O analiză comparativă a două șiruri cunoscute [614642]

1

O analiză comparativă a două șiruri cunoscute
Prof. Cotae MarianaFIuliana

In această lucrare îmi propun să evidențiez câteva aspecte asemănătoare ale șirurilor
()1 nns≥și ()1 nnc≥ cu termenul general 1 1 1 1 … 2
2 3 ns n
n= + + + + − , respectiv
1 1 1 1 … ln 2 3 nc n n= + + + + − , aspecte grupate în secvențele A,B,C,D,E. Șirul ()1 nns≥ poartă
denumirea de șirul lui Ioachimescu.
A. Ambele șiruri folosesc duble inegalități în demonst rarea mărginirii și
monotoniei.
1. Să se arate că ( )1 1 2 1
1k k
k k < + − <
+, pentru orice k∗∈ℕ.
Soluție Folosind scrierea 11
1k k
k k + − =
+ + și dubla inegalitate
1 1 1
2 1 1 2 k k k k < <
+ + + se ajunge la inegalitatea căutată.
2. Să se arate că 1 1 ln( 1) ln 1k k k k < + − < +, pentru orice k∗∈ℕ.
Soluție
Se folosesc proprietățile cunoscute ale șirurilor ()1 nne≥ (strict crescător, mărginit și
convergent către e) și ()1 nnf≥(strict descrescător, mărginit și convergent către e) cu termenul
general 11n
nen  = +     , respectiv 111n
nfn+  = +     , de unde se obține dubla inegalitate
11 1 1 1 , n n
e n n n +
∗     + < < + ∀ ∈         ℕ, iar de aici prin logaritmare ajungem la
1 1 ln( 1) ln 1n n n n < + − < +.
Comentariu: Aceste inegalități pot fi demonstrate prin aplicare a Teoremei lui Lagrange
funcțiilor []1 1 : ; 1 , ( ) 2 f k k f x x + → = ℝ și [ ]2 2 1: ; 1 , ( ) f k k f x x+ → = ℝ , pentru fiecare k∗∈ℕ.

2
B. Ambele șiruri pot fi obținute ca un caz particular (pen tru un anumit
număr sau pentru o anumită funcție) al unui șir generaliz at.
3. Se consideră șirul ()1 nna≥cu termenul general
1 1 1 1 … ,
2 3 na n
nα = + + + + −
unde α∈ℝ. Să se arate că:
a) Există ( ) lim nna λ α
→∞ = pentru orice α∈ℝ;
b) 1lim ( (2)) 2nnn a λ
→∞ − = în cazul 2α=.
Soluție a)
11 1 ( 1 )
1 1 1
1 1
111n n a a n n
n n n n
n n
nαα
α+− = − + − = − =
+ + + +
 
 
  = −
  ++  +  
Trebuie analizate cazurile:
I) 2α=. Din relația de mai sus obținem că 1 0, 1 n n a a n +− < ∀ ≥ , așadar șirul este
strict descrescător, ceea ce înseamnă că 1, 1 na n < − ∀ ≥ . Prin înșiruirea relației din
problema 1, se obține ( ) 2 1 2 2 na n n > + − − > − , 1n∀ ≥ , adică
2 1, 1 na n − < < − ∀ ≥ . Deci șirul este convergent și 2 (2) 1 λ− ≤ < − . Limita (2) λ se
numește constanta lui Ioachimescu .
Pentru 2α=, folosim notațiile n n a s = și () (2) 2; 1 sλ= ∈ − − , 1, 45 s≈ − .
II) 2α≠. Utilizăm scrierea
( )1 1 1 1 … 2 2
2 3 na n n
nα = + + + + − + −
și deducem că , 2 ( ) , 2 pentru
pentru αλ α α+∞ < =−∞ > .
b) (2) lim ( (2)) lim 1n
nn n an a
nλλ
→∞ →∞ −− =

3
Șirul ()1 nnx≥ definit prin 1
nx
n= este strict descrescător. Aplicăm Lema Stolz-Cesaro pentru
cazul 0
0.
( ) ( )
( )( )( )( )
( )( ) ( )
( )( )112( 1 ) (2) (2) 1lim lim 1 1 1
1 1
12( 1 ) 1 1lim 1 lim 1 2
1 1 1
lim 2 1 lim 2 1 1
1
lim 1 lim lim
1n n
n n
n n
n n
n n n n n a a n
n n
n n n n
n n
nn n n n
n n n n n
nn n n n n n n
n n
nn n n
n n λ λ +
→∞ →∞
→∞ →∞
→∞ →∞
→∞ →∞ → − + − − − − += =
+ − − −+ +
+ − −   +   = + = + − =   + − + − +  
 
  = + − = + − + + =   + −  
= + − = =
+ + 1 1
2 11n
n∞=
++
Așadar (2) 1lim 1 2n
na
nλ
→∞ −=.
4. Se consideră șirul ()1 nnb≥cu termenul general
1 1 1 1 … ln , 2 3 nb n nα = + + + + −
unde α∈ℝ. Să se arate că:
c) Există ( ) lim nnb λ α
→∞ = pentru orice α∈ℝ;
d) 1lim ( (1)) 2nnn b λ
→∞ − = și limln ( (1)) 0 nnn b λ
→∞ − = în cazul 1α=.
Soluție a)
1
11 1 1 (ln( 1) ln ) ln 1 1
1 1 1 ln 1 1n n
nnb b n n n n n
n n α α
α+
++− = − + − = − = + +
    = − +       +    
Trebuie analizate cazurile:

4
I) 1α=. Din relația de mai sus obținem că 1 0, 1 n n b b n +− < ∀ ≥ , așadar șirul este
strict descrescător, ceea ce înseamnă că 1, 1 nb n < ∀ ≥ . Prin înșiruirea relației din
problema 2, se obține ln( 1) ln 0 nb n n > + − > , 1n∀ ≥ , adică 0 1, 1 nb n < < ∀ ≥ . Deci
șirul este convergent și 0 (1) 1 λ≤ < . Limita (1) λ se numește constanta lui Euler.
Pentru 1α=, folosim notațiile n n b c = și (1) 0,57 cλ= ≈ .
II) 1α≠. Utilizăm scrierea
( )1 1 1 1 … ln 1 ln 2 3 nb n n nα = + + + + − + −
și deducem că , 1 ( ) , 1 pentru
pentru αλ α α+∞ < =−∞ > .
b) (1) ln limln ( (1)) lim 1n
nn n bnn b n
nλλ
→∞ →∞  
  −− = ⋅  
 
 
lim 1 n
nn
→∞ = (Se poate folosi și Criteriul Cauchy-d’Alembert )
ln lim lim ln ln1 0 n
n n nnn→∞ →∞ = = =
Ne ocupăm de (1) lim 1n
nb
nλ
→∞ −. Șirul ()1 nnx≥ , definit prin 1
nxn=este strict descrescător și
încercăm să aplicăm Lema Stolz-Cesaro pentru cazul 0
0.
( ) ( )11(ln( 1) ln ) (1) (1) 1lim lim 1 1 1
1 ( 1)
1 1 1 lim ( 1)ln 1 lim ln 1 ln 1 n n
n n
n n n
n n n n b b n
n n n n
n n n n n n n λ λ +
→∞ →∞
→∞ →∞ − + − − − − += =
− − + +
            = − + + + = − + + + +                              
Avem 1lim ln 1 1 n
n n→∞   + =     și
1 1 1 ln 1 1 ln 1 1lim ln 1 lim lim 1 1 n
n
n n n nn n n n n
n n →∞ →∞ →∞     − + + − + +             − + + = =           .
Cum

5
( )( )0
0
20 0 0 0 0 1 1 1 ln 1 1 ln 1 1 1 1 1 lim lim lim lim lim 2 2 2( 1) 2 x x H x x x xxx x x x x
x x x x x − + + − + − − + + − + + = = = = = − +ց ց ց ց ց, se
obține, folosind definiția cu șiruri a limitei unei funcții în 0, că
11 ln 1 1lim 1 2nnn
n→∞   − + +     = − .
Deci ( )( )1(1) (1) 1 1 lim 1 1 1 2 2
1n n
nb b
n n λ λ +
→∞ − − − = − =
−+. Așadar (1) 1lim 1 2n
nb
nλ
→∞ −=.
Și se ajunge la (1) ln lim ln ( (1)) lim 0 1n
nn n bnn b n
nλλ
→∞ →∞  
  −− = ⋅ =  
 
 
5. Fie [) : 1; f∞ → ℝ o funcție derivabilă și crescătoare, cu derivata de screscătoare.
Pentru fiecare număr 1k≥ se alege [] ; 1 ka k k ∈ + . Să se demonstreze că șirul
()1 nnx≥, definit prin 1 2 '( ) '( ) … '( ) ( ) n n x f a f a f a f n = + + + − este convergent.
Soluție
Obținem că '( ) 0 f x ≥, pentru orice [)1; x∈ ∞ , deoarece funcția feste derivabilă și
crescătoare. Conform Teoremei lui Lagrange , pentru orice 1k≥, există () ; 1 kc k k ∈ + astfel
încât
( 1) ( ) '( ) k f k f k f c + − = .
Atunci ( )1 2 (1) '( ) '( ) … '( ) ( ) (1) n n x f f a f a f a f n f + = + + + − − =
( )1
1 2
1'( ) '( ) … '( ) ( 1) ( ) n
n
kf a f a f a f k f k −
== + + + − + − = ∑
( )1
'
1'( ) ( ) '( ) n
n k k
kf a f a f c −
== + − ∑
Dar 'feste descrescătoare și avem '( 1) '( ) '( ) k f k f a f k + ≤ ≤ și '( 1) '( ) '( ) k f k f c f k + ≤ ≤ , de
unde '( ) '( ) '( ) '( 1),1 1. k k f a f c f k f k k n − ≤ − + ≤ ≤ −

6
Așadar
1 1
' ' '
1 1 (1) '( ) ( ) '( ) '( ) ( ) '( 1) '( ) (1) '( ) n n
n n k k n n
k k x f f a f a f c f a f k f k f a f f n − −
= = + ≤ + − ≤ + − + = + − ∑ ∑
și folosind monotonia derivatei rezultă că '(1) (1) nx f f + ≤ , deci șirul ()1 nnx≥este mărginit.
Deoarece ( )'
1 1 1 '( ) ( 1) ( ) ( ) '( ) 0 n n n n n x x f a f n f n f a f c + + + − = − + − = − ≤ , pentru orice
1n≥, obținem că șirul ()1 nnx≥este descrescător.
Fiind monoton și mărginit, șirul ()1 nnx≥este convergent.
OBSERVAȚIE: Pentru fiecare număr 1k≥ se alege [] ; 1 ka k k k = ∈ + . Pentru
( ) 2 f x x = , șirul ()1 nnx≥ devine șirul lui Ioachimescu ()1 nns≥ convergent către ()2; 1 s∈ − − ,
iar pentru 1( ) f x x=, șirul ()1 nnx≥ devine șirul ()1 nnc≥ convergent către constanta lui Euler
()0;1 c∈ .
C. Cum limita oricărui subșir al unui șir este egală cu li mita șirului,
îmbogățim mulțimea șirurilor care au ca limită constanta l ui Euler sau
constanta lui Ioachimescu, atașând subșirurile acestor do uă șiruri
()1 nns≥ și()1 nnc≥. De asemenea, putem construi șiruri care au limită,
folosind operații între șirurile din mulțimea tocmai amintită și alte
șiruri.

6. Se consideră șirul ()1 nns≥cu termenul general 1 1 1 1 … 2
2 3 ns n
n= + + + + − ,
care este convergent și () lim 2; 1 nns s
→∞ = ∈ − − .
a)Să se arate că 10, dacă 2
1 1 lim ( ) , dacă 2 2
1, dacă 2t
nnt
n s s t
t→∞ <
− = = 

∞ > .
b) Să se calculeze 1 lim ( ) n n nn s s +→∞ − .
b) Să se calculeze 1 lim(1 ) n
n n ns s +→∞ + − .
Soluție a) Știm din problema 3 că 1lim ( ) 2nnn s s
→∞ − = . Scrierea
1
2lim ( ) lim ( ) tt
n n n n n s s n n s s −
→∞ →∞ − = − ajută la concluzia dorită.

7
b)
1 1 1 1 1 lim ( ) lim ( ) lim 1( ) ( ) 0 1 2 2 n n n n n n n n n nn s s n s s s s n s s n s s n+ + + →∞ →∞ →∞   − = − + − = + − − − = − =     + 
c) ( ) 1
11
0
1 1 lim(1 ) lim(1 ) 1 n n
n n n s s s s n
n n n n n n s s s s e +
+−−
+ + →∞ →∞ + − = + − = = .
7. Se consideră șirul ()1 nnc≥cu termenul general 1 1 1 1 … ln , 2 3 nc n n= + + + + − care este
convergent și () lim 0;1 nnc c
→∞ = ∈ .
a)Să se arate că 0, dac ă 1
1lim ( ) , dac ă 1 2
, dac ă 1 t
nnt
n c c t
t→∞ < 
− = = 

∞ > , ( )lim ln ( ) 0 t
nnn c c
→∞ − = , t∀ ∈ ℝ.
b) Să se calculeze 1 lim ( ) n n nn c c +→∞ − , 1 limln ( ) n n nn c c +→∞ − .
b) Să se calculeze 1 lim(1 ) n
n n nc c +→∞ + − , ln
1 lim(1 ) n
n n nc c +→∞ + − .
Soluție a) Știm din problema 4 că 1lim ( ) 2nnn c c
→∞ − = . Scrierea 1lim ( ) lim ( ) t t
n n n n n c c n n c c −
→∞ →∞ − = −
și ( ) ( )1lim ln ( ) lim ln ln ( ) t t
n n n n n c c n n c c −
→∞ →∞ − = − ajută pentru a ajunge la concluzia dorită. De
asemenea, limln ( ) 0 nnn c c
→∞ − = și ( ) ( )1lim ln ( ) lim ln ln ( ) 0 t t
n n n n n c c n n c c −
→∞ →∞ − = − = , pentru 1t<.
Pentru 1t>, folosim scrierea ( )( )ln lim ln ( ) lim ( ) t
t
n n n n nn c c n c c n→∞ →∞ − = − . Cum
[ ][ ] 1 2 ( 1)…( 1)ln ln ln ( 1)ln lim lim lim … lim t t t t t
x H x H x H H x H t t t t x x t x t t x
x x x x ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − − − ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
→∞ →∞ →∞ →∞ − − + −= = = = =
[ ][ ][ ]
[ ]1
1( 1)…( )ln ( 1)…( ) lim lim 0
ln t t
t t H x x t t t t x t t t t
x x x ∞− − ∞
− + + →∞ →∞ − − − − = = = (unde []t este partea întreagă a
numărului real t) se obține, folosind definiția cu șiruri a limitei unei funcții în ∞, că
( )ln lim 0 t
nn
n→∞ =, deci ( )lim ln ( ) 0 t
nnn c c
→∞ − = , pentru orice 1t>.
În concluzie ( )lim ln ( ) 0 t
nnn c c
→∞ − = , pentru orice t real.
b) ( )1 1 1 1 1 lim ( ) lim ( ) lim 1 ( ) ( ) 0 1 2 2 n n n n n n n n n nn c c n c c c c n c c n c c n+ + + →∞ →∞ →∞   − = − + − = + − − − = − =   + 

8
( )1 1 1 ln lim ln ( ) lim ln ( ) lim ln 1 ( ) ln ( ) ln( 1) n n n n n n n n n nn c c n c c c c n c c n c c n+ + + →∞ →∞ →∞   − = − + − = + − − − =   + 
( )1ln lim ln 1 ( ) ln ( ) 1 0 0 0 1 1 ln 1 ln(1 ) ln n n nnn c c n c c
nn n +→∞  
 
  = + − − − = ⋅ − =     + +        
c) ( ) 1
11
0
1 1 lim(1 ) lim(1 ) 1 n n
n n n c c c c n
n n n n n n c c c c e +
+−−
+ + →∞ →∞ + − = + − = =
( ) 1
11ln ln 0
1 1 lim(1 ) lim(1 ) 1 n n
n n n c c c c n
n n n n n n c c c c e +
+−−
+ + →∞ →∞ + − = + − = =
8. Să se calculeze
11 1 lim n
nk kk→∞ =  −    ∑ .
Soluție.
Din egalitatea 1 1 1 1 1 1 1 … 2 1 … ln 2 3 2 3 n n s c n n n n  − = + + + + − − + + + + −     , obținem că
( )
11 1 lim lim 2 ln n
n n n n ks c n n kk→∞ →∞ =  − = − + − =     ∑
ln lim 2 n n nns c n
n→∞     = − + − = ∞         , deoarece 1
ln 1 lim lim lim 0 1 2
2x H x x x x
x x
x∞
∞
→∞ →∞ →∞ = = = și, folosind
definiția cu șiruri a limitei unei funcții în ∞, avem ln lim 0
nn
n→∞ =.

9
D. Putem arăta convergența unor șiruri asociate celor două și ruri ()1 nns≥ și
()1 nnc≥.

9. Să se arate că șirul ()1 nna≥ cu termenul general
1 1 1 sin1 sin sin … sin 2
2 3 na n
n= + + + + − este convergent.
Soluție.
Se observă că putem scrie șirul ()1 nna≥cu ajutorul șirului lui Ioachimescu ()1 nns≥, astfel:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 sin1 sin sin … sin 1 … 1 … 2
2 3 2 3 2 3 na n
n n n     = + + + + − + + + + + + + + + −        
11 1 sin n
n n
ka s
k k =  = − +     ∑ .
Considerăm șirul ()1 nnb≥cu termenul general
11 1 sin n
n
kb
k k =  = −     ∑ și funcția
: 0; , ( ) sin . 2f f x x x π  → = −     ℝ Cum feste derivabilă și '( ) cos 1 0 f x x = − < , rezultă că f
este strict descrescătoare și, în consecință, ( )110 0 1n n b b f f n+  − = < + =   +  , deci șirul ()1 nnb≥
este strict descrescător.
Considerăm funcția 3: 0; , ( ) sin . 2g g x x x x π  → = − +     ℝ Folosind derivata a treia
(3) ( ) cos 6 0 g x x = − + > , deducem că funcția (2) geste strict crescătoare și cum
(2) ( ) sin 6 g x x x = − + avem că (2) (2) ( ) (0 ) 0, 0; 2g x g x π  > + = ∀ ∈     . Iarăși obținem că 'geste
strict crescătoare și cum ' 2 ( ) cos 1 3 g x x x = − + avem că ' ' ( ) (0 ) 0, 0; 2g x g x π  > + = ∀ ∈     . Și
astfel geste strict crescătoare și ajungem la ( ) (0 ) 0, 0; 2g x g x π  > + = ∀ ∈     , ceea ce înseamnă
că am demonstrat inegalitatea următoare: 3sin , 0; 2x x x x π  − > − ∀ ∈     .
Cum 10 1 , 2k
kπ∗< ≤ < ∀ ∈ ℕ, aplicând inegalitatea anterioară, obținem
2
1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 sin 1 1 2 ( 1) 1 n n n n n
k k k k k k k k k k k k k k = = = = =           − > − > − > − − > − − − > −           − −           ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ,

10
deci șirul ()1 nnb≥este mărginit inferior. Fiind strict descrescător ș i mărginit inferior, șirul
()1 nnb≥este convergent.
Cum , 1 n n n a b s n = + ∀ ≥ și se știe că șirul ()1 nns≥este convergent, deducem că șirul
()1 nna≥este convergent.
10. Să se arate că șirul ()1 nna≥ cu termenul general
1 1 1 sin1 sin sin … sin ln 2 3 na n n= + + + + − este convergent.
Soluție.
Se observă că putem scrie șirul ()1 nna≥cu ajutorul șirului ()1 nnc≥, astfel:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 sin1 sin sin … sin 1 … 1 … ln 2 3 2 3 2 3 na n n n n     = + + + + − + + + + + + + + + −        
11 1 sin n
n n
ka c k k =  = − +     ∑ .
Considerăm șirul ()1 nnb≥cu termenul general
11 1 sin n
n
kbk k =  = −     ∑ și funcția
: 0; , ( ) sin . 2f f x x x π  → = −     ℝ Cum feste derivabilă și '( ) cos 1 0 f x x = − < , rezultă că f
este strict descrescătoare și, în consecință,
( )110 0 1n n b b f f n+  − = < + =   +  , deci șirul ()1 nnb≥este strict descrescător.
Considerăm funcția 2: 0; , ( ) sin . 2g g x x x x π  → = − +     ℝ Folosind derivata a doua
(2) ( ) sin 2 0 g x x = − + > deducem că funcția 'geste strict crescătoare și cum
'( ) cos 1 2 g x x x = − + avem că ' ' ( ) (0 ) 0, 0; 2g x g x π  > + = ∀ ∈     . Și astfel geste strict
crescătoare și ajungem la ( ) (0 ) 0, 0; 2g x g x π  > + = ∀ ∈     , ceea ce înseamnă că am demonstrat
inegalitatea următoare: 2sin , 0; 2x x x x π  − > − ∀ ∈     .
Cum 10 1 , 2kkπ∗< ≤ < ∀ ∈ ℕ, aplicând prin înșiruire inegalitatea anterioară, obținem
2
1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 sin 1 1 2 ( 1) 1 n n n n
k k k k k k k k k k k = = = =         − > − > − − > − − − > −         − −         ∑ ∑ ∑ ∑ ,

11
deci șirul ()1 nnb≥este mărginit inferior. Fiind strict descrescător ș i mărginit inferior, șirul
()1 nnb≥este convergent.
Cum , 1 n n n a b c n = + ∀ ≥ și se știe că șirul ()1 nnc≥este convergent, deducem că șirul
()1 nna≥este convergent.

E. Calculăm câteva limite în cascadă cu ajutorul limitelor și rurilor ()1 nnc≥și
()1 nns≥ cu prezentarea și a altor metode de rezolvare ( util izând
criterii, sume Riemann, dezvoltarea unei funcții în se rie Taylor).

11.
a) Să se calculeze limitele șirurilor ()1 nnx≥și ()1 nny≥cu termenul general
1 1 1 1 … 2 3 nxn= + + + + , respectiv 1 1 1 1 …
2 3 ny
n= + + + + .
b) Să se arate că
1 1 1 lim 1 … ln 2 2 3 2 n n→∞   − + − − =     și 1 1 1 lim 1 … (1 2)
2 3 2 ns
n→∞   − + − − = −     .
c) Să se arate că
1 1 1 lim … ln 2 1 2 2 n n n n →∞   + + + =   + +   și 1 1 1 lim …
1 2 2 n n n n →∞   + + + = ∞   + +  
d) Să se arate că
1 1 1 ln 2 lim … 2 1 2 3 2 (2 1) 2 n n n n n →∞   + + + =   + + + −   .
e) Să se calculeze

2 2 2 1 1 1 lim … 1
1 2 nn n n n →∞   + + + =  
+ + +   .
Soluție.
a) Se observă că 1 1 1 lim 1 … lim( ln ) 2 3 nn n c n c n→∞ →∞   + + + + = + = +∞ = ∞     și
1 1 1 lim 1 … lim( 2 )
2 3 nn n s n s
n→∞ →∞   + + + + = + = +∞ = ∞    
Alte variante:

12
• Folosind inegalitatea
11
21 1 1 1 1 1 1 … … 2 2 1 2 2 2 2 2 2
kk
k k k k k k
termeni −−+ > + + + = ⋅ = −, pentru orice
k∗∈ℕ se ajunge la 212kkx≥ + , pentru orice k∗∈ℕ.
Cum pentru fiecare n∗∈ℕ există k∗∈ℕastfel încât 12 2 k k n+≤ < , știind că șirul ()1 nnx≥ este
strict crescător putem scrie că 2 2
2log 1 1 log 1 1 2 2 2 k nn n kx x − + ≥ ≥ + > + = . De unde deducem că
1 1 1 lim 1 … 2 3 n n→∞   + + + + = ∞     .
• Din inegalitatea 1 1 1 1 1 1 1 … 1 … 2 3 2 3 n n+ + + + > + + + + se obține rapid prin Criteriul
comparației la infinit că 1 1 1 lim 1 …
2 3 n n→∞   + + + + = ∞     .
b) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 … ln 2 2 … ln 2 2 3 2 2 3 2 2 4 2 n n n n n   − + − − = + + + + − − + + + + =    
2 2 ( ln ) ln 2 ln 2 n n n n c c n n c c = − + + = − + , deci 1 1 1 lim 1 … ln 2 2 3 2 n n→∞   − + − − =     .
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 … 2 …
2 3 2 2 3 2 2 4 2 n n n   − + − − = + + + + − + + + =    
2 2 2 2 2( 2 ) 2 n n n n s n s n s s = + − + = − , deci 1 1 1 lim 1 … (1 2)
2 3 2 ns
n→∞   − + − − = −    
c) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 … 2 … … 2 3 2 2 3 2 2 4 2 1 2 2 n n n n n n   − + − − = + + + + − + + + = + + +   + +  
și conform subpunctului b) avem 1 1 1 lim … ln 2 1 2 2 n n n n →∞   + + + =   + +  
Alte variante :
• Dezvoltarea ln(1 ) x+în serie Taylor în jurul originii și obținem
2 3 2 2 1
2 1 ln(1 ) … 2 3 2 (2 1)(1 ) n n
n
xx x x x x x n n c +
++ = − + − − − + + , unde (0; ) xc x ∈ . Pentru 1x= se
obține 2 1 1 1 1 1 ln 2 1 … 2 3 2 (2 1)(1 ) nn n c += − + − − − + + , unde (0;1) c∈ și prin trecere la
limită se deduce că 1 1 1 lim … ln 2 1 2 2 n n n n →∞   + + + =   + +  

13
• scriem
11 1 1 1 1 … 1 2 2 1n
kk n n n n
n=+ + + = ⋅ + + +∑ ca o sumă Riemann atașată funcției
integrabile [ ]1: 0;1 , ( ) 1f f x x→ = +ℝ , diviziunii 1 2 1 0; ; ;… ; nn n
n n n n −   ∆ =     cu
lim 0 nn→∞ ∆ = și sistemului de puncte intermediare 1 2 1 ; ;… ; nn n
n n n n ζ−   =    și avem
1
1
0
01 1 1 1 lim … ln(1 ) ln 2 1 2 2 1 ndx x n n n x →∞   + + + = = + =   + + +   ∫.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 … 2 …
1 2 2 2 3 2 2 4 2 n n n n n   + + + = + + + + − + + + =   + +  
21 1 1 1 1 1 1 … … 2 2 1 2 3 2 2 n n s n s n
n n   = + + + + − + + + = + − − =    
2 (2 2 1) n n s s n = − + −
1 1 1 lim …
1 2 2 n n n n →∞   + + + = ∞   + +  
Altă variantă
1 1 1 … 2 1 2 2 2 n n
n n n n + + + > =
+ + , apoi folosim Criteriul comparației la
infinit și obținem același rezultat.
d) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … … … 2 1 2 3 2 (2 1) 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 n n n n n n n n n n n   + + + = + + + − + + +   + + + − + + + + +  
Se observă că șirul ()1 nnu≥cu termenul general 1 1 1 … 2 1 2 2 2 2 nun n n n = + + + + + + este subșir al
șirului ()1 nnv≥ cu termenul general 1 1 1 … 1 2 2 nvn n n = + + + + + , 2 n n u v = , deci
1 1 1 ln 2 ln 2 lim … ln 2 2 1 2 3 2 (2 1) 2 2 n n n n n →∞   + − − = − =   + + + −   .

Altă variantă
Scriem
11 1 1 1 2 1 … 2 1 2 1 2 3 2 (2 1) 2 2n
kk n n n n n
n=+ + + = ⋅ − + + + − +∑ ca o sumă Riemann
atașată funcției integrabile [ ]1: 0; 2 , ( ) 2f f x x→ = +ℝ , diviziunii 2 4 2 2 2 0; ; ;…; ; nn n
n n n n −   ∆ =    
cu lim 0 nn→∞ ∆ = și sistemului de puncte intermediare 1 3 2 1 ; ;… nn
n n n ζ−   =    și avem

14
( )2
2
0
01 1 1 1 1 1 ln 2 lim … ln(2 ) ln 4 ln 2 . 2 1 2 3 2 (2 1) 2 2 2 2 ndx x n n n n x →∞ + + + = = + = − = + + + − + ∫
e) ( ) 2 2 2
2 2 2 1 1 1 lim … lim 2 2
1 2 n n n n n s s n n n
n n n n +→∞ →∞   + + + = − + + − =  
+ + +  
2 2 2 2 22 2 lim lim 1
11 1 n n n n n n n n ns s s s
n n n
n+ + →∞ →∞  
      = − + = − + =     + +   + +    

Altă variantă
Încadrăm șirul între două șiruri cu limita egală c u 1, astfel:
2 2 2 2 2 1 1 1 …
1 2 1 n n
n n n n n n n < + + + <
+ + + + + . Folosim Criteriul cleștelui și obținem
2 2 2 1 1 1 lim … 1
1 2 nn n n n →∞   + + + =  
+ + +  

Bibliografie

F. Dumitrel, Probleme de analiză matematică pentru clasa a XI-a , Art Grup Editorial,
București, 2013
M. Țena, M. Andronache, D. Șerbănescu, Manual pentru clasa a XI-a , Art Grup Editorial,
București, 2007