PENTRU OB  TINEREA GRADULUI DIDACTIC I ÎN ÎNV A TAMÂNT [610531]

Licență

PENTRU OB TINEREA GRADULUI DIDACTIC I ÎN ÎNV A TAMÂNT [610531]

Byadmin ianuarie 1, 2024

UNIVERSITATEA "OVIDIUS" CONSTAN ¸ TA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A ¸ SI INFORMATIC ˘A
LUCRARE METODICO-¸ STIIN ¸ TIFIC ˘A
PENTRU OB ¸ TINEREA GRADULUI DIDACTIC I ÎN ÎNV ˘A¸ T˘AMÂNT
Coordonator ¸ stiin¸ tiﬁc:
Prof. univ. dr. Dumitru Popa
Candidat: [anonimizat] ˘as. Sturzoiu)
Liceul de Arte "Ionel Perlea", Slobozia, Ialomi¸ ta
2020

UNIVERSITATEA "OVIDIUS" CONSTAN ¸ TA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A ¸ SI INFORMATIC ˘A
LUCRARE METODICO-¸ STIIN ¸ TIFIC ˘A
PENTRU OB ¸ TINEREA GRADULUI DIDACTIC I ÎN ÎNV ˘A¸ T˘AMÂNT
LIMITE DE FUNC ¸ TII
Coordonator ¸ stiin¸ tiﬁc:
Prof. univ. dr. Dumitru Popa
Candidat: [anonimizat] ˘as. Sturzoiu)
Liceul de Arte "Ionel Perlea", Slobozia, Ialomi¸ ta
2020
2

CUPRINS
Argument ………………………………………………………………………………………………………..4
Capitolul 1: Limite de func¸ tii ………………………………………………………………………….5
1.1. Limita unei func¸ tii într-un punct ……………………………………………………………………5
1.2. Limite laterale …………………………………………………………………………………………….9
1.3. Propriet ˘a¸ tile limitei …………………………………………………………………………………….11
1.4. Limitele func¸ tiilor elementare ……………………………………………………………………..14
1.5. Opera¸ tii cu limite de func¸ tii …………………………………………………………………………22
1.6. Limite de puteri ………………………………………………………………………………………….23
1.7. Limite de func¸ tii compuse …………………………………………………………………………..24
1.8. Limite remarcabile ……………………………………………………………………………………..25
1.9. Cazuri exceptate la opera¸ tiile cu limite de func¸ tii ……………………………………………29
Capitolul 2: Aplica¸ tii metodice în calculul limitelor de func¸ tii …………………………..35
2.1. Exemple de limite de func¸ tii ………………………………………………………………………..35
2.2. Limite de func¸ tii cu parametri ……………………………………………………………………..58
2.3. Limite de func¸ tii în probleme practice …………………………………………………………..62
Capitolul 3: Metodologia cercet ˘arii ¸ stiin¸ tiﬁce psihopedagogice ¸ si metodice ……… 64
3.1. Cercetarea psihopedagogic ˘a ………………………………………………………………………. 64
3.1.1. Etapele cercet ˘arii …………………………………………………………………………….. 66
3.1.2. Metode folosite în cercetarea pedagogic ˘a …………………………………………… 67
3.2. Proiectarea pedagogic ˘a ……………………………………………………………………………… 73
3.2.1. Importan¸ ta ¸ si necesitatea proiect ˘arii …………………………………………………….73
3.2.2. Func¸ tiile proiect ˘arii didactice ……………………………………………………………..75
3.2.3. Con¸ tinutul proiect ˘arii pedagogice ……………………………………………………….76
3.2.4. Planiﬁcarea calendaristic ˘a ………………………………………………………………….78
3.2.5. Proiectarea unei unit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare ……………………………………………………..78
3.3. Evaluarea ………………………………………………………………………………………………….79
3.3.1. Func¸ tiile evalu ˘arii ……………………………………………………………………………..80
3.3.2. Forme/ tipuri de evaluare ……………………………………………………………………82
3.3.3. Metode ¸ si tehnici de evaluare ………………………………………………………………84
3.3.4. Tipuri de itemi …………………………………………………………………………………87
Bibliograﬁe …………………………………………………………………………………………………….92
Anexe …………………………………………………………………………………………………………….93
3

ARGUMENT
Conceptul de trecere la limit ˘a a fost formulat pentru prima dat ˘a, de Isaac Newton (1642-1727)
¸ si Gottfried Leibniz (1646-1716), ﬁecare în încerc ˘ari diferite de a rezolva probleme de calcul.
Contribu¸ tii importante aduce în acest domeniu ¸ si Leonhard Euler (1707-1783). El fundamenteaz ˘a
conceptul de func¸ tie. Descrieri verbale ale conceptului de limit ˘a au fost propuse de diferi¸ ti matem-
aticieni, dar insuﬁciente pentru a ﬁ utilizate în demonstra¸ tii. În 1821, Augustin-Louis Cauchy
(1789-1857) în lucrarea ”Cours d’ Analyse” formuleaz ˘a deﬁni¸ tii ¸ si prezint ˘a argumente cu mai
mult ˘a aten¸ tie decât predecesorii s ˘ai. Dar cel care formuleaz ˘a deﬁni¸ tia precis ˘a a limitei este Karl
Weierstrass (1815-1897). Aceasta este deﬁni¸ tia pe care o utiliz ˘am ¸ si ast ˘azi.
Conceptul de limit ˘a a unei func¸ tii într-un punct este fundamental în Analiza Matematic ˘a.
În demersul didactic desf ˘a¸ surat în ciclul liceal, proﬁlul real, calculul limitelor de func¸ tii, fun-
damenteaz ˘a teoretic capitolele ”Func¸ tii continue” ¸ si ”Func¸ tii derivabile”. Oricare dintre no¸ tiunile
introduse în aceste capitole, se deﬁne¸ ste cu ajutorul limitelor, asigurând suportul studiului aces-
tor propriet ˘a¸ ti pentru orice tip de func¸ tii. ”Reprezentarea graﬁc ˘a a func¸ tiilor” este deasemenea
un capitol din Analiza Matematic ˘a, ce nu poate ﬁ parcurs f ˘ar˘a a utiliza limitele func¸ tiilor, pentru
determinarea asimptotelor, imaginii, etc.
În lucrare îmi propun s ˘a tratez aspecte teoretice ¸ si metodice ale limitelor de func¸ tii.
În primul capitol sunt abordate aspecte teoretice privind: conceptul de limit ˘a a unei func¸ tii
într-un punct, propriet ˘a¸ tile limitei, limitele func¸ tiilor elementare, opera¸ tiile cu limite de func¸ tii
(similare celor de la ¸ siruri), limite de func¸ tii compuse ¸ si limite remarcabile. În ultima parte a
capitolului se dau tehnici pentru eliminarea nedetermin ˘arilor în calculul limitelor.
Capitol al doilea este rezervat aplica¸ tiilor limitelor de func¸ tii , înso¸ tite de solu¸ tii ¸ si de câteva
exemple ale aplic ˘arii limitelor de func¸ tii în probleme practice.
Cel de-al treilea capitol este rezervat cercet ˘arii ¸ stiin¸ tiﬁce psihopedagogice ¸ si metodice.
4

Capitolul 1
Limite de functii
1.1. Limita unei func¸ tii într-un punct
Pentru a deﬁni conceptul de limit ˘a a unei func¸ tii într-un punct trebuie ca acel punct s ˘a ﬁe punct
de acumulare pentru domeniul de deﬁni¸ tie al respectivei func¸ tii.
Cazul când punctul de acumulare este un num ˘ar real ¸ si limita tot un num ˘ar real
Deﬁni¸ tia 1 .Fie DR. Un punct a2Rse nume¸ ste punct de acumulare al mul¸ timii D dac˘ a
¸ si numai dac˘ a este satisf˘ acut˘ a condi¸ tia
8e>0;(ae;a+e)\(Dfag)6=?:
Condi¸ tia din aceast ˘a deﬁni¸ tie este uneori mai diﬁcil de veriﬁcat. În continuare indic ˘am un
mod mai comod de veriﬁcat, în exemple, ca un punct s ˘a ﬁe punct de acumulare pentru o mul¸ time.
Teorema care urmeaz ˘a se nume¸ ste teorema de caracterizare a punctelor de acumulare în R.
Teorema 2 .Fie DR¸ si a2R. Urm˘ atoarele aﬁrma¸ tii sunt echivalente:
(i) a este punct de acumulare al mul¸ timii D adic˘ a: 8e>0,(ae;a+e)\(Dfag)6=?.
(ii) exist˘ a un ¸ sir (xn)n2ND astfel încât x n6=a,8n2Niarlimn!¥xn=a.
Demonstra¸ tie . (i))(ii). Ipoteza (i) ﬁind adevarat ˘a pentru orice num ˘are>0 ea va ﬁ adev ˘arat˘a,
în particular pentru e=1
n,8n2Ndeci
a1
n;a+1
n
\(Dfag)6=?,8n2N. Dar aceasta
ﬁind mul¸ time nevid ˘a înseamn ˘a c˘a ea are cel pu¸ tin un element, element care depinde de ndeci
8n2Nexist ˘axn2
a1
n;a+1
n
\(Dfag)adic˘axn2D¸ sixn2
a1
n;a+1
n
. Condi¸ tia xn2
a1
n;a+1
n
înseamn ˘aa1
n<xn<a+1
n,8n2Nsau1
n<xna<1
n, saujxnaj<1
n. Cum
limn!¥1
n=0 din deﬁni¸ tia limitei unui ¸ sir rezult ˘a c˘a8e>0,9ne2Nastfel încât8nneavem1
n<e.
Folosind acum inegalitatea jxnaj<1
n,8n2Ndeducem c ˘a8nneavemjxnaj<e. Din
deﬁni¸ tia limitei unui ¸ sir rezult ˘a c˘a limn!¥xn=q. Astfel (ii) este demonstrat.
(ii))(i). Deoarece limn!¥xn=a, din deﬁni¸ tia limitei unui ¸ sir rezult ˘a c˘a8e>0,9ne2Nastfel
încât8nneavemjxnaj<e. Aceast ˘a inegalitate este echivalent ¯a cue<xna<ede unde
rezult ˘a c˘aae<xn<a+e,xn2(ae;a+e). Dar s ˘a ne amintim c ˘a(xn)n2NDastfel încât
xn6=a,8n2Nadic˘axn2D¸ sixn6=a,8n2Naltfel spus xn2Dfag¸ sixn2(ae;a+e). Cum
¸ si înseamn ˘a intersec¸ tie de mul¸ timi rezult ˘a c˘axn2(ae;a+e)\(Dfag), adic ˘a(ae;a+e)\
(Dfag)6=?ceea ce înseamn ˘a (i).
Introducem acum conceptul de limit ˘a a unei func¸ tii într-un punct.
Deﬁni¸ tia 3 .Fie DR, f:D!Ro func¸ tie ¸ si a2Run punct de acumulare pentru D. Un
num˘ ar l2Rse nume¸ ste limita func¸ tiei în punctul a ¸ si scriem limx!af(x) =l dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
8e>0,9de>0astfel încât pentru 8x2D, x6=a cu proprietatea c˘ a jxaj<deeste adev˘ arat˘ a
rela¸ tiajf(x)lj<e.
Condi¸ tia din aceast ˘a deﬁni¸ tie este diﬁcil de veriﬁcat. Ea se nume ¸ ste condi¸ tia edprivind
limita unei func¸ tii într-un punct.
Important .Deoarece a2Reste punct de acumulare pentru D ,din deﬁni¸ tia 1 rezult˘ a c˘ a exist˘ a
puncte x2D, x6=a cu proprietatea c˘ a jxaj<de.
În continuare indic ˘am un criteriu mai comod de veriﬁcat în exemple ca un num ˘ar real s ˘a ﬁe
limita unei func¸ tii într-un punct. Teorema care urmeaz ˘a se numeste teorema de caracterizare a
limitei unei func¸ tii într-un punct cu ¸ siruri .
Teorema 4 .Fie DR, f:D!Ro func¸ tie ¸ si a2Rcare este punct de acumulare pentru D ¸ si
l2R. Urm˘ atoarele aﬁrma¸ tii sunt echivalente:
(i)limx!af(x) =l adic˘ a:8e>0,9de>0astfel încât8x2D, x6=a cu proprietatea c˘ a jxaj<
deeste adev˘ arat˘ a rela¸ tia jf(x)lj<e.
5

(ii) Pentru orice ¸ sir (xn)n2ND astfel încât x n6=a,8n2Niarlimn!¥xn=a rezult˘ a c˘ a limn!¥f(xn) =
l.
Demonstra¸ tie . (i))(ii). Fie (xn)n2ND astfel încât x n6=a,8n2Niarlimn!¥xn=a. Trebuie
s˘ a demonstr˘ am c˘ a lim
n!¥f(xn) =ladic˘a ¸ tinând cont de deﬁni¸ tia limitei unui ¸ sir 8e>0,9ne2N
astfel încât8nneavemjf(xn)lj<e. Fie deci e>0. Din (i) rezult ˘a c˘a9de>0 astfel încât
8x2D,x6=acu proprietatea c ˘ajxaj<deeste adev ˘arat˘a rela¸ tia
jf(x)lj<e:(1)
Deoarece limn!¥xn=apentru de>0,9ne2Nastfel încât8nneavemjxnaj<de. Fie acum
nne. Atuncijxnaj<de¸ si s˘a nu uit ˘amxn2D;iarxn6=a. Din rela¸ tia (1) rezult ˘a c˘a
jf(xn)lj<e
adic˘a exact ce voiam s ˘a demonstr ˘am.
(ii))(i). Presupunem prin absurd c ˘a (i) nu are loc. Aceasta înseamn ˘a c˘a9e0>0astfel încât
8d>0exist˘ a x d2D, xd6=a cu proprietatea c˘ a jxdaj<ddarjf(xd)lje0. Aceast ˘a rela¸ tie
ﬁind adev ˘arat˘a pentru orice d>0 ea va ﬁ adev ˘arat˘a pentru d=1
n>0 deci exist ˘axn2D,xn6=a
cu proprietatea c ˘ajxnaj<1
ndarjf(xn)lje0¸ si aceste rela¸ tii au loc 8n2N. Dar, am ar ˘atat
anterior c ˘a dac ˘ajxnaj<1
n,8n2Natunci limn!¥xn=a. A¸ sadar dac ˘a (i) nu are loc, exist ˘aun ¸ sir
(xn)n2ND astfel încât x n6=a,8n2N;iarlimn!¥xn=a.Cum (ii) este adev ˘arat pentru orice ¸ sir
rezult ˘a c˘a limn!¥f(xn) =l. Dar s ˘a ne amintim c ˘ajf(xn)lje0,8n2N. Folosind acum teorema
de trecere la limit ˘a în inegalit ˘a¸ ti deducem c ˘a lim
n!¥jf(xn)lje0. Cum lim
n!¥f(xn) =lrezult ˘a c˘a
0e0, ceea ce este fals, s ˘a nu uit ˘am c ˘ae0>0. A¸ sadar, presupuerea f ˘acut˘a este fals ˘a deci (i) este
adev ˘arat.
Important .Deoarece a2Reste punct de acumulare pentru D ,din teorema 2 rezult˘ a c˘ a exist˘ a
¸ siruri ca în (ii), adic˘ a exist˘ a ¸ siruri (xn)n2ND astfel încât x n6=a,8n2Niarlimn!¥xn=a.
Cazul când punctul de acumulare este ¥¸ si limita un num ˘ar real
Deﬁni¸ tia 5 .Fie DR.¥este (sau se nume¸ ste) punct de acumulare al mul¸ timii D dac˘ a ¸ si
numai dac˘ a este satisf˘ acut˘ a condi¸ tia
8e>0;(e;¥)\D6=?:
Teorema 6 .Fie DR. Urm˘ atoarele aﬁrma¸ tii sunt echivalente:
(i)¥este punct de acumulare al mul¸ timii D adic˘ a: 8e>0,(e;¥)\D6=?.
(ii) exist˘ a un ¸ sir (xn)n2ND astfel încât limn!¥xn=¥.
Demonstra¸ tie . (i))(ii). Ipoteza (i) ﬁind adevarat ˘a pentru orice num ˘are>0 ea va ﬁ adevarat ˘a,
în particular pentru e=n,8n2Ndeci(n;¥)\D6=?,8n2N. Dar aceasta ﬁind mul¸ time nevid ˘a
înseamn ˘a c˘a ea are cel pu¸ tin un element care depinde de ndeci8n2Nexist ˘axn2(n;¥)\D
adic˘axn2D¸ sixn2(n;¥). Condi¸ tia xn2(n;¥)înseamn ˘axn>n,8n2N. Cum limn!¥n=0 din
deﬁni¸ tia limitei unui ¸ sir rezult ˘a c˘a8e>0,9ne2Nastfel încât8nneavem n>e. Folosind acum
inegalitatea xn>n,8n2Ndeducem c ˘a8nneavem xn>e. Din deﬁni¸ tia limitei unui ¸ sir rezult ˘a
c˘a limn!¥xn=¥. Astfel (ii) este demonstrat.
(ii))(i). Deoarece limn!¥xn=¥, din deﬁni¸ tia limitei unui ¸ sir rezult ˘a c˘a8e>0,9ne2Nastfel
încât8nneavem xn>e. Dar s ˘a ne amintim c ˘a(xn)n2NDadic˘axn2D¸ sixn2(e;¥). Cum ¸ si
înseamn ˘a intersec¸ tie de mul¸ timi rezult ˘a c˘axn2(e;¥)\D, adic ˘a(e;¥)\D6=?ceea ce înseamn ˘a
(i).
6

Deﬁni¸ tia 7 .Fie DR, f:D!Ro func¸ tie astfel încât ¥este punct de acumulare pentru
D. Un numar l2Rse nume¸ ste limita func¸ tiei în punctul ¥¸ si scriem limx!¥f(x) =l dac˘ a ¸ si numai
dac˘ a8e>0,9de>0astfel încât pentru 8x2D cu proprietatea c˘ a x >deeste adevarat˘ a rela¸ tia
jf(x)lj<e.
Avem de asemenea
Teorema 8 .Fie DR, f:D!Ro func¸ tie astfel încât ¥este punct de acumulare pentru D
¸ si l2R. Urm˘ atoarele aﬁrma¸ tii sunt echivalente:
(i)limx!¥f(x) =l adica8e>0,9de>0astfel încât pentru 8x2D cu proprietatea c˘ a x >de
este adevarat˘ a rela¸ tia jf(x)lj<e.
(ii) Pentru orice ¸ sir (xn)n2ND astfel încât limn!¥xn=¥rezult ˘ac˘ alimn!¥f(xn) =l.
Demonstra¸ tie . (i))(ii). Fie (xn)n2ND astfel încât limn!¥xn=¥.Trebuie s ˘a demonstr ˘am c ˘ a
limn!¥f(xn) =ladic˘a ¸ tinând cont de deﬁni¸ tia limitei unui ¸ sir 8e>0,9ne2Nastfel încât8nne
avemjf(xn)lj<e. Fie deci e>0. Din (i) rezult ˘a c˘a9de>0 astfel încât8x2D,x>deeste
adev ˘arat˘a rela¸ tia
jf(x)lj<e:(1)
Deoarece limn!¥xn=¥pentru de>0,9ne2Nastfel încât8nneavem xn>de. Fie acum nne.
Atunci xn>de¸ si s˘a nu uit ˘amxn2D. Din rela¸ tia (1) rezult ˘a c˘a
jf(xn)lj<e
adic˘a exact ce voiam s ˘a demonstr ˘am.
(ii))(i). Presupunem prin absurd c ˘a (i) nu are loc. Aceasta înseamn ˘a c˘a9e0>0astfel încât
8d>0exist˘ a x d2Dcu proprietatea c ˘axd>ddarjf(xd)lje0. Aceast ˘a rela¸ tie ﬁind adev ˘arat˘a
pentru orice d>0 ea va ﬁ adev ˘arat˘a pentru d=n>0 deci exist ˘axn2Dcu proprietatea c ˘a
xn>ndarjf(xn)lje0¸ si aceste rela¸ tii au loc 8n2N. Dar dac ˘axn>n,8n2N;atunci
limn!¥xn=¥. A¸ sadar dac ˘a (i) nu are loc, exist ˘a un ¸ sir (xn)n2NDastfel încât limn!¥xn=¥. Cum
(ii) este adevarat pentru orice ¸ sir rezult ˘a c˘a limn!¥f(xn) =l. Dar s ˘a ne amintim c ˘ajf(xn)lje0,
8n2N. Folosind acum teorema de trecere la limit ˘a în inegalit ˘a¸ ti deducem c ˘a limn!¥jf(xn)lje0.
Cum lim
n!¥f(xn) =lrezult ˘a c˘a 0e0, ceea ce este fals, s ˘a nu uit ˘am c ˘ae0>0. A¸ sadar, presupuerea
f˘acut˘a este fals ˘a deci (i) este adevarat.
De ce calcul ˘am numai limita la ¥pentru ¸ siruri. Explica¸ tie
Propozi¸ tia 9 .a)¥este punct de acumulare pentru N.
b) Nu exist˘ a numere reale care s˘ a ﬁe puncte de acumulare pentru N.
Demonstra¸ tie . a) Conform teoremei 6 trebuie s ˘a ar˘at˘am c ˘a exist ˘a un ¸ sir (xn)n2NDastfel
încât limn!¥xn=¥. Cel mai simplu exemplu este xn=n2N.
b) Presupunem prin absurd c ˘a exist ˘aa2Rcare este punct de acumulare pentru N. Din teorem ˘a
rezult ˘a c˘a exist ˘a un ¸ sir (xn)n2NNastfel încât xn6=a,8n2N;iar lim
n!¥xn=a. Din deﬁni¸ tia
limitei rezult ˘a c˘a8e>0,9ne2Nastfel încât8nneavemjxnaj<e. În particular pentru
e=1
2>09n02Nastfel încât8nn0avemjxnaj<1
2. Fie acum nn0. Atunci din inegalitatea
modululuija+bjjaj+jbjdeducem c ˘ajxnxn0jjxnaj+jaxn0j<1
2+1
2=1. A¸ sadar,
jxnxn0j<1. Cum xn;xn02Nrezult ˘a c˘axnxn02Zdeci ¸ sijxnxn0j2Z¸ si cumjxnxn0j0
rezult ˘a c˘ajxnxn0j2N¸ si s˘a nu uit ˘amjxnxn0j<1. Dar singurul num ˘ar natural strict mai mic
decât 1 este 0 deci jxnxn0j=0 adic ˘axn=xn0. A¸ sadar, xn=xn0,8nn0adic˘a ¸ sirul începând de
lan0este constant egal cu xn0. Dar limita unui ¸ sir constant este chiar constanta adic ˘a limn!¥xn=xn0.
7

Dar limn!¥xn=a¸ si din unicitatea limitei unui ¸ sir de numere reale rezult ˘a c˘axn0=a, ceea ce este fals
pentru c ˘a s˘a nu uit ˘amxn6=a,8n2N, în particular xn06=a.
Important .Deoarece un ¸ sir (xn)n2NReste o func¸ tie f :N!R, f(n) =xn, ¸ si cum problema
limitei unei func¸ tii într-un punct se pune numai în puncte de acumulare ale domeniului de deﬁni¸ tie
al func¸ tiei respective, (¸ si cum singurul punct de acumulare al lui Neste¥), rezult˘ a c˘ a pentru
¸ sirurile de numere reale are sens doar calcularea limitei la ¥. Aceasta explic˘ a de ce la ¸ siruri
calcul˘ am numai limita la ¥.
Cazul când punctul de acumulare este ¥¸ si limita un num ˘ar real
Deﬁni¸ tia 10 .Fie DR.¥este (sau se nume¸ ste) punct de acumulare al mul¸ timii D dac˘ a ¸ si
numai dac˘ a este satisf˘ acut˘ a condi¸ tia
8e>0;(¥;e)\D6=?:
Teorema 11 .Fie DR. Urm˘ atoarele aﬁrma¸ tii sunt echivalente:
(i)¥este punct de acumulare al mul¸ timii D adic˘ a 8e>0,(¥;e)\D6=?.
(ii) exist˘ a un ¸ sir (xn)n2ND astfel încât limn!¥xn=¥.
Demonstra¸ tie . (i))(ii). Ipoteza (i) ﬁind adevarat ˘a pentru orice num ˘are>0 ea va ﬁ adev ˘arat˘a,
în particular pentru e=n,8n2Ndeci(¥;n)\D6=?,8n2N. Dar aceasta ﬁind mul¸ time nev-
id˘a înseamn ˘a c˘a ea are cel pu¸ tin un element care depinde de ndeci8n2Nexist ˘axn2(¥;n)\D
adic˘axn2D¸ sixn2(¥;n). Condi¸ tia xn2(¥;n)înseamn ˘axn<n,8n2N. Cum limn!¥n=0
din deﬁni¸ tia limitei unui ¸ sir rezult ˘a c˘a8e>0,9ne2Nastfel încât8nneavem n>e. Folosind
acum inegalitatea xn<n,8n2Ndeducem c ˘a8nneavem xn<e. Din deﬁni¸ tia limitei unui
¸ sir rezult ˘a c˘a limn!¥xn=¥. Astfel (ii) este demonstrat.
(ii))(i). Deoarece limn!¥xn=¥, din deﬁni¸ tia limitei unui ¸ sir rezult ˘a c˘a8e>0,9ne2Nastfel
încât8nneavem xn<e. Dar s ˘a ne amintim c ˘a(xn)n2NDastfel încât adic ˘axn2Daltfel
spus xn2D¸ sixn2(¥;e). Cum ¸ si înseamn ˘a intersec¸ tie de mul¸ timi rezult ˘a c˘axn2(¥;e)\D,
adic˘a(¥;e)\D6=?ceea ce înseamn ˘a (i).
Deﬁni¸ ti ˘a 12.Fie DR, f:D!Ro func¸ tie ˘ astfel încât ¥este punct de acumul˘ are pentru
D. Un num˘ ar l2Rse nume¸ ste limit˘ a func¸ tiei în punctul ¥¸ si scriem lim
x!¥f(x) =l d˘ ac˘ a ¸ si
num˘ ai dac˘ a8e>0,9de>0˘ astfel încât pentru8x2D cu propriet˘ ate˘ a c˘ a x <deeste adevarat˘ a
condi¸ tiajf(x)lj<e.
Avem de asemenea
Teorema 13 .Fie DR, f:D!Ro func¸ tie astfel încât¥este punct de acumulare pentru
D ¸ si l2R. Urm˘ atoarele aﬁrma¸ tii sunt echivalente:
(i)lim
x!¥f(x) =l adica8e>0,9de>0astfel încât pentru8x2D cu proprietate˘ a c˘ a x <de
este adev˘ arat˘ a rela¸ tia jf(x)lj<e.
(ii) Pentru orice ¸ sir (xn)n2ND astfel încât limn!¥xn=¥rezult˘ a c˘ a limn!¥f(xn) =l.
Demonstra¸ tie . (i))(ii). Fie (xn)n2ND astfel încât limn!¥xn=¥.Trebuie s ˘a demonstr ˘am c ˘a
limn!¥f(xn) =ladic˘a ¸ tinând cont de deﬁni¸ tia limitei unui ¸ sir 8e>0,9ne2Nastfel încât8nne
avemjf(xn)lj<e. Fie deci e>0. Din (i) rezult ˘a c˘a9de>0 astfel încât8x2D,x<deeste
adev ˘arat˘a rela¸ tia
jf(x)lj<e:(1)
Deoarece limn!¥xn=¥pentru de>0,9ne2Nastfel încât8nneavem xn<de. Fie acum
nne. Atunci xn<de¸ si s˘a nu uit ˘amxn2D. Din rela¸ tia (1) rezult ˘a c˘a
jf(xn)lj<e
8

adic˘a exact ce voiam s ˘a demonstr ˘am.
(ii))(i). Presupunem prin absurd c ˘a (i) nu are loc. Aceasta înseamn ˘a c˘a9e0>0astfel încât
8d>0exist˘ a x d2Dcu proprietatea c ˘axd<ddarjf(xd)lje0. Aceast ˘a rela¸ tie ﬁind
adev ˘arat˘a pentru orice d>0 ea va ﬁ adev ˘arat˘a pentru d=n>0 deci exist ˘axn2Dcu proprietatea
c˘axn<ndarjf(xn)lje0¸ si aceste rela¸ tii au loc 8n2N. Dar dac ˘axn<n,8n2N;atunci
limn!¥xn=¥. A¸ sadar dac ˘a (i) nu are loc, exist ˘a un ¸ sir (xn)n2NDastfel încât limn!¥xn=¥. Cum
(ii) este adevarat pentru orice ¸ sir rezult ˘a c˘a lim
n!¥f(xn) =l. Dar, s ˘a ne amintim c ˘ajf(xn)lje0,
8n2N. Folosind acum teorema de trecere la limit ˘a în inegalit ˘a¸ ti deducem c ˘a limn!¥jf(xn)lje0.
Cum limn!¥f(xn) =lrezult ˘a c˘a 0e0, ceea ce este fals, s ˘a nu uit ˘am c ˘ae0>0. A¸ sadar, presupunerea
f˘acut˘a este falsa deci (i) este adevarat.
1.2. Limite laterale
Func¸ tia f(x) =1
xdeﬁnit ˘a peRnu are limit ˘a în 0, deoarece pentru ¸ siruri diferite xn!0 six0
n!
0 , ¸ sirurile corespunz ˘atoare (f(xn))¸ si(f(x0
n))au limite diferite. Totu¸ si, dac ˘a se consider ˘a numai
¸ siruri (xn)de numere strict pozitive (xn>0), convergente c ˘atre 0, ¸ sirurile (f(xn))au aceea¸ si
limit ˘a,¥:Într-adev ˘ar, dac ˘axn!0 ¸ sixn>0;avem1
xn!¥;adic˘af(xn)!¥:
Se spune c ˘a func¸ tia f(x) =1
xare în punctul 0 limita la dreapta ¥:
De asemenea, dac ˘a se consider ˘a numai ¸ siruri (yn)de numere strict negative (yn<0);convergente
c˘atre 0, ¸ sirurile (f(yn))au aceea¸ si limit ˘a,¥:Într-adev ˘ar, dac ˘ayn!0 ¸ siyn<0;avem1
yn!¥;
adic˘af(yn)!¥:
Se spune c ˘a func¸ tia f(x) =1
xare în punctul 0 limita la stânga ¥:
Fie, în general, o func¸ tie f:E!R¸ six0un punct de acumulare al lui E:
S˘a presupunem c ˘a exist ˘a ¸ siruri xn!x0formate din puncte xn<x0dinE:
Deﬁni¸ tia 14. Se spune c ˘a un num ˘arls(ﬁnit sau inﬁnit) este limita la stânga a func¸ tiei fîn
punctul x0dac˘a pentru orice ¸ sir xn!x0format din puncte xn<x0dinEavem f(xn)!ls:
Se scrie:
lim
x!x0f(x) =ls
x<x0sau lim
x%x0f(x) =ls
În loc de ls, limita la stânga a func¸ tiei fîn punctul x0se mai noteaz ˘af(x00):
lim
x%x0f(x) =f(x00)
S˘a presupunem acum c ˘a exist ˘a ¸ siruri xn!x0formate din puncte xn>x0dinE.
Deﬁni¸ tia 15. Se spune c ˘a un num ˘arld(ﬁnit sau inﬁnit) este limita la dreapta a func¸ tiei fîn
punctul x0, dac ˘a pentru orice ¸ sir xn!x0format din puncte xn>x0dinEavem f(xn)!ld.
Se scrie:
limx!x0f(x) =ld
x>x0sau lim
x&x0f(x) =ld
În loc de ld, limita la dreapta a func¸ tiei fîn punctul x0se mai noteaz ˘af(x0+0):
lim
x&x0f(x) =f(x0+0)
9

Astfel, pentru func¸ tia f(x) =1
xavem:
f(00) =¥¸ sif(0+0) =¥
Observa¸ tii:
1. Dac ˘afeste o func¸ tie deﬁnit ˘a pe un interval E= (a;b);(¥a<b¥);deﬁni¸ tia limitei
luifînacoincide cu deﬁni¸ tia limitei la dreapta a lui fîna;deoarece pentru ¸ siruri (xn)de puncte
xn6=adinE;avem în mod necesar xn>a:
De asemenea, deﬁni¸ tia limitei lui fînbcoincide cu deﬁni¸ tia limitei la stanga a lui fînb,
deoarece dac ˘a(xn)este un ¸ sir de puncte xn6=bdinE;avem în mod necesar xn<b:
2. Este posibil ca într-un punct una sau ambele limite laterale s ˘a nu existe.
3. Dac ˘a func¸ tia fare limita lîntr-un punct x0;(a<x0<b);atunci are ¸ si limita la dreapta ¸ si
limita la stânga în x0;¸ si ambele limite laterale sunt egale cu l:
f(x00) =f(x0+0) =l
Se poate demonstra c ˘a, reciproc:
Dac˘ a f are în x 0¸ si limit˘ a la stanga, f (x00);¸ si limit˘ a la dreapta, f (x0+0);¸ si dac˘ a
limitele laterale sunt egale, f (x00) = f(x0+0);atunci f are limit˘ a în x 0egal˘ a cu valoarea
comun˘ a a limitelor laterale:
limx!x0f(x) =f(x00)=f(x0+0):
De multe ori este mai u¸ sor s˘ a se calculeze limitele laterale într-un punct ¸ si din egalitatea lor
s˘ a se deduc˘ a existen¸ ta limitei în acel punct.
Exemple.
S˘a se calculeze urmatoarele limite: a) limx!x01
(xx0)2k,k2N; b) limx!x01
(xx0)2k1,k2N;
c) lim
x%0sin1
x¸ si lim
x&0sin1
x, x2R(dac˘a exist ˘a).
a)Fie xn!x0¸ sixn<x0, atunci xnx0!0 ¸ sixnx0<0, iar lim
xn%x01
(xnx0)2k= +¥:
Fiexn!x0¸ sixn>x0, atunci xnx0!0 ¸ sixnx0>0, iar lim
xn&x01
(xnx0)2k= +¥:
Cum cele dou ˘a limite laterale sunt egale rezult ˘a c˘a limx!x01
(xx0)2k= +¥.
b) limx!x01
(xx0)2k1nu exist ˘a deoarece limitele laterale lim
x%x01
(xx0)2k1=¥¸ si
lim
x&x01
(xx0)2k1= +¥,k2Nsunt diferite,¥¸ si respectiv +¥.
c) Fie ¸ sirurile (xn)n,xn=1
npcuxn>0 ¸ sixn!0 ¸ si(yn)n,yn=2
p+4npcuyn>0 ¸ siyn!0.
Deoarece limn!¥sin1
xn=sinnp=0 ¸ si limn!¥sin1
yn=sinp
2+2np
=1, atunci putem spune c ˘a pentru
¸ siruri diferite, dar care au aceea¸ si limit ˘a , ¸ sirurile valorilor (sin1
xn)n¸ si(sin1
yn)nnu au aceea¸ si
limit ˘a. Astfel s-a ar ˘atat c ˘a func¸ tia f(x) =sin1
xnu are limit ˘a la dreapta în punctul x=0. Analog,
se arat ˘a c˘a func¸ tia f(x) =sin1
xnu are limit ˘a la stânga în punctul x=0, pentru ¸ sirurile cu termeni
generali xn=1
npcuxn<0,xn!0 ¸ siyn=2
p+4npcuyn<0 ¸ siyn!0.
10

1.3. Propriet ˘a¸ tile limitei
Deoarece deﬁni¸ tia limitei unei functii într-un punct este bazat ˘a pe limite de ¸ siruri, o serie de
propriet ˘a¸ ti ale limitelor de ¸ siruri se reg ˘asesc pentru limitele de func¸ tii.
1. Unicitatea limitei unei func¸ tii.
Teorema 16 . Dac ˘al1¸ sil2sunt dou ˘a limite ale func¸ tiei f:E!Rîn punctul de acumulare
x0;atunci l1=l2:
A¸ sadar:
Limita unei func¸ tii într-un punct, dac ˘a exist ˘a, este unic ˘a.
Demonstra¸ tie. Fiexn!x0(xn2E;xn6=x0):Atunci f(xn)!l1¸ sif(xn)!l2. Cum limita
unui ¸ sir este unic ˘a, rezulta l1=l2:
2. Limita modulului.
Fief:E!Ro func¸ tie ¸ si x0un punct de acumulare a lui E:
Teorema 17. Dac˘a limx!x0f(x) =l;atunci limx!x0jf(x)j=jlj:
Într-adev ˘ar, dac ˘axn!x0(xn2E;xn6=x0);atunci f(xn)!l;decijf(xn)j!jlj:
Exemple:
a) lim
x!x0jxj=jx0j, deoarece limx!x0x=x0:
b) Deoarece limx!x0x=x0, avem limx!x0(xx0) =0, deci limx!x0jxx0j=0:
3. Criterii de existen¸ t˘ a a limitei.
Uneori, cunoscând limita unei func¸ tii într-un punct, putem stabili limita altei func¸ tii în acela¸ si
punct, cu ajutorul unor criterii asem ˘an˘atoare celor utilizate la ¸ siruri.
Fief;g:E!Rdou˘a func¸ tii ¸ si x0un punct de acumulare al lui E:
Teorema 18. (Criteriul major˘ arii). Dac˘ajf(x)ljg(x)¸ si dac ˘a limx!x0g(x) =0, atunci
limx!x0f(x) =l:
Demonstra¸ tie . Fie xn!x0(xn2E;xn6=x0):Deoarece limx!x0g(x) =0;rezult ˘ag(xn)!0:
Darjf(xn)ljg(xn)deci, aplicând criteriul major ˘arii de la ¸ siruri, rezult ˘a c˘af(xn)!l:Deoarece
¸ sirul(xn)a fost ales arbitrar, deducem c ˘a limx!x0f(x) =l:
Exemple:
a) limx!x0sinx=sinx0;(x0ﬁnit):
Într-adev ˘ar, deoarececosx+x0
21;avem:
jsinxsinx0j=2sinxx0
2cosx+x0
22sinxx0
22xx0
2=jxx0j
¸ si, deoarece limx!x0jxx0j=0;rezult ˘a c˘a limx!x0sinx=sinx0:
De exemplu: lim
x!p
2sinx=1;limx!psinx=0;lim
x!0sinx=0;
b) limx!x0cosx=cosx0;(x0ﬁnit):
Într-adev ˘ar, deoarecesinx+x0
21;avem:
jcosxcosx0j=2sinxx0
2sinx+x0
22sinxx0
2jxx0j:
Deoarece limx!x0jxx0j=0;rezult ˘a c˘a limx!x0cosx=cosx0:
De exemplu: lim
x!p
2cosx=0;limx!pcosx=1;lim
x!0cosx=1;lim
x!p
4cosx=p
2
2:
A¸ sadar, limitele func¸ tiilor sin¸ sicosîntr-un punct oarecare x0se ob¸ tin înlocuind direct pe xcu
x0:
11

Observa¸ tii :
1. În punctele +¥¸ si¥func¸ tiile sin¸ sicosnu au limit ˘a. Justiﬁcarea este urm ˘atoarea: consid-
erând ¸ sirul xn=np
2!+¥;¸ sirul(sinxn)este 1 ;0;1;0;1;0;1;:::;1;0;1;0;:::care ﬁind un ¸ sir
oscilant nu are limit ˘a.
2. Se poate demonstra c ˘a func¸ tiile arcsin ¸ siarccos au deasemenea proprietatea, de mai sus
adic˘alimita într-un punct x 0se obtine înlocuind direct pe x cu x 0:
lim
x!x0arcsin x=arcsin x0;(1x01)
limx!x0arccos x=arccos x0;(1x01)
Teorema 19. (Criteriul major˘ arii la ¥). Dac ˘af(x)g(x)¸ si dac ˘a limx!x0g(x) =¥;atunci
limx!x0f(x) =¥:
Demonstra¸ tie. Dac˘axn!x0;(xn2E;xn6=x0);atunci g(xn)!¥¸ si deoarece f(xn)g(xn);
rezult ˘a c˘af(xn)!¥:Cum ¸ sirul xn!x0a fost ales arbitrar, deducem c ˘a limx!x0f(x) =¥:
Exemplu:
limx!¥(3×5+4×2) =¥:
Într-adev ˘ar, pentru x>0 avem 3 x5+4×23×5x5;iar limx!¥x5=¥:
Teorema 20. (Criteriul major˘ arii la ¥). Dac ˘af(x)g(x)¸ si dac ˘a limx!x0g(x) =¥;atunci
limx!x0f(x) =¥:
Demonstra¸ tie. Dac˘axn!x0;(xn2E;xn6=x0);atunci g(xn)!¥¸ si deoarece f(xn)
g(xn);rezult ˘a c˘af(xn)!¥:Cum ¸ sirul xn!x0a fost ales arbitrar, deducem c ˘a limx!x0f(x) =¥:
Exemplu:
lim
x!¥(x54×2) =¥:
Într-adev ˘ar, pentru x<0 avem x54×2x5;iar lim
x!¥x5=¥:
4. Trecerea la limit˘ a in inegalit˘ a¸ ti
Fief;g:E!Rdou˘a func¸ tii ¸ si x0un punct de acumulare al lui E:
Teorema 21. Dac˘af¸ sigau limite (ﬁnite sau inﬁnite) în punctul x0¸ si dac ˘af(x)g(x);
pentru orice x6=x0dinE, atunci:
limx!x0f(x)limx!x0g(x)
Demonstra¸ tie. Fiea=limx!x0f(x)¸ sib=limx!x0g(x):
Va trebui s ˘a demonstr ˘am c ˘aab:
Dac˘axn!x0este un ¸ sir format din punctele xn6=x0dinE, atunci:
f(xn)!a¸ sig(x)!b:
Pentru ﬁecare navem însa f(xn)g(xn):Folosind teorema de trecere la limit ˘a în inegalit ˘a¸ ti de
¸ siruri, deducem:
a=lim
x!x0f(x)limx!x0g(x) =b
¸ si teorema este demonstrat ˘a.
Corolar 22 . S˘a presupunem c ˘afare limit ˘a înx0.
Dac˘af(x)0;atunci limx!x0f(x)0:
12

Dac˘af(x)0;atunci limx!x0f(x)0:
Pentru demonstra¸ tie se ia g(x) =0 în teorema precedent ˘a.
Observa¸ tie.
Dac˘a avem inegalitate strict ˘a:
f(x)<g(x);pentru orice x6=x0dinEpentru limite nu putem deduce decât o inegalitate
nestrict ˘a:
limx!x0f(x)limx!x0g(x)
(putând avea chiar egalitate).
De exemplu, x2>0 pentru x6=0;dar lim
x!0x2=0:
Teorema 23. ( a "cle¸ stelui" sau a "celor doi jandarmi"). Fie trei func¸ tii f;g;h:E!R¸ six0
un punct de acumulare al lui E.
Dac˘a
(i)f(x)g(x)h(x), pentru orice x6=x0dinE;
(ii)limx!x0f(x) =limx!x0h(x) =l;
atunci gare limit ˘a înx0¸ si mai mult limx!x0g(x) =l:
Schematic:
f(x)g(x)h(x)
& + .
l
Demonstra¸ tie. Fiexn!x0un ¸ sir format din punctele xn6=x0dinE, atunci din (i)rezult ˘a
f(xn)g(xn)h(xn):¸ Tinând cont de (ii)¸ si de criteriul "cle¸ stelui" pentru ¸ siruri se deduce c ˘a
limn!¥g(xn) =l:Cum ¸ sirul xn!x0a fost ales arbitrar, deducem c ˘a limx!x0g(x) =l:
Exemple.
S˘a se calculeze: a) limx!¥sinx
x; b) limx!¥[x]
x, unde [x]este partea întreag ˘a a num ˘arului real x:
Rezolvare.
a) Cum1sinx1;atunci pentru x>0 are loc inegalitatea 1
xsinx
x1
x:Deoarece
limx!¥
1
x
=0 ¸ si limx!¥1
x=0, atunci conform ‚‚ criteriului cle¸ stelui ” limx!¥sinx
x=0:
b) Din deﬁni¸ tia p ˘ar¸ tii întregi avem: x1<[x]xcare înmul¸ tit ˘a cu1
xpentru x>0(x!¥)
devinex1
x<[x]
x1:Cum limx!¥x1
x=1 ¸ si limx!¥1=1;aplicând criteriul “cle¸ stelui” se ob¸ tine
limx!¥[x]
x=1:
5. Produsul dintre o func¸ tie m˘ arginit˘ a ¸ si o func¸ tie de limita zero.
Un alt rezultat important care permite calculul limitei unui produs de func¸ tii este dat de urm ˘a-
toarea:
Teorema 24. Fief;g:E!Rdou˘a func¸ tii, x0un punct de acumulare al lui E,V2J(x0)
cu propriet ˘a¸ tile:
(i)jf(x)jM;8x2V\E;M>0 (f m˘ arginit˘ a pe o vecin ˘atate a lui x0);
(ii)limx!x0g(x) =0;
atunci limx!x0f(x)g(x) =0:
13

Limita produsului dintre o func¸ tie m˘ arginit˘ a ¸ si o func¸ tie de limit˘ a zero este zero.
Demonstra¸ tie. Fie(xn)un ¸ sir din V\E;xn6=x0:Atuncijf(xn)Mj;8n¸ si limn!¥g(xn) =0:
Conform criteriului de la ¸ siruri rezult ˘a limn!¥f(xn)g(xn) =0:Cum ¸ sirul (xn)a fost un ¸ sir arbitrar
se ob¸ tine c ˘a limx!x0f(x)g(x) =0:
Altfel. Se aplic ˘a "criteriul cle¸ stelui" inegalit ˘a¸ tii 0jf(x)g(x)jMjg(x)j:
Exemple:
a)limx!¥1
xcosx=0:
Fief(x) =cosx;pentru carejf(x)j1;iarg(x) =1
x!0 dac ˘ax!¥:Conform teoremei de
mai sus limx!¥1
xcosx=0:
b)lim
x!0xsin1
x=0:
Fief(x) =sin1
x;x6=0;jf(x)j1;iarg(x) =x!0 dac ˘ax!0:A¸ sadar, lim
x!0xsin1
x=0:
Altfel, pentru aceast ˘a limit ˘a se putea aplica ‚‚criteriul cle¸ stelui” func¸ tiilor din inegalit ˘a¸ tile
0xsin1
x=jxjsin1
xjxj:
1.4. Limitele func¸ tiilor elementare
Pentru ca opera¸ tiile cu limite de func¸ tii s ˘a devin ˘a efective este nevoie de cunoa¸ sterea procedurii
de calcul a limitelor func¸ tiilor elementare.
V om da regula de calcul pentru limita func¸ tiei, în general, în dou ˘a cazuri:
(i)când x0este punct de acumulare ﬁnit;
(ii)când x0este punct de acumulare inﬁnit (dac ˘a exist ˘a).
Urm ˘atoarele func¸ tii sunt considerate func¸ tii elementare: func¸ tia polinomial ˘a, func¸ tia ra¸ tional ˘a,
func¸ tia radical, func¸ tia putere, func¸ tia exponen¸ tial ˘a, func¸ tia logaritmic ˘a, func¸ tiile trigonometrice
directe (sin, cos, tg, ctg), func¸ tiile trigonometrice inverse (arcsin, arccos, arctg, acctg), orice func¸ tie
ob¸ tinut ˘a din cele de mai sus prin aplicarea succesiv ˘a, de un num ˘ar ﬁnit de ori, a opera¸ tiilor alge-
brice, a opera¸ tiei de compunere ¸ si a opera¸ tiei de inversare.
Observa¸ tie.
Dac˘a domeniul de deﬁni¸ tie al unei func¸ tii elementare nu este precizat, atunci se subîn¸ telege c ˘a
este format din acele puncte xpentru care au sens opera¸ tiile prin care este deﬁnit ˘a func¸ tia. Acesta
este domeniul maxim de deﬁni¸ tie al func¸ tiei.
1. Limita func¸ tiei constante
Pentru func¸ tia constant ˘af:R!R;f(x) =cavem limx!x0f(x) =c;oricare ar ﬁ x0(ﬁnit sau
inﬁnit), adic ˘a:
limx!x0c=c:
Demonstra¸ tie. Într-adev ˘ar oricare ar ﬁ ¸ sirul xn!x0;¸ sirul corespunz ˘ator(f(xn))al valorilor
func¸ tiei este c;c;c;:::;c;c:::;care are limita c;f(xn)!c;deci lim
x!x0f(x) =c:
De exemplu:
lim
x!17=7;lim
x!35=5;limx!¥(2) =2
2. Limita func¸ tiei polinomiale.
Fief:R!R;f(x) =akxk+ak1xk1+:::+a1x+a0;ai2R;i=0;k;ak6=0
(i)Punctul de acumulare x 0este ﬁnit.
Fiex02R¸ sixn!x0;xn2R;xn6=x0:Atunci
f(x) =akxk+ak1xk1+:::+a1x+a0!akxk
0+ak1xk1
0+:::+a1x0+a0=f(x0):
14

(S-au avut în vedere opera¸ tiile cu ¸ siruri convergente).
Cum ¸ sirul (xn)a fost ales arbitrar, rezult ˘a limx!x0f(x) =f(x0):
A¸ sadar, limita unei func¸ tii polinomiale într-un punct de acumulare ﬁnit x0, se ob¸ tine înlocuind
xcux0:
De exemplu:
lim
x!2(5×4+3×27x+1) =5(2)4+3(2)27(2)+1=107:
(ii)Punctul de acumulare x 0este inﬁnit.
Fiex0=¥:În acest caz aducem func¸ tia polinomial ˘a la forma
f(x) =xk(ak+ak1
x+:::+a1
xk1+a0
xk):
Pentru x!¥;ai
xki!0:Deci f(x)!(¥)kak:
Deci limx!¥f(x) =¥ak=+¥;dac˘aak>0
¥;dac˘aak<0
lim
x!¥f(x) = (¥)kak=+¥;dac˘a(ak<0 ¸ sikimpar )sau(ak>0 ¸ sikpar)
¥;în rest:
A¸ sadar: Limita unei func¸ tii polinomiale la ¥este aceea¸ si cu limita termenului de grad maxim
lim
x!¥f(x) = lim
x!¥akxk:
De exemplu:
a) limx!¥(2006 x2007+x230x+4) =limx!¥(2006 x2007) =2006¥=¥;
b) lim
x!¥(5×5+2×2x) = lim
x!¥(5×5) =5(¥)5=5(¥) =¥:
3. Limita func¸ tiei ra¸ tionale.
Fief:RfxjQ(x) =0g!R;f(x) =P(x)
Q(x);unde P¸ siQsunt func¸ tii polinomiale, P(x) =
akxk+ak1xk1+:::+a1x+a0;
Q(x) =blxl+bl1xl1+:::+b1x+b0;ai;bj2R;i=0;k;ak6=0;j=0;l;bl6=0
(i)Punctul de acumulare x 0este ﬁnit.
Se disting subcazurile:
Q(x0)6=0;deci x0nu este r ˘ad˘acin˘a pentru numitor.
Fiexn!x0;xn6=x0:Atunci f(xn) =P(xn)
Q(xn)!P(x0)
Q(x0)=f(x0);ceea ce arat ˘a c˘a limx!x0f(x) =
f(x0):
A¸ sadar: Limita func¸ tiei ra¸ tionale în punct de acumulare ﬁnit, în care nu se anuleaz˘ a numitorul,
este egal˘ a cu valoarea ei în acel punct.
De exemplu:
a) lim
x!1×25
x+3=125
1+3=4
4=1;
b) lim
x!0x23
x+5=03
0+5=3
5:
Q(x0) =0;deci x0este r ˘ad˘acin˘a pentru numitor.
Dac˘a num ˘ar˘atorul se anuleaz ˘a în x0;P(x0) =0;atunci se efectueaz ˘a mai întâi simpliﬁcarea
frac¸ tiei prin xx0(x6=x0)dup˘a care se vede dac ˘a numitorul frac¸ tiei simpliﬁcate îl mai are pe x0
ca r˘ad˘acin˘a sau nu.
Exemple:
S˘a se calculeze limitele (dac ˘a exist ˘a):
a) lim
x!1×21
x23x+2; b) lim
x!11
x+1; c) lim
x!11
(x+1)2; d) lim
x!1x+1
x21; e) lim
x!3×2+2x15
x2+8x+15:
Rezolvare.
a) lim
x!1×21
x23x+2=0
0
=lim
x!1(x1)(x+1)
(x1)(x2)=lim
x!1x+1
x2=1+1
12=2;
15

b) lim
x!11
x+1nu exist ˘a deoarece limita la stânga în x0=1 este egal ˘a cu ls(1) =lim
x%11
x+1=
1
0=¥în timp ce limita la dreapta este ld(1) = lim
x&11
x+1=1
0+=¥:
Dinls(1)6=ld(1)se deduce c ˘a nu exist ˘a limit ˘a înx0=1:
Deci, dac ˘ax0este punct de acumulare ﬁnit ¸ si este r ˘ad˘acin˘a a numitorului, dar nu este r ˘ad˘acin˘a
¸ si pentru num ˘ar˘ator, atunci se calculeaz ˘a limitele laterale în x0:
c) V om ar ˘ata c ˘a limita exist ˘a calculând ca mai sus limitele laterale ¸ si ob¸ tinem:
ls(1) = lim
x%11
(x+1)2=1
0+=¥;iarld(1) = lim
x&11
(x+1)2=1
0+=¥:
Deoarece ls(1) =ld(1) =¥avem c ˘a lim
x!11
(x+1)2=¥:
d) lim
x!1x+1
x21=0
0
=lim
x!1x+1
(x1)(x+1)=lim
x!11
x1=1
11=1
2:
e) Numitorul x2+8x+15 se anuleaz ˘a pentru x0=3;în timp ce num ˘ar˘atorul nu se anuleaz ˘a
(3)2+2(3)15=126=0:
În aceast ˘a situa¸ tie se calculeaz ˘a limitele laterale în x0=3:
Avem: ls(3) = lim
x%3×2+2x15
(x+3)(x+5)=12
(0)2=12
0+=¥¸ si
ld(3) = lim
x&3×2+2x15
(x+3)(x+5)=12
0+(2)=12
0+=¥:
Cum ls(3)6=ld(3)rezult ˘a c˘a limita respectiv ˘a nu exist ˘a.
(ii)Punctul de acumulare x 0este inﬁnit (x0=¥):
Pentru calculul limitei în punctul ¥sau¥avem regulile urm ˘atoare:
1) Dac ˘agradul num˘ ar˘ atorului este mai mic decât gradul numitorului, k <l;limita func¸ tiei
ra¸ tionale în punctul ¥sau -¥este 0:
lim
x!¥P(x)
Q(x)=0 ¸ si lim
x!¥P(x)
Q(x)=0.
Pentru demonstra¸ tie, se împarte atât num ˘ar˘atorul cât ¸ si numitorul cu xk(exponentul kﬁind cel
mai mic dintre gradele celor dou ˘a polinoame) ¸ si se ob¸ tine:
P(x)
Q(x)=ak+ak11
x+:::+a11
xk1+a01
xk
blxlk+:::+b01
xk;x6=0:
Termenii care con¸ tin pe1
xla diferite puteri au limita 0. Num ˘ar˘atorul are deci limita ak, iar
numitorul are limita inﬁnit ˘a.
Rezult ˘a c˘aP(x)
Q(x)are limita 0.
Exemple.
a) limx!¥3×22x+1
4×35x=0 (gradul num ˘ar˘atorului <gradul numitorului);
b) lim
x!¥2x3
4×7+2x1=0(gradul num ˘ar˘atorului <gradul numitorului ):
2) Dac ˘agradul num˘ ar˘ atorului este egal cu gradul numitorului, k =l;atunci limita func¸ tiei
ra¸ tionale în punctul ¥sau¥este egal ˘a cu raportul coeﬁcien¸ tilor termenilor de cel mai înalt grad:
limx!¥P(x)
Q(x)=ak
bk¸ si lim
x!¥P(x)
Q(x)=ak
bk.
Pentru demonstra¸ tie, se împart ¸ si num ˘ar˘atorul ¸ si numitorul cu xk¸ si se ob¸ tine
16

P(x)
Q(x)=ak+ak11
x+:::+a11
xk1+a01
xk
bk+bk11
x+:::+b01
xk;x6=0:
Num ˘ar˘atorul are limita ak, iar numitorul are limita bk;deci func¸ tia ra¸ tional ˘aP(x)
Q(x)are limitaak
bk:
Exemple:
a) limx!¥2×35x+7
x3+4x5=2
1(gradul num ˘ar˘atorului = gradul numitorului);
b) limx!¥7×5+3
8×52x+2=7
8(gradul num ˘ar˘atorului = gradul numitorului).
3) Dac ˘agradul num˘ ar˘ atorului este mai mare decât gradul numitorului, k >l;func¸ tia ra¸ tional ˘a
are în punctul ¥sau¥limita iniﬁnit ˘a, ¸ si anume:
limx!¥P(x)
Q(x)=ak
bl¥¸ si lim
x!¥P(x)
Q(x)=ak
bl(¥)kl.
Pentru demonstra¸ tie, se împart ¸ si num ˘ar˘atorul ¸ si numitorul cu xl(lﬁind cel mai mic dintre
gradele num ˘ar˘atorului ¸ si numitorului) ¸ si se ob¸ tine
P(x)
Q(x)=akxkl+:::+a01
xl
bl+bl11
x+:::+b01
xl;x6=0
Limita numitorului este bl, limita num ˘ar˘atorului în punctul inﬁnit este ak¥;iar în punctul¥
estean(¥)kl;de unde rezult ˘a c˘a limita func¸ tiei ra¸ tionale este dat ˘a de egalit ˘a¸ tile de mai sus.
Exemple:
a) limx!¥3×52x+4
2×2+3=3
2¥=¥;
b) lim
x!¥3×52x+4
2×2+3=3
2(¥)52=3
2(¥) =¥:
Regul ˘a.Pentru limita func¸ tiei ra¸ tionale la ¥se compar ˘a gradul num ˘ar˘atorului cu gradul
numitorului.
4.Limita func¸ tiei radical
Radical de ordin par.
Pentru f:[0;¥)![0;¥);f(x) =2kpx;k2Ndac˘ax02[0;¥)punct de acumulare, avem
limx!x02kpx=2kpx0. Dac ˘ax0=¥;atunci limx!¥2kpx=¥.
Radical de ordin impar.
Pentru f:R!R;f(x) =2k+1px;k2N¸ six02Ravem limx!x02k+1px=2k+1px0.
Dac˘ax0=¥, atunci lim
x!¥2k+1px=¥. În cazul x0=¥avem lim
x!¥2k+1px=¥.
Exemple:
S˘a se calculeze limitele: a) lim
x!273px; b) lim
x!¥4px; c) lim
x!¥5px:
Rezolvare.
a) lim
x!273px=3p27=3; b) limx!¥4px=¥; c) lim
x!¥5px=¥.
5.Limita func¸ tiei exponen¸ tiale
Fie func¸ tia f:R!(0;¥);f(x) =ax;a>0;a6=1:
Dac˘aa>0;a6=1 pentru x02R;limx!x0ax=ax0(limita este valoarea func¸ tiei în punct).
Într-adev ˘ar, dac ˘axn!x0;atunci axn!ax0:
Dac˘a 0<a<1;atunci:
17

(i)pentru x0=¥;lim
x!¥ax=¥;
(ii)pentru x0=¥;limx!¥ax=0:
Dac˘aa>1, atunci:
(i)pentru x0=¥;lim
x!¥ax=0;
(ii)pentru x0=¥;limx!¥ax=¥:
Exemple:
S˘a se calculeze limitele: a) lim
x!31
2x
; b) limx!¥1
5x
; c) lim
x!¥1
5x
; d) limx!¥4x:
Rezolvare.
a) lim
x!31
2x
=1
23
=1
8; b) limx!¥1
5x
=0 (baza a=1
52(0;1));
c) lim
x!¥1
5x
=¥(baza a=1
52(0;1)) ; d) limx!¥4x=¥(baza a=4>1).
6. Limita func¸ tiei logaritmice.
Fie func¸ tia f:(0;¥)!R;f(x) =logax;a>0;a6=1:
Dac˘aa>0;a6=1 pentru x02(0;¥);limx!x0logax=logax0(limita este valoarea func¸ tiei în
punct).
Într-adev ˘ar, dac ˘axn!x0;atunci logaxn!logax0:
Dac˘a 0<a<1;atunci:
(i)pentru x0=0;lim
x&0logax=¥;
(ii)pentru x0=¥;limx!¥logax=¥:
Dac˘aa>1;atunci:
(i)pentru x0=0;lim
x&0logax=¥;
(ii)pentru x0=¥;lim
x!¥logax=¥:
Exemple:
S˘a se calculeze limitele: a) lim
x!1
4log 1
2x; b) lim
x!3log 1
3x; c) lim
x&0lgx; d) lim
x&0log 1
3x:
Rezolvare.
a) lim
x!1
4log 1
2x=log 1
21
4=log 1
21
22
=2; b) lim
x!3log 1
3x=log 1
33=1;
c) lim
x&0lgx=¥(baza a=10>1); d) lim
x&0log 1
3x=¥(baza a=1
32(0;1)):
7. Limitele func¸ tiilor trigonometrice directe.
*Func¸ tia sinus sin :R![1;1]:
(i)Dac˘ a punctul de acumulare x 0este ﬁnit, atunci am v˘ azut la propriet˘ a¸ tile limitei c˘ a limx!x0sinx=sinx0.
A¸ sadar: Limita func¸ tiei sinîntr-un punct de acumulare ﬁnit x 02Rse ob¸ tine înlocuind pe x cu
x0:
(ii)Dac˘ a punctul de acumulare x 0=¥;atunci func¸ tia sin nu are limit ˘a.
Exemple:
a) lim
x!0sinx=sin0=0; b) lim
x!p
4sinx=sinp
4=p
2
2:
*Func¸ tia cosinus cos :R![1;1]:
(i)Dac˘ a punctul de acumulare x 0este ﬁnit, atunci am v˘ azut la propriet˘ a¸ tile limitei c˘ a limx!x0cosx=cosx0.
A¸ sadar: Limita func¸ tiei cosîntr-un punct de acumulare ﬁnit x 02Rse ob¸ tine înlocuind pe x cu
x0:
18

(ii)Dac˘ a punctul de acumulare x 0=¥;atunci func¸ tia cos nu are limit ˘a.
Exemple:
a) lim
x!0cosx=cos0=1; b) limx!pcosx=cosp=1:
*Func¸ tia tangent˘ a tg :Rn
(2k+1)p
2jk2Zo
!R:
(i)Dac˘ a punctul de acumulare x 02Rn
(2k+1)p
2jk2Zo
;atunci limx!x0tgx=tgx0.
A¸ sadar: Limita func¸ tiei tg într-un punct de acumulare x 0din domeniul de deﬁni¸ tie se ob¸ tine
înlocuind pe x cu x 0:
(ii)În ceea ce prive¸ ste punctele în care nu sunt deﬁnite, func¸ tia tg nu are limit˘ a, dar are limite
laterale inﬁnite.
De exemplu:
lim
x%p
2tgx=¥ ¸ si lim
x&p
2tgx=¥:
Într-adev ˘ar, dac ˘axn!p
2¸ sixn<p
2;cosxn!0 ¸ si cos xn>0;deci1
cosxn!¥; apoi sin xn!1;
deci: lim tgxn=limsin xnlim1
cosxn=¥:
Pentru demonstrarea celeilalte egalit ˘a¸ ti se folose¸ ste faptul c ˘a dac ˘axn!p
2¸ sixn>p
2, atunci
cosxn!0 ¸ si cos xn<0;deci1
cosxn!¥:
Rezult ˘a c˘a func¸ tia tgxnu are limit ˘a înp
2:
Comportarea graﬁcului func¸ tiei tangent ˘a în jurul punctelor de acumulare este redat în ﬁgura
urm˘atoare:
Figura 1.1.
Exemple:
a) lim
x!p
4tgx=tgp
4=1; b) lim
x%3p
2tgx=¥; c) lim
x%&3p
2tgx=¥:
* Func¸ tia cotangent˘ a ctg :Rfkpjk2Zg!R:
(i)Dac˘a punctul de acumulare x02Rfkpjk2Zg;atunci lim
x!x0ctgx=ctgx 0.
A¸ sadar: Limita func¸ tiei ctg într-un punct de acumulare din domeniul de deﬁni¸ tie se ob¸ tine
înlocuind pe x cu x 0:
19

(ii)Dac˘ax0=0 atunci lim
x%0ctgx=¥¸ si lim
x&0ctgx=¥.
Rezult ˘a c˘a func¸ tia ctgx nu are limit ˘a în 0 :
Comportarea graﬁcului func¸ tiei cotangent ˘a în jurul punctelor de acumulare este redat în ﬁgura
urm˘atoare:
Figura 1.2.
Exemple.
a) lim
x!p
4ctgx=ctgp
4=1; b) lim
x%pctgx=¥:
8. Limitele func¸ tiilor trigonometrice inverse.
*Func¸ tia arcsinus arcsin : [1;1]!h
p
2;p
2i
:
Dac˘ax02[1;1];atunci limx!x0arcsin x=arcsin x0:
Exemple:
a) lim
x!1arcsin x=arcsin (1) =p
2; b) lim
x!0arcsin x=arcsin0 =0:
*Func¸ tia arccosinus arccos : [1;1]![0;p]:
Dac˘ax02[1;1];atunci limx!x0arccos x=arccos x0.
Exemple:
a) lim
x!1arccos x=arccos (1) =p; b) lim
x!p
3
2arccos x=arccosp
3
2=p
6:
*Func¸ tia arctangent˘ a arctg :R!(p
2;p
2)
(i)Dac˘ax02R;atunci limx!x0arctgx =arctgx 0.
(ii)Dac˘ax0=¥;atunci limx!¥arctgx =p
2.
(iii)Dac˘ax0=¥;atunci lim
x!¥arctgx =p
2.
Comportarea graﬁcului func¸ tiei arctangent ˘a în jurul punctelor de acumulare este redat în ﬁgura
urm˘atoare:
20

Figura 1.3.
Exemple:
a) lim
x!1arctgx =arctg 1=p
4; b) lim
x!p
3
3arctgx =arctgp
3
3=p
6:
*Func¸ tia arccotangent˘ a arctg :R!(0;p)
(i)Dac˘ax02R;atunci lim
x!x0arcctgx =arcctgx 0.
(ii)Dac˘ax0=¥;atunci limx!¥arcctgx =0.
(iii)Dac˘ax0=¥;atunci lim
x!¥arcctgx =p.
Comportarea graﬁcului func¸ tiei arccotangent ˘a în jurul punctelor de acumulare este redat în
ﬁgura urm ˘atoare:
Figura 1.4.
21

Exemple.
a) lim
x!1arcctgx =arcctg 1=p
4; b) lim
x!p
3arcctgx =arcctgp
3=p
6; c) lim
x!2arcctgx =arcctg 2:
Regul ˘a.Pentru toate func¸ tiile elementare, limita func¸ tiei în orice punct x0al mul¸ timii de
deﬁni¸ tie se ob¸ tine înlocuind pe xcux0:
limx!x0f(x) =f(x0):
1.5.Opera¸ tii cu limite de func¸ tii
Fie f;g:E!Rdou˘a func¸ tii ¸ si x0un punct de acumulare al lui E:
Teorema 25. Dac˘a func¸ tiile f¸ sigau în punctul x0, respectiv limitele l1¸ sil2(ﬁnite sau
inﬁnite) ¸ si dac ˘a suma l1+l2are sens, atunci func¸ tia f+gare limit ˘a în x0¸ si
limx!x0(f(x)+g(x)) = limx!x0f(x)+limx!x0g(x):
(Limita sumei este egal˘ a cu suma limitelor).
Caz exceptat: [¥¥]dac˘al1=¥;l2=¥saul1=¥;l2=¥:
Demonstra¸ tie. Fiexn!x0(xn2E;x6=x0)un ¸ sir oarecare. Deoarece limx!x0f(x) =l1¸ si
limx!x0g(x) =l2;se deduce c ˘af(xn)!l1¸ sig(xn)!l2;deci f(xn)+g(xn)!l1+l2¸ si, prin urmare,
limx!x0(f(x)+g(x)) = l1+l2:
Exemplu.
lim
x!1
x2+2x+lnx
=lim
x!1
x2+2x
+lim
x!1lnx=1+21+ln1=3:
Teorema 26. Dac˘a func¸ tiile f¸ sigau în punctul x0;respectiv limitele l1¸ sil2(ﬁnite sau
inﬁnite) ¸ si dac ˘a produsul l1l2are sens, atunci func¸ tia fgare limit ˘a înx0¸ si:
limx!x0(f(x)g(x)) = limx!x0f(x)limx!x0g(x):
(Limita produsului este egal˘ a cu produsul limitelor).
Caz exceptat: [0¥]dac˘al1=0 si l2=¥saul1=¥¸ sil2=0:
Demonstra¸ tie. Fiexn!x0(xn2E;x6=x0)un ¸ sir oarecare. Deoarece lim
x!x0f(x) =l1¸ si
limx!x0g(x) =l2;se deduce c ˘af(xn)!l1¸ sig(xn)!l2;deci f(xn)g(xn)!l1l2¸ si, prin urmare,
limx!x0(f(x)g(x)) = l1l2:
Observatii:
1.Rezultatul din teorema 25 se poate extinde la nfunc¸ tii fi,i=1;n;care au limitele li,li2R;
i=1;nînx0¸ si pentru care are sens l1+l2+:::+ln:Avem:
lim
x!x0(f1(x)+f2(x)+:::+fn(x)) = limx!x0f1(x)+limx!x0f2(x)+:::+limx!x0fn(x):
2.Rezultatul din teorema 26 se p ˘astreaz ˘a la nfunc¸ tii fi,i=1;n;care au limitele li,li2R;
i=1;nînx0¸ si pentru care are sens l1l2:::ln:Avem:
limx!x0(f1(x)f2(x):::fn(x)) = limx!x0f1(x)limx!x0f2(x):::limx!x0fn(x):
În particular, luând nfunc¸ tii egale cu fse ob¸ tine limx!x0(f(x))n=
limx!x0f(x)n
;(nnatural ):
22

Dac˘ag(x) =c;avem limx!x0g(x) =c;deci:
Corolar. Dac˘afare în x0limit ˘al(ﬁnit ˘a su inﬁnit ˘a), atunci func¸ tia cfare limit ˘a înx0¸ si:
limx!x0cf(x) =climx!x0f(x)dac˘ac6=0
(O constant˘ a iese în afara limitei ).
Observa¸ tie.
limx!x0cf(x) =0;dac˘ac=0.
Luând în corolarul precedent c=1;ob¸ tinem:
limx!x0(f(x)) =(limx!x0f(x))
¸ si deci:
limx!x0(f(x)g(x)) = limx!x0f(x)limx!x0g(x):
Rezult ˘a, de asemenea, propozi¸ tia urm ˘atoare:
limx!x0f(x) =l(f init),limx!x0(f(x)l) =0
Teorema 27. Dac˘af¸ sigau în punctul x0;respectiv limitele l1¸ sil2(ﬁnite sau inﬁnite) ¸ si
dac˘a raportull1
l2are sens, atunci func¸ tiaf
gare limit ˘a înx0¸ si:
limx!x0f(x)
g(x)=limx!x0f(x)
limx!x0g(x)
:
(Limita câtului este egal˘ a cu câtul limitelor).
Cazuri exceptate:0
0
;¥
¥
dac˘al1=l2=0 sau l1=¥;l2=¥:
Pentru demonstra¸ tie se folose¸ ste teorema relativ ˘a la limita câtului a dou ˘a ¸ siruri.
Observa¸ tii:
1) Dac ˘ag(x)>0,×6=x0¸ si limx!x0g(x) =0, atunci limx!x01
g(x)=1
0+=¥.
2) Dac ˘ag(x)<0,×6=x0¸ si limx!x0g(x) =0, atunci limx!x01
g(x)=1
0=¥.
Exemple:
a) limx!x0tg x=limx!x0sinx
cosx=limx!x0sinx
limx!x0cosx=sinx0
cosx0=tg x 0,x02Rn
(2k+1)p
2jk2Zo
;
b) limx!x0ctg x=limx!x0cosx
sinx=lim
x!x0cosx
lim
x!x0sinx=cosx0
sinx0=ctg x 0,x02Rfkpjk2Zg;
c) lim
x!p
21+sinx
2cos x1=lim
x!p
2(1+sinx)
lim
x!p
2(2cos x1)=1+1
201=2.
1.6. Limite de puteri
Fieu;v:E!Rdou˘a func¸ tii ¸ si x0un punct de acumulare al lui E. S˘a presupunem c ˘au(x)>0
peE.
23

Teorema 28 . Dac ˘a limx!x0u(x) =a¸ si limx!x0v(x) =b¸ si dac ˘a puterea abare sens, atunci func¸ tia
u(x)v(x)are limit ˘a înx0¸ si
lim
x!x0
u(x)v(x)
=
lim
x!x0u(x)limx!x0v(x)
:
(Limita unei puteri se distribuie ¸ si bazei ¸ si exponentului. )
Cazuri exceptate:
00
dac˘aa=0 ¸ sib=0;
[1¥]dac˘aa=1 ¸ sib=¥;
¥0
dac˘aa=¥¸ sib=0.
Demonstra¸ tie. Pentru ¸ sirul xn2E;xn6=x0,xn!x0, ¸ sirului
u(x)v(x)
,u(x)>0 i se aplic ˘a
teorema asupra limitei ¸ sirurilor de puteri:
lim((xn)yn) = ( limxn)limyn.
Cazuri particulare
Dac˘av(x) =b, atunci limx!x0v(x) =b, deci: limx!x0
u(x)b
=
limx!x0u(x)b
(cu excep¸ tia cazului când limx!x0u(x) =0 ¸ sib0).
În particular,
limx!x0p
u(x) =q
limx!x0u(x):
Dac˘au(x) =a,a>0, atunci limx!x0u(x) =a, deci: limx!x0av(x)=alimx!x0v(x)
.
Exemple:
a) lim
x!0p
sinx+4=q
lim
x!0(sinx+4) =p
4=2;
b) lim
x!0ex2+1=elim
x!0(x2+1)=e1=e;
c) lim
x!12x+3
1xx+2=
lim
x!12x+3
1xlim
x!1(x+2)
=1
21=1
2;
d) lim
x!1×21
1x3x=lim
x!1×21
1xlim
x!13x
V om calcula separat ﬁecare limit ˘a.
lim
x!1×21
1x=0
0
=lim
x!1(1x)(1+x)
1x=lim
x!11x
1=2;
lim
x!13x=3lim
x!1x=31=3:
A¸ sadar, lim
x!1×21
1x3x=23=6:
1.7. Limite de func¸ tii compuse
Fieu:E!F¸ sif:F!Rdou˘a func¸ tii ¸ si h=fu:E!Rfunc¸ tia compus ˘a:
h(x) =f(u(x)),x2E:
Fiex0un punct de acumulare al lui E. S˘a cercet ˘am limita func¸ tiei compuse în punctul x0.
Teorema urm ˘atoare reduce calculul limitei func¸ tiei compuse f(u(x))în punctul x0la cel al limitei
func¸ tiei f(y)în alt punct y0ce urmeaz ˘a s˘a ﬁe determinat.
Teorema 29. Dac˘a:
(i)limx!x0u(x) =y0;
24

(ii)u(x)6=y0pentru orice x6=x0dinE;
(iii)limy!y0f(y) =l,
atunci limx!x0f(u(x)) = limy!y0f(y):
Demonstra¸ tie. Fiexn!x0un ¸ sir de puncte xn6=x0dinE. Deoarece func¸ tia uare valori în
F, avem u(xn)2F. Din prima ipotez ˘a rezult ˘au(xn)!y0, iar din cea de-a doua ipotez ˘a,u(xn)6=y0.
Notând yn=u(xn), am ob¸ tinut un ¸ sir yn!y0de puncte yn6=y0dinF. Urmeaz ˘a,în particular, c ˘ay0
este punct de acumulare al mul¸ timii F¸ si deci limita din a treia ipotez ˘a este justiﬁcat ˘a. Conform
acestei ipoteze avem f(yn)!l, adic ˘af(u(xn))!l.
Deci, pentru orice ¸ sir xn!x0de puncte xn6=x0dinEavem f(u(xn))!l. Aceasta înseamn ˘a
c˘a:
limx!x0f(u(x)) = l=limy!y0f(y):
Observa¸ tie.
În aplica¸ tii, teorema precedent ˘a se foloseste în urm ˘atoarea form ˘a schematizat ˘a:
a) Se noteaz ˘ay=u(x); func¸ tia compus ˘af(u(x))se scrie atunci f(y).
b) Se stabile¸ ste punctul y0astfel încât dac ˘ax!x0¸ six6=x0, atunci y!y0¸ siy6=y0.
c) Se calculeaz ˘a limita func¸ tiei f(y)în noul punct y0. Limita ob¸ tinut ˘a este în acela¸ si timp limita
func¸ tiei ini¸ tiale f(u(x))în punctul ini¸ tial x0:
limx!x0f(u(x)) = limy!y0f(y):
Exemple:
a) lim
x!0sinax=0 ¸ si lim
x!0cosax=1.
Într-adev ˘ar, notând y=ax, observ ˘am c ˘a dac ˘ax!0, atunci y!0 ¸ si deci lim
x!0sinax=lim
y!0siny=
0, iar lim
x!0cosax=lim
y!0cosy=cos0=1:
b) lim
x!7cos(x7) =lim
y!0cosy=1.
Am notat y=x7:Dac˘ax!7, atunci y!0 ¸ si deci lim
y!0cosy=1.
c) limx!x0ln
1+xx0
x0x0
xx0=1,×06=0.
Într-adev ˘ar, notând y=xx0
x0, observ ˘am c ˘a dac ˘ax!x0¸ six6=x0, atunci y!y0¸ siy6=y0deci
(1+y)1
y!e; notând acum z= (1+y)1
y, observ ˘am c ˘a dac ˘ay!0 ¸ siy6=0, atunci z!e¸ siz6=e,
deci ln z!lne=1.
A¸ sadar, lim
x!x0ln
1+xx0
x0x0
xx0=lim
y!0ln(1+y)1
y=lim
z!elnz=1.
Se observ ˘a c˘a în acest exemplu s-a aplicat de dou ˘a ori succesiv teorema de trecere la limit ˘a în
func¸ tii compuse.
1.8. Limite remarcabile
Teorema 30. Avem:
1)lim
x!0sinx
x=1,2)lim
x!0tg x
x=1,3)lim
x!0arcsin x
x=1,4)lim
x!0arctg x
x=1.
Demonstra¸ tie.
25

1)Pentru -p
2<x<p
2avemjsinxjjxjjtg xj. Dac ˘a, în plus, x6=0, atunci sin x6=0 ;
împar¸ tind cujsinxjîn inegalit ˘a¸ tile precedente, ob¸ tinem:
1jxj
jsinxj1
jcosxj:
Dar, pentru -p
2<x<p
2avem cos x>0, decijcosxj=cosx. De asemenea x¸ si sin xau acela¸ si
semn, decijxj
jsinxj=x
sinx. Inegalit ˘a¸ tile precedente se scriu:
1x
sinx1
cosx
deci:
1sinx
xcosx
de unde:
1sinx
x cosx:
Adunând 1 cu to¸ ti membri, se ob¸ tine:
01sinx
x1cosx:
Dar,
lim
x!0(1cosx) =0:
Aplicând criteriul major ˘arii rezult ˘a:
lim
x!0sinx
x=1:
Observa¸ tie.
Avem de asemenea:
lim
x!0x
sinx=1:
Într-adev ˘ar, pentru x6=0, avemx
sinx=1
sinx
x. Se trece apoi la limit ˘a ¸ si ob¸ tinem lim
x!0x
sinx=1:
2)lim
x!0tg x
x=lim
x!0sinx
x1
cosx
=lim
x!0sinx
xlim
x!01
cosx=11
cos 0=1.
3)lim
x!0arcsin x
x=lim
y!0y
siny=1.
Am notat y=arcsin x:Dac˘ax!0, atunci y!0 ¸ si deci lim
y!0y
siny=1.
4)lim
x!0arctg x
x=lim
y!0y
tg y=1.
Am notat y=arctg x :Dac˘ax!0, atunci y!0 ¸ si deci lim
y!0y
tg y=lim
y!01
tg y
y=1.
Teorema 31. Dac˘a limx!x0u(x) =0 ¸ siu(x)6=0 pentru x6=x0, atunci
1)limx!x0sinu(x)
u(x)=1,2)limx!x0tg u(x)
u(x)=1,3)limx!x0arcsin u(x)
u(x)=1,4)limx!x0arctg u (x)
u(x)=1:
Demonstra¸ tie.
1)Notând y=u(x), observ ˘am c ˘a dac ˘ax!x0¸ six6=x0, atunci y!0 ¸ siy6=0, deci:
26

lim
x!x0sinu(x)
u(x)=lim
y!0siny
y=1.
2)Notând y=u(x), observ ˘am c ˘a dac ˘ax!x0¸ six6=x0, atunci y!0 ¸ siy6=0, deci:
limx!x0tg u(x)
u(x)=lim
y!0tg y
y=1:
3)Notând y=u(x), observ ˘am c ˘a dac ˘ax!x0¸ six6=x0, atunci y!0 ¸ siy6=0, deci:
limx!x0arcsin u(x)
u(x)=lim
y!0arcsin y
y=1.
4)Notând y=u(x), observ ˘am c ˘a dac ˘ax!x0¸ six6=x0, atunci y!0 ¸ siy6=0, deci:
limx!x0arctg u (x)
u(x)=lim
y!0arctg y
y=1.
Observa¸ tii:
1) Din lim
x!x0sinu(x)
u(x)=1 ¸ si lim
x!x0tg u(x)
u(x)=1 deducem, în particular:
lim
x!0sinax
bx=a
b¸ si lim
x!0tgax
bx=a
b,b6=0:
Într-adev ˘ar, dac ˘aa=0, avem sin ax=tgax=0 ¸ si egalit ˘a¸ tile sunt veriﬁcate.
Dac˘aa6=0, avem lim
x!0sinax
bx=lim
x!0a
bsinax
ax=a
blim
x!0sinax
ax=a
b1=a
b¸ si
lim
x!0tgax
bx=lim
x!0a
btgax
ax=a
blim
x!0tgax
ax=a
b1=a
b.
2) Limitele remarcabile din teoremele 30 ¸ si 31 elimin ˘a o nedeterminare de forma0
0
.
Exemple:
S˘a se calculeze limitele: a) lim
x!0arcsin x+arcsin2 x
x; b) lim
x!0sinx+sin2x
sin3x+sin4x;
c) lim
x!p
2sin2x
p2x; d) lim
x!0arctgx
x2+2x.
Rezolvare.
a) lim
x!0arcsin x+arcsin2 x
x=0
0
=lim
x!0arcsin x
x+arcsin2 x
2x2
=
lim
x!0arcsin x
x+lim
x!0arcsin2 x
2x2=1+12=3;
b) Solu¸ tia I. lim
x!0sinx+sin2x
sin3x+sin4x=lim
x!0sinx
x+sin2x
x2
sin3x
3x3+sin4x
4x4=1+2
3+4=3
7;
Solu¸ tia a II-a. V om prelucra limita astfel:
lim
x!0sinx+sin2x
sin3x+sin4x=lim
x!0sinx
1+sin2x
sinx
sin3x
1+sin4x
sin3x=lim
x!0sinx
sin3x1+sin2x
sinx
1+sin4x
sin3x=1
31+2
1+4
3=3
7:
(Am ¸ tinut seama de observa¸ tia 1.)
c) Se noteaz ˘axp
2=y¸ si deci y!0 dac ˘ax!p
2. Limita se scrie în func¸ tie de yastfel
lim
x!p
2sin2x
p2x=0
0
=lim
y!0sin(p+2y)
2y=lim
y!0sin2y
2y=1;
27

d) lim
x!0arctgx
x2+2x=0
0
=lim
x!0arctgx
x1
x+2=lim
x!0arctgx
xlim
x!01
x+2=11
2=1
2.
Teorema 32. Avem:
1)lim
x!0(1+x)1
x=e,2)lim
x!0ln(1+x)
x=1,
3)lim
x!0ax1
x=lna;a>0,4)lim
x!0(1+x)r1
x=r,r2R.
Demonstra¸ tie.
1)Dac˘axn!0 ¸ sixn>0, atunci:
(1+xn)1
xn!e.
Deducem c ˘a limita la dreapta în 0 a func¸ tiei (1+x)1
xestee:
lim
x&0(1+x)1
x=e.
În mod asem ˘an˘ator, se arat ˘a c˘a ¸ si limita la stânga în 0 a acestei func¸ tii este e:
lim
x%0(1+x)1
x=e.
Cele dou ˘a limite laterale ﬁind egale, rezult ˘a c˘a func¸ tia (1+x)1
xare în punctul 0 limita e:
lim
x!0(1+x)1
x=e.
2)lim
x!0ln(1+x)
x=lim
x!01
xln(1+x) =lim
x!0ln(1+x)1
x=ln lim
x!0(1+x)1
x=lne=1.
3)Pentru a>0,a6=1, notând y=ax1, avem ax=1+y¸ sixlna=ln(1+y), deci:
lim
x!0ax1
x=lim
y!0y
ln(1+y)
lna=lim
y!0ylna
ln(1+y)= (lna)lim
y!01
ln(1+y)
y=lna:
4)Pentru orice num ˘ar real r, notând 1 +x=ey,x=ey1 ob¸ tinem:
lim
x!0(1+x)r1
x=lim
y!0eyr1
ey1=lim
y!0eyr1
yry
ey1ryr=t=lim
t!0et1
tlim
y!0y
ey1r=r.
Observa¸ tie.
Prima limit ˘a elimin ˘a cazul exceptat [1¥], iar urm ˘atoarele trei limite cazul exceptat0
0
.
Teorema 33. Dac˘a limx!x0u(x) =0 ¸ siu(x)6=0 pentru x6=x0, atunci
1)limx!x0(1+u(x))1
u(x)=e,2)limx!x0ln(1+u(x))
u(x)=1,
3)limx!x0au(x)1
u(x)=lna;a>0,4)limx!x0(1+u(x))r1
u(x)=r,r2R.
Demonstra¸ tie.
Notând y=u(x), observ ˘am c ˘a dac ˘ax!x0¸ six6=x0, atunci y!0 ¸ siy6=0, deci:
limx!x0(1+u(x))1
u(x)=lim
y!0(1+y)1
y=e, limx!x0ln(1+u(x))
u(x)=lim
y!0ln(1+y)
y=1,
28

limx!x0au(x)1
u(x)=lim
y!0ay1
y=lna, limx!x0(1+u(x))r1
u(x)=lim
y!0(1+y)r1
y=r.
Observa¸ tie.
Prima limit ˘a elimin ˘a cazul exceptat [1¥], iar urm ˘atoarele trei limite cazul exceptat0
0
.
Exemplu.
lim
x!03p1+x
34p1+x
4
1p1x
2=0
0
=lim
x!03p1+x
314p1+x
4+1
p1x
21 =
lim
x!03p
1+x
31
x4p
1+x
41
x
p
1x
21
x=lim
x!01
33p
1+x
31
x
31
44p
1+x
41
x
4
1
2p
1x
21
x
2=L:
lim
x!03p1+x
31
x
3=lim
x!0
1+x
31
31
x
3=lim
y!0(1+y)1
31
y=1
3unde ynot=x
3,x!0 siy!0;
lim
x!04p1+x
41
x
4=lim
x!0
1+x
41
41
x
4=lim
y!0(1+y)1
41
y=1
4unde ynot=x
4,x!0 siy!0;
lim
x!0p1x
21
x
2=lim
x!0
1x
21
21
x
2=lim
y!0(1+y)1
21
y=1
2unde ynot=x
2,x!0 siy!0:
Deci, L=1
31
31
41
4
1
21
2=1
91
16
1
4=7
36:
1.9. Cazuri exceptate la opera¸ tiile cu limite de func¸ tii
Regulile stabilite în paragraful precedent pentru opera¸ tiile cu limite de func¸ tii nu se pot aplica
în cazurile exceptate, când opera¸ tiile cu aceste limite nu au sens, cazuri desemnate prin: ¥¥,
0¥,0
0,¥
¥, 00, 1¥,¥0:
Pentru a putea stabili dac ˘a în aceste cazuri exist ˘a limit ˘a, trebuie întreprins un studiu direct
asupra func¸ tiilor.
Pentru func¸ tiile elementare se procedeaz ˘a, în esen¸ t ˘a, astfel:
Pentru a calcula limita unei func¸ tii într-un punct x0, se înlocuie¸ ste argumentul xcux0; dac ˘a
se ob¸ tine un num ˘ar ﬁnit sau inﬁnit, acest num ˘ar este limita func¸ tiei în x0.Dac˘ a se ajunge la una
din opera¸ tiile f˘ ar˘ a sens , uneori se fac anumite transform˘ ari pentru a ob¸ tine o func¸ tie egal˘ a cu cea
ini¸ tial˘ a (în punctele x 6=x0), astfel încât, înlocuind în noua func¸ tie pe x cu x 0s˘ a nu mai ajungem la
o opera¸ tie f˘ ar˘ a sens, ci la un num˘ ar bine determinat; acest num˘ ar este limita func¸ tiei în x 0. Alteori
se folosesc limitele fundamentale (remarcabile).
1. Cazul de nedeterminare0
0
.
* Limite de func¸ tii ra¸ tionale în puncte ﬁnite x 0.
Se face simpliﬁcarea prin (xx0)k,k2Z
.
Exemplu:
lim
x!1xnnx+n1
(x1)2=lim
x!1(xn1)n(x1)
(x1)2=lim
x!1(x1)
xn1+xn2+:::+x+1
n(x1)
(x1)2=
lim
x!1(x1)
xn1+xn2+:::+x+1n
(x1)2=lim
x!1xn1+xn2+:::+x+1n
x1=
29

lim
x!1
xn11
+
xn21
+:::+(x1)
x1=ålim
x!1xk1
x1=åk=n(n+1)
2:
* Limite de func¸ tii deﬁnite prin cât de expresii ira¸ tionale.
– Sub radicali de ordine diferite ﬁgureaz ˘a aceeasi expresie.
(Se schimb ˘a variabila, notându-se radicalul de ordin egal cu cel mai mic multiplu comun al
ordinelor radicalilor cu alt ˘a variabil ˘a, când se ajunge la limita unei func¸ tii ra¸ tionale).
Exemplu:
lim
x!1px+3px2px1=lim
y!1y3+y22
y31=lim
y!1(y1)
y2+2y+2
(y1)(y2+y+1)=lim
y!1y2+2y+2
y2+y+1=5
3:
Cu nota¸ tia y=6pxcum x!1, atunci t!1:
– Sub radicali de acela¸ si ordin ﬁgureaz ˘a expresii diferite.
(Se ampliﬁc ˘a num ˘ar˘atorul ¸ si (sau) numitorul cu expresia conjugat ˘a).
Exemplu:
lim
x!1p
x2+x+1p
3p
x2x+11=lim
x!1p
x2+x+1p
3
11p
x2x+11=
lim
x!1p
x2+x+1p
3
p
x2+x+1+p
3
p
x2+x+1+p
3p
x2x+1+1p
x2x+11
p
x2x+1+1=
lim
x!1×2+x+13p
x2+x+1+p
3p
x2x+1+1
x2x+11=lim
x!1×2+x2p
x2+x+1+p
3p
x2x+1+1
x2x=
lim
x!1(x1)(x+2)p
x2x+1+1
x(x1)p
x2+x+1+p
3=lim
x!1(x+2)p
x2x+1+1
xp
x2+x+1+p
3=32
2p
3=p
3.
* Limite de func¸ tii trigonometrice.
(Pentru a elimina nedeterminarea se utilizeaz ˘a limitele fundamentale).
Exemplu:
lim
x!p
62sin2x5sin x+2
sin6x=lim
x!p
6(2sin x1)(sinx2)
sin6x=lim
x!p
62sin x1
sin6xlim
x!p
6(sinx2) =
3
2lim
x!p
62sin x1
sin6x=3
2lim
y!02sin
y+p
6
1
sin(p+6y)=3
2lim
y!0p
3sin y+cosy1
sin6y=
3
2lim
y!0
p
3siny
sin6y+1cosy
sin6y
=3p
3
2lim
y!0siny
y6y
sin6y1
6
3
2lim
y!06y
sin6y1cosy
6y
=
3p
3
123
12lim
y!01cosy
y
=3p
3
12=p
3
4:
Pentru a calcula lim
y!01cosy
yînmul¸ tim ¸ si împ ˘ar¸ tim cu un fel de conjugat ˘a adic ˘a cu 1 +cosy.
Avem
lim
y!01cosy
y=lim
y!0(1cosy)(1+cosy)
y(1+cosy)=lim
y!01cos2y
y(1+cosy)=
lim
y!0sin2y
y(1+cosy)=lim
y!0sin2y
y2y2
1+cosy
=1lim
y!0y2
1+cosy=10=0:
Au fost utilizate formulele trigonometrice sin2x+cos2x=1;sin(a+b) =sinacosb+sinbcosa
¸ si limita fundamental ˘a lim
x!0sinx
x=1:
* Limite de func¸ tii exponen¸ tiale, logaritmice.
(Pentru a elimina nedeterminarea se utilizeaz ˘a limitele fundamentale).
Exemple:
30

a) lim
x!02sinx1
x=lim
x!02sinx1
sinxsinx
x=lim
x!02sinx1
sinxlim
x!0sinx
x=ln21=ln2:
b) lim
x!0ln
1+x+x3
x2+x=lim
x!0
ln
1+x+x3
x+x3x+x3
x2+x!
=lim
x!0ln
1+x+x3
x+x3lim
x!0x+x3
x2+x=
1lim
x!0x+x3
x2+x=0
0
=lim
x!0x
1+x2
x(x+1)=lim
x!01+x2
x+1=1:
Pentru a elimina nedeterminarea am folosit urm ˘atoarele limitele fundamentale pentru func¸ tiile
compuse: limx!x0au(x)1
u(x)=lna;a>0 ¸ si limx!x0ln(1+u(x))
u(x)=1;dac˘a limx!x0u(x) =0 ¸ si u(x)6=0
pentru x6=x0:
2.Cazul de nedeterminareh¥
¥i
:
(Nedeterminarea se înl ˘atur˘a, de regul ˘a, utilizând ”factorul comun for¸ tat”).
*Limite de func¸ tii ra¸ tionale.
Exemple:
S˘a se calculeze limitele: a) limx!¥4×3x2+1
2×3+x+2; b) lim
x!¥3×4+x21
2×2x+1; c) limx!¥2×2+x+1
3×4+x2+3:
Rezolvare.
a) limx!¥4×3x2+1
2×3+x+2=h¥
¥i
=limx!¥x3
41
x+1
x3
x3
2+1
x2+2
x3=limx!¥41
x+1
x3
2+1
x2+2
x3=4
2=2;
b) lim
x!¥3×4+x21
2×2x+1=h¥
¥i
=lim
x!¥x4
3+1
x21
x4
x2
21
x+1
x2=lim
x!¥x2
3+1
x21
x4
21
x+1
x2=
3
2

(¥)2=¥;
c) limx!¥2×2+x+1
3×4+5×2+3=h¥
¥i
=limx!¥x2
2+1
x+1
x2
x4
3+5
x2+3
x4=limx!¥2+1
x+1
x2
x2
3+5
x2+3
x4=2
¥3=0:
*Limite de func¸ tii ira¸ tionale, exponen¸ tiale si logaritmice.
Exemple:
S˘a se calculeze limitele: a) lim
x!¥p
x2+1
x+1; b) lim
x!+¥p
x2+1p
x2+4; c) lim
x!+¥ln(ex+a)
ln(ex+b).
Rezolvare.
a) Avem nedeterminarea¥
¥:Pentru x<0, ob¸ tinem:
lim
x!¥p
x2+1
x+1=lim
x!¥s
x2
1+1
x2
x(1+1
x)=lim
x!¥jxjr
1+1
x2
x(1+1
x)=
lim
x!¥xr
1+1
x2
x(1+1
x)=lim
x!¥r
1+1
x2
1+1
x=1:
b) Avem nedeterminarea¥
¥:Prelucr ˘am frac¸ tia ¸ si ob¸ tinem:
31

lim
x!+¥p
x2+1p
x2+4=lim
x!+¥r
x2(1+1
x2)
r
x2(1+4
x2)=lim
x!+¥jxjr
1+1
x2
jxjr
1+4
x2=lim
x!+¥r
1+1
x2r
1+4
x2=1:
c) lim
x!+¥ln(ex+a)
ln(ex+b)=lim
x!+¥lnex(1+a
ex)
lnex(1+b
ex)=lim
x!+¥lnex+ln(1+a
ex)
lnex+ln(1+b
ex)=lim
x!+¥x+ln(1+a
ex)
x+ln(1+b
ex)=
lim
x!+¥x2
41+ln(1+a
ex)
x3
5
x2
641+ln(1+b
ex)
x3
75!1;deoarece lim
x!+¥ln(1+a
ex)
x=0:
3.Cazul de nedeterminare [¥¥]:
(În acest caz se recomand ˘atransformarea func¸ tiei de sub limit˘ a , iar în cazul radicalilor, am-
pliﬁcarea eventual ˘a cu expresia conjugat˘ a saufactorul comun for¸ tat ).
*Limite de func¸ tii ra¸ tionale.
(Pentru a elimina nedeterminarea se aduc frac¸ tiile la acela¸ si numitor ):
Exemple:
S˘a se calculeze limitele: a) lim
x%21
x24
x24
; b) lim
x&11
x13
x31
:
Rezolvare.
a) Deoarece lim
x%21
x2=1
0=¥¸ si lim
x%24
x24=4
0=¥;avem nedeterminarea [¥¥]:
Efectu ˘am calculele ¸ si ob¸ tinem:
lim
x%21
x24
x24
=lim
x%2x+24
(x2)(x+2)=lim
x%2x2
(x2)(x+2)=lim
x%21
x+2=1
4;
b) Avem nedeterminarea [¥¥]deoarece lim
x&11
x1=1
0+=¥, iar lim
x&13
x31=3
0+=¥:
Efectu ˘am calculele ¸ si ob¸ tinem:
lim
x&11
x13
x31
=lim
x&11
x13
(x1)(x2+x+1)
=lim
x&1×2+x2
(x1)(x2+x+1)=
lim
x&1(x1)(x+2)
(x1)(x2+x+1)=lim
x&1x+2
x2+x+1=3
3=1
*Limite de func¸ tii ira¸ tionale (prin ampliﬁcare cu conjugata ).
Exemplu:
limx!¥3px+13px
= [¥¥] =limx!¥x+1x
3q
(x+1)2+3p
x(x+1)+3p
x2=
limx!¥1
3q
(x+1)2+3p
x(x+1)+3p
x2=1
¥=0;
*Limite de func¸ tii ira¸ tionale (prin for¸ tare de factor comun a lui xla puterea cea mai mare ).
Exemplu:
limx!¥
3p
x24p
x3
= [¥¥] =limx!¥
x2
3x3
4
=limx!¥x3
4
x1
121
=
limx!¥x3
41
x1
121
=¥(01) =¥:
32

4.Cazul de nedeterminare [0¥]:
(Nedeterminarea se transform ˘a în unul din cazurile exceptate0
0
sauh¥
¥i
).
Exemple.
S˘a se calculeze limitele: a) limx!¥xsin1
x; b) lim
x!0(xarcsin x)1
ln(x2+1):
Rezolvare.
a) limx!¥xsin1
x= [0¥] =limx!¥sin1
x
1
x=0
0
=lim
y!0siny
y=1
1
xnot=y;pentru x!¥avem y!0
:
b) V om utiliza urm ˘atoarele limite fundamentale: lim
x!0arcsin x
x=1 ¸ si limx!x0ln(1+u(x))
u(x)=1:
Efectu ˘am calculele ¸ si ob¸ tinem:
lim
x!0(xarcsin x)1
ln(x2+1)= [0¥] =lim
x!0arcsin x
xx2
ln(x2+1)=
lim
x!0arcsin x
xlim
x!01
ln
x2+1
x2=11=1:
5.Cazul de nedeterminare [1¥]:
În acest caz exceptat se utilizeaz ˘a limitele fundamentale:
lim
x!0(1+x)1
x=e¸ si limx!x0(1+u(x))1
u(x)=e
dac˘a limx!x0u(x) =0 ¸ siu(x)6=0 pentru x6=x0
.
Exemple:
a) lim
x!0(ex+x)1
x= [1¥] =lim
x!0n
[1+(ex+x1)]1
ex+x1oex+x1
x=eL:
L=lim
x!0ex+x1
x=lim
x!0ex1
x+1
=lne+1=1+1=2;deci lim
x!0(ex+x)1
x=e2:
b) lim
x!0(cosx)1
x2=lim
x!0n
[1+(cosx1)]1
cosx1ocosx1
x2=eL:
L=lim
x!0cosx1
x2=lim
x!0(cosx1)(cosx+1)
x2(cosx+1)=lim
x!0cos2x1
x2(cosx+1)=lim
x!0sin2x
x2(cosx+1)=
lim
x!0sin2x
x2lim
x!01
cosx+1=11
2=1
2;deci lim
x!0(cosx)1
x2=e1
2=1pe:
6.Cazurile de nedeterminare
00
¸ si
¥0
:
Pentru înl ˘aturarea nedetermin ˘arii se utilizeaz ˘a egalitatea fg=eglnf¸ si limitele remarcabile
limx!¥xa
ex=0,a>0 ¸ si limx!¥lnx
xa=0,a>0 ( cele dou ˘a limite remarcabile se demonstreaz ˘a cu teorema
lui L’Hospital).
Exemple:
S˘a se calculeze limitele: a) lim
x&0xx; b) limx!¥x1
x
Rezolvare:
a) lim
x&0xx=
00
=lim
x&0exlnx=elim
x&0xlnx
=eL
33

L=lim
x&0xlnx= [0(¥)] = limy!¥(eylney) =limy!¥(yey) =limy!¥y
ey=0;deci
lim
x&0xx=eo=1

lnxnot=y;x=eypentru x!0 ¸ six>0 avem y!¥
:
b) limx!¥x1
x=
¥0
=limx!¥e1
xlnx=elnx
x=e0=1:
Observatie.
Am v ˘azut c ˘a pentru a elimina nedetermin ˘arile în cazul limitelor de func¸ tii este necesar un
studiu direct pentru a stabili dac ˘a exist ˘a limita. Metodele folosite într-un astfel de studiu nu au
un caracter unitar ¸ si, de multe ori, presupun o ingeniozitate deosebit ˘a ¸ si o bogat ˘a experien¸ t ˘a în
calculul de limite din partea aceluia care le mânuie¸ ste. Un procedeu mai simplu ¸ si unitar, care
cu ajutorul derivatelor permite rezolvarea problemei într-un num ˘ar destul de mare de împrejur ˘ari
este a¸ sa-numita “ regul ˘a a lui L’Hospital“, aplicabil ˘a(în anumite condi¸ tii )cazurilor0
0
¸ sih¥
¥i
:
Celelalte cazuri se reduc la acestea.
34

Capitolul 2
Aplica¸ tii metodice în calculul limitelor de func¸ tii
2.1. Exemple de limite de func¸ tii
1.S˘ a se calculeze: lim
x!01coslx
x2.
Rezolvare . De¸ si este este o limit ˘a în care apar func¸ tii trigonometrice formulele de trigonome-
trie care vor ﬁ folosite sunt de bun sim¸ t sin2x+cos2x=1 ¸ si apoi se utilizeaz ˘a limita fundamental ˘a
lim
x!0sinx
x=1. Ideea este simpl ˘a, înmul¸ tim ¸ si împ ˘ar¸ tim cu un fel de conjugat ˘a adic ˘a cu 1 +coslx.
Avem
lim
x!01coslx
x2==0
0
=lim
x!0(1coslx)(1+coslx)
x2(1+coslx)=lim
x!01cos2lx
x2(1+coslx)
lim
x!01
1+coslxsin2lx
x2=lim
x!01
1+coslxlim
x!0sin2lx
x2=1
2lim
x!0sin2lx
x2
=l2
2lim
x!0sin2lx
l2x2=l2
2:
2.S˘ a se calculeze:
lim
x!01cosxcos2 xcosnx
x2:
Rezolvare . Aceasta este problema nr. 7211 din Gazeta matematic ˘a seria B, nr. 12, 1966. Ea a
fost propus ˘a de Gh. Szollosy. Procedeul de rezolvare care urmeaz ˘a îi apar¸ tine lui Dan V oiculescu,
atunci elev, ast ˘azi un matematician binecunoscut. Not ˘am
Ln=lim
x!01cosxcos2 xcosnx
x2:
Ideea este aproape invariabil urm ˘atoarea: Adun ˘am ¸ si sc ˘adem ultimul termen ¸ si îi grup ˘am ﬁresc
Ln=lim
x!01cosnx+cosnxcosxcos2 xcosnx
x2
=lim
x!01cosnx+cosnx(1cosxcos2 xcos(n1)x)
x2
=lim
x!01cosnx
x2+lim
x!0cosnx1cosxcos2 xcos(n1)x
x2
=lim
x!01cosnx
x2+lim
x!0cosnxlim
x!01cosxcos2 xcos(n1)x
x2
=lim
x!01cosnx
x2+lim
x!01cosxcos2 xcos(n1)x
x2
=lim
x!01cosnx
x2+Ln1:
A¸ sadar,
Ln=Ln1+lim
x!01cosnx
x2,8n2
Dar din aplica¸ tia precedent ˘a
lim
x!01cosnx
x2=n2
2
35

A¸ sadar, avem
Ln=Ln1+n2
2,8n2
din aceast ˘a egalitate se vede c ˘a mai trebuie calculat L1=lim
x!01cosx
x2=12
2(nu o mai calcul ˘a c˘a
o avem deja calculat ˘a !!!)
Acum ¸ stim cum facem, d ˘am valori lui n=2, …, n¸ si adun ˘am rela¸ tiile respective.
L2=L1+22
2
L3=L2+32
2
Ln1=Ln2+(n1)2
2
Ln=Ln1+n2
2
Termenii se reduc doi câte doi ¸ si ob¸ tinem
Ln=L1+22
2++n2
2
În aceast ˘a rela¸ tie înlocuim L1=12
2¸ si vom ob¸ tine
Ln=12
2+22
2++n2
2=n(n+1)(2n+1)
12:
3.Fie a 1;:::;an2Rs˘ a se calculeze:
lim
x!01cosa1xcosa2xcosanx
x2:
Rezolvare . Not ˘am
L(a1;:::;an) =lim
x!01cosa1xcosa2xcosanx
x2=0
0
:
Adun ˘am ¸ si sc ˘adem ultimul termen ¸ si ca în prima solu¸ tie ob¸ tinem
L(a1;:::;an) = lim
x!01cosanx
x2+lim
x!01cosa1xcosa2xcosan1x
x2
=lim
x!01cosanx
x2+L(a1;:::;an1):
Acum am demonstrat c ˘a lim
x!01coslx
x2=l2
2. Ob¸ tinem
L(a1;:::;an) =L(a1;:::;an1)+a2
n
2,8n2
36

¸ Si aici se vede c ˘a trebuie calculat ˘aL(a1) =lim
x!01cosa1x
x2=a2
1
2(¸ stim asta). D ˘am la fel valori ¸ si
adun ˘am (rela¸ tiile trebuie scrise ca s ˘a se vad ˘a c˘a se reduc)
n=2)L(a1;a2) =L(a1)+a2
2
2
n=3)L(a1;a2;a3) =L(a1;a2)+a2
3
2
n!n1)L(a1;:::;an1) =L(a1;:::;an2)+a2
n1
2
n!n)L(a1;:::;an) =L(a1;:::;an1)+a2
n
2
¸ si ob¸ tinem
L(a1;:::;an) =L(a1)+a2
2
2++a2
n
2
de unde
L(a1;:::;an) =a2
1++a2
n
2:
4.S˘ a se calculeze:
lim
x!0cosa1xcosa2xcosanxcosb1xcosb2xcosbnx
x2:
Rezolvare . Avem
lim
x!0cosa1xcosa2xcosanxcosb1xcosb2xcosbnx
x2=
=lim
x!0(1cosb1xcosb2xcosbnx)(1cosa1xcosa2xcosanx)
x2
=lim
x!01cosb1xcosb2xcosbnx
x2lim
x!01cosa1xcosa2xcosanx
x2
=a2
1++a2
n
2b2
1++b2
n
2:
5.S˘ a se calculeze:
lim
x!01ln(e+a1x)ln(e+a2x)ln(e+anx)
x;
lim
x!01lnn(e+ax)
x;
lim
x!01ln(e+x)ln(e+2x)ln(e+nx)
x:
Rezolvare . Not ˘am
L(a1;:::;an) =lim
x!01ln(e+a1x)ln(e+a2x)ln(e+anx)
x=0
0
:
37

V om folosi procedeul lui Dan V oiculescu. Adun ˘am ¸ si sc ˘adem ultimul termen. Ob¸ tinem
L(a1;:::;an) =lim
x!01ln(e+anx)+ln(e+anx)ln(e+a1x)ln(e+a2x)ln(e+an1x)ln(e+anx)
x
=lim
x!01ln(e+anx)
x+lim
x!0ln(e+anx)lim
x!01ln(e+a1x)ln(e+a2x)ln(e+an1x)
x
=lim
x!01ln(e+anx)
x+lim
x!01ln(e+a1x)ln(e+a2x)ln(e+an1x)
x
=lim
x!01ln(e+anx)
x+L(a1;:::;an1):
Acum va trebui s ˘a calcul ˘am lim
x!01ln(e+lx)
x=0
0
. Folosim ln e=1 ¸ si ln alnb=lna
b. Avem
lim
x!01ln(e+lx)
x=0
0
=lim
x!0lneln(e+lx)
x=lim
x!0lne
e+lx
x
=lim
x!0ln
1+e
e+lx1
x=lim
x!0ln
1lx
e+lx
x=lim
x!02
4ln
1lx
e+lx
lx
e+lxlx
e+lx
x3
5
=lim
x!0ln
1lx
e+lx
lx
e+lxlim
x!0lx
e+lx
x=1lim
x!0
l
e+lx
=l:
Am ¸ tinut cont c ˘a lim
y!0ln(1+y)
y=1. A¸ sadar,
L(a1;:::;an) =L(a1;:::;an1)an,8n2:
În plus
L(a1) =lim
x!01ln(e+a1x)
x=a1:
D˘am la fel valori ¸ si adun ˘am (rela¸ tiile trebuie scrise ca s ˘a se vad ˘a c˘a se reduc)
n=2)L(a1;a2) =L(a1)a2
n=3)L(a1;a2;a3) =L(a1;a2)a3

n!n1)L(a1;:::;an1) =L(a1;:::;an2)an1
n!n)L(a1;:::;an) =L(a1;:::;an1)an
¸ si ob¸ tinem
L(a1;:::;an) = L(a1)a2 an
=a1 an=(a1+a2++an) =n
å
i=1ai:
Pentru a1=a2==an=aob¸ tinem
lim
x!01lnn(e+ax)
x=na:
38

Pentru ai=i2ob¸ tinem
lim
x!01ln
e+12x
ln
e+22x
ln
e+n2x
x=n
å
i=1i2=n(n+1)(2n+1)
6:
6.S˘ a se calculeze:
lim
x!0ln(e+a1x)ln(e+a2x)ln(e+anx)ln(e+b1x)ln(e+b2x)ln(e+bnx)
x:
Rezolvare . Folosind aplica¸ tia precedent ˘a avem
lim
x!0ln(e+a1x)ln(e+a2x)ln(e+anx)ln(e+b1x)ln(e+b2x)ln(e+bnx)
x=0
0
=lim
x!0[1ln(e+b1x)ln(e+b2x)ln(e+bnx)](1ln(e+a1x)ln(e+a2x)ln(e+anx))
x
=lim
x!01ln(e+b1x)ln(e+b2x)ln(e+bnx)
xlim
x!0(1ln(e+a1x)ln(e+a2x)ln(e+anx))
x
= (a1+a2++an)(b1+b2++bn):
7.S˘ a se calculeze:
lim
x!01p1+a2x3p1+a3xnp1+anx
x;n2;
lim
x!01p1+2x3p1+3xnp1+nx
x;n2;
lim
x!01p1+x
13p1+x
2nq
1+x
n1
x;n2:
Rezolvare . Not ˘am
L(a2;:::;an) =lim
x!01p1+a2x3p1+a3xnp1+anx
x:
V om folosi iar ˘a¸ si procedeul lui Dan V oiculescu.
L(a2;:::;an) = lim
x!01np1+anx+np1+anxp1+a2x3p1+a3xnp1+anx
x
=lim
x!01np1+anx
x+lim
x!0np1+anx
1p1+a2x3p1+a3xn1p1+an1x
x
=lim
x!01np1+anx
x+lim
x!0np
1+anxlim
x!01p1+a2x3p1+a3xn1p1+an1x
x=
=lim
x!01np1+anx
x+lim
x!01p1+a2x3p1+a3xn1p1+an1x
x
=lim
x!01np1+anx
x+L(a2;:::;an1):
A¸ sadar,
L(a2;:::;an) =lim
x!01np1+anx
x+L(a2;:::;an1),8n3:
39

Pentru a calcula lim
x!01np1+anx
xvom folosi limita fundamental ˘a lim
y!0(1+y)r1
y=r,r2R.
Avem
lim
x!01np1+anx
x=lim
x!0np1+anx1
x=lim
x!0(1+anx)1
n1
anxanx
x=1
nan=an
n:
V om ob¸ tine
L(a2;:::;an) =L(a2;:::;an1)an
n,8n3
iar
L(a2) =lim
x!01p1+a2x
x=a2
2:
Acum d ˘am valori lui n¸ si adun ˘am rela¸ tiile respective; aici va trebui s ˘a începem de la n=3, pentru
c˘a apare radical de ordin 2.
n=3)L(a2;a3) =L(a2)a3
3
n=4)L(a2;a3;a4) =L(a2;a3)a4
4
n!n1)L(a1;:::;an1) =L(a1;:::;an2)an1
n1
n!n)L(a1;:::;an) =L(a1;:::;an1)an
n
¸ si ob¸ tinem
L(a2;:::;an) = L(a2)a3
3an
n
=a2
2a3
3an
n=a2
2+a3
3++an
n
:
Pentru ai=iîn prima limit ˘a ob¸ tinem
lim
x!01p1+2x3p1+3xnp1+nx
x=n
å
i=2ai
i=n
å
i=21=(n1):
Pentru ai=1
i1în prima limit ˘a ob¸ tinem
lim
x!01p1+x
13p1+x
2nq
1+x
n1
x=n
å
i=2ai
i=n
å
i=21
i(i1):
Pentru a calcula suma descompunem în frac¸ tii simple ¸ si ob¸ tinem1
i(i1)=1
i11
i, de unde
n
å
i=21
i(i1)=11
n=n1
n; o sum ˘a binecunoscut ˘a. A¸ sadar,
lim
x!01p1+x
13p1+x
2nq
1+x
n1
x=n1
n:
8.S˘ a se calculeze:
lim
x!0p1+a2x3p1+a3xnp1+anxp1+b2x3p1+b3xnp1+bnx
x;n2:
40

Rezolvare . Avem din aplica¸ tia precedent ˘a
lim
x!0p1+a2x3p1+a3xnp1+anxp1+b2x3p1+b3xnp1+bnx
x
=lim
x!0
1p1+b2x3p1+b3xnp1+bnx

1p1+a2x3p1+a3xnp1+anx
x
=lim
x!0
1p1+b2x3p1+b3xnp1+bnx
xlim
x!0
1p1+a2x3p1+a3xnp1+anx
x
=a2
2+a3
3++an
n
b2
2+b3
3++bn
n
:
9.S˘ a se calculeze:
lim
x!0[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2
x:
Rezolvare . Avem
lim
x!0[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2
x=0
0
:
Acum de fapt avem11
0
asta înseamn ˘a c˘a va trebui s ˘a adun ˘am ¸ si s ˘a sc˘adem cîte un 1 la numitor.
Avem
lim
x!0[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2
x=lim
x!0
1[ln(e+a2x)]b2

1[ln(e+a1x)]b1
x
=lim
x!01[ln(e+a2x)]b2
xlim
x!01[ln(e+a1x)]b1
x:
Calcul ˘am acum lim
x!01[ln(e+ax)]b
x=0
0
. V om folosi limita lim
y!0(1+y)r1
y=r,r2R. Avem
lim
x!01[ln(e+ax)]b
x=lim
x!0[ln(e+ax)]b1
x=lim
x!0[1+ln(e+ax)1]b1
ln(e+ax)1ln(e+ax)1
x
lim
x!0[1+ln(e+ax)1]b1
ln(e+ax)1lim
x!0ln(e+ax)1
x=blim
x!0ln(e+ax)1
x:
La aceasta folosim un procedeu deja utilizat; ln e=1, ln alnb=lna
b¸ si limita fundamental ˘a
lim
y!0ln(1+y)
y=1.
lim
x!0ln(e+ax)1
x=lim
x!0ln(e+ax)lne
x=lim
x!0lne+ax
e
x=lim
x!0ln
1+ax
e
ax
eax
e
x
=lim
x!0ln
1+ax
e
ax
eax
e
x=lim
x!0ln
1+ax
e
ax
elim
x!0ax
e
x=a
e:
A¸ sadar,
lim
x!01[ln(e+ax)]b
x=ab
e:
41

V om ob¸ tine c ˘a limita din enun¸ t este egal ˘a cu
lim
x!0[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2
x=lim
x!01[ln(e+a2x)]b2
xlim
x!01[ln(e+a1x)]b1
x
=a2b2a1b1
e:
10.S˘ a se calculeze:
lim
x!0[ln(e+a1x)]b1[ln(e+anx)]bn[ln(e+c1x)]d1[ln(e+cnx)]dn
x;
lim
x!0[ln(e+ax)]nb[ln(e+cx)]nd
x:
Rezolvare . Sub aceast ˘a form ˘a aplica¸ tia este diﬁcil ˘a. Cea care va sugera procedeul de rezolvare
este maniera în care apare cazul de nedeterminare. Aici avem cazul0
0
¸ si mai exact11
0
; asta
înseamn ˘a c˘a va trebui s ˘a adun ˘am ¸ si s ˘a sc˘adem câte un 1 la numitor adic ˘a folosim egalitatea
[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2[ln(e+anx)]bn[ln(e+c1x)]d1[ln(e+c2x)]d2[ln(e+cnx)]dn

1[ln(e+c1x)]d1[ln(e+c2x)]d2[ln(e+cnx)]dn

1[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2[ln(e+anx)]bn
:
Avem
lim
x!0[ln(e+a1x)]b1[ln(e+anx)]bn[ln(e+c1x)]d1[ln(e+cnx)]dn
x
=lim
x!01[ln(e+c1x)]d1[ln(e+c2x)]d2[ln(e+cnx)]dn
x
lim
x!01[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2[ln(e+anx)]bn
x
=L(c1;d1;:::;cn;dn)L(a1;b1;:::;an;bn):
unde am notat
L(a1;b1;:::;an;bn) =lim
x!01[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2[ln(e+anx)]bn
x:
Pentru a calcula aceast ˘a limit ˘a vom folosi procedeul lui Dan V oiculescu. Avem
L(a1;b1;:::;an;bn) =lim
x!01[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2[ln(e+anx)]bn
x=
lim
x!01[ln(e+anx)]bn+[ln(e+anx)]bn[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2[ln(e+anx)]bn
x
=lim
x!01[ln(e+anx)]bn
x+
lim
x!0[ln(e+anx)]bn
1[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2[ln(e+an1x)]bn1
x
42

=lim
x!01[ln(e+anx)]bn
x+
lim
x!0[ln(e+anx)]bnlim
x!01[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2[ln(e+an1x)]bn1
x
=lim
x!01[ln(e+anx)]bn
x+lim
x!01[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2[ln(e+an1x)]bn1
x
=lim
x!01[ln(e+anx)]bn
x+L(a1;b1;:::;an1;bn1):
Pentru a calcula limita vom folosi limita fundamental ˘a lim
y!0(1+y)r1
y=r,r2R. Avem
lim
x!01[ln(e+ax)]b
x=lim
x!0[ln(e+ax)]b1
x=lim
x!0[1+ln(e+ax)1]b1
ln(e+ax)1ln(e+ax)1
x
=lim
x!0[1+ln(e+ax)1]b1
ln(e+ax)1lim
x!0ln(e+ax)1
x=blim
x!0ln(e+ax)1
x:
V om folosi în continuare limita fundamental ˘a lim
y!0ln(1+y)
y=1. Avem
lim
x!0ln(e+ax)1
x=0
0
=lim
x!0ln(e+ax)lne
x=lim
x!0lne+ax
e
x=lim
x!0ln
1+ax
e
ax
ea
e=a
e:
V om ob¸ tine
lim
x!01[ln(e+ax)]b
x=ab
e:
A¸ sadar avem rela¸ tia
L(a1;b1;:::;an;bn) =L(a1;b1;:::;an1;bn1)anbn
e;8n2;
iar
L(a1;b1) =lim
x!01[ln(e+a1x)]b1
x=a1b1
e:
D˘am la fel valori ¸ si adun ˘am (rela¸ tiile trebuie scrise ca s ˘a se vad ˘a c˘a se reduc)
n=2)L(a1;b1;a2;b2) =L(a1;b1)a2b2
e
n=3)L(a1;b1;a2;b2;a3;b3) =L(a1;b1;a2;b2)a3b3
e
n!n1)L(a1;b1;:::;an1;bn1) =L(a1;b1;:::;an2;bn2)an1bn1
e
n!n)L(a1;b1;:::;an;bn) =L(a1;b1;:::;an1;bn1)anbn
e
¸ si ob¸ tinem
L(a1;b1;:::;an;bn) = L(a1;b1)a2b2
eanbn
e
=a1b1
eanbn
e=a1b1++anbn
e:
43

V om ob¸ tine deci c ˘a limita din enun¸ t
lim
x!0[ln(e+a1x)]b1[ln(e+anx)]bn[ln(e+c1x)]d1[ln(e+cnx)]dn
x
=L(c1;d1;:::;cn;dn)L(a1;b1;:::;an;bn)
=a1b1++anbn
ec1d1++cndn
e:
Pentru ai=a,bi=b¸ sici=c,di=dob¸ tinem
lim
x!0[ln(e+ax)]nb[ln(e+cx)]nd
x=nab
encd
e=n(abcd)
e:
Ideea de rezolvare a urmatoarei aplica¸ tii este identic ˘a cu cea din aplica¸ tia anterioar ˘a.
11.S˘ a se calculeze:
lim
x!0(1+a1x)b1(1+anx)bn(1+c1x)d1(1+cnx)dn
x;
lim
x!0(1+ax)nb(1+cx)nd
x;
lim
x!0(1+x)(1+3x)3(1+(2n1)x)2n1(1+2x)2(1+4x)4(1+2nx)2n
x:
Rezolvare . Avem
lim
x!0(1+a1x)b1(1+anx)bn(1+c1x)d1(1+cnx)dn
x=11
0
lim
x!0h
1(1+c1x)d1(1+cnx)dni
h
1(1+a1x)b1(1+anx)bni
x=
lim
x!0h
1(1+c1x)d1(1+cnx)dni
xlim
x!0h
1(1+a1x)b1(1+anx)bni
x
=L(c1;d1;:::;cn;dn)L(a1;b1;:::;an;bn)
unde am notat
L(a1;b1;:::;an;bn) =lim
x!01(1+a1x)b1(1+anx)bn
x:
Iar˘a¸ si folosim procedeul lui Dan V oiculescu. Avem
L(a1;b1;:::;an;bn) =lim
x!01(1+a1x)b1(1+anx)bn
x=
lim
x!01(1+anx)bn+(1+anx)bn(1+a1x)b1(1+anx)bn
x=
=lim
x!01(1+anx)bn
x+lim
x!0(1+anx)bn1(1+a1x)b1(1+an1x)bn1
x
=lim
x!01(1+anx)bn
x+lim
x!0(1+anx)bnlim
x!01(1+a1x)b1(1+an1x)bn1
x
44

=lim
x!01(1+anx)bn
x+lim
x!01(1+a1x)b1(1+an1x)bn1
x
=lim
x!01(1+anx)bn
x+L(a1;b1;:::;an1;bn1)
A¸ sadar,
L(a1;b1;:::;an;bn) =lim
x!01(1+anx)bn
x+L(a1;b1;:::;an1;bn1);8n2:
Deoarece
lim
x!01(1+anx)bn
x=anlim
x!0(1+anx)bn1
anx=anbn
deducem c ˘a:
L(a1;b1;:::;an;bn) =L(a1;b1;:::;an1;bn1)anbn;8n2:
D˘am la fel valori ¸ si adun ˘am (rela¸ tiile trebuie scrise ca s ˘a se vad ˘a c˘a se reduc)
n=2)L(a1;b1;a2;b2) =L(a1;b1)a2b2
n=3)L(a1;b1;a2;b2;a3;b3) =L(a1;b1;a2;b2)a3b3

n!n1)L(a1;b1;:::;an1;bn1) =L(a1;b1;:::;an2;bn2)an1bn1
n!n)L(a1;b1;:::;an;bn) =L(a1;b1;:::;an1;bn1)anbn
¸ si ob¸ tinem
L(a1;b1;:::;an;bn) = L(a1;b1)a2b2 anbn
=a1b1 anbn=(a1b1++anbn):
De aici deducem limita ini¸ tial ˘a
lim
x!0(1+a1x)b1(1+anx)bn(1+c1x)d1(1+cnx)dn
x
=L(c1;d1;:::;cn;dn)L(a1;b1;:::;an;bn)
= ( a1b1++anbn)(c1d1++cndn)
=n
å
i=1(aibicidi):
Lu˘am în prima limit ˘aai=a,bi=b¸ sici=a,di=dvom ob¸ tine
lim
x!0(1+ax)nb(1+cx)nd
x=n(abcd):
Lu˘am în prima limit ˘aai=bi=2i1 ¸ sici=di=2ivom ob¸ tine
lim
x!0(1+x)(1+3x)3(1+(2n1)x)2n1(1+2x)2(1+4x)4(1+2nx)2n
x
=n
å
i=1(aibicidi) =n
å
i=1
(2i1)24i2
=n
å
i=1(14i)
=n
å
i=11n
å
i=14i=n4n(n+1)
2=2n(2n+1)
2:
45

12.S˘ a se calculeze:
lim
x!0a1anxnln(1+a1x)ln(1+a2x)ln(1+anx)
xn+1;
lim
x!0xnlnn(1+x)
xn+1;
lim
x!0n!xnln(1+x)ln(1+2x)ln(1+nx)
xn+1:
Rezolvare . În aproape toate exemplele anterioare apare num ˘arul 1. Ca s ˘a avem a¸ sa ceva vom
da „factor comun for¸ tat a1anxn”. Avem
lim
x!0a1anxnln(1+a1x)ln(1+a2x)ln(1+anx)
xn+1
=lim
x!0a1anxn
1ln(1+a1x)ln(1+a2x)ln(1+anx)
a1anxn
xn+1
a1anlim
x!01ln(1+a1x)ln(1+a2x)ln(1+anx)
a1anxn
x:
V om lua acum separat
L(a1;:::;an) =lim
x!01ln(1+a1x)ln(1+a2x)ln(1+anx)
a1anxn
x
O prima observa¸ tie este aceea c ˘a
ln(1+a1x)ln(1+a2x)ln(1+anx)
a1anxn=ln(1+a1x)
a1xln(1+a2x)
a2xln(1+anx)
anx
deci avem de calculat
L(a1;:::;an) =lim
x!01ln(1+a1x)
a1xln(1+a2x)
a2xln(1+anx)
anx
x:
¸ si este clar c ˘a ideea este de a aplica procedeul lui Dan V oiculescu. Avem
L(a1;:::;an) =lim
x!01ln(1+a1x)
a1xln(1+a2x)
a2xln(1+anx)
anx
x
=lim
x!01ln(1+anx)
anx+ln(1+anx)
anxln(1+a1x)
a1xln(1+a2x)
a2xln(1+anx)
anx
x
=lim
x!01ln(1+anx)
anx
x+lim
x!0ln(1+anx)
anx1ln(1+a1x)
a1xln(1+a2x)
a2xln(1+an1x)
an1x
x
=lim
x!01ln(1+anx)
anx
x+lim
x!0ln(1+anx)
anxlim
x!01ln(1+a1x)
a1xln(1+a2x)
a2xln(1+an1x)
an1x
x
=lim
x!01ln(1+anx)
anx
x+lim
x!01ln(1+a1x)
a1xln(1+a2x)
a2xln(1+an1x)
an1x
x
=lim
x!01ln(1+anx)
anx
x+L(a1;:::;an1)
46

Calcul ˘am acum lim
x!01ln(1+ax)
ax
x=lim
x!0axln(1+ax)
ax2=0
0
. Ca regul ˘a atunci când la numitor
apare x2,x3, etc limita nu se poate rezolva f ˘ar˘a regula lui L’Hospital. Avem
lim
x!01ln(1+ax)
ax
x=lim
x!0axln(1+ax)
ax2=lim
x!0(axln(1+ax))0
(ax2)0
=lim
x!0aa
1+ax
2ax=lim
x!0ax
2x(1+x)=a
2:
Ob¸ tinem deci rela¸ tia
L(a1;:::;an) =L(a1;:::;an1)+an
2;8n2
iar
L(a1) =lim
x!01ln(1+a1x)
a1x
x=a1
2:
D˘am la fel valori ¸ si adun ˘am (rela¸ tiile trebuie scrise ca s ˘a se vad ˘a c˘a se reduc)
n=2)L(a1;a2) =L(a1)+a2
2
n=3)L(a1;a2;a3) =L(a1;a2)+a3
2
n!n1)L(a1;:::;an1) =L(a1;:::;an2)+an1
2
n!n)L(a1;:::;an) =L(a1;:::;an1)+an
2
¸ si ob¸ tinem
L(a1;:::;an) = L(a1)+a2
2++an
2
=a1
2+a2
2++an
2=a1+a2++an
2:
A¸ sadar, limita ini¸ tial ˘a are valoarea
lim
x!0a1anxnln(1+a1x)ln(1+a2x)ln(1+anx)
xn+1
a1ana1+a2++an
2:
Pentru a1==an=1 ob¸ tinem
lim
x!0xnlnn(1+x)
xn+1=n
2:
Pentru a1=1,a2=2, …, an=nob¸ tinem
lim
x!0n!xnln(1+x)ln(1+2x)ln(1+nx)
xn+1
n!1+2++n
2=n!n(n+1)
4:
47

13.S˘ a se calculeze:
lim
x!0a1anxnsina1xsina2xsinanx
xn+2;
lim
x!0xnsinnx
xn+2;
lim
x!0n!xnsinxsin2xsinnx
xn+2:
Rezolvare . În aproape toate exemplele anterioare aparea numarul 1. Ca s ˘a avem a¸ sa ceva vom
da „factor comun for¸ tat a1anxn”. Avem
lim
x!0a1anxnsina1xsina2xsinanx
xn+2=lim
x!0a1anxn
1sina1xsina2xsinanx
a1anxn
xn+2=
a1anlim
x!01sina1xsina2xsinanx
a1anxn
x2:
V om lua acum separat
L(a1;:::;an) =lim
x!01sina1xsina2xsinanx
a1anxn
x2:
O prima observa¸ tie este aceea c ˘a
sina1xsina2xsinanx
a1anxn=sina1x
a1xsina2x
a2xsinanx
anx
deci avem de calculat
L(a1;:::;an) =lim
x!01sina1x
a1xsina2x
a2xsinanx
anx
x2:
¸ si este clar c ˘a ideea este de a aplica procedeul lui Dan V oiculescu. Avem
L(a1;:::;an) =lim
x!01sina1x
a1xsina2x
a2xsinanx
anx
x2
=lim
x!01sinanx
anx+sinanx
anxsina1x
a1xsina2x
a2xsinanx
anx
x2
=lim
x!01sinanx
anx
x2+lim
x!0sinanx
anx1sina1x
a1xsina2x
a2xsinan1x
an1x
x2
=lim
x!01sinanx
anx
x2+lim
x!0sinanx
anxlim
x!01sina1x
a1xsina2x
a2xsinan1x
an1x
x2
=lim
x!01sinanx
anx
x2+lim
x!01sina1x
a1xsina2x
a2xsinan1x
an1x
x2
=lim
x!01sinanx
anx
x2+L(a1;:::;an1)
48

Calculam acum lim
x!01sinax
ax
x2=lim
x!0axsinax
ax3=0
0
. Ca regul ˘a atunci când la numitor apare x2,
x3, etc limita nu se poate rezolva f ˘ar˘a regula lui L’Hospital. Avem
lim
x!01sinax
ax
x2=lim
x!0axsinax
ax3=lim
x!0(axsinax)0
(ax3)0=lim
x!0aacosax
3ax2
=1
3alim
x!01cosax
x2=1
3aa2
2=a
6:
Ob¸ tinem deci rela¸ tia
L(a1;:::;an) =L(a1;:::;an1)+an
6;8n2;
iar
L(a1) =lim
x!01sina1x
a1x
x2=a1
6:
D˘am la fel valori ¸ si adun ˘am (rela¸ tiile trebuie scrise ca s ˘a se vad ˘a c˘a se reduc)
n=2)L(a1;a2) =L(a1)+a2
6
n=3)L(a1;a2;a3) =L(a1;a2)+a3
6
n!n1)L(a1;:::;an1) =L(a1;:::;an2)+an1
6
n!n)L(a1;:::;an) =L(a1;:::;an1)+an
6
¸ si ob¸ tinem
L(a1;:::;an) = L(a1)+a2
6++an
6
=a1
6+a2
6++an
6=a1+a2++an
6:
A¸ sadar limita ini¸ tial ˘a are valoarea
lim
x!0a1anxnsina1xsina2xsinanx
xn+2=
a1ana1+a2++an
6:
Pentru a1==an=1 ob¸ tinem
lim
x!0xnsinnx
xn+1=n
6:
Pentru a1=1,a2=2, …, an=nob¸ tinem
lim
x!0n!xnsinxsin2xsinnx
xn+1=
n!1+2++n
6=n!n(n+1)
12:
Aceast ˘a limit ˘a este problema nr. 7211 din Gazeta matematic ˘a seria B, nr. 12, 1966.
14.S˘ a se calculeze:
lim
x!p
2(1sinx)(1sin2x):::(1sinnx)
cos2nx;n2N:
49

Rezolvare. Avem
lim
x!p
2(1sinx)(1sin2x):::(1sinnx)
cos2nx
=lim
x!p
2n
Õ
k=11sinkx
cos2x=n
Õ
k=1lim
x!p
21sinkx
cos2x
=n
Õ
k=1lim
x!p
21sinkx
1sin2x=n
Õ
k=1lim
x!p
2(1sinx)(1+sinx+:::+sink1x)
(1sinx)(1+sinx)
=n
Õ
k=1lim
x!p
21+sinx+:::+sink1x
1+sinx=n
Õ
k=1k
2=1
22
23
2:::n
2=n!
2n:
15.Pentru orice n2N, s˘ a se calculeze :
lim
x!0sin(xsin(2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
xn:
Rezolvare. Suntem în cazul de exceptie0
0
¸ si deci pentru calculul acestei limite vom ¸ tine
seama c ˘a limx!x0sinf(x)
f(x)=1 dac ˘a limx!x0f(x) =0:
Avem succesiv:
lim
x!0sin(xsin(2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
xn
=lim
x!0sin(xsin(2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
xsin(2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)xsin(2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
xn
=lim
x!0sin(xsin(2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
xsin(2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)lim
x!0sin(2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
xn1
=lim
x!0sin(2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
xn1
=lim
x!0sin(2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)2lim
x!0sin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
xn2
=12lim
x!0sin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
xn2
=2!lim
x!0sin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)lim
x!03xsin(4xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
xn2
=3!lim
x!0sin(4xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
xn3=:::=n!
16.S˘ a se calculeze:
lim
x!0
1+sinx+sin3xn1
sinnx+4sin x;n2N:
Rezolvare. Notând y=sinx, limita din enun¸ t se scrie:
lim
x!0
1+sinx+sin3xn1
sinnx+4sin x=lim
y!0
1+y+y3n1
yn+4y=
50

lim
y!0
1+y+y31h
1+y+y3n1+
1+y+y3n2+:::+1i
y(yn1+4)=
lim
y!0y
1+y2h
1+y+y3n1+
1+y+y3n2+:::+1i
y(yn1+4)=
lim
y!0
1+y2h
1+y+y3n1+
1+y+y3n2+:::+1i
(yn1+4)=1
4:
17.S˘ a se calculeze:
lim
x!0(1pcosx)(13pcosx):::(1npcosx)
x2n2;unde n2:
Rezolvare. Evident avem rela¸ tia
1kpcosx=1cosx
1+kpcosx+kp
cos2x+:::+kp
cosk1x;
deci
1kpcosx
x2=1
2sinx
2
x
22
1
1+kpcosx+kp
cos2x+:::+kp
cosk1x
trecem la limit ˘a ¸ si ob¸ tinem lim
x!01kpcosx
x2=1
21
k:
A¸ sadar,
lim
x!0(1pcosx)(13pcosx):::(1npcosx)
x2n2=lim
x!0n
Õ
k=21kpcosx
x2=n
Õ
k=21
2k=1
2n1n!:
18.S˘ a se calculeze:
lim
x!0mpcosxnpcosx
sin2x;m;n2N:
Rezolvare. Avem lim
x!0mpcosxnpcosx
sin2x=lim
x!0mpcosx1npcosx+1
sin2x=
=lim
x!0mpcosx1
sin2xlim
x!0npcosx1
sin2x:
Îns˘a,
lim
x!0ppcosx1
sin2x=lim
x!01
pp
cosp1x+pp
cosp2x+:::+1cosx1
sin2x
=
lim
x!01
pp
cosp1x+pp
cosp2x+:::+1lim
x!0cosx1
sin2x=
1
plim
x!0cosx1
sin2x=0
0
=1
plim
x!0(cosx1)(cosx+1)
(cosx+1)sin2x=
1
plim
x!0cos2x1
(cosx+1)sin2x=1
plim
x!0sin2x
(cosx+1)sin2x=1
plim
x!01
cosx+1=1
2p;
51

unde p2N:
Rezult ˘a
lim
x!0mpcosxnpcosx
sin2x=1
2m
1
2n
=1
2m+1
2n=nm
2mn:
19.S˘ a se calculeze:
lim
x!0e2007 x(1+x)2007
x;
lim
x&0h
ln
e2007 x+sin2007 x(1+x)2007
lnxi
:
Rezolvare. În prima limita avem cazul0
0
¸ si mai exact11
0
; asta înseamn ˘a c˘a va trebui
s˘a adun ˘am ¸ si s ˘a sc˘adem câte un 1 la num ˘ar˘ator adic ˘a avem
lim
x!0e2007 x(1+x)2007
x=lim
x!0e2007 x1(1+x)2007+1
x
lim
x!0
e2007 x1
x(1+x)20071
x!
=lim
x!0e2007 x1
xlim
x!0(1+x)20071
x:
V om folosi în continuare limitele fundamentale lim
y!0ay1
y=lna;a>0 ¸ si lim
y!0(1+y)r1
y=r,
r2R. Avem
lim
x!0e2007 x(1+x)2007
x=lne20072007 =20072007 =0:
Pentru a calcula a doua limit ˘a vom folosi urm ˘atoarea proprietate a logaritmilor: ln alnb=
lna
bcua>0;b>0 ¸ si ob¸ tinem
lim
x&0h
ln
e2007 x+sin2007 x(1+x)2007
lnxi
=lim
x&0"
lne2007 x+sin2007 x(1+x)2007
x#
=
ln"
lim
x&0
e2007 x(1+x)2007
x+sin2007 x
2007 x2007!#
=ln(0+2007) =ln2007 :
20.S˘ a se calculeze:
lim
x!0ax+bx
21
x
;a;b>0:
Rezolvare.
Metoda I. Avem cazul exceptat [1¥];asta înseamna c ˘a va trebui s ˘a adun ˘am ¸ si s ˘a sc˘adem câte
un 1 în baz ˘a pentu a forma num ˘arule;
adic˘a avem
lim
x!0ax+bx
21
x
=lim
x!0"
1+ax+bx
211
x#
=
=lim
x!0"
1+ax+bx2
2 2
ax+bx2#ax+bx2
21
x
=e1
2lim
x!0ax+bx2
x=e1
2L:
52

Pentru a calcula limita de la exponent vom folosi limita fundamental ˘a lim
y!0ay1
y=lna;a>0
¸ si avem
L=lim
x!0ax+bx2
x=0
0
=lim
x!0ax1
x+lim
x!0bx1
x=lna+lnb=ln(ab):
Deci,
lim
x!0ax+bx
21
x
=e1
2ln(ab)=elnp
ab=p
ab:
Metoda a II-a. V om utiliza egalitatea fg=eglnf¸ si ob¸ tinem
lim
x!0ax+bx
21
x
=lim
x!0e1
xlnax+bx
2=elim
x!01
xlnax+bx
2=eL1:
L1=lim
x!01
xlnax+bx
2=lim
x!0lnh
ax+bx
21
+1i
ax+bx
21ax+bx
21
1
x=
=lim
x!0lnh
ax+bx
21
+1i
ax+bx
21lim
x!0ax+bx
21
1
x:
Calcul ˘am acum ultimele dou ˘a limite. Pentru prima limit ˘a consider ˘am schimbarea de variabil ˘a
y=ax+bx
21;x!0;y!0 ¸ si limita fundamental ˘a lim
y!0ln(1+y)
y=1:V om ob¸ tine
lim
x!0lnh
ax+bx
21
+1i
ax+bx
21=lim
y!0ln(y+1)
y=1:
Pentru a dou ˘a limit ˘a vom folosi formula lim
y!0ay1
y=lna;a>0 ¸ si avem
lim
x!0ax+bx
21
1
x= [0¥] =1
2lim
x!0ax1
x+bx1
x
=1
2(lna+lnb) =1
2ln(ab) =lnp
ab:
Deci L1=lnp
ab, iar
lim
x!0ax+bx
21
x
=elnp
ab=p
ab:
21.S˘ a se calculeze:
lim
x!0ax
1+ax
2+:::+ax
n
n1
x
;unde a1>0;a2>0;:::;an>0:
Rezolvare. Exerci¸ tiul reprezint ˘a generalizarea problemei precedente.
lim
x!0ax
1+ax
2+:::+ax
n
n1
x
= [1¥] =lim
x!0
1+ax
1+ax
2+:::+ax
n
n11
x
=
lim
x!0
1+ax
1+ax
2+:::+ax
nn
n1
x
=lim
x!0"
1+ax
1+ax
2+:::+ax
nn
n n
ax
1+ax
2+:::+axnn#ax
1+ax
2+:::+axnn
n1
x
=
53

elim
x!0ax
1+ax
2+:::+axnn
n1
x=e1
nlim
x!0ax
1+ax
2+:::+axnn
x=e1
nn
å
k=1lim
x!0ax
k1
x=e1
nn
å
k=1lnak=elnnpa1a2:::an=npa1a2:::an.
22. Fie a;b;c2(0;¥)cu1
a+1
b+1
c=1:Calcula¸ ti:
limx!¥
aax
x+bbx
x+ccx
xx
:
Generalizare.
Rezolvare. Punând u(x) =aax
x+bbx
x+ccx
x1 limita are forma
limx!¥
aax
x+bbx
x+ccx
xx
= [1¥] =limx!¥h
1+u(x)1
u(x)iu(x)x
=
elimx!¥u(x)x=elimx!¥
aaxx+bbxx+ccxx1
1
x=eL:
Pentru a calcula limita de la exponent vom folosi formula limx!x0au(x)1
u(x)=lna;a>0;dac˘a
limx!x0u(x) =0
L=limx!¥
aax
x+bbx
x+ccx
x1
1
x=limx!¥
aax
x+bbx
x+ccx
x1
a+1
b+1
c
1
x=
limx!¥
aa
xa1+bb
xb1+cc
xc1a1b1c1
1
x=
limx!¥
aa
x1
a
x+bb
x1
b
x+cc
x1
c
x!
=lna+lnb+lnc=ln(abc):
Deci,
limx!¥
aax
x+bbx
x+ccx
xx
=eln(abc)=abc:
Generalizare: a1>0;a2>0;:::;an>0 cu1
a1+1
a2+:::+1
an=1;atunci
limx!¥
aa1x
x
1+aa2x
x
2+:::+aanx
xnx
=a1a2:::an(demonstra¸ tia analoag ˘a):
23.S˘ a se calculeze:
lim
x%1sin(narccos x)p
1x2;n2N:
Rezolvare.
Solu¸ tia I. Consider ˘am identitatea cos nt+isinnt=C0
ncosnt+iC1
ncosn1tsint+i2C2
ncosn2t
sin2t+:::+inCn
nsinnt;în care t=arccos x;ceea ce conduce la sin (narccos x) =C1
nxn1p
1x2
C3
nxn3p
1x23
+C5
nxn5p
1x25
:::
Deci,
lim
x%1sin(narccos x)p
1x2=lim
x%1
C1
nxn1C3
nxn3p
1x22
+C5
nxn5p
1x24
:::
=C1
n=n:
Solu¸ tia a II-a.
54

lim
x%1sin(narccos x)p
1x2=lim
x%1sin(narccos x)
narccos xnarccos xp
1x2=
lim
x%1sin(narccos x)
narccos xlim
x%1narccos xp
1x2=1lim
y&0nyp
1cos2y=lim
y&0ny
siny=n1=n:
Solu¸ tia a III-a. Se aplic ˘a regula lui L’Hospital ¸ si se ob¸ tine
lim
x%1sin(narccos x)p
1x2=lim
x%1cos(narccos x)
np
1x2
xp
1x2=n:
24.S˘ a se calculeze:
limx!¥xarcsinx+2p
x4x21:
Rezolvare. Avem o nedeterminare de forma [0¥]:Limita dat ˘a are sens, deoarece x4x2
1>0 ¸ sijx+2jp
x4x211;pentru xsuﬁcient de
mare. Cum lim
y!0siny
y=1;rezult ˘a c˘a lim
y!0arcsin y
y=1:S˘a not ˘amy(x) =x+2p
x4x21:yccu
cconvenabil.
Evident lim
x!¥y(x) =0;deci lim
x!¥arcsin y(x)
y(x)=1:
Atunci,
lim
x!¥xarcsinx+2p
x4x21=1;
deoarece limx!¥x(x+2)p
x4x21=1:
25.Sa se determine:
lim
x&01
x1
arcsin x
:
Rezolvare. Fiet=arcsin x() x=sint:
Rezulta c ˘a:
1
x1
arcsin x=1
sint1
t;t2
0;p
2
:
Deoarece tgt>t>sint;oricare ar ﬁ t2
0;p
2
rezulta c ˘a:
0<1
x1
arcsin x=1
sint1
t<1
sint1
tgt=1cost
sint=tgt
2:
Deci,
0<1
x1
arcsin x<tgarcsin x
2
;8×2
0;p
2
de unde prin trecere la limit ˘a ob¸ tinem:
0lim
x&01
x1
arcsin x
lim
x&0tgarcsin x
2
=0
ceea ce arat ˘a c˘a limita din enun¸ t este 0 :
Aceast ˘a limit ˘a este problema 634, G. M. vol. III (19011902), pag. 28.
55

26.S˘ a se calculeze:
lim
x!01
x2ctgx
x
:
Rezolvare. Remarc ˘am, mai întâi, c ˘a1
x2ctgx
x=x
sinxsinxxcosx
x3=x
sinxtgxx
x3cosx:
Rezult ˘a c˘a:
lim
x!01
x2ctgx
x
=lim
x!0x
sinxtgxx
x3cosx
=
lim
x!0x
sinxcosx
lim
x!0tgxx
x3=1lim
x!0tgxx
x3=0
0
=
lim
x!01cos2x
3×2=1
3lim
x!0sin2x
x2=1
3lim
x!0sinx
x2
=1
31=1
3:
Am folosit regula lui L’Hospital ¸ si limita fundamental ˘a lim
x!0sinx
x=1.
Aceast ˘a limit ˘a este problema 1209, G. M. vol.XII (19061907), pag. 296.
27.S˘ a se calculeze:
lim
x!01
arctg2x1
arcsin2x
:
Rezolvare. Fieu=arcsin x¸ siv=arctgx :Deci x=sinu=tgv, oricare ar ﬁ x2
p
2;p
2
:
Avem urmatoarele egalit ˘a¸ ti:
f(x) =1
arctg2x1
arcsin2x=1
v21
u2=u2v2
u2v2=uv
sin(uv)u+v
sin(u+v)sin(uv)sin(u+v)
u2v2
de unde deducem c ˘a
lim
x!0f(x) =lim
x!0uv
sin(uv)lim
x!0u+v
sin(u+v)lim
x!0sin(uv)sin(u+v)
u2v2=
11lim
x!0sin(uv)sin(u+v)
u2v2=lim
x!0sin(uv)sin(u+v)
u2v2:
Totodata avem:
sin(uv)sin(u+v)
u2v2=sin2ucos2vcos2usin2v
u2v2=sin2u
1sin2v

1sin2u
sin2v
u2v2=
sin2usin2v
u2v2sinu=tgv=tg2vsin2v
u2v2=sin2v
cos2vsin2v
u2v2=sin2v
v21
u21
cos2v1
=
sin2v
v21
u21cos2v
cos2v
=sin2v
v2sin2v
u21
cos2v=sin2v
v2tg2v
u2=sin2v
v2sin2u
u2:
Deci,
lim
x!01
arctg2x1
arcsin2x
=lim
x!0f(x) =lim
x!0sin(uv)sin(u+v)
u2v2=
lim
x!0sin2v
v2sin2u
u2=lim
x!0sin2v
v2lim
x!0sin2u
u2=11=1:
Aceast ˘a limit ˘a este problema 1224, G. M. vol. XIII (19071908), pag. 32.
28.S˘ a se arate c˘ a
lim
x%p
2ctgx[tgx] =1:
(S-a notat cu [a]partea întreag ˘a a num ˘arului real a):
Rezolvare. Not˘am cu L=lim
x%p
2ctgx[tgx]:
56

Facem schimbarea de variabil ˘ay=ctgx:Pentru x!p
2¸ six<p
2;avem y!0 ¸ siy>0:
Deci L=lim
y&0y1
y
:
Din deﬁni¸ tia par¸ tii întregi avem:
1
y
1
y<1
y
+1:
Deoarece y>0, rezult ˘a c˘a
y1
y
1<y1
y
+y;
de unde ob¸ tinem:
1y<y1
y
1:
Trecem la limit ˘a când y!0 ¸ siy>0:
lim
y&0(1y)lim
y&0y1
y
1:
Deci, 1L1;de unde L=lim
x%p
2ctgx[tgx] =1:
Aceast ˘a limit ˘a este problema 22339, G. M. B. 4/1991, pag. 155.
29.S˘ a se calculeze:
L=lim
x!0shx
x:
Rezolvare. V om folosi formula shx=exex
2¸ siLdevine
L=lim
x!0exex
2
x=lim
x!0e2x1
2xex:
Fiee2x1=y=)x=ln(1+y)
2:Pentru x!0 avem y!0:
Deci,
L=lim
y!0y
2ln(1+y)
2eln(1+y)
2=lim
y!01
ln(1+y)1
yeln(1+y)
2=1
lnee0=1:
30.S˘ a se calculeze:
L=lim
x!0chx1
x2:
Rezolvare. V om folosi formula chx=ex+ex
2¸ siLdevine
L=lim
x!0chx1
x2=lim
x!0ex+ex
21
x2=lim
x!0ex+ex2
2×2=lim
x!0(ex1)2
2x2ex:
Not˘amex1=y=)ex=y+1=)x=ln(1+y);iar pentru x!0 avem y!ln1=0:
57

A¸ sadar,
L=lim
y!0y2
2eln(1+y)ln2(1+y)=lim
y!01
2eln(1+y)ln2(1+y)
y2=
=lim
y!01
2eln(1+y)h
ln(1+y)1
yi2=1
2e01=1
2:
31.S˘ a se calculeze:
lim
x!p
2xp
2p
1sinx:
Rezolvare. Facem substitu¸ tia xp
2=y=)x=y+p
2:Când x!p
2;y!0:Ob¸ tinem:
lim
x!p
2xp
2p
1sinx=lim
y!0yq
1sin(y+p
2)=lim
y!0yp1cosy=lim
y!0yq
2sin2y
2=1p
2lim
y!0ysiny
2:
În continuare vom calcula limitele laterale:
lim
y&01p
2ysiny
2=p
2
2lim
y&0y
2
siny
2=2p
2;
lim
y%01p
2ysiny
2=p
2
2lim
y%0y
2
siny
2=2p
2:
Deoarece limitele laterale sunt diferite, lim
x!p
2xp
2p
1sinxnu exist ˘a.
2.2. Limite de func¸ tii cu parametri
1.Fie a ;b2R¸ si func¸ tia f :R!R;f(x) =x32×2+1
x2+2+ax+b:Determina¸ ti a ¸ si b ;astfel
încât limx!¥f(x) =2:
Rezolvare. Dac˘aa0;atunci limx!¥f(x) =¥:Deci, pentru a putea îndeplini condi¸ tia din enun¸ t,
este necesar ca a<0. Având în vedere c ˘a
f(x) =(a+1)x3+(b2)x2+2ax+2b+1
x2+2;cerin¸ ta limx!¥f(x) =2 este îndeplinit ˘a dac ˘a ¸ si nu-
mai dac ˘aa+1=0 ¸ sib2=2;de unde a=1 ¸ sib=4:
2.Fie a2R;n2N¸ si func¸ tia f :R!R;f(x) =x2s
x2+2
x2+1axn:Calcula¸ ti limx!¥f(x):
Rezolvare. Remarc ˘am, mai întâi, c ˘af(x) =x20
@s
x2+2
x2+1axn21
A¸ si c˘a limx!¥s
x2+2
x2+1=1:
Dac˘an2f0;1g, atunci limx!¥xn2=0(c˘acin2<0);deci limx!¥f(x) =¥;oricare ar ﬁ a2R:
Dac˘an2N\[3;¥), atunci limx!¥xn2=¥:Rezult ˘a c˘a, dac ˘aa<0;atunci limx!¥f(x) =¥;iar
dac˘aa>0;atunci limx!¥f(x) =¥:
Dac˘an=2;atunci f(x) =x20
@s
x2+2
x2+1a1
A:Cum limx!¥0
@s
x2+2
x2+1a1
A=1a;rezult ˘a
c˘a,
58

– dac ˘aa<1;atunci limx!¥f(x) =¥,
– dac ˘aa>1;atunci limx!¥f(x) =¥,
– dac ˘aa=1, atunci limx!¥f(x) =limx!¥x20
@s
x2+2
x2+111
A=[0¥] =limx!¥x2x2+2
x2+11
s
x2+2
x2+1+1=
limx!¥x2
x2+1s
x2+2
x2+1+1=1
1+1=1
2:
3.Fie a2(1
4;¥)¸ si func¸ tia f :R!R;f(x) =p
ax2+x+1p
x2x+1:Calcula¸ ti limx!¥f(x):
Rezolvare. Remarc ˘am, mai întâi, c ˘af(x) =x r
a+1
x+1
x2r
11
x+1
x2!
.
Dac˘aa2(1
4;1);atunci limx!¥f(x) =¥, iar dac ˘aa2(1;¥), atunci limx!¥f(x) =¥:
Dac˘aa=1, atunci lim
x!¥f(x) =lim
x!¥p
x2+x+1p
x2x+1
= [¥¥] =
limx!¥p
x2+x+1p
x2x+1p
x2+x+1+p
x2x+1
p
x2+x+1+p
x2x+1=
limx!¥2xp
x2+x+1+p
x2x+1=h¥
¥i
=limx!¥2x
jxjr
1+1
x+1
x2+r
11
x+1
x2=
limx!¥2r
1+1
x+1
x2+r
11
x+1
x2=2
1+1=1:
4.Fie m :n;p2N¸ si func¸ tia f :[2;¥)!R, f(x) =xm+2
xn+1pxp
x22x
:Calcula¸ ti limx!¥f(x):
Rezolvare. Remarc ˘am, mai întâi, c ˘a:
– dac ˘am<n;atunci limx!¥xm+2
xn+1=0;
– dac ˘am=n;atunci limx!¥xm+2
xn+1=1;
– dac ˘am>n;atunci limx!¥xm+2
xn+1=¥.
Deoarece pxp
x22x=
p21
x2+2x
px+p
x22x;rezult ˘a c˘a lim
x!¥
pxp
x22x
=1;daca p=1
¥;daca p2:
Drept urmare, oricare ar ﬁ p2N, avem lim
x!¥f(x) =0, dac ˘am<n;iar lim
x!¥f(x) =¥, dac ˘am>n:
În cazul m=n¸ sip=1, avem limx!¥f(x) =1:Ramâne s ˘a determin ˘am limita considerat ˘a în cazul în
care m=n¸ sip2:Atunci,
limx!¥f(x) =limx!¥xn+2
xn+1pxp
x22x
= [1¥] =limx!¥
1+xn+2
xn+11pxp
x22x
=
=limx!¥
1+1
xn+1pxp
x22x
=limx!¥"
1+1
xn+1xn+1#pxp
x22x
xn+1
=elimx!¥pxp
x22x
xn+1=1;daca n>1
ep1;daca n=1:
59

5.S˘ a se calculeze
limx!¥
3p
x32×2+7ax+3
;unde a2R:
Rezolvare. Distingem cazurile:
– dac ˘aa0;atunci limita din enun¸ t este evident ¥:
– dac ˘aa>0;atunci
limx!¥
3p
x32×2+7ax+3
= [¥¥] =
lim
x!¥
x32×2+7
(ax3)3

3p
x32×2+72
+(ax3)3p
x32×2+7+(ax3)2=
limx!¥
x32×2+7
(ax3)3
x2
3q
12
x+7
x32
+x2
a3
x3q
12
x+7
x3+x2
a3
x2=
limx!¥
1a3
x3x2
29a2
27ax+34
x2"
3r
12
x+7
x32
+
a3
x3r
12
x+7
x3
+
a3
x2#:
– dac ˘a 0<a<1, atunci limx!¥
3p
x32×2+7ax+3
=¥;
– dac ˘aa=1, atunci limx!¥
3p
x32×2+7x+3
=7
3;
– dac ˘aa>1;atunci limx!¥
3p
x32×2+7ax+3
=¥:
6.Determina¸ ti a ;b2Rastfel încât
limx!¥xaq
x+p
x+1q
jbjx+p
x1
=1
2:
Rezolvare. Avem xap
x+px+1q
jbjx+px1
=xa(1jbj)x+px+1px1
p
x+px+1+q
jbjx+px1:
Dac˘ajbj=1;atunci xap
x+px+1q
jbjx+px1
=xapx+1px1
p
x+px+1+q
jbjx+px1=
2xa
p
x+px+1+p
x+px1px+1+px1:
Pentru ca limita la ¥sa ﬁe ﬁnit ˘a ¸ si nenul ˘a trebuie ca a=1:În acest caz limita este1
2deci
ob¸ tinem perechile (a;b)2f(1;1);(1;1)g:
Dac˘ajbj6=1;atunci limx!¥xa(1jbj)x+px+1px1
p
x+px+1+q
jbjx+px1este ﬁnit ˘a ¸ si nenul ˘a dac ˘aa=1
2:
În acest caz
limx!¥xap
x+px+1q
jbjx+px1
=1jbj
1+p
jbj=1p
jbj:Pentru ca limita sa ﬁe1
2
trebuie ca b=1
4:
Avem a¸ sadar alte doua perechi: (a;b)2
1
2;1
4
;
1
2;1
4
:
60

7.S˘ a se determine a2Rastfel încât func¸ tia
f(x) =mp
a3xm+x2+1+mp
(a2)xm+x+1
s˘a aiba o limit ˘a ﬁnit ˘a când x!¥¸ sim=impar.
Rezolvare. Se observ ˘a c˘a putem scrie:
f(x) =x0
@ms
a3+x2+1
xm+mr
a2+x+1
xm1
A:
Avem
limx!¥f(x) =limx!¥x0
@2
4ms
a3+x2+1
xm+mr
a2+x+1
xm3
51
A=
limx!¥0
@ms
a3+x2+1
xm+mr
a2+x+1
xm1
Alimx!¥x=
mp
a3+mp
a2
limx!¥x:
Deoarece limx!¥f(x)trebuie s ˘a ﬁe ﬁnit ˘a, acest lucru este posibil numai dac ˘amp
a3+mpa2=0;
ceea ce implic ˘aa3+a2=0. Solu¸ tiile ecua¸ tiei
sunt: a1=1 ¸ sia2;32C:
8.S˘ a se determine a2Rastfel încât s˘ a existe:
limx!¥
x3pa3q
24×3+3p
ax9729×8+1
=b2R:
S˘a se calculeze b:
Rezolvare. Not˘amv(x) =ax9729×8+1 ¸ si atunci:
b=limx!¥
x3pa3q
24×3+3p
v(x)
=limx!¥x0
@3pa3s
24+3r
v(x)
x91
A=
lim
x!¥x0
@3pa3s
24+3r
a729
x1
x91
A=limx!¥xlimx!¥0
@3pa3s
24+3r
a729
x1
x91
A=
¥
3pa3q
24+3pa
:
Deci b2Rdac˘a ¸ si numai dac ˘a3pa3p
24+3pa=0() a=24+3pa() a=27:
Pentru a-l calcula pe b;vom nota:
u(x) =24×3+3p
27×9729×8+1 ¸ siv(x) =27×9729×8+1:
Deci:
b=lim
x!¥
3x3p
u(x)
= [¥¥] =limx!¥27×3u(x)
9×2+3x3p
u(x)+3q
(u(x))2=
61

limx!¥27×324×33p
v(x)
9×2+3x3p
u(x)+3q
(u(x))2=limx!¥3×33p
v(x)
9×2+3x3p
u(x)+3q
(u(x))2=
limx!¥27×9v(x)
9×2+3x3p
u(x)+3q
(u(x))2

9×6+3×33p
v(x)+3q
(v(x))2=
limx!¥27×927×9+729×81
9×2+3x3p
u(x)+3q
(u(x))2
9×6+3×33p
v(x)+3q
(v(x))2=
limx!¥729×81
9×2+3x3p
u(x)+3q
(u(x))2

9×6+3×33p
v(x)+3q
(v(x))2=h¥
¥i
=
limx!¥x8
7291
x8
x2
9+31
x3p
u(x)+1
x23q
(u(x))2
x6
9+31
x33p
v(x)+1
x63q
(v(x))2=
limx!¥7291
x8
9+31
x3p
u(x)+1
x23q
(u(x))2

9+31
x33p
v(x)+1
x63q
(v(x))2=
limx!¥7291
x8
9+33q
u(x)
x3+3q
(u(x))2
x6

9+33q
v(x)
x9+3q
(v(x))2
x18=
729
9+33p
27+3p
272

9+3p
27+3p
272=729
(9+9+9)(9+9+9)=1:
Am ¸ tinut seama c ˘a limx!¥u(x)
x3=27 ¸ si limx!¥v(x)
x9=27.
2.3. Limite de func¸ tii în probleme practice
1. (Teoria relativit˘ a¸ tii ¸ si limitele ). Einstein a ar ˘atat c ˘a masa unui corp este functie de viteza sa,
m(v)m0q
1v2
c2;unde veste viteza în km=s, 0v<c;c=300:000km=s(viteza luminii), m0este
masa corpului în repaos. Sã observ ˘am c ˘a dac ˘av=0, atunci m(0) =m0, care este masa corpului în
repaos. Pentru v!c;v<c(deci, la viteze foarte mari), lim
v!cm(v) =¥:
2. (Func¸ tia ”catastrof˘ a” ¸ si limitele ). Se consider ˘a func¸ tia f:R!R;f(x) =(50+x20)22500
x20:
Aceast ˘a func¸ tie are proprietatea c ˘a pentru x=0;4;f(0;4) =100:044;iar pentru x=0;3, utilizând
calculatorul care poate aﬁ¸ sa 12 cifre g ˘asim f(x) =0:Efectuând calculele, pentru x6=0;g˘asim
f(x) =x20+100 ¸ si deci lim
x!0f(x) =100:Matematicianul francez, Rene Thom, este creatorul
62

”Teoriei catastrofelor”, pentru care în 1958 a ob¸ tinut medalai FIELDS, echivalentul premiului
NOBEL în matematic ˘a.
3. (Calculul aproximativ ¸ si limitele ). Am v ˘azut c ˘a pentru f(x) =p1+x1
x;x1;x6=0
avem lim
x!0f(x) =lim
x!0p1+x1
x=0
0
=lim
x!0x
x(p1+x+1)=lim
x!01p1+x+1=1
2:
Altfel spus, pentru x!0,p1+x1 se poate echivala cux
2adic˘ap1+x1x
2:
S˘a calcul ˘amp
105:Avemp
105=10p1;05=10p1+0;0510
1+0;05
2
=10(1+0;025) =
10;25:
63

CAPITOLUL 3
METODOLOGIA CERCET ˘ARII ¸ STIIN ¸ TIFICE PSIHOPEDAGOGICE ¸ SI METODICE
3.1.Cercetarea psihopedagogic ˘a
¸ Stiin¸ ta cu caracter constructiv, ¸ stiin¸ ta educa¸ tiei presupune o rela¸ tie de construc¸ tie reciproc ˘a
subiect-obiect, o opera¸ tie de ajustare reciproc ˘a a reprezent ˘arii obiectului la nivel de imagine men-
tal˘a sau ca tip de ra¸ tionalitate, capacitate de interpretare, de ra¸ tionalizare etc.
Func¸ tiile teoriei pedagogice se refer ˘a la trei forme de cunoa¸ stere, la ¸ stiin¸ ta educa¸ tiei ca ¸ sti-
in¸ t˘a experimental ˘a, ¸ stiin¸ ta critic ˘a ¸ si ¸ stiin¸ ta comprehensiv ˘a, ca o ¸ stiin¸ t ˘a care construie¸ ste ¸ si veriﬁc ˘a
ipoteze, o ¸ stiin¸ t ˘a care analizeaz ˘a critic ¸ si reconstruie¸ ste fenomenul educa¸ tional ¸ si, încercând s ˘a-l
în¸ teleag ˘a, identiﬁc ˘a regularit ˘a¸ ti, sensuri, rela¸ tii noi între componentele situa¸ tiei educa¸ tionale ori
între variabilele ac¸ tiunii educa¸ tionale practice.
În cercetare ¸ si prin cercetare, profesia de dasc ˘al înceteaz ˘a de a mai ﬁ o simpl ˘a meserie ¸ si
dep˘a¸ se¸ ste chiar nivelul unei voca¸ tii afective pentru a dobândi demnitatea oric ˘arei profesiuni ce ¸ tine
în acela¸ si timp de art ˘a ¸ si de ¸ stiin¸ t ˘a, deoarece ¸ stiin¸ ta despre copil ¸ si despre educa¸ tie s ˘a constituie
mai mult ca oricând un domeniu inepuizabil, un câmp nem ˘arginit de aprofund ˘ari teoretice ¸ si de
perfec¸ tionare tehnic ˘a continu ˘a.
Actul didactic poate ﬁ conceput ca un demers ¸ stiin¸ tiﬁc neîntrerupt, iar crea¸ tia ca o stare de
spirit ¸ si un mod de a gândi creator, calit ˘a¸ ti indispensabile profesorului cu adev ˘arat eﬁcient.
Trebuie ¸ si este necesar s ˘a se fac ˘a o distinc¸ tie clar ˘a între schimbare, inovare, cercetare psihope-
dagogic ˘a ¸ si perfec¸ tionare a educa¸ tiei ¸ si înv ˘a¸ t˘amântului.
Schimbarea nu are de obicei caracter con¸ stient, nu presupune deliberare, în vreme ce inova¸ tia
presupune un efort deliberat de ameliorare a practicii, este o opera¸ tiune con¸ stient ˘a ¸ si planiﬁcat ˘a de
introducere ¸ si utilizare a unei schimb ˘ari.
Nu toate inova¸ tiile sunt inven¸ tii, deoarece uneori se preiau, se aplic ˘a ¸ si se adapteaz ˘a schimb ˘ari
al c˘aror impact a fost deja evaluat în alte ¸ t ˘ari, pe alte meridiane pedagogice.
În acest context, reforma înv ˘a¸ t˘amântului poate ﬁ deﬁnit ˘a ca o schimbare cu caracter normativ
sau de structur ˘a, o inova¸ tie la scara întregului sistem, afectând ﬁnalit ˘a¸ tile, obiectivele majore ale
educa¸ tiei ¸ si politica educa¸ tional ˘a a unui stat, o modiﬁcare ampl ˘a, de orientare, de con¸ tinut, structur ˘a
etc., marcând saltul într-o nou ˘a doctrin ˘a pedagogic ˘a.
Studiile referitoare la modul în care au loc schimb ˘arile în materie de educa¸ tie în diverse con-
texte au dus la conturarea a trei modele.
Modelul de cercetare ¸ si dezvoltare porne¸ ste de la teorie la practic ˘a, inova¸ tiile sunt concepute,
aplicate, încorporate ¸ si evaluate ca parte a unui proiect complex supervizat de c ˘atre un organism
planiﬁcator.
Modelul de interac¸ tiune social˘ a urm˘are¸ ste difuzarea inova¸ tiei în rândurile membrilor unui grup
sau ai unei institu¸ tii.
Modelul de rezolvare a problemelor interpreteaz ˘a schimbarea din punct de vedere al beneﬁcia-
rului individual.
Cele trei procese sunt prezente în propor¸ tii variabile în orice inova¸ tie, dar diferitele sisteme
na¸ tionale sau locale pun accentul pe unul sau pe altul dintre ele, în eforturile lor de a accelera
trecerea de la stadiul de decizie la cel de aplicare.
Cercetarea pedagogica, presupune ca orice act de cercetare, de altfel, c ˘autare, descoperire de
adev ˘aruri, rela¸ tii noi, semniﬁca¸ tii, solu¸ tii etc., reprezint ˘a un demers ra¸ tional, organizat în vederea
surprinderii rela¸ tiilor func¸ tionale ¸ si cauzale dintre variabilele ac¸ tiunii educa¸ tionale practice.
În practica ¸ scolar ˘a concret ˘a, la nivelul profesorului creator, metodic, practic, predomin ˘a cercet ˘arile
pedagogice empirice, cu caracter tehnico-metodic, dar cu valoare de aplicabilitate relativ limitat ˘a.
Acestea pornesc de la constatarea unor diﬁcult ˘a¸ ti, contradic¸ tii ¸ si disfunc¸ tionalit ˘a¸ ti în utilizarea
strategiilor didactice ¸ si educative, în modul de manifestare al unui elev sau a unei clase, sunt
64

declan¸ sate adesea de nevoia unor schimb ˘ari calitative ¸ si a eﬁcien¸ tei actelor instructiv-educative,
centrate pe ob¸ tinerea unor performan¸ te superioare, maxime, ale ﬁec ˘arui elev.
Desigur, problema unei cercet ˘ari de aici începe, iar a o formula înseamn ˘a a sesiza apari¸ tia unor
astfel de situa¸ tii, a identiﬁca diﬁcult ˘a¸ tile reale, dar ¸ si c ˘ai posibile de îndreptare, de ameliorare ¸ si
optimizare.
Pe de alt ˘a parte, orice profesor trebuie s ˘a ﬁe con¸ stient c ˘a experimentarea este posibil ˘a, dar nu
este u¸ soar ˘a; se cere o revizuire constant ˘a a concluziilor, care au doar o valoare provizorie.
Cercetarea psihopedagogic ˘a realizat ˘a organizat, institu¸ tionalizat, pe baza unor programe de
cercetare a contribuit ¸ si poate contribui permanent la constituirea unei activit ˘a¸ ti pedagogice optime.
În func¸ tie de scopul ¸ si complexitatea problematicii abordate, exist ˘a diferite tipuri de cercet ˘ari:
1. cercet ˘ari teoretico – fundamentale, care urm ˘aresc în¸ telegerea ¸ si explicarea unui fenomen,
deschid noi orizonturi asupra fenomenului educa¸ tional;
2. cercet ˘ari aplicative, practice, care constau în elaborarea ¸ si veriﬁcarea unor m ˘asuri amelio-
rative, de optimizare, concrete, cercet ˘ari care abordeaz ˘a o problematic ˘a tot mai restrâns ˘a ¸ si au o
aplicabilitate practic ˘a imediat ˘a;
3. cercet ˘ari mixte, ce modiﬁc ˘a practica existent ˘a;
4. cercet ˘ari – ac¸ tiune, opera¸ tionale, de fundamentare a deciziilor la nivelul ac¸ tiunii, presupun nu
numai constatarea unor probleme, fapte etc., ci interven¸ tia în desf ˘a¸ surarea fenomenului investigat;
5. cercet ˘ari inductiv-descriptive, observa¸ tionale;
6. cercet ˘ari deductiv-experimentale, cu aplica¸ tii practice, ac¸ tionale;
7. cercet ˘ari didactice, metodice, psihopedagogice;
8. cercet ˘ari constatative, ameliorative, individuale sau de grup etc.
Cercetarea psihopedagogic ˘a este o ac¸ tiune de observare ¸ si investigare, pe baza c ˘areia cunoa¸ stem,
amelior ˘am sau inov ˘am fenomenul educa¸ tional.
Nu toate fenomenele educa¸ tionale pot ﬁ supuse unei experiment ˘ari riguroase, ca urmare, in-
ovarea în înv ˘a¸ t˘amânt se realizeaz ˘a atât prin generalizarea experien¸ tei avansate, cât ¸ si prin experi-
mentare.
Practica educativ ˘a constituie o surs ˘a de cunoa¸ stere, un mijloc de experimentare, de veriﬁcare
a ipotezelor ¸ si de generalizare a experien¸ tei pozitive. În acela¸ si timp, cercetarea pedagogic ˘a, prin
concluziile ei, contribuie la inovarea ¸ si perfec¸ tionarea procesului de înv ˘a¸ t˘amânt ¸ si de educa¸ tie.
Cercetarea pedagogic ˘a poate s ˘a ﬁe fundamental ˘a ¸ si aplicativ ˘a, observa¸ tional ˘a sau experimen-
tal˘a, spontan ˘a sau ¸ stiin¸ tiﬁc ˘a.
Func¸ tiile cercet ˘arii pedagogice pot ﬁ clasiﬁcate astfel:
-func¸ tia explicativ˘ a , speciﬁc ˘a cercet ˘arii pedagogice fundamentale, orientat ˘a spre noutate ¸ sti-
in¸ tiﬁc ˘a, care conduce la elaborarea unor modele teoretice explicative, necesare cunoa¸ sterii legilor
fenomenelor educa¸ tionale;
-func¸ tia praxiologic˘ a în sensul ca, cercetarea aplicativ ˘a, prin investiga¸ tiile empirice contribuie
la cre¸ sterea eﬁcien¸ tei ac¸ tiunilor educa¸ tionale ¸ si la inovarea practicii ¸ scolare;
-func¸ tia sistematizatoare : cercetarea pedagogica ofer ˘a baza logic ˘a de sintez ˘a, de organizare ¸ si
prelucrare a datelor experimentale;
-func¸ tia referen¸ tial – informa¸ tional˘ a , asigur ˘a culegerea informa¸ tiilor cu privire la func¸ tionali-
tatea procesului instructiv-educativ, raportând datele cercet ˘arii pedagogice la un sistem teoretic
general, cu valoare explicativ ˘a;
-func¸ tia de evaluare ¸ si control ¸ stiin¸ tiﬁc a procesului de instruire ¸ si de formare a personalit˘ a¸ tii ,
control raportat la cerin¸ tele sociale;
-func¸ tia de perfec¸ tionare ¸ si inovare a înv˘ a¸ t˘ amântului ¸ si educa¸ tiei , în raport cu cerin¸ tele dez-
volt˘arii ¸ stiin¸ tei, tehnicii, culturii ¸ si economiei de pia¸ t ˘a;
-func¸ tia predictiv˘ a , de anticipare a unor modele educa¸ tionale pentru viitor, cerute de perspec-
tivele dezvolt ˘arii social-economice.
65

Inovarea pedagogica este o mi¸ scare de la tradi¸ tie la modernitate, prin introducerea unor schim-
b˘ari, în scopul cre¸ sterii eﬁcien¸ tei procesului de instruire ¸ si formare a personalit ˘a¸ tii omului contem-
poran.
Inova¸ tiile în domeniul înv ˘a¸ t˘amântului pot ﬁ realizate sub forma unor schimb ˘ari de concep¸ tie
privind sistemul de organizare, programele, manualele ¸ scolare ¸ si metodele de înv ˘a¸ t˘amânt, schim-
b˘ari referitoare la rela¸ tiile interpersonale profesor-elev, sau schimb ˘ari de natur ˘a material ˘a-mijloace
de înv ˘a¸ t˘amânt, laboratoare de tehnologie didactic ˘a.
Implementarea în înv ˘a¸ t˘amânt a inova¸ tiilor se realizeaz ˘a prin reforme educa¸ tionale sau prin
modiﬁcarea structural ˘a ¸ si func¸ tional ˘a a procesului educa¸ tional în scopul perfec¸ tion ˘arii acestuia.
Procedeele tehnice de aplicare a inova¸ tiilor în înv ˘a¸ t˘amânt pot ﬁ:
– remanierea, care vizeaz ˘a schimb ˘ari de structur ˘a a înv ˘a¸ t˘amântului liceal, profesional, de ucenici
etc.;
– substituirea, adic ˘a înlocuirea unui manual cu altul mai modern;
– restructurarea planurilor de înv ˘a¸ t˘amânt, prin introducerea unor discipline noi;
– ad˘augarea, adic ˘a introducerea unor elemente didactice noi în înv ˘a¸ t˘amânt;
– eliminarea unor forme învechite, cum sunt rela¸ tiile autoritare ¸ si înlocuirea lor cu cele demo-
cratice în rela¸ tia profesor-elev.
3.1.1. Etapele cercet˘ arii
Într-o cercetare psihopedagogic ˘a este necesar s ˘a se parcurg ˘a anumite etape distincte, bine deﬁ-
nite.
Dintre acestea cele mai folosite sunt:
– deﬁnirea problemei de cercetat;
– documentarea, formularea ipotezei de lucru;
– formularea obiectivelor;
– stabilirea metodologiei de cercetare;
– cercetarea propriu-zisa;
– analiza ¸ si interpretarea datelor;
– veriﬁcarea ¸ si comunicarea rezultatelor.
O cercetare începe cu alegerea temei, care trebuie s ˘a reﬂecte o problem ˘a actual ˘a, real ˘a ¸ si nu
inventat ˘a, o problem ˘a care s ˘a prezinte importan¸ ta teoretic ˘a ¸ si practic ˘a pentru procesul instructiv-
educativ, s ˘a solu¸ tioneze diﬁcult ˘a¸ tile ¸ si s ˘a deschid ˘a noi perspective.
Formularea cu precizie a temei ¸ si o prim ˘a evaluare a ei urmeaz ˘a veriﬁc ˘arii posibilit ˘a¸ tilor de
acces la o bibliograﬁe de referin¸ t ˘a (lucr ˘arile fundamentale ale temei ¸ si informa¸ tie la zi).
Documentarea pe baz ˘a de ﬁ¸ se de studiu, conspecte, rezumate etc., este destinat ˘a contur ˘arii
cadrului teoretic ¸ si metodologic al cercet ˘arii.
Formularea ipotezei este poate cea mai important ˘a etap ˘a a cercet ˘arii, situa¸ tia experimental ˘a
ﬁind în întregime axat ˘a pe aceasta, ca enun¸ t a c ˘arui valoare de adev ˘ar sau fals este probabil ˘a,
poten¸ tial ˘a, ¸ si urmeaz ˘a a ﬁ dovedit ˘a prin veriﬁcare în practic ˘a. Ipoteza este ideea directoare, ghidul,
în organizarea cercet ˘arii, dirijând procesul de culegere, adunare, sistematizare a datelor obser-
vabile.
În formularea unei ipoteze trebuie s ˘a se ¸ tin ˘a seama ¸ si s ˘a se respecte ni¸ ste cerin¸ te:
– s˘a avanseze un r ˘aspuns adecvat;
– s˘a ﬁe clar ˘a;
– s˘a ¸ tin˘a seama de cuno¸ stin¸ tele asimilate în domeniu;
– s˘a ﬁe veriﬁcabil ˘a etc.
Desf ˘a¸ surarea experimentului cuprinde locul, durata ¸ si echipa de cercetare, precum ¸ si etapele
de parcurs:
– etapa preexperimental ˘a;
– etapa experimental ˘a – se culeg datele experimentale;
– etapa ﬁnal ˘a a prelucr ˘arii ¸ si interpret ˘arii datelor experimentale.
66

Interpretarea datelor se face prin stabilirea leg ˘aturilor dintre variabila independent ˘a ¸ si cele de-
pendente, prin metoda „r ˘am˘a¸ si¸ telor”, care ne face s ˘a re¸ tinem cazurile ce ies din obi¸ snuit ¸ si, deci,
nu vor putea ﬁ luate în considerare în generaliz ˘arile pe care le facem sau le avem în vedere.
Elaborarea unui plan de cercetare presupune luarea în calcul a urm ˘atoarelor repere:
1. problema cercetat ˘a;
2. ipoteza ¸ si obiectivele;
3. metodologia;
4. valoriﬁcarea rezultatelor, ﬁnalizare, aplicare.
Organizarea concret ˘a a cercet ˘arii presupune:
– stabilirea perioadei de cercetare;
– precizarea locului unde se face cercetarea;
– delimitarea e¸ santionului de subiec¸ ti;
– e¸ santioanele investigate (care pot ﬁ unice, paralele sau alternative);
– ﬁxarea grupului sau claselor experimentale ¸ si a grupului martor;
– caracterizarea subiec¸ tilor cuprin¸ si în cercetare(vârst ˘a, sex, nivel de instruc¸ tie etc.);
– baza material ˘a disponibil ˘a;
– alte condi¸ tii, al¸ ti investigatori.
În cadrul activit ˘a¸ tii de cercetare psihopedagogic ˘a se rezolv ˘a creativ anumite probleme ap ˘arute
în procesul instructiv-educativ.
Obiectivele urm ˘arite se refer ˘a la:
– transmiterea unor informa¸ tii privind psihologia ¸ si pedagogia ingineriei creative performante;
– formarea unor abilit ˘a¸ ti ¸ si competen¸ te de identiﬁcare a blocajelor creativit ˘a¸ tii, de rezolvare
creativ ˘a a problemelor ap ˘arute.
Ingineria creativ ˘a performant ˘a este caracterizat ˘a de anumi¸ ti factori, care se pot clasiﬁca în
modul urm ˘ator:
1. factori stimulativi:
– externi: societatea, organiza¸ tia (¸ scoala), colectivul (microgrupul);
– factori care asigur ˘a climatul creativ în: conducerea la diferite trepte ierarhice, organizarea ¸ si
func¸ tionarea grupului, motivarea (cointeresarea membrilor grupului), comunicarea pe vertical ˘a ¸ si
pe orizontal ˘a, factorii ergonomici de climat ﬁzic;
– factori interni (de personalitate), care favorizeaz ˘a ingineria creativ ˘a performant ˘a: factorii
intelectuali, aptitudinile speciale, motiva¸ tii, atitudini, caracter, al¸ ti factori (vârsta, sexul, ereditatea
etc.);
2. factori inhibitori:
– externi: culturali (tabu-uri, mentalit ˘a¸ ti, tradi¸ tii etc.), inﬂuen¸ ta parental ˘a, educa¸ tia institu¸ tional ˘a
etc.;
– interni: cognitivi (intelectuali), perceptuali, informa¸ tionali, de gândire, de personalitate etc.
În cadrul ﬁec ˘arei etape de cercetare (sau subetape), se vor utiliza un num ˘ar limitat de metode,
cele mai uzuale ¸ si eﬁciente.
3.1.2.Metode folosite în cercetarea pedagogica
Metodologia este logica procedeelor ¸ stiin¸ tiﬁce fundamentale de selectare ¸ si prelucrare a datelor
¸ si de construire de modele teoretice, având trei dimensiuni, legate între ele: una teoretic ˘a, una
tehnico-metodic ˘a ¸ si una empiric ˘a.
Metodele de cercetare utilizate pot ﬁ:
– metoda observa¸ tiei;
– metoda convorbirii;
– metoda chestionarului;
– metoda sc ˘arilor de opinii ¸ si atitudini;
– testele psihopedagogice;
– metoda cercet ˘arii documentelor ¸ scolare;
67

– metoda analizei produselor activit ˘a¸ tii ¸ scolare;
– metoda studiului de caz;
– tehnicile sociometrice;
– tehnicile statistice etc.
Aceste metode pot ﬁ de investigare, de m ˘asurare, înregistrare sau colectare a datelor, metode
logice de prelucrare ¸ si interpretare a datelor.
Metodele moderne de cercetare ¸ si creativitate folosite în ultimul timp în procesul instructiv-
educativ, ¸ si care pot da rezultate foarte bune în rezolvarea unor probleme creative sunt:
– metoda problemei creative;
– brainstorming-ul;
– brainwriting-ul (brainstorming scris);
– metoda 6-3-5;
– brainsketching-ul (brainstorming cu schi¸ te);
– metoda BBB (brainstorming scris, cu mapa de imagini);
– metoda Philips 6-6;
– metoda „deciziei impuse”;
– metoda „Discu¸ tia (în) panel” etc.
Dintre metodele clasice câteva sunt explicitate în continuare.
Observa¸ tia este o metod ˘a de cercetare folosit ˘a pentru investigare ¸ si culegere de date experi-
mentale, respectându-se anumite cerin¸ te:
– formularea unui scop precis al observ ˘arii;
– alc˘atuirea unui plan de observare;
– înregistrarea ﬁdel ˘a a datelor (video, audio sau clasic ˘a);
– clasiﬁcarea, compararea, raportarea ¸ si interpretarea datelor.
Observarea poate ﬁ: spontan ˘a sau ¸ stiin¸ tiﬁc ˘a, de explorare ¸ si experimentare.
Metoda chestionarului constituie o tehnic ˘a eﬁcient ˘a pentru culegerea ¸ si interpretarea datelor.
Se precizeaz ˘a problema de cercetat, e¸ santionul ¸ si indicatorii la care raport ˘am r˘aspunsurile.
Convorbirea, ca variant ˘a a metodei anchetei, se desf ˘a¸ soar ˘a pe baza unui plan, în condi¸ tii obi¸ s-
nuite ¸ si presupune acumularea, în prealabil, a unui material cât mai bogat despre tema dat ˘a. Este
eﬁcient ˘a în identiﬁcarea intereselor, preferin¸ telor ¸ si motiva¸ tiilor elevilor.
Metoda sc ˘arilor de opinii ¸ si atitudini, în care rezultatele se distribuie pe o scar ˘a cu mai multe
intervale. De exemplu, opinii sau atitudini corecte, incorecte, mai pu¸ tin corecte etc. Rezultatele
la înv ˘a¸ t˘atur˘a la o clas ˘a pot ﬁ distribuite pe o scar ˘a cu 4 intervale de câte 5 puncte ﬁecare sau pe o
scar˘a de caliﬁcative: f. bine, bine, suﬁcient, insuﬁcient.
Testele psihopedagogice, sunt probe, precis determinate, ce implic ˘a o tem ˘a sau un grup de
sarcini (itemi). Aplicând testul la un e¸ santion (grup de referin¸ t ˘a) ob¸ tinem etalonul, sau tabelul de
notare, care este o scara cu repere numerice.
Testele pot ﬁ:
– pedagogice (de cuno¸ stin¸ te, deprinderi, abilit ˘a¸ ti);
– psihologice;
– sociometrice.
Cerin¸ tele unui test sunt:
a.) validitatea;
b.) ﬁdelitatea;
c.) etalonarea;
d.) standardizarea;
e.) sensibilitatea .
În general se folosesc „baterii” de teste, serii de probe, rezultatele ob¸ tinute ﬁind confruntate ¸ si
armonizate global.
68

Metoda cercet ˘arii documentelor ¸ scolare, se refera la planiﬁc ˘ari, proiecte didactice, cataloage,
caiete ﬁ¸ sier, lucr ˘ari diverse etc.
Metoda analizei produselor activit ˘a¸ tii didactice ¸ scolare se utilizeaz ˘a cu succes în vederea ob¸ tinerii
unor informa¸ tii despre volumul ¸ si precizia cuno¸ stin¸ telor însu¸ site de c ˘atre elevi, despre aptitudinile
lor, dar ¸ si despre tr ˘as˘aturile lor de personalitate (temperament, caracter, st ˘ari emotive etc.).
Produsele activit ˘a¸ tii elevilor reprezint ˘a o înmagazinare de munc ˘a creatoare, o sintez ˘a a fondului
aptitudinal ¸ si a celui informa¸ tional, de care poate dispune un elev.
Analizele, cu discern ˘amânt, produsele activit ˘a¸ tii elevilor pun în eviden¸ t ˘a caracteristicile ob-
serva¸ tiei, capacitatea de concentrare, particularit ˘a¸ tile procesului de în¸ telegere, puterea de judecat ˘a,
spiritul de independen¸ t ˘a ¸ si de ini¸ tiativ ˘a, planul mintal de lucru, logica gândirii, în¸ telegerea corect ˘a a
rela¸ tiilor dintre elemente, volumul ¸ si precizia cuno¸ stin¸ telor, nivelul de cultur ˘a general ˘a, capacitatea
de exprimare a ideilor etc.
Metoda studiului de caz.
Datele colectate în urma observ ˘arii, a administr ˘arii unor probe ¸ si instrumente adecvate ﬁec ˘arui
caz în parte servesc la întocmirea unor ﬁ¸ se de sintez ˘a.
Fazele de rezolvare sunt:
– prezentarea cazului în scris, înregistrat sau ﬁlmat;
– exprimarea opiniilor celor care particip ˘a;
– informa¸ tii suplimentare ¸ si formularea de întreb ˘ari de c ˘atre animatorul discu¸ tiei:
– Ce ¸ stiu despre ?
– Care sunt cauzele ?
– concluzii generale;
– propunerea de solu¸ tii pentru rezolvarea cazului.
Tehnicile sociometrice, folosite pentru m ˘asurarea rela¸ tiilor interpersonale afectiv-simpatice,
care se stabilesc între diferite persoane.
Testul sociometric const ˘a din întreb ˘ari de genul:
Cu cine ai dori s ˘a stai în banc ˘a, s˘a înve¸ ti la unul sau mai multe obiecte de studiu, s ˘a mergi la
teatru sau la cinematograf, într-o excursie etc. ?
De ce ?
Cu cine nu dore¸ sti ?
De ce ?
Cine î¸ ti este indiferent ?
De ce ?
Condi¸ tii de aplicare:
1. subiec¸ tii s ˘a cunoasc ˘a scopul testului. De exemplu: pentru a-i a¸ seza în banc ˘a dup ˘a preferin¸ te;
2. s˘a nu comunice între ei;
3. s˘a r˘aspund ˘a la toate întreb ˘arile, prin nominaliz ˘ari;
4. s˘a se refere la to¸ ti membrii grupului;
5. s˘a dea r ˘aspunsuri sincere.
Tehnicile statistice
Ordoneaz ˘a datele ob¸ tinute din prelucrarea materialului, conducând la evalu ˘ari ¸ si interpret ˘ari
calitative foarte nuan¸ tate.
Tehnicile statistice utilizate cu mai mare frecven¸ t ˘a sunt:
– elaborarea tabelelor de frecven¸ t ˘a ¸ si a graﬁcului de distribu¸ tie;
– calcularea unor indici statistici cum sunt:
– indicii tendin¸ tei centrale – media, mediana, modulul;
– indicii variabilit ˘a¸ tii – amplitudinea, abaterea (devia¸ tia
simpl ˘a), abaterea standard.
Tot prin metode statistice se studiaz ˘a leg ˘aturile dintre fenomene:
– analiza corela¸ tional ˘a: corela¸ tia liniar ˘a, regresia, raportul de corela¸ tie;
69

– metode neparametrice: tabelul de asocia¸ tie, coeﬁcientul de asocia¸ tie, de corela¸ tie etc.
În ceea ce prive¸ ste prezentarea metodelor moderne de cercetare, acest lucru este prezentat în
continuare.
Problema creativ ˘a presupune parcurgerea a trei etape distincte care trebuiesc parcurse cu aten¸ tie:
I. Sesizarea zonei problematice (a „provoc ˘arilor”), folosind una sau mai multe dintre metodele
sau tehnicile urm ˘atoare:
– brainstorming-ul clasic;
– listele duble pentru asocia¸ tii for¸ tate;
– lista în elaborare proprie;
– lista de întreb ˘ari Parnes;
– matricea Trefﬁnger;
– matricea p ˘atrat˘a;
– atitudinea deschis ˘a, receptiv ˘a fa¸ t˘a de stimuli;
– curiozitatea;
– a repune totul sub semnul întreb ˘arii.
II. Formularea problemei creative
III. Reformul ˘ari ale problemei creative
1.Adresarea repetat ˘a a întreb ˘arii De ce ?, pentru:
– a aﬂa adev ˘aratul obiectiv al c ˘aut˘arilor cercet ˘atorului;
– a l˘argi cadrul problemei;
– a transform ˘a o problem ˘a de decizie în una divergent ˘a.
2. Jocul cu cuvintele, prin:
– înlocuirea verbului cu alt verb;
– substantivarea unui verb sau invers (transformarea unui substantiv în verb).
Brainstorming-ul este o metoda inventat ˘a de Alex Osborn în 1939 în SUA ¸ si provine din cu-
vintele brain = creier ¸ si storm = furtun ˘a, plus desinen¸ ta –ing, speciﬁc ˘a limbii engleze. în traducere
ﬁdel˘a ar însemna „furtuna în creier”, asalt de idei, o stare de intens ˘a activitate imaginativ ˘a.
Metoda respect ˘a anumite reguli obligatorii:
1. Aprecierile critice sunt interzise, nimeni nu are voie s ˘a fac ˘a observa¸ tii negative, s ˘a conteste,
s˘a se mire, s ˘a aib ˘a îndoieli asupra valabilit ˘a¸ tii ideilor propuse, exist ˘a o list ˘a de „expresii uciga¸ se”
care nu trebuie rostite în timpul ¸ sedin¸ tei de brainstorming.
2. Imagina¸ tia trebuie s ˘a ﬁe total liber ˘a, ﬁecare membru al ¸ sedin¸ tei spune prima idee care îi vine
în minte, f ˘ar˘a cenzur ˘a, chiar dac ˘a i se pare absurd ˘a sau imposibil ˘a.
3. Se cere cantitate, primele r ˘aspunsuri ﬁind la îndemâna tuturor, sunt banale ¸ si neoriginale,
urm˘atoarele ﬁind neobi¸ snuite ¸ si având ¸ sanse mari de a ﬁ originale, nemaiîntâlnite.
4. Sunt încurajate ideile derivate, asocia¸ tiile neobi¸ snuite de idei, combin ˘arile ¸ si amelior ˘arile
solu¸ tiilor propuse de ceilal¸ ti. G ˘asirea unei solu¸ tii ingenioase înseamn ˘a, în ultim ˘a instan¸ t ˘a, corelarea
unor elemente pe care nimeni nu le mai a¸ sezase al ˘aturi, asocierea inedit ˘a. Un r ˘aspuns al unui
membru poate s ˘a-i sugereze celui de al ˘aturi o asem ˘anare ¸ si o asociere neobi¸ snuit ˘a. El poate s ˘a
intervin ˘a imediat ¸ si s ˘a o spun ˘a, preluând deci ideea precedent ˘a, pornind de la ea ¸ si sugerând alta.
Aceast ˘a regul ˘a mai reclam ˘a participan¸ tilor s ˘a combine 2-3 idei pentru a ob¸ tine alta nou ˘a.
Pe scurt, iat ˘a regulile brainstorming-ului de grup:
1. Nu critica¸ ti ideile celorlal¸ ti, nu v ˘a autocenzura¸ ti ideile !
2. Da¸ ti frâu liber imagina¸ tiei !
3. Produce¸ ti un num ˘ar cât mai mare de idei !
4. Prelua¸ ti ideile celorlal¸ ti ¸ si perfec¸ tiona¸ ti-le !
Alc˘atuirea grupului brainstorming.
În clasa de elevi se poate lucra frontal, cu toat ˘a clasa, în colectivul de cadre didactice se vor
utiliza urm ˘atoarele criterii:
1. Selec¸ tia se face în func¸ tie de dorin¸ ta persoanei de a participa, în cuno¸ stin¸ t ˘a de cauz ˘a, evident;
70

2. Între membrii grupului s ˘a nu existe antipatii, ba, dac ˘a se poate, leg ˘aturi de prietenie sau cel
pu¸ tin de indiferen¸ t ˘a, în nici un caz ostilit ˘a¸ ti;
3. Sa nu ﬁe în acela¸ si grup un ¸ sef oﬁcial cu subalternii lui.
Grupul poate ﬁ stabil, cu aceia¸ si membrii la ﬁecare întrunire, sau, dimpotriv ˘a, poate ﬁ ﬂuctu-
ant, cu membrii solicita¸ ti ad-hoc, de ﬁecare dat ˘a al¸ tii; în ﬁne poate exista un nucleu permanent,
completat de ﬁecare dat ˘a cu alte persoane, în func¸ tie de necesit ˘a¸ tile complet ˘arii nucleului cu noi
speciali¸ sti.
În ceea ce prive¸ ste organizarea ¸ si desf ˘a¸ surarea unei ¸ sedin¸ te se pot men¸ tiona urm ˘atoarele:
– cu elevii se poate lucra f ˘ar˘a preg ˘atiri;
– grupul de adul¸ ti este bine s ˘a ﬁe preg ˘atit dup ˘a cum urmeaz ˘a:
– mobilizarea participan¸ tilor se face anun¸ tându-i cu o s ˘apt˘amân ˘a înainte (sau cel pu¸ tin cu 2-3
zile), printr-o invita¸ tie scris ˘a, în care s ˘a ﬁe men¸ tionate ora ¸ si locul întâlnirii, dar mai ales problema
ce urmeaz ˘a a ﬁ tratat ˘a;
– cei care particip ˘a pentru prima dat ˘a vor primi ¸ si câte un formular de prezentare a metodei
brainstorming; este recomandabil ca în invita¸ tie s ˘a ﬁe sugerate, orientativ, ¸ si câteva idei de solu¸ tionare
a problemei:
– ¸ sedin¸ ta de brainstorming are un moderator ¸ si un secretar;
– a¸ sezarea în sal ˘a este în cerc sau în jurul unei mese p ˘atrate;
– secretarii noteaz ˘a toate interven¸ tiile, ideile, propunerile, chiar ¸ si repet ˘arile de idei, cele ab-
surde, inutile, nu se va pierde nimic din ideile rostite;
– nu se noteaz ˘a numele celor care emit ideile.
Desf ˘a¸ surarea ¸ sedin¸ tei.
Moderatorul prezint ˘a membrii noi, dac ˘a exist ˘a, reaminte¸ ste problema, face o prezentare suc-
cint˘a a contextului; sunt prezentate regulile brainstormingului, apoi se trece la preg ˘atirea terenului,
grupul încearc ˘a s˘a-¸ si reaminteasc ˘a modurile cunoscute în care a mai fost solu¸ tionat ˘a problema.
Se stabile¸ ste durata ¸ sedin¸ tei, 30-50 minute sau chiar mai mult, important ﬁind ca ¸ sedin¸ ta s ˘a
dureze cel pu¸ tin cât s-a stabilit.
Fiecare spune o singur ˘a idee la o interven¸ tie, cu enun¸ t scurt.
Dup˘a ¸ sedin¸ t ˘a, secretarii redacteaz ˘a lista de idei, întocmind una singur ˘a, dac ˘a se poate chiar
intercalând r ˘aspunsurile pentru a putea ﬁ p ˘astrat ˘a ordinea emiterii lor.
Comitetul de evaluare (moderator ¸ si doi-trei membrii) întocme¸ ste lista ideilor acceptate (în
ordinea punctajului primit de ﬁecare idee), o redacteaz ˘a în mai multe exemplare ¸ si o distribuie
membrilor grupului de crea¸ tie.
Un procentaj de 10-40 % din num ˘arul de idei emise într-o ¸ sedin¸ t ˘a brainstorming pot deveni
utilizabile în practic ˘a.
Brainwriting-ul sau Brainstorming-ul scris presupune urm ˘atoarea metodologie de desf ˘a¸ surare:
Se împarte clasa în grupe de 10-15 elevi.
Fiecare grup se a¸ seaz ˘a în jurul unei mese.
Fiecare elev are în fa¸ t ˘a o coal ˘a alb ˘a, iar în centru mesei exist ˘a una suplimentar ˘a.
1. Se enun¸ t ˘a problema.
2. Fiecare scrie pe foaia lui o idee.
3. Cel care a terminat primul înlocuie¸ ste foaia de pe mas ˘a cu foaia lui ¸ si scrie alt ˘a idee, pe foaia
luat˘a de pe mas ˘a.
4. Între timp, altul a terminat ¸ si face acela¸ si lucru cu foaia de pe mas ˘a, pe care g ˘ase¸ ste, de
aceast ˘a dat ˘a, o idee. El trebuie s ˘a adauge alt ˘a idee, inspirându-se, eventual, de la ceea ce g ˘ase¸ ste
pe foaie. Dac ˘a dore¸ ste, poate s ˘a continue ideea celuilalt. Jocul continu ˘a în acest mod pân ˘a când
profesorul decide încetarea lui.
Avantaje:
– mai profund decât brainstorming-ul oral;
– îndr ˘aznesc ¸ si cei timizi;
71

– se respect ˘a ritmul celor len¸ ti, care nu se simt presa¸ ti de timp (metoda 6-3-5);
– mai rapid decât alte metode (6-3-5);
– ofer ˘a o gam ˘a mai larg ˘a ¸ si mai variat ˘a de idei decât la alte metode (6-3-5).
Inconveniente:
– mai lent decât brainstorming-ul oral;
– mai superﬁcial decât metoda 6-3-5.
Metoda 6-3-5
Cifra 6 indica num ˘arul ﬁx de membrii ai grupului.
Fiecare persoan ˘a î¸ si împarte coala s ˘a de hârtie în trei coloane.
1. Se enun¸ t ˘a problema, pe care ﬁecare o noteaz ˘a în capul foii din fa¸ ta sa.
Din acest moment începe rezolvarea problemei, lucrându-se pe t ˘acute, individual, ﬁecare în
ritmul s ˘au, ceilal¸ ti având datoria s ˘a-l a¸ stepte cu r ˘abdare ¸ si pe ultimul.
2. Fiecare emite individual câte trei idei, pe care le scrie pe foaie, în cele 3 coloane. ( aceasta
este semniﬁca¸ tia cifrei 3, din denumirea metodei ).
3. Runda I a deplas ˘arilor foilor spre vecinul din dreapta. Fiecare lucreaz ˘a pe cele trei idei
primite de la vecinul din stânga: le completeaz ˘a, le îmbun ˘at˘a¸ te¸ ste, le precizeaz ˘a unele am ˘anunte,
le modiﬁc ˘a sau î¸ si spune p ˘arerea despre ele. Nimeni nu are voie s ˘a propun ˘a alte idei.
4. Rundele a II-a, aIII-a, aIV-a ¸ si a V-a ale deplas ˘arilor foilor. Fiecare va continua s ˘a lucreze
pe cele trei idei deja în lucru. La sfâr¸ sit, ideile ini¸ tiale au trecut pe la to¸ ti cei 5 membrii ai echipei.
(Aceasta este semniﬁca¸ tia cifrei 5, din denumirea metodei).
5. Moderatorul strânge foile, urmând ca el sau altcineva s ˘a fac ˘a o analiz ˘a atent ˘a a ideilor.
Avantaje:
– se ob¸ tine un num ˘ar destul de mare de idei aprofundate, detaliate, elaborate. La modul optim,
num˘arul ar trebui s ˘a ﬁe 18 (6 persoane a câte 3 idei). În realitate, datorit ˘a faptului c ˘a unele idei se
repet ˘a sau sunt foarte apropiate, se ob¸ tine un num ˘ar mai mic de idei distincte (10-12). La acestea
se adaug ˘a ideile „sc ˘apate” pe al ˘aturi, c ˘aci uneori câte o persoan ˘a, pentru a se sustrage de la efortul
de a lucra pe ideile g ˘asite, prefer ˘a s˘a propun ˘a o alt ˘a idee, nou ˘a;
– se valoriﬁc ˘a efectele efortului individual cu ale celui colectiv;
– persoanele timide sunt valoriﬁcate.
Dezavantaje:
– efortul cognitiv (de gândire) cre¸ ste pe m ˘asur˘a ce avansam în runde;
– dureaz ˘a mult: 3-4 ore;
– celor mai rapizi li se pune r ˘abdarea la încercare, ﬁind nevoi¸ ti s ˘a a¸ stepte pân ˘a termina to¸ ti, ca
s˘a poat ˘a trece la runda urm ˘atoare.
Metoda Brainsketching (brainstorming cu schi¸ te)
Prezint ˘a urm ˘atoarea metodologie de lucru:
1. Se discut ˘a problema cu toat ˘a clasa, pentru a o în¸ telege. Nu se dau solu¸ tii.
2. Se împarte clasa în grupuri de câte 4-6 elevi.
3. Fiecare elev deseneaz ˘a o schi¸ t ˘a a modului în care vede el rezolvarea problemei. Se lucreaz ˘a
individual, în lini¸ ste, 5-10 minute.
4. Se deplaseaz ˘a foile spre vecinii din dreapta, câteva runde. Fiecare modiﬁc ˘a sau completeaz ˘a,
dac˘a vrea.
5. Schi¸ tele sunt colectate ¸ si evaluate.
6. Se poate selecta o schi¸ t ˘a, iar grupul dezvolt ˘a solu¸ tia ﬁnal ˘a, la nevoie luând ¸ si elemente din
alte schi¸ te.
Avantaje:
– sunt cumulate valen¸ tele muncii individuale cu ale efectului de grup;
– metoda este laborioas ˘a ¸ si duce la idei aprofundate.
Metoda „BBB” (Batelle-Bildmappen-Brainwriting)
72

Metoda mai este cunoscut ˘a ¸ si sub denumirea de Brainwriting cu mapa de imagini ¸ si prezint ˘a
urm˘atoarea metodologie de parcurs:
1. Se cite¸ ste problema în fa¸ ta clasei.
2. Brainstorming oral cu clasa.
3. Se prezint ˘a clasei o imagine.
4. Brainstorming individual ( în lini¸ ste ) inspirat de imagini, prin care se îmbun ˘at˘a¸ tesc ideile
din brainstorming-ul oral ori se propun altele. Fiecare elev scrie pe caietul s ˘au.
5. Câ¸ tiva voluntari citesc cu voce tare ideile lor.
6. Clasa discut ˘a pentru a g ˘asi ¸ si alte variante.
Avantaje:
– este valoriﬁcat ˘a asocia¸ tia mental ˘a liber ˘a a ﬁec ˘arui elev;
– stimularea reciproc ˘a a ideilor celorlal¸ ti;
– stimularea prin imagini;
– este evitat blocajul unora, care nu lucreaz ˘a bine fa¸ t ˘a-în-fa¸ t ˘a.
Metoda Phillips 6-6
Tehnica metodei permite frac¸ tionarea rapid ˘a a unei clase de elevi ori a unui grup mare (30-50
persoane) în subgrupe eterogene (de 6 membrii, de¸ si pot ﬁ intre 4-8) pentru a discuta pe o tem ˘a
dat˘a pe loc (f ˘ar˘a preg ˘atire anterioar ˘a), timp de minimum câte un minut pentru ﬁecare membru
(minimum 4 minute, maximum 15 minute).
Fiecare grup î¸ si desemneaz ˘a un secretar ¸ si un moderator.
Sinteza rapoartelor: ﬁecare secretar cite¸ ste cu voce tare lista cu ideile grupului s ˘au, în vreme
ce to¸ ti ceilal¸ ti bifeaz ˘a, pentru a exclude, de pe listele lor, ideile care se repet ˘a. Profesorul culege
toate listele.
Discu¸ tia (în) panel
Panelul este un grup de 5-7 membrii care poart ˘a o discu¸ tie informal ˘a (f˘ar˘a un plan impus, dar ¸ si
f˘ar˘a permisiunea de a citi de pe noti¸ te sau c ˘ar¸ ti) pe o tema propus ˘a pe loc sau preg ˘atit˘a minu¸ tios, în
fa¸ ta unui auditoriu (clasa), care asist ˘a în t ˘acere, având permisiunea s ˘a participe numai prin mesaje
scrise (bile¸ tele) pe care le expediaz ˘a spre un „injector” de mesaje (profesorul î¸ si asum ˘a acest rol,
de obicei).
Mesajele nu sunt semnate, de¸ si profesorul le poate cere elevilor s ˘a le semneze, pentru a pune
note mari celor care pun întreb ˘ari inteligente sau aduc complet ˘ari valoroase.
Mesajele con¸ tin: întreb ˘ari, corecturi, complet ˘ari, atitudini ale celui din banc ˘a fa¸ t˘a de ceea ce
discut ˘a panelul ¸ si fa¸ t ˘a de modul în care se poart ˘a discu¸ tia.
Din când în când (la 10-15 minute), „injectorul” cite¸ ste cu voce tare biletele, pe care între timp
le-a clasiﬁcat oarecum.
Panelul continu ˘a discu¸ tia, ¸ tinând cont de mesajele citite ¸ si r ˘aspunzând, dac ˘a vrea, întreb ˘arilor,
dar f ˘ar˘a obliga¸ tia de a le r ˘aspunde pe rând, tuturor.
Metoda este o form ˘a de dramatizare a pred ˘arii.
Not˘a: Auditoriul are tendin¸ ta de a emite mesaje agresive la adresa celor din panel, datorit ˘a
situa¸ tiei psihologice (restric¸ tia de a interveni oral, direct). Grupul panel va ﬁ avertizat din vreme
asupra acestui fenomen.
3.2.Proiectarea pedagogic ˘a
3.2.1. Importan¸ ta ¸ si necesitatea proiect˘ arii
Proiectarea este ac¸ tiunea de anticipare, preg ˘atire ¸ si realizare a activit ˘a¸ tilor didactice ¸ si educative
pe baza unui sistem de opera¸ tii, concretizat în programe de instruire.
Scopul ﬁnal urm ˘arit, în efortul actual de modernizare a ¸ scolii este proiectarea, organizarea,
preg˘atirea ¸ si desf ˘a¸ surarea lec¸ tiei, ca microsistem ce produce la scar ˘a redus ˘a macrosistemul in-
struc¸ tional.
În esen¸ t ˘a, ﬁecare lec¸ tie trebuie orientat ˘a spre atingerea unor anumite ﬁnalit ˘a¸ ti (scop ¸ si obiective
concrete), realizat ˘a printr-un anumit con¸ tinut, pus în valoare de anumi¸ ti agen¸ ti (profesori ¸ si elevi),
73

folosind strategii optime (metode, tehnici, mijloace).
Proiectarea pedagogic ˘a este o ac¸ tiune continu ˘a ¸ si unitar ˘a, vizeaz ˘a tot sistemul educa¸ tional ¸ si se
realizeaz ˘a pe baza Programelor ¸ scolare, pe baza evalu ˘arilor anterioare ¸ si pe situa¸ tia existent ˘a.
Proiectarea pedagogic ˘a se face prin planiﬁcarea anual ˘a a materiei, apoi pe semestre, continu ˘a
cu planiﬁcarea pe capitole, a lec¸ tiilor de predare – înv ˘a¸ tare, de recapitulare, de evaluare etc.
Proiectarea, cu componentele sale, are func¸ tii bine deﬁnite, necesare în orientarea ¸ si direc¸ tionarea
întregii activit ˘a¸ ti didactice a profesorului, îi sugereaz ˘a ce strategii s ˘a foloseasc ˘a ¸ si ofer ˘a, în ace-
la¸ si timp, criterii de apreciere a rezultatelor din perspectiva obiectivelor urm ˘arite, stabile¸ ste rela¸ tiile
profesor-elev, elev-elev, asigur ˘a transmiterea, receptarea ¸ si asimilarea mesajului didactic ¸ si creeaz ˘a
climatul necesar desf ˘a¸ sur˘arii programului de instruire.
Proiectarea pedagogic ˘a presupune simularea în plan mental, a unor indicatori temporali, spa¸ tiali
¸ si dinamici, deﬁnitorii pentru ac¸ tiunea didactic ˘a.
Proiectarea pedagogic ˘a se realizeaz ˘a diferen¸ tiat pe cicluri educa¸ tionale prin organizarea mediu-
lui curricular, o proiectare care tinde, azi, tot mai mult, s ˘a devin ˘a o proiectare orientat ˘a metodologic
¸ si transdisciplinar.
Proiectarea pedagogica este necesar ˘a deoarece ea reprezint ˘a, pentru un profesor autentic, arii
de interes ¸ si subiecte de reﬂec¸ tie permanent ˘a.
Proiectarea se realizeaz ˘a prin abordarea sistemic ˘a a realit ˘a¸ tii cu valen¸ te euristice în descrierea
¸ si interpretarea fenomenului educa¸ tional.
Analiza sistemic ˘a are func¸ tia de a permite tuturor celor care lucreaz ˘a într-o situa¸ tie complex ˘a
de descris s ˘a perceap ˘a func¸ tiile, s ˘a ia în considerare diferitele niveluri ale realit ˘a¸ tii sociale ¸ si insti-
tu¸ tionale.
O descriere sistemic ˘a a procesului de înv ˘a¸ t˘amânt se poate realiza din trei puncte de vedere:
– func¸ tional;
– structural;
– opera¸ tional.
Sub aspect func¸ tional, trebuie s ˘a ¸ stim care sunt premisele sistemului de înv ˘a¸ t˘amânt, ce ¸ tinte¸ ste
el s˘a realizeze ¸ si ce rezultate ob¸ tine.
Din punct de vedere structural, func¸ tionarea procesului de înv ˘a¸ t˘amânt are la baza resurse
umane-elevi, educatori, p ˘arin¸ ti, resurse materiale ¸ si ﬁnanciare, con¸ tinuturi, forme de organizare
a activit ˘a¸ tii, sisteme de rela¸ tii etc.
Sub aspect opera¸ tional, urm ˘arim procesul, desf ˘a¸ surarea activit ˘a¸ tii, metodele, strategiile.
Proiectarea didactic ˘a reprezint ˘a procesul deliberativ de ﬁxare mental ˘a a pa¸ silor ce vor ﬁ par-
cur¸ si în realizarea instruc¸ tiei ¸ si educa¸ tiei.
În func¸ tie de perioada de timp luat ˘a ca referin¸ t ˘a, se pot distinge dou ˘a variante ale proiect ˘arii:
1.proiectarea global ˘a;
2.proiectarea e¸ salonat ˘a.
Proiectarea global ˘a are ca referin¸ t ˘a o perioad ˘a mai mare de instruire – ciclu sau an de studii
– ¸ si opereaz ˘a cu obiective, con¸ tinuturi ¸ si criterii de evaluare mai largi, ce au în vedere activit ˘a¸ tile
din ¸ scoal ˘a. Concretizarea acestui tip de proiectare se realizeaz ˘a îndeosebi prin dimensionarea
planurilor de înv ˘a¸ t˘amânt ¸ si a programelor ¸ scolare analitice.
Proiectarea e¸ salonat ˘a se materializeaz ˘a prin elaborarea programelor de instruire speciﬁce unei
discipline ¸ si apoi unei lec¸ tii, aplicabile la o anumit ˘a clas ˘a de elevi.
Proiectarea globala creeaz ˘a cadrul, limitele ¸ si posibilit ˘a¸ tile proiect ˘arii e¸ salonate.
Cadrul didactic realizeaz ˘a o proiectare e¸ salonat ˘a, prin vizarea unei discipline sau a unui grup
de discipline, rela¸ tionându-se la trei planuri temporale:
1. anul ¸ scolar;
2. semestrul ¸ scolar;
3. ora de curs.
74

Proiectarea unei discipline pentru un an sau semestru se realizeaz ˘a prin planiﬁcarea e¸ salonat ˘a
pe lec¸ tii ¸ si date temporale exacte, de predare a materiei respective.
Documentul orientativ în realizarea acestei opera¸ tii este programa ¸ scolar ˘a, ce indic ˘a în mod
riguros capitolele, temele ¸ si subtemele cu num ˘arul corespunz ˘ator de ore pentru tratarea acestora.
Programa descrie oferta educa¸ tional ˘a a unei anumite discipline pentru un parcurs ¸ scolar deter-
minat ¸ si cuprinde:
– nota de prezentare, ce descrie parcursul obiectului de studiu respectiv, structura didactic ˘a
adoptat ˘a etc.;
– obiectivele cadru – sunt obiective cu un grad ridicat de generalitate ¸ si complexitate. Ele se
refer ˘a la formarea unor capacit ˘a¸ ti ¸ si atitudini speciﬁce disciplinei ¸ si sunt urm ˘arite de-a lungul mai
multor ani de studiu;
– obiectivele de referin¸ t ˘a, care speciﬁc ˘a rezultatele a¸ steptate ale înv ˘a¸ t˘arii ¸ si urm ˘aresc progresia
în achizi¸ tia de competen¸ te ¸ si de cuno¸ stin¸ te de la un an de studiu la altul;
– exemplele de activit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare, necesare pentru realizarea obiectivelor propuse; programa
oferind cel pu¸ tin un exemplu de activitate înv ˘a¸ tare pentru ﬁecare obiectiv de referin¸ t ˘a în parte. Ex-
emplele de activit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare sunt construite astfel încât s ˘a porneasc ˘a de la experien¸ ta concret ˘a
a elevului ¸ si s ˘a se integreze unor strategii didactice adecvate contextelor variate de înv ˘a¸ tare.
– con¸ tinuturile – sunt mijloace prin care se urm ˘are¸ ste atingerea obiectivelor cadru ¸ si de referin¸ t ˘a
propuse ¸ si sunt organizate, ﬁe tematic, ﬁe în conformitate cu domeniile constitutive ale diverselor
obiecte de studiu;
– standardele curriculare de performan¸ t ˘a, sunt criterii de evaluare a calit ˘a¸ tii procesului de în-
v˘a¸ tare. Ele reprezint ˘a enun¸ turi sintetice, în m ˘asur˘a s˘a indice gradul în care sunt atinse obiectivele
curriculare de c ˘atre elevi. În termeni concre¸ ti, standardele constituie speciﬁc ˘ari de performan¸ t ˘a
vizând cuno¸ stin¸ tele, competen¸ tele ¸ si comportamentele stabilite prin curriculum. Ele reprezint ˘a,
pentru to¸ ti elevii, un sistem de referin¸ t ˘a comun ¸ si echivalent, vizând sfâr¸ situl unei trepte de ¸ sco-
larizare.
Programa ¸ scolar ˘a nu este tabla de materii a manualului ¸ si nici un element de îngr ˘adire pentru
profesor.
Chiar dac ˘a în proiectare sunt obligatorii obiectivele, se remarc ˘a faptul c ˘a, adesea, acela¸ si obiec-
tiv se realizeaz ˘a prin mai multe con¸ tinuturi ¸ si resurse, dup ˘a cum mai multe obiective pot ﬁ realizate
cu acela¸ si con¸ tinut ¸ si cu acelea¸ si resurse. Asocierea acestora este la latitudinea profesorului.
Proiectarea activit ˘a¸ tii didactice presupune:
– lectura programei;
– planiﬁcarea calendaristic ˘a;
– proiectarea secven¸ tial ˘a (a unit ˘a¸ tilor de înv ˘a¸ tare).
Programa se cite¸ ste „pe orizontal ˘a”, în succesiunea de mai jos:
obiectiv cadru – obiective de referin¸ t˘ a – activit˘ a¸ ti de înv˘ a¸ tare – con¸ tinuturi
Fiec˘arui obiectiv cadru îi sunt asociate dou ˘a sau mai multe obiective de referin¸ t ˘a. Pentru re-
alizarea obiectivelor de referin¸ t ˘a, profesorul poate organiza diferite tipuri de activit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare.
Unele dintre activit ˘a¸ tile posibile sunt recomandate în program ˘a. Profesorul poate opta pentru
folosirea unora dintre aceste activit ˘a¸ ti sau poate construi activit ˘a¸ ti proprii (exemplele din program ˘a
au caracter orientativ, de sugestii ¸ si nu implic ˘a obligativitatea utiliz ˘arii numai a acestora în activi-
tatea didactic ˘a). Atingerea obiectivelor de referin¸ t ˘a se realizeaz ˘a cu ajutorul unit ˘a¸ tilor de con¸ tinut
(care se reg ˘asesc în ultima parte a programei). Profesorul va selecta din lista cu „con¸ tinuturile
înv˘a¸ t˘arii” acele unit ˘a¸ ti de con¸ tinut care mijlocesc atingerea obiectivelor.
3.2.2. Func¸ tiile proiect˘ arii didactice
Func¸ tiile ce trebuiesc îndeplinite de o activitate de proiectare didactico-pedagogice sunt:
– func¸ tia de anticipare a rezultatelor a¸ steptate;
– func¸ tia de organizare metodic ˘a a activit ˘a¸ tilor instructiv-educative;
– func¸ tia de evaluare a rezultatelor acestor activit ˘a¸ ti didactice;
75

– func¸ tia de reglare ¸ si optimizare a procesului instructiv-educativ, de predare – înv ˘a¸ tare.
Func¸ tiile proiect ˘arii vizeaz ˘a precizarea:
– obiectivelor;
– con¸ tinuturilor;
– strategiilor;
– metodelor de evaluare;
– interac¸ tiunilor optime dintre acestea etc., în vederea atingerii unor indicatori de desf ˘a¸ surare
eﬁcient ˘a a procesului didactic.
Proiectarea începe cu analiza am ˘anun¸ tit ˘a a „situa¸ tiei” de start: care este starea generala de
preg˘atire a elevilor, nivelul cuno¸ stin¸ telor asimilate, stadiul de dezvoltare a capacit ˘a¸ tii mentale,
disponibilitatea de studiu, aspectele motiva¸ tionale, descrierea condi¸ tiilor psihosociale ale clasei, a
tr˘as˘aturilor proceselor instructive prealabile, a repertoriului de specialitate.
3.2.3. Con¸ tinutul proiect˘ arii pedagogice
Scopurile ini¸ tiale ale proiect ˘arii sunt date de principiul optimalit ˘a¸ tii activit ˘a¸ tii instructiv-educative
care se refer ˘a la nivelul a¸ steptat ¸ si realizat al performan¸ telor ob¸ tinute de elevi în înv ˘a¸ tare.
Scopurile prev ˘azute la început se refer ˘a la obiectivele cadru, cele generale ¸ si de referin¸ t ˘a pe
care profesorul le stabile¸ ste astfel încât eﬁcien¸ ta s ˘a ﬁe maxim ˘a, s˘a conduc ˘a la formarea unei gândiri
creativ-productive ¸ si a unor cadre mentale ﬂexibile.
Con¸ tinutul înv ˘a¸ t˘amântului cuprinde valorile ¸ stiin¸ tiﬁce, tehnice ¸ si umaniste structurate în pro-
gramele ¸ si manualele ¸ scolare pe baza unor criterii ¸ stiin¸ tiﬁce, psihologice ¸ si pedagogice. Stabilit în
concordan¸ t ˘a cu obiectivele pedagogice, con¸ tinutul orienteaz ˘a întregul proces didactic. El trebuie
permanent actualizat ¸ si restructurat, trebuie s ˘a aib ˘a un caracter ¸ stiin¸ tiﬁc, experimental, practic ¸ si
interdisciplinar, reprezentarea lui ﬁind activ ˘a, iconic ˘a (machete, mulaje) ¸ si simbolic ˘a, sub forma
de formule logice, matematice, chimice etc.
În organizarea ¸ si preg ˘atirea con¸ tinuturilor sunt cunoscute mai multe direc¸ tii, cu avantaje, dar ¸ si
cu limite:
– organizarea monodisciplinar ˘a, prin divizarea în discipline ¸ stiin¸ tiﬁce (matematic ˘a, ﬁzic ˘a, chimie,
biologie etc.), umaniste (literatur ˘a, limb ˘a, ﬁlosoﬁe, istorie etc.) ¸ si tehnice;
– organizarea interdisciplinar ˘a, între obiecte, teme, metode, concepte, ce permite un grad de
integrare în diferite domenii, mai mari;
– transdisciplinaritatea, ce vizeaz ˘a integrarea selectiv ˘a a mai multor discipline într-o disciplin ˘a
nou˘a, de sintez ˘a (ex: cibernetica);
– pluridisciplinaritatea, ce presupune organizarea în jurul unor probleme speciﬁce folosind mai
multe discipline;
– predarea integrat ˘a, realizeaz ˘a un curriculum centrat pe rolurile ¸ si trebuin¸ tele celor care înva¸ t ˘a,
pe capacit ˘a¸ tile ¸ si ritmurile lor de munca intelectual ˘a;
– organizarea modular ˘a – vizeaz ˘a preg ˘atirea elevilor ¸ si integrarea lor socioprofesional ˘a, pe
moduluri de perfec¸ tionare.
Proiectarea începe cu precizarea con¸ tinutului esen¸ tial pentru ﬁecare capitol ¸ si lec¸ tie. În raport
de con¸ tinut ¸ si de obiective, profesorul va stabili tipul ¸ si structura lec¸ tiei, strategiile de predare
-înv˘a¸ tare, metodele ¸ si mijloacele, formele de activitate cu elevii (frontal ˘a, în grup, individual ˘a,
combinat ˘a) ¸ si instrumentele de evaluare (teste, întreb ˘ari, lucr ˘ari, ﬁ¸ se, exerci¸ tii etc.).
Esen¸ tializarea con¸ tinutului începe cu consultarea de c ˘atre profesor a programei ¸ si manualelor,
se selecteaz ˘a ideile de baz ˘a, cele secundare ale lec¸ tiei, exerci¸ tiile, experien¸ tele, mijloacele nece-
sare.
Actualizarea presupune informarea la zi ¸ si integrarea organic ˘a a noilor date în con¸ tinutul ante-
rior.
Adecvarea solicit ˘a structurarea în raport cu nivelul de gândire ¸ si de în¸ telegere al elevilor,
pornind de la cuno¸ stin¸ tele anterioare ale acestora pentru a realiza accesibilitatea cuno¸ stin¸ telor ce
urmeaz ˘a a ﬁ predate.
76

Corelarea con¸ tinutului cu educa¸ tia extra¸ scolar ˘a vizeaz ˘a leg ˘atura dintre sistemul de lec¸ tii ¸ si
activit ˘a¸ tile extradidactice din cadrul cercurilor pe obiecte, cu programele de preg ˘atire pentru con-
cursuri ¸ si olimpiade, menite s ˘a adânceasc ˘a preg ˘atirea elevilor din timpul lec¸ tiilor.
În procesul opera¸ tionaliz ˘arii ﬁec ˘arui obiectiv, în raport de con¸ tinut, profesorul va parcurge
etapele:
– stabile¸ ste ac¸ tiunea sau opera¸ tia pe baza con¸ tinutului de predat (elevii s ˘a deﬁneasc ˘a, s˘a identi-
ﬁce, s ˘a demonstreze, s ˘a rezolve, s ˘a interpreteze etc.);
– precizeaz ˘a obiectul ac¸ tiunii, ce anume s ˘a deﬁneasc ˘a, s˘a rezolve etc.
– descrie condi¸ tiile situa¸ tiei didactice;
– precizeaz ˘a criteriul de evaluare a rezultatelor lec¸ tiei, stabilind condi¸ tiile în care se va atinge
obiectivul.
Predarea implic ˘a formularea ¸ stiin¸ tiﬁc ˘a a obiectivelor ¸ si con¸ tinutului, a strategiilor didactice, a
metodelor ¸ si a formelor de grupare a elevilor. Predarea este în strâns ˘a interac¸ tiune cu înv ˘a¸ tarea ¸ si
evaluarea, constituind un proces unitar.
Eﬁcien¸ ta pred ˘arii cre¸ ste daca elevii sunt angaja¸ ti în elaborarea cuno¸ stin¸ telor ¸ si dac ˘a metodele
sunt îmbun ˘at˘a¸ tite prin feed-back.
Clasiﬁcarea tipurilor de lec¸ tii, ca modalit ˘a¸ ti de lucru cu elevii, folosite în proiectarea didactic ˘a
¸ si pedagogic ˘a, se poate face în felul urm ˘ator:
– lec¸ tia de comunicare ¸ si însu¸ sire de noi cuno¸ stin¸ te;
– lec¸ tia de elaborare a cuno¸ stin¸ telor ¸ si dezvoltare a strategiilor cognitive;
– lec¸ tia de formare a priceperilor ¸ si deprinderilor;
– lec¸ tia de consolidare ¸ si sistematizare;
– lec¸ tia de aplica¸ tii practice, de dezvoltare a func¸ tiilor de ac¸ tiune sau de transfer;
– lec¸ tia de crea¸ tie;
– lec¸ tia de evaluare;
– lec¸ tia de atitudine ( motiva¸ tie );
– lec¸ tia complex ˘a, combinat ˘a sau mixt ˘a etc.
Ca metode didactice, în proiectarea didactic ˘a se pot utiliza, cu succes, ¸ si urm ˘atoarele:
– metode de comunicare orala:
– expozitive: povestirea, explica¸ tia, prelegerea;
– interogative: conversa¸ tia euristic ˘a, problematizarea, algoritmizarea;
– metode de comunicare scrisa: metode ¸ si tehnici de munc ˘a intelectual ˘a, lectura
– metode de comunicare oral-vizual ˘a: ﬁlme, casete audio, video, PC-uri etc.;
– metode de explorare a realit ˘a¸ tii: observa¸ tia, experimentul, metoda studiului de caz, metoda
înv˘a¸ t˘arii prin cooperare în echip ˘a, demonstra¸ tia, modelarea etc;
– metode de ac¸ tiune: practic ˘a ( opera¸ tionale, instrumentale), efectiv ˘a, real ˘a, ﬁctiv ˘a, simulat ˘a,
programat ˘a;
– metoda exerci¸ tiului;
– metoda lucr ˘arilor de laborator;
– metoda lucr ˘arilor practice;
– metoda proiectelor;
– portofoliul etc.
Mijloacele de înv ˘a¸ t˘amânt care se pot utiliza în activitatea didactic ˘a de predare – înv ˘a¸ tare în
clas˘a, cabinet, laborator, atelier specializat se pot clasiﬁca în urm ˘atoarele grupe:
1. Informative:
– obiecte confec¸ tionate;
– reprezent ˘ari ﬁgurative ( ilustra¸ tii, plan¸ se, schi¸ te, desene diverse, agende);
– reprezentari proiectabile ( diapozitive, diaﬁlme, ﬁlme, folii etc.);
– echipamente tehnice pentru ateliere, laboratoare;
– ma¸ sini de instruire ¸ si evaluare, calculatoare;
77

– simboluri: scheme, graﬁce;
– mijloace de exersare ( aparate, simulatoare, truse, jocuri didactice);
– mijloace de evaluare ( teste, calculatoare, chestionare etc).;
– mijloace sonore etc.
2. Tehnice:
– videoproiectorul
– retroproiectorul;
– diaproiectorul;
– epiproiectorul;
– cineproiectorul;
– video-discul; video-textul; calculatorul electronic etc.
3.2.4.Planiﬁcarea calendaristic˘ a
În contextul noului curriculum, planiﬁcarea calendaristic ˘a se transform ˘a dintr-un document
administrativ formal care repet ˘a modul de gestionare a timpului propus de programa analitic ˘a, într-
un instrument de interpretare personal ˘a a programei, care asigur ˘a un demers didactic concordant
cu situa¸ tia concret ˘a din clas ˘a.
Planiﬁcarea activit ˘a¸ tii didactice presupune ca necesar ˘a urm ˘atoarea etapizare:
1. Citirea atent ˘a a programei;
2. Stabilirea succesiunii de parcurgere a con¸ tinuturilor;
3. Corelarea ﬁec ˘arui con¸ tinut în parte cu obiectivele de referin¸ t ˘a vizate;
4.Veriﬁcarea concordan¸ tei dintre traseul educa¸ tional propus de c ˘atre profesor ¸ si oferta de resurse
didactice de care poate dispune;
5. Alocarea timpului considerat necesar pentru ﬁecare con¸ tinut, în concordan¸ t ˘a cu obiectivele
de referin¸ t ˘a vizate.
Întregul cuprins al planiﬁc ˘arii are valoare orientativ ˘a, eventualele modiﬁc ˘ari determinate de
aplicarea efectiv ˘a la clas ˘a putând ﬁ consemnate în rubrica „Observa¸ tii”.
3.2.5.Proiectarea unei unit˘ a¸ ti de înv˘ a¸ tare
O unitate de înv ˘a¸ tare poate s ˘a acopere una sau mai multe ore de curs. Alocarea timpului afectat
unei unit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare se face prin planiﬁcarea anual ˘a.
O unitate de înv ˘a¸ tare este:
– coerent ˘a din punct de vedere al obiectivelor vizate;
– unitar ˘a din punct de vedere tematic (adic ˘a al con¸ tinutului);
– desf ˘a¸ surat ˘a în mod continuu pe o perioad ˘a de timp;
– ﬁnalizat ˘a prin evaluare.
Proiectarea unei unit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare se recomand ˘a a ﬁ f ˘acut˘a ¸ tinând seam ˘a de urm ˘atoarele:
-centrarea demersului didactic pe obiective (nu pe con¸ tinuturi);
-implicarea în proiectare a urm ˘atorilor factori:
* obiective (de ce ?): obiective de referin¸ ta;
* activit ˘a¸ ti (cum ?): activit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare;
* evaluare (cat ?): descriptori de performan¸ ta;
* resurse (cu ce ?).
Exempliﬁc ˘ari
Sugestie metodic ˘a pentru proiectarea unei unit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare
Aplicarea programei necesit ˘a ca în proiectarea oric ˘arei unit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare s ˘a ﬁe parcurse urm ˘a-
toarele etape:
– Identiﬁcarea setului de achizi¸ tii anterioare necesar abord ˘arii noului con¸ tinut (actualizarea)
implic ˘a precizarea no¸ tiunilor de baz ˘a ¸ si a comportamentelor operatorii necesare pentru în¸ telegerea
¸ si prelucrarea noului con¸ tinut (achizi¸ tii anterioare);
se poate realiza ¸ si printr-o prob ˘a de evaluare ini¸ tial ˘a.
– Activit ˘a¸ tile de înv ˘a¸ tare preg ˘atitoare
78

se realizeaz ˘a prin prezentarea unei situa¸ tii problem ˘a desprins ˘a din cotidian, care ofer ˘a ele-
vului pretextul-problem ˘a motivant. Rezolvarea optim ˘a a situa¸ tiei-problem ˘a va ﬁ posibil ˘a dup ˘a
parcurgerea demersului de instruire pentru dobândirea competen¸ telor speciﬁce
sunt exemple din cotidian abordate într-o manier ˘a deschis ˘a, prin descoperire;
reprezint ˘a valoriﬁcarea achizi¸ tiilor din ciclul anterior;
conduc la compatibilizarea noilor cuno¸ stin¸ te cu experien¸ ta anterioar ˘a a elevului într-o form ˘a
accesibil ˘a, cu realizarea unor leg ˘aturi interdisciplinare.
– Introducerea suportului no¸ tional
necesit ˘a esen¸ tializare ¸ si prezentare într-un limbaj simplu ¸ si clar. Deﬁni¸ tiile, teoremele sunt
urmate de exemple semniﬁcative pentru a se constitui în puncte de referin¸ t ˘a (¸ si de revenire) în
vederea sistematiz ˘arilor;
– Modelarea
presupune aplica¸ tii relevante ale modelului ¸ si eviden¸ tierea limitelor acestuia;
permite dezvoltarea unor rezultate teoretice;
se realizeaz ˘a printr-un demers dirijat / semidirijat cu activitate organizat ˘a pe grupe sau indi-
vidual ¸ si sarcini precise, punctuale;
– Exersarea direc¸ tional ˘a
are în vedere aplica¸ tii ordonate progresiv, cu scop de antrenament ¸ si care conduc la elaborarea
unor strategii de rezolvare. Criteriul de alegere a sarcinilor trebuie s ˘a r˘aspund ˘a necesit ˘a¸ tilor de
formare a competen¸ telor speciﬁce. Modul de organizare a înv ˘a¸ t˘arii se adapteaz ˘a nevoilor grupului
de elevi ¸ si se personalizeaz ˘a pentru diferite ﬁliere ¸ si specializ ˘ari func¸ tie de num ˘arul de ore alocat
¸ si de tipul de program ˘a.
are rol de ﬁxare ¸ si sistematizare;
include probe de evaluare formative / curente;
– Aprofundarea / generalizarea
ofer˘a oportunit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare necesare pentru dobândirea competen¸ telor ac¸ tionale ¸ si fo-
calizarea pe ﬁnalitate;
presupune activit ˘a¸ ti diferen¸ tiate pentru valoriﬁcarea diferitelor stiluri de înv ˘a¸ tare ¸ si a difer-
en¸ telor individuale;
prob ˘a de evaluare sumativ ˘a.
3.3. Evaluarea
Al˘aturi de predare ¸ si înv ˘a¸ tare, evaluarea este o component ˘a esen¸ tial ˘a a procesului de înv ˘a¸ t˘amânt
care furnizeaz ˘a informa¸ tii despre calitatea ¸ si func¸ tionalitatea acestuia. Prin implica¸ tiile ei, evalu-
area dep ˘a¸ se¸ ste cadrul strict al procesului de înv ˘a¸ t˘amânt ¸ si al ¸ scolii astfel, evaluând elevii, evalu ˘am
în acela¸ si timp (direct sau indirect) profesorii, calitatea activit ˘a¸ tii didactice, a institu¸ tiei ¸ scolare ¸ si
în cele din urm ˘a a sistemului educativ în ansamblu.
Evaluarea este procesul prin care se stabile¸ ste dac ˘a obiectivele sistemului sau procesului de în-
v˘a¸ t˘amant sunt realizate. Informa¸ tiile obi¸ snuite în urma activit ˘a¸ tii de evaluare sunt absolut necesare
pentru reglarea si perfec¸ tionarea activit ˘a¸ tii de predare-înv ˘a¸ tare.
Evaluarea reprezint ˘a un proces continuu ¸ si de durat ˘a putandu-se face la începutul programului
de instruire, pe parcursul acestuia sau la ﬁnalul sau. Focalizat ˘a pe unitatea de înv ˘a¸ tare, evaluarea
ar trebui s ˘a asigure eviden¸ tierea progresului înregistrat de elev în raport cu sine însu¸ si, în vederea
atingerii obiectivelor realiz ˘arii competen¸ telor prev ˘azute în program ˘a.
Este important s ˘a ﬁe evaluat ˘a nu numai cantitatea de informatie de care dispune elevul ci, mai
ales, ceea ce poate el s ˘a fac ˘a utilizand ceea ce ¸ stie sau ceea ce intuie¸ ste.
Evaluarea va ﬁ conceput ˘a ca:
-o cale de perfec¸ tionare;
– ocazie de validare a juste¸ tii secven¸ telor educative, a componentelor procesului didactic;
– un mijloc de delimitare, ﬁxare ¸ si interven¸ tie asupra con¸ tinuturilor ¸ si obiectivelor edu-
ca¸ tionale.
79

Opera¸ tiile ac¸ tiunii de evaluare didactic ˘a sunt: m˘asurarea ,aprecierea sidecizia .
M˘asurarea reprezint ˘a opera¸ tia de evaluare care asigur ˘a consemnarea unor "caracteristici
observabile" exprimate în termeni cantitativi (scor, cifre, statistici) sau/¸ si prin " descrieri concen-
trate asupra unor zone restranse de manifestare" (De Lansheere, G.).
M˘asurarea tinde spre o anumit ˘a obiectivitate sus¸ tinut ˘a, de regul ˘a, prin instrumente spe-
ciale de evaluare cantitativ ˘a a fenomenului studiat. Aceast ˘a obiectivitate nu angajeaz ˘a îns˘a emiterea
unor judec ˘a¸ ti de valoare speciﬁc pedagogice, deschise interpret ˘arii pe termen scurt, mediu si lung.
Aprecierea este opera¸ tia de evaluare care implic ˘a interpretarea faptelor consumate, în
func¸ tie de anumite criterii calitative, speciﬁc pedagogice, independente în raport cu instrumentele
de m ˘asur˘a folosite în cadrul unei anumite metode sau strategii didactice.
Aprecierea faptelor m ˘asurate anterior presupune stabilirea "unui spectru mai larg de caracte-
ristici de performan¸ t ˘a", exprimate în termeni calitativi, care angajeaz ˘a urm ˘atoarele tipuri de judec˘ a¸ ti
valorice care trebuie respectate de evaluator:
a) "cânt˘ arirea " rezultatelor consemnate în func¸ tie de:
– achizi¸ tiile elevului în raport cu cerin¸ tele lec¸ tiei;
– progresul elevului în raport cu sine;
– situa¸ tia (micro) grupului clasei în raport cu alte (micro) grupuri de elevi.
b) "diagnosticarea " rezultatelor consemnate în func¸ tie de calitatea pedagogic ˘a atins ˘a con-
form unei liste de criterii ¸ si reguli speciﬁce ﬁec ˘arei discipline.
c) "prognosticarea evolu¸ tiilor " în func¸ tie de diagnoza asumat ˘a prin interpretarea calitativ ˘a
a rezultatelor m ˘asurate.
Decizia reprezint ˘a opera¸ tia de evaluare care asigur ˘a prelungirea aprecierii într-o not ˘a ¸ sco-
lar˘a, caracterizare, hot ˘arare, recomandare, cu valoare de prognoz ˘a pedagogic ˘a.
Aceast ˘a opera¸ tie intr ˘a în categoria judec ˘a¸ tilor evaluative ﬁnale, de o mare complexitate
social ˘a, care angajeaz ˘a respectarea urm ˘atoarelor criterii pedagogice:
a) valoriﬁcarea integral ˘a a caracteristicilor speciﬁce ﬁec ˘arei vârste ¸ scolare interpretabile
la nivel general, particular, individual;
b) ameliorarea permanent ˘a a calit ˘a¸ tii procesului de înv ˘a¸ t˘amant, în general, a activit ˘a¸ tii
didactice, în mod special;
c) transformarea (deciziei) diagnozei în prognoz ˘a cu func¸ tie de anticipare pozitiv ˘a a evolu¸ tiei
institu¸ tiei, clasei, elevului, veriﬁcabil ˘a managerial la diferite intervale de timp.
3.3.1. Func¸ tiile evalu˘ arii
Evaluarea ¸ scolar ˘a îndepline¸ ste urm ˘atoarele func¸ tii:
– diagnostic ˘a, în sensul c ˘a permite nu numai constatarea st ˘arii de fapt a unei situa¸ tii, ci
sunt analiza¸ ti ¸ si f ˘acu¸ ti cunoscu¸ ti factorii care conduc la ob¸ tinerea anumitor rezultate de c ˘atre elevi,
în vederea amelior ˘arii sau restructur ˘arii demersului pedagogic; ea "realizeaz ˘a o reﬂectare cat mai
obiectiv ˘a ¸ si mai exact ˘a cu putin¸ t ˘a a rezultatelor, activit ˘a¸ tii, proceselor în cauz ˘a, înso¸ tit ˘a de deter-
minarea sau explicarea cauzelor sau factorilor care au generat situa¸ tia existent ˘a" (Idem);
– prognostic ˘a, în sensul posibilit ˘a¸ tii de a emite presupozi¸ tii ¸ si a anticipa performan¸ tele
viitoare ale elevilor, luând în considera¸ tie rezultatele înregistrate. Aceast ˘a func¸ tie este necesar ˘a
pentru a organiza ¸ si a planiﬁca secven¸ tele didactice urm ˘atoare, asociindu-se celei de diagnoz ˘a ¸ si
ﬁind complementare;
– de certiﬁcare a nivelului de cuno¸ stin¸ te ¸ si abilit ˘a¸ ti ale elevilor la sfâr¸ situl unei perioade
lungi de instruire (ciclu de înv ˘a¸ t˘amant);
– de selec¸ tie a elevilor pentru accesul într-o treapt ˘a superioar ˘a de înv ˘a¸ t˘amânt sau într-un
program speciﬁc de instruire;
– motiva¸ tional ˘a, de stimulare a înv ˘a¸ t˘arii, bazându-se pe rezultatele oferite de realizarea
operativ ˘a ¸ si eﬁcient ˘a a conexiunii inverse care ajut ˘a la îmbun ˘at˘a¸ tirea demersurilor instructiv-
educative;
80

– de feed-back, asigurând conexiunea invers ˘a imediat ˘a, facilitând reglarea proceselor de
înv˘a¸ tare ¸ si predare;
– "de ameliorare, de perfec¸ tionare, dar ¸ si de optimizare a activit ˘a¸ tii" (Idem) prin clariﬁ-
carea ideilor ¸ si adoptarea celor mai bune modalit ˘a¸ ti de ameliorare ¸ si de recuperare;
– "de supraveghere (de control sau monitorizare), prin efectuarea de veriﬁc ˘ari obiective,
sistematice ¸ si riguroase privind îndeplinirea obiectivelor, progresele înregistrate, eﬁcien¸ t ˘a ac¸ tiuni-
lor (timp, resurse ¸ si energii consumate)" (Idem);
– func¸ tia de orientare ¸ scolar ˘a ¸ si profesional ˘a, evaluarea ¸ scolar ˘a oferind informa¸ tii despre
performan¸ tele elevilor ¸ si a direc¸ tiei pe care ace¸ stia o pot urma cu succes în concordan¸ t ˘a cu propriile
aptitudini.
Prin îndeplinirea cu eﬁcien¸ t ˘a a func¸ tiilor sale, evaluarea asigur ˘a premisele desf ˘a¸ sur˘arii în
condi¸ tii optime, a proceselor de predare ¸ si înv ˘a¸ tare în clas ˘a. Interrela¸ tia care se realizeaz ˘a între
cele trei procese creeaz ˘a un circuit continuu, conform c ˘aruia nu putem înf ˘aptui unul dintre ele f ˘ar˘a
a ¸ tine cont de cel ˘alalt.
Aceste func¸ tii se întrep ˘atrund. În raport cu scopul evalu ˘arii, cu particularit ˘a¸ tile concrete
ale situa¸ tiei educa¸ tionale, unele pot s ˘a capete o pondere mai mare decât altele.
În ¸ scoala româneasc ˘a no¸ tiunea de evaluare a evoluat, adaptându-se ¸ si modernizându-se
continuu, în scopul perfec¸ tion ˘arii actului în sine, precum ¸ si a etapelor parcurse (conceperea, apli-
carea, analiza ¸ si sinteza, ameliorarea).
Dintre cele trei componente ale spiralei educa¸ tionale, predare-înv ˘a¸ tare-evaluare, cea din
urm˘a este considerat ˘a "un subiect sensibil în orice sistem de înv ˘a¸ t˘amânt" deoarece defectele ac¸ ti-
unilor evaluative se fac sim¸ tite nu numai în interiorul sistemului educa¸ tional, ci ¸ si în afara lui,
respectiv în plan cultural, social ¸ si chiar politic.
Pe de alt ˘a parte, între instruire-înv ˘a¸ tare-evaluare exist ˘a o rela¸ tie de intercondi¸ tionare reci-
proc˘a, ﬁecare dintre ele realizandu-se prin raportare la celelalte. Nu este corect s ˘a evalu ˘am
ceea ce nu s-a predat, respectiv înv ˘a¸ tat, dar nici nu are sens s ˘a se predea, respectiv înv ˘a¸ ta, ceea ce
nu se evalueaz ˘a.
Încercând o deﬁnire a evalu ˘arii în sensul ei larg, se poate spune c ˘aevaluarea este o acti-
vitate care:
– are în vedere toate acele procese ¸ si produse ce reﬂect ˘a atât natura cât ¸ si nivelul perfor-
man¸ telor atinse de elevi în înv ˘a¸ tare;
– eviden¸ tiaz ˘a gradul de concordan¸ t ˘a a rezultatelor înv ˘a¸ t˘arii cu obiectivele educa¸ tionale
propuse;
– ofer ˘a informa¸ tiile necesare adopt ˘arii deciziilor educa¸ tionale optime.
Evaluarea î¸ si dovede¸ ste necesitatea din cel pu¸ tin trei perspective: a cadrului didactic
responsabil de formarea elevilor, a elevului ¸ si a societ ˘a¸ tii ca beneﬁciar ˘a a "produselor" sis-
temului educa¸ tional. Din perspectiva profesorului, evaluarea se impune ca o necesitate deoarece,
prin intermediul ei, cadrul didactic ob¸ tine informa¸ tii privind calitatea presta¸ tiei sale didactice ¸ si are
posibilitatea de a adopta m ˘asuri care s ˘a eﬁcien¸ tizeze stilul de înv ˘a¸ t˘amânt pe care îl promoveaz ˘a.
Din perspectiva elevului, evaluarea exercit ˘a un impact considerabil în mai multe planuri.
Astfel, evaluarea:
– orienteaz ˘a ¸ si dirijeaz ˘a activitatea de înv ˘a¸ tare a acestuia ajutându-l s ˘a î¸ si formeze un stil
de înv ˘a¸ tare;
– ofer ˘a posibilitatea cunoa¸ sterii gradului de îndeplinire a sarcinilor ¸ scolare contribuind la
formarea unei imagini de sine cât mai corect ˘a;
– determin ˘a efecte pozitive în planul însu¸ sirii temeinice a cuno¸ stin¸ telor, priceperilor ¸ si
deprinderilor prin repetarea, sistematizarea pe care le prilejuie¸ ste;
– produce efecte în planul rela¸ tion ˘arii elevului cu ceilal¸ ti membri ai grupului ¸ scolar din
care face parte;
– inﬂuen¸ teaz ˘a dezvoltarea psihic ˘a a elevilor în multiple planuri ale personalit ˘a¸ tii lor.
81

La nivelul macro, evaluarea se impune a ﬁ necesar ˘a deoarece ea:
– este un bun mijloc de informare a sistemului social asupra calit ˘a¸ tii activit ˘a¸ tii de în-
v˘a¸ t˘amânt, asupra eﬁcien¸ tei investi¸ tiilor efectuate în acest domeniu;
– realizeaz ˘a medierea rela¸ tiei dintre produsele sistemului ¸ scolar ¸ si nevoile societ ˘a¸ tii con-
ducând la adecvarea sistemului de înv ˘a¸ t˘amânt la cerin¸ tele societ ˘a¸ tii;
– regleaz ˘a func¸ tionalitatea intern ˘a a activit ˘a¸ tii de înv ˘a¸ t˘amânt prin feed-back-ul pe care îl
ofer˘a.
În înv ˘a¸ t˘amântul gimnazial ¸ si liceal, unul dintre elementele esen¸ tiale l-a reprezentat intro-
ducerea unui sistem unitar de criterii pentru acordarea notelor ¸ scolare. Aspectele principale pentru
care s-a considerat necesar ˘a elaborarea acestui sistem se refer ˘a la faptul c ˘a:
– notele nu sunt altceva decât ni¸ ste simboluri ale unor judec ˘a¸ ti de valoare referitoare la
performan¸ tele dovedite de elevi în diferite momente ale instruirii;
– sistemul de criterii determin ˘a o rela¸ tionare mai puternic ˘a între evaluarea curent ˘a ¸ si
examenele na¸ tionale;
– aceea¸ si not ˘a acordat ˘a unor elevi diferi¸ ti va reﬂecta acela¸ si, sau aproape acela¸ si nivel de
cuno¸ stin¸ te ¸ si competen¸ te.
Problema evalu ˘arii rezultatelor ¸ si progreselor ob¸ tinute de elevi la matematic ˘a este subor-
donat ˘a preocup ˘arilor generale de evaluare a eﬁcien¸ tei procesului de predare-înv ˘a¸ tare, constituind
obiect de studiu al didacticii. Conceptul de evaluare particularizat la obiectul matematic ˘a p˘astreaz ˘a
caracteristicile evalu ˘arii generale, dar implic ˘a note speciﬁce.
Actul de evaluare la matematic ˘a urm ˘are¸ ste s ˘a m˘asoare ¸ si s ˘a aprecieze progresul elevilor în
materie de cuno¸ stin¸ te, priceperi ¸ si deprinderi matematice, ca rezultate ale procesului de instruire,
precum ¸ si aspectele educative ale activit ˘a¸ tii ¸ scolare la matematic ˘a, materializate în atitudinile ¸ si
comportamentul elevilor. Evaluarea performan¸ telor elevilor se realizeaz ˘a în func¸ tie de obiectivele
instruc¸ tionale propuse ¸ si este necesar ˘a pentru:
– cunoa¸ sterea stadiului ini¸ tial de la care se pleac ˘a în abordarea unei secven¸ te de instruire,
în vederea organiz ˘arii eﬁciente a noii activit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare;
– conﬁrmarea atingerii obiectivelor propuse pentru o anumit ˘a unitate de înv ˘a¸ tare;
– stabilirea nivelului la care a ajuns ﬁecare elev în procesul form ˘arii setului de capacit ˘a¸ ti
implicat de obiective.
Conﬁrmarea atingerii obiectivelor propuse se realizeaz ˘a prin evaluarea formativ ˘a ¸ si suma-
tiv˘a a ﬁec ˘arei unit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare. De fapt, nu poate ﬁ conceput ˘a proiectarea didactic ˘a, nu pot
ﬁ deﬁnite obiectivele lec¸ tiei sau unit ˘a¸ tii de înv ˘a¸ tare, f ˘ar˘a stabilirea criteriilor de performan¸ t ˘a ce
indic ˘a atingerea acestora. Actul de evaluare con¸ tine deci ¸ si itemi ce materializeaz ˘a criteriile de
performan¸ t ˘a stabilite anterior.
Preciz ˘am faptul c ˘a, în sistemul evalu ˘arii la matematic ˘a pentru clasele V-VIII, se con-
tureaz ˘a o conduit ˘a evaluativ ˘a a profesorului care satisface prioritar cel putin trei criterii de apreciere:
– prin raportare la o norm ˘a impus ˘a de cerin¸ tele programei ¸ scolare (deﬁne¸ ste condi¸ tiile de
eﬁcien¸ t ˘a ale pred ˘arii-înv ˘a¸ t˘arii);
– prin raportare la posibilit ˘a¸ tile ﬁec ˘arui elev, aceasta ﬁind o evaluare de progres;
– sarcinile propuse elevilor trebuie s ˘a ﬁe gradate, diferen¸ tiate ¸ si variate, astfel încât ele s ˘a
acopere întreaga gam ˘a a situa¸ tiilor posibile într-un caz dat.
Cre¸ sterea eﬁcien¸ tei procesului de predare-înv ˘a¸ tare presupune ¸ si o mai bun ˘a integrare a
actului de evaluare în desf ˘a¸ surarea activit ˘a¸ tii didactice prin veriﬁcarea ¸ si evaluarea sistematic ˘a a
tuturor elevilor (pe cât posibil) dup ˘a ﬁecare unitate de înv ˘a¸ tare.
3.3.2. Forme/ tipuri de evaluare
În func¸ tie de momentul în care se realizeaz ˘a, se disting trei forme sau tipuri de evaluare:
evaluare ini¸ tial˘ a, evaluare continu˘ a ¸ si evaluare cumulativ˘ a .
Evaluarea ini¸ tial ˘ase realizeaz ˘a la începutul unui program de instruire sau la începutul
unei perioade de instruire (semestru, an ¸ scolar, ciclu de înv ˘a¸ t˘amânt) ¸ si are ca scop stabilirea nivelu-
82

lui de preg ˘atire al elevilor, a condi¸ tiilor în care ace¸ stia se pot integra în activitatea care urmeaz ˘a.
Evaluarea ini¸ tial ˘a se realizeaz ˘a ori de cate ori un profesor preia pentru prima dat ˘a o clas ˘a de elevi.
Aceasta este impus ˘a de faptul c ˘a, la începutul unei activit ˘a¸ ti de instruire, exist ˘a o oarecare
eterogenitate în rândul elevilor în ceea ce prive¸ ste cuno¸ stin¸ tele, abilit ˘a¸ tile, în general a posibilit ˘a-
¸ tilor de înv ˘a¸ tare a noilor cuno¸ stin¸ te.
Pentru a diagnostica nivelul de preg ˘atire al elevilor se pot utiliza probe scrise, teste sau
veriﬁc ˘ari orale. Rezultatele ob¸ tinute se raporteaz ˘a la obiectivele instructiv-educative ale capitolului
sau etapei de instruire evaluate.
Evaluarea continu ˘a(formativ ˘a) se realizeaz ˘a pe parcursul desf ˘a¸ sur˘arii procesului de în-
v˘a¸ t˘amânt ¸ si are ca obiective veriﬁcarea sistematic ˘a a progreselor elevilor, cunoa¸ sterea sistematic ˘a
a rezultatelor, determinând efecte reglatoare asupra activit ˘a¸ tii ¸ si ameliorarea ei continu ˘a. Se rea-
lizeaz ˘a prin examin ˘ari scrise, orale sau practice, iar rezultatele ob¸ tinute se raporteaz ˘a la obiec-
tivele opera¸ tionale ale activit ˘a¸ tii instructiv-educative.
Func¸ tiile îndeplinite de ac¸ tiunile evaluative, ca ¸ si modurile de realizare sunt dependente de
locul pe care acestea îl de¸ tin în ansamblul procesului didactic, de integrarea lor în acest proces ¸ si de
interac¸ tiunea lor func¸ tional ˘a cu activit ˘a¸ tile de predare ¸ si înv ˘a¸ tare. În consecin¸ t ˘a, notele deﬁnitorii
ale evalu ˘arii formative deriv ˘a din considerarea acesteia ca proces ce se întrep ˘atrunde multiform ¸ si
func¸ tional cu ac¸ tiunile de instruire ¸ si cu activitatea de înv ˘a¸ tare.
a) Evaluarea formativ ˘a se realizeaz ˘a, predominant, pe parcursul procesului didactic ¸ si este
menit ˘a s˘a veriﬁce sistematic progresele elevilor.
b) Se realizeaz ˘a pe segmente relativ mici de activitate, proba ﬁind administrat ˘a la sfâr¸ situl
unit˘a¸ tii pentru care a fost elaborat ˘a. Din aceasta decurge o frecven¸ t ˘a mare a veriﬁc ˘arilor, scurtarea
intervalului de timp dintre evaluare ¸ si ”modiﬁc ˘arile ameliorative” aplicate, ceea ce permite regalare
operativ ˘a a procesului didactic.
c) Diminueaz ˘a, pân ˘a la eliminarea complet ˘a, caracterul de sondaj al evalu ˘arii, propunându-
¸ si veriﬁcarea tuturor elevilor asupra con¸ tinuturilor esen¸ tiale predate.
d) Determin ˘a schimb ˘ari atât în conduita didactic ˘a a profesorului, cât ¸ si în comportamentul
¸ scolar al elevului.
e) Faptul c ˘a scopul ei principal îl constituie facilitarea continuit ˘a¸ tii înv ˘a¸ t˘arii, determinând
activita¸ tile oportune ¸ si/sau diﬁcult ˘a¸ tile ce trebuie dep ˘a¸ site, face necesar ˘a o abordare mai analitic ˘a.
f) În contextul evalu ˘arii formative se disting dou ˘a demersuri, ca doi timpi ai evalu ˘arii:
– ac¸ tiunea în care func¸ tia sumativ ˘a, de control ¸ si de notare este preponderen¸ t ˘a, situa¸ tie în
care performan¸ tele elevilor sunt apreciate ¸ si luate în eviden¸ t ˘a;
– timpul în care func¸ tia formativ ˘a este esen¸ tial ˘a.
g) Evaluarea formativ ˘a este promovat ˘a ¸ si de pedagogia corectiv ˘a. Ea porne¸ ste de la o
realitate frecvent constatat ˘a ¸ si anume aceea c ˘a între rezultate ¸ si obiective sunt diferen¸ te. Aceast ˘a
constatare face necesar ˘a identiﬁcarea neajunsurilor ¸ si a deﬁcien¸ telor care le provoac ˘a. Procesul
presupune mai multe etape si implic ˘a:
– cunoa¸ sterea capacit ˘a¸ tii de înv ˘a¸ tare a elevului;
– reperarea deﬁcien¸ telor de instruire;
– stabilirea altor cauze (diagnostic);
– adoptarea m ˘asurilor de ameliorare.
Evaluarea cumulativ ˘a (sumativ ˘a)se realizeaz ˘a la sfâr¸ situl unei perioade mai lungi de
instruire (semestru, an, ciclu de înv ˘a¸ t˘amânt) sau la ﬁnalul unei unit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare, pentru a oferi
informa¸ tii despre nivelul de performan¸ t ˘a al elevilor în raport cu obiectivele educa¸ tionale. Se re-
alizeaz ˘a prin teste, lucr ˘ari semestriale (teze), examene (testare national ˘a, bacalaureat) ¸ si permite
aprecieri de bilan¸ t asupra nivelului de preg ˘atire al elevilor cât ¸ si asupra procesului care a generat
rezultatele elevilor.
Aceste rezultate sunt raportate la obiectivele instructiv-educative ale unit ˘a¸ tii, se desf ˘a¸ soar ˘a
la ﬁnalul unei perioade de instruire deja parcurse, acest tip de evaluare nu permite ameliorarea
83

procesului de instruire decât pentru seriile viitoare de elevi. De asemenea, genereaz ˘a elevilor
atitudini de nelini¸ ste ¸ si st ˘ari de stres.
În poﬁda acestor neajunsuri, evaluarea sumativ ˘a este util ˘a pentru c ˘a ocazioneaz ˘a momente
de reﬂec¸ tie (asupra eﬁcien¸ tei practicilor de predare, a stilului didactic adoptat etc.) ¸ si îndeamn ˘a la
sugestii în vederea conceperii activit ˘a¸ tii didactice urm ˘atoare. În plus, asigur ˘a selectarea ¸ si ierarhi-
zarea elevilor.
Op¸ tiunea pentru utilizrea adecvat ˘a ¸ si combinat ˘a a celor trei forme ale evalu ˘arii este de
natur ˘a s˘a asigure un proces evaluativ continuu, perfect integrat în procesul didactic.
3.3.3. Metode ¸ si tehnici de evaluare
1.Tradi¸ tionale:
– probe scrise;
– probe orale;
– probe practice.
2. Alternative (moderne):
– observarea sistematic ˘a a elevilor;
– investiga¸ tia;
– proiectul;
– portofoliul;
– tema pentru acas ˘a;
– tema de lucru în clas ˘a;
– autoevaluarea.
Observarea sistematic ˘a a elevilor.
Furnizeaza informa¸ tii asupra performan¸ telor elevilor din perspectiva capacit ˘a¸ tii lor de ac¸ tiune
¸ si rela¸ tionare, a competen¸ telor ¸ si abilit ˘a¸ tilor de care dispun ace¸ stia. Se pot evalua mai ales com-
portamentele afectiv-atitudinale.
Modalit ˘a¸ ti de înregistrare a informa¸ tiilor:
1. Fi¸ sa de evaluare
2. Scara de clasiﬁcare-construit ˘a prin ordon ˘ari ¸ si grad ˘ari de date obiective
3. Lista de control sau veriﬁcare, utilizat ˘a de obicei în activit ˘a¸ tile de laborator
Pe aceast ˘a cale se poate evalua atât procesul cât ¸ si produsul s ˘au.
Caracteristici evaluate.
Competen¸ te:
organizarea ¸ si interpretarea datelor;
selectarea ¸ si organizarea corespunz ˘atoare a instrumentelor de lucru;
descrierea ¸ si generalizarea unor procedee, tehnici, rela¸ tii;
utilizarea materialelor auxiliare pentru realizarea unei demonstra¸ tii;
identiﬁcarea unor rela¸ tii;
utilizarea calculatorului în situa¸ tii corespunz ˘atoare.
Atitudinea elevilor fa¸ t ˘a de sarcina dat ˘a:
concentrarea asupra sarcinii de rezolvat;
implicarea activ ˘a în rezolvarea sarcinii;
punerea unor întreb ˘ari pertinente profesorului;
completarea/îndeplinirea sarcinii;
revizuirea metodelor utilizate ¸ si a rezultatelor.
Comunicare:
discutarea sarcinii cu profesorul în vederea în¸ telegerii acesteia.
modul de prezentare a propriilor produse
cooperarea în echipa
ascultarea activ ˘a
toleran¸ ta fa¸ t ˘a de ideile celorlal¸ ti
84

Urm ˘arirea sistematic ˘a a activit ˘a¸ tii ¸ si comportamentului elevului permite observarea:
– interesului manifestat de elev pentru studiu,
– modului în care elevii particip ˘a la activit ˘a¸ ti,
– gradului de îndeplinire a îndatoririlor ¸ scolare,
– modului de exprimare, etc.
Avantaje:
permite dialogul profesor-elev, ceea ce d ˘a posibilitatea profesorului s ˘a aprecieze modul de
gândire al elevului,
elevului i se poate cere argumentarea r ˘aspunsului formulat,
profesorul îl poate ajuta pe elev în elaborarea r ˘aspunsului cu întreb ˘ari suplimentare.
Dezavantaje:
necesit ˘a un timp lung de evaluare,
nu pot ﬁ formulate pentru to¸ ti elevii întreb ˘ari cu acela¸ si grad de diﬁcultate.
Investiga¸ tia/ Experimentul
Ca modalitate de evaluare ofer ˘a elevului posibilitatea de a aplica în mod creativ cuno¸ stin¸ tele
însu¸ site, în situa¸ tii noi ¸ si variate.
În cadrul unei investiga¸ tii, obiectivele de evaluare (ex: deﬁnirea ¸ si în¸ telegerea problemei, iden-
tiﬁcarea procedeelor de ob¸ tinere a informa¸ tiilor, colectarea ¸ si organizarea datelor etc.) cap ˘at˘a sem-
niﬁca¸ tii diferite, corelate cu gradul de complexitate al sarcinilor de lucru ¸ si speciﬁcul disciplinei.
Activitatea didactic ˘a desf ˘a¸ surat ˘a prin intermediul investiga¸ tiei poate ﬁ organizat ˘a individual
sau pe grupuri de lucru, iar aprecierea modului de realizare a investiga¸ tiei este, de obicei, de tip
holistic.
Referatul
În practic ˘a sunt utilizate cu prec ˘adere dou ˘a tipuri principale de referate:
1. Referate de investiga¸ tie ¸ stiin¸ tiﬁc ˘a independent ˘a
2. Referate bibliograﬁce.
Etape pentru întocmirea unui referat:
– se precizeaz ˘a, de c ˘atre profesor, tema referatului;
– se precizeaz ˘a de c ˘atre profesor, bibliograﬁa ce urmeaz ˘a a ﬁ studiat ˘a, dându-se elevilor liber-
tatea de a completa lista cu alte materiale;
– se justiﬁc ˘a de c ˘atre profesor, tema referatului;
– se precizeaz ˘a timpul de lucru;
– se precizez ˘a sarcinile de lucru, astfel încât elevul s ˘a poat ˘a selecta, din materialul parcurs,
numai ce este necesar;
– se precizez ˘a, de c ˘atre profesor, modul de întocmire al unui referat, cu referiri concrete, legate
de fondul ¸ si forma acestuia
– se întocme¸ ste referatul de c ˘atre elev;
– se veriﬁc ˘a con¸ tinutul de c ˘atre profesor, utilizând bibliograﬁa precizat ˘a de profesor/elev;
– se sus¸ tine con¸ tinutul referatului, de c ˘atre elev;
– se veriﬁc ˘a de c ˘atre profesor, pe baz ˘a de întreb ˘ari, efortul propriu al elevului, pentru des-
coperirea noilor cuno¸ stin¸ te, pentru aprofundarea ¸ si utilizarea lor;
– se noteaz ˘a activitatea, de întocmire ¸ si redactare a referatului, printr-o not ˘a ce apreciaz ˘a con¸ ti-
nutul ¸ si forma referatului ¸ si o nota ce apreciaz ˘a capacitatea de însu¸ sire ¸ si de exprimare a informa¸ ti-
ilor cuprinse în material.
Întocmirea unui referat contribuie la dezvoltarea unor tr ˘as˘aturi esen¸ tiale ale personalit ˘a¸ tii ele-
vului dar ¸ si la stimularea ¸ si promovarea muncii independente.
Proiectul
Este o activitate mai ampl ˘a decât experimentul, începe în clas ˘a prin deﬁnirea ¸ si în¸ telegerea
sarcinii, se continu ˘a acas ˘a pe parcursul a câtorva zile sau s ˘apt˘amâni ¸ si se încheie prin prezentarea
lui în clas ˘a sau a unui raport asupra rezultatelor ob¸ tinute / produsului realizat.
85

Etapele realiz ˘arii proiectului sunt:
1. Preg ˘atirea proiectului
2. Implementarea proiectului
3. Evaluarea proiectului
Avantajele acestei metode:
– nu solicit ˘a cuno¸ stin¸ te foarte avansate de matematic ˘a;
– prin modul de realizare (în echipe) poate antrena ¸ si elevii mai pu¸ tini pasionati de matematic ˘a;
– formeaz ˘a la elevi abilit ˘a¸ ti de lucru în cadrul unei echipe – responsabilizarea lor;
– implic ˘a un num ˘ar mare de elevi în activit ˘a¸ ti complexe, ce presupun colectarea de date,
analizare, interpretare, prelucrare ¸ si organizare într-un mod original.
În timpul realiz ˘arii proiectului se pot evalua:
– metodele de lucru
– utilizarea corespunz ˘atoare a bibliograﬁei
– corectitudinea/acurate¸ tea tehnic ˘a
– utilizarea corespunz ˘atoare a materialelor ¸ si echipamentului
– generalizarea problemei
– organizarea ideilor ¸ si materialelor într-un raport
– calitatea prezentarii
– acurate¸ tea cifrelor / desenelor, tabelelor/ diagramelor etc.
Portofoliul
Instrument de evaluare complex, integrator, ofer ˘a posibilitatea de a emite o judecat ˘a de va-
loare care reﬂect ˘a evolu¸ tia elevilor
Se proiecteaz ˘a de c ˘atre profesor ¸ si reune¸ ste diferite instrumente de evaluare tradi¸ tionale ¸ si
alternative
Sintetizeaz ˘a activitatea elevului de-a lungul timpului (un an, un ciclu) reprezentând astfel ¸ si
o form ˘a de evaluare sumativ ˘a a achizi¸ tiilor elevului ¸ si a preocup ˘arilor sale
Structura sa este determinat ˘a de scopul pentru care este proiectat de c ˘atre profesor, în func¸ tie
de context
Utilitatea portofoliilor const ˘a în:
– Elevii devin parte a sistemului de evaluare ¸ si pot s ˘a-¸ si urm ˘areasc ˘a propriul progres
– Elevii ¸ si profesorii î¸ si pot comunica calit ˘a¸ tile, defectele ¸ si ariile de îmbun ˘at˘a¸ tire a activit ˘a¸ tilor
– Elevii, profesorii ¸ si p ˘arin¸ tii pot avea un dialog concret despre ceea ce pot realiza, atitudinea
fa¸ t˘a de o disciplin ˘a ¸ si despre progresul care poate ﬁ f ˘acut la disciplina în viitor
– Factorii de decizie, având la dispozi¸ tie portofoliile elevilor, vor avea o imagine mai bun ˘a
asupra a ceea ce se petrece în clas ˘a
Un portofoliu, poate s ˘a cuprind ˘a:
1. Date provenite din aplicarea instrumentelor de evaluare formalizate: rezultate la teste ini-
¸ tiale, formative ¸ si sumative
2. Date privind comportamentul elevului în clas ˘a – observa¸ tia sistematic ˘a
3. Date privind activitatea elevului în afara clasei
rezolvarea temelor
referate
proiecte
participarea la sesiuni de comunic ˘ari ¸ stiin¸ tiﬁce, concursuri ¸ scolare, excursii, vizite didactice
preocuparea pentru aplica¸ tiile informaticii în domeniu
preocuparea pentru leg ˘aturile ﬁzicii cu alte domenii
Autoevaluarea:
are rol esen¸ tial în întregirea imaginii elevului
are multiple implica¸ tii în plan motiva¸ tional ¸ si atitudinal datorit ˘a necesit ˘a¸ tii elevilor de auto-
cunoa¸ stere
86

Tehnici folosite:
– autonotarea controlat ˘a – elevul î¸ si propune nota
– Notarea reciproc ˘a sau interevaluarea
– Completarea, la sfâr¸ situl unei sarcini importante de înv ˘a¸ tare, a unui chestionar de forma: am
înv˘a¸ tat…, am fost surprins de faptul c ˘a…, am descoperit c ˘a…, am folosit metoda deoarece…, În
realizarea acestei sarcini am întâmpinat urm ˘atoarele diﬁcult ˘a¸ ti… .
Condi¸ tii pentru educarea capacit ˘a¸ tii de autoevaluare:
– În¸ telegerea de c ˘atre elev a criteriilor de apreciere dup ˘a care se conduce profesorul
– Claritatea instruc¸ tiunilor
– Prezentarea obiectivelor / competen¸ telor care trebuie atinse de c ˘atre elevi
– Asigurarea unui climat de cooperare profesor-elev, elev-elev.
3.3.4. Tipuri de itemi
Pentru a construi un test de evaluare este necesar s ˘a opt ˘am pentru unul sau mai multe
tipuri de itemi.
Item este orice întrebare sau orice element din structura unui test. Se disting trei mari
categorii de itemi: obiectivi, semiobiectivi, subiectivi.
A.Itemii obiectivi solicit ˘a elevul s ˘a selecteze r ˘aspunsul corect din mai multe variante
propuse. Se mai numesc itemi închi¸ si, deoarece elevul nu este pus în situa¸ tia de a elabora r ˘aspunsul
ci de a îl identiﬁca din mai multe variante posibile. Acest tip de itemi prezint ˘a urm ˘atoarele avantaje:
– sunt relativ u¸ sor de construit ¸ si corectat;
– asigur ˘a o obiectivitate ridicat ˘a în evaluarea rezultatelor;
– punctajul se acord ˘a sau nu în func¸ tie de marcarea r ˘aspunsului corect;
– favorizeaz ˘a un feed-back rapid;
– permit evaluarea unui volum mare de rezultate ale înv ˘a¸ t˘aturii într-un timp scurt.
Frecvent utiliza¸ ti în testele de evaluare, itemii obiectivi prezint ˘a ¸ si limite:
– m˘asoar ˘a rezultate ale înv ˘a¸ t˘arii situate la niveluri cognitive inferioare, încurajând o în-
v˘a¸ tare bazat ˘a pe recunoa¸ stere;
– ace¸ sti itemi nu pot ﬁ folosi¸ ti pentru evaluarea unor rezultate de înv ˘a¸ tare complexe;
– uneori r ˘aspunsurile corecte pot ﬁ ghicite sau pot ﬁ g ˘asite prin eliminare;
– sunt dezavantaja¸ ti cei care au rezolvat corect problema pân ˘a la un punct (uneori pân ˘a la
exprimarea într-o alt ˘a form ˘a a rezultatului);
– nu permit veriﬁcarea ra¸ tionamentului, a modului de exprimare ¸ si de redactare a solu¸ tiei.
Din categoria itemilor obiectivi fac parte: itemi cu alegere dual˘ a ,itemi de tip pereche ¸ si
itemi cu alegere multipl˘ a .
A.1. Itemii cu alegere dual˘ a solicit ˘a elevii s ˘a selecteze unul dintre cele dou ˘a r˘aspunsuri:
adev ˘arat/fals, corect/gre¸ sit, da/nu, acord/dezacord, corect/incorect.
A.2. Itemii de tip pereche solicit ˘a elevii s ˘a stabileasc ˘a o coresponden¸ t ˘a între cuvinte,
propozi¸ tii, numere, litere distribuite pe dou ˘a coloane paralele. Criteriul pe baz ˘a c˘aruia se stabile¸ ste
r˘aspunsul corect este enun¸ tat în instruc¸ tiunile care preced cele dou ˘a coloane. Informa¸ tiile din
prima coloan ˘a sunt enun¸ turi (premise) ale itemului respectiv, iar cele din a doua coloan ˘a reprezint ˘a
r˘aspunsurile. Ace¸ sti itemi se folosesc îndeosebi pentru evaluarea informa¸ tiilor factuale: deﬁni¸ tii,
termeni, date, autori etc.
Regulile de proiectare pentru ace¸ sti itemi sunt urm ˘atoarele:
a) S˘a includ ˘a un num ˘ar inegal de premise ¸ si r ˘aspunsuri, iar elevii s ˘a ﬁe instrui¸ ti c ˘a
ﬁecare r ˘aspuns poate ﬁ folosit o dat ˘a, de mai multe ori sau niciodat ˘a.
b) Lista r ˘aspunsurilor s ˘a ﬁe aranjat ˘a într-o ordine logic ˘a (de exemplu: ordinea alfa-
betic ˘a pentru r ˘aspunsuri care presupun exprimarea în cuvinte sau ordinea cresc ˘atoare/descresc ˘atoare
pentru r ˘aspunsuri numerice).
c) Toate premisele ¸ si r ˘aspunsurile s ˘a ﬁe plasate pe aceea¸ si pagin ˘a.
Exemplu: Analiz˘ a matematic˘ a, clasa a XI-a, Numere reale
87

Obiectivul: Elevul va ﬁ capabil s ˘a recunoasc ˘a propriet ˘a¸ ti ale mul¸ timilor de numere.
Enun¸ t: Înscrie în spa¸ tiul liber din fa¸ ta ﬁec ˘arei mul¸ timi din prima coloan ˘a litera din
coloana a doua corespunz ˘atoare propriet ˘a¸ tii pe care o are mul¸ timea respectiv ˘a.
___ 1. a = (0, 1) L majorat ˘a
___ 2. B = [0, 1] M minorat ˘a
___ 3. C = N N admite maxim
___ 4. D = (0, ¥) P admite minim
___ 5. F = {1
njn2N} R admite supremum
T m ˘arginit ˘a
Q admite inﬁmum
R˘ aspuns:
1. L, M, Q, R, T; 2. L, M, N, P, Q, R, T; 3. M, P, Q;
4. M, Q; 5. L, M, N, Q, R, T.
A.3. Itemii cu alegere multipl˘ a solicit ˘a elevul s ˘a aleag ˘a r˘aspunsul corect dintr-o list ˘a de
variante oferit ˘a pentru o singur ˘a premis ˘a. Ace¸ sti itemi sunt frecvent utiliza¸ ti în cazul probelor
de evaluare, permi¸ tând m ˘asurarea rezultatelor înv ˘a¸ t˘arii: cunoa¸ sterea terminologiei, a deﬁni¸ tiilor, a
principiilor, metodelor sau procedeelor etc. Itemii cu alegere multipl ˘a sunt forma¸ ti dintr-un enun¸ t
(premisa) ¸ si o list ˘a de variante de r ˘aspuns, dintre care una sau mai multe pot ﬁ corecte. Variantele
incorecte se numesc distractori.
Pentru proiectarea acestor itemi se recomand ˘a urm ˘atoarele reguli:
a) Întrebarea s ˘a ﬁe clar formulat ˘a.
b) Întrebarea s ˘a ﬁe scris ˘a într-un limbaj corespunz ˘ator nivelului de vârst ˘a al elevilor pentru
care a fost proiectat ˘a ¸ si s ˘a m˘asoare numai obiectivul propus.
c) Întrebarea s ˘a ﬁe formulat ˘a în a¸ sa fel încât s ˘a nu sugereze alegerea uneia dintre variante.
d) Distractorii s ˘a ﬁe plauzibili ¸ si paraleli.
e) R˘aspunsurile s ˘a ﬁe formulate corect din punct de vedere gramatical.
f) R˘aspunsurile s ˘a aib ˘a, pe cât posibil, aceea¸ si lungime.
g) R˘aspunsurile s ˘a nu ﬁe sinonime sau opuse ca în¸ teles.
h) R˘aspunsurile vor ﬁ amplasate aleatoriu pe toate locurile disponibile din coloana alter-
nativelor.
i) Stabilirea modului în care se va acorda punctajul.
j) Evitarea folosirii unor expresii de tipul "toate cele de mai sus" sau "niciuna".
B.Itemii semiobiectivi solicit ˘a din partea elevului elaborarea unui r ˘aspuns scurt sau r ˘aspun-
sul la întreb ˘ari structurate. Prin concizia r ˘aspunsului pe care un elev este solicitat sa îl dea la un
item semiobiectiv, se dezvolt ˘a:
– profunzimea în¸ telegerii no¸ tiunilor înv ˘a¸ tate;
– operarea cu no¸ tiuni matematice într-un ritm mai alert decât a fost obi¸ snuit pan ˘a acum;
– claritatea în exprimare.
Din categoria itemilor semiobiectivi fac parte: itemi cu r˘ aspuns scurt/de completare, în-
treb˘ arile structurate.
B.1. Itemii cu r˘ aspuns scurt/de completare presupun formularea de c ˘atre elev a unui
r˘aspuns scurt în totalitatea lui sau doar o parte component ˘a a unei aﬁrma¸ tii incomplete, astfel
încat aceasta s ˘a capete sens ¸ si valoare de adev ˘ar. Elevul are o libertate redus ˘a de reorganizare a
informa¸ tiei primite ¸ si de structurare a r ˘aspunsului.
Itemii cu r ˘aspuns scurt le cer elevilor s ˘a ofere r ˘aspunsul sub forma unei propozi¸ tii, fraze,
a unui cuvânt, num ˘ar, simbol. Itemii de completare solicit ˘a, în general, drept r ˘aspuns doar unul
sau dou ˘a cuvinte, care uneori s ˘a se încadreze în contextul-suport oferit.
88

Utilizarea acestui tip de itemi prezint ˘a urm ˘atoarele avantaje:
– acoper ˘a o arie larg ˘a de con¸ tinut;
– permite evaluarea unui num ˘ar mare de concepte, priceperi, deprinderi;
– se construie¸ ste relativ u¸ sor;
– permite o notare obiectiv ˘a.
Limitele itemilor cu r ˘aspuns scurt/de completare sunt urm ˘atoarele:
– nu permit testarea unor niveluri cognitive superioare (analiza, sinteza, rezolvare de pro-
bleme, argumentare etc.);
– r˘aspunsul foarte scurt limiteaz ˘a dezvoltarea unor abilit ˘a¸ ti complexe;
– evaluarea ﬁec ˘arei zone de con¸ tinut necesit ˘a un num ˘ar mare de itemi.
Regulile de proiectare a acestor itemi sunt urm ˘atoarele:
a) Spa¸ tiul liber furnizat s ˘a sugereze dac ˘a r˘aspunsul va con¸ tine un cuvant sau mai multe
(propozi¸ tii, fraze). Dac ˘a mai multe cuvinte trebuie scrise, atunci spa¸ tiile libere vor avea aceea¸ si
lungime pentru a nu oferi elevilor indicii privind r ˘aspunsul corect.
b) Unit ˘a¸ tile de m ˘asur˘a (centimetri, kilograme etc.) vor ﬁ precizate atât în întrebare cât ¸ si
dup˘a spa¸ tiul liber. Aceasta ne va sugera c ˘a un r ˘aspuns gre¸ sit din partea elevului nu este cauzat de
o eroare de citire sau în¸ telegere a întreb ˘arii.
c) Un text existent în manual nu este indicat s ˘a ﬁe folosit pentru a nu încuraja memorarea
mecanic ˘a.
Exemplu:
Obiectivul: Elevul va ﬁ capabil s ˘a reproduc ˘a rezultatele de baza ale unit ˘a¸ tii de în-
v˘a¸ tare ¸ Siruri reale .
Enun¸ t: Completeaz ˘a spa¸ tiile punctate astfel încat s ˘a ob¸ tii aﬁrma¸ tii adev ˘arate:
1) Orice ¸ sir convergent este ………………………………………………………………………..
2) Orice ¸ sir monoton are ……………………………………………………………………………..
3) Orice ¸ sir nem ˘arginit este …………………………………………………………………………
4) Orice sub¸ sir al unui ¸ sir ce are limita are …………………………………………………..
5) Dac ˘a un ¸ sir con¸ tine dou ˘a sub¸ siruri ce au limite diferite, atunci………………….
6) Orice ¸ sir monoton ¸ si m ˘arginit este …………………………………………………………..
R˘ aspuns: 1) m ˘arginit. 2) limit ˘a. 3) divergent. 4) aceea¸ si limit ˘a.
5) ¸ sirul nu are limit ˘a. 6)convergent.
B.2. Întreb˘ arile structurate sunt itemi forma¸ ti din mai multe subîntreb ˘ari, de tip obiectiv
sau semiobiectiv, legate între ele printr-un element comun. Întreb ˘arile structurate se plaseaz ˘a între
itemii de tip obiectivi ¸ si cei cu r ˘aspuns liber, de tip eseu, oferind elevului o ghidare în elaborarea
r˘aspunsului. Se poate porni de la un material stimul (texte, date, diagrame, h ˘ar¸ ti, graﬁce etc.) pe
baza c ˘aruia se delimiteaz ˘a un set de sub-întreb ˘ari, care ofer ˘a cadrul elabor ˘arii r ˘aspunsului.
Avantajele întreb ˘arilor structurate sunt:
– sub-întreb ˘arile pot testa o varietate de cuno¸ stin¸ te, priceperi sau capacit ˘a¸ ti;
– permit aprofundarea unei teme din diferite perspective;
– permit o cre¸ stere progresiv ˘a a diﬁcult ˘a¸ tii ¸ si complexit ˘a¸ tii r ˘aspunsurilor;
– asigur ˘a atractivitate evalu ˘arii prin folosirea materialelor-suport (diagrame, graﬁce, h ˘ar¸ ti);
– permit transformarea unui item de tip eseu în itemi de tip obiectivi sau semiobiectivi,
ceea ce conduce spre o mai mare obiectivitate a evalu ˘arii;
– stimuleaz ˘a creativitatea celui evaluat.
Limitele întreb ˘arilor structurate sunt:
– r˘aspunsul la o întrebare poate depinde de r ˘aspunsul la sub-întrebarea precedent ˘a;
– necesit ˘a un timp mai îndelungat pentru proiectare;
– materialele auxiliare sunt mai diﬁcil de proiectat.
Pentru proiectarea acestor itemi se recomand ˘a urm ˘atoarele reguli:
89

a) Întrebarea trebuie s ˘a cear ˘a r˘aspunsuri simple la început ¸ si s ˘a creasc ˘a diﬁcultatea aces-
tora spre sfar¸ sit. Gradul de diﬁcultate poate ﬁ, în general, asociat cu lungimea itemului.
b) Fiecare sub-întrebare nu va depinde de r ˘aspunsul corect la sub-întrebarea precedent ˘a.
c) Sub-întreb ˘arile trebuie s ˘a ﬁe în concordan¸ t ˘a cu materialele stimuli.
d) Fiecare sub-întrebare testeaz ˘a unul sau mai multe obiective.
e) Un spa¸ tiu va ﬁ l ˘asat pe foaia pe care este scris ˘a întrebarea, corespunz ˘ator lungimii
ﬁec˘arui r ˘aspuns.
C.Itemii subiectivi (cu r ˘aspuns deschis) permit evaluarea unor obiective complexe ale
înv˘a¸ t˘arii care scot în eviden¸ t ˘a originalitatea, creativitatea ¸ si caracterul personal al r ˘aspunsului.
Ace¸ sti itemi reprezint ˘a forma tradi¸ tional ˘a de evaluare în ¸ tara noastr ˘a, sunt u¸ sor de construit, soli-
cit˘a r˘aspunsuri deschise ¸ si evalueaz ˘a procese cognitive de nivel înalt. Principalele tipuri de itemi
subiectivi: rezolvarea de probleme ¸ sieseul .
C.1. Rezolvarea de probleme este o activitate curent ˘a a procesului de instruire pe care pro-
fesorul o propune la clas ˘a (ﬁec ˘arui elev sau unui grup) cu scopul dezvolt ˘arii creativit ˘a¸ tii, gândirii
divergente sau convergente, imagina¸ tiei, capacit ˘a¸ tii de a generaliza, reformula o problem ˘a etc.
Elaborarea ¸ si rezolvarea problemelor necesit ˘a mai mult timp ¸ si uneori implic ˘a ¸ si existen¸ ta
unor resurse materiale. Important este ca rezolvarea acestora s ˘a nu se reduc ˘a doar la rutina aplic ˘arii
unui algoritm, ci s ˘a permit ˘a exersarea unor ra¸ tionamente ﬂexibile, explorarea unor modalit ˘a¸ ti
inedite de abordare ¸ si rezolvare.
Capacitatea de a rezolva probleme nu este ceva înn ˘ascut, ci aceasta se dezvolt ˘a prin exer-
ci¸ tiu de-a lungul unei perioade mai lungi. De aceea, atunci când utiliz ˘am rezolvarea de probleme
ca metod ˘a de apreciere a performan¸ telor elevilor, trebuie s ˘a începem cu activit ˘a¸ ti simple.
Obiectivele urm ˘arite prin utilizarea rezolv ˘arii de probleme sunt:
– în¸ telegerea problemei;
– ob¸ tinerea informa¸ tiilor necesare rezolv ˘arii problemei;
– formularea ¸ si testarea ipotezelor;
– descrierea metodelor de rezolvare a problemei;
– elaborarea unui scurt raport despre rezultatele ob¸ tinute;
– posibilitatea de generalizare ¸ si de transfer a tehnicilor de rezolvare.
Avantajele utiliz ˘arii rezolv ˘arii de probleme sunt:
– permite formularea unei gândiri productive;
– ofer ˘a posibilitatea unei interdependen¸ te;
– d˘a posibilitatea de discu¸ tie asupra diverselor metode ¸ si solu¸ tii;
– activeaz ˘a atitudinea critic ˘a ¸ si îi înva¸ t ˘a pe elevi s ˘a aprecieze metoda cea mai bun ˘a de lucru;
– ofer ˘a posibilitatea analizei erorilor.
Dezavantajele utiliz ˘arii rezolv ˘arii de probleme sunt:
– necesit ˘a un timp lung de proiectare;
– implic ˘a resurse materiale uneori costisitoare;
– necesit ˘a un timp mare de administrare ¸ si complexitate a sarcinii;
– exist ˘a o anumit ˘a subiectivitate în evaluare;
– dac ˘a se dore¸ ste notarea ﬁec ˘arui elev, aceasta trebuie f ˘acut˘a nuan¸ tat, în func¸ tie de ajutorul
acordat de profesor, contribu¸ tia ﬁec ˘arui elev în cadrul grupului etc.
Regulile generale de proiectare a acestor itemi sunt urm ˘atoarele:
1. Situa¸ tia-problem ˘a s˘a ﬁe adecvat ˘a nivelului de vârst ˘a ¸ si de preg ˘atire a elevilor.
2. Activitatea se poate desf ˘a¸ sura individual sau în grup, în func¸ tie de natura ¸ si con¸ tinutul
problemei.
3. Activitatea s ˘a ﬁe în concordan¸ t ˘a cu obiectivele ¸ si con¸ tinuturile disciplinei.
4. Modul de evaluare a activit ˘a¸ tii s ˘a ﬁe relevant, prin urm ˘arirea criteriilor de baz ˘a stabilite prin
schem ˘a/ barem de notare.
90

5. Utilizarea în cadrul activit ˘a¸ tii a unor resurse materiale simple ¸ si pu¸ tin costisitoare, u¸ sor
confec¸ tionabile.
C.2. Itemii de tip eseu solicit ˘a elevilor s ˘a construiasc ˘a/ produc ˘a un r ˘aspuns liber (text) în
conformitate cu un set de cerin¸ te date. Ace¸ sti itemi pot ﬁ:
– eseu structurat/semistructurat – r ˘aspunsul a¸ steptat este dirijat, orientat ¸ si ordonat cu ajutorul
unor cerin¸ te, indici, sugestii, de exemplu: compunere/ eseu dup ˘a un plan de idei;
– eseu liber/nestructurat – valoriﬁc ˘a gândirea creativ ˘a, originalitatea, creativitatea, nu impune
cerin¸ te de structur ˘a.
Eseul este un instrument de evaluare folosit frecvent la disciplinele umaniste ¸ si sociale,
dar se poate aplica ¸ si la celelalte discipline (in special eseurile structurate, care asigur ˘a o cre¸ stere a
obiectivit ˘a¸ tii în notare). La matematic ˘a folosim foarte rar eseul în evaluarea elevilor.
Avantajele utiliz ˘arii eseului în practica evalu ˘arii sunt:
– permite evaluarea unor obiective complexe, care vizeaza creativitatea, caracterul personal al
r˘aspunsului;
– ofer ˘a elevilor libertatea de gândire ¸ si de exprimare;
– ofer ˘a o viziune global ˘a asupra capacit ˘a¸ tilor elevilor (cunoa¸ sterea faptelor, organizarea ideilor
în scris, corectitudinea exprim ˘arii, st ˘apânirea limbajului matematic, abilit ˘a¸ ti analitice sau critice
etc.).
Ca limite re¸ tinem:
– elaborarea r ˘aspunsurilor este mai diﬁcil ˘a (acestea trebuie construite ¸ si argumentate);
– nu ofer ˘a o ﬁdelitate a not ˘arii decât în condi¸ tiile realiz ˘arii unei scheme de corectare ¸ si notare
cât mai detaliat ˘a;
– solicit ˘a mult timp pentru corectare ¸ si notare.
Regulile de proiectare pentru acest tip de item sunt:
a) Sarcina de lucru se formuleaz ˘a în mod clar, precis, în termeni de performan¸ t ˘a a¸ steptat ˘a.
b) Se realizeaz ˘a estimarea r ˘aspunsului a¸ steptat (elementele sau conceptele-cheie).
c) Se stabile¸ ste schema de corectare ¸ si notare.
Fiecare dintre itemii prezenta¸ ti (obiectivi, semiobiectivi sau subiectivi) prezint ˘a avantaje
¸ si dezavantaje, pe care le-am eviden¸ tiat pe parcursul acestei sec¸ tiuni. Indiferent de varianta în care
se prezint ˘a, cu to¸ tii sunt necesari. Utilizarea în diferite combina¸ tii în probele de evaluare spore¸ ste
¸ sansa de a ob¸ tine o imagine cât mai obiectiv ˘a asupra nivelului de preg ˘atire al elevilor.
Ideea central ˘a a procesului de evaluare nu este aceea de a îi surprinde sau de a îi induce
în eroare pe elevi, ci de a ob¸ tine o m ˘asur˘a a activit ˘a¸ tii lor de înv ˘a¸ tare. Selectarea elementelor de
con¸ tinut cu adev ˘arat importante, oferirea unor instruc¸ tiuni clare, elaborarea sarcinilor de lucru într-
un limbaj accesibil, sunt aspecte menite s ˘a confere procesului de evaluare condi¸ tii de normalitate.
91

BIBLIOGRAFIE
1. Dumitru Popa, 1996, Analiz˘ a matematic˘ a , Constan¸ ta;
2. Gh. Sire¸ tchi, 1985, Calcul diferen¸ tial ¸ si integral , vol.I, Bucure¸ sti, Ed. ¸ Stiin¸ tiﬁc ˘a ¸ si Enciclo-
pedic ˘a;
3. Gh. Gussi, O. St ˘an˘a¸ sil˘a, T. Stoica, 1986, Elemente de analiz˘ a matematic˘ a – manual pentru
clasa a XI-a , Bucure¸ sti, Ed. Didactic ˘a ¸ si Pedagogic ˘a;
4. Nicolae Dinculeanu, Eugen Radu, 1975, Elemente de analiz˘ a matematic˘ a – manual pentru
clasa a XI-a, Bucure¸ sti, Ed. Didactic ˘a ¸ si Pedagogic ˘a;
5. Mircea Ganga, 2006, Matematic˘ a -manual pentru clasa a XI-a , Ploie¸ sti, Ed. Mathpress;
6. Gabriela Streinu-Cercel, Gabriela Constantinescu, Gabriela Oprea, Manuela Prajea, Boris
Singer, Gh. Stoianovici, Costel Chite¸ s, Ioan
Marinescu, Romeo Ilie, 2006, Matematic˘ a -manual pentru clasa a XI-a , Bucure¸ sti, Ed. Sigma;
7. Gh. Sire¸ tchi, 1985, Calcul diferen¸ tial ¸ si integral , vol.II, Bucure¸ sti, Ed. ¸ Stiin¸ tiﬁc ˘a ¸ si Enci-
clopedic ˘a;
8. C. Ionescu- ¸ Tiu, L. Pîr¸ san, 1975, Calcul diferen¸ tial ¸ si integral pentru admiterea în facultate ,
Bucure¸ sti, Ed. Albatros;
9. C. Perju, R.C. Perju, 1974, Probleme de matematic˘ a pentru admitere în înv˘ a¸ t˘ amîntul supe-
rior, Bucure¸ sti, Ed. Militar ˘a;
10. C.Co¸ sni¸ t ˘a, F.Turtoiu, 1969, Culegere de probleme de matematic˘ a pentru examenele de
bacalaureat ¸ si admitere în înva¸ t˘ amîntul
superior, Bucure¸ sti, Ed. Tehnica;
11. I. Giurgiu, F. Turtoiu, 1981, Culegere de probleme de matematic˘ a, Bucure¸ sti, Ed. Didactic ˘a
¸ si Pedagogic ˘a;
12. D.M. Batine¸ tu, I.V . Maftei, I.M. Stanciu-Minasian, 1981, Exerci¸ tii ¸ si probleme de analiz˘ a
matematic˘ a pentru clasele a XI-a ¸ si a XII-a,
Bucure¸ sti, Ed. Didactic ˘a ¸ si Pedagogic ˘a;
13. I. Petric ˘a, E. Constantinescu, D. Petre, 1993, Probleme de analiz˘ a matematic˘ a pentru clasa
a XI-a, vol.II, Bucure¸ sti, Ed. Petrion;
14. M. Nicolescu, C.P. Nicolescu, 1995, Analiz˘ a matematic˘ a – exerci¸ tii ¸ si probleme de matem-
atic˘ a pentru liceu , Bucure¸ sti, Ed. Universal
Pan;
15.Gazeta Matematic˘ a, vol. III, 1901-1902;
16.Gazeta Matematic˘ a , vol. XII, 1906-1907;
17.Gazeta Matematic˘ a, vol. XIII, 1907-1908;
18.Gazeta Matematic˘ a, vol. XIX, 1913-1914;
19.Gazeta Matematic˘ a , seria B, nr. 12, 1966;
20.Gazeta Matematic˘ a , seria B, nr. 2, 1969;
21.Gazeta Matematic˘ a , seria B, nr. 11-12, 1991;
22.Gazeta Matematic˘ a , seria B, nr. 11, 2007;
23.Gazeta Matematic˘ a , seria B, nr. 5-6, 2008;
24.Revista de Matematic˘ a din Timi¸ soara , nr. 4, 2006, Ed. Bîrchi;
25.Revista de Matematic˘ a din Timi¸ soara , nr. 1, 2008, Ed. Bîrchi;
26. R. Gologan,I. Cicu, A. Negrescu, 2018, Teme Supliment Gazeta Matematic˘ a , Pite¸ sti, Ed.
Cartea Româneasc ˘a Educa¸ tional;
27. F. Cîrjan, 2002, Didactica matematicii , Bucure¸ sti, Ed. Corint;
28. D. Brânzei, R. Brânzei, 2008, Metodica predarii matematicii , Pite¸ sti, Ed. Paralela 45;
29. L. Ardelean, N. Secelean, 2007, Didactica matematicii , Sibiu, Ed. Universit ˘a¸ tii Lucian
Blaga.
92

Anexe
PROIECT DE LEC ¸ TIE
Unitatea de înv ˘a¸ t˘amânt : Liceul de Arte ‚‚Ionel Perlea”
Profesor : Sturzoiu Marieta
Data :
Clasa: a XI-a
Aria curricular ˘a: MATEMATIC ˘A ¸ SI ¸ STIIN ¸ TE ALE NATURII
Disciplina : Matematic ˘a – Analiz ˘a matematic ˘a
Unitatea de înv ˘a¸ tare : LIMITE DE FUNC ¸ TII
Tema lec¸ tiei : Limite fundamentale / remarcabile
Tipul lec¸ tiei : mixt ˘a
Timpul alocat : 50 minute
Locul desf ˘a¸ sur ˘arii: sala de clas ˘a
COMPETEN ¸ TE GENERALE :
a) Identiﬁcarea unor date ¸ si rela¸ tii matematice ¸ si corelarea lor în func¸ tie de contextul în
care au fost deﬁnite;
b) Cunoa¸ sterea ¸ si în¸ telegerea conceptelor, a terminologiei ¸ si a procedurilor de calcul ;
c) Dezvoltarea capacit ˘a¸ tilor de comunicare utilizând limbajul matematic;
d) Dezvoltarea capacit ˘a¸ tilor de rezolvare de probleme.
COMPETEN ¸ TE SPECIFICE :
a) Exprimarea cu ajutorul no¸ tiunilor de limit ˘a, continuitate, derivabilitate, monotonie, a
unor propriet ˘a¸ ti cantitative ¸ si calitative ale unei func¸ tii.
b) Studierea unor func¸ tii din punct de vedere cantitativ ¸ si calitativ utilizând diverse pro-
cedee: major ˘ari, minor ˘ari pe un interval dat, propriet ˘a¸ tile algebrice ¸ si de ordine ale mul¸ timii nu-
merelor reale în studiul calitativ local, utilizarea reprezent ˘arii graﬁce a unei func¸ tii pentru veriﬁ-
carea unor rezultate ¸ si pentru identiﬁcarea unor propriet ˘a¸ ti.
OBIECTIVE OPERA¸ TIONALE :
La sfâr¸ situl lec¸ tiei elevii vor ﬁ capabili:
a) Cognitive:
OC1. S˘a-¸ si însu¸ sesc ˘a limitele remarcabile;
OC2. S˘a aplice corect limitele fundamentale;
OC3. S˘a utilizeze diferite tehnici de lucru pentru eliminarea nedetermin ˘arilor în calculul lim-
itelor pentru diferite categorii de func¸ tii;
b) Afective:
OA 1:S˘a ﬁe aten¸ ti;
OA 2:S˘a participe cu interes la lec¸ tie;
OA 3:S˘a î¸ si dezvolte sim¸ tul critic, spiritul de observa¸ tie ¸ si aten¸ tia;
OA 4:S˘a manifeste curiozitate ¸ si creativitate în rezolvarea sarcinilor propuse.
c) Psihomotorii:
OP1. S˘a scrie lizibil în caiete ¸ si pe tabl ˘a;
OP2. S˘a a¸ seze corect în pagina.
STRATEGII DIDACTICE :
Principii didactice :
– Principiul particip ˘arii ¸ si înv ˘a¸ t˘arii active;
– Principiul conexiunii inverse;
Resurse procedurale(metode didactice) :
– Conversa¸ tia euristic ˘a;
– Exerci¸ tiul;
93

– Explica¸ tia;
– Munca independent ˘a;
– Înva¸ tarea prin descoperire;
– Interevaluarea;
– Metoda R.A.I.
Resurse materiale ¸ si mijloace de înv ˘a¸ t˘amânt :
– Manual;
– Schem ˘a pe tabl ˘a;
– Fi¸ s˘a de lucru;
– Proiect didactic;
– Portofoliile elevilor;
– Tabl ˘a, cret ˘a, culegere
Forme de organizare a activit ˘a¸ tii elevilor:
– Individual ˘a, frontal ˘a ¸ si în perechi.
Evaluare :
– formativ ˘a prin rezolvarea unei ﬁ¸ se ¸ si prin chestionare oral ˘a.
Secven¸ tele activit ˘a¸ tii didactice:
– Moment organizatoric
– Veriﬁcarea temei
– Reactualizarea cuno¸ stin¸ telor necesare desf ˘a¸ sur˘arii lec¸ tiei
– Captarea ¸ si orientarea aten¸ tiei
– Transmiterea noilor cuno¸ stin¸ te
– Fixarea cuno¸ stin¸ telor
– Asigurarea feed-back-lui
– Evaluarea performan¸ tei
– Tema pentru acas ˘a
BIBLIOGRAFIE
– Programa ¸ scolar ˘a pentru clasa a XI-a ;
– Mircea Ganga, 2006, Matematic˘ a -manual pentru clasa a XI-a , Ploie¸ sti, Ed.
Mathpress;
– Marius Burtea, Georgeta Burtea, 2011, Matematic˘ a -manual pentru clasa
a XI-a , Ed. Carminis;
– Burtea M, Burtea G. -“ Culegere de matematic˘ a- pentru clasa a XI-a ”,
Ed. Campion, 2011;
– C.Schneider, V . Schneider, C. ¸ Scheau, C. Bolbotin ˘a, D. Firicel, E. Iancu,
M. B ˘agu¸ t, M. M ˘arg˘arit, M. Petri¸ san, A. Adam, P. Popovici,L. Buliga, 2014,
Matematic˘ a- exerci¸ tii ¸ si probleme pentru clasa a XI-a , Ed. Valeriu.
94

FI¸ S˘A DE LUCRU
1. S˘a se calculeze: a) lim
x!0sin(3x)
x; b) lim
x!0sin(3x)
sin(2x); c) lim
x!0sin(6x)
sinx(x+1);
d) lim
x!1sin
x21
x1; e) lim
x!2sin(x2)
x24; f) lim
x!1sin
1x2
2x+2.
2. S˘a se calculeze: a) lim
x!0tg(2x)
3x; b) lim
x!02x
tg6x; c) lim
x!1tg(x+1)
x21; d) lim
x!1tg
x21
sin(x23x+2).
3. S˘a se calculeze: a) lim
x!0arcsin (2x)
5x; b) lim
x!0arcsin
x2
x2+x3;
c) lim
x!2arcsin
x24
sin(x25x+6); d) lim
x!1arcsin
x21
tg(x1).
4. S˘a se calculeze: a) lim
x!0arctgx
x2+2x; b) lim
x!02sin x+arctgx
2arcsin x+tgx; c) lim
x!3arcsin
x29
arctg (x24x+3).
5. S˘a se calculeze: a) lim
x!p
2sin(2x)
p2x; b) lim
x!0sin3x
sinx3; c) lim
x!0sinx+sin2x
sin3x+sin4x; d) limx!¥xarcsin1
2x.
6. S˘a se calculeze: a) limx!¥(x+1)sin1
x+1; b) lim
x!0sinmx
sinnx,m;n2N; c) lim
x!p
21sinx
(p2x)2;
d) lim
x!01cos3 x
x2; e) lim
x!01cos3 x
1cos2 x; f) lim
x!0cosxcos3 x
cosxcos2 x.
7. S˘a se calculeze: a) lim
x!1sin(3x3)
sin(x21); b) limx!¥
x2+5x1
sin1
x2+1; c) lim
x!0tg(arcsin x)
sin(arctgx ).
8. S˘a se calculeze: a) lim
x!0sin(xsin(2xsin3x))
x3; b) lim
x!0cosx+cos2 x+cos3 x3
sinx2;
c) lim
x!¥sin3x
arctg 3x+1; d) lim
x!1tg
arcsin
x21
sin(arctg (x23x+2)); e) lim
x!01cosxp
cos2 x
x2.
95

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: PENTRU OB TINEREA GRADULUI DIDACTIC I ÎN ÎNV A TAMÂNT [610531] (ID: 610531)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

PENTRU OB TINEREA GRADULUI DIDACTIC I ÎN ÎNV A TAMÂNT [610531]

Copyright Notice

-percepția omului în arhitectură- Facultatea de Arhitectură Martie 2016 Student: Rotaru Roxana Elena Îndrumător: Iulia Stanciu Cuprins: Argument… [302922]

UTILIZAREA METODELOR DE MANAGEMENT IN PROCESUL DECIZIONAL COORDONATOR ȘTIINȚIFIC Conf.univ.dr. MIRELA BUCUREAN ABSOLVENT HEGEDUS ADRIAN -MIHAI ORADEA… [603668]

ACADEMIA DE STUDII ECONOMIC E A MOLODVEI [622807]

. Managementu Serviciilor De Sanatate Abordare Prin Proiecte Adnotat [629704]

CONSIDERAȚII ETIOLOGICE ASUPRA SINUCIDERII PATOLOGICE ȘI DEZORGANIZĂRII MINTALE (influența consumului de alcool în gestul suicidar) [310667]

Distilarea alcoolurilor [306316]

Copyright Notice

Similar Posts