O componentă deosebit de importantă a matematicii este reprezentată de [621889]

Universitatea „Vasile Alecsandri ” din Bacău
Facultatea de Inginerie

APLICAȚII TEORETICE ȘI PRACTICE
ALE FUNCȚIEI DE GRADUL AL II -LEA

LUCRARE DE ABSOLVIRE A CURSURILOR
DE CONVERSIE PROFESIONALĂ
INFORMATICĂ – 3 SEMESTRE

Îndrumător : Propunător :
Prof. Dr. Ing. Culea George Prof. Cozma Ioan Irinel

Obiectivul lucrării

O componentă deosebit de importantă a matematicii este reprezentată de
studierea funcțiilor elementare, a proprietăților lor, precum și a modului în care
diverse elemente cheie se modifică atunci când modificăm parametrii funcției. Ca și
pondere și importanță funcția de gradul al II -lea, ocupă rangul cel mai înalt în ierarhia
studierii funcțiilor, de aceea pe parcursul clasei a IX -a ea este singura funcție st udiată.
Lucrarea de față își propune realizarea unei aplicații care să trateze aspecte
teoretice și practice ale funcției de gradul al II-lea. Ideea lucrării a pornit de la situații
concrete pe care le -am întâlnit de -a lungul anilor în timpul orelor de mat ematică la
elevii de clasa a IX -a, precum și la alte clase. De cele mai multe ori neclaritățile și
aspectele neînțelese se datorează unei slabe corelări între modificarea parametrilor
unei funcții și modi ficarea proprietăților acestora, deoarece calculele pot fi mai
dificile și de lungă durată, iar analiza comparatorie a acestor rezultate poate fi făcută
cu greutate.
Acesta este unul din motivele ce m -a determinat să aleg realizarea unei aplicații
care să ofere și un suport teoretic, dar și posibilitatea de a obține rapid rezultate ce pot
fi interpretate în diverse contexte, sau pot fi folosite pentru a ilustra și înțelege mai
bine proprietățile funcției de gradul al II -lea.
Un alt motiv, din cauza căruia am optat pentru lucrarea de față a fost faptul că
elevii sunt mult mai interesați de orice material prezentat pe un suport electronic
decât un material scris pe hârtie. Suntem în epoca informației, a informaticii, a
internetului, din acest motiv materiale le de studiu dacă sunt prezentate sub forma unei
aplicații sunt percepute și folosite cu mai multă ușurință, partea interactivă, prin care
elevii pot testa mai multe variante fiind mult mai atrăgătoare.
În didactica modernă se pune accentul destul de mult pe interdisiplinaritate, iar
între matematică și informatică această legătură este esențială și hotărâtoare.
Prezentând elevilor și folosind aplicația realizată de către profesorul lor, va fi stimulat
atât interesul pentru aplicație, cât și pentru modul de realizare. Poate să apară

posibilitatea ca această aplicație să fie perfecționată și dezvoltată cu ajutorul elevilor,
putând fi extinsă ți pentru alte capitole ale matematicii.
Realizarea aplicației nu a reprezentat doar lecturar ea unor cursuri și a unor cărți
referitoare la limbajul C++, ci și vizionarea unui mare număr de tutoriale, testarea
mai multor softuri de programare cu versiuni diferite (Code Blo cks, Qt, Visual Studio
2013,2015,2017), fiecare dintre ele aducându -și un aport destul de semnificati v la
crearea unei imagini cât mai ample și cât mai concrete despre acest mediu de
programare și oportunitățile sau dificultățile pe care el le oferă.
Obiectivul cel mai important al lucrării consider că este desăvârșirea educării
mele în acest domeniu, edu care ce se poate face, din punctul meu de vedere, doar
testând, experimentând, punând cap la cap diverse idei și modalități de abordare,
diverse variante de a scrie un cod cât mai eficient.

Capitolul I
Elemente de matematică

Funcția de gradul al II -lea este una dintre cele mai folosite funcții dintre
funcțiile elementare la nivel de liceu cu aplicații diverse și care stă la baza rezolvării
multor exerciții de analiză și algebră. În continuare voi prezenta elementele de bază
ale funcției de gradul al II -lea.
Definiție : Numim funcție de gradul al II -lea, sau funcție pătratică, o funcție de
forma ݂∶ࡾ →ࡾ , ݂(ݔ)=ܽݔଶ+ݔܾ+ܿ , ܽ,ܾ,ܿ∈ࡾ , ܽ≠0. Numerele reale a,
b, c se numesc coeficienții funcției.
Definiție : Numim ecuație atașată funcției de gradul al II -lea, o ecuație de
forma ܽݔଶ+ݔܾ+ܿ=0 , ܽ,ܾ,ܿ∈ࡾ , ܽ≠0. Numerele reale a, b, c se numesc
coeficienții ecuației.
Definiție : Numim discriminant al unei ecuații de gradul al II -lea, un număr
real ∆ , ∆ =ܾଶ−4ܿܽ .În funcție de valoarea acestui număr putem stabili numărul
de rădăcini ale ecuației de gradul al II -lea, precum și valoare a lor.
1) ∆ <0 ሳልሰ nu există rădăcini reale
2) ∆ =0 ሳልሰ există o rădăcină reală dublă ݔଵ=ݔଶ= ି௕
ଶ௔
3) ∆ >0 ሳልሰ există două rădăcini reale distincte ݔଵ,ݔଶ= ି௕±√∆
ଶ௔
Graficul funcției de gradul al II -lea se numește parabolă și poate fi convexă
(dacă a > 0) sau concavă (dacă a < 0).

Vârful parabolei reprezintă punctul de minim al graficului funcției (dacă a > 0)
sau punctul de maxim al graficului funcției (dacă a < 0). Coordonatele vârfului sunt
ܸቀି௕
ଶ௔ ,ି∆
ସ௔ቁ , iar abscisa punctului reprezintă punctul de minim / maxim al funcției,
ordon ata punctului reprezintă valoarea minimă / maximă a funcției.
Intersecția graficului funcției cu axele de coordonate ale reperului cartezian :
ܩ௙ ∩ݕܱ=ܣ(0 ,ܿ )
1) ∆ <0 ሳልሰ ܩ௙ ∩ݔܱ=∅
2) ∆ =0 ሳልሰ ܩ௙ ∩ݔܱ=ܤቀି௕
ଶ௔ ,0 ቁ
3) ∆ >0 ሳልሰ ܩ௙ ∩ݔܱ={ܤ(ݔଵ,0) ,ܦ(ݔଶ ,0)}
Teoremă : Se consideră funcția de gradul al II-lea ݂∶ࡾ →ࡾ ,
݂(ݔ)=ܽݔଶ+ݔܾ+ܿ , ܽ,ܾ,ܿ∈ࡾ , ܽ≠0, atunci :
1) a > 0 ሳልሰ funcția f este strict descrescătoare pe intervalul ቀ−∞ ,ି௕
ଶ௔ ቁ
ሳልሰ funcția f este strict crescătoare pe intervalul ቀି௕
ଶ௔ ,+∞ ቁ
2) a < 0 ሳልሰ funcția f este strict crescătoare pe intervalul ቀ−∞ ,ି௕
ଶ௔ ቁ
ሳልሰ funcția f este strict descrescătoare pe intervalul ቀି௕
ଶ௔ ,+∞ ቁ
Imaginea unei funcții reprezintă mulțimea tuturor rezultatelor posibile :
1) a > 0 ሳልሰ݉ܫ ݂=[ ି∆
ସ௔ ,+∞)
2) a < 0 ሳልሰ ݉ܫ ݂=(−∞ ,ି∆
ସ௔ ]

Capitolul II
Modul de realizare al aplicației

Pentru a putea realiza aplicația dorită am optat de la început pentru limbajul de
programare C++, iar ca și mediu de dezvoltare am testat mai multe variante.
1. Code Blocks – este un mediu de dezvoltare integrat care are marele avantaj de
a fi g ratuit, codul poate fi scris în C, C++ sau Fortran, este compatibil cu
Windows, Mac și Linux, se folosește de mai multe compilatore, dar pentru
mine are dezavantajul de a nu fi lucrat cu el.

2. Visual Studio 2017 – este prezentat cam în toate topurile ca fiind cel mai bun
mediu pentru a lucra cu C++, versiunea Community este gratis , suportă o
multitudine de limbaje de programare, este folosit pentru a dezvolta aplicații

tip consolă și aplicații t ip interfață grafică, și se pliază perfect pe necesitățile și
cunoștințele mele. Cu toate acestea nu am folosit această versiune, deoarece
Windows Form (ce doream să folosesc pentru ferestrele grafice) putea fi folosit
doar pentru C #.

3. Visual Studio 20 12 – este versiunea pentru care am optat în final , ea
satisfăcând atât necesitățile cât și cunoștințele mele.
Visual Studio 2012 de la Microsoft este un instrument necesar pentru
dezvoltarea Windows 8. Pentru dezvoltatorii care lucrează pe platformele
actuale, are multe caracteristici atractive noi . Această versiune a IDE -ului de
dezvoltare Microsoft, Visual Studio 2012, a fost lansată oficial în 12
septembrie. Spre deosebire de versiunile anterioare care pur și simplu au
îmbunătă țit (uneori substanțial) experiența dezvoltatorului, această versiune are
un al t scop principal : permite dezvoltarea de aplica ții Windows 8 pentru
multe platforme și două familii de procesoare pe care rulează noul sistem de
operare. În acest sens, nu poate fi negată cantitatea substan țială de noi
tehnologii livrate în pachet. Visua l Studio vine în mai multe versiuni: Ultimate,
Premium, Professional, Test Professional și Express.

Bjarne Stroustrup de la Bell Labs a dezvoltat C++ (ini țial denumit C cu clase )
în anii 1980 , ca o serie de îmbunătă țiri ale limbajului C. Acestea au început cu
adăugarea no țiunii de clase , apoi de funcții virtuale , suprascrierea operatorilor ,
moștenire multiplă , șabloane (engleză template ) și excep ții. Limbajul de programare
C++ a fost standardizat în 1998 ca și ISO 14882:1998, versiunea curentă fiind din
2003, ISO 14882:2003. Următoarea versiune standard, cunoscută informal ca C++0x ,
este în lucru.
Stroustrup a început să lucreze la C cu clase în 1979 . Ideea creării unui nou
limbaj a venit din experien ța de programare pentru pregătirea tezei sale de doctorat.
Stroustrup a descoperit că Simula avea facilită ți foarte utile pentru proiecte mari, însă
era prea lent, în timp ce BCPL era rapid, însă nu era de nivel înalt și era nepotrivit
pentru proiecte mari. Când a început să lucreze pentru Bell Labs , avea sarcina de a
analiza nucleul UNIX referitor la calcul distribuit. Amintindu -și de experiența sa din
perioada lucrării de doctorat, Stroustrup a început să îmbunătă țească C cu facilită ți
asemănătoare Si mula. C a fost ales deoarece era rapid și portabil. La început
facilită țile adaugate C-ului au fost clase, clase derivate, verificare a tipului, inline și
argumente cu valori implicite.
În timp ce Stroustrup a proiectat C cu clase (mai apoi C++), a scris de
asemenea și Cfront , un comp ilator care genera cod sursă C din cod C cu clase . Prima
lansare comercială a fost în 1985 .
În 1982 , numele limbajului a fost schimbat de la C cu clase la C++. Au fost
adaugate noi facilită ți, inclusiv funcții virtuale, supraîncărcarea operator ilor și a
functiilor, referin țe, constante, alocare dinamică, un control al tipului mai puternic și
noua variantă de comentariu pe un singur rând (liniile care încep cu caracterele '//').
În 1985 a fost lansată prima edi ție a cărții "The C++ Programming Language"
(Limbajul de programare C++), oferind informa ții importante despre limbaj, care încă
nu era un standard oficial. În 1989 a fos t lansată versiunea 2.0 a C++. Au apărut
acum mo ștenirea multiplă, clase abstracte, funcții statice, funcții constante și membri
protected. În 1990 o altă carte a fost lansată, oferind suport pentru standarde viitoare.

Ultimele adăugări includeau template -uri, excep ții, spații de nume (namespace -uri) și
tipul boolean .
O dată cu evolu ția limbajului C++, a evoluat și o bibliotecă standard. Prima
adăugire a fost bibl ioteca de intrări/ie șiri (I/O stream), care oferea facilități pentru a
înlocui func țiile tradiționale C cum ar fi printf și scanf. Mai târziu, printre cele mai
semnificative adăugari la biblioteca standard a fost STL (Standard Template Library)
(Biblioteca de formate standard).
După ani de lucru, un comitet ANSI -ISO a standardizat C++ în 1998 (ISO/IEC
14882:1998).
Limbajele de programare sunt limbaje asemănătoare cu limbajul uman. Con țin
cuvinte (destul de pu ține), semne de punctuație, operații matematice și au reguli de
scriere. Programele care rulează pe orice calculator au fost scrise într -un limbaj de
programare. Există numeroase limb aje programare, precum C, C++, Pascal, Java,
Python, PHP, Javascript, etc.
Programul scris într -un limbaj de programare se nume ște program sursă și
trebuie traduse într -un limbaj pe care îl în țelege procesorul, numit cod ma șină, sau
program executabil . Pentru anumite limbaje de programare opera ția de traducere se
nume ște compilare (cazul lui C, C++, Pascal, etc.), pentru alte limbaje ( PHP, Python,
Javascript, etc.) opera ția de traducere se numește interpretare . Traducerea este
realizată de un program speci alizat numit compilator sau interpretor .
Limbajul C++ este un limbaj compilat. Etapele scrierii unui program în C++
sunt:
 editarea programului C++; se ob ține fișierul sursă, cu extensia .cpp
 compilarea fi șierului sursă; aici se verifică corectitudinea sint actică a
programului (corectitudinea cuvintelor folosite, prezen ța semnelor de punctuație,
etc.); dacă programul este corect sintactic, se va ob ține fișierul obiect, cu extensia .o
sau .obj
 editarea de legături; se stabilesc legături între fi șierul obiect curent și alte
fișiere obiect, ale programatorului sau incluse în compilator; în urma acestei etape se
obține programul executabil. În Windows, fișierele executabile au extensia .exe;

 programul executabil poate fi lansat în execu ție (rulat).

Capitolul III
Structura aplicației