OSCILA ȚIILE DECUPLATE LINIARE ALE NAVEI CORP RIGID 4.1 IPOTEZE DE CALCUL 1) Mi șcările de oscila ție ale navei corp rigid se consider ă a fi cu… [620896]

CAPITOLUL 4

OSCILA ȚIILE DECUPLATE LINIARE ALE
NAVEI CORP RIGID

4.1 IPOTEZE DE CALCUL

1) Mi șcările de oscila ție ale navei corp rigid se consider ă a fi cu amplitudini mici.
2) Ecua țiile de mi șcare vor fi liniarizate și se vor studia oscila țiile decuplate ale
corpului navei.
3) În zona plutirii este valabil ă ipoteza bordurilor verticale, astfel încât
caracteristicile planului plutirii de calcul r ămân constante.
4) Consider ăm drept unic ă surs ă de excita ție a oscila țiilor navei, valul regulat
model Airy.

4.2 OSCILA ȚIA DECUPLAT Ă LINIAR Ă PE DIREC ȚIE
VERTICAL Ă

Între direc ția de deplasare a navei cu viteza us și direc ția de propagare a
valului (cu viteza c) exist ă unghiul µ∈[0,180o], nava executând oscila ții pe toate
cele 6 grade de libertate corp rigid. Conform ipotezei 2 (capitolul 4.1) vom
considera în cele ce urmeaz ă mi șcarea de deplasare pe vertical ă (OZ) a corpului
navei ζ(t) decuplat ă, neglijând mi șcarea pe restul gradelor de libertate (fig.4.1).

Dinamica navei. Oscila ții și vibra ții ale corpului navei
54
Sistemul de coordonate OXYZ este fix în spa țiu, iar oxyz reprezint ă sistemul mobil
de axe legat de nav ă.

Fig.4. 1 Oscila ția navei decuplat ă liniar ă pe direc ție vertical ă

4.2.1 CAZ PARTICULAR, VAL TRAVERS ( µµµµ=90o)

Vom considera în cele ce urmeaz ă unghiul de cap µ=90o și valabil ă ipoteza
valurilor lungi ( λ≈L, B〈〈λ), deoarece la navele uzuale L/B=5÷7. Pentru acest caz se
poate lua în considera ție doar mi șcarea de oscila ție pe direc ția vertical ă a navei.
Not ăm cu ζ(t) deplasarea absolut ă pe direc ție vertical ă a navei, care în
nota ția general ă de la capitolul 3.2 corespunde gradului "3" de libertate.
Elonga ția valului corectat Smith, din rela țiile (2.49),(2.50), pentru µ=90o
are expresia:
() ( ) []
() ( ) t ky eatyugt y xk eatyx
kT
w v es e ekT
w v
ω− =ζ⇒ω=ω⇒=µµω−ω=ωω−µ+µ = ζ
−−
cos , 90cos ; sin cos cos ,,
* 02
*
(4.1)
și mediat pe l ățimea navei:
() () ct exa at atkT
w w w v ≈ε= ω=ζ− * * *; cos (4.2)
Obs. În ipoteza B 〈〈λ putem considera c ă suprafa ța valului este aproximativ
plan ă în zona navei și putem lua în calcul valul ( ε(x)≈1):
() ( ) t at ea ty twkT
w y v v ω=ω = ζ=ζ−
= cos cos ,*
0* * (4.3)
Obs. Deoarece m ărimile care intervin la scrierea ecua țiilor de mi șcare în
sistemul mobil de axe oxyz nu depind de coordonata x, valul fiind travers, nu vom
folosi operatorul derivatei substan țiale în acest subcapitol ( µ=90o):
dtd
xut DtD
s→∂∂−∂∂= (4.4)

4.2.1.1 ECUA ȚIA DIFEREN ȚIALĂ DE MI ȘCARE PE VERTICAL Ă

În fig.4.2 consider ăm deplasarea navei ζ(t) și elonga ția valului ()tv*ζ
pozitive în jos, dup ă sensul pozitiv al axei OZ.

Capitolul 4 Oscila țiile decuplate liniare ale navei corp rigid
55

Fig.4.2 Deplasarea relativ ă nav ă-val pe direc ție vertical ă

Asupra navei ac ționeaz ă urm ătorul set de for țe:
• forța de iner ție a masei navei
()tζ⋅∆− !! (4.5.a)
• forța de iner ție a maselor adi ționale
()()[]t t Mv*
33 ζ−ζ⋅−!! !! (4.5.b)
• forța de amortizare hidrodinamic ă
()()[]t t Bv*
33 ζ−ζ⋅−! ! (4.5.c)
• forța arhimedic ă de redresare
()()[]t t gAv w*ζ−ζ⋅ρ− (4.5.d)
unde ∆ este deplasamentul navei, Aw aria plutirii de echilibru în ap ă calm ă, M33,B33
masa adi țional ă și coeficientul hidrodinamic de amortizare la mi șcarea pe vertical ă
"3" (capitolul 3.2).
Obs. Din condi ția de flotabilitate în ap ă calm ă, ini țial for ța de greutate este
egal ă cu for ța de împingere: g ∆=ρgV .
Cele 4 for țe, conform principului lui D'Alambert a echilibrului dinamic,
conduc la ob ținerea ecua ției diferen țiale de mi șcare la oscila țiile verticale ale navei
corp rigid.
() () ()()()()()()()() 0* *
33*
33 =ζ−ζρ−ζ−ζ−ζ−ζ−ζ⋅∆− t t gA t t Bt t Mtv w v v! ! !! !! !! (4.6)
a) ecua ția de mi șcare în coordonate absolute:
()* *
33*
33 33 33 vw v v w gA B M gA B M ζρ+ζ+ζ=ζρ+ζ+ζ+∆! !! ! !! (4.7.a)
b) ecua ția de mi șcare în coordonate relative:
() ()t zgA zBz Mv rw r r*
33 33 ζ⋅∆−=ρ++ +∆!!! !! (4.7.b)
unde am notat deplasarea relativ ă pe vertical ă dintre nav ă și val cu:

Dinamica navei. Oscila ții și vibra ții ale corpului navei
56
() () ()t t tzv r*ζ−ζ= (4.8)
Facem urm ătoarele nota ții:
• 33M az+∆= termenul iner țial
• 33B bz= termenul de amortizare
• w z gA cρ= termenul de redresare (4.9)
Pe baza rela țiilor (4.2),(4.7),(4.9) ob ținem:
• ecua ția de mi șcare în coordonate absolute:
() ( )
()
332222
332 *;cos
M cbtg b M c a Ft FtF c b a
zz
z z z w oz o z z z z
ω−ω=βω+ω− =β+ω==ζ⋅+ζ⋅+ζ⋅ ! !!
(4.10.a)
• ecua ția de mi șcare în coordonate relative:
() ( )
0 ;cos
2 *=βω⋅∆⋅=β+ω ==⋅+⋅+⋅
z w orz or z r z r z r z
a Ft FtF zczbza
r! !!
(4.10.b)
unde βz reprezint ă unghiul de defazaj dintre val și for ța perturbatoare.

4.2.1.2 INTEGRAREA ECUA ȚIEI DE OSCILA ȚIE PE VERTICAL Ă

a) Oscila ția vertical ă liber ă și fără amortizare

Ecua ția de mi șcare (4.10.a) devine:
() 0 0 ;0 =ζ+ζ⇒==z z z z c a b tF !! (4.11)
și are solu ția:
()
() ()
() ()
z oo
z
zo
o az z a z
zo
z oo oz z
tgt t t ttt ct ct
ω⋅ζζ=ε
ωζ+ζ=ζε−ω⋅ζ=ω⋅ωζ+ω⋅ζ=ζ⇒ζ=ζζ=ζ=ω⋅+ω⋅=ζ
! !!! !
;cos sin cos0; 0;0sin cos
22
22 1
(4.12)
unde pulsa ția și perioada proprie la oscila ții verticale au expresiile:
w zz
z
zz
zgAM
caTac
ρ+∆π=π= =ω33 22 2 ; (4.13)
Obs. Datorit ă dependen ței masei adi ționale ()z Mω33 de pulsa ția mi șcări,
perioada proprie Tz din rela ția (4.13) se va determina printr-un procedeu iterativ, cu
valoarea ini țială ()∆=0
33M .

Capitolul 4 Oscila țiile decuplate liniare ale navei corp rigid
57
b) Oscila ția vertical ă liber ă și cu amortizare

Ecua ția de mi șcare (4.10.a) devine:
()
0 2 2;0 0 ;0
2 2=ζω+ζν+ζ⇒=ν=ω=ζ+ζ+ζ⇒≠=
z z
zz
z
zz
zz z z z z
ab
acc b a b tF
! !!! !!
(4.14)
și are solu ția:
() ( ) ( )z zt
a z ztt e t ct c etz z ε−ω⋅⋅ζ=ω⋅+ω⋅⋅=ζν− ν−cos sin cos2 1 (4.15)
unde c1,c2,ζa,εz se determin ă din condi țiile ini țiale la t=0.
Pulsa ția și perioada proprie au expresiile:
()z z z z z z z z z z z T TT ≈ων−=′ω≈ν−ω=ω′⇒ν>>ω2 2 21 ; (4.16)

c) Oscila ția vertical ă forțată și cu amortizare

Ecua ția de mi șcare (4.10.a) devine:
() () ( )
()z
zo
z z
zz
z
zz
zz o z z z z z z
taF
ab
act FtF c b a b tF
β+ω=ζω+ζν+ζ⇒=ν=ωβ+ω==ζ+ζ+ζ⇒≠≠
cos 2 2;cos 0 ;0
2 2 ! !!! !!
(4.17)
unde Fo este amplitudinea for ței de excita ție, ω pulsa ția excita ției din val, βz
diferen ța de faz ă dintre for ța de excita ție și val.
Ecua ția de mi șcare (4.17) fiind liniar ă, solu ția mi șcării stabilizate este:
() ( ) t t t tz a z a z a ωε⋅ζ+ωε⋅ζ=ε−ωζ=ζ sin sin cos cos cos (4.18)
Din rela țiile (4.17),(4.18), separând termenii în cos ωt și sinωt , ob ținem
sistemul de ecua ții cu necunoscutele: amplitudinea dinamic ă ζa și diferen ța de faz ă
față de val εz .
()[]
() []z
zo
z z z z az
zo
z z z z a
aFaF
β⋅−=ε⋅ω−ω+ε⋅ων−ζβ⋅=ε⋅ων+ε⋅ω−ωζ
sin sin cos 2cos sin 2 cos
2 22 2
(4.19)
Solu țiile sistemului de ecua ții (4.19) sunt:
2
22
222 2
211;2




ωων+



ωω−=ψ=ζψ⋅ζ=ζβ−



ω−ωων=ε
zz
zz
zo
stz st a z
zz
z
cFarctg
(4.20)

Dinamica navei. Oscila ții și vibra ții ale corpului navei
58
unde ζst reprezint ă deplasarea static ă la ac țiunea unei for țe Fo statice, iar ψz este
factorul de multiplicare dinamic ă.

Fig.4.3 Factorul de multiplicare dinamic ă

Not ăm factorul de acordaj și factorul de amortizare adimensional:
zz
z
zzων=µωω=χ ; (4.21)
Din rela țiile (4.20),(4.21) factorul de multiplicare dinamic ă, trasat grafic în
fig.4.3, are expresia de calcul:
()
()22224 11
zz zz z
χµ+χ−=χψ (4.22)
Maximul func ției de multiplicare dinamic ă este:
∞→ψ=χ⇒=µµ−µ=ψ⇒µ−=χ⇒=χψ
max2max2
;1 01 2121 0
z zcr zz zz z zcr
zz
dd
(4.23)

4.2.2 CAZUL GENERAL µµµµ∈∈∈∈(0o,180o)

În cazul µ=0o÷180o apar mi șcările navei pe toate gradele de libertate, dar
din care în mod teoretic separ ăm pentru analiz ă doar oscila ția pe direc ție vertical ă.
Fa ță de cazul val travers ( µ=90o) se modific ă atât expresia valului cât și cea
a for ței de excita ție Fz(t). Valul echivalent, corectat Smith și mediat pe l ățimea
navei din rela ția (2.50) are expresia:
() ( )( ) ()o o
s e ekT
w v ugt kx x eatx 180,0 ; cos ; cos cos ,2
*∈µµω−ω=ωω−µ ε=ζ− (4.24)

Capitolul 4 Oscila țiile decuplate liniare ale navei corp rigid
59
Consider ăm corpul navei divizat în fâ șii de grosime unitar ă x∈[-L/2,L/2]
(metoda fâ șiilor), astfel încât pe o fâ șie de abscis ă "x" ac ționeaz ă setul de for țe:
• forța de iner ție a maselor navei:
() () t xmζ⋅− !! (4.25.a)
• forța de iner ție hidrodinamic ă pe unitatea de lungime a navei (din teorema
impulsului):
()()

−Dttx DzxmDtDr,
33 (4.25.b)
• forța de amortizare hidrodinamic ă pe unitatea de lungime a navei (liniar ă):
()()
Dttx DzxNr,
33− (4.25.c)
• forța arhimedic ă de redresare pe unitatea de lungime a navei:
() ( ) txzxgbr, ρ− (4.25.d)
unde m(x) este masa navei pe unitatea de lungime; m33(x),N 33(x) sunt masa
adițional ă și coeficientul de amortizare hidrodinamic ă pe unitatea de lungime
(capitolul 3.2); b(x) lățimea navei în planul plutirii de calcul; deplasarea relativ ă și
derivata substan țială cu expresiile:
()( ) ()xut DtDtx t txzs v r∂∂−∂∂= ζ−ζ= ;, ,* (4.26)
Obs. Sarcina în ap ă calm ă m(x)g-ρgAT(x) se anuleaz ă prin integrare pe
lungimea navei, reprezentând o component ă static ă pe care nu o includem la
calculul oscila țiilor.
Sarcina la oscila țiile verticale într-o fâ șie de abscis ă x, din rela țiile (4.25),
are expresia:
() ( ) ( ) ()()()()() ( )

ρ+ +
+ζ−= txzxgbDttx DzxNDttx DzxmDtDtxm txqrr r
v ,, ,,33 33!! (4.27)
Conform principiului echilibrului dinamic a lui D'Alambert pentru grinda
nav ă, ecua ția de mi șcare la oscila țiile verticale decuplate are expresia:
() 0 ,2
2=∫
−L
Lv dxtxq (4.28)
Obs. La opera ția de derivare ob ținem urm ătoarele rezultate:
()()()()()
() () () ctx ea at kx atxt
Dtt DtDttDt
kT
w w e w v ≈ε= ω−µ ⋅=ζζ=ζζ=ζζ
− * * *22
; cos cos ,; ; !! !

()()()() t kx a
Dttx Dt kx aDttx D
e wv
e wvω−µ ⋅⋅ω−=ζω−µ ⋅⋅ω=ζcos cos,; cos sin, * 2
2*2
**
(4.29)

Dinamica navei. Oscila ții și vibra ții ale corpului navei
60
Din rela țiile (4.27),(4.28),(4.29) se ob ține ecua ția diferen țială la oscila țiile verticale:
() ()[] () () ()[] () ()() {}
()()() ()[]()()() dxtx xgbDttx DxmuxN
Dttx Dxmdxtxgb txmuxN txmxm
L
Lvv
svL
Ls
∫∫
−−

ζρ+ζ′⋅− +ζ==ζρ+ζ′⋅− +ζ+
2
2**
33 33 2*2
332
233 33 33
,, ,! !!
(4.30)
Din rela ția (4.30) ecua ția la mi șcarea de oscila ție vertical ă este adus ă la forma:
() () () () ( )z e o z z z z t FtFtctbta β+ω==ζ+ζ+ζ cos ! !! (4.31)
unde termenii ecua ției au expresiile:
() ()[] ()
() ()[] ()() []33 33 33 332
233 332
2332
233
2 2 B L m Lmu B dxxmuxN bgA dxxbg c M dxxmxm a
sL
Ls zwL
LzL
Lz
≈−− −=′⋅− =ρ= ρ= +∆= + =
∫∫ ∫
−− − (4.32)
() ( ) () () [] () {
() ( ) } ()
() ( ) () () [] () {
() ( ) } () dxx e kx xgbkx x mux N kx x m a Fdxx e kx xgbkx x mux N kx x m a FFFtg F F F
kTL
Ls w oskTL
Ls w ococos
z os oc o
εµ ρ++µ ′− ω−µ ω−=εµ ρ++µ ′− ω+µ ω−=−=β +=
−−−−
∫∫
cos sincos cos cos sincos coscos sin cos cos;
2
233 33 3322
233 33 3322 2
(4.33)
Rezolvarea ecua ției diferen țiale (4.31) este analog ă cazului val travers
µ=90o, singura diferen ță constând în ω→ω e .Solu ția are urm ătoarea form ă:
() ( )
2
22
222
2 2
211; ;; 2;2; cos




ωων+



ωω−=ψ=ζψ⋅ζ=ζ=ω=νβ−



ω−ωων=εε−ωζ=ζ
zez
zez
zo
st z st azz
z
zz
z z
e zez
z z e a
cFac
abarctg t t
(4.34)
Obs. În cazul sistemelor liniare se poate defini func ția de transfer,
reprezentând amplitudinea r ăspunsului dinamic atunci când amplitudinea valului de
excita ție este aw=1.
()()()
1=ωζ=ωζ=ωζw a ae a
we a
eaH (4.35)

Capitolul 4 Oscila țiile decuplate liniare ale navei corp rigid
61
4.3 OSCILA ȚIA DECUPLAT Ă LINIAR Ă DE TANGAJ

Este o mi șcare greu de decuplat de oscila ția vertical ă, aceasta fiind posibil
doar din punct de vedere teoretic, indiferent de unghiul µ∈[0,180o]. Not ăm rotirea
la tangaj a navei cu θ(t), fig.4.4 (gradul"5"de mi șcare în nota ția general ă din
capitolul 3.2), neglijând deplasarea vertical ă ζ(t).

Fig.4.4. Oscila ția de tangaj a navei

Consider ăm de la început cazul general us≠0, µ∈[0,180o] și valul
echivalent, corectat Smith și mediat pe l ățimea navei (2.50) are expresia:
() ( )( ) ()
µω−ω=ωω−µ =ω−µ ε=ζ−
coscos cos cos cos ,
2* *
s ee w ekT
w v
ugt kx at kx x eatx
(4.36)
Deplasarea relativ ă nav ă-val are expresia:
() ( ) ()tx txtxzv r , ,*ζ−θ⋅= (4.37)
Vom utiliza din nou teoria fâ șiilor la exprimarea for țelor într-o sec țiune x
(analog capitolului 4.2.2) pe baza c ărora determin ăm momentele în raport cu
centrul de oscila ție "o" (fig.4.4.), considerat identic cu originea sistemului de axe
oxyz a navei (pozitive la aprovarea navei).
• momentul de iner ție a maselor navei:
() ()[]() () t xmx txxmx θ⋅⋅−=θ⋅⋅− !! !! 2 (4.38.a)
• momentul de iner ție hidrodinamic pe unitatea de lungime a navei (teorema
impulsului):
()()

⋅−Dttx DzxmDtDxr,
33 (4.38.b)
• momentul de amortizare hidrodinamic ă pe unitatea de lungime a navei
(liniar ă):
()()
Dttx DzxNxr,
33⋅− (4.38.c)

Dinamica navei. Oscila ții și vibra ții ale corpului navei
62
• momentul de redresare pe unitatea de lungime a navei:
() ( ) txzxgbxr, ρ⋅− (4.38.d)
Adunând cele 4 componente din rela țiile (4.38) ob ținem momentul pe
unitatea de lungime, în raport cu centrul de oscila ție "o":
() ( ) ( ) ()()()()() ( )

ρ+ +
+θ −= txzxgbxDttx Dzx xNDttx DzxmDtDxtxmx txmrr r
o ,, ,,33 332 !! (4.39)
și conform principiului lui D'Alambert condi ția de echilibru dinamic a corpului
navei la oscila țiile de tangaj este:
()∫
−=2
20 ,L
Lo dxtxm (4.40)
În urma deriv ării rezult ă:
()()() ()()() () tu tx
DtxDtutxDtxDtxxut DtD
s s s θ−θ=θθ−θ=θθ⇒∂∂−∂∂= ! !! ! 2 ; ;22
(4.41)
Din rela țiile (4.39),(4.40),(4.41) ecua ția la oscila țiile de tangaj are expresia:
()(){ () () ()[] () ()[] () ()[]
()()} () () ()[] () ()tM dx xgbDtDxmuxN
DtDxmx dxtxbgxtutxxmuxNx tu txxmxtxmx
vv
svL
Ls s sL
L
θ
−−
=

ζρ+ζ′− +ζ=θρ+θ−θ⋅′− +θ−θ⋅+θ
∫∫
**
33 33 2*2
332
2233 33 332
222! ! !! !!
(4.42)
Din rela ția (4.42) ecua ția la oscila ții de tangaj are forma:
() () () () tMt ct bt aθ θ θ θ =θ⋅+θ⋅+θ⋅ ! !! (4.43)
unde coeficien ții ecua ției au expresiile:
() ()[]
() ()[] () {}
()() []55 33 332
552
233 33 332552
2332
2 242
B L m LmLu Bdxxmxu xmuxNx bM J dxxmxmx a
sL
Ls syL
L
≈−− −== ⋅−′− =+= + =
∫∫
−θ−θ

() () ()[]
()() []
HgRgVIgVMu L m LmLu Bu gIdxxmuxNx udxxbxg c
ys s s ysL
LsL
L
∆≈∆=


ρ≈≈

−−+ ++ρ==′− − ρ=∫ ∫
− −θ
33 33 33 3533 332
22
22
2 22 (4.44)

Capitolul 4 Oscila țiile decuplate liniare ale navei corp rigid
63
unde rela țiile de aproximare sunt valabile în ipoteza simplificatoare a simetriei
corpului navei și în raport cu cuplul maestru, respectiv planul oyz; Jy este
momentul de iner ție masic la rota ția în jurul axei oy; H este în ălțimea metacentric ă
longitudinal ă a corpului navei pentru plutirea de calcul considerat ă.
Obs. Pentru calculul practic al momentului de iner ție masic Jy se poate
utiliza și rela ția empiric ă:
()162 2
22 Ldxxmx JL
Ly⋅∆≈ =∫
− (4.45)

4.3.1 OSCILA ȚIA DE TANGAJ LIBER Ă CU AMORTIZARE

Ecua ția diferen țială (4.43) la oscila ția de tangaj liber ă devine:
() () () ()
() () () 0 2 2 ;0 0
2 2=θω+θν+θ⇒ν=ω==θ+θ+θ⇒=
θ θ θ
θθ
θ
θθθ θ θ θ
t t tab
actctbta tM
! !!! !!
(4.46)
Solu ția ecua ției (4.46), pulsa ția și perioada proprie la oscila ția de tangaj au
expresiile:
() ( )
HgM J
caTt e t
yt
a
∆+π=π=⇒ω≈ν−ω=ω′ε−ω⋅⋅θ=θ
θθ
θ θθθ θθθν−θ
55 2 22 2cos
(4.47)
unde amplitudinea dinamic ă θa și faza εθ se determin ă din condi țiile ini țiale la t=0.
Obs. Datorit ă dependen ței masei adi ționale ()θω55M de pulsa ția mi șcări,
perioada proprie Tθ din rela ția (4.47) se va determina printr-un procedeu iterativ cu
valoarea ini țială ()
yJ M=0
55 .

4.3.2 OSCILA ȚIA DE TANGAJ FOR ȚATĂ

În urma opera ției de derivare a elonga ției valului (4.36) rezult ă:
() ( ) ( )
()() ( )
()() ( ) t kx x ea
Dttx Dt kx x eaDttx Dt kx x eatx
ekT
wvekT
wvekT
w v
ω−µ ⋅ε⋅ω−=ζω−µ ⋅ε⋅ω=ζω−µ ⋅ε=ζ
−−−
cos cos,cos sin,cos cos ,
2
2*2**
(4.48)
Momentul de excita ție din val la oscila ția de tangaj, din rela ția (4.42) are
expresia:

Dinamica navei. Oscila ții și vibra ții ale corpului navei
64
() () () ()[] ()
()
ocos
os oc oe o e os e ocvv
svL
L
MMtg M M Mt Mt Mt Mdx xgbDtDxmuxN
DtDxmx tM
−=β +=β+ω =ω +ω ==

ζρ+ζ′− +ζ=
θθ−θ∫
;cos sin cos
2 2**
33 33 2*2
332
2
(4.49)
unde pe baza rela țiilor (4.48) avem:
() ( ) () () [] () {
() ( ) } ()
() ( ) () () [] () {
() ( ) } () dxx e kx xgbkx xmuxN kx xm x a Mdxx e kx xgbkx xmuxN kx xm x a M
kTL
Ls w oskTL
Ls w oc
εµ ρ++µ ′−ω−µ ω−⋅=εµ ρ++µ ′−ω+µ ω−⋅=
−−−−
∫∫
cos sincos cos cos sincos coscos sin cos cos
2
233 33 3322
233 33 332
(4.50)
Pe baza rela țiilor (4.43),(4.50) ecua ția la oscila ția de tangaj for țat devine:
() () () () ( )θ θ θ θ θ β+ω ==θ⋅+θ⋅+θ⋅ t MtMt ct bt ae ocos ! !! (4.51)
Rezolvarea ecua ției diferen țiale (4.51) este analog ă cazului oscila țiilor
verticale (cap.4.2.2) și solu ția are urm ătoarea form ă:
() ( )
2
22
2222 2
211;; 22cos




ωων+



ωω−=ψ=θψ⋅θ=θ=ω=νβ−



ω−ωων=εε−ωθ=θ
θθ
θθθθθθ
θ
θθ
θθ
θθ
θθ
e eo
st st aeee a
cMac
abarctgt t

(4.52)
unde: εθ diferen ța de faz ă față de val, θst înclinarea static ă la ac țiunea unui moment
Mo , ψθ factorul de multiplicare dinamic ă.
Obs. Considerând sistemul nav ă la oscila ția de tangaj liniar, se poate defini
func ția de transfer a r ăspunsului dinamic:
()()()
1=ωθ=ωθ=ωθw a ae a
we a
eaH (4.53)

Capitolul 4 Oscila țiile decuplate liniare ale navei corp rigid
65
4.4 OSCILA ȚIA DECUPLAT Ă LINIAR Ă DE RULIU

Not ăm rotirea la ruliu ϕ(t) pozitiv ă la înclinarea în babord, care corespunde
în nota ția general ă (capitolul 3.2) gradului de libertate "4". Centrul de oscila ție "o"
este situat în planul plutirii de echilibru în ap ă calm ă și coincide cu originea
sistemului de axe oxyz (vezi fig.4.5).

Fig.4.5 Oscila ția de ruliu a navei

4.4.1 CAZUL VAL TRAVERS ( µµµµ=90o)

Neglijând deplasarea pe vertical ă și cu ipoteza B<< λ, se poate considera
suprafa ța înclinat ă a valului ca fiind plan ă pe l ățimea navei și de pant ă ()txv,*α . În
cazul µ=90o se ob țin oscila țiile de ruliu maxime, dar consider ăm în continuare
valabil ă ipoteza oscila țiilor liniare de amplitudine mic ă.
Panta în sens transversal a valului echivalent, corectat Smith și mediat ă pe
lățimea navei, pe baza rela ției (2.49) a elonga ției valului, are expresia:
() ( ) []
() () ( ) []
()()()
()()
() ( )
()()
()()()
λπ=⋅=αµ=βββ=εω−µ ε⋅µ⋅α−= α =αω−µ+µ ⋅µ⋅−=∂∂ζ= αµω−ω=ωω−µ+µ = ζ
−
−−−
∫
w
w oekTxb
xby yekT
wv
ys e ekT
w v
hakxkbxxxxt kx x e dytyxxbtxt y xk ea kytyxugt y xk eatyx
;2sin;sincos sin sin ,,1,sin cos sin sin ,,cos ; sin cos cos ,,
02
2* **
*2
*
(4.54)

Dinamica navei. Oscila ții și vibra ții ale corpului navei
66
În cazul valului travers rela ția (4.54) devine:
() ct e t tkT
o o o v eo≈εα=αω⋅α=α⇒ω=ω=µ−⇒* * *; sin 90 (4.55)
Obs. Deoarece m ărimile ce intervin, rotirea la ruliu și panta se pot
considera independente de x, la exprimarea for țelor dinamice derivata substan țială
devine D/Dt→d/dt.
Asupra navei la oscila țiile de ruliu ac ționeaz ă momentele în raport cu axa ox:
• momentul de iner ție a maselor navei:
()t Jxϕ⋅− !! (4.56.a)
• momentul de iner ție hidrodinamic:
()()[]t t Mv*
44α−ϕ− !! !! (4.56.b)
• momentul de amortizare hidrodinamic ă:
()()[]t t Bv*
44α−ϕ− ! ! (4.56.c)
• momentul de redresare la ruliu:
()()[]t t hgy o*α−ϕ⋅∆− (4.56.d)
unde: Jx este momentul de iner ție masic al navei la rota ția în jurul axei ox; M44,B44
sunt masa adi țional ă și coeficientul de amortizare hidrodinamic ă la ruliu (capitolul
3.2); ∆ deplasamentul navei; ho înălțimea metacentric ă transversal ă.
Obs. Pentru momentul de iner ție masic Jx se pot considera la calcule
practice rela țiile empirice de aproximare:
()()()
()()()
()()∫∫
+ρ=ρ⋅∆≈⋅+∆≈ ρ=
−
xAxGL
Lx x
dAz yxmxBz B dxxmx J
2 22
2 22
22
8412 (4.57)
unde B lățimea maxim ă a navei; zG cota centrului de greutate al navei.
Conform principiului lui D'Alambert, pe baza rela țiilor (4.56), din
echilibrul dinamic la oscila ția de ruliu ob ținem ecua ția de mi șcare:
() () ()[]()()[]()()[]0* *
44*
44 =α−ϕ∆+α−ϕ+α−ϕ+ϕ t t hgt t Bt t MtJy o y y x! ! !! !! !! (4.58)
Rotirea relativ ă nav ă-val are expresia:
() () ()t t tv r*α−ϕ=α (4.59)
Din rela ția (4.58) rezult ă:
a) ecua ția diferen țială la oscila ția de ruliu în coordonate absolute:
( )() () () ()() ()t hgt Bt Mthgt Bt M Jvo v v o x* *
44*
44 44 44 α∆+α+α=ϕ∆+ϕ+ϕ+ ! !! ! !! (4.60.a)
b) ecua ția diferen țială la oscila ția de ruliu în coordonate relative:
( ) () () () ()t J t hgt Bt M Jvx ro r r x*
44 44 α−=α∆+α+α+ !! ! !! (4.60.b)

Capitolul 4 Oscila țiile decuplate liniare ale navei corp rigid
67
• 44M J ax+=ϕ coeficientul iner țial
• 44B b=ϕ coeficientul de amortizare
• ohg c⋅∆=ϕ coeficientul de redresare (4.61)
Pe baza rela țiilor (4.55),(4.60),(4.61) ob ținem:
• ecua ția diferen țială la oscila ția de ruliu în coordonate absolute:
() () () () ()
()
442222
442 *;sin
M cbtg b M c Mt MtMtctbta
o oo
ω−ω=βω+ω−α=β+ω==ϕ+ϕ+ϕ
ϕϕ
ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ! !!
(4.62.a)
• ecua ția diferen țială la oscila ția de ruliu în coordonate relative:
() () () ()
0 ;sin
2 *=βω⋅⋅α=β+ω =ϕ+ϕ+ϕ
ϕϕ ϕ ϕ ϕ
x o oror r r r
J Mt Mt ct bt a ! !!
(4.62.b)
Obs. Rezolvarea ecua ției de mi șcare la oscila ția de ruliu este analog ă celei
de la oscila ția vertical ă (capitolul 4.2.1).

a) Oscila ția de ruliu liber ă și fără amortizare

Ecua ția (4.62.a) devine:
() 0 0 ;0 =ϕ+ϕ⇒==ϕ ϕ ϕ ϕ c a b tM !! (4.63)
Solu ția ecua ției (4.63) , pulsa ția și perioada proprie sunt:
()()
oxa
hgM J
caTact t
⋅∆+π=π=⇒=ωε−ωϕ=ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕϕ
44 22 2sin
(4.64)
unde ϕa amplitudinea și εϕ faza se determin ă din condi țiile ini țiale la t=0.
Obs. Pe baza datelor numerice se poate estima c ă:
s TTT Tz 12 ;2≥ ≅≅ϕϕ
θ (4.65)
Obs. Datorit ă dependen ței masei adi ționale ()ϕω44M de pulsa ția mi șcări,
perioada proprie Tϕ din rela ția (4.65) se va determina printr-un procedeu iterativ cu
valoarea ini țială ()
xJ M=0
44 .

b) Oscila ția de ruliu liber ă și cu amortizare

Ecua ția (4.62.a) devine:
() 0 0 ;0 =ϕ+ϕ+ϕ⇒≠=ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ c b a b tM ! !! (4.66)

Dinamica navei. Oscila ții și vibra ții ale corpului navei
68
0 2 ; 22 2=ϕω+ϕν+ϕ⇒=ω=νϕ ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ! !!
ac
ab
Solu ția ecua ției (4.66) este de forma:
() ()ϕϕν−ε−ω ⋅ϕ=ϕϕt e tt
a sin (4.67)

c) Oscila ția de ruliu for țată

Ecua ția (4.62.a) devine:
() ()
()ϕ
ϕϕ ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
β+ω =ϕω+ϕν+ϕ⇒=ω=νβ+ω=ϕ+ϕ+ϕ⇒≠≠
taM
ac
abt M c b a b tM
oo
sin 2 ; 2sin 0 ;0
2 2! !!! !!
(4.68)
Ecua ția diferen țială (4.68) fiind liniar ă, răspunsul dinamic stabilizat are
expresia:
()()ϕε−ωϕ=ϕ t tasin (4.69)
Din rela țiile (4.68),(4.69), separând termenii în cos ωt și sinωt , ob ținem
sistemul de ecua ții cu necunoscutele: amplitudinea dinamic ă ϕa și diferen ța de faz ă
față de val εϕ.
()[]
()[]zo
azo
a
aMaM
β⋅=ε⋅ων+ε⋅ω−ω−ϕβ⋅=ε⋅ων+ε⋅ω−ωϕ
ϕϕ ϕ ϕ ϕϕϕ ϕ ϕ ϕ
cos sin 2 cossin cos 2 sin
2 22 2
(4.70)
Solu țiile sistemului de ecua ții (4.70) sunt:
2
22
222 2
211; ;2




ωων+



ωω−=ψ=ϕψ⋅ϕ=ϕβ−



ω−ωων=ε
ϕϕ
ϕϕϕϕ ϕ
ϕϕ
ϕcMarctgo
st st a
(4.71)
unde ϕst reprezint ă înclinarea static ă la ac țiunea unui moment Mo static, iar ψϕ este
factorul de multiplicare dinamic ă.

4.4.2 CAZUL GENERAL, µµµµ∈∈∈∈[[[[0o,180o]]]]

Obs. Pentru µ=0o,µ=180o nu se produce oscila ție de ruliu și aceasta atinge
valoarea maxim ă pentru valul travers µ=90o .

Capitolul 4 Oscila țiile decuplate liniare ale navei corp rigid
69
De și apar mi șcări și pe celelalte grade de libertate, teoretic consider ăm
mișcarea de ruliu ϕ(t) în raport cu "o" centrul de oscila ție decuplat ă, µ∈[0o,180o].
Panta transversal ă a valului corectat Smith și mediat ă pe l ățimea navei are
expresia:
() ( ) ( )( )
µω−ω=ωω−µ εµ −=α−
coscos sin sin ,
2*
s eekT
w y
ugt kx x e ka tx
(4.72)
Rotirea relativ ă nav ă-val are expresia:
() ( ) ()tx t txv r , ,*α−ϕ=α (4.73)
Folosind metoda fâ șiilor, în sec țiunea x∈[-L/2,L/2] acționeaz ă urm ătoarele
momente de r ăsucire pe unitatea de lungime:
• momentul de iner ție a maselor navei (vezi fig.4.5):
() () t xjϕ⋅− !! unde () ()2GOxmxj ⋅= (4.74.a)
• momentul de iner ție hidrodinamic pe unitatea de lungime a navei (teorema
impulsului):
()()

 α−Dttx DxmDtDr,
44 (4.74.b)
• momentul de amortizare hidrodinamic pe unitatea de lungime a navei (liniar ă):
()()
Dttx DxNr,
44α− (4.74.c)
• momentul de redresare pe unitatea de lungime a navei (vezi fig.4.5):
() () [ ]()
() ()[] () ( ) ()
()( ) () ()[]
()
()
()() ( ) () ( ) tx hx gA tx xAaxbghaxAxbGBBMGMGOGM MOdxx gA gxm tx GMx gAtx GMx gA tx GOx gA gxmtx MOx gA GOgxm
r o T r To
TL
LT r Tr T r Tr T
, ,1212;0 ;,, ,,
332
2
α⋅ ρ−≅α


⋅− ρ−⇒≈−⋅≈−= −== ρ− α⋅ ρ−≈≈α⋅ ρ−α⋅ ρ−−==α⋅⋅ρ+⋅−
∫
−
(4.74.d)
unde j(x) este momentul de iner ție masic pe unitatea de lungime la rotirea în jurul
axei ox; m44(x),N 44(x) sunt masa adi țional ă și coeficientul de amortizare
hidrodinamic pe unitatea de lungime (capitolul 3.2), AT(x) aria sec țiunii x, ho
înălțimea metacentric ă transversal ă.
Pe baza rela țiilor (4.74) momentul dinamic de r ăsucire rezultant pe unitatea
de lungime a navei în raport cu axa ox are expresia:

Dinamica navei. Oscila ții și vibra ții ale corpului navei
70
() ( ) ( ) () ()()()


α


⋅− ρ+α+
 α−ϕ−=ϕ r Tr rxAaxbgDtDxNDtDxmDtDtxj txm12,3
44 44!! (4.75)
și conform principiului lui D'Alambert ecua ția la oscila ția de ruliu are expresia:
() 0 ,2
2=∫
−ϕL
Ldxtxm (4.76)
În urma opera ției de derivare rezult ă:
()()()()()
() ()
()()
()() t kx
Dttx Dt kxDttx Deka t kx txxut DtDt
Dtt DtDttDt
e oye oykT
w o e o ys
ω−µ ⋅µα⋅ω=αω−µ ⋅µα⋅ω=αε=αω−µ ⋅µα−=α∂∂−∂∂= ϕ=ϕϕ=ϕϕ
−
cos sin sin,cos cos sin,; cos sin sin ,; ; ;
* 2
2*2*** * *22
!! !
(4.77)
Din rela țiile (4.75),(4.76),(4.77) rezult ă:
() ()[] () () ()[] ()()() ()
() () ()[]()() ()tM dx xAaxbgDtDxmuxN
DtDxmdxt xAaxbg txmuxN txmxj
L
Ly Ty
syL
LT s
ϕ
−−
=


α


⋅− ρ+α′− +α==


ϕ


⋅− ρ+ϕ′− +ϕ+
∫∫
2
2*3 *
44 44 2*2
442
23
44 44 44
1212! !!
(4.78)
Pe baza rela țiilor (4.77),(4.78) ecua ția diferen țială la oscila țiile de ruliu are forma:
() () () () ()ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ β+ω==ϕ+ϕ+ϕ t MtMtctbtae osin ! !! (4.79)
() ()[]
() ()[] ()() []
()() () ( )o xL
LTL
LsL
LsxL
L
hg arg VaIg dxxAa dxxbg cB L m Lmu B dxxmuxN bM J dxxmxj a
⋅∆=−∆=⋅−ρ=



− ρ=≈−− −=′− =+= + =
∫ ∫∫∫
− −ϕ−ϕ−ϕ
2
22
2344 44 44 442
244 44442
244
122 2 (4.80)
() ( ) () () [] () {
() ()[] () } ( ) dxx e kx xAa xbgkx xmux N kx xm MkaMMtg M M M
kT
TL
Ls o ocw o
osoc
os oc o
εµ ⋅− ρ−−µ ′− ω+µ ωµ⋅α=⋅=α =β +=
−−ϕ
∫
cos sin 12cos cos cos sin sin; ;
32
244 44 4422 2
(4.81)

Capitolul 4 Oscila țiile decuplate liniare ale navei corp rigid
71
() ( ) () () [] () {
() ()[] () } ( ) dxx e kx xAa xbgkx xmuxN kx xm M
kT
TL
Ls o os
εµ ⋅− ρ++µ ′− ω+µ ω−µ⋅α=
−−∫
cos cos 12cos sin cos cos sin
32
244 44 442

Rezolvarea ecua ției (4.79) este analog ă ecua ției (4.68), rezultând:
()()
2
22
222
2 2
211; ;; 2;2; sin




ωων+



ωω−=ψ=ϕψ⋅ϕ=ϕ=ω=νβ−



ω−ωων=εε−ωϕ=ϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ ϕ
ϕϕ
ϕ ϕ
e eo
st st aee
e a
cMac
abarctg t t
(4.82)
unde: εϕ diferen ța de faz ă față de val, ϕst înclinarea static ă la ac țiunea unui moment
Mo , ψϕ factorul de multiplicare dinamic ă.
Considerând sistemul nav ă la oscila ția de ruliu liniar, se poate defini
func ția de transfer a r ăspunsului dinamic:
()()()
1=ωϕ=ωϕ=ωϕw a ae a
we a
eaH (4.83)