Notiunea de Corp

Capitolul 1

1.1. Introducere

Noțiunea de corp a apărut în urma încercărilor de abstractizare și de extindere la alte mulțimi a regulilor de calcul cu numere raționale. Spre deosebire de inelul întregilor Z, inelul numerelor raționale Q are proprietatea, esențiala in definirea noțiunii de corp, că orice element diferit de 0 este inversabil. Astfel, dacă într-un inel avem o “adunare”, o “înmulțire” și o “scădere”, care derivă din adunare, într-un corp avem în plus o “împarțire” prin elemente nenule care derivă din înmulțire.

1.2. Definiție și exemple remarcabile:

Definiția 1: Un triplet ( K ; + ; ∙ ) se numește corp dacă sunt satisfăcute următoarele proprietați:

( K ; + ; ∙ ) este inel;

0 ≠ 1 (inelul K are cel putin două elemente );

Orice element din K \ {0} este inversabil.

Definiția 2: Corpul ( K ; + ; ∙ ) se numește corp comutativ (câmp) dacă, în plus, operația ” ∙” este comutativa.

Exemple:

Inelele comutative ( K ; + ; ∙ ) , unde K = Q, R sau C , sunt corpuri comutative deoarece U(K) = K*.

Un exemplu de corp necomutativ este corpul cuaternionilor, H .

Fie inelul 2(C) al matricelor pătratice de ordin 2 peste corpul C și H2(C), unde

H = .

Avem că H este un subinel al lui 2(C) .

Într-adevăr, ținând seama că suma, respectiv produsul conjugaților a două numere complexe este conjugatul sumei respectiv produsului numerelor, avem

și

oricare ar fi .

Așadar H, împreună cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire a matricelor, este la rândul său un inel.

Matricea este elementul unitate a lui H.

Mai mult, H este corp. Într-adevar, dacă

h = ,

atunci numărul real este nenul. Inversul lui h este

.

Deci H este un corp numit corpul cuaternionilor, elementele sale fiind numite cuaternioni.

Definim funcția , prin , care este un morfism de corpuri, deci injectiv.

Aceasta ne permite să identificăm numărul real a cu cuaternionul .

Notăm , , , a căror înmulțire este definită prin tabla

Se observă că H este un corp necomutativ.

Dacă și sunt numere complexe, putem scrie

==

= .

Deci orice cuaternion hpoate fi scris, în mod unic, sub forma

h = , unde a, b, c, d sunt numere reale.

Este important să observăm că o ecuație cu coeficienți în corpul necomutativ H poate să aiba mai multe rădăcini decât gradul său. De exemplu, i, j, k sunt rădăcini ale ecuației , acest lucru nefiind posibil in cazul corpurilor comutative.

Problemă: Fie Q(i) = { x + yi x, y Q, i2 = – 1}. Să se arate că(Q(i), + ; ∙ ), unde + și ∙ sunt adunarea respectiv înmulțirea numerelor complexe , este corp comutativ.

Soluție:

Dacă z1 = x1 + y1i , z2 = x2 + y2i Q(i), atunci :

z1 + z2 = ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 )i Q(i),

z1z2 = ( x1 x2 – y1y2 ) + ( x1 y2 + y1x2 )i Q(i),

de unde rezultă că + și ∙ sunt legi de compoziție pe Q(i).

Adunarea și înmulțirea sunt comutative și asociative, iar înmulțirea este distributivă față de adunare deoarece aceste proprietăți sunt valabile pe C.

0 = 0 + 0i Q(i) și 1 = 1 + 0i Q(i) sunt elemente neutre față de adunare respectiv înmulțire.

Observând și ca orice z Q(i) are opusul – z , deducem că ( Q(i) ; + ; ∙ ) este inel comutativ cu 0 ≠ 1.

Rămâne să arătăm că pentru orice z Q(i), z = x + yi , z ≠ 0, există z Q(i) astfel încât z z = 1. Într-adevăr ,

z = = = = – i Q(i)

și satisface zz = 1.

Mai general, dacă d este un întreg liber de pătrate, atunci

( Q() = { x + y x, y Q }, + , ∙ )

este corp comutativ , numit corp pătratic .

Definiția 3: Un corp de numere algebrice K având [K:Q] = 2 se numește corp pătratic.

Prin urmare K = Q() , și verifică o ecuație de forma a2 + b + c = 0, unde

a, b, c Z, a ≠ 0 . Se obține 1,2 = , unde d = b2 – 4ac .

Avem Q() = Q() , iar d Z \ {0} se poate reprezenta, d = l2 ∙ d1 , cu d1 liber de pătrate, incluzând și cazul d1 = – 1. Rezultă Q() = Q() = Q() , unde prin și am notat unul din cele două numere complexe al cărui pătrat este d, respectiv d1.

Din cele de mai sus rezultă că orice corp pătratic se reprezintă sub forma

K = Q(), d Z și d liber de pătrate. Această reprezentare este unică.

Cele două scufundări ale lui K în C sunt K = Q() , i = ;

1 = 1K , iar 2 ( a + b) = a – b ( aceasta intrucât din i (d) = d rezultă i()= ) .

Se constată ușor că i (K) = K ( aceste scufundări induc automorfisme ale lui K).

Dacă = a + b Q() și = a – b = 2(), notăm cu

N() = ∙ = a2 – db2 și T() = + = 2a .

norma respectiv urma lui . Se vede că mulțimea {, } este bine determinată de norma și urma elementelor sale.

Altfel spus, si sunt rădăcini pentru polinomul X2 – T()X + N() Z[X].

Prin urmare, inelul de întregi AK = { K T() Z , N() Z }. Vom numi AK inel de întregi pătratici și îl vom nota în continuare cu Ad .

Capitolul 2

2.1. Determinarea unei baze de întregi în AK :

Propoziție : 1) Dacă d2, 3 (mod 4) atunci

Ad = Z[] ={ m + nm, n Z},

iar (1, ) este bază în Ad ca Z – modul . Avem ∆( Q() ) = 4d.

2) Dacă d = 1(mod 4), atunci

Ad = Z = ,

iar este o bază în Ad peste Z . Avem ∆( Q() ) = d.

Demonstrație:

Un element din Q() este întreg algebric dacă simultan norma și urma sunt numere întregi. Observăm că putem reprezenta Ad , sub forma

= , cu a, b Q și m, n, pZ , (m, n, p) = 1, p > 0. Avem

T() = 2a = Z și N() = a2- 2b2 = Z . Se obține Z , de unde și Z . Deoarece p2 | 4m2 și p2 | 4dn2 , dar (m, n, p) = 1, rezultă p2 | 4 și p{1, 2}. Am obținut că sau , cu m, n Z . Se observă că dacă p = 1, atunci Z [], iar dacă p = 2, atunci m2 – dn2 0 (mod 4) .

1) Fie d 2, 3 (mod 4). Atunci din m2 – dn2 0 (mod 4) se obține mn0(mod2), deoarece m2, n2 0 sau 1(mod 4).

Prin urmare în cazul d 2, 3 (mod 4) avem p = 1 și m+ n Z [] . Rezultă că {1, } este bază în Ad ̸ Z , iar

∆( Q() ) = = 4d.

2) Fie d 1 (mod 4) . Din m2 – dn2 0 (mod 4) se obține m2 – n2 0 (mod 4), de unde m n (mod 2) . Rezultă că , m, n Z sau , cu m, n Z , ambele impare. Se obține

Ad = , iar ∆( Q() ) = = d.

2.2. Structura grupului unităților inelului Ad :

Ne propunem acum să determinăm structura grupului unităților inelului Ad , grup ce îl vom nota prin Ud . Un element Ad este inversabil dacă și numai dacă N()=1

(în cazul nostru N() = ∙ , unde este „conjugatul lui ” , adică

X2 – (+)X + este polinomul minimal al elementului Ad \ Z ).

Propoziție:

Fie d < 0 un întreg liber de pătrate. Atunci:

U-1 = {}

U-3 = {}, unde ;

Ud = {}, dacă d = -2 sau d < -3.

Demonstrație:

Dacă d , atunci , cu x, y Z , iar N()=1 este echivalent cu x2+ y2= 1. Pentru d < – 1 singurele soluții sunt (,0), iar pentru d=-1, obținem soluțiile (,0), (0,), ceea ce demonstrează propoziția in cazurile menționate.

Dacă d, atunci , cu x, y Z și xy (mod 2). Faptul că N() = este echivalent cu x2+ y2= 4 . Pentru d < – 3 soluția este (2, 0) .

Pentru d = -3, se obțin soluțiile (2,0), (). Concluzia propoziției este justificată.

Propoziție:

Fie d >1 un întreg liber de pătrate. Atunci există astfel încât orice unitate este de forma , m Z .

Demonstrație:

Ecuația lui Pell x2- dy2= 1 are o soluție (x,y), cu x>0, y>0. Rezultă că

1 < u = este unitate în Ad .

Fie M un număr real, M > u. Atunci în intervalul (1,M) există doar un număr finit de elemente din Ud . Într-adevăr, dacă 1<<M și este unitate, atunci N()=∙=1, (0,1).Avem=,= (0,1) și a=) , b=(-) Z . Avem un număr finit de posibilități pentru întregii a și b. În aceste condiții există cea mai mică unitate din Ad în intervalul (1,).

Dacă uUd și u > 0 atunci există un unic sZ astfel încât . Rezultă și deoarece este unitate, avem în mod necesar = 1, adică u=. Dacă u < 0, atunci 0 < – u este de asemenea o unitate și avem u = – pentru un sZ.

Definiție: Unitatea determinată mai sus se numește unitate fundamentală a corpului Q().

Exemplu : În Q() unitatea fundamentală este 2 + , iar în Q() aceasta este 5+2.

O unitate din Ad este de forma cu x, y Z astfel încât x2-y2= 4. De aici rezultă că pentru numerele d care au măcar un factor prim p3(mod 4) este necesar ca x2- d y2= 4, adică orice unitate u are N(u) = 1. Nu este determinată mulțimea întregilor d > 0 pentru care norma unității fundamentale din Ad este – 1. Calculul unității fundamentale chiar pentru valori relativ mici ale lui d poate fi extrem de dificil. Spre exemplu, unitatea fundamentală a corpului Q() este = 2143295 + 221064. Conform unei teoreme a lui Schur, este majorat de .

Rezultatul anterior privitor la unitățile lui Ad este un caz particular al importantei teoreme a lui Dirichlet asupra unităților unui inel de întregi algebrici. Conform acestei teoreme grupul U(AK) al unităților inelului de intregi algebrici AK este un produs direct dintre grupul (finit) al rădăcinilor unității din K și un grup liber de rang s +t -1 , unde s este numărul rădăcinilor reale, iar 2t numărul celor din C \ R ale lui q(∙) , polinomul minimal al unui generator al corpului K ( K = Q () ).

2.3. Numere prime în inele de întregi pătratici:

În continuare prezentăm o caracterizare a numerelor prime p Z care rămân prime ( respectiv ireductibile) într-un inel de întregi pătratici Ad . Aceasta caracterizare este in principal legata de reprezentarea numerelor prime prin forme pătratice binare.

Propoziție:

Fie p un număr prim, , p relativ prim cu d. Atunci:

p este element prim în Ad

Dacă , atunci p este reductibil în Ad există x, y Z astfel încât .

Dacă , atunci p este reductibil în Ad există x, y Z astfel încât .

Demonstrație:

1) Dacă , fie a Z astfel ca (mod p) . Rezultă că p divide și cum p divide , rezultă că acesta nu este prim în Ad . Reciproc, dacă p nu este prim în Ad , există , i = 1,2 astfel încât p divide , dar nu divide nici unul dintre factori ( ceea ce este echivalent cu faptul că p nu divide ). Aplicând funcția normă se obține că p2 divide , de unde p divide cel puțin unul din factori, adică .

2) Dacă avem , cu x,yZ , se obține o descompunere proprie a lui p în Ad , deoarece nu sunt inversabile în Ad , deci p este reductibil. Reciproc, fie , cu Z o descompunere proprie a lui p în Ad.

Aplicând funcția normă se obține , iar Rezultă că .

3) Demonstrația este analoagă celei de la punctul 2), cu mențiunea că acum o descompunere a lui p în Ad este de forma

,

cu și .

Observație:

Fie d astfel încât inelul de întregi Ad este principal. Deci în inelul Ad un element este prim dacă și numai dacă este ireductibil. Rezultă că pentru asemenea numere d (respectând condițiile propoziției anterioare), avem dacă și numai dacă există x,y astfel încât . În particular, pentru d < 0 și d2,3(mod 4) avem dacă și numai dacă p se reprezintă sub forma p = x2 + |d| ∙ y2 .

Capitolul 3

3.1. Ordinele dintr-un corp pătratic:

Numerele dintr-un corp Q() sunt de forma

, a și b fiind raționali.

Deoarece polinomul caracteristic al lui este

X2 – 2aX + a2 – db2,

înseamnă că va aparține ordinului maximal al corpului Q(), dacă și numai dacă 2a= T() și = N() sunt întregi raționali.

Vorbind despre baza ordinului maximal al corpului Q() vom avea în vedere întotdeauna baza 1, , unde = pentru d1(mod 4) și = pentru d2,3(mod 4).

Considerăm un ordin D al corpului Q(). Deoarece D este inclus în ordinul maximal Ď, toate numerele din D sunt de forma a + b, a și b fiind întregi raționali. Să alegem dintre acestea numărul care are cea mai mică valoare pozitivă a coeficientului b. Fie acesta x+ f . Deoarece x este întreg rațional și se găsește deci în D, înseamnă că

f D . Este clar acum că pentru orice a + b din D coeficientul b se divide la f și deci D = {1, f }. Reciproc, pentru orice număr natural f modului {1, f } este inel, deci este și ordin al corpului Q(). Deoarece pentru numere naturale f distincte, ordinele {1, f } sunt de asemenea distincte, se ajunge la următoarea situație : ordinele dintr-un corp pătratic se află în corespondență bijectivă cu numerele naturale.

Notam ordinul {1, f } prin Df . Se constată imediat că numărul f este egal cu iărul f este egal cu indicele ordinului Df în ordinul maximal Ď = D1 = {1, }. În acest fel se deduce că orice ordin al unui corp pătratic este complet definit de indicele său în ordinul maximal.

Să calculăm discriminantul Df al ordinului Df . Vom presupune mai întâi că d1(mod 4). Deoarece T() = 0, atunci

T() = T = 1,

T (2) = T ,

și deci

Df =

Dacă însă d2 sau 3 (mod 4), atunci

Df =

Formulele pe care le-am obținut pentru Df ne arată că orice ordin dintr-un corp pătratic este unic definit de discriminantul său.

Rezultatele punctelor 2.1, 3.1 le sintetizăm în următoarea teoremă :

Teoremă:

Fie d1 un număr întreg rațional liber de pătrate. Ca bază a ordinului maximal Ď din corpul pătratic Q() pot fi luate numerele 1 și , unde = pentru d1(mod 4) și = pentru d 2,3(mod 4). Discriminantul D1 al ordinului Ď (adică discriminantul corpului Q() ) este în primul caz d, iar in cel de-al doilea caz 4d. Un ordin Ď din corpul Q() are forma Df = {1, f }, unde f este indicele (Ď : D). Discriminantul ordinului Df este D1f 2.

Teoremă (privind ordinul maximal al unui corp):

Toate numerele corpului K de numere algebrice, ale căror polinoame minimale au coeficienți întregi raționali formează ordinul maximal al corpului K .

Demonstrație:

Fie D un ordin oarecare al corpului K , iar și numere arbitrare din Ď .

( Ne ajutăm în demonstrație de următoarele rezultate:

Lemă: Dacă D este un ordin arbitrar al corpului K și Ď, atunci inelul D[] compus din toate polinoamele în cu coeficienți din D este de asemenea ordin al corpului K .

Prin aplicarea repetată a acestei leme obținem următorul rezultat:

Consecința 1: Dacă D este un ordin și sunt numere din Ď , atunci inelul D[] al tuturor polinoamelor în cu coeficienți din D este de asemenea un ordin. )

Conform consecinței de mai sus inelul D[,] este ordin, prin urmare este inclus în Ď . Rezultă atunci că diferența și produsul sunt de asemenea incluse în Ď . S-a demonstrat astfel că Ď este inel. Deoarece DĎ se deduce că Ď conține n numere liniar independente. Rămâne sa verificăm doar că Ď este un modul.

Alegem în ordinul D o bază și construim pentru aceasta în corpul K baza reciprocă . Vom arăta că inelul Ď este inclus în modulul D*={}. Fie un element al inelului Ď, pe care îl reprezentăm sub forma

= ,

fiind raționali. Înmulțind această egalitate cu și considerând apoi urma, obținem

= T () ( )

( am utilizat faptul că T () = 1 și T () = 0 dacă ij ).

Cum toate produsele sunt conținute în ordinul D[], deducem că toate numerele sunt întregi și deci D* . În acest mod Ď D*.

( În continuare folosesc următoarele rezultate:

Teoremă:

Orice subgrup N al unui grup abelian M fără elemente de ordin finit și cu un număr finit de generatori are, de asemenea ‚ un număr finit de generatori și astfel are o bază. Mai mult, oricare ar fi baza a grupului M (făcând o numerotare convenabilă a elementelor sale) , există o bază a lui N de forma

fiind întregi, > 0, .

Consecința 2:

Orice subgrup N al unui modul M al corpului K de numere algebrice este de asemenea modul ( submodul al modulului M ). )

Aplicând acum consecința 2 deducem că Ď este modul, și astfel teorema este demonstrată.

Numerele ordinului maximal Ď se vor mai numi și numere întregi ale corpului K . Ordinului Ď i se va mai spune, simplu, inelul intregilor lui K .

Unitățile ordinului maximal Ď se mai numesc unități ale corpului K de numere algebrice.

3.2. Unități:

Deoarece fiecare număr din ordinul Df se reprezintă sub forma x + y, cu x și y întregi raționali, a determina toate unitățile din Df înseamnă a rezolva ecuația nedefinită

N (x + y ) = , (1)

adică ecuația

, (2)

pentru (mod 4) și ecuația

(3)

pentru (mod 4).

În cazul unui corp imaginar pătratic s = 0, t = 1, r = s + t – 1 = 0. (ordinul D aparține spațiului ʆ ( a cărui dimensiune este s + t – 1 ) ), ceea ce înseamnă că grupul unităților din orice ordin al acestui grup este finit și format numai din rădăcinile lui 1. Acest fapt este și în acord cu aceea că ecuațiile (2) și (3) pentru d < 0 au un număr finit de soluții întregi. Anume, pentru d = – 1 sau d = 1 ecuația (3) are patru soluții: x = 1, y =0; x = 0, y = 1, care corespund rădăcinilor de ordin 4 din 1: 1, i . Pentru d = –3, f = 1, ecuația (2) are șase soluții x = 1, y = 0; x = 0, y = 1; x = 1, y = –1; x = –1, y = 1, corespunzând tuturor rădăcinilor de ordinul șase din 1: 1, . Pentru toate celelalte ordine ale corpurilor imaginare pătratice ecuațiile (2), respectiv, (3) au numai două soluții: x = 1, y = 0, adică toate unitățile lor sunt numai numerele 1.

Mai complet se prezintă cazul corpului pătratic Q(), d > 0. Deoarece în acest caz s = 2, t = 0 și deci r = 1, atunci toate unitățile ordinului Df al corpului Q() au forma , unde este așa-numita unitate fundamentală a ordinului Df . Problema a fost în acest fel redusă la determinarea unității fundamentale . Odată cu sunt unități fundamentale și numerele De aceea se poate considera că > 1. Prin condiția > 1, unitatea fundamentală este unic determinată.

Pentru unitatea din Df scrisă sub forma în baza 1, coeficienții x și y sunt pozitivi (pentru d = 5, f = 1 este posibil x = 0 ). Pentru orice vom nota cu conjugatul său, adică imaginea lui prin automorfismul al corpului . Deci . Deoarece , rezultă că unitatea n este sau , sau ; în ambele cazuri , adică și deci y > 0. Apoi deoarece și , cu excepția cazului d = 5, f = 1, atunci x > 0 ( dacă d = 5, f = 1, atunci și deci ).

Fie > 1 unitatea fundamentală a ordinului Df . Pentru unitățile , unde n este natural, avem și . Prin urmare, pentru a determina unitatea fundamentală > 1 trebuie să determinăm soluțiile întregi ale ecuației (1) având pentru x și y valori pozitive minime. Valorile căutate x și y pot fi limitate superior printr-o constantă C, după care determinarea acestora se reduce la un număr finit de determinări.

Numărul de ferificări necesare pentru calculul unității fundamentale poate fi substanțial micșorat dacă utilizăm un rezultat din teoria fracțiilor continue. Este vorba despre o teoremă care afirmă că dacă numărul real > 0 și numerele naturale relativ prime x și y satisfac relația

,

atunci este neapărat una din fracțiile (adică una din “redusele” asociate cu ( V. Sudan , G., Geometrizarea fracțiilor continue, Ed Tehnică, București, 1959)) care intră în dezvoltarea in fracție continuă a numărului .

Din relația (1) se deduce

Dacă d 1 (mod 4), atunci lăsând la o parte cazul d = 5, f = 1 găsim

( deoarece > 0 și > 2 ). Dacă însă d 2,3 (mod 4), atunci cum și , avem

.

Conform teoremei amintite fracția ireductibilă este una dintre fracțiile care intră în dezvoltarea numărului irațional în fracție continuă. Pentru a afla cea mai mică soluție pozitivă a ecuației (1) trebuie deci să verificăm numai numărătorii și numitorii care corespund acestora în fracțiile care intră în (care nu sunt mai mari decât constanta C anterior calculată ).

Calculul se poare desfășura practic în modul următor. Găsim pentru numărul în mod succesiv câturile parțiale qk , k 0 (qk se mai numesc și “numitori incompleți” ( V. Sudan, G.)) și imediat numărătorii Pk și numitorii Qk ai fracțiilor corespunzătoare. Calculul se continuă până când, după un număr de pași, expresia N (Pk+ Qk) devine +1 sau . Aceasta va avea loc neapărat pentru Pk < C, și astfel va fi determinată unitatea fundamentală . ( Cu excepția cazului d = 5, f = 1, caz în care unitatea fundamentală este ) Să ilustrăm cele afirmate prin două exemple :

EXEMPLUL 1 : Pentru a găsi unitatea fundamentală a ordinului {1,3} din corpul Q(), descompunem numărul în fracție continuă :

= 7+();

Putem deci completa tabelul :

Unitatea fundamentală a ordinului {1,3} este deci 485 + 66= 485 + 198.

EXEMPLUL 2 : Să calculăm unitatea fundamentală a corpului Q().

Avem :

Putem completa deci tabelul :

Unitatea fundamentală din ordinul maximal al corpului Q() este deci

.

3.3. Studiul modulelor complete din corpurile pătratice:

Definiția 1: Fie K un corp de numere algebrice și un sistem finit arbitrar de numere din K. Mulțimea M a tuturor combinațiilor liniare

cu coeficienți întregi raționali se numește modul în corpul K . Numerele se numesc în acest caz generatori ai modulului M.

Bineînțeles că unul și același modul M poate fi dat prin sisteme diferite de generatori. Faptul că este un sistem de generatori ai modulului M se scrie M = {}

Definiția 2: Două module M și M1 din corpul K de numere algebrice se spune că sunt asemenea, dacă M1 = M pentru un anumit din K .

Definiția 3: Dacă modulul M din corpul K de numere algebrice al cărui grad este n conține n numere liniar independente ( peste corpul numerelor raționale ), atunci el se numește complet, iar în caz contrar, necomplet.

Deoarece orice modul {} este asemenea cu modulul , ne putem limita la examinarea modulelor de forma .

Orice număr irațional din Q() este rădăcină a unui polinom cu coeficienți întregi raționali. Dacă impunem lui a, b, c condiția (a, b, c) = 1 și a > 0, atunci pentru dat polinomul va fi unic definit. În cele ce urmează vom nota acest polinom prin . Pentru conjugatul numărului avem = . Mai mult, chiar egalitatea = subzistă dacă și numai dacă este fie egal cu , fie cu .

Lema 1:

Dacă pentru numărul irațional din Q() polinomul este , atunci inelul stabilizatorilor D modulului M = este ordinul având discriminantul D = .

Demonstrație:

Considerăm numărul , cu x și y raționali. Deoarece incluziunea este echivalentă cu faptul că și

atunci aparține inelului stabilizatorilor D , dacă și numai dacă numerele raționale

sunt toate întregi, adică atunci când x și y sunt întregi și, mai mult, y se divide prin a (această divizibilitate rezultă din faptul că (a, b, c) = 1 ). S-a demonstrat astfel că D = =. Pentru a încheia demonstrația lemei 1 mai trebuie calculat discriminantul ordinului D :

.

Consecință:

Folosind aceleași notații, norma modulului este .

Într-adevăr, matricea de trecere de la baza 1, la baza 1, este .

Lema 2:

Pentru ca modulele și să fie asemenea, este necesar și suficient ca numerele 1 și să satisfacă o relație de tipul

, (4)

unde k, m, n sunt întregi raționali care verifică egalitatea

. (5)

Demonstrație:

Deoarece două baze diferite ale aceluiași modul sunt legate printr-o transformare unimodulară , atunci din egalitatea se deduce

, ,

întregii raționali k, l, m, n verificând condiția (5). Împărțind prima dintre aceste egalități prin cea de-a doua obținem chiar (4). Atunci

egalitatea = este îndeplinită datorită relației (5). Demonstrația lemei 2 este astfel terminată.

Definiție:

Sistemul de generatori ai modulului M se numește bază a sa, dacă este liniar independent peste inelul numerelor întregi, adică dacă egalitatea

( )

este satisfăcută numai pentru coeficienți nuli .

Bineînteles că dacă reprezintă o bază a modulului M, orice număr admite o reprezentare și numai una de tipul

( ).

Să considerăm acele module din corpul Q() care aparțin unui ordin fixat D (adică acele module pentru care D este inel de stabilizatori ).

Teorema 1:

Pentru orice ordin D din corpul K de numere algebrice există numai un număr finit de clase de module asemenea care admit pe D ca inel al stabilizatorilor.

Demonstrație:

Fie M un modul având ordinul D ca inel al stabilizatorilor. Să notăm cu D discriminantul modulului M și cu D0 discriminantul ordinului D . Alegem în modulul M numărul nenul care satisface relația

,

unde n = s + 2t este gradul corpului K . Pe baza formulei D = D0 N (M)2 , condiția de mai sus devine

.

Deoarece D atunci D .

Dăm acum o lemă ce ne va ajuta în această demonstrație :

Lemă: Dacă M0 este un grup abelian fără elemente de ordin finit și având rangul n, iar M este un subgrup având același rang n, atunci indicele ( M0: M) este finit și egal cu valoarea absolută a determinantului matricii de trecere A de la o bază oarecare a lui M0 la o bază a lui M.

Mai mult, pe baza lemei anterioare și a definiției normei unui modul avem

D = .

Am demonstrat astfel că în orice clasă de module asemenea care au inelul stabilizatorilor D , se găsește un modul M pentru care

D , (:D ) . (6)

Se știe că

Pentru orice modul complet și orice număr natural r există numai un număr finit de module M în K , care îl conțin pe M0 și .

Pe baza acestui rezultat în corpul K se află în general numai un număr finit de module M care satisfac condiția (6). Prin urmare numărul claselor de module asemenea care au inelul stabilizatorilor D este de asemenea finit, si astfel teorema este demonstrată.

Conform teoremei anterioare modulele din corpul Q() care aparțin unui ordin fixat D se descompun într-un număr finit de clase de module asemenea. Vom introduce acum operația de înmulțire a claselor și vom arăta că toate clasele de module asemenea care aparțin ordinului dat D formează grup relativ la această operație.

Fiind date două module și , prin produsul acestora MM1 se înțelege modulul . Pentru și este verificată formula

. (7)

Pentru fiecare modul M vom nota prin [M] clasa de module asemenea care admit pe M ca reprezentant. Din egalitatea (7) se deduce dependența clasei [MM1] numai clasele [M] și [M1]. Clasa [MM1] se numește produsul claselor [M] și [M1]. Pentru a înmulți două clase este deci necesar să se aleagă câte un reprezentant în fiecare dintre acestea și apoi să se înmulțească între ei. Clasa de module asemenea care va conține produsul obținut va fi chiar produsul claselor date.

Pentru orice modul M vom nota cu M modulul compus din numerele conjugate cu toate numerele din M. Deoarece este rațional, atunci Q() și deci M împreună cu M sunt module complete ale corpului Q(). Se constată imediat că pentru orice ordin D modulul său conjugat D coincide cu D . Rezultă astfel că două module conjugate au același inel de stabilizatori.

Să demonstrăm formula

MM = N (M)D, (8)

unde prin D am notat inelul stabilizatorilor, iar N(M) este norma modulului M.

Să presupunem mai întâi că modulul M are forma {1, }. În acest caz, folosind notația din lema 1, obținem

.

Deoarece numerele a, b, c sunt relativ prime, se deduce că toate combinațiile lor liniare cu coeficienți întregi coincid cu inelul Z al numerelor întregi și, în consecință,

D = N(M)D ,

(consecința lemei 1). Dacă M este un modul, acesta poate fi pus sub forma M = fiind de forma {1, }. Deci

D = D = N(M)D ,

și formula (8) a fost astfel demonstrată pentru cazul general.

Fie acum două module M și M1 aparținând aceluiaș ordin D . Dacă Đ este inelul stabilizatorilor pentru produsul MM1, atunci în virtutea formulei (8), avem

Đ .

Pe de altă parte, deoarece înmulțirea modulelor este, evident, comutativă și asociativă, înmulțind formulele MM = N (M)D și M1M1= N (M1)D , obținem

MM1(MM1) = N(M )N(M1)D .

Comparând această egalitate cu cele precedente și având în vedere că două ordine diferite nu pot fi asemenea, deducem egalitatea D = Đ . Așadar, pe baza faptului că egalitatea aD = bD , a și b fiind numere raționale pozitive, nu este posibilă decât dacă a = b, obținem formula

N(MM1) = N(M)N(M1).

În acest mod, dacă modulele M și M1 aparțin ordinului D , atunci produsul acestora MM1 aparține și el lui D . Deoarece pentru orice modul M avțnd inelul de stabilizatori D sunt verificare simultan relațiile MD = M și D , obținem astfel următorul rezultat.

Teorema 2:

Toate modulele unui corp pătratic, care aparțin unui ordin fixat, formează grup relativ la operația de înmulțire a modulelor .

Din teoremele 1 și 2 se deduce următoarea teoremă:

Teorema 3:

Toate clasele de module asemenea dintr-un corp pătratic având același inel de stabilizatori D formează un grup finit, comutativ .

Observăm că teoremele 2 și 3 sunt specifice modulelor din corpuri pătratice și iși pierd valabilitatea pentru module care aparțin unui ordin nemaximal al unui corp de numere algebrice.

3.4. Forme pătratice binare – definiții :

O formă pătratică peste corpul K (corp arbitrar de caracteristică diferită de 2) este un polinom omogen de gradul al doilea cu coeficienți din K . Orice formă pătratică f poate fi scrisă sub forma

,

unde aij = aji . Matricea simetrică se numește matricea formei pătratice f . O formă pătratică este complet determinată, până la notarea nedeterminatelor, de către matricea sa. Determinantul d = det A se numește determinantul formei pătratice f . Dacă d = 0 forma f se numește singulară, în caz contrar se numește nesingulară.

Teoremă:

Dacă forma pătratică f în n nedeterminate reprezintă elementul , atunci este echivalentă cu o formă de tipul

,

unde g este o formă pătratică in n – 1 nedeterminate.

Dacă matricea formei pătratice este diagonală (adică toți coeficienții produselor nedeterminantelor distincte sunt nuli), atunci o astfel de formă o vom numi diagonală.

Teoremă:

Orice formă pătratică peste corpul K poate fi adusă la forma diagonală printr-o transformare liniară nesingulară a nedeterminatelor. Altfel spus, orice formă pătratică este echivalentă cu o anumită formă diagonală.

3.4.1. Reprezentarea numerelor întregi prin forme pătratice binare:

Studiul sistematic al formelor pătratice binare cu coeficienți întregi, f (X,Y) = aX2 + bXY + cY2 , inițiat de Lagrange în lucrarea Recherches d’Arithmetique din 1793 a fost continuat de Gauss în Disquisitionae Arithmeticae (1801).

Definiție: Forma f (X,Y) = aX2 + bXY + cY2 se numește primitivă dacă a, b, c sunt relativ prime. Spunem că numărul întreg m este reprezentat de forma f (X,Y) dacă există x, y astfel încât m = f (x, y). Reprezentarea se numește proprie dacă x, y sunt relativ prime.

Definiție: Formele f (X,Y) și g(X,Y) se numesc echivalente și notăm f ~ g dacă există p, q, r, s astfel încât f (X,Y) = g (pX + qY, rX + sY ), iar

.

(Cu alte cuvinte, două forme pătratice f și g se numesc echivalente dacă există o transformare liniară nesingulară a nedeterminatelor cu ajutorul căreia una din aceste forme să se transforme in cealaltă (până la notarea nedeterminatelor)

Teoremă: Dacă două forme pătratice sunt echivalente, determinanții acestora diferă printr-un factor nenul care este pătrat în K (corp arbitrar de caracteristică diferită de 2) ).

Prin urmare , grupul matricelor inversabile din 2(Z). Se constată ușor că relația definită mai sus este o relație de echivalență ( reflexivă, simetrică și tranzitivă), formele echivalente reprezintă aceleași numere întregi ( aceasta rezultă din faptul că pentru orice u, v , sistemul are, în condițiile date, soluții întregi ), iar o formă echivalentă cu o altă primitivă este de asemenea primitivă.

Definiție: Spunem că f este propriu echivalentă cu g dacă ps – qr = 1, adică , această condiție producând de asemenea o relație de echivalență pe mulțimea formelor cu coeficienți întregi. Dacă ps – qr = – 1 , formele f și g se numesc impropriu echivalente .

Lemă: Numărul întreg m este propriu reprezentat de forma f, dacă și numai dacă există b, c, astfel încât f (X,Y) este echivalentă cu mX 2 + bXY + cY 2 .

Demonstrație:

Dacă m = f (p, q), cu (p, q) = 1, fie r și s astfel încât ps – qr = . Avem

cu a, b, c. Reciproc, observând că forma mX 2 + bXY + cY 2 reprezintă propriu pe m, luând (x, y) = (0, 1), rezultă că și forma echivalentă f (X,Y) îl reprezintă propriu pe m.

Definiție: Dacă f(X,Y) = aX2 + bXY + cY2 , numim discriminantul formei.

Fie f(X,Y), g(X,Y) având discriminant , respectiv , iar f (X, Y) = g (pX +qY , rX + sY ), cu p, q, r, s. Prin calcul direct se constată că . Prin urmare, două forme echivalente au același discriminant.

Avem, de asemenea,

.

Dacă numim forma f nedefinită ( în acest caz ea poate reprezenta atât numere pozitive cât și numere negative). Dacă < 0 și a > 0 forma f se numește pozitiv definită ( aceasta poate reprezenta doar numere pozitive). Dacă < 0 și a < 0 forma f se numește negativ definită .

Observație: Deoarece (mod 4) rezultă că b este par ( respectiv impar) după cum 0 (respectiv 1) modulo 4.

Propoziția 1: Fie , 0 sau 1 modulo 4, și m un întreg impar relativ prim cu . Atunci există o formă f(X,Y), primitivă având discriminantul și care îl reprezintă propriu pe m dacă și numai dacă este rest pătratic modulo m. (dacă m este par, condiția este: este rest pătratic modulo 4m .)

Demonstrație:

Dacă f(X,Y) îl reprezintă propriu pe m , conform lemei anterioare putem presupune f(X,Y) = mX 2 + bXY + cY 2. Rezultă și (mod m). Reciproc, fie b astfel încât (mod m). Înlocuind eventual m cu b + m , putem presupune că și b au aceeași paritate. Deoarece 0,1(mod 4), obținem (mod 4m), adică pentru un anumit c. Atunci forma mX 2 + bXY + cY 2 îl reprezintă propriu pe m (luând x = 1, y = 0 ) are discriminantulegal cu și are coeficienți relativ primi, deoarece (m, ) = 1.

Corolar: Fie n și p > 2 un prim cu ( n, p) = 1. Atunci dacă și numai dacă există o formă primitivă de discriminant – 4n ce reprezintă numărul p .

Demonstrație:

Consecință imediată a propoziției anterioare, deoarece

.

Observație: În cazul formelor f (X, Y) = X 2 + nY 2, n {1, 2, 3} având , condiția este și suficientă pentru ca numărul prim p > 2 sa fie reprezentat de f .

Se pune problema dacă există ( și cât de multe ) forme neechivalente având același discriminant .

Abordăm această problemă mai întâi în cazul formelor pozitiv definite (ce include și formele X 2 + nY 2, ).

Fie f (X, Y) = aX 2 + bXY + cY 2 o formă pătratică pozitiv definită, adică a > 0 și ( rezultând că și c > 0 ).

Definiție: Spunem că forma primitivă și pozitiv definită aX 2 + bXY + cY 2 este redusă dacă și în cazul sau a = c .

Teorema 4:

Orice formă primitivă pozitiv definită este propriu echivalentă cu o unică formă redusă .

Corolar: Mulțimea formelor reduse de discriminant < 0 este finită. Prin urmare, numărul notat h (), al claselor de echivalență proprie pe mulțimea formelor pozitiv definite de discriminant este finit .

Demonstrație:

Dacă aX 2 + bXY + cY 2 este o formă redusă de discriminant < 0, avem și , de unde . Obținem și deci pentru fixat există un număr finit de posibilități pentru a și b . Din se obține același lucru și pentru c.

Să considerăm formele binare fn (X, Y) = X 2 + nY 2, n > 0, de discriminant n = – 4n . Conform propoziției 1, în cazul când h (– 4n) = 1, numărul prim impar p prim cu n , poate fi reprezentat sub forma x2 + ny2 = p , cu x, y , dacă și numai dacă . Acesta este și cazul formelor X 2 + Y 2 , X 2 + 2Y 2 , X 2 + 3Y 2 de discriminanți respectiv – 4, – 8, – 12. Pentru n = 5, h (– 20) = 2, cele două forme reduse fiind X 2 + 5Y 2 și 2X 2 + 2XY + 3Y 2 ; pentru n = 7, h (– 56) = 4, h (– 108) = 3, h (– 256) = 4.

Dacă este pătrat perfect (incluzând și cazul ac = 0), forma f (X, Y) se factorizează într-un produs de forme liniare, iar problema reprezentării numerelor întregi de către f se rezolvă într-un mod specific, mai simplu. În continuare presupunem că este pătrat perfect. În cazul formelor indefinite, rezultatele sunt analoage, dar problema unicității este mult mai complexă.

Propoziția 2: În orice clasă de echivalență proprie există o formă aX 2 + bXY + cY 2 astfel ca .

Demonstrație :

Fie a0X 2 + b0 XY + c0Y 2 = f (X, Y) un reprezentant dintr-o clasă dată C și a cu |a| minim între întregii nenuli reprezentați de formele din C . Atunci există r și t astfel încât , iar d = (r, t) = 1, deoarece în caz contrar este de asemenea reprezentat de f , contrazicând astfel alegerea lui a. Putem alege r și u astfel ca ru – st = 1. Atunci matricea transformă într-o formă aX 2 + b XY + c Y 2 . Fie b = 2ah + b cu h ales astfel ca . Matricea transformă aX 2 + b XY + c Y 2 în formă aX 2 + bXY + cY 2 = g (X, Y). Dar forma g reprezintă pe c și prin urmare . Observăm că , întrucât nu este pătrat perfect.

Corolar: Numărul h() al claselor de echivalență proprie de forme având discriminantul dat este finit.

Demonstrație:

Este suficient să considerăm cazul >0 al formelor indefinite. Conform propoziției 2 avem , de unde ac < 0 . De asemenea, . Obținem și conform propoziției . Acestea împreună cu relația arată că avem un număr finit de posibilități de alegere pentru aX 2 + bXY + cY 2 , reprezentanți ai claselor ca satisfac .

Observație: Conform corolarului anterior și având in vedere că formele echivalente reprezintă aceleași numere, rezultă că se poate decide printr-un număr finit de pași dacă un număr întreg dat se poate reprezenta printr-o formă f , dată.

În concluzie, pentru formele de discriminant <0, numărul claselor de echivalență proprie este dat de numărul de reprezentări ale lui sub forma cu și (în cazul a = |b| sau a = c ) .

În anul 1903 Landau a demonstrat următoarea conjectură a lui Gauss privitoare la formele de discriminant .

Teoremă:

Fie . Atunci h () = 1 dacă și numai dacă n {1, 2, 3, 4, 7}.

Pentru a rezolva problema clasificării, Gauss a definit pe mulțimea formelor pătratice binare de discriminant dat o operație de compunere compatibilă cu echivalența (proprie) a formelor . În raport cu operația indusă, mulțimea claselor de echivalență devine grup abelian. De asemenea, a definit și alți invarianți ai claselor de echivalență.

3.4.2. Forme pătratice modulo număr prim:

Teorema 5 (teorema lui Chevalley):

Dacă F() este o formă de grad r < n , atunci congruența

F(mod p),

admite și soluții nebanale .

Următorul rezultat se deduce direct din teorema lui Chevalley.

Teorema 6: Fie f() o formă pătratică cu coeficienți întregi . Dacă , atunci congruența

f()0 (mod p )

admite și o soluție nenulă .

Cazul formelor pătratice binare de o nedeterminată nu prezintă interes ( dacă (mod p) atunci congruența (mod p) are numai soluția nulă).

Examinăm cazul formelor pătratice binare.

Vom considera că (pentru n = 2, p = 2 se pot trece în revistă ușor toate formele pătratice respective). În acest caz forma poate fi scrisă astfel

f (x, y) = .

Determinantul (discriminantul) acesteia îl vom nota cu d .

Teorema 7: Congruența

(mod p) () ()

are o soluție nebanală, dacă și numai dacă determinantul său d este divizibil cu p sau este rest pătratic modulo p .

Demonstrație:

Este evident că pentru două forme f și f1, echivalente peste corpul Zp congruențele () admit sau nu, simultan o soluție nenulă. Mai mult, fiindcă prin trecerea la o formă echivalentă determinantul se înmulțește cu pătratul unui element nenul al corpului Zp, în demonstrația teoremei se poate înlocui forma f cu orice formă echivalentă. Orice formă este echivalentă cu o formă diagonală; se poate astfel considera că

f = ax2 + cy2, d = ac.

Dacă sau (mod p), teorema este evidentă. Dacă însă (mod p) și congruența () admite soluția nenulă (), atunci din congruența

(mod p)

se obține

(mod p).

(fracția (mod p) reprezintă rezultatul împărțirii în corpul Zp, adică soluția congruenței (mod p) )Astfel, Reciproc, dacă și

(mod p), se poate lua .

3.5. Corespondența dintre module și forme:

Fiecărei baze a modulului complet îi corespunde în mod unic o formă pătratică binară cu coeficienți raționali. Deoarece pentru baze diferinte în M formele care le corespund acestora sunt echivalente, reiese că modulului M îi corespunde o clasă de forme echivalente. Dacă în locul lui M se ia modulul asemenea cu el, atunci toate formele noastre se înmulțesc cu termenul constant . În consecință, considerând formele și făcând abstracție de un factor constant, se poate afirma că fiecărei clase de module asemenea îi corespunde o clasă de forme echivalente. Această corespondență nu este totuți o bijecție. Într-adevăr, modulele conjugate și nu sunt în general asemenea însă formele care le corespund acestora coincid. O situație asemănătoare se întâlnește, desigur, și pentru formele decompozabile de orice grad. În general, pe cât se pare, nu există un mod general de a elimina această neconcordanță între clasele de forme și clasele de module. Pentru corpurile pătratice însă, după cum vom vedea imediat, se poate stabili o bijecție, modificând ușor definițiile echivalenței formelor și asemănării modulelor.

Definiție:

Forma pătratică binară f (x,y) = Ax2 + Bxy + Cy2 cu coeficienți întregi raționali se numește primitivă dacă cel mai mare divizor comun al coeficienților săi este 1.

Numărul întreg B2 – 4AC se numește discriminantul formei primitive f .

În consecință, discriminantul unei forme primitive se deosebește de determinantul său AC – prin factorul constant – 4.

Se constată imediat că pentru o formă primitivă orice formă echivalentă cu ea va fi de asemenea primitivă. Printr-o transformare liniară de matrice C a nedeterminatelor, determinantul formei pătratice se înmulțește cu factorul (det C )2, ceea ce arată că acesta rămâne neschimbat numai în cazul cand det C = . Se deduce astfel că formele primitive echivalente au același determinant.

Definiție:

Două forme primitive se numesc propriu echivalente dacă una dintre ele se transformă în cealaltă printr-o transformare liniară cu coeficienți întregi a nedeterminatelor și având determinantul +1 .

Formele pătratice binare primitive se descompun în clase de forme propriu echivalente. Pe tot parcursul acestui punct, când se va vorbi de clase de forme, vom subînțelege că este avută în vedere echivalența proprie. Se întâlnește însă adesea cazul când două forme echivalente impropriu (adică transformându-se una în alta printr-o transformare liniară de determinant egal cu – 1) vor fi și propriu echivalente.

Dăm acum o nouă definiție asemănării modulelor.

Definiție:

Două module complete M și M1 dintr-un corp pătratic se spune că sunt asemenea în sens restrâns, dacă , unde este un element cu normă pozitivă .

Deoarece în cazul corpurilor pătratice imaginare norma oricărui element nenul este pozitivă, înseamnă că în aceste corpuri noțiunea de asemănare în sens restrâns nu se deosebește cu nimic de noțiunea obișnuită de asemănare. Aceeași situație se întâlnește și în cazul corpurilor pătratice reale cu condiția ca în inelul de stabilizatori D al modulelor considerate să existe o unitate pentru care N () = – 1. Într-adevăr, dacă și , atunci deoarece M = M , rezultă M1 = (a)M, unde N(a) > 0. Reciproc, presupunând că asemănarea în sens restrâns coincide cu cea obișnuită, adică din , M () < 0, rezultă existența unui anumit pentru care N () > 0 și . Luând , avem , ceea ce înseamnă că este unitate în inelul de stabilizatori D , iar .

În acest mod, noțiunea de asemănare în sens restrâns se deosebește de noțiunea obișnuită de asemănare numai pentru acele module ale unui corp pătratic real, în inelul de stabilizatori ale carui unități au toate norma +1. Este clar că în acest caz fiecare clasă de module asemenea în sens larg se descompune exact în două clase de module asemenea în sens restrâns.

Descriem acum corespondența între clasele de module și clasele de forme.

În fiecare modul M din corpul Q() vom considera numai astfel de baze , pentru care determinantul

(9)

satisface condiția

când d > 0,

(10) când d < 0.

(Ca și mai sus , și sunt numere din Q() conjugate cu și . Exisă

întotdeauna baze în M care au proprietatea (10): dacă o primă bază nu are această

proprietate, este suficient să se schimbe ordinea lui cu .)

Fiecărei baze a modulului M , care satisfac condiția (10), îi punem în corespondență forma

(11)

(N(M) este norma modulului M). Dacă pentru numărul vom considera polinomul , atunci vom avea

.

Pe de altă parte, conform consecinței lemei 1 și a teoremei:

Teoremă:

Normele a două module complete asemenea M și satisfac relația

În particular, pentru module asemenea cu ordinul D, se verifică egalitatea

N(D) = .

norma modulului M = este . Se deduce astfel că A, B, C se deosebesc de coeficienții a, b, c , eventual, prin semn. S-a demonstrat prin aceasta că forma (11) este primitivă și discriminantul său B2 – 4AC coincide cu discriminantul b2 – 4ac al inelului de stabilizatori ai modulului M. În acest mod, se găsește aplicația:

(12)

care pune în corespondență fiecărei baze a corpului Q(), care satisface (10), forma primitivă f (x,y). (În cazul corpurilor reale, coeficientul A poate fi negativ.) Bineînțeles că în cazul corpurilor imaginare pătratice forma (11) este întotdeauna pozitiv definită, astfel că formele negativ definite rămân în afara corespondenței (12).

Teorema 8:

Fie M mulțimea claselor de module asemenea în sens restrâns din corpul pătratic Q() și F mulțimea tuturor claselor de forme pătratice binare primitive propriu echivalente pentru d > 0 și pozitiv definite prentu d < 0, decompozabile în Q() în factori liniari . Aplicația (12) stabilește o corespondență bijectivă între M și F ; dacă ordinul de stabilizatori al unei clase de module are discriminantul D, atunci formele care îi corespund au de asemenea discriminantul D .

Fie și două baze ale corpului Q() pentru care determinanții de forma (9) satisfac condiția (10) și fie f și f 1 formele care corespund acestor baze. Pentru a demonstra teorema trebuie să arătăm că formele f și f 1 sunt propriu echivalente, dacă și numai dacă modulele {} și {} sunt asemenea în sens restrâns. Trebuie să ne convingem apoi că pentru orice formă ireductibilă primitivă f(x,y) (decompozabilă în factori liniari în Q() și pozitiv definită dacă d < 0) există o bază satisfăcând condițiile (10), astfel ca forma (11) să coincidă cu g(x,y).

La punctul 3.3 a fost definit produsul claselor de module asemenea. Putem defini produsul claselor de module asemenea în sens restrâns, exact în același mod. În virtutea corespondenței bijective M F , înmulțirea claselor de module poate fi transpusă asupra claselor de forme. Operația de înmulțire astfel definită pe F se numește compunere a claselor de forme (termenul îi aparține lui Gauss, care a considerat pentru prima dată această operație). Deoarece toate clasele de module asemenea în sens restrâns, care aparțin unui inel fixat de stabilizatori, formează un grup, se deduce că toate clasele de forme primitive avțnd discriminantul D dat (pozitiv definite pentru D < 0) formează de asemenea un grup.

3.6. Corespondența forme pătratice binare – modulele asemenea:

În cuprinsul acestui punct vom arăta că problema determinării reprezentării numerelor întregi prin forme pătratice binare poate fi redusă la problema asemănării modulelor într-un corp pătratic.

Fie f (x,y) o formă pătratică binară având discriminantul D nenul și decompozabilă în factori liniari în corpul Q(), iar m un număr natural. În cazul D < 0 presupunem că forma f este pozitiv definită. Problema constă în a determina toate soluțiile întregi ale ecuației nedefinite

f (x,y) = m (13)

(ne mărginim la valorile pozitive ale lui m, deoarece în cazul m < 0, D > 0 în locul lui f

poate fi considerată forma – f ). Conform teoremei 8 vom avea

, (14)

unde baza a modulului M satisface condiția (10). Aplicația stabilește o bijecție între mulțimea soluțiilor ecuației (13) și mulțimea numerelor de normă . Două soluții ale ecuației (13) se vor numi asociate, dacă numerele care le corespund în M sunt asociate. Se verifică imediat că noțiunea de asociere a soluțiilor nu depinde de reprezentarea (14). Să notăm cu D inelul de stabilizatori al modulului M și prin C clasa de module în sens restrâns care are ca reprezentant pe M . Conform teoremei 8 clasa este unic determinată de forma f .

Fie numărul având norma . Considerăm modulul . Deoarece AM = M = D, rezultă că modulul A este conținut în D. Norma sa este . Rezultă imediat că și A este conținut în clasa de module C-1 ,inversa clasei C .

Reciproc, presupunem că în clasa C-1 se găsește un modul A, inclus în ordinul D și având norma m . Atunci, pentru un anumit având norma pozitivă este satisfăcută egalitatea, iar și . Dacă A1 este un alt modul din clasa C-1 inclus în D și având norma m și dacă , atunci și deci A1 coincide cu A, dacă și numai dacă este asociat cu .

Am demonstrat astfel următoarea teoremă:

Teorema 9:

Considerăm forma f (x,y) care corespunde clasei de module C (în sens restrâns) având inelul de stabilizatori D. Toate clasele de soluții asociate ale ecuației (13) se găsesc în corespondență bijectivă cu modulele A care aparțin clasei inverse C-1 , conținute în inelul de stabilizatori D și având norma m. Soluțiile (x, y) care corespund modulului A sunt definite de numerele pentru care , unde M este un modul din clasa C .

Oricare ar fi numărul natural m, putem descrie toate modulele A care au inelul de stabilizatori D, incluse în D și având norma m. Fie A un astfel de modul. Să notăm prin k cel mai mic număr natural conținut în A. În acest caz putem scrie modulul A sub forma

Generatorul este definit aici până la semn și la o constantă întreagă aditivă. De aceea

putem alege ca, mai întâi,

când d < 0

(15)

Irr, când d > 0.

(Irr este partea irațională a numărului), și, apoi, astfel ca partea irațională a lui să aparțină intervalului . Dacă plicăm notația din lema 1 numărului și îl scriem sub forma

(16)

a doua condiție devine

. (17)

Pe baza egalității D =și a condiției D , obținem imediat că a divide k, adică k = as, s fiind întreg. Deoarece m = N(A) = (consecință a lemei 1), atunci

m = as2. (18)

Vom arăta că reprezentarea modulului A sub forma

A = as{1,}, (19)

cu a, s și satisfăcând condițiile (18), (15) și (17) este unică. Într-adevăr, dacă as{1,}= {1,}, și îndeplinesc aceleași condiții, atunci as = și deci {1, }={1, }. Pe baza consecinței lemei 1 se deduce astfel egalitatea a = și, în consecință, s =. Mai mult, deoarece generatorul din modulul {1,}, satisfăcând condițiile (15) și (17), este unic definit, rezultă că =.

Să presupunem acum că, reciproc, fiind dar numărul natural m vom alege numerele naturale a și s astfel încât să fie verificată egalitatea (18). Dacă b și c verifică condițiile:

) , (20)

atunci pentru un număr de forma (16) modulul A = as{1,} va fi conținut în inelul său de stabilizatori D ={1,a} și norma sa va fi .

În acest mod vom determina toate modulele A care ne sunt necesare dacă se găsesc toate cvadruplele de numere întregi s > 0, a > 0, b, c, satisfăcând condițiile (18) și (20).

Dacă dispunem de un algoritm cu ajutorul căruia se poate decide asupra asemănării în sens restrâns a două module complete din corpul Q(), atunci, scriind toate modulele D de normă m, putem separa dintre acestea pe cele asemenea cu modulul M. Pe baza teoremei 9 vom determina astfel toate soluțiile ecuației (13).

Din teorema 9 rezultă imediat următoarea afirmație.

Teorema 10:

Pentru ca numărul natural m să fie reprezentat printr-o formă pătratică binară primitivă având discriminantul D, este necesar și suficient ca în ordinul D de discrimi- nant D să existe un modul A având norma m. Faptul că modulul A are norma m echivalează cu existența întregilor a > 0, s >0 , b, c, satisfăcând condițiile m =as2, b2 – 4ac = D, (a, b, c) = 1, .

În cazul în care D este discriminantul ordinului maximal D, a doua afirmație a teoremei 10 admite o simplificare. Anume:

Teorema 11:

Fie D discriminantul unui corp pătratic (adică discriminantul ordinului maximal). Condiția necesară și suficientă pentru ca numărul natural m =as2, a fiind liber de pătrate, să fie reprezentabil printr-o formă binară primitivă de discriminant D este ca congruența

(mod 4a) (21)

să fie rezolubilă.

3.7. Asemănarea modulelor într-un corp pătratic imaginar:

În cazul corpului pătratic imaginar Q(), d < 0, exisă un procedeu extrem de simplu de rezolvare a problemei asemănării modulelor.

Reprezentarea geometrică a numerelor Q() prin punctele spațiul R2 coincide cu reprezentarea uzuală a numerelor complexe în plan. Numerele dintr-un modul complet Q() se reprezintă în acest fel prin puncte (sau vectori) ai unei rețele complete din R2. În cadrul acestui punct vom identifica adesea numerele complexe cu imaginile lor din planul R2, astfel că rețeaua din R2 care corespunde modulului M o vom nota tot cu M. Deoarece înmulțirea punctelor rețelei M cu numărul complex nenul se reduce la o rotație a rețelei M (în jurul originii) cu unghiul arg și o dilatare de || ori, atunci pentru modulele asemenea M și M, rețelele care le corespund vor fi asemenea în sens geometric elementar. Tocmai pe această proprietate ne vom baza în cele ce urmează.

Problema asemănării a două rețele din plan se rezolvă construind pentru fiecare dintre ele o anumită bază specială, numită redusă. Baza redusă este formată din cel mai scurt vector nenul și cel mai scurt vector necoliniar cu acesta, (îndeplinind, în plus, alte câteva condiții). Să arătăm că pentru orice rețea M o astfel de pereche de vectori formează întotdeauna o bază. Într-adevăr, presupunând contrariul, în M ar exista vectorul pentru care numerele reale u și v nu ar fi simultan întregi. Adăugând acestui vector în mod convenabil o combinație liniară cu coeficienți întregi a lui și , putem obține , desigur, ca și . Dacă v, atunci conform alegerii lui , ar trebui ca , ceea ce contrazice inegalitatea

.

Dacă însă v = 0, atunci ceea ce contrazice alegerea lui . În acest mod afirmația noastră este demonstrată.

Dacă este unul dintre cei mai scurți vectori, iar este cel mai scurt dintre vectorii necoliniari cu acesta, lungimea proiecției vectorului pe vectorul nu depășește . Într-adevăr, printre vectorii (n întreg) există, evident, un vector a cărui lungime a proiecției sale este . Pe de altă parte, dintre vectorii cea mai mică lungime o are vectorul cu cea mai mică proiecție.

Să considerăm acum pentru o rețea M dată toți vectorii nenuli de lungime minimă și să notăm cu w numărul acestora. Deoarece împreună cu a și vectorul – a va avea lungimea minimă, rezultă că w este un număr par. Se observă apoi că măsura unghiului a doi astfel de vectori distincți și nu poate fi mai mică decât , deoarece, în caz contrar, vectorul , care aparține rețelei, ar avea lungimea mai mică. În consecință, 6 și deci numărul vectorilor cei mai scurți poate fi w = 2, w = 4 sau w = 6.

Să trecem la constriuirea unei baze reduse pentru rețeaua M. Dacă w = 2 vom alege drept pe oricare dintre cei doi vectori cei mai scurți. Dintre vectorii necoliniari cu , cea mai mică lungime o pot avea doi sau patru vectori. Drept alegem dintre aceștia pe cel al carui unghi , măsurat de la la în sens direct, are măsura mai mică. Dacă w = 4 sau w = 6, atunci se alege ca bază redusă perechea de vectori minimi distincți și , astfel încât unghiul , măsurat de la la în sens direct, să fie de măsură minimă.

Se constată că baza redusă este unic definită de rețea, până la o rotație care transformă rețeaua în ea însăși. Anume, în cazurile când w = 2 sau w = 4 ( avem ) există două baze reduse care se transformă una în alta printr-o rotație de unghi, multiplu de . Pentru w = 4, avem de-a face cu o rețea pătratică, având baze reduse, care se transformă una în alta prin rotații cu unghiuri care au ca măsuri multipli de . În fine, pentru w = 6, există șase baze reduse, care trec una în alta prin rotații de unghiuri, multipli de ( cercul se împarte în șase părți egale, deci unghiurile dintre vectorii minimi nu pot avea decât ).

Folosind noțiunea de bază redusă problema asemănării rețelelor din plan este ușor de rezolvat.

Teorema 12:

Rețelele M și M1 din R2 sunt asemenea, dacă și numai dacă bazele lor reduse sunt asemenea (adică acestea se transformă una în alta printr-o rotație și o dilatare uniformă).

Demonstrație:

Fie și bazele reduse ale rețelelor M și M1. Dacă , atunci vor forma o bază redusă a lui M1. Această bază trebuie ca printr-o rotație cu un anumit unghi să se transforme în baza , de aceea există un număr (care este rădăcină de ordin 1, 2, 4 sau 6 din unitate) astfel încât . Astfel, baza se obține din baza printr-o rotație de unghi arg () și o dilatare de || ori, ceea ce înseamnă, de fapt, asemănarea acestor baze. Reciproca teoremei este imediată.

Trecem la descrierea claselor de module asemenea ale unui corp pătratic imaginar. Fie M un modul din Q(), d < 0 și o bază redusă din M . Trecem la modulul asemenea , unde . Baza este de asemenea redusă. Din definiția bazei reduse se deduce imediat că numărul satisface condițiile:

Im > 0 ; (22)

; (23)

dacă ;

dacă . (24)

Definiție:

Numărul dintr-un corp pătratic imaginar se numește redus, dacă satisface condițiile (22), (23) și (24); împreună cu se va numi redus și .

Faptul că numărul este redus înseamnă din punct de vedere geometric că imaginea sa în planul complex aparține domeniului indicat în Figura 1 (incluzând numai acea parte a frontierei care conține puncrul i )

Figura 1

Teorema 13:

În fiecare clasă de module asemenea a corpului pătratic Q(), d < 0, se găsește un modul redus și numai unul.

Demonstrație:

Săa demonstrat că fiecare clasă conține un modul redus. Mai rămâne să verificăm că două module reduse distincte nu pot fi asemenea. Pentru aceasta, demonstrăm mai întâi că pentru orice număr redus, numerele 1, formează o bază redusă a rețelei {1,}. Este necesar să arătăm că este cel mai scurt dintre vectorii rețelei {1,}, nesituați pe axa reală, adică avem, oricare ar fi întregii k, l0. Deoarece , atunci

.

Dacă însă , atunci

,

ceea ce demonstrează afirmația noastră.

Fie acum două numere reduse și . Dacă modulele {1,} și {1,} sunt asemenea, atunci conform teoremei 12 bazele 1, și 1, sunt asemenea. Aceasta însă este posibil doar pentru =1. Teorema 13 este astfel complet demonstrată.

Pentru a rezolva complet problema asemănării modulelor dintr-un corp pătratic imaginar ne mai este necesar un algoritm pentru determinarea modulului redus care este asemenea cu un modul dat. Într-un astfel de algoritm se consideră numărul dintr-un corp pătratic imaginar satisfăcând condițiile (22) și (23), dar fiind redus. Se notează 1=, unde întregul rațional n este astfel ales încât . Dacă 1 nu este redus, atunci se notează analog 2 = , ș.a.m.d, algoritmul continuând până la găsirea unui modul redus {1,} asemenea cu modulul {1,} în care modulul {1,} să se transforme.

Pentru a stabili dacă modulele M și M1 sunt sau nu asemenea vom determina deci modulele reduse asemenea cu acestea; modulele inițiale M și M1 sunt asemenea dacă și numai dacă modulele reduse care le corespund coincid.

Observație: În demonstrația teoremei 13 nu am folosit efectiv nicăieri faptul că modulele considerate sunt conținute într-un corp pătratic imaginar. În consecință afirmația acestei teoreme este valabilă pentru orice rețele plane: orice rețea din planul complex este asemenea cu o rețea și numai cu una singură de forma {1,}, fiind un număr din domeniul indicat în Figura 1. Conform lemei 2 (care este aplicabilă fără nici un fel de modificări oricăror rețele plane), două rețele de forma {1,} și {1,} sunt asemenea, dacă și numai dacă numerele și satisfac relația

, ,

k, l, m, și n fiind întregi raționali. O astfel de pereche de numere complexe nereale se

numesc modular echivalente. Rezultatul pe care l-am obținut arată astfel că fiecare număr complex nereal este modular echivalent cu un număr și numai unul singur din domeniul . Domeniul însuși se numește adesea figură modulară. Ținând seama de cele de mai sus, punctele sale se află în corespondență bijectivă cu clasele de rețele asemenea din plan.

Să considerăm acum clasele de module asemenea care aparțin unui anumit ordin fixat D de discriminant D < 0. Fie modulul {1,}, , aparținând ordinului D. Dacă aplicăm numărului notația din lema 1 și îl scriem sub forma

,

atunci condițiile (23) și (24) ne dau

(25)

În acest mod, pentru a obține un sistem complet de module reduse ale corpului pătratic imaginar, aparținând ordinului de discriminant D, trebuie determinate toate tripletele de numere întregi a > 0, b, c care satisfac inegalitățile (25) și, în plus, condiția

(26)

Conform teoremei 1 numărul acestor triplete este finit, ceea ce, de altfel, se deduce ți direct pe baza inegalităților

când D este dat putem avea pentru a și b, deci și pentru c, numai un număr finit de posibilități.

EXEMPLUL 1:

Să determinăm numărul claselor de module aparținând ordinului maximal al corpului Q().

Deoarece în acest caz D = – 47 , rezultă că . Având în vedere că pentru D impar numărul b este de asemenea impar, există următoarele posibilități : b2 – D = 56 = 4ac, ac =14, , ceea ce nu este posibil. Dacă însă , atunci b2 – D = 48 = 4ac , de unde

a = 1, c = 12; a = 2, c = 6; a = 3, c = 4.

Deoarece cazul b = 1 = a trebuie exclus, deducem că pentru ordinul maxim al corpului Q() există cinci clase de module asemenea {1,}, unde este unul dintre numerele

, .

EXEMPLUL 2:

Să determinăm în modulul M = {13, 1 + 5i} toate numerele de normă 650. În acest caz inelul de stabilizatori este ordinul D = {1, 5i} având discriminanul D = – 100. Deoarece N(M) = 13 trebuie să enumerăm mai întâi modulele AD care aparțin ordinului D și au norma m = . Condițiile (18) și (20) conduc la următoarele posibilități:

1) s = 5, a = 2, b = – 2, c = 13;

2) s = 1, a = 50, b = 10, c = 1;

3) s = 1, a = 50, b = – 10, c = 1;

4) s = 1, a = 50, b = – 50, c = 13.

Construim pentru fiecare din aceste cazuri un modul A de forma (19) și determinăm modulul redus asemenea cu acesta:

Determinăm de asemenea și modulul redus prentu M -1 :

.

În cazurile 2) și 3) modulele A se omit, deoarece nu sunt asemenea cu M -1 . În cazurile 1) și 4) care rămân, egalitatea se îndeplinește pentru = 5 + 25i și = – 25 + 5i. Deoarece în D se găsesc numai două unități , obținem în cele din urmă că în modulul M se găsesc patru numere: (5 + 25i) și (– 25 + 5i) cu norma 650.

În exemplul pe care l-am considerat s-a stabilit și că ecuația 13×2 + 2xy + 2y2 = 50 are patru soluții întregi:

x = 0, y = 5; x = 0, y = – 5;

x = 2, y = – 1; x = – 2, y = 1.

EXEMPLUL 3:

Care sunt numerele naturale reprezentabile de către forma x2 + y2 ?

Discriminantul formei este D = – 4. Pentru ordinul D = {1, i} din corpul Q() ( discriminantul fiind – 4 ) se găsește numai un modul redus, deoarece condițiile (25) și (26) sunt satisfăcute numai când a = c = 1, b = 0. Aceasta înseamnă că toate modulele care aparțin ordinului D sunt asemenea și, deci, toate forme binare cu discriminantul – 4 sunt echivalente cu forma x2 + y2. Formele echivalente reprezintă însă aceleași numere, de aceea în virtutea teoremei 10 forma x2 + y2 reprezintă numărul m, dacă și numai dacă există un modul AD aparținând ordinului D și având norma m. Dacă există un astfel de modul atunci pentru anumiți s, a, b, c, există egalitățile:

m = as2, D = – 4 = b2 – 4ac, (a, b, c) = 1.

Numărul b trebuie să fie par, b = 2z, z satisfăcând congruența

(mod a). (27)

Reciproc, dacă congruența de mai sus este rezolubilă pentru un număr a de forma , deci z2 = – 1 + ac, atunci , după cum se deduce imediat, (a, 2z, c) = 1 și deci există modulul AD aparținând ordinului D de normă m, prin urmare m este reprezentat de forma x2 + y2.

Congruența (27) este rezolubilă dacă și numai dacă a nu se divide prin 4 și nici printr-un număr prim de forma 4k + 3. Deoarece a conține toți factorii primi care intervin în a cu puteri impare, obținem în final că m este reprezentat de forma x2 + y2, dacă și numai dacă numerele prime de forma 4k + 3 intră în exprimarea lui ca factor numai la puteri pare.

Capitolul 4

4.1. Corpuri pătratice imaginare cu inelul de întregi Euclidian:

Un domeniu de integritate A se numește inel euclidian dacă există o funcție cu proprietățile :

a, b

a, b există q si r astfel încât a = bq + r cu r = 0 sau ( prin A* notăm A\{0} ) .

Propoziție:

Inelul Ad este euclidian față de funcția definită prin (x) = | N(x)| dacă și numai dacă există k Ad astfel încât |N()| < 1.

Demonstrație:

Să presupunem ca Ad este euclidian. Fie . Atunci există c Z\{0}, c>0 astfel încât Ad . Luând și rezultă că vor exista Ad astfel încât . Dacă , atunci k = c, dacă ,atunci |N()| = , deci putem lua k = .

Reciproc,fie,iar kAd astfel încât . Să notăm . Atunci luând vom avea: , iar din se obține . Dacă = 0, atunci . Dacă , atunci || | | = || ∙ || < ||. Prin urmare, Ad este inel euclidian.

Observație: Criteriul prezentat în propoziția anterioară este de fapt valabil pentru orice inel de întregi algebrici.

Teoremă: Inelul Ad este euclidian față de „norma” ,

| |, dacă d {-1, -2, -3, -7, -11}.

Demonstrație:

Trebuie arătat că :

dacă atunci .

dacă , atunci există astfel încât , unde sau .

Să remarcăm că 1) este îndeplinită : dacă , atunci .

În ceea ce privește 2),utilizăm propoziția anterioară. Fie și . Vom arăta că există k astfel încât <1.

Fie , cu . Dacă d2,3 (mod 4), atunci Ad = <1,> și căutăm k =, x,y astfel încât | | = . Fie x și y numerele întregi cele mai apropiate de r și s. Avem || , | | , de unde .

Dacă , caz în care Ad . Căutăm , astfel încât să fie îndeplinită condiția . Avem

Alegem x, y astfel încât , adică și , adică . Se obține .

Vom arăta în continuare că -1, -2, -3, -7, -11 sunt singurele valori negative ale lui d pentru care inelul Ad este euclidian.

Teoremă:

Dacă d< -11, d liber de pătrate , atunci Ad nu este euclidian.

Demonstrație:

Presupunem prin absurd că inelul Ad este euclidian în raport cu o aplicație .

Fie astfel încât să fie minim între valorile lui ale elementelor neinversabile ale lui Ad. Dacă , atunci există astfel încât , unde sau , de unde sau (datorită alegerii lui ).

Dar pentru d < -11 avem Ud = {-1, 1}.

Se obține astfel sau – 1 (mod ), de unde rezultă că .

Considerăm mai întâi cazul . Atunci Ad = <>, deci ()== <>. Fie . Se obține

()== <>.

Avem

↪ Ad și .

Matricea de trecere între cele două baze puse in evidență este

.

Folosind teorema factorilor invarianți pentru Z – module (grupuri abeliene) finit generate, se obține

,

deci .

Din și d > 11 se obține b = 0 și a = , deci , ceea ce contrazice alegerea lui .

Fie acum . Atunci:

Ad = < >, ,

iar este de forma , .

Se obține:

Matricea de trecere este:

M = , de unde det(M) = .

Notând , obținem . Dar |d| > 11 și d liber de pătrate implică |d| și atunci B = 0 și A2. Din A2 rezultă |A| și |a| , deci , contrar presupunerii inițiale.

Se știe că orice inel euclidian este inel principal. Astfel, dacă I este ideal nenul, iar are proprietatea că , atunci I = . Intr-adevăr, pentru orice cu r = 0 sau . Deoarece rezultă r = 0, datorită alegerii lui , de unde .

Observație:

În cazul d > 0 se știe că Ad este inel euclidian în raport cu norma definită prin dacă și numai dacă d { 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 55, 73}. Problema determinării tuturor numerelor d > 0 pentru care Ad este inel euclidian este deschisă. Dacă însă , se arată că mulțimea respectivilor d este finită.

4.2. Corpuri pătratice și forme pătratice binare:

Fiecărei baze a modulului complet M îi corespunde în mod unic o formă pătratică binară N() cu coeficienți raționali. Deoarece pentru baze diferite în M formele care le corespund acestora sunt echivalente , reiese că modulului M îi corespunde o clasă de forme echivalente. Dacă in locul lui M se ia modulul asemenea cu el, atunci toate formele noastre se înmulțesc cu factorul constant N. În consecință, considerând formele și făcând abstracție de un factor constant, se poate afirma că fiecărei clase de module asemenea îi corespunde o clasă de forme echivalente. Această corespondență nu este totuși o bijecție. Într-adevăr, modulele conjugate M = {} și nu sunt în general asemenea însă formele care le corespund acestora coincid. O situație asemănătoare se întâlnește , desigur, și pentru formele decompozabile de orice grad. În general nu există un mod general de a elimina această neconcordanță între clasele de forme și clasele de module. Pentru corpurile pătratice însă se poate stabili o bijecție, modificând ușor definițiile echivalenței formelor și asemănării modulelor.

Definiție:

Forma pătratică binară F(x, y) = Ax2 + Bxy + Cy2 cu coeficienți întregi raționali se numește primitivă dacă cel mai mare divizor comun al coeficientilor săi este 1.

Numărul întreg B2 – 4AC se numește discriminantul formei primitive F.

În consecință, discriminantul unei forme primitive se deosebește de determinantul său AC prin factorul constant – 4 .

Fie Q() un corp pătratic de discriminant . Vom evidenția o legătură între clasele de indeale ale inelului Ad și clasele de echivalență de forme pătratice de discriminant .

Fie (e1, e2) o bază de întregi in Ad . Atunci = ( unde x desemnează conjugatul lui x) este discriminantul corpului Q().

Fie acum Id un ideal nenul și () o bază de Z – modul în I. Se obține

,

unde este norma idealului I. ( N(I) coincide cu determinantul matricii de

trecere de la baza (e1, e2) la baza () a lui I ). Idealului I îi asociem forma pătratică

,

unde :

.

Deoarece , rezultă că a,b,c . De asemenea, discriminantul formei F(X, Y) este

Observație:

Atunci când () parcurge toate bazele de Z – module ale lui I, obținem toate formele pătratice echivalente cu F(X,Y). De asemenea, dacă Q() este un corp pătratic imaginar ( < 0), iar a > 0, atunci forma F(X,Y) este pozitiv definită, iar dacă > 0, atunci forma este nedefinită.

Reciproc, oricărei forme nedefinite sau pozitiv definite F(X,Y)=, cu și având discriminantul îi corespunde un ideal nenul I în inelul de întregi al lui Q(), unde d = pentru b impar și 4d = , pentru b par.

Demonstrație:

Arătăm că a, constituie o bază peste Z pentru idealul I =, unde este inelul de întregi din Q().

Observăm mai întâi că verifică ecuația x(b- x) = ac și prin urmare este întreg algebric. Având in vedere că , dacă este impar ( adică b este impar, 1(mod4)) rezultă că este suficient să probăm că a∙ω și ω unde ω = , iar s = 0, sau 1, după cum sau . Se obține:

ω = ,

iar

ω =

unde și sunt din Z . Aceasta arată că = Za + este ideal in Ad, iar de aici decurge și dubla incluziune .

Dacă a > 0, avem , iar din

rezultă că I este idealul căutat.

Dacă a < 0, avem > 0 ( deoarece forma F nu este negativ definită). Luăm

J =

și dau o bază peste Z în J , iar N(J) = . Având in vedere că

rezultă că J este idealul căutat.

Definiție:

Fie și ideale în inelul de întregi pătratici Ad. Dacă există astfel încât , iar , spunem că și sunt echivalente în sens strict și notăm .

Teoremă:

Două forme pătratice F și G de discriminant sunt (propriu) echivalente dacă și numai dacă idealele corespunzătoare sunt strict echivalente.

Notăm prin h0 numărul claselor de echivalență proprie de ideale, iar prin h numărul claselor de echivalență de ideale din Ad .

unde este unitatea fundamentală a lui Ad.

Prin urmare, pentru < 0 avem h = h0 = h() prin care este notat numărul claselor de echivalență (proprie) de forme pătratice de discriminant .

Rezultă că în acest caz avem h() = 1 dacă și numai dacă Ad este inel principal. Gauss a arătat că așa se întâmplă dacă d{-1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163} și a emis conjectura că acestea sunt singurele valori negative ale lui d pentru care Ad este inel principal.

Demonstrația completă a conjecturii lui Gauss a fost făcută în mod independent de K. Heegner, H. M. Stark și A. Baker. Pentru d > 1 problema este încă deschisă.

4.3. Marea Teoremă a lui Fermat pentru exponentul n=3:

Marea Teoremă a lui Fermat, pentru exponentul n = 3, a fost demonstrată de Euler. Propoziția auxiliară care urmează a fost dată de Euler fără demonstrație. Este probabil că la formarea acesteia s-a avut în vedere ceea ce numim “factorialitatea inelului Z”.

Propoziția I-a a lui Legendre- Funcțiile numerice Y(y,z) și Z(-y,z) au următoarele proprietăti:

k1) sunt funcții simetrice în raport de cele două variabile (y,z), respectiv (-y, z);

k2) dacă variabilele y si z sunt numere întregi și relativ prime, numerele Z și Y sunt întregi și relativ prime.

Legendre a mai afirmat:

k3) Y și Z au o expresie unică, funcție de variabilele y și z.

Propozitia a II-a a lui Legendre- Legendre a mai aratat că daca vom descompune:

,

cei doi factori din membrul al doilea sunt relativ primi și, fiecare dintre cei doi factori fiind o putere p, rezultă: Z0 (mod p). Legendre a presupus că este unica descompunerea în factori primi a numerelor de forma . Pentru numerele p= 4k+1, respectiv pentru corpul pătratic real, demonstrația a fost acceptată, iar afirmatia sa o putem considera teoremă. În ceea ce privește corpul pătratic imaginar, respectiv pentru exponentii p= 4k+3, afirmația nu fost demonstrată nici ulterior, deși Kummer, prin a sa teorie a idealelor și prin metode neelementare, a reușit progrese remarcabile. De aceea, pentru p= 4k+3, propozitia a II-a a lui Legendre a rămas la nivel de conjectură, pentru care am propus o demonstrație prin Lema E-L-B. (Lema Euler – Legendre – Bratu).

Lema Euler- Legendre-Bratu:

Prin Lema enunțată și demonstrată aici, se poate transfera problematica de la corpul pătratic la corpul numerelor raționale, în care teorema fundamentală a aritmeticii are valabilitate.

Lema E.L.B.( Euler- Legendre-Bratu):

B1- Dacă numărul w are reprezentarea

w= (r2 + ps2 ),

unde r si s sunt întregi arbitrari, iar p numar prim impar, atunci

wp= (Y 2 + pZ2 ),

în care p este număr prim impar, Y si Z sunt funcții numerice de r si s, iar pentru numărul Z avem congruența:

Z = 0 (mod p);

B2- Pentru numărul wp= (Y 2 + pZ2 ), în corpul numerelor raționale, există o reprezentare prin funcțiile întregi si șimetrice- Y si Z- ale lui Legendre și mai există cel puțin două alte reprezentări prin funcții raționale Yi și Zi.

B3- Lema este valabila, de asemeni, pentru reprezentarea numărului w prin forma pătratică

(r2 – ps2 ),

respectiv pentru exponenți p= 4k+1, denumit cazul real.

Propozitia Legendre- Bratu (L – B)

În corpul numerelor raționale, partea k3 a propoziției I-a a lui Legendre se

modifică astfel:

k3) pentru orice exponent p, există cel puțin trei reprezentări ale funcțiilor Y si Z, prin variabilele y si z;

În consecință, se modifică și partea k1) a propoziției Legendre:

k1) există o reprezentare a funcțiilor numerice Y (y,z) și Z (-y, z), în care acestea sunt funcții simetrice în raport de cele două variabile (y,z), respectiv (-y, z); celelalte reprezentări nu sunt, în general, simetrice în raport de variabilele y și z.

Lema lui Euler:

Fie a, b astfel încât (a, b) = 1, (mod 2), iar a2 + 3b2 este cub perfect. Atunci există s, t astfel încât , adică

Demonstrație:

Fie a2 + 3b2 = , qi > 0 numere prime. Avem qi > 3 și qi1(mod 3). Într-adevăr:

.

Dar

(conform legii de reciprocitate pătratică), deci

și = 1,

de unde qi1(mod 3). Dacă qi este prim și qi1(mod 3), atunci există ai, bi astfel încât (ai, bi) = 1, (mod 2) și sau .

Să remarcăm că numerele și sunt relativ prime și ireductibile în inelul factorial (chiar euclidian) A –3 = Z= Q(), unde = .

Într-adevăr, dacă ar fi reductibil în Z[], ar rezulta că norma N () este un număr compus în Z. Prin urmare este ireductibil, deci prim în A –3. Din (a,b) = 1 și (mod 2) rezultă că și sunt relativ prime.

Are loc următoarea descompunere:

.

Dar cu și relativ prime și (mod 2). Din faptul că Z[] este factorial, iar este cub perfect, rezultă că există s, t în Z și astfel încât = u. Altfel spus, este asociat în divizibilitate cu un cub perfect din A –3. În continuare vom arăta că .

Să presupunem, de exemplu, . Atunci .

Deci

Dar

pentru că (mod 2), deci și sunt impare.

Analog se tratează celelalte cazuri.

Rezultă că , ceea ce încheie demonstrația lemei.

Teoremă:

Ecuația x3 + y3 = z3 nu are soluții în Z, cu xyz0.

Demonstrație:

Presupunem prin absurd că există o soluție nebanală. Fie deci x, y, z , cu xyz 0 și x3 + y3 = z3 . Putem face următoarele presupuneri:

x, y, z sunt relativ prime două câte două;

x par, y, z impare;

|x| minim pentru tripletele (x, y, z) cu xyz 0 și x3 + y3 = z3.

În aceste condiții există p, qastfel încât

, cu pq (mod 2) sau .

Avem

.

Fie . Atunci și cum qp (mod 2) rezultă impar, deci q par și p impar.

Cazul 1. (q,3) = 1. Vom arăta că . Într-adevăr, dacă 3| (). atunci 3 | q , absurd. Prin urmare, dacă ar fi un divizor prim comun, atunci 3 și 2 (pentru că pq (mod 2)). Avem | q, de unde | 3p2 , deci | p, ceea ce este în contradicție cu faptul că (p,q) = 1 ( ceea ce rezultă din (x,y) = 1 ). Conform teoremei fundamentale a aritmeticii și sunt cuburi perfecte, iar din lema lui Euler rezultă că există s, t astfel încât (s, t) = 1 și q = s (s2 – 9t2 ), p = 3t (s2 – t2) . Se observă că t este impar ( deoarece p impar) și prin urmare s este par.

Dar este cub perfect de unde rezultă și 2q cub perfect. Însă 2q=2s(s – 3t)(s + 3t). Dacă este prim și | 2s , | s – 3t, atunci, cum s este par și t impar, rezultă 2, deci | s și | 3t și cum 3 rezultă | t, deci este divizor comun al numerelor s și t, ceea ce nu se poate. La fel se arată că s – 3t și s + 3t sunt relativ prime. Factorii fiind relativ primi doi câte doi, rezultă că fiecare este cub perfect. În consecință , există y1, x1, z1 nenule, astfel încât

de unde . Am obținut astfel o nouă soluție (x1, y1, z1) a ecuației inițiale, cu componentele nenule. În plus , deci , ceea ce contrazice alegerea inițială, în care era minim pentru componentele pare ale soluțiilor nebanale ale ecuației.

Cazul 2: 3| q. Fie q = 3r. Se obține , deci și (p,3) = 1. În această factorizare cei doi termeni sunt relativ primi. Într-adevăr, dacă ar fi un divizor prim comun, atunci, constatăm că , de unde | 3r2 . Deci | (p,r) =1, contradicție.

Rezultă că cei doi factori sunt cuburi perfecte, pentru ca sunt relativi primi și produsul lor este un cub perfect. Din lema lui Euler deducem că există s, t astfel încât

(s, t) = 1, p = s (s2 – 9t2) și r = 3t(s2 – t2).

De asemenea este cub perfect de unde și

este cub perfect în Z. Dar cei trei factori sunt relativ primi între ei doi câte doi. Se mai observă că s și t sunt de parități diferite și s nu se divide cu 3, deoarece p nu se divide cu 3. De asemenea, (s, t) = 1.

Fie x1, y1, z1 astfel încât Atunci, și în plus , deci , ceea ce contrazice minimalitatea lui |x| .

Teorema este demonstrată.

4.4. Ecuația Y2 = X3 + k, k

Fermat și Bachet au considerat această ecuație pentru k = – 2, afirmând că singurele soluții întregi sunt, în acest caz, (3, 5).

O demonstrație a acestui fapt se poate da folosind faptul că Z[], inelul de întregi din Q[], este factorial.

Dacă (x,y) este o soluție cu componente întregi a ecuației Y2 = X3 – 2 rezultă

,

iar factorii din partea stângă a egalității sunt relativ primi în Z[]. Într-adevăr, dacă ar fi un factor prim comun, s-ar obține că | 2 și trecând la norme: N() | 8, de unde rezultă că 2 | x. Ar rezulta (mod 4), ceea ce este imposibil. Din factorialitatea lui Z[] și din faptul că unitățile acestui inel sunt 1 rezultă că există a, b astfel ca

.

Efectuând calculele se obține

.

Din ultima egalitate deducem b = 1. Dar dacă b = 1, se obține și 3a2 – 4b2 = 1, de unde , ceea ce este imposibil. Prin urmare b = – 1, conducând la x = 3 și y = 5.

Un alt exemplu este dat de ecuația Y 2 = X 3 + 7, despre care vom proba că nu admite soluții întregi.

Într-adevăr, dacă (x, y) ar fi o astfel de soluție, atunci (x, 2) = 1, astfel s-ar obține , o contradicție. Putem scrie ecuația sub forma

Însă este de forma 4k + 3 și deci are măcar un factor prim . Reducând modulo p, se obține , ceea ce este imposibil pentru .

În cazul k < 0 și liber de pătrate, anumite proprietăți aritmetice ale inelului de întregi AK ai corpului K = Q() fac posibilă rezolvarea ecuației y2 = x3 + k în numere întregi. Are loc următoarea

Teoremă:

Fie k < – 1 liber de pătrate și . Să presupunem că hK ,ordinul grupului claselor de ideale din AK , nu se divide cu 3. Atunci ecuația y2 = x3 + k are o soluție întreagă dacă și numai dacă numărul k este de forma 1 – 3t2, t . Soluțiile sunt în acest caz x = t2 – k , y = t( t2 + 3k).

Demonstrație:

Fie (x, y) o soluție întreagă a ecuației. Avem

,

în Z[], inelul de întregi din Q(). Dacă este un ideal prim conținând simultan și , se obține 2 și, desigur, x . Rezultă că , ceea ce conduce la o contradicție. Într-adevăr, dacă x și k au un factor comun q , rezultă q | y , de unde q2 | k, contradicție. Rezultă că N(P)| 4 și cum N(P) > 1, obținem N(P) . În orice caz, obținem că x și y sunt pare, ceea ce atrage 4 | k , o contradicție. Prin urmare idealele principale () și () sunt relativ prime și cum produsul lor este (x)3, Rezultă existența unui ideal J astfel încât () = J3. Deoarece hK nu se divide cu 3, grupul claselor de ideale I(K) nu are elemente de ordin 3 și prin urmare J este principal. Rezultă că = , cu a, bZ și unitate în Z[]. Însă în cazul de față , deci = , ceea ce implică

,

de unde deducem b = și k = – 3a2 . Restul concluziei se obține prin calcul direct.