Numere Rationale Irationale 7 [619104]

NUMERE RAȚIONALE
ȘI
IRAȚIONALE
(Reprezentări zecimale)

Cuprins

NUMERE RAȚIONALE ȘI IRAȚIONALE ……………….. …………………………………………… …… 1
BREVIAR TEORETIC ………………………………………….. …………………………………………… …………………….. 1
EXERCIȚII REZOLVATE ………………………………………….. …………………………………………… ………………… 3
IRAȚIONALITATEA LUI 2 ………………………………………….. …………………………………………… … 8
EXERCIȚII PROPUSE ………………………………………….. …………………………………………… …………………… 10
INDICE DE AUTORI ………………………………………….. …………………………………………… ………………. 22
BIBLIOGRAFIE ………………………………………….. …………………………………………… ……………………….. 23

Numere raționale și iraționale

prof. Gheorghe ROTARIU [ 1] NUMERE RAȚIONALE ȘI IRAȚIONALE

BREVIAR TEORETIC

Definiția 1. Numim mulțimea numerelor naturale , mulțimea notată cu ,ℕ
definită astfel: { } 0, 1, 2, . =ℕ …
Definiția 2. Numim mulțimea numerelor întregi , mulțimea notată cu ,ℤ definită
astfel: { } , 2, 1, 0, 1, 2, . = − − ℤ … …
Definiția 3. Fracțiile a
b și ,c
d cu ,a c ∈ℤ și , , b d ∗∈ℤ se numesc echivalente și
scriu ,a c
b d = dacă .ad bc =
Definiția 4. Mulțimea tuturor fracțiilor echivalente cu o fracți e dată a
b cu , , a b ∈ℤ
0, b= / se numește număr rațional reprezentat de fracția .a
b
 Observație . Pentru simplificarea exprimării, identificăm un n umăr rațional cu oricare
dintre fracțiile echivalente care îl reprezintă.
Definiția 5. Numim mulțimea numerelor raționale , mulțimea notată cu ,ℚ
definită astfel , , 0 . pp q q
q      = ∈ = /         ℚ ℤ
 Observație . Folosind algoritmul împărțirii a două numere natu rale, orice fracție
ordinară , , , 0, pp q q
q∈ = / ℕ se poate scrie sub formă de fracție zecimală perio dică, cu
perioada diferită de ()9 . Reciproc, orice fracție zecimală periodică, cu per ioada diferită de
()9 se poate scrie sub formă de fracție ordinară.
 Dacă a este o fracție periodică simplă , adică are forma ( ) 0 1 2 , , p a a aa a =… unde
0a∈ℕ și { } 1 2 , , , 0, 1, 2, , 9 , , pa a a p ∗∈ ∈ … … ℕ atunci
1 2
0
ori .
99 9 p
paa a a a = + …
…

Definiția 1. Numim mulțimea numerelor naturale , mulțimea notată cu ,ℕ
definită astfel: { } 0, 1, 2, . =ℕ …
Definiția 2. Numim mulțimea numerelor întregi , mulțimea notată cu ,ℤ
definită astfel: { } , 2, 1, 0, 1, 2, . = − − ℤ … …
Definiția 3. Fracțiile a
b și ,c
d cu ,a c ∈ℤ și , , b d ∗∈ℤ se numesc echivalente
și scriu ,a c
b d = dacă .ad bc =
Definiția 4. Mulțimea tuturor fracțiilor echivalente cu o fracți e dată a
b cu
, , a b ∈ℤ 0, b= / se numește număr rațional reprezentat de fracția .a
b
 Observație . Pentru simplificarea exprimării, identificăm un n umăr rațional cu
oricare dintre fracțiile echivalente care îl reprez intă.
Definiția 5. Numim mulțimea numerelor raționale , mulțimea notată cu ,ℚ
definită astfel , , 0 . pp q q
q      = ∈ = /         ℚ ℤ
 Observație . Folosind algoritmul împărțirii a două numere natu rale, orice fracție
ordinară , , , 0, pp q q
q∈ = / ℕ se poate scrie sub formă de fracție zecimală perio dică, cu
perioada diferită de ()9 . Reciproc, orice fracție zecimală periodică, cu per ioada diferită
de ()9 se poate scrie sub formă de fracție ordinară.

Propoziție . O fracție ireductibilă se transformă:
⌦ într-o fracție zecimală periodică simplă dacă numitorul ei nu are nici factorul 2
nici factorul 5:
⌦ într-o fracție zecimală periodică mixtă dacă numitorul său, pe lângă 2 sau 5
conține și alt factor prim. Partea neperiodică are un număr de cifre egal cu cel mai mare
dintre exponenții lui 2 și 5.

Numere raționale și iraționale

prof. Gheorghe ROTARIU [ 2]

unde 0a∈ℕ și { } 1 2 1 2 , , , , , , , 0, 1, 2, , 9 , , , k k k k p a a a a a a k p ∗
+ + + ∈ ∈ … … … ℕ
atunci
1 2 1 2
0
ori ori .
99 900 0 k p k
p k aa a aa a a a +−= + … …
… … 
Definiția 6. Numim număr irațional, orice fracție zecimală infinită neperiodică.
 Observație . Există astfel de fracții. De exemplu: 0,10100100010000 …

Notație . Mulțimea numerelor iraționale se notează cu .ℝ ℚ \
 Exemple de numere iraționale: 0,12345 ; 2 , 3 ; , π… etc.
Definiția 7. Numim mulțimea numerelor reale , mulțimea notată cu ,ℝ și definită
ca reuniunea dintre mulțimea numerelor raționale și mulțimea numerelor iraționale. Deci
(). = ∪ ℝ ℚ ℝ ℚ \
Definiția 8. Putem defini deci mulțimea numerelor reale ca fiind mulțimea
tuturor fracțiilor zecimale infinite neperiodice sa u periodice, cu perioada diferită de ()9 .

Notații . Mulțimile numerice nenule le notăm astfel:
{}{ } 0 1, 2, 3, . ∗= = ℕ ℕ … \
{}{ } 0 , 2, 1, 1, 2, 3, . ∗= = − − ℤ ℤ … … \
{}0∗=ℚ ℚ \ și
{}0 . ∗=ℝ ℝ \
 Observație . Avem incluziunile . ⊂ ⊂ ⊂ ℕ ℤ ℚ ℝ

 Dacă a este o fracție periodică mixtă , adică are forma
( ) 0 1 2 1 2 , , k k k k p a a aa a a a a + + + =… …
unde 0a∈ℕ și { } 1 2 1 2 , , , , , , , 0, 1, 2, , 9 , , , k k k k p a a a a a a k p ∗
+ + + ∈ ∈ … … … ℕ
atunci
1 2 1 2
0
ori ori .
99 900 0 k p k
p k aa a aa a a a +−= + … …
… … 
Definiția 6. Numim număr irațional, orice fracție zecimală infinită neperiodică.
 Observație . Există astfel de fracții. De exemplu: 0,10100100010000 …

Notație . Mulțimea numerelor iraționale se notează cu .ℝ ℚ \
 Exemple de numere iraționale: 0,12345 ; 2 , 3 ; , π… etc.
Definiția 7. Numim mulțimea numerelor reale , mulțimea notată cu ,ℝ și
definită ca reuniunea dintre mulțimea numerelor raț ionale și mulțimea numerelor
iraționale. Deci
(). = ∪ ℝ ℚ ℝ ℚ \
Definiția 8. Putem defini deci mulțimea numerelor reale ca fiind mulțimea
tuturor fracțiilor zecimale infinite neperiodice sa u periodice, cu perioada diferită de ()9 .

Notații . Mulțimile numerice nenule le notăm astfel:
{}{ } 0 1, 2, 3, . ∗= = ℕ ℕ … \
{}{ } 0 , 2, 1, 1, 2, 3, . ∗= = − − ℤ ℤ … … \
{}0∗=ℚ ℚ \ și
{}0 . ∗=ℝ ℝ \
 Observație . Avem incluziunile . ⊂ ⊂ ⊂ ℕ ℤ ℚ ℝ

Numere raționale și iraționale

prof. Gheorghe ROTARIU [ 3] EXERCIȚII REZOLVATE

Exercițiul 1. Arătați că
( )()( )()
( )( )( )( )( )( )
( )31 3
; ;
2 2
1 2 5 7
; ;
6 6
5,
6n n n n
n n n n a b
c d
en n
n n + +
∈ ∈
+ + + +
∈ ∈
+∈ℤ ℤ
ℤ ℤ
ℤ
pentru orice .n∈ℤ
Soluție .
()a Cum n și 1, n n + ∈ ℤ sunt două numere întregi consecutive, unul dintre ele este
număr par, deci divizibil cu 2, prin urmare ()1
.
2n n +
∈ℤ
()b Deoarece numerele n și 3, , n n + ∈ ℤ au parități diferite, unul dintre ele este număr
par, deci divizibil cu 2, prin urmare ()3
.
2n n +
∈ℤ
()c Deoarece , 1 n n + și 2, , n n + ∈ ℤ sunt 3 numere întregi consecutive, unul dintre ele
este divizibil cu 3, deci
()()() 3 1 2 . 1 n n n  + +
Printre , 1 n n + și 2, n n + ∈ ℤ este cel puțin un număr par, deci
()()() 2 1 2 . 2 n n n  + +
Din ()1 și ()2 avem
()()
( )( )
()( )( ) ( )( )( )( )3 1 2 1 2
2 1 2 2 3 1 2 6 1 2 .
62,3 1 n n n n n n
n n n n n n n n n   + +  + +  + + ⇒ ⋅  + + ⇒  + + ⇒ ∈ =ℤ
()d Deoarece n și 5n+ au parități diferite, unul este par, deci
()()() 2 5 7 . 3 n n n  + +
Vom arăta că ()() ()() 5 7 3 3 5 7 . n n n n n n + + ⇔  + + ⋮
 Dacă ()() 3 3 5 7 . n n n n = ⇒  + + M
 Dacă ()() 3 1 5 3 6 3 3 5 7 . n n n n n = + ⇒ + = + = ⇒  + + M M M
 Dacă ()() 3 2 7 3 9 3 3 5 7 . n n n n n = + ⇒ + = + = ⇒  + + M M M
În concluzie, oricare ar fi ,n∈ℤ avem
()()()   3 5 7 . 4 n n n  + +
Din ()3 și ()4 avem
()()
( )( )
()( )( ) ( )( )( )( )3 5 7 5 7
2 5 7 2 3 5 7 6 5 7 .
62,3 1 n n n n n n
n n n n n n n n n   + +  + +  + + ⇒ ⋅  + + ⇒  + + ⇒ ∈ =ℤ
()e Avem

Numere raționale și iraționale

prof. Gheorghe ROTARIU [ 4] () ()()3 3 2 5 6 1 6 1 1 6 . n n n n n n n n n n n n + = − + = − + = − + +
Cum 1, n n − și 1, n+ sunt trei numere întregi consecutive, conform punc tului ()c avem
că ()() 6 1 1 . n n n  − + Prin urmare 35n n + este o sumă de doi multipli ai lui 6, deci este
un multiplu al lui 6, adică 35.
6n n +∈ℤ

Exercițiul 2. Fie .n∈ℤ Dacă 24,
5n−∈ℤ atunci 2 3 .
5n+∈ℚ ℤ \
Soluție .
Deoarece 24,
5n−∈ℤ există k∈ℤ astfel încât ()()24 5 2 2 5 . n k n n k − = ⇔ − + = De
aici avem că ()() 5 2 2 . n n  − + Cum 5 este număr prim rezultă că 5 2 n − sau 5 2. n +
prin urmare, există 1 2 ,k k ∈ℤ astfel încât
1 1 2 5 5 2 n k n k − = ⇔ = + sau
2 2 2 5 5 2. n k n k + = ⇔ = −
 Dacă 1 1 5 2, , n k k = + ∈ ℤ atunci
( ) ( ) 1 1 1 2 3 2 5 2 3 10 7 5 2 1 2 5, n k k k + = + + = + = + + = / M
deci 2 3 .
5n+∈ℚ ℤ \
 Dacă 2 2 5 2, , n k k = − ∈ ℤ atunci
( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 5 2 3 10 1 5 2 1 4 5, n k k k + = − + = − = − + = / M
deci 2 3 .
5n+∈ℚ ℤ \

Exercițiul 3. Fie numărul 12345. a= Arătați că ()() 3 1
.
180 a a a − +
∈ℕ
Soluție .
Avem ()()( )( )3 1
180 3 1 .
180 a a a
a a a − +
∈ ⇔  − + ℕ
Deoarece 2 2 180 2 3 5, = ⋅ ⋅ trebuie să arătăm că ()()()() 4 3 1 , 9 3 1 a a a a a a  − +  − + și
()() 5 3 1 . a a a  − +
• Cum 12345 a= este număr impar, atunci 3a− și 1a+ sunt numere pare, deci
divizibile fiecare cu 2, prin urmare ()() 4 3 1 . a a a  − +
• Evident, ()() 5 5 3 1 . a a a a  ⇒  − +
• Deoarece 3 , a rezultă că 3 3, a − deci ()()23 3 1 . a a a  − +
Cum ()()()()()() 4 3 1 , 9 3 1 , 5 3 1 a a a a a a a a a  − +  − +  − + și ()4,9,5 1, = rezultă că
()() ()() 4 9 5 3 1 180 3 1 . a a a a a a ⋅ ⋅  − + ⇔  − +

Exercițiul 4. Scrieți sub formă de fracție ordinară următoarele fracții zecimale:
() ()() ()() 3,123; 2, 32 ; 5,21 345 . a b c

Numere raționale și iraționale

prof. Gheorghe ROTARIU [ 5] Soluție .
( )3123 3,123
1000 a =
()b Fie ()2, 32 2,323232 . x= = … Avem () 100 232, 32 . x= De aici
() () 100 232, 32 230 2, 32 230 . x x = = + = +
Rezultă
230 100 230 99 230 .
99 x x x x − = ⇒ = ⇒ =
 Observație . Putem utiliza și forma de scriere din breviarul t eoretic:
( )232 2 230 2, 32 .
99 99 −= =
()c Fie () 5,21 345 . x= Avem () 100 521, 345 . x= De aici
() () 100 1000 521345, 345 100000 521345, 345 . x x ⋅ = ⇒ =
Rezultă
()() 100000 100 521345, 345 521, 345 99900 520824
520824 43402 .
99900 8325 x x x
x− = − ⇒ =
⇒ = =
 Observație . Putem utiliza și forma de scriere din breviarul t eoretic:
( )521345 521 43402 5,21 345 .
99900 8325 −= =

Exercițiul 5.
()a Fie .n∈ℕ Arătați că n∈ℕ dacă și numai dacă există k∈ℕ astfel încât 2.n k =
()b Fie .n∈ℕ Arătați că n∈ℚ dacă și numai dacă .n∈ℕ
Soluție .
()a Pentru 0n= afirmația este evidentă. Presupunem că 1. n≥
()⇒ Dacă ,n∈ℕ atunci există k∈ℕ astfel încât 2. n k n k = ⇒ =
()⇐ Dacă există k∈ℕ astfel încât 0
2 2 .k
n k n k n k ≥
= ⇒ = ⇒ = ∈ ℕ
()b ()⇒ Dacă {}0, 1 , n∈ atunci implicația este imediată. Fie 2. n≥
Presupunem că ( ) , , , , 1. pn p q p q
q∗= ∈ = ℕ Evident, 2. p≥ Rezultă că 2 2 .p nq =
Asta înseamnă că 2.q p  Deoarece (), 1, p q = rezultă (conform rezultatului 7) ()2, 1. q p =
Acest lucru este posibil doar dacă 1, q= deci .n p = ∈ ℕ
()⇐ Dacă n∈ℕ și cum ,⊂ℕ ℚ rezultă că .n∈ℚ

Exercițiul 6.
Arătați că:

()a 1 2 3 2017 2017 ; ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ∉ … ℚ ()b 1 2 3 2017 2014 ; ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ∉ … ℚ
()c 21 2 3 2017 2017 ; ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ∉ … ℚ ()d 25 7 , ; n n n + + ∉ ∈ ℚ ℕ

Soluție .

Numere raționale și iraționale

prof. Gheorghe ROTARIU [ 6] Conform exercițiului anterior, pentru a arăta că ce i patru radicali nu reprezintă numere
raționale, vom arăta că expresiile de sub fiecare r adical nu sunt pătrate perfecte.
()a ( ) 1 2 3 2017 2017 0 7 7. U⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = + = … Cum un pătrat perfect nu poate avea ultima
cifră egală cu 7, rezultă că 1 2 3 2017 2017 . ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ∉ … ℚ
()b 1 2 3 2017 2014 1 2 3 2017 2012 2 4 4 2 4 2. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + = + + = + … … M M M Însă
niciun pătrat perfect nu este de această formă (păt ratele perfecte sunt de forma 4M sau
4 1 +M ). Prin urmare 1 2 3 2017 2014 . ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ∉ … ℚ
()c ( )21 2 3 2017 2017 2017 1 2 3 2016 2017 . ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + … …
Cum 1 2 3 2016 2017, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = / …M avem
22017 1 2 3 2017 2017  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + … dar 2 2 2017 1 2 3 2017 2017 . ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + …

Prin urmare, 21 2 3 2017 2017 . ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ∉ … ℚ
()d Pentru orice ,n∈ℕ avem încadrările
() ()2 3 2 2 2 2 4 4 5 7 6 9 3 . n n n n n n n n + = + + < + + < + + = +
Cu alte cuvinte, expresia 25 7 n n + + este cuprinsă (strict) între două pătrate perfecte
consecutive pentru orice ,n∈ℕ deci nu poate fi pătrat perfect.
Prin urmare, 25 7 , . n n n + + ∉ ∈ ℚ ℕ

Exercițiul 7. Fie , , , , , 0 a b c d b d ∈ > ℚ și ,b d numere iraționale. Atunci
.a c a b c d b d =+ = + ⇔ =
Soluție .
()⇒ Presupunem prin reducere la absurd că .a c = /
Avem . a c d b − = − Cum ,a c − ∈ ℚ rezultă
() . 6 d b − ∈ ℚ
Dar,
( )( )()( )
( )( ) ( ) . 7 d b d b a c d b
d b d b a c d b d b
a c − + = − + ⇒
−⇒ − = − + ⇒ + = ∈
−ℚ
Dar ( )( )()() 6 7
,
2d b d b
d++ + −
= ∈ ℚ contradicție cu .d∈ℝ ℚ \
Deci .a c = Rezultă apoi că . b d b d = ⇒ =
()⇐ Implicația reciprocă este imediată.

Exercițiul 8. Demonstrați afirmațiile:
()a Dacă r∈ℚ și ,a∈ℝ ℚ \ atunci ; r a + ∈ ℝ ℚ \
()b Dacă r∗∈ℚ și ,a∈ℝ ℚ \ atunci ;ra ∈ℝ ℚ \
()c Dacă ,a∈ℝ ℚ \ atunci 1;
a∈ℝ ℚ \
()d Dacă , 0, a a ∈ > ℝ ℚ \ atunci .a∈ℝ ℚ \

Numere raționale și iraționale

prof. Gheorghe ROTARIU [ 7] Soluție .
()a Dacă, prin absurd, , r a q + = ∈ ℚ atunci , a q r = − ∈ ℚ contradicție.
()b Dacă, prin absurd, ,ra q = ∈ ℚ atunci ,qa
r= ∈ ℚ contradicție.
()c Dacă, prin absurd, 1,
a∈ℚ atunci 1,
1a
a= ∈ ℚ contradicție.
()d Dacă, prin absurd, ,a r = ∈ ℚ atunci 2,a r = ∈ ℚ contradicție.

Exercițiul 9. Demonstrați că:
()a 2 2 . + ∈ ℝ ℚ \
()b 5 6 . + ∈ ℝ ℚ \
()c 2 3 5 . + + ∈ ℝ ℚ \
Soluție .
()a Deoarece 2∈ℚ și 2 , ∈ℝ ℚ \ rezultă, conform exercițiului 9, punctul (),a că
2 2 . + ∈ ℝ ℚ \
()b Presupunem, prin absurd, că 5 6 , 6 . r r + = ∈ > ℚ Avem
( )2 22 2 11 5 6 11 2 30 30 ,
2rr r −+ = ⇒ + = ⇒ = ∈ ℚ
absurd, deoarece 30 ∈ℝ ℚ \ (conform exercițiului 6, deoarece 30 nu este pătra t perfect).
()c Presupunem, prin absurd, că 2 3 5 . r + + = ∈ ℚ Avem
( )( )
( )2 2
22 2 4
4 2
2 4 2 3 5 2 3 5 2 3 5
5 2 6 5 2 5 2 6 2 5 2 6 2 5
20 24 24 20 8 30 30 ,
8r r r
r r r r r r
r r r r r
r+ + = ⇒ + = − ⇒ + = − ⇒
⇒ + = + − ⇒ + = ⇒ + = ⇒
− − ⇒ + + = ⇒ = ∈ ℚ
absurd, deoarece 30 ∈ℝ ℚ \ .

Numere raționale și iraționale

prof. Gheorghe ROTARIU [ 8] IRAȚIONALITATEA LUI 2

Exercițiul 10 . Demonstrați că numărul 2 este irațional.
Soluția 1 . (clasică)
Presupunem prin reducere la absurd că 2 , ∈ℚ adică există , , 0 m n n ∈ = / ℕ astfel încât
2 , m
n= cu m și n prime între ele (în caz contrar, simplificăm fracț ia m
n prin cel mai
mare divizor comun al numerelor m și n). Avem
( )2
2 2
22 2 2 . 5 m m m n
nn= ⇔ = ⇔ =
Deoarece membrul drept este număr par, atunci și me mbrul stâng este trebuie să fie par,
deci și m este par, adică există k∈ℕ astfel încât 2 . m k = Înlocuim în ()5 și avem
() ()22 2 2 2 2 2 2 4 2 2 . 6 k n k n k n = ⇔ = ⇔ =
În egalitatea ()6 membrul stâng este număr par, deci și membrul drep t va fi par, deci și n
trebuie să fie par, ceea ce contrazice ipoteza că n umerele m și n sunt prime între ele.
În concluzie, 2 . ∉ℚ
Soluția 2 .
Presupunem prin reducere la absurd că 2∈ℚ adică există , , 0 p q q ∈ = / ℕ și (), 1 p q =
minime, astfel încât 2 2 2 2 . pp q
q= ⇒ = Evident, .p q >
Avem
()
()()()()
()2 2 2 2 2 2 . p p q q q p p p pq q pq q p
q q p q q p q q p q q p q p q − − − − − = = = = = =
− − − − −
Deoarece 2 , q p q < < avem 0 2 q p p < − < și 0 . p q q < − < Am găsit așadar 2 numere
naturale 2q p − și p q − mai mici strict decât p și q al căror raport este egal cu 2 ,
contradicție cu minimalitatea lui p și .q
Soluția 3.
Presupunem prin reducere la absurd că 2 , ∈ℚ adică există , , 0 m n n ∈ = / ℕ astfel încât
2 , m
n= cu m și n prime între ele (în caz contrar, simplificăm fracț ia m
n prin cel mai
mare divizor comun al numerelor m și n). Avem
( )2
2 2
22 2 2 . 5 m m m n
nn= ⇔ = ⇔ =
Avem
(){ }20, 1, 4, 5, 6, 9 , , U m m ∈ ∈ ℕ
(){}22 0, 2, 8 , . U n n ∗∈ ∈ ℕ
Deoarece avem egalitate, rezultă că
() ()()()2 2 0 2 0 U m U n U m U n = = ⇒ = =
sau

Numere raționale și iraționale

prof. Gheorghe ROTARIU [ 9] ()() () ()2 2 0, 5 0, 5. U m U n U m U n = = ⇒ = =
Prin urmare, în ambele cazuri, numerele naturale m și n sunt divizibile cu 5,
contradicție cu faptul că sunt prime între ele.
Soluția 4.
Presupunem, prin reducere la absurd, că ( ) 2 , , , 0, , 1. aab b a b
b= ∈ = / = ℕ
Rezultă că 2 2 2 . a b a b = ⇒ = Cum (), 1, a b = din teorema lui Bézout rezultă că
există numerele întregi n și k astfel încât 1 . an bk = +
Atunci
( )()() 2 2 1 2 2 2 2 , an bk a n b k bn ak = ⋅ = + = + = + ∈ ℤ
contradicție, deoarece 2 . ∉ℤ
Soluția 5.
Presupunem, prin reducere la absurd, că ( ) 2 , , , 0, , 1. aab b a b
b= ∈ = / = ℕ
Avem 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 a b a b b a b a = ⇒ + = ⇒  + ⇒  și 3 , b contradicție cu faptul că a
și b sunt prime între ele.
Soluția 6.
Presupunem, prin reducere la absurd, că ( ) 2 , , , 0, , 1. aab b a b
b= ∈ = / = ℕ
Avem 2 2 2 2 . a b b a = ⇒  Dacă 1, b> considerăm p un divizor prim al lui .b Evident,
2. p≥ Avem 2.p b p a  ⇒  Cum p este număr prim, rezultă că ,p a  contradicție cu
(), 1. a b = Prin urmare, 1 2 , b a = ⇒ = ∈ ℕ contradicție.
Soluția 7.
Presupunem, prin reducere la absurd, că ( ) 2 , , , 0, , 1. aab b a b
b= ∈ = / = ℕ
Evident, 1. b>
Fie p un divizor prim al lui .b Deci 2. p≥ Avem
()()2 2 2 2 2 2 2 . a b a b b a b a b b = ⇒ − = ⇒ − + =
Cum ()()2. p b p b p a b a b  ⇒  ⇒  − + Deoarece p este număr prim, avem
p a b  − sau .p a b  +
,p b p a p a b ⇒   ±  deci (), 1, a b = / contradicție.

Numere raționale și iraționale

prof. Gheorghe ROTARIU [ 10 ] EXERCIȚII PROPUSE

1. Fie .n∈ℕ Arătați că următoarele numere sunt întregi :

( )3
1 ;
3an n N−= ( )3
22;
3nbnN+= ( )3
35;
3ncnN−=
( )3 2
43 8 ;
6n n n Nd− + = ( )3 2
5 ;
3 2 6 nen n N= + + ( )2 3
6 .
12 8 24 n n n Nf = + +

2. Fie .a∈ℕ Arătați că 5 3 7
5 3 15 a a a A= + + este număr natural.

3. Determinați n∈ℕ astfel încât 2017
2017 n
n+ este număr întreg.

4. Fie ,ab ∈ℤ astfel încât 3 4 .
5a b +∈ℤ Arătați că 4 3 .
5a b −∈ℤ

5. Fie .a∈ℚ Dacă 5a∈ℤ și 3 , a∈ℤ atunci .a∈ℤ

6. Arătați că dacă, ,x y ∈ℚ cu xy ∈ℤ și ,x y + ∈ ℤ atunci x și .y∈ℤ

7. Fie , , a b c ∈ℤ astfel încât .ab bc ca
a b c + + ∈
+ + ℤ Arătați că 2 2 2
.a b c
a b c + + ∈
+ + ℤ
Olimpiadă Kazahstan

8. Fie , 2. n n ∈ ≥ ℕ Arătați că oricare ar fi numerele impare pozitive 1 2 , , , , na a a …
numărul 1 2
1 2 n a a a
n+ + + … nu este întreg.

9. Să se arate că pentru orice ,n∈ℕ fracțiile următoare sunt reductibile:
( ) ( ) ( )2 10 2 6 2 8 ; ; .
3 15 3 9 3 12 n n n n n n
n n n n n n a b c + + +
+ + +

10. Arătați că fracția ()()()
22017 2018 a b b c c a
a a + + +
+ + este reductibilă oricare ar fi , , . a b c ∈ℕ

11. Arătați că pentru orice ,n∈ℕ fracția 2 1
3 2 n
n+
+ este ireductibilă.

12. Arătați că fracția 30 11
42 19 n
n+
+ este ireductibilă pentru orice .n∈ℕ

13. Determinați n∈ℕ pentru care fracția 2
3 1 n
n+
+ este reductibilă.

14. Determinați cel mai mare număr natural n pentru care fracția 10
9 11 n
n−
+ este o fracție

Numere raționale și iraționale

prof. Gheorghe ROTARIU [ 11 ] reductibilă nenulă.
Singapore Mathematical Olympiad, 2009

15. Fie , , , , abc d n numere întregi. Arătați că, dacă fracția an b
cn d +
+ se simplifică prin ,h
atunci h ad bc  − .

16. Fie , , , , abc d n numere întregi și fie fracția .an b F
cn d +=
+ Dacă 1, ad bc − = atunci
fracția F este ireductibilă. Reciproca este adevărată?

17 . Fie , , , , a b c d ∗∈ℕ cu ()() , , 1 a b c d = = și .a c
b d    + ∈      ℕ Arătați că .b d =

18. Fie numerele reale , , , , a b c d c d = / ± astfel încât .a b a b
c d c d − + =
− + Putem avea
egalitatea 2012? abcd =
Математическая регата

19. Fie numerele reale nenule , , , a b c d astfel încât .a c a c
b d b d ++ =
+ Arătați că 0. ac <
Математическая регата

20. Arătați că numărul 1 1 2 , , 2,
1 1 r n n
n n n = + − ∈ ≥
+ − ℕ este reprezentat printr- o
fracție zecimală periodică.

21. Arătați că pentru , 2, n n ∈ ≥ ℕ numărul 2
33 1 nr
n n −=
− este reprezentat printr- o fracție
zecimală periodică mixtă.

22. Arătați că numărul 0,101001000100001… a= este irațional.

23. Fie numărul 0,12345678910111213 . x= …
()a Determinați a 2017-a zecimală a numărului.
()b Arătați că x este irațional.

24. Să se arate că orice număr irațional scris sub form ă de fracție zecimală are:
()a cel puțin o cifră nenulă care se repetă de o infin itate de ori;
()b cel puțin două cifre care se repetă de o infinitat e de ori.

25. Scrieți un număr irațional sub formă de fracție zec imală în care doar două cifre se
repetă de o infinitate de ori.

26. Demonstrați că pentru orice ,n∗∈ℕ următoarele numere sunt iraționale:
()25 7 ; nA n a n = + +
() ()()()() 1 2 3 4 . nB n n b n n = + + + +

Numere raționale și iraționale

prof. Gheorghe ROTARIU [ 12 ]
27. Demonstrați că numerele 5 7 na n = + și 5 13 nb n = + sunt iraționale pentru orice
n natural.

28. Arătați că, pentru orice număr natural ,n numărul 4 2 n n
nc= + este irațional.

29. Fie n un număr natural impar, iar b o cifră nenulă. Arătați că numărul

de 0 0 0
nA b b =…
este irațional.

30. Dacă a și b sunt numere naturale impare, atunci 2 2 4a b + + nu este rațional.

31. Arătați că numărul ()()( )4 4 4 1 4 2 4 2017 4
2+ + + …
este irațional.

32. Dacă a și b sunt numere naturale impare, atunci 2 2 a b + nu este rațional.

33. Arătați că numărul 314 14 A n n = + + este irațional pentru orice .n∈ℕ

34. Arătați că 23 2 2 n n + + este număr irațional, oricare ar fi .n∈ℕ
Olimpiada Spania

35. Fie 1 2 2011 , , , a a a … numere naturale impare. Arătați că numărul
2 2 2
1 2 2011 A a a a = + + + …
este irațional.

36. Arătați că pentru orice numere naturale nenule a și b numărul
2 2 2 2 3 4 4 3 a b a b + + +
este irațional.

37. Arătați că pentru orice ,n∗∈ℕ numerele 1nA n n = + + sunt iraționale.

38. Arătați că pentru orice ,n∗∈ℕ numerele 1 1 nA n n = − + + sunt iraționale.

39. Determinați numerele naturale n pentru care 1 4 21 n n + + + este rațional.

40. Dați exemple de numere iraționale a pentru care ()21a+ este:
()a irațional;
()b rațional.

41. Dați exemple de numere iraționale a pentru care 1a
a+ este:

Numere raționale și iraționale

prof. Gheorghe ROTARIU [ 13 ] ()a irațional;
()b rațional.

42. Dați exemple de numere iraționale , , a b a b = / pentru care a b
a b −
+ este:
()a irațional;
()b rațional.

43. Dați exemple de numere iraționale a și b pentru care ab a b + − este număr rațional.

44. Care dintre următoarele propoziții sunt adevărate?
()a Dacă , , xy ∈ℚ atunci .x y + ∈ ℚ
()b Dacă , , xy ∈ℝ ℚ \ atunci . x y + ∈ ℝ ℚ \
()c Dacă , , xy ∈ℝ ℚ \ atunci .xy ∈ℝ ℚ \
()d Dacă ,x y + ∈ ℚ atunci , . xy ∈ℚ
()e Dacă ,xy ∈ℚ atunci x∈ℚ sau .y∈ℚ

45. Fie , . a b ∈ℝ ℚ \ Arătați că pentru orice , , x y ∈ℚ avem . ax by + ∈ ℝ ℚ \

46. Fie ,x y numere reale astfel încât .xy x y = + Arătați că x și y sunt fie simultan
numere raționale, fie simultan numere iraționale.

47. ()a Fie , , abc numere raționale. Să se arate că 2 3 0 a b c + + = dacă și numai dacă
0. a b c = = =
()b Pentru numerele reale , , abc din 2 3 0 a b c + + = rezultă 0? a b c = = =

48. Fie , , abc numere reale. Care dintre următoarele afirmații est e adevărată? Justificați.
()a Dacă a b + și a b − sunt numere raționale, atunci a și b sunt numere raționale.
()b Dacă ab și a b + sunt numere raționale, atunci a și b sunt numere raționale.
()c Dacă a b + și b c + sunt numere raționale, atunci a c + este rațional.
()d Dacă a b + și b c + sunt numere raționale, atunci a c − este rațional.
()e Dacă ab și bc sunt numere raționale, atunci ac este n umăr rațional.

49. Precizați valoarea de adevăr a propozițiilor:
()a Oricare ar fi numerele iraționale a și ,b avem a b + și a b − numere iraționale.
()b Oricare ar fi numerele iraționale a și ,b avem a b + sau a b − numere iraționale.

50. Fie numerele reale , , abc astfel încât ,a b + ,b c + c a + sunt numere raționale.
Arătați că , , abc sunt numere raționale.

51. Dacă ,a b b c + + și c a + sunt numere iraționale, atunci a b c + + este număr
irațional?.

Numere raționale și iraționale

prof. Gheorghe ROTARIU [ 14 ]
52. Dacă , , , a b b c c d d a + + + + sunt numere raționale, atunci , , abc și d sunt numere
raționale?

53. Dacă , , , , a b b c c d d e e a + + + + + sunt numere raționale, atunci , , , abc d și e sunt
numere raționale?

54. Arătați că dacă a b + este un număr irațional, iar ab este un număr rațional nenul,
atunci a și b sunt numere iraționale.

55. Fie a și b două numere reale astfel încât 2a b + și 2a b − sunt numere raționale.
Arătați că numerele a și b sunt raționale.

56. Se știe că exact unul dintre numerele reale , , x y z este irațional, iar numărul
N xy yz zx = + + este rațional. Arătați că 0. N≤

57. Arătați că dacă ,p∈ℕ p număr prim, atunci p este irațional.

58. Fie a și b două numere iraționale astfel încât 2 2 a b − este număr rațional. Arătați că
a b + și a b − sunt ambele iraționale.
Olimpiada Brazilia

59. Fie numărul real nenul x astfel încât 4
41x
x+ și 5
51x
x+ sunt numere raționale.
Arătați că 1x
x+ este rațional.
Olimpiada India

60. Fie , 0 a a ∈ = / ℝ astfel încât 4a și 6a sunt numere raționale. Precizați valoarea de
adevăr a următoarelor afirmații:
()
( )
( )
()2
3
14 ;
;
;
.a
a
aa
b
c
da∈
∈
∈
∈ℚ
ℚ
ℚ
ℚ

61. Fie , 0 a a ∈ = / ℝ astfel încât 4a și 7a sunt numere raționale. Arătați că na este
număr rațional pentru orice .n∈ℕ

62. Arătați echivalențele: x∈ℝ ℚ \ 3 2 .
2xx⇔ + ∈ ⇔ ∈ ℝ ℚ ℝ ℚ \ \

63. Determinați numerele iraționale a și b astfel încât ,a b + ∈ ℚ ab ∈ℚ și .a
b∈ℚ

Numere raționale și iraționale

prof. Gheorghe ROTARIU [ 15 ] 64. Arătați că există o infinitate de numere iraționale a și b cu proprietatea că
. a b ab + = ∈ ℕ
Olimpiada județeană de matematică, 2006

65. Arătați că există o infinitate de numere iraționale a și b pentru care a b + și ab sunt
numere raționale.

66. Fie ,a b numere reale. Arătați că există un număr irațional c astfel încât numerele
a c + și b c + să fie iraționale.
Olimpiada locală de matematică, Buzău, 2016

67. Fie a un număr real astfel încât 3a și 2a a + sunt numere raționale. Arătați că a este
număr rațional.

68. Să se determine numărul irațional x știind că numerele 2x x + și 3 2 2x x + sunt
numere întregi.
Olimpiada județeană de matematică, 2014

69. ()a Fie x un număr real astfel încât 2x x + și 32x x + să fie raționale. Arătați că x
este număr rațional.
()b Arătați că există numere iraționale x astfel încât 2x x + și 32x x − să fie
raționale.

70. Să se determine numărul irațional x știind că numerele 22x x + și 36x x − sunt
numere raționale.
Olimpiada județeană de matematică, 2008

71. Să se determine numerele iraționale x pentru care 36x x − și 4 2 8x x − sunt raționale.
USA Mathematical Talent Search, 2017

72. Fie , , x y z numere reale nenule astfel încât ,xy yz și zx sunt numere raționale.
()a Arătați că numărul 2 2 2 x y z + + este rațional;
()b Dacă, în plus, numărul 3 3 3 x y z + + este rațional, atunci , , x y z sunt numere
raționale.

73. Dacă a este un număr real astfel încât 2003 2002 1, a a = + arătați că a este un număr
irațional.

74. ()a Fie , . m n ∗∈ℕ Demonstrați că m n + ∈ ℚ dacă și numai dacă
, ; m n ∈ℕ
()b Determinați perechile (),xy de numere naturale astfel încât 10 3 . x y + =

75. Rezolvați în mulțimea numerelor naturale nenule sis temul

Numere raționale și iraționale

prof. Gheorghe ROTARIU [ 16 ] 5 6 168
23 3 26 1176 x y xy
x y xy + + = + + = 

76. Determinați numerele raționale x și y astfel încât
16 252 8 28 15. x y x + + = − +

77. Determinați numerele raționale pozitive a și b astfel încât
4 7 . a b + = +
Olimpiada matematică, Polonia

78. Fie , , a b c ∗∈ℕ astfel încât 3.
3a b
b c +∈
+ℚ Arătați că 2 2 2
.a b c
a b c + + ∈
+ + ℕ
Finnish National High School Mathematics Competitio n, 2004

79. Determinați numerele iraționale ,a știind că 3a+ și 23a+ sunt, simultan,
raționale.
Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников , 2016

80. Determinați numerele iraționale a astfel încât 15 a+ și 115
a− sunt, simultan,
numere întregi.
Математическая регата

81. Cercetați daca există x∈ℝ astfel încât cos 2 x+ și cos2 2 x+ să fie, simultan,
numere raționale .
Всесибирской олимпиады школьников , 2016

82. Putem completa un tabel de dimensiuni 2 3 × (2 linii și 3 coloane) cu numere iraționale
astfel încât suma pe fiecare linie și pe fiecare co loană să fie un număr rațional?

83. ()a Fie numerele raționale strict pozitive a și b astfel încât .a b + ∈ ℚ Arătați că
a și b sunt numere raționale.
()b Arătați că 2 3 + este irațional.

84. Fie numerele raționale strict pozitive a și b astfel încât .a b − ∈ ℚ Arătați că a
și b sunt numere raționale.

85. Dacă a și b sunt numere raționale strict pozitive, iar , , βα∗∈ℚ astfel încât
, a b βα+ ∈ ℚ
atunci , . a b ∈ℚ

86. Fie , . m n ∗∈ℕ Arătați că dacă m
n este irațional, atunci mn este irațional.

Numere raționale și iraționale

prof. Gheorghe ROTARIU [ 17 ] 87. Fie numerele raționale strict pozitive ,ab și c astfel încât . a b c + + ∈ ℚ
Arătați că ,a b și c sunt numere raționale.

88. Fie a și b două numere reale diferite și strict pozitive. Dac ă a ab − ∈ ℚ și
, b ab − ∈ ℚ arătați că , . a b ∈ℚ
Olimpiada județeană de matematică, 2012

89. Determinați numărul real a astfel încât 5.
12 a
a+∈
+ℚ
Etapa locală Bihor, 2015

90. Arătați că 5 3
2 1 n
n+∈
+ℝ ℚ \ oricare ar fi .n∈ℕ

91. Fie mulțimea { }2 2 3 , , 3 1 . M a b a b a b = + ∈ − = ℚ Arătați că:
()a 2 3 ; M + ∈
()b , ; x y M xy M ∈ ⇒ ∈
()c mulțimea M este infinită.

92. Se dau numerele naturale 3 5, a n = + 2 3, b n = + 2, . c n n ∗= + ∈ ℕ Este numărul
, , E a b a c    = +     rațional? (Am notat prin ,a b    cel mai mic multiplu comun al
numerelor naturale a și b)

93. Determinați numărul prim p și numărul natural n astfel încât 69 1 . np− ∈ ℚ

94. Arătați că dacă , , abc sunt numere raționale strict pozitive cu 1 1 1 ,
a b c + = atunci
2 2 2 a b c + + este număr rațional.

95. Arătați că dacă , , abc sunt numere raționale cu 1, ab bc ca + + = atunci
()()()2 2 2 1 1 1 a b c + + + este număr rațional.

96. Să se determine numerele naturale a și b știind că a noua zecimală a numărului a
b
este b și a noua zecimală a numărului b
a este .a

97. Să se determine cifrele diferite a și b astfel încât ( )0, . aa b
b=

98. Dacă ()()() 0, 0, 0, , a bc b ca c ab + + ∈ ℚ calculați .a b c + +

Numere raționale și iraționale

prof. Gheorghe ROTARIU [ 18 ] 99. Determinați perechile nenule de cifre (),a b știind că 0, 0, aaa bbb =… …
UNC Charlotte, Math Contest, 2017

100. Fie a∈ℚ de forma 1 2 3 0, a aa a =… și b∈ℝ ℚ \ de forma 1 2 3 0, b aa a =…, unde
{} , 1,2 k k a b ∈ pentru orice .k∗∈ℕ
()a Arătați că m∗∈ℕ astfel încât 3. m m a b + =
()b Arătați că există n∗∈ℕ astfel încât .n n a b =
()c Dați exemplu de numere a și b din enunț.
Concursul de matematică Isoscel, 2011

101. Fie x și y două numere iraționale astfel încât 2,xy x y + și 2y x + sunt numere
raționale. Determinați valoarea lui x y + și dați exemplu de o pereche (),xy care
satisface condițiile din enunț.

102. Arătați că există o infinitate de numere raționale x pentru care 1997 x+ ∈ ℚ și
1998 . x+ ∈ ℚ

103. Arătați că orice fracție ordinară , , , pp q
q∗∈ℕ poate fi scrisă sub forma
2 3
5 7 ,pa b
qc d +=
+
unde , , , . a b c d ∗∈ℕ
Olimpiada de matematică Polonia

104. Determinați perechile (),a b de numere naturale pentru care fracțiile 1a
b+ și 1b
a+
sunt, simultan, numere naturale.
Olimpiada de matematică Polonia

105. Arătați că 2n nu este natural oricare ar fi .n∗∈ℕ

106. Fie , , , a b c d ∗∈ℕ astfel încât 2.
2a b
c d −∈
−ℚ Arătați că .abcd ∈ℚ

107. Fie x un număr real. Arătați că dacă 21x
x x + + este număr rațional, atunci și
2
4 2 1x
x x + + este număr rațional.

108. Demonstrați că există o infinitate de numere rațion ale ,x astfel încât 22 . x x − ∈ ℚ

Numere raționale și iraționale

prof. Gheorghe ROTARIU [ 19 ] 109. Determinați cifrele nenule , , a b c pentru care
( )1 1 1 , . ab c
a b c + + =

110. Fie numerele reale distincte a și b astfel încât 2a b + ∈ ℚ și 2.b a + ∈ ℚ Arătați că:
()a numerele 1 2
2a+= și 1 2
2b−= verifică proprietățile date;
()b dacă {}1 , a b + ∈ ℚ \ atunci a și b sunt numere raționale;
()c dacă ,a
b∈ℚ atunci a și b sunt numere raționale.

111. Fie a și b două numere naturale nenule. Arătați că dacă număr ul 1ba
a b + − este
natural, atunci el este pătrat perfect.
Baraj JBMO , Franța, 2017

112. Să se arate că ()() 1 2 1 2 , n n
+ + − ∈ ℤ oricare ar fi .n∈ℕ

113. Se consideră numărul
2001de1 0,111 1. a=… Să se calculeze primele 2001 cifre zecimale ale
numărului .a

114. Arătați că ()() 1 2 3
,
3nn n n + +
∈…
ℕ oricare ar fi .n∈ℕ

115. Să se arate că există o infinitate de numere n∈ℕ astfel încât n să aibă primele
două zecimale cifrele 0 și 3, în această ordine.

116. Demonstrați că numărul 1 3 + nu poate fi reprezentat sub formă de sumă de
pătrate de forma 3a b + unde a și b sunt numere raționale.

117. Demonstrați că pentru orice număr natural ,n expresia ()2 1 n
− se reprezintă sub
formă de diferență 1 , . k k k + − ∈ ℕ

118. Pentru orice număr natural a definim mulțimea
{ }2.aA n n an = ∈ + ∈ ℕ ℕ
()a Arătați că mulțimea aA este finită dacă și numai dacă 0. a= /
()b Determinați cel mai mare element al mulțimii 40 .A
Olimpiada județeană de matematică, 2015

Numere raționale și iraționale

prof. Gheorghe ROTARIU [ 20 ] 119. Determinați toate numerele reale x pentru care numărul 22 1
2 3 xa
x x +=
+ + este
întreg.
Olimpiada județeană de matematică, 2013

120. Fie ,x y două numere naturale nenule diferite. Arătați că n umărul
()2
3 2 2 3 x y
E
x xy x y y +
=
+ − −
nu este întreg.
Olimpiada județeană de matematică, 2010

121. Să se determine numerele reale a și b știind că a b + ∈ ℤ și 2 2 2. a b + =
Olimpiada națională de matematică, 2001

122. Să se determine sistemele ordonate (), , x y z de numere raționale pozitive pentru care
1 1 1 , , x y z
y z x + + + sunt numere întregi.
Olimpiada națională de matematică, 2001

123. Arătați că orice număr real x pentru care 0 1 x< < se scrie ca diferența a două
numere iraționale strict pozitive și mai mici stric t ca 1.
Olimpiada națională de matematică, 2002

124. Numerele reale a și b au proprietățile :
()
( )
()40 40 0 ;
1;
2
1. a b
b a
ai
ii
ii bi< <
− ≥
+ =
Arătați că în reprezentarea zecimală a lui ,b primele 12 cifre de după virgulă sunt egale
cu 9.
Olimpiada națională de matematică, 2003

125. Se consideră numerele naturale nenule (),m n astfel încât numerele
2
22
2m n
n m +
− și 2
22
2n m
m n +
−
să fie întregi.
()a Arătați că 2. m n − ≤
()b Găsiți toate perechile (),m n cu proprietatea din ipoteză.
Olimpiada națională de matematică, 2012

126. Numim specială o mulțime M de numere reale cu proprietățile :
()i pentru orice , , , x y M x y ∈ = / numerele x y + și xy sunt nenule, exact unul dintre
ele fiind rațional;
()ii pentru orice ,x M ∈ numărul 2x este irațional.

Numere raționale și iraționale

prof. Gheorghe ROTARIU [ 21 ] Aflați numărul maxim de elemente al unei mulțimi speciale .
Olimpiada națională de matematică, 2013

127. Fie ,x y ∈ℤ astfel încât 3 3yx
y x + ++ și 2 23 3yx
y x + ++ sunt numere întregi.
Arătați că 3 33 3yx
y x + ++ este număr întreg.

128. Fie ,a b ∈ℕ și p un număr prim, 3. p≥ Dacă a b
p+ și 2 2 a b
p+ sunt numere
întregi, arătați că 2 2
2a b
p+ este număr întreg.
Prelucrare, olimpiada Polonia, 2017

129. Determinați valorile naturale ale lui n astfel încât 2018
2017 n
n+ este număr natural.
Olimpiada CAMMAT, 2017

130. Determinați numerele naturale , , a b c astfel încât .b b a a
c c + =

131. Determinați n∈ℕ astfel încât 23 17 n n + + este număr rațional.

132. Fie x∈ℝ cu proprietatea că 3x x + și 5x x + sunt raționale. Arătați că .x∈ℚ

133. Fie mulțimile
exist ăastfel încât nA x n x n  +     = ∈ ∈ =     +     3 2
2 1 ℝ ℕ și
exist ă astfelîncât .mB y m y m  +     = ∈ ∈ =     +     3 1
3 1 ℝ ℕ
()a Să se arate că pentru orice , ;x A x ∈ ∉ ℚ
()b Să se determine .A B ∩

134. Fie a∗∈ℝ astfel încât 1a
a+ este număr rațional. Arătați că 1n
na
a+ este număr
rațional, oricare ar fi .n∈ℕ

135. Pe tablă sunt scrise inițial numerele 1 2 , 2 − și 1 2 . + La fiecare minut, sun t
șterse toate cele trei numere de pe tablă ,x y și z și înlocuite prin 2 2 , x xy y + +
2 2 , y yz z + + respectiv 2 2 . z zx x + + Este posibil ca, după o perioadă de timp, toat e
cele trei numere scrise pe tablă să fie raționale?
Olimpiadă Rusia, 2018

Numere raționale și iraționale

prof. Gheorghe ROTARIU [ 22 ]
INDICE DE AUTORI

Albu Mădălina: 132
Banu Florica: 69
Basarab Constantin: 33
Becheanu Mircea: 122
Blaga Alexandru: 110
Fianu Mircea: 56, 124
Ilie Romeo: 121
Ivășchescu Nicolae: 92
Mangra Cristian: 109
Petrescu Elefterie: 12
Popa Claudiu-Ștefan: 46
Popescu Dan: 102
Popovici Dorin: 113
Rotariu Gheorghe: 75
Sasu Aurel: 98, 108
Stoica Gheorghe: 8, 36
Voicu Ion: 35

Numere raționale și iraționale

prof. Gheorghe ROTARIU [ 23 ]
BIBLIOGRAFIE

1  D. Andrica, D. Isac, E. Jecan, G. Marchitan, D. Pop escu, Matematică, manual
pentru clasa a IX-a , Editura Gil, Zalău, 2001
2  L. Panaitopol, M. Bălună, B. Enescu, Matematică, manual pentru clasa a IX -a,
Editura Gil, Zalău, 2001
3  M. Perianu, F. Dumitrel, Matematică, clasa a IX -a, Grup Editorial Art, 2014
4  Savu I, S. Rădulescu, D. Ș. Marinescu, M. Prajea, C. Chit eș, L. Ioana, V. Paterău,
Probleme pregătitoare pentru olimpiadele școlare , Grup Editorial Art, 2006
5  D. Popescu, G. Oboroceanu, Exerciții și probleme de algebră, combinatorică și
teoria numerelor , Editura Didactică și Pedagogică, București, 1979
6  K.H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Aplications, seventh e dition, The
McGraw-Hill Companies, 2012
7  Preliminary Selection Contest -Hong Kong
8  Berkeley Math Circle – Monthly Contest
9  Gazeta matematică -ediție electronică
10   https://artofproblemsolving.com
11   http://www.mateforum.ro
12   http://web.math.sinica.edu.tw