Particularitile de Rezolvare Si Compunere a Problemelor In Ciclul Primar

Cuprins

Cuprins

Argument

Motivarea alegerii temei

Obiectivele lucrării

Capitolul I. Delimitări conceptuale

I.1. Noțiunea de problemă

I.2. Noțiunea de problemă matematică

I.3. Rezolvarea problemelor de matematică în ciclul primar

I.4. Etapele rezolvării problemelor

Capitolul II. Metodologia rezolvării problemelor

II.1. Clasificarea problemelor

II.1.1. Problemele simple

II.1.2. Problemele compuse

II.2. Metoda figurativă

II.3. Metoda comparației

II.4. Metoda falsei ipoteze

II.5. Metoda mersului invers sau retrogradă

II.6. Alte tipuri de probleme de aritmetică

II.6.1. Probleme de aritmetică date la olimpiade

II.6.2. Probleme de aritmetică date la concursurile școlare

Capitolul III. Activitatea de compunere a problemelor la ciclul primar

Capitolul IV. Activitate metodică și de cercetare

IV.1. Dezvoltarea creativității la școlarul mic prin matematică distractivă

IV.2. Metodologia cercetării

IV.2.1. Obiectivele cercetării

IV.2.2. Ipoteza cercetării

IV.2.3. Metode

IV.2.4. Lotul de subiecți

IV.2.5. Etapele cercetării

IV.2.6. Instrumente

IV.2.7. Rezultatele cercetării

IV.3. Concluziile cercetării

Concluzii

Bibliografie

Anexe

Argument

Activitatea de rezolvare a problemelor reprezintă cadrul optim pentru formarea capacității creatoare la elevi, matematica având un rol deosebit în dezvoltarea intelectuală a omului, contribuind la autoperfecționarea acestuia.

Matematica, cu radăcini concrete în necesitățile străvechi ale vieții sociale s-a înălțat print-un proces natural legat de actul cunoașterii științifice, prin clasificare de la particular la general, de la concret la abstract atingând încă din antichitate înaltele culmi.

În prezent, matematica își dovedește virtuți praxiologice și axiologice nebănuite, împlinirea ei în realizarea progresului social este mai mare ca în trecut, tehnicile, metodele și modelele matematice migrează în totalitatea sferelor și domeniilor de cercetare a universului. Conceptul contribuie la perfecționarea sistemului, acesta fiind rezultatul firesc al unui îndelungat proces de dezvoltare socială, în care s-au produs transformări și perfecționări ale structurilor social – economice, ale cunoașterii umane , ale puterii de acțiune și de intervenție a omului asupra lumii.

Acesta este rezultatul perfecționării matematicii însăși, al trecerii ei de la stadiul relațiilor cantitative la acela al aspectelor calitative. Prin această evoluție rapidă, matematica a ajuns de la stadiul de știință a formelor spațiale și a raporturilor cantitative ale lumii reale, la o orientare mai vasta, în stadiul ei actual de dezvoltare de știință a structurilor. Matematica, apare astfel ca o furnizoare de modele și limbaje ale realității,formarea noțiunilor matematice realizându-se prin ridicarea treptatǎ cǎtre general și abstract, la niveluri succesive, unde relația dintre concret și logic se modificǎ în direcția esențializǎrii realitǎții.

Învățarea problemelor poate fi facilitată printr-o bună alegere a materialelor și procedeelor deoarece acestea cuprind o varietate de noțiuni, fapte caracteristici , procese, fenomene, legi ce sunt selectate după criteriile logicii didactice.

Prin problemă matematică se înțelege un obstacol cognitiv, o situație a cărei soluționare se poate obține esențial prin proces de gândire și calcul.Problema reprezintă o dificultate sau o situație contradictorie teoretică sau practică care apare atunci când informațiile și mijloacele psihologice (algoritmi, procedee, operații, priceperi, etc.) de care dispune subiectul sunt insuficiente sau inadecvate pentru abordarea elementelor noi, necunoscute și găsirea soluției sau a răspunsului.

Motivarea alegerii temei

În prezent, problema formării omului ca subiect creator capată o importanță considerabilă, primii pași în construirea acestui profil îi revine cadrului didactic care îndrumă activitatea copilului spre o devenire adecvată, raționamentul matematic și dobândirea cunoștințelor matematice fiind importante pentru fiecare membru al societății de la cea mai fragedă vârstă.

Încă din primele clase, se naște la elevi dragostea sau repulsia pentru studiul matematicii implicit a rezolvării de probleme, dar dacă gândirea copilului este stimulată în mod sistematic să facă efort gradat, elevul va pătrunde în miezul noțiunilor matematice. Astfel, cadrul didactic va cultiva interesul și dragostea pentru această disciplină.

Am ales această temă pentru a demonstra cu argumente practice și teoretice necesitatea rezolvării și compunerii problemelor, dar și rolul acestora în dezvoltarea flexibilității, spontaneității și a creșterii interesului pentru problemele reale ale vieții.

Alegerea temei este motivată prin faptul că rezolvarea și compunerea problemelor pune la încercare capacitățile intelectuale ale elevilor la cel mai înalt grad, totodată le solicită acestora inteligenta, motiv pentru care în programa ciclului primar se acordă o mare importanță acestui domeniu.

În ciclul primar, studiul matematicii urmǎrește pregătirea elevilor cu acele cunoșțințe, priceperi și deprinderi necesare rezolvǎrii problemelor practice la nivelul vârstelor care sǎ constituie baza pentru continuarea învǎțǎrii acestei discipline la celelalte clase.

Matematica nu poate fi însușită pe „sărite” de către elevi, aceștia fiind capabili să se descurce în fața problemelor de matematică doar dacă au învățat fiecare noțiune predată și au aplicat-o în rezolvări de exerciții și probleme. Exista cazuri în care elevii n-au învățat sau n-au aplicat o anumită noțiune matematică, așadar, în formarea lor matematică a apărut un gol. Acest gol determină ca alte noțiuni să nu fie înțelese și nici neînsușite.

Elevul, aflat în situația de a rezolva sau a compune singur o problemǎ matematicǎ necunoscutǎ, acesta întâmpinǎ dificultǎți. Rezolvarea și compunerea de probleme presupune cunoașterea de către învățător a comportamentului și a bagajului de cunoștințe a elevilor.Nu este importantă parcurgerea cât mai multor tipuri de probleme sau metode de rezolvare, ci crearea unor situații noi de învățare, la care elevii să răspundă cât mai adecvat, în urma unui demers de explorare și investigare.

Consolidarea cunoștințelor matematice se impune încă din clasele primare, ținând cont de rolul matematicii în dezvoltarea societății și științei cât și de importanța pe care o are și o va avea ea în viață. Succesul în învățarea matematicii se dobândește prin rezolvarea și compunerea problemelor, elevii fiind antrenați la efort personal, condiție pentru cei ce învață matematica.

Matematica a pătruns treptat, în sfera conceptului de cultură generală și de cultură de specialitate, lasând puține sectoare lipsite de prezența ei, semnificația și importanța teoretică și practică a matematicii a crescut cu timpul, făcând din ea principalul obiect de instruire, materia cu necontestate valențe formative.

Fiind puternic ancorată în realitățile contemporane și cu implicații în toate domeniile, matematica zilelor noastre devine tot mai mult modelul spre care privesc cu încredere și interes celelalte științe. Aceasta fiind motivul pentru care predarea matematicii în școală a devenit obiectul unor cercetări științifice de mare anvergură.

Modul în care este organizată și desfășurată activitatea de rezolvare și compunere a problemelor, de găsirea și folosirea celor mai adecvate metode și mijloace de învățământ, depinde în mare măsură dezvoltarea gândirii elevilor, de aceea, procesul de predare-învǎțare a matematicii în ciclul primar implicǎ mai întâi efectuarea unor acțiuni concrete, operații cu obiectele, structurându-se și interiorizându-se devenind operații logice abstracte.

În prezent, se poate afirma că nu se poate trăi fără matematică, necesitatea culturii matematice, devenind tot mai acută, făcând parte integrantă din cultura generală. Învățământul matematic modern, contribuie cu precădere la dezvoltarea gândirii creatoare, la formarea și dezvoltarea capacităților de analiză și sinteză.

Acțiunea de adaptare a învățământului în toate componentele și sub toate aspectele sale esențiale, la cerințele actuale ale societății de a fi în pas cu programul actual de a răspunde adecvat la comanda socială reprezintă modernizarea învățământului. Ideea modernizării exprimă ideea perfecționării învățământului în vederea sporirii eficienței sale formative, cât și acordarea unei atenții deosebite modernizării predării matematicii în școală prin schimbarea conținutului, sporirea rolului ei formativ și îmbunătățirea metodologiei predării. Acestă schimbare este motivată și de faptul ca explozia tehnico – științifică din această epocă dovedește necesitatea posedării unor cunoștințe la un nivel corespunzător vieții.

Activitatea de rezolvare și compunere de probleme are cele mai bogate valențe formative, în cadrul ei valorificându-se atât cunoștințele matematice de care dispune elevul, cât și dezvoltarea intelectuală a acestuia,fiind cunoscut faptul că rezolvarea și compunerea problemelor necesită un efort mai mare al gândirii decât rezolvarea unui exercițiu .Procesul rezolvării și compunerii de probleme trebuie să respecte particularitățile de vârstă și pe cele individuale ale elevilor.

O mare parte din probleme rezolvate și compuse de elevi trebuie să fie inspirate din problemele pe care le implică viața, pentru a realiza legătura cu practica, necesitatea lor în viața de toate zilele. Problemele dificile nu trebuie descompuse în probleme simple și rezolvate operație cu operație, aceștia trebuie să cuprindă problema în ansamblu, s-o rezolve în mod sintetic, reducând-o la nivel concret într-o formulă numerică, iar nivelul relațiilor într-o formulă literală. O etapă importantă în rezolvarea unei probleme o reprezintă fixarea schemei, a formulei de rezolvare.

În procesul de învățare a matematicii, accentul trebuie să cadă pe elaborarea tehnicilor intelectuale de învățare, care să fie aplicate de către copii, șansele care favorizează reținerea noilor cunoștințe fiind mărite. Cele mai bune rezultate în însușirea cunoștințelor se obțin intr-un cadru problematic, într-o atmosferă menită să achiziționeze gândirea și curiozitatea în studiu. În activitatea școlară este necesar să dezvoltam copiilor interesul pentru ceea ce învață, căutând să le formăm un sistem adecvat de aptitudini și valori privind activitatea intelectuală in general.

Învățământul matematic modern nu se reduce la latura informativă , ci realizează valențe formative prețioase care sunt dezvoltarea raționamentului, spiritul de gândire logică și creatoare, definirea clară și precisă a noțiunilor de adaptare creatoare la cerințele actuale, de a compune probleme simple și apoi compuse cu un grad de dificultate din ce în ce mai mare.

A-i pune elevului probleme de gândire, dar mai ales a-1 pregăti pentru a-și pune singur întrebări problema este mult mai importantă decât a-1 conduce spre rezolvarea lor prin modalități stereotipe.

Rezolvarea sistematică a problemelor de orice tip conduce la formarea unor seturi de priceperi, deprinderi și atitudini pozitive care dau elevilor posibilitatea de a rezolva în mod independent probleme, de a compune ei înșiși probleme.

Rezolvarea și compunerea problemelor stimulează inițiativa și contribuie la formarea unei atitudini conștiente față de muncă, la dezvoltarea voinței, a perseverenței, a spiritului de răspundere față de îndeplinirea sarcinilor și la dezvoltarea încrederii în forțele proprii.

Obiectivele lucrării

Rezolvarea și compunerea problemelor contribuie la dezvoltarea intelectuală a copiilor, la dezvoltarea gândirii, atenției și imaginației lor, punând la încercare la cel mai înalt grad capacitățile intelectuale ale elevilor, solicitându-le acestora inteligența, motiv pentru care se acordă o mare importanță acestui capitol, în programa ciclului primar.

Obiectivele lucrării vizează:

O1 – construirea unui cadru optim prin rezolvarea și compunerea de probleme în dezvoltarea capacităților creatoare la școlarului mic;

O2a-1 pregăti pentru a-și pune singur întrebări problema este mult mai importantă decât a-1 conduce spre rezolvarea lor prin modalități stereotipe.

Rezolvarea sistematică a problemelor de orice tip conduce la formarea unor seturi de priceperi, deprinderi și atitudini pozitive care dau elevilor posibilitatea de a rezolva în mod independent probleme, de a compune ei înșiși probleme.

Rezolvarea și compunerea problemelor stimulează inițiativa și contribuie la formarea unei atitudini conștiente față de muncă, la dezvoltarea voinței, a perseverenței, a spiritului de răspundere față de îndeplinirea sarcinilor și la dezvoltarea încrederii în forțele proprii.

Obiectivele lucrării

Rezolvarea și compunerea problemelor contribuie la dezvoltarea intelectuală a copiilor, la dezvoltarea gândirii, atenției și imaginației lor, punând la încercare la cel mai înalt grad capacitățile intelectuale ale elevilor, solicitându-le acestora inteligența, motiv pentru care se acordă o mare importanță acestui capitol, în programa ciclului primar.

Obiectivele lucrării vizează:

O1 – construirea unui cadru optim prin rezolvarea și compunerea de probleme în dezvoltarea capacităților creatoare la școlarului mic;

O2 – formarea la elevi a unor tehnici de rezolvare a problemelor de matematică;

O3 – dezvoltarea capacității de aplicare în practică a cunoștințelor și evidențierea posibilităților de dezvoltare a creativității matematice prin diverse tipuri de probleme;

O4 – dezvoltarea gândirii matematice printr-o serie de activități intelectuale, de operații mintale cum sunt: comparația, analiza și sinteza, abstractizarea și generalizare, concretizarea.

Activitatea de rezolvare și compunere a problemelor contribuie la dezvoltarea personalității elevului atât prin problematica diversă și complexă, cât și prin solicitările la care este supus elevul.

Delimitări conceptuale

I.1. Noțiunea de problemă

Cuvântul“problemă” provine din limba și a intrat în vocabularul românesc prin limba franceză problème, problema în italiană, problem în engleză, germană, suedeză, probleem în olandeză.

Termenul de problemă nu este suficient delimitat și precizat, acesta având un conținut larg și cuprinzând o gamă largă de preocupări și acțiuni din domenii diferite. Etimologic, în limba germană, înseamnă “înaintea unei bariere”, ceea ce poate fi interpretat ca o dificultate teoretică sau practică, a cărei rezolvare nu se poate face prin aplicarea direct a unor cunoștiințe și metode cunoscute fiind însă nevoie de investigare, tatonare și căutare.

În Dicționarul Explicativ al Limbii Române, (DEX), cuvântului problemă îi corespund următoarele definiții:”chestiune care intră în sfera preocupărilor, a cercetărilor cuiva, temă, materie”;”chestiune importantă care constituie o sarcină, o preocupare și se cere o soluție”; ”lucru greu de înțeles, greu de rezolvat sau de explicat, mister, enigmă”.

Problema de matematică este explicată astfel: o chestiune în care, fiind date anumite ipoteze și fiind cerută rezolvarea prin calcule sau prin raționamente, asupra unor date. Problema de matematică înseamnă: ”transpunerea unei situații practice în relații cantitative și în care, pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele și față de una sau mai multe valori necunoscute, rezolvarea constă în determinarea valorilor necunoscute.”

Noțiunea de problemă, se referă în sens larg, la orice dificultate de natură practică, din lumea teoretică sau reală, din cadrul oricărei științe. Această dificultate necesită o soluționare în vederea depășirii unui obstacol de progres, de evoluție, de dezvoltare, etc.

Procesul gândirii începe cu o întrebare, cu punerea unei anumite probleme, ceea ce înseamnă apariția sau aducerea pe planul conștiinței a unui complex de situații. Acest lucru implică găsirea sau descoperirea unei noi relații, a unui nou aspect, a unei noi semnificații a fenomenului respectiv. În acest fel, se pun probleme teoretice cu aplicații în practică sau probleme direct practice.

Efortul de gândire al elevului de a înlătura ceea ce îi apare ca o barieră, ca un obstacol, pentru că unde nu există o dificultate și unde nimic nu trebuie căutat și rezolvat, acolo lipsește finalitatea gândirii, acest lucru fiind vizat de către toate definițiile.

I.2. Noțiunea de problemă matematică

Noțiunea de problemă de matematică apare în cadrul didacticii matematicii, o definiție acceptată pentru aceasta nu există încă.

„Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice sau a unui complex de situații practice în relații cantitative și în care, pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele și față de una sau mai multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acestor valori necunoscute. ”

Elevul poate ajunge să răspundă la întrebarea problemei prin elaborarea unui șir de raționamente pe baza datelor cunoscute. Aceast proces necesită un efort al gândirii și o atitudine creatoare a elevului, care vor fi cu atât mai susținute cu cât data necunoscută se găsește în relații mai îndepărtate, mai profunde, cu datele cunoscute ale problemei. Fie că descoperă ceva nou pentru el, o relație ascunsă îndepărtată, fie că pur și simplu îmbină o serie de cunoștințe care duc la un rezultat, în rezolvarea problemelor gândirea elevului trebuie să fie pusă în fața unui efort. Acesta măsoară gradul de participare conștientă a elevului la rezolvarea problemelor cât și gradul de profunzime în însușirea acestora.

În rezolvarea unei probleme„nașterea ideii”, înseamnă apariția ideii conducătoare. Aceasta reprezintă un moment de finalizare al fazei de tensiune a căutării și duce la destinderea dată de satisfacția descoperirii.

Pentru formarea noțiunii de problemă se parcurg câteva etape:

Rezolvarea problemelor simple, cu date din mediul înconjurător, numai oral.

Rezolvarea problemelor după date desenate.

Completarea de către elevi a datelor care lipsesc dintr-o problemă astfel ca să se poată rezolva, apoi rezolvarea ei.

Completarea de către elevi a întrebării la problemă, apoi rezolvarea ei.

Compunerea de probleme de către elevi după date, întrebări sau alte elemente de orientare.

La elevi, procesul de formare a noțiunii de problemă este dublat de procesul de dezvoltare a gândirii creatoare. Prin problemă matematică, se înțelege o problemă ce poate fi reprezentată, analizată, apoi rezolvată cu metode matematice.

Prin problemă matematică, , în matematică, se poate înțelege o problemă teoretică, enunțată sub formă de teoremă, propoziție, lemă, dintr-un anumit domeniu al matematicii(geometrie, algebră, probabilități, analiză matematică) . Problema se poate rezolva analitic, aproximativ, fie numeric în spații abstracte matematice.

Odată parcurs drumul rezolvării unei probleme, elevii parcurg și drumul schematizării ei, al desprinderii esențialului. Orice problemă presupune o activitate de stabilire a regulilor de recunoaștere și de lucru.

Cu ajutorul experienței pe care au dobândit-o elevii încă din etapa preșcolară chiar și din cadrul primelor lecții de matematică, ei reușesc, în general să “traducă” acțiunile enunțul unei probleme în operații matematice. Elevii fiind familiarizați cu termenii următorii termeni:”problemă”, ”întrebarea problemei”, ”rezolvarea problemei”, ”rezultatul problemei”.

Rezolvarea unei probleme nu reprezintă numai găsirea unui răspuns sau a unei soluții ci și utillitatea ei , înțelegerea faptului că în viața cotidiană sunt situații când trebuie să găsim răspunsuri la diferite întrebări.

Pentru formularea noțiunii de problemă, se parcurg următoarele etape:

Rezolvarea problemelor simple cu date din mediul încojurător.

Rezolvarea problemelor după desene date.

Completarea de către elevi a unor date care lipsesc din problemă, urmând rezolvarea acesteia.

Compunerea problemelor de către elevi.

Majoritatea elevilor învață matematica din diferite necesități, mai ales pentru a face față diferitelor examene. Însă, cei care învață din pasiune sunt extrem de puțini, iar rezolvarea problemelor duce la dezvoltarea gândirii și a capacității de utilizare a ei în situații problematice, dar care nu se pot realiza fără vionță, perseverență, fermitate, tenacitate și pasiune. Prin metodele și procedeele pe care le utilizează profesorul în rezolvarea de probleme, prin tactul pedagogic de care dă dovadă pentru cultivarea încrederii în forțele proprii, se realizează dezvoltarea gândirii și a capacității de utilizare a acesteia.

Pe măsură ce elevul își însușește modalitățile de rezolvare a problemelor, pe măsură ce crește experiența lui, pas cu pas, enunțuri ce constituiau pentru el probleme devin simple exerciții. Matematic, distincția dintre exercițiu și problemă nu trebuie făcută în funcție de forma exterioară a acestora ci după natura dezvoltării. În concluzie, prin problemă se poate înțelege orice situație, obstacol sau dificultate întâmpinate de gândire în activitatea teoretică sau practică.

I.3. Rezolvarea problemelor de matematică în ciclul primar

Predarea și rezolvarea problemelor în ciclul primar atât prin caracterul ei specific, cât și prin funcția exercitată asupra gândirii elevilor în scopul dezvoltării unei gândiri logice, constituie o sarcină dificilă de însușire a matematicii.

Efortul pe care îl depune un elev în rezolvarea conștientă a unei probleme presupune o mare mobilizare a proceselor pshice, cea mai antrenantă fiind gândirea, prin operațiile de analiză, sinteză, comparație, abstractizare și generalizare. Rezolvând probleme, la elevi se formează priceperi și deprinderi de a analiza, de a intuit și de a descoperi modul prin care se obține ceea ce se cere în problemă.

Cadrul didactic care dorește să imprime elevilor săi o atitudine corectă în abordarea problemelor trebuie să aibă el însuși o astfel de atitudine. Rezolvarea de probleme constituie una din laturile fundamentale ale studierii matematicii, prin rezolvarea lor elevul pătrunde mai profund în înțelegerea acestora căpătând o deprindere de muncă intelectuală folositoare în viață. Problemele, fiind strâns legate de realitate, reflectând în conținutul lor realitate, fac calculul abstract să prindă viață.

Elevii învață să aplice matematica în viață, odată cu rezolvarea de probleme, aceștia capătă deprinderea de a rezolva probleme practice întâlnite în viața de zi cu zi.

Rezolvarea problemei din lumea reală care a impus formularea problemei matematice corespunzătoare ei, urmărește pașii :

Formularea problemei matematice/abstractizarea problemei, plecând prin modelarea matematică.

Rezolvarea problemei matematice prin metode matematice sau numerice și gasirea soluției matematice.

Validarea modelului matematic constă în transpunerea soluției matematice în contextul lumii reale în care a fost formulată problema.

Rezolvarea problemelor contribuie atât la activizarea intelectuală a elevilor, la formarea personalității lor, cât și la manifestarea unei atitudini pozitive față de muncă, crescând mobilitatea gândirii creatoare, și în acelaș timp dezvoltănd calitățile, ca de exemplu:rapiditate, operativitate, mobilitate, fluență, flexibilitate.

În procesul de rezolvare a problemelor este implicate o activitate de descompunere și analiză. Problema, spre deosebire de exercițiu presupune un efort de rezolvare, exercițiul nu conține un text, ci numai o formula de numerică.

Rezolvarea unei probleme este un proces de presupunere, deducere și formulare a unor ipoteze dar și de verificare a lor. Însă, formularea acestor ipoteze nu este rezultatul unei simple inspirații, aceasta presupune atât prezența unor cunoștințe pe care elevii le utilizează în rezolvarea problemelor, dar și o gamă variată de deprinderi și abilități intelectuale necesare realizării acestui proces.

Ipotezele nu apar la întâmplare luând naștere pe baza cunoștințelor asimilate anterior. Dacă aceste cunoștințe sunt mai largi și mai profunde, cu atunci cu atât sunt mai mari șansele ca ipotezele născute conducă mai repede la o soluție, alegerea fiind mai bună cu cât fondul din care sunt alese ipotezele este mai bogat. În orice domeniu, rezolvarea problemelor complexe este condiționată de o solidă pregătire de specialitate.

Procesul de rezolvare a problemelor are la bază o serie de tehnici, procedee, moduri de acțiune, deprinderi și abilități de muncă intelectuală și independent, încât sunt necesare unele deprinderi și abilități cu caracter mai general(orientarea activității mintale asupra datelor problemei, punerea în legătură logică a datelor, capacitatea de a izola ceea ce este cunoscut de ceea ce este necunoscut, extragerea acelor cunoștințe care ar servi la rezolvarea problemei precum și acele deprinderi specifice referitoare la detaliile acțiunii) .

Înțelegerea structurii problemei și a logicii rezolvării ei are importanță considerabilă în rezolvarea problemelor. Cu ajutorul mărimilor care se cunosc, se găsește valoarea mărimilor necunoscute, în cazul unei probleme simple la mărimea necunoscută se ajunge printr-o singură operație, în timp ce în cazul unei probleme compuse sunt necesare mai multe operații.

Rezolvarea unei probleme în mod corect este posibilă în urma unei analize profunde a datelor, analiză care permite școlarului o serie de reformulări ale problemei, apropiindu-l cu fiecare etapă de soluție.

În rezolvarea unei probleme are loc un proces de reorganizare succesivă a datelor încât apar noi formulări ale problemei îl vor apropia pe copil de soluție. De aceea, trebuie adoptată o strategie și o tactică care să permită copilului să elimine direcțiile eronate și să-l orientăm spre direcția care-l apropie de soluție printr-un număr mic de încercări.

George Polya, matematician, fizician și filosof a adus contribuții fundamentale în matematică, în ultima parte a vieții s-a dedicat rezolvării problemei din perspectiva educației matematice în școală, punând în evidență importanța etapelor de rezolvare pe baza buclei de modelare matematică. Polya a dat o rezolvare a problemei din didactica matematicii, predarea-învățarea metodelor de matematică de rezolvare a problemelor de matematică având ca punct de plecare bucla modelării matematice.

În activitatea de rezolvare a problemelor introducerea elevilor se realizează progresiv, antrenându-i pe aceștia în depunerea unor eforturi mărite pe măsură ce înaintează în studiu, pe măsură ce experiența lor rezolutivă se îmbogățește. Odată ce aceștia învață primele operații aritmetice (de adunare și scădere) se începe rezolvarea, pe cale orală și pe baza intuiției a primelor probleme simple, astfel ajung să rezolve aceste probleme și în formă scrisă.

Trecerea de la rezolvarea problemelor simple la rezolvarea problemelor compuse constituie un salt. Prin varietatea și complexitatea problemelor rezolvate de școlari efortul mintal este sporit cât și eficiența formativă a activității de rezolvare a problemelor. În rezolvarea problemelor se pot delimita însă două situații, care solicită în mod diferit mecanismele intelectuale ale elevilor:

a) Dacă elevul are de rezolvat o problemă asemănătoare cu cele rezolvate anterior sau o problemă-tip care se rezolvă prin aceeași metodă. În cazul acesta elevul este solicitat să recunoască tipul de problemă căruia îi aparține problema respectivă, având același mod de organizare a judecăților, același raționament.

În mintea elevilor se fixează principiul de rezolvare a problemei, schema mintală de rezolvare prin rezolvarea unor probleme care se încadrează în aceeași categorie. Această schemă se fixează ca un algoritm de calcul în cazul problemelor tipice.

b) Dacă elevul întâlnește probleme noi, necunoscute, unde nu mai poate aplica o schemă mintală cunoscută, gândirea sa este solicitată în găsirea căii de rezolvare; experiența și cunoștințele de rezolvare. Acesta trebuie ca, pe baza datelor și a condiției problemei, să descopere drumul spre aflarea necunoscutei.

În acest fel, elevul realizează un act de creație, care constă în restructurarea datelor propriei sale experiențe și care este favorizat de nivelul flexibilității gândirii sale. Lucrul cel mai important în rezolvarea unei probleme, este construirea șirului de judecăți orientate către descoperirea necunoscutei.

I.4. Etapele rezolvării problemelor

Important în rezolvarea problemelor este înțelegerea structurii problemei cât și a logicii ei de rezolvare. În sfera gândirii sale elevul trebuie să cuprindă întregul filtru al desfășurării raționamentului și să-l rețină drept element esențial, generalizându-l la întreaga categorie de probleme. Elevii trebuie să aibă formate capacitățile de a analiza și a înțelege datele problemei, de a sesiza condiția problemei și de a orienta logic șirul de judecăți către întrebarea problemei pentru a ajunge la generalizarea raționamentului comun unei categorii de probleme.

În rezolvarea problemei este implicată o activitate de descoperire, excluzând preexistența, la nivelul rezolvitorului, a unui algoritm de rezolvare care ar transforma-o într-un exercițiu.

Distincția dintre o problemă și un exercițiu se face, în general ținând cont de prezența sau absența textului prin care se oferă date cât și corelații între acestea și se cere, pe baza acestora, găsirea unei necunoscute. Această distincție nu trebuie făcută după forma exterioară a solicitării ci după natura rezolvării.

Elementele principale ale problemei sunt: datele problemei, relațiile dintre acestea și întrebarea problemei. Când rezolvăm o problemă trebuie să înțelegem bine conținutul ei astfel putem delimita clar datele cunoscute și condiția ei. Acestea fiind, sunt premisele necesare în orientarea gândirii pentru a putea ajunge la răspunsul cerut.

Pentru a rezolva o problemă trebuie să aibă loc un proces de reorganizare succesivă a datelor incât apar noi formulări ale problemei care îl apropie pe copil de soluție. Pentru aceasta trebuie adoptată o strategie și o tactică ce permite copilului printr-un număr mic de încercări să elimine direcțiile eronate și să-l orientăm spre direcția care-l apropie de soluție.

În rezolvarea unei probleme se desfășoară un proces de reorganizare succesivă a datelor. Așadar, apar noi formulări ale problemei care îl apropie pe copil de soluție. Trebuie adoptată o strategie și o tactică care să permită copilului ca printr-un număr mic de încercări să elimine direcțiile eronate și să-l orientăm spre direcția care-l apropie de soluție.

La început, activitatea de rezolvare și compunere a problemelor se face doar pe cale intuitivă. Din această cauză, primele probleme sunt necesar legate de introducerea lor sub formă de joc și nu au caracter de problemă, rezolvarea lor se realizează la un nivel concret, ca acțiune de viață, acastă activitate se află aproape de aceea de calcul.

Transpunerea problemelor într-un limbaj matematic și transcrierea acțiunilor concrete în relații matematice, reprezintă prima dificultate întămpinată în rezolvarea acestora de către elevi. De exemplu, în formularea unui enunț al problemei nu se spune”5 stilouri plus 3 stilouri”ci se spune că”erau 5 stilouri și am mai primit 3 stilouri”.

Rezolvarea problemelor solicită un efort al gândirii și o atitudine creatoare, care vor fi susținute cu cât răspunsul problemei se găsește în relații mai îndepărtate, mai ascunse față de datele cunoscute ale problemei.

“În orice problemă de matematică sunt evidențiate următoarele trei elemente:

datele:ceea ce este cunoscut și este dat sub formă de valori numerice și relații:

cerințele, care indică ce anume trebuie determinat utilizând datele problemei;

condițiile, care arată în ce fel cerințele sunt legate de date. ”

Schematic, etapele procesului rezolutiv pot fi sintetizate în “paradigma problemelor”:

Pentru rezolvarea corectă a problemelor de aritmetică, ținând cont de particularitățile de vârstă ale elevilor trebuie să parcurgem următorii pași:

1. Cunoașterea enunțului problemei.

Aceasta este etapa de început în rezolvarea problemelor. Cunoașterea enunțului problemei se realizează prin citire sau enunțare de către învățător sau de către elevi. Se va avea în vedere citirea expresivă a textului, cît și evidențierea anumitor date și legături dintre ele, precum și întrebarea problemei. Se vor scrie pe tablă și pe caiete datele problemei, după care se va repeta problema până la însușirea ei de către toți elevii din clasă.

2. Înțelegerea enunțului problemei.

Raționamentul rezolvării problemei va fi construit în măsura în care elevul cunoaște termenii în care se pune problema, acesta fiind capabil să formuleze ipoteze și să construiască. Cadrul didactic îi ghidează pe elevi în delimitarea datelor unei probleme, a relațiilor dintre ele cât și în depistarea întrebării problemei. Învățătorul, prin discuții cu elevii, va urmări să-i determine să desprindă clar cele mai importante elemente ale unei probleme, să deosebească ipoteza de concluzie, prin citirea și recitirea textului problemei, prin ilustrarea lui cu imagini sugestive și dacă este cazul chiar prin acțiuni concrete.

3. Analiza problemei, realizarea planului de rezolvare și efectuarea operațiilor.

Această este etapă cea mai importantă în rezolvarea problemei, se elimină elementele nesemnificative din punct de vedere al cerinței matematice și se trece la elaborarea planului logic de rezolvare. Este faza în care raționamentul se „construiește”, adică drumul de legătură între datele problemei și necunoscuta problemei. Atunci când elevii au transpus problema în relații matematice, soluția problemei este ca și descoperită.

Planul de rezolvare este un mijloc prin care elevii sunt ajutați să înțeleagă cum se realizează eanaliza problemei și cum se formulează concluziile acesteia. Pentru alcătuirea planului se folosesc mărimi sau cantități fără numere și fără calculi fiindcă acum se stabilesc doar raporturile cantitative dintre mărimi sau relații de calcul.

4. Organizarea și redactarea întregii rezolvări a problemei.

Această etapă constă în stabilirea operației corespunzătoare fiecărui punct din planul de rezolvare și efectuarea calculelor, urmând obținerea rezultatului final.

5. Verificarea rezultatului și interpretarea acestuia, scrierea rezolvării sub formă de exercițiu, dacă este cazul, găsirea mai multor metode de rezolvare, compunerea de probleme după o schemă asemănătoare.

Important în această etapă este formarea abilităților, a priceperilor și a deprinderilor de a rezolva probleme. Este etapa în care se realizează verificarea soluției problemei, cât și găsirea altor metode de rezolvare și de alegere justificată a celei mai bune. În această etapă se realizează și autocontrolul asupra felului în care s-a însușit enunțul problemei, asupra raționamentului realizat și a demersului de rezolvare parcurs.

Este posibil ca în șirul de raționamente, în stabilirea algoritmului de rezolvare, cât și în efectuarea operațiilor indicate să se strecoare erori care să conducă la o altă soluție decât cea bună chiar dacă rezolvarea unei probleme se face frontal sau prin activitate independent.

Este recomandat fixarea algoritmului de rezolvarea problemei după rezolvarea ei, pentru a se scoate în evidență categoria din care face parte.

Capitolul II. Metodologia rezolvării problemelor

II.1. Clasificarea problemelor

În psihopedagogie, s-au făcut de-a lungul vremii încercări pentru clasificarea și încadrarea problemelor într-o anumită tipologie. W. Reitman clasifică problemele, având drept criteriu educarea creativității astfel:

reproductiv-recreative(cuprind probleme de aplicare a algoritmilor de lucru, de consolidare și înțelegere a operațiilor matematice);

demonstrativ-aplicative(probleme de mișcare, de amestec, de aliaj);

euristic-creative(probleme care presupun specificarea cerinței și condițiilor);

inventiv-creatie(probleme compuse de elevi după o schemă dată);

probleme de optimizare(probleme care solicită procesul de transfer al cunoștințelor).

În ciclul primar, clasificarea problemelor de matematică este următoarea:

după numărul operațiilor :

– probleme simple;

– probleme compuse.

după conținut:

– probleme de aritmetică;

– probleme de geometrie.

după finalitate și sfera de aplicabilitate:

– probleme teoretice;

– probleme practice.

după gradul de generalitate al metodei folosite;

– probleme generale;

– probleme tipice.

după rolul lor:

– probleme cu rol informativ;

– probleme tipice.

după tipul de raționament implicat:

– probleme care solicit un tip de raționament de tip convergent;

– probleme netipice care solicit un raționament de tip divergent.

probleme nonstandard, cu valențe formative :

– probleme rebustice;

– probleme recreative;

– probleme de perspicacitate;

– probleme de ingeniozitate.

II.1.1. Problemele simple

Problemele simple sunt problemele care se rezolvă prin efectuarea unei singure operații. Acest tip de probleme este introdus încă din clasa I, moment în care stabilirea operației corespunzătoare este un proces de gândire dificil. Primele probleme, de acest tip sunt acelea pe care copilul și le pune în fiecare zi la școală, acasă. la joacă sau oriunde acesta își desfășoară activitatea.

Încă din perioada pregătitoare primelor operații se face introducerea în rezolvarea problemelor simple, cadrul didactic se folosește de probleme tip “acțiune”care vor fi illustrate dupa ce a s-au pus “în scenă”. ”Ca și în elaborarea altor noțiuni matematice, învățătorul va avea în vedere etapele:intuitivă, experimental-instructivă, formal-conceptuală. ”

În ciuda faptului că rezolvările de probleme simple par ușoare, cadrul didactic trebuie să aducă în atenția copiilor toate genurile de probleme care se rezolvă printr-o singură operație aritmetică.

Clasificarea acestor probleme simple este următoarea:

Probleme simple bazate pe adunare:

-de aflare a sumei a doi termeni;

-de aflare a unui număr mai mare cu un număr de unități decât un număr dat;

-probleme de genul “cu atât mai mult”.

Probleme simple bazate pe scădere:

-de aflare a restului;

-de aflare a unui număr care să aibă un număr de unități mai puține decât un număr dat;

-de aflare a unui termen atunci când se cunosc suma și un termen al sumei;

-probleme de genul “cu atât mai puțin”.

Probleme simple bazate pe înmulțire:

-de repetare de un număr de ori a unui număr dat;

-de aflare a produsului;

-de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât un număr dat.

Probleme simple bazate pe împărțire:

-împărțirea unui număr dat în părți egale;

-împărțirea prin cuprindere a unui număr care să fie de un număr de ori mai mic decât un număr dat;

-de aflare a unei părți dintr-un întreg;

-de aflare a raportului dintre două numere.

În cazul problemelor bazate pe adunare și scădere, copiii sunt puși în situația de a aplica deprinderile și cunoștințele dobândite în învățarea operațiilor pentru rezolvarea problemelor simple.

Exemple de probleme simple:

1. Alina a cumpărat azi de le piață 5 kg de mere și 8 kg de gutui. Câte kg de fructe a cumpărat Alina azi?

2. La o florărie s-au adus 123 de trandafiri. S-au vândut 105 trandafiri. Câți trandafiri au rămas nevânduți?

3. Cosmin are 3 mașinuțe și de 2 ori mai mulți roboți. Câte jucării are Cosmin?

4. Bunicul are 20 de lei. El îi împarte celor două nepoate în mod egal. Câți lei primește fiecare nepoată?

Copiii întâmpină dificultăți în rezolvarea problemelor simple din cauza neînțelegerii relațiilor dintre date, text și întrebare. Conținutul problemei este ignorant de copii, deoarece numerele exercită asupra copiilor o anumită fascinație, valorile numerice fiind greu legate de conținut și de sarcina propusă.

Din pricina limbajului matematic apar dificultăți, de aceea sarcina de a învăța pe copii să traducă textul unei probleme în limbajul operațiilor aritmetice îi revine cadrului didactic. Dificultăți frecvent întălnite sunt:neglijarea întrebării, includerea răspunsului în enunț, neglijarea unei date, etc.

Pentru a fi evitate aceste dificultăți trebuie să avem în vedere:

rezolvarea unui număr mare de probleme;

analiza temeinică în rezolvarea fiecărei probleme;

abordarea unei mari varietăți de enunțuri;

prezentarea unor probleme cu date incomplete pe care elevii să le completeze și apoi să le rezolve;

prezentarea datelor unei probleme și elevii să pună întrebarea și invers;

completarea unui text dat cu valori numerice conforme cu realitatea;

compunerea de probleme după anumite date, după scheme date, folosind inversarea datelor sau alte date;

alcătuirea de către copii a unor probleme, în mod liber, fără a fi limitați de existența datelor, de relația dintre ele sau de rezolvarea lor printr-o anumită operație.

Prin aceste procedee nu se urmărește o învățare a problemelor, acestea urmărind formarea capacităților de a domina varietatea lor, care practic este infinită.

Atât înțelegerea noțiunilor de :problemă, rezolvarea problemei, răspunsul la întrebare, cât și conștientizarea elementelor problemei se realizează la copiii prin intermediul problemelor simple, atunci când le prezentăm probleme vii, probleme acțiune, fragmente autentice de viață. Pentru a putea rezolva o problemă, școlarii mici trebuie mai întâi să trăiască problema. Faptul că în viața de zi cu zi copiii se întâlnesc cu situații când trebuie să găsească un răspuns la diferite întrebări ajută la înțelegerea utilității activităților de rezolvare a problemelor.

Rezolvarea primelor probleme se realizează în plan concret, fiind ilustrate prin imagini sau acțiuni ale copiilor sub formă de joc. Acesta este unul din primii pași orientați spre exersarea flexibilității și fluenței gândirii. Prin rezolvarea problemelor, elevii ajung să opereze în mod real cu numere, să facă operații de compunere și descompunere, să folosească strategii și modele mintale anticipative.

II.1.2. Problemele compuse

Rezolvarea acestui tip de probleme, nu înseamnă, în esență, rezolvarea succesivă a unor probleme simple. Dificultatea principală într-o problemă cu mai multe operații nu este reprezentată de rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema ci de legătura dintre verigi, construirea raționamentului și de succesiunea operațiilor.

Din această cauză este necesară o perioadă de tranziție de la rezolvarea problemelor simple(cu o operație) la rezolvarea problemelor compuse(cu două sau mai multe operații) .

Trecerea trebuie să se facă în mai multe etape, treptat. Punctul de plecare îl reprezintă rezolvarea unor probleme compuse alcătuite din succesiunea a două probleme simple.

Exemplu:

Dan a cumpărat 8 caiete, iar Ana a cumpărat 6 caiete . Ei le-au pus în aceeași geantă cu prietenul lor Ilie care cumpărase 4 caiete. Câte caiete au copiii împreună?

8 caiete…. . 6 caiete…. . 4 caiete…. . ?caiete

a) Rezolvăm problema pe secvențe (judecăți și operații separate) :

1. Câte caiete au împreună Dan și Ana?

8caiete + 6 caiete = 14 caiete

2. Câte caiete au copiii împreună?

8 caiete + 6 caiete +4 caiete = 18 caiete

b) Rezolvăm problema și printr-o adunare de trei termeni:

8caiete + 6 caiete+4 caiete = 18 caiete

În cadrul acestei activități s-a sesizat mersul raționamentului de către elevi și aceștia învață să elaboreze tactica și strategia rezolvării prin elaborarea planului de rezolvare a problemei.

Examinarea problemelor compuse se face, de regulă prin metoda analitică sau sintetică. Cele două metode se pot folosi simultan, fie pot predomina una sau alta, în acest caz, metoda predominantă își impune specificul asupra căilor care duc la găsirea soluției.

Atât metoda analitică, cît și metoda sintetică se bazează pe descompunerea problemei date în probleme simple, care prin rezolvare succesivă duc la găsirea soluției. Punctul de plecare al raționamentului reprezintă deosebirea dintre cele două metode.

Planul de rezolvare se formulează odată cu analiza logică. În clasa I, planul de rezolvare se întocmește oral, elevii neavând suficiente cunoștințe și deprinderi de scriere, în schimb, în clasa a II-a acesta se face oral și în scris, în egală măsură. În claele a III-a și a IV-a, elevii trec la scrierea planului de rezolvare după ce acesta a fost întocmit oral. Răpunsurile trebuie să apară imediat, după fiecare întrebare prin planul de rezolvare, iar prin efectuarea operației se evită greșelile și chiar confuziile.

Exemplu:

La un magazin s-au vândut 120 kg de zahăr cu 340 mai multe kg de mălai și de 5 ori mai puține kg de făină decât kg de mălai. .

Câte kg s-au vândut în total?

Planul rezolvării :

– câte kg de mălai?

– câte kg de făină?

– câte kg s-au vândut în total?

Astfel, vom avea :

1. Câte kg de mălai s-au vândut?

125 kg + 340 kg = 465 kg (mălai)

2. Câte kg de făină s-au vândut?

465 kg : 5 = 93 kg (făina)

3. Câte kg s-au vândut în total?

125 kg+ 465 kg + 93 kg = 683 kg (în total)

Prin metoda analitică se solicită gândirea elevilor, pornind de la întrebare a problemei, ajutându-i să privească problema în totalitatea ei, fiind o metodă mai complexă și mai dificilă.

A examina o problemă prin intermediul acestei metode înseamnă a porni de la întrebarea problemei, a stabili datele, care sunt în general necunoscute, cu ajutorul cărora se poate formula problema simplă, a cărei întrebare trebuie să coincidă cu întrebarea problemei date. Apoi, se stabilesc alte date cu ajutorul cărora să se formuleze alte probleme simple ale căror rezultate să fie elementele problemei simple precedente, până se ajunge la prima problemă simplă care poate fi formulată pe baza datelor problemei compuse . Se analizează ce date sunt necesare pentru a răspunde la întrebarea problemei. Schema logică este utilă examinării analitice a problemei(figura 1) .

Această schemă se va realiza astfel:se pornește de la întrebarea problemei, se descompune în probleme mai simple din care e alcătuită, aranjându-se într-o succesiune logică încât rezolvarea lor să contribuie la formularea răspunsului pe care îl reclamă întrebarea problemei.

Prin metoda sintetică, gândirea elevilor este orientată spre datele problemei, grupând problemele după relațiile dintre ele și formulându-le într-o succesiune logică, încât să se încheie cu acea problemă simplă a cărei întrebare coincide cu întrebarea problemei. (figura 2)

Această metodă este accesibilă, însă nu solicită prea mult gândirea elevilor. Se constată că unii elevi pierd din vedere întrebarea problemei fiind tentați să calculeze valori de mărimi care nu sunt necesare în găsirea soluției problemei. În aplicarea acestei metode trebuie să se țină cont să se formuleze numai acele probleme simple care se îndreaptă spre întrebarea finală.

Descompunerea unei probleme compuse în probleme simple constituie un proces de analiză, iar formularea planului de rezolvare constituie un proces de sinteză, de aceea nu poate fi vorba de utilizarea în mod exclusiv a uneia sau a alteia dintre aceste metode, ambele operații intervenind în examinarea problemei, dar numai că, în anumite momente sau situații una devine dominantă.

În acest fel, elevii sunt solicitați să răspundă imediat fiecărei întrebări din plan, prin efectuarea operației evitându-se astfel posibilele greșeli și confuzii de întrebări și operații.

II.2. Metoda figurativă

Metoda figurativă sau grafică este o metodă de rezolvare a problemelor ce utilizeză reprezentarea grafică dintre ele. Această metodă aritmetică este cea mai utilizată în rezolvarea problemelor simple cât și în rezolvarea problemelor compuse.

Această metodă ajută la formarea schemei problemei, la concentrarea asupra tuturor condițiilor problemei. În rezolvarea problemelor prin această metodă, sprijinul se face pe raționament, folosind înțelesul concret al operațiilor.

Metoda figurativă prezintă anumite de avantaje ținând cont de utilitatea ei, și anume:

caracterul general, fiind utilizată la orice categorii de probleme unde se pretează figurarea și pe diferite trepte ale școlarizării;

caracter intuitiv, pentru că înțelegerea relațiilor dintre datele problemelor se face pe baza imaginilor vizuale;

faptul că prin dimensiunile elementelor figurative și prin proporiile lor se crează variate modalități de stabilire a relațiilor cantitative dintre diferitele valori ale mărimilor, se sugerează aceste relații.

Astfel, problemele care se rezolvă prin metoda figurativă pot fi grupate în:

probleme cu date sau mărimi discrete, ceea ce înseamnă că mărimile pot fi numerate una câte una și se pot pune în corespondență după anumite criterii, acestea fiind figurate prin simboluri ;

probleme cu date și mărimi continue, aceste tipuri de date fiind figurate prin segmente.

Exemplu:

1. Dacă la o grădină Zoo copii au numărat 72 de picioare și 23 de capete, precizați câți elefanți și câți struți au văzut.

23 păsări x 2 picioare = 46 picioare

72 – 46 picioare existente = 26 picioare în plus sunt presupuse

Luând câte două și distribuim la 26: 2 = 13 animale obținem

13 elefanți și restul de 23 – 13 = 10 struți.

2. Dana a colorat 3 veverițe și cu 2 mai mulți căței. Câți căței a colorat Dana?

3 + 2 = 5 (căței)

În cadrul acestei categorii, avem probleme de:

aflare a unui număr cunoscând suma sau diferența dintre acestea și a unuia dintre numere;

Exemplu:

1. Andreeea și Anca au împreună 560 de lei. Anca are cu 40 de lei mai mult decât Andreea. Câți lei are fiecare?

Rezolvare:

560 lei-20 lei=540 lei

deci,

540 lei :2=270 lei (Andreea)

270 lei + 20 lei=290 lei (Anca)

2. Tania și sora ei au mâncat 22 de caramele. Tania a mâncat cu 4 mai multe decât sora ei.

Câte caramele a mâncat fiecare?

S = 22 D = 4

(22 + 4) : 2 =13 (caramele a mâncat Tania)

(22 – 4) : 2 = 9 (caramele a mâncat sora)

aflarea unui număr mai mare (mai mic) ”cu atât” sau “de atâtea ori”, un număr dat;

Exemplu:

1. Pe un lac înoată 10 gâște și cu 2 mai puțin rațe. Câte rațe înoată pe lac?

Deci, numărul rațelor care înoată pe lac este:

10-2=8 (rațe)

2. Ana are 5 jucării iar sora ei are cu 2 mai multe. Câte jucării are sora ei?

Deci, sora ei are:

5 + 2 = 7 (jucării)

aflare a două numere cunoscând fie suma și diferența lor ;suma și câtul lor;diferența și câtul;

Exemplu:

1. O liană are o lungime de 94 m. Această liană este tăiată în două părți astfel încât o parte să fie cu 24 mai mare decât cealaltă parte. Câți metri are fiecare parte?

Reprezentând liana cu cele două părți prin două segmente de dreaptă se obține:

S = 94 m

D = 24 m

Se notează: P – partea mai mare

p – partea mai mică

p= (S – D) : 2 = (94– 24) : 2 = 70 : 2 = 35 m

P = (S +D) : 2 = (84 + 24) : 2 =108 : 2= 54 m

2. La un magazin sunt două tipuri de măsline. Totalul lor este de 2475 kilograme. Măslinele negre sunt de 9 ori mai multe decât măslinele cele verzi. Câte kilograme din fiecare fel de măsline sunt în magazin?

Putem presupune că în depozit ar fi 1 kg de măsline verzi, rezultând 9 kg de măsline negre, deci în total 10 kg.

Sunt 2475 kg, adică 2475 : 10 = 247, 5 ori mai mult.

1 x 247, 5 = 247, 5 kg (măsline verzi)

9 x 247, 5 = 2227, 5 kg(măsline negre)

aflare fie a sumei și a diferenței a două produse, fie a câtului a două produse;

Exemplu:

1. Într-o sală de spectacol sunt 30 de persoane, bărbăți și femei. Dacă pleacă trei bărbați și două femei, atunci numărul băieților devine de 4 ori mai mare decât cel al femeilor. Câți bărbați și câte femei au fost la început la spectacol?

Scădem persoanele care au plecat:

30-3-2=25 (persoane) .

Așadar, se obțin 5 părți egale, care reprezintă cele 25 de persoane.

25 : 5= 5 (o parte) femeile care sunt acum în sală

4 x 5= 20 (patru părți) bărbații care sunt acum în sală.

Deci, în sală la început au fost :

5 + 2 =7 femei

20 + 3 = 23 bărbați

Verificare:23 + 7 = 30 persoane.

2. La o brutărie s-au vândut 460 de pâini intermediare și albe. Stiind că numărul pâinilor albe vândute este cu 60 mai mare decât cel al pâinilor intermediare, să se afle câte pâini intermediare și câte pâini albe s-au vândut.

Se observă că dacă îndepărtăm cele 60 de pâini rămân cele două segmente egale:

460 -60 = 400 (pâini)

400 : 2 = 200 (pâini intermediare)

200 + 60 = 260 (pâini albe)

Verificare: 200 + 260 = 460 (pâini)

II.3. Metoda comparației

Metoda comparației, sau metoda aducerii la același termen de comparație constituie o formă specială a metodei reducerii a sistemelor de ecuații. În cazul acestei metode, problemele care se rezolvă conțin două sau mai multe mărimi și tot atâtea relații între ele.

Într-o problemă tipică, care se rezolvă prin această metodă așezarea datelor se face respectând relațiile între mărimi, încât valorile de același fel să fie unele sub altele. În enunțul problemei de acest tip, cele două mărimi care intervin (cele două necunoscute) sunt prezentate în două situații distincte.

Rezolvarea problemelor prin metoda comparației constă în transformarea prin înmulțire sau împărțire a relațiilor, încît să obținem aceeași valoare la una din mărimile date, apoi prin diferență rămâne o singură necunoscută.

În cadrul acestei metode, întâlnim de obicei, două categorii de:

a) Probleme de eliminare unei marimi prin reducerea la unitate:această metodă constă în transformarea, prin înmulțire sau prin împărțire a uneia dintre mărimi, încât să aibă aceeași valoare în două situații date în problemă. Astfel rămâne o singură necunoscută și un termen de comparație.

Exemplu:

1. Dacă 6 sticle și 4 bidoane de apă conțin cantitatea de 14 litri, iar 6 sticle cu apă și 6 bidoane conțin 18 liti de apă. Ce cantitate de apă se află într-o sticlă, respectiv într-un bidon?

Ordonăm datele și se observă că diferența dintre cantitățile totale de ulei se obține datorită diferenței dintre numărul de bidoane.

6 sticle ……………4 bidoane…………………14 litri

6 sticle……………6 bidoane………………. . 18 litri

/………………. . 6-4 bidoane……………. 18-14 litri

2 bidoane……………. . 4 litri

Deci, un bidon conține :4 litri : 2 = 2 litri (ulei) , iar o sticlă conține: (14-4×2) :6=1 litru (ulei) .

2. Dacă 7 lăzi cu prune și 5 lăzi cu mere cântăresc 600 kg, iar 7 lăzi cu prune și cu mere cântăresc 901 kg. Calculează câte kg cântărește o ladă cu prune și câte kg cântărește o ladă cu mere.

7 lăzi prune ……………5 lăzi mere…………………600 kg

7 lăzi prune……………12 lăzi mere………………. . 901 kg

/………………. . 12-5 lăzi mere……………. 901-600 kg

7 lăzi mere……………. . 301 kg

Cât cântărește o ladă cu mere?

301 : 7 = 43 (kg)

Cât cântăresc 5 lăzi cu mere?

5 x 43 = 215 (kg)

Cât cântăresc 7 lăzi cu prune?

600 – 215 =385 (kg)

Cât cântărește o ladă cu prune?

385 : 7 = 55(kg) .

3. Dacă 10 creioane și 15 stilouri costă 35 lei, iar un creion și un stilou costă 2, 5 lei, să se afle cât costă un creion și cât costă un stilou.

10 creioane ……………15 stilouri …………………35 lei

1 creion ……………1 stilou ………………. . 2, 5 lei/x 10

Vom egala numărul de creioane prin înmulțirea cu 10.

10 creioane și 15 stilouri costă …………………35 lei

10 creioane și 10 stilouri costă ………………. . 25 lei

/………………. . 5 creioane……………. 10 lei

Deci, un stilou costă : 10 : 5 = 2 lei , iar un creion costă : 2, 5 – 2 = 0, 5 lei.

4. Știind că 9 lalele și 6 garoafe costă 324 de lei, iar 4 trandafiri și 3 garoafe costă 146 de lei, aflați care este prețul unui trandafir și al unei garoafe.

9 trandafiri ……………6 garoafe …………………324 lei

4 trandafiri……………3 garoafe ………………. . 146 lei

Se pot dubla toate valorile celei de-a doua relații datorită faptului că valorile care dau numărul e garoafe sunt direct proporționale.

9 trandafiri ……………6 garoafe …………………324 lei

4 trandafiri……………3 garoafe ………………. . 146 lei/x 2

Se obține:

9 trandafiri ……………6 garoafe …………………324 lei

8 trandafiri……………6 garoafe ………………. . 282 lei

Numărul de garoafe este același și diferența de preț este data de numărul diferit de cărți cumpărate în cele două situații, scăzând cele două relații membru cu membru obținem:

1 trandafir……………. . /……………………………32 lei

9 trandafiri…………………………………………. . 32 x 9 = 288 lei

6 garoafe…………………………………324 – 288 = 36 lei

1 garoafă…………………………………. 36 : 6 = 6 lei.

b) Probleme de eliminare unei marimi prin înlocuire(substituție) :acestea sunt problemele care se rezovă prin înlocuirea unei mărimi prin alta, pe baza relațiilor cantitative dintre ele.

1. Dacă 20 de curci și 7 rațe au consumat 34 kg de grăunțe, să se afle câte kg de grăunțe consumă o curcă și o rață, știind că o rață consumă cât două curci.

20 curci……………. . 7 rațe…………. . 34 kg grăunțe

1 rață…2 curci

Deci, o rață poate fi “înlocuită” cu 2 curci din punct de vedere al hranei consumate. Atunci, avem:

20 curci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 rațe. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 kg grăunțe

20 + 14 = 34 curci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 kg grăunțe

Deci, o curcă consumă:

34 kg : 34 = 1 kg de grăunțe

Cum o rață consumă cât 2 curci înseamnă ca această are nevoie de:

2 x 1 = 2 kg de grăunțe.

2. Dacă 5 kg de portocale și 9 kg de lămâi au costat 74 lei, aflați cât costă 1 kg de portocale și 1 kg de lămâi, știind că lămâile sunt cu 2 lei mai scumpe decât portocalele.

5 kg portocale. . . . . . . . . . . . . . . . 9 kg lămâi. . . . . . . . . . . . . . 74 lei

5 + 9 =14 kg portocale. . . . . . . 74 + 5 x 2 = 84 lei

1 kg lămâi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 : 14 =6 lei

1 kg portocale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 – 2 = 4 lei

Deci, 1 kg de portocale costă 4 lei, iar 1 kg de lămâi costă 6 lei.

II.4. Metoda falsei ipoteze

Metoda falsei ipoteze sau metoda presupunerii este metoda aritmetică prin care problemele se rezolvă cu ajutorul unei presupuneri, a unei ipoteze, rezolvarea are ca punct de plecare întrebarea problemei, în sensul că asupra mărimiicăutate se face o presupunere complet arbitrară. Apoi, pe baza presupunerii făcute se reface problema, mărimile fiind proporționale, rezultatele obținute pe baza presupunerii se translateză în plus sau în minus, în funcție de presupunere, dacă presupunerea este mai mica, mai mare decât rezultatul real. Se ajunge la un rezultat care nu are concordanță cu cel din problemă, fiind mai mare, respectiv mai mic. Așadar, se compară rezultatul obținut pe baza presupunerii cu cel real și se observă de câte ori s-a greșit făcând presupunerea, astfel încât obținem un număr cu ajutorul căruia corectăm presupunerea făcută.

Exemplu:

1. La o fermă se cresc oi și găini, care au 429 de capete și 1 108 de picioare. Câte oi și câte găini sunt la fermă?

Rezolvare:

Presupunem că sunt 100 de oi. Atunci:

429 – 100 = 329 (găini)

100 x 4 + 329 x 2 = 400 + 658 = 1 058 (picioare în total)

1 108 – 1 058 = 50 (picioare lipsă)

Deci, sunt mai multe oi.

4 – 2 = 2 (cu două picioare are mai multe picioare o oaie decât o găină)

50 : 2 = 25 (oi erau lipsă)

100 + 25 = 125 (oi)

429 – 125 = 304 (găini)

2. Tina a cumpărat 88 de cutii cu 2 și 3 creiane colorate, toate având 196 de creioane colorate. Câte cutii cu 2 creioane colorate și câte cu 3 creioane colorate a cumpărat Tina?

Rezolvare:

Presupunem că ar fi doar cutii cu 2 creioane colorate. Atunci:

88 x 2 = 176 (creioane colorate în total)

196 – 176 = 20 (creioane colorate nu au fost luate în considerare)

Creioanele colorate rămase, le redistribuim câte unul în fiecare cutie și obținem 20 de cutii cu 3 creioane colorate.

Deci, obținem:

88 – 20 = 68 (cutii cu 2 creioane colorate).

3. Suma de 380 de lei a fost plătită în bacnote de 10 lei și de 50 de lei. Știind că numărul bacnotelor 18, să se afle câte s-au folosit din fiecare.

Rezolvare:

Varianta I. Presupunem că am avea 18 bacnote de câte 10 lei. Atunci:

18 x 10 = 180 (lei)

50 – 10 = 40 (lei diferența dintre bacnote)

380 – 180 = 200 (diferența plătită în lei)

200 : 40 = 5 (bacnote de 50 de lei)

Deci, obținem:

18 – 5 =13 (bacnote de 10 lei)

Varianta II. Presupunem că am avea 18 bacnote de câte 50 de lei:

18 x 50 = 900 (lei)

50 – 10 = 40 (lei diferența dintre bacnote)

900 – 380 = 520 (diferența plătită în lei)

520 : 40 = 13 (bacnote de 10 lei)

deci, obținem:

18 – 13 = 5 (bacnote de 50 lei) .

II.5. Metoda mersului invers sau retrogradă

Metoda mersului invers(retrogradă) se rezolvă mergând în sens invers enunțului pornind de la elemental final și efectuând operația opusă celei din problemă. Proba se face prin aplicarea operațiilor indicate în enunțul problemei asupra numărului găsit.

Exemplu:

1. Alin cheltuiește la munte în prima zi jumătate din bani, a doua zi o cincime, iar a treia zi rămâne cu 200 de lei pentru drum. Câți lei a avut Andrei în prima zi?

Suma pe care a avut-o Andrei este reprezentată de segmentul:

În prima zi Andrei a cheltuit jumătate din totalul banilor:

A doua zi, a cheltuit o cincime din ce i-a rămas:

A treia zi lui Andrei îi rămân 200 de lei.

Deci, 4 segmente rămase reprezintă 200 lei 200 : 4 = 50 (o parte) .

Dar cinci părți înseamnă 200 + 50 = 250 sau 50 x 5 = 250, chiar jumătatea cheltuită în prima zi 250 + 250 = 500 lei a avut Andrei.

2. Dacă avem două lăzi cu un număr diferit de fructe și ducem din prima ladă în a doua ladă un număr egal de fructe cu cel din a doua, apoi punem din lada 2 în prima ladă tot atâtea fructe câte erau în prima, apoi punem din lada 1 în 2 tot atâtea fructe câte erau în 2, să se afle câte fructe erau inițial în fiecare ladă dacă la sfârșit am ajuns cu un număr egal de 24 de fructe în fiecare ladă?

Pornim invers cu cititul problemei și cu rezolvarea:

I. ladă 1 lada 2 au câte 24 și 24 fructe.

II. lada 1 lada 2 au câte 36 și respectiv 12 fructe. (24 : 2 = 12, 12 + 24 = 36)

III. lada 1 lada 2 au acum câte 18 și 30 fructe. (36 : 2 = 18, 12 + 18 = 30)

IV. lada 1 lada 2 au câte 33 și 15 fructe.

3. Un vânzător în prima zi din kilogramele de portocale, a doua zi vinde încă din restul kilogramelor, iar a treia zi din ceea ce rămăsese nevândut. A patra zi a vândut restul kilogramelor de portocale. Demonstrați prin calcul, că în ziua a doua și a treia vânzătorul a reușit să vândă aceeași cantitate de portocale. Precizați câte kilograme s-au vândut în fiecare zi, dacă în prima zi s-au vândut mai mult cu 6 kilograme de portocaledecât în ultima zi.

Se consideră cantitatea ca fiind un întreg. Calculăm kilogramele de portocale vândute în prima zi: ;

A doua zi au fost vândute din total;

Deci, rămân din total;

A treia zi vânzătorul a vândut din totalul de kilograme.

Rezultă că în a doua zi s-a vândut aceeași cantitate de portocale ca în a treia zi.

Se calculează acum cantitatea vândută în a patra zi :

din total.

Pentru a afla câte s-au vândut în prima zi calculăm:

Cantitatea totală este .

Deci, în prima zi s-au vândut 78 de kilograme, a doua zi 80 de kilograme, a treia zi 80 de kilograme, a patra zi 60 de kilograme de portocale.

II.6. Alte tipuri de probleme de aritmetică

În programele școlare din învățamântul primar sunt introduse și alte tipuri de probleme:

Probleme de probabilități.

Acestea sunt de folos în judecata copiilor și în interpretarea corectă a unor evenimente din viața cotidiană. Sarcinile de lucru pot fi:exerciții de evaluare a șanselor ca o situație să se producă sau exerciții de ordonare a datelor, descrierea situațiilor ce reprezintă evenimente imposibile, probabile, sigure.

Probleme de estimări.

Aceste situații de estimări sunt prezente oriunde în viața elevului:la cumpărături, la școală, etc. Aceste probleme se regăsesc în activitățile pentru compararea numerelor, prin estimarea ordinului de mărime, în justificarea algoritmilor de calcul, în rezolvarea unor situații în care calculul nu este posibil ori relevant.

Probleme care se rezolvă prin încercări.

Această categorie de probleme este utilă în rezolvarea problemelor care admit mai multe soluții. În general, elevii dacă au găsit o soluție pentru problemă sunt tentați să considere această soluție ca fiind unică, fără să țină cont de faptul că pot exista și alte valori care pot constitui soluție pentru problema dată. Prin folosirea unor încercări successive, elevii vor obține mai multe soluții corecte. Rezolvarea acestui tip de probleme stârnește curiozitatea elevilor pentru aflarea rezultatelor unor exerciții și probleme, îi determină pe aceștia să manifeste inițiativă în propunerea unor modalități diverse de abordare a problemelor, dar să și caute noi căi de rezolvare a acestora. ”Problemele care se rezolvă prin încercări apar în programa doar la clasa a IV –a, dar cu toate acestea, rezolvarea prin încercare-eroare este introdusă ca procedeu de lucru încă de la clasa I, prin activitățile de învățare ce vizează găsirea varintelor de descompunere și compunere a numerelor natural sau de aflare a numărului care lipsește dintr-o operație prin încercări. Aceste tipuri de exerciții se dovedesc a fi foarte utile pentru înțelegerea și conștientizarea relațiilor dintre numerele implicate în operații. ”

Probleme de logică.

Acest tip de probleme se bazează doar pe raționament logic, efectuarea calculelor nefiind necesară. Acestea sunt întâlnite sub forma unor probleme distractive sau cu conținut amuzant, având ca scop cultivarea creativității elevilor, aceștia fiind puși să stabilească valoarea de adevăr pentru diferite enunțuri.

Probleme de organizare și prelucrare a datelor.

Problemele de acest tip vizeză formarea unor deprinderi de organizare a datelor sub formă de tabele, grafice și conduc la asocieri.

Probleme de mișcare.

Problemele de mișcare sunt probleme în care află una dintre mărimile:spațiu, viteză sau timp, când se cunosc două dintre ele sau relații dintre acestea.

Spațiul (s) este lungimea drumului parcurs de un mobil(autoturism, om) , exprimat în unități de lungime(metrii, multiplii, submultiplii acestuia) .

Timpul (t) este numărul de unități de timp(secunde, minute, etc. ) în care se parcurge un spațiu.

Viteza (v) este numărul de unități de lungime parcurse de un mobil într-o unitate de timp, exprimată prin unități de lungime pe unități de timp(m/s, km/h) .

Clasificarea problemelor de mișcare:

cu mobile care se deplasează în același sens:vitezele se scad, iar timpul se află astfel:

Exemplu:

1. Doi bicicliști parcurg distanța de la A la B. Primul biciclist a sosit în B cu 2 ore mai târziu decât al doilea. Viteza primului biciclist este de 4 km/h, iar a celui de-al doilea de 6 km/h. Să se determine distanța de la A la B.

Rezolvare:

Primul biciclist, după fiecare oră rămâne în urma celui de-al doilea biciclist cu 2 km. Când al doilea biciclist a ajuns în B, primul a rămas în urmă cu distanța făcută în două ore:

4 x 2 = 8 (km) .

Rămânerea în urmă s-a realizat într-un timp:

t = 8 km : 2 km/h = 4 h.

Al doilea biciclist a mers o distanță de :

s = 6 km/h x 4 = 24 km (distanța de la A la B) .

2. Ion pleacă din orașul A cu bicicleta având viteza de 24 km/h, în aceeași direcție, după 3 ore, pleacă și tatăl lui cu motocicleta având viteza de 42 km/h. În cât timp îl va ajunge tatăl pe fiu?

Rezolvare:

Avansul lui Ion este AB = 24 x 3 = 72 km (în 3 ore)

Tatăl câștigă în fiecare oră:

42 km – 24 km = 18 km

Pentru a câștiga cei 72 km, tatăl merge un timp:

t = 72 km : 18 km/h = 3 h

Deci, câștigă în fiecare oră : 42 km – 24 km = 18 km;

La întâlnire, A = 42 km x 4 = 168 km

cu mobile care se deplasează în sens contrar:vitezele se adună, iar timpul se află astfel:

Exemplu:

1. De la magazin până acasă, Andrei pleacă cu ATV-ul cu 12 km/h, iar fratele lui pleacă de acasă cu bicicleta cu 7 km/h. După cât timp se întâlnesc cei doi frați și la ce distanță de magazin, dacă distanța de acasă la magazin era de 57 km?

Rezolvare:

Se va reprezenta grafic și se va aplica formula necesară atunci când mobilele se deplasează în sens opus:

v = v1 + v2 = 12 + 7 = 19 km/h

După se întâlnesc și la distanța de d = v2 · t = 7 x 3 = 21 km de magazin.

2. Un pieton parcurge 5 km /h, pleacă din orașul A spre orașul B. În acelaș timp, un motociclist pleacă din orașul B spre orașul A cu viteza de 22 km/h. Între orașe există distanța de 81 km. Dupa cât timp se întâlnește pietonul cu biciclistul?La ce distanță de orașul B se întâlnesc?

Rezolvare:

Distanța dintre cei doi se micșorează în fiecare oră cu:

5 km + 22 km = 27 km

Distanța totală de 81 km , va fi stăbătută în timpul:

81 : 27 = 3 (ore) , acesta fiind și timpul în care se întâlnesc.

Distanța la care se întâlnesc este:

22 km x 3 = 66 km (de orașul B) .

Probleme de amestec și aliaj.

Această categorie de probleme este utilă privind aplicabilitatea practică. Sunt două tipuri de astfel de probleme în care:

se dau cantitățile și calitățile substanțelor și trebuie să aflăm calitatea amestecului.

Exemplu:

1. Cu cât trebuie vânzătorul unui magazin alimentar să pună prețul unui kilogram de făină, dacă el a amestecat 6 kg care costa 10 lei fiecare kg, cu 12 kg care costa 15 lei și cu 22 kg care costa 7 lei?

Rezolvare:

Se va aplica media ponderată pentru a afla prețul unui kilogram de făină combinat pus spre vânzare la magazin:

lei.

2. ”Au fost amestecate 300 g apă încălzită la temperatura de 250C împreună cu 200 g de apă la temperatura de 290C ȘI 125 g apă la temperatura de 400C. Să se determine temperatura amestecului.

Rezolvare:

Calitatea apei este dată de temperatura în grade. Deci,

C=0 C

C=29, 6240C. ”

se dă calitatea amestecului și cantitățile părților și trebuie aflată cantitatea pentru fiecare substanță sau raportul lor.

Exemplu:

1. S-au amestecat 15 kg de mălai de două calități:de 56 lei kg și de 38 lei kg. Cât mălai de fiecare calitate a intrat în amestec știind că întregul amestec a costat 750 lei?

Rezolvare:

750 : 15 = 50 (lei costă 1 kg de mălai)

Notăm:

m1 – cantitatea de mălai de calitatea I;

m2 – cantitatea de mălai de calitatea II ;

atunci:

deci:

m1 = 2 x 5 = 10 și

m2 = 1 x 5 = 5.

2. ”În două vase sunt 20 l de apă. În primul vas este apă la temperature de 200C, iar în al doilea la temperature de 600C. Câți litri sunt în fiecare vas dacă după amestec, apa are temperature de 350C?

Rezolvare:

Notăm:

m1- cantitatea de litri de apă din primul vas;

m2 – cantitatea de litri de apă din vasul al doilea.

deci,

Astfel obținem

“

II.6.1. Probleme de aritmetică date la olimpiade

Pasiunea elevilor cât și atracția pentru matematică este în stânsă legătură cu modul în care învățătorul reușește să le transmită cunoștiințele. Cu elevii care au înclinații spre matematică se pot rezolva numeroase probleme în cadrul cercurilor mathematic, astfel se realizează o pregătire pentru olimpiade.

Rezolvarea unor probleme dinr-o gamă variată îi introduce pe elevi într-o sferă largă a matematicii.

Exemple:

1”. În magazia unei cantine sunt depozitați cartofi. După ce se consumă 198 kg, se mai aduc 245 kg. În prezent în magazie sunt 797 kg. Câte kg de cartofi erau initial în magazie?

Rezolvare:

I. Dacă nu se aduceau cei 245 kg cartofi, atunci în magazine ar fi fost:

797 – 245 = 552 (kg cartofi)

II. Înainte de a se consuma cele 189 kg de cartofi în magazine erau:

552 + 198 = 750 (kg cartofi erau).

2. Tatăl său este de 3 ori mai în vârstă decât fiul, iar acesta cu 25 de ani mai tânăr decât mama. Știind că împreună au 110 ani, să se afle câți ani are fiecare.

Rezolvare:

Scăzând din suma celor trei vârste, diferența dintre vârsta mamei și vârsta fiului se obține suma dintre vârsta tatălui și de două ori vărsta fiului său de : 3 + 2 = 5 ori vârsta fiului.

110 – 25 = 85 (ani)

85 : 5 = 17 (ani fiul)

17 + 25 = 42 (ani mama)

17 x 3 = 51 (ani)

Verificare: 51 + 42 + 17 = 110 (ani) .

3. Distanța dintre două porturi este de 252 km. Un vapor parcurge această distanță mergând în sensul curentului apei, în 6 ore.

a) În cât timp parcurge aceeași distanșă la întoarcere mergând în sensul opus curentului apei, știind că în acastă situație face cu 6 km pe oră mai puțin.

b) După expresia obținută mai sus compuneți o problem în care, în loc de unități de măsură a lungimii și timpului, să folosiți alte unități de măsură.

Rezolvare:

a) Viteza de deplasare a vaporului în sensul curentului apei este de :

252 : 6 = 42 km/h.

În sensul opus curentului apei vaporul se deplasează cu viteza

42 km/h -6 km/h = 36 km/h.

De altfel, expresia pentru obținerea timpului este:

252 : (252 : 6 – 6) = x;

Vor trebui 252 : 36 = 7 ore.

b) Pentru 6 bluze s-au plătit 252 lei. Știind că un fular este cu 6 lei mai oieftin decât o bluză, se cere să se afle câte fulare pot fi cumpărate cu aceeași sumă de bani. ”

II.6.2. Probleme de aritmetică date la concursurile școlare

Rezolvarea de probleme din diverse reviste de specialitate sau din culegeri, sub îndrumarea cadrului didactic are drept scop completarea și consolidarea pregătirii realizate în timpul lecțiilor, dezvoltarea intereselor și punerea în practică a cunoștiințelor, deprinderilor, a priceperilor. Prin această activitate vor fi descoperiți elevii care au înclinații deosebite și preferințe pentru matematică, ajutându-i pe aceștia să-și formeze o pregătire suplimentară diferențiată și chiar individualizată.

Această categorie de probleme nu se adresează numai unei categorii de elevi (cei mai buni, sau cei mai puțini buni) ci tuturor, problemele fiind de toate categoriile urmărind să contribuie la fixarea cunoștiințelor, la dezvoltarea deprinderilor de calcul, dar și la înțelegerea conceptelor numerice.

Exemple:

1. ”Un muncitor a fost retribuit, pentru munca depusă într-o lună cu suma de 2 830 lei. El și-a planificat să cheltuiască această sumă astfel:

a) cu 215 lei mai puțin decât jumătate din suma primită pentru întreținerea familiei;

b) cu 100 lei mai mult decât jumătatea necesară pentru întreținerea familiei, pentru procurarea unor articole de îmbrăcăminte;

c) un sfert dintr-o cincime din retribuție pentru alte datorii;

d) restul l-a depus la C. E. C.

Să se afle:

a) suma planificată pentru înreținerea familiei;

b) suma cheltuită pentru îmbrăcăminte;

c) suma planificată pentru alte datorii;

d) suma depusă la C. E. C.

Rezolvare:

2 830 : 2 – 215 = 1 200 (lei)

1 200 : 2 + 100 = 700 (lei)

2 830 : 5 = 566 (lei) ;566 : 4 = 141,51 (lei)

2 830 – (1 200 + 700 + 141, 51) = 788, 5 (lei)

Verificarea problemei: 1 200 + 700 + 141,5 + 788, 5 = 2 830 (lei)

2. Pentru internatul unei școli s-au cumpărat 18 dulapuri și 24 de mese. Dulapurile au costat 7 560 lei. Știind că 6 mese costă cât două dulapuri, să se afle cât au costat toate mesele. Rezolvați problema în două moduri diferite, arătând ce reprezintă rezultatul fiecărei operații.

Rezolvare:

Metoda I :

Prețul unui dulap este 7 560 : 18 = 420 (lei) .

Două dulapuri costă 420 x 2 = 840 (lei) .

Prețul unei mese este 840 : 6 = 140 (lei) .

Cele 24 de mese au costat 140 x 24 = 3 360 (lei) .

Metoda II :

6 mese costă cât 2 dulapuri, deci 24 de mese costă cât 8 dulapuri.

Prețul a 8 dulapuri îl aflăm utilizând matoda reducerii la unitate.

18 dulapuri costă……………7 560 (lei)

1 dulap costă………………. . . 7 560 : 18 (lei)

8 dulapuri costă……………. . (7 560 : 18) x 8 = 3 360 (lei) .

Deci, 24 mese au costat 3 360 lei.

3. O muncitoare a plecat să-și facă cumpărături cu o anumită sumă de bani. Ea cumpără cu jumătate din sumă un palton și cu un sfert din suma rămasă o rochie. Aflați suma cu care a plecat la cumpărături, dacă după efectuarea acestora a rămas cu 675 lei. Justificați.

Rezolvare:

După ce a cumpărat paltonul, i-a rămas o sumă de bani. Din această sumă a cheltuit un sfert, deci i-au rămas :

din această sumă.

Adică, din suma rămasă pentru cumpărarea paltonului reprezintă 675 lei.

Deci din sumă reprezintă 675:3 = 225 (lei). Așadar, după cumpărarea paltonului i-au mai rămas 225 x 4 = 900 (lei). Deoarece suma cheltuită pe un palton reprezintă jumătate din suma cu care a plecat la cumpărături, rezultă că muncitoarea a avut 2×900= 1800 lei.”

Capitolul III. Activitatea de compunere a problemelor la ciclul primar

Rezolvarea si compunerea problemelor implică efectul gândirii, în primul rând al celei creative. Activitatea de compunere a problemelor constituie terenul cel mai fertile din domeniul activitățiilor matematice pentru cultivarea și educarea creativității și a inventivității.

De la rezolvarea problemelor, unde deprinderile și abilitățile se referă în special la analiza datelor, a condiției, se face trecerea în mod gradat la capacitatea de a înțelege întrebarea și a orienta întreaga desfășurare a raționamentului în direcția descoperirii soluției prin:

Complicarea unei probleme prin introducerea unor date noi, sau prin modificarea întrebării;

Rezolvarea problemei prin mai mute procedee:

scrierea rezolvării unei probleme într-o singură expresie;

alegerea unei economice căi de rezolvare;

determinarea schemei de rezolvare și încadrarea problemei în categoria respectivă.

Compunerea unei probleme constituie una din modalitățile principale de dezvoltare a gândirii independente și originale a elevilor, cât și a pasiunii pentru matematică.

La matematică, se pot folosi scheme de acțiune, semne și simboluri, care duc la rezolvarea și compunerea de probleme. Ele se interiorizează treptat sub forma unor structuri intelectuale de recunoaștere, operare, soluționare. Compunerea problemelor asemanătoare celor rezolvate în timpul predării, au un rol important în promovarea creativității.

După înțelegerea conceptului de probleme, elevii pot exersa crearea problemelor, pornind de la modele deja studiate, respectând cerințele specifice fiecărui tip de problemă.

Criteriile care determină complexitatea acestui gen de activitate sunt:

stăpânirea tehnicilor și regulilor de calcul;

deprinderea de a efectua raționamente logice;

utilizarea unui vocabular bogat și a unui limbaj matematic specific;

capacitatea de restrucura cunoștințele dobândite pentru a elebora textele cu conținut legat de viața practică, de zi cu zi.

La început, se va porni de la formarea deprinderilor de alcătuire a problemelor pe cale intuitivă, încât elevii să înțeleagă în mod conștient, îmbinările de cuvinte și numere, folosind mai multe nuanțe de exprimare.

Problemele rezolvate de elevi în clasă, cele formulate de profesorul lor, constituie un model pentru primele probleme create de ei. Prin compunerea problemelor, elevii observă legătura dintre exerciții și probleme, în lipsa căreia elevii ar rămâne cu cu ideea că exercițiile și problemele sunt activități fără sens. Formarea noțiunii de problemă constituie o etapă pregătitoare în procesul de compunere a problemelor.

Compunerea de probleme îi obligă pe elevi la o activitate independentă de creație, de analiză și sinteză, de confruntare a cunoștințelor teoretice cu practica vieții.

“Se pot compune și crea probleme în următoarele forme, respectându-se următoarea succesiune gradată:

Compunerea de probleme după tablouri și imagini;

Probleme referitoare la o acțiune concretă ;

Compunerea de probleme după modelul unei probleme rezolvate anterior ;

Probleme cu indicarea operațiilor matematice ce trebuie efectuate ;

Compunerea de probleme după un plan stabilit ;

Compunerea de probleme cu mai multe întrebări posibile ;

Compunerea de probleme cu o întrebare dată și cu mai multe conținuturi date precum și relații între date ale conținutului ;

Compunerea de probleme cu întrebare probabilistică ;

Compunerea de probleme cu început dat, cu sprijin de limbaj ;

Compunerea de probleme cu mărimi date, cu valori numerice date ;

Compunerea de probleme după un exercițiu simplu sau compus ;

Compunerea de probleme după un model simbolic ;

Compunerea de probleme cu modificarea conținutului și a datelor ;

Crearea liberă de probleme;

Probleme de perspicacitate, rebustice etc. ”

Exemple de probleme compuse după imagini.

Clasa I

1.

În curtea bunicii am văzut o rață care mânca iarbă, iar alte două mâncau făină de porumb. Câte rațe erau în curte?

2.

Pe frunzele de pe apa unui lac se odihneau 2 broscuțe. Încă una obosită a venit să se odihnescă. Câte broscuțe se odihnesc acum?

3.

În curtea noastră erau cinci oameni de zăpadă. Doi dintre ei s-au topit. Câți oameni de zăpadă mai sunt în curtea noastră?

4.

Pe o floare erau trei fluturi, iar apoi au mai venit doi fluturi. Câți fluturi sunt acum pe floare?

Clasa a III-a

Probleme de înmulțire:

Exemple:

1.

Compune o probleme după imagine, care să se rezolve prin operația de înmulțire:

Câte buline sunt pe aripile a 4 fluturi dacă pe aripile unui future sunt 4 buline?

2. Compune o probleme după imagine, care să se rezolve prin operția de înmulțire:

Câte picioare au cele 7 vaci?

Sau:

Câți litri de lapte dau într-o zi 7 vaci, dacă o vacă dă pe zi 5 litri de lapte?

Probleme de împărțire:

Exemple:

1. Compune o probleme după imagine, care să se rezolve prin operația de împărțire:

Mama are 24 de mere. Ea le împarte celor doi copii ai ei. Câte primește fiecare copil?

2. Compune o problemă după imagine, care să se rezolve prin operații de împărțire și adunare.

Mama are în grădină 6 garoafe și 9 trandafiri. Ea face din flori buchete de câte 3 flori.

Câte buchete face mama?”

În clasele I-II expresiile numerice sunt simple, în timp ce pentru clasele III-IV, expresiile numerice sunt mai complicate.

Expresiile literale sunt folosite ca punct de plecare în compunerea problemelor de către elevi.

Exemple de expresii:

Clasa I și a II-a :

a + b ;a + b + c; a + b – c;etc.

Clasa a III-a și a IV-a:

a x b;a : b;a x b + c x d;(a + b) x c.

Exemple de probleme compuse după expresii literare date:

a + b – c;

Într-o ladă erau 15 kg de pere și 25 kg de caise. S-au vândut 13 kg de fructe. Câte kg de fructe au mai rămas în ladă?

a x b + c x d;

Pe un raft sunt 6 pachete de orez a câte 2 kg fiecare și pe un alt raft sunt 4 pachete de orez a câte 3 kg fiecare. Câte kg de orez sunt pe cele două rafuri?

Cadrului didactic îi revine sarcina de a conduce această activitate prin indicații clare, prin exemple sugestive folosite ca modele prin cerințe raționale, să canalizeze gândirea și imaginația copiilor spre asociații din ce în ce mai puțin întâmplătoare . Totodată, se poate urmări eficient o „colaborare” cu celelalte obiecte de învățământ, cadrul didactic cerând crearea unor probleme cu expresii noi, îmbogățind vocabularul copiilor, urmărind exprimarea corectă a acestora, să sugerând folosirea datelor geografice sau istorice, sau din alte domenii.

Învățătorul va utiliza acele metode didactice cu valențe formative și înalt activizatoare, de exemplu: problematizarea, descoperirea, modelarea, conversația euristică, jocul didactic, acestea implicându-l direct pe elev favorizează descoperirea personală, și facilitează transferul, formează capacități cognitiv-operatorii, intelectuale, formează acele aptitudini și motivații pozitive pentru învățătură.

În activitatea de compunere a problemelor, trebuie să se țină cont de posibilitățile elevilor, prin sarcini gradate, trecerea realizându-se treptat, de la compunerea liberă la cea îngradită de anumite condiții. Este recomandat ca atât compunerea de probleme, cât și rezolvarea acestora să se realizeze și în situații de joc didactic.

Utilizarea jocului didactic în dezvoltarea activității de compunere a problemelor contribuie la activizarea intelectuală a tuturor elevilor, cât și la formarea personalității lor, la manifestarea unei conduite atitudinale pozitive față de muncă și față de întrecerile din cadrul clasei. În același timp, se va avea în vedere creșterea mobilității gândirii și a capacităților sale divergente, creatoare cât și dezvoltarea calităților de bază ale gândirii: rapiditate, operativitate, mobilitate, flexibilitate, fluență ș.a.

În rezolvarea conștientă a unei probleme efortul pe care-l depune elevul duce la dezvoltarea gândirii, la formarea limbajului matematic, la educarea perspicacității și a spiritului de inițiativă.

Efortul depus pentru rezolvarea unei probleme nu este încununat de succes întotdeauna, se întâmplă de multe ori ca elevul să nu descopere modul de rezolvare, să nu poată răspunde la întrebarea problemei. Deci, elevii trebuie educați în spiritul de a nu ceda până nu ajung să rezolve problema, acest lucru constituie un bun exercițiu pentru educarea voinței și a perseverenței.

Un rol important în compunerea de probleme îl au factorii motivaționali. Motivația(nota pe care elevul o primește pentru un răspuns și mai ales satisfacția acestuia rezultată din bucuria de a fi rezolvat el singur o problemă) -este o componentă ce trebuie luată în considerare ori de câte ori practica didactică o reclamă.

Compunerea și rezolvarea de probleme reprezintă un important mijloc de însușire conștientă a cunoștințelor și de dezvoltare a gândirii creatoare prin modul în care intervin în procesul rezolvării: atenția, spiritul de observație, imaginația, inițiativa personală, satisfacția succesului, spiritul competițional, etc.

Activitatea de compunere și rezolvare a problemelor este favorizată de mediul școlar, caracterizat prin atmosferă permisivă, de înțelegere, încurajare și interes. Cadrul didactic prin întrebări, poate incita gândirea elevilor la diferite operații (deducție, inducție, comparație, descoperirea de relații cauzale) , poate antrena gândirea în diverse direcții (gândirea divergentă, gândirea convergentă, gândirea probabilistică) .

În concluzie, activitatea de compunere a problemelor impune anumite cerințe specifice, cum ar fi:cadrul didactic trebuie să insufle elevilor, prin stilul său de gândire, prin solicitările adresate elevilor, o atitudine și un stil de gândire creator, liber, independent, să îi orienteze spre nou, spre neexplorat. În aceeași măsură contează și asigurarea unui climat optim pentru manifestarea spontană a elevilor, fără frica de a greși, de a primi sancțiune, crearea unei atmosfere permisive de explorare independent și asigurarea încrederii în sine, încurajarea efortului creativ al elevilor încă de la primele lor manifestări.

Capitolul IV. Activitate metodică și de cercetare

IV.1. Dezvoltarea creativității la școlarul mic prin matematică distractivă

Creativitatea este un proces complex, o activitate psihică complexă ce se finalizează printr-un anumit produs. Noțiunea de creativitate, deși este una din cele mai fascinante noțiuni cu care a operat vreodată știința, nu este suficient definită prin prisma complexității procesului creativ, cât și prin diversitatea domeniilor în care se realizează creația.

Creativitatea poate fi definită în multe feluri pornind de la înțelegerea creativității ca o atitudine până la identificarea acesteia cu o producție creatoare de nivel înalt. Aceasta este capacitatea psihică a individului uman de a realiza ceva nou sub diferite forme, de a elabora căi și soluții originale de rezolvare a problemelor și a le exprima în forme personale distincte.

Creativitatea apare în patru accepțiuni importante: ca produs, ca proces, ca disponibilitate, potențialitate general umana, ca o capacitate și abilitate creativă, ca dimensiune complexă de personalitate.

Ca produs – Psihologii au definit creativitatea făcând referire la caracteristicile produsului creator, ca note distinctive ale ei. Acestea, permit încadrarea acestuia în categoria produselor creatoare și au fost considerate: noutatea și originalitatea lui , valoarea, utilitatea socială și aplicabilitatea vastă.

Ca proces – Creativitatea, necesită parcurgerea unor etape distincte între ele, numărul acestora variază de la autor la autor. Psihologii au stabilit 4 etape ale procesului creator și anume: pregătirea, incubația, iluminarea, verificarea.

Ca potențialitate general umană – Creativitatea este o capacitate general umană, care, sub o formă latentă, dar în grade și proporții diferite, se găsește la fiecare individ.

Ca dimensiune complexă a personalității – Creativitatea integrează în sine întreaga personalitate și activitate psihica a individului, subsumându-se si integrându-se organic în structurile de personalitate astfel, devine una dintre dimensiunile cele mai complexe ale personalității.

În zilele noastre, școala, nu se mai bazează pe natura cunoștințelor, ci, pe dezvoltarea aptitudinilor de creație a tinerilor din generațiile noi. Educarea creativității depinde de algoritmii care descriu procedeele cât și de asigurarea condițiilor care facilitează creația.

Elevii conștientizează și învață să învingă barierele producției creative se consideră că acestea sunt de trei tipuri:

perceptive;

culturale;

emoționale.

Creativitatea presupune imaginație, dar implică inteligență, dar nu orice persoană inteligentă este și creatoare, cu toate că presupune motivație și voință, aceasta nu poate fi explicată doar prin aceste aspecte.

Parametrii creativității sunt: fluiditatea, flexibilitatea adaptativă, originalitatea, perspicacitatea.

Fluiditatea: se referă la ușurință, rapiditatea de a produce soluții multiple în funcție de anumite cerințe. Indicele de fluiditate este dat de numărul total de răspunsuri.

Flexibilitatea adaptativă: este reprezentată de capacitatea de modificare și restructurare eficientă gândirii în situații noi, de găsirea unor soluții variate de rezolvare și de adoptarea cu ușurință a unor ipoteze noi.

Originalitatea: are diferite grade de noutate, elev poate răspunde la o situație-problemă ce manifestă un anume grad de creativitate, prin efort propriu și într-o manieră proprie.

Perspicacitatea: se referă la capacitatea de surprindere și înțelegere a ceva ce” scapă de cele mai multe ori majorității”.

Problemele și exercițiile propuse în timpul orelor de matematică distractivă evidențiază o serie de caracteristici personale privind cu factorii instrumentali ai creativității.

La nivelul întregii clase, creativitatea poate fi stimulată cu ajutorul strategiilor adecvate devenind o modalitate de învățare cu multiple beneficii pentru elevi. Elevii sunt încântați când li se ofere șansa să-și exprime gândurile și sentimentele în moduri cât mai variate și originale, școlarii mici sunt creativi. Cadrul didactic trebuie să-i încurajeze pe elevi în crearea “noului”, să-i înțeleagă și să accepte acest “nou”.

IV.2. Metodologia cercetării

IV.2.1. Obiectivele cercetării

În această lucrare am cercetat problematica dezvoltării creativității matematice prin rezolvarea problemelor distractive la școlarul mic, având următoarele obiective:

O1: identificarea relației dintre creativitate și matematică distractivă;

O2: testarea potențialului creativ al elevilor;

O3: determinarea eficienței unui program de intervenție personalizat.

IV.2.2. Ipoteza cercetării

Presupunem că introducerea unui program de stimularea a creativității prin rezolvarea unor exerciții și probleme de logică matematică în cadrul orelor de matematică distractivă, va determina o creștere a originalității și a capacității creatoare.

IV.2.3. Metode

În cercetarea problematicii dezvoltării creativității matematice a elevilor din ciclul primar am folosit metoda testelor.

Testele sunt utilizate în procesul de instruire pentru a măsura progresele sau dificultățile din activitatea elevilor.

Obiectivele testelor vizează măsurarea cunoștințelor fundamentale proiectate în cadrul programelor școlare. Testele utilizate ca metodă de cercetare științifică sunt testele inițiale și testele finale.

Testele reprezintă un ansamblu de itemi care vizează cunoașterea fondului informativ și formativ dobândit de elevi, identificarea prezentei sau absenței unor cunoștințe, capacități, competențe, comportamente și procese psihice.

Testele propuse în timpul orelor de matematică distractivă pun în evidență o serie de caracteristici personale în legătură cu factorii instrumentali ai creativității.

Am încercat să creăm o serie de itemi care să arate în mod clar fondul informațional și educațional al elevilor, plecând de la probleme simple și ajungând la cele complexe, bazându-ne pe nivelul lor de cunoștințe și pe anul de studiu.

Pentru eliminarea subiectivismului în măsurarea și înregistrarea rezultatelor individuale, am încercat ca toate cele opt teste să prezinte un înalt grad de standardizare și etalonare.

IV.2.4. Lotul de subiecți

Colectivul cu care am lucrat este format din 25 de elevi din clasa a III-a , 11 băieți și 14 fete, Școala cu clasele I–VIII Ștefan cel Mare, din Alexandria.

Subiecții au vârste cuprinse între 9 și 10 ani, dintre care 10 elevi provin din mediul rural, iar 15 elevi provin din mediul urban.

Structura clasei în funcție de categoria socio-profesională a părinților:

Notă: Dacă părinții aparțin unor categorii socio-profesionale diferite, categoria acestora se determină după categoriile tatălui

IV.2.5. Etapele cercetării

În cercetarea problematicii dezvoltării creativității matematice la școlarul mic, am parcurs trei etape:

etapa constatativă (t1): documentarea și elaborarea instrumentelor de cercetare, aplicarea testelor inițiale pentru constatarea nivelului de la care se începe cercetarea.

etapa experimentală: aplicarea programului de intervenție pentru stimularea și dezvoltarea creativității.

etapa evaluativă (t2): aplicarea testelor finale, analiza, sintetiza și compararea rezultatele obținute.

IV.2.6. Instrumente

Am aplicat metoda testelor ca un instrument alcătuit din mai multe probe elaborate în vederea identificării și testării potențialului creativ.

Problemele date spre rezolvare solicită independența și flexibilitatea gândirii. Astfel, problemele îi determină pe elevi să construiască ipoteze, să încerce soluționarea pe baza acestor ipoteze, să părăsească ipotezele respective când își dau seama că sunt greșite, să construiască alte ipoteze, cu valoare operativă superioară față de primele, până când ajung să rezolve corect problema dată.

IV.2.7. Rezultatele cercetării

În etapa constatativă a cercetării (t1), am aplicat patru teste pentru constatarea potențialului creativ.

Prin elaborarea unui set de patru teste în care vizăm măsurarea parametrilor creativității matematice: fluiditate, flexibilitatea adaptativă, originalitatea și perspicacitatea.

Fiecare test vizează unul dintre cei patru parametrii: testul 1 vizează fluiditatea, testul 2 vizează flexibilitatea adaptativă, testul 3 vizează originalitatea și testul 4 vizează perspicacitatea.

Testul 1

Timp de lucru: 20 minute

1. Pentru a obține , completați în căsuțele de mai jos cu numere în locul literelor. Câte soluții ați găsit?

2. Găsiți cât mai multe variante de descompunere pentru numărul 50 în suma de trei termeni diferiți, formați din zeci și unități. Câte soluții ați găsit?

3. Andi, Bogdan, Gabi, Mihai, se pot așeza în bancă așa cum doresc. Cum se pot așeza cei patru colegi?

Rezolvare:

Acest exercițiu are 8 soluții posibile:

2. Acest exercițiu are 8 soluții posibile:

3. Această problemă conține în 6 moduri de rezolvare:

Tabel nominal cu notele obținute de elevi la testul 1

În cazul acestui test, rezultatele au fost obținute următoarele rezultate:

– 11 elevi între 9,01-10,00 puncte;

– 6 elevi între 8,01-9,00 puncte;

– 4 elevi între 7,01-8,00 puncte;

– 1 elev între 6,01-7,00 puncte;

– 3 elevi între 5,01-6,00 puncte;

– 1 elev între 4,01- 5,00 puncte.

Așadar, în urma aplicării acestui test, observăm că un procent de 65% din totalul elevilor au obținut peste 7,99 puncte, 31% au obținut un punctaj cuprins între 5,00 – 7,99 iar 4% au obținut sub 5,00 puncte.

Aplicarea acestui test ne-a ajutat să măsurăm în termeni concreți fluiditatea gândirii matematice a elevilor de clasa a III-a.

În rezolvarea acestui test am observat că cele mai dese întâlnite greșeli sunt în cazul exercițiului 2.

10 + 11 + 29 = 50 și 29 + 10 + 11= 50.

Această rezolvare este consecința nerespectării comutativității.

În cazul problemei din cadrul acestui test, unii elevi au ales ca mod de așezare în bancă Andi – Bogdan, dar și Bogdan – Andi.

Prin tendința elevilor de a generaliza un mod de rezolvare al unei probleme, de a folosi această rezolvare chiar și în situațiile care se deosebesc de cea inițială se observă rigiditatea gândirii.

De aceea, ei fac greșeli sau nu observă posibilitatea de a rezolva problemele într-un mod mai simplu.

De aceea, considerăm necesară aplicarea unor metode de stimulare a potențialului creativ în rezolvarea exercițiilor și problemelor de matematică.

Testul 2

Timp de lucru: 20 min

Câte dreptunghiuri observați în următorul desen?

Pe același desen trasați încă două segmente astfel încât să obțineți în plus 4 pătrate și patru triunghiuri.

Colorați numărul maxim de pătrate mici care pot forma un pătrat mare. Câte pătrate au rămas necolorate?

Rezolvare:

1. Pentru acest exercițiu avem ca rezolvare: 16 dreptunghiuri.

2. În cazul acestui exercițiu rezolvarea este următoarea:

3. Răspunsul așteptat pentru acest exercițiu este: 9 pătrate.

Tabel nominal cu notele obținute de elevi la testul 2

În cazul acestui testului 2, rezultatele au fost obținute următoarele rezultate:

– 10 elevi între 9,01-10,00 puncte;

– 5 elevi între 8,01-9,00 puncte;

– 5 elevi între 7,01-8,00 puncte;

– 1 elev între 6,01-7,00 puncte;

– 3 elevi între 5,01-6,00 puncte;

– 1 elev între 4,01- 5,00 puncte.

Deci, în urma acestui test, 60% din totalul elevilor au obținut un punctaj mai mare 7,99 puncte, 36 % au obținut un punctaj cuprins între 5,00 – 7,99, iar 4 % au obținut sub 5,00 puncte.

În urma aplicării acestui test, ne-am propus măsurarea flexibilității adaptative ca aptitudine creativă și ca indicator calitativ al acesteia.

Cele mai întâlnite greșeli, în cadrul acestui test, au fost întâlnite în cazul primului exercițiu, elevii au omis numărarea formelor geometrice mari ce le încadrează pe cele mai mici.

O altă eroare întâlnită este faptul că elevii se grăbesc să accepte prima idee, soluția nu apare neapărat de la început, elevii descurajându-se. Munca de creație solicită eforturi de lungă durată.

După rezolvarea testului cu elevii aceștia au afirmat că exercițiul nu a fost dificil.

Testul 3

Timp de lucru: 20 minute

1.Formulați maxim 4 întrebări pe baza următoarei imagini:

2. Alcătuiți o problemă care să se rezolve prin două operații folosind numerele 9 și 72.

3. Executați un desen folosind doar următoarele figuri geometrice: pătrat, triunghi, dreptunghi, cerc.

Rezolvare:

1. În cazul acestui exercițiu, elevii care au formulat 4 întrebări obțin 4 puncte, elevii care au formulat 3 întrebări au obținut 3 puncte, elevii care au formulat 2 întrebări au obținut 2 puncte, iar elevii care au formulat 1 întrebare au obținut 1 punct .

Tabel nominal cu notele obținute de elevi la testul3

În cazul acestui test, rezultatele au fost obținute următoarele rezultate:

– 7 elevi între 9, 01-10,00 puncte;

– 6 elevi între 8,01-9,00 puncte;

– 7 elevi între 7, 01-8, 00 puncte;

– 1 elev între 6,01-7,00 puncte;

– 3 elevi între 5, 01-6, 00 puncte;

– 1 elev între 4, 01- 5,00 puncte.

Deci, în urma acestui test, 52% din totalul elevilor au obținut un punctaj peste 7,99 puncte, 44 % au obținut un punctaj cuprins între 5,00 – 7,99, iar 4 % au obținut sub 5,00 puncte.

Acest test a fost util pentru constatarea un grad mai redus de originalitate care denotă din utilizarea modalităților logice.

În mare parte, elevii au formulat întrebări doar despre ceea ce “se vede” concret în desen, din cauza neatenției și deoarece elevii nu au fost obișnuiți cu exerciții cu variante multiple. Teama de a nu greși i-a împiedicat pe elevi să propună întrebări diferite de cele des întâlnite.

După rezolvarea testului împreună, elevii au constatat că ar fi putut formula și alte întrebări, cum ar fi: De câți șoferi este nevoie pentru a conduce autovehiculele?.

Testul 4

Timp de lucru: 20 minute

1. Completați pătratul magic cu numere de la 1 la 9, folosite o singura data fiecare, astfel încât suma să fie pe fiecare orizontală si verticală 15.

2. Încercuiți răspunsul corect:

a. Alin este cu 3 cm mai scund decât Dan dar cu 5 cm mai înalt decât Ana. Ce diferență de înălțime este între Dan și Ana?

b. Care dintre șirurile de mai jos nu conduc la rezultatul înscris?

Rezolvare:

1. Are mai multe soluții de exemplu:

2. Răspunsurile acestui exercițiu sunt:

a. B

b. E

Tabel nominal cu notele obținute de elevi la testul 4

În cazul acestui test, rezultatele au fost obținute următoarele rezultate:

– 8 elevi între 9,00-10,00 puncte;

– 5 elevi între 8,01-9,00 puncte;

– 4 elevi între 7, 01-8, 00 puncte;

– 6 elev între 6,01-7,00 puncte;

– 1 elev între 5,01-6, 00 puncte;

– 1 elev între 4, 01- 5 puncte.

Deci, în urma acestui test, 52% din totalul elevilor au obținut un punctaj peste 7,99 puncte, 44 % au obținut un punctaj cuprins între 5,00 – 7,99, iar 4 % au obținut sub 5,00 puncte.

Nevoia de joc a copiilor este evidențiată prin atenția acordată “pătratului magic”.

Elevii sunt atrași de faptul că numerele pot fi combinate astfel încât rezultatul să fie surprinzător, acest item a avut cele mai multe soluții corecte.

Însă, rezultatele nu sunt mulțumitoare, posibilele cauze care i-au indus în eroare pot fi neatenția și faptul că elevii nu au fost obișnuiți cu exerciții de acest tip, adică, cu variante multiple. Ne propunem ca în perioada următoare să aplicam cât mai multe astfel de exerciții și probleme.

Pentru a evidențierea cât mai clară a rezultatelor obținute, am realizat următorul tabel, ținând cont de trei niveluri ale creativității matematice și luând în considerare cei patru parametrii vizați:

Nivelul superior – cu punctaj mai mare de 7,99 puncte;

Nivelul mediu – cu punctaj între 5 și 7,99 puncte;

Nivelul inferior – cu punctaj sub 5 puncte.

Etapa experimentală a constat în introducerea programului de stimulare și dezvoltare a creativității matematice a școlarului mic. Acest program are la bază rezolvarea de exerciții și probleme de logică matematică.

În timpul orelor de matematică, am încercat să obținem din partea elevilor randament maxim prin efort propriu. De aceea, prin exercițiile și problemele propuse am încercat să le trezesc interesul și dragostea pentru rezolvarea acestora, motivându-le această activitatea ca o necesitate a vieții.

Pentru a obține un grad mai ridicat de originalitate, vom utiliza modalități imaginative de rezolvare a problemelor, fără a face abstracție de structurile afective care sunt implicate în măsură semnificativă, relația dintre afectiv și cognitiv fiind de interdependență reciprocă.

În activitatea de rezolvare a problemelor de matematică, esențială este înțelegerea acestora. Desprinderea datelor și a relațiilor esențiale găsirii soluției reprezintă o dificultate în primele clase, analiza enunțului problemei solicitând participarea activă a gândirii creatoare.

În urma programului de intervenție, elevii vor fi capabili:

să cunoască și să utilizeze corect conceptele specifice matematicii;

să efectueze corect operațiile;

să rezolve și să compună probleme.

Compunerea problemelor este o altă metodă de dezvoltare și stimulare a creativității matematice a școlarului mic. Schema este cea mai ușor de perceput în procesul de compunere a problemelor. Aceasta îi atrage pe elevii cu o gândire latentă și o imaginație mai scăzută, ajutându-i să aleagă acele mărimi între care au putut stabili o relație logică, în funcție de întrebarea problemei, și să găsească relația matematica între ele.

Exemple:

Compune o problemă care să se rezolve printr-o adunare și o scădere.

Compune o problemă după expresia: (464 – 151 + 320) – 121 =

Compune o problemă care să se rezolve prin trei operații: o operație de înmulțire, o operație de scădere și o operație de adunare.

Compune o problemă după expresia: a + ( a – b ) = c .

Compune o problemă după schema:

Matematica trebuie să modeleze realitatea, astfel în cadrul procesului de creare a problemelor și au fost introduse probleme cu soluții multiple(sau nici o soluție) . După rezolvarea acestor probleme, se vor enumera soluțiile găsite împreună cu elevii, se vor sistematiza și se vor construi variante ale problemelor.

În activitatea de rezolvare a problemelor de matematică, esențiala este înțelegerea acestora. Desprinderea datelor și a relațiilor esențiale găsirii soluției reprezintă o dificultate în primele clase, analiza enunțului problemei solicitând participarea activă a gândirii creatoare.

Exemple:

1. Cum poate fi umplută cu o canistră de 40 l , având o sticlă de 2 l, un borcan de 4 l și un bidon de 8 l?

2. Sara a cumpărat 4 kg de zahăr, 3 kg de faina, 2 kg de mălai si 1 kg de orez. Ce cumpărături pot fi puse într-o plasă care ține 6 kg?

În etapa evaluativă ( t2 ) , pentru calcularea potențialului creativ, am aplicat un al doilea set de teste, cu sarcini similare celor din primul set, prin care vizăm măsurarea acelorași parametrii ai creativității matematice: fluiditate, flexibilitatea adaptativă, originalitatea și perspicacitatea. Fiecare test vizează unul din cei pentru parametrii.

Testul 1

Timp de lucru: 20 minute

1. Puneți numere în locul literelor din căsuțe, astfel încât a + a + b = 10. Câte soluții ați găsit?

2. Compuneți numărul 50 în trei termeni diferiți formați din zeci și unități. Câte soluții ați găsit?

3. Anca, Bogdan, Irina, Mihai, Ana. se pot așeza în bancă, cu condiția ca în fiecare banca să se așeze o fata și un băiat. În câte moduri se pot așeza?

Rezolvare:

1. Acest exercițiu are 8 soluții posibile:

a = 0, b = 10; a = 1; b = 8; a = 2; b = 6;

a = 3, b = 7; a= 4; b = 2; a = 5; b = 0.

2. Acest exercițiu ar 8 soluții posibile:

+ 11 + 29 = 50; 10 + 12 + 28 = 50; 10 + 13 + 27 = 50; 10 + 14 + 26 =50;

11+ 12 + 27 = 50; 11 + 13 + 26 = 50; 11 + 14 + 25 = 50; 12 + 13 + 25 = 50.

3. Acest exercițiu are 9 moduri de rezolvare:

Anca – Bogdan; Anca – Florin; Anca – Mihai; Bogdan – Irina; Bogdan – Ana; Mihai – Ana; Mihai – Irina; Florin – Ana; Florin – Irina.

Tabel nominal cu notele obținute de elevi la testul 1

În urma acestui test, rezultatele au fost următoarele:

– 11 elevi între 9,00-10,00 puncte;

– 9 elevi între 8,01-9,00 puncte;

– 4 elevi între 7, 01-8, 00 puncte;

– 1 elev între 6,01-7,00 puncte.

În urma acestui test, 80% din totalul elevilor au obținut un punctaj peste 7,99 puncte, iar 20 % au obținut un punctaj cuprins între 5,00 – 7,99.

În urma aplicării testului 1 din primul set s-a identificat o rigiditate a gândirii elevilor. Prin acestui test se constată că blocajul a fost depășit.

Am realizat analiza comparativă a rezultatelor testului 1 din ambele seturi.

Testul 2

1. Câte pătrate sunt în următorul desen?

2. Trasați pe desen trei segmente de dreaptă astfel încât în figură să obțineți 1 pătrat , 2 dreptunghiuri, 2 triunghiuri.

3. Colorează doar figurile din chenar care pot forma căsuță în dreapta.

Timp de lucru: 20 minute

Rezolvare:

1. Numărul de soluții pentru acest exercițiu este:10 pătrate

2. Rezolvarea acestui exercițiu este următoarea:

3. În cazul acestui exercițiu rezolvarea este următoarea:4 pătrate si a triunghiuri mari.

Tabel nominal cu notele obținute de elevi la testul 2

În urma acestui test, rezultatele au fost următoarele:

– 13 elevi între 9,00-10,00 puncte;

– 6 elevi între 8,01-9,00 puncte;

– 4 elevi între 7, 01-8, 00 puncte;

– 2 elevi între 6,01-7,00 puncte.

Deci, conform rezultatelor, 76% din totalul elevilor au obținut un punctaj peste 7,99 puncte, iar 24 % au obținut un punctaj cuprins între 5,00 – 7,99.

Prin aplicarea acestui test ne-am propus măsurarea flexibilității adaptative ca aptitudine creativă și ca indicator calitativ al acesteia.

Aplicarea primului test din setul anterior, care viza tot flexibilitatea adaptativă, a demonstrat ca elevii au omis numărarea la prima probă a formelor geometrice mari care le încadrau pe cele mai mici. În urma aplicării acestui test, constatăm că, blocajul a fost depășit.

Am realizat o analiză comparativă a rezultatelor testului 2 din ambele seturi.

Testul 3

1. Formulați maxim 4 întrebări pe baza următoarei imagini:

Exemplu: Câte perle sunt pe colierul mic?

2. Alcătuiți o problemă despre iarnă care să se rezolve prin 2 operații folosind numerele 56 și 7.

3. Executați un desen folosind doar următoarele figuri geometrice:2 pătrate , 4 triunghiuri, 1 dreptunghi, 3 cercuri.

Timp de lucru:20 min

Rezolvare:

1. În cazul acestui exercițiu, elevii care au formulat 4 întrebări obțin 4 puncte, elevii care au formulat 3 întrebări au obținut 3 puncte, elevii care au formulat 2 întrebări au obținut 2 puncte, iar elevii care au formulat 1 întrebare au obținut 1 punct .

Tabel nominal cu notele obținute de elevi la testul 3

În urma acestui test, rezultatele au fost următoarele:

– 10 elevi între 9,00-10,00 puncte;

– 6 elevi între 8,01-9,00 puncte;

– 4 elevi între 7, 01-8, 00 puncte;

– 4 elev între 6,01-7,00 puncte;

– 1 elev între 5, 01-6, 00 puncte.

Așadar, 64% din totalul elevilor au obținut un peste 7,99 puncte, iar 72 % au obținut un punctaj cuprins între 5,00 – 7,99.

La testul din primul set, am constat un grad scăzut de originalitate , de aceea , am propus o imagine sugestivă.

În cazul acestui test, am constatat că bariera concretului a fost depășită, întâlnind foarte multe întrebări cu un grad înalt de originalitate.

Acest fapt se datorează modalităților imaginative de rezolvare a problemelor, fără a face abstracție de structurile afective care sunt implicate în măsura semnificativă, relația dintre afectiv și cognitiv fiind in interdependență reciprocă.

Pentru a evidenția rezultatele obținute am realizat o analiză comparativă a rezultatelor testului 3 din ambele seturi:

Testul 4

Timp de lucru:20 minute

1. Completați pătratul magic cu numere de la 1 la 9, folosite o singura dată fiecare, astfel încât suma să fie pe fiecare orizontală, diagonală si verticală 15.

2. Încercuiți răspunsul corect:

a. Un bilet de intrare la cinema costa 6 lei iar pentru un copil jumătate din aceasta suma. Cât plătește un tata care intra cu amândoi copii?

A. 9 lei; B. 12 lei; C. 6 lei; D. 15 lei; E. 16 lei.

b. Care este rezultatul corect al exercitiului?

A. 3; B. 5; C. 25; D. 0.

Rezolvare:

1. Acest exercițiu are mai multe solutii de exemplu:

2. Răspunsurile corecte sunt:

a. B b. D

Tabel nominal cu notele obținute de elevi la testul 4

În urma acestui test, rezultatele au fost următoarele:

– 12 elevi între 9,00-10,00 puncte;

– 6 elevi între 8,01-9,00 puncte;

– 4 elevi între 7, 01-8, 00 puncte;

– 3 elevi între 6,01-7,00 puncte.

În urma acestui test, 72% din totalul elevilor, au obținut un punctaj peste 7,99 puncte, iar 28 % au obținut un punctaj cuprins între 5,00 – 7,99.

Ca și în cazul testului 4 din cadrul setului anterior „pătratul magic” a fost din nou în atenția copiilor.

În acest test, sarcina a fost de un grad de dificultate mai ridicat deoarece în primul test din primul set, pătratul trebuia completat astfel încât suma sa fie 15 doar pe orizontală si pe verticala. În testul 1 din acest set, se cere să fie și suma pe diagonală.

Am realizat o analiză comparativă a rezultatelor testului 4 din ambele seturi:

Pentru evidențierea cât mai clară a rezultatelor obținute, am realizat următorul table, ținând cont de trei niveluri ale creativității matematice și luând în considerare cei patru parametrii vizați:

Nivelul superior – cu punctaj mai mare de 7,99 puncte;

Nivelul mediu – cu punctaj între 5 și 7,99 puncte;

Nivelul inferior – cu punctaj sub 5 puncte.

În urma aplicării celor două seturi de teste, am realizat analiza comparativă a rezultatelor:

Deci, comparând rezultatele obținute în urma aplicării celor două seturi de teste, se observă că prin intermediul programului de stimulare și dezvoltare a creativității, elevii au o capacitate mai mare de rezolvare a problemelor și exercițiilor.

Pentru obținerea acestor situații statistice, am aplicat metoda testelor în cadrul a două etape:

– etapa constatativă;

– etapa evaluativă.

În etapa constatativă, prin aplicarea primului test, observăm că 17 elevi au punctaj mai mare de 7,99 puncte fiind situați pe nivelul superior, 7 elevi au obținut rezultate între 5 și 7,99 puncte poziționându-se pe nivel mediu și 1 elev a obținut sub 5 puncte, astfel se încadrează pe nivelul inferior.

În urma celui de-al doilea test, rezultatele au fost următoarele: 15 elevi au obținut punctaj mai mare de 7,99 puncte fiind situați pe nivelul superior, 9 elevi au obținut rezultate între 5 și 7,99 puncte poziționându-se pe nivel mediu și 1 elev a obținut sub 5 puncte, astfel se încadrează pe nivelul inferior.

După aplicarea testului 3, 13 elevi au obținut punctaj mai mare de 7,99 puncte fiind situați pe nivelul superior, 11 elevi au obținut rezultate între 5 și 7,99 puncte poziționându-se pe nivel mediu și 1 elev a obținut sub 5 puncte, astfel se încadrează pe nivelul inferior.

Testul 4 aplicat în cadrul acestei etape a avut următoarele rezultate:13 elevi au punctaj mai mare de 7,99 puncte fiind situați pe nivelul superior, 11 elevi au obținut rezultate între 5 și 7,99 puncte poziționându-se pe nivel mediu și 1 elev a obținut sub 5 puncte, astfel se încadrează pe nivelul inferior.

În urma testelor din etapa evaluativă, observăm că rezultatele elevilor s-au îmbunătățit. În urma aplicării testului 1,20 de elevi cu punctaj mai mare de 7,99 au fost încadrați pe nivelul superior, 5 elevi au obținut între 5 și 7,99 puncte fiind încadrați pe nivel mediu.

În urma aplicării testului 2,19 de elevi cu punctaj mai mare de 7,99 au fost încadrați pe nivelul superior, 6 elevi au obținut între 5 și 7,99 puncte fiind încadrați pe nivel mediu.

După aplicarea testului 3, 16 elevi cu punctaj mai mare de 7,99 au fost încadrați pe nivelul superior, 9 elevi au obținut între 5 și 7,99 puncte fiind încadrați pe nivel mediu.

Testul 4 a avut următoarele rezultate: 18 elevi cu punctaj mai mare de 7,99 au fost încadrați pe nivelul superior, 7 elevi au obținut între 5 și 7,99 puncte fiind încadrați pe nivel mediu.

Observăm în urma testelor din etapa evaluativă, că numărul elevilor încadrați pe nivelul inferior în etapa constatativă a scăzut de la 4 elevi la 0 elevi.

Deci, activitatea de rezolvare a problemelor contribuie la stimularea și dezvoltarea creativității elevilor, ceea ce a stat în centrul atenției noastre la orele de matematică distractivă.

IV.3. Concluziile cercetării

În această cercetare, etapa constatativă (t1) a constat în documentarea și elaborarea instrumentelor de cercetare, aplicarea testelor inițiale, astfel am constatat nivelul de la care se începe cercetarea. În etapa experimentală, prin intermediului unui program de intervenție am utilizat metode și tehnici în scopul dezvoltării creativității.

Astfel prin parcurgerea acestor etape am ajuns în etapa evaluativă (t2), ce a constat în aplicarea setului de teste finale, pentru analiza, sintetizarea și compararea rezultatelor obținute.

În interpretarea rezultatelor testelor am ținut cont de cele trei niveluri ale creativității matematice, luând în considerare cei patru parametrii vizați. Astfel, am realizat o clasificare a rezultatelor astfel:

Nivelul superior – cu punctaj mai mare de 7,99 puncte;

Nivelul mediu – cu punctaj între 5 și 7,99 puncte;

Nivelul inferior – cu punctaj sub 5 puncte.

Rezultatele finale au fost consemnate, ca urmare a acestui barem de evaluare.

Noțiunile și deprinderile de bază sunt determinate de particularitățile psihice, de vârstă și individuale, și de factorii educativi fiind dobândite în ritmuri proprii si niveluri diferite de școlarul mic.

Cadrul didactic, în procesul de predare-învățare-evaluare, trebuie să dovedească receptivitate pentru cunoașterea a ceea ce influențează în mod pozitiv activitatea de învățare, deoarece rolul principal în asigurarea reușitei îi revine învățătorului, având pregătirea și capacitatea de a sprijini munca elevilor folosind mijloace adecvate.

Prin aplicarea programului de intervenție am constatat ca prin exerciții bine alese, învățătorul poate educa la elevi încrederea că fiecare dintre ei posedă capacitatea de a fi creativi, că aceasta se poate dezvolta prin însușirea de noi tehnici de gândire.

Pentru aceste obiective, în clasă trebuie format un climat de lucru încât întrebările elevilor sa fie tratate cu atenție, cu respect. Cadrul didactic trebuie să le întărească elevilor constant convingerea că ideile sunt valoroase, învățându-i criterii de evaluare.

În organizarea climatului creativ apar următorii factori:

stimularea divergenței – incitarea clasei în a da cât mai multe soluții la aceeași problemă pusă , lăsând timp pentru generarea răspunsurilor;

receptivitatea – îngăduința, răbdarea de a asculta toate răspunsurile elevilor, neîntrerupându-i fără a formula vreo apreciere imediată asupra acestora , acordând încredere tuturor elevilor; acceptarea întrebărilor cu scopul de a clarifica elevilor problema pusă;

pozitivitatea – străduința de a găsi un aport în fiecare dintre soluțiile sau întrebările formulate coparticiparea elevilor la evaluarea răspunsurilor.

Testele propuse în cadrul celor două seturi, în timpul orelor de matematica distractivă au pus în evidență o serie de caracteristici personale în legătură cu factorii instrumentali ai creativității. Ele îi solicită, de exemplu, subiectului să realizeze într-un interval de timp determinat cât mai multe desene originale pornind de la figuri date, să imagineze pentru aceste desene titluri, să găsească utilizări multiple unui obiect.

Concluzii

Am constatat că pentru școlarii care învață matematica este necesar ca aceștia să fie antrenați la efort obținut prin forțele proprii. În cazul rezolvării de exerciții și probleme de creativitate, gândirea copiilor trebuie lăsată să iscodească, să cerceteze, chiar dacă acest lucru nu conduce neapărat la o reușită. Faptul că sunt instigați spre căutarea unei soluții, are o eficiență mai bogată decât dirijarea elevilor spre o soluție, care i-ar priva de emoțiile căutării cât și de bucuria trăită în momentul descoperirii.

Problema care se ridică este aceea a efortului pe care îl vor depun atât elevii, cât și profesorul în realizarea obiectivelor propuse. Lumea este într-o permanentă schimbare, de aceea, cadrele didactice sunt datoare să creeze noi oportunități pentru dezvoltarea unor personalități creatoare.

În timpul orelor de matematică, am încercat să obținem din partea elevilor randament maxim prin efort propriu. De aceea, prin exercițiile și problemele propuse am încercat să le trezim interesul și dragostea pentru rezolvarea acestora, motivându-le această activitatea ca o necesitate a vieții.

Aprecierea și stimularea efortului depus au constitui o modalitate de înlăturarea principalelor obstacole din calea creativității: timiditatea, teama de a greși, descurajarea și lipsa perseverenței , în special pentru copiii cu un ritm de muncă mai lent, sau care întâmpină unele greutăți în munca de învățare. Această modalitate a dus la antrenarea copiilor in activitatea de învățare susținută. Școala poate stimula zestrea genetică, cu condiția de a o identifica la timp.

În activitatea de rezolvare a problemelor de matematică, esențială este înțelegerea acestora. Desprinderea datelor și a relațiilor esențiale găsirii soluției reprezintă o dificultate în primele clase, analiza enunțului problemei solicitând participarea activă a gândirii creatoare.

Pentru formarea și dezvoltarea capacităților necesare si utile de rezolvare a problemelor de matematică trebuie să gradăm efortul la care supunem gândirea elevilor, ținând cont să nu predomine problemele cu rol de exercițiu, acestea solicitând doar un efort la calcul.

În urma acestei cercetări, prin rezolvarea exercițiilor în mod creativ, am avut posibilitatea de a fi în contact cu elevii și de a controla ritmul de activitate matematică. Am observat că, rezolvarea unei probleme de matematică este cu atât mai dificilă cu cât aceasta diferă mai mult de cele rezolvate anterior.

Pentru rezolvarea problemelor complexe care stimulează creativitatea elevilor, este necesară deschiderea unor perspective, pentru ca elevii să fie educați să nu cedeze până nu ajung să descopere calea spre soluția problemelor. Astfel, va fi educată voința, dârzenia, perseverența.

Schimbarea relației cadru didactic-elevi cât și acceptarea manifestărilor creatoare ale elevilor, permit elevilor o libertate în gândire și acțiune, facilitându-le inventivitatea. Cadrul didactic trebuie să fie preocupat de sporirea caracterului activ și practic aplicativ al matematicii, pentru a asigura efectul instructiv-educativ ale acestui obiect de învățământ.

Dăruirea cadrului didactic pentru profesie va lumina drumul spre împlinire al elevilor, lipsa experienței, greutățile care apar pe parcurs nu trebuie să reprezinte un obstacol pentru cadrului didactic.

Pentru reușita dezvoltării activității, a gândirii cu operațiile și calitățile sale, un rol important revine învățătorului. De aceea am manifestat receptivitate la tot ce este mai nou, la tot ce le place copiilor, la tot ce pot ei rezolva.

Prin multitudinea procedeelor folosite în clasă, noutatea pe care i-o oferim copilului prin fiecare exercițiu, problemă, modul în care reușim să-i activizăm în permanență gândirea, să-l atragem să participe direct la dobândirea noilor cunoștințe cu efect pozitiv asupra personalității omului.

Permanent, trebuie învățătorul să fie preocupat să creeze situații problematice, să-i pună pe elevi în situații de a descoperi noile cunoștințe, care să conducă la asigurarea unei participări afective în toate momentele lecției, contribuind la stimularea gândirii creatoare a elevilor.

Putem spune că, folosind metode și procedee atât clasice cat si moderne prin îmbinare cu pasiunea, tactul pedagogic, randamentul scontat va fi obținut, astfel, elevii vor fi pregătiți pentru integrarea lor în activitatea sociala.

În concluzie, pentru a contribui la formarea personalității elevilor, este nevoie de o muncă pedagogică asiduă și competentă, de selecționare, prelucrare, sintetizare și adaptare a materiei de studiu la nivelul capacităților intelectuale ale acestora.

Indiferent însă de metodele, modalitățile și mijloacele pe care timpul nostru le pune la dispoziția școlii, rolul nostru ca educatori, constituie un factor hotărâtor în organizarea și desfășurarea procesului de învățământ, pentru creșterea randamentului școlar. Învățarea matematicii reprezintă un țel spre care se tinde și se ajunge prin pasiune și muncă.

Prin folosirea acestor metode elevii își formează deprinderi de rezolvare a problemelor de aritmetică, exprimând clar și concis semnificația calculelor făcute în rezolvarea unei probleme prin: transpunerea unor enunțuri simple din limbaj matematic simbolic în limbaj cotidian și invers, justificarea alegerii demersului de rezolvare a unei probleme, utilizarea unor scheme simple pentru a figura pe scurt datele și pașii.

Lecțiile în care se folosesc aceste metode de învățare sunt dinamice, plăcute, stimulatoare și antrenează toți elevii clasei. Metodele constituie o provocare, o curiozitate atât pentru elevi, cât și pentru cadrul didactic.

Utilizarea metodelor de învățare determină o mai bună colaborare între copii, care devin mai toleranți, doresc să se ajute între ei, iar ceea ce este mai important este faptul că se imprietenesc, nemaiținând cont de rezultatele obținute la învățătură, formându-se totodată un spirit de echipă;

Efortul pe care îl face fiecare elev în rezolvarea conștientă a unei probleme a presupune o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoaștere, volitive și motivațional – afective: gândirea, memoria, imaginația, limbajul, voința, motivația și atenția.

Prin organizarea unor activități de învățare variate, adaptate nevoilor individuale ale fiecărui elev, învățătorul stimulează colaborarea, interesul și motivația elevilor pentru rezolvarea problemelor de aritmetică, pentru aplicarea matematicii în contexte variate.

Bibliografie

Bogdan, M., (2003). Culegere de exerciții și probleme de matematică pentru ciclul primar, București: Editura Coresi

Cherata,V., Mîndruleanu, L.,Voicilă, J., (1993). Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică clasele I – VI, Ediția a II-a, Craiova: Editura Sibila

Cosmovici,A., Iacob, L., (2005). Psihologie școlară, București: Editura Polirom

Cucoș, C. (2000), Pedagogie, Iași: Editura Polirom

Donescu, M., Roșca, D. (1987), Manual de matematică, clasa a III-a, București: Editura Didactică și Pedagogică,

Dumitru, A., Maria, L.,A., Dumitru, L., Stroescu, E.,L., Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Pitești: Editura Carminis

Ezechil, L., Păiși, Lăzărescu, M., (2011), Laborator preșcolar – ghid metodologic, București, Editura V&I Integral.

Gârboveanu, M.,V., Nicola, G., Onofrei, A., Roco, Surdu M., (1981). Stimularea creativității elevilor în procesul de învățământ, București: Editura Didactică și Pedagogică

Găzdaru, P., Stancu, A., (1984). Manual de matematică, clasa a IV-a, București: Editura Didactică și Pedagogică

Matei, N., (1982). Educarea capacităților creatoare în învățământ, București: Editura Didactică și Pedagogică, 1982;

Motrescu, V., Horescu, G., Florescu, V., (1988). Manual de matematică, clasa I, București: Editura Didactică și Pedagogică

Muntean, A., M., (2010). Valențe formative ale activității de rezolvare și compunere de probleme în direcția cultivării creativității. Editura Sfântul Ierarh Nicolae

Neacșu, I., Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Editura Didactică și Pedagogică, 1988;

Neagu, M., Mocanu, M., Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura Polirom, 2007;

Nicolescu, N., B., Petrescu, T., C., (2013). Didactica predării matematicii în ciclul primar, Pitești: Editura Paradigme

Păiși, Lăzărescu, M., (2005), Psihologia educației preșcolarului și școlarului mic, Pitești, Editura Pararela 45.

Păiși, Lăzărescu, M., (2011), Metodologia cercetării științifice în învățământul primar și preșcolar, Pitești, Editura Pararela 45.

Păiși, Lăzărescu, M., Tudor, Sofia, L., Stan, M., (2011), Elaborarea, redactarea și prezentarea lucrării de licență/disertație în domeniul științelor educației, Pitești, Editura Universității din Pitești.

Roșca, D., Șincai, E., Manual de matematică, clasa a II-a, Manual de matematică,

Sălăvăstru, D., Psihologia educației, Editura Polirom, Iași, 2004;

Anexe

Probleme și exerciții pentru stimularea și dezvoltarea creativității:

Un gospodar are gâște și oi. Câte gâște și câte oi are dacă are în total 30 de capete și 96 de picioare?

Un melc escaladează în timpul zilei pe un zid 3 m și alunecă 2 m noaptea. Câte zile durează să escaladeze zidul, daca acesta are 10 m?

Pentru a repara un drum, o echipă de 12 muncitori lucrează 10 zile. De câți muncitori este nevoie ca lucrarea să fie terminată în 3 zile?

Alcătuiți o problemă folosind numerele 48 și 8 care să se rezolve prin două operații.

Ce numere, când sunt întoarse se măresc o dată și jumătate?

Anca, Andrei și Viorel au jucat trei partide de șah în total. Câte partide de șah a jucat fiecare?

Rezolvați următoarea adunare înlocuind literele cu cifre, astfel încât să fie corectă adunarea și din punct de vedere matematic. “FORTY + TEN + TEN = SIXTY”.

Faceți ca următoarele egalități să fie adevărate, utilizând operațiile învățate și paranteze:

Procedați astfel încât să apară, fără a scrie nimic un număr cu 12 mai mare dacă pe hârtie este scris numărul 86.

Numiți 6 zile la rând fără a spune data sau numele lor.

Tatăl are 45 de ani, iar cei trei fii ai săi au unul 15, altul 11, altul 7. După câți ani tatăl va avea vârsta egală cu suma celor trei fii ai săi?

Folosind numerele 3, 4, 5 scrieți toate numerele formate din sute, zeci, unități.

Un pescar este întrebat câți pești a prins, acesta spune că spera să prindă 20, dar dacă prindea de 3 ori câți a prins acum și atunci erau de 2 ori mai puțini decât spera el. Aflați câți pești aprins pescarul.

Alice era acum 2 ani de 8 ori mai mare decât fratele său. Acum Alice are 10 ani. Peste câți ani va avea fratele ei 10 ani?

Folosind numerele de la 1 la 9, o singură data fiecare cifră, completați pătratul magic încât să obțineți pe orizontală, diagonală și pe verticală suma

Câte pagini are o carte dacă pentru numerotarea ei au fost necesare 1 791 de cifre?

Mama se îndreptă spre piață cu un coș în mână. În coș erau doi pui, un iepure și o rață. Câte picioare merg la piață?

Dacă o bară metalică este tăiată în 5 bucăți, câte tăieturi se fac?

Ion își duce cârdul de oi la pășune. Oaie mergea înaintea altor două, alta între două și alta după două. Câte oi erau în cârd?

Câte picioare au 3 vulpi, 2 iepuri, și 3 cocoși? Dar 2 miei și 5 rațe, 3 cai?

Pe un lac cresc o mulțime de nuferi. Ei își dublează suprafața în fiecare zi, iar în 20 de zile acoperă tot lacul. În cât timp acoperă nuferii jumătate din suprafața lacului?

Andi este al cincisprezecilea dacă se numără elevii de la începutul rândului și tot al cincisprezecilea dacă se numără de la sfârșitul rândului. Aflați câți elevi sunt în rând?

Cum putem împărți 12 în două astfel încât să fie în fiecare parte 7?

Ana are 24 de ani, adică dublul vârstei pe are o avea Anca când ea era de vârsta ce o are acum Anca. Câți ani are Anca?

Bibliografie

Bogdan, M., (2003). Culegere de exerciții și probleme de matematică pentru ciclul primar, București: Editura Coresi

Cherata,V., Mîndruleanu, L.,Voicilă, J., (1993). Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică clasele I – VI, Ediția a II-a, Craiova: Editura Sibila

Cosmovici,A., Iacob, L., (2005). Psihologie școlară, București: Editura Polirom

Cucoș, C. (2000), Pedagogie, Iași: Editura Polirom

Donescu, M., Roșca, D. (1987), Manual de matematică, clasa a III-a, București: Editura Didactică și Pedagogică,

Dumitru, A., Maria, L.,A., Dumitru, L., Stroescu, E.,L., Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Pitești: Editura Carminis

Ezechil, L., Păiși, Lăzărescu, M., (2011), Laborator preșcolar – ghid metodologic, București, Editura V&I Integral.

Gârboveanu, M.,V., Nicola, G., Onofrei, A., Roco, Surdu M., (1981). Stimularea creativității elevilor în procesul de învățământ, București: Editura Didactică și Pedagogică

Găzdaru, P., Stancu, A., (1984). Manual de matematică, clasa a IV-a, București: Editura Didactică și Pedagogică

Matei, N., (1982). Educarea capacităților creatoare în învățământ, București: Editura Didactică și Pedagogică, 1982;

Motrescu, V., Horescu, G., Florescu, V., (1988). Manual de matematică, clasa I, București: Editura Didactică și Pedagogică

Muntean, A., M., (2010). Valențe formative ale activității de rezolvare și compunere de probleme în direcția cultivării creativității. Editura Sfântul Ierarh Nicolae

Neacșu, I., Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Editura Didactică și Pedagogică, 1988;

Neagu, M., Mocanu, M., Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura Polirom, 2007;

Nicolescu, N., B., Petrescu, T., C., (2013). Didactica predării matematicii în ciclul primar, Pitești: Editura Paradigme

Păiși, Lăzărescu, M., (2005), Psihologia educației preșcolarului și școlarului mic, Pitești, Editura Pararela 45.

Păiși, Lăzărescu, M., (2011), Metodologia cercetării științifice în învățământul primar și preșcolar, Pitești, Editura Pararela 45.

Păiși, Lăzărescu, M., Tudor, Sofia, L., Stan, M., (2011), Elaborarea, redactarea și prezentarea lucrării de licență/disertație în domeniul științelor educației, Pitești, Editura Universității din Pitești.

Roșca, D., Șincai, E., Manual de matematică, clasa a II-a, Manual de matematică,

Sălăvăstru, D., Psihologia educației, Editura Polirom, Iași, 2004;

Anexe

Probleme și exerciții pentru stimularea și dezvoltarea creativității:

Un gospodar are gâște și oi. Câte gâște și câte oi are dacă are în total 30 de capete și 96 de picioare?

Un melc escaladează în timpul zilei pe un zid 3 m și alunecă 2 m noaptea. Câte zile durează să escaladeze zidul, daca acesta are 10 m?

Pentru a repara un drum, o echipă de 12 muncitori lucrează 10 zile. De câți muncitori este nevoie ca lucrarea să fie terminată în 3 zile?

Alcătuiți o problemă folosind numerele 48 și 8 care să se rezolve prin două operații.

Ce numere, când sunt întoarse se măresc o dată și jumătate?

Anca, Andrei și Viorel au jucat trei partide de șah în total. Câte partide de șah a jucat fiecare?

Rezolvați următoarea adunare înlocuind literele cu cifre, astfel încât să fie corectă adunarea și din punct de vedere matematic. “FORTY + TEN + TEN = SIXTY”.

Faceți ca următoarele egalități să fie adevărate, utilizând operațiile învățate și paranteze:

Procedați astfel încât să apară, fără a scrie nimic un număr cu 12 mai mare dacă pe hârtie este scris numărul 86.

Numiți 6 zile la rând fără a spune data sau numele lor.

Tatăl are 45 de ani, iar cei trei fii ai săi au unul 15, altul 11, altul 7. După câți ani tatăl va avea vârsta egală cu suma celor trei fii ai săi?

Folosind numerele 3, 4, 5 scrieți toate numerele formate din sute, zeci, unități.

Un pescar este întrebat câți pești a prins, acesta spune că spera să prindă 20, dar dacă prindea de 3 ori câți a prins acum și atunci erau de 2 ori mai puțini decât spera el. Aflați câți pești aprins pescarul.

Alice era acum 2 ani de 8 ori mai mare decât fratele său. Acum Alice are 10 ani. Peste câți ani va avea fratele ei 10 ani?

Folosind numerele de la 1 la 9, o singură data fiecare cifră, completați pătratul magic încât să obțineți pe orizontală, diagonală și pe verticală suma

Câte pagini are o carte dacă pentru numerotarea ei au fost necesare 1 791 de cifre?

Mama se îndreptă spre piață cu un coș în mână. În coș erau doi pui, un iepure și o rață. Câte picioare merg la piață?

Dacă o bară metalică este tăiată în 5 bucăți, câte tăieturi se fac?

Ion își duce cârdul de oi la pășune. Oaie mergea înaintea altor două, alta între două și alta după două. Câte oi erau în cârd?

Câte picioare au 3 vulpi, 2 iepuri, și 3 cocoși? Dar 2 miei și 5 rațe, 3 cai?

Pe un lac cresc o mulțime de nuferi. Ei își dublează suprafața în fiecare zi, iar în 20 de zile acoperă tot lacul. În cât timp acoperă nuferii jumătate din suprafața lacului?

Andi este al cincisprezecilea dacă se numără elevii de la începutul rândului și tot al cincisprezecilea dacă se numără de la sfârșitul rândului. Aflați câți elevi sunt în rând?

Cum putem împărți 12 în două astfel încât să fie în fiecare parte 7?

Ana are 24 de ani, adică dublul vârstei pe are o avea Anca când ea era de vârsta ce o are acum Anca. Câți ani are Anca?