Omotetii si Inversiuni n plan [620228]

Ministerul Educat iei Nat ionale
Universitatea "OVIDIUS" Constant a
Facultatea de Matematic a  si Informatic a
Specializarea Matematic a-Informatic a
LUCRARE DE LICENT  A
Omotetii  si Inversiuni ^ n plan
Coordonator  stiint ic:
Lect. Univ. Dr. Homentcovschi Laurent iu
Absolvent: [anonimizat] a
2018

Rezumat
content…

Capitolul 1
OMOTETIA
FieO2 un punct x  si k2R,k6= 0.
Denit ia 1. Se numeste omotetie de centru O  si raport k transformarea planu-
luiprin care ecarui punct Z i se asociaza punctul Z0astfel ^ nc^ at# OZ0=k
# OZ.
Teorema 1. O omotetie unic a este denit a de orice punct O din planul  si
orice num ar real k6= 0.
Demonstrat ie. Un vector unic# OZeste denit de punctul ales O, al aturi de orice
punct Z2, iar produsul k
# OZeste un vector colinear cu vectorul# OZ.
Notat ia omotetiei de centru O  si raport k este: hk
O. A sadar, hk
O: !  si
pentru orice Z2 avem# 
Ohk
O(Z) =k
# OZ.
Se poate observa c a aplicat ia identic a a planului reprezint a omotetia care
admite c a are centru orice punct al planului av^ and raportul 1, iar simetria
central a de centru O este omotetia de centru O  si raport -1, deoarece# OSO(Z) =
# OZ, pentru orice Z2.
^Inmult ind vectorul nul# OOcu orice num ar obt inem tot un vector nul, ceea
ce ^ nseamn a c a centrul omotetiei hk
Ose modic a ^ n el ^ nsu si.
Spunem c a centrul omotetiei este exterior daca avem k >0  si punctele Z  si
hk
O(Z) sunt situate de aceea si parte a punctului O pe dreapta OZ. De asemenea,
dac a avem k >0  si punctele Z  si hk
O(Z) sunt separate de puntul O pe dreapta
OZ, spunem c a centrul omotetiei este interior.
Teorema 2. Orice omotetie hk
O: !reprezint a o aplicat ie inversabil a, iar
inversa omotetiei hk
Oeste omotetia h1=k
O.
Demonstrat ie. FieZ2  si alegem un punct Z0=hk
O(Z). A sadar# OZ0=k
# OZ
sau# OZ=1
k# OZ0. De aici rezult a c a Z=h1=k
O(Z0).
Numim punctul hk
O(Z) omoteticul lui Z ^ n omotetia de centru O si raport k
dac a Z2  sihk
Oeste omotetie a planului .
Denim gura F0=hk
O(F) ca ind omotetica gurii F ^ n omotetia de centru
O  si raport k, dac a F reprezint a o gura geometric a din planul .
Teorema 3. Se nume ste asem anare de genul unu omotetia de centru O  si
raport k, av^ and k >0. De asemenea, omotetia de centru O  si raport k este o
asem anare de genul doi dac a avem k <0.
1

Demonstrat ie. FieX; T2 dou a puncte oarecare  si X0=hk
O(X),T0=hk
O(T).
Aplic^ and regula de adunare a vectorilor, obt inem:# OT0=# OX0+# X0T0, de unde
rezult a c a# X0T0=# OT0# OX0. Dar# OX0=k# OX,# OT0=k# OT si deci# X0T0=
k# OTk# OX=k(# OT# OX) =k# XT. Prin urmare, avem kX0T0k=jkj
kXYk
de unde rezult a c a omotetia de centru O si raport k este o asem anare de raport
jkj.
M0
O N0
NM
Figura 1
Demonstr am c a dac a avem k > 0,hk
Oeste o asem anare de genul unu. Lu am
M  si N dou a puncte oarecare astfel ^ nc^ at punctul O s a nu e situat pe dreapta
MN  si M0=hk
O(M),N0=hk
O(N) (Figura 1). ^In lant ul triunghiural OMN,
OM'N, OM'N' ambele perechi de triunghiuri consecutive au aceea si orientare.
A sadar, hk
Ocuk >0 nu schimb a orientarea triunghiurilor. Analog se arat a c a
dac a k <0, atunci hk
Oeste o asem anare de genul doi.
Corolar 2. Corpurile geometrice care se a
 a in raport de omotetie sunt iden-
tice.
O omotetie exist a dac a se denesc dou a puncte, care se a
 a ^ n raport de
omotetie, A  si A'  si centrul O al omotetiei pe dreapta AA'(g. 1.2)
Ar at am acum c a pentru orice punct B2 se poate realiza imaginea lui
printr-o omotetie. Realiz am dreapta d care trece prin A', ind paralel a cu
2

dreapta AB  si construim punctul B0=d\OB. Prin omotetia de centru O si
raport
A0
O B0A
B
Figura 2
Teorema 4. Fieik: !o asem anare de raport k6= 1. Spunem c a ikeste
o omotetie de raport k dac a are proprietatea c a pentru orice M; N2vectorii# MN  si# ik(M)ik(N)au aceea si orientare.(Figura 1)
Demonstrat ie. FieM; N2ddou a puncte oarecare  si M0=ik(M),N0=ik(N)
imaginile lor.
ikar  aplicat ie identic a a planului dac a avem o dreapt a d astfel ^ nc^ at
ik(N)6=d si ecare dreapt a din planul ar  invariat a ^ n raport cu asem anarea
ik. Pentru c a k6= 1, ^ nseamn a c a jMNj sijM0N0jnu sunt congruente  si cum
MNkM0N0, obt inem c a dreptele MM', NN' se^ nt^ alnesc^ ntr-un punct O. Lu am
omotetia hk
O si ment ion am c a hk
O(O) =O. Ar at am c a ik(O) =O. Evident,
dreapta OM se modic a prin asem anarea iksau ^ ntr-o dreapt a paralel a cu OM
sau ^ n dreapta OM.
Pentru c a imaginea M' a lui M prin asem anarea ikeste pe dreapta OM, iar
imaginea dreptei OM trebuie s a treac a prin M', ^ nseamn a c a dreapta OM se
3

modic a prin asem anarea ik^ n ea ^ ns a si. ^In mod asem ana ator, dreapta ON se
modic a ^ n ea ^ ns a si prin asem anarea ik si deci O este punct x ^ n raport cu ik.
A sadar, punctele O, M, N sunt modicate^ n punctele O, M', N' prin asem anarea
ik si omotetia hk
O, deci ik=hk
O.
Teorema 5. Un grup comutativ izomorf cu grupul multiplicativ al numerelor
reale nenule este format din mult imea omotetiilor de acela si centru.
Demonstrat ie. Lu am hk1
O sihk2
Odou a omotetii cu centrul ^ n O. Pentru orice
T2 ,avem# 
Ohk1
O(T) =k1# OT si# 
Ohk2
O(T) =k2# OT, ceea ce ^ nseamn a c a# 
Ohk1
O(hk2
O(T)) =k# 
Ohk2
O(T) =k1k2# OTadic a hk1
Ohk2
O=hk1k2
O. S tim c a inversa
omotetiei hk
Oeste omotetia h1=k
O. Compunerea omotetiilor de centru O este aso-
ciativ a. Sust inem asta deoarece compunerea funct iilor este asociativ a, aplicat ia
identic a a planului 1 este omotetia h1
O si orice omotetie hk
Oeste inversabil a.
Not am GO=fhk
Ojk2R; k6= 0g si denim aplicat ia ':HO!Rcare
asociaz a omotetiei hk
Ode raport k num arul real k, '(hk
O) =k. Desigur, aplicat ia
'este bijectiv a  si avem '(hk1
Ohk2
O) ='(hk1k2
O) =k1k2='(hk1
O)'(hk2
O) ceea
ce rezult a c a 'este izomorsm de grupuri.
Teorema 6. Fief: !. Spunem c a f se nume ste aplicat ie bijectiv a dac a
^ ndepline ste urm atoarele propriet at i:
a) f modic a orice segment ^ ntr-un segment;
b) spunem c a f este omotetie (translat ie) dac a pentru 8X; Y2, vectorii# XY  si# f(X)f(Y)sunt colineari  si au raportul lungimilor constant.
Z0
O L
XO ID
O Y
BO YD
A Y
BA YZ
S L
XS L
Figura 3
Demonstrat ie. Lu am X; Y2. S tim c a cele dou a segmente jXYj sijf(X)f(Y)j
sunt congruente, iar semidreptele (XY  si (f(X)f(Y) au aceea si orientare. Spunem
c a f se nume ste translat ie, dac a jXf(X)j sijY f(Y)jsunt congruente  si paralele,
iar semidreptele (XY  si (f(X)f(Y) au aceea si orientare. Altfel, dreptele Xf(X)
 siY f(Y) au punctul comun O (Figura 3). Remarc am faptul c a omotetia de
centru O transform a punctul X ^ n punctul f(X). Realiz am pe gur a punctul
4

Z' care corespunde prin aceast a omotetie punctului Z oarecare. ^In consecint  a,
segmentelejXZj sijf(X)Z0jsunt paralele  sikf(X)Z0k
kXZk=kOf(X)k
kOXk=kf(X)f(Y)k
kXYk.
A sa cum semidreptele (XY  si (f(X)f(Y) au aceea si orientare sau orientar ari
opuse, la fel ^ nta^ alnim  si in cazul semidreptelor (XZ  si (f(X)Z'. ^In concluzie, Z'
coincide cu punctul f(Z), deci f este omotetie.
Teorema 7. Fie dou a omotetii hk
O sihk
O0. Produsul acestora este tot o omotetie
av^ and centrul coliniar O si O', dac a avem kk06= 1,  si este o translat ie de direct ie
OO' dac a avem kk' = 1.
Demonstrat ie. Fie F = LMN o gur a oarecare care se transform a prin omotetia
hk
O^ n gura F' = L'M'N'. La r^ andul ei gura F' se transform a ^ n gura F"
= L"M"N" prin omotetia hk
O(Figura 4). Folosindu-ne de teorema anterioara,
obt inem c a F  si F" sunt omotetice sau congruente. Prin omotetia hk
Oorice
vector# LM se transform a ^ ntr-un vector# L0M0astfel ^ nc^ at# L0M0=k# LM, iar
prin omotetia hk
O, vectorul# L0M0se transform a ^ n vectorul# L"M" astfel ^ nc^ at# L"M" =k0# L0M0. Obt inem c a# L"M" =kk0# LM
5

M
LOM
L
O"M
LN
L"M"O0
N"L'N'
6