Omotetii si Inversiuni n plan [620226]

Ministerul Educat iei Nat ionale
Universitatea "OVIDIUS" Constant a
Facultatea de Matematic a  si Informatic a
Specializarea Matematic a-Informatic a
LUCRARE DE LICENT  A
Omotetii  si Inversiuni ^ n plan
Coordonator  stiint ic:
Lect. Univ. Dr. Homentcovschi Laurent iu
Absolvent: [anonimizat] a
2018

Rezumat
content…

Capitolul 1
OMOTETIA
FieO2 un punct x  si k2R,k6= 0.
Denit ia 1. Fie O un punct x ^ n planul  sik2R,k6= 0. Numim o omotetie
de centru O  si raport k o aplicat ie:
T:P!P
A!T(A) =A0
care satisface urm atoarele condit ii:
i) T(0) = 0;
ii) Dac aA6= 0rezul a c a punctele O, A, A' sunt coliniare.
iii)A02[OM dac a avem k>0, iarO2(A0A)dac a avem k negativ.
iv)OA0=jkj
OA.
Punctul A' se nume ste omoteticul punctului A.
Teorema 1. Orice punct O din planul  si orice numar real k6= 0 denesc o
omotetie unic a.
Demonstrat ie. Un vector unic# OZeste denit de punctul ales O, al aturi de orice
punctZ2, iar produsul k
# OZeste un vector colinear cu vectorul# OZ.
Notat ia omotetiei de centru O  si raport k este: hk
O. A sadar,hk
O: !  si
pentru orice Z2 avem# 
Ohk
O(Z) =k
# OZ.
Se poate observa c a aplicat ia identic a a planului reprezint a omotetia care
admite c a are centru orice punct al planului av^ and raportul 1, iar simetria
central a de centru O este omotetia de centru O  si raport -1, deoarece# OSO(Z) =
# OZ, pentru orice Z2.
^Inmult ind vectorul nul# OOcu orice num ar obt inem tot un vector nul, ceea
ce ^ nseamn a c a centrul omotetiei hk
Ose modic a ^ n el ^ nsu si.
Spunem c a centrul omotetiei este exterior daca avem k >0  si punctele Z  si
hk
O(Z) sunt situate de aceea si parte a punctului O pe dreapta OZ. De asemenea,
dac a avem k >0  si punctele Z  si hk
O(Z) sunt separate de puntul O pe dreapta
OZ, spunem c a centrul omotetiei este interior.
Teorema 2. Orice omotetie hk
O: !reprezint a o aplicat ie inversabil a, iar
inversa omotetiei hk
Oeste omotetia h1=k
O.
1

Demonstrat ie. FieZ2  si alegem un punct Z0=hk
O(Z). A sadar# OZ0=k
# OZ
sau# OZ=1
k# OZ0. De aici rezult a c a Z=h1=k
O(Z0).
Numim punctul hk
O(Z) omoteticul lui Z ^ n omotetia de centru O si raport k
dac aZ2  sihk
Oeste omotetie a planului .
Denim gura F0=hk
O(F) ca ind omotetica gurii F ^ n omotetia de centru
O  si raport k, dac a F reprezint a o gura geometric a din planul .
Teorema 3. Omotetia de centru O  si raport k este o asem anare de genul unu
dac a avem k>0sau o asem anare de genul doi ^ n cazul ^ n care k<0.
Demonstrat ie. FieX;T2 dou a puncte oarecare  si X0=hk
O(X),T0=hk
O(T).
Aplic^ and regula de adunare a vectorilor, obt inem:# OT0=# OX0+# X0T0, de unde
rezult a c a# X0T0=# OT0# OX0. Dar# OX0=k# OX,# OT0=k# OT si deci# X0T0=
k# OTk# OX=k(# OT# OX) =k# XT. Prin urmare, avem kX0T0k=jkj
kXYk
de unde rezult a c a omotetia de centru O si raport k este o asem anare de raport
jkj.
M0
O N0
NM
Figura 1
Demonstr am c a dac a avem k>0,hk
Oeste o asem anare de genul unu. Lu am M
 si N dou a puncte oarecare astfel ^ nc^ at punctul O s a nu e situat pe dreapta MN
 siM0=hk
O(M),N0=hk
O(N) (Figura 1).
^In lant ul triunghiular OMN, OM'N, OM'N' ambele perechi de triunghiuri
consecutive au aceea si orientare. A sadar, hk
Ocuk > 0 nu schimb a orientarea
triunghiurilor. Analog se arat a c a dac a avem k<0, atuncihk
Oeste o asem anare
de genul doi.
Corolar 1. Figurile geometrice omotetice sunt asemenea. Toate dreptele care
trec prin O sunt invariate ^ n raport cu o omotetie hk
O.
O omotetie exist a dac a se denesc dou a puncte, care se a
 a ^ n raport de
omotetie, A  si A'  si centrul O al omotetiei pe dreapta AA'(g. 1.2)
Ar at am acum c a pentru orice punct B2 se poate realiza imaginea lui
printr-o omotetie. Realiz am dreapta d care trece prin A', ind paralel a cu
dreapta AB  si construim punctul B0=d\OB. Prin omotetia de centru O si
raport
2

A0
O B0A
B
Figura 2
Teorema 4. Fieik: !o asem anare de raport k6= 1, cu proprietatea c a
pentru orice M;N2vectorii# MN  si# ik(M)ik(N)au aceea si orientare, atunci
ikeste o omotetie de raport k.(Figura 1)
Demonstrat ie. FieM;N2ddou a puncte oarecare  si M0=ik(M),N0=ik(N)
imaginile lor.
ikar  aplicat ie identic a a planului dac a avem o dreapt a d astfel ^ nc^ at
ik(N)6=d si ecare dreapt a din planul ar  invariat a ^ n raport cu asem anarea
ik. Deoarece a k6= 1, ^ nseamn a c a jMNj sijM0N0jnu sunt congruente  si cum
MNkM0N0, obt inem c a dreptele MM', NN' se ^ nt^ alnesc ^ ntr-un punct O.
Lu am omotetia hk
O si ment ion am c a hk
O(O) =O. Ar at am c a ik(O) =O.
Evident, dreapta OM se modic a prin asem anarea iksau ^ ntr-o dreapt a paralel a
cu OM sau ^ n dreapta OM.
Pentru c a imaginea M' a lui M prin asem anarea ikeste pe dreapta OM, iar
imaginea dreptei OM trebuie s a treac a prin M', ^ nseamn a c a dreapta OM se
modic a prin asem anarea ik^ n ea ^ ns a si.
^In mod asem ana ator, dreapta ON se modic a ^ n ea ^ ns a si prin asem anarea
ik si deci O este punct x ^ n raport cu ik.
A sadar, punctele O, M, N sunt modicate^ n punctele O, M', N' prin asem anarea
ik si omotetia hk
O, deciik=hk
O.
Teorema 5. Mult imea omotetiilor de acela si centru care formeaz a un grup
comutativ izomorf cu grupul multiplicativ al numerelor reale nenule.
Demonstrat ie. Lu amhk1
O sihk2
Odou a omotetii cu centrul ^ n O. Pentru orice
T2 ,avem# 
Ohk1
O(T) =k1# OT si# 
Ohk2
O(T) =k2# OT, ceea ce ^ nseamn a c a# 
Ohk1
O(hk2
O(T)) =k# 
Ohk2
O(T) =k1k2# OTadic ahk1
Ohk2
O=hk1k2
O.
S tim c a inversa omotetiei hk
Oeste omotetia h1=k
O. Compunerea omotetiilor
de centru O este asociativ a. Sust inem asta deoarece compunerea funct iilor este
asociativ a, aplicat ia identic a a planului 1 este omotetia h1
O si orice omotetie
hk
Oeste inversabil a.
Not amGO=fhk
Ojk2R;k6= 0g si denim aplicat ia ':HO!Rcare
asociaz a omotetiei hk
Ode raport k num arul real k, '(hk
O) =k. Desigur, aplicat ia
3

'este bijectiv a  si avem '(hk1
Ohk2
O) ='(hk1k2
O) =k1k2='(hk1
O)'(hk2
O) ceea
ce rezult a c a 'este izomorsm de grupuri.
Teorema 6. Fief: !. Spunem c a f se nume ste aplicat ie bijectiv a dac a
^ ndepline ste urm atoarele propriet at i:
a) f transform a orice segment ^ ntr-un segment;
b) pentru8X;Y2, vectorii# XY  si# f(X)f(Y)sunt colineari  si au raportul
lungimilor constant, atunci f este o omotetie sau o translat ie.
Z0
O
f(Y)OD
O
BOD
A
BAZ
f(X)
f(Y)f(X)
Figura 3
Demonstrat ie. Lu amX;Y2.
S tim c a cele dou a segmente jXYj sijf(X)f(Y)jsunt congruente, iar se-
midreptele (XY  si (f(X)f(Y) au aceea si orientare. Spunem c a f se nume ste
translat ie, dac ajXf(X)j sijYf(Y)jsunt congruente  si paralele, iar semidrep-
tele (XY  si (f(X)f(Y) au aceea si orientare.
Altfel, dreptele Xf(X)  siYf(Y) au punctul comun O (Figura 3). Remarc am
faptul c a omotetia de centru O transform a punctul X ^ n punctul f(X). Realiz am
pe gur a punctul Z' care corespunde prin aceast a omotetie punctului Z oarecare.
^In consecint  a, segmentele jXZj sijf(X)Z0jsunt paralele  sikf(X)Z0k
kXZk=
kOf(X)k
kOXk=kf(X)f(Y)k
kXYk. A sa cum semidreptele (XY  si (f(X)f(Y) au aceea si orien-
tare sau orientar ari opuse, la fel^ nt^ alnim  si^ n cazul semidreptelor (XZ  si (f(X)Z'.
^In concluzie, Z' coincide cu punctul f(Z), deci f este omotetie.
Teorema 7. Fie dou a omotetii hk
O sihk
O0. Produsul acestora este tot o omotetie
av^ and centrul coliniar O si O', dac a avem kk06= 1,  si este o translat ie de direct ie
OO' dac a avem kk' = 1.
Demonstrat ie. Fie F = LMN o gur a oarecare care se transform a prin omotetia
hk
O^ n gura F' = L'M'N'. La r^ andul ei gura F' se transform a ^ n gura F" =
L"M"N" prin omotetia hk
O(Figura 4).
4

Folosindu-ne de teorema anterioara, obt inem c a F  si F" sunt omotetice sau
congruente. Prin omotetia hk
Oorice vector# LM se transform a ^ ntr-un vector# L0M0astfel ^ nc^ at# L0M0=k# LM, iar prin omotetia hk
O, vectorul# L0M0se trans-
form a ^ n vectorul# L"M" astfel ^ nc^ at# L"M" =k0# L0M0.
Obt inem c a# L"M" =kk0# LM. `
M
LOM
L
O"M
LN
L"M"O0
N"L'N'M0
Figura 4
Deci, gurile F  si F" sunt omotetice av^ and coecientul de omotetie k
k0.
Dac a avem kk' = 1, atunci# L"M" =# LM, iar produsul kk
Okk0
O0este o translat ie
^ n aceast a situat ie.
Conform teoremei 4, dreapta care trece prin centrul O al omotetiei hk
Ose
transform a prin omotetia hO^ ntr-o dreapt a care trece prin centrul O  si cum hk
O
p astreaz a coliniaritatea punctelor, obt inem c a toate dreptele invariate ^ n raport
cu omotetia hk
Osunt dreptele care trec prin O  si numai ele.
Obt inem c a singura dreapt a invariat a ^ n raport cu produsul hk
Ohk0
O, este
dreapt a OO'. ^In cazul ^ n care hk
Ohk0
Oeste o omotetie, centrul ei O" este situat
pe dreapta OO'.
Pentru a determina pozit ia lui O" pe dreapta OO' scriem urm atoarele relat ii:
hkk0
O(O00) =O00 sihO000
k0=O00, undeO000=hO0
k(O).
Obt inem c a# O000=k# OO,# O0O00=k0# O0O000. Din relat iile obt inute# OO000=# OO0+# O0O000=# OO0+1
k# O0O00 si# OO00=# OO0+# O0O00deducem c a# OO000=
k(# OO0+# O0O00) =# OO0+1
k# O0O00sau# OO0+1
k# O0O00=k(# OO0+# O0O00) de unde
rezult a c a# O0O00=kk0k0
1kk0# OO0,# OO0=# OO0+kk0k0
1kk0# OO0sau, ^ n nal,# OO0=
1k0
1kk0# OO0.
Dac a 0<1k0
1kk0<1, punctul O este situat ^ ntre punctele O  si O', iar dac a
1k0
1kk0>1, atunci punctul O' este situat ^ ntre punctele O  si O".
^In cazul ^ n care avem kk06= 1, dac a  stim pozit iile centrelor O  si O' ale
omotetiilor hk
O sihk0
O0, dar  si pozit iile a trei puncte L', L0=hk
O(L)  siL00=
hk0
O0(A0), putem construi centrul omotetiei hkk0
O00.
Dac akk0= 1 observ am c a produsul hk
Ohk0
O0, este o traslat ie de direct ie
OO'.
5

Denit ia 2. Se nume ste ax a de omotetie a trei guri omotetice, dreapta deter-
minat a de cele trei centre de omotetie a trei guri omotetice dou a c^ ate dou a.
Denit ia 3. Fie un triunghi XYZ. Se nume ste transversal a a triunghilui XYZ,
orice dreapt a d care intersecteaz a dreptele XY, YZ, XZ care cont in laturile jXYj,
jYZj,respectivjXZj.
Teorema 8. (Menelaus). Dac a o transversal a intersecteaz a dreptele MN, NP,
MP care cont in laturile jMNj,jNPj,jMPjale triunghilui MNP ^ n punctele
M1,N1, respectivP1, atunci are loc relat ia:
kM0Nk
kM0Pk
kN0Pk
kN0Mk
kP0Mk
kP0Nk= 1
P0
MN0
PN
M0M00N00
P00
Figura 5
Demonstrat ie. Fie t o transversal a care intersecteaz a dreptele MN, NP, MP care
cont in laturile triunghilui MNP ^ n punctele M', N', P'.
Construim ^ n gura 5 semidreptele paralele jMM00j,jNN00j, respectivjPP00j
care intersecteaz a transversala t in punctele M", N", P". Obt inem c a jMM00j,
jNN00j,jPP00jsunt segmente paralele.
Evalu am 3 omotetii:
-hk1
M0care transform a pe N ^ n P,
-hk2
N0care transform a pe P ^ n M,
-hk3
P0care transform a pe M ^ n N.
A sadar,kM0Nk
kM0Pk=k1,kN0Pk
kN0Mk=k2 sikP0Mk
kP0Nk=k3.
Obt inem c a hk1
M0(N00) =P00,hk2
N0(P00) =M00,hk3
P0(M00) =N00 sikM0Nk
kM0Pk=
kNN00k
kPP00k,kN0Pk
kN0Mk=kPP00k
kMM00k,kP0Mk
kP0Nk=kMM00k
kNN00k.
^Inmult ind membru cu membru aceste ultime trei egalit at i obt inem relat ia
din enunt .
Teorema 9. (Reciproca teoremei lui Menelaus).
Dac a pe dreptele MN, NP, MP care cont in laturile triunghiului MNP consi-
der am punctele M', N', respectiv P' astfel ^ nc^ at s a e ^ ndeplinit a relat ia:
6

kM0Nk
kM0Pk
kN0Pk
kN0Mk
kP0Mk
kP0Nk= 1,
atunci punctele M', N', P' sunt coliniare.
Demonstrat ie. Fie P' punctul intersect ie a dreptelor MN  si M'N'. Din teorema
lui Menelaus obt inem c a:
kM0Nk
kM0Pk
kN0Pk
kN0Mk
kP000Mk
kP000Nk= 1
Compar^ and egalitatea din enunt  cu cea obt inut a rezult a c a:
kP0Mk
kP0Nk=kP000Mk
kP000Nk,
deci punctul P' ^ mparte segmentul jMNj^ n acela si raport ca  si punctul P"',
ceea ce nu se poate dec^ at dac a P' = P"'.
Teorema 10. Centrele de omotetie a trei guri omotetice dou a c^ ate dou a sunt
coliniare.
Demonstrat ie. FieO12,O23,O31centrele de omotetie ale perechilor de guri
omoteticeF1 siF2,F2 siF3, respectiv F3 siF1. Nemic sor^ and gradul de gene-
ralitate al teoremei, presupunem c a gurile F1,F2,F3sunt formate din perechi
de puncte omotetice:
F1=fT0;U0g,F2=fT00;U00g,F3=fT000;U000g. (Figura 6)
Fiehk12
O12,hk23
O23 sihk31
O31omotetiile care ^ ndeplinesc relat iile:
hk12
O12(jT0U0j) =jT00U00j,hk23
O23(jT00U00j) =jT000U000j,hk31
O31(jT000U000j) =jT0U0j.
T0
U0 O13O12
O23T00
U00
F1F2
T000
U000F3
Figura 6
7

Rezult a c a:
kT0U0k
kT00U00k=kO12A1k
kO12A2k=k12
kT00U00k
kT000U000k=kO23A2k
kO23A3k=k23
kT000U000k
kT0U0k=kO31A3k
kO31A1k=k31
^Inmult ind egalit at ile membru cu membru, obt inem:
kO12A1k
kO12A2k
kO23A2k
kO23A3k
kO31A3k
kO31A1k= 1.
Ultima relat ie reprezint a reciproca teoremei lui Menelaus pentru triunghiul
T'T"T"'. Din gura 6, observ am c a punctele O122T0T00,O232T00T000 si
O312T000T0sunt coliniare, iar dreapta pe care sunt ele situate ind axa de
omotetie a gurilor omotetice F1,F2,F3.
Teorema 11. Fie dou a cercuriC(O1;r1) siC(O2;r2). Acestea nu sunt congru-
ente  si nici concentrice. Avem dou a omotetii hk
O sihk
O0care transform a cercul
C(O1;r1)^ n cerculC(O2;r2). Astfel O se va numii centru de omotetie exterior,
O este centru de omotetie interior, iar k=r2=r2.
Demonstrat ie. Presupunem c a r1> r 2 si consideram raza jO1A1j^ n cercul
C(O1;r1)  si diametruljA2B2j^ n cerculC(O2;r2) astfel ^ nc^ at A2B2kO1A1(Fi-
gura 7).
OA1
O1 O2A2
B2O'
Figura 7
FieO=A1A2\O1O2 siO0=A1B2\O1O2. Din gur a rezult a c a:
4OA1O14OA2O2
4O0A1O14O0B2O2
Obt inem c a omotetiile hk
O sihk
O0transform a cercul C(O1;r1)^ n cerculC(O2;r2),
k ind raportul r2=r1.
Se pot deduce urm atoarele relat ii:
kOO1k
kOO2k=r1
r2saukOO2k+kO2O1k
kOO2k=r1
r2
Obt inem c a: 1 +kO1O2k
kOO2k=r1
r2.
Rezult a c a:kOO2k=r2
r1r2kO1O2k, relat ie ce dene ste pozit ia punctului O
fat  a de punctele O1 siO2.
Analog, din relat ia:
kO0O2k
kO0O2k=r2
r1
rezult akO1OkkO0O1k
kO0O1k=r2
r1saukO1O2k
kO0O2k1 =r2
r1.
Obt inem c a:
kO1O2k
kO0O1k= 1 +r2
r1=r1+r2
r1saukO0O1k=r1
r1+r2kO1o2k.
8

Corolar 2. Fie cercurileC(O1;r1) siC(O2;r2). Dac a acestea sunt congruente,
atunci ^ nt^ anlnim o singur a omotetie h1
Ocare transform a cercul C(O1;r1)^ n
cerculC(O2;r2)av^ and O' centru de omotetie interior. Dac a cercurile sunt con-
centrice, ^ nt^ anlnim o singur a omotetie hk
Ocare transform a cercul C(O1;r1)^ n
cerculC(O2;r2), av^ and raportul k=r2=r1. Dou a cercuri tangente sunt omote-
tice ^ n raport cu punctul de tangent  a.
Teorema 12. (Monge). Fie trei cercuri C(O1;r1),C(O2;r2),C(O3;r3). Dac a
acestea nu sunt congruente dou a c^ ate dou a  si nu au centrele coliniare, atunci
cele  sase centre de omotetie ale acestora sunt situate c^ ate trei pe patru drepte.
O12
d2d1
O13O1 O2
O0
13
O23d3d4
O0
23
O3O0
12
Figura 8
Demonstrat ie. FieO12,O0
12,O23,O0
23,O13,O0
13centrele exterioare  si interioare
de omotetie ale perechilor de cercuri (Figura 8). Teorema 10 ne spune c a exist a
patru drepte d1,d2,d3,d4astfel ^ nc^ atfO12;O23;O13gd1,fO12;O0
23;O0
13g
d2,fO0
12;O23;O0
13gd3 sifO0
12;O0
13;O13gd4.
Denit ia 4. Aceste drepte pe care sunt situate c^ ate trei cele  sase centre de
omotetie a trei cercuri care nu sunt congruente  si av^ and centrele necoliniare, se
numesc axe de omotetie ale celor trei cercuri.
9

Teorema 13. (Euler). ^In orice triunghi MNP ^ nt^ alnim punctul H de intersect ie
a ^ n alt imilor, punctul G la intersect ia medianelor  si centrul O al cercului circum-
scris sunt situate pe o dreapt a asfel ^ nc^ at are loc relat ia kGHk= 2kOGk. Mij-
loacele laturilor triunghilui MNP, mijloacele segmentelor cuprinse ^ ntre v^ arfuri,
picioarele ^ n alt imilor  si ortocentrul sunt nou a puncte pe un cerc cu centrul ^ n
mijlocul segmentului jOHj, iar raza ind jum atate din raza cercului circumscris.
N PM
G
HMHNHP
H
M0N0P0
Ow
Figura 9
Demonstrat ie. FiejMHMj,jNHNj,jPHPj^ n alt imile  sijMM0j,jNN0j,jPP0j
medianele triunghiului MNP.
Triunghiul MNP este transformat prin omotetia h1=2
G^ n triunghiul M'N'P',
iar ^ n alt imilejMM0j,jNN0j,jPP0j^ n mediatoarele OM',ON', OP', deoarece
printr-o omotetie o dreapt a se transform a ^ ntr-o dreapt a paralel a cu ea.
Punctul H de intersect ie a ^ n alt imilor triunghiului MNP este transformat
prin aceea si omotetie ^ n punctul O de intersect ie a mediatoarelor triunghiului
MNP. Rezult a de aici c a punctele H  si O sunt separate de punctele G  si kGHk=
2kOGk(Figura 9).
Omotetiah1=2
G transform a cercul C(O;R) circumscris triunghiului MNP ^ n
cercul circumscris triunghiului M'N'P'. Astfel centrul acestuia va deveni imagi-
nea punctului O prin omotetia h1=2
G, reprezent^ and mijlocul segmentului jOHj.
CerculC(O;R) se va modica ^ ntr-un cerc de raz a R/2 pentru c a modulul
raportului omotetiei h1=2
G este 1/2.
Not am cuw=h1=2
G, iarh1=2
G(C(O;R)) =C(w;R= 2).
Obt inem c a w este punctul de intersect ie a mediatoarelor segmentelor M0HM,
N0HN,P0HPdeoareceweste mijlocul segmentului jOHj.
Obt inem c akwM0k=kwHMk,kwN0k=kwHNk,kwP0k=kwHPk si
HM;HN;HP2C(w;R= 2).
Analiz am acum omotetia h+1=2
H, care transform a punctul O ^ n punctul w, iar
cerculC(O;R) ^ n cerculC(w;R= 2), ca  si omotetia h1=2
H. Punctele M, N, P se
transform a ^ n mijloacele segmentelor jMHj,jNHj,jPHjcu ajutorul omotetiei
h+1=2
H.
10

Not am cu M"', N"', P"' punctele^ n care se intersecteaz a a doua oar a^ n alt imile
MHM,NHN,PHP^ n cerculC(O;R).
Deci, imaginile punctelor M"', N"', P"' prin intermediul omotetiei h+1=2
H
transform a cercul C(O;R) ^ n cerculC(w;R= 2).^In alt a ordine de idei, imagi-
nile punctelor M"', N"', P"' cu ajutorul omotetiei h+1=2
H trebuie s a r am^ an a pe
^ n alt imile MH, NH, PH pentru c a ^ n alt imile MH, NH, PH sunt drepte invariate
^ n raport cu omotetia h+1=2
H.
Obt inem c a prin intermediul omotetiei h+1=2
H, imaginile punctelor M"', N"',
P"' sunt punctele de intersect ie ale^ n alt imilor MH, NH, PH cu cercul C(w;R= 2),
adic a sunt punctele HM,HN,HP. Obt inem c a punctele simetrice cu ortocentrul
unui triunghi ^ n raport cu laturile triunghiului sunt situate pe cercul circumscris
triunghiului.
Denit ia 5. Cercul lui Euler sau cercul celor nou a puncte reprezint a cercul care
trece prin mijloacele laturilor, picioarele ^ n alt imilor  si mijloacele segmentelor
cuprinse ^ ntre v^ arfuri  si ortocentrul triunghiului.
11

Capitolul 2
INVERSIUNI ^IN PLAN
2.1 INVERSA UNEI DREPTE. INVERSUL UNUI
CERC
Denit ia 6. Fie O un punct x ^ n planul  sik2Rf0g. Numim inversiune
de pol O  si putere k orice aplicat ie
T:f0g!f0g,A!T(A) =A0,
care satisface urm atoarele condit ii:
i) punctele O, A, A' sunt coliniare;
ii) dac a avem k>0,A02(OA, iar ^ n cazul ^ n care k<0,O2AA0;
iii)OA
OA0=jkj.
Punctul A' se nume ste inversul punctului A.
Observat ii:
i) Inversiunea este o transformare involutiv a, adic a
TT==Id, unde=f0g.
Obt inem c a aplicat ia T este invers a  si T1=T. Deci, inversiunea T:!
este o aplicat ie bijectiv a.
ii) Fie inversiunea T de pol O si putere k>0. Observ am c a:
T(A) =A, (8)A2C(O;p
k)
Rezult a c a toate punctele cercului C(O;p
k) sunt puncte xe. Numim cercul
C(O;p
k) cerc de inversiune.
iii) Un cerc ce traverseaz a dou a puncte inverse A  si A' taie ortogonal cercul
de inversiune.
Not am cu I  si I' punctele de intersect ie ale cercului cu cercul de inversiune
C(O;p
k)  si vom obt ine:
OA
OA0=k=OP2(Figura 10)
A sadar, dreapta OI este tangent a la cercul .
12

OA0
I
I0A
Figura 10
iv) Fie inversiunea T de pol O  si putere k pe care o vom nota cu T(O,k).
Consider am o dreapt a d ce trece prin O.
AtunciT(d)fOg=dfOg.
Lema 1. Consider am inversiunea T(O,k)  si punctele M, N, M' = T(M), N' =
T(N). Atunci:
i) Patrulaterul MNN'M' este inscriptibil;
ii)M0N0=jkjMN
OM
ON
OM
NM0
N0
Figura 11
Demonstrat ie. i) Din relat iile obt inute din gur a: OM
OM0=jkj,ON
ON0=
jkj(Figura 11) obt inem:OM
ON0=ON
OM0.
Deci, triunghiurile MON  si N'OM' sunt asemenea. Ceea ce ^ nseamn a c a
unghiurile\OMN  si\ON0M0sunt congruente. Obt inem ^ n nal c a patrulaterul
MNN'M' este inscriptibil.
ii) Din cauza faptului c a triunghiurile MON  si N'OM' sunt asemenea, rezult a:
M0N0
MN=ON0
OM
Prin urmare,M0N0
MN=ON0
ON
OM
ON=jkj
OM
ON.
Teorema 14. Fie inversiunea T(O,k).
i) O dreapt a d care nu trece prin polul de inversiune O, se transform a ^ ntr-un
cerc care trece prin pol  si din care se scoate punctul O;
ii) Consider am un cerc C(A;R)care trece prin polul de inversiune. Rezult a
c aC(A;R)fOgse transform a ^ ntr-o dreapt a perpedincular a pe diametrul care
trece prin pol;
iii) Inversul unui cerc care nu trece prin polul de inversiune este un cerc.
13

Demonstrat ie. i)
OB
AB0
A0
d
Figura 12
Consider am A=prdO si A' = T(A). Presupunem un punct variabil pe d numit
B  si B' = T(B). Utiliz^ and lema anterioar a obt inem c a patrulaterul AA'B'B este
inscriptibil, ceea ce ^ nseamn a c a m(\BB0A0) = 90. A sadar, locul geometric al
punctului B', c^ and B descrie dreapta d, este cercul de diametru [OA'] din care
se scoate punctul O.
ii)
OM NN0P0
P
Figura 13
Consider am cercul C(A;R) ca ind cercul ce trece prin polul de inversiune
O (Figura 13). Din gur a reiese c a punctul B este diametral opus lui O, iar N'
= T(N). Lu am P un punct oarecare pe cerc. Asem an ator, P' = T(P). Vrem s a
demonstr am, c a patrulaterul N'NPP' este inscriptibil.
Pentru c am(\OPN ) = 90, rezult a c a  si m(\NN0P0) = 90. A sadar, P' se
a
 a pe perpendiculara ^ n N' pe dreapta ON.
iii)
OBB0A
A0
14

Figura 14
Fiepputerea polului O fat a de cercul dat.
^In cazul ^ n care k=p, inversul B' al punctului B se a
 a tot pe cerc deoarece:
OB
OB0=k=p=OA2=OA02(Figura 13)
A sadar, ^ n situat ia ^ n care k=p, cercul dat se transfor a ^ n el ^ nsu si.
Presupunem cazul k6=p.
OZXYX0
Figura 15
Se poate observa c a inversul X' al punctului X nu se mai a
 a pe cercul dat.
Consider am punctul N ca ind punctul ^ n care dreapa OX intersecteaz a cercul
(Figura 15). ^In urma egalit at ilor: OX
OX0=jkjOX
OY=p, vom obt ine:
OX0
OY=jkj
p.
Rezult a c a X' este omoteticul punctului Y ^ n omotetia de centru O  si raport
jkj
p.
^In concluzie, deoarece omoteticul unui cerc este tot un cerc, rezul a c a inversul
unui cerc ce nu trece prin polul de inversiune este un cerc.
Propozit ia 1. Dou a perechi de puncte inverse unul altuia sunt a sezate pe un
cerc ortogonal cercului fundamental de inversiune.
Demonstrat ie. Fie X'  si Y' inversele punctelor X respectiv Y  si consider am C
cercul circumscris patrulaterului XYY'X'. Se arat a c a C si cercul fundamental
de inversiune sunt ortogonale. Fie T unul din punctele lor de intersect ie  si T'
cel alalt punct de intersect ie a dreptei OT cu cercul C. Rezult aOT
OT0=
OX
OX0=k2. Dar OT = k, deci OT' = k, de unde obt inem c a dreapta OT
este tangenta cercului C.
Consecint a 1. Consider am dou a curbe inverse una alteia, dou a puncte M  si N
situate pe prima curb a, iar M'  si N' omoloagele lor pe cea de-a doua curb a. ^In
cazul ^ n care M tinde la N, rezult a c a M' tinde la N' deci MN, respectiv M'N',
devin tangentele la cele dou a curbe ^ n N  si N'.
Consecint a 2. Tangentele a dou a curbe inverse ^ n dou a puncte inverse nu sunt
paralele fat  a de razele vectoare.
Teorema 15. Unghiul format de cele dou a curbe ^ ntr-un punct este congruent
cu unghiul format de curbele inverse in inversul planului, deoarece inversiunea
este transformare conform a.
15

2.2 INEGALITATEA LUI PTOLOMEU. PRIMA
TEOREM A A LUI PTOLOMEU.
Consider am ABCD un patrulater convex ^ nscris ^ ntr-un cerc C(O;R). Prin
intermediul inversiunii T(A,k), k luat arbitrar, cercul C(O;R)se transform a
^ ntr-o dreapt a d perpendicular a pe dreapta AO. Consider am B0;C0;D02d, iar
B' = T(B), C' = T(C), D' = T(D).
OAB
C
D
dB0
C0
D0
Figura 16
Utiliz^ and lema 1, obt inem:
B0D0=jkj
BD
AB
AD
B0C0=jkj
BC
AB
AC
C0D0=jkj
CD
AC
AD
Pentru c a avem B0D0=B0C0+C0D0vom obt ine:jkjBD
AD
AD=jkjBC
AB
AC+
jkjCD
AC
AD.^In nal obt inem: BD
AC=BC
AD+CD
AB(*)
Observat ie. Vom pune problema ^ n cazul ^ n care patrulaterul ABCD nu
este inscriptibil. De data aceasta cercul determinat de punctele A, B, D nu
trece prin punctul C, ceea ce ^ nseamn a c a punctul C' nu se a
 a pe dreapta d.
OA BB0
DCC0
dD0
Figura 17
16

Din triunghiul B'D'C' obt inem: B0D0<B0C0+C0D0.^Inlocuind, rezult a: BD

AC <BC
AD+CD
AB(**)
Obt inem urm atoarea teorema:
Teorema 16 (Ptolomeu.) .Fie un patrulater convex ABCD. Atunci are loc
relat ia:AC
BDAB
CD+AD
BC (inegalitatea lui Ptolomeu).
Observat ie. Dac a patrulaterul ABCD nu ar  inscriptibil, ar avea loc ine-
galitatea (**), ceea ce ar contrazice ipoteza (*). Rezult a urm atoarea teorem a:
Teorema 17 (Prima teorem a a lui Ptolomeu.) .Un patrulater convex este in-
scrptibil dac a  si numai dac a produsul lungimilor diagonalelor este e gal cu suma
produselor lungimilor laturilor opuse.
2.3 A DOUA TEOREM A A LUI PTOLOMEU
Fie MNPQ un patrulater convex inscriptibil. Atunci raportul diagonalelor este
egal cu raportul sumelor formate cu produsul laturilor patrulaterului care pleac a
din aceea si extremitate a diagonalelor respective.
Explicit, folosim relat ia:
MP
NQ=MN
MQ+PN
PQ
NM
NP+QM
QP
Demonstrat ie. Consider am cercul C(O;R), cerc circumscris patrulaterului MNPQ
 si N', P', Q' imaginile punctelor N, P, respectiv Q prin inversiunea T(M,K) (k
luat arbitrar, k>0).
OM
N
PQ
d
N0Q0
P0
Figura 18
AvemT(C(O;R)fMg) =d, d ind dreapta perpendicular a dreptei OM.
Consider am N0=T(N),P0=T(P),Q0=T(Q), undeN0;P0;Q02d.
Aplic^ and relat ia lui Stewart pentru triunghiul MN'Q'  si punctul P':
MP02
N0Q0=MP02
P0Q0+MQ02
P0N0N0Q0
N0P0
P0Q0
17