NOȚIUNEA DE FUNCȚIE: DEFINIȚII, EXEMPLE ȘI [604002]

CAPITOLUL I
NOȚIUNEA DE FUNCȚIE: DEFINIȚII, EXEMPLE ȘI
PROPRIETĂȚI DE BAZĂ

1.1 Definiții, exemple

Într-o expunere făcută de L.Euler în anul 1749 se menționează de mai multe ori
noțiunea de funcție ca fiind o mărime variabilă ce depinde de o altă mărim e
variabilă . Pentru unele scopuri, o astfel de definiție este suficientă. Însă în dezvoltarea
ulterioară a matematicii s -a impus necesitatea de a se da noțiunii de funcție un conținut
mai general și mai abstract. Nu dependența variabilelor ( prin care de o bicei se înțeleg
numere care pot fi comparate în ceea ce privește mărimea) este esențială în conținutul
noțiunii de funcție, ci corespondența prin care anumitor obiecte li se asociază alte
obiecte. În felul acesta, noțiunea de funcție se fundamentează pe n oțiuni ale teoriei
mulțimilor. O bară metalică prin încălzire își modifică dimensiunile, de exemplu o bară
de cupru de lungime 200 cm la 00 C, va avea la la o temperatură de to C lungimea de l=
200(l 0 +0,000016 *t). Această formulă pune în corespondență f iecărei temperaturi t0 C
cuprinsă între 00 C și 1000 C o anumită lungime l cuprinsă între 200 cm și 200,32 cm. În
mod analog fiecărei cantități dintr -o anumită marfă îi corespunde o anumită sumă de
bani, prețul de vânzare.
În felul acesta, pot fi puse în corespondență nu numai mulțimi de numere ci și
mulțimi generale astfel încât elementelor a
 A le corespund elemente b
 B. Astfel
corespondența este determinată de o relație între elemente din mulțimea A și
elemente din mulțimea B.
Pentru a descrie o funcție trebuie stabilite domeniul de definiție, domeniul
valorilor și corespondența dintre acestea.

1.1.1 Compunerea funcțiilor

Graful. O funcție poate fi reprezentată grafic printr -un graf în care domeniul d e
definiție și domeniul valorilor sunt reprezentate prin desene iar corespondența se indică
prin săgeți.

2

Tabloul de valori. În loc de graf se poate folosi pentru reprezentarea unei
funcții un tabel de valori, pe rândul de sus se trec elementele dome niului de definiție iar
pe rândul de jos se trec elementele domeniului valorilor.
Domeniul
de
definiție 1 2 3 4 5 6 7
Domeniul
valorilor

Exprimarea prin text. Există situații în care domeniul de definiție și
domeniul de valori nu pot fi r eprezentate printr -un graf sau printr -o tabelă de valori. În
acest sens un exemplu funcția lui L. Euler ce asociază oricărui număr rațional valoarea
1, iar oricărui număr irațional valoarea 0. Sau utilizând simboluri matematice:
f(x)=


QRx0Qx1
Diagrama. O funcție mai poate fi reprezentată printr -o diagramă
considerându -se axa orizontală ca domeniu de definiție, axa verticală – domeniul
valorilor, iar punctele de pe curba ca definind corespondența. Curba sau punctele
rezultante trebuie să fie însă astfel încât fiecărui punct al axei orizontale să -i corespundă
cel mult un punct al curbei. Din acest motiv nu orice curbă reprezentată într -un sistem
ortogonal de axe poate fi privită ca reprezentarea grafică a unei funcții.

3

Diagramele cu săgeț i. Este una din modalitățile frecvent utilizate pentru
înțelegerea conceptului de corespondență ce reprezintă funcție. Domeniul de definiție,
respectiv codomeniul funcției sunt reprezentate grafic prin figuri geometrice cum ar fi
cerc, pătrat, dreptunghi, oval, curbe închise etc , elementele mulțimilor fiind precizate în
interiorul acestora, iar legea de corespondență este dată prin săgeți.

Sau

Noțiunea de formulă. Cea mai frecventă formă de reprezentare a unei funcții în
matematică este pr intr-o formulă. În acest caz elementele domeniului de definiție și a
domeniului de valori nu pot fi decât numere sau „obiecte matematice” pentru care s -au
introdus reguli de calcul. De exemplu y = x + 2 sau y = sin x . a

b

c 1

2

3 f
A B
1 *
2 *
3 * * a
* b
* c f

4 Forma explicită. Forma y = F(x) a une i egalități funcționale, în care F(x) este o
expresie oarecare ce depinde doar de variabila x, se numește formă explicită.
Forma implicită. Spre deosebire de forma explicită în forma implicită
variabilele nu sunt izolate. Când o egalitate funcțională se dă sub forma implicită atunci
o variabilă se consideră dependentă iar cealaltă independentă. Este de remarcat faptul că
nu întotdeauna o exprimare implicită poate fi adusă la forma explicită . De exemplu
ecuația cercului cu centrul în origine și rază 2 data de F(x,y): x2 +y2 = 4. Exprimarea lui
y în funcție de x ar fi următoarea:
2×16 y . Ar fi însă o greșeală să se considere
ca această exprimare reprezentarea unei funcții, deoarece nu este univocă.
Relații de recurență(funcțională).
1. Este cazul particular al șirurilor de numere reale în care un termen se
exprimă în funcție de unul sau mai mulți termeni din șir în ipoteza că se cunosc unul sau
mai mulți termeni ai șirului. Relațiile de recurență se pot împărți în trei categorii:
a. relații de recurență liniare de ordinul I. Relația
 n 1n a a
pentru α=1 și β=r fixat număr real atunci șirul definit prin relația de
recurență devine
ra an 1n n ≥1 ; a 1=a fixat, l -am numit
progresie aritmetică cu primul termen a și rație r.
b. relații de recurență liniare de ordinul II. Relația
n 1n 2n a a a  
cu n ≥0. Dacă a 0= a 1=1 și α=β=1 se obține șirul: 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13,… numit șirul lui Fibonacci.
2. Relații de recurență de tipul implicit:
)y(f)x(f)yx(f  sau
)y(f)x(f)xy(f

Corespondențe de tip funcție ce sunt obținute pe cale experimentală , prin
studierea unui fenomen: electrocardiograma, cursul de schimb valutar, etc.
În concluzie există două moduri de definire a funcțiilor sintetic – când
corespondența poate fi precizată element cu element și analitic – când
corespondența este precizată prin enunțul unei formule sau proprietăți comune .
În cele ce urmează voi sintetiza câteva rezultate teoretice ce sunt utile în
formarea conceptului de funcție b azându -mă pe elemente de teoria mulțimilor.
Noțiuni generale despre mulțimi, operații cu mulțimi
Noțiunea de mulțime este adoptată în sensul comun al termenului; termeni
sinonimi fiind: colecție, grupare de obiecte. O mulțime este descrisă fie prin indicarea
sau enumerarea obiectelor sale fie printr -o proprietate comună a acestora. Mulțimile

5 B A
A B
A
B se notează în general cu litere mari: A, B, …, N, …R,…X, Z , etc. Un obiect generic al
mulțimii îl vom numi în mod uzual element al mulțimii. Elementele unei mulți mi sunt
notate în general prin litere mici: a, b, c,…….x, y, z, etc. sau alte simboluri cărora li s -a
acordat un sens sau semnificație. De exemplu: 0, 1, 2, …9 –cifre.
Dacă o mulțime este descrisă prin enumerarea elementelor sale atunci ea se
notează cu literă mare urmată de enumerarea elementelor sale între acolade, astfel
A = { x, y, z }
Dacă o mulțime este descrisă printr -o proprietate comună a elementelor sale
atunci ea se notează cu literă mare urmată de enunțul proprietății comune, astfel
B = { x │ x are proprietatea P }
Simbolul „
 ” desemnează relația de apartenență a unui element la o mulțime.
Elementul x
 A dacă și numai dacă x este un element al mulțimii A. Relația duală
este „
 ” și enunțul z
 B semnifică faptul că elementul z nu aparține mulțimii B.
Definiție: Mulțimea fără nici un element o vom numi mulțimea vidă și o vom nota cu
simbolul Ø.
Definiție: Despre două mulțimi A, B spunem că coincid sau sunt egale dacă orice
element al mulțimii A aparține mulțimii B și reciproc. Altfel spus mulțimile A, B
sunt constituite exact din aceleași elemente.
Notație: A = B

BxAx  și
AxBx 
Definiție: Despre mulțimea A spunem că este parte sau submulțime a mulțimii B
dacă orice element din A se găsește în B.

Notație: A
B

BxAx 
Observație: Devine evident faptul că r elația A = B
 A
B și B
A
Definiție: Fiind date mulțimile A, B prin intersecția acestora înțelegem mulțimea
formată doar din elementele comune. Aceasta mulțime se notează cu:
A
B = {
BxAx  }
Utilizând o diagramă Venn Euler intersecția a două mulțimi poate fi reprezentată astfel:

6 A B
A
B

A-B B-A
A
B Definiție: Fiind date mulțimile A, B prin reuniunea sau reunirea acestora înțelegem
mulțimea formată din elementele n ecomune și comune, cele comune fiind luate o
singură dată. Aceasta mulțime se notează cu:
A
B = {
BxAx  }
Utilizând o diagramă Venn Euler reuniunea a două mulțimi poate fi reprezentată astfel:

A
B
Definiție: Fiind date mulțimile A, B prin mulțimea diferența A – B înțelegem
mulțimea formată doar din elementele mulțimii A necomune mulțimii B.
Aceasta mulțime se notează cu: A – B = {
BxAx  } .
În mod asemănător se define ște și mulțimea B – A = {
BxAx  }
Utilizând o diagramă Venn Euler diferența mulțimilor A – B și B – A poate fi
reprezentată astfel:

A
B
A
B
Devin evidente relațiile : A
 B= (A -B)
 ( A
 B)
 (B-A)= A
 (B-A)=B
 (A-B)
Sau: A = (A -B)
 ( A
 B) și B = ( A
 B)
 (B-A)
Definiție: Fiind date mulțimile A și B înțelegem prin mulțimea produs cartezian A
 B
mulțimea tuturor perechilor ordonate (x,y) cu x
 A și y
 B.
Astfel: A
B = { (x,y) │
ByAx  } .
Observație: A
B
 B
A
Exemplu: Dacă A= {1,3} ; B={2,4 } atunci: A
 B = {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4)} și B
 A
= {(2,1), (2,3),(4,1), (4,3)}Într -un sistem cartezian de axe diferența devine evidentă:

7 1
2
3 2
4

Relații binare între mulțim i
Definiție: Fie A și B două mulțimi și ρ o submulțime a produsului cartezian A
 B.
Spunem că elementele x
 A și elementele y
 B sunt în relație ρ și notăm x ρ y dacă și
numai dacă (x,y)
 ρ. Mulțimea X : x
 X
A astfel încât
 y
 Y
B și x ρ y se
numește domeniu de definiț ie al relației ρ (domeniu – mulțime de plecare) , iar
mulțimea Y se numește domeniul valorilor relației ρ (codomeniu – mulțime de
sosire).
Exemplu 1.: Dacă A= {1,3} ; B={2,4 } atunci: A
 B = {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4)} și ρ
= {(1,2), (3,4)}
 A
B atunci X= A= {1,3} ; Y= B = {2,4 }
Exemplu 2.: Dacă A= {1,2,3} ; B={2,4 } atunci:
A
B = {(1,2), (1,4),(2,2), (2,4) (3,2), (3,4)} și ρ = {(1,2),(1,4) (3,4)}
 A
B atunci
X= {1,3}
 A ; Y= B = {2,4 } . Realizăm astfel că 1 ρ 2 , 1 ρ 4, 3 ρ 4 altfel spus relația
ρ asociază elementului 1 două elemente pe 2 respectiv 4, respectiv elementului 3 pe 4.
X= {1,3}
 A ρ Y= B = {2,4 } .

ρ = {(1,2),(1,4) (3,4)}
 A
B
În cele ce urmează voi prezenta doar acele relații ce asociază oricărui element
din mulțimea de definiție un singur element în mulțimea codomeniu numite relații
univoce .

8 Definiție: Fie A și B două mulțimi nevide. Spunem că am definit o funcție pe
mulțimea A cu valori în B dacă printr -un procedeu oarecare (relație) facem ca
fiecărui elem ent x  A să-i corespundă un singur element y  B.
Notație: O funcție definită pe A cu valori în B se notează f : A  B (citim “f definită
pe A cu valori în B”). Uneori o funcție se notează simbolic A  B, x  y = f(x) (citim:
“f de x”), unde y este imag inea elementului x din A prin funcția f sau valoarea
funcției f în x. Elementul x se numește argument al funcției sau variabilă
independentă .
Mulțimea A se numește domeniul de definiție a funcției f iar B se numește mulțimea
în care funcția ia valori sau codomeniul funcției f.
Dacă f este o funcție de la A la B, atunci se mai spune că f este o aplicație de la A la B.
De obicei funcțiile se notează cu litere mici f, g, h , … iar mulțimea tuturor funcțiilor
definite pe mulțimea A cu valori în mulțimea B se notează cu F(A, B).
În concluzie o corectă definire a unei funcții presupune existența a trei elemente:
A= domeniul de definiție al funcției
B= codomeniul funcției
f= legea de corespondență ce leagă cele două mulțimi.
1.5. Moduri de definire a unei func ții.
După cum am văzut în capitolul introductiv, indiferent de modul în care este definită
o funcție trebuie precizate cele trei elemente care o caracterizează: domeniul de
definiție, codomeniul și legea de corespondență .
Există în principal două mod uri fundamentale de definire a funcțiilor: sintetic
și respectiv analitic .
În cele ce urmează voi exemplifica cele două moduri de definire în sens general
dar și particular pentru funcțiile elementare studiate.
a. Funcții definite sintetic corespund acelo r funcții f : A  B pentru care se indică
fiecărui element x din A elementul y = f (x) din B sau altfel spus corespondența este
precizată “element cu element”
Acest lucru se poate face fie cu ajutorul diagramei cu săgeți , fie cu ajutorul tabelului
de valor i sau printr -un tablou .
Acest mod de a defini o funcție se utilizează când A=domeniul de definiție este o
mulțime finită.
Exemplu: Fie f : {1, 2, 3}  {a,b,c} definită prin f (1) = a f (2) = b, f (3) = c.

9 În diagrama cu săgeți sunt reprezentate mulțimil e prin diagrame, iar legea de
corespondență prin săgeți . Faptul că fiecărui element x din A îi corespunde un unic
element y = f (x) din B înseamnă pentru diagrama cu săgeți că din fiecare element din
A pleacă o singură săgeată.
Cum pentru elementele cod omeniului nu avem nici o exigență
înseamnă că într -un astfel de element pot ajunge una, mai multe săgeți sau chiar
niciuna.

Un contraexempl u de lege de corespondență ce nu reprezintă o funcție (ci doar o
relație) este reprezentat în diagrama de mai jos:

Elementului 2
 A nu -i corespunde nici un element din B sau din 2 nu pornește nici o
săgeată înspre un element din B.
Contraexemplul de mai sus specifică o altă situație în care elementului 2
 A nu -i
corespunde nici un element din B sau din 2 nu pornește nici o săgeată înspre un element
din B și elementului 1
 A îi corespund două elemente din B, f(1)=a și f(1)=b.
Aceleași funcții definite la exemplele de mai sus le putem descrie și utilizând tabelele
de valori , acestea fiind formate din două linii, în prima linie se trec elementele mulțimii a

b

c 1

2

3 f
A B a

b

c 1

2

3 g
C D
f a

b

c 1

2

3
A B

10 pe care este definită fu ncția (domeniul de definiție al funcției) iar pe linia a doua
valorile funcției în aceste elemente.

x 1 2 3 A
y = f(x) a b c f(A)
 B

Definiție: Prin mulțimea f(A) = { y
 B
 x
 A y=f(x) } înțelegem imaginea
mulțimii A prin intermediul funcției f aceasta notându -se și Imf, aceasta fiind o
submulțime a codomeniului nu neaparat egală ca mulțime cu codomeniul.
Exemplu: În funcția f : {-1, 0, 1, 2 }  {a, b, c, d, e} definită cu ajutorul tabelului de
valori de mai jos.
X -1 0 1 2 A
Y = f(x) a b A c Imf=f(A)
 B = {a, b, c, d, e}

Atunci Imf = {f( -1), f(0), f(1), f(2)} = {a, b, c}  B.
Exemplu: Funcția f : {1, 2, 3, 4}  {1, 2, 3, 4} definită prin f(1) = 3, f(2) = 1, f(3) = 4,
f(4) = 2 poate fi reprezentată sub forma unui tablou unde în prima linie avem domeniul
de definiție iar în linia a doua sunt valorile funcției în punctele domeniului (3 este
valoarea lui f în x = 1, 1 e ste valoarea lui f în x = 2, etc.). O astfel de funcție se numește
permutare de gradul patru. O astfel de reprezentare este f=




34121234
Observație. Nu putem defini sintetic o funcție al cărui domeniu de definiție are o
infinitate de element e.
b. Funcții definite analitic. Funcțiile f : A  B (unde A,B
R )definite cu ajutorul unei
(sau a unor) formule, sau a unor proprietăți sunt funcții definite analitic.
Corespondența f leagă între ele elementul arbitrar x din A de ima ginea sa y = f(x).
Exemplu:
1) Fie funcția f : R  R, f(x) = x2+1. Această funcție asociază fiecărui număr real x
numărul x2+1.
2x – 1, dacă x este par
2) Funcția f : Z  Z, f(x)=
2x + 1, dacă x este impar,

11 a

b

c 1

2

3 f
A B b

a

c 1

2

3 g
C D este exemplu de funcție definită prin două formule.
Funcțiile definite prin mai multe formule se numesc funcții multiforme.
Observație. În cazul funcțiilor multiforme, fiecare formulă este valabilă pe o anumită
submulțime a lui A și deci două formule nu pot fi folosite pentru determinarea
imaginea unuia și aceluiași element.
Cea mai frecventă reprezentare a unei funcții în matematică este printr -o
formulă. În acest caz, elementele domeniului de definiție și ale domeniului valorilor nu
pot fi decât numere sau “obiecte matematice” pentru care s -au introdus reeguli de calcul
corespunzătoare. De exemplu: y = f(x) = 4x – 2. f: R
 R.
Observație: Când asupra domeniului de definiție nu s -au făcut i poteze speciale, se
consideră ca făcând parte din acesta toate numerele reale, cărora din formula respectivă
li se pune în corespondență o anumită valoare.
De exemplu în cazul funcției y = 4x – 2, domeniul de definiție este alcătuit din
mulțimea numerelor reale.
Definiție. Fie f : A  B, g : C  D două funcții; f, g sunt funcții egale (notând f = g)
dacă: A = C (funcțiile au același domeniu de definiție)
B = D (funcțiile au același codomeniu)
f(x) = g(x), x  A (punctual, funcțiile coi ncid).

Definiție. Fie f : A  B. Se numește imaginea reciprocă a unei părți B’ a lui B,
notată f -1 (B’), submulțimea lui A formată din acele elemente ale căror imagini prin f
aparțin lui B’. Deci, f-1(B’) = {x A f(x)  B’}.

12 1

2

3 -1

0

1

2
f
A B f-1

Exemplu: Se consideră funcția f : { -1, 0, 1, 2}  {1, 2, 3} definită prin diagrama cu
săgeți. În acest caz, f-1({1}) = {0}, deoarece f(0) = 1; f-1({2}) = { -1, 1} pentru că f( -1) =
f(1)
= 2; f-1({1,2}) = { -1, 0, 1}, deoarece f( -1) = 2, f(0) = 1, f(1) = 2.

Graficul unei funcții.
Definiție: Fie o funcție f : A  B. Se numește graficul funcției f mulțimea de cupluri
Gf = {(x, f(x))  x  A} = {(x, y) x  A, y = f(x)}.
Exemple:
1) Fie funcția definită de diagrama de mai jos

13 a

b

c 1

2

3 f
A B

Atunci graficu l său este mulțimea Gf = {(x, f(x))  x  A} = {(x, y) x  A, y = f(x)} =
{(1,a), (2,b),(3,c)}.
2) În funcția f : {-1, 0, 1, 2}  {-2, 0, 2, 3} definită cu ajutorul tabelului de valori de
mai jos.
x -1 0 1 2 A
Y = f(x) 2 3 -2 0 Imf=f(A)
 B = {a, b, c, d, e}

În acest caz, graficul lui f este mulțimea G f = {(-1, 2), (0, 3), (1, -2), (2, 0)}.
Dacă funcția f : A  B este o funcție numerică (A,B
 R), atunci la produsul
cartezian A x B  R x R, unui cuplu (x, y) din A x B i se poate asocia în planul în care
se consideră un reper cartezian (planul cartezian) un punct M(x, y) (punctul M având
coordonatele x, y, componentele cuplului). Cum mulțimea R x R se reprezintă
geometric prin planul cartezian, se poate dedu ce că: graficul funcției numerice se
reprezintă geometric printr -o anumită submulțime a planului.
Această submulțime a planului se numește reprezentarea geometrică a graficului
funcției. Reprezentarea grafică a unei funcții f : A  B este, în gen eral, o curbă, numită
curba reprezentativă a funcției f și notată Cf = {M (x, y) x  A, y = f(x)}.
Prin abuz de limbaj, în loc de reprezentarea geometrică a unei funcții vom spune
simplu graficul funcției f.
Exemplu: Funcția f : { -1, 0, 1}  R, f(x) = 2x are graficul Gf = {( -1, -2), (0, 0), (1,
2)}, iar reprezentarea grafică este formată din trei puncte: A( -1, -2), O(0, 0), B(1, 2).

14
Exemplu: Funcția g : R  R, f(x) = 2x are graficul Gf reprezentat de o dreaptă iar
reprezentarea sa grafică trece prin cele trei puncte: A( -1, -2), O(0, 0), B(1, 2) amintite
mai sus.
y=g(x)=2x

1.2 Tipuri de funcții

Funcții pare, impare.
Definiție: Despre mulțimea D  R spunem că se numește mulțime simetrică dacă și
numai dacă :  x  D  -x  D
Definiț ie: Fie f : D  R, D simetrică. Despre funcția f spunem că este:
a. funcție pară dacă și numai dacă:  x  D  f(-x) = f(x)
b. funcție impară dacă și numai dacă:  x  D  f(-x) = – f(x)
Observație: Dacă funcția f : D  R, (D simetrică) este:
a. funcție pară atunci G f este simetric față de axa Oy
b. funcție impară atunci G f este simetric față de O (originea axelor de
coordonate).

15
Exemple:
Y1=x2
Y2=x3

Funcții monotone. Fie f : A  R, o funcție de variabilă reală și I  A.
Definiție: Despre funcția f spunem că este:
a. strict crescătoare pe I  A dacă: () x1, x2  I cu x 1 < x 2  f(x1) < f(x 2).
b. strict descrescătoare pe I  A dacă: () x1, x2  I cu x 1 < x 2  f(x1) > f(x2).
c. crescătoare pe I  A dacă: () x1, x2  I cu x 1 < x 2  f(x1)
 f(x2).
d. descrescătoare pe I  A dacă: () x1, x2  I cu x 1 < x 2  f(x1)
 f(x2).
Observație: O funcție f crescătoare pe I sau descrescătoare pe I se numește
monotonă pe I. Dacă f este strict monotonă (sau monotonă) pe A (pe tot domeniul de
definiție ) spunem simplu că funcția f este strict monotonă (sau monotonă) fără a mai
indica mulțimea. A studia monotonia unei funcții f : A  R revine la a preciza
submulțimile lui A pe care f este strict crescătoare (crescătoare) și s ubmulțimile lui A pe
care f este strict descrescătoare (descrescătoare).
Pentru studiul monotoniei unei funcții numerice f : A  R, se utilizează raportul :

16

1 21 2
xx)x(f)x(f
 cu x 1, x2  A și x 1 x2 numit raportul de variație asociat funcției f și
numerelor x 1, x2. Diferența ( x2 – x1) se numește variația argumentului , iar diferența
(f(x 2) – f(x1)) se numește variația funcției . Prin urmare raportul de variație asociat lui f
și numerelor x 1, x2 este raportul dintre variația funcției și variația argum entului.
Valori extreme ale unei funcții.
Definiție: Fie funcția numerică f : A  R, I  A. Dacă există x 0  I astfel încât f(x) 
f(x0), x  I, atunci f(x 0) se numește maximumul local al funcției f pe mulțimea I și
scriem f(x 0) = maxf(x).
Punctul x 0 pentru care se obține valoarea maximă a lui f pe I se numește punct de
maxim local pentru funcția f pe I. Dacă există x 1  I astfel încât f(x)  f(x1), x  I,
atunci f(x 1) se numește minimumul local al funcției f pe mulțimea I și scriem f(x 1) =
minf(x). Punctul x 1 pentru care se obține valoarea minimă a lui f pe I se numește punct
de minim local pentru funcția f pe I. Valoarea maximă sau minimă a lui f pe I se
numesc valoari extreme ale funcției pe I .

Exemplu: f : R  R f(x) = x3 – x2

Punctul x0 de maxim sau x 1 de minim se numește punct de extrem local pentru
funcția f pe I .

m=(x1,f(x1)
)
minim local M=(x0,f(x0)
)
maxim local

17
Exemplu: Graficul de mai sus este graficul funcției: f : R  R ; f(x)=x17-8×15
Exemplu: Funcția f definită prin tabelul de valori are valoarea maximă egală cu 8 și s e
atinge pentru x = -6.
x -6 -4 -1 0 1 2
y = f(x) 8 3 -1 -5 0 1

Deci maxf = f( -6)= 8. Punctul x = -6 este punct de maxim pentru funcție.
Valoarea minimă a lui f este egală cu –5 și se obține pentru x = 0. Deci min f = f(0) =
-5. Punc tul x= 0 este punctul de minim al funcției. În final, valorile extreme ale
funcției sunt –5 și 8, iar punctele de extrem sunt 0 și respectiv –6.
Funcții mărginite.
Definiție: O funcție numerica f: A  R (A R) se numeste marginită dacă există două
numer e reale m, M a.î. m  f(x)  M,  xA.
Exemplu: Funcția sinx: R  [-1,1] al c ărei grafic este reprezentat mai jos.
y=sinx

Exemplu: Funcția cosx: R  [-1,1] al cărei grafic este reprezentat mai jos.
y=cosx

18

Semnificația geometrică a unei funcții mărgintite este aceea că graficul funcției este
cuprins între dreptele orizontale y = m, y = M, după cum se observă și din graficele
celor două funcții prezentate în exemple de funcții sin x și cos x unde M = 1 și m = -1.
O definiție echivlaen tă ar fi și următoarea:
Definiție: O functie numerica f: A  R (A R) se numeste marginită dacă există
numărul real M a.î. |f(x)|  M,  xA.
Funcții injective.
Definiție: : O funcție f: A → B se numeste functie injectivă ( sau simplu injecție )
dacă:  x1 , x2  A cu x 1 ≠ x 2
 f(x1 ) ≠ f( x 2)
Altfel spus: O funcție f: A → B se numeste functie injectivă ( sau simplu injecție )
dacă orice element din B este imaginea prin f a cel mult unui element din A, ceea ce -i
echivalent cu faptul ca p entru orice y  B ecuatia f (x) = y are cel mult o solutie x  A.
Exemplu:
y=x5

Exemplu:

X -3 -2 -1 0 1 2 3
y = f(x)= x5 -243 -32 -1 0 1 32 243

Utilizând un principiu al logicii formale potrivit căruia propozițiile (p
 q)
(
q

p),
o altă modalitate de definire a unei funcții injective ar fi:

19 a

b

c 1

2

3 f
A B Definiție: O funcție f: A → B se numeste functie injectivă ( sau simplu injecție ) dacă:
din pres upunerea f(x 1 ) = f( x 2)
 x1 = x 2

Exemplu: Funcția definită sintetic prin diagrama de mai jos este o funcți injectivă

Un contraexemplu de funcție ce nu este injectivă este prezent în graficul de mai jos:

y = x4-16x

Observăm că orice dreaptă y || Ox dusă prin orice y
 -12*22/3
-19,05 (minimumul
global al funcției) intersectează graficul funcției în două puncte.

A B

20
Funcții surjective.
Definiție: O funcție f: A → B se numeste funcție surjectivă ( sau simplu surjecție ) 
 y  B,  x  A astfel incat f(x) = y.
Este valabilă și următoarea definiție echivalentă cu prima.
Definiție: O funcție f: A → B se numeste funcție surjectivă ( sau simplu surjecție )
dacă orice e lement din B este imaginea prin f a cel puțin unui element din A, ceea ce -i
echivalent cu faptul că pentru orice y  B ecuatia f (x) = y are cel puțin o soluție x  A.
Sau f: A → B este surjectivă  f (A) =B, adică Im f = B.
Pe diagrama cu săgeți o funcț ie este surjectivă dacă la fiecare element din B ajunge cel
puțin o săgeată. Graficul unei funcții poate preciza daca funcția este surjectivă. Altfel spus
Dacă orice pa ralela la Ox dusă printr -un punct al cod omeniului taie graficul in cel
putin un punct atunci funcția f este surjectivă.
Exemplu: Funcția ex : R → (0,
 )
y=ex

Observație:
O funcție f: A → B nu este surjectivă dacă exista y  B astfel încât  x  A, f (x) ≠ y.
Un astfel de contraexemplu poate fi definit în diagrama de mai jos.

a

b

c 1

2

3 f
A B

21

Elementului c  B nu -i corespunde nici o contraimagine din A.

Funcții bijective
Definiție: O funcție f: A → B se numeste funcție bijectivă ( sau simplu bijecție ), dacă
este at ât injectivă cât și surjectivă. Altfel spus funcția f: A → B este funcție bijectivă
 y  B, ! x  A astfel încât f(x) = y. Simbolul ! înseamna “există în mod unic”.
Observație: Pe diagrama cu săgeti o funcție este bijectivă dacă în fiecare element al
codomeniului ajunge exact o săgeată. Se mai spune despre funcția bijectivă că este o
corespondenta “one to one” (“unu la unu”) sau corespondență biunivocă . O funcție
numerică dată prin graficul său este bijectivă dacă orice paralelă la axa Ox dusă prin tr-
un punct al codomeniului taie graficul în exact un punct.
Exemplu: Funcția f: R→ R unde f(x) = x3 +1 este bijectivă (fiind dealtfel o funcție
strict monotonă ).
y= x3 +1

22 Funcții inversabile
Dacă f: A → B este bijectivă, atunci pentru orice element y  B există exact un
element x din A astfel încât f(x) = y, ceea ce inseamna ca x = f-1 (y) (adică preimaginea sau
contraimaginea elementului y este elementul x).
Definiție: Fie f: A → B o funcție bijectivă Se numește funcție inversă a func ției f,
funcția g: B → A, care asociază fiecărui element y din B elementul unic x din A astfel
încât f(x) = y.
Notație: Pentru funcția g utilizăm notatia f-1 (citim “f la minus unu”). O funcție f care are
inversă se spune ca este invesabilă .
Funcția f s e numeste funcție directă , iar f-1 funcție inversă (a lui f).
Exemplu: Pentru funcția f : R → R descrisă de forma analitică f(x)=2x+1 admite ca
funcție inversă f-1 (x)=
21
2x .
Din punct de vedere grafic cele două drepte sunt simetrice față de dreapta de ecuație
y = x (ecuația primei bisectoare), după cum se observă în graficul comparativ de mai jos.

O
x y
y=2x+1
y=
21x
y=x

23 Funcții convexe, concave. Considerăm funcția f: I
 R unde I – interval. Atunci
are loc următoar ea:
Definiție: a) despre funcția f spunem că este convexă pe intervalul I dacă:
 x1, x2
I ,

q1, q2≥0 astfel încât q 1+ q 2=1 avem: f(q 1 x1+ q 2 x2) ≤ q 1 f(x1) + q 2 f(x2) (1)
b) despre funcți a f spunem că este concavă pe intervalul I dacă:
 x1, x2
I ,
 q1, q2≥0
astfel încât q 1+ q 2=1 avem: f(q 1 x1+ q 2 x2) ≥ q 1 f(x1) + q 2 f(x2) (2)
Observație: Dacă în inegalitățile (1) și (2) av em inegalitate strictă se spune că funcția f
este strict convexă respectiv strict concavă.
Noțiunea de funcție convexă respectiv concavă a fost introdusă J. Jensen care a pornit de
la o relație mai particulară decât (1) și(2), anume:
a) despre funcția f spun em că este convexă pe intervalul I dacă:
 x1, x2
I ,
x1≠x2

2)2x(f)x(f
2xxf1 2 1 

 ;
b) despre funcția f spunem că este convcavă pe intervalul I dacă:
 x1, x2
I ,
x1≠x2

2)2x(f)x(f
2xxf1 2 1 


Din punct de vedere grafic pentru o funcție convexă avem:

Exemplu : f: R
 R f(x) = x2 este o funcție convexă
Din punct de vedere grafic pentru o funcție concavă avem:

x1 x2 (x1+x2)/2 A B
C
A’ C’ B’ O A’’ C’’
f(x 1) f(x 2)
[f(x 1) + f(x 2)] /2
f [(x1+x2)/2]

24

Exemplu : f: R
 R f(x) = – x2 este o funcție concavă.
Observație: Funcția de gradul II -lea de forma f(x)=ax2+bx+c unde f: R
 R este:
a. convexă pe R dacă a > 0
b. concavă pe R dacă a < 0
Funcții periodice.
Definiție: Fie T
 R* și f: D
 R, unde D
 R o mulțime cu proprietatea

x
 D
 x+T
 D și x -T
 D. Despre f: D
 R spunem că este periodică de perioada
T dacă f(x+T)= f(x) (1). Cel mai mic întreg pozitiv T pentru care este îndeplinită relația
(1) se numește perioada principală a lui f.
Exem ple:
1. Funcțiile trigonometrice sinx, cosx sunt periodice de perioada principală 2

2. Funcția lui Dirichlet : f(x)=


QRx0Qx1 este periodică având ca perioada orice
număr rațional.

x1 x2 (x1+x2)/2 A B
C
A’ C’ B’ O A’’ C’’
f(x 1) f(x 2)
[f(x 1) + f(x 2)] /2 f [(x1+x2)/2]

25 1.3 Probleme cu funcții

Operații algebrice cu funcții.
Definiție: Fie A, B  R. O funcție f: A  B se numește funcție numerică sau funcție reală
de variabilă reală.
Definiție(Operații cu funcții):
a) Funcția (f+g): A  R definită prin (f+g) (x) = f (x) + g (x),  x  A, se n umește suma
dintre funcția f și funcția g .
b) Funcția (f*g) : A  R definită prin (f*g ) (x) = f (x) * g(x),  x  A, se numește
produsul dintre funcția f și funcția g .
c) Funcția (
gf) : A – { x  g (x) = 0 }  R definita prin (
gf ) (x) =
)x(g)x(f ,  x  A, g (x) 
0 se numește câtul dintre funcția f și funcția g .
Definiție:
a) Se definește produsul dintre un număr real  și o funcție f : A  R, ca fiind functia
f : A  R, (f) (x) = f(x),  x  A.
b) Dacă f : A  R, atunci definim diferența dintre funcția f și funcția g ca fiind funcția
f – g : A  R, (f – g ) (x) = f(x) – g (x),  x  A. De fapt, diferența f – g este suma f + (-g),
unde –g = ( -1) g.
Exemplu : Fie f, g : R  R, f(x) = 3x+1 , g(x) = – x +3. Atunci f + g, f – g, f*g : R  R sunt
definite astfel:
(f + g )(x) = f(x) + g(x) = 3x + 1 – x +3 = 2x + 4.
(f – g)(x) = f(x) – g(x) = 3x+1 –x + 3 = 4x – 2.
(f*g)(x) = f(x)*g(x) = (3x + 1)( -x + 1) = -3×2+2x+1.
Proprietăți ale adunării f uncțiilor
Fie F (A, R) mulțimea tuturor funcțiilor definite pe A cu valori in R. Atunci are loc:
Teoremă: Pentru operația de adunare pe F (A, R) au loc proprietățile:
1) (f +g) + h = f + (g + h), f, g, h  F (A, R) (adunarea funcțiilor este asociativă );
2) f + g = g + f ,  f, g  F(A, R) (adunarea funcțiilor este comutativă );
3) exista functia 0  F (A, R), 0(x) = 0,  x  A astfel incat f + 0 = 0 + f = f, f 
F(A, R) ( 0 se numește funcție nulă și este element neutru pentru adunarea
funcțiilor);

26 4) f  F (A, R ), (-f)  F (A, R) astfel încât f + ( -f) = ( -f) + f = 0 ( orice funcție f are
o opusa ( -f)).
Proprietăți ale înmulțirii funcțiilor.
Teoremă: Pentru operația de înmulțire pe F (A, R), au loc proprietățile:
1) (f * g) * h = f * (g * h), f, g, h  F (A, R) (înmulțirea funcțiilor este asociativă );
2) f* g = g * f ,  f, g  F (A, R) (înmulțirea funcțiilor este comutativă );
3) există functia 1  F (A, R), 1(x) = 1,  x  A astfel incat f * 1 = 1 * f = f
f  F (A, R) ( 1 se numeste funcția unitate pe mulțime a A ).
Propoziție: Înmulțirea este distributivă în raport cu adunarea pe F(A, R), adica:
f * (g + h) =fg + f h,  f, g, h  F (A, R).
Compunerea funcțiilor
O altă operație care se poate efectua asupra a două funcții este cea de compunere.
Fie f: A  B, g : B  C, două funcți cu următoarea particularitate: codomeniul lui f este
egal cu domeniul lui g.
Cu ajutorul acestor funcții se poate construi o altă funcție h : A  C. Funcția h astfel
definită se notează g f (citim “g compus cu f”) și repre zintă compunerea funcției g cu f (în
această ordine). Funcția go f are domeniul lui f (prima funcție care acționează în această
compunere) și codomeniul lui g (ultima care acționează în compunere).
Definiție. Fie A, B, C mulțimi nevide și funcțiile f : A  B, g : B  C.
Se numește compusa funcției g cu funcția f , considerată în această ordine, funcția notată
gof , definită astfel: gof : A  C , (gof)(x) = g(f(x)) , x  A.

Observații.
a) Funcția compusă gof a două funcții f, g nu poate fi defi nită decât dacă codomeniul lui f
coincide cu domeniul de definiție a lui g.
b) Dacă f : A  B, g : B  A, atunci are sens fog și gof. Însă în general însă gof fog. A B
C f
g
gof

27 Teoremă: Fie f,g,h
 F(R). Atunci au loc relațiile:
o Asociativita tea compunerii
 f g , h  F avem fo(goh) = (fog)oh
o (ne)Comutativitatea
 f, g  F a.î. fog  gof
o Element neutru
 o funcție 1 A  F a.î.    F avem fo1A = 1 Aof = f; 1 A : A  A; 1 A(x) = x (funcție
identică pe A)
o Elemente simetrizabile
Funcția inve rsă: f : A  B, g : B  A; g se numește inversa (notație: g = f-1) lui f
dacă: fog = 1 B și gof = 1 A
Proprietăti:
a) g = f-1  (gof)(x) = x (fog)(x) = x;
b) f-1(f(x)) = x x  A și f(f-1(x)) = x x  B;
c) f inversabilă  f bijecție
Observație: Nu toate fu ncțiile admit inverse!

Monotonia unei funcții.
Teoremă: Fie f : A  R o funcție numerică și I  A. Atunci:
a. f este strict crescătoare (crescătoare) pe I 
1 21 2
xx)x(f)x(f
 > () 0,
() x1, x2  I x1 x2;
b. f este strict descrescătoare (desccres cătoare) pe I 
1 21 2
xx)x(f)x(f
 < ()0,
() x1, x2  I x1 x2;
Demonstrație: Fără a restrânge generalitatea teoremei vom demonstra doar punctul a
demonstrația de la punctul b fiind asemănătoare.
„
” presupunem că f este strict crescătoare pe I () x1, x2  I cu x 1 < x 2  f(x1) <
f(x2).
Atunci din x 1 < x 2
 x2- x1> 0 (1)
Atunci din f(x 1) < f( x 2)
 f(x2)- f(x1) > 0 (2)
Atunci din (1) și (2) prin efectuarea raportului

1 21 2
xx)x(f)x(f
 > 0

28 „
” Presupunem că pentru funcția f : A  R o funcție numerică și I  A sunt satisfăcute
condițiile: ( ) x1, x2  I cu x 1 < x 2 și
1 21 2
xx)x(f)x(f
 > 0
Atunci din x 1 < x 2
 x2- x1> 0 (1’)
Atunci din
1 21 2
xx)x(f)x(f
 > 0 (2’)
Atunci din (1’) și (2’)

)x(f)x(f1 2 > 0
 f(x1) < f( x 2)
 funcția este strict
crescătoare.
Injectivitatea unei funcții
Teoremă: Pentru funcția f: A → B unde A, B
 R sunt echivalente următoarele
afirmații:
a. funcția f este injectivă;
b.  x1 , x2  A cu x 1 ≠ x 2
 f(x1 ) ≠ f( x 2);
c. f(x1 ) = f( x 2)
 x1 = x 2;
d. Pentru
 y
 B, ecuația f(x) = y are cel mult o soluție x
 A;
e. Orice paralelă la axa Ox, dusă printr -un punct al codomeniului, taie graficul funcției în
cel mult un punct.
Monotonia și injectivitatea unei funcții
Teoremă: Fie f : A  R o funcție numerică strict monotonă pe A. atunci funcția f este
injectivă.
Demonstrație: Considerăm o funcție f : A  R strict crescătoare (în mod asemănător se
procedează și pentru o funcție strict descrescătoare). Fie x 1 , x2
A cu x1 ≠ x 2 .
Din x 1 ≠ x2 rezultă una din situațiile: x 1 < x2 sau x 1 > x2. Cum funcția este strict crescătoare
avem:
Dacă x 1 < x2 atunci
 f(x1 ) < f(x2) deci f(x 1 ) ≠ f(x2)
Dacă x 1 > x2 atunci
 f(x1 ) > f(x2) deci f(x 1 ) ≠ f(x2)
Adică pentru orice caz avem f(x1 ) ≠ f(x 2)
 f este injectivă.
Observație: Reciproca teoremei de mai sus nu este adevărată după cum se observă în
exemplul următor .

29

Graficul funcției f(x)=1/x
Exemplu: f: R* → R descrisă de formula f(x) =
x1 este o funcție injectivă dar nu este
strict monotonă, după cum se observă din graficul funcției.
Observație: f: R* → R descrisă de formula f(x) =
x1 este strict descrescătoare pe (
0, )
și strict crescătoare pe (
,0 )
Surjectivitatea unei funcții
Teoremă: Funcția f: A → B este surjectivă dacă și numai dacă Im f = B
Demonstrație: „
” este imediată
„
” Egalitatea a două mulțimi se demonstrează prin dubla incluziune. Avem întotdeauna
f(A)
 B (1). Fie acum y
 B, cum f este surjectivă, există atunci x
 A, astfel încât f(x)=y.
Deci y
 f(A). De aici rezultă B
 f(A) (2). Din (1) și (2) rezultă f(A)= B.
Observație: Funcția f: A → B nu este surjectivă dacă f(A)≠B
Teoremă: Pentru funcția f: A → B unde A, B
 R sunt echivalente urm ătoarele
afirmații:
a. funcția f este surjectivă;
b.
 y
 B,
 x
 A, astfel încât f(x) = y;
c. Pentru
 y
 B, ecuația f(x) = y a re cel puțin o soluție x
 A;
d. Im f = f(A) = B;
e. Orice paralelă dusă la axa Ox printr -un punct al codomeniului taie graficul funcției în
cel puțin un punct.

30 Bijectivitate unei funcții.
Teroremă: Pentru funcția f: A → B unde A, B
 R sunt echivalente următoarele
afirmații:
a. f este bijectivă;
b. f este injectivă și surjectivă în același timp;
c. Pentru
 y
 B, ecuația f(x) = y are o unică soluție x
 A;
d. Orice paralelă dusă la axa Ox printr -un punct al codomeniului taie graficul funcției în
exact un punct.
Compunerea funcțiilor injective, surjective, bijective.
Teoremă: Fie funcțiile f : A → B, g: B → C. Dacă:
a. f,g sunt surjective
 funcția gof este surjectivă;
b. f,g sunt injective
 funcția gof este injectivă;
c. f,g sunt bijective
 funcția gof este injectivă;
d. gof este injectivă
 f este injectivă;
e. gof este surjectivă
 g este surjectivă ;

31 CAPITOLUL II
FUNCȚII ELEMENTARE

3.1. Funcții polinomiale

Definiție: Funcția f: R → R, f(x)= a nxn+ a n-1xn-1+ a n-2xn-2+……+ a 1×1+ a 0x0 se
numește funcție polinomială de gradul n de coeficienți a i
R, n
 N, an
0 și variabilă x.
În funcție de gradul polinomul asociat, funcția are proprietăți de monotonie, convexitate
și concavitate, bijectivitate și continuitate diferite, de aceea în prezenta lucrare, la această
secțiune voi prezenta cazul funcțiiilor de gradul I , II și funcția putere cu exponent natural
ca și cazuri particulare a funcției polinomiale.

3.1.1 Funcția liniară sau funcția de gradul I

Definiție: Funcția f: R → R, f(x) = ax+b se numește funcție de gradul I de coeficienți a,b

R. În tabelul de mai jos regăsim principalele caracteristici:
Funcția f: R → R,
f(x) = ax+b unde a,b
 R a
0
Intersecția cu axel e
De coordonate Ox și Oy Gf
Ox: f(x)=0
 x=
ab
 A(
ab ,0)
 Ox
Gf
Oy: x=0
 f(0)=b
 B(0,b)
 Oy
Convexitate și concavitate Și convexă și concavă în același timp.
Paritate Când b = 0 funcția este impară, G f fiind simetric față de
O(0,0), în rest nu se pune problema.
Monotonia funcției a< 0 x –

ab +

f(x)=ax+b +
↓ ↓ ↓ 0 ↓ ↓ ↓ –


a >0 x –

ab +

f(x)=ax+b –
 ↑ ↑ ↑ 0 ↑ ↑ ↑ +

Semnul funcției x –

ab +


32 f(x)=ax+b Semn opus a 0 a celași semn a
Continuitate Gf este o dreaptă continuă
Bijectivitate Da
Observație: În cazul a=0 funcția este constantă, Gf fiind o dreaptă ││Ox.

3.1.2. Funcția de gradul II

Definiție: Funcția f: R → R, f(x)= ax2+bx+c se numește funcție de gradul II d e
coeficienți a,b,c
 R. cu a≠ 0.
Funcția f: R → R,
f(x)= ax2+bx+c, a,b,c
 R. cu a≠ 0.
Calculul
discriminantului
∆ ∆=b2-4ac
∆ >0 ∆=0 ∆<0
Vârful
parabolei V(
a4,a2b )
Dacă a > 0 V – punct
de minim
Dacă a < 0 V – punct
de maxim V(
0,a2b )
 Ox
Dacă a > 0 V – punct
de minim
Dacă a < 0 V – punct
de maxim V(
a4,a2b )
Dacă a > 0 V – punct
de minim
Dacă a < 0 V – punct
de maxim
Intersecția cu
axele de
coordonate Gf
Ox: f(x)=0
a2bx2,1

A1(x1,0) și A 2(x2,0)

Ox
Gf
Oy: x=0

f(0)=c

C(0,c)
 Oy Gf
Ox:
A1=A 2=
V(
0,a2b )
 Ox
Gf
Oy: x=0

f(0)=c

C(0,c)
 Oy Gf
Ox=

Gf nu intersecteaza axa
Ox

Gf
Oy: x=0
 f(0)=c

C(0,c)
 Oy
Monotonia
funcției de gradul
II x =
a2b axa de
simetrie a Gf
x =
a2b axa de
simetrie a Gf x =
a2b axa de
simetrie a Gf
a > 0 x –
 -b/2a

33 +

f(x) +
 ↓ ↓ -∆/4a ↑ ↑
+

a < 0 x –
 -b/2a
+

f(x) +
 ↑ ↑ -∆/4a ↓ ↓
+

Semnul funcției x –
 x1
x2 +
 x –
 x1 = x2
+
 x –

+

f(x) sgn(a) 0 –sgn(a)
0 sgn(a) f(x) sgn(a) 0
sgn(a) f(x) sgn(a) sgn(a)
sgn(a)
Bijectivitate NU
Continuitate Gf este o curbă continuă numită parabolă

3.1.3 Funcția putere cu exponen t număr natural

Definiție: Funcția f: R → R, f(x)=xn cu n
 N* se numește funcție putere cu exponent
număr natural.
În tabelul de mai jos voi reda principalele atribute ce caracterizează această funcție:
Funcția f: R → R, f(x)=x2k,
n
 N* f: R → R, f(x)=x2k+1,
n
 N*
Intersecția cu axele
de coordonate Ox și Oy O(0,0) O(0,0)
Paritate f(-x)=f(x) funcție pară f(-x)=-f(x) funcție impară
Simetria graficului G f Gf simetric față de Oy Gf sime tric față de O
Convexitate și concavitate Convexă pe R Concavă pe ( –
,0)
Convexă pe [0,+
 )
O(0,0) punct de inflexiune
Puncte remarcabile pe
graficul funcției (-1,1), (0,0), (1,1) (-1,-1), (0,0), (1,1)

34 Ordonar ea puterilor pe
(0,1) și (1, +
) Pentru 0< x < 1
 xn+1 < xn
Pentru x > 1
 xn+1 > xn Pentru 0< x < 1
 xn+1 < xn
Pentru x > 1
 xn+1 > xn
Monotonia funcției x –
 -1 0 1 +
 x –
 -1 0 1 +

x2k +
↓ 1 ↓ 0 ↑ 1 ↑ +
 x2k+1 +
↑ – 1 ↑ 0 ↓ 1 ↓ +

Strict descr. pe ( –
,0)
Strict cresc. pe [0,+
 )
(0,0) punct de minim Strict crescătoare pe R
(0,0) punct de inflexiune
Semnul funcției x –
 0 +
 x –
 0 +

x2k +
 + + + + 0 + + + + +
 x2k+1 +
 – – – – 0 + + + + +

Continuitate Gf este o curbă continuă Gf este o curbă continuă

3.2. Funcția putere cu exponent număr întreg negativ

Definiție: Funcția f: R → R, f(x)=x-n cu n
 N* se numește funcție putere cu
exponent număr întreg negativ.
Funcția f: R* → R*, f(x)=
2kx1
n
 N* f: R* → R*, f(x)=
12kx1
 ,
n
 N*
Intersecția cu axele
de coordonate Ox și Oy Nu taie axele de coordonate Nu taie axele de coordonate
Paritate f(-x)=f(x) funcție pară f(-x)=-f(x) funcție impară
Simetria graficului G f Gf simetric față de Oy Gf simetric față de O
Convexitate și concavitate Convexă pe R* Concavă pe ( –
,0)
Convexă pe [0,+
 )
O(0,0) punct de inflexiune
Puncte remarcabile pe
graficul funcției (-1,1), (1,1) (-1,-1), (1,1)
Comportament asimptotic x=0 asimptotă verticală
y=0 asimptotă orizontală x=0 asimptotă verticală
y=0 asimptotă orizontală
Ordonarea puter ilor pe
(0,1) și (1, +
) Pentru 0< x < 1
 xn+1 < xn

n 1nx1
x1

35 Pentru x > 1
 xn+1 > xn

n 1nx1
x1
Monotonia funcției x –
 -1 0 1 +
 x –
 -1 0 1 +

2kx1
0 ↑ 1 ↑+
│+
↓1 ↓ 0
12kx1
 0 ↓ -1 ↓ –
│+
↓1 ↓ 0
Strict cresc. pe ( –
,0)
Strict descresc. pe [0,+
 ) Strict descrescătoare pe R*

Semnul funcției x –
 0 +
 x –
 0 +

2kx1
+
 + + + + │ + + + + +

12kx1
 +
 – – – – │ + + + + +

Continuitate Gf este o curbă continuă pe
(-
,0) și pe (0,+
 ) Gf este o curbă continuă pe
(-
,0) și pe (0,+
 )
Bijecti vitate Nu Da

3.3. Funcția radical de ordinul n

Definiție:
a) Funcția f: R → R, f(x)=
1n2x , n
N*, se numește funcția radical de ordin impar.
b) Funcția f: [0,+
 ) → [0,+
 ), f(x)=
n2x n
N*, se numește funcția radical de ordin par.
Funcția f: [0,+
 ) → [0,+
 ),
f(x)=
n2x n
 N* f: R → R,
f(x)=
1n2x , n
 N*
Intersecția cu axele
de coordonate Ox și Oy O(0,0) O(0,0)
Paritate Nu f(-x)=-f(x) funcție impară
Simetria graficului G f Nu Gf simetric față de O
Convexitate și concavitate Concavă pe [0,+
 ) Convexă pe ( –
,0]
Concavă pe [0,+
 )
Puncte remarcabile pe
graficul funcției (0,0), (1,1) (-1,-1), (0,0), (1,1)
Monotonia funcției x –
 1 +
 x –
 -1 0 1 +

n2x
0 ↑ ↑ 1 ↑ ↑ +

1n2x –
↑ – 1 ↑ 0 ↑ 1 ↑ +


36
Strict cres c. pe [0,+
 ) Strict crescătoare pe R
Semnul funcției x 0 +
 x –
 0 +

n2x
0+ + + + + + + + +

1n2x –
 – – – – 0 + + + + +

Continuitate Gf este o curbă continuă Gf este o curbă continuă
Bijectivitate Da Da
Funcția inversă f-1: [0,+
 ) → [0,+
 ),
f-1(x) = x2n f: R → R,
f-1(x) = x2n+1

3.4. Funcția putere cu exponent rațional
Definiție: f: (0,+
 ) → R, f(x)=
mn nm
x x unde m
 Z, n
 N* cu n≥2, se numește
funcția putere cu exponent rațional.
Observații:
1. Dacă m,n ≥2 atunci are sens
mn nm
x x
 x > 0, în acest caz proprietăți
asemănătoare cu a funcției cu exponent natural.
2. Dacă m = 1 atunci se obține funcția radical de ordinul n.
3. Dacă m < 0 în acest caz funcția manifestă proprietăți asemănătoare cu a funcției cu
exponent întreg negativ.
În graficul de mai jos am efectuat un studiu comparativ al comportării funcțiilor:
x2 (albastru), x3/2(roșu), x3(verde), x-3/2(negru) .

37 Concluzii:
1. Pentru x > 1 și m,n
 N* rezultă
mn nm
x x > 1
2. Pentru 0 < x < 1 și m,n
 N* rezultă
mn nm
x x < 1
3. Pentru x > 1 și r1 < r2 cu r1 ,r2
 Q atunci x r1 < x r2
4. Pentru 0 < x < 1 și r1 < r2 cu r1 ,r2
 Q atunci x r1 > x r2

3.5. Funcția exponențială

Definiție: Fie a > 0, a ≠ 1. Funcția f: R → (0,+
 ),f(x) = ax, se numește funcție
exponențială de bază a.
Studiul funcției se face pentru două cazuri, în funcție de baza a.
Funcția f: R → (0,+
 ),f(x) = ax
0 < a < 1 f: R → (0,+
 ),f(x) = ax
a > 1
Intersecția cu axele de
coordonate Gf
Ox = Ø
Gf
Oy = A(0,1) Gf
Ox = Ø
Gf
Oy = A(0,1)
Semnul funcției ax > 0
 x
 R ax > 0
 x
 R
Convexitate și concavitate Convexă Convexă
Monotonie Strict descrescătoare Strict crescătoare
Comportament asimptotic y = 0 asimptotă orizontală
la
 y = 0 asimptotă orizontală
la

Continuitate Gf este o curbă continuă Gf este o curbă continuă
Bijectivitate Da Da
Funcția inversă f-1: (0, +
) → R; 0 < a < 1
f-1 (x)= log a x f-1: (0, +
) → R; a > 1
f-1 (x)= log a x
Exemplu: f1: R → (0,+
 ), f(x) = 4x (grafic culoare albastră) și f 2: R → (0,+
 ),f(x) = 4-x
(grafic culoare roșie)

38

3.6. Funcția logaritmică

Definiție: Fie a > 0, a≠1. Funcția f: (0, +
) → R definită prin f(x)= log a x, se numește
funcție logaritmică în baza a.
Funcția f: (0, +
) → R; 0 < a < 1
f(x)= log a x f: (0, +
) → R; a>1
f(x)= log a x
Intersecția cu axele de
coordonate Gf
Ox: f(x)=0
 x=1

A(1,0)
 Ox
Gf nu taie axa Oy Gf
Ox: f(x)=0
 x=1

A(1,0)
 Ox
Gf nu taie axa Oy
Conve xitate și concavitate Convexă Concavă
Monotonie Strict descrescătoare Strict crescătoare
Semnul funcției
logaritmice x 0 1

x 0 1


log a x
 – 0 + + + +

log a x
 + 0 – – – –


Bijectivitate Da Da
Funcția inversă f-1: R → (0, +
)
f-1(x) = ax cu 0 < a < 1 f-1: R → (0, +
)
f-1(x) = ax cu a > 1

39
Comportament asimptotic Axa Oy este asimptotă
verticală la
 Axa Oy este asimptotă
verticală la

Exemplu: f1: R → (0,+
 ), f1(x) = log 4x (grafic culoare albastră) și f2: R → (0,+
 ),f2(x)
= log 1/4x (grafic culoare roșie)

3.7. Funcții trigonometrice directe
3.7.1. Funcția sinus

Definiție: Funcția f: R → [ -1;1] desrisă de forma analitică f(x)=sinx se numește
funcția sinus.
Proprietăți pe [0.2Π) pe R
Intersecția graficului cu
axele de coordonate Gf
Ox: f(x)=0
 x1=0 și
x2= Π

O(0,0) și B( Π,0)
 Ox
Gf
Oy: f(0)=0
 O(0,0)

Oy Gf
Ox: f(x)=0
 x=kΠ
Bk(kΠ,0)
 Ox
Gf
Oy: f(0)=0
 O(0,0)

Oy
Paritate Nu se pune problema Impară
Simetria graficului Nu se pune problema Gf simetric în raport cu
O(0,0)
Monotonia funcției
↑- f.strict cresc. x 0 Π/2 Π 3Π/2 2Π

 k22,k22-f.strict
f(x) 0 ↑ 1 ↓ 0 ↓ -1 ↑ 0

40
↓- f.strict descresc. crescătoare.

k223,k22
-f.strict
descre scătoare.
Mărginire.
Valori extreme Funcție mărginită
-1≤ f(x) ≤ 1
Max f(x) =1 = f( Π/2)
Min f(x) = -1 = f( 3Π/2) Funcție mărginită
-1≤ f(x) ≤ 1
Max f(x)=1=f( Π/2+2k Π)
Min f(x)= -1= f( 3Π/2+2k Π)
Convexitate și
Concavitate -concavă pe [0, Π]
-convexă pe [ Π,2Π]
x=Π punct de inflexiune -concavă pe
  )1k2(,k2
-convexă pe
  )1k(2,)1k2(

x=Π+2kΠ puncte de
inflexiune
Continuitate continuă Continuă
Rezolvarea ecuației x1=0 și x 2=Π x 1,k=2kΠ și x 2,k=Π+2kΠ
Semnul funcției sinx >0 pentru x є (0, Π)
sinx <0 pentru x є ( Π,2Π) sinx >0 pentru x є
(2kΠ,Π+2kΠ)
sinx <0 pentru x є
(Π+2kΠ,2Π+2kΠ)
Bijectivitate Nu Nu
Restricții bijective


23,2

 k22,k22

Observații:
Dacă x 1,×2єR, atunc i are loc inegalitatea lui Jensen:
2xsinxsin
2xxsin2 1 2 1 



41
3.7.2. Funcția cosinus
Definiție: Funcția f: R → [ -1;1] desrisă de forma analitică f(x)=cosx se numește
funcția cosinus.
Proprietăți pe [0.2Π) pe R
Intersecția graficului cu
axele de c oordonate Gf
Ox: f(x)=0
 x1= Π/2 și
x2= 3Π /2

B(Π/2,0)) și D(3 Π/2,0)

Ox
Gf
Oy: f(0)=1
 A(0,1)

Oy Gf
Ox: f(x)=0
 x1=
Π/2+2k Π și B k(Π/2+2k Π,0)
Dk(3Π/2+2k Π,0)
 Ox
Gf
Oy: f(0)=1
 A(010)

Oy
Paritate Nu se pune problema pară
Simetria graficului Nu se pune problema Gf simetric în raport cu axa
Oy
Monotonia funcției
↑- f.strict cresc.
↓- f.strict descresc. x 0 Π/2 Π 3Π/2 2Π
  k2,k2 -f.strict
descrescătoare.
  k22,k2
-f.strict
crescătoare. f(x) 1 ↓ 0 ↓ -1 ↑ 0 ↑ 1

Mărginire.
Valori extreme Funcție mărginită
-1≤ f(x) ≤ 1
Max f(x) =1 = f( 0)
Min f(x) = -1 = f( Π) Funcție mărginită
-1≤ f(x) ≤ 1
Max f(x)=1=f( 2kΠ)
Min f(x)= -1= f( Π+2kΠ)
Convexitate și
Concavitate -concavă pe [0, Π/2] și
[3Π/2,2Π]
-convexă pe [ Π/2,3Π/2]
x=Π/2 și x=3Π/2 puncte de
inflexiune -concavă pe

 k22,k22

-convexă pe

k223,k22

Continuitate Continuă Continuă
Rezolvarea ecuației x1=Π/2 și x 2=3Π/2 x 1,k=Π /2+2k Π și
x 2,k=3Π /2+2k Π
Semnul funcției cosx >0 pentru x є (0, Π/2) cosx >0 pentru

42
și pe (3 Π/2,2Π)
cosx <0 pentru x є
(Π/2,3Π/2) x є
 k22,k22
cosx <0 pentru
x є


k223,k22
Bijectivitate Nu Nu
Restricții bijective
,0
  k2,k2

Observații:
Dacă x 1,×2є(-Π/2,Π/2) atunci are loc inegalitatea lui Jensen:
2xcosxcos
2xxcos2 1 2 1 



3.7.3. Funcția tangentă
Funcția f:R –

 Zk;2)1k2(
 R, descrisă de f(x)=
xcosxsin se num ește funcția
tangentă. Aceasta este o funcție periodică de perioadă principală T 0=Π.Prin urmare
studiul acestei funcții se va realiza pe un interval de lungime Π. Prezint în cele ce
urmează principalele proprietăți în tabelul de mai jos.

43

Grafi cul funcției f(x) = tg x
Proprietăți pe (-Π/2.Π/2) pe D
Intersecția graficului cu
axele de coordonate Gf
Ox: f(x)=0
 x1=0

O(0,0) ș
Gf
Oy: f(0)=0
 O(0,0)

Oy Gf
Ox: f(x)=0
 x=kΠ
Bk(kΠ,0)
 Ox
Gf
Oy: f(0)=0
 O(0,0)

Oy
Paritate Impară Impară
Simetria graficului Gf simetric în raport cu
O(0,0) Gf simetric în raport cu
O(0,0)
Monotonia funcției
↑- f.strict cresc.
↓- f.strict descresc. x -Π/2 -Π/4 0 Π/4 Π/2
 k2,k2-f.strict
crescătoare.
f(x) –
↑ -1 ↑ 0 ↑ 1 ↑


Mărginire.
Valori extreme Funcție nemărginită
x=-Π/2 și x=Π/2 asimptote
verticale Funcție nemărginită
x=
21k2 asimptote
verticale
Convexitate și
Concavitate -concavă pe ( -Π/2,0)
-convexă pe [ 0,Π/2)
x=0 punct de inflexiune -concavă pe
 k,k2
-convexă pe

 k2,k
x=kΠ puncte de inflexiune
Continuitate continuă Curbă discontinuă
Rezolvarea ecuației x1=0 x k=kΠ

44 Semnul funcției tgx >0 pentru x є ( -Π/2,0)
tgx <0 pent ru x є ( 0,Π/2) tgx >0 pentru x є
 k,k2

tgx <0 pentru x є

 k2,k

Bijectivitate Da Nu
Restricții bijective
2,2
 k22,k22

3.7.4. Funcția cotangentă

Funcția f:R –
Zk;k(
 R, descrisă de f(x)=
xsinxcos se numește funcția cotangentă.
Aceasta este o funcție periodică de perioadă principală T 0=Π. Prin urmare studiul acestei
funcții se va realiza pe un interval de lun gime Π, acesta fiind (0, Π ). Prezint în cele ce
urmează principalele proprietăți ale funcției în tabelul de mai jos.
Proprietăți pe (0.Π) pe D
Intersecția graficului cu
axele de coordonate Gf
Ox: f(x)=0
 x= Π/2

A(Π/2,0)
 Ox
Gf
Oy: f(x)=0 nu are
soluție, deci nu avem punct
de intersecție cu Oy Gf
Ox: f(x)=0
 x= Π/2
+kΠ
Bk(Π/2 +k Π,0)
 Ox
Gf
Oy: Nu avem punct de
intersecție cu Oy
Paritate Nu Impară
Simetria graficului Nu Gf simetric în raport cu
O(0,0)
Monotonia funcției
↑- f.strict cresc.
↓- f.strict descresc. x 0 Π/2 Π
 k,k -f.strict
descrescătoare.
f(x)
 ↓ 0 ↓ –


↓- f.strict descresc.
Mărginire.
Valori extreme Funcție nemărginită
x=0 și x=Π asimptote
verticale Funcție nemărginită
x= k Π asimptote verti cale

45
Convexitate și
Concavitate -convexă pe ( 0,Π/2]
-concavă pe [ Π/2,Π)
x=Π/2 punct de inflexiune -concavă pe

 k2,k
-convexă pe
k,k2
x= Π/2+kΠ puncte de
inflexiune
Continuitate Continuă Curbă discontinuă
Rezolvarea ecuației x= Π/2 x k= Π/2+kΠ
Semnul funcției ctgx >0 pentru
x є (0, Π/2)
ctgx <0 pentru
x є (Π/2, Π) ctgx >0 pentru x є

 k2,k

ctgx <0 pentru x є
k,k2

Bijectivitate Da Nu
Restricții bijective
,0
 k,k

Observație: Între funcțiile tangentă și cotangentă ale aceluiași argument avem
următoarea relație de legătură : tgx*ctgx=1 pentru x
k și x
21k2 cu k
Z

Graficul funcției f(x) = ctg x

46
3.8. Funcții trigonometrice inverse
3.8.1. Funcția arcsinus

Funcția sinx:
1,12,2
 este o funcție bijectivă deci inversabilă. Inversa acestei
funcții este funcția arcsinx:

2,21,1 definită de arsiny=x dacă și numai dacă
sinx=y. Graficele funcțiilor arcsinx și sinx sunt simetrice față de prima bisectoare.
Principalele proprietăți ale funcției arcsinx sunt redate în tabelul de mai jos.
Proprietăți
1,1
Intersecția graficului cu axele de
coordonate Gf
Ox: f(x)=0
 x= 0
 O(0,0)
 Ox
Gf
Oy: f(0)=0
 arcsin0= 0
 O(0,0)
 Oy
Paritate impară
Simetria graficului În raport cu O(0,0)
Monotonia funcției
↑- f.strict cresc.
↓- f.strict descresc.
– f.strict crescătoare pe
1,1 .
Mărginire.
Valori extreme Funcție mărgini tă
2x arcsin2 

Min f(x)=
2 Max f(x)=
2
Convexitate și
Concavitate -convexă pe [0,1]
-concavă pe [ -1,0]
x=0 punct de inflexiune
Continuitate Continuă
Rezolvarea ecuației arcsinx= 0
 x= 0
Semnul funcției arcsinx
 0 pentru

0,1
arcsinx
 0 pentru

1,0
Bijectivitate Da

47
Funcția inversă sinx:
1,12,2


Graficul funcției f(x) = arcsin x

3.8.2. Funcția arccosinus

Funcția cosx:
1,1 ,0 este o funcție bijectivă deci inversabilă. Inversa
acestei funcții este funcția arccosx:
 ,0 1,1 definită de arcc osy=x dacă și numai
dacă cosx=y. Graficele funcțiilor arccosx și cosx sunt simetrice față de prima bisectoare.
Principalele proprietăți ale funcției arcsinx sunt redate în tabelul de mai jos.
Proprietăți
1,1
Intersecția graficului cu axele de
coordonate Gf
Ox: f(x)=0
 x= 1
 A(1,0)
 Ox
Gf
Oy: f(0)=0
 arccos0=
2
 C(0,
2 )
 Oy
Paritate Nu
Simetria graficului În raport cu C( 0,
2)
 Oy
Monotonia funcției
↑- f.strict cresc.
↓- f.strict descresc.
– f.strict descrescătoare p e
1,1 .
Mărginire.
Valori extreme Funcție mărginită
  x arccos0

Min f(x)= 0 Max f(x)=


48
Convexitate și
Concavitate -concavă pe [0,1]
-convexă pe [ -1,0]
x=0 punct de inflexiune
Continuitate Continu ă
Rezolvarea ecuației arccosx= 0
 x= 1
Semnul funcției arccos
 0 pentru x
 [-1,1]
Bijectivitate Da
Funcția inversă cosx:
1,1 ,0

Graficul funcției f(x) = arccos x

3.8.3. Funcția arctangentă

Funcția tgx:
R2,2 este o funcție bijectivă deci inversabilă. Inversa acestei funcții
este funcția arctgx:
2,2R definită de arctgy=x dacă și numai dacă tgx=y.
Graficele funcțiilor arctgx și tgx sunt simetrice față de prima bisectoare. Principalele
proprietăți ale funcției arctgx sunt redate în tabelul de mai jos.
Proprietăți R
Intersecția graficului cu axele de
coordonate Gf
Ox: f(x)=0
 x= 0
 O(0,0)
 Ox
Gf
Oy: f(0)=0
 arctg0= 0
 O(0,0)
 Oy
Paritate Impară
Simetria graficului În raport cu O(0,0)

49
Monotonia fun cției
↑- f.strict cresc.
↓- f.strict descresc.
– f.strict crescătoare pe R
Mărginire.
Valori extreme Funcție mărginită
2arctgx2 

x=
2 asimptotă verticală la +

x=-
2 asimpt otă verticală la –

Convexitate și
Concavitate -convexă pe (-
,0]
-concavă pe [ 0, +
 )
x=0 punct de inflexiune
Continuitate Continuă
Rezolvarea ecuației arctgx= 0
 x= 0
Semnul funcției arctgx < 0 pentru x
 (-
,0)
arctgx > 0 pentru x
 (0,
)
Bijectivitate Da
Funcția inversă tgx:
R2,2

Graficul f uncției f(x) = arctg x

50
3.8.4. Funcția arccotangentă

Funcția ctgx:
R ,0 este o funcție bijectivă deci inversabilă. Inversa acestei funcții
este funcția arcctgx:
,0 R definită de arcctgy=x dacă și numai dacă ctgx=y.
Graficele funcțiilor arcctgx și ctgx sunt simetrice față de prima bisectoare. Principalele
proprietăți ale funcției arctgx sunt redate în tabelul de mai jos.

Proprietăți R
Intersecția graficului cu axele de
coordonate Gf
Ox: Graficu l nu taie axa Ox
Gf
Oy: f(0)=
2
 C(0,
2 )
 Oy
Paritate Nu
Simetria graficului În raport cu C(0,
2 )
 Oy
Monotonia funcției
↑- f.strict cresc.
↓- f.strict descresc.
– f.strict descrescătoare pe R
Mărginire.
Valori extreme Funcție mărginită
 arcctgx0

y=0 asimptotă orizontală la +

y=
 asimpt otă orizontală la –

Convexitate și
Concavitate -concavă pe (-
,0]
-convexă pe [ 0, +
 )
x=0 punct de inflexiune
Continuitate Continuă
Rezolvarea ecuației arcctgx= 0 nu are soluție
Semnu l funcției arcctgx > 0 pentru x
 R
Bijectivitate Da
Funcția inversă ctgx:
R ,0

51

Graficul funcției f(x) = arcctg x

3.9. Funcții speciale

În continuare prezint o serie de funcții a căror proprietăți su nt utile și prezente în
programa de gimnaziu și liceu.

3.9.1. Funcția valoare absolută
Definiție: Funcția f:R

,0 descrisă de f(x)=max(x, -x)=
000
xxx0xx

 se numește
funcție modul sau funcție valoare a bsolută. Aceasta se mai notează și astfel: f(x)=
x
Proprietăți:
Teorema modulului :
1.
x
0
Rx ;
x= 0
 x=0;
2. Dacă x,y
 R atunci
yxyx  ;
3. Dacă x,y
 R atunci
y*xy*x ;
4. Dacă x,y
 R atunci
yx
yx pentru
0y
Din punct de vedere grafic funcția v aloare absolută se prezintă astfel:

52

Proprietăți R
Intersecția graficului cu axele de
coordonate Gf
Ox:
x = 0
 x=0;
Gf
Oy:
0 = 0
Parita te Pară
x =
x
Simetria graficului În raport cu Oy
Monotonia funcției
↑- f.strict cresc.
↓- f.strict descresc.
– f.strict descrescătoare pe (-
,0)
– f.strict crescătoare pe (0,
 )
Mărginire. Funcție mărginită inferior
x
0
Rx
Convexitate și
Concavitate -convexă pe R
Continuitate Continuă
Rezolvarea ecuației
x = 0
 x=0;
Semnul funcției
x
0
Rx
Bijectivitate Nu

3.9.2. Funcți a caracteristică a unei mulțimi

Definiție: Funcția f:A
 {0,1} descrisă de f A(x)=
AA
x0x1

 se numește funcție
caracteristică mulțimii A.

53 Teoremă: Fie A,B submulțimi ale unei mulțimi E.
Atunci A=B dacă și numai dacă f A(x)= f B(x);
Observație: A demonstra că două mulțimi sunt egale e echivalent cu a demonstra că
funcțiile lor caracteristice sunt egale.
Amintim aici funcția lui Dirichlet f(x)=


QRx0Qx1 este periodică având ca perioada
orice număr rațional.(sau funcția caracteristică a mulțimii Q care este o funcție pară,
mărginită, surjectivă)

3.9.3. Funcția parte întreagă, funcți a parte fracțion ară

Definiție: Funcția f: R
 Z dată de legea f(x)=
x unde
x reprezintă cel mai mare
întreg mai mic decât x, se numește funcție parte întreagă.
Definiție: Funcția f: R

1,0 dată de legea f(x)= x –
x unde
x reprezintă cel mai
mare întreg mai mic decât x, se numește funcție parte fracționară.

Proprietăți ale funcției parte întreagă:
1.
yxyx  ;
2.
xx221x 
 ;
3.
1xxx 
4.




nx
nx
*Zn

3.9.4. Funcția signum
Definiție: Funcția f:A
 {-1,0,1} descrisă de sgn x=
000
x1x0x1

 se numește funcție
signum (indicator de semn).
Proprietăți: Funcția signum este surjectivă dar neinjectivă, impară și
sgn(x*y)=sgn(x)*sgn(y)