Operatorii lui Lupa s si analogul lor [616671]

UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU
FACULTATEA DE S TIINT E
DEPARTAMENTUL DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
MATEMATIC A INFORMATIC A APLICAT A
Operatorii lui Lupa s  si analogul lor
^ n q-calcul
Masterand:
R aducu-R azvan Gheorghe
SIBIU
2018

Cuprins
1 METODE DE CONSTRUT IE ALE OPERATORILOR 2
1.1 Clasicarea operatorilor liniari  si pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Operatori discret i 4
2.0.1 Modulul de continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.0.2 Introducere ^ n operatorii lui Lupa s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.0.3 Construct ia operatorului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.0.4 Q-analogul operatorului Lupa s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.0.5 Evalu ari ale restului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Implementare ^ n Wolfram Mathematica 10
Bibliograe 12
1

Capitolul 1
METODE DE CONSTRUT IE ALE
OPERATORILOR
1. Plec^ and de la o identitate
2. Plec^ and de la o densitate de probabilitate
3. Plec^ and de la o metod a de sumabilitate
1.1 Clasicarea operatorilor liniari  si pozitivi
– de mai multe variabile;
– de o singur a variabil a:
discre t i:
(Ln)(x) =m(n)X
k=0Ck;n(x)f(xk;n);Ck;n>0
cu 0<m(n)1  si lim
n!1m(n) =1, iar
m(n)X
k=0Ck;n(x)!1 uniform.
integrali :
(Ln)(x) =Z
IKn(x;t)f('n(t))dt
cu'nI!I,Kn(x;t)0  si
Z
IKn(x;t)dt!1 c^ andn!1:
2

– dup a ordinul de convergent  a:
de tip Jacson :
jjLnffjjC[a;b]C0!(f;1
n)

jjLnffjjC[a;b]C0!(f;1
n);2(0;1)
3

Capitolul 2
Operatori discret i
2.0.1 Modulul de continuitate
Denit ia 2.0.1 Fief2C(I)o funct ie continu a denit a pe un interval I<. Funct ia
!:C(I))[0;1)!<[f1g , denit a prin:
!(f;) =supfjf(t)f(x)j:t;x2I;jtxjg
se nume ste modul de continuitate al funct iei f.
Observat ia 2.0.1 Datorit a simetriei, rezult a urm atoarea egalitate, care poate  luat a ca
 si denit ie:
!(f;) = sup
x;x+h2I;0hjf(x+h)f(x)j
Observat ia 2.0.2 Modulul de continuitate are urm atoarele propriet at i:
1. Pentruf2B(I), funct ia!(f;
)este nenegativ a, cresc atoare, subaditiv a  si m arginit a,
iar pentru 0, funct ia!(
;)este o seminorm a pe B(I)(subaditiv a  si pozitiv
omogen a)
2. Funct ia f este uniform continu a pe intervalul I, dac a  si numai dac a
lim
&0!(f;) = 0
3. Pentru orice ;0 are loc inegalitatea:
!(f;)(1 +)
!(f;):
4. Pentru orice 0 are loc inegalitatea:
jf(y)f(x)j
1 +jyxj


!(f;):
4

5. Pentru orice 0 are loc inegalitatea:
jf(y)f(x)j
1 +(yx)2
2

!(f;):
Lema 2.0.1 Pentru un interval compact I, modulul de continuitate este echivalent cu
K-funct ionala
K1(f;t) = inf
g02C(I)(jjfgjj+tjjg0jj);t> 0;
^ n sensul c a exist a constantele C1;C2>0 si0>0astfel ^ nc^ at
C1
!(f;)K1(f;)C2
!(f;); pentru< 0:
Teorema 2.0.1 (Popoviciu-Bohmann-Korovkin)
FieAn:C[a;b]!C[a;b]un  sie de operatori liniari  si pozitivi. Dac a
lim
n!1An(ek;x) =ek(x); k= 0;1;2;::
au loc uniform pe [a,b], atunci
lim
n!1An(f;x) =f(x);
are loc uniform pentru orice funct ie continu a pe intervalul compact [a,b].
2.0.2 Introducere ^ n operatorii lui Lupa s
Lupa s propune pentru studiere urm atorii operatori liniari  si pozitivi.
(Lnf)(x) = 2nx1X
k=0(nx)k
2kk!fk
n
; x0; f: [0;1)!<;
unde ()0= 1  si ()k= 1 =(+ 1):::(+k1); k1:
Agratini O. folose ste ace sti operatori liniari  si pozitivi pentru a demonstra o clas a
de operatori intregrali de sumare pe un interval nem arginit, respectiv studiaz a gradul de
aproximare ^ n termenii modulilor de netezime de ordinul unu  si doi. Folosind metode
probabilistice se g asesc propriet at i de aproximare ^ n punctele de discontinuitate, c^ at  si
gradele de convergent  a pentru diferite funct ii de variat ie nem arginit a.
2.0.3 Construct ia operatorului
Plec am de la identitatea
(2.1)1
(1a)=1X
k=0()n
k!ak=2F1(;b;b;a);jaj<1
5

Fie=nx; x0. A. Lupa s consider a operatorii liniari pozitivi
(2.2) ( Lnf)(x) = (1a)nx1X
k=0(nx)k
k!akfk
n
; x0
cuf: [0;1)!<;jf(x)jeAx:Deci avem notat ia e0(t) = 1;ej(t) =tj; j= 1;2;:::
Impun^ and condit ia Lne1=e1g asima=1
2 si operatorii Lupa s devin
(2.3) ( Lnf)(x) = 2nx1X
k=0(nx)k
2kk!fk
n
; x0:
AcestLn-operator are o form a foarte asem an atoare cu cel al operatorului Szasz-
Mirakyan.
AvemLnh=h;h21 si lim
n!1(Lne2)(x) =e2(x):
Simbolul  nreprezint a spat iul liniar al polinomilor cu coecient real cu gradul n.
Pentru orice real x0  si ^ ntregul r0 avem
er(x) :=xr; x;r(t) = (tx)r;(t0); n;r(x) := (Ln x;r)(x):
La acest punct, a dovedit c a
(2.4) Lner=er; r2f0;1g
Lema 2.0.2 Dac aLneste denit de (2.3) atunci, pentru ecare x0, urm atoarele sunt
valide
(2.5) ( Lne2)(x) =x2+2x
n;
(2.6) n;2(x) =2x
n:
Teorema 2.0.2 Dac aLneste denit de (2.3) atunci avem
lim
n!1Lnf=f uniform pe [0;b];
pentru orice b>0.
Suntem interesat i de unele estim ari cantitative pentru rata convergent ei. Vom oferi
estim ari privind convergent a punctual a ^ n termeni de modulul obi snuit primul  si cel de-al
doilea al netedit at ii unei funct ii g, care este denit a de
!k(g;) :=supfj
k
hg(x)j:jhj;x;x +kh2Ig;> 0;
6

undek2f1;2g; g:I!Reste o funct ie real a limitat a,
1
hg(x) =g(x+h)g(x)  si

2
hg(x) =
1
hg(x+h)
1
hg(x).
Teorema 2.0.3 FieLndenit prin (2.3)  si b>0. Avem
j(Lnf)(x)f(x)j(1 +p
2b)!1
f;1pn
; x2[0;b]:
Dac a f are derivata continu a pe [0;b]atunci
j(Lnf)(x)f(x)j2b+p
2bpn!1
f0;1pn
; x2[0;b]:
Teorema 2.0.4 FieLndenit prin (2.3)  si b>0. Urm atoarea inegalitate
j(Lnf)(x)f(x)j
3 + 2bmax
1;b
n
!2
f;1pn
; x2[0;b]:
r am^ ane valabil a.
^In urm atoarea parte a acestei sect iuni vom stabili o formul a de tip Voronovskaja.
Teorema 2.0.5 Fief2[0;1)de dou a ori diferent iabil la un anumit punct x>0 si s a
presupunem c a f(t) =O(t2)c^ andt!1 . Dac a operatorii Lnsunt denit i prin (2.3)
atunci
(2.7) lim
n!1n((Lnf)(x)f(x)) ='2(x)
2f00(x);
r am^ ane valabil a, unde 'este denit ca ':=p
2x
2.0.4 Q-analogul operatorului Lupa s
Pentru a obt ine q-analogul lui (2.3) remarc am
(2.8) 21(;b;bjq;a) =1X
k=0<;q>k<b;q>k
<1;q>k<b;q>kak=1X
k=0<;q>k
<1;q>kak=10(;jq;a)
Teorema 2.0.6 (Heine)
Pentrujaj<1;0<jqj<1;avem identitatea
(2.9)1X
k=0<;q>k
<1;q>kak=(aq;q)1
(a;q)1
7

consider^ and q!1;formula (2.0.6) este aceea si cu (2.1). Deci, consider am familia de
operatori (L<a;q>
n )(x), care depind de parametrii a, q, denit i cum urmeaz a
(2.10) ( L<a;q>
nf)(x) =(a;q)1
(aqnx;q)11X
k=0<nx ;q>k
<1;q>kakf[k]q
[n]q
Calcul am (L<a;q>
ne1)(x)  si obt inem
(L<a;q>
ne1)(x) =1qnx
1qna1
1aqnx:
^Incerc am s a determin am a =  a =  a(n) astfel ^ nc^ at s a avem ( L<a;q>
ne1)(x) = [x]q.
Deorece
(L<a;q>
ne1)(x) =1qnx
1qna1
1aqnx;
rezult a c a a=  a =1
1 +qnx. Deci (L<a;q>
ne1)(x) =[nx]q
[n]q:
Aceasta ne sugereaz a s a facem urm atoarea substitut ie q=qn  q =q1
n. Pentru
aceast a valoare a lui q g asim ( L<a;q>
ne1)(x) = [x]q si[k]q1
n
[n]q1
n=k
n
:
Teorema 2.0.7 (P.P. Korovkin)
Dac a lim
n!1(Lej)(x) =xj; j= 0;1;2atunci
lim
n!1(Lf)(x) =f(x);
pentru f continu a pe [0;M]; M > 0:
Teorema 2.0.8 (A. Lupa s)
Dac a lim
n!1(Lej)(x) = ['(x)]j; j= 0;1;2atunci
lim
n!1(Lf)(x) =f('(x));
pentru f continu a pe [0;M]; M > 0:
Folosind teorema precedent a rezult a c a urm atoarea propozit ie este adev arat a.
Teorema 2.0.9 Fief: [0;1)!R;jf(x)jA(1 +qx)x; A=A(f)>0; f2C[0;M];
cuM > 0. Dac aL<q>
nsunt operatori liniari pozitivi denit i ca ^ n cazul precedent, atunci
lim
n!1(L<q>
nf)(x) =f([x]q);
uniform pe [0;M].
8

2.0.5 Evalu ari ale restului
Consider am
An:C[a;b]!C[a;b];
Bn:C[0;1)!C[0;1); n= 1;2;:::
operatori liniari pozitivi.
Teorema 2.0.10 (P.P. Korovkin)
Dac ajjgjj[a;b]= max
t2[a;b]jg(t)j; g2C[a;b]; si
lim
n!1jjejAnejjj[a;b]= 0; pentru orice j =f0;1;2g;
atunci
lim
n!1jjfAnfjj[a;b]= 0; pentru orice f2C[a;b]:
Teorema 2.0.11 (A. Lupa s)
FieM > 0 si': [0;1)![0;1):
Dac a
lim
n!1jj'jBn'jjj[0;M]= 0; j=f0;1;2g
atunci
lim
n!1jjfBnfjj[0;M]= 0;
oricare ar  f: [0;1)!Rcare este continu a pe [0;M]; M > 0:
Teorema 2.0.12 Dac aqn2(0;1); x2[0;1], atunci exist a o constant a pozitiv a K astfel
jf(x)(L<qn>
nf)(x)jK!(f;p
1qn):
9

Capitolul 3
Implementare ^ n Wolfram
Mathematica
10

11

Bibliograe
[1] Sofonea F. , "Analiz a Numeric a  si Teoria Aproxim arii" , Editura universit at ii din
Bucure sti, 2006.
[2] Sofonea F., "Clasicarea unor operatori-suport de curs"
[3] Agratini O., "ON A SEQUENCE OF LINEAR AND POSITIVE OPERA-
TORS" ,FACTA UNIVERSITATIS (NIS) Ser. Math. Inform. 14 (1999), 41 48
[4] Holho s A. "CONTRIBUT  II LA APROXIMAREA FUNCT  IILOR"-Rezumat Tez a de
doctorat
12