Multimea Numerelor Naturale

Matematica este nu numai interesantă și frumoasă, ea nu oferă numai bucurie ci este și utilă. Oricine știe că fără matematică, tehnica noastră modernă n-ar fi posibilă, că ea a pătruns ca aerul în toate domeniile vieții moderne.

Toate obiectele care ne atrag atenția își exprimă ființa sau frumusețea prin forme, prin volume, prin proporții sau prin metodele care ascund vechiul în combinări noi. De altfel chiar de la origine, matematica s-a dezvoltat plecând de la măsurarea terenurilor și a capacităților vaselor, de la construcții, de la calcularea timpului, de la mecanică, de la navigație. Cu timpul s-a adăugat, ca forță motrice, bucuria descoperirii chiar dacă uneori această bucurie a încercat să împingă pe planul al doilea toate problemele privind aplicabilitatea practică. Matematica are un teren comun cu logica, dar își are și domeniul ei propriu. Ea este știința probei formale și a demonstrației logice, care întruchipează într-un grad înalt idealurile de rigoare și de înlănțuire logică. Ea este o știință suplă, dinamică, deschisă, capabilă de restructurări care să înglobeze esențialul vechiului și să facă saltul la nou. De aceea, matematica nu trebuie privită ca o simplă știință logică sau ca un instrument util în tehnică sau ca o disciplină educativă, ci ca o activitate umană, atât de naturală în resorturile ei, încât nu se termină niciodată.

Datorită specificului ei, matematica a cunoscut o evoluție mai rapidă decât celelalte științe, fiind în același timp o știință suplă, deschisă, capabilă de restructurări care să înglobeze esențialul vechiului și să facă saltul spre nou.

Așa cum arată matematicianul francez André Revuz, „matematica devine una din componentele oricărei activități umane care se vrea precisă și care să obțină rezultate clare, solide, perfect inteligibile”. „Ar fi curată nebunie – spune el – să credem că ea exprimă toate posibilitățile gândirii, dar ar fi o prostie sau o lașitate să-i respingem claritatea și eficacitatea de frica disciplinei pe care o impune”. (Matematică modernă, matematică vie- Editura Didactică și Pedagogică, București, 1968 – pag. 48 ).

O trăsătură care caracterizează matematica o constituie legătura ei cu practica. Matematica s-a născut din nevoile practice ale omului, cristalizându-se apoi ca știință după ce a trecut materialul concret prin filtrul rațiunii marilor ei gânditori. Sigur, nu este vorba de un proces liniar ci de unul complex, în spirală, în care, pe fiecare treaptă întâlnim implicațiile teoriei și practicii.

Lafargue ne-a transmis reflecția potrivit căreia știința își va atinge desăvârșirea numai atunci când se va reuși să se folosească de matematică. În epoca actuală asistăm la o expansiune a matematicii nu numai prin extinderea aplicațiilor ei practice, ci și prin matematizarea unor științe considerate străine de matematică. Astfel, matematica a pătruns treptat în domeniul fenomenelor fizice, apoi în cel al fenomenelor biologice și în ultimul timp și în domeniul fenomenelor sociale.

Ritmul și amploarea cuceririlor matematicii din epoca noastră, bogăția și varietatea metodelor ei de lucru impun și dezvoltarea culturii matematice a oamenilor.

„Intrarea în țara cunoașterii se face pe podul matematicii” spunea profesorul universitar Ștefan Bârsănescu. Matematica nu este numai o știință, o simplă știință. Matematica este un act de cultură. Indiferent în ce domeniu va lucra, omul zilelor noastre trebuie să posede o bună pregătire matematică.

Matematica nu este o simplă tehnică, ci constituie unul din modurile fundamentale ale gândirii umane. Ceea ce-l caracterizează pe om este gândirea, proces prin care descifrează tainele naturii și societății și prevede dezvoltarea lor ulterioară. Cultivarea gândirii constituie lucrul cel mai de preț.

De-a lungul timpului, gândirea matematică a evoluat, iar omul modern are la dispoziție o gamă largă de aparate care să-i ușureze munca în cele mai diverse domenii de activitate. S-ar părea că datorită rapidității cu care sunt rezolvate cele mai diverse și complexe probleme de către aparate construite de mintea omului, nu mai este necesar să formăm elevilor deprinderi de calcul. Un elev poate foarte ușor rezolva unele exerciții și probleme folosind un simplu calculator de buzunar, dar acest lucru nu demonstrează că el și înțelege operațiile pe care le-a făcut și relațiile dintre ele. De aceea, așa cum precizează Eugen Rusu, „alături de problema construirii unei mașini de gândit, problema îmbunătățirii propriului său mod de a gândi rămâne pentru om o problemă deschisă”.

Operațiile gândirii: analiza, sinteza, comparația, generalizarea, abstractizarea, raționamentul inductiv, deducția, raționamentul prin analogie, se formează la elevi pornind în cadrul lecțiilor de la concret, semiconcret și apoi abstract și bazându-se pe cunoștințele însușite anterior.

Copilul încă de mic intră în legătură cu mediul exterior însușindu-și multe cunoștințe și participă la viața socială folosind diferite limbaje: limbajul matern, artistic (dansul, muzica, desenul), științific (matematic, etc).

Cu cât sunt asimilate mai multe cunoștințe, posibilitatea de rezolvare a unor probleme legate de viață, de practică, crește. Omul nu este o bancă de date, o bibliotecă, de aceea, cunoștințele adunate în memorie trebuie prelucrate cu ajutorul gândirii, generalizate și aplicate apoi în practică. Calculul matematic și rezolvarea problemelor contribuie la dezvoltarea supleței, rapidității și flexibilității gândirii.

Cantitatea de informații din toate domeniile de activitate crește în mod accelerat și o singură persoană nu poate cuprinde decât o mică parte din ceea ce s-a descoperit sau este cunoscut la un moment dat chiar într-un singur domeniu. De aceea este necesar ca în cadrul orelor, elevul să fie învățat să învețe rapid ceea ce îl interesează, să știe unde să caute cunoștințele de care are nevoie, să știe cum să le prelucreze pentru a le putea folosi apoi creator în practică. Este bine știut faptul că, dacă elevul are cunoștințe temeinice asupra șirului numerelor naturale, a mulțimilor, a operațiilor aritmetice și proprietăților acestora, procedeelor de calcul mintal și scris, metodelor de rezolvare a problemelor, îi este mult mai ușor să rezolve exerciții și probleme noi, îndepărtând riscul de a greși, erorile fiind mai puține și randamentul crescut, iar timpul de lucru diminuat.

În decursul timpului s-au schimbat sisteme de învățământ, programe, manuale, relațiile dintre propunător și elev, metode și procedee, mijloace de învățământ, în funcție de idealul educațional. De aceea, cadrele didactice sunt interesate în permanență să cunoască și să se adapteze la ceea ce este nou, să știe cum să formeze elevii pentru ca aceștia să fie pregătiți să răspundă la necesitățile societății după ce termină instruirea în școală. Experiența la clasă, cunoștințele dobândite și munca de cercetare trebuie să ajute cadrul didactic să țină pasul cu noul, să folosească acele metode și procedee care dau randament maxim pentru toată clasa de elevi, căci pregătirea matematică a omului epocii actuale nu se poate limita la instruirea matematică, la înmagazinarea unui cuantum de cunoștințe matematice. Matematica se învață nu pentru a se ști, ci pentru a se folosi, pentru a se face ceva cu ea, pentru a se aplica în practică. De aceea, nu simplă instrucție matematică trebuie să dobândescă elevii, ci educație matematică – mai cuprinzător, formație matematică. Aceasta constituie una dintre cele mai importante componente ale culturii generale a omului societății noastre.

Matematica este disciplina care, prin însăși esența ei, poate și are menirea de a forma o gândire investigatoare, creatoare, o apropiere de cunoștințele noi și în general o apropiere de necunoscut printr-un adevărat stil de cercetare.

ARGUMENT

În clasele I-IV se pune accent pe însușirea unor algoritmi la cele 4 operații cu numere naturale, fără să fie neglijată conștientizarea elevilor asupra esenței calculului, asupra relației matematice fără de care calculul cu numere reprezintă cazuri particulare. Algoritmii de calcul sau regulile (schemele, sistemele de transformări) din matematică și din alte domenii nu sunt aptitudini ci instrumente mentale dobândite (prin aptitudini plastice numerice) și constituie elementul de lucru, exprimarea lor.

Odată însușiți algoritmii utili, gândirea se eliberează de eforturi și poate să-și canalizeze energia spre rezolvarea unor probleme ce nu se pot rezolva pe bază de algoritmi. Dacă algoritmii s-ar transforma ca niște formule date de-a gata, introducerea lor în procesul de învățământ n-ar mai duce la creativitate. Conștientizarea fiecărui moment din lanțul raționamentelor și a ansamblului de legături presupuse de sistemul rațional al algoritmilor reprezintă o antrenare a proceselor de gândire creatoare. Operația matematică cea mai simplă poate constitui ocazii de a gândi, de a raționa. Acel „de ce” care se folosește frecvent în lecțiile de matematică pune în evidență reflectarea asupra drumului pe care l-a parcurs cu ocazia formării noțiunii respective, de a-l conștientiza de conținutul activității pe care o desfășoară (calcul, rezolvarea de probleme), contribuind activ la formarea gândirii cauzale și a limbajului matematic.

Permanent am manifestat preocuparea de a face calculul înțeles și în același timp, plăcut elevilor. De aceea, fără a exclude automatizarea (formarea algoritmilor de calcul), am căutat conștientizarea elevilor asupra esenței calculului care să-i antreneze, de mai multe ori, sub formă de joc în rezolvarea unor situații multiple și variate ,,mereu noi”, pe care să le rezolve în mod creator pe baza principiilor de calcul cunoscute de ei.

Cunoașterea proprietăților operațiilor cu numere trebuie să conducă pe elevi la conștientizarea regulilor de calcul, la formarea unor deprinderi temeinice de calcul oral, deoarece el are o largă aplicabilitate în viața practică.

În clasele I-IV se formează noțiunile matematice elementare, de bază, cu care copilul va opera pe tot parcursul vieții și pe care se clădește întregul sistem al învățământului matematic. Exercițiile pentru calculul mintal vor fi efectuate atât la începutul cât și la sfârșitul orei de curs, acestea influențând în mod pozitiv dezvoltarea deprinderilor de calcul la elevi. Explicarea tehnicilor de calcul cu numere trebuie să conducă pe elevi la alegerea unor căi multiple de efectuare a acestuia cu numere, folosind mereu unele sau altele din proprietățile cunoscute.

Calculul mintal are un rol predominant în predarea-învățarea matematicii în ciclul primar, deoarece cea mai mare parte din exercițiile și problemele din clasele I-IV se rezolvă exclusiv mintal. Chiar și după ce elevii învață calculul scris, se folosește în paralel și cel mintal, neputându-se concepe o delimitare riguroasă a acestora.

Formarea priceperilor și deprinderilor de calcul mintal are o importanță deosebită în pregătirea multilaterală a elevilor și formarea acestora din punct de vedere matematic, deoarece calculul mintal, precedând pe cel în scris, inițiază pe elevi în cunoașterea diferitelor forme de calcul, formându-le priceperile și deprinderile necesare trecerii la calculul în scris. Practica vieții sociale nu poate fi concepută fără utilizarea calculului matematic, mai ales a calculului mintal, calcul ce dezvoltă facultățile cognitive ale elevului, în special memoria, atenția, judecata și rapiditatea gândirii.

Astfel, Modalități de folosire a calculului mintal în scopul dezvoltării gândirii logico-matematice a elevilor din învățământul primar este o temă care a fost, este și va fi mereu de actualitate, dacă ne gândim la aplicațiile practice din viața de zi cu zi. Dacă elevii își vor însuși bine aceste noțiuni, ele vor facilita înțelegerea altor noțiuni, nu doar la matematică, ci și la multe alte discipline științifice sau tehnico-aplicative.

Aceste noțiuni sunt indispensabile, de asemenea, și la înțelegerea unor aspecte din natură, din viață sau din societate.

CAPITOLUL 1

MULȚIMEA NUMERELOR NATURALE

1.1. NOȚIUNEA DE NUMĂR NATURAL

Noțiunea fundamentală cu care operează elevii încă din primele zile ale școlarității o constituie noțiunea de număr natural. Introducerea acestei noțiuni se bazează pe conceptul de mulțimi echivalente.

Două mulțimi care pot fi puse în corespondență biunivocă se numesc mulțimi echivalente. Relația de echivalență grupează mulțimile în clase de echivalență, fiecare clasă cuprinzând mulțimile formate din același număr de elemente, indiferent de natura lor. Prin urmare, o clasă de echivalență este caracterizată printr-o proprietate comună tuturor mulțimilor ce-i aparțin, anume proprietatea de a conține același număr de elemente. Această proprietate se numește puterea clasei de echivalență și este reprezentată printr-un număr numit număr natural. În concluzie, numărul natural constituie simbolul care caracterizează sub un înalt grad de generalitate mulțimile echivalente.

Astfel, proprietatea caracteristică mulțimii vide este reprezentată prin numărul zero, de unde rezultă că zero este un număr natural întrucât caracterizează clasa de echivalență a mulțimilor care nu conțin nici un element. Proprietatea caracteristică a mulțimilor cu un singur element este reprezentată prin numărul 1, cea a mulțimilor cu un element și încă unul este reprezentată prin numărul 2, cea a mulțimilor cu 2 + 1 elemente, sau cu 1 + 1 + 1 elemente este reprezentată prin numărul 3 ș.a.m.d. Prin urmare, numerele 0, 1, 2, 3,….,n,…. caracterizează mulțimile echivalente formate respectiv din 0, 1, 2, 3,….,n,…. elemente și se numesc numere naturale.

Întrucât clasa tuturor mulțimilor echivalente cu o mulțime A se numește cardinalul mulțimii A, notat card.(A), rezultă că numărul natural este cardinalul mulțimilor finite de aceeași putere.

Pentru mulțimile finite identificăm clasa mulțimilor de câte n elemente, deci cardinalul finit n, cu numărul natural n. Spre exemplu, pentru mulțimea elevilor unei clase, pentru mulțimea literelor din alfabetul latin etc. corespunde câte un cardinal pe care îl identificăm cu numărul elementelor mulțimii respective, deci cu un număr natural.

Dacă ne referim la mulțimile infinite, o clasă de mulțimi infinite echivalente se numește cardinal transfinit. Spre exemplu, toate mulțimile echivalente cu mulțimea numerelor naturale formează o clasă, deci un cardinal transfinit.

În concluzie, noțiunea de cardinal generează noțiunea de număr natural pe care o conține ca un caz particular, cazul mulțimilor finite de aceeași putere.

1.2. ȘIRUL NUMERELOR NATURALE

Referindu-ne la construcția axiomatică a aritmeticii, amintim că matematicianul italian Giuseppe Peano (1858-1932) a așezat la baza studiului numerelor naturale un grup de cinci axiome, dintre care primele patru, cele care ne interesează din punctul de vedere pe ca-re-l urmărim, se enunță astfel:

Zero este un număr natural ( 0 N ).

Orice număr natural are un succesor ( x N x' = x + 1 N ).

Orice număr natural are un predecesor cu excepția lui zero ( x' 0 ).

Două numere naturale care au același succesor sunt egale

( x' = y' x = y, unde x' = x + 1 și y' = y + 1 ).

Din adevărurile exprimate prin aceste axiome deducem următoarele:

Cel dintâi număr natural este zero, întrucât el nu are predecesor.

b) Numărul zero are ca succesor pe 1 pentru că 0 + 1 = 1; numărul 1 are ca succesor pe 2 pentru că 1 + 1 = 2; numărul 2 are ca succesor pe 3 pentru că 2 + 1 = 3 ș.a.m.d. Se desprinde de aici principiul de formare a numerelor naturale: fiecare număr natural se formează prin adăugarea unei unități la predecesorul său, fapt care permite așezarea numerelor naturale în ordinea mărimii lor în sens ascendent sau descendent, astfel încât fiecare să se obțină din precedentul său plus o unitate sau din succesorul său minus o unitate. Considerând pe zero ca prim număr natural, vom avea în sens ascendent:

0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, ș.a.m.d. formându-se astfel șirul numerelor naturale:

0, 1, 2, 3,…..n, n + 1,…..

Șirul numerelor naturale formează o mulțime de numere și anume mulțimea numerelor naturale, care se notează cu N. Deci:

N = { 0, 1, 2, 3, ….,n,….}.

Dacă din această mulțime lipsește numărul zero, avem șirul restrâns al numerelor naturale, mulțimea respectivă notându-se cu N*. Deci:

N* = { 1, 2, 3, …..,n,…..}

1.3. PROPRIETĂȚILE RELAȚIEI DE ECHIVALENȚĂ A NUMERELOR NATURALE

Oricare ar fi numerele naturale a, b, c,….ele au următoarele proprietăți:

1) Reflexivitatea: Orice număr natural este egal cu el însuși, adică:

a = a, a N.

2) Simetria: Dacă un număr natural a este egal cu un număr natural b, atunci și b este egal cu a.

a N, b N, a = b b = a.

3) Tranzitivitatea: Dacă un număr natural a este egal cu numărul natural b și dacă la rândul său numărul natural b este egal cu numărul natural c, atunci și a este egal cu c.

{ a N

{ b N dacă { a = b

{ c N { b = c a = c

1.4. RELAȚIILE DE INEGALITATE, RELAȚIA DE ORDINE

Se poate demonstra prin inducție completă că între două numere naturale a și b poate avea loc una și numai una din relațiile:

a b a = b a b.

Ținând seama de relația de ordine care se definește prin semnele sau , se spune că șirul numerelor naturale este un șir ordonat. Acest adevăr constituie temeiul numărării ascendente până la un număr oarecare, spre exemplu până la 10: 0, 1, 2, 3, …..9, 10 sau a numărării descendente de le un număr oarecare până la 0: 10, 9, 8, ….2, 1, 0.

Sub o formă accesibilă elevilor din clasele mici, inegalitățile a b sau a b pot avea următorul înțeles: dacă în șirul natural al numerelor se întâlnește întâi numărul a și apoi b, atunci a b, iar dacă în acest șir se întâlnește întâi numărul b și apoi numărul a, atunci a b.

Relațiile de inegalitate au aplicații nu numai în stabilirea succesiunii numerelor din șirul natural, ci cu deosebire în stabilirea relației de mărime dintre două numere naturale oarecare, pentru a arăta care din cele două numere este mai mare ( și eventual cu cât ) sau care din ele este mai mic ( și cu cât ), adică în exerciții de forma:

2 1 pentru că 2 = 1 + 1 8 5 pentru că 8 = 5 + 3

1 2 pentru că 1 = 2 – 1 5 8 pentru că 5 = 8 – 3.

De asemenea, pe baza relației de ordine se poate pricepe proprietatea șirului numerelor naturale de a fi infinit, lucru care se exprimă sub o formă elementară prin aceea că oricât de mare ar fi un număr natural n, i se poate adăuga încă o unitate obținându-se un număr și mai mare: n + 1.

Relația de ordine în mulțimea numerelor naturale se introduce în legătură cu noțiunea de mai mult, mai puțin, și anume prin punerea în corespondență a mulțimilor aparținând unor clase de echivalență diferite. Astfel se pun în corespondență, termen cu termen, două mulțimi cu un număr inegal de elemente, spre exemplu prima conținând 5 elemente, a doua 4 elemente și prin formare de perechi se constată că un element din prima mulțime rămâne fără pereche, de unde concluzia că prima mulțime are mai multe elemente, a doua mai puține. Rezultatul comparării se notează cu ajutorul semnelor sau plasate între numerele care caracterizează cantitativ mulțimile respective, adică 5 4 și 4 5.

De asemenea, ordonarea numerelor naturale și stabilirea succesiunii lor ascendente sau descendente se realizează prin compararea și punerea în corespondență biunivocă a mulțimilor cu 0, 1, 2, 3, ….elemente, stabilind din aproape în aproape următoarele șiruri de inegalități:

0 1 sau 1 0

1 2 sau 2 1

2 3 sau 3 2

…….. ……..

9 10 sau 10 9

Considerăm necesară precizarea că în procesul de formare a noțiunilor privitoare la numere și relațiile dintre ele nu poate lipsi acțiunea concretă cu obiecte materiale ca formă intuitivă de organizare a activității mintale, mulțimile de obiecte constituind mijloacele de orientare a gândirii elevilor spre numerele pe care acestea le reprezintă.

1.5. PROCESUL NUMĂRĂRII – NUMĂR CARDINAL, NUMĂR ORDINAL, AXIOMA NUMĂRĂRII, CONSECINȚE

A număra elementele unei mulțimi înseamnă a pune în corespondență biunivocă aceste elemente cu numerele dintr-o secțiune a șirului natural restrâns, adică a atribui fiecărui element un număr, astfel încât nici un element să nu rămână fără număr și un număr oarecare din șir să nu fie atribuit decât unui singur element. Spre exemplu, pentru a număra băncile din clasă, se atribuie fiecărei bănci un număr (se poate scrie chiar acest număr pe bancă așa cum sunt scrise numerele pe scaunele din sălile de spectacole), astfel ca nici o bancă să nu rămână fără număr și același număr să fie atribuit unei singure bănci. În felul acesta spunem că am numerotat băncile din clasă, operația respectivă numindu-se numerotare. Dacă numerotarea elementelor unei mulțimi se poate termina, înseamnă că mulțimea respectivă este finită, în caz contrar mulțimea este infinită.

Un număr natural a poate reprezenta cardinalul unei mulțimi A dacă puterea acelei mulțimi este egală cu a, adică dacă mulțimea respectivă conține a elemente. În acest caz se scrie: a = card. A. Numărul natural care reprezintă cardinalul unei mulțimi se numește număr cardinal.

Dacă însă un număr natural indică rangul unui element din mulțimea considerată, adică arată locul pe care îl ocupă acel element în succesiunea ordonată a elementelor mulțimii, atunci el se numește număr ordinal. Exemplu: Elevii din clasă sunt înscriși în catalog într-o anumită ordine și anume după alfabet. Numărul pe care îl are fiecare elev în ordinea înscrierii în catalog reprezintă numărul ordinal. Numărul pe care îl are ultimul elev este și el număr ordinal fiindcă arată al câtelea elev în ordine alfabetică este acesta, dar în același timp este și număr cardinal fiindcă indică numărul total al elevilor din clasă.

Pentru a stabili numărul cardinal, numărarea se poate face într-o ordine oarecare arbitrar aleasă. Astfel, numărul elevilor din clasă poate fi stabilit prin numărarea în ordine alfabetică, în ordinea în care sunt așezați în bănci, în ordinea în care se prezintă dimineața la școală, în ordinea în care ies în recreație, în ordinea mediilor obținute la finele anului sau după oricare alte criterii, obținându-se de fiecare dată același rezultat. Înțelegând lucrurile în acest fel, se poate enunța și accepta fără rezerve axioma numărării: Rezultatul numărării elementelor unei mulțimi nu depinde de ordinea de numărare.

O consecință de remarcabilă importanță a axiomei numărării o constituie proprietatea fundamentală a unei sume de doi sau mai mulți termeni și anume comutativitatea. Se știe că a aduna la un număr natural a un alt număr natural b înseamnă a adăuga la numărul a, pe rând, una câte una, unitățile numărului b.

De asemenea, tot în legătură cu numărarea, se știe că aceasta se face în prima etapă cu câte o unitate, în sens crescător sau descrescător. De aceea, la primul număr, se numără în continuare unitățile numărului al doilea. Spre exemplu, a efectua suma 5 + 3 înseamnă a aduna la numărul 5 cele 3 unități ale numărului 3, una câte una: 5 + 1 = 6, 6 + 1 = 7, 7 + 1 = 8, adică a număra în continuare, de la 5, unitățile numărului al doilea: 6, 7, 8. În concluzie, adunarea la un număr dat a unităților altui număr se reduce la numărarea în continuare a unităților numărului al doilea la unitățile deja numărate ale primului număr. Dar, întrucât conform axiomei amintite, rezultatul numărării nu depinde de ordinea de numărare, se poate schimba ordinea termenilor, adăugând, prin numărare, unitățile primului număr la unitățile numărului al doilea.

În mod analog în cazul unei sume de trei termeni, spre exemplu: 4 + 2 + 3 = 4 + 3 + 2 = 2 + 3 + 4 etc. Prin urmare, o sumă de doi sau mai mulți termeni este comutativă, proprietate pe care elevii o înțeleg prin inducția incompletă cu caracter empiric, aplicând-o apoi în calculele pe care le efectuează. Primele exerciții de adunare și scădere pe care le învață copiii sunt cele în care la un număr se adaugă o singură unitate, sau din care se scade o singură unitate, întrucât prin acestea se reia, sub formă de operații aritmetice, numărarea ascendentă sau descendentă pe baza principiului de formare a numerelor naturale.

De îndată ce elevii își însușesc în mod conștient numărarea cu câte o unitate, se poate trece la numărarea cu două unități, pe baza acesteia introducându-se operațiile de adunare și scădere a numărului 2, apoi în continuare la numărarea cu 3, 4 și mai multe unități, cu operațiile corespunzătoare de adunare și scădere. Între procesul numărării și operațiile aritmetice de adunare și scădere se menține astfel o strânsă și continuă legătură, scoțându-se în relief faptul că adunarea unei unități la un număr, ori a două sau mai multe unități, constituie o numărare în sens ascendent cu una sau mai multe unități și analog scăderea este o numărare în sens descendent.

Deosebită atenție trebuie să se acorde numărării cu două unități, întâi începând cu numărul zero: 0, 2, 4, 6, …., apoi începând cu numărul 1: 1, 3, 5, ….., deoarece prin această numărare se realizează succesiunea numerelor pare ( cu soț ), respectiv a numerelor impare (fără soț ).

CAPITOLUL 2

CALCULUL – ELEMENT FUNDAMENTAL ÎN DEZVOLTAREA GÂNDIRII MATEMATICE A ȘCOLARULUI MIC

2.1. FORMAREA DEPRINDERILOR DE CALCUL

Deprinderile de calcul se formează la elevii din clasele mici prin parcurgerea succesivă a mai multor modalități de calcul: calculul în cadrul cunoașterii pentru prima dată a operațiilor aritmetice (forma elementară de calcul); calculul prin formarea unor procedee mintale în afara tabelelor.

Deși calculele efectuate în minte se scriu, totuși acestea sunt socotite forme ale calculului mintal.

Pe baza deprinderilor de a calcula în minte, copiii învață și calculul în scris în care rezultatul se află printr-o tehnică de calcul.

Deprinderile de calcul sunt deprinderi cerute de viață, de practică. Oriunde, în practică, în viață, ne întâlnim cu calcule care se cer rezolvate rapid. De aceea, formarea deprinderilor de calcul, mai ales la elevii școlii generale, constituie o sarcină principală a predării matematicii și aceasta deoarece calculul corespunde unui mod de adaptare a copilului la lumea în care trăiește. Raționamentul riguros dă și mai multă forță individului în fața realității: economisește tatonările inutile, evită risipa de materie și de energie, îl ajută să se ridice de pe planul gândirii practice la cel al gândirii conceptuale și să treacă de la aspectul concret al lucrurilor și fenomenelor la expresia lor tot mai abstractă.

În clasele I-IV, formarea deprinderilor elementare de calcul este o sarcină fundamentală a învățământului matematic. Deprinderile de calcul stau la baza întregului sistem al deprinderilor matematice, calculul mintal sând la baza calculului în scris, iar acestea (deprinderile de calcul mintal și în scris) constituie deprinderi de bază pentru rezolvarea problemelor și crearea lor.

Exemple: – pentru clasa a II-a:

a) 6 + 7 = 13 (calcul mintal);

b) 26 + 57 = 83 (calcul în scris);

c) Ina are 26 mere, iar Andrei 57 nuci. Câte fructe au cei doi? ( rezolvare de probleme);

d) Alcătuiți o problemă după operația:

26 + 57 = (creare de probleme).

Pentru formarea deprinderilor de calcul mintal am parcurs următoarele etape:

– familiarizarea cu operațiile pe care elevul le va efectua;

– organizarea și sistematizarea operațiilor când elevii urmăresc elementele operațiilor și relațiile dintre ele (echivalență, egalitate, ordine);

– automatizarea – când activitatea elevilor devine conștientă, nemaisolicitând în mod deosebit efortul de gândire și atenție;

– aplicarea în practică, când deprinderile automatizate sunt introduse în activități complexe.

2.2. ALGORITMI DE CALCUL

Unele deprinderi de calcul în scris (exemplu: 26 + 57 ) pot deveni deprinderi de calcul mintal prin însușirea algoritmilor de calcul.

Algoritmii sunt scheme mintale, automatisme intelectuale, sisteme de raționamente care se succed într-o anumită ordine a cărei respectare duce la rezolvarea de situații problematice, a unei probleme de un anumit tip. De aceea, algoritmii sunt instrumente de eficiență practică.

Algoritmii sunt deci elemente indispensabile ale învățământului matematic, între care algoritmii de calcul ocupă un rol principal. Pe tot parcursul învățării matematicii este necesar să se urmărească stabilirea unui echilibru just între latura care privește automatizarea (calculul, rezolvarea problemelor) și cea care privește conștientizarea acestora, între dezvoltarea gândirii elevilor și formarea deprinderilor matematice.

În practică, gândirea este considerată de multe ori greșit, ca fiind doar activitate creatoare, iar deprinderile doar activitate reproductivă.

Elevul trebuie să facă numeroase exerciții de calcul, el trebuie să învețe cum se adună, cum se înmulțește, etc.; formarea unor astfel de deprinderi cere o activitate intensă, astfel încât, absorbit de preocuparea cum face, elevul pierde din atenție ce face.

Acel de ce contribuie activ la formarea gândirii cauzale și a limbajului matematic. Operațiile aritmetice cele mai simple pot constitui excelente ocazii de a gândi, de a raționa. Nu putem vorbi de dezvoltare a gândirii și nici de formarea unor priceperi și deprinderi matematice, decât în măsura în care acestea au la bază înțelegerea – sesizarea esențialului noțiunilor respective (număr, calcul, problemă).

După însușirea algoritmilor de calcul urmează aplicarea lor în diverse situații noi în care gândirea acționează în mod creator și folosește, când are nevoie, algoritmii respectivi.

Exemple de algoritmi de calcul:

a) – pentru adunare: 8 + 6 = 14

8 + 2 = 10

10 + 4 = 14

L-am descompus pe 6 în 2 + 4 pentru că 2 îl completează pe 8 până la 10, adunând apoi zecea obținută cu 4.

b) – pentru scădere: 12 – 4 = 8

12 – 2 = 10

10 – 2 = 8

Am procedat astfel: 12 – ( 2 + 2 ) = ( 12 – 2 ) – 2 = 10 – 2 = 8

Înaintea efectuării acestor algoritmi de calcul am rezolvat multe exerciții de compunere și descompunere a numerelor până la 10.

În cazul adunării unui număr format din zeci și unități cu un număr format din unități cu trecere peste ordin, folosim algoritmii învățați anterior.

Exemple: 34 + 7 = 41

4 + 7 = 11

30 + 11 = 41 sau

34 + 7 = 30 + ( 4 + 7 ) = 30 + 11 = 41 sau

34 + 7 = 34 + ( 6 + 1 ) = ( 34 + 6 ) + 1 = 40 + 1 = 41.

Asemenea algoritmi de calcul se folosesc și în cadrul operațiilor de gradul II.

c) – pentru înmulțire:

34 2 = ( 30 2 ) + ( 4 2 ) =

= 60 + 8 =

= 68.

Înmulțim pe rând zecile, apoi unitățile cu 2, adunând apoi produsele parțiale. Se trece apoi la calculul scris: 34

2

68

iar după automatizarea algoritmului de calcul, exemple similare se pot da spre rezolvare oral (calcul mintal).

d) – pentru împărțire (se procedează asemănător ca la înmulțire):

369 : 3 = ( 300 : 3 ) + ( 60 : 3 ) + ( 9 : 3 ) =

= 100 + 20 + 3 =

= 125.

Algoritmii de calcul pot fi folosiți și în rezolvarea problemelor tip: probleme de mișcare, probleme rezolvate prin metoda figurativă, prin metoda comparativă, etc., iar prin automatizarea algoritmilor de calcul pot fi transformate în exerciții simple de calcul mintal, constituind apoi baza de plecare în rezolvarea unor probleme complexe.

Exemple:

a) Un biciclist parcurge 20 km cu viteza de 10 km / oră. Câte ore merge?

Aplicând formula, aflăm:

T = D : V; T = 20 km : 10 km = 2 ore, deci, 20 : 10 = 2 (exercițiu de calcul mintal).

b) Suma a două numere este 100. Știind că unul este de patru ori mai mare ca celălalt, aflați numerele.

După însușirea algoritmului de calcul, elevii pot rezolva problema prin calcul mintal, împărțind pe 100 în 5 părți egale, deoarece:

100 {I _______

{II _____________________________________ , deci:

100 : ( 4 + 1 ) = 100 : 5.

I = 100 : 5 = 20;

II = 20 4 = 80.

Dacă 8 creioane costă 80 lei, cât vor costa 5 creioane?

Problema se va transforma într-un exercițiu de calcul:

( 80 : 8 ) 5 = 50.

Calculul poate fi:

mintal – rezolvat doar în minte;

scris – rezolvându-se prin procedee specifice calculului scris.

2.3. TIPURI DE CALCUL MINTAL ȘI ORGANIZAREA CALCULULUI MINTAL

Prin calculul mintal se înțelege calculul care se efectuează în minte, în gând, fără folosirea mijloacelor sau procedeelor calculului scris și eliminând orice dispozitiv ajutător: numărătoare cu bile, abac, calculatoare, etc.

Calculul mintal, prin faptul că îl precede pe cel scris, inițiază pe elev în cunoașterea diferitelor forme de calcul, formându-i priceperile și deprinderile necesare trecerii la calculul în scris.

De asemenea, cu ajutorul calculului mintal elevul își clarifică diferite noțiuni matematice pe care le integrează apoi în ansamblul cunoștințelor matematice. Fără utilizarea la fiecare pas a calculului mintal nu poate fi concepută nici practica vieții sociale.

Calculul mintal are o contribuție importantă la dezvoltarea memoriei, atenției și mai ales a gândirii elevilor. De aceea, obiectivul final al învățării calculului mintal este dezvoltarea gândirii logice a elevilor care se dezvoltă și se disciplinează, deoarece elevul este pus în situația nu numai de a efectua calculele aplicând procedeele învățate, ci și de a alege procedeul de calcul cel mai potrivit cazului dat pentru a afla cât mai repede și mai ușor rezultatul.

Calculul mintal dezvoltă deci puterea de învățare, spiritul de inițiativă, perspicacitatea, considerându-se a fi cea mai simplă formă a muncii creatoare a elevului în domeniul matematicii.

Datorită importanței sale, la clasele mici se acordă o mare atenție calculului mintal, fiecare lecție de matematică consacrând de regulă 5-6 minute exercițiilor de calcul mintal (încălzirea minții). Dar, pe tot parcursul lecției se pot efectua exerciții de calcul mintal chiar cu numere mai mari când este cazul, deoarece se economisește timp și ajută dezvoltării gândirii elevilor.

În clasa I, pentru efectuarea operațiilor aritmetice și a tuturor calculelor în general, se utilizează doar calculul mintal.

Exemplu de calcul oral pentru clasa I:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 =

Elevii nu știu efectua decât adunări unități + unități, zeci + zeci și zeci + unități, fără trecere peste ordin. Aplicând însă proprietățile adunării, comutativitatea și asociativitatea vor afla ușor și repede rezultatul, deoarece:

1 + 9 + 2 + 8 + 3 + 7 + 4 + 6 + 5 = 45

└─┘ └─┘ └─┘ └─┘

Pentru realizarea eficientă a calculului mintal se impun mai multe obiective. Astfel, elevii trebuie:

– să calculeze direct rezultatul unor exerciții bazate pe o singură operație;

– să calculeze rezultatul unor exerciții bazate pe mai multe operații aritmetice;

– să precizeze semnele de operație între numerele componente dintr-un exercițiu rezolvat;

– să schimbe numerele sau semnele de operații false, astfel încât operația să devină adevărată, propunând mai multe soluții;

– să afle un termen (factor) necunoscut;

– să efectueze proba unei operații aritmetice prin aceeași operație și prin operație inversă;

– să transforme o adunare repetată într-o înmulțire și o scădere repetată într-o împărțire;

– să aplice proprietățile operațiilor aritmetice în scopul accesibilizării calculului și optimizării ritmului;

– să-și însușească și să aplice procedeele rapide de calcul mintal (comutări și asocieri pentru completare și rotunjire etc.);

– să rezolve mintal ecuații de gradul I;

– să estimeze împărțiri exacte pentru divizorii: 2; 3; 4; 5; 9; 10 în perspectiva însușirii criteriilor de divizibilitate;

– să calculeze rapid înmulțirea lui 10; 100; 1000; 11; 25; 50; cu un număr dat;

– să folosească operația adecvată pentru aflarea sumei, restului, produsului, câtului;

– să aplice în calcul, înțelegând semnificația lor, relațiile: „ cu atât mai mare ”; „ cu atât mai mic”.

Calculul mintal poate fi oral sau scris.

Calculul mintal oral poate fi:

1. Calculul mintal propriu-zis care formează unele abilități necesare calculului rapid și care constă în comunicarea exercițiilor, efectuarea mintală a operațiilor și comunicarea doar a rezultatelor. Nu se repetă exercițiul și nu se cere procedeul de rezolvare. Se folosește în verificarea, reactualizarea, evaluarea cunoștințelor în lecțiile de dobândire de noi cunoștințe, ca și pe tot parcursul unei lecții de consolidare sau recapitulare.

Exemple:

2 + 3 = 15 + 4 = 60 + 20 – 70 =

5 + 5 = 19 -10 = 300 + 400 – 650 =

3 9 = ? 6 = 54 42 : ? = 6

72 : 8 = ? ? = 64 ? : ? = 4

15 + 25 = 17 – 2 + 20 = 40 – 6 6 =

75 – 35 = 32 : 4 + 20 = 30 + 42 : 7 =

2. Calculul mintal oral (vorbit) în care se repetă atât operația cât și procedeele folosite pentru obținerea rezultatului, fără a folosi însă procedeele tehnice ale calculului în scris.

Exemple: 21 + 4 = 25.

Elevul explică adunarea unităților (1 + 4), la care se adaugă apoi 20, obținând 25.

28 + 36 = 64

20 + 30 = 50

8 + 6 = 14

50 + 14 = 64;

Pentru scădere:

38 – 26 = 12

8 – 6 = 2

30 – 20 = 10

10 + 2 = 12

Am descompus termenii în zeci și unități, am scăzut unitățile între ele, zecile între ele, adunând apoi rezultatele parțiale.

Asemănător procedăm la înmulțire și la împărțire:

410 2 = 400 2 + 10 2 = 800 + 20 = 820

848 : 4 = 800 : 4 + 40 : 4 + 8 : 4 =

= 200 + 10 + 2 = 212

Calculul mintal scris se efectuează tot în minte dar îl scriem pe tablă sau caiete.

Calitatea calculului mintal o constituie rapiditatea. Pentru a o dobândi, este necesar să se rezolve cât mai multe exerciții și de cât mai mare varietate, acestea conducând încet spre creativitate. Învățătorul trebuie să aleagă cu grijă exercițiile pentru calculul mintal, acestea trebuind să fie accesibile, dar să stimuleze gândirea, să fie atractive.

Clasificarea exercițiilor de calcul mintal

După modul cum sunt utilizate în lecții, exercițiile de calcul mintal se pot clasifica în:

a) – exerciții de calcul mintal rezolvate cu învățătorul în care elevul comunică procedeul de calcul și rezultatul.

Exemple:

Cât fac 25 + 30?

Elevul explică:

25 + 30 = 55, deoarece:

20 + 30 = 50

50 + 5 = 55.

Cât fac 203 x 3?

Elevul explică:

203 3 = 609, deoarece:

200 3 = 600

3 3 = 9

600 + 9 = 609.

b) – exerciții scrise rezolvate cu învățătorul în care se comunică exercițiul, se scrie, se repetă, se efectuează mintal, se anunță și se scrie rezultatul.

Exemplu:

45 + 13 = 40 + 5 +10 +3 = 40 + 10 + 5 + 3 = 50 + 8 = 58

c) – exerciții scrise și rezolvate prin muncă independentă în care se prezintă elevilor exercițiile, se citesc, elevii le copiază (sau sunt scrise pe fișe) și le rezolvă mintal, independent, după care citesc rezultatele. Din această categorie fac parte și exercițiile date ca temă pentru acasă.

Calculul mintal este specific lecțiilor de dobândire de cunoștințe, în care elevii învață noi procedee de calcul. El se folosește și în lecțiile de consolidare a cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor, când elevii repetă prin exerciții orale sau scrise procedeele stabilite în orele precedente.

Calculul mintal propriu-zis se folosește mai ales pentru formarea deprinderilor de aplicare a unor reguli sau pentru consolidarea anumitor procedee, precum și pentru formarea unor abilități necesare calculului rapid. Comunicarea exercițiilor se poate face cu ajutorul unor planșe sau a unor tabele numerice, cu ajutorul figurilor geometrice, etc. Prin calculul mintal propriu-zis se urmărește formarea unor deprinderi temeinice de calcul rapid și corect.

În ceea ce privește tehnica desfășurării exercițiilor de calcul mintal propriu-zis, aceasta diferă de la caz la caz, după natura exercițiilor care se rezolvă și formele sub care sunt prezentate. Însă, oricare ar fi forma pe care o adoptată, învățătorul trebuie să dea în prealabil indicații detaliate și suficiente în legătură cu organizarea și desfășurarea calculului, astfel încât pe parcurs să nu fie nevoie de reveniri sau lămuriri suplimentare care ar deruta elevii sau care i-ar induce spre amănunte nesemnificative.

CAPITOLUL3

FOLOSIREA CALCULULUI MINTAL ÎN SCOPUL DEZVOLTĂRII GĂNDIRII ELEVILOR

3.1. TIPURI DE EXERCIȚII FOLOSITE ÎN CALCULUL MINTAL

Calculul mintal este folosit în orice oră de matematică și în orice moment al lecției, când considerăm că este util.

Cel mai adesea se folosesc în calculul mintal exerciții variate și gradate ca dificultate.

Elevii pot lua cunoștință de exercițiile care urmează să le rezolve în mai multe moduri:

prin copierea exercițiilor din manual;

prin copierea exercițiilor de pe tablă;

prin dictarea lor de către învățător;

prin folosirea fișelor de lucru.

Exercițiile folosite în calculul mintal pot fi:

exerciții simple – cu o singură operație.

Exemple: 2 + 8 = 20 + 40 =

7 – 3 = 85 – 25 =

7 9 = 24 : 6 =

6 : 5 = 120 : 10 =

8 7 = 30 3 =

Exercițiile simple se pot prezenta sub următoarele forme:

a1) exerciții simple în care se indică operația ce urmează a fi efectuată cu numerele date. Exemple:

adunați numerele 7 și 5;

scădeți numărul 4 din 12;

înmulțiți numărul 18 cu 2;

împărțiți numărul 100 la 4.

a2 ) exerciții simple în care se cere să se afle un număr mai mare sau mai mic decât numărul dat.

Exemple:

aflați numărul cu 9 mai mare ca 7;

găsiți un număr cu 5 mai mic decât 13;

ce număr este de 3 ori mai mare ca 7?

aflați un număr de 4 ori mai mic ca 16.

a3 ) exerciții simple în care se denumește rezultatul operației ce urmează a se efectua asupra numerelor date.

Exemple:

aflați suma numerelor 8 și 7;

care e diferența numerelor 15 și 9?

aflați produsul dintre 8 și 6;

găsiți câtul numerelor 24 și 6.

exerciții cu mai multe operații de același grad.

Exemple: 4 + 3 + 2 = 6 8 : 2 =

7 – 5 + 10 = 2 5 7 =

90 + 30 – 10 = 90 : 3 2 =

70 – 60 + 10 = 40 : 20 2 =

5 + 3 + 8 – 7 =

15 : 3 2 4 =

Se explică elevilor cum se rezolvă exercițiile, mai ales cele subliniate, apoi le vor rezolva singuri.

exerciții cu mai multe operații diferite.

Exemple: 4 + 2 6 = 74 – 40 : 4 =

18 : 2 – 8 = 6 9 + 4 =

50 + 14 : 2 + 3 = 70 – 7 5 + 5 =

Pentru rezolvarea corectă a acestor exerciții elevii trebuie să cunoască ordinea efectuării operațiilor. Astfel, la exercițiul:

4 + 2 6 = 16 vor calcula:

2 6 = 12

4 + 12 = 16

d) exerciții cu paranteze.

Exemple:

3 + ( 2 + 5 ) = 20 – ( 4 4 ) =

6 – ( 4 + 2 ) = 40 + ( 80 : 10 ) =

( 32 + 18 ) : 5 = 45 – 15 – ( 2 3 5 ) = ( 72 – 12 ) 3 = 38 : 2 + 1 – ( 40 – 30 ) =

Elevii trebuie să știe că se rezolvă întâi parantezele, apoi restul operațiilor în ordinea efectuării lor. Fiind cu mai multe operații, exercițiile de felul acesta dezvoltă rapiditatea gândirii.

e) exerciții de aflare a unui termen sau factor.

Exemple: ? + 5 = 8 45 – ? = 40

10 – ? = 6 23 + ? = 25

 + 7 = 27  6 = 54

12 +  = 20  : 2 = 9

 – 13 = 40 65 – = 30

f) exerciții de aflare a unei necunoscute.

Exemple: t + 5 = 7 20 m = 80

17 – a = 10 i – 40 = 60

18 : n = 2

z : 4 = 8

Exercițiile în care am folosit ca și necunoscută o literă se vor rezolva pe baza relațiilor dintre termeni sau factori și rezultat.

T1 + T2 = S D – S = R

T1 = S – T2 D = S + R

T2 = S – T1 S = D – R

F1 F2 = P D : Î = C

F1 = P : F2 D = Î C

F2 = P : F1 Î D = C

Astfel, având exercițiul: a + 5 = 7 vor rezolva:

a = 7 – 5

a = 2

Introducerea simbolurilor literale în calcul este caracteristică cerinței de a gândi mult într-un spațiu mic.

Pe măsură ce elevii au cunoscut și aprofundat relația de echivalență între mulțimi, relația de egalitate între numerele naturale, proprietățile operațiilor aritmetice am putut introduce în calcul litere în locul numerelor.

Introducerea simbolurilor literale în calcul prezintă și unele dificultăți, mai ales în clasa I, când elevii văd în literă un semn al sunetului. De aceea elevii trebuie să-și consolideze întâi cunoașterea literelor și deprinderea de a citi.

De asemenea, litera este un simbol mult mai abstract decât numărul. Când elevii au înțeles bine de ce 3 + 4 = 7; 7 – 3 = 4; 7 – 4 = 3, am trecut la exerciții în care un termen este necunoscut ( ? + 4 = 7 ) sau (+ 3 = 7 ), apoi am introdus litere în locul numerelor din căsuță. Exemplu: ( a + 4 = 7 ) sau ( y + 5 ) = 7.

g) exerciții de aflare a termenilor sau factorilor când se cunoaște rezultatul.

Exerciții: ? + ? = 8 ? ? = 36

? – ? = 3 ? : ? = 2

Acest gen de exerciții dezvoltă în mod deosebit flexibilitatea gândirii elevilor, deoarece au mai multe soluții, constituind o bază elementară în însușirea ecuațiilor de mai târziu. Pentru adunare și înmulțire voi cere toate soluțiile posibile, iar pentru scădere și împărțire cât mai multe, deoarece există practic o mulțime de soluții. Acest gen de exerciții pot fi prezentate și cu ajutorul căsuțelor, apoi a simbolurilor literale.

Exemplu:  + = 20 a + b = 12

 + = 40 a – b = 15

 = 40 a b = 18

 : = 10 a : b = 4

h) exerciții în care să precizeze semnele operațiilor, dându-li-se termenii sau factorii și rezultatul.

Exemple: 8  7 = 15 4 6 = 24

38  8 = 30 1 3 4 = 4

61 9 = 9 3 6 2 7 = 2

1  2  3  4  5  6  7  8  9 = 1

Aceste exerciții solicită în mod deosebit gândirea elevilor și nu vor putea fi rezolvate decât după consolidarea temeinică a algoritmilor de calcul, fiind însă foarte atractive și stimulând suplețea gândirii.

i) exerciții capcană în care se dau trei rezultate, din care unul (sau niciunul) este corect, iar ei trebuie să încercuiască rezultatul corect (sau să-l precizeze dacă nu apare).

Exemple:

3 + 9 = 10 17 – 11 = 4

14 16

12 6

30 – 5 5 = 20 3 2 10 = 50

5 70

125 60

70 – 7 5 = 25

40

45

Vor preciza: 35

j) exerciții circulare, tot foarte atractive și antrenante pentru elevi, în care rezultatul unui exercițiu constituie primul număr (termen, factor) din exercițiul următor.

Exemple:

4 + 8 = a d + 3 + 3 = e

a – 5 = b e – 15 : 5 = f

b 4 = c ( f + 3 ) : 4 =

c : 2 = d

3.2. PROCEDEE SPECIALE DE CALCUL MINTAL

Procedeele speciale de calcul mintal se aplică numai anumitor numere care au o structură specială și care se bazează pe relații aritmetice particulare. Cele mai cunoscute sunt:

a) procedeul rotunjirii numerelor care constă în adăugarea sau neglijarea unor unități de un anumit ordin pentru a se obține zeci întregi, sute întregi, etc. Calculul simplificându-se.

Exemple: 493 + 298 = ( 500 – 7 ) + ( 300 – 2 ) =

= ( 500 + 300 ) – ( 7 – 2 ) =

= 800 – 9 = 791

405 + 397 = ( 400 + 5 ) + ( 400 – 3 ) =

= 800 + 2 = 802

b) procedeul bazat pe proprietățile operațiilor aritmetice:

– comutativitatea adunării.

Exemple: 2 + 7 = 7 + 2 = 9

21 + 45 = 45 + 21

– asociativitatea adunării.

Exemple: ( 2 + 3 ) + 5 = 2 + ( 3 + 5 ) = 10

( 11 + 20 ) + 40 = 11 + ( 20 + 40 ) = 11 + 60 = 71

– comutativitatea și asociativitatea adunării.

Exemple: 1 + 7 + 4 + 9 + 3 = ( 1 + 9 ) + ( 7 + 3 ) + 4 = 24

999 + 456 + 544 + 1 = ( 999 + 1 ) + ( 456 + 544 ) = 2000

– comutativitatea înmulțirii.

Exemple: 3 7 = 7 3 = 21

9 6 = 6 9 = 54

– asociativitatea înmulțirii.

Exemple: ( 9 2 ) 3 = 9 ( 2 3 ) = 54

( 18 5 ) 2 = 18 ( 5 2 ) = 18 10 = 180

– comutativitatea și asociativitatea înmulțirii.

Exemple: 2 8 5 5 = ( 2 5 ) ( 8 5 ) = 10 40 = 400

3 5 2 6 = ( 5 2 ) ( 3 6 ) = 10 18 = 180

– distributivitatea înmulțirii față de adunare.

Exemple: 15 44 = 15 ( 40 + 4 ) = ( 15 40 ) + ( 4 40 ) =

= 600 + 60 = 660

– distributivitatea înmulțirii față de scădere.

Exemplu: 54 8 = 54 ( 10 – 2 ) = 54 10 – 54 2 =

= 540 – 108 = 432

Procedeul înmulțirii succesive:

Exemple: 5 32 = 5 4 8 = 20 8 = 160

8 35 = 8 5 7 = 40 7 = 280

6 15 = 6 5 3 = 30 3 = 90

e) Procedeul împărțirii succesive:

Exerciții: 168 : 4 = 168 : 2 : 2 = 84 : 2 = 42

144 : 18 = 144 : 2 : 9 = 72 : 9 = 8

f) Procedeul înmulțirii cu 5; 25; 50;

Exemple: 48 5 = 48 ( 10 2 ) = 42 10 2 = 480 : 2 = 240

Pentru a înmulți un număr cu 5, îl înmulțim cu 10 și împărțim rezultatul cu 2, deoarece 5 = 10 : 2.

12 25 = 12 ( 100 : 4 ) = 12 100 : 4 = 1200 : 4 = 300

Pentru a înmulți un număr cu 25, îl înmulțim cu 100 și împărțim rezultatul la 4, deoarece 25 = 100 : 4.

36 50 = 36 (100 : 2 ) = 36 100 : 2 = 3600 : 2 = 1800

Pentru a înmulți un număr cu 50, îl înmulțim cu 100 și împărțim rezultatul la 2, deoarece 50 = 100 : 2.

g) Procedeul înmulțirii cu 9 și 11:

Exemple: 24 9 = 24 ( 10 – 1 ) = 240 – 24 = 216

24 11 = 24 ( 10 + 1 ) = 240 + 24 = 264

Pentru a înmulți un număr cu 9 sau 11, îl transformăm pe 9 în diferența 10 – 1, aplicând apoi proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunare și față de scădere.

Există și un procedeu mai rapid de înmulțire cu 11, după ce prin calcul scris, am observat așezarea produselor parțiale și produsul total.

Exemple: 34 11 = 374 42 11 = 462

340+ 420+

34 42

374 462

57 11 = 627 423 11 = 4653

570+ 4230+

57 423

627 4653

Așadar, ultima cifră a produsului va fi ultima cifră a factorului diferit de 11, penultima va fi suma ultimelor două cifre ale factorului etc., iar prima cifră a produsului va fi aceeași cu prima a factorului dacă suma precedentă este mai mică decât 10, sau cu 1 mai mare dacă depășește 10.

h) Procedeul împărțirii numerelor la 5; 25; 50.

Exemple: 120 : 5 = 120 2 : 10 = 240 :10 = 24 sau

120 : 5 = 120 : 10 2 = 12 2 = 24

Pentru a împărții un număr la 5, îl împărțim la 10, iar câtul îl înmulțim cu 2.

125 : 25 = 125 4 : 100 = 500 : 100 = 5

7500 : 25 = 7500 : 100 4 = 75 4 = 300

Pentru a împărți un număr la 25, îl împărțim la 100, iar rezultatul îl înmulțim cu 4.

450 : 50 = 450 2 : 100 = 900 : 100 = 9

1400 : 50 = 1400 : 100 2 = 14 2 = 28

Pentru a împărți un număr la 50, îl împărțim la 100, iar rezultatul îl înmulțim cu 2.

Aceste procedee speciale sunt deosebit de interesante pentru elevi și îi stimulează atât în rezolvare, cât și în crearea de exerciții care se rezolvă în același mod.

Prin rezolvarea acestora, gândirea elevilor devine mai rapidă și chiar mai flexibilă, elevii învățând să caute ei înșiși noi și variate soluții în rezolvarea diferitelor exerciții și probleme.

3.3. TIPURI DE PROBLEME FOLOSITE ÎN CALCULUL MINTAL

Și problemele pot fi rezolvate prin calcul mintal, atunci când sunt probleme simple, probleme logico-matematice și chiar problemele care se rezolvă prin 2-3 operații iar calculul acestora se face mintal.

a) Probleme simple

După ce elevii au consolidată deprinderea de a rezolva probleme simple (cu o operație), este chiar indicat pentru a economisi timp, ca rezolvarea acestora (când este posibil) să fie redată printr-un calcul mintal, transformând astfel rezolvarea problemei într-un exercițiu.

Exemple:

* Ina are 10 nuci. Mai primește 5. Câte nuci are acum?

La clasa I, după precizarea operației, elevii vor rezolva:

10 + 5 = 15 (nuci)

* Nicoleta are 100 lei, din care cheltuiește 20. Câți lei mai are?

După precizarea operației, elevii vor rezolva:

100 – 20 = 80 (lei)

* La un concurs sportiv se prezintă 7 fete, iar băieți de 4 ori mai mulți. Câți băieți

s-au prezentat?

Elevii vor calcula mintal:

4 7 băieți = 28 băieți

* 21 mere se împart în mod egal la 7 copii. Câte mere primește fiecare?

Elevii rezolvă:

21 mere : 7 = 3 mere

b) Probleme ghicitori

Sunt foarte gustate de elevii ciclului primar datorită ineditului adus în lecție. Astfel sunt:

– pentru adunare:

* Iepurilă-i supărat,

S-a-ncurcat la numărat.

Cu cinci morcovi în hambar

Și cu altu-n buzunar,

A-nceput mintea să-l lase,

Nu știe că toți fac șase.

5 + 1 = 6

* Doi pisici pândesc c- un țel:

Vor să prindă-un șoricel

Și-ncă doi vin să-i ajute.

Câți pisoi pândesc în curte?

2 + 2 = 4

* Trei copii joacă șotron,

Afară, sub un șopron.

Și mai vin să joace doi.

Câți s-au adunat? Știți voi?

3 + 2 = 5

– pentru scădere:

* Am în mână două mere

Unul ți-l dau ție, vere!

Cine poate ca să spună

Cu ce-au mai rămas în mână?

2 – 1 = 1

* Sunt pe masă cinci gutui

De iei trei, eu vreau să-mi spui

Dacă bine socotești,

Câte-au mai rămas? Ghicești?

5 – 3 = 2

* Pe o creangă de alun,

Zece vrăbii stau la sfat.

Șapte gureșe-au plecat.

Câte vrăbii vreau să spun,

Au rămas tot pe alun?

10 – 7 = 3

– pentru înmulțire:

* Nicu-njgheabă din cartoane

Zece mici aeroplane

Dar și Sandu, de cu zori

L-a-ntrecut de două ori.

Și-acum râde fericit.

Sandu câte-a construit?

10 2 = 20

* Doar cinci ani fetița are

Frățiorul e mai mare

Și-mplinește, dragii mei,

De trei ori azi anii ei.

Câte-s, ai putea să-mi spui,

Lumânări pe tortul lui?

5 3 = 15

– pentru împărțire:

* Când în brad ard luminițe

Darnic descărcându-și coșul

Pentru cele trei fetițe,

Șase pungi aduce moșul.

Dar tu poate ai ghicit

Una câte a primit?

6 : 3 = 2

– cu operații combinate:

* Are Gică patru mere

Și mănâncă trei din ele.

Îi dă tata un măr mare,

Câte mere Gică are?

4 – 3 + 1 = 2

* Doi purcei și două curci

Stau în curtea cu lăptuci,

Dacă și-ar dori papuci,

Câți ar trebui s-aduci?

( 2 + 2 ) 2 = 8

* Are Gogu patru sute

Și Tom cu cinci mai multe.

Judecați acum și voi

Câte sute au cei doi?

400 + ( 400 + 500 ) = 1300

c) Probleme logico-matematice

Sunt probleme care obligă elevul să-și folosească cunoștințele asimilate, într-un mod creator, pentru rezolvarea lor. De aceea, la început, o mică parte dintre elevi sunt în stare să rezolve astfel de probleme, deși se rezolvă mintal, dar prin exercițiu intens și punându-i mereu să rezolve probleme noi, tot mai mulți elevi vor putea rezolva și astfel de probleme de logică.

Exemple:

* Un pescar amator, după două zile de pescuit, este întrebat de prieteni câți pești a pescuit. El a răspuns: „ Am prins șase pești fără cap, nouă pești fără coadă și opt pe jumătate.” Știți câți pești a prins?

Răspuns: 0 pești. 6 9 8

* După o vacanță plăcută s-au întâlnit în același timp 10 prieteni, fiecare dând mâna cu fiecare. Câte strângeri de mână au fost în total?

Dacă fiecare luat pe rând ar fi dat mâna cu fiecare din ceilalți 9 ar fi fost nouăzeci de strângeri de mână, dar în acest caz, fiecare ar fi dat de două ori mâna cu fiecare. Deci au fost:

9 10 = 90

90 : 2 = 45 (strângeri de mâini).

* Un melc cade într-o fântână adâncă de 10 metri. El vrea să iasă afară. Ziua se târăște spre ieșire cu 2 metri iar noaptea alunecă înapoi 1 metru. A câta zi iese melcul afară?

S-ar părea că va ieși în 10 zile, deoarece:

2 – 1 = 1

10 : 1 = 10, dar iese în 9 zile, deoarece în ultima zi ajunge sus și nu mai alunecă înapoi.

* Într-un lac cresc nuferi. Ei își dublează în fiecare zi suprafața. După zece zile jumătate den lac este plin. După câte zile se umple întregul lac?

Răspuns: 11 zile.

* Avem trei vase în care încap 8 litri, 5 litri, 3 litri. Primul este plin cu apă, iar celelalte sunt goale. Cum se poate măsura un litru de apă, folosind cele trei vase?

Se umple vasul de trei litri, se golește în cel de 5 litri, se umple din nou cel de 3 litri, se golesc 2 litri (atât cât încap) în vasul de 5 litri, iar în vasul de 3 litri rămâne 1 litru.

* O cărămidă costă 100 lei și o jumătate de cărămidă. Cât costă o cărămidă?

Răspuns: 200 lei.

* „Cu câte gâște ai fost la păscut?”

Dacă una merge înaintea a două gâște, alta între două și una după altele două, atunci câte gâște au fost la păscut?

Răspuns: 3 gâște.

* Pune un zece

La cincisprezece

Și cincizeci

La douăzeci!

Și încă două lângă nouă

Și apoi taie-le-n două!

Iar în timp ce am să tac

Spune repede cât fac?

( 10 + 15 + 50 + 20 + 2 + 9 ) : 2 = 53

* Cinci copii mănâncă 5 înghețate în 5 minute. Câți copii vor mânca 30 înghețate în 15 minute?

Rezolvare:

1 copil mănâncă 1 înghețată în 5 minute

1 copil mănâncă 3 înghețate în 15 minute

10 copii mănâncă 30 de înghețate în 15 minute.

Răspuns: 10 copii

* Laturile unei figuri geometrice sunt cuprinse între 1 și 10. Ce figură avem și cât sunt laturile, dacă perimetrul și aria figurii coincid numeric?

P = 2 L + 2 l P□= 4 l

A = L l P = l l

Studiind formulele cu atenție de aflare a ariei și perimetrului, ajungem la concluzia că figura este un pătrat cu latura de 4.

4

4 4

4

P = 4 4 = 16

A = 4 4 = 16

Marin și Daniel au 10 scaune pe care trebuie să le așeze de-a lungul pereților unei camere pătrate, astfel ca, pe fiecare perete, să fie același număr de scaune. Ei au reușit. Voi puteți?

Dacă vi se dau 8 bile din care una e mai grea, cum o aflați doar prin trei cântăriri, având o balanță?

Soluție:

1

Cântăriri 2

3

* „ Șaizeci și patru și cu unul și cu altul și cu doi legat de patru și-ncă unu și-ncă patru, cât fac?”

Rezolvare:

64 + 1 + 1 + 24 + 1 + 4 = 95

* Câte zile de naștere are un elev de 10 ani?

Soluție:

Una – unii vor fi tentați să spună 10.

* Folosind numai semnul adunării, scrieți numărul 30 cu ajutorul a șase cifre 2.

Soluție: 22 + 2 +2 + 2 +2 = 30

* O gospodină venea de la piață ducând în coșuri trei rațe, doi iepuri și patru găini. Câte picioare veneau de la piață?

Soluție: Două – ale gospodinei.

* Vi se dau exercițiile:

6 + 6 + 6 = 30

5 + 5 + 5 = 30

3 + 3 + 3 + 3 = 30

Cum schimbăm semnele operațiilor pentru ca operațiile să fie cele corecte?

Soluție: 6 6 – 6 = 30

5 5 + 5 = 30

3 3 3 +3 = 30

d) probleme cu mai multe operații (ce se pot efectua mintal).

Rezolvarea mintală a acestor probleme posibilă când se dau numere mici face să economisim timp și de aceea, rezolvând mai multe astfel de probleme, să consolidăm într-un timp mai scurt modul lor de rezolvare (mă refer în deosebi la problemele tip, care stimulează toate operațiile gândirii).

Exemple:

– Metoda figurativă:

* Vârsta tatălui este de 4 ori mai mare decât a fiului. Știind că cei doi au împreună 40 de ani, să se afle vârsta fiecăruia?

Pentru a ajunge la rezultat, elevii învață să se folosească de o figură:

F

40

T

după care vor calcula ușor mintal:

40 : 5 = 8 (ani vârsta fiului)

8 4 = 32 (ani vârsta fiului)

* Diferența a două numere este 100. Dacă le împărțim, obținem câtul 3 și restul 20. Care sunt numerele?

Se vor ajuta din nou de o figură în rezolvare:

D +20

Î

100

Este foarte important ca elevii să știe reprezenta corect figura, căci apoi calculele se pot rezolva adeseori mintal:

100 reprezintă +20

deci o parte va fi (100 – 20) : 2 = 40.

Așadar, împărțitorul care este o parte va fi 40, iar deîmpărțitul se va afla se va afla:

40 + 100 = 140 sau

40 3 + 20 = 120 + 20 = 140.

– Metoda falsei ipoteze:

* La un concurs de matematică se acordă 5 puncte pentru o problemă bine rezolvată și se scad 3 puncte pentru o problemă greșită. Un elev a trimis 10 probleme rezolvate și a primit 26 de puncte. Câte puncte a rezolvat bine și câte a greșit?

Presupunând că toate problemele ar fi rezolvate bine, elevul ar fi primit: 5 puncte x 10 =50 de puncte. Dar el a primit doar 26, adică cu 50 puncte minus 26 puncte egal 24 puncte, mai puține pentru că a și greșit câteva. Dar câte? Pentru a afla pentru câte probleme greșite a fost sancționat cu 24 puncte în minus, trebuie să știu câte puncte pierde pentru o singură problemă greșită, și aflăm: 5puncte + 3 puncte = 8 puncte pierdute pentru o singură problemă greșită, deci 24 puncte va pierde pentru: 24 puncte : 8 puncte = 3 (probleme)

Răspuns: 7 (probleme corecte) și 3 (probleme greșite).

– Metoda mersului invers:

* Mă gândesc la un număr. Îl împart la 2, apoi scad din el 7, obținând 3. Aflați numărul.

Vom obține următoarea egalitate:

n : 2 – 7 = 3

Ultima operație este scăderea. Considerăm n : 2 ca fiind descăzutul, 7 fiind scăzătorul iar 3 restul. Avem, potrivit formulei D = S + R, n : 2 = 7 + 3 = 10. Am ajuns la un exercițiu de aflare a unei necunoscute: n : 2 = 10, în care n se află potrivit formulei împărțirii D : Î = C din care rezultă D = C Î că n = 2 10 = 20.

Răspuns: 20.

Prin rezolvarea acestui gen de probleme care se transformă în exerciții, ce se numesc în algebră ecuații pot fi create numeroase jocuri de genul: „Ghicește numărul”, „Ghicește vârsta”, etc. Exemple de joc cu ghicirea unui număr:

* Voi cere clasei să se gândească la un număr (pentru a se putea calcula mintal să se afle între 1 și 7 inclusiv), să adune la el 3, să înmulțească suma obținută cu 6, să scadă de aici numărul la care s-a gândit, să mai scadă apoi 8 și, în sfârșit, să împartă rezultatul la 5. Când se vor comunica rezultatele pe rând (vor fi 8 posibilități la cerința mea), se va putea spune, pe rând, la ce numere s-au gândit, deoarece, așa cum rezultă din egalitatea: (n + 3) 6 – n – 8 : 5 = n + 2, va fi suficient să scădem din rezultat numărul 2.

– Probleme de mișcare:

în același sens:

* Un grup de elevi care merge cu 5 km / h iese din oraș la orele 7 dimineața. La orele 14 în aceeași zi, se trimite după ei un curier care se deplasează cu 12 km / h. După cât timp și la ce distanță de oraș, curierul va ajunge grupul?

Problema este de urmărire. Trebuie să stabilim în ce moment începe urmărirea și la ce distanță de oraș se află grupul de elevi în momentul plecării curierului. Planul logic al problemei și operațiile corespunzătoare vor fi (se va apela la calculul mintal scris):

1. Cât timp merge grupul singur?

14 h – 7 h = 7 h

2. Ce distanță parcurge grupul în acest timp?

5 km / h 7 h = 35 km

Grafic vom putea reprezenta acest lucru, astfel:

12 km / h B 5 km / h

35 km

3. Cu cât se apropie curierul în fiecare oră?

12 km – 5 km = 7 km

4. După câte ore se întâlnesc?

35 km : 7 km / h = 5 h (ore)

5. La ce distanță de oraș se întâlnesc?

12 km / h 5 h = 60 km.

în sens invers:

* Un tren a pornit din Iași spre București cu o viteză medie de 52 km /h. În același timp a pornit din București spre Ieși un alt tren, cu o viteză medie de 48 km / h. Distanța de la București la Iași este de 400 km. După cât timp s-au întâlnit cele două trenuri?

Ne vom ajuta de un grafic:

52 km / h 48 km / h

I B

400 km

În acest caz, pentru a afla după cât timp s-au întâlnit, vom putea aplica formula de aflare a timpului: T = D : V deci , T = 400 km : ( 52 km / h + 48 km / h ) = 400 km : 100 km / h = 4 h

După ce elevii vor înțelege bine de ce în cazurile de urmărire se scad vitezele între ele, iar în cazurile de mers în sens invers se adună, vom putea complica astfel de probleme iar având numere accesibile, elevii vor putea rezolva mintal problemele, putând rezolva astfel foarte multe într-un timp foarte scurt, dezvoltându-și proporțional gândirea.

Este necesar să introducem și rezolvarea de probleme în calculul mintal deoarece acestea îi pun în situații mereu noi, stimulându-le gândirea creatoare și inventivitatea, de asemenea inteligența și imaginația, mai ales prin introducerea problemelor care se rezolvă prin mai multe procedee. Pentru elevii dotați, care participă la cercul de matamatică, în acest caz le putem cere să transforme rezolvarea problemei într-un exercițiu, sau să aleagă cea mai economicoasă cale de rezolvare.

3.4. MODALITĂȚI DE PREZENTARE A EXERCIȚIILOR ȘI PROBLEMELOR DE CALCUL MINTAL

Pentru a fi mai interesante și mai atrăgătoare pentru elevi, este necesar ca exercițiile și problemele date spre rezolvare să fie prezentate și cu ajutorul unor desene, figuri geometrice, scheme, machete, chibrituri (bețișoare), tabele matematice etc.

Desene:

Trebuie să fie prezentate mai ales la clasa I, când gândirea copiilor face primii pași de la concret la abstract și să fie redate de regulă sub formă de jocuri.

Exemple:

* „Fetița socotește” – desenele vor fi făcute pe planșă sau pe tablă, iar elevilor li se cere să afle valoarea numerică a semnelor de întrebare din problemă după ce, în prealabil, au stabilit ce operație aritmetică vor efectua. Acest exercițiu – joc se folosește fie într-o oră de consolidare, fie la sfârșitul unei ore de dobândire de cunoștințe.

1.

2 .

3.

„Roboțelul vă întreabă” – Desenul va fi făcut pe tablă, iar elevilor li se va atrage atenția să urmărească termenii și semnul ( + , – ) indicat de învățător, de fiecare dată și să spună repede și corect doar rezultatul. Se poate folosi mai ales la începutul unei ore de consolidare sau la sfârșitul unei ore de dobândire de cunoștințe.

„Câți șoareci a prins pisica?” – Este un exercițiu – joc captivant, care solicită mai mult atenția și spiritul de observație al elevului ce trebuie să observe care cifre și câte apar în figură și să facă apoi suma lor. Poate fi folosit în oricare parte a unei ore.

1 1

Soluție: 1 + 1 + 3 + 3 + 6 = 14

1+1+1+1+1+1+1+3+3+6= 19

„Martinel calculează” – Jocul se folosește mai ales în orele de consolidare, iar pentru a deveni mai atractiv calculul din cele două coloane îl punem pe „Martinică” să calculeze. Dacă greșește, i se dau pedepse.

„Ce număr are căsuța?” – Acest exercițiu joc implică în mod deosebit gândirea elevilor care trebuie să afle ce relații sunt între numerele date din căsuțe, pentru a le putea completa pe cele din căsuțele goale.

* „Vaza cu flori – numere” – Având posibilitatea de a pune multe numere și toate semnele aritmetice învățate, acest exercițiu joc se folosește cu succes în orele de consolidare mai ales, fiind interesant pentru copii.

* „Racheta” – Exercițiul joc cu rachete le place copiilor și oferă posibilitatea gradării exercițiilor după dificultate, putând atașa și alte „trepte” rachetei. L-am folosit în consolidare.

Dacă ai rezolvat corect, ești pilot!

٭ „Micii polițiști” – Exercițiul-joc se poate desfășura pe grupe de elevi ( rânduri de bănci ) fiecare elev care rezolvă corect putând fi polițist. Paleta va avea trei brațe, pe cele laterale fiind scris câte un număr, iar pe cel din mijloc va apărea semnul operației pe care o vor efectua mintal, spunând rapid rezultatul. Cei care au greșit nu vor putea trece mai departe și vor fi „amendați”.

b) Schemele

Într-o fază mai avansată, trecând spre abstract, se folosesc mai cu seamă schemele care se prezintă de cele mai multe ori sub forma unor figuri geometrice și care își aduc o mai mare contribuție la dezvoltarea gândirii matematice a elevilor. Schemele pot fi:

– cu pătrate:

* „Calculează rapid” – Exercițiul se desfășoară rapid, învățătorul indicând cu rigla termenii adunării (scăderii) și operația corespunzătoare, iar elevii trebuind să spună foarte repede rezultatul. Se poate folosi în oricare parte a lecției, de regulă la începutul lecției, deoarece le canalizează atenția spre rezolvarea de exerciții.

3 2 20 8 15

4 3

4 7 13 6 11

* „Completează lanțul numerelor” – Se poate desfășura pentru a fi mai dinamic, sub formă de concurs pe grupe ( rânduri de bănci ), cei care termină mai repede rezolvând corect toate exercițiile, vor câștiga.

+2 + 10 + 11 + 20 – 14 – 1

* „Pătratele magice” – Pătratele magice solicită în mod deosebit gândirea elevilor și deoarece necesită uneori mai mult timp spre rezolvare le-am folosit doar în orele de consolidare. În aceste exerciții, calculul mintal rapid este asociat cu o viziune de ansamblu asupra tuturor adunărilor posibile, astfel ca suma să fie aceeași și să nu se repete nici un număr, constituind un pas important spre creativitate.

1) Scrieți numerele de la 1 la 9 în căsuțe fără repetarea vreunui număr, astfel ca suma lor, pe orizontală, verticală și diagonale să fie 15.

2) Același exercițiu, cu numere de data aceasta de la 0 la 8 și având suma 12.

3) Același exercițiu, cu numere de la 2 la 18, având suma 30.

4) „Aflați suma pătratelor” – Îi ajută să-și formeze o viziune spațială asupra figurilor geometrice, fiind binevenit în puținele ore de „geometrie” mai ales la clasele I-II.

2 + 6 = 8

– cu cercuri :

* „Cât face” – Exercițiul poate fi folosit în orice parte a orei; învățătorul indică termenii cu un indicator, iar elevii vor răspunde repede și corect.

7 – 11

14 3 + 65 + 40

8 9 – 2 + 80

15 – 14

* „Cum completezi cerculețele?” – Fiind un exercițiu care solicită în mod deosebit gândirea elevilor, va putea fi rezolvat de cei mai isteți, astfel încât suma numerelor din oricare 3 cerculețe „vecine” să fie 10.

* „De unde pornesc, acolo ajung” – Este un exercițiu de tip lanț, în care numărul de la care pornesc va fi și rezultatul ultimei operații efectuate. Se poate desfășura în orice parte a orei sub formă de concurs pentru a-i spori eficacitatea.

* „Ajung la același număr” – Conținând operații combinate, acest exercițiu solicită atât atenția cât și gândirea elevilor. L-am folosit mai ales în orele de consolidare.

+ 55 ? – 45

+20

2 ? +

+ 9

? – 20 ? +10

* „Ce număr veți scrie în sectorul liber?” – Elevii trebuie să observe relația dintre numerele opuse – unul fiind jumătatea celuilalt – și dintre numerele alăturate – unul mare, altul mic.

Soluție: Se va pune 10, deoarece într-un sector se află înscris dublul numărului din sectorul opus.

* „Ce cifră punem în paleta liberă a giruetei?”

➋ ⑦ ⑧ ③

① ⑥ ⑨ ➍

④ ① ⑥ ③

⑤ ➋ ➐ ④

Deoarece, în primul exemplu, 2 + 6 = 8 și 1 + 7 = 8, vom urma același mod de rezolvare și cu celelalte.

„Câte cercuri avem?” – Este mai mult un joc de atenție și de perspicacitate.

6 + 8 = 14

Completați cerculețele” – Este folosit îndeosebi în orele de consolidare.

④ ⑦ ⑧ ②

Ⓧ Ⓧ

٭„Ce număr punem?” – Exercițiul solicită gândirea elevilor care trebuie să descopere relațiile existente între numerele din fiecare grup de cerculețe. Avem astfel: 4 x 7 + 2 = 30; 7 x 2 + 9 = 23; 9 x 6 + 8 = 62. Rezultă că 5 x 7 + 5 = 40, deci în ultimul cerculeț vom pune 40.

* „Mergi după săgeată!” – Urmând direcția săgeții și observând ceea ce cunosc, elevii trebuie să completeze cerculețele goale.

+3



❹ ⑦

⑩ ⑬

* „M magic”

Scrieți cifrele1 – 9 în cele 9 cercuri din desen, încât suma cifrelor de pe fiecare din cele patru laturi ale literei M să fie 13.

„Poți calcula?” – Pentru a-mi da seama de modul lor de gândire, le-am prezentat exercițiile pe tablă fără nici o explicație, lăsându-i să completeze singuri cerculețul gol. Au reușit câțiva să vadă că brațele potcoavei se închid pe rezultat. Exercițiile pot fi scrise astfel:

8 + n = 17 – 7, rezultă că 8 + n = 10 deci n = 10 – 8 = 2 și 30 – a = 24 + 3, deci 30 – a = 27, așadar a = 30 – 27 = 3.

+ –

+ –

– cu triunghiuri :

* „Spune repede cât fac?” – Exercițiile de acest gen se pot folosi în orice parte a orei, dezvoltând îndeosebi atenția și memoria.

*„Triunghiuri magice” – Aceste exerciții-joc seamănă cu pătratele magice.

Scrieți numerele de la 1 la 9, o singură dată, astfel ca suma lor pe laturi să fie: 20; 21.

* „Câte triunghiuri sunt?” – Este un exercițiu mai mult de atenție.

5 + 14 = 19

– cu alte figuri geometrice, simple sau combinate

* „Ce număr punem în triunghi?” – Și acesta este un exercițiu mai mult pentru isteți. Se observă că numărul înscris în fiecare figură geometrică, plus numărul unghiurilor acesteia trebuie să fie 8.

* „Alege calea cea bună” – Calculând rapid în minte ambele căi de urmat, elevii trebuie s-o aleagă pe cea corectă. Exercițiul solicită mult gândirea și atenția elevilor.

*„Șarpele” – Exercițiul solicită în mod deosebit atenția și gândirea elevilor. L-am selectat mai ales pentru orele de consolidare a adunării și scăderii cu trecere peste ordin.

Pe capul șarpelui va fi înscris numărul 30; numerele scrise cu negru sunt pozitive, deci se adună, cele scrise cu alb sunt negative și se scad. În cerculețe apar rezultatele intermediare.

*„Evantaiul” – Am realizat acest exercițiu joc sub formă de concurs pe rânduri, fără a le da altă explicație decât aceea că trebuie să înlocuiască semnele de întrebare prin numere corespunzătoare.

* „Completează figura, astfel încât să respectați sensul săgeților!” – Se folosește mai ales în orele de consolidare.

* „Completați” – Este un exercițiu lanț, ordonat oarecum în altă formă.

* „Completează numerele din cele două tabele”

* „Completați pătratele” – Acest exercițiu-joc este binevenit pentru fixarea tablei înmulțirii la clasa a III-a.

* „Cum uniți căsuțele?” – Exercițiul trebuie să unească printr-o linie căsuțele care dau același rezultat.

*„Completați pătratele goale”

?

c) Loto aritmetic

Se joacă în cele mai bune condiții la tabla magnetică sau pe polistiren, cu întreaga clasă, dându-li-se exercițiul și trei rezultate din care unul este bun, iar pe celelalte două le vor elimina.

Se poate juca și cu ajutorul fișelor-desen, unde elevii vor primi pe cartonașe și rezultatele, trebuind să le aleagă corect.

d) Înlocuirea unor cifre din număr cu litere

„Găsiți cifrele lipsă”

4A + A2 = 75 A = 3

AA +BB = 44 A = 1 sau A = 3

B = 3 sau B = 1

AB + BA = 66 A = 1 sau A = 5

B = 5 sau B = 1

Acest gen de exerciții, dacă sunt accesibile, plac foarte mult elevilor și îi fac să gândească intens pentru a găsi varianta sau variantele posibile.

„Taie rezultatele greșite” :

9 9 = 80 ; 81; 82

6 7 = 42 ; 52 ; 45

8 6 = 47 ; 48 ; 49

3 9 = 18 ; 21 ; 27

9 x 7 = 56 ; 63 ; 72

„Verifică egalitățile”

9 6 = 32 + 22 20 + 5 6 4

6 7 = 52 – 10 19 + 7 3 9

8 6 7 7 12 + 12 = 8 3

2 9 20 – 1 80 – 8 = 9 8

* „Comparați” – Elevii trebuie să pună în căsuță semnul egalității sau inegalității:

21 : 3 28 : 4 27 : 3 81 : 9

25 : 5 15 : 3 56 : 8 42 : 6

49 : 7 64 : 8 16 : 4 12 : 3

* „Află valoarea fiecărei figuri geometrice”

 +  = 8 ⑦ –  = 3

7 –  =  +  = 9

△ +  = ⑦  –  = 1

* “Puneți semnul înmulțirii sau împărțirii”:

3  3  3 = 3 ( 6  5 )  4  3 = 1

3  4  5  6 = 10 6 ( 5  4 )  3 = 3

50  5  2  5  2 = 2 ( 6  5  4 )  3 = 5

* „Completați figurile geometrice” – Se completează astfel ca să se obțină rezultatele date. Exercițiul solicită mult gândirea elevilor, care trebuie să aleagă varianta corectă dintr-o mulțime de variante.

③ : ③ + ③ ③ = 10 △ – △ + △ △ = 81

(  +  )  :  = 8 ① : ① – ① ① = 0

e) Exerciții-joc cu chibrituri

Mutând după cerință chibriturile ( bețișoarele) faceți ca egalitatea să fie adevărată.

„Cum faceți?” – Aranjați altfel ca egalitatea să devină adevărată.

Ⅱ + Ⅲ = 8

Mutați un singur chibrit: Soluție:  = 8

Ⅵ – Ⅳ = Ⅸ

Mutați un singur chibrit: Soluție: Ⅵ + Ⅳ = Ⅹ

Ⅵ + Ⅱ = Ⅺ

Mutați un singur chibrit: Soluție: Ⅵ + Ⅴ= Ⅺ

Aceste exerciții distractive, recomandate la învățarea cifrelor romane, îi pun pe copii într-o situație nouă conflictuală, stârnindu-le de asemenea gândirea, creativitatea.

f)

Tabele matematice

Se pot folosi pentru fixarea operațiilor aritmetice stimulându-le permanent gândirea și atenția.

Desigur, aici s-au dat elevilor de îndeplinit trei sarcini simultane, pornim însă la început de la rezolvarea unei singure sarcini. Putem complica și mai mult aceste tabele, dând unul din termeni sau factori necunoscut. Astfel:

S = suma

P = produsul

*“Împerechează numerele cu suma 60!”

*„Faceți toate calculele posibile cu numerele și semnele indicate” – Învățătorul va indica termenii sau factorii și semnul fiecărei operații, iar elevii vor preciza rapid rezultatul. Exercițiul se poate desfășura la orice oră (cu numere schimbate) după învățarea celor patru operații aritmetice și în orice moment al lecției.

+

–

x

:

*„Ce urmează ?” – Exercițiul solicită mult gândirea elevilor care trebuie să găsească relațiile existente între numerele date și să le afle pe următoarele respectând aceleași relații.

*„Trageți săgeți” – Elevii vor trebui să tragă săgeți de la suma sau diferența a două numere spre rezultatul corespunzător.

* „Arătați dacă inegalitățile sunt adevărate sau false”

* „Completează tabelul”

*„Calculând corect, vei descifra scrisoarea” – Se poate juca scoțând mai mulți elevi care vor lucra la tablă sau lucrând individual în bănci pe fișe-joc primite. Literelor li se vor da valori numerice, astfel:

48 – 40 = ⑧ T = 2

37 + 40 = C = 8

48 : 8 = ⑥ R = 6

88 – 48 = E = 40

2 + 6 = ⑧ O = 77

48 – 46 =

* Înlocuind rezultatele obținute cu litere, vor avea în ordine:

g) Fișele de calcul mintal

Aceste fișe sunt date de către învățător pentru evaluarea modului de însușire a unor algoritmi ( acestea pot fi fișe zilnice cărora li se consacră 4 – 10 minute din oră ) sau fișe care evaluează consolidarea unor deprinderi de calcul (fișe-test, date de obicei la sfârșitul unui capitol, anunțate dinainte și care pot cuprinde întreaga oră.

Fișele zilnice pot conține aceleași exerciții pentru toată clasa, dar se pot da și diferențiat pe grupe.

Exemple de fișe diferențiate date la clasa I, după însușirea operațiilor de adunare și scădere cu zeci și unități, fără trecere peste ordin.

Grupa I

a) Calculează:

20 + 4 + 40 =

12 + 6 +  = 20

20 – 5 –  = 14

 + 20 – 4 = 24

b) Completează corect cerculețele:

 +   –   + 

Grupa a II-a

Efectuați: 14 + 5 – 6 = – 6 = 30

20 – 15 + 4 = 45 – = 40

70 + 20 – 80 – 2 = 38 +  +  = 88

 + 15 = 20 54 –  + = 90

Grupa a III – a

Calculați: 10 + 4 =

15 – 10 =

12 + 8 =

10 + 20 + 40 =

50 – 20 + 5 =

18 +  = 20

.Exemple de fișe diferențiate date la clasa a III-a pe grupe, după capitolul „Înmulțirea numerelor naturale:

Grupa I

Calculați:  = 36

  = 36

  = 24

 = 24

  = 21

 = 12

Grupa a II-a

Calculați: 7  = 28

9  = 54

8  = 32

 5 = 45

 7 = 56

 6 = 48

Grupa a III-a

Calculați: 3 9 =

4 6 =

7 8 =

8 6 =

5 8 =

7 6 =

Pentru împărțire, tot la clasa a III-a se pot da:

Grupa I

Calculați:  :  = 6

 : = 7

:  = 8

45 :  = 9

2_ :  = 4

_0 :  = 8

Grupa a II-a

Calculați: 32 : = 4

81 :  = 9

48 :  = 6

: 6 = 6

: 7 = 3

: 6 = 7

Grupa a III-a

Calculați: 28 : 4 =

30 : 5 =

48 : 6 =

81 : 9 =

63 : 9 =

36 : 4 =

După munca diferențiată cu aceste fișe este bine ca fișele de la sfârșitul capitolelor să fie unice, pentru a putea face o evaluare a fiecărui elev și în raport cu clasa, nu numai în raport cu el însuși. Exercițiile conținute vor fi însă gradate ca dificultate pentru ca fiecare elev să poată rezolva o parte din fișă, în funcție de cunoștințele asimilate, deprinderile de calcul formate și capacitatea de învățare proprie.

Realizarea unui învățământ eficient implică și efortul cadrului didactic de însușire și aplicare a tehnicilor de evaluare, nu numai a randamentului școlar, ci și a schimbărilor ce se produc în sfera proceselor psihice și a trăsăturilor de personalitate a elevilor. Pentru a ține pasul cu schimbările permanente care au loc în viața economică, culturală, științifică, este necesar ca și cadrul didactic să se pregătească permanent și să se adapteze mereu noului.

Din experiențele întreprinse s-a constatat că utilizarea fișelor stimulează interesul elevului pentru studiul matematicii, pentru munca independentă, creând un sentiment de răspundere proprie în învățare, devenind astfel un agent al formației sale. El dobândește cunoștințe care au o semnificație pentru el însuși. Mai mult, el învață să-și dezvolte gândirea, spiritul critic, să devină capabil să se adapteze la situații noi.

Funcția de a transmite autoritar cunoștințele trebuie să facă loc unui învățământ care sugerează, propune, sfătuiește, care încurajează elevul în căutare. Care îl ajută la descoperire, la creativitate, care ține seama de interesele sale și de motivație, care-i permite astfel de a asimila noțiunile matematice printr-o construcție personală și nu prin imitație sau repetiție.

CAPITOLUL 4

COORDONATE METODOLOGICE ALE CERCETĂRII

OBIECTIVELE ȘI IPOTEZA CERCETĂRII

Experimentul este o metodă de cercetare care presupune intervenția controlată și planificată a cercetătorului asupra fenomenelor studiate în scopul evaluării consecințelor acestei intervenții. În experiment se aduc modificări ale conținutului și metodelor didactice folosite pentru a investiga modalitățile de lucru mai eficiente. Experimentul psiho-pedagogic este o formă a experimentului natural, în sensul că presupune păstrarea condițiilor firești ale activităților didactice și studierea fenomenului educațional în fluxul normal al desfățurării lui.

Este evident că nu pot fi experimentate orice modalități de lucru, ci numai acelea care prezintă certitudinea că vor produce rezultate mai bune decât cele anterioare. De aceea experimentul psiho-pedegogic presupune studierea atentă a activităilor și modului de lucru ce vor fi experimentate și punerea lor în acord cu obiectivele pedagogice ale procesului de învățământ. Față de alte metode, experimentul prezintă avantajul că permite un control și o evaluare mult mai riguroasă ale metodelor de cercetare cum sunt: observarea sistematică, convorbirea, probele de cunoștințe, analiza produselor activității și altele. Structura unui experiment cuprinde următoarele elemente:

1. Variabilele: sunt acele aspecte ale procesului instructiv-educativ care sunt studiate în cadrul experimentului. Aceste variabile sunt, din punctul de vedere al funcției lor în experiment, de două feluri:

a) variabile independente- sunt acele aspecte ale procesului de învățământ pe care le putem modifica, cu care acționăm, intervenim în situația pe care o studiem, cu scopul de a evalua aspectele supuse cercetării (metode didactice, forme de organizare);

b) variabile dependente- sunt acele aspecte care apar drept consecință a acțiunii variabilelor independente. Din acest punct de vedere, experimentul implică o operație de evaluare pe baza căreia se va putea aprecia eficiența modalităților de lucru experimentate. În cazul experimentului prezentat în continuare, variabila independentă o constituie procedeele de rezolvare și compunere a exercițiilor în mod creativ, mai precis valențele cognitiv-formative ale acestora în procesul de învățare. Variabilele dependente sunt, în acest caz, nivelul cunoștințelor elevilor din clasa a III-a.

2. Grupul pe care am realizat experimentul l-a constituit colectivul de elevi ai clasei a III-a.

3. Etapele experimentului. Un experiment are un caracter procesual, deci implică o desfășurare în timp. Aceste etape sunt:

1. Etapa inițială – este etapa prin care se determină nivelul inițial al variabilei dependente. În cazul acestui experiment, aceasta s-a făcut prin aplicarea unei probe de cunoștințe la matematică.

2. Etapa experimentală – este acea etapă în care se utilizează noul mod de lucru, etapă în care am desfășurat lecții experimentale, folosind diverse procedee de calcul mintal în rezolvarea problemelor de matematică în mod creativ și aplicând teste pentru a verifica periodic eficiența acestora.

3. Etapa finală – post-experimentală sau post-test este etapa în care se măsoară nivelul final al variabilelor dependente. În experimentul organizat am aplicat o probă de evaluare a cunoștințelor, probă elaborată pe baza acelorași tipuri de sarcini cu ale probei inițiale, fiind modificat conținutul concret al probelor în funcție de ceea ce elevii au dobândit în etapa experimentală.

Ipoteza și obiectivele cercetării

Conform Programei școlare pentru ciclul primar, unul din obiectivele de referință aparținând obiectivului cadru „dezvoltarea capacității de explorare / investigare și rezolvare

de probleme” este ,,să rezolve și să compună probleme de tipul: ?±a=b sau ?±a<b, a și b

numere mai mici ca 1 000, sau de tipul ?xc=d; ?: c=d unde c ≠ 0, d este multiplu al lui c, în

intervalul de numere naturale de la 0 la 100”. Între exemplele de activități de învățare prin

intermediul cărora se poate atinge acest obiectiv se numără și crearea de probleme utilizând

tehnici variate și recunoașterea situațiilor concrete sau a expresiilor care presupun efectuarea unor operații de adunare, scădere, înmulțire, împărțire.

În realizarea studiului experimental am pornit de la ipoteza: utilizarea adecvată a exercițiilor de calcul mintal în lecțiile de matematică contribuie la optimizarea învățării, la eficientizarea acesteia, la dezvoltarea abilităților creatoare, la creșterea randamentului școlar și a performanței elevilor în cadrul procesului instructiv-educativ.

Obiectivele cercetării vizează rezolvarea exercițiilor respectând ordinea efectuării operațiilor; cunoașterea și utilizarea corectă a terminologiei matematice; rezolvarea problemelor în două moduri, utilizând procedee variate; compunerea de probleme după diferite cerințe.

Experimentul s-a desfășurat pe parcursul unității de învățare Operații cu numere în concentrul 0 – 1000. Durata experimentului a fost de 32 ore, pe parcursul a opt săptămâni.

DETERMINAREA NIVELULUI INIȚIAL

Primul pas al cercetării în metoda experimentală este determinare nivelului de plecare în realizarea experimentului. Pentru realizarea acestui pas pot fi folosite trei metode principale:

Observarea sistematică a comportamentului elevilor în lecțiile desfășurate;

Analiza produselor activității elevilor;

Probe de cunoștințe și deprinderi.

Pe baza obiectivelor și a ipotezei cercetării am conceput și aplicat probele de evaluare, probe pe care le voi prezenta împreună cu rezultatele înregistrate pentru fiecare probă în parte.

Proba 1 – Etapa inițială (ANEXA 2)

Capacitatea: Cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii

Explorare / investigare și rezolvare de probleme

Subcapacitatea: Adunarea, scăderea în concentrul 0-100

Obiective operaționale:

La sfârșitul lecției, elevii vor fi capabili:

O1. să efectueze corect adunari, scăderi în concentrul 0-100;

O2. să rezolve probleme ce presupun cunoașterea terminologiei matematice;

O3. să rezolve în două moduri probleme cu trei operații;

O4: să compună probleme care să se rezolve prin două operații.

Itemii:

I 1. Rezolvă exercițiul, aplicând regula învățată:

20 + (16 +3 – 14) =

I 2. Cu cât este mai mare suma numerelor 108 și 351 decât 139? (Scrie rezolvarea și sub formă de exercițiu).

I 3. La un magazin sunt 18 mingi și 40 păpuși. S-au vândut 7 mingi și 6 păpuși. Câte jucării au

rămas nevândute? (Rezolvă problema în două moduri).

I 4. Compune o problemă care să se rezolve printr-o scădere și o adunare.

Descriptori de performanță

Rezultate obținute în etapa inițială

Evaluarea inițială s-a aplicat cu scopul de a verifica cantitatea și calitatea noțiunilor asimilate până în acel moment, pentru a stabili golurile în cunoștințele elevilor, noțiunile greșit însușite și, în funcție de rezultatele obținute, am conceput noi situații de învățare, consolidare și repetare, în cadrul orelor de matematică. După aplicarea testului și interpretarea rezultatelor, pentru elevii care nu au rezolvat un item sau altul, am elaborat fișe de lucru pentru activitatea individuală, fiind reluată, în prima parte, sarcina din itemul respectiv, iar în a doua parte oferind un număr mai mare de exemple, astfel încât ei să asimileze cunoștințele și să-și formeze deprinderi necesare atingerii obiectivului propus.

ETAPA EXPERIMENTALĂ

Procedee de stimulare a creativității prin diverse tipuri de exerciții și probleme

TEST 1 (ANEXA 8)

Capacitatea: Cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii

Explorare/ investigare și rezolvare de probleme

Subcapacitatea: Probleme care se rezolvă prin operații de adunare și scădere fără trecere peste ordin

Terminologia specifică adunării și scăderii

Itemi:

I 1. Rezolvă exercițiul, respectând ordinea efectuării operațiilor:

120 + (657 – 127 + 312) =

I 2. Cu cât este mai mare suma numerelor 452 și 430 decât diferența lor.

I 3. La o fermă sunt 120 vaci, cu 305 mai multe oi, iar porci sunt cât vaci și oi la un

loc. Câte animale sunt la fermă?

I 4. Compune o problemă după expresia:

a + (a –b) = c

TEST 1 ( ANEXA 9)

Capacitatea: Cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii

Explorare / investigare și rezolvare de probleme

Subcapacitatea: Probleme care se rezolvă prin operații de adunare și scădere cu trecere peste ordin

Terminologia specifică adunării și scăderii

Itemi:

I1. Află numărul cu 22 mai mare decât rezultatul exercițiului:

(463 + 152 – 301) -269 =

I 2. Cu cât este mai mare suma numerelor 294 și 328 decât diferența numerelor 447 și

218. Scrie rezolvarea și sub formă de exercițiu.

I 3. Într-o livadă s-au plantat în prima zi 328 meri și 296 peri.A doua zi s-au plantat 259

meri și 178 peri. Câți pomi mai trebuie plantați? (Rezolvă problema în două moduri.)

I 4. Compune o problemă după exercițiul: 900 – 25 x 5 =

REZULTATE OBȚINUTE (ETAPA EXPERIMENTALĂ)

CENTRALIZATOR REZULTATE

Prelucrarea datelor

Prelucrarea rezultatelor probelor de evaluare s-a făcut prin gruparea acestora în tabele centralizatoare. Tabelele reunesc rezultatele din etapa inițială și finală pentru a face posibilă comparația între cele două etape. La sfârșitul acestui capitol sunt prezentate tabelele cu rezultatele înregistrate la probele de cunoștințe și grafice ce ilustrează ponderea calificativelor obținute.

EVALUAREA DATELOR FINALE

Respectând raționamentul metodei experimentale, evaluarea rezultatelor finale ale experimentului s-a făcut prin aplicarea unei probe de evaluare finale asemănătoare cu cea inițială, în scopul efectuării de comparații și desprinderii tendințelor de evoluție între cele două etape ale experimentului. Consemnarea rezultatelor s-a realizat prin fișe care menționează inițialele numelui și prenumelui elevilor și rezultatele grupate în calificative. Sunt prezentate în continuare proba de evaluare finală, tabelele analitice și cele centralizatoare pe baza cărora am realizat evaluare rezultatelor finale.

Proba – Etapa finală

Capacitatea: Cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii

Explorare / investigare și rezolvare de probleme

Subcapacitatea: Adunarea și scăderea în concentrul 0-1000

Obiective operaționale:

La sfârșitul lecției, elevii vor fi capabili:

O1. să efectueze corect adunări și scăderi în concentrul 0-1000;

O2. să rezolve probleme ce presupun cunoașterea terminologiei matematice;

O3. să rezolve în două moduri probleme cu trei operații;

O4: să compună probleme care să se rezolve prin două operații.

Proba – Etapa finală (ANEXA 10)

Itemii:

I1. Rezultatul exercițiului următor reprezintă un număr cu 72 mai mic decât numărul căutat.

Află numărul.

560 – (365 – 278 + 349) =

I2. Află suma dintre dublul numărului 12 și cel mai mare număr de două cifre. (Scrie

rezolvarea și sub formă de exercițiu).

I3. Un vânzător a așezat pe raft 24 pachete de făină și 18 pachete de mălai. Știind că pentru

fiecare fel de făină are câte două rafturi, aflați câte pachete suntîn total aranjate? (Rezolvă

problema în două moduri).

I4. Compune o problemă care să se rezolve prin trei operații: o adunare, o scădere și oadunare.

Descriptorii de performanță

Rezultate obținute în etapa finală

REZULTATE OBȚINUTE ÎN ETAPA INIȚIALĂ ȘI FINALĂ

CENTRALIZATORUL REZULTATELOR OBȚINUTE ÎN ETAPA INIȚIALĂ ȘI FINALĂ

REZULTATE

Îmbunătățirea rezultatelor s-a datorat lucrului sistematic, organizat, efectuarea unui număr considerabil de exerciții și probleme. Am reprezentat grafic rezultatele centralizate în tabele, prin comparație cu cele obținute la testul inițial. Comparate, rezultatele obținute la testul predictiv și cel final, au demonstrat că pe tot parcursul anului școlar, prin aplicarea sistematică a calculului mintal, a metodelor active și a instruirii diferențiate în cadrul lecțiilor, progresul înregistrat de elevi a fost atât calitativ cât și cantitativ. Acest lucru a fost constatat din ușurința și plăcerea cu care elevii și-au însușit un volum mare de cunoștințe cu care au operat în rezolvarea problemelor și a situațiilor – problemă (cunoștințe dobândite în special prin eforturi proprii), din plăcerea de a lucra pe tot parcursul anului școlar.

Testul de evaluare finală a fost conceput în manieră asemănătoare cu cea a testului inițial, pentru ca rezultatele obținute să poată fi comparate, cunoștințele prevăzute de programă fiind definite sub forma obiectivelor operaționale codificate în itemi.

Tabelul analitic și cel sintetic, diagramele, histograma comparativă și poligonul de frecvență evidențiază clar îmbunătățirea rezultatelor școlare ale elevilor la matematică.

Sintetizând rezultatele obținute la cele două teste de evaluare și corelându-le cu rezultatele obținute la testele formative am constatat că elevii clasei a III-a au înregistrat progrese vizibile privind cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii, capacitatea de a rezolva cu ușurință diverse tipuri de exerciții, probleme de aritmetică și, nu în ultimul rând, capacitatea de a comunica utilizând limbajul matematic.

Varietatea exercițiilor și a problemelor rezolvate au solicitat în cea mai mare măsură

gândirea elevilor care, având caracteristica de a fi concret – intuitivă la această vârstă, a realizat, treptat și diferit, saltul spre o gândire logică, abstractă, în funcție de particularitățile psihice ale fiecărui elev. Orice nouă achiziție matematică a avut la bază achizițiile precedente, trecerea de la un stadiu la altul, superior, făcându-se printr-o reconstrucție continuă a sistemului noțional și operativ. A avut loc, deci, o restructurare a achizițiilor noi pe fondul celor deja asimilate, actele de învățare prin reproducere având și rol de fixare, de consolidare, fiind completate cu cele de învățare productivă, de creație. Elevii cu capacitate de învățare mai scăzută (M.A., MS, P.O. R.M.), datorită faptului că au fost cuprinși în activități frontale, dar tratați individual, au reușit să obțină calificative mai bune la evaluările din a doua parte a anului școlar decât la început, devenind astfel mai motivați, mai încrezători în forțele proprii, mai ambițioși.

În rezolvarea problemelor, deprinderile și abilitățile se referă în special la analiza datelor, la capacitatea de a înțelege întrebarea problemei și de a orienta întreaga desfășurare a

raționamentului în direcția descoperirii soluției problemei. Faptul că, la testul de evaluare finală, 11 elevi din clasă au obținut calificativul „FB”, 13 elevi – calificativul „B” și 1 elev – calificativul „S” denotă că toți elevii (100%) au atins performanțele minime prevăzute de programa școlară a clasei a III-a, 52 % – performanțele medii și 44 % – performanțele maxime. Deci, elevii și-au însușit conștient cunoștințele matematice și le-au conferit aplicabilitate în cadrul exercițiilor și, mai ales, al problemelor. În procesul aplicării practice a cunoștințelor învățate pe parcursul anului școlar s-a îmbogățit experiența de cunoaștere și de viață a elevilor, ei reușind să-și formeze deprinderi de muncă independentă, deprinderi practice, s-au obișnuit să muncească sistematic.

Dezvoltarea intelectuală s-a realizat treptat, progresiv, concomitent cu particularitățile de vârstă și individuale ale fiecărui elev. Cunoștințele au fost accesibile, corespunzătoare nivelului de înțelegere al elevilor.

Raportând rezultatele obținute de către fiecare elev la posibilitățile sale intelectuale, la

capacitatea sa de învățare, concluzionez că nivelul dezvoltării psihointelectuale, capacitatea de învățare, nivelul cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor le va permite asimilarea în mod

diferențiat a noilor cunoștințe prevăzute în curriculumul școlar al clasei a IV-a.

6. CONCLUZII

„Educația autentică trebuie să plece întotdeauna în opera de modelare a naturii umane de la cunoașterea diversității caracteristicilor și forțelor pe care le posedă fiecare copil, elev sau individualitate în parte. Cunoașterea structurii și dinamicii caracteristicilor personalității, a nivelului de dezvoltare intelectuală, emoțională, atitudinală constituie, de fapt, piatra unghiulară a oricărui proces educațional care își propune formarea dirijată a omului, influențarea modului său de comportare, adaptare și integrare în viața socială.” (Dumitriu, Gh., Psihopedagogie 2004, p. 6).

Astfel, în anul școlar 2008 / 2009, mi-am propus să creez condiții optime de afirmare a

potențialului individualității fiecărui elev în situații personalizate sau socializate de învățare, în special în activitatea de rezolvare de exerciții și probleme prin utilizarea unor procede și algoritmi de calcul mintal.. Am avut în vedere folosirea în activitatea didactică a unor diverse metode și procedee activ-participative în rezolvarea exercițiilor șia problemelor, crearea unor situații de învățare bazate pe autonomia intelectuală și acțională a elevilor, stimularea imaginației creatoare, a potențialului creator, a gândirii critice, dar și a gândirii divergente, centrată pe strategii euristice.

Am intenționat:

– să nu fiu un simplu „transmițător de informații”, ci un bun organizator al unor activități variate de învățare pentru toți copiii, în funcție de nivelul și ritmul propriu de dezvoltare al fiecăruia;

– să îi fac pe elevi să aibă încredere în ei, facilitând învățarea și stimulând pe copii să lucreze în echipă;

– să le stimulez eforturile intelectuale, să le formez și să le educ calități moral- volitive;

– să le dezvolt interesul și sensibilitatea la probleme noi, să fie receptivi la situații

problematice cu conținut matematic;

– să stimulez colaborarea, interesul și motivația pentru aplicarea matematicii în contexte variate;

– să îmbin modalitățile de învățare reproductivă cu cele de învățare euristică în activitatea de rezolvare și compunere de probleme;

– să adaptez metodele de predare – învățare – evaluare pentru fiecare conținut, pentru fiecare formă de organizare și pentru profilul psihologic al elevilor.

Elevii și-au format deprinderi calcul rapid și corect, au exprimat clar și concis semnificația calculelor făcute în rezolvarea unei probleme prin:

– transpunerea unor enunțuri simple din limbaj matematic simbolic în limbaj cotidian și invers;

– justificarea alegerii demersului de rezolvare;

– utilizarea unor scheme simple pentru a figura pe scurt datele și pașii de rezolvare.

Elevii au manifestat inițiativă în a transpune diferite situații în context matematic, propunând modalități diverse de abordare a unei probleme: găsirea mai multor soluții la anumite probleme, scrierea sub formă de exercițiu a rezolvării problemei, compunerea unei probleme după un exercițiu sau după o schemă grafică. Exercițiile și problemele au fost judicios gradate sub aspectul efortului mintal pe care-l solicită de la elevi și rațional programate, atât în suita de lecții, cât și în cadrul secvențelor fiecărei lecții, conducând la formarea și consolidarea deprinderilor de calcul și de rezolvare de probleme, concomitent cu dezvoltarea psihică a elevilor.

Elevii au depășit blocaje în rezolvarea exercițiilor și a problemelor, au căutat prin încercare – eroare noi căi de rezolvare. Au manifestat un comportament adecvat cu colegii din grupul de lucru, în cadrul activităților practice de rezolvare. Îmbinarea formelor de activitate – frontală, pe microgrupuri și individuală – a creat posibilități largi pentru mobilizări multiple și variate ale elevilor în vederea rezolvării problemelor. Având în vedere faptul că elevii diferă între ei din punct de vedere al aptitudinilor, al ritmului de învățare, al gradului de înțelegere a fenomenelor (unii sunt profunzi, alții sunt superficiali), al capacității de învățare și al rezultatelor obținute, am realizat tratarea individuală și diferențiată a elevilor prin mai multe procedee: acțiuni individualizate desfășurate pe fondul activităților frontale, cu întrega clasă de elevi, teme diferențiate pentru acasă (sarcini de lucru cu volum și grad de dificultate diferențiat), activități pe grupe de nivel, cu repartizarea unor sarcini diferite, potrivit particularităților elevilor, cât și stimularea pe parcursul lecțiilor a tuturor elevilor clasei, prin distribuția solicitărilor (întrebărilor) în raport de posibilitățile lor.

Lecțiile în care s-au folosit metode active au fost dinamice, plăcute, stimulatoare și au

antrenat toți elevii clasei. Metodele au constituit o provocare, o curiozitate atât pentru elevi, cât și pentru mine, cadrul didactic, elevii nu au avut timp de alte preocupări, li s-a părut că ora a trecut repede.

Am constatat în primul rând plăcerea și interesul cu care elevii au primit acest tip de

activități, cum se ajută, încurajându-se, explicând și celorlalți ce știu, exprimându-și gândurile fără rețineri și cei mai timizi capătând curaj, având sprijinul grupului.

Utilizarea metodelor active a determinat o mai bună colaborare între copii, au devenit mai toleranți, dorind să se ajute între ei, iar ceea ce este mai important este faptul că s-au împrietenit, nemaiținând cont de rezultatele obținute la învățătură, formându-se totodată un spirit de echipă; au învățat că pentru realizarea unor sarcini de grup au nevoie unii de alții.

Rezultatele obținute la evaluări și aprecierile pozitive i-au motivat pe elevi, iar această

motivație a avut un rol dinamizator, de stimulare a efortului de învățare și de concentrare a lor în timpul lecției. Efortul pe care l-a făcut fiecare elev în rezolvarea conștientă a unei probleme a presupus o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoaștere, volitive și motivațional – afective: gândirea, memoria, imaginația, limbajul, voința, motivația și atenția.

Rezultatele obținute de elevi confirmă ipoteza lucrării. Astfel, am constatat că, prin utilizarea unor game diversificate de exerciții de calcul mintal, oră de oră, a metodelor activ – participative în activitatea de rezolvare a problemelor de aritmetică, am contribuit

la optimizarea învățării, la eficientizarea acesteia, la stimularea potențialului intelectual și creativ al elevilor, la obținerea performanțelor fiecăruia în funcție de particularitățile de vârstă și individuale.

Pledez pentru ideea conform căreia învățătorul, cunoscând varietatea metodelor disponibile în câmpul didacticii moderne, cunoscând particularitățile elevilor cu care lucrează, valențele conținutului pe care trebuie să le atingă prin predare – învățare, să acționeze pentru a contribui la dezvoltarea disponibilităților și aptitudinilor copiilor, creând un context social – educațional adecvat, folosind metode eficiente de interacțiune, promovând comportamente și stiluri didactice flexibile, adaptând metodele de predare – învățare – evaluare pentru fiecare conținut, pentru fiecare formă de organizare și pentru profilul psihologic al elevilor. Elevii de aceeași vârstă pot avea deosebiri individuale mai mult sau mai puțin semnificative datorate modului de viață, experienței acumulate, dar și datorită dispozițiilor naturale individuale. Aceasta impune din punct de vedere pedagogic ca în procesul de învățământ să se respecte particularitățile de vârstă și cele individuale ale elevilor, deoarece modul de a percepe, de a înțelege, de a memora, de a opera pe plan mintal nu este identic la toți elevii. Prin organizarea unor activități de învățare variate, adaptate nevoilor individuale ale fiecărui

elev, învățătorul stimulează colaborarea, interesul și motivația elevilor, pentru aplicarea matematicii în contexte variate.

Este dovedit faptul că se produce o dezvoltare optimă a aptitudinilor, capacităților și competențelor persoanei acolo unde condițiile de mediu și educație sunt favorabile, în consonanță cu structura și dinamica personalității individuale. Deci, cu atât mai justificat este un act pedagogic cu cât educația săvârșită de adult se realizează în serviciul formării abilităților intelectuale, dezvoltării competențelor cognitive, psihomotorii și împlinirii personalității elevului.