. Optimizarea Activitatii Publicitare Folosind Programarea Discreta

CAPITOLUL I

Publicitatea – Noțiuni generale

Locul, rolul și importanța activității publicitare în sistemul economic (economie națională, zonală etc.)

Importanța activității publicitare în promovarea și dezvoltarea activității unei firme

Idei despre organizațiile care participă la activitatea publicitară

Planificarea mass-mediei

Concepte de baza în mass-media

Selectarea mass-mediei

Specificul realizării caalupurilor publicitare

Prezentarea structurii lucrării

Marketingul a fost definit în diferite moduri. Este un set de activități care însoțesc traseul bunurilor și serviciilor de la producător pentru satisfacerea consumatorilor și pentru realizarea obiectivelor organizației. Marketingul poate consista din variate activități: vânzări, transport, depozitare, strângerea de informații de piață etc.

Subsistemul marketing are ca obiectiv aducerea produsului firmei în mâinile consumatorilor. Aceasta poate include furnizarea de informații prin publicitate și vânzări personale, transportarea și depozitarea pentru a veni în întâmpinarea nevoilor consumatorilor.

Publicitatea și promovarea sunt mijloacele prin care fiecare organizație furnizează informații despre ei înșiși, serviciile lor, structura prețurilor și canalele de furnizare la o cât mai mare varietate de auditori, inclusiv existența clienților și cumpărătorii potențiali, intermediari, angajați și mass-media. Procesul de comunicare în marketing pune accentul pe atribute și beneficiile bunurilor sau serviciilor particulare pentru a creea conștiința, pentru a stimula interesul și a încuraja cumpărarea. Oricum, în practică, rolul comunicării este obiectiv, cuprizand toate aspectele legate de imaginea unei organizații, și modul în care această imagine este prezentată la o varietate mare de grupuri de interes din societate. Definită în general promovare, în interiorul mixului de marketing, comunicarea creează oportunitatea pentru organizații de a se diferenția în corporații și mărci cunoscute. Comunicarea cere efectiv un acces direct și sistematic la planul promoțional pentru a garanta că mesajul este corect și consistent având imaginea dorită a produsului sau organizației.

Promovarea serviciilor are multe similarități cu promovarea produselor fizice, deși există câteva diferențe care caracterizează promovarea serviciilor, fie ca un rezultat al caracteristicilor serviciilor. În dezvoltarea unei strategii de comunicare, problema particulară cu care se confruntă furnizorii de servicii este că ei nu au un produs fizic pentru a-l prezenta clienților și, în consecință, o cerere majoră a promovării este să dezvolte un mesaj și o formă de prezentare care permite organizației să prezinte un produs intangibil într-o formă tangibilă.

Locul, rolul și importanța activității publicitare în sistemul economic

Marketingul face legătura între organizațiile umane, resursele financiare și fizice și dorințele consumatorilor. Aceasta include obținerea de date despre competiția directă și indirectă, nesiguranțele economice, restricțiile legale și politice și alte restricții. Toate acestea trebuie să fie făcute într-un mediu schimbător și nesigur.

Mix-ul de marketing reprezintă combinația de politici și proceduri adoptate din când în când de o companie în programul său de marketing. Aceasta presupune integrarea elementelor unui program de marketing care va atinge cel mai bine obiectivele companiei într-o perioadă dată de timp. Succesul poate fi măsurat de o companie prin profitul produs de un mix al următoarelor variabile: planificarea producției, prețuri, canale de distribuție, vânzări, advertising și promovare, ambalare și etalare, servicii, întreținere, constatări și analiză.

O organizație intră în legătură cu pietele dorite, printr-o combinație de vânzări personale, advertising, vânzări promoționale și publicitate. Vânzările personale reprezintă comunicarea dintre un vânzător ( agent de vânzări) și client privitor la firmă și produsele sale.

Fixarea naturii și nivelului cererii pentru produse trebuie să fie precisă, dacă resursele economice nu sunt bine utilizate. Este scopul cercetării de piață pentru a afla, pe cât de precis posibil, cererea prezentă și viitoare a pieței.

Tehnicile de fabricare mult mai complexe presupun investiții mari și planificarea trebuie să fie făcută pe un interval de timp mult mai mare. Veniturile personale au un nivel deductibil și aceasta afectează cererile clienților, așa că informația trebuie să fie consistentă și concretă.

Ideal, cercetarea de piață trebuie să furnizeze informația astfel încât să-i permite fabricantului să-și traseze producția în concordanță cu preferințele consumatorilor, pentru fabricarea acesteia în cantitățile în care poate fi vândută, să-și aleagă ambalajul potrivit, pregătirile necesare pentru promovarea efectivă și distribuție. În acest caz ideal, nu vor exista supraproducția și pierderile din stocurile nevândute.

Advertising-ul și publicitatea sunt adesea utilizate ca sinonime. Publicitatea are o importanță mai mare. Acesta include toate formele de advertising și toate activitățile care încearcă să informeze publicul despre firmă; aceasta presupune și relații cu publicul.

Rolul jucat de advertising în activitățile de marketing ale firmei variază foarte mult. Advertisingul poate fi direct sau indirect. Obiectul urmărit de advertising este de prezenta informația despre produs, să crească interesul, să nască dorințe și să aducă clienții într-un cadru favorabil de a cumpăra produsul. Firmele pot avea propriul departament de advertising, dar de obicei acestea apelează la o agenție de publicitate.

În toate tipurile de advertising, o singură idee apare constant: acei promotori care au cel mai mare succes și obțin cel mai mare feedback al acțiunii de advertising sunt aceia care au un plan de publicitate bine-conceput și bine-dezvoltat. Ei cunosc de ce fac publicitate, și cui fac publicitate, și ce rezultate așteaptă de la acțiunea lor. Pe scurt, ei folosesc publicitatea ca un plan, tehnică de construcție a afacerii cu scopul de a ridica nivelul vânzărilor și al profitului…

Promotorii de succes integrează cu grijă publicitatea în planul promoțional pentru produs sau serviciu. Și, pentru garantarea succesului, ei integrează aceste eforturi promoționale în vânzările totale și în mixul de marketing. Fără o planificare și integrare, publicitatea, ca orice activitate de afaceri, nu poate asigura organizației feedback-ul în materie de timp și bani.

Dacă există o greșeală într-un plan de advertising fără succes, este adesea făcută de promotori în a vedea advertising-ul ca parte separată și independentă față de vânzări și eforturile de marketing. Ei privesc advertising-ul ca fiind cumva “diferit” și “unic” sau “creație”sau chiar o “formă de artă”, și aceasta este problema majoră. Des, promotorii pierd din vedere faptul că ei sunt doar vânzători încercând să vândă produse sau servicii prin mass-media.

“Ei par să uite că scopul advertisingului este de a livra un mesaj de a cumpăra” în numele produsului sau serviciului la un număr cât mai mare posibil de clienți la un anumit moment. Și singurul motiv pentru care companiile folosesc advertisingul mai degrabă decât vânzarea față în față este mult mai eficient în termeni de timp și cost.

Cel mai bun mod posibil de a transmite un mesaj de vânzări este prin contact personal, dar la o populatie de 220 mii persoane aceasta nu e practică și nici posibilă. Nu este practic sau posibil pentru a vinde cu amănuntul într-un oraș de 3000 de persoane să se întâlnească și să prezinte un mesaj de cumpărare la toți clienții. Astfel, companiile folosesc advertisingul ca un surogat pentru lucrarea personală de mesaje de vânzare. Ei livrează acest mesaj prin mass-media dar speră să obțină rezultatele contactului direct, și speră să obțină același rezultat: un mesaj efectiv de vânzare care produce un răspuns pozitiv la mesajul lor.

Acest răspuns înseamnă, de obicei, creșterea vânzărilor deci și a profitului pentru acești promotori. Creșterea profitului la agenții economici aduce și creșterea bugetului statului ( prin impozitul pe profit); deci, indirect, statul ar trebui să înlesnească acestora să-și facă publicitate.

Importanța activității publicitare în promovarea și dezvoltarea unei firme

Acolo unde consumatorii sunt informați imperfect ( incorect sau numai parțial) activitatea promoțională poate fi utilizată de firmă pentru a genera un volum mai mare al vânzărilor. Firma poate include vânzările promoționale (ca o încurajare pe termen scurt pentru a cumpăra un produs) și vânzările personale(prin agenți de vânzări). Vânzările pot fi influențate de cheltuielile cu scopul de a menține aceste companii angajate în distribuția informației despre calitățile produsului (și defectele produselor concurente). pentru produsele pe care consumatorii doresc să le testeze înainte de a le cumpăra (precum în cazul comerțului cu mașini) firmele pot să scadă numărul de teste prin organizarea unui “driving test”. Alt mod presupune “test days” la Alfa Romeo, unde clienții pot conduce mașinile fabricii într-un circuit inclus special. Oricum cea mai bună armă pentru creșterea vânzărilor este publicitatea, definită de Colley astfel:

”masă plătită mijloacelor de comunicare, al căror scop e să difuzeze informația, să dezvolte atitudinile și să inducă acțiuni benefice promotorului.”

Publicitatea poate fi atât un substitut cât și un complement la alte forme de activități promoționale. Importanța sa variază în concordanță cu natura produsului și a pieței servite.

Piețele pentru bunuri alimentare sunt, în general, largi și împraștiate geografic. Aceasta face advertising-ul , implicând mass-media, mult mai atractiv decât alte forme de activități promoționale. În orice caz advertising-ul nu este mediul potrivit prin care sunt furnizate informațiile cerute de cumpărătorii industriali, care sunt mai puțini în număr decât ceilalți cumpărători. În acest caz folosirea unui agent publicitar ( agent de vânzări ) poate fi soluția optimă.

Publicitatea este, în general, mult mai folosită pentru promovarea bunurilor nedurabile decât cele durabile, care au o viață mai lungă, care sunt mult mai complexe și tind să fie mult mai scumpe. Consumatorul are o mai mare determinare în a evita greșelile când cumpără un bun durabil. Cererea pentru informații este foarte mare, în acest caz, și o mare varietate de surse vor fi consultate pentru procurarea acestora. În contrast, produse ca pasta de dinți și săpunul sunt relativ mai ieftine și cumpărate frecvent. Deci o greșeală de judecată în acest caz, în cumpărarea acestor produse, nu are o consecință pe termen lung, cumpărătorii sunt mai dispuși să dea ascultare mesajelor publicitare pentru acestea. În general pentru produsele mai complexe și cele care au un număr de potețiali cumpărători redus, nu este protrivită publicitatea și este preferată vânzarea personală ca un mod de furnizare de informații.

Cantitatea potrivită de publicitate, precum și forma, este dependentă, în mare măsură, de balanța dintre căutare și experiența caracteristice produsului. Căutarea caracteristcilor este ceea ce cumpărătorul, consumatorul, consideră ca fiind prioritar la cumpărărarea produsului. În cazul unui automobil aceste carateristici pot include lungimea, numărul ușilor, mărimea motorului, puterea, ș.a.m.d.

Publicitatea produselor prin explicitarea caracteristicilor predominante tinde să fie tot mai mică. Aici cel mai eficient mod de publicitate va fi acela care furnizează informația, și ziarele și revistele sunt, aici, canalele cele mai bune pentru furnizarea acesteia.

Caracteristicile din experiență pot fi determinate doar în utilizare: pentru exemplu calitățile referitoare la calitățile mașinii și confortul este foarte mare, în acest caz, și o mare varietate de surse vor fi consultate pentru procurarea acestora. În contrast, produse ca pasta de dinți și săpunul sunt relativ mai ieftine și cumpărate frecvent. Deci o greșeală de judecată în acest caz, în cumpărarea acestor produse, nu are o consecință pe termen lung, cumpărătorii sunt mai dispuși să dea ascultare mesajelor publicitare pentru acestea. În general pentru produsele mai complexe și cele care au un număr de potețiali cumpărători redus, nu este protrivită publicitatea și este preferată vânzarea personală ca un mod de furnizare de informații.

Cantitatea potrivită de publicitate, precum și forma, este dependentă, în mare măsură, de balanța dintre căutare și experiența caracteristice produsului. Căutarea caracteristcilor este ceea ce cumpărătorul, consumatorul, consideră ca fiind prioritar la cumpărărarea produsului. În cazul unui automobil aceste carateristici pot include lungimea, numărul ușilor, mărimea motorului, puterea, ș.a.m.d.

Publicitatea produselor prin explicitarea caracteristicilor predominante tinde să fie tot mai mică. Aici cel mai eficient mod de publicitate va fi acela care furnizează informația, și ziarele și revistele sunt, aici, canalele cele mai bune pentru furnizarea acesteia.

Caracteristicile din experiență pot fi determinate doar în utilizare: pentru exemplu calitățile referitoare la calitățile mașinii și confortul. Acolo unde aceste caracteristici domină, produsele trebuie să fie promovate mult mai intens deoarece scopul este de a informa consumatorii cu nume de marcă. Oricum experiența bunurilor pe termen scurt ( unde consumatorul câștigă cunoștere repede după cumpărarea produsului) sunt mai degrabă îndreptate spre mai puțină publicitate decât bunurile care cer cumparatorului repetabilitate, dacă acesta vrea să câștige o imagine completă.

Conceptul de elasticitate poate fi utilizată pentru a măsura raportul dintre cantitatea cerută la o schimbare în cheltuielile de publicitate.

Publicitatea ca informație

Publicitatea infomează și convinge. Impactul său asupra afacerilor firmei va varia în concordanță cu acea influență dintre acestea două care predomină. Prin procurarea informației, publicitatea îmbunătațește cunoștințele consumatorului despre produs. Cumpărătorii trebuie să fie informați despre existența produsului, caracteristicile și disponibilitățile acestuia înainte ca ei să-și manifeste dorința de al cumpăra. Pentru a face cea mai bună alegere consumatorii trebuie să fie constienți, pe cât posibil, de toate opțiunile disponibile. Adunarea de informație crește costurile de tranzacție, așadar consumatorul trebuie să pună în balanță valoarea extra-informației contra costurile achiziției. Pentru orice produs va fi o cantitate optimală de informație.

Deciziile sunt luate, de obicei, bazate pe informație incompletă. Publicitatea reduce ignoranța consumatorilor oferindu-le informație. Aceasta ajută la punerea față în față a cumpărătorilor și a vânzătorilor care sunt liberi să determine orice, și cu orice termeni, tranzacțiile ulterioare îi vor lua locul. Dacă este cazul acesta, firma care promovează poate aștepta să crească vânzările relativ la produsele nepromovate, prin inștiințarea clienților referitor la produsele lor.

Indiferent de calitățile intrinseci ale produsului, vânzarea poate fi făcută personelor care sunt conștiente de existența sa. Această cunoștere poate rezulta din surse generale. Poate fi rezultatul unei expuneri ( pentru exemplu producătorul poate avea produsul inclus într-un magazin). Poate fi rezultatul unei căutări deliberate, dar generală, a presei. Multe ziare includ imaginile noilor produse, așa cum sunt cele din coloana mașinilor noi. Revistele consumatorilor ( precum Which în Marea Britanie) fac comparări regulate testând și recomandând “cea mai bună alegere”. Informația mai poate fi comunicată prin convorbirile dintre prieteni și colegi. Acest ultim aspect are ca efect atât creșterea conștiinței despre produse cât și forța aranjărilor personale între produsele “bune” care au fost formate pe baza experienței cunoscuților.

Figura 1.2.1

Sursa: Ferguson P. R., “Business Economics”

Implicațiile informației imperfecte este că consumatorii vor diferi în suprafața cunosinței personale despre ce produse sunt disponibile pe piață. Acest fapt este ilustrat în Figura 1.2.1 unde fiecare cerc ilustrează o cunoștință personală despre șase produse denumite de la A la F. Produsele A și B sunt cunoscute de toți cei cinci cumpărtori ( consumatori). C,D și E ocupă poziții intermediare. Oricum numai consumatorul 1 este conștient de existența produsului F, și el nu cumpără neaparăt acest produs, atâta timp cât este conștient și de toate celelalte produse de pe piață cu excepția lui E.

Discrepanța dată de informarea prin discuțiile dintre prieteni și colegi, dintre actuali și potențiali cumpărători, A și B sunt produse obișnuite, și /sau cu arii de cuprindere a pieței mari. Este tipic noilor produse care sunt în poziții asemănătoare cu cea a produsului F. Publicitatea furnizează un mecanism prin care produsul F poate fi mutat în direcția săgeții, poziție ocupată și de produsele A și B. Acest fapt ne sugerează faptul că pentru un nou intrat pe piață cheltuielile cu publicitatea (și alte forme de activități promoționale) sunt foarte importante.

Figura ne poate da impresia că odată ce un produs intră pe piață consecvența consumatorului rămâne fixă pe el. Aici nu este cazul deoarece persoanele mai uita iformația. Acesta este un motiv pentru continuarea activității promoționale, care este mai degaba justificată de faptul că cohorta de consumatori care fac “piața” este într-o continuă schimbare. Rata de schimbare variază de la piață la piață. Este scazută în cazul produselor alimentare, deorece aici principalele influențe le au ratele natalității și mortalității. Prin comparație adulții se pot căsătorii doar o singură dată așa că firmele care vând rochii de mireasă și alte servicii legate de căsătorie sunt interesate în identificarea și comunicarea noilor consumatori. Aceeași observație se aplică și pentru produsele pentru noi născuți. Pentru astfel de produse sunt așteptate niveluri ridicate de publicitate.

Publicitatea ca putere de convigere

Firmele pot utiliza publicitatea pentru a schimba percepțiile consumatorului despre produs, și aceasta poate fi făcută în unul sau mai multe moduri. Spre exemplu o campanie publicitară trebuie să convingă că o pastă de dinți oferă o mai mare cantitate de control al dinților și prevenirea cariilor decât este actual cazul ( deși aceasta pastă de dinți poate să nu aibă, neaparăt aceste caracteristici, fiind chiar mai slabă decât altele). Publicitatea poate, deasemeni să denatureze preferințele consumatorilor.

Imaginea publicității ca putere de convingere ne face să înțelegem că publicitatea poate face consumatorul să facă alegerea greșită, încurajându-I să aleagă produsele promovate în defavoarea celor nepromovate, chiar dacă mai devreme sau mai târziu acestea nu oferă caracteristicile cerute de consumatori. Aceasta face din produsele concurente nepromovate competitori mult mai slabi decât ar sugera caracteristicile produselor lor. Scopul urmărit este de a reduce elasticitatea de transfer a cererii, făcând consumatorii mai puțin sensibili la reducerile de preț ale firmelor concurente.

Mai mult, în atragerea consumarorilor mult mai puternic spre produsele celui care le promovează, elsticitatea proprie a prețului cu cererea este redusă. Prețurile pot fi crescute cu un risc scăzut de a pierde vânzările în favoarea competitorilor. În același mod, creșterea loialității consumatorilor față de produsele respectivei firme face mult mai dificilă intrarea pe piață a noilor produse și a noilor firme.

Idei despre organizațiile implicate în campaniile publicitare

Dezvoltarea unui program efectiv de comunicare presupune integrarea componentelor majore ale mixului de promovare. Aceste elemente pot fi clasificate astfel:

Advertising. Orice formă plătită de prezentare non-personală și de promovare a ideilor, bunurilor și serviiciilor printr-un sponsor identificat, televiziune, radio, cinema, ziare.

Vânzări personale. Un proces de încurajare pentru a cumpăra un bun sau serviciu, sau să răspundă la orice idee prezentată oral, prezentări pentru vânzări, meeting-uri, telemarketing.

Vânzări promoționale. Activități care stimulează cumpărarea (vânzări) pe termen scurt cu ajutorul diferitelor mijloace: cupoane, rabaturi, daruri etc.

Relații cu publicul. Stimulente neplătite, nepersonale ale cererii prin prezentări ale noutăților comerciale importante despre organizație sau serviciile sale în mass-media, speech-uri, rapoarte etc.

În dezvoltarea unei campanii publicitare, cel care planifică campania trebuie să înțeleagă diversele structuri și funcții ale departamentelor de marketing, și organizațiile de advertising. În general, cinci grupuri specifice și tipuri de organizații sunt implicate în dezvoltarea și execuția de campanii publicitare.

Acestea sunt:

Organizațiile de marketing;

Agențiile de publicitate;

Media precum: ziarele, radioul, televiziunea etc.

Furnizori precum: studiourile de film, tipografii, studiourile de artă.

Organizațiile de sprijin precum grupurile de cercetare de marketing și publicitate, furnizorii de date audiență.

Organizațiile de marketing.

Organizațiile de marketing sunt acele companii sau firme care dezvoltă piața produselor și serviciilor consumatorilor. În general, există patru moduri organizaționale pentru operația de marketing într-o firmă:

Funcțională, gruparea activităților de marketing în arie de specializare precum: vânzări, advertising, cercetare;

Piața ( market), accentul în organizație cade pe conducerea piețelor mai degrabă decât pe cea a funcțiilor;

Produs, specializarea și managementul produsului sau liniei de asamblare;

Produs-piață: un sistem hibrid unde funcția, piața și produs (a)-(c) sunt combinate în diferite maniere.

Cea mai bună parte a organizațiilor de marketing orientate pe produs în S.U.A. folosesc sisteme apropiate de management.

Agenția de publicitate.

Agenția de publicitate este o organizație independentă de afaceri, condusă de specialiști, care dezvoltă și plasează anunțurile publicitare în media de publicitate și asistă la planificarea totală. Agenția obține faptele, strategia planului de campanie publicitară și mass-media pe care o va folosi. Planurile finale sunt prezentate spre aprobare companiilor sau firmelor. Agențiile joacă rol de mijlocitor între firmele de advertising și media de advertising,, e.g. companiile de televiziune și sunt plătiți de media angajată în campania publicitară și nu de client.

Cele mai multe agenții de publicitate sunt structurate pe un grup de contabili, un grup funcțional de experti asociați fiecărui client.

Un model de structurare a unei agenții de publicitate este prezentat în Figura 1.3.1.

Figura 1.3.1

Sursa: Schultz D. E., ”Strategic Advertising Campaigns”

Departamentul de servicii pentru client coordonează forțele care aduc împreună toate facilitățile și abilitățile agenției pentru construirea planului și dezvoltarea unei campanii publicitare pentru client.

3. Media, Furnizorii și Grupuri de susținători

Dezvoltarea unei campanii publicitare, chiar și pentru un comerciant local este un proces foarte complex, de obicei cerând un număr destul de mare de specialiști în afară de promotor și de agenți. Aceste persoane și/sau grupuri aprovizionează ingredientele, materialele, sau serviciile folosite de promotor și de agenția de publicitate pentru a pregătii campania de publicitate. Importanța acestor specialiști variază foarte mult în legătură cu tipul și complexitatea campaniei.

Un interes particular îl reprezintă media, deoarece transmite mesaje publicitare clienților ( consumatorilor). În cele mai multe situații, media este independentă de promotor și de agenție. Acesta, promotorul, adesea prin agenție, cumpără timp, spațiu, sau facilități pentru companie de la diversele mijloace mass-media.

Organizațional, media este reprezentată promotorului sau agenției printr-un grup de vânzători. Acești reprezentanți, care pot fi angajați ai mijloacelor media sau doar reprezintă mijlocul media într-o comisie, vând și servesc nevoile agenției sau promotorului citind ratele pentru timp și spațiu.

Planificarea mass-mediei

În ziua de astâzi lumea media este vastă și complexă. Industria TV este compusă din foarte multe posturi de televiziune, particulare sau de stat.

Evident, enormitatea acestor mijloace media face planificarea, un proces complex. Promotorii caută întotdeauna moduri mai bune dea vinde idei, servicii și produse.

Concepte de baza în mass-media

Câțiva termeni și concepte importante vor fi prezentate în acest subcapitol pentru a explica dinamica planificării media.

Rating. Uneori menționat ca o medie, un rating reprezintă un procentaj dintr-o anumită populație, de o anumită categorie, urmărind la un anumit moment un anumit mijloc de masă.

Programele TV, show-rile radio, cititorii unui ziar, etc. pot fi exprimați ca un rating.

Punctaj brut de rating. Suma aritmetică a tuturor ratingurilor individuale într-un program media se numește punctaj brut de rating. Acesta este o măsură a intensității totale sau pătrunderii unui anumit plan media. Perioada de timp reprezentată de acesta trebuie să fie specificată (săptămâna, lună, etc.)

Audiența cumulată. Punctajul brut de rating ne spune ce audiență este așteptată la un anumit număr de mesaje publicitare, dar nu ne spune câte persoane diferite urmăresc aceste mesaje. Aceasta este o functie a “bogației”, numărul sau procentul unei populații date “expusă” la cel puțin un mesaj publicitar. Sinonim cu o audiența cumulativă sunt și termenii audiență netă sau audiență neduplicată.

Amplitudinea sau dispersia unui program publicitar este determinată de numărul de momente ale zilei, programe, stații, medii, magazine, etc. implicate în planul promoțional. De exemplu, cea mai mare audiență TV este seara când lumea este acasă. Audiența TV poate fi mărită prin anunțuri în timpul serii, dimineții, ceea ce are ca efect vizionarea în timpul după-amiezii a programelor lor de către persoanele care lucrează seara și pot fi libere în timpul după-amiezii.

Raportul dintre punctajul brut de rating și audiența reprezintă frecvența medie, untilizată ca măsură a “adâncimii” campaniei. Frecvența reprezintă numărul de câte ori o persoană vede un mesaj publicitar. Pentru a facilita folosirea acestor concepte, advertisingul a elaborat tabele de audiență și frecvență. Computerele sunt utilizate pentru a genera aceste numere.

Numărul total de spoturi și numărul de de diferite programe implicate influentează audiența și frecvența. La radio, numărul de spoturi, dispersia lor de-a lungul zilei, numărul de posturi utilizate pot modifica atât audiența cât și frecvența.

Audiența și frecvența ajută la evaluarea diferitelor programe în planificare. Dacă audiența ( bogația) este cel mai important, atunci programul care produce cea mai mare audiență va fi ales. Dacă numărul de vizionari al aceluiași spot este mult mai important, atunci programul care concentrează cele mai multe apariții are un avantaj.

La un anumit nivel al bugetului, și un punctaj brut de rating cunoscut, analiza audienței și a frecvenței este inevitabilă în deciderea celei mai bune căi pentru a realiza obiectivele programului de advertising.

Cost la mie. Modul universal de calcul al eficienței medii este costul la mie, costul difuzării a unei apariții unei populații specifice (exprimate în mii persoane):

CLM=.

Audienta efectiva. Un concept al audienței, mult mai frecvent utilizat în cercurile media, este audiența efectivă, uneori confundată cu frecvența totală. Audiența efectivă reprezintă câte audiențe personale sunt necesare pentru ca respectivele persoane să devină conștienți de mesaj și să-i înteleagă conținutul.

Nivelul optim al frecvenței pentru orice produs depinde de o mulțime de factori, incluzând ciclul de cumpărare al produsului, complexitatea mesajului.

Având aceste concepte, cel care face planul media poate să-și construiască strategia media și planul de advertising.

Selectarea mass-mediei

Găsirea și selectarea combinației optime a mijloacelor media este dependentă de obiectivele planului, rezultatul deciziilor strategice, plus cunoștințele despre aceste mijloace media și, cum, oamenii se leagă de acestea. Cel care construiește planul caută sistematic acele mijloace media care corespund obiectivelor și strategiei urmpărite. Factorii luați în considerare sunt: audiența vizată, zona geografică, sezonalitatea, activitatea competiționalăa, flexibilitatea și mărimea bugetului, promovările, etc.

Desigur, înainte de a selectta media planificatorul trebuie să înțeleagă și ce poate să facă fiecare.

Televiziunea.

Televiziunea este disponibilă în foarte multe case din România. Dintr-un sondaj CSOP (1997) aflăm că 51,9% din români dețin televizoare color și 56,3% televizoare alb-negru, abonați la televiziunea prin cablu 47,5% iar cei care dețin o antenă de satelit sunt 8,4%.

Audiența totala variază în timpul unei zile și în funcție de program. Audiența este influențată și de sezonalitate: mai mare în timpul iernii și mai mică în timpul verii. Teleziunea “acoperă” un număr foarte mare de oameni și din diferite zone.

De altfel, eficiența televiziunii variază sezonal și în funcție de tipul programelor, în general, costurile relative sunt mai mici în timpul zilei și mari serii când audiența este mai mare.

Televiziunea prin cablu este angajată pentru a mări audiența. Nivelul comercializării este relativ mic, 12 minute pe oră. Paleta mare de programe oferă și o posibilitate mare de selectivitate. Cele mai multe persoane pot fi găsite în față televizorului seara.

Pentru implicarea propriu-zisă rețelelor de televiziune sunt necesare bugete mari și mediul nu este considerat flexibil în termenii opțiunilor bugetare. Aranjamentele se fac cu câteva săptămâni, luni înainte de difuzarea respectivelor spoturi. Principalul dezavantaj este răspândirea pieței. Aceasta lipsă a precizei geografice poate fi depășită prin implicarea, în planul de advertising, a posturilor locale.

Spotul, într-o rețea prin cablu, are un impact mai mare ce permite o flexibilitate mai mare din punct de vedere geografic.

Deoarece programele televiziunii sunt subiectele unor rapide schimbări și modificări ale audienței de-a lungul emisiunilor, condițiilor meteorologice, și alți factori, cumpărătorii trebuie să administreze și să efectueze rapoarte post-analiză.

Radio.

Radioul este mediul cel mai omniprezent din cauză că este mobil și este găsit oriunde- în casa, în mașină, și mai recent, pe stradă ( un exemplu sunt stațiile de metrou). Posturile comerciale sunt de obicei, locale pentru că semnalul este limitat și oamenii ascultă la posturi locale. Oricum, numeroase posturi prin cablu, există în ziua de astâzi.

Programul postului este restrâns din punct de vedere al știrilor și show-rilor informaționale în timpul zile și ocazional concerte speciale și programe distractive. Programele locale constau talk-show-uri, știri, sau muzică. Varietatea alegerii este aproape nelimitată din punct de vedere al muzicii.

Spoturile la radio nu au o arie așa mare de acoperire și nu sunt chiar așa de scumpe, ele sunt folosite pentru a compensa zonele care sunt slab acoperite din punct de vedere al recepției posturilor TV și radio. Dar și radioul poate acapara bugete mari ale diferiltelor firme atunci când au o audiență mare. Multe spoturi sunt necesare și costurile cumulative cresc rapid. Acesta este un motiv pentru care radioul a devenit principalul mediu local de publicitate.

Radioul este un suplinitor și cere bugete mari pentru a obșine audiențe mari. Posturile locale dau posibilitatea advertiser-ului de a pătrunde rapid pe piață. Radioul este un complement al posturilor TV în mixul media.

Magazinele consumatorilor.

Magazinele sunt folosite pentru a atinge audiențe mari, pentru anumite categorii de populație. În ultimii ani, trendul este îndreptat spre publicații specializate editate pentru a atrage audiența dorită. Aceste direcții editoriale au fost dezvoltate după următoarele caracteristici:

geografic – regiuni, piețe, coduri postale;

demografic – venituri, ocupație, comportament;

etc.

Costurile promovării prin aceste magazine variază foarte mult dar depinde de circulație și de cititorii cărora le este adresat.

Alt factor important în selectarea magazinului corespunzător și al costului sau este proporția cititorilor care citesc respectivul număr și procentul celor care primesc respectivul magazin de la altcineva.

Magazinele oferă numeroase avantaje publicitare:

selectivitatea demografică, geografică;

consistența mesajului,

excelenta reproducere a culorilor;

mărimi diferite și opțiuni coloristice;

potențialul de a vea un mesaj foarte mare.

Dar magazinele presupun un timp foarte mare de răspuns, o acumulare înceată a numărului cititorilor.

Ziarele.

Deorece marea majoritate a acestora sunt publicate și editate local, acest mediu este creditat ca un mediu local. Câteva ziare sunt naționale ( România Liberă, ProSport, Adevărul), dar au o pătrundere limitată în orice zonă specifică.

Ziarele sunt acceptate și citite în intregime de un număr foarte mare de oameni, și “mai printre rânduri” de persoanele de 35 ani și peste.

Costurile pentru anunțuri în ziare tind să fie mult mai scumpe în comparație celelalte mijloace media datorită spațiului mare de publicitate necesar.

Internet.

În ultimul timp o nouă modalitate de a-și promova produsele pentru diferitele firme sa ivit cu apariția internetului. Prin internet există posibilitatea obținerii a cât mai multă informație direct de la producător, existând, totodată, și posibilitatea ca respectivul bun sau serviciu să fie comandat și primit chiar în aceeași zi. Dezavantajul promovării prin internet constă în costurile ridicate pe care le presupune acest tip de publicitate.

Având această paletă de mijloace media pentru a –și promova produsele sau serviciile firmele și agențiile de publicitate își pot alege cele care îi convin și aduc audiența dorite de acestea.

Specificul realizării calupurilor publicitare

După cum am văzut, agențiile de publicitate asistă la planificarea modului de promovare al produselor sau serviciilor diferite la firme sau companii. În cazul în care această promovare se face prin televiziune, agențiile de publicitate furnizează clipurile publicitate respectivelor televiziuni( pentru România: PRO-TV, Antena 1, Prima, Tele7ABC, TVR etc.) și încheie cu acestea contracte de difuzare al respectivelor clipuri publicitare.

În general, numărul de clipuri solicitate se stabilește în funcție de rating-ul diferitelor emisiuni și intervale orare.

Cadrul legal pentru difuzarea acestor clipuri publicitare este stabilit prin Decizia Nr.166 din 16 decembrie 1999.

Prin această decizie se definesc diferitele forme de publicitate: publicitatea audiovizuală, autopublicitatea, publicitatea mascată. Aici este de menționat faptul că autopublicitatea nu poate fi inclusă în intervalul orar 19.00-23.00, decât între emisiuni sau în pauzele acestora. De asemenea, publicitatea mascată (prezentarea, cu scop publicitar nedeclarat, în cadrul programelor audiovizuale, prin cuvinte, sunete sau imagini, a numelui, a mărcii sau a activității unui agent economic) când este făcută în mod intenționat se include în durata de timp destinată publicității.

În aceeași decizie ni se precizează faptul că un mesaj publicitar va fi transmis doar o singură dată în același grupaj de publicitate. Deci, un spot publicitar nu poate într-un grupaj publicitar mai mult de o singură dată.

Timpul maxim destinat publicității nu trebuie să depășească 20% din timpul de transmisie zilnică a programului (cu condiția ca aceasta să includă oferte făcute direct publicului pentru vânzarea, cumpărarea sau închirierea de produse) și, de asemenea, în intervalul de o oră (luată între orele fixe) tot 20%. Același procent se aplică și în cazul emisiunilor cu o durată mai mică de 60 minute.

Se mai fac specificații și cu privire la inserarea grupajelor publicitare. Dacă emisiunile sportive și spectacolele nu pot fi întrerupte decât în pauză, filmele și alte lungmetraje cu lungime care depășesc 45 minute, pot fi întrerupte o singură dată la fiecare perioadă completă de 45 minute, iar altă întrerupere este permisă dacă durata lor este mai mare cu cel puțin 20 minute decât două sau mai multe intervale de 45 minute.

În interiorul altor emisiuni (seriale, foiletoane, documentare, emisiuni de divertisment) intervalul între două grupaje publicitare sau autopublicitare trebuie să se scurgă o perioadă de cel puțin 20 minute.

În aceeași decizie ni se precizează faptul că emisiunile religioase nu pot fi întrerupte de publicitate, ca, de altfel, și emisiunile de știri, pentru copii cu o durată mai mică de 30 minute.

În funcție de emisiune vom avea, deci, timpul maxim destinat publicității, acesta devenind un suport de lungime fixă pentru spoturile publicitare(de diferite lungimi). Și mai putem să vedem de câte ori este legal să introducem grupaje publicitare într-o emisiune și la ce interval. Bineînțeles că depășirea duratei maxime destinate publicității atrage cu sine penalizări sau amenzi; iar, cu cât acestea sunt mai grave, ele pot conduce la ridicarea licenței.

În cazul în care profitul din aceste spoturi publicitare ar fi foarte mare și cheltuielile cu amenzile ar fi nesemnificative pe lângă acestea nu ar exista nici o problemă, dar societatea de televiziune urmărește să-și maximizeze profitul, deci, absența amenzilor și utilizarea la maxim a timpului maxim destinat publicității prin lege (acolo unde utilizarea acestuia este posibilă).

Practic vom avea mai multe repere (spoturile publicitare), care vor trebui “tăiate” din suport (durata maximă a publicității). Prin metoda croirii încercăm să alocăm cât mai eficient acest timp, cu respectarea condițiilor din contracte.

Prezentarea structurii lucrării

După cum am văzut, în acest capitol, publicitatea are un foarte important rol în promovarea și dezvoltarea activității unei firme. Cheltuielile cu publicitatea sunt foarte mici în comparație cu profitul viitor datorat creșterii vânzărilor. Astfel, mai toate firmele mari apelează la publicitate, ca o formă de promovare a produselor și serviciilor companiei, una dintre cele mai importante căi fiind televiziunea, deoarece, la orele de maximă audiență, un mesaj publicitar poate fi văzut de milioane de posibili cumpărători la un singur moment.

După cum am văzut, prin lege se stabilește o durată maximă a publicității în cadrul diverselor emisiuni TV.

Agențiile de publicitate furnizează televiziunii spoturi publicitare care sunt de lungime fixă. Aceste spoturi publicitare (repere) trebuie “așezate” pe durata maximă a publicității (suportul). Deci, vom folosi metoda croirii pentru a obține calupurile publicitare optimale.

Capitolul II al prezentei lucrări se ocupă cu prezentarea acestei metode care este o metodă de programare în numere întregi (programare discretă). Importanța acestei probleme rezidă în dependența nemijlocită a reducerii consumului de materiale de utilizarea unor scheme eficiente de croire.

Rezolvarea problemei de croire poate duce la o soluție ale cărei componente nu sunt numere întregi. Aceasta va fi o soluție dual admisibilă. Pentru a obține soluția întreagă la problema inițială vom aplica tehnici specifice programării discrete (Gomory, Branch and Bound) care sunt algoritmi de tip dual.

De asemenea, în cadrul aceluiași capitol, mai este prezentată și problema liniară multicriterială, deoarece în cazul realizării calupurilor publicitare vom avea două funcții obiectiv. Și anume: minimizarea timpului total neutilizat pentru a îndeplini cerințele din cât mai multe contracte, și maximizarea profitului din aceste spoturi publicitare(scop urmărit în primul rând de televiziune).

În capitolul III este prezentată societatea de televiziune PRO-TV și modul în care pot fi realizate pentru diferite emisiuni calupurile publicitare optimale utilizând metoda croirii.

CAPITOLUL II

Metode și algoritmi utilizați pentru creearea

unui calup optimal

2.1 Metoda croirii

2.2 Algoritmi de rezolvare a problemei de croire

2.2.1 Metoda Gomory

2.2.2 Metoda Branch&Bound

2.3 Decizii multicriteriale – Problema liniară multicriterială

2.4 Metode de rezolvare

2.4.1 Metoda utilității

2.4.2 Metoda POP

2.4.3 Metoda STEM

2.5 Determinarea coeficienților de importanță

După cum am văzut în capitolul 1, spoturile publicitare pot fi privite ca niște repere, iar durata maximă a publicității într-un program ca un suport, având astfel o problemă de croire. În acest capitol sunt prezentate aspectele teoretice ale problemei de croire, precum și metodele de rezolvare.

Întru-cât în cazul spoturilor publicitare vom avea și doua funcții obiectiv ( maximizarea profitului, și minimzarea timpului neutilizat), tot în acest capitol a fost abordată și problema de programare multicriterială și metodele de rezolvare a acesteia.

2.1 Metoda croirii

Problemele de planificare a producției unitatilor economice , de repartizare și ordonantare a sarcinilor pe utilaje și locuri de muncă, problemele de transport ale mărfurilor de la furnizori către consumatori, problemele de amestec, de croire, de afectare, etc. au o caracteristică comună în ciuda diversității lor: ele sunt aplicații – în sfera activității economice – ale următoarei probleme generale de optimizare:

Această problemă cere determinarea valorilor numerice ale variabilelor x1 ,x2 ,…,xn care satisfac condițiile (2.1.2) și (2.1.3) și care oferă funcției (2.1.1) cea mai mare sau cea mai mică valoare posibilă.

Funcția (2.1.1) se numește funcție obiectiv a problemei de optimizare . În aplicațiile economice, ea reprezintă criteriul de performanță urmărit: maximizarea beneficiului, maximizarea producției marfă, minimizarea costului producției, maximizarea gradului de încărcare a utilajelor sau minimizarea timpului de staționare al acestora etc.

Inegalitățile (2.1.2) în care g1,g2,…,gm sunt funcții de n variabile, iar b1,b2,…,bm sunt constante se numesc restricțiile problemei de optimizare. Ele traduc în limbaj matematic condițiile de natură economică sau tehnologică în care se desfășoară procesul economic modelat, cum ar fi: nedepășirea stocurilor disponibile de resurse (materii prime, capacități de producție, fortă de muncă, fonduri banești), îndeplinirea sau depășirea unor indicatori economici (producția fizică, netă) etc.

De regulă, variabilele unei probleme de programare matematică variază continuu singura condiție impusă fiind aceea ca valorile lor să fie nenegative, cerință justificată de obicei de contextul practic modelat. O mulțime de situații, cele mai multe din domeniul economic, impun utilizarea unor variabile care pot lua numai valori întregi: dacă, de exemplu, o variabilă “este măsurată “ în unități indivizibile (număr de bucăți) atunci este clar ca în orice soluție admisibilă și în particular în soluția optimă, variabila în cauză nu poate lua valori fracționale.

Un model de programare în numere întregi este un model care are restricții și o funcție obiectiv identică cu cea formulată de programarea liniară. Singura diferență consta în faptul că în soluția finală una sau mai multe variabile decizionale trebuie să ia o valoare număr întreg.

O problemă care utilizează variabile întregi se va numi problemă de programare în numere întregi sau problemă de programare discretă (totală sau mixtă după cum toate variabilele trebuie sa ia în excusivitate valori întregi sau numai o parte din ele).

Problema debitării sau croirii unor repere din suporți de dimensiune mai mare este frecvent întâlnită în cele mai diverse domenii cum ar fi industria mobilei, a sticlei, a hârtiei, a confecțiilor, industria metalurgică sau cea constructoare de mașini. Importanța acestei probleme rezidă în dependența nemijlocită a reducerii consumului de materiale de utilizarea unor scheme eficiente de croire. Formele concrete sub care ea se prezintă diferă foarte mult de la un context la altul dar chestiunea care pune de fiecare dată este aceeași:

– cum trebuie să se desfașoare procesul efectiv de croire astfel încât producerea unor cantități date de repere să se facă cu un consum cât mai mic de materiale.

În ciuda diversitățiilor exemplelor, formalizarea problemei generale de croire este relativ simplă. Astfel, elementele unei probleme descrise sunt următoarele:

reperele ce urmează a fi croite, precizate prin formă, dimensiuni și cantități necesare (plan);

suporții din care se croiesc reperele, precizați prin formă, dimensiuni, calități și uneori prin cantitățile disponibile;

rețetele de croire, care influențează așezarea reperelor pe suporți astfel încât decuparea să fie posibilă;

condițiile tehnologice de croire, care influențează așezarea reperelor pe suporți și deci maniera de generare a rețelelor. Astfel, în cazul decupării unui suport prin “ghilotinare” –tehnica frecvent întâlnită în industria mobilei sau a hârtiei – orice tăietură în suport trebuie făcută de la un capăat la altul al “suportului”. În cazul debitării prin flacară oxiacetilenică sau laser a foilor de tabla, aceasta restricție poate fi eliminată. În multe cazuri practice se impune cerința ca numărul reperelor ce pot fi așezate pe un suport să fie relativ mic, deoarece utilizarea rețelelor cu multe repere diferite conduce, de regulă, la scăderea productivității de debitare.

restul unei rețele de croire este prezent pe porțiunea din suport neacoperită cu repere. De regulă, acest rest se exprimă ca procent al porțiunii neacoperite față de întregul suport.

restul problemei de croire este determinat de resturile rețelelor de croire utilizate, ca și de modalitățile de folosire a acestora, dar și de cantitățile din anumite repere croite peste necesarul planificat. Acest rest are deci două componente:

restul utilizabil, format din reperele croite peste necesarul planificat. Uneori acest rest se mai numește supraplan. Cunoașterea supraplanului este importantă în stabilirea necesarului de croit pe perioada urmatoare;

restul inutilizabil este format din porțiunile de suporți neacoperite cu repere, porțiuni care rămân în urma croirii.

Ambele categorii de resturi se exprimă, de regulă, procentual față de întreaga cantitate de suporți croită.

criteriul de performanță . De regulă, într-o problema de croire se urmărește fie minimizarea restului în total, fie minimizarea restului inutilizabil, fie minimizarea supraplanului. În problemele de croire mai complexe pot fi urmărite simultan mai multe obiective cum ar fi obținerea unui rest mic cu un număr relativ redus de rețele distincte. Clasificarea problemelor de croire poate fi făcută după foarte multe criterii. Astfel, după dimensiune deosebim:

probleme de croire unidimensionale, în care contează o singură dimensiune a suporților și reperelor. Exemplul caracteristic îl constitue croirea barelor;

probleme de croire bidimensionale în care sunt luate în considerare două dimensiuni – lungimea și lațimea;

probleme de croire tridimensională (studiul acestor probleme se află însă într-un stadiu incipient și, în consecință, nu vom avea în vedere astfel de probleme).

Spre deosebire de cazul unidimensional, în croirea bidimensională un element extrem de important îl constitue forma reperelor și a suporților. Cazul intens studiat este cel în care suporții și reperele au forma dreptunghiulară, iar așezarea unui reper pe suport se face astfel încât marginile reperului să fie paralele cu marginile suportului. Aceste probleme sunt denumite generic probleme de croire dreptunghiulară.

Toate celelalte probleme de croire bidimensională intră în clasa largă și extrem de diversă a problemelor de croire a reperelor cu formă neregulată. Studiul acestor probleme s-a intensificat în ultimul timp datorită importanței evidente pe care o au pentru anumite ramuri ale economiei: industria ușoară, electrotehnică etc.

În continuare vom avea în vedere numai problema de croire unidimensională sau de croire dreptunghiulara din suporți identici.

Trebuie subliniat de la bun început că dificultatea majoră a oricărei probleme de croire rezidă în generarea rețelelor de croire (cu respectarea restricțiilor tehnologice de debitare), care pot fi în număr inimaginabil de mare.

Dacă în croirea unidimensională generarea rețelelor poate fi făcută algoritmic –cel puțin teoretic- în croirea bidimensională elaborarea tuturor rețelelor posibile este o problema combinatorială, practic fără soluție.

Definirea problemei

În continuare ne vom ocupa de modelarea problemei de croire unidimensională.

Un număr de repere cu lungimile l1>l2>…>lm trebuiesc executate în cantitățile b1,b2,…,bm. Aceste repere se obțin prin tăiere din suporți identici cu lungimea L. În ce mod trebuie făcută croirea reperelor asttfel încât cantitățile planificate să fie realizare cu un consum minim de suporți?

O modalitate de tăiere a unui suport în repere se va numi rețetă de croire. Evident, o rețetă este complet determinată de un vector cu m componente întregi, nenegative a=(a1,a2,…,am) în care ai reprezintă numărul reperelor de lungime li rezultate prin tăiere. Deoarece suma lungimilor reperelor tăiate dintr-un suport nu depașește lungimea acestuia, urmează ca mulțimea rețetelor de croire se identifică cu mulțimea soluțiilor întregi, nenegative și nenule ale inecuației:

(2.1.4)

Să numim rest al rețetei a=(a1,a2,…,am) diferența:

r(a)=L-l1a1-l2a2-…-lmam (2.1.5)

Din punct de vedere practic, importante sunt rețetele din al căror rest nu se mai pot croi alte repere; aceste rețete se vor numi maximale. Este clar ca rețeta a va fi maximală numai dacă:

r(a)<lm = lungimea celui mai mic reper

În continuare vom avea în vedere numai rețetele maximale. Fie A1,A2,…,An lista lor, ordonată într-un fel oarecare, de exemplu lexicografic, unde:

Aj=(a1j,a2j,…,amj )T

(pentru nevoi ulterioare rețetele vor fi scrise în “coloana”). Notând cu xj numărul de aplicări ale rețetei Aj (sau, cum se mai spune, multiplicitatea rețetei A j) problema de croire unidimensională se modeleaza astfel:

(C) Să se determine xj întregi, nenegativi, astfel încât:

și care minimizează funcția obiectiv:

Observație : deși în enunț se specifică realizarea reperelor “exact” în cantitățile b1,b2,…,bm nu putem impune în (2.1.7) satisfacerea restricțiilor cu egalitate deoarece sistemul s-ar putea să nu aibe soluții întregi nenegative (acest lucru ar avea loc dacă am considera toate rețetele, maximale și nemaximale!). Iată de ce, pentru a asigura compatibilitatea programului ( C ), suntem nevoiți să admitem că anumite repere pot fi croite “în exces”.

În modelarea problemei de croire am putea considera și un alt criteriu de performanță și anume minimizarea restului inutilizabil reprezentat prin expresia:

f’=r(A1)x1+r(A2)x2+…+r(An)xn (2.1.9)

Cele doua funcții obiectiv (2.1.8) și (2.1.9) pot conduce la soluții optime diferite.

În aplicațiile practice, pe lângă restul inutilizabil trebuie avut în vedere și așa numitul rest utilizabil reprezentat de suma lungimilor reperelor croite “peste” cantitățile planificate ( acesta se mai numește și supraplan).

Dacă notăm cu x1,x2,…,xn numărul de aplicări ale rețetelor A1,A2,…,An (multiplicități), problema enunțată se formalizează prin următoarea problemă de programare în numere întregi:

2.2 Algoritmi de rezolvare a problemei de croire

Prin problemă de programare liniară în numere întregi, se ințelege o problemă de programare liniară în care pentru o parte din variabile sau pentru toate se impune condiția ca ele sa ia numai valori numere întregi. Astfel de restricții apar, de exemplu, atunci când variabilele respective desemnează cantități indivizibile ( cum este cazul numărului de difuzări al unui calup publicitar).

În cazul în care restricțiile sunt supuse condiției de integritate, spunem că problema este de programare liniară totală în numere întregi, pe surt PLT. Dacă numai o parte din variabile sunt supuse condiției de integritate, avem o problema de programare liniara mixtă, pe scurt PLM.

Pentru rezolvarea acestor probleme au fost propuși mai mulți algoritmi, dintre aceștia, în prezenta lucrare, vor fi prezentați: algoritmul lui Gomory și metoda Branch&Bound.

2.2.1 Metoda Gomory

Acest algoritm este destinat rezolvării problemelor de programare în numere întregi totale. Problema trebuie să fie de maximizare tabela inițială să fie adusă la forma secundară, iar vectorii pI să fie lexicografic pozitivi. Nu se mai cere ca toți coeficienții să fie întregi, dar se cere în schimb ca pi0 0, iI. O atfel de problemă a problemei se poate obține, de exemplu, rezolvând problema PLT ca o problemă obișnuita PL ( fără restricțiile de integritate).

Ca să obținem problema sub forma secundară, la restricțiile:

, (2.2.1.1)

scrise sub forma:

(2.2.1.2)

se adaugă restricțiile banale

xj=-(-xj),jJ (2.2.1.3)

și ecuația

. (2.2.1.4)

Cele trei grupe de ecuații se pot scrie vectorial sub forma unitară:

(2.2.1.5)

prin introducerea notațiilor:

x=[x0 ,x1, x2,…,xn], x0 = z, p00 =,

p0j = zj – cj, pi0 = , pij = yij, i I (2.2.1.6)

pi0 = 0, si pij=-ij, iI, jJ,

ij fiind simbolul lui Kronecker: ij = 0, dacă i j, ij =1, i=j.

Tabela corespunzătoare formei secundare va conține n+1 linii ( pentru x0, x1,…,xn), și n-m-1 coloane ( n-m variabile secundare și o coloană pentru termenul liber). Coloanele tabelei vor conține vectorii po și pj, jJ.

Dacă toți pi0 sunt întregi, problema este rezolvată. Dacă, însă, există pi0 fracționari (iI), programul obținut nu este întreg, iar linia respectivava servi la generarea unei restricții suplimentare. Variabila corespunzatoare ecuației suplimentare apare ca o valoare negativă și se va aplica algoritmul simlex-dual până când se obține pi0 0,i 0. Dacă după aceasta transformare toți pi0 sunt întregi, problema este rezolvată; dacă nu, se generează o nouă restricție suplimentară etc.

Considerăm (PLI-programul de programare liniară în numere întregi ):

(PLI) (2.2.1.7)

Pentru acesta avem programul de programare liniară :

(2.2.1.8)

În rezolvarea acestei probleme vom avea urmatoarele notații:

X*-soluția optimă a relaxatei PL(soluție optimă fracționară);

X0-soluția optimă a PLI (soluție optimă întreagă).

Evident f(x0) f(x*)

f(x0) = optim întreg;

f(x*)= optim fracționar.

Dacă X* are toate componentele întregi atunci X0=X*, și problema este rezolvată.

În cazul în care X* are și componente fracționare construim o restricție cu următoarele proprietăți:

-nu este verificată de soluția optimă fracționară X*;

-este verificată de orice soluție admisibilă întreagă a (PLI).

Adaugâand această restricție la programul PL, renotând cu PL(1) vom avea un nou program liniar PL(2) a cărui soluție optimă X** se găsește prin reoptimizare.

Datorită modului în care a fost definită restricția suplimentară vom avea:

APLIAPL2APL1APL (2.2.1.9)

APL2 e o submulțime proprie a lui APL1 .

Dacă X** are toate componentele întregi atunci X0=X**, altfel vom construi o noua restricție, neverificată de X**, dar verificată de orice soluție admisibilă întreagă a programului original PLI.

Fie PL(3) problema dedusă din PL(2) prin adăugarea unei noi restricții .Vom avea :

APLIAPL3 APL2APL1APL. (2.2.1.10)

Procedura poate continua până la găsirea soluției optime întregi.

Teoria ne asigură că în anumite condiții, destul de lejere, într-un număr finit de pași se ajunge la un program PL(k) a cărui soluție optimă are toate componentele întregi. Deci rezultă că X0 =X**.

Din punct de vedere geometric, fiecare nouă resticție îndepărtează o porțiune din mulțimea soluțiilor admisibile ale problemei precedente (denumite tăieturi pentru aceste resticții)

Detaliile algoritmului ciclic

Rezolvăm relaxata cu ajutorul algoritmului simplex, adică programul de programare liniară (PL).

Fie B o bază optimă, I=mulțimea indicilor coloanelor din bază; J=mulțimea indicilor coloanelor nebazice.

Consideram forma secundară a programului PL asociat bazei B .

unde: – n- reprezintă numărul de variabile, iar

– xo= f (valoarea funcției obiectiv).

La început parametrii coincid cu variabilele nebazice yj=xj, j J.

Prin ipoteza, soluția asociata bazei B, care se obține pentru yj = 0 este soluția optimă fracționară X*.

Vom avea x*=poi 0, i=1…n.

Deoarece x* verifică criteriul de optimalitate al algoritmului simplex, vom avea și poj 0, jJ.

Presupunem că cel puțin una din mărimile poi este fracționară (altfel xo=x*).

Fie pro una din aceaste componente fracționare ( r{1,2,3,…,n}). Se știe că pentru orice număr real putem scrie

a = [a]+{a}, (2.2.1.13)

unde:

– [a]-este partea întreagă (rotunjirea întreagă inferioară a numărului a);

– {a}=a-[a]-partea fracționară a numărului a

0 {a}< 1 și, dacă{a}=0, rezultă că a este număr întreg.

Considerăm ecuația de rând r din program (din sistem) este :

Aplicam coeficienților din (2.2.1.12) descompunerea (2.2.1.13):

Ipoteza făcută asupra lui pro implica (partea fracționară )

0 {pro} 1 (2.2.1.16)

Rescriem (2.2.1.15):

Fie o soluție admisibilă întreagă a problemei (PLI). După cum se știe, ea se obține acordând parametrilor yj anumite valori nenegative și întregi , jJ, (unice!).

Membrul drept din relația (2.2.1.17), calculat în este un număr întreg. Întreg va trebui să fie și membrul stâng din (2.2.1.17):

= număr întreg (2.2.1.18)

Pretindem că:

(2.2.1.19)

Presupunem prin absurd contrariul , adică:

(2.2.1.20)

Din (2.2.1.18) rezultă că:

(2.2.1.21)

Ultima inegalitate nu poate avea loc pentru că membrul stâng este mai mare sau egal cu 0, iar membrul drept este mai mic ca 0 echivalent din ipoteza (2.2.1.16).

Relația (2.2.1.19) este adevărată .

Deoarece a fost aleasă arbitrar ,vom avea inegalitatea :

(2.2.1.22)

este verificată de orice soluție admisibilă întreagă a problemei PL(1).

Pe de altă parte ,soluția optimă admisibilă fracționară x* nu verifică relația (2.2.1.22) deorece din relația prezentată, dacă introducem yj =0, jJ, obținem {pro}0, în contradicție cu relația (2.2.1.16).

Deci, inegalitatea (2.2.1.22) este o tăietură în sensul definit anterior.

Observații:

Din construcția prezentat rezultă că orice tăietura este o inegalitate, implicând parametrii curenți orice tăietura se poate exprima și cu ajutorul variabilelor originale x1,x2,…,xn ale problemei PLI.

Exemplu:

dacă (2.2.1.22) este prima taietură generată, ea se poate scrie și în forma:

întru-cât yj = xj , oricare ar fi j J.

Adaugând (2.2.1.22) la PL=PL(1) vom obține problema PL(2) cu m+1 resticții. Pentru rezolvarea lui PL(2) prin reoptimizare transformăm (2.2.1.22) în inegalitate cu ajutorul unei variabile de abatere care, în continuare va juca rol de parametru .

(2.2.1.23)

Notă :

Indicele numeric s al noii variabile poate fi ales oricum ,cu condiția ca sJ. De exemplu, putem lua s = n+1, s = n+2,….

Din relațiile (2.2.1.20), (2.2.1.23), și (2.2.1.22) rezultă noul parametru ys va lua numai valori întregi și nenegative în orice solutie admisibilă întreagă a problemei (PLI). Coeficienții egalității (2.2.1.23) se înscriu sub tabelul simplex “secundar” optim al problemei PLI = PL.

Parametrul “vechi” yk dispare, fiind înlocuit cu parametru nou ys.

După pivotare se obține tabelul “secundar” optim al problemei PL(2); în coloana P0 apare soluția optimă X**.

Este posibil să ajungem la concluzia că PL(2),PL(3),….să fie incompatibile. În acestă situație rezultă că problema inițială (PLI) nu are soluții admisibile întregi .

Restricția (2.2.1.14) din care am derivat tăietura (2.2.1.22) se numește restricție generatoare; și se caracterizeaza prin faptul că termenul sau liber (din coloana P0) nu este întreg .

Dacă mai multe restricții din (2.2.1.11-12) au termeni liberi fracționari am putea intrduce mai multe restricții simultan, dar procedura de reoptimizare se complică fără un câstig semnificativ. De aceea este necesar un criteriu de alegere a unei singure restricții care va genera tăietura. Modul în care se alege reastricția generatoare este esențial pentru convegența (terminarea procesului într-un număr finit de pași).

Dacă restrictia generatoare se alege după cea mai mare parte fracționară a termenilor liberi din relația (2.2.1.11-12). Rezultă că numărul de iterații este în general mai mic decât în cazul utilizării altor criterii. Din nefericire, nu există nici o justificare teoretică, la ora actuală, a acestui fapt, fiind constatat doar empiric. Pentru convergență este necesară aducerea problemei PL la o anumită formă (forma secundară lexicografică) și utilizarea altei reguli de alegere a a restricției generatoare ( prima restricție din (2.2.1.11-12) cu termenii liberi fracționari ).

Notă istorică:

Ideea metodei, că și demonstrația convergenței sunt datrorate lui Ralph Gomory(1958 –1960). El a propus 2 algoritmi de rezolvare a problemei (PLI), unul denumit ciclic, celălalt discret. Mai sus au fost prezentate fundamentele algoritmului ciclic.

Spunem că algoritmul ciclic al lui Gomory este un algoritm de tip dual pentru că operează cu soluții dual admisibile și cu algoritmul simplex dual .

Au fost propuse și alte scheme pentru deducerea unor tăieturi. Astfel, dacă soluția optimă fracționară X* obținută prin metoda simplex nu e întreagă rezultă că cel puțin una variabilele nebazice xj, jJ are valoare nenulă în soluția optimă întreagă Xo.

2.2.2 Metoda Brach&Bound

Metoda de tip Branch and Bound este un algoritm ce poate fi utilizat la rezolvarea atât a problemei totale de programare în numere întregi cât și la cea mixtă. Această metoda caută soluția optimală examinând doar o mică parte din numărul total de soluții posibile. Aceasta este, în special, utilă atunci când enumerația devine impracticabilă economic sau imposibilă din cauza existenței unui număr foarte mare de soluții admisibile, realizabile.

Metoda de tip Branch and Bound lucrează prin “spargerea” spațiului soluțiilor realizabile în părți din ce în ce mai mici ( subprobleme) până când soluția optimală este găsită. Această metodă introduce conceptul de tăietură fezabilă sau nefezabilă. Orice subproblemă pe care o examinăm cu un cost total mai mare sau cu un profit mai mic decât cel curent fezabil va fi abandonată, și vom avea soluția optimală.

Modul de determinare al soluției optime presupune șase pași atunci când avem de-a face cu o problemă de maximizare. În cazul unei probleme de minimizare trebuie schimbăm rolul limitelor superioare sau inferioare. Astfel pașii parcurși în rezolvarea unei probleme sunt:

Pas 1 – rezolvarea problemei originale PL ( fără restricțiile de integritate). Dacă soluția găsită la acest pas satisface restricțiile de integritate, atunci am rezolvat problema, dacă nu, atunci aceasta soluție inițială presupune o tăietură superioară inițială;

Pas 2 – găsirea oricărei soluții realizabile care îndeplinește restricțiile de integritate pentru a putea fi folositș ca limită inferioară. De obicei, ea este rotunjirea inferioară a oricărei componente neîntregi.

Pas 3 – ramnificarea după o variabilă de la pasul 1 care nu are o valoare întreagă. Împărtirea problemei în două subprobleme bazate pe valorile întregi care sunt imediat deasupra sau sub valoarea neîntreagă.

Pas 4 – crearea nodurilor de început pentru aceste noi tăieturi prin rezolvarea noilor probleme.

Pas 5 – a) dacă ramnificația “produce” o soluție a problemei PL care nu este fezabilă, atunci se termină ramnificația;

b) dacă ramnificația “produce” o soluție a problemei PL ce este realizabilă, dar nu are toate componentele întregi, mergem la pas 6;

c) dacă ramnificația “produce” o soluție întreagă fezabilă. Examinăm valoarea funcției obiectiv. Dacă aceasta este egală cu limita superioară, dar depașește limita inferioară, o vom seta ca nouă limită inferioară și mergem la pas 6. În final, dacă este mai mică decât limita inferioară renunțăm la ramnificație.

Pas 6 – examinăm ambele ramnificări din nou și setăm limita superioară egală cu valoarea maximă a funcției obiectiv în toate nodurile finale. Dacă limita superioară este egală cu limita inferioară, atunci stop. Dacă nu, mergem iarăși la pasul 3.

Considerăm un (PLI) în forma standard cu m restricții și n variabile:

(2.2.2.1)

scris sub forma matriceală :

x- întreg (2.2.2.2)

Vom presupune că toate masivele A,b,c au toate componentele întregi. Fie A mulțimea soluțiilor admisibile întregi ale programului (P). Alături de P vom considera programul relaxat PL ( adica fără condițiile de integritate):

(2.2.2.3)

despre care presupunem că are optim finit .

Fie x* soluția optimă a PL. Dacă PL are toate componentele întregi atunci ea este și soluția optimă a programului original (P), altfel soluția optimă întreagă (xo) aparține interiorului mulțimii soluțiilor admisibile ale lui PL. Pentru a o pune în evidență cu algoritmul simplex vom sparge aceasta mulțime în bucăți din ce în ce mai mici până când xo devine vârf pentru unul din cioburi. Desigur, fiecare “bucată” va fi mulțimea soluțiilor admisibile a unui anumit program liniar.

Presupunem că componenta este fracționară. Rezultă că soluția optimă întreagă va satisface una și numai una din urmatoarele restricții mutual exclusive:

si (2.2.2.4)

Considerăm că programele

și (2.2.2.5)

Spunem că ramificat problema PL după variabila xi .

Fie A1, A2 mulțimea de soluții admisibile întregi ale (PL1), (PL2), atunci:

A1A2=, A=A1A2 .

Fie soluția optimă a problemei PL(1) ( dacă este compatibilă); presupunem ca a doua componenta a sa, este fracționară (prima componentă este sigur întreagă ): . Ramnificăm PL(1) după variabila x2 . Vor rezulta alte două probleme :

Figura 2.2.2.1

Sursa: Nica V., “ Note de curs- Cercetări operaționale”

PL(11) și problema PL(12). (2.2.2.6)

Fie A11 , A12 mulțimea de soluții admisibile întregi ale programelor rezultate prin ramnificare atunci:

A11A12=, A=A11A12A2, A11A12=A1

În principiu, ramnificarea poate continua de la oricare din problemele PL(12), PL(11), PL(2) condiția de ramnificare fiind ca programul în cauza :

– să fie compatibil;

– soluția optimă să aibe componente fracționare .

Ramnificarea se poate face în mai multe moduri în funcție de alegerea variabilei a cărei valoare în soluția optimă este fracționară .

Cele mai întâlnite reguli, cel mai des folosite sunt :

ramnificarea se face după prima variabilă a cărei valoare în soluția optimă este fraționară ;

ramnificarea se face după variabila a cărei valoare în soluția optimă are cea mai mare parte fracționară .

Putem vizualiza acest proces de ramnificare printr-un arbore (graf convex) T ale cărui noduri sunt diversele probleme rezolvate (Figur 2.2.2.2).

Nodurile terminale corespund problemelor incompaibile sau problemelor cu soluție optimă întreagă. Fiecare nod are un unic predecesor și dacă nu este nod terminal are doi predecesori .

Ne punem întrebarea cum să conducem procesul de ramnificare pentru a putea obține soluția optimă a programului original (P)?

Introducem :

o variabilă zcmb

o “locație “ xcmb (realizată sub forma unui vector).

În orice moment al derulări procesului de ramnificare xcmb va reține cea mai bună soluție admisibilă întreaga găsită până la acel moment . zcmb va reține valoarea funcției obiectiv în xcmb . La start zcmb =- și xcmb = (locația vidă). În problema de minimizare:

zcmb =+ si xcmb =.

Fiecare nod PL()al arborelui T , este o succesiune de unu și doi care va avea atașată o margine superioară .

Z=rotunjirea întreagă inferioară a optimului problemei PL(). Dacă soluția optimă căutată x0 se gasește printre soluțiile admisibile întregi ale problemei PL() vom avea că:

zcmb f(x0) Z

Arborele T nu există de la început. La start, T se reduce doar la rădăcina PL și va primi noduri și arce de legătură în funcție de tipul problemei efectiv rezolvate. Presupunem că suntem în nodul PL() din T. Diferitele situații care pot avea loc și operațiile care trebuiesc rezolvate sunt prezentate în Figura 2.2.2.2 .

Vom folosi notația: x* -soluție optimă .

Figura 2.2.2.2

Sursa: Nica V., “Note de curs –cercetări operaționale”

Observații:

Cu excepția problemei PL, toate celelalte vor fi rezolvate prin reoptimizare. Deoarece numărul de restricții suplimentar poate fi mare se recomandă utilizarea formei secundare;

La introducerea nodului – PL vom spune că am înaintat în arborele T pe ramura din stânga

– PL vom spune ca am înaintat în arborele T pe ramura din dreapta;

La fiecare înaintare în arbore se merge mai întâi pe ramura din stânga, apoi pe cea din dreapta.

Procedura se încheie când rădăcina PL a lui T e declarată “nod mort”;

Dacă mulțimea soluțiilor admisibile a problemei relaxate PL e mărginită algoritmul e convergent, în sensul că într-un număr finit de pași (înaintări și retrageri în T) se ajunge fie la o soluție optimă întreagă, fie la concluzia că problema originală nu are soluții admisibile întregi;

Principalul dezavantaj al metodei: numărul problemelor de rezolvat, și deci volumul calculelor crește exploziv, odată cu dimensiunea problemei astfel încât ea poate fi folosită doar pentru probleme de dimensiuni mici. În practică, metoda se combină cu alte probleme euristice care pot oferi soluții admisibile întregi suficient de bune pentru a scade numărul de ramificații.

Observație finală:

Algoritmul descris e o specializare (o particularitate) a unei metode în general, Branch&Bound și folosit la probleme de optimizări combinatoriale. Specificul problemei combinatorice: număr finit de soluții admisibile și relativ ușor de construit. În ciuda acestui fapt, aceste probleme fac parte din categoria problemelor grele, deoarece , de regulă, numărul soluțiilor admisibile e imens, practic impredictibil, chiar și pentru probleme de dimensiuni reduse.

În principiu, Branch&Bound ramifică, adică partiționează mulțimea soluțiilor admisibile a problemei combinatorice în părți mai mici pe care le marginește, adică optimizarea funcției obiectiv pe fiecare din părțile rezolvate. Unele din aceste părți sunt “sparte” în continuare; nu sunt ramificate acele părti ce nu conțin soluția optimă admisibilă.

Ideea metodei: de a găsi soluția optimă fără a inspecta toate soluțiile admisibile ale problemei Branch&Bound =metoda de enumerare parțială.

Metoda de tip Branch&Bound a fost computerizată și face “o treabă bună” în rezolvarea problemelor cu un număr mic sau mediu de variabile întregi. În special, pentru problemele mari, analistul trebuie câteodată să accepte o soluție “subooptimală”. Noi algoritmi care cresc eficiența utilizării computerului sunt constant studiați.

2.3 Decizii multicriteriale-Programarea liniară multicriterială

O particularitate importantă a deciziilor manageriale ale firmei o constituie existența unor obiective mutiple în raport cu care decidentul evaluează variantele decizionale. Aceste obiective reprezintă nivelurile pe care decidentul urmărește să le atingă pentru anumite funcții de eficiență, funcții care exprimă diferitele criterii decizionale.

La nivelul firmei, foarte puține dintre deciziile care se adoptă ordonează variantele decizionale după un criteriu unic, majoritatea lor fiind rezultatul analizei mulțimii variantelor din punct de vedere al mai multor criterii. Acest lucru face ca, de fapt, în adoptarea unei decizii să nu putem vorbi despre o “optimizare” decât în cazul unicriterial, determinarea unei strategii optime fiind incompatibilă cu prezența mai multor criterii decizionale.

Necesitatea considerarii mai multor criterii este impusă de însăși complexitatea realității înconjurătoare, în general, și a celei economice, în special. Fenomenele care generează probleme decizionale se află în interacțiune. A încerca să extragem o problemă decizională din context, eliminând influențele multiple, cu scopul de a adopta o decizie optimă în raport cu un singur criteriu, poate reprezenta în multe situații o eroare majoră. Acest fapt se explică prin raporturile care există între diferitele criterii decizionale, nu de puține ori acestea fiind contradictorii.

Într-o formulare de maximă generalitate, putem spune că o problemă decizională multicriterială constă în găsirea celei mai adecvate soluții la o anumită situație, problema ținând cont de un ansamblu de criterii. Procesul de căutare a acestei soluții trebuie să cuprindă urmatoarele etape:

Alcătuirea listei soluțiilor posibile ( mulțimea variantelor decizionale);

Identifiicarea mulțimii criteriilor ce vor fi considerate;

Analiza fiecărei variante decizionale în raport cu fiecare criteriu;

Agregarea acestor analize cu scopul de a desemna soluția care întrunește cele mai bune aprecieri din punct de vedere al majorității criteriilor.

Metodele de agregare propuse sunt diferite, putând fi clasificate simplist în doua categorii: metode de agregare parțială și metode de agregare complete.

Pentru simplificarea acestei etape, o primă operație care poate fi efectuată constă în compararea variantelor Vi în raport cu relația de dominanță.

Decidentul trebuie să opteze pentru o anumită modalitate de comparare a variantelor Vi, i=1,2,3,…,m. Există mai multe atitudini pe care decidentul le poate adopta aici, și anume:

Efectuarea unui mix al evaluaărilor. Acest lucru este posibil dacă decidentul poate identifica o funcție de utilitate pe care să o poată atașa fiecărei variante în parte. Aceasta atitudine constă în agregarea completă a celor r criterii, deci în tranzitivitatea acestor evaluări, existența acestei proprietăți conferind acestei atitudini numele de agregare completa tranzitivă.

Compararea variantelor două câte douâ și stabilirea unei relații de surclasare între aceste perechi. Adepții acestei atitudini efectuează , de fapt, o agregare parțială cu scopul de a determina în mod categoric prin surclasări succesive cea mai bună varianta din punct de vedere al criteriilor considerate.

Este adecvată situațiilor în care mulțimea V a variantelor potenționale este mare, chiar infinită, alternativele putând varia continuu. Aceasta a treia atitudine se bazează pe începerea procesului de căutare de la o variantă de start și pe căutarea unor variante mai bune în cadrul unui număr de iterații. Căutarea efectuându-se local, aceasta modalitate mai este denumită și agregare locală și iterativă.

În cadrul acestor metode, se urmărește determinarea celei mai bune variante decizionale, iar uneori și a celei mai bune modalități de exprimare a preferințelor decidentului prin intermediul unei funcții de utilitate. Punctul de plecare în prezentarea acestor metode îl constituie analiza modelelor de tip liniar multicriterial (PLM). Vom preciza, în continuare, conținutul practic al modelelor de programare liniară multicriterială, precum și tipurile de metode de rezolvare a acestor modele.

Să presupunem că o firmă are în nomenclatorul său de fabricație două produse P1, P2. Fabricarea acestora necesită consumul mai multor tipuri de resurse, trei dintre acestea, R1,R2 R3, aflându-se în cantități limitate la dispoziția firmei. Cunoscând profitul unitar adus de fiecare tip de produs în parte prin vânzarea pe piață, managerul firmei dorește să determine cantitatea pe care urmează să o producă firma în perioada urmatoare din fiecare tip de produs, astfel încât profitul total al firmei să fie maxim.

Făcând uzualele ipoteze de liniaritate și introducând notațiile de mai jos, formal, această problemă decizională (denumită generic și “problema firmei” sau “problema structurii optime de fabricație”) are urmatoarea structură:

Să se determine x*=(x1*, x2*)T care satisface sistemul restricțiilor tehnologice:

Condițiile de nenegativitate:

și maximizează valoarea funcției obiectiv:

unde :

A= (aij)1=1,2,3;j=1,2 reprezintă matricea consumurilor specifice din cele trei resurse R1, R2, R3 pentru fabricarea produselor P1, P2;

b [b1,b2,b3]T este vectorul cantităților disponibile din cele trei resurse R1,R2, R3 pe perioada analizată;

x [x1,x2]T sunt cantitățile din P1, P2 care urmează a se fabrica;

c [c1,c2] este vectorul profiturilor unitare ale produselor P1 si P2.

Cu aceste notații, modelul poate fi scris matriceal astfel:

Sistemul de restricții (2.3.1) modelează necesitatea ca, în perioada analizată, disponibilul din fiecare tip de resursă să nu fie depășit prin realizarea planului de producție x*=(x1*, x2*)T. Condițiile (2.3.2) arată faptul că firma nu poate realiza cantități negative din cele două bunuri P1 și P2, iar funcția obiectiv f modelează expresia profitului total al firmei și reprezintă, de fapt, criteriul unic în această problemă decizională.

În Figura 2.3.1. am prezentat soluția problemei (2.3.1) –(2.3.3) obținută prin metoda grafică.

Figura 2.3.1

Sursa: Mărăcine,V.-“Decizii manageriale”

Suprafața poligonală A conține toate punctele x=(x1,x2)T care satisfac sistemul de restricții Ax b și condițiile x 0 din modelul (PL). Această mulțime este rezultatul intersecției semiplanelor determinate de aceste restricții, unul dintre punctele xA urmând a fi desemnat ca soluție optimă a problemei (PL). Identificarea soluției x* se face reprezentând dreapta f=c1x1+c2x2 pentru o anumită valoare particulară a f (f=constant =M) și apoi deplasând această dreaptă în sensul în care valoarea M crește progresiv. În momentul în care intersecția dintre A și dreapta generată de f este un punct, soluția optima a lui (PL) afost identificată. În Figura 2.3.1 acest punct este, așa cum se poate observa, V3 .

Problema de programare liniară multicriterială

Dacă în modelul (PL) anterior adaugăm alte două funcții obiectiv, obținem un model liniar multicriterial a cărui reprezentare grafică este dată în Figura 2.3.2

Structura acestui model este:

unde: opt={min, max}, în funcție de natura criteriului considerat.

f3

Figura 2.3.2

Sursa: Maracine, V.-‘Decizii mangeriale”

Se poate observă faptul că, raționând analog cazului problemei (PL), pentru fiecare dintre cele trei funcții obiectiv obținem câte un punct de optim: pentru f1 vârful V2, pentru f2 vârful V3, iar pentru f3 vârful V4. Varianta optimă din punct de vedere al tuturor celor trei criterii, pur si simplu, nu există. Va trebui să alegem o variantă de compromis situată între aceste puncte. Aceasta soluție nu va fi optimă pentru nici unul dintre criteriile considerate, dar ea va putea fi apreciată ca satisfacatoare sau acceptabilă din punct de vedere al majorității acestor criterii.

Problema care se ridică este aceea de a determina modalitatea de a ajunge la aceasta soluție de compromis. Pentru a face mai explicite metodele care urmează a fi prezentate în continuare, vom recurge tot la o analiza grafică. De data aceasta, însă, vom reveni la cadrul general al problemei, considerând variantele decizionale descrise într-un spațiu n-dimensional, iar criteriile decizionale (funcțiile obiectiv) în număr de r. Vom nota mulțimea soluțiilor admisibile ale modelului (PLM) cu:

Deoarece este greu de precizat forma mulțimii A și, respectiv, cea a spațiului criteriilor, am înlocuit în Figura 2.3.1 cu o formă nedefinită. Dacă alegem o anumită variantă Vi din spațiul A , observăm faptul că coordonatele sale x1,x2,…,xn dau o valoare fiecăreia din cele r funcții-criteriu. Această variantă poate fi, prin urmare, identificată printr-o valoare pe fiecare din cele r axe ale spațiului din dreapta(b). Ea este, deci, reprezentată printr-un punct, nu numai în spațiul r-dimensional al criteriilor.

De fapt, această relație arată faptul că punctul din dreapta indică ceea ce “vrea” cel din stânga.

Pentru a sugera intuitiv modalitatea de rezolvare a modelelor liniare multicriteriale, vom reveni la cazul spațiului variantelor cu doar două dimensiuni și, pentru a putea reprezenta în plan spațiul F, vom considera doar două criterii de eficiență.

Spațiul variantelor decizionale Spațiul criteriilor decizionale

Figura 2.3.3

Sursa: Mărăcine, V., “Decizii manageriale”

În Figura 2.3.4, pantele celor două funcții obiectiv liniare sunt reprezentate chiar în punctele de tangență cu mulțimea A, puncte ce desemnează variantele V2 și V3 ca fiind optime pentru f1 respectiv f2 .

În figură este reprezentată, de asemenea, corespondența dintre soluțiile optime V2 și V3, valorile obținute pentru criteriile f1 si f2 în aceste soluții. Forma complet neregulată a mulțimii F a fost aleasă din rațiuni de prudență.

Punând în corespondență cele două coordonate F1 si F2, se observă faptul că punctul de optim global, notat cu M în figură, este intagibil; aceasta deorece el se afla în spațiul valorilor criteriilor f1, f2, el corespunde unei variante potențiale care se afla la randul său, în exteriorul spațiului A (este vorba despre punctul de intersecție VM, în Figura 2.3.5). Acest punct, numit și “punct ideal”, sugerează ideea care stă la baza metodelor de rezolvare a acestor modele: căutarea, în cadrul unui proces iterativ, a celui mai apropiat punct Fi de punctul M. Lucrul acesta este destul de simplu de enunțat, dar infinit mai greu de realizat, chiar și într-un spațiu bidimensional.

a b

Figura 2.3.4

Sursa: Mărăcine, V., “Decizii manageriale”

Definiție:

–Vom spune despre o varianta V1 că este nedominată dacă punctul F1 corepunzator ei în spațiul criteriilor este situat așa încât, în zona hașurată corespunzatoare din Figura 2.3.4, nu se afla nici un punct Fk.

Prin analogie, punctul Fl din Figura 2.3.5 este corespondent unei variante dominante, deoarece în zona hașurată se află punctul F2 reprezentând varianta V2, care este o variantă dominantă.

O variantă nedominantă mai poartă și numele de variantă eficientă. Dacă reluăm situația din Figura 2.3.5.b, în Figura 2.3.4 se observă că între cele două valori optime ale obiectivelor f1 și f2, respectiv punctele F1 și F2, se află chiar o frotieră eficientă. Această frontieră conține ansamblul punctelor eficiente – reflecții ale variantelor eficiente – ale lui F. În cazul bidimensional prezentat în Figura 2.3.5 este vorba de o linie curbă, dar este o hipersuprafață în cazul n- dimensional.

x2 f2

V1

V2 F1

(a) x1 (b) f1

Figura 2.3.5

Sursa: Mărăcine, V., “Decizii manageriale”

Aceasta frontieră eficientă este limitată de către punctele corespuzăîtoare variantelor eficiente extreme ( vârfurile lui A în Figura 2.3.4, sau vârfurile unui poliedru în tridimensional).

O modalitate de soluționare a modelelor liniare multicriteriale o constituie cercetarea sistematică a variantelor eficiente; aceasta este, însă, departe de a fi o alternativă realistă într-un spațiu continuu, datorită numărului foarte mare al acestor variante. Acest fapt a condus la eleborarea unor metode care raportează căutarea variantei optimale la frontiera eficientă, fără a implica însă o cercetare totală a acesteia. Soluția rezultată va reprezenta cel mai bun compromis în raport cu punctul ideal M ( Figura 2.3.4).

O primă categorie de metode propune detectarea celui mai bun punct Fk în raport cu “punctul ideal” M, prin aprecierea distanței dintre aceste puncte. Autorii unei a doua metode induc funcția de utilitate în aprecierrea și compararea variantelor decizionale. Cea de a treia grupă de metode este rezultatul unei combinații a primelor două, iar o ultimă clasă de metode propune la renunțarea la interactivitatea dintre analistul care aplică metoda de cercetare în vederea imbunătățirii variantelor și decidentului colectiv.

2.4. Metode de rezolvare a problemei liniare multicriteriale

În vederea rezolvării acesui tip particular de problemă decizională multicriterială au fost dezvoltate o serie de metode dintre care amintim metoda optimizării utiliățtilor globale, metoda STERN și metoda POP.

Considerăm problema de programare liniară multicriterială:

unde :A =(aij), i=1…m;j=1…n-matrice de dimensiuni m*n.;

X=(x1,x2,…,xn)T- vector coloană al necunoscutelor;

C=(ckj), j=1,…,n; k=1,…,r – matrice de dimensiuni r*n continând coeficienții variabilelor xj în funcțiile obiectiv.

Ipotezele de lucru sunt următoarele:

Presupunem că toate funcțiile obiectiv se cer a fi maximizate.

Notăm cu A mulțimea vectorilor x=(x1,x2,…,xn)T care verifică sistemul de restricții, mulțime ce reprezintă domeniul soluțiilor admisibile ale problemei.

Cele r funcții obiectiv exprimă mărimi distincte și nereductibile la o mărime comună (caz în care ele pot fi înlocuite cu o funcție sumă).

Fiecare din cele r funcții obiectiv definește împreună cu sistemul câte o problemă de programare liniară a cărei rezolvare conduce la câte o soluție din punct de vedere al criteriului considerat. Deci vom obține r soluții, fiecare dintre ele reprezentând un vector:

cu componente care verifică sistemul de restricții și maximizează valorile funcției obiectiv fk, k=1,…,r.

Problema de programare liniară multicriterială constă, așa cum am subliniat anterior, în găsirea unui vector:

care , verificând sistemul de restricții, să fie cât mai bun din punct de vedere al ansamblul funcțiilor-criteriu de eficiență.

Obiectivul urmarit nu este deloc clar deoarece nu există o accepțiune precisă și unanim admisă asupra unei mărimi care să fie cât mai bună din mai multe puncte de vedere. Asfel apare evidentă legatura între problema de programare liniară cu criterii multiple și problema deciziilor multicriteriiale.

Metoda optimizarii utilităților globale

Această metodă fost elaborată de către cercetători români care au pornit de la faptul că problema de programare liniară cu criterii multiple se poate reduce la problemă deciziilor multicriteriale.

Ideea de bază constă în înlocuirea funcțiilor de optim cu semnificație economică concretă, cu funcții de utilitate von Neumann-Morgenstern care vor putea fi însumate pentru a obține funcția sinteză dorită.

Practic, metoda presupune parcurgerea următoarelor etape:

1) Începem prin a determina, pentru fiecare din cele r funcții de eficiență, cele două valori extreme:

valoarea optimă, (opt)f;

valoarea cea mai dezavantajoasă ( pessima), (pes)f=(-opt)(-f).

Atunci când una dintre valori este la infinit se adaugă o restricție suplimentară care permite găsirea optimului finit.

Se rezolvă deci r probleme de programare liniară determinate de sistemul (2.3.7), (2.3.8) și de funcțiile (2.3.9) rezultând valorile optime ale funcțiilor de eficiență X1,X2,…,Xr.

Similar se rezolva și cele r probleme de programare liniară determinate de sistemul (2.3.7), (2.3.8) și de funcțiile (pes)=(-opt)(-f), obținând valori pessimeY1,Y2,…,Yr. ).

2) Pentru a transforma funcțiile care au o semnificație economică distinctă în funcții de utilitate, se rezolva r sisteme de tipul:

obținâdu-se valorile k și k.

Cu ajutorul lui k si k se transformă funcțiile de optim în funcții de utilitate prin transformarea liniară:

(2.4.1.2)

3) Pentru a determina funcția-sinteză de utilitate se stabilesc coeficienții de importanță k, k=1,…,r pentru fiecare funcție obiectiv inițială, după care scriem:

La însumare se va ține cont de semnificația operației de optimizare pentru fiecare funcție fk acordând semnul “+” pentru maxim și semnul“-“ pentru minim, în acest fel putând considera că f urmează a fi maximizată.

Rezolvarea problemei de programare liniară definită de sistemul de relații 2.3.1 și de functia de optim:

va conduce la o soluție de utilitate maximă care ține seama de toate funcțiile de optim ale problemei.

Alături de aceasta metodă, în aceeași măsură cunoscute și utilizate, sunt metodele POP și STEM, ele reprezentând soluții pentru rezolvarea problemelor de programare multicriteriale propuse de către cercetătorii francezi ( H. Benaijoun, J. Tergny –1969).

Metoda POP

Una dintre soluțiile ingenioase propuse pentru rezolvarea problemei de progrmare multicriteriale este metoda POP, în care se urmarește obținerea unui vector X care realizează “cel mai bun compromis”.

În multimea soluțiilor admisibile D se definește următoarea relație de ordine parțială:

fiind date două soluții admisibile x1=(x11,x12,…,x1n) și x2=(x21,x22, …, x2n) spunem că soluția X1 este peferabilă soluției X2 ( sau X1 domină uniform pe X2) și vom nota X1X2 dacă:

și (2.4.2.1)

Se numește soluție eficace orice soluție maximală în sensul ordinii definite mai sus, adică o solutie X cu proprietatea că oricare ar fi soluția Y, astfel încât YX rezultă X~Y ( soluția X este egal preferată cu Y).

(2.4.2.2)

Vectorul Sj(xj1,xj2, …,xjn) se numește soluția marginală relativ la criteriul Fj dacă este o soluție a sistemului format din restricțiile 2.3.1. și maximizeaza funcția:

(2.4.2.3)

Pentru fiecare din cele r funcții de eficiență F se poate găsi câte o soluție marginală Sj și de aici se poate construi tabelul consecintelor având r linii și r coloane.

(2.4.2.4)

Se numește solutie mixtă asociat soluțiilor realizabile S1,S2,…, Sp

orice soluție de forma:

1 (2.4.2.5)

Soluțiile mixte asociate la soluțiile S1,S2,…, Sp sunt puncte ( diferite de vârfuri) ale celui mai mic poliedru convex P=P(S1,S2,…, Sp) care conține toate punctele S1,S2,…, Sp.

Evident, dacă soluțiile S1,S2,…, Sp sunt realizabile atunci și soluțiile mixte asociate sunt realizabile.

Dacă:

(2.4.2.6)

este o soluție mixtă, atunci din tabelul consecintelor se pot deduce valorile sale relativ la fiecare criteriu:

(2.4.2.7)

În tabelul consecințelor se poate presupune că toate soluțiile marginale sunt eficace. Dacă spre exemplu, soluția marginală Sj nu este eficace, aceasta se înlocuiește cu soluția obținută prin rezolvarea problemei:

Ax b

(2.4.2.8)

x 0

( > 0 suficient de mic) care demonstrează că este eficace.

Metoda POP este o procedură de explorare secvențială a soluțiilor eficace, deci decidentul având posibilitatea de a interveni pe parcursul rezolvării problemei și a diviza procesul de cautare pentru a găsi soluții covenabile cât mai eficiente.

Metoda este iterativă, fiecare iterație descoperindu-se în două etape, care sunt:

Faza A. se pornește de la tabelul consecințelor asociat soluțiilor eficace S1,S2,…, Sn și se consideră poliedrul P=P(S1,S2,…, Sn) generat de aceste puncte.

Pentru a reduce numărul soluțiilor eficace luate în considerare se pot imagina divese metode de restrângere a domeniului D al soluțiilor admisibile și anume prin eliminnarea unor vârfuri Sj și prin introducerea altora ( în număr mic) se construiește șirul de poliedre P astfel încât:

Decidentul se oprește la poliedrul Ps și trece la faza B atunci când nu dorește să mai elimine sau să mai introducă noi vâfuri sau când Ps se reduce la un singur punct s. În acest ultim caz dacă S este o soluție eficace, aceasta se consideră a obține o soluție mai bună. Dacă la sfâșitul fazei A se gasește o soluție care, din punctul de vedere al decidentului, să dea satisfacție tuturor funcțiilor obiectiv, algoritmul se oprește.

Unul din procedeele de trecere de la poliedrul Pj la poliedrul Pj+1 numit de R.Benayonn și J.Tergny procedeul de comparare cu media, constă în adăugarea la soluțiile marginale ci apoi compararea fiecărui vârf S, cu media pentru a decide dacă poate fi eliminată sau nu.

Pentru aceasta se calculează două valori:

Pj* – proporția criteriilor pentru care :

(2.4.2.9)

și (2.4.2.10)

cu Mj =max yij și mj= min yij

care se compară cu doua valori-prag P si Q eliminându-se soluțiile pentru care pj<P și qj >Q.

Faza b. În aceasta fază, decidentul face o reoptimizare pe domeniul de admisibilitate restrâns, obținut adăugând sistemului de restricții, altele constând din impunerea anumitor valori lkj unora din funcțiile obiectiv. Acest lucru revine la a distinge în domeniul D o submulțime Dk ( la iterația k) care poate să conțină noi soluții eficace. Domeniul D este deci intersecția lui D cu soluțiile sistemului de inegalități.

Fie pk și plk pliedrele soluțiilor obținute la etapa k. Valorile impuse unora dintre funcțiile obiectiv depind de valorile diferitelor vârfuri ale poliedrelor pk si plk. Dacă:

(2.4.2.11)

și (2.4.2.12)

se alege

(2.4.2.13)

Deorece înseamnă că orice soluție din Dk va lua, pe toate criteriile, o valoare cel puțin egală cu cea mai mică din valorile luate de aceste criterii pe mulțimea punctelor care au fost eliminate.

Pe domeniul de admisibilitate Dk găsit, se calculează noile soluții extreme luând drept criteriu “mixt” suma ponderata de criterii.

(2.4.2.14)

Un mod de a calcula coeficientii este urmatorul:

(2.4.2.15)

unde slk este soluția medie pe plk.

La sfârșitul acestei faze, decidentul poate reține ca soluție avantajoasă una dintre soluțiile găsite, dacă aceasta prezintă interes sau poate continua cu faza A.

2.4.3 Metoda STEM

În spiritul metodei POP, cercetători francezi au elaborat o altă metoda, STEM, mai sistematică decât prima și care ușurează aplicațiile practice. Metoda STEM are avantajul ca cere decidentului minimum de informație.

În această metoda, decidentul printr-o alternare a fazei de calcul în cea de decizie, poate să dirijeze mai bine procesul de căutare a soluțiilor.

Metoda STEM constă în urmatoarele etape:

Se rezolva r probleme de programare liniara definite de sistemul (2.3.1) și fiecare din funcțiile F.

Fie:

vectorul ale cărui componente sunt valorile maxime ale funcțiilor de eficiență.

Se mai rezolvă încă o problemă de programare liniară definită de sistemul

și o funcție F sumă ponderata de funcțiile F1,…,Fr.

Stabilirea coeficienților j se face în funcție de informația de care se dispune asupra importanței relative a criteriilor.

Se consideră S valoarea maximă a funcției F și vectorul:

Z(S) = [ F1(S), F2(S),…,Fr(S)]

ale cărui componente sunt valorile funcțiilor de eficiență F1, F2, …,Fr pentru soluția S*, conduce la valori acceptabile pentru funcțiile F1, F2, …,Fr.

În acest scop, decidentul compară componentele vectorului Z(S*) cu cele ale vectorului Z1.

Dacă toate funcțiile iau valori acceptabile pentru soluția S* problema este rezolvată. Dacă nu toate funcțiile iau valori acceptabile, decidentul trebuie să indice pentru funcția care ia valoarea cea mai puțin satisfăcătoare, un prag Pk* de la care valoarea sa îl va satisfafce.

Se reia problema de la etapa 1, considerând sistemul inițial și restricția suplimentară introdusă în etapa 3.

Dacă D1 D este noul domeniu al soluțiilor admisibile, atunci

etapa 1 ne va conduce la un vector:

ale cărui componente sunt valorile maxime ale funcților de eficiență pe domeniul restrâns D1.

Este a doua etapă cu participare a decidentului. Acesta este solicitat să răspundă la întrebarea: “ restrângerea lui D duce, pentru unele funcții, la valori maxime inadmisibile?”. Dacă se raspunde “da’ se reia problema de la etapa 4, dar pentru un prag mai mic . Dacă răspunsul este “nu” problema se continuă cu etapa 2 pentru domeniul D.

Modul de alegere al coeficienților j , folosiți în etapa 2, prezintă trei cazuri:

Se poate exprima importanța fiecărei funcții printr-un număr numit pondere.

Se cunosc relațiile de importanță între oricare două criterii

Nu se dispune de nici o informație aspura importanței funcțiilor F.

În primul caz, cunoscând pentru fiecare criteriu Fj care este ponderea sa, pj, se va lua j = pj.

De remarcat este faptul că în întreg procesul de calcul, valorile j rămân neschimbate.

Dacă se cunosc relațiile de importanță între criterii ( al doilea caz), atunci oricare ar fi două criterii Fi și Fj prin compararea acestora putem spune dacă sunt toți atât de importante sau care este mai important.

Se asociază funcțiilor F1, F2, …,Fr o matrice pătratică.

A=((aij)i,j+1,2,…,r ale cărei elemente aij se definesc astfel:

1 dacă criteriile Fi si Fj sunt de o importanță egală;

2 dacă criteriul Fi este superior criteriului Fj;

4 dacă criteriul Fi este cel mult superior lui Fj;

0 în toate celelalte cazuri.

Fie:

valorile Pi ne dau o indicație asupra depășirii de către criteriul Fi a celorlalte criterii. Se aleg coeficienții i si j astfel încât:

Ca și în cazul precedent, odată determinați coeficienții Yi, aceștia rămân neschimbați în diferitele etape ale algoritmului.

Se consideră în continuare tabelul consecințelor (Tabelul 2.4.3.1). Fie Cs=(Z1s,Z2s,…,Zns) o coloană a acestui tabel.

Tabel 2.4.3.1

Se analizează “ecartul” îintre valorile pe coloană și valoarea maximă pe acea coloană.

Apropierea valorilor pe coloană de valoarea maximă indică un ecart mai mic, ceea ce echivalează cu o importanță mai mică a criteriului respectiv.

Invers, dacă ecartul de valori pentru un criteriu este mare, se acordă criteriului o pondere însemnată. Deorece apropierea sau depărtarea valorilor față de valoarea maximă este relativă și nu absolută, se trece de la Tabelul 2.4.3.1 la un altul în care valorile zij sunt înlocuite cu utilități.

Un criteriu Ps ia pentru valoarea maximă utilitatea egala cu 1 și pentru valoarea minimă utilitatea egală cu 0.

Fie mk cea mai mică utilitate corespunzătoare funcției Fk și fie k = 1-mk.

Se aleg coeficienții i si j astfel încât:

Valorile coeficientului i ,spre deosebire de primele două cazuri, se schimbă de la o iterație la alta a procesului de calcul.

Până în prezent, nu a fost găsită o metodă unanim acceptată pentru soluționarea problemelor de decizie de tip multicriterial, cercetătorii în domeniu elaborând numeroase procedee cu rezultate de cele mai multe ori diferite, asupra cărora decidentul trebuie să se pronunțe. Aportul acestor metode este incontestabil, ele constituind o alternativă viabilă la metodele lipsite de rigoare și structurare formală.

2.5 Evaluarea coeficienților de importanță ai criteriilor decizionale

Multe dintre metodele de rezolvare a problemei decizionale multicriteriale utilizează coeficienții de importanță ( ponderi) ai criteriilor decizionale. Vectorul p=(p1,p2,…,pr), cu , exprimă importanța acordată de către decident fiecărui criteriu. Considerăm necesar, de aceea, să prezentăm câteva metode de evaluare acestor coeficienți de importanță.

Criterile ce pot fi utilizate în problemele decizionale multicriteriale sunt de doua tipuri:

cantitative, în raport cu care varintele se exprimă cantitativ;

calitative, în raport cu care evaluările sunt calitative.

Având în vedere faptul că aceste criterii urmează a fi comparate, se impune omogenizarea acestora, prin reaizarea unei corespondențe între mulțimea valorilor criteriilor și o anumită mulțime omogenă, corespondență care poartă numele de scalare. Există trei tipuri de scalări:

Scalarea ordinală, în care mulțimea cu care se face corespondența este mulțimea numerelor naturale;

Scalarea intr-un interval, în care mulțimea de corespondență este un interval;

Normalizarea, care presupune transformarea matricei consecințelor A=(aij), I=1,..,m,j=1,..,n, într-o matrice R cu elemente cuprinse în intervalul [0,1], modalitățile în care poate fi obținută matricea normalizată R sunt:

c.1. Normalizarea vectorială:

c.2. Normalizarea prin transformări liniare:

pentru criteriile de maxim:

unde:

pentru criteriile de minim:

c.3. Pentru criteriile de maxim se mai poate utiliza:

iar pentru cele de minim:

În general, pentru criteriile calitative, se utilizeaza scalarea ordinală sau scalarea într-un interval.

Cele mai utilizate metode în evluarea coeficienților de importanță ai criteriilor decizionale sunt:1. Metoda vectorului propriu, 2. Metoda celor mai mici pătrate, 3. Metoda entropiei, 4. Metoda LINMAP. Utilizarea unei sau alteia depinde de decident și de preferința sa pentru o rigurozitate mai mică sau mai mare în determinarea coeficinților de importanță. Astfel, unii decidenți pot atribui criteriilor decizionale coeficienți de importanță estimați pe bază propriilor așteptări subiective, fără a utiliza nici o metoda precisă, altii pot utiliza metodele mai puțin elaborate și, de aici, mai facil de aplicat ( așa cum sunt metoda vectorului propriu sau metoda celor mai mici pătrate), iar alții pot prefera metodele deosebit de riguros fundamentate ( metoda entropiei și metoda LINMAP).

Datorită gradului ridicat de obiectivizare pe care îl conferă procesului de evaluare a coeficienților de importanță, vom prezenta în continuare doar metodele : entropiei și LINMAP.

Metoda Entropiei

Aceasta metoda pornește de la matricea evaluărilor A=(aij),I=1,..,m,j=1,..,n și de la entropia H ca masură a incertitudinii unei repartiții de probabilitate p1,p2,..,pn cu

unde k este o constantă.

Pasul 1.se calculează rezultatele normalizate ale criteriului Cj pentru orice I=1,2,..,m:

Pasul 2. Se determină entropia Hj a mulțimii de rezultate normalizate ale criteriului Cj:

unde k=1/(ln m). Rezultă 0 Hj 1, j= 1,…,n.

Pasul 3. Se determină gradul de diversificare al informației date de rezultatele criteriului j

dj=1-Hj ,j=1,…,n

Pasul 4: Coeficienții de importanță sunt :

În cazul în care decidentul acordă o importanță subiectivă criteriilor, exprimată printr-un vector al coeficienților de importanță =(1,2,…,n), metoda entropiei presupune calculul unor ponderi de forma:

Metoda LINMAP

În cadrul acestei metode cele m variante V1, V2, …, Vn se interpretează ca valori în spațiul n-dimensional al criteriilor. De asemenea, se presupune cunoscut un vector-varianta decizională ideal, preferat de către decident. Obținerea coeficienților de importanță pj presupune minimizarea distanței euclidiene ponderate prin rezolvarea urmatoarei probleme de programare liniară:

,

cu ,

unde: a*=( a1*,a2*,…,an*) este varianta ideală.

Fie w={(k,l)} mulțimea perechilor ordonate (k,l) și mulțimea ={(Vk,Vl), (k,l)w} de perechi de variante cu semnificația “ varianta Vk este preferată variantei Vl”, mulțime care are m(m-1)/2 elemente.

Notăm SI=di2, i=1,…,m. Pentru orice pereche (Vk,Vl) soluția (P*,V*) se obține din modelul distanței ponderate, dacă Sl Sk.. Problema este aceea de a determina soluția (P*,V*), pentru care condițiile ) sunt încălcate cât mai puțin posibil.

Notăm :

0, dacă Sl Sk

(Sl – Sk)- = = max {0,(Sl – Sk)}

Sk -Sl dacă Sl < Sk

Se urmarește determnarea soluției (P*,V*) astfel încât să fie minim.

CAPITOLUL III

Creearea unui calup optimal la societatea

de televiziune PRO TV

3.1 Scurt istoric al mass-mediei în Românei

3.2 Prezentarea societății de televiziune PRO-TV

3.3 Construirea unui calup publicitar optimal utilizând programarea discretă

3.1 Scurt istoric al mass-mediei în România

Termenul de “mass-media” provine din limba latină și se traduce prin “mijloace de informare în masă". Cea mai frecventă greșeală care se face în folosirea sintagmei “mass-media” este asocierea ei cu “mijloace”, rezultând în final arhi-cunoscuta formulare “mijloace mass-media”, evident un pleonasm.

Este de asemenea necesar să fie cunoscut că termenul “media” este în limba latină o forma de plural, ceea ce face inoportună acordarea aceleiași valori și implicit “românizarea” cuvintului sub forma ”mediile”(ex: mediile de informare). Se acceptă însă, la rigoare, “scurtarea” sub forma “ media electronică” ( cu referire la televiziune, radio, CD-ROM, etc.) sau “am difuzat pe toate canalele media”, sau “media în România”.

O istorie a presei românești ar cunoaste mai multe etape, dar cu siguranță că merită menționată perioada interbelică – timp în care, în unele domenii ( și în cel al presei) – România a fost practic sincronă cu Europa.

Este perioada în care apar ziare ca Timpul, Curentul, Universul, Dreptatea, reviste – ca Revista Ilustrată, opinia publică este influențată hotărâtor de “rechinii de presă”, cum ar fi Pamfil Seicaru, sau impresionată de reportajele unui F. Brunea-Fox.

Începând cu 1945, libertatea presei începe sa fie tot mai îngradită, iar proclamarea Republicii Populare Române marcheaza momentul dispariției (vremelnice) a presei independente. Între 1947 si 1989, toate publicațiile erau supuse cenzurii si conțineau doar informațiile avizate de PCR. Articolele și, în general “scrierile” cu caracter “ subveriv”, erau strecurate în presă fie cu complicitatea limitată ( și discutabilă) a cenzorului, fie prin curajul si abilitatea ziaristului sau scriitorului în a-și forma un meta-limbaj care să scape unei lecturi superficiale.

După 1989, presa a fost unul dintre primele domenii care au cunoscut o dezvoltare explozivă și a început să funcționeze respectând principiile impuse de concurența acerbă de pe piață.

Profesorul Mihai Coman foloseste expresia “presa cu doua viteze” pentru a caracteriza dezvoltarea presei romanești post-decembriste. Într-o primă etapa, s-a dezvoltat enorm presa scrisă ( ex: în 1990, Adevărul si Romania liberă atingeau tiraje de 1,5 milioane pe zi; spre comparație, în prezent rar se depășesc tiraje de 150 000 de exemplare zilnic ).

Este de notat că, relativ repede după 1989, ziarele de partid au dispărut de pe piața, chiar dacă supraviețuiesc cu succes publicații care au preferințe politice evidente.

Radiourile si televiziunile au început să “crească” în special după 1992. În prezent, în afara celor trei programe ale Societații Române de Radio-difuziune, emit în eter peste 100 de posturi particulare de radio și peste 50 de posturi locale sau regionale de televiziune. La nivel național, piața este împărțită în proporții diferite între TVR, PRO TV, ANTENA și PRIMA TV.

Existența unui număr aproape dublu de posturi de radio față de cel al posturilor de televiziune se explică prin cheltuielile mult mai mici pe care le impune echiparea unui studio de radio – și facem aici referire directă la posturile locale. Implicația este evidentă -investiția poate fi mai repede amortizată, iar obținere profitului mai rapidă…și mai sigură.

Din cauza cheltuielilor mari, televiziunile particulare s-au impus mai încet, după o dominare relativ indelungată din partea TVR. Practic, până la 1 decembrie 1995, data la care PRO TV își începe emisia pe satelit, TVR nu a avut concurență. ANTENA 1 și PRO TV ( pe stil “vechi”), nu reușeau să acopere decât Bucurestiul, iar TELE 7 ABC, lansat în urma unei puternice campanii publicitare, a intârziat începerea emisiei pe satelit și a pierdut progresiv audiența prin modificările grilei de programe si a apariției celorlate posturi comerciale.

Apariția PRO TV marcheaza practic o cotitura în ceea ce înseamna televiziune în România. Postul național-sau mai corect spus public-era într-o acută criză de credibilitate. Trebuie menționat că se emitea într-un context politic din ce in ce mai favorabil unei schimbări și a găsirii unei alternative la ceea ce generic era denumit “fenomenul manipularii prin TVR”. La acest bagaj compromitator se adăugau și prestațiile discutabile ale TVR în momente cheie ale perioadei post-decembriste, cum ar fi 22 decembrie 1989 și imediat după, Tîrgu-Mures-martie 1990, alegerile din 20 mai 1990, 13-15 iunie 1990, ș.a.m.d.

Alternativa televizuala a apărut înaintea alternativei politice și s-a numit PRO TV. Post comercial prin excelența, caracterizat prin imaginea originală, puternice campanii promoționale, look modern, dinamism, PRO TV s-a impus rapid pe piața, chiar in condițiile în care este departe de a fi o alternativă la televiziunea publică PRO TV încearcă, parțial, să i se substituie acesteia.

Mai trebuie reținut că televiziunea poate fi definită prin trei elemente: informație, educație, divertisment. Totodată, televiziunea se asociaza inseparabil cu imaginea. Dupa ora 17, televiziunea devine cea mai puternică media.

Televiziunile cu acoperire naționala și-au dezvoltat în paralel rețele de studiouri locale si rețele de corespondenți teritoriali. Pentru orice televiziune care dorește sa-și măreasca impactul, neglijarea obținerii știrilor din teritoriu s-a dovedit de neconceput.

Spre exemplu, TVR dispune de 4 mari studiouri teritoriale-la Cluj, Craiova, Iași si Timișoara-și de o rețea formată din cca. 25 de echipe de corespondenți complet echipate-autoturisme, camere video si accesorii.

PRO TV și-a dezvoltat studiouri de mai mică anvergură, dar numeroase și bine dotate; de asemenea, lucrează cu corespondenți teritoriali în zonele neacoperite de studiourile locale.

ANTENA 1 are o rețea mai slabă de studiouri teritoriale sau locale, iar corespondenții lucrează pe baza de contracte de prestări servicii, cu aparatura proprie. Postul nu a investit prea mult pentru obținerea informațiilor din teritoriu și de-abia în ultima vreme se constată o preocupare mai mare în acest sens. Se practică destul de des relatările telefonice în direct.

Așa cum se afirma spre începutul capitolului, presa a fost printre primele domenii în care s-a facut simțită concurența, atribut caracteristic economiei de piață. S-ar putea defini mai multe coordonate ale concurenței în televiziune, vizând dotarea tehnica, profesionalismul echipelor, gradul de acoperire a teritoriului. La nivel direct, exista concurența între jurnaliști, în modul în care aceștia descoperă și tratează subiectele. Concurența este evidentă atât în interitoriul instituției de presă, cât și între jurnaliștii aparținând unor posturi diferite.

TELEVIZIUNEA

Apariția televiziunii, deși ultima venită în ordine cronologică ( presa scrisă, radioul) a reușit în câteva decenii să revoluționeze comunicarea de masă și, după opinia unor sociologi, chiar civilizația umană. Dezvoltarea televiziunii a transformat circulația informatiei într-un fenomen nemaiîntâlnit, cu tendințe de a fi agresiv pentru individ si societate. Cunoscutul om de televiziune Ion Bucheru observa că sociologia comunicării de masă a asimilat expresii desprinse parcă dintr-un comunicat de front, precum “explozia informaționala”, “ofensiva audioviizualului”, etc., terminologie care caracterizează un proces care nu se mai rezumă la simpla dezvoltare cantitativă.

Televiziunea, “copilul teribil” al comunicării de masă, nu s-a rezumat, în procesul de dezvoltare, la mici intervenții, retușuri, cosmetizări sau alte schimbări neesențiale. Sistemele de telefonie ultramoderne, calculatorul, și-au găsit locul în procesul de modernizare și de extindere, prefigurând o noua revoluție provocată de audio-vizual: “SISTEMUL MULTIMEDIA” – cel mai complex mod de comunicare.

Invenția lui Marconi, radiofonia, datorită căreia s-a putut transmite sunetul la distanță, prin eter, reprezintă un moment istoric în comunicarea de masă. Monopolul tiparului dispăruse, galaxia Gutenberg începea să-și piardă din strălucire. Chiar dacă, deocamdată, numai pentru sunet, “Galaxia Marconi” își caștiga un loc important în universul mass-media. În curând, cele două canale de transmitere a informației aveau să fie zdruncinate în poziția lor de posibilitatea de a transporta în eter, imaginea și sunetul, adică TELEVIZIUNEA. Pe langă Marconi, printre precursorii televiziunii este cazul sa-i amintim pe De Forest –autorul oscilatoarelor, pe Zworykin-autorul iiconoscopului și cinescopului și John Baird-autorul primului sistem mai elaborat de transmisie a unui program de televiziune (1924).

În 1928, în Statele Unite ale Americii se transmite în direct prima piesa de teatru ( New York). Tot spre sfârșitul mileniului trei, Anglia începe transmisii TV zilnice. Cu toate acestea, aveau să mai treacă 20 de anii până când televiziunea să intre în obisnuințele publicului. În aceasta perioadă, investițiile au devenit din ce in ce mai importante, prefigurând un adevăr de necontestat –televiziunea este un mijloc de comunicare scump.

În fruntea țărilor care și-au alocat bani și inteligența pentru a scoate televiziunea din faza experimentală, s-au aflat Anglia ( BBC-British Broadcasting Corporation), America, Franța, Olanda, Germania. În Europa se apela de obicei la stat pentru finanțarea cercetaăilor în timp ce în S.U.A. capitalul privat a constituit motorul procesului de dezvoltare.

În Romania, transmisiile de televiziune încep în 31 decembrie 1954 dintr-un studio improvizat, aflat in București. Pentru că nu au existat posibilități de montaj și de inregistrare, programele erau transmise în direct. Prima transmisie exterioară a avut loc în 1957 cu prilejul concertului lui Yves Montand de la Sala Floreasca. În 1968 apare programul II al Televiziunii Romane iar în 1985, cu titlu experimental, se realizeaza primele transmisii color.

Alaturarea imagine-sunet a făcut ca televiziunea să ocupe un binemeritat loc întâi în clasamentul canalelor de transmitere a informațiilor. Se spune că o alăturare de 3-4 imagini ( 10-12 secunde), înlocuiește 1000 de cuvinte. Astfel că jurnalistul de televiziune poate folosi imaginea și textul pentru a oferi consumatorului un maxim de informație.

Dacă cititorul unei pagini tipărite își poate stabili singur ritmul lecturii, poate hotărî daca e necesar sau nu să reia lectura, telespectatorul nu are asemenea posibilități- ceea ce nu se înțelege în momentul difuzării mesajului rămâne o informație pierdută.

Televiziunea, ca și radioul, este un mediu al momentului, un mediu instantaneu.

Jurnalistica de televiziune trebuie să țina seama că între imagine și cuvânt, prin alăturarea lor, pot aparea relații de concurență, de redundanță sau de complementaritate. O imagine “puternică”, șocantă, foarte captivantă, poate distrage atenția telespectatorului de la comentariu. La fel, un text interesant și bine lecturat, poate “umbri” imaginea care-l insoțește. Astfel că momentele puternice ale succesiunii imaginilor nu trebuie să coincidă cu momentele forte ale comentariului. Este bine, și de cele mai multe ori nu foarte ușor, ca atenția telespectatorului să fie dirijată alternativ între segmentul vizual și cel auditiv.

3.2 Prezentarea Societății de Televiziune PRO-TV

Viața instituțiilor românești din mass-media reprezintă teritoriul celor mai vizibile, rapide și spectaculoase transformări. Ele se înscriu într-o logică mai generală, o logica a unei “prese cu două viteze”: această sintagmă marchează decalajul dintre evoluția presei scrise și cea a audiovizualului.

Audiovizualul românesc se caracterizează prin apariția tardivă a unor posturi particulare de anvergură care și-au definitivat o identitate: o grilă de programe specifică, un stil aparte.

În România, televiziunea s-a dezvoltat, adică s-a “aliniat” foarte repede, împinsă în principal, de doua forțe: forța banilor, căci o televiziune costă, și nu puțin, și pasiunea pentru profesia de jurnalist. În triunghiul de forțe compus din presiunea banilor, pasiunea pentru investigarea adevărului și capacitatea de absorbi publicului, piața de televiziune din România s-a conturat cât de cât.

Pentru a constitui nu numai o piața, sau mai precis, tocmai pentru a ajunge să fie cu adevărat o piața, adică un câmp autonom, domeniul televiziunii trebuie să se doteze, spontan, cu mecanisme de autoreglare, altfel spus cu o memorie internă, nu numai a ei,cu norme, valori, criterii.

Întâi Decembrie, ziua națională a României, coincide cu ziua lansării PRO TV, postul de televiziune care s-a identificat în ultimii 4-5 ani cu destinul celor mai mulți români. Înca de la lansarea sa în decembrie 1995, telespectatorii au descoperit în PRO TV a fost foarte apreciat, în special pentru noutatea pe care o aducea în domeniul televiziunii. PRO TV se poate lauda că, spre deosebire de celelalte posturi de televiziune, a adus acel altceva care îl face unic și inimitanil. Formula de succes pe care PRO TV a adoptat-o în toți acești ani i-a evidențiat unicitatea în peisajul televiziunilor de la noi este cel mai bine cuprinsă in sloganul Te uiți și câștigi!, asta pentru că oferta irezistibilă de filme unul și unul ( cele care i-au lipsit cel mai mult telespectatorului român) a fost completată, de cele mai multe ori, cu cele mai bune seriale, cele mai interesante emisiuni publicistice, divertisment de calitate și cele mai profesioniste emisiuni informative.

PRO TV deține în prezent 20 de licențe de emisie pentru stații locale de televiziune, din care una opereză cu succes de patru ani de zile ( C 31 – Bucuresti) iar altele sunt operaționale pe cuprinsul întregii țări (Brașov, Oradea, Cluj Napoca, Sinaia, Tîrgu Mureș, Buzău, Târgoviște, Slatina, Poiana Brașov, Ploiești, Deva, Baia Mare,Arad, Galați, Miercurea Ciuc, Iași, Sibiu, Pitești.

Existența PRO TV se fundamentează pe capacitatea companiei de a obține drepturi de difuzare pentru programele de televiziune de la marii producători sau distribuitori direcți, de la federații și organizații internaționale, dar și pe capacitatea profesională si financiară de a produce programe proprii.

În vederea echilibrarii “CERERII” cu “OFERTA” de programe de televiziune,programul propus de PRO TV reprezintă o soluție nu numai fezabilă ci și oportună în contextul social actual. În ansanblul diferitelor programe se va asigura, de asemenea, pluralismul opiniilor si ilustrarea culturii naționale, respectarea drepturilor omului și a demnității umane, dezvoltarea democrației, abordarea problemelor familiei și societății, ale copiilor și tineretului, etc.

PRO TV și-a format o rețea de televiziune cu 20 stații locale, în orașele menționate, putând spune că are o acoperire de 74% din posesorii de televizoare, fata de 90% cât are TVR. Diferența este dată de zonele rurale unde PRO TV nu a putut pătrunde datorită lipsei rețelelor de cablu. PRO TV-ul fiind un post de televiziune codat, pentru recepția acestuia în România a fost nevoie de folosirea satelitului și distribuirea semnalului prin satelit.

Deoarece nevoia telespectatorilor pentru emisiuni diverse era foarte mare, PRO TV și-a creeat un “frate” prin ACASĂ TV, televiziune prin care se adresează, în special, femeilor, prin filmele și emisiunile cu interes majoritar pentru acestea.

PRO TV are ca țintă telespectatorii între 18-49 ani, oameni cu studii medii sau cu studii superioare.

Acest lucru se vede prin structurarea unei grile și emisiuni culturale, sau subiectul unor talk-show-uri pe teme sociale, economice sau culturale, unde invitații au un înalt nivel intelectual.

PRO TV este o televiziune comercială și, ca urmare a acestui fapt, trebuie să țină cont în formarea grilei de programe de ceea ce se numește “audiența”, măsurată în fiecare zi. Tot în funcție de audiența se stabilesc și ratecardurile.

Organizarea societății de televiziune PRO TV și legăturile între departamente este prezentată în organigramă. În continuare vom prezenta, pe scurt, funcțiile fiecărui departament.

Departamentul Programe elaborează schema de programe, achiziționează diverse programe ( PRO TV colaborează cu toate casele de filme din S.U.A- deci și cele de la Hollywood).

Departamentele Știri și Sport se preocupă de procurarea și difuzarea de știri ( din economie, politică, cultură și, bineînteles, sport). După cum am văzut PRO TV are foarte multe echipe mobile ceea ce-i permite să aducă tot timpul știri proaspete. Aceste știri ne sunt aduse la cunoștință de “prezentatori’( Andreea Esca, Adina Gorița, ….., iar cele din sport: Mihai Dedu, Costi Mocanu, etc.).

Departamentul Tehnic este cel mai mare, el trebuie să acopere admisiile interioare cât și exterioare, funcționarea stațiilor de emisie, și diverse alte funcții.

Departamentul Marketing se ocupă atât de promovarea imaginii PRO TV sau a emisiunilor sale în ziare, reviste, bannere, panouri publicitare, cât și de promovarea emisiunilor pe propriul post ( atât PRO TV , cât și ACASA TV), deci autopublicitate.

Departamentul Vânzări de Publiciatate se ocupă cu vânzarea de spații publicitare, deci contractarea cu diversele firme sau agenții de publicitate; iar în departamentul Trafic, mai precis subdepartamentul Trafic,sunt urmărite și programate spoturile publicitare.

Departamentul Financiar și Contabilitate se ocupă cu diversele plăți către firmele furnizoare de emisiuni și/sau filme ( către casele de filme), plata salariilor.

Departamentul Administrativ în care intră femeile de serviciu, paznicii, etc.

Printre proiectele de viitor ale societății este și lansarea pe piață a noului post de televiziune PRO TV INTERNAȚIONAL care își propune să fie puntea de legatură pe care o pastrează românii de pe alte meleaguri cu “țara-mamă”, să le aducă noutăți politice, socio-economice sau culturale în timp real, talk-show-uri, programe de divertisment.

3.3 Construirea unui calup publicitar optimal utilizând programarea discretă

PRO TV este, deci, o societate de televiziune comercială, care urmarește să-și mărească audiența la propriile-i programe, să acapareze cât mai mult interesul telespectatorilor. Având un rating ridicat la anumite programe, cererea pentru spațiile publicitare este foarte mare, în special în intervalul orar 1900-2300 ale fiecărei zile ( în rest, nefiind mare și neocupând spațiul maxim total alocat publicității nu constituie o problemă a prezentei lucrări deoarece spoturile publicitare sunt difuzate în totalitatea lor).

După cum am vazut societățile de televiziune sunt foarte interesate să aibe o audiență cât mai mare la propriile lor programe, pentru ca în funcție de acestea își stabilesc ratecard-urile. Un astfel de ratecard este prezentat în Anexa 2. În funcție de aceste ratecard-uri diferitele firme sau agenții de publicitate, care-și doresc spații publicitare în diferitele emisiuni, încheie contracte cu PRO TV, contracte care sunt, de obicei, pe o perioadă de o lună.

Asfel principalele agenții de publicitate, din România, cu care a colaborat societatea de televiziune PRO TV, sunt:

FIRST COMMNICATION BUSINESS;

FOCUS ADVERTISIG S.A;

FOSS ADVERTISING;

GRAFFITTI/BBDO;

GREY BUCHAREST;

PRIMERA COMPANY;

SCALA/JWT;

TBWA ROMANIA;

TEMPO ADVERTISING;

VITRINA FELIX ROMANIA;

YOUNG&RUBICAN/MEDIA PRO.

Aceste agenții furnizează televiziunilor spoturile publicitare care urmează a fi difuzate în funcție de diferitele contracte pe care aceste televiziuni le încheie cu firmele sau cu agențiile de publicitate.

Tabel 3.3.1

După cum am văzut în ratecard sunt prezentate prețurile la spoturile publicitare ce au o durată de 30 secunde, prețul celorlalte spoturi, de lungimi diferite de 30 secunde, sunt calculate după cum au fost prezentate în Tabelul 3.3.1.

Spoturile de lungimi mai mari de 60 secunde nu sunt utilizate datorită costurilor foarte mari și nu sunt preferate, chiar și cele cu dimensiuni apropriate de 60 secunde sunt scumpe și nu sunt chiar așa utilizate; acestea sunt utilizate doar de companiile puternice ( un exemplu ar fi spotul publicitar “Stella Artois” cu o durată de 60 secunde).

De asemenea, prețurile nu include TVA ( 19%), taxa locală ( 3%) și taxa de contribuție la fondurile de sănătate ( 12%).

Se mai percep diferite taxe speciale, cum ar fi :

pentru zi fixă, și/sau program fix +10%;

prima în calupul publicitar +30%;

ultima în calupul publicitar +20%.

Toate aceste specificații sunt prevăzute în contract ( Anexa 3), în care sunt menționate numărul de spoturi publicitare dorite de respectiva companie pentru un anumit produs sau serviciu, sau un număr minim de difuzări într-un anumit program, interval de timp, pentru o anumită oră), contractul fiind, de obicei, încheiat pe termen de o lună.

Odată încheiate aceste contracte, ne punem problema să acoperim spațiul total de publicitate, fără a-l depași, deoarece depășirea acestuia atrage, după sine, penalizări, deci scăderea profitului, și să respectăm toate condițiile din contracte.

Practic vom avea o problema de croire cu doua funcții obiectiv. Și anume:

maximizarea profitului;

minimizarea timpului neutilizat.

Pentru aceasta, să luăm în considerare filmul de televiziune ( serialul de televiziune) “Ally McBeal” în cadrul căruia difuzarea unui spot publicitar de 30 de secunde costa 4000$ ( chiar 4500$ în peroada verii și a sărbătorilor de iarna – deci lunile iunie, iulie, august și decembrie). De menționat este faptul că în aceste prețuri nu sunt incluse taxele mentionate în ratecard ( TVA și altele).

Pentru acest film sunt încheiate contracte pentru a fi difuzate urmatoarele spoturi publicitare, care sunt prezentate în tabelul 3.3.2

Tabel 3.3.2

Dintre aceste spoturi prezentate în Tabelul (3.3.2) unele sunt cerute în mod special în fiecare episod de un anumit număr de ori ) deci lor le va fi aplicată taza suplimentara de +10%), altele fiind cerute de un număr minim de ori, iar altele sunt cerute numai “de câte ori se poate”.

Având aceste repere, de lungime fixă, și cunoscând timpul maxim alocat publicității de 720 secunde ( 12 min *60”=720”- unde 12 min reprezintă 20% din 60 de minute), putem genera rețete ( care reprezintă calupuri publicitare), în care ținem seama de urmatoarele restricții:

Tabel 3.3.3

anumite spoturi sunt cerute în mod special în fiecare episod al filmului “Ally McBeal”, deci ele trebuiesc a fi incluse în fiecare rețetă;

autopublicitatea trebuie, de asemenea, sa fie difuzata în fiecare episod, deoarece are ca efect trezirea interesului pentru anumite programe și, deci, un rating viitor ridicat;

anumite spoturi nu sunt cerute în mod special a fi difuzate în acest interval orar 2000-2100, deci ele pot să nu fie difuzate sau să le fie asigurat un număr minim de ori de apariții pe post; prin urmare ele pot să nu intre în toate calupurile.

Rezultă ca nu se vor genera, practic, toate rețetele posibile ci numai cele practice, deci care ar putea fi folosite (de exemplu: construirea unei rețete din spoturi care nu sunt cerute în mod explicit în contract și excluderea celor care sunt cerute în explicit nu ar fi practică, sau includerea într-un calup a unui spot de un număr de ori mai mare decat este precizat în contract). Pentru fiecare rețetă calculăm timpul utilizat și venitul încasat din difuzarea respectivului calup publicitar.

Rețetele generate, timpul utilizat și venitul din difuzarea respectivului calup sunt prezentate în Tabelul 3.3.3.

Pentru o rețetă avem de minimizat funcția de rest total:

unde di reprezintă durata calupului publicitar i.

Ne va rezulta funcția de minimizat:

(min)f1=(720-720)x1 + (720-715)x2 + (720-720)x3 + ( 720-720)x4 + (720- 715)x5 + (720-720)x6 + (720-720)x7 + ( 720-720)x8 + (720-720)x9 + + (720-720)x10 + (720-720)x11 + (720-715)x12 + (720-715)x13 + (720-710)x14 + (720-720)x15 + (720-715)x16 + (720-715)x17 + (720- -720)x18 + + (720-715)x19 + (720-715)x20

Deci vom avea de minimizat funcția:

(min)f1= 5×2+10×3+4×5+5×12+5×13+10×14+5×16+5×17+5×19+5×20

Dar vom avea și de maximizat functia de venit total din difuzarea respectivelor calupuri publicitare:

unde pi reprezintă suma de bani încasată din difuzarea respectivului calup publicitar.

Funcția noastră de maximizat va fi:

(max)f3=99680×1 + 104320×2 + 100000×3 + 104480×4 + 99600×5 + 100400×6 + 101520×7 + 101600×8 +102000×9 + 101680×10 + 102400×11 +101400×12 + 101400×13 + 99800×14 + 100400×15 + 100280×16 + 99600×17 + 103680×18 + 100400×19 + 99200×20

Vom avea un program de programare liniară cu doua funcții obiectiv ( multicriterială):

x-întreg

unde:

A reprezintă matrcea ai cărei coeficienți reprezintă coeficienții necunoscutelor sistemului format din liniile tabelului ( care reprezintă rețetele) și coeficienții variabilelor artificiale și variabilelor de ecart;

b reprezintă un vector coloana ale cărei elemente reprezintă numărul minim de câte ori este cerut un anumit spot; adica spotul i este cerut prin contract de minim bi ori;

E numărul de emisiuni din respectiva lună (în cazul nostru E=5).

C1 x1 +2×8 + x13 + x1 5 +2 x18 -S1 + A1=0

C2 x1 + x8 +x12 + x16 –S2 + A2=1

C3 x1 + x8 + x12 + x14 + x17 –S3 + A3=0

C4 x1 + x9 + x11 + x13 + x16 + x19 –S4 + A4=0

C5 x1 + x8 + x11 + x12 + x1 5 + x19 –S5 + A5=1

C6 x1 + x3 + x13 + x1 5 + x20 –S6 + A6=1

C7 x1 + x3 + x6 + x13 + x14 + x19 +2×20 –S7 + A7=1

C8 x1 + x7 +x10 + x13 + x1 5+ x16 –S8 + A8=1

C9 x1 + x9 + x12 + x13 –S9 + A9=1

C10 x1 + 2×2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 +x10 + x11 + x12 + x13 + x14 + x1 5+ x16 + x17 + x18 + x19 + x20 -S10 + A10=4

C11 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 +x10 + x11 + x12 + x13 + x14 + x1 5+ x16 + x17 + x18 + x19 + x20 + A11=4

C12 x1 + x2 + x3 +2×4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 +x10 + x11 + x12 + x13 + x14 + x1 5+ x16 + x17 + x18 + x19 + x20 -S12 + A12=4

C13 x1 + 2×2 + x3 +x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 +2×10 + x11 + x12 +2×13 +2×14 +x1 5+x16 + x17 + x18 + x19 + x20 -s13 + A13=6

C14 x1 + 3×2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 +x10 + x11 +2×12 + x13 + x14 + x1 5+ x16 + x17 + x18 + x19 + x20 -S14 +A14=5

C15 x1 + 2×2 + x3 +2×4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 +x10 + x11 + x12 + x13 + x14 +2×1 5+x16 + x17 + x18 + x19 + x20 -S15 +A15=4

C16 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 +2×7 + x8 + x9 +x10 + x11 + x12 + x13 +2×14 + x1 5+ x16 + x17 + x18 + x19 + x20 -S16 + A16=4

C17 x1 + 2×2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 +x10 + x11 +2×12 + x13 + x14 + x1 5+ x16 + x17 + x18 + x19 + x20-S17 + A17=4

C18 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 +2×7 + x8 + x9 +2×10 +x11 + x12 + x13 + x14 + x1 5+ x16 + x17 + x18 + x19 + x20 -S18 + A18=4

C19 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 +2×10 + x11 + x12 + x13 + x14 + x1 5+ x16 + x17 + x18 + x19 + x20 –S19 + A19=5

C20 x1 + x2 + x3 +2×4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 +x10 + x11 + x12 + x13 + x14 + x1 5+ x16 + x17 + x18 + x19 + x20 –S20 + A20=6

C21 x1 + x2 + x3 +2×4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 +x10 + x11 + x12 + x13 + x14 + x1 5+ x16 + x17 + x18 + x19 + x20 -S21 + A21=4

C22 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 +2×7 + x8 + x9 +2×10 +x11 +x12 + x13 + x14 + x1 5+ x16 + x17 + x18 + x19 + x20 –S22 + A22=4

C23 x1 + 2×2 + x3 +2×4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 +x10 + x11 + x12 + x13 + x14 + x1 5+ x16 + x17 +2×18 +x19 +x20 –S23 + A23=4

C24 x1 + 2×2 + x3 +2×4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 +2×10 + x11 + x12 + x13 + x14 + x1 5+2×16 +x17 +x18 + x19 + x20-S24 + A24=4

C25 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 +2×9 +x10 + x11 + x12 + x13 + x14 + x1 5+ x16 + x17 + x18 + x19 + x20 –S25 + A25=3

C26 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 +x10 +2×11 + x12 + x13 + x14 + x1 5+ x16 + x17 + x18 + x19 + x20 –S26 + A26=3

C27 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 +x10 +2×11 + x12 + x13 + x14 + x1 5+ x16 + x17 + x18 + x19 + x20 –S27 + A27=3

C28 x5 + x7 +x10 + x16 –S28 + A28=1

C29 x5 +x10 + x1 5 + x17 –S29 + A29=1

C30 x5 + x11 + x17 + x18 + x19 + x20 –S30 + A30=0

C31 x6 + x8 + x9 + x14 + x17 + x18 –S31 + A31=1

C32 x8 + x9 + x11 + x16 + x20 –S32 + A32=2

C33 x1 + x2 +2×3 +2×4 + x7 + x9 + x13 +2×18 –S33 + A33=2

C34 x5 + x6 + x1 5 + x19 –S34 + A34=1

C35 x3 + x6 + x11 + x14 + x19 –S35 + A35=1

C36 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 +x10 + x11 + x12 + x13 + x14 + x1 5+ x16 + x17 + x18 + x19 + x20 + A36=5

xi 0, i = 1,…,20

(min)f1= 5×2+10×3+4×5+5×12+5×13+10×14+5×16+5×17+5×19+5×20

(max)f3=99680×1 + 104320×2 + 100000×3 + 104480×4 + 99600×5 + 100400×6 + 101520×7 + 101600×8 +102000×9 + 101680×10 + 102400×11 +101400×12 + 101400×13 + 99800×14 + 100400×15 + 100280×16 + 99600×17 + 103680×18 + 100400×19 + 99200×20

unde: -Ai, i=1,..,36 reprezintă variabilele artificiale și ele vor avea coeficientul M în funcțiile obiectiv (cu semnul “+” sau cu semnul “-“ în funcție de cum se minimizează sau se maximizează funcția obiectiv – “+” pentru minim “-“ pentru maxim);

– Si, i=1, …,36 reprezintă variabilele de abatere și ele nu vor intra în funcția obiectiv.

Pentru a rezolva acest sistem trebuie să transformăm toate funcțiile în funcții care se maximizează; dacă funcția de eficiență se minimizează atunci ea se transforma în funcție maximală după formula:

În cazul nostru funcția f1 se minimizează:

(min)f1=(720-720)x1 + (720-715)x2 + (720-710)x3 + ( 720-720)x4 + (720- 715)x5 + (720-720)x6 + (720-720)x7 + ( 720-720)x8 + (720-720)x9 + + (720-720)x10 + (720-720)x11 + (720-715)x12 + (720-715)x13 + (720-710)x14 + (720-720)x15 + (720-715)x16 + (720-715)x17 + (720- -720)x18 + + (720-715)x19 + (720-715)x20

Pentru a o transforma în funcție care se maximizează ne vom folosi de faptul că:

Deci, folosind si relatia:

Rezultă că va trebui să maximizăm funcția:

Funcția noastră de maximizat va fi:

(max)f2=720×1 + 715×2 + 710×3 + 720×4 + 715×5 + 720×6 + 720×7 + 720×8 + -720×9 + 720×10 + 720×11 + 715×12 + 715×13 +710×14 +720×15 + 715×16 + 715×17 +720×18 + 715×19 +715×20

Pentru rezolvarea acestui tip de problemă vom folosi metoda utilității. Acum ambele funcții se maximizează (f2 si f3 ).

Vom rezolva problemele de programare liniară:

Pentru calcularea valorilor optime ale funcțiilor de eficiență, adică X1 si X2. prin rezolvarea acestor sisteme ( în QM) vom obține valorile:

X1= 3600” ( pentru valorile variabilelor x1=0.5, x4=1, x6=0.5, x8=0.5, x9=0.5, x10=1, x11=0.5, x15=0.5);

X2= 510130$ ( pentru valorile x4=1.25, x6=0.5, x8=0.25, x9=0.25, x10=0.5, x11=0.5, x12=0.25, x13=0.5, x15=0.5, x16=0.5, xi=0, i=1,2,3,5,7,14,17,18,19,20).

Dacă ambele probleme ar fi avut aceeași soluție atunci problema inițială ar fi fost rezolvată, dar nu este așa; deci vom continua pentru a calcula coeficienții k și k.

Vom rezolva si programele de programare liniara:

pentru calcularea valorilor pessime Y1 si Y2 ale funcțiilor de eficiența, și vom avea ( tot prin rezolvarea problemelor în QM):

Y1= 3585” ( pentru valorile variabilelor x4=1, x5= 0.5, x9=0.5, x11=0.5, x13=0.5, x14=0.5, x15=0.5, x16=0.5);

Y2 = 505440$ ( pentru valorile variabilelor x1= 1, x4=1, x6=1, x10=1, x20=1).

Pentru transformarea funcțiilor care au semnificatie economica distinctă ( minimizarea timpului neutilizat – restului – și maximizarea venitului din difuzarea spoturilor, calupurilor) în funcții de utilitate rezolvăm cele doua sisteme

1X1+1=1 și 2X2+2=1

1Y1+1=0 2Y2+2=0

Deci vom avea de rezolvat sistemele:

36001+1=1 și 5101302+2=1

35851+1=0 5054402+2=0

Pentru primul sistem vom avea:

36001+1=1 1=1-36001 1=1-36001

35851+1=0 35851+1-36001=0 1=1/15

1=1/15

1= -239

Iar pentru cel de-al doilea:

5101302+2=1 2=1-5101302

5054402+2=0 5054402+1-5101302=0

2=1/4690

2= -108.77

Cu ajutorul 1, 1, 2 și 2 transformăm funcțiile de optim în funcții de utilitate prin transformarea liniară:

k=1,2.

Deci vom avea funcțiile:

1/15( 720×1 + 715×2 + 710×3 + 720×4 + 715×5 + 720×6 + 720×7 + 720×8 + -720×9 + 720×10 + 720×11 + 715×12 + 715×13 +710×14 +720×15 + 715×16 + 715×17 +720×18 + 715×19 +715×20 ) –239 =

= 48×1 + 47.67×2 + 48×3 + 48×4 + 47.67×5 + 48×6 + 48×7 + 48×8 +48×9 + 48×10 + 48×11 + 47.67×12 + 47.67×13 +47.33×14 +48×15 + 47.67×16 + 47.67×17 +48×18 + 47.67×19 +47.67×20 –239

1/4690 (99680×1 + 104320×2 + 100000×3 + 104480×4 + 99600×5 + 100400×6 + 101520×7 + 101600×8 +102000×9 + 101680×10 + 102400×11 +101400×12 + 101400×13 + 99800×14 + 100400×15 + 100280×16 + 99600×17 + 103680×18 + 100400×19 + 99200×20 )-108.77=

= 21.2537×1 + 22.2431×2 + 21.332×3 + 22.2772×4 + 21.2367×5 + 21.4072×6 + 21.6461×7 + 21.6631×8 +21.7484×9 + 21.6802×10 + 21.8337×11 +21.6205×12 + 21.6205×13 + 21.2793×14 + 21.4072×15 + 21.3817×16 + 21.2367×17 + 22.1066×18 + 21.4072×19 + 21.1514×20 –108.77.

Pentru determinarea funcției- sinteză de utilitate f* stabilim coeficienții de importanță k, k=1, 2. Pentru calcularea acestora vom folosi metoda entropiei. Pentru aceasta trebuie să parcurgem urmatorii pași:

Pas 1. Calculam rezultatele normalizate ale criteriului cj,j=1,2 cu ajutorul formulei:

Tabelul 3.3.4

În acest tabel (3.3.4) au fost tecute și valorile ln(pij) pentru a ușura calculele următoare.

Pas 2. Cu ajutorul acestor rezultate normalizate ale criteriilor cj, j=1,2 calculăm entropia cu ajutorul relației:

unde k=1/ln 20.

H1= (-1/ln 20) ( 0.05*ln0.05 + 0.04986*ln0.04986 +0.0502*ln0.0502+ +0.0499*ln0.0499 +0.0502*ln0.0502 + 0.0502*ln0.0502 + 0.0502*ln0.0502 + +0.0502*ln0.0502 + 0.0502*ln0.0502 + 0.0502*ln0.0502 + 0.0499*ln0.0499 + +0.05*ln0.05 + 0.0502*ln0.0502 + 0.0499*ln0.0499 + 0.05*ln0.05 + +0.0502*ln0.0502 + 0.0499*ln0.0499 + 0.05*ln0.05) = 0.99988044.

H2=(-1/ln 20)(0.049*ln0.049+0.05155*ln0.05155 +0.0494*ln0.0494 + +0.0516*ln0.0516 + 0.0492*ln0.0492 + 0.0502*ln0.0502 + 0.0504*ln0.0504+ +0.0502*ln0.0502+ 0.0506*ln0.0506 + 0.0501*ln0.0501 + 0.049*ln0.049+ +0.0496*ln0.0496 + 0.0495*ln0.0495 + 0.049*ln0.049 +0.0512*ln0.0512+ +0.0496*ln0.0496 + 0.049*ln0.049) = 0.99996194

Pas 3. Se calculează gradul de diversificare a informației date de criteriul j, j=1,2.

dj=1-Hj .

Deci vom avea:

d1=1-0.99988044=0.00011956

d2=1- 0.99997677=0.00003806

Pas 4. Coeficienții de importanță sunt:

j=1,2

0.00011956+0.00003806=0.00015762

p1=0.00011956/0.00015762 0.84

p2=0.00002323/0.00015762 0.16

După ce am calculat coeficienții de importanță, determinăm funcția-sinteză de utilitate f* după formula:

>

f*=0.84(48×1 + 47.67×2 + 48×3 + 48×4 + 47.67×5 + 48×6 + 48×7 + 48×8 +48×9 + 48×10 + 48×11 + 47.67×12 + 47.67×13 +47.33×14 +48×15 + 47.67×16 + 47.67×17 +48×18 + 47.67×19 +47.67×20 –239) + 0.16 (21.2537×1 + 22.2431×2 + 21.332×3 + +22.2772×4 + 21.2367×5 + 21.4072×6 + 21.6461×7 + 21.6631×8 +21.7484×9 + +21.6802×10 + 21.8337×11 +21.6205×12 + 21.6205×13 + 21.2793×14 + +21.4072×15 + 21.3817×16 + 21.2367×17 + 22.1066×18 + 21.4072×19 + 21.1514×20 –108.77).

f*=43.7206×1 + 43.4543×2 + 43.1687×3 + 43.8843×4 + 43.4407×5 + 43.7452×6 + 43.7834×7 + 43.7861×8 +43.7997×9 + 43.7888×10 + 43.8134×11 + 43.5021×12 + 43.5021×13 +43.1619×14 +43.7452×15 + 43.4639×16 + 43.4407×17 +43.8571×18 + 43.468×19 +43.427×20 –217.0722.

După ce am determinat funcția-sinteză, rezolvarea problemei de programare liniara inițială va reveni la rezolvarea sistemului:

Axb

xI=5

x 0,

( max)f*

Prin rezolvarea lui, în QM, ajungem la ultimul tabel simplex:

Program: Linear Programming

Problem Title : pa

***** Input Data *****

Max. Z = 43.7206×1 + 43.4543×2 + 43.1687×3 + 43.8843×4 + 43.4407×5

+ 43.7452×6 + 43.7834×7 + 43.7861×8 + 43.7997×9 + 43.7888×10

+ 43.8134×11 + 43.5021×12 + 43.5021×13 + 43.1619×14 + 43.7452×15

+ 43.4638×16 + 43.4407×17 + 43.8571×18 + 43.468×19 + 43.427×20

Subject to

C1 1×1 + 2×8 + 1×13 + 1×15 + 2×18 >= 0

C2 1×1 + 1×8 + 1×12 + 1×16 >= 1

C3 1×1 + 1×8 + 1×12 + 1×14 + 1×17 >= 0

C4 1×1 + 1×9 + 1×11 + 1×13 + 1×16 + 1×19 >= 0

C5 1×1 + 1×8 + 1×11 + 1×12 + 1×15 + 1×19 >= 1

C6 1×1 + 1×3 + 1×13 + 1×15 + 1×20 >= 1

C7 1×1 + 1×3 + 1×6 + 1×13 + 1×14 + 1×19 + 2×20 >= 1

C8 1×1 + 1×7 + 1×10 + 1×13 + 1×15 + 1×16 >= 1

C9 1×1 + 1×9 + 1×12 + 1×13 >= 1

C10 1×1 + 2×2 + 2×3 + 1×4 + 1×5 + 1×6 + 1×7 + 1×8 + 1×9 + 1×10 + 1×11

+ 1×12 + 1×13 + 1×14 + 1×15 + 1×16 + 1×17 + 1×18 + 1×19 + 1×20 >= 4

C11 1×1 + 1×2 + 1×3 + 1×4 + 1×5 + 1×6 + 1×7 + 1×8 + 1×9 + 1×10 + 1×11

+ 1×12 + 1×13 + 1×14 + 1×15 + 1×16 + 1×17 + 1×18 + 1×19 + 1×20 >= 4

C12 1×1 + 1×2 + 1×3 + 2×4 + 1×5 + 1×6 + 1×7 + 1×8 + 1×9 + 1×10 + 1×11

+ 1×12 + 1×13 + 1×14 + 1×15 + 1×16 + 1×17 + 1×18 + 1×19 + 1×20 >= 4

C13 1×1 + 2×2 + 1×3 + 1×4 + 1×5 + 1×6 + 1×7 + 1×8 + 1×9 + 2×10 + 1×11

+ 1×12 + 2×13 + 2×14 + 1×15 + 1×16 + 1×17 + 1×18 + 1×19 + 1×20 >= 6

C14 1×1 + 3×2 + 1×3 + 1×4 + 1×5 + 1×6 + 1×7 + 1×8 + 1×9 + 1×10 + 1×11

+ 2×12 + 1×13 + 1×14 + 1×15 + 1×16 + 1×17 + 1×18 + 1×19 + 1×20 >= 5

C15 1×1 + 1×2 + 1×3 + 2×4 + 1×5 + 1×6 + 1×7 + 1×8 + 1×9 + 1×10 + 1×11

+ 1×12 + 1×13 + 1×14 + 2×15 + 1×16 + 1×17 + 1×18 + 1×19 + 1×20 >= 4

C16 1×1 + 1×2 + 1×3 + 1×4 + 1×5 + 1×6 + 2×7 + 1×8 + 1×9 + 1×10 + 1×11

+ 1×12 + 1×13 + 2×14 + 1×15 + 1×16 + 1×17 + 1×18 + 1×19 + 1×20 >= 4

C17 1×1 + 2×2 + 1×3 + 1×4 + 1×5 + 1×6 + 1×7 + 1×8 + 1×9 + 1×10 + 1×11

+ 2×12 + 1×13 + 1×14 + 1×15 + 1×16 + 1×17 + 1×18 + 1×19 + 1×20 >= 4

C18 1×1 + 1×2 + 1×3 + 1×4 + 1×5 + 1×6 + 2×7 + 1×8 + 1×9 + 2×10 + 1×11

+ 1×12 + 1×13 + 1×14 + 1×15 + 1×16 + 1×17 + 1×18 + 1×19 + 1×20 >= 4

C19 1×1 + 1×2 + 1×3 + 1×4 + 1×5 + 1×6 + 2×7 + 1×8 + 1×9 + 1×10 + 1×11

+ 1×12 + 1×13 + 1×14 + 1×15 + 1×16 + 1×17 + 1×18 + 1×19 + 1×20 >= 5

C20 1×1 + 1×2 + 1×3 + 2×4 + 1×5 + 1×6 + 1×7 + 1×8 + 1×9 + 1×10 + 1×11

+ 1×12 + 1×13 + 1×14 + 1×15 + 1×16 + 1×17 + 1×18 + 1×19 + 1×20 >= 6

C21 1×1 + 1×2 + 1×3 + 2×4 + 1×5 + 1×6 + 1×7 + 1×8 + 1×9 + 1×10 + 1×11

+ 1×12 + 1×13 + 1×14 + 1×15 + 1×16 + 1×17 + 2×18 + 1×19 + 1×20 >= 4

C22 1×1 + 1×2 + 1×3 + 1×4 + 1×5 + 1×6 + 2×7 + 1×8 + 1×9 + 2×10 + 1×11

+ 1×12 + 1×13 + 1×14 + 1×15 + 1×16 + 1×17 + 1×18 + 1×19 + 1×20 >= 4

C23 1×1 + 2×2 + 1×3 + 2×4 + 1×5 + 1×6 + 1×7 + 1×8 + 1×9 + 1×10 + 1×11

+ 1×12 + 1×13 + 1×14 + 1×15 + 1×16 + 1×17 + 2×18 + 1×19 + 1×20 >= 4

C24 1×1 + 2×2 + 1×3 + 2×4 + 1×5 + 1×6 + 1×7 + 1×8 + 1×9 + 2×10 + 1×11

+ 1×12 + 1×13 + 1×14 + 1×15 + 2×16 + 1×17 + 1×18 + 1×19 + 1×20 >= 4

C25 1×2 + 1×3 + 1×4 + 1×5 + 1×6 + 1×7 + 1×8 + 2×9 + 1×10 + 1×11 + 1×12

+ 1×13 + 1×14 + 1×15 + 1×16 + 1×17 + 1×18 + 1×19 + 1×20 >= 3

C26 1×2 + 1×3 + 1×4 + 1×5 + 1×6 + 1×7 + 1×8 + 1×9 + 1×10 + 1×11 + 2×12

+ 1×13 + 1×14 + 1×15 + 1×16 + 1×17 + 1×18 + 1×19 + 1×20 >= 3

C27 1×2 + 1×3 + 1×4 + 1×5 + 1×6 + 1×7 + 1×8 + 1×9 + 1×10 + 2×11 + 1×12

+ 1×13 + 1×14 + 1×15 + 1×16 + 1×17 + 1×18 + 1×19 + 1×20 >= 3

C28 1×5 + 1×7 + 1×10 + 1×16 >= 1

C29 1×5 + 1×10 + 1×15 + 1×17 >= 1

C30 1×5 + 1×11 + 1×17 + 1×18 + 1×19 + 1×20 >= 0

C31 1×6 + 1×8 + 1×9 + 1×14 + 1×17 + 1×18 >= 1

C32 1×6 + 1×8 + 1×9 + 1×11 + 1×16 + 1×20 >= 2

C33 1×1 + 1×2 + 2×3 + 2×4 + 1×7 + 1×9 + 1×13 + 2×18 >= 2

C34 1×5 + 1×6 + 1×15 + 1×19 >= 1

C35 1×3 + 1×6 + 1×11 + 1×14 + 1×19 >= 1

C36 1×1 + 1×2 + 1×3 + 1×4 + 1×5 + 1×6 + 1×7 + 1×8 + 1×9 + 1×10 + 1×11

+ 1×12 + 1×13 + 1×14 + 1×15 + 1×16 + 1×17 + 1×18 + 1×19 + 1×20 = 5

***** Program Output *****

Simplex Tableau : 61

43.441 43.745 43.783 43.786 43.283 43.645 43.652 43.143

C b \ Basis Bi x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8

––––––––––––––––––––––––––

0.000 S 28 0.000 0.000 0.000 -1.000 0.000

0.000 S 15 3.000 1.000 -2.000 1.000 0.000

0.000 S 4 2.000 1.000 -4.000 -1.000 0.000

0.000 S 1 1.000 1.000 -3.000 1.000 0.000

0.000 S 22 1.000 -1.000 2.000 -1.000 0.000

0.000 S 10 1.000 0.000 -1.000 -1.000 0.000

0.000 S 3 1.000 -1.000 2.000 1.000 0.000

43.745 x 15 1.000 1.000 -2.000 1.000 0.000

0.000 S 7 0.000 -2.000 5.000 1.000 0.000

43.745 x 6 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000

0.000 S 16 2.000 0.000 0.000 1.000 0.000

0.000 S 21 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 8 1.000 1.000 -3.000 0.000 0.000

43.502 x 12 0.000 0.000 2.000 0.000 0.000

43.884 x 4 1.000 0.000 0.000 0.000 1.000

0.000 S 18 1.000 -1.000 2.000 -1.000 0.000

43.427 x 20 0.000 -1.000 3.000 0.000 0.000

43.502 x 13 0.000 1.000 -1.000 0.000 0.000

43.783 x 7 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 33 1.000 0.000 -3.000 -2.000 0.000

0.000 S 11 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.789 x 10 0.000 -1.000 2.000 -1.000 0.000

0.000 S 30 0.000 -1.000 3.000 -1.000 0.000

0.000 S 23 2.000 0.000 -1.000 0.000 0.000

0.000 S 17 1.000 0.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 25 3.000 1.000 -1.000 0.000 0.000

0.000 S 26 2.000 1.000 2.000 0.000 0.000

43.800 x 9 1.000 0.000 -1.000 0.000 0.000

0.000 S 27 2.000 1.000 0.000 -1.000 0.000

0.000 S 31 1.000 0.000 -1.000 2.000 0.000

43.162 x 14 1.000 0.000 0.000 1.000 0.000

0.000 S 12 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.464 x 16 1.000 1.000 -2.000 0.000 0.000

0.000 S 24 3.000 0.000 -1.000 -1.000 0.000

43.813 x 11 0.000 0.000 0.000 -1.000 0.000

0.000 S 34 0.000 1.000 -2.000 2.000 0.000

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––-

Zj 218.055 43.495 43.143 43.050 43.884 43.391 43.745 43.783 43.532

Zj-Cj -0.225 -0.311 -0.119 0.000 -0.049 0.000 0.000 -0.254

\Cj 43.800 43.789 43.813 43.502

Cb \ Basis Bi x 9 x 10 x 11 x 12

–––––––––––––––––––––––––-

0.000 S 28 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 15 3.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 4 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 1 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 22 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 10 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 3 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.745 x 15 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 7 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.745 x 6 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 16 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 21 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 8 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.502 x 12 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000

43.884 x 4 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 18 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.427 x 20 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.502 x 13 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.783 x 7 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 33 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 11 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.789 x 10 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 30 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 23 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 17 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 25 3.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 26 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.800 x 9 1.000 1.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 27 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 31 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.162 x 14 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 12 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.464 x 16 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 24 3.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.813 x 11 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000

0.000 S 34 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

–––––––––––––––––––––––––-

Zj 218.055 43.800 43.789 43.813 43.502

\Cj 43.441 43.857 43.468 43.427

Cb \ Basis Bi x 17 x 18 x 19 x 20

––––––––––––––––––––––––––––––––

0.000 S 28 0.000 0.000 -1.000 -1.000 0.000

0.000 S 15 3.000 1.000 1.000 1.000 0.000

0.000 S 4 2.000 -1.000 -1.000 -1.000 0.000

0.000 S 1 1.000 0.000 -3.000 0.000 0.000

0.000 S 22 1.000 0.000 -1.000 -1.000 0.000

0.000 S 10 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 3 1.000 0.000 3.000 2.000 0.000

43.745 x 15 1.000 1.000 1.000 1.000 0.000

0.000 S 7 0.000 0.000 1.000 -1.000 0.000

43.745 x 6 0.000 0.000 -2.000 -1.000 0.000

0.000 S 16 2.000 1.000 3.000 2.000 0.000

0.000 S 21 2.000 0.000 -1.000 0.000 0.000

0.000 S 8 1.000 0.000 -2.000 -1.000 0.000

43.502 x 12 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.884 x 4 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 18 1.000 0.000 -1.000 -1.000 0.000

43.427 x 20 0.000 0.000 1.000 0.000 1.000

43.502 x 13 0.000 -1.000 -2.000 -1.000 0.000

43.783 x 7 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 33 1.000 0.000 -2.000 0.000 0.000

0.000 S 11 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.789 x 10 0.000 0.000 -1.000 -1.000 0.000

0.000 S 30 0.000 -2.000 -1.000 -1.000 0.000

0.000 S 23 2.000 0.000 -1.000 0.000 0.000

0.000 S 17 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 25 3.000 1.000 2.000 1.000 0.000

0.000 S 26 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.800 x 9 1.000 1.000 2.000 1.000 0.000

0.000 S 27 2.000 -1.000 -1.000 0.000 0.000

0.000 S 31 1.000 1.000 2.000 2.000 0.000

43.162 x 14 1.000 1.000 3.000 2.000 0.000

0.000 S 12 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.464 x 16 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 24 3.000 0.000 -1.000 -1.000 0.000

43.813 x 11 0.000 -1.000 -1.000 0.000 0.000

0.000 S 34 0.000 1.000 -1.000 -1.000 0.000

–––––––––––––––––––––––––-

Zj 218.055 43.391 42.160 42.833 43.427

Zj-Cj -0.049 -1.697 -0.635 0.000

\Cj -M – M – M -M

Cb \ Basis Bi A 8 A 10 A 14 A 15

––––––––––––––––––––––––––––––––

0.000 S 28 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 15 3.000 0.000 0.000 -1.000 -1.000

0.000 S 4 2.000 0.000 0.000 -2.000 0.000

0.000 S 1 1.000 0.000 0.000 -1.000 0.000

0.000 S 22 1.000 0.000 0.000 1.000 0.000

0.000 S 10 1.000 0.000 -1.000 0.000 0.000

0.000 S 3 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.745 x 15 1.000 0.000 0.000 -1.000 0.000

0.000 S 7 0.000 0.000 0.000 2.000 0.000

43.745 x 6 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000

0.000 S 16 2.000 0.000 0.000 -1.000 0.000

0.000 S 21 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 8 1.000 -1.000 0.000 -1.000 0.000

43.502 x 12 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000

43.884 x 4 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 18 1.000 0.000 0.000 1.000 0.000

43.427 x 20 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000

43.502 x 13 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.783 x 7 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 33 1.000 0.000 0.000 -1.000 0.000

0.000 S 11 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.789 x 10 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000

0.000 S 30 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000

0.000 S 23 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 17 1.000 0.000 0.000 1.000 0.000

0.000 S 25 3.000 0.000 0.000 -1.000 0.000

0.000 S 26 2.000 0.000 0.000 1.000 0.000

43.800 x 9 1.000 0.000 0.000 -1.000 0.000

0.000 S 27 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 31 1.000 0.000 0.000 -1.000 0.000

43.162 x 14 1.000 0.000 0.000 -1.000 0.000

0.000 S 12 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.464 x 16 1.000 0.000 0.000 -1.000 0.000

0.000 S 24 3.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.813 x 11 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 34 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

–––––––––––––––––––––––––-

Zj 218.055 0.000 0.000 0.281 0.000

Zj-Cj -M -M -M -M

\Cj -M -M -M – M

Cb \ Basis Bi A 28 A 29 A 30 A 33

––––––––––––––––––––––––––––––––

0.000 S 28 0.000 -1.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 15 3.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 4 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 1 1.000 0.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 22 1.000 0.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 10 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 3 1.000 0.000 -2.000 0.000 0.000

43.745 x 15 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 7 0.000 0.000 -1.000 0.000 0.000

43.745 x 6 0.000 0.000 2.000 0.000 0.000

0.000 S 16 2.000 0.000 -2.000 0.000 0.000

0.000 S 21 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 8 1.000 0.000 2.000 0.000 0.000

43.502 x 12 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.884 x 4 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 18 1.000 0.000 1.000 0.000 0.000

43.427 x 20 0.000 0.000 -1.000 0.000 0.000

43.502 x 13 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000

43.783 x 7 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 33 1.000 0.000 0.000 0.000 -1.000

0.000 S 11 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.789 x 10 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 30 0.000 0.000 -1.000 -1.000 0.000

0.000 S 23 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 17 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 25 3.000 0.000 -1.000 0.000 0.000

0.000 S 26 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.800 x 9 1.000 0.000 -1.000 0.000 0.000

0.000 S 27 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 31 1.000 0.000 -1.000 0.000 0.000

43.162 x 14 1.000 0.000 -2.000 0.000 0.000

0.000 S 12 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.464 x 16 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 24 3.000 0.000 1.000 0.000 0.000

43.813 x 11 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 34 0.000 0.000 2.000 0.000 0.000

–––––––––––––––––––––––––-

Zj 218.055 0.000 1.219 0.000 0.000

-M -M -M -M

\Cj 0.000 0.000 -M -M

Cb \ Basis Bi S 9 S 29 A 7 A 13

–––––––––––––––––––––––––––––––-

0.000 S 28 0.000 0.000 -1.000 0.000 1.000

0.000 S 15 3.000 0.000 0.000 0.000 -1.000

0.000 S 4 2.000 -1.000 0.000 0.000 1.000

0.000 S 1 1.000 -1.000 -1.000 0.000 0.000

0.000 S 22 1.000 0.000 -1.000 0.000 1.000

0.000 S 10 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 3 1.000 1.000 2.000 0.000 -1.000

43.745 x 15 1.000 0.000 0.000 0.000 -1.000

0.000 S 7 0.000 1.000 1.000 -1.000 0.000

43.745 x 6 0.000 -1.000 -2.000 0.000 0.000

0.000 S 16 2.000 1.000 2.000 0.000 -1.000

0.000 S 21 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 8 1.000 -1.000 -2.000 0.000 1.000

43.502 x 12 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.884 x 4 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 18 1.000 0.000 -1.000 0.000 1.000

43.427 x 20 0.000 1.000 1.000 0.000 0.000

43.502 x 13 0.000 -1.000 -1.000 0.000 1.000

43.783 x 7 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 33 1.000 -1.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 11 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.789 x 10 0.000 0.000 -1.000 0.000 1.000

0.000 S 30 0.000 1.000 1.000 0.000 1.000

0.000 S 23 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 17 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 25 3.000 0.000 1.000 0.000 -1.000

0.000 S 26 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.800 x 9 1.000 0.000 1.000 0.000 -1.000

0.000 S 27 2.000 0.000 0.000 0.000 1.000

0.000 S 31 1.000 0.000 1.000 0.000 -2.000

43.162 x 14 1.000 1.000 2.000 0.000 -1.000

0.000 S 12 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.464 x 16 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 24 3.000 0.000 -1.000 0.000 1.000

43.813 x 11 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000

0.000 S 34 0.000 -1.000 -2.000 0.000 -1.000

–––––––––––––––––––––––––-

Zj 218.055 -0.658 -1.231 0.000 0.391

Zj-Cj -0.658 -1.231 -M -M

\Cj 0.000 0.000 -M -M

Cb \ Basis Bi S 20 S 32 A 2 A 5

––––––––––––––––––––––––––––––––

0.000 S 28 0.000 -1.000 -1.000 1.000 0.000

0.000 S 15 3.000 0.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 4 2.000 -1.000 -1.000 1.000 1.000

0.000 S 1 1.000 -1.000 0.000 1.000 0.000

0.000 S 22 1.000 -1.000 -1.000 0.000 0.000

0.000 S 10 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 3 1.000 3.000 2.000 -1.000 0.000

43.745 x 15 1.000 1.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 7 0.000 1.000 0.000 -1.000 -1.000

43.745 x 6 0.000 -2.000 -1.000 1.000 -1.000

0.000 S 16 2.000 3.000 2.000 -1.000 0.000

0.000 S 21 2.000 -1.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 8 1.000 -2.000 -1.000 2.000 0.000

43.502 x 12 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.884 x 4 1.000 -1.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 18 1.000 -1.000 -1.000 0.000 0.000

43.427 x 20 0.000 1.000 0.000 -1.000 0.000

43.502 x 13 0.000 -2.000 -1.000 1.000 0.000

43.783 x 7 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 33 1.000 -2.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 11 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.789 x 10 0.000 -1.000 -1.000 0.000 0.000

0.000 S 30 0.000 0.000 -1.000 -1.000 1.000

0.000 S 23 2.000 -1.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 17 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 25 3.000 2.000 1.000 -1.000 0.000

0.000 S 26 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.800 x 9 1.000 2.000 1.000 -1.000 0.000

0.000 S 27 2.000 -1.000 -1.000 0.000 1.000

0.000 S 31 1.000 3.000 2.000 -1.000 -1.000

43.162 x 14 1.000 3.000 2.000 -1.000 0.000

0.000 S 12 2.000 -1.000 0.000 0.000 0.000

43.464 x 16 1.000 0.000 0.000 1.000 0.000

0.000 S 24 3.000 -2.000 -1.000 1.000 0.000

43.813 x 11 0.000 -1.000 -1.000 0.000 1.000

0.000 S 34 0.000 -1.000 0.000 1.000 -1.000

–––––––––––––––––––––––––-

Zj 218.055 -1.724 -0.981 0.313 0.063

Zj-Cj -1.724 -0.981 -M -M

\Cj -M -M -M -M

Cb \ Basis Bi A 18 A 20 A 22 A 23

––––––––––––––––––––––––––––––––

0.000 S 28 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 15 3.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 4 2.000 0.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 1 1.000 0.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 22 1.000 0.000 1.000 -1.000 0.000

0.000 S 10 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 3 1.000 0.000 -3.000 0.000 0.000

43.745 x 15 1.000 0.000 -1.000 0.000 0.000

0.000 S 7 0.000 0.000 -1.000 0.000 0.000

43.745 x 6 0.000 0.000 2.000 0.000 0.000

0.000 S 16 2.000 0.000 -3.000 0.000 0.000

0.000 S 21 2.000 0.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 8 1.000 0.000 2.000 0.000 0.000

43.502 x 12 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.884 x 4 1.000 0.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 18 1.000 -1.000 1.000 0.000 0.000

43.427 x 20 0.000 0.000 -1.000 0.000 0.000

43.502 x 13 0.000 0.000 2.000 0.000 0.000

43.783 x 7 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 33 1.000 0.000 2.000 0.000 0.000

0.000 S 11 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.789 x 10 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 30 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 23 2.000 0.000 1.000 0.000 -1.000

0.000 S 17 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 25 3.000 0.000 -2.000 0.000 0.000

0.000 S 26 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.800 x 9 1.000 0.000 -2.000 0.000 0.000

0.000 S 27 2.000 0.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 31 1.000 0.000 -3.000 0.000 0.000

43.162 x 14 1.000 0.000 -3.000 0.000 0.000

0.000 S 12 2.000 0.000 1.000 0.000 0.000

43.464 x 16 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 24 3.000 0.000 2.000 0.000 0.000

43.813 x 11 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 34 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000

–––––––––––––––––––––––––-

Zj 218.055 0.000 1.719 0.000 0.000

Zj-Cj -M -M -M -M

\Cj -M 0.000 0.000 0.000

Cb \ Basis Bi A 36 S 1 S 3 S 4

––––––––––––––––––––––––––––––––

0.000 S 28 0.000 -5.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 15 3.000 5.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 4 2.000 -2.000 0.000 0.000 1.000

0.000 S 1 1.000 -2.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 22 1.000 -5.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 10 1.000 1.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 3 1.000 10.000 0.000 1.000 0.000

43.745 x 15 1.000 5.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 7 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000

43.745 x 6 0.000 -7.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 16 2.000 11.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 21 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 8 1.000 -7.000 0.000 0.000 0.000

43.502 x 12 0.000 -1.000 0.000 0.000 0.000

43.884 x 4 1.000 -1.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 18 1.000 -5.000 0.000 0.000 0.000

43.427 x 20 0.000 2.000 0.000 0.000 0.000

43.502 x 13 0.000 -7.000 0.000 0.000 0.000

43.783 x 7 0.000 -1.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 33 1.000 -2.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 11 1.000 1.000 0.000 0.000 0.000

43.789 x 10 0.000 -5.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 30 0.000 -2.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 23 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 17 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 25 3.000 9.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 26 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.800 x 9 1.000 8.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 27 2.000 -3.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 31 1.000 12.000 0.000 0.000 0.000

43.162 x 14 1.000 11.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 12 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.464 x 16 1.000 1.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 24 3.000 -4.000 0.000 0.000 0.000

43.813 x 11 0.000 -4.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 34 0.000 -2.000 0.000 0.000 0.000

–––––––––––––––––––––––––-

Zj 218.055 38.109 0.000 0.000 0.000

Zj-Cj -M 0.000 0.000 0.000

\Cj 0.000 0.000 0.000 0.000

Cb \ Basis Bi S 12 S 14 S 15 S 16

––––––––––––––––––––––––––––––––

0.000 S 28 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 15 3.000 0.000 1.000 1.000 0.000

0.000 S 4 2.000 0.000 2.000 0.000 0.000

0.000 S 1 1.000 0.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 22 1.000 0.000 -1.000 0.000 0.000

0.000 S 10 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 3 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.745 x 15 1.000 0.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 7 0.000 0.000 -2.000 0.000 0.000

43.745 x 6 0.000 0.000 -1.000 0.000 0.000

0.000 S 16 2.000 0.000 1.000 0.000 1.000

0.000 S 21 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 8 1.000 0.000 1.000 0.000 0.000

43.502 x 12 0.000 0.000 -1.000 0.000 0.000

43.884 x 4 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 18 1.000 0.000 -1.000 0.000 0.000

43.427 x 20 0.000 0.000 -1.000 0.000 0.000

43.502 x 13 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.783 x 7 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 33 1.000 0.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 11 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.789 x 10 0.000 0.000 -1.000 0.000 0.000

0.000 S 30 0.000 0.000 -1.000 0.000 0.000

0.000 S 23 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 17 1.000 0.000 -1.000 0.000 0.000

0.000 S 25 3.000 0.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 26 2.000 0.000 -1.000 0.000 0.000

43.800 x 9 1.000 0.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 27 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 31 1.000 0.000 1.000 0.000 0.000

43.162 x 14 1.000 0.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 12 2.000 1.000 0.000 0.000 0.000

43.464 x 16 1.000 0.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 24 3.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.813 x 11 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 34 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

–––––––––––––––––––––––––-

Zj 218.055 0.000 -0.293 0.000 0.000

Zj-Cj 0.000 -0.293 0.000 0.000

\Cj 0.000 0.000 0.000 0.000

Cb \ Basis Bi S 23 S 24 S 25 S 26

––––––––––––––––––––––––––––––––

0.000 S 28 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 15 3.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 4 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 1 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 22 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 10 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 3 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.745 x 15 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 7 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.745 x 6 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 16 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 21 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 8 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.502 x 12 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.884 x 4 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 18 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.427 x 20 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.502 x 13 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.783 x 7 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 33 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 11 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.789 x 10 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 30 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 23 2.000 1.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 17 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 25 3.000 0.000 0.000 1.000 0.000

0.000 S 26 2.000 0.000 0.000 0.000 1.000

43.800 x 9 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 27 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 31 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.162 x 14 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 12 2.000 0.000 0.000 0.000 0.000

43.464 x 16 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 24 3.000 0.000 1.000 0.000 0.000

43.813 x 11 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 34 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

–––––––––––––––––––––––––-

Zj 218.055 0.000 0.000 0.000 0.000

Zj-Cj 0.000 0.000 0.000 0.000

\Cj 0.000 0.000 0.000

Cb \ Basis Bi S 33 S 34 S 35

–––––––––––––––––––––––––-

0.000 S 28 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 15 3.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 4 2.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 1 1.000 0.000 0.000 -1.000

0.000 S 22 1.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 10 1.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 3 1.000 0.000 0.000 1.000

43.745 x 15 1.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 7 0.000 0.000 0.000 0.000

43.745 x 6 0.000 0.000 0.000 -2.000

0.000 S 16 2.000 0.000 0.000 1.000

0.000 S 21 2.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 8 1.000 0.000 0.000 -1.000

43.502 x 12 0.000 0.000 0.000 0.000

43.884 x 4 1.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 18 1.000 0.000 0.000 0.000

43.427 x 20 0.000 0.000 0.000 1.000

43.502 x 13 0.000 0.000 0.000 -1.000

43.783 x 7 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 33 1.000 1.000 0.000 0.000

0.000 S 11 1.000 0.000 0.000 0.000

43.789 x 10 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 30 0.000 0.000 0.000 1.000

0.000 S 23 2.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 17 1.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 25 3.000 0.000 0.000 1.000

0.000 S 26 2.000 0.000 0.000 0.000

43.800 x 9 1.000 0.000 0.000 1.000

0.000 S 27 2.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 31 1.000 0.000 0.000 0.000

43.162 x 14 1.000 0.000 0.000 1.000

0.000 S 12 2.000 0.000 0.000 0.000

43.464 x 16 1.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 24 3.000 0.000 0.000 0.000

43.813 x 11 0.000 0.000 0.000 0.000

0.000 S 34 0.000 0.000 1.000 -2.000

–––––––––––––––––––––––––-

Zj 218.055 0.000 0.000 -0.604

Zj-Cj 0.000 0.000 -0.604

Final Optimal Solution

Z = 218.055

–––––––––––––-

Variable Value Reduced Cost

–––––––––––––-

x 1 0.000 0.225

x 2 0.000 0.311

x 3 0.000 0.119

x 4 1.000 0.000

x 5 0.000 0.049

x 6 0.000 0.000

x 7 0.000 0.000

x 8 0.000 0.254

x 9 1.000 0.000

x10 0.000 0.000

x11 0.000 0.000

x12 0.000 0.000

x13 0.000 0.000

x14 1.000 0.000

x15 1.000 0.000

x16 1.000 0.000

x17 0.000 0.049

x18 0.000 1.697

x19 0.000 0.635

x20 0.000 0.000

–––––––––––––-

Objective Coefficient Ranges

–––––––––––––––––––––––

Lower Current Upper Allowable Allowable

Variables Limit Values Limit Increase Decrease

–––––––––––––––––––––––

x 1 43.631 43.721 43.772 0.052 0.090

x 2 No limit 43.454 43.884 0.430 No limit

x 3 No limit 43.169 43.787 0.619 No limit

x 4 43.857 43.884 44.111 0.227 0.027

x 5 No limit 43.441 43.721 0.280 No limit

x 6 43.674 43.745 43.797 0.052 0.071

x 7 No limit 43.783 43.789 0.005 No limit

x 8 43.734 43.786 43.876 0.090 0.052

x 9 43.748 43.800 43.879 0.079 0.052

x10 43.783 43.789 43.884 0.095 0.005

x11 43.745 43.813 43.865 0.052 0.068

x12 No limit 43.502 43.791 0.289 No limit

x13 No limit 43.502 43.774 0.272 No limit

x14 No limit 43.162 43.858 0.697 No limit

x15 43.693 43.745 43.816 0.071 0.052

x16 No limit 43.464 43.691 0.227 No limit

x17 No limit 43.441 43.884 0.444 No limit

x18 No limit 43.857 43.884 0.027 No limit

x19 No limit 43.468 43.790 0.322 No limit

x20 No limit 43.427 43.768 0.341 No limit

Right Hand Side Ranges

–––––––––––––––––––––––––––––

Lower Current Upper Allowable Allowable

Constraints Limit Values Limit Increase Decrease

–––––––––––––––––––––––––––––

C 1 No limit 0.000 2.000 2.000 No limit

C 2 1.000 1.000 2.000 1.000 0.000

C 3 No limit 0.000 1.000 1.000 No limit

C 4 No limit 0.000 1.500 1.500 No limit

C 5 No limit 1.000 2.000 1.000 No limit

C 6 0.500 1.000 1.000 0.000 0.500

C 7 No limit 1.000 1.000 0.000 No limit

C 8 No limit 1.000 2.000 1.000 No limit

C 9 1.000 1.000 2.000 1.000 0.000

C10 No limit 4.000 5.000 1.000 No limit

C11 No limit 4.000 5.000 1.000 No limit

C12 No limit 4.000 6.000 2.000 No limit

C13 No limit 6.000 6.000 0.000 No limit

C14 No limit 5.000 5.000 0.000 No limit

C15 No limit 4.000 6.500 2.500 No limit

C16 No limit 4.000 5.000 1.000 No limit

C17 No limit 4.000 5.000 1.000 No limit

C18 No limit 4.000 6.000 2.000 No limit

C19 5.000 5.000 5.000 0.000 0.000

C20 No limit 6.000 6.000 0.000 No limit

C21 No limit 4.000 6.000 2.000 No limit

C22 No limit 4.000 6.000 2.000 No limit

C23 No limit 4.000 6.000 2.000 No limit

C24 No limit 4.000 7.000 3.000 No limit

C25 No limit 3.000 5.000 2.000 No limit

C26 No limit 3.000 4.500 1.500 No limit

C27 No limit 3.000 5.000 2.000 No limit

C28 1.000 1.000 1.000 0.000 0.000

C29 No limit 1.000 1.500 0.500 No limit

C30 No limit 0.000 0.500 0.500 No limit

C31 No limit 1.000 1.500 0.500 No limit

C32 1.000 2.000 2.000 0.000 1.000

C33 No limit 2.000 3.000 1.000 No limit

C34 1.000 1.000 1.500 0.500 0.000

C35 1.000 1.000 2.000 1.000 0.000

C36 5.000 5.000 5.000 0.000 0.000

***** End of Output *****

Rezolvând acest sistem în QM obținem soluția ( x1=0, i4, 9, 14, 15, 16, pentru I= 4, 9,14,15,16 xI=1) cu valoarea funcției obiectiv f*=218.055.

În cazul în care am fi obținut o soluție optimă fracționară, am fi aplicat mai departe metoda Branch&Bound pentru aflarea soluției optime întregi.

Pentru aceste valori cele două funcții obiectiv iau valorile:

f1=15” (ceea ce este acceptabil)

f3= 104480$+102000$+99800$+100400$+100280$=506960$ (aceasta nefiind suma pe care o încasează firma deoarece nu se ține cont de pozițiile respectivelor spoturi – dacă este primul sau ultimul – fapt care aduce un venit suplimentar).

Dacă valorile funcțiilor obiectiv nu sunt satisfacatoare atunci se trece la crearea de noi rețete și se rezolva iarăși sistemul de la început. Dar deorece suma încasată pe luna anterioară a fost de 450000$ atunci se poate considera aceasta ca o soluție acceptabilă.

Pentru obținerea acestui profit, deci trebuie să difuzăm calupurile publicitare: 4, 9, 14, 15, 16. În acestea, în difuzarea lor se va ține cont de restricțiile din contracte, adică cine dorește să aibe prima poziție în calup etc. De asemenea acestea se pot sparge în două sau chiar trei calupuri publicitare, în acest caz putându-ne mări considerabil venitul deoarece vom avea mai multe spoturi pe primele poziții și pe ultimele.

Un exemplu de difuzare a unor calupuri publicitare este următorul:

Calupul ( rețeta) 4 – compus din spoturile:

“Stella Artois”-1, “Autopublicitate”-1, “Wash&Go”-2, ‘Golden Brau”-1, “Chipicao”-1, “Gillette Mach3” –2, “Pantene”-1, “Nova Brasilia”-1, “Gambrinus”-1, “BTR”-1, Rexona”-2, “Ariel”-2, “Palette”-1, “Libresse”-2, “Adisan”-2, “FNI”-1, “Gallina Blanca”-1, “Tylenol Cold”-1, “Fa Men”-2 ar putea fi difuzat în felul următor ( tinând cont că emisiunea, filmul, are o durată de o oră, și mai luând în considerare și condițiile legii, vom putea creea trei calupuri publicitare):

în primul: “Stella Artois”-1, “Autopublicitate”-1, “Wash&Go”-1, ‘Golden Brau”-1, “Chipicao”-1, “Gillette Mach3” –1, “Rexona”-1 cu o durată de 255”, și cu o sumă încasată de PRO TV de 32800$;

în cel de-al doilea: “Pantene”-1, “Nova Brasilia”-1, “Gambrinus”-1, “BTR”-1, “Rexona”-1, “Ariel”-1, , “Libresse”-1, “Adisan”-1, “Fa Men”-1, “Palette”-1 cu o durată de 240” , și cu o sumă încasatăde 42000$;

iar în cel de-al treilea vom avea spoturile: “Adisan”-1, “FNI”-1, “Gallina Blanca”-1, “Tylenol Cold”-1, “Fa Men”-1, “Ariel”-1, “Wash&Go”-1, “Gillette Mach3” –1, “Libresse”- 1 cu o durată de 225”, și cu o sumă încasată de 38400$, și cu o sumă totală încasată de 113200$.

Calupul (reteta) 9 este compusă din spoturile:

“Fa”-1, “89.89.989”-1, “Stella Artois”-1, “Autopublicitate”-1, “Wash&Go’-1, “Golden Brau’-1, “Chipicao”-1, “Gillette Mach3”-1, “Pantene”-1, “Nova Brasilia”-1, “Gambrinus-1, “BTR”-1, “Rexona”-1, “Ariel”-1, “Pallette”-1, “Libresse”-1, “Adisan”-1, “FNI”-2, “Gallina Blanca”-1, “Tylenol Cold”-1, “Dialog”-1, “Always”-1, “Fa men”-1 si ar putea fi difuzat in felul urmator:

“ Fa”-1, “89.89.989”-1, “Autopublicitate”-doar 35”, “Wash&Go”-1, “Golden Brau”-1, “Chipicao”-1, “Gillette Mach3”-1, “Pantene’-1, “Nova Brasilia’-1 cu o durata de 250”, și cu o sumă încasată de 35400$;

“Gambrinus”-1, “BTR”-1, “Rexona’-1, ‘Ariel”-1, “Pallette”-1, “Libresse”-1, “FNI”-1. ‘Autopublicitate”-celelalte 35” cu o durata totala a spotului de 230”, și cu o sumă încasată de 31600$;

“Adisan”-1, “FNI”-1, “Gallina Blanca’-1, “Tylenol Cold”-1, “Dialog”-1, “Always”-1, “Fa Men”-1, “Stella Artois”-1 cu o durata totala a spotului de 240”și cu o sumă încasată de 40800$, suma totala pe acste calupuri fiind de 107800$.

Cel de-al treilea calup publicitar selectat a fost al 14-lea ( a 14-a reteta) care conține spoturile:

“Danone”-1, “Cillit”-1,”Stella Artois”-1, “Autopubicitae”-1, “Wash&Go”-1, “Golden Brau”-2, “Chipicao”-1, “Gillette Mach3”-1, “Pantene”-2, “Nova Braslia”-1, “Gambrinus”-1, “BTR”-1, “Rexona”-1, “Ariel”-1, “Pallette”-1, “Libresse”-1, “Adisan”-1, “FNI”-1, “Gallina Blanca”-1, “Tylenol Cold”-1, “Dialog”-1, “89.85.555”-1 pe care, de asemenea, îl putem împărți în trei calupuri publicitare:

“Danone”-1, “Cillit’-1, “Stella Artois”-1, “Autopublicitate”, “Wash&Go”-1, “Golden Brau”-1, “Chipicao”-1 cu o durata de 265”, și cu o sumă încasată de 32800$;

“Pantene”-1, “Nova Brasilia”-1, “Gambrinus”-1, “BTR”-1, “Rexona”-1,”Ariel’-1, “Pallette’-1, “Libresse”-1, “Adisan”-1 cu o durata de 230”, și cu o sumă încasată de 38800$;

“Pantene’-1, “FNI”-1, “Gallina Blanca”-1, “Tylenol Cold”-1, “Dialog”-1, “89.85.555”-1, ‘Gillette Mach3”-1, “Golden Brau”-1, cu o durată de 215”, și cu o sumă încasată de 36000$, suma totală pe aceste calupuri fiind de 107600$.

Cel de-al patrulea calup publicitar este alcătuit din urmatoarele spoturi publicitare:

“Coca-Cola’-1, “Schauma”-1, “Libero”-1, “89.87.313”-1, “Stella Artois”-1, “Autopublicitate”-1, “”Wash&Go”-1, “Golden Brau”-1, “Chipicao“-1, “Gillette Mach3”-2, “”Pantene”-1, “Nova Brasilia”-1, “Gambrinus”-1, “BTR”—1, “Rexona”-1, “Ariel”-1, “Pallette”-1, “Libresse”-1, “Adisan”-1, “FNI”-1, “Gallina Blanca”-1, “Tylenol Cold”-1, “Connex”-1, “Elita”-1 pe care îl impărțim în trei calupuri publicitare, în felul următor:

“Coca-Cola”-1, “Schauma”-1, “Libero”-1, “89.87.313”-1, “Stella Artois”-1, “Autopublicitate”-cu o durată de 35”, “Wash&go”-1, “Golden Brau”-1 cu o durată de 240”, și cu o sumă încasată de 34800$;

“Chipicao”-1, “Gillette Mach3”-1, “Autopublicitate”- cu o durată de “35”, “Pantene”-1, “Nova Brasilia”-1, “Gambrinus”-1, “BTR”-1, “Rexona’-1, “Elita”-1 cu o durată de 245”, și cu o sumă încasată 34000$;

“Pallette”-1, “Librese”-1, “Adisan”-1, “Gillette Mach3”-1, “FNI”-1, “Gallina Blanca”-1, “Tylenol Cold’-1, “Ariel”-1, “Connex”-1 cu o durată de 235”, și cu o sumă încasată de 38800, suma totală pe aceste calupuri fiind de 107600$.

Ultimul calup publicitar selectat este cel de-al 16-lea ( a 16-a reteta), care are în componența ei urmatoarele spoturi publicitare:

“Dero Activ”-1, “Fa”-1, “89.87.313”, “Stella Artois’-1, “Autopublicitate”-1, “Wash&Go”-1, “Golden Brau”-1, “Chipicao”-1, “Gillette Mach3’-1,”Pantene”-1, “Nova Brasilia”-1, “Gambrinus”-1, “BTR”-1, “Rexona”-1, “Ariel”-1, “Pallette”-1, “Libresse”-1, “Adisan”-2, “FNI”-1, “Gallina Blanca”-1, “Tylenol Cold”-1, “89.89.111”-1, “Always”-1 pe care putem să le difuzăm, de asemenea, în trei calupuri publicitare, în modul urmator:

“Dero Activ”-1, “Fa”-1, “89.87.313”-1, “Stella Artois”-1, “Autopublicitate”-cu o durata de 40”, “Wash&Go’-1, “Golden Brau”-1, “Chipicao”-1, “Gillette Mach3”-1 cu o durată de 250”, și cu o sumă încasată de 41200$;

“Pantene”-1, “Autopublicitate”- cu o durată de 30”, “Nova Brasilia”-1, “Gambrinus”-1, “BTR”-1, “Rexona”-1, “Adisan”-1, “FNI”-1, “Gallina Blanca”-1 cu o durată de 220”, și cu sumă încasată de 32800$;

“Ariel”-1, “Pallette”-1, “Libresse”-1, “Adisan”-1, “Tylenol Cold”-1, “89.89.111”-1, “Always”-1, “Gillette Mach3”-1 cu o durată de 235”, șicu o sumă încasată de 37600$, iar suma totală este de 111600$.

Suma totală încasată pe această lună ar fi de 547800$, diferită de 506960$, diferența este dată de adăugarea taxelor speciale:

prima în calupul publicitar +30%;

ultima în calupul publicitar +20%.

Trebuie să ținem cont și de faptul că unele spoturi sunt cerute a fi date pe prima poziție în calup sau pe ultima poziție. În acest caz le include, dacă sunt mai multe pe prima poziție ( două), în calupuri publicitare diferite. Spre exemplu, dacă “Gillette Mach3” și “Libresse” sunt cerute a fi date pe prima poziție, trecem una dintre ele în cel de-al doilea calup sau în primul (la fel și pentru ultima poziție în calup).

În cazul unor emisiuni cu durată mai mică de 60 minute, vom creea rețete de dimensiunile respective, dar urmărim și emisiunile anterioare și urmatoare respectivei emisiuni, pentru a vedea dacă nu putem să alocăm mai mult timp respectivei emisiuni.

În cazul emisiunilor de lungime mai mare de 60 de minute vom creea calupuri publicitare de lungimea respectivă ( maximă prin lege) și vom incerca să repartizăm, să creeem din acest calup inițial, calupuri de lungimi de 20% din respectivele fracțiuni orare.

Să presupunem că avem o emisiune de lungime 1h si30”. Durata maximă a publicității va fi de: 20% din 90 minute, deci de 18 minute .

După ce vom avea soluția finală, vom încerca să repartizăm aceste minute de publicitate astfel încât în prima oră să avem maxim 12 minute ( 20% din 60 minute) și în doua jumătate ( 20% din 30 de minute). Încercăm să creem din calupul optimal un calup de 12 minute și unul de 6 minute sau mai puțin. În cazul în care nu există nici o posibilitate să avem un calup optimal ( 12 minute), încercăm să minimizăm restul neutilizat. Deci vom avea o problema de croire cu o singură funcție obiectiv ( minimizarea restului neutilizat).

Aceasta este o soluție pur teoretică, deorece în acest moment de foarte multe ori se depășește limita maximă a publicității, în special atunci când “nu se prea uită nimeni din persoanele care ar trebui să o facă.”

Concluzii

A întelege mai bine care factori determină cererea este crucial pentru firmă să realizeze și să susțină profituri mari. Această cunoaștere poate fi utilizată pentru a identifica pe care piețe de desfacere sau segmente de piața eforturile competiționale vor fi concentrate. Aceasta permite firmei să fabrice produse care se vor vinde bine fiindcă acestea au fost făcute să răspundă cererilor consumatorilor. Pentru a diferenția produsul firmei față de celelalte ale firmelor concurente, firma poate introduce schimbări reale (reflectate în obiectivitatea caracteristicilor produsului) sau să-și dea seama de diferențe, care sunt întărite cheltuielile cu advertising-ul și alte activități promoționale.

Un spot publicitar la diferitele televiziuni, particulare sau de stat, deși este mai scump, este și cea mai rentabilă forma de activitate promoțională, deoarece un spot publicitar poate fi văzut de mai multa lume, de mai multe persoane la un singur moment.

Deci firmele vor fi foarte intersate să-și promoveze produsele sau serviciile prin televiziune.

Problema care se pune, la aceste televiziuni, posturi de televiziune, este să difuzeze aceste spoturi cât mai eficient pentru ele, în condițiile impuse de contracte, adică să obțină un profit cât mai mare, aceasta făcându-se și prin utilizarea cât mai eficientă a timpului, a duratei maxime a publicității ( în acest caz nici o firmă care a încheiat contracte cu respectiva televiziune nu poate veni să spună că nu i-a fost transmis spotul la o anumită oră și într-o anumită zi, deși condițiile din contractul respectiv au fost respectate cel puțin în condițiile sale minime). Rezultă că vom avea o problemă de croire ( datorată duratei maxime a publicității – suportul – și a duratelor diferitelor spoturi publicitare – repere-) cu doua funcții obiectiv:

minimizarea timpului neutilizat;

maximizarea profitului respectivului post de televiziune.

După cum am văzut, problema de croire depinde de cunoașterea apriorică a tuturor rețetelor de croire. La aceasta dificultate, în majoritatea cazurilor insurmontabilă, se adaugă greutățile inerente rezolvării problemelor de programare în numere întregi. În acest fel, determinarea optimului acestei probleme necesită un efort de calcul imens, care de cele mai multe ori nu se justifică prin reducerea consumurilor prevăzute.

În practică suntem interesați în obținerea unei soluții acceptabile care, fără a fi cea mai bună, poate fi obținută rapid și cu volum rezonabil de calcule. Din acest punct de vedere, în abordarea “suboptimală” a problemei de croire au fost intreprinse cercetări importante, care s-au soldat cu rezultate satisfăcătoare. Ideea de bază a metodelor “suboptimale” de rezolvare a problemei este următoarea: se generează un număr de rețete inițiale simple și se rezolvă problema de programare liniară asociată (fără restricția de integritate impusă variabilelor). Un test relativ simplu arată că dacă rețetele optimale găsite sunt optimale pe mulțimea necunoscută a tuturor rețetelor posibile. Dacă nu, se generează o noua rețetă de croire care îmbunătatește soluția curentă. Procedeul continuă până la obținerea unei soluții satisfăcătoare din punctul de vedere al restului, al calității rețetelor generate, al timpului și efortului de calcul etc.

Revenind la programarea spoturilor publicitare observăm că aceasta nu se poate face decât prin abordarea “suboptimală”, deorece numărul de rețete posibile este foarte mare. Posibilitatea utilizării metodei croirii este dată de condițiile din contracte prin care ni se cere, de obicei, un număr minim de spoturi difuzate într-o emisiune sau pe săptămână, sau chiar lună, în acest caz specificându-se orele între care trebuie difuzat.

În acest moment programarea calupurilor publicitare se face în ordinea în care acestea sunt primite ( ne referim la contracte), deci în ordinea în care sunt încheiate. În cazul în care avem o siuație de genul: o firmă dorește să-și difuzeze un spot publicitar în trei din cele cinci emisiuni din respectiva săptămână,sau lună, el va fi difuzat în primele trei săptămâni, neluându-se în considerare faptul ca ar putea fi difuzat și în alte zile decât acestea, fapt care ar putea duce la obținerea unui profit mai mare decât

cel actual, prin prisma faptului ca s-ar putea utiliza mai eficient timpul destinat publicității.

Abordarea problemei prin metoda croirii are și părți bune, dar și părti proaste. Obținerea unui profit mai mare este un motiv foarte serios pentru a ne determina să folosim aceasta metoda, dar complexitatea și timpul foarte mare necesar generării tuturor retetelor posibile este un impediment în această cale.

Oricum, chiar dacă abordam “suboptimal” ajungem rapid și mult mai usor la o soluție, nu neapărat cea mai bună, dar suficient de “motivantă“ pentru problema noastră.

Dezvoltarea economiei românești nu se poate face decât prin investiții mari ale diferitelor companii, care pentru a promova cât mai rapid și cât mai eficient pe piața româneasca apelează la advetising, spoturile publicitare fiind, poate cea mai utilizată formă a acestora.

Cererea tot mai mare pentru diferitele spații publicitare va atage dupa sine, pe de o parte utilizarea cât mai eficientă a timpului maxim pentru publicitate, iar pe de altă parte creșterea prețurilor acestor spoturi, ( în S.U.A un spot publicitar la o oră de vârf costă 85000$), pentru utilizarea cât mai eficientă a spațiului publicitar, metoda propusă în această lucrare poate fi o soluție.

Bibliografie

Appleby R. C., – “Modern Business Administration”-Sixth Edition , Ed. Pitman Publishing, Singapore, 1994;

Brown P. W., Martin D., Schultz D. E., -“Strategic Advertising Campaigns”, Ed. NTC Business Books, Bringstoke, 1984;

Ciobanu V., – “Note de Curs – Cercetări Operaționale” – A.S.E., București, 1997;

Ennew C., Watkins T., WrightM., _ “ Marketing Financial Sevices” – Second Edition, Ed. Scotprint Tld, Musselburgh 1995;

Ferguson P. R.,Ferguson G, J., Rathschild R., – “Business Economics” – Ed. Press LFP, 1993;

Mărăcine V., – “Îmbunătățirea Deciziilor Manageriale” – Ed. Economică, București, 1998;

Morogan L.,Gruian A., – “Reporterul de Televiziune- Ghid Practic” – Ed. Global Media Image, Deva, 1999;

Nica V., – “Note de Curs – Cercetări Operaționale” – A.S.E., București, 1998;

Zidăroiu C., Sburlan S., Nădejde I., – “Probleme de Cercetări Operaționale” – Ed. Academiei R.S.R., București, 1971;