Oscilațiile reț elei cristaline 6.1.1. Rețeaua cristalin ă. Indicii Miller Majoritatea corpurilor solide întâlnite în natur ă sunt cristaline ,… [620148]

6. FIZICA CORPULUI SOLID

6.1.
Oscilațiile reț elei cristaline
6.1.1. Rețeaua cristalin ă. Indicii Miller

Majoritatea corpurilor solide întâlnite în natur ă sunt cristaline , caracterizându-se
printr-o aranjare spaț ială regulat ă a atomilor sau moleculelor. În afar ă de corpurile solide
cristaline în natur ă mai exist ă o categorie de corpur i solide care au o așezare dezordonat ă a
atomilor și moleculelor, numite corpuri amorfe . Spre deosebire de solidele cristaline,
solidele amorfe se caracterizeaz ă prin izotropia propriet ăților fizice (independen ța de
direcție a acestor propriet ăți) și nu au o temperatur ă de topire bine determinat ă.
Energia liberă a substan ței solide are valoarea minim ă absolut ă în starea solid ă
cristalină. Așezarea spa țială ordonată a atomilor sau moleculelor într-un solid cristalin
determină proprietăți de periodicitate în sensul c ă deplasându-se dup ă o direcție care trece
prin cel pu țin doi atomi, întâlnim mereu al ți atomi situa ți la distan țe egale. Aceast ă așezare
periodică a atomilor sau moleculelor în spa țiu determin ă o anizotropie a propriet ăților
fizice cum sunt conductibilitatea electric ă și termică, propriet ățile optice, modulul de
elasticitate și chiar anizotropia formei ex terioare a corpului solid.
În studiul structurilor cristaline se folosesc no țiunile de rețea și bază. Rețeaua se
defineș te ca mulțimea punctelor discrete din spa țiu, determinate de vectorul
3 3 2 2 1 1a n a n a n Rnrrrr
+ + = (6.1)
unde sunt numere întregi, iar 3 2 1, ,n n n2 1,a arr și 3ar sunt trei vectori necoplanari numi ți
vectori fundamentali ai rețelei. Rețeaua plus baza genereaz ă structura cristalină . Observăm
că o retea infinită prezintă proprietatea de invarian ță la operația de transla ție discretă prin
care rețeaua coincide cu ea îns ăși. Punctele definite de rela ția (6.1) se numesc nodurile
rețelei. Plasând în fiecare nod al re țelei un atom sau un grup de atomi, atribuim re țelei o
bază, obț inând un crital ideal . Marimile 2 1,a arr, 3ar se numesc constantele re țelei pe
direcțiile respective. Punctele re țelei care difer ă printr-un vector al re țelei se numesc
puncte echivalente . Celula elementară este aceea regiune din re țea cu ajutorul c ăreia se
contruiește prin transla ție, după cele trei direc ții, întreaga re țea. Dacă celula elementar ă
conține un singur nod, ea se nume ște celula primitiv ă. Trebuie men ționat că nodurile din
vârfurile unei celule particip ă la opt celule. Celula asimetric ă (în general neprimitiv ă) este
acea celul ă care posed ă numărul maxim de elemente de simetrie ale re țelei respective, cum
sunt axele de rota ție, planele de reflexie, inversie ș i combina ții ale acestora.
Se poate ară ta că simetria de translaț ie impune existenta unor anumite tipuri de axe
de rotație. Definind un plan cristalin ca planul ce con ține cel pu țin trei noduri ale re țelei
(deci conține o infinitate de noduri), alegem o ax ă de rotație perpendiculară pe plan în
punctul O (fig. 6. 1), care în general nu este un nod al re țelei. Fie P nodul cel mai apropiat
de O în acest plan. Pentru a gă si un alt nod al re țelei P’ rotim în jurul lui O cu
unghiul . Vectorul este un vector al re țelei de forma (6. 1). Construind
paralelogramul OPP’O’, punctele O și O’ sunt echivalente și sunt separate printr-un vector
de mărime egal ă cu . Prin urmare prin O’ trece o ax ă de rotație echivalent ă cu cea care
trece prin O. Rotind O' în jurul lui O’ cu unghiul nC
)d=→
OP
0ϕ→
PP'
P'' PP
(0ϕ− nodul P’ coincide cu nodul
. Deoarece P este nodul cel mai apr opiat de O fie coincide cu O ( și în acest caz, O este P"

FIZICA CORPULUI SOLID
un nod al reț elei), fie cade pe un nod situat pe prelungirea segmentului PO. Din fig. 6. 1 se
observă că:
2sin 2 PP'0ϕ=d (6.2)
și
nd d = ϕ − =ϕ= ) cos 1 ( 22sin PP' 2 PP"00, (6.3)
unde n este întreg. Deoarece 1 cos0≤ϕ rezultă că 122≤−n, astfel că n poate avea
numai valorile 0, 1, 2, 3, 4 (condi ție care rezult ă din 022≤−n, sau și 0≥n 122− ≥−n,
sau ). Atunci, 4≤n
. 1 ,21, 0 ,21, 122cos0 − − =−= ϕn (6.4)

Fig. 6. 1. Determinarea num ărului axelor de rota ție.

Prin urmare, unghiul poate avea numai valorile 0ϕ22,32,42,62, 0π π π π. Rezultă
că singurele axe de rota ție C permise în re țea sunt cele cu n . 2 , 3 , 4 , 6 , 1 =n
Rețelele Bravais tridimensionale se deosebesc unele de altele prin m ărimea relativ ă
a vectorilor fundamentali ,2 1,a ar r
3ar prin unghiurile dintre ace știa ijα (fig. 6. 2).

Fig. 6. 2. Celula elementar ă tridimensional ă.

Volumul celulei elementare este:
()3 2 1a a a Vrrr×⋅= . (6.5)
338

FIZICĂ
Există 14 rețele Bravais tridimensionale distribuite în 7 sisteme cristaline numite și
singonii (fig. 6. 3).
1) Sistemul triclinic se construie ște pornind de la re țeaua oblic ă, așezând planele astfel
încât nodurile din planele succesive s ă nu se afle pe aceea și vertical ă. În acest caz,
3 2 1a a ar r r≠ ≠ și . O analiză mai detaliat ă arată că în acest fel
putem construi o singur ă rețea, numită triclinică simplă. Celula elementară este un
paralelipiped oblic cu baza un paralelogram (fig. 6. 3. 1). o
31 23 1290≠ α ≠ α ≠ α
2) Sistemul monoclinic (fig. 6. 3. 2) con ține două tipuri de retele Bravais: re țeaua
monoclinic ă simplă (fig. 6. 3. 2 a)) și rețeaua monoclinic ă cu volum centrat (fig. 6. 3. 2
b)), ambelele construite pe baza re țelei plane oblice. La pr ima, nodurile din planele
succesive se afl ă pe aceea și vertical ă, în timp ce la cea de-a doua, nodurile din planul
următor se află deasupra centrelor paralelogramelor din planul precendent.

Fig. 6. 3. Rețelele Bravais tridimensionale.

Celula elementar ă a rețelei monoclinice se caracterizeaz ă prin 3 2 1a a arr r≠ ≠ și
(paralelipiped drept cu baza paralelogram). Re țeaua monoclinic ă o
31 23 1290= α = α ≠ α
339

FIZICA CORPULUI SOLID
cu volum centrat apare ca o re țea complex ă conținând două noduri în celula elementar ă (de
notat că nodurile din col țuri contribuie cu 1/8 din celula respectiv ă, acestea apar ținând la
opt celule vecine). Se poate alege o celul ă elementar ă primitivă, ca cea din fig. 6. 3. 2 a))
de formă romboedric ă. Se poate ar ăta că rețeaua monoclinic ă cu volum centrat este
echivalentă cu rețeaua monoclinic ă în care dou ă fețe dreptunghiulare opu se sunt centrate.
3) Sistemul ortorombic (ortogonal sau rombic ) având ca celulă un paralelipiped drept cu
baza dreptunghiular ă (3 2 1a a arr r≠≠ și ) conține patru tipuri de
rețele Bravias (fig. 6. 3. 3): o
31 23 1290= α = α = α
– ortorombic ă simplă (fig. 6. 3. 3 a), care se construie ște pornind de la re țeua plană
dreptunghiular ă, așezând nodurile pe aceea și verticală;
– ortorombic ă cu volum centrat (fig. 6. 3. 3 b)) se construie ște din re țeaua plan ă
dreptunghiular ă, nodurile din planele succesive a șezându-se deasupra centrelor
dreptunghiurilor din palnul precendent. ăi în acest caz celula elemntar ă apare complex ă,
însă, se poate alege o celulă primitivă romboedric ă;
– ortorombică cu baza centrate (fig. 6. 3. 3 c)) se construie ște pornind de la re țeua
plan rombic ă, astfel ca nodurile din planele succesive s ă fie unele deasupra altora. Aceast ă
rețea apare ca re țea complex ă cu două noduri pe celula elemntară (nodurile de pe fe țe
contribuie la celul ă cu 1/2), dar se poate construi și o celulă primitivă;
– ortorombic ă cu fețe centrate (fig. 6. 3. 3 d)) se construie ște pornind de la re țeaua
rombică, plasând nodurile în plane succesive. Aceast ă rețea apare de asemenea, complex ă,
cu patru noduri pe celula elemntar ă, celula primitiv ă romboedric ă putând fi aleas ă în mai
multe feluri.
4) Sistemul hexagonal se construie ște pornind de la re țeua plan hexagonal prin a șezarea
nodurilor din planele succesive unele deasupra altora. Sistemul con ține o singur ă rețea
Bravais ( hexagonal ă simplă) caracterizat ă prin 3 2 1a a arrr≠= și (sau 1200) și
(fig. 6. 3. 4). o
12 60= α
o
31 2390= α = α
5) Sistemul romboedric sau trigonal se construieș te pornind tot de la re țeaua plan ă
rombică, plasând nodurile din planele succesi ve deasupra romburilor din palnele
precedente, astfel ca 3 2 1a a arr r== și . Sistemul con ține o
singură rețea Bravais, trigonală simplă. Putem s ă ne imagin ăm generarea acestui sistem
prin deformarea unui cub dup ă diagonala principal ă (fig. 6. 3. 5). o
31 23 1290≠ α = α = α
6) Sistemul tetragonal sau pătratic , având ca celul ă o prismă dreaptă cu baza p ătrat
(3 2 1a a ar r r≠ = și ) se genereaz ă pornind de la re țeaua plan ă
pătratică în două variante (fig. 6. 3. 6): o
31 23 12 90= α = α = α
– tetragonal ă simplă (fig. 6. 3. 6 a)) în care nodurile din planele succesive se a șează
unele deasupra altora;
– tetragonal ă cu volum centrat (fig. 6. 3. 6 b)) în care nodurile din planele succesive
se aș ează deasupra centrelor p ătratelor din planele precendente. Aceast ă rețea apare drept
complexă, cu două noduri pe celula elementar ă, însă o celulă primitivă se poate alege sub
forma unu romboedru.
7) Sistemul cubic (3 2 1a a ar r r= = și ) se genereaz ă pornind de la re țeaua plan ă
pătrătică. Conț ine trei tipuri de re țele Bravais (fig. 6. 3. 7): o90= αij
– cubică simplă (fig. 6. 3. 7 a)),
– cubică cu volum centrat (fig. 6. 3. 7 b)),
– cubică cu fețe centrate (fig. 6. 3. 7 c)).
340

FIZICĂ
Ultimele dou ă rețele se construiesc la fel ca în c azul sistemului ortoromic. Acestea
apar drept complexe, cu 2 și respectiv 4 noduri pe celula elementar ă, iar celulele primitive
sunt romboedre. Se poate ar ăta că aceste 14 re țele sunt singurele re țele Bravais
tridimensionale. Modificarea uneia din ele, prin ad ăugarea de noduri pe fe țe, pe muchii sau
în centrul celulei, conduce la o alt ă rețea Bravais din cele 14 descrise. De exemplu, dacă la
rețeaua monoclinic ă simplă se adăugă noduri în centrele bazelor se ob ține o altă rețea
monoclinic ă simplă, prin realegerea convenabil ă a celulei elementare (fig. 6. 4).

Fig. 6. 4. Adăugarea de noduri suplimentare pe bazele une i celule monoclinice simple conduce la o
altă celulă monoclinic ă simplă.

Rețelele Bravais spa țiale se pot genera unele din alte le prin deformarea pe diferite
direcții. O direcție în cristal este determinat ă de dreapta care con ține cel pu țin două noduri
ale rețelei. Planul cristalin este planul determinat de trei noduri ale re țelei. Datorit ă
simetriei de transla ție, direcț ia și planul con țin o infinitate de noduri.
O direcție cristalin ă se define ște prin indicii întregi []3 2 1n n n astfel ca vectorul de
poziție al nodului cel mai apropiat, situat pe direc ția respectiv ă, față de alt nod luat ca
origine, să fie:
3 3 2 2 1 1a n a n a n Rnrrrr
+ + = . (6. 6)
Ca urmare, direc ția cristalin ă se poate defini prin tripletul de numere
prime între ele. De exemplu, pentru sistemul cubic, nodul de coordonate ,, ,3 2 1n n n
4 , 2 , 2 4 , 2 , 2≡ −
se găsește pe direcț ia ] 2 11 [, față de axele cubice, în urma simplific ării prin divizorul
comun 2. Direcț iile echivalente în rețea se noteaz ă 3 2 1n n n. Astfel, diagonalele fe țelor
unui cub formeaz ă mulțimea de 24 direc ții echivalente, care se noteaz ă 110 . Diagonalele
cubului formeaz ă mulțimea direc țiilor echivalente notate 111 .
Planele cristalografice se noteaz ă cu ajutorul indicilor Miller . Considerând
planul care taie pe axele cristalografice segmentele în unități de constantă de
rețea (l k h )
, , ,3 2 1p p p
3 2 1, ,a a ar r r se calculeaz ă rapoartele inverselor acestor numere și astfel se
determină cele mai mici trei numere întregi care se afl ă în acelaș i raport: l k h , ,
.1:1:1: :
3 2 1p p pl k h= (6. 7)
De exemplu, planul care taie axele cristalo grafice în punctele de coordonate 1, 2, 4
este determinat de indici Miller:
41:42:44
41:21:11: : = =l k h , (6. 8)
adică . Pentru planul care taie axele în punctele se obț ine: 1 , 2 , 4= = =l k h , 3 / 1 , 2 / 1 , 1
341

FIZICA CORPULUI SOLID
13:12:11: :=l k h , (6. 9)
adică
3 ; 2 ; 1=== l k h . (6. 10)
În raport cu axele cubice, o fa ță a unui cub (de exemplu planul ) se noteaz ă cu
(100). Dacă planele cristaline sunt paralele cu un a din axele cristalografice, atunci, dup ă
cum rezult ă din relația (6.7) indicii Miller respectivi sunt zero, deoarece planele taie axele
la infinit. Planele echivalente se noteaz ă cu . De exemplu, toate fe țele unui cub se
notează cu {100}. Câteva tipuri de plane ale sistem ului cubic sunt prezen tate în fig. 6. 5. 0=z
} {l k h

Fig. 6. 5. Plane cristaline în sistemul cubic .

6.2. Studiul experimental al structurii cristaline
6.2.1. Difrac ția pe cristale
Iradierea unei re țele cu o radia ție de o anumit ă lungime de und ă λ, duce la apariț ia
figurilor de difrac ție, adică a unui sistem de maxime și minime ale intensit ății radiaț iei
difractate. Condi ția de maxim a intensit ății este ca diferen ța de drum a dou ă raze difractate
să fie un multiplu întreg al lungimii de und ă (fig. 6. 6). Dac ă n și n’ sunt versorii direc țiilor
de propagare ale fasc iculului incident și difractat rezult ă:
λ '1 1 1g a n a n OC BO=⋅+⋅−=+rrrr (6.11)
unde este un vector fundamental al re țelei cristaline, iar este un întreg. Pentru cele
trei direcț ii cristalografice, condi țiile de maxim sunt: 1ar
1g

λ.. ) ' (λ, ) ' (λ, ) ' (
3 32 21 1
g n n ag n n ag n n a
= − ⋅= − ⋅=−⋅
r r rr r rrrr
(6.12)

Fig. 6. 6. Reprezentarea schematic ă a difracției pe o re țea cristalin ă.

Relațiile (6.12) se numesc ecuațiilei Laue . Întrucât în prima relaț ie (6.12),
342

FIZICĂ
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−π= ⋅ α2cos '1 d n ar r (6.13)
și
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−π− = ⋅ α2cos1 d n ar r (6.14)
astfel că aceasta devine:
λ α sin 2 n d= , (6.15)
relație numită relația Bragg și unde d este distenta dintre planele cristaline. Radia ția
electromagnetic ă incidentă poate fi descris ă printr-o undă plană de forma ()rrr
βi exp ,
unde β este vectorul de undă , care indic ă direcția de propagare, astfel: r
λ2β βπ= =r
și β2λ
ββrr
r
π= = n . (6.16)
Deoarece difrac ția este un proces de interac ție elastic ă a radiației cu re țeaua
cristalină, rezultă că lungimea de und ă a radiației incidente este egal ă cu cea a radia ției
difractate, sau 'β= β. În acest caz ecua țiile Laue (6.12) pot fi scrise sub forma:
1 1 2 )β'β( g a π = − ⋅rrr, 2 2 2 )β'β( g a π = − ⋅rrr, 3 3 2 )β'β( g a π = − ⋅rrr. (6.17)
Rela țiile (6.17) mai pot fi scrise și sub form ă condensat ă:
, 2 β0 i i g aπ = ⋅rr (6.18)
unde
.β'β0rrr
− = β (6.19)
Dac ă se înmulțește relația (6.19) cu h rezultă
0'β β βr
hr
hr
h+ = (6.20)
care apare ca o lege de cons ervare a impulsului fotonului β =r
hrp în cristal. Vectorul 0βr

poartă numele de vectorul reț elei reciproce . Vectorii fundamentali ai re țelei reciproce sunt
definiți cu ajutorul vect orilor fundamentali 2 1,a arr
și 3ar sub forma:
03 2
12Va abrrr×π = ,
01 3
22Va abrr
,
02 1
32Va abrr× r r ×π = π =
), (6.21)
unde (3 2 1 0a a a Vr r r×⋅ = este volumul celulei elementare a re țelei directe. Se observ ă că:
ij j i b aπδ = ⋅2rr, (6.22)
unde este simbolul lui Kroenecker. Mulț imea punctelor definite de vectorul ijδ
3 3 2 2 1 1 0b g b g b grrrr
+ + = β , (6.23)
unde sunt numere întregi și definesc rețeua reciprocă . Ridicând la p ătrat relația
(6.20) și ținând cont c ă rezultă relaț ia: 3 2 1, ,g g g
'β = β
0 22
0 0= β + β ⋅ βrrr
sau 0 20= β + βrr
, (6.24)
care apare ca o condi ție de difrac ție.

6.2.2. Studiul structurii cristaline prin difrac ție de raze X

Cu ajutorul razelor X se pot determina: elementele de simetrie și tipul structurii,
fazele cristaline, distan țele dintre planele cristaline, orientarea cristalelor, compozi ția (prin
343

FIZICA CORPULUI SOLID
fluorescen ță de raze X), gradul de cristalinitate, m ărimea cristalelor în materiale
policristaline, etc. Pentru studiul structurii cristaline prin difrac ție de raze X se folosesc trei
metode: metoda Laue , metoda cristalului rotitor și metoda pulberilor cristaline .

a) Metoda Laue constă în iradierea unui monocristal de dimensiuni mici (~1mm) cu raze
X având un spectru continuu. Razele X p ătrund adânc în solide și sunt împrăștiate de
electronii p ăturilor atomilor de pe plan ele cristaline. Din aceast ă cauză studiul structurii
prin difrac ție de raze X dă rezultate mai bune la elemente mai grele, cu mai mul ți electroni.
Cristalul este fixat pe un suport, goniometru , care permite orientarea lui sub diferite
unghiuri fa ță de fasciculul incide nt. Figura de difracț ie este înregistrat ă pe o plac ă
fotografic ă și se prezint ă sub forma unor pete situate pe elipse cu axa mare comun ă, care
trec prin pata central ă. Aceste pete corespund maximelor de interferen ță ale razelor
reflectate de diferite plane care selecteaz ă din spectrul continuu anumite lungimi de und ă,
conform rela ției Bragg (6. 15). Prin aceast ă metodă nu se poate determina distan ța
între planele , deoarece maximele de interferen ță pot proveni de la mai multe familii
de plane. Metoda este util ă pentru determinarea orient ării planelor cristaline și a simetriei
rețelei. Simetria figurii de difrac ție păstrează simetria re țelei, ceea ce permite determinarea
sistemului cristalin respectiv, prin orie ntarea cristalului cu diferite unghiuri fa ță de
fasciculul incident. Astfel, dac ă figura de difrac ție prezint ă axe de simetrie de ordinul 4,
sistemul cristalin va fi tetragonal, iar dac ă prezintă și axe de ordinul 3, sistemul va fi cubic.
În sfârșit, dacă se găsește o axă de simetrie a figurii de difrac ție de ordinul 6, sistemul va fi
hexagonal. Din simetr ia figurii de difrac ție se poate determina totodat ă și orientarea
cristalului. hkld
} {hkl

b) Metoda cristalului rotitor . În aceast ă metodă se utilizeaz ă o radiație X monocromatic ă
ce cade pe un monocristal de dimensiuni mici ( ~ 1mm) introdus într-o camer ă de difrac ție
cilindrică . Monocristalul este fixat pe un suport care se rote ște în jurul unei axe
perpendiculare pe fasciculul incident, razelor difractate fiind înregistrate pe un film aplicat
pe pereții cilindrului. Petele de difrac ție obținute sunt dispuse pe cercuri determinate de
intersecția fasciculului difractat pe pelicula fotografic ă.
În fig. 6. 7 este prezentat schematic filmul desf ășurat cu figura de difrac ție.
Deoarece prin rota ție nu orice unghi satisface relaț ia Bragg, figura de difrac ție este format ă
din pete ( și nu din linii continue), ob ținute prin reflexie pe plan e cristaline care, rotindu-se,
satisfac aceast ă relație la fiecare rota ție cu π radiani. Astfel, pentru o orientare oarecare a
planului de difractie fat ă de fascicul, apar patru pete de difrac ție la o rotaț ie complet ă.

Fig. 6. 7. Figură de difrac ție obținută prin metoda cristalului rotitor.

Pentru o direcț ie cristalografic ă oarecare wr, ecuaț iile Laue (6.12) se scriu:
λ=γ−γ=−⋅ g w n n w ) cos (cos ) ' (0rrr ( 6 . 2 5 )
344

FIZICĂ
unde w este perioada pe direc ția wr, iar γ și 0γ sunt unghiurile dintre aceast ă direcție și
fasciculul difractat, respectiv incident. Dac ă fasciculul incident es te perpendicualar pe
direcția , atunci wr
20π= γ și relația (6.25) pentru fasciculul difractat, devine:
λ=γg wcos , (6.26)
care este ecua ția unui con cu unghiul la vârf egal cu 2 γ.
Metoda cristalului rotitor permite de terminarea perioadelor cristalului, a
constantelor de re țea și a elemntelor de simetrie. De exemplu, pentru un cristal cubic cu
axa paralelă cu axa de rota ție (fig. 6. 8), adic ă 3ara a w==3 (latura cubului), condiț ia
(6.26) se scrie:
λ=γeS a cos3 , (6.27)
unde ϕ −π= γ2 și RSe= ϕtg . Cunoscând lungimea de und ă λ se poate determina
constanta re țelei.

Fig. 6. 8. Reprezentarea schematic ă a metodei cristalului rotitor.

c) Metoda pulberilor (Debye-Scherrer). În aceast ă metodă, cel mai frecvent, radia ția
monocromatic ă cade asupra unei pulberi de cristalite fine. Datorit ă orientării haotice a
cristalelor, vor exista întotdeauna anumite plane cristalografice care îndeplinesc condi ția
Bragg. Acela și p l a n s e v a g ăsi într-o mul țime de alte cristalite situate în jurul razei
incidente orientate la unghiul de difrac ție θ fată de aceasta, ca ș i cum planul respectiv se
rotește în jurul razei incidente. Astfel, razele difractate se vor g ăsi pe generatoarea unui con
care se intersecteaz ă cu filmul fixat pe pere ții camerei, sub forma unor arce (fig. 6. 9 a), b))
simetrice fat ă de pata central ă, corespunză toare radia ției nedifractate transmise. Pe film se
observă atât razele difractate înainte cât și cele difractate înapoi.

Fig. 6. 9 a), b). Reprezentarea schematic ă a metodei pulberilor.

345

FIZICA CORPULUI SOLID
Metoda pulberilor permite determinarea parametilor celulei elemntare, simetria
structurii cristaline, defecte, etc. De exemplu, pentru determinarea distan ței interplanare și
a constantei de re țea la un cristal cubic, se procedeaz ă astfel: se m ăsoară pe diagrama
Debye-Scherrer distan ța între arcele simetrice față de pata central ă (fig. 6. 10) ș i dacă
R este distan ța de la prob ă la film, iar θ este unghiul de difrac ție, atunci: eS2
RSe
42= θ .

Fig. 6. 10. Determinarea distan ței interplanare și a constantei re țelei.

Găsind unghiurile pentru diferite linii de difrac ție, din rela ția lui Bragg se
determină o serie de distan țe interplanare θ
θλ=sin2nd , (6.28)
ceea ce permite indexarea röntgenogramelor, adic ă identificarea planelor cristaline.

6.2.3. Capacitatea calorică a cristalelor
Teoria Einstein .
Conform teoriei clasice un cristal care este format din N atomi are N3
grade de libertate de oscila ție, fiecă ruia corespunzându-i o energie medie (kT kT21 sub
formă de energie cinetic ă și kT21 sub form ă de energie poten țială). Astfel, energia intern ă
a unui cristal, calculat ă în cadrul teoriei clasice, este egal ă cu:
RT NkTi υ== 3 3 E , (6.29)
iar capacitatea caloric ă la volum constant:
RTC
Vi
V υ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂= 3E, (6.30)
aceasta reprezentând con ținutul legii experimentale Dulong-Petit . Această lege este
verificată doar la temperaturi în jurul lui 300 K. La temperaturi apropiate de 0 K,
capacitatea caloric ă scade cu temperatura astfel ca la K0=T și . Valoarea
pentru energia medie a mi șcării oscilatorii a fost ob ținută presupunând c ă energia
oscilatorului armonic poate avea un spectru co ntinuu. În cazul cuantic, energia de oscila ție
este cuantificat ă, astfel că energia medie, calculat ă pentru oscilatorul armonic este: 0=VC kT

1 exp21
−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ωω+ ω =
kTWhhh . (6.31)
346

FIZICĂ
Teoria capacit ății calorice a corpului solid, ținând cont de cuantificarea energiei de
oscilație a fost elaborat ă de A. Einstein în 1907 și îmbună tățită de P. Debye în 1912.
A. Einstein a considerat c ă rețeaua cristalin ă formată din N atomi este echivalent ă
cu N3 oscilatori independen ți, cu aceea și frecvență proprie ω. Existența energiei de zero
a fost stabilit ă ulterior, doar dup ă formularea coerentă a mecanicii cuantice. Dar, în ceea ce
priveș te capacitatea caloric ă la volum constant rezu ltatul nu este influen țat de existen ța
energiei de zero, deoarece aceasta nu depinde de temperatur ă. În această ipoteză , energia
internă a cristalului se ob ține înmulț ind cu N3 membrul drept al rela ției (6.31), adic ă:

1 exp3
23
−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ωω+ ω=iE (6.32)
kTNNhhh ,
iar capacitatea caloric ă este:
2
22 2
1 expexp 3
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ω⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ωω
=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂=
kTkTkTN
TC
Vi
V
hhhE. (6.33)
Consider ăm cele dou ă cazuri limit ă ale relației (6.33):
a) , adică cazul temperaturilor înalte . În acest caz putem face aproxima ția ω >>h kT
kT kTω+ ≈⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ωh h1 exp , (6.34)
astfel că relația (6.34) devine:
, 3 3
1 13
2 2R Nk
kT
kTNCV υ = =ω⋅
⎟⎠⎞⎜⎝⎛− +ω+ω≈h
Khh
(6.35)
care este chiar legea Dulong-Petit.
b) , adică cazul temperaturilor coborâte . În acest caz putem neglija unitatea în
comparație cu exponen țiala la numitorul rela ției (6.32) și rezultă: kT>> ωh
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ω− ⋅ω=ω⋅
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ω⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ωω
≈kT kTN
kT
kTkTN
CVh h h
hhh
exp3
2expexp 3
22 2
2. (6.36)
Factorul exponen țial din rela ția (6.36) variaz ă mult mai rapid decât 2T, astfel că
pentru 0→T expresia (6.36) tinde la zero ca un factor exponen țial. Experien ța arată însă
că, în apropierea valorii 0=T K, capacitatea caloric ă a cristalelor variaz ă cu 3T și nu
exponențial. Rezult ă că teoria Einstein ne d ă doar calitativ comportarea corect ă a
capacității calorice la temperaturi sc ăzute. P. Debye a elaborat o teorie care este în
concordan ță cu experien ța și cantitativ, la orice temperatură .

Teoria Debye. P. Debye a ținut cont c ă oscilațiile atomilor dintr-o re țea cristalin ă nu sunt
independente. Deplasarea unui atom față de poziț ia sa de echilibru are ca efect deplasarea
și a celorlal ți atomi vecini. Oscilatorii sunt cuplați și în cristalul format din N atomi lega ți
elastic apar unde sta ționare, care pot avea doar anumite frecven țe (moduri de oscila ție).
347

FIZICA CORPULUI SOLID
Dac ă se consideră un cristal de form ă paralelipedic ă cu lungimile laturilor și
, atunci se formeaz ă unde staționare de-a lungul celor trei direc ții dacă sunt îndeplinite
condițiile: b a,
d
2,2,23 2 1z y xn d n b n aλ=λ=λ= , (6.37)
sau
,2,2,2
3 2 1dnbnan
zz
yy
xxπ=λπ= βπ=λπ= βπ=λπ= β (6.38)
unde sunt componentele vectorului de und ă z y xβ β β, ,
z z y y x xu u urrrr
β + β + β = β , (6.39)
iar sunt lungimile de und ă corespunz ătoare propag ării oscilațiilor de-a lungul
celor trei direc ții. Deoarece și sunt numere întregi, se observ ă că z y xλ λ λ, ,
2 1,n n3n
13 2 1=Δ=Δ=Δ n n n , (6.40)
iar
. ; ;d b az y xπ= β Δπ= β Δπ= β Δ (6.41)
În spaț iul lui Vω= β cu axele z y xβββ , , se poate calcula numărul nodurilor de
oscilație (frecven țelor) împ ărțind volumul sferei de raz ă β la volumul unei celule
și luând z y xβ Δ β Δ β Δ81 din numărul rezultat, care corespunde num ărului de frecven țe de
oscilație pentru care toate componentele z y xβββ , , sunt pozitive. Astfel:
V
v
d b avN ⋅
πω=π⋅π⋅πω
⋅π⋅ =3 2333
6 34
81, (6.42)
iar numărul de moduri de oscila ție din unitatea de volum și din intervalul din jurul
valorii este: ωd
ω
3 22
0
2dd
vN
πω ω=ω , (6.43)
unde v este viteza de faz ă a undei prin cristal. În rela ția (6.43) nu s-a ț inut cont de tipurile
de polarizare posibile ale undei. Într-un medi u solid se pot propaga trei unde diferite, cu
aceeași frecvență . Aceste unde difer ă ca direcție de polarizare: una este longitudinal ă și
două sunt transversale, cu direc ții de oscila ție perpendiculare. Astfel, în locul lui ω
31
v
trebuie scris:
3 3 3
II3 2 1
v v v= +
⊥, (6.44)
unde s-a considerat cristalul izotrop, adic ă ⊥=v vII .
Pe baza celor prez entate mai sus rela ția (6.43) devine:
348

FIZICĂ
3 22
0
2d 3d
vN
πω ω=ω . (6.45)
Se poate calcula frecven ța maximă de oscila ție a modurilor de oscila ție ale rețelei,
egalând num ărul total de oscila ții cu num ărul de grade de liberate, care, pentru unitatea de
volum, este egal cu , unde n este concentra ția de atomi din cristal, adică : n3
3 23
03 22
0
2d
23d 3
v vN n
πω= ω
πω= =∫ ∫ω
ωmaxmax
, (6.46)
de unde:
3 26n vπ = ωmax (6.47)
Conform rela ției (6.47) rezult ă că lungimea de und ă minimă a undelor excitate într-
un cristal este:

dn nv24
22 23
3≅ ≅ ≅ωπ= λ
maxmin , (6.48)
rezultat în concordan ță cu faptul că undele a c ăror lungime de und ă este mai mic ă decât
dublul distan ței interatomice ( nu au semnifica ția fizică. Eliminând viteza între rela țiile
(6.45) și (6.47) se ob ține următoarea expresie pentru num ărul de oscila ții din unitatea de
volum și unitatea de intervalul de frecven țe )d
ωd din jurul valorii ω:

.d9 d32
0
maxωω ω=ω n N (6.49)
Energia intern ă a unității de volum de cristal se calculeaz ă cu ajutorul rela ției:

∫ω
ω =max
00dN WViE , (6.50)
unde W este dat de rela ția (6.31). Pentru întreg cristalul de volum V, unde N nV= ,
energia intern ă se poate exprima sub forma:
∫ω
ω ω
⎟⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝⎛
−⎟⎠⎞⎜⎝⎛ωω+ ω
ω=max
max 02
3d
1 exp21 9
kTN
ihhh E ∫ω
ω
−⎟⎠⎞⎜⎝⎛ωω
ω+ =max
max 03
3 0 d
1 exp9
kTN
ihhE (6.51)
În rela ția (6.50)
⎟⎠⎞⎜⎝⎛ω = ω =max max h h83389
0 N NiE (6.52)
reprezintă energia de zero a cristalului . Capacitatea caloric ă a cristalului se ob ține
derivând rela ția (6.51) în raport cu temperatura:
∫ω
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ωω ω⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ω
ω=max
max 024
2 32
1 expd exp9
kTkT
kTNCV
hh
h. (6.53)
Introducând temperatura Debye :
349

FIZICA CORPULUI SOLID
kmaxω= θh ( 6 . 5 4 )
și făcând schimbarea de variabil ă kTxω=h, relația (6.53) poate fi scris ă sub forma:
()
()∫−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
θ=maxx
Vxx x x TNk C
024 3
1 expd exp9 , (6.55)
unde
T kTxθ=ω=max
maxh. (6.56)
În cele ce urmeaz ă se consider ă două cazuri particulare.
a) . În acest caz, ω >>h kT 1<<ω
kTh și se poate dezvolta în serie exponen țiala:
kT kTω+ ≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛ωh h1 exp , (6.57)
astfel că :
NkTkT N
i i i 3 d9
0
03
3+ = ω ωω ω+ =∫ω
E E Emax
maxhh, (6.58)
iar
; 3 3R NkTC
Vi
V υ = = ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
∂∂=E (6.59)
2) . În acest caz, ω <<h kT ∞ →θ=Txmax , deoarece θ<<T
3. Astfel, integrala din
relația (6.55) este o constantă și variază proporțional cu VC T. Această aproximaț ie este
cunoscută sub denumirea de legea Debye . Comparând rela ția (6.59) cu rezultatele
experimentale se constat ă că legea Debye caracterizeaz ă corect varia ția capacit ății calorice
cu temperatura doar pentru re țelele cristaline formate din elemente sau compuș i simpli.
Formula nu poate fi aplicat ă corpurilor cu o structur ă mai complex ă. În cazul unui cristal
cu o rețea simplă, în care fiecare celul ă unitară conține un singur atom, fiec ărei valori a
vectorului de und ă βr
îi corespund trei valori ale frecven ței proprii de oscilaț ie (una pentru
starea de polarizare longitudinal ă și două pentru st ările de polarizare transversal ă). Dacă
numărul de atomi din celula unitar ă a cristalului este r, atunci, în cazul general fiec ărei
valori a vectorului de und ă βr
îi vor corespunde r3 valori diferite ale lui . În concluzie,
frecvența este o func ție multipl ă de vectorul de undă și are ω
r3 ramuri . De exemplu, dacă
celula elementar ă conține două specii de atomi ( r = 2), dependen ța lui ω de β are forma
din fig. 6. 11. Una din ramuri poartă numele de ramura acustic ă, iar cealalt ă de ramura
optică. Cele dou ă ramuri se disting prin dispersia lor, adic ă prin natura dependenț ei lui ω
de . Ramura acustic ă tinde la zero pentru β 0→β , în timp ce ramura optic ă tinde spre o
limită maximă . În cazul tridimensional, al unui num ăr 20ω r3 de ramuri, trei din acestea
sunt acustice și celelalte ( sunt optice. În ramurile acustice frecven țele au valori
apropiate de cele sonore, iar în ramuri le optice apropiate de cele optice. Dac ă modurile de
oscilație au frecven ța acustică atomii similari din celule unitare diferite oscileaz ă unii în
raport cu ceilal ți. În cazul modurilor de oscila ție cu frecvență optică, atomii diferi ți din )33r−
350

FIZICĂ
aceeași celulă unitară oscilează u n i i î n r a p o r t c u c e i l a l ți, iar atomii similari din celule
diferite se afl ă la distanțe constante unii în raport cu ceilal ți.

Fononii . Energia unui cristal poate fi reprezentată ca o sum ă a energiilor modurilor de
oscilație ale rețelei: ∑
=ω⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+ =Nr
ii i i n3
1 21h E unde N este num ărul de celule unitare din
cristalul, iar r este num ărul atomilor din celul ă. Cuanta de energie: poartă
numele de fonon . Multe procese dintr-un cristal (de exemplu, împr ăștierea razelor X sau a
neutronilor) se pot explica dac ă admitem c ă un fonon are quasiimpulsul : , unde
este vectorul de und ă al modului de oscila ție i iω = εh
i i pβ =r
hr
iβr
iω. Un fonon se comport ă ca o particul ă
având energie și impuls, dar spre deosebire de celelalte particule (electroni, protoni, fotoni
etc.) un fonon nu poate ap ărea în vid, adic ă el are nevoie de o substan ță ca să apară și să
existe. Aceste tipuri de particule se numesc cvasiparticule . În condi ții de echilibru termic
numărul mediu de fenoni ni cu frecven ța iω este determinat de rela ția:
1 exp21
21
−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ωω+ ω = ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+
kTn
ii
i ihhh hωi , de unde

1 exp21
21
−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ωω+ ω = ω + ω
kTn
ii
i i i ihhh h h (6.60)
adică: 1
1 exp−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−⎟⎠⎞⎜⎝⎛ω=kTni
ih.

Fig. 6. 11. Dependen ța lui ω de β.

Rela ția (6.64) ne arată că într-un cristal se pot excita simultan un num ăr nelimitat
de fononi identici. Atunci, principiul de excluziune al lui Pauli nu ac ționează. Fononii sunt
bosoni . În acest mod, oscilațiile reț ele cristaline pot fi reprezentate sub forma unui gaz
fononic conținut în cristal, la fel cum radia ția electromagnetic ă poate fi reprezentat ă ca un
gaz fotonic, care umple cavitatea. Formal, cele dou ă noțiuni de foton ș i fonon sunt
similare: ambele se supun statisticii Bose-Einstein. Dac ă sistemul are num ărul de fononi
variabil, în rela ția (6.60) la exponent intervine și potențialul chimic , adică aceasta μ
351

FIZICA CORPULUI SOLID
devine: 1
1 exp−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−⎟⎠⎞⎜⎝⎛μ − ω=kTni
ih, unde 0≤μ , pentru c ă altfel in ar fi negativ
pentru . μ < ωih
6.3. Nivelele energetice ale electronilor în cristal
6.3.1. Teoria cuantic ă a electrnilor liberi dintr-un metal

Se consider ă un metal de forma unui cub cu latura și se presupune c ă electronii
de conducț ie traverseaz ă absolut liber metalul. Ecua ția cu vectori și valori proprii pentru un
electron liber în interiorul cubului este de forma: L
ψ = ψW
i exp(r ∇ −M22
2h
) C, (6.61)
Ecua ția (6.61) are solu ția: rr
⋅ β = ψ (6.62)
unde
r
22
hhr p= βMW= , (6.63)
iar energia este egală cu:
M2 2βhW2= . (6.64)
Din condi ția de normare a func ției ψ rezultă constanta C:
∫= ⋅ = ψ ψV C V1 d2 *
cub (6.65)
de unde

31 1
L V= = C . (6.66)
Deci,
) i exp(1
3r
Lrr
⋅ β =ψ . (6.67)
Condi țiile la limit ă pentru ψ sunt de fapt condi țiile de periodicitate dup ă direcțiile
xyz, , L
z y x cu perioada , adică
n n n Lλ=λ=λ=3 2 1, (6.68)
sau
Lnxπ=λπ= β2 2
1
x, Lny
yπ=λπ= β2 2
2 , Lnzπ=λzπ= β2 2
3 , (6.69)
unde și sunt numere întregi independente. Ținând cont că 2 1,n n n3
) (2
3 2 1z n y n x n z y x rz y x + +Lπ= β + β + β = ⋅ βrr
(6.70)
rezultă că:
⎥⎤
⎢⎡+ +π= ψ ) (2i exp1 3 2 13z n y n x nL,
⎦ ⎣ L (6.71)
352

FIZICĂ
iar energia:
( )2
32
22
1 22 2
24n n n
MLW + +π=h. (6.72)
Starea de conducț ie a electronului este determinat ă de vectorul
⎟
⎠ ⎝ L L3 2⎞⎜⎛πβ n nLn1 , ,r
și de num ărul cuantic de spin π π
2
3 2 1
2 2 2tfel că există ma ări cu aceea și valoare a
energiei, adic ă stările sun . Pentru a g ăsi numărul de stă ri cu aceea și valoare a
energiei se consider ă relor 2 1,n n și 3n. În acest spa țiu fiecărui punct îi
corespund două stări care difer ă prin orientarea spinului. O suprafa ță echipoten țială, adică
locul geometric al punctelor care corespund aceluia și , unde
2
321=s , adică este determinată de
patru numere cuantice ( . Energia electronului într-o stare depinde de suma
numerelor cuantice: i multe st) , , ,s n n n
3 2n n+ + , as
t degenerate
spațiul nume1n

0n
2
decât valoarea 2
12
0 n n n n+ + = , (6.73)
este o sfer ă. Numărul de st ări Wn, a că ror energie este mai mic ă
2 2
022
2⎟
⎠⎜⎝=L MW
⎞ ⎛π nh
este egal cu dublul num ărului de celule cu volumul (6.74)
11 3 2=ΔΔΔ n n n , adică este egal cu
dublul v i: olumului sferei de raz ă 0n, dec
2 / 3 2
32
22
13
0 (8
342 n n nW )3n n+ +π=π⋅ = (6.75)
Împărțind (6.75) și (6.72) rezultă.
:
2/ 3 2 8M⎛π 2 / 3
3 22 / 33 2 / 3
) 2 (
3 2W MVWLn
hπ=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
π⎟⎞⎜=
, (6.76)
unde 23Wh⎠ ⎝
V este volumul eș antionului din metal. Rela ția (6.76) exprim ă numărul de stări cu
ă sau egal ă cu energia mai mic W. Numărul de stări cu energia cupr
în jurul valoriiinsă în intervalul
Wd W, se obț ț iind relația (6.76), adic ă: ine diferen
. d ) 2 (
6d232 ( d2 / 1 2 / 3
3 22 / 1 2 / 3
3 2W W MVW W MVnWh h)
3 π=
π= (6.77)
Ținând seama de rela ția (6.17) re lt ă că densitatea de stări din inte zu rvalul energetic
este egală cu: Wd
2 / 1 2 / 3
3 2) 2 (
84
dd) ( W MV
WW gW
hn
π= = (6.78)
ă în unitatea Dac de volum din metal se g ăsesc electroni liberi, atunci e șantionul
de metal va con ținen
nV elctroni liberi. Confor m principiului de excluz ne al
temparatura de zero solut, st ările se ocup ă cu câte un electron începând cu st ările cu iu lui Pauli, la
ab
nivelele de energie cele ma i coborâte. Astfel, toate st ăr e cu energia il W mai mică decât o
valoare ) 0 (FW , num nivel Fermi la zero absolut , vor fi ocupate, iar cele cu energia
) 0 (FW W> vor fi libere. Nivelul Fermi la zero absolut reprezi ă valoarea pentru ită
nt
K0=T a parametrului numit poten țial chimic, FW=μ , care apare în expresia func ției
e a electronilor pe st ări. Suprafața izoenergetic ă din spațiul de distribu ți ⎟⎞⎜⎛= β β
⎠ ⎝hrr rp
353

FIZICA CORPULUI SOLID
corespun ele de
liberi aceast ă suprafață este descr de ecuaț ia:
zătoare valorii energiei FW poartă num suprafață Fermi . Pentru electronii
isă
FWM Mpβ
2 22 2 2h
și în spațiul .β are forma unei sfere de raz ă = = . (6.79)
FMW21
h. La temperatura de 0 K aceast ă
supra cu lectroni de st aloar
poate fi calculat ă punând condi ț
, (6.80) față Fermi separ ă stările ocupate e ările neocupate. V ea ) 0 (FW
ia ca:
n∫
0W
W
adică = =) 0 (
d ) (F
W W g nV
), 0 ( ) ) 2 (
82 / 3 2 / 3 / 3
3 2 FW M M nV
h2 (
3) 0 (4
3 22 / 3
FVWV
h 322= ⋅
π π= (6.81)
de unde
3 / 2 22
) 3 (2) 0 ( nM W
o valoare m
(F π =h.
acă se alege pentru edie de se obț ine pentru:
.

ia în ju (6.82)
n3 22cm 10 5−⋅ D
FW (6.83)
În continuare se calculeaz ă energia medie a electronilor la zero absolut . Energia eV 5 J 10 8 ) 019= ⋅ ≅−
totală medie a electronilor ce ocup ă stările cu energ rul valorii Wd W este dată de
expresia:
∫ ∫= = Wd ). (6.84) W Wg n W WW ( d
Împ ărțind aceast ă energie la numărul total de electroni (de s ri), egal cu
∫W W gd ) (tă
se obț ine energia medie a unui electron , adică:
). 0 (3) 0 (23) 0 (52
dd
d ) (2 / 3 2 / 5
) 0 (
2 / 10
) 0 (0
F W W onW W W
W WW
W W gW
F F= ⋅ =
∫∫
=
∫∫
=− (6.85) 5
0) 0 (
2 / 3
0F F electrW
Dacă rezultă că d ) () 0 ( W W
W W WgF F
eV 5 ) 0 (=FW eV 3=electronW . Aceasta este o valoare foarte
mare. a o astfel de energie unu i gaz electronic clasic acesta trebui
la o temperatur de 25.000 K. În fig. 6. 12 este reprezentat graficul func ției densitate de
stări corespunde num ărului de stă ri ocupate de el
abso ă prin tranzi ția elPentru a asigur
ă
arcată
irea unui metae încălzit
()W g
lut.
tă în. Aria m ectroni la zero
Încălz l este realizat ectronilor de pe nivele apropiate
de nivelul Fermi pe unele aflate deasupra nivelului ) 0 (FW . În felul acesta aria este
mărgini dreapta de curba punctat ă. Aria rămâne aceea și fiind egală cu nV. Regiunea
modificată are o lărgime de ordinul lui kT. Rezultă că fracț iunea din num ărul de electroni
care particip ă la procesul de încă lzire al metalului este de aproximativ FT T/, unde
kWTF
F) 0 (= (6.86)
este o mărime numit ă temperatur ă Fermi . Ca rezultat, capacitatea ca oric ă a electronic ă
este egală cu l
354

FIZICĂ

Fclasic eTTC . (6.87) lectronic C=
La temperatura camerei () K 300=T ,
clasic electronic C C 01 , 0= (6.88)
unde mi la o temperatur ă oarecare se poate g ăsi
ioni (au spinul semiîntreg) și se supun distribu ției Fermi-
Dirac oni din stare cu energia este dat de expresia: K 000 . 25=FT . Nivelul Fer ținând cont
de faptul că electronii s
. Aunt ferm
tunci, numărul de electr a iW

1 exp +⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛μ −=
kTWn
ii ( 6 . 8 9 )
unde μ este poten țialul chimic. Parametrul 1
μ având dim ensiunea de energie, este de fapt
niv e fi rescris ă sub forma:
elul Fermi. Rela ția (6.89) poat

1 exp +⎟
⎠⎜⎝kTi
1) (
⎞ ⎛μ −= =Wn W fi . (6.90)

Fig. 6. 12. Graficul func ției densitate de st ări, ()W g.

Se observ ă că funcția (6.90) are propriet ățile: 1 ) (=W f
rmi coincide cu nive
p pentru și
pentru . Astfel, la 0 K nivelul Fe or
ul oc eraturii, pentFW W<
lul superi
ru W W0 ) (=W f
) 0 (FW , ultimF
pat de electroni. Indifere nt de valoarea temW W>
uF= ,
21) (=FW f . În concluzie, nivelul Fermi coin cide cu ror
itate de a fi ocupat este egal ă cu nivelu l de energie a c ă
probabil21. Valoarea nivelului Fermi FW poate
ca nuărul total de electroni care umplu nivelele trebuie s ă fie egal cu num ărul fi găsită
din condi ția
n
V de elec troni liberi din cristal. Num ărul stă rilor cuprinse în intervalul energetic Wd
din jurul valorii W este dat de W W gd ) ( ă numărul mediu de electroni din aceste
stări egal cu:
nV W W f W g= ∫∞
d ) ( ) ( (6.91)
sau , astfel c
0
355

FIZICA CORPULUI SOLID
nV
kTW WW WMV=
F+⎟⎠⎞⎜⎝⎛− π∫∞

02 / 1
2 / 3
1 expd)
8h.
Cu ajutorul rela ției (6.92) este posibil, în principiu, s ă se găsească va
în funcț3 22 (4 (6.92)
loarea lui FW
ie de temperatura T n. Integrala și de numărul de electroni din unitatea de volum,
din relația (6.92) nu poate fi rezolvată în cazul general. Dac ă kT W WF>>− se poate
obține o solu ție aproximativ ă. În acest caz, 1 exp >>⎟⎠⎞⎜⎝⎛−
kTW WF și unitatea poate
neglijată față de exponen țială iar relaț ia (6.92) devine:
fi
∫∞
⎟⎠⎞⎜⎝⎛− ⋅⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
π≅2 / 3
3 2d exp ) 2 (
84WkTMVnVF
h. (6.93)
Făcând schimbarea de variabil ă: 02 / 1expkTWWW
kTWx=2
integra
(6.94)
la din (6.93) devine:
()2 2 2 / 1( exp ( 2 d exp x k WkTW − =⎟⎠⎜⎝−∫ (6.95) / 3
02 2 / 3
0) d ) kT x x TWπ =⎞ ⎛∫∞

∞
iar din rela ția (6.95) rezult ă:
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛π ⋅
π=kTWkTMnFexp ) (
2) 2 ( 2 / 3
3 22 / 3
h
(6.96)
de unde
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛π= nMkTkT WF 22ln2 / 32h.
Energia medie a electronilor liberi din cristal, în cazul considerat mai sus poate fi
cal
(6.97)
culată cu ajutorul rela ției:
∫∫∞∞ 2 / 3
+⎟⎞⎜⎛− π003 2
1 exp8 W WF h
⎠ ⎝= =2 / 3 d) 2 (4d ) ( ) (
kTW WMVW W f W Wg W
kT N kT V nkTWkT MVkTF
23
23exp83) 2 (
8422 / 3
3 2= = ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛π
π⋅ =
h (6.98)

expresia analoag ă cu cea pentru un gaz ideal monoatomic . Se spune c ă în acest caz
electronii formeaz ă un gaz nedegenerat . La temperaturi foarte sc ăzute, se o
nivelul Fermi expresia: bține pentru
()()⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛π− =2
0 121 0
FF FWkTW W (6.99)
care eviden țiază dependen2
ța nivelului Fermi de temperatur ă.

6.3.2. Benzile de energie dintr-un cristal
356

FIZICĂ

Modelu aza celor prezentate mai sus s-a t ilit c ăîn apr
electronilor liberi energi a elctronilor de valen ță din cristal variaz ă cvasicontinuu. Aceasta
rmat dintr-o multitudine de
lență dintr-un cristal nu au o
rețelei acționând asupra lor. Dac ă, de exemplu,
u celula primitiv ă un cub simplu, cu latura l Kronig-Penney. Pe b s ab oxima ția
înseamnă că spectrul valorilor permise ale energiei este fo
ivele discrete foarte apropiate . În realitate, electronii de va n
mișcare complet liber ă, câmpul periodic al
e consideră pentru simplitate, un cristal c s a,
atunci energia poten țială U a electronului în cristal este o func ție periodic ă de
coordonatele z yx, , cu perioada a, adică,
( )a n z a n y a n x U z y x U3 2 1 , , ) , , ( +++= , (6.100)
unde 2 1,n n și 3n sunt numere întregi oarecare . Un model unidimensional pentru studiul
mișcării electronului într-o re țea cristalin ă este cel elaborat de Kronig ș i Penney.
În fig. 6. 13 este prezentată variația periodic ă a energiei poten țiale a electronului. În
punctele …. , ,'
2'
1 A A A Ai sunt situa ți ioni. În dreapta lor apar gropi de poten țial de ,…,2
in veci
intlățime nătatea unui ion este separat ă de cea d a
r, iar regiunea d in vecinătatea ionului
r-o barier ă de stanta rețelei (distan ța vecin p potenț ial de înălțime 0U și lățime b. Con
dintre doi ioni succesivi) este egal ă cu ()b a+. Se consideră că energia electronului are
valoarea W cuprinsă în intervalul ()0, 0U .

Fig. 6. 13. Variația periodic ă a energiei poten țiale a electronului într-o
rețea unidimensională .

Pe baza celor prezentate mai sus putem scrie c ă:
(6.101)
unde ⎩⎨⎧
+ + ≤ < ++ + ≤ < + +=a b a n x b a nb a n x a b a n UU) ( ) ( pentru 0), )( 1 ( ) ( pentru0
poate lua toate valorile întregi între ∞− și ∞+. Ecuaț ia cu vectori ș i valori
oprii a operatorului energiei se scpr rie:
ψ =ψ− W
xMd 222 2dh, pentru x b a n a b a n++≤<+) ( ) ( (6.102)
și
ψ = ψ +ψ− W U
xM0 22 2
dd
2h, pentru ) )( 1 ( )b a n x b n+ ( a a++ +≤< . (6.103)
Solu țiile ecua țiilor (6.102) și (6.103) pentru regiunile I și II
sunt de forma:
() a x≤ < 0
() 0< −x b≤
()()kx C kx Ci exp i exp2 1 1 +−=ψ , (6.104)
unde
357

FIZICA CORPULUI SOLID
22
hMWk= ( 6 . 1 0 5 )
și respectiv
()(), exp exp1 4 1 3 2 x k C x k C +−=ψ (6.106)
unde
(),2
20
1hW U Mk−= (6.107)
cu condițiile la limit ă:
()()0 01 2ψ=ψ (6.108)

01
02
dd
dd
= =ψ=ψ
x x x x. (6.109)
idenția caracterul periodic al mi șcăr elect
rețea poate fi exprimat sub forma:
Pe de altă parte, pentru a ev ii ronului prin
ua cristalin ă, vectorul de stare
() ) ( i exp ) (x U x xβ=ψ . (6.110)
Ținând ( 104) și (6.106) pot fi rescrise s b form
seama de rela ția (6.110) solu țiile 6. u a:
()[ ]x k x k xC C x) i(
2) i(
1i
1 e e eβ − + β − β+ = ψ (6.111)
și
[ ]x k x k x ) i(i ) i(i i () C C x4 3 21 1 e e eβ− β+−β+ = ψ (6.112)
unde funcț iile ()x U1 și ()x U2 au expresiile:
()x kC C x) i(eβ + −+ =x kU) i(eβ − (6.113) 2 1 1
și
()x k x kC C x U) i(i
4) i(i
3 21 1 e eβ− β+−+ = . (6.114)
Funcțiile (6.113) și (6.114) trebuie s ă îndeplinească condiția de periodicitate , adică:

()[ ]()x U b a n x U=++
risă sub forma:
(6.115)
care poate fi sc
()()a U b U1 2=−
(6.116)
și

a x b x x x= − = d d
6 l it în f rmU U=d d1 2.
.11 )și (6.117) se scriu exp
(6.118)
S-a ob ținut un sistem de patru ecua ții omogene cu necunoscutele și
. Sistemul are soluție nebanal ă dacă determinantul coeficien ț
ș este nul , adică: (6.107)
Condițiile (6.108), (6.109), (6 ic elul u ător:
04 3 2 1= − − +C C C C

() ( i e i) i(
1 1) i(+ β − + β + −− β + −k C kb k k) ( ) e i i e0 e e e e0
3i
2) i(4) i i(
3) i i(
2) i(
1) i(4
11 1
− β − += − − +=
β + − ββ − − − β + − β − + β + −
C k CC C C C
k ab k b k a k a ki i1 3 1 2 1− + + −C k C k kC kC
() . 0 e i i4) i i(
11= β − − −β − − −C kb k
3 2 1, ,C C C
ilor necunescutelor 4C
1,C3 2,C C i 4C
358

FIZICĂ
0
e e e e)] i i( [ e – )] i i( [ e )] [i( e )] i( [ ei i1 1 1 1
) i i( ) i i( ) i( ) i(1) i i(
1) i i( ) i( ) i(1 1
1 11 1=β + − − ⋅ β + − − ⋅ β − ⋅ β + − ⋅− −− −
β − − − β + − − β − β + −β − − − β + − − β − β + −
b k b k a k a kb k b k a k a kk k k kk k k k (6.119)
care conduce la condi ția:
() b a b k ka b k kakk+ β = + cos ch cos sh sin21 1
1. 20)
ând seama de faptul c ă transparen ța unei bariere de poten țial depinde doar de aria sa,
0 și pot varia, dar trek k−2 2
1 (6.1
Țin
mărimile buie ca produsul să rămână constant , ceea ce este
ția = constant, Astfel, se p ate introduce un parametru care
caracterizeaz ă transparen ța barierei de poten țialul dintre doi io ni vecini ai re
forma:
U
echivalent cu condib b U0
o b k2
1 P
țelei, sub
2lim2
1
2
1ab kP
k∞ →= . (6.121)
Din rela ția (6.121) se observ ă că cu cât P este mai mare cu atât transparen ța
bari că. Înlocuind (6.121) în (6.120) rezult ă că:
erei este mai mi
, c cossina kakaka Pβ = + (6.122)
relația care eviden țiază dependen ța lui os
β de ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=222
hmWk k pentru un P dat. Ecua ția
(6.122) fiind transcendent ă pentru rezolvarea acesteia se consider ă câteva cazuri
particulare.
a) =P0. În acest caz nu mai există ențial între ionii vecini (transparen ța bariera de pot
barierei este total ă) și ecuația (6.122) devine:
, cos cosa kaβ= (6.123)
sau
β=k , (6.124)
de unde:
.22 2
MWβ= (6.125)
S-a reg ăsit expresia energiei unui electron liber în funcție de vectorul de und ă h
β.
Rezultă că dacă transparen ța barierei este totală , electronul se comport ă ca și cum ar fi liber
și e sa variaz ă continuu cu β, putând lua orice valoare finită , nenegativă .
b) ∞ →nergia
P . În acest caz transparenț a barierei este nul ă și electronul nu poate p ărăsi
vecin aloagă cu mișc
ți impenetrabili. De data aceasta rela ția (6.62) nu mai e satisf ăcută pentru
le lui . Există un ș ir discret de valo le luiăt
țial cu pere
toate valoriatea ionului. Este o situa ție an area electronului într-o groap ă de
poten
ri a β β pentru care rela ția
cu toate c ă (6.62) este
∞ → P satisfăcută . Acestea su lează pe , cu
exnt acele valori care anu kasin
cepția valorii 0=k pentru care 1sinlim
0→ki dec i ∞ →
∞ →→ kaka
Pk=kaka șsinlim
ca relația (6.122) să nu fie safisf ăcută. Astfel, 0, ceea ce face
359

FIZICA CORPULUI SOLID
π=n ka (6.126)
unde n poate lua toate valorile întregi diferite de zero , de la ∞− la ∞+. Ținând seama
de relația (6.126) expresia energie devine: i

22 2 2
2ManWnhπ= , (6.127)
care este expresia nergiei electronului într-o groap ă de poten țial cu pere ți impenetrabili .
În acest caz electronul este legat de ion și valorile permise ale energiei cores unor
valori bine determ le lui β, pentru care 1 e
pund
inate a cos±=βa .
c) ∞ < <P0 . În t caz se poat uție calit nd grafic fiecare
membru al ecua ției (6.122) cu aces e obține o sol ativă reprezentâ
me ua ției (6.122) în func ție de (fig. 6. 14). Pentru aceasta egal ăm fiecare nbru al ec ka
Y, adică:
kakaP Y cos+ = (6.128)
i kasin
ș
a Yβ=cos . (6.129)
Din cua ția (6.129) observ ă 1 1≤≤− Y e ăm c , adică sunt posibile numai valorile lui
Y cuprinse între dreptele:
1− =Y și 1=Y , adică π±=β n a. (6.130)

Fig. 6. 14. Reprezentarea grafic ă a ecuației (6.122) în func ție de .

Acesta implic ă existența și pentru abscisa ka a anumitor intervale de valori permise.
Acestea sunt segmentele îngro șate din fig. 6. 14. De aici rezult ă că energia electronului nu
poate lua orice valori și că valorile permise pentru energi a electronului sunt grupate în
benzi permise separate prin benzi interzise . Lățimea zonelor permise cre ște, iar cea a
zonelor interzise scade odat ă cu creșterea energiei. În cadrul fiec ărei zone permise energia
variază continuu în funcț ie de . Este util să se găsească în locul acestei varia ții continue a
lui ka
β
W de , spectrul discret care se ascunde sub această variație. Pentru aceasta ținem
cont de faptul că , în realitate, c talul este finit și are o lungime β
ris L care poate fi scris ă sub
forma:
) (b a N L+= ( 6 . 1 3 1 )
și menținând c
ondiția introdusă , ca 0→b , rezultă că:
Na L= . (6.132)
Astfel, condi ția ca după distanța L să se reproducă propriet ățile cristalului, se scrie:
360

FIZICĂ
()()x Na xψ=+ψ (6.133)
Înlocuind condi ția (6.133) în expresia lui ψ sub forma (6.50) rezult ă
()[] ()()()x U x Na x U Na x β=+ + β i exp i exp , (6.134)
și deoarece ()x U este o func ție cu perioada a, se poate scrie c ă:
()()x U Na x U=+ . (6.135)
Din (6.134) și (6.135) rezult ă că:

()1 N i exp=βNa sau π=n a2 (6.136) β
unde n este un număr întreg . Astfel,
Nanπ= β . (6.137) 2
ale cu multiplii a N Deci, β poate lua valori eg valori difer und ite e N este
numărul atomilor din cristal. Se observ ă că dacă ∞→=Na atunci β cap L ătă ț ie
c re două valori tinzând la zero. Nivelele
rețeau hematic în fig. 6. 15 a), b).
p ce energiile pe ise ale electronilor
i
rmarea re țele staline din
ț t și a interac țiunii acestora cu atomii re țelei, nivelele
ene o structu , formând o zonă e nive
per o varia
ontinuă, diferența dint energetice permise ale
electronului din atomul izolat în compara ție cu nivelele energetice ale electronului din
a cristalin ă sunt reprezentate sc
rm dintr-un Din fig. 6. 15 se observ ă că în tim
atom izolat (fig. 6. 15 a) pot fi numai valor discrete, bine determinate, separate între ele
prin intervale interzise, la fo i cri mai mulți atomi, datorită
interac iunii dintre electroni între ei câ
rgetice ale acestor se l ărgesc și capătă ră d le energetice
mise (fig. 6. 15 b).

Fig. 6. 15 a), b). a) Nivelele energetice p ermise ale electronului din atomul izolat și b) cele ale
electronului din re țeaua cristalin ă.

Din raționamentul anterior rezult ă că fiecare atom contribuie cu un nivel în fiecare
zonă permisă. Concluzia este c ă energiile pe care le poate lua un electron într-un cristal
sunt grupate în zone permise (numite și benzi permise ), separate prin zone interzise (benzi
interzise ). Fiecare zon ă permisă conține un num ăr de nivele apropiate între ele, egal cu
numărul de atomi din volumul de cristal considerat. Prin urmare în locul nivelelor discrete
din atomul izolat, într-un cristal apar zone (sau benzi ) energetice permise . Ele sunt cu atât
mai largi cu cât energia electronului este mai mare și fiecare con ține un num ăr de nivele
egal cu num ărul de atomi din volumul cristalului considerat. Fie ărui nivel din atomul
olat îi corespunde o band ă de energie în cristal. În fig. 6. 16 este reprezentat ă schematic
ap i
tal. Se observ ă cum, pe intre atomi, deci a reunirii
tomilor într-un cristal nivelele energtetice ale electronilor se l ărgesc, transformându-se în
zone energetice. Pentru distan țe a foarte mici poate s ă apară o suprapunere par țială a c
iz
ariția benzilor de energie în procesul de apropiere a at omilor pentru formarea unu
măsura micșorării distanței a d cris
a
361

FIZICA CORPULUI SOLID
a zone. Pe baza celor prezentate mai sus se observ ă că discontinuit ățile de energie în
spectrul energiei electronilor cvasiliberi din cadrul re țelelor unidimensionale
monoatomice, apar întotdeauna când vectorul βcestor
r
satisface condi ția:
anπ± = β (6.138)
și pot fi reprezentate ca în fig. 6. 17, unde dreapta reprezentând valorile lui β este divizată
în segmente de lungime aπ, valori pentru care apar aceste discontinuităț i de energie.

Fig. 6. 16. Reprezentarea schematic ă a apariț iei benzilor de energie în procesul de apropiere a
atomilor pentru formarea unui cristal.

Segmentele astfel formate poart ă denumirea de zone Brillouin . Discontinuit ățile de
energie, care definesc zonele de ener gie interzise, se produc la limita zonelor permise
Brillouin . Distribuț ia electronilor pe nivelele unei benzi energetice permise se face pe
aceleași considerente energetice ca reparti ția energetică a electronilor într-un atom izolat.

Fig. 6. 17. Spectrul energetic al electronilor cvasiliberi.

Dacă se consideră un atom izolat, ce con ține Z electroni, datorit ă principiului de
excluziune al lui Pauli și în cazul în care atomul nu este excitat și nici degenerat, ace ști
electroni se vor g ăsi pe nivele energetice de energie minim ă. Excitând atomul, unii
din aceș ti electroni vor trece din aceste st ări energetice fundamentale în altele excitate, de 2 /Z
362

FIZICĂ
energie mai mare, ceea ce are ca rezultat r ămânerea neocupat ă a unor nivele energetice cu
energie mai mic ă și ocuparea altora cu energie mai mare. Acela și proces apare și în cadrul
unei benzi energetice permise. L ărgimea energetic ă a unei asemenea benzi fiind de ordinul
~ eV ș i întrucât aceasta con ține cam nivele energetice , rezultă că diferența
energetică dintre dou ă nivele al ă este de ordinul eV. Aceast ă
diferență fiind atât de mic ă, la orice tem electronii po un nivel inferior
pe unul superior, folosind doar energia de agita termică.
dintr-o band ă permisă în altă bandă se realizeaz ă ediul unui
excitator (ridicarea temperaturii, aplicarea or câm bardarea cu
particule înc ărcate electric etc.).
Nivelul Fermi poate fi plasat rzisă permisă. Prima
bandă plasată, în primul caz, sub nive i, este de de valen ță, iar
totalitatea nivelelor energetice posib upra nivelu tă banda de
onducție. Dacă niv ta este împ ărțită în
ouă, în sensul că n cu electroni, iar
ele de23 2210 10÷
turate
peratură,
ție
permisă
un
într-o band ă inte
lul Ferm
ile aflate deas
că, prin salt23 2210 10− −÷
t trece de pe
Dar, trecerea unui electron
doar prin interm
puri exterioare, bom
sau într-o band ă
numită bandă
lui Fermi reprezin
te
ță și ceac elul Fermi se afl ă plasat într-o band ă permisă, aceas
ivelele energetice de sub nivelul Fermi sunt ocupa d
c deasupra sunt neocupate . În acest caz ba nda de valen ță nu este separat ă de banda de
conducție printr-o bandă interzisă ci se întrep ătrund în cadrul benzii permise unde se afl ă
nivelul Fermi. În func ție de excitarea acestor benzi corpurile solide se împart în:
a) Corpuri solide la care banda de valen ță are toate nivelele energetice ocupate cu câte doi
electroni și deci nivelul Fermi este plasat în banda interzis ă de deasupra benzii de valen ță.
Deoarece în cadrul benzii respective nu pot exista deplas ări de electroni, corpurile
din aceast ă categorie nu prezint ă conductibilitate electric ă, fiind izolatori ( f i g . 6 . 1 8 a ) .
Pentru ca un electron din banda de valen ță a unui asemenea izolator s ă devină electron
liber de conducț ie, acesta trebuie s ă trea cuantic, peste banda interzis ă, în banda
de conducț ie. Dacă lărgimea benzii interzise dintre benzile de valen de conduc ție,
3< ΔW eV (energie medie a electronilor liberi) este posibil s ă treacă unii electroni doar
datorită energiei lor termice, chiar la temperaturi obi șnuite, producând un mic curent
electric de conduc ție. Corpurile solide respective se numesc semiconductori .

Fig. 6. 18 a), b). Structura de benzi a unui: a) izolator și b) conductor.

Dacă 3> ΔW eV electronii trec din banda de valen ță în cea de conduc ție doar în
urma acț iunii unui agent excitator extern, iar corpurile respective sunt izolatori.
b) Corpuri solide pentru care nivelul Fermi es te plasat în cadrul benzii de valen ță, caz în
erea electronilor de pe nivele ocupa te pe cele libere se face doar sub ac țiunea
agitației termice, astfel c ă electronii de valen ță sunt și electroni de conduc ție, adică se pot
deplasa ordonat sub ac țiunea unui câmp electric exterior, între ținând un curencare trec
t electric.
363

FIZICA CORPULUI SOLID
Corpurile solide din aceast ă categorie sunt denumite conductori (fig. 6. 18 b). În
acest caz se spune c ă banda de valen ță se întrepătrunde cu banda de conduc ție și 0=ΔW .

Mișcarea electronilor dintr-o re țea cristalin ă aflată într-un câmp electric exterior. Masa
efectivă. Între vectorul de und ă al undei asociate electronului și impulsul s ău există
relația . Înlocuind aceast relație în relația de incertitudine Heisenberg re că:
βr
ăpr
zultă β =r
hrp
21≥ Δ ⋅ β Δx . (6.139)
Din rela ția (6.139) rezult ă că pentru un β bine determinat pozi electronului într-
tal est ctron într-un
ristal trebuie s in punct de
vedere ția
un cris e complet nedeterminat ă. Dar, pentru a studia dinamica unui ele
ă-i cunoaștem atât poziț ia cât ș i viteza, ceea ce nu mai e posibil d c
cuantic. Dac ă β Δ este nenul, localizarea elect ronului are loc în regiunea
β ΔΔ2~x , care este l ărgimea pachetului de unde asociat electronului. Maximul
amplitudinii pachetului de unde se propag ă cu viteza de grup:
1
dβg
care este chiar viteza particulei (electronului) prin cristal. dω=v ( 6 . 1 4 0 )
inând cont de rela ția: Ț
ω=εh, (6.141)
se poate scrie pentru viteza de grup expresia:
dβd 1ε=gv . (6.142h)
În tarea unui e ron su ac țiun a unu continuare se studiaz ă compor lect b e i câmp electric
Er
exterior aplicat cristalului. În acest caz, asupra electronului ac ționează din partea
câmpului electric exterior o for ță E e Frr
= . În intervalul de timp td această forță
efectueaz ă lucrul mecanic
tFt Fv Lg dddd dβε= = . (6.143)
orită acestui lucru mecanic en ergia electronului variaz ă cu
h
Dat
tdddddβFd d ε= ββε= εh, (6.144)
de unde
ht=Fβ
d. d (6.145)
ișcă ronul e e ată de rela ția Acceleraț ia cu care se m elect st d :
22
2dd
dd d 1 d
⎜⎜⎛ε=vg d d β htε=⎟⎟
⎠⎞
⎝βhF
t, (6.146)
sau
tvFg
dd
d22rhr
⋅
ε= , (6.147)
d2β
364

FIZICĂ
unde expresia

222
*
dβεdh=m ( 6 . 1 4 8 )
istal ând a
într-un câmp exterior. Dac ă se atribuie electronului masa efectiv ă acesta cap ătă o mișcare
tfel că energia electronului are expresia: reprezintă masa efectiv ă a electronului din cristal .
Masa efectiv ă descrie miș carea unui electron printr-un cr c cesta se afl ă
liberă , as
*2 2
2mβ=ε . (6.149) h
re de dou ă ori în raport
cu . În cele ce urmea ste prezentată dependen ța masei efec ve
nivelului energetic al electronului în interiorul benzilor de energie permise (fig. 6. 19) Se observ ă că relația (6.148) rezult ă din (6.149) prin deriva
β ză e ti de poziția
. *m

Fig. 6. 19. Dependen ța nivelelor energetice ale electronului de β în interiorul
benzilor de energie permise.

În apropierea bazei benzii de nivele energeti ce (punctele A și A’ din fig. 6. 19),
0ε
dβ2
electronul se comportă ca și cum nu s-ar g ăsi în cristal. Dac ă electronul are o energie Bd2
> și masa efectiv ă este pozitiv ă, de acela și semn cu masa real ă. În acest caz
ε,
caz în care
0
dβεd
22
=, (6.150)

masa efectiv ă este infinit ă, astfel c ă un câmp exterior nu are nici o acț iune asupra
electronului. Dac ă energia electronului este egal ă cu , atunci 0
dβεd
22
< Cε și masa efectiv ă
va fi negativ ă. În acest caz un câmp exterior va fr âna electronul. În cazul tridimensional
masa efectiv ă este un tensor, iar accelera ția nu mai este coliniară cu forța.

.4. Propriet ățile electrice ale corpului solid
6.4.1. Con
6
ductibilitatea electric ă
365

FIZICA CORPULUI SOLID
Teoria clasic ă. Pe baza existen ței electronilor liberi în metale , care din electroni de
lență
elaborată de P. Drude la începutul secolului XX. Electronii liberi, constituind un gaz, se
comportă
lipsa unui câmp electric exterior, care s ă le ordoneze miș carea. Între dou ă ciocniri va devin electroni de conducț ie, prima teorie clasică a conduc ției electrice a fost
, ca ș i atomii și moleculele unui gaz, adic ă executa o mi șcare termic ă haotică în
succesive ace știa parcurg un drum liber mediu τ=λ uc , unde u este viteza medie dintre
două ciocni E ri (viteza termic ă). Sub acțiunea unui câmp electric exterior , electronii liberi
din metal se vor deplasa dup ă direcț ia câmpului exterior cu accelera ț
ia:
meEa= . (6.151)
Se poate considera c ă viteza medie a electronilor în câmpul exterior este dat ă de relația:
.2 2 u mvc eE aλ⋅ =τ= (6.152)
Dac ă n este concentra ția de electroni, densitatea de curent electronic este egal ă cu:

muE nenev jc2λ= = , 2 (6.153)
iar intensitatea curentului devine:
mu2
unde S E nejS Ic2λ= = , (6.154)
lUE= , U fiind tensiunea electric ă și l lungimea conductorului. Rela ția (6.154)
poate fi scris ă sub forma legii Ohm :
UlSUmuS neIcλ=22
, (6.155)
unde conductibilitatea electric ă σ este dată de expresia: σ =
munec
22
λ= σ .
ția
de electroni liberi. Aceast ă teorie a lui P. Drude a fost completat ă de H. A. Lorentz care a
aplic intr-un metal statistica clasic ă Maxwell-
ie
preze . Relația obținută a ă cu 6.6). I
noțiu , definită ca: (6.156)
Conform rela ției (6.156) valoarea conductivit ății electrice depinde de concentra
at gazului de electroni liberi d Boltzmann,
adică a calculat viteza medie a el ectronilor pe baza acestei statis tici. Dar, H. A. Lorentz a
adus o corec ț funcției de distribu ție a electronilor liberi pentru a corespunde și cazului
nței câmpului electric exterior fost identic ( ntroducând
nea de mobilitate a electronilor
mue
me
Ev c
2 2λ=τ= = μ (6.157)
relați ma:
a (6.156) se poate scrie sub for
μ=σne, (6.158)
ste folo ă c
Rela țiile (6.156) și (6.158) explică corect dependen ța lui care e sit el mai frecvent pentru expresia conductibilit ății electrice.
σ de concentraț ia de
zultatele experime ntale privitoare la dependenț a de
temperatur ă a conductibilit ății electrice. Astfel, din m ăsurătorile experimentale se știe că electroni, dar nu explică corect re
tttα +σ= = σ10, (6.159) ρ 1
366

FIZICĂ
unde este rezistivitatea la temperatura tρ t, iar α
dacăcoeficientul de varia ție cu temperatura
ă ar, în relația ( 156) înloc a rezistivit ții (conductibilităț ii) electrice. 6. se uie ște viteza D
termică prin mkTu3= , rezultă pentru σ expresia:

T mknec1
3 22
⋅λ= σ , (6.160)
care este în total ă neconcordan ță cu (6.160). Pe baza celor prezentate mai sus rezult ă că
electronii nu se pot mi șca complet liber printr-un m etal.

Teo tice ale electronilor unui m tal se g ăsesc
estuia rămânând o serie de nivele neocupate. În
c, datorit tervalului energeti c foar
ulria cuantic ă. Nivelele energe e în zona de
valență sub nivelul Fermi, deasupra ac
prezența unui câmp electric, oricât de mi ă in te mic dintre
Fermi), unii nivelele energetice ocupate de electroni și cele neocupate (separate de nivel
electroni pot trece de pe nivelele ocupate pe cele neocupate, ob ținându-se o mi șcare dirijată
a electronilor în cadrul benzii energetice permise, adic ă un curent electric în metal cu
densitatea de curent:
v ne jrr
= , (6.161)
Er
unde cțiunea câmpului electric vr este viteza electronilor sub a ex . terior
Er
Dac ă intensitatea câmpului electric este constantă , accelera ția corespunză toare
va fi ș i ea constant ă, iar viteza vr va creș te liniar cu timpul. Deci, unui câmp electric
exterior constant ar trebui s ă-i corespund ă un curent electric care s ă crească în timp. Dar,
măsurătorile tale arat ă că unui câmp elect
curent electric sitate constant ăexperimen ric exterior constant îi corespunde un
de inten . Aceasta indic ă faptul că există un fenomen de
frânare în procesul de miș care dirijat ă al electronilor, care se datoreaz ă ciocnirilor elastice
ale elec ți în nodurile r
La o temperatur ă tronilor liberi cu ionii pozitivi, afla ețelei cristaline.
0≠T nodurile re țelei cristaline oscileaz ă în jurul poziț iei de
se deplas ării electronilor care se
iocnesc cu fononii re țelei cristaline. Acelea și fenomene se pot interpreta prin difrac ția
substanțelor când sunt r ăcite sub temperatura de tranzi ție , numită
temperatură zistenței, aceste substan țe au fos

Starea de supraconduc ție poate fi observat ă experimental în dou ă moduri: echilibru, acestor oscila ții asociindu-li-se cvas iparticulele numite fononi. Astfel conduc ția
electrică în metale poat fi interpretat ă ca datorându-
c
undelor asociate electronilor pe re țeaua cristalin ă.

6.4.2. Supraconduc ția

Descrierea fenomenului . Fenomenul de supraconduc ție, descoperit de K. Onnes în anul
1911 la un conductor de mercur r ăcit sub temperatura de 4,15 K și constă în anularea
rezistenței electrice a cT
critică. Datorită anulării re t denumite
supraconductori . Teoretic toate substan țele pot trece în starea supr aconductoare, dar pentru
substanțele pure temperatura critic ă este foarte coborât ă (tabelul 22. 1), ceea ce face
dificilă aplicarea lor practic ă. În anul 1987 este realizat comp usul format din oxid de cupru,
bariu și ytriu (YBaCuO) care devine s upraconductor la 93 K. Această temperatur ă are
avantajul c ă pentru aplica ții se poate folosi azotul lichid.
În tabelul 6. 1 sunt date valorile te mperaturilor critice pentru câteva substan țe. La
toate substan țele care au fost aduse în starea su praconductoare trecerea de la starea
conductoare la cea supraconductoare se face brusc, într-un interval de temperatur ă de
ordinul a câteva sutimi de grad în jurul temperaturii de tranzi ție.
367

FIZICA CORPULUI SOLID
a) un circuit electric și scăzând temperatura. În momentul
tranziț iei în starea supraconductoare diferen ța de poten țial dintre capetele
supraconductorului se anuleaz ă.
b) Așezând o spir ă supraconductoare într-un câmp magnetic cu induc ția magnetic ă
perpendicular ă pe suprafa ța spirei. Dup ă ce spira Legând un supraconductor la
este răcită sub câmpul magnetic în
lează. Ca rezultat se induce în spir ă un curent electric care se
nelimitat. În anul 1959, G. Collins a comunicat c ă nu a observat
acT
interiorul spirei se anu
menține un timp practic
nici o atenuare a unui astfel de curent timp de doi ani și jumătate.
Se observ ă că pe lâng ă lipsa rezisten ței electrice starea supraconductoare se
caracterizeaz ă și printr-o induc ție magnetic ă nulă în supraconductor, dac ă acesta este
așezat într-un câmp magnetic exterior. A cest ultim efect a fost pus în eviden ță în nul 1933
de W. Meissner și R. Ochsenfeld și poartă numele de efectul Meissner . Se poate spune c ă
starea supraconductoare are permeabilitatea magnetic ă nulă, adică un supraconductor este
un diamagnetic perfect (diamagneticii se caracterizeaz ă prin 1<μ ).

Tabel 6. 1.

Substanța cT (K) Substanța cT (K)
Al 1,17 Ta 4,48
Ti 0,40 Re 1,7
U 5,30 Os 0,71
Zn 0,88 Ir 0,14
Ga 1,1 Hg 4,15
Zr 0,75 Te 1,37
Nb 9,5 Pb 7,2
Mo 1,0 La 5,8
Tc 11,2 Th 1,4
Rn 0,47 Sn Nb3 1,82
Rh 1,70 Au Pb2 7,0
Cd 0,56 NbN 14,7
In 3,37 MoTe 14,0
Sn 3,7 Si V3 17,0
Hf 0,37 2 , 0 0,8 3Ge Al Nb 20,05

Un câmp magnetic exterior suficient de intens distruge star ea supraconductoare.
Valoarea induc ice care distruge starea supraconductoare poart ă numele de câmp
critic (de prag ă cu . Valoar depinde de temperatura probei. La
temperatura cri Cu rea valoarea lui ește tinzând spre
valoarea corespunz eției magnet
) și se noteaz
tică, 0=Bc
scădeB ea lui
temperaturcB
ii c .
ătoarcB cr
0cB T0= la K (fig. 6. 20).

368

FIZICĂ

Fig. 6. 20. Dependen ța inducției câmpului magnetic critic de temperatur ă.

Efectul Meissner eviden ția faptul că starea supraconduc toare reprezint ă mai mult
decât anularea rezis lectrice a condu ctorului. Supraconduc ți ste un fenomen în
care efectele cuantice se manifest ă la scară macroscopică (un alt astfel de fenomen este
suprafluid ea heliului lichid). ză
tenței e a e
itat
Teoria BCS. Perechile Cooper . Teoria supraconduc ției a fost formulat ă în anul 1957 de J.
Bardeen, L. Cooper și J. R. Schrieffer. Ea poart ă numele de teoria BCS . În cele ce urmeaz ă
vor fi prezentate ideile fundamentale ale acestei teorii. Supraconduc ția poate fi explicat ă
dacă se ține seama de faptul c ă electronii dintr-un conductor sunt supu și în afarar ă de forța
de respingere coulombian ă la o forță de atracț ie spinorial ă (interacție de schimb ), care în
starea supraconductoare devine predominant ă. Ca rezultat, electronii de conduc ție cu spinii
antiparaleli se combin ă formând perechile Cooper . Aceste perechi au spinul nul și devin
bosoni , adică pot ocupa oricâ ți aceeași stare. Astfel, în starea supraconductoare, perechile
Cooper se a erați într-o
are excita p electric
ul. Sistemul electron-nor pozitiv este încărcat pozitiv și
șează în starea cu energia minim ă, din care este dificil s ă fie transf
tă. Atunci, perechile Cooper execut ă o mișcare ordonată într-un câm st
exterior, ră mânând în starea fundamental ă un timp nelimitat și formând curentul electric
supraconductor. Un electron care se deplaseaz ă printr-o re țea cristalin ă, care are ioni
pozitivi în noduri, modific ă câmpul electric al re țelei cristaline (îl deformeaz ă). Ca rezultat
al acestei deform ări, electronul este înconj urat de un nor de sarcin ă pozitivă care se mi șcă
rin rețea împreun ă cu electron p
atrage un alt electron. Astfel, re țeaua cristalin ă ionică joacă rolul de mediu intermediar, a
cărui prezen ță duce la atrac ția dintre electroni.
În limbaj cuantic atrac ția dintre electr oni este explicat ă prin schimb de fononi între
aceștia. Un electron care se deplaseaz ă printr-un conductor modifică condițiile de oscila ție
ale rețelei producând aceș ti fononi. Energia de excitaț ie este transmis ă altui electron care
absoarbe un fonon. Prin acest schimb de fononi apare o interac ție suplimentar ă între
electroni care are natura unei interac ții de atrac ție. La temperatur ă scă zută această
interacție depășește repulsia coulombian ă în starea supraconductoare.
Interacț ia prin schimb de fononi se manifest ă mai puternic între electronii cu spini
de semn opus. Ca rezultat, doi astfel de electroni se combin ă formând o pereche Cooper.
Electronii dintr-o astfel de pereche se g ăsesc la o distan ță relativ mare unul de altul, de
ordinul lui 410 o
A, adică de 410 ori mai mare ca distan ța interatomic ă.
Nu to ți electronii de conduc ție se combin ă în perechi Cooper. La o temperatur ă T
diferiă de 0 K exist ă o probabilitate nenulă ca perechea Cooper s ă fie distrus ă. În
consecință, pe lângă perechile Cooper exst ă și electroni obi șnuiți care se deplaseaz ă prin
conductor dup ă legile cunoscute. Cu cât T este mai aproape de valoarea cT cu atât mai
are esm te fracț iunea de electroni obi șnuiți, care devine egal ă cu unitatea pentru cT T= .
369

FIZICA CORPULUI SOLID
Formarea perechilor Cooper conduce la rearanjarea electronilor pe nivelele
energetice din conductor. Pent ru a excita un sistem de electroni aflat în stare
supraconductoare, este necesar s ă se distrugă cel puțin o pereche Cooper. Pentru aceasta
este necesar ă o energie egală cu energia de leg ătură pW a perechii. Aceast ă energie este
energiei aparț inând acestui gap sunt interzis a acestui gap a fost verificat ă
sta per într-o stare
ea
d
și
bstanegală cu energia minim ă pe care o poate primi o pe reche de electroni dintr-un
supraconductor. Rezult ă un salt ( gap) cu lăț imea pW în regiunea nivelului Fermi. Valorile
experimental. Rezult ă că rea excitat ă a unei perechi Cooe. Existen ț
supraconductoare este separat ă de starea fundamental ă printr-o bandă interzisă de lătim
pW. De aceea tranzi țiile cuantice ale acestor electroni sunt pu țin probabile. La viteze mici
sistemul electronic nu va fi excitat ș i aceasta explic ă mișcarea fără frecare, a ic ă rezistența
electrică nulă. Lărgimea benzii interzise scade cu cre șterea temperaturii și se anuleaz ă la
temperatura de tranzi ție cT. La aceast ă temperatur ă toate perechile Cooper se disociaz ă
suța trece în starea normal ă, conductoare.
Rezultă din teoria supraconduc ției că fluxul magnetic φ printr-o spiră
supraconductoare, prin care circul ă un curent electric, trebuie s ă fie un multiplu întreg al
mărimii
qh= φ0 (6.162)
adică
0,
φ=φn, (6.163)
de 0φ este cuanta de flux magnetic . Cuantificarea fluxului magnetic a fost pus ă în
evidență experimental în 1961 de B. Deaver și W. Fairbank și independent de aceș tia de R.
Doll și M. Nöbauer. În experien țele efectuate de Deaver și Fairbank s-a g ăsit că fluxul
magnetic este un multiplu întreg de cuante 0un
φ dacă e q2−= , ceea ce confirm ă existența
perechilor Cooper.

Teoria ă
ând o baz ă fenomenologică și utilizând, în general, principii clasice, ajunge la
rezultate și concluzii care decurg în anum ite direct din teoria BCS. În teoria London
se face ipot se găs c doă tipu de el ctroni
luizi. Se notează cu și concentra țiile de electroni normali și respectiv
supr i electroni. As tra țLondon . O altă teorie a supraconduc ției, mai u șor abordabil și conținând mai
puține detalii decât teoria BCS a fost propus ă î n 1 9 3 9 d e c ătre F. H. London. Aceast ă
teorie, av
ite lim
eza că într-un supraconductor es u ri e : normali și
nn sn supraf
afluizi și cu nv și sv vitezele acelora ș tfel, concen ia de electroni:
s nn n n+= . (6.164)
Deoarece mecanismul de împr ăștiere al celor dou ă tipuri de electroni este diferit, în
sensul că electronii suprafluizi sunt mai pu țin împrăștiați decât electronii normali, vor
rezulta ecua ții de mi șcare diferite. Electr ii nor
împrăștiați prin mecanismele uzuale, ace știa se com și electronii liberi dintr-un
onductor, se supunon mali dintr-un supraconductor fiind
portă ca
unor legi identice cu a acestora și au o densitate de curent: c
n n n v n e E jrrr
= σ = . (6.165)
Electronii suprafluizi sub ac țiunea unui câmp electric exterior Er
efectueaz ă o
mișcare cu accelera ția
tvas
sddrr= ( 6 . 1 6 6 )
370

FIZICĂ
ecuaț ia de mișcare a acestora fiind:
tvm E es
ddrr
= . ( 6 . 1 6 7 )
Densitatea curentului determinat de electronii suprafluizi este dat ă de expresia:
s s sv en jrr
= , ( 6 . 1 6 8 )
a cărui derivat ă în raport cu timpul este egal ă cu:
tventjs
ss
dd
ddr r
= . (6.169)
Din ecua țiile (6.167) și (6.169) se ob ține prima ecua ție London , sub form a:
Eme n
tjs srr2
dd= . (6.170)
o l otor
Faraday a induc
Aplicând rela ției (6.170) operat ru r și ținând seama de ecua ția Maxwell-
ției electromagnetice:
tBE∂∂− =rr
rot (6.171)
se obț ine succesiv
tBe n e n j ∂ ⎞⎛
ms s
∂− = =⎟⎟⎜⎜ Esrrr2 2d
m t⎠⎝rot rot . (6.172) d
Integrând ecua ția (6.172) în rapor cu timpul t și alegând constanta de integrare astfel
ca ecua Meissner, rezult ția să fie compatibilă cu efectul ă a doua ecuaț ie London , adică:
Be njs
sr
rot− = . mr2
(6.173)

electric produs de electronii normali, efectul Meissner ap ărând la o temperatur ă scăzută la Relația (6.173) conduce la efectul Meissner. Pentru aceasta se neglijeaz ă curentul
care electronii normali sunt foarte pu țini. Pornind de la ecua ția Maxwell-Ampère, scris ă în
lipsa câmpului electric:
sj Brr
μ rot= ,
căreia i se aplic ă operatorul rotor și ținând cont de teorema lui Gauss pentru câmpul (6.174)
magnetic
0 div=Br

se ob (6.175)
ține succesiv
B Bme nj Bs
sr r r r
22
λ1 μrotμ Δ = = − = , (6.176)
unde
2e nsμ
λ reprezentând adâncimea de p ătrundere London , iar
B B B2 m= λ , (6.177)
vr r
Δ − = div grad rot rot . (6.178)
Pent , m. Alegând direc ru un supraconductor obi șnuit ția normală la 710−≅ λ Oy
suprafața supraconductorului și inducția magnetic ă variază doar dup ă această direcție,
astfel că ecuația (6.176) devine:
371

FIZICA CORPULUI SOLID
B
yBrr
2 221
dd
λ= , (6.179)
a cărei soluție este:
() () ⎟⎠⎞⎜⎝⎛
λ− =yB y Bexp 0r r
. (6.180)
ă Br
Din soluția (6.30) se observ ă că inducția magnetic pătrunde doar pe o adâncime
.

6.4.3. E
r-un supraconductor printr-un strat iz olator într-un alt
supracond v formeaz ă joncțiune Josephson
Stratul dielectric are o grosime foarte mic ă, de ordinul zecilor de , pentru a permite
traversare, cu o probabilitatate apreciabil ă a joncțiunii.
de curent prin jonc țiune se presupune c ă a
aplic≈λ în supraconductor ceea ce explic ă efectul Meissner
fectul Josephson

Acest efect a fost descoperit în anul 1962 de B. Josephson și se bazeaz ă pe efectul
tunel al perechilor Cooper dint
uctor . Un astfel de dispoziti o (fig. 6. 21).
o
A
perechilor Cooper o
Pentru a calcula densitatea cesteia i se
ă o tensiune continu ă U. În se află în fiecare supraconductor perechile Cooper
aceeeaș2i stare cuantic ă. Se noteaz ă cu 1Ψ densitatea de probabilitate de localizare a
chii de electroni în regiunea 1 a jonc țiunii și cu 2
2Ψ pere densitatea de probabilitate de
oncțiunii. localizare în regiunea 2 a j

Fig. 6. 21. J unea Josephson.

În cei doi supraconductori ecua ția Schrödinger temporal ă se scrie:
oncți
1 21i Ψ − Ψ =∂Ψ∂eU Tth (6.181) h
2 12i Ψ + Ψ =∂Ψ∂eU Tth h (6.182)
unde U este tensiunea aplicat ă joncțiunii. Dar, atunci când o pereche de electroni trece
prin joncțiune, varia ția energiei sale poten țiale devine egal ă cu eU qU 2− =
țialăși se poate
ă de o parte a jonc țiunii perechea de electroni are energia poten considera c eU− , iar
de cealalt ă parte energia poten țială eU. Factorul Th aplicat celo r două funcții 1Ψ și 2Ψ,
prin epreă efectul cuplajului perechilor de electroni sau
actorul r zint
dielectric. Finteracția de trans fer
T are d es
ncț în regiunea ș ției imensiunea unei frecven țe și te o măsură a pătrunderii
fu iei 1 2 Ψ 2 i respectiv a func Ψ în regiunea 1. Dacă dielectricul are o
grosim are, 0= e prea m T și efectul tunel dispare. Deoarece 12n≈ Ψ și 2n≈ , 2
1Ψ1
372

FIZICĂ
unde doi supraconductori, se pot
aleg
1n și 2n sunt concentra țiile de perechi Cooper din cei
e expresiile:
()1 1 1 i expθ = Ψn și ()2 2 2 ie (6.183) xpθ = Ψn .
Înlocuind expresiile (6.183) în ecua țiile (6.181) și (6.182), rezult ă
() 1 2Ψ +1
1 11
11 iiddi i expdd
21Ψ − =θΨ + θ =∂Ψ∂Uh eTt tn
n t (6.184)
()2 12
2 2
22 iiddi expdd
21Ψ − Ψ − =2iθΨ+ θ =∂Ψ∂UeTt t n t h (6.185)
care se pot rescrie sub forma: n
()[]2 1 11
11i exp ii
ddid
21θ − θ − =1 2dθ+ Tt (6.186) n n neU
tnn
h
și resp tiv
ec
()[]1 2 2 1 22
22i exp ii d d1
did 2θ − θ − − =θ+ n n T ntnt h. (6.187)
țile reale și imaginare ale relaț iilor (6.186) (6.187) rezult
eU n
Egalând pă r și ă ecuaț iile:
()1 2 2 11sin 2dd1θ − θ2= n n Ttn (6.188)
()1 2 2 12sin 2dd
21θ − θ − = n n Ttn (6.189)
()1 2
12 1cos ddθ − θ − =θ
nnTeU
th (6.190)
()1 2
12 2cosddθ − θ − − =θ
nnTeU
th.
Din țiile (6.188) și (6.189), rezult ă:
(6.191)
ecua
tn
tn
dd
dd2 1− = . (6.192)
Densitatea de curent el ectronic de la regiunea 1 la regiunea 2 este propor țională cu
tn
dd2 sau cu ⎟
⎠⎞ ⎛nd1⎜
⎝− . Din ecuaț iile (6.190) și (6.191) considerând c ă (dacă
supra i), rezultă că:
2 1n n≅td
conductorii sunt identic
()
heU
t2
dd1 2− =θ−θ, (6.193)
care, după integrare conduce la:
teU
h2
0 1 2− δ = θ − θ = δ ,
la momentul (6.194)
0=t unde 0δ este faza relativ ă a vectorilor de stare . ătiind că densitatea de
curent ației de perechi C
(6.19 ate este de for
depinde de varia ția în timp a concentr ooper, din rela țiile (6.188) și
se poate scrie c ă această densit ma : 4)
⎟⎠⎞⎜⎝⎛− = theUJ J2δsin0 0 , (6.195)
care oscileaz cu pulsația ă
373

FIZICA CORPULUI SOLID
heU2ω= , (6.196)
e unde U2= ωh .

Etalonul pentru volt . B. Josephson a prezis în anul 1962 c este cuanta de energie a perechii Cooper
ă acest fluid curios de perechi
Coo dielectrici și că inte itatea urentu i sup
e vectorii de stare scri și pentru electronii din cele dou ă
parte și de alta a barierei. Dac ă se aplică o tensiune per poate traversa ba rierele de ns c lu raconductor
depinde doar de defazajul di ntr
domenii supraconductoare, de o U
co ă cerea nui c nstantă la bornele unei jonc țiuni Josephson se observ tre u urent electric
sinusoidal cu pulsația Uh. Pentru a transforma acest oscila uantic într-un etalon de
tensiune îl iradiem cu o radia ție electromagnetic ă de frecven ță e2tor c
ω, ceea ce face ca pe curba
de dependen ță a curentului de tensiune s ă apară o serie de paliere echidistante , pe care
tensiunea r incertitudine de V n l 19 J. N
Physikalisc sansalt din B hw g RFG a re
440 joncțiuni Josephs fiecare fiind de form
ă straturi sub l b separate printr-o
peliculă izo de plu țiu t a zate î
eratura heliului lichi
tri , având o precizie foarte
l și paramag
Proprietățile magnetice pot fi explicate numai cu ajutorul mecanicii cuantice,
uămâne constant ă cu o . Î 86 iemeyer de la
h Technische Bunde ei ) alizat voltul 1310−
raunsc
on identice,
țiri de a
mb Jon anu
(
iaj de plum
nile sun
p
că
9−Josephson cu ajutorul a 1
sandwich minuscul format din doua unui
d de lantă subțire (1÷2 nm) de oxid . c șe n serie, în 12
ramuri de câte 120 jonc țiuni fiecare. Întreg sistemul se afl ă la tem
4,2 K. Dispozitivul constituie un etalon de tensiune elec
înaltă. Acesta ră mâne stabil pân ă la 5 ore cu o precizie de 10 V. Joncțiunea Pb/PbO/Pb
se autodistruge la temper atura camerei, fiind dificil ă conservarea ei. Jonc țiunea
niobiu/alumin ă/niobiu, mai dificil de ob ținut, se men ține și la temperatura camerei.

6.5. Proprie ățile magnetice ale corpului solid
6.5.1. Diamagnetismu netismul

deoarece un sistem clasic în echilibru termic nu poate s ă posede n moment magnetic chiar
în câmp magnetic (la limita clasic ă 0→h ). Momentul magnetic al unui atom poate fi
determinat în principiu de: spinul electronilor , momentul cinetic orbital al mi șcării în jurul
nucleului și modificarea momentului cinetic orbita l, indus de un câmp magnetic aplicat .
Primele dou ă efecte dau contribuțiile paramagnetice la magnetizare iar al treilea d ă
contribuția diamagnetic ă. Starea fundamental ă s1 a unui atom nu are moment magnetic
orbital, acesta fiind determinat în principal de spinul electronului împreun ă cu un moment
diamagnetic indus slab (exemplu: hidrogenul). Atomii care au p ături electronice complete
au momentele de spin și orbitale nule; momentele magnetice sunt asociate cu p ăturile
incomplete. Magnetizarea (intensitatea de magnetizare ) M este definită ca momentul
magnetic pe unitatea de volum iar susceptibilitatea magnetic ă pe unitatea de volum , mλ
ste dată de relația : eBMμ= χ unde B este inducția câmpului magnetic macroscopicm
arte mică și practic independent ă
Introduse în câmp magnetic, substan țele
unt împinse spre zonele de câmp mai slab deoarece au permeabilitatea
magnet
igenul.
Substanțele cu o susceptibilitate magnetica negativ ă, fo
de temperatur ă se numesc diamagnetice .
diamagnetice s
ică relativă mai mic ă decât unu . Exemple de materiale diamagnetice:
– unele metale (Bi, Ag, Au, Ag, Pb etc.) și hidrogenul;
– to ți metaloizii (cu excep ția ox ui) etc.;
374

FIZICĂ
– cea mai mare parte a compu șilor (moleculele de
10 14H C CBr, CCl, P, S, N, C, H,, O,… H , SO , NO , CO CN, , H C , H C2 4 3 3 6 6 8 10 ).
Substanțele care au susceptibilitatea magnetic ă pozitiv ă și invers proporț ională cu
temperatura la temperaturi ridicate (legea Curie ) se numesc paramagnetice . Introduse în
câmp magnetic sunt atrase în regiunile cu câmp magnetic mai intens, deoarece au
permeabilitatea magnetic ă relativ ă mai mare ca unu . Din categoria materialelor
paramagnetice fac parte:
– unele metale etc.) Sn, Na, K, Mn, Cr, (Al, ;
– gazele biatomice O și NO;
– ionii trivalen nturilor rare; 2
ți ai pămâ
– s ărurile din grupul . Fe
Orice substan ță paramagnetic ă se manifest ă în general ș i diamagnetic, acest efect
fiind mult mai mic decât primul. Atât substan țele diamagnetice cât și cele paramagnetice
fac parte din categoria materialelor magnetice liniare : H Mmχ =r
, Hr
fiind intensitatea
câmpului magnetic .
ștere pa Momentele magnetice nucleare dau na ramagnetismului nuclear .
en
momentul magnetic al electronului. Fosforul, arsenicul și stibiu omport ă ca donori Mom tele magnetice ale nucle elor sunt ca ordin de m ărime de 310 ori mai mici decât
l se c
când sunt prezen ți în siliciu. Fiecare atom donor posedă cinci electroni din care patru intr ă
diamagnetic în re țeaua legăturilor covalente ale cristalului iar al cincilea electron se
comportă ca un centru paramagnetic de spin 21=s . Interacț ia magnetic ă ce există între
momentul magnetic al unui electron și momentul ma ește
terac ergia de interac ție hiperfin ăîn cazul solide ) este dată de relația: gnetic al unui nucleu se num
lor inție hiperfin ă. En (r
S I a B WIrr
Ir
spinul nuclear în unitr⋅ = ⋅ μ unde − = este ăți r este constanta
hema ni velelo m sau
e area de energie Zeeman a nivelelor electronice. Interac ția h ia a
r de energie ale unui ato hiperfină. Într-un câmp magnetic puternic sc
ion liberi, este dominat ă de d ic sp
hiperfină dă o despicare adi țională (despicarea hiperfin ă) care în câmpuri puternice are
valoarea: I Sm m a U≈' unde Sm și Im sunt numerele cuantice magnetice , (regulile de
selecție fiind 0 , 1=Δ ± = ΔI S m m ). În cazul donoril As (care posed ă un
singur izotop naturalor de P
r structurii hipe
rfine este și
), numărul com ponentelo 2 1= 2+I pentru P
a și ntru As. În cazul Sb (care are doi izotopi natur li Sb121 cu 2 4 pe /5=I (56 de
procente) și Sb129 cu 2/7=I (44 de procente), num ărul total de linii observate
experimental este 6+8=14, a șa cum prevede și teoria. Si28 (92 de procente) cu spin
nuclear egal cu zero nu produce despicare hiperfin ă în timp ce Si29 cu 2/1=I dă o
tehnicii de rezonanță dublă electronic ă și nucle are dau informa ții asupra func țiilor de
undă ale electronilor de conduc ție și a poziț iei în zona Brillouin a marginii benzii de
conducție în siliciu.

ul și antiferomagnetismul

Materialele feromagnetice se caracterizeaz ă printr-o magnetiza ție ridicată , care
depinde de câmpul magnetic dup ă o curbă (ciclu ) de histerezis (fig. 6. 22). Variind
intensitate agnetic între dou ă limite simetrice mHanumită contribuție suplimentar ă la despicarea hiperfin ă care poate fi studiat ă cu ajutorul
ară c
6.5.2. Feromagnetism
a câmpului m − și mH+ , punctul
375

FIZICA CORPULUI SOLID
reprezentativ a re evolueaz ă inițial de-a lung curbei de prim ă
magnetizare mH0 până când magnetizarea atinge valoarea sM (magnetizare de satura ție)
și aceasta nu m cre ște indif nt de valoarea lui l stării de magnetiza ul
ere ai H.

Fig. 6. 22. Curba de histerezis.
La scă derea lui H, revenirea se face pe curba r mM H la 0 astfel încât =H
materialul r ămâne magnetizat ( magnetiza ția remanent ă rM). Pentru a anula magnetiza ția,
trebuie aplicat un câmp magnetic cH− (câmp agneti ercitiv ) ș.a.m.d. În cazul
bstanțelor feromagnetice care fac parte din cat m
egoric co
su a materialelor neliniare
relației neliniare dintr (din cauza
e Mr
și Hr
), sus
ente la curba ceptib te ă trebuie
interpretat ămχ să fie ilita a m gnetica
()H Mfrr
= cu panta un ei tang , într-un punct corespunză
H: tor unei
HM
m∂∂=
în ma
domenii We
sub efχ
te. Pentru explicarea fenom
gnetic pr
pului mvalori particulare a lui enologic
feromagnetism ă eexis a unor
magnetizate spontan , aș itele nsiuni liniare de ordinul
gnetic. Susceptib
materialelor ferom gnetice este dat ă de relația: ă a
regiuni
ilitatea u
cm ș
a
lui se consider
a-num
i sunt orientaterialul rom fe
iss
ectul câma
, care au dimtenț
e
a3 210 10− −÷
cmT TC
−= χ , pentru (6.197) c T T>
unde C este o constanta de propor ționalitate iar cT este temperatura Curie (tempera
care dispare magnetiza ția spontan ă). Principalele materia eromagnetice sunt: fierul,
cobaltul, gadolinul ș. a.
Exist ă unele substan țe parama ice, de exemplu CO 3Fe, care au susceptibilit ăți
magnetice care trec printr-un maxim când temp eratura scade (fig. 6. 23). Sub temperatura
λT corespunz ătoare maxim n ța devine antiferomagnetică .
tura la
gnet
ului substale f
376

FIZICĂ

Fig. 6. 23. Dependen ța susceptibilit ății magnetice de temperatur ă în cazul
unui antiferomagnet.

Peste aceast ă temperatur ă susceptibilitatea magnetic ă a materialului variaz ă după legea:

NmT TC
+= χ (6.198)
unde este temperatura Néel , în general pozitiv ă. Sub temperatura (analogul
temperaturii Curie pentru fe romagnetici) apar noi for țe care tind s ă realizeze progresiv
ntiparalelismul momentelor magnetice al e ionilor (antiferomagnetism). La aceast ă
temperatur ă rdine care
este însoțită de o anomalie a c ăld discontinuitate a coeficien ților de
ilatare și compresibilitate. Cele mai cunoscute substan țe antiferomagnetice sunt: CO Fe,

6.5.3.

D
ă a compușilor cristaliza ți fiind MFe 2O4, unde M este
, Co, Ni, Zn, Cd, Mg).
ă nu are nici o influen ță. Conform
ie, banda de valen ță are toate nivelele ocupate cu câte doi
raleli, la te mperatura 0 K, iar nivelul Fermi se afl ă în banda
zii de valen ță. La temperatura camerei semiconductorii se afl ă în NTλT
a
se produce o tranziț ie de fază de ordinul doi, de tipul ordine-dezo
urilor specifice și o
d 3
MnO 2, FeFe 2, OFe 2, OCo, ONi.
Ferimagnetismul
in categoria materialelor magnetice neliniare fac parte și feritele . Acestea au un
ciclu histerezis apropiat de forma dreptunghiular ă și o rezistență electrică foarte mare, care
le micșorează mult pierderile prin curen ți turbionari, chiar la frecven țe relativ ridicate. În
cazul feritelor unii ioni ocup ă poziții tetraedrice , iar alții ocupă poziții octaedrice . Între
ionii din poziț iile tetraedrice și octaedrice se exercit ă forțe de schimb intense de tip negativ
în timp ce între ionii care ocup ă poziții de acelaș i tip, se manifestă forțe de schimb mult
mai slabe . Feritele cele mai importante sunt mate rialele sinterizate din oxizi de fier și de
angan sau alte metale, formula brutm
un metal bivalent (Mn, Fe

6.6. Semiconductori
6.6.1. Noțiuni generale

Semiconductorii sunt materiale a c ăror conductivitate electric ă este cuprins ă în
intervalul ()1 3 10m 10 10− −Ω ÷ , fiind plasa ți între conductori și izolatori. Conductivitatea
electrică a semiconductorilor cre ște cu temperatura în tim p ce în cazul conductorilor
aceasta scade cu cre șterea temperaturii. În pl us, conductivitatea electric ă a
semiconductorilor este puternic influen țată de defectele existente în structura cristalin ă, în
imp ce la conductori prezen ța acestor defecte de structur t
teoriei benzilor de energelectroni, cu spinii antipainterzisă de deasupra ben
377

FIZICA CORPULUI SOLID
stare solid ă, fiind din punct de vedere chimic elemente ca: germaniu, siliciul, telurul,
seleniu
mpurităților (alți a
i nu
temperaturii, datorit ă agitației termice, unele leg ături
are ca rezultat eliberarea unora dintre electroni, care l sau compu și ca: oxizi, sulfuri, selenuri etc. ale diferitelor metale. În func ție de
existența i tomi în nodurile re țelei) semiconductorii se împart în
semiconductori intrinseci (fără impurități) și semiconductori extrinseci (cu impurit ăți).

6.6.2. Semiconductori intrinseci

Conducția electric ă a acestor semiconductori se datore ște procesului de trecere, prin
salt cuantic, al electronilor din banda de valen ță în banda de conduc ție (fig. 6. 24). Pentru a
explica procesul de conduc ție al acestui tip de semiconductori se alege ca exemplu cristalul
pur de germaniu. Atomul de germaniu fiind tetravalent, adic ă având patru electroni de
valență, pentru a- și asigura configura ția stabilă de opt electroni pe ultimul strat electronic,
foloseș te în comun cu al ți patru atomi vecini cei patru electroni de valen ță. Acest tip de
legătură se nume ște legătură covalentă . Datorită simetriei, electronii supu și legăturilor
covalente se g ăsesc sub acț iunea unor for țe stabile ș i astfel no țiunea de electr oni liber
mai are sens. Odat ă cu creșterea
u-se rupe, ceea ce slăbesc, putând
devin liberi, deplasându-se haotic prin re țeaua cristalin ă. Acești electroni se pot mi șca
dirijat sub ac țiunea unui câmp electric exterior, deci sunt electroni de conduc ție. Atomul de
germaniu r ămas fără un astfel de electron, prezint ă o sarcină pozitivă necompensat ă numită
gol. Apare tendin ța ca ionii de germaniu cu un astfel de gol s ă încerce s ă-și completeze
configura ția cu electroni lua ți de la alți atomi de germaniu. În acest mod lipsa de electron,
adică golul, se deplaseaz ă prin cristal. Sub ac țiunea câmpului electric exterior, trecerea
electronilor de la un atom la altul este înso țită de o deplasare în se ns opus a golurilor.
Astfel, într-un semiconductor intrinsec apar dou ă f e l u r i d e p u r t ători de sarcin ă:
electronii și golurile . Golul, considerat ca o particul ă cu masă efectivă și sarcina e+, nu
este totuși, o particul ă elementară , în sensul strict al cuvântului. Astfel, în vid, electronul
este o realitate evident ă, iar noțiunea de gol nu are nici un se ns. Deci, golul are o realitate
fizică numai în cazul corpurilor solide, reprezentând de fapt un anumit mod de comportare
al electronilor de valen ță ai corpului solid considerat. Din punct de vedere energetic,
procesul are loc conform fig. 6. 24.

Fig. 6. 24. Reprezentarea schematic ă a producerii unui gol (
).
Pentru ca un electron, legat de atomul de germaniu, s ă devină liber, adic ă electron
de conducț ie, trebuie s ă facă saltul din banda de valen ță în banda de conduc ție, adică
trebuie să-și mărească energia cu
WΔ care poart ă numele de energie de activare . În urma
acestui salt energetic, efectuat în mod obiș nuit de către electronii ce se afl ă pe nivelele
378

FIZICĂ
energetice superioare ale benzii de valen ță, rămân goluri pozitive care tind s ă fie ocupate
de electronii de pe nivelele inferioare. Aceas ta duce la deplasarea golurilor, din cadrul
benzii de valen ță, de la nivelele superioare spre cele inferioare. Sub ac țiunea câmpului
electric exterior, cele dou ă tipuri de purt ători de sarcin ă vor avea mobilit ăți diferite
deoarece au mase efective diferite. Dac ă se notează cu concentraț ia de electroni liberi,
cu mobilitatea acestora, cu concentra ția de goluri și cu n
nμ ppμ mobilitatea acestora,
pentru conductibilitatea ele tric ă a semi rezultă c conductorlor expresia: p npe neμ+ μ = σ
d p n=, devine,
zul semiconductor intrinseci, f ără impurit ăț : care în ca ilor i, cân
()p nμ + μ σ
urul electron
tem eratur ă și vne=
mă
p. În cazul unui semiconductor intrinsec, în lipsa unui excitator extern,
ilor liberi de uc ție, respectiv num n cond ărul golurilor, depinde numai de
aloarea energiei de activare WΔ.
Pentru electronii care trec din banda de valen ță ă în banda de conducț ie se consider
drept energie de referin ță valoarea minim ă a benzii de conduc ție cW. Ținând seama de
faptul că în fiecare stare energetică se pot g ăsi doi electroni și considerând c ă energia
benzii de conducț ie poate varia de la valoarea minim ă cW la infinit, rezult ă că pentru
concentra ția electronilor care se pot g ăsi în banda de conduc ție există relaț ia:
(), d
exp 12
212 / 12 / 3
2 2∫∞ ∗
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−+−
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
π=
cW Fc nW
kW WW W mn
h (6.199)
und∗
nm este masa efectiv ă a electronilor. Analog, pentru concentra ția de goluri, ținând
seama că nivelul maxim ocupat de acestea este marginea superioar ă a bv T
e
enzii de valen ță W
(se alege valoarea zero la baza benzii de valen ță), se poate scrie c ă:
()WW WW W m
pvW
Fv pd
p2
212 / 12 / 3
2 2∫
∞ −∗
⎞⎜⎛+ −−
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
π=
h (6.200)
kT⎠ ⎝
unde ∗
pm este masa efectiv ă a golurilor. În cele prezentate mai sus ținut cont de faptul
că un gol înseamn ă lipsă de electroni, deci probabilitatea de apari ție a golului este 1 ex +⎟
s
-a
1+
⎠F (6.201)
st caz se poate scrie: exp1exp1⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−
kTW WF
1 exp 11
⎜
⎝⎛−−=
+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎝−
kTW
kTW W
kTWF F

ție
eexp ⎟⎞⎜⎛− W W=
Semiconductori nedegenera ți. Dacă banda interzisă dintre banda de valență și banda de
condu este suficient de larg ă pentru ca nivelul Fermi să se găsească la distan țe
energetice mai mari ca kT2 de cele dou ă benzi, se poate considera c ă: kT W WF>> − ,
electronii supunându-se statisti cii clasice Maxwell-Boltzmann. În acc
379

FIZICA CORPULUI SOLID
()∫∞∗
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−− −⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
π≈
WF
cnWkTW WW Wmn d exp2
21 2 / 12 / 3
2 2h
c
, exp exp22
212 / 3
2 2 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−− = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−π
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
π=∗
kTW WNkTW W kT mF c
cF c n
h (6.202)
unde 2 / 3
222⎟⎟
⎠⎜⎝h
Pentru determinarea num ărului de goluri din unitatea de volum din banda de
valență se utilizeaz ă acee proximație ca în cazul electronilor, adic ă: ⎞⎜⎛π=∗kT mNn
c reprezintă densitatea stărilor din banda de conduc ție.
ași a
()∫
∞ −∗⎞⎛−⎟⎞⎜⎛vW
F p W W m21 2 / 12 / 3
⎟
⎠⎜⎝−⎟⎠⎜⎝π≈
v WkTW W p d exp
22 2h
⎟⎠⎞⎜⎝⎛−− = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛π=∗
kTW WNkTW W kT mv F
vv F pexp exp222 / 3
2h (6.203)
unde 2 / 3
222⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛π=∗
hkT mNp
v este densitatea de stări energetice din banda de valen ță.
Făcând produsul rela țiilor (6.202) și (6.203) rezult ă expresia:

() () , exp24 exp242 / 33 3⎞ ⎛π⎞ ⎛− ⎞ ⎛π kT W W kT
22 / 3
2 ⎟⎞⎜⎝⎛Δ− ⎟⎠⎜⎝=⎟⎠⎜⎝− ⎟⎠⎜⎝=
∗ ∗ ∗ ∗ Wm mkTm m npp nv c
p nh h (6.204)
unde este lărgimea benzii interzise . Se observ ă că produsul concentraț iilor
i goluri nu depinde de energia corespunz ătoare nivelului Fermi ci doar de
temp etri care caracterizeaz ă materialul (
Rela ția (6.204) este cunoscut ă sub numele de legea acțiunii maselor , aceasta
evidențiind faptul că dacă într-un semiconductor dintr-un motiv oarecare cre ște
ntrația unuia din purt ă acă
ămâne constant
lă, a purtătorilor de
purit
cazul semiconductoarelor intrinseci concentra ția electronilor din banda de
egală cu cea a golurilor din banda de valen ță, adică este îndeplinit ă condiția: ⎠kT
v cW W W− = Δ
de electroni ș
eratu și de paramrăc).v p nW W m m, , ,∗ ∗
conce torii de sarcin ă, concentra ția celuilalt trebuie s ă scadă, d
temperatura r ă. În cazul semiconductorilor extrinseci rela ția (6.204) are o
importanță deosebit ă deoarece permite reducerea, uneori chiar tota
sarcină dintr-un cristal impur, prin introducerea constant ă a unor im ăți potrivite. În
conducț ie este
p n ni== .
În acest caz rezult ă pentru concentraț ia de purt ători de sarcin ă expresia:
() .2exp2exp 22 / 34 / 32 / 3
2 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛Δ− =⎟⎠⎞⎜⎝⎛Δ− ⎟⎠⎞⎜⎝=∗ ∗
kTWATkTWm mTnp n ih (6.205)
Rela ția (6.205) arată că la 2⎛πk
K0=T nu exist ă purtători liberi de sarcin ă într-un
semiconductor intrinsec, iar la o alt ă temperatur ă concentra ția de purt ători depinde și de
lărgimea benzii interzise. Astfel, la K300=T , eV 14 , 1Si=ΔW și 3 16m 10 5 , 1Si−⋅ =in ,
iar eV 67 , 0Ge= Δ W și 3 19m 10 4 , 2Ge−⋅ =in .

380

FIZICĂ
Semiconductori degenera ți. Dacă nu este respectat ă condiția de nedegenerare, ceea ce se
întâmplă în majoritatea cazur ilor se poate scrie c ă:
() () α ⋅ = α⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=∗
2 / 1 2 / 1 222 F N FkT mncn
h. (6.206)
unde ∫∞
α −()
+π0e 1= α2 / 1
2 / 1d 2
xx x sunt integrale de tip Fermi , care sunt tabelate, iar F
kTW Wxc−= și kTW Wc F−= α .
Concentra ția de goluri poate fi exprimat sub forma: ă
() () β ⋅ = β⎟⎟
⎠⎜⎝2h⎞⎜⎛
=∗
2 / 1 2 / 122 F N FkT mpvp. (6.207)
unde ()∫∞ 2 / 1d 2y y
β −= βyF ,
+π02 / 1e 1 kTW Wv
kTW WF v−= β y−= și .
Dac ă pentru o anumită temperatur ă, numită temperatură critic ă, , nivelul Fermi
oincide cu una din margincT
FW c ile celor dou ă benzi permise, adic ă c FW W= , deci 0=α ,
sau ă cazuri concentra țiile celor dou ă tipuri de purtă tori
valv FW W=
ă au, deci , în cele dou
or0= β
ile: de sarcin2 / 3
22⎜⎛
3⎠ ⎝h8
⎟⎟⎞
⎜π∗
c nkT m, ≈n2 / 3
. 228
⎟⎟
⎠⎞⎜⎛π≈∗
c pkT mp
6.6.3. Semiconductori extrinseci

Semiconductorii care con țin impurități poartă denumirea de semiconductori
extrinseci . Introducerea impurit ăților dă naștere unor defecte de structur ă și, întrucât în
semiconductorilor extrinseci atomul de impuritate se fi
substituind unul din atomii re țelei, defectele respective se numesc . Între atomul
ă
ț
opti impurit nde d
a atomului de impuri
are acest atom de impuritate în raport cu cel al atomului cristalului de baz ă. Din acest punct
ții distincte legate de natura atomilor de impuritate:
au un num ăr de electroni de valen ță mai mare ca atomul de baz ă,
b) atomii de impuritate au un num ăr de electroni de valen ță mai mic ca atomul de baz ă.
ron al atomului de impuritate nefolosit în leg ăturile cu
ecini ai re țelei. Acesta devine liber, asigurând conducț ia electric ă prin
cristal. 3⎜⎝h
cazul xează într-un nod al re țelei,
substituție
de impuritate introdus în mod artificial și atomii cristalului de baz ă, adic între electronii
lor de valen ță, se stabilesc legături covalente în sensul ob ținerii unor condi ii de stabilitate
mă. Comportarea în ansamblu a unui asemenea semiconductor cu ăți depi e
natur tate introdus, adic ă de numărul electronilor de valen ță pe care îi
de vedere apar dou ă situa
a) atomii de impuritate
În cazul a) r ămâne un elect
ceilalți atomi v
Atomul de impuritate care elibereaz ă un electron se numeș te atom donor .
Pentru a în țelege comportarea acestui electron liber se consider ă că acest electron
se deplaseaz ă pe o orbit ă circulară în jurul nucleului atomului de impuritate, ca în modelul
lui Bohr, în mediul dielectric al cristalului. Conform modelului lui Bohr, raza orbitei este
dată de relația ( 1=n ): * 22
0
1
nr
m ehr
πε ε= și energia de ionizare: 2 2
024 *
8rn
ionizarehe mW
ε ε= .
Considerând exemplul germaniului, pentru care 8 , 15=εr și m mn 12 , 0*= , rezultă pentru
381

FIZICA CORPULUI SOLID
atomul impuritate de stibiu valorile: m 10 7010
1−⋅ = r și eV 10 5 , 63−⋅ =ionizareW , iar
pentru siliciu, în care m mn 25 , 0*= și 7 , 11=εr rezultă pentru acela și atom-impuritate :
re care
ivm 10 2510−⋅ = r și eV 10 5 , 23−⋅ = W . Comparând aceste valori cu cele a1 ionizare le
electronului din atomul de hidrogen ( m 10 53 , 010
1−⋅ = r și eV 6 , 13=ionizareW ) se
observă că electronul atomului de impuritate se deplaseaz ă pe o orbit ă foarte m a
l donor (fig. 6. 25). depășește cu mult și constanta re țelei ( m 10 65 , 510
Ge−⋅ = a și m 10 43 , 510
Si−⋅ = a ) și că
energia de ionizare este foarte mic ă. Rezultă că acest electron devine foarte u șor liber.
Apari ția acestui electron liber de la fiecar e atom de impuritate este echivalent ă cu
apariția unui nou el e is în banda interzis ă, numit nive n nergetic perm

Fig. 6. 25. Reprezentarea schematic ă a n are
conține impurit ăți donoare de electroni.
ivelelor energetice în cazul
impuritate trec
ț
i donoare de electroni poate f
tip n.
puritate îi lipse ș
istal. Acesta prime ș
acceptor de electroni
rcină pozitivă. În urm
ă în cazul germunui semiconductor c
șurință în banda de conduc
ția electric ă la aces
i considerat ă doar de natur
te un electron pentru a- și stabili o
te electronul care îi lipse ș
. Apare un gol, adic ă o lips
unor raționamente ca în cazu
aniului, care formeaz ă cristalu
cceptor de indiu egalAcest nivel este plasat aproape de banda de conduc ție, deoarece energia de activare
a atomului de impuritate este mult mai mic ă decât cea a cristalului de baz ă. Din acest
va ție
ă t tip de
ă
i este denumit
)
t te de la
lui, d ă de
l
l
ul
ă cu motiv electronii de
a cristalului de baz
semiconductori, cu
electronic ă ș
În cazul b
legătură stabilă cu a
un atom al cristalu
electron, care este echiv
electronului (folosind m
gaz*
lui, care are
,05 eVlență ai atom
, devenind electroni de conduc
impurităț
ă conducț
atomului de im
ii vecini din c
eci este un
alentă cu o sa
odelul Bohr) rezult
2=ului de
ie de
om r
p cu u
ie. Conduc
a
dă și are m mp 5 , 2= , o energie de ionizare pentru indiu egal ă cu 0,015 eV, iar în caz
m, o energie de ionizare a ionului a m*siliciu
0 . ăi de data ace asta valorile numerice g ăsite permit considerarea golului ca fiind
liber prin cristal. Energetic, apare un nivel permis în banda interzis ă, numit nivel acceptor ,
care este plasat în apropierea banzii de valen ță (fig. 6. 26). Prin trecerea unui electron din
banda de valen ță pe nivelul acceptor, în banda de valen ță apare un gol care, fiind
compensat electric de electroni de pe ni velele inferioare ale benzii de valen ță, face ca
acesta să se deplaseze în cadrul re țelei, constituind un purt ător de sarcin ă pozitivă liber, ce
poate între ține un curent electric sub ac țiunea unui câmp electric exterior. Semiconductorii
cu impurități acceptoare , prezentând o conduc tibilitate electric ă prin goluri, poart ă
denumirea de semiconductori de tip p.
382

FIZICĂ

Fig. 6. 26. Reprezentarea schematic ă a nivelelor energetice în cazul unui semiconductor care
conține impurit ăți acceptoare de electroni.

Ecuația de neutralitate electric ă. Expresiile care permit calcularea concentra țiilor și
ale electronilor și golurilor presupun cunoa șterea pozi ției nivelului Ferm
Fermi îns ăși depinde de temperatur ă și de concentra ția de purt ători. Pozi ția lui se poate
modifica substan țial când sunt introduse impurit ăți responsabile pentru st ările loc liz
(nivelele din banda interzis ă). Acest lucru este normal deoarece nivelul Fermi determ
distribuț ia electronilor pe stă ri și prin introducerea impurit ăților se creaz ă stări loca
banda interzis ă, care pot fi ocupate atât cu electroni cât și cu goluri. Prin creare
discrete în banda interzis ă are loc o redistribuire a electronilor în st ă
reprezentat ă prin varia ția poziției nivelului Fermi. Ecua ția din care se deduce energia
cor
Se noteaz ă cu și respectiv acce
ta ân
i. Dar, nivelul
a
liz
a nive
ri ceea ce este
ptoare. Cap

ate
ină
ate în
lelor
ă.
espunzătoare nivelului Fermi FW poartă numele de ecuația de neutralitate electric
concentra țiile de impurităț i donoare și dN aN
rezultat al ioniz ării termice se creaz ă în semiconductor un num ăr de electroni și goluri.
Purtă torii de sarcin ă liberi se creaz ă ca rezultat al ioniz ării atât a atomilor de impuri te c t
și a atomilor cristalului. Sarcina total ă a tuturor particulelor înc ărcate electric trebuie s ă fie
zero, deoarece cristalul nu este încă rcat electric. Condiț ia de neutralitate electric ă se aplică
atât întregului cristal cât ș i unității de volum de cristal.
Sarcina negativ ă este creată de electronii liberi și ionii acceptori și este egal ă cu
()e N na−+ − , iar sarcina pozitiv ă este creată de golurile libere și ionii donori, fiind egal ă
cu ()e N pd++ . Condiția de neutralitate este: ()()0= + − +− +e N p e N pa d sau
()0= + − +− +
a d N n N p . Notând num ărul de electroni și goluri care ocup ă nivelele donoare
și respectiv acceptoare prin a d dn p n, , și ap se poate scrie c ă:
d d d d dp N N N n− = − =+ sau d d d dp n N N= − =+ și a a a a an N N N p− = − =−
sau a a a an p N N= − =−. Pe baza celor prezentate mai sus condi ția de neutralitate se
poate scrie sub forma: () 0=+− +d a p p n n sau ()a d a d N N p p n n− = +−+ .

Probleme
sească lungimea de und ă pentru care se țin ma e eren ță cu o
rețe plă pentru o direc ție dată a fasciculului i
Rezolvare. În cazul re țelei cubice simple maximele de interferen ță se obț in din rela țiile
(ecuațiile Laue):
P.6.1. Să se gă ob xim de interf
a cubică sim ncident de raze X.

383

FIZICA CORPULUI SOLID
( )λ=α−α1 0 cos cos k d , (P.6.1.1)
( )λ=β−β2 0 cos cos k d , (P.6.1.2)
( )λ=γ−γ3 co cos k d , 0s (P.6.1.3)
nde este constanta re țelei, reprezint ă lungimea de und ă, sunt numere
determină maxim le de interferen ță, iar d λ
e3 2 1 , ,k k k
0 0 ,u
0 ,γβα și γβ , ,α
axele întregi care sunt
ngh e f ăcute de raza in t ă respectiv reflectat ă iuril ciden cu zyx , , u . Între
unghiurile γβ α , , există relația:
1 cos cos cos2 2 2= γ + β + α. (P.6.1.4)
Rezolvând sistemul de ecua ții (P.6.1.1)-(P.6.1.3) cu condi ția (P.6.1.4) se ob ține
lungimea de und ă pentru care se ob țin maxime de interferen ță sub forma:
2
32
22
10 3s0 2 0 1 co cos cos2
k k kk k kd
+ +γ α+β+− = λ .

C ină să(P.6.1.5)
P.6.2 . onsiderând un oscilator amortizat de mas ă m și sarc se calculeze
contribuț ia a q
N astfel de oscilatori pe unitatea de volum la constanta dielec ă fără a ține
seama de interac țiunea dintre oscilatori.

Rezolvare. Ptric
entru oscilatorul descris mai sus ecua ția de mișcare este de forma:
tE q xt tm =⎟⎠⎜⎝ω +τ+
0 0 2ed d (P.6.2.1)
unde ω este pulsa ția la rezonan ță este intenx x ω⎟⎞⎜⎛22d1 d
, sitatea câmpului electric cu pulsa ția i –
0 0E ω,
iar pul de relaxare. Admi țându-se solu ții de forma:
(P.6.2.2) τ este tim
tx xω=-i
0e
din ecuația (P.6.2.1) se ob ține:
ωτ− ω −ω=im qEx0
0 . (P.6.2.3)
2 2
0
Momentul dipolar având amplitudinea q x p0 0= mai poate fi scris sub forma
de unde rezult ă pentru polarizabilitatea 0 0 E p⋅ α = α expresia:
ωτ− ω − ωαi 2 2
0. (P.6.2.4) =2m q
ății de volum are expresia Polarizarea definită ca momentul dipolar al unit ⎟⎞=N:
⎠⎜⎝⎛
Vn
ωτ− ω − ω= =i 2 2
002
0mE q nx q n P . (P.6.2.5)
Perm itivitatea electric ă relativă rε a unui med izotrop se iu poate calcula cu rela ția:
EP
EP E
r
0 00 11ε+ =ε+ε= ε (P.6.2.6)
384

FIZICĂ
astfel că din ecuațiile (P.6.2.5) și (P.6.2.6) se ob ține expresia:
ωτ− ω − ωε+ = εi1
2 202m q n
r . (P.6.2.7)
P.6.3. Se consideră un conductor de Cu având sec țiunea aflat la temperatura
camerei. Ținând seama c ă densitatea de cu ato
electronilor (un electron pentru fiecare atom) s ă ărul de purt
sarcină pe unitatea de volum și b) viteza de depl ru un curent egal 0

2mm 1=S
rent electric în Cu se d
se calculeze: a) num
asare a electronilor penrește mișcării
ători de
t
cu 1 A (model clasic). Se dau pentru Cu: masa atomic ă 5 , 63=A , densitatea sa
, iar numărul Avogadro kmo1 026⋅3 3m kg 10 57 , 8⋅ = ρl1 rcina electric ă 02 , 6=AN a

Rezolvare. a) Numărul de purt și s
elementară C 10 6 , 119−⋅ = e .
ători din unitatea de volum, V este:
3 28m 10 14 , 8−⋅ =ρ⋅= =AN
VNnA. (P.6.3.1)
b) Ținând seama de formula dens ității de curent
nevSIj= = (P.6.3.2)
rezultă:
s m 104−≈ =Iv . (P.6.3.3) neS

se calculeze conductivitat ea la temperaturi joase P.6.4. Să ()K 90=T
tor având mo
=aN
în z a inter, respectiv înalte
, pentru un material semiconduc
. Se
tor aflat pe un nivel de energie situat( K 300≈T)
ul accepbilitatea golurilor
-3 24m 10 s V / m 102 2⋅ = μ−
p și concentra ția impurit ăților acceptoare
consideră atom
eV 5 , 0= Δon zis ă la o distan ță
s J 10 63 , 634⋅ ⋅−W deasupra benzii de valen ță
C.19− . Se dau: constanta Planck
0 p=h
= 9,1⋅10−31,
ina constan
electronului eta Boltzmann K / J 10 38 , 123−⋅ = k , *m m≈ kg ș i sarc
ul relației: 10 6 , 1⋅ =

Rezolvare. În cazul temperaturilor joase conductivitatea se calculeaz ă cu ajutor
()1 – 1 114 / 3
2*
2 / 1m 10 1 , 42exp2
2 ⋅ Ω ⋅ = ⎟
⎠⎞ −⎜
⎝⎛Δ− ⋅⎟⎟⎞
⎜⎜⎛π
μ = μ = σ−
kTW
hkT m
e N pep
p a p . (P.6.4.1)
La temperaturi ri⎠⎝
dicate se poate aproxima
aN p≈ (P.6.4.2)
1 -1 3m 10 6 , 1−⋅ Ω ⋅ = μ ⋅ ⋅ = σp ae N . (P.6.4.3) deci

385

FIZICA CORPULUI SOLID
W P.6.5. Să se determine valoar ea energiei medii, a ele
nductor nedegenerat aflat la temperatura ctronilor din banda de conduc ție
a unui semico T.

Rezolvare. Energia medie a electr onilor din banda de conduc ție a unui semiconductor
nedegenerat este:
()
()23
'' d / ' exp '
002 / 3
kT
W kTW kT W W
W =−
=∫∞
. (P.6.5.1)
P.6.6. Fie două joncțiuni Josephson legate în paralel. S ă se calc
urge prin cele dou ă joncț iuni și să se arate c ă diferența de fază de sosire a curen ților pe
l total (suma
elor doi curen ți prin cele dou ă joncțiuni Josephson) se poate scrie sub forma: exp '2 / 1W W −∫∞
d / '

uleze curentul total care
c
drumuri diferite d ă fenomenului un aspect de interferen ță.

Rezolvare. Pe baza modelului teoretic prezentat în paragraful 19.2.4. curentu
c
Φ δ =⎥⎦⎤ ⎡ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛=e e eJ J0⎢⎣⎟
⎠⎜⎝Φ − δ + ⎟⎠⎜⎝Φ + δ
h h hJ cos sin sin sin0 0 0 0 , (P.6.6.1)
unde este fluxul magnetic. Valoarea maxim ă a curentului este: Φ
Φ =heJ Jcos0 x ma ,
maximul expresiei ob ținându-se pentru: (P.6.6.2)
enπ = Φ. (P.6.6.3)
Deci curentul va înregistra maxi me pentru fluxuri magnetice maxime și respectiv,
minime pentru fluxuri magnetice minime. h

P.6.7. Se fac dou ă măsurători de susceptivitate pentru un material feromagnetic la
temperaturile C 2251° = t și C 2502°=t mai mari decât temperatura Curie, ob ținându-
se ă se deduc ă valorile: a) co
Rezolvare. La temperaturi mai mari decât temperat ura
iar susceptibilitatea depinde de temperatur ă după legea: 3 respectiv 110−= χ410 5−⋅ = . S2χ nstantei și b)
temperaturii Curie pentru materialul considerat.

Curie materialul este paramagnetic
CT TC
−=χ , (P.6.7.1)
unde C și reprezint ă constanta și respectiv tem eratura Curie. În condi țiile problemCT p ei
CT TC
−= χ1 ,
CT TC
−= χ2 . Rezolvând sistem
2ul celor dou ă ecuații rezultă:
1
a) K 467
22 2 1 1=χ1− χχ−χ=T TT (P.6.7.4) c
și
386

FIZICĂ
387()() b) K 10 253 1 2
2 1 2 2−⋅ =
2 1χ − χ−χ χ =T TCc . (P.6.7.5) = − χT T

P.6.8. Se consideră o probă de fier pentru care dependen ța dintre induc ția magnetic ă B și
intensitatea câmpului magnetic H este dată în fig. P.3.10.1. Aceasta se află în inter orul
unei bob , secțiun a și
fiind parcursă de un curent cu ini
ine având diametrul 10 3⋅ = d e 5 spire 800=N m 1−
tensitatea 2 4m 10−⋅ = S
A 3=I . ătiind c ă bobina are un

agnetică întrefie
idur
ă a v lui m 1⋅
permeabilitatea m
10 26 , 16
0⋅ = μ0 23−=b și neglijând dispersia liniilor de câmp în întrefier, s ă se calculeze
r a probei de fier. Se d ă permeabilitatea absolut
−μ
H/m .

Fig. P.6.8.1. Dependen ța dintre induc ția magnetic ă și intensitatea
i magnetic.

Rezolvare. Din legea circuitului magnetic câmpulu
∫∫ ∫∫ ∫
Γ Γ⋅∂∂+ ⋅ = ⋅
Γ S SStDS J r Hrrrrrr
d d d se obț ine în
condițiile problemei H Hbb d
bNIB β − α =−π−μ=0
T . Ecuația dreptei intersecteaz ă axele
în punctele și 3 , 10=B mkA 33 , 00=H . Din intersecț ia dreptei H Bβ − α= (relațiași a
curbei (fig. P.3.10.1.) rezult ă .

()H f B= 310 3⋅ = μr