Numere Naturale

Numere naturale. Operați cu numere naturale

Repere din istoria matematicii

Precizăm, încă de la început, că matematica este universală și atotprezentă. Cultura și matematica s-au dezvoltat împreună de-a lungul vremii.

Numerele sunt notate prin simboluri, dar culturi diferite ale omenirii au utilizat pentru ele simboluri diferite. Cuvântul calcul provine din cuvântul latin ,, calculus”- pietricică. Cuvântul număr este înrudit cu cuvântul latin ,,ciselare”- a cizela , a grava, având origine comună cu ,, a face crestături, a grava”.

Sistemul nostru actual este zecimal prin utilizarea cifrelor : , cu ajutorul cărora putem reprezenta numere oricât de mari.

În Antichitate, pentru evidența contabilă a numărului de animale sau a cantităților de grâu pe care le avea sau le datora o persoană, s-au utilizat de către funcționarii din Mesopotamia, mici crestături de răboj, mici zgârieturi, înregistrând numerele ca o succesiune de liniuțe :

Cea mai veche inscripționare, datând de acum de ani, este reprezentată de Osul Lebombo, un os de babuin pe care sunt de crestături. Osul a fost descoperit într-o peșteră din munții Lebombo, la granița dintre Africa de Sud și Swaziland. Apoi s-au descoperit, în Europa un os de lup vechi de de ani pe care sunt crestate de semne, în Zair, Osul Ishango cu o vechime de de ani ce conține semne ce reprezintă probabil semnificații ascunse ale unor numere.

Prin dezvoltarea agriculturii și astronomiei, babilonieinii, sumerienii și alte popoare arabe au transformat vechile simboluri în pictograme, imprimate în lut umed, cu ajutorul unui bețigaș uscat realizat din trestie. Cu de ani î.Hr., sumerienii elaborează o scriere ,, în formă de cuișoare”, numită scriere cuneiformă.

Babilonienii utilizau pentru comerț, contabilitate și astronomie un sistem numeric propriu cu baza , numit și sexagesimal. Ei reprezentau pe cu ajutorul unui semn vertical subțire , apoi prin repetarea acestuia reprezentau numerele , pentru utilizau un semn băț gros orizontal , apoi prin repetarea acestuia obțineau cifrele . Scriind alăturat bețe subțiri cât și bețe groase, babilonienii reprezentau cifrele cuprinse între și . Scrierea era pozițională și cifra zero era reprezentată printr-un spațiu gol. Să exemplificăm : reprezintă numărul în baza zece și reprezintă numărul în baza zece, în scriere modernă fiind ( virgula separă grupele de ordine diferită), sau reprezintă numărul în baza zece. Pentru numerele mici, în calculele astronomice, babilonienii foloseau virgula zecimală ca fiind notată (actual de către cercetători) prin ;

Astfel numărul : reprezintă în baza zece : . De la babilonieni provin împățirea orei în minute și a minutului în de secunde.

Egiptenii au dezvoltat o cultură deosebită timp de peste trei mii de ani, între î.Hr. și

î.Hr.

Herodot, părintele istoriei, afirma că ,,Egiptul este un dar al Nilului”. Țara fiind fertilă, grație Nilului și climei plăcute, fiind ușor de apărat datorită poziției geografice, a cunoscut o deosebită dezvoltare a societății. Vechii egipteni erau maeștri în astronomie și țineau evidența scurgerii timpului. Ei modifică calendarul lunar (în care durata unei luni reprezenta intervalul de timp scurs între aparițiile succesive a două luni pline), cu calendarul solar. Pentru nevoile practice de semănat, pentru recoltare, s-a impus calendarul solar. Săptămâna lor dura o decadă, adică zece zile, (sistemul de numerație fiind zecimal), o lună avea de zile, anul având luni. La sfârșitul anului adăugau încă zile. . Preluat de Grecia, apoi de Roma, prin adăugarea anilor bisecți, calendarul egiptean a devenit calendarul standard al lumii apusene.

Nămolul fertil adus de Nil, transforma anual delta acestuia în cel mai fertil teren agricol din lumea antică. Faraonii întocmeau supraveghetori care estimau pagubele și restabileau delimitările de teren ( dreptul la proprietate era respectat ). Măsurătorile se realizau cu ajutorul unor frânghii înnodate, motiv pentru care ei au fost numiți de greci și întinzătorii de sfori ( harpedonaptai). Această deprindere practică a fost preluată de greci și dezvoltată admirabil, devenind geometrie. Sistemul egiptean de numerație era zecimal. Cifrele lor erau reprezentate prin pictograme, astfel un semn vertical reprezenta o unitate, un călcâi era folosit pentru , un lanț ondulat ﻡ pentru , etc. De exmplu, un scrib egiptean pentru a reprezenta numărul ( o sută douăzeci și trei) desena un laț, două călcâie și trei linii verticale (ei scriau de la dreapta la stânga începând cu ordinele inferioare). Pentru calcule sistemul egiptean de notare era greoi. Egiptenii utilizau doar fracții de forma și fracția . Însemnările calculelor cu caracter economic se realizau de către scribi, iar nouă ne-au parvenit câteva papirusuri din acea perioadă ( 2000 î.Hr.-1700 î.Hr.). Casta scribilor era privilegiată. Iată ce povață îi dădea scribul Duau fiului său : ,,să-ți îdrepți inima către cărți” pentru a preveni necazurile ce te așteaptă în caz contrar. Cele mai cunoscute sunt : papirusul Rhind ce are 6 m lungime și m lățime, scris de scribul Ahmes pe la 1650 î.Hr., prin copierea unui text vechi de 200 ani și papirusul de la Moscova, scris în aceeași perioadă, 1850 î.Hr. Vechii egipteni efectuau operații aritmetice de adunare, scădere ( din numere mai mari se scad altele mai mici), înmulțire și împărțire. Adunarea și scăderea noi astăzi o efectuăm în același mod. Ei efectuau înmulțirea utilizând dublarea și adunarea, prin păstrarea unor deprinderi mai vechi, când exista un sistem binar de numerație.

Înmulțirea la egipteni

Să presupunem că înmulțm numerele : . Ei scriau următorul tabel :

Total . . .

Fiecare rând (linie) se obține din cel precedent prin dublare ( adunare cu el însuși). Ultimul număr din coloana stângă nu trebuie să depășească factorul . Apoi, în coloana stângă, ei notau printr-o trăsătură înclinată, numerele a căror sumă este egală cu ; ( ). După marcare, scribul aduna numerele din coloana dreaptă situate în dreptul numerelor marcate; ( ) și-l scria dedesupt.

Remarcă

Vechii egipteni descompuneau deînmulțitul într-o sumă de puteri ale lui , în cazul nostru , apoi aplicând proprietatea de distibutivitate a înmulțirii față de adunare, obțineau numerele care prin adunare formau produsul căutat; în cazul nostru : .

Ei nu demonstrau că oricare număr natural se scrie în mod unic ca o sumă de puteri diferite ale lui . Din multe exemple, intuiau această proprietate. Europenii au păstrat în manuale, dublarea și înjumătățirea până în secolul al XVIII-lea.

Împărțirea, vechii egipteni o efectuau analog. De exemplu, împărțim pe la . Numărul era dublat până când în coloana din dreapta numerele din rândurile marcate dădeau prin însumare . Suma numerelor marcate din coloana stângă, este câtul; în cazul nostru .

În cazul general, ei apelau la fracții.

Grecii au atribuit origini supraomenești marilor bărbați. Vechii greci considerau că pentru nevoile lumii, Cerul trimite din când în când câte un Mesager.

Primul matematician grec este considerat Thales din Milet ( 640 î.Hr.-546 î.Hr.). Format în Egipt și Mesopotamia, devine apoi profesor al lui Pitagora. Thales este unul dintre cei șapte înțelepți ai Greciei, fiind considerat ,,părintele științelor”. Considera că apa este principiul primordial al vieții.

Pitagora ( î.Hr.- î.Hr.) s-a născut pe insula Samos. Tatăl său, Mnesarchos, consultând oracolul, află de la Pythia că ,, că soția sa, Parthenis, va da naștere unui copil minunat prin frumusețea sa și înțelepciunea sa. El va acoperi de binefaceri neamul omenesc”. Mnesarchos, îi va da numele soției sale, Pythia, iar băiatului său, Pitagora, adică ,, cel vestit de Pythia”. Este considerat că Pitagora a primit un efluviu ceresc. Referitor la calitățile sale, iată ce afirma Thales despre discipolul său : ,, Nici facultățile mele intelectuale, nici știința mea, rod al studiilor îndelungate, nu egalează ceea ce pot observa în el…”

Primește o educație aleasă în marile centre culturale din vremea sa (Egipt, India, Persia, Creta, Palestina) , fiind atras de misterele antice, cultura științifică, admirabile liturgii, simbolismul manifestărilor religioase. Crează apoi la Crotona, în sudul Italiei ( colonie ce făcea parte din Grecia Magna, întemeiată de dorieni ), o școală ( Societate a învățaților sau ,,Hermiciclul”) având de discipoli. Pitagora fundamentează știința, religia, filosofia, considerând că la baza organizării umane este armonia. Erau admiși ca discipoli, persoane care dovedeau anumite aspecte psihologice ( inteligență, dezinteres material, modești, perseverenți, neintriganți, respectuoși, neexpansivi, etc). Filosofia sa exprimă că universul se întemeiază pe numere. Numărul unu (monada) este originea a tot ce există în univers. Numerele ( diadă) și (ternar) simbolizau principiile feminin și masculin(Numerele impare au fost date zeilor mari, iar numerele impare divinităților inferioare sau celor terestre). Numărul simboliza armonia și cele patru elemente: pământ, aer, foc, apă. Numărul ( decada) avea o semnificație mistică profundă. Din acest motiv pitagoreicii susțineau că : ,,Totul este număr”. În astronomie, Pitagora considera pământul sferic și centrul Universului. Pitagoreicii susțineau că au auzit muzica sferelor, sunete armonioase produse de mișcarea planetelor.

Cei trei mari matematicieni ai Greciei sunt considerați : Euclid (325 î.Hr.-265 î.Hr.), Arhimede (287 î.Hr.-212 î.Hr.), Apollonius din Perga (260 î.Hr.-190 î.Hr.).

Civilizația etruscă din peninsula Italică a copiat sistemul grecesc de numerație. Romanii vor prelua această civilizație. Romanii folosesc șapte simboluri pentru numărare : . Ca o curiozitate : simbolul pentru zece este format din doi de , adică . Simbolul pentru centă se reprezintă și prin ʗ și este alcătuit din doi , adică

Ei nu utilizau cifra zero.Cifra zero a fost descoperită de babilonieni, redescoperită și introdusă mai târziu de indieni, abia în anul d.Hr. Scrierea pozițională a numerelor a fost realizată de matematicienii indieni încă din sec.I d.Hr., dar se acceptă că utilizarea acesteia s-a realizat în India după anul 400 d.Hr. Arabii au preluat, dezvoltat și răspândit scrierea pozițională, cea mai importantă lucrare fiind a lui Al-Khawarizmi (Ketab fi Isti’mal al-Adad al-Hindi), scrisă în 830 d.Hr. Descoperirile matematicii arabe au intrat în Europa prin centrele economice importante din Italia : Veneția, Genova, Pisa. Prima lucrare este ,,Liber Abbaci” scrisă de matematicianul italian Leonardo di Pisa ( ,,Fibonacci”).

Noțiuni teoretice

reprezintă șirul numerelor naturale.

Adunarea este comutativă : oricare ar fi numerele naturale , avem

Adunarea este asociativă : oricare ar fi numerele naturale , avem .

(Într-o sumă finită de numere naturale, putem să schimbăm ordinea termenilor sau putem utiliza oricâte paranteze și rezultatul obținut este același.)

Numărul natural este element neutru pentru operația de adunare : , oricare număr natural.

Fiind date două numere naturale se definește dacă există număr natural nenul pentru care . Se citește mai mic strict decât . Putem scrie și citim mai mare strict decât .

Definim dacă sau .

Înmulțirea este comutativă : oricare ar fi numerele naturale , avem

Înmulțirea este asociativă : oricare ar fi numerele naturale , avem .

(Într-un produs finit de numere naturale, putem să schimbăm ordinea factorilor sau putem utiliza oricâte paranteze și rezultatul obținut este același.)

Numărul natural este element neutru pentru operația de înmulțire : , oricare număr natural.

Înmulțirea este distributivă față de adunare, , oricare numere naturale.

Dacă este natural și este număr natural nenul, atunci produsul se numește puterea a numărului natural . Baza puterii este iar exponentul puterii este .

Remarcă

Avantajul îl reprezintă condensarea și eleganța scrierii. Vă imaginați că de exemplu în produsul se efectuează produsul a de factori egali cu .

Pentru se definește . Nu se definește .

De reținut : dacă este natural și sunt numere naturale nenule, atunci ;

dacă este natural nenul și atunci

dacă este natural și sunt numere naturale nenule, atunci

dacă sunt numere naturale și este natural nenul ,atunci

Teorema împărțirii cu rest

Fiind date numerele naturale unde , există și sunt unice numerele naturale pentru care avem unde .

se numește deîmpărțit, se numește împărțitor, se numește cât, se numește rest.

Baza de numerație 2 ( binară)

Cifrele în baza de numerație sunt : . Oricare număr natural nenul se reprezintă în mod unic astfel : unde sunt sau .

Se notează : .

Vom prezenta tablele operațiilor de adunare și de înmulțire în baza .

Exerciții rezolvate

1. Ce număr natural era reprezentat de vechii egipteni cu ajutorul hieroglifelor prin expresia :

?

Soluție

Douăzeci și șase, deoarece zece este reprezentat cu ajutorul hieroglifei

2. Care este numărul reprezentat cu cifre romane astfel : ?

Soluție

.

3. a) Orice număr par, cu excepția lui , se poate diviza în două părți egale, precum și în două părți inegale, astfel încât în nicio astfel de diviziune, paritatea nu va fi amestecată cu imparitatea. Numărul nu poate fi divizat în două părți inegale.

b) Orice număr impar se poate descompune numai în două părți inegale dintre care unul este reprezentat printr-un număr par iar celălalt printr-un număr impar.

c) Scriind numerele naturale în ordine crescătoare, oricare dintre ele, cu excepția primului, este egal cu jumătate din suma dintre cel cel îl precede și cel care îl succede.

( Selecție din conceptele pitagoriciene despre numere)

Soluție

a) Fie numărul par considerat . Dacă considerăm , avem două situații : , de unde deducem , sau . Dacă și sunt de parități diferite, rezultă este impar, contradicție cu ipoteza. Deci și sunt de aceeași paritate. Pitagoreicii nu scriau , ci doar , deoarece ei nu inventaseră numărul zero (vidul).

b) Fie numărul impar . Dacă considerăm , nu putem avea , deoarece , deci vom obține . Dacă și au aceeași paritate obținem număr par, contradicție.

c) Considerăm trei numere naturale consecutive : . Atunci .

4. Să se calculeze rapid suma :

Soluție

Utilizăm proprietățile de comutativitate și asociativitate :

5. Fiind date patru numere naturale să se arate că :

Soluție

Utilizăm distributivitatea înmulțirii față de adunare :

6. Date numerele naturale pentru care și . Rezultă ?

Soluție

Există numere naturale nenule pentru care , de unde deducem , adică .

7. Să se calculeze sumele :

a)

b) , unde este un număr natural nenul.

Soluție

a) Suntem tentați să efectuăm adunările în ordinea în care apar termenii, utilizând asociativitatea: și remarcăm ,,lungimea” calculelor. Vom fi mai inventivi. Putem aduna, utilizând comutativitatea și asociativitatea adunării, astfel :

, adică primul cu ulimul, al doilea cu penultimul,…, apoi termenii de la mijloc, obsevând că sumele obținute sunt egale.

Remarcă

C.F.Gauss (1777-1855) elev fiind în clasa a treia, a primit de la învățătorul său, ca exercițiu în clasă, această sumă. Micuțul Gauss, a rezolvat problema într-un minut, uimindu-și învățătorul cât și colegii. El a folosit metoda expusă mai sus. Avea să devină la maturitate unul dintre cei mai mari matematicieni ai tuturor timpurilor.

b) Vom scrie termenii sumei descrescător : , apoi prin adunare vom obține : , de unde deducem că :

Remarcă

Vechii greci, efectuau calculele aritmetice cu ajutorul pietricelelor sau a scoicilor, prin dispunerea acestora în mod inventiv. Numim astăzi, aceste metode de calcul, aritmo-geometrice.

Numărul era numit ,,triunghiular” deoarece dispuneau scoicile pe nisip sub forma unui triunghi astfel : , apoi adăugau încă unul egal și obțineau : , care este un dreptunghi ce conține scoici. Deduceau că : .

8. Să se calculeze sumele :

a) , unde este număr natural nenul dat.

b) , unde este număr natural nenul dat.

c)

Soluție

a)

b)

c) Metoda 1

Metoda 2

9. Pitagoreicii, pentru a obține pătrate perfecte, utilizau metoda numită ,,stadion”. De exemplu, pentru a calcula , reprezentau numerele de la la și apoi de la la astfel :

.

Se intra pe stadion cu numărul , apoi la cotitură se află al cărui pătrat îl calculăm și se iese din stadion tot cu numărul .

10. Să se calculeze sumele : a) ; b)

Soluție

a) Metoda 1

Metoda 2

Remarcă

Se pot utiliza și alte forme generale în scrierea termenilor sumei date.

b)

11. Să se determine toate numerele naturale mai mici decât , care împărțite la , dau un rest de ori mai mic decât câtul.

Soluție

și . Rezultă , cu și .

rezultă că numerele sunt : .

12. Să se determine resturile posibile ale împărțirii unui pătrat perfect la numărul , respectiv la .

Soluție

Fie pătratul numărului natural .

Pentru . Dacă atunci sau ; dacă , atunci sau ; dacă , atunci sau . Resturi posibile sunt : sau .

Analog pentru împărțirea la se obțin resturile : sau .

Remarcă

Din demonstrația precedentă rezultă că numerele de forma : , respectiv de formele nu sunt pătrate perfecte.

13. a) Să se scrie numărul ca sumă de puteri diferite ale lui .

b) Să se transforme numărul natural din baza în baza .

Soluție

a) ; b) sau

Un alt mod de a obține transformarea este utilizarea împărțirilor succesive la :

Împărțim pe la și obținem câtul și restul .

Apoi, împărțim pe la și obținem câtul și restul . Apoi, împărțim pe la și obținem câtul și restul , apoi împărțim pe la și obținem câtul și restul . Citim resturile obținute de jos în sus : .

14. Să se transforme în baza următoarele numere scrise în baza :

Soluție

;

15. Cu ajutorul tablelor de adunare și înmulțire în baza , să se efectueze :

Exerciții propuse

1. Ce număr scris cu cifre romane este reprezentat prin : ?

2. Scrieți cu ajutorul cifrelor romane următoarele numere :

3. Un pătrat magic este un tablou format din același număr de linii și coloane în care suma numerelor situate pe fiecare linie, pe fiecare coloană și pe fiecare din cele două diagonale este aceeași. Cu ajutorul numerelor să se construiască un pătrat magic.

4. Fie numere naturale nenule și numere naturale.

a) Să se calculeze produsul

b) Câți termeni are produsul ?

5. Să se demonstreze că au loc următoarele proprietăți :

a) dacă sunt numere naturale, , atunci

b) dacă sunt numere naturale, și atunci și

c) dacă sunt numere naturale pentru care atunci .

d) dacă sunt numere naturale și atunci .

6. Scriem numerele naturale nenule de la până la inclusiv fără a le despărți. Câte caractere au fost utilizate ?

7. a) Să se calculeze prin mai multe metode, inclusiv cu ajutorul numerelor ,,triunghiulare”, următoarele sume :

b) Să se verifice că suma numerelor ,,triunghiulare” cu este un pătrat perfect.

c) Să se arate că suma dintre numerele ,,triunghiulare” cu , este un pătrat perfect.

8. Să se verifice că prin însumarea numerelor dispuse sub forma unui ,,stadion” :

se obține .

9. Să se verifice că numărul natural este pătrat perfect.

10. Să se calculeze următoarele sume :

a) ; b)

11. Să se stabilească care dintre egalitățile următoare reprezintă teorema împărțirii cu rest :

?

12. Să se complecteze următorul tabel, după modellul primei linii, în care unde sunt respectiv : deîmpărțitul, împărțitorul, câtul și restul din respectivele împărțiri :

13. Să se afle restul împărțirii numărului la .

14. Stabiliți dacă următoarele numere sunt pătrate perfecte :

15. Să se determine resturile posibile ale împărțirii unui pătrat perfect la numerele , respectiv .

16. Să se arate că numărul nu este pătrat perfect.

17. Se consideră numerele : , unde este număr natural. Să se arate că nu este pătrat perfect.

18. Să se arate că numărul nu este pătrat perfect.

19. Să se transforme din baza în baza următoarele numere : .

20. Să se efectueze operațiile în baza , apoi rezultatul să se transforme în baza . Să se verifice corectitudinea rezultatului prin operarea directă în baza :

a) ; b)

21. Utilizând internet-ul sau alte surse tipărite, vă invităm să realizați în portofoliul personal o prezentare a matematicienilor : Pitagora, Euclid, Teon.

Indicații și răspunsuri

1.

2.

3. Inițial înlocuim cifrele cu litere. Vom scrie :

și impunem condițiile : , deoarece . Se observă că nu convine. Pentru suma numerelor pe fiecare linie sau coloană sau diagonală ce conține pe este .

Vom obține :

Remarcă

Pătratele magice au fost utilizate încă din antichitate de către rabini în Cabala (Kabbalah). În plus față de greci, rabinii studiau numerele nu numai în scopuri practice, ci pentru a ajunge la viziuni mai profunde asupra naturii, existenței și doctrinii.

A.Dűrer, considerat cel mai mare artist german al Renașterii, a fost pictor, gravor, anatomist, filosof și atras de matematică. Cu cele peste 350 de gravuri în lemn și 100 de gravuri în cupru, a contribuit la dezvoltarea gravurii ca formă de artă de sine stătătoare. În anul 1514 realizează o gravură ( Melancolia) în care apare următorul pătrat magic: .

Suma numerelor situate pe aceeași linie, sau pe aceeași coloană, sau pe diagonale este . Mai mult, suma numerelor din cele patru colțuri este : . Numerele din mijloc situate pe ultima linie reprezintă , adică chiar anul realizării acestei gravuri.

6.

7.c)

8.

9. Metoda 1

Dispunând scoicile (sau pietricelele) pe nisip, sub forma unui pătrat, vechii greci deduceau că :

, de unde, prin însumare, obțineau identitatea: . ( Arhimede, sec.3 î.Hr.)

Particularizând se obține : .

Metoda 2

10. a)

b)

11. A treia egalitate deoarece restul trebuie să fie mai mic decât împărțitorul

13. deci restul împărțirii lui la este . Cum , rezultă .

14. Cum , rezultă că aceste numere nu sunt pătrate perfecte.

Remarcă

Matematicianul grec Teon din Smirna (sec.2. d.Hr.) a dat primele exemple de teoreme sub formă negativă, specifice teoriei numerelor, afirmând conținutul Ex. 14.

15. Resturile pătratice sunt date în următoarele tabele :

; ; ;

;

16. Numărul dat este de forma deci există posibilitatea de a fi pătrat perfect. Cum este și de forma , rezultă că nu este pătrat perfect.

17. .

18. Metoda 1

, de unde rezultă concluzia

Metoda 2

, deci nu este pătrat perfect.

19. ;

Sugestii bibliografice

Albu A., O istorie a matematicii, Antichitatea până în secolul VI , Editura Nomina, Pitești, 2009

Euclid, Elemente, Vol.II, ( Cărțile VII-IX de aritmetică și Cartea X a iraționalelor), traduse după textul grecesc restabilit de către J.L.Heiberg și adnotate de Victor Marian, Tipografia Curții Regale F. Göbl Fii s.a., București, 1940

Kolman E., Istoria matematicii în Antichitate, Ed. Științifică, București, 1963

Mallinger J., Pitagora și misterele Antichității, Ed.Hereald, București, 2013

Mihăileanu N., Istoria matematicii, Vol.1, Antichitatea, Evul Mediu, Renașterea și

secolul al 17-lea, Editura Enciclopedică Română, București, 1974

Seife Charles, Zero; Biografia unei idei periculoase, Ed. Humanitas, București, 2010

Stewart Ian, Îmblânzirea infinitului; Povestea matematicii, Ed.Humanitas, București, 2011

Ștefănescu M., 15 lecții de Istorie a Matematicii, Ed.Matrix Rom, București, 2008

Westcott W., Numerele și puterea lor ocultă, Ed. Herald, Bucureși, 2013

Site-uri consacrate istoriei matematicii :

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~ history/HistTopics/Egyptian_papyri.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~ history/HistTopics/Egyptian_papyri.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~ history/HistTopics/Arabic_numerals.html

Lecția 3

Divizibilitate. Elemente de aritmetică

Repere din istoria matematicii

Anaximandru (601 î.Hr-540 î.Hr) elev al lui Thales, considera că există o infinitate de lumi, create dintr-o substanță nedeterminată, infinită la rându-i. Platon ( 427 î.Hr.-349 î.Hr.) celebrul filosof grec, considera că studiul matematicii reprezintă un mijloc de a deveni virtuos : ,,Știința numărului scoate pe om la lumină, așa cum eroii au fost scoși din Hades (zeul infernului, a lumii subpământene) și aduși în lumea celestă, silind sufletul să se folosească de gândire pentru a ajunge la adevăr “. Theaetetus, un discipol al lui Platon se crede că a redactat cărțile X și XIII ale lui Euclid. Cucerind Egiptul, Alexandru cel Mare a fost impresionat de construcțiile sale. Întemeiază în 331 î.Hr. un oraș grecesc, Alexandria, care va străluci timp de șase secole, fiind centrul de matematică și științe al lumii. Ptolemeu I, ca elev al lui Aristotel, înființează o ,,universitate”, numită Museum, cu o bibliotecă cu peste 700.000 de manuscrise pe suluri de papirus. Împăratul Justinian închide școala de filosofie iar califul Omar I ordonă, în anul 641 d.Hr., incendierea acesteia. Prima catedră de matematică la Museum a fost ocupată de Euclid. Euclid (325 î.Hr.-265 î.Hr.) a scris cărți de optică, astronomie, muzică și matematică. Toate matematica grecească a fost prezentată în Elemente (Stihia) în cele 13 cărți (capitole) ale lui Euclid. O versiune a acesteia i-a aparținut lui Teon din Smirna ( 70 d.Hr-135 d.Hr.). Lucrarea lui Teon a fost tradusă în arabă în sec.IX d.Hr, apoi tradusă în latină în anul 1120. Această traducere a fost apoi utilizată în Europa Occidentală și a ajuns până la noi.

Noțiuni teoretice

Fiind date numerele întregi spunem că divide și notăm , dacă există numărul întreg pentru care .

În acest caz, se numește divizor al lui sau este multiplu lui .

Proprietăți ale relației de divizibilitate

a) , pentru oricare număr întreg ; b) dacă , atunci ; c) dacă , atunci

d) pentru oricare număr întreg ; d) , pentru oricare număr întreg ( reflexivitate)

e) dacă sunt numere întregi , și atunci ( sau )

f) dacă sunt numere întregi din și rezultă ( tranzitivitate )

g) dacă sunt numere întregi din și rezultă

În cazul spunem echivalent că , se citește : se divide cu . ( Relația este relația inversă a relației ).

Teorema împărțirii cu rest în mulțimea numerelor întregi

Pentru oricare cu există și sunt unice pentru care

este deîmpărțit, este împărțitor, este cât și este rest.

Remarcă

Pentru oricare cu , are loc echivalența : dacă și numai dacă

Un număr natural se numește prim dacă are ca divizori doar numerele și .

Un număr natural care nu este prim, se numește compus sau neprim.

Pentru orice număr natural , numerele și se numesc divizori improprii ai lui . Ceilalți divizori ai lui , dacă există, se numesc divizori improprii. Un număr compus are deci cel puțin un divizor propriu.

Exerciții rezolvate

1. Fie număr natural nenul. Dacă suma tuturor divizorilor lui cu excepția sa este ;

i) mai mică decât , atunci este ,, defectiv”

ii) mai mare decât , atunci este ,,excesiv”

iii) egală cu , atunci este ,,perfect”

Să se stabilească natura următoarelor numere în raport cu aceste definiții :

Soluție

este ,,defectiv”, deoarece ; este ,,excesiv”, deoarece ; este ,,perfect”, deoarece .

Remarcă

Primele numere naturale perfecte sunt : .

Remarcăm că nu există decât un număr perfect între și și anume ; numai unul între și , care este ; numai unul între și , care este ; iar între și numai unul și anume . Pitagoreici asociau virtuțile numerelor,,perfecte” iar răul adică cele ,,excesive” le asociau cu Briareus, gigantul cu o sută de mâini sau cele ,,defective” le asociau cu ciclopii, care nu aveau decât un ochi. Trăgeau cocluzia că numerele,,perfecte“ sunt , precum virtuțile puține la număr, spre deosebire de celelalte două clase (,,excesive” și ,,defective”) care sunt rele, vicioase și mai numeroase.

Ex. Pentru oricare număr natural , notăm ultima cifră a numărului triunghiular

. Să se determine suma : .

Soluție

Formăm primii termeni ai șirului care sunt : și deducem că se repetă din în de termeni, adică șirul este periodic de perioadă . Suma și grupăm termenii sumei câte . Obținem de paranteze egale cu și ultima paranteză egală cu , adică :

.

Exerciții propuse

1. Să se verifice egalitățile : a) ; b) ; c)

d) ; e)

( Numerele ,,perfecte” se scriu și ca sumă a unor numere naturale consecutive, a observat Pitagora).

2. a) Fie un număr natural nenul, atunci este ,,ușor defectiv”, adică își ratează perfecțiunea cu o unitate.( Pitagora).

b) Să se verifice egalitățile :

c) Dacă și este număr prim, să se arate că este prim și că numărul este un număr perfect. (Euclid)

Remarcă

Cu ajutorul calculatoarelor s-a descoperit că numărul este un număr perfect.

Iată un exemplu în care matematica servește probleme informaticii și cum aceasta uneori le rezolvă. Nu s-a demonstrat până în prezent inexistența numerelor ,,perfecte” impare. Matematica conține multe probleme deschise și sarcina generațiilor viitoare este de a încerca să le rezolve.

3. Să se descompună în factori primi numărul

Indicații și răspunsuri

2.a)

c) Dacă este compus atunci este compus, contradicțe. Notăm care este prim. Atunci suma divizorilor lui , ce sunt diferiți de acesta este egală cu :

3.

Remarcă

Numărul a fost ales de Platon pentru a reprezenta numărul cetățenilor din cetatea ideală imaginată de el. Numărul a fost ales pentru divizibilitatea lui , pentru faptul că este ca mărime mic, deci comunitatea umană din cetate putea fi ușor controlată.

Sugestii bibliografice

Albu A., O istorie a matematicii, Antichitatea până în secolul VI , Editura Nomina, Pitești, 2009

Euclid, Elemente, Vol.II, ( Cărțile VII-IX de aritmetică și Cartea X a iraționalelor), traduse după textul grecesc restabilit de către J.L.Heiberg și adnotate de Victor Marian, Tipografia Curții Regale F. Göbl Fii s.a., București, 1940

Kolman E., Istoria matematicii în Antichitate, Ed. Științifică, București, 1963

Mallinger J., Pitagora și misterele Antichității, Ed.Hereald, București, 2013

Mihăileanu N., Istoria matematicii, Vol.1, Antichitatea, Evul Mediu, Renașterea și

secolul al 17-lea, Editura Enciclopedică Română, București, 1974

Platon, Opere V, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1986

Seife Charles, Zero; Biografia unei idei periculoase, Ed. Humanitas, București, 2010

Stewart Ian, Îmblânzirea infinitului; Povestea matematicii, Ed.Humanitas, București, 2011

Ștefănescu M., 15 lecții de Istorie a Matematicii, Ed.Matrix Rom, București, 2008

Westcott W., Numerele și puterea lor ocultă, Ed. Herald, Bucureși, 2013

Site-uri consacrate istoriei matematicii :

http://www.thewalters.org/archimedes/palimpsest1.html