pentru acordarea gradului didactic I COORDONATOR ȘTIINȚIFIC, Conf. univ. dr. Teodora CĂTINAȘ CANDIDAT, Prof. DOLOGA Paulina-Maria Școala Gimnazială… [308441]

Licență

pentru acordarea gradului didactic I COORDONATOR ȘTIINȚIFIC, Conf. univ. dr. Teodora CĂTINAȘ CANDIDAT, Prof. DOLOGA Paulina-Maria Școala Gimnazială… [308441]

Byadmin ianuarie 1, 2024

UNIVERSITATEA “BABEȘ-BOLYAI” [anonimizat]-ȘTIINȚIFICĂ

pentru acordarea gradului didactic I

[anonimizat]. univ. dr. Teodora CĂTINAȘ

CANDIDAT: [anonimizat]. [anonimizat]: Bistrița-Năsăud

SERIA

2019-2021

UNIVERSITATEA ”BABEȘ-BOLYAI” [anonimizat],

Conf. univ. dr. Teodora CĂTINAȘ

CANDIDAT: [anonimizat]. [anonimizat]: Bistrița-Năsăud

SERIA

2019-2021

[anonimizat]-[anonimizat] – învățare a acestei discipline pornind de la rolul pe care aceasta îl are în dezvoltarea civilizației umane sau a altor domenii de cunoaștere.

[anonimizat], fiind structurată în trei capitole.

[anonimizat], fizica, geografia pornind de la lucrări de specialitate ce tratează istoria acestei discipline școlare.

[anonimizat], am pus accentul pe numeroase aplicații ale geometriei și trigonometriei în cotidian.

[anonimizat]-[anonimizat] a [anonimizat]. [anonimizat], [anonimizat], [anonimizat].

Această lucrare este rezultatul preocupărilor mele de a [anonimizat] a [anonimizat]-le cu utilitatea și necesitatea studierii lor.

[anonimizat]: [anonimizat], navigația, construcții, irigații, etc. [anonimizat] s-au dezvoltat concomitent.

“[anonimizat] 4 ore/săptămână și dezvoltă următoarele competențe generale:

1. [anonimizat], în contextul în care acestea apar

2. [anonimizat], structural, cuprinse în

diverse surse informaționale

3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice

4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, concluziilor și

demersurilor de rezolvare pentru o situație dată

5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date

6. Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite

Domenii. “

Programa școlară în vigoare sugerează o predare a matematicii în clasele a V-a și a VI-a în mod intuitiv, pe suportul realității înconjurătoare și a conexiunilor interdisciplinare și transdisciplinare. Începând cu clasa a VII-a, urmează să se facă ușor trecerea la abstract, la studiul calitativ al conceptelor studiate punând accent pe demonstrarea proprietăților, a teoremelor, pe aplicarea algoritmilor, dar continuând cu modul de abordare interdisciplinar.

Cu toate acestea, ancorarea conceptelor matematice în realitate nu apare în studiul multor noțiuni matematice din manualele școlare, iar atunci când apar aplicații practice, acestea sunt forțate, elevii remarcând lipsa de relevanță a acestora.

Consider că predarea matematicii pe baza necesității și aplicabilității ei în viața cotidiană, dar și în variate domenii ale cunoașterii reprezintă o necesitate pentru stârnirea interesului și hrănirea motivației pentru studiul acestei discipline școlare. Totodată, prin predarea și învățarea matematicii, noi pregătim elevii pentru viață, pentru integrarea în câmpul muncii, unde matematica apare sub formă de probleme ce trebuie modelate, analizate, rezolvate și interpretate.

Matematica este disciplina școlară ce dezvoltă capacitatea de analiză, sinteză, generalizare, abstractizare, gândirea logică, critică, dar și creativitatea, fiind motorul ce face discipline precum chimia, fizica, mecanica sau astronomia funcționale și abordabile de către elevi. Reprezintă regina ariei curriculare din care face parte datorită faptului că limbajul matematic și conceptele matematice de bază se găsesc la temelia acestor discipline. Cu toate acestea, matematica reprezintă o disciplină puțin iubită, elevii acuzând-o frecvent de prea multă rigiditate și de un grad mare de abstractizare. Din acest punct de vedere, lucrarea de față prezintă modalități de a stimula dragostea de matematică, prezentând și latura umană, artistică și afectivă a acesteia. Această disciplină poate fi percepută ca o provocare atractivă de către elevi atunci când îi îndrumăm să vadă în spatele cortinei, să descopere matematica din lucrurile simple, din domeniile lor de interes și activitate, preocuparea mea de a face matematica plăcută tocmai prin utilitatea ei regăsindu-se în paginile acestei lucrări.

1.3. Competențele profesorului de matematică

Un profesor calificat dispune de o bună pregătire în specialitatea pe care o predă, în metodica predării acesteia, dar și în psihopedagogie. El cunoaște conținutul programei școlare, metode și tehnici de predare a acestuia, particularități ale elevilor cu care lucrează, metode și tehnici de învățare. Profesorul de matematică nu are menirea de a transmite doar cunoștințe și conținuri matematice ci și de a forma/dezvolta competențe specifice acestei discipline școlare, de a stârni curiozătăți, a motiva, a sprijini și îndruma elevii în descoperirea matematicii. Arta de a preda această disciplină presupune un bagaj de metode menite să motiveze, să stârnească interes și să asigure însușirea de conținuturi și competențe matematice. În acest sens, profesorul trebuie să studieze permanent lectura de specialitate, să fie la curent cu noi metode și procedee de învățământ, cu rezultate ale unor noi cercetări pedagogice. Deoarece profesorul de matematică este cel care, prin demersul didactic construit, sădește dragostea de matematică, el trebuie să dovedească un cumul de calități didactice, morale, sociale printre care putem enumera următoarele:

dragoste pentru copii și pentru disciplina pe care o predă;

pregătire de specialitate înalt calitativă;

abilități dezvoltate de comunicare și relaționare;

creativitate, obiectivitate, generozitate, blândețe, sinceritate;

echilibrul intelectual și psihic, intuiția, bunul-simț, tactul pedagogic.

Profesorul care se bucură de aprecierea și respectul elevilor este implicat, empatic, corect, dornic de reușită și performanță, atent la dorințele și nevoile elevilor din fața lui, dornic să învețe pe întreaga durată a carierei sale. Este cel care după fiecare activitate de predare se supune unui proces de analiză critică în scopul perfecționării activității didactice, îmbunătățirii relației cu elevii, creșterii calității actului didactic.

1.4. Motivarea alegerii temei

Matematica reprezintă un instrument de lucru esențial în studiul celorlaltor discipline școlare ce fac parte din aceeași arie curriculară, competențele matematice fiind cele care facilitează modelarea problemelor din diverse domenii de activitate. În centrul preocupărilor mele se află, alături de formarea competențelor matematice, crearea unor situații de învățare care să apropie elevul de această disciplină școlară, precum și să ofer răspunsuri la întrebările elevilor referitoare la scopul și utilitatea matematicii.

Scopul principal al lucrării este de a prezenta o serie de aplicații practice ale matematicii de gimnaziu atât din viața cotidiană, dar și din alte domenii pe care elevii le studiază ca discipline școlare separate ale ariei curriculare Matematică și științe ale naturii. Scopul acestei lucrări este de a evidenția multitudinea modurilor în care acționează matematica pentru rezolvarea unor probleme cotidiene și asupra dezvoltării altor științe. Cu ajutorul acestei abordări elevii vor primi răspuns la întrebarea “La ce o să îmi folosească mie matematica?” devenind conștienți de faptul că matematica este mereu prezentă în viețile noastre atât în obiecte și fenomene ce ni se par uzuale și obișnuite, dar și în tehnologii moderne pe care le folosim zilnic.

ALGEBRA ÎN DIFERITE DOMENII

I.1. Numerele din jurul nostru

Matematica pe care o studiem și o cunoaștem astăzi este construită pe fundația numerelor. Chiar dacă numerele par a fi cele mai simple noțiuni matematice, ele sunt abstracte, fiind dificilă explicarea semnificației lor – putem număra obiecte, însă numerele nu sunt obiecte. Tocmai din necesitatea de a ține evidența obiectelor, a lucrurilor, au apărut primele semne din lut pentru numere, acum zece mii de ani în Orientul Apropiat. “Cele mai vechi semne datează de pe la 8000 î.Cr și au fost folosite în mod curent timp de 5000 de ani.”.

Odată cu trecerea timpului semnele au avansat, luând forme mai complicate, ca mai apoi să se transforme în simboluri(3000 î.Cr – scrierea cuneiformă), apoi în cifrele arabe și romane pe care le folosim și azi. Datorită necesității exprimării cât mai precise a cantităților, a adâncimilor, înălțimilor, șanselor, numerele au luat forme diferite. Astăzi, la nivelul ciclului gimnazial sunt studiate numerele naturale, întregi, raționale, iraționale, reale. Pe măsură ce elevii fac cunoștință cu diferite mulțimi de numere le este greu să stabilească fiecare număr din ce mulțime aparține, tocmai datorită modului abstract de prezentare al acestora, mulțimile de numere nefiind asociate cu situații concrete sau cu necesitatea studierii lor.

Dacă vorbim despre numere naturale, primele numere pe care elevii le cunosc înainte de a intra la grădiniță, chiar denumirea lor ne duce cu gândul la natură. Au apărut din necesitatea ținerii evidenței a cât poseda fiecare(în ce cantitate) încă din perioada în care nu se inventase scrisul, fiind folosite în contabilitate, comerț și astronomie. Într-adevăr, elevii observă cu ușurință că în natură găsim, de exemplu, 5 copaci, 12 fluvii, 34 flori și nu întâlnim -12 crengi, 6,2 melci, asociind corect un număr natural cu mulțimea numerelor naturale plecând de la această analogie(natural-natură). Studiind mai cu atenție florile, copacii și animalele naturii se pot observa multe analogii ce stârnesc interesul și motivația elevului pentru studiul numerelor.

Șirul lui Fibonacci este un șir de numere naturale care începe cu 0 , 1 și continuă astfel încât fiecare număr din șir să fie egal cu suma celor două numere precedente. Se obține șirul 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,… . Acest șir este unul special descoperit de Leonardo Fibonacci pe când calcula expansiunea ideală a perechilor de iepuri în decursul unui an, iar numerele ce îl formează se găsesc în natură, atât în numărul petalelor florilor, în modelele spiralate din fructe și legume sau galaxii și uragane. Exemple ale elementelor din natură în care se regăsesc numerele naturale din șirul lui Fibonacci conduce gândirea elevului spre faptul că tainele naturii pot și sunt descifrate prin matematică, începând cu cele mai simple numere. Deși acest șir nu poate explica orice structură întâlnită în univers, următoarele exemple sunt edificatoare pentru menținerea vie a interesului elevului pentru matematică.

Exemplul 1. Petalele de flori

Numărul petalelor florilor urmează consistent șirul lui Fibonacci. Câteva astfel de exemple pot fi:

cala, care are o petală

crinul, irisul, stânjenelul de munte care au trei petale

piciorul-cocoșului, trandafirul sălbatic, căldărușa care au cinci petale

cicoarea cu 21 de petale,

margareta, pătlagina cu 34 petale

Cala – 1 petală Crinul – 3 petale

Stânjenelul de munte – 3 petale Piciorul-cocoșului – 5 petale

Trandafirul sălbatic – 5 petale Cicoarea – 21 petale

Margareta – 34 petale Pătlagina – 34 petale

Exemplul 2. Conurile, dispunerile de semințe spiralate

Semințele de pe conurile de brad, pin și ananas sunt aranjate astfel încât să formeze o spirală, iar numărul de spirale este, în general, un număr Fibonacci. În cazul conurilor de pin, acestea au ori 8 spirale pe o parte și 13 pe cealaltă, ori 5 spirale pe o parte și 3 pe cealaltă. Numărul diagonalelor unui ananas este 8 într-o direcție și 13 în cealaltă. Studiind inflorescența florii soarelui putem observa două serii de curbe, unduindu-se în două sensuri opuse, numărul spiralelor nefiind același în cele două sensuri: ori de 21 și 34 ori 34 și 55, ori 55 și 89 ori 89 și 144.

Exemplul 3. Ramurile copacilor

Șirul lui Fibonacci poate fi întâlnit dacă se studiază modul în care crește un copac: trunchiul principal al copacului crește producând prima ramură ce va creea două puncte de creștere, adică două noi tulpini; în timp, una din cele două tulpini va da naștere altor două tulpini, iar cealaltă va rămâne latentă. Acest model se va repeta pentru fiecare din noile tulpini. Ca și exemplu concret, elevii pot studia planta Coada Șoricelului(Achillea ptarmica), dar pot regăsi acest model și în sistemele rădăcinilor sau a algelor.

Exemplul 4. Corpul uman

Numerele Fibonacci sunt prezente și în corpul uman: avem 8 degete în total(înafară de degetele mari), 5 degete la fiecare mână, 3 oase pentru fiecare deget(exceptând degetele mari), 2 oase la fiecare deget mare și câte un deget mare la fiecare mână. De asemenea, numerele naturale din șirul lui Fibonacci sunt prezente în fiecare secțiune a lungimii unui deget.

„Numerele Fibonacci sunt prezente în creșterea ființelor vii, începând cu mici celule, într-un spic de grâu, într-un roi de albine, ele neștiind acest lucru – doar dezvoltându-se în cel mai eficient mod.”

Numerele întregi sunt introduse, conform programei școlare, în clasa a VI-a și reprezintă o provocare pentru elevi. Introducerea intuitivă, plasarea numărului întreg în sfera activităților de interes pentru elev, garantează înțelegerea profundă a acestei categorii de numere.

Mulțimea numerelor întregi este formată din reuniunea mulțimii numerelor naturale cu cea a numerelor întregi negative.

Introducerea noțiunii de număr negativ a fost cerută de caracterizarea mărimilor ce pot fi descrise în două sensuri: câștig sau datorie, spre dreapta sau spre stânga, în sus sau în jos, fiind necesară o diferențiere a cantității pentru fiecare sens în parte. De asemenea, contabilii întâlneau frecvent scăderi în care scăzătorul era mai mare decât descăzutul, scăderi care în mulțimea numerelor naturale sunt imposibil de efectuat(în sensul că rezultatul obținut nu va fi un număr natural).

Deși matematicieni celebri lucrau deja cu fracții și rezolvau ecuații de gradul al II-lea, ei evitau calculele în care rezultatul se exprima ca număr negativ, considerându-le imposibile tocmai din cauza faptului că nu li s-a putut da o interpretare concretă.

De abia în secolul al XVII-lea, matematicianul Rene Descartes (1596-1650) a definit în mod intuitiv, prin reprezentarea pe axa numerelor, noțiunea de număr negativ. Numerele reprezentate în dreapta originii( a abscisei 0) erau numerele pozitive, iar cele situate în partea stângă a originii erau numerele negative.

Din reprezentarea pe axă se deduce faptul că numerele întregi pozitive coincid cu cele naturale nenule, iar numerele întregi negative se obțin din cele naturale prin adăugarea semnului minus în față, deci se poate spune că numărul întreg reprezintă o generalizare a numărului natural și că multimea numerelor naturale este o submulțime a mulțimii numerelor întregi. Datorită acestei reprezentări, numerele negative capătă un înțeles concret ce conduce la utilizarea frecventă a lor în practică și la realizarea operațiilor aritmetice. Stabilirea profitului, a pierderilor sau datoriilor, înregistrarea temperaturilor pe timp de iarnă, măsurarea adâncimilor sau reprezentarea mișcărilor în jos sunt doar câteva exemple concrete în care numerele negative apar în mod frecvent. Utilizarea axei numerelor conduce și la definirea noțiunii de modul sau valoare absolută. Se poate observa că distanța de la origine la punctul de abscisă 5 este egală cu distanța de la origine la punctul de abscisă -5 și anume de 5 unități de măsură, cu toate că abscisele sunt diferite. Astfel, modulul, sau valoarea absolută a unui număr întreg a fost definit ca fiind distanța de la origine până la punctul pe care îl reprezintă el pe axa numerelor.

Pentru a înțelege semnificația numerelor întregi elevii trebuie să asocieze numere întregi cu anumite situații concrete, cum ar fi:

Ioana a primit de la tatăl ei 20 de lei dacă ne referim la Ioana, aceasta a câștigat 20 de lei, deci asociem +20; dacă ne referim la tatăl Ioanei, acesta pierdut 20 de lei, deci asociem -20.

Liftul coboară 2 nivele la subsol -2

Numerele raționale se pot distinge de celelalte categorii de numere datorită faptului că pot fi scrise ca un raport de două numere întregi, iar elevii rețin ușor analogia rație – fracție și că numărul rațional se poate exprima ca rezultatul unei împărțiri. Necesitatea practică a introducerii și utilizării numerelor raționale vine ca răspuns la unele probleme din comerț sau astronomie.

De exemplu, vechii egipteni se aflau puși în fața unor probleme concrete de genul următor:

să împartă o lipie la 3 persoane, să împartă aria suprafeței unui teren între patru moștenitori. Bineînțeles că exemplele sugerează operații de împărțire, însă nu se dorește ca întotdeauna impărțirea să se realizeze efectiv, deoarece rezultatul nu se pliază întotdeauna pe rezolvarea utilă a problemei practice. În primul exemplu, dacă realizăm efectiv împărțirea lui 1 la 3 vom obține 0,333333…, rezultat ce nu rezolvă problema, fiind dificil să ne dăm seama cât înseamnă 0,33333… dintr-o bucată de lipie. O abordare naturală conduce la împărțirea lipiei în 3 părți egale, fiecare persoană luând o parte din cele 3, ceea ce conduce la scrierea pe care noi o utilizăm azi , . În această scriere numărul de părți egale(3) în care am împărțit întregul se numește numitor și se așează sub linia de fracție, iar numărul de părți pe care le-am considerat din totalul de părți egale(1) se numește numărător și se așează deasupra liniei de fracție. Cum fracția s-a obținut în urma unei împărțiri în părți egale, linia de fracție ne sugerează o operație de împărțire. Fracțiile raționale reprezintă categoria de numere ce poate căpăta aspect concret în sala de clasă, deoarece obținerea lor poate fi ușor integrată în sfera de activități ale elevilor. Putem cere acestora să exprime sub formă de fracție ordinară rezultatul următoarelor probleme:

împărțirea unui măr în mod egal la 4 copii

împărțirea unei pizza în mod egal la 6 copii

împărțirea unui tort în mod egal tuturor celor 12 invitați la petrecere,

lucru ce va facilita și înțelegerea noțiunii de fracție zecimală, ca rezultat al impărțirii efective.

De asemenea elevii pot realiza concret aceste împărțiri, în urma unor sarcini clare, cum ar fi: oferă din corn colegului de bancă.

Odată cu introducerea noțiunii de radical, elevii sunt familiarizați și cu noțiunea de număr irațional. Ei descoperă că există fracții zecimale ce conțin o infinitate de zecimale care nu se succed periodic. Află, de exemplu, că aceste categorii de numere provin din extragerea rădăcinii pătrate din numere naturale ce nu sunt pătrate perfecte() și fac cunoștință cu numerele celebre iraționale pi()și phi().

Numărul se utilizează frecvent începând cu clasa a VII-a, mai ales la geometrie, însă puțini sunt elevii care cunosc semnificația acestui număr. Nu pentru că nu le-ar fi spus nimeni, ci mai degrabă datorită faptului că au primit informația gata împachetată, fără relevanță cu experiența lor și fără să contribuie la împachetarea ei. Elevii pot descoperi singuri ce înseamnă și pot afla câteva din zecimalele lui, având la îndemână câteva obiecte circulare, o sfoară și o riglă. Luăm, de exemplu o vază în formă de cilindru circular drept, măsurăm cu ajutorul unei sfori circumferința unei baze, cu ajutorul riglei diametrul cercului de la bază și efectuăm împărțirea. Același lucru se poate efectua asupra unui inel, cercel în formă de cerc, roți de bicicletă sau trotinetă, conservă, etc. Elevii descoperă astfel că pentru orice cerc, dacă împărțim lungimea circumferinței la lungimea diametrului vom obține 3,141592… , informație ce le va stârni curiozitatea, îi va intriga și, cel puțin o parte dintre ei, vor căuta informații suplimentare despre această valoare.

Numărul este primul număr irațional descoperit și definit în istorie. El este egal cu 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576…., fiind numărul ce a intrigat oamenii încă din Antichitate. Atunci când Hippasus din Metapontum a descoperit, în secolul V î.Hr., că acest număr nu este rațional, adepții matematicianului Pitagora au fost extrem de șocați, iar înțelegerea faptului că există numere care au un număr infinit de zecimale care nu se succed periodic a condus spre o criză filozofică.

Ne reamintim că șirul lui Fibonacci este 0, 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597… . Începem să împărțim un element al șirului la precedentul(evident începem cu al treilea element) și obținem, cu aproximație:

2:1 = 2

3:2 = 1,5

5:3 = 1,66666…

8:5 = 1,6

13:8 = 1,625

21:13 = 1,61538

34:21 = 1,61904

55:34 = 1,61764

89:55 = 1,61818

144:89 = 1,61797

233:144 = 1,61805

377:233 = 1,618025

610:377 = 1,61803

987:610 = 1,61803

1597:987 = 1,61803

Observăm că rezultatul acestor împărțiri se apropie de 1,6083, iar de la a treisprezecea împărțire încolo vom obține întotdeauna această valoare. Acest număr a fost notat pfi() și numit raportul de aur sau numărul de aur datorită faptului că este întâlnit frecvent în lumea care ne înconjoară și a fost preluat de mulți arhitecți, pictori, muzicieni care și-au proporționat lucrările conform acestui raport, considerând că oferă o estetică plăcută. Câteva astfel de exemple pot fi:

înălțimea și lungimea unui melc sunt într-un raport perfect de 1,61803;

gura si nasul sunt fiecare poziționate la secțiuni de aur ale distanței dintre ochi și capătul de jos al bărbiei;

fiecare secțiune a lungimii unui deget – de la vârfuri pănă la încheietură – este mai mare decât cea precedentă cu aproximativ raportul ;

fiecare ciclu al moleculei de ADN, unde raportul dintre lungimea și lățimea acesteia este egal cu numărul de aur;

avionul cu reacție al lui Henri Coandă; la constructia formei profilului de aripă (secțiunea transversală) au fost folosite mai multe forme eliptice, iar raportul dintre raza mare și raza mica a elipsei este egal cu numărul de aur.

Numărul de aur a condus la construirea dreptunghiului de aur-raportul laturilor este egal cu 1,61803. Acest dreptunghi este perceput ca fiind extraordinar de estetic și îl putem întâlni în:

fața Giocondei pictată de Leonardo da Vinci, aceasta încadrându-se într-un astfel de dreptunghi;

construcția Parthenonului din Atena, unde se regăsesc cel puțin două dreptunghiuri de aur;

tabloul lui Leonardo da Vinci, ”Cina cea de Taină”, toate dimensiunile cheie ale camerei și ale mesei se bazau pe numărul de aur;

”Sacramentul Cinei cea de Taină”, Salvador Dali înrămând pictura într-un asemenea dreptunghi, poziționând masa la secțiunea de aur a înălțimii sale; cei doi discipoli sunt poziționați lângă Iisus la secțiunile de aur a lățimii compoziției.

I.2. Rapoarte, procente, proporții întâlnite în practică

I.2.1. Raportul – definiție, exemple

Noțiunea de raport este o noțiune matematică simplă des întâlnită în practică. Dacă a și b sunt numere raționale pozitive, cu b0, atunci reprezintă raportul numerelor a și b. Efectuând împărțirea lui a la b vom obține valoarea raportului. Conform programei școlare studiul rapoartelor vine după cel al fracțiilor și al operațiilor cu fracții, așa că elevii operează ușor cu ele și cu semnificația lor, dar cerându-le doar să scrie raportul a două numere sau să calculeze valoarea unui raport dintr-un număr dat nu face altceva decât să accentueze opinia des răspândită în rândul elevilor conform căreia matematica nu reprezintă decât o rețetă de aplicare a unor formule, fără nicio relevanță practică. Ancorând această noțiune cu activități din experiența elevului sau din diferite domenii de activitate, elevii remarcă prezența matematicii în jurul lor dar și în diferite domenii de activitate în care aceștia vor profesa.

I.2.1.1. Raportul procentual

Dacă p este un număr rațional pozitiv, atunci raportul se numește raport procentual sau procent. Acest tip de raport este cel mai frecvent întâlnit în viața cotidiană. Reduceri sau scumpiri de prețuri, majorări sau tăieri salariale, rezultate ale sondajelor sau alegerilor prezidențiale, rata de promovabilitate a examenelor școlare, dobânzi, rate – toate reprezintă cadre de plasare a procentelor în cursul orelor de matematică. Elevii aud frecvent că un anumit procent din totalul elevilor au luat note peste 5 la Evaluarea Națională sau că, într-un anumit interval de timp, salariile au crescut cu x procente. În fiecare din cele două situații se face câte o comparație – a numărului de elevi ce au promovat examenul cu numărul total de elevi care s-au prezentat la examen, respectiv a salariului obținut după majorări și a salariului inițial.

“Mărimile cu care se compară se numesc valori de bază și vor fi asemuite în această comparație cu 100. Mărimile care se compară vor fi numite valori procentuale, iar mărimea p din fracțiile echivalente , a fiind valoarea de bază și b fiind valoarea procentuală, se numește procent, În scriere se însoțește p cu semnul %.”

Cu ajutorul acestui tip de raport elevii pot afla procentul de elevi care au obținut anumite note la un test, teză, procentul de promovabilitate al clasei, procentul numărului de fete sau băieți al întreg colectivului clasei.

Prezentăm în tabelul de mai jos, notele obținute de elevii unei clase la teza la matematică, precum și două modalități de a exprima rezultatele în procente.

Ne propunem să stabilim cât la sută din numărul total de elevi au obținut anumite note la teză. Vom obține un raport de forma

,

pe care îl vom scrie sub formă de raport procentual, mai întâi prin amplificarea fiecărui raport inițial cu 4 deoarece ne dorim să înlocuim numitorul 25 cu 100, iar 100 = 254.

Obținem succesiv:

.

Această metodă de transformare a unui raport în raport procentual este una simplă, ce presupune operații simple de înmulțire cu număr natural, dar își pierde din simplititate atunci când numitorul raportului nu este un divizor al lui 100. În acest caz putem utiliza regula de trei simplă, sau metoda descrisă de Viorica Postelnicu în traducerea după lucrarea în germană a micii enciclopedii matematice citată mai sus. În acest caz, numărul total de elevi reprezintă valoarea de bază, iar numărul elevilor care au obținut o anumită notă reprezintă valoarea procentuală. Pentru a determina, de exemplu, procentul elevilor care au obținut nota 5, efectuăm

.

Similar, obținem că numărul elevilor care au obținut note mai mari sau egale cu 5 reprezintă 88%, iar a celor care au obținut note sub 5 este de 12%.

Procentele apar frecvent pe vitrinele magazinelor îndemnându-ne să intrăm și să achiziționăm produse la preț redus. Reducerea prețurilor unor articole reprezintă o strategie de marketing demnă de luat în considerare de toți cei care manageriază sau vor să managerieze o afacere bazată pe vânzarea de produse sau servicii. În cazul vânzării de produse alimentare reducerile de preț se realizează în perioada de dinaintea expirării produsului pentru a încuraja cumpărătorii să achiziționeze produsul respectiv. Dacă vorbim de magazine ce oferă spre vânzare obiecte vestimentare, atunci reducerile de preț se oferă hainelor care nu sunt de sezon sau fac parte din colecțiile vechi în defavoarea hainelor de sezon sau din colecții noi. De exemplu, dacă un sacou ce costa 600 lei se reduce cu 25%, atunci prețul după reducere se află astfel:

(lei)

Dacă o rochie costă 850 lei, iar managerul magazinului decide să o vândă în perioada de extrasezon cu aproximativ 700 lei, putem afla procentul cu care prețul acesteia trebuie redus astfel:

.

Un domeniu important în care întervin procentele este cel al sondajelor de opinie. Un sondaj de opinie reprezintă o mulțime de instrumente și tehnici cu ajutorul cărora se cere părerea membrilor unei comunități în privința unor produse, articole, tehnici, persoane, procese, etc.

Sondajele de opinie acoperă domenii vaste: politic, economic, administrativ. În domeniul educației elevii răspund în fiecare an la diferite sondaje de opinie pe diferite teme, cel mai așteptat de către elevi fiind cel cu privire la alegerea temelor din cadrul săptămânii Școala Altfel. Elevii pot fi implicați în interpretarea chestionarului pe care îl completează. Pot fi aranjați în grupe de câte 2-3 elevi, iar fiecare grupă să interpreteze câte o întrebare din chestionar. În cadrul acestui chestionar, la întrebarea: “ Care din următoarele teme o considerați cea mai importantă pentru săptămâna Școala Altfel?”, cei 30 de elevi ai unei clase au răspuns astfel: ecologie și protecția mediului – 10 elevi, importanța activității sportive pentru dezvoltarea armonioasă – 7 elevi; măsuri de prim ajutor – 5 elevi; jocuri psihologice – 3 elevi, utilizarea sigură a internetului – 2 elevi, alte teme – 3 elevi. După ce elevii vor aranja aceste rezultate într-un tabel, vor trece la transformarea lor în procente și apoi la prezentarea rezultatelor și sub formă de grafic.

Băncile utilizează și ele noțiunea de procent la acordarea unui împrumut, în cazul depozitelor sau al achiziționării unor produse în rate. Este important ca elevii să înțeleagă noțiunea de dobândă, fiind un termen important de educație financiară, iar economia financiară reprezintă un domeniu râvnit de elevi pentru ocuparea unui loc de muncă.

Dobânda reprezintă o sumă de bani care trebuie plătită în momentul în care are loc un împrumut a unei sume de bani pentru o anumită perioadă de timp. Este prețul pe care cel care împrumută(împrumutat, debitor) o plătește celui care împrumută(împrumutător, creditor) pentru banii împumutați. “Dobânda are rădăcinile în Evul Mediu, când termenul de dobândă a înlocuit pe cel de camătă(o dobândă exorbitantă). Ea este justificată prin existența unui risc privind rambursarea împrumuturilor sau cu privire la încheierea operațiunilor financiare.”

Sumele pe care persoanele le depun la bancă, în scopul economisirii unor bani se numesc depozite. În cazul depozitelor, dobânzile pot fi simple sau acumulate. Dobânzile simple sunt cele calculate pe baza sumei depuse inițial, în timp ce dobânzile acumulate se calculează însumând rata dobânzii la suma inițială și dobânda pentru perioada anterioară.

Sumele de bani pe care banca le împrumută oamenilor pentru diferite nevoi(achiziții sau renovări de case, achiziții mașini sau alte obiecte personale, etc) se numesc credite. În funcție de valoarea dobânzii în cazul creditelor, aceasta poate fi variabilă sau fixă. Dobânda fixă rămâne constantă pe toată durata cotractului, în timp ce dobânda variabilă se va modifica în timp în funcție de anumite criterii cum ar fi indicatorii monetari.

În continuare vom discuta despre dobânda simplă, care se calculează asupra sumei inițiale, S0, pe întreaga durată a contractului pentru care s-a realizat împrumutul. Concret, stabilirea dobânzirii începe cu aflarea dobânzii ce trebuie plătită pentru suma de 100 de lei(unități monetare) pe o perioadă de un an și care poartă numele de procent, fiind notată cu p. Dobânda ce se calculează la unitatea monetară(de 1 leu, în acest caz) se numește dobândă unitară și are valoare

.

Dacă realizăm notațiile:

S0 − suma inițială(depusă sau împrumutată);

St − suma cumulată la momentul t > 0(suma inițială la care adăugăm dobânda);

t − timpul în ani;

p − procentul (dobânda pentru 100 de lei);

r − dobânda unitară (rata, dobânda pentru 1 leu);

Dt − dobânda simplă.

atunci, dobânda pentru 1 leu pe o perioada de t ani este

.

Înlocuind 1 leu cu suma inițială, S0, obținem formula dobânzii simple:

În cazul în care dobânda rămâne aceeași până la momentul t > 0, suma finală la momentul t va fi:

St = S0(1 + ).

Pentru a înțelege mai bine aceste noțiuni să considerăm două situații concrete:

A. În momentul în care o persoană dorește să împrumute bani de la bancă, ea devine împrumutat sau debitor, iar banca este împrumutător sau creditor. În acest caz, banca va solicita debitorului să restituie suma de bani lunar, într-un anumit interval de timp, iar pe lângă această sumă va cere și dobânda – un anumit procent din sumă, care poate să difere în funcție de perioada pe care se acordă împrumutul sau moneda în care se realizează acesta. Ca exemplu concret putem considera următoarea situație: Marian dorește să împrumute niște bani de la bancă pentru a termina construcția casei. Decide să aleagă un credit imobiliar în lei, pe o perioadă de 360 luni, cu o dobândă fixă de 5,58%. Suma pe care o împrumută de la bancă este de 200000 de lei. Prin urmare, Marian trebuie să restituie băncii în 30 de ani toată suma primită(200000 lei) plus dobânda de 5,58%, adică

lei.

Împărțind această sumă la 360(deorece trebuie plătită lunar), obținem că Marian va trebui să plătească 586,5 lei lunar pentru a returna datoria băncii.

B. Dacă o persoană dorește să economisească niște bani depunând lunar o anumită sumă de bani într-un cont bancar, numit depozit, atunci persoana devine împrumutător, iar banca debitor. Prin urmare, banca va acorda persoanei ce depune un anumit procent din suma depusă, în funcție de tipul depozitului ales. Să considerăm că o persoană depune suma de 50000 de lei cu un procent al dobânzii de 15% și să aflăm care va fi dobânda obținută după 1 an.

În acest caz,

S0 = 50000 lei, p = 15, t = 1,

deci

,

iar,

.

În aces caz, suma cumulată(suma inițială plus dobânda) după un an va fi

S1 = S0(1 + )=50000.

Dacă vrem să aflăm care este dobânda obținută după 5 ani, putem reface calculele pentru

S0 = 50000 lei, p = 15, t = 5,

când

,

iar

.

sau, multiplicăm valoarea dobânzii după un an cu numărul de ani și obținem aceeași dobândă.

Dacă luăm în considerare faptul că o persoană a depus suma inițială de 15000 de lei, iar după 6 ani a obținut dobânda de 3000 de lei, atunci putem calcula procentul dobânzii astfel:

,

ceea ce înseamnă că procentul anual al dobânzii este de aproximativ 3,3%.

Rămânând tot în sfera economiei financiare, conducem discuția spre taxa pe valoare adăugată(TVA), care reprezintă un impozit indirect de consum suportat de consumatorul final al unui serviciu sau bun cumpărat. Se încasează în cascadă de fiecare agent economic care participă la ciclul economic al realizării unui produs, fiind virat la bugetul de stat. În prezent, în România sunt în vigoare două cote de TVA:

Cota standard: 19%

Cote reduse: – 9% pentru alimente, servicii de restaurant sau catering, semințe, plante, ingrediente, livrare apă potabilă, medicamente, proteze medicale, intrarea la muzee, spectacole și cazarea la hotel

5% la manuale școlare, cărți, reviste, ziare, locuințe sociale, produse alimentare tradiționale, montane sau eco.

Dacă un produs din categoria cu TVA de 19% costă în momentul fabricării 75 de lei, atunci valoarea TVA-ului este egală cu

19% din 75 lei = = 14,25 lei,

iar prețul final(valoare produs + valoare TVA) pe care va trebui să îl plătești la achiziționarea produsului va fi de

75 lei + 14,25 lei = 89,25 lei.

Dacă un produs din aceeași categorie are prețul final de 100 de lei, atunci putem afla valoarea TVA-ului urmând pașii:

Valoare produs =

Valoare TVA = preț final – valoare produs = 100 lei -84,03 lei = 15,97 lei.

Calculul corect al TVA-ului nu reprezintă decât aflarea raportului procentual dintr-un număr, însă deseori se fac erori provenite din raportarea ca întreg(100%) a valorii produsului. Cum am văzut și mai sus, întregul reprezintă suma dintre valoarea produsului și cota TVA, lucru ce nu trebuie uitat mai ales când știm prețul final al produsului și vrem să aflăm valoarea TVA-ului.

I.2.1.2. Scara unei hărți

Harta este o reprezentare grafică precisă, generalizată și micșorată a unei suprafețe terestre pe o suprafață plană.

Raportul dintre distanța pe o hartă și distanța din teren, exprimate în aceeași unitate de măsură, se numește scara unei hărți. Reprezintă, de fapt, o expresie a micșorării generale a suprafeței terestre înaintea proiectării sale în plan. Citirea corectă a scării unei hărți facilitează aprecierea distanțelor reale. Scara unei hărți poate fi exprimată:

Numeric, sub formă de raport

Grafic, prin reprezentarea grafică a scării numerice și permite determinarea grafică a distanțelor de pe teren.

Direct, precizându-se corespondența dintre distanța de pe hartă și cea reală, de exemplu, 1 cm = 1 000 m

De exemplu, pe harta județului Bistrița – Năsăud, din figura de mai jos, unui segment de pe hartă cu lungimea de 1 cm îi corespunde în teren o distanță de 4 km. Aceasta înseamnă că scara acestei hărți este

, care se notează 1:400000.

Pe această hartă distanța dintre orașele Bistrița și Beclean este de 8 cm, ceea ce conduce la calculul distanței reale de pe teren, 8 400000 cm = 3200000 cm = 32 km.

I.2.1.3. Viteza

În fizică, viteza este raportul dintre distanța parcursă și durata deplasării corpului, . Unitatea de măsură pentru viteză în sistemul internațional este m/s, deși elevii sunt mai familiarizați cu unitatea de măsură km/h.

De exemplu, dacă un elev parcurge distanța de 1 km de acasă până la școală în 15 minute, atunci el s-a deplasat cu viteza,

,

ceea ce înseamnă că timp de o oră va parcurge distanța de 4 km, dacă nu își va modifica mersul. Dacă, să zicem, la întoarcere, elevul se grăbește și aleargă, parcurgând aceeași distanță în 9 minute, atunci viteza, în acest caz, este

,

deci, cu această viteză elevul parcurge aproximativ 6,6 km într-o oră.

Cunoașterea formulei vitezei este utilă și pentru a determina în cât timp se poate ajunge la o destinație stabilită sau cu ce viteză ar trebui să călătorești pentru a ajunge într-un interval de timp dat la o anumită destinație. Aceste calcule sunt realizate la companiile de transport în comun, aviatice sau CFR. Să presupunem că în cadrul unei companii de transport se dorește aflarea timpului deplasării de la Bistrița la Cluj. Autobuzul ce va parcurge această distanță se va deplasa cu o viteză medie de 60 km/h. Utilizând harta de mai jos cu scara 3cm:30 km, se poate afla distanța dintre cele două orașe și cât timp va dura călătoria.

Pentru început vom rescrie scara hărții sub formă de raport. Obținem

scara = .

Măsurând distanța dintre cele două orașe pe hartă obținem 12 cm, deci distanța reală va fi de 12000000 cm, adică 120 km. Acum, prin înlocuire în formula vitezei și aplicând proprietatea fracțiilor echivalente obținem succesiv:

Împreună cu acest timp de deplasare mai trebuie să se țină cont de faptul că autobuzul oprește în 6 stații și staționează câte 5 minute în fiecare stație, deci cu acest autobuz se va ajunge la Cluj în aproximativ 2 ore și jumătate.

Dacă managerul companiei își propune ca unul din autocarele firmei să parcurgă această distanță în 2 ore, atunci va proceda astfel:

,

deci autocarul va trebui să circule cu o viteză de 80km/h și să nu staționeze pe drum.

I.2.1.4. Densitatea

Densitatea unei substanțe reprezintă o proprietate a acesteia, fiind o mărime fizică egală cu masa unității de volum din substanța respectivă.

Densitatea unei substanțe reprezintă raportul dintre masa unui corp confecționat din acea substanță și volumul corpului respectiv.

,

unde

m – masa corpului(Kg),

V – volumul(m³)

În sistemul internațional, unitatea de măsură pentru densitate este kg/m3, dar se mai folosesc și unitățile de măsură g/cm3 sau kg/l.

Densitatea corpurilor depinde de temperatură și presiune, ca urmare a faptului că volumul corpurilor este modificabil funcție de aceste două mărimi, dar nu depinde de mărimea corpurilor. Astfel, densitatea poate diferi de la un loc la altul, motiv pentru care se numește mărime intensivă. În practică, densitatea este utilizată pentru identificarea substanțelor sau pentru stabilirea purității și concentrației acestora, rolul ei fiind foarte important în cazurile în care trebuie manipulate corpuri care se comportă diferit în funcție de densitatea lor.

Densitatea corpurilor și a materialelor devine importantă în domeniul construcțiilor de ambarcațiuni ce plutesc pe apă. Plutirea corpurilor solide la suprafața apei este determinată de relația dintre densitatea corpului solid și cea a apei. Elevii pot deduce singuri această relație, explicând de ce anumite corpuri plutesc, iar altele nu.

În primul rând, având la îndemână un cântar, o seringă, un pahar gol și apă, elevii pot afla densitatea apei, utilizând formula sa. Vor cântări un pahar gol, apoi vor cântări același pahar cu un anumit volum de apă, iar prin scădere vor afla masa apei, apoi densitatea acesteia.

Se poate observa că în fiecare din cele trei situații considerate am obținut aceeași valoare pentru denstitatea apei, deci

1 g/cm3 = 1000 kg/m3.

În cele ce urmează, utilizând un vas mai mare cu apă și câteva corpuri care au densități diferite, elevii vor stabili care din corpuri plutește pe apă. Mai întâi elevii vor cântări corpurile, apoi vor afla volumul fiecărui corp și densitatea acestuia. Vor așeza, pe rând, corpurile în vasul cu apă, observând care corp plutește și care este relația dintre densitatea acelui corp și densitatea apei.

În urma experimentului se poate observa că obiectele care plutesc sunt cele a căror densitate este mai mică decât densitatea apei, iar cele care se scufundă au densitatea mai mare decât densitatea apei.

Observăm că obiectul din fier nu plutește, cu toate că există ambarcațiuni de metal care nu se scufundă. Corpul nostru din fier se scufundă deoarece este masiv(realizat în totalitate din fier), în timp ce ambarcațiunile de metal înglobează aer, astfel încât densitatea lor medie să fie mai mică decât a apei.

I.2.1.5. Concentrația unei soluții

Soluția este un amestec omogen format din două sau mai multe componente. Din componența fiecărei soluții face parte solventul – substanța care dizolvă și solvatul – substanța care se dizolvă. În funcție de cantitatea de substanță dizolvată soluțiile pot fi saturate sau nesaturate.

De exemplu, la preparea murăturilor este nevoie să se prepare o soluție de apă cu sare de masă(NaCl), numită saramură sau soluție salină. În acest caz apa este substanța care dizolvă, deci solventul, iar sarea este subsanța dizolvată în apă, deci solvatul.

Pentru că vorbim despre o soluție în care solventul este apa o vom numi soluție apoasă.

Concentrația unei soluții este o proprietate a acesteia și reprezintă raportul dintre cantitatea de substanță dizolvată și cantitatea solventului.

Concentrația unei soluții poate fi procentuală, molară sau normală. În cele ce urmează vom discuta despre concentrația procentuală.

“Există numeroase moduri de exprimare a concentrației soluțiilor, în funcție de unitățile de măsură în care se exprimă cele două componente (dizolvatul și soluția sau solventul).

1. Concentrația procentuală

1.1. Concentrația procentuală de masă: reprezintă cantitatea de substanță dizolvată, exprimată în grame din 100 g de soluție.

, ,

unde

– concentrația procentuală de masă[%]

md – masa solvatului[g]

ms – masa soluției[g]

– masa solventului[g].

1.2. Concentrația procentuală de volum: exprimă numărul de litri de dizolvat din 100 l de soluție

, ,

unde

– concentrația procentuală de masă[%]

Vd – volumul solvatului[l]

Vs – volumul soluției[l]

– volumul solventului[l].

Acest mod de exprimare a concentrației se aplică atunci când componentele soluției sunt gaze.

1.3. Concentrația procentuală volumetrică: reprezintă grame de solut la 100 ml soluție.”

Dacă vrem să calculăm concentrația procentuală de masă a saramurii, avem mai întâi nevoie de o rețetă de saramură și alegem una pentru castraveți murați:

„Ingrediente

2 kg castraveți mici sau medii

1,5 L apă

30 g sare neiodată (cca. o lingură și jumătate)”, apoi aplicăm formula concentrației pentru

md = 30 g

= 1500 g

= 30g + 1500g = 1530g

și obținem

= .

Un domeniu ce utilizează concentrația procentuală și stârnește atenția și interesul elevilor este cel al industriei parfumurilor. Cu toții am auzit că iarna trebuie să folosim parfumuri cu o concentrație mică, iar vara unele cu o concentrație mai mare. Dar ce înseamnă concentrația când vine vorba despre un parfum? Parfumul reprezintă un amestec lichid de substanțe, printre care solvenții pot fi diferite amestecuri de jojoba, ulei de cocos, apă dublu distilată, alcool absolut sau etanol, iar solvații sunt uleiurile aromatice, care dau soluției un miros plăcut. Concentrația unui parfum reprezintă procentul de uleiuri aromatice dintr-un parfum și stabilește tipul acestuia, după cum urmează:

Extras de parfum, parfum concentrat sau parfumul pur: conține între 20% și 40% compuși aromatici, iar mirosul poate dura chiar și câteva zile;

Apă de parfum (Eau de parfum): conține între 10% și 30% compuși aromatici, iar mirosul durează de la câteva ore până la o zi;

Apă de toaletă (Eau de toilette): conține între 5% și 20% compuși aromatici, iar mirosul durează maxim 3 ore;

Apă de colonie (Eau de Cologne): conține între 2% și 3% compuși aromatici, iar mirosul durează maxim 2 ore;

Apă de solide (Eau de Solide) 'EdS': conține maxim 1% compuși aromatici, mirosul rezistând maxim o oră.

Deși prepararea unui parfum reprezintă un proces complex, mai ales datorită extragerii uleiurilor esențiale din fructe sau flori, elevii pot încerca crearea propriului parfum(utilizând cantități date), căruia apoi să îi calculeze concentrația. Au nevoie de uleiuri esențiale, iar ca solvent pot folosi ulei de migdale, ulei de jojoba sau alcool absolut combinat cu apă dublu distilată. De exemplu, putem folosi 7 g esență de trandafir, 22 cm3 alcool absolut și 2 cm3 apă dublu-distilată.

În acest caz,

.

Folosind faptul că

1000 kg/m3 = 1g/cm3

0,784g/cm3,

aflăm că

= Vapă =2g

= Valcool 17,248 g,

deci

= 7g + 2g + 17,248g = 26,248g,

iar

,

deci parfumul obținut în acest caz este unul concentrat.

I.2.1.6. Presiunea

Presiunea este o mărime fizică scalară definită ca raportul dintre valoarea forței aplicată normal și uniform pe o suprafață și aria acelei suprafețe.

,

unde

p – presiunea

F – valoarea forței [N]

S- aria suprafeței [m2]

Unitatea de măsură pentru presiune în Sistemul Internațional este pascalul, Pa.

.

Dar ce semnificație are pentru noi această mărime fizică? În momentul în care pășim pe un strat gros de zăpadă piciorul nostru se va scufunda în zăpadă. Dacă schimbăm bocancii cu schiuri putem observa că nu ne adâncim în zăpadă(cel puțin nu așa mult), chiar dacă asupra zăpezii acționează aceeași forță. Diferența dintre cele două cazuri constă în distribuția forței asupra zăpezii, deci de intensitatea forței aplicată pe unitatea de suprafață. În cazul bocancilor avem o suprafață mică, așa că presiunea exercitată pe zăpadă este mare. Schiurile au o suprafață mai mare, deci presiunea asupra zăpezii este mică. Același lucru este valabil și când un elev stă pe scaun, legănându-se pe două picioare – se exercită de două ori mai multă presiune asupra podelei decât atunci când folosește scaunul corect, fapt ce în timp va dăuna calității podelei. Așadar, presiunea intervine de fiecare dată când o anumită forță acționează asupra unei suprafețe, iar acest lucru poate exista pe suprafețe solide, în aer sau în lichide, fiecare dintre noi auzind frecvent de presiune atmosferică, a sângelui sau hidrostatică.

“Presiunea exercitată de învelișul gazos din jurul pământului se numește presiune atmosferică(barometrică), ea variind cu altitudinea. Corpurile aflate pe pământ sunt supuse acestei presiuni atmosferice”. Cu alte cuvinte, presiunea atmosferică este produsă de greutatea aerului din atmosferă, greutate ce acționează asupra scoarței terestre, dar și asupra tuturor oamenilor, animalelor, obiectelor de pe pământ. Acest tip de presiune se măsoară cu barometru, iar valoarea ei se exprimă cel mai des în milimetri coloană de mercur. Presiunea atmosferică la nivelul mării este de aproximativ 760 mm coloană de mercur (101325 Pa) și scade odată cu creșterea altitudinii deoarece la înălțimi mari, aerul este rarefiat iar greutatea aerului ce apasă obiectul este mai mică.

Putem evidenția modul în care presiunea atmosferică acționează realizând un experiment simplu. Dacă umplem complet un pahar cu apă, îl acoperim cu o foaie de hârtie și îl întoarcem cu foaia în jos vom observa că apa nu va curge. Asta înseamnă că asupra foii de hârtie mai trebuie să acționeze o forță, diferită de greutatea apei și cu o valoare mai mare decât aceasta – forța generată de presiunea atmosferică.

Presiunea sângelui sau tensiunea arterială reprezintă intensitatea forței cu care sângele acționează asupra vaselor de sânge. În momentul în care ni se măsoară tensiunea arterială se obțin două valori simultan – una mai mare numită tensiune sistolică și una mai mică, numită tensiune diastolică. Tensiunea sistolică se realizează atunci când inima pompează sângele în corp, fiind valoarea presiunii exercitată de sânge asupra pereților arterelor, iar tensiunea diastolică reprezintă presiunea din artere atunci când inima se odihnește între două bătăi. O valoare normală a tensiunii arteriale este una cuprinsă între 90/60 mmHg și 120/80 mmHg.

I.3. Mărimi direct și invers proporționale. Regula de trei simplă

În studiul rapoartelor elevii au făcut cunoștință cu diverse mărimi precum viteza, scara unei hărți, densitatea, presiunea, concentrația procentuală. Plasând aceste mărimi în contextul unor aplicații concrete elevii sunt familiarizați cu semnificația lor, observând cum acestea se modifică în funcție de anumiți parametrii.

Ca dependența dintre două mărimi să fie ușor de observat considerăm următoarele situații:

În vacanța de vară, Andrei a decis să se plimbe în fiecare dimineață cu bicicleta. Păstrând viteza constantă el a pedalat în 5 zile conform informațiilor din tabel.

Studiind relația matematică dintre distanța parcursă și timpul de parcurgere a aceleiași distanțe putem afirma că marți a pedalat de 1,5 ori mai mult timp decât luni; de asemenea marți a parcurs de 1,5 ori mai mulți km decât luni, între numerele ce reprezintă cele două mărimi stabilindu-se o relație de proporționalitate. Vineri a parcurs de 5 ori mai mulți km în de 5 ori mai multe ore decât luni.

Concluzionând, se observă că dacă timpul de deplasare se mărește de un anumit număr de ori, atunci și distanța parcursă se mărește de același număr de ori, iar dacă timpul de deplasare scade de un anumit număr de ori, atunci și distanța parcursă scade de același număr de ori. Două mărimi cu o astfel de dependență se numesc mărimi direct proporționale. Mai mult, efectuând raportul dintre numerele corespunzătoare măsurilor celor două mărimi observăm că el se păstrează constant și obținem un șir de rapoarte egale.

=

Reprezentând datele din tabel într-un sistem ortogonal xOy, în care pe axa Ox am considerat numărul corespunzător timpului, iar pe axa Oy numărul corespunzător distanței întărim observația dependenței celor două mărimi, punctele obținute fiind coliniare.

În acest moment elevii pot defini în mai multe moduri mărimile direct proporționale și le pot recunoaște în mai multe situații concrete.

Două mărimi variabile care depind una de alta astfel încât dacă măsura uneia crește(descrește) de un anumit număr de ori, atunci și măsura celeilalte crește(descrește) de același număr de ori se numesc mărimi direct proporționale. De asemenea, putem spune că numerele nenule a și b sunt direct proporționale cu numerele nenule x și y dacă . Generalizând, numerele nenule a1, a2, …, an sunt direct proporționale cu numerele nenule b1, b2, …, bn, dacă formează șirul de rapoarte egale .

Alte exemple de mărimi direct proporționale pot fi: cantitatea de obiecte cumpărate și prețul plătit, numărul de fructe utilizate și cantitatea de suc obținută în urma stoarcerii lor, cantitatea de lapte și cantitatea de unt obținută, distanța de pe hartă și distanța de pe teren, cantitatea de combustibil consumată de o mașină și distanța parcursă cu o viteză constantă, etc.

Mihai, fratele lui Andrei, a hotărât să se plimbe și el dimineața cu bicicleta. Spre deosebire de Andrei, el a hotărât să parcurgă în fiecare zi aceeași distanță de 60 km și să crească treptat viteza de deplasare, conform datelor din tabelul de mai jos.

Mihai a decis să pedaleze marți de două ori mai repede decât luni, fapt ce a condus la parcurgerea distanței într-un timp de două ori mai mic. Joi dimineața viteza era de 4 ori mai mare, în timp ce timpul de deplasare este de 4 ori mai mic. În concluzie, în contextul unei distanțe constante, dacă viteza crește de un anumit număr de ori, timpul de deplasare scade de același număr de ori, iar dacă viteza scade de un număr de ori, atunci timpul de deplasare va crește de același număr de ori. În acest caz, cele două mărimi se numesc mărimi învers proporționale.

Căutând o relație matematică între valorile din tabel putem observa că produsul numerelor de pe fiecare linie este același, deci putem forma proporții în care termenii să fie reprezentați de numărul de ore și numărul corespunzător vitezei..

Reprezentând valorile din tabel într-un sistem de axe ortogonale observăm că de această dată, punctele obținute nu sunt coliniare, ele aflându-se pe o curbă ce “coboară”.

Ca și în situația mărimilor direct proporționale, situația prezentată permite elevilor definirea mărimilor invers proporționale.

Două mărimi variabile care depind una de alta astfel încât dacă măsura uneia crește(descrește) de un anumit număr de ori, atunci și măsura celeilalte descrește(crește) de același număr de ori se numesc mărimi invers proporționale. De asemenea, putem spune că numerele a și b sunt invers proporționale cu numerele nenule x și y dacă sau . În general, numerele nenule a1, a2, …, an sunt invers proporționale cu numerele nenule b1, b2, …, bn, dacă formează șirul de rapoarte egale .

Alte exemple de perechi de mărimi invers proporționale pot fi: numărul de muncitori și timpul de finalizare al unei lucrări, numărul de robinete(cu același debit) și timpul de umplere a unui bazin, etc.

Mărimile direct și invers proporționale conduc la probleme cotidiene ce pot fi ușor rezolvate utilizând regula de trei simplă. Numele provine din faptul că sunt cunoscute trei valori(două valori ale unei mărimi și o valoare a celeilalte), urmând să se afle cea de-a patra valoare în funcție de tipul de proporționalitate(directă sau inversă) dintre mărimi.

Medicii utilizează frecvent acest procedeu pentru a decide cantitatea de medicament pe care trebuie să o prescrie pacienților. Considerăm, de exemplu, Panadol Baby 120mg/5ml, 100ml utilizat pentru tratamentul simptomatic al diferitelor dureri ale copiilor cu vârste cuprinse între 3 luni și 12 ani. Cunoaștem faptul că se pot prescrie 5 ml Panadol unui copil cu masa de 8kg și trebuie să aflăm cantitatea de Panadol ce poate fi prescrisă unui copil ce cântărește 12 kg.

Pentru început vom aranja măsurile celor două mărimi ca într-un tabel, astfel încât mărimile de același fel să fie una sub alta, iar valoarea necunoscută o vom nota cu o literă.

5 ml Panadol…………………………………………….8 kg

x ml Panadol…………………………………………….12 kg

Cele două mărimi sunt direct proporționale, deci aflăm rapid valoarea necunoscută astfel:

.

Agricultura este un alt domeniu în care se apelează frecvent la regula de trei simplă. Dacă 4 tractoare pot ara un teren în 6 ore, putem recurge la această metodă pentru a afla câte tractoare sunt necesare pentru a ara același teren în 2 ore. Vom aranja valorile corespunzătoare celor două mărimi ca în exemplul de mai sus, doar că vom ține cont că relația dintre ele este de invers proporționalitate, de unde obținem succesiv.

4 tractoare………………………………………………6 ore

x tractoare………………………………………………2 ore

(tractoare)

I.4. Organizarea datelor. Statistici și probabilități

Una din activitățile realizate în domenii precum educația, biologia, medicina sau agricultura este reprezentată de studii descriptive ce necesită prelucrare și organizare a datelor. În urma observării anumitor procese sau fenomene se înregistrează un număr de date. Pentru o prelucrare riguroasă a datelor observate, acestea pot fi organizate sub formă de tabele, grafice sau diagrame. De exemplu, în urma susținerii lucrării scrise la matematică, elevii unei clase obțin notele: 6, 7, 7, 5, 9, 8, 4, 10, 7, 5, 6, 6, 7, 8, 4, 4, 6, 5, 8, 6, 7, 5, 6, 9, 7. Dacă lăsăm datele obținute organizate în acest mod este dificil atât pentru profesor cât și pentru elevi să prezinte anumite concluzii cu privire la rezultatele obținute sau să facă predicții cu privire la evoluția elevilor. Vom organiza datele într-un tabel care să permită să vedem rapid numărul de elevi care au obținut o anumită notă.

După o simplă privire asupra datelor organizate în tabel putem trage câteva concluzii referitoare la rezultatele obținute de elevi: cei mai mulți elevi au obținut note cuprinse în intervalul [6,7] sau că cei mai puțini elevi au obținut nota 10.

Pentru o prezentare vizuală a rezultatelor le putem organiza sub forma unor grafice sau diagrame, ca în modelele de mai jos.

Fiecare din graficele de mai sus prezintă aceleași date înregistrate de către profesor în urma corectării lucrărilor și permit interpretarea acestora.

Exemplul de mai sus este unul concret și reprezentativ pentru introducerea noțiunilor de statistică din gimnaziu, elevii observând ușor că am operat cu date colectate pentru a descrie și analiza un anumit fenomen.

Statistica matematică se ocupă de colectarea, gruparea, analiza și interpretarea datelor referitoare la fenomene sociale, economice, științifice. Rezultatele obținute în urma interpretării datelor pot conduce și la unele previziuni cu privire la evoluția viitoare a fenomenului studiat.

Populația statistică reprezintă o mulțime de elemente de aceeași natură, iar numărul de elemente al acesteia se numește volumul populației. Elementele populației se numesc indivizi, iar datele statistice reprezintă observațiile realizate asupra unei populații statistice. În cazul exemplului anterior, populația statistică o reprezintă clasa de elevi care a susținut lucrarea scrisă, elevii clasei reprezentând indivizii populației, iar volumul populației fiind egal cu 25. În acest caz, datele statistice sunt reprezentate de notele obținute de elevi la teză și se poate observa că reprezintă un șir de numere, fiecare număr fiind asociat unui elev(individ). În general, aceste șiruri de numere se numesc serii de date sau serii de valori.

Caracteristica populației reprezintă trăsătura comună indivizilor populației. Această trăsătură este supusă studiului statistic, este cuantificată numeric și poate fi calitativă sau cantitativă. Caracteristicile cantitative pot fi clasificate în discrete(pot lua valori din mulțimi finite) sau continue(pot lua orice valoare reală). Revenind la exemplul de la începutul subcapitolului, caracteristica ce indică numărul de elevi care au obținut note mai mici decât cinci este una discretă. Un exemplu de caracteristică continuă poate fi reprezentată de încasările unui magazin sau cantitatea de precipitații înregistrată într-un anumit anotimp.

Statistica poate fi divizată în două ramuri: statistica descriptivă și statistica inferențială. Statistica descriptivă descrie fenomenul studiat prin colectarea, înregistrarea, prelucrarea, prezentarea datelor. În acest caz, descrierea este realizată prin indicatori statistici precum media, mediana, dispersia, abaterea medie pătratică, abaterea medie absolută sau prin diferite tipuri de grafice.

Frecvența absolută a unei valori x a caracteristicii este numărul de unități ale populației corespunzătoare acestei valori, iar frecvența relativă(fi) a unei valori xi a caracteristicii este raportul dintre frecvența absolută ni a valorii xi și efectivul total al populatiei(N). Făcând legătura cu exemplul nostru, putem afirma că frecvența absolută a notei 5 este 4, frecvența relativă a notei 5 este (N = 25), iar tabelul poate arăta astfel:

Acum putem preciza că cea mai mare frecvență relativă din tabel este 0,24, în timp ce cea mai mică frecvență relativă este 0,04.

Indicatorii statistici sunt numere reale, care rezumă o parte din informația unui set de date statistice, oferind posibilitatea descrierii globale a seriei de valori în detrimentul considerării fiecărei valori din șir.

În continuare vom nota X: x1, x2,……. xN numerele dintr-un set de date statistice. Concret, vom înlocui în expresia “notele: 6, 7, 7, 5, 9, 8, 4, 10, 7, 5, 6, 6, 7, 8, 4, 4, 6, 5, 8, 6, 7, 5, 6, 9, 7”, cuvântul notele cu litera X, iar fiecare valoare din șir va fi înlocuită cu x1, x2,……. x25.

Cei mai simpli indicatori statistici sunt indicatorii minim și maxim ce reprezintă cea mai mică, respectiv cea mai mare valoare din setul de date. Amplitudinea absolută este indicatorul ce reprezintă diferența dintre indicatorii maxim și minim și oferă informații cu privire la lărgimea plajei de valori pe care se întind datele din serie.

Media aritmetică a unui set de valori este raportul dintre suma valorilor setului și numărul lor.

.

O altă formulă a mediei este

,

numită media aritmetică ponderată.

Media este indicatorul care arată valoarea centrală a setului de valori, numărul spre care tind valorile setului de date să se aglomereze. Asta înseamnă că datele seriei statistice sunt situate în apropierea mediei. Regula nu este, însă, una general valabilă, existând cazuri în care valorile seriei statistice se regăsesc în dreapta(valori peste medie) sau în stânga mediei(valori sub medie).

Așadar, datele dintr-un set de valori pot fi aglomerate în jurul mediei sau se pot situa la distanțe mai mari față de aceasta, adică se abat de la medie. Se dorește măsurarea acestor abateri, iar indicatorul care face acest lucru se numește dispersie sau varianță.

Pentru a obține dispersia vom ridica la pătrat diferențele dintre fiecare valoare din set și media setului, apoi vom împărți suma acestor pătrate la N-1. Vom obține un număr care indică gradul de împăștiere al setului de valori în jurul mediei: o dispersie mică sugerează valori grupate în jurul mediei, iar cu cât dispersia este mai mare cu atât valorile setului sunt mai depărtate de medie. Dispersia se notează cu D și are formula

.

Datorită ridicărilor la pătrat, valorile care se obțin pentru dispersie sunt de obicei mari, motiv pentru care se mai folosește un alt indicator, numit abatere medie pătratică(standard) care este radicalul dispersiei, se notază sau și are expresia

= = .

Un alt indicator al împrăștierii valorilor dintr-o serie este coeficientul de variație definit ca raportul dintre abaterea medie pătratică și medie. Se notează CV și se obține astfel

CV = .

Coeficientul de variație are valori cuprinse în intervalul [0, 1], se exprimă, de regulă, în procente și este folosit tocmai pentru că nu este mult influențat de mărimea valorilor setului de date. Apropierea coeficientului de variație de zero sugerează omogenitatea setului de date și faptul că media este un indicator reprezentativ. Dacă indicatorul este apropiat de unu, atunci valorile au un grad mare de împrăștiere, deci media devine nereprezentativă.

Revenind la exemplul nostru, obținem succesiv:

D = 2,59(3)

=

CV =

Conform literaturii de specialitate, cum CV 0,35, tragem concluzia că populația este omogenă și media este un indicator relevant.

Statistica inferențială investighează prin sondaj anumite fenomene. Spre deosebire de statistica descriptivă care utilizează datele întregii populații, în cazul statisticii inferențiale se selectează un anumit număr de indivizi ai populației(eșantion) și asupra lor se fac observații și măsurători legate de o anumită caracteristică a populației. Se folosește, deci, o parte a populației pentru a trage concluzii valabile pentru toată populația. Aceste concluzii se obțin utilizând metode oferite de teoria probabilităților, despre care vom discuta la sfârșitul acestui subcapitol.

În paragrafele următoare prezentăm câteva aplicații ale statisticii matematice în studiul unor fenomene simple din medicină, biologie, geografie, agricultură, inginerie.

A. Domeniul medical apelează la statistică în studii de cercetare medicală sau pentru a afla eficacitatea și costul medicamentelor sau a serviciilor medicale. Prin intermediul studiilor statistice sănătatea publică și cea privată obțin informații cu privire la caracteristicile consumatorilor precum vârstă, sex, naționalitate, stare de sănătate(valori ale tensiunii, pulsului, glicemiei, etc), venituri. Prin intermediul acestor informații se pot face predicții cu privire la tipul de servicii medicale pe care oamenii le folosesc, de care au nevoie sau în care au încredere sau pe care și le permit.

Vom presupune că o asistentă medicală a măsurat zilnic, la aceeași oră, pulsul a doi pacienți, timp de 7 zile. Se obțin valorile:

Pentru pacientul X: 70, 65, 65, 70, 70, 75, 75

Pentru pacientul Y: 60, 60, 75, 80, 75, 60, 80.

Plecând de la aceste valori vom afla care dintre cei doi pacienți are pulsul cu valori mai împrăștiate, indiferent de evoluția în timp.

Calculând media, dispersia și abaterea de la medie pentru cele două serii de valori, obținem succesiv:

deci ambele serii au media 70.

,

deci este mult mai împrăștiată seria Y.

B. Biologia beneficiază, de asemenea, de cercetări statistice pentru construirea și modelarea unei game vaste de probleme. De fapt, statistica aplicată într-un domeniu al biologiei(genetică, ecologie, sănătate publică, farmacologie, agricultură) poartă numele de biostatistică.

Câțiva tineri voluntari au participat la un program de ecologizare a ambelor maluri ale râului Vedea pe o distanță de 1,5 km. S-au împărțit în grupe de câte 10 elevi, au împărțit traseul pe zone și au umplut 12 mașini cu deșeuri, fiecare grupă având câte o mașină la dispoziție. Cantitățile de deșeuri adunate de fiecare grupă au fost înregistrate în tabelul de mai jos.

Un reprezentant al voluntarilor a înregistrat și a prelucrat aceste date pentru ca, pe viitor, să poată stabili zona în care este nevoie de un număr mai mare de voluntari, numărul de saci de gunoi și de mașini necesare, precum și cantitatea medie de deșeu colectată cu scopul de o compara cu anii anteriori și cu alte zone curățate. A obținut următoarele informații:

.

,

.

CV =

ceea ce înseamnă că populația este omogenă, iar media este un indicator relevant. Putem afirma că grupele de voluntari au colectat, în medie, 1,5 t de deșeuri, zonele puternic poluate fiind H, I, K, L.

C. În domeniul geografiei cercetările care apelează la statistică sunt cele legate de predicția vremii, activitatea vulcanilor, mișcarea plăcilor tectonice, măsurarea populației. Voi prezenta un exemplu practic de utilizare a statisticii în geografia demografică-demografia, știință care studiază dimensiunea, structura, evoluția și caracteristici generale ale populației.

Nicholas N.N. Nswah-Nuamah prezintă în lucrarea “Demographic Statistics, Methods and measures in demography” modul în care a calculat vârsta medie a populației din Ghana în anul 2010. Am extras informații cu privire la numărul locuitorilor din Ghana pe interval de vârstă și le-am arajnat în tabelul de mai jos.

Vârsta medie a populației, MV, reprezintă un număr care împarte populația țării în două grupuri egale: un grup care depășește această vârstă(mai bătrân) și un grup mai tânăr. Se calculează astfel:

unde

– limita inferioară a clasei mediane

N – populația totală

– numărul persoanleor din grup care conțin vârsta medie

F- populația totală imediat înainte de clasa de mijloc

h – mărimea intervalului clasei vârstei medii

În tabelul de mai jos autorul prezintă câteva date preliminarii calculului vârstei medii

Conform informațiilor din tabel, N = 24658823, deci

ceea ce înseamnă că vârsta medie se află în intervalul de clasă al distribuției care are populația egală cu 12329411,5.

Începând de la primul interval și adăugând Pa, aflăm că intervalul 15-19 conține mediana. Deci

si, înlocuind în formula vârstei medii obținem că

MV = 20,02,

ceea ce înseamnă că în anul 2010 în Ghana jumătate din populație avea sub 20 de ani, iar cealaltă jumătate a populației avea peste 20 de ani.

În continuare prezentăm câteva noțiuni de bază din teoria probabilităților, punând accent pe aplicații din experiența elevilor.

“Teoria probabilităților este o disciplină matematică izvorâtă din experiență, care a dat conceptelor sale de origine experimentală, o formă riguros matematică.”

Aplicațiile teoriei probabilităților se regăsesc în statistica matematică, în teoria modernă a jocurilor, dar și în cercetări din fizică, biologie, chimie, sociologie sau cibernetică. Elevii studiază noțiuni simple de bază ale acestei discipline începând cu clasa a VI-a, când află că teoria probabilităților studiază evoluția fenomenelor aleatoare prin experimente.

Experimentul reprezintă procesul prin care se efectuează o observație sau o măsurătoare. Experiențele care au rezultate diferite în funcție de o serie de factori întâmplători, iar rezultatele lor nu pot fi cunoscute înainte de realizarea experimentului se numesc experiențe aleatoare. Rezultatul unui experiment aleator se numește realizare, iar o colecție de realizări se numește eveniment.

Exemple de experiențe aleatoare pot fi:

Aruncarea cu zarul. Nu putem prevedea cifra care apare pe fața de sus a zarului după fiecare aruncare datorită unor factori(impulsul dat zarului, poziția în momentul aruncării, etc).

Timpul de parcurgere cu autobuzul a distanței între două orașe prezintă variații de la o călătorie la alta tot datorită unor factori întâmplători(condițiile meteorologice, numărul pasagerilor care urcă).

Nu putem ști dinainte care vor fi numerele extrase la loto.

Nu putem ști dinainte care elevi din clasă vor fi ascultați la o anumită disciplină.

În exemplele date mai sus, condițiile inițiale ale experimentului sunt neschimbate, variațiile având loc datorită unor factori secundari ce influențează rezultatul experimentului. Dacă prin repetarea unui experiment, în condiții practic identice, frecvența relativă a apariției unui rezultat(raportul dintre numărul experimentelor în care apare rezultatul și numărul tuturor experimentelor efectuate) este aproximativ aceeași, oscilând în jurul unui număr constant, atunci acelui eveniment îi putem asocia un număr, probabilitatea sa. Convertirea structurii unui câmp de evenimente în număr se realizează prin intermediul unei funcții numerice, numită funcție de probabilitate – măsură a posibilităților de realizare a evenimentelor. În acest mod se realizează transferul calității în cantitate și se asigură legătura teoriei probabilităților cu viața reală. Deoarece probabilitatea caracterizează legătura obiectivă dintre cauză și efect și nu “expresia gradului subiectiv de încredere a omului în producerea evenimentului”, definiția științifică a probabilității trebuie să reflecte comportarea reală a fenomenului studiat.

La nivelul ciclului gimnazial se operează doar cu experimente cu evenimente elementare egal posibile și se utilizează definiția clasică a probabilității.

Definiție. Se numește probabilitatea evenimentului A raportul dintre numărul cazurilor favorabile realizării lui A și numărul cazurilor egal posibile.

P(A) = .

De exemplu, să considerăm experimentul aleator privind decizia profesorului asupra elevilor ce vor răspunde la o anumită oră: profesorul va nota numele fiecărui elev pe un bilețel și va extrage apoi câte un bilețel. Dacă într-o clasă de 30 de elevi, 18 sunt fete și considerăm evenimentul de apariție pe bilețel a numelui unui băiat, atunci probabilitatea producerii acestui eveniment se calculează astfel

P = ,

de unde deduce că probabilitatea ca profesorul să asculte la lecție o fată este de 60%, deci mai mare.

Un alt exemplu utilizat frecvent la clasă este cel al aruncării cu zarul. În aruncarea cu zarul putem obține o față pe care este înscris unul din numerele 1, 2, 3, 4, 5 sau 6, iar elevii pot calcula, utilizând definiția probabilităților, probabilitatea producerii unui eveniment:

– probanilitatea ca pe fața de sus a zarului să apară numărul 6: ;

– probabilitatea ca pe fața de sus a zarului să apară un număr par: ;

– probabilitatea ca pe fața de sus a zarului să apară un număr mai mic sau egal cu 5:

Geometria și trigonometria din jurul nostru

II.1 Banda lui Möbius

Dacă luăm o foaie de forma unei benzi dreptunghiulare și îi unim capetele vom obține o buclă sub forma unui inel sau a unui cilindru despre care putem afirma că are interior și exterior, două fețe și două margini. Dacă desenăm o linie de-a lungul inelului și tăiem apoi de-a lungul liniei trasate vom obține două inele mai “subțiri” decât inelul inițial.

Unind capetele unei benzi dreptunghiulare de hârtie astfel încât vârfurile de pe aceeași diagonală să se suprapună (răsucim un capăt la 1800 și îl unim cu celălalt capăt) vom obține o suprafață cu proprietăți interesante despre care nu putem afirma dacă are interior sau exterior. Trasând pe mijlocul benzii o linie cu creionul putem observa că vom ajunge în același punct de unde am plecat acoperind ambele fețe aparente ale suprafeței fără să fie ridicat creionul de pe foaie. Tăind cu foarfeca de-a lungul liniei trasate nu vom obține două suprafețe similare cu cea inițială ci o suprafață mai lungă și mai subțire. Suprafața obținută în urma celui de-al doilea experiment se numește Banda lui Möbius și se caracterizează prin:

– are o singură față și o singură muchie;

– prin tăierea benzii pe jumătate se va obține o bandă de lungime dublă răsucită la 3600;

– prin tăierea benzii la o treime din lățimea benzii, pe lungime, se vor obține două benzi întrepătrunse: o bandă Möbius mai subțire și una de două ori mai lungă și cu două răsuciri complete;

– are proprietatea de a inversa obiectele care îi parcurg suprafața.

Cele două experimente se pot realiza ușor de către elevi, permit identificarea proprietăților benzii lui Möbius, dar și găsirea unor analogii sau aplicații. Puși în situația de a face predicții, aceștia vor fi luați prin surprindere de ceea ce vor obține: un obiect bidimensional într-un spațiu tridimensional ce se comportă contrar așteptărilor lor.

Datorită acestor proprietăți obiectul este descris ca fiind unul magic și este des utilizat în numerele de magie de către iluzioniști dar și de către influenceri în discursuri motivaționale. Clifford Pickover povestește în lucrarea Banda lui Mobius – Miraculoasa bandă a doctorului August Mobius în matematică, jocuri, literatură, artă, tehnologie și cosmologie despre un număr de magie ce utilizează banda lui Mobius și care l-a fascinat. Magicianul a utilizat trei bucle de culori diferite(roșie, albastră, mov) “care păreau obținute prin alipirea capetelor unei panglici lucioase”. Deși panglicile păreau a fi identice, s-au comportat diferit când magicianul a rugat autorul să le taie cu foarfeca după o linie mediană: din bucla roșie au rezultat două inele diferite, bucla albastră s-a transformat într-o buclă mai lungă și mai subțire, iar din cea mov s-au obținut două inele întrepătrunse ca zalele unui lanț. Această comportare diferită provine din felul diferit în care au fost lipite capetele buclelor: în cazul buclei roșii capetele au fost lipite normal, bucla albastră este o bandă Mobius, iar ultima a fost obținută prin răsucirea unui capăt la 3600 înainte de lipire.

Cel mai ușor elevii vor face analogia cu viața, cu trecerea timpului, banda lui Möbius având o parcurgere ciclică, în care începutul devine sfârșit, iar sfârșitul devine început, fără să ne dăm seama când am trecut de pe o față pe alta. Cu trecerea, “parcurgerea” timpului se întâmplă la fel: sfârșitul unei ore reprezintă începutul alteia; la fel se întâmplă cu zilele, lunile, anii, de multe ori fără să conștientizăm efectiv când trecem de la o oră la alta, de la zi la noapte.

Semnificațiile benzii lui Mobius pot fi asemuite cu circuitul apei în natură pe care elevii îl studiază la biologie. Apa circulă continuu în cadrul hidrosferei planetei noastre și își schimbă succesiv starea de agregare din solidă în lichidă și gazoasă.

Aplicațiile benzii lui Mobius din sfera designului sunt la îndemâna elevilor prin intermediul logourilor. Cel mai popular logo inspirat din banda lui Mobius este reprezentat de simbolul reciclării, deoarece prin campaniile de promovare a reciclării se dorește conștientizarea populației asupra faptului că ceea ce lăsăm în natură vom primi înapoi de la natură. Simbolul ne sugerează să trăim în armonie cu natura, să reutilizăm produsele chiar și atunci când par că ajung la sfârșitul vieții lor.

II.2 Simetrii

Noțiunea de simetrie este familiară elevilor deoarece o studiază încă din clasele primare în timpul lecțiilor de educație plastică. Termenul, însă, nu este reductibil la artele vizuale. Anatomia, muzica, matematica, fizica, limba română sau chimia se bucură de simetrii ce reflectă frumusețe, armonie, proporționalitate. Conceptul apare abordat pentru prima dată în studii științifice în secolul al VI-lea î.C datorită filosofului grec Anaximandru care vorbește despre simetria axială a Pământului.

Simetria, în matematică, este definită geometric, deci, percepută vizual de către elevi. Introducerea noțiunii de simetrie se poate realiza prin intermediul unor figuri geometrice decupate din hârtie(dreptunghi, pătrat) pe care elevii să le îndoaie pe jumătate – vor observa că ambele jumătăți sunt două figuri geometrice identice ca formă și mărime și sunt situate în semiplane opuse mărginite de dreapta după care am realizat îndoirea, numită axă de simetrie a figurii geometrice. Intuitiv, elevii descriu simetria ca proprietatea a două figuri geometrice de a se suprapune exact și o asociază frecvent cu starea de echilibru. Deoarece marginile figurii geometrice îndoite se suprapun se deduce ușor că fiecare punct de pe marginile opuse este situat la aceeași distanță față de axa de simetrie a figurii. Astfel, se poate defini noțiunea de simetrie față de un punct, față de o dreaptă sau față de un plan.

Prin antiteză cu simetria se poate descrie asimetria.

Punctele M și N sunt simetrice față de punctul O dacă sunt situate la aceeași distanță față de punctul O, adică punctul O este mijlocul segmentului [MN]. Punctele M și N sunt simetrice față de o dreaptă a dacă sunt situate la aceeași distanță față de dreapta a, adică dreapta a este mediatoarea segmentului [MN].

Dacă în geometrie simetria face referire la proprietatea a două puncte de a fi situate la aceeași distanță față de un punct, o dreaptă sau un plan, în studiul altor discipline definițiile acestei noțiuni sunt adaptate, dar ne sugerează același sentiment de armonie.

În biologie noțiunea de simetrie caracterizează acea repetare ordonată a părților componente a plantelor și animalelor. Aici, dar și în natură, simetria se regăsește la un nivel aproximativ deoarece chiar dacă frunzele și petalele florilor, de exemplu, sunt considerate a fi simetrice, nu întotdeauna, prin suprapunere, coincid perfect. De asemenea, porțiunile simetrice ale corpului, deși nu sunt perfect identice la toate persoanele și animalele, ele sunt aproape similare una cu ceallaltă. Când se vorbește despre simetrie, în biologie se face diferența dintre simetria radială – părți identice distribuite într-un aranjament circular în jurul unei axe centrale și simetria bilaterală – împărțirea în două jumătăți egale prin planul central. Simetria bilaterală este des răspândită în frunzele plantelor și în corpul uman, iar cea radială poate fi întâlnită la meduze, stele de mare, angiosperme(fructele cu semințe), flori – prin părți ale unei flori aproximativ identice – petale, sepale și stamine – situate la intervale regulate în jurul axei florii.

Chimia utilizează simetria pentru a descrie proprietatea fundamentală a organizării regulate a atomilor în molecule sau cristale. La nivel microscopic, atomii și moleculele formează structuri geometrice guvernate de principiul simetriei(bioxidul de carbon, apa, metanul).

În fizică simetria definește un concept de echilibru descris prin legi fundamentale: legea conservării impulsului total, legea conservării energiei totale, legea conservării sarcinii electrice, legea de conservare a momentului cinetic total. Simetria este reprezentată prin orice transformare matematică care lasă invariant(neschimbat) un anumit sistem: în urma unor transformări de simetrie, acțiunea nu se modifică, iar mărimile fizice specifice se conservă. În acest sens, de o deosebită importanță este legea lui Noether, conform căreia fiecare simetrie din natură generează o lege de conservare și reciproc, fiecărei simetrii îi corespunde o lege de conservare.

În compozițiile muzicale se găsesc, de asemenea, elemente de simetrie ale ritmului, armoniei, dinamicii, tempo-ului, modelelor de sunete. Simetria muzicală începe odată cu formulele de incantație ale triburilor africane și continuă prin cântul responsorial-în care corul repetă refrenul prin folosirea principiului alternanței. Cel mai important muzician care a compus ghidat de legile simetriei este Mozart. Compozițiile sale se bazează pe repetarea continuă a acelorași tipare muzicale. În anumite compoziții recurge și la schimbarea unei note sau mutarea unei note cu o jumătate de măsură în sus sau jos pentru evitarea monotoniei. Realizează, astfel, o transpoziție – o repetiție a unui model muzical în care punctul de plecare este restabilit la un nivel diferit în comparație cu segmentul original( echivalentul în matematică a simetriei prin translație).

În natură simetria este sinonimă conceptului frumuseții, echilibrului, ordinii, perfecțiunii. Fluturii, fulgii de zăpadă, frunzele florilor, construcția animalelor și a oamenilor reprezintă imagini ale prezenței simetriei în natură.

Simetria relațiilor intra și interpersonale se regăsește în studiul științelor umaniste prin reciprocitate, dialog, respect, empatie. Ceea ce gândim vom atrage asupra noastră, cum ne comportăm cu ceilalți așa se vor comporta și ceilalți cu noi. Mahatma Gandhi, inițiatorul mișcărilor de revoltă nonviolente, a asociat simetria cu relațiile dintre oameni descriind-o ca pe o oglindă a sentimentelor și trăirilor: „Viața m-a învățat că lumea este amabilă dacă eu sunt amabil; că persoanele sunt triste dacă eu sunt trist; că toți mă iubesc dacă eu îi iubesc; că toți sunt răi dacă eu îi urăsc; că există fețe zâmbitoare dacă eu le zâmbesc; că există fețe amărâte dacă eu sunt amărât; că lumea este fericită dacă eu sunt fericit; că lumea se supără dacă eu mă supăr; că există persoane recunoscătoare dacă eu sunt recunoscă tor. Viața este ca o oglindă: dacă zâmbesc, oglinda îmi întoarce zâmbetul. Atitudinea pe care o am în fața vieții este aceeași pe care viața o va lua față de mine. Cine vrea să fie iubit, să iubească! Unicul motiv să fii fericit este pentru că tu hotărăști să fii fericit”

Arhitectura este domeniul care utilizează simetria ca pe un instrument cu rolul de a scoate în evidență frumusețea absolută.

Creatorii de pagini web consideră simetria drept o regulă de aur ce asigură funcționalitatea și omogenitatea site-urilor. De cele mai multe ori paginile web conțin foarte multe elemente interactive care se supun simetriei printr-o înlănțuire și potrivire reciprocă. Atât antetul și subsolul paginii cât și elementele de conținut ale acesteia sunt proiectate astfel încât să fie situate la distanțe egale de marginile paginii, dar și între ele.

II.3. Geometria plană și aplicațiile ei

”Cât de greu îi este țăranului când nu poate măsura grădina, livada sau via

sa, când nu știe câte țigle îi trebuie la acoperișul unui șopron, câte scânduri

la poditul unui coridor, câți metri cubi sunt într-un lemn pe care vrea să-l

cumpere? Și mai mare nevoie au de geometrie meseriașii, din toate domeniile,

care nu vor putea face nici un fel de plan fără a avea cunoștințe geometrice. “

Onisifor Ghibu

Cea mai clară dovadă a faptului că matematica este o știință aflată în centrul oamenilor este geometria. Această ramură a matematicii a apărut asemenea altor concepte importante din aritmetică sau algebră datorită necesităților practice. Măsurarea loturilor de pământ, aflarea suprafețelor sau a volumelor sunt câteva exemple de probleme ce au pus bazele geometriei practice, care, la rândul ei, a facilitat înțelegerea lumii. Termenul geometrie își are rădăcinile în cuvintele grecești geo = pământ și metria = măsură, conform cărora geometria înseamnă măsurarea pământului. Bineînțeles că nu putem restrânge domeniul de activitate al geometriei la definiția etimologică a cuvântului și ar fi fost o mare dovadă de egoism dacă geometria nu ar fi depășit această latură practică aplicabilă unor nevoi imediate. Astăzi conceptele geometriei se împart în diferite ramuri ale sale tinzând către un nivel înalt de complexitate și abstractizare. Mult mai cuprinzătoare este definiția conform căreia geometria este o ramură a matematicii care studiază relațiile spațiale.

La nivelul ciclului gimnazial elevii studiază geometria plană și geometria în spațiu.

Geometria plană este ramura geometriei care studiază figurile geometrice plane: punctul, dreapta, semidreapta, segmentul, unghiul, planul, poligoanele, cercul. Se bucură de o mai mare popularitate în rândul elevilor de gimnaziu decât aritmetica sau algebra datorită faptului că elevii o pot percepe vizual, tactil, experimental. Reprezintă un instrument în formarea unor competențe de bază transferabile în experiența de viață a elevilor – viitori adulți. Pornind de la cunoștințele elevilor cu privire la formele și proprietățile obiectelor lumii înconjurătoare se construiește un fundament teoretic stabil, un sistem al deprinderilor de aplicare a noțiunilor teoretice în probleme de măsurare, de calcul al distanțelor, perimetrelor, ariilor, volumelor și trecerea gradată la abstract.

La începutul ciclului gimnazial elevii încep studiul geometriei plane cu noțiunile geometrice fundamentale: punct, dreaptă, semidreaptă, segment, unghi. Introducerea fiecărei noțiuni în parte, observarea relației dintre punct și dreaptă, stabilirea pozițiilor relative a două drepte, clasificarea unghiurilor se realizează intuitiv prin manipularea obiectelor folosite de elev în viața de zi cu zi(fir de ață, bețișoare, foarfecă, etc ) sau observarea obiectelor din mediul înconjurător(fire de curent, crengile copacilor, șinele de cale ferată,etc). Urmează studiul intuitiv al triunghiului, dreptunghiului și al pătratului cu deducerea formulelor de calcul pentru perimetrul și aria dreptunghiului și al pătratului. Necesitatea și utilitatea determinării perimetrului și ariei figurilor geometrice în viața cotidiană reiese din rezolvarea de către elevi a diverselor probleme ce presupun:

aflarea lungimii gardului ce împrejmuiește un teren

aflarea cantității de parchet sau gresie necesare pavării unei suprafețe

calcularea necesarului de vopsea pentru zugrăvirea unei camere

calcularea numărului de paleți de pavaj necesari pentru pavarea curții școlii

Pe măsură ce elevii trec de la o clasă la alta descoperă alte probleme din viața cotidiană ce au condus la dezvoltarea geometriei și lărgirea câmpului aplicațiilor practice ce recurg la concepte matematice.

II.3.1. Teorema lui Thales și reciproca ei

Thales din Milet este considerat părintele științei datorită importantelor contribuții pe care le-a avut asupra dezvoltării matematicii, astronomiei și filozofiei. Și-a pus întrebări despre legile universului și a răspuns la ele utilizând știința, trecând dincolo de superstiții, credința în zei sau în supranatural. Hieronymus din Rhodos descrie cum Thales a determinat momentul din zi în care umbra unui obiect este egală cu înălțimea lui, reușind, astfel, să stabilească înălțimea piramidelor din Egipt. Cea mai cunoscută teoremă a sa îi poartă numele și potrivit enunțului ei, o paralelă dusă la una din laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi sau pe prelungirile lor segmente proporționale.

.

Următoarele aplicații ale teoremei lui Thales se pot utiliza cu succes la clasă:

A. Împărțirea unui segment de dreaptă într-un raport dat.

Considerăm segmentul [AB] de lungime 13 cm. Vrem să considerăm un punct M pe segmentul AB, astfel încât . Vom proceda astfel:

– construim prin punctul A semidreapta (AC

– pe semidreapta construită considerăm punctele D și E astfel încât AD = 3 cm și DE = 5 cm

– unim E cu B

– trasăm paralela DM la EB, MAB, unde M este punctul căutat.

Într-adevăr, dacă aplicăm teorema lui Thales în triunghiul ABE, cu DM ║EB, obținem

.

De asemenea, puteam considera pe semidreapta (AC 5 segmente congruente și să folosim paralele echidistante pentru a obține raportul cerut.

B. Determinarea unor lungimi de segmente din diverse situații practice

Considerăm o structură metalică susținută de mai multe ancore. Pentru a determina lungimea unei ancore fără a ne cățăra pe structura metalică vom realiza o schiță în care notăm cu AC lungimea structurii și cu AB lungimea unei ancore, B fiind punctul în care este înfiptă ancora în pământ. Putem măsura lungimea segmentului BC și obținem 6 m. La o distanță de 2 m față de punctul B înfingem în pământ un tăruș DM paralel cu AC, MAB și măsurăm BM. Obținem BM = 4,5 m.

În consecință, putem aplica teorema lui Thales pentru triunghiul ABC, MD║AC și obținem succesiv

Deci,

.

II.3.2. Teorema fundamentală a asemănării

Relația de asemănare dintre două figuri geometrice se diferențiază de relația de congruență prin faptul că se măresc sau se micșorează distanțele dintre puncte(lungimile laturilor), păstrându-se forma figurii. Astfel, două triunghiuri sunt asemenea dacă au laturile respectiv proporționale și unghiurile respectiv congruente.

De o importanță deosebită în studiul asemănării triunghiurilor este teorema fundamentală a asemănării, conform căreia o paralelă dusă la una din laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi sau cu prelungirile lor un triunghi asemenea cu triunghiul inițial.

.

Teorema fundamentală a asemănării conduce la stabilirea condițiilor necesare și suficiente de asemănare a două triunghiuri, numite criterii de asemănare. Criteriile de asemănare ale triunghiurilor sunt: UU, LUL și LLL.

Teorema fundamentală a asemănării are o mulțime de aplicații practice în aflarea înălțimii unui obiect sau a distanței până la un obiect. Scoatem în evidență câteva exemple concrete.

A. Determinarea distanței de la un punct B de pe mal la un obiect A situat pe o insulă

Folosim țăruși pe care îi împlântăm în pământ, pe mal, în punctele B, C, D și E, astfel încât DE║BC și punctele A, E, C și A, D, B să fie coliniare.

În acest mod putem măsura segmentele DE, DB, BC și CE, deoarece sunt situate pe uscat. Avem:

B. Determinarea înălțimii unui obiect(clădire, turn, copac, stâncă, etc)

Considerăm un copac de înățime AB pe care dorim să o calculăm. Alegem o zi cu soare și un băț MN a cărui lungime o putem măsura. Înfingem bățul MN în pământ astfel încât umbra vârfului A al copacului să coincidă cu umbra capătului M al țărușului. Deci, MN ║BC, iar lungimile MN, CM și BC pot fi măsurate.

C. Determinarea distanței dintre două obiecte separate de un obstacol

Dorim să aflăm distanța dintre punctele A și B separate de un obstacol, deci din punctul A nu putem vedea punctul B. Vom alege un punct C astfel încât să avem vizibilitate asupra punctelor A și B. Măsurăm distanțele AC, BC, măsura unghiului ACB și construim triunghiul A’B’C’ asemenea cu ABC. Măsurăm cu precizie distanța A’B’ și din proporționalitatea lungimilor laturilor aflăm distanța dorită.

Putem determina distanța dintre punctele A și B și utilizând congruența triunghiurilor: alegem D și E astfel încât BC = CD, AC = CE, unghiurile ACB și CDE opuse la vârf. Prin urmare, conform criteriului LUL, , deci AB = DE.

II.3.3. Teorema lui Pitagora și reciproca ei

În studiul proprietăților triunghiului dreptunghic teorema lui Pitagora ocupă un loc central. Conform acesteia, în orice triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei. Notând cu a, b, c lungimile catetelor, respectiv a ipotenuzei obținem relația a2 + b2 = c2.

De-a lungul timpului teorema a fost demonstrată prin diverse metode: algebric, prin utilizarea asemănării triunghiurilor, prin cuadraturi, etc.

La îndemâna elevilor de clasa a VII-a este demonstrația care utilizează asemănarea triunghiurilor deoarece prin intermediul asemănării triunghiurilor se deduce și teorema catetei studiată înaintea teoremei lui Pitagora.

Considerăm un triunghi ABC dreptunghic în A și construim înălțimea AD, DBC.

Atunci, conform criteriul de asemănare UU, obținem succesiv

⇒⇒CD (1)

⇒⇒BD (2)

Însumând relațiile (1) și (2) obținem

+ =,

de unde teorema este imediată

+ = .

O consecință importantă a teoremei lui Pitagora constă în determinarea tripletelor (a,b,c) de numere naturale care o verifică, mai ales a celor prime între ele. Câteva exemple sunt: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97).

Construirea segmentelor incomensurabile cu ajutorul riglei și al compasului reprezintă o urmare a teoremei lui Pitagora datorată relației dintre lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic și extragerea rădăcinii pătrate. Figura din partea dreaptă prezintă modul în care putem construi un segment a cărui lungime este egală cu radicalul oricărui număr întreg pozitiv prin raportare la lungimile altor două segmente. Fiecare triunghi are o latură cu lungimea de o unitate de măsură, teorema lui Pitagora stabilind lungimea ipotenuzei în conformitate cu unitatea.

Este interesant faptul că utilizăm teorema lui Pitagora pentru a reprezenta segmente de lungimi egale cu numere iraționale mai ales pentru că adepții școlii pitagoreice nu credeau în existența lungimilor incomensurabile sau a numerelor iraționale.

O altă aplicație importantă a teoremei lui Pitagora este reprezentată de distanța dintre două puncte în coordonate carteziene A(xA, yA) și B(xB, yB).

Paralela la axa Ox prin punctul A intersectează paralela la axa Oy prin B în punctul C. Obținem astfel triunghiul dreptunghic ABC, a cărei ipotenuză reprezintă distanța căutată și a cărui lungime se determină prin aplicarea teoremei lui Pitagora.

AB =

Reciproca teoremei este adevărată și se utilizează în practică pentru a realiza construcția unghiurilor drepte.

II.3.4. Elemente de trigonometrie. Aplicații ale trigonometriei

Introducerea noțiunilor de trigonometrie în ciclul gimnazial debutează cu studiul rapoartelor trigonometrice în triunghiul dreptunghic. Dacă cerem elevilor să construiască un triunghi dreptunghic ABC cu măsura unghiului A de 900 și măsura unghiului B de 500, apoi să măsoare laturile triunghiului și să calculeze valoarea raportului dintre lungimea catetei opuse unghiului B și lungimea ipotenuzei, aceștia vor observa că obțin aceeași valoare(aproximativ 0,7), indiferent de lungimile laturilor. La fel se întâmplă și în cazul raportului dintre lungimea catetei opuse unghiului C și lungimea ipotenuzei.

În concluzie, raportul dintre lungimea catetei opuse unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic și lungimea ipotenuzei nu depinde de lungimile laturilor triunghiului. Vom numi acest raport sinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic(notat sin).

Deci,

pentru orice – unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic.

Similar se introduc și celelalte rapoarte:

pentru orice – unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic.

Din îmbinarea acestor definiții cu alte relații metrice în triunghiului dreptunghic, elevii deduc ușor valorile acestor rapoarte pentru unghiuri ascuțite cu măsurile de 300, 450 și 600 și se obțin formule fundamentale pentru studiul și aprofundarea trigonometriei.

Considerăm triunghiul ABC dreptunghic în A

pentru orice – unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic.

Rapoartele constante în triunghiul dreptunghic au un rol important în rezolvarea triunghiului dreptunghic și fac posibile calcularea unor distanțe sau a unor măsuri de unghiuri în situații practice din topografie sau geodezie. Înainte de a scoate în evidență câteva aplicații practice, amintim două teoreme importante.

Fie triunghiul ABC cu AB = c, AC = b, BC = a.

Teorema sinusurilor: În orice triunghi ABC are loc relația .

Teorema cosinusului: În orice triunghi ABC au loc relațiile: , , .

Aplicații practice ale trigonometriei în topografie:

Trigonometria joacă un rol important în studiul topografiei deoarece întocmirea planului unei porțiuni de teren recurge la problema rezolvării unui triunghi. În practică nu este întotdeauna posibilă măsurarea tuturor distanțelor sau a unghiurilor determinate de anumite direcții ce întervin în reprezentarea plană a configurației unui teren. În consecință, se vor măsura doar lungimile și măsurile unghiurilor posibile(cu ajutorul teodolitului), celelalte lungimi sau măsuri de unghiuri necesare reprezentării corecte a configurației plane determinându-se prin calcul.

A. Aflarea înălțimii unui obiect(clădire, copac, structură metalică)

a. În situația în care avem acces la obiectul a cărui înălțime(h) trebuie măsurată, vom măsura distanța de la un punct fix la baza obiectului(d) și unghiul de elevație(). În triunghiul dreptunghic obținut aplicăm tangenta unghiului și obținem .

b. În cazul în care nu avem acces la obiectul vizat, atunci vom considera două puncte diferite coliniare cu baza, la distanța d unul față de celălalt. Măasurăm unghiurile de elevație corespunzătoare punctelor alese și le notăm și .

Obținem, conform figurii prezentate, două triunghiuri dreptunghice care au cateta de lungime h comună. Aplicând cotangenta pentru unghiurile și , obținem

B. Aflarea distanței dintre două puncte accesibile despărțite de un obstacol

Dacă notăm cu A și B cele două puncte, atunci ne propunem să aflăm AB = c. Vom alege un punct C din care avem vizibilitate asupra punctelor A și B și măsurăm AC = b, BC = a și măasura unghiului ACB = .

Aplicând teorema cosinusului în triunghiului ABC, obținem distanța AB,

.

C. Aflarea distanței dintre două puncte când unul aste accesibil iar celălalt nu

Notăm cu A și B (A – punct accesibil, B – punct inaccesibil) cele două puncte și alegem un punct C din care să avem vizibilitate asupra ambelor puncte. Ne propunem să determinăm lungimea AB, pe care o notăm a. Nu putem măsura distanța BC și unghiul ABC datorită obstacolului dintre punctele B și C. Putem măsura lungimea AC = b, măsura unghiului BAC = și măsura unghiului ACB = .

Aplicăm teorema sinusurilor în triunghiul ABC și obținem

Dar, ,

de unde .

Înlocuind ultima relație în teorema sinusurilor obținem

D. Determinarea distanței dintre două puncte, ambele vizibile și inaccesibile

Notăm cu A și B cele două puncte. Alegem punctele C și D, despărțite de un ostacol de punctele A și B, dar care oferă vizibilitate asupra punctelor A și B. Putem măsura distanța CD = d, m(∡ACB)=, m(∡BCD) = , m(∡ADB) = și m(∡ADC) = .

Aplicăm teorema sinusurilor în triunghiurilor BCD și ACD pentru a afla lungimile BC, respectiv AC, iar distanța cerută se află aplicând teorema cosinusului în triunghiul ABC:

III. Metode și tehnici de facilitare a utilizării aplicațiilor practice în predarea matematicii de gimnaziu

III.1. Abordarea predării matematicii din perspectiva noului curriculum pentru gimnaziu

Predarea matematicii în ciclul gimnazial are la bază formarea/dezvoltarea a șase competențe generale, descrise în programa școlară astfel:

1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar.

2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale.

3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice.

4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, concluziilor și demersurilor de rezolvare pentru o situație dată.

5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date.

6. Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii.

În dezvoltarea competențelor se pune accentul pe utilizarea gândirii și a raționamentului matematic pentru rezolvarea unor situații cotidiene și pentru facilitarea transferului de cunoștințe. Formarea acestor competențe trebuie să se realizeze având în vedere profilul absolventului de gimnaziu, deci formarea competențelor generale și specifice disciplinei matematică trebuie corelată cu dezvoltarea celor opt competențe cheie necesare învățării pe tot parcursul vieții. În consecință, până la finalul clasei a VIII-a elevii își vor dezvolta:

• competențe de comunicare în limba română, căutând, procesând, receptând și exprimând informații, opinii, idei, sentimente orale sau scrise;

• competențe de comunicare în limbi străine, prin identificarea și exprimarea unor idei, opinii, sentimente oral sau scris în limbile străine studiate;

• competențe matematice, prin manifestarea interesului pentru identificarea unor regularități și relații matematice întâlnite în situații din mediul în care trăiește, rezolvând probleme practice și prelucrând date și dovezi experimentale;

• competențe de bază în științe și tehnologii, fiind capabili să proiecteze și să desfășoare un demers investigativ sau a unor produse utile, manifestând interes pentru o viață sănătoasă și pentru păstrarea unui mediu curat;

• competențe digitale, prin utilizarea unor aplicații digitale și dezvoltarea de conținuturi digitale, respectând normele de siguranță pe internet;

• competența de a învăța să înveți, prin formularea de obiective și sarcini de învățare, gestionarea timpului și monitorizarea progresului realizat, cunoscându-și calitățile și preferințele școlare și profesionale viitoare;

• competențe sociale și civice, interacționând cu ceilalți după un set de valori, reguli și norme de conduită, relaționând pozitiv atât la școală cât și în mediul extrașcolar;

• spiritul de inițiativă și antreprenoriat, fiind interesat de identificarea unor soluții în rezolvarea de sarcini de învățare sau rezolvare de probleme;

• sensibilizare și exprimare culturală, prin aprecierea patrimoniului local, national și universal, realizarea de lucrări creative și participarea la proiecte și evenimente culturale.

Aceste competențe reprezintă ansambluri de cunoștințe, abilități și atitudini și se dezvoltă prin învățare în cadrul fiecărei discipline de studiu, fiind în mod egal importante pentru a asigura absolventului de clasa a VIII-a o integrare armonioasă în următorul nivel de învățământ ce va continua dezvoltarea acestor competențe și va asigura o adaptare flexibilă la o lume în rapidă schimbare și profundă interconectare.

Pentru dezvoltarea acestor competențe în concordanță cu idealul educațional, profesorul de matematică trebuie să creeze un cadru de învățare care să asigure dezvoltarea gândirii critice, a autonomiei în învățare, dar și a transferului de competențe. Activitățile de învățare și strategiile alese trebuie adaptate specificului clasei de elevi astfel încât să includă elemente ce pun în valoare experiența și competențele elevilor. Introducerea conceptelor matematice prin aplicații practice, relevante pentru experiența de viață a elevului, corelarea rezultatelor învățării cu situații din viața reală, scoaterea în evidență a relației dintre conceptele diferitelor domenii de activitate reprezintă o necesitate în predarea matematicii de gimnaziu. Alegerea strategiilor și mijloacelor didactice care să permită abordarea integrată a cunoștințelor trebuie să se facă dependent de competențele urmărite, motiv pentru care se cere o analiză personalizată a acestora.

Pentru ca elevul să identifice diferite concepte matematice într-un text, o configurație dată sau o situație prezentată el trebuie, mai întâi, să înțeleagă informația prezentată. Pentru aceasta elevul trebuie să își formeze abilitatea de a citi un text matematic, a-i descifra semnificația, a extrage informații din tabele, grafice sau configurații geometrice. De asemenea, elevul nu are cum recunoaște noțiuni, concepte sau figuri geometrice dacă nu le cunoaște(definiția, caracteristicile, semnificația, forma, ..) și nu le poate cunoaște dacă nu înțelege ce a citit, ce a văzut sau ce a auzit. Pentru a putea prelucra sau utiliza noțiuni specifice matematicii, elevii trebuie să le cunoască, să le învețe semnificația în funcție de contextul în care apar, să înțeleagă vocabularul matematic, să facă legături între noțiuni și concepte. Pentru a exprima anumite situații date(din cotidian sau alte domenii ale cunoașterii) în limbaj matematic elevul trebuie să dovedească o însușire temeinică a vocabularului matematic, formarea competențelor cheie, dezvoltarea gândirii critice. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații necesită demonstrarea dezvoltării competențelor ce presupun identificarea, recunoașterea, utilizarea, compararea conceptelor matematice cuprinse în situații diverse. Transpunerea unei situații reale în limbaj matematic presupune, mai mult decât orice altă competență matematică, stăpânirea competențelor de lectură și scriere(în limbaj matematic), dar și de reflecție asupra textului citit.

Înțelegând aceste aspecte este necesară o abordare a predării care să aibă la bază strategii de însușire a vocabularului matematic prin dezvoltarea competențelor de literație, gândire critică și învățare autonomă. Odată ce învățarea unui concept este relevantă pentru elev, acesta va reuși să îl identifice în contexte cât mai variate, să-l utilizeze cu succes în studiul altor discipline sau în rezolvarea problemelor cotidiene. Construirea unui cadru optim de învățare, implicarea activă și conștientă a elevului în activitățile de învățare, utilizarea strategiilor de învățare a vocabularului matematic, încurajarea învățării prin cooperare și a reflecției vor permite elevului să exploreze global domenii multiple ale cunoașterii.

III.2. Concepte fundamentale în predarea – învățarea matematicii în gimnaziu

Cadrul ERR(Evocare-Realizarea sensului-Reflecție) reprezintă un model de realizare a învățării în trei etape bazat pe ipoteza potrivit căreia învățarea pornește de la ceea ce știm, iar ceea ce știm conduce spre ceea ce putem învăța. Oferă profesorilor un context de plasare a metodelor și activităților didactice astfel încât să ofere elevilor posibilitatea de a-și stabili obiective în învățare, de a se implica activ în descoperirea noilor conținuturi, dar și de a reflecta asupra învățării.

Prima etapă a cadrului, evocarea, implică elevii activ în încercarea de a se gândi la tot ceea ce știu sau cred că știu referitor la tema abordată. Elevii sunt încurajați de profesor să comunice și să discute pe baza informațiilor amintite și a experiențelor trăite în legătură cu subiectul. În această etapă elevul devine conștient de ceea ce știe și este capabil să înțeleagă, devine motivat și interesat de studiul temei propuse, aspect ce conduce la crearea unor scopuri personale în învățare(altele decât cele formulate de profesor).

În a doua fază a cadrului, realizarea sensului, elevii întră în contact cu noile informații prin lectura unui text, audiției unui mesaj, vizionării unui film, ascultării prelegerii profesorului, realizării unui experiment. Accentul se pune construirea noilor informații, profesorul încurajând analiza critică a informațiilor, compararea acestora cu cele deja existente, creionarea unor imagini mintale ale conceptelor noi.Cel mai important rol al acestei etape este menținerea vie a interesului elevului pentru subiect, iar funcția esențială a acestei etape constă în susținerea eforturilor elevilor în monitorizarea propriei înțelegeri. Este important pentru elevi să fie conștienți de ce și cât anume înțeleg sau nu înțeleg din noile informații sau idei cu care lucrează pentru a putea insera cu succes noile informații în schemele mintale existente.

Ultima etapă, reflecția, presupune consolidarea noilor cunoștințe și restructurarea schemei mintale astfel încât, la finalul lecției, aceasta să includă noile informații. Această etapă începe prin exprimarea de către elev în diverse forme a conceptelor sau informațiilor întâlnite(transpunerea informației în context personal) și continuă printr-un dialog între elevi prin intermediul căruia elevii fac cunoștință cu modelele de integrare ale noilor conținuturi de către colegi.

Cel mai important element de noutate pe care îl aduce cadrul ERR se referă la faptul că acesta este atât un proces de predare, dar și unul de învățare, prin care elevul învață atât cunoștințele unui anumit domeniu, dar și cum să învețe acele cunoștințe specifice domeniului.Etapa de evocare conștientizează elevii asupra bagajului de cunoștințe pe care îl au, ca în etapa reflecției aceștia să își restructureze schema mintală, fixând cunoștințe noi. Se urmărește activarea elevului la începutul lecției, precum și stabilirea unui scop pentru explorarea subiectului, dar și mențirea interesului și a implicării pe toată perioada desfășurării experienței de învățare prin care se corelează informațiile noi cu cele deja cunoscute.

Chiar dacă etapele cadrului ERR urmăresc firul logic al etapelor unei lecții tradiționale, diferențele sunt majore și intervin mai ales în cazul evocării și al reflecției, după cum reiese din comparația ce urmează.

Pe scurt, cadrul ERR oferă contextul învățării procesului de învățare prin conștientizarea propriei gândiri (evocarea), monitorizarea propriei înțelegeri(realizarea sensului) și restructurarea schemelor mintale(reflecția).

Metacogniția

Metacogniția presupune conștientizarea propriilor procese și nevoi de învățare și realizarea unor strategii pentru atingerea scopurilor propuse, având un rol important în învățarea eficientă deoarece un proces de învățare eficient trebuie să fie conștientientizat și controlat de către elev. J.H. Flavell a definit metacogniția ca fiind cunoașterea propriilor procese cognitive și a rezultatelor acestor procese. Conform acestuia, procesele cognitive sunt monitorizate prin cunoștințe metacognitive, experiențe metacognitive, scopuri metacognitive, acțiuni/strategii metacognitive. Cunoștințele metacognitive fac referire la natura cunoștințelor despre propria persoană(cunoștințe, aptitudini, abilități), despre natura sarcinii de lucru și despre strategiile necesare atingerii scopului propus. Experiențele metacognitive însumează reacții de natură cognitivă sau afectivă care asociază activitatea intelectuală. Strategiile metacognitive reprezintă acțiunile folosite pentru atingerea scopurilor și presupun planificare, proiectare, monitorizare și evaluare a dezvoltării cognitive.

Metacogniția joacă un rol fundamental în dezvoltarea competenței de a învăța și a gândirii critice. Dezvoltarea competențelor de învățare presupune asimilare de cunoștinte, dar și formarea unor atitudini, valori specifice și abilități precum: planificarea, proiectarea, monitorizarea, evaluarea propriilor demersuri de învățare. Metacogniția are un rol important tocmai pentru că include strategiile folosite pentru atingerea obiectivelor propuse, iar aceste strategii vizează tocmai abilități ce conduc la dezvoltarea competenței de proiectare și organizare a învățării proprii, deci la perfecționarea competențelor de învățare. De asemenea, metacogniția ajută persoanele să dobândească cunoștințe despre ceea ce cunosc și despre modul în care au dobândit cunoștințele respective, conducând la dirijarea personală a activității de învățare. Metacogniția devine importantă în dezvoltarea competențelor de învățare și datorită faptului că oferă metode, strategii și tehnici necesare învățării de-a lungul vieții. Un proces de predare cu scopul dezvoltării gândirii critice include metacogniția. Ea ghidează calitatea propriilor întrebări, tansferul abilităților intelectuale de la un domeniu la altul, relevanța anumitor informații pentru studiului unui concept.

Relevanța cadrului Evocare-Realizarea sensului-Reflecție pentru dezvoltarea metacogniției reiese tocmai din suprapunerea elementelor ce compun metacogniția peste fazele cadrului ERR. Acțiunile specifice demersului metacognitiv sunt proiectarea, monitorizarea și auto-evaluarea/reflecția, acțiuni ce se regăsesc și în etapele cadrului ERR. Cadrul ERR presupune în prima fază implicarea activă a elevilor, aceștia examinându-și propriile cunoștințe și devenind conștienți de propria lor gândire. Odată conștientizat, procesul gândirii conduce la cunoașterea “schemei mintale” preexistente, reconstruirea ei prin informații noi în legătură cu cele anterioare, deci la cunoștințe metacognitive cu privire la conștientizarea felului în care se învață, a naturii sarcinii de învățare și a scopului procesului de învățare. A doua fază a cadrului ERR are rolul de a susține efortul de monitorizare a propriei înțelegeri, realizându-se acea monitorizare activă a proceselor cognitive. Ultima fază conduce la restructurarea schemelor mintale, la transpunerea în limbaj propriu prin reflectarea asupra propriei învățări.

Următoarele strategii și metode de predare-învățare, sugerate de către Asociația Lectura și Scrierea pentru Dezvoltarea Gândirii Critice(ALSDGC) în cadrul programului de formare Literație și gândire critică pentru învățare favorizează dezvoltarea metacogniției, a gândirii critice, a competenței de a învăța și pot fi folosite cu succes în lecții construite conform cadrului ERR:

Metoda Știu-Vreau să știu-Am învățat favorizează studiul unei teme plecând de la ceea ce cunosc elevii, continuând cu stabilirea unor obiective relevante despre temă și finalizând cu reflecția asupra celor studiate. Completarea primelor două coloane(știu-vreau să știu) facilitează stabilirea unor scopuri în rezolvarea unei sarcini sau a citirii un text, elevul fiind conștient de care din cunoștințele acumulate îi vor fi de ajutor. Completarea ultimei coloane este echivalentul conștientizării învățării.

Am utilizat această metodă în timpul lecției Unghiul – definiție, construcție, elemente la clasa a V-a(anexa 1), unde grupați în perechi, elevii au colaborat pentru a completa timp de 3 minute coloana Știu a tabelului cu ideile pe care le au despre această noțiune. Am încurajat elevii să inventarieze atât aspectele pe care le știu din clasele primare, dar și cele care reies din exemple concrete din jurul lor. Pe o coală de flipchart am notat acele idei ale elevilor apreciate de întreg colectivul clasei. Pentru completarea celei de-a doua coloană a tabelului i-am rugat pe elevi să răspundă la întrebarea Ce ați dori să aflați despre noțiunea de unghi? și am notat răspunsurile pe coala de flipchart: definiția corectă, dacă are mijloc, felul unghiurilor, de unde provin, la ce se folosesc. Deoarece, la nivelul clasei a V-a, elevii nu prea știu ce ar dori să afle despre o noțiune constat că lipsește impulsul necesar motivației lecturii textului din manual sau a ascultării atente a prelegerii profesorului despre noua noțiune. Prin urmare, alături de răspunsurile elevilor, am adăugat și ce aș dori să descopăr eu despre noțiunea de unghi sub forma unor întrebări: Ce obiecte din jurul nostru conțin unghiuri? Din ce elemente este format un unghi? Cum și ce măsurăm la un unghi? Cu ajutorul cărui instrument geometric construim unghiurile? În etapa de realizare a sensului elevii, grupați câte doi, au luat contact cu noile cunoștințe prin lectura atentă a textului din manual, având responsabilitatea de a găsi informații cu privire la ceea este notat în coloana Vreau să știu, inclusiv răspunsuri la întrebările mele și de a le nota în caiet. Am reluat prin discuție fiecare aspect pe care elevii au dorit să îl afle și am completat răspunsul corespunzător oferit de către elevi în coloana Am învățat. Este o strategie care implică fiecare elev în defășurarea lecției, motiv pentru care acestora le place. Devin reticenți la completerea coloanei a doua a tabelului, dar întrebările profesorului îi antrenează și le oferă idei pentru completarea viitoare a unui astfel de tabel.

Organizatorii grafici, ciorchinele reprezintă metode de a realiza conexiuni între informații, idei, cunoștințe. Se pot aplica atât în etapa evocării, prin solicitarea unei recapitulări a informațiilor cunoscute despre tema studiată, având un rol important în conștientizarea cunoștințelor deținute, dar și în etapa reflecției, prin evidențierea propriei înțelegeri.

În etapa reflecției a lecției Unghiul(anexa 1) am utilizat harta definiției conceptului unghi pentru ca elevii să aibă o viziune de ansamblu asupra noțiunii. Ei reflectează asupra a ceea ce au învățat și își organizează cunoștințele în funcție de forma, definiția, elementele și exemplele noțiunii de unghi.

Elevii clasei a V-a sunt la început de drum în povestea organizării textului de învățat pentru personalizarea și organizarea informațiilor, motiv pentru care folosirea șabloanelor în organizarea grafică este utilă. În timp, vor căpăta încredere și vor realiza organizatoare grafice liber, mai ales că le vor descoperi rolul în structurarea, recapitularea și consolidarea cunoștințelor.

Mozaicul reprezintă o tehnică de învățare în echipă. Implică toți elevii clasei, deoarece fiecare elev trebuie să devină expert într-o anumită sarcină de studiu pe care o va transmite colegilor de echipă. Profesorul împarte tema lecției în 4 sau 5 subteme și formează grupe de lucru a câte 4 sau 5 elevi. Fiecare elev al fiecărei grupe va primi câte o subtemă pe care o va studia individual în cadrul grupului inițial. După studiul individual, elevii responsabili de aceeași subtemă vor forma grupuri expert unde vor studia și vor dezbate împreună toate aspectele temei. Reîntoarcerea în grupurile de lucru inițiale debutează cu transmiterea noilor informații de către experți colegilor de grup, moment în care elevii dovedesc înțelegerea subtemei studiate.

Am utilizat metoda mozaicului în cadrul lecției Exemple de rapoarte întâlnite în practică(anexa 2). Elevii clasei a VI-a B au fost împărțiți în patru grupe, fiecare elev al fiecărei grupe primind o fișă de învățare, astfel: fișa A – scara unei hărți, fișa B – raportul procentual, fișa C – viteza, fișa D – concentrația procentuală. Elevii au primit sarcina de a studia individual, timp de 10 minute, conținutul fișei primite, de a organiza informațiile, de a utiliza manualul sau telefonul pentru a căuta alte informații despre conceptul studiat. Elevilor le-a plăcut etapa studiului individual, s-au apucat rapid de sintetizarea conținutului fișelor, au căutat informații în manualele de matematică, fizică, geografie, dar și pe wikipedia. După etapa lucrului individual toți elevii care au primit fișe cu aceiași literă s-au reunit în grupuri de experți, având sarcina de a crea un conținut cu care să fie de acord toți membrii grupului și o strategie de predare a conținutului elevilor din grupul inițial. În această etapă, timp de 10 minute, elevii și-au prezentat sintezele și noile informații, au creat exerciții pentru colegii din grupul inițial și au stabilit metodele prin care să le prezinte conținutul studiat. În ultima etapă elevii s-au întors în grupurile inițiale și, pe rând, au început predarea conținuturilor în care au devenit experți. A fost etapa cea mai îndrăgită de către elevi, dar și cea mai provocatoare, elevii recunoscând că, cu cât explicau colegilor cu atât consolidau mai bine ceea ce au studiat inițial. În etapa reflecției am realizat un ciorchine care să reunească toate tipurile de rapoarte studiate de elevi.

Ghidul de anticipare este o metodă ce pune elevul în fața exprimării acordului sau a dezacordului cu privire la diferite enunțuri legate de tema studiată. Aplicat în etapa de evocare ajută la reamintirea unor aspecte legate de subiectul lecției, dar și la stabilirea unor obiective de învățare derivate din enunțurile date. Reluat în etapa reflecției, permite elevilor să conștientizeze rapid cum noile informații conduc spre confirmarea sau informarea a ceea ce au crezut a fi fals sau adevărat la începutul lecției.

Am utilizat ghidul de anticipare în etapa evocării a lecției Operații cu mulțimi(anexa 6) pentru a stârni interesul și motivația elevilor pentru studiul noilor noțiuni. Elevii au completat individual tabelul cu valoarea de adevăr a fiecărei propoziții, apoi au fost invitați să le spună colegilor varianta aleasă, motivând-o. Afirmațiile alese au caracter practic deoarece am dorit ca realizarea sensului să fie dependentă de rezolvarea unor situații concrete, ușor de identificat în experiența elevilor. Este o strategie înainte de lectură ce oferă elevilor posibilitatea de a reflecta asupra propriilor păreri, dar și de a dezbate aceste opinii în grup. Întoarcerea la ghidul de anticipare în etapa reflecției facilitează conștientizarea achiziției informației de către elevi – aceștia devin conștienți de faptul că ceea ce știau la începutul lecției s-a modificat. Completarea ghidului de anticipare a fost o strategie agreată de către elevi. Aceștia au preferat lucrul individual, în liniște și s-au implicat mai puțin în discuții cu privire la valoarea de adevăr aleasă. În momentul în care elevii s-au întors la ghidul de anticipare, în etapa reflecției, majoritatea au regândit afirmațiile, legând sensul lor de mulțimi, relații între mulțimi, operații cu mulțimi. I-am văzut că desenează diagrame sau că scriu mulțimile enumerând elementele, iar acest lucru le-a dat oarecum un avânt în implicarea în discuțiile de la sfârșitul lecției – acum își puteau susține afirmațiile.

Scrierea în jurnalul de învățare este o metodă ce permite autoevaluarea învățării prin reflecția celor învățate și a metodelor de învățare utilizate. Jurnalul de învățare reprezintă un instrument ce permite înregistrarea progresului realizat de elev, ajutând profesorul în personalizarea și adaptarea învățării.

Pentru evaluarea dezvoltării competențelor la finalul unei lecții(anexa 7) din unitatea de învățare Divizibilitatea numerelor naturale – clasa a V-a am utilizat jurnalul de învățare.

Am ales scrierea în jurnalul de învățare deoarece o consider o activitate importantă pentru consolidarea lecției, încurajând elevul să reflecteze asupra celor învățate.

Jurnalul de învățare reprezintă un instrument ce permite înregistrarea progresului realizat de elev și mă ajută în personalizarea și adaptarea învățării. În urma analizei răspunsurilor elevilor am ocazia de a insista fie la finalul lecției, fie la începutul lecției următoare asupra aspectelor neclare elevilor. De exemplu, la finalul primei lecții, în urma completării jurnalului, mi-am dat seama că trebuie să insist asupra semnificației simbolurilor este divizibil cu, respectiv divide. Am început, așadar, cea de-a doua lecție cu activități menite să clarifice confuziile elevilor.

Discuția de grup este o metodă ce poate fi folosită atât în momentul evocării cât și în momentul reflecției, pentru contabilizarea tuturor informațiilor pe care elevii le au despre o anumită temă. Constă în rostirea cu voce tare a gândurilor – cunoștințe anterioare ale elevilor despre conceptele abordate. Elevii sunt încurajați să definească cu propriile cuvinte, să facă cât mai multe comparații și asocieri, să enumere proprietăți și reguli care au legătură cu conceptul. Metoda poate fi folosită în relație cu ciorchinele, harta conceptuală sau alt organizator grafic pentru o organizare vizuală a informațiilor transmise de către elevi.

Scrierea paragrafului conceptului este o metodă ce presupune scrierea de către elevi a unui paragraf despre un concept dat având la dispoziție o listă de termeni matematici obligatorii de utilizat. Elevii sunt anunțați despre faptul că definiția și proprietățile conceptului trebuie să se regăsească în textul scris, iar termenii matematici trebuie utilizați corect. Metoda se pliază atât pe faza evocării, dar și a reflecției, contribuind atât la formarea limbajului matematic cât și la dezvoltarea înțelegerii conceptelor utilizate.

Am pus elevii clasei a VI-a în situația de a scrie paragraful conceptului cerc în etapa reflecției unei lecții de consolidare(anexa 11). Elevilor le place mult această metodă deoarece au ocazia de a descrie concepte matematice personal, de a spune povestea acestora în propriile cuvinte.

Gândiți – lucrați în perechi – comunicați este o metodă ce presupune îmbinarea activității individuale cu cea a muncii în echipă și se poate utiliza în toate cele trei faze ale lecției. Debutează cu rezolvarea individuală a unei sarcini date de profesor(exercițiu, problemă, întrebări), continuă cu discuții în pereche, când fiecare elev prezintă colegului soluția sau răspunsul dat și se convine asupra formei finale a rezolvării sarcinii și se încheie cu prezentarea soluțiilor.

Am utilizat această strategie în desfășurarea lecției Unghi înscris în cerc – clasa a VII-a(anexa 13) pentru a demonstra teorema unghiului înscris în cerc. În acest mod, elevii participă atât individual la descoperirea noilor informații, dar și colaborează cu un coleg pentru a dezbate variante de răspunsuri la problema dată.

Cvintetul este o metodă ce contribuie la dezoltarea capacității de sintetizare și rezumare a unor concepte complexe în câteva cuvinte. Elevii crează o poezie cu sau fără rimă respectând condițiile:

Să conțină cinci versuri;

Primul vers să fie format dintr-un singur cuvânt, substantiv-conceptul descris;

Al doilea vers să conțină două asjective care descriu conceptul;

Al trei vers să fie format din trei cuvinte ce exprimă acțiuni – prin verbe la gerunziu;

Al patrulea vers să conțină o proprietate a conceptului – propoziție din minim patru cuvinte;

Ultimul vers să fie format dintr-un substantiv-sinonim al conceptului.

Metoda permite reflecția critică asupra unui concept studiat și dezvoltarea înțelegerii acestuia prin scriere.

Scrierea unei scrisori către un elev absent permite elevilor să comunice în scris ceea ce au învățat în cadrul lecției. În acest mod ei reflectează asupra lecției, realizează un rezumat al informațiilor și exersează

Zona proximei dezvoltări și ucenicia cognitivă

Zona proximei dezvoltări(ZPD) este zona situată între nivelul actual(ce știe deja) și cel potențial(ceea ce poate să învețe) al copilului. Conform acestei teorii potențialul elevului este valorificat mai bine atunci când este sprijinit de un adult, în detrimentul muncii individuale. La baza dezvoltării potențialului copilului și a realizării învățării eficiente stă calitatea relației de colaborare dintre elev și profesor: profesorul trebuie să aleagă sarcini de lucru prin care elevul poate depăși, câte puțin, cu sprijinul acestuia, capacitățile pe care le are. Este important faptul că fiecare elev are o ZPD proprie, deci pentru dezvoltarea potențialului elevului învățarea trebuie individualizată prin acordarea de sarcini adaptate zonei fiecăruia, dar care să conțină elemente noi, menite să scoată elevii din zona de confort. Această individualizare a învățării se va realiza treptat: elevul, sprijinit de profesor, își va însuși strategii, elemente de vocabular, acțiuni de monitorizare și evaluare, pe care apoi le va putea personaliza.Ucenicia cognitivă face referire tocmai la acest proces prin care o persoană expertă într-un anumit domeniu oferă sprijin unei persoane aflate la începutul învățării. În ceea ce privește dezvoltarea competențelor de citire și înțelegere a unui text matematic, ucenicia cognitivă presupune parcurgerea etapelor:

Demonstrația – profesorul arată elevului citind și gândind cu voce tare strategiile pe care le utilizează în citirea unui text matematic.

În etapa de modelare a uceniciei cognitive profesorul oferă elevului modele de experiențe cognitive, verbalizând experiențele de natură cognitivă și afectivă din timpul activității intelectuale. De asemenea, elevii pot observa și acțiunile/strategiile pe care profesorul le folosește pentru a atinge obiectivele cognitive propuse. Elevul, urmărind felul în care profesorul, de exemplu, citește și interpretează un text sau abordează o anumită problemă, va prelua din strategiile și limbajul utilizat de profesor și le va include în propria schemă mintală. Această etapă va ajuta elevul să devină conștient de procesele cognitive necesare citirii unui text sau rezolvării unei probleme, reprezentând o inițiere în ceea ce înseamnă metacogniție. Elevul află cum expertul dobândește noi cunoștințe, iar în etapa următoare va aplica individual strategiile, personalizându-le și exersând propriile procese cognitive.

Eșafodarea – elevii practică strategia modelată anterior de către profesor primind sugestii, încurajări și sprijin din partea profesorului în dezvăluirea propriilor procese ale gândirii.

Retragerea – profesorul înclină balanța responsabilității citirii și înțelegerii textului în partea elevului, acesta retrăgându-se treptat.

Practica independentă – elevul utilizează independent strategia de lectură așa cum i-a fost arătată de către profesor.

Reflecția metacognitivă – elevii reflectează asupra propriei experiențe de învățare descriind modul în care au aplicat strategia.

Predarea-învățarea vocabularului matematic

Vocabularul matematic joacă un rol important în dezvoltarea competențelor specifice matematicii. Așa cum am mai precizat, fără o însușire relevantă a unui anumit concept matematic este dificilă identificarea, recunoașterea, analiza sau modelarea acestuia, mai ales în contexte variate din diferite domenii ale cunoașterii. Dependența dintre gradul de înțelegere a cuvintelor prezente într-un text și înțelegerea mesajului textului reprezintă încă un argument pentru tratarea cu atenție a modului de predare-învățare a vocabularului matematic, dar și a selectării textelor pe care urmează să le folosim la clasă.

În clasele primare majoritatea elevilor citesc și rezolvă sarcini de lucru cu plăcere. Acest lucru se întâmplă deoarece ei citesc și rezolvă sarcini despre ei, despre mediul în care trăiesc, se joacă și învață. Pe măsură ce anii trec, elevilor li se cere să citească și să rezolve sarcini care nu mai au legătură cu viața lor. În acest mod, în primul rând, elevii nu mai sunt motivați, iar apoi nu mai înțeleg sensul și rostul învățării, principala întrebare pe care o auzim în școli fiind La ce mă ajută discplina x în viață ?… De ce să învăț la disciplina x când pot găsi informațiile respective online oricând ? O soluție este dată de Asociația Lectura și Scrierea pentru Dezvoltarea Gândirii Critice(ALSDGC) în cadrul programului de formare Literație și gândire critică pentru învățare și se concretizează prin utilizarea la clasă a textelor autentice, adică a textelor inspirate din viața reală deoarece acestea permit elevilor să interacționeze cu lumea reală, cu limba, așa cum este ea folosită înafara mediului controlat din școală.

Utilizând texte autentice la fiecare disciplină școlară menținem motivația elevilor tocmai prin întreținerea contactului cu realitatea și prin relevanța acestora pentru propriile interese.

Exemple de texte autentice pentru disciplina matematică

Nufărul este o plantă care poate decora iazul din grădină, deoarece are o floare decorativă și o gamă largă de culori care variază de la alb la nuanțe de roz și roșu. Din acest motiv, familia Matei și-a propus să înfrumusețeze iazul din grădină, achiziționând o specie de nuferi ce-și dublează numărul în fiecare lună.

Dacă, la început s-a plantat un nufăr:

Scrie numărul de nuferi de pe lac în a patra, a șasea și a noua lună

Dacă iazul ar fi suficient de mare și temperatura ar permite, în a câta lună vor fi 1024 de nuferi pe lac?

Rezolvare

a IV-a lună: 222 = 8

a VI-a lună: 22222 = 32

a IX-a lună : 22222 222 = 256

222… 222(10 factori) = 1024

(Manual clasa a V-a, Editura CD PRESS)

Textul poate fi folosit în partea de realizare a sensului la lecția Ridicarea la putere a unui număr natural.

Căluțul de mare mascul este cel care clocește ouăle și naște. Femela depune cele aproximativ 2000 de ouă în punga masculului pentru ca el să le fertilizeze în interior, iar după 2-3 săptămâni puietul eclozează.

Salinitatea reprezintă concentrația de săruri existente în apă și se măsoară în grame/litru sau în procente. Variațiile de salinitate, pe verticală, în Marea Neagră sunt accentuate: la suprafață, salinitatea este de 18-190 și crește în adâncime, la 2000 m, la 21-220 și la 24 0 la adâncimi de 2000 m

(Roller Coaster de vacanță, clasa a V-a, Editura Delfin)

Textul poate fi folosit pentru consolidarea procentelor la clasa a V-a sau a VI-a.

În clasa a V-a A sunt 25 de elevi.

În semestrul doi se transferă 3 elevi de la altă școală. Observăm că în urma transferului, numărul de elevi se modifică, el devenind mai mare cu 3. Numărul de elevi din clasă se află prin operația de adunare, deci este egal cu 25+3 = 28.

Din cei 28 de elevi ai clasei, 10 nu participă la orele de religie, participând în bibliotecă la un cerc de lectură. În urma faptului că din totalul de elevi, o parte pleacă se observă că numărul de elevi se modifică, el devenind mai mic cu 10. Numărul de elevi care participă la ora de religie se află prin operația de scădere, deci este egal cu 28-10=18.

În pauza mare elevii claselor a V-a participă la un careu în curtea școlii. Prima dată ajung cei 28 de elevi ai clasei a V-a A, urmați de cei 28 de elevi ai clasei a V-a B și apoi de cei 28 de elevi ai clasei a V-a C. Obervăm că numărul de elevi din curtea școlii se modifică repetat. Dacă la început erau 28 de elevi, pe parcurs vor fi cu 28 mai mulți elevi, apoi cu încă 28 de elevi mai mulți. Acum, numărul de elevi din curte se află prin adunare repetată, el fiind egal cu 28+28+28= 84, sau putem spune că numărul de elevi este de 3 ori mai mare decât 28, fiind egal cu 28 3 = 84.

La ora de educație fizică cei 28 de elevi ai clasei se aliniază câte 4. Observăm că numărul de elevi prezenți la oră nu se modifică; elevii se împart în grupe de câte 4, rezultând 7 grupe a câte 4 elevi(28:4=7), deci 28 de elevi.

La ora de educație fizică cei 28 de elevi ai clasei se aliniază câte 3. Observăm că numărul de elevi prezenți la oră nu se modifică; elevii se împart în grupe de câte 3, rezultând 9 grupe a câte 3 elevi, un elev rămânând nealiniat(28:3=9 rest 1).

(text scris de mine)

Textul poate fi folosit la clasa a V-a pentru a scoate în evidență acțiunile ce conduc la modificarea unui număr și cum, dar și a acelora ce nu modifică numărul. Este un text de tip cauză-efect.

Divizibilitatea numerelor naturale – joc de rol

Povestitorul: Mihai decide să participe alături de colegi la o acțiune caritabilă. În acest sens, el vrea să doneze câteva jucării celor 8 copii de la centrul de plasament. Pentru a-și sorta jucăriile cere ajutor mamei lui.

Mihai: Mami, mă ajuți, te rog, să aleg câteva jucării pentru a le dona?

Mama: Mihai, sunt jucăriile tale! Ar trebui să decizi singur!

Mihai: Ok, mama! Ai dreptate!

Povestitorul: Și aleargă spre camera lui, plină de jucării.

Mihai: Am un set de 16 mașinuțe de curse. Aș putea dona câte două mașinuțe fiecărui copil, deoarece 16 este divizibil cu 8. Sigur că da! 16 = 8 , deci primește fiecare copil câte 2 mașinuțe! Mai am 12 cartonașe cu povești…cum aș putea să le împart copiilor?! Este 12 divizibil cu 8? Oare cum spunea profa de mate că trebuie să verific asta? Off…o sun pe Maria, sigur știe ea.

Povestitorul: Nedumerit, Mihai își ia telefonul și o sună pe colega lui, Maria.

Maria: Da, Mihai.

Mihai: Salut Maria! Vreau să donez 12 cartonașe celor 8 copii de la centru…și….nu îmi pot da seama cum să le împart copiilor…

Maria: E simplu! Am făcut la matematică. Trebuie să verifici dacă 12 este divizibil cu 8!

Mihai: Asta stiu! Dar nu știu cum să fac verificarea!

Maria: Ia deschide tu caietul de mate la lecția Divizibilitatea numerelor naturale și vei găsi!

Mihai: Dar nu îmi poți spune tu? E mai rapid așa!

Maria: Eu aș putea, dar poți și tu!

Mihai: Ai dreptate! Sigur că pot! Mulțumesc, Maria!

Maria: Cu drag! Ne vedem mâine la școală!

Povestitorul: Și se apucă Mihai de căutat în caiet și de citit și găsește…

Mihai: AHA! Pentru a verifica dacă 12 este divizibil cu 8 trebuie să fac împărțirea! Ce simplu! Profa zicea să asociem divizibilitatea cu împărțirea exactă!

Povestitorul: Mihai efectuează împărțirea.

Mihai: 12 împărțit la 8 este egal cu 1 rest 4. Deci 12 nu este divizibil cu 8. Dar pot dona 8 cartonașe celor 8 copii, pentru ca 8 divide 8 și celelalte 4 îmi rămân mie!

Povestitorul: Mama bate la ușă

Mihai: Intră, mami!

Mama: Ai reușit să alegi jucăriile și să le împarți copiilor?

Mihai: Doar mașinuțele și cartonașele.Mi-a luat ceva timp. Și ști ceva? Am folosit matematica de la școală!

Mama: Serios?

Mihai: Da! Îți arăt și ție. Aici am o colecție de 206 șervețele cu personaje din desene animate. Vreau să le împart la 8 copii în mod egal, pentru că nu vreau să se supere niciunul. Deci trebuie să verific dacă 206 se împarte exact la 8, sau dacă 206 este divizibil cu 8 sau dacă 8 divide 206.

Mama: Înțeleg!

Mihai: Pentru asta fac împărțirea. 206 împărțit la 8 este egal cu 25 rest 6.

Mama: Deci nu se împarte exact, ceea ce înseamnă că 206 nu e divizibil cu 8.

Mihai: Da, dar pot dona câte 25 șervețele fiecărui copil, iar restul, care este de 6 șervețele îmi rămân mie!

Mama: Ai dreptate! Felicitări! Văd că începe să îți placă matematica!

Mihai: Mulțumesc mama! E chiar ușoară!

Mama: Sigur doamna profesoară o să fie mândră de tine!

Mihai: Sigur! Mai trebuie să văd cum să procedez cu cele 135 figurine și termin.

Mama: Succes! După ce termini, te așteptăm la masă!

(textul este scris de mine)

Am folosit acest text la clasa a V-a în cadrul unei lecții de consolidare a noțiunilor de divide, divizibil. Am folosit acest text în etapa de evocare cu scopul de a stârni interesul elevilor pentru tema studiată. Textul poate fi folosit și ca punct de plecare al aplicațiilor practice ale relației de divizibilitate.

Selectarea textelor ce urmează a fi folosite în timpul lecțiilor de matematică, trebuie urmată de gândirea unor strategii care să permită extragerea înțelesurilor dintr-un text de către elev. Elevul trebuie învățat cum să citească un text matematic, ce strategii să adopte înainte, în timpul și după lectura unui text și cum să transfere aceste strategii spre lectura oricărui tip de text. Este un pas important spre dobândirea autonomiei în învățare, având în vedere faptul că textul este o sursă de informare a oricărui domeniu. Gândirea cu voce tare este o strategie prin care profesorul poate demonstra(arăta) elevilor modul său de abordare a unui text. De exemplu, profesorul citește cu voce tare enunțul unei probleme cu caracter practic și verbalizează fiecare proces al gândirii antrenat în rezolvarea ei. Rostește fiecare întrebare, idee, conexiune, comparație, analogie, nelămurire, etc. În acest mod, profesorul arată elevilor cum să rezolve problema, nu doar rezolvarea problemei. Elevii își vor însuși treptat strategia modelată de profesor și o vor integra în propria schemă mintală. Pentru ca gândirea cu voce tare să fie eficientă este bine ca după modelarea oricărei strategii metacognitive de către profesor să fie predată ștafeta elevilor pentru a putea exersa mai întâi pe același text, apoi pe texte diferite.

Odată ce selectarea textelor ce urmează a fi folosite în cadrul lecție bifează relevanța lor pentru experiența elevilor, rămâne ca profesorul să se asigure de gradul de înțelegere a cuvintelor folosite în text și să predea acele cuvinte de o importanță vitală pentru tema abordată. Pentru că nu este posibilă introducerea directă a tuturor cuvintelor înainte de o lecție, este recomandat ca profesorul să analizeze cu atenție tema și să selecteze pentru predarea directă doar acele cuvinte ce reprezintă nucleul lecției. În acest sens, Flanigan și Greenwood(2009) recomandă un model de selectare a vocabularului pe 4 niveluri, astfel:

Nivelul 1 – Cuvinte critice care necesită atenție înainte de lectură – reprezintă acele cuvinte de înțelesul cărora depinde receptarea corectă a mesajului textului, dar nu sunt suficient de bine definite în text.

Nivelul 2 – Cuvinte importante care necesită atenție înainte de lectură – sunt acele cuvinte parțial cunoscute de către elevi, sau cunoscute de către o parte de elevi, sau cuvinte a căror înțelegere se poate realiza mai repede decât a celor de nivel 1, fie pentru că elevii au mai lucrat cu ele sau cunosc anumite sinonime ale lor.

Nivelul 3 – cuvinte critice care pot fi abordate după lectură – sunt cuvintele definite clar și explicit în text.

Nivelul 4 – cuvinte care nu necesită atenție acum – reprezintă fie acele cuvinte care sunt foarte cunoscute de către toți elevii clasei, fie cuvinte necunoscute care nu împiedică înțelegerea textului.

Exemplificare – selectarea cuvintelor pentru predarea directă

Lecția Unghiul – clasa a V-a

Cuvântul unghi este elementul central al lecției, definit în textul ce urmează a fi lecturat de către elevi și folosit atât pe parcursul lecției de azi, dar și în următoarele lecții de geometrie, fiind un concept fundamental al geometriei. Deoarece cuvântul este definit în text, iar definiția este ușor de înțeles îl consider un cuvânt de nivel 3 și voi insista asupra lui după lecturarea textului.

Expresia figură geometrică este folosită de către elevi începând cu clasa a II-a, fiind un concept cunoscut foarte bine de către ei, motiv pentru care il consider de nivel 4.

Cuvântul semidreaptă, alături de cuvântul origine apare de multe ori în text, deoarece stă la baza definiției unghiului, unghiul fiind definit cu ajutorul acestor concepte. Deoarece noțiunea de semidreaptă a fost studiată în primele lecții ale unității de învățare Elemente de geometrie, dar și în clasele primare, consider că este un cuvânt de nivel 2, asupra căruia voi insista puțin înainte de începerea textului(definirea, reprezentarea, faptul că nu are dimensiuni). Laturile și vârfurile unghiului sunt două noțiuni matematice definite în text; mai mult, sunt identificate și pe reprezentarea geometrică, fapt ce ușurează înțelegerea lor, deci le consider cuvinte de nivel 3.

O învățare eficientă a unui cuvânt trebuie să pornească de la informațiile pe care elevii le dețin deja și să continue cu prezentarea cuvântului în contexte cât mai variate.

Pentru eficientizarea predării – învățării vocabularului matematic sunt de interes următoarele strategii:

Harta definiției conceptului permite o înțelegere complexă printr-o definiție detaliată a unui concept. Conține cuvântul care descrie conceptul, categoria din care acesta face parte, proprietățile pe care le are, comparații cu alte concepte și câteva exemple.

Pereții de cuvinte reprezintă o strategie care facilitează familiarizarea și înțelegerea conceptelor matematice de nivel 1 și 3. Într-un spațiu vizibil al sălii de clasă se expun bilete ce afișează termenul ce descrie un concept, astfel ca elevii să intre în contact permanent cu acesta, iar sub denumirea termenului se află definiția acestuia pentru ca elevii care doresc să o poată reciti.

Modelul Frayer reprezintă o categorie specială de organizator grafic utilizat pentru învățarea și înțelegerea vocabularului, contribuind la dezvoltarea acestuia. Conceptul de bază este înconjurat de patru elemente esențiale pentru o înțelegere optimă a acestuia: caracteristici esențiale, caracteristici neesențiale, exemple și contraexemple.

Modelul Frayer poate fi extins și ca sprijin în rezolvarea problemelor, mai ales a acelor probleme cu caracter practic. Vom așeza în centrul organizatorului problema de rezolvat, iar cele patru căsuțe le completăm cu identificarea datelor care intervin în enunțul problemei, transcrierea matematică a enunțului problemei, rezolvarea problemei și interpretarea rezultatului obținut.

III.3. Proiect de acțiune cercetare

Matematica este o disciplină care face parte din trunchiul comun al claselor de gimnaziu. Deși s-a dezvoltat datorită nevoilor oamenilor și odată cu dezvoltarea civilizațiilor umane, problemele de matematică studiate de elevi sunt separate de realitatea din care provin, aceștia percepându-le greu de înțeles, de tradus în limbaj uzual și fără utilitate.

Textele din manualele școlare și din culegerile de exerciții și probleme se rezumă la enunțarea unor reguli, definiții, teoreme și formule, puține având caracter practic sau interdisciplinar.

Chiar dacă noua programă școlară pentru această disciplină sugerează o abordare intuitivă, interdisciplinară a matematicii, textele din manual conțin puține modificări notabile în acest sens.

Consider că este necesară o schimbare în predarea acestei discipline pentru ca elevii să manifeste interes față de studiul acesteia și să recunoască utilitatea și importanța ei în dezvoltarea celorlaltor domenii.

Identificarea problemei

Elevii nu reușesc să identifice conceptele matematice în studiul altor discipline.

Elevii nu reușesc să transcrie corect enunțul unei probleme în limbaj matematic.

Elevii întâmpină dificultăți în prelucrarea unui text cu conținut matematic.

Elevii întâmpină dificultăți în rezolvarea problemelor cu caracter practic sau interdisciplinar.

Studiind cu mare atenție problemele identificate se poate observa că toate au ca numitor comun însușirea și utilizarea corectă a limbajului matematic.

Întrebări

Pornind de la răspunsul următoarei întrebări voi elabora un plan de intervenție.

Cum să ajut elevii să își însușească limbajul specific acestei discipline?

Definirea unei soluții

Plecând de la premisa că înțelegerea vocabularului matematic va conduce la dezvoltarea unor competențe specifice matematicii( precum identificarea, recunoașterea, prelucrarea sau utilizarea conceptelor matematice în diverse situații) înțeleg că trebuie să introduc în activitățile de predare – învățare strategii cu rolul de facilitare a însușirii vocabularului matematic.

Deoarece voi aplica planul de acțiune cercetare clasei a VI-a, consider că este util să utilizez la clasă atât acele texte din manual ce asigură o înțelegere intuitivă și transdisciplinară a conceptelor cât și texte autentice care vor asigura stârnirea interesului și hrănirea motivației elevilor pentru studiul acestei discipline școlare. Deoarece elevii clasei a VI-a sunt novice în învățarea conținuturilor prin lecturarea unui text matematic consider că este util:

să acord atenție maximă selectării cuvintelor pentru predarea directă,

să utilizez diverse strategii pentru predarea vocabularului(pereții de cuvinte, harta definiției conceptului, scrierea paragrafului conceptului),

să utilizez gândirea cu voce tare pentru a modela înțelegerea unui text matematic, dar și strategii care să permită elevilor aplicarea și reflectarea asupra celor citite(jurnalul de învățare) iar mie feedback în monitorizarea progresului elevilor

Aplicarea intervenției

Am aplicat intervenția în primul semestru al anului școlar 2019-2020, în perioada 14 octombrie – 7 noiembrie, în cadrul parcurgerii unității de invățare Mulțimea numerelor naturale – divizibilitate la algebră și în a doua parte a unității Unghiul.Paralelism la geometrie.

În cadrul lecțiilor de algebră am utilizat atât texte din manual, cât și texte scrise de mine sau preluate de pe internet. Majoritatea textelor utilizate sunt texte de tip concept-definiție și scop-acțiune-rezultat. Înainte de lectura fiecărui text, am ghidat atenția elevului spre clarificarea cuvintelor critice ce necesitau atenție înainte de lectură. În acest scop am utilizat discuții frontale sau în perechi, finalizate cu un organizator grafic, pentru a reda o vedere de ansamblu atât asupra semnificației conceptului cât și asupra relației dintre acesta cu alte noțiuni matematice sau din viața cotidiană. Pentru facilitarea înțelegerii textelor de către elevi am utilizat gândirea cu voce tare, strategie modelată inițial de mine și apoi exersată gradual de către elevi. După lectura fiecărui text am propus spre rezolvare exerciții și probleme aplicative pentru exersarea instrucțiunilor citite sau recunoașterea, utilizarea și înțelegerea conceptelor definite. Pentru etapa reflecției am utilizat, de fiecare dată, jurnalul de învățare atât pentru consolidarea și fixarea cunoștințelor cât și ca instrument de evaluare și autoevaluare a învățării.

Exemple de texte și cerințe

Exemplul 1 “Descompunerea numerelor în produs de factori primi “desface” un număr compus în blocuri de numere mai simple. Dacă urăști să lucrezi cu un număr mare de genul 5733, înveți cum să-l transformi în 3 3 7 7 13 = 32 72 13. Acest tip de problemă este vital pentru criptografie sau tehnici utilizate pentru păstrarea informațiilor în siguranță”, dar este aplicat frecvent în viața de zi cu zi fără ca cineva să conștientizeze acest lucru(așa cum nu suntem conștienți nici de fiecare literă a alfabetului atunci când citim).( https://www.wikihow.com/Find-Prime-Factorization).

Eduard este managerul unei firme ce produce praline și dorește să decidă ce cutii să utilizeze pentru aranjarea celor 30 de praline cu ciocolată. Bineînțeles că

30 = 130 = 215 = 56 = 523,

descompuneri ce îi oferă variante din care poate alege.

Tu cum ai aranja 50 de praline în cutii?

Numerele prime din șirul 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 sunt …

Divizorii primi ai numărului 12 sunt …

Scrieți descompunerile numerelor: 8, 32, 45, 108, 1200, 36000.

Câți divizori naturali au numerele: 162, 500?

Aflați numerele a și b din egalitățile: a) a3b2 = 200; b) a b2 = 147.

Exemplul 2 Cel mai MARE divizor comun(cmmdc) a două numere este produsul factorilor primi comuni luați o singură dată la exponentul cel mai MIC. Notăm (a,b) = cmmdc(a,b)

1. Notați etapele pe care trebuie să le parcurgem pentru a afla cel mai mare divizor comun a două sau mai multor numere naturale utilizând descompunerea numerelor în produs de factori primi.

2. Aflați cmmdc al numerelor: a) 50 și 75; b) 32 și 48; c) 50, 42 și 36; d) 25 și 27.

Def. Două numere naturale care au cel mai mare divizor comun egal cu 1 se numesc prime între ele.

3. Completați spațiile punctate

a) Numerele a și b sunt prime între ele dacă …… divizori comuni diferiți de 1.

b) Numerele a și b se numesc prime între ele dacă … este singurul lor divizor comun.

c) Dați exemple de două numere prime între ele.

Exemplul 3 Cel mai MIC multiplu comun(cmmmc) a două numere este produsul factorilor primi comuni și necomuni luați o singură dată la exponentul cel mai MARE. Notăm [a,b] = cmmmc(a,b)

1. Notați etapele pe care trebuie să le parcurgem pentru a afla cel mai mic multiplu comun a două sau mai multor numere naturale utilizând descompunerea numerelor în produs de factori primi.

2. Aflați cmmmc al numerelor: a) 12 și 42; b) 15 și 27; c) 56, 63 și 84;

Exemplul 4 Propietate. Pentru orice numere naturale a și b are loc egalitatea .

1. Completați spațiile punctate

Pentru orice numere naturale nenule a și b, este adevărată propoziția “produsul numerelor a și b este egal cu ……………………………………………………………………………………………….…..”

2. Aflați produsul numerelor a și b dacă (a; b) = 12 și [a;b] = 72

3. Calculați: (a; b), dacă ab=3888 și [a; b] = 216;

În aplicarea intervenției în cadrul orelor de geometrie, în plus față de cele de algebră, am insistat și pe lectura cu voce tare a unei configurații geometrice. Am început aplicarea intervenției începând cu lecția Unghiuri adiacente, unde, plecând de la lectura definiției din manual, citind și gândind cu voce tare, am realizat configurația geometrică descrisă. Am procedat similar și pentru definiția bisectoarei unui unghi, a unghiurilor opuse la vârf și a unghiurilor în jurul unui punct. Pentru definirea unghiurilor adiacente complementare, respectiv suplementare, am utilizat gândirea cu voce tare pentru a înțelege configurația geometrică dată și a defini noțiunea reprezentată. Ca strategii de predare a vocabularului am utilizat pereții de cuvinte, pentru ca elevii să intre frecvent în contact cu aceste noțiuni, să aibă ocazia să-și clarifice imediat eventualele confuzii ce inevitabil apar la început în operarea cu noțiuni noi. În etapa reflecției am utilizat atât jurnalul de învățare cât și harta definiției conceptului.

Exemple de texte și cerințe

Exemplul 1

Construiți semidreapta [OA. De o parte și de alta a semidreptei [OA construiți semidreptele [OB și [OC. Studiați configurația geometrică realizată și rezolvați următoarele sarcini:

Cum se numesc unghiurile AOB și AOC?

Completați cu simboluri pentru a obține o propoziție adevărată

m(<AOB) …. m(<AOC) ….. m(<BOC),

apoi rescrieți propoziția obținută în cuvinte.

Redefiniți unghiurile adiacente, utilizând vocabularul propriu.

Exemplul 2 Citirea unei configurații geometrice

Studiați cu atenție configurațiile geometrice date. Stabiliți câte unghiuri apar în fiecare din cele două figuri, natura acestora, relații între măsurile lor.

Exemplul 3

Desenați unghiurile AOM și MOC astfel încât să fie adiacente congruente. Prin prisma definiției citite și a desenului realizat, ce puteți spune despre semidreapta [OM? Definiți cu propriile cuvinte bisectoarea unui unghi, folosind definiția din manual și desenul realizat.

Exemplul 4

Unghiurile AOB și COD sunt opuse la vârf. Dacă măsura unghiului AOB este de 1000, aflați măsurile unghiurilor COD și BOC.

Exemplul 5

Dreapta, în matematică, este linia ce poate fi definită ca având doar o dimensiune, lungimea. Orice dreaptă este de lungime infinită, conține o infinitate de puncte, este de grosime zero și este o curbă perfect "dreaptă".

În geometria euclidiană, pentru două puncte fixe există o dreaptă și numai una ce trece prin amândouă. Folosind metrica standard, linia dreaptă reprezintă drumul cel mai scurt dintre două puncte.

În cazul bidimensional, două drepte diferite pot fi: confundate (dacă au toate punctele comune), paralele (dacă sunt disjuncte, adică nu au nici un punct comun) sau concurente (se intersectează, întotdeauna într-un punct și numai unul). (https://ro.wikipedia.org/wiki/Dreapt%C4%83_(geometrie))

1.Citiți textul de mai sus și realizați câte un organizator grafic cât mai complet pentru fiecare paragraf citit.

2. Identifică în sala de clasă porțiuni de drepte care să fie: a) paralele; b) concurente

Metode de colectare a datelor

În perioada derulării intervenției am utilizat ca metode de colectare a datelor:

Observarea activității elevilor

Evaluarea produselor realizate de elevi(hărți conceptuale, jurnale de învățare, scrisori)

Evaluarea învățării prin aplicarea unui test sumativ

Am analizat activitatea elevilor în timpul lecțiilor în care am aplicat intervenția, obervând și învestigând răspunsurile orale și scrise ale acestora, dar și modul în care gândesc cu voce tare în timpul lecturii unui text.

Pentru însemnarea observațiilor am utilizat tabelul

Observând modul în care elevii rezolvă sarcinile orale sau scrise pot spune că au reușit să identifice din ce în ce mai repede și corect în contexte similare sau noi noțiunile studiate. Am observat că majoritatea elevilor identifică/recunosc mai bine într-o configurație geometrică noțiunile care au fost definite prin intermediul textului(asocierea definiție a noțiunii-reprezentare geometrică și reciproc).

Chiar dacă elevii reușeau să identifice și să aplice în exerciții noțiunile citite, sarcina la care s-au descurcat cel mai greu a fost de a reformula o definiție sau o explicație. La început am cerut reformulări prin completare de text scurt lacunar, dar elevii au întâmpinat mari dificultăți; una din cauze ar fi vocabularul lor general slab dezvoltat.

În rezolvarea de exerciții și probleme am insistat pe argumentarea fiecărei etape pe care o folosesc(de ex, <AOB și <DOC unghiuri opuse la vârf m(<AOB) = m(<DOC); <AOB și <BOC unghiuri adiacente suplementare m(<AOB) +m(<BOC) = 1800, etc), pe utilizarea întrebărilor ajutătoare, strategii pe care cel puțin 20% din elevii clasei le-au preluat până la finalul intervenției(am dedus procentul în urma analizei temelor efectuate, a jurnalelor completate și a testului sumativ). Acest lucru a condus la eliminarea practicilor elevilor de a învăța “rețete” de rezolvare a anumitor probleme tip, rețete care nu mai funcționau în contextul unei cerințe diferite de cea cu care erau obișnuiți. Mai mult, elevii au început să folosească termenii matematici corect în scris. A rămas însă, în continuare, problema exprimării orale: elevii au vocabularul matematic necesar pentru a crea o propoziție coerentă, dar parcă, nu găsesc cuvintele de legătură.

Cu privire la modul în care elevii reorganizează un text pot spune că s-au descurcat la reorganizarea unui text scurt într-un organizator grafic lacunar, apreciind pozitiv această metodă. Organizarea informațiilor fără suport text și scheletul grafic al organizatorului a fost mai dificil de realizat, însă elevii au recunoscut importanța reorganizării textului în consolidarea sau recapitularea noțiunilor.

(https://drive.google.com/open?id=1oCDiDS2zoq7SQxZD_TyBhGuA2MQMbuSY)

2. În evaluarea produselor(jurnal de învățare, harta definiției conceptului, scrisoare către un elev absent) realizate de elevi am urmărit aceleași aspecte din timpul observării activității elevilor în timpul lecțiilor și anume: înțelegerea vocabularului, înțelegerea unei configurații geometrice, corectitudinea și completitudinea rezolvării unei probleme, reorganizarea textelor, la care am adăugat și aspectul estetic al produsului, numărul sarcinilor rezolvate complet și corect.

Elevii au utilizat corect noțiunile matematice în scrisori către colegi, deși multe din scrisorile lor conțin greșeli gramaticale sau dezacorduri. În realizarea jurnalului de învățare am remarcat îmbunătățiri în redactarea răspunsurilor de la un jurnal la altul. Dacă, în completarea primelor două jurnale de învățare elevii nu au utilizat transcrierea în limbaj matematic și argumentarea răspunsurilor, de la al treilea jurnal de învățare completat am putut observa că elevii transpun în limbaj matematic atât cerința cât și rezolvarea acesteia.

3. Pentru evaluarea cunoștințelor elevilor am comparat rezultatele obținute de aceștia la testul sumativ Mulțimea numerelor naturale(anexa 15) cu ale elevilor clasei a VI-a A asupra cărora nu s-a aplicat întervenția.

Rezultatele elevilor celor două clase sunt sintetizate în tabelul

Media notelor obținute de elevii clasei a VI-a A: 5,17

Media notelor obținute de elevii clasei a VI-a B: 6,18

Din compararea rezultatelor obținute de elevi la cele două teste se observă că elevii clasei asupra căreia s-a aplicat intervenția au obținut note mai bune. Studiind modul de rezolvare al sarcinilor, am observat că niciun elev al clasei a VI-a A nu a rezolvat corect problema 3 și problema 6(subiectul II), ambele probleme necesitând traducerea textului în limbaj matematic. În schimb, elevii clasei a VI-a B, care au transpus enunțul problemelor în limbaj matematic le-au și rezolvat corect. De asemenea, majoritatea elevilor nu au rezolvat corect cerința 4 de la subiectul II, adică scrierea descompunerii în factori primi a numărului 60, deși aceiași elevi au descompus corect în factori primi numerele 36 și 140 pentru a afla cmmmc și cmmmdc cerute la problema 2 de la subiectul II. Acest aspect întărește faptul că însușirea limbajului matematic facilitează rezolvarea problemelor din situații cotidiene sau din diferite domenii de cunoaștere.

ANEXE

Anexa 1 – Proiect didactic

Clasa: a V-a A

Profesor: Dologa Paulina Maria

Disciplina: Matematică

Unitatea de învățare: Noțiuni geometrice fundamentale

Titlul lecției: Unghiul – definiție, construcție, elemente

Tipul lecției: Dobândire de noi cunoștințe

Durata lecției: 50 minute

Motivație:

Lecția urmează un model de învățare prin care noile conținuturi sunt relaționate cu alte cunoștințe anterioare ale elevilor, urmărindu-se aflarea intereselor acestora și corelarea învățării cu propriile nevoi, ea venind drept răspuns la propriile curiozități. Totodată, prin strategiile și activitățile selectate, elevii devin conștienți de îmbogățirea bagajului informațional și de prezența conceptului unghi în mediul înconjurător.

Competențe specifice:

1. Identiﬁcarea noțiunilor geometrice elementare și a unităților de măsură în diferite contexte

2. Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a măsura sau pentru a construi conﬁgurații geometrice

Obiective operaționale: Pe parcursul și la finalul lecției elevii

Vor defini corect noțiunea de unghi

Vor identifica corect unghiuri în configurații geometrice date

Vor reprezenta corect un unghi utilizând rigla

Condiții prealabile:

Pentru a atinge obiectivele de învățate propuse elevii trebuie să:

Identifice corect semidreapta într-o configurație geometrică dată;

Să deseneze corect o semidreaptă.

Evaluarea se va realiza pe tot parcursul lecției urmărind nivelul de implicare al elevilor în timpul desfășurării lecției, răspunsurile date de elevi, modul de rezolvare al sarcinilor de lucru din etapele de evocare și realizare a sensului, precum și analizarea organizatorului grafic din etapa reflecției.

Resursele și managementul timpului:

Materiale: coală flipchart, markere, manual.

Timp: 50 minute

Metode: discuții frontale, metoda Știu-Vreau să știu-Am învățat, harta conceptului

Activități de învățare:

Evocare

Se discută frontal despre noțiunea de semidreaptă, cuvânt de nivel 2, deoarece de sensul lui depinde înțelegerea conceptului unghi.

În continuare, elevii desenează pe caiet, iar profesorul pe o coală de flipchart tabelul Știu – Vreau să știu – Am învățat, primind indicații cu privire la completarea lui. Într-o primă etapă, elevii, grupați câte doi își vor împărtăși cunoștințele actuale cu privire la noțiunea de unghi și vor înventaria în coloana Știu acele aspecte cu care sunt de acord ambii parteneri. Vor fi încurajați să definească noțiunea pornind de la exemple concrete din sala de clasă, din mediul înconjurător, etc. Fiecare pereche va rosti răspunsurile, iar profesorul notează pe coala de flipchart doar acele răspunsuri cu care sunt de acord toți elevii.

Rămânând în perechi, elevii vor căuta răspuns la întrebarea Ce ați dori să aflați despre noțiunea de unghi? Vor nota curiozitățile lor în a doua coloană a tabelului, apoi fiecare pereche va prezenta răspunsul dat pentru a fi trecut pe coala de flipchart. În cazul în care elevii nu își doresc să afle prea multe lucruri, profesorul va nota câteva întrebări pentru a motiva elevii pentru etapa următoare.

Realizarea sensului

În etapa de realizare a sensului elevii citesc lecția din manual, pagina 148, editura CD PRESS, având sarcina de a confrunta noile informații cu cele din coloana Știu și de a răspunde la toate curiozitățile din coloana Vreau să știu, confruntând ceea ce citesc cu ceea ce știau inițial despre unghi, fiind încurajați să confirme(prin bifă) sau să infirme(prin semnul -) în coloana Știu. Pe rând, se vor citi curiozitățile și întrebările din rubrica Vreau să știu, se va răspunde la ele și se va nota răspunsul în coloana Am învățat de pe coala flipchart. Elevii își revizuiesc, eventual propriile răspunsuri. Se va nota definiția, reprezentarea, elementele și vor identifica unghiuri pe corpul uman, în sala de clasă, în curtea școlii, și pe configurații geometrice simple date(dreptunghi, triunghi).

Reflecția

În această etapă, elevii vor realiza individual harta conceptului unghi.

Extindere

Pentru motivarea studierii suplimentare a acestei noțiuni, profesorul propune elevilor să răspundă acasă la întrebările: Au rămas în a doua rubrică întrebări la care nu am răspuns? Dar curiozități nesatisfăcute? Unde ați putea găsi răspunsuri? Există și alte lucruri pe care ați dori să le aflați despre unghiuri? Ați găsit în lectura textului răspunsuri la întrebări care nu le-am notat în tabel?

Anexa 2 – Proiect didactic

Clasa: a VI-a B

Profesor: Dologa Paulina Maria

Disciplina: Matematică

Unitatea de învățare: Rapoarte, procente, proporții

Titlul lecției: Exemple de rapoarte întâlnite în practică

Tipul lecției: Dobândire de noi cunoștințe

Durata lecției: 50 minute

Motivație:

Lecția are un puternic caracter practic, elevii venind în contact cu noile conținuturi prin lectură proprie, dar și instruiți de către alți colegi. Se încurajează învățarea prin cooperare, fiecare elev având o sarcină de lucru de care este responsabil, dar și utilizarea a cât mai multor și variate mijloace de învățare.

Competențe specifice:

1. Identificarea rapoartelor, proporțiilor și a mărimilor direct sau invers proporționale

2. Analizarea unor situații practice cu ajutorul rapoartelor, proporțiilor și a colecțiilor de date

Obiective operaționale: Pe parcursul și la finalul lecției elevii

Vor defini corect rapoartele practice: viteza, scara unei hărți, procentul, concentrația procentuală

Vor identifica rapoarte în cotidian sau diverse discipline școlare

Vor utiliza rapoartele practice în rezolvarea unor probleme cu character practice sau interdisciplinar

Condiții prealabile:

Pentru a atinge obiectivele de învățate propuse elevii trebuie să:

Identifice corect un raport și elementele acestuia;

Efectueze corect operații cu fracții ordinare.

Evaluarea se va realiza pe tot parcursul lecției urmărind nivelul de implicare al elevilor în timpul desfășurării lecției, sintezele realizate individual și prin cooperare, modul de prezentare al conținutului și ciorchinele realizat de către elevi în etapa reflecției.

Resursele și managementul timpului:

Materiale: fișele expert, manuale, telefoane

Timp: 50 minute

Metode: discuții frontale, mozaicul, ciorchinele

Bibliografie: Curriculum Național, Programe școlare pentru clasel a V-a – a VIII-a, București, 2009

Manual pentru clasa a VI-a, Editura Didactică și pedagigică, 2017

Activități de învățare:

Evocare

Realizarea sensului

Profesorul explică elevilor că vor utiliza metoda mozaicului și etapele desfășurării lecției.

Elevii au fost împărțiți în patru grupe, fiecare elev al fiecărei grupe primind o fișă de învățare care conține câte o subtemă a lecției, astfel: fișa A – scara unei hărți, fișa B – raportul procentual, fișa C – viteza, fișa D – concentrația procentuală. Elevii au primit sarcina de a studia individual, timp de 10 minute, conținutul fișei primite, de a organiza informațiile, de a utiliza manualul sau telefonul pentru a căuta alte informații despre conceptul studiat.

Urmează etapa în care elevii vor coopera cu scopul înțelegerii optime a conținutului lecturat. Elevii sunt încurajați să găsească împreună forma optimă de prezentare a noilor informații colegilor din grupul inițial, dar și metode prin care să se asigure de eficiența prezentării lor. Li se sugerează să utilizeze manualele, dar și motoarele de căutare pe internet.

În ultima etapă elevilor li se cere să se întoarcă în grupul inițial și să înceapă predarea noțiunilor învățate și colegilor de grup. Pe rând, elevii sunt și profesori și învățăcei, fiind responsabili atât de propria formare, dar și de formarea colegilor de grup.

Reflecția

În această etapă, elevii vor realiza în perechi, un ciorchine ce are în centru sintagma rapoarte întâlnite în practică.

Extindere

Pentru motivarea studierii suplimentare a acestei noțiuni, profesorul propune elevilor să completeze acasă ciorchinele cu alte exemple de rapoarte întâlnite în practică și să compună câte o problemă cu fiecare exemplu de raport studiat în clasă. Problemele compuse de elevi vor fi date spre rezolvare colegilor de bancă ora viitoare.

Anexa 3

Exemple de rapoarte întâlnite în practică

Fișe expert

Fișa A – Scara unei hărți

Raportul dintre distanța pe o hartă și distanța din teren, exprimate în aceeași unitate de măsură, se numește scara unei hărți. Reprezintă, de fapt, o expresie a micșorării generale a suprafeței terestre înaintea proiectării sale în plan. Citirea corectă a scării unei hărți facilitează aprecierea distanțelor reale.

scara unei hărți =

De exemplu, pe harta județului Bistrița – Năsăud, din figura alăturată, unui segment de pe hartă cu lungimea de 1 cm îi corespunde în teren o distanță de 4 km. Aceasta înseamnă că scara acestei hărți este

, care se notează 1:400000.

Pe această hartă distanța dintre orașele Bistrița și Beclean este de 8 cm, ceea ce conduce la calculul distanței reale de pe teren, 8 400000 cm = 3200000 cm = 32 km. Distanța reală dintre orașele Bistrița și Năsăud este de 23 km = 2300000 cm, ceea ce înseamnă că pe hartă, distanța dintre cele două orașde este egală cu 2300000 cm : 400000 = 5,75 cm

Fișa B – Raportul procentual

Dacă p este un număr rațional pozitiv, atunci raportul se numește raport procentual sau procent.

Procentele apar frecvent pe vitrinele magazinelor îndemnându-ne să intrăm și să achiziționăm produse la preț redus. De exemplu, dacă un sacou ce costa 600 lei se reduce cu 25%, atunci prețul după reducere se află astfel:

(lei)

Dacă o rochie costă 850 lei, iar managerul magazinului decide să o vândă în perioada de extrasezon cu aproximativ 700 lei, putem afla procentul cu care prețul acesteia trebuie redus astfel:

.

Fișa C – Viteza

În fizică, viteza este raportul dintre distanța parcursă și durata deplasării corpului, . Unitatea de măsură pentru viteză în sistemul internațional este m/s, deși elevii sunt mai familiarizați cu unitatea de măsură km/h.

De exemplu, dacă un elev parcurge distanța de 1 km de acasă până la școală în 15 minute, atunci el s-a deplasat cu viteza,

,

ceea ce înseamnă că timp de o oră va parcurge distanța de 4 km, dacă nu își va modifica mersul. Dacă, să zicem, la întoarcere, elevul se grăbește și aleargă, parcurgând aceeași distanță în 9 minute, atunci viteza, în acest caz, este

,

deci, cu această viteză elevul parcurge 6,6 km într-o oră.

Fișa D – Concentrația procentuală

Concentrația procentuală de masă reprezintă cantitatea de substanță dizolvată, exprimată în grame din 100 g de soluție.

, ,

unde

– concentrația procentuală de masă[%]

md – masa solvatului[g]

ms – masa soluției[g]

– masa solventului[g].

Dacă vrem să calculăm concentrația procentuală de masă a saramurii folosite pentru păstrarea murăturilor, avem mai întâi nevoie de o rețetă de saramură și alegem una pentru castraveți murați:

„Ingrediente

2 kg castraveți mici sau medii

1,5 L apă

30 g sare neiodată (cca. o lingură și jumătate)”, apoi aplicăm formula concentrației pentru

md = 30 g

= 1500 g

= 30g + 1500g = 1530g

și obținem

= .

Anexa 4 – Proiect didactic

Unitatea de învățământ: Școala Gimnazială Tureac

Profesor: Dologa Paulina Maria

Clasa a VI-a B

Aria curriculară: Matematică și științe

Disciplina: Matematică

Subiectul: Mulțimi-definiție, notații

Tipul lecției: Lecție de dobândire de noi cunoștințe

Competențe specifice:

1.2. Identificarea în limbajul cotidian sau în enunțuri matematice a unor noțiuni specifice teoriei mulțimilor

2.2. Evidențierea, prin exemple, a relațiilor de apartenență sau de incluziune

3.2. Selectarea și utilizarea unor modalități adecvate de reprezentare a mulțimilor și a operațiilor cu mulțimi

Obiective operaționale:

Pentru elevii medii:

La sfârșitul orei, elevii vor fi capabili:

să identifice mulțimi de numere în limbajul cotidian și al altor discipline școlare;

să stabilească în mod corect dacă un element aparține unei mulțimi date;

să reprezinte o mulțime prin enumerarea elementelor, cu ajutorul diagramei Venn sau utilizând o proprietate comună a elementelor sale.

Pentru elevii cu dificultăți de învățare

La sfârșitul orei, elevii vor fi capabili:

să identifice mulțimi de numere în limbajul cotidian;

să stabilească în mod corect dacă un element aparține unei mulțimi date;

să reprezinte o mulțime prin enumerarea elementelor sau cu ajutorul diagramei Venn.

Metode și procedee: conversația euristică, explicația, exercițiul, organizatorul grafic.

Mijloace de învățământ: fișe de lucru individuale, tablă, cretă, manual, caietele elevilor.

Forme de organizare: activitate frontală combinată cu activitatea individuală

Resurse: -capacitatea de receptare a elevilor;

-cunoștințele lor anterioare;

-timpul de învățare de 50 de minute.

Forme de evalure: evaluare continuă prin aprecieri verbale, evaluare colegială

Bibliografie: Curriculum Național, Programe școlare pentru clasel a V-a – a VIII-a, București, 2009

Manual pentru clasa a VI-a, Editura Didactică și pedagigică, 2017

DEMERS DIDACTIC

Anexa 5

Mulțimi-definiție, notații

Fișă de lucru

Completați rebusul

Dacă a b, atunci a este un ……………………….. al lui b.

Reprezintă o succesiune de cifre

Punctul care împarte un segment în două segmente congruente.

Numim adunarea repetată și ………….

Reuniunea a două semidrepte cu originea comună.

Dreapta mărginită la un capăt.

Numărul rațional se poate reprezenta sub formă de ………..

După ce ați citit paragraful 5 de la pagina 11, completați următorul organizator grafic

C.

1. Completați spațiile punctate cu unul din simbolurile ,

a) 8 …. {0, 2, 4; b) 2 … {1, 2, 3, 4, 5}; c) 5 … {x nr nat | }.

2. Determinați elementele următoarelor mulțimi și cardinalul acestora:

A = {} B = {} C = {} D = {} E = {} F = {} G = {} H = {} I = {} J = {}

D. Completați jurnalul de învățare împreună cu colegul de bancă

Anexa 6 – Proiect didactic

Clasa: a VI-a B

Profesor: Dologa Paulina Maria

Disciplina: Matematică

Unitatea de învățare: Mulțimi

Titlul lecției: Operații cu mulțimi

Tipul lecției: Dobândire de noi cunoștințe

Durata lecției: 50 minute

Motivație:

În cadrul acestei lecții se pune accentul pe corelarea noțiunilor matematice cu situații din viața cotidiană, pe transferul de competențe. Elevii sunt încurajați să-și clădească învățarea pe baza propriilor cunoștințe și presupuneri, să-și împărtășească părerile și să-și argumenteze deciziile, luând la cunoștință modelele de gândire ale colegilor. Este încurajată dezvoltarea viziunii matematice aplicate, formarea competenței de a învăța să înveți, dezvoltarea metacogniției și a gândirii critice.

Competențe specifice:

– Selectarea și utilizarea unor modalități adecvate de reprezentare a mulțimilor și a operațiilor cu mulțimi

– Exprimarea în limbaj matematic a unor situații concrete ce se pot descrie utilizând mulțimile

Obiective operaționale: Pe parcursul și la finalul lecției elevii vor fi capabili:

să utilizeze corect termenii ”și”, ”sau”, ”nu” în contexte uzuale sau matematice;

să utilizeze simbolurile specifice operațiilor de reuniune, intersecție și diferență a mulțimilor în contexte variate;

să efectueze corect operații cu mulțimi.

Condiții prealabile:

Pentru a atinge obiectivele de învățate propuse elevii trebuie să:

Identifice corect o submulțime a unei mulțimi;

Să identifice mulțimi în limbajul cotidian și al altor discipline școlare.

Evaluarea se va realiza pe tot parcursul lecției urmărind nivelul de implicare al elevilor în timpul desfășurării lecției, răspunsurile și argumentele date de elevi, modul de rezolvare al sarcinilor de lucru din etapele de evocare și realizare a sensului.

Resursele și managementul timpului:

Materiale: fișe de lucru individuale, tablă, cretă, manual, caietele elevilor

Timp: 50 minute

Metode: ciorchinele, ghidul de anticipare, discuția de grup.

Bibliografie:

Curriculum Național, Programe școlare pentru clasel a V-a – a VIII-a, București, 2017

Manual pentru clasa a VI-a, Editura Didactică și pedagigică, 2017

Activități de învățare:

Evocare

Profesorul roagă elevii să inventarieze în cadrul unei discuții de grup tot ceea ce știu despre mulțimi, notând informațiile și structurându-le într-un ciorchine.

Se anunță tema lecției și obiectivele urmărite.

Profesorul împarte elevilor un ghid de anticipare și le cere să citească enunțurile, să stabilească valoarea lor de adevăr, apoi să motiveze alegerea făcută în cadrul unei discuții cu tot grupul clasei.

Realizarea sensului

Profesorul anunță elevii că vor urma să lectureze, gândind cu voce tare, cele trei paragrafe de la paginile 16-17 din manual. Primul paragraf este citit cu voce tare de către profesor. În timpul gândirii cu voce tare se va nota pe tablă definiția operației de întersecție, reprezentarea imaginii mentale a conceptului de intersecție și definiția matematică a acestuia. Elevii sunt atenți la modul în care profesorul citește paragraful și sunt rugați să intervină cu descrieri ale imaginilor mentale și reprezentărilor definiției.

Urmează ca elevii să lectureze textul din manual, gândind cu voce tare după cum a modelat profesorul și notând în caiet definițiile pentru fiecare dintre celelalte două operații.

Doi elevi vor citi și vor gândi cu voce tare, explicând definiția și reprezentarea imaginii mintale pentru fiecare operație.

Reflecția

În această etapă, profesorul roagă elevii să revină asupra ghidului de anticipare și să stabilească acum valoarea de adevăr a afirmațiilor, motivând alegerile făcute

Anexa 7

Relația de divizibilitate: definiție, notații – jurnal de învățare

Divizor. Multiplu – jurnal de învățare

Divizori comuni. Cel mai mare divizor comun a două sau mai multor numere naturale – jurnal de învățare

Multiplii comuni. Cel mai mic multiplu comun – jurnal de învățare

Anexa 8 – Proiect de lecție

Clasa: a V-a A

Profesor: Dologa Paulina Maria

Disciplina: Matematică

Unitatea de învățare: Divizibilitatea numerelor naturale

Titlul lecției: Criteriile de divizibilitate cu 2, 5 și 10n

Tipul lectiei: Dobândire de noi cunoștințe

Durata lecției: 50 minute

Motivație:

Prin strategiile utilizate această lecție promovează spiritul gândirii critice, iar prin intermediul activităților propuse sunt dezvoltate competențe de învățare pe tot parcursul vieții. Elevii sunt sprijiniți în exprimarea punctelor de vedere referitoare la noțiuni de divizibilitate și ghidați în utilizarea noțiunilor însușite pentru a deduce criteriile de divizibilitate cu 2 , 5 și 10n.

Competențele specifice vizate:

1.1.Identificarea numerelor naturale în contexte variate

3.1. Utilizarea regulilor de calcul pentru efectuarea operațiilor cu numere naturale.

Obiective de învățare: Pe parcursul și la finalul lecției elevii vor fi capabili

Să utilizeze împărțirea numerelor naturale pentru a selecta dintr-o listă de numere date numerele care sunt divizibile cu 2, 5 sau 10;

Să deducă criteriile de divizibilitate cu 2, 5 și 10;

Să utilizeze criteriile de divizibilitate pentru a selecta dintr-o listă de numere date numerele care sunt divizibile cu 2, 5 sau 10;

Să utilizeze criteriile de divizibilitate pentru determinarea unor numere naturale care respectă anumite condiții de divizibilitate

Condiții prealabile:

Pentru a atinge obiectivele de învățate propuse elevii trebuie să:

Împartă corect două numere naturale;

Verifice dacă două numere sunt în relație de divizibilitate;

Evaluarea se va realiza pe tot parcursul lecției urmărind nivelul de implicare al elevilor în timpul desfășurării lecției, răspunsurile date de elevi, modul de rezolvare al sarcinilor de lucru din etapele de evocare și realizare a sensului, precum și analizarea jurnalului de învățare din etapa reflecției.

Resursele și managementul timpului:

Materiale: fișe de lucru, manual, fișa jurnal.

Timp: 50 minute

Metode: discuții frontale, învățarea prin descoperire, ciorchinele.

Activități de învățare:

Evocare

Se anunță titlul și obiectivele lecției.

Profesorul inițiază o discuție de grup în care cere elevilor să își amintească modalitatea de a determina dacă două numere se află în relație de divizibilitate, precum și notațiile utilizate.

Pornind de la titlul lecției, elevii vor stabili când un număr este divizibil cu 2, 5 sau 10 și vor identifica dintr-o listă de numere date numerele divizibile cu 2, 5 și 10(primul exercițiu de pe fișa de lucru).

Realizarea sensului

Profesorul va ghida atenția elevilor spre numerele divizibile cu 2 identificate în etapa reflecției pentru a putea enunța criteriul de divizibilitate cu 2. Elevii vor completa ciorchinele început în prima lecție a unității, vor da exemple și contraexemple de numere divizibile cu 2 și vor determina numere pe baza unor condiții de divizibilitate impuse (exercițiile 1, 2 și 7 de pe fișa de lucru).Se va proceda similar pentru deducerea criteriilor de divizibilitate cu 5 și cu 10.

Reflecția

În această etapă elevii vor completa individual în jurnalul de învățare, reflectând asupra metodelor prin care pot verifica dacă un număr este divizibil cu 2, cu 5 și cu 10n și asupra avantajelor utilizării criteriilor de divizibilitate în rezolvarea de probleme.

Notițe în caietele elevilor

Fie numerele: 12, 15, 14, 20, 35, 16, 40, 25, 45, 18, 60.Completați tabelul

Criteriul de divizibilitate cu 2: Un număr este divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 0, 2, 4, 6, sau 8.

Exemple: 302; 5146; 102378.

Contraexemple: 1243; 10001; 51437

Numerele de forma divizibile cu 2 sunt: 210, 212, 214, 216, 218

Criteriul de divizibilitate cu 5: Un număr este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 0 sau 5.

Exemple: 300; 5145; 102370.

Contraexemple: 1243; 10001; 51437

Numerele de forma divizibile cu 5 sunt: 210 și 215

Criteriul de divizibilitate cu 10: Un număr este divizibil cu 10 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 0 .

Exemple: 300; 5140; 102370.

Contraexemple: 1243; 10001; 51437

Numerele de forma divizibile cu 10 sunt: 210.

Un număr natural este divizibil cu 102, 103, …, 10n, dacă ultimele sale cifre sunt, respectiv, 2 zerouri, 3 zerouri, …, n zerouri.

Anexa 9

Criterii de divizibilitate cu 2, 5 și 10n – Fisă de lucru

Fie numerele: 12, 15, 14, 20, 35, 16, 40, 25, 45, 18, 60.Completați tabelul

1. Fie numerele: 154; 318; 200; 312400; 167; 1320; 305; 125000; 31175.

Identificați: a) nr divizibile cu 2; b) nr divizibile cu 5; c) nr divizibile cu 10; d) numerele divizibile cu 100; e) nr divizibile și cu 2 și cu 5; f) nr divizibile și cu 5 și cu 10.

2. Determină numerele de forma divizibile cu : a) 2; b) 5; c) 10.

3. Determină numerele de forma divizibile cu : a) 2; b) 5; c) 10.

4. Determină numerele de forma divizibile cu : a) 5; b) 10.

5. Scrie numerele de forma divizibile cu 2, dar nu și cu 10.

6. Scrie numerele de forma divizibile cu 10, dar nu și cu 100.

7. Stabilește cât mai rapid(fără a face calcule) dacă:

a) toate cele 58124 kg de făină pot fi depozitate în saci de câte 5 kg;

b) 9323 de elevi se pot grupa câte doi fără a rămâne elevi negrupați;

c) se pot oferi 74900 cutii de cadouri unui număr de 200 de elevi, astfel încât fiecare elev să primească același număr de cadouri și să nu rămână niciun cadou neoferit.

Anexa 10

Criterii de divizibilitate cu 2, 5 și 10n – jurnal de învățare

Anexa 11 – Proiect de lecție

Clasa: a VI-a B

Profesor: Dologa Paulina Maria

Disciplina: Matematică(Geometrie)

Unitatea de învățare: Cercul

Titlul lecției: Cercul: definiție, elemente, unghi la centru.

Tipul lectiei: Consolidare a cunoștințelor

Durata lecției: 50 minute

Motivație:

Desfășurarea acestei lecții presupune colaborarea elevilor cu scopul de a consolida noțiunile studiate și capacitatea de a rezolva probleme cu aceste noțiuni. Lecția este valoroasă deoarece oferă justificări ale utilității matematicii ca disciplină de studiu, contribuie la dezvoltarea gândirii critice, a competențelor sociale și de comunicare în limbaj matematic.

Competențele specifice vizate:

Recunoașterea unor figuri geometrice plane(drepte, unghiuri, cercuri, arce de cerc) în configurații date

Utilizarea unor proprietăți referitoare la distanțe, drepte, unghiuri, cerc pentru realizarea unor construcții geometrice

Interpretarea informațiilor conținute în reprezentări geometrice pentru determinarea unor lungimi de segmente, distanțe și a unor măsuri de unghiuri/arce de cerc

Obiective de învățare: Pe parcursul și la finalul lecției elevii vor fi capabili

Să identifice corect elemente în cerc( rază, coardă, diametru, arc de cerc, unghi la centru), utilizând o configurație geometrică dată;

Să construiască corect un cerc utilizând compasul;

Să construiască corect elemente în cerc: rază, coardă, diametru, arc de cerc, unghi la centru;

Să determine corect lungimi de segmente și măsuri de unghiuri/arce în cerc;

Să modeleze o problemă cu caracter practic.

Condiții prealabile:

Pentru a atinge obiectivele de învățate propuse elevii trebuie să cunoască:

Noțiunile de cerc și elemente în cerc: rază, coardă, diametru, arc de cerc, unghi la centru;

Măsura cercului, a semicercului și modul de determinare a măsurii unui arc de cerc;

Perimetrul pătratului și al dreptunghiului.

Evaluarea se va realiza pe tot parcursul lecției urmărind nivelul de implicare și colaborare al elevilor în desfășurarea activităților și conținutul fișelor de flipchart prezentate de elevi la finalul activității în grup.

Resursele și managementul timpului:

Materiale: fișă de lucru, coli flipchart, markere, instrumente geometrice.

Timp: 50 minute

Metode: discuția de grup, învățarea prin cooperare, turul galeriei.

Activități de învățare:

Evocare

Se anunță titlul și obiectivele lecției.

Profesorul inițiază o discuție de grup în care cere elevilor să își amintească ceea ce știu despre cerc și elementele cercului studiate lecțiile anterioare. În timpul discuției de grup, profesorul inventariază ideile elevilor pe tablă.

Realizarea sensului

Profesorul împarte elevii în grupe de câte patru sau cinci elevi. Fiecare grupă primește spre rezolvare una sau două probleme, în funcție de gradul de dificultate și caracteristicile elevilor (anexa 10).

Fiecare elev al unei grupe primește o sarcină de care va fi responsabil în timpul rezolvării problemelor.

Profesorul va insista asupra faptului că elevii unei grupe vor colabora în realizarea fiecărei sarcini prin exprimarea punctului de vedere personal cu privire la modalitățile de abordare, dar responsabilul sarcinii respective va decide asupra soluției.

Fiecare grupă își va alege un reprezentant pentru a prezenta rezolvarea problemei în fața clasei; la finalul prezentării ceilalți elevi au posibilitatea să adauge completări sau să corecteze eventualele greșeli de rezolvare.

Reflecția

Fiecare grupă va realiza un paragraf cu tema cercul, care trebuie să conțină obligatoriu cuvintele: rază, coardă, diametru, arc, semicerc, unghi, măsură. Câte un reprezentant al fiecărei grupe ca citi paragraful. Elevii vor aprecia paragraful în funcție de corectitudinea utilizării cuvintelor date.

Anexa 12

Fișă de lucru – Grupa 1

1. Studiați figura alăturată, notați și identificați:

a) raze în cerc; b) o coardă în cerc; c) diametrul cercului;

d) un arc de cerc; e)un unghi la centru.

2. În cercul din figura alăturată, m(AOB) =80o.

Aflați măsura arcului

Dacă raza acestui cerc are lungimea de 2,8 cm, aflați lungimea

diametrului cercului.

1. Alina G și Alex Pui – pb 1

2. Iulian S și Denisa Georgiana B – pb 2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

Fișă de lucru – Grupa 2

Desenați un cerc de centru O cu diametrul de 12 cm. Evidențiați, pe cerc:

raza cercului, diametrul cercului, o coardă în cerc și un unghi la centru.

Calculați ce unghi formează acele orar și minutar ale unui ceas care indică:

a) ora 4; b) ora 6.

1. Cristi Ț și Patricia– pb 1

2. Roberta Ș. Și Tania R. – pb 2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

Fișă de lucru – Grupa 3

Desenați un cerc care are raza egală cu lungimea laturii unui pătrat cu perimetrul de 20 cm.

Aflați diametrul cercului

Aflați perimetrul unui dreptunghi cu lungimea egală cu diametrul cercului și lățimea egală cu raza cercului.

Studiați figura de mai jos. Dacă măsura unghiului AOB este de 1200 , aflați măsura arcului mic și măsura arcului mic

1. Georgiana U și Ioana Ș – pb 1

2. Izabela C și Tabita Ș – pb 2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

Anexa 13 – Proiect de lecție

Data:

Clasa: a VII-a B

Profesor: Dologa Paulina Maria

Disciplina: Matematică(Geometrie)

Unitatea de învățare: Cercul

Titlul lecției: Unghi înscris în cerc

Tipul lectiei: Dobândire de noi cunoștințe

Durata lecției: 50 minute

Motivație:

Desfășurarea acestei lecții pune accentul pe implicarea elevilor în construirea fundamentelor teoretice pornind de la cunoștințele anterior dobândite. Strategiile utilizate facilitează formarea competenței de a învăța să înveți, a abilității de a realiza comparații sau analogii între noțiuni. În același timp, lecția oferă un context pentru utilizarea mijloacelor TIC în învățare.

Competența specifică vizată:

1.5. Identificarea elementelor cercului și/sau poligoanelor regulate în configurații geometrice date

2.5. Descrierea proprietăților cercului și ale poligoanelor regulate înscrise într-un cerc

3.5. Utilizarea proprietăților cercului în rezolvarea de probleme

Obiective de învățare: Pe parcursul și la finalul lecției elevii vor fi capabili

Să identifice unghiul înscris în cerc în diferite configurații date;

Să utilizeze instrumentele geometrice pentru a desena un cerc și elemente în cerc;

Să deducă modul de determinare a măsurii unghiului înscris în cerc;

Să utilizeze proprietăți referitoare la unghiul la centru și unghiul înscris în cerc în rezolvarea de probleme.

Condiții prealabile:

Pentru a atinge obiectivele de învățate propuse elevii trebuie să cunoască:

Noțiunea de cerc și elemente în cerc: rază, coardă, diametru, arc de cerc, unghi înscris în cerc.

Evaluarea se va realiza pe tot parcursul lecției urmărind nivelul de implicare al elevilor în timpul desfășurării lecției, răspunsurile date de elevi, modul de rezolvare al sarcinilor de lucru, răspunsurile date în timpul aplicării testului kahoot.

Resursele și managementul timpului:

Materiale: fișe de lucru, instrumente geometrice, laptop, videoproiector.

Timp: 50 minute

Metode: discuția de grup, gândiți-lucrați în perechi – comunicați, exercițiul

Activități de învățare:

Evocare

Se anunță titlul și obiectivele lecției.

Profesorul inițiază o discuție de grup în care cere elevilor să spună ce noțiuni au studiat anul trecut în cadrul unității de învățare cercul și să se gândească la ceea ce cred ei că ar putea defini noțiunea de unghi înscris în cerc în comparație cu noțiunea de unghi la centru.

Realizarea sensului

Profesorul definește unghiul înscris în cerc, prezintă cele trei situații posibile și cere elevilor să identifice unghiul înscris în cerc pe câteva configurații geometrice date(exercițiul 1 de pe fișa de lucru).

Pornind de la cele trei situații posibile de construire a unghiului înscris în cerc și utilizând faptul că măsura unghiului la centru este egală cu măsura arcului de cerc corespunzător, profesorul cere elevilor, grupați câte doi să studieze câte una din cele trei situații pentru a deduce măsura unghiului înscris în cerc în funcție de măsura arcului de cerc cuprins între laturi. Fiecare elev din pereche studiază individual figura și formulează un răspuns pe care îl va comunica partenerului. După prezentarea răspunsurilor reciproce, elevii vor elabora un răspuns comun, integrând răspunsurile individuale. După ce fiecare pereche a colaborat în vederea rezolvării sarcinilor, profesorul va cere formularea răspunsurilor fiecărei perechi și apoi a unui răspuns final. Conform indicațiilor date de elevi se va demonstra teorema măsurii unghiului înscris în cerc, după care se vor rezolva frontal două probleme de pe fișa de lucru.

Reflecția

În această etapă elevii vor răspunde la câteva întrebări utilizând aplicația kahoot.it.

Notițe în caietele elevilor:

Definiție. Se numește unghi înscris într-un cerc, acel unghi care are vârful pe cerc, iar laturile sale sunt secante cercului.Sunt posibile următoarele trei situații:

Centrul cercului se află pe o latură a unghiului

Centrul cercului se află în interiorul unghiului

Centrul cercului se află în exteriorul unghiului

Deducem măsura unghiului înscris în cerc în funcție de măsura arcului cuprins între laturile sale.

Pentru aceasta, studiem fiecare din cele trei cazuri enunțate mai sus.

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

Putem exprima m( CAB) în funcție de m( COB) : COB este unghi exterior triunghiului OAC, care este triunghi isoscel, deci m(CAB) =· m(COB).

Cum m( COB) = m() , fiind unghi la centru, obținem imediat că m( CAB) = · m().

În cazul figurii 2 se observă că m( CAD) = m(A1 ) + m(A2 ) , unde unghiurile A1 și A2 sunt de tipul celui din fig. 1 și deci putem aplica rezultatul obținut anterior.

m(CAD) = · m()+ · m()= · m().

În figura 3 observăm că:

m( CAD) = m(BAD) – m( BAC) =· m() – · m()= · m().

Am demonstrat următoarea teoremă

TEOREMĂ: Măsura unui unghi înscris în cerc este egală cu jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale.

Anexa 14

Unghiul înscris în cerc – fișă de lucru

1. Studiați figurile de mai jos și identificați unghiurile înscrise în cerc

2. Studiați figura alăturată și aflați măsura unghiului AOB

și măsura arcului mic CD.

3. Desenați un cerc de centru O și rază r. Alegeți trei puncte

A, B și C pe cercul construit.

Dacă raza cercului are lungimea de 4,8 cm, aflați lungimea diametrului cercului.

Dacă =400, = 1000, aflați măsurile unghiurilor <ABC, <BCA, <CAB.

4. Punctele A, B, C aparțin cercului de centru O și rază r astfel încât O AB.

a) Dacă AB = 11 cm, aflați lungimea razei cercului;

b) Dacă = 540, aflați măsurile unghiurilor ABC și AOC.

5. Desenați un cerc de centru O și rază r. Alegeți trei puncte M, N și P pe cercul construit.

a)Dacă raza cercului are lungimea de 5 cm, aflați lungimea diametrului cercului.

b) Dacă = 500, = 1200, aflați măsurile unghiurilor <MPN, <MNP, <NMP.

Anexa 15

Mulțimea numerelor naturale – Evaluare sumativă

Subiectul I(30 puncte) Pe foaia de test scrieți doar rezultatele

Divizorii lui 12 sunt……..

Primii 5 multiplii ai lui 3 sunt: …….

Primele 5 numere prime sunt: ………

Descompunerea în factori primi a numărului 60 este …….

Numărul a cărui descompunere este egală cu 5ˑ2 ˑ32 este……..

Dacă A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} și B = { | }, atunci A B este egală cu …

Subiectul II(60 puncte) Pe foaia de test scrieți rezolvările complete

(10p) Scrieți toate numerele naturale de forma divizibile cu: a) 2; b) 5.

(10p) Aflați cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun al numerelor 36 și 140.

(10p) A) Aflați cel mai mare număr de vaze în care putem aranja în mod egal toate cele 20 lalele și toți cei 60 de crini.

B) Aflați cel mai mic număr de elevi care se pot grupa în grupe complete de câte 4 sau de câte 6 sau de câte 8.

4. (10p) Demonstrați că numărul A = 3n+1 + 2 3n+2 – 3n este divizibil cu 5, pentru orice număr natural n.

5. (10p) Fie A = și B = . Determinați A B și A\B.

6. (10 p) La olimpiada județeană de matematică a participat un număr de elevi cuprins între 200 și 250. Aranjând în săli câte 10 sau câte 12 sau câte 15 elevi, rămân de fiecare dată câte 3 elevi fără sală. Câți elevi au participat la olimpiadă?

BIBLIOGRAFIE

1. CÂMPAN, Florica, Povestea numărului , Editura Albatros, 1977

2. Clifford, PICKOVER, Banda lui Mobius – Miraculoasa bandă a doctorului August Mobius în matematică, jocuri, literatură, artă, tehnologie și cosmologie, Editura Humanitas, București

2. MASEK, Victor, Artă și matematică, Editura Politică, București, 1972

3. MĂRUȘTERI, Marius, Noțiuni fundamentale de biostatistică,University Press, Târgu-Mureș, 2006

4. MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE, Anexa nr. 2 la ordinul ministrului educației naționale nr. 3393/28.02.2017, Programa școlară pentru disciplina Matematică, București, 2017

5. NSOWAH, Nicholas, Demographic statistics – methods and measures în demography, bookboon.com, 2017

6. OTLĂCAN, Eufrosina, Din istoria unui concept matematic: simetria, Editura Noema, 2012

7. POSTELNICU Viorica, COATU Silvia, Mică enciclopedie matematică, Editura Tehnică, București, 1980

8. STEWART, Ian, Îmblânzirea infinitului. Povestea matematicii, Editura Humanitas, București, 2011

9. STOLERIU, Iulian, Matematici Financiare, Iași, 2015

10. TEMPLE, Charles, STEELE, Jeannie L, Inițiere în metodologia dezvoltării gândirii critice, adaptare: Tatiana CARTALEANU, Elena CARTALEANU, Olga COSOVAN, Nicolae CREȚU, Didactica Pro, Chișinău, 2003

11. TEMPLE, Charles, STEELE, Jeannie L, Aplicarea tehnicilor de dezvoltare a gândirii critice, adaptare: Tatiana CARTALEANU, Olga COSOVAN, Didactica Pro, Chișinău, 2003

10. TRANDAFIR, Rodica, Introducere în teoria probabilităților, Editura Albatros, 1979

11. IGRETIU, Oana, Savori urbane, 25.07.2015, https://savoriurbane.com/castraveti-murati-in-saramura(accesat 11.07.2019)

12. PARVEEN, Nickhat, Fibonacci in Nature, https://vassilko3edu.ucoz.com, 2013.

13. ȘERBAN, Sorina Gabriela, Universitatea Politehnică din Timișoara, Facultatea de inginerie din Hunedoara,2018, http://www.fih.upt.ro/md/content/kEDrwRO9NqI29Uir/Tema_5_Seminar_IMAN_2018-2019.pdf (accesat 07.11. 2019).

14. VORNICU, Liliana, Power Electronics, 2017. http://ep.etc.tuiasi.ro/site/Senzori_si_Traductoare/Cursuri/senzori_9.pdf(accesat 15.08.2019)

15. http://www.alsdgc.ro/

16. www.wikipedia.com

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: pentru acordarea gradului didactic I COORDONATOR ȘTIINȚIFIC, Conf. univ. dr. Teodora CĂTINAȘ CANDIDAT, Prof. DOLOGA Paulina-Maria Școala Gimnazială… [308441] (ID: 308441)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

pentru acordarea gradului didactic I COORDONATOR ȘTIINȚIFIC, Conf. univ. dr. Teodora CĂTINAȘ CANDIDAT, Prof. DOLOGA Paulina-Maria Școala Gimnazială… [308441]

Copyright Notice

ONTHEASYMPTOTICBEHAVIOROFTHERMALTAYLOR DISPERSIONPROCESSESINPERIODICMEDIA ClaudiaTimofte DepartmentofMathematics,FacultyofPhysics,University… [610108]

SISTEM DE DETECȚIE ȘI LOCALIZARE ÎN TEHNOLOGIE UWB CONDUCĂTOR ȘTIINȚIFIC: Cpt. lect.dr.ing. Angela DIGULESCU-POPESCU ABSOLVENT: Student Sg. Maj…. [306116]

ȘCOALA NA ȚIONALĂ DE STUDII POLITICE ȘI ADMINSITRATIVE [616531]

Ingineria Roboticii 1 [306320]

SPECIALIZAREA: GEOGRAFIA TURISMULUI L U C R A R E D E L I C E N Ț Ă STRATEGII DE DEZVOLTARE A TURISMULUI IN MUNICIPIUL ZALĂU Coordonator Științific,… [303095]

UNIVERSITA TEA POLITEHNICA DIN TIMIȘOARA [623356]

Copyright Notice

Similar Posts