Partea IV. Câmp magnetic sta ționar 173 [613398]

Partea IV. Câmp magnetic sta ționar 173

5. STRUCTURI CU MAGNE ȚI PERMANEN ȚI

5.1. Energia câmpului magnetic creat de magne ții
permanen ți

Fie un domenuiu Ω, cu peretele ∂Ω perfect conductor.
Peretele poate fi și la infinit. În interiorul domeniului, o regiune

mΩ este ocupat ă de un material magnetic dur (magnet permanent).
În restul domeniului mΩ−Ω=Ω0 , mediul este liniar. Pentru a
pune mai u șor în eviden ță propriet ățile câmpului magnetic creat de
magnetul permanent, consider ăm că în Ω nu avem curent electric
(J=0).
Energia câmpului magnetic din domeniul 0Ω, exterior
magnetului permanent este (Cap.4.3):

∫
Ω⋅=
021dv Wm HB (5.1)

n ∂Ω

0Ω in mΩ
magnet
mΩ∂

Fig.5.1. Domeniu cu magnet permanent.

Partea IV. Câmp magnetic sta ționar 174

Deoarece 0 =J , avem 0=⋅ /Gb3
ΓlHd pentru orice curb ă închis ă Γ din
Ω. Rezult ă că este valabil ă teorema poten țialului magnetic scalar și
putem scrie:
m gradV−=H ( 5 . 2 )

Înlocuind (5.2) în (5.1) și folosind formula lui Gauss, avem:

/Gb3
Ω⋅−=
021dv gradV W m m B = /Gb3
Ω∂⋅−
021dSVmBn + /Gb3
Ω021dv divVm B (5.3)

Datorit ă legii fluxului magnetic ( 0=Bdiv ), ultimul termen din
membrul drept este nul. Bordura 0Ω∂ a domeniului 0Ω este
0Ω∂= miΩ∂∪Ω∂ , unde miΩ∂ este bordura domeniului mΩ, cu
magnet, orientat ă spre interiorul lui mΩ. Ținând cont c ă pe peretele
perfect conductor avem 0=nB , rela ția (5.3) devine:

mW= /Gb3
Ω∂⋅− dSVmBn21/Gb3
Ω∂⋅ −
midSVm iBn21= /Gb3
Ω∂⋅
mdSVmBn21 (5.4)

unde mΩ∂ este bordura domeniului mΩ orientat ă spre exteriorul
lui mΩ. Folosind din nou formula lui Gauss, rezult ă:

/Gb3
Ω⋅=
mdv gradV W m m B21+ /Gb3
Ωmdv divVm B21 (5.5)

și, ținând cont de rela ția (5.2) și de legea fluxului magnetic, ob ținem
energia câmpului magnetic produs de magnetul permanent în exteriorul lui, exprimat ă în func ție de m ărimile câmpului magnetic
din magnet:

Partea IV. Câmp magnetic sta ționar 175

/Gb3
Ω−⋅=
mdv Wm )(21H B (5.6)

Pentru a comenta rela ția (5.6), s ă presupunem c ă, în fiecare punct al
magnetului, rela ția B-H poate fi descompus ă pe direc ția de
magnetizare, unde componentele mB și mH urmeaz ă curba de
histerezis (Fig.5.2), și în planul ortogonal acestei direc ții, unde
componentele tB și tH au o rela ție liniar ă:

tB=tµ tH

Atunci, rela ția (5.6) se mai poate scrie:

/Gb3
Ω−⋅ =
mdv H B W m m m ) (21/Gb3
Ω−
mdvHtt2
21µ

de unde rezult ă:

/Gb3
Ω−⋅
mdv H B m m ) (21= /Gb3
ΩmdvHtt2
21µ +mW (5.7)

Din rela ția (5.7), rezult ă că magnetul poate crea câmp magnetic în
exteriorul s ău doar dac ă o parte din el are componentele mB și mH
ale câmpului magnetic în cadranele 2 sau 4 ale ciclului de
histerezis, unde produsul ) ( m m H B−⋅ este pozitiv. Energia
câmpului magnetic din domeniul 0Ω este cu atât mai mare, cu cât
produsul ) ( m m H B−⋅ este mai mare, în toate punctele magnetului și
cu cât componenta tH, din
planul ortogonal direc ției de
magnetizare, este mai mic ă. La o
calitate dat ă a magnetului, aceste
condi ții depind de modul în care
este proiectat ă instala ția cu
magne ți permanen ți. Realizarea mB
Q
P
mH
Fig.5.2. Caracteristic` de
demagnetizare a magnetului.

Partea IV. Câmp magnetic sta ționar 176

unor magne ți cu produs ) ( m m H B−⋅ cât mai mare este meritul
firmelor produc ătoare de magne ți. Aceste firme atribuie valorii
maxime a produsului ) ( m m H B−⋅ , de pe curba de histerezis limit ă
(v. Partea I, Cap.2, par.2.4), denumirea de “energie maxim ă a
magnetului”. Evident, semnifica ția acestui produs nu poate fi
energia câmpului magnetic în magnet, unde, din cauza faptului c ă
magnetul este un mediu cu histerezis, nu poate fi definit ă energia
câmpului magnetic.
5.2. Calculul câmpului magnetic creat de magne ții
permanen ți

i) Circuite magnetice cu magne ți permanen ți

De cele mai multe ori, magne ții permanen ți pot fi lua ți în
considerare în modelul de circuit magnetic adoptat pentru calculul câmpului magnetic. Este necesar ca fluxul fascicular s ă parcurg ă
magnetul pe direc ția principal ă de magnetizare. Magnetul este
modelat printr-o latur ă de circuit magnetic, neliniar ă și activ ă, a
cărei caracteristic ă
mu−ϕ se ob ține din caracteristica mB-mH,
modificând scalele conform rela țiilor

mmBS=ϕ
și
mm m Hl u=

ii) Sarcini magnetice fictive

Presupunem c ă rela ția mB-mH de pe direc ția de magnetizare
este liniar ă:

mB= mmHµ +rB (5.8)

Aceast ă ipotez ă este sus ținută de faptul c ă, dac ă punctul de
func ționare al magnetului coboar ă sub cotul din cadranul 2, atunci,

Partea IV. Câmp magnetic sta ționar 177

la cre șterea induc ției magnetice, rela ția mB-mH nu mai urm ărește
vechea curb ă, ci o dreapt ă aflat ă sub vechea curb ă (PQ, în Fig.5.2).
Apoi, atâta timp cât valoarea lui mB nu scade sub valoarea din
punctul P, caracteristica mB-mH rămâne pe dreapta PQ. În tehnic ă,
se aduce inten ționat punctul de func ționare al magnetului ( mB) la
valoarea cea mai mic ă, pentru ca apoi s ă fie bine definit ă
caracteristica mB-mH pe care o are magnetul (se nume ște
“stabilizarea magnetului”).
Ținând cont de (5.8), magnetul permanent apare ca un mediu
liniar, anizotrop, cu polariza ție magnetic ă permanent ă (v. Partea I,
Cap.2):
rBH B+=µ ( 5 . 9 )

unde tensorul permeabilit ății magnetice are componentele mµ, pe
direc ția de magnetizare, și tµ în planul ortogonal acestei direc ții, iar
rm r Bu B= , mu fiind versorul direc ției de magnetizare.
Presupunem c ă, în domeniul studiat Ω, avem 0=⋅ /Gb3
ΓlHd pentru
orice curb ă închis ă Γ și atunci este valabil ă rela ția (5.2). Înlocuim
aceast ă rela ție în (5.9) și apoi aplic ăm operatorul div și, ținând cont
de legea fluxului magnetic, ob ținem:

r mdiv gradV div B+ −=µ 0 ( 5 . 1 0 )

Numim sarcin ă magnetic ă fictiv ă mărimea:

r m divB−=ρ (5.11)

și rela ția (5.10) se scrie:

m gradV divµ− =mρ (5.12)

Ecua ția (5.12) este aceea și cu ecua ția poten țialului folosit ă în
electrostatic ă (ecua ția (1.5) de la Partea a II-a, Cap.1). Putem folosi

Partea IV. Câmp magnetic sta ționar 178

metodele de determinare a câmpului electric din electrostatic ă. De
exemplu, dac ă 0µµµ==t m , proprietate valabil ă pentru magne ți
din ferite sau din p ământuri rare, și dac ă domeniul de calcul este
nem ărginit și are peste tot permeabilitatea magnetic ă 0µ, atunci
putem folosi formulele coulombiene (Partea a II-a, Cap.4, par.4.1):

/Gb3
Ddvr 4 = Vmmρ
πµ01 ( 5 . 1 3 )
/Gb3
Ddv
r 4 = m
301 rHρ
πµ ( 5 . 1 4 )

unde D este domeniul ocupat de magnet. De cele mai multe ori, admitem c ă magne ții sunt magnetiza ți uniform și, ca urmare,
rB=ct
în interiorul magnetului. Atunci, în rela ția (5.11), apare divergen ța
superficial ă (v. Partea I, Cap.4, par.4.1):

r rS mS div Bn B⋅= −=ρ (5.15)

unde n este normala la frontiera ∂D a domeniului D. În locul
integralei (5.14), avem:
()/Gb3
∂⋅
DdS
r 4 = r
301 rBnHπµ (5.16)

Observa ție. În Vol.II al acestei lucr ări, se va ar ăta că se pot
folosi sarcinile magnetice fictive (5.11) și pentru calculul for țelor
care ac ționeaz ă asupra magne ților pemanen ți, datorate polariza ției
magnetice permanente a magne ților (5.9). La fel ca în electrostatic ă,
avem:
/Gb3
Ddv = mH Fρ

Partea IV. Câmp magnetic sta ționar 179

Echivalarea polariza ției magnetice cu sarcini magnetice fictive este
valabil ă atât din punctul de vedere al câmpului magnetic produs de
magne ți, cât și din punctul de vedere al forelor ce se exercit ă asupra
magne ților.

iii) Curen ți amperieni

Din legea fluxului magnetic, rezult ă că putem scrie A Brot=
pe care-l înlocuim în rela ția (5.9), înmul țim apoi cu 1−µ și aplic ăm
operatorul rot. Rezult ă:

r rot rot rot B A1 1 − −=µ µ ( 5 . 1 7 )

Numim densitatea de volum a curen ților amperieni m ărimea:

r mrot B J1−=µ ( 5 . 1 8 )

și rela ția (5.17) se scrie:

Arot rot1−µ =mJ (5.19)

Ecua ția (5.19) este aceea și cu ecua ția poten țialului magnetic vector
folosit ă la rezolvarea problemelor de câmp magnetic sta ționar
(4.18). Putem folosi metodele de determinare a câmpului magnetic (Cap.4). De exemplu, dac ă
0µµµ==t m și dac ă domeniul de
calcul este nem ărginit și are peste tot permeabilitatea magnetic ă 0µ,
atunci putem folosi formulele Biot-Savart-Laplace (par.4.2)

Partea IV. Câmp magnetic sta ționar 180

/Gb3×=
Ddv
rm
30
4r JBπµ (5.20)

Dacă admitem c ă magne ții sunt magnetiza ți uniform, atunci, în
relația (5.11), apare rotorul superficial (v. Partea I, Cap.4, par.4.4):

r rS mS rot Bn B J ×−= =
0 01 1
µ µ (5.21)

În locul integralei (5.20), avem:
()/Gb3
∂××−
DdS
r 4 = r
31 r BnBπ ( 5 . 2 2 )

Observa ție. În Vol.II al acestei lucr ări, se va ar ăta că se pot
folosi curen ții amperieni (5.18) și pentru calculul for țelor care
acționeaz ă asupra magne ților pemanen ți, datorate polariza ției
magnetice permanente a magne ților (5.9). Avem:

/Gb3×
Ddv = mB J F

Echivalarea polariza ției magnetice cu curen ți amperieni este valabil ă
atât din punctul de vedere al câmpului magnetic produs de magne ți,
cât și din punctul de vedere al forelor ce se exercit ă asupra
magne ților.