. Oscilatorul Armonic. Compunerea Oscilatiilor Armonice Perpendiculare

Cap. 1. INTRODUCERE

Oscilațiile prezintă o importanță covârșitoare pentru fizică și tehnică, iar dintre ele cele simple, sinusoidale au rol fundamental, fiindcă orice oscilație poate fi obținută prin suprapunerea unor oscilații sinusoidale (teorema Fourier).

Cap. 2. OSCILATORUL ARMONIC

Oscilatorul armonic este un punct material care execută oscilații sinusoidale pe o dreaptă sub acțiunea unei forțe atractive proporționale cu distanța până la centrul atractiv (centrul mișcării).

Reamintim relațiile stabilite mai înainte:

Elongația :

, (1)

unde: A este amplitudinea mișcării, – faza mișcării, – faza inițială, – frecvența unghiulară – frecvența, T – perioada mișcării.

Viteza:

, (2)

viteza este defazată înainte cu /2 (sau T/4) față de elongație.

Accelerația :

, (3)

accelerația este defazată cu (sau T/2) față de elongație, adică este în opoziție de fază cu elongația (fig. 1).

Forța :

, (4)

, . (5)

Ecuația diferențială a oscilatorului armonic:

. (6)

Mișcarea armonică poate fi reprezentată geometric prin proiecția pe o axă a unui vector de modul A care se rotește în sens trigonometric cu viteza unghiulară ω (fig. 2). Proiecția A' a extremității acestui vector execută mișcarea armonică ( fig. 1).

Fig. 1

Analog, viteza și accelerația în mișcarea armonică sunt date în fiecare moment de proiecțiile extremității vectorilor de modul ωA, ω2A, defazați cu π/2, respectiv π față de vectorul A (fig. 2). Ne putem imagina de asemenea că în loc să se rotească vectorii, se rotește axa OX în sens invers.

Fig. 2

b) Energia cinetică, Ec, potențială U și totală E a oscilatorului armonic sunt :

, (7)

, (8)

. (9)

Energia totală este constantă (se conservă) și este proporțională cu pătratul amplitudinii și cu pătratul frecvenței.

Energia potențială U se reprezintă printr-o parabolă, iar forța

(10)

printr-o dreaptă (fig. 3). Forța se anulează acolo unde energia potențială este minimă.

c) Reamintim definiția valorii medii a unei mărimi, de exemplu x = f(t) (fig. 4) :

, (11)

Fig. 3 Fig. 4

adică aria dreptunghiului având înălțimea și baza b-a este egală cu aria S mărginită de curba f(t), ca și cum am „netezi" curba f(t) pe porțiunea (a, b) astfel ca să obținem cu o curbă „orizontală" = constant aceeași arie.

Valoarea medie depinde de intervalul pe care se face media.

Pentru funcțiile periodice, intervalul de mediere se ia egal cu perioada (dacă nu se specifică contrariul).

Din definiția valorii medii (11) rezultă imediat următoarele proprietăți ale valorilor medii:

(12)

dar în general .

Deoarece valoarea medie a sinusului sau cosinusului pe o perioadă este evident nulă, rezultă imediat :

,

(13)

Energia cinetică medie este egală cu energia potențială medie:

,

. (14)

d) Mișcarea armonică joacă un rol important în fizică. Dacă o particulă (de exemplu, atom, ion) este deplasată din poziția sa de echilibru, în care forța este nulă, apare imediat o forță din partea sistemului (de exemplu, cristalului) orientată înapoi spre poziția de echilibru. Pentru deplasări mici forța este practic proporțională cu deplasarea (primul termen al dezvoltării în serie de puteri Taylor), adică curba forței poate fi aproximată în jurul poziției de echilibru printr-o dreaptă, iar energia potențială printr-o parabolă. Prin urmare, oscilațiile mici sunt totdeauna armonice. Efectele anarmonice apar la oscilații de amplitudine mare.

Observație. In mecanica cuantică se arată că energia totală a unui oscilator armonic este cuantificată, adică poate lua un șir discret de valori:

(15)

unde ω este frecvența unghiulară, , iar este constanta lui Planck.

e) Exemple. Reamintim exemplele date mai înainte de oscilații armonice.

1. Pendulul elastic. Un corp de masă m suspendat pe un resort de constantă elastică k efectuează oscilații verticale (fig. 5, a) :

, . (16)

Fig. 5.

Bineînțeles, poziția de echilibru corespunde resortului alungit cu .

Putem fixa resortul orizontal, punând corpul pe un suport cu rotile ca în fig. 5, b. Atunci corpul efectuează oscilații pe o dreaptă orizontală (poziția de echilibru corespunde resortului nedeformat).

2. Pendulul simplu (matematic) gravitațional. Componenta a greutății compusă cu reacțiunea firului dă accelerația normală (centripetă) (fig. 6). Componenta(pentru unghiuri mici) dă accelerația tangențială. Coordonata fiind , rezultă că forța este de tip elastic:

, , (17)

3. Pendulul fizic (fig. 7). Ecuația mișcării de rotație:

(oscilații mici), (18)

, . (19)

Fig. 6 Fig. 7

4. Pendulul de torsiune (fig. 8). Momentul forțelor elastice este :

(unghiuri mici), (20)

ecuația oscilațiilor de torsiune este:

, ,

,. (21)

Fig. 8

f) Subliniem că frecvența oscilațiilor armonice depinde numai de proprietățile sistemului oscilant (constantele k, m) și nu depinde de amplitudinea sau faza oscilațiilor. Aceasta este legea izocronismului micilor oscilații: oscilațiile mici sunt izocrone, adică perioada lor nu depinde de amplitudinea oscilațiilor.

Dimpotrivă, amplitudinea oscilațiilor depinde de condițiile inițiale ale mișcării, adică de elongația și viteza punctului material la un moment inițial dat. Anume, în baza lui (1-2), avem pentru t = 0 :

, ,

de unde amplitudinea și faza inițială:

, . (22)

Cap 3. REPREZENTAREA COMPLEXĂ A OSCILAȚIILOR SINUSOIDALE

Oscilațiile armonice, sinusoidale, pot fi reprezentate și ca parte reală (sau imaginară) a unui număr complex de modul A și de argument egal cu faza oscilației

În adevăr, un număr complex se reprezintă în planul complex z (fig. 9) printr-un punct sau prin vectorul respectiv. (A nu se confunda planul reprezentării numerelor complexe cu planul real. În planul complex z numai axa OR este reală.)

Notăm partea reală, partea imaginară, modulul și argumentul numărului complex z astfel:

, (23)

Fig. 9

În baza formulelor lui Euler:

(24)

putem scrie:

. (25)

Dacă acum privim vectorii din fig. 2 ca reprezentând numere complexe în planul complex, axa OX fiind considerată axă reală, putem scrie:

, (26)

unde

(reamintim că ) (27)

este amplitudinea complexă : modulul ei dă amplitudinea obișnuită reală A, iar argumentul ei dă faza inițială α. Factorul temporal eiωt este util să-l separăm, punându-l în evidență (uneori este chiar omis în calculele intermediare, punîndu-1 la nevoie în rezultatul final).

Deoarece operația de luare a părții reale Re este comutativă cu operația de sumare :

(28)

sau

,

putem face întâi operațiile de adunare algebrică, înmulțire cu numere reale, derivare sau integrare asupra numerelor complexe reprezentative și apoi, la sfârșit, să luăm partea reală a rezultatului obținut. Acest procedeu prezintă avantaje, deoarece operațiile cu funcțiile exponențiale (mai ales derivările și integrările) sunt mai ușoare decât cu funcțiile trigonometrice. Pentru simplificare, semnul Re de obicei se omite în calculele intermediare, scriindu-l la nevoie doar în rezultatul final.

Numărul complex reprezentativ se notează de obicei cu aceeași literă ca și mărimea reală reprezentată, dar prevăzută cu un punct sau o bară deasupra (la noi însă punctul înseamnă derivata în raport cu timpul, iar bara – valoarea medie) sau prin alte semne.

Noi vom nota numărul complex reprezentativ cu aceeași literă ca și mărimea reală reprezentată, deoarece din context rezultă de fiecare dată despre care mărime este vorba.

Regula de derivare. Derivarea mărimilor sinusoidale în raport cu timpul revine la înmulțirea lor cu (unde ), adică la înmulțirea lor cu și defazarea cu înainte.

Mai general, înmulțirea cu un număr complex înseamnă amplificarea cu și defazarea înainte eu .

De exemplu, pentru viteză avem:

, (29)

de unde viteza reală:

;

În fig. 2 se vede clar cum vectorul amplitudinii a fost înmulțit cu și rotit în sens trigonometric cu ;

Pentru accelerație:

, (30)

de unde accelerația reală:

În fig. 2 se vede cum prin derivare vectorul vitezei a fost amplificat cu și rotit în sens trigonometric cu .

Energia nefiind liniară, ci pătratică în amplitudine, nu se pot înmulți direct numerele complexe reprezentative, deoarece . Putem însă ocoli dificultatea folosind numerele complex conjugate:

, ( * – conjugarea complexă ), (31)

,

. (32)

Deoarece modulul numărului complex reprezentativ este egal cu amplitudinea mărimii respective (adică egal cu valoarea maximă), de exemplu :

(33)

(aici x și v sunt numere complexe), rezultă că energiile medii (14) și energia totală se scriu astfel:

(34)

(35)

(aici x și v sunt numere complexe).

Reprezentarea complexă a oscilațiilor armonice se folosește curent în electrotehnică și în electrodinamică.

Cap. 4. COMPUNEREA OSCILAȚIILOR ARMONICE PARALELE

Să considerăm mai întâi compunerea a două oscilații de aceeași direcție (paralele) și de aceeași frecvență (suprapunerea oscilațiilor paralele). Rezultatul este tot o oscilație armonică de aceeași direcție și de aceeași frecvență. În adevăr,

(36)

unde A, α sunt amplitudinea și faza inițială a oscilației rezultante. Dezvoltând cosinusurile și făcând identificările avem:

de unde rezultă amplitudinea A și faza inițială a oscilației rezultante:

(37)

Același rezultat se obține cu ajutorul reprezentării complexe:

,

. (38)

După cum am spus, de obicei, scriem direct ultima relație, omițând de la bun început factorul temporal eiωt.

Cum modulul și argumentul unui număr complex sunt date de (23), (32), obținem imediat amplitudinea și faza inițială a oscilației rezultante :

(39)

Grafic, compunerea oscilațiilor sinusoidale revine la compunerea vectorilor reprezentativi după regula paralelogramului (construcția grafică a lui Fresnel, fig. 10). În adevăr, suma (algebrică a) proiecțiilor mai multor vectori este egală cu proiecția rezultantei lor (liniei de închidere a poligonului format cu vectorii respectivi). Astfel, din triunghiul OA1A avem, conform teoremei cosinusului :

iar din triunghiul OAC avem:

Fig. 10

Amplitudinea oscilației rezultante depinde de diferența de fază a oscilațiilor componente. Astfel, de exemplu:

pentru

pentru , (n – număr întreg) (40)

În primul caz oscilațiile sunt în fază și amplitudinea rezultantă este egală cu suma amplitudinilor componente (amplitudinile se adună), în ultimul caz oscilațiile sunt în opoziție de fază și amplitudinea rezultantă este egală cu diferența amplitudinilor componente (amplitudinile se scad).

c) Dacă frecvențele oscilațiilor componente diferă între ele, oscilația rezultantă nu mai este armonică. În adevăr, vectorii reprezentativi se rotesc cu viteze unghiulare diferite, deci unghiul dintre ei variază, dar atunci rezultanta lor variază ca modul și totodată nu se rotește uniform, ceea ce ar însemna amplitudine și frecvență variabile.

În cazul particular , deși amplitudinea rezultantă este variabilă, frecvența rezultantă este constantă. Paralelogramul devine romb (fig. 11), astfel încât amplitudinea și faza oscilației rezultante rezultă direct din construcția grafică:

Fig. 11

,

(41)

sau transformând direct suma de cosinusuri în produs:

(42)

Rezultatul acesta se poate obține și cu ajutorul numerelor complexe, scoțând factorul temporal și anume:

Primul factor temporal dă oscilația sinusoidală de frecvență , iar paranteza mare dă amplitudinea (conform formulei lui Euler pentru cos θ). Schimbând convenabil originea timpului (momentul inițial), putem desființa faza și obținem astfel expresia mai simplă:

. (43)

Observăm că amplitudinea oscilațiilor este dată de (41), adică de modulul cosinusului respectiv.

În cazul când frecvențele sunt foarte apropiate între ele:

, << (44)

oscilația rezultantă va fi aiate între ele:

, << (44)

oscilația rezultantă va fi aproape sinusoidală, de frecvență , având însă amplitudinea lent variabilă cu frecvența (modulul sinusului sau modulul cosinusului are frecvență dublă), conform lui (43). Acesta este fenomenul bătăilor (fig. 12).

În cazul frecvențelor acustice, sunetul de frecvență se aude succesiv întărindu-se și slăbindu-se cu frecvența și perioada bătăilor:

, . (45)

Fig. 12

Fenomenul bătăilor de mai sus este un caz particular al a, a-numitelor „oscilații sinusoidale modulate" (ca în radiofonie), adică oscilații de tip sinusoidal, dar cu amplitudine variabilă lent după o anumită lege. De exemplu (fig. 13) :

Fig. 13

, (46)

se compune din trei oscilații armonice de frecvențe diferite:

. (47)

În radiofonie, este frecvența sunetului (audiofrecvența) (frecvența „anvelopei"), – frecvența purtătoare, înaltă (radiofrecvența), sunt frecvențele laterale.

Mai general, o oscilație compusă din oscilații armonice este caracterizată de spectrul său – o diagramă în care sunt reprezentate frecvențele oscilațiilor sinusoidale componente și amplitudinile lor, nu apar însă reprezentate în această diagramă defazajele relative. De exemplu, pentru oscilația modulată (46-47) spectrul este reprezentat în fig. 14. Dacă se transmite un sunet compus (vorbire, orchestră), atunci vom avea două benzi laterale.

Fig. 14

Cap. 5 COMPUNEREA OSCILAȚIILOR ARMONICE PERPENDICULARE

Să considerăm mai întâi compunerea oscilațiilor de direcții perpendiculare și de aceeași frecvență :

. (48)

Aceste ecuații reprezintă coordonatele punctului material, deci și ecuațiile parametrice ale traiectoriei sale (t – parametru). Prin eliminarea timpului se obține ecuația unei elipse :

. (49)

În particular, dacă sau , elipsa degenerează în două drepte confundate de-a lungul cărora oscilează punctul material :

, dacă sau . (50)

Dacă diferența de fază dacă , elipsa va avea axele de simetrie în direcțiile oscilațiilor componente :

, dacă . (51)

Pentru ecuațiile (48) devin:

de unde se vede că elipsa (51) este parcursă în sens invers trigonometric. În celălalt caz () elipsa este parcursă în sens trigonometric. Dacă în plus A = B, elipsa devine cerc.

Fig. 15

.

Invers, o oscilație armonică liniară poate fi descompusă în două oscilații circulare de aceeași frecvență, de sensuri opuse, și de amplitudini pe jumătate. Acest fapt își găsește o aplicație în optică pentru legătura dintre, lumina polarizată liniar și lumina polarizată circular.

Dacă frecvențele sunt diferite, punctul descrie o traiectorie complicată. Dacă raportul frecvențelor este rațional (adică raport de numere întregi), traiectoria este stabilă (fixă), dar forma depinde și de diferența de fază. Traiectoriile obținute se numesc în acest caz figuri Lissajoux (fig. 16).

Raportul dintre numărul punctelor de tangență a traiectoriei cu o dreaptă verticală și una orizontală sau raportul dintre numărul punctelor de intersecție a traiectoriei cu o dreaptă verticală și una orizontală este egal cu raportul frecvențelor oscilațiilor componente.

Dacă raportul frecvențelor nu este rațional, punctul descrie o curbă care acoperă treptat o arie.

Fig. 16

Cap. 6. OSCILAȚIILE AMORTIZATE

a) Datorită interacțiunii cu mediul în care efectuează oscilații, particula pierde continuu energie prin radiație sau prin frecare. Cum energia oscilatorului este proporțională cu pătratul amplitudinii, înseamnă că amplitudinea scade cu timpul, adică oscilațiile se sting, se amortizează. Disiparea energiei oscilatorului datorită interacțiunii sale cu mediul nu este un proces pur mecanic și poate fi explicată pe baza altor capitole ale fizicii (termodinamică, fizica statistică, electrodinamică), dar în multe cazuri efectul mediului poate fi descris fenomenologic printr-un model de forță de rezistență.

De exemplu, în cazul unui mediu vâscos, în regim laminar de curgere, forța de rezistență (frecare) poate fi considerată proporțională cu viteza particulei (Stokes) ; în regim turbulent forța de rezistență este proporțională cu pătratul vitezei ; pentru frânarea datorită radiației electromagnetice forța de rezistență (de frânare) este proporțională cu derivata accelerației; în cazul frecării uscate solid-solid, forța de frecare este constantă în modul, schimbându-și doar semnul.

Vom studia mai jos numai cazul forței de frecare proporționale cu viteza particulei, ca, de exemplu, în cazul unui pendul gravitațional sau elastic aflat într-un mediu vâscos. Forța de rezistență a mediului micșorează viteza particulei, fiind orientată în sens opus vitezei :

, , în SI, (52)

unde r se numește coeficient de rezistență.

Ecuația oscilațiilor amortizate este deci :

, sau , (53)

unde

, , , (54)

unde este frecvența oscilațiilor proprii în absența amortizării, iar b se numește coeficient de amortizare.

Soluțiile ecuației diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți (53) sunt de forma . Introducând această soluție în ecuația (53), obținem ecuația caracteristică pentru ρ :

(55)

Soluția generală este o suprapunere a celor două soluții :

(56)

Distingem trei cazuri, după cum rădăcinile ecuației caracteristice (55) sunt complexe conjugate, reale distincte sau confundate.

Oscilații amortizate pseudoperiodice. Dacă , adică coeficientul de amortizare este suficient de mic (), rădăcinile sunt complexe. Obținem soluții reale dacă și constantele sunt complex conjugate între ele, anume

,

unde sunt alte două constante arbitrare reale. Soluția se scrie atunci, ținând seama de formulele lui Euler (24), astfel :

(57), (58)

(58`)

unde este frecvența oscilațiilor libere amortizate, numită și pseudofrecvență (sau pseudopulsație). Ea este mai mică decât frecvența oscilațiilor proprii în absența amortizării (frecărilor), deoarece frecările totdeauna se opun mișcării și o întârzie, mărind perioada, deci micșorând frecvența oscilațiilor.

Oscilațiile amortizate (57) sunt de tip sinusoidal, dar cu amplitudinea descrescătoare exponențial : (fig. 17).

Raportul elongațiilor sau al amplitudinilor la un interval de timp egal cu perioada T’ este :

Logaritmul natural al acestui raport se numește decrement logaritmic :

(59)

Spre deosebire de coeficientul de amortizare b = r/2m, decrementul logaritmic D este adimensional și caracterizează de asemenea gradul de amortizare a oscilațiilor. Cu ajutorul lui se poate compara gradul de amortizare a oscilațiilor de naturi diferite (mecanice, electrice, acustice etc.).

Fig. 17

O măsură a duratei oscilațiilor amortizate este inversul coeficientului de amortizare b, numit timp de relaxare (sau „timp de viață") τ = 1/b = 2m/r. El ne arată în cât timp amplitudinea scade de e = 2,718 ori. Inversul decrementului logaritmic este atunci egal cu numărul oscilațiilor efectuate într-un timp egal cu timpul de relaxare :

(60)

Timpul de înjumătățire a amplitudinii rezultă din condiția

(61)

Dacă amortizarea este mică, adică (sau ), atunci :

(62)

adică în timpul de viață se efectuează un număr mare de oscilații. Atunci amplitudinea oscilațiilor amortizate aproape că nu se schimbă în timpul unei perioade și putem calcula în acest caz energia oscilatorului cu formula cunoscută de la oscilatorul armonic, neglijând variația amplitudinii, adică a factorului , pe timpul unei perioade :

(63)

adică energia scade exponențial cu timpul cu coeficientul de atenuare 2b = r/m.

c) Mișcarea amortizată aperiodică. În cazul (sau), adică coeficientul de amortizare este suficient de mare, rădăcinile sunt reale negative și soluția generală este:

(64)

adică elongația tinde asimptotic către zero, corpul poate trece cel mult o singură dată prin poziția de echilibru, în funcție de condițiile inițiale (fig. 18). Mișcarea se numește amortizată aperiodică (riguros vorbind, orice mișcare amortizată este aperiodică).

Fig. 18

În cazul rădăcinile coincid și soluția generală este:

(65)

Acesta este un caz particular al amortizării aperiodice, numit mișcare aperiodică critică (seamănă cu fig. 18).

d) Disiparea energiei. Energia oscilatorului scade în timp. Să calculăm scăderea energiei în unitatea de timp, adică puterea disipată.

Deoarece variația energiei mecanice este egală cu lucrul mecanic al forțelor neconservative, avem:

(66)

Expresia pătratică în viteză:

(67)

se numește funcție de disipație. Ea are două proprietăți : derivata sa în raport cu viteza este egală cu forța disipativă cu semn schimbat :

(68)

și puterea disipată este egală cu dublul funcției de disipație :

(69)

Cap. 7. OSCILAȚIILE FORȚATE

a) Datorită forței de frecare , care „consumă" din energia oscilatorului, oscilațiile sunt amortizate. Pentru a întreține oscilațiile trebuie să intervenim cu o forță din afară asupra sistemului oscilant pentru a compensa „pierderile " de energie datorită frecărilor.

Să presupunem că asupra particulei acționează o forță periodică (cazul cel mai interesant practic) :

(70)

Experiența arată că după trecerea unui regim tranzitoriu, se stabilește regimul permanent în care particula efectuează oscilații întreținute de amplitudine constantă și cu frecvența forței periodice exterioare, numite oscilații forțate.

Ecuația diferențială este:

(71)

În matematică se demonstrează că soluția generală a ecuației cu partea dreaptă (71) se compune din soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare (fără partea dreaptă), plus o soluție particulară a ecuației complete.

Soluția generală a ecuației omogene, fără membru drept, reprezintă oscilațiile libere (proprii) care au fost studiate în paragraful precedent. Soluția particulară a ecuației complete (71) reprezintă tocmai oscilațiile forțate care rămân în regimul permanent, după stingerea oscilațiilor proprii (datorită factorului exponențial descrescător ).

b) Soluția particulară a ecuației (71) se obține ușor cunoscând metoda de compunere a oscilațiilor sinusoidale (37).

Deoarece membrul drept este periodic cu frecvența , trebuie ca și membrul stâng să fie periodic cu aceeași frecvență, de aceea căutăm soluția particulară de forma , de unde

Introducând în ecuația (71), avem:

În membrul stâng aplicăm formula de compunere a oscilațiilor sinusoidale (37) și obținem:

unde faza rezultantă trebuie să fie nulă în membrul drept

de unde rezultă

(72), (73)

(74)

Soluția particulară a ecuației (71) se obține ușor sub forma complexă , prin metoda reprezentării complexe a oscilațiilor sinusoidale (fig. 19 ,după cum am văzut ):

Introducând în ecuația diferențială (71) obținem:

(75)

(am omis, ca de obicei, factorul temporar eiΩt), de unde rezultă:

(76)

Cu amplitudinea : și faza inițială

(72)

(74)

Fig. 19

Din (76) rezultă soluția reală:

(77)

Soluția generală completă va fi dată de suprapunerea oscilațiilor proprii cu oscilațiile forțate:

(78)

Regimul tranzitoriu se termină după un timp suficient de lung (ca ordin de mărime după timpul de relaxare ), când primul termen care dă oscilațiile proprii devine neglijabil.

După stingerea oscilațiilor proprii amortizate rămâne regimul permanent. Ne vom ocupa mai jos de oscilațiile forțate.

Viteza particulei este:

(79)

(80)

Trebuie subliniat faptul că:

– frecvența oscilațiilor forțate este egală cu frecvența forței exterioare;

– amplitudinea și defazajul oscilațiilor forțate depind de structura sistemului oscilant (k, m) și de frecvența forței exterioare, și nu depind de condițiile inițiale;

– oscilațiile forțate nu sunt amortizate, deși în sistem există forțe de frecare (care influențează valoarea amplitudinii oscilațiilor forțate).

d) Analogia mecanieo-electrică. Prin analogie cu mărimile electrice, se definesc următoarele mărimi:

Rezistența mecanică (activă) :

r – coeficientul de rezistență (real), [r] = kg/s. Reactanțele mecanice:

[X] = kg/s,

sau sub formă complexă:

(81)

în care m este analogul mecanic al inductanței L și 1/k este analogul mecanic al capacității C.

Reactanța mecanică totală:

(82)

Impedanța mecanică a oscilatorului amortizat este analogul impedanței unui circuit oscilant serie:

(83)

Cu noile notații putem scrie:

(84)

Viteza este analogul intensității curentului electric, elongația z analogul sarcinii electrice (proporțională cu tensiunea la bornele condensatorului), iar forța este analogul tensiunii electrice.

Analogia mecanică-electrică

Cap. 8. REZONANȚA

a) Atunci când frecvența forței exterioare Ω Variază, amplitudinea B a oscilațiilor forțate variază (fig. 20). Maximul amplitudinii B are loc pentru frecvența care face minimă cantitatea de sub radical (anulăm derivata în raport cu Ω2) :

(85)

Pentru această frecvență are loc rezonanța elongațiilor (fig. 20) :

(86)

Fig. 20

Curbele din fig. 20 se numesc curbe de rezonantă, cu cât maximul este mai înalt și curba mai îngustă, cu atât rezonanța este mai „ascuțită". Este interesant de comparat această amplitudine de rezonanță cu elongația statică produsă de forța Fo:

(87)

ceea ce rezultă și din (72) pentru Ω = 0 ;

(88)

Pentru amortizări mici, b << ω, rezultă o creștere mare a amplitudinii:

(89)

uneori sistemul se poate chiar distruge la rezonanță.

Ecuația curbei pe care se situează amplitudinile maxime se obține eliminând coeficientul de amortizare b din (85-86) :

(90)

După cum se vede din (80), maximul amplitudinii vitezei, adică rezonanța vitezelor, are loc pentru frecvența:

(91)

În acest caz amplitudinea B nu este însă maximă:

(92)

Prin urmare, trebuie să distingem rezonanța elongațiilor, când amplitudinea este maximă la frecvența

(93)

mai mică decât frecvența oscilațiilor libere, și rezonanța vitezelor când amplitudinea vitezei este maximă la frecvența Ω = ω, egală cu frecvența oscilațiilor proprii în absența amortizării.

Dacă coeficientul de amortizare b este foarte mic, b <<ω , atunci cele două rezonanțe practic coincid și au loc pentru frecvența , maximul amplitudinii la rezonanță va fi foarte mare și curba de rezonanță va fi foarte ascuțită (pentru ,). Pentru amortizări mari, sau, nu există o rezonanță a elongațiilor, curba amplitudinii B scade monoton cu frecventa , dar există o rezonanță a vitezelor.

Din (73) se vede că oscilațiile totdeauna întârzie față de forța exterioară (). Când trecem prin rezonanța vitezelor (Ω = ω), defazajul ( devine , și conform lui (79) viteza va fi atunci în fază cu forța exterioară. Puterea efectuată de forță în acest caz va fi tot timpul pozitivă: P = Fv > 0 și puterea medie va fi deci maximă. Într-adevăr, puterea medie pe o perioadă este :

(94)

de unde puterea maximă are loc pentru :

(95)

La rezonanța vitezelor (Ω = ω) forța activă exact egală în modul și de sens opus eu forța de frecare (disipativă ), care la rezonanța vitezelor devine, în adevăr, conform lui (79), (92), .

Când , defazajul ( dintre elongație și forță este în cadranul IV (fig. 21) ; când Ω = ω, ( (rezonanța vitezelor); când, (trece din cadranul IV în cadranul III) și când, , adică la frecvențe foarte mari elongația este în opoziție de fază cu forța.

Fig. 21

În apropierea rezonanței, când , și pentru amortizări mici (deci), când curba de rezonanță este foarte ascuțită, putem scrie pentru amplitudine (aproximăm ):

(96)

În imediata vecinătate a rezonanței, anume pentru, (96) dă . Amplitudinea începe să scadă sensibil când, și anume, pentru sau , amplitudinea devine – . Prin urmare, coeficientul de amortizare b = r/2m caracterizează semilărgimea curbei de rezonanță (fig. 22).

Fig. 22

Prin lărgimea curbei de rezonanță se înțelege intervalul de frecvențe , unde sunt frecvențele unghiulare pentru care ordonata curbei de rezonanță se reduce la din maximul curbei.

În cazul nostru (fig. 22):

(97)

În cazul reprezentării unei mărimi energetice, care este pătratică în amplitudine, lărgimea curbei trebuie luată la 1/2 din maximul curbei (pentru a obține coeficientul de amortizare).

Prin urmare, din graficul curbei de rezonanță (dacă această curbă este „ascuțită", , și nu „aplatisată"), luând semilărgimea curbei, obținem coeficientul de amortizare b = r/2m.

Dacă amortizarea este mică (), deci rezonanța este ascuțită, atunci înainte de rezonanță () defazajul ( este aproape zero, iar după rezonanță () defazajul este aproape .

În cazul ideal () defazajul ( ar fi nul înainte de rezonanță (oscilațiile forțate în fază cu forța) și egal cu după rezonanță (oscilațiile în opoziție de fază cu forța); pentru defazajul ar avea un salt de la 0 la ; frecările însă „lărgesc" acest salt.

Dacă amortizarea este mică, făcând aceleași aproximații ca pentru amplitudinea, avem:

(98)

Pentru, , prin urmare pe intervalul îngust de frecvențe defazajul variază cu trecând de la (fig. 23). Ducând dreptele orizontale cu faza și intersectându-le cu curba defazajului, obținem Lărgimea 2b = r/m, analog lărgimii curbei de rezonanță; pe intervalul îngust 2b defazajul suferă o variație egală cu jumătate din toată variația sa.

Fig. 23

e) Disiparea energiei. În regimul permanent, când sistemul efectuează oscilații forțate (77), energia sa rămâne constantă, fiindcă sistemul absoarbe continuu energie, pe seama sursei forței exterioare, energie care este disipată prin intermediul frecărilor.

Să calculăm puterea medie disipată . Conform lui (69), (79)

(99)

Bineînțeles, aceasta este identică cu puterea medie (94) dezvoltată de forța activă.

În vecinătatea rezonanței (în cazul amortizărilor mici), să facem în (99) aceeași aproximație ca în (96) :

(100)

Ultima formulă ne dă puterea absorbită de către sistemul oscilant (egală cu cea disipată) în vecinătatea rezonanței, în cazul rezonanței ascuțite.

Curba este simetrică față de frecvența de rezonanță (fig. 24). Forma (100) a relației dintre puterea absorbită și frecvență se numește dispersivă.

Fig. 24

La rezonanță, pentru, puterea absorbită este maximă:

ceea ce coincide, bineînțeles, cu (95).

Pentru, adică, puterea absorbită sau disipată se reduce la jumătate, prin urmare 2b dă lărgimea curbei sau altfel, semilărgimea curbei puterii este egală cu coeficientul de amortizare b. Cu cât amortizarea este mai mică, cu atât maximul (100) este mai înalt și curba mai îngustă, adică rezonanța este mai „ascuțită", dar aria mărginită de curbă este aceeași.

În adevăr, această arie este dată de integrala. Deoarece descrește repede odată cu „dezacordul" (), putem face aproximațiile:

(102)

unde limita inferioară și de aceea putem lua aproximativ.

Cap. 9. OSCILAȚIILE SISTEMELOR CU MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE

Numărul gradelor de libertate ale unui sistem este numărul coordonatelor (parametrilor) independente necesare pentru descrierea mișcării sistemului.

Fie s numărul gradelor de libertate, – coordonatele măsurate de la valorile lor de echilibru (i = 1, 2,…., s). Energia potențială, măsurată de la valoarea sa minimă de echilibru, analog cazului unidimensional, este o funcție pătratică în coordonatele :

(103)

iar energia cinetică – o funcție pătratică pozitiv definită în vitezele :

(104)

Există un sistem de coordonate, numite normale (sau principale), în care ambele forme pătratice (103-104) se aduc simultan la forme diagonale :

(105)

astfel încât energia totală se scrie ca o sumă a energiilor de tip (9) ale unor oscilatori liniari, independenți, care efectuează oscilații simple, armonice, numite oscilații normale, cu frecvențele proprii :

(106)

Oscilația generală a sistemului va fi o anumită suprapunere a oscilațiilor normale.

Folosirea coordonatelor normale reduce astfel problema oscilațiilor unui sistem cu s grade de libertate, la problema oscilațiilor a s oscilatori liniari independenți.

Exemplu. Vom considera un sistem cu două grade de libertate și anume două pendule fizice, identice, cuplate printr-un resort fin orizontal de constantă elastică k, fixat cu distanța h mai jos de punctele de suspensie ale pendulelor, ca în fig. 25. Coordonatele sistemului sunt cele două unghiuri de deviere, măsurate de la pozițiile verticale, respective, de echilibru.

Fig. 25

Vom considera oscilații mici. Atunci alungirea resortului de cuplaj va fi , forța și momentul ei față de axa de rotație .

Ecuațiile mișcării de rotație (oscilație) a pendulelor se scriu ( -distanța de la axa de suspensie la CM) :

(107)

Introducând notațiile:

(108)

ecuațiile devin :

(109)

Frecvențele proprii pot fi găsite pe două căi. Întâi direct, căutând soluții simple armonice ale sistemului (109), anume de forma:

(110)

care introduse în (109) dau, după simplificare cu factorul temporal :

(111)

Acesta este un sistem algebric omogen în amplitudinile și pentru a avea soluții neidentic nule (nebanale) determinantul sistemului trebuie să fie nul:

(112)

Aceasta este o ecuație pătratică în (numită ecuație caracteristică) cu rădăcinile :

(113)

care constituie frecvențele oscilațiilor proprii.

Cea de-a doua cale este trecerea la coordonatele normale, adică separarea oscilațiilor independente. În cazul sistemului nostru (109) aceasta se face imediat prin adunarea și scăderea celor două ecuații:

(114)

coordonatele normale fiind .

Cele două oscilații normale se realizează deviind inițial pendulele cu același unghi, în același sens (- oscilația simetrică), respectiv în sensuri opuse ( – oscilația antisimetrică). În primul caz resortul de cuplaj rămâne de fapt tot timpul nedeformat (și poate fi scos), iar în al doilea caz el este solicitat la maximum.

Oscilația generală va fi o suprapunere a celor două oscilații normale:

(115)

unde constantele , se determină din condițiile inițiale. De exemplu, ținând în momentul inițial t=0 primul pendul fix , iar al doilea deviat cu unghiul , adică , găsim soluția:

(116)

De aici se vede că dacă frecvențele proprii sunt apropiate între ele (cuplaj slab) :

sau , atunci (117)

obținem fenomenul bătăilor, adică oscilații de tip sinusoidal de frecvență , modulate, adică cu amplitudine lent variabilă cu frecvența (bătăilor) :

(118)

Pe măsură ce amplitudinea oscilațiilor pendulului 2 scade spre zero, amplitudinea oscilațiilor pendulului 1 crește spre un maximum, apoi procesul se desfășoară în sens invers. Energia cinetică trece succesiv de la un pendul la celălalt, ele fiind în rezonanță (pendulele pot fi puse în oscilație și în plane perpendiculare pe planul figurii 25).

Cap. 10. ANALIZA ARMONICĂ (FOURIER)

Funcțiile periodice, în condiții foarte generale (condițiile lui Dirichlet), pot fi descompuse într-o serie trigonometrică de forma :

(119)

(120)

unde coeficienții se obțin ușor înmulțind această dezvoltare cu , respectiv și integrând pe o perioadă .

În adevăr, ținând seama că

(121)

,

(simbolul lui Kronecker), (122)

rezultă formulele pentru coeficienți :

(123)

Folosind formulele lui Euler (24), dezvoltarea Fourier (119) se poate scrie cu ajutorul funcțiilor exponențiale:

, (124)

, (125)

Prin urmare, oscilațiile periodice oarecare se descompun în oscilații armonice, sinusoidale, cu frecvențe egale cu multipli întregi nω ai frecvenței fundamentale , unde T este perioada oscilației.

Spectrul oscilației este dat de diagrama în care sunt reprezentate amplitudinile în funcție de frecvență. El este format din linii verticale echidistante de diferite înălțimi (proporționale cu amplitudinile).

Descompunerea oscilațiilor în oscilații sinusoidale este importantă de exemplu în acustică la analiza sunetelor sau în electrodinamică.

Dacă oscilația este aperiodică, atunci în locul seriei Fourier cu spectru de linii (discret), vor apărea oscilațiile sinusoidale cu frecvențele cuprinse într-un întreg interval, deci cu spectru continuu . Seria Fourier trece în integrala Fourier:

(126)

sau sub formă complexă

, (127)

unde densitatea de amplitudine sau densitatea spectrală („anvelopa spectrului") este:

(128)

Spectrul este reprezentat de graficul densității de amplitudine (densitatea spectrală).

De exemplu, oscilația amortizată din fig. 26 are spectrul continuu din fig. 27.

Fig. 26 Figf. 27

Integrala Fourier devine mai simplă în cazul unei funcții pare:

, (129)

Și în cazul unei funcții impare:

, (130)

Exemple. 1. Oscilațiile dreptunghiulare din fig. 28 fiind simetrice față de SC ales, vor conține numai cosinusuri:

(131)

(132)

Spectrul este reprezentat în fig. 29.

Fig. 28

Fig. 29 Reprezentarea spectrului

2. Mișcarea aperiodică , (fig. 30), se descompune în integrala Fourier :

, (133)

sau

(134)

, (135)

Spectrul este dat de și este reprezentat în fig. 31.

Fig. 30 Fig. 31

c) Dacă asupra sistemului oscilant acționează o forță oarecare F(t) periodică sau nu, atunci descompunând-o în serie sau integrală Fourier, calculăm oscilațiile forțate produse separat de fiecare oscilație sinusoidală componentă. Deoarece ecuația diferențială a oscilațiilor amortizate este liniară, suma soluțiilor individuale este de asemenea o soluție (principiul suprapunerii). Rezultatul va fi deci suprapunerea (suma) oscilațiilor forțate individuale. Prin urmare, oscilația forțată rezultată va fi reprezentată de seria (sau integrala) Fourier corespunzătoare.

De exemplu:

, (136)

unde

, (137)

Dacă una din frecvențele componente n coincide sau este foarte apropiată de frecvența de rezonanță a sistemului oscilant, acesta intră în rezonanță, si dacă amortizarea sa este mică, rezonanța va fi foarte ascuțită. Astfel se explică faptul că putem obține rezonanță cu ajutorul unor impulsuri (de formă oarecare) dar cu frecvența de repetiție egală cu un submultiplu întreg al frecvenței de rezonanță.

Dacă avem un set de rezonatori cu amortizări foarte mici, atunci vor intra în rezonanță acei rezonatori ale căror frecvențe proprii de rezonanță coincid cu frecvențele componente ale oscilațiilor aplicate. Astfel se poate face analiza oscilațiilor (de exemplu, frecvențmetrul cu lamele rezonante folosit pentru curentul alternativ industrial).