Numere P Adice. Corpul Numerelor P Adice

CAPITOLUL 1

CONSTRUCȚIA NUMERELOR P_ADICE

ȘIRURI DE CONGRUENȚE

1.2. ÎNTREGI P_ADICI

1.3. DEZVOLTAREA HENSEL A ÎNTREGILOR P_ADICI

1.4. VALOAREA LUI

1.5 CORPUL AL NUMERELOR P-ADICĂ

1.6. SPAȚIUL METRIC

VALORILE ABSOLUTE ALE LUI Q

1.8. VALORILE ABSOLUTE ALE CORPURILOR DE NUMERE

CAPITOLUL 2

CORPURI VALUATE ULTRAMETRIC

2.1 VALUĂRI ȘI VALORI ABSOLUTE ULTRAMETRICE

2.2. PROPRIETĂȚI METRICE

CORPURI VALUATE ULTRAMETRIC COMPLETE

RĂDĂCINILE UNITĂȚII

2.5. POLINOAME IREDUCTIBILE

CAPITOLUL 3

APLICAȚII

47 pagini

=== Capitolul 1 ===

CAPITOLUL 1

CONSTRUCȚIA NUMERELOR P_ADICE

ȘIRURI DE CONGRUENȚE

Fie p un număr prim și a un număr întreg să căutăm rezultatul congruențelor , pentru n1.

Să studiem următorul exemplu în cazul particular și . Prima congruență și avem soluția x2 și .Este clar că mulțimea soluțiilor lui reprezintă reuniunea familiilor de clase de modul și de asemeni toate soluțiile lui este încă o soluție , pentru . Deci, în exemplul precedent constituie clasă de modul 52 conținute în reuniunea claselor 2 și -2 de modul 5.

Să căutăm, de exemplu, soluțiile din conținute în : se pune , devine sau .

Mai general, presupunem că am construit două șiruri de clase și astfel încât și sunt de clasă de modul a căror reuniune este ansamblu de soluții , pentru i=1,..,n , , și , pentru i=1,..,n-1.

Atunci soluțiile aparțin lui . Fie ( respectiv ).Toate soluțiile lui sunt de forma: ( respectiv ).Pentru ca, din exemplu, , să fie soluție din este necesar și suficient ca x să satisfacă relația .

Dar din ipoteză este soluție din , deci , . Congruența în X se scrie astfel : .

Știm că : x, deci 2xn4 mod.5 și congruența de mai sus are o soluție unică X.

Deci am arătat că există o clasă unică de modul care este conținută în și ale cărui elemente sunt soluții din .

Am arătat că există două șiruri și care au proprietățile următoare:

și sunt clase modulo 5;

și ;

este ansamblul de soluții ;

Pentru reprezentarea lui (respectiv ) printr-un număr mai mic pozitiv ( respectiv ) căruia îi aparține, se observă că mulțimea de numere întregi astfel obținute sunt de forma (respectiv .

Deci , unde și sunt întregi pozitivi strict mai mici decât 5.

Există deci două șiruri de numere astfel încât și reprezintă soluția congruenței în sensul că x este soluția lui și este unică dacă x aparține uneia dintre cele două clase de modul definite de și .

Putem conveni atunci reprezentarea celor două familii de soluții ale șirului de congruențe în două serii și .

Suma părților acestor serii este clasa de soluții .

Introducerea în numerele p_adice permite recunoașterea sistematică utilizând șiruri de clase îmbucate analogic cu de mai sus, modelul formal introdus pentru reprezentare, care este divergent în sens obișnuit, devine convergent și are pentru sumă un nou obiect, care este un număr 5_adic .

Acest număr este deci soluția ecuației , și nu un șir de congruențe.

1.2. ÎNTREGI P_ADICI

Fie un număr prim fixat. Pentru notăm și fie proiecția canonică a lui Z pe . Se spune că are structură naturală de inel pentru care e homomorfism de inele.

Vom nota homeomorfismul natural de la la , dacă considerăm elementele lui ca părți ale lui Z, este de asemeni definit și prin incluziune în sensul că este de clasă conținând .

Atunci diagrama de mai jos este comutativă și pentru , :

Fie acum A=, înzestrat cu structura sa de inel și fie proiecția canonică a lui A pe . Fiecare înzestrat cu topologia discretă este un inel topologic dens; se înzestrează A cu topologia produs, ceea ce formează un inel topologic compact.

Fie A definit prin ; evident i este un morfism de inele. Aceasta este o injecție deoarece pentru pentru . Deci imaginea este un subinel al lui A izomorf cu Z. În plus, pentru și . (1)

Propoziția 1.2.1. Ansamblul de elemente din ce satisface relația (1) pentru este un subinel topologic dens al lui A, conținând imaginea a lui Z.

Demonstrație.

Într-adevăr, pentru fiecare indice , ansamblul de elemente ale lui A, care satisfac relația (1) este un subinel compact din A deoarece aplicațiile , și sunt continue și sunt morfisme de inele. Intersecția dintre și este de asemeni un subinel compact al lui A. Se remarcă faptul că pentru , .

Definiția 1.2.2. Inelul topologic se numește inelul întregilor p_adici.

Identificăm în mod frecvent Z și imaginea sa în prin izomorfismul i.

Fie un punct din A. Se spune că K parcurge ansamblul de părți finite ale lui N, adică familia

parcurge o bază de vecinătăți a lui a în A.

Presupunem acum că și fie , atunci pentru

.

Deci

.

Se observă astfel că pentru , șirul

,

constituie o bază de vecinătăți a lui a în .

Propoziția 1.2.3. Z este dens în .

Demonstrați :

Într-adevăr, pentru un și un , există un întreg astfel încât . Pentru un astfel de b, de unde rezultă afirmația.

Exemplu. Reluăm exemplul studiat de la șirul de congruențe . Șirul claselor de soluții și definesc doi întregi p_adici.

Pentru .

Deci pentru , și .

Cum este separat rezultă că:

.

În plus, deoarece , a și b sunt două soluții în ale ecuației .

Analog se verifică și pentru șirul claselor de soluții ale congruenței

care definesc o soluție în a ecuației .

1.3. DEZVOLTAREA HENSEL A ÎNTREGILOR P_ADICI

Convenim reprezentarea elementelor prin întregi cuprinși între 0 și , atunci fiecare întreg p_adic poate fi reprezentat printr-un șir de întregi unde , (unde ). Cum , pentru . Există deci un șir de numere de modul p unde astfel încât :

.

Sau prin definiție , deci șirul converge spre x în . În alți termeni seria este convergentă în și are suma x.

Propoziția 1.3.1. Fie , există un șir unic , pentru care seria converge spre x .

Această serie se numește dezvoltarea HENSEL a lui x. Existența unei astfel de serii am arătat-o mai sus iar unicitatea se deduce din lema următoare:

Lema 1.3.2. Fie un șir de numere întregi p_adic iar seria converge în și fie x suma sa.. Presupunem în plus că , pentru și , atunci și pentru .

Demonstrație :

Fie deci și și este în .În plus, pentru , deci șirul converge către x. Dacă în plus , pentru , pentru și pentru toți k.

Dar este închisă, deci și pentru , .

În concluzie, pentru toți :

deoarece este închis. Dacă se ia încă o dată rezultă lema.

Presupunem acum că admite două descompuneri distincte

cu și .

Fie și fie . Din lemă avem: , dar, pe de altă parte , ceea ce este imposibil, de unde rezultă propoziția.

Remarcăm deci, că descompunerea Hensel generalizată pentru întregi p_adici se descompune în p baze de numerație de întregi pozitivi.

Mai concret, fie , reprezentarea sa în p baze de numerație. Presupunem că pentru și pentru . Atunci și condiția asigură că această serie este dezvoltarea Hensel a lui N în .

Trebuie remarcat că, în schimb, pentru întregi negativi vom considera pentru dezvoltarea Hensel a unei infinități de termeni nenuli, de exemplu:

Se vede că seria introdusă formal pentru a reprezenta șirurile de soluții ale șirului de congruențe studiat nu este alta decât descompunerea Hensel în a soluției ecuației .

1.4. VALOAREA LUI

Fie , și descompunerea Hensel a sa. Numerele nu sunt toate nule. Asociem numărului a întreg și pozitiv mulțimea definită prin

. (4)

Rezultă imediat definiția care este echivalentă cu

. (5)

Se consideră stabilit în plus că . Aceasta definește pe o funcție de valori .

Din definiție s-a convenit că pentru toți , avem: și , ceea ce face ca să devină un monoid total ordonat.

Definiția 1.4.1. Funcția v definită mai sus se numește valoare p_adică.

Se verifică faptul că restricția lui v la Z este de asemeni definită, pentru , prin , unde s-a convenit că , pentru .

Propoziția 1.4.2. Valoarea p_adică posedă următoarele proprietăți:

V1) pentru orice , ;

V2) pentru orice , ;

V3) pentru orice .

Proprietatea V1) este evidentă, în plus V2) si V3) sunt satisfăcute dacă x sau y este nul.

Presupunem deci că și . Remarcăm că

,

și că este un sub-grup ( și de asemeni un ideal ) al lui . Proprietatea V3) rezultă astfel: fie

,

atunci și , deci și .

Deci rezultă că și .

Pentru a demonstra V2) remarcăm în primul rând că

și .

Într-adevăr, sau este integru, deci și

care implică , adică .

Remarcăm pe de altă parte că dacă

și ,

atunci , și dacă se consideră , se consideră și .

Fie de asemeni și cu ,atunci cu .

Rămâne deci să arătăm că dacă și atunci .

Dar cu , și , deci .

COROLAR 1.4.3. Fie x și y din , dacă:

atunci .

Demonstrație :

Presupunem de exemplu că ; atunci și , deci

și

,

de unde .

COROLAR 1.4.4. Inelul este integru.

Demonstrație.

Într-adevăr, dacă x și y sunt nenule atunci

, deci .

Am remarcat deja că este un ideal, datorită relațiile de divizibilitate în și idealele lui .

Propoziția 1.4.5. Fie . Următoarele condiții sunt echivalente:

1. a este unitate în ;

2. (în );

3. .

Demonstrație.

Echivalența condițiilor 2 și 3 este deja demonstrată .

Presupunem a inversabil în ; atunci pentru orice n, este inversabil în , și, în particular, .

Reciproc, presupunând că :

,

atunci pentru orice n, este inversabil în . Se verifică ușor că un șir de elemente inversabile definește un întreg p-adică b astfel încât pentru orice n, deci .

COROLAR 1.4.6. Mulțimea M de elemente x din pentru care este un ideal maximal al lui , și de asemeni ansamblul de elemente neinversabile din , este unicul ideal maximal al lui , el este principal, generatorii săi sunt elemente pentru care .

Demonstrație :

Mai întâi M este, din definiția lui v, idealul . Echivalența proprietăților 1 și 2 din propoziția precedentă (1.4.5.) dovedește de asemeni că este și în mulțimea elementelor neinversabile din .

Fie N un ideal din A: N nu poate conține nici un element inversabil, deci ceea ce demonstrează că M este maximal, și este singurul ideal maximal.

Fie un , și fie , atunci , deci , sau ,de unde .M este deci principal, generatorii săi sunt elementele unde u este o unitate, deci de asemeni elemente de valuare .

COROLAR 1.4.7. Inelul este principal, idealele sale sunt puteri ale lui M. Deoarece x divide y în este necesar și suficient ca .

Demonstrație:

Demonstrăm mai întâi a doua aserțiune : dacă atunci .

Reciproc, dacă :

,

fie și , , dezvoltările Hensel ale lui x și y. Se consideră că este inversabil, fie z inversul său

și fie , se consideră

,

deci x divide y.

În particular x și y sunt asociate, adică formează același ideal, dacă și numai dacă .

Fie acum N un ideal propriu al lui :

.

Atunci și , fie astfel încât , și n sunt asociate, deci .

Dacă , , deci x divide și : astfel .

Reamintim de asemeni că :

.

Se observă că familia de ideale ale lui este de asemeni familia nucleelor de proiecții , sau o bază canonică de vecinătăți a lui 0 în .

Definiția 1.4.8. Se spune că un inel principal comutativ A este inel de valuare discretă dacă ansamblul elementelor neinversabile ale lui A formează idealul M. Se numește M ideal de valuare.

Demonstrație :

Este clar că dacă ansamblul elementelor neinversabile ale inelului A este idealul M, acesta este maximal și este unicul ideal maximal: orice ideal propriu N al lui A, deoarece nu conține nici un element inversabil ,este conținut în M.

Fie , x generator din I și m un generator din M. Pentru există astfel încât dacă , șirul de ideale este strict crescător, nu constant, ceea ce este imposibil, deoarece A este principal, deci și .

Deci dacă , , există.

Propoziția 1.4.9. Fie A un inel de valuare discretă, M idealul său de valuare și funcția v definită pe A prin dacă și . Atunci:

1. Funcția v este o valuare, adică satisface proprietățile V1, V2, V3 de la 1.4.2.;

Orice ideal propriu din A este de forma , .

Exemple:

1. Fie inelul seriilor formale, în nedeterminata x cu coeficienți în corpul K. Elementele neinversabile din A sunt seriile ai căror termeni constanți .Acești termeni constituie idealul .Inelul A este inelul de valuare discretă și valoarea unui element nenul este:

.

2. Fie a un punct din planul complex C și A și inelul de valuare discretă al funcțiilor definite în cel puțin un disc deschis central în a și olomorfe în acest disc. Elementele neinversabile din A sunt funcții nule în a. Aceste elemente formează un ideal provenit din , A este un inel de valuare discretă, valoarea unui element f din A este un ordin al lui a în calitate de zero al lui f.

3. Inelul noethérian A în care elementele neinversabile constituie un ideal principal este un inel de valuare discrete.

4. Fie p un număr prim, un subinel al lui Q din raționali p_întregi, adică numere raționale de forma unde . Elementele neinversabile ale lui sunt unde și : formează idealul . Orice număr din de scrie sub forma : unde atunci .

Izomorfismul canonic se prelungește în mod unic printr-un homomorfism de inele al lui în . Fie i această prelungire, cu atunci este inversabil în și este necesar ca .

Se observă că este tot izomorfism și că imaginea prin a valorii lui A nu este alta decât restricția a valorii p-adice pe .

5. Fie K un corp de numere algebrice, B inelul de întregi al lui B și un ideal prim al lui B. Se notează limita lui B cu , adică subinelul lui K constituit din elemente de forma unde și . Elementele neinversabile ale inelului sunt acele numere de forma astfel încât și .Ele formează un ideal, și anume idealul provenit din și A.

Deoarece B este noethérian, . De aici se deduce că și că A este inel de valori discrete.

1.5 CORPUL AL NUMERELOR P-ADICĂ

Să arătam că este un inel integru.

Definiția 1.5.1. Corpul de fracții al lui , notat , se numește corp de numere p-adică.

Proprietățile lui se deduc ușor din proprietățile lui , deja demonstrate.

Definiția 1.5.2. Orice admite o reprezentare unică, , unde și u este unitate în .

Demonstrație :

Într-adevăr, dacă unde , se consideră că : și unde și sunt unități în , deci .

Dacă unde și sunt unități în presupunem de exemplu că : , atunci este o unitate și , de unde ceea ce dovedește unicitatea.

Definiția 1.5.3. Funcția v definită pe prin , unde u unitate în , pentru și , este o valuare pe , adică o aplicație definită pe cu valori în .

Definiția 1.5.4. Injecția canonică definită pe Z cu valori în Z își prelungește forma în mod unic la un izomorfism din Q pe un subcorp al lui .

Definiția 1.5.5. Fie , astfel încât

.

Topologia pentru care este bază de vecinătăți, formează un corp topologic local compact.

Aplicația este un homomorfism al lui pe .

Definiția 1.5.6. Orice admite o dezvoltare Hensel unică : unde și . Dacă atunci . Această afirmație rezultă din Definiția 1.5.3. și proprietățile dezvoltării Hensel.

Definiția 1.5.7. Imaginea canonică a lui Q în este densă .

Demonstrație :

Fie într-adevăr dezvoltarea sa Hensel și fie . Vecinătățile ale lui a conțin imaginea raționalului .

Definiția 1.5.8. Fie x un număr rațional diferit de zero, este exponentul lui p în descompunerea lui x în factori primi : este valuarea imaginii lui x în .

1.6. SPAȚIUL METRIC

Reamintim că o valoare absolută pe un corp K este o aplicație care satisface următoarele proprietăți :

VA 1) ;

VA 2) ;

VA 3) ;

Unei valori absolute i se asociază distanța d definită prin , această distanță înzestrează pe K cu structură de corp topologic.

Propoziția 1.6.1. Funcția definită pe prin și , pentru este valoare absolută și satisface relația :

VA).

Topologia definită pe prin această valoare este aceeași definită în 1.5.5. Proprietățile VA1), VA2) și VA3) rezultă imediat din proprietățile V1), V2), V3).

Fie , familia de bile :

este bază de vecinătăți a lui a pentru topologia asociată valorilor absolute, și de asemeni pentru topologia definită mai sus.

Se consideră că o distanță d care satisface inegalitatea

este ultrametrică, inegalitatea se numește inegalitate ultrametrică .

O valoare absolută pe un corp K care satisface relația VA) este numită de asemeni și ultrametrică sau non_arhimediană.

Lema 1.6.2. Fie o valoare absolută non_arhimediană, atunci .

Demonstrați :

Remarcăm, mai întâi că pentru orice valoare absolută

deoarece și .

Fie x și y astfel încât, de exemplu, , atunci :

și

de unde rezultă

.

Lema 1.6.3. Orice bilă din spațiul metric este în același timp închisă și deschisă.

Demonstrație :

Notăm cu ( respectiv ) bila deschisă ( respectiv bila închisă ) de centru a și rază r.

Dacă atunci

,

și fie n și definite astfel

și ,

atunci :

și

de unde lema.

Remarcăm pe de altă parte că :

,pentru și .

Sau și complementarul său sunt închise în , ceea ce duce o altă demonstrație a lemei, ceea ce duce la rezultatul că două astfel de bile sunt homeomorfe.

COROLAR 1.6.4. Spațiul este total continuu.

Reamintim într-adevăr că un spațiu topologic separat este total discontinuu dacă orice punct are o bază de vecinătăți simultan închisă și deschisă.

Într-un astfel de spațiu componenta conexă într-un punct este redusă la acel punct, iar orice corp înzestrat cu o valoare absolută non_arhimediană are această proprietate.

Avem deja construit corpul înzestrat cu valoare absolută, complet în raport cu această valoare absolută și conține un subcorp dens izomorf cu Q. Se spune că corpul R de numere raționale are, de asemenea, aceleași proprietăți.

Fie K un corp de caracteristică 0 înzestrat că o valoare absolută: valoarea absolută din K induce pe subcorpul lui K, izomorf cu Q, o valoare absolută. Pentru descrierea corpurilor cu caracteristică 0 înzestrate cu valoare absolută, mergem mai întâi să descriem valorile absolute ale lui Q, după aceea extensiile algebrice ale lui Q.

VALORILE ABSOLUTE ALE LUI Q

Știm să definim trei feluri de valori absolute:

– Valoare absolută trivială: și pentru .

– Valoare absolut uzuală: , pe care o numim și valoare reală absolută și o notăm .

– Pentru fiecare număr prim p, valoarea absolută p_adică, notată , cu proprietățile următoare: și pentru , , unde este exponentul lui p în descompunerea lui x în factori primi.

Teorema Ostrowski, împreună cu propoziția 1.7.5. (care va urma ) demonstrează că aceste valori absolute sunt “ esențiale “ și singurele posibile, în sensul că topologiile definite pe Q, prin valori absolute sunt definite prin una din cele descrise.

Teorema 1.7.1. ( Ostrowski ) Fie o valoare absolută netrivială pe Q atunci :

– dacă există un număr întreg astfel încât , există un număr prim și un număr real a, , astfel încât pentru orice ,

– altfel există un număr real , astfel încât, pentru orice x : și .

Demonstrație :

Se remarcă mai întâi că o funcție definită pe N satisfăcând proprietățile VA1), VA2), VA3), se prelungește în mod unic la o valoare absolută din Q.

Considerăm deci restricția lui N la valoarea absolută studiată.

Pe de altă parte, pentru , inegalitatea triunghiului (VA3) arată că :

.

Presupunem mai întâi că există astfel încât există atunci un factor prim, p al lui n astfel încât .

Lema 1.7.2. Dacă există un număr prim p astfel încât , atunci , pentru orice .

Demonstrație :

Fie , reprezentarea sa numerică în baza p, unde .

Atunci :

unde .

Fie acum același indice al ultimei cifre nenule din reprezentarea lui în baza de numerație p, atunci :

.

Dar este definit astfel :

,

și vom nota și se ia deci , de unde rezultă :

și pentru orice .

Sau, pentru , tinde către 1, de unde rezultă lema.

Lema 1.7.3. Fie un număr prim p astfel încât , atunci pentru orice număr întreg q astfel încât , rezultă .

Demonstrație:

Într-adevăr pentru , și sunt prime între ele deci există două numere întregi și astfel încât

.

Dar după lema 1.7.2., și . Presupunem că și rezultă că pentru un n destul de mare are loc relația :

,

ceea ce este imposibil.

Presupunem deci că există astfel încât și fie p unicul număr prim astfel încât , fie , atunci orice întreg se scrie în mod unic astfel :

unde ,

și este necesar ca

,

ceea ce demonstrează prima aserțiune a teoremei.

Presupunem acum că pentru orice întreg , , : atunci există un întreg astfel încât , dacă nu valoarea absolută studiată va fi trivială.

Considerăm : , deoarece am remarcat că .

Fie și

, și ,

reprezentarea sa în baza de numerație a.

Notăm și ,

și se consideră ca mai sus

și

cu , pentru .

De unde se deduce că :

și pentru : .

Am arătat deja că dacă există a astfel încât , se ia pentru orice întreg c :

.

În consecință, la schimbarea rolului lui a și c, dacă , .

Sau dacă există astfel încât , din prima parte a demonstrației rezultă atunci că pentru orice a întreg, ceea ce încheie demonstrația .

Remarcăm că teorema Ostrowski ne indică condițiile necesare pentru ca să fie o valoare absolută.

Definiția 1.7.4. Două valori absolute și pe un corp K se numesc echivalente dacă ele definesc aceeași topologie.

Se numește spațiu corpul K al claselor echivalente de valori absolute, adică topologiile definite pe K prin valori absolute.

Propoziția 1.7.5. Valorile absolute și pe un corp K sunt echivalente dacă și numai dacă există o constantă pozitivă b, astfel încât pentru orice , .

Demonstrație :

Presupunem mai întâi că

, pentru ;

atunci familia de bile centrate în punctul a definite prin distanțe asociate coincid cu cele definite prin altă distanță: cele două topologii sunt identice.

Reciproc:

Presupunem că și sunt echivalente. Atunci mulțimea este mulțimea formată din toți astfel încât când , pentru topologia definită prin . Deci .

Fie .

Dacă , valorile absolute considerate sunt triviale deoarece, dacă vom avea și , de unde rezultă , iar pentru orice constantă obținem .

Fie , , și fie . Fie și un cuplu de întregi, atunci următoarele condiții sunt echivalente:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

De aici se deduce că:

,

sau .

COROLAR 1.7.6. Topologiile definite pe Q prin valori absolute ne triviale sunt :

– topologia reală, definită prin ;

– pentru orice număr prim p, topologia p_adică, definită prin , și indusă prin topologia canonică în .

Se observă deci că dacă K este un corp de caracteristică zero înzestrat cu o valoare absolută, ea induce pe subcorpul lui K izomorf cu Q topologiile descrise mai sus.

În particular :

COROLAR 1.7.7. Fie K un corp de caracteristică zero înzestrat cu o valoare absolută ultrametrică, atunci există un unic număr prim p astfel încât .

Fie : nu există un număr finit de numere prime p pentru care , fie P ansamblul de numere prime, în produsul , termenii sunt aproape oricare egal cu 1.

Fie descompunerea lui x în factori primi ( unde sunt aproape toți nuli ), atunci , de unde rezultă propoziția .

1.8. VALORILE ABSOLUTE ALE CORPURILOR DE NUMERE

Spunem că un corp de numere K este o extensie o extensie finită a lui Q. Există un polinom P unitar și ireductibil în astfel încât .Gradul unui astfel de polinom se numește gradul lui K și este de asemeni dimensiunea Q spațiului vectorial K.

Întregii lui K sunt elemente ce satisfac o ecuație de forma unde f este un polinom unitar cu coeficienți întregi. Ansamblul de întregi lui K este un subinel din K pe care îl notăm cu B de unde K este corp de fracții, B este un Z-modul liber de rang .

Inelul B este noetherian, idealele sale prime sunt maximale. O parte M a lui K este un ideal fracționar dacă este un B-modul și există un astfel încât .

În particular idealele lui B sunt ideale fracționare , numindu-se de asemeni și ideale întregi.

Dacă , este ideal fracționar , el este întreg dacă și numai dacă este întreg.

Fie M și ideale fracționare , se notează mulțimea elementelor unde și , iar este tot un ideal fracționar.

Inelul B este unitar în raport cu înmulțirea idealelor fracționare.

Mulțimea idealelor fracționare ne nule ale lui K formează grup în raport cu înmulțirea.

Teorema 1.8.1. Fie K un corp de numere, B inelul de întregi ai lui K, P(K) mulțimea idealelor prime ale lui B. Atunci orice ideal fracționar nenul M din K admite o descompunere unică de forma :

unde sunt întregi relativ aproape toți nuli.

Demonstrație :

Fie M un ideal întreg nenul al lui B, prin definiție norma este cardinalul N(M) al lui și se consideră .Putem considera atunci că , ceea ce permite prelungirea aplicației N printr-un homeomorfism al grupului de ideale fracționare nenule al lui K în .

Pe de altă parte, dacă , norma sa este, prin definiție, norma operatorului de înmulțire prin x în Q_spațiul vectorial K. Acest homeomorfism este definit pe cu valori în . Dacă , unde și pentru orice are loc relația : .

Revenim acum la valorile absolute și considerăm f un polinom unitar ireductibil din definit pe K și proiecția canonică a lui pe . Există o rădăcină a lui f în C căreia i se poate asocia un homeomorfism prin pentru și ; este un izomorfism definit pe K cu valori într-un subcorp al lui C.

Pentru se consideră :

unde reprezintă modulul unui număr complex z, și de asemeni este valoare absolută pe K a cărei urmă pe Q este .

Considerăm n rădăcini distincte ale lui f în C , cu pentru oricare ar fi și pentru , atunci .

Teorema 1.8.2. Cele valori absolute , , sunt două câte două ne echivalente. Orice valoare absolută din K care induce pe Q topologia reală este echivalentă cu una dintre ele.

Se numește spațiu infinit clasele de valori absolute induse de topologia reală pe Q.

Teorema de mai sus arată că cele valori absolute induse constituie un sistem de reprezentanți pentru spații infinite.

Demonstrație :

Presupunem că există astfel încât atunci se prelungește printr-un izomorfism de corpuri topologice de la spre . Corpurile și sunt subcorpuri complete ale lui C : deci ele sunt egale cu R sau C. Dacă unul dintre ele este R atunci nu există un izomorfism de corpuri topologice altul decât identitatea, deci ; și este conjugarea în C. Dar acest lucru fiind imposibil deoarece pentru indicii i și j considerați.

Considerăm acum definită pe K cu valori în Q care induce topologia reală, completatul lui K pentru . Corpul este o extensie finită a lui R, el este deci izomorf cu R sau C.

Fie un astfel de izomorfism și este o rădăcină a lui f în C.

Notăm cu , respectiv , spațiul topologic K înzestrat cu , respectiv K înzestrat cu , atunci este identitatea lui K, este un homeomorfism de la pe , deci .

Studiem acum spațiile finite ale lui K, adică acelea care induc pe Q o topologie p_adică.

Observații:

1. O funcție definită pe B și un y care satisface VA1,VA2,VA3 se prelungește în mod unic printr-o valoare absolută pe K.

2. Două valori absolute și pentru care

sunt echivalente. Se observă din demonstrația de la 1.7.5. , că dacă există un atunci pentru .

3. Dacă aparține unui spațiu finit atunci :

.

Într-adevăr, orice satisface o ecuație de forma

, ,

deci, pentru ,

; de unde rezultă că .

Sau dacă există b astfel încât , atunci există un k astfel încât .

4. Dacă aparține unui spațiu finit atunci :

este un ideal prim al lui B.

Într-adevăr , dacă și , și pentru .

Se observă că , deci ; dacă și atunci .

Dacă atunci și .

5. Fie un ideal prim al lui B. Se consideră, pentru , , unde definește o valuare pe K.

Se consideră că

definește o valuare absolută pe K, numită valuare absolută _adică, care induce pe Q topologia p_adică unde p este unicul număr prim astfel încât .

6. Pentru fiecare număr prim p, mulțimea astfel încât este finit , adică mulțimea pentru care .Se notează în locul lui . Dacă , este o putere a lui p, deoarece este un spațiu vectorial.

Teorema 1.8.3. Mulțimea valorilor absolute _adică, unde parcurge mulțimea de ideale prime ale lui B, este un sistem de reprezentanți ai spațiilor finite ale lui K.

Demonstrație :

Într-adevăr, dacă , valori absolute _adică și _adică nu sunt echivalente deoarece :

.

Pe de altă parte, dacă este o valoare absolută ce aparține unui spațiu finit, iar

este un ideal prim al lui B, și, după observația 2), este echivalent cu .

Teorema 1.8.4. (Formula produsului). Pentru orice , pentru aproape toți , și se consideră :

,

unde dacă și dacă .

Demonstrație:

Se observă mai întâi că

.

Pe de altă parte notăm cu P(Q) mulțimea numerelor prime, și se consideră :

.

Deci rezultă că :

și

.

Atunci :

.

Sau , pentru , , pentru care putem aplica formula produsului 1.7.8. , de unde rezultă teorema.

Observație : Valorile absolute și definite mai sus , și care formează un sistem de reprezentanți ai spațiilor netriviale din K, se numesc normale. Trebuie remarcat că, dacă induce pe Q valoarea absolută , în general nu induce valoarea absolută p_adică .

Mai precis ,fie gradul lui pe , , atunci, pentru , .

Se alege uneori, ca reprezentant al claselor , valoarea absolută care prelungește la K valoarea absolută p_adică a lui Q. Se obține astfel o altă expresie a formulei produsului unde este înlocuit prin .

=== Capitolul 2 ===

CAPITOLUL 2

CORPURI VALUATE ULTRAMETRIC

2.1 VALUĂRI ȘI VALORI ABSOLUTE ULTRAMETRICE

În acest capitol studiem valuările cu valoarea întreagă în care este înzestrat cu relația de ordine și adunarea naturală.

DEFINIȚIA 2.1.1. Fie K un corp, o aplicație este o valuare dacă satisface :

V1 : pentru orice , ;

V2 : pentru orice , ;

V3 : pentru orice , .

Fiind dat un corp K înzestrat cu o valuare , imaginea a grupului multiplicativ K este, din V2, un subgrup aditiv a lui R care se numește grup de valuare. Se consideră că un subgrup aditiv al lui R este sau discret sau dens în R.

Se consideră că o valuare v este densă sau discretă în funcție cum este discret sau dens.

PROPOZIȚIA 1.2.1. Fie v o valuare pe un corp K și a un număr real rele condiții : astfel încât , atunci funcția care îndeplinește următoarele condiții :

1. , pentru ;

2. , pentru ;

este o valoare absolută ultrametrică pe K.

Reciproc: dacă este o valoare ultametrică pe K și b un număr real astfel încât , funcția v definită prin și pentru este o valuare.

PROPOZIȚIA 2.1.3. Fie v o valuare pe un corp K , atunci :

mulțimea este un subinel unitar al lui K se numește inel de valuare v; pentru orice , sau sau , K este corpul de fracții al lui A;

mulțimea este unicul ideal maximal al lui A; el este format din elementele neinversabile ale lui A, si se numește ideal de valuare v.

Demonstrație :

Din V2 rezultă că , deci. Dacă , din V2, V3 rezultă că și , deci A este un subinel unitar al lui K.

Dacă , sau , și , sau , atunci :

,

și , deci .

De aici rezultă că K este corpul de fracții al lui A.

Analog, M este un subgrup aditiv, dacă și , atunci : deci M este ideal al lui A.

Dacă și rezultă că și , deci , de unde rezultă că idealul M , format din elementele neinversabile ale lui A, este unicul ideal maximal al lui A.

Se observă că dacă este o valoare absolută asociată cu valuarea v , A fiind mulțimea elementelor astfel încât se mai numește și bila unitate în K, iar mulțimea se numește bila unitate deschisă.

COROLAR 2.1.4.

(i) Valorile absolute din K asociate unei asemenea valuări v sunt echivalente, v definind o topologie pe K; două valuări se numesc echivalente dacă ele definesc aceeași topologie.

(ii) Două valuări sunt echivalente cu condiția necesară și suficientă ca ele să fie proporționale , coeficientul de proporționalitate fiind pozitiv.

(iii) Două valuări sunt echivalente cu condiția necesară și suficientă ca ele să definească același inel de valuare, sau același ideal de valuare.

DEFINIȚIA 2.1.5. Corpul cât se numește corp rezidual de valuare v.

EXEMPLE :

1. Pentru corpul :

, .

Corpul rezidual este deci imaginea :

,

corp cu p elemente.

2. Dacă K este un corp de numere înzestrat cu valuarea asociată cu un ideal prim, inelul de valuare A este limita a inelului B de întregi din K , adică subinelul lui K format din elemente de forma unde și .

Idealul de valuare M este idealul rezultat din în . Corpul rezidual este .

Considerăm acum ca fiind proiecția canonică a lui pe k și restricția sa la B, atunci imaginea lui este k. Sau, fie , atunci este inversabil în , fie atunci .

Deci pentru orice există astfel încât .

3. Pentru corpul de fracții al inelului A , studia în primul exemplu din 1.4. inelul de valuare este A, idealul de valuare este M, corpul rezidual este corpul de scalari K iar grupul de valuare este Z.

PROPOZIȚIA 2.1.6. Fie K un corp înzestrat cu o valuare discretă v, atunci inelul de valuare A este inel de valuare discretă.

Demonstrație :

Cu ajutorul propoziției 2.1.3. este suficient de arătat că A este inel principal.

Fie grupul de valuare și unicul număr pozitiv pentru care .

Fie I idealul propriu al lui A și , atunci . În plus, deoarece este discret, există astfel încât ; atunci . Dar dacă , atunci , deci : atunci și .În particular se observă că M este principal și că generatorii săi sunt elemente de forma m cu proprietatea că ; un astfel de generator al lui M se numește uniformizant. Un uniformizant este un element pentru care și .

2.2. PROPRIETĂȚI METRICE

Fie K un corp înzestrat cu valoare absolută ultrametrică și convenim asocierea acestei valori absolute cu valuarea .

Analog , dacă K este înzestrat cu o valuare v, îi asociem în general valoarea absolută .

Numim corp valuat sau corp valuat ultrametric un corp înzestrat cu o valoare absolută ultrametrică.

De exemplu este înzestrat cu sau dacă nu prin relația .

Un corp valuat este deci un spațiu metric, înzestrat cu o distanță ultrametrică.

PROPRIETĂȚI ale spațiului ultrametric :

1. Fie x, y, z astfel încât , atunci :

.

Orice punct al unei bile este centru.

Două bile sunt fie disjuncte, fie comparabile pentru incluziune.

PROPOZIȚIA 2.2.1. Într-un spațiu ultrametric, o bilă este simultan închisă și deschisă.

Demonstrație :

Fie

bila închisă de centru a și rază r. Dacă atunci :

deci bila este deschisă.

Analog dacă considerăm bila deschisă este o mulțime închisă, deoarece, dacă , bila deschisă nu se găsește în .

COROLAR 2.2.2. Un spațiu ultrametric este total discontinuu.

PROPOZIȚIA 2.2.3. Într-un spațiu ultrametric un șir este șir Cauchy cu condiția necesară și suficientă ca când .

Demonstrație :

Presupunem că , atunci pentru orice ,

pentru .

Pentru orice :

,

de unde, prin relația de recurență după k, rezultă că :

pentru ,

și șirul este șir Cauchy.

COROLAR 2.2.4. Fie K un corp valuat ultrametric complet ; pentru ca seria de termen general să fie convergentă, este necesar și suficient ca .

Acest corolar este o reformulare pentru caz particular a propoziției 2.2.3.

PROPOZIȚIA 2.2.5. Fie un șir Cauchy într-un spațiu ultrametric și b un punct astfel încât să nu tindă la 0, atunci șirul este constant.

Demonstrație :

Fie și un șir din cu , atunci

,

deci șirul este constant și pentru n destul de mare

.

Toate proprietățile enunțate în acest paragraf sunt specifice cazului ultrametric, de exemplu cazul spațiului metric R și subcorpul său dens Q.

CORPURI VALUATE ULTRAMETRIC COMPLETE

Printre corpurile valuate pe care le-am studiat corpul Q înzestrat cu valuarea p_adică nu este complet. De exemplu o dezvoltare Hensel nu este periodic convergentă spre un element din , care nu aparține lui Q.

În schimb este complet : dacă este un șir Cauchy în , există R astfel încât, pentru orice n, , atunci bila care este izomorfă cu este compactă. Atunci șirul are deci un punct de acumulare x în bila ; dar cum este un șir Cauchy, atunci x este limita lui . Se poate arăta că Q nu este complet astfel : într-adevăr, pe de o parte, , deoarece are puterea continuului, iar, pe de altă parte, Q nu este închis în deoarece el este dens, și că .

PROPOZIȚIA 2.3.1. Fie K un corp valuat ultrametric și v valuare pe K, atunci :

(i) Există un corp valuat complet , o valuare pe și i funcție injectivă izometric cu astfel încât să fie dens în .

(ii) Un astfel de corp , pentru care este unic până la un izomorfism izometric, se numește completatul lui K pentru valuarea v.

(iii) Grupul de valuare și corpul rezidual al lui sunt izomorfe cu grupul de valuare și corpul rezidual din K.

Indicăm mai întâi schema construirii unui corp valuat , cu satisface (i) :

mulțimea a șirurilor cu valori în are o structură naturală de inel;

mulțimea de șiruri Cauchy din este un subinel al lui ;

mulțimea de șiruri care tind spre 0 este un ideal maximal al lui ;

fie și i un homeomorfism , care pentru asociază clasa șirului constant , este injectiv;

pentru , se consideră unde , este valuare pe și, pentru , ;

este complet pentru valuarea și este dens în ;

Demonstrație :

Fie , și care satisfac punctul (i) , , și care de asemeni satisfac punctul (i). Atunci este un izomorfism izometric de la pe , deci admite o prelungire unică continuă cu și această prelungire este un izomorfism algebric utilizat la adunarea și înmulțirea într-un corp valuat.

Grupurile de valuare ale lui K și sunt izomorfe.

Fie A, M și k ( respectiv , și ) inelul de valuare, idealul de valuare și corpul rezidual al lui K, ( respectiv ). Se consideră , deci injecția sa canonică în , și această injecție este surjectivă deoarece orice clasă de modul în este deschisă ( este o bilă deschisă de rază 1 ), deci conține un element al lui A.

PROPOZIȚIA 2.3.2. Fie un corp valuat complet , următoarele condiții sunt echivalente :

(i) K este local compact;

(ii) grupul de valuare este discret și corpul rezidual este finit;

Demonstrație :

Se observă că mai întâi este necesar ca K să fie complet pentru ca să fie local compact, dar aceasta ne fiind o restricție.

Pe de altă parte, K este local compact dacă și numai dacă bilele sunt compacte. Pentru ca bilele să fie compacte, este necesar și suficient ca inelul de valuare A să fie compact, iar A este compact deoarece orice bilă închisă este homemorfă cu A.

Presupunem mai întâi că este discret și finit. Fie B o parte finită a lui A și q cardinalul lui k, și fie generatorul lui . Împărțirea lui A în q clase de modul M induce împărțirea lui B în q părți, dintre care cel puțin una este infinită, fie aceasta .

Fie , se consideră că . Presupunem că avem construit un șir de puncte distincte două câte două în B având următoarea proprietate

(P)

este finit și .

Împărțirea lui în q clase de modul induce împărțirea lui în q părți dintre care cel puțin una, fie , este infinită.

Atunci putem alege :

cu . Considerăm astfel un șir infinit de puncte distincte două câte două în B, satisfăcând proprietatea (P) pentru . Sau șirul este un șir Cauchy, deoarece , de unde rezultă că :

.

Limita b a șirului este un punct de acumulare al lui B în A, deci A este compact.

Presupunem acum k infinit: se poate găsi în A o familie B infinită de puncte de modul M distincte două câte două. Dacă există b, și atunci , deci se poate extrage din B un alt șir convergent, și A nu este compact.

Analog, dacă este dens, se poate extrage din un șir decrescător , astfel încât, de exemplu, . Pentru , alegem astfel încât . Deci, nu se poate extrage șir convergent și A nu este compact.

EXEMPLU : Pentru un corp de numere K înzestrat cu valuarea asociată cu un ideal prim , corpul rezidual este finit și grupul de valuare este Z. Deci completatul lui K pentru valuarea este local compact.

RĂDĂCINILE UNITĂȚII

O formă mai simplă a ecuației algebrice este aceea cu rădăcina de ordinul n a unității, .

Se știe că dacă : , atunci ecuația

are, în , rădăcini distincte.

În continuare vom studia pentru cazul general.

PROPOZIȚIA 2.4.1. Fie K corp complet valuat de caracteristică zero al cărui corp rezidual este finit. Fie q cardinalul lui k, atunci :

(i) pentru orice astfel încât , șirul converge către o rădăcină a ecuației , și ;

(ii) fie n un număr întreg , , ecuația are în K d rădăcini distincte două câte ne congruente modulo M, unde .

Vom nota cu p unicul număr prim pentru care . Atunci q este o putere a lui p deoarece imaginea lui p în k este nulă.

LEMA 2.4.2. Dacă , atunci .

Demonstrație :

Într-adevăr, orice element din k satisface ecuația , deci imaginea lui în k este nulă.

LEMA 2.4.3. Fie , atunci :

.

Demonstrație :

După formula binomului avem că :

.

Sau, , deci :

.

Pentru , .

De unde , din aplicarea iterată a inegalității ultrametrice V3; atunci:

.

Demonstrația 2.4.2. :

Fie deci , atunci , dar , deci .

Fie . Analog pentru , , considerăm , atunci și .

Din lema 2.4.3. rezultă

.

Deoarece , rezultă că , deci este un șir Cauchy, el are limita , care satisface ecuația . În plus, pentru orice n :

,

sau este închisă, deci cu limita .

În particular, , deci , de unde rezultă punctul (i).

Fie acum și x o rădăcină a ecuației :

,

atunci , deci .

Fie proiecția canonică a lui A pe k, atunci în k. Această ultimă ecuație are, în k, d rădăcini distincte .

Fie unica rădăcină a ecuației care aparține lui , atunci ( deoarece grupul rădăcinilor de ordinul (q-1) ale unității în K este izomorf cu :

),

deci . Am găsit deci d rădăcini ale ecuației , distincte două câte două de modul M. Fie x o rădăcină a ecuației , atunci este necesar ca x să aparțină clasei , fie de exemplu . Dacă , considerăm , atunci și . Sau y este soluția ecuației , cum el este nenul satisface

,

ceea ce este imposibil deoarece , și toți ceilalți termeni ai ecuației sunt în M .

COROLAR 2.4.4. Fie U grupul multiplicativ al elementelor inversabile din A atunci :

(i) mulțimea de elemente pentru care este subgrup deschis și închis al lui U;

(ii) mulțimea T a rădăcinilor de ordinul ale unității este un subgrup ciclic discret de ordinul ;

(iii) U este produs direct, .

Demonstrație :

Mulțimea este o bilă, deci este închisă și deschisă.

Fie , atunci :

.

Dacă și , , atunci :

este deci un subgrup al lui U.

Dacă :

,

deci a admite o reprezentare unică de forma :

unde și .

Această reprezentare este unică deoarece .

COROLAR 2.4.5. Dacă K este cu valuare discretă, grupul multiplicativ este produs direct , unde G este grupul generat de un uniformizant m :

.

Demonstrație :

Fie , atunci :

,

deci x admite reprezentarea , unde și . În plus, produsul este produs direct, deoarece .

2.5. POLINOAME IREDUCTIBILE

O clasă importantă de polinoame ireductibile este descrisă prin

Teorema 2.5.1. (CRITERIUL LUI EISENSTEIN) .Fie K un corp valuat , A inelul de valuare ,M idealul maximal al lui A și P un polinom unitar cu coeficienți în A :

P(X)=Xn+a1Xn-1+ … +an .

Dacă aiM ,pentru i=1,…,n și anM2 ,atunci polinomul P este ireductibil în K[X] .

Se numește polinom Eisenstein care satisface acest criteriu .

Lema 2.5.2. Fie B și C două polinoame unitare în K[X] astfel încât P=BCA[X] ,atunci B și C sunt în A[X] .

Demonstrație :

Dacă =este polinom ,vom nota :

w(B)=Inf v(bi) .

Se observă că dacă aK atunci :

w(B)=v(a)+w(b) .

Cum B și C sunt unitare ,atunci :

w(B)0 și w(C)0 ,

și considerăm b,cK astfel încât :

v(b)=-w(B) și v(c)=-w(C) ,

astfel de scalari existând deoarece w(B) este limita inferioară a unui număr de elemente v(K*) .

Fie B’=bB și C’=cC ,atunci :

w(B’)=w(C’)=0 ,

adică B’ și C’ sunt coeficienții în A ,dar coeficinții lor nefiind toți în M .

Dacă QA[X] ,vom nota cu imaginea sa în k[X] .

Atunci se consideră

P’=bcP=B’C’ ,deci = .

Sau și sunt nenuli și k[X] este integru ,deci este nenul .

Presupunem de exemplu că BA[X] ,atunci

w(B)<0 și bM ,

de unde rezultă că P’=bcP are coeficienții în M ,și =0 ,ceea ce este imposibil .

Demonstrația teoremei 2.5.1. :

Presupunem că P nu este ireductibil ,rezultă că există B și C neunitari , neconstanți ,cu coeficienții în A astfel încât P=BC .

Fie :

B(X) = b0 + b1X + … + bkXk

și

C(X) = c0 + c1X + … + chXh .

Considerăm b0c0=an .

Deci ,de exemplu ,c0M și b0M .

În plus an-1 =b0c1+b1c0 ,de unde rezultă că c1M .

Din aproape în aproape ,rezultă

ciM ,pentru ih-1 .

Atunci an-h–b0chM ,deci b0chM .

Dar b0M și C este unitar ,rezultă ch=1 și demonstrația se încheie .

Observație :

Deși acest lucru nu se prezintă explicit în ipoteză ,acest criteriu nu se poate aplica K un corp cu valuare discretă .

Într-adevăr existența polinomului Eisenstein presupune că MM2 ,această condiție fiind echivalentă cu faptul K să nu fie valuare discretă .

TEOREMA 2.5.3. (LEMA HENSEL) .Fie K corp complet valuat ,PA[X] un polinom nenul ,d=dgP .

Presupunem că există două polinoame unitare g,hA[X] astfel încât :

= ,

dgg+dgh d și (,) =1 .

Atunci există G și H în A[X] astfel încât :

= , =

dgG=dgg și

P=GH .

Unde este imaginea lui P în k[X] .

Lema 2.5.4. Funcția v definită pe K[X] prin v()=Inf v(ai) este o valuare pe K[X] .

Ea înzestrează pe K[X] cu o topologie pentru care subspațiul K[X]n al polinoamelor de grad mai mare sau egal cu n este complet .

Topologia indusă pe K[X] n este topologia convergenței simple a coeficienților .

Demonstrație :

Pentru a arăta că v este valuare , trebuie să arătăm că are loc relația :

v(PQ)=v(P)+v(Q) .

Se observă că dacă P0 ,atunci există un aK astfel încât : v(aP)=0 .

În plus ,pentru orice P și orice aK are loc relația :

v(P)=v(Q)=0

Ori v(P)=0 este echivalent cu

PA[X] și P0 .

Deci ,dacă v(P)=v(Q)=0 , P0 și Q0 , atunci :

0 și v(PQ)=0 .

Se observă de asemenea că relația V2 rezultă din lema 2.5.2.

Valuarea v se prelungește la corpul K[X] ,ceea ce-l face corp valuat și topologia indusă pe K[X] este topologia definită prin v .

Fie Pk un șir de polinoame ,de grad mai mare sau egal cu n care converg spre un polinom P ,ceea ce este echivalent cu :

v(Pk-P) + .

Dacă P= și Pk=ceea ce este echivalent cu v(aik-ai) +

Acest lucru arată că topologia indusă pe K[X]n este topologia convergenței simple a coeficienților , sau K[X] este complet pentru această topologie ,deoarece este izomorf cu Kn+1 ,ca spațiu vectorial topologic .

Fie g,h ce satisfac ipoteza teoremei ,în particular (,) =1 .

Atunci :

k[X]+k[X]=k[X] ,adică există ,k[X] astfel încât

dg<dg ,dg<dg

și

+=1(identitatea lui Bezout) .

Fie uși v în A[X] astfel încât dgu<dgg și dgv<dgh și vom considera :

=v(ug+vh-1) ;

atunci

>0 deoarece imaginea lui ug+vh-1 în k[X] este nulă .

LEMA 2.5.5. (Continuitatea diviziunii euclidiene)

Fie l un polinom unitar cu coeficienți în A și QK[X] . Unicul cuplu de polinoame care satisface relația :

Q=gl+r și dgr<dgl

satisface în plus

v(q)v(Q) și v(r)v(Q) .

Demonstrație :

Dacă Q=0 atunci q și r sunt egale cu 0 .

Dacă Q0 ,atunci există un bK astfel încât : v(bQ)=0 și este suficient să arătăm că :

v(q)0 și v(r)0 pentru v(Q)=0 .

Sau dacă v(Q)=0 ,QA[X] ,iar polinomul l fiind unitar ,rezultă prin aplicarea algoritmului de împărțire a lui Euclid ,pentru q și r ,coeficienții în A .

LEMA 2.5.6.Fie Q un polinom astfel încât :

dgQ<dgg+dgh .

Atunci există două polinoame U și V astfel încât :

v(Ug+Vh-Q)+v(Q) cu :

v(U)v(Q) ,v(V)v(Q) ,

dgU<dgh și dgV<dgg .

Demonstrație :

Fie R =ug+vh-1 , =v(R) și dgR< dgg+ dgh .

Fie uQ=uh+U și vQ=v’g+V polinoamele obținute în urma împărțirii euclidiene a lui uQ și vQ prin h și g ,atunci :

v(U) ,v(V) ,v(u’) ,v(v’) sunt minorate prin v(Q) .

Se consideră :

RQ=(u’+v’)gh+Ug+Vh-Q

Sau ,dg(Ug+Vh-Q)<dgg+dgh , deci Ug+Vh-Q reprezintă restul împărțirii euclidiene a lui RQ prin gh . El satisface deci relația :

v(Ug+Vh-Q)v(RQ)=v(R)+v(Q) .

=== Capitolul 3 ===

CAPITOLUL 3

APLICAȚII

1. Dacă este o valuare completă non-arhimediană pe k , atunci K=, unde este completatul lui K .

Demonstrație :

Fie , =0 , =0 .

Presupunem 0 .

Deoarece K este dens în atunci există în șir Cauchy {an}K astfel încât

lim an=

este non-arhimediană .

Deci an = +(an-) =max( ,an-)= pentru un n destul de mare , deoarece 0 și an- poate fi făcut mic .

Astfel an = pentru n suficient de mare .

2. Completatul corpului Q de numere raționale în raport cu valuarea p-adică p este numit corpul numerelor p-adice și îl notăm Qp .

Vom spune p este extensia lui p pe Q .

Fie Qp și 0 .

Știm că Qp p =Q p .

Q p ={p np n=0 ; 1 ; 2 ; …} .

Arătați că :

Deci p =p np (1)

De aici rezultă = este unitate ,ceea ce înseamnă că p =1 .

Demonstrație :

Fie V –inelul de valuare al p pe Q .

P –idealul maximal unic al lui V

-inelul de valuare al lui p pe Qp .

=

=lim ck ,unde ckQ -ckp <1 pentru kN și pentru k suficient de mare .

De aici :

cN p = +(cN-)p =max( p , cN-p ) = p .

Așadar cN p = p =1 ,unde cN Q și prin urmare cN V .

Dacă cN= bn avem deci că :

bN p =1 și -bn+p <1 de unde +=bn+ .

Fie bn=en/dn unde en și dnZ și unde en și dn sunt prime cu p ,deoarece bn p=1 .

Deci ()x,yZ astfel încât avem xdn+yp=1 sau xdn1(mod p) .

Atunci :

ceea ce înseamnă bn-enxP și deci

bn-enx.

Dacă luăm enx=an ,atunci anZ și +=bn+=an+.

Acum dacă an-p <1 și avem :

an pn -pn p < pnp (2)

sau = pn = an pn +(-an)pn = an pn +1 unde 1=(-an) pn și 1p <pnp din relația (2) .

Astfel : 1p =pmp ,unde m>n .

Pe 1 îl privim la fel ca pe din relația (1) și continuând procesul ,după k pași, obținem :

= an pn + an-1 pn-1 + … + an+k-1 pn+k-1+k ,

unde ai Z și ai p =1 sau ai=0 de unde kp pn+kp .

Deoarece pn+kp 0 am arătat că :

,,Orice număr p-adic poate fi scris sub forma =(3) , unde ajZ și n este astfel încât 0 aj p-1 și p =pnp ,atunci (3) se numește reprezentarea canonică a lui .

3. Să se determine reprezentarea canonică a lui în Q5 .

Soluție :

Deoarece 5 =55 =1 observăm că n=0 .

O soluție a lui 8X 1(mod 5) este x=2 .

Cum 23 1(mod 5) observăm că a0 =1 .

Acum 1 = (-1) = – și -=515 a10 și -(5)= – .

O soluție a lui 8X1(mod 5) este x=2 și 2(-1) 3(mod 5) a1=3

2 = (–3) = (-)5

2 5 =535 =, ceea ce identifică faptul că a2=0 dar a30 și deoarece a3=3 .

Continuând procesul ,obținem :

a4=a6= … =0

a5=a7= … =3 .

Reprezentarea canonică a lui în Q5 este următoarea :

=1,303030…(5)

sau mai putem scrie :

=1,…(5) ,,-“ o reprezentare periodică .

4. Reprezentarea lui Qp este :

=și este prescurtată astfel :

=a-a–1 … a0 ,a1a2…(p) (4) .

Dacă Qp are o reprezentare de forma (3) pentru care n0 ,ceea ce înseamnă că dacă = a0 ,a1a2…(p) atunci este numit întreg p-adic .

Acest lucru are loc dacă și numai dacă ,unde este inel de valuare a lui p pe Qp .

Demonstrație :

Fie un număr întreg p-adic arbitrar .

= .

Avem sn=

pn este idealul principal generat de pn în inelul V .

Atunci :

-sn=pn=pn ,unde =

deci =sn(modpn) (5)

n=1,2,…

unde sn+1=s(mod pn) ,snZ .

Orice număr p-adic satisface un sistem infinit de congruență ale formei (5) .

Din reprezentarea (3) pentru orice Qp se observă că unu nu poate fi definit inițial ca număr p-adic ca majoritatea seriilor formale ale formei ,unde ajZ și unde două din seriile , sunt considerate egale dacă există un întreg N ,astfel încât sj=tj + pj pentru toți jNj ,unde sj și tj sunt suma primilor j termeni ai lui ,și unde Q poate fi scris ca o fracție cu numitor prim cu p .

Utilizând notațiile introduse în (4) vom defini operațiile aritmetice în Qp .

Deoarece :

aipi+aI+1pI+1=(ai+p)pi+(ai+1-1)pi+1

avem :

a+ a-+1…a0,aiai+1…= a- a-+1…a0,…ai+pai+1-1…

În același mod :

a-…a0,…aiai+1…= a-…a0,…ai -pai+1+1… (4) .

Putem scrie :a- =a’-+ pt , 0 a’- p-1 .

Atunci :

a-p- + a-+1p-+1 = a’-+(t- a-+1) p-+1 .

În continuare ,notăm ca :

0=00…p(p-1)…(p-1),(p-1)(p-1)…

5. Adunarea

a) În Q7 adunăm următoarele :

452,137612

+ 37,5213151

111 11 1

413,0613302

b)În Q5 adunând cu .

În Q5 =1,303030…

=10,000000… +=11,303030…

6. Înmulțirea

a)În Q7 facem următoarea înmulțire

12,314 1,203

12,314

24628

369312

1

14,046455 1

b)În Q5 înmulțim cu .

10,000… 1,3030… =13,30303…

7. Scăderea

a)În Q7 :

56,3524

– 1,2403

55,1121

b)În Q5

054,444444…

221,43021

-134 ,231422

141,64123244…

141,10423244.

8. Împărțirea

În Q5 facem împărțirea la 32,13 a lui 43,12 .

43,12 32,13 = 2,

32 34

0 3444…

3234

11044…

10241

13244…

10241

323244…

3234

00344…

9.Un element Qp este rațional dacă și numai dacă repreyentarea lui canonică , 0 ajp ,unde n este astfel încât :

p =pnp este periodică .

Demonstrație :

,,”

Presupunem că reprezentarea canonică a lui este periodică .

Atunci îl putem scrie pe astfel :

=anpn + an+1pn+1 + … + an+kpn+k + b1pn+k+1 + … + bjpn+k+j + b1pn+k+j+1 + … + +bjpn+k+2j (1)

……..

= pn(an + an+1p+ … + an+kpk) +

+ pn+k+1 (b1+b2p + … + bjpj-1)+

+ pn+k+j+1 (b1+b2p + … + bjpj-1)+

………

=pnA + pn+k+1 B(1+pj+p2j+ …) (2)

unde A = an + an+1p+ … + an+kpk și B = b1+b2p + … + bjpj-1 .

Deoarece în Qp avem că :

1+pj+p2j+ …+p(t-1)j = atunci relația (2) poate fi scrisă astfel: pnA + pn+k+1B (3)

Relația (3) este un număr rațional .

,,”

Fie Q .

Dacă = (4)

unde A,BZ și 0 A pk+1 , 0 B pj , atunci rezultă că este reprezentare canonică periodică și de aceea putem scrie :

A =an + an+1p + … +an+kpk ,0 an p .

B =b1 +b2p + … + bjpj-1 , 0 bj< p

și

= pnA + pn+k+1B .

Deci poate fi scris sub forma (4) .

Fie p=pnp=.Deci = ,unde p =1 .

Așadar ,putem scrie :

=e/d , e,dZ și p nu divide d , p nu divide e .

Atunci , ()jZ pj 1(mod p) .

= și deoarece d (pj-1) avem

= pn =pn ,unde eZ .

Fie acum kZ astfel încât :

Deoarece (pk+1,pj-1)=1 putem rezolva congruența : pk+1B-e(mod pj–1) .

Fie B o soluție , unde luăm

Din pk+1B-e(mod pj–1) obținem

e=A(pj-1)-Bpk+1 , AZ (6) ,0 Apk+1 .

Înlocuind relația (6) în (5) obținem :

= unde 0 A pk+1 și 0 B pj .

10. Să se arate că ()x,y,zQ ,d(x,y) d(x,y) + d(y,z) .

Soluție :

Definim d :QxQR , d(x,y) =x-y p .

d(x,y)0 x=y (1)

d(x,y) =x-y p=-1px-y p =x-y p =d(x,y) d(y,x)=d(x,y) (2) .

d(x,z) = x-z p= (x-y)+(y-z) p max(x-y p , y-z p) = max(d(x,y) , d(y,z)). Deci rezultă că :

d(x,z) max(d(x,y) , d(y,z)) .

Deci :

d(x,y) d(x,y) + d(y,z) .

11. Arătați că dacă ordpx > ,atunci :

log E(x)=x

E(log(1+x)) =1+x .

Soluție :

Pentru x=0 ,avem logE(x)=x .

Pentru x0 ,avem :

ordp(E(x)-1)=ordpx>>0 .

Cât timp E’(x)=E(x) ,atunci :

(logE(x))’==1 .

Atunci E(x)=a+x ,unde a constantă în Qp și pentru x=0 ,vom considera

a=0 , deci logE(x)=x .

b)este evident ,pentru x=0

e(log(1+x)) este convergentă cât timp ordp(log(1+x)) =ordpx> .

Avem logE(log(1+x))=log(1+x) E(log(1+x))=1+x .

=== Rezumat ===

PREZENTAREA LUCRĂRII

În prezenta lucrare sunt prezentate ,într-o perspecivă mai largă , numerele p-adice care sunt foarte importante în dezvoltarea modernă a algebrei .

Numerele p-adice sunt importante în teoria codurilor și în rezolvarea ecuațiilor diofantice .

Primul capitol urmărește să fundamenteze modul de construcție a numerelor p-adice .

În această construcție se pleacă de la întregii p-adici și se construiește corpul numerelor p-adice și se finalizează cu valori absolute ale acestui corp de numere .

Capitolul 2 se ocupă de valuarea ultrametrică ,amintind proprietățile metrice și studiind polinoamele ireductibile cu câteva criterii foarte importante în acest sens .

Acest capitol este destinat construirii corpului Cp ,complectat de închiderea algebrică a lui Qp ,care în analiza p-adică joacă rolul pe care corpul C îl joacă în analiza clasică .

Capitolul 3 se ocupă cu aplicațiile practice în care intervin numerele p-adice ,arătând prin exemple cum se poate efectua adunarea ,scăderea ,înmulțirea și împărțirea în Qp ;de asemeni sunt rezolvate exerciții de reprezentare canonică ,care poate face o legătură cu dezvoltarea obișnuită .

Considerăm că partea teoretică ,finalizată cu aplicațiile practice ,prezintă câteva rezultate ale numerelor p-adice ,care sunt prezentate în contextul corpului Cp .

În primul capitol introducem inelul întregilor p-adici Zp .

Pentru fiecare xZp există un unic șir (bn) pentru n0 ,0b np ,pentru care seria converge spre x .Această serie se numește dezvoltarea Hensel a lui x .

În subcapitolul ,,Valuarea lui Zp” introducem funcția v astfel :

Fie , și descompunerea Hensel a sa. Numerele nu sunt toate nule. Asociem numărului a întreg și pozitiv mulțimea definită prin

.

Rezultă imediat definiția care este echivalentă cu

.

Se consideră stabilit în plus că . Aceasta definește pe o funcție de valori .

Din definiție s-a convenit că pentru toți , avem: și , ceea ce face ca să devină un monoid total ordonat.

Definiție. Funcția v definită mai sus se numește valoare p_adică.

Se verifică faptul că restricția lui v la Z este de asemeni definită, pentru , prin , unde s-a convenit că , pentru .

Valoarea p_adică posedă următoarele proprietăți:

V1) pentru orice , ;

V2) pentru orice , ;

V3) pentru orice .

Definiție. Se spune că un inel principal comutativ A este inel de valuare discretă dacă ansamblul elementelor neinversabile ale lui A formează idealul M. Se numește M ideal de valuare.

1. Fie inelul seriilor formale, în nedeterminata x cu coeficienți în corpul K. Elementele neinversabile din A sunt seriile ai căror termeni constanți .Acești termeni constituie idealul .Inelul A este inelul de valuare discretă și valoarea unui element nenul este:

.

Construcția corpului Qp al numerelor p-adice :

Definiție. Corpul de fracții al lui , notat , se numește corp de numere p-adică.

Definiție. Orice admite o reprezentare unică, , unde și u este unitate în .

Definiție. Funcția v definită pe prin , unde u unitate în , pentru și , este o valuare pe , adică o aplicație definită pe cu valori în .

Pentru definirea spațiului metric introducem aplicația :

care satisface următoarele proprietăți :

VA 1) ;

VA 2) ;

VA 3) ;

Unei valori absolute i se asociază distanța d definită prin , această distanță înzestrează pe K cu structură de corp topologic.

Funcția definită pe prin și , pentru este valoare absolută și satisface relația :

VA).

Pe Q știm să definim următoarele valori absolute :

– Valoare absolută trivială: și pentru .

– Valoare absolut uzuală: , pe care o numim și valoare reală absolută și o notăm .

– Pentru fiecare număr prim p, valoarea absolută p_adică, notată , cu proprietățile următoare: și pentru , , unde este exponentul lui p în descompunerea lui x în factori primi.

Topologiile definite pe Q prin valori absolute ne triviale sunt :

– topologia reală, definită prin ;

– pentru orice număr prim p, topologia p_adică, definită prin , și indusă prin topologia canonică în .

În capitolul 2 considerăm valuările cu valori în R {+} .

Definiție. Fie K un corp, o aplicație este o valuare dacă satisface

V1 : pentru orice , ;

V2 : pentru orice , ;

V3 : pentru orice , .

Fie v o valuare pe un corp K și a un număr real rele condiții : astfel încât , atunci funcția care îndeplinește următoarele condiții :

1. , pentru ;

2. , pentru ;

este o valoare absolută ultrametrică pe K.

Reciproc:

Dacă este o valoare ultametrică pe K și b un număr real astfel încât , funcția v definită prin și pentru este o valuare.

Fie v o valuare pe un corp K , atunci :

– mulțimea este un subinel unitar al lui K se numește inel de valuare v; pentru orice , sau sau , K este corpul de fracții al lui A;

– mulțimea este unicul ideal maximal al lui A; el este format din elementele neinversabile ale lui A, si se numește ideal de valuare v.

Se observă că dacă este o valoare absolută asociată cu valuarea v , A fiind mulțimea elementelor astfel încât se mai numește și bila unitate în K, iar mulțimea se numește bila unitate deschisă.

Cu ajutorul acestor definiții introducem corpul rezidual al valuării v : A/M ,care poate fi finit sau nu .

Exemplu :

Pentru corpul :

, .

Corpul rezidual este deci imaginea :

,

corp cu p elemente.

În particular se observă că M este principal și că generatorii săi sunt elemente de forma m cu proprietatea că ; un astfel de generator al lui M se numește uniformizant. Un uniformizant este un element pentru care și .

În cadrul polinoamelor ireductibile introducem rădăcinile unității .

Fie K corp complet valuat de caracteristică zero al cărui corp rezidual este finit. Fie q cardinalul lui k, atunci :

(i) pentru orice astfel încât , șirul converge către o rădăcină a ecuației , și ;

(ii) fie n un număr întreg , , ecuația are în K d rădăcini distincte două câte ne congruente modulo M, unde .

Vom nota cu p unicul număr prim pentru care . Atunci q este o putere a lui p deoarece imaginea lui p în k este nulă.

O clasă importantă de polinoame ireductibile este descrisă prin

(CRITERIUL LUI EISENSTEIN) .Fie K un corp valuat , A inelul de valuare ,M idealul maximal al lui A și P un polinom unitar cu coeficienți în A :

P(X)=Xn+a1Xn-1+ … +an .

Dacă aiM ,pentru i=1,…,n și anM2 ,atunci polinomul P este ireductibil în K[X].

Se numește polinom Eisenstein care satisface acest criteriu .

Un subcapitol important este cel al corpurilor valuate complet algebric închise .

Considerăm L completatul lui și pentru a arăta că L este algebric închis sau nu ,introducem lema lui Krasner :

,,Fie K corp valuat complet de caracteristică zero ,aK ,a=a1 ,a2 ,… an conjugarea lui a în K .Fie b astfel încât pentru i=1,…,n astfel încât să aibă loc inegalitatea :

v(b-a)>v(b-ai) și [K[b] : K] n . Atunci extensia lui K prin a și b coincide .

S-a văzut că completatul închiderii algebrice a unui corp valuat complet de caracteristică zero este algebric închis .

Observăm de asemeni că C este completatul închiderii algebrice a lui Q ,

pentru topologia reală .