Mult imea numerelor naturale [601855]

Capitolul 1
Mult imea numerelor naturale
Denit ia 1.1 (Axioma lui Peano) .Neste o mult ime cu urm atoarele pro-
priet at i:
1.Nare un element pe care ^ l numim 0;
2. Exist a o funct ie injectiv a :N!N;
3. Nu exist a n2Ncu proprietatea (n) = 0;
4. (Principiul induc t iei) Dac aSNastfel ^ nc^ at 02Si n2Srezult a
c a(n)2S, atunciS=N;
Lema 1.2. Dac an2Nveric an6= 0, atunci exist a m2Nastfel ^ nc^ at
(m) =n.
Demonstrat ie. Consider am submult imea Sa luiNdenit a astfel:
S=fn2N:n= 0 sau exist a m2Ncu(m) =ng
Conform denit iei 0 2S. Fien2S, trebuie s a ar at am c a (n)2S.
Dac a exist a m2Ncu(m) =natunci pun^ and k=(m)2Navem c a
(n) =((m)) =(k). Aceasta ne arat a c a (n)2S.
Analiz am cazul n= 0. Evident c a (0)2N si(0)6= 0, decij=(0)2S.
Din principiul induct iei avem c a S=N.
Denit ia 1.3. Exist a o unic a operat ie algebric a + : NN!N, pe care o
numim adunarea numerelor naturale , cu propriet at ile:
Pentru orice m2Navem c a 0 + m=m;
Pentru orice m;n2Navem c a(n) +m=(m+n)
1

Lema 1.4 (Asociativitatea adun arii) .Dac ax;y;z2N, atuncix+ (y+z) =
(x+y) +z.
Demonstrat ie. Pentru a dovedi lema trebuie sa ar at am c a S=N.Fie
S=fz2N:8x;y2N;x+ (y+z) = (x+y) +zg
o mult ime din N.
Ne g^ andim s a folosim Principiul induct iei matematice, iar pentru asta trebuie
s a veric am:
Pasul 1: 02S
x+ (y+ 0) =x+(y)
=(x+y)
= (x+y) + 0;8x;y2N
Pasul 2: Dac a z2Satunci(z)2S.
x+ (y+(z)) =x+(y+z)
=(x= (y+z))
=((x+y) +z)
= (x+y) +(z);8x;y2N
Lema 1.5 (Comutativitatea adun arii) .Pentru orice x;y2Navem c ax+y=
y+x.
Demonstrat ie.
Corolarul 1.6 (Proprietatea de simplicare) .Pentru orice x;y;z2Ndac a
x+y=y+zatuncix=y.
Denit ia 1.7. Exist a o unic a operat ie algebric a
:NN!N, care se
nume ste inmul t irea numerelor naturale cu propriet at ile:
Pentru orice m2Navem c a 0
m= 0;
Pentru orice m;n2Navem c a(n)
m=m
n+m;
Lema 1.8 (Asociativitatea ^ nmult irii) .Dac ax;y;z2N, atuncix
(y
z) =
(x
y)
z.
Demonstrat ie.
Lema 1.9 (Comutativitatea ^ nmult ierii) .Pentru orice x;y2Navem c a
x
y=y
x.
Demonstrat ie.
Propozit ia 1.10 (Legea distributivit at ii) .Pentru tot i x;y;z2Navem
x(y+z) =xy+xz.
2

Ordonarea numerelor naturale
Denit ia 1.11. Dac am;n2N, spunem c a neste mai mic dec^ at m si scriem
n<m , atunci exist a un k2Nastfel ^ nc^ at m=n+k.
Remarca 1.12.De asemenea scriem nm si citimnmai mic sau egal cu m,
^ n sensul c a e n=men<m .
Lema 1.13. Dac ax;y;z2Ncux<y  siy<z atuncix<z
Demonstrat ie. Din ipoteza x<y cuy=x+k,8k2N.
La fel facem z=y+l,8l2N, astfel ajungem la
z=y+l
= (x+k) +l
=x+ (k+l)
Astfel din denit ia precedent a avem x<z indc ak+l2N.
Lema 1.14. Fiex;y;z2N
i. Dac axy siy<z atuncix<z ;
ii. Dac ax<y  siyzatuncix<z ;
iii. Dac axy siyzatuncixz
Lema 1.15. Pentru orice m2N,m6=m+ 1.
Demonstrat ie.
Lema 1.16. Pentru orice m;k2N,m6=m+k.
Demonstrat ie.
Teorema 1.17 (Buna ordonare a numerelor naturale) .Dac am;n2Natunci
exact una din urm atoarele este adev arat a:
n<m ;
n=m;
m<n .
Denit ia 1.18. Fiind datSN. Un num ar n2Sare cel put in un element
pentru orice m2S,nm.
3

Lema 1.19. Fiind datSN, dac aSare cel put in un element, acesta este
unic.
Teorema 1.20. Dac aSN siS6=;atunci are cel put in un element.
Demonstrat ie.
Propriet at i ale numerelor naturale folosind propriet at ile de
ordonare ale lui N:
Proprietatea de simplicare :Pentru orice x;y;z2Ndac a
xz=yzatuncix=y;
Elementul neutru :Pentru orice x;y2Ndacaxy=xatunci
y= 1.
4

Capitolul 2
Mult imea numerelor ^ ntregi
Denit ia 2.1. O relat ieRpe mult imea Seste doar o submult ime
dinSS, adic aRSS.
Denit ia 2.2. O relat ieRpe o mult ime Seste o relat ie de
echivalent a dac a satisgace urm atoarele trei condit ii:
Re
exivitate Pentru orice a2S,aa;
Simetrie Dac aabatunciba;
Tranzitivitate Dac aab sibcatunciac.
Consider am o mult ime S=NNcu relat ia (a;b)(c;d) dac a
 si numai dac a a+d=b+c.
Fie o funct ie din ZZ!Zpe care dinim operat iile  si
dup a cum urmeaz a:
AB= [(a+c;b+d)]
A
B= [(ac+bd;ad +bc)]
Propriet at ile de adunare si ^ nmult ire a numerelor ^ ntregi pot
 efectueate folosind denit ii  si corespunz ator propriet at i ale
numerelor naturale:
1. Adunarea este asociativ a;
2. Adunarea este comutativ a;
5

3. Adunarea are proprietate de simplicare;
4. Pentru oricare dou a numere naturale a;b2N, (a;a)(b;b)
 si astfel [(a;a)] = [(b;b)] pe care le vom nota cu simbolul .
Atunci pentru orice Z,A=A=A;
5. Aditivitatea invers a se noteaz a cu A= [(b;a)], astfelA
A=;
6. Dac aAB=atunciB=A si ^ n particular aditivitatea
invers a este unic a;
7. Distributive;
8.^Inmult irea este asociativ a;
9.^Inmult irea este comutativ a;
10. Pentru oricare a;b2N, ((a);a)((b);b)  si astfel [(a);a] =
[(b);b] pe care le vom nota cu simbolul 1. Astfel pentru
oriceA2Z,A
1 =A= 1
A
11. Simplicarea pentru^ nmult ire: dac a A;B;C2Z siA
C=
B
CcuB6= 0 atunci A=B.
12. Elementul unitate: dac a A
B=A siA6= 0 atunciB= 1.
13.A
0 = 0 pentru orice A2Z.
14. Dac aA
B= 0 atunci A= 0 sauB= 0.
15. Pentru orice a;b;k2N, (a+k;a)(b+k;b)  si astfel
[(a+k;a)] = [(b+k;b)]. Astfel denim o funct ie f:NZcu
f(k) = [(a+k;a)] pentru orice a2N. Astfel avem o singura
funct ie  sif(a+b) =f(a)f(b)  sif(ab) =f(a)
f(b)
Ca ^ nainte denim o ordonare pe Z si spunem c a A < B dac a
A= [(a;b)]  siB= [(c;d)] atuncia+d<b +c. ne asigur am c a
aceasta este bine denit a  si denim ABdac a oricare A=B
6

sauA<B .
Spunem c a A2Zeste pozitiv a dac a 0 < A  si spunem c a este
negativ a dac a A< 0.
Lema 2.3. FieA= [(a;b)]. A sadar Aeste pozitiv a dac a  si
numai dac a b<a .
Demonstrat ie.
Lema 2.4. Dac aa;b;c2Ncua<b atuncia
c<b
c.
Demonstrat ie.
Lema 2.5. Pentru orice a2Zavemjaj  jaj.Invers dac a
c0 este un num ar ^ ntreg  si cacatuncijajc
Demonstrat ie.
Lema 2.6 (Inegalitatea triunghiului) .Dac aa;b2Zatuncija+
bjjaj+jbj.
Demonstrat ie. Din lema anterioara avem jaj a jaj si
jbjbjbj. Le adun am  si obt inem (jaj+jbj)a+b
jaj+jbj. Decijaj+jbj0.
7

Capitolul 3
Mult imea numerelor rat ionale
Ideea este aceea si  si vom construi o schit  a pe scurt.
Acum consider am S=Z(Znf0g)  si dup a cum urmeaz a:
(a;b)(c;d) dac aad=bc. O veric am u sor c a aceasta este
^ ntr-adev ar o relat ie de echivalent  a pe S, iar mult imea claselor
de echivalent  a se nume ste num ar rat ional si se noteaz a cu Q.
Ca de obicei adunarea este denit a ca: [( a;b)][(c;d)] = [(ad+
bc;bd )]  si ^ nmult irea ca [( a;b)]
[(c;d)] = [(ac;bd )] ^ n cazul in
care avem adunare  si ^ nmult ire de numere i^ ntregi ^ n interiorul
parantezelor.
Avem de asemenea o funct ie identitate f:Z!Qdat a de
f(a) = [(a;1)]  si astfel f(a+b) =f(a)f(b)  sif(ab) =
f(a)
f(b).
Folosim f  si putem identica Zca o mult ime a lui Q^ n mod
obi snuit. Astfel putem elimina ,
 si scriem cu simboluri uzu-
ale adunarea  si ^ nmult irea.
^InQavem o nou a operat ie numit a diviziune notat a cuajb
pentrua;b2Q sib6= 0. Aceasta este denit a astfel: Dac a
A= [(a;b)]  siB= [(c;d)] cua;b;c;d2Z,b6= 06=datunci
B6= 0 =)A6= 0. Denim AjB= [(ad;bc )]  si ne asigur am c a
aceasta este bine denit a  si observ am c a bc6= 0.
8

Lema 3.1. Dac aAeste orice num ar rat ional atunci A= [(a;b)]
pentru orice a;b2Z,b>0.
Demonstrat ie. FieA= [(a;b)] pentru orice a;b2Zcub6= 0.
Dac ab>0 atunci am terminat. Dac a nu, noi  stiim c a beste
pozitiv. Deci la prima vedere avem A[(a;b)]  si am terminat.
Am introdus un ordin pe Qdup a cum urmea a: Dac a A;B2
QscriemA= [(a;b)]  siB= [(c;d)] cub;d > 0 astfel denim
A<B dac aa
d<b
c.
9

Capitolul 4
T aieturi Dedekin
Denit ia 4.1. Se nume ste t aietur a Dedekind a lui Rorice pe-
recheA,Bde submult imi nevide ale lui RcuA[B=Rastfel
^ nc^ ata<b pentru orice a2A si oriceb2B.
10