Numere irationale si metode de aproximare [607577]

Numere irationale si metode de aproximare
Problema:
Demonstrați că
34 nu este număr rațional.
Există a, b ∈Z astfel ca
3342ab=+ ?
b) Demonstrați că
23 a=+ nu este rațional. Aflați trei zecimale exacte ale numărului
a. De câte zecimale exacte pentru
2 si 3 este nevoie pentru acest lucru?
Solutie:
a) Presupunem ca
34 este numar rational.
Va rezulta ca
34a
b= , cu
** si , ( , ) 1 ( acest fapt nu restrange gen eralitatea) a Z b N a b  = .
Ridicand la cub egalitatea de mai sus rezulta
3
33
344aabb=  = .
Cum
( , ) 1ab= si
3
3 3 3
34 4 4 2aa b a ab=  =  
.
Rezulta ca
3 3 3 3( ) a.i. 2 (2 ) 4 8 4 / : 4a Z a a a b a b     =  =  =
3 3 32 2 2 ( ) a.i. 2a b b b b Z b b   =      =
.
Astfel, deoarece
2 si 2 ( , ) 2.a b a b

Dar
( , ) 1 1 2ab=
, contradictie.
Astfel presupunerea initiala este falsa.
In concluzie
34 nu este număr rational.

Presupunem ca
33( ) , a.i. 4 2a b Z a b  = + ,
( , ) 1ab= .
Ridican d la cub egalitatea anterioara se obtine:
3 3 3 3 3 3 3 3 3 34 2 3 2( 2) 4 2 3 2 4 4 2 6a b ab a b a b ab a b ab= + + +  = + +   = + +
.
Va rezulta ca
32 2 ( ) a.i. 2 .a a a Z a a       =

Relatia
3342ab=+ devine
334 2 2ab=+ .
Impartind ultima egalitate prin
32 obtinem
3 332 4 / () ab= + 
3 3 3 3 3 3 3 3 3 32 4 3 4( 4 ) 2 4 3 4 2 2 4 6a b a b a b a b a b a b a b      = + + +  = + +   = + +
.

Va rezulta ca si
2b
.
Astfel, deoarece
2 si 2 ( , ) 2.a b a b

Dar
( , ) 1 1 2ab=
, contradictie.
Astfel presupunerea initiala este falsa.
In concluzie
33( ) , a.i. 4 2a b Z a b  = + .

b) Presupunem ca
23 a=+ este numar rational. Va rezulta ca si
2a este rational.
Astfel
5 2 6 2 6 6 Q Q Q+      .
*2( ) , ,( , ) 1 a.i. 6 / ()cc d Z c dd   = =

2
2 2 2
26 6 2 2 ( ) a.i. 2cc d c c c Z c cd  =  =      =
.
Relatia
226cd= devine
2 2 2 2 24 6 / : 2 2 3 2 2c d c d d d=  =  
.
Astfel, deoarece
2 si d 2 ( , ) 2.c c d

Dar
( , ) 1 1 2cd=
, contradictie.
Astfel presupunerea initiala este falsa.
In concluzie
23 a=+ nu este numar rational.

Convergență și metode de aproximare
S2.9. a) Demonstrați că
34 nu este număr rațional.
Există a, b ∈Z astfel ca
3342ab=+ ?
b) Demonstrați că
23 a=+ nu este rațional. Aflați trei zecimale exacte ale numărului
a. De câte zecimale exacte pentru
2 si 3 este nevoie pentru acest lucru?
Solutie:
a) Presupunem ca
34 este numar rational.
Va rezulta ca
34a
b= , cu
** si , ( , ) 1 ( acest fapt nu restrange gen eralitatea) a Z b N a b  = .
Ridicand la cub egalitatea de mai sus rezulta
3
33
344aabb=  = .

Cum
( , ) 1ab= si
3
3 3 3
34 4 4 2aa b a ab=  =  
.
Rezulta ca
3 3 3 3( ) a.i. 2 (2 ) 4 8 4 / : 4a Z a a a b a b     =  =  =
3 3 32 2 2 ( ) a.i. 2a b b b b Z b b   =      =
.
Astfel, deoarece
2 si 2 ( , ) 2.a b a b

Dar
( , ) 1 1 2ab=
, contradictie.
Astfel presupunerea initiala este falsa.
In concluzie
34 nu este număr rational.

Presupunem ca
33( ) , a.i. 4 2a b Z a b  = + ,
( , ) 1ab= .
Ridicand la cub egalitatea anterioara se obtine:
3 3 3 3 3 3 3 3 3 34 2 3 2( 2) 4 2 3 2 4 4 2 6a b ab a b a b ab a b ab= + + +  = + +   = + +
.
Va rezulta ca
32 2 ( ) a.i. 2 .a a a Z a a       =

Relatia
3342ab=+ devine
334 2 2ab=+ .
Impartind ultima egalitate prin
32 obtinem
3 332 4 / () ab= + 
3 3 3 3 3 3 3 3 3 32 4 3 4( 4 ) 2 4 3 4 2 2 4 6a b a b a b a b a b a b a b      = + + +  = + +   = + +
.
Va rezulta ca si
2b
.
Astfel, deoarece
2 si 2 ( , ) 2.a b a b

Dar
( , ) 1 1 2ab=
, contradictie.
Astfel presupunerea initiala este falsa.
In concluzie
33( ) , a.i. 4 2a b Z a b  = + .

b) Presupunem ca
23 a=+ este numar rational. Va rezulta ca si
2a este rational.
Astfel
5 2 6 2 6 6 Q Q Q+      .
*2( ) , ,( , ) 1 a.i. 6 / ()cc d Z c dd   = =

2
2 2 2
26 6 2 2 ( ) a.i. 2cc d c c c Z c cd  =  =      =
.

Relatia
226cd= devine
2 2 2 2 24 6 / : 2 2 3 2 2c d c d d d=  =  
.
Astfel, deoarece
2 si d 2 ( , ) 2.c c d

Dar
( , ) 1 1 2cd=
, contradictie.
Astfel presupunerea initiala este falsa.
In concluzie
23 a=+ nu este numar rational.

Convergență și metode de aproximare
S2.9. a) Demonstrați că
34 nu este număr rațional.
Există a, b ∈Z astfel ca
3342ab=+ ?
b) Demonstrați că
23 a=+ nu este rațional. Aflați trei zecimale exacte ale numărului
a. De câte zecimale exacte pentru
2 si 3 este nevoie pentru acest lucru?
Solutie:
a) Presupunem ca
34 este numar rational.
Va rezulta ca
34a
b= , cu
** si , ( , ) 1 ( acest fapt nu restrange gen eralitatea) a Z b N a b  = .
Ridicand la cub egalitatea de mai sus rezulta
3
33
344aabb=  = .
Cum
( , ) 1ab= si
3
3 3 3
34 4 4 2aa b a ab=  =  
.
Rezulta ca
3 3 3 3( ) a.i. 2 (2 ) 4 8 4 / : 4a Z a a a b a b     =  =  =
3 3 32 2 2 ( ) a.i. 2a b b b b Z b b   =      =
.
Astfel, deoarece
2 si 2 ( , ) 2.a b a b

Dar
( , ) 1 1 2ab=
, contradictie.
Astfel presupunerea initiala este falsa.
In concluzie
34 nu este număr rational.

Presu punem ca
33( ) , a.i. 4 2a b Z a b  = + ,
( , ) 1ab= .
Ridicand la cub egalitatea anterioara se obtine:
3 3 3 3 3 3 3 3 3 34 2 3 2( 2) 4 2 3 2 4 4 2 6a b ab a b a b ab a b ab= + + +  = + +   = + +
.

Va rezulta ca
32 2 ( ) a.i. 2 .a a a Z a a       =

Relatia
3342ab=+ devine
334 2 2ab=+ .
Impartind ultima egalitate prin
32 obtinem
3 332 4 / () ab= + 
3 3 3 3 3 3 3 3 3 32 4 3 4( 4 ) 2 4 3 4 2 2 4 6a b a b a b a b a b a b a b      = + + +  = + +   = + +
.
Va rezulta ca si
2b
.
Astfel, deoarece
2 si 2 ( , ) 2.a b a b

Dar
( , ) 1 1 2ab=
, contradictie.
Astfel presupunerea initiala este falsa.
In concluzie
33( ) , a.i. 4 2a b Z a b  = + .

b) Presupunem ca
23 a=+ este numar rational. Va rezulta ca si
2a este rational.
Astfel
5 2 6 2 6 6 Q Q Q+      .
*2( ) , ,( , ) 1 a.i. 6 / ()cc d Z c dd   = =

2
2 2 2
26 6 2 2 ( ) a.i. 2cc d c c c Z c cd  =  =      =
.
Relatia
226cd= devine
2 2 2 2 24 6 / : 2 2 3 2 2c d c d d d=  =  
.
Astfel, deoarece
2 si d 2 ( , ) 2.c c d

Dar
( , ) 1 1 2cd=
, contradictie.
Astfel presupunerea initiala este falsa.
In concluzie
23 a=+ nu este numar rational.

2 1, 41421356….. si 3 1,732050……==

A patra zecimala a lui
2 este 2, in timp ce a patra zecimala a lui
3 este 0.
A patra zecimala a sumei
23+ poate fi 2 sau 3.
A treia zecimala a sumei
23+ va fi 4+2=6.
A doua zecimala pentru
23+ va fi 1+3=4.

Prima zecimala va fi 1, deoarece 4+7=11..
In concluzie a=3,146…., fiind necesare cate 4 zecimale exacte pentru
2 si
3 .