Module Injective Si Proiective
Cuprins
Capitolul 1 -Elemente de teoria modulelor
1.1 Module si morfisme de module……………………………………………4
1.2 Submodule ………………………………………………………………………7
1.3 Submodul generat de o multime.Sume de module……………….10
1.4. Module factor. Teoreme de izomorfism………………………..13
1.5 Inelul endomorfismelor unui modul ………….………………….16
1.6 Siruri exacte……………………………………………………………………17
1.7 Produse si sume directe de submodule………………………………19
Capitolul 2 -Tipuri speciale de module
2.1 Submodule esentiale si submodule superflue……………………….22
2.2 Submodule complement ……………………………………………………25
2.3. Generari si cogenerari ………………………………………………………26
2.4. Trasul si rejectul unui modul………………………………………………30
2.5 Module semisimple. Soclul si radicalul………………………………….32
2.6. Module finit generate si finii cogenerate……………………………..37
Capitolul 3 –Elemente de teoria categoriilor
3.1 Notiunea de categorie, subcategorii, exemple…………………..42
3.2. Morfisme remarcabile intr-o categorie ……………………………45
3.3 Categoria duala. Principiul dualitatii…………………………………47
3.4 Functori……………………………………………………………….48
Capitolul 4 –Module Proiective si Injective
4.1 Module proiective…………………………………………………….53
4.2 Module injective………………………………………………………59
4.3 Generatori. Infasuratoare injective…………………………………62
4.4 Dimensiunea proiectiva si injectiva a unui modul……………………66
Capitolul 5 –Module M-Proiective si M-injective
5.1 Module M-Proiective si M-injective………………………………………74
5.2 Module Cvasi-proiective si Cvasi-Injective……………………83
Capitolul 6 –Module Σ/Δ – Iinjective Module Σ*/Δ* – Proiective
6.1 -Module Σ – M – Injective………………………………………….89
6.2 –Module Δ – Iinjective…………………………………………….95
6.3 – Module Σ*/Δ* – Proiective………………………………………..99
Bibliografie
[1] C.Nastasescu – Inele . Module . Categorii , Ed. Did. Si Ped. 1976.
[2] Alexandru Solian – Teoria Modulelor , Ed. Academiei Republicii Socialiste Ramania , 1972.
[3] I.Ion, N.Radu – Algebra, Ed. Did. Si Ped. , 1981
[4] F. Anderson, K. Fuller –Rings and Categories of Modules Springer Verlag, New York Heidelberg Berlin 1974.
[5] S.M.Khuri, Corespondence Theorems for Modules and their endomorphism Rings, 1989
=== 1. elemente de teoria modulelor ===
Capitolul 1 –Elemente de Teoria Modulelor
– Module si morfisme de module
Se stie ca modulul este generalizarea unui spatiu vectorial, in sensul urmator : daca operatia externa (inmultirea cu scalari), in cazul spatiului vectorial, se defineste cu ajutorul unui corp (eventual comutativ), in cazul modulelor se va folosi un inel.
Fie R un inel nenul, unitar, nu neaparat comutativ si M un grup abelian cu o operatie interna presupusa aditiva : (M,+).
Definitie 1 : Spunem ca M este R-modul stang (drept) daca exista o operatie externa s :RxMM care asociaza oricarei perechi (,x)RxM elementul s(,x)M care se noteaza s(,x)= x (respectiv d :MxRM care asociaza oricarei perechi (x,) MxR elementu d(x,)M element care se noteaza d(x,)=x ) astfel incat sa satisfaca urmatoarele conditii numite axiomele modulului :
(s1) (x+y)= x+y ;
(s2) ()(x)=x+x ;
(s3) ()(x)=x);
(s4) 1x=x,
oricare ar fi R si x,yM
(respectiv :
(d1) (x+y)=x+y;
(d2) (x)()=x+x ;
(d3) (x) ()=(x);
(d4) x1=x,
oricare ar fi R si x,yM in cazul modului drept)
Observatie :Cand se da un R-modul M (la stanga sau la dreapta), elementele lui R sunt numite scalari ; legea de compozitie externa in modul se mai numeste inmultire cu scalari. Legea de compozitie interna va fi numita si adunare.
Daca R este inel comutativ atunci modulele la dreapta si la stanga coincid.
Definitie 2 : Fie M si M’ doua module peste inelul R. O aplicatie f :MM’ se numeste morfism de R-module daca :
x,yM are loc f(x+y)=f(x)+f(y) , adica f pastreaza operatia interna ;
R are loc f(x)= f(x), adica f pastreaza operatia externa.
Observatie : Cele doua conditii din definitia unui morfism de R-module sunt echivalente cu : ,R, x,yM are loc f(x+y) = f(x) +f(y) .
Multimea morfismelor de la MM’ se noteaza :
HomR(M,M’)= {f : f :MM’, f-homeomorfism}
Propozitie 1: Pe multimea HomR(M,M’) se poate defini o operatie de adunare fata de care HomR(M,M’) este grup abelian aditiv.
Demonstratie : Definim operatia de adunare :
Fie f,gHomR(M,M’) f+g :MM’ (f+g)(x)=f(x)+g(x) xM
Aratam ca f+g este morfism de module de la MM’ :
(a) (f+g)(x+y)= f(x+y) + g(x+y )= f(x) + f(y) +g(x) + g(y) = [ f(x)+g(x) ] + [ f(y) + g(y) ] =(f+g)(x) + (f+g)(y) xM
(b) (f+g)(x) = f(x) + g(x) = f(x) + g(x) rezulta f+gHomR(M,M’) xM, R ;
Verificam axiomele grupului abelian
(1) Asociativitatea : Operatia « + » este asociativa deoarece ea se transmite din inelul R ;
(2) Element neutru : exista element neutru 0 : MM’( functia identic nula ) 0(x)= unde este elemental neutru din M’. Fie f:MM’ si 0 : MM’ atunci
f+0=0+f=f
(f+0)(x)=f(x)+0(x)=f(x)+ =f(x) xM
Aratam ca 0 : MM’ este morfism :
(a) 0(x+y)= =+=0(x)+0(y)
(b) 0(x)= ==0(x), xM, R rezulta ca 0HomR(M,M’)
(3) Opusul : exista -fHomR(M,M’) astfel incat f+(-f)=(-f)+f=0
[ f+(-f)](x)=f(x)+(-f)(x)=f(x) – f(x)=0, xM
(4) Comutativitatea : f,gHomR(M,M’) atunci (f+g)(x)=(g+f)(x)
(f+g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+f)(x), xM
pe baza comutativitatii din R
(HomR(M,M’) , + ) grup abelian aditiv.
Propozitie 2 (Compunerea morfismelor de R-module) :Fie M,M’,M’’ R-module si morfismele uHomR(M,M’) si vHomR(M’,M’’) atunci functia vuHomR(M,M’’), cu alte cuvinte compusul a doua morfisme de R module este tot un morfism de module.
Demonstratie : Aratam ca vu este morfism de R-module,
(vu)(x+y) = v(u(x+y)) = v(u(x)+u(y)) = v(u(x))+v(u(y)) = (vu)(x)+(vu)(y) ,
x,yM ;
(b) R , xM (vu)(x) = v(u(x)) = v(u(x))=(v(u(x))) = =(vu)(x) .
Definitie 3: Un morfism de module f :MM’ se numeste izomorfism de module daca exista un morfism de module g :M’M astfel incat fg=1M’ si gf=1M.
Definitie 4: Un morfism f :MM’ se numeste monomorfism daca el este injectiv.
Propozitie 3: Fie f :MM’, un morfism de r-module stangi. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
(a) f este monomorfism ;
(b) Kerf=0 ;
(c) pentru g1 ,g2HomR(P,M) astfel incat fg1= fg2 rezulta g1= g2.
(d) pentru orice R-modul stang, P si orice R-morfism g :PM, din gf=0 se obtine f=0
Definitie 5: Un morfism f :MM’ se numeste epimorfism daca este aplicatie surjectiva.
Propozitie 4: Fie f :MM’, un morfism de r-module stangi. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
(a) f este epimorfism ;
(b) Im f=M’
(c) pentru g1 ,g2HomR(M’,P) astfel incat g1f = g2f rezulta g1= g2 ;
(d) pentru orice R-modul stang, P si orice R-morfism g :M’P,din gf=0 se obtine g=0
Definitie 6 : Fie R, S doua inele. Un grup abelian M este bimodul R-stang si S-drept, daca M este un R-modul stang si S-modul drept, pentru care cele doua inmultiri cu scalari satisfac relatia r(xs)=(rx)s rR, sS, xM . Notam bimodulul cu RMS.
1.2 -Submodule
Fie R un inel si M un R-modul stang.
Definitie 1 : Fie M un R-modul la stanga . O submultime nevida NM se numeste submodul R-submodul stang al lui M, daca operatiile lui M induc pe N o structura de R-modul adica daca sunt indeplinite conditiile :
(a) oricare ar fi x,y N, atunci x+yN ;
(b) oricare ar fi R si xN, atunci xN.
Teorema 1 (de caracterizare a submodulelor): Fie M un R-modul si o submultime nevida N al lui M atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
(1) N este R-submodul
(2) a) oricare ar fi x,y N x+yN ;
b) oricare ar fi R si xN, xN ;
(3) oricare ar fi R si x,yMx+yM
Demonstratie : (1) (2) evident conform definitiei submodulului.
(2) (3) R, x,yM si R si 2.b)x,yM
x+yM
2.a)
(3) (1) Aratam ca (N,+) este subgrup in M
x,yN folosim (3) cu =1, = -1 1x+(-1)(y)Nx-yN
R , =0 , xNx+0y=xN
operatia externa satisface axiomele s1-s4 :
R, x,yN
(s1) (x+y)= x+yN (xN si xN)
(s2) ()(x)=x+xN (din cauza ca R , xNxN)
(s3) ()(x)=x) N
(s4) 1x=x,
Exemple: 1) Submultimea 0={0}, formata numai cu elemental zero al lui R-modulul M, este R-submodul al lui M, numit submodulul zero al lui M. De asemenea ca M este R-submodul al lui M. Orice submodul NM al unui R-modul M se numeste submodul propriu al lui M.
2) Daca R este inel unitar, atunci submodulele lui RR (respectiv RR) sunt exact ideale la stanga (respevtiv la dreapta ) ale inelului R.
3) Fie R un inel unitar, I o multime nevida si fRI. Multimea :
Suup(f)={iI: f(i)0}
se numeste suportul suportul lui f. Spunem ca f este functie de support finit daca multimea Suup(f) este finite. Notam cu R(I) multimea tuturor functiilor de support finit din RI. Atunci R(I) este R-submodul al R-modulului RI. In particular R(I) are o structura de R-modul fata de operatiile de adunare a functiilor si de inmultire a functiilor cu scalari.
Propozitie 1 (Comportarea submodulelor la morfisme de module ) : Fie M, N doua R-module si f :MN morfism de R-module atunci avem :
(1) Daca N’ este submodul in M atunci f -1(N’) este submodul in M
(2) Daca M’ este submodul in M atunci f(M’) este submodul in N.
In particular:
(1) Ker f = f -1({0’}) este submodul in M
(2) Im f = f(M) este submodul in N
Demonstratie :
(1) f -1(N’) ( deoarece avem f()=’N’ f -1(N’)); f -1(N’) este subgrup in M
aratam ca f -1(N’) este stabil la inmultirea cu scalari :
x f -1(N’)
R f(x)N’,R si N’ submodul f(x)N’
f(x) = f(x)xf -1(N’) (conform teoremei de caracterizare a submodulelor) f -1(N’) este submodul.
(2) f(M’) subgrup in N
aratam ca f (M’) este stabil la inmultirea cu scalari adica :
yf (M’)
yf(M’)
R
yf(M’) xM’ astfel incat y=f(x)
y =f(x)=f(x)
f(x)f(M’)yf(M’)f(M’) submodul,
xM’
rezulta M’ este submodul
Propozitie 2: Fie M un R-modul stang si XM, X. Atunci RX este R-modul al lui M.
Propozitie 3: Fie M un R-modul stang si NM, N. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
(a) N este submodul al lui M
(b) RN=N ;
(c) Pentru R, x,yNx =yN
Definitie 2: Fie RMS un bimodul si N RMS. O submultime nevida N este (R-S) bisubmodul al lui RMS daca N este R-submodul stang si S-submodul drept simultan.
1.3 -Submodul generat de o multime.Sume de module
Definitie 1: Fie M un R-modul la stanga si S o submultime a lui M. Intersectia tuturor submodulelor lui M care contin multimea S, reprezentand unicul submodul, « cel mai mic » in sensul incluziunii, ce contine pe S, numit submodulul lui M generat de multimea S.
Notam cu Ssubmodulul generat de S. Fie N submodul al lui M atunci S=
Propozitie 1: Fie M un R-modul si F={Mi} o familie de submodule ale lui M. Atunci este un submodul al lui M.
Demonstratie : N=
Folosind teorema de caracterizare a submodulelor obtinem :
(1) x,yN= x,yMix – yMi iIx+yN
(2) R, xN xMiiIx MiiIx N rezulta N submodul.
Definitie 2 : Fie NM si AR. Orice element din M de forma , i=1,2,…,n cu xiN si aiA , se numeste combinatie liniara a lui N cu scalari din A.
Notam cu AN={ : aiA si xiN, i=1,2,…,n nN}
Aceasta notiune poate fi extinsa. Consideram X={xi}iI o familie arbitrara de elemente din M si fR(I). Prin definitie,
=
Notam cu
<X>={xM: x=, fR(I)}.
Propozitie 2 : Daca M este un R-modul iar X={xi}iI este o familie de elemente din M, atunci :
1)<X> este R-submodul al lui M
2_X<X>
3)Daca N este un submodul al lui M astfel incat XN, atunci <X>N
Propozitie 3: Fie M un R-modul si S o submultime nevida a sa. Submodulul generat de multimea S este egal cu multimea tuturor combinatiilor liniare la stanga de elemente din S. Notam multimea tuturor combinatiilor liniare astfel :
S={aixi : aiR,xiS, nN*}
Demonstratie: Observam ca N={aixi : aiR, xiS, nN*} este un submodul la stanga al lui M, care contine submultimea S.
Verificam ca N este submodul generat de S.
(a) verificam ca este submodul in M
a(aixi )=a(a1x1+ a2x2+…+ anxn)= (aa1)x1+ (aa2)x2+…+( aan)xn N,
(b) aratam ca SN
xSx=1xN din (a) si (b) SN (1)
aratam NS: xN x1, x2, …, xnS si a1, a2,…,anN, nN* astfel incat
x= a1x1+ a2x2+…+ anxnSNS (2)
Din (1) si (2) rezulta ca N=S
Definitie 3:Daca M este un R-modul si SM si N=S atunci S se numeste sistem de generatori al modulului M.
Observatie : Orice modul are macar un sistem de generatori : M=M
Propozitie 4: Daca M este un R-modul stang si SM, S, atunci submodulul lui M generat de S este chiar RS.
Definitie 4: Daca (Mi) o familie de submoduleale lui M, atunci este submodul generat de familia data.
Daca M=, spunem ca submodulele Mi , iI genereaza pe M.
Daca SM este o submultime nevida a lui M cu RS=M, spunem ca S genereaza pe M.
Definitie 5: Un modul cu sistem finit de generatori se numeste modul finit generat adica x1, x2, …, xnM, nN* astfel incat M= { x1, x2, …, xn }.
Definitie 6 :Un modul generat de un singur element se numeste modul ciclic sau monogen adica M={x}={x : R}=Rx.
Propozitie 5: Daca S este o multime de generatori pentru R-modulul stang M, atunci M=, xS
Definitie 7:Un modul M este simplu daca M si nu contine submodule netriviale (adica este generat de fiecare element nenul al sau ).
Teorema 1: Fie M un R-modul stang, nenul, finit generat. Atunci orice R-submodul propriu al sau este continut intr-un submodul maximal. In particular, M are un submodul maximal.
Definitie 8:Fie M un R-modul si {Mi}iI o familie de submodule ale lui M. Submodulul lui M generat de X= se numeste suma submodulelor Mi, iI , si se noteaza cu .
Propozitie 6 : Multimea tuturor submodulelor unui R-modul M, ordonata cu incluziunea , este o lattice completa.
Propozitie 7 (Legea de distributivitate modulara). Daca U.V.W sunt submodule ale unui R-modul M si VU, atunci avem:
U(V+W)=V+UW.
1.4 -Module factor. Teoreme de izomorfism
Fie M un R-modul la stanga si NM un submodul al sau. Atunci N este un subgrup al grupului aditiv subiacent lui M si prin urmare putem considera grupul factor . Relatia de congruenta definita pe M in raport cu subgrupul N este data prin :
x~y (mod N) daca si numai daca x-yN.
Clasa de echivalenta a lui xM este =x+N ={x+z : zN}, iar operatia algebrica prin care devine grup abelian este data de , oricare ar fi.
Pe grupul aditiv definim o operatie externa, inmultirea cu scalari din R, data prin : a= , oricare ar fi aR si M/N.
Demonstram ca aceasta operatie este bine definita : =, atunci x-x’N si a(x-x’) N sau ax-ax’N, adica axax’ (mod N) si deci =.
Propozitie 1: Multimea factor impreuna cu operatile de adunare si inmultire cu scalari definite anterior formeaza un R-modul si functia : M, (x)=, xM este un morfism surjectiv de module, numit morfismul canonic.
Demonstratie : Am aratat mai sus ca impreuna cu adunarea este grup abelian.
Verificam daca inmultirea cu scalari are proprietatile :
(a) ()= ()==+=+ ;
(b) (+)==+;
(c) ()==();
(d) 1==,
oricare ar fi ,R si .
Functia : Meste un morfism de grupuri.
Verificam daca este morfism de module : (ax)= = a=a(x) .
Modulul se numeste modulul factor al lui M prin submodulul N.
Exemplu : Cateva tipuri de morfisme de module.
Daca f : MN este un monomorfism de R-module, notam cu
Ker u={xM :f(x)=0} si Im f={yN : exista xM astfel incat f(x)=y} . Cum f este in particular morfism de grupuri atunci Ker f si respectiv Im f sunt subgrupuri subiacente modulului M respectiv N. Daca aR si xKer f , atunci f(ax)=af(x)=ao=o deci axKer f.
Analog. Daca aR si yIm f, y=f(x), cu xM atunci ay=af(x)=f(ax), deci ayIm f. Deci Ker f (Im f) este submodul al lui M (N), numit nucleul (imaginea) morfismului f.
Daca N este submodul al lui M iar : M este morfismul canonic, atunci Ker f=N si Im f=
Teorema 1 (Teorema factorizarii ):Fie M, M’, N, N’ R-module stangi si f :MN un R-morfism.
(a) Daca g : MM’ este un epimorfism cu Ker g Ker f , atunci exista un unic morfism h :M’N astfel incat f=gh.
Mai mult, Ker h = g(Ker f) si Im h = Im f, astfel ca h este monomorfism daca si numai daca Ker g = Ker f si h este epimorfism daca si numai daca f este epimorfism.
(a)
M N M N (b)
(b) Daca g : N’N este un morfism cu Im fIm g, atunci exista un unic morfism h :MN’ astfel incat f = gh.
Mai mult, Ker h = Ker f si Im h = g-1(Im f), astfel ca h este monomorfism daca si numai daca f este monomorfism si h este epimorfism daca si numai daca Img = Im f.
Teorema 2 (Teorema fundamentala de izomorfism) : Fie f :MN un morfism de R-module. Atunci :
a) exista un unic morfism de R-module : g:N astfel incat g=f , unde este morfismul canonic astfel incat diagrama este comutativa :
b) are loc relatia
Teorema 3 (Prima teorema de izomorfism): Fie M un R-modul si N, P submodule ale sale astfel incat NP . Atunci este un submodul al lui si are loc relatia :
Teorema 4 (A doua teorema de izomorfism):Daca M este un R-modul, N si P submodule ale sale, atunciare loc relatia : .
1.5 -Inelul endomorfismelor unui modul
Definitie: Fie M un R-modul si u : MM un morfism. Numim endomorfism de module orice morfism u : MM (uHomR(M,M)). Multimea endomorfismelor de la u : MM o notam : HomR(M,M)= EndR(M).
Propozitie : Daca M este R-modul atunci (EndR(M),+,) este inel unitar.
Demonstratie :Vom arata ca (EndR(M),+,) este inel
Aratam ca (EndR(M),+) este grup abelian
(1) Asociativitatea : Operatia « + » este asociativa deoarece ea se transmite din inelul R
(2) Element neutru : exista element neutru 0 : MM 0(x)= unde este elemental neutru din M
f:MM si 0 : MM f+0=0+f=f
(f+0)(x)=f(x)+0(x)=f(x)+ =f(x) xM
Aratam ca 0 : MM este morfism :
(a) 0(x+y)= =+=0(x)+0(y)
(b) 0(x)= ==0(x), xM, R rezulta ca 0EndR(M)
(3) Opusul : exista -f EndR(M) astfel incat f+(-f)=(-f)+f=0
[ f+(-f)](x)=f(x)+(-f)(x)=f(x) – f(x)=0, xM
(4) Comutativitatea : f,g EndR(M) atunci (f+g)(x)=(g+f)(x)
(f+g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+f)(x), xM
pe baza comutativitatii din R
(EndR(M) , + ) grup abelian aditiv.
Aratam ca (EndR(M),) este monoid
f,g EndR(M) fg EndR(M) deoarece fHomR(M,M’) si gHomR(M’,M) atunci fgHomR(M,M)= HomR(M,M’)
(1) Asociativitatea : compunerea functiilor este asociativa
(2) Element neutru : exista element neutru 1M : MM astfel incat 1M (x)=x, xM
1M : MM este morfismul identic (identitatea lui M) 1Mu=u1M=u uEndR(M)
(u1M)(x)=u(1M(x))=u(x) , xM.
Distributivitatea: Fie f,g, h EndR(M) f(g+h)=fg + fh si (g+h)f=gf+hf
[f(g+h)](x)=f((g+h)(x))=f(g(x)+h(x))= f(g(x))+f(h(x))= (fg )(x)+ (fh)(x)
[(g+h)f](x)=((g+h)f(x))=g(f(x))+h(f(x))= (gf)(x)+(hf)(x)
1.6 -Siruri exacte
Definitie 1 : O pereche de morfisme se spune ca este exacta in M daca Im f=Ker g
Definitie 2: Un sir finit sau infinit de morfisme .
se numeste exact in fiecare Mn, adica Im fn= Ker fn+1, nN.
Definitie 3: Sirulse numeste sir exact scurt ;exactitatea in M’ este echivalenta cu faptul ca f este monomorfism, exactitatea in M’’ este echivalenta cu faptul ca g este epimorfism iar exactitatea in M, prin definitia data inseamna ca Im f=Ker g.
Observatie : Sirul exact scur se mai numeste si extensia lui M’ la M’’.
Exemple : 1) Daca N este un submodul al unui R-modul M, avem sirul exact scurt : unde f este morfismul incluziune iar g este morfismul canonic.
2) Daca si sunt injectiile si proiectiile canonice ale sumei directe , avem sirurile exacte scurte :
Propozitie 1: Fie M si M’ doua R-module si f :MM’ un R-morfism.
(a) Sirul este exact daca si numai daca f este monomorfism ;
(b) Sirul este exact daca si numai daca f este epimorfism ;
(c) Sirul este exact daca si numai daca f este izomorfism.
Definitie 4 : Se numeste conucleul morfismului f :MM’, submodulul si se noteaza CoKer f.
Propozitie 2: Fie M si M’ doua R-module si f :MM’ un R-morfism. Atunci sirul OKer fMM’CoKer fO este exact, unde i :Ker fM este aplicatia incluziune, iar u :M’=CoKer f este surjectia canonica.
Lema 1: Fie diagrama comutativa de R-modulesi R-morfisme:
(a) Daca h1, h3 si g1 sunt monomorfisme, atunci h2 este monomorfism;
(b) Daca h1, h3 si f2 sunt epimorfisme, atunci h2 este epimorfism;
(c) Daca h2 este monomorfism si h1, f2 sunt epimorfisme, atunci h3 este monomorfism;
(d) Daca h2 este epimorfism si g1, h3 sunt monomorfisme, atunci h1 este epimorfism.
Lema 2 (Lema celor cinci morfiame): Fie diagrama comutativa de R-module si R-morfisme cu liniile exacte :
(a) Daca Coker h1 =0, Ker h2=0, Ker h4=0, atunci Ker h3=0
(b) Daca Coker h2 =0, Coker h4=0, Ker h5=0, atunci Coker h3=0
1.7 -Produse si sume directe de submodule
Fie (Mi) o familie de R-module si , , produsul cartezian al acestei familii. Daca reprezinta aplicatia proiectie pe coordonata i, atunci poentru fiecare x=(xi) si y=(yi), definim suma si produsul cu un element din inelul R prin :
, R,.
Acest cu operatiile de adunare si inmultire cu scalari, definite mai sus, devine un R-modul numit produsul direct al familiei de (Mi) si se noteaza cu =
Observatie : Daca Mi=M, notam =MI, atunci produsul direct se noteaza cu (M, ()).
Definitie 1 :Fie (Mi) o familie de R-module. O pereche (M, ()), unde M, este un R-modul stang si :M Mi sunt homomorfisme se numeste produs direct pentru familia (Mi) daca pentru orice R-modul N si orice familie (fi) de morfisme fi : NMi exista un unic homomorfism f : NM astfel incat fi=f,
Teorema 1 (Proprietatea de universalitate a produselor directe) : Fie (Mi) o familie de R-module, M’ un R-modul si (fi) o familie de morfisme, fi : NMi, . Atunci exista un unic morfism f : N, astfel incat pentru fiecare sa avem , adica urmatoarea diagrama este comutativa :
N
M1
Mi
M2
Definitie 2 : Unicul morfism f : N din proprietatea de universalitate se numeste produsul direct al familiei (fi) si se notyeaza f=.
Teorema 2 : Daca (M, ()) si (M’, ()) sunt doua produse directe pentru familia (Mi), atunci exista un unic izomorfism f : MM’ astfel incat f=.
Invers, fie (M, ()) un produs direct pentru familia (Mi) si (M’, ()) o pereche formata din R-modul M’ si familia de homomorfisme :M’ Mi. Daca exista un izomorfism f : MM’ verificand f= atunci si perechea (M’, ()) este un produs direct pentru familia (Mi).
Definitia 3 : O pereche ((ji) ,M), unde M este un R-modul si morfismele , se numeste suma directa a familiei (Mi), daca pentru fiecare familie de morfisme fi : MiN, , exista un unic morfism f :MN astfel incat fi=fji,
Observatie : Suma directa este unica pana la un izomorfism.
Teorema 3 : (Proprietatea de universalitate a sumelor directe )
Fie familia (Mi), de module. Atunci perechea (,(ji) ) este o suma directa in sensul definitiei( adica urmatoarea diagrama este comutativa).
Teorema 4: Daca (M, (ji) ) si (M’, (ji)’) sunt doua sume directe pentru familia (Mi), exista un unic izomorfism f :MM’ astfel incat fji=ji’ .
Invers, fie (M, (ji) ) suma directa pentru familia (Mi), daca (M’, (ji)’) are proprietatea ca exista un izomorfism f:MM’ verificand fji=ji’ , atunci (M’, (ji)’) este suma directa pentru familia (Mi).
N
M1
M2
=== 2 Tipuri speciale de module (2) ===
Capitolul 2 -Tipuri speciale de module
2.1 -Submodule esentiale si submodule superflue
In acest paragraf toate modulele si morfismele de module sunt privite peste inelul R cu actiune la stanga.
Definitie 1: Un submodul K al lui M se numeste esential sau larg, acest lucru se noteaza cu KM, daca pentru orice L submodul al lui M cu LK=M se obtine L=M.
Definitie 2 : Un submodul K al lui M se numeste superfluu sau mic, acest lucru se noteaza cu K<<M, daca pentru orice L submodul al lui M cu L+K=M se obtine L=M.
Observatie : Aceste concepte de submodul superfluu si submodul esential sunt reminescente ale conceptelor topologice de componenta conexa, densa si nicaieri densa.
Se observa ca submodulul K al lui M este esential daca si numai daca pentru xM, x rR astfel incat rxK si rx.
Definitie 3 : Un monomorfism f :KM de module se numeste esential daca imaginea lui f este submodul esential al lui M (Im fM), iar un epimorfism g :MN este superfluu daca nucleul sau este submodul superfluu in M (Ker g <<M).
Observatie : Aceste doua concepte sunt duale in categoria R-modulelor.
Propozitie 1 : Pentru un submodul K al lui M (KM) urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
KM ;
Aplicatia incluziune este monomorfism esential ;
Pentru oricare modul N si orice morfism hHomR(M,N) cu Ker hK=0 se obtine Ker h=0.
Demonstratie :
a) b) Evidenta conform definitiilor
b) c) Fie si h :MN, iK monomorfism esential Im iKM, dar Ker hM , deci conform definitiei Im iK Ker h=O iar Im iK=K
c) a) Presupunem ca LM asfel incat LK=O
Consideram epimorfismul natural nL : M (surjectie canonica).
Evident ker nL=L Ker nL K=O Ker nL=O (pe baza lui b).) L=O
Corolar 1 : Un monomorfism f :KM este esential daca si numai daca pentru orice R-modul N si gHomR(M,N) relatia gf monomorfism implica g monomorfism.
Propozitie 2 : Fie K un submodul al lui M. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
K este superfluu in M ;
Surjectia naturala este spimorfism superfluu ;
Pentru orice submodul N si orice morfism hHomR(N,M) cu relatia
Im h + K=M Im h+M.
Corolar 2 : Un epimorfism f:MN este superfluu daca si numai daca orice R-modul K si gHomR(K,M) relatia fg epimorfism implica g epimorfism.
Propozitie 3 : Fie f :KM si g :MN doua monomorfisme. Atunci gf este esential daca si numai daca g si f sunt esentiale.
Demonstratie : Presupunem ca g si f sunt esentiale
Fie zN, z0. Atunci rR astfel incat rzIm g si rx0.
Exista yM astfel incat rz=g(y) cu y0.
Cum f este esential r’R astfel incat r’yIm f si r’y0.
Exista xK, x0 astfel incat r’y=f(x).
Dar r’rz= r’g(y)=g(r’y)=( gf)(x), deci r’rzIm(gf) si r’rz0 ceea ce ne arata ca gf este esential.
Presupunem gf este esential.
Fie yM, y0.
Cum g este monomorfism g(y)0, deci rR astfel incat rg(y)0 si rg(y)Im(gf) .
Deci xN astfel incat g(ry) = (gf)(x) = g(f(x)) de unde deducem ca
ry=f(x) Imf ceea ce ne arata ca f este esential .
Daca zN, z0, rR pentru care rz0 si rzIm(gf), cum Im(gf)Img atunci rzImg rezulta g este esential.
Observatie : Se demonstreaza si pentru notiunea duala.
Propozitie 4 : Fie f :KM si g :MN doua epimorfisme. Atunci gf este superfluu daca si numai daca f si g sunt superflue.
Propozitie 5 : Fie M un modul cu submodulele KNM si HM atunci :
KM daca si numai daca KN si NM ;
HKM daca si numai daca HM si KM.
Demonstratie :
a) () Fie KM si fie OLMKMO. Luand in particular L<NKN.
De asemenea KN si LNONM
() Fie L<M astfel incat LK=O. Dar K=KNL( KN)=O
(LK) N=O (dar KN, din ipoteza) LN=O (dar NM, din ipoteza) L=O KM
b) () Este consecinta a primului punct in care HKHM si HKKM.
() Fie LM cu L KH=O (dar KM, din ipoteza ) L H=O (dar HM, din ipoteza) L=O HKM.
Propozitie 6 : Fie M un modul cu submodulele K<N<M si H<M atunci :
a) N<<M daca si numai daca K<<M si ;
b) H+K<<M daca si numai daca H<<M si K<<M.
Demonstratie : Se observa ca aceasta propozitie este duala propozitiei 5.
Lema 1 : Daca K<<M si f :MN este un morfism, atunci f(K)<<N. In particular, daca K<<MN rezulta K<<N.
Demonstratie : Fie LN cu proprietatea ca L+f(K)=N f-1(L)+K=f-1(N)=M
Deoarece K<<M f-1(L)=MKM=f-1(L) f(K)LL=Nf(K)<<N.
Lema 2 : Un submodul K al lui M este esential in M daca si numai daca pentru orice element nenul al lui M exista rR astfel incat rx0 si rxK.
Demonstratie :
() Daca presupunem K<M si 0xM, atunci RxKO rR astfel incat 0rxK.
() Fie 0xLM, atunci din ipoteza exista rR astfel incat 0rxKL KM.
2.2 -Submodule complement
Definitie 1: Fie M un R-modul si N un submodul al lui M. Un submodul K al lui M este un complement al lui N in M daca K este un submodul maximal al lui M cu proprietatea ca KN=O.
Un submodul K al modului M se numeste submodul complement al lui M daca exista un submodul N al lui M astfel incat K este un complement al lui N in M.
Observatie : Daca M este un modul si N un submodul al lui M, atunci conform lemei lui Zorn, exista un complement al lui N in M. In particular rezulta ca O si M sunt submodule complement ale lui M.
Propozitie 1 : Fie N un submodul al lui M si K un complement al lui N in M. Exista un complement Q al lui K in M astfel incat NQ . mai mult Q este extensie esentiala maximala al lui N in M.
Definitie 2 : Un submodul N al lui M se numeste inchis daca N nu are nici o extensie esentiala in M proprie (diferita de N)
Corolar : Fie M un R-modul. Submodulele complement ale lui M coincid cu submodule inchise ale lui M.
Propozitie 2 : Fie N un submodul al lui M. Daca K este un complement al lui N in M, atunci :
N+K este esential in M
Morfismul canonic este monomorfism esential.
2.3. Generari si cogenerari
Conceptul de mulțime de generatori pentru un modul nu este categorial) si nu are dual natural. Exista insa un echivalent al sau care este categorial si are un dual foarte important:conceptul de cogenerare.
Clase generate si clase cogenerate
Definitia 1: Fie U o clasa de module, un modul M este (finit) generat de U sau U genereaza (finit) pe M daca exista o multime (finita), indexata (U), unde A este o multime de indici, in U si un epimorfism de la U.
Observatie: Dacă familia U={U}, spunem ca U genereaza (finit) M, adica exista un epimorfism de la U(A) .
Teoremă 1: Dacă un modul RM are o multime de generatori XM, atunci exista un epimorfism R(X), ceea ce ne arata ca R genereaza pe M. Mai mult, R genereaza finit pe M M are o multime finita de generatori.
Demonstrație:
Fie XM o multime de generatori. Pentru fiecare xM consideram aplicația:RM (r)=rx, care este un R-morfism stang. Fie = suma directa a acestor morfisme, cu : R(X).
Cum Im= Im=Rx=M (deoarece X-familie de generatori) epimorfism R genereaza pe M.
Definiția 2: Fie U o clasa de module. Un modul M este (finit) cogenerat de U dacă exista o multime (finita), indexata (U), in U si un monomorfism U
Observație: Dacă U={U} spunem ca U cogenereaza pe M, adica exista un monomorfism de la OM UA.
Notații: Fie U o clasă de module, notam cu Gen(U), clasa tuturor modulelor generate de U si cu Cog(U), clasa tuturor modulelor cogenerate de U.
FGen(U) si FCog(U) reprezinta clasele de module finit generate, respectiv cogenerate de U.
Propoziția 1 Fie U o clasa de module.
Daca MGen(U), atunci orice imagine epimorfica a lui M este tot in
Gen(U);
b) Dacă (M)este o multime indexata din Gen(U), atunci si suma directa a familiei: MGen(U).
Observație: Propozitia arata ca, clasa modulelor generate de U este inchisa in categoria R-Mod la izomorfisme, luarea modulelor factor si la sume directe.
Propoziția 2:(varianta duala) Fie U o clasa de module.
MCog(U) si g:MM' este un monomorfism, atunci M'Cog(U);
(M)Cog(U), atunci MCog(U).
Corolar 1 (tranzitivitatea generării si cogenerării): Fie U si V doua clase de module.
a) Daca VGen(U) (respectiv VFGen(U)), atunci intreaga clasa Gen(V) Gen(U) (respectiv FGen(V) FGen(U));
b) Daca VCog(U) (respectiv VFCog(U)), atunci intreaga clasa Cog(V) Cog(U) (respectiv FCog(V) FCog(U)).
Observație: Exista si o alta cale de descriere a conceptelor de generare si cogenerare.
1) Clasa U generează M daca si numai daca exista o suma de submodule,fiecare din ele fiind imaginea epimorfica a unui anumit submodul din U.
2) Clasa U cogenereaza M daca si numai daca exista o multime K de submodule ale lui M astfel incat M/K se scufunda intr-un anumit modul din
U pentru fiecare kK si K=O.
Generatori si cogeneratori
Daca U si V sunt clase de module care se genereaza una pe alta, atunci Gen(U)=Gen( V). Este posibil ca cele doua module sa fie total diferite.
Data fiind clasa U , se pune problema gasirii unei cele mai mici clase care sa genereze pe Gen(U) (la fel si pentru Cog(U)).
Definiția 3: O mulțime U' U este o clasa de reprezentanți de tipuri izomorfe a lui U daca fiecare U U este izomorf cu un element din U’. Daca in plus nu exista
doua elemente din U' izomorfe, atunci clasa de reprezentanti este ireductibila (minimala).
Observație: Dacă U’ este o clasa de reprezentanti pentru U, atunci:
Gen( U ')=Gen( U) si Cog( U ')=Cog( U).
Definiția 4 : Data fiind o clasa U, un modul G este generator pentru Gen(U) daca Gen(U)=Gen(G). Un modul C este un cogenerator pentru Cog(U) daca Cog(U)=Cog(C).
Observatie: Un generator (cogenerator) pentru clasa R-Mod (clasa tuturor R-modulelor stangi) se numeste, simplu, generator (cogenerator) fara referire la clasa.
Corolar 2: Modulul R R este un generator.
Propoziția 3 Dacă U are mulțimea de reprezentanți {U}, atunci:
U este un generator pentru Gen(U);
Usi Usunt cogeneratori pentru Cog(U).
Demonstrație:
b) Din propozitia anterioara atât U cat si submodulul sau Usunt in Cog (U). Aplicatiile incluziune i:U Usunt monomorfisme, asa ca Ucogenereaza fiecare U, deci cogenereaza Cog(U).
Propoziția 4: Fie U si M, doua R-module stangi, atunci:
U genereaza (finit) pe M exista o submulțime( finita) HHomR(U,M), asa incat M=lm h;
U cogenereaza (finit) pe M exista o submulțime (finita) HHomR(M,U), asa incat fi Ker h=0, hH.
Corolar 3: Fie U,N si M trei R-module, atunci: U cogenereaza pe M pentru fiecare morfism nenul f:MN, exista un morfism h:UM astfel incat fhO.
2.4 -Trasul si rejectul unui modul
Fie U o clasa de module .
Definitie 1 :Trasul (urma) lei U in M este TrM(U)={Imh h :MU, UU}.
Rejectul (rezidul) lui U in M este RejM(U)={Ker h h :MU, UU }
In particular, dacă U = {U}, atunci avem:
TrM(U)={Imh | hHomR(U,M)}. RejM(U)= {Kerh| h HomR(M,U)}.
Propoziția 1 Fie U o clasa de module si M un modul. Atunci:
TrM (U) = unicul submodul L, cel mai mare al lui M, generat de U;
RejMl(U) = unicul submodul K, cel mai mic, astfel incat M/K este cogenerat de U.
Demonstratie:
a) Fie (U)U si fie h: UM, i: U U, h i: UM
Avem im h=Im h i TrM (U), asa ca fiecare submodul al lui M din Gen(U) este continut in clasa TrM (U).
Pe de alta parte exista o multime indexata { U} si morfismele h: UM astfel incat TrM (U)=Im h h:UM are imaginea TrM (U), dei TrM (U) Gen(U).
b) Fie (U)U o familie de module si h: M un morfism. Consideram diagrama:
Fie Ker h, atunci K=Ker(h) RejM(U) . Asa ca M/K este cogenerat de U. Pe de alta parte exista o multime indexata { U} din U si morfismele h: UM astfel incat RejM(U)= Ker h. Atunci morfismul h:M are nucleul RejM(U). Deci M/RejM(U) Cog(U).
Corolar 1: Fie M un modul si U o clasa de module, atunci:
U generează pe M TrM(U)=M;
U cogenereaza pe M Rej M (U)=O.
Corolar 2 : Fie M un modul si U o clasa de module, iar KM, atunci:
K=TrM (U) KTrM(U) si TrM (U)=K;
K=RejM(U) RejM(U) si RejM/K(U)=O.
In particular: TrTrM (U)(U)=TrM(U) si RejM/RejM(U)(U)=O
Corolar 3: a) Dacă f:MN este un monomorfism si TrM(U)Im f, atunci f(TrM(U))=TrN(U).
b) Dacă f:MN este un epimorfism cu Kerf RejM(U), atunci f(RejM(U))=RejN(U).
Propoziția 2: Daca (M)este o familie de morfisme de module, atunci pentru fiecare clasa de module U avem: Tr (U)=TrM (U), si Rej(U)= Rej M(U),
Lema 1: Daca U si V sunt clase de module, atunci:
Daca VGen(U), atunci TrM(V) TrM(U);
Daca VCog(U), atunci Rej M (U) Rej M (V).
Propoziția 3: Fie G un generator pentru Gen(U) si C un cogenerator pentru Cog(U). Atunci pentru fiecare modul M avem: TrM(U)= TrM(G) si RejM(U)= RejM(C)
Propoziția 4: Pentru fiecare clasa U de module, TrR (U) este un ideal bilateral. Mai mult, un modul RM este un generator TrR (M)=R.
Propoziția 5: Pentru fiecare R-modul stâng, M avem RejR,(M)=1R(M).
Corolar 4 : Pentru fiecare clasa de module stangi U : RejR(U)= 1R(U) este un ideal bilateral.
2.5 Module semisimple. Soclul si radicalul
Module simple. Tipul unui modul simplu
Reamintim ca un R-modul stang M se numeste simplu, daca singurele sale submodule sunt submodulul zero si M.
Corolar 1:Daca M este un R-modul simplu, atunci exista un ideal stang I maximal astfel incat MR/I.
Definitia 1 :Daca M este un R-modul simplu, atunci clasa :
[M]={M’-R-modulM’M} se numeste tipul modulului M.
Atunci M’M daca si numai daca [M’ ]=[M].Modulul M se numeste reprezentantul clasei [M].
Module semisimple
Definitia 2 : Fie M un R-modul si (S) multimea submodulelor simple ale lui M. Daca M=, atunci M se zice ca este semisimplu.
Exemplu : Orice spatiu vectorial peste un corp K este un K-modul semisimplu.
Propozitie 1: Fie m un modul semisimplu si N un submodul al sau. Atunci exista o submultime astfel incat
1) Familia (S) este independenta.
2) M=N (S).
Demonstratie : Aplicand Lema lui Zorn, exista o familie (S) (unde ) independenta si maximala cu proprietatea ca N()=0.
Daca MN(S), exista un pentru care S N (S).
Atunci cum S este simplu, S( N (S))=0. Este clar ca si N( S(S))=0 ceea ce contrazice maximalitatea familiei (S). Deci trebuie ca N(S)=M.
Corolar 2: Cu notatiile anteriore pentru modulul semisimplu M exista o submultime astfel incat familia (S) este independenta si M=S.
Demonstratie : rezulta din propozitia 1 facand N=O.
Corolar 3: Fie M un R-modul semisimplu si N un submodul in M. Atunci :
1) N este sumand direct in M
2) N si M/N sunt semisimple
Observatie : Daca M este un R-modul, N un submodul astfel incat N si M/N sunt semisimple, nu rezulta ca M este semisimplu.
Corolar 4: O suma directa arbitrara de module semisimple este un modul semisimplu.
Avem urmatoarea caracterizare a modulelor semisimple :
Teorema 1 : Fie M un R-modul. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
1) M este semisimplu ;
2) M este izomorf cu o suma directa de module simple ;
3) Orice submodul al lui M este sumand direct ;
4) Orice sir exact de forma OM’MM’’O este scindabil.
Demonstratie :3)1) Cum satisface 3), rezulta ca oprice submodul nenul al lui M are un submodul simplu. Intradevar fie xM, x0.Atunci Rx este finit generat si exista un submodul maximal HRx.
Din 3) avem M= HH’ pentru H’M.Astfel din modularitate rezulta :
Rx=RxM=H(RxH’) si Rx H’Rx/H este simplu.
Astfel Rx are un submodul simplu. Fie N, suma tuturor submodulelor simple ale lui M. Atunci M=NN’, conform 3), pentru un N’M. Cum N’N=O, N’ nu are submodule simple, dar cum Am aratat inseamna ca N’=O. Asa N=M.
Definitie 3 : Fie M un modul semisimplu ; daca toate submodulele simple ale lui M sunt izomorfe cu modulul simplu S, atunci spunem ca M este izotipic de tip S.
Soclul unui modul
Definitie 4 :Fie M un R-modul. Suma submodulelor simple ale lui M se numeste soclul lui M si se noteaza cu SocM=s0(M)=K minimal in M}
Daca M nu contine nici un submodul simplu atunci punem s0(M)=0
Observatie : Fiecare modul M are un submodul unic semisimplu, « cel mai mare », trasul lui S in M. Acest modul este numit soclul lui M si se noteaza cu Soc M=TrM(S). Evident M este semisimplu daca si numai daca M=Soc M.
Soclul unui modul este un R-modul semisimplu.Soclul lui M este continut in fiecare submodul esential al lui M. In general, SocM nu este necesar sa fie esential in M.
Propozitie 2 : Fie M un R-modul si N un submodul al sau atunci s0(N)= s0(M)N.
Propozitie 3: Fie M un R-modul stang. Atunci :Soc M= unde L este esential in M.
Demonstratie : Adica relatia din propozitie se mai scrie si astfel
Soc M=K minimal in M}={LM L este esential in M}.
Prima egalitate este evidenta. Sa o demonstram pe a doua :
Fie TM, semisimplu. Daca LM, atunci TLO, asa ca TL. Astfel Soc M este continut in orice submodul esential al lui M.
Pe de alta parte notam multimea H={LM LM}. Dorim sa aratam ca H este semisimplu.
Fie NH si N’M un complement al lui N. Atunci N+N’=NN’M. Dar atunci NHNN’ si rezulta ca H=H( NN’)=N(HN’). Astfel N este sumand direct in H, deci H este semisimplu, asa ca HSoc M.
Propozitie 4 : Fie M si N doua R-module stangi si f :MN, un R-morfism. Atunci f(Soc M) Soc N. In particular, Soc M este un submodul R-stang si EndRM-drept al lui M.
Corolar 5: Fie M un modul si KM. Atunci SocM=KSocM. In particular Soc(SocM)=SocM
Demonstratie : Din propozitia anterioara SocKSocM. Dar KSocM este semisimplu deci este continut in SocM.
Corolar 6 : Fie M un R-modul stang. Atunci SocMM daca si numai daca orice submodul nenul al lui M contine un submodul minimal.
Propozitie 5 : Presupunem ca M este suma directa a familiei de submodule (M). Atunci SocM=Soc(M)
Radicalul unui modul
Definitie 5: Fie M un R-modul. Intersectia tuturor submodulelor maximale ale lui M se numeste radicalul Jacobson al modulului M si se noteaza cu RadM.
Consideram clasa R-modulelor stangi simple S. Pentru fiecare R-modul M radicalul Jacobson al lui M este rejectul lui S in M : RadM=RejM(S).
Observatie : Daca modulul M nu are nici un submodul maximal , atunci RadM=M
Daca M este semisimplu atunci RadM=0
Radicalul lui M este cel mai mic submodul al lui M, care contine toate submodulele superflue. Totusi radicalul nu trebuie neaparat sa fie superfluu, avem doar o conditie suficienta RadM<<M, care nu este insa necesara.
Propoziția 6: Fie M un R-modul stâng. Atunci:
RadM={K<M |K maximal în M}={LM |L <<M}.
Demonstrație: Deoarece KM este maximal in M daca si numai daca M/K este simplu, prima egalitate rezulta imediat din definitia rejectului in M a unei clase.
Pentru a doua egalitate, fie L<<M. Daca K este un submodul maximal al lui M si daca LK atunci K+L=M; dar cum L<<M, atunci K=L (contradictie).
Deducem ca orice submodul superfluu al lui M este continut in RadM. Pe de alta parte :
Fiind dat xM și NM cu Rx+N=M. atunci sau N=M sau exista un submodul maximal K al lui M cu NK și xK. Daca xeRadM, atunci ultima conditie nu poate avea loc. Astfel xRadM fortează ca Rx<<M si egalitatea secunda este demonstrata.
Deoarece radicalul lui M este rejectul in M al unei clase de module, deducem multe proprietati ale lui RadM din acelea ale rejectului. De exemplu: RadRR este un ideal in R. Mai general avem:
Propoziția 7: Fie M și N doua R-module stangi si functia f :MN un R-morfism. Atunci f(RadM)RadN. In particular RadM este un submodul R-stang si EndRM-drept al lui M.
Propozitie 8 : Daca fiecare submodul propriu al lui M este continut intr-un submodul maximal al lui M, atunci RadM este unicul submodul superfluu, cel mai mare al lui M.
Demonstratie :Fie L un submodul propriu al lui M astfel incat L+RadM=M si K un submodul maximal cu LK. Atunci L+RadMKM (contradictie). Rezulta L=M, deci RadM<<M.
Corolar 7: Daca M este semisimplu sau produs direct de module simple atunci RadM=0
Corolar 8:Presupunem ca m este suma directa a familiei de submodule (M). Atunci RadM=RadM
2.6. Module finit generate si finii cogenerate
In acest paragraf reformulam conceptul de finit generat, atat laticeal teoretic cat si categorial si obtinem un dual important.
Module finit generate
Definiția 1 Un modul M este finit generat daca pentru fiecare multime A care genereaza M, exista o anumita multime finita FA care genereaza M, adica pentru o anumita multime finita FA. Observam ca aceasta este o reformulare a conceptelor familiare.
Propoziția 1 : Urmatoarele afirmatii despre un R-modul stang, M sunt echivalente:
M este finit generat;
Pentru fiecare multime f:UM, cu M=Im f, exista o multime finita FA cu M=Im f, ;
Pentru orice multime indexata (U)si epimorfismul f:UMO,
, exista o mulțime FM si un epimorfism g : UMO, , (f=f, g=g);
Orice modul care genereazăaM, genereaza finit pe M;
M contine o multime finita de generatori.
Demonstrație: Implicațiile a)b), c)d) sunt clare.
b) c) Avem ca f= f, este un epimorfism Im fi=M si fi:UM, .
d) e) evident.
e) a) Presupunem ca {x1 , x2, …, xn ) este o multime finita de generatori pentru M si presupunem ca A este o multime de submodule ale lui M cu M=A. Atunci pentru fiecare xi , exista o submultime finita FA cu xiFI. PunemF=F1F2…Fn. Atunci F este finita si deoarece F este un submodul al lui M, contine o multime de generatori ai lui M F=M. Atunci M este finit generat.
Module finit cogenerate
Definitia modulului finit generat are o duala care nu este atat de familiara.
Definiția 2 :Un modul M este finit cogenerat daca pentru fiecare multime A de submodule ale lui M avem A=O F =O pentru o submultime finita FA
Propoziția 2 :Urmatoarele afirmatii referitoare la un R-modul stang M sunt echivalente:
M este finit cogenerat;
Pentru fiecare mulțime f:UM, , cu Ker f=O, exista o multime finit FA cu Ker f=O, ;
c) Pentru fiecare multime indexata (U) si monomorfismul OMU,
Demonstrație:
a) b) este evident;
b)a) Fie {M | } submodule ale lui M cu M , . Aplicam b) pentru aplicatiile naturale f :MU, si rezulta a);
b)c) Presupunem ca f:MU,,este un monomorfism, atunci Kerf=O, . Din b) exista o multime finita FA cu Kerf=O, asa ca f :MUeste monomorfism.
Corolar 1:Dacă M este finit cogenerat, atunci fiecare modul care cogenereaza pe M il cogenereaza finit pe M.
Demonstrație: Acest rezultat se obtine din implicatia b) c) a propozitei anterioare.
Rolul soclului și al radicalului
Dam acum caracterizarile fundamentale ale modulelor finit generate si finit cogenerate. Ele arata ca "generarea finita" și "cogenerarea finita" sunt determinate de radicalul si soclul unui modul.
Teorema 1: Fie M un R-modul stang. Atunci:
a) M esle finit generat M/RadM este finit generat si epimorfismul natural MM/RadM este superfluu (RadM<<M);
b) M este finit cogenerat SocM este finit cogenerat si aplicatia incluziune OSocMM este esentiala (SocM M).
Demonstrație: Aratam numai echivalența din b), deoarece demonstratia pentru a) este duala.
() Evident, un submodul al unui modul finit cogenerat este finit cogenerat. Asa ca este suficient sa aratam ca daca M este finit cogenerat, atunci SocMM. Fie KM cu(SocM)K=O.
Cum SocM este intersectia tuturor submodulelor esentiale ale lui M si cum M este finit cogenerat, atunci exista submodulele esentiale L1,L2,…,Ln ale lui M cu L1L2…LnK=O.
Dar (L1L2…Ln) M, de unde K=O SocM M.
() Fie SocM finit cogenerat si esential in M. Fie A o familie de submodule ale lui M cu A=O. Atunci { ASocM | AA}=O A1,A2,…An cu (A1A2…An)SocM =(A1SocM) … (AnSocM)=O pentru anumiti A1,A2,…AnA. Dar SocMM A1A2…An=O M finit cogenerat.
Corolar 2 :Fie M un modul nenul.
Daca M este finit generat, atunci M are un submodul maximal;
b) Daca M este finit cogenerat, atunci M are un submodul minimal
Propoziția 3 Urmatoarele afirmatii despre un modul semisimplu sunt echivalente:
M este finit cogenerat;
M=T1T2 … Tn cu Ti simple, i=1,..,n;
c) M este finit generat.
Propoziția 4 : Un modul este finit cogenerat daca si numai daca soclul sau este esential si finit generat.
Observatie: Este clar din definitie ca daca M este finit generat (finit cogenerat), atunci asa este orice modul factor (sumodul) al lui M Atunci:
Propoziția 5: Fie M=M1M2…Mn. Atunci M este finit generat (cogenerat) daca si numai daca fiecare Mi, i=1 …n este finit generat (cogenerat).
=== 3. elemente de teoria categoriilor ===
Capitolul 3 –Elemente de teoria categoriilor
Teoria categoriilor este o ramura moderna a matematiicii, care dateaza din anul 1945, prin aparitia lucrarii lui S. Eilenberg si Mac Lane. Teoria categoriilor a restructurat multe discipline ale matematiicii, printre care si algebra.
Prin teoria categoriilor, se realizeaza o sistematizare a intregii matematici, sistematizare care s-a dovedit foarte importanta in obtinerea unor noi rezultate.
3.1 -Notiunea de categorie, subcategorii, exemple
Definitie 1: O categorie C consta in urmatoarele date D1, D2, D3, si urmatoarele axiome C1, C2, C3:
(D1) Se da o clasa (nu neaparat multime) nevida de elemente , pe care o notam cu Ob(C), ale carei elemente vor fi numite obiectele categoriei.
(D2) Pentru orice pereche ordonata de obiecte A,BOb(C) se da o multime notata cu HomC(A,B), care poate fi si vida, si care se numeste multimea homomorfismelor de la A la B, iar elementele multimii se numesc morfisme . avandu-l pe A drept domeniu sau sursa sip e B drept codomeniu sau cosursa
(D3) Pentru orice A,B,COb(C) se da o aplicatie de la HomC(A,B) HomC(B,C) la HomC(A,C), care poarta numele de lege de compunere a norfismelor.
Prin aceasta aplicatie , pentru orice pereche (u,v) cu uHomC(A,B) si vHomC(B,C) se ataseaza un unic element wHomC(A,C). Acest element w se noteaza cu w=:vu=vu , si se citeste “compusul morfismului v cu morfismul u”
(C1) Pentru orice (A1,B1) si (A2,B2) perechi de obiecte, avem:
HomC(A1,B1) HomC(A2,B2) =,
Cu exceptia cazului A1=A2 si B1=B2, cand cele doua morfisme coincide.
(C2) Asociativitatea compunerii morfismelor:
Pentru orice morfisme u, v, w ale categoriei avem w(vu)=(wv)u, ori de cate ori compunerea are sens, adica u:AB, v:BC, w:CD.
(C3) Existenta morfismului identitate:
Pentru orice obiect AOb(C), exista un morfism notat 1AHomC(A,A), astfel incat sa avem:
1) Pentru orice XOb(C), si orice uHomC(X,A) are loc 1Au=u.
XAA
2) pentru orice YOb(C) si orice vHomC(A,Y) are loc v1A=v, unde 1A se numeste morfismul identic al obiectului A. El joaca rol de unitate la stanga pentru orice morfism de adresa A si unitate la dreapta pentru orice morfism de sursa A.
O categorie C in care clasa Ob(C) este o multime se numeste categorie mica.
Exemple de categorii
Pentru a da o categorie trebuie sa precizam clasa de obiecte, morfismele sale si legea de compunere a morfismelor, apoi trebuie verificate axiomele C1, C2, C3.
1.Categoria Ens (categoria multimilor)
Obiectele categoriei Ens sunt multimi. Daca A,B sunt doua multimi, atunci HomEns(M,N):={ff:AB} este multimea tuturor functiilor f:AB. Compunerea morfismelor in categoria Ens este compunerea uzuala a functiilor.
Axiomele se verifica imediat:
(C1) Presupunem HomC(A1,B1) HomC(A2,B2) = rezulta ca exista f: A1B1 si f: A2B2 A1=A2 si B1=B2 sau intersectia este vida.
(C2) Se stie, ca in cazul functiilor compunerea este asociativa.
(C3) Functia identica 1A:AA, 1A(x)=x, xA.
2.categoria Top (categoria spatiilor topologice).
Obiectele sale sunt saptii topologice iar morfismele sunt aplicatii continue .
3.Categoria Gr( categoria grupurilor)
Obiectele categoriei Gr sunt grupurile. Daca G si H sunt doua grupuri, atunci HomGr(G,H) este multimea tuturor morfismelor de grupuri de la G la H iar compunerea morfismelor va fi compunerea obisnuita a aplicatiilor.
4. Categoria Ann(categoria inelelor)
Obiectele categoriei Ann sunt inele, iar morfismele sunt homomorfisme de inele. Compunerea morfismelor este compunerea obisnuita a aplicatiilor.
5.Categoria modulelor stangi sau drepte peste un inel unitar R: R-Mod, respective Mod-R.
Obiectele categoriei R-Mod, sunt module la stanga peste inelul R, morfismele sunt morfisme de module, iar compunerea morfismelor de module este compunerea obisnuita a functiilor.
6. Categoria RCS(categoria bimodulelor)
Fie R si S doua inele. Obiectele categoriei RCS sunt R-S bimodule de tipul RMS iar morfismele sunt homomorfismele de bimodule cu compunerea obisnuita a aplicatiilor.
Subcategorii
Definitie 2: O categorie C’ se numeste subcategorie acategoriei C daca urmatoarele conditii sunt indeplinite:
1) Ob(C ’) Ob(C)
2) Daca A,BOb(C’), atunci HomC’(A,B)HomC(A,B)
3) Compunerea morfismelor in C ’ este indusa de compunerea morfismelor din C.
4) Daca A este un obiect arbitrar din C ’ atunci morfismul identic al lui A in C ’ coincide cu morfismul identic al lui A In C.
Definitie 3: O categorie C ’ a lui C pentru care HomC’(A,B)= HomC(A,B) oricare ar fi A,BOb(C ’) se numeste subcategorie plina.
Exemple de subcategorii:
1. Categoria Ensf (Categoria multimilor finite )
Categoria Ensf a multimilor finite este o subcategorie plina a lui Ens.
Obiectele sale sunt multimi finite iar morfismele sunt aplicatii intre multimi finite.
2. Categoria Ab (categoria grupurilor abeliene)
Categoria Ab a grupurilor abeliene este o subcategorie plina a lui Gr.
Obiectele categoriei Ab sunt grupuri abeliene. Daca G si H sunt doua grupuri abeliene, atunci vom defini HomAb(G,H) ca multimea tuturor morfismelor de grupuri de la G la H iar compunerea morfismelor va fi compunerea obisnuita a aplicatiilor.
3.2 -Morfisme remarcabile intr-o categorie
Monomorfisme si epimorfisme
Fie C o categorie, A si B doua obiecte ale categoriei, iar uHomC(A,B) un morfism.
Definitie 1:Morfismul u:AB se numeste monomorfism, daca pentru orice obiect Xob(C) si orice doua morfisme HomC(X,A) din relatia u=u (monomorfismul se poate simplifica la stanga)
Exemplu: 1A este monomorfism, Aob(C), deoarece : Xob(C) si , HomC(X,A) astfel incat 1A =1A (din definitia morfismului identic).
Propozitie 1: Fie C o categorie si uHomC(A,B),vHomC(B,C), A,B,C ob(C) Atunci avem:
1) Daca u,v sunt monomorfisme, atunci vu este monomorfism si in ultima alternativa avem (vu)-1=u-1v-1;
2) Daca vu este monomorfism, atunci u este monomorfism.
Demonstratie: Presupunem ca vu este monomorfism si fie , HomC(X,A) astfel incat u=u. Atunci (vu)= (vu) deci u, v sunt monomorfisme.
Definitie 2: Morfismul u:AB se numeste epimorfism , daca pentru orice obiect Yob(C) si orice doua morfisme HomC(B,Y) din relatia u =u (epimorfismul se poate simplifica la dreapta)
Exemplu: : 1A este epimorfism, Aob(C), pentru ca : Yob(C) si , HomC(A,Y) astfel incat 1A =1A
AAY
Propozitia 2: Fie uHomC(A,B),vHomC(B,C), A,B,C ob(C) Atunci avem:
1) Daca u,v sunt epimorfisme, atunci vu este epimorfism;
2) Daca vu este epimorfism, atunci v este epimorfism.
Izomorfisme si Bimorfisme
Definitie 3: Se numeste bimorfism, un morfism u: AB care este simultan monomorfism si epimorfism
Exemplu: Pentru orice Aob(C), morfismul identic este bimorfism
Definitie 4: se numeste izomorfism un morfism u: AB cu proprietatea ca exista un morfism v: B A , astfel incat sa avem uv=1B si vu=1A (cu alte cuvinte este simultam sectionabil si retractabil).
Exemplu: Pentru orice Aob(C), morfismul identic este un izomorfism.
Remarca: Daca u este izomorfism atunci si morfismul v este un izomorfism si se numeste morfismul invers al lui u si se noteaza cu u-1. Deci (u-1)-1=u.
Corolar 1: Daca u: AB este izomorfism in categoria C, atunci u este monomorfism si epimorfism in C .
Demonstratie: Cum morfismul identic este si monomorfism si epimorfism din relatiile u-1u=1A si uu-1=1B rezulta ca u este monomorfism si epimorfism.
Observatie: Un monomorfism care este simultan monomorfism si epimorfism nu este obligatoriu izomorfism, Exemplu Morfismul incluziune ZQ este
monomorfism si epimorfism in categoria Z-alg(obiectele categoriei sunt Z- algebre), totusi nu este izomorfism, caci atunci ar trebui sa fie aplicatie surjectiva.
Propozitie 3: Orice izomorfism este bimorfism (dar nu si reciproc).
Propozitie 4: Fie u: AB si v: B C morfisme ale unei categorii C.
daca u este inversabil la stanga si epimorsism , atunci u este izomorfism;
daca u este inversabil la dreapta si monomorfism atunci u este izomorfism;
daca u si v sunt inversabile la dreapta (stanga), atunci vu este inversabil la stanga (dreapta);
daca vu este inversabil la stanga (dreapta) atunci u (respectiv v) este inversabil la stanga (respectiv dreapta).
Sectiunea si retracta
Definitie 7: Un morfism u, dintr-o categorie C, se numeste sectiune (retracta), daca el este inversabil la stanga (dreapta).
Observatie: u: AB, este sectiune(retracta), daca exista v: B A, astfel incat vu=1A (uv=1B)
3.3 -Categoria duala. Principiul dualitatii
Daca C este o categorie, atunci putem sa-i asociem acestei categorii o alta categorie C * , definite astfel:
(D1*) ob(C *)=ob(C) .
(D2*) A,B ob(C), definim HomC*(A,B).
(D3*) A,B,C ob(C), definim HomC*(A,B)HomC*(B,C) HomC*(A,C) , compunerea in felul urmator:
Daca uHomC*(A,B) si vHom C*(B,C) definim compunerea vu=vu. Adica se schimba ordinea de compunere a morfismelor:
ABC si ABC
Se constata imediat ca sunt indeplinite cele trei axiome ale definitiei categoriei.
Dualizarea: Fie N un enunt referitor la o anumita categorie. Fie C o categorie si C * duala sa. Enuntul N din categoria C * , dar interpretat in categoria C se numeste duala enuntului N.
Exemplu N=”u este morfism”, adica u:AB, cu proprietatea ca pentru orice X, obiect al categoriei si orice HomC(X,A) cu u=u .
N*=(”u este morfism”)*, adica u: BA, cu proprietatea ca pentru orice X, obiect al categoriei si orice HomC(A,X) cu u =u deci duala monomorfismului este epimorfism.
In mod asemanator se arata ca (epimorfism)*= monomorfism
(bimorfism)*= bimorfism
(izomorfism)*= izomorfism
Definitie : Fie P o propozitie matematica, iar P* propozitia care se obtine din P inlocuind fiecare notiune cu notiunea sa duala.Propozitia P* se numeste duala propozitiei P.
Teorema (principiul dualitatii): Fie P o proprietate referitoare la o categorie, iar P* duala sa, atunci P* este adevarata daca si numai daca P este adevarata.
3.4 – Functori
Definitie 1: Fie C si D doua categorii. Vom spune ca s-a dat un functor covariant (respectiv contravariant) F de la C in D daca s-au dat :
O aplicatie MF(M) de la clasa de obiecte ale lui C, in clasa
de obiecte ale lui D .
2) Pentru fiecare pereche (M,N) de obiecte din C o aplicatie
uF(u) de la HomC(M,N) HomD (F(M), F(N)) (respectiv de la
HomC(M,N) HomD (F(N), F(M)) asa incit sa avem :
i) F(1M)=1F(M) oricare ar fi obiectul M din C ;
ii) Daca u:MN v:NP sunt doua morfisme in C, atunci F(vu)=F(v)F(u) (respectiv F(vu)=F(u) F(v)).
Observatie: Un functor F de la C la D il notam F: C D
Exemplu: Fie C o categorie și C* duala sa. Definim functorul covariant
F:CxC* Ens in modul urmator : daca (M,N) este un obiect din CxC*, atunci F(M,N) = HomC(M,N) iar daca (u, v) =(M,N) (M’,N’) este un
morfism, atunci F(u, v) : HomC(M,N) HomC(M’,N’) este aplicatia vu. Acest functor se noteaza si ,,Hom".
Definitie 2: Fie C si D subcategorii pline ale categoriei de module si F: C D un functor covariant. Daca pentru fiecare sir exact scurt in C, avem:
a) sirul este exact in D, atunci F se numeste exact la stanga
b) sirul este exact in D ,atunci F se numeste exact la dreapta;
Un functor exact la stanga si la dreapta se numeste functor exact.
Morfism functorial
Fie F, G doi functori covarianti de la categoria C in categoria D. Vom spune ca s-a dat un morfism functorial la functorul F in functorul G si se noteaza :FG, daca pentru fiecare obiect M din C s-a dat un morfism (M): F(M) G(M) asa incat daca u:M N urmatoarea diagrama este comutativa:
Observatie: Daca functorii F,G sunt contravarianti, atunci in definitia morfismului functorial diagrama comutativa va fi urmatoarea:
Daca (M) izomorfism pentru orice M din C vom spune ca este un izomorfism functorial.
Definitie 3: Fie F: C D un functor, se numeste fidel (respectiv plin, respectiv deplin fidel) daca pentru orice (M,N)de obiecte din C, aplicatia F(M,N):C(M,N) D(F(M),F(N)).
Produs direct. Suma directa
Definitie 4: Fie C o categorie; fie (M)o familie de obiecte ale lui C indexată cu mulțimea I; un produs direct al familiei date de obiecte este o pereche (M, (p,)) formata dintr-un obiect M al lui C si o familie de morfisme p:MM astfel incat, pentru orice obiect X al lui C si familia de morfisme f:XM,, exista un morfism f:XM, unic cu proprietatea ca p f = f, pentru orice . Produsul direct al familiei (M) il notam M=,iar morfismul p:M poarta denumirea de proiectii canonice.
Pentru o categorie C intoducem urmatoarea axioma: Pentru orice familie de obiecte (M) din C, I fiind o multime oarecare, există in categoria C,
cel putin un produs direct al acestei familii. In cazul cand C satisface axioma se mai spune ca C este este o categorie cu produse directe.
Propozitie 1: Fie C o categorie ce satisface axioma (de mai sus ) si I o multime nevida. Atunci asocierile (M) si (u) definesc un functor de la categoria C(I)C numit functorul produs direct notat .Daca I={1,2,…,n} multime finite si formata din numere naturale atunci obiectul M= M1 M2 …. Mn si morfismul= u1 u2 …. un .
Dualizand notinea de produs de obiecte ale unei categorii obtinem natiunea de suma directa de obiecte.
Definitie 5: Fie C o categorie; fie (M)o familie de obiecte ale lui C indexată cu mulțimea I; o suma directa a familiei date de obiecte este o pereche (M, (j,)) formata dintr-un obiect M al lui C si o familie de morfisme j:MM, astfel incat, pentru orice obiect X al lui C si familia de morfisme f:MX, , exista un morfism f:MX, unic cu proprietatea ca fj = f, pentru orice . Suma directa a familiei (M) o notam M=,iar morfismul j:M poarta denumirea de injectii canonice.
Pentru o categorie C dam urmatoarea axioma: Pentru orice familie de obiecte (M), I fiind o multime arbitrara, exista o suma directa . Cand categoria C satisface axioma se mai spune ca C este o categorie cu sume directe.
Fie o categorie C care verifica axioma. Consideram doua familii de obiecte din C (M),(N), si familia de morfisme (u):M N, . Exista un unic morfism u:MN astfel incat uj=j’u oricare ar fi , unde j’:NN este injectia
canonica.Asocierile (M) M si (u)u definesc un functor de la categoria C(I) la categoria C numit functorul suma directa si notat cu .
=== 4.Module proiective si injectiv ===
Capitolul 4 -Module proiective si injective
4.1 -Module proiective
Definitia 1: Un R-modul stang P se numeste proiectiv daca pentru orice epimorfism de module v : M’ N al categoriei Mod (R) și orice omomorfism g : P N, există un omomorfism f: P M’, astfel incat sa avem vf = g; cu alte cuvinte, oricare ar fi diagrama de R-module
este comutativa.
Propoziția 1: Fie R un inel și fie P un R-modul; următoarele afirmații relativ la modulul P sunt echivalente:
1) P este proiectiv ;
2)Pentru orice diagrama de R-module , de forma
in care linia este un sir exact si wg =0, exista un omomorfism f: P M care s-o faca comutativa, deci pentru care vf = g;
3) Functorul hP : Mod (R) Ab este exact;
4) Orice sir exact de R-module, de forma este cu
scindare ;
5) P este izomorf cu un factor direct al unui modul liber, convenabil ales.(Aceasta conditie poate fi formulate si astfel: P este factor direct al unui R-modul liber, convenabil ales).
Demonstratie:1)2) Presupunem afirmatia 1) valabila si consideram diagrama de R-module:
in care linia este un sir exact si w g =0; Conform proprietatii de universalitate a nucleului exista un omomorfism g’:PKer w=Im v astfel incat j: Ker w N injectia canonica sa avem j g’=g, dar exista un epimorfism v’:MIm v astfel incat sa avem jv’=v. Exista conform afirmatiei 1) un omomorfism f: P M’ pentru care vf=jv’f=jg’=g ;Deci rezulta 1)2).
2) 1)Pentru a demonstra implicatia inversa luam in 2) H=0.
1) 3) a spune ca functorul hP : Mod (R) Ab este exact este echivalent cu a spune ca pentru orice epimorfism v:M’N, omomorfismul hP:HomR(P,M’) HomR(P,N) este un epimorfism al categoriei Ab , dar acest lucru este echivalent cu v epimorfism atunci pentru orice gHomR(P,N) exista f HomR(P,M’) astfel incat sa avem g=Hom(1P,v)(f)=vf care este afirmatia 1).
1) 4).Fie dat sirul exact sin enuntul afirmatiei 4) si conform lui 1) exista un omomorfism s:P M’ astfel incat urmatoarea diagrama sa fie comutativa:
deci avem vs=1P si rezulta ca sirul exact este cu scindare.
4) 5) Conform urmatoarei propozitii : Orice R-modul este izomorf cu un modul cat al uni modul liber. Rezulta ca exista un modul liber L si un epimorfism v:LP deci
avem sirul exact de R-module:
unde j este injectia canonica si conform afirmatiei 4) sirul exact este cu scindare. Consideram s:P L o sectiune libera asociata lui v, adica vs=1P rezulta ca Im v este factor direct al lui L si cum s este injective atunci ea incuce un izomorfism PIm s.
5) 1) Aratam ca daca L este R-modul liber , atunci pus in locul lui P el satisface afirmatia 1).
Fie L un R-modul liber avand o baza (e); Consideram epimorfismul v : M’ N si omomorfism g : P N si in aceste conditii v este surjectiva si deci rezulta ca pentru orice exista yM’ astfel incat v(y)=g(e) si exista aplicatia liniara f:LM’ pentru care f(e)=y si avem (vf)( e)=v(y)=g(e) si rezulta ca vf=g.
Presupunem ca P este izomorf cu un factor direct al unui R-modul liber; daca facem abstractie de izomorfismul dat putem presupune ca P este chiar el, un factor direct al unui modul liber L. Consideram aplicatia p:LP astfel incat pj=1P unde j:PL este injectia canonica . Fie g si f din enuntul afirmatiei 1) si avem diagrama cu linia exacta,
si exista un omomorfism f ‘:LM’ astfel incat vf ’=gp si notand f=f ‘j avem vf=vf ‘j=gpj=g.
Observatie: Daca P este izomorf cu un factor direct P’ al unui anumit R-modul liber L’, atunci P insusi este factor direct al unui anumit R-modul liber.
Definitie 2: Fiind data o categorie abeliana C si un obiect P al categoriei , se spune ca P este un obiect proiectiv al categoriei C, daca indeplineste conditiile echivalente 1)-3) din propozitia 1.
Observatie : Putem defini notiunea de R-modul la dreapta proiectiv daca consideram categoria Modd(R); un R-modul la dreapta proiectiv este un obiect proiectiv al categoriei Modd(R).
Corolar 1: Orice R-modul liber este proiectiv.
Faptul ca reciproca corolarului 1 nu este in general valabila, se vede din următorul exemplu:
Exemplu Fie R = Z/6Z inelul claselor de restruri modulo 6, ale intregilor ordinari ; in R sa considerăm submultimea M formata din si ; M este un R-submodul al lui R; sa consideram aplicatia r : R M, avand in vedere ca R este R-modul liber, avand baza {} prin r() =;
avem r()= si r()= deci ri=1M , unde i este injectia canonica MR; rezulta ca M este un factor direct al lui , deci un modul proiectiv.Daca insa M ar fi liber, ar trebuie să aiba o baza formata din exact un element, deci ar fi izomorf cu M1 = M; acest lucru este insă imposibil, căci M are doua elemente, iar R are sase.
Corolar 2: Orice R-modul M este izomorf cu un modul-cat al unu R-modul proiectiv.
Definitie 3: Dacă C este o categorie abeliană, se spune că C are suficiente obiecte proiective sau, mai pe scurt, suficiente proiective, daca pentru orice obiect M din C există un obiect proiectiv P al categoriei C și un epimorfism p : P M.
Observatie: Din corolarul 2 rezultă că pentru orice inel R, categoria Mod(R) ari
suficiente obiecte proiective ;
Corolar 3: Un R-modul P este proiectiv si de tip finit, daca si numai daca el este factor direct al unui R-modul liber avand o baza finita.
Demonstratie: Conform unei propozitii care spune ca orice R-modul este izomorf cu cu un modul cat al unui R-modul liber avem ca P este de tip finit, el este izomorf cu un modul cat al lui Rsn cu n0 convenabil ales, si deci exista un sir exact de R-module
si cum P este priectiv atunci acest sir exact este cu scindare . Deci P este izomorf cu un factor direct al lui Rsn .
Corolar 4: Dualul unui R-modul P, proiectiv de tip finit, este un R-modul la dreapta, proiectiv și de tip finit.
Corolar 5: Fie R un inel comutativ ; dacă M si M’ sunt R-module proiective de tip finit, atunci HomR(M.M’) este, cu structura sa canonica de R-modul , un R-modul proiectiv de tip finit.
Corolar 6:Daca P este R-modul proiectiv, respectiv R-modul proiectiv de tip finit , atunci aplicatia liniara canonica cp:PP** este injectiva respectiv bijectiva.
Propozite 2:Fie (M) o familie de R-module si M=M; M este un R-modul proiectiv daca si numai daca, pentru orice , M este un R-modul proiectiv.
Demonstratie:Daca toti M, sunt module proiective , fie v : M’ N un epimorfism al categoriei Mod(R);daca fHomR(M,N) atunci notand cu
j: MM injectia canonica , , avem pentru orice diagrama cu linia exacta
Cum M este R-modul proiectiv rezulta existenta unui omomorfism g: MM’ pentru care vg=fj. Familia de omomorfisme (g) deterina comform proprietatii de universalitate a sumei directe o aplicatie liniara g:MM’ unica cu proprietatea ca gj=g pentru orice .
Pentru orice avem vgj=vg=fj de unde rezulta vg=f conform unicitatii; Deci M este proiectiv.
Reciproc: Daca M este R-modul proiectiv atunci fie pMM, aplicatie liniara unica care satisface conditiile: . Daca pentru fixat , f:MN este o aplicatie liniara, unde v:M’N este un epimorfism, atunci avem diagrama cu linia exacta. Din faptul ca R-modul proiectiv, rezulta ca exista un omomorfism g: MM’ astfel incat sa avem vg=fp atunci vgj=fpj=f si rezulta ca M este proiectiv, Si rationam astfel pentru toti .
4.2 -Module injective
Definitie 4: Un R-modul stang Q se numeste injective daca pentru orice monomorfism de module u:MM’ si fiecare omomorfism f: MQ, exista un omomorfism g:M’Q, astfel incat diagrama:
este comutativa adica gu=f.
Propozitie 3: Fie R un inel și fie Q un A-modul; urmatoarele afirmatii relativ la modulul Q, sunt echivalente :
1) Q este priectiv ;
2) Pentru orice diagrama de R-module, de forma :
in care linia este un sir exact si ft = 0, exista un omomorfism g:M’Q, care sa faca diagrama comutativa, deci pentru care sa avem gu = f;
3) Functorul hQ: (Mod (R))*Ab este exact;
4) Orice sir exact de R-module de forma este cu scindare.
5) Daca exista un omomorfism injectiv de R -module u:QE, și dacă M/u(Q) este un R-modul monogen, atunci u(Q) este factor direct al lui M;
6) Pentru orice ideal la I stanga al lui R si orice aplicatie lineara f:IQ, există un yQ, astfel incat sa avem f()=y, pentru orice I;
7) Pentru orice ideal la stanga I al lui R si orice aplicatie liniara f: IQ, exista o aplicatie lineară g:RsQ, astfel incat omomorfismul indus de g, prin restrictie la I si Q, sa fie f.
Definitie 5: Fiind data o categorie abeliana C si un obiect Q al categoriei , se spune ca Q este un obiect injectiv al categoriei C, daca satisface conditiile echivalente 1)-3) din propozitia 3.
Observatie: Observam ca notiunea de obiect injectiv este duala notiunii de obiect proiectiv.
Corolar 7: Un Z-modul Q este injectiv, daca si numai daca, pentru orice aQ si pentru oeice nZ, n1, exista bQ astfel incat sa avem a=nb (Z-modul divizibil).
Demonstratie: Presupunem ca Z-modulul are proprietatea din enunt.
Aratam ca Q satisface afirmatia 6) di propozitia 3: Fie I un ideal al lui Z si fie f:IQ un omomorfism de Z-module.
Cum I este un subgrup al grupului aditiv Z rezulta ca I=nZ, cu nZ, n0;
Daca n=0 atunci Q satisface in mod trivial conditia de mai sus.
Daca n1 atunci fie f(n)=xQ. Conform ipotezei exista bQ astfel incat sa avem x=nb.
Atunci pentru orice element knI, cu kZ avem: f(kn)=kf(n)=kx=knb.
Reciproc: Daca Q este un Z-modul injectiv si daca aQ si nZ, n1 atunci consideram idealul nZ al lui Z.
Idealul nZ este un Z-modul liber avand o baza formata din n. Exista un Z-omomorfism f:nZQ pentru care avem f(n)=a.
Conform caracterizarii 6) din propozitia 3, a modulelor injective exista bQ astfel incat f(nk)=nkb pentru orice kZ.In particular pentru a=f(n)=nb.
Propozitie 4: Daca (M) este o familie de R-module, atunci este R-modul injectiv daca si numai daca M este R-modul injectiv pentru orice .
Corolar 8: Un factor direct al unui R-modul injectiv, este modul injectiv.
Demonstratie: Daca M este un factor direct al modulului injectiv Q, atunci exista N astfel incat sa avem : Q=M+N.
Dar stim ca daca un modul M este suma directa interna a familiei (M) de submodule ale sale atunci M este izomorf cu suma directa externa a familiei de R-module (M), deci avem un R-izomorfism QMN unde MN=MN.Rezulta ca MN este modul injectiv si conform propozitiei 4 rezulta ca M este injectiv.
Observatie: notiunile si proprietatile de mai sus se extind si pentru R-module la dreapta.
Lema 1: Fie R un inel si fie P un R-modul la stanga, respectiv la dreapta, proiectiv ; daca Q este un Z-modul injectiv, atunci = Homz(P, Q) este un R-modul la dreapta, respectiv la stanga injectiv.
Propozitie 5: Fiind dat un inel R si un R-modul M, exista un R-modul injectiv Q si un monomorfism u:MQ .(Se mai spune ca orice R-modul are o scufundare injectiva.)
Definitie 6: Daca C este o categorie abeliana, se spune ca C are suficiente obiecte injective sau suficiente injective, daca pentru orice obiect M al categoriei C , exista un obiect injectiv Q al categoriei C si un monomorfism u: MQ .
Observatie:Dacă C este o categorie abeliana avand suficiente proiective, atunci duala ei C* este o categorie abeliana avand suficiente injective si invers.
Intr-o categorie abeliana C, avand suficiente injective, un obiect Q din C, care are proprietatea ca orice sir exact al categoriei C, de forma
este cu scindare , este un obiect injectiv al categoriei C .
4.3 – Generatori. Infasuratoare injectiva
Propozitie 1: Fie C o categorie abeliana si U un obiect al sau, urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
1) Functorul hU:CAb este fidel;
2) Pentru orice obiect M al categoriei C si pentru orice subobiect (N,i) al lui M, pentru care i nu este izomorfism, exista un morfism uHomC(U,M) astfel incat u sa nu factorizeze prin (N,i), adica sa nu existe nici un vHomC(U,N), pentru care iv=u.
Definitie 1: Fie C o categorie abeliana; un obiect U al categoriei C se spune ca este un generator al categoriei daca indeplineste conditiile echivalente din propozitia 1.
Exemplu: Daca R este un inel, atunci pentru orice multime nevida I, R-modulul liber As(I) este un generator al categoriei Mod(R).
Observatie: Notiunea duala celei de generator este cea de cogenerator: este un obiect V al unei categorii abeliene C, care are proprietatea ca pentru orice obiect M al categoriei si orice obiect-cat (P,p) al lui M, pentru care p nu este un izomorfism, exista un morfism vHomC(M,V), care nu factorizeaza prin (P,p) .
Daca in categoria abeliana C cu sume directe, exista un generator U, care este obiect proiectiv al categoriei, atunci C are suficiente obiecte proiective: adica exista o multime I si un epimorfism u:U(I) M astfel U(I) este un obiect proiectiv. Rezultatul dual : daca in categoria abeliana C cu produse directe , exista un cogenerator V, care este obiect injectiv al categoriei, atunci C are suficiente obiecte injective.
Propozitie 2: Daca categoria abeliana C are un generator U atunci oricare ar fi MOb(C), clasa subobiectelor este o multime.
Corolar 1: Intr-o categoria abeliana C , avand un generator U,clasa obiectelor-cat ale unui obiect oarecare Mdin C , este o multime.
Definitie 2: Fie R un inel si u:MN un omomorfism de R-module; se spune ca u este esential daca u este injectiv si satisface urmatoarele conditii echivalente:
1) Pentru orice submodul nenul N’ al lui N, u-1(N’) este un submodul nenul al lui M.
2) Pentru orice submodul nenul monogen N’ al lui N, u-1(N’) este un submodul nenul al lui M.
3) Pentru orice R-modul X si orice fHomR(N,X) daca fu este morfism atunci f este morfism.
Definitie 3: Daca M este submodul al lui N se spune ca N este o extensie esentiala a lui M daca injectia canonica MN este un omomorfism essential.
Propozitie 3: Fie R un inel atunci urmatoarele afirmatii sunt valabile:
1) Un R-modul M este injectiv, daca si numai daca orice omomorfism esential avandu-l pe M ca domeniu este izomorfism.
2) Daca O este un R-modul injectiv, un submodul M al lui Q este injectiv, daca si numai daca pentru orice submodul al lui Q, sa zicem N, care este extensie esentiala a lui M, avem N=M.
3) Daca u:MQ este un omomorfism injectiv de R-module , unde Q este R-modul injectiv si daca h:MN este un omomorfism essential, atunci exista un omomorfism injectiv l:NQ, care face comutativa diagrama:
Propozitie 4: Fie R un inel si fie u:MQ un omomorfism injectiv de R-module, urmatoarele afirmatii relative la tripletul (M,Q,u) sunt echivalente:
1) Q eate R-modul injectiv si u este omomorfism esential;
2) Q este R-modul injectiv si este singurul submodul injectiv al lui Q care il contine pe u(M).
3) Q eate R-modul injectiv si pentru orice omomorfism injectiv v:MN unde N este R-modul injectiv, exista un omomorfism injectiv w:QN, care face urmatoarea diagrama comutativa:
Definitie 4:Fiind dat un R-modul M, o pereche (Q,u) unde Q este un R-modul iar u un omomorfism injectiv MQ, se spune ca este o infasuratoare injectiva a lui M, daca tripletul (M,Q,u) satisface conditiile echivalente ale propozitiei 4.
Propozitie 5: Daca R un inel , orice R-modul M admite cel putin o infasuratoare injectiva. Daca (Q,u)si (Q’,u’) sunt doua infasuratoare injective ale R-modulului M, atunci exista un R-izomorfism f:QQ’ care face comutativa diagrama:
Observatie: Asa cum rezulta din propozitia precedenta, infasuratoarele injective ale unui modul sunt unic determinate pana la un izomorfism.
Exemplu: Stim ca Z-modulul Q este o extensie esentiala a submodulului sau Z. Cum Q este Z-modul injectiv atunci perechea (Q,i) este o infasuratoare injectiva a Z-modulului Z, unde I:ZQ este injectia canonica.
4.4 – Dimensiunea proiectiva si injectiva a unui modul
Dimensiunea proiectiva a unui modul
Toate modulele considerate in acest paragraf sunt module stangi peste inelul R.
Propozitie 1: Orice sir exact de R-module stangi poate fi introdus in diagrama comutativa:
cu liniile si coloanele exacte, unde P’,P,P’’ sunt module proiective. In plus sirurile exacte , pot fi alese
arbitrar cu P’ si P’’ proiective.
Demonstratie: Stim din 2.1 ca exista pentru M’ si M’’ module proiective P’, P’’ si morfismele surjective ’:P’M’ si ’’:P’’M’’.
Luam N’=Ker’, N’’=Ker’’. Fie P=P’P’’. Cum P’’ este proiectiv exista h:P’’M astfel incat gh=’’ .
Definim :PM astfel (x’,x’’)=(f’)(x’)+h(x’’).
Fie yM, atunci exista x’’P’’ g(y)=’’(x’’)=g(h(x’’)) de unde rezulta ca y-h(x’’) Ker g = Im f. Exista atunci x’P’ astfel incat y-h(x’’)= f(’(x’)) si deci (x’,x’’)=y. Deci este epimorfism. Daca (x’,x’’)=x’’, atunci diagrama :
este comutativa cu liniile exacte. Notam N=Ker si N’N si NN’’ morfismele induse de si . Se observa ca sirul este exact iar din diagrama de mai sus se obtine diagrama comutativa din enunt.
Corolar 1: Orice sir exact de R-module poate fi introdus in diagrama comutativa (fig. 1) cu liniile si coloanele exacte, unde P’i, Pi, P’’i (0in-1) sunt module proiective.(n0, arbitrar).
O O O
O O O (fig.1)
Propozitie 2: (Schanuel). Fie sirueile exacte si unde P’,P sunt module proiective. Daca MM’, atunci NP’N’P.
Demonstratie: Fie h:MM’ un izomorfism. Cum P este proiectiv, exista f:PP’ astfel incat hj=j’f. Cum j’fi=hji=0 exista un unic morfism g:NN’ astfel incat fi=i’g.
Construim sirul unde (x)=(i(x),g(x)) si (y,z)=-f(y)+i’(z). Observam ca acest sir este exact. Cum P’ este proiectiv, atunci el este scindat si deci PN’ NP’.
Corolar 2: Fie sirurile exacte si
cu Pi, P’i proiective (0in). Daca MM’ atunci
In particular rezulta ca N este proiectiv daca si numai daca N’ este proiectiv.
Definitie 1: Prin rezolutie proiectiva a modulului M intelegem un sir infinit exact , unde Pn este proiectiv oricare ar fi n0. Daca Pk0 si Pn=0 oricare ar fi n>k, atunci spunem ca rezolutia proiectiva are lungimea k. In caz contrar spunem ca este de lungime .
Propozitie 3: Orice modul M are o rezolutie proiectiva.
Definitie 2: Prin dimensiune proiectiva a unui modul M notata pdRM sau pd(M) intelegem cel mai mic numar n astfel incat exista o rezolutie proiectiva a lui M de lungime n. In caz contrar punem pd(M)=
Exemplu : Dimensiune proiectiva a lui M este pd(M)=0 daca si numai daca M este proiectiv.
Corolar 3: Fie sirul exact cu toti Pi proiectivi. Atunci pd(M)n daca si numai daca N este proiectiv.
Demonstratie: Daca N este proiectiv, atunci este clar ca pd(M) n . Presupenem pd(M)n; exista o rezolutie proiectiva a lui M : de lungime cel mult n. In continuare se aplica propozitia 2.
Propozitie 4:Fie sirul exact . Atunci:
a) pd M’n si pd M’’n implica pd Mn;
b) pd Mn si pd M’’n implica pd M’n;
c) pd M’n si pd Mn implica pd M’’n+1;
Demonstratie: Folosim urmatoarea diagrama:
O O O
O O O
Daca pd M’n si pd M’’n atunci din corolarul 3 rezulta ca N’ si N’’ sunt proiectivi, asta inseamna ca sirul este scindabil si deci N este proiectiv. Aplicand din nou corolarul 3 rezulta pd Mn si deci afirmatia a) este demonstrate.
Analog se procedeaza pentru b).
Daca pd M’n si pd Mn, atunci N’ si N sunt proiectivi. Dar sirul este exact, de unde rezulta ca pd M’’n+1.
Corolar 4: Fie N un submodul al lui M. Atunci:
a) pd M > pd N implica pd M/N=pd M;
b) d M<pd N implica pd M/N= pd N+1;
c) pd M=pd N implica pdM/Npd M+1.
Propozitie 5: Daca (M) este o familie de R-module, atunci
pd(M)= pd(M).
Demonstratie: Pentru fiecare si k0 consideram sirul exact , unde P(0ik) sunt module proiective. Obtinem sirul exact: unde P(0ik) sunt module proiective . Tinand cont de corolarul 3 obtinem egalitatea din enunt.
Definitie 3: Dimensiunea globala proiectiva stanga a inelului R este s.gl.dim.R=sup{pd(M) : M este R modul stang}.
Teorema 1: Fie R un inel si xR un element central care nu este divisor al lui zero in R. Daca M este un R/(x)-modul astfel incat pdR/(x)M=n, finita atunci pdRM=n+1. In particular s.gl.dim R 1+s.gl.dim R/(x).
Dimensiunea injectiva a unui modul
Notiunea de modul injectiv este duala notiunii de modul proiectiv, de aceea rezultatele obtinute pentru module proiective le transpunem in mod dual.
Propozitia 6: Orice sir exact de R-module stangi poate fi introdus in diagrama comutativa:
O O O
cu liniile si coloanele exacte, unde Q’,Q,Q’’ sunt module injective. In plus sirurile exacte , pot fi alese arbitrar cu Q’ si Q’’ injective.
Corolar 5: Orice sir exact de R-module poate fi introdus in diagrama comutativa si cu liniile si coloanele exacte, unde Q’i, Qi, Q’’i (0in-1) sunt module injective.
O O O
O O O
Propozitie 7: (Schanuel). Fie sirueile exacte si unde Q’,Q sunt module injective. Daca MM’, atunci NQ’N’Q.
Corolar 6: Fie sirurile exacte si
cu Qi, Q’i (0in) sunt injective. Daca MM’ atunci
In particular rezulta ca N este injectiv daca si numai daca N’ este injectiv.
Definitie 4: Prin rezolutie injectiva a modulului M intelegem un sir infinit exact , unde Qn este injectiv oricare ar fi n0. Daca Qk0 si Qn=0 oricare ar fi n>k, atunci spunem ca rezolutia injectiva este de lungime k. In caz contrar spunem ca este de lungime .
Propozitie 8: Orice modul M are o rezolutie injectiva.
Definitie 5: Prin dimensiune injectiva a unui modul M notata inj.dimR M sau inj.dim(M) intelegem cel mai mic numar n astfel incat exista o rezolutie injectiva a lui M de lungime n. In caz contrar punem inj.dim(M)=
Corolar 7: Fie sirul exact cu toti Qi injectivi. Atunci inj.dim(M)n daca si numai daca N este injectiv.
Propozitie 9:Fie sirul exact . Atunci:
a) inj.dim M’n si inj.dim M’’n implica inj.dim Mn;
b) inj.dim M’n si inj.dim Mn implica inj.dim M’’n;;
c) inj.dim M’’n si inj.dim Mn implica inj.dim M’n+1;
Corolar 8: Fie N un submodul al lui M. Atunci:
a) inj.dim M > inj.dim M/N atunci inj.dim N= inj.dim M;
b) inj.dim M< inj.dim M/N atunci inj.dim N=1+ inj.dim M/N;
c) inj.dim M= inj.dimM/N atunci inj.dim N1+ inj.dim M/N.
Definitie 6: Dimensiunea globala injectiva stanga a inelului R este s.gl.inj.dim.R=sup{inj.dim(M) : M este R modul stang arbitrar}.
=== 5si 23 M I-P, cvasi I-P ===
Capitolul 5 -Module M-Proiective si M-Injective
5.1 -Module M-Proiective si M-injective
Definitia 1: Un R-modul drept P se spune ca este M-proiectiv (sau proiectiv relativ la M) daca pentru fiecare epimorfism pHomR(M,M’) și fiecare gHomR(P,M’), exista g'HomR(P, M) astfel incat diagrama urmatoare sa fie comutativa:adica g=pg’
Definiția 2: Fie M un modul fixat din categaria Mod-R. Un R-modul drept Q se numeste M-injectiv (sau injectiv relativ la M) daca pentru fiecare monomorfism jHomR(M’',M) si fiecare fHomR(M’’,Q) exista f’HomR (M,Q) astfel incat diagrama urmatoare sa fie comutativa, adica f= f’j.
Propoziția 1 :Fie M Mod(R), fixat. Umatoarele afirmatii sunt echivalente:
a) P este M-proiectiv;
Pentru fiecare submodul M'M, flecare gHomR (P,M/M') factorizeaza prin epimorfismul MM/M';
Pentru fiecare sir exact scurt in Mod-R cu termenul din mijloc M:
sirul de grupuri abeliene:
OHomR(P,M’’)HomR(P,M)HomR(P,M”)O
este exact.
Corolar 1:Un modul P este proiectiv daca si numai daca functorul aditiv covariant HomR (P,*) este exact in Mod(R.).
Propoziția 2 :Fie M un modul fixat din categoria Mod(R). Umatoarele afirmatii sunt echivalente:
a) Q este M-injectiv;
b) Pentru fiecare submodul M'M, flecare fHomR (M’’,Q) poate fi extins la un morfism f’HomR (M,Q);
c) Pentru fiecare sir exact scurt in Mod-R cu termenul din mijloc M:
sirul de grupuri abeliene:
OHomR(M’,Q)HomR(M,Q)HomR(M”,Q)O
este exact.
Demonstratie: a)b) Este evident.
a) c) Deoarece functorul HomR (*,Q) :Mod(R) Ab este exact la stanga; sirul: OHomR(M’,Q)HomR(M,Q)HomR(M”,Q)O este exact daca si
numai daca j* este o surjectie, adica pentru fiecare f HomR(M”,Q) exista f’HomR(M,Q) astfel incat j*(f’ )=f’j=f.
Corolar 2 :Un modul Q este injectiv daca si numai daca functorul aditiv covariant HomR (*,Q) este exact in Mod(R.).
Clase de proiectivitate si injectivitate relativa
Fie o clasa nevida de R-module drepte.
Definitia 3: Un R-modul X este C- proiectiv (respectiv C -injectiv ) daca X este M- proiectiv (respectiv M- injectiv ) pentru fiecare MC.
Notatii: Vom nota cu P(C), respectiv I(C) clasa tuturor modulelor drepte C- proiective , C-injective; daca contine numai un singur R-modul M, atunci vom folosi notatia P(M), respectiv I(M).
Observatie: Notam cu P(Mod-R) si I(Mod-R) clasele tuturor R-modulelor proiective, injective. Pentru orice clasa nevida C de R-module drepte avem OP(C)I(C) (adica modulul O este M-proiectiv si M-injectiv oricare ar fi MC ) si Mod(R)=P(O)=I(O) (adica orice R-modul drept este O-proiectiv si O-injectiv).
Exemplu: Fiecare grup abelian divizibil este Z-proiectiv
Definiția 4: a) C este inchisa la obiecte factor daca pentru fiecare sir exact in Mod-R, faptul ca XC X"C;
C este inchisa fata de subobiecte daca pentru fiecare sir exact in Mod-R, faptul ca XC X'C;
C este inchisa la extensii daca pentru fiecare sir exact in Mod-R, din X',X’’C XC;
C este inchisa la sumele directe (respectiv la sumele directe finite) daca pentru fiecare multime nevida I (fiecare multime nevida finita I) si pentru fiecare familie (Xi) cu Xi C,Xi C;
C este stabila (sau inchisa la anvelope injective), daca pentru fiecare XC, anvelopa sa injectiva ER (X) este in C;
C este o clasa Serre daca C este inchisa la submodule, obiecte factor si extensii.
Propozitia 3: Fie C o clasa nevida de R-module si o familie nevida ((Xi) de R-module. Atunci:
a)XiI(C) XiI(C), pentru fiecare ;
b)XiP(C) XiP(C), pentru fiecare .
Demonstrație: Fie un sir exact in Mod-R cu MC.
Avem diagrama comutativa cu liniile exacte:
HomR (M’,Xi) HomR (M,Xi) HomR (M’’,Xi)
HomR(M’,Xi)HomR(M,Xi)HomR (M’’ , Xi)
unde S este un izomorfism.
Avem ca HomR(j,Xi) este eoimorfism HomR(j,Xi) este epimorfism, pentru fiecare .
Observatie: propozitia ne arata ca clasa I(C) este inchisa la prosuse directe, in
timp ce clasa C(P) este inchisa la sume directe. In general nici clasa I(C) si nici
clasa C(P) nu sunt inchise la subobiecte, obiecte factor si extensii.
Definitia 5: Pentru fiecare CMod(R) definim :
P-1(C) ={MMod(R): X este M-proiectiv pentru toti XI(C)}
I-1(C) ={MMod(R): X este M-injectiv pentru toti XI(C)} unde P-1(C) se numeste clasa de relativa proiectivitate a lui C iar I-1(C) se numeste clasa de relativa injectivitate a lui C.
Observatie:Daca C={X}, notam P-1(X) respectiv I-1(X).
Aceste doua clase sunt nevide deoarece O P-1(C)I-1(C);
Evident X este un R-modul proiectiv (injectiv) daca si numai daca P-1(X)=Mod(R) (I-1(X) =Mod(R)).
Vom demonstra in continuare ca clasele P-1(C) si I-1(C) se comporta mai natural decat P(C) si I(C).
Propozitia 4: Fie Q un R-modul.
a) Daca este un sir exact in Mod(R) si Qeste M-injectiv atunci Q este M’- injectiv si M’’- injectiv;
b) Daca (Xi) este o familie de R-module drepte si Q este Mi- injectiv pentru fiecare i, atunci Q este Mi- injectiv.
Demontratie:a)Fie T=HomR(*,Q) : Mod(R) Ab. Daca este un sir exact scurt in Mod(R) atunci jh’ este monomorfiem, deci T(jh’)=T(h’)T(j) este epimorfism deoarece Q este M-injectiv si astfel T(h’) este
epimorfism, adica Q este M’’-injectiv.
Demonstram ca Q este M’-injectiv. Daca este un sir exact, atunci evident ca exista o diagrama conutativa cu liniile si coloanele exacte:
O O
Aplicam functorul T diagramei si obtinem urmatoatea diagrama comutativa:
cu liniile exacte . Deoarece Q este M-injectiv, T(h) este epimorfism, deci din lema celor cinci morfisme T(h’) este epimorfism, adica Q este M’-injectiv.
b) Notam cu M= Mi . Fie L un submodul al lui M si fie fHomR (L,Q). Consideram multimea F={(L’,f’’): LL’M, f’ HomR(L’,Q) si f’/L=f} care poate fi ordonata (L’,f’)(L’’,f’’)L’L’’ si f’’/L’=f’. Aceasta multime este inductiva.
Fie {(L,f)} o familie total ordonata de elemente din F. ConsideramL*=L, care este submodul al lui M si aplicatia f*:L*Q definita astfel:
fie xL*, atunci exista f*(x)=f*(x)=f*/L(x)=f (x), adica f* este bine definita. Deci (L*,f*)F si (F, ) este inductiva.Consideram (L0,f0) un element maximal al lui F. Este suficient sa aratam ca (Mi) L0 pentru fiecare iI, unde:Mi M
sunt injectiile canonice naturale.
Fie M’’i=(Mi)L0 pentru fiecare iI. Deoarece Q este M-injectiv rezulta ca Q este (Mi)-injectiv, deci exista pentru fiecare iI un fiHomR (,Mi) astfel incat diagrama urmatoare este comutativa:
Daca mi (Mi) si xL0 cu mi +x=0, atunci mi =- xM si f0 (mi )+ f0(x)= =f0(-x)+ f0(x)=0. Deci f’i: (Mi) + L0 Q, mi +x fi (mi )+ f0(x) este un morfism bine definit. Deoarece f’i/ L0= f0 , din maximalitatea lui (L0,f0)se deduce ca (Mi) L0 pentru fiecare iI rezulta ca L0+M. Astfel Q este Q este Mi- injectiv.
Corolar 3: Pentru fiecare calasa nevida C de R-module drepte I-1(C) este inchisa la subobiecte, obiecte factor si sume directe. In general I-1(C) nu este inchisa la extensii si produse directe.
Propozitia 5: Fie P un R-modul drept.
a) Daca este un sir exact in Mod(R) si P este M-proiectiv. Atunci P este M’-poiectiv si M’’-poiectiv;
b) Daca (Mi) este o familie de R-module drepte astfel incat P este Mi –proiectiv pentru orice i=1,2,..,n, atunci P este Mi-proiectiv.
Demonstratie:
a) Demonstratia este similara demonstratiei propozitiei anterioare, luand
functorul HomR (P,*):Mod(R)Ab.
b) Putem presupune n=2. Fie NM1M2, un submodul si i1:M1 M1M2 injectia canonica. Urmatoarea diagrama comutativa, avand ca sageti aplicatiile canonice are liniile si coloanele exacte:
O M1 M1M2 M2O
O(i1(M1)+N)/N(M1M2)/N( M1M2)/ (i1(M1)+N) O
O O O
Aplicand functorul covariant T =HomR (P,*) obtinem diagrama cu liniile exacte:
O T(M1) T(M1M2) T(M2) O
OT((i1(M1)+N)/N)T((M1M2)/N)T(( M1M2)/ (i1(M1)+N)) O
Ultima sageata verticala este un monomorfism si celelalte sageti verticala nepunctate sunt epimorfisme, deoarece P este Mi-proiectiv (i=1,2).Din lema celor cinci morfisme rezulta ca segeata verticala din mijloc punctata este epimorfism, deci P este M1M2-proiectiv.
Generalizam: Consideram diagrama cu q epimorfisme. Deoarece P este finit generat si q este epimorfism atunci exista x1,x2,..,xk Mi, astfel incat Im f sa fie finit generata de elementele q(x1),q(x2),..,q(xk) M’’ . Fie M’=Rx1+Rx2+…+Rxk Mi, , atunci exista JI submultime finita astfel incat
M’= Mi, .
Din punctul b) P este Mi –proiectiv, si din a) P este M’-proiectiv, exista
f’:PM’ care face diagrama urmatoare comutativa:
Evident qf’=f, adica P este Mi –proiectiv.
Corolar 4: Pentru fiecare calasa nevida C de R-module drepte P-1(C) este inchisa in raport cu subobiectele, obiecte factor si sume directe finite.
Corolar: Fie:XMod(R) si G un generator al lui Mod(R). Atunci :
a) X este G-injectiv daca si numai daca X este modul injectiv.
b) Daca X este modul finit generat, atunci X este G-poiectiv daca si numai daca X este proiectiv
Observatie: Daca in demonstratie luam G=RR ajungem la criteriul lui Baer de injectivitate.
Fie C o categorie abeliana arbitrara: Ca si in cazul particular al categoriei modulelor putem defini notiunile relative de obiecte X-injectiv si X-proiectiv, unde XOb(C).Putem reformula rezultatele anterioare stabilite pentru categoria R-modulelor, intr-un context mai general al unei categorii abeliene.
Fie C o clasa nevida de obiecte ale lui C . Notam cu [C] subcategoria plina
a lui C constand in toate obiectele lui C care sunt caturi de subobiecte ale Xi . [ C] este cea mai mica subcategorie abeliana plina alui C.
Propozitia 6 : Fie C, C’ doua categorii abeliene, si C o clasa nevida de obiecte
ale lui C si T:CC’ un functor contravariant, exact la stanga sau la dreapta. Presupunem ca pentru fiecare sir exact din C, , cu XC , sirul obtinut prin aplicarea functorului T sirului anterior este exact in C’. Atunci restrictia lui T[C]: [C] C’ a lui T la categoria abeliana [C] este un functor exact.
Propozitie: Fie C o categorie abeliana. Pentru fiecare clasa necida de obiecte ale lui C, avem subcategoriile abeliene P-1(C) si I-1(C) ale lui C. Daca C are un generator atunci P-1(C) si I-1(C) au amandoua un generator.
5.2 – Module Cvasi-Injective si Cvasi-Proiective
Modulele cvasi-injective au fost studiate in 1961 de Jonson si Wong iar notiunea duala de module cvasi-proiective a fost studiata de Miyashita si Wu in 1966 si de Jans in 1967.
Definitie 1: Un R-modul stang M se numeste cvasi-injectiv (respectiv cvasi- proiectiv ) daca M este M-injectiv (M-proiectiv).
Notatie: Daca un modul stang M este cvasi-injectiv (respectiv cvasi-proiectiv ) acest lucru se noteaza astfel M este QI(respectiv QP).
Observatie: Modulul M este QI (QP) daca si numai daca MI(M) sau MI-1(M) (respectiv MP(M) sau MP-1(M) ).
Propozitia 1: Fie (Mi)i=1,2,..,n, o familie finita de R-module stangi. Atunci Mi este QI
(QP) daca și numai daca Mi este Mj -injectiv (Mi este Mj -proiectv) pentru toti i si j cu 1i, jn.
Demonstrație: Din propozițiile 3(2.2), 4(2.2), 5(2.2) avem: Mi este QI (QP) daca si numai daca Mi 1in, este Mi -injectiv(Mi-proiectiv)Mi este Mj-injectiv, j=1…n (respectiv Mj -proiectiv, j=1,…,n) pentru toti i, 1in Mi este Mj -injectiv (Mj-proiectiv) pentru toți 1i, jn.
Corolar 1 (Harada 1972, Robert 1969). Fie MMod(R) si nN,n1. Atunci M este QI (respectiv QP) Mn este QI (respectiv QP).
Exemple:1)Orice modul semisimplu este QI si QP.
2) Daca a este un ideal bilateral al lui R si M este un R-modul injectiv (proiectiv) atunci aM (respectiv M/Ma) este un modul QI(QP).
3) Orice factor direct al unui modul QI (QP) este QI (QP).
Propoziția 2 Fie U,MMod-R. Atunci U este M-injectiv pentru fiecare fHomR(M,ER(U)) avem ImfU.
Demonstrație:
() Fie un sir exact in Mod(R) si g HomR (M',U). Fie i:UER(U) injectia canonica. Deoarece ER(U) este un R-modul injectiv, exista un morfism g' care face comutativa diagrama:
Deoarece g'(M) U rezulta ca g' defineste g1:MU astfel incat g1j=g U este M-injectiv.
() Fie f si notam cu X=f-1(U). Evident, X este submodul al lui M. Fie f1=f/X.
Deoarece U este M-injectiv, exista g:MU ce face comutativa diagrama:
Evident ca Ker(f-ig)=X. Presupunem XM atunci (f-ig) 0 pentru un anumit xM/X.
Dar (f-ig)(x) ER(U) deci exista aR\{0} astfel incat (f-ig)(x)a= (f-ig)(xa)U\{0}, ER(U) fiind extensia esentiala a lui U, deci f(xa)-g(xa) U si astfel xaf-1 (U)=X, adica (f-ig)(xa)=0.
In consecinta, X=M asa cum doream f=igImf=Im(ig)=ImgUImfU.
Corolar 2 :Fie C o clasa nevida de R-module, atunci I(C) este inchisa la extensii esențiale.
Corolar 3 :(Jonson si Wong) Un R-modul M este QI daca si numai daca f(M)cM, pentru orice f End(ER (MR));
Corolar 4: Pentru fiecare clasa nevida de R-module I-1(C) este inchisa la sume directe.
Demonstrație: Fie (Mi) o familie de obiecte din I-1(C), atunci U este Mi -injectiv pentru fiecare UC si iI. Fie fHomR(Mi, ER(U)). Atunci f(Mi)U pentru toti iI, deci ImfU, adica U este Mi injectiv, din propozitia
3. Deci MiI-1(C).
Observatie: Propozitia 3 mai poate fi reformulata astfel:U este M-injectiv daca si numai daca morfismul natural HomR(M,U)HomR(M, ER(U)) este un izomorfism.
Definiția 2 Printr-o extensie QI minimala a lui M intelegem o pereche (Q,i), unde Q este un modul QI si i:MQ este un monomorfism avand proprietatea ca Q este unicul submodul al lui Q ce contine i(M).
Fie MMod(R) si AEndR(MR). Conform corolarului 3, AM=f(M), fA este un R-modul QI si, mai mult, AM este intersectia tuturor submodulelor QI ale lui ER(M) ce contin pe M.
Propoziția 3 (Faith-Utumi 1964). Orice doua extensii QI minimale ale unui R-modul M sunt izomorfe peste M .
Demonstrație: Fie (Q,j) o extensie QI a lui M (adică Q este un modul QI si j:MQ este un monomorfism) si E=ER(Q). Deoarece AM este extensie esentiala a lui M, monomorfismul MQR poate fi extins la un monomorfism f:AME.
Notam N=f(AM)Q, E'=ER(f(AM)), E"=ER(N), =End(ER), '= End(ER’), "=End(ER’’).
Evident putem presupune ca E"E'E.
Fie g"(N)=g(N)g'(f(AM))g(Q)=g'(f(AM))g(Q)f(AM)Q-N din corolarul 3, f(AM) este QI (deoarece AM este QI).
Din nou, din corolarul 3, N este QI, deci f-1(N) este o extensie QI a lui M continuta in AM. Din minimalitatea lui AM concluzionam ca f-1(N)=AM si atunci N=f(AM)Q. Daca (Q,j) este acum o extensie QI minimala a lui M, atunci f:AMQ este epimorfism deoarece f(AM) este QI.
In concluzie j(M) f(AM)Q si (Q,j) este minimala. Astfel, fiecare extensie QI minimala a lui M este izomorfa cu extensia QI minimala (AM,i) a lui M.
Notație: Pentru fiecare R-modul notam cu QR(M) o extensie QI minimal a modulului M, care este unic determinata. Observam ca QR(M) este o extensie esentiala a lui
M din propozitia 4.
Dorim acum sa dam Criteriul lui Fuchs de cvasi-injectivitate.Putem sa-1 prezentam ca o consecinta triviala a unui rezultat mai general despre module M-injective.
Reamintim ca daca N este o clasa de R-module, atunci MMod(R) se spune ca este N-generat (N genereaza M) in cazul in care exista o multime (N) in N si un epimorism N M, .
Propoziția 4 : Fie U si M doua R-module.
a) Daca U este M-injectiv atunci fiecare NMod(R) are urmatoarea proprietate:
(*) Pentru fiecare submodul N'N si fiecare fHomR(N',M) cu KerfKer exista gHomR(N,U) care face urmatoarea diagrama comutativa:
N’ N
b) Daca N este o mulțime de R-module care generează M, astfel incat fiecare N/V are proprietatea anterioara (*), atunci U este M-injectiv. Demonstrație: a) Fie p:N'(N') surjectia canonica si j: (N') M injectia canonica. Deoarece Ker f Ker Ker p, exista f1:(N') U ce face comutativa diagrama :
N’ N
Prin definitie f1((x'))=f(x') pentru toti x'N'
Dar U este injectiv, deci exista f2 astfel incat f2j=f1. Notam cu g= f2. Atunci
g/N'=f.
b) Din propoziția 3 este suficient sa aratam ca lmf2U pentru fiecare hHomR(M,ER(U)) si deoarece M este N generat aceasta este echivalent cu lm(h)U pentru toti NN si HomR(N,M).
Fie N'=(h)-1 si f=(h)/N'. Evident, Ker f Ker , deci din (*) exista g:N U astfel incat g extinde pe f:
N’ N
Presupunem ca ig h. Atunci X=Ker(ig-h)N si N'X.
Atunci (ig-h)(x) ER(U)) \{0} , deci (ig-h)(x)aU \{0} pentru un anumit aR, asa ca (h)(xa)=0, contradictie, rezulta ca X=N, adica ig =h Im(h)=Im(ig)=Im gU.
=== 6.inject ===
Capitolul 6 -Module Σ/Δ – Iinjective
Module Σ*/Δ* – Proiective
6.1 -Module Σ – M – Injective
Noțiunea de modul Σ – injectiv a fost introdusă de Faith în 1966 . El a demonstrat printre altele faptul important că un R – modul injectiv RQ este Σ – injectiv dacă și numai dacă R satisface ACC pe anulatorii submulțimilor lui Q .
Un alt rezultat principal despre modulele Σ – injective a fost demonstrat în 1969 de Cailleau și anume : un R – modul injectiv Q este Σ – injectiv dacă și numai dacă Q este sumă directă de module Σ – injective indecompozabile .
Aceste două rezultate au fost transpuse pe module Σ – cvasi – injective de Cailleau și Renault în 1970 .
În acest paragraf vom prezenta o noțiune mult mai generală și anume noțiunea de modul Σ – M – injectiv , unde M este un R – modul stîng arbitrar .
Definitie 1: Fie un R – modul stîng și P o proprietate a lui U . U se numește Σ – p (respectiv Π – p ) dacă fiecare sumă directă (respectiv produs direct) de copii ale lui U posedă proprietatea P .
Observatie: Prin propietatea P a lui U înțelegem : “U est M – injectiv” , “U este injectiv” sau “U este QI”; deci obținem respectiv noțiunile de modul “Σ – M – injectiv” , “Σ – injectiv” sau “Σ – QI” .
Remarca: Pentru U Є R – Mod , conform paragrafului 4 avem :
1o. U este Σ – injectiv dacă și numai dacă U este Σ – RR – injectiv .
2o. U este Σ – QI dacă și numai dacă U este Σ – U – injectiv .
Lema 1: Fie (Ui)iЄI o familie infinită de module M – injective . Dacă U = iЄI Ui nu este M – injectiv , atunci există o submulțime numărabilă J a lui I astfel încît iЄJ Ui nu este M – injectiv .
Demonstratie : Din propoziția rezultă că există a un ideal stîng al lui R , un element xM și un morfism f : a →U cu Ker(f) AnnR(x) astfel încît f nu poate fi extins la R .
Rezultă că pentru fiecare submulțime finită F a lui I , f(a) iЄF Ui , adică există o submulțime infinită I’ a lui I astfel încît pi (Im(f)) 0 , pentru toți i Є I’ , unde pi : U→Ui reprezintă proiecția canonică . I’ conține o submulțime numărabilă J .
Fie p : iЄI Ui → jЄJ Uj proiecția canonică . Atunci morfismul pf : A → jЄJ Uj nu poate fi extins la R, adică jЄJ Uj nu este M – injectiv .
Corolar 1: U este Σ – M – injectiv dacă și numai dacă U(N) este M – injectiv .
Fie UR – Mod , X o submulțime nevidă arbitrară a lui R și Z o submulțime nevidă a lui U . Reamintim notațiile :
rR(Z) = AnnR(Z) = {r Є R/rZ = 0} și lu(x) = AnnU(x) = {x Є U/Xx = 0} .
În continuare vom folosi notațiile următoare :
AM(U) = { rR(Z) / Ø Z U și ()x Є M cu rR(Z) AnnR(x) } și
M(U) = { rR(Z) / Ø Z U și rR(Z) rR(Y) pentru o anume mulțime finită Y M}. Evident M(U) = U∞k=1AMK(U) .
Observăm că dacă RM = RR , atunci pentru fiecare 0 Z U , rR(Z) AnnR(I) = {0} , deci AR(U) = { rR(Z) / Ø Z U} = AR(U,R) .
Teorema 1: Fie RU un modul M – injectiv . Următoarele afirmații sînt echivalente :
U este Σ – M – injectiv ;
Mulțimea ordonată prin incluziune M(U) a idealelor stîngi ale lui R satisface ACC(condiția lanțurilor ascendente) ;
AM(U) satisface ACC .
Demonstratie :
(a)(b) Presupunem că există un lanț strict ascendent a1 a2 …… de elemente ale lui M(U) . Atunci a1 rR(Y) pentru o anume submulțime nevidă finită Y a lui M . Obținem lanțul strict ascendent lu(a1) lu(a2) …… . Alegem pentru fiecare n 1 un element anlu(an) / lu(an) și luăm a = U∞n=1an . Definim f : a → U(N) prin
f (r) = (rx1, rx2 , … , rxn , … ) .
Deoarece există pentru fiecare ra un întreg k astfel încît rxm = 0 pentru toți m k , rezultă că f este bine definit .
Dar rR(Y) a1, deci rR(Y)xn = 0 , pentru toți n 1 . Prin urmare rR(Y) Ker (f) . Dintr-o propoziție există z Є U(N) astfel încît f(r) = rx, pentru toți ra .
Dar (z1 , z2 , … , zt , 0 , …) = z , deci rxn = 0 pentru toți n > t și ra . Astfel, axn = 0 pentru toți n > t , ceea ce este o contradicție .
(b) (c) evidentă ;
(c) (a) Mai întîi oservăm că dacă a este orice ideal stîng al lui R astfel încît a AnnR(x) pentru un anume x M atunci există un ideal finit al lui R cu b a astfel încît lu(AnnR(x)+b) = lu(a) . Rezultă , din faptul că mulțimea { lu(AnnR(x)+c)/c a și c este finit generat} de submulțimi (și nu de R – submodule) ale lui U , că satisface DCC .
Din corolarul 1 rezultă că este suficient să demonstrăm că U(N) este M – injectiv . Fie a un ideal stîng al lui R și f : a → U(N) astfel încît Ker (f) AnnR(x) pentru un anume x M . Atunci lu(a) = lu(AnnR(x)+b) pentru un anume ideal finit generat b al lui R , cu b a . Notăm a’ = AnnR(x)+b și luăm U(N) ∞i=1Ui, unde Ui = U pentru toți i . Este clar atunci că f(a’) = f(b) . Dar b este finit generat , deci există n 1 astfel încît f(a’) = f(b) mi=1Ui . Fie acum k > n și pk : U(N) → Uk proiecția canonică . Deoarece Ker(pk o f) AnnR(x) rezultă dintr-o propozitie din capitolul 5 că există Є Uk , cu (pk o f)(r) = r , pentru toți r a .
Pe de altă parte (pk o f)(a’) = 0 , deci a = 0 . Deci Є lu(a’) = lu(a) . Astfel a = 0 , adică pk o f = 0 și ca urmare In(f) ni=1Ui .
Corolar 2: Următoarele proprietăți ale unui R – modul stîng M sînt echivalente :
orice submodul ciclic (sau finit generat) al lui M este noetherian;
orice sumă directă de module M – injective este M – injectiva ;
orice limită directă de module M – injective este M – injectivă ;
categoria R – MOD are un cogenerator Σ – M – injectiv .
Demonstratie :
(a) (b) Fie (Ui)iЄI o familie arbitrară de module M – injective stîngi , a un ideal stîng al lui R și f : a → i=1Ui un morfism astfel încît Ker(f) AnnR(x) pentru un anume x M . Deoarece Rx R/ AnnR(x) este noetherian , a/Ker(f) este un R – modul noetherian . Atunci a/Ker(f) este finit generat , adică a = Ker(f) +r1R + … + rnR , pentru anumiți r1………rn Є R . Rezultă că f(a) = f(r1R + … + rnR) este conținut în i=1Ui , pentru o anumită submulțime finită F a lui I . Deci F poate fi extins la R și astfel i=1Ui este M – injectiv.
(c) se demonstrează într-un mod similar ;
(c) (b) evident ;
(b) (d) Fie Q = SЄI E(S) , undeI este o mulțime reprezentativă a claselor izomorfe a tuturor R – modulelor stîngi simple . Evident RQ este un cogenerator pentru R – Mod și Q este Σ – M – injectiv .
(d) (a) Fie x Є M și a un ideal stîng al lui R astfel încît AnnR(x) a . Dacă Q este un cogenerator Σ – M – injectiv al lui R – MOD , atunci a = rR(Z) pentru o anumită submulțime nevidă Z a lui Q . Deci a Є AM(Q) . Din propoziția 6.4. , AM(Q) satisface ACC , deci R / AnnR(x) Rx ete un R – modul noetherian .
Corolar 3: Fie (Ui)i= o familie finită de module M – injective . Dacă Ui este Σ – M – injectiv pentru toți i= , atunci ni=1Ui este Σ – M – injectiv.
Demonstratie: se aplică teorema 1.
Corolar 4: Fie (Qi) 1 i n o familie finită de R – module Σ – M – injectiv . Atunci ni=1Qi este Σ – injectivă .
Demonsatratie : se ia RM = RR în corolar 3.
Corolar 5: (Cartan – Eilenberg – Matlis – Papp – Bass) : Următoarele afirmații sînt echivalente :
R este un inel noetherian stîng ;
Orice sumă directă de R – module drepte injective este injectivă ;
Orice sumă directă numărabilă de R – module stîngi injective este injectivă ;
Orice limită directă de R – module stîngi injective este injectivă ;
Categoria R – Mod are un cogenerator Σ – injectiv .
Corolar 6: Fie Q un R – modul Σ – injectiv . Dacă U este un submodul QI al lui Q , atunci U este Σ – QI .
Demonstratie : Din teorema 1 AR(U) satisface ACC , deci AU(U) AR(U) satisface de asemenea ACC și deci U este Σ – U – injectiv , adică U este QI .
Teorema2: Fie M Є R – Mod , (Ui)iЄI o familie de R – module stîngi și U = iЄI Ui . Presupunem că U este M – injectiv . Atunci următoarele două condiții sînt echivalente :
Ui este Σ – M – injectiv pentru toți iЄI ;
U este Σ – M – injectiv .
Demonstratie: Deoarece U este M – injectiv , rezulta ca Ui este Σ – injectiv pentru toți iI .
(b) (a) Evident pentru fiecare iI , AM(Ui) AM(U) deci Ui este Σ – M – injectiv (din teorema 1.) .
(b) Demonstrația se bazează pe metoda lui Cailleau (1969) .
Presupunem mai întîi că I este o mulțime numărabila , adică U = nЄN Un . Atunci U(N) = (n,p)ЄNxN Unp , unde Unp = Un pentru fiecare pereche (n,p)NxN .
Fie a un ideal stîng al lui R și f : a → U(N) astfel încît Ker(f) AnnR(x) pentru un anumit xM . Notăm pentru fiecare (n,p)ЄNxN cu φ np : U(N) → Unp , proiecția canonică și luăm Anp = Im(φ np o f) .
Evident Ker(φ np) = Umq pentru (m,q) (n,p) .
Presupunem următoarea afirmație valabilă :
(*) oricare ar fi n Є N , există (n’,p) NxN cu n’ > n astfel încît An’p ≠ 0 .
Atunci putem construi șirul (nk,pk) de elemente din NxN astfel încît fiecare k N avem nk < nk+1 și Ankpk ≠ 0 . Evident , kЄNUnkpk = kЄNUnk ca sumand al lui U este M – injectiv .
Considerăm acum proiecția canonică φ : U(N) → kЄNUnkpk . Atunci Ker(φ o f ) Ker(f) AnnR(x). Dintr-o propoziția din capitolul anterior φ o f poate fi extins la R și deci există tN astfel încît Im(φ o f) tk=1Unkpk . Rezultă că Ankpk = 0 , pentru toți k > t , ceea ce este o contradicție . Ca urmare , (*) nu este valabilă , adică are loc următoarea afirmație :
(**) există n astfel încît oricare ar fi (n’,p) NxN , cu n’ > n An’p = c . Astfel , Im(f) este conținută într-un modul M – injectiv (pЄNUop )(pЄNU1p) … (pЄNUnp) și atunci f poate fi extins la R , adică U(N) este M – injectiv .
Presupunem acum cazul general U = iЄIUi , I mulțime arbitrară . Atunci U(N) = (i,p)ЄIxN Uip , unde Uip = Ui , pentru toți (i,p)IxN . Presupunem că U(N) nu este M – injectiv . Din lema 1 există o subfamilie numărabilă F a familiei (Uip)(i,p) ЄIxN astfel încît xЄFX nu este M – injectivă . Fie J = {i Є I / ()p Є N astfel încît Uip Є F} . Deoarece J este numărabilă , V =jЄJUj este M – injectiv . Dar xЄFX ca factor direct al lui V este M – injectiv , ceea ce este ocontradicție .
Corolar 7: Fie (Qi) iЄI o familie de R – module stîngi și Q = iЄIQi . Dacă Q este un R – modul injectiv , atunci următoarele două condiții sînt echivalente :
Qi este Σ – injectiv pentru fiecare i Є I ;
Q este Σ – injectiv ;
Demonstratie : Rezultă din teorema 2 luînd RM = RR .
Propozitia 1: Fie R un inel semi – artinian stîng avînd lungimea Loewy stîng λ(RR) 2 și fie (Qi) iЄI o familie de R – module injective indecompozabile . Atunci Q = iЄIQi este Σ – QI .
Demonstratie: Fie M un R – modul finit generat coireductibil . Atunci SO(M) este un modul simplu și M/ SO(M) este semisimplu și finit generat , deoarece λ(RR) 2 . Rezultă că M este de lungime finită . Considerăm acum un element arbitrar x Є Q . Atunci x = x1 + … + xn , unde xiQki , deci Rx Rx1 + … + Rxn . Dar Rxi este un R – modul finit generat ireductibil , deci Rx este un modul de lungime finită , în particular Rx este modul noetherian pentru fiecare x Q .Deci , orice sumă directă de R – module Q – injective este Q – injectivă , din corolarul 2, rezultă că Q este Σ – QI .
Corolar 8: Fie R un inel semiprimar , cu J2 = 0 , J fiind radicalul Jacobson al lui R . Dacă (Qi)iЄI este o fgamilie de R – module stîngi injective indecompozabile , atunci Q = iЄIQi este Σ – QI .
Demonstratie : Deoarece J2 = 0 rezultă că λ(RR) 2 și se aplică acum corolar 7.
Scopul următor este de a studia descompunerea modulelor Σ – M – injective în submodule indecompozabile . Reamintim notația :
(M) = {a RR /a rR(y) pentru o anumită mulțime finită nevidă yM} .
Lema 2: Fie U un modul M – injectiv
U este R/a – injectiv pentru toți a Є (M) ;
lu(a ∩ b) = lu(a) + lu(b) pentru toți a,b Є (M) .
Demonstratie:
(a) Fie a (M) . Atunci există y = {x1 , … , x2} M astfel încît a rR(y) . Deoarece U este M – injectiv rezultă că U este Rxi – injectiv pentru fiecare i = . Deci U este ni=1 (R/AnnR(xi)) – injectiv . Atunci U este de asemenea R/ rR(y) – injectiv și deci U este R/a – injectiv .
(b) Incluziunea lu(a) + lu(b) lu(a ∩ b) este clară . Reciproc: fie x lu(a ∩ b) ; notăm cu f : R → U morfismul definit prin f(r) = xr , pentru toți r R . Atunci a ∩ b Ker(f) , deci diagrama următoare
R —p→ R/ a ∩ b R/a R/b
U
poate fi competată cu g , unde p este epimorfism canonic .
Din (a) U este R/a – injectiv și R / b – injectiv , deci este și (R/a R/b) – injectiv. Rezultă că g poate fi extins la h . Atunci evident x = x1 + x2 , unde x1 lu(a) și x2 lu(b) Deci are loc și incluziunea inversă .
Corolar 9: (Cailleu ,1969) : Următoarele condiții despre un R – modul stîng injectiv , Q , sînt echivalente :
Q este Σ – injectiv ;
Q este sumă directă de module Σ – injective indecompozabile .
Corolar 10: Următoarele condiții despre un R – modul stîng QI , Q , sînt echivalente :
Q este Qi ;
Q este sumă directă de module Σ – QI indecompozabile (chiar coireductibile) .
6.2 -Module Δ – Injective
Modulele Δ – injective au fost cercetate pentru ptrima dată sub forma echivalentă de inele F – artiniene de către Albu și Năstăsescu (1976) . Totuși , termenul de modul Δ – injectiv a fost introdus de același Faith (1966) .
Fie M un R – modul stîng . Reamintim cîteva notații și definiții :
Ar(M,R) reprezintă mulțimea tuturor idealelor stîngi rR(Z) ale lui R , unde Z este o submulțime nevidă a lui M ;
M este Levitzki – superior (respectiv Levitzki – inferior) dacă mulțimea ordonată cu incluziunea Ar(M,R) satisface ACC(respectiv DCC) .
Pentru fiecare R – modul stîng injectiv Q :
FQ reprezintă o topologie Gabriel pe R determinată de Q , adică :
FQ = {a ≤ RR / HomR(R/a , Q) = 0 }
(TQ ,FQ) reprezintă teoria de torsiune hereditară a lui R – MOD definită de FQ . Atunci FQ = Cog(Q) .
Lema 1: Dacă RQ este un R – modul injectiv , atunci CFQ = Ar(Q,R)
Demonstratie: Fie a ideal stîng al lui R . Atunci a Є CFQ(R) R / a Є FQ = Cog(Q) a = rR(lQ(a)) a Є Ar(Q,R) .
Teorema1: (Faith – 1966 , Teply – 1969, Cailleau – 1969 , Stenström – 1971 ) : Fie F o topografie Gabriel al lui R și (TF , FF) teoria de torsiune hereditară a lui R – Mod asociată . Notăm cu Q un R – modul injectiv care cogenerează clasa FF (adică FF = Cog(Q)) . Atunci următoarele condiții sînt echivalente :
RR este F – noetherian ;
R satisface ACC pe anulatorii submulțimilor lui Q (adică Ar(Q,R) satisface ACC);
Q este un modul Σ – injectiv ;
Pentru fiecare ideal stîng al lui R există b un ideal stîng finit generat cu b a și lQ(a) = lQ(b) ;
Fiecare sumă directă de R – module F fără torsiune injectivă este injectivă;
Fiecare modul F fără torsiune injectivă este sumă directă de submodule indecompozabile;
Q este sumă directă de submodule Σ – injective indecompozabile .
Deci , în conformitate cu aceatsă propoziție un R – modul injectiv Q este Levitzki – superior dacă și numai dacă Q este Σ – injectiv .
Definitia 1 Un R – modul injectiv Q se numește Δ – injectiv dacă Q este Levitzki – inferior .
Mai general , un R – modul arbitrar M se numește Σ (respectiv Δ) – modul dacă M este Levitzki – superior (respectiv Levitzki – inferior). Pe scurt un Σ (respectiv Δ) – modul injectiv se numește Σ (respectiv Δ) – injectiv .
Lema 2: Fie RQ un R – modul injectiv . Atunci Q este Σ (Δ) – injectiv dacă și numai dacă RR este FQ – noetherian (artirian) .
Teorema 2: Orice R – modul Δ – injectiv este Σ – injectiv .
Propozitie 1: Fie M un R – modul stîng QI și Λ = End(RM) . Atunci M este un Δ – modulul stîng dacă și numai dacă ΛM este un Λ – modul noetherian .
Teorema 3: (Faith , 1978) : Dacă RQ este un R – modul injectiv , care este noetherian – opus (adică ΛQ este noetherian , unde Λ = End(RQ)) , atunci Q este artinian – opus (adică ΛQ este artinian) .
Remarca: Rezultatul anterior rămîne devărat de asemenea pentru un modul QI , RQ : intr-adevăr dacă ΛQ este noetherian , atunci Q este R / AnnR(Q) – modul injectiv (din propoziția 5.16.)
Propozitie 2: Fie (Qi)1≤ i ≤ n o familie finită de R – module injective . Atunci ni=1Qi este Σ (Δ) – injectivă dacă și numai dacă Qi este Σ (Δ) – injectiv , pentru fiecare 1≤ i ≤ n .
Demonstratie : Dacă Q = ni=1Qi , atunci FQ = ∩ ni=1FQi .
Propozitia 3: Dacă RQ este Δ – injectiv , atunci inelul RQ este semi – primar avînd soclul finit generat stîng .
Demonstratie : Aplicam propozitia 1 si teorema3.
Propozitie 4: Fie RQ un modul Σ – injectiv . Atunci RQ este Δ – injectiv dacă este satisfăcută una din următoarele condiții :
R este inel semi – artinian stîng ;
R este regulat în sensul von Neumann ;
RQ este nesingular (adică Z(Q) = 0) .
În continuare vom descrie structura modulelor Δ – injective , folosind descompunerea terțiară relativă în inele F – noetheriene .
Fie F o topologie Gabriel (stîngă) pe R și considerăm teoria de torsiune hereditară (TF , FF) pe R – MOD definită de F . Cu Spec(R – Mod/TF) vom nota spectrul
categoriei R – Mod/TF , adică mulțimea de clase izomorfe a tuturor obiectelor injective indecompozabile ale lui R – Mod/TF . Este clar că Spec(R – Mod/TF) poate fi identificată cu mulțimea de clase izomorfe a tuturor R – modulelor injective indecompozabile fără torsiune .
Reamintim următoarele noații :
Spec(R) = {b/b este ideal prim bilateral al lui R}
SpecF(R) = Spec(R) ∩ CF(R)
Lema 3: Fie R un inel F – noetherian (stîng) .
Dacă p Є SpecF(R) , atunci ER(R/P) =Inp , unde Ip este un R – modul injectiv indecompozabil și n un număr natural .
Considerăm următoarele două aplicații α : SpecF(R) → Spec(R – MOD/TF) prin α(p) = Ip și β : Spec(R – MOD/TF) → SpecF(R) prin β(I) = p , unde Ass(I) = {p}. Atunci β o α = 1SpecF(R) .
(c) Dacă a Є CF(R) este un ideal semi – primar bilateral al lui R , atunci Ass(R/a) este o mulțime finită și a = ∩pЄAss(R/a) P .
În particular mulțimea MinF(R) a idealelor prime minimale ale lui SpecF(R) este finită.
Lema 4: Fie F o topologie Gabriel a lui R și p Є Spec(R) . Dacă R/p este un inel Goldie drept , atunci p Є F sau p Є SpecF(R) .
Teorema 4: Fie pSpecF(R) un ideal prim minimal al lui R . Dacă ER(R/p) este un modul Σ – injectiv , atunci ER(R/p) este Δ – injectiv .
Propozitia 5: Fie R un inel F – artinian . Atunci :
Fiecare element p Є SpecF(R) este ideal prim minimal în SpecF(R) și SpecF(R) este o mulțime finită . Dacă în plus pentru fiecare p Є Spe(R) , R/p este inel Goldie stîng (de exemplu , dacă R este inel noetherian stîng sau R este inel cu identități polinomiale) atunci fiecare element al lui SpecF(R) este ideal prim minimal al lui R.
Aplicația α descrisă în propoziția 7.15. este bijectivă .
Corolar 1: Dacă R este un inel noetherian stîng , atunci există o corespondență bijectivă între mulțimea tuturor idealelor prime minimale ale lui R și mulțimea claselor izomorfe a modulelor Δ – injective indecompozabile .
Corolar 2: Fie RQ un modul Δ – injectiv nenul . Atunci :
există un număr finit de ideale prime p1 , … , p n ale lui R astfel încît
Ass(Q) = { p1 , … , p n } .
Mai mult , R/pi este un inel Goldie stîng și ER(R/pi) = Inipi pentru fiecare i = , unde Ipi este un R – modul injectiv indecomozabil și ni Є N-{0} .
Q = αЄA Qα unde Qα este un R – modul Δ – injectiv indecompozabil , pentru fiecare αЄA . Mai mult pentru fiecare αЄA , Qα este izomorf cu un injectiv al mulțimii { Ip1 , … , Ipn } .
Teorema 5: Fie (Qi) i ЄI o familie de R – module stîngi . Dacă Q = iЄI Qi este un R – modul injectiv , atunci următoarele două condiții sînt echivalente :
Q este Δ – injectiv ;
Qi este Δ – injectiv pentru fiecare i Є I .
Definitia 2: Inelul R se numește Σ (respectiv Δ) – inel stîng ori de cîte ori ER(RR) este Σ (respectiv Δ) – injectivă .
Teorema 6: Fie RQ un R – modul Σ (respectiv Δ) – injectiv . Atunci ER[x](Q[x]) este un R[x] – modul Σ (respectiv Δ) – injectiv .
Corolar 3: Dacă R este un Σ (respectiv Δ) – inel stîng atunci R[x] este un Σ (respectiv Δ) – inel și reciproc .
6.3 -Module Σ*/Δ* – Proiective
Conceptul de modul Σ* – proiectiv a fost introdus și studiat de Năstăsescu . Ele au un sens dual noțiunilor de modul I(D) – injectiv .
În acest paragraf vom defini și studia modulele Σ*(Δ*) – proiective și vom prezenta o legătură între modulele Δ* – proiective și Δ – injective . Bazat pe aceasta vom demonstra următorul rezultat datorat lui Năstăsescu : orice categorie Grothendiech avînd un generator artinian este echivalentă cu categoria A – Mod , unde A este un inel artinian stîng convenabil .
În continuare P va reprezenta un R – modul stîng proiectiv nenul . Acesta defineșe o teorie de torsiune (TP , FP) unde :
TP = {M Є R –MOD / HomR(P, M) = 0} și
FP = {X Є R –MOD / HomR(M , X) = 0 pentru toți M Є TP} .
Topologia Gabriel corespunzătoare este FP = {a RR/τ(P) a} unde τ(P) este trasa lui P .
Definitia 1:. Modulul proiectiv RP se numește Σ*(Δ*) – proiectiv dacă CFP(R) este o latice noetheriană (respectiv artiniană) .
Teorema 1: Dacă P este Δ* – proiectiv , atunci P este Σ*– proiectiv .
Propozitia 1: Fie RP un modul Σ*– proiectiv . Atunci RP este Δ* – proiectiv dacă una din următoarele condiții este satisfăcută :
R este inel stîng semi – artinian ;
R este regulat în sens von Neumann .
Lema 1: Dacă P este Σ* sau Δ* – proiectiv , atunci idealul τ(P) al lui R este finit generat stîng .
Demonstratie : Deoarece RR este FP – noetherian , τ(P) este un R – modul stîng FP – finit generat ; deci există un ideal stîng finit generat a , a τ(P) astfel încît τ(P)/a TP . Atunci τ(P) = τ(P)2 a , adică τ(P) = a este finit generat ca ideal stîng .
Corolar 1: Următoarele proprietăți ale R – modulului proiectiv finit generat P sînt echivalente :
P este Σ*(Δ*) – proiectiv ;
P este τ(P) – noetherian (artinian) și τ(P) este ideal stîng finit generat .
Propozitia 2: Fie (Pi)1≤i≤n o familie de R – module proiective . Atunci ni=1 Pi este Σ*(Δ*) – proiectivă dacă și numai dacă Pi este Σ*(Δ*) – proiectiv pentru toți 1≤i≤n .
Demonstratie : Dacă P = ni=1 Pi , atunci FP = ∩ni=1 FPi
Corolar 2: Fie P un R – modul proiectiv finit generat nenul . Atunci P este Δ* – proiectiv dacă și numai dacă P este sumă directă finită de module Δ* – proiective indecompozabile .
Teorema 2 : Fie P un R – modul proiectiv finit generat . Atunci P este Σ*(Δ*) – proiectiv dacă și numai dacă P* este noetherian – opus (artinian) .
Demonstratie: : RR este FP – noetherian (FP – artinian) RP este Σ*(Δ*) – proiectiv P* = HomR(P,R) este un End(RP) – modul stîng noetherian (artinian) . Dar End(RP) este izomorf cu inelul opus al lui End(P*R) . Deci RP este Σ*(Δ*) – proiectiv dacă și numai dacă P* este End(P*R) – modul drept noetherian (artinian) .
În continuare vom prezenta legăturile dintre modulele Σ – injective și Δ* – proiective .
Observam că studiul modulelor Δ – injective peste inelul R poate fi redus la studiul modulelor Δ – injective peste un inel semi – primar .
Teorema 3: Dacă R este un inel semi – primar , atunci există o corespondență bijectivă între mulțimea claselor izomorfe ale modulelor Δ – injective indecompozabile și mulțimea claselor izomorfe ale modulelor Δ* – proiective indecompozabile (finit generate) .
Demonstratie: Fie Q un modul Δ – injectiv indecompozabil . Atunci soclul So(Q) = S este un modul simplu . Fie PQ ―α→ S → O o acoperire proiectivă a lui S . Mai întîi vom demonstra că FQ = FPQ , adică dacă MR – Mod , atunci HomR(M,Q) = 0 dacă și numai dacă HomR(PQ,M) = 0 , Notăm cu J rdicalul Jacobson al lui R și considerăm așa – numita serie descendentă Loewy a lui M = M0 ≥ M1 ≥ … ≥ Mk ≥ … , unde Mk = MJk , pentru fiecare kN .
Deoarece R este inel semiprimar , Mk/Mk+1 este modul semisimplu pentru toți k N și Mn = 0 pentru un anumit nN . Atunci , evident HomR(PQ , M) = 0 , deci există iN astfel încît HomR(PQ , Mi/Mi+1) ≠ 0 . Rezultă că există S’ Mi/Mi+1 submodul simplu astfel încît HomR(PQ , S’) ≠ 0 .
Presupunem că HomR(PQ , S’) ≠ 0 și fie f HomR(PQ , S’) , f ≠ 0 . Atunci Ker(f) și Ker(α) sînt două submodule maximale ale lui PQ . Dacă Ker(f) ≠ Ker(α) , atunci Ker(f) + Ker(α) = PQ . Dar Ker(α) este superflu în PQ (fiind acoperire proiectivă) , deci Ker(f) = PQ , adică f = 0 , ceea ce este o contradicție . În consecință Ker(f) ≠ Ker(α) și deci S’ ≈ S .
Pe de altă parte , HomR(M,Q) ≠ 0 implică faptul că există jN astfel încît HomR(Mj/Mj+1,Q) ≠ 0 , adică S” Mj/Mj+1 submodul simplu astfel încît HomR(S”,Q) ≠ 0 . Dar HomR(S”,Q) ≠ 0 implică S” ≈ S , deoarece S = So(Q) .
Rezultă că HomR(PQ , M) ≠ 0 HomR(M,Q) ≠ 0 și deci FQ = FPQ . Dar Q este Δ – injectiv , adică RR este artinian în raport cu topologia Gabriel FQ = FPQ și de aceea PQ este Δ* – proiectiv . Ca o acoperire proiectivă a modulului simplu S , PQ este desigur finit generat și indecompozabil .
Invers fie P un modul Δ* – proiectiv indecompozabil . Atunci , există un idempotent primitiv e al lui R astfel încît P ≈ Re și Re / Je = S , este un R – modul simplu . Notăm QP = ER(S) . Deoarece P este acoperirea proiectivă a lui S rezultă că FP = FQP și deci QP este un modul Δ – injectiv indecompozabil . Acum este clar că Q→PQ și P→QP este o corespondență cu păstrarea bijectivității .
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Module Injective Si Proiective (ID: 149292)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.