Multimea Numerelor Irationale

CUPRINS

INTRODUCERE

Teoria numerelor se ocupă mai întâi de mulțimea numerelor naturale și întregi , apoi de mulțimea numerelor raționale, ca relații între numere întregi, și urmează mulțimea numerelor iraționale, mulțimea numerelor reale și mulțimea numerelor complexe cu forme speciale ca:

unde și sunt raționale. Există totuși, multe probleme de iraționalitate care pot fi privite ca parte a aritmeticii. Teoreme ce privesc numerele raționale pot fi enunțate ca și teoreme despre numere întregi; astfel :

"Ecuația nu are soluții în "

poate fi reformulată sub forma:

"Ecuația nu are soluții în ".

Același lucru este adevărat în cazul altor teoreme în care "iraționalitatea" intervine. Astfel :

" este irațional"

înseamnă că ecuația :

nu este rezolvabilă în "

și demonstrarea iraționalității lui devine o problema de aritmetică.

În lucrarea de față vom încerca să rezolvăm problema: " este x rațional sau irațional?", unde x este un număr care, la fel ca sau apare în mod natural în analiză sau alte domenii ale matematicii. Problema pe care o considerăm este dificilă în general și există câteva tipuri de numere iraționale a căror soluție a fost descoperită.

Teorema lui Pitagora este fundamentală pentru demonstrarea iraționalitătii unui număr. Nu se știe când sau de cine a fost descoperită această teoremă. "Descoperirea" spune Heath, "cu greu putem spune că a fost făcută de însuși Pitagora, dar este cert că a fost făcută în școala lui". Pitagora a trăit aproximativ în 570-490 î.Hr. Democratius, născut în 470 î.Hr. a scris "despre liniile iraționale și solide" și "este dificil să ne împotrivim concluziei că iraționalitatea lui a fost descoperită înainte de Democitus ".

Se pare că nu a fost făcută nici o extensie a teoremei în peste 50 de ani. Este un pasaj faimos în "Theahtetus" a lui Platon în care este afirmat că Theodorus (profesorul lui Platon) a demonstrat iraționalitatea lui , "luând toate cazurile pana la rădăcina pătrată a lui 17, care intr-un punct, pentru anumite motive s-a oprit". Nu sunt informații clare despre aceasta sau despre alte descoperiri ale lui Theodorus, dar Plato a trăit aproximativ în 429-348 î.Hr. și se pare rezonabil ca data descoperirii sa fie prin 410-400 î.Hr.. Este corect să observăm că Theodorus a devenit laborios în special la și (și dincolo de apropiindu-se de și ). Considerând pentru valori succesive ale lui , Theodorus a putut ignora , deoarec l-a întâlnit deja pe . Cealaltă valoare pară a lui ia forma: și demonstrația lui se extinde la aceasta imediat. Ne mai rămâne, prin urmare, să considerăm impar. Pentru acest , dacă și , avem , iar a și b trebuie să fie ambele impare. Scriind și , obținem:

Numărul N trebuie să aibă una din formele: . Dacă , simplificăm, apoi împarțim la 2 și obținem:

imposibil, deoarece un membru al egalității este impar , iar celălalt este par. Dacă , simplificăm din nou, imparțim la 4 și avem :

din nou imposibil, deoarece și sunt fiecare pare.

Rămân numerele de forma , care sunt 1,9,17,….. Din acestea, 1 și 9 sunt banale, dar dificultăți întâmpinăm la . Argumentând ca înainte, ajungem la ecuația:

ambii membrii ai egalității fiind pari. Luăm în considerare deci, o varietate de posibilități și toată problema devine mai complicată. Deci, dacă aceasta a fost metoda lui Theodorus, el în mod natural s-a oprit la cazul

Zenthen a sugerat o metodă interesantă ce aplică fracții, care, după câteva transformări, începe o ciclicitate fără sfârșit, aceasta conducând la o demonstrație prin reducere la absurd. Această metodă merge bine până la în timp ce cazul este trivial, dar cere 8 fracții înainte de a începe lanțul infinit (în lucrarea de față este prezentat cazul ).

Probleme de geometrie implicând numere raționale (cum ar fi rădăcini pătrate) au apărut foarte devreme și în India și există referințe la aceste calcule în Samhitas, Brahmanos și mai ales în Sulbha sutras (800 î.Hr.). Matematicieni ca Brahmagupta (628 î.Hr.) șiBhaskara I(629 î.Hr.) și-au adus contribuția în acest domeniu ca și alți matematicieni ce au urmat. În secolul 5 î.Hr., Aryabhata a calculat valoarea lui cu 5 zecimale exacte.

În evul mediu, dezvoltarea algebrei de către matematicienii musulmani a permis numerelor iraționale să fie tratate ca ”obiecte algebrice”. Matematicianul egiptean Ab Kmil Shuj ibn Aslam(850-930) a fost primul care acceptat numerele iraționale ca soluții ale ecuațiilor pătratice sau ca și coeficienți într-o ecuație, cel mai adesea în formă de rădăcini pătrate, cubice sau de ordin 4.

În epoca modernă, în secolul 17, numerele imaginare au devenit un instrument puternic în mâinile lui Abraham de Moivre și în special, ale lui Leonard Euler. Completarea la teoria numerelor complexe în secolul 19 a făcut diferențierea numerelor iraționale în algebrice și transcendente, demonstrarea existenței acestora din urmă fiind mult timp ignorată de la Euler încoace. Fracțiile continue (datorate lui Cataldi, 1613) în strânsă legătură cu numere iraționale, au primit o atenție deosebită în mâinile lui Euler și s-au desăvârșit în scrierile lui Lagrange (la începutul secolului 19). Dirichlet și-a adus contribuția cu multe aplicații la acest subiect. J.H. Lambert a demonstrat în 1761 că (raportul dintre lungimea și diametrul unui cerc) nu poate fi număr rațional și că este irațional dacă n este rațional (mai puțin n=0). A.M. Legendre (1974) a demonstrat că este irațional de unde rezultă imediat că și este irațional.

Existența numerelor transcendente a fost stabilită pentru prima oară de Liouville(1844,1851). Mai târziu, G. Cantor (1873) a demonstrat existența acestora printro metodă diferită prin care a demonstrat că orice interval de numere reale conține numere transcendente. C. Hermite (1873) a demonstrat pentru prima oară că e este transcendent, iar Lindemann(1882), pornind de la concluziile lui Hermite, a arătat același lucru pentru Demonstrația acestuia a fost mult simplificată de Weierstrass(1885), mai târziu de D. Hilbert (1893) și în final a fost făcută elementar de A. Hurwitz și P. Gordan.

Lucrarea de față intitulată ,,Mulțimea numerelor iraționale”, își propune să facă un scurt periplu prin teoria vastă legată de acestea.

Primul capitol conține în primul rând demonstrații legate de iraționalitatea unor numere (rădăcini pătrate sau de ordin oarecare), dar și exemple remarcabile de astfel de numere (, numere ce conțin logaritmi sau numărul de aur,

Capitolul 2, ,,Numere algebrice și transcendente”, prezintă principalele aspecte legate de aceste noțiuni. Aproape toate numerele iraționale sunt transcendente și toate numerele transcendente sunt iraționale. Sunt prezentate aici exemple remarcabile de numere transcendente (). Este expus și un alt mod de a construi numere iraționale și anume, ca rădăcini ale unui polinom cu coeficienți întregi. Deoarece mulțimea numerelor algebrice formează un corp, multe numere iraționale pot fi construite combinând numerele algebrice cu cele transcendente (de exemplu, sunt iraționale, chiar transcendente). Nu se știe încă dacă sunt sau nu iraționale(de fapt, nu există pentru care s-ar ști că este irațional sau nu. Mai mult, nu se știe dacă mulțimea este algebric independentă peste ℚ sau nu. Nu se știe nici dacă (constanta lui Euler) sunt numere iraționale sau nu.

În Capitolul 3, ,,Aproximări ale numerelor iraționale cu numere raționale”, este prezentată noțiunea de fracție continuă și sunt expuse rezultate care ne arată că redusele unei fracții continue reprezintă cele mai bune aproximări ale numerelor iraționale prin numere rationale.

În finalul lucrării se găsește o aplicație C++ prin care, folosind un algoritm dat de Lagrange, se dezvoltă în fracție continuă(periodică) rădăcina pătrată a unui număr natural prim de forma 4k+1.

CAPITOLUL 1. MULȚIMEA NUMERELOR IRAȚIONALE

1.1. Numere cunoscute ca fiind iraționale

Mulțimea numerelor iraționale, complementara în mulțimea numerelor reale ( a mulțimii numerelor raționale ( o vom nota cu 𝕀 sau .

În acest paragraf ne îndreptăm atenția asupra unor cazuri simple, dar este convenabil să începem cu o afirmație generală despre ce știm. În general, printre numerele care apar în mod natural în analiză, există două tipuri de numere a căror iraționalitate a fost stabilită :

Numerele iraționale algebrice. Iraționalitatea lui a fost demonstrată, inițial de Pitagora sau discipolii săi, și mai târziu de matematicienii greci care au extins concluzia la și la alte rădăcini pătrate . Este ușor să demonstrăm că este în general irațional pentru m , N.

Numerele și și numerele derivate din ele. Toate puterile lui e sau π și polinoamele în e sau π cu coeficienți raționali sunt iraționale. Numere precum :

, , , log 2 sunt iraționale.

Recent s-a demonstrat că și clasele îndepărtate ale numerelor, în care , ,

sunt incluse , sunt iraționale.

Iraționalitatea unor numere precum , , , sau constanta lui Euler sunt încă nedemonstrate .

Teorema 1.1.1. (Pitagora) este număr irațional.

Demonstrație:Vom da două demonstrații ale teoremei.

Presupunem că și atunci se poate scrie relația , unde și

. De aici ne rezultă imediat că =2.

Deci este număr par, adică a este par, a=, cu . Făcând înlocuirile, obținem , adică , cu . Contradicția constă în aceea că contrar presupunerii inițiale că .

Observăm din =2 este rezolvabilă în , cu . Deci și prin urmare

, pentru orice factor prim al lui . Atunci , contradicție, deoarece . De aici , ceea ce este fals.

Cele două demonstrații sunt foarte asemănătoare, dar există o importantă diferență: în

i) se consideră divizibilitatea cu 2 a unui număr dat, iar în ii) divizibilitatea cu un număr prim oarecare.

Exemplul 1. Se poate demonstra ușor că

Presupunem prin reducere la absurd că Atunci există astfel încât și , absurd pentru că .

Exemplul 2. este irațional.

Dacă , , atunci ceea ce este imposibil (egalitate doar dacă ).

Mai general, este irațional dacă m și n sunt întregi, iar unul dintre aceste numere conține un factor prim ce-i lipsește celuilalt.

Demonstrăm acum cazul mul mai general:

Teorema 1.1.2. este irațional doar dacă nu este a -a puterea a unui număr întreg .

Demonstrație: Presupunem că , adică =N , unde (a,b)=1. Atunci b| și deci p| pentru fiecare factor prim p al lui b. Prin urmare p|a și din aceasta rezultă că b=1.

Observație. Pentru a demonstra Teorema 1.1.2. , pentru , fară a folosi faptul că dacă , p prim, atunci presupunem că:

= , unde a,b,c, și este fracția cu cel mai mic numărător

pentru care relația este adevărată. Rezultă:

și deci , adică . Prin urmare:

și , contradicție. Ne rezultă că este întreg sau irațional.

Lema 1.1.3. Dacă , , atunci , iar dacă atunci .

Demonstrație: Știm că ( este corp. Notând , dacă prin absurd , vom deduce că , absurd. Vom proceda analog și pentru partea a doua. Dacă , cum , atunci – imposibil.

Exemplu: , .

Folosind rezultatul de mai sus avem:

Lema 1.1.4. Operațiile de adunare și înmulțire nu sunt operații interne pe.

Demonstrație: Fie și . Avem 1 , iar , și din lema precedentă rezultă că a,b. Cum , iar ab= -1, deducem că

Observație. Este posibil ca pentru a,b să avem și ab (simultan).

Exemplu: Dacă , atunci a,b și ab . Arătăm că . Fie pentru aceasta . Dacă prin absurd , atunci , de unde reiese că , absurd!

Teorema 1.1.5. (Gauss) Fie un polinom de grad , cu coeficienți întregi. Dacă numărul real este rădăcină a polinomului , atunci este un număr întreg sau irațional.

Demonstrație: Fie . Vom presupune că nu este irațional. Atunci există , .

Astfel, .

Dacă înmulțim ambii membrii ai inegalității: cu , vom obține:

,

ceea ce implică . Dar , deci . De aici ne rezultă că și astfel .

Observație: este irațional deoarece nu este întreg și este rădăcina ecuației:

Din teorema de mai sus se poate deduce Teorema 1.1.2. () și este un caz particular al teoremei următoare.

Teorema 1.1.6. Dacă este un polinom cu coeficienți întregi și numărul real este o rădăcină a lui , atunci sau este irațional sau este rațional: și .

Demonstrație: Presupunem că este rațional, . Atunci din deducem:

,

de unde ne va rezulta:

,

iar din ultima egalitate rezultă că .

Exercițiu: Folosind acest rezultat, să demonstrăm că numerele și sunt iraționale.

Soluție: În formula înlocuind , vom obține:

este o rădăcină a ecuației . Pentru că nu sunt rădăcini ale ecuației, urmează că este irațional.

Asemănător lucrăm și pentru și înlocuim în formula:

pe și ne va rezulta că este irațional.

Teorema 1.1.7. Dacă este un număr rațional, atunci există un număr astfel încât oricare ar fi fracția ordinară , are loc inegalitatea:

Demonstrație: Fie . Luăm . Pentru orice fracție ordinară , avem , deci .

Atunci: .

Teorema 1.1.8. Dacă pentru orice număr pozitiv c există cel puțin o pereche de numere întregi a și b astfel încât:

atunci este irațional.

Demonstrație: Presupunem că este rațional și conform teoremei anterioare, există un număr pozitiv c astfel încât oricare ar fi fracția să fie îndeplinită condiția: ceea ce contrazice ipoteza din teoremă.

Exercițiu: Fie f un număr natural, . Să se arate că numărul real

este irațional.

Soluție: Șirul , este un șir descrescător și . De aici ne rezultă că seria este convergentă. Prin urmare există definit în enunț.

Alegem un arbitrar și astefel încât .

Vom lua și evident sunt numere întregi. Atunci:

.

De aici ne rezultă că este irațional.

Teorema 1.1.9. Dacă pentru un număr natural oarecare , în reprezentarea numărului real în baza :

,

există, după virgulă, secvențe de lungime finită oricât de mare formate din aceeași cifră, (adică pentru orice număr natural găsim și ) atunci numărul este irațional.

Demonstrație: Presupunând că ar fi rațional, reprezentarea sa în baza ar fi periodică. În ipoteza dată, nu poate fi perioada de lungime pentru că, pentru un număr infinit de cifre avem . Perioada nu poate fi de mai multe cifre pentru că, in acest caz, nu pot fi secvențe de lungime oricât de mare formate cu o singură cifră.

1.2. Exemple remarcabile de numerelor iraționale

În acest paragraf iraționalitatea unor numere importante în matematică (mai ales în analiza matematică) este demonstrată folosind o anumită tehnică.

1.2.1. Numărul e (constanta lui Euler)

Prima referință la această constantă a fost publicată în 1618 într-un tabel dintr-o anexă a unei lucrări despre logaritmi, scrisă de John Napier. Totuși, aici nu era referită constanta însăși, ci doar o listă de logaritmi naturali calculați pe baza ei. Se presupune că acel tabel a fost alcătuit de William Oughtred. "Descoperirea" constantei însăși îi este atribuită lui Jacob Bernoulli, care a încercat să găsească valoarea următoarei expresii (care este de fapt chiar e):

Prima utilizare cunoscută a constantei, notată cu b, a fost în corespondența dintre Gottfried Leibniz și Christian Huygens în 1690 și 1691. Leonhard Euler a început să folosească litera e în notația ei în 1727, iar prima utilizare a lui e într-o publicație a fost în Mechanica lui Euler (1736). Deși în anii care au urmat unii cercetători au folosit litera c, e era mai des utilizat și în cele din urmă a devenit notația consacrată. Nu se cunosc exact motivele care au stat în spatele alegerii literei e, dar ar putea fi că este prima literă a cuvântului exponențial. O altă posibilitate ar fi că Euler a folosit-o pentru că era prima vocală după a, pe care el o folosea deja pentru un alt număr, dar motivul pentru care el folosea vocale în notații este necunoscut. Nu este probabil ca Euler să fi ales e pentru că este inițiala numelui său, deoarece el era un om modest care avea grijă să acorde credit muncii altora.

Teorema 1.2.1. Numărul e este irațional.

Demonstrație: Presupune prin reducere la absurd că , adică , cu .

Știm că:

implică și este un număr natural.

Dar:

și prin urmare . De aici ne rezultă că există un număr natural cuprins între 0 și 1, ceea ce este absurd.

Observație. Pentru a demonstra că și alte numere importante sunt iraționale considerăm o anumită funcție (care este de obicei polinomială).

Pentru , avem , unde , pentru Pentru vom avea . Este evident că și că dacă sau , iar dacă vom avea .

În concluzie, putem deduce că f , la fel ca și derivatele sale iau valori întregi în și

Cum , concluzia este valabilă și în .

Teorema 1.2.2. este irațional pentru orice .

Demonstrație: Dacă presupunem prin absurd că . Atunci și notăm , unde

Considerăm (pentru n suficient de mare) funcția:

și ,

pentru orice . Din datele de mai sus deducem că . De asemenea:

, pentru orice .

Vom deduce astfel că:

.

Dar și putem deduce că:

pentru n suficient de mare ( pentru că pentru ) contradicție!.

În concluzie .

Teorema 1.2.3. Numărul e nu este irational pătratic.

Demonstrație: Presupunem prin reducere la absurd că , nu toate nule, astfel încât . Pentru că vom avea și . Vom presupune, de exemplu că . Vom avea: și știm că .

Vom nota ; avem că Și considerăm:

Astfel:

, (*)

unde și .

Alegem n astfel încât și Dar deci:

,

contradicție cu relația (*).

Astfel,valoarea sa nu poate fi dată cu un număr finit de zecimale (nici măcar cu perioadă). O valoare aproximativă, cu 20 de zecimale exacte, este:

e≈2,71828 18284 59045 23536

Sunt posibile și alte caracterizări ale lui e: una este ca limita unui șir, alta este ca suma unei serii, iar altele se bazează pe calculul diferențial sau integral:

Numărul e este singurul număr real pozitiv cu proprietatea că

Numărul e este singurul număr real pozitiv cu proprietatea că

Numărul e este limita

Numărul e este suma seriei

Numărul e este singurul număr real pozitiv cu proprietatea că (adică

numărul e are proprietatea că aria de sub hiperbola de la 1 la e este egală cu 1).

Numărul e este limita .

O altă aplicație a lui e, descoperită și ea parțial de Jacob Bernoulli împreună cu Pierre Raymond de Montmort este problema pălăriilor:

n musafiri sunt invitați la o petrecere, și la intrare fiecare își lasă pălăria la garderobă unde fiecare pălărie este pusă în cutii etichetate. Dar la garderobă nu se cunosc numele musafirilor, deci sunt puse în cutii etichetate aleator. Problema lui de Montmort este: care este probabilitate ca niciuna din pălării să nu fie pusă în cutia potrivită? Soluția este:

.

Când numărul n de musafiri tinde la infinit, pn tinde la 1/e. Mai mult, numărul de moduri în care pălăriile pot fi puse în cutii astfel încât niciuna din ele să nu fie în cutia corespunzătoare este exact n!/e, rotunjit la cel mai apropiat întreg.

1.2.2. Numărul irațional

Unul dintre cele mai cunoscute numere este reprezentat de litera grecească ; acesta reprezintă, printre altele, raportul dintre circumferința și diamentrul unui cerc.

S-a bucurat de o istorie lungă și interesantă și de-a lungul anilor a primit de fiecare dată o mai bună aproximare. Prezentăm mai jos câteva aspecte legate de istoria acestui număr.

în timpuri biblice. În vechiul Orient, valoarea lui era luată adesea aproximativ 3.

Astfel în Vechiul Testament, putem citi: "De asemenea a topit marea de zece coți de la o margine la alta, in jurul busolei și cinci coți din înalțimea acesteia, si o linie de treizeci de coți l-a înconjurat". Aceasta ne spune că evreii acelor timpuri au aproximat raportul dintre circumferința și diametrul cercului cu 3. Aceasta este echivalent cu aproximarea circumferiței cercului cu perimetrul unui hexagon regulat înscris. De la aproximarea cu 3, valoarea lui a fost determinata din ce în ce mai precis, ajungând în 1967 , la o precizie de jumătate de milion de zecimale.

O estimare egipteană veche a lui În papirusul Rhin, un text egiptean vechi datând de prin 1650 î.Hr. și compus din optzeci și cinci de probleme, problemele 41, 42, 43 și 48 ce implicau calcularea ariei unui cerc. În fiecare din aceste probleme, aria este egala cu parte a diametrului cercului. Este cunoscută demonstrația formulei pentru "cuadratura cercului" , dar diagrama geometrică ce însoțea problema 48 a oferit un posibil indiciu. În această figură, se putea vedea cu ochiul liber că aria cercului încris în pătrat este bine aproximată cu forma octogonală. Dacă diametrul cercului și, prin urmare, latura pătratului sunt egale cu 9, octogonul va avea aria egală cu: , și latura pătratului ale aceleiași arii ca a cercului va fi aproximativ , care, în schimb este aproximativ , adică 8. Ne asumăm următoarea formulă egipteană pentru "cuadratura cercului", este corect, deci, că:

ne rezultă că: , nu este o estimare rea pentru acele timpuri îndepărtate.

O aproximare rațională interesantă a lui . În jurul anului 480, un muncitor chinez în mecanică, Tsu Ch'ung-chih, a dat o aproximare rațională interesantă a lui care este corectă pentru șase zecimale și, în mod surprinzător, implică doar primele trei numere impare, de două ori fiecare. Prin 1585, Adriaen Anthoniszoon a redescoperit vechiul raport chinezesc. Aparent, acesta a fost un accident norocos pentru că tot ce a demonstrat a fost:

Apoi el a făcut media număratorilor și numitorilor pentru a obține valoarea "exactă" a lui . Este o dovadă că Valentin Otho ar fi introdus acest raport pentru in Vestul lumii, puțin mai devreme de 1573.

În 1849, de Gelder a folosit raportul pentru a obține o soluție euclidiană aproximativă de rectificare a unui anumit cerc.

Numărul Ludolphine. Ludolph von Ceulen (1540-1610) al Germaniei a calculat cu treizeci și cinci de zecimale prin metoda clasică a poligonului regulat înscris și circumscris, folosind poligoane cu laturi. El și-a petrcut cea mai mare parte a vieții cu această sarcină și realizarea sa afost considerată atât de extraordinară încât numărul a fost gravat pe piatra sa de mormânt.

O scurtă cronologie a calculului lui ca serii infinite.

1691. Matematicianul scoțian James Gregory a obținut serii infinite

.

1699. Abraham Sharp a descoperit a 71-a zecimală corectă folosind seriile Gregory cu .

1706. John Machin a obținut a 100-a zecimală folosind seriile Gregory în legătură cu relația:

.

1719. Matematicianul francez De Lagny a obținut al 112-lea loc corect folosind seriile Gregory cu .

1841. William Rutherford al Angliei a calculat pentru 208 locuri, din care 152 au fost găsite corecte mai târziu, folosind seriile Gregory în legătură cu relația:

.

1844. Zacharias Dase, calculatorul fulger, a găsit corect pentru 200 de locuri folosind seriile Gregory în legătură cu relația:

.

1853. Rutherford a restituit problema problema și a obținut 400 de zecimale corecte.

1873. William Shanks al Angliei, folosind formula Machin a calculat pentru 707 locuri. Pentru mai mult timp a ramas cea mai fabuloasă componentă de calcul realizată vreodată.

1948. În 1946, D.F. Ferguson al Angliei a descoperit erori, începând cu al 528-lea loc, în valoarea lui a lui Shank, și în ianuarie 1947 a dat valoarea corectă a locului 710. În aceeași lună J.W. Wrench, Jr.,al Americii, a publicat a 808-a valoare zecimală a lui , dar Ferguson a găsit rapid o eroare pe locul 723. În ianuarie 1948, Ferguson și Wrench au publicat împreună valoarea corectă și verificată a lui pentru locul 808. Wrench a folosit formula lui Machin, în timp ce Ferguson a folosit formula:

.

1949. Calculatorul electronic, ENIAC, laboratoarele de cercetare balistice ale armatei în Aberdeen, Maryland, au calculat cu 2037 zecimale în 70 de ore.

1954. Nicholson și Jeenel, folosind NORC, a calculat cu 3089 locuri în 13 minute.

1958. Felton, îm Anglia, folosind un computer Ferranti PEGASUS a calculat cu 10.000 zecimale în 33 ore.

1958. François Genuys, în Paris, a calculat cu 10.000 zecimale folosind un IBM 704, în 100 de ore.

1959. Genuys a calculat cu 16.167 zecimale, folosind un IBM 704, în 4.3 ore.

1961. Wrench și Daniel Shanks, din Washington, D.C. , a calculat cu 100.265 zecimale, folosind un IBM 7090, în 8.7 ore.

1966. Pe 22 februarie, M. Jean Guilloud și colegul de la Comisariatul Energiei Atomice, în Paris au ajuns la aproximarea lui cu 250.000 zecimale cu un computer STRETCH.

1967. Exact un an mai târziu muncitorii de mai sus au descoperit cu 500.000 zecimal cu un CDC 6600.

Iraționalitatea și trancendentalitatea lui . În 1767, J.H. Lamber a demonstrat că este irațional adică , nu este de forma , unde , și în 1794 A.M. Legendre a arătat că este de asemenea irațional. În 1882, C.F.L. Lindemann a demonstrat că este transcendent, adică nu este rădăcină a niciunei ecuații polinomiale cu forma:

,

unde sunt întregi.

Teorema 1.2.4. Numărul este irațional.

Demonstrație: Presupunem prin reducere la absurd că ,

Știm că: . Vom avea:

.

Luăm n astfel încât

(1)

Pentru n ce satisface condiția (1), considerăm funcția:

. (2)

Înlocuind în (2) pe cu și dezvoltând vom obține :

,

în concluzie: .

Din , vom avea sunt numere întregi.

Din (2) ne rezultă că:

și .

Deci: , iar sunt numere întregi.

Folosind formula de integrare prin părți, vom obține:

,

,

…………………………………………………………………………………….

.

Rezultă că:

.

În intervalul , așadar .Din formula de definire a lui f, (2) , obținem, pentru :

.

Dar și n satisface condiția (1) , avem:

.

În concluzie și ajungem la contradicție!.

Teorema 1.2.5. Numărul este irațional.

Demonstrație: Presupunem că este rațional, deci , unde a, b sunt numere întregi pozitive.

Vom scrie :

.

Deci și sunt întregi. Avem:

.

Prin urmare

este un număr întreg. Dar, din avem:

pentru n suficient de mare, ceea ce este contradicție.

Teorema 1.2.6. Fie un multiplu rațional de (adică , cu ). Atunci cu excepția cazurilor când nu este definit iar

Demonstrație: Pentru , folosind inducția matematică verificăm existența unui polinom de grad n cu coeficientul dominant 1 astfel încât: .

Pentru că: deducem că și .

Pentru că:

deducem că și prin inducție matematică am asigurat existența polinomului .

Dacă astfel încât . Fie rezultă că ("+" pentru n par și "-" pentru n impar). Deci este soluție a ecuației .

Eliminăm cazul , pentru că este rădăcina unei ecuații de forma cu coeficientul dominant 1, dacă , cu necesitatea . Pentru putem deduce că , adică . Deci, pentru este demonstrată.

Pentru , dacă este multiplu rațional de la fel și și din identitatea deducem concluzia teoremei pentru .

Din identitatea vom deduce că dacă rezultă și . Având datele deja stabilite în cazul lui deducem că

Dacă , atunci ; dacă atunci , iar dacă , atunci nu poate fi definită. Dacă atunci și cu aceasta am demonstrat teorema.

În cele ce urmează sunt prezentate câteva relații ce implică numărul irațional

Exercițiul 1. a) Din simplificarea expresiei , să se deducă formula lui Viete:

Cu ce este egal produsul infinit

Rezolvare: Înmulțim expresia pe care vrem să o simplificăm cu . Obținem :

,

rezultă

.

Trecem la limită pentru și obținem :

Pentru că ; relație obținută pe baza inegalității ,

Deci

.

Astfel vom obține

, deci . (*)

Înlocuim în egalitatea (*)

și folosim faptul că

.

b) Înlocuind în identitatea (*) , vom obține :

.

Exercițiul 2. a) Cunoscând identitățile

;

;

deduceți formula lui Euler:

b) Cu ce este egală suma seriei:

?

Rezolvare: a) Deoarece pentru unghiurile din primul cadran avem

și folosind identitățile date, vom obține

Echivalent, putem scrie

.

Dar, pentru că termenii extremi ai ultimei inegalități duble tind spre , pentru , vom avea

b) Aflăm soluțiile ecuației:

.

Considerăm impar, iar dacă este egal cu

,

Atunci și ; prin urmare

.

Observăm astfel că ecuația

(*)

are rădăcinile .

Relația (*) se divide cu

,

și vom obține

. (**)

Vom determina suma pătratelor radacinilor ecuației (*) . Egalând coeficienții lui din ambrii membrii ai egalității (**) , vom stabili că suma tuturor produselor posibile de perechi de rădăcini ale ecuației este egală cu :

.

Suma pătratelor unor mărimi oarecare este egală cu pătratul sumei lor , minus dublul sumei tuturor produselor posibile ale acestor mărimi luate câte două , deci vom avea:

.

În continuare, pentru că

,

vom obține

.

.

Vom proceda asemănător ca în rezolvarea problemei a) și obținem inegalitatea dublă:

.

sau

,

iar trecând la limită pentru obținem :

.

Exercițiul 3. a) Știind că pentru n par are loc egalitatea

, să se deducă formula lui Leibniz

b) Cu ce este egală suma seriei

Rezolvare: a) Pentru că

,

Iar din identitatea dată , vom avea

.

sau putem scrie

.

Pe de altă parte,

Știind că , din identitatea de mai sus vom obține

.

Procedând ca în rezolvarea de la Exercițiul 2. a), obținem dubla inegalitate:

.

Pentru , termenii externi din ultima inegalitate dublă tind către aceeași limită .

Pentru că și obținem :

b) Cunoaștem ecuația

care are rădăcinile : .

Procedând analog ca în cazul Exercițiului 2. b) ajungem la concluzia că suma produselor duble ale rădăcinilor acestei ecuații este egală cu:

și suma pătratelor este egală cu

.

Din identitarea

vom obține

Deoarece pentru unghiurile din primul cadran avem și folosind identitățile de mai sus ajungem la concluzia că

astfel

.

Ultima formulă este echivalentă cu formula lui Euler , iar din formula lui Euler rezultă:

.

Exercițiul 4. Din identitățile:

.

Să se deducă formula lui Wallis.

Rezolvare: Vom alcătui două expresii , a căror lege de formare este sugerată de formula lui Wallis:

(*)

. (**)

Conform identităților date, expresiile (*) și (**) sunt respectiv egale cu

,

.

Vom demonstra că , prin înlocuirea sinusurilor cu unghiurile, expresia (*) se va micșora, iar expresia (**) va crește. Vom folosi faptul că

.

Rezultă că

,

Pe de altă parte

Dacă , atunci și

.

În continuare

,

.

Avem deci :

,

,

.

Ultimele două egalități pot fi rescrise astfel:

.

Pentru că în ambii termeni ai ultimei inegalități duble, aceștia tind către o singură limită vom obține:

.

1.2.3. Numărul de aur

Spunem că un punct A împarte un segment AB în medie și extremă rație dacă raportul dintre întreg segmentul AB și „ partea mai mare a segmentului”, AM, este egal cu raportul dintre AM și „partea mai mică a segmentului”, MB. Această denumire este dată de relația:

care arată că este medie proporțională a extremilor și .

Proporția duce la găsirea a două puncte M și M’ pe dreapta AB (M interior segmentului AB iar M’ exterior segmentului, la stânga lui A) pentru care relația este verificată. Se obține și .

Numărul se numește număl de aur.

Dacă notăm (deci , atunci numerele și sunt rădăcinile ecuației .

Numărul (phi) a fost cunoscut încă din antichitate, iar din secolul XIX a primit numele de "secțiunea de aur"(Leonardo da Vinci), "proporția divină"(Luca Pacioli) sau "secțiunea divină"(Johann Kepler). Prima definiție clară a numărului a fost datată prin jurul anului 300 î.Hr. de către Euclid din Alexandria, părintele geometriei ca sistem deductiv formalizat. Asemenea numere nesfârșite i-au intrigat pe oameni încă din antichitate. Se spune că atunci când Hispassus din Metapontum a descoperit, în secolul V î.Hr., că este un număr care nu este nici întreg , nici măcar raportul dintre două numere întregi (precum fracțiile:1/2,7/6,45/90,etc., care sunt cunoscute în ansamblu drept numere raționale), adepții faimosului matematician grec Pitagora și anume pitagoreicii au fost extrem de șocați. Concepția pitagoreică despre lume se baza pe o extremă față de arithmos – adică proprietățile intrinseci ale numerelor întregi și ale fracțiilor lor – și presupusul lor rol în cosmos. Înțelegerea faptului că există numere care precum se repetă la infinit fără a prezenta nici o repetiție sau regularitate a pricinuit o adevărată criză filozofică.

Unele surse susțin chiar că pitagoreicii au sacrificat 100 de boi din cauza numărului. Totuși acest lucru pare extrem de improbabil deoarece ei erau vegetarieni stricți. Pitagoreicii erau neîndoielnic convinși că existența unor numere precum Φ era atât de înfricoșătoare încât ea trebuia să reprezinte un fel de eroare cosmică, o informație care ar trebui suprimată și ținută secret. Faptul că există numere iraționale a implicat și descoperirea incomensurabilității. În lucrarea sa "Despre viața lui Pitagora" (cca. 300 î.Hr.) filozoful și istoricul Iambilichos, descendent al unei familii de nobili sirieni, descrie reacția violentă cu privire la această descoperire: "Ei spun că primul om care le-a dezvăluit natura incomensurabilității celor nedemni de a o cunoaște a fost atât de detestat, încât nu numai că a fost exclus din asociația si modul de viață al pitagoreicilor, ci i s-a construit și mormântul, ca și cum fostul lor coleg ar fi plecat dintre cei vii."

Numărul este strâns legat de șirul numerelor Fibonacci definit de:

.

Pentru , folosind inducția se demonstrează că:

. (*)

Se oate arăta ușor și că puterile lui verifică relația de recurență a șirului Fibonacci, adică:

, .

În geometrie, numărul este des întâlnit:

un dreptunghi ale cărui laturi sunt în raportul 1: se numește dreptunghi de aur;

un triunghi isoscel în care raportul dintre latura mai mare și cea mai scurtă este , se numește triunghi de aur.

Folosind numărul de aur putem demonstra geometrica iraționalitații lui .

Faptul că este irațional rezultă din Teorema 1.1.2.

Zeuthen sugerează o metodă interesantă pentru a demonstra iraționalitatea lui , ce depinde de forma fracției continue atașate acestui număr.

Vom prezenta ca model cazul simplu .

Fie . Atunci .

Geometric, dacă , atunci: .

A C B

Fig.1

și este împarțit "în secțiunea de aur" de C. Aceste relații sunt fundamentale în construirea pentagoanelor regulate înscrise în cerc.

Dacă împarțim pe 1 cu , luând cel mai mare cât întreg posibil, restul este . Dacă împărțim pe cu , câtul este din nou 1, iar restul este . Mai departe, împărțim cu și continuăm procesul la infinit; la fiecare etapă, rația numărului împărțit, divizoriul și restul sunt aceleași.

Din punct de vedere geometric, dacă luăm , egal și opus lui este împărțită de cu același raport ca de , adică în secțiunea de aur; dacă luăm egal și opus lui , atunci este împărțit în secțiunea de aur de ; și așa mai departe. Cât timp avem la fiecare etapă un segment împărțit în același raport, procesul nu se va încheia.

Este ușor de văzut că aceasta contrazice ipoteza raționalității lui . Dacă este rațional, atunci și sunt întregi multiplii ai aceleiași lungimi , și de asemenea este adevărat că:

,

adică ale tuturor segmentelor din figură. Prin urmare, putem construi o secvență infinită de multipli întregi descrescători ai lui ; și acest lucru este clar imposibil.

CAPITOLUL 2. NUMERE ALGEBRICE ȘI TRANSCENDENTE

2.1. Aspecte teoretice

În acest capitol vom prezenta aspecte legate de numerele algebrice și transcendente pentru că acestea au legătură cu numerele iraționale: majoritatatea numerelor iraționale sunt transcendente și toate numerele transcendente sunt iraționale

Fie K un corp comutativ.

Definiția 2.1.1. Fie K' o extindere a corpului K. Un număr se numește element algebric peste K dacă există un polinom , astfel încât . Un element care nu este algebric se numște transcendent.

Definiția 2.1.2. Un număr (în particular, un număr real) se numește număr algebric dacă este algebric peste corpul al numerelor raționale. Un număr complex (real) care nu este algebric, se numește număr transcendent.

Observația 1. Orice număr rațional este algebric, la fel ca și (soluție a ecuației algebrice:).

Observația 2. Fie este rădăcina polinomului , , atunci este rădăcină și a polinomului (unde este polinom normat).

Prin definiție există cu . Sunt o infinitate de polinoame , având proprietatea , iar pentru , unde este polinom arbitrar,

. Considerăm și . M este o mulțime nevidă a mulțimii numerelor naturale și are un prim element n.

Observația 3. Numărul este rădăcină a polinomului . Dacă , r este rădăcină a polinomului cu coeficienți întregi , atunci orice număr rațional este algebric.

Observația 4. Orice număr complex este algebric, pentru că este rădăcina polinomului

Teorema 2.1.3. Mulțimea numerelor algebrice este numărabilă.

Demonstrație: Știm că orice număr algebric z este soluția unei ecuații de forma: , unde nu toți nuli. Notăm , atunci . Există numai un număr finit de ecuații algebrice de forma celei de mai sus, pentru fiecare n fixat și fiecare din ecuații are numai un număr finit de soluții.

Prin urmare, numărul numerelor algebrice corespunzătoare lui P este finit; notăm mulțimea acestora. Pentru că mulțimea M a numerelor algebrice easte o submulțime a mulțimii (reuniune numărabilă de mulțimi finite), ajungem la concluzia că M este numărabilă.

Teorema 2.1.4. Mulțimea numerelor transcendente este numărabilă (atât în cât și în ).

Definiția 2.1.5. Gradul numărului algebric este un număr natural n astfel încât este rădăcină a unui polinom cu coeficienți raționali de gradul n (și nu este rădăcina nici unui polinom cu coeficienți raționali de grad mai mic ca n).

Teorema 2.1.6. Dacă este un număr algebric de gradul n și este rădăcină a polinomului de gradul n , atunci, oricare polinom cu proprietatea , vom avea .

Demonstrație: Polinomul f are gradul n cel puțin 1. Aplicând teorema împarțirii cu rest, obținem:

, ,

Dacă înseamnă că . Dacă rezultă că este rădăcina unui polinom cu coeficienți raționali de grad mai mic ca n , ceea ce contrazice ipoteza că gradul lui este n . În concluzie, vom avea doar , deci .

Definiția 2.1.7. Polinomul cu coeficienți raționali , unitar, ireductibil peste și care are rădăcină pe se numește polinomul minimal al lui .

Fie un număr algebric, iar polinomul său minimal. Pentru m, cel mai mic multiplu comun al numitorilor coeficienților , avem polinomul

.

Teorema 2.1.8. Numărul este un număr algebric de gradul n dacă este o rădăcină a polinomului , ireductibil peste .

Demonstrație: Fie un număr algebric de grad mai mic sau egal cu n . Trebuie să avem , deci , dacă este polinom minimal al lui . Pentru că , iar f este ireductibil peste , vom obține . În concluzie , deci este de gradul n .

Teorema 2.1.9. ( Criteriul lui Liouville )Fie ireductibil de gradul o rădăcină a lui f și cu . Atunci spunem că există un număr real , care nu depinde de p și q astfel încât .

Demonstrație: Fie polinomul minimal al lui . Presupunem că ( în caz contrar ).

Considerăm toate rădăcinile lui f . Obținem:

unde este o constantă care nu depinde de p și q .

În schimb, și astfel am încheiat demonstrația.

Teorema 2.1.10. este un număr algebric de grad cel mult n dacă există n numere complexe , nu toate nule, și dacă există numere raționale astfel încât să fie satisfăcute condițiile:

Demonstrație: Egalitățile din enunțul teoremei evidențiază o soluție, diferită de soluția banală, a sistemului de ecuații liniare omogene:

Obținem:

.

Dezvoltând determinantul, vom obține:

,

adică este rădăcina unui polinom de grad n, deci este algebric de grad cel mult n .

Teorema 2.1.11. Pentru orice număr algebric există un număr întreg a astfel încât să fie întreg algebric.

Demonstrație: Considerăm un număr algebric. Un număr algebric este un număr complex care este rădăcina unui polinom cu coeficienți întregi. Există, deci polinomul

astfel încât , adică

.

Înmulțind ambii termeni din ultima egalitate cu , vom obține :

.

Prin urmare, este rădăcină a polinomului

,

deci este întreg algebric.

Teorema 2.1.12. Mulțimea a tuturor numerelor algebrice (peste ) este un subcorp al lui .

Demonstrație: Bineînțeles . Fie , atunci . Prin urmare .

Considerăm și două numere algebrice oarecare. Când unul dintre și este 0, avem și . Presupunem că .

Avem: ,

Fie numerele complexe: . Acestea sunt:

.

Astfel avem:

.

Rezultă că , unde sunt combinații liniare cu coeficienții numere raționale și cunoscând Teorema 2.1.10. obținem că este algebric. Analog, sunt combinații liniare de , deci și este algebric.

În concluzie, un polinom cu coeficienți raționali în , fiind numere algebrice), este algebric.

Dacă ecuația:

este satisfăcută de un număr algebric , atunci și satisface ecuația :

,

prin urmare este algebric.

2.2. Exemple remarcabile de numerelor algebrice și transcendente

Teorema 2.2.1. (Hermite) Numărul e este transcendent.

Demonstrație: Presupune prin reducere la absurd că e este număr algebric. Atunci există , unde astfel încât:

Notăm . Deci . Cunoscând n , funcția tinde la 0, când .

Fie p un număr natural prim care să satisfacă condițiile:

.

Fie funcția:

.

Integrând prin părți, vom obține:

Vom continua să integrăm până ce pentru polinomul f(x) în x de grad , vom obține derivata de ordin , care este identic nulă.

Obținem astfel:

,

Pentru fiecare coeficient , obținem:

.

Pentru , însumăm membru cu membru egalitățile:

. (*)

Dezvoltăm pe f(x) după puterile lui x:

(**)

unde sunt numere întregi.

este un număr întreg care nu se divide cu p, pentru că .

Din relația (**) se poate observa că sunt numere întregi care se divid cu p. deoarece în suma:

primul termen nu este multiplu de p.

Dezvoltăm f(x) după puterile lui x-k , unde :

,

unde coeficienții … sunt numere întregi. Derivând relația de mai sus, observăm că:

este un număr divizibil cu p.

Dar, putem observa că în suma:

primul termen nu se divide cu p, iar ceilalți se divid, fiecare cu p. În concluzie, S este un număr întreg care nu se divide cu p , , de unde .

Conform relației (*) , avem:

,

în fiecare integrală din , prin urmare:

,

iar pentru avem:

care contrazice . În concluzie, e nu poate fi algebric, deci este transcendent.

Teorema 2.2.2. (Lindemann) Numărul este transcendent.

Demonstrație: Stabilim identitatea lui Hermite:

Fie cu gradul n și

oricare .

Integrând prin părți obținem:

Repetând de n+1 ori procesul de mai sus avem egalitatea:

din care rezultă identitatea lui Hermite.

Avem nevoie și de ecuația . Presupunând prin absurd că este algebric, obținem că și este algebric.

Considerăm n gradul lui a și conjugații lui .

Deoarece , , putem spune:

Dacă presupunem că în relația de mai sus sunt exact m exponenți nenuli , (sunt zero, și dacă sunt exponenți nenuli , putem scrie relația de mai sus astfel: (i)

Arătăm că numerele formează mulțimea rădăcinilor unui polinom de grad m . Observăm că :

polinom în cu coeficienți în , simetric în , prin urmare .

Deci polinomul (de grad ) are radacinile și 0 (cu multiplicitate u , iar polinomul ( cu gradul m ) are rădăcinile .

Fie c.m.m.m.c.-ul numitorilor coeficienților acestui polinom, deci

pentru are rădăcinile . Considerăm succesiv .

Adunând și tinând cont de egalitatea (i) , avem:

(ii)

Obținem contradicție dacă pentru relația de mai sus alegem:

,

unde , ales suficient de mare. Avem:

(iii)

Pentru că este o rădăcină a lui f(x) de multiplicitate n obținem:

Atunci , pentru coeficienții lui sunt întregi și divizibili prin , iar din egalitatea anterioară putem deduce:

cu (iv)

Numerele sunt întregi algebrici care formează mulțimea rădăcinilor unui polinom de grad m din cu coeficientu dominant 1.

Deci : (v)

Din (iii) . (iv) , (v)

Considerăm astfel încât și

este un întreg nedivizibil cu n , deci și nenul , de unde:

(vi)

Căutăm o majorare pentru : . Presupunem că toate punctele sunt conținute în cercul și notăm , unde w nu depinde de n . Deci .

Există astfel pentru oricare care satisface inegalitatea (vi), astfel încât sa avem inegalitatea (vii) :

Din relațiile (ii) , (vi) și (vii) observăm că –absurd!. Astfel demonstrația s-a încheiat.

Teorema 2.2.3. Numărul este transcendent (deci nu este algebric) .

Demonstrație: Pentru început arătăm că . Presupunem prin reducere la absurd că , unde . Considerând numărul întreg și înmulțind relația cu obținem o relație care are forma , . În continuare arătăm că numărul pentru un t suficient de mare. Există un astfel de t deoarece este restul unei serii convergente, deci .

Presupunem că ar fi un număr algebric. Deci polinomul minimal ar avea gradul minimal . Fie d constanta din Crieteriul lui Liouville de mai sus asociată lui . Considerăm întreg și . Deci avem . Luăm t suficient de mare și obținem inegalitatea :

ceea ce contrazice Criteriul lui Liouville. Astfel am încheiat demonstrația.

Definiția 2.2.4. Un număr se numește număr al lui Liouville dacă există o fracție rațională pentru orice număr întreg rațional pozitiv , , astfel încât să existe inegalitățile:

, .

Definiția ne asigură că pentru orice număr al lui Liouville, , există un șir de numere raționale care satisface inegalitățile din enunț. Deoarece și pentru orice , pentru un m suficient de mare rezultă că poate fi aproximat oricât de bine vrem, dar cu o eroare mai mică decât orice .

Teorema 2.2.5. Numerele lui Liouville sunt transcendente.

Demonstrație: Alegem arbitrar un număr natural și un număr real arbitrar. Dacă , avem :

Dacă , pentru orice f natural există numere naturale m astfel încât . Prin urmare:

Știm că dacă este real și dacă pentru orice număr natural și un număr real, există un număr rațional asfel încât , atunci este transcendent și rezultă că și este transcendent.

Teorema 2.2.6. Există numere ale lui Liouville.

Demonstrație: Luăm , unde sunt numere întregi, , pentru oricare .

Notăm : și .

Prin urmare:

.

Deci :

.

Dacă luăm , rezultă:

și este un număr al lui Liouville.

CAPITOLUL 3. APROXIMAREA NUMERELOR IRAȚIONALE CU FRACȚII CONTINUE

3.1.Fracții continue

Fracțiile continue au fost introduse pentru a da o aproximare cât mai bună numerelor iraționale, prin numere raționale. Prezentăm mai jos câteva rezultate legate de acestea.

Fracții continue finite

Definiția 3.1.1. O fracție continuă finită este o expresie de forma:

pentru variabile .

Expresia de mai sus este destul de complicată și de obicei scriem fracțiile continue sub forma echivalentă:

.

Numim coeficienții parțiali sau coeficienții fracției continue. Putem astfel calcula:

,

și mai simplu

, pentru .

Generalizând obținem:

, pentru .

Teorema 3.1.2. Numim , a n-a redusă a fracției continue .

Dacă elementele și sunt date de:

,

atunci

.

Teorema 3.1.3. Elementele și satisfac relațiile:

sau .

De asemenea:

sau .

Teorema 3.1.4. Valoarea fracției continue este mai mare decât cea a redusei pare și mai mică decât cea a redusei impare (exceptând cazul în care este egală cu ultima redusă , dacă aceasta ar fi pară sau impară ).

Demonstrație: Notăm . Fiecare din este pozitiv , dar pentru că și ( poate fi negativ) rezultă că are semnul lui . Aceasta demonstrează că toate redusele pare sunt strict crescătoare, în timp ce redusele impare sunt strict descrescătoare.

Deoarece , are semnul lui , atunci .

Dacă fiecare redusă impară este mai mică decât orice redusă pară, ar trebui să avem , pentru unele perechi . Dacă atunci, pentru că redusa impară este mai mare decât orice redusă pară, avem și dacă atunci . Fiecare din inegalități contrazice .

În cele din urmă, este cea mai mare dintre redusele pare sau cea mai mică dintre cele impare, iar teorema este valabilă pentru oricare din cazuri.

Definiția 3.1.5. Știm că și sunt numere întregi și este pozitiv. Dacă

,

spunem că numărul x (care este rațional) este reprezentat de o fracție continuă.

Algoritmul de dezvoltare în fracție continuă

Fie x orice număr real și . Atunci:

.

Dacă , putem scrie:

Dacă , putem scrie:

.

și așa mai departe. De asemenea , deci , pentru . Astfel :

unde sunt întregi și

Sistemul de ecuații format este:

…………………………………………………………….

și este cunoscut ca algoritmul de dezvoltare în fracții continue. Algoritmul continuă cat timp . Dacă, eventual pentru o valoare a lui n, să zicem N, , algoritmul se incheie și .

În acest caz, x este reprezentat printr-o fracție continuă simplă și este rațional. Numerele sunt coeficienții compleți ai fracției continue.

Teorema 3.1.6. (Algoritmul lui Euclid) Orice număr rațional poate fi reprezentat printr-o fracție continuă simplă.

Demonstrație: Dacă x este număr întreg, atunci și . Dacă x nu este întreg , atunci , pentru l și k numere întregi și . Deoarece

, ,

este coeficientul , iar restul , când l este împarțit de k.

Dacă , atunci

și

deci este coeficient , iar este restul când k este împarțit de . Prin urmare obținem serii de ecuații

continuând cat timp sau cât timp .

Numerele întregi nenegative formează o secvență strict decrescătoare și pentru anumiți N. Știm că și astfel algoritmul fracției continue se încheie.

Sistemul de ecuații

………………………………………………………

este cunoscut ca și algoritmul lui Euclid. Procesul este asemănător cu cel adoptat în aritmetica elementară pentru determinarea divizorului comun dintre l și k.

Pentru că ; de asemenea

,

iar .

Fracții continue infinite

Principalul scop al fracțiilor continue se află în aplicarea lor la reprezentarea numerelor iraționale și pentru aceasta sunt necesare fracțiile continue infinite.

Presupunem că ….este un șir de numere întregi, unde iar poate fi negativ; atunci:

este, pentru orice n , o fracție continuă simplă reprezentând un număr rațional . Dacă tinde la o limită x, când , atunci putem spune că fracția continuă simplă converge la valoarea x, și scriem:

.

Teorema 3.1.7. Dacă … este un șir de numere întregi astfel încât iar poate fi și negativ, atunci:

tinde la o limită x , când .

Teorema precedentă poate fi reformulată astfel:

Teorema 3.1.8. Toate fracțiile continue simple sunt convergente.

Demonstrație: Notăm și le numim aceste fracții redusele la , iar ele trebuie să tindă la o limită.

Dacă , redusa este de asemenea convergentă la . Astfel, redusele pare formează o secvență crescătoare, iar cele impare, o secvență descrescătoare. Fiecare redusă pară este mai mare decât , astfel încât fiecare secvență crescătoare de reduse pare este mărginită superior. Fiecare redusă impară este mai mare decât și de aceea secvența descrescătoare de reduse impare este marginită inferior. În concluzie , redusele pare tind la limita , iar redusele impare la limita , iar .

Din Teorema 3.1.3 și Teorema 3.1.5. rezultă :

,

deci și spunem că fracția converge la x.

Fracții continue periodice

O fracție continuă periodică este o fracție continuă infinită în care pentru un k fixat și orice . Mulțimea de coeficienți parțiali

este numit perioadă, iar fracția continuă poate fi scrisă astfel:

.

Teorema 3.1.9. O fracție continuă periodică este un număr irațional pătratic, adică o rădăcină irațională a unei ecuații de gradul doi cu coeficienți întregi.

Demonstrație: Dacă este al L-lea cât complet al fracției continue periodice x, vom avea:

,

,

,

unde și sunt ultimele două reduse pentru .

Însă

.

Înlocuind în relația și reducând fracțiile, vom obține ecuația:

cu coeficienți întregi. Deoarece x este irațional, .

Este ușor să găsim fracții continue pentru numere iraționale speciale precum sau aplicând algoritmul de dezvoltare în fracție continuă, pană când acesta este recursiv.

Astfel:

,

și asemănător

,

,

.

Cele mai interesante fracții continue excepționale nu sunt de obicei fracțiile continue pur periodice ( de forma ).

Un tip particular de astfel de fracții este

,

unde , astfel , unde c este număr întreg. În acest caz

.

Deci , de unde .

În particular

(numărul de aur)

,

.

Putem observa că v și w sunt echivalente cu , respectiv , dar u nu este echivalent cu .

3.2. Aproximarea numerelor iraționale cu fracții continue

Definiția 3.2.1. Numim

al n-lea cât complet al fracției continue .

Evident:

,

și în particular

.

De asemenea , iar .

Teorema 3.2.2. Dacă , atunci

.

Teorema 3.2.3. Dacă , atunci

.

Demonstrație: Avem

pentru , deoarece

În particular , pentru .

Ignorând cazul particular, obținem:

,

, (*)

pentru . În cele ce urmează

(**)

pentru

, .

În particular , relația (*) trebuie sa fie înlocuită cu

și prima inegalitate di relația (**) cu egalitate. Relația (**) ne arată că descrește pe măsură ce n crește. Deoarece crește constant, descrește constant.

Teorema 3.2.4. Dacă , atunci diferențele

descresc constant în modul pe măsură ce n crește. De asemenea

,

unde și

pentru , exceptând cazul în care .

Teorema 3.2.5. Două fracții continue infinite care au aceeași valoare sunt identice.

Demonstrație: Cunoaștem algoritmul fracțiilor continue. Dacă x este irațional, procesul nu se poate încheia. Prin urmare este definită o secvență de numere întregi

,

,

unde

.

Deci

din , (2 și astfel

,

,

atunci . Prin urmare

,

și algoritmul ne conduce la o fracție continuă a cărei valori este x și care este unică datorită teoremei enunțate.

De aici deducem că:

Teorema 3.2.6. Fiecare număr irațional poate fi exprimat printr-un singur mod ca fracție continuă simplă infinită.

Observăm că valoarea unei fracții continue simple infinite este un număr irațional deoarece algoritmul ar fi finit dacă x ar fi rațional.

Teorema 3.2.7. Rezultatele teoremelor 3.2.3. și 3.2.4. au loc (exceptând referințele la N) pentru fracții continue infinite. În particular

.

Teorema 3.2.8. Dacă , unde și sunt numere întregi astfel încât

,

atunci și sunt două reduse consecutive ale fracției continue simple, a cărei valoare este x. Dacă este a – a redusă, iar a n-a redusă, atunci este al -lea coeficient complet.

Demonstrație: Dezvotăm în fracție continuă simplă

. (i)

Dacă x este reprezentabil de o fracție continuă simplă cu un număr impar (par) de reduse, este de asemenea reprezentabil de una cu număr par (impar) de reduse, deci putem considera n par sau impar. Trebuie să alegem n astfel încât

(ii)

și , iar satisfac aceleași condiții. Deci (i) și (ii) implică și

,

sau

.

Deoarece , egalitatea anterioară implică

. (iii)

Dar și astfel

,

dar aceasta nu este compatibilă cu (iii), decât dacă . Prin urmare

și

sau .

Dacă dezvoltăm ca o fracție continuă simplă, obținem

unde . Prin urmare

,

este o fracție continuă simplă. Dar și , deoarece și sunt reduse consecutive ale fracției continue, iar este al -lea coeficient complet. Astfel am încheiat demonstrația teoremei.

Aproximarea unui număr dat care este de obicei irațional, se efecuează cu ajutorul fracțiilor raționale, de forma .

Presupunem că și că este ireductibilă. Fie numărul dat și orice număr pozitiv , există un astfel încât

,

orice număr poate fi aproximat printr-un număr irațional cu un grad de acuratețe alocat.

Observația 1. este un număr rațional . Dacă , atunci

astfel implică .

Observația 2. este un număr irațional. Atunci există un număr infinit de soluții ale inecuației

,

iar este o soluție.

Definiția 3.2.9. Spunem că este aproximabil prin numere raționale de ordin n, dacă există un , ce depinde de , pentru care

are o infinitate de soluții.

Teorema 3.2.10. Orice număr irațional este aproximabil de ordin 2.

Putem merge mai departe, pentru irațional pătratic (adică rădăcina unei ecuații pătratice cu coeficienți întregi).

Teorema 3.2.11. Un număr irațional pătratic este aproximabil de ordin 2 și de niciun ordin mai mare.

Demonstrație: Fracția continuă pentru un număr irațional pătratic este periodică. În particular coeficienții săi sunt delimitați, prin urmare

,

unde M depinde doar de . Așadar, din ,

a fortiori . Similar .

Presupunem că

,

când și dacă și , atunci

,

unde , iar aceasta demonstrează teorema.

Cea mai bună aproximare a lui este dată de redusa a fracției continue a lui , iar

,

astfel obținem o mai bună aproximare atunci când este mare. Este clarcă, pentru a pune problema aproximării, va fii sau nu aproximabil, conform faptului că fracția continuăconține sau nu o secvență de coeficienți care crește rapid.

Putem spune, destul de aproximativ, că structura fracției continue pentru permite o măsurare a „simplității” sau „complexității” lui . Numărul

este un număr „complicat”. Pe de altă parte, dacă se comportă normal și nu devine prea mare, atunci poate fi văzut ca număr „simplu”. Din acest punct de vedere al aproximării numerelor raționale, numerele simple sunt cele mai grele.

Cel mai „simplu” dintre numerele iraționale, din acest punct de vedere, este

,

în care fiecare are cea mai mică valoare posibilă. Redusele aceste fracții sunt

astfel încât și

.

Prin urmare

când .

Teorema 3.2.12. Orice număr irațional are o infinitate de aproximări care satisfac

.

Numărul este cel mai bun număr posibil; teorema va deveni falsă dacă un număr mai mare ar înlocui .

Demonstrație: Este suficient să arătăm că, dacă , iar este un număr particular, atunci inegalitatea

are un număr finit de soluții.

Presupunem contrariul, atunci sunt un număr infinit de numere p și q astfel

.

,

.

Egalitatea din partea dreaptă este numeric, mai mică decât 1 când q este mare, în timp ce partea stânga este întreagă. Prin urmare

sau ,

este clar imposibil.

Aplicație. Amintim că am definit, în capitolul 1, numărul de aur .

Relația se poate extinde recursiv pentru a obține numărul de aur reprezentat de o fracție continuă. Obținem astfel și .

Pentru , vom calcula numărătorii și numitorii ai reduselor fracției continue corespunzătoare lui .

Deoarece și , redusele verifică relațiile:

. (*)

Relația (*) arată că fiecare din redusele fracției care reprezintă numărul , este egală cu raportul dintre doi termini succesivi ai șirului Fibonacci, astfel:

Cunoscând faptul că șirul reduselor este convergent (Teorema 3.1.8), deducem că:

,

ceea ce obținem din relația

(**)

prezentată în Capitolul 1, paragraful 1.2.3.

Aplicație C++

În cele ce urmează voi prezenta un program C++ prin care, folosind un algoritm dat de Lagrange, dezvoltăm în fracție continuă(periodică) un număr , unde , care nu este pătrat perfect și este număr prim de forma 4k+1.

Pentru aceasta procedăm în felul următor:

Verificăm dacă d este un număr natural, prim, de forma 4k+1.

Verificăm de asemenea dacă d este pătrat perfect.

Considerăm șirurile: , definite astfel:

;

;

;

, unde .

Calculăm termenii , până când obținem primul indice t pentru care și .

Precizez că pentru t un număr par, este cel mai mic indice pentru care , iar

dacă t este impar, este cel mai mic indice pentru care . Ținând cont de această observație, calculăm termenii șirurilor până când sau .

În concluzie:

a) Dacă , , deci numărul termenilor din perioada minimă este par;

b) Dacă , , deci lungimea perioadei minime este impară.

Program C++

#include <iostream>

#include <string>

#include <cstdlib>

#include <vector>

#include <cmath>

#include <conio.h>

using namespace std;

int intrarea(){

const int cod_eroare = -1;//codul de eroare al functiei

string date_de_intrare;

cout << "Tastati un numar INTREG, cuprins intre 0 si 10000,"

"\napoi apasati tasta ENTER."

"\nNumarul intreg este: "

<< endl;

cin >> date_de_intrare;

size_t lungime = date_de_intrare.length();

if (lungime >= 6){

return cod_eroare;

}

int conversie = atoi(date_de_intrare.c_str());

if (conversie == 0 || conversie >= 10000){

return cod_eroare;

}

return conversie;

}//finalul functiei intrarea

int ver_forma(int numar)

{

int areforma = 1;

if ((numar – 1) % 4 != 0)

areforma = 0;

return areforma;

}//finalul functiei "ver_forma"

int ver_prim(int numar)

{

int prim = 1, i = 0;

for (i = 2; i <= numar / 2; i++)

{

if (numar%i == 0)

prim = 0;

}

return prim;

}//finalul functiei "ver_forma"

int ver_patrat(int numar)

{

int patrat = 1;

if (sqrt((long double) numar) != (int)(sqrt((long double) numar)))

patrat = 0;

return patrat;

}//finalul functiei "ver_patrat"

int testez_numarul(int numar_intreg, vector<int>& contabilitatea_testelor){

int val_intoarsa = 0;//ce intoarce functia

size_t cate_teste = contabilitatea_testelor.size();//verific lungimea vectorului care inmagazineaza testele

int lucrator = ver_forma(numar_intreg);//numar de forma 4K+1

if (lucrator == 1){

cout << "\nNumarul introdus este de FORMA 4K+1." << endl;

if (cate_teste > 0){//ma asigur ca am unde sa scriu rezultatul testului!

contabilitatea_testelor[0] = 1;

}

}

if (lucrator == 0){

cout << "\nNumarul introdus NU este de FORMA 4K+1." << endl;

val_intoarsa = 1;

}

lucrator = ver_prim(numar_intreg);//numar prim

if (lucrator == 1){

cout << "\nNumarul introdus este PRIM." << endl;

if (cate_teste > 1){//ma asigur ca am unde sa scriu rezultatul testului!

contabilitatea_testelor[1] = 1;

}

}

if (lucrator == 0){

cout << "\nNumarul introdus NU este PRIM." << endl;

val_intoarsa = 1;

}

lucrator = ver_patrat(numar_intreg);//patrat perfect

if (lucrator == 1){

cout << "\nNumarul introdus este PATRAT PERFECT." << endl;

if (cate_teste > 2){//ma asigur ca am unde sa scriu rezultatul testului!

contabilitatea_testelor[2] = 1;

}

}

if (lucrator == 0){

cout << "\nNumarul introdus NU este PATRAT PERFECT." << endl;

val_intoarsa = 1;

}

//contabilizarea testelor:

return val_intoarsa;

}

int calculul_fractiei_continue(int numarul_introdus, vector<int>& sirul_a, vector<int>& sirul_P, vector<int>& sirul_Q, int& cum_ne_am_oprit){

const int cod_eroare = -1;//codul de eroare al functiei

const int numarul_maxim_de_cicluri = 100000;

//steagul de oprire:

int steagul = 0;//ma opresc la 1

//steagul de cicluri: ma opresc la numarul_maxim_de_cicluri

int steagul_de_cicluri = 0;

if (sirul_a.size() > 0){

if (sirul_P.size() > 0){

if (sirul_Q.size() > 0){

while (steagul == 0){

//contorizarea ciclurilor:

steagul_de_cicluri++;

if (steagul_de_cicluri < numarul_maxim_de_cicluri){

//pasul k ==> k+1:

int noul_P = sirul_a[sirul_a.size() – 1] * sirul_Q[sirul_Q.size() – 1] – sirul_P[sirul_P.size() – 1];

int noul_Q = (sirul_Q[sirul_Q.size() – 1] == 0) ?

-1 : (numarul_introdus – noul_P * noul_P) / sirul_Q[sirul_Q.size() – 1]; //evit impartirea la 0!

int noul_a = (noul_Q == 0) ?

-1 : (sirul_a[0] + noul_P) / noul_Q; //evit impartirea la 0!

//testarea erorilor:

if (noul_Q == -1){

return cod_eroare;

}

if (noul_a == -1){

return cod_eroare;

}

//salvarea calculului:

sirul_a.push_back(noul_a);

sirul_P.push_back(noul_P);

sirul_Q.push_back(noul_Q);

//testarea conditiei de oprire: P(k+1) = P(k) sau Q(k+1) = Q(k). Ne oprim cand ajungem la prima dintre ele!

if (sirul_P.size() >= 2){

if (sirul_Q.size() >= 2){

if (sirul_P[sirul_P.size() – 1] == sirul_P[sirul_P.size() – 2]){//ultimul P este egal cu penultimul P

cum_ne_am_oprit = 1;//memorez faptul ca ne oprim la o egalitate de P-uri…

steagul = 1;

}

else if (sirul_Q[sirul_Q.size() – 1] == sirul_Q[sirul_Q.size() – 2]){//ultimul Q este egal cu penultimul Q

steagul = 1;

}

}

}

}//final pentru if steagul_…

else{//Ies din program daca sunt prea multe cicluri!

steagul = 1;

}

}//final pentru while…

}//final pentru if sirul_Q…

}//final pentru if sirul_P…

}//final pentru if sirul_a…

return 0;

}

int main(){

int d = intrarea();

if (d == -1){

cout << "\nDatele de intrare sunt INCORECTE." "\nTastati o LITERA ca sa iesim din program:" << endl;

_getch();

return 0;

}

cout << "\nAnaliza datelor:"

"\nNumarul introdus este: d = "

<< d << endl;

vector<int> contabilitate;

int numarul_testelor = 3;

for (int i = 0; i < numarul_testelor; ++i){

contabilitate.push_back(0);//initial, numarul nu a trecut niciun test.

}

int analiza = testez_numarul(d,contabilitate);

vector<int> a, P, Q;

a.push_back(static_cast<int>(floor(sqrt((long double) d))));

P.push_back(0);

Q.push_back(1);

int cum_s_a_oprit_calculul = 0;

int ce_s_a_realizat = calculul_fractiei_continue(d, a, P, Q, cum_s_a_oprit_calculul);

if (ce_s_a_realizat == -1){

cout << "\nS-au produs ERORI la transformarea in fractie continua!"

<< endl;

}

if (ce_s_a_realizat == 0){

cout << "\nTransformarea in fractie continua a produs urmatoarele date:"

<< endl;

for (size_t i = 0; i < a.size(); ++i){

cout << " a[" << i << "] = " << a[i];

}

cout << endl;

for (size_t i = 0; i < P.size(); ++i){

cout << " P[" << i << "] = " << P[i];

}

cout << endl;

for (size_t i = 0; i < Q.size(); ++i){

cout << " Q[" << i << "] = " << Q[i];

}

cout << endl;

vector<int> a_inversat;

for (vector<int>::reverse_iterator i = a.rbegin(); i != a.rend(); i++){

a_inversat.push_back(*i);

}

cout << endl;

//afisare finala:

cout << "\nRezultatul este: Radical(" << d << ") = ["

<< a[0] << ";Perioada(";

if (cum_s_a_oprit_calculul == 1){//P(n+1) este egal cu P(n)

for (size_t i = 1; i < a.size() – 2; ++i){

cout << a[i] << ",";

}

for (size_t i = 1; i < a_inversat.size() – 1; ++i){

cout << a_inversat[i] << ",";

}

cout << 2 * a[0] << ")]" << endl;

}//final pentru if cum_…

if (cum_s_a_oprit_calculul == 0){//Q(n+1) este egal cu Q(n)

for (size_t i = 1; i < a.size() – 1; ++i){

cout << a[i] << ",";

}

for (size_t i = 1; i < a_inversat.size() – 1; ++i){

cout << a_inversat[i] << ",";

}

cout << 2 * a[0] << ")]" << endl;

}//final pentru if cum_…

}

_getch();

return 0;

}

Bibliografie

Bușneag, D., Piciu, D., Lecții de algebra, Editura Universitaria, Craiova 2002

Bușneag, D., Chirteș, F., Piciu, D., Complemente de aritmetică și teoria numerelor,, Editura Gil, Zalău, 2007

Berggren, L., Borwein, J., Borwein, P., Pi: A Source Book, Second edition, Springer, 1997

Chiosa, S-T., Dan, C., Didactica matematicii, Editura Universitaria, Craiova 2008

Dincă, A., Dan, C., Algebră III, Editura Universitaria, Craiova 2009

Eckstein, G., Fracții continue, Revista Matematică de Timișoara, 1(1986), 17-36

Iaglom, A. M., Iaglom, I.M., Probleme neelementare tratate elementar, Editura Tehnică, București, 1983

Hardy, G.H., Wright E.M., An introduction to the theory of numbers, Oxford University Press, 2002

http://ro.wikipedia.org/wiki/Sec%C8%9Biunea_de_aur