațiile.

78
 Nu vă opriți până nu epuizați toate ideile care vă vin în minte sau până nu expiră
timpul alocat; dacă ideile refuză să vină insistați și zăboviți asupra temei până ce vor
apărea unele id ei.
 Lăsați să apară cât mai multe și mai variate conexiuni între idei; nu limitați nici
numărul ideilor, nici fluxul legăturilor dintre acestea.
Avantajele acestei tehnici de învățare sunt:
 În etapa de reflecție vom utiliza “ciorchinele revizuit” în care elevii vor fi ghidați
prin intermediul unor întrebări, în gruparea informațiilor în funcție de anumite
criterii.
 Prin această metodă se fixează mai bine ideile și se structurează infomațiile
facilizându -se reținerea și înțelegerea acestora.
 Adesea poate re zulta un “ciorchine” cu mai mulți “sateliți”.
Utilizarea acestei metode antrenează elevii într -o participare continuă și o
colaborare benefică , crește motivarea intrinsecă pentru că li se solic ită să descopere fapte,
să vină cu argumente pro și contra. Totodată l ucrul în echipă dezvoltă și atitudinea de
toleranță față de ceilalți , sunt eliminate motivele de stres sau emoție .
Putem susține cu convingere că beneficiarii unui învățământ centrat pe elev sunt
elevii deoarece, așa cum spune “crezul instruirii active”: “Ce aud -uit; Ce aud și văd – îmi
amintesc puțin; Ce aud, văd și întreb – încep să înțeleg; Ce aud, văd, întreb și exersez –
îmi însușesc și deprind; Ceea ce pun în practică înv ăț cu adevărat ”.

6.Metoda Știu/Vreau să știu/Am învățat

Știu/Vreau să știu/Am învățat este o metodă care se poate realiza atât cu grupuri
mici, cât și cu întreaga clasă. Se trece în revistă împreună cu elevii ceea ce ei deja știu
despre oanumită noțiune sau temă și apoi se formulează întrebarea la care se așteaptă
găsirea răspunsului înlecție.
Etapele aplicării metodei:
Profesorul cere elevilor să lucreze în perechi la o listă care să cuprindă tot ceea ce știu
despre tema ce urmează a fi discutată.

79
În timp ce elevii construiesc lista cunoștințelor acumulate, profesorul construiește petablă
următorul tabel:
ȘTIU VREAU SĂ ȘTIU AM ÎNVĂȚAT
Ce cred elevii că știu Ce vor elevii să afle Ce au învățat

 Profesorul solicită câtorva perechi să comunice celorlalți ce au scris pe liste și
notează lucrurile pe care toată lumea le știe pe coloana din stânga, grupând
informațiile pe categorii, dacă este cazul.
 Profesorul ajută elevii să formuleze întrebări des pre lucrurile de care nu sunt siguri.
Aceste întrebări pot apărea în urma dezacordului privind unele detalii sau produse
decuriozitatea elevilor. Profesorul va nota întrebările în coloana din mijloc.
 Elevilor li se cere să citească textul.
 După citirea textului , profesorul reia întrebările formulate de elevi și trecute în
coloana din mijloc. Se vor identifică acele întrebări la care s -a găsit răspunsulși
acestea se vor trece în coloana din dreapta. În continuare elevilor trebuie să li se
solicite să iden tifice informațiile găsite în text în legătură cu care nu au pus
întrebări la începutși se vor trece și acestea în ultima coloană.
 Profesorul reia la întrebările care nu s -au găsit răspunsurile în text și discută cu
elevii unde ar pute a căuta ei aceste i nformații.
 În încheierea lecției, elevii revin la tabel și decid ce au învățat. Unele dintre
întrebările formulate s -ar putea să rămână fără răspuns, dar ar putea apărea întrebărinoi. În
acest caz, întrebările pot fi folosite ca punct de plecare pentru inv estigații ulterioare.

7.Metoda R.A.I

R.A.I (Răspunde, aruncă, interoghează/întreabă) are în vedere stimularea și
dezvoltare capaci tăților elevilor de a comunica ceea ce tocmai au învățat prin întrebări și
răspunsuri .
Mod de desfășurare:
Profesorul va investiga împreună cu elevii rezultatele obținute în urma predării –învățării
printr -un joc de aruncare a unei mingi mici și ușoare de la un elev la altul;Cei care aruncă
mingea trebuie să pună întrebări din lecția predată celui care o prinde;Cel care prinde

80
mingea răspunde la întrebare și aruncă mai departe altui coleg,punând o nouă
întrebare;Dacă elevul interogat nu cunoaște răspunsul la întrebarea adresată iese din joc ,
iar celcare i -a adresat -o va da răspunsul; acesta are astfel ocazia de a mai ad resa o
întrebareși de a arunca mingea. Dacă elevul care a adresat întrebarea nu cunoaște
răspunsul, el este cel care va ieși din joc și nu cel căruia i -a fost adresată;Eliminarea celor
care nu au răspuns corect, a celor care nu au dat nici un răspuns saua celor care au adresat
întrebări la care nu au știut să răspundă face ca , la final, în grup să rămână doar elevii bine
pregătiți.
Metoda se poate utiliza cu precădere când se verifică lecția anterior ă, înaintea
începerii unui nou demers didactic sau , oricând dorim să verificăm cunoștințele asimilate
de elevi . Este și o metodă prin care se poate dinamiza clasa în momentele l ente. Această
metodă vizează descoperirea de către cadrul didactic a unor eventuale lacune în
cunoștințele elevilor și de a rea ctualizarea anumite idei .

8.Instruirea asistată de calculator

Instruirea asistată de calculator (I.A.C.) este totodată o metodă de predare și de
evaluare. Prin folosirea I.A.C. se poate produce stimularea elevilor în vederea receptarii
informațiilor noi, duce la dezvoltarea imaginației și a gândirii logice, la o învățare rapidă și
eficientă și la sporirea șanselor de reușită . Calculatorul îl ajută pe profesor să predea, pe
elev să învețe, dar nu poate înlocui în totalitate efortul acestora în procesul de instruire și
cunoaștere.
I.A.C. are o serie de avantaje și dezavantaje complementare:
 Economie de timp versus creșterea costurilor
 Realizarea obiectivelor de tip cognitiv versus cele de tip practic și psihomotor,
 Simularea facilă a fenomenelor sau a proceselor versus experimente de cercetare și
activități practice,
 Realizarea unei relații calculator – utilizator de izolare față de colegi și profesor.
Procesul acceptării și inserării T.I.C. în demersul d idactic trebuie experimentat în
permanență pentru pentru a reuși să atingă două scopuri bine definite: cel la nivelul elevilor
performanțarezultatelor învățării , iar la nivelul profesorilor dobândirea abilităților de
folosire eficientă , astfel încât formar ea și educația să fie convertite în reușite de viață.

81
IV.4.Creșterea motivației pentru învățat
(elevul ar trebui să învețe matematica din dorința proprie de a afla cât
mai multe și din dorința de a rezolva singur problemele)

,,Un elev nu este un vas pe care trebuie să -l umpli,
ci o flacară pe care trebuie să o aprinzi…”

Una dintre cele mai notorii teorii referi toare la motivația omului este reprezentată
de celebra abordar e a lui Abraham Maslow. Acesta a pornit de la ideea că ființele umane
au cinci s eturi de trebuințe/nevoi așezate într -o ierarhie a importanței („piramida” lui
Maslow1):
(1) trebuințe fiziologice;
(2) trebuințe de securitate;
(3) trebuințe de apartenență;
(4) trebuințe de stimă;
(5) trebuințe de autoîmplinire.
Ausubel D.P. și Robinson F.G. (1981) ne oferă un exemplu de folosire a ierarhiei lui
Maslow ca un instrument teoretic pentru a identifica modalitaților în care ar pu tea fi
stimulată motivația de învățăre a elevilor. Dintre toate categoriile de trebuințe avute în
vedere de Masl ow, ei s -au oprit asupra trebuințelor sociale, de autorealizare și cunoașt ere
Ei afirmă că profesorii ar pu tea sprijini anumite impulsuri motivaționale necesare în
activitatea de învățare:
 impulsul afiliativ;
 impulsul de autoafirmare;
 impulsul cognitiv.
Impulsul afiliativ ar corespunde nevoii resimțite de fiecare om , în special în copilărie,
de a beneficia de afecțiunea și aprobarea din partea unei persoane sau a unui grup cu care
se identifică la un moment dat. La vârstele mici, persoanele către care se îndreaptă acest
impuls sunt părinții,dar treptat , se poate transfera asupra profesorului si asupra prietenilor .

1.Cucoș C.,Pedagogie —pag 215

82

Un profesor este interesează în special de condițiile în care un copil își va
îndreapta impulsul afiliativ către educatorul său și își dorește să își intensifice eforturile
școlare pentru a câștiga prețuirea acestuia. Mulți elevi au ajuns să îndrăgească o anumită
disciplină de studiu, p ornind de la atracția pentru un profesor, care l -a fascinat prin
personalitatea sa și cu care a simțit nevoia să se identifice. Stima pentru persoana care a
predat o anumită materie de studiu s-a concretizat și asupra obiectului d e studiu,
reprezentat în ochii elevului de acest o m.De asemenea , autorii apreciază că această
capacitate de a naște motivația elevilor reprezintă un real talent pedagogic, facând
diferența între profesorii cu vocați e pedagogică și aceia care reușesc doar să organizeze
logic anumite noțiuni și de a le prezenta pe înțelesul elevilor lor .
Profesorii care reușesc să trezească în sufletul elevilor stima,admirația și dorința de
a evolua, îmbină două caracteristici majore . În primul rând, ei reușesc să î și câștige o
autoritate reală în fața elevilor lor prin anumite cal ități de competență și moralitate. Este
imposibil ca un profesor să se bucur e o autoritate reală în fața elevi lor săi, dacă aceștia îl
vor percepe ca fiind inco mpetent sau imoral . Elevii îi resping și pe acei profesori care sunt
incapabili să iasă din ghearele unor regulamente și reguli (“capetele pătrate”) și nu pot
aprecia acele situații cu care se confruntă, oricât de multe ar fi cuno ștințele pe care le dețin .
In al doilea rând, acei profesori care reușesc să trezească impulsul afiliativ al
elevilor sunt văzuți de către copii ca fiind perso ane capabile de afecțiune,diponibile să
ofere un suport afectiv și un ajutor dezinteresat oricărui elev care are nevoie de un
asemenea sprijin. Prin acest fel de a fi, ei îndeplinesc rolul de suport afectiv al unui părinte
și este posibil ca la nivelul inconștientului, la un moment dat, elevii să -i tranfere acest rol
profeso rului.
Dorința de autoafirmare exprimă dorința și necesitatea fie cărui om de a ajunge la o
anumită afirmare a eu -lui și la o anumită s tare socială care să -i confere un sentiment real al
respectului de sine. În general , o asemenea dorință este însoțită d e o stare de anxietate,
datorată fricii de “a nu reuși”, sau de teama de a pierde poziția socială v izată, ca urmare a
unui eșec. O asemenea stare de anxietate poate să demobilizeze. Pentru a induce elevilor
un sentimentul mobilizator al succesului ,un profesor trebuie să aibe , pe de o parte, un
anumit stil de lucru ,iar pe de altă parte anumite trăsuri de persona litate.El trebuie să fie
perceput ca o persoană capabilă , cu un înalt grad de organizare inte rioară . O persoană pe
care elevul o percepe c a fiind șovăieln ică va spori incertitudinea unei reușite și va accentua
starea de anxietate.În general , atunci când profesor ul de la școală nu asigură acea siguranță

83
, elevii apelează la un “profesor -meditator” ales din rândul acelora care sunt recunoscuți
că ar fi avut reușite cu elevii pe care i -a pregătit.
Ca și stil de lucru, un mare ajutor vine din partea profesori lor care acordă în mod
atenție sporită următoarelor aspecte:
 comunică elevilor cu corectitudine și claritate performanțele vizate pentru ca reușita
să fie certă; știe exact care sunt aceste performanțe și dă impresia că nu îi cere
elevului lucruri inu tile;
 identifică corect nivelul de performanță pe care copilul l -a atins până în acel
moment și î i comunică permanent “unde se află” și ce mai urmează să realizeze ;
 îl învață metodel e prin care poate depăși dificultă țile întâmpinate pentru a ajunge la
atingerea performanței
Impulsul cognitiv corespunde necesității de a cunoaște lucruri noi, de a le înțelege, de
a formula sau de a rezolva proble me. Orice om este curios față de lucrurile inedite cu
care intră în contact și este dornic să le acorde atenție, în măsura în care acestea răspund
trebuințelor sale. Curiozitatea se manifestă în special atunci când lucrurile se prezintă într –
un mod problematizator și generează un conflict cognitiv între ceea ce știa si noi fapte
care demonstrează insuficiența vechilor informații. Invățarea școlară susținută exclusiv de
trebuința de a cunoaște (și nu numai de curiozitatea imediată) este de obicei rezultatul unui
îndelungat proces educativ, căci presupune o prealabilă familiarizare cu un anumit
domeniu al cunoașterii, succese anterioare în explorarea cognitivă a acestui domeniu,
conștientizarea complexității lui și încrederea în posibilitățile proprii de a avansa în
elucidarea problemelor rămase necunoscute. Este o moti vație care, pe măsură ce elevul
cunoaște anumite aspecte ale unui domeniu, el își dorește să cuno ască tot mai multe.
Recompensă este înțelegerea unui lucru ignorat anterior. Im pulsul cognitiv, pe lângă o
componentă afectivă, legată de p satisfacția întâlnirii cu un domeniul preferat de
cunoaștere, implică și o componentă atitudinală, concretizată într-un ansamblu de idei
referitoare la domeniul respectiv, care sunt ,de cele ma i multe ori, rezultatul unor
experiențe anterioare (“studiem o disciplin ă interesantă/plictisitoare”; “ar fi necesar/inutil
să învăț”;“mă ajută/nu mă ajută în planurile personale de viitor” etc). Această componentă
atitudinală poate să amplifice sau să împiedice învățarea. La început elevii adoptă o
atitudine neutră față de disciplinele de studiu, cu excep ția situațiilor în care elevul are deja
o părere preconcepută privind utilitatea și dificultatea, acesteia, preluînd asemenea idei de
la alți colegi mai mari, de la părinți, frați sau din“folclorul” școlii pe care o frecve ntează (
“la X disciplină e plictisi tor ”; “ Y obiect de studiu inutil ” etc.)

84
Unii profesori sunt de părere că atitudinea cu care elevul abordează o nouă
disciplină școlară este impor tantă pentru efortul pe care îl va depune ulterior și pentru
motivația învățării . Ei încearcă să induca o atitudine deschisă și favorabilă de la început.
În primele lecții se prezintăi noua disciplină de studiu, scoțând în evidență utilitatea ei
socială și satisfacțiile pe care le aduce studierea ei, problemele de viată pe care le poate
rezolva și motivele pentr u care profesorul s -a specializa t în domeniul respectiv . T otul
îtrebuie făcut ntr-o manieră cât mai atractivă, cu relatări de fapte de viață. Î n concluzie,
înainte de a se trece la testări ale unor cunoștințe anterioare, la expunerea exigențelor
profesorului, ori ale modului lui de a nota (lucruri foarte utile, dealtfel), prima întâlnire a
elevilor cuun obiect de studiu ar tre bui să se finalizeze printr -o atitudine de interes față de
noua disciplină și cu o imagine clară asupra utilității studierii ei pentru orice om. Este
foarte răspândită printre elevi convingerea că multe dintre cele ce se studiază la școală sunt
lucruri inutile, pe care trebuie să le învețe de nevoie, ceea ce arată că nu întotdeauna
profesorii acordă importanța cuvenită explicări i utilității cunoștințelor pe care le propun
elevilor spre a fi învățate. In general, profesorii ar trebui să arate un anumit entuz iasm
pentru domeniul lor de studiu, căci este greu de crezut că o atitudine plictisită, dezamăgită,
sceptică a dascălului nu se va transmite elevilor, care vor adopta atitudini similare.
O atitudine favorabilă față de o disciplină școlară, odată obținută, trebuie să fie
păstrată printr -unefort permanent al profesorului, depus în fiecare lecție. Două aspecte par
a fi esențiale pentrumenținerea acestui interes: primul ține de atmosfera din timpul lecțiilor
și se referă la un climat de“efervescență intelectual ă” (Ausubel, D.P. și Robinson, F.G.
Op.cit), al doilea ține de întreținerea sentimentului elevilor că progresează permanent în
cunoașterea domeniului respectiv, că nu pierd timpul și nu bat pasul pe loc.
Primul aspect este legat de capaci tatea profesorulu i de a propune permanent
probleme interesante, cu un oarecare grad de dificultate și totuși accesibile, las oluționarea
cărora elevii sunt antrenați să participe în mod activ, după propriile lor puteri, alături de
profesor. Este vorba de inducerea sentimen tului că se discută probleme importante, a căror
soluționare presupune o anumită inițiere și un efort intelectual. Al d oilea aspect presupune
evaluări permanente, comunicarea progresului înregistrat si practicarea unei “pedagogii a
succesului” pentru care orice progres al unui elev în realizarea sarcinilor de învătare, oricât
de mic, este imediat sesizat,lăudat și utilizat în inducerea încrederii în posibilitatea de a se
obține pe viitor satisfacții similare.
Teoriile asupra motivației învățării școlare, an terior prezentate, departe de a se
exclude reciproc,sunt complementare, căci fiecare este rezultatul aprofundării unei

85
categorii sau a alteia de factori care pot influența interesul elevilor pentru activitatea
școlară. Fiecare teorie abordează un aspect di ferit al unei realități cu un mare grad de
complexitate si de diversitate, așa încât nu se poate afirma că una dintre ele ar putea fi
socotită mai puțin credibilă decât celelalte, întrucât fenomenele pe care le aduc în atenție
sunt obiective. De cele mai m ulte ori, factorii puși în lumină de o teorie sau alta acționează
simultan, astfel că sugestiile practice discutate anterior, chiar dacă se bazează pe modele
teoretice diverse, pot fi conjugate sau urmează a fi reținute pentru a fi incluse în
“portofoliul” variantelor de intervenție educativă ale unui profesor, urmând a fi utilizate în
funcție de situațiile întâlnite.

IV.5.Procedee de stimulare a participării elevilor la lecții

In activitatea de predare toți profesorii folosesc o varietatea de procedee prin care
urmăresc să captează atenția și interesul elevilor pentru o noțiu ne sau alta. Captarea
atenției și trezirea interesului elevilor pentru noul subiect reprezintă aspectul de început a l
oricărei lecții. Ideal ar fi ca elevii să îi ceară profesoru lui să le arate cum se rezovă o
anumită problemă,cum pot face un lucru, s au să inițieze spontan o discuție care li se pare
captivantă. Dintre multiplele procedee utilizate de către profesori înaceste scopuri cele mai
importante par a fi următoarele (Neac șu I., 1983):
 motivarea prin introducerea unor activități cu caracter de joc;
 motivarea prin crearea unei stări de competiție sau de cooperare
 motivarea prin crearea situațiilor problemă;
 motivarea prin mărirea valențelor afective ale activităților;
 motiv area prin menționarea performanțelor școlare care urmează să fie atinse ș.a.
Motivarea prin introducerea unor activități cu caracter de joc

Jocul este asociat cu ideea de relaxare ,de divertisment , de afirmare și de aceea
este îndrăgit la orice vârstă , cu condiția ca el să fie adaptat anumitor calități individuale
aferente perioadei de vârstă când este practicat.La școală activitatea principală a elevilor
este activitatea de învățare. Totodată unele jocuri necesită însușir ea unor cunoștințe
prealab ile sau antrenarea unor capacităti. Atunci când aceste cunoștințe și capacități
corelează cu ceea ce copilul urmează să învețe în școală profesorii îi pot motiva pe elevi să

86
și le însușească, prezentându -le ca fiind “ condiții necesare” pentru a participa cu succes la
un anumit joc. Căci orice joc autentic presupune intrarea într -o situație de competiție, ideea
de câștigător al jocului, o doză de improbabilitate a câstigătorului care se va impune în
urma unor capacități superioare de planificare, așteptare , de utilizare a unor informații etc.
Asadar nu orice joc îi va motiva pe elevi să învețe, pentru a ieși câștigători, ci doar
acelea care solicită cunoștințe si capacităti ce le asigură superioritatea într -o competiție.
Din acest motiv conceperea unor jocu ri care să -i motiveze pe elevi să învețe lucruri noi,
devine o sarcină din ce în ce mai dificilă, ce solicită multă creativitate, pe măsură ce elevii
sunt mai mari. Jocurile care îi captivează la vârste mari iau de obicei forma simulării unor
situații comp exe de viață, care le solicită luarea unor decizii rapide și corecte, prin
utilizarea unor cunoștinte din multiple domenii și care presupun capacități intelectuale,
afective și psihomotrice superioare.

Procedeul inducerii stărilor de competiție sau de coo perare

Competitia este un mod de manifestare a nevoii afirmării de sine. Ființa umană
rivalizează cu ceilalți semeni pentru a obține un anum it statut social sau pentru a deveni
superiori. Cooperarea este un mod de exprimare a dorinței oricărui om de a fi util unui
anumit grup social la care aderă , de a ajunge la rezolvarea unei probleme prin informare și
ajutor reciproc. Individul colaborează cu ceilalți pentru atingerea unui țel comun. Aparent
opuse, competi ția și cooperarea sunt stări pe care l e regăsim într -o clasă de elevi:
compe tiția între grupuri presupune o cooperarea fructuoasă în interiorul fiecărui grup care
se află în competiție cu celelalte grupuri .
“Competiția are asupra dezvoltării personalității influențe atât favorabile, cât și
nefavorabile. Î n ceea ce privește latura pozitivă, ea stimulează efortul și productivitatea
individului, promovează norme și aspirații mai înalte,micșorează distanța dintre capacitate
și realizări, dându -i individului posibilitatea unei estimări mai re aliste a propriilor sale
capacităț i, în comparație cu ale altora, competiția exercită de asemenea o influență salutară
asupra aptitudinii de autocritică. Competiția face mai interesante activitățile de grup și mai
puțin monotone sarcinile de fiecare zi și, folosită în mod adecvat, poate contribui la
dezvoltarea eticii grupului.” (Ausubel , D.P., Robinson ,F.G., Op, cit pg. 492)
Aceeași autori, se referă și la aspectele ne gative ale competitiei, în special atunci
când ia forme extreme și generează o stare d e anxietate exagerată care are efect e
inhibitorii asupra învătării și induce un climat de ten siune în cadrul grupului sau chiar ori

87
pericolul ca nedreptatea, cruzimea și necinstea să sa ajungă să fie scuzate în în numele
interesului de a ieși biruitor ( Idem, pg. 493)
În mod tradițional, în școli profesorii folosesc multiple procedee pentru a -i pune pe
elevi înstare de competiție: întreceri, concursuri școlare, organizarea unor expoziții cu cele
mai bune lucrări ale elevilor , afișarea unor grafice în care se prezintă comparativ progresele
la învățătură etc.Activitățile de cooperare în veder ea soluționării în a unei probleme are
tendința de a dobândi o pondere mai mare, în raport cu cele competitive.
Dacă elevii mai bine dotați au de cîștigat de pe urma act ivităților ce implică stări
competiționale ,în urma activităților care implică cooperarea mai mult profită elevii mai
puțin dotați, deoarece aceștia beneficiază de ajutorul celorlalți colegi.
Activitatea în grup are rezultate foarte bune atunci când se urmărește realizarea
unor sarcini simple, deoarece grupul are un efect de contagi os care îi mobilizează pe toți
să realizeze în ritm susținut anumite sarcini; este foarte utilă și atunci când se urmărește
rezolvarea unor probleme care n ecesită gândire d ivergentă sau emiterea unui număr mare
de idei, deoarece în cadrul unui grup apar mai multe șanse de a se naște idei diferite;
grupul este superior în ceea ce privește luarea unor hotărâri care presupun o deliberare
cooperativă sau când se discută anumite aspecte cont roversate ale materiei studiate. P e de
altă parte , realizarea unor lucrări care necesită abordare origi nală sau creativitatea sunt mai
bine concretizate în cadrul muncii individuale. Grupul favorizează în general realiză rile
cantitative, iar efortul intelectual creativ este mult mai favorizat în căutările individuale.

Utilizarea problemelor și a situațiilor problemă

Aceasta e ste o strategie folosită pentru a induce pe termen scurt un impuls cognitiv.
Oamenii manifestă tendința de a afla informații suplimentare sau explicații pentru acele
lucruri care intră în contradicție cu ceea ce anterior îi apăreau ca fiind certitudini. Pornind
de la acest fenomen, profesorii își încep de obicei lecțiile prin pre zentarea unor fapte pe
care elevii nu și le pot explica cu ajutorul cunoștințelor de care dispun. În general o situație
problemă apare tocmai atunci când informațiile și soluțiile disponibile devin insuficiente
pentru a depăși unui obstacol cognitiv. Atunci e ste nevoie, fie de o re evaluare a vechilor
cunoștințe, fie de a dobândi noi informații. Atunci când ceea ce urmează a fi învățat în
noua lecție le pare elevilor ca fiind necesar să-i ajute să găsească o soluție la faptele care
le-au stârnit curiozita tea, în mod sigur că motivația lor de învățare va crește .

88
Totuși, s -a constatat însă că nu întotdeauna o de problemă reușește să stârnească
curioz itatea și interesul elevilor. A cele probleme care se prezintă sub forma unor probleme
practice sau a unor s ituații de viață sunt mai incitante față de cele teoretice, abstracte.
La imaginarea solu țiilor necesare pot conlucra mai mulți colegi, în cadrul unei
activități pe grupe, ceea ce poate duce la sporirea motivației pentru învătare. Deseori
găsirea unei sol uții practice necesită obținerea în prealabil a unor informații teoretice, pe
care elevii sunt, de această dată, dispuși să le caute singuri, printr -un efort personal de
documentare. Uneori elevii sunt incitați si de probleme abstracte, mai ales atunci când
produc în mintea lor un conflict de idei.

Motivarea prin mărirea valențelor afective ale activităților

Anterior s-a stabilit că motivația are , în mod sigur ,o importantă componentă
afectivă. Alegerea de către o persoană a lucrurilor asupra cărora își va canaliza eforturile și
cărora le va acorda un real interes depinde de sentimentele și atitudinile pe care le
generează obiectul respectiv, nu doar de trebuințele resimț ite sau de scopurile urmărite. De
exemplu, un resentiment puternic față de un ob iect poate duce la un sentiment de evitare a
acestuia, chiar dacă el ar putea fi folosit pentru satisfacerea unei necesități sau ar servi
pentru realizarea unui anumit scop. Elevul ar putea că uta o altă metodă de satis facere a
trebuinț ei respectivă.
Sensibilizarea afectivă a elevilor pentru anumite probleme din viață care urmează
să fie studiate au rolul de a să trezi dorința de cunoaștere în profunzime a acestora.De
exemplu, vizionarea unui film emoționant despre efectele secetei asupra vieții oamenilor în
anumite zone ale globului, poate fi un suport motivațional hotărâtor pentru a studia
modalitățile în care poate fi combătut acest fenomen; un film documentar despre o anumită
regiune geografică poate trezi dorința de a se afla mai mult e amănunte cu privire la zona
respectivă; un tablou tulburător, o audi ție muzicală cu un puternic ecou afectiv pot genera
dorința de a studia viața și personalitatea creatorului lor etc. Din această cauză , mulți
profesori apeleaz ă în lecțiile lor secvențe din filme documentare, la lectura un or fragmente
din opere literare sau la momente poetice, chiar dacă obiectul de studiu care îl predau ține
de domeniul științelor „exacte”. P lecând de la convingerea că arta poate să ofere o viziune
sensibilă asupra maj orității aspectelor vieții oamenilor, profesorii vor cauta acele creații
artistice c are pot fi v alorificate pentru a sensibiliza elevii.

89
Motivarea prin evidențierea performanțelor școlare care urmează să fie atinse

Această metodă se bazează pe nevoi a fiecărui om de a realiza lucruri deosebite, de
a fi apt de performanțe superioare. Atunci când o anumită persoana estimează că are
puterea să realizeze atingerea unor performanțe care îi pot aduce respectul de sine și
totodată respectul celorlalți, ea va fi dispusă să î și mobilizeze toate eforturile pentru a
ajunge la rezultatul dorit. În școală se depun eforturi permanente pentru a induce dorința
elevilor de a -și depăși con stant propriile capacități și aptitudini într-un timp tot mai scurt și
cu un gr ad tot mai mare diversitate. Folosirea acestei strategii presupune preocuparea
permanentă a profesorilor de a preciza elevilor lor ,de la început, performanț ele vizate ,și
să comunice permanent progresele realizate și modalitățil e prin care vor putea continua
progresul .

IV.6.Evaluarea elevilor -metoda de motivare acestora

’’…ciclul existenț ei noastre este un șir de examene în fața naturii, a societății, a
propriei conștiinte.’’ ( V. Pavelcu -« Principii de docimologie »)
Problematica evaluării procesului de invățământ este o preocupare majoră atât
pentru teoreticieni, dar mai ales pentru noi, practicienii. Fiecare dintre noi caută m
modalități noi de utilizare a controlului în vederea atingerii unui anumit nivel de
performanță superior și pent ru a ameliorara și optimiza rezultatele procesului educativ .
Evaluarea este un domeniu « cheie » pentru orice schimba re socială, și, dacă este corectă
și exactă , ea devine o condiție obligatorie a procesului.
Evaluarea implică toate procesele și produse le care pun în valoare performanțele
elevilor în învățare, apreciază gradul în care rezultatele obținute în urma învățării sunt în
concordanța cu obiectivele vizate și furnizează date care ne permit să adoptăm cele mai
potrivite decizii. Evaluarea este o acțiune complexă care urmărește o serie de operații
mentale ,intelectuale, acționale, atitudinale și afective.
Metodologia evaluării presupune o clasificare a metodelor de evaluare în metode
tradiționale și metode complementare sau alternative.

90
Dintre metodele tradiționale menționăm : probele orale, probele scrise, probele
practice, probe care desemn ează orice instrument de e valuare proiectat, administrat ș i
corectat de profesor.
Probele orale se pot realiza in diferite momente ale lecției și permit o apreciere a
participării elevilor la actul de predare -învățare. Astfel elevii sunt puși în situația de a
reproduce definiții, proprietăți, reguli, de a efectua exerciții cu diferite grade de dificultate,
de a rezolva si compune probleme verbalizâ nd, exprimând într -un limbaj matematic corect
si coerent judecațile făcute. Este bine ca profeso rul să poată s ă păstreze o evidență a
rezultatelor examinării orale zilnice ale elevilor, rezul tate care pot fi transformate în note
care vor arăta nivelul d e pregatire atins de fiecare elev. Avantajele utilizarii probelor orale
sunt:
-elevii sunt stimulați să participe activ la lecție, își doresc să răspundă solicitarilor
profesorului pe parcursul desfășurării activității;
-elimină stresul și teama elevului că va obține o notă slabă;
-se micșorează acț iunea factorilor aleatori ce pot să apară într -o lecție, perturbând o
corectă evaluare finală
-se evidențiaza dinamica evoluției fiecarui elev,reliefând progr esele realizate;
-se diminuează acțiunea factorului personal al examinatorului, precum și apariția
tipurilor de efecte negative cunoscute.
Lucrarile scrise fac posibilă verificarea tuturor elevilor referitor la însușirea unui
anumit conținut.Un alt avantaj al acestui tip de evaluare constă în faptul că elevii timizi sau
cei care elaboreză mai greu un răspuns spontan ,au posibilitatea de a -și expune cunoștințele
asimilate.Acest tip de evaluare are,însă și dezavantajul că nu permite ca unele erori ale
elevilor să fie lămurite și corectate pe loc de către profesor.
Probele practice sunt folosite cu scopul evaluarii capacitații elevilor de a aplica
anumite cunoștințe teoretice .Accentul se pune pe trecerea progresivă de la „ a ști”, la „ a
ști să faci”. Se urmărește evaluarea atât a procesul ui ( acțiunea realizată), cât și a
produsul ui (rezultatul). Această metodă ofer ă posibilitatea elevilor de a -și verifica
competențele generale ( de comunicare, analiză, sinteza, înțelegere ,evaluare), dar și pe
cele specifice, aplicative ( respectiv capacitatea de a utiliza informații, capacitatea de a
înregistra și interpreta rezultatele).

Metodele alternative de evaluare urmăresc să ofere elevilor, pe lângă metodele
tradiționale, și alte variate p osibilitați de a arăta ceea ce știu (cunoștințele), dar mai ales,

91
ceea ce au învățat să facă (priceperi, deprinderi, abilități).Principalele metode
complementare de evaluare, al caror potențial formativ sprijină individualizarea actului
educațional sunt: observarea sistematică a activitații si a comportamentului elevilor,
investigația, proiectul, portofoliul, autoevaluarea.
Observarea sistematică a comportamentului elevilo r în timpul activitații este o
tehnică de evaluare ce furnizează multe informații u tile, diverse si complete, ce ar fi greu
de obținut prin intermediul probelor tradiționale de evaluare. Observația constă în
investigarea sistematica, pe baza unui plan stabilit in prealabil și cu ajutorul unor
instrumente adecvate, a acțiunilor și interac țiunilor, a evenimentelor, a relațiilor și a
proceselor într -un câmp social dat. Avantajul este că c ostur ile implicate sunt mici, dar
metoda consumă mult timp.
Investigația este o activitate practică pe care elevii o realizaz ă pe parcursul unei
ore de curs sau mai multe ore , și care urmărește o evaluare individuală sau de grup. Prin
această metodă de evaluare elevul are posibilitatea de a aplica cunoștințele insușite în mod
creativ și de a se implica activ în procesul de învățare.
Etapele unei inve stigații sunt: primirea unei sarcini de lucru, prezentarea regulilor
și a instrucțiunilor de lucru , aplicarea unor cunostințe în mod creativ de către elev, în
situații de invățare similare cu cele anterioare sau in situații noi.
Evaluarea investigației se va face pe baza unei scheme de notare care va cuprinde
măsurarea separată a: strategiei de rezolvare, aplicării cunoștințelor, acurateței înregistrării
și prelucrării datelor, claritații argumentării și forma prezentării, inventarierea produselor
realizate, atitudinii elevilor în fața cerințelor.
Proiectul presupune un demers evaluativ mult mai amplu decât investigaț ia. Acesta
începe în clasă prin definirea si înțelegerea sarcinii de lucru, eventual chiar începerea
rezolvării acesteia, și se continuă acas ă pe parcursul mai multor zile/săptămâni, timp în
care elevul se consult ă în permanență cu profesorul, și se termină tot în clasă,
prezentând în fața colegilor un raport referitor la rezultatele obținute sau a procesului
realizat.
În cadrul realizării a unui proiect se urmăresc urmatorii pași : stabilirea domeniului
de interes, a premiselor inițiale ,a cadrul ui conceptual, metodologia de reali zare, datele
generale ale investigației, identificarea și selectarea materialelor, precizarea elementelor de
conținut.
Conținutul proiectului se po ate organiza după urmatoarea schemă: pagina de titlu,
cuprinsul, introducerea, dezvoltarea elementelor de c onținut.

92
Strategia de evaluare a proiectului, care este una de tip holistic, trebuie, la rândul ei,
să fie clar definită prin criterii negociate sau nu cu e levii, astfel încât să valorifice efortul
exclusiv al elevului în realizarea proiectului.
Portofol iul de evaluare reprezintă o colecție a muncii unui elev, cuprinzând dovezi
ce ilustrează eforturile, progres ul și realizările în timp ale elevului . Nu doar elevul, ci și
profesorul sunt implicați în colectarea mostrelor și selectarea acestora. Utilizare a
portofoliilor pentru evaluare reprezintă o sursă bogată de informare privind dezvoltarea
elevului.
La matematică se poate realiza un portofoliu care să cuprindă: rezultate le obținute
de elevi în urma aplicarii unor evaluări (teste, probe, practice), biografii matematice
,investigații individuale sau de grup, soluții diverse la probleme deos ebite, probleme
propuse de elev ,rebusuri sau jocuri matematice etc.

Autoevaluarea este o altă metodă complementară de evaluare,care permite aprecierea
propriilor perform anțe comparativ cu obiectivele stabilite. Utilizând această metodă la
matematică elevi i vor înțelege mai bine finalitatea sarcinii pe care o vor îndeplini și
modul în care efortul lor este valorificat . De asemenea , ei pot compara nivelul atins cu
nivelul cerut și, astfel vor pu tea să î și creeze un ritm personalizat de învățare.
Autoevaluarea p oate fi realizată prin autonotare saub autoapreci erea verbală , mai mult
sau mai p uțin supravegheată de profesor. Încurajarea elevilor pentru a -și aprecia
performanțele proprii sau chiar și pe ale colegilor ar e efecte benefice cum ar fi : elevul
devine activ la propria formare; elevul devin conștient de eforturile necesare pentru a-și
atinge obiectivele stabilite; elevul își cultivă motivația intrinsecă față de învățătură și va
avea o atitudine pozit ivă față de activitate a sa.
Concluzii:
 Nu există un instrument de măsurare care ar putea fi considerat universal valabil și
care să satisfacă toate obiectivele și conțin uturile astfel încât să poată furniza o
imagine globală asupra schimbărilor și rezultatelor elevilor ;
 În procesul educativ trebuie să se țină seama de tot ce oferă și de tot ce îi trebuie
unui elev pentru a se manifeste și a se dezvolta cât mai armonios cu putință ;
 Ca urmare al îmbinării a celor doua tipuri de metode de evaluare elevii devin mai
încrezători în forlele proprii și mai deschiși la nou, sunt mai motivați și manifestă
o atitudine creativă ;

93
 Se demonstrează astfel importanța reformei evaluării impusă în procesul de
invățământ: utilizarea variatelor forme de evaluare, combinarea metodelor
tradiționale cu cele moderne , implicarea testelor docimologice și combinar ea lor
cu evaluarea prin investigație, referate, eseuri, realizarea por tofoli ilor, toate acestea
urmărind sprijinul elevilor și ajutând la form area lor ca personalitați complexe ,
creatoare, apte să se integreze în societatate .

94
CAPITOLUL V

Proiectul unit ății de învățare

V.I.Proiect didactic

PROFESOR: Arzoiu Adriana
ȘCOALA :Liceul Tehnologic R âșnov
CLASA : a –X-a C profil servicii
ARIA CURRICULARĂ : Matematică și științe
DISCIPLINĂ : Matematică
SUBIECTU L: Matematici financiare
TIPUL LECȚIEI : Lecție de predare de noi cunoștințe
SCOPUL : Aplicarea unor algoritmi de calcul financiar pentru rezolvarea un or probleme
din practică și conș tientizarea importanței acestei discipline pentru viața personală și
socială.

COMPETENȚE SPECIFICE : La sfarsitul lectiei elevii vor fi capabili să :
C1. Să î și consoli deze noțiunea de procent și importanța sa ;
C2. să știe să calculeze procente , dobânda simplă, T.V.A. , amortizări de investiții
și credite, rata;
C3. să utilizeze algoritmi specifici calculului financiar;
C4. să transpună în limbaj matematic probleme practice ;
C5. să analizeze și să interpreteze anumite situații din practică cu ajutorul calculului
financiar;
C6. să coreleze date în vederea analogiei cu modul de comportare în situațiile
studiate
C7. să raspundă la întrebări care cer răspuns direct;
C8. să calculeze dobândă simplă, să calculeze T.V.A. , rata profitului , profitul net
și amorizări de investiții

METODE ȘI PROCEDEE : explicația, conversația, metoda exercițiului, metoda mozaic,
tratarea diferențiată.

MIJLOACE DE ÎNVĂȚĂMÂNT: manualul ,fișe de lucru și calculatorul de buzunar.

MODURI DE ORGANIZARE : individual, frontal și pe grupe

95

SCENARIU DIDACTIC

(3min.) Introducerea în activitate prin:
 captarea atenției elevilor;
 verificarea prezenței.

CONȚINUT ȘI SARCINI DE
ÎNVĂȚARE METODE
ȘI
PROCEDEE MODURI DE
ORGANIZARE EVALUARE
EVOCARE (10min)
 Elevii sunt anunțați că astăzi
vom studia o lecție de care ne va
permite să aplicăm
cunoștințelor de matematică în
probleme practice.A nunț titlul
lecției și un elev citește
articolul din anexa 1 .
 Actualizăm cunoștințele despre
raportul procentual și formula de calcul
a acestuia.Vom rezolva problema de pe
fișa din anexa 2 .

Conversația
Explicația

Conversația
Explicația
Exercițiul

Frontal

Frontal

Individual

Capacitatea de a
participa la
discuții, de a
formula enunțuri
corecte și de
rezolva probleme
REALIZAREA SENSULUI ( 27 min )
 Noțiunea de raport procentual
apare în multe situații din viața noastră
: calculul dobânzilor, calculul discount –
urilor, calculul T.V.A., amortizari , rata
profitului, dobînda compusă, bugetul
personal și familial, credite și
rambursarea acestora și în multe alte
situații..
.
 În clasă elevii
numara de la A, B C D și E la 5 și sunt
anun țați ca sa formeze acum grupele
de baza 1, 2, 3 ,4, și 5.
 Elevii sunt anunțati ca în fiecare
Grupa elevul A,…E este expert care
le va explica ceea ce vor studia în
grupele de experți cu acelasi nume și
sunt rugați sa se grupeze.
 Grupa de exper ti A primeste fisa
expert “dobânda simplă pe an”, grupa
C “calculul T.V.A ", grupa D “rata
profitului”, grupa E “dodânda simpla”
și grupa B “Amortizări” , (anexa 3) .
Elevii sunt anunțați că fiecare grupa are

Brainstorming
Conversația
explicația

tratarea
diferențiată

Metoda
mozaic

frontal

grupe
diferentiate

Capacitatea de a
coopera cu
profesorul si de a
respecte indica țiile
date

Capacitatea de a
intelege informatia
și de a aplica la
rezolvarea unei
probleme ca

96
elevii au 10 min pentru a studia fișa
după care se vor intoarce in grupele de
baza 1,2…5 pentru a explica colegilor
timp de 17 min si v or șnvața ce le spun
experț ii.

Metoda
mozaic
Grupe de experți

Grupe de bază

exemplu, de
colaborare, de
comunicare.

Capacitatea de a
explica colegilor
cunostințele însușit

REFLECTIE (10 min)
 Elevii se aș ează la locuri lor și
primesc testul din anexa 4 (8 min.)
(2 min) Se evaluează ora și se dă tema
Metoda
exercițiului
individual Însușirea
cunoștințelor prin
aceste metode
active , capacitatea
de a aprecia o
activitate , de a
sintetiza aplicarea
cunostintelor de
matematica in
practica

ANEXA NR. 1

România are a doua cea mai ridicată rată a somajului pentru persoanele sub 25 de
ani dintre statele din Uniunea Europeana, de 23,6% în luna februarie, fiind depasită doar de
Polonia, cu 25,5%, informează Eurostat
Cele mai scăzute niveluri ale somajului s -au înregistrat, în februarie, în Danemarca (3,4%)
și în Olanda (3,5%), iar cele mai ridicate au fost în Polonia (11,8%) și în Slovacia (11%),
mai arata statisticile elaborate de Eurostat.

Un număr de 21 de state membre au inregistrat o scădere a ratei somajului în decurs de un
an, două au rămas la acelasi ni vel și patru au raportat o creștere. Cele mai mari scăderi
relative ale ratei somajului s -au observat în Slovenia, unde somajul a scăzut de la 6,5% in
februarie anul trecut la 4,7% în aceeași lună a lui 2007,in Slovacia (11% de la 14,4%) și in
Polonia (11, 8% de la 15,1%). Cel mai mult a crescut rata somajului din Ungaria, de la
7,4% în februarie 2006 la 7,9% în februarie 2007

ANEXA NR. 2

Un televizor costă 120€ . Cu ocazia sărbătorilor de Paști se acordă o reducere de
15%. Cât va trebui plătit pentru te levizor.

97

ANEXA NR. 3

Fișa expert 1
Dobânda simplă
Cea mai simplă investiție care să aducă un venit este depunerea banilor la o banca pe o
anumita perioadă de timp cu o anume dobândă (care este o anumita suma pe care
deponentul o primeste dupa o perioada de timp) .Aceasta este dobânda simplă.
Dacă această sumă este adaugată la cea inițială și pentru ea se calculează dobânda
pentru o aceeasi perioada de timp , aceasta adaugandu -se la sfarsitul perioadei etc. Atunci
vorbim de dobânda compusă.
Distingem doua tipuri de dobânzi : dobânda platită , cea pe care o plătesc băncile
deponenților și dobânda încasată cea care este încasată de banci de l adebitori pentru
sumele împrumutate.
Definitie .
Dobânda simplă reprezintă dobânda calculată pentru suma de pusă pentru o anumită
perioadă.
Notație : Dobânda simplă se notează cu D.
Procentul dobânzii reprezintă suma care se plătește pentru suma depusă de 100 unități
manetare(u.m.) pentru o perioada de un an .
Notație. Procentul sau rata dobânzii se notează cu p.
Formula de calcul pentru dobânda simplă este:

100..npSD
unde S este suma depusă, n numărul de ani pe care s -a depus suma , iar p este procentul
dobânzii.
Formula dobânzii pentru m luni este :
12.100..mpSD

Iar pentru d zile
.36 100..
odpSD

Exemplu: .Ce dobândă simplă produce un capital de 6 000 lei pe o perioadă de 1 an, dacă
rata dobânzii este de 28%?. Dar dupa 4 ani ?
Rezolvare
După un an
100..npSD , n=1
 D=6000
10028 =1680 lei
iar dupa 4 ani
100..npSD , n=4, avem D=
100428 6000 =6720 lei
Rezolvati
Care este câștigul anual al unei bănci, dacă aceasta acordă un împrumut de 200 milioane
lei, percepând o rată a dobânzii de 70% . Dar castigul pe 5 ani ?. Dar castigul pe 30 de
zile?

98

Fișa expert 2
Dobânda simplă pe an

Dobânda simplă
Cea mai simpla investiție care să aducă un venit este depunerea banilor la o banca pe o
anumita perioada de timp cu o anume dobândă (care este o anumita suma pe care
deponentul o primeste dupa o perioada de timp) .Aceasta este dobânda simpla.
Daca aceasta suma este adaugată la cea inițială și pentru ea se calculează dobânda
pentru o aceeasi perioada de timp , aceasta adaugandu -se la sfarsi tul perioadei etc. Atunci
vorbim de dobânda compusă.
Distingem doua tipuri de dobânzi : dobânda platita , cea pe care o plătesc băncile
deponenților și dobânda încasată cea care este încasată de banci de l adebitori pentru
sumele împrumutate.
Definitie .
Dobânda simpla reprezintă dobânda calculata pentru suma depusa pentru o anumita
perioada.
Notație : Dobânda simpla se notează cu D.
Procentul dobânzii reprezintă suma care se plătește pentru suma depusă de 100 unități
manetare(u.m.) pentru o perioada de un an .
Notație. Procentul sau rata dobânzii se notează cu p.
Formula de calcul pentru dobânda simplă este:

100..npSD
unde S este suma depusă, n numărul de ani pe care s -a depus suma , iar p este procentul
dobânzii.
Exemplu: .Ce dob ândă simplă produce un capital de 6 000 lei pe o perioadă de 1 an,
dacă rata dobânzii este de 28%?. Dar dupa 4 ani ?
Rezolvare
După un an
100..npSD , n=1
 D=6000
10028 =1680 lei
iar dupa 4 ani D=1680.4=6720 lei
Rezolvati
Care este câștigul anual al unei bănci, dacă aceasta acordă un împrumut de 200 milioane
lei, percepând o rată a dobânzii de 70% . Dar castigul pe 5 ani ?.

99

Fișa expert3

Taxa pe valoare adăugată T.V.A
Taxa de valoare T.V.A este un impozit indirect, exprimat in procente si perceput
de stat asupra valorii adaugate in fiecare stadiu al productiei si al distributiei bunurilor
economice.
Marirea taxei pe valoarea adaugata depinde de baza de calcul si de cote le de
impozitare.
Cota de impozitare (procentul TVA) este fixa si unica pe o anumita perioada
stabilita de stat. De exemplu, in perioada anilor 1992 -1997 a fost 18%, in 1998 a fost 22%
si incepand cu 1999 s -a stabilit cota de 19%.
Valoarea adaugata de ag entii economici participanti la procesul de productie si de
circulatie a unui produs se refera la diferenta intre pretul de vanzare si pretul de cumparare.
Exemplu
Sa determinam taxa pe valoare adaugata pentru un palton. Astfel, se stie ca pentru
confect ionarea paltonului s -a platit furnizorilor de materii prime suma de 2 50 lei.
La aceasta suma se adauga impozitul TVA=
25010019 =47,5 lei .
Paltonul este dat spre vanzare la un magazin -depozit cu suma de 350lei.
Valoarea adaugata in procesul de circulatie a marfii este:
350-250=1 00(lei) careia ii corespunde taxa:
TVA=
10010019 =19 lei.
Produsul este cumparat de la magazinul -depozit de un vanzator detailist cu pretul de
370. se observa ca s -a adaugat suma de 3 70 -3 50=200 (lei) pentr u care se percepe
impozitul TVA=.
10019 20lei=3,8 lei..
Vanzatorul va vinde paltonul unui client cu pretul de 400 lei, deci adaugand la valoarea
precendenta suma de 30 lei pentru care se percepe taxa:
TVA=
10019 .30 lei =5,7 lei….
Asadar, in total,
TVA=47,5+19+3,8+5,7=76 lei.
Observații
1. Taxa pe valoare adaugata pentru produsul „palton” a rezultat din calculul acesteia
in mai multe etape
2. TVA este platita la bugetul statului de unitatile economice care participa la
circulatia bunurilor materiale sau presteaza servicii si este suportata de cumparator
deoarece intra in pretul d evanzare .
Asadar ,
Pret de vanzare=Pret de productie + TVA, unde
TVA=
100p Pret productie, unde
100p =cota de impozitar e.

Problema : Care este pretul de vanzare al unei marfi care costa 44,5lei fara TVA , cand
procentul TVA este de 19% ?

100

Fișa expert 4

Amortizări de investiții

In procesul de productie, prin capital fix sau mijloace fixe intelegem masini, utilaje,
instalatii, mijloace de transport, cladiri etc. In timp, aceste mijloace fixe sunt supuse
procesului de uzura fizica si morala .
 Amortizarea capitalului fix reprezinta procesul de recuperare treptata a valorii
capitalului fix.
 Termenul necesar recupararii integrale a valorii capitalului fix se numeste
termen de amortizare.
 Partea din valoarea capitalului fix recuperata intr -un an se numeste
amortizare anuala .
Notand cu A amortizarea anuala, cu V valoarea capitalului fix si cu T termenul de
amortizare rezult a ca A=
TV
 Raportul procentual intre amortizarea anuala (A) si valoarea capitalului
fix(V) se numeste rata anuala de amortizare notata cu
Ar
Asadar
Ar =
%100VA .

Problema rezolvată

Valoarea unui utilaj este de 5 600 u.m., iar amortizarea anuala este de 700 u.m. Sa se
determine termenul de amortizare si rata anuala a amortizarii.
Solutie
Amortizarea anuala a utilajului este A=
TV , relatie din care se obtine T=
AV . Inlocuind
V=5600 u.m. , A=700 u.m. se obtine timpul de amortizare T=8 ani.
Rata anuala a amortizarii este
Ar=
%100VA =
1005600700 =12,5

101

Fișa expert 5

Profit , rata profitului

 Profitul sau beneficiu l reprezinta castigul realizat din executarea unei
activitati.
Profitul este caracterizat de urmatorii indicatori: masa profitului și rata
profitului.
 Masa profitului (P) reprezintă diferența pozitivă dintre veniturile totale V
t . și
cheltuielile totale C
t
Asadar P=C
t -V
t
 Rata profitului r
p se calculeaza fie ca raportul procentual dintre masa profitului
(P) si cheltuielile totale C
t , fie ca raportul procentual dintre masa profitului P si
veniturile totale V
t
 Asadar r
p =
tCP 100( %) sau r
p =
tVP100(%)
Cu cat r
p este mai mare, cu atat eficienta activitatii este mai mare.

Problema rezolvată
Atelier de croitorie a încasat 41 000 u.m. pentru obiectele lucrate. Știind că s -au investit
25 000 u.m. pentru materii prime, 3 000 u.m. pentru salarii, 700 u.m. pentru întretinerea
utilajelor si 400 u.m. pentru amortizări, să se determine:
a) Profitul și rata profitului;
b) Profitul net, dacă impozitul pe profitul este de 16%.
Soluție
a) Avem relația P=V
t -C
t=41000 -(25000+3000+700+400)=11900 (u.m..)
r
P=
tCP 100=
2910011900 .100=40,89(%)
b) P
net =P-impozitul= 11900 – 16%11900=9996 ( u.m..)

Problema propusă
Un agent economic a vândut produse de 20 milioane lei. Rata profitului fiind de 25%,
determinați profitul și profitul net dacă impozitul pe profit este de 16%.
ANEXA NR. 4
1) Completează grila următoare privind cât de mult ți -a plăcut acestă oră de
matematică ?

Foarte mult Mult Îmi este
indiferent Puțin Foarte puțin

2) Argumentează în cel mult 5 rânduri dacă această metodă este eficientă
pentru tine la învățarea matematicii.

102
V.2.Curriculum la decizia scolii –
Factor de motivație pentru o învațare de calitate

Informatica, fizica, chimia, statistica, metalurgia, agricultura ,comerț, contabilitate,
medicina,finanțe, geografie, electronic a,construcții, turism, arhitectura, ecologie, artă sau
tehnologii sunt doar unele din domeniile în care putem aplica cunoștințele de matematică
învățate î n școală.Elevii v or constata – dacă mai era necesar – cât de mult servește
matematica nevoilor concrete ale omenirii.
Învațarea matematicii în școala are ca scop conștientizarea n ecesității matematicii
ca o activitate de a rezolva exerciții și probleme și se bazează pe cunoașterea unor
algoritmi ,metode și proceduri ,dar este totodată și o disciplină strâns legată de cotidian
prin rolul său î n tehnologii și î n alte domenii.
Curricul um la decizia școlii iși are ca s cop:
-să îi ajute pe elevi s ă își consolideze fundamentele finanțelor ,incluzând
terminologia,să îi determine să fie aibă capacitatea de a -și administreze proprii bani ,să știe
să economisească, să investească ,să cheltuie și să iși asigure banii,să î i ajute să ia cele mai
bune decizii pentru a –și putea controla situația financiară; elevii vor învăța să își
construi ască o varietate de contexte problematice, pe baza realității înconjuratoare,să
aplice modelele matematicii in viața cotidiana;
-folosirea u nor varia nte diverse de soluționare a probleme lor ,folosi nd cunoștințele
pe care le -au dobândit în orele de matematică;
-stimularea lucrului in echipă , prin cooperare , care depind de nivelul propriu ș i de
ritmul fiecarui elev, care au rolul să formeze și să dezvolte anumite capacitați de a
colecta, sintetiza ,analiza și interpreta realitatea din jur cu ajutorul matematic ii și de a
înțelege modalitatea de soluționare a problemelor la nivelul acestor noțiunilor stu diate.
Plecând de la prem iza că matematica poate fi aplicată in viata de zi cu zi și fiind
conștienți că principiile matematice pot , sunt și trebuie aplicate pentru rezolvarea de
probleme in majoritatea domeniilor, CDS la nivelul ariei curriculare iș i propune să
demonstreze că eforturile de a învața matematica , nu sunt zadarnice. Avantajul
fundamental al abordarii interdisciplinare este acela de a favoriza transferul de cunoștinte,
priceperi, deprinderi, comportamentede la un domeniu la altul care determină :
 cultivarea aptit udinilor creative
 valorificarea celor mai bune posibilități în raport cu propriile aptitudini intelectuale
 înțelegerea și nu doar memorarea pasivă

103
 dezvoltă capacitatea de a căuta
 utilizează cunoștințele in contexte noi,complexe
 cultivă încrederea in fo rțele proprii
 dezvoltă spiritul de competiție
 dezvoltă capacitatea de a rezolva situații problematice dificile
 exersează lucrul in echipă si colaborarea
 asimilează mai temeinic valorile fundamentale

Proiectul unei discipline opționale
MOTTO: “ Matematica nu mai este o distra cție solitară și
inutilă. Matematica servește!” ( Grigore Moisil)

Titlul cursului: „Matematica afacerilor”
Tipul : Disciplină integrată
Aria curriculară : Matematică și științe
Durata : 1 an – 1 oră pe săptămână
Profil : Liceu filieră teoretică/uman
Clasa : a X -a
Unitatea de învățământ : Liceul Tehnologic Râșnov
Autor: Arzoiu Adriana

I. Argument
Disciplina opțională „ Matematica afacerilor ” este propusă elevilor din liceu, la
nivelul Ariei curriculare “Matematică și știin țe”. Curriculum -ul pentru această disciplină
opțională răspunde cerințelor de strategie și finalitate a procesului educațional formulate în
Legea Învățământului, dar în primul rând ,cerințelor de educație economică și matematică
în condițiile sprijinirii tinerei generații în vederea adaptării cât mai rapide la principiile
economiei de piață.
Prin modul său de organizare lui, opționalul permite ridicarea gradului de implicare
a familiei și a chiar a comunității locale la activitățile școlii , realizându -se astfel o relație
strânsă între ȘCOALĂ, FAMILIE și COMUNITATEA LOCALĂ , dar ,totodată și o nouă

104
metodă de a ridica calitatea procesului de învățământ și de a educa viitorul consumator,
angajat sau antreprenor.
Matematica afacerilor pune în legătură co munitatea , școala și familia. Aceste cursuri
implică matematică generală, în sp ecial algebra. Elevii sunt implicați într -o serie de
activități care le stimulează gândirea creativă , îi învață cum pot utiliza matematica în
viitoarea lor profesie și în act ivități economice personale. Activitățile prezentate au la bază
conceptele însușite de elevi în cadrul orelor de matematica, dar sunt aplicate în situații
noi,care au semnificație economică.
II. Competențe generale:
1. Utilizarea conceptelor matematice în carieră și activități economice personale
2. Dezvoltarea competențelor rezolvării de probleme care apar în contexte matematice
sau asociate matematicii;
3. Încurajarea interesului pentru aplicarea matematicii în viața cotidiană
Scopurile opționalului su nt ca elevii:
 să aplice și să adapteze o varietate de strategii adecvate pentru rezolvarea problemelor;
 să folosească modele matematice în reprezentarea și înțelegerea relațiilor cantitative;
 să selecteze și să folosească metodele statistice adecvate pentr u a analiza datele;
 să dezvolte și să evalueze inferențe și previziuni bazate pe date;

III. Competențe specifice, conținuturi și activități de învățare
Competențe specifice Activități de învățare
Identificarea nivelului de competență
matematică
cerut pentru diverse ocupații
Analizarea factorilor implicați în alegerea
carierei -analiza unor profesii și identificarea nivelului de
cunoștințe matematice pentru profesiile respective
– ierarhizarea profesiilor în funcție de nivelul cerut de
ani de studiu mat ematic
Realizarea unor operații matematice cu ajutorul
calculatorului
Realizarea unui plan de investiții și cheltuieli
Evaluarea avantajelor și dezavantajelor unei
achiziții -analiza unor profesii prin prisma modului în care
utilizează numerele și ope rațiile matematice
-aplicarea expresiilor matematice folosite întabele de
lucru și programare pe calculator(Excel, Acces etc.)
-realizarea unui plan pentru o mică afacere(ex.de tip
distribuirea cumpărăturilor, întreținerea unui gazon,
spălătorie auto etc. ) cum devin din angajat un

105
întreprinzător?
-exerciții de simulare a conducerii afacerii -analiza
echipamentului, resurselor, cheltuielilor etc) costuri
fixe și costuri variabile
– exerciții de evaluare a avantajelor și dezavantajelor
unei achiziții prin diferite forme de credit
disponibile(credite de consum, credite imobiliare,
credite pentru investiții etc.)
-exerciții de completare a unor formulare:deschiderea
unui cont, ordine de plată, formulare de taxe și
impozite
Utilizarea graficelor pentru inte rpretarea datelor
– analiza unor domenii care utilizează frecvent grafice
și tabele (ziare și reviste, agenții economice, ligi
sportive, companii de publicitate etc.)
-realizarea graficelor pe baza unor date statistice culese
și interpretarea lor
Dezvoltarea abilităților de măsurare și evaluare -exerciții de conversie a unităților folosind expresii
algebrice
– exerciții de calcul a unor arii, greutăți și alte valori ce
sunt „rezultate” în urma unor măsurători liniare
combinate algebric în funcție de forma suprafeței ce
trebuie aflată
Dezvoltarea abilităților de estimare a profitului
– estimarea profitului net obținut de un angajat
– estimarea profitului net în cazul unei afaceri
– estimarea cheltuielilor bugetului lunar
– realizarea unui buget pentru vacanță
Aplicarea conceptului de probabilitate
Utilizarea probabilităților în estimarea câștigului -simularea unei loterii
-definirea problemei, adunarea datelor, analiza datelor,
raportarea datelor
-efectuarea unor experimente de probabilitate pe ntru
realizarea unor previziuni

106
IV. Lista de conținuturi
1) Matematica aplicată la locul de muncă
Rolul matematicii în pregătirea forței de muncă: Cum încep?
Ce nivel de matematică îmi este util în această profesie?
Cum iau o decizie?
2) Operații matematice aplicate în economie
Matematica și calculator ul – tabele de lucru și metode programare
Cum poți să începi o afacere:costuri fixe și variabile
Utilizarea serviciilor oferite dei bănci: deschiderea unui cont, depozite și cecuri,
credite, ordine de plată.
Taxe și impozite -complatarea de formulare, declarații de venit
3)Funcții, tabele și grafice
Graficele de bare și/sau sectoare de cerc
„O imagine e mai bună decât o mie de cuvinte” -cea mai bună reprezentare
4)Stoc, g estiune și inventar
Realizarea inventarului stocului
Calcularea conversiei de unit ăți folosind expresii algebrice
5) Eșantion, medie, dispersie, estimare
Estimarea profitului companiei
Privind spre viitor: vreau să fiu angajat sau poate liber întreprinzător?
Agenția de turism: cum aleg unui pachet de servicii (incluzând cazare, transport,
sau all-inclusiv)
Planuri de vacanță –estimare buget
6) Probabilități și statistică
Scheme de probabilitate
Aruncarea zarurilor.Aruncarea monedelor
Jocul hazardului și loteriile

V. Valori și atitudini
Se urmărește ca elevi i să dezvolte:
 interes crescut pentru promovarea imaginii comunității;
 creșterea motivație pentru a aplica cunoștințele matematice și economice;
 toleranță și deschidere față de opiniile exprimate de alții;

107
 creșterea încrederii în sine și în ceilalți;
 valorificarea optimă și creativă a propriului potențial;
 spiritul critic;
 asumarea responsabilității;
 flexibilitate ;
 obișnuința de a recurge la concepte și metode matematice specifice în abordarea
problemelor;
 atitudine pozitivă față de matematică;
 disponibilitatea de a evalua și de a a utoevalua activități practice;
 inițiativă și disponibilitate de a aborda sarcini variate;
 motivație pentru dezvoltarea proprie .

VI. Sugestii metodologice
Timpul aloc at pentru acest opțional este de 1 oră/săptămână ,adică 36 de ore pe an.
Notarea în catalog se va face în tr-o rubrică separată pentru CDȘ.
Predarea se va pu tea realiza și de către un grup de profesori care își vor împarți
atribuțiile în funcție de teme sau poate fi predat de un singur profesor . Dat fiind subiectul
opționalului se poate solicitat a ajutorul profesorului de economie sau al comunității
locale de afaceri etc.
Profesorul va urmări orienta rea demersul didact ic pe observare, investigație și
probe practice. De asemenea vor fi utilizate fișe de lucru
Pentru a formarea și consolidare competențelor specifice se pot fi folosit e și
metode active, asa cum ar fi :studiul de caz, metoda cubului, portofoliul, învățare a prin
descoperire, brainstormingul, învațarea problematizată.
Instruirea se poate realiza atât în sala de clasă cât și într-un la borator de informatică
în care este nec esar să existe o dotare minimă care presupune un număr de calculatoare
egal cu numărul elevilor din clasă, conectate în rețea și cu acces la toate serviciile
INTERNET. În laborator trebuie să existe de asemenea, o imprimantă și dispozitive
periferice și de memorare externă. Prezența un ui videoproiector va îmbunătăți instruirea
interactivă.
Modalității de evaluare:
– observarea directă a elevilor;
– probe orale și probe scrise;

108
– probe practice;
– conceperea, aplicarea si prelucrarea chestionarelor;
– portofoliul – care va cuprinde:
a) profesia de ghid turistic/lucrător într -o agenție de turism și nivelul de cunoștințe
matematice utilizat -eseu;
b) suportul matematic necesar în planificarea și organizarea unei excursii/vacanțe cu tema
„Turismul pe timp de criză” – prezentare multimedia; criterii de evaluare: conținut,
continuitate, claritatea expunerii;

VII. Bibliografie
[1]. Andy Francis – Statistica și Matematica pentru Managementul Afacerilor – Ed
Tehnică ,2005
[2]. Curriculum la decizia școlii – Ghid pentru profesorii de liceu – Editur a ATELIER
DIDACTIC -București , 2007
[3]. Consiliul Național pentru Curriculum
Ghid metodologic Aria curriculară Matematică și științe – Editura Aramis Print, 2002.
[4]. D. Acu și colaboratorii – Matematici aplicate în economie -Univ Lucian Blaga, Sibiu
[5]. Elena Hussar, Diana Aprodu și alții
Școala Incluzivă -școală europeană, concepte, metode, practici -Editura Casei Corpului
Didactic Bacău ,2007;
[6]. Junior Achievement Romania – Matematici pentru afaceri – ghid pentru profesori si
consultanți;

109
CAPITOLUL VI

Studiu privind motivați a de învățare a elevilor la disciplin a matematică

Acest studiu abordează problema creșterii motivației de învățare a elevilor la
disciplin a matematică. Acest s tudiu al motivației în școal ă provine din necesitatea de a
înțelege și de a utiliza factori subiectivi care ar putea explic a fluctuațiile de randament
școlar. De foarte multe ori, auzim remarci de genul: “este greu” , “nu-mi place”, “nu cred
că îmi va folosi vreodată”, sau “ e super”, “ a fost așa d e interesant la ore”. Diferența dintre
aceste “comunicări” este doar “ambalajul”. Procesul e duca tiv nu trebuie să producă
suferinț ă, ci să fie de folos, să placă, să formeze indivizi echilibrați și motivat i spre acțiune
și schimbare.

SCOP:
Scopul acestui studiu este acela de a constata rolul pe care îl are motivația în
învățarea matematicii, în cazul elevilor de liceu .

OBIECTIVE:
– sondarea motivației elevilor cu privire la studiul matematicii;
– stabilirea gradului de conștientizare a necesității studierii matematicii ;
– punerea în evidență a aspectelor pe care elevii le consider ă că fiind dificile, în studiul
matematicii;
– găsirea unor variante care ar putea ajuta elevii să studieze matematica mai ușor.

METODOLOGIE:
Instrumentul utilizat în investigație a fost un chestionar pentru exprimarea
atitudinilor și opiniilor, administrat elevilor din clasa a IX-a si a X -a, aparținând unor
categorii sociale diferite și care provin din medii sociale diferite .
Chestionarul a cuprins 10 itemi. Elevii au fost aleator aleși pentru eșantion. Au fost
chestionați 30 de elevi ai Liceului Tehnologic Râșnov .

110

Chestionar elevi

1.Motivul pentru care învăț la matematică este:
a)imi trebuie la bacalaureat
b)părinții mă recompensează dacă am rezultate bune
c)îmi place să studiez
d)profesorul îmi inspiră teamă

2.Care din următoarele aspecte fac învățatul mai dificil la matematică?
a)materia
b)vocabularul folosit de profesor
c)multitudinea noțiunilor noi predate în ritm a lert
d)problemele de comportament din clasă

3.Ce v -ar ajuta cel mai mult să studiați matematica cu mai multă ușurință?
a)aplicarea noțiunilor învățate în probleme practice
b)introducerea unor discipline opționale de matematică
c)meditațiile
d)studiul individual

4.Care este comportamentul tău în timpul orei de matematică?
a)sunt atent și activ la oră
b)sunt atent prima parte a lecției după care mă plictisesc
c)sunt neatent,îmi găsesc altă ocupație
d)depinde de starea mea de spirit în ziua respectivă

5.Cât timp aloci zilnic învățării la matematică?
a)deloc
b)o jumatate de ora
c) o oră
d)2 ore

111
6.Crezi că noțiunile matematice învățate te vor ajuta in viitor?
a)da
b)nu
c)doar daca merg la facultate
b)prea puțin

7.Ora de matematică este mai atractivă dacă:
a)profesorul folosește metode activ -participative
b)lucrăm în echipe
c)folosim fișe de lucru adaptate fiecărui elev
c)folosim calculatorul,videoproiectorul,etc.

8.Ce metoda de evaluare crezi că este potrivită la orele de matematică?
a)testele d e evaluare scrise
b)evaluarea orală
c)portofoliul,proiectul ,referatul
d)observatia
9. Cu ce probleme vă confruntați în afara școlii și vă afectează procesul de învățare:
a)nevoile financiare
b) spațiul
c) cadrul familial
d) resursele materiale(cărți, calculatoare….)

10.Cum apreciezi nivelul motivației tale pentru învățare la disciplina matematică pe o
scală de la 1 la 10 ,unde 1 este ni velul cel mai scăzut și 10 este nivelul maxim?
a)intre 1 si 3
b)intre 4 si 6
c)intre 7 si 9
d)10
Multumim pentru colaborare!

112

INTERPRETAREA REZULTATELOR

Raspunsurile elevilor au fost:
Nr intrebare Raspuns a) Raspuns b) Raspuns c) Raspuns d)
1 15 3 7 5
2 10 4 14 2
3 13 2 10 5
4 7 12 4 7
5 7 15 8 0
6 7 5 8 10
7 8 10 5 7
8 15 8 6 1
9 16 3 7 4
10 9 10 8 3

Principalul motiv pentru care elevii învață la matematică este faptul că este
disciplină de bacalaureat.Programa încărcată face destul de dificilă aprofundarea și
consolidarea noțiunilor învățate.Dacă elevii ar vedea utilitatea imediată a noțiunilor
matematice în probleme practice acestea ar fi mai ușor de perceput.Mulți consideră
necesară și o pregătire suplimentară în afara orelor de curs .Deși majoritații elevilor nu le e
ușor să învețe la matematică ,ei nu se pot concentra pe parcursul unei ore de curs așa cum
ar trebui și nici nu alocă prea mult timp studiului individual.Majoritatea consideră inutile
noțiunile învățate.
La oră se prefer ă lucrul în echipe și evaluarea prin teste scrise.
Multi elevi se confruntă cu o situație financiară delicată și acest lucru le
influențează negativ motivația pentru învățare.

CONCLUZ II
Celor mai mulți elevi matema tica li se pare gre oaie, iar motivația lor pentru studiu
diferă de la un elev la altul . Conform teoriei Self-Determination Theory (SDT) care
prezintă motivația elevului ca pe un continuum de la demotivare, trecând prin diferite etape
de motivare extrinsecă, la motivarea intrinsecă, un anumit comportament școlar poate fi

113
descris de la lipsa motivației sau resentiment, prin acceptarea pasivă, până la acceptarea
activ ă și implicarea personală.

Un set de strategii menite să motiveze elevii pentru studiu ar fi:
 Demotivare – existen ța convingerii că acel elev nu are abilități pentru a realiza
sarcina de lucru
 Utilizarea materia lelor didactic e și mijloace lor tehnice cât mai variate;
 Propunerea de sarcini luând în considerare tipul de inteligență specific elevilor
(inteligen țe multiple);
 Sublinierea rolului învățării î n timpul orei de curs ;
 Reglare externă –sub atracția recompensei sau sub amenințarea pedepsei elevul se
mobiliza să realizeze sarcina școlară:
 Propune rea de anumite sarcini sau teme la alegere dând astfel un sentiment al
controlului;
 Oferirea unor recompense stimulative pentru munca elevului ;
 Integrare – elevul d evine conștient de faptil că că realizarea unei sarcini îi poate
asigur a considerația celorlalți(colegi, profesor i);
 Progresul este apreciat în termeni pozitivi;
 Se evită exprimării scepticismului referitor la reușita viitoare, utilizând sintagme
de genul:“Știu că poți”; ”Am încredere…” ;
 Identificare – comportamentul școlar în sine începe să devină important ;
 Descoperirea aspectelor care dau unicitate fiecărui elev și crearea unei identități
valorizate
 Gratificarea activităților extrașcolare;
 Implicarea elevilor în activitatea de predare folosind metoda”profesor pentru cinci
minute”;
 Implicarea în diverse activități extracurriculare bazate pe propriile interese ;

114
 Interiorizare – elevul interiorizează obiectivele propuse, acest comportament
devenind o parte a propriei personalități ;
 Motivație intrinsecă – elevul prezintă interes pentru orice subiect , muncește cu
plăcere și găsește satisfacție în ceea ce face ;
 Mobilizarea resurselor interne ale elevilor;
 Implicarea în munca de cercetare și creație .

115
BIBLIOGRAFIE

[1] Horiana Tudor, Ovidiu Popescu –Matematici financiare și actuariale -Editura
Albastră ,Cluj -Napoca,2004
[2] Samuel A. Broverman – Mathe matics of investment and credit – ACTEX
Publications, Inc. Winsted, Connecticut, 2004
[3] Constantin Năstăsescu,Constantin Niță,Ion Chițescu,Dan Mihalca -Manual
pentru clasa a X -a –trunchi comun și cu rriculum diferențiat -Editura Didactică
și Pedagogică,R.A.,București,2010
[4] Mircea Ganga – Matematică -manual pentru clasa a -X-a trunchi comun și
curriculum diferențiat – Editura Mathpress, Ploiești 2006
[5] Marius Burtea, Georgeta Burtea – Matematică -manual pentru clasa a X -a
trunchi comun și curriculum diferențiat – Editura Carminis 2006
[6]Octavian Popescu -Matematici aplicate în economie,vol II – Editura Didactică și
Pedagogică,București,R.A.1993
[7] Moise Cocan –Curs și culegere de probleme de programare matematică –
Universitatea Transilvania ,Brașov,1980
[8]Iulian Stoleriu -Matematici financiare –note de curs -Univesitatea Al. I. Cuza,
Iași,2015
[9] Cucoș Constantin – Psihopedagogie penru examenele de definitivare și grade
didactice -Editura Polirom, Iași, 2009.
[10] Andy Francis – Statistica și Matematica pentru Managementul Afacerilor –
Ed Tehnică ,2005
[11]. Curriculum la decizia școlii – Ghid pentru profesorii de liceu – Editura
Atelier didactic ,București, 2007
[12] w.w.w.didactic.ro
[13] w.w.w.scrigroup.com
[14] w.w.w.matestn.ro
[15] depmath.ulbsibiu.ro

116
DECLARAȚIE DE AUTENTICITATE A
LUCRĂRII METODICO -ȘTIINȚIFICE
DE GRAD DIDACTIC I

Subsemnatul/(a)
____________________________________________________________________
legitimat(ă) cu ______ seria ______ nr. _______________
CNP______________________________ telefon ___________________________ autorul
lucrării ____________________________________
_________________________________________ _______________________________ _
_____________________________________________ ____________________________
elaborată în vederea susținerii examenului de grad didactic I în anul universitar 2017 -2018,
organizat de către Departamentul pentru Pregătirea Personalului Didactic din cadrul
Univ ersității „Transilvania” din Brașov, pentru seria 2016-2018, luând în considerare
Metodologia formării continue a personalului didactic din învățământul preuniversitar ,
aprobată prin O.M. nr. 5720/20.10.2009, respectiv Ordinul MECTS nr. 5561/07.10.2011 cu
adăugiri, declar pe proprie răspundere că această lucrare a fost elaborată în întregime de către
mine, nu au fost folosite alte surse decât cele menționate în bibliografie, nu au fost preluate
texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări sau din al te surse fără a fi citate și fără a fi
precizată sursa preluării, inclusiv în cazul în care sursa o reprezintă alte lucrări de-ale mele și că
lucrarea nu a mai fost folosită în alte contexte de examen sau de concurs.
Declar, de asemenea, că în lucrare nu există idei, tabele, grafice , hărți sau alte surse
folosite fără respectarea legii române și a convențiilor internaționale privind drepturile de
autor.
Brașov,
Data, Semnătura,
______________ _________________