Operatii cu Numere Naturale In Cocentrul 1000 1000000
CUPRINS
ARGUMENT
CAPITOLUL I: INTRODUCERE. MOTIVAREA ALEGERII TEMEI
1.1.Perfecționarea lecției în școala modernă
1.2. Dezvoltarea gândirii în funcție de alegerea metodei de învățământ.
1.3. Motivarea alegerii temei
CAPITOLUL II. FUNDAMENTAREA ȘTIINȚIFICĂ, DOCUMENTARĂ A TEMEI
2.1. Revizuirea strategiilor didactice pentru realizarea optimă a obiectivelor urmărite
2.2. Utilizarea metodei descoperirii ca o tehnică de lucru
2.3. Descoperire și problematizare. Metode de rezolvare
2.4. Învățărea prin rezolvarea de exercitii si probleme
2.5. Etapele procesului de dezvoltare a creativitatii
2. 6. Metode didactice de dezvoltare a cretivitatii
2. 7. Aplicarea metodei descoperirii la orele de matematică
CAPITOLUL III: STUDIUL DE CAZ
3.1. Obiectivele lucrării
3.2. Metode de cercetare folosite în elaborarea lucrării
CAPITOLUL IV: PREZENTAREA ȘI INTERPRETAREA REZULTATELOR OBȚINUTE
4.1. Înțelegerea de către elevi a „cuvintelor semnal" ce conduc la identificarea operațiilor necesare rezolvării problemelor
4.2. Înțelegerea de către elevi a operațiilor de înmulțire și împărțire utilizate in rezolvarea problemelor
4.3. Înțelegerea de către elevi a unor expresii care se întâlnesc în probleme
4.4. Transpunerea rezolvării problemelor printr-o singură expresie
CAPITOLUL V: CONCLUZII. PROPUNERI AMELIORATIVE
ANEXE
BIBLIOGRAFIE
Argument
Nici biologul, nici lingvistul, nici istoricul nu se poate lipsi astăzi de matematică. Valoarea cognitivă a acestei stiinte a fost si este foarte mare. De bună seamă, în scoală, acest proces este reflectat de însemnătatea ce se acordă matematicii, de locul pe care îl ocupă acest obiect în procesul de învătământ.
Caracterizată prin spiritul său de ordine, disciplina matematica presupune un deosebit mod de gândire. Însusirea notiunilor matematice, pătrunderea în esenta lor necesită un efort sustinut si bine gradat al intelectului , a gândirii si reprezintă în acelasi timp antrenamentul mintal sau gimnastica mintii necesară în dezvoltarea intelectuală a elevilor.
Am ales tema ,, Aspecte ale dezvoltarii creativitatii la scolari prin rezolvarea de probleme" deoarece insusirea matematicii pentru viată, în scopul aplicării ei, presupune necesitatea folosirii unor metode cu caracter formativ, a metodelor care cer participarea constientă a elevului pentru stimularea capacitătii creatoare.
Pentru a-și îndeplini rolul de formare a omului, scoala nu trebuie sa pună pe elev în postura unui simplu receptor de cunoștințe statice, trebuie să-l stimuleze să gândească și să lucreze prin eforturi personale. Ritmul și amploarea cuceririlor matematice, bogăția și varietatea metodelor de lucru impun și dezvoltarea culturii matematice a oamenilor. Datorită specificului ei, matematica se învață pentru a se aplica în practică. Este de fapt știința care are cele mai complexe legături cu viața.
Un rol aparte revine inventivității considerată premisă a creativității elevului și cadrului didactic în măsura în care aceștia au capacitatea de a produce relatii instrucționale și educaționale noi față de realizările anterioare și pot autoperfecționa permanent activitatea, cu efecte optime atât pe plan psihopedagogic cât și socio-economic.
Procesul creativ nu poate fi izolat de contextul proceselor psihice. Pentru a se angaja in orice act de creație, individul are nevoie de o energie motivațională suficientă pentru a iniția și susține procesul creator. Motivul creator se exprimă prin ,, nevoia de noutate și orientare spre nou". În cazul unei motivații prea slabe individual se descurajează prea repede și abandonează sarcina, iar în cazul uneia prea puternice se observă o deteriorare a proceselor cognitive, reducându-se substanțial capacitatea de a rezolva.
Foarte important pentru formarea motivației creative se dovedește a fi modul în care este apreciat individul și rezultatele activității sale, colectivul având un rol important în formarea și crearea posibilităților de realizare a motivației creatoare, putându-se vorbi de un climat motivațional.
CAPITOLUL I: INTRODUCERE. MOTIVAREA ALEGERII TEMEI
1.1.Perfecționarea lecției în școala modernă
În contextul preocupărilor pentru modernizarea învățământului, pentru racordarea lui la cerințele epocii contemporane, cele destinate ridicării calității învățământului matematic ocupă un loc prioritar.
Introducerea, încă de la baza învățământului, a unor concepte de mare generalitate, concepte unificatoare pe tot parcursul învățării matematicii, nu presupune doar achiziționarea acestuia ca entități independente, ci cultivă o nouă posibilitate de a gândii și de a înțelege matematica prin: cunoașterea modurilor fundamentale de organizare a entităților matematice, sesizarea relațiilor fundamentale a proprietăților acestora, cunoașterea dinamicii relatiilor și a clasificărilor matematice. Matematica moderna ia deci în considerație ansamblul structural al științelor matematice, principiile fundamentale, relațiile dintre entitățile matematice.
Pentru a-i dezvălui copilului de la început caracteristicile matematicii moderne și pentru a-l învăța să gândească în spiritul ei, conceptele de număr natural, operațiile cu numere naturale trebuie fundamentate pe conceptul general de mulțime. Operațiile concrete cu mulțimi de obiecte trebuie sa fie operații logice pe suport concret, elevii fiind puși în situația de a analiza nu o simplă manipulare de obiecte, comenzile învățătorului, ci un efort mintal vizând operații de clasificare, scriere, ordonare, etc. Știința care se impune este deci ca în introducerea unei noțiuni să se dea numai acele elemente pentru care există posibilitatea reală a înțelegerii de către elevi.
În clasele I-IV se dobândesc tehnicile instrumentale de muncă intelectuală. Matematica este disciplina care operează cu cel mai mare număr de algoritmi (numărare, calcul), pe care elevii îi învață sub forma unor noțiuni, definiții, reguli, table(înmulțirii, împărțirii), pe care îi aplică apoi în mod creativ în rezolvarea unor situații din ce în ce mai complexe. Orice nouă achiziție matematică are la bază achizițiile precedente, trecerea de la un stadiu la altul superior făcându-se printr-o reconstrucție continuă a sistemului național și operativ. Dar pentru realizarea acestui scop trebuie sa stabilim obiectivele care reprezintă o concretizare, o specificare a ceea ce orim să realizăm, atingând treapta operaționalizării în acțiune.
Operaționalizarea obiectivelor constă între altele și într-o astfel de formulare precisă, concretă, avându-se în vedere natura și gradul de complexitate ale cunoștințelor, deprinderilor și priceperilor. Obiectivele operaționale în sfera matematicii pot fi subdivizate în:
obiective de învățare, care se referă la date, fapte, reguli și principii care se cer cunoscute
obiective de transfer, care se referă la capacitatea subiecților de a utiliza cunoștințele asimilate și în alte situații, fie similare, fie noi
obiective de examinare, precum și la posibilitățile de creație ale elevului.
Obiectivele generale prioritare ale matematicii vizează:
cunoașterea faptelor specifice ale convențiilor matematice. Ea reprezintă, de fapt, primul nivel al operațiilor gândirii matematice și se bazează pe reproducerea regulilor, definițiilor și tehnicilor algoritmice cele mai simple, făcând apel în special la structurile de tip numeric.
Înțelegerea conceptelor numerice, a operațiilor și a proprietăților operațiilor. Această categorie de obiective vizează esența conceptelor matematice și a tehnicilor de calcul.
Formarea deprinderilor de calcul. Această categorie presupune numai cunoașterea tehnicilor de calcul și explicarea principiilor care stau la baza lor, ci, îndeseobi, formarea algoritmilor și a secvențelor algoritmice, astfel încât ele să constituie instrumente de lucru pentru elevi în învățarea matematicii. Cum funcția instrumantală a învățământului primar este prioritară, obiectivele privind formarea deprinderilor și abilităților, împreună cu cele destinate formării comportamentului rezolutiv de calcul, acoperă cea mai mare parte din repertoriul cognitiv-operațional al elevilor.
Aplicarea practică reprezintă categoria de obiective care vizează formarea capacității elevului de a da funcționalitate cunoștințelor dobândite, de a le utiliza atât în practica învățării matematicii, cat și în situații concrete de viață.
Toate aceste obiective se pot operaționaliza pentru un capitol, set de lecții și lecție.
Pentru ca școala să răspundă cerințelor de a asigura un tineret bine pregătit, oferind șanse egale de studiu și de dezvoltare a capacităților intelectuale, a fost necesară construcția unui curiculum școlar care constă în elaborarea unui program pedagogic de predare-învățare-evaluare.
Acest program este centrat pe selecția, planificarea și programarea certitudinilor corespunzătoare în vederea realizării unor obiective generale și secifice, pentru îndeplinirea finalităților educative ale acestui segment de învățământ.
Din studiul elementelor de bază ale curriculum-ului școlar planul de învățământ și programelor analitic se observă că în cadrul obiectivelor de studiu, matematica ocupă un loc primordial acordându-se pentru fiecare clasă câte 4 ore pe saptămână. La sfârșitul clasei a IV-a elevii trebuie să cunoască numerația, cele 4 operații matematice, calculul oral și scris.
1.2. Dezvoltarea gândirii în funcție de alegerea metodei de învățământ.
In ultimile decenii, sursele care furnizează mesaje pentru cultura generală și de specialitate s-au multiplicat, ele modificând și amplificând cu rapiditate informațională.Prin ritmul și cantitatea de informații, prin transformările structurale și metodologice, prin aplicații spectaculoase și eficiente, dezvoltarea științei și relațiilor interumane contemporane îmbogățește sfera și conținutul educației cu noi domenii.
Caracterul creator al activității în orice domeniu, nevoai omului de a se adapta continuu la situații, la procese și probleme de muncă mereu noi impun ca școala, odată cu funcția ei informativă, să dezvolte și aptitudinile intelectuale ale elevilor.O contribuție esențială la realizarea acestei sarcini o dă studiul matematicii în manieră modernă.
Învățarea matematicii trebuie concepută ca o structură a proceselor esențiale de însușire a cunoștințelor, de prelucrare și utilizare a lor astfel încât să permită rezolvarea, în continuare, de sarcini noi.Se impune renunțarea la stocarea unor cunoștințe insuficient selectate, prelucrate, accentul trecând pe elaborarea tehniciilor intelectuale ale învățării.
Rezultatele deosebite,chiar cele mai bune în însușirea cunoștințelor de matematică, se pot obține într-un cadru problematic, într-o atmosferă menită să dezvolte gândirea, spiritul critic, să susțină interesul și curiozitatea.A-i pune elevului probleme de gândire, dar mai ales, a-l pregăti să-și pună singur întrebări , este mult mai important decât a-l conduce spre rezolvarea lor prin modalități stereotipe.
Pornind de la însușirea noțiunii de număr și sfârșind cu rezolvarea unor probleme ce vizează atingerea unor performanțe, disciplina „matematică” presupune un mod deosebit de gândire și,ca urmare, în învățarea matematicii nu este nimic mai important decât a oferi cât mai de timpuriu posibilitatea ca toți elevii să-și însușească acest mod de gândire.Stadiul superior de gândire, spre care trebuie să tindă învățământul matematic este formarea gândirii creatoare,gândire ce se manifestă printr-o activitate intelectuală deosebită, atât de necesară omului contemporan. Pornind de la adevărul exprimat, că matematica trebuie să-l învețe pe elev ”să știe să folosească informațiile”, nu putem concepe predarea matematicii ca obiect care impune înmagazinarea unui cuantum de cunoștințe neproductive.Este necesar ca elevul să învețe înțelegând și să înțeleagă învățând.Aceasta necesită deci un maxim de înțelegere, dar și acumulări care să permită copilului să înainteze în descoperirea și stăpânirea realității.
O adevărată matematică cică, se pot obține într-un cadru problematic, într-o atmosferă menită să dezvolte gândirea, spiritul critic, să susțină interesul și curiozitatea.A-i pune elevului probleme de gândire, dar mai ales, a-l pregăti să-și pună singur întrebări , este mult mai important decât a-l conduce spre rezolvarea lor prin modalități stereotipe.
Pornind de la însușirea noțiunii de număr și sfârșind cu rezolvarea unor probleme ce vizează atingerea unor performanțe, disciplina „matematică” presupune un mod deosebit de gândire și,ca urmare, în învățarea matematicii nu este nimic mai important decât a oferi cât mai de timpuriu posibilitatea ca toți elevii să-și însușească acest mod de gândire.Stadiul superior de gândire, spre care trebuie să tindă învățământul matematic este formarea gândirii creatoare,gândire ce se manifestă printr-o activitate intelectuală deosebită, atât de necesară omului contemporan. Pornind de la adevărul exprimat, că matematica trebuie să-l învețe pe elev ”să știe să folosească informațiile”, nu putem concepe predarea matematicii ca obiect care impune înmagazinarea unui cuantum de cunoștințe neproductive.Este necesar ca elevul să învețe înțelegând și să înțeleagă învățând.Aceasta necesită deci un maxim de înțelegere, dar și acumulări care să permită copilului să înainteze în descoperirea și stăpânirea realității.
O adevărată matematică constă în a promova o muncă intelectuală permanentă care să sprijine în fiecare treaptă a evoluției, pe o schelă din ce în ce mai solidă, care o reprezintă cunoștințele și automatismul. Privită astfel, învățarea matematicii nu este un scop în sine ci va deveni o pasionantă cale prin care elevul va redescoperi adevăruri fundamentale și își va însuși multiple metode pentru a soluționa probleme de viață, probleme ale științei.Matematica se învață deci gândind, imaginând, creând situații problematice și probleme în ideea că astfel , gândirea se formează pe sine, se dezvoltă în activitatea de cultivare a curiozității științifice, a frământării și preocupării pentru descifrarea necunoscutului.
Creativitatea , ca formă complexă de personalitate, se formează și exersează cu metode cât mai adecvate structurii sale, metode care să acționeze pe tot parcursul școlarizării elevului. În sistemul influențelor ce se exercită pe diferite direcții pentru creșterea acțiunii formative a școlii, jocul didactic are un rol important, deoarece putând fi inclus în structura lecției, se poate realiza o îmbinare între activitatea de învățare și joc, îmbinare care facilitează procesul de dobândire și consolidare a cunoștințelor.
N.Oprescu spune că „a învăța pe elevi și a-i ajuta să prezinte cunoștințele într-o formă personală, să caute soluții originale, să grupeze și să ierarhizeze ideile, înseamnă că am realizat dezideratele esențiale, ale educării gândirii matematice la elevi”. Afirmația conform căreia toți elevii pot obține rezultate buna sau măcar satisfăcătoare în însușirea matematicii, unanim acceptată ca adevărată de către psihologi, pedagogi și matematicieni impune fiecărui cadru didactic o atitudine optimistă în preocuparea de educare a creativității matematice.Acest proces trebuie luat ca un sistem deschis, continuu, perfectibil ale cărui componente sunt asemenea treptelor unei scări.O parte din elevi înregistrează progrese parcurgând treaptă cu treaptă, în timp ce alții, cu o gândire mai rapidă, parcurgând două sau trei trepte simultan.
Posibilitățile de a-i pune pe levi în situația de a desfășura o activitate creatoare la matematică sunt multiple.Efortul de a găsi drumul cel mai bun pentru a conduce copilul spre cunoașterea matematicii, a realității prezintă o importanță actuală pentru procesul și cadrul didactic preocupat, antrenat în educarea omului viitorului.
Activitatea gândirii se manifestă cel mai pregnant în rezolvarea de probleme, activitate de profunzime, cu caracter de analiză și sinteză superioară. Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive,toate acestea pe suportul stăpânirii unui repertoriu de cunoștințe matematice solide (noțiuni,definiții,reguli) precum și deprinderi de rezolvare a acestora.
Prin definiție „problemă” înseamnă ceea ce ți se aruncă în față ca barieră, obstacol, provocare.Deci orice problemă este în esență o incitare la efortul de investigație, descoperire, originalitate. Înainte de problemă se instituie situația problematică, sau o „structură generativă de probleme”.(Chomsky).Rezolvarea acestei situații problematice necesită o aplicare creatoare a cunoștințelor și metodelor de care dispune școlarul în momentul respectiv.
Deoarece rezolvarea problemelor pune la încercare în cel mai înalt grad capacitățile intelectuale ale elevilor, le solicită acestora toate disponibilitățile psihice, în special inteligența, consider imperios necesară preocuparea deosebită în această direcție în cadrul activității didactice.
În activitatea școlară , elevul întâlnește atât situații identice, în a căror rezolvare aplică metode și procedee standardizate de tip algoritmice,dar șî probleme noi pentru care nu găsește soluții în experiența dobândită. Când situația o poate rezolva pe baza cunoștințelor sau deprinderilor anterior foemate, deci a unor soluții existente în experiența câștigată, activitatea matematică se înscrie în zona unor rezolvări stereotipe.
Acțiunea de rezolvare a problemelor nu numai că duce la o acumulare de experiență specifică, dar are și efecte formative din cele mai importante,întrucât conturează matrițe rezolutive și exersează coordonările operaționale corespunzătoare.Intervin generalizările și transformări ce se înscriu în constituirea de capacități rezolutive și de aceea este corectă aprecierea rezolvării de probleme ca un „ proces superior de învățare”.
Eugen Rusu ne îndemna : „să câștigăm un mod de a gândi prin care rezolvând efectiv un număr restrâns de probleme,să devenim capabili a rezolva mai multe, iar când întâlnim o problemă esențial nouă,când necesită o atitudine creatoare să punem în lucru intuiția care ne conduce pe căile cele mai favorabile reușitei”.
Problemele de matematică în ciclul primar s-ar putea grupa astfel :
-după finalitate și după sfera de aplicabilitate, le structurăm în probleme teoretice și aplicații practice a noțiunilor învățate;
– după conținutul lor, problemele matematice pot fi geometrice ,de mișcare,etc.
– după numărul operațiilor sunt probleme simple și compuse;
– după gradul de generalizare al metodei folosite în rezolvare avem probleme generale (în a căror rezolvare se folosește fie metoda analitică, fie metoda sintetică) și probleme tipice rezolvabile printr-o metodă specifică, grafică, reducere la unitate, a folosi ipoteze, a comparației, etc.
– probleme recreative, rebusistice,de perspicacitate și ingeniozitate-probleme cu foarte mare valență formativă.
Organizarea activității de rezolvare a problemelor se fundamentează pe cinci principale etape și momente de efort mintal pe care le parcurg elevii:
– cunoașterea enunțului problemei;
– înțelegerea enunțului problemei;
– analiza și schematizarea problemei;
– rezolvarea propriu-zisă a problemei;
– verificarea rezolvării problemei și punerea rezolvării sub formă de exercițiu sau fragmente de exercițiu, formularea de probleme ce se rezolvă după același exercițiu, generalizarea.
În funcție de dificultatea problemei, de posibilitățile pe care le oferă vârsta școlară respectivă, de experiența elevilor în legătură cu rezolvarea problemelor, acțiunea de rezolvare a problemelor, pe etape și în ansamblul ei, se desfășoară în maniere specifice. Rezolvarea problemelor de matematică la clasele I-IV reprezintă,în esență, rezolvarea unor situații problematice, pe care le putem întâlni în practică, în viață.Această activitate este subordonată dublului scop formativ și informativ. Efortul pe care-l face elevul în rezolvarea conștientă a unei probleme presupune mobilizarea proceselor psihice de cunoaștere,cu precădere a gândirii. La elevi se formează priceperea de a analiza situația dată de problemă(valorile numerice, relațiile cunoscute) și a „ descoperi” calea prin care se obține ceea ce se cere în problemă.Aceasta duce la dezvoltarea gândirii, la formarea limbajului matematic,la perfectarea lui.Dar nu numai procesele de cunoaștere sunt mobilizate în rezolvarea unei probleme, ci acestea constituie foarte bine, exerciții de educare a voinței,a dârzeniei, a perseverenței,a spiritului de inițiativă.
Literatura de specialitate a dus la concluzia că rezolvarea și crearea independentă de probleme, moment central al formării gândirii matematice creatoare, poate fi introdus încă din clasa I. Acest moment deosebit al introducerii noțiunii de problemă și apoi a rezolvării ei, l-am realizat prin activități sub formă de joc care angajează multiple procedee creatoare.
Exemplu : „Într-un parc sunt trei leagăne.Ana, Mirela și Daniela vor să se dea în leagăn.Cum se pot grupa fetele?”.Leagănele le-am redat prin jetoane cu imagini corespunzătoare iar copiii au fost aleși chiar din clasă.
Soluția 1 : fiecare fetiță s-a plasat la câte un leagăn;
Soluția a-2-a: toate trei s-au plasat la același leagăn;
Soluția a-3-a: câte două într-un leagăn,în combinații diferite,al treilea leagăn rămânând liber.
Jocurile de combinații și regrupări deschid calea altora mai complicate. Exemplu : „Trenul vacanței circulă pe ruta Drobeta Turnu Severin-Constanța. În gările mari a lăsat sau a luat vagoane. Tot timpul a avut în componență numai câte 8 vagoane. Cum s-a realizat aceasta?”. Copiii pot realiza multe combinații: 5+3; 6+2; 9-1; 8-2, etc
Jocurile prezentate mai sus au deosebite implicații psihopedagogice.Descriind componența numărului, ele dezvăluie miracolul combinațiilor,dezvoltă imaginație,flexibilitatea gândirii și plăcerea căutărilor. Astfel apare de la bun început capacitatea de a „vedea” căi diversificate de operare cu datele și de a căuta multiple și diverse soluții, premise hotărâtoare ale soluționării și creării independente,originale de probleme. Noțiunile de „problemă” și de „rezolvare” a unei probleme au un conținut complex și constituie un proces îndelungat care se bazează pe utilizarea repetată și în împrejurări variate a acestora.
Pentru a-i face să vadă încă din clasa întâi utilitatea activității de rezolvare a problemelor este necesar ca micii școlari să înțeleagă faptul că în viața de toate zilele sunt situații când trebuie găsit un răspuns la diferite întrebări. Astfel primele probleme simple sunt acelea pe care și le pune copilul zilnic la școală,în familie, în timpul jocului și care sunt ilustrate cu exemple familiare lui. Având ca suport acțiuni concrete elevii „au rezolvat” și au compus probleme de forma :
„Intr-o vitrină sunt 5 masini, iar în alta 3 masini. Câte păpuși sunt în total?”
„Intr-o vitrină sunt cinci masini. Câte păpuși mai punem pentru a obține 8 masini?”
„Intr-o vitrină sunt 8 masini. Luăm 3 masini. Câte masini rămân?”
Trecând la punerea problemei în schemă și apoi la ilustrarea ei prin desen, elevii se deprind cu rezolvarea problemelor simple de adunare și scădere,dar își formează și reprezentări despre „întreg”, „parte”, „părți egale și inegale”, compunerea și descompunerea întregului, aflarea întregului când se cunosc părțile,aflarea unei părți când se cunoaște întregul și cealaltă parte.
Dependența dintre părți și întreg a fost stabilită de către școlari tot prin acțiune concretă. Folosind și pornind de la probleme analizate, rezolvate s-a trecut la mărirea și micșorarea unei părți sau a tuturor părților.În procesul de rezolvare în mod creator a unei probleme și, apoi, de compunere a acesteia, un moment important îl constituie evidențierea și cunoașterea cu claritate a celor două componente ale unei probleme și anume : condițiile, respectiv datele cunoscute și cerințele acesteia, adică ce anume trebuie să fie căutat în condițiile date.
Procesul creator a fost stimulat de întrebări și de îndeplinirea diferitelor sarcini menite să-i încerce puterile și să ajungă prin efort propriu la învingerea dificultăților oferindu-i satisfacția acțiunii întreprinse prin : completarea întrebării când se prezintă numai enunțul; formularea unui enunț pornind de la întrebare, formularea altor întrebări, corectarea întrebării în funcție de enunț.
Toate acestea întăresc convingerea despre unitatea celor două componente ale problemei, dar nu numai atât. Pe fondul unei atmosfere de „joc”, elevii sunt introduși treptat în una din cele mai dificile taine ale creației: formularea întrebărilor.
Se pornește de la formulări simple „Anca are 7 pere. Dă fratelui său 3 pere. Ce putem afla?”. Apar diverse întrebări :
„Câte pere i-au rămas Ancăi?”
„Câte pere are acum Anca?”.
Dar, purtând mai multe discuții, stimulându-i, elevii descoperă și laturi mai ascunse :
„Cu câte pere are mai mult Anca decât fratele ei ?”
„Cu câte pere are mai puțin fratele ei?”
„Care este diferența dintre numărul perelor Ancăi și cel al fratelui?”.
1.3. Motivarea alegerii temei
În ciclul primar, matematica a rămas și va rămâne una din disciplinele de baza. Elevii își însușesc noțiuni elementare cu care operează pe tot parcursul vieții. Școlarilor li se formează unele aptitudini și abilități ale gândirii, pe lângă deprinderile de calcul și de rezolvare a problemelor.
Predarea matematicii la clasele I-IV are în vedere trei planuri: instructiv, educativ și practic, având drept obiectiv fundamental dezvoltarea intelectuală a elevilor, însușirea instrumentelor de calcul și de rezolvare a problemelor.
Pe plan instructiv se urmărește formarea conceptului de număr natural, cunoașterea, denumirea și a modului de scriere a numerelor naturale, înțelegerea operațiilor de adunare, scădere, înmulțire și împărțire, a proprietăților acestora, precum și formarea deprinderilor de a efectua aceste operații.
Pe plan educativ se realizează dezvoltarea gândirii logice, cultivarea calităților acesteia prin exersarea operațiilor sale, dezvoltarea atenției voluntare stabile, memoriei logice, cultivarea unor trăsături pozitive de voință și caracter (răbdare, perseverență, corectitudine, conștiinciozitate, disciplină), formarea unui limbaj matematic corect și transformarea unor termeni matematici în vocabularul activ al elevilor.
Însușirea de către elevi a sistemului de noțiuni și cunoștințe pe care le cuprinde matematica reclamă o gândire științifică inductivă și deductivă, capabilă să preia rolul conducător în desfășurarea proceselor de abstractizare și generalizare. Matematica, lucrând în prima fază cu obiecte și noțiuni concrete, orientează mintea elevilor spre înțelegerea noțiunilor, spre stabilirea a ceea ce este esențial în lucruri, contribuind în felul acesta la formarea începuturilor gândirii abstracte și dezvoltarea în continuare a acesteia.
Pe plan practic se urmărește formarea capacității de a utiliza cunoștințele de matematica în rezolvarea problemelor pe care le pune viața de toate zilele, de a întrebuința aceste cunoștințe în cazuri noi, de a contribui în mod creator la soluționarea laturilor matematicii ale problemelor care se ivesc la tot pasul.
Întrebuințarea cunoștințelor privitoare la numerația scrisă și orală, utilizarea pe scară largă a calculului oral și scris, formarea unei concepții unitare despre unitășile de măsură și întrebuințarea curentă a acestor unități constituie doar câteva din prilejurile care se referă la aplicarea practică a cunoștințelor de matematică.
În ciclul primar se formează noțiunile matematice elementare cu care copilul va opera pe tot parcursul vieții și pe care se clădește întregul sistem al învățământului matematic, că acum se formează ,,instrumentele" mentale de bază (deprinderi de calcul de rezolvare a problemelor), se formează unele aptitudini și abilități ale gândirii.
Experiența acumulată în activitatea de organizare a procesului de învătământ și studierea actului învățării au condus la formarea unor norme și reguli generale care trebuie respectate în desfășurarea învățământului numite principii didactice sau principii de învățământ.
CAPITOLUL II. FUNDAMENTAREA ȘTIINȚIFICĂ, DOCUMENTARĂ A TEMEI.
2.1. Revizuirea strategiilor didactice pentru realizarea optimă a obiectivelor urmărite
Predarea-învățarea matematicii în clasele I-IV vizează următoarele obiective generale:
Însușirea de informații, deprinderi și capacități specifice matematicii, ca disciplină științifică.
Însușirea unor deprinderi și capacități specifice aplicării materiei în cotidian sau în alte domenii.
Formarea unor capacități personale și a unor atitudini față de matematică
Însușirea unor deprinderi de comunicare.
Matematicienii și pedagogii care au studiat procesul de învățare a matematicii au acceptat că învățământul matematic trebuie să pornească de intuiție și să rămână intuitiv atât cât permite conținutul său.
Cuvântul intuitiv are în mod curent două accepții diferite. Astfel, pe de o parte este înțelesul de neabstract, neriguros, palpabil, concret, vizual, plauzibil, incomplet, iar pe de altă parte are semnificația de integrativ, opus lui detaliat sau analitic. În matematica școlară termenul intuitiv se folosește în prima accepțiune. Acestuia i se asociază termenul de cunoaștere intuitivă, cunoaștere dobândită prin contactul nemijlocit cu realitatea obiectivă, prin intermediul simțurilor, prin operare pe model fizic sau prin operare cu imagini. Acestă cunoaștere este imperfectă, neriguroasă dar furnizează un fond de prezentări fără de care nu ar fi posibilă trecerea la noțiunile abstracte, la stabilirea riguroasă a relațiilor dintre acestea, cu alte cuvinte la cunoașterea de tip superior, cunoașterea logică, discursivă. Cercetării matematice îi este proprie a doua accepțiune a termenului intuitiv. Intuiția aici este acel proces mintal în care etapele raționamentului sunt comprimate ajungându-se direct la soluția problemei. În școală, rezolvarea de probleme pune pe lev într-o situație similară cercetătorului. Soluțiile ingenioase ale multor probleme sunt cel mai adesea rezultatul unor intuiții fericite.
În predarea matematicii trebuie avut în vedere ca elevii să-și formeze noțiunile fundamentale prin abstragerea lor de la realitatea fizică. În clasele primare este utilă cel mai adesea intuirea pe obiecte concrete – se taie de exemplu un măr în două bucăți egale și apoi fiecare bucată se taie în două părți egale pentru a explica doimea, pătrimea și că pătrimea este o doime din doime. În general însă, intuirea se realizează cu mijloace și materiale speciale.
Un sistem care reproduce – prin indiferent ce mijloace – note sau particularități ale altui sistem numit sistem modelat și care ușurează accesul la cunoaștere și/sau acțiune asupra sistemului modelat se numește model. Cele două sisteme – sistemul modelat și modelul – pot fi:
ambele abstracte
modelul concret și sistemul modelat abstract
modelul abstract și sistemul modelat concret
ambele sisteme concrete
Matematica fiind abstractă, o pondere semnificativă între mijloacele de intuire o au modelele concrete pentru sistemele matematice abstracte. În această categorie putem considera: desenele, planșele, diverse secțiuni corpurile geometrice, rigle, corpuri geometrice, instrumente pentru unitățile de măsură, diafilme, diapozitive, filme didactice, desenele pe calculator.
Ultimele generații de calculatoare au facilitatea de a crea numeroase modele pentru înțelegerea noțiunii de număr natural și de operații au numere naturale, precum și pentru corpuri și figuri geometrice în înțelegerea proprietăților acestora.
Poziționarea numerelor pe o dreaptă constituie un model simbolic concret de prezentare a mulțimii numerelor naturale, diagrama Venn-Euler fiind un model simbolic concret pentru mulțime. Modelul construirii mulțimii numerelor naturare pe baza teoriei mulțimii sau prin axiomatica lui Peano constituie un model abstract.
Modelul constituirii mulțimii numerelor întregi sau a mulțimii numerelor raționale constituie tot un model abstract.
Momentul plasării în lecție a mijloacelor de instruire depinde de natura acestora și de conținutul matematic asupra căruia trebuie concentrată atenția elevilor.
Raportul cunoaștere intuitivă – cunoaștere logică evoluează favorabil cunoașterii logice pe măsură ce elevii cresc. Această evoluție trebuie să se producă pe nesimțite, fără șocuri care să denatureze în mintea elevului raportul intuiție-rigoare logică în sensul fie de a disprețui intuiția,fie de a se speria și descuraja de imperativele rigorii.
În perioada învățământului primar se vor oferi elevilor materiale intuitive clare, capabile să-i conducă la formularea faptului matematic. Uneori se pot prezenta și modele intuitive care conduc la greșeli, care pot fi explicate elevilor pentru a justifica necesitatea raționamentului și în sfârșit vor fi eliminate modele concrete, obiectuale păstrându-se cele abstracte. Operațiile matematice de exemplu se introduc inițial cu material didactic concret ca mai apoi să se găsească reguli și algoritmi de adunare, scădere, înmulțire, împărțire.
Matematica, prin caracterul abstract și complex al conceptelor ei care solicită eforturi susținute de înțelegerea, impune cu mai mare strigență ca alte discipline învățarea activă și conștientă.
Gradul de înțelegere a unui set de cunoștințe matematice diferă de la subiect la subiect și depinde în mare măsură de mijloacele care au dus la înțelegere.
Matematicianul G. Polya, analizând procesul înțelegerii matematice, distinge patru niveluri ale cunoașterii:
cunoașterea mecanică – elevul a înțeles mecanismul regulii, a reținut-o, a acceptat-o și poate să o aplice corect
cunoașterea inductivă – elevul a folosit regula într-o serie de cazuri și s-a convins că funcționează corect și o aplică în cazuri asemănătoare
cunoașterea rațională – elevul cunoaște o demonstrație a regulii
cunoașterea intuitivă sau cunoașterea integrativă – elevul a integrat regula în sistemul anterior de cunoștințe, poate să o folosească fără efort, să o interpreteze, modifice, adapteze, generalizeze.
Realizarea cunoașterii, îndeseobi a celei de nivel superior, solicită un efort propriu susținut și constant din partea elevilor. Acest efort trebuie motivat și susținut de aspirațiile și interesele lor.
Înțelegerea unui grup de cunoștințe matematice înseamnă înțelegerea noțiunilor utilizate, a limbajului, perceperea raporturilor între noțiuni, stăpânirea unor tehnici și deprinderi de lucru precum și a unor scheme mintale, posibilitatea de a evidenția esențialul, posibilitatea aplicării în practică.
Diminuarea înțelegerii sau absența unor componente esențiale ale ei duce la o anumită ruptură între formă și conținut, de aceea pentru a preîntâmpina unele fenomene de formalism învățătorul trebuie să aibă grijă permanentă de a preciza semnificația termenilor folosiți, de a justifica necesitatea ipotezelor variindu-le pentru a evidenția aria lor de valabilitate.
Elevii vor fi mobilizați pentru a participa activ la elaborarea definițiilor, a regulilor, a propozițiilor matematice și a demonstrațiilor.
Contraexemplele alese judicios determină pe elevi să-și dea seama singuri de imperfecțiunea unei definiții. Construcțiile geometrice auxiliare și artificiile de calcul se vor motiva. Verificarea nu se va reduce la reproducerea fidelă a definiției, a proprietăților. Acestea se vor însoți de exemple și aplicații fie în matematică, fie în practică.
În folosirea cunoștințelor este utilă schimbarea figurilor și notațiilor de la predare precum și demonstrarea unor alte variante ale teoremelor și propozițiilor mtematice.
La nivel școlar conexiunea între matematică și practică funcționează în dublu sens. Elevii aplică în practică unele rezultate matematice și își însușesc unele noțiuni matematice și prin activități practice. Elevii aplică în practică matematica în rezolvarea unor probleme cu conținut practic (măsuri pentru lungime, masă, capacitate, calculul de arii, perimetre și volume, preț și cost). În activitățile de măsurare a unor distanțe la obiecte accesibile, dar mai ales inaccesibile, a înălțimilor unor obiective, ideea de bază fiind asemănarea figurilor, în realizarea unor proiecte și calcule în celelalte discipline. Deprinderea unor noțiuni fundamentale ca cea de mulțime, număr, figură geometrică are loc prin contact nemijlocit cu practica.
2.2. Utilizarea metodei descoperirii ca o tehnică de lucru
Metoda descoperirii poate fi definită ,,ca o tehnică de lucru, la care elevul este antrenat și seangajează în activitatea didactică, cu scopul aflării adevărului". În această metodă este activ, redescoperă relații, formule, algoritmi de calcul. Această atitudine a elevului nu poate subzista decât pe o pregătire anterioară solidă, pe o exersare ce a creat deprinderi corespunzătoare. Mai mult, întreaga activitate de descoperire este dirijată de profesor, astfel că problema centrală ridicată de metodă este unde și cât să-l ajute învățătorul pe elev.
Eficiența metodei depinde esențial de răspunsul corect la această întrebare. Aceasta cere învățătorului tact pedagogic și o cunoaștere a problemei în toate articulațiile ei, inclusiv în locul în care elevii pot întâmpina greutăți. Tactica folosită de învățăor este aceea de a plasa sugestii ,,ușoare" în momentele de dezorientare ale elevilor, momente ce pot fi citite pe fețele lor.
Învățarea prin descoperire poate fi de tip inductiv, deductiv sau analogic, după natura raționamentelor utilizate. Descoperirea este inductivă când elevii, analizând o serie de cazuri particulare, înferează o regulă generală care apoi este demonstrată. Acest tip de descoperire poate fi folosit la clasele a II-a, a III-a și mai ales la clasa a IV-a, uneori regula găsită fiind lăsată fără demonstrație. Așa se întâmplă la predarea proprietăților adunării numerelor naturale (comutativitatea, asociaticitatea, zero ca element neutru) sau de înmulțire.
În descoperirea de tip deductiv elevii obțin rezultate noi (pentru ei) aplicând raționamente asupra cunoștințelor anterioare, combinându-le între ele sau cu noi informații. Acest tip de descoperire apare frecvent la toate nivelurile instruirii școlare și la toate disciplinele matematice.
De exemplu cunoscând aria pătratului descoperim aria dreptunghiului, apoi aria paralelogramului, a triunghiului, a rombului, a trapezului.
Formulele de calcul prescurtat pot fi descoperite cu mare ușurință în acest mod. Algoritmii de calcul mintal prin aplicarea proprietăților operațiilor cu numere naturale pot fi descoperiți deductiv.
Descoperirea prin analogie constă în transpunerea unor relații, algoritmi, etc.,la contexte diferite, dar analoage într-un sens bine precizat. Algoritmii de rezolvare a problemelor de un anumit tip pot fi un exemplu de descoperire prin analogie. Analogiile în matematică pot fi de conținut sau raționament. Ele pot fi de anvergură mai mare sau cu efect local. Analogii mari folosite în matematică sunt cele dintre aritmetică și algebră, geometrie plană și geometrie în spațiu.
Analogiile locale sunt folosite des în rezolvarea problemelor când după ce învățătorul rezolvă model o problemă cere rezolvarea altor probleme analoage.
Analogia de raționament poate fi folosită în rezolvareaproblemelor, în predarea mulțimilor și submulțimilor unităților de măsură, în demonstrarea formulelor pentru perimetru sau arii.
2.3. Descoperire și problematizare. Metode de rezolvare
Problematizarea mai poate fi denumită și predare prin rezolvare de probleme sau predare productivă de probleme. Aceasta este considerată o metodă utilă prin potențialul ei euristic și activizator. W. Okon a studiat problematizarea și arată că metoda constă în crearea unor dificultăți practice sau teoretice, iar rezolvarea este rezultatul activității proprii de cercetare, efectuate de elev/student. Astfel se realizează și o predare și o însușire de cunoștințe pe baza unor structuri cu date insuficiente.
Unii teoreticieni ca K. Van Lehn, Sprinthall și Oja consideră că atunci când descoperim și învățăm noi concepte, trebuie, în mod obligatoriu, să fim puși mai întâi într-un impas, într-o confruntare între ceea ce cunoaștem până la acea dată și informația nouă, o problemă dificilă, pe care nu o putem rezolva prin modalitățile tradiționale.
loan Cerghit observă și el că la baza învățământului de tip problematizat stă noțiunea de situație-problemă. Apariția unei situații-problemă conferă subiectului o stare contradictorie, conflictuală, fapt care îl incită la căutare și descoperire, la intuirea unor soluții noi, a unor relații aparent inexistente între antecedent și consecvent. Specific acestei metode este faptul că profesorul nu comunică pur și simplu niște cunoștințe gata elaborate, ci dezvăluie elevilor săi „embriologia adevărurilor", punându-i in situația de căutare și de descoperire.
Partea cea mai importantă a problematizării constă în crearea situațiilor problematice și mai puțin punerea unor întrebări, care ar putea foarte bine să și lipsească. Problematizarea presupune mai multe momente: un moment declanșator, unul tensional și unul rezolutiv. Pentru a obține rezultatul scontat la aplicarea acestei metode trebuie respectate anumite condiții: strict obligatorii: – existența unui fond aperceptiv suficient al elevului; – dozarea dificultăților într-o anumită gradație; – alegerea celui mai potrivit moment de plasare a problemei în lecție; – manifestarea unui interes real pentru rezolvarea problemei; – asigurarea unei relative omogenități a clasei, la nivelul superior; – un efectiv nu prea mare în fiecare clasă de elevi; – evitarea supraîncărcării programelor școlare. În lipsa respectării acestor condiții, se înțelege că problematizarea devine formală sau defavorizantă.
Prin antrenarea plenară a personalității elevilor, a componentelor intelectuale, afective și voliționale această metodă poate fi considerată a avea valoare formativă deoarece consolidează structuri cognitive, stimulează spiritul de explorare, formează un stil activ de muncă, cultivă autonomia și curajul în afișarea unor poziții proprii.
„Dilema socială" este o formă a problematizării care este utilizată cu succes. Aceasta folosește două strategii: – de tip cooperare; – de tip noncooperare.
O tehnică aparte de problematizare este cea de interpretare a unor imagini. Acest exercițiu a fost conceput de Andre Levy și presupune ca membrii unui grup să redacteze – la început individual, pentru ca apoi să continue în cadrul unui subgrup – o serie de legende/istorioare corespunzătoare unor imagini unice. Interpretarea unor imagini se realizează în patru faze:
– în prima fază (cu o durată între 10 și 20 de minute) fiecare participant redactează în mod individual istorioara proprie ;
– pe intervalul a 20-30 de minute, participanții se împart în grupuri de patru până la șase persoane, fiecare subgrup având drept sarcină redactarea unei 43 istorioare comune ca explicație la imaginea originară (aici sunt puse în valoare abilitățile de negociere și de consens al percepțiilor inițiale);
– a treia fază, desfășurată tot pe intervalul a 20-30 de minute, presupune ca aceste subgrupuri să se consulte și să negocieze o singură imagine, generală pentru întregul colectiv, asupra problemei inițiale;
– ultimei faze îi este alocat tot un interval de aproximativ 30 de minute, timp în care participanții sunt invitați de către formator să analizeze și să descrie sentimentele, problemele și dificultățile resimțite pe parcursul desfășurării exercițiului.
Această tehnică de învățare se poate folosi de către profesor atunci când dorește să dezvolte prin problematizare un anumit conținut ce va fi delimitat în viitoarea secvență de instruire. În acest caz, tehnica presupune ca, după ce elevii vor fi dezvoltat imaginea de ansamblu prin negociere, în cadrul prezentării noului conținut, profesorul le va „spulbera" analiza prin informațiile pe care le aduce în câmpul învățării.
Elevii se confrunta cu o situatie-problema, iar pentru solutionarea ei nu se cunoaste nicio metoda. Rezolvarea se poate gasi doar prin descoperire si presupune: organizarea si corelarea de date, structurarea si interpretarea lor, exersarea operatiilor gândirii si folosirea unor principii care necesita intuitie, imaginatie si creativitate.
Pentru ca metoda învatarii prin descoperire sa dea roade , profesorul trebuie în prealabil sa învete elevul:
Ø sa consulte enciclopedii, tratate, documente, opere literare si alte surse, pentru a putea face observatii sistematice si complete;
Ø sa interpreteze obiectiv;
Ø sa recombine fisele de lectura;
Ø sa sistematizeze textele din bibliografie;
Ø sa urmareasca evolutiv obiectivul propus.
Gasirea solutiilor pentru rezolvarea situatiei-problema se va transforma pentru elev într-o actiune de investigare-descoperire. Consecinta imediata este aceea ca metoda învatarii prin descoperire, desi mai greu de utilizat, este cea mai bogata în fluxuri informationale inverse, atât de necesare cadrului didactic.
Daca într-o prelegere, profesorul nu reuseste sa mentina sub control progresia învatarii, întrucât el îsi prezinta expunerea de la început pâna la final, indiferent daca elevii pot asimila sau nu materialul respectiv, cu totul altfel se prezinta lucrurile în cazul învatarii prin descoperire. Aceasta are la baza cercetarea, investigarea proprie realizata de elev, care în acest caz asimileaza foarte eficient noul, daca respecta urmatoarele conditii:
situatia-problema sa se înscrie în sistemul de operatii concrete si mentale de care elevul este capabil ;
oferta de cunostinte sa nu fie nici prea saraca, nici prea complicata;
elevul sa perceapa si sa memoreze date, fapte, informatii, etc;
elevul sa prelucreze si sa asimileze rational materialul acumulat;
elevul sa formuleze generalizari si sa le integreze în sisteme, în ipoteze operatorii.
Daca aceste conditii sunt întrunite actul descoperirii poate avea loc.
Indiferent de felul ei – inductiva, deductiva si analogica – metoda are urmatoarele etape:
a) confruntarea cu o situatie problema, etapa în care se realizeaza declansarea dorintei lor de cautare si explorare;
b) realizarea actului descoperirii, care presupune structurarea si interpretatea datelor, utilizarea operatiilor gândirii si evidentierea noului;
c) verbalizarea generalizarilor si formularea concluziilor;
d) exersarea în ceea ce s-a descoperit, etapa care consta în aplicarea celor descoperite în noi contexte situationale.
Avantajele acestei metode sunt:
Ø creeaza premiselor necesare unei activitati intelectuale intense;
Ø rezultatele descoperirilor se constituie în achizitii trainice, contribuind în acelasi timp la asigurarea motivatiei intrinseci;
Ø contribuie la însusirea unor metode euristice, de descoperire;
Ø permite mentinerea sub control a progresiei învatarii, asigurând transmiterea unor fluxuri informationale bogate de la elev la profesor.
2.4. Învățărea prin rezolvarea de exercitii si probleme
Rezolvarea problemelor de matematica este una din cele mai sigure cai ce duce la dezvoltarea gândirii, imaginatiei, atentiei si spiritului de observatie al elevilor. Aceasta activitate pune la încercare în cel mai înalt grad capacitatile intelectuale ale elevilor, le solicita acestora toate disponibilitatile psihice, în special inteligenta, motiv pentru care, programa de matematica din ciclul primar acorda rezolvarii problemelor o importanta deosebita. Acesta este evidentiata de faptul ca unul dintre cele patru obiective cadru ale programei este centrat pe acest tip de activitate. Nu este vorba de a parcurge cât mai multe tipuri de probleme sau metode de rezolvare, ci despre a-i crea elevului situatii noi de învatare, la care sa raspunda cât mai adecvat, în urma unui demers de explorare si investigatie.
Dar nu numai procesele de cunoastere sunt mobilizate în rezolvarea unei probleme, ci întreaga personalitate a celui ce rezolva problema, în toate coordonatele ei rationale, afective, volitive. Problemele de matematica fiind strâns legate, adesea, prin însusi enuntul lor, de viata, de realitate, de practica, genereaza la elevi un simt al realitatii de tip matematic, formându-le deprinderea de a rezolva problemele practice pe care viata le scoate în calea lor.
Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea constienta a unei probleme presupune o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoastere, volitive, motivational-afective.
Gândirea prin operatiile logice de analiza, sinteza, comparatie, abstractizare si generalizare este cel mai solicitat si antrenat proces cognitiv.
Prin rezolvarea de probleme, elevii îsi formeaza priceperi si deprinderi de a analiza situatia data de problema, de a intui si descoperi calea prin care se obtine ceea ce se cere în problema. Rezolvarea problemelor contribuie astfel la cultivarea si dezvoltarea capacitatilor creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilitatii ei, a capacitatilor anticipativ-imaginative, la educarea perspicacitatii si spiritului de initiativa, la dezvoltarea încrederii în fortele proprii.
Activitatea de rezolvare a problemelor de matematica contribuie la clasificarea, aprofundarea si fixarea cunostintelor teoretice învatate. De asemenea, predarea multora dintre problemele teoretice se face prin rezolvarea uneia sau mai multor probleme, subliniindu-se proprietatea, definitia sau regula ce urmeaza a fi explicate.
Prin activitatea de a rezolva la matematica elevii îsi formeaza deprinderi eficiente de munca intelectuala, care vor influenta pozitiv si studiul altor discipline de învatamânt, îsi educa si cultiva calitatile. De asemenea, activitatile matematice de rezolvare si compunere a problemelor contribuie la îmbogatirea orizontului de cultura generala al elevilor prin folosirea în textul problemelor a unor cunostinte pe care nu le studiaza la alte discipline de învatamânt. Este cazul informatiilor legate de: distanta, viteza, timp, pret de cost, cantitate, dimensiune, masa, arie, durata unui fenomen, etc.
Rezolvând sistematic probleme de orice tip, elevii îsi formeaza seturi de priceperi, deprinderi si atitudini pozitive, care le confera posibilitatea de a rezolva si a compune ei însisi, în mod independent, probleme.
Problemele de matematica prin continutul lor, prin tehnicile de abordare în scopul gasirii solutiei, contribuie la cultivarea si educarea unor noi atitudini fata de munca, la formarea disciplinei constiente, la dezvoltarea spiritului de competitie cu sine însusi si cu altii, la dezvoltarea prietenei.
Nu se pot omite nici efectele benefice ale activitatii de rezolvare a problemelor de matematica pe planul valorilor autoeducative. Prin enumerarea valentelor formative în personalitatea elevilor, pe care le genereaza activitatea de rezolvare si compunere a problemelor de matematica, se justifica de ce programele scolare acorda o atât de mare importanta acestei activitati scolare si de ce si institutorul trebuie sa-i acorde importanta cuvenita.
Din punctul de vedere al dezvoltării intelectuale, învățarea matematicii exersează capacitatea de a judeca, ajută elevul să distingă adevărul științific de neadevăr, să-l demonstreze; antrenează organizarea logică a gândirii, ordonarea ideilor, recunoașterea ipotezelor și a concluziilor, îl învață pe copil să distingă diversele aspecte ale unei situații, să separe esențialul de neesențial; dezvoltă atenția, antrenează memoria logică, exersează analiza și sinteza, favorizează dezvoltarea imaginației creatoare; dezvoltă spiritul critic, formează spiritul științific obiectiv și stimulează dorința de cercetare.
Sub aspect estetic se dezvăluie frumusețea matematicii exprimată prin formule, relații, figuri, demonstrații, cultivă calități ale exprimării gândirii (claritate, ordine, conciziune, eleganță), îl ajută pe elev să recunoască și să aprecieze legătura formală a creației artistice din echilibrul arhitectural, compoziția artelor plastice, ritmuri și structuri muzicale, frumusețea și organizarea naturii și a tehnicii.
Din punct de vedere moral, matematica formează capacitatea aprecierii adevărului, obiectivității și echității, creează nevoia de rigoare, discernământ și probarea ipotezelor, dezvoltă nevoia de cunoaștere, de a înțelege. Se formează deprinderi de cercetare și investigare, e stimulată perseverența.
Gândirea creatoare se dezvoltă în mod deosebit prin rezolvarea unor probleme care solicită strategii atipice, inventate și prin compunerea de probleme. O problemă este sau nu creativă, în funcție de vârsta, experiența și capacitatea intelectuală a elevului. Compunerea de probleme reprezintă o treaptă superioară de dezvoltare a gândirii creatoare, de legare a teoriei de practică. Pentru ca elevul să elaboreze textul unei probleme este necesar să găsească împrejurările corespunzătoare, să-și imagineze acțiunea, să aleagă datele numerice în concordanță cu realitatea, să stabilească soluții aritmetice corespunzătoare între informațiile date și să formuleze întrebarea problemei.
2.5. Etapele procesului de dezvoltare a creativitatii
2. 6. Metode didactice de dezvoltare a cretivitatii
Metode didactice de dezvoltare a cretivitatii se clasifica în doua categorii: metode aritmetice fundamentale sau generale si metode aritmetice speciale sau particulare.
Metodele aritmetice generale se aplica într-o masura mai mare sau mai mica în rezolvarea tuturor problemelor. Utilizarea acestor metode se bazeaza cu deosebire pe operatiile de analiza si sinteza ale gândirii, motiv pentru care se numesc metoda analitica si metoda sintetica.
Metoda analitica
A examina o problema prin metoda analitica înseamna a privi întâi problema în ansamblu, apoi, pornind de la întrebarea ei, a o descompune în problemele simple din care e alcatuita si a orândui aceste probleme simple într-o succesiune logica astfel încât rezolvarea lor sa contribuie în mod convergent la formularea raspunsului pe care îl cere întrebarea problemei date.
Cu alte cuvinte, metoda analitica reprezinta calea de abordare a problemei, plecând de la cerinte spre date.
Exemplu:
Într-o întreprindere lucreaza doua echipe de muncitori: prima cu 5 muncitori, care fabrica câte 15 piese pe zi, a doua cu 6 muncitori care fabrica câte 18 piese pe zi. Sa se stabileasca valoarea pieselor executate într-o zi de cele doua echipe, stiind ca o piesa este evaluata în medie la 30 lei.
Examinarea problemei:
Pentru a afla valoarea totala a pieselor, cunoscând valoarea unitara, ar trebui sa se stie numarul total al pieselor strunjite de cele doua echipe. În acest scop este necesar sa se afle întâi numarul pieselor strunjite de prima echipa, apoi numarul de piese strunjite de a doua echipa. Numarul pieselor strunjite de o echipa se poate afla utilizând datele problemei, si anume înmultind numarul pieselor strunjite de un strungar cu numarul strungarilor din echipa.
Schematic, examinarea problemei prin metoda analitica se înfatiseaza astfel:
Detaliile stabilite analitic se sintetizeaza sub forma unui plan de rezolvare care cuprinde enuntarea problemelor simple în care s-a descompus problema data si indica succesiunea acestor probleme în procesul de efectuare a calculelor:
1) Care este numarul pieselor fabricate de echipa I?
15 piese × 5 = 75 piese
2) Care este numarul pieselor fabricate de echipa a II-a?
18 piese × 6 = 108 piese
3) Care este numarul total de piese strunjite de cele doua echipe?
108 piese + 75 piese = 183 piese
4) Care este valoarea pieselor executate?
30 lei × 183 = 5490 lei.
Metoda sintetica
A examina o problema prin metoda sintetica înseamna a orienta gândirea elevilor asupra datelor problemei, a grupa aceste date dupa relatiile dintre ele, astfel încât sa se formuleze cu aceste date toate problemele simple posibile si a aseza aceste probleme simple într-o succesiune logica astfel alcatuite încât sa se încheie cu acea problema simpla a carei întrebare coincide cu întrebarea problemei date.
Pe scurt, metoda sintetica reprezinta calea de abordare a problemei, plecând de la date spre cerinte.
Exemplu:
Problema enuntata si studiata mai sus se examineaza prin metoda sintetica astfel:
1) Cunoscând numarul muncitorilor din prima echipa si numarul pieselor fabricate de fiecare, se afla numarul pieselor executate de întreaga echipa.
2) Analog pentru echipa a II-a.
3) Daca se afla câte piese au fost fabricate de prima echipa si câte de a doua, atunci se poate afla numarul total de piese fabricate de cele doua echipe.
4) Cunoscând numarul total de piese si valoarea medie a unei piese, se poate afla valoarea lor totala.
Schema examinarii problemei prin metoda sintetica este urmatoarea:
În legatura cu cele doua metode generale de examinare a unei probleme, se mentioneaza faptul ca procesul analitic nu apare si nici nu se produce izolat de cel sintetic, întrucât cele doua operatii ale gândirii se gasesc într-o strânsa conexiune si interdependenta, ele conditionându-se reciproc si realizându-se într-o unitate inseparabila. De aceea nu poate fi vorba de utilizarea în mod exclusiv a uneia sau alteia din aceste metode, în examinarea unei probleme intervenind ambele metode ca laturi separate ale procesului unitar de gândire, însa în anumite momente sau situatii una din ele devine dominanta. Astfel, descompunerea unei probleme compuse în problemele simple din care este alcatuita, constituie în esenta un proces de analiza, iar formularea planului de rezolvare, cu stabilirea succesiunii problemelor simple, constituie un proces de sinteza. Din aceste motive, cele doua metode apar adeseori sub o denumire unica: metoda analitico-sintetica.
În practica s-a demonstrat ca metoda sintetica este mai accesibila, dar nu solicita prea mult gândirea elevilor. Mai mult, se constata ca unii elevi pierd din vedere întrebarea problemei si sunt tentati sa calculeze valori de marimi care nu sunt necesare în gasirea solutiei problemei. Metoda analitica pare mai dificila, dar solicita mai mult gândirea elevilor si folosind-o, îi ajuta pe copii sa priveasca problema în totalitatea ei, sa aiba mereu în atentie întrebarea problemei.
La sfârsitul rezolvarii unei probleme, se indica categoria din care face parte problema, se fixeaza algoritmii ei de rezolvare, se transpune rezolvarea problemei într-un exercitiu sau, dupa caz, în fragmente de exercitiu. Prin rezolvarea de probleme asemanatoare, prin compunerea de probleme cu aceleasi date sau cu date schimbate, dar rezolvabile dupa acelasi exercitiu, institutorul descopera cu elevii schema generala de rezolvare a unei categorii de probleme. Este o cerinta care nu duce la schematizarea, la fixitatea sau rigiditatea gândirii, ci dimpotriva, la cultivarea si educarea creativitatii, la antrenarea permanenta a gândirii elevilor.
Metodele aritmetice speciale sunt mai variate si difera de la o categorie de probleme la alta, adoptându-se specificului acestora. Cele mai importante si mai frecvente sunt urmatoarele: metoda figurativa sau grafica, metoda comparatiei, metoda falsei ipoteze, metoda mersului invers.
În rezolvarea problemelor nu este întotdeauna eficienta aplicarea unei singure metode, fiind necesara combinarea metodelor, în anumite etape ale rezolvarii, predominând una dintre ele. Alteori orientarea se face dupa felul cum au fost rezolvate problemele înrudite, procedând similar, adica aplicând metoda analogiei.
De asemenea, în afara de metodele mentionate mai sus, exista si alte metode speciale aplicabile în rezolvarea unor anumite categorii de probleme, cum sunt problemele de: regula de trei simpla sau compusa, în rezolvarea carora se utilizeaza reducerea la unitate si metoda proportiilor, apoi problemele de împartire în parti proportionale, problemele cu procente, problemele de amestec si aliaj, problemele de miscare, problemele nonstandard, etc.
Metoda figurativa sau grafica
Metoda figurativă (grafică), este una dintre cele mai des întâlnite metode de rezolvare a problemelor de aritmetică specifice ciclului primar.
După cum sugerează chiar titlul acestei metode, ea constă în utilizarea desenului, schițelor sau a figurilor geometrice pentru a reprezenta date sau mărimi din respectivele probleme.
Întrucât la aceste vârste mici ale copiilor de ciclu primar, gândirea abstractă este în proces de formare, această metodă ușurează procesul de reprezentare schematică a datelor din problemă, astfel fixându-se mai clar raționamentul care conduce la rezultatul cerut de problemă.
Aplicarea acestei metode, precum și alegerea figurilor reprezentative nu urmează de cele mai multe ori un algoritm strict, deoarece acestea diferă de la o problemă la alta. Cele mai des folosite figuri sunt cele făcute din segmente de dreaptă, dreptunghiuri sau cilindri.
Problemele care se rezolvă prin metoda figurativă pot fi împărțite în două mari categorii:
cu date sau mărimi ce se pot număra, în acest caz mărimile le figurăm prin simboluri;
cu date sau mărimi ce nu se pot număra, caz în care le figurăm prin segmente de dreaptă.
Este cât se poate de evident că figurile geometrice reprezentative care se folosesc în rezolvarea problemelor de aritmetică, nu sunt altceva decât literele ce țin locul necunoscutelor în ecuație sau în sistemul de ecuații din rezolvarea algebrică utilizată mai târziu de elevi. Cum însă valoarea intuitivă a figurilor geometrice este însușită cu precădere în învățământul preșcolar și are o reprezentare clară în activitatea matematică a elevului, mult mai simplu se recurge la această metodă decât a utilizării literelor specifice algebrei.
Metoda figurativa este situata pe primul loc în ceea ca priveste utilitatea ei, datorita avantajelor pe care le prezinta. Astfel:
-are caracter general, utilizându-se la orice categorii de probleme în care se preteaza figurarea si pe diferite trepte ale scolarizarii;
-are caracter intuitiv, întelegerea relatiilor dintre datele problemei facându-se pe baza imaginilor vizuale, uneori intervenind actiunea directa, miscarea si transpunerea acesteia pe plan mintal;
-prin dimensiunile elementelor figurative si prin proportiile dintre ele se creeaza variate modalitati de stabilire a relatiilor cantitative dintre diferitele valori ale marimilor, se sugereaza aceste relatii, se pun în evidenta.
1. Mama și Irina au împreună 35 ani. Știind că mama are de 6 ori vârsta Irinei, să se afle câți ani au fiecare.
Rezolvare:
a)
Mama are 6 segmente și Irina 1 în total 7 segmente
35 : 7 = 5 ani (un segment) vârsta Irinei
5 x 6 = 30 ani vârsta mamei
35 – 5 = 30 ani vârsta mamei
x + 6x = 35
7x = 35
x = 5 ani (Irina)
6 x 5 = 30 ani (mama)
Verificare: 30 + 5 = 35 ani
2. Andrei și Sorin au împreună 80 de timbre. Andrei are cu 20 mai multe timbre decât Sorin. Câte timbre are fiecare băiat?
Rezolvare:
Câte timbre ar avea cei doi copii împreuna dacă ar avea un număr egal de timbre?
80 – 20 = 60 (timbre)
Câte timbre are Sorin ?
60 : 2 = 30
Câte timbre are Andrei ?
30 + 20 = 50
Algebric:
x + x + 20 = 80
2x = 80 – 20
2x = 60
x = 60 : 2
x = 30 (Sorin)
30 + 20 = 50 (Andrei)
Verificare: 30 + 50 = 80 timbre
3. 3 numere consecutive au suma 402, care sunt acestea?
Rezolvare:
Egalăm cele 3 segmente
402 – 3 = 399
399 : 3 = 133 (un segment) numarul 1
133 + 1 = 134 numarul 2
134 + 1 = 135 numarul 3
Algebric:
x + x + 1 + x + 2 = 402
3x + 3 = 402
3x = 402 – 3
3x = 399
x = 399 : 3
x = 133 (numarul 1)
133 + 1 = 134 (numarul 2)
133 + 2 = 135 (numarul 3)
Verificare: 133 + 134 + 135 = 402
2. Metoda comparatiei
Metoda comparatiei
Metoda comparatiei se foloșeste pentru problemele de aritmetică în care se pot stabili două, trei sau mai multe relații și apoi se cere să se afle valorile numerice ale acestor mărimi care să satisfacă condițiile cerate(impuse) de problemă. Ea constă în a elimina o mărime necunoscută din două mărimi recunoscute date în problemă, aceasta făcându-se prin compararea condițiilor în baza cărora s-au stabilit cele două relații.
Atunci când se cere să se afle valorile numerice a trei mărimi necunoscute, se elimină două mărimi prin compararea condițiilor existente.
Este de reținut că în aplicarea acestei metode, relațiile ce se pot stabili se exprimă prin cuvinte, în așa fel încât prima relație să fie scrisă pe primul rând, iar cea de-a doua relație să fie scrisă în al doilea rând, cu condiția ca valorile mărimilor de același fel scrise unele sub altele, adică în aceeași coloană.
În utilizarea acestei metode, dificultatea constă în a alege astfel întrebarea încât să reiasă ce anume operație trebuie să se facă pentru ca aceasta să ducă la eliminarea unei necunoscute.
Metoda aceasta de rezolvare este similară cu metoda de rezolvare a sistemelor de ecuații, de gradul I, prin reducere.
Așadar, problemele de acest tip se recunosc relativ ușor din modul cum este redactat enunțul, care este alcătuit din două situații distincte, iar după aceasta este recomandabilă scrierea datelor, în mod corespunzător, unele sub altele conform celor două situații din enunț. Ne îndreptăm, apoi, atenția asupra uneia dintre mărimi și urmărim să egalăm datele privitoare la ea în cele două șiruri scrise.
Atunci când enunțul unor probleme, mai dificile, nu ne permite să ne dăm seama cu ușurință dacă fac parte din această categorie, este recomandabil (necesar) să reformulăm problema respectivă.
1. Pentru a cumpăra 7 caiete și 3 pixuri s-au plătit 23 de lei, iar pentru cumpărarea a 7 caiete și 8 pixuri de același fel s-au plătit 38 de lei. Care este prețul unui caiet?
Rezolvare:
7 caiete ……….3 pixuri ……….23 lei
7 caiete ……….8 pixuri ……….38 lei
Scăzându-le între ele rezultă :
5 pixuri costă 15 lei
Cât costă un pix?
15 : 5 = 3 lei
Cât costă 3 pixuri?
3 x 3 = 9 lei
Știind că 3 pixuri costă 9 lei cât costă 7 caiete?
23 – 9 = 14 lei
Cât costă 1 caiet?
14 : 7 = 2 lei
Verificare: 7 x 2 + 3 x 3 = 14 + 9 = 23 lei
7 x 2 + 8 x 3 = 14 + 24 = 38 lei
2. 17 saci cu făină și 12 saci cu cartofi cântăresc 1 210 kg iar 21 saci cu făină și 12 saci cu cartofi cântăresc 1 410 kg. Câte kg are un sac cu făină? Dar unul cu cartofi?
Rezolvare:
17 saci faina………12 saci cartofi……..1210 kg
21 saci faina……….12 saci cartofi……..1410 kg
Scazandu-le rezulta : 4 saci de faina cantaresc 200 kg
Cat cantareste un sac de faina?
200:4= 50 kg
Cat cantaresc 17 saci de faina?
17×50=850 kg
Daca 17 saci de faina cantaresc 850 kg cat cantaresc 12 saci de faina?
1210-850=360 kg
Cat cantareste un sac de cartofi?
360:12=30 kg
Verificare: 17 x 50 + 12 x 30 = 1 210 kg
21 x 50 + 12 x 30 = 1 410 kg
3. Într-un depozit sunt 2 tone de grâu și 3 tone de porumb, în valoare de 8 100 lei. În alt depozit sunt 2 tone de grâu și 7 tone de porumb, în valoare de 14 900 lei. Cât costă o tonă de grâu și cât costă o tonă de porumb?
Rezolvare:
2 tone de grâu………3 tone de porumb………8 100 lei
2 tone de grâu……….7 tone de porumb……..14 900 lei
Dacă le scădem între ele rezultă: 4 tone de porumb costa 6 800.
Cat costa o tonă de porumb ?
6 800 : 4 = 1 700 lei
Cât costă 3 tone de porumb ?
1 700 x 3 = 5 100
Dacă 3 tone de porumb costă 5 100, cât costă 2 tone de grâu?
8 100 – 5 100 = 3 000
Cât costă o tonă de grâu?
3 000 : 2 = 1 500 lei
Verificare: 2 x 1 500 + 3 x 1 700 = 8 100 lei
2 x 1 500 + 7 x 1 700 = 14 900 lei
3. Metoda falsei ipoteze
Această metodă constă în faptul că se face o ipoteză (presupunere) asupra mărimilor necunoscute în problemă. atribuindu-le valori arbitrare. În continuare, presupunând că aceste valori constituie rezultatul cerat, se face verificarea problemei așa cum spune enunțul ei și în acest fel, se ajunge la un rezultat care nu este cel pe care îl căutăm. Mai de parte avem în vedere nepotrivirile ce au apărut, se trag concluzii ce pot duce, relativ ușor, la aflarea rezultatului adevărat.
Practic, în rezolvare se pleacă, de regulă, de la întrebarea problemei, în sensul că asupra mărimii ce o căutăm facem o presupunere complet arbitrară, însă nu în contradicție cu datele din enunț. Refacem, apoi, problema pe baza propunerii făcute și astfel, ajungem la un rezultat care nu concordă cu cel real, din problemă: acesta ori este mai mare, ori mai mic. În acest moment se compară rezultatul obținut pe baza presupunerii făcute cu cel real, iar din nepotrivirile obținute se trage concluzia corectă de rezolvare a problemei.
Este de reținut că ipoteza asupra mărimii ce o căutăm nu o facem cu intenție de a nimeri răspunsul, ci pentru a vedea, din nepotrivirea cu enunțul, ce anume modificări trebuie să facem asupra problemei. Acesta este motivul (justificarea) pentru care această metodă se numește și metoda falsei ipostaze.
Problemele care se pot rezolva prin această metodă pot fi clasificate astfel:
1. probleme în care se presupune că valoarea mărimii ce se cere a fi aflată este chiar una din valorile date în problemă;
2. probleme în care i se dă mărimii ce se cere a fi aflată o valoare arbitrară, apoi, pe baza acestei valori, se calculează celelalte valori ale mărimilor.
Există însă, și probleme când este necesar să se facă două sau trei presupuneri succesive pentru a se putea stabili raportul care există între rezultatul real și cel arbitrar.
Prin această metodă poate fi rezolvată orice problemă ale cărei date sunt mărimi proporționale.
Evident, unele probleme se pot rezolva mai simplu prin alte metode, aritmetice sau algebrice.
Metoda falsei ipoteze
1. Într-un bloc cu 30 de apartamente cu două și trei camere sunt în total 70 de camere. Câte apartamente cu două camere și câte cu trei camere sunt?
Rezolvare:
Presupunem că toate apartamentele ar avea exact 2 camere. Ce se întamplă în acest caz?
Ar însemna că în total ar fi 30×2=60 camere (deoarece avem 30 apartamente).
Știm însă că în total sunt 70 camere, deci cu 70-60=10 camere mai mult decât am obținut în urma presupunerii făcute.
Va trebui să distribuim acum cele 10 camere unora dintre apartamente.
Câte camere trebuie să mai adăugăm unui apartament pentru a-l "transforma" din apartament cu două camere în apartament cu trei camere?
3 camere – 2 camere = 1 camera.
Va trebui ca cele 10 camere să le distribuim la 10 : 1 = 10 apartamente. Cele 10 apartamente vor fi apartamentele cu trei camere, iar restul de 30 – 10 = 20 apartamente sunt apartamentele cu două camere.
Verificare: 20 apartamente cu 2 camere + 10 apartamente cu 3 camere = 30 apartamente
Sau
Presupunem că toate apartamentele au 3 camere. In acest caz am fi obținut 30 x 3 = 90 de camere, rezultând o diferență de 90 – 70 = 20 camere (diferența s-ar fi datorat faptului că unele dintre apartamente nu au 3, ci numai 2 camere). Cum diferența dintre numărul de camere între cele două tipuri de apartamente este 3 – 2 = 1 camera, rezulă că cele 20 de camere pe care trebuie să le eliminăm vor corespunde unui număr de 20 : 1 = 20 apartamente. Rezultă că în bloc sunt 20 apartamente cu 2 camere și restul de 30 – 20 = 10 apartamente au trei camere.
Verificare: 20 apartamente cu 2 camere + 10 apartamente cu 3 camere = 30 apartamente
2. 43 de flori au 383 de petale. Știind ca florile au 7, 9 si 11 petale iar florile cu 9 petale sunt de 3 ori mai multe decât cele cu 7 petale sa se afle câte flori sunt de fiecare fel.
Rezolvare:
1. Presupunem că toate florile au 11 petale.
11 x 43 = 473 petale ar avea florile
2. Diferența dintre numărul de petale din ipoteza noastră și numărul de petale din problemă
473-383=90 de petale în plus.
3. De ce apare această diferență ? Din cauza existenței florilor cu 9 și 7 petale
(11 – 9) x 3 + (11 – 7) = 10
4. Câte grupe de flori sunt ?
90 : 10 = 9 grupe
5. 9 x 1 = 9 flori cu 7 petale
9 x 3 = 27 flori cu 9 petale
43 – (9 + 27) = 7 flori cu 11 petale
3. Într-un hotel sunt 39 de camere și 102 paturi. Știind că există camere cu 1, 5 si 10 paturi și că numărul camerelor cu un pat este de 3 ori mai mare decât numărul camerelor cu 5 paturi. Să se afle câte camere sunt de fiecare fel ?
Rezolvare:
1. Presupunem (o ipoteză falsă) că ar fi doar camere cu 10 paturi.
39 camere x 10 paturi = 390 paturi ar fi în hotel
2. Diferența dintre numărul de paturi din această situțtie și numărul de paturi existente:
390 – 102 = 288 paturi în plus
3. De ce apare aceasta diferență? Datorită existenței camerelor cu 5 si cu 1 pat
(10 – 1) x 3 + 10 – 5 = 32
4. Cate grupe de paturi sunt ?
288 : 32 = 9 grupe
5. Camere cu 5 paturi sunt 9 x 1 = 9 camere
Camere cu 1 pat sunt 9 x 3 = 27 camere
Camere cu 10 paturi sunt diferența 39 – (9 + 27) = 39 – 36 = 3 camere
4. Metoda mersului invers
Problemele care se rezolvă prin această metodă în așa fel alcătuite încât relațiile dintre date (marimi) sunt reprezentate într-o ordine succesivă și dacă s-ar aplica ordinea naturală a calculelor, raționamentele ar fi greoaie. Se aplică atunci metoda mersului invers, care așa cum se vede din denumirea ei, constă în folosirea datelor problemei în ordine inversă. Așadar, pentru a stabili soluția unei astfel de problemă se realizează ultima relație față de penultima, penultima față de cea care a precedat-o și așa mai departe, până se ajunge la prima relație precedentă în problemă, calculele efectuându-se imediat, pe măsură ce ne apropiem de începutul problemei.
Este, deci, de reținut că acestea sunt probleme care se rezolvă, de fapt, cu ajutorul unui exercițiu format din datele problemei și astfel de exerciții sunt ecuații de gradul I cu o necunoscută, dar care se rezolvă, prin raționament aritmetic, cu ajutorul relațiilor ce există între rezultatele operațiilor și termenii cu care se operează.
Singura dificultate, în aplicarea acestei metode, constă în a găsi operațiile inverse care trebuie aplicatem iar aceasta se poate obține cunoscând dependența între cele două valori date și rezultatul operațiilor în cazul adunării, respectiv al scăderii, înmulțirii și împărțirii.
Metoda mersului invers
1. M-am gândit la un număr, l-am înmulțit cu 10, la rezultat am adunat 16, suma am împarțit-o la 6, iar din cât am scăzut 10, obținând 56. Aflați numărul.
Rezolvare I. .
Numărul din care am scăzut 10 este ?
56 + 10 = 66.
Numărul care împărțit la 6 dă 66 este ?
66 × 6 = 396.
Numărul care adunat cu 16 dă 396 va fi ?
396 – 16 = 380.
Și în sfârșit, numărul care înmulțit cu 10 dă 380 este ?
380 : 10 = 38.
Rezolvare II.
Redactarea rezolvării o puteam aranja și astfel: notăm cu a numărul necunoscut și obținem:
( a x 10 + 16 ) : 6 – 10 = 56.
Calculele se ordonează astfel:
( a x 10 + 16 ) : 6 = 56 + 10
( a x 10 + 16 ) : 6 = 66
a x 10 + 16 = 66 x 6
a x 10 + 16 = 396
a x 10 = 396 – 16
a x 10 = 380
a = 380 : 10
a = 38
Proba sau verificarea rezultatului este următoarea:
38 × 10 = 380, apoi 380 + 16 = 396 și 396 : 6 = 66;
în sfârșit, 66 – 10 = 56, ceea ce corespunde enunțului.
2. Suma a trei numere este 682. Știind ca al doilea este cu 20 mai mare decât primul și cu 42 mai mic decât al treilea, să se afle numerele.
Grafic:
Acum să facem prin adunare. La segmentele pe care le avem mai adăugăm astfel încât să le facem pe toate trei egale cu cel mai mare.
Acum cele trei segmente mari fac împreună 786,
deci numarul cel mare face 786 : 3 = 262,
atunci cel mijlociu 262 – 42 = 220,
iar cel mic 220 – 20 = 200.
Algebric: Avem ecuția:
x – 20 + x + x + 42 = 682
3x = 682 + 20 – 42
3x = 660
x = 220
3. Barbu are cu 40 de timbre mai mult decât Adriana, Carmen are cu 15 timbre mai puțin decât Barbu, Dinu are de 2 ori mai puține timbre decât Carmen, Elena are de 3 ori mai multe timbre decât Dinu, adică 150 de timbre. Câte timbre are fiecare copil ?
Rezolvare:
Câte timbre are Dinu știind că Elena are 150 ?
150 : 3 = 50
Câte timbre are Carmen știind că Dinu are 50 de timbre ?
50 x 2 = 100
Câte timbre are Barbu știind că și Carmen are 100 de timbre?
100 + 15 = 115
Câte timbre are Adriana știind că Barbu are 115 de timbre?
115 – 40 = 75
5. Probleme de miscare
Problemele de acest tip sunt ușor de recunoscut, fiind echipate cu autoturisme, trenuri, autobuze, biciclete care se deplasează în diverse direcții, dar oricum, în linie dreaptă, cu viteze constante sau cu o anumită viteză medie, într-un timp dat sau ce trebuie aflat. Reținem că problemele din această categorie vizează mișcarea rectilinie uniformă a unui mobil, caracterizată prin 3 parametri (distanță, viteză, timp) ce variază logic după formula: d=vt.
Mișcarea rectilinie este mișcarea în care traiectoria este o linie dreaptă.
Originea timpului (momentul inițial) este momentul de tip la care începe să fie urmărită mișcarea.
Oiginea deplasării este punctul în care se găsește mobilul la momentul inițial.
Distanța parcursă (∆d) este egală cu diferența între coordonata de poziție la momentul final (d2) și coordonata de poziție la momentul inițial (d1):
∆d= d2-d1
Durata mișcării (∆t) este mărimea fizică numeric egală diferența dintre momentul final (t2) și momentul inițial (t1) :
∆t=t2-t1
Problemele de mișcare pot fi de 3 tipuri:
– distanță, viteză, timp (în care se dau valori pentru două dintre ele și se cere cea de-a treia);
– mobile care se deplasează în același sens (probleme de urmărire);
– mobile care se deplasează în sens contrar (probleme de întâlnire).
Dată fiind relația care leagă cele 3 mărimi (d=vt), sunt posibile 3 tipuri de probleme simple, una de înmulțire și cele două probleme de împărțire ce rezultă din aceasta:
se dau v și t si se cere d (d=vt)
se dau d și t și se cere v (v=d/t)
se dau d și v și se cere t (t=d/v)
Menționăm că majoritatea problemelor din această categorie sunt reductibile la una dintre cele 3 scheme de mai sus doar după raționamente posibile.
Probleme de mișcare
1. Doi pietoni parcurg distanța dintre două localități A și B, pornind în același timp din A. Primul pieton a sosit în B cu 2 ore mai târziu decât al doilea. Viteza primului pieton este de 4 km/oră, iar a celui de-al doilea de 6 km/oră.
Să se determine distanța dintre cele două localități.
A 4 km/ora
6 km/ora B
Rezolvare:
Ce distanță are de recuperat primul pieton din momentul în care cel de-al doilea ajunsese deja în localitatea (el mai are de mers 2 ore cu viteza de 4km/oră) ?
2 x 4 = 8 (km)
Cu câti km/oră se deplasează mai repede al doilea pieton decât primul ?
6 – 4 = 2 (km/oră)
Deci, în fiecare oră, al doilea pieton câștigă 2 km. Atunci, cei 8 km i-a câștigat în câte ore ?
8 : 2 = 4 (ore)
Cele 4 ore reprezintă timpul cât a durat deplasarea celui de-al doilea pieton.
Dacă al doilea pieton merge 4 ore cu o viteză de 6 km/oră, rezultă că distanța dintre A și B va fi :
6 x 4 = 24 (km)
2. Doi bicicliști pleacă în același timp: Andrei din orașul A, iar Barbu din orașul B. Primul se deplasează cu o viteză medie de 25 km/oră, iar celălalt are o viteză cu 3 km/oră mai mare. Distanța dintre cele două orașe este de 212 km.
După cât timp și la ce distanță de orașul A se vor întâlni?
25 km/ora
A B
Rezolvare:
Cu ce viteză se deplasează Barbu ?
25 + 3 = 28 (km/oră)
Putem afla distanța pe care ambii biciliști o parcurg într-o oră:
25 + 28 = 53 (km)
Cunoscând distanța totală și distanța parcursă de biciclisti (împreună) într-o oră,
putem afla timpul scurs de la plecare până la întâlnire:
212 : 53 = 4 (ore)
Știind că Andrei, plecând din A merge timp de 4 ore cu viteza de 25 km/oră,
putem afla la ce distanță de A s-a produs întâlnirea:
4 x 25 = 100 (km).
3. Distanța dintre două orașe A și B este de 90 km. Un biciclist pleacă din A la ora 8 și sosește în B la ora 11. Află câți km a parcurs biciclistul într-o oră.
Rezolvare:
A |–––––––|B.
90 km
În cât timp a parcurs distanța?
11 – 8 = 3 (ore)
Câți km a parcurs într-o oră?
90 : 3 = 30(km)
Verificare: 3 x 30 = 90 km
În munca cu elevii, rezolvarea problemelor prin mai multe cai constituie o modalitate de dezvoltare a gândirii logice, creatoare. Aceasta activitate impulsioneaza elevii la cautarea unor solutii originale. Important este ca ei sa înteleaga în mod constient toate modalitatile de rezolvare, sa le explice si apoi sa le reproduca.
Verificarea (proba) solutiei aflate pentru o problema data este foarte importanta pentru realizarea scopului formativ, pentru dezvoltarea creativitatii gândirii elevilor.
În general, proba se face pe doua cai principale:
1) înlocuind rezultatele aflate, în continutul problemei; în acest caz, elevul trebuie sa poata încadra rezultatele (numerele) aflate în enuntul problemei si sa poata verifica conditionarea lor astfel ca sa obtina datele (numerele) initiale;
2) rezolvând problema în doua sau mai multe moduri; în acest caz, elevul trebuie sa obtina acelasi rezultat prin toate caile de rezolvare, pentru a putea trage concluzia ca solutia problemei este buna. Acest procedeu este mai eficient din punct de vedere al antrenarii elevului la munca independenta, creatoare.
Complicarea problemei prin introducerea de noi date, sau prin modificarea întrebarii contribuie în mare masura la dezvoltarea flexibilitatii si creativitatii gândirii.
Formula numerica (sau literala) pentru rezolvarea unei probleme constituie un alt mijloc de stimulare a gândiri logice a elevilor, adesea folosit în activitatea de rezolvare a problemelor, este transpunerea rezolvarii unei probleme sub forma unui singur exercitiu, folosind datele problemei, sau înlocuindu-le cu litere, indiferent daca este sau nu încadrata într-o problema tipica.
O asemenea activitate cu elevii este o munca de creatie, de gândire, de stabilire de legaturi logice, pentru a putea pune sub forma unui singur exercitiu, ceea ce de fapt se realizeaza în mai multe etape, prin exercitii distincte.
Daca se înlocuiesc numerele din exercitiu (datele problemei) prin litere, atunci procesul devine complet prin generalizare.
Elevii trebuie facuti sa înteleaga, ca în formula numerica a problemei se folosesc datele cunoscute ale acesteia, sau operatiile prin care s-au aflat necunoscutele, folosindu-se la nevoie parantezele rotunde, patrate sau acolade. În alcatuirea exercitiului trebuie sa se tina cont de ordinea operatiilor din probleme, de ordinul operatiilor care apar (ordinul I, ordinul II), ca si de proprietatile operatiilor (comutativitate, asociativitate).
Rezolvarea exercitiului trebuie sa conduca la rezultatul problemei. În caz contrar, fie s-a gresit rezolvarea problemei, fie ca s-a alcatuit sau rezolvat gresit exercitiul.
Câmpul de aplicabilitate al acestei activitati creatoare, este deschis aproape la orice lectie unde se rezolva probleme.
2. 7. Aplicarea metodei descoperirii la orele de matematică
CAPITOLUL III: STUDIUL DE CAZ
3.1. Obiectivele lucrării
Obiectul unei cercetari psihopedagogice îl constituie o problema "un fapt" pe care cercetatorul îl identifica si delimiteaza din ansamblul structural din care face perte, cu intentia de a-i da o explicatie plauzibila si de a obtine date certe privind functionalitatea sa.
Unul dintre faptele pedagogice ce pot constitui obiectul unei cercetari pedagogice poate fi:" Aspecte ale dezvoltarii creativitatii la scolari prin rezolvarea de probleme".
Succesul în dobândirea cunostintelor privind operatiile de rezolvare de probleme depinde în mod semnificativ de învatator , de felul în care acesta reuseste sa conduca procesul precarii – învatarii si evaluarii, dupa modul cum sunt orientati copii sa poata constientiza descoperii si aplica prin transfer cunostiintele, priceperile si deprinderile.
În procesul de învatare la clasele I-IV trebuie sa se foloseasca metode care creeaza posibilitatea elevului de a transforma cunostiintele pasive în cunostiinte active si de a favoriza descoperirea unor noi cunostiinte cât si aplicarea lor în activitatea practica.
Precizarea obiectivelor si formularea ipotezei
În cadrul cercetarii întreprinse am pornit de la urmatoarea ipoteza: prin utilizarea corecta a metodelor de rezolvare a problemelor si integrarea adecvata în lectiile de matematica poate duce la cresterea eficientei învatarii problemelor matematice si prin aceasta cresterea randamentului scolar al elevilor din ciclul primar.
Din ipoteza formulata se desprind 2 variabile a cercetarii:
– variabila independenta-utilizarea metodelor de rezolvare a problemelor în cadrul lectiilor de matematica;
– variabila dependenta- cresterea eficientei însusirii operatiilor aritmetice si implicit a procesului scolar al elevilor.
În vederea demonstrarii acestei ipoteze mi-am propus declansarea unei cercetari psihopedagogice care are ca obiectiv dovedirea eficientei metodelor de rezolvare a problemelor în orele de matematica.
Cercetarea a fost organizata în anul scolar 2013-2014 pe esantioane de elevi de vârsta scolara 8-9 ani. Am avut în vedere doua clase a IV-a respectiv a IV-a de la Scoala cu clasele I-IV Livezile, clasa experimentala (esantionul de progres) si clasa a IV-a de la scoala I-IV Izvoru Anestilor- clasa martor (esantionul de control).
Deoarece mi-am propus sa declansez o actiune educationala rezultatele acesteia fiind înregistrate si prelucrate pentru a demonstra eficienta folosirii metodelor de rezolvare a problemelor , prin metodologia adoptata se va ajunge la descoperirea unor relatii cauzale, am organizat o cercetare experimentala. Experimentarea presupune determinarea cantitativa prin masurare a fenomenelor investigate. Pe aceasta baza ea ofera posibilitatea evidentierii obiective a eficientei noii tehnologii didactice.
Experimentul a reprezentat principala metoda de investigatie. Experimentul pedagogic presupune crearea unor situatii noi , prin introducerea unor modificari în desfasurarea actiunii educationale cu scopul verificarii ipotezei care a declansat aceste inovatii.
Observatia a fost utilizata în perioada premergatoare si în timpul desfasurarii experimentarii. Ea s-a realizat cu scopul de a compara si surprinde comportamentul, reactiile elevilor si mai ales, conditiile psihopedagogice în care metodele de rezolvare a problemelor asigura învatamântului o deosebita valoare fornativa. Am urmarit, de asemenea, modul în care se adapteaza si este acceptata aceasta metoda de catre elevii cu grade diferite de pregatire.
Probele de evaluare au fost folosite pentru a masura cât mai exact volumul si cunostiintele înainte, în timpul si dupa efectuarea experimentarii.
Testul final a avut un caracter mixt de cunostiinte si aptitudini, verificând atât capacitatea de reproducere a unor cunostiinte cât si nivelul de dezvoltare a capacitatilor de analiza si sinteza de aplicare a cunostiintelor în noi situatii. Punctajul s-a acordat în functie de gradul de dificultate al întrebarii sau problemei si dupa calitatea sau numarul solutiilor gasite sau propuse.
În ceea ce priveste esantionarea am ales doua esantioane: esantion experimental (cls. a IV-a de la Scoala Livezile, 18 elevi) pe care-l voi nota cu Ee si esantionul de control (cls. a IV-a scoala Izvoru Anestilor, 16 elevi) pe care-l voi nota cu Ec. Caracteristic pentru esantionul experimental este faptul ca asupra lui se actioneaza cu ajutorul factorului experimental (f.e.) în conformitate cu cele propuse în ipoteza în vederea producerii unor modificari în desfasurarea actiunii educationale. Cel de al II-lea esantion de control este folosit ca martor pentru ca la încheierea cercetarii sa se poata compara rezultatele obtinute pe ambele esantioane si sa se poata conchide pe aceasta baza, ca diferentele se datoreaza factorului experimental.
3.2. Metode de cercetare folosite în elaborarea lucrării
Primele teste au fost cele de evaluare initiala , în consens cu remarca lui D. Ausubel: Daca as vrea sa reduc toata psihologia la un singur principiu, eu spun: ceea ce conteaza cel mai mult în învatare sunt consecintele pe care le poseda elevul la plecare. Asigurati-va de ceea ce stie si instruiti-l în consecinta.
Metoda de baza utilizata a fost experimentul psihopedagogic de tip experimental- ameliorativ.
Cercetarea a cuprins trei etape:
A. Etapa initiala care a avut un caracter constatativ.
B. Etapa interventiei ameliorative cu valoare formativa în stimularea proceselor psihice si a personalitatii elevilor.
C. Etapa evaluarii ce a avut un caracter comparativ , cu privire la rezultatele obtinute în urma demersului experimental formativ.
A. Etapa initiala este etapa evaluarii care a constat în aplicarea unui test de evaluare initiala. Scopul a fost acela de a stabili punctul de plecare în desfasurarea demersului experimental. Testul a fost conceput pentru capitolul "Operatii cu numere naturale în concentrul 1000 – 1000000" în functie de programa scolara de la clasa a IV-a si a obiectivelor operationale vizate în lectie.
Având un caracter constatativ, testul de evaluare initiala reflecta volumul si calitatea cunostiintelor, deprinderilor si priceperilor de calcul aritmetic al elevilor , constituind un punct de pornire în demersul formativ.
Testul a fost aplicat ambelor esantioane.
Unitate de învatare: Operatii cu numere naturale în concentrul 1000 – 1000000
Continut: Adunarea și scăderea numerelor naturale mai mici sau egale cu 1 000 000
Descriptori de performanta
B.Etapa interventiei ameliorative a avut un pronuntat caracter formativ, constând în aplicarea metodelor de rezolvare a problemelor în orice tip/varianta de lectie. Am aplicat ambelor clase un test de ameliorare:
– la esantionul experimental (Ee) s-au utilizat atât metode clasice, cât mai ales metode speciale de rezolvare a problemelor pentru atingerea obiectivelor propuse;
– la esantionul de control/martor (Ec) lectiile de matematica s-au desfasurat folosindu-se cu precadere de metodele traditionale.
Unitatea de învatare : "Operatii cu numere naturale în concentrul 1000 – 1000000"
Continut . " Înmulțirea și împărțirea numerelor naturale mai mici sau egale cu 1 000"
Descriptori de performanta
C. Etapa evaluarii consta în aplicarea unor teste de evaluare finala în scopul compararii rezultatelor obtinute dupa proiectarea si desfasurarea lectiilor cu ajutorul metodelor de rezolvare a problemelor, cu rezultate de la testele initiale.
În lectiile pregatitoare testului final s-a acordat o atentie deosebita eliminarii lacunelor existente în pregatirea elevilor la matematica prin :
– esantionul experimental – continuarea utilizarii metodelor de rezolvare a problemelor; crearea suportului afectiv si motivational necesar participarii active la lectii; aplicarea unui curriculum diferentiat; stimulari si aprecieri pozitive în caz de reusita; jocuri diverse , concursuri pe echipe cu sarcini antrenante;
– esantionul de control(martor)- repetarea cu elevii a notiunilor matematice pe care le retin mai greu, folosindu-se mai des în exercitii si probleme la clasa si acasa în conditii scolare obisnuite.
Testul de evaluare finala si-a propus sa îndeplineasca obiective asemanatoare testului initial, însa cuprinzând sarcini de mai mare dificultate.
Unitatea de învatare: ,,Operatii cu numere naturale în cocentrul 1000 – 1000000".
Continut :" Înțelegerea de către elevi a unor expresii care se întâlnesc în probleme ".
Descriptori de performanta
CAPITOLUL IV: PREZENTAREA ȘI INTERPRETAREA REZULTATELOR OBȚINUTE
4.1. Înțelegerea de către elevi a „cuvintelor semnal" ce conduc la identificarea operațiilor necesare rezolvării problemelor
Tabel analitic cu rezultatele obtinute în urma aplicarii testului initial la esantionul experimental
Tabel analitic cu rezultatele testului initial pe esantionul reprezentativ experimental
Procentul de realizare a obiectivelor la testului initial pe esantionul reprezentativ experimental
Frecventa de rezultatelor testului initial pe esantionul experimental
Procentul mediu de realizare
Analizând rezultatele înregistrate în tabele s-a constatat ca 89% din elevi stapânesc operatiile de ordin I si terminologia matematica, iar 11% întâmpina greutati la realizarea sarcinilor de la itemii 1, 3, 4, 5, 6. Un numar de 1 elev ( cu rezultate foarte slabe) întâmpina dificultati la rezolvarea de operatii, la transformarea corecta a unui enunt intr-un exercitiu, la rezolvarea unei probleme dupa un plan de rezolvare ( I1, I4, I5-11% ) , iar un alt elev nu reuseste sa determine necunoscuta dintr-o expresie si sa compuna o problema dupa un exercitiu (I3, I6-11%) doar 16 din ei ajungând la rezultatul corect.
Tabel analitic cu rezultatele obtinute în urma aplicarii testului initial pe esantionul de control.
Tabel analitic cu rezultatele testului initial pe esantionul de control.
Procentajul de realizare a obiectivelor la testului initial pe esantionul de control .
Frecventa rezultatelor la testului initial pe esantionul de control.
Procentul mediu de realizare
Analizând rezultatele graficelor de mai sus s-a constatat ca 87% din numarul elevilor stapânesc operatiile de ordinal I si limbajul matematic, iar 13% întâmpina dificultati la realizarea sarcinilor de la itemii 3, 6 .Un numar de 3 elevi nu reusesc sa determine o necunoscuta dintr-un exercitiu (I3-81%). La rezolvarea si compunerea de probleme dupa exercitiul dat , doar 12 elevi au finalizat cerinta.
Comparând rezultatele celor doua esantioane la testul initial, situatia se prezinta astfel :
Esantionul experimental si esantionul de control dupa testul initial în procente.
Din analiza comparativa a rezultatelor obtinute de cele doua esantioane la testul initial s-a constatat ca rezultatele pe clase sunt apropiate (89% esantionul experimental si 87 % esantionul de control). Din punct de vedere a rezultatelor pe calificetive, s-a constatat ca esantionul experimental a obtinut un procentaj mai mare la "Forte bine" (4 elevi), decât esantionul de control (3 elevi), la "Bine" esantioanele au obtinut la "Suficient" la esantionul experimental (7elevi) a obtinut un procentaj mai mare(5 elevi), iar la esantionul de control (3 elevi) s-a obtinut un procentaj mai mic .
Primul pas în reorganizarea instruirii l-a constituit aplicarea unor metode active, folosirea unor exercitii si probleme cu un grad mai mare de complexitate în comunicarea si reactualizarea notiunilor matematice, precum si efectuarea unui numar sporit de exercitii si probleme care sa asigure întelegerea de catre fiecare elev a sarcinilor cerute si posibilitatea rezolvarii cu usurinta a acestora.
4.2. Înțelegerea de către elevi a operațiilor de înmulțire și împărțire utilizate in rezolvarea problemelor
Tabel analitic cu rezultatele obtinute în urma aplicarii testului de ameliorare pe esantionul experimental
Tabel analitic cu rezultatele testului de ameliorare pe esantionul experimental
Procentul de realizare la testul de ameliorare pe esantionul experimental .
Frecventa rezultatelor la testul de ameliorare pe esantionul experimental
Procent mediu de realizare
Din datele înregistrate mai sus, se costata o mentinere atât a procentului de realizare a itemilor propusi, cât si a procentului pe clasa la 89% la testul initial, 89% la testul de ameliorare. A scazut numarul elevilor cu rezultate nesatisfacatoare (de la 4 la 2) si a crescut numarul elevilor cu rezultate satisfacatoare bune.
Aceasta înseamna nu numai un progress în cunostintele elevilor, ci si în capacitatile lor intelectuale, dat fiind si aportul jocurilor didactice aplicate.
Tabel analitic cu rezultatele obtinute în urma aplicarii testului initial pe esantionul de control.
Tabel analitic cu rezultatele testului de ameliorare pe esantionul de control
Procentul de realizare a obiectivelor la testul de ameliorare pe esantionul de control .
Frecventa rezultatelor la testul initial pe esantionul de control
Procentul mediu realizabil
Din datele înregistrate mai sus se constata o stagnare a procentajului pe clasa (81%) a sarcinilor propuse spre rezolvare. A crescut totusi numarul elevilor care au obtinut calificativul "Bine" (de la testul initial, la 7) si a scazut numarul elevilor care au obtinut calificativul "Suficient" (de la 4 la testul initial la 3 ). În acest moment se pot compara rezultatele obtinute de cele doua esantioane la testul de ameliorare. Astfel , promovabilitatea esantionului experimental este de 89% iar al celui de control de 81%.
Pentru a putea interpreta mai bine datele obtinute la testul de control, voi prezenta grafic , în paralel rezultatele pe calificative a celor doua esantioane.
Esantionul experimental Esantionul de control
Esantionul experimental si esantionul de control dupa testul de amelioare
Observând graficele ce reprezinta comparative cele doua esantioane , dupa testul de ameliorare , se constata ca rezultatele obtinute de esantionul experimental sunt situate deasupra celor obtinute de esantionul de control cu 7%. Aceste constatari îmi întaresc convingerea ca masurile aplicate în etapa ameliorativa au fost eficiente, iar continuarea activitatii pe aceasta directie va avea rezultate îmbucuratoare.
Comparând si rezultatele obtinute de cele doua esantioane, la testul initial si la testul de control, situatia se prezinta astfel :
Rezultatele esantionulul experimental la testul initial si testul ameliorative
Rezultatele esantionulul de control la testul initial si testul ameliorativ
Esantionul experimental si-a îmbunatatit rezultatele cu 10 % "Bine"(45% fata de 30%), iar ce este încurajator este scaderea rezultatelor "nesatisfacatoare" cu jumatate din procentajul initial (10% fata de 22%).
Esantionul de control si-a modificat procentajul doar la calificativele "Bine" (45% fata de 30%),si "Suficient" (15% fata de 25%), ponderea numarului calificativelor "Insuficient"ramânând neschimbata.
4.3. Înțelegerea de către elevi a unor expresii care se întâlnesc în probleme
Tabel analitic cu rezultatele obtinute în urma aplicarii testului final pe esantionul experimental
Tabel analitic cu rezultatele testului de ameliorare pe esantionul experimental
Procentul de realizare a obiectivelor la testul final pe esantionul experimental
Frecventa rezultatelor la testul final pe esantionul experimental
Procentul mediu de realizat
Analizând rezultatele înregistrate de mai sus e usor de remarcat ca numarul elevilor care au obtinut rezultate bune(50%) si foarte bune(33%) a crescut semnificativ, (9,respective 6 elevi). De asemenea absenta rezultatelor nesatisfacatoare dovedesc ca elevii si-au însusit bine cunostintele de la acest capitol, calculeaza si rezolva cu usurinta exercitiile si problemele. Afla numarul necunoscut dintr-o expresie data, cunosc terminologia specifica matematicii si rezolva cu usurinta problemele cu mai multe operatii. Cei 9 elevi care au obtinut calificativul "Bine" (50%) dovedesc acelasi lucru, ei negresind la tehnica de lucru, ci la unele calcule efectuate în graba. Unele lacune le prezinta cei 3 elevi care au obtinut calificativul "Suficient"(1%).7 Ei dovedesc nesiguranta la rezolvarea exercitiilor si nu stapânesc bine limbajul matematic.
Tabel analitic cu rezultatele obtinute în urma aplicarii testului final pe esantionul de control.
Tabel analitic cu rezultatele testului final pe esantionul experimental
Procentul de realizare a obiectivelor la testul final pe esantionul de control
Frecventa rezultatelor la testul final pe esantionul de control
Procentul mediu de realizat
Din rezultatele transpuse în graficele de mai sus s-a constatat ca 87% din numarul total al elevilor au obtinut calificativede trecere a testului (25%-F.B. 4 elevi, 44% B. 7 elevi, 19% S 13 elevi, iar restul de 12% 12 elevi întâmpina înca dificultati de calcul si de tehnica în rezolvarea exercitiilor si problemelor. Nu stapânesc limbajul matematic si de aceea transpunerea în exercitiu a unui enunt este o greutate pentru ei. Astfel, promovabilitatea primului esantion este de 100% iar celui de-al doile de 87%.
Pentru a putea interpreta mai bine datele obtinute la testul final, voi reprezenta grafic, în parallel, rezultatele obtinute de cele doua esantioane.
Esantionul experimental
Esantionul de control
Esantionul experimental si esantionul de control dupa testul final
Observând graficele ce reprezinta comparative cele doua esantioane, dupa testul final, se constata ca rezultatele obtinute de primul esantion sunt deasupra celor obtinute de al doilea cu 12,5%. Calculul mathematic si transpunerea limbajului din exercitii si probleme au fost bine însusite acolo unde tehnica de învatare a fost sprijinita de folosirea jocului didactic.
Comparând si rezultatele obtinute de cele doua esantioane , la testul inisial si la testul final, situatia se prezinta astfel :
Rezultatele obtinute la testul initial si testul final de esantionul experimental
Rezultatele obtinute la testul initial si testul final de esantionul experimental
Esantionul experimental si-a îmbunatatit cota de rezultate "Bune" (de la 39% la 50%) si "Forte bune"(de la 22% la 33%), iar ceea ce este de remarcat este absenta calificativelor "Insuficient" la testarea finala.
Esantionul de control si-a îmbunatatit cu putin rezultatele , fara salturi majore la un anume calificativ. Rezultate "Foarte bune"(de la 19% la 25%), "Bune"(de la 38% la 44%) si "Insuficiente" (de la 19% la 13 %).
Comparând rezultatele obtinute la cele 3 teste aplicate , s-a constatat ca progresul este semnificativ la esantionul experimental.
Prezentarea comparativa a rezultatelor obtinute la cele trei teste evidentiaza evolutia elevilor. Se observa ca din cei 4 elevi care au obtinut calificativul "Insuficient" la testul initial, niciunul nu a ramas la acest calificativ la testul final,: 3 elevi au obtinut "Suficient" , iar unul "Bine". Cresterea numarului de elevi care au obtinut calificativul "Foarte bine" este iarasi semnificativ. Daca la primul test doar 4 elevi primisera acest calificativ, la ultimul test numarul acestora s-a ridicat la 6(o crestere de 10 %) . Procentajul calificativelor "Foarte bine" de la 22% la 33% indica faptul ca metodele de rezolvare a problemelor aplicata în lectiile de învatare, de consolidare si de evaluare au avut o mare eficienta.
Concluzii
Evaluarea a asigurat o modalitate distincta de analiza cantitativa si calitativa a rezultatelor învatarii pe parcursul întregii etape experrimentale .
Jocul a constituit pentru elevi o modalitate stimulativa, de antrenare la lucru, de motivare a învatarii.
În urma experimentului efectuat putea spune ca utilizarea jocului didactic satisface cerintele unui învatamânt formative, deoarece antreneaza majoritatea elevilor , sporeste gradul de motivatie a învataturii prin satisfactiile pe care elevii le obtin prin rezultatele pozitive ale muncii lor.
Progresul elevilor este evidentiat de cresterea gradului de realizare a obiectivelor instruirii, cresterii materializata în marimea valorii notelor pentru nivelul de cunostinte si deprinderii atins. În acest sens ilustrarea grafica este convingatoare.
La orele de matematica am realizat lectii la care elevii sa participle cu placere si sa-si însuseasca cunostintele în functie de posibilitatile lor intelectuale.
Prin multitudinea de jocuri didactice pe care le-am folosit am reusit sa realizez sarcina învatarii:
– însusirea de cunostinte matematice atât de necesare etapelor urmatoare ale învatarii matematicii.
Prin testele aplicate am cautat sa ilustrez importanta jocului didactic la orele de matematica, faptul ca elevii rezolva cu mai mult interes si placere jocurile care nu sunt altceva decât exercitii si probleme prezentate sub alta forma.
Lectiile organizate cu introducerea uni joc didactic matematic au asigurat participarea activa a elevilor la dobândirea cunostintelor, la formarea unui stil de munca intellectual, lectia devenind o modalitate de organizare a activitatii de învatare.
Cresterea nivelului de pregatire a elevilor prin folosirea jocurilor didactice demonstreaza utilitatea lor , atât la matematica cât si la alte discipline.
Combinând metodele clasice cu cele moderne , adoptând cele mai eficiente strategii didactice, se poate insufla elevilor dragostea pentru matematica , sa-si formeze deprinderi de rezolvare a problemelor de aritmetica, sa-si dezvolte gândirea , logica , imaginatia.
Din experienta didactica din experimental realizat si din bibliografia studiata , pot afirma ca predarea-îmvatarea operatiilor aritmetice are urmatoarele valente:
-dezvolta gândirea, antrenândoperatiile logice de analiza si sinteza, de comparatie, de abstractizare si generalizare;
-dezvolta vointa, perseverenta, spiritual de raspundere, încrederea în fortele proprii;
– stimuleaza initiativa, încrederea în sine, curajul;
– stimuleaza si formeaza priceperi si deprinderi practice.
În urma documentarii pe baza bibliografiei consultate , a experientei didactice si aprobelor de evaluare aplicate, s-a ajuns la urmatoarele concluzii:
– predarea-învatarea operatiilor aritmetice trebuie privita ca un fenomen complex, dar unitar, care angajeaza plenar întreaga personalitate umana;
– compunerea si rezolvarea de problem dezvolta creativitatea ca dimensiune psihologica ce este universal existenta, distribuindu-se în rândul tuturor copiilor dezvoltati normal.
În cadrul matematicii , predarea-învatarea operatiilor aritmetice cu numere naturale are bogate valente formative, fiind o modalitate princioala de a dezvolta gândirea independenta a copiilor.
În scopul stimularii potentialului creative al elevilor, învatatorul trebuie sa fie cel putin neutru fata de evolutia acestuia, în sensul de a nu-iînabusi manifestarile si dezvoltarea , sa intervina constient s iactiv pentru îndepartarea blocajelor obiective si subiective ale creativitatii elevilor, sa preia si sa dezvolte în mod organizat potentialul creativ al fiecarui copil.
E absolute necesar ca învatatorul sa cunoasca pe cât posibil situatia potentialului psihologic al fiecarui elev în parte, se impune astfel masurarea prin diferite probe si modalitati a potentialului creativ al copiilor, aceste probe sa aiba doua faze: initiala si finala-în intervalul de timp dintre ele lucrându-se intens cu elevii; rezultatele finale vor reda progresul obtinut de elevi în ceea ce priveste însusirea cunostintelor, dar si în ceea ce priveste dezvoltarea capacitatilor creatoare (astfel de probe se pot aplica la început si la sfârsit de capitol, semestru sau an scolar).
Rezultatele obtinute ofera informatii detaliate care pot fi luate în calcul la elaborarea masurilor ameliorative pentru elevi astfel: elevii cu capacitati reduse de întelegere si asimilare vor primi spre rezolvare sarcini de nivel reproductive si de cunoastere pentru a-i ajuta sa realizeze obiectivele programei ; iar celor cu potential creative, li se vor crea conditii propice , în care sa li se poata dezvolta nestânjenit capacitatile creative.
Prin aceste probleme de evaluare se realizeaza o eficienta conexiune inversa ; învatatorul cunoaste despre fiecare elev ce stie si ce nu stie din capitolul respectiv, iar elevii devin constienti de ceea ce au realizat.
Modul de prezentare al unor itemi în probele aplicate (alegerea raspunsului corect din mai multe posibilitati, stabilirea adevarului sau falsitatii unei propozitii matematice, completarea problemei cu date si întrebari noi, compunerea de probleme) au trezit interesulcopiilor si dorinta exprimata de a mai primi astfel de sarcini.
În însusirea cunostintelor de catre elevi un rol important îl are munca independenta, în ora de matematica elevii trebuie sa lucreze , sa faca efort nu numai aplicativ, cât mai ales mintal creator. În cadrul activitatii independente din clasa , trebuie sa realizam si învatarea în ritm propriu, deoarece într-o clasa de elevi exista mai multe nivele de gândire si ritmuri de lucru variate , specifice fiecarui copil.
Este necesar ca elevii sa fie obisnuiti ca singuri sa caute de lucru, sa creeze probleme si exercitii pe care sa le resolve si în felul acesta ora de matematica sa fie o ora densa , în care elevii sa lucreze mai mult, învatatorul lucrând cu clasa cât si cu fiecare elev în parte, astfel elevii înteleg ca matematica este o stiinta a realitatii înconjuratoare , indispensabila diverselor activitati umane practice, nu e doar o activitate abstracta pura.
Principiul participarii constiente si active a elevilor în procesul de învatamânt este unul din cele mai importante principii ale didacticii, exprimând esenta procesului învatarii în acceptie moderna si având cea mai mare participare la realizarea eficientei formative a învatamântului. Însusire constienta a cunostintelor asigura temeinicia lor, iar însusirea activa prin efort propriu , duce la dezvoltarea inteletuala în primul rând a gândirii, precum si la dezvoltarea spiritului de independenta, de investigatie, de creativitate. A-i învata pe elevi cum sa învete a devenit o problema majora a scolii. Iata de ce un loc important în formarea si dezvoltarea la elevi a capacitatilor de creatie îl ocupa învatarea prin descoperire si redescoperire.
Toate aceste achizitii ale elevilor sunt permise minime pentru orice act de creatie , baza a oricaror creatii viitoare si a comportamentului creativ.
Lucrarea de fata face simtita armonia interioara a matematicii, capabila sa trezeasca constiinta ca exista probleme matematice atragatoare , pentru întelegerea carora nu este nevoie de un talent special si nici o pregatire care sa depaseasca nivelul claselor elementare.
Consider ca scopul propus a fost confirmat si ca predarea-învatarea operatiilor aritmetice se datoreaza în mare parte atât capacitatilor intelectuale ale elevilor cât si însusirii corecte a metodelor diverse de predare a acestor cunostinte.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Operatii cu Numere Naturale In Cocentrul 1000 1000000 (ID: 160141)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.