Modelul Markowitz DE Gestiune A Portofoliilor

INTRODUCERE 2

1. INTRODUCERE ÎN GESTIUNEA PORTOFOLIILOR 2

1.1. Definiție 2

1.2. Tipuri de portofolii 2

1.3. Selecția portofoliilor 3

1.4. Gestiunea portofoliilor 4

1.5. Strategii de gestiune 4

2. MODELUL MARKOWITZ 6

2.1. Principiile modelului Markowitz 6

2.2. Ipotezele modelului Markowitz 6

2.3. Formularea matematică 7

3. STUDIU DE CAZ 11

CONCLUZII 19

BIBLIOGRAFIE 19

INTRODUCERE

INTRODUCERE ÎN GESTIUNEA PORTOFOLIILOR

Definiție

Portofoliul investițional poate fi definit ca fiind totalitatea titlurilor financiare, a tipurilor de titluri financiare sau a domeniilor de investiții pe care le deține sau dorește să le dețină un investitor.

Dacă se are în vedere obiectivul investițonal și, respectiv cerințele investitorului, portofoliul investițional este acea combinare de instrumente financiare, determinată de risc, timpul investiției, capitalul disponibil și obiectivul investițional, deținută de investitor în vederea obținerii unor avantaje financiare.

Rentabilitatea și riscul reprezintă cele două noțiuni de bază prin care se caracterizează un activ financiar sau un portofoliu investițional.

Rentabilitatea reprezintă, în termeni financiari, capacitatea unei investiții de a produce profit, ca urmare a deținerii acesteia pe o perioadă de timp.

Rezultatul unei investiții nu poate fi determinat cu exactitate din timp, de aceea el prezintă un anumit grad de risc. Acest risc este, de fapt, o probabilitate de pierdere.

Gestiunea portofoliilor presupune construirea unor portofolii și dezvoltarea acestora cu scopul de a atinge obiectivele definite de investitor, respectând în același timp constrângerile legate de risc.

Tipuri de portofolii

Portofoliile investiționale se pot clasifica după mai multe criterii, în functie de scopul invstitorului.

În funcție de tipul instrumentelor financiare care îl alcătuiesc:

portofolii de acțiuni;

portofolii de obligațiuni;

portofolii alcătuite din instrumente specifice piețelor monetare și valutare;

portofolii echilibrate.

În funcție de relația risc-venit:

portofolii nonriscante, când se urmărește reducerea riscului, dar și a veniturilor;

portofolii securizate, când se urmărește minimizarea riscurilor;

portofolii prudente, când se urmărește un raport optim între rentabilitate și risc, cu condiții convenabile pentru investitor;

portofolii rentabile, când se urmărește maximizarea rentabilității, fără a se ține cont de gradul de risc:

portofolii speculative, când se doresc venituri rapide, acceptând un risc ridicat;

portofolii de creștere, când se dorește investirea capitalului în instrumente cu șanse mari de câstig, dar si cu grad ridicat de risc;

portofolii clasice, când se urmărește obținerea unor venituri peste medie, când se acceptă un anumit grad de risc.

În funcție de regimul fiscal:

portofolii exonerate, alcătuite numai din instrumente financiare exonerate de la plata taxelor și impozitelor;

portofolii impozabile, alcătuite din instrumente financiare care produc venituri impozabile.

În funcție de omogenitatea instrumentelor care alcătuiesc un portofoliu:

portofolii echilibrate, alcătuite din instrumente financiare (acțiuni, obligațiuni, devize, etc.)

portofolii specializate, alcătuite din instrumente financiare de același fel.

Decizia unui investitor de a investi capitalul în instrumente financiare se bazează pe strategia investițională adoptată, pe selecția instrumentelor financiare și pe găsirea unei combinații optime în funcție de aversiunea față de risc a investitorului și rentabilitatea așteptată de acesta.

Selecția portofoliilor

Selecția portofoliului are la bază două etape:

prima etapă constă în studierea și analiza titlurilor de valoare existente pe piața de capital, analiză care ajută la construirea unei previziuni asupra performanțelor viitoare ale acestor titluri;

a doua etapă se fundamentează pe baza previziunilor asupra performanțelor viitoare ale titlurilor de valoare, pe baza cărora se stabilește un portofoliu de titluri care vor oferi rentabilități maxime.

Prima condiție a cercetării titlurilor constă în dorința investitorilor de a-și maximiza rentabilitățile așteptate. De asemenea, se consideră rentabilitatea așteptată ca un lucru dorit să aibă valori maxime și riscul (varianța) caracteristică rentabilității ca un lucru dorit să aibă valori minime. Se urmărește de fapt maximizarea valorii de rentabilitate pe unitate de risc sau minimizarea riscului pe unitate de rentabilitate.

Gestiunea portofoliilor

Gestiunea portofoliilor poate fi privită ca ansamblul tehnicilor, metodelor, modelelor de selecție a instrumentelor financiare pentru determinarea combinației optime a acestora din punct de vedere al raportului rentabilitate – risc.

Deciziile de gestiune care trebuie luate în cazul unui portofoliu se referă cu precădere la riscul și rentabilitatea portofoliului. Dacă instrumentele financiare emise de societăți diferite sunt combinate într-un portofoliu investițional unde sunt cunoscute beneficiile așteptate, dispersia și covarianțele beneficiilor pentru fiecare instrument, atunci pot fi determinate rentabilitatea și riscul întregului portofoliu investițional.

Obiectivul investițional este maximizarea profitului în cazul construirii unui portofoliu. Dacă viitorul nu este știut cu certitudine, trebuie așteptat sau anticipat. Atunci când există mai multe instrumente financiare riscante, un investitor poate să reducă riscul întregului portofoliu, prin diversificarea portofoliului, fără să accepte un câștig mai mic. Experiența arată că este “suficient” un portofoliu de circa douăzeci de instrumente pentru a obține un efect de portofoliu care asigură minimizarea riscului diversificabil.

Conform teoriei moderne a portofoliilor investiționale, un investitor trebuie să țină cont de 3 reguli pentru a înregistra performanțele scontate:

Prima regulă: este recomandat “să nu se pună toate ouăle în același coș”. Această expresie a permis numeroșilor investitori să evite să fie supuși situațiilor aleatorii ale evoluției unui singur titlu.

În vederea asumării unui risc cât mai mic, la întocmirea unui portofoliu de acțiuni trebuie luată în calcul o gamă diversă de acțiuni.

A doua regulă: instrumentele sunt independente în mod real unele față de altele, adică nu prezintă asemănări semnificative. De cele mai multe ori, când un investitor constată că prețul pe piată al acțiunii deținute are un trend ascendent, mai așteaptă căutând să obțină un profit suplimentar , dar de multe ori nu reușește decât să vadă cum prețul scade sau cum pierde total eventualitatea vânzării.

A treia regulă : rentabilitatea unui portofoliu depinde de numărul de instrumente din componența acestuia. Igor Ansoff a precizat, încă din 1965, riscurile inerente diversificării exagerate a portofoliilor: investirea în instrumente financiare diferite antrenează cheltuieli considerabile, care afectează negativ rentabilitatea. Ceea ce I. Ansoff numește costul de acces la un nou activ (instrument) depinde mai puțin de importanța tranzacției și mai mult de cheltuielile de “învățare”, de deprindere cu specificul noilor instrumente;

Aceste reguli se pot aplica atât în momentul construirii portofoliului, cât și în cazul optimizării acestuia.

Strategii de gestiune

Gestiunea portofoliului este o activitate permanentă prin care se operează modificări în structura portofoliului, modificări determinate de informații, analize și prognoze privind evoluțiile variabilelor determinante pentru rentabilitatea și riscul instrumentelor din compoziția portofoliului.

Obiectivul general urmărit de o gestiune eficientă a portofoliului este aflarea celei mai performante combinații de instrumente la un nivel de risc dat, adică cel pe care investitorul este dispus în mod subiectiv să și-l asume. Acestui obiectiv general i se alătura o serie de alte obiective: rentabilitate, securitate, protecția puterii de cumpărare, lichiditate. În vederea atingerii acestor obiective, investitorul poate alege strategia pasivă sau strategia activă.

Strategia pasivă corespunde deținerii instrumentelor pe perioade îndelungate de timp, cu puține modificări operate asupra structurii portofoliului. Acest tip de gestiune presupune constituirea unui portofoliu în care preponderente sunt obligațiunile, iar structura sa este modificată ca urmare a schimbării preferințelor investitorului sau ca urmare a modificării ratei dobânzii fără risc.

Din categoria strategiilor pasive fac parte:

Strategia de tip “cumpără si păstrează” (buy – and – hold policy), care presupune identificarea instrumentelor financiare care prezintă un randament atractiv la un nivel al volatilității cuprins între limitele stabilite de investitor – reprezintă cea mai simplă metodă de gestiune;

Această strategie presupune că portofoliul constituit inițial nu își modifică structura în decursul intervalului de deținere a acestuia. Acest tip de strategie presupune alocarea unui timp redus pentru gestionarea portofoliului, deoarece structura stabilită inițial de investitor este considerată optimă pentru întregul orizont investițional. Astfel, dacă spre exemplu, un investitor a stabilit prin strategie o structură a portofoliului de 60% acțiuni și 40% instrumente cu risc redus, el va menține această structură indiferent de evoluțiile înregistrate pe piață într-un interval de timp.

Dacă valoarea de piață a acțiunilor va crește atunci se va înregistra și o creștere a valorii portofoliului, deoarece între cele două variabile există o corelație de tip liniar. Deși una inactivă, strategia generează profituri care depind de evoluția prețului activelor pe piața bursieră. Cu cât proporția acțiunilor în cadrul portofoliului este mai mare cu atât este mai avantajoasă o creștere a valorii de piață a acestora, dar efectul este opus în cazul în care valoarea de piață a acțiunilor scade.

Strategia de tip indice bursier presupune crearea unui portofoliu care va copia structura coșului unui indice bursier. Evaluarea performanței vizează modul în care portofoliul reușește să urmărească evoluțiile indicelui, utilizându-se în acest scop “eroare de urmărire”.

Strategia activă presupune deținerea instrumentelor pe perioade scurte de timp, cu frecvențe modificări ale structurii portofoliului, structură în care acțiunile sunt preponderente. Efectul deținerii acestor instrumente constă tocmai în aspectul dinamic al gestiunii, care urmărește identificarea instrumentelor supracotate sau subcotate existente pe piată si vânzarea sau cumpărarea lor în scopul rentabilizării portofoliului. Opțiunea investitorului pentru o asemenea strategie permite creșteri progresive ale rentabilitățtii, însă necesită realizarea permanentă de previziuni asupra evoluțiilor mediului economic și asupra pieței de capital, analiza valorii instrumentelor pornind de la performanțele financiare actuale și de perspectivă, exploatarea promptă a anomaliilor prezente pe piață în privința cotației instrumentelor, prin tranzacții de vânzare sau cumpărare.

Indiferent de strategia adoptată, principalii factori care afectează performanțele portofoliului sunt, în principiu, următorii:

natura instrumentelor care compun portofoliul – instrumentele emitenților de dimensiuni mici sau recent intrați pe piață vor avea aproape în toate cazurile o volatilitate mai ridicată decât cea a unor instrumente similare emise de societăti consacrate;

gradul de diversificare a portofoliului – prin numărul de instrumente care alcătuiesc un portofoliu, se va permite întotdeauna scăderea volatilitătii prin eliminarea riscurilor specifice;

măsura în care managerul portofoliului recurge la credite în încercarea de a crește performanța de gestiune – utilizarea frecventă a unor asemenea tehnici va spori volatilitatea portofoliului;

măsura în care managerul portofoliului sincronizează piața sau să diminueze riscurile, prin operațiuni de hedging –achiziționarea de instrumente derivate de tipul contractelor futures sau al opțiunilor pe aceste contracte, sau sporirea lichidității portofoliului în cazul anticipării unui declin al pieței de capital.

Gestiunea portofoliului urmărește, în ultimă instanță, optimizarea deținerii de instrumente financiare. Optimul nu are, însă, aceeași semnificație pentru toți investitorii, deoarece ei au grade diferite de toleranță și aversiune în ceea ce privește expunerea față de risc. În funcție de atitudinea pe care o dezvoltă față de risc, investitorul va alege o anumită combinație de instrumente financiare pe care o consideră optimă în funcție de strategia adoptată.

MODELUL MARKOWITZ

2.1. Principiile modelului Markowitz

Modelul Markowitz poartă numele celui care a descoperit legătura dintre riscul și rentabilitatea unui portofoliu investițional. Un articol al lui Henry Markowitz din anul 1952 reprezintă sursa teoriei portofoliilor. Împreuna cu Sharpe și Miller a primit premiul Nobel în 1990 pentru această descoperire. Markowitz a dezvoltat o teorie a alegerii portofoliilor într-un viitor care părea neclar, arătând diferența dintre riscul unui activ al portofoliului luat individual și riscul total al portofoliului. A demonstrat că riscul unui portofoliu provine din covarianțele activelor care formează acest portofoliu. Riscul unui portofoliu este mai mic decat media riscurilor fiecărui activ în parte și oferă o evidență a contribuției diversificării.

Teoria dezvoltată de Markowitz se bazează pe maximizarea utilității sumei finale a investitorului, oferind o soluție la problema alegerii portofoliului de către un investitor cu aversiune la risc: portofoliul optim, din punctul de vedere rațional al investitorului, este definit ca fiind acela care are cel mai mic risc pentru o rentabilitate dorită.

Markowitz consideră însă că ratele de rentabilități variază în funcție de risc. Ipoteza că investitorul dorește doar maximizarea rentabilității trebuie abandonată deoarece ea ignoră imperfecțiunile pieței și faptul că există un protofoliu diversificabil care este preferat tuturor celorlalte protofolii nediversificate. Prin combinarea mai multor titluri în portofoliu se pot obține rentabilități superioare pentru riscul asumat.

Ipotezele modelului Markowitz

Markowitz consideră că procesul de selecție a unui portofoliu poate fi împărțit în două etape: prima cuprinde o analiză a instrumentelor de valoare și se încheie cu formularea unor predicții referitoare la performanțele lor viitoare în materie de rentabilitate și risc, iar cea de-a doua etapă presupune procesul propriu-zis de selecție a portofoliilor, bazat pe ipoteze care se referă atât la comportamentul investitorilor, cât și la particularitățile instrumentelor financiare.

Ipoteze cu privire la comportamentul investitorilor și instrumentele financiare:

o lege de probabilitate, referitoare la repartiția rentabilităților posibil de realizat în cadrul perioadei de posesie a instrumentelor, proprie fiecărui investitor, necesare pentru surprinderea incertitudinii fenomenelor financiare;

investitorii se caracterizează cu aversiune față de risc, cu diferite grade de intensitate și urmăresc ca obiectiv fundamental maximizarea utilității;

dispersia rentabilității este o măsură semnificativă a riscului, acceptată de către investitori;

investitorii utilizează rentabilitatea sperată și riscul pentru stabilirea deciziilor într-un mediu nesigur.

instrumentele care compun portofoliul sunt riscante, se caracterizează printr-o anumită speranță de rentabilitate (, dispersie () și covarianța cu celelalte instrumente selectate (

O decizie constă în alocarea capitalului între diferite instrumente financiare, calculând ponderile optime care le revin. Determinarea unei linii optime de acțiune din perspectiva unui investitor urmărește două etape:

realizarea unei partiții a ansamblului de soluții posibile în două subseturi, care cuprind soluțiile eficiente și pe cele dominate;

stabilirea acelei soluții eficiente care maximizează funcția de utilitate a investitorului – funcție care are drept parametrii rentabilitatea și riscul portofoliului.

Pornind de la instrumentele selecționate în vederea includerii în portofoliu, se vor determina, într-o primă etapă, oportunitățile de investiție existente, respectiv “totalitatea portofoliilor care pot fi obținute pe baza activelor considerate și care minimizează dispersia pentru un anumit nivel de rentabilitate– setul de dispersie minimă, cum este denumit în literatura consacrată gestiunii portofoliilor”.

Pornind de la ipotezele modelului se pot enunța principiile de la baza delimitării, din cadrul oportunităților existente a setului de portofolii eficiente, principii cunoscute sub denumirea de teoreme ale setului eficient.

Astfel, în virtutea principiului raționalității investitorilor și a aversiunii acestora față de risc, ei vor alege, dintre două portofolii cu rentabilități egale, pe acelea cu un nivel mai scăzut de risc, iar dintre două portofolii cu risc egal, îl vor alege pe cel cu rentabilitate mai mare.

Localizarea oportunităților de investiție în spațiul medie-dispersie se poate realiza prin parcurgerea următoarelor etape:

stabilirea setului de portofolii de varianță minimă (care se determină prin minimizarea riscului pentru diferite niveluri ale rentabilității sperate); pentru fiecare nivel de rentabilitate dorită de către investitor, se va alege un portofoliu din acest set;

determinarea ponderilor care caracterizează portofoliul cu variant minimală absolută (PVMA) – ce desemnează acea combinație de instrumente capabilă să ofere cel mai mic grad al riscului;

determinarea frontierei eficiente pe care se vor situa portofoliile optime deținute de către investitori, aplicându-se principiul dominanței: dintre două portofolii cu risc egal, se preferă portofoliul cu rentabilitatea medie cea mai mare; portofoliile eficiente se caracterizează prin rentabilități medii mai ridicate decât portofoliul cu varianță minimală absolută (PVMA), dar au și riscuri mai mari.

Portofoliile de instrumente financiare se caracterizează, în contextual ipotezelor care stau la baza modelului Markowitz, prin două elemente esențiale: rentabilitate și risc, ale căror valori provin din urma procesului de analiză a instrumentelor din structura portofoliului.

Formularea matematică

Rata rentabilității activului “i”, , se calculează după formula:

unde este cursul activului “i” în ziua n.

Rentabilitatea medie a activului “i” este:

unde N este numărul total de zile pentru care s-au calculat ratele zilnice de rentabilitate.

Riscul asociat activului “i” se determină prin formula:

Iar abaterea medie pătratică:

Rata rentabilității anuale și calculul riscului pe un an calendaristic, cu un număr de 250 zile bursiere, se determină prin formulele:

Rentabilitatea și riscul portofoliului format din “n” titluri

Rentabilitatea unui portofoliu de “n” titluri, , este media ponderată a rentabilităților medii are titlurilor componente:

unde sunt ponderile cu care intervin titlurile în portofoliu.

Riscul unui portofoliu de “n” titluri se calculează cu formula:

Riscul unui portofoliu de “n” titluri reprezintă suma tuturor com binațiilor posibile dintre variațiile de rentabilitate ale titlurilor componente, în funcție de ponderile de participare ale acestora.

Selecția portofoliului format din “n” titluri. Frontiera eficientă Markowitz.

Modelul Markowitz oferă identficarea portofoliilor eficiente de titluri riscante, care oferă maximum de rentabilitate așteptată de investitori pentru un risc asumat, în funcție de comportamentul lor față de acest risc. Frontiera eficientă începe cu portofoliul de risc minim (PVMA – portofoliul cu varianță minimă absolută), preferat de investitorii cu cea mai mare aversiune față de risc.

Ipotezele modelului lui Markowitz sunt:

Criteriul de selecție a combinațiilor eficiente de “n” instrumente este cel cunoscut: speranță-dispersie;

Toate cele “n” titluri sunt riscante, carcaterizate printr-o rentabilitate medie , dispersie () și covariație cu fiecare dintre celelalte instrumente din portofoliu();

Rentabilitatea scontată a portofoliului ( este o variabilă exogenă a modelului, fiind furnizată de către investitori.

Selecția portofoliilor eficiente devine o problemă de optimizare cu restricțiile:

Știind că:

Minimizarea funcției obiectiv se obține cu ajutorul funcției Lagrange, din care rezultă soluția:

=

Matricea X conține ponderile titlurilor cu varianță minimă absolută.

Soluția sistemului de ecuații parametrice duce la componența portofoliilor eficiente (frontiera eficientă) pentru orice speranță de rentabilitate scontată de investitori (), în funcție de profilul lor de risc. Portofoliile cu ponderi ale titlurilor negative () vor fi considerate nelegitime, operațiile de “short sales” (vânzare la descoperire) nefiind acceptate.

Modul cum variazǎ titlurile unul fațǎ de celǎlalt determinǎ în mare mǎsurǎ riscul unui portofoliu. Cu cat acestea sunt mai puțin corelate cu atât efectul de diversificare a riscului este mai pronunțat. Riscul unui portofoliu depinde de riscul titlurilor incluse în portofoliu, de relația dintre ele și de numǎrul de titluri din portofoliu. Riscul unui portofoliu, oricât de bine este diversificat acesta nu poate fi redus la zero deoarece titlurile de pe o piațǎ sunt corelate pozitiv.

Criteriul medie-varianțǎ este criteriul clasic de determinare a portofoliilor eficiente. Un portofoliu eficient este acel portofoliu care pentru un risc dat are cea mai mare speranțǎ de rentabilitate, sau care pentru o speranțǎ datǎ cel mai mic risc. Ansamblul portofoliilor eficiente formeazǎ frontiera eficientǎ. In cazul portofoliilor formate doar din active financiare riscante frontiera este o curbǎ, dar prin introducerea activului fǎrǎ risc aceasta devine o dreaptǎ. Teoretic, fiecǎrui investitor îi corespunde un singur portofoliu eficient în funcție de aversiunea sa fațǎ de risc și atracția sa fațǎ de câștig.

STUDIU DE CAZ

Prin intermediul acestui studiu de caz se dorește analiza a șase titluri financiare, în scopul constituirii unui portofoliu.

Evaluarea acestui portofoliu se face sub criteriul rentabilitate-risc, iar ponderile cu care intervin titlurile selectate în formarea potofoliului se determină cu ajutorul modelului Markowitz de diversificare a portofoliilor. Aceasta poate fi considerată o metoda tot mai eficientă de optimizare a rezultatelor investițiilor în conformitate cu preferința sau aversiunea față de risc a investitorului, care dorește să cumpere numai acțiuni eficiente, să maximizeze profitul și să renunțe la cele care aduc pierderi.

Această metodă nu înlocuiește rolul unui investitor informat, dar oferă un instrument puternic ce completeaza un portofoliu gestionat activ.

Acest portofoliu este alcătuit din 6 societăți din România tranzacționate la bursă:

Pentru aceste 6 societăți s-au utilizat cotațiile zilnice la Bursa de Valori București pentru primele șase luni ale anului 2016, respectiv 121 de valori. Cu ajutorul acestor date s-a calculat rentabilitatea medie (profitul) și deviația standard (riscul) pentru aceste societăți.

Folosind rentabilitățile zilnice ale fiecărui activ s-a construit tabelul de covarianță, cu ajutorul Data Analysis din Microsoft Excel. Tabelul de covarianță permite descrierea gradului de corelație între prețurile activelor.

Covarianțele negative indică tendința rentabilităților celor două active de a evolua în sens opus (când rentabilitatea unui activ crește, rentabilitatea celuilalt scade).

Construirea frontierei de eficiență a activelor constă în parcurgerea următorilor pași:

calcularea rentabilității medii pentru fiecare activ;

construirea unui tabel de covarianță ponderat;

găsirea setului de active din portofoliu cu cel mai mic risc;

folosirea Solver pentru minimizarea abaterii standard;

desenarea frontierei de eficiență.

Rentabilitatea medie și riscul fiecărui activ:

Tabelul de covarianță ponderat:

Ponderile adăugate în tabel pe coloane, se copiază și pe rânduri cu ajutorul formulelor. Se alocă aleator aceste ponderi, ele schimbându-se automat prin aplicarea constrângerilor în Solver, condiția fiind ca suma lor să fie 100%.

Pentru portofoliul format din cele 6 active, cu ponderile alocate aleator, s-au calculat: rentabilitatea portofoliului (sumadupă produsul ponderilor și covarianțelor), riscul portofoliului (abaterea standard ) și panta de alocare a capitalului (raportul dintre rentabilitatea portofoliului si riscul acestuia).

Cu ajutorul ponderilor, tabelului de covarianță și datele portofoliului se construiește portofoliul cu cel mai mic risc.

Pasul următor este de a găsi portofoliul optim cu o rentabilitate dorită de investitor, dar care să aibă și cel mai mic risc, cel calculat la pasul anterior. Date fiind aceste constrângeri, s-au găsit următoarele:

Combinația de active căutată de investitor, în care riscul este minim și rentabilitatea dorită este atinsă este aceea în care panta are valoarea maxima. În cazul nostru, portofoliul optim se obține prin investirea a 33% în ATB, 62% în SIF1, 2% în TLV și 3% în UARG.

Graficul frontierei de eficiență:

Pe grafic, portofoliul optim se află acolo unde linia pantei este mai mare.

CONCLUZII

BIBLIOGRAFIE

1. The Journal of Finance, Vol.7, No.1, Harry Markowitz, Mar. 1952, pg. 77-91

2. The Markowitz Portofolio Theory, Hannes Marling and Sara Emanuelsson, November 25, 2012

3. Portofolio Theory and Performance Analysis, Noel Amenc and Veronique Le Sourd, ed. Wiley 2003

4. Studiu asupra aplicabilitatii modelului Markowitz pe piata bursiera din Romania, Leonard Badea, Lector universitar doctor Universitatea "Valahia" Targoviste

5. Gestiunea portofoliilor de titluri financiare, Flavia Barna