Optimizarea topologica a unor structuri aerospațiale [309356]

Optimizarea topologica a unor structuri aerospațiale

Profesor coordonator:

Dr. Ing. NAE CATALIN

Masterand: [anonimizat] 2016

Capitolul 1. Optimizarea topologica a unor structuri aerospațiale

1.1 Considerații generale

Optimizarea topologica stabileste problema gasirii distributiei de masa celei mai bune pentru o [anonimizat]-un domeniu definit. Preocuparea este de a [anonimizat]: aripi, fuselaje, [anonimizat], etc. [anonimizat], sub constrangeri de rezistenta si rigiditate.

[anonimizat] a o gasi pe cea mai buna. Prin urmare cere un timp de calcul mult mai mare decat cel necesar unei singure analize si algoritmi avansati pentru reducerea timpului de calcul. Aceasta disciplina a inceput in anii ’60, odata cu primele programe pentru analiza raspunsului structurilor [13],[8]. [anonimizat] (State of the art) [anonimizat].

1.2 Legea putere

Este cunoscuta sub denumirea de Solid Isotropic Material with Penalization (SIMP). [anonimizat]. Proprietatile materialului sunt modelate ca densitatea relativa ridicata la o putere , totul inmultit cu proprietatile nominale ale materialului. Aceasta metoda a [anonimizat]. In lucrarea autorilor M.P. Bendsoe si Ole Sigmund, “Material interpolations in topology optimization”, s-a demonstrat ca abordarea bazata pe legea putere este utilizabila cata vreme sunt satisfacute conditii simple: pentru coeficientul lui Poisson mai mic sau egal cu 1/3. Pentru a [anonimizat] o constrangere de perimetru, o [anonimizat] [4],[11] pentru a diminua efectele de dispersie si difuzie numerica.

1.3 [anonimizat] o versiune computationala a [anonimizat]-o populatie initiala generata aleator. Variabilele de design sunt codate in siruri binare care au rolul cromozomilor indivizilor populatiei. Abordarea cu algorimti genetici presupune mii de evaluari ale functiei de optimizat chiar pentru un numar mic de elemente si prin urmare poate fi considerata impractica.

1.4 Problema optimizarii topologice SIMP

Problema de design este formulata ca o problema de optimizare unde complianta este functia de optimizat. Cantitatea de material este constransa si distributia este limitata la domeniul de design. Densitatea relativa in fiecare element al structurii este variabila de design.

Scopul in optimizarea topologica este gasirea distributiei pentru o cantitate data de material pentru o [anonimizat], astfel incat o [anonimizat] [11],[2],[6].

Cele mai multe probleme de optimizare folosesc functii obiectiv ca de exemplu: complianta, frecventele proprii sau caracteristici geometrice. Constrangeri pot fi numeroase. In abordarea curenta se stabilesc marginile inferioara si superioara ale densitatii relative, iar volumul si echilibrul mecanic sunt folosite drept constringeri.

In optimizarea topologica avem un domeniu de design in care vrem sa gasim un subdomeniu , optimizand o functie de cost . Functia obiectiv poate fi o functie de densitatea , discretizand domeniul in elemente finite [16].

Definim variabila de design , care este densitatea relativa a materialului in elementul , . Densitatea este densitatea unui singur element in domeniul solid, . Obiectivul este minimizarea compliantei si constrangerea de tip egalitate este volumul. Modulul lui Young se calculeaza dupa o relatie similara cu cea a densitatii relative:

unde si sunt vectorii globali deplasare si forta, este matricea de rigiditate globala, si sunt vectorul elemental deplasare si matricea elementala rigiditate. este vectorul variabilelor de design, este vectorul densitatilor relative minime (diferite de zero pentru evitarea singularitatilor), tipic impuse 0.001, este numarul de elemente, este puterea de penalizare cu o valoare tipica de 3, si sunt volumul de material si respectiv volumul de material al spatiului de design, iar este fractia de volum prescrisa, cu o valoare tipica de 0.5. Matricea de rigiditate elementala are o variatie putere, de forma: .

1.5 Rezolvarea problemei de optimizare SIMP

Exista cateva abordari pentru rezolvarea numerica: Optimality Criteria OC, Sequential Linear Programming (SLP), Method of Moving Asymptotes (MMA). Prezentam metoda standard OC introdusa de Bendsoe (1993) (M.P. Bendsoe. Evolutionary structural optimization. Springer, New York, 1995).

Functia lui Lagrange pentru problema de optimizare este:

unde (scalar) si (vector) sunt multiplicatorii globali ai lui Lagrange, iar si scalari sunt multiplicatorii pentru constrangerile de marginire inferioara si superioara. Pentru a localiza un punct stationar (minim, maxim sau punct de inflexiune), trebuie satisfacuta urmatoarea conditie:

Presupunand dezactivate constrangerile de marginire ( si ), incarcarea independenta de spatiul de design (), gasim:

Si

Inlocuind (E. 1-6) si (E. 1-5) in (E. 1-3), obtinem:

deoarece este arbitrar, putem sa-l alegem si deci avem:

Din functia obiectiv (E. 1-3), putem scrie (E. 1-7) astfel:

S-a notat , care in esenta este energia potentiala de deformatie a unui element solid cu .

Din (E. 1-9) putem scrie

Semnificatia fizica a (E. 1-10) este ca densitatea de energie de deformatie trebuie sa fie constanta pe intreg domeniul de design.

Ecuatia (E. 1-10) poate sa reprezinte limita unui proces iterativ. Termenul din dreapta poate fi vazut drept raportul , eventual ridicat la o putere care sa contribuie la realizarea contractiei necesare convergentei sirului.

Ecuatia se poate scrie in forma de iterat astfel:

Coeficientul are de regula valoarea 0.5, dar poate fi in intervalul (0,1).

Schema de iterare poate fi pusa sub forma

unde este o marginea superioara, in intervalul (0,1).

Multiplicatorul Lagrange trebuie sa satisfaca constrangerea de volum

In procesul iterativ trebuie actualizat si multiplicatorul prin metoda bisectiei, utilizand proprietatea de monotonicitate a functiei .

Formularea optimizarii topologice pentru minimizarea compliantei dinamice

Problema optimizarii topologice a unei structuri continue (fara amortizare) pentru minimizarea compliantei dinamice [3],[10] poate fi formulata astfel:

Complianta dinamica este lucrul mecanic al fortelor exterioare si este proportionala cu . P este vectorul fortelor dinamice, iar frecventa de excitatie. Aplicarea metodei SIMP la problema de fata duce la:

Unde si sunt matricele de rigiditate si masica locale. Puterea q de la definitia masei trebuie sa fie supraunitara. Matricele globale de rigiditate si masica sunt:

Pentru evitarea modurilor false de vibratie, matricea masica elementala poate fi pusa sub forma:

Unde exponentul r are o valoare in jurul lui 6.

Senzitivitatea functiei obiectiv este:

Prin simbolul ‘ se intelege operatorul .

Daca vectorul fortelor exterioare nu depinde de design, atunci . este dat de relatia:

Ca alternativa la rezolvarea sistemului (E. 1-20) se prefera metoda adjuncta pentru calculul senzitivitatii functiei obiectiv intr-o maniera mai eficienta, care da urmatorul rezultat:

In continuare, conditia de optimalitate pentru ecuatia (E. 3-15) poate fi exprimata folosind metoda multiplicatorilor lui Lagrange, astfel:

Capitolul 2. Formularea matematică a problemelor de optim

Problemele de optimizare pot fi rezolvate prin aplicarea "conceptului de trei coloane" (Three- Columns Concept). Cele trei coloane sunt modelul structural, modelul de optimizare și algoritmul de optimizare. Optimizarea automată a structurilor este o sarcină complexă și dificil de organizat. Acesta pornește de la ideea descompunerii problemei în subprobleme care pot fi rezolvate direct, iar conceptul a fost dezvoltat pentru a lucra cu algoritmi de programare matematică (dar este valid și în cazul tehnicilor de soluționare de tipul algoritmilor genetici).

Modelul structural, necesar pentru traducerea structurii reale în vederea realizării procesului de optimizare computerizată, descrie matematic sau numeric comportamentul fizic al structurii, adică răspunsul la încărcări, sau proprietăți structurale cum sunt frecvențe proprii de vibrație sau greutate. În cazul în care structura este modelată prin FEM variabilele de stare ale problemei sunt deplasările nodale (u). Alte valori care ne pot interesa, cum ar fi tensiunile, sunt calculate din valorile deplasărilor în etapa de postprocesare.

Problemele de optimizare reale sunt în general neliniare și cu restricții, iar algoritmii care le pot rezolva se bazează pe proceduri iterative care pornesc de la un design inițial (x0 ) și produc vectori de variabile de design îmbunătățiți (xk ). Procedura este oprită când un anumit criteriu de convergență predefinit este satisfăcut. Numeroase studii au arătat că alegerea celui mai bun algoritm de optimizare se face în strânsă legătură cu problema tratată.

Modelul de optimizare face legătura intre modelul structural și algoritmul de optimizare. Modelul de evaluare are rolul de a evalua designul în funcție de obiectivul de optimizare și de starea restricțiilor (active sau nu) din valorile variabilelor de stare și alte informații obținute din modelul structural. Obiectivul optimizării este adesea formulat ca o funcție obiectiv scalară f, sau, în cazul optimizării multicriteriale, ca un vector f.

Restricțiile designului sunt formulate sub formă de funcții de restricție incluse în vectorii g (inegalități) și h (restricții de tip egalitate). Modelul de evaluare se poate baza pe variabilele de stare u (când sunt luate în considerare tensiunile) sau alte variabile care influențează designul (necesare calculării greutății totale, de exemplu). Modelul de optimizare mai conține definițiile.

Adițional, acestea din urmă pot fi transpuse în variabile de transformare z în scopul adaptării problemei de optimizare la unele cerințe ale algoritmului de optimizare [15]. Analiza senzitivitații demonstrează susceptibilitatea obiectivului și restricțiilor față de mici schimbări ale variabilelor de design. Această informație e folosită la controlul algoritmului de optimizare și la alegerea unui design [12].

Evaluarea designului. În optimizarea structurilor este folosită, în general, MEF pentru obținerea răspunsului structural la încărcări sub anumite condiții limită. Soluția sistemului de ecuații oferă soluția primară în termeni de grade de libertate nodale (în cazul structurilor acestea se traduc prin deplasări), iar din acestea, alte valori pot fi obținute (tensiuni). Valorile tensiunilor pot fi utilizate pentru a formula un obiectiv când se dorește maximizarea rezistenței unui element, sau la formularea restricțiilor când dorim minimizarea greutății unei structuri și asigurarea rezistenței necesare acesteia. În cazul general, răspunsul structural e necesar atât pentru evaluarea obiectivului cât și a restricțiilor.

2.1 Evaluarea modelului

2.1.1 Spatial și subspațiul de proiectare

Prin convenție, se consideră structura ca fiind un punct într-un spațiu de proiectare abstract. În acest spațiu, coordonatele punctului corespunzător structurii sunt dimensiunile geometrice ale acesteia și constantele de material. Aceste coordonate care vor fi denumite parametrii structurii, pot fi numere reale, funcții sau vectori (mulțimi total ordonate de numere reale). Pentru o înțelegere mai profundă a spațiului figurativ de proiectare, se prezintă, mai jos, parametrii ce sunt utilizați de proiectant pentru a specifica o structură.

Parametri geometrici:

 geometria secțiunii transversale a elementelor structurale unidimensionale;

 forma axei longitudinale a elementelor structurale unidimensionale;

 forma geometrică a suprafeței mediane a plăcii sau membranei;

 legea de variație a grosimii plăcii;

 forma conturului plăcii sau membranei;

 poziția spațială a nodurilor unei grinzi cu zăbrele sau ale unui cadru;

 localizarea spațială a elementelor componente ale structurii.

Constante de material:

 modulul de elasticitate;

 densitatea;

 coeficientul de conductivitate și de dilatare termică;

 coeficienții legilor constitutive care stabilesc legătura dintre tensiuni și deformațiile

elastice, elasto-plastice, vîsco-elastice, etc.;

 tensiunile de cedare ale materialului la diverse solicitări;

 constantele de oboseală ale materialului;

 constantele de anizotropie ale materialului.

Starea de pretensionare a unei structuri poate, de asemenea, fi considerată ca un parametru de calcul. Evident, această trecere în revistă a parametrilor structurii nu este completă, însă include parametrii cei mai frecvent utilizați în proiectare.

O problemă particulară generată de optimizarea structurii este așa-numitul subspațiu de proiectare. În situația concretă în care se dorește proiectarea unei grinzi, pentru început, proiectantul decide dinainte dacă grinda va fi o grindă cu secțiune I, sau grindă cu zăbrele. Această alegere implică restricții asupra parametrilor de proiectare ca, de exemplu, înălțimea maximă a grinzii I. De asemenea, deși nu este strict necesar, proiectantul își alege dinainte materialul folosit, adăugându-se astfel noi restricții. Constantele materialului pot fi introduse printre variabilele de proiectare ce vor fi determinate în procesul de optimizare, însă trebuie subliniat că puțini autori au abordat acest aspect, existând puține lucrări care abordează aceste problem [12],.

2.1.2 Subspațiul admisibil

Subspațiul de proiectare ce conține structura satisface un număr de cerințe, necesar pentru acceptabilitatea funcțională a structurii, aflată sub acțiunea solicitărilor ce decurg din îndeplinirea rolului funcțional. În general, condițiile impuse asupra rezistenței, rigidității, duratei de viață, ș.a. limitează răspunsul structurii la solicitarea dată.

Aceste condiții pot fi, însă, concepute ca restricții ce împart subspațiul de proiectare într-un subspațiu admisibil și un subspațiu neadmisibil.

Printre restricțiile cele mai frecvent întâlnite:

tensiuni maxime;

deformație maximă;

coeficient de siguranță maxim la pierderea stabilității, sau la rupere;

minimum de senzitivitate la imperfecțiuni de execuție, de montaj, etc.;

minimumul frecvenței fundamentale de oscilație proprie;

maximul vitezei de deformare în curgerea plastică staționară;

maximul duratei de viață sub solicitări ciclice;

greutate sau volum minim;

rigiditate maximă la diverse solicitări (încovoiere, torsiune etc.);

moment de inerție maxim;

solicitări de stabilitate maximă;

ductilitate maximă la solicitări dinamice.

Am constatat că diferite teorii de rupere sunt luate în considerație, în concordanță și pe baza unor indicatori de material, solicitare, etc., prin restricții adecvate din subspațiul de proiectare. Restricțiile sunt exprimate ca limite de funcții definite pe subspațiul de proiectare, acest subspațiu fiind delimitat numai implicit. Am observat că dificultăți de calcul apar atunci când solicitările sunt aleatoare sau dinamice, în cazul unor tipuri de solicitări diferite, restricțiile fiind diferite pentru fiecare dintre acestea. Acesta este, în mod obișnuit, cazul când se consideră diferite suprasarcini, în condiții de exploatare [1].

Cel mai adesea, restricțiile asupra limitelor răspunsului nu sunt de natură fizică ci rezultă din reglementări sau standarde. Când este cazul, o problemă de proiectare optimă este cea a senzitivității soluției optime la mici modificări în aceste standarde. Privind lucrurile și prin prisma acestui ultim aspect menționat, se pune și problema optimizării standardelor sau a reglementărilor.

În formularea matematică a problemei, restricțiile apar în mod obișnuit sub formă de inegalități.

După ce variabilele de proiectare au fost alese, problema de proiectare optimă poate fi formulată astfel:

Să se găsească S astfel încât:

Unde: S este un punct în spațiul de proiectare, caracterizat de variabilele alese.

În multe probleme există condițiile impuse funcționalelor fk și hj , datorită restricțiilor impuse răspunsului structurii la solicitări, însă unele dintre acestea pot să fie exprimate prin delimitări ale subspațiului de proiectare. Funcția obiectiv este notată cu F . Existența soluției și a unicității acesteia, când există, pentru problema definită, la modul general, prin (2-1), este o chestiune deschisă la care numai în rare cazuri se poate răspunde pe baza intuiției. Din (2-1) rezultă că, dacă este optim in domeniul subspatiului de proiectare, exista relatiile:

Această formulare variațională dă condiția necesară pentru existența unei soluții optime.

Condițiile din formularea variațională (2-2) pot fi exprimate printr-o altă formă mult mai folosită: Se presupune că variabilele de proiectare sunt p numere reale, astfel încât spațiul de

proiectare poate fi interpretat ca un spațiu euclidian p -dimensional.

2.2 Metode de optimizare

În procesul tipic de optimizare a structurilor finit dimensionale, proprietățile secționale, localizarea nodurilor și poziționarea elementelor structurale sunt alese ca variabile ale problemei. Există numeroase metode de optimizare, care pot fi clasificate în:

 Metodele analitice de optimizare utilizează teorii matematice de calcul și metode variaționale în studiul optimului pentru formele geometrice simple ale elementelor structurale, cum ar fi grinzi, bare, plăci. Aceste metode pot fi folosite cu succes pentru componente structurale singulare, dar nu sunt posibil de utilizat la structuri complexe. Cu acest tip de metode optimul este calculat foarte exact prin soluționarea unui sistem de ecuații și inecuații ce exprimă condițiile de optim.

 Metodele numerice sunt reprezentate de metode de programare în cadrul aplicațiilor

matematice. Cele mai noi cercetări în domeniu [9] sunt legate direct de creșterea aproape exponențială a capacității de calcul a computerelor și au ca direcții de dezvoltare:

 programarea liniară;

 programarea neliniară;

 programarea dinamică;

 proceduri neconvenționale.

Optimizarea cu această clasă de metode se face printr-un proces iterativ, definindu-se o stare inițială folosită ca punct de start pentru o căutare sistematică în scopul îmbunătățirii structurii. Procesul iterativ este stopat când toate criteriile sunt satisfăcute, astfel încât configurația curentă obținută să fie cât mai aproape de optimul căutat.

Clase de metode de optimizare:

 Metode directe;

 Metode bazate pe optimalitatea Kuhn-Tucker;

 Metode de penalizare;

 Metode de punct interior de urmărire a traiectoriei centrale.

Principalele mărimi ce trebuie evaluate în cadrul metodelor de programare matematică ce folosesc tehnici derivative sunt: Gradientul și Hessianul funcției obiectiv, coeficienții Lagrange, Jacobianul restricțiilor. Toate aceste mărimi joacă un rol important în determinarea admisibilității soluțiilor și a existenței acesteia. Punctul candidat la optim trebuie să se afle în domeniul fezabil (gradientul restricțiilor trebuie să fie liniar independente). Din studii ale metodelor de mai sus se poate trage concluzia că optimul poate fi găsit prin rezolvarea unor ecuații diferențiale cu o formă clar precizată. Această observație ne poate conduce la concluzia parțial adevărată că optimul ar putea fi găsit întotdeauna cu ajutorul unui algoritm clar formulat. Totuși, trebuie precizat că ecuațiile ce definesc condițiile de optimalitate sunt supuse unor condiții extrem de restrictive. Din acest motiv, o alternativă la aceste metode sunt cele de căutare directă. Spre deosebire de metodele derivative ce presupun calculul unor mărimi complexe, metodele de căutare directe folosesc cicluri de calcul cu un cost computațional mic.

Metodele directe de căutare permit optimizarea funcțiilor pentru care nu putem aplica metodele derivative de optimizare. Metodele de căutare evaluează funcția f în k puncte {x} urmărind evoluția funcției în scopul găsirii punctului de optim.

Situațiile în care se recomandă folosirea uneia dintre metodele directe de căutare sunt următoarele:

 funcția f nu este derivabilă,

 derivatele sunt foarte greu de evaluat sau sunt discontinue,

 nu este necesară o soluție foarte precisă a problemei.

Alegerea uneia dintre metodele prezentate se face în funcție de tipul de problemă practică ce trebuie rezolvată. O tehnică destul de des utilizată în rezolvarea problemelor simple este cea care presupune că setul de restricții este activ în punctul de optim, caz în care acestea sunt considerate ca egalități, fiind utilizate pentru a elimina variabilele libere. În concluzie, numărul de restricții active poate, în general, să fie cel mult egal cu numărul de variabile libere. În general, în problemele mai complexe, numărul total de restricții este mai mare decât numărul de variabile, fiind dificil de a cunoaște care constante sunt active în punctul de optim.

O soluție optimă “x” a problemei de optimizare structurală este caracterizată prin proprietatea că nu există alte soluții fezabile într-o vecinătate apropiată lui “x”, ce corespunde unei valori minime a funcției obiectiv. Din punct de vedere matematic, acest concept se exprimă prin condițiile Kuhn-Tucker [6]:

Este important de remarcat faptul că aceste condiții sunt valabile doar pentru problemele de programare neliniare convexe. Pentru a rezolva problema de optimizare structurală au fost dezvoltate diferite tehnici, putând fi amintite trei abordări în modul de rezolvare.

O a treia categorie de metode de programare neliniară este bazată pe așa-numitele funcții de penalizare. Acest tip de metodă este utilizată folosind tehnici de penalizare exterioare. Ideea “funcțiilor de penalizare” constă în transformarea problemei de optimizare cu restricții, într-o problemă fără restricții, prin adăugarea la funcția obiectiv a unor termeni suplimentari, care să înlocuiască efectul restricțiilor. Astfel o problemă de minimizare fără restricții poate fi rezolvată cu o funcție transformată, care are forma generală:

P( x, fk )  f ( x)  fk G( gi ( x))

Unde: al doilea termen al ecuației este denumit termen de penalizare.

Unul din elementele comune pentru clasele de metode de programare neliniară amintite este faptul că folosesc variabile continue. În activitatea curentă de proiectare, însă, multe variabile sunt limitate de valori discrete, cum ar fi grosimile tablelor sau plăcilor, diverși parametri geometrici (lungimi, diametre), ș.a., și în lipsa unor metode eficiente de cuantificare a acestor mărimi discrete, este totuși acceptată formularea continuă a problemelor de optimizare, a căror soluție este în final rotunjită. Acest mod de lucru furnizează rezultate satisfăcătoare pentru problemele de optimizare de mici dimensiuni, dar poate da soluții relativ depărtate de optim dacă numărul de variabile crește foarte mult. Este important de subliniat că majoritatea algoritmilor au ca cerință o valoare inițială pentru variabile, fiecare evaluare a funcției necesitând de fapt o nouă analiză a structurii. Din acest motiv, dacă se lucrează cu structuri complexe, este necesar un număr mare de analize cu elemente finite, deci un consum mare de timp și resurse, eficient numai în cazul folosirii unui computer și a unui program rapid.

Deci pentru rezolvarea eficientă a problemei ar fi necesare o aproximare de calitate a problemei, precum și rezolvarea într-un număr redus de pași, existând soluții, cum ar fi:

Reducerea numărului de variabile prin realizarea de legături între acestea, abordare rezonabilă, deoarece în practică o serie de variabile au aceeași valoare (table și plăci de aceeași grosime, din motive constructive și tehnico-economice cum ar fi ușurința în aprovizionare,etc.), și reducerea restricțiilor prin luarea în considerare doar a celor critice la fiecare iterație.

Utilizarea de funcții de aproximare pentru reprezentarea restricțiilor, din punct de vedere matematic fiind folosite serii Taylor. Această tehnică de rezolvare generează o formă de aproximare a restricțiilor în funcție de variabile, bazându-se pe constatarea că vectorii de răspuns structural, cum ar fi tensiuni sau deplasări sunt cvasiliniari în raport cu variabilele, deși în practică restricțiile de proiectare sunt în general neliniare în raport cu variabilele.

Utilizarea unei tehnici de generare aproximativă, la care răspuns structurii la încărcarea exterioară, definit prin deplasări, frecvențe, etc., devine în problema de optimizare ca primă aproximare. În acest mod este creată o problemă explicită neliniară, a cărei soluționare necesită mai puțin de 10 pași.

În vederea creșterii eficienței metodei este folosită o strategie duală, în care optimizarea cu variabile discrete este realizată după optimizarea cu variabile continue. Statistic a fost stabilit că acestă metodă duală este cu cel puțin un ordin de mărime mai eficientă decât alte metode în cazul problemelor de optimizare cu mai mult de 20 de variabile. Algoritmii clasici de optimizare oferă posibilitatea optimizării unei structuri prin următoarele clase de metode: metoda Simplex, metoda direcțiilor fezabile sau metoda funcțiilor de penalizare.

Capitolul 3. Proiectarea asistată de calculator a structurilor aerospatiale

Procesul de poiectare nu este unul standard, neexistând în industrie o metodologie de proiectare, fiecare vehicul de lansare având propriile cerințe. În plus, proiectanții și companiile au abordări variate, depinzând de experiență, preferințe proprii sau elementele pe care se pune accent, informații existente legate de proiectare, construcție și testare, compoziția combustibililor, materialele disponibile, si tehnologii de fabricare de ultima ora a componetelor [5]. De obicei în procesul preliminar de proiectare al vehicului sunt luate în considerare aspectele din tabelul de mai jos.

Tab. 3.1 procesul preliminar de proiectare a unui vehicul de lansare

3.1 Constrângeri și cerințe

Parcurgerea primei etape poate avea loc de mai multe ori, pentru a armoniza parametrii de proiectare și a obține o soluție care să corespundă cerințelor. Este necesară efectuarea unei analize de integritate structurală, cel puțin pentru punctele unde solicitările le pot depăși pe cele tolerate de combustibil, carcasă sau alte componente cheie. O analiză a rezervoarelor si echipamentelor de zbor ar trebui realizată de asemenea, în special dacă are complexitate mare sau conține un sistem de orientare a vectorului forței de împingere. De asemenea, se realizează și o analiză acustică a structurii, o analiză termică și o analiză a stresului mecanic în punctele critice [7]. Existând o interdependență între compoziția combustibilului, analiza stresului la care este supusă structura și camera de ardere, analiza termică, proiectarea componentelor majore și procesul de fabricație; este dificilă finalizarea unuia din aspectele de mai sus fără a le lua în calcul pe celelalte, fiind nevoie în general de câteva iterații pentru a ajunge la o soluție finală.

Dacă performanța este un criteriu esențial, va trebui luată în considerare toleranța cumulată a tuturor componentelor. Costul este și el un factor care trebuie analizat în procesul de proiectare – în etapa de proiectare determinându-se utilizarea de materiale cu costuri cât mai mici.

Rezultatul analizei și procesului preliminar de proiectare este un plan preliminar și un proiect preliminar, acestea oferind o estimare a performanței, costurilor, modalității de producer a componetelor, materialelor, dimensiunilor și masei vehicului, deplasarea centrului de greutate și desene realizate prin intermediul CAD. După evaluarea, validarea și aprobarea sa se va realiza proiectul final care va conține toate detaliile componentelor și subansamblelor, acestea fiind în general supuse unui nou proces de evaluare și aprobare. Proiectul final va conține desenele detaliate ale vehicului de lansare, lista tuturor subansamblelor și componentelor, operațiile de fabricare, materialele utilizate, testele efectuate, procedura de testare.

În mai multe ocazii au existat referiri la costuri. Acesta este influențat de următoarele aspecte:

Costul materialelor si materiei prime;

costul procesului de fabricație;

cantitatea solicitată și graficul de livrare (avand in vedere dimensiunile navetei);

specificații tehnice, condiții de control și acceptare.

De exeplu pentru motoarele de dimensiuni mari (utilizate la vehicule spațiale) cheltuielile sunt impărțite astfel:

carcasă: 28 %;

ajutaj: 22 %;

izolație termică: 6 %;

combustibil: 27 %;

asamblare finală: 17 %.

Autorul a ales pentru proiectarea preliminara racheta Saturn V tinand cont de diagramele oferite de NASA (National Aeronautics and Space Administration). Saturn V, (Fig. 3.1) a fost o rachetă cu mai multe trepte utilizată de NASA în cadrul programelor Apollo și Skylab. Acest tip de rachetă folosea combustibil lichid și era de unică folosință. Racheta Saturn V este fără îndoială una din cele mai impresionante mașinării construite vreodată, având peste 110 m (363 picioare) înălțime, 10 m (33 picioare) diametru, o masă totală de aproximativ 3000 de tone și o sarcină utilă de 118000 kg (pentru orbita joasă a Pământului). La toate zborurile în afară de unul, Saturn V a avut 3 trepte—1: S-Ic(fig. 3.4), 2: S-II, 3: S-IVB –, plus modulul de instrumente. Toate cele trei trepte foloseau oxigenul lichid (LOX) ca oxidant [17].

Proiectarea structurii preliminare este realizata cu ajutorul soft-ului Ansys 16. Detalii ale ansamblului vor fi prezentate in urmatoarele figuri.

Pornind de la designul rachetei Saturn V, autorul a stabilit cum va arata noua racheta cu o sarcina utila de 2000 kg. Aceasta sarcina utila va fi utilizata pentru transportul unui vehicul lunar de dimensiuni considerabile de tip VTVL (Vertical takeoff, vertical landing). Cele cinci motoare de tip F-1 erau aranjate în formă de cruce (fig. 3.2). Motorul din mijloc era fix, iar celelalte patru puteau fi orientate hidraulic, pentru a controla racheta (fig. 3.3) [17].

Prima treaptă folosea RP-1 drept combustibil, în timp ce a doua și a treia foloseau hidrogen lichid (LH2). Toate cele trei trepte aveau mici motoare auxiliare, cu combustibil solid, folosite pentru separarea treptelor în timpul lansării și pentru aducerea combustibilului lichid într-o poziție din care să poată fi pompat din rezervor [17].

Modulul lunar (fig. 3.5) era componenta astronavei Apollo care folosea la aselenizarea propriuzisă și la revenirea pe orbita Lunii. Avea două părți: Modulul de coborâre și Modulul de ascensiune.

Modulul lunar Apollo (ML) a fost unul dintre primele module VTVL in 2 trepte folosit pentru aterizare si decolare dupa suprafata lunii.

3.2 Vehiculele VTVL (Decolare verticală, aterizare vertical)

Decolare verticală, aterizare verticală (VTVL) este o formă de decolare și de aterizare pentru rachete. Din 2016, VTVL este în curs de dezvoltare intensa ca o tehnologie pentru rachete reutilizabile. Blue Origin and SpaceX sunt doua companii care au demonstrat recuperarea vehiculelor de lansare, dupa operatiunile de revenire la locul de lansare. Rachete VTVL (Fig. 3.7) nu trebuie confundate cu aeronave care decola și ateriza pe verticală, care utilizează aerul pentru sprijin și propulsie, cum ar fi elicoptere și anumite avioane care sunt aeronave cu decolare verticală și aterizare (VTOL) [19].

Tehnologia necesară pentru a realiza cu succes a unui zbor VTVL este formata din mai multe etape. În primul rând, forța de tracțiune trebuie să fie mai mare decât greutatea, în al doilea rând directia propulsiei sa poata fi ghidata si controlata. Sistemele de ghidare trebuie să fie capabile să calculeze poziția și altitudinea vehiculului, mici abateri de la verticală pot provoca devieri mari de la poziția orizontală a vehicului. Sistemele RCS sunt de obicei necesare pentru a menține vehiculul la unghiul corect. Performanta se poate reduce din cauza sistemelor implementate pentru picioarele de aterizare. Aerodinamica si distributia maselor sunt de asemenenea cruciale, vehiculele trebuie sa fie, in general, mai grele la varf in timpul ascensiunii, dar trebuie sa fie stabile in timpul aterizarii, de obicei, la coada lor, și imediat după aterizare, în cazul în care acestea sunt sensibile la vânt. Pentru aceste tipuri de vehicule VTVL poate fi necesar să se poată aprinde motoarele într-o varietate de condiții care ar putea include vid, hipersonic, supersonice, transonic și subsonic [19],[14].

Autorul a ales pentru optimizare topologica trenul de aterizare a Modulul Lunar Apollo (fig. 3.8).

3.3 Optimizarea topologica a trenului de aterizare pentru vehicule VTVL

Optimizarea topologică a structurii ne permite să reducem semnificativ greutatea trenului de aterizare și de a realiza o structura mai eficientă. Această optimizare se realizează prin furnizarea de valori limită a parametrilor cum ar fi deformari sau solicitari în timp ce funcția obiectiv este minimizarea masei. Din punct de vedere matematic optimizarea constructivă este o problemă de optim. Ca și procedeu de urmat în analiza problematicii optimizării constructive se începe cu realizarea unui model spațial grosier (Fig 3.10) având fixarea, încărcarea forțelor și limitele predefinite (Fig. 3.12). Modelul geometriei a fost realizat în Ansys 16.0 și importat în Inspire, modulul de optimizare din pachetul solidThinking (Fig 3.9) .

Ideea în optimizarea structurală aerospațială, este ca o parte a spațiului de design ca volum să fie modelat cu elemente finite hexaedrale. Figura 3.10 reprezintă spațiul de optimizare dintre picior si suport. În cazul definit de autor, volumul de optimizare are proprietățile materialului aluminiu 2024.

Modelul este divizat în mai multe zone cu ajutorul planurilor de simetrie care împart volumul în 16 părți așa cum reiese din Figura 3.11. Împărțirea sistemului ajuta la o obținerea unor rezultate mai plauzibile oferind o similitudine intre zone.

Condiții la limită. Volumul de optimizare a fost incastrat pe una din suprafețele exterioare ale suportului.

Condiții inițiale. Pe suprafața de jos a piciorului este distribuită o Forță de 812.5 N calculate astfel:

Unde:

m – masa ML (estimative 2000 Kg)

a – acceleratia gravitationala 1.625 m/s2

4 reprezentand numarul de picioare al modului lunar

Rețeaua de discretizare. Spre deosebire de alte soft-uri FEM, Inspire își generează automat o rețea de discretizare oferind utilizatorului opțiunea de a selecta doar valoarea maximă a unui element. Valoarea minimă a elementelor generate automat este de 0.04 m.

Modelul constitutive pentru material. Aluminiu 2024 este un aliaj de aluminiu, cu cupru ca element de aliere primar. Acesta este utilizat în aplicații care necesită o rezistență ridicată la solicitări în raportul cu greutate, precum și rezistența la oboseală. Este răspândit în industria aerospațială și recomandat pentru structuri ușoare și scheletonizonare.

După un anumit număr de iterații în care se va repeta procedeul descris mai sus, algoritmul de optimizare va converge către o valoare extremă (de maxim sau de minim în funcție de analiza care i-a fost asociată), fapt care corespunde unui model spațial cu o formă optimizată constructive.

Obiectivele optimizării. Maximalizarea rigidității prin micșorarea compliantei. Obținerea unei structuri cu un volum redus de până la 50% cu o rezistenta si stabilitate sporita (Figura 3.12).

Rezultatele optimizarii. In urma procesului de optimizare se poate evidentia pierderea de material intre volumul initial si rezultatul final (Figura 3.13).

Pierderile de material sunt optime, volumul optimizat înregistrând o masă finală de 48.721 kg dintr-un total de aproximativ 67.747 kg (fig. 3.14).

3.4 Optimizarea topologica a spatiului dintre rezervor si carcasa a unei trepte de racheta.

Obiectivul optimizării structurale este maximizarea performanței unei structuri sau a unei componente structurale de exemplu un spatiu de optimizare. Ca și procedeu de urmat în analiza problematicii optimizării constructive se începe cu realizarea unui model spațial grosier (Fig 7.1) având fixarea, încărcarea forțelor și limitele predefinite. La fel ca in cazul precedent, modelul geometriei a fost realizat în Ansys 16.0 și importat în Inspire, modulul de optimizare din pachetul solidThinking.

Figura 3.14 reprezintă spațiul de optimizare dintre rezervor și carcasa. Volumul are proprietățile unui material de umplere de genul spumelor de plastic (airex, rohacell, polistiren, poliuretan) sau aliaje sau metale ușoare de tip aluminiu 2024. În cazul definit de autor s-a folosit aluminiu 2024.

Modelul este împărțit în mai multe zone cu ajutorul planurilor de simetrie care împart volumul în 8 părți așa cum reiese din Figura 3.15. Împărțirea sistemului ajuta la o obținerea unor rezultate mai plauzibile oferind o similitudine intre zone.

Condiții la limită. Volumul a fost incastrat pe una din suprafețele exterioare.

Condiții inițiale. Pe suprafața opusă incastrării este distribuită o Forță de 100 N.

Rețeaua de discretizare. Spre deosebire de alte soft-uri FEM, Inspire își generează automat o rețea de discretizare oferind utilizatorului opțiunea de a selecta doar valoarea maximă a unui element. Valoarea minimă a elementelor generate automat este de 0.023 m.

Modelul constitutive pentru material este prezentat in cazul anterior de optimizare.

După un anumit număr de iterații, algoritmul de optimizare va converge către o valoare extremă (de maxim sau de minim în funcție de analiza care i-a fost asociată), fapt care corespunde unui model spațial cu o formă optimizată constructive.

Obiectivele optimizării. Maximalizarea rigidității prin micșorarea compliantei. Obținerea unei structuri cu un volum redus de până la 95% (Figura 3.16).

Rezultatele optimizarii. In urma procesului de optimizare se poate evidentia pierderea de material intre volumul initial si rezultatul final (Figura 3.17).

Pierderile de material sunt optime, volumul optimizat înregistrând o masă finală de 396 kg dintr-un total de aproximativ 8 tone (Figura 3.18 d)).

Un caz special de optimizare se poate adresa la un segment (celula) a volumului optimizat precedent (fig. 3.20). Acest tip de optimizare este folosit din ce în ce mai recent și se numește scheletonizare. Cu o utilizare tot mai frecvența în industria aerospațială și medicală, acest tip de optimizare își face apariția în structura avioanelor moderne.

În Figură 3.19 se poate observa un segment al volumului optimizat în prima parte a lucrării.

Capitolul 4. Rezultate si concluzii

In urma procesului de optimizare topologica descries in lucrare s-a proiectat o structura a trenului de aterizare care sa corespunda solicitarilor (fig. 4.1).

Geometria a fost proiectata in ANSYS tinand cont de rezultatul optimizarii optinut in INSPIRE. Au fost luate in considerare dimensiunile piesei optimizate, incercand sa se ajunga la o varinta cat mai realista pentru ansamblul final. In fig 4.1 ne sunt prezentate rezultatele optimizarii in soft-ul inspire si geometria proiectata in urma optimizarii.

Detaliile segmentelor care formează trenul de aterizare se pot observă în fig. 4.2.

Proiectarea și realizarea unei piese de tip prototip presupune utilizarea mai multor soft-uri de tip CAD și de optimizare topologică făcând necesară existența unei infrastructure informatice.

Optimizarea topologică poate fi utilizată pentru reducerea/minimizarea masei și a volumului, evidențiind particularităti ale structurii neuniforme create în urmă procesului de optimizare.

Forme de optimizare pot fi folosite și pentru stres prin modificarea automată a geometriei suprafeței. În ranforsările de rigiditate procesul de optimizare are rolul de a imbunătăti proprietătile statice și dinamice ale structurilor generate.

Odată cu evoluția soft-urilor de optimizare problemă dimensionării și optimizării structurilor complexe de tip fuzelaj (shell) este posibilă, oferiind inginerilor noi abordări constructive.

Subiectul abordat pe parcursul lucrării de disertație este de mare interes pentru maximizarea performanțelor vehiculelor aeriene și nu numai.

Motivația acestei lucrări este data de competiția din ce în ce mai strânsă la nivelele conceptual, tehnologic și operațional, ținând cont de evoluția constanța și inovațiile din aceste domenii.

Subiectul acestei lucrări are la bază proiectarea în fază preliminară a unei structuri compozite din elemente structurale cu pereți subțiri sau solizi, mergând până la detalii cu impact tehnologic (distribuție orientări materialului prin plane de simetrie, și distributiea grosimii).

Bibliografie

Avram A,, C. Bob, R. Friedrich, V. Stoian – Reinforced concrete structures. The finite element method. The equivalence theory, C.Z. 517.949 : 624.012.4, Romanian Academy Publishing House, R-79717 Bucharest, Calea Victoriei nr. 125, Romania, 1984

Bendsøe M.P. & N., K., 1988. Generating optimal topologies în structural design using a homogenization method. Computer Methods în Applied Mechanics and Engineering, Volumul 71.

Bendsøe M.P. , E. Lund, N. Olhoff, O. Sigmund – Topology Optimization – Broadening the Areas of Application, Control and Cybernetics, Vol. 34, No. 1, 2005

Bendsøe M.P., O. Sigmund – Material Interpolation Schemes in Topology Optimization, Archive of Applied Mechanics, Vol. 69, No. 9-10, pp. 635-654, 1999

Friedlander A., F.A.M. Gomes, Solution of a truss topology bilevel programming problem by means of an inexact restoration method, Computational & Applied Mathematics, On-line version ISSN 1807-0302, Comput. Appl. Math. vol.30 no.1 São Carlos  2011

Gutkowski, W.,Bauer,J.,ș.a.”Explicit formulation of Kuhn-Tucker necessary conditions în structural optimization”, Computers & Structures, vol.37, 1990.

Kenner W.S. – Lattice Truss Structural Response Using Energy Methods, B.S.M.E., North Carolina A&T State University, May 1987, A Thesis submitted to the Faculty of Old Dominion University in Partial Fulfillment of the Requirement for the Degree of Master of Science in Mechanical Engineering, Old Dominion University, Norfolk, VA, Aug.1996

Kuhn, H. W.; Tucker, A. W. ,1951. "Nonlinear programming". Proceedings of 2nd Berkeley Symposium. Berkeley: University of California Press. pp. 481–492. MR47303

Murren, P. C., 2011. Development and implementation of a design-driven harmony search algorithm în steel frame optimization. Notre Dame, Indiana : University of Notre Dame.

Pricop M.V. – Solid Topology Optimization Using Truss Lattices, INCAS BULLETIN, Vol. 4, No. 3, pp. 41-45, Jul.-Sep. 2012

Sigmund O. – A 99 Line Topology Optimization Code Written in Matlab, Struct Multidisc Optim 21, Springer-Verlag, 2001

Silva E.C.N., G.H. Paulino – Topology Optimization Applied to the Design of Functionally Graded Material (FGM) Structures – Proc. of the XXI International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, ICTAM, Warsaw, Poland, Aug. 15-21, 2004

Smith R.E, L.C. Reese – A Lattice Analogy for the Solution of some Nonlinear Stress Problems, A report to NASA Langley Research Center, Department of Civil Engineering, The University of Texas, Austin, TX, May 1965

Stanford B.K., P. Ifju – Multi-Objective Topology Optimization of Wing Skeletons for Aeroelastic Membrane Structures, International Journal of Micro Air Vehicles, Vol. 1, No. 1, 2009

Wiggers W.A., V. Bakker, A.B.J. Kokkeler, G.J.M. Smit –Implementing the Conjugate Gradient Algorithm on Multi-Core Systems, IEEE International Symposium System-on-Chip (SOC), Nov. 20-21, 2007

Zienkiewicz O.C. , R.L. Taylor – The Finite Element Method,
Vol. 1, Fifth Edition, The Basics, John Wiley & Sons, 2000, ISBN 0 7506 5049 4

*** https://www.nasa.gov/audience/forstudents/5-8/features/nasa-knows/what-was-the-saturn-v-58.html

*** http://www.alternatewars.com/SpaceRace/Saturn/Saturn.htm

*** https://www.nasa.gov/image-feature/spacex-falcon-9-rocket-launches